Lab Nº6_Difracción de luz Láser

7/31/2019 Lab N6_Difraccin de luz Lser

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Difraccin de luz Lser

Inga Caqui, Marvyn WilliamUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA

Facultad de Ciencias, Laboratorio de MicroscopiaE-mail: [email protected]

ResumenEn el presente informe, describimos el fenmeno de difraccin de luz lser sobre una rendija, y sobre una rejilla porta-muestraTEM que acta como una red de difraccin. El fenmeno se describe tanto terico como experimentalmente, llegndose acalcular algunas constantes caractersticas de la rendija y de las redes, como el parmetro de red.

. PALABRAS CLAVES: Difraccin, Rendija, Red de difraccin, Lser.

AbstractIn this report, we describe the phenomenon of diffraction of laser light on a slit, and a TEM sample holder grid serving as adiffraction grating. The phenomenon is described both theoretically and experimentally, reaching calculate some constantscharacteristic of the slit and networks, as the lattice parameter.KEYWORDS: diffraction, slit, grating, Laser.

I.

IntroduccinLa difraccin es un fenmeno tpicamenteondulatorio, el cual se observa cuando se distorsionauna onda por un obstculo cuyas dimensiones soncomparables a la longitud de onda. El caso mssencillo corresponde a la difraccin de Fraunhofer,en la cual el obstculo es una rendija estrecha ylarga, de modo que podemos ignorar los efectos delos extremos. Supondremos que las ondas incidentesson normales al plano de la rendija, y que elobservador se encuentra a una distancia grande encomparacin con la anchura de la misma.De acuerdo con el principio de Huygens, cuando laonda incide sobre una rendija todos los puntos de suplano se convierten en fuentes secundarias deondas, emitiendo nuevas ondas, denominadas ondasdifractadas, por lo que la explicacin del fenmenode la difraccin no es cualitativamente distinta de lainterferencia. Una vez que hemos estudiadola interferencia de un nmero limitado de fuentes, ladifraccin se explica a partir de la interferencia de unnmero infinito de fuentes.

II. Fundamento Terico.A. Luz Lser.La radiacin emitida por un Laser, igual que la luzcomn, es de naturaleza electromagntica, pero sediferencia de ella en varios aspectos importantes,entre ellas es que es direccionada, monocromtica,intenso y coherente.A diferencia de la luz blanca, que es una mezcla devarias longitudes de ondas y encima incoherente, laluz generada por un Laser, es de una nica longitudde onda; para el Laser gaseoso de He-Ne que seusara en estos experimentos, la longitud de onda es 632,8nm, fija, conocida y confiable. Esta luz esroja.La luz comn presenta variaciones aleatorias en lafase de las ondas emitidas, mientras que la luz Laserconserva relaciones de fase bien definidas, durante

intervalos de tiempo y distancias mayores; estapropiedad se llama coherencia temporal y espacial yes una caracterstica esencial para el estudio defenmenos de interferencia y difraccin.

B. Difraccin.El concepto de interferencia involucra lasuperposicin de un nmero finito de ondas, cadauna de las cuales tiene su amplitud y fase definidas.Cuando un haz de luz interacciona con un objeto talcomo una apertura, la perturbacin resultante sedebe a las contribuciones infinitesimales de lasdiferentes partes del frente de onda cada una con

fase y amplitud infinitesimal correspondiente. Lateora escalar de la difraccin establece la manera decalcular el campo en un punto tras difractarse poruna apertura. En efecto, considrese la FIG.N1. Laapertura difractante se encuentra en el plano Elpunto fuente se encuentra en el plano y elpunto de observacin en el plano . Elcampo resultante en el punto se puede ponercomo:

(1)

Donde es la transmitancia en amplitud de laapertura, es un factor de proporcional a laamplitud de la onda incidente que, en general, no esnecesaria especificar, y es el rea de la apertura.Las distancias y se pueden expresar en funcinde las coordenadas espaciales como:

(2)

(3)

Si y y tambin , sepuede llevar a cabo un desarrollo en potencia de lasexpresiones anteriores de forma que:
mailto:[email protected]:[email protected]://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/snell/snell.htm#El%20principio%20de%20Huygenshttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/Interferencia1/interferencia1.htmlhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/Interferencia1/interferencia1.htmlhttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/snell/snell.htm#El%20principio%20de%20Huygensmailto:[email protected]


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[

] (4)

[

] (5)

Con lo que la expresin (1) queda:

(6)

Donde en hemos englobado factores de faseglobales. Si hallamos al tamao mximo de laabertura, entonces el valor del trmino cuadrtico

de fase como mucho vale

. En el caso de que , entonces podemos realizar la siguienteaproximacin:

de manera que la

expresin (6) queda como:

(7)Como puede verse, en esta aproximacindenominada aproximacin de Fraunhofer, el campodifractado por la abertura es proporcional a latransformada de Fourier de la funcin. A se le denomina nmero deFresnel.

FIG.N1. Difraccin a travs de una apertura: las ondasque emanan del punto P se difractan en la apertura y en elplano

se analiza la distribucin de campo elctrico

resultante.

B.1. Difraccin por una apertura rectangular.

En el caso de una rendija de anchura y altura muygrande comparada con , la irradiancia en un punto de una pantalla de coordenadas respecto alcentro de la rendija, viene dada, en la regin deFraunhofer, por:

(8)

Donde est definido como:

(9)

La geometra involucrada se muestra en la FIG.N2.En estas condiciones se tiene que si , entonces . Por lo tanto la expresin de dado por la ecuacin (9) puede aproximarse por:

(10)Siendo la distancia del punto considerado al eje.DE esta manera se obtendrn mnimos de difraccincuando . Esto ocurre en aquellas posicionesen las que sea un mltiplo entero de ),con ya que en el caso de setiene un mximo denominado mximo central dedifraccin.Teniendo en cuenta la condicin de mnimo y laecuacin (10) la posicin del mnimo de orden est dada por:

(11)

FIG.N2. (a) Difraccin a travs de una rendija. (b) Perfilde irradiancia en la pantalla.

B.2. Difraccin en estructuras peridicas.

Si la funcin transmitancia es una funcinperidica, la integral de difraccin en aproximacinde Fraunhofer se puede expresar en trminos de laintegral de uno de los elementos de la estructura,modulado por un trmino de fase. El caso msimportante de estructura peridica la constituyen lasredes de difraccin de amplitud y/o fase. Estosdispositivos tienen multitud de aplicaciones,destacando su papel como elementos del anlisis

espectral.Analizamos brevemente el caso de una red deamplitud. Es una placa de material transparente enel que se ha grabado, bien por medios mecnicos opor medios pticos, un determinado nmero delneas de igual anchura, equiespaciadas una distancia Cuando un haz de luz de longitud de onda ilumina la red, tal y como se muestra en la FIG.N3,la irradiancia en un punto de la pantallacaracterizado por un ngulo de observacin, estdada por:

[

]

[ ]

(12)


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Siendo la anchura de las rendijas individuales, elnmero total de rendijas y .A efectos tericos la red de difraccin se puedetratar como si se dispusiese de fuentes de luz, unapor cada rendija. EL primer trmino de la ecuacin(12) es la irradiancia resultante de la difraccinproducida por cada una de las rendijas, mientrasque el segundo trmino se debe a la interferencia dela luz procedente de cada una de ellas con todas lasdems. La irradiancia total observada es el productode ambas contribuciones. Si el nmero de rendijas esgrande y el haz de luz incide con un ngulo sobre lared, lo que observamos son una serie de franjasbrillantes que corresponden a los mximosprincipales del diagrama de interferencia, que vienendados por la condicin:

(13)

Donde el valor de m determina el orden dedifraccin. En el caso de incidencia normal ,la ecuacin (13) se reduce a:

(14)

FIG.N3. Diagrama esquemtico del haz incidente y loshaces difractados por la red de difraccin.

Cuando sobre la red de difraccin incide un haz deluz policromtico compuesto por diversas longitudesde onda, para cada valor de (orden de difraccin)se obtiene un mximo de difraccin. La ecuacin (14)nos indica que, fijado el orden de difraccin, cadalongitud de onda presentar su mximo de difraccinen un ngulo diferente, esto es,

. De este

modo empleando la red podemos separarespacialmente las longitudes de onda que componenel espectro de radiacin que incide sobre ella.

III. Desarrollo ExperimentalA. Materiales.

Lser de He-Ne () Una sndwich de dos portaobjetos con

diferentes rejillas porta-muestras para TEM. Soporte para el sndwich. Cinta mtrica o huincha. 2 cuchilla metlicas. Base para las dos cuchillas metlicas. Papel Blanco.

FIG.N4. Materiales a usar en el experimento dedifraccin.

B. Procedimiento experimental. Sobre una rejilla, de la cual es conocida suparmetro de red 1000mesh (

), se hace incidir un haz de luzlser, de la cual es conocida su longitud deonda (), y obtenemos unpatrn de difraccin caracterstico de larejilla, este primer paso nos servir comocalibracin para las posteriores rejillas de lascuales no conocemos sus parmetros de redy las cuales estamos interesados en hallar.

De este primer patrn de difraccinobtenemos los siguientes datos:

Los cules sern reemplazadas en laecuacin (14), el cual puede tomar la forma:

(15)De la ecuacin (15) podemos conocer ,pues tenemos como dato los otros

parmetros que estn involucradas en laecuacin, sin embargo, tambin podramoshallar el valor de R midindolo directamenteen el patrn de difraccin, hacer esto nospermitir comparar y calibrar.

FIG.N5. Arreglo experimental, usada en toda laexperiencia.

Rejilla

Lser


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FIG.N6. Patrn de difraccin para la rejilla queservir de calibrador.

FIG.N7. Anlisis de intensidad para la rejilla de1000mesh obtenida con el image J.

Como en el sndwich haba otras rejillas delas cuales no eran conocidas sus parmetrosde red, entonces analizamos una de ellas apartir de su patrn de difraccin ycalculamos dicho parmetro usando laecuacin (15).

Para esta parte conocemos los siguientesparmetros:

FIG.N8. Patrn de difraccin para la rejilla, cuyoparmetro de red para este caso es desconocido.

FIG.N9. Anlisis horizontal de la intensidad delpatrn de difraccin para la rejilla cuyoparmetro de red es desconocida, obtenido conel Image J.

FIG.N10. Anlisis vertical de la intensidad delpatrn de difraccin para la rejilla cuyoparmetro de red es desconocida, obtenido conel Image J.

Finalmente tenemos el patrn de difraccinde una sola rendija, para este caso tenemoscomo dato:

FIG.N11. Patrn de difraccin de una solarendija.

FIG.N12. Anlisis de intensidad del patrn dedifraccin para una sola rendija.

Aparte de los datos fotogrficos, tenemostambin un registro del patrn de difraccinsobre un papel blanco, esto nos permitirmedir las distancia reales entre mximos,los cuales posteriormente nos permitirhacer una equivalencia con la cantidad depixeles de las fotos

IV.Clculos y Resultados. Para el primer patrn, el cual nos servir

como calibrador, tenemos:Para: Donde se mide a partir del registro delpatrn de difraccin sobre el papel blanco.Con este dato ahora hacemos laequivalencia con la cantidad de pixeles, paraesto trabajamos con la curva de intensidad(FIG.N7), para poder manipular los datos

de manera ms cmoda trabajamos con elORIGIN, el cual nos permite, entre otrascosas, centrar en cero la curva deintensidad.


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FIG.N13. Anlisis en ORIGIN del patrn dedifraccin para la rejilla que servir de calibrador.

Para la calibracin, a partir de la FIG.N13medimos la cantidad de pixeles que hayentre el mximo principal y el primermximo, del cual ya conocemos que

.

FIG.N14. Procedimiento para hallar laequivalencia entre el nmero de pixeles con lasdimensiones reales (cm).

De esto resulta que:

Para el 2do. Mximo tenemos:

FIG.N15. Clculo del segundo mximo delpatrn de difraccin.

De la FIG.N15 tenemos:Para:

Haciendo la conversin tendramos:

( )

Reemplazando todos los datos obtenidos enla ecuacin (15), tendramos para el 1er

patrn de difraccin (patrn para lacalibracin):

Dnde:Rc: es el R calculado.Re: es el R medido.

De la TABLA N1, podemos hallar unporcentaje de error:

| |

Para m=1: Para m=2:

Los mismos mtodos de clculo, descritosanteriormente, se usan para analizar lossiguientes patrones de difraccin, entoncesslo nos limitaremos a dar los resultados.

Del segundo patrn a analizar no se conoced, siendo este nuestro objetivo a hallar.

FIG.N16. Hallamos el primer mximo dedifraccin para el 2do patrn.

Hacemos la equivalencia:

De la FIG.N17:

TABLA N1. Resultados para el 1er patrn.

m (nm) L(cm) d(cm) Rc(cm) Re(cm)

1 632.8 302.7 0.0025 7.54 7.65

2 632.8 302.7 0.0025 15.08 15.06


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FIG.N17. Hallamos el segundo mximo dedifraccin para el 2do patrn.

Reemplazando todos los datos obtenidos enla ecuacin (15), tenemos:

De lo cual podemos concluir que el parmetrode red es el promedio de los valores obtenidospara los rdenes 1 y 2:

Ahora tratamos el caso de una sola rendija, el

patrn de difraccin es el que se muestra en laFIG.N12. Con el fin de manipular los datos

que nos da el Image J, trabajaremos con elORIGIN.

FIG.N18.Curva de Intensidad para una sola rendija.

Hallamos la distancia de los primeros dosmximos por la derecha:

Hallamos tambin la distancia de los primerosdos mximos por la izquierda:

Con estos datos se puede obtener, la separacinde las rendijas:

TABLA N3. Resultados para el 3er. Patrn de difraccin.

m (nm) L (cm) R(cm) d(cm)

1 632.8 302.7 1.35 0.0142

2 632.8 302.7 2.26 0.0170

1 632.8 302.7 1.46 0.0131

2 632.8 302.7 2.51 0.0153

De la TABLA N3 vemos que el valor de d estmuy disperso, hallamos un promedio de estosvalores, junto con su desviacin estndar:

Finalmente cambiamos el ngulo de incidencia

en la configuracin que nos daba el segundopatrn (ahora trabajamos con un ngulo deincidencia ), lo que se obtena en estecaso era un patrn diferente a cuando se tenaun ngulo de incidencia normal, esto loveremos en las ecuaciones descritas masadelante.

FIG.N19. Curva de intensidad del patrn de

difraccin tomada de forma vertical, para una rejillarotada 45.

Hallamos la distancia de los primeros dosmximos por la derecha:

Hallamos tambin la distancia de los primerosdos mximos por la izquierda:

TABLA N2. Resultados para el 2do. Patrn de difraccin.


1 632.8 302.7 1.50 0.01282 632.8 302.7 2.98 0.0129


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Para el anlisis de los datos, ya no es posibleusar la ecuacin (15), sino una ecuacin msgeneral, que involucre el ngulo de incidencia

FIG. N20 Anlisis del fenmeno de difraccin paraun ngulo de incidencia igual a 45.

De la FIG.N20 tenemos:

En nuestro caso:

Reemplazando en la ecuacin (16), tenemos:

Reemplazando nuestros datos en la ecuacin(17), tenemos:

TABLA N4. Resultados para el patrn de difraccin rotado

45.


1 632.8 302.7 1.92 0.0000887

2 632.8 302.7 3.87 0.0001758

1 632.8 302.7 1.99 0.0000887

2 632.8 302.7 3.92 0.0001758

De la tabla N4 vemos que obtenemos resultadospoco satisfactorios, esto debido a la aproximacinque se hace, pues sta comparado con el

, es despreciable, para una buenaaproximacin se tendra que considerar ngulos de

incidencia pequeos, o al menos comparables conlos de difraccin.

V. Observaciones y discusiones: El empleo de software para el anlisis del

patrn de difraccin facilit mucho el anlisisde los datos, programas como el ORIGIN o elImage J fueron usados en este informe.

Para el anlisis del patrn de difraccin, essuficiente saber la equivalencia de cualquier

distancia en pixeles con una distancia real,despus se puede trabajar usando el factorde conversin.

Debido a este ltimo punto tenemos quehacer una medicin muy cuidadosa de ladistancia real del patrn de difraccin, estocon el fin de reducir la incertidumbre.

Tener, en todo momento, en cuenta lasaproximaciones que se hacen, ya que porejemplo para el ngulo de incidencia igual a45, se obtienen resultados incoherentes.

Cuando tomemos la foto del patrn dedifraccin, tratar de tomarlo de la forma msperpendicular a la pantalla posible, ya queesto tambin podra ayudar a reducirincertidumbres.

VI.Conclusin.Experimentamos el fenmeno de la difraccin Lser,comparamos luego la veracidad de las ecuacionesque la describen, las TABLAS N1, 2 y 3 muestranesto, por ejemplo de la TABLA N1 vemos que seobtienen porcentajes de errores muy bajos.Hallamos tambin las constantes caractersticos de

las rejillas de difraccin, siendo estas mostradas encada caso. Finalmente para el caso de la rejilla rotadano pudimos obtener un resultado satisfactorio conlas ecuaciones, pues el ngulo de incidenciaprevaleca sobre el de difraccin, lo cual comodijimos nos llevaba a resultados nada satisfactorios.

VII.Bibliografa.[1]. Fundamental of Photonics. Leno S. Pedrotti.SPIE. Module 1.4: Basic Physical Optics.[2]. Introduction to Optics. Frank Pedrotti, Leno S.Pedrotti. 2nd edition. Prentice Hall International.1993.

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