RESORTES

I. OBJETIVOS:

Estudiar el comportamiento elástico de un resorte y determinar su constante de restitución o rigidez por los métodos estático y dinamico.

II. FUNDAMENTO TEÓRICO:

.

Método estático

Todos los cuerpos se deforman bajo la acción de una fuerza, unos de manera mucho mas notoria que otros. Algunos cuerpos recobran su forma original cuando deja de actuar la fuerza, mientras que en otros permanecen más o menos deformados.

Un cuerpo elástico es aquel que recobra exactamente su forma original cuando se suprimen las fuerzas que lo han deformado.

Un cuerpo plástico es aquel que no recupera su forma original cuando dejan de actuar las fuerzas deformadoras.

Muchos cuerpos presentan un comportamiento elástico hasta no sobrepasar cierta deformación máxima que se conoce con el nombre de “Limite de Elasticidad”.

En cuerpos elásticos, como ser un resorte es válida la “Ley de Hooke” siempre y cuando no se sobrepase el límite de elasticidad.

El enunciado de la ley de Hooke es el siguiente:

“Las fuerzas aplicadas son directamente proporcionales a los alargamientos o elongaciones”

En términos matemáticos:

F=kx (1)

F=fuerzaaplicadax=alarmamiento , estiramiento oelongaciondel resorte

k=constante derigides oconstante derestituciondel resorte

Aplicando conocimientos de resistencia de materiales, la constante de restitución “k ” podría ser determinada por la siguiente ecuación.

k= g r4G4N R3 ; (

Nm

) (2)

1

g=aceleracionde la gravedad r=radio del alambreG=modulode torcion del material del resorte

N=numerode espiras R=radio del cilindroalrederdor delcual esta enrollado el resorte

Consideremos un resorte construido de unalambre de sección circular enrolladohelicoidalmente alrededor de un cilindro

Imaginario al cual le colgamos un cuerpo de peso W. Por la acción de esta fuerza el resorte sufrirá un alargamiento x.

Si aplicamos la Ley de Hooke:

F=W=kx (3)

En la posición de equilibrio el peso W del cuerpo esta equilibrado por la fuerza

recuperadora que ejerce el resorte en sentido contrario. ( fig .1)

Es decir F r=−W (4)

Reemplazando (3) en (4) tenemos:

F r=−kx (5)

Esto quiere decir que el sentido de la fuerza recuperadora es siempre contrario al alargamiento del resorte.

Método dinámico.

La constante de rigidez k del resorte también puede determinarse por el método dinámico que se basa en el estudio del movimiento oscilatorio del resorte.

Consideremos un resorte de cuyo extremoinferior cuelga una masa “M ”. Si el sistema

masa-resorte es apartado de su posición de equilibrio una cierta distancia “x ” de modo de no sobrepasar el limite de

elasticidad y luego es liberado, el resorte descrivira un movimiento oscilatorio endirección de su propio eje y alrededor de

su posición de equilibrio ( fig .2 )

Para estirar el resorte la distancia “x ” se a tenido que aplicar una fuerza externa:

F=kxen ese mismo instante el resorte también

ejerce una fuerza recuperadora {F} rsub {r} en sentido contrario:

F r=−kx

2

Cuando se suelta la masa Mdesaparece la fuerza F aplicada quedando la masa únicamente bajo la influencia de {F} rsub {r} .

Por la segunda ley de newton la masa adquiere una aceleración a en la dirección del eje del resorte.

a=F r

M=−kx

M(6)

La aceleración a en todo instante es contraria a la elongación del resorte y directamente proporcional a esta, es decir cuando la masa se encuentra por debajo de su posición del equilibrio la aceleración apunta hacia arriba viceversa.

Por tratarse de un movimiento armónico simple se verifica:

a=ω2 x (7)

Siendo la frecuencia angular ω=2πT

(8)

Donde T=peridododeoscilacion

Reemplazando (8) en (7) tenemos:

a=4 π2 xT2 (9)

Igualando (9) y (6) obtenemos: K= 4π 2MT2 (10)

Midiendo el periodo de oscilación y la masa M se llega a determinar la constante K.

En el análisis anterior no se ha tomado en cuenta la masa del resorte, por lo tanto la ecuación (10) solo es válida si la masa del resorte es despreciable en comparación a la masa oscilante.

En caso contrario, si admitimos que la aceleración de los distintos puntos que conforman el resorte varia linealmente desde el extremo fijo hasta el extremo móvil, el sistema se comporta como si la masa oscilante fuera {M} rsub {1} y estuviese colocada en el extremo del resorte. Por lo tanto, efectuando un análisis de resistencia de materiales que no corresponde a este nivel, se tiene:

M=(M+m2 )

K= 4π 2M

T2=

4 π2(M+m2 )

T 2

(11)

III. MATERIAL Y EQUIPO:

3

- Prensas. - Resorte.- Platillo - Balanza.- Regla graduada en mm. - Cronometro.- Juego de pesos. - Cilindro de metal.- Cinta adhesiva. - Hilo

IV. PROCEDIMIENTO:

Método estático:

Se desea verificar si efectivamente los alargamientos que sufre el resorte son directamente proporcionales a las fuerzas (pesos) aplicadas para luego determinar la constante de restitución del resorte.

a) Colocar el resorte en el soporte fijo y colgar el platillo de su extremo inferior. Si el resorte esta torcido o sus espiras muy juntas, colocar una carga inicial de como de separarlas y vencer la compresión irregular a la que podría estar sometido. Tomar como punto de referencia para las elongaciones (estiramientos) el punto más bajo del platillo.

b) Determinar en la balanza la masa de los cuerpos a ser colgados en el resorte, convertir las masas a pesos. W=mg

c) Colgar los cuerpos uno después del otro y determinar sus respectivos alargamientos con respecto al punto de referencia elegido.

Nota: siempre que se determine el alargamiento ocasionado por una carga, retirar la carga y verificar si el resorte recobra su forma original, esto con el fin de no sobrepasar el limite de elasticidad y producir deformaciones permanentes.

Método dinámico. a) El docente asignara un error porcentual prefijado que no se debe sobrepasar al

determinar la constante K del resorte.b) Determinar en la balanza la masa M del cuerpo oscilante.c) Determinar por propagación inversa de errores, determinar el error relativo que

se debe cometer en la medida del periodo (ErT ) para no sobrepasar el error antes prefijado.

d) Colgar el cuerpo oscilante en el resorte, dejar oscilar 10 veces, medir el tiempo

de las 10 oscilaciones t 10, repetir el procedimiento tres veces y sacar un

promedio.

e) Determinar el periodo aproximado {T} ^ {,} de la siguiente manera. T ,=t10,

10f) Calcular el número de oscilaciones que debe efectuar el resorte para no

sobrepasar el error antes prefijado, utilizar la fórmula: n=e

(T¿¿ ,E rT)¿ donde e

es el error que comete el cronometrista al activar y desactivar el cronometro (e=0.2 segundos).

4

g) Medir el tiempo {T} rsub {n} para las n oscilaciones calculadas. Repetir el mismo procedimiento cinco veces, sacar un promedio y determinar el periodo

de oscilación del sistema. T=Tn

n.

h) Medir en la balanza la masa del resorte.

V. CALCULOS Y ANÁLISIS DE DATOS.

Método estático: a) Construir la gráfica (W−x) que según la teoría corresponde a una recta.

b) Ajustar la recta empleando el método de “Mínimos cuadrados”, graficar la recta ajustada y determinar K que viene a ser la pendiente de la recta.

N x (cm) x(m) W (N) W*x x²1 0,9 0,009 0,5 0,005 0,00012 3,1 0,031 1,6 0,050 0,00103 6,8 0,068 2,7 0,184 0,00464 10,2 0,102 3,8 0,388 0,01045 13,2 0,132 4,8 0,636 0,01746 17,2 0,172 5,9 1,020 0,02967 20,5 0,205 7,0 1,437 0,04208 22,3 0,223 7,5 1,681 0,04979 24,1 0,241 8,1 1,952 0,0581

10 26,4 0,264 8,8 2,321 0,0697∑ 1,447 50,8 9,673 0,283

5

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.3000.01.02.03.04.05.06.07.08.09.0

10.0

Diagrama W-x

x(m)

W (N

)

N x (cm) x(m) W (N)1 0,9 0,009 0,52 3,1 0,031 1,63 6,8 0,068 2,74 10,2 0,102 3,85 13,2 0,132 4,86 17,2 0,172 5,97 20,5 0,205 7,08 22,3 0,223 7,59 24,1 0,241 8,1

10 26,4 0,264 8,8

W=A+Bx B=pendiente de larecta A=interseccioncon laordenada

B=N∑ (W∗x )−∑ x∗∑W

N∑ x2−¿¿¿

A=∑W−B∑ x

N=

50,8−31.68∗1.44710

=0.496

W=0.496+31.68 x

la constante K es igual a la tangente.K=tan θ= W f−W 0

x f−x0

K= 8.8−0.50.264−0.009

→K=32.55Nm

comentario: como vemos en el grafico es una recta entonces podemos afirmar la Ley de Hooke

6

0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.3000.01.02.03.04.05.06.07.08.09.0

10.0

f(x) = 31.6775390867713 x + 0.498260094144189R² = 0.998255462057736

Diagrama W-x

x(m)

W (N

)

c) Como K=Wx

=mgx

aplicando logaritmos: ln K=lnm+ ln g−ln x

diferenciando ∆ KK

=∆mm

+∆ gg

+∆ xx

Determinar K=K±∆ K , si el valor de la aceleración de la gravedad empleado en los

cálculos de los pesos tiene un error relativo aproximado de Erg=0.004.

ErK ≤ ErK¿

∆ KK

=∆mm

+∆ gg

+∆ xx→E rK=E rm+E rg+Erx

Erm+E rg+Erx≤ ErK¿

Una posible solución. Erg≤ErK

¿

N , N,=3

Para el caso más desfavorable Erg=ErK

¿

N , →E rK¿=N ,∗Erg

reemplazando los valores ErK¿=3∗0.004→ErK

¿=0.012

Como ErK¿=∆ K

K=0.012→∆K=K∗0.012→∆K=32.55∗0.012→∆K=0.39

Entonces K=K±∆ K→K=32.55±0.39Nm˅ K=32.55±1.2 %

Método dinámico.

Error porcentual asignado por el docente: EpK¿=1.5 % ErK

¿=0.015

Masa medida en la balanza: M=493.4 g=0.4934Kg

K= 4π 2MT2

Aplicando logaritmos ln K=ln 4+2 ln π+ ln M−2 lnT

diferenciando: ∂ KK

=∂MM

−2∂TT

ErK=ErM+2E rTpropagación inversa ErK ≤ ErK¿

ErM+2 ErT ≤E rK¿

7

Una posible solución. 2 ErT ≤ErK

¿

N , N,=2 ; EpK

¿=0.015

Para el caso más desfavorable 2 ErT=E rK

¿

N , →ErT=E rK

¿

2N ,

reemplazando los valores ErT=0.0152∗2

→ErT=0.00375

EpT=0.37 %

Medimos el tiempo para 10 oscilaciones. t 10,=8.94 seg .

El periodo aproximado es T ,=t 10

,

10→T ,=8.94 ,

10→T ,=0.894 s .

Calculamos el número de oscilaciones que debe efectuar el resorte para no sobrepasar el error antes prefijado.

n= e(T¿¿ ,E rT)¿

(e=0.2 segundos)

Reemplazando datos n=0.2

(0.894¿¿ ,∗0.00375)→n=59,66¿para estar el lado de la seguridad tomamos múltiplos del 5 y tomamos n=65

Medimos T n=57.31 seg .

Determinamos el periodo T=Tn

n.

Reemplazamos datos T=57.3165

→T=0.88 s.

Como ErT=∆T

T=0.00375→∆T=T∗0.00375

reemplazando datos ∆T=0.88∗0.00375→∆T=0.0033

Entonces el periodo de oscilación es T=0.88±0.0033 s

T=0.88±0.375 %

a) Con los valores del T y la masa M determinar el valor de la constante K utilizando la ecuación (10)

Con M=493.4 g=0.4934Kg y T=0.894 s .reemplazando valores en la ecuación (10)

K= 4π 2MT2 →K=4 π2 0.4934

0.8942 →K=24.37Nm

8

b) Como K= 4π 2MT2 donde

M=masaoscilante T=periododeoscilacion

Aplicando logaritmos ln K=ln 4+2 ln π+ ln M−2 lnT

diferenciando: ∂ KK

=∂MM

−2∂TT

Determinar el error cometido al medir K y comparar con el error antes asignado. Comentar al respecto.

Cambiando notación y tomando valores absolutos ∆ KK

=∆MM

+ 2∆TT

→E rK=ErM+2 ErT

ErK ≤ ErK¿ErM+2 ErT ≤ ErK

¿

Una posible solución. 2 ErT ≤ErK

¿

N , N,=2 ; ErT=0.00375

Para el caso más desfavorable 2 ErT=E rK

¿

N , →ErK¿=2∗N ,∗E rT

reemplazando los valores ErK¿=2∗2∗0.00375→ErK

¿=0.015

como EpK¿=E rK

¿∗100→EpK¿=0.015∗100→E pK

¿=1.5 %

Como EpK¿=

∆K

K=0.015→∆K=K∗0.015

reemplazando datos ∆K=24.37∗0.015→∆K=0.36

entonces K=24.37+0.36Nm

Comparando EpK¿=1.5 %=E pK

¿=1.5 %

Comentario.- Este error llega a ser el mismo que el error prefijado ya que solo se trabajo en ambos casos con el error relativo del tiempo por propagación inversa de errores.

c) Considerando la masa del resorte, calcular el valor de K empleando la ecuación (11)

Con M=493.4 g=0.4934Kg ,m=32.2g=0.0322Kg y T=0.894 s .reemplazando valores en la ecuación (10)

K=4π 2(M+m

2 )T 2

→K=4 π2(0.4934+ 0.0322

2 )0.8942

→K=25.17Nm

9

d) Como K=

4π 2(M+m2 )

T 2

Aplicando logaritmos: ln K=ln 4+2 ln π+ ln(M+m2 )−2 lnT

diferenciando

∆ KK

=2∆TT

+ ∆M

(M+m2 )

+ 12

∆ m

(M+m2 )

determinar el error cometido al medir K y comparar con el error antes prefijado. Comentar al respecto.

Cambiando notación ErK=2E rT+

∆M

(M+m2 )

+ 12

∆m

(M+m2 )

ErK ≤ ErK¿ErM+2 ErT ≤E rK

¿

Una posible solución. 2 ErT ≤ErK

¿

N , N,=3 ; ErT=0.00375

Para el caso más desfavorable 2 ErT=E rK

¿

N , →ErK¿=2∗N ,∗E rT

reemplazando los valores ErK¿=2∗3∗0.00375→ErK

¿=0.0225

como EpK¿=E rK

¿∗100→EpK¿=0.0225∗100→E pK

¿=2.25 %

Comparando EpK¿=2.25 %≠ E pK=1.5 %

Comentario.- En este caso se tomo en cuenta la masa del resorte y por esa razón el error calculado es mayor que el error prefijado, ya que mientras mas valores tomemos mas error cometeremos.

e) Comparar los valores obtenidos para K por ambo métodos ¿Cuál cree Ud. Que es el más confiable? ¿Por qué?

Método estático: K=32.55Nm

Método dinámico: K=24.37Nm˄ K=25.17

Nm

VI. CUESTIONARIO

1. En la gráfica W−x, ¿Cuál es el significado del área debajo la recta? R.- el área bajo la recta es igual al trabajo efectuado por la fuerza W .

2. Hacer un bosquejo de la grafica W−x de un resorte para el cual se sobrepasa el límite de elasticidad hasta producirse la rotura. Explicar.

10

Al momento de estirar el resorte empieza a deformarse. Y mientras más estiramos al resorte existe la posibilidad de que el resorte no vuelva a su forma original. y si seguimos jalando como se muestra en la gráfica llega se pide poca fuerza y en este proceso el resorte puede romperse.

3. ¿Qué es el límite de fluencia y el límite de resistencia de un material?

Límite de fluencia:El límite de fluencia es el el nivel de tensión a partir del cual el material elástico lineal se deforma plásticamente en un ensayo de uniaxial de tracción.

Límite de resistencia:El límite de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamietnos inducidos por ellas. Típicamente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas.

4. Efectuar el análisis teórico pertinente para determinar la constante de rigidez equivalente a los sistemas de resortes mostrados en las figuras.

Resortes en serie:

De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de cada uno de los resortes en la figura 4 d).Se ha despreciado el peso de los resortes:

11

3 3

Además, por ley de acción y reacción (tercera ley de Newton),, y por tanto ¿ F3

De la figura 4.c. podemos concluir que la deformación resultante experimental del sistema

en serie y es: ∆ xs=x1+x2+x3

De manera que K serie experimental=f

∆ xs

como ¿ F3, obtenemos +1k3

Resortes en paralelo:

De la figura 5 b. podemos concluir que la deformación resultante experimental del sistema en paralelo (∆x paralelo )

∆ x1=∆ x2=∆ x3=∆ x paraleloDe acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de cada uno de los resortes en la figura 5 c. en donde se ha despreciado el peso de los resortes, se obtiene

que: F1+F2+F3=P→P=Fep

Y por tanto F1+F2+F3=Fep

y como F1=k1∆ x1=k1∆ x

F2=k2∆ x2=k 2∆ xF3=k3∆ x3=k3∆ xF ep=kes∆ xep=kep∆ x

Entonces obtenemos: k 1∆ x+k 2∆ x+k 1∆ x=kep∆ x

12

k ep=k1+k2+k3

5. Cuál es el significado de:a) Oscilación. b) Periodo c) frecuencia angular

Oscilación.- Se denomina oscilación a una variación, perturbación o fluctuación en el tiempo de un medio o sistema. Si el fenómeno se repite, se habla de oscilación periódica.

Periodo.- Periodo es el tiempo que se tarda en completar una oscilacion completa y se mide en segundos, su funcion inversa seria la frecuencia, que seria el numero de oscilaciones por unidad de tiempo y se mide en hertzios.

Frecuencia angular.- Frecuencia angular, se refiere a la frecuencia del movimiento circular expresada en proporción del cambio de ángulo, y se define como veces la frecuencia. 

Su unidad de medida es [ radseg

], y formalmente, se define con la letra ω.

6. Deducir la expresión de la energía potencial elástica para un resorte estirado.

El área bajo la curva es el trabajo realizado por la fuerza que estira el resorte, entonces:

Area=W=12Fx

Pero F=kx , entonces :

W=12

(kx ) x=12k x2

7. Para la oscilación de un resorte construir las siguientes graficas:a) Elongación – tiempob) Velocidad – tiempoc) Aceleración - tiempo

un caso.

13

Generalizando

VII. CONCLUSIONES.

1. Se pudo determinar la constante de restitución del resorte a partir de la implementación de los dos métodos propuestos en el marco teórico.

2. la restitución de un resorte se presenta como una constante para cualquier masa que se aplique, siempre y cuando esta no deforme el resorte demasiado es decir, la masa no debe ser muy grande.

3. Es necesario tener cuidado a la hora de tomar medidas distintas por medios distintos para hallar un mismo resultado, pues si los resultados varían, no se tendrá seguridad frente a su validez.

VIII. BIBLIOGRAFIA:

Física mecánicaAlfredo Alvares C. – Eduardo Huayta C.

Análisis de errores y graficasing. Rene A. Delgado Salguero

14

https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090618073943AAOakde

 

https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20100405155650AAmtsAO

wikipedia

15