RESORTES

I) ObjetivoEstudiar el comportamiento elástico de un resorte y determinar su constante de restitución o rigidez por los métodos estático y dinámico.

II) Fundamento teórico

Resorte: dispositivo fabricado con un material elástico, que experimenta una deformación significativa pero reversible cuando se le aplica una fuerza. Los resortes se utilizan para pesar objetos en las básculas de resorte o para almacenar energía mecánica, como en los relojes de cuerda. Los resortes también se emplean para absorber impactos y reducir vibraciones, como en los resortes de ballesta empleados en las suspensiones de automóvil. La forma concreta de un resorte depende de su uso. En una báscula de resorte, por ejemplo suele estar arrollado en forma de hélice, y su elongación es proporcional a la fuerza aplicada, con lo que el resorte puede calibrarse para medir dicha fuerza. Los resortes de los relojes están arrollados en forma de espiral, mientras que los resortes de ballesta están formados por conjuntos de láminas u hojas situadas una sobre otra.

Los resortes helicoidales reciben también el nombre de muelles. Elasticidad (física), propiedad de un material que le hace recuperar su tamaño y forma original después de ser comprimido o estirado por una fuerza externa. Cuando una fuerza externa actúa sobre un material causa un esfuerzo o tensión en el interior del material que provoca la deformación del mismo. En muchos materiales, entre ellos los metales y los minerales, la deformación es directamente proporcional al esfuerzo. Esta relación se conoce como ley de Hooke, así llamada en honor del físico británico Robert Hooke, que fue el primero en expresarla. No obstante, si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es válida. El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.La relación entre el esfuerzo y la deformación, denominada módulo de elasticidad, así como el límite de elasticidad, están determinados por la estructura molecular del material. La distancia entre las moléculas de un material no sometido a esfuerzo depende de un equilibrio entre las fuerzas moleculares de atracción y repulsión. Cuando se aplica una fuerza externa que crea una tensión en el interior del material, las

distancias moleculares cambian y el material se deforma. Si las moléculas están firmemente unidas entre sí, la deformación no será muy grande incluso con un esfuerzo elevado. En cambio, si las moléculas están poco unidas, una tensión relativamente pequeña causará una deformación grande. Por debajo del límite de elasticidad, cuando se deja de aplicar la fuerza, las moléculas vuelven a su posición de equilibrio y el material elástico recupera su forma original. Más allá del límite de elasticidad, la fuerza aplicada separa tanto las moléculas que no pueden volver a su posición de partida, y el material queda permanentemente deformado o se rompe.

Trabajo efectuado por un resorte.

En la figura se muestra un sistema físico común para el cual varía la fuerza con la posición. Un bloque sobre una superficie horizontal sin fricción se conecta a un resorte. Si el resorte se alarga o se comprime una pequeña distancia desde su configuración indeformada o de equilibrio ejercerá sobre el bloque dada por

Fr = -kx

Donde x es el desplazamiento del bloque desde su posición de equilibrio (x = 0) y k una constante positiva conocida como constante de fuerza del resorte.

 

Cuando x es positiva (resorte extendido), la fuerza del resorte es hacia la izquierda.

Cuando x es cero, la fuerza del resorte es cero (longitud natural del resorte).

Cuando x es negativa (resorte comprimido), la fuerza del resorte es hacia la derecha.

Gráfica de Fs contra x para el sistema masa-resorte. El trabajo realizado por la fuerza  del resorte cuando el bloque se mueve de -xma 0 es el área del triángulo sombreado,   1/2kxm

2

En el experimentoEn el experimento del laboratorio se realizara la determinacion de la cosntante “K” por dos metodos los cuales son el método estético y el método dinémico.

a) Metodos estático

Todos los cuerpos se deforman bajo la accion de una fuerza, unos de manera más notoria que otros. Algunos cuerpos recobran su forma original cuando deja de actuar la fueza, mientras que otros permanecen mas o menos deformados.Un cuerpo elástico es aquel que recobra exactamente su forma original cuando se suprimen las fuerzas que lo han deformado. Un cuerpo plastico es aquel que no recupera su forma original cuando dejan de actuar las fuerzas deformadoras. Muchos cuerpos presentan un comportamiento elastico hasta no sobrepasar cierta deformacion maxima que se conoce con el nombre de “limite de elasticidad.”En cuerpos elasticos, como ser un resorte es valida la “ley de Hooke”, siempre y cuando no se sobrepase el limite de elasticidad.El enunciado de la ley de Hooke es el siquiente:

“Las fuerzas aplicadas son directamente proporcionales a los alargamientos o elongaciones”En términos matemáticos:

F=kx -------- (1)

F=Fuerza aplicadax=Alargamiento, estiramiento o elongación del resorteK=Constante de rigidez o constante de restitución del resorteAplicando la ley de Hooke en la posición de equilibrio el peso “W” del cuerpo esta equilibrado por la fuerza recuperadora que ejerce el resorte en sentido contrario.

K K F=W=KX ------- (2)Fr = -W ---------- (3)

X

Fr

WEsto quiere decir que el sentido de la fuerza recuperadora es siempre contrario al alargamiento del resorte.b) Método dinámico

La constante de rigidez “K” del resorte también puede determinarse por el método dinámico que se basa en el estudio del movimiento oscilatorio del resorte.

K

m

Considerando un resorte de cuyo extremo inferior cuelga una masa “M”, si el sistema masa-resorte es apartado de su posición de equilibrio una cierta distancia “x” de modo de no sobrepasar el límite

de elasticidad y luego es liberado, el resorte describirá un movimiento oscilatorio en dirección de su propio eje y alrededor de su posición de equilibrio.

Para estirar el resorte la distancia “x” se ha tenido que aplicar una fuerza externa: F=Kx En este mismo instante el resorte también ejerce una fuerza recuperadora “Fr” en sentido contrario: Fr=-Kx.

Cuando se suelta la masa “M” desaparece la fuerza “F” aplicad quedando la masa únicamente bajo la influencia de “Fr”.

Por la segunda ley de Newton la masa adquiere una aceleración “a” en dirección del eje del resorte.

a=F r

M=−Kx

M ----------- (4)

La aceleración “a” en todo instante es contraria a la elongación del resorte y directamente proporcional a esta, es decir cuando la masa se encuentra por debajo de su posición de equilibrio la aceleración apunta hacia arriba y viceversa.

Por tratarse de un movimiento armónico simple se verifica: a=w2x -------- (5)

Siendo la frecuencia angular: w=2πT

------------ (6)

.Donde: T== Periodo de oscilación

Reemplazando (6) en (5) se tiene: a=4 π2 xT2 ------- (7)

Igualando (7) y (4) se obtiene: K= 4π 2MT2 ----------- (8)

Midiendo el periodo de oscilación y la masa “M” se llega a determinar la constante “K”.

En el análisis anterior no se ha tomado en cuenta la masa del resorte, por lo tanto la ecuación (10) solo es valida si la masa del resorte es despreciable en comparación a la masa oscilante.

En caso contrario, si se admite que la aceleración de los distintos puntos que conforman el resorte varia linealmente desde el extremo

del resorte, por tanto efectuando un análisis de resistencia de materiales. Se tiene:

M 1=(M+m2

)

Entonces la constante “K” se tiene como: K=4π 2(M+m

2)

T 2

-------- (9)

III) Materiales1. Prensa 2. Resorte3. Platillo4. Balanza5. Regla graduada en [mm]6. Cronometro7. Juego de pesos 8. Cilindro de metal9. Cinta adhesiva10. Hilo.

IV) ProcedimientoA) Método estático

Para determinar la constante de restitución del resorte se debe de proceder de la siguiente manera:

a) Realizar la construcción de la grafica W-x que según la teoría corresponde a una recta.

b) Ajustar la recta empleando el método de mínimos cuadrados, graficar la recta ajustada y determinar “K”

c) Determinar K=K±∆ K , considerando el valor de la aceleración de la gravedad empleado en los cálculos de los pesos tiene un error relativo aproximado de 0,004.

B) Método dinámico

En el caso del método dinámico como se considera las oscilaciones y la masa oscilante se debe de seguir los siguientes pasos:

Con los valores del periodo “T” y la masa “M” determinar el valor de la constante “K” utilizando la ecuación (8).

a) Determinar el error cometido al medir “K” y comparar con el error prefijadob) Considerando la masa del resorte calcular el valor de “K” empleando la

ecuación(9)c) Determinar el error de esta medida.d) Determinar el periodo aproimado T´con: T´=t´10/10e) Comparar los valores obtenidos.

IV) Análisis de datos

Método estático

Ajustando la recta se por el método de mínimos cuadrados se tiene:

B=N∑ x∗y−∑ x∑ y

N∑ x2−¿¿¿

A=∑ y−¿B∑ x

N→ A=

49.78−32.49∗1.44710

=0.27¿

Grafica de la ecuacion de la recta ajustada: W=32.49x+0.27

La pendiente es: B=32.49 igualando con la ley de Hooke “F=KX” se tiene que la constante “K” es igual a “B”. Entonces la constante es: K=32.49(N/m)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.001.002.003.004.005.006.007.008.009.00

10.00gráfico W Vs. x

x(m)

W(N

)

N M(kg) x(m) W=Mg(N) x*W x2 1 0,052 0,009 0,51 0,005 0,0000812 0,1658 0,031 1,62 0,050 0,0009613 0,2758 0,068 2,70 0,183 0,0046244 0,2853 0,102 2,79 0,285 0,0104045 0,4928 0,132 4,82 0,636 0,0174246 0,6063 0,172 5,93 1,020 0,0295847 0,717 0,205 7,01 1,438 0,0420258 0,7715 0,223 7,55 1,683 0,0497299 0,828 0,241 8,10 1,952 0,058081

10 0,8957 0,264 8,76 2,313 0,069696

∑ 1,447 49,78 9,563 0,282609

Para hallar el máximo y mínimo de x y W será:

⍍W=W max−Wmin

⍍W=8.76−0.51

⍍W=8.25

⍍ x=xmax−xmin

⍍ x=0.264−0.009

⍍ x=0.255

Por propagación de errores determinando el error de “K”:

K=Wx

=m gx

Aplicando logaritmos: ln K=lnm+ ln g−ln x

Diferenciando: ΔKK

= Δmm

+ Δgg

+ Δxx

= ΔKK

=√( Δmm )2

+( Δgg )2

+( Δxx )2

⍍ K=√( 0.058.25 /9.78 )

2

+0.004+( 0.050.255 )

2

∗32.49

⍍ K=0.21

El valor de la constante “K” está dada por: K=K±∆ K∴K=32.49±0,2 [ Nm ]K=32.49±0,6 % [N /m ]

Método Dinámico

Para determinar la constante “K” se consideraran las ecuaciones (8) y (9) de la parte teórica.

Datos

Error porcentual prefijado de “K” Epk=1,5%

Masa del resorte: m=332.2(g)

Masa del cuerpo oscilante: M=625.7(g)

Número de oscilaciones: n = 65

Tiempo para las “n” oscilaciones: tn= 57.31(s)

Periodo aproximado: T=0.894(s)

Calculando la constante “K” con las ecuaciones (8) y (9):

K= 4π 2MT2 →K=

4 π2∗0.6257 (Kg )0.8942 ( s2 )

=30.9

Kg

s2∗m

m→K=30.9[ Nm ]

Considerando la masa del resorte se tiene:

K=2π 2 (2 M+m )

T2 →K=2 π2 (2∗0.6257+0.0322 ) (Kg )

0.8942 ( s2 )=31.7

Kg

s2∗m

m

Determinando los errores de cada valor de “K” encontrado:

K= 4π 2MT2

Aplicando logaritmos: ln k=ln 4+2 ln π+ln M−2 lnT

Diferenciando: dKK

=dMM

−2dTT

→ΔKK

=√( ΔMM

)2

+( 2 ΔTT

)2

---------- (10)

*Se determina el error de T con la ecuación: n≥e

T E rT ----------- (11)

Siendo n=10 y e=0.2 Se tiene ErT= en∗T

→ErT= 0.210∗0.894

→ErT=0,022

Siendo “e” el error cometido en la medida del tiempo siendo este valor de: e=0,2(s)

Con (10)

ΔKK

=√( ΔMM )2

+( 2 ΔTT )

2

→ΔK30.9

=√( 0,050.6257 )

2

+(2∗0,0220.894 )

2

→ΔK=2.89 [N /m ]

K=30.9±2.89[N/m] K=30.9[N/m]±9.35%

Con (9):

K=2π 2 (2 M+m )

T2

Aplicandologaritmos : ln k=ln 4+2 ln π+ ln (2M+m )−4 lnT

Diferenciando: dKK

=d (2 M+m )

2 M+m−2dT

T→

ΔKK

=√( 2 EM2M+m)

2

+( Em2M+m )

2

+( 2 ETT )

2

ΔK31.7

=√¿¿

→ΔK=0.19∗31.7

K=31.7 ± 6.24[N/m] K=31.7[N/m] ± 10.9%

Para determinar el valor de la constante “K” del resorte con un error porcentual prefijado de 1,5% se necesita medir la cantidad de oscilaciones de la siguiente manera:

Tomando en cuenta solo la masa oscilante con la ecuación (8) y mediante propagación inversa de errores se determinara el error relativo

del periodo de oscilación. K= 4π 2MT2

Aplicando logaritmos: ln k=ln 4+2 ln π+ln M−2 lnT

Diferenciando: dKK

=dMM

−2dTT

→ΔKK

= ΔMM

+ 2 ΔTT

*Como el error relativo prefijado es: 0,015 y además se debe cumplir que Erk<Erk*

ΔMM

+ 2 ΔTT

≤0,015 *Para que se pueda cumplir la desigualdad se puede

dar que:

2 ΔTT

=0,015N Donde: N= número de términos en la expresión en este

caso N=2.

ErT=0,015/4 ErT=0,00375 *Con la expresión (11) se tiene: n≥e

T E rT

n≥0,2

0.894∗0,00375→n≥59.65→n=60oscilaciones

Para un menor error el número de oscilaciones será de 65

Considerando la masa del resorte con la ecuación (9)

K=2π 2 (2 M+m )

T2

Aplicando logaritmos se tiene:ln k=ln 4+2 ln π+ln (2 M+m )−4 lnT

Diferenciando:dKK

=d (2 M+m )

2 M+m−2dT

T→

ΔKK

= 2 EM2 M+m

+ Em2 M+m

+ 2ETT

Por propagación inversa de errores explicada en el anterior punto se da que:

2ETT

=0.022N

→2 ErT=0.0223

→ErT=3.66∗10−3

Con la

ecuación expresión (11)

n≥e

T E rT

→n≥0.2

0.894∗3.66∗10−3→n≥→61.12n=62oscilaciones

V) Conclusiones

METODO ESTATICOcontante(N/m) k= 32,49 error 0,60% k= 32,49±0,6%

METODO DINAMICOcontante(N/m) error % K=k±Esk

SIN MASA DEL RESORTE K=30,9 9,35 K=30,9±9,35%CON MASA DEL RESORTE K=31,7 10,9 K=31,7±10,9%

Después de determinar la constante “K” se pudo observar y determinar la constante de un resorte por los dos métodos experimentales realizados se pudo obtener valores muy parecidos

En el análisis de datos se pudo observar que los errores del método dinámico era demasiado grande ya que para este experimento se necesitaba mas de 10 mediciones.Pero para el caso del experimento realizado la constante “K” más aceptable sería la del método estático ya que su error es de 0,6% esto debido a que no se sobrepaso el límite de elasticidad. En conclusión para el caso de la determinación de la constante de rigidez del resorte considerando los puntos anteriores el método más confiable seria por el método dinámico ya que con el estático se podría dar que el resorte sobrepase el límite de elasticidad.

VI) Cuestionario 1) En la grafica W-x ¿Cuál es el significado del área debajo de la recta?

El área debajo de la recta es el la energía potencial elástica que tiene acumulada el resorte bajo un cierto alargamiento y dependiendo de la constante de rigidez esto esta dado por:

A=12BH Pero B=X y H=W

además W=Kx

A=12X∗K∗X→A=1

2K X2

2) Hacer un bosquejo de la grafica W-x de un resorte para el cual se sobrepasa el límite de elasticidad. Ley de Hooke Esta gráfica muestra el aumento de longitud (alargamiento) de un alambre elástico a medida que aumenta la fuerza ejercida sobre el mismo. En la parte lineal de la gráfica, la

w

x

longitud aumenta 10 mm por cada newton (N) adicional de fuerza aplicada. El cambio de longitud (deformación) es proporcional a la fuerza (tensión), una relación conocida como ley de Hooke. El alambre empieza a estirarse desproporcionadamente para una fuerza aplicada superior a 8 N, que es el límite de elasticidad del alambre. Cuando se supera este límite, el alambre reduce su longitud al dejar de aplicar la fuerza, pero ya no recupera su longitud original.

3) ¿Qué es el límite de fluencia y el límite de resistencia de un material?

Límite de fluencia es la fuerza máxima que se puede aplicar a un resorte sin deformarlo permanentemente y el límite de resistencia de un material es la fuerza máxima que se puede aplicar antes de que el material llegue a romperse.

4) Efectuar el análisis teórico pertinente para determinar la constante de rigidez equivalente a los sistemas de resortes mostrados en las figuras a) y b).a) b)

K1

K1 K2 K3 K2

m

K3

m

a) En este sistema todos los resortes se estiran la misma cantidad entonces la fuerza que se aplica es: F=F1+F2+F3 y la F=KX. Entonces:KX=K1X+K2X+K3X Por lo tanto factor izando la X se tiene: Keq=K1+K2+K3

b) En el sistema de serie en los resortes la fuerza aplicada al sistema será la misma en todos los resortes pero sus estiramientos serán distintos y la suma de estos estiramientos individuales serán el estiramiento de todo el sistema.

X=X1+X2+X3 Por la ley de Hooke: F=KX Entonces: X=F/K. Por lo tanto se da que:

FK eq

= FK1

+ FK2

+ FK3

→1K eq

= 1K 1

+ 1K 2

+ 1K 3

5) Cuál es el significado de: a) Oscilación; b) Periodo; c) Frecuencia angular.

a) Oscilación: Movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio.

b) Periodo: mínimo intervalo de tiempo invertido por un fenómeno periódico para volver a pasar por la misma posición. Se representa por T y se expresa en segundos.

Frecuencia angular: El recorrido que consiste en ir desde una posición extrema a la otra y volver a la primera, pasando dos veces por la posición central, se denomina ciclo. El número de ciclos por segundo, o hercios (Hz), se conoce como frecuencia de la oscilación.

c) Frecuencia angular: El recorrido que consiste en ir desde una posición extrema a la otra y volver a la primera, pasando dos veces por la posición central, se denomina ciclo. El número de ciclos por segundo, o hercios (Hz), se conoce como frecuencia de la oscilación.

6) Deducir la expresión de la energía potencial elástica para un resorte estirado.

Considerando una fuerza intermedia entre la inicial y la final:

La fuerza inicial vale cero (resorte ni comprimido ni estirado). La fuerza

final vale F= Kx. Haciendo el promedio F=F0+F f

2= K ∆ x

2

Ahora considerando que esta fuerza promedio es la que recorrió la distanciax y calculando el trabajo de FP. Ya que la variación de FRes es lineal con la distancia

Queda: E=12K ∆ x∗∆ x→E=1

2K ∆ x2

VII) Bibliografía Laboratorio de Física básica I (Ing. René A. Delgado) Guía de análisis de errores y graficas (Ing. René A. Delgado)

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERÍA

CURSO BÁSICO

NOMBRE Coriza Choque Ronald AbelTITULO DE LA PRACTICA RESORTES

GRUPO H

CARRERA Ing. Electrónica

NOMBRE DEL DOCENTE Ing. Rene Delgado

FECHA DE RELALIZACION 18/10/2014

FECHA DE ENTREGA DE INFORME

25/10/2014