Optimización Capítulo II: Lagrange

Introducción:Otro Punto relevante en la Optimización son los métodos de los “multiplicadores de Lagrange”, llamados así por don Joseph Louis Lagrange (1736 -1813), que fue un matemático, físico y astrónomo italiano que vivió en Rusia y Francia. Sus principales fundamentos en los valores matemáticos se destaca el teorema del Valor Medio, en el área de la física desarrolló la Mecánica Lagrangiana y contribuyó constantemente en la Astronomía.

Los Multiplicadores de Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringidos con n variables a uno sin restricciones de n + m, donde m es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con m restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.

La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero.

El método de los Multiplicadores de LagrangeSuponga que se desea optimizar la función real f(x1, x2, …., xn) donde las variables x1,x2,..xn están sujetas a las restricciones de igualdad (m <n):

g1 (x1,x2,…,xn) = 0g2 (x1,x2,…,xn) = 0

.

.

.gn (x1,x2,…,xn) = 0

donde las funciones f, g1, g2,…gn son diferenciables f debe tener segundas derivadas continuas, mientras que g1 deben tener primeras derivadas continuas. El primer paso consiste en determinar los puntos críticos o estacionarios del problema restringido, para ello se foma la función:

F(x,λ) = f(x) - ∑j=1

m

λ jgj(x)

Los puntos estacionarios se determinan resolviendo

Es decir, los puntos máximos o mínimos se encuentran dentro del conjunto de puntos críticos que se obtiene de resolver el sistema formado por las ecuaciones:

Y junto con las m ecuaciones dadas por las restricciones:

g1 (x1,x2,…,xn) = 0g2 (x1,x2,…,xn) = 0

.

.

.gn (x1,x2,…,xn) = 0

Este sistema se resuelve para las variables x1,x2,…xn y λ1,λ2,λ3….λn. Así pues el sistema consta de n+m ecuaciones en n+m incógnitas.

El resultado es un Máximo o Mínimo al problema que debe satisfacer el sistema de ecuaciones antes planteado. Ubicado los puntos estacionarios viene el problema de determinar si son máximos o mínimos locales. Para cada punto estacionario x0 y para los valores λ1,λ2,λ3….λn correspondientes. Se construye la Matriz

Sea para i= 2,3,….n – m, Bi la matriz obtenida de B1 eliminando las primeras i-1 filas y las primeras i-1 columnas, y sea Δi el determinante de Bi xo es un mínimo local si:

m par cuando

m impar, cuando

Xo es un máximo local si: n par cuando

n impar cuando