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Capítulo I La máquina de corriente continua

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La máquina de corriente continua

1.1.- Introducción.

Las máquinas de corriente continua (cc) se caracterizan por su versatilidad. Mediantediversas combinaciones de devanados en derivación (shunt), en serie y excitación separada de loscampos, se puede hacer que exhiban una amplia variedad de curvas características volt-ampere yvelocidad-torque, tanto para funcionamiento dinámico como para estado estacionario. Debido a lafacilidad con la que se pueden controlar, a menudo se usan sistemas de máquinas de cc enaplicaciones donde se necesita una amplia gama de velocidades de motor o de control de la potenciade éste. En los últimos años la tecnología de sistemas de control de estado sólido se ha desarrolladolo suficiente para controladores de corriente alterna (ca), y por lo tanto se comienzan a ver dichossistemas en aplicaciones que antes se asociaban casi exclusivamente con las máquinas de cc. Sinembargo éstas continuarán aplicándose debido a su flexibilidad y a la sencillez relativa de sus lazosde control, en comparación con los de las máquinas de ca.

Los principios de fundamentales que tienen que ver con el funcionamiento de las máquinasson muy sencillos, pero que por lo general se opacan por lo complejo de la construcción de lasmáquinas reales.

1.2.- Ecuaciones fundamentales de la máquina de corriente continua.

En la figura 1.20 aparecen esquemáticamente las características esenciales de una máquinade cc. El estator tiene polos salientes y se excita mediante uno o más devanados de campo. Ladistribución de flujo en el entrehierro que crean los devanados de campo es simétrica respecto a lalínea de centro de los polos de campo. El rotor sustenta un conjunto de bobinas que giran con él quese encargan de generar el campo magnético en cuadratura, y por ende, generar el torque de giro. Elcolector, que corresponde a una especie de rectificador mecánico, se encarga de alimentar a cadabobina en el momento adecuado, con el fin de conservar la cuadratura de los campos.

Figura 1.20: Diagrama esquemático de un motor de cc.


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La figura 1.21 muestra el modelo eléctrico del motor de cc. De este modelo se pueden sacarlas ecuaciones base que describen el comportamiento de la máquina, pudiéndose obtener distintascurvas características.

Ra La

VrotVa ω

Ia

Campo Armadura

Rf

LfVf

If

Figura 1.21: Modelo eléctrico del motor de cc.

Las ecuaciones de campo se rigen por un sistema de primer orden (ec1.1), al igual que en elrotor (ec1.2). Las ecuaciones magnéticas mecánicas relacionan el enlace entre el campo y laarmadura (ec1.3) y la transferencia de energía hacia la carga (ec1.4 y ec1.5) [5].

dt

dILIRV f

ffff += ec1.1

rota

aaaa Vdt

dILIRV ++= ec1.2

ωffqrot IGV = ec1.3

affqel IIGT = ec1.4

ωωD

dt

dJTT acel +=− arg ec1.5

Vf: Voltaje de exitación de campo.Rf: Resistencia del devanado de campo.If: Corriente de campo.Lf: Inductancia de campo.Va: Voltaje de armadura.Ra: Resistencia del devanado de armadura.Ia: Corriente de armadura.La: Inductancia de armadura.Vrot: Voltaje de reacción de armadura.Gfq: Constante de relación de enlace magnético entre el estator y el rotor.ω: Velocidad angular de rotación [rad/seg].Tel: Torque eléctrico.Tcarga: Torque de carga.


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J: Momento de inercia.D: Constante de roce.

1.3.- Estado estacionario.

Como se mencionaba inicialmente, la máquina de cc se puede conectar de diversas maneras.Para comenzar el estudio de los lazos de control, se considerará un campo constante, es decir Vf =cte. Esto genera una corriente de campo constante, por lo que se tiene que Gfq⋅If = K En estadoestacionario, las derivadas se hacen 0, por lo que las ecuaciones se reducen a las expresionessiguientes:

cteIRV fff == ec1.6

rotaaa VIRV += ec1.7

ωKVrot = ec1.8

ael KIT = ec1.9

ωDTT acel =− arg ec1.10

Despejando Ia de 1.7 y reemplazando en 1.9 se tiene:

a

rotael R

VVKT

−= ec1.11

De igual manera, al incluir la ecuación 1.7 en 1.11 y despejando ω se tiene:

elaa T

K

R

K

V2

−=ω ec1.12

El torque eléctrico generado por un motor está determinado por la exigencia de la carga. Enestado estacionario se cumple la ecuación 1.10, por lo que finalmente, al reemplazar en 1.12 setiene:

ac

a

a

a

a TDRK

R

DRK

KVarg22 +

−+

=ω ec1.13

Si se desprecia el efecto del roce, la ecuación 1.13 se puede simplificar a la siguienteexpresión:

acaa T

K

R

K

Varg2

−=ω ec1.14


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La ecuación 1.14 describe la relación velocidad torque para un motor de cc excitado concampo constante, y corresponde a una relación lineal entre ambas variables.

ωωωω

Tcarga

K

Va

nomω

nomTFigura 1.30: Relación velocidad torque de un motor de cc de excitación de campo constante.

Claramente esta es una de las tantas posibles curvas de relación velocidad torque, ya que,dependiendo de la conexión del campo, se pueden lograr otras curvas características [5].

1.4.- Diagrama de bloques.

Del conjunto de ecuaciones antes descritas, se puede establecer un conjunto de relacionesen bloque que muestran la interacción del sistema.

∫aL

1

Ra

K ∫J

1

D

K

+-

-

+-

-

Va

Vrot

Ia Tel

Tcarga

ωωωω

Figura 1.40: Diagrama de bloques de un motor de cc.


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Si se considera Va como la variable de control y ω la variable a controlar, Vrot actúa comoperturbación en el lazo. Vrot es el voltaje generado por la reacción de armadura, y para compensarlohabría que utilizar un sistema de control prealimentado.

Despreciando el roce viscoso, el diagrama de la figura 1.40 se puede escribir en el plano s.Esto facilita su comprensión y permite una mejor visualización para la implementación de los lazosde control (figura 1.41).

)1R

L(R

1

a

aa +s K

Js

1K+

-

+-

-

Va

Vrot

Ia Tel

Tcarga

ωωωω

Figura 1.41: Diagrama en el plano S de un motor de cc.

Claramente se distinguen dos constantes de tiempo dentro del lazo, siendo una de ellasmucho más rápida que la otra. Se define la constante de tiempo eléctrica como Te=La/Ra quecorresponde a la formada por el circuito de armadura, su ganancia Kar=1/Ra, y la constante detiempo mecánica Tm=J que esta relacionada con la inercia. En general, la constante de tiemporelacionada con el circuito de armadura toma valores entre 1[ms] y 100[ms], dependiendo del uso ono de inductores de filtro, debido al riple producido por los drives de alimentación. La constante detiempo mecánica depende considerablemente del tipo de carga que se trate y en general estaconstante puede ir desde 0,1[s] a unos cuantos minutos.

1.5.- Control de velocidad de la máquina de cc.

Utilizando un esquema de control de velocidad clásico e incorporando la dinámica delsistema de alimentación como un sistema de primer orden con constante de tiempo equivalente Ta yganancia Ka, se pueden lograr resultados bastante aceptables para el control de la máquina. Laconstante de tiempo del sistema de alimentación depende mucho del equipo que se utilice, la cualpuede ir de unos pocos milisegundos, en el caso de convertidores estáticos, hasta unos cientos demilisegundos, en el caso de generadores rotatorios. La figura 1.50 muestra el diagrama en bloque deun sistema de control clásico que tiene un PI de velocidad en cascada con un PI de corrienteconsiderando la dinámica del actuador [1].

+-

+-

-

Va

Vrot

Ia Tel

Tcarga

ωωωωIrefrefω

Motor

+

-

+

Control decorriente

Control develocidad

Actuador

K KTmTeTa

Figura 1.50: Esquema de control de velocidad clásico.


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1.6.- Ajuste de controladores.

El lazo de corriente está formado por una planta de primer orden con una realimentacióninterna. La transferencia de lazo Lc(s) que hay desde la entrada de Va hasta Vrot queda descrita por laecuación 1.15 y al cerrar el lazo por medio de Vrot se tiene un sistema realimentado (ec1.16) que vedos entradas, una el voltaje de actuación Va y otra, el torque de carga Tcarga, teniendo como salida lacorriente de armadura ia. El diagrama de bloques final corresponde al presentado en la figura 1.60[1].

( )1)(

2

+=

sTsT

KKsL

em

arc ec1.15

( )

( )

( )

22

arg

arg22

)()()(

)(

11

1)(

11

1)(

KKsTsTT

sKTKssVTKsI

sT

sTsT

KK

sTsT

KK

sV

sTsT

KK

sT

K

sI

armem

acaramara

ac

em

ar

em

ar

a

em

ar

e

ar

a

++−

=

++

+−

++

+=

ec1.16

+-

-

Va IaIref +

Control decorriente

Actuador

1+sT

K

a

a22 KKsTsTT

sTK

armem

mar

++

sT

K

m

Tcarga

Figura 1.60: Lazo de control de corriente.

Para el diseño del controlador se utilizará la herramienta RLTOOL de Matlab, con el fin depoder ubicar de la mejor forma posible los polos a lazo cerrado. La función de transferenciaincluyendo la dinámica del actuador, se presenta en la ecuación 1.17 y la estructura del controladorPI se presenta en la ecuación 1.18, por lo que la transferencia de lazo abierto Glca(s) queda descritopor la ecuación 1.19.

( )( )221)(

KKsTsTTsT

sTKKsG

armema

marap +++

= ec1.17


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+=

sT

sTKsG

ic

iccccc

1)( ec1.18

( )( )221

)1()(

KKsTsTTsTsT

sTsTKKKsG

armemaic

icmaracclca +++

+= ec1.19

Acelerar el lazo de corriente trae más desventajas que ventajas, producto que la corrientegenerada por los rectificadores con control de fase tienen un fuerte riple en la corriente de armadura,el cual se puede inmiscuir y propagar por el lazo de control. Un ajuste adecuado es considerar laconstante de tiempo del controlador del mismo valor que la constante de tiempo del actuador, con elfin de producir la cancelación entre un cero y un polo en la función de transferencia de lazo, ysintonizar la ganancia de tal forma que los polos a lazo cerrado queden en un ángulo de 45º(ξ=0.707), ya que con esto se logra una buena condición de sobrepasamiento y subamortiguaciónrápida. La figura 1.61 muestra el lugar geométrico de raíces para la planta de la ecuación 1.17 conun controlador PI.

-200 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0-150

-100

-50

0

50

100

150

Eje real

Eje

ima

g.

Figura 1.61: Lugar geométrico de raíces para el lazo de corriente.

Los rectificadores que tienen como configuración un puente de tiristores para el control dela tensión de entrada, generan una corriente con un riple de 300[Hz], en el caso de alimentacióntrifásica de 50[Hz]), y un riple de 100[Hz] para el caso monofásica. La constante de tiempo en estoscasos fluctúa entre 6,7[ms] y 10[ms] (retardos máximos en el disparo de los tiristores) y el lazo decontrol de corriente debe ser capaz de filtrar este riple. Para el análisis a desarrollar se consideraráun sistema de alimentación por medio de un puente de tiristores monofásico y se ajustará Tic sobreel polo del actuador, en 10[ms], tal como se mencionó antes [1].

Fijando la ganancia para polos a 45º se logra un sobrepasamiento no superior al 5%. Latransferencia en lazo cerrado genera error estacionario producto del voltaje inducido en la armaduraVrot, el cual internamente contrarresta el efecto del controlador (figura 1.62). Una solución a este


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problema sería agregar un integrador más, lo cual eliminaría este error pero tornaría mas inestable ellazo. En la práctica no es necesario eliminar este error, ya que este lazo esta inserto dentro del lazode velocidad y la función principal del lazo de corriente es evitar aumentos peligrosos de lacorriente de armadura durante la aceleración del motor o producto de alguna sobrecarga.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.050

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo [s]

Am

plit

udReferencia

Respuesta

Figura 1.62: Respuesta escalón para el lazo de corriente.

Para el lazo de control de velocidad, el lazo de corriente Glcc se puede ver como un sistemade primer orden con una constante de tiempo equivalente τeq y una ganancia Keq (ec1.20).Incorporando el controlador de velocidad (ec1.21) y la transferencia restante del motor, se llega auna transferencia de lazo presentado en la ecuación 1.22.

1)(

+=

sT

KsG

eq

eqlcc ec1.20

sT

sTKG

iv

ivcvcv

)1( += ec1.21

( )1

)1(2 +

+=

sTsTT

sTKKKG

eqmiv

iveqcvlv ec1.22

Para determinar la posición del cero del controlador es necesario recurrir a algunos métodosun poco más complejos. El lugar geométrico de raíces varía mucho dependiendo de la posición delcero, ya que si se ubica a la izquierda del polo dado por el lazo de corriente de la planta, se tiene unsistema inestables, siendo la única alternativa ubicarlo entre el polo dado por Teq y el polo delorigen. La figura 1.63 corresponde al lugar geométrico del lazo de velocidad considerando Tiv=2Teq,


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donde se aprecia que los polos a lazo cerrado se ubican muy por sobre los 45º, lo que genera unsobrepasamiento demasiado alto (figura 1.64).

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0-150

-100

-50

0

50

100

150

Eje real

Eje

ima

g

Figura 1.63: Lugar geométrico de raíces para el lazo de velocidad con Tiv=2Teq.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Tiempo [s]

Am

plit

ud [r

ad

/s]

Figura 1.64: Respuesta escalón para el lazo de velocidad con Tiv=2Teq.


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La figura 1.65 considera Tiv=4Teq, lo cual hace acercar los polos a 45º, pero como son máslentos, la dinámica del lazo se torna más lenta, pero se logra una disminución en elsobrepasamiento.

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Eje

ima

g.

Eje real

Figura 1.65: Lugar geométrico de raíces para el lazo de velocidad con Tiv=4Teq.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.350

0.5

1

1.5

Tiempo [s]

Am

plit

ud [r

ad

/s]

Figura 1.66: Respuesta escalón para el lazo de velocidad con Tiv=2Teq.


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En general, establecer un criterio desde el punto de vista de posicionamiento de polos esdifícil, ya que hay que buscar una alternativa que presente una buena dinámica frente a cambios dereferencia tanto como a perturbaciones.

Uno de los métodos más utilizados para sintonizar los controladores de velocidad quepresentan plantas de las características ya dadas, es el óptimo simétrico, el cual busca igualar lascondiciones de respuesta frente a la referencia y las perturbaciones [1] [3].

El método de óptimo simétrico busca, tal como su título lo dice, hacer simétrica la respuestaen frecuencia del lazo respecto a una frecuencia de cruce, dada en este caso por la mitad de lafrecuencia natural del polo de la planta (Teq en este caso). Esta condición fija inmediatamente laacción del cero del controlador para poder tener la simetría, por lo que el cero debe actuar a la mitadde la frecuencia de cruce. Por lo tanto, la acción del cero debe estar a la cuarta parte de la frecuencianatural del polo, lo cual da Tiv=4Teq. La ganancia del controlador se ajusta de tal forma que a lafrecuencia de cruce se tenga una ganancia de 0[dB], condición que se cumple para

eqeqcv KK

JK τ2= . Cabe mencionar que los lazos reales de control se realimentan por medidores,

los cuales incorporan una ganancia y una constante de tiempo que alteran la sintonización de loscontroladores. En este caso se considerará que la constante de tiempo del medidor es mucho másrápida que el lazo de velocidad, y la ganancia se incorporará, compensándola con la ganancia delcontrolador [2].

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