universidad técnica de ambato.

TEORIA ELECTROMAGNÉTICA

Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial.

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL

PERÍODO ACADÉMICO: ABRIL/2014– AGOSTO/2014

RESUMENEn cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace. Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teórica como la astronomía, la electrostática, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica.

In vector calculus, Laplace's equation is a partial differential equation of second order elliptic type, which received its name in honor of the physicist and mathematician Pierre-Simon Laplace.Introducida for the needs of Newtonian mechanics, Laplace's equation appears in many other branches of theoretical physics and astronomy, electrostatic, fluid mechanics or quantum mechanics.

PALABRAS CLAVES

Laplace, coordenada, esféricas, rectangulares, cilíndricas, derivada, integral, ecuación.

I. INTRODUCCIÓN

En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace. [1]

Solución de laSolución de la Ecuación de LaplaceEcuación de Laplace

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DE F . I . S .

GERARDO BAYASCARRERA DE ELECTRÓNICA Y

COMUNICACIONES UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

Av. Los Chasquis, Ambato, Ecuador.

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Figura 1, “Pierre Simon Laplace”

A. Definición:

En tres dimensiones, el problema consiste en hallar funciones reales doblemente diferenciables, una función   de variables reales x, y, y z, tal que

En coordenadas cartesianas

En coordenadas cilíndricas,

En coordenadas esféricas,

Muchas veces se escribe de la siguiente manera:

donde   es el operador de Laplace o "laplaciano" que también se escribe como:

donde   es la divergencia, y   es el gradiente

o sino, algunas veces la notación puede ser:

donde   también es el operador de

Laplace.

Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas.

Si del lado derecho de la igualdad se especifica una función, f(x, y, z), es decir, si la ecuación se escribe como:

entonces se tiene la "ecuación de Poisson", por lo que la ecuación de Laplace es un caso particular de esta. La ecuación de Laplace también es un caso particular de la ecuación de Helmholtz.

La ecuación de Laplace, así como también la ecuación de Poisson, son los ejemplos más simples de ecuaciones en derivadas parciales elípticas. [2]

La ecuación de Laplace abarca mucho, dado que, como se aplica a todos los casos en los cuales la densidad de carga volumétrica es cero, asegura que cualquier configuración concebible de electrodos o conductores produce un campo para el cual  .

Todos estos campos son diferentes, con diferentes valores de potencial y diferentes razones de cambio especiales, sin embargo para cada una de ellas   , puesto que todo campo  satisface la educación de Laplace, parece imposible esperar que pueda invertirse el procedimiento y usar tal ecuación para encontrar un campo especifico en el que se tenga interés.

Sí puede lograrse, solo que para ello se requiere más información, y la ecuación de Laplace debe resolverse sujeta a ciertas

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condiciones de frontera.Antes de aplicar la ecuación de Laplace es necesario detenerse un momento para determinar que una respuesta satisface la ecuación de Laplace y las condiciones de frontera, entonces esta es la única respuesta posible. [3]

B. Análisis de La Ecuación de Laplace:

Para el análisis partiremos de una demostración:

En la particula A que tiene masa M que esta en un punto fijo (Xo,Yo,Zo).

La particula B que tiene masa m y que puede moverse por cualquier punto del espacio (x,y,z), la ley de newton establece que A ejerce atraccion sobre B.Para esto, tomamos referencia a que tenemos dos puntos en el espacio de esta forma. [4]

Figura 2 , “Vector (Distancia entre dos puntos)”.

r=√((x−xo)¿¿2+( y− yo)2+(z−zo)2)¿

1r= 1

√((x−xo)2+( y− yo)2+(z−zo )2)

∂∂ x ( 1r )=

−12

[2(x−xo)]

((x−xo)2+( y− yo)2+(z−zo)2)32

∂∂ x ( 1r )=−[(x−xo)]

(r )3

∇=(1r )= ∂∂ x ( 1r ) i+ ∂

∂ x ( 1r ) j+ ∂∂ x ( 1r )k

∂∂ x ( 1r )=−( y− yo

r3 ) ∂∂ z

=−z−zo

r3

∇ ( 1r )=−( x−xo

r3 ) i−( y− yo

r3 ) j−( z−zo

r3 )k∇ ( cr )=P

μ ( x , y , z)= cr−−¿ Potencial deCampo

∇2μ=0

1r= 1

√((x−xo)2+( y− yo)2+(z−zo )2)

∂∂ x ( 1r )= −[(x−xo)]

((x−xo)2+( y− yo)2+(z−zo)2)32

∂( wv )= v w'−wv '(v )2

∂2

∂ x2 ( 1r )=−[(x−xo)2+( y− yo)2+(z−zo)2 ]32+3(x−xo)2 [(x−xo)2+( y− yo)2+(z−zo)2 ]

12

[(x−xo )2+( y− yo )2+(z−zo)2 ]3

 ∂2

∂ x2 ( 1r )= 1

[(x−xo )2+( y− yo )2+(z−zo)2 ]32

+3 (x−xo)2

[( x−xo)2+( y− yo)2+(z−zo)2 ]52

∂2

∂ x2 ( 1r )=−1r3

+3(x−xo )2

r5

∂2

∂ y2 ( 1r )=−1r3

+3 ( y− yo )2

r5

∂2

∂ z2 ( 1r )=−1r3

+3(z− zo)2

r5

∂2

∂ x2+ ∂2

∂ y2+ ∂2

∂ z2=0

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−3r3

+ 3r5

[ (x−xo )2+( y− yo )2+( z−zo )2 ]=0

−3r3

+ 3r5

∗r 2=0

−3r3

+ 3r3

=0

∇2μ=0[4]

C. Modelo de la Ecuación de Laplace

Considerando como ejemplo una placa rectangular de dimensiones finitas que ocupa una región S en un plano xy, en la cual se requiere determinar la temperatura estacionaria de la lámina con valores dados en la frontera, se lo resuelve con la ecuación de Laplace y las respectivas condiciones de frontera, a lo que se denomina problema de Dirichlet.

La ecuación de Laplace se expresa:

∂2u∂ x2

+ ∂2u

∂ y2=0

Esta ecuación de Laplace es fundamental para resolver problemas típicos que consideran una placa de dos dimensiones conocidas, en donde tres de sus lados se mantienen a temperatura cero y uno de sus lados comúnmente tienen una

temperatura constante, como se muestra en la figura 3.

Figura 3. Placa rectangular de dimensiones conocidas con valores asignados en la frontera.

Para este tipo de problemas u(x, y) se eliminará en tres de sus aristas y tendrá valores dados en una de ellas. Este problema se resuelve por el método de separación de variables y la suma de las cuatro soluciones será la solución del problema.

D. Método de separación de variables en la ecuación de Laplace

Para resolver el problema de la figura 1. Se procede a identificar las condiciones de frontera:

{u (0 , y )=0u (a , y )=0}0≤ y ≤b

{u (x ,0 )=30°u ( x ,b )=0 }0≤x ≤a

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Luego se aplica la ecuación de Laplace:

①∂2u∂ x2

+ ∂2u

∂ y2=0

Utilizando el método separación de variables para resolver la ecuación de Laplace:

②u=X (x)Y ( y)

③ ∂2u∂ x2

=X ' ' Y

④ ∂2u∂ y2

=X Y ' '

Sustituyendo la ecuación ③ y ④ en la ecuación ① tenemos:

X ' 'Y +XY ' '=0

⑤ X ' '

X+Y

' '

Y=0

Luego igualamos a −λ2para obtener

las ecuaciones ⑥ y ⑦

X ' '

X=−Y ' '

Y=− λ2

⑥ X ' '+X λ2=0 ⑦ Y ' '−λ2Y=0

Resolviendo la ecuación ⑥ y ⑦ se obtiene:

⑧ X (x )=C1 cos λx+C2sin λx

⑨Y ( y )=C3 eλ y+C4 e

− λ y

La ecuación ⑨ también se puede expresar:

⑩ Y ( y)=C3sinh (λy)+C4 cos h(λy )

Seguidamente se aplican las condiciones de fronteras:

Para la ecuación ⑧ X (0)=0

Para la primera condición de frontera tenemos:

X (0)=C1 cos λ (0)+C2 sin λ0=0 , entonces C1=0

La ecuación ⑧ se reduce:

⑪ X (x )=C2 sin λx

Aplicando la segunda condición de

frontera X (a )=0 en la ecuación ⑪

X (a )=C2 sin λa=0

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y para que la solución no sea trivial decimos que:

λa=nπ , es decir, λ=nπa

La ecuación ⑪ se transforma en

X (x )=C2 sin( nπa )x

Para la ecuación ⑩ se aplica la condición de frontera, u ( x ,b )=0

Y (b)=C3 sinhnπba

+C4 coshnπba

=0

C3=−C4 cos h

nπba

sinhnπba

La ecuación ⑩ se reduce:

Y ( y)=−C4 cosh

nπba

sinhnπba

sinh(nπay )+C4 cosh(

nπa

y)

Aplicando factorización y la identidad trigonométrica del sin ( A−B ), la ecuación se simplifica

⑫Y ( y)=C4

sinhnπba

[sinh nπa (b− y)]

Considerando C4

sinhnπba

=C5, la

ecuación se reduce:

⑬ Y ( y)=C5[sinh nπa (b− y )]

Sustituyendo la ecuación ⑪ Y ⑬ en la ecuación ② obtenemos:

u(x , y)=∑n=1

∞

C2 sinnπax [C5 sinh nπa (b− y)]

Considerando el producto de C2conC5= Cn , obtenemos:

u ( x , y )=∑n=1

∞

Cn sinnπax sinh

nπa

(b− y )

Aplicando la última condición de frontera se obtiene: f(x)

u ( x ,0 )=f ( x )=∑n=1

∞

Cn sinnπax sinh

nπa

(b− y)

⑭ f ( x )=∑n=1

∞

Cnsinnπax sinh

nπba

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Considerando bn = Cn sinhnπba

y

aplicando la serie de Fourier

bn=2a∫0

a

30 ° sinnπaxdx

bn=4(30°)nπ

=120nπ

El valor de Cn :Cn=

120

nπ sinhnπba

Finalmente la solución final de la temperatura de estado estacionario es igual a:

u ( x , y )=∑n=1

∞ 120sinhnπa

(b− y ) sin nπxa

nπ sinhnπba

[5]

II. PROCEDIMIENTO

Este informe me he basado en un método de investigación que abarca con complejidad a cada uno de los temas en mención, el método utilizado es el método científico.Podemos decir que este método de la investigación científica se define como la serie de pasos que conducen a la búsqueda de información para enriquecer los conocimientos del estudiante ya que se realizó una recolección de varios

libros. Recopilada la información del los temas en discusión se puedo realizar un ordenamiento de datos, para aportar a la obtenciones de conocimientos.

III. RESULTADOS

Podemos decir que la solución de la ecuación de Laplace se basa y fundamenta en las derivas parciales así como también en integrales múltiples, además de fundamentarse en el teorema de Gauss.

IV. CONCLUSIONES

La ecuación de Laplace con el pasar de los años sea utilizado en varios ámbitos y campos de la ingeniería, que han fomentado alternativas de resolución de ecuaciones diferenciales sin importar la aplicación de estas.

Según el estudio que se realizó la ecuación de Laplace, podemos suponer el comportamiento de los campos electrostáticos, o como por ejemplo el comportamiento de la temperatura en placas, en conductores eléctricos o calor.

Existen un sinnúmero de aplicaciones para esta ecuación la cual hemos tratado de demostrar por el campo gravitatorio, tomando este como punto de partida para obtener en si la Ecuación de Laplace.

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V. REFERENCIAS

[1] Zill, D., Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, 6ta Ed. (Thomson, Virginia, 1997).

[2] Cañizo, J. Cosas sencillas sobre las ecuaciones de Laplace y Poisson. Descargado (01 de Diciembre de 2014)

[3]Edwards,C. Ecuaciones Diferenciales. Cuarta Edición. 2001. México. Pearson

[4]Escobar, J. Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones en Maple. Disponible en http://matematicas.udea.edu.co/ jescobar/

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