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LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA CONSTANTE Y MESOCÚRTICAS EN EL MÉTODO PERT
RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ
JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES JOSÉ MANUEL HERRERÍAS VELASCO
Universidad de Granada 1. INTRODUCCIÓN
Es suficientemente conocido el papel tan importante que juega la distribución beta en el método PERT, debido a su facilidad de adaptarse a situaciones reales en ambiente de incertidumbre, que se transforman en ambiente de riesgo mediante el concurso de tres estimaciones subjetivas sobre el menor (a), el mayor (b) y el valor modal (m) de la variable objeto de estudio: duración de una actividad, T, flujo de caja de una inversión, Q, etc. Además, se une a lo anterior una facilidad de cálculo de las características estocásticas de la variable que modeliza el fenómeno real de interés, a saber, (Véase p.e. Hillier-Lieberman):
6
4 bma ++=µ 36
)( 22 ab −
=σ (1)
Hace aproximadamente una década, Herrerías(1989) y (1992) obtuvo, utilizando la clásica ecuación diferencial de Pearson (véase p.e. Elderton-Johnson), un sistema de modelos probabilísticos que permiten una ponderación variable para el valor modal en la expresión de la media (1). Desde la pregunta de Sasieni (1986) ya se aboga por este tipo de distribuciones como modelos probabilísticos para el método PERT.
Las características estocásticas de estos modelos, una vez que se estandariza su recorrido al intervalo [0,1], mediante el cambio de variable:
ab
axz
−−
= (2)
donde a y b son, respectivamente los valores menor y mayor del recorrido de la variable X, son los siguientes (Véase Dumas de Rauly, 1968):
2
1 0
++
=+
=k
km
qp
pµ (3)
con
178 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
ab
amm
−−=0
( ) ( )[ ]
( ) ( )32
111
))(1( 200
22
++
−++=
+++=
kk
mkkm
qpqp
pqσ (4)
donde se ha hecho uso de la parametrización introducida por Gallagher para la distribución beta de parámetros p y q, siendo: 01 kmp += )1(1 0mkq −+= (5)
por lo que en consecuencia 2+=+ kqp (6)
Por otra parte, los coeficientes de Fisher de asimetría y curtosis son respectivamente:
)2(
1)(223
2
31
++
++−==
qppq
qppq
µ
µγ (7)
)3)(2(
)2)(1()2)(1(63
22
42 ++++
−++−+=−=qpqppq
pqqqqppp
µµγ (8)
siendo
[ ])3)(2(
)6()(2)1(3 2
22
4
++++−+++++=
qpqppq
qppqqpqp
µµ
deduciéndose el signo de la asimetría según sean p y q: ⇔<⇔> 01γqp Asimetría a la izquierda 210 >⇔ m
⇔>⇔< 01γqp Asimetría a la derecha 210 <⇔ m
⇔=⇔= 01γqp Caso simétrico 210 =⇔ m
2. LA FAMILIA DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA
CONSTANTE
Definición 1 Se dice que una distribución beta es de varianza constante si, una vez
estandarizado el recorrido de la variable en el intervalo [0,1], su varianza es 361 .
Teorema 1 Dada una distribución beta de varianza constante, el intervalo posible para
la constante de integración es (2,872265877864803, 6].
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ... 179
Demostración:
Igualando la expresión (4) de 2σ a 361 se obtiene la siguiente ecuación:
01
36
)3()2(22
2
020 =+−+++−
k
k
k
kkmm (9)
que determina unos valores de 0m dados por
kk
km −+±= 6
6
2
2
10 (10)
como quiera que 0m tiene que estar en el intervalo [0,1], esto sólo es posible
para k perteneciente al intervalo (2,872265877864803, 6], puesto que: a) k debe de ser menor o igual que seis para que 0m sea real
b) 2
16
6
2 ≤−+k
k
ko lo que es equivalente 024207 23 ≥−−+ kkk
Esta última ecuación cúbica presenta dos permanencias y una variación en los signos de los coeficientes, por lo que sólo tiene una raíz positiva, que es, aproximadamente, k=2,872265877864803, con lo queda demostrada la tesis del teorema.
Corolario 1 Los modelos de varianza constante y ponderación entera de la moda se
reducen a los que se obtienen para K=3, 4, 5 y 6. 3. ANÁLISIS DE LOS MODELOS DE VARIANZA CONSTANTE Y
PONDERACIÓN ENTERA VARIABLE
Cabe preguntarse si para los valores de k reseñados en el corolario 1 y para cualquier valor modal estandarizado suministrado por el experto, el valor exacto de 2σ dado por (4), puede aproximarse por 361 .
Véase lo que ocurre para los sucesivos valores de k y algunos valores representativos de 0m
3.1 Para k=3 y para los distintos valores señalados de 0m , se tiene que:
0m 0 18
3521
− 0,25 0,5 0,75 18
3521
+ 1
)( 02 mσ
361
2524
361
361
200273
361
23
361
200273
361
361
2524
180 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
Así que el error que se comete, al usar siempre 361 para la varianza es
menor que 36
1
2
1, que se produce para
2
10 =m . Observándose que en
−
18
35
2
1,0 y en
+ 1,
18
35
2
1 el error es por defecto, mientras que en
+−
18
35
2
1,
18
35
2
1 es por exceso.
3.2 Para k=4 y para los distintos valores señalados de 0m , se tiene que:
0m 0 42
21
− 0,25 0,5 0,75 42
21
+ 1
)( 02 mσ
361
75
361
361
78
361
79
361
78
361
361
75
Así que el error que se comete, al usar siempre 361 para la varianza es
menor que 36
1
7
2, que se produce para 1y 0,
2
10 =m .
Observándose que en
−
4
2
2
1,0 y en
+ 1,
4
2
2
1el error es por defecto,
mientras que en
+−
4
2
2
1,
4
2
2
1 es por exceso.
En este caso se aprecia también que si 0m está próximo al centro del
intervalo [0,1], el modelo clásico del PERT (1), funciona bien, ya que la 2σ será ligeramente mayor que 361 para valores de 0m que estén en el
intervalo
+−
4
2
2
1,
4
2
2
1.
En particular si [ ]75,0,25,00 ∈m , el error está comprendido entre un séptimo
y dos séptimos de 361 , siendo 2σ ligeramente inferior que 361 para los
valores de 0m que estén en el interior de los intervalos
−
4
2
2
1,0 y
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ... 181
+ 1,
4
2
2
1, coincidiendo con 361 en el caso de que 0m sea igual a
4
2
2
1± .
3.3 Para k=5 y para los distintos valores señalados de 0m , se tiene que:
0m 0 0,25 307
21
− 0,5
307
21
+ 0,75 1
)( 02 mσ
361
4927
361
15681539
361
361
392441
361
361
15681539
361
4927
Así que el error que se comete, al usar siempre 361 para la varianza es
menor que 36
1
104
43, que se produce para
2
10 =m . Observándose que en
−
30
7
2
1,0 y en
+ 1,
30
7
2
1 el error es por defecto, mientras que en
+−
30
7
2
1,
30
7
2
1 es por exceso.
3.4 Para k=5 y para los distintos valores señalados de 0m , se tiene que:
0m 0 0,25 0,5 0,75 1
)( 02 mσ
36
1
16
7
36
1
64
55
36
1
36
1
64
55
36
1
16
7
Así que el error que se comete, al usar siempre 361 para la varianza es
menor que 36
1
16
9, y este se produce en los extremos del intervalo.
Observándose que siempre el error es por defecto, salvo cuando coincide en 210 =m .
En el Anexo 1 se han dibujado las correspondientes gráficas de
)( 02 mσ según los valores de k.
De todo lo anterior se deduce:
a) Que el mayor valor para )( 02 mσ se alcanza en todos los modelos cuando
210 =m , que corresponde con el caso simétrico.
182 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
b) Que el error para las colas es por defecto para los distintos modelos k = 3, 4, 5 y 6.
c) Que el error menor para las colas lo tiene el modelo para k=3: 36
1
25
1.
d) En conjunto, el modelo que da menor error para todo el recorrido de 0m es el
correspondiente a k=4. A continuación se da un procedimiento para obtener la constante de
ponderación, k, adecuada para que el modelo sea de varianza constante. 4. REGLA EMPÍRICA
De acuerdo con las tablas que dan el valor de 2σ en función de 0m puede
darse una regla empírica para utilizar un k determinado de acuerdo con el 0m
estimado por el experto, de manera que 2σ sea, aproximadamente 361 .
Dado un valor modal por el experto, se estandariza y se le resta 21 , para
finalmente igualarlo, sin tener en cuenta su signo, a
2
16
6
20
*0 −==−
+mmk
k
k; con lo que se obtendrá el valor de k.
Para facilitar la resolución de la ecuación cúbica resultante, lo que hacemos es construir una tabla desde 2,872265877864803 hasta 6, para los valores de
kk
k−
+6
6
2, con lo que dado el *
0m , se dice cuál es su correspondiente k.
(Véase anexo 2, construido con el programa Mathematica, versión 2.2). De
manera que si qpmm >⇔>⇔> 210 0*0 , por el contrario si
qpmm <⇔<⇔< 210 0*0 , siendo p y q los dados por (5) y a partir de ellos,
queda perfectamente identificada la distribución beta y pueden obtenerse las características estocásticas que interesen, utilizando (3), (4), (7) y (8). 5. LA FAMILIA DE DISTRIBUCIONES BETA MESOCÚRTICAS
Definición 2 Se dice que una distribución beta es mesocúrtica si su coeficiente de curtosis
de Fisher es cero.
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ... 183
Teorema 2 Dada una distribución beta mesocúrtica, el intervalo posible para la
constante de ponderación, k, es ( )∞,359898557725066,1 .
Demostración:
Igualando la expresión (8) del coeficiente de curtosis a cero, 322
4 =µµ
,
( ) ( )
( ) 01
165
3222
2
020 =
+−
+++
+−k
k
kk
kkmm (11)
que determina unos valores de 0m dados por :
165
4
2
2
2
10 +
++±=k
k
k
km (12)
Si 499792236067977,02
1
5
1
2
1
2
10 ±=±=⇒∞→ mk
Como quiera que 0m tiene que estar en [0,1], esto sólo es posible si
( )∞∈ ,359898557725066,1k , ya que son los valores de k que hacen que
04522
1
165
4
2
2 23 ≥−−+⇔≤+++
kkkk
k
k
k, que tiene una sola raíz positiva
que es 359898557725066,1 , que será el menor valor de k posible.
6. ANÁLISIS DE LOS MODELOS MESOCÚRTICOS Y PONDERACIÓN
ENTERA VARIABLE
Por ser 165
4
2
2
+++
k
k
k
k una función decreciente para k>0, se tiene que para
359898557725066,1=k , 0m está en uno de los extremos del intervalo [0,1] y,
para ∞→k ,se tiene que 499792236067977,02
10 ±=m .
Luego sólo se puede encontrar una solución de k coherente (que sea positiva) si: ( )499797236067977,0,500212763932022,00 ∉m (13)
para que el modelo beta sea mesocúrtico. En otro caso es imposible determinar una k positiva. (Véase Herrerías y Pérez 1997).
En el caso que interesen que los modelos mesocúrticos tengan una ponderación entera para el valor modal, que sea la que se consideró en los
184 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
modelos de varianza constante, sólo habrá que analizar aquellos que se obtienen para k=3, 4, 5 y 6.
1. Para k=3, se tiene que 31
7
6
5
2
10 ±=m es decir que
737571040075305,00 =m ó 262438959924694,00 =m .
2. Para k=4, se tiene que 36
8
8
6
2
10 ±=m es decir que
067261464466094,00 =m ó 932748535533905,00 =m .
3. Para k=5, se tiene que 41
9
10
7
2
10 ±=m es decir que
339271720351000,00 =m ó 660738279648999,00 =m .
4. Para k=6, se tiene que 46
10
12
8
2
10 ±=m es decir que
198951891650639,00 =m ó 801058108349360,00 =m .
Obsérvese que todos los 0m están fuera del intervalo señalado en (13).
Ampliando el recorrido de k se tiene:
5. Para k=2, se tiene que 26
6
2
10 ±=m es decir que
847390196155385,00 =m ó 152619803844614,00 =m .
6. Para k=7, se tiene que 51
11
14
9
2
10 ±=m es decir que
060422014440517,00 =m ó 939587985559482,00 =m .
7. Para k=8, se tiene que 56
12
16
10
2
10 ±=m es decir que
210782106812188,00 =m ó 789227893187811,00 =m .
8. Para k=9, se tiene que 61
13
18
11
2
10 ±=m es decir que
314832178845059,00 =m ó 685177821154940,00 =m .
9. Para k=10, se tiene que 66
14
20
12
2
10 ±=m es decir que
168972236602881,00 =m ó 831037763397118,00 =m .
Nótese que en estos casos también los 0m verifican (13).
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ... 185
Teorema 3 La intersección de las familias de varianza constante y mesocúrticas, con
una misma moda estimada subjetivamente, no es vacía. El modelo resultante es el de ponderación entera k=4.
Demostración: Igualando las expresiones (10) y (12) que determinan la moda en los casos de
varianza constante mesocúrtica, respectivamente, tenemos:
−=⇔=−−⇔
++=−⇒
+++=−+
3
4012
1654
96
1654
22
66
2 2 kkkkkk
kk
kk
kk
k
La solución k=-3 no es coherente con la interpretación de k como ponderación del valor modal y no se considera.
Cabe preguntarse cómo afecta a los parámetros p y q de las distribuciones beta las propiedades de varianza constante y mesocurticidad.
a) Como 2
2
))(1( qpqp
pq
+++=σ , cuando se iguala a 361 , se tiene:
36
)2)(3( 2++=
kkpq ,
luego las soluciones de la ecuación
036
)2)(3()2(
22 =
++++−
kkxkx
serán los valores de p y q
kkk
x −+
±+
= 66
2
2
2,
expresión que corrobora que la ponderación entera k sólo puede ser 3, 4, 5 y 6, ya que para k=2, una de las constantes, p ó q sería menor que uno, con lo que la distribución beta no sería unimodal y para k>6 los valores serían imaginarios. b) Como
( ) ( )[ ]( ) ( )( )( )
( )( ) ( )42
2
4
22
22
4
1
321
223
qpqp
pq
qpqpqpqp
qpqppqpq
+++
+++++++
++−+
=µ
µ
( ) ( ) ( )[ ]( )( )32
2213 22
22
4
++++++−+++=
qpqppq
qpqppqqp
µ
µ
y como
( ) ( ) ( ) ( )622 222 −+++=++−+ qppqqpqpqppq
186 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
se tienen que, para que sea mesocúrtico el modelo probabilístico, basta con que:
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )32261 2 ++++=++−+++ qpqppqqpqppqqp
que puede expresarse usando 2+=+ kqp , de la siguiente forma:
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )542243 2 ++=++−+ kkpqkkpqk
luego:
( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
16532
5443322 22
+++=
+++−+−++=
kkk
kkkkkk
pq (14)
por lo que las soluciones de la ecuación:
( ) ( ) ( )0
165
322
22 =
+++
++−k
kkxkx
serán los valores de p y q:
( ) ( )
2165
422
++
+±+= k
kkk
x
expresión que corrobora que la ponderación entera k sólo es válida a partir de k=2 ya que, para k=1 una de las constantes p ó q sería menor que uno, con lo que la distribución beta no sería unimodal.
Para que la distribución beta sea mesocúrtica y de varianza constante simultáneamente debe ocurrir que:
( ) ( ) ( ) ( )4
36
32
165
32 22
=⇒++
=+
++k
kk
k
kk
resultado que corrobora el Teorema 3 anterior. Como consecuencia de (14),se tiene: i) La varianza de los modelos mesocúrticos estandarizados es
165
12
+=
kσ
tomando su mayor valor cuando k=1,855772506635989
y por tanto 2σ =0,0395434701127285. ii) La media de los modelos mesocúrticos estandarizados es:
( ) ( )
)2(2165
422
+++
+±+=
+=
kk
kkk
qp
pµ
165
4
2
1
2
1
++±=
k
kµ
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ... 187
7. CARACTERÍSTICAS DEL PRODUCTO pq
a) Modelos de varianza constante, 3612 =σ , entonces:
( ) ( )36
32 2 ++=
kkpq con
6
6
2
1 k−±=µ
b) Modelos mesocúrticos, 02 =γ , entonces:
( ) ( )165
32 2
+++
=k
kkpq con
165
12
+=
kσ y
165
4
2
1
2
1
++±=
k
kµ
c) Modelo clásico, k=4, entonces:
7=pq con 36
12 =σ y qp
p
+=
±=±=
6
23
6
2
2
1µ
En este orden de ideas se encuentra también el siguiente resultado: Si la distribución beta es de varianza constante y mesocúrtica, entonces la
distribución beta es de parámetros 23 ±=p y 23 m=q , según sea la
asimetría. En efecto, si la distribución es de varianza constante y mesocúrtica,
entonces k=4 , y por tanto, su moda será 4
2
2
10 ±=m , por lo que
231 0 ±=+= kmp y 23)1(1 0 m=−+= mkq c.q.d.
Como consecuencia de ello se tiene que ( )( ) 72323 =−+=pq
La forma de actuar será: dado el valor estandarizado de la moda, estimado subjetivamente, se le resta 0,5 y con el número resultante se determina la ponderación de k en los anexos 2 y/o 3. Es conveniente considerar aquella k que sea menor, ya que así la varianza será mayor y los resultados no serán excesivamente optimistas. 8. CONCLUSIONES • Los modelos mesocúrticos son más flexibles que los de varianza constante,
debido a que admiten ponderaciones enteras desde 2 hasta infinito, mientras que los de varianza constante sólo admiten ponderaciones entre 3 y 6.
• El modelo mesocúrtico de k=4, coincide con el de varianza constante para la misma ponderación
• Los modelos mesocúrticos no admiten modelos simétricos, por ello la moda estimada por el experto no puede estar centrada sobre 0,5,ya que el
valor más pequeño de 5,00*0 −= mm es
188 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
499792236067977,05
1
2
1*0 ==m
• Igualando las expresiones (10) y (12), se tiene que para la misma 0m , al
modelo mesocúrtico corresponde un k mayor si k>4 y un k menor si
k<4,siendo k=4 para 932743535533905,04
2
2
1 *00 =⇔±= mm .
Luego se utilizarán los modelos mesocúrticos para valores de k<4 y los de varianza constante para los valores de k>4.
BIBLIOGRAFÍA DUMAS DE RAULY, D. (1968). L’estimation statistique. Gauthier-Villars ELDERTON, W.P Y JOHNSON N.L. (1969). Systems of frequency curves. Cambridge.
University Press. GALLAGHER, C, (1987). A Note on PERT Assumptions.- Management Science, Vol.
33, nº 10, p. 1360 HERRERÍAS, R. (1989). Modelos probabilísticos alternativos para el método PERT.
Aplicación al Análisis de Inversiones. Estudios de Economía Aplicada, pp. 89-112. Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Valladolid.
HERRERÍAS, R. (1992). Utilización de los Modelos Probabilísticos para el PERT, que permiten una ponderación variable del valor más probable, en Análisis de Inversiones . Ponencias de la III Reunión Anual de ASEPELT-ESPAÑA. Biblioteca de Socioeconomía Sevillana. Diputación de Sevilla, pp 557-562.
HILLIER, I Y LIEBERMAN G.J. (1982). Introducción ala Investigación de Operaciones. McGraw-Hill.
SASIENI, M.W . (1986). A note on PERT Times. Management Sci. 32 pp 1652-1653 Artículo defendido en la II Reunión Científica: Selección, Evaluación y Control de Proyectos, celebrada en 1999 en Córdoba. Publicado en el libro titulado “Selección y Evaluación de Proyectos: Fundamentos Básicos”, capítulo 2, pp. 31-57. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Almería .
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ... 189
ANEXO 1
k=3
0,026
0,028
0,03
0,032
0,034
0,036
0,038
0,04
0,042
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
)( 02 mσ
361)( 02
=mσ
k=4
0,02
0,0225
0,025
0,0275
0,03
0,0325
0,035
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
)( 02 mσ
361)( 02
=mσ
k=5
0,015
0,0175
0,02
0,0225
0,025
0,0275
0,03
0,0325
0,035
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
)( 02 mσ
361)(0
2 =mσ
k=6
0,0125
0,015
0,0175
0,02
0,0225
0,025
0,0275
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
)( 02 mσ
361)( 02 =mσ
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
)( 0
2mσ
361)( 02 =mσ
k=3
k=4
k=5
k=6
190 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
ANEXO 2
*0m k
*0m k
*0m k
0,000 6 0,030 5,9818026896483 0,060 5,9275435195834
0,001 5,9999797500342 0,031 5,9805713211348 0,061 5,9251236076530
0,002 5,9999190005468 0,032 5,9792998471534 0,062 5,9226647272689
0,003 5,9998177527679 0,033 5,9779882935910 0,063 5,9201669292400
0,004 5,9996760087480 0,034 5,9766366871595 0,064 5,9176302651945
0,005 5,9994937713576 0,035 5,9752450553965 0,065 5,9150547876229
0,006 5,9992710442874 0,036 5,9738134266653 0,066 5,9124405498375
0,007 5,9990078320484 0,037 5,9723418301556 0,067 5,9097876059928
0,008 5,9987041399711 0,038 5,9708302958834 0,068 5,9070960110820
0,009 5,9983599742093 0,039 5,9692788546920 0,069 5,9043658209379
0,010 5,9979753417332 0,040 5,9676875382502 0,070 5,9015970922326
0,011 5,9975502503359 0,041 5,9660563790571 0,071 5,8987898824787
0,012 5,9970847086310 0,042 5,9643854104377 0,072 5,8959442500289
0,013 5,9965787260524 0,043 5,9626746665458 0,073 5,8930602540773
0,014 5,9960323128551 0,044 5,9609241823640 0,074 5,8901379546593
0,015 5,9954454801151 0,045 5,9591339937036 0,075 5,8871774126521
0,016 5,9948182397293 0,046 5,9573041372057 0,076 5,8841786897753
0,017 5,9941506044163 0,047 5,9554346503408 0,077 5,8811418485913
0,018 5,9934425877157 0,048 5,9535255714099 0,078 5,8780669525053
0,019 5,9926942039891 0,049 5,9515769395440 0,079 5,8749540657664
0,020 5,9919054684195 0,050 5,9495887947065 0,080 5,8718032534676
0,021 5,9910763970122 0,051 5,9475611776904 0,081 5,8686145815462
0,022 5,9902070065946 0,052 5,9454941301216 0,082 5,8653881167843
0,023 5,9892973146183 0,053 5,9433876944580 0,083 5,8621239268093
0,024 5,9883473401496 0,054 5,9412419139901 0,084 5,8588220800940
0,025 5,9873571018897 0,055 5,9390568328415 0,085 5,8554826459573
0,026 5,9863266201547 0,056 5,9368324959693 0,086 5,8521056945642
0,027 5,9852559158862 0,057 5,9345689491645 0,087 5,8486912969266
0,028 5,9841450108491 0,058 5,9322662390530 0,088 5,8452395224903
0,029 5,9829939276321 0,059 5,9299244130937 0,089 5,8417504512009
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ... 191
*0m k
*0m k
*0m k
0,090 5,8382241493700 0,120 5,7155236088599 0,150 5,5618067726712
0,091 5,8346606938220 0,121 5,7108843549603 0,151 5,5561824020723
0,092 5,8310601597981 0,122 5,7062106756265 0,152 5,5505270224493
0,093 5,8274226234005 0,123 5,7015026724876 0,153 5,5448407606509
0,094 5,8237481615775 0,124 5,6967604480229 0,154 5,5391237443504
0,095 5,8200368521263 0,125 5,6919841055614 0,155 5,5333761020438
0,096 5,8162887736941 0,126 5,6871737492814 0,156 5,5275979630487
0,097 5,8125010057775 0,127 5,6823294842102 0,157 5,5217894575021
0,098 5,8086826287224 0,128 5,6774514162237 0,158 5,5159507163590
0,099 5,8048247237292 0,129 5,6725396520459 0,159 5,5100818713908
0,100 5,8009303728422 0,130 5,6675942992484 0,160 5,5041830551830
0,101 5,7969996589609 0,131 5,6626154662501 0,161 5,4982544011347
0,102 5,7930326658347 0,132 5,6576032623163 0,162 5,4922960434540
0,103 5,7890294780640 0,133 5,6525577975583 0,163 5,4863081171590
0,104 5,7849901811003 0,134 5,6474791829300 0,164 5,4802907580741
0,105 5,7809148612467 0,135 5,6423675302415 0,165 5,4742441028282
0,106 5,7768036056578 0,136 5,6372229521295 0,166 5,4681682888526
0,107 5,7726565023396 0,137 5,6320455620858 0,167 5,4620634543792
0,108 5,7684736401500 0,138 5,6268354744420 0,168 5,4559297384374
0,109 5,7642551087986 0,139 5,6215928043701 0,169 5,4497672808525
0,110 5,7600009988469 0,140 5,6163176678850 0,170 5,4435764444430
0,111 5,7557114017081 0,141 5,6110101818402 0,171 5,4373567040184
0,112 5,7513864096473 0,142 5,6056704639287 0,172 5,4311088683762
0,113 5,7470261157815 0,143 5,6002986326816 0,173 5,4248328582996
0,114 5,7426306240794 0,144 5,5948948074670 0,174 5,4185288175550
0,115 5,7381999998315 0,145 5,5894591084889 0,175 5,4121968906891
0,116 5,7337343673000 0,146 5,5839916567865 0,176 5,4058372230262
0,117 5,7292338144183 0,147 5,5784925742326 0,177 5,3994499606651
0,118 5,7246984380917 0,148 5,5729619835325 0,178 5,3930352504768
0,119 5,7201283365464 0,149 5,5674000082232 0,179 5,3865932401007
192 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
*0m k
*0m k
*0m K
0,180 5,3801240779421 0,210 5,1741900896169 0,240 4,9483258243649
0,181 5,3736279131689 0,211 5,1669568434381 0,241 4,9405088694234
0,182 5,3671048957086 0,212 5,1597015765266 0,242 4,9326752791211
0,183 5,3605551762446 0,213 5,1524244604346 0,243 4,9248252404608
0,184 5,3539789062132 0,214 5,1451255667164 0,244 4,9169589408449
0,185 5,3473762378001 0,215 5,1378053694301 0,245 4,9090765680662
0,186 5,3407473239371 0,216 5,1304637405266 0,246 4,9011783103000
0,187 5,3340923182979 0,217 5,1231009543445 0,247 4,8932643560946
0,188 5,3274113752954 0,218 5,1157171853665 0,248 4,8853348943630
0,189 5,3207046500772 0,219 5,1083126086600 0,249 4,8773901143726
0,190 5,3139722985220 0,220 5,1008873998733 0,250 4,8694302057388
0,191 5,3072144772362 0,221 5,0934417352245 0,251 4,8614553584130
0,192 5,3004313435492 0,222 5,0859757914995 0,252 4,8534657626750
0,193 5,2936230555099 0,223 5,0784897460430 0,253 4,8454616091236
0,194 5,2867897718825 0,224 5,0709837767527 0,254 4,8374430886663
0,195 5,2799316521421 0,225 5,0634580620719 0,255 4,8294103925108
0,196 5,2730488564709 0,226 5,0559127809830 0,256 4,8213637121550
0,197 5,2661415457531 0,227 5,0483481130004 0,257 4,8133032393774
0,198 5,2592098815713 0,228 5,0407642381636 0,258 4,8052291662274
0,199 5,2522540262014 0,229 5,0331613370030 0,259 4,7971416850156
0,200 5,2452741426082 0,230 5,0255395906665 0,260 4,7890409883036
0,201 5,2382703944410 0,231 5,0178991806448 0,261 4,7809272688940
0,202 5,2312429460281 0,232 5,0102402890312 0,262 4,7728007198220
0,203 5,2241919623730 0,233 5,0025630983380 0,263 4,7646615343421
0,204 5,2171176091484 0,234 4,9948677917288 0,264 4,7565099059204
0,205 5,2100200526920 0,235 4,9871545525837 0,265 4,7483460282238
0,206 5,2028994600001 0,236 4,9794235649189 0,266 4,7401700951093
0,207 5,1957559987269 0,237 4,9716750131650 0,267 4,7319823006139
0,208 5,1885898571705 0,238 4,9639090822020 0,268 4,7237828389438
0,209 5,1814114427630 0,239 4,9561259573506 0,269 4,7155719044642
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ... 193
*0m k
*0m k
*0m k
0,270 4,7073496916882 0,300 4,4564066902685 0,330 4,2007366996348
0,271 4,6991163952666 0,301 4,4479316243898 0,331 4,1921930215940
0,272 4,6908722099769 0,302 4,4394515161333 0,332 4,1836499377084
0,273 4,6826173307126 0,303 4,4309665585644 0,333 4,1751076284654
0,274 4,6743519524719 0,304 4,4224769445052 0,334 4,1665662737528
0,275 4,6660762703473 0,305 4,4139828665171 0,335 4,1580260528399
0,276 4,6577904795142 0,306 4,4054845168988 0,336 4,1494871443768
0,277 4,6494947752199 0,307 4,3969820876645 0,337 4,1409497263730
0,278 4,6411893527727 0,308 4,3884757705361 0,338 4,1324139761915
0,279 4,6328744075302 0,309 4,3799657569306 0,339 4,1238800705362
0,280 4,6245501348885 0,310 4,3714522379478 0,340 4,1153481854410
0,281 4,6162167302707 0,311 4,3629354043581 0,341 4,1068184962592
0,282 4,6078743891157 0,312 4,3544154465906 0,342 4,0982911776519
0,283 4,5995233068664 0,313 4,3458925547206 0,343 4,0897664035776
0,284 4,5911636789585 0,314 4,3373669184579 0,344 4,0812443472814
0,285 4,5827957008092 0,315 4,3288387271344 0,345 4,0727251812841
0,286 4,5744195678053 0,316 4,3203082696921 0,346 4,0642090773720
0,287 4,5660354752915 0,317 4,3117754346712 0,347 4,0556962065858
0,288 4,5576436185591 0,318 4,3032407101976 0,348 4,0471867392106
0,289 4,5492441928343 0,319 4,2947041839716 0,349 4,0386808447655
0,290 4,5408373932660 0,320 4,2861660432549 0,350 4,0301786919931
0,291 4,5324234149146 0,321 4,2776264788598 0,351 4,0216804488497
0,292 4,5240024527398 0,322 4,2690886651359 0,352 4,0131862824949
0,293 4,5155747015888 0,323 4,2605437999596 0,353 4,0046963592821
0,294 4,5071403561848 0,324 4,2520010647208 0,354 3,9962108447479
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0,296 4,4902526608170 0,326 4,2349137231168 0,356 3,9792536997223
0,297 4,4817996995699 0,327 4,2263694849962 0,357 3,9707823961353
0,298 4,4733409214807 0,328 4,2178251132791 0,358 3,9623161550168
0,299 4,4648765204715 0,329 4,2092807907495 0,359 3,9538551376772
194 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
*0m k
*0m k
*0m k
0,360 3,9453995045539 0,390 3,6949918302903 0,420 3,4534022507200
0,361 3,9369494152014 0,391 3,6867776313411 0,421 3,4455389597849
0,362 3,9285050282832 0,392 3,6785732407297 0,422 3,4376889989193
0,363 3,9200665015620 0,393 3,6703779085723 0,423 3,4298524608219
0,364 3,9116339918917 0,394 3,6621951924783 0,424 3,4220294370135
0,365 3,9032076552084 0,395 3,6540216860394 0,425 3,4142200278406
0,366 3,8947876465220 0,396 3,6458586903317 0,426 3,4064242924762
0,367 3,8863741199068 0,397 3,6377063281582 0,427 3,3986423489200
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0,369 3,8695671244697 0,399 3,6214339899918 0,429 3,3831201533688
0,370 3,8611739590506 0,400 3,6133142539592 0,430 3,3753800715137
0,371 3,8527878824935 0,401 3,6052056313743 0,431 3,3676541117484
0,372 3,8444090440785 0,402 3,5971082393729 0,432 3,3599423562191
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0,375 3,8193174357097 0,405 3,5728846010561 0,435 3,3368931190100
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0,377 3,8026285797666 0,407 3,5567937576557 0,437 3,3215994356110
0,378 3,7942962495627 0,408 3,5487661447637 0,438 3,3139745653153
0,379 3,7859721745476 0,409 3,5407505502274 0,439 3,3063644416899
0,380 3,7776564959410 0,410 3,5327470819584 0,440 3,2987691375926
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0,383 3,7527612351537 0,413 3,5088104964090 0,443 3,2760728537911
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0,385 3,7362089186824 0,415 3,4929153299973 0,445 3,2610173795945
0,386 3,7279465255529 0,416 3,4849868202128 0,446 3,2535124583820
0,387 3,7196934879491 0,417 3,4770711594155 0,447 3,2460228346130
0,388 3,7114499386140 0,418 3,4691684461697 0,448 3,2385485720110
0,389 3,7032160092050 0,419 3,4612787778666 0,449 3,2310897331726
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ... 195
*0m k
*0m k
*0m k
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0,458 3,1646402801020 0,475 3,0427525160783 0,492 2,9256613099297
0,459 3,1573626242168 0,476 3,0357297720139 0,493 2,9189267561980
0,460 3,1500772594159 0,477 3,0287237638156 0,494 2,9122093509405
0,461 3,1428079829793 0,478 3,0217345233306 0,495 2,9055091102429
0,462 3,1355548432055 0,479 3,0147620814273 0,496 2,8988260493234
0,463 3,1283178873245 0,480 3,0078064680010 0,497 2,8921601825412
0,464 3,1210971615027 0,481 3,0008677119800 0,498 2,8855115234028
0,465 3,1138927108480 0,482 2,9939458413340 0,499 2,8788800845697
0,466 3,1067045794160 0,483 2,9870408830773 0,500 2,8722658778648
196 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
ANEXO 3 *0m K
*0m k
*0m k
0,223 -3,0861894708136 0,254 17,4598583335580 0,285 8,57127445525712
0,224 1364,60252122926 0,255 16,8984155382289 0,286 8,43193260404121
0,225 384,964860596150 0,256 16,3716894324283 0,287 8,29700429311041
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0,253 18,0595620158653 0,284 8,71524932854655 0,315 5,72214270957391
LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ... 197
*0m K
*0m k
*0m k
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198 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS
*0m K
*0m K
*0m k
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