LAS FIJAS MATEMÁTICAS Y CIENCIAS UNMSM · PDF fileLAS FIJAS MATEMÁTICAS Y CIENCIAS UNMSM RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CONTEO DE FIGURAS

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

CUATRO OPERACIONES

1. Por cada cuatro docenas de manzanas que un comerciante

compra, le obsequian dos manzanas. ¿Cuántos son de obsequio si llevó 4800 manzanas?

A) 240 B) 176 C) 222

D) 192 E) 184 RESOLUCIÓN

4 doc <> 12 x 4 + 2 = 50 manz.

En los 4800 que llevo hay:

4800=96 grupos de 50 ,

50

donde habrá:

2 x 96 = 192 manz. de obsequio.

RPTA.: D

2. Juan es el doble de rápido que

Pedro. Si juntos pueden hacer una obra en 10 días, cuánto tiempo le tomará a Juan hacerlo solo?

A) 13 días B) 14 días

C) 15 días D) 16 días E) 17 días

RESOLUCIÓN Juan hace: 2 K

Juntos hacen 3 K Pedro hace: 1 K

En 10 días hacen 30 K

Juan lo haría solo en 30K

2K= 15 días

RPTA.: C

CONTEO DE FIGURAS

3. Calcular el máximo número de

cuadriláteros.

A) 4

B) 5 C) 6

D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN

Por codificación literal:

Con 1 letra : 1

Con 2 letras : 3 Con 3 letras : 1 Con 4 Letras : 1

Con 7 letras : 1 Total : 7

RPTA.: D

1. Calcular el máximo número de Hexágonos.

A) 21 B) 24 C) 30

D) 34 E) 42

a c

g

fd e

b


RESOLUCIÓN

Contabilizando los espacios, en la base, que generan hexágonos, tenemos:

152

65

x 2 30

RPTA.: C

OPERADORES

MATEMÁTICOS

1. En la tabla:

Reducir:

a b c aE

a b c

A) a B) 0 C) b

D) c E) 1

RESOLUCIÓN

a b c a

Ea (b c)

b c a c

Ea c c

1

RPTA.: E

2. Si na &

n aa , n 10 5

Halle: E &27 &16 81

A) 16 B) 32 C) 25

D) 81 E) 12,5

RESOLUCIÓN

E &27 &16 81

4 3& 27=3 & 3 31

81 4 322

5 4&16=2 & 2 , 21

32 5 12 52

RPTA.: E

SITUACIONES LÓGICAS

4. Hay dos pares de niños entre 2 niños; un niño delante de 5 niños y

un niño detrás de 5 niños ¿Cuántos niños hay como mínimo?

A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4

RESOLUCIÓN

RPTA.: D

5. Un león, un carnero y un paquete de pasto desea pasar un hombre por un puente, donde el peso de

cada uno, incluyendo al del hombre varía entre 70 y 80 kilos. Si el

puente resiste solamente 200 kg, cuántas veces cruzaría el hombre el puente para pasar todo? (no puede

dejar al león y al carnero juntos, ni al carnero y el pasto juntos).

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 7

RESOLUCIÓN

H + C

P; L C H

H + P L P

H + C

C H + L L

H H + C

RPTA.: E

a

a a

a

a

b c

b

b b

c

c

c c c

2 pares de niños

Un niño

delante de 5

Un niño

detrás de 5


PLANTEO DE ECUACIONES

6. Halle el número cuyo quíntuplo,

disminuido en los 3

4 del mismo, es

igual al triple, de la suma de dicho

número con cinco.

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

RESOLUCIÓN

Sea “x” el número

3

5x x 3 x 54

Por (4):

20x 3x = 12x + 60

17x 12x = 60

5x = 60 x = 12

RPTA.: C

7. El producto de tres números

enteros consecutivos es igual a 600 veces el primero. ¿Cuál es la suma

de dichos números?

A) 76 B) 81 C) 71

D) 73 E) 3

RESOLUCIÓN

(x) (x+1) (x+2) = 600x

X[(x+1)(x+2) 600] = 0

x = 0 (x+1) (x+2) = 600

x = 0 x² + 3x 598 = 0

(x23) (x+26) = 0

x = 0 x = 23 x = 20

x = 0 0, 1, 2 3

x = 23 23, 24, 25 72

x = 26 26, 25, 24 75

RPTA.: E

EDADES

8. Teófilo tiene el triple de la edad de Pedro. Cuando Pedro tenga la edad

de Teófilo, este tendrá 75 años. ¿Cuál es la edad de Teófilo?

A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50

RESOLUCIÓN

La diferencia de edades siempre es

la misma.

3x x 75 3x

5x 75

x 15 3(x) 45

Teófilo tiene 45 años

RPTA.: D

9. Hace (a + b) años, Martín tenía 2a

años, ¿Qué edad tendrá dentro de

(a – b) años?

A) 4a B) 2a - 2b C) 3a D) 3a - 2b E) 2a + 2b

RESOLUCIÓN

RPTA.: A

MÓVILES

10. Dos móviles están separados 2x 2x

metros el uno del otro. Si parten

simultáneamente uno al encuentro del otro, con una rapidez de xx y

Presente Futuro

Teófilo 3x 75

Pedro x 3x

Pasado Presente

Martín 2a 2a +(a+b) 3a+b+a-b

Futuro

a + b a - b

= 4a

Tendrá

3a + b


x2x metros por segundo,

respectivamente, se encontrarán al cabo de un minuto con 21 segundos

¿Qué distancia recorre el más veloz

en x 1x segundos?

A) 486 m B) 648 m

C) 864 m D) 684 m E) 468 m

RESOLUCIÓN

2x 2

E x x

A B

d xt 1 min 21s

V V x 2x

x x 2

x

x x x81

3x

243 = x . x² 5 x 23 x x 3

El más veloz

Bd V t

m

d 54 9s 486ms

RPTA.: A

11. Dos móviles separados 1200 m van

al encuentro uno del otro, en sentidos opuestos, con rapidez de 30 m/s y 20 m/s. ¿En que tiempo

estarán separados 600 m por segunda vez?

A) 45 s B) 42 s C) 36 s

D) 24 s E) 12 s

RESOLUCIÓN

20t 30t 60

50t 600

t 12s

Luego: totalt 24 12

t 36s RPTA.: C

RELOJES

12. Las horas transcurridas del día están representadas por un número de dos cifras y el exceso de dicho

número con las cifras invertidas sobre nueve, representa las horas

que faltan transcurrir. ¿Qué hora es, si no son las 12m.?

A) 9 a.m. B) 11 a.m. C) 2 p.m. D) 7 pm.

E) 9 pm.

RESOLUCIÓN

ab ba 9 24

a b b a 100 10 37

a b a b a b 11 33 3 2 1

luego: ab 21 H: 9 p.m.

RPTA.: E

13. Un barco que zarpa del Callao, llega a Paita un día sábado a las 11 a.m.,

después de emplear 130 horas. ¿Qué día y hora salió del Callao?

A) Martes a las 5 a.m. B) Miércoles a las 9 a.m.

C) Martes a las 11 a.m.

B2x 2x A

x

AV x x

BV 2x

3

BV 2 3 54m/s

3 1 2t 3 3 9s

AB600 m

A B

20t 30t

E

1200 1200t 24segundos

20 30 50

24 h

ba 9abH

H.F.TH.T


D) Jueves a la 1 a.m.

E) Jueves a las 8 a.m.

RESOLUCIÓN

130 h = 5 D + 10 h Lunes a la 1 a.m.

RPTA.: D

HABILIDAD OPERATIVA

1. En cuántos ceros termina 60!

A) 9 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

RESOLUCIÓN

Total 14 ceros RPTA.: E

2. Calcule la cifra de unidades que se

obtiene al efectuar:

404505

T 0! 1! 2! 3! ... 100!

A) 6 B) 4 C) 2

D) 8 E) 0

RESOLUCIÓN

0! 1

0! 1

2! = 2 3! = 6 4! = 24

5! = 120 6! = 720

7! = 6040 8! = 40320 9! = ……..0

100!=……0 …..4

404505

T .....4 Impar

Impar

T .....4

T ..........4 RPTA.: B

ÁLGEBRA

TEORÍA DE EXPONENTES

ECUACIÓN DE 1º GRADO

1. Efectuar:

1 1

1

3 2 24E 27 36 2

3

A) 3 B) 6 C) 2 D) 1 E) 0

RESOLUCIÓN

13 127

3*

12 1

366

*

14 3

3 4*

2 12

4*

1 1E

RPTA.: D

2. Simplificar:

0,2

2 54

3 3E 27 27 2 3

Lu Ma Mi Ju ViSab

Paita

11 am

10 h 10 10 10 10

13010

24

5

60 5

12 5

22


A) 2

3 B)

3

2 C) 2

D) 3 E) 1

RESOLUCIÓN

2

32

3

1 1* 27

927

5

35

3

4

1 1* 27

24327

1* 3

81

0,2 0,21 1 2 27 1 6

E9 243 81 243

20,2 0,2 5 1032 243 3

E243 32 2

3

2E

RPTA.: B

PRODUCTOS NOTABLES

14. Si ,yx3x

y

y

x 22

halle

4

y

x

x

y

x

y

y

xW

0y,0x

A) 16 B) 32 C) 24

D) 42 E) 2/116

RESOLUCIÓN

yxxy3yx 33

yxxy3yxxy3yx3

0yx3

yx 16x

x

x

xW

4

x

x

x

x

RPTA.: A

15. Si 1aa 1 , halle

1212 aaW

A)256 B)306 C) 343

D)322 E)196

RESOLUCIÓN

a² 2 + a2 = 1

a² + a2 = 3

a4 + a4 = 7

a12 + a12 + 3(7) = 343

a12 + a12 = 322 RPTA.: D

COCIENTES NOTABLES

FACTORIZACIÓN I

16. ¿Cuál será aquel polinomio cuadrático de coeficiente principal

4, capaz de ser divisible por 12 x

y que al ser evaluado en (2) toma

el valor de 5?

A) 24x 4x 3 B) 24x 4x 3

C) 24x 4x 3 D) 24x 4x 2

E) 24x 4x 2

RESOLUCIÓN

Sea este Polinomio

2

xP 4x ax b :

Por condición:

2

x4x ax b 2x 1 .q'

21 1

4 a b 02 2

-a+2b=-2.............................(1)

Además:

2

x4x ax b (x 2)q'' 5

Entonces: 4(2)² + 2a+b = 5

2a+b = 11 .........................(2)

De: 2(1)+(2) : 5b=-15b=-3

En (2) :2a=-8a=-4

Conclusión:

2

xP 4x 4x 3

RPTA.: C

17. Busque la relación que debe existir

entre “p” y“q” a fin de que el polinomio:

3

xP x 3px 2q

Resulte ser divisible por 2ax

A) 23 qP B) 32 qP C) qP


D) 1q.P E) 2qP

RESOLUCIÓN

Aplicando dos veces ruffini bajo el principio de divisibilidad.

Si: 0332 Pa

Pa 2 332 Pa

Reemplazando en: 01

R

3 3 33a 2q a 0 a q

223 qa

Conclusión: .qP 23

RPTA.: A

MCD – MCM - FRACCIONES

18. Halle el MCD de los polinomios P(x) y Q(x).

P(x)= x x x x x 5 4 3 212 8 45 45 8 12

Q(x)= x x x x 4 3 22 5 8 17 6

A) x+1 B) (x+1)(x-2)

C) (x-2)(2x-1) D) 3x+2 E) (2x+3)(2x-1)

RESOLUCIÓN Factorizando P(x)

Luego el cociente c(x)

4 3 2c(x) 12x 4x 41x 4x 12

2 2

2

1 1c(x) x 12 x 4 x 41

xx

x p x px x

2 2

2

1 12

2 2c(x) x 12p 4p 65

c(x) 6p 13 2p 5

2 2c(x) 6x 13x 6 2x 5x 2

P(x) x 1 3x 2 2x 3 2x 1 x 2

Factorizando Q:

Q(x) x x x x 4 3 22 5 8 17 6

Q(x) x x x x 1 2 3 2 1

Por tanto:

MCD(P,Q) x 1 x 2

RPTA.: B

19. Indicar el grado del M.C.M. de los polinomios P(x) y Q(x) , donde:

P(x) x x x x x x x 7 6 5 4 3 28 17 9 9 17 8 1

Q(x) x x x x x 5 4 3 25 5 1

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

RESOLUCIÓN Factorizando P (x); el polinomio es

recíproco.

el polinomio cociente es reciproco también, pero de grado par:

3 3 2

3 2

1 1 1c (x) x x 7 x 10 x 1

xx x

Haciendo:

x m x mx x

2 2

2

1 12

-a

-a

1

1

1

0

-a

-3P

2a

2q

apa 32

-a )pa( 32 3

23 aqap

-a 22a 0

1R

Pa 332 -2a

01R

-a

-a

1

1

1

0

-a

-3P

2a

2q

apa 32

-a )pa( 32 3

23 aqap

-a 22a 0

1R

Pa 332 -2a

01R

12 8 -45 -45

4

12

-1 -12 4 41

8

-12

12 -4 -41 -4 12 0

1 8 17 9

1

17

-1 -1 -7 -10

9

-10

1 7 10 -1 10 7

8 1

-7 -1

01


x m mx

3 3

3

13

2 2 2P (x) x 1 x 3x 1 x 5x 1 x x 1

Factorizando Q(x) similarmente:

Q x x x x x x 2 21 5 1 1

Por tanto:

2 2 2MCM x 1 x 5x 1 x x 1 x 3x 1

Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7

RPTA.: E

TEORÍA DE ECUACIONES

20. Calcule “k” para que la ecuación se reduzca a una de primer grado.

2k 3 3kx 22k 3

x 1 x 1

A) -2 B) -3 C)1 D) 2 E) 3

RESOLUCIÓN

22k 3 x 1 3kx 2 x 1 2k 3 x 1

2 22kx 2kx 3x 3kx 3kx 2x 2

= 2 22kx 2k 3x 3

2 2 25kx kx 5x 1 2kx 3x 2k 3

2 23kx 3x k 5 x 2k 2 0

23k 3 x k 5 x 2k 2 0

3k 3 0 k 1 RPTA.: C

21. Calcule el valor de x en:

x n x m1

n m

A) m B) n

C) mn

m n D)

m

n n

E) n

n m

RESOLUCIÓN

xm mn nx mn mn

x(m n) mn

mn mn

xm n m n

RPTA.: C


GEOMETRÍA

TRIÁNGULOS I

1. En la figura, calcule el valor de “x”

2 2

100°

x

A) 40° B) 45° c) 50° D) 60° E) 80°

RESOLUCIÓN

De la figura:

100°

x°

2 2

P

B

AC

APC: 2 + 2 + 100 = 180°

+ = 40° Luego:

: + +x = 100°

40 +x = 100 x = 60° RPTA.: D

2. Si: a + b + c = 130º. Calcule “2x”

a

b

c

2xº

A) 10º B) 20º C) 30º

D) 40º E) 22º 30´

RESOLUCIÓN Si: a + b + c = 130°

a°

b°c°

2x°

x°3x°2x°

Propiedad del cuadrilátero: a + b = 2x + 90º .................e

a b c 2x 90º

130º = 2x + 90º

2x = 40º RPTA.: D

POLÍGONOS Y

CUADRILÁTEROS

22. Calcule el número de diagonales medias de un polígono, en donde el número de diagonales es el

cuádruple del número de ángulos internos.

A) 20 B) 27 C) 35 D) 44 E) 55

RESOLUCIÓN Dato: NºDiag.= 4(Nº s internos)


Piden: NºDiag.Medias=n(n )

?

1

2

Reemplazando en el dato:

n n

n

3

42

n n 3 8 11

D.M. =

11 11 1

552

RPTA.: E

23. Un icoságono regular ABC… y un

pentadecágono regular ABMN… están ubicados en distintos

semiplanos respecto a AB

Calcule: m MCB

A) 72º B) 36º C) 24º D) 69º E) 60º

RESOLUCIÓN

* Piden: x=?

* e º 1

36018

20

* e º 2

36024

15

e e º 1 2

42 e

BMC x e e º 1 2

2 180

42º

x = 69º RPTA.: D

PROPORCIONALIDAD Y

SEMEJANZA

24. En la figura calcule z,

si:1 2 3

xx.y x y , L //L //L

y

A) 4 B) 5

C) 6 D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN

1) Dato: x

x.y x yy

Resolviendo:

1x

2 , y =-1... (I)

2) Teorema de Thales

6x z 1

y 5 z 1

... (II)

3) (I)en (II)

6 1/2 z 1

1 5 z 1

4 z 1

3 z 1

4z 4 3z 3

z = 7

RPTA.: D

15 LADOS

20 LADOS

N

M

C

BA

x

x

e1

e2

1L

2L

3L

z-1

z+1

6x

y+5


25. En la figura, calcule BF si: AE 3

EC 2 ,

CD=6

A) 6 2 B) 7 2 C) 8 2

D) 9 2 E) 12 2

RESOLUCIÓN 1) Corolario de Thales:

AE BD

EC CD ... (I)

2) Reemplazando los datos en (I):

3 BDBD 9

2 6 ..... (II)

3) BDF (notable)

BF BD 2 ... (III)

4) (II) en (III)

BF 9 2

RPTA.: D

FÍSICA

CINEMÁTICA

25. A partir del instante mostrado,

determine cuántos segundos transcurren hasta que el auto A

pase completamente al auto B. Considere que los autos se mueven en vías paralelas realizando un

M.R.U.

A) 1 s B) 2 s C) 3 s D) 4 s E) 5 s

RESOLUCIÓN

El auto “A” pasa al auto “B” cuando la partícula posterior del auto “A” alcanza a la partícula delantera del

auto “B”.

45º 45ºF

CAE

B

D

(A) (B)12 m/s 4 m/s

3m 10 m 3 m


AL

A B

AL

dt

V V

16t 2s

12 4

RPTA.: B

26. Sobre las aguas de un río de orillas paralelas se desplaza una lancha

con una rapidez constante. Si en ir de un punto a otro del río tarda 100

s (cuando viaja en la dirección de la corriente) y cuando regresa al punto de partida tarda 200 s.

Determine la rapidez de la lancha en aguas tranquilas y la distancia

entre los dos puntos, si las aguas del río tienen una rapidez de 5 m/s.

A) 10 m/s ; 2 000 m B) 15 m/s ; 2 000 m

C) 20 m/s ; 2 000 m D) 11 m/s ; 1 600 m E) 15 m/s ; 1 500 m

RESOLUCIÓN

V = rapidez de la lancha

La figura muestra la velocidad

resultante de la lancha con respecto a un observador ubicado en tierra.

Por M.R.U.: d = vt

L = (v+5) (100) = (v5) (200)

V + 5 = (v5)2

V + 5 = 2v 10

V = 15 m/s

L = (15 + 5) (100) L = 2000 m

RPTA.: B

TRABAJO, POTENCIA Y

ENERGÍA MECÁNICA

1. Un automóvil de 1 500 kg de masa acelera desde el reposo hasta

alcanzar una rapidez de 20 m/s, recorriendo una distancia de 200 m a lo largo de una carretera horizontal.

Durante este período, actúa una fuerza de rozamiento de 1 000 N de

magnitud. Si la fuerza que mueve al automóvil es constante, ¿Cuál es el trabajo que ella realiza?

A) 100 kJ B) 200 kJ C) 300 kJ

D) 500 kJ E) 800 kJ

RESOLUCIÓN

Cálculo de FW (Trabajo

realizado por la fuerza F)

Se sabe: WF = F . d

WF = F . (200 m) ...............(1)

Hallo “F” aplicando 2da. ley de

Newton.

Es decir: FR = ma

2 2

0

2

fk

V VF f m

d

mF

mg0V 0a

N

kf 1000N

fV 20m/s

d = 200 m


220 0F 100N 1500 N

2 200

F = 2500 N

Reemplazando “F” en (1):

WF = 2500 N . 200 m = 500 kJ RPTA.: D

2. Una fuerza F (300 i)N

arrastra un

bloque de 200 kg de masa, una distancia de 25 m sobre una

superficie horizontal. Si la fuerza de

fricción es Kf ( 200 i) N

, ¿cuál es el

trabajo neto realizado sobre el

bloque?, ¿cuál es la magnitud de la aceleración del bloque?

A) 2 500 J ; 0,1 m/s2 B) 2 500 J ; 0,5 m/s2

C) 7 500 J ; 0,5 m/s2 D) 6 000 J ; 1,5 m/s2 E) 250 J ; 0,5 m/s2

RESOLUCIÓN

Cálculo de WNeto(Trabajo Neto)

Se cumple: WNeto = FR . d

Donde: RF N N N 300 200 100

Luego:

NetoW 100N 25m 2500J

Cálculo de “a” (magnitud de la aceleración)

R

2

F 100N ma a 0,5

m 200kg s

RPTA.: B

…

ESTO Y MUCHO

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CURSOS DE:

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m

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300N a

d = 25 m

200N

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LAS FIJAS MATEMÁTICAS Y CIENCIAS UNMSM · PDF fileLAS FIJAS MATEMÁTICAS Y CIENCIAS UNMSM RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CONTEO DE FIGURAS