LAS OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE LA … · Resolver problemas es la actividad ... ido creciendo con trabajos ... Intenta descomponer cada una de estas figuras en las siete piezas del

SIGMA Nº 20 • SIGMA zk. 2094

Las Olimpiadas matemáticas de la Federación Española de Profesoresde matemáticas para alumnos y alumnas de 2º de ESOSantiago Fernández

LAS OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE LA FEDERACIÓNESPAÑOLA DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS PARA

ALUMNOS Y ALUMNAS DE 2º DE ESO

Santiago Fernández (*)Hace once años se celebró en el castillo de Olite (Navarra) y en la Ciudadela de Pamplona laprimera Olimpiada matemática para alumnos de 13-14 años. Aún no existía la FEEMCAT, y laOlimpiada comenzó a caminar recibiendo tan sólo participantes de seis Comunidades de todaEspaña.

A aquella Olimpiada le siguieron las de Canarias (1991), Huelva (1992), Andorra (1993),Burgos (1994), Castellón y Alicante (1995), Cáceres (1996), Gijón (1997), Almería (1998),Albacete (1999) y Barcelona (2000).

Decía María Jesús Luelmo (presidenta de la Federación Española de Sociedades de Profesoresde matemáticas):

“A lo largo de estos años hemos ido perfilando las señas que identifican nuestra Olimpiada yque la distinguen claramente de otras competiciones matemáticas. Destaquemos las másimportantes:

• Olimpiadas para una imagen completa y atractiva de las Matemáticas

Una de las mayores potencialidades de las Matemáticas, particularmente en el campoeducativo, estriba en su gran riqueza de significados, facetas y aplicaciones.

Las Matemáticas, desde sus orígenes históricos. responden a la necesidad de describir,modelizar y predecir la realidad; de ahí su gran interés como sustrato de muchas cien-cias. La precisión del lenguaje la convierte en una herramienta comunicadora de primerorden. Resolver problemas es la actividad matemática por excelencia y nos proporcionaretos intelectuales y prácticos apasionantes. La belleza y armonía matemática está pre-sente en el arte en sus múltiples variedades; la economía y eficiencia de muchos algorit-mos, métodos y resultados esta también muy próxima a la belleza. Los juegos matemáti-cos nos desafían gratuitamente, por el mero placer de jugar en solitario o en compañía.

Nuestras Olimpiadas quieren recoger, en sus diferentes pruebas, toda esta riqueza yvariedad de aspectos, especialmente los tratados con menor frecuencia en las aulas,como son los lúdicos o los estéticos. Queremos atraer al mayor número posible de estu-diantes, dando oportunidades al desarrollo de talentos matemáticos en cualquiera de susfacetas.

• Olimpiadas para mejorar la educación matemática de todos

La resolución de problemas y las aplicaciones de las Matemáticas han de ser actividadescotidianas en nuestras aulas. Sin estos dos aspectos complementarios, no puede enten-derse una educación matemática para todos, pues la futura ciudadanía necesitará inter-pretar las claves matemáticas de un entorno fuertemente tecnologizado y que cambiarápidamente, y para ello es preciso no sólo la adquisición de conocimientos sino tam-bién desarrollar la capacidad de afrontar situaciones nuevas.

En ese sentido entendemos la Olimpiada unida fuertemente a una práctica de aula atrac-tiva, y no como una actividad selectiva para la que se prepara especialmente a unapequeñísima minoría del alumnado. Si, ciertamente, se selecciona a los y a las mejores,también es cierto que se dan oportunidades y beneficios a todos.

(*) Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Bilbao.

Febrero 2002 • Otsaila 2002 95

Matematika Olimpiada DBHko 2.mailako ikaskeentzat. Espanaiko Matematikairakasleen Rederazioak antolatua

Santiago Fernández

MATEMATIKAKO OLINPIADAK: DBHKO 2. KURTSOKOIKASLEENTZAT ESPAINAKO MATEMATIKAKO IRAKASLEEN

FEDERAZIOAK ANTOLATUA

Santiago Fernández (*)Hamaika urte pasatu dira, jadanik, 13-14 urteko ikasleentzat Oliteko (Nafarroa) gazteluan etaIruñako Gotorlekuan lehenengo Matematika Olinpiada egin zela. FEEMCAT eratu gabea zenartean, eta Olinpiada, Espainako sei Komunitateko partaidekin bakarrik abiatu zen.

Geroago etorriko ziren Kanariakoa (1991), Huelvakoa (1992), Andorrakoa (1993), Burgoskoa(1994), Castello de la Planakoa eta Alacantekoa (1995), Caceresekoa (1996) Xixónekoa(1997), Almeriakoa (1998), Albacetekoa (1999) eta Bartzelonakoa (2000).

Olinpiadak direla eta, Espainako Matematika Irakasle Elkarteen Federazioko presidenteak,María Jesús Luelmok, hauxe zioen:

“Urteotan gure Olinpiadaren ezaugarriak -gainontzeko lehiaketek ez dauzkatenak- jorratzenibili gara, geureak -argiki- finkatu arte. Adierazgarrienen artean nabarmendu nahi ditugunakhauexek dira:

• Olinpiadak, Matematikaren irudi osoa eta erakargarria izateko

Matematikak ahalmen ikaragarria du, hain zuzen ere hezkuntzan, bere esanahi, aplika-zio eta ikuspegi anitzengatik. Betidanik izan du Matematikak errealitatea deskribatzeko,haren modelo bat emateko eta baita iragartzeko premia. Hori dela eta oinarri gisa agertzen da hainbat zientzietan. Komunikaziorako goi mailako tresna da, bere lengoaiazehatzari esker. Problema-ebazpenak, desafio izugarriak eskaintzen dizkigu, bai intelek-tualak eta bai praktikoak; horixe da Matematikaren muina. Matematikaren edertasuna etaharmonia zenbait arte lanetan nabaria da; halaber erabiltzen diren algoritmoak, meto-doak eta emaitzak ederrak dira, ekonomikoak eta efizienteak direlako. Matematikajokuek -bakarreko zein lagunarteko jardueran- berez tentatzen gaituzte, plazerraren pla-zerrez.

Gure Olinpiadek hainbat probetan aberastasun eta aniztasun hau guztia biltzea dute hel-buru, bereziki ikasgeletan gutxitan ikusten direnak, besteak beste, alde estetikoak etaludikoak. Ahalik eta ikasle gehien erakarri nahi dugu, eta edozein arlotako Matematikajaioa direnei gaitasun hori garatzeko aukera eman.

• Olinpiadak, guztion heziketa matematikoa hobetzeko.

Problema-ebazpenak eta Matematikaren aplikazioak eguneroko zeregina izan behar dugure ikasgeletan. Bi gai hauek, osagarriak izateaz gain, funtsezkoak dira denontzat hezi-keta matematikoa nahi badugu, jakin badakigu eta, gizon-emakumeak teknologiarekinhertsiki lotuta eta oso aldakorra den ingurune baten biziko direla eta tresna matemati-koak ere ingurune hori ulertzeko eta interpretatzeko premiazkoak izango dirala.Horretarako ez da nahikoa ezaguerez jabetzea, egoera berriari aurre egiteko trebetasu-nak garatzea ere ezinbestekoa baita.

Zentzu horretan, gure ustez, Olinpiadek ikasgelan praktika erakargarri batekin loturahandia izan behar dute, ez baitugu nahi bereziki prestaturiko ikasle kopuru txiki-txikiahautatzeko bahea izan dadin. Bai, egia da, onenak aukeratzen dira, baina, egia borobilada baita ere, guztientzako aukerak daudela eta guztien mesederako.

(*) Bilboko Berritzeguneko Matematika Aholkularia



• Olimpiadas para la formación permanente del profesorado

Queremos que nuestras Olimpiadas sean un elemento dinamizador de la renovacióndidáctica del profesorado y de la mejora de nuestra enseñanza matemática. En este sen-tido, su verdadero éxito se irá viendo en la medida en que el profesorado participanteincorpore a sus clases, de modo habitual, la resolución de problemas y las aplicacionesprácticas. Los materiales, problemas, juegos, investigaciones... que las Sociedades y laFederación están generando en torno a las Olimpiadas constituyen un recurso para elaula cada vez más importante.

En muchas Comunidades, las instituciones de Formación comparten nuestra filosofía ycolaboran en la difusión de las Olimpiadas y en el apoyo didáctico a los equipos de pro-fesorado que participan en ellas.

• Olimpiadas para cooperar

Una parte importante de la actividad matemática -la del matemático profesional, la rea-lizada en otros campos profesionales o en la vida diaria- se desarrolla en cooperación ycon la ayuda de la tecnología y de otros medios. La imagen del matemático solitario eincomunicado, que pocas veces ha reflejado la realidad, no tiene actualmente sentidoalguno.

• Olimpiadas Matemáticas Nacionales

Por el contrario, la práctica matemática puede ayudar a desarrollar el valor de la coope-ración, y nuestras Olimpiadas están comprometidas en ello. Procuramos que nuestraschicas y nuestros chicos vivan el placer del trabajo en equipo, aprendan con los demás,integren sus logros individuales en la consecución de metas colectivas más ambiciosas.Desde la primera edición de la Olimpiada, se realizaron ya pruebas por parejas ademásde las individuales, y en cada edición el número y variedad de actividades de equipo haido creciendo con trabajos prácticos, investigaciones, gymkanas, concursos etc.

• Olimpiadas para popularizar y cambiar la imagen de las Matemáticas

Nuestras Olimpiadas son, cada vez más, un acontecimiento cultural para las ciudadesdonde se celebran. Consecuentemente los medios de comunicación difunden la presen-cia de nuestros estudiantes y el alcance de sus actividades. En las últimas ediciones sevienen realizando, durante los días de la Olimpiada, diversas exposiciones matemáticasabiertas al público.

Por tanto, no es aventurado decir que,nuestro objetivo de popularizar y dar una imagenpositiva de las Matemáticas trasciende ya las barreras de los centros educativos para diri-girse a la población en general.

• Olimpiadas para aprender, convivir y disfrutar

Nuestras Olimpiadas son, en sí mismas, un premio para el alumnado participante.Queremos desterrar la imagen fría y alejada de la realidad que tienen las Matemáticas,por lo que procuramos dar la oportunidad de practicarlas en ambientes amistosos v encontextos reales.

Recibimos al alumnado con actividades que les ayuden a conocerse y a eliminar tensio-nes; luego, a lo largo del día, se afanan en las diferentes pruebas, muchas de ellas al airelibre y comparten equipo de trabajo, bocadillo y refresco con compañeros de otrosCentros.



Santiago Fernández

• Olinpiadak, irakasleak etengabeko formazio izateko.

Gure Olinpiadek irakasleen berrikuntza didaktikoan jarduera eraginkorra izan dezatelaeta gure matematika irakats-lana ere hobea izan dadila nahi dugu. Irakasle partehartzai-leak klasean, eguneroko lanean problemen ebazpena eta aplikazio praktikoak lantzendituen neurrian , helburuak benetan lortu ditugula esan ahal izango dugu. Olinpiadakdirela eta, Federazioak eta Elkarteek sortzen ari diren materialak, problemak, jokuak,ikerketak, etabar, ikasgelarako baliabide erabat interesgarriak dira.

Hainbat Komunitatetako Formakuntzarako Erakundeek lan egiten dute -gure filosofiare-kin bat eginez- Olinpiaden berria helarazten eta irakasle partehartzaileen taldeei lagun-tza ematen, guztion onurarako.

• Olinpiadak, elkarri laguntzeko.

Matematika lan gehienak elkarlanak dira, beste batzuekin egiten dira, teknologia eta zen-bait baliabideen laguntzaz. Hau horrela da matematikari profesionalen artean, beste edo-zein profesionalen artean bezala eta baita gure eguneroko bizitzan ere. Gaur egun, inoizizan dugun matematikari bakarti eta isolatuaren irudiak ez dauka inolako zentzurik, gutxitan izan baitu balioa errealitatea islatzeko.

• Olinpiada Nazionalak, elkarren arteko Matematika.

Matematikaren elkarlanaren baloreak garatzeko matematikaren praktika lagungarria izandaiteke eta ideia hori jorratzeko konpromezua hartu dute gure Olinpiadek. Gure neska-mutilek elkarlanaren plazerra goza dezaten, besteekin ikas dezaten eta beraien lorme-nak, besteenekin bat eginez talde helburu handiagoak lor ditzaten, lanean dihardugu.Lehenengo Olinpiadan hasi ginen, jada, banakako zein binakako probak egiten eta urte-tik urtera taldeko eginkizunak gehitzen joan gara: lan praktikoak, ikerketak, gymkanak,lehiaketak....ugari izan dira azken urteotan.

• Olinpiadak, Matematikaren irudia aldatzeko eta jendeari hurbiltzeko.

Gure Olinpiadak, egiten diren hirietan, kultur ekintza bihurtzen dira. Gure ikasleen pre-sentziak eta heuren betebeharrek badute bere tokia hedabideetan. Eta ez hori bakarrik,azken urteotan zenbait ikuskizun Matematiko antolatzen dira Olinpiadak irauten duenbitartean, herritar guztientzat zuzenduak.

Hau horrela izanik, zilegi deritzogu esateari Matematika jendeari hurbildu eta bere irudiahobetzeko helburuak ez direla ikastetxean geratzea, populazioarengana iristea baizik.

• Okinpiadak, ikasteko, elkarrekin bizitzeko eta gozatzeko.

Gure Olinpiada, berez, parte hartzen duten ikasleentzako saria da. Matematikariburuzko aurreiritziak eta matematika errealitatetik at dagoeneko iritzia aldatu nahi ditu-gunez, giro goxoan eta kontestu errealean aritzeko abagunea ematen ahalegintzen gara.

Ikasleen harrerarako, elkar ezagutzeko eta tentsioak lasaitzeko lagungarriak izan daitez-keen eginkizun batzuk prestatzen ditugu. Gero, egunean zehar, hainbat proba egin, ikas-tetxetik kanpo batzuk, lan taldetan beste batzuk eta, bitartean, ogitartekoa eta freskaga-rria beste ikastetxeko kideekin hartzeko.



PROBLEMAS propuestos en las distintas Olimpiadas

I OLIMPIADA - Pamplona 1990

Problema 1

El ICONA, para preservar de su extinción a estos animales, ha elaborado un riguroso plan:“declarar como especies superprotegidas a estas aves”.

a) Intenta descomponer cada una de estas figuras en las siete piezas del TANGRAM y dibúja-las en las siluetas adjuntas.

Tomando como unidad de superficie la pieza cuadrada, ¿cuál será la superficie de cada unade las aves?

Nota: El TANGRAM está formado por siete figuras que forman un cuadrado de la formasiguiente.

Problema 2

Tres parejas de novios deciden pasar la tarde en la Sierra de Huelva; tras preparar la merienda,emprenden un viaje paralelo a uno de los márgenes del río Odiel y llegan aun paraje encan-tador para quedarse. Para acceder a él deben atravesar el río: el bote en el que han de hacerlosólo puede transportar a dos personas a la vez. Se pregunta cómo pasarán seis personas, demanera que ninguna mujer quede en compañía de uno o dos hombres si no está presente sunovio.

Problema 3

Dibuja figuras cuya superficie sea el doble de las que se dan a continuación:



Santiago Fernández

AURREKO Olinpiadetan proposatutako arasoak

I. OLINPIADA - Iruñea.1990

1. Problema

ICONA-k animalia hauek desagertu ez daitezen egitamu berezi bat prestatu du:

“ hegazti hauek espezie guztiz babestuak deklaratzea”

a) Saia zaitez ondorengo irudi hauek TANGRAM-eko zazpi piezatan deskonposatzen eta ma-rraz itzazu ondoko irudietan.

Pieza karratua azalera unitate bezala hartzen baldin bada, zein litzateke hegazti bakoitzarenazalera?.

Oharra: TANGRAM-a zazpi irudi geometrikoz osatua dago, era honetako karratua osatzendutelarik

2. Problema

Hiru ezkongai-bikotek arratsaldea Huelvako mendizerran igarotzea erabaki dute; askaria pres-tatu ondoren, Odiel ibaiaren ibaiertz bati paraleloki ibiltzen hasten dira eta geratzeko tokizoragarri batera heltzen dira. Hara joateko, ibaia gurutzatu behar dute: txalupa dago bainaaldian bi pertsona baino gehiago ezin ditu eraman. Ariketa ondorengoa litzateke: Nola pasadaitezke sei pertsona baldintza hau kontutan harturik: emakumerik ezin da geratu gizonezkobat edo birekin bere senargaia aurrean ez badago.

3. Problema

Irudiak marraz itzazu, ondorengoen azaleraren bikoitza izan dezaten.

Texto traducido al euskera por Jesús Artaraz



Problema 4

Últimamente muchos “profes” de Matemáticas que conocéis se quejan de que la geometríaestá olvidada. Estamos seguros de que vosotros vais a demostrar lo contrario. Te vamos a pro-poner un problema en el que el razonamiento que utilices para la resolución ha de ser geo-métrico. ¿Por qué el eje delantero de un tractor que, como sabes, tiene las ruedas delanterasmás pequeñas que las traseras, se desgasta más y se calienta con mayor frecuencia que el ejetrasero?

Problema 5

La FESPM ha recibido el encargo del Comité Ciclista Internacional de que estudie si existeposibilidad de organizar una prueba “Tour de los matemáticos” por las ciudades A, B, ..., detal modo que los ciclistas recorran todo el trayecto plano sin pasar dos veces por la mismacarretera. ¿Puedes ayudar a la FESPM en este difícil compromiso?

Problema 6

A veces, cuando paseamos, observamos que algunas matrículas de automóviles, los númerosde las casas..., contienen cifras curiosas que se leen igual de izquierda a derecha que de dere-cha a izquierda, como el número 1331. Estos números se llaman capicúas. Sin contar losnúmeros de un sólo dígito:

a) ¿Cuál es el menor número primo capicúa?

b) ¿Cuál es el menor capicúa que se aun cuadrado perfecto?

¿Cuáles con los cinco primeros números primos capicúas entre el 100 y el 200?

Problema 7

En una ciudad, 2/3 de los hombres están casados con los 3/5 de las mujeres. Si nunca se casancon forasteros. ¿cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad?

h

b

l

ra

BC

F

AE

D

H

G



Santiago Fernández

4. Problema

Azken boladan Matematikako irakasle askok geometria ahaztuta dagoela diote. Ziur gaudezuek kontrakoa frogatuko duzuela. Problema bat proposatuko dizugu,baldintza honekin:ebazpenerako erabiliko duzun arrazonamenduak geometrikoa izan behar du. Zergatik traktorebaten aurreko ardatza, atzekoa baino maizago berotzen eta gastatzen da? ( Kontutan hartutraktorearen aurreko gurpilak atzekoak baino txikiagoak direla ).

5. Problema

FESPM-ak “ Comité Ciclista Internacional” erakundearen enkargua jaso du honako ekintzaantolatzeko: “ Matematikoen Tourra “, ondorengo hirietatik igaroz (A,B,...,H), txirrindulariekibilbide lau guztia egin dezaten errepide beretik bi aldiz igaro gabe. Lagun diezaiokezuFESPM-eri konpromiso zail honetan?.

6. Problema

Batzutan, oinez goazenean, honetaz konturatzen gara: ibilgailuen matrikulek, etxeetako zen-bakiek... zifra bereziak dituztela, berdin irakurtzen dira ezkerretik eskuinera zein alderantziz,1331 zenbakia bezalaxe. Zenbaki hauek kapikuak dira. Digitu bakarreko zenbakiak kontutanhartzen ez baditugu:

a) Zein da kapikua den zenbaki lehen txikiena?.

b) Zein da karratu perfektua eta kapikuarik txikiena dena?.

100 eta 200 artean, zeintzuk dira bost lehendabiziko zenbaki lehen kapikuak?.

7. Problema

Hiri baten, gizonezkoen 2/3-ak emakumezkoen 3/5ekin ezkonduta daude. Atzerritarrekininoiz ezkontzen ez badira, zein da hiri horretako ezkongabeen proportzioa?.

h

b

l

ra

BC

F

AE

D

H

G



II OLIMPIADA - Canarias (La Laguna, Las Palmas y Lanzarote) 1991

Problema 1

En una votación para la elección de un alcalde entre dos candidatos A y B se emiten 9 votosy gana A por uno.

Hallar y describir el número de maneras en que pueden contarse las papeletas de votación ,de tal forma que siempre vaya por delante el candidato ganador.

Problema 2

Las reglas de “Tres en raya” son bien conocidas: sobre las casillas de un tablero 3 x 3, dosjugadores colocan sus piezas alternativamente, (cruces y monedas, por ejemplo.) Ganan quienconsigue una línea recta con sus piezas, bien sea horizontal, vertical u oblicuamente. Puesbien, observando las figuras 1, 2 y 3 y considerando que, aún sin ser expertos, ambos juga-dores saben jugar, resuelve las siguientes situaciones:

• En el tablero de la figura 1 ¿cuál fue el primero en jugar, cruces o monedas?• En el tablero de la figura 2 ¿es posible que se dé esta situación?• En el tablero de la figura 3 ¿en qué casilla se hizo la última jugada?

Explícalo adecuadamente.

Problema 3

Se quiere batir el record Guinness de apilamiento de pelotas de tenis. Para ello se forma unapirámide de base cuadrada adosando las pelotas y disminuyendo en cada capa una pelota porlado de los sucesivos cuadrados hasta la bola final, que formará el vértice superior de la pirá-mide.

Sabiendo que el número de bolas del lado de la base es 1.000, ¿cuántas pelotas se verán exac-tamente?

Problema 4

Tenemos el número suficiente de cubitos como el de la figura 1. Los apilamos formando uncubo de 2 x 2 x 2 cubitos. ¿Cuántos cubitos no se ven sin variar el punto de vista de la figura?Basta con que veas una de las caras del cubito para considerar que se ve (figura 2).

Tomamos 27 cubitos y los apilamos hasta formar un cubo de 3 x 3 x 3, (figura 3).

¿Cuántos cubitos no ves?

Se hace lo mismo con un cubo 4 x 4 x 4 = 64. ¿Cuántos cubitos ves?

¿Y en el caso de que se apilen n x n x n = n3 cubitos?

Fig. 1Fig. 1 Fig. 3Fig. 2



Santiago Fernández

II. OLINPIADA - Kanariar Uharteak ( La Laguna, Las Palmas eta Lanzarote).1991

1. Problema

Alkatea hautatzeko bozketa batean “A” eta “B” hautagaien artean 9 boto daude eta

A hautagaiak boto batez irabazten du. Bilatu eta deskribatu hautaketarako papertxoak zenbatera desberdinez zenbatu daitezkeen, zera kontutan harturik: beti hautagai irabazlea aurretikdoa.

2. Problema

“ Hiru marran” (Tres en raya) jokoaren arauak oso ezagunak dira: 3 x 3 taulako laukien gainean,bi jokalarik bere piezak aldizka jartzen dituzte (gurutzeak eta txanponak adibidez). Bere pieze-kin lerro zuzena lortzen duenak irabaziko du. Lerroa horizontalki, bertikalki zein zeiharki egindaiteke. Orain 1, 2 eta 3 irudiak begiratuz eta jokalariek nahiz eta adituak ez izan, jokatzendakitela kontutan harturik, ebatzi itzazu hurrengo egoerak:

• 1. irudia duen taulan, zein izan zen lehenengo jokatu zuena, gurutzeak ala txanponak?.• 2. irudia duen taulan, egoera hau gerta daiteke?.• 3. irudia duen taulan, zein laukitan egin zen azken jokaldia?.

Azal ezazu era egokian.

3. Problema

Teniseko piloten pilaketaren Guinness errekorra gainditu nahi da. Horretarako ondokoa eginbehar da: oinarri karratuko piramide bat eratuko da. Lerro bakoitzean pilota bat gutxiago jar-tzen da karratuen alde bakoitzeko, azken bola arte. Honek, piramidearen goiko ertza osatukodu.

Piramidearen oinarriko aldearen bola kopurua 1.000koa dela jakinik, zehazki zenbat pilotaikusiko dira?.

4. Problema

1 irudian ikusten den bezalako kubotxo kopuru nahikoa daukagu. 2 x 2 x 2 kuboa osatuz pila-tzen ditugu. Zenbat kubotxo ez dira ikusten irudiaren ikuspegi-puntoa aldatzen ez badugu?.Nahikoa litzateke kuboaren aurpegi bat ikusten baduzu, ikusten dela frogatzeko (2. irudia ).

27 kubotxo hartzen ditugu eta 3 x 3 x 3 kuboa osatzen dugu (3. irudia ).

Zenbat kubotxo ez duzu ikusten?.

Berdina egiten da 4 x 4 x 4 kuboarekin. Zenbat kubotxo ikusten duzu?.

Eta n x n x n = n3 kubotxo pilatzen baldin badira?.

Fig. 1 Fig. 3Fig. 2



Problema 5

Demuestra que si al producto de los números anteriores y posteriores a cualquier múltiplo de6 le sumamos 1 el resultado es múltiplo de 36.

Problema 6

En el país de los números andan locos para intentar colocar las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 enocho de los espacios de esta superficie circular, atendiendo a la siguiente condición:

No pueden estar dos números consecutivos formando frontera por línea ni vértice.

¿Puedes encontrar una solución?

Problema 7

Si a los términos de una fracción irreducible se les suma el denominador y a la fracción resul-tante se le resta la de partida, se obtiene de nuevo ésta. ¿De qué fracción se trata?

Problema 8

Demuestra que el ángulo A de la figura es recto. El lado opuesto a A es un diámetro del cír-culo.

Fig. 1

Fig. 3

Fig. 2

A

C



Santiago Fernández

5.Problema

Froga ezazu ondorengo ariketa: 6-ren edozein multiploren aurreko eta atzeko zenbakienbiderkadurari 1 zenbakia gehitzen baldin badiogu emaitza 36-ren multiploa dela.

6. Problema

Zenbakien lurraldean erotuta dabiltza ondorengo ariketa egiten: 1,2,3,4,5,6,7 eta 8 zifrakbeheko azalera biribilean jarri nahi dituzte, ondorengo baldintza kontutan izanik:

Elkarren segidako bi zenbakik ezin dute egon mugatuta ez lerroz ezta ertzez.

Aurki dezakezu honen soluzioa?

7. Problema

Zatiki laburtezin baten gaiei zatitzailea batzen baldin bazaie eta lortzen den zatikiari hasiera-koa kentzen bazio, berriro hauxe lortuko dugu. Zein zatikitaz ari gara?.

8. Problema

Froga ezazu irudiaren A angelua zuzena dela . A-ren kontrako aldea zirkuluaren diametroa da.

Fig. 1

Fig. 3

Fig. 2

A

C



Problema 9

En la Agencia de Investigaciones MIA, (Matemáticas Investigadas y Aclaradas), han de resol-ver cierto número de misiones, pero disponemos de un número de agentes tal que: si encar-gamos una misión a cada agente, sobran “x” misiones; pero si damos “x” misiones a cadaagente, se quedan “x” agentes sin misión. Como los agentes y misiones suman menos de 15,¿sabrías decirnos cuántos agentes y misiones son?

Problema 10

¡Mira qué fácil se simplifican esta serie de fracciones!

¿Hay fracciones como la primera serie, donde el numerados y el denominador son númerosentre 10 y 100 con sus cifras diferentes y que se “simplifican” de igual manera?

¿Generan fracciones de forma diferente a como lo hace ?

III OLIMPIADA - Huelva 1992

Problema 1

Comienza con 3 y 4, luego se continúa sumando éstos, y luego el 4 y el 7 nos da 11, y...

3 4 7 11 18 29

Pero si te dan sólo el primer número y el último, ¿sabrías cuáles son los otros números?

6 4 7 11 18 63

Problema 2

Calcula el producto L x H sabiendo que:

L = a + b + cH = d + c = f + g

siendo a, b, c, f y g números naturales y que:

b x f = 91a x d = 18c x d = 16b x g = 39

16 1 (6) 164 (6) 4 4

= =

166 1 (66) 1664 (66) 4 4

= =

1666 1 (666) 16664 (666) 4 4

= =

1664



Santiago Fernández

9. Problema

MIA ( Matemáticas Investigadas y Aclaradas ) Ikerketa Agentzian betebehar batzuk konpondubehar dituzte, baina baldintza bat dago: Agente kopuru bat dute baina agente bakoitzari bete-behar bat jartzen baldin badiogu, “X” betebehar soberan geratuko lirateke; baina agentebakoitzari “X” betebehar ematen baldin badiogu, “X” agente betebeharrik gabe geratuko lira-teke. Agenteen eta betebeharren batuketa 15 baino gutxiago denez, esango al zeniguke zen-bat agente eta betebehar diren?.

10. Problema

Begira zein erraz sinplifikatzen diren ondorengo zatiki-serieak:

Ba al dago lehen serieko zatikirik, zenbakitzailea eta izendatzailea 10 eta 100 bitarteko zen-bakiak direlarik elkar desberdinak direnak eta era berdinez sinplifika daitezkeenak?.

zatikiak sortzen dituen beste era bateko zatikirik ematen al dute?.

III. OLINPIADA - Huelva.1992

1. Problema

3 eta 4 zenbakiekin hasten da, gero hauek elkarrekin batuz jarraitzen da eta gero 4 eta 7 batuz11 ematen digu...

3 4 7 11 18 29

Baina lehendabiziko zenbakia eta azkena bakarrik ematen baldin badizkizute, jakingo alzenuke beste zenbakiak aurkitzen?

6 4 7 11 18 63

2. Problema

L x H-ren arteko biderkadura egizu, ondorengoa jakinik:

L = a + b + c

H = d + c = f + g

a,b,c,d,e eta g zenbaki naturalak direlarik eta:

b x f = 91

a x d = 18

c x d = 16

b x g = 39

16 1 (6) 164 (6) 4 4

= =

166 1 (66) 1664 (66) 4 4

= =

1666 1 (666) 16664 (666) 4 4

= =

1664



Problema 3

El Ayuntamiento de Bollullos Par del Condado dispone de un terreno en forma rectangular,doble de largo que de ancho. Quiere parcelar el mismo en cuatro parcelas, también rectan-gulares, para dedicarlas a distintos usos, a saber:

• La menor a zona de servicios, cuya superficie está comprendida entre 30 y 40 m.

• La mayor, para una cancha de baloncesto de 450 m2, semejante al terreno.

• Las otras dos, iguales en superficie, a zonas verdes.

¿De cuántos metros cuadrados dispone el Ayuntamiento de Bollullos?

Problema 4

El marido de una señora embarazada fallece antes de dar a luz. Su deseo es que, si nace elniño, 2/3 de su herencia sea para el niño y 1/3 para la madre; pero si nace niña, 1/3 de laherencia sería para la madre y los 2/3 restantes para la niña. Como quiera que han nacidogemelos, niño y niña, el albacea testamentario se pregunta: «¿Cómo he de hacer el reparto?»

¿Podrías resolverse esa dificultad?

Problema 5

Aquí tienes un juego, el ORTOPOLI:

Como ves, se compone de cuatro piezas tal como se indica en el dibujo, manipulables todas.

• La pieza (d), por tener la arista unidad, será: 1.1.1 = 1

• La pieza (c), por desconocer una de las dimensiones, será: x.1.1 = x

• La pieza (b) será: x.x.1 = x2

• La pieza (a) será: x.x.x = x3

Con las piezas que creas necesarias forma razonadamente las siguientes expresiones,haciendo posteriormente el dibujo:

e) 8 f) 3x g) x (x+1) x

Teniendo en cuenta los dibujos y, si quieres, utilizando las piezas, indica la expresión querepresentan.

x3

x2

xx

xx1

11

1

1 11

(a)

(c) (d)

(b)

x

x

x



Santiago Fernández

3. Problema

Bollullos Par del Condado-ko Udalak lursail bat dauka, laukizuzen itxurakoa, luzera zabale-raren bikoitza duena. Lau ataletan banatu nahi du, denak laukizuzen itxurakoak, erabilera des-berdinetara dedikatzeko asmoz:

• Txikiena, zerbitzu-lurralde bezala. Bere azalera 30 eta 40 metro karratu artekoa izan da.

• Handiena, sakibaloi-zelai bezala 450 metro karratukoa eta laukizuzen itxura duena.

• Beste biak, azaleraz berdinak, berdegune bezala.

Zenbat metro karratu ditu Bollullos-eko Udalak?.

4. Problema

Emakume haurdun baten senarra hil egin da erditu baino arinago. Bere nahia hauxe da: mutilajaiotzen baldin bada, bere jaraunspenaren 2/3-ak mutilarentzat izan daitezela eta 1/3-a ama-rentzat; aldiz, neska jaiotzen baldin bada, jaraunspenaren 1/3-ak amarentzat izango liratekeeta beste 2/3-ak neskarentzat. Baina bikiak jaio direnez gero (neska eta mutila), testamentuaegiten duenak zera galdetzen du: Nola egin dezaket banaketa?

Arazo hau konpon dezakezu?.

5. Problema

Hona hemen joku bat, ORTOPOLI-a:

Marrazkian ikusten den bezala, lau piezaz osatzen da, guztiak manipulagarriak.

• d pieza, ertzaren neurria unitatea derrez, 1.1.1 = 1 izango da.

• c pieza, dimentsioetako bat ezezaguna denez, x.1.1 = x izango da.

• b pieza, x.x.1 = x2 izango da.

• a pieza x.x.x = x3 izango da.

Zuk nahi dituzun piezak aukeratuz, hurrengo adierazpenak eratu itzazu arrazonamenduzjokatuz. Gero, egin ezazu marrazkia:

e) 8 f)3x g) x(x+1)x

Marrazkietan oinarriturik eta nahi baldin baduzu piezak erabiliz, azal ezazu irudikatzen dutenadierazpena.

x3

x2

xx

xx1

11

1

1 11

(a)

(c) (d)

(b)

x

x

x



Problema 6

Los pentominós son figuras formadas por cinco cuadrados unidos por uno de sus lados:

En este tablero hemos distribuido 25 vocales y te pedimos que localices cinco pentominós dis-tintos y que en todos ellos existan las vocales a, e, i, o, u.

Problema 7

En un puesto de venta del mercado de mayoristas de mi ciudad sólo quedan 6 sacos, todosellos de patatas, salvo uno que era de cebollas. Llegó un cliente y se llevó una cierta cantidadde patatas; posteriormente llegó otro cliente que se llevó el doble de patatas que el anterior,quedándose el saco de cebollas.

Sabiendo que en este tipo de mercados sólo se venden sacos completos y que todos ellos lle-van el peso marcado en la etiqueta según la figura, ¿cuál es el saco de cebollas?

Problema 8

Un Arquitecto quiere construir una piscina con la forma circular DE, y conoce los lados deltriángulo ABC, AB = CB = 20 cm

¿Eres capaz de sorprenderte, al igual que el arquitecto, cuando comprobó que el área de lafigura AECD es la misma que la del triángulo rectángulo isósceles ABC? Demuéstralo.

¿Es posible hacer un “largo” en la dirección ED en la piscina de más de ocho metros? Razonala respuesta.

e a i o i

u e u e o

o i a o a

i u e a i

a o u e u

15 1816192031

A

BC

D

EF



Santiago Fernández

6. Problema

Pentonimoak bost karratuz osatutako eta elkarren artean alde batetik loturik dauden irudiakdira.

Taula honetan 25 bokal jarri ditugu eta zera eskatzen zaizu: Aurki itzazu bost pentonimo des-berdin guztietan a,e,i,o,u bokalak daudelarik.

7. Problema

Nire hirian dagoen azokako salmenta-postu baten 6 zaku baino ez dira geratzen, denak pata-taz beteak bat izan ezik, hau tipulaz beterik dagoelarik. Bezero bat etorri zen eta patata kopurubat eraman zuen; geroxeago beste bat iritsi zen eta aurrekoaren patata kopuru bikoitza era-man zuen. Honela, tipulen zakua baino ez zen geratu.

Azoka honetan zaku osoak besterik ez dela saltzen jakinik eta hauek guztiek etiketan pisuadaramatela jakinik, zein da tipulen zakua?.

8. Problema

Arkitekto batek igerileku bat eraiki nahi du, DE biribil itxura duena. ABC triangeluaren aldeakezagutzen ditu: AB = CB = 20 m segiratu neurri hau.

Ea arkitektua bezala harritzen zaren, AECD irudiaren azalera ABC triangelu zuzen isoszelea-ren berdina zela ikusi zuenean.

Froga ezazu.

Posible litzateke igerilekuan ED norabidean zortzi metro baino gehiagoko “luze” bat egitea?.Arrazoitu zure erantzuna.

e a i o i

u e u e o

o i a o a

i u e a i

a o u e u

15 1816192031

A

BC

D

EF



IV OLIMPIADA - Andorra 1993

Problema 1

LA CINTA Y EL CARRETE

Sobre un carrete vacío se enrolla firmemente una cinta de 25 metros de largo y 0,1 mm. deespesor, dando así un rodillo de 10 cm. de diámetro.

¿Cuál es el diámetro del carrete original?

Problema 2

EL GORRO DE CARNAVAL

Berta, en las pasadas fiestas de Carnaval, hizo un gorro hueco como el de la figura A, con lassiguientes medidas: diagonal de una de las caras cuadradas 36 cm. y altura total de la figura90 cm.

Alberto hizo un gorro como el de la figura B y utilizó la misma cantidad de cartulina queBerta.

Sabemos además que:

- Área lateral de la pirámide = Área lateral del cono

- Arista lateral del prisma = Generatriz del cilindro.

¿Cuál es la medida de la generatriz del cono de la figura B

Problema 3

NÚMERO DE HUEVOS

Andrés, el recovero, iba al mercado, y al preguntársele cuántos huevos tenía contestó quetomados en grupos de 11 sobraban 5, y tomados en grupos de 23 sobraban 3.

¿Cuál es el menor número de huevos que podía tener?

En otra ocasión respondió que tomados en grupos de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 sobraban 1, 2, 3, 4, 5 yninguno, respectivamente. ¿Cuál es el menor número de huevos en este caso?

Problema 4

DOS HERMANOS MILLONARIOS

En la última reunión familiar, mi hermana de Zaragoza me comentó que tenía, desde hace unaño, 2.000.000 de pts. en una supercuenta que le daba el 10,25 % de interés anual; además,en un sorteo de los que organiza la entidad bancaria para este tipo de cuentas le tocó un tele-visor valorado en 40.000 pts.

A B



Santiago Fernández

IV. OLINPIADA - Andorra. 1993

1. Problema

ZINTA ETA KARRETEA

Karrete huts batean 25 metro luzera eta 0,1 mm-ko lodiera duen zinta biltzen da. Honela, 10cm-ko diametrodun arrabola lortzen da.

Zein da hasierako karretearen diametroa?.

2. Problema

INAUTERIETAKO TXANOA

Bertak, joan diren Inauterietan A irudian agertzen den bezalako txanoa (barrutik hutsa) eginzuen ondorengo neurriak zituena: alde karratu baten diagonala 36 cm-koa eta irudiaren guz-tizko altuera 90 cm-koa. Albertok B irudian dagoen bezalako txanoa egin zuen.

Honetarako, Bertak erabili zuen kartulina kopuru berdina behar izan zuen.

Gainera, zera dakigu:

- Piramidearen aldeko azalera= Konoaren aldeko azalera.

- Prismaren aldeko ertza = Zilindroaren sortzailea.

Zein da B irudian agertzen den konoaren sortzailea?.

3. Problema

ARRAUTZA KOPURUA

Andres azokara zihoan eta zenbat arrautza zeramatzan galdetzen zitzaionean zera erantzunzuen: 11ko taldeetan hartzen baldin baziren, 5 soberan zeudela eta 23ko taldeetan hartuz gero3 geratzen ziren soberan.

Zein da eduki lezakeen arrautza kopururik txikiena?.

Beste egun baten honako hau erantzun zuen: 2,3,4,5,6, eta 7ko taldeetan hartzen baziren,1,2,3,4,5 eta 0 soberan geratzen zirela hurrenez hurren. Kasu honetan, zein da arrautza kopu-rurik txikiena?.

4.Problema

BI NEBA-ARREBA ABERATSAK

Familiako azken bileran, Zaragozako nire arrebak hauxe adierazi zidan: azken urtean, bimilioi pezeta primerako kontu batean zeuzkala, urtero % 10,25 eko interes-tasa ematen zio-nean; honez gain, banketxeak kontu mota hauen artean antolatzen duen zozketan 40.000pezeta balio zituen telebista tokatu zitzaion.

A B


Matematika Olinpiada DBHko 2.mailako ikasleentzat. Espanaiko Matematikairakasleen Federazioak antolatua

- “Sí, pero tú no cobras esos intereses” le repliqué.

- “No, me han descontado un 25% de los mismos en concepto de impuestos de Hacienda y,además, el banco me cobró el 5% de la ganancia neta en concepto de comisión y gastosbancarios”.

- Pues yo, durante ese período de tiempo, compre 80 televisores en Barcelona, porla mismacantidad que tú tienes invertida, y aunque tuve que pagar además el 15% de IVA y 23.000pts. de portes, luego, en la Aduana Española, me devolvieron el IVA y pagué el 5% en laAduana andorrana. Los primeros 55 televisores los vendí a 35.000 pts y el resto se los quedóun hotel, que se estaba instalando, por 600.000 pts. Creo que he ganado más que tú.

Aclárales a estos dos hermanos cuánto ha ganado cada uno y diles cuál ha sido el % neto deganancia de la ahorradora y del comerciante.

Problema 5

AMORES TEMÁTICOS

Le pregunté a mi amor cuál era el número de su casa, en la calle de la Lógica.

“Pruébame -replicó- cuánto me adoras si lo calculas. No solamente operaciones, sino tambiéndebes pensar y de este modo unes la claridad y la fuerza de la intuición con mi posición.”

Y dócilmente le contesté: “Mi adorada, dame los datos fácticos y hablaremos de metafísicadespués”

Se precipitó directa al grano: “Mi morada tiene tres cifras, todas diferentes. Y van aumentando,creo, como tu amor por mí. ¿Tiene divisores?. Sí, dos diferentes; números primos ambos,mayores que diez más tres.

Suma los tres dígitos del número que buscas y te encontrarás un resultado mayor que unadecena y media.”

¿Cual es el número de la casa de mi amada?

Problema 6

EL TREN CRONOMETRADO

Susana y Mikel, a la salida de la clase, observan el paso de un tren y con el cronómetro midenel tiempo que tarda en pasar enteramente por un punto de referencia (poste) y en circular trasuna tapia de 240 metros. Los tiempos empleados han sido 10 y 30 segundos respectivamente.Pensando en la relación existente entre espacio, tiempo y velocidad, deciden calcular la lon-gitud del tren y su velocidad. Explícales cómo lo harías tú.

Problema 7

EL ROSETÓN DE LA IGLESIA

La vidriera de la fachada principal de una iglesia contiene unrosetón como el de la figura, donde las letras R, V y A represen-tan los colores rojo, verde y azul respectivamente.

Sabiendo que se han empleado 400 centímetros cuadrados decristal verde, ¿cuántos centímetros cuadrados de cristal azul sonnecesarios?



- “Bai, baina zuk interes horiek ez dituzu kobratzen”- erantzun nion.

- “Ez, beraien % 25a deskontatu didate, Haziendako zergak direla eta. Gainera, banketxeakirabaziaren % 5a kobratu zidan komisio eta banketxe-gastuak zirela eta.”

- “Ba nik, denboraldi horretan Barzelonan 80 telebista erosi nituen, zuk banketxean duzundiru kopuru berdinaz.BEZ-aren % 15a ordaindu behar izan nuen eta garraio-kostu bezala23.000 pezeta ere. Gero, espainiar aduanan BEZ-a itzuli zidaten eta Andorrako aduanan %5a ordaindu behar izan nuen. Lehendabiziko 55 telebista 35.000 pezetatan saldu nituen etageratzen zirenak hotel batek hartu zizkidan, 600.000 pezetaren truke. Nik uste dut zuk bainogehiago irabazi dudala”.

Azal iezaiezu bi neba-arreba hauei bakoitzak zenbat irabazi duen eta esaiezu zein izan denbakoitzaren % irabazia.

5. Problema

MAITASUN MATEMATIKOAK

Nire maiteari bere etxearen zenbakia galdetu diot, Logikaren kalean.

“Froga iezadazu zenbat maite nauzun hori kalkulatzen baduzu. Eragiketak bakarrik ez dutebalio, pentsatu ere egin behar duzu eta era honetan argitasuna eta intuizio-indarra nire koka-penaz lotuko dituzu”- esan zidan.

Eta nik mantso-mantso erantzun nion: “Nire maitea, emaizkidazu datu faktikoak eta gero mint-zatuko gara metafisikaz.”

Eta bera oso argia izan zen: “Nire etxeak hiru zifra ditu, denak desberdinak, eta handituz doazzure maitasuna nirekiko bezala. Ba al du zatitzailerik? Bai, bi desberdinak; biak zenbaki lehe-nak, hamar gehi hiru baino handiagoak.

Bilatzen ari zaren zenbakiaren hiru digitoak batu itzazu eta hamarreko gehi hamarreko erdia-ren batuketa baino emaitza handiagoa aurkituko duzu”.

Zein da nire maitearen etxeko zenbakia?.

6. Problema

KRONOMETRATUTAKO TRENA

Susanak eta Mikelek, eskolatik ateratzerakoan trena ikusten dute. Kronometroa hartu eta zeraneurtzen dute: zenbat denbora behar duen trenak guztiz pasatzen erreferentzi-puntu batetik(zutoina) eta 240 metro dituen paretaren atzetik igaroz. Hartutako denborak 10 eta 30 segun-dukoak izan dira, hurrenez hurren. Espazioa,denbora eta abiaduraren artean dagoen erlazioakontutan izanik, trenaren luzera eta abiadura kalkulatzea erabaki dute. Azal iezaiezu zuk nolaegingo zenukeen.

7. Problema

ELIZAKO LEIHO BIRIBILA

Eliza bateko aurrealdean dagoen beirateak irudian agertzen denbezalako leiho biribila dauka.

R--- Gorria (G) V--- Berdea (B) A--- Urdina (U)

G,B eta U letrek gorria, berdea eta urdina koloreak irudikatzendituzte. Beira berdezko 400 cm2 erabili direla baldin badakigu,beira urdinezko zenbat cm2 beharko lirateke?.



Problema 8

DOBLANDO EL PAPEL

“ Mitad de 90, dos terceras partes de 180, triángulo equilátero...” murmuraba Ricardo mien-tas intentaba ver un ángulo de 60º dibujado en el papel, sin tener a mano ni regla ni medidorde ángulos.

De repente empezó a hacer dobleces con el papel hasta conseguirlo. Intenta descubrir cómolo hizo y explícalo razonadamente. (Puedes ensayar con los folios en blanco que se te dan).

V OLIMPIADA - Burgos 1994

Problema 1

EL CABALLO

Tito y Raquel tienen un solo caballo y quieren desplazarse de un pueblo a otro. Acuerdanhacer el recorrido por tramos, de manera que los dos lleguen al pueblo a la vez y vayan alter-nándose en el caballo de manera equitativa. Raquel sale primero a caballo y al final del pri-mer tramo deja atado al caballo para que Tito, que viene caminando, lo recoja cuando llegue.Mientras tanto ella sigue caminando hasta que pueda volver a cabalgar y así sucesivamente.Si ellos caminan haciendo 4 km. cada hora y el caballo va a 12 km/h, ¿qué parte del tiempodescansa el caballo?

Problema 2

PANECILLOS

Pedro, Felipe y Juan son tres amigos dispuestos a salir de excursión. Cuentan para la meriendacon un queso y veintiún panecillos. Cuando ya han preparado siete bocadillos, advierten quesi siguen poniendo igual cantidad de queso en los restantes panes, éste no alcanzará.Reducen, pues, a la mitad la ración de queso en cada bocadillo. No obstante, el queso se ter-mina cuando áun quedan siete panecillos vacíos. No parten ni desmontan ninguno de lospanes -ni los de ración entera de queso, ni los de media razón, ni reparten equitativamente lamerienda y a cada uno le toca igual cantidad de queso y panecillos. ¿Cómo lo hacen?

Problema 3

AGUA DEL RÍO

A y B representan dos ciudades y r un río. Estas dos ciudades necesitan abastecerse de aguade dicho río y se quieren construir una toma de agua para las dos.

¿En qué punto del río debe llevarse a cabo la construcción para que le gasto en la conducciónsea mínimo?



8. Problema

PAPERA TOLESTUZ

“ 90en erdia, 180ren bi herenak, triangelu aldekidea...” zioen Rikardok paperean marraztu-tako 60 graduko angelua ikusten saiatzen zen bitartean. Eskuan ez zeukan ez erregelarik eztaangeluak neurtzeko tresnarik. Berehala papera tolesten hasi zen eta horrelaxe jarraitu zuenlortu zuen arte.

Saiatu zaitez deskubritzen nola egin zuen eta azal ezazu arrazonamendua emanez.( Probatudezakezu ematen zaizkizun orri zuriekin ).

V. OLINPIADA - Burgos.1994

1. Problema

ZALDIA

Titok eta Rakelek zaldi bat dute eta herri batetik bestera joan nahi dute. Ibilbidea atalka egiteaerabaki dute, herrira biak elkarrekin iristeko moduan eta zaldi gainean aldizka txandakatuzdoazelarik. Rakel zaldi gainean ateratzen da eta lehendabiziko atalaren bukaeran zaldia lotutauzten du.Tito oinez dator eta hara iristen denean zaldiaren gainean jartzen da eta ibilbideajarraitzen du. Tartean, Rakel oinez doa berriro zaldiz joatea tokatzen zaion tokira heldu arteeta horela doaz txandaka. Oinez orduko 4 km. egiten badituzte eta zaldiak orduko 12 km,zenbat denborako atsedena hartzen du zaldiak?.

2. Problema

OGITXOAK

Kepa, Felipe eta Jon adiskideak dira eta txango bat egiteko asmotan dabiltza. Askarirako gaztabat eta hogeita bat ogitxo dituzte. Zazpi ogitarteko prestatu dituztenean, honetaz ohartzendira: beste ogitxoetan gazta kopuru berdina jartzen baldin badute, guztietan ipintzeko hainaez dutela izango. Honela, ogitarteko bakoitzeko gazta kopurua erdira murrizten dute. Hala etaguztiz, oraindik zazpi ogi geratzen zaizkienean gazta bukatu egiten zaie. Ogirik ez dute zati-tzen ezta ogitartekorik desarmatzen ( gazta kopuru osoa dutenak, gazta kopuru erdia dutenakezta gaztarik ez daramaten ogiak ). Era honetan, askaria berdinki banatzen dute eta bakoitzarigazta zein ogi kopuru berdina tokatzen zaio. Nola egin dute?.

3. Problema

IBAIKO URA

A-k eta B-k bi hiri irudikatzen dituzte eta r-k ibaia.Bi hiri hauek ibaiko ura behar-beharrezkoadute eta ura hartzeko eraikina egitea erabaki dute.

Ibaiko zein puntutan egin beharko litzateke eraikin hau, ura eramatearen gastua txikiena izandadin?.



Problema 4

LA SANDÍA

Una sandía pesó 10 kg., de los cuales el 99% es agua. Después de cierto tiempo al sol, se eva-poró parte del agua, siendo ahora el porcentaje de agua del 98%. ¿Cuánto pesa ahora la san-día?

Problema 5

LA FIGURA

Calcular el perímetro y el área de la figura sombreada.

VI OLIMPIADA - Castellón y Alicante 1995

Problema 1

LOS TRES ARQUEROS

Tres arqueros han realizado, cada uno, 5 disparos contra la diana: en ella se han indicado lospuntos de impacto. En el centro sólo han atinado dos veces. ¿Qué puntuación ha conseguidocada arquero, teniendo en cuenta que, al final han empatado y cuál puede haber sido lasecuencia de puntos de los cinco disparos de cada uno?

Problema 2

LA REINA CAUTIVA

Una reina cautiva, con su hijo y su hija, fueron encerrados en lo alto de una torre. En la parteexterior de la ventana había una polea de la que pendía una soga con dos canastas atadas,una a cada extremo; ambas canastas, una a cada extremo; ambas canastas de igual peso. Loscautivos lograron escapar sanos y salvos usando una pesa que había en la habitación. Habríasido peligroso para cualquiera de los tres descender pesando más de 15 kg. que le contenidode la canasta inferior, porque habría bajado demasiado rápido; y se las ingeniaron para nopesar tampoco menos de esa diferencia de 15 kg.

a

251510531



4. Problema

SANDIA

Sandia batek 10 kg pisatu zituen, bere % 99a ura zelarik. Eguzkitan denboraldi bat izan ondo-ren, uraren zati bat lurrundu egin zen; orain uraren ehunekoa 98koa da. Zenbat pisatzen duorain sandiak?.

5. Problema

IRUDIA

Kalkula itzazu gerizpetutako irudiaren perimetroa eta azalera.

VI. OLINPIADA - Castello de la Plana eta Alacant.1995

1. Problema

HIRU ARKULARIAK

Hiru arkularietako bakoitzak bostna jaurtiketa egin ditu itu batera: bertan, jotako puntuak eza-rri dira.Erdian bi alditan baino ez dute asmatu. Zein puntuaketa lortu du arkulari bakoitzakazkenean berdindu egin badute? Zein izan daiteke bakoitzaren bost jaurtiketen puntu-sekuen-tzia?.

2. Problema

GATIBU ZEGOEN ERREGINA

Erregina bat bere semea eta alabarekin batera dorrearen goiko aldean gatibu zegoen.Leihoaren kanpoko aldean polea zegoen eta honetatik esekita soka bat eta bi otarre sokarenpunta bakoitzari lotuak. Bi otarreek pisu berdina zeukaten. Gatibu zeudenak ihes egitea lortuzuten gelan zegoen pisu batez baliatuz. Hiruretako edozeinentzat oso arriskutsua izango zenjaistea, beheko otarreak baino 15 kg gehiago pisatu ezkero, oso bizkor jaitsiko baitzen; eta 15kg-ko alde hori baino gutxiago ez pisatzeko ere saiatu ziren. Jaisten zen otarreak beste otarreaigoarazten zuen. Nola lortu zuten?.

a

251510531



La canasta que bajaba hacía subir naturalmente a la otra. ¿Cómo lo consiguieron? La reinapesaba 75 kg., la hija 45, el hijo 30 y la pesa 15 kg.

Problema 3

EL CAMPO TRIANGULAR

Un campo triangular está rodeado por tres campos cuadrados, cada uno de los cuales tieneun lado común con el triángulo. Las superficies de estos tres campos con iguales a 529, 256y 81 ha. ¿Cuál es la superficie del campo triangular?

Problema 4

EL PREMIO

Un preparador decide dar un premio cada día al grupo de muchachos o muchachas cuyasedades sumaran más.

El primer día sólo asistieron un chico y una chica. Como la edad del chico duplicaba a la dela chica, el premio fué para él.

Al día siguiente, la chica llevó a su hermana. Se descubrió que la edad de ambas era el doblede la del chico, con lo que las jóvenes ganaron el premio.

Al tercer día un hermano del joven le acompañó, resultando que la suma de las edades deellos duplicaba esta vez a la de las jóvenes. Aquel día ganaron ellos el premio.

El cuarto día las jóvenes acudieron acompañadas por su hermana mayor que había cumplido21 años el día anterior. En esta ocasión las edades de las tres duplicaba la edad de los her-manos. La pugna entre unos y otros continuó, pero no es necesario que el problema vaya amás.

Deseamos saber la edad de aquel primer joven.

VII OLIMPIADA - Cáceres, 1996

Problema 1

DIFERENCIA DE TAMAÑO

En la novela Los Viajes de Gulliver de Jonathan Swift (1726) se narra que Gulliver, el prota-gonista, viaja por varios países imaginarios, uno de ellos es Liliput, cuyos habitantes son todosenanos y donde todo es reducido de tamaño. Encontrándose en este último país sabemos queGulliver es semejante a los liliputienses, siendo 12 veces más alto que ellos. Contesta a lassiguientes preguntas:

a) ¿Cuántos colchones de liliputienses deben coserse entre sí para hacerle uno a Gulliver, deforma que pueda dormir tan cómodamente como ellos?

b) La casa media de un liliputiense tiene un solar de 0,75 m2. ¿Cuál debe ser el solar que debetener la casa que le construyan?



Erreginak 75 kg –ko pisua zuen, alabak 45 kg-koa , semeak 30 kg-koa eta pisuak 15 kg-koa.

3. Problema

ZELAI TRIANGELUARRA

Zelai triangeluar bat lau zelai karratuz inguraturik dago. Hauetako bakoitzak triangeluarekinalde bat komunean du. Hiru zelai hauen azalerak 529 ha, 256 ha eta 81 ha dira hurrenezhurren. Zein da zelai triangeluarraren azalera?

4. Problema

SARIA

Prestatzaile batek egunero saria ematea erabaki du. Honetarako mutil zein nesken taldeko adi-naren batuketak handiena izan behar du.

Lehendabiziko egunean neska bat eta mutil bat baino ez ziren azaldu. Mutilaren adina nes-karenaren bikoitza zenez, saria mutilarentzat izan zen. Biharamunean neskak bere ahizpa era-man zuen. Bi neskon adina mutilarenaren bikoitza izan zenez, neskek saria jaso zuten.

Hirugarren egunean mutila bere anaiarekin azaldu zen. Honela, bi anaien adin-batuketa nes-ken adin-batuketaren bikoitza zen. Egun honetan mutilak atera ziren garaile.

Laugarren egunean neskak bere ahizpa nagusirekin agertu ziren. Honek aurreko egunean 21urte beteak zituen. Era honetan, hiru nesken adina mutilen adinaren bikoitza zen. Batzuen etabesteen arteko borrokak jarraitu zuen baina arazoak aurrera jarraitzea ez zen beharrezkoa.

Jakin nahi duguna zera da: zein da lehendabiziko mutilaren adina?.

VII. OLINPIADA - Caceres.1996

1. Problema

TAMAINU DESBERDINTASUNA

Jonathan Swift-en Gulliverren bidaiak eleberrian (1726) zera kontatzen da: Gulliverrek, prota-gonistak, ametsezko herrialde desberdinetatik bidaiatzen duela. Horietako bat Liliput da nonbiztanle guztiak nanoak diren eta dena tamainuz txikitzen den. Herrialde honetan dagoela,Gulliver liliputarren gisakoa dela ba dakigu, beraiek baino 12 aldiz garaiagoa delarik.Erantzun hurrengo galderei:

a) Liliputiarren zenbat koltxoi josi behar dira elkarrekin Gulliverrentzat bat egiteko, beraiekbezain eroso lo egin dezan?.

b) Liliputiar baten batezbesteko etxeak 0,75 metro karratuko soroa du. Nolako soroa izangodu eraikiko dioten etxeak?.



Problema 2

POLIELES

Dada la siguiente figura geométrica y tomándola como guía:

a) Dividir la figura en 4 piezas iguales.

b) Dibujar razonadamente:

- Un triángulo isósceles de la misma área que la figura dada.

- Un rombo de la misma área que la figura dada.

- Un hexágono de la misma área que la figura dada. ¿Cuál es su perímetro?

Problema 3

CUBO MANIA

Se tienen tres cubos coloreados de forma diferente: El juego de tres cubos está pintado de lasiguiente manera: 1 cubo con 4 caras amarillas y 2 verdes; 1 cubo con 3 caras amarillas y 3verdes; 1 cubo con 1 cara amarilla, 3 verdes y dos azules. A cada uno de los colores se le haasignado un valor natural.

¿Serías capaz de calcular dichos valores, sabiendo que cumplen las siguientes condiciones?:

a) La suma de los valores correspondientes a todas las caras de los cubos es 96.

b) La suma de los valores de las caras de uno de los cubos es 29.

¿Es la única solución?.

Problema 4

CURVA DE HILBERT

Las siguientes poligonales están construidas uniendo los centros de los cuadrados obtenidosal ir dividiendo cada cuadrado de cada fase en otros cuantos cuadrados.

4 cm

4 cm

2 cm

2 cm2 cm

2 cm



2. Problema

POLIELES

Ondorengo irudi geometrikoa emanik eta bera oinarritzat hartuz:

a) Zatitu irudia lau atal berdinetan.

b) Marraztu arrazonamenduz:

-Emandako irudiaren azalera berbera duen triangelu aldekidea.

- “ “ “ “ “ erronboa.

- “ “ “ “ “ hexagonoa. Zein da bere perimetroa?.

3. Problema

KUBO MANIA

Hiru kubo ditugu kolore desberdinez margoturik. Hiru kuboen jokoa honela margotuta dago:kubo bat 4 aurpegi horiz eta 2 berdez, bestea 3 aurpegi horiz eta 3 berdez eta azkena aurpegibat horiz,3 berdez eta 2 urdinez. Kolore bakoitzari balio natural bat dagokio.

Balioak kalkulatzeko gai izango al zinateke, ondorengo baldintzak betetzen dituztela jakinik?.

a) Kuboen alderdi guztien balioen batura 96 da.

b) Kubo baten alderdi guztien balioen batura 29 da.

Soluzioa bakarra al da?.

4. Problema

HILBERT-en KURBA

Hurrengo poligonalak honelaxe eraikita daude: fase bakoitzeko karratua beste lau karratutanbanatzen da eta sortutako karratuen erdiko puntuak elkarrekin lotzen dira.

4 cm

4 cm

2 cm

2 cm2 cm

2 cm



Cada poligonal debe empezar en el centro del cuadrado de la esquina inferior izquierda ydebe terminar en el centro del cuadrado de la esquina inferior derecha.

Puedes observar que cada poligonal está formada por cuatro poligonales como la de la faseanterior (reducida de tamaño) y conectándolas entre sí mediante tres segmentos de igual lon-gitud.

En el dibujo que damos, las poligonales corresponden a la 1.º, 2.º y 4.º fase. ¿Cuál es la lon-gitud, si el lado del cuadrado completo es de 10 cm?

VIII OLIMPIADA - Asturias (Gijon ) 1997

Problema 1

LA ESCALERA MECÁNICA

Juan y Luis van de compras al Corte Inglés, tienen un poco de prisa y se suben en una esca-lera mecánica. Juan es el triple de rápido que su amigo subiendo (ambos suben de peldañoen peldaño). Al terminar de subir, Juan contó 75 escalones y Luis 50 escalones. Con estosdatos calcular los peldaños “visibles” de la escalera.

Problema 2

LA CASA DE PAPEL

Sobre una cuadrícula Lucía ha dibujado una pequeña casa. Su amiga Marta dice que con doscortes de tijera rectilíneos se pueden obtener tres trozos con los que se puede formar un cua-drado. ¿Cómo han de hacerse los cortes?.

Problema 3

LOS RODRÍGUEZ

Los Sres. Rodríguez tienen cinco niños de los más activo:

El lunes van al cine CUATRO de ellos cuyas edades suman 38 años.

El martes por la tarde van a una pista de hielo CUATRO cuyas edades suman 35 años. El miér-coles van al Parque de Atracciones CUATRO sumando 36 años sus edades.

El jueves salen CUATRO a nadar a la piscina y sus edades suman ahora 36 años.

El viernes van CUATRO a un concierto de Rock y sus edades suman 38.

El sábado se van al fútbol CUATRO y esta vez sus edades suman 39 años.

Sabemos que ningún chico sale a las seis ocasiones.

¿Sabrás calcular la edad de cada muchacho?



Poligonal bakoitza behean eta ezkerrean (izkinan) dagoen karratuaren erdiko puntuan hasibehar da eta behean eta eskuinean (izkinan) dagoen karratuaren erdian bukatuko da.

Behatu daitekenez poligonal bakoitza lau poligonalez osaturik dago (aurreko fasekoen bezalabaina tamainuz murriztua) , luzera berdineko hiru segmentu elkarri loturik daudelarik.

Erakusten dugun marrazkian, 1., 2. eta 4. faseko poligonalak ikus daitezke.

Karratu osoaren aldea 10 cm.koa baldin bada, zein da luzera?.

VIII. OLINPIADA - Asturias (Gijon ).1997

1. Problema

ESKAILERA MEKANIKOA

Jon eta Koldo “ Corte Ingles”-era doaz erosketak egitera, presaz ari dira eta eskailera mekani-koa hartzen dute.Igotzen,Jon bere adiskidea baino hiru aldiz azkarragoa da (biek mailaz mailaigotzen dute). Igoera bukatu zutenean Jonek 75 maila zenbatu zituen eta Koldok 50 baino ez.Datu hauekin, kalkula itzazue eskaileraren bistako mailak (ikusten direnak).

2. Problema

PAPEREZKO ETXEA

Kuadrikula baten Luziak etxe txiki bat marraztu du. Martak, bere adiskideak, zera dio: gurai-zeekin bi mozketa zuzen eginez gero hiru zati lortzen dira eta hauekin karratu bat osa daiteke.Nola egin behar dira mozketak?.

3. Problema

RODRIGUEZ FAMILIA

Rodriguez familiak bost seme-alaba ditu nor baino nor gogotsuagoa:

Astelehenean LAU seme-alaba zinemara doaz: bere adinen batura 38 urtekoa da.

Asteartean, arratsaldez, LAU izotz-pistara doaz: “ “ “ 35 “ “.

Asteazkenean LAU jolas-parkera doaz: hauen adinen batura 36 urtekoa da.

Ostegunean LAU igerilekura doaz eta bere adinen batura 36 urtekoa da.

Ostiralean LAU Rock kontzertura doaz: “ “ “ 38 “ “.

Larunbatean LAU futbolera doaz eta bere adinek 39 urteko batura ematen dute.

Sei egun jarraian mutilik ez dela atera kontuan hartzen baldin badugu:

Jakingo zenuke kalkulatzen mutil bakoitzaren adina?.



Problema 4

¡VAYA FRASECITA!

Completa la siguiente frase de modo que sea verdad lo que dice. Busca todas las solucionesposibles.

El número de 0 de esta frase es , el de 1 es , el de 2 es , el de 3 es , el de 4 es, el de 5 es , el de 6 es , el de 7 es , el de 8 es , el de 9 es .

Problema 5

BALDOSAS

Tenemos un suelo rectangular formado por baldosas cuadradas de color blanco, que está rode-ado de baldosas sombreadas, también cuadradas, tal como se indica en la figura:

¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo blanco para que el área de la región interior seaigual al área de la franja negra que lo rodea, cuando esta franja negra es de una baldosa deancha? ¿Y cuando es de 2, de 3, de 4 ...?

Problema 6

EL TELESILLA

En un telesilla, el momento en que Paco, que está sentado en la silla número 98, se cruza conla silla nº 105, su amiga Carmen que ocupa la silla nº 241 se cruza con la nº 230.

Por supuesto, las sillas están regularmente espaciadas sobre el cable y están numeradas enorden a partir del nº 1. ¿Cuántas sillas tiene este remonte?

IX OLIMPIADA - Almería 1998

Prueba Individual. Problema 1

Una cuadrilla de pintores tenía que pintar dos paredes, una de doblesuperficie que la otra. Toda la cuadrilla estuvo pintando en la paredgrande durante medio día. Por la tarde la mitad de la cuadrilla pintó enla pared pequeña y la otra mitad en la grande. Al finalizar el día sólo lesquedó un poco por pintar en la pared pequeña, para lo cual fue nece-sario que pintara un solo pintor el día siguiente completo. ¿Cuántas per-sonas componían la cuadrilla?

Nota: la jornada laboral está compuesta por 4 horas antes de mediodíay 4 horas por la tarde. Todos los pintores rinden el mismo trabajo y deforma uniforme.



4. Problema

A ZER NOLAKO ESALDITXOA !

Osa ezazu hurrengo esaldia dioena egia izan dadin. Bila itzazu posible diren soluzio guztiak.

Esaldi honetako 0ren zenbakia da, 1ena , da, 2rena , da, 3rena , da, 4rena , da,5ena , da, 6ena , da, 7ena , da, 8ena , da,9rena , da.

5. Problema

BALDOSAK

Laukuzuzen itxurako lurzorua daukagu, badosa zuri eta karratuz osaturikoa. Hauek inguratuzitzaldun baldosak daude, karratuak ere ,irudian ikus daitekeen bezalaxe:

Zeintzu neurri izan beharko ditu laukizuzen zuriak bere barneko azalera , inguratzen duenzerrenda beltzaren azaleraren berdina izan dadin?. Zerrenda beltzaren zabalera baldosabatena da. Eta zabalera 2, 3, 4... baldosarena denean?.

6. Problema

TELEAULKIA

Teleaulki batean zera gertatzen da: Pako, 98 zenbakian eserita dagoena, 105 zenbakia duenaulkiarekin gurutzatzen denean, bere adiskidea Karmen ( 241. aulkian doana ) 230 zenbakiaduen aulkiarekin gurutzatzen dela.

Jakina, aulkiak erregularki jarriak daude kablearen gainean eta ordenean 1 zenbakitik aurrera.Zenbat aulki ditu igogailu honek?.

IX. OLINPIADA - Almeria.1998

1. Problema

Margolari talde batek bi horma margotu behar ditu. Horma baten azalerabestearenaren bikoitza da. Talde osoa horma handian egun erdiz margo-tzen aritu zen. Arratsaldez taldeko erdiak horma txikian aritu ziren eta besteerdia horma handian.Eguna bukatzerakoan horma tikian pitin bat geratuzen margotzeko. Hau amaitzeko hurrengo egunean margolari bat aritu zenegun osoan. Zenbat lagunek osatzen dute taldea?.

Oharra: lanaldiak goizez 4 ordu eta arratsaldez beste 4 ditu. Margolari guz-tiek lanean errendimendu berdina eta era berekoa dute.



Prueba individual. Problema 2

Tenemos una mesa de billar con forma rectangular de lados a y b números enteros.Golpeamos una bola desde una esquina con ángulo de 45º.

¿Cuántas veces rebotará en las bandas antes de entrar en otra esquina?. Se supone que la bolano toma efecto y que puede rodar indefinidamente.

Prueba individual. Problema 3

Las gráficas de la figura corresponden al recorrido que efectúan hasta la misma oficina cuatropersonas que habitan en un mismo edificio. Da una posible interpretación.

X OLIMPIADA - Albacete 1999


SEIS MONEDAS

Coloca seis monedas en un modelo de casillas como el que indica la figura, de manera queen las monedas de la fila superior se vea la cara y en las monedas de la fila inferior se vea lacruz.

Distancia

Tiempo Tiempo

Tiempo Tiempo

Distancia

Distancia Distancia

2. Problema

Bilarrean jokatzeko mahaia laukizuzena da. Bere aldeak, a eta b, zenbaki osoak dira. Bolaizkina batetik jotzen dugu, 45 º-ko angeluaz.

Zenbat aldiz errebotatuko du alboetan beste izkina baten sartu aurretik?. Suposatzen da bolakefekturik ez duela hartzen eta amaierarik gabe erroda dezakeela.

3. Problema

Irudian agertzen diren grafikek eraikuntza berean bizi diren lau pertsonen ibilbidea adiraztendute. Eman ezazu posible den interpretazioa.

X. OLINPIADA - Albacete.1999

1. Problema

SEI TXANPON

Jar itzazu sei txanpon ereduan agertzen diren bezalaxe. Goiko lerroko txanponetan aurpegiaageriko da eta behekoan aldiz gurutzea. Helburua ondokoa da: aurpegiak eta gurutzeak tru-katu ahalik eta mugimendu gutxien eginez.



Distantzia

Denbora Denbora

Denbora Denbora

Distantzia

Distantzia Distantzia



El objetivo es intercambiar las caras con las cruces en el menor número de movimientos.

Caras y cruces se mueven por turno hacia cualquier casilla contigua que esté desocupada ycada movimiento puede hacerse hacia arriba, abajo, de lado o en diagonal.

¿Cuál es el mínimo número de movimientos para intercambiarlas?

Cuando encuentres la solución trata de resolver un problema parecido, con una fila de cincocasillas con cuatro caras encima de otra fila con cuatro casillas de cruces. Prueba entonces adiseñar una estrategia para resolver este problema en un caso general.

Problema 2. Prueba individual

CUADRADO

En un cuadrado ABCD de lado unidad se traza AC. Se une el vértice D con el punto medio,M, del lado BC.

• Calcular la razón entre las superficies del cuadrilátero ABMP y eltriángulo CDP.

• ¿Cuál sería la razón si M en lugar de estar en el punto medio dellado CB, estuviese a 1/3 del vértice B?

• ¿Podrías aportar algún tipo de solución para M situado a l/n delvértice B?


JUGANDO A LOS DARDOS

Juan y María están jugando a los dardos tirando sobre una diana como la que muestra eldibujo.

La diana está dividida en sólo dos regiones: la interior vale 11 puntos y la exterior vale 4.

Los jugadores tiran los dardos por turnos, sumando los totales, hasta que alguno alcanza unapuntuación previamente acordada. Este será el ganador.

Cuando Juan y María estaban jugando a conseguir puntos, se dieron cuenta que no eran capa-ces de conseguir esa puntuación. Así es que cogieron papel y lápiz y se sentaron para averi-guar todos los totales posible. Menos mal que vieron que, a partir de cierto número, cualquierpuntuación era posible. Entonces acordaron que en el futuro siempre fijarían un total sufi-cientemente grande.

Encuentra todos los totales imposible de obtener en este juego. Investiga acerca de los núme-ros imposibles de obtener cuando se definen otras puntuaciones para cada región de la diana.

Tal vez puedas descubrir una fórmula general para saber la máxima puntuación.

D

A

C

MP

B

11

4



Santiago Fernández

Aurpegiak eta gurutzeak aldizka mugitzen dira aldamenean hutsik dagoen laukira.

Mugimendu bakoitza gorantz, beherantz, aldamenerantz zein diagonalean gauza daiteke.

Zein litzateke mugimendu kopururik txikiena denak trukatu ahal izateko?.

Soluzioa aurkitzen duzunean, saia zaitez antzeko problema hau ebazten: goian bost laukiko

lerroa lau aurpegiz osatua eta behean lau laukiko lerroa gurutzez osatua.

Saia zaitez problema hau era orokorrean ebazteko estrategia diseinatzen.

2. Problema

KARRATUA

ABCD karratuak aldez unitatea du eta AC lerroa marrazten da. D ertza BC aldearen erdiko

puntuaz ( M) lotzen da.

• Kalkulatu ABMP lau aldekoaren eta CDP triangeluaren arteko aza-

leraren arrazoi aritmetkoa.

• Zein litzateke arrazoia M, CB aldearen erdiko puntuan egon beha-

rrean B ertzaren 1/3 era balego?.

• Jar zenezake M-rentzat soluziorik B ertzetik l/n-ra balego?.

3. Problema

DARDOTARA JOLASTEN

Jon eta Maria dardotara jolasten ari dira itura jaurtikiz marrazkian ikus daitekeen bezala.

Itua bi ataletan banatuta dago: barnekoak 11 puntu balio ditu eta kanpokoak 4.

Jokalariek dardoak aldizka jaurtikitzen dituzte, puntuak batuz, aurrez norbaitek jarritako pun-

tuaziora iritsi arte. Lortzen duena garailea izango da.

Jon eta Maria puntuak lortzen ari zirenean ezarritako puntuazioa lortzeko gai ez zirela ohartu

ziren. Horren ondorioz, papera eta arkatza hartuz guztizko puntuazio posible guztiak atera-

tzen saiatu ziren. Orduan, aurrerantzean guztizko balio handia ezartzea erabaki zuten.

- Bila itzazu joko honetan ezinezkoak diren guztizko balio desberdinak.

- Ikertu ituaren alor bakoitzerako beste puntuazioak definitzen direnean, zein puntuazio lor-

tzea ezinezkoa den.

Agian gehienezko puntuazioa ezagutzeko formula orokorra atera dezakezu.

D

A

C

MP

B

11

4

Andre Weil

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LAS OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE LA … · Resolver problemas es la actividad ... ido creciendo con trabajos ... Intenta descomponer cada una de estas figuras en las siete piezas del