CAPÍTULO23

LeideGauss

23-1FLUXOELÉTRICO

ObjetivosdoAprendizadoDepoisdelerestemódulo,vocêserácapazde...23.01SaberquealeideGaussrelacionaocampoelétricoempontosdeumasuperfíciefechada(realouimaginária,chamada

superfíciegaussiana)àcargatotalenvolvidapelasuperfície.

23.02SaberqueofluxoelétricoΦatravésdeumasuperfícieéaquantidadedecampoelétricoqueatravessaasuperfície.

23.03 Saber queo vetor área deuma superfície planaé umvetor perpendicular à superfície cujomódulo é igual à áreadasuperfície.

23.04 Saber que qualquer superfície pode ser dividida em elementos de área que são suficientemente pequenos esuficientementeplanosparaseremassociadosaumvetorelementodeáread ,perpendicularaoelemento,cujomóduloéigualàáreadoelemento.

23.05CalcularofluxoΦdocampoelétricoatravésdeumasuperfícieintegrandooprodutoescalardovetorcampoelétrico ,pelovetorelementodeáread .

23.06 No caso de uma superfície fechada, explicar os sinais algébricos associados a fluxos para dentro e para fora dasuperfície.

23.07Calcularofluxo totalΦatravésdeumasuperfície fechada integrandooprodutoescalardovetorcampoelétrico pelovetorelementodeáread .

23.08 Determinar se uma superfície fechada pode ser dividida em partes (como as faces de um cubo) para simplificar aintegraçãousadaparacalcularofluxoatravésdasuperfície.

Ideias-Chave•OfluxoelétricoΦatravésdeumasuperfícieéaquantidadedecampoelétricoqueatravessaasuperfície.•Ovetoráread deumelementodeáreadeumasuperfícieéumvetorperpendicularaoelementocujomóduloéigualàáreadAdoelemento.•OfluxoelétricoΦatravésdeumaáreacujovetorelementodeáreaéd édadopeloprodutoescalar:

•Ofluxoelétricototalatravésdeumasuperfícieédadopor

emqueaintegraçãoéexecutadaaolongodetodaasuperfície.•Ofluxototalatravésdeumasuperfíciefechada(queéusadonaleideGauss)édadopor

oquenosdá

SubstituindonaEq.23-17,obtemos

Teste4

Afiguramostraduasplacasdegrandeextensão,paralelas, isolantes,comdensidadessuperficiaisdecarga iguais,uniformese

positivas,eumaesferacomumadensidadevolumétricadecargauniformeepositiva.Coloqueemordemdecrescenteosquatro

pontosnumerados,deacordocomomódulodocampoelétricoexistentenolocal.

RevisãoeResumo

LeideGauss AleideGaussealeideCoulombsãoformasdiferentesdedescreverarelaçãoentrecargaecampoelétricoemsituaçõesestáticas.AleideGausséexpressapelaequação

emqueqenvéacargatotalnointeriordeumasuperfícieimagináriafechada(conhecidacomosuperfíciegaussiana)eΦéofluxototaldocampoelétricoatravésdasuperfície:

AleideCoulombpodeserdemonstradaapartirdaleideGauss.

AplicaçõesdaLeideGauss UsandoaleideGausse,emalgunscasos,princípiosdesimetria,épossível demonstrar várias propriedades importantes de sistemas eletrostáticos, entre as quais as

1.

2.

3.

4.

5.

6.

seguintes:

Ascargasemexcessodeumcondutorestãoconcentradasnasuperfícieexternadocondutor.

Ocampoelétricoexternonasvizinhançasdasuperfíciedeumcondutorcarregadoéperpendicularàsuperfícieetemummódulodadopor

emqueσéadensidadesuperficialdecarga.

Nointeriordocondutor,E=0.

Ocampoelétricoproduzidoemumpontodoespaçoporumalinhadecargainfinitacomdensidadelineardecargauniformeλéperpendicularàlinhadecargaetemummódulodadopor

emqueréadistânciaentreopontoealinhadecarga.

O campo elétrico produzido por uma placa isolante infinita com densidade superficial de cargauniformeσéperpendicularaoplanodaplacaetemummódulodadopor

Ocampoelétricoemumpontodoladodeforadeumacascaesféricauniformementecarregada,deraioRecargatotalq,apontanadireçãoradialetemummódulodadopor

emqueréadistânciaentreopontoeocentrodacasca.(Acargasecomporta,parapontosexternos,como se estivesse concentrada no centro da esfera.) O campo do lado de dentro de uma cascaesféricauniformementecarregadaézero:

O campo elétrico em um ponto no interior de uma esfera uniformemente carregada aponta nadireçãoradialetemummódulodadopor

emqueqéacargadaesfera,Réoraiodaesferaeréadistânciaentreopontoeocentrodacasca.

Perguntas

1 Ovetoráreadeumasuperfícieé =(2î+3ĵ)m2.Qualéofluxodeumcampoelétricoatravésdasuperfície,seocampoé(a) =4îN/Ce(b) =4 N/C?

2 AFig.23-22mostra,emseçãoreta, trêscilindrosmaciçosdecomprimentoL e cargauniformeQ.Concêntricacomcadacilindro,existeumasuperfíciegaussianacilíndrica;astrêssuperfíciesgaussianastêm o mesmo raio. Coloque as superfícies gaussianas em ordem decrescente do módulo do campoelétricoemqualquerpontodasuperfície.

Figura23-22 Pergunta2.

3 A Fig. 23-23 mostra, em seção reta, uma esfera central metálica, duas cascas metálicas e trêssuperfíciesgaussianasesféricasconcêntricasderaioR,2Re3R.Ascargasdostrêscorpos,distribuídasuniformemente, são as seguintes: esfera, Q; casca menor, 3Q; casca maior, 5Q. Coloque as trêssuperfícies gaussianas em ordem decrescente do módulo do campo elétrico em qualquer ponto dasuperfície.

Figura23-23 Pergunta3.

4AFig.23-24mostra,emseçãoreta,duasesferasgaussianasedoiscubosgaussianos,nocentrodosquais existe uma partícula de carga positiva. (a) Coloque as quatro superfícies gaussianas em ordemdecrescentedofluxoelétricoqueasatravessa.(b)Coloqueasquatrosuperfíciesgaussianasemordemdecrescentedomódulodocampoelétricoemqualquerpontodasuperfície,einformeseosmódulossãouniformesouvariamdepontoparapontodasuperfície.

Figura23-24 Pergunta4.

5NaFig.23-25,umelétronéliberadoentreduasplacasinfinitasisolanteshorizontais,comdensidadessuperficiaisdecargaσ(+)eσ(–),comomostraafigura.Oelétronésubmetidoàstrêssituaçõesmostradasna tabela a seguir, que envolvem as densidades superficiais de carga e a distância entre as placas.Coloqueassituaçõesemordemdecrescentedomódulodaaceleraçãodoelétron.

Situação σ(+) σ(–) Distância

1 +4σ –4σ d

2 +4σ –σ 4d

3 +4σ –5σ 9d

Figura23-25 Pergunta5.

6 Três placas infinitas isolantes, com densidades superficiais de carga positivas σ, 2σ e 3σ, foramalinhadasparalelamente,comoasduasbarrasdaFig.23-19a.Qualéaordemdasplacas,daesquerdaparaadireita,seocampoelétrico produzidopelasbarrastemmóduloE=0emumaregiãoeE=2σ/ε0emoutraregião?

7 A Fig. 23-26 mostra as seções retas de quatro conjuntos de barras finas e muito compridas,perpendicularesaoplanodafigura.Ovalorabaixodecadabarraindicaadensidadelinearuniformedecargadabarra,emmicrocoulombspormetro.Asbarrasestãoseparadaspordistânciasdou2d, e umponto central é mostrado a meio caminho entre as barras internas. Coloque os conjuntos em ordemdecrescentedomódulodocampoelétriconopontocentral.

Figura23-26 Pergunta7.

8 AFig.23-27mostraquatroesferasmaciças,todascomumacargaQdistribuídauniformemente.(a)Coloque as esferas emordemdecrescente de acordo coma densidade volumétrica de carga.A figuramostratambémumpontoPparacadaesfera,todosàmesmadistânciadocentrodaesfera.(b)ColoqueasesferasemordemdecrescentedeacordocomomódulodocampoelétriconopontoP.

Figura23-27 Pergunta8.

9 Umapequenaesferacarregadaestánointeriordeumacascaesféricametálica,deraioR.Para trêssituações,ascargasdaesferaedacasca,respectivamente,são(1)+4q,0;(2)–6q,+10q;(3)+16q,–12q.Coloqueassituaçõesemordemdecrescente,deacordocomacarga(a)dasuperfícieinternadacascae(b)dasuperfícieexternadacasca.

10 Coloque em ordem decrescente as situações da Pergunta 9, de acordo com omódulo do campoelétrico(a)nocentrodacascae(b)emumpontoaumadistância2Rdocentrodacasca.

11 AFig.23-28mostraumapartedetrêslongoscilindroscarregadoscomomesmoeixo.OcilindrocentralA temumacargauniformeqA=+3q0.QuecargasuniformesdevemteroscilindrosqBeqCparaque(seforpossível)ocampoelétricototalsejazero(a)noponto1,(b)noponto2e(c)noponto3?

Figura23-28 Pergunta11.

12 AFig.23-29mostraquatro superfíciesgaussianasdemesmasuperfície lateral cilíndricaebasesdiferentes.As superfícies estão emuma regiãoondeexisteumcampoelétricouniforme paralelo aoeixo central dos cilindros. As formas das bases são as seguintes: S1, hemisférios convexos; S2,hemisférios côncavos;S3, cones;S4, discos planos. Coloque as superfícies em ordem decrescente, deacordo(a)comofluxoelétricototale(b)comofluxoelétricoatravésdasbasessuperiores.

Figura23-29 Pergunta12.

Problemas

.-...Onúmerodepontosindicaograudedificuldadedoproblema.

Informações adicionais disponíveis emOCirco Voador da Física de Jearl Walker,

LTC,RiodeJaneiro,2008.

Módulo23-1FluxoElétrico

·1 A superfície quadrada da Fig. 23-30 tem 3,2 mm de lado e está imersa em um campo elétricouniformedemóduloE=1800N/Cecomlinhasdecampofazendoumângulode35ocomanormal,comomostraafigura.Tomeessanormalcomoapontando“parafora”,comoseasuperfíciefosseatampadeumacaixa.Calculeofluxoelétricoatravésdasuperfície.

Figura23-30 Problema1.

··2Umcampoelétricodadopor =4,0î–3,0(y2+2,0)ĵ,emque estáemnewtonsporcoulombeyestáemmetros,atravessaumcubogaussianocom2,0mdearesta,posicionadodaformamostradanaFig.23-7.Determineofluxoelétrico(a)atravésdafacesuperior,(b)atravésdafaceinferior,(c)atravésdafacedaesquerdae(d)atravésdafacetraseira.(e)Qualéofluxoelétricototalatravésdocubo?

··3 OcubodaFig.23-31tem1,40mdearestaeestáorientadodaformamostradanafiguraemumaregião onde existe um campo elétrico uniforme.Determine o fluxo elétrico através da face direita docuboseocampoelétrico,emnewtonsporcoulomb,édadopor(a)6,00î,(b)–2,00ĵe(c)–3,00î+4,00 .(d)Qualéofluxototalatravésdocubonostrêscasos?

Figura23-31 Problemas3,6e9.

Módulo23-2LeideGauss

·4 Na Fig. 23-32, uma rede para pegar borboletas está imersa em um campo elétrico uniforme demóduloE=3,0mN/C,comoaro,umcírculoderaioa=11cm,perpendicularàdireçãodocampo.Aredeéeletricamenteneutra.Determineofluxoelétricoatravésdarede.

Figura23-32 Problema4.

·5 NaFig.23-33,umprótonestáumadistânciad/2docentrodeumquadradodearestad.Qual éomódulodofluxoelétricoatravésdoquadrado?(Sugestão:Pensenoquadradocomoumadasfacesdeumcubodearestad.)

Figura23-33 Problema5.

·6 EmtodosospontosdasuperfíciedocubodaFig.23-31,ocampoelétricoéparaleloaoeixoz.Ocubo tem3,0mde aresta.Na face superior do cubo, =–34 N/C;na face inferior, =+20 N/C.Determineacargaqueexistenointeriordocubo.

·7Umacargapontualde1,8μCestánocentrodeumasuperfíciegaussianacúbicade55cmdearesta.Qualéofluxoelétricoatravésdasuperfície?

··8 Quandoumchuveiroéabertoemumbanheirofechado,osrespingosdeáguanopisodoboxepodemencheroardeíonsnegativoseproduzirumcampoelétriconoardeaté1000N/C.Considereumbanheirodedimensões2,5m×3,0m×2,0m.Suponhaquenoteto,nopisoenasquatroparedesocampoelétriconoarsejaperpendicularàsuperfícieepossuaummódulouniformede600N/C.Suponhatambémqueoteto,opisoeasparedesformemumasuperfíciegaussianaqueenvolvaoardobanheiro.Determine(a)adensidadevolumétricadecargaρe (b)onúmerodecargaselementarese emexcessopormetrocúbicodear.

··9 AFig. 23-31mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo com 1,40m de aresta.Determine(a)ofluxoΦatravésdasuperfíciee(b)acargaqenvenvolvidapelasuperfíciese =3,00yĵN/C,comyemmetros;osvaloresde(c)Φe(d)qenvse =[–4,00î+(6,00+3,00y)ĵ]N/C.

··10AFig.23-34mostraumasuperfíciegaussianacomaformadeumcubode2,00mdearesta,imersaemumcampoelétricodadopor =(3,00x+4,00)î+6,00ĵ+7,00 N/C,comxemmetros.Qualéacargatotalcontidanocubo?

Figura23-34 Problema10.

··11AFig.23-35mostraumasuperfíciegaussianacomaformadeumcubode2,00mdearesta,comumvérticenopontox1=5,00m,y1=4,00m.Ocuboestáimersoemumcampoelétricodadopor =–3,00î–4,00y2ĵ+3,00 N/C,comyemmetros.Qualéacargatotalcontidanocubo?

Figura23-35 Problema11.

··12AFig.23-36mostraduascascasesféricasisolantesmantidasfixasnolugar.Acasca1possuiumadensidadesuperficialdecargauniformede+6,0μC/m2nasuperfícieexternaeumraiode3,0cm;acasca2possuiumadensidadesuperficialdecargauniformede+4,0μC/m2nasuperfícieexternaeumraiode2,0cm;oscentrosdascascasestãoseparadosporumadistânciaL=10cm.Qualéocampoelétriconopontox=2,0cm,nanotaçãodosvetoresunitários?

Figura23-36 Problema12.

··13Observa-seexperimentalmentequeocampoelétricoemumaregiãodaatmosferaterrestreapontaverticalmenteparabaixo.Aumaaltitudede300m,ocampotemummódulode60,0N/C;aumaaltitudede200m,omóduloé100N/C.Determineacargaemexcessocontidaemumcubocom100mdearestaefaceshorizontaisa200e300mdealtitude.

··14 Fluxo e cascas isolantes. Uma partícula carregada está suspensa no centro de duas cascasesféricasconcêntricasmuitofinas,feitasdeummaterialisolante.AFig.23-37amostraumaseçãoretadosistemaeaFig.23-37bmostrao fluxoΦatravésdeumaesferagaussianacomcentronapartículaemfunção do raio r da esfera. A escala do eixo vertical é definida por Φs = 5,0 × 105 N · m2/C. (a)Determineacargadapartículacentral.(b)DetermineacargadacascaA.(c)DetermineacargadacascaB.

Figura23-37 Problema14.

··15 Umapartículadecarga+q é colocadaemumdosvérticesdeumcubogaussiano.Determineomúltiplodeq/ε0quecorrespondeaofluxo(a)atravésdeumadasfacesdocuboquecontêmovérticee(b)atravésdeumadasoutrasfacesdocubo.

···16Asuperfíciegaussiana,emformadeparalelepípedo,daFig.23-38envolveumacargade+24,0ε0Ceestáimersaemumcampoelétrico,queéfornecidopor =[(10,0+2,00x)î–3,00ĵ+bz ]N/C,comx e z emmetros e b uma constante. A face inferior está no plano xz; a face superior está no planohorizontalquepassapelopontoy2=1,00m.Qualéovalordebparax1=1,00m,x2=4,00m,z1=1,00mez2=3,00m?

Figura23-38 Problema16.

Módulo23-3UmCondutorCarregado

·17 Uma esfera condutora uniformemente carregada com 1,2 m de diâmetro possui uma densidadesuperficial de carga 8,1 μC/m2. Determine (a) a carga da esfera e (b) o fluxo elétrico através dasuperfíciedaesfera.

·18OcampoelétriconasvizinhançasdasuperfícielateraldeumcilindrocondutortemummóduloEde2,3×105N/C.Qualéadensidadesuperficialdecargadocilindro?

·19 Os veículos espaciais que atravessam os cinturões de radiação da Terra podem interceptar umnúmerosignificativodeelétrons.Oacúmulodecargaresultantepodedanificarcomponenteseletrônicoseprejudicarofuncionamentodealgunscircuitos.Suponhaqueumsatéliteesféricofeitodemetal,com1,3mdediâmetro,acumule2,4μCdecarga.(a)Determineadensidadesuperficialdecargadosatélite.(b)Calculeomódulodocampoelétriconasvizinhançasdosatélitedevidoàcargasuperficial.

·20Fluxoecascascondutoras.Umapartículacarregadaémantidanocentrodeduascascasesféricascondutorasconcêntricas,cujaseçãoretaaparecenaFig.23-39a.AFig.23-39bmostraofluxoΦatravésdeumaesferagaussianacomcentronapartículaemfunçãodoraiordaesfera.AescaladoeixoverticalédefinidaporΦs=5,0×105N·m2/C.Determine(a)acargadapartículacentral,(b)acargadacascaAe(c)acargadacascaB.

Figura23-39 Problema20.

··21Umcondutorpossuiumacargade+10×10–6C.Nointeriordocondutorexisteumacavidade;nointeriordacavidadeestáumacargapontualq=+3,0×10–6C.Determineacarga(a)dasuperfíciedacavidadee(b)dasuperfícieexternadocondutor.

Módulo23-4AplicaçõesdaLeideGauss:SimetriaCilíndrica

·22 Umelétroné liberadoapartirdo repousoa9,0cmdedistânciadeumabarra isolante retilíneamuitolongacomumadensidadedecargauniformede6,0μCpormetro.Qualéomódulodaaceleraçãoinicialdoelétron?

·23(a)Ocilindrocondutordeumamáquinatemumcomprimentode42cmeumdiâmetrode12cm.Ocampo elétrico nas proximidades da superfície do cilindro é 2,3 × 105 N/C. Qual é a carga total docilindro? (b)O fabricante deseja produzir uma versão compacta damáquina. Para isso, é necessárioreduzirocomprimentodocilindropara28cmeodiâmetropara8,0cm.Ocampoelétriconasuperfíciedotambordevepermaneceromesmo.Qualdeveseracargadonovocilindro?

·24AFig.23-40mostraumaseçãodeumtubolongo,demetal,deparedefinas,comraioR=3,00cmecargaporunidadedecomprimentoλ=2,00×10–8C/m.DetermineomóduloEdocampoelétricoaumadistânciaradial(a)r=R/2,00e(b)r=2,00R. (c)FaçaumgráficodeEemfunçãoderpara0≤r≤2,00R.

Figura23-40 Problema24.

·25Umalinhainfinitadecargaproduzumcampodemódulo4,5×104N/Caumadistânciade2,0m.Calculeadensidadelineardecarga.

··26AFig.23-41amostraumcilindrofino,maciço,carregado,eumacascacilíndricacoaxial,tambémcarregada.Osdoisobjetossãofeitosdematerialisolanteepossuemumadensidadesuperficialdecargauniformenasuperfícieexterna.AFig.23-41bmostraacomponenteradialEdocampoelétricoemfunçãodadistânciaradialrapartirdoeixocomum.AescaladoeixoverticalédefinidaporEs=3,0×103N/C.Qualéadensidadelineardecargadacasca?

Figura23-41 Problema26.

··27 Umfioretolongopossuicargasnegativasfixascomumadensidadelinearde3,6nC/m.Ofioéenvolvido por uma casca coaxial cilíndrica, isolante, de paredes finas, com 1,5 cm de raio.A cascapossuiumacargapositivana superfícieexterna, comumadensidade superficialσ, que anula o campoelétricodoladodeforadacasca.Determineovalordeσ.

··28 Umacargadedensidadelinearuniforme2,0nC/mestádistribuídaaolongodeumabarralonga,fina, isolante.Abarraestáenvolvidaporumacascalonga,cilíndrica,coaxial,condutora(raiointerno:5,0cm;raioexterno:10cm).Acargadacascaézero.(a)Determineomódulodocampoelétricoa15cmdedistânciadoeixodacasca.(b)Determineadensidadesuperficialdecarganasuperfícieinternae(c)nasuperfícieexternadacasca.

··29AFig.23-42éumaseçãodeumabarracondutoraderaioR1=1,30mmecomprimentoL=11,00

mnointeriordeumacascacoaxial,deparedesfinas,deraioR2=10,0R1emesmocomprimentoL.AcargadabarraéQ1=+3,40×10–12C;acargadacascaéQ2=–2,00Q1.Determine(a)omóduloEe(b)adireção(paradentroouparafora)docampoelétricoaumadistânciaradialr=2,00R2.Determine(c)Ee(d) adireçãodo campoelétricopara r = 5,00R1.Determine a carga (e) na superfície interna e (f) nasuperfícieexternadacasca.

Figura23-42 Problema29.

··30 A Fig. 23-43 mostra pequenas partes de duas linhas de carga paralelas, muito compridas,separadasporumadistânciaL=8,0cm.Adensidadeuniformedecargadaslinhasé+6,0μC/mparaalinha1e–2,0μC/mparaalinha2.Emquepontodoeixoxocampoelétricoézero?

Figura23-43 Problema30.

··31Duascascascilíndricaslongas,carregadas,coaxiais,deparedesfinas,têm3,0e6,0mderaio.Acargaporunidadedecomprimentoé5,0×10–6C/mnacascainternae–7,0×10–6C/mnacascaexterna.Determine(a)omóduloEe(b)osentido(paradentroouparafora)docampoelétricoaumadistânciaradialr=4,0cm.Determine(c)omóduloEe(d)osentidodocampoelétricoparar=8,0cm.

···32 Umcilindromaciço,longo,isolante,com4,0cmderaio,possuiumadensidadevolumétricadecarganãouniformeρqueéumafunçãodadistânciaradialrapartirdoeixodocilindro:ρ=Ar2.SeA=2,5μC/m5,determineomódulodocampoelétrico(a)parar=3,0cme(b)parar=5,0cm.

Módulo23-5AplicaçõesdaLeideGauss:SimetriaPlanar

·33 NaFig.23-44,duasplacas finas, condutoras,degrandeextensão, sãomantidasparalelas auma

pequenadistânciaumadaoutra.Nas faces internas,asplacas têmdensidadessuperficiaisdecargadesinaisopostosevalorabsoluto7,00×10–22C/m2.Determineocampoelétrico,nanotaçãodosvetoresunitários,(a)àesquerdadasplacas,(b)àdireitadasplacase(c)entreasplacas.

Figura23-44 Problema33.

·34NaFig.23-45,umpequenofurocircularderaioR=1,80cmfoiabertonomeiodeumaplacafina,infinita,isolante,comumadensidadesuperficialdecargaσ=4,50pC/m2.Oeixoz,cujaorigemestánocentrodofuro,éperpendicularàplaca.Determine,nanotaçãodosvetoresunitários,ocampoelétriconopontoP,situadoemz=2,56cm.(Sugestão:UseaEq.22-26eoprincípiodesuperposição.)

Figura23-45 Problema34.

·35 A Fig. 23-46a mostra três placas de plástico de grande extensão, paralelas e uniformementecarregadas.AFig.23-46bmostraacomponentexdocampoelétricoemfunçãodex.AescaladoeixoverticalédefinidaporEs=6,0×105N/C.Determinearazãoentreadensidadedecarganaplaca3eadensidadedecarganaplaca2.

Figura23-46 Problema35.

·36 A Fig. 23-47 mostra as seções retas de duas placas de grande extensão, paralelas, isolantes,positivamente carregadas, ambas com uma distribuição superficial de carga σ = 1,77 × 10–22 C/m2.Determineocampoelétrico ,nanotaçãodosvetoresunitários,(a)acimadasplacas,(b)entreasplacase(c)abaixodasplacas.

Figura23-47 Problema36.

·37Umaplacametálicaquadrada,de8,0cmdeladoeespessurainsignificante,possuiumacargatotalde6,0×10–6C.(a)EstimeovalordomóduloEdocampoelétricopertodocentrodaplaca(a0,50mmdocentro,porexemplo)supondoqueacargaestádistribuídauniformementepelasduasfacesdaplaca.(b)EstimeovalordeEa30mdedistância(umadistânciagrande,emcomparaçãocomasdimensõesdaplaca)supondoqueaplacaéumacargapontual.

··38NaFig.23-48a,umelétronéarremessadoverticalmenteparacima,comumavelocidadevs=2,0×105 m/s, a partir das vizinhanças de uma placa uniformemente carregada. A placa é isolante emuitoextensa.AFig.23-48bmostraavelocidadeescalarvemfunçãodotempotatéoelétronvoltaraopontodepartida.Qualéadensidadesuperficialdecargadaplaca?

Figura23-48 Problema38.

··39 Na Fig. 23-49, uma pequena esfera isolante, demassam = 1,0mg e carga q = 2,0 × 10–8 C(distribuídauniformementeemtodoovolume),estápenduradaemumfioisolantequefazumânguloθ=30o comuma placa vertical, isolante, uniformemente carregada (vista em seção reta).Considerando aforça gravitacional a que a esfera está submetida e supondo que a placa possui umagrande extensão,calculeadensidadesuperficialdecargaσdaplaca.

Figura23-49 Problema39.

··40AFig.23-50mostraumaplacaisolante,muitoextensa,quepossuiumadensidadesuperficialdecargauniformeσ=–2,00μC/m2; a figuramostra tambémumapartículade cargaQ=6,00μC, a umadistânciaddaplaca.Ambasestãofixasnolugar.Sed=0,200m,paraqualcoordenada(a)positivae(b)negativadoeixox(alémdoinfinito)ocampoelétricototal totézero?(c)Sed=0,800m,paraqualcoordenadadoeixoxocampo totézero?

Figura23-50 Problema40.

··41Umelétronéarremessadonadireçãodocentrodeumaplacametálicaquepossuiumadensidade

superficialdecargade–2,0×10–6C/m2.Seaenergiacinética inicialdoelétroné1,60×10–17 J e omovimento do elétron muda de sentido (devido à repulsão eletrostática da placa) a uma distânciainsignificantedaplaca,dequedistânciadaplacaoelétronfoiarremessado?

··42Duasgrandesplacasdemetalcom1,0m2deáreasãomantidasparalelasa5,0cmdedistânciaepossuemcargasdemesmovalorabsolutoe sinaisopostosnas superfícies internas.SeomóduloE docampoelétricoentreasplacasé55N/C,qualéovalorabsolutodacargaemcadaplaca?Desprezeoefeitodeborda.

···43AFig.23-51mostraumaseçãoretadeumaplacaisolante,muitoextensa,comumaespessurad=9,40mmeumadensidadevolumétricadecargauniformeρ=5,80 fC/m3.Aorigemdoeixox está nocentrodaplaca.Determineomódulodocampoelétrico(a)emx=0,(b)emx=2,00mm,(c)emx=4,70mme(d)emx=26,0mm.

Figura23-51 Problema43.

Módulo23-6AplicaçõesdaLeideGauss:SimetriaEsférica

·44AFig.23-52mostraomódulodocampoelétricodoladodedentroedoladodeforadeumaesferacomumadistribuiçãouniformedecargapositivaemfunçãodadistânciadocentrodaesfera.AescaladoeixoverticalédefinidaporEs=5,0×107N/C.Qualéacargadaesfera?

Figura23-52 Problema44.

·45Duascascasesféricasconcêntricascarregadastêmraiosde10,0cme15,0cm.Acargadacascamenoré4,00×10–8Ceadacascamaioré2,00×10–8C.Determineocampoelétrico(a)emr=12,0cme(b)emr=20,0cm.

·46Umaesferaisolante,carregada,deraioR,possuiumadensidadedecarganegativauniforme,excetopor um túnel estreito que atravessa totalmente a esfera, passando pelo centro. Um próton pode ser

colocado em qualquer ponto do túnel ou de um prolongamento do túnel. SejaFR o módulo da forçaeletrostáticaaqueésubmetidooprótonquandoestánasuperfíciedaesfera.Determine,emtermosdeR,a que distância da superfície fica o ponto no qual o módulo da força é 0,50FR quando o próton seencontra(a)emumprolongamentodotúnele(b)dentrodotúnel.

·47 Umaesfera condutora com10 cmde raio temumacargadesconhecida.Seomódulodo campoelétricoa15cmdocentrodaesferaé3,0×103N/Ceocampoapontaparaocentrodaesfera,qualéacargadaesfera?

··48 Umapartículacarregadaémantidafixanocentrodeumacascaesférica.AFig.23-53mostraomóduloEdocampoelétricoemfunçãodadistânciaradialr.AescaladoeixoverticalédefinidaporEs=10,0×107N/C.Estimeovalordacargadacasca.

Figura23-53 Problema48.

··49 NaFig.23-54,umaesferamaciça,de raioa=2,00cm,é concêntrica comumacascaesféricacondutoraderaiointernob=2,00aeraioexternoc=2,40a.Aesferapossuicargauniformeq1=+5,00fC,eacasca,umacargaq2=–q1.Determineomódulodocampoelétrico(a)emr=0,(b)emr=a/2,00,(c)emr=a,(d)emr=1,50a,(e)emr=2,30ae(f)emr=3,50a.Determineacarga(g)nasuperfícieinternae(h)nasuperfícieexternadacasca.

Figura23-54 Problema49.

··50AFig.23-55mostraduascascasesféricasisolantesmantidasfixasnolugarnoeixox.Acasca1

possuiumadensidadesuperficialdecargauniforme+4,0μC/m2nasuperfícieexternaeumraiode0,50cm, enquanto a casca 2 possui uma densidade superficial de carga uniforme –2,0μC/m2 na superfícieexternaeumraiode2,00cm;adistânciaentreoscentroséL=6,0cm.Determineo(s)ponto(s)doeixox(alémdoinfinito)emqueocampoelétricoézero.

Figura23-55 Problema50.

··51NaFig.23-56,umacascaesférica,isolante,comumraiointernoa=2,00cmeumraioexternob=2,40cm,possuiumadensidadevolumétricauniformedecargapositivaρ=A/r,emqueAéumaconstanteeréadistânciaemrelaçãoaocentrodacasca.Alémdisso,umapequenaesferadecargaq=45,0fCestá situadanocentrodacasca.Qualdeve serovalordeA para queo campo elétricono interior dacasca(a≤r≤b)sejauniforme?

Figura23-56 Problema51.

··52 AFig.23-57mostraumacascaesféricacomumadensidadevolumétricadecargauniformeρ=1,84nC/m3,raiointernoa=10,0cmeraioexternob=2,00a.Determineomódulodocampoelétrico(a)emr=0,(b)emr=a/2,00,(c)emr=a,(d)emr=1,50a,(e)emr=be(f)emr=3,00b.

Figura23-57 Problema52.

···53 Umaesfera isolante,de raioR=5,60cm,possuiumadistribuiçãodecarganãouniformeρ =(14,1 pC/m3)r/R, em que r é a distância do centro da esfera. (a) Determine a carga da esfera. (b)DetermineomóduloEdocampoelétricoemr=0,(c)emr=R/2,00e(d)emr=R.(e)FaçaumgráficodeEemfunçãoder.

···54 A Fig. 23-58 mostra, em seção reta, duas esferas de raioR, com distribuições volumétricasuniformesdecarga.OpontoP estána retaque ligaoscentrosdasesferas,aumadistânciaR/2,00 docentrodaesfera1.SeocampoelétriconopontoPézero,qualéarazãoq2/q1entreacargadaesfera2eacargadaesfera1?

Figura23-58 Problema54.

···55 Uma distribuição de carga não uniforme, de simetria esférica, produz um campo elétrico demóduloE=Kr4,emqueKéumaconstanteeréadistânciadocentrodaesfera.Ocampoapontaparalongedocentrodaesfera.Qualéadistribuiçãovolumétricadecargaρ?

ProblemasAdicionais

56 O campo elétrico em uma região do espaço é dado por = (x + 2)î N/C, com x em metros.Considereumasuperfíciegaussianacilíndrica,deraio20cm,coaxialcomoeixox.Umadasbasesdocilindroestáemx=0.(a)Determineovalorabsolutodofluxoelétricoatravésdaoutrabasedocilindro,situadaemx=2,0m.(b)Determineacarganointeriordocilindro.

57Umaesferametálica,deespessurainsignificante,temumraiode25,0cmeumacargade2,00×10–7

C.DetermineovalordeE (a)no interiordaesfera, (b) juntoàsuperfíciedaesferae (c)a3,00mdedistânciadocentrodaesfera.

58Umaplacainfinitadeespessurainsignificante,situadanoplanoxy,possuiumadensidadesuperficialdecargauniformeρ=8,0nC/m2.Determineofluxoelétricoatravésdeumaesferagaussianacomcentronaorigeme5,0cmderaio.

59 Uma placa infinita que ocupa o espaço entre os planos x = –5,0 cm e x = +5,0 cm tem umadensidadevolumétricadecargauniformeρ=1,2nC/m3.Determineomódulodocampoelétrico(a)noplanox=4,0cm;(b)noplanox=6,0cm.

60 Omistério do chocolate em pó. Explosões provocadas por descargas elétricas (centelhas)constituem um sério perigo nas indústrias que lidam com pós muito finos. Uma dessas explosões

aconteceuemumafábricadebiscoitosnadécadade1970.Osoperárioscostumavamesvaziarossacosde chocolate empóque chegavamà fábrica emumabandeja, daqualomaterial era transportadoporcanosdeplásticoatéosiloondeeraarmazenado.Nomeiodopercurso,duascondiçõesparaqueumaexplosão ocorresse foram satisfeitas: (1) o módulo do campo elétrico ultrapassou 3,0 × 106 N/C,produzindoumarupturadielétricadoar;(2)aenergiadacentelharesultanteultrapassou150mJ,fazendocomqueopóexplodisse.Vamosdiscutiraprimeiracondição.

Suponhaqueumpócarregadonegativamenteestejapassandoporumcanocilíndrico,deplástico,de raioR = 5,0 cm, e que as cargas associadas ao pó estejam distribuídas uniformemente com umadensidadevolumétricaρ. (a)Usandoa leideGauss,escrevaumaexpressãoparaomódulodocampoelétrico no interiordocanoemfunçãodadistânciardoeixodocano. (b)OvalordeEaumentaoudiminuiquandoraumenta?(c)Ocampo apontaparaoeixodocilindroouparalongedoeixo?(d)Paraρ=1,1×10–3C/m3(umvalortípico),determineovalormáximodeEeaquedistânciadoeixodocanoesse campomáximoocorre. (e)O campopode produzir uma centelha?Onde? (Ahistória continua noProblema70doCapítulo24.)

61 Uma casca esférica, metálica, de raio a e espessura insignificante, possui uma carga qa. Umasegundacasca, concêntrica comaprimeira,possuium raiob>a eumacargaqb.Determine o campoelétricoempontossituadosaumadistânciardocentrodascascas(a)parar<a,(b)paraa<r<b,e(c)para r > b. (d) Explique o raciocínio que você usou para determinar o modo como as cargas estãodistribuídasnassuperfíciesinternaseexternasdascascas.

62Umacargapontualq=1,0×10–7Cécolocadanocentrodeumacavidadeesférica,com3,0cmderaio,abertaemumblocodemetal.UsealeideGaussparadeterminarocampoelétrico(a)a1,5cmdedistânciadocentrodacavidadee(b)nointeriordoblocodemetal.

63Umpróton,develocidadev=3,00×105m/s,giraemórbitaemtornodeumaesferacarregada,deraior=1,00cm.Qualéacargadaesfera?

64AEq.23-11(E=σ/ε0)podeserusadaparacalcularocampoelétricoempontosdavizinhançadeumaesferacondutoracarregada.Apliqueaequaçãoaumaesferacondutora,deraiorecargaq,emostrequeocampoelétricodoladodeforadaesferaéigualaocampoproduzidoporumacargapontualsituadanocentrodaesfera.

65UmacargaQestádistribuídauniformementeemumaesferaderaioR.(a)Quefraçãodacargaestácontidaemumaesferaderaior=R/2,00?(b)Qualéarazãoentreomódulodocampoelétriconopontor=R/2,00eocampoelétriconasuperfíciedaesfera?

66 Umacargapontualproduzumfluxoelétricode–750N·m2/Catravésdeumasuperfícieesféricagaussiana,de10,0cmderaio,comcentronacarga.(a)Seoraiodasuperfíciegaussianaformultiplicadopordois,qualseráonovovalordofluxo?(b)Qualéovalordacargapontual?

67OcampoelétriconopontoP,aumapequenadistânciadasuperfícieexternadeumacascaesféricametálicacom10cmderaiointernoe20cmderaioexterno,temummódulode450N/Ceapontapara

longedocentro.QuandoumacargapontualdesconhecidaQécolocadanocentrodacasca,osentidodocampo permanece o mesmo e o módulo diminui para 180 N/C. (a) Determine a carga da casca. (b)DetermineovalordacargaQ.DepoisqueacargaQécolocada,determineadensidadesuperficialdecarga(c)nasuperfícieinternadacascae(d)nasuperfícieexternadacasca.

68Ofluxodecampoelétricoemcadafacedeumdadotemumvalorabsoluto,emunidadesde103N·m2/C,igualaonúmeroNdepontosdaface(1≤N≤6).OfluxoéparadentroseNforímpareparaforaseNforpar.Qualéacarganointeriordodado?

69AFig.23-59mostraumavistaemseçãoretadetrêsplacasisolantesdegrandeextensãocomumadensidade uniforme de carga.As densidades superficiais de carga sãoσ1 = +2,00μC/m2, σ2 = +4,00μC/m2eσ3=–5,00μC/m2;L = 1,50 cm.Qual é o campo elétrico nopontoP na notação dos vetoresunitários?

Figura23-59 Problema69.

70Umaesferaisolantecom5,0cmderaiotemumadensidadevolumétricauniformedecargaρ=3,2μC/m3.Determineomódulodocampoelétrico(a)a3,5cme(b)a8,0cmdocentrodaesfera.

71Umasuperfíciegaussianadeformahemisférica,comraioR=5,68cm,estáimersaemumcampoelétricouniformedemóduloE=2,50N/C.Nãoexistemcargasnointeriordasuperfície.Nabase(plana)dasuperfície,ocampoéperpendicularàsuperfícieeapontaparaointeriordasuperfície.Determineofluxo(a)atravésdabasee(b)atravésdapartecurvadasuperfície.

72QualéacargatotalenvolvidapelocubogaussianodoProblema2?

73Umaesferaisolantetemumadensidadevolumétricadecargauniformeρ.Seja ovetorqueligaocentrodaesferaaumpontogenéricoPnointeriordaesfera.(a)MostrequeocampoelétriconopontoPédadopor =ρ /3ε0.(Notequeoresultadonãodependedoraiodaesfera.)(b)Umacavidadeesféricaéabertanaesfera,comomostraaFig.23-60.Usandooprincípioda superposição,mostrequeocampoelétriconointeriordacavidadeéuniformeeédadopor =ρ /3ε0,emque éovetorqueligaocentrodaesferaaocentrodacavidade.

Figura23-60 Problema73.

74Umaesferacom6,00cmderaiopossuiumadensidadedecargauniformede500nC/m3.Considereuma superfície gaussiana cúbica concêntrica com a esfera. Determine o fluxo elétrico através dasuperfíciecúbicaseaarestadocubofor(a)4,00cme(b)14,0cm.

75AFig.23-61mostraumcontadorGeiger,aparelhousadoparadetectarradiaçãoionizante(radiaçãocom energia suficiente para ionizar átomos). O contador é formado por um fio central positivamentecarregado e um cilindro circular oco, coaxial, condutor, com uma carga negativa de mesmo valorabsoluto.Ascargascriamumcampoelétricoradialdealtaintensidadeentreocilindro,quecontémumgás inerte rarefeito, e o fio.Umapartícula de radiaçãoquepenetra no aparelho através da parededocilindro ionizaalgunsátomosdogás,produzindoelétrons livres,quesãoaceleradosnadireçãodofiopositivo.Ocampoelétricoétãointensoque,nopercurso,oselétronsadquiremenergiasuficienteparaionizaroutrosátomosdogásatravésdecolisões,criando,assim,outroselétrons livres.Oprocessoserepeteatéoselétronschegaremaofio.A“avalanche”deelétronsresultanteérecolhidapelofio,gerandoumsinalqueéusadoparaassinalarapassagemdapartículaderadiação.Suponhaqueofiocentraltenhaumraiode25μmeocilindrotenhaumraiointernode1,4cmeumcomprimentode16cm.Seocampoelétriconasuperfícieinternadocilindroé2,9×104N/C,qualéacargapositivadofiocentral?

Figura23-61 Problema75.

76 Um cilindromuito longo, de raioR, possui uma distribuição volumétrica de carga uniforme. (a)Mostreque,aumadistânciar<Rdoeixodocilindro,

emqueρ é a densidade volumétrica de carga. (b)Escreva uma expressão paraE do lado de fora docilindro.

77 Uma casca condutora esférica tem uma carga de –14 μC na superfície externa e uma partículacarregadanacavidadeinterna.Seacargatotaldacascaé–10μC,determineacarga(a)dasuperfícieinternadacascae(b)dapartícula.

78Umacargade6,00pCestádistribuídauniformementeemumaesferaderaior=4,00cm.Determineomódulodocampoelétrico(a)a6,00cmdocentrodaesferae(b)a3,00cmdocentrodaesfera.

79Aáguaemumavaladeirrigação,delargural=3,22meprofundidadep=1,04m,correcomumavelocidadede0,207m/s.Ofluxomássicodaáguaatravésdeumasuperfícieimagináriaéoprodutodamassaespecíficadaágua(1000kg/m3)pelofluxovolumétricoatravésdasuperfície.Determineofluxomássico através das seguintes superfícies imaginárias: (a) uma superfície de área lp, totalmentesubmersa, perpendicular à correnteza; (b) uma superfície de área 3lp/2, da qual uma área lp estásubmersa, perpendicular à correnteza; (c) uma superfície de área lp/2, totalmente submersa,perpendicularàcorrenteza;(d)umasuperfíciedeárealp,metadedaqualestásubmersa,perpendicularàcorrenteza;(e)umasuperfíciedeárealp,totalmentesubmersa,comanormalfazendoumângulode34o

comadireçãodacorrenteza.

80Umaplacainfinita,deespessurainsignificante,situadanoplanoxy,temumadensidadesuperficialdecargauniformeρ=8,00nC/m2;umaplacasemelhante,situadanoplanoz=2,00,temumadensidadesuperficialdecargauniformeρ=3,00nC/m2.Determineomódulodocampoelétrico(a)noplanoz=1,00e(b)noplanoz=3,00m.

81 Uma esfera isolante tem uma densidade de carga uniforme.Determine, em termos do raioR daesfera,aquedistânciadocentroomódulodocampoelétricoéiguala1/4dovalormáximo(a)doladodedentrodaesferae(b)doladodeforadaesfera.