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LeydeGaussysusAplicaciones

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LaleydeGauss

La ley de Gauss constituye una de las leyesfundamentales de la Teora Electromagntica.

Se trata de una relacin entre la cargaencerrada en una superficie y el flujo de sucampoelctrico,atravs de lamisma.

Constituye un medio para obtenerexpresiones de campos elctricos, consuficientes condiciones de simetra.

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Recordando la definicin de flujo elctrico

Deunaformamsformal(general)

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El flujo de campo elctrico a travs de cualesquiersuperficie cerrada (gaussiana), es igual a la carga

netaencerrada, por lamisma,entre laconstante

0 encE dA q

0 E encq

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RecordandoconceptosdeFlujo

Elvector dereasiempreesperpendicular

alasuperficie.

Solohay uncampoE, peroatraviesa (ono)diferentes superficies. Entonces encontramosElnguloque existe entre Ey Ay aplicamos elPrincipiode superposicin!!!

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DefinicindeLEYDEGAUSS

El flujo de campo elctrico a travs de cualesquiersuperficie cerrada (gaussiana), es igual a la carga

netaencerrada, por lamisma, entre laconstante

0

E

qE d

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Consideracionesapartirdelaexpresin:

0

E

q

E dA

FlujoCarga encerrada

Campo ElctricoConstante

rea deSUPERFICIEGAUSSIANA

Permitividaddel vacoe n c

e n c

en ce n c

en ce n c

qq L

Lq

q AA

qq V

V

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Cmo cambia la expresin dependiendo de la

densidad de carga?

0

E

q

E dA enc

enc

enc

enc

enc

enc

q

q LL

qq A

A

qq V

V

0encq E L dA

0encq E A dA

0encq E V dA

SUPERFICIEGAUSSIANA

Principio deSuperposicin CAMPOSDepender delosvectoresdesuperficiey

La relacin deE y A para cada uno deellos

Distribucinde Carga

De unreadeterminada24/08/2011 WL G4


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SuperficiesGaussianas

S1

S4

S3

S2

q

-q= E dS=?

Si

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Superficiesgaussianas

Simetra SimetraEsfrica cilndrica

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Unconductoraisladocargado

Si un exceso de cargas escolocado en un conductoraislado, esa cantidad de cargase movercompletamente a lasuperficie del conductor.Nada del exceso de carga seencontrara dentro del cuerpo

delconductor.

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Campoelctricodeunacargapuntual

0 0 encE dA EdA q

0E dA q

2

0 4E r q 20

1

4

qE

r

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Aplicacinde laleyde Gauss, simetracilndrica

cos

(2 )cos0 (2 )

EA

E rh E rh

0 encq

0 2E rh h

02

Er

Mismoresultadoanterior pero

usandoLeydeGAUSS

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Para una lnea infinita, con densidad linealde carga uniforme, el campo elctrico encualquier punto p, es perpendicular a la lneadecargay demagnitud:

Donderesla distancia perpendiculardelalnea decarga al punto.

02E

r

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Para una lnea infinita, con densidad linealde carga uniforme, el campo elctrico encualquier punto p, es perpendicular a la lneadecargay demagnitud:

Donderesla distancia perpendiculardelalnea decarga al punto.

02E

r

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Cilindro Cargado

Encontrar elcampoelctricoen elinterior delcilindroCilindrode longitud infinita, radioR y densidad de carga

L

R

Elcampoelctricotiene direccin perpendicular aleje delcilindro.

r

Dibuje un cilindrode radio r en elinterior delcilindro.

AE 2 rLE0

V

2

0

r L0

inq

02E

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Ejemplo

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Aplicacinde laLeyde GaussSimetraPlana

La nica direccin especificada por la situacinfsica es la direccin perpendicular al plano. Por

tanto, sta tiene que ser la direccin de E.Puntos que quedan en planos paralelos estnequidistantes al planoy tienen un campo Ede lamisma magnitud

La superficie gaussiana que usamos tiene tapasque son dos de esos planos paralelos. El flujo atravs de la superficie Gaussiana es cero. Losflujos a travs de las dos tapas son iguales.

0 EA EA A

02E

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LMINAINFINITACARGADA

Calculemos elcampodebidoa una lminainfinita, delgada cargada, de una densidad

superficial de carga

Solucin: Una superficie gaussianaconveniente es uncilindro pequeo,cuyoejeseaperpendicular al plano con extremoequidistante del plano,y reas de las bases A.Comoel campo es perpendicular, no existe flujo atravs del rea lateral delcilindro.Empleando l a ley de Gauss,

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Podemosescribirpara lastressuperficiesdel cilindro (dosdelasbasesy una lateral)

Como el flujo a travsdela superficielateral (superficieb)escero,pues E esperpendiculara ds ,y el flujo a travs

decada una delasbaseses EA (reasa y c) resulta que:

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Comolacargaencerradaporlasuperficiegaussiana esq=A, laecuacinanteriorse

transformaen

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PlacasParalelas

Hallarel campo elctrico debido a dosplanos infinitos,tanto

en la regin entreplacascomo en lasregionesen cualquierlado delasplacas

+ -

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SOLUCIN:

El campo elctrico resultante se determinamediante el principio de superposicin,teniendo en cuenta el campo debido a unalmina infinita decarga

Los campos de las lminas 1 y 2 son 1 E y 2 E

respectivamente,y tienen la misma magnitud,

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Dos placas

conductoras:

1

0 0

2E

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CampoenPlacas

1

0 0

2E

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Aplicacin de laLeyde Gauss- SimetraEsfrica-

Concha esfrica de R .

1) Etiene direccinradial,

2) La magnitud de Ees constante en la superficie de cualquier

superficie esfrica concntrica con la carga. Es obvio quedebe tomarse la superficie Gaussiana comoesfera.

3) Por tanto Ey da apuntanen la misma direcciony la integraldel lado izquierdo de la ley de Gauss resulta:

Tomemos elejemplo de uncascarnesfrico de carga q y radio R.Debemos considerar dos regiones:

I) fuera delcascarnII) dentro delcascarn.

Siempre llamamos r a la distancia entre el punto donde queremos calcular E y el centro desimetra. Matemticamente las regiones se definencomo

I)r>RII)r


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Para la regin I, se toma la esfera gaussiana S2 .

Debe notar que qN = q ya que esaes lacarga adentro de la

esfera S2 .En esta regin la carga se comporta se acumula en lasuperficie indicada por los puntos conductor-.Para la regin II, tomamos la esfera gaussiana S1.

Ahora qN = 0 y n o h a y E dentro de lacarga.

2

0 0 0 4E dA EdA E r

I) r>RII) r


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Ellado izquierdode la ley de Gauss depende slode la simetra. Loque

tenemos que determinar es elladoderecho, osea, la carga encerrada.

Fuera de la distribucin de carga, la respuesta es igualque elcasoanterior.

Dentrode la esfera, qN= Vr donde es la densidad volumtrica de carga=q/VR.

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Distribucin esfrica,campo a r R

Cargauniforme,campo a r R

'

20

1

4

q

E r

3

0

( )4

qE r

R

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AplicandolaleydeGauss: ConchaEsfrica

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Concha esfrica,campo a r R

Campo elctrico a rR

2

0

14

qEr

0E

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Aplicacin delaley deGauss

Esfera deradio Ry constante .Cules el campo en el interior?

Seescoge unasuperficie gaussianaesfrica deradio r


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CORTEZAESFRICA

Una corteza esfrica delgada de radio R tiene

una carga total Q distribuida uniformementesobre su superficie.

Determineel campo elctrico parapuntos:

1. fueradelcascarn Rr

2. dentrodelcascarnR


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LEYDEGAUSS

Formas de la ley de Gauss:

0

cos encerradaQ

AdEAdEAdE

Distribucindecarga Localizacindel campo

elct r ico

Magnitud del campo

elct r ico

Carga puntual individual q Distancia r respecto a q

Carga qenla superficiedeuna

esfera conductora deradio R

Esfera exterior,r> R

Esfera interior,r< R

Alambreinfinito,concarga porunidaddelongitud

Distancia r respecto al alambre

La superficie que encierra la carga se conoce comosuperficiegaussiana.

204

1

r

qE

204

1

r

q

E

0E

rE

02

1

Camposelctricosoriginadospor distribucionesdecargasimtricas

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LEYDEGAUSS

Distribucindecarga Local izacindel campo

elct rico

Magnitud del campo

elct rico

Cilindro conductorinfinito deradioR concarga porunidaddelongitud

Cilindro exterior,r> R

Cilindro interior,r< R

Esfera slida aislantederadio R,carga Q distribuidauniformementeentodo elvolumen

Esfera exterior,r> R

Esfera interior,r< R

Lamina infinita decarga,concargaporunidaddearea

Cualquierpunto

Dosplacasconductorasconcargasopuestasy densidades

superficialesdecarga + y -

Cualquierpunto entrelasplacas

rE

02

1

0E

204

1

r

QE

3

0

1

4

QE

r

02E

0

E

Camposelctricosoriginadospor distribucionesdecargasimtricas

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