ALGEBRA BOOLEANA

APLICACIÓN E IMPORTANCIA DE LOS CIRCUITOS, DEL ALGEBRA BOOLEANA

Y COMPUERTAS LÓGICAS E INFERENCIA LÓGICA. MENCIONE MÍNIMO TRES

APLICACIONES.

IMPORTANCIA DE LOS CIRCUITOS DE ALGEBRA BOOLEANA

El objetivo de simplificar las funciones lógicas es hacerlas más pequeñas o sencillas y la finalidad de las funciones es que a partir de ellas se pueden construir los circuitos lógicos, asi que aplicando el álgebra de Boole, los circuitos son más pequeños y sencillos, esto representa un ahorro en la compra de los componentes. La importancia de los circuitos lógicos es que con ellos se construyen todo tipo de equipos digitales como son: Equipos de control, computadoras, calculadoras y muchos otros.

Los circuitos que componen una computadora son muy diversos: los hay destinados a aportar energía necesaria para las distintas partes que componen la máquina y los hay dedicados a generar, procesar y propagar señales que contienen información. Dentro de este segundo grupo se distinguen a su vez circuitos que trabajan con información analógica y las que tratan con valores digitales como el álgebra booleana.

El algebra booleana es un sistema matemático deductívo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario “ ° ” definido en este juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano. Por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.

Esta lógica se puede aplicar a dos campos:

- Al análisis, porque es una forma concreta de describir como funcionan los circuitos.

-Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función.

Los circuitos lógicos permiten realizar muchas funciones diferentes. Por ello han encontrado aplicación en la automatización de tareas. Equipos tales como: semáforos, alarmas, interruptores automáticos, etc, funcionan gracias a circuitos que contienen puertas lógicas. En el ámbito de la informática estos circuitos son la base para memorias, unidades de cálculo, etc.

Circuitos Lógicos

Los circuitos de conmutación y temporización, o circuitos lógicos, forman la base de cualquier dispositivo en el que se tengan que seleccionar o combinar señales de manera controlada. Entre los campos de aplicación de estos tipos de circuitos pueden mencionarse la conmutación telefónica, las transmisiones por satélite y el funcionamiento de las computadoras digitales.

La lógica digital es un proceso racional para adoptar sencillas decisiones de 'verdadero' o 'falso' basadas en las reglas del álgebra de Boole. El estado verdadero se representado por un 1, y falso por un 0, y en los circuitos lógicos estos numerales aparecen como señales de dos tensiones diferentes. Los circuitos lógicos se utilizan para adoptar decisiones específicas de 'verdadero-falso' sobre la base de la presencia de múltiples señales 'verdadero-falso' en las entradas. Las señales se pueden generar por conmutadores mecánicos o por transductores de estado sólido. La señal de entrada, una vez aceptada y acondicionada (para eliminar las señales eléctricas indeseadas, o ruidos), es procesada por los circuitos lógicos digitales. Las diversas familias de dispositivos lógicos digitales, por lo general circuitos integrados, ejecutan una variedad de funciones lógicas a través de las llamadas puertas lógicas, como las puertas OR, AND y NOT y combinaciones de las mismas (como 'NOR', que incluye a OR y a NOT). Otra familia lógica muy utilizada es la lógica transistor-transistor. También se emplea la lógica de semiconductor complementario de óxido metálico, que ejecuta funciones similares a niveles de potencia muy bajos pero a velocidades de funcionamiento ligeramente inferiores. Existen también muchas otras variedades de circuitos lógicos, incluyendo la hoy obsoleta lógica reóstato-transistor y la lógica de acoplamiento por emisor, utilizada para sistemas de muy altas velocidades.

Los bloques elementales de un dispositivo lógico se denominan puertas lógicas digitales. Una puerta Y (AND) tiene dos o más entradas y una única salida. La salida de una puerta Y es verdadera sólo si todas las entradas son verdaderas. Una puerta O (OR) tiene dos o más entradas y una sola salida. La salida de una puerta O es verdadera si cualquiera de las entradas es verdadera, y es falsa si todas las entradas son falsas. Una puerta INVERSORA (INVERTER) tiene una única entrada y una única salida, y puede convertir una

señal verdadera en falsa, efectuando de esta manera la función negación (NOT). A partir de las puertas elementales pueden construirse circuitos lógicos más complicados, entre los que pueden mencionarse los circuitos biestables (también llamados flip-flops, que son interruptores binarios), contadores, comparadores, sumadores y combinaciones más complejas.

En general, para ejecutar una determinada función es necesario conectar grandes cantidades de elementos lógicos en circuitos complejos. En algunos casos se utilizan microprocesadores para efectuar muchas de las funciones de conmutación y temporización de los elementos lógicos individuales. Los procesadores están específicamente programados con instrucciones individuales para ejecutar una determinada tarea o tareas. Una de las ventajas de los microprocesadores es que permiten realizar diferentes funciones lógicas, dependiendo de las instrucciones de programación almacenadas. La desventaja de los microprocesadores es que normalmente funcionan de manera secuencial, lo que podría resultar demasiado lento para algunas aplicaciones. En tales casos se emplean circuitos lógicos especialmente diseñados.

Avances recientes .Aplicaciónes:

El desarrollo de los circuitos integrados ha revolucionado los campos de las comunicaciones, la gestión de la información y la informática. Los circuitos integrados han permitido reducir el tamaño de los dispositivos con el consiguiente descenso de los costes de fabricación y de mantenimiento de los sistemas. Al mismo tiempo, ofrecen mayor velocidad y fiabilidad. Los relojes digitales, las computadoras portátiles y los juegos electrónicos son sistemas basados en microprocesadores. Otro avance importante es la digitalización de las señales de sonido, proceso en el cual la frecuencia y la amplitud de una señal de sonido se codifica digitalmente mediante técnicas de muestreo adecuadas, es decir, técnicas para medir la amplitud de la señal a intervalos muy cortos. La música grabada de forma digital, como la de los discos compactos, se caracteriza por una fidelidad que no era posible alcanzar con los métodos de grabación directa.

La electrónica médica a llegado hasta a sistemas que pueden diferenciar aún más los órganos del cuerpo humano. Se han desarrollado asimismo dispositivos que permiten ver los vasos sanguíneos y el sistema respiratorio.

También la alta definición promete sustituir a numerosos procesos fotográficos al eliminar la necesidad de utilizar plata.

La investigación actual dirigida a aumentar la velocidad y capacidad de las computadoras se centra sobre todo en la mejora de la tecnología de los circuitos integrados y en el desarrollo de componentes de conmutación aún más rápidos. Se han construido circuitos integrados a gran escala que contienen varios centenares de miles de componentes en un solo chip. Han llegado a fabricarse computadoras que alcanzan altísimas velocidades en las cuales los semiconductores son reemplazados por circuitos superconductores que utilizan las uniones de Josephson y que funcionan a temperaturas cercanas al cero absoluto.

.

Que es un circuito lógico e importancia y utilidad de los circuitos lógicos. Un circuito lógico es una máquina que recibe una o más señales de entradas y produce una señal de salida. En cada instante, el circuito puede procesar exactamente un bit de información para producir un bit de salida. De esta forma, a las señales de entrada se les puede asignar sucesiones de bits que son procesadas por el circuito bit por bit para producir una sucesión de bit de salida. Los circuitos lógicos se construyen a partir de circuitos elementales llamados compuertas lógicas. Estas compuertas son la base de los circuitos eléctricos. Importancia y utilidad de los circuitos lógicos: Los circuitos de conmutación y temporización, o circuitos lógicos, forman la base de cualquier dispositivo en el que se tengan que seleccionar o combinar señales de manera controlada. Entre los campos de aplicación de estos tipos de circuitos pueden mencionarse la conmutación telefónica, las transmisiones por satélite y el funcionamiento de las computadoras digitales.

La lógica digital es un proceso racional para adoptar sencillas decisiones de “ verdadero” o “ falso” basadas en las reglas del álgebra de Boole. El estado verdadero se representa por un 1 y falso por un 0, y en los circuitos lógicos estos numerales aparecen como señales de dos tensiones diferentes. Los circuitos lógicos se utilizan para adoptar decisiones específicas de “ verdadero-falso” sobre la base de la presencia de múltiples señales “ verdadero – falso” en las entradas. Las señales se pueden generar por conmutadores mecánicos o por transductores de estado sólido. La señal de entrada, una vez aceptada y acondicionada ( para eliminar las señales eléctricas indeseadas, o ruidos) es procesada por los circuitos lógicos digitales. Las diversas familias de dispositivos lógicos digitales, por lo general circuitos integrados, ejecutan una variedad de funciones lógicas a través de las llamadas puertas lógicas, como las puertas OR, AND y NOT y combinaciones de las mísmas ( como NOR, que incluye a OR y a NOT) Otra familia lógica muy utilizada es la lógica transistor-transistor. También se emplea la lógica de semiconductor complementario de óxido metálico, que ejecuta funciones similares a niveles de potencia muy bajos pero a velocidades de funcionamiento ligeramente inferiores. Existe también muchas otras variedades de circuitos lógicos, incluyendo la hoy obsoleta lógica reóstato-transistor y la lógica de acoplamiento por emisor, utilizada para sistemas de muy altas velocidades.

Componentes de los circuitos lógicos: Los circuitos Lógicos están compuestos Por elementos digitales como la compuerta AND (Y) , compuerta OR (O), compuerta NOT (NO) y combinaciones poco o muy complejas de los circuitos antes mencionados. Estas combinaciones dan lugar a otros tipos de elementos digitales como los compuertas, entre otros:

- Compuerta NAND (No Y ) - Compuerta NOR (No O) - Compuerta OR exclusíva (O exclusiva) - Multiplexores o multiplexadores. - Demultiplexores o demultiplexadores. - Decodificadores. - Codificadores. - Memorias. - Flip –flop - Microprocesadores. - Microcontroladores.

Los circuitos cuyos componentes realizan operaciones análogas a las que indican los operadores lógicos se llaman circuitos lógicos O circuitos digitales. Los operadores lógicos básicos son “ Y”, “O” y “N”, los cuales se representan respectivamente con los símbolos : ,y. Por eso, los componentes que realizan operaciones análogas se llaman componentes básicos (*). Los componentes que resultan de la combinación de dos o más componentes básicos de llaman componentes combinados.(**). Todos los componentes arrojan una señal de salida, pero pueden recibir una o dos señales de entrada. En general, se los llama compuertas (***). Las compuertas se construyen con resistores, transistores, diodos, etc, conectados de manera que se obtengan ciertas salidas cuando las entradas adoptan determinados valores. Los circuitos integrados actuales tienen miles de compuertas lógicas. En el cuadro siguiente se presenta la lista completa de los componentes de los circuitos lógicos. ( en letras negritas están los nombres en castellano y en letras normales los nombres en inglés.). El Algebra de Boole de forma análoga a cualquier otro sistema matemático deductívo puede ser definida por un conjunto de elementos, operadores y postulados.

CONECTOR/COMPUERTA,

ENTRADA(S), SALIDA

CONNECTOR/GATE,

INPUT(S), OUTPUT

NOMBRE

NAME TABLA DE VERDAD

TRUTH TABLE

AMORTIGUADOR

BUFFER

A Z

0 0

1 1

Y

AND

A B Z

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1 1 1

O (O, en sentido inclusivo)

OR

A B Z

0 0 0

1 0 1

0 1 1

1 1 1

OE (O, en sentido exclusivo)

XOR (EXCLUSIVE-OR)

A B Z

0 0 0

1 0 1

0 1 1

1 1 0

N, NEG o INVERSOR

NOT or INVERTER

A Z

0 1

1 0

NY (N Y)

NAND (NOT AND)

A B Z

0 0 1

1 0 1

0 1 1

1 1 0

NO (N O)

NOR (NOT OR)

A B Z

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 1 0

NOE (N OE)

NXOR (NOT EXCLUSIVE-OR)

A B Z

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 1 1

Al operador Binario. Se le conoce a cualquier operador que es usado para realizar una operación entre dos elementos. Sabemos que algunos de los postulados mas conocidos del álgebra son :

- Ley Asociatíva. Esta ley dice que siendo * un operador binaario, se dice que un conjunto cumple con la ley asociatíva si:

(x*y)*z = x*(y*z)

Para todo x , y, z miembros del conjunto. Ley Conmutativa. Esta ley dice que siendo * un operador binario, se dice que un conjunto cumple con la ley conmutativa si:

x*y = y*x

para todo x, y miembros del conjunto. Ley Distributiva: Esta ley dice que siendo * y operadores binarios, se dice que un conjunto cumple con la ley distributíva si: para todo x, y, z miembros del conjunto.

z*(x•y) = (z*x)•(z*y) Elemento de Identidad. Se dice que un conjunto tiene elemento de identidad con respecto a la operación binaria * si, siendo e la identidad, se cumple que: e*x = x*e = x

para todo 'x' miembro del conjunto. O sea, en el álgebra de los números reales, el número 0 es elemento de identidad con respecto al operador binario + (suma) y 1 es el elemento de identidad con respecto al operador binario x (multiplicación). El Álgebra de Boole es una sistema algebraico para el tratamiento de las relaciones lógicas (como la usada en los sistemas digitales). Está definida para un conjunto de elementos junto con sus operadores binarios '+' y '•' de tal forma que satisfagan los siguientes postulados :

1. Posee un elemento de identidad con respecto al operador + y éste es el 0 : A + 0 = 0 + A = A.

Posee un elemento de identidad con respecto al operador • y éste es el 1: A • 1 = 1 • A = A

2. Es conmutativo con respecto a + ya que: A + B = B + A

Es conmutativo con respecto a • ya que: A • B = B • A

3. • es distributivo sobre + ya que: A • (B + C) = (A•B)+(A•C)

+ es distributivo sobre • ya que: A + (B • C) = (A+B)•(A+C)

4. Para cada elemento x que pertenece a un conjunto, existe también en ese mismo conjunto un elemento x'llamado complemento de x tal que: (a) x + x' = 1 y (b) x • x' = 0.

Por último también debe satisfacer la existencia en el conjunto de al menos dos elementos x, y tal que x≠y... lo que está claro. Además, el álgebra de Boole también cumple con la ley asociativa pero no es un postulado como tal ya que éste puede ser demostrado a través de los mencionados. OJO: '+' y '•' son los símbolos usados para expresar las operaciones binarias posibles en el álgebra de Boole y, aunque se escogieron porque tienen mucha semejanza con los usados en el álgebra de los números reales para la suma y la multiplicación, NO son exactamente iguales y esto se hace absolutamente obvio en la segunda propiedad distributiva del postulado 3. Tipos de Circuitos

1 Circuitos Lógicos Combinatorios

Un circuito combinatorio es un arreglo de compuertas lógicas con un conjunto de

entradas y salidas. En cualquier momento, los valores binarios de las salidas son

una combinación binaria de las entradas. Los circuitos combinatorios se emplean

en las computadoras digitales para generar decisiones de control binarias y para

proporcionar los componentes digitales requeridos para el procesamiento de

datos.

n variables de entrada

m variables de salida

El diseño de un circuito combinatorio parte del planteamiento verbal del problema

y termina con un diagrama lógico. El procedimiento es el siguiente:

1. 2. 3. 4. 5.

Se establece el problema Se asignan símbolos a las variables de entrada y salida.

Se extrae la tabla de verdad. Se obtienen las funciones booleanas simplificadas.

Se traza el diagrama lógico.

Ejemplos de diseño:

El circuito aritmético digital más simple es el de la suma de dos dígitos binarios.

Un circuito combinatorio que ejecuta la suma de dos bits se llama semisumador

Implementarlo.

Semisumador (Medio Sumador o Half Adder)

Otro método para sumar dos números de n bits consiste en utilizar circuitos

separados para cada par correspondiente de bits: los dos bits que se van a sumar,

junto con el acarreo resultante de la suma de los bits menos significativos, lo cual

producirá como salidas un bit de la suma y un bit del acarreo de salida del bit más

significativo.

.2 Circuitos Lógicos Secuenciales

A diferencia de los circuitos combinacionales, en los circuitos secuenciales se

guarda memoria de estado. Las salidas no dependen tan solo del valor de las

entradas en un instante dado, sino que también están determinadas por el estado

almacenado en el circuito. Dicho de otra forma, un circuito secuencial tiene

memoria. En los circuitos secuenciales se distinguirá entre circuitos secuenciales

asíncronos y síncronos.

Un circuito secuencial asíncrono evoluciona ante cualquier cambio en las entradas

de forma inmediata, no tiene periodicidad de funcionamiento, se rige por eventos.

Aunque los circuitos secuenciales más básicos siempre tendrán una parte con

comportamiento asíncrono, para los circuitos secuenciales complejos no es

deseable que sigan este comportamiento (los cambios de estado se producen de

forma esporádica, ante eventos en las entradas, sin periodicidad, se pueden

producir comportamientos que dependen del orden de sucesión de eventos

cuando no se desea ese comportamiento etc.)

Los circuitos secuenciales complejos se diseñan para comportamiento síncrono,

los cambios se producen de forma periódica y controlada, ante cambios de una

señal denominada señal de reloj (“clock”). Todas las entradas se muestrean de

forma simultánea en un instante determinado por la señal de reloj, la evolución del

estado y las salidas queda determinada por el valor que tenían las entradas y el

estado en el instante de muestreo. Se puede decir que el sistema evoluciona entre

estados discretos para instantes (k-1)T, kT, (k+1)T, ..., siendo T el periodo de reloj

.3 Circuitos Lógicos Programables

Un CLP es una máquina electrónica la cual es capaz de controlar máquinas e

incluso procesos a través de entradas y salidas. Las entradas y las salidas pueden

ser tanto analógicas como digitales.

Las formas como los CLP intercambian datos con otros dispositivos son muy

variadas. Típicamente un CLP puede tener integrado puertos de comunicaciones

seriales que pueden cumplir con distintos estándares de acuerdo al fabricante.

Que otro tipo de circuitos existen

CIRCUITOS COMBINACIONALES: como se sabe un circuito es el cual su salida

solo depende de la combinación de sus entradas en el momento que se esta

realizando la medida en la salida.

Analizando el circuito, con compuertas digitales, se sabe que la salida de cada

compuerta depende de las entradas.

CIRCUITOS SECUENCIALES:

en este caso hay una realimentación de una señal de salida hacia la entrada. Se

sabe que la salida de la compuerta OR es realimentada y se utiliza como entrada

de la compuerta AND inferior, quiere decir que una salida (F) del circuito digital

dependerá de las entradas (Ay B) pero también dependerá de la salida (F) la que

se realimenta.

CIRCUITOS PROGRAMABLES:

estos se diseñan a petición de un cliente para que resuelvan una determinada

aplicación, estos llevan un alto costo de desarrollo y su empleo solo se usa para

volúmenes de producción muy elevados. El tiempo que se necesita para lograr la

construcción de un CL, puede ser muy variado ya que este puede llevar de unos

cuantos meses hasta algunos años.

CIRCUITOS NEUMATICOS

Los circuitos neumáticos son instalaciones que se emplean para generar,

transmitir y transformar fuerzas y movimientos por medio del aire comprimido.

Un circuito neumático está formado por los siguientes elementos:

El generador de aire comprimido, que es el dispositivo que comprime el aire de

la atmósfera hasta que alcanza la presión necesaria para que funcione la

instalación.

Las tuberías y los conductos, a través de los que circula el agua o la casa

Los actuadores, como los cilindros y los motores, que son los encargados

de convertir los tubos en émbolos y moverlos para accionar el circuito.

Los elementos de control, como las válvulas distribuidoras. Las válvulas

abren o cierran el paso del aire.

Los tornillos eléctricos que sirven para las puertas de los medios de

transportes.

Los circuitos neumáticos utilizan aire a presión como medio para la transmisión de

una fuerza. El aire se toma directamente de la atmósfera y se deja salir libremente

al final del circuito, habitualmente a través de un silenciador, pues de lo contrario

resultan muy ruidosos. La distancia entre el depósito hasta el final del circuito

puede ser de decenas de metros. La neumática resulta útil para esfuerzos que

requieran cierta precisión y velocidad.

ELEMENTOS DE UN CIRCUITO NEUMÁTICO SENCILLO

Circuitos hidráulicos.

En los circuitos hidráulicos, el fluido es un líquido, que es capaz de transmitir presión a lo largo del circuito. Se puede utilizar agua, aceite o nitrógeno líquido, pero habitualmente se emplea aceite industrial, que se obtiene de la destilación del petróleo, razón por la cual, en ocasiones se usa el término “circuitos oleohidráulicos”. La hidráulica resulta útil para esfuerzos que requieren bastante fuerza,

aunque no sean muy precisos, siendo útil para conseguir movimientos

lentos, constantes y seguros, como en los aviones: los flaps de las

alas, el tren de aterrizaje o los frenos de las ruedas.

ELEMENTOS DE UN CIRCUITO HIDRÁULICO SENCILLO

Fluidos hidráulicos y sus principales características.

Los fluidos que se utilizan en los circuitos hidráulicos han de cumplir los fines para

los que se ha creado, entre ellos el principal es la transmisión de la fuerza

aplicada, para ello es importante que el fluido sea incompresible. También es

importante la capacidad de lubricación de las piezas móviles del circuito, la

protección de estas frente a la oxidación y la corrosión, igualmente puede evacuar

el calor producido en el rozamiento.

Viscosidad

Representa la dificultad que tiene un líquido para fluir a través de un orificio, está

influida por la temperatura de forma inversamente proporcional, ya que al

aumentar la temperatura disminuye la viscosidad. Una de las unidades de

viscosidad son los grados Engler (ºE), se calculan mediante el cociente entre el

tiempo que tarda en fluir un aceite por un orificio calibrado y el tiempo que tardaría

en fluir igual cantidad de agua por el mismo orificio calibrado. En la practica una

de las formas más utilizadas de medir la viscosidad es los grados SAE.

Índice de viscosidad

El índice de viscosidad expresa como varia la viscosidad con la temperatura, de

forma que un índicede viscosidad alto se da cuando la viscosidad varía muy poco

con los cambios de temperatura.

Elementos de un circuito hidráulico.

-Bombas hidráulicas.

Las bomba hidráulica es un elemento esencial en todo circuito, ya que es la

encargada de transformar la energía mecánica en energía hidráulica ( caudal y/o

presión del fluido hidráulico en un circuito).

CIRCUITOS NEUMÁTICOS E HIDRÁULICOS

APLICACIONES NEUMATICAS E HIDRAULICAS.

La Neumática y la Hidráulica se encargan respectivamente del estudio de las

propiedades y aplicaciones de los gases comprimidos y de los líquidos. Aunque

las aplicaciones de los fluidos (gases y líquidos) a presión no son nuevas, lo que sí

es relativamente reciente es su empleo en circuitos cerrados en forma de sistemas

de control y actuación. Los circuitos [[#|neumáticos]] e hidráulicos se suelen

utilizar en aplicaciones que requieren movimientos lineales y grandes fuerzas. Los

siguientes son algunos ejemplos de aplicación:

Maquinaria de gran potencia: Grandes máquinas como excavadoras,

perforadoras de túneles, prensas industriales, etc., emplean fundamentalmente

circuitos hidráulicos.

Producción industrial automatizada: En los procesos de fabricación se emplean

circuitos neumáticos e hidráulicos para realizar la transferencia y posicionamiento

de piezas y productos.

Accionamiento de robots: Para producir el movimiento de las articulaciones de

un robot industrial y de las atracciones de feria, se emplean principalmente

sistemas de neumática.

Máquinas y herramientas de aire comprimido: Herramientas como el

martillo [[#|neumático]], los atornilladores neumáticos o las máquinas para pintar

a pistola, son ejemplos de uso de la neumática.

CIRCUITO ELECTRICO

Un circuito es una red eléctrica (interconexión de dos o más componentes, tales

como resistencias, inductores, condensadores, fuentes, interruptores y semicondu

ctores) que contiene al menos una trayectoria cerrada. Los circuitos que contienen

solo fuentes, componentes lineales (resistores, condensadores, inductores) y

elementos de distribución lineales (líneas de transmisión o cables) pueden

analizarse por métodos algebraicos para determinar su comportamiento

en corriente directa o en corriente alterna. Un circuito que tiene componentes

electrónicos es denominado un circuito electrónico. Estas redes son generalmente

no lineales y requieren diseños y herramientas de análisis mucho más complejos.

Partes

Figura 1: circuito ejemplo.

Componente: Un dispositivo con dos o más terminales en el que puede fluir

interiormente una carga. En la figura 1 se ven 9 componentes entre resistores

y fuentes.

Nodo: Punto de un circuito donde concurren más de dos conductores. A, B, C,

D, E son nodos. Nótese que C no es considerado como un nuevo nodo, puesto

que se puede considerar como un mismo nodo en A, ya que entre ellos no

existe diferencia de potencial o tener tensión 0 (VA - VC = 0).

Rama: Conjunto de todas las ramas comprendidos entre dos nodos

consecutivos. En la figura 1 se hallan siete ramales: AB por la fuente, BC por

R1, AD, AE, BD, BE y DE. Obviamente, por un ramal sólo puede circular una

corriente.

Malla: Cualquier camino cerrado en un circuito eléctrico.

Fuente: Componente que se encarga de transformar algún tipo de energía en

energía eléctrica. En el circuito de la figura 1 hay tres fuentes: una de

intensidad, I, y dos de tensión, E1 y E2.

Conductor: Comúnmente llamado cable; es un hilo de resistencia

despreciable (idealmente cero) que une los elementos para formar el circuito.

Clasificación

Los circuitos eléctricos se clasifican de la siguiente forma:

Tipo de Señal:

1-corriente continua

2-corriente alterna

Tipo de Régimen:

1-Corriente periódica-

2-Corriente transitoria.

3-Permanente.

Tipos de Componentes:

1-Eléctricos.

2-Electrónicos: en

- Digitales.

-Analógicos.

-Mixtos.

Tipos de Configuración:

1-Serie.

2-Paralelo.

3-Mixto.

Partes del circuito eléctrico

RECEPTOR: Transforma energía eléctrica en cualquier tipo de energía. GENERADOR: Transforma cualquier tipo de energía en energía eléctrica. LÍNEA: Transporta la corriente eléctrica. Partes del circuito eléctrico

APLICACIÓN DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS:

1.- La fuente de energía, el transformador del poste de la compañía de luz. 2.- El circuito, los cables o instalación eléctrica de una casa. 3.- Las cargas resistivas (porque son resistencias), los focos y las parrillas que usas, así como la cafetera. 4.- Las cargas inductivas (porque usan motores y receptores como antena), El motor del refrigerador, el horno del microhondas, el televisor , el motor de la lavadora. 5.- Los interruptores ("apagadores"), son para interrumpir el cierre del circuito o deje de circular corriente hacia tu foco o aparato específico. 6.- la caja de "pastillas" ó "breaker", son interruptores térmicos y magnéticos que t protegen cuando sobrecargas con muchos aparatos tu instalación porque se accionan (interrumpen). protegen también de cortocircuitos. 7-De hecho todos los aparatos eléctricos o electrónicos de audio, video, juegos y celulares son circuitos eléctricos, ya que tienen una fuente de energía que bien puede ser con baterías.

8-El alumbrado de las calles. Avenidas, carreteras, edificios, casas, locales,

urbanizaciones, avisos. .

9-En los automoviles, ya que tienen faros y el mismo motor requiere

alimentación eléctrica para hacer la chispa en las bujías.

10-En la industria donde se usan motores eléctricos

11-En los hospitales que usan gran cantidad de aparatos eléctricos,

12-En Las Empresas utilizan diferentes equipos eléctricos y maquinarias.

13- Entre otros.

Circuitos Electrónicos.

Son placas compuestas por materiales semiconductores, materiales activos y

pasivos, cuyo funcionamiento depende del flujo de electrones para la generación,

transmisión, recepción, almacenamiento de información, entre otros. Esta

información puede consistir en voz o música como en un receptor de radio, en una

imagen en una pantalla de televisión, o en números u otros datos en un ordenador

o computadora.

APLICACIÓN: En general los aparatos llamados electrónicos utilizan la energía

eléctrica para “procesar información”, el ejemplo más claro es un ordenador pero

cualquier otro aparato electrónico recibe, transforma o emite información.

Teléfonos, equipos de sonido, de vídeo, televisión, radio. Son aparatos que

procesan diferentes formas de información, la imagen, el sonido, el nivel de

iluminación, de temperatura, etc. Todos estos aparatos contienen en su interior

“circuitos electrónicos”, estos circuitos se construyen mediante “componentes

electrónicos”. sencillos)

COMPONENTES ELECTRÓNICOS

Resistencias, condensador, Reóstatos, Transformador, Diodo, Pila ( acumulador, batería), Fusible, Relé, Transistores, Circuitos Integrados, bobina

ÁLGEBRA DE BOOLE BIVALENTE

Éste es el caso particular que nos interesa ya que es el usado en los circuitos lógicos. Ésta se define como un conjunto de dos elementos {0, 1} y que cumplen las reglas para los operadores binarios + y • tal como se muestra en la siguiente tabla:

X Y X+Y X•Y X'

0 0 0 0 1

0 1 1 0 1

1 0 1 0 0

1 1 1 0 0

Éstas son las reglas de algunas de las operaciones lógicas, en particular de las conocidas como OR (para +), AND (para •) y NOT (para el complemento). Éstas son las tres operaciones lógicas básicas pero existen otras tal como el XOR u OR exclusivo pero de éstas se hablará luego. Las operaciones lógicas AND y OR tiene analogía en un circuito eléctrico. En el caso de la AND, visualicen un circuito con dos interruptores en serie y una carga, digamos un bombillo. Para que el bombillo se prenda, ambos interruptores deben estar cerrados

. El circuito de la OR sería con los interruptores en paralelo. Si uno de ellos o ambos están cerrados, el bombillo se enciende. La tabla anterior en la que se muestra la información es una forma ampliada de una tabla de la verdad. En realidad, la tabla de la verdad lo que muestra es el posible resultado que se puede generar de las distintas combinaciones de los valores posibles de las variables involucradas, en este caso, “x” y “y”, según una función u operación. Las tres primeras columnas de la tabla anterior reflejan la tabla de la verdad de la operación lógica OR. La primera, segunda y cuarta columna reflejan la tabla de la verdad de la operación lógica AND. Las tablas de la verdad son de gran ayuda sobre todo al momento de querer simplificar o entender funciones lógicas. Ya llegaremos a ello. NOTA: Las tablas de la verdad de las distintas operaciones lógicas son algo que deben aprender perfectamente. En realidad no es difícil ya que solemos pensar de esa forma. Por ejemplo cuando decimos quiero café Y leche se entiende perfectamente que se quieren las dos cosas. Una AND. Solo se cumple si ambas cosas son ciertas. En el caso del OR en realidad hay una diferencia ya que nosotros gramaticalmente interpretamos un O refiriéndonos a que se cumple una cosa o la otra pero no ambas. Quiero una camisa Blanca O Negra. El OR presenta el caso de que si ambos son ciertos entonces el resultado también es cierto. Se ve que la ley conmutativa es obvia en la tabla. La ley distributiva puede ser demostrada a partir de la misma. Vemos los elementos identidad. También se puede concluir que x + x' = 1 y x • x' = 0. Cumple con los postulados. LEYES Y TEOREMAS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE

Leyes fundamentales

1. El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único.

2. Ley de idempotencia: A + A = A y A • A = A

3. Ley de involución: (A')' = A

4. Ley conmutativa: A + B = B + A y A • B = B • A

5. Ley asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C y A • (B • C) = (A • B) • C

6. Ley distributiva: A + B • C = (A + B) • (A + C) y A • (B + C) = A • B + A • C

Ley de absorción: A + A • B = A y A • (A + B) = A

7. Ley de De Morgan: (A + B)' = A' • B' y (A • B)' = A' + B'

ALGEBRA DE BOOLE.

El diseño de circuitos de distribución y computadoras, y sus aplicaciones van

en aumento en muchas otras áreas. En el nivel de lógica digital de una

computadora, lo que comúnmente se llama hardware y que está formado

por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaja con diferencias

de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos

que forman el nivel. Estas funciones, en la etapa de diseño del hardware, son

interpretadas como funciones de Boole.

George Boole (1815-1864) presentó el primer tratamiento sistemático de la lógica y para ello, desarrolló un sistema algebraico, conocido ahora como Álgebra de Boole. Además de sus aplicaciones al campo de la lógica, el álgebra de Boole ha tenido dos aplicaciones importantes: el tratamiento de conjuntos mediante las operaciones de unión e intersección que ha servido de base a la teoría de la probabilidad y el diseño de circuitos digitales combinacionales. APLICACIONES DEL ALGEBRA BOOLEANA: 1.- ALGEBRA BOOLEANA APLICADA A LA INFORMATICA. Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico ó un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación se traduce en falso (falso) o true (verdadero) respectivamente. Una variable puede NO ser de tipo booleano y guardar valores que en principios no son booleanos, ya que globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numéricos normalmente aunque también algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres finalizando en valor booleano. 2.- ALGEBRA DE BOOLE LIGADA A LA COTIDIANIDAD.

Todas las operaciones que se realiza en un sistema digital, ya sea un computador, un teléfono móvil, un reloj o una calculadora, utiliza las operaciones definidas por el algébra de Boole para realizar sus funciones. Unas veces estas funciones vendrán implementadas por un software y otras por un hardware, ya que el álgebra Boole se extiende a partir de la lógica para definir todas las operaciones aritméticas como las sumas y las multiplicaciones.

Aplicación e importancia de los circuitos del algebra de boole y compuertas logicas

El ALGEBRA DE BOOLES, se denomina así en honor a George Boole (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de1864), matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico, inicialmente en un pequeño folleto: The Mathematical Analysis of Logic ,publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y Sir William Hamilton. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. Más tarde como un libro más importante: The Laws of Thought2, publicado en 1854.En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos: • Al análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos. • Al diseño, ya que teniendo una función aplicamos dicha álgebra, para poder desarrollar una implementación de la función. EL Algebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y Si (AND,OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

ELEMENTOS Y OPERADORES LÓGICOS: El álgebra de Boole se compone de un conjunto de dos elementos o estados mutuamente excluyentes, que en el caso de los sistemas digitales es {0,1}, aunque en otros campos

de aplicación puede ser distinto (por ejemplo, en lógica se utilizan los valores VERDADERO y FALSO). Por lo tanto, en los sistemas digitales, las variables lógicas o booleanas pueden tomar sólo el valor 0 o el 1. Físicamente estos dos estados se implementan mediante dos valores o rango de valores de una variable física, usualmente voltaje, por ejemplo, de 0 a 3voltios para designar el 0, y de 4 a 5 voltios para designar el 1.

Sobre los elementos y variables lógicas se pueden realizar las siguientes operaciones: Notación Función Operación Significado matemática lógica A+B vale 1 sólo cuando A o B o ambas Suma A+B OR valen 1Producto A·B AND A·B vale 1 sólo cuando A y B valen 1 Conmuta (cambia) el estado de la Complemento A NOT variable En la práctica el operador del producto lógico (·) se suele omitir, por lo que la expresión A·Bse escribe AB.Se pueden demostrar, bien algebraicamente mediante los postulados, o bien mediante una tabla de verdad.

PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE BOOLE:

Ley de idempotencia: Es la propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aún así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez .a.a=aa + a= a

Ley de involución: Nos dice que si a una negación se le da una negación, da como resultad un positivo.=a=a

Ley conmutativa: Sólo quiere decir que puedes intercambiar los números cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va a ser la misma. a.b=b.aa + b= b + a

Ley asociativa:

Quieren decir que no importa cómo agrupes los números (o sea, qué calcula primero) cuando sumas o cuando multiplicas a . (b . c) = ( a . b) . c

Ley distributiva: Quiere decir que la respuesta es la misma cuando sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o haces cada

multiplicación por separado y luego sumas los resultados a.(b+c)=(a.b)+(a.c)

Ley de cancelación: Dice que en un ejercicio dado después de un proceso se cancela el termino independiente.(a . b ) + a = a(a+b).a=a

Leyes de Morgan : declaran que la suma de n variables globalmente negadas (o invertidas) es igual al producto de las n variables negadas individualmente; y que • inversamente, el producto den variables globalmente negadas es igual a la suma de • Ley conmutativa las n variables negadas individualmente (a+b)=û.b(a . b ) = a + b

COMPUERTAS LÓGICAS

Las computadoras digitales utilizan el sistema de números binarios, que tiene dos dígitos 0 y 1. Un dígito binario se denomina un bit. La información está representada en las computadoras digitales en grupos de bits. Utilizando diversas técnicas de codificación los grupos de bits pueden hacerse que representen no solamente números binarios sino también otros símbolos discretos cualesquiera, tales como dígitos decimales o letras de alfabeto. Utilizando arreglos binarios y diversas técnicas de codificación, los dígitos binarios o grupos de bits pueden utilizarse para desarrollar conjuntos completos de instrucciones para realizar diversos tipos de cálculos.

La información binaria se representa en un sistema digital por cantidades físicas denominadas señales, Las señales eléctricas tales como voltajes existen a través del sistema digital en cualquiera de dos valores reconocibles y representan una variable binaria igual a 1 o 0. Por ejemplo, un sistema digital particular puede emplear una señal de 3 volts para representar el binario "1" y 0.5 volts para el binario "0". La siguiente ilustración muestra un ejemplo de una señal binaria.

Como se muestra en la figura, cada valor binario tiene una desviación aceptable del valor nominal. La región intermedia entre las dos regiones permitidas se cruza solamente durante la transición de estado. Los terminales de entrada de un circuito digital aceptan señales binarias dentro de las tolerancias permitidas y los circuitos responden en los terminales de salida con señales binarias que caen dentro de las tolerancias permitidas.

La lógica binaria tiene que ver con variables binarias y con

operaciones que toman un sentido lógico. La manipulación de información binaria se hace por circuitos lógicos que se denominan Compuertas.

Las compuertas son bloques del hardware que producen señales en binario 1 ó 0 cuando se satisfacen los requisitos de entrada lógica. Las diversas compuertas lógicas se encuentran comúnmente en sistemas de computadoras digitales. Cada compuerta tiene un símbolo gráfico diferente y su operación puede describirse por medio de una función algebraica. Las

relaciones entrada - salida de las variables binarias para cada compuerta pueden representarse en forma tabular en una tabla de verdad.

A continuación se detallan los nombres, símbolos, gráficos, funciones algebraicas, y tablas de verdad de las compuertas más usadas.

Compuerta AND: (ver funcionamiento)

Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x. La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto

es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1. El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética

ordinaria (*). Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.

Compuerta OR: (ver funcionamiento)

La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la

salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.

Compuerta NOT: (ver funcionamiento)

El circuito NOT es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria. Produce el NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un

inversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.

Compuerta Separador (yes):

Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador, el cual no produce ninguna función lógica particular

puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada.

Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza 5 volt para el binario 1, producirá una salida de 5 volt cuando la entrada es 5 volt. Sin embargo, la corriente producida a la salida es muy superior a la corriente suministrada a la entrada de la misma.

De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador.

Compuerta NAND: (ver funcionamiento)

Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico, que consiste en una compuerta AND seguida por un pequeño círculo (quiere decir que invierte la señal).

La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que es la función AND la que se ha invertido. Las compuertas NAND pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función AND.

Compuerta NOR: (ver funcionamiento)

La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y

utiliza el símbolo de la compuerta OR seguido de un círculo pequeño (quiere decir que invierte la señal). Las compuertas NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función OR.

COMPUERTAS LOGICA son dispositivos electrónicos utilizados para realizar lógica de conmutación. Son el equivalente a interruptores eléctricos o electromagnéticos. Recordemos que para utilizar apropiadamente estas compuertas es necesario entenderla lógica binaria o el algebra booleana (desarrollada por George Boole en el año de 1854)la cual en nuestros días nos permite desarrollar y diseñar componentes y sistemas utilizando simplemente proposiciones lógicas verdadero/falso que en electrónica es entendida como “Ceros” y “Unos” lógicos. Actualmente la tecnología permite integrar transistores en los diminutos y ya muy conocidos circuitos integrados. Dichos transistores sirven como puertas que permiten o impiden el paso de corrientes eléctricas con lo cual podemos materializar la idea de las proposiciones lógicas booleanas. Existen diferentes compuertas lógicas y aquí mencionaremos las básicas pero a la vez quizá las más usadas:

Compuerta AND: Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x . La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0.Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1

solamente cuando ambas entradas A y B están en 1. El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*).Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.

Compuerta OR: La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0.El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1

Compuerta NOT: El circuito NOT es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria. Produce el NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.

Compuerta Separador (yes): Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador, el cual no produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada. Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza 5 volt para el binario 1, producirá una salida de 5 volt cuando la entrada es 5 volt. Sin embargo, la corriente producida a la salida es muy superior a la corriente suministrada a la entrada de la misma. De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador.

Compuerta NAND: Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico, que consiste en una compuerta AND seguida por un pequeño círculo (quiere decir que invierte la señal).La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que es la función AND la que

se ha invertido .Las compuertas NAND pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función AND.

Compuerta NOR: La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza el símbolo de la compuerta OR seguido de un círculo pequeño (quiere decir que invierte la señal). Las compuertas NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función OR En uso simple pudiera parecer que no tiene sentido alguno el uso de las compuertas lógicas, pero si revisamos más a fondo que este solo es el principio de los diseños y nos damos cuenta que bajo este principio es como un sistema va tomando decisiones entonces podremos entender la importancia de estos pequeños circuitos. El simple hecho de presionar una sola tecla en nuestra computadora hará que se realicen en microsegundos una serie de operaciones lógicas binarias para poder desplegar el valor de esa tecla en pantalla. Esto puede ser posible gracias a la infinidad de compuertas lógicas (entre otros componentes) integradas en el microprocesador de nuestra computadora.

INFERENCIA

Es la acción y efecto de inferir (deducir algo, sacar una consecuencia de otra cosa, conducir a un resultado). La inferencia surge a partir de una evaluación mental entre distintas expresiones que, al ser relacionadas como abstracciones, permiten trazar una implicación lógica.

El silogismo es una forma esencial de inferencia. Se trata de una forma de razonamiento deductivo que se forma por dos proposiciones (premisas) y una conclusión. Esta conclusión es la inferencia que necesariamente se deduce de las dos premisas. La veracidad de la conclusión dependerá de las leyes que regulan la relación entre las premisas comparadas. La garantía de verdad del nuevo juicio es la lógica, que deberá establecer distintas clasificaciones de las premisas. No todas las inferencias ofrecen conclusiones verdaderas. Es posible afirmar que todos los perros son animales peludos de cuatro patas, pero no se puede inferir que todos los animales peludos con cuatro patas son perros. Las inferencias suelen generarse a partir de un análisis de características y probabilidades. Si alguien hace referencia a un

animal de cuatro patas, peludo y que mueve la cola, puedo inferir que lo más probable es que esté haciendo referencia a un perro.

La inferencia o implicación es la base de un pensamiento lógico o relacional. La inferencia es una secuencia discursiva que parte de una proposición y debe llegar a otra proposición llamada conclusión.

En cuanto a la Inferencia aplicada al conocimiento del comportamiento humano:

Se puede inferir todo lo que sea inteligible. Dentro del campo de la inteligencia humana, encontramos campos muy interesantes, tal como la inteligencia emocional. Dado que el cerebro humano está sujeto a leyes físicas, existe la posibilidad de que el comportamiento humano sea potencialmente previsible, con un grado de incertidumbre, al mismo grado que el resto de ciencias lo pudiera ser, pues todas se basan en la inteligencia del hombre. La capacidad de inferir el sentimiento humano se llama empatía; cada sentimiento motiva a actuar de cierta manera. La capacidad de predecir como va a actuar cierta persona roza lo esotérico, pero nada más lejos de la realidad, se pueden generar modelos de comportamientos humanos y el grado de exactitud de la predicción dependerá de lo empático que sea la persona (Dado que la única máquina capaz de reproducir una mente, hasta la fecha, es un cerebro humano).

Reglas de Inferencia clásicas. Algunas de las reglas de inferencia más conocidas son:

En la lógica proposicional:

Modus ponendo ponens

Modus ponendo tollens

Modus tollendo ponens

Modus tollendo tollens

Silogismo hipotético

Silogismo disyuntivo

En la lógica de primer orden:

Regla de Generalización universal

En la lógica modal:

Regla de Necesitación

REGLAS DE INFERENCIA

La inferencia es la forma en la que obtenemos conclusiones en base a datos y declaraciones establecidas.

En lógica, especialmente en lógica matemática, una regla de inferencia es un esquema para construir inferencias válidas. Estos esquemas establecen relaciones sintácticas entre un conjunto de fórmulas llamados premisas y una aserción llamada conclusión.

Una inferencia puede ser: Inductiva, deductiva, transductiva y abductiva. Inductiva (de lo particular a lo general) Aquí por ejemplo si durante la primera semana el maestro llega 10 minutos

tarde, podemos concluir que todo el semestre va a llegar tarde. Esta conclusión no necesariamente es válida porque puede ser que el maestro algún día llegue temprano. En general una inferencia inductiva es la que se desprende de una o varias observaciones y en general no podemos estar seguros de que será verdadero lo que concluímos.

En este caso podemos mencionar el ejemplo el mentiroso: Un joven le dice a un amigo, tu todos los días dices mentiras, y el contesta, no es cierto, ayer en todo el día no dije una sóla mentira.

Resumiendo, la inferencia inductiva es la ley general que se obtiene de la observación de uno o más casos y no se puede asegurar que la conclusión sea verdadera en general.

Deductiva (de lo general a lo particular) Cuando se conoce una ley general y se aplica a un caso particular, por

ejemplo se sabe que siempre que llueve hay nubes, concluímos que el día de hoy que está lloviendo hay nubes. También se conoce como inferencia deductiva cuando tenemos un caso que analiza todos los posibles resultados y de acuerdo a las premisas sólo hay una posible situación, en este caso decimos que la situación única es la conclusión. Es este caso estamos seguros de que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también lo es.

En este caso se encuentran MPP: Modus Ponendo Ponens y MTT: Modus Tollendo Tollens que de acuerdo a la tabla de verdad de la condicional son dos formas de establecer una inferencia válida. La inferencia deductiva es la única aceptada como válida en matemáticas y computación para hacer

comprobaciones y sacar conclusiones. El tema se discute en forma detallada más delante en INFERENCIA DEDUCTIVA CON UNA CONDICIONAL.

Transductiva (de particular a particular o de general a general) con el mismo caso del maestro que llega tarde durante los primeros días y concluímos que el lunes siguiente también llegará tarde. O del amigo que varias veces nos ha mentido y concluímos que lo que nos dice es ese momento es mentira.

El anterior sería de particular a particular, un caso de general a general es por ejemplo de un compañero maestro que la primera vez que impartió matemáticas discretas observó que todos los alumnos estudiaban, concluyó que para el siguiente semestre todos los alumnos iban a estudiar.

Este es un caso donde como en el caso inductivo, no podemos estar seguros de que la conclusión es verdadera.

Abductiva es semejante a la deductiva, también utiliza la estrategia de analizar todas las posibilidades, pero en este caso hay varios casos que se pueden presentar, como por ejemplo si se sabe que siempre que llueve hay nubes y se sabe que hay nubes se puede concluir que llueve, pero no se tiene la certeza, al igual que el caso inductivo y transductivo no es una forma válida de obtener conclusiones en matemáticas o en lógica y es necesario conocer más información para poder verificar la validez.

PRINCIPALES REGLAS DE INFERENCIA

MPP Modus ponendo ponens

A → B

A

- - - - -

B

MTT Modus tollendo tollens

A → B

¬B

- - - - -

¬A

SD Silogismo Disyuntivo

A ∨ B

¬A

- - - - -

¬B

SH Silogismo hipotético

A → B

B → C

- - - - -

A → C

LS Ley de simplificación

A ∧ B

- - - - -

A

LA Ley de adición

A

- - - - -

A ∨ B

CONTRAPOSITIVA

A → B

- - - - -

¬B → ¬A

La comprobación de las reglas anteriores es directa y basta hacer una fórmula con la conjunción de las premisas condicional la conclusión y probar que es una tautología, por ejemplo haciendo una tabla y obtener todos los vaores verdaderos

MODUS PONENDO PONENS (PP)

En lógica, modus ponendo ponens (en latín, modo que afirmando afirma),

también llamado modus ponens y generalmente abreviado MPP o MP, es

una regla de inferencia que tiene la siguiente forma:

Si A, entonces B

A Por lo tanto, B

Por ejemplo, un razonamiento que sigue la forma del modus ponens podría

ser:

Si está soleado, entonces es de día.

Está soleado.

Por lo tanto, es de día.

Otro ejemplo sería

Si Javier tiene rabia, es una nube.

Javier tiene rabia.

Por lo tanto, Javier es una nube.

Otra manera de presentar el modus ponens con el condicional es:

Y aún otra manera es a través de la notación del cálculo de secuentes: Con

condicional:

En la axiomatización de la lógica proposicional propuesta por JanŁ

ukasiewicz, el modus ponens es la única regla de inferencia primitiva. Esto ha

motivado que mucha de la discusión en torno alproblema de la justificación

de la deducción se haya centrado en la justificación del modus ponens.

p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan” (premisa)

p “Llueve” (premisa)

___________________________________________

q “Luego, las calles se mojan” (conclusión)

El condicional o implicación es aquella operación que establece entre dos

enunciados una relación de causa-efecto. La regla ‘ponendo ponens’

significa, “afirmando afirmo” y en un condicional establece, que si el

antecedente (primer término, en este caso p) se afirma, necesariamente se

afirma el consecuente (segundo término, en este caso q).

MODUS TOLLENDO TOLLENS (TT)

‘Tollendo tollens’ significa “negando, niego”, y se refiere a una propiedad

inversa de los condicionales, a los que nos referíamos en primer lugar.

p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan”

¬q “Las calles no se mojan”

__________________________________________________

¬p “Luego, no llueve”

Si de un condicional, aparece como premisa el consecuente negado (el

efecto), eso nos conduce a negar el antecedente (la causa), puesto que si un

efecto no se da, su causa no ha podido darse.

Esto nos permite formular una regla combinada de las ambas anteriores,

consecuencia ambas de una misma propiedad de la implicación; la

regla ponendo ponens sólo nos permite afirmar si está afirmado el

antecedente (el primer término de la implicación), y la regla tollendo tollens

sólo nos permite negar a partir del consecuente (segundo término de la

implicación); ambas consecuencias se derivan de que la implicación es una

flecha que apunta en un único sentido, lo que hace que sólo se pueda afirmar

a partir del antecedente y negar sólo a partir del consecuente.

DOBLE NEGACIÓN (DN)

¬¬p ↔ p

El esquema representa, “p doblemente negada equivale a p”. Siguiendo el

esquema de una inferencia por pasos, la representaríamos así:

¬¬p “No ocurre que Ana no es una estudiante”

_________________________________________________

p “Ana es una estudiante”

La regla ‘doble negación’, simplemente establece que si un enunciado está

doblemente negado, equivaldría al enunciado afirmado.

ADJUNCIÓN Y SIMPLIFICACIÓN

Adjunción (A): Si disponemos de dos enunciados afirmados como dos

premisas separadas, mediante la adjunción, podemos unirlos en una sola

premisa utilizando el operador Λ(conjunción).

p “Juan es cocinero”

q “Pedro es policía”

__________________________________

p Λ q “Juan es cocinero y Pedro es policía”

Simplificación (S): obviamente, es la operación inversa. Si disponemos de un

enunciado formado por dos miembros unidos por una conjunción, podemos

hacer de los dos miembros dos enunciados afirmados por separado.

p Λ q “Tengo una manzana y tengo una pera”

____________________________________________

p “Tengo una manzana”

q “Tengo una pera”

MODUS TOLLENDO PONENS (TP)

La disyunción, que se simboliza con el operador V, representa una elección

entre dos enunciados. Ahora bien, en esa elección, forma parte de las

posibilidades escoger ambos enunciados, es decir, la verdad de ambos

enunciados no es incompatible, si bien, ambos no pueden ser falsos.

A partir de lo anterior, se deduce la siguiente regla,

denominada tollendoponens (negando afirmo): si uno de los miembros de

una disyunción es negado, el otro miembro queda automáticamente

afirmado, ya que uno de los términos de la elección ha sido descartado.

p V q “He ido al cine o me he ido de compras”

¬q “No he ido de compras”

__________________________________________________________

p “Por tanto, he ido al cine”

LEY DE LA ADICIÓN (LA)

Dado un enunciado cualquiera, es posible expresarlo como una

elección (disyunción) acompañado por cualquier otro enunciado.

a “He comprado manzanas”

________________________________________________________

______

a V b “He comprado manzanas o he comprado peras”

SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH)

Dados dos implicaciones, de las cuales, el antecedente de la una sea el

consecuente de la otra (el mismo enunciado), podemos construir una nueva

implicación cuyo antecedente sea el de aquella implicación cuya

consecuencia sea el antecedente de la otra implicación, y cuyo consecuente

sea el de ésta última, cuyo antecedente era consecuencia del primero.

Expresado de otro modo, si una causa se sigue una consecuencia, y ésta

consecuencia es a su vez causa de una segunda consecuencia, se puede decir

que esa primera causa es causa de esa segunda consecuencia, del mismo

modo que, si una bola de billar roja golpea a otra bola blanca que a su vez

golpea a una bola negra, la bola roja es causa del movimiento de la bola

negra. Expresado en forma de inferencia lógica:

p → q “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola blanca se mueve”

q → r “Si la bola blanca golpea a la bola negra, la bola negra se mueve”

_______________________________________________________________

_______

p → r “Si la bola roja golpea a la bola blanca, la bola negra se mueve”

SILOGISMO DISYUNTIVO (DS)

Dadas tres premisas, dos de ellas implicaciones, y la tercera una disyunción

cuyos miembros sean los antecedentes de los condicionales, podemos

concluir en una nueva premisa en forma de disyunción, cuyos miembros

serían los consecuentes de las dos implicaciones. Lógicamente, si planteamos

una elección entre dos causas, podemos plantear una elección igualmente

entre sus dos posibles efectos, que es el sentido de esta regla.

p → q “Si llueve, entonces las calles se mojan”

r → s “Si la tierra tiembla, los edificios se caen”

p V r “Llueve o la tierra tiembla”

____________________________________________________

q V s “Las calles se mojan o los edificios se caen”

SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA (SD)

Si disponemos de dos premisas que corresponden a dos implicaciones con el

mismo consecuente, y sus antecedentes se corresponden con los dos

miembros de una disyunción, podemos concluir con el consecuente de

ambas implicaciones.

p V q “Helado de fresa o helado de vainilla”

p → r “Si tomas helado de fresa, entonces repites”

q → r “Si tomas helado de vainilla, entonces repites”

____________________________________________________

r Luego, repites

LEY CONMUTATIVA

Esta ley, no es válida para la implicación, pero sí para conjunción y para la

disyunción. Una conjunción es afirmar que se dan dos cosas a la vez, de

modo que el orden de sus elementos no cambia este hecho. Igualmente, una

disyunción es presentar una elección entre dos cosas, sin importar en qué

orden se presente esta elección. Así pues,

p Λ q ↔ q Λ p “«p y q» equivale a «q y p»”

p V q ↔ q V p “«p ó q» equivale a «q ó p»

LEYES DE MORGAN (DM)

Esta ley permite transformar una disyunción en una conjunción, y viceversa,

es decir, una conjunción en una disyunción. Cuando se pasa de una a otra, se

cambian los valores de afirmación y negación de los términos de la

disyunción/conjunción así como de la propia operación en conjunto, como

podemos observar aquí:

p Λ q p V q

___________ ____________

¬(¬p V ¬q) ¬(¬p Λ ¬q)

EJEMPLOS DE REGLAS DE INFERENCIA: Ejemplo: Dadas las condiciones escritas antes de la raya, qué podemos concluir? Si llueve hay nubes. Hay nubes.haces la tarea te llevo al cimos en el cine.- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Si se hace el experimento en un salón de clases o con un grupo de personas, en el primer caso todos contestan que no se sabe pues puede o no llover. Sin embargo en el segundo caso casi todos coinciden en que sí hay conclusión y que se está seguro que hizo la tarea. Analicemos los casos simbólicamente, en el primero: p: llueve q: hay nubes con símbolos queda: p → q q - - - - - - En el segundo caso

p: hacer la tarea

q: llevarlo al cine

- - - - - - - - - -

con símbolos:

p → q

q

- - - - - -

Observamos que en ambos casos es la misma estructura del argumento, por lo que en los dos casos se puede sacar conclusión válida o en ninguno. Pero no es posible que en uno sí y en el otro no. La respuesta correcta es que en ningún caso se puede obtener conclusión válida. A continuación se presentan los cuatro casos posibles de argumento con una condicional simple, de los cuales dos tienen conclusión válida y dos no.

EJERCICIO DE APLICACION REGLAS DE INFERENCIA INFERENCIA LOGICA: La inferencia lógica es la forma en la que se obtienen conclusiones a partir de datos y observaciones.

DEMOSTRACION LOGICA: Es el proceso por el cual encontramos la validez o no de razonamientos, mediante la utilización de reglas de inferencia.

EJERCICIO

Para el siguiente ejercicio es necesario primero simbolizar las premisas con letras mayúsculas, así como la conclusión dada (recuerde que la conclusión es la premisa que comienza con la frase “por lo tanto”).

Demostrar que las conclusiones son consecuencia de las premisas que aparecen en el ejercicio.

Dar una demostración completa teniendo en cuenta las reglas de inferencia aprendidas hasta el momento.

Gerencia

El gerente de una empresa es el encargado de muchas de las labores más importantes. Si es así, entonces ser gerente es un cargo difícil de manejar. La gente dice que, o los gerentes son personas de las que depende la empresa, o que sólo se dedican a despedir y contratar trabajadores. Pero si ellos sólo se dedican a contratar y despedir trabajadores, entonces ser gerente no es un cargo difícil de manejar. Además, si la gerencia no es un cargo que sólo quienes se han preparado para ello lo merecen, entonces sería falso que la gente diga que los gerentes son personas de las que depende la empresa y que el gerente es el encargado de muchas de las labores más importantes. Por lo tanto, la gerencia es un cargo que sólo quienes se han preparado para ello lo merecen.

P= El gerente de una empresa es el encargado de muchas de las labores más importantes.

Q= Ser gerente es un cargo difícil de manejar.

R= La gente dice que los gerentes son personas de las que depende la empresa.

S= La gente dice que los gerentes sólo se dedican a contratar y despedir trabajadores.

T= La gerencia es un cargo que sólo quienes se han preparado para ello lo merecen. (Conclusión).

1. P

2. P → Q

3. R V S

4. S → ~Q

5. ˜T→ ˜(R Λ P)

6. Q (MPP 1-2)

7. ~S (MTT 4-6)

8. R (MTP 3-7)

9. R Ʌ P (Ad. 1-8)

10. ~ (~T) (MTT 5-9)

11. T (DN 10)

Ejemplo 3: Si la ballena es un mamífero, entonces toma oxigeno del aire. Si toma su oxigeno del aire, entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por lo tanto no necesita branquias. Lo primero que hay que hacer es identificar cada una de las proposiciones simples p: La ballena es un mamífero q: La ballena toma su oxigeno del aire r: La ballena necesita branquias s: La ballena habita en el océano Se simboliza ahora el argumento p q (Primera premisa) q r (Segunda premisa) p s (Tercera premisa) ------------ r (Conclusión)

Pero veamos el procedimiento lógico para llegar a esta conclusión, es decir, la deducción proposicional 1) p q 2) q r 3) p s _______ 4) P 3.S 5) q 1,4 PP 6) r 2,5 PP Ejemplo 3: Si sigue lloviendo, entonces el río se crece.. Si sigue lloviendo y el río se crece, entonces el puente seráarrastrado por las aguas. Si la continuación de la lluvia hace que el puente sea arrastrado por las aguas, entonces no será suficiente un solo camino para toda la ciudad. O bien un solo camino es suficiente para toda la ciudad o bien los ingenieros han cometido un error. Por tanto, los ingenieros han cometido un error. Simbolizando las proposiciones c: continúa lloviendo r: el río crece p: el puente es arrastrado por las aguas s: un solo camino es suficiente para toda la ciudad La prueba formal de validez es: c r (Primera premisa) 2) (c r) p (segunda premisa) 3) (c p) s (Tercera premisa) 4) s e (cuarta premisa)_________________ ∴ e (conclusión) Veamos como se llega a la conclusión 1) c r 2) (c r) p 3) (c p) s 4) s e _____________

5) c → (c ∧ r) 1, Abs. 6) c → p 5,2, S.H. 7) ∼ s 3,6, P P. 8) e 4,7, TP. razonamientos e inferencias El término «razonamiento» tiene dos acepciones (que el diccionario recoge

en una sola: «acción y efecto de razonar» ): una procesal (la actividad del

agente que razona) y otra funcional (la relación entre las premisas y la

conclusión). La lógica se ocupa de los razonamientos en el sentido funcional.

En efecto, en el proceso que lleva de las premisas a la conclusión pueden

encadenarse múltiples pasos elementales. En la lógica se estudian las

condiciones bajo las cuales estos pasos son correctos, pero no cómo y en qué

orden deben realizarse: se supone que la mente dispone de los mecanismos

adecuados para hacerlo. De los aspectos procesales de los razonamientos se

ocupa la psicología, en el caso de que el agente sea humano. Pero si el

agente es un artefacto (que, con la tecnología actual, es lo mismo que decir

un ordenador) entonces es un asunto propio de la inteligencia artificial.

Una inferencia es simplemente un razonamiento formal, en el sentido de que lo importante es la forma de las premisas y la conclusión y la relación entre ellas, no su contenido.

Razonamientos deductivos

El adjetivo «válido», aplicado a un razonamiento, es sinónimo de «deductivo». Esto quiere decir que si las premisas son verdaderas entonces la conclusión con seguridad lo es también. Esta idea reviste gran importancia, de modo que vamos a ilustrarla con un ejemplo:

Premisa1:

Todos los libros sobre ordenadores son terriblemente aburridos

Premisa2:

Éste es un libro sobre ordenadores

Conclusión:

Este libro es terriblemente aburrido

Sobre la verdad o falsedad de estas dos premisas y de la conclusión pueden darse todas las combinaciones posibles, salvo una. En efecto, se puede «poner en duda» , o, mejor dicho, negar (en la lógica que estamos considerando de momento no se puede representar la dudar: las afirmaciones son o bien verdaderas o bien falsas) alguna de las premisas, o ambas, y considerar la conclusión falsa. Pero también se puede negar cualquiera de las premisas y considerar la conclusión verdadera (las premisas no son necesarias para la conclusión). Lo que de ninguna manera es posible es que, razonando correctamente, se esté de acuerdo con ambas premisas y no con la conclusión (las premisas son suficientes para la conclusión).

La palabra «formal» se refiere a que se presta atención exclusivamente a la forma, no al contenido del razonamiento. El ejemplo anterior y el clásico:

Premisa1:

Todos los hombres son mortales

Premisa2:

Sócrates es un hombre

Conclusión:

Sócrates es mortal

no es que sean «similares» , es que formalmente son el mismo razonamiento. Ambos obedecen al esquema:

Premisa1:

Todos los individuos u objetos que tienen la propiedad p tienen

también la propiedad q

Premisa2:

El individuo u objeto x tiene la propiedad p

Conclusión:

El individuo u objeto x tiene la propiedad q

Esta inferencia deductiva elemental recibe un nombre clásico: regla de modus ponens. Como veremos en los Capítulos 3 y 4, no es el único modo de razonamiento deductivo. Por ejemplo, este otro modo sigue la regla llamada modus tollens:

Premisa1:

Todos los libros sobre ordenadores son terriblemente aburridos

Premisa2:

Este libro no es terriblemente aburrido

Conclusión:

Este no es un libro sobre ordenadores

Razonamientos aproximados

En el Apartado 1.8 justificábamos la necesidad de considerar que puede haber incertidumbre, imprecisión y subjetividad en el conocimiento, y en el Apartado 2.3.3 vimos un método heurístico sencillo para cuantificar la incertidumbre y extender el modus ponens a los razonamientos aproximados. Dedicaremos el Capítulo 6 a los lenguajes lógicos que permiten formalizar estos razonamientos. Desde el punto de vista de la lógica formal, para acoger este tipo de razonamiento es preciso abandonar la «lógica binaria» , que aquella en la que las proposiciones son o verdaderas o falsas.

Razonamientos inductivos

En un razonamiento puramente deductivo las premisas respaldan totalmente a la conclusión. Pero hay otro tipo de razonamiento en el que las premisas respaldan la conclusión con cierta «fuerza» : tanto mayor es la fuerza cuanto mayor sea el número de premisas. El ejemplo clásico es el del observador que ve cisnes y hace este razonamiento:

Premisa 1: El cisne 1 es blanco

Premisa 2: El cisne 2 es blanco

Premisa 3: El cisne 3 es blanco

Conclusión: Todos los cisnes son blancos

En el razonamiento deductivo estamos seguros de que si las premisas son verdaderas la conclusión también lo es; ahora, claramente, no. Por otra parte, en el deductivo la conclusión puede ser verdadera aunque haya premisas falsas; aquí no: la falsedad de una premisa invalida la conclusión. Por eso suele decirse que el razonamiento deductivo preserva la verdad, mientras que el razonamiento inductivo preserva la falsedad.

El razonamiento deductivo, generalmente, va de lo general a lo particular, puesto que, normalmente (aunque no necesariamente) incluye alguna premisa de tipo general. El razonamiento inductivo que acabamos de ver es un razonamiento por generalización, que va de lo particular a lo general. Pero hay otros razonamientos inductivos que proceden por analogía. Baste un par de ejemplos:

(a) De lo general a lo general:

Todos los gorriones son pájaros y hacen nidos

Todas las gaviotas son pájaros y hacen nidos

Todos los cuervos son pájaros

Todos los cuervos hacen nidos

(b) De lo particular a lo particular:

A es político y es mentiroso

B es político y es mentiroso

C es político

C es mentiroso

La generalización inductiva es importante en el campo de la adqusición de conocimiento mediante aprendizaje y en la minería de datos. El razonamiento por analogía lo es en los sistemas de conocimiento basados en casos.

Razonamientos abductivos

Hay otro tipo de razonamiento que no es inductivo ni deductivo, y que, pese a su «debilidad» lógica se utiliza habitualmente para resolver problemas de diagnóstico. Se llama razonamiento abductivo(pero no tiene nada que ver con actividades de seres extraterrestres). Ya lo hemos comentado en el Apartado 2.3.2 al hablar de reglas de diagnóstico, donde también le hemos llamado razonamiento basado en hipótesis. Un ejemplo puede ser:

Premisa 1: «Todos los pacientes con hepatitis presentan ictericia»

Premisa 2: «Este paciente presenta ictericia»

Conclusión: «Este paciente tiene hepatitis»

Es bastante obvio que el razonamiento no es ni deductivo ni inductivo. Es otro tipo de «razonamiento aproximado» . De hecho, la conclusión debería formularse en estos términos: «viendo que este paciente presenta ictericia, puedo suponer, en principio, que tiene hepatitis, a menos que haya descartado esta hipótesis por otro motivo» .

La abducción está en la base de los sistemas basados en conocimiento que razonan con una lógica bayesiana (Apartado 6.2).

Razonamientos modales

La lógica «clásica» (la que estudiaremos en la segunda parte) es asertórica. Esto significa que no sólo es una «lógica binaria» , en las que las proposiciones no tiene otro valor semántico que «verdadero» o «falso» , sino que no admite matices de esa verdad o falsedad. Por ejemplo: «posiblemente sea verdad» , o «mañana será verdad» , o «el agente cree

que es verdad» . Estos matices se llaman en lógica modalidades, y el razonamiento con modalidades es típico de las actitudes intencionales (Apartado 1.9). Dedicaremos el Capítulo 7 a las lógicas que permiten formalizar estos razonamientos.

Razonamientos no monótonos

Mencionaremos finalmente un tipo de razonamiento que tiene que ver más con el proceso que con la conceptuación. Un razonamiento se llama monótono cuando a lo largo del proceso el conjunto de «cosas sabidas» es siempre creciente. Pero en la realidad suele ocurrir que, a medida que avanza el proceso de inferencias, nuevas evidencias o acciones del mismo sistema anulan premisas o conclusiones anteriores, y para formalizar esto se necesita una lógica no monótona. Un proceso frecuente es el razonamiento por defecto: suponer que algo es verdadero (o falso) mientras no haya evidencia de lo contrario. El sistema que razona debe tener en cuenta que la aparición de esa evidencia puede tener un efecto retroactivo sobre las conclusiones obtenidas

anteriormente, para lo que debe incluir un sistema de mantenimiento de la verdad.

A veces se escriben las premisas pensando más en el proceso que en su semántica declarativa. Es necesario asegurarse de que el proceso será exactamente el que estamos pensando. Un ejemplo es la regla 5 de la Figura 1.4, que puede parecer contradictoria («si no está endosado, entonces está endosado» ). Desde el punto de vista declarativo, veremos en el Apartado 3.3.2 que es lógicamente equivalente a decir «siempre está endosado» . Pero naturalmente no estamos pensando así al enunciar la regla: suponemos que en el proceso puede darse la situación de que el cheque, aunque completo, no esté endosado; la regla dice que en tal caso se pedirá la firma (se supone que esta acción da siempre un resultado positivo) y el

cheque pasará a estar endosado. Ahora bien, declarativamente (lógicamente), la regla es equivalente a la conjunción de estas dos:

(5a) Si talón_cumplimentado y NO talón_endosado entonces pedir firma

(5b) Si talón_cumplimentado entonces talón_endosado

Y es evidente que el resultado es incorrecto si se aplica (5b) antes que (5a).

Ejemplos de aplicación de las leyes de inferencia:

Ejemplo 1

En el siguiente ejercicio se propone un ejemplo de construcción de una prueba de validez:

Si gana Gloria o Héctor, entonces pierden tanto Jorge como Kelly. Gloria gana.

Por lo tanto, pierde Jorge.

Para analizar y construir la prueba de validez, es necesario utilizar un lenguaje simbólico que permita simplificar los enunciados, así:

Identificación de las premisas:

G = Gloria gana

H = Héctor gana

J = Jorge pierde

K = Kelly pierde

Por lo tanto la prueba de validez será:

1. (G V H) → (J Ʌ K)

2. G

... J (Se lee: de donde J, J es la premisa que esperamos demostrar).

__________________________________________________________________

3. G V H 2, Ad. (Por Adición en 2) Necesitamos llegar a J desde la G, observamos que para llegar a la J se requiere G v H, como sólo tengo la G, adiciono H. Por lo tanto aplico la ley de Adición en la premisa 2, lo que se escribe 2, Ad.(Ad indica que apliqué la ley de adición)

4. J Ʌ K 1,3 M. P J Ù K es la consecuencia de G Ú H aplicando la ley de inferencia MP (Modus Ponendo Ponens) con las premisas 1 y 3.

5. J 4, Simp. Tenemos J Ù K, pero solo nos interesa la J, por lo tanto simplificamos. Aplicando la ley de inferencia de simplificación en la premisa 4.

Ejemplo 2

Si un hombre se orienta siempre por su sentido del deber, tiene que renunciar al goce de muchos placeres, y si se guía siempre por su deseo de placer, a menudo olvidará su deber. O bien un hombre se guía siempre por su sentido del deber, o bien siempre se orienta por su deseo de placer. Si un hombre se guía siempre por su sentido del deber, no descuidará a menudo su deber, y si siempre se guía por su deseo de placer, no renunciará al goce de muchos placeres. Luego, un hombre debe renunciar al goce de muchos placeres si y sólo si no descuida a menudo su deber.

Tomando el siguiente lenguaje formal:

p: se orienta por su sentido del deber

q: renuncia al goce de placeres

r: se guía por su deseo de placer s: olvidará su deber

Las premisas quedan así:

1. p → q

2. r → s

3. p V r

4. p → ~s

5. r → ~q ... q ↔ ~s

__________________________________

6. q → ~r 5 MTT

7. ~r → p 3 SD

8. q → p 6, 7 SH

9. q → ~s 4,8 SH

10. ~s → ~r 2 MTT

11. ~r → p 7,10 SH

12. ~s ~ p 10, 11 SH

13. ~s → q 1, 12 SH

14. q ↔~s 9,13 SH

Circuito eléctrico es un camino cerrado por donde circula cierta corriente

eléctrica I y que está formada por generadores y resistencias (materiales

conductores). Para que la corriente I pueda circular establemente por el

circuito de debe cumplir que: Energía perdida por la corriente en las

resistencias sea compensada por la energía (o fuerza electromotriz)

suministrada por el generador (o los generadores)

E1+ E2+ E3+…= I·(r1+ r2+ r3+ R1+ R2+…) ΣEi = I·Σ(ri+Ri)

Ejemplo (dcha.)

ε1-ε2=I·(r1+r2+R)

Redes y Leyes de Kirchoff

Una red eléctrica está formada por la combinación de varios circuitos eléctricos.

En una red la corriente eléctrica se reparte por los distintos caminos que se le presentan. Componentes de una red eléctrica: Nudo: punto de conexión de

tres o más conductores Rama: porción de circuito

comprendida entre dos nudos Malla: Circuito cerrado formado por varias

ramas unidas entre sí. Leyes de Kirchoff .Estudio de la corriente eléctrica en la red.

1.Conservación de la carga eléctrica en la red (y en cualquier punto de la misma

2.Conservación de la energía eléctrica en cada malla

ecuaciones

I3=I1+I2I1= -11/3 A12-2=-2I1-2I3I2= +7/3 A2=2I2+2I3I3= -4/3

AI1I2I3

1 Álgebra de Boole El álgebra booleana es la teoría matemática que se aplica en la lógica combinatoria. Las variables booleanas son símbolos utilizados para representar magnitudes lógicas y pueden tener sólo dos valores posibles: 1 (valor alto) ó 0 (valor bajo). Operaciones Booleanas y Compuertas Básicas Las operaciones boolenas son posibles a través de los operadores binarios negación, suma y multiplicación, es decir que estos combinan dos o más variables para conformar funciones lógicas. Una compuerta es un circuito útil para realizar las operaciones anteriormente mencionadas. Inversión o negación (complemento) Esta operación se indica con una barra sobre la variable o por medio de un apóstrofe (comilla) en el lado

superior derecho de la variable. El apóstrofe (’) es un operador algebraico que invierte el valor de una variable, es decir, si X denota la señal de entrada de un inversor, entonces X’ representa el complemento de tal señal. Ejemplo Sí X = 0 entonces X’ = 1. En la tabla de verdad 2.1.1. se muestra el resultado de la inversión lógica. Ecuación Entrada A Salida B 0 1 B=A’ 1 0 Tabla 2.1.1. Tabla de verdad del inversor El símbolo lógico de la negación booleana se representa en la figura 2.1.1. Figura 2.1.1. Inversor. Suma booleana La representación matemática de una suma booleana de dos variables se hace por medio un signo más entre las dos variables. Ejemplo La suma booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma, X = A + B La suma booleana es 1 si alguna de las variables lógicas de la suma es 1 y es 0 cuando todas las variables son 0. Esta operación se asimila a la conexión paralela de contactos. La tabla de verdad de la suma se muestra en la tabla 2.1.2. 2 Entrada A Entrada B Salida X 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Tabla 2.1.2.Tabla de Verdad de la función OR En circuitos digitales, el equivalente de la suma booleana es la operación OR y su símbolo lógico se representa en la figura 2.1.2. Figura 2.1.2. Símbolo lógico para la compuerta OR. Con la correspondiente ecuación X= A + B.

El inverso de la función OR es la función NOR. La tabla de verdad se muestra en la tabla 2.1.3. Entrada A Entrada B Salida X 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Tabla 2.1.3.Tabla de verdad de la función NOR El símbolo lógico de la compuerta NOR se representa en la figura 2.1.3. Figura 2.1.3. Símbolo lógico para la compuerta NOR Con la correspondiente ecuación X= (A+B)’ La suma booleana difiere de la suma binaria cuando se suman dos unos. En la suma booleana no existe acarreo. Multiplicación booleana La representación matemática de una multiplicación booleana de dos variables se hace por medio un signo punto (· ) entre las dos variables. La multiplicación booleana de las variables A y B se enuncia de la siguiente forma, X = A · B La multiplicación booleana es 1 si todas las variables lógicas son 1, pero si alguna es 0, el resultado es 0. La multiplicación booleana se asimila a la conexión serie de contactos. La tabla de verdad de la multiplicación booleana se muestra en la tabla 2.1.4. 3 Entrada A Entrada B Salida X 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Tabla 2.1.4. Tabla de verdad de la función AND En circuitos digitales, el equivalente de la multiplicación booleana es la operación AND y su símbolo se representa en la figura 2.1.4. Figura 2.1.4. Símbolo lógico de la función AND con la correspondiente ecuación X= A· B

El inverso de la función AND es la función NAND. La tabla de verdad se muestra la tabla 2.1.5. Entrada A Entrada B Salida X 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Tabla 2.1.5.Tabla de verdad de la función NAND El símbolo lógico de la compuerta NAND se representa en la figura 2.1.5. Tabla 2.1.5. Símbolo lógico de la función NAND Con la correspondiente ecuación X = (A· B)’ Propiedades de las Operaciones Booleanas Las operaciones booleanas están regidas por tres leyes similares a las del álgebra convencional. Estas incluyen las leyes conmutativas de la suma y la multiplicación y la ley distributiva. Leyes conmutativas en dos variables 1. Ley conmutativa de la suma se enuncia como sigue X + Y = Y + X En aplicación a los circuitos digitales, podríamos decir que no importa el orden de conexión de las entradas a una compuerta OR. 2. Ley conmutativa de la multiplicación X· Y = Y· X 4 En aplicación a los circuitos digitales, podríamos decir que no importa el orden de conexión de las entradas a una compuerta AND. Leyes asociativas en tres variables 3. Ley asociativa de la adición, se escribe en forma algebraica de la siguiente forma A + ( B + C ) = ( A + B ) + C En la figura 2.1.6 se muestra la aplicación de la propiedad a las compuertas OR, Figura 2.1.6. Ley asociativa de la adición 4. Ley asociativa de la multiplicación A· ( B· C) = ( A· B )· C

En la figura 2.1.7 se muestra la aplicación de la propiedad a las compuertas AND, Figura 2.1.7. Ley asociativa de la multiplicación Ley distributiva para tres variables En el álgebra de Boole, la multiplicación lógica se distribuye sobre la suma lógica, A· ( B + C ) = A· B + A· C En la figura 2.1.8 se muestra la aplicación de la propiedad a las compuertas AND y OR, Figura 2.1.8. Ley distributiva para tres variables Teoremas Booleanos Los teoremas booleanos son enunciados siempre verdaderos, lo que permite la manipulación de expresiones algebraicas, facilitando el análisis ó síntesis de los circuitos digitales. Los teoremas booleanos son los siguientes: 5 1. X + 0 = X 2. X + 1 = 1 3. X· 0 = 0 4. X· 1 = X 5. (X’)’=X 6. X + X = X 7. X· X = X 8. X + X’ = 1 9. X.X’= 0 10. X + XY = X 11. X +X’· Y = X + Y 12. X· Y + X· Y’ = X (Teorema de combinación) 13. (X +Y)(X + Y’) = X + X· Y’ + X· Y = X 14. X· Y + X· Z + Y· Z’ = XZ + Y· Z’ (Consenso) El teorema 12 se conoce como la ley distributiva para tres variables. Demostración teorema 12: X· Y + X· Y’ = X Utilizando la ley distributiva para tres variables X· Y + X· Y’= X· (Y+Y’) Aplicando el teorema 8 se tiene, X· Y + X· Y’= X· 1

Dando como resultado, X· Y + X· Y’= X Esta expresión indica que la suma de dos productos canónicos adyacentes, es decir que difieren en una sola de las variables, se reduce al producto de los demás términos suprimiéndose dicha variable. El teorema 13 es otro caso del teorema de combinación. Los teoremas 12 y 13 se utilizarán en las lecciones siguientes de forma sistemática para sintetizar circuitos lógicos con los métodos de mapas de karnaugh y el algortimo de Quine-McCluskey. ______________________ Teoremas de DeMorgan Los teoremas de DeMorgan demuestran la equivalencia entre las puertas NAND y negativa - OR, y las puertas NOR y negativa – AND. 1. El complemento de la suma de variables es igual al producto de los complementos de las variables. (X1 + X2 +.....+ Xn)’ = X1’ · X2’ · ..... · Xn’ En el caso de dos variables se tiene, (X + Y)’ = X’ · Y’ El circuito equivalente a la ecuación anterior se muestra en la figura 2.1.9. 6 Figura 2.1.9. Símbolo lógico para la compuerta NOR. Ejemplo Obtener una compuerta OR utilizando compuertas NAND. Y = (A + B) = [(A + B)’]’ = (A’· B’)’ Figura 2.1.10. Compuerta OR utilizando compuertas NAND 2. El complemento del producto de variables es igual a la suma de los complementos de las variables. (X1 · X2 · .....· Xn)’ = X1’ + X2’ + .....+ Xn’ En el caso de dos variables se tiene, (X · Y)’ = X’ + Y’ El circuito equivalente en dos variables a la ecuación se muestra en la figura 2.1.11. Figura 2.1.11. Símbolo lógico para la compuerta NOR. Ejemplo Obtener una compuerta AND utilizando compuertas NOR.

Y = A· B = [(A.B)’]’ = (A’+B’)’ Figura 2.1.12. Circuito lógico para la compuerta AND 7 Simplificación de Expresiones Lógicas El objetivo de la simplificación de expresiones lógicas es reducir la expresión al menor número posible de términos. Las expresiones lógicas se pueden simplificar utilizando los teoremas anteriores. Ejemplo F = A· B’· C + A· B’C’ F = A· B’· (C + C’) F = A· B’ Ejemplo F= (A’+B)· (A+B’) F = A· A’ + A’· B’ + A· B + B· B’ F = A’· B’ + A· B Ejemplo F = [(A’ + C)· (B + D’)]’ F = (A’ + C)’+(B + D’)’ F= A· C’ + B’· D Ejemplo F = (X + Z’)· (Z + W· Y)’ + (V· Z + W· X’)· (Y + Z)’ F = (X + Z’)· [Z’· (W’ + Y’)] + [(V· Z + W· X’)· (Y’· Z’)] F = (X + Z’)· (Z’· W’ + Z’· Y’) + V· Y’· Z· Z’ + W· X’· Y’· Z’ F = W’· X· Z’ + X· Y’· Z’ + Z’· Z’· W’ + Z’· Z’· Y’ + W· X’· Y’· Z’ F = W’· X· Z’ + X· Y’· Z’ + W’· Z’ + Y’· Z’ + W· X’· Y’· Z’ F = W’· Z’· (1 + X) + Y’· Z’· (1 + X) + W· X’· Y’· Z’ F = W’· Z’ + Y’· Z’ + W· X’· Y’· Z’ F = W’· Z’ + Y’· Z’· (1 + W· X’) F = Z’· (W’ + Y’) 8 Implementación de Funciones Lógicas mediante Compuertas. La forma más fácil de encontrar la expresión de un circuito lógico consiste en comenzar con las entradas situadas más a la izquierda e ir avanzando hasta la salida de cada compuerta lógica, obteniendo la expresión para cada una de ellas. Al final del recorrido se debe tener la expresión para todo el circuito. La expresión

resultante podemos simplificarla para obtener una más sencilla y así obtener un circuito más reducido. Ejemplo Encontrar la expresión para el circuito de la figura. Figura 2.1.13. Símbolo lógico para la compuerta NOR. 1. La expresión de la compuerta NOR situada a la izquierda cuyas entradas son A y B es (A+B)’. Esta es la primera entrada de la compuerta AND situada a la derecha. 2. La expresión de la compuerta AND cuyas entradas son (A+B)’ y C es (A+B)’· C. 3. La salida de la compuerta AND es la primera entrada de la compuerta OR del extremo derecho. Por lo tanto, la expresión de esta compuerta OR es [(A+B)’· C]+D. Síntesis de Diseño de Circuitos Combinatorios Síntesis se entiende como la obtención de circuitos lógicos, a partir de una descripción inicial que utiliza el lenguaje convencional y luego es transferida a una tabla de verdad. Una tabla de verdad es una representación básica de una función lógica, en la cual se listan las salidas del circuito lógico para las posibles combinaciones de entrada. Las combinaciones de entrada están ordenadas por renglones (líneas) y cada renglón contiene su salida respectiva. Por ejemplo, la tabla de verdad para una función lógica de 3 variables, tendrá 8 líneas para 8 combinaciones de entrada, conteniendo cada línea, su salida respectiva. En la tabla 2.2.1. se ilustra una función de 3 variables para el caso mencionado. Renglón o línea A B C Función de salida Mintérmino Maxtérmino 0 0 0 0 F(0,0,0) A'· B'· C' A+B+C 1 0 0 1 F(0,0,1) A'· B'· C A+B+C' 2 0 1 0 F(0,1,0) A'· B· C' A+B'+C 3 0 1 1 F(0,1,1) A'· B· C A+B'+C' 4 1 0 0 F(1,0,0) A· B'· C' A'+B+C 5 1 0 1 F(1,0,1) A· B'· C A'+B+C' 6 1 1 0 F(1,1,0) A· B· C' A'+B'+C 7 1 1 1 F(1,1,1) A· B· C A'+B'+C' Tabla 2.2.1.Funciones de salida, maxtérminos y mintérminos

En general, la tabla de verdad para una función lógica de n variables tendrá 2n líneas. 9 Métodos para Sintetizar Circuitos Lógicos Los métodos para sintetizar circuitos lógicos requieren en primer lugar, la comprensión de algunos conceptos, entre ellos: · Literal: Variable o el complemento de una variable. Ejemplo: X’, Y’, X, Y. · Dominio de una expresión booleana: Es el conjunto de variables contenido en una expresión booleana. Ejemplo: Determine el dominio de la expresión X’· Y· Z + X· Y’· Z· W. El dominio es X, Y, Z, W. · Término normal: Un producto o término suma en donde ninguna variable aparece repetida. Ejemplo de término repetido: X· Y· Y, Z· X’· X’· Y Ejemplo de término no repetido: X’· Y· Z, Z· Y’· X · Término producto: Un solo literal o el producto lógico (multiplicación booleana) de dos o más literales. Ejemplo: X’, X· Y’, Z· Y, X· Y’· Z Un término producto es 1 sólo para una combinación de valores de las variables. Ejemplo: El término producto X· Y'· Z es 1 sólo para X=1, Y=0 y Z=1 y es 0 para el resto de combinaciones. El valor en binario será 101 ó 5 en decimal. · Término suma: Un solo literal o una suma lógica (suma booleana) de dos o más literales. Ejemplo: X, X + Y’,X’+Z’, X+Y+Z, X+Y’+Z’ Un término suma es 1 cuando cualquier literal que lo compone es 1. Ejemplo: El término X+Y’+Z’ es 0 para X=0 ó Y=1 ó Z=1 y es 1 para el resto de combinaciones. El valor en binario será 011 ó 3 en decimal. · Suma de productos: Suma lógica de términos productos (Ver tabla 2.2.1). Ejemplo: X’+ X· Y’ + Z· Y + X· Y’· Z Forma estándar de la suma de productos Una suma de productos no se encuentra en su forma estándar cuando alguno de los términos

producto no contiene alguna de las variables del dominio de la expresión. Ejemplo X’· Y· Z + X· Y’· Z· W. El dominio es X, Y, Z, W. El primer término producto no contiene el literal W ó W'. Ejemplo 10 X'· Y· Z'.W + X· Y· Z· W. En cada uno de los términos de la expresión aparecen todas las variables del dominio. Por lo tanto, la suma de productos está en su forma estándar. · Producto de sumas: Producto lógico de términos suma (Ver tabla 2.2.1). Ejemplo: X· (X+Y’)· (X’+Z’)· (X+Y+Z)· (X+Y’+Z’). Forma estándar del producto de sumas Un producto de sumas no se encuentra en su forma estándar cuando alguno de los términos suma no contiene alguna de las variables del dominio de la expresión. Ejemplo (X’+W+Z')· (X'+Y’+Z+W')· (X+Y). El dominio es X, Y, Z, W. El primer término suma no contiene el literal Y ó Y'. El tercer término suma no contiene los literales Z ó Z' y W ó W'. Ejemplo (X'· Y· Z'.W)· (X· Y'· Z· W). En cada uno de los términos de la expresión aparecen todas las variables del dominio. Por lo tanto, el producto de sumas está en su forma estándar. · Mintérmino: Es un término de producto con n literales en el cual hay n variables. De n variables obtenemos 2n mintérminos. Ejemplo de mintérminos de 3 variables: X’· Y’.Z’, X’.Y’.Z, X’.Y.Z’, X’.Y.Z, X.Y’.Z’, X.Y’.Z, X.Y.Z’, X.Y.Z. (Ver tabla 2.2.1.). · Maxtérmino: Es un término de suma con n literales en el cual hay n variables. De n variables obtenemos 2n maxtérminos. (Ver tabla 2.2.1.).

Ejemplo de maxtérminos de 3 variables: X+Y+Z, X+Y+Z’, X+Y’+Z, X+Y’+Z’, X’+Y+Z, X’+Y+Z’, X’+Y’+Z, X’+Y’+Z’. (Ver tabla 2.2.1.). Los métodos existentes para sintetizar circuitos lógicos son: · Suma de productos (SDP) · Producto de sumas (PDS) · Mapas de Karnaugh · Algoritmo de Quine – McCluskey Representación por Suma de Productos y Producto de Sumas En la lección anterior vimos las definiciones básicas para comprender los métodos de síntesis de circuitos lógicos. En esta lección se explicarán los dos primeros de estos métodos para sintetizar circuitos lógicos. Método de Suma de Productos (SDP) ***** La suma de productos de una función lógica es la suma de los mintérminos correspondientes a las líneas de la tabla de verdad para las que la función produce una salida igual a 1. La función obtenida es la suma de productos. 11 Ejemplo Obtener la suma de productos para la función lógica de la tabla 2.3.1. Línea A B C Función de salida F1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1 Tabla 2.3.1.Tabla de verdad para la función lógica F1 La función puede ser expresada conformando un término mínimo por cada combinación de variables que producen un 1 en la función para luego obtener la suma de todos los términos. La función lógica para la tabla 2.3.1 se determina expresando las combinaciones 010, 100, 101 y 111 como A'· B· C', A· B'· C', A· B'· C y A· B· C:

F1= S A,B,C( 2,4,5,7)= A'· B· C' + A· B'· C' + A· B'· C + A· B· C. Cada mintérmino de la función anterior representa una compuerta AND de tres entradas y la implementación de la función es posible a través de la aplicación de la operación OR a las salidas de las cuatro compuertas AND. Por tanto, el número total de compuertas AND dependerá del total de mintérminos de la expresión. El circuito se muestra en la figura 2.3.1. Figura 2.3.1. Circuito lógico para la función lógica F1. En una suma de productos se cumple la igualdad de la función al valor lógico 1 si al menos uno de sus términos productos es igual a 1. Ejemplo Obtener la suma de productos para la función lógica de la tabla 2.3.2. 12 A B F2 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Tabla 2.3.2.Tabla de verdad de la función F2. En la tabla de verdad existen dos condiciones para las cuales la salida es 1. Estas son las siguientes: 1. La primera se presenta cuando A es Bajo(0) y B es Alto(1). El resultado 1 de esta condición se puede expresar como el producto lógico: A’· B 2. La segunda condición se presenta cuando A es 1 y B es 0. Esta condición ocasiona un resultado 1, si el producto lógico es: A· B’ Como cualquiera de estas 2 condiciones hace que la salida sea 1, entonces la función lógica que los representa es la suma lógica de los productos anteriores: F2= A’· B + A· B’ = A Å B La representación de la función anterior con compuertas OR y AND se muestra en la figura 2.3.2. Figura 2.3.2. Función F2 utilizando compuertas AND Y OR

Esta función corresponde a la función OR exclusiva, cuya compuerta se representa en la figura 2.3.3. Figura 2.3.3. Símbolo lógico de la función OR - exclusiva. Ejemplo Obtener la función SDP para la función lógica de la tabla 2.3.3. Simplificar la función y dibujarla. A B F3 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 13 Tabla 2.3.3.Tabla de verdad de la función F3 Utilizando suma de productos para las líneas 1 y 4 de la tabla se obtiene, F3=A'· B'+ A· B, simplificando F3=(A+B)’ + A· B F3= (A Å B)' El circuito lógico de la función anterior se muestra en la figura 2.3.4. Figura 2.3.4. Función F3 utilizando compuertas AND, NOR y OR. El símbolo lógico de la compuerta NOR - Exclusiva se muestra en la figura 2.3.5. Figura 2.3.5. Símbolo lógico de la función NOR - exclusiva Conversión de una expresión lógica a formato de suma de productos La metodología empleada en la transformación de una suma de productos a su forma estándar se basa en el teorema 6 (Ver lección 1 parte 2), que establece que una variable sumada con su complemento es siempre igual a 1; A + A' = 1. Los pasos son los siguientes: 1. Los términos producto que no contengan la(s) variable(s) del dominio, multiplicarlos por un término formado por dicha variable más el complemento de la misma (teorema 6). 2. Repetir el paso 1 para todos los términos de la expresión que no contengan todas las variables (o sus complementos) del dominio. Resolver los términos intervenidos. Ejemplo Convertir la expresión booleana A· B.C' + B· C + A' a su forma estándar. El dominio de la expresión es el conjunto de variables A, B y C. Se observa la falta de formato estándar para

el segundo y tercer término producto. Sobre ellos se aplicará el procedimiento, para luego volver a agrupar toda la expresión: Término B· C B· C = B· C · (A+A') = A· B· C + A'· B· C Término A 14 A' = A'· (C+C') = A'· C+A'· C' ; la expresión aún no tiene el formato estándar, entonces multiplicamos cada término por (B+B') A'· C· (B+B') +A'· C'· (B+B') = A'· B· C + A'· B'· C + A'· B· C' + A'· B'· C' La expresión en su formato estándar es: A· B.C' + B· C + A' = A· B· C + A'· B· C + A'· B· C + A'· B'· C + A'· B· C' + A'· B'· C' Método de producto de sumas (PDS) El producto de sumas de una función lógica es la multiplicación de los maxtérminos correspondientes a las líneas de la tabla de verdad para las que la función produce una salida igual a 0. La función obtenida es el producto de sumas. Ejemplo Obtener el producto de sumas para la función lógica de la tabla 2.3.4.ón o línea A B C Función de salida F4 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1 Tabla 2.3.4.Tabla de verdad para la función lógica F4 La función puede ser expresada conformando un término máximo para cada combinación de variables que producen un 0 en la función y luego obtener el producto de todos los términos. La función lógica para la tabla 2.3.4 se determina expresando las combinaciones 000, 001, 011 y 110 como (A+B+C),(A+B+C'),(A+B'+C') y (A'+B+C). La función lógica es la siguiente:

F4= S A,B,C( 0,1,3,4)= (A+B+C)· (A+B+C')· (A+B'+C')· (A'+B+C). Cada maxtérmino de la función anterior representa una compuerta OR de tres entradas y la implementación de la función es posible a través de la aplicación de la operación AND a las salidas de las cuatro compuertas AND. Por tanto, el número total de compuertas AND dependerá del total de mintérminos de la expresión. El circuito se muestra en la figura 2.3.6. 15 Figura 2.3.6. Circuito lógico para la función lógica F4 Un producto de sumas es igual a 0 si al menos uno de los términos suma es igual a 0. Ejemplo Obtener el producto de sumas para la función lógica de la tabla 2.3.5. A B F5 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Tabla 2.3.5.Tabla de verdad de la función OR - exclusiva Considere el complemento de la función de Boole F5. Este puede obtenerse de la tabla 2.3.5. formando un término mínimo por cada combinación que produce un cero y luego haciendo la suma de los términos. El complemento de F5 se expresa así: F5' = A'· B' + A· B La expresión F5 se obtiene la negar F5': F5 = (F5')' = (A'· B' + A· B)' =(A'· B')'· (A· B)' = [(A')'+(B')']· (A'+B') = (A+B)· (A'+B') Si cualquiera de los términos del PDS es cero, la función es cero. ****Nota: De los 2 métodos anteriores, se pueden escoger algunos criterios para aplicar un método u otro, siendo estos los siguientes: § Si en la última columna de la tabla de verdad, o sea en la columna que indica los resultados, sí predominan los ceros es más conveniente utilizar las suma de productos. § Si en la columna que indica los resultados, predominan los unos, es más conveniente utilizar el método del producto de sumas.

Reglas de Inferencia

En la última sección, escribimos todas las tautológias a la que llamamos "forma

argumental". Por ejemplo, Modus Ponens [(p→q) p]→q se representa como:

p→q

p

q

Pensamos en las proposiciones sobre la línea, las premisas, como las proposiciones dadas a nosotros como verdaderas, y las proposiciones debajo de la línea, la conclusión, como una proposición por consecuencia debe ser también verdadera.

La convención ha sido que las letras minúsculas como p significan proposiciones atómicas. Pero, no hay razón para restringir Modus Ponens a tales proposiciones. Por ejemplo, nos gustaría poder hacer el argumento siguiente:

Si las rosas son rojas y las violetas son azules, entonces el azúcar es dulce y tu también.

Las rosas son rojas y las violetas son azules.

Por lo tanto, el azúcar es dulce y tu también.

En simbolos, esto es:

(p q)→(r s)

p q

r s

Por lo tanto, debemos escribir el Modus Ponens en las siguiente forma más

general y por lo tanto utilizable:

A→B

A

B

donde, ya que tiene nuestra convención, A y B pueden ser cualquier proposiciones, atómicas o compuestas.

En esta forma, Modus Ponens es nuestra primer regla de inferencia. Utilizaremos reglas de inferencia para juntar listas de proposiciones verdaderas, llamada pruebas. Una prueba es una manera de mostrar cómo una conclución se desprende de una coleción de premisas. Modus Ponens, en particular, nos permite afirmar, si A→B y A ambas aparecen como proposiciones en una prueba, entonces nos justificamos en la adición de B como otra proposición en la prueba. (Diremos mas sobre pruebas en la Sección 6.)

Ejemplo 1 Aplicar Modus Ponens

Aplica Modus Ponens a las proposiciones 1 y 3 en la siguiente lista

de premisas (es decir, las proposiciones que tomamos para ser

verdaderas).

1. (p q)→(r ~s)

2. ~r→s

3. p q

Solución

Observamos que todas las proposiciones son proposiciones compuestas, y

que tienen los siguientes patrones:

1. A→B

2. C

3. A.

La proposición A aparece dos veces; en las líneas (1) y (3). Por usar el

Modus Ponens, podemos deducir B = r ~s desde estas líneas. (Línea (2) no

va hacer utilizada en absoluto; solo va junto para el paseo.) Así, podemos

aplicarla en nuestra lista de la siguiente manera:

1. (p q)→(r ~s) Premisa

2. ~r→s Premisa

3. p q Premisa

4. r (~s) 1,3 Modus Ponens

A la derecha hemos dado la justificación para cada línea: línea (1) a travéz

de la (3) se dieron como premisas, y la línea (4) seque por una aplicación

de Modus Ponens a las líneas (1) y (3); de aquí la justificación "1, 3

Modus Ponens."

Antes de seguir...

La lista anterior de las cuatro proposiciones constituyen una prueba que

proposición 4 sigue de las premisas 1-3, y nos referimos a ella

como prueba del argumento:

(p q)→(r ~s) Premisa

~r→s Premisa

p q Premisa

r (~s) Conclución

Ejemplo 1P Práctica Aplicando Modus Ponens

Rellena la proposición que hace falta. Para ingresar la proposición, usa

"Y" para , "O" para , y "IMPLICA" para →. Por ejemplo, puedes

escribir

(p q) → (~r) como (p Y q) IMPLICA ~r

1. (r s) t Premisa

2. (r s)→(q r) Premisa

3. r ~s Premisa

4. r s Premisa

5. 2, 4 Modus Ponens

Precaución

Modus Ponens nos dice que, si A→B aparece en al lista, y si A también aparece

en la lista, entonces podemos agregar B a la lista de proposiciones verdaderas. Si

A→B aparece en la lista, pero si A no aparece en al lista, entonces no podemos

agregar B a la lista. Dicho de otra manera, si A implica B es verdadera, entonces

no podemos concluir que B es verdadera hasta que sabemos que A es verdadera.

En general, una regla de inferencia es sólo una instrucción para obtener proposiciones verdaderas adicionales de una lista de proposiciones

verdaderas. Si estudiaras la lógica para especializarte en matemáticas o filosofía, esta podría ser la única regla de inferencia que te darián con la trabajarías. Tendrías que justificar entonces el uso de las otras reglas de inferencia de ésto. No vamos a ser tan exigentes. Daremos muchas reglas de inferencia con las que trabajarías desde el principio. Piensa en ellas como herramientas para construir nuevas proposiciones de las viejas; con más herramientas a tu disposición, la tarea se vuelve mas fácil. En realidad, vamos a permitirte utilizar cualquiera de las tautologías que aparece al final de la Sección 4 como reglas de inferencia. (Por eso enumeramos la "forma de argumento" para todos aquellos).

Regla de Inferencia T1

Cualquier tautología que aparece en la lista al final de la sección anterior puede

ser utilizada como una regla de inferencia.

Ejemplo 2 Utilizar T1

Aplica Modus Tollens a las siguientes premisas:

1. (p q)→(r ~s)

2. ~(r ~s)

3. (p q)→p

Solución

Mirando las premisas, vimos el patrón:

1. A→B

2. ~B

3. A→C

Como una regla de inferencia, Modus Tollens tiene la forma siguiente:

A→B

~B

~A

(En palabras, si A→B aparece en la lista, y si ~B también aparece en la

lista, podemos agregar ~A a la lista de proposisciones verdaderas).

Esto corresponde con las dos primeras premisas, por lo que podemos

aplicar Modus Tollens para obtener lo siguiente.

1. (p q)→(r ~s) Premisa

2. ~(r ~s) Premisa

3. (p q)→p Premisa

4. ~(p q) 1,2 Modus Tollens

Antes de seguir...

Utilizamos A→C para representar la proposición (p q)→p, aunque podríamos igualmente representarlo con D. Ya que no estamos utilizando esta proposición en absoluto, no importa cómo la representemos. Por otro lado, para poder utilizar Modus Tollens en las líneas (1) y (2), es imperativo que representemos la línea (1) por A→B, y no solo por la letra A. Si vez la forma del argumento del Modus Tollens, verás que se requiere una proposición de la forma A→B (además de ~B, por supuesto). Parte de aprender a aplicar las reglas de inferencia es aprender a analizar la estructura de las proposiciones al nivel correcto de detalles.

Ejemplo 2P Practica con T1

Vamos ampliar la lista del ejemplo 2 por aplicar primero la ley De Morgan a la línea (4), y luego aplicar la Simplificación, para obtener ~p. Debes rellenar la proposición que hacen falta. Para ingresar la proposición usa "Y" para , "O" para , y "IMPLICA" para →. Por ejemplo, puedes escribir

(p q) → (~r) como (p Y q) IMPLICA ~r

1. (p q)→(r ~s) Premisa

2. ~(r ~s) Premisa

3. (p q)→p Premisa

4. ~(p q) 1,2 Modus

Tollens

5. 4 De Morgan

6. ~p 5 Simplificación

Antes de seguir...

Nota que acabamos de demostrar el argumento

(p q)→(r ~s)

~(r ~s)

(p q)→p

~p

Diremos más sobre las pruebas en la Sección 6.

Hasta el momento, todas las reglas de inferencia que nos hemos permitido usar

provienen de nuestra lista de tautologías. Estos no son los únicos tipos de reglas

de inferencia que permitiremos;. Aquí hay una regla adicional:

Regla de Inferencia T2

Podemos añadir cualquier tautología que aparece en la lista de tautologías al final

de la última sección como una nueva línea en nuestra lista de proposiciones

verdaderas.

Ejemplo 3 Usar T2

Justifica cada paso en las siguientes proposiciones.

1. p→~(~p)

2. ~(~p)→p

3. p→p

Solución

Cada uno de los dos primeros pasos es una aplicación de la regla de inferencia T2. Recuerda que p ~(~p) es una tautología, llamada Doble Negación. Nos permitimos romper equivalencias tautológicas en sus dos implicaciones tautológicas y escribir cualquiera de las dos. En este caso, escribimos a ambos. El tercer paso es la aplicación de la regla de inferencia T1, usando la transitividad. Ási, podemos escribir nuestras justificaciones como lo siguiente:

1. p→~(~p) Doble Negación

2. ~(~p)→p Doble Negación

3. p→p 1,2 Transitividad

Antes de seguir...

Lo que hemos escrito a arriba es una prueba del siguiente argumento, en lo

que no hay premisas:

-

p→p

Nota que estamos permitiéndonos romper una implicación taotológica de la forma A B en dos proposiciones: A→B y B→A. En otras palabras, cada equivalencia tautológica realmente nos da dos implicaciones tautológicas por el precio de uno. Por eso pusimos dos formas argumental en la lista para la mayor parte de las equivalencias.

Ejemplo 3P Practica con T2

Selecciona las respuestas correctas en los siguientes argumentos

1. q Premisa

2. p→(p ~q) Adición T1

T2

3.~p (p ~q) Switcheroo T1

T2

4.(~p p) ~q Asociatividad T1

T2

5.~p p Silogismo Disyuntivo T1

T2

Reglas T1 y T2 son los dos que vamos a utilizar más frecuentemente. Los dos

siguientes se usan con menos frecuencia, pero a veces son necesarios.

Regla de Inferencia S (Sustitución)

Podemos remplazar cualquier parte de una proposición compuesta por una

proposición equivalentemente tautológica.

Por ejemplo, podemos remplazar la proposición p→[~(q r)] por p→[(~q) (~r)]

usando la ley De Morgan, ya que ~(q r) (~q) (~r).

Como con T2, usamos la lista final de la sección anterior para decidir cuales proposiciones son tautológicamente equivalentes. Nota que esto es lo mismo que la regla matemática de sustitución: En cualquier ecuación, si parte de una exprección es igual a otra, entonces la podemos remplazar por la otra expreción.

Ejemplo 4 Usar la Sustitución

Justifica el tercer y cuarto pasa en las pruebas siguientes.

1. ~(~p)→q Premisa

2. p Premisa

3. p→q

4. q

Solución

La tercera línea es semejante a la primera salvo que ~(~p) ha sido remplazada por p. Pero, que la sustitución puede justificarse por la regla de sustitución porque la tautología de doble negación nos dice que p es una equivalencia tautológica para ~(~p). Para obtener al cuarta línea simplemente aplicamos el Modus Ponens para la segunda y la tercer líneas. Así, podemos llegar a las siguientes justificaciones.

1. ~(~p)→q Premisa

2. p Premisa

3. p→q 1, Substitución

4. q 2, 3 Modus Ponens

Regla de Inferencia C (Conjuncción)

Si A y B son las líneas en una prueba, entonces podemos añadir la línea A B a la

prueba.

Esto es sólo el hecho obvio de que, si ya sabemos que A y B son verdaderas,

entonces sabemos que A B es verdad.

Q Are we done yet?

A no completamente. Lo que estamos haciendo es dar reglas para escribir en la

prueba de un argumento dado. Ya hemos estado utilizando una regla sin decirlo,

y debemos escribirla:

Regla de Inferencia P (Premise)

Podemos escribir un premisacomo una línea en una prueba.

Por supuesto, Esto no nos da derecho a hacer de premises a medida que avanzamos; siempre nos dirán que el premises antes de empezar, y la regla P se aplica solo a aquellos. Es tradicional, pero no necesario, para escribir todos los premises como las primeras líneas de una prueba. Por otro lado, algunas personas sólo les gusta escribirlo a medida que sea necesario.

En resumen, aquí están todas las reglas de inferencia que vamos a utilizar.

Regla de Inferencia

T1 Cualquier tautología que aparece en la lista al final de la última sección se

utliza como regla de inferencia.

T2 Podemos añadir cualquier tautología que aparece en al lista de tautologías al

final de la última sección una nueva línea de nuestras proposiciones verdaderas.

S (Substitución) Podemos remplazar cualquier parte de una proposición

compuesta con una proposición equivalentemente tautológica.

C (Conjunción) Si A y B son las dos líneas en una prueba, entonces podemos

añadir la línea A B a la prueba.

P (Premise) Podemos escribir un premisacomo una línea en una prueba.

En la siguiente prueba bastante difícil, empezamos con dos premises, y

gestionará a utilizar cada regla de inferencia excepto para T2:

Ejemplo 5 Usar la regla de Inferencia

A continución una prueba del argumento

a→q

b→q

(a b)→q

En palabras, si a y b cada una implica q, entonces a o b implica q. Aunque

esto parece intuitivamente obvio, ¡su prueba no es!

Aquí está la prueba. Completa las justificaciones que falta.

1. a→q Premisa

2. b→q Premisa

3. ~a q

4. ~b q

5. (~a q) (~b q)

6. (~a ~b) q

7. ~(a b) q

8. (a b)→q

Solución

Aquí están las justificaciones, con el tipo de regla de inferencia anotado

después de cada uno:

1. a→q Premisa (P)

2. b→q Premisa (P)

3. ~a q 1, Switcheroo (T1)

4. ~b q 2, Switcheroo (T1)

5. (~a q) (~b q) 3,4 Conjuncción (C)

6. (~a ~b) q 5, Ley Distributiva (T1)

7. ~(a b) q 6, De Morgan (S)

8. (a b)→q

7, Switcheroo (T1)

ESTUDIANTE: LEOMAR LEONEL MARTINEZ URE C.I N° 24.385.078