PRIMERA EDICIÓN EBOOKMéxico, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

ÁLGEBRA

Eduardo Carpinteyro Vigil

Rubén B. Sánchez Hernández

ii

Grupo Editorial Patria®División Bachillerato, Universitario y Profesional

Dirección editorial: Javier Enrique Callejas

Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo

Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís

Supervisión de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo

Diagramación: Perla Alejandra López Romo

Ilustraciones: Jorge Antonio Martínez Jiménez, Gustavo Vargas Martínez

Fotografías: Thinkstock

ÁLGEBRASerie Bachiller

Derechos reservados:© 2014, Eduardo Carpinteyro Vigil, Rubén B. Sánchez Hernández© 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V.ISBN ebook: 978-607-744-055-0

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro núm. 43

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Impreso en México / Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014

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vGrupo Editorial Patria

Presentación

La misión de la ciencia consiste en sustituir las apariencias con los hechos y las impresiones con las demostraciones.

John Ruskin

Entre las razones que hemos tenido para la elaboración de este libro están:

1. Compartir con otros profesores una didáctica personal acerca de la enseñanza

de las matemáticas en el nivel medio superior, en la que se involucra nuestra

experiencia como docentes en bachillerato.

2. Ofrecer a nuestros estudiantes de matemáticas información sobre el desarrollo

histórico de esta ciencia, tal es el caso de la resolución de problemas de aplicación

cotidiana de los conceptos que se van estudiando, para transformar la falsa

imagen de objeto terminado y perfecto que le ha sido dada a las matemáticas

por parte de algunos docentes y la mayoría de los alumnos de secundaria y

bachillerato que pasan por nuestras aulas.

3. Aunque en forma general, el estudiante ubica las matemáticas como una de

las herramientas básicas utilizadas por cualquier ciencia, y vive en forma

cotidiana los beneficios logrados en nuestra época, sobre todo en el campo de

las comunicaciones, no es poco común escuchar en los salones de clases la

interrogante natural del estudiante sobre la utilidad práctica del estudio que

realiza, por lo que deseamos provocar la reflexión personal del mismo joven

acerca de la construcción de su conocimiento matemático.

Estamos convencidos de que los alumnos no son un pizarrón en el que el profesor

puede escribir en forma indeleble su experiencia en esta materia. Al llegar a este ni-

vel de estudios, cuenta mucho la experiencia personal y los conocimientos previos;

es por esta razón que la exposición que hemos hecho a lo largo del texto, toma en

cuenta ambos aspectos, para reafirmarlos en el caso de que ya se encuentren es-

tructurados, y recordarlos si no se ha hecho uso consciente de ellos, y por lo tanto,

han caído en el olvido.

Estamos seguros que esta obra forma parte de un conjunto de información global

que encontrará un amplio interés de parte de los estudiantes de bachillerato, quie-

nes serán en un futuro muy cercano, los ciudadanos que decidan y apoyen los pro-

gramas ambientales y energéticos de nuestro país, y cumplamos así los compromisos

de sustentabilidad en el ambiente y la energía, que México ha firmado y debe cumplir, en

el concierto de las naciones.

Los autores

vi

Álgebra

a los alumnos

A manera de reflexión queremos que pienses que ninguna persona inicia una acti-

vidad, llámese negocio, deporte o estudios, con la idea de fracasar, siempre tiene en

mente que va a lograr las metas propuestas, si se aplica con dedicación y constancia

en su esfuerzo por conseguirlas. Tú no vas a emprender tus estudios de matemáti-

cas sintiéndote incapaz; si éste es tu caso, ya alcanzaste tu objetivo, has fracasado

desde el momento de pensarlo. ¡Vence este temor!, no te contentes con ir siguiendo

a tu profesor en el curso escolar, ¡anticípate a él! preparando la lección antes de re-

cibirla, desiste de la actitud pasiva y ve construyendo el conocimiento. Tu profesor

es un medio, no la causa de que domines la asignatura, y en cambio tú eres el que

aprende, el actor principal para el cual el proceso de enseñanza tiene un fin preciso,

el que te apropies del conocimiento.

Los autores

descriPción de la obra

La mejor forma que hemos encontrado para empezar la descripción de este texto

es darte las gracias por permitirnos acompañarte en tu esfuerzo por alcanzar un

nivel más de preparación, el cual se inicia en este primer año de bachillerato.

Hemos elaborado el material de estudio en ocho unidades temáticas, correspondientes

a la asignatura de Matemáticas IV del plan de estudios 96 de la Escuela Nacional Pre-

paratoria de la unam.

En cada una de las unidades encontrarás una reseña histórica, que tiene como fi-

nalidad darte a conocer algunas de las personas y culturas que han destacado en la

evolución de la ciencia. No queremos que consideres esta sección como la adquisi-

ción de un conocimiento enciclopédico, sino que aprendas que las matemáticas no

han sido siempre iguales, nuestro conocimiento matemático se ha enriquecido con

las aportaciones y también, por qué no decirlo, con las dudas y errores de personas

como tú, quizás hasta con mayores limitaciones, las cuales han sido producto de

sus creencias y de la época en que vivieron.

Cada unidad tiene una actividad llamada Problema eje, la cual deseamos que inten-

tes resolver con tus propios conocimientos. Estas actividades pueden ser resueltas

con lo que aprendiste en la secundaria y un poco de ingenio, pero si no te es posible

hacerlo, no te desanimes, sigue avanzando en tu estudio y encontrarás en los temas

de cada unidad los elementos necesarios para llegar a la solución pedida. Como

diría un pintor “pinta y borra, pinta y borra, hasta que al fin ¡zas¡ tienes la obra

maestra que te deja la satisfacción de que es creación tuya”.

Los márgenes han sido diseñados para que tengas el espacio necesario y puedas

rehacer tus operaciones, y cuando lo creas necesario, anotar en ellos observaciones,

las cuales podrás consultar y recordar los detalles que te parecieron importantes

para lograr la comprensión del tema tratado.

Un elemento más con el que cuenta esta obra son los llamados cuadros de diálogo,

como los siguientes:

¿Entre qué números

es divisible 6 636?

¿Cómo se interpreta el hecho de que un polinomio tenga un menor número de raíces que el grado

del mismo?

en los cuales te proponemos que realices una actividad o algún aspecto a investigar

y que propicia la reflexión sobre el concepto sobre el que se está trabajando, o aclara y

proporciona una indicación especial de algún algoritmo que se desarrolle.

La forma en que se presentan los temas que componen las diferentes unidades, par-

te de un enfoque en el que se desarrolla la intuición y poco a poco se va formalizan-

do por medio del simbolismo matemático correspondiente, y una ejemplificación

del concepto y su demostración.

En cada unidad encontrarás el número de ejercicios necesarios para comprender

y reafirmar cada uno de los temas tratados; éstos los presentamos en forma de

problemas o ejercicios ya sea como los reactivos falso y verdadero, la relación de co-

lumnas, los ejercicios de complementación, los enunciados verbales y, por último, las

secciones de Comprueba tu aprendizaje, una por cada unidad, y a las que les hemos

dado el valor de comprobación y puedes utilizar como una forma de poner a prueba

los conocimientos que has hecho tuyos.

Grupo Editorial Patria vii

recomendaciones de estudio

Una de las preguntas más frecuentes que los padres de los alumnos que no obtie-

nen un buen resultado en esta asignatura, nos hacen a los profesores de matemá-

ticas, es:

“¿Qué puedo hacer para que mi hijo tenga éxito en su curso de matemáticas?”

No es poco común una afirmación como la siguiente:

“No entiendo el resultado que obtuvo mi hijo en su examen, soy testigo de que se pasa tar-

des y noches completas haciendo ejercicios y aun así reprueba.”

Muchas veces nos ha tocado ver a los padres más preocupados que a los propios

muchachos, quienes ven “normal” reprobar matemáticas, y hasta llegan a competir

con sus amigos para obtener la calificación más baja.

La intención de compartir contigo estas observaciones no es la de prepararte para

lo que te puede suceder durante este curso, sino expresar que esta preocupación

también es nuestra, y representa parte de nuestra realidad educativa.

También entendemos el hecho de que no vamos a ser los primeros en darte “conse-

jos” o “fórmulas de éxito” para tus estudios. Quizá lo que menos quieres escuchar es

lo que siempre te han dicho que debes hacer. Así que cambiaremos de estrategia y

te proponemos cuatro reglas de lo que sí es indispensable que realices para no tener

éxito en matemáticas.

Álgebra

viii

ixGrupo Editorial Patria

cómo ser un alumno deficiente en cualquier curso

Sigue estas cuatro reglas:

1. Haz hasta lo imposible por no seguir las explicaciones del profesor.

2. No estudies tus apuntes ni analices tu libro de texto.

3. No realices las tareas.

4. Estudia un día antes del examen, la noche es larga; el estudio sin organización

y sin planes es una de las mejores técnicas; hacer ejercicios sin entenderlos nos

asegura la nota reprobatoria.

Si tu método de estudio responde en forma afirmativa a dos o más de estas reglas,

puedes estar seguro de que reprobarás el curso.

Pero si estás dispuesto a romper con esto, realiza lo contrario de lo que indican las

anteriores reglas y sigue un verdadero compromiso.

A continuación escribe las reglas anteriores invirtiendo su significado.

Mi plan para ser un excelente estudiante de matemáticas1.

2.

3.

4.

Éste es tu nuevo compromiso, al cumplirlo estarás trabajando para aprender y

aprobar matemáticas. De manera que sé constante en tu esfuerzo y no olvides tu

compromiso.

Álgebra

x

Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

DescriPción De la obra . . . . . . . . . . . . . . . . . Vi

recomenDaciones De estuDio . . . . . . . . . . . Viii

Unidad 1 conjuntos 2

1 .1 Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 .2 Idea intuitiva de con jun tos . . . . . . . . . . . . . . . 6

Con jun to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 .3 Car di na li dad de un con jun to . . . . . . . . . . . . . . 9Car di na li dad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 .4 Ti pos de con jun tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Con jun tos fi ni tos e in fi ni tos . . . . . . . . . . . . . 10Con jun tos igua les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Con jun to va cío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Con jun tos equi va len tes . . . . . . . . . . . . . . . . 11Con jun to uni ver sal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Sub con jun tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Con jun to po ten cia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 .5 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 14Unión de con jun tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14In ter sec ción de con jun tos . . . . . . . . . . . . . . 15Mí ni mo co mún múl ti plo . . . . . . . . . . . . . . . 16Má xi mo co mún di vi sor . . . . . . . . . . . . . . . . 16Com ple men to de un con jun to . . . . . . . . . . 18Di fe ren cia en tre dos con jun tos . . . . . . . . . . 19

1 .6 Diagramas de Venn-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 .7 Pro duc to car te sia no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 .8 Pla no car te sia no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Localización de puntos en el plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1 .9 Com prue ba tu apren di za je . . . . . . . . . . . . . . . 37

Unidad 2 sistemas de numeración 40

2 .1 Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 .2 Sistemas de numeración de la Antigüedad . . . 45Sistema de numeración babilonio . . . . . . . . 45Sistema de numeración egipcio . . . . . . . . . 49

Sistema de numeración romano . . . . . . . . . 50Sistema de numeración maya . . . . . . . . . . . 52

2 .3 Sistema decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Notación desarrollada . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Proyecto de trabajo grupal . . . . . . . . . . . . . 59

2 .4 Sistemas de numeración con diferentes bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Conversión de un número decimal a otra base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Conversión a decimal de un número con otra base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2 .5 Operaciones con otras bases . . . . . . . . . . . . . 65 2 .6 Comprueba tu aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . 73

Unidad 3 números reales 76

3 .1 Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3 .2 Propiedades de las operaciones binarias . . . . 80

Operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Operación binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Nombres especiales de algunas estructuras numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3 .3 Números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3 .4 Algoritmo de Euclides para la obtención

del máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . 86Reglas prácticas para la obtención del mcm y del MCD de dos o más números . . . . . . . 88

3 .5 Números enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3 .6 Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Propiedades de las razones geométricas . . 96Decimales periódicos infinitos . . . . . . . . . . . 99Orden en los números racionales . . . . . . . . 100Operaciones con números racionales . . . . . 103Densidad de los números racionales . . . . . . 108Las proporciones y sus propiedades . . . . . . 111

3 .7 Números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Clasificación de números irracionales . . . . . 116

3 .8 Números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Propiedad de tricotomía . . . . . . . . . . . . . . . 121

3 .9 Números imaginarios y complejos . . . . . . . . . 122Representación de números complejos . . . 123

3 .10 Valor absoluto de números reales . . . . . . . . . . 125 3 .11 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3 .12 Leyes de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

COnTEnidO

Grupo Editorial Patria xi

Dos aplicaciones usando exponentes . . . . . 138

3 .13 Notación científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3 .14 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442Leyes fundamentales de los logaritmos . . 146Obtención de logaritmos comunes mediante el uso de tablas . . . . . . . . . . . . . . 147Operaciones con logaritmos . . . . . . . . . . . . 151

3 .15 Comprueba tu aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . 152

Unidad 4 monomios y polinomios 156

4 .1 Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

4 .2 Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . 159Grado de un término . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Clases de términos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4 .3 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Grado de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . 162Clases de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Términos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Reducción de términos semejantes . . . . . . 166Signos de agrupación . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4 .4 Adición de monomios y polinomios . . . . . . . . 169Resta de monomios y polinomios . . . . . . . . 170

4 .5 Multiplicación de monomiosy polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Multiplicación de monomios . . . . . . . . . . . . 173Multiplicación de monomios por polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

4 .6 Factor común en un polinomio . . . . . . . . . . . . 178

4 .7 División de monomios y polinomios . . . . . . . . 180Monomio entre monomio . . . . . . . . . . . . . . 180Polinomio entre monomio . . . . . . . . . . . . . . 180Polinomio entre polinomio . . . . . . . . . . . . . 181Algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . 182División sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

4 .8 Valor numérico de un polinomio . . . . . . . . . . . 185

4 .9 Polinomios como funciones . . . . . . . . . . . . . . . 187Funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . 189Evaluación de una función . . . . . . . . . . . . . . 189Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . 191

4 .10 Comprueba tu aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . 193

Unidad 5 Productos notables y factorización 196

5 .1 Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5 .2 Factor común en un polinomio . . . . . . . . . . . . 200 5 .3 Cuadrado de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Trinomio al cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5 .4 Factorización de trinomios cuadrados perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Factorización parcial de trinomios de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5 .5 Cubo de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5 .6 Factorización de un cubo perfecto . . . . . . . . . 211 5 .7 Producto de binomios

con un término común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5 .8 Factorización de trinomiosde segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Caso en que el coeficiente del término cuadrático es 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Caso en que el coeficiente del término cuadrático es distinto de 1 . . . . . . . . . . . . . . . 218

5 .9 Producto de binomios conjugados . . . . . . . . . 220 5 .10 Factorización de diferencia

de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

5 .11 Factorización por agrupaciónde términos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

5 .12 Factorización de una sumao diferencia de dos potencias iguales . . . . . . . 227

5 .13 Mínimo común múltiplo de doso más polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

5 .14 Otros tipos de factorizaciones . . . . . . . . . . . . . 232 5 .15 Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5 .16 Comprueba tu aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . 247

Unidad 6 operaciones con fracciones y radicales 252

6 .1 Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 6 .2 Teoremas del residuo y del factor . . . . . . . . . . 256

Teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Álgebra

6 .3 Operaciones con fracciones algebraicas . . . . . 263Simplificación de fracciones . . . . . . . . . . . . 263Multiplicación y división de fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Suma y resta de fracciones algebraicas . . . 268Fracciones complejas algebraicas . . . . . . . . 272Simplificación de fracciones complejas . . . . 272Conversión entre fracciones comunes y fracciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

6 .4 Radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Raíz n-ésima principal . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Exponente fraccionario . . . . . . . . . . . . . . . . 286Sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286Simplificación de un radical . . . . . . . . . . . . . 287Modificación del radicando para la simplificación del radical . . . . . . . . . . . . . . . 287Simplificación del radical cuando el radicando no sufre modificación . . . . . . . 290Suma y resta de radicales . . . . . . . . . . . . . . 293Multiplicación y división de radicales . . . . . 296Multiplicación de radicales simples . . . . . . . 296Multiplicación de radicales compuestos . . . 297División de radicales simples . . . . . . . . . . . . 298Racionalización del denominador de una fracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299División de radicales compuestos . . . . . . . . 300

6 .5 Números imaginarios y complejos (continuación) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Número imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Suma y resta de números imaginarios . . . . 309Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310División . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313Suma y resta de números complejos . . . . . 313Multiplicación de números complejos . . . . . 314División de números complejos . . . . . . . . . 315

6 .6 Comprueba tu aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . 318

Unidad 7 ecuaciones y desigualdades 320

7 .1 Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 7 .2 Igualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Propiedades de las igualdades . . . . . . . . . . 326

7 .3 Ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . 330

Ecuaciones literales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Más problemas verbales . . . . . . . . . . . . . . . 344Ecuaciones que contienen valores absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358Ecuaciones que contienen logaritmos . . . . 361

7 .4 Desigualdades de primer grado . . . . . . . . . . . 365Desigualdades racionales . . . . . . . . . . . . . . 372

7 .5 Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . 375Despeje de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376Por factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377Completando un trinomio cuadrado perfecto (TCP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Por fórmula general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Método gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384Más sobre ecuaciones de segundo grado . 388Ecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 389Ecuaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . 390Ecuaciones literales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . 391

7 .6 Desigualdades de segundo grado . . . . . . . . . 396 7 .7 Comprueba tu aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . 399

Unidad 8 sistemas de ecuaciones y desigualdades 402

8 .1 Breve reseña histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 8 .2 Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

Ecuación lineal en dos variables . . . . . . . . . 406

8 .3 Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416Método gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Eliminación por suma o resta . . . . . . . . . . . 420Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . 428Método de igualación . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

8 .4 Sistemas de ecuaciones lineales con tres o más variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

Método de eliminación gaussiana . . . . . . . 440Método por determinantes . . . . . . . . . . . . . 444Los sistemas de ecuaciones lineales como matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444Aplicación del método de eliminación gaussiana en la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . 446

xii

Grupo Editorial Patria 1

Cálculo de un determinante . . . . . . . . . . . . 449Regla de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . 453Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454Sistemas de ecuaciones lineales con tres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

8 .5 Sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . 463Sistema de una ecuación cuadrática y una ecuación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463Sistema de dos ecuaciones cuadráticas sin términos lineales ni término mixto en xy 467Sistema de dos ecuaciones cuadráticas sin términos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

8 .6 Sistemas de desigualdades lineales . . . . . . . . 477Desigualdad lineal con dos variables . . . . . 477

Gráfica de una desigualdad lineal con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478Sistemas de desigualdades lineales . . . . . . 480Programación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

8 .7 Comprueba tu aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . 490

aneXos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495Guía De estuDio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496sección De Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503soluciones De los ejercicios . . . . . . . . . . . . 505resPuestas a la Guía De estuDio . . . . . . . . 533soluciones a comPrueba tu aPrenDiZaje . 539biblioGrafía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

Conjuntos1unidad

Descripción de la unidad

En es ta uni dad, es tu diarás los con cep tos fun da men

ta les de la teo ría de con jun tos que se rá uti li za da co

mo un ele men to fun da men tal del len gua je ne ce sa rio

pa ra el ma ne jo de con cep tos ma te má ti cos en la com

pren sión de uni da des de es tu dio pos te rio res.

Pro pó si tos de la uni dad:

Co no cer la no ción de con jun to.

Com pren der las ope ra cio nes en tre con jun tos.

Re sol ver pro ble mas re la cio na dos con es tas

ope ra cio nes.

Ad qui rir los co no ci mien tos del len gua je

ma te má ti co bá si cos pa ra el de sa rro llo de

con te ni do en te mas pos te rio res.

Con te ni dos de es tu dio:

Idea in tui ti va de con jun to.

Car di na li dad de un conjunto.

Ti pos de con jun tos.

Ope ra cio nes con conjuntos.

Dia gra mas de Venn-Eu ler.

Mul ti pli ca ción de con jun tos o pro duc to car te sia no.

Pla no car te sia no.

1.1 Breve reseña históricaUno de los con cep tos que han lla ma do la aten ción de ma te má ti cos y fi ló so fos en el trans cur so de las di fe ren tes épo cas en las que se ha ido con for man do el co no ci-mien to, es el in fi ni to. Al gu nos matemáticos han re cha za do la idea de co lec cio nes in fi ni tas de ele men tos, apo yán do se en que la co rres pon den cia biu ní vo ca en tre dos agru pa cio nes in fi ni tas con du ce a re sul ta dos que no coin ci den con la ra zón. Pa ra ejem pli fi car es te pun to de vis ta, re fle xio na y tra ta de dar una res pues ta a las si-guien tes pre gun tas:

Con si de ra la se rie de nú me ros en te ros po si ti vos:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,…, n, n + 1,…

Aho ra, pien sa en la se rie de sus cua dra dos:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 ,…, n2, (n + 1)2,…

Si re la cio na s los nú me ros de las dos se ries responde:

1. ¿Qué se rie tie ne más nú me ros?

2. ¿Qué se rie es tá con te ni da en la otra?

3. ¿Una de las par tes pue de te ner la mis ma ex ten sión que el to do del cual es parte in te gran te?

Preguntas co mo las anteriores son las que crea ron po lé mi ca en tre los ma te má ti-cos que vi vie ron an tes del si glo xix, cu ya ac ti tud ge ne ral era ig no rar aque llo que no po dían re sol ver, con si de rán do lo só lo co mo pa ra dó ji co, aun que con fre cuen cia lo uti li za ran en la re so lu ción o en la in ves ti ga ción de otros pro ble mas, tal es el ca so de las se ries nu mé ri cas.

A los ma te má ti cos del si glo xix les in te re só la dis cu sión de pro ble mas co mo la con ti nui dad de una fun ción en el pla no car te sia no, lo fi ni to y lo in fi ni to, y les pa re ció que las ba ses en las que se fun da men ta ban las ma te má ti cas no eran fir mes e ini cia ron un mo vi mien to des ti na do a dar una cimentación más só li da a ca da una de las ra mas de su cien cia. Mu chos ma te má ti cos apor ta ron su ta len to y tra ba jo en es te mo vi mien to de axio ma ti za ción de las ma te má ti cas, en tre ellos des ta ca Georg Can tor (1845-1918) crea dor de la teo ría de con jun tos, con la que in-tro du ce en las ma te má ti cas con cep tos co mo: cla se, cla se de ri va da, cla se ce rra da, cla se per fec ta, per te nen cia a una cla se, pun to lí mi te, nú me ro car di nal, nú me ro or di nal y ti po de or den, con la fi na li dad de con ge niar una ba se más fir me y ló-gi ca al pro ble ma de la con ti nui dad de una fun ción en el pla no. Las apor ta cio nes de Can tor, co mo ve re mos más ade lan te, pro por cio na ron a las ma te má ti cas una he rra mien ta pa ra po der es tu diar las re la cio nes exis ten tes en tre un to do y sus par tes, al mis mo tiem po que sen ta ron las ba ses que pos te rior men te usa ron otros bri llan tes ma te má ti cos pa ra sim pli fi car de fi ni cio nes de con cep tos que re sul ta-ban más com ple jas.

Álgebra

4

Georg Cantor.

Problema eje

En el grupo de Miguel hicieron una encuesta sobre los deportes que más se practicaban en la escuela y escogieron en forma aleatoria a 65 personas a quienes les preguntaron sobre su deporte favorito. Al recolectar la información que obtuvieron encontraron lo siguiente:

1. Com ple ta la ta bla si guien te, para ello dis tri bu ye la in for ma ción anterior.

2. Con tes ta las preguntas y copia la información en el diagrama.

a) ¿Cuán tos alum nos practican futbol americano o soccer?

b) ¿Cuán tos alum nos practican los tres deportes?

c) ¿Cuán tos alum nos practican básquetbol, pero no practican ni futbol soccer, ni americano?

d) ¿Cuán tos alum nos no practican ninguno de los tres deportes?

e) ¿Cuán tos alum nos no practican futbol americano?

Nú me ro de personas

Deporte que practican

35 Futbol americano

34 Futbol soccer

33 Básquetbol

13 Futbol americano y futbol soccer

18 Futbol soccer y básquetbol

15 Futbol americano y básquetbol

10 Practican los tres deportes

Futbol americano

Futbol soccer Básquetbol

Futbol americano 13

Futbol soccer 18

Soccer 15

Americano Soccer

Básquetbol

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

5

1.2 idea intuitiva de con jun tosIni cia el estudio de esta unidad contestando las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál es el nom bre de tus tres me jo res ami gos?

2. ¿Cuál es el nú me ro de alum nos pre sen tes en la cla se de ma te má ticas?

3. Men cio na el nom bre de cin co alum nos que ha yan ob te ni do una ca li fi ca ción ma yor que en su cur so an te rior.

4. ¿Cuán tos de tus com pa ñe ros es tán dis pues tos a tra ba jar pa ra acre di tar es te curso?

Ca da una de las pre gun tas an te rio res se basa en la idea de agru pa ción o de con junto. Es un con cep to intuitivo, no tiene una de fi ni ción for mal, así que se acep ta co mo un con cep to pri mi ti vo de es ta ra ma de las ma te má ti cas. En geo me tría puedes ci tar otro ejem plo de con cep to pri mi ti vo, que no se de fi ne y es el pun to; no obs tan te, es un ele men to fun da men tal de es ta ra ma.

con jun to

Una des crip ción in for mal de la idea de agru pa ción o con jun to pue de ser la si guien te:

Con jun to es una co lec ción de ob je tos di fe ren tes don de a los ob je tos que lo con for man se les lla ma ele men tos del con jun to.

Por lo ge ne ral, se de no ta a los con jun tos con le tras ma yús cu las y a sus ele men tos con mi nús cu las, b [ B, se in ter pre ta co mo “el ele men to b per te ne ce al con jun to B”; y b B se lee co mo “el ele men to b no per te ne ce al con jun to B”.

Un con jun to pue de ser pre sen ta do en for ma ana lí ti ca, lis tan do to dos sus ele men-tos cuan do es po si ble, se pa ra dos ca da uno por me dio de una co ma y en ce rrán do los en tre lla ves { }, a es ta for ma se le lla ma enu me ra ción o ex ten sión; tam bién pue de ser re pre sen ta do por me dio de una fra se o re gla que des cri be las pro pie da des que tie nen sus ele men tos, des crip ción por com pren sión; por me dio de una for ma grá fi-ca me dian te un di bu jo, dia gra ma de VennEu ler, una ta bla o un dia gra ma de ár bol pa ra re pre sen tar cier tas re la cio nes en tre dos o más con jun tos.

En ocasiones, pa ra lis tar to dos los ele men tos de al gu nos con jun tos se re quie re de mu cho es pa cio y tiem po, o sim ple men te no es po si ble ha cer lo; por ejem plo:

“El con jun to A for ma do por los nú me ros en te ros pa res ma yo res que 20 y me no res que un mi llón.”

Cita otros ejemplos de conceptos primitivos en otras ramas

matemáticas.

Escribe y nombra dos conjuntos; luego enumera sus elementos

utilizando el símbolo de pertenencia.

Escribe dos ejemplos de conjuntos en cada una de las formas descritas.

¿Cuántos elementos tiene el conjunto A?

Álgebra

6

“El con jun to B for ma do por los en te ros me no res que 5.”

En estos ca sos se citan al gu nos de los ele men tos del con jun to, ya sean los pri me ros o los úl ti mos, se gui dos (o an te ce di dos) del sím bo lo “...”. Es tos tres pun tos in di can que conoces la su ce sión de esos nú me ros.

Así, en estos ejem plos, los con jun tos des cri tos por enu me ra ción o ex ten sión pue den to mar la si guien te for ma:

A = {22, 24, 26, 28,…, 999 998}

B = {…, 0, 1, 2, 3, 4}

Es cri be por ex ten sión los si guien tes con jun tos:

C = {Nú me ros en te ros po si ti vos im pa res, ma yo res que 10}

C =

D = {Nú me ros en te ros, múl ti plos de tres, me no res que –4}

D =

T = {Nú me ros en te ros po si ti vos, múl ti plos de 12 me no res que 31 401}

T =

Cuan do se pue de des cri bir un con jun to por com pren sión se si gue un ca mi no en for ma de em bu do, em pe zan do por la con di ción ge ne ral del con jun to, has ta la pro-pie dad más es pe cí fi ca de los ele men tos del mis mo.

Ejemplos

1. A = {x/x [ N, x es im par, 7 x 14} … des crip ción por com pren sión

La lec tu ra de la ex pre sión an te rior es: “A es el con jun to de to das las x, ta les que per te nez can a los nú me ros en te ros po si ti vos, im pa res ma yo res que 7 y me no res que 14.”

Condición más general del conjunto

Tipo de elementos del conjunto

Propiedadesespecíficas de los

elementos

Límites,si es que

existen

Pregunta a tu profesor el significado de los símbolos que desconozcas en

esta expresión.

Límites inferior y superior.

Con x se representa cualquier elemento.

Tipo de número. Característica específica.

¿Cuántos númer

os

enteros menore

s que

5 hay?

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

7

2. B = {12, 15, 18, 21, 24, 27}… des crip ción por enu me ra ción o ex ten sión.

Ob ser va aten ta men te los ele men tos del con jun to B y con tes ta las pre gun tas:

1. ¿Qué ti po de nú me ros hay en el con jun to B?

2. ¿Cuál es la ca rac te rís ti ca de sus ele men tos?

3. ¿Cuá les son sus lí mi tes?

Una for ma de des cri bir por com pren sión el con jun to B es:

B = {x/x [ N, x es múl ti plo de 3, 11 x 28}

EJERCICIO 1

1. Da dos los si guien tes con jun tos por enu me ra ción, ex pré sa los por com pren sión.

a) C = {7, 8, 9, 10,…}:

•  ¿Qué ti po de nú me ros hay en el con jun to C? 

•  ¿Cuál es la ca rac te rís ti ca de sus ele men tos?  

•  ¿Cuá les son sus lí mi tes? 

b) E = {26, 28, 30, 32}

•  ¿Qué ti po de nú me ros hay en el con jun to E? 

•  ¿Cuál es la ca rac te rís ti ca de sus ele men tos?  

•  ¿Cuá les son sus lí mi tes?  

c) M = {90, 99, 108, 117, 126, 135}:

d) B = {…, –5, –3, –1}:

e) { }1, 13 , 19 , 127 , 181T =

2. Da dos los si guien tes con jun tos por com pren sión, ex pré sa los por enu me ración.

f ) D = {x/x es un dí gi to del nú me ro 2011}

D =

g) G = {x/x [ N, x es im par, 12 < x}

G =

h) S = {x/x [ N, x es múl ti plo de 5, x ≤ 13}

S =

Álgebra

8

i) N = {x/x [ N, x ≥ 11}

N =

j) P = {x/x [ N, x es una so lu ción de la ecua ción x2 – 5x + 6 = 0}

P =

Las des crip cio nes por com pren sión de con jun tos con una gran can ti dad de ele men-tos se in di can en for ma ge ne ral, con el fin de ob te ner cual quier ele men to del con-jun to da do y su su ce sor.

Ejemplos

1. N = {x/x [ N, x ≥ 11}

2. N = {11, 12, 13, 14,…, n, (n + 1), …}

3. B = {…, –5, –3, –1}

4. B = {x/x = –2n + 1, n [ ≥ N}

1.3 car di na li dad de un con jun to

cardinalidad

EJERCICIO 2In di ca la car di na li dad de ca da con jun to del ejercicio 1.

a) n(C) = e) n(D) =

b) n(E) = f ) n(G) =

c) n(M) = g) n(S) =

d) n(T) = h) n(P) =

Co mo ha brás no ta do, en los con jun tos C y G no es po si ble de ter mi nar el nú me ro de ele men tos que con for man a ca da uno de ellos, lo que nos lle va a nues tro si guien te te ma.

Recuerda que el sucesor de un número entero es ese número más la unidad.

Es el nú me ro de ele men tos dis tin tos que tie ne un con jun to.

Pa ra re pre sen tar la idea de car di na li dad de un con jun to se uti li za la le tra n (ini cial de nú me ro), en ce rran do en tre pa rén te sis la le tra ma yús cu la que le da

nom bre al con jun to n(A) que se lee “car di na li dad del con jun to A”.

Grupo Editorial Patria

UNIDAD 1 Conjuntos

9

1.4 ti Pos de con jun tos

con jun tos fi ni tos e in fi ni tos

Un con jun to es fi ni to cuan do tie ne n ele men tos, sien do n un nú me ro en te ro po si ti vo; en el ca so con tra rio, al con jun to se le lla ma in fi ni to.

Ejemplos

1. A = {x/x es un país del con ti nen te ame ri ca no}

2. B = {x/x es un nú me ro ra cio nal me nor o igual que 100}

En es tos ejem plos, co mo pue des ob ser var, el con jun to A es fi ni to, ya que se pue de con ce bir un nú me ro en te ro po si ti vo que nos in di que su car di na li dad; mien tras que el con jun to B es in fi ni to, ya que no puedes de ter mi nar el nú me ro de ele men tos que lo con for man.

Ex pre sa do de otra for ma, en un con jun to fi ni to el pro ce so de nu me rar sus ele men-tos siem pre tie ne un fin, es de cir, es nu me ra ble y siem pre tie ne un úl ti mo ele men to; mien tras que en un con jun to in fi ni to el pro ce so de nu me rar sus ele men tos nun ca se de tie ne, o en otros ca sos no es po si ble rea li zar es te pro ce so, por lo que a es tos con jun-tos se les nom bra co mo con jun to in fi ni to nu me ra ble o in fi ni to no nu me ra ble.

Ejemplos

1. B = {3, 6, 9, 12,…, 3n, 3(n + 1),…}

2. C = {Las rec tas que pa san por un pun to da do}

Tan to el con jun to B co mo el C son in fi ni tos, la di fe ren cia en tre ellos es que los ele-men tos del con jun to B se pue den ir nu me ran do, aun que es te pro ce so nun ca ter mi-ne, y los ele men tos del con jun to C no puedes nu me rarlos.

D = {x/x es un ser hu ma no}

E = {1, 3, 5,…, 2n + 1, 2(n + 1) + 1,…}

con jun tos igua les

Dos con jun tos A y B son igua les si ca da ele men to de A es un ele men to de B y vi ce ver sa Es ta igual dad se expresa:

A = B

Álgebra

10