?lgebra lineal...ÁLGEBRA LINEAL 2ª edición, 2006 ©Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ciencias ISBN: 968-36-9263-X La presente obra fue impresa bajo demanda

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ISB

N:

968-3

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263-X

HUGO ALBERTO RINCÓN MEJÍA

ÁLGEBRA LINEAL

FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM

2006

ÁLGEBRA LINEAL2ª edición, 2006

©Universidad Nacional Autónoma de México,

Facultad de Ciencias

ISBN: 968-36-9263-X

La presente obra fue impresa bajo demanda por vez primera en los talleres de Publidisa Mexicana SA de CV en el mes de junio de 2006.

Publidisa Mexicana SA de CVCalzada Chabacano Nº 69, Planta AltaColonia Asturias Deleg. Cuauhtémoc06850 México DFwww.publidisa.com

.

A mis padres,

Hugo Armando Rincon Orta yAngelina Aurelia Mejıa Arzate,

con todo mi carino, por haber esperado demasiado de mı.

Introduccion

Este texto contiene el material de los cursos Algebra Lineal I y Algebra LinealII como los he impartido a lo largo de varios anos. Tiene algunas caracterısticasespeciales:

Comienza con operaciones asociativas, monoides, tablas de multiplicar. Esto esporque pienso que la definicion de Espacio vectorial puede resultar muy com-plicada para un alumno, y hago esto para que no se pierdan las consecuenciasde cada axioma.

En el capıtulo de Espacios vectoriales, no solo se demuestra la existencia debases, sino que se da una demostracion de que las bases para un espacio vec-torial tienen el mismo cardinal.La demostracion es una aplicacion del Lema de Zorn, en donde se puso muchocuidado en presentar el argumento de manera clara en todos sus detalles.

Se presentan dos capıtulos acerca de espacios con producto interior. El primercapıtulo incluye la teorıa que los estudiantes de Fısica necesitan con urgencia,mientras que el ultimo capıtulo usa la teorıa de espacios invariantes. En estecapıtulo se estudian los operadores normales, autoadjuntos, unitarios que sontan importantes para los estudiantes de Fısica cuantica.

Se hacen ejemplos detallados de calculos de formas canonicas y se hace enfasisen la teorıa de diagonalizacion simultanea. Como aplicacion, se presentan lascadenas de Markov, y se caracteriza la situacion en que las potencias de unamatriz cuadrada convergen.

Agradezco la ayuda que me han prestado algunos de mis estudiantes. Entreestos puedo recordar a Ricardo Hernandez Barajas, Alina Madrid Rincon, Antonie-ta Campa, Patricia Pellicer Covarrubias, Alejandro Alvarado Garcıa y Saul Juarez

v

Ordonez. Especialmente agradezco a Rolando Gomez Macedo, por la lectura cuida-dosa que realizo, senalando una buena cantidad de errores tipograficos y de notacion.Agradezco la gran ayuda prestada por los matematicos Julio Cesar Guevara y

Guilmer Gonzalez Flores quienes revisaron cuidadosamente el libro y me senalaronuna gran cantidad de diagramas, dibujos y detalles de estilo que habıa que corregir.Agradezco a Angelica Macıas y a Nancy Mejıa por el diseno de la cubierta del

libro.Este libro se beneficio grandemente del interes que puso en el la M. en C. Ana

Irene Ramırez Galarza, a quien estoy profundamente agradecido.A pesar de todo, es inevitable que permanezcan errores en el libro, de los cuales

solo yo soy responsable. Agradecere a las personas que hagan favor de senalarmelos.Para terminar, quisiera manifestar el gusto que me da trabajar en la Facultad

de Ciencias, donde los profesores entregan lo mejor de sı mismos a sus alumnos, sinregatear esfuerzos y sin ambicion de lucro.Trabajar en el Departamento de Matematicas de la Facultad de Ciencias ha sido

uno de los eventos mas afortunados que me han ocurrido. Aprovecho esa oportunidadpara manifestar mi aprecio y reconocimiento a mis companeros del grupo de Algebra,quienes casi todos fueron mis maestros.Agradezco al profesor Cesar Rincon Orta, por su e

paciencia y por el afecto inagotable que me ha brindado siempre. Gracias, Tıo.jemplo, sus ensenanzas, su

vi

Indice general

1. Operaciones asociativas 11.1. Semigrupos y monoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Tablas de multiplicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Monoides con cancelacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1. Subgrupos y restriccion de funciones. . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Producto de copias de un anillo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Espacios vectoriales 192.1. Espacios vectoriales y subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. El subespacio generado por un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5. Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6. Lema de Zorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.7. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. Transformaciones lineales 673.1. Transformaciones lineales, nucleos e

imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2. La propiedad universal de las bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3. La matriz de una transformacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4. Suma y producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.5. La matriz de cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4. Sistemas de ecuaciones lineales 1114.1. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.1.1. Matrices reducidas y escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.2. La inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.3. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.4. Espacios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.4.1. Calculo de la base dual para un espacio dedimension finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.4.2. La dimension del espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.5. La transpuesta de una funcion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5. Espacios con producto interior I 1515.1. Productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2. La norma inducida por un producto

interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.2.1. El Teorema de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.3. La traza y la adjunta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.4. Ortogonalidad y el Teorema de

Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.4.1. Matrices respecto a una base ortonormal . . . . . . . . . . . . 1685.4.2. Representacion de elementos del espacio dual . . . . . . . . . 169

5.5. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695.6. Propiedades del operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1715.7. Transformaciones lineales y productos

interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.8. Operadores unitarios en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.9. Movimientos rıgidos (Isometrıas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6. Determinantes 1856.1. Funciones n-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.1.1. Factorizacion unica como producto de ciclos . . . . . . . . . . 1896.1.2. Estructura cıclica y signo de una permutacion . . . . . . . . . 195

6.2. El desarrollo por renglones deldeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.3. Invertibilidad y el determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2186.4. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.5. Similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

7. Polinomios con coeficientes en R 2317.1. Polinomios y el algoritmo de la division . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317.2. La estructura algebraica de R[ ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

viii

8. Vectores propios y diagonalizacion 2478.1. Vectores y valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2478.2. El polinomio caracterıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2508.3. Espacios propios y diagonalizabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2568.4. Matrices diagonalizables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2648.5. El polinomio mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

8.5.1. El polinomio mınimo y diagonalizabilidad . . . . . . . . . . . 273

9. Subespacios T-invariantes 2839.1. Subespacios invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2839.2. Subespacios T-cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2899.3. Polinomio caracterıstico y polinomio

mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2929.4. El Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2969.5. Diagonalizacion simultanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

9.5.1. El centralizador de un operador diagonalizable . . . . . . . . . 303

10.Formas canonicas 31310.1. Lemas basicos de descomposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31310.2. La matriz companera de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 31610.3. Matrices diagonales por bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31710.4. El p-zoclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32010.5. Sumandos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35010.6. Espacios cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35110.7. Forma canonica racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

10.7.1. Diagrama de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35910.8. Mas acerca de los diagramas de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 36810.9. Forma canonica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37310.10.Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

10.10.1.Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38210.10.2.Procesos aleatorios y Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . 389

11.Espacios con producto interior II 40711.1. Operadores normales, autoadjuntos,

unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40711.2. Operadores normales, = C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40811.3. Operadores autoadjuntos, = R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41011.4. Operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41311.5. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

ix

11.5.1. Proyecciones ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41511.6. El teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

Algunas notaciones utilizadas en el libro 423

Bibliografıa 429

Indice alfabetico 430

x

Capıtulo 1

Operaciones asociativas

1.1. Semigrupos y monoides

Para mayor informacion sobre estos temas, recomendamos al lector los libros deJacobson [3] y Rotman [7], aunque como lo que necesitaremos es bastante poco,esperamos que baste con lo que se presenta aquı.

Definicion 1 Una operacion en un conjunto es una funcion : ×

Muchas veces escribiremos en lugar de escribir (( ))

Definicion 2 Decimos que la operacion : × es asociativa si

( ) = ( )

En este caso la pareja ordenada ( ) se llama semigrupo.

Ejemplo 1 Son semigrupos:

1. (N +)

2. (N ) donde denota la multiplcacion usual,

3. ( ( ) ),

4. ( ( ) )

5. ({ : | es una funcion} )Son semigrupos.

1

2 CAPITULO 1. OPERACIONES ASOCIATIVAS

Ejemplo 2 1. (Z ) no es un semigrupo:

1 = 1 0 = 1 (1 1) 6= (1 1) 1 = 1

2. Consideremos la operacion de diferencia de conjuntos en

({0 1}) = { {0} {1} {0 1}}

observando que

{0 1} = {0 1} \ =

= {0 1} \ ({0 1} \ {0 1}) 6= ({0 1} \ {0 1}) \ {0 1} =

Concluımoa que ( ({0 1}) \) no es un semigrupo.

1.1.1. Tablas de multiplicar

Definicion 3 Sea una operacion en un conjunto finito { 1 2 } la tabla demultiplicar de es el arreglo cuadrado

1 2 · · · · · · · · ·

1 1 1 1 1 1

2

...

1

...

1

...

1

Ejemplo 3 En el conjunto {0 1} se pueden definir 16 operaciones. Para convencer-nos de ello, calculemos la cardinalidad den

{0 1} × {0 1} {0 1} | es una funciono

Notemos lo siguiente: cada uno de los cuatro elementos de {0 1}×{0 1}tiene que ira dar a 0 o a 1 bajo una funcion de las de arriba. Entonces debe ser claro que hay2 2 2 2 = 16 elementos en el conjunto de funciones cuya cardinalidad estamoscalculando.De estas 16 operaciones hay 8 asociativas. Mencionamos algunas:

1.1. SEMIGRUPOS Y MONOIDES 3

1.0 1

0 0 01 0 0

es asociativa.

2. Por la misma razon,0 1

0 1 11 1 1

es asociativa.

3. La disyuncion logica0 1

0 0 11 1 0

es asociativa.

4. La conjuncion logica0 1

0 0 01 0 1

es asociativa.

5. Definamos por: = {0 1} Es claro que las dos maneras deponer parentesis en

nos produce el mismo resultado: La tabla correspondiente es

0 10 0 11 0 1

6. Dualmente,0 1

0 0 01 1 1


Hasta este momento hemos escrito 6 de las 8 operaciones asociativas que se puedendefinir en {0 1}

Ejercicio 1 Encuentre las otras dos operaciones asociativas que se pueden definiren {0 1}

Para mostrar una operacion que no es asociativa en el conjunto {0 1} tomemosla tabla de la implicacion, “ ”:

0 10 1 11 0 1

No es asociativa pues, 0 (0 0) = 0 1 = 1 pero (0 = 0) = 0 = 1 = 0 =0

Definicion 4 Sea una operacion asociativa en

1. es un neutro izquierdo para si =

2. es un neutro derecho para si =

3. es un neutro para si es un neutro izquierdo y derecho para

Observacion 1 Si es un neutro izquierdo para y es un neutro derecho para lamisma operacion, entonces =

Demostracion. = = La primera igualdad se da porque es neutroderecho y la segunda porque es neutro izquierdo.

Observacion 2 Si son dos neutros izquierdos distintos para una operacion ,entonces no tiene neutro.

Ejemplo 4 Un semigrupo con dos neutros izquierdos:

* 0 10 0 11 0 1

Notese que no hay neutro derecho.

1.1. SEMIGRUPOS Y MONOIDES 5

1.1.2. Monoides con cancelacion

Definicion 5 Una terna ( ) es un monoide si ( ) es un semigrupo y esneutro para .

Definicion 6 Sea ( ) un monoide y supongamos que

=

diremos que es inverso por la izquierda de y que es inverso por la derecha de

Observacion 3 Si es inverso por la izquierda de y es inverso derecho deentonces =

Demostracion. = = ( ) = ( ) = =

1. En un monoide el inverso de un elemento (si existe) es unico.

2. Si son inversos izquierdos de , entonces no tiene inverso derecho (y porlo tanto no tiene inverso).

Demostracion. Se sigue inmediatamente de la Observacion anterior.

Ejemplo 5 Consideremos el monoide¡NN N

¢La funcion : N N tal que ( ) = + 1 tiene inverso izquierdo porque esinyectiva, no tiene inverso derecho porque no es suprayectiva.La funcion

: N N

7

½1 si 0si = 0

es un inverso izquierdo para para cada N. La funcion tiene una infinidad deinversos izquierdos en el monoide

¡NN N

¢y claro, no puede tener inverso

Ejercicio 2 Diga como se reflejan en una tabla de multiplicar los siguientes hechos:

1. La operacion es conmutativa (es decir = , para cada y ).

2. El elemento es cancelable por la izquierda.

3. El elemento es cancelable por la derecha.

4. tiene inverso por la derecha.

5. es neutro izquierdo para la operacion.


1.2. Grupos

Definicion 7 Un grupo es un monoide ( ) en el que cada elemento tieneinverso.

Definicion 8 si la operacion en un grupo ( ) es conmutativa, diremos que elgrupo es conmutativa (o abeliano)

Observacion 4 1. En un grupo cada elemento tiene un unico inverso.

2. En un grupo = implica que es el inverso de (y que es el inversode ).

Demostracion. Se sigue de la Observacion 3.

Ejercicio 3 Sea un conjunto, denotemos ( ) el conjunto de biyecciones dea Demuestre que ( ( ) ) es un grupo.

Ejemplo 6 Tomemos = {0 1 2}. Hay 6 biyecciones en el conjunto anterior.

{0 1 2} {0 1 2}0 7 01 7 22 7 1

es una, y

{0 1 2} {0 1 2}0 7 11 7 22 7 0

es otra.Observese que 6=

Ejercicio 4 Muestre que si | | > 3 entonces ( ( ) ) es un grupo noconmutativo.

Recordemos que en un monoide , un inverso izquierdo y un inverso derecho detienen que coincidir.

En particular, en un grupo ( ) el inverso de cada elemento es unico, de hechopodemos demostrar lo siguiente:

1.2. GRUPOS 7

Teorema 1 En un grupo ( ) son equivalentes

1. es el inverso de

2. es el inverso de .

3. = .

4. =

Demostracion. 1) 2) es el inverso de

(( = ) ( = ))

(( = ) ( = ))

es el inverso de

2) 3) Es claro.

3) 4) Por c), es inverso derecho de Como es un grupo, tiene un inverso(que es inverso por los dos lados). Entonces = y ası es inverso izquierdo de

4) 1) Analogo al argumento de arriba.

Corolario 1 En un grupo ( ) valen las siguientes afirmaciones:1) Denotemos por 1 al inverso de La funcion ( ) 1 : es inyectiva ysuprayectiva (de hecho, es autoinversa).2) ( ) 1 = 1 1

3)¡( ) 1¢ 1

=

Demostracion. 1) Simplemente notemos que 1 = = 1 implica que

es el inverso de 1 Es decir,¡( ) 1¢ 1

=

2) Se sigue de que 1 1 = 1 =

3) Visto en 1).

Notacion 1 Es comun que la operacion para un grupo se denote con +, en estecaso, el neutro se denota 0 y el inverso de se denota , en lugar de 1


1.2.1. Subgrupos y restriccion de funciones.

Definicion 9 Si se define la funcion inclusion

:7

de esta manera podemos pensar la inclusion de un conjunto en otro como una funcion.

Definicion 10 Sea sea : una funcion. En este caso podemostomar la composicion de con , es decir,

-

6

¡¡¡¡µ

Llamaremos | a la composicion | se llama la restriccion de a .

Observacion 5 Si es una operacion en , y es un subconjunto de , entonces× es un subconjunto de × y entonces podemos considerar

| × : ×

×

×

-

6××

¡¡¡¡¡µ

| ×

Notemos que | × : × no es una operacion en , puesto que el codominiono es

Sin embargo, si nosotros tuvieramos que

podrıamos tomar | × : × .En este caso diremos que es un subconjunto de cerrado bajo

Observacion 6 Sea operacion en y sea un subconjunto de cerrado bajoEntonces:

1.2. GRUPOS 9

1. asociativa | × es asociativa.

2. conmutativa | × es conmutativa.

Definicion 11 Sea ( ) un grupo y un subconjunto de , diremos que esun subgrupo de si ¡

| ×

¢es un grupo.

Ejercicio 5 Son equivalentes para un subconjunto de con ( ) grupo:

1. es un subgrupo de

a) es cerrado bajo

b)

c) 1

Ejercicio 6 Demuestre que

1. La interseccion de dos subgrupos de un grupo es un subgrupo de .

2. La interseccion de una familia { } de subgrupos de es un subgrupo de

Ejercicio 7 Si es un subconjunto de un grupo , entonces la interseccion de lafamilia de subgrupos que contienen a es el menor subgrupo que contiene a Sellama el subgrupo generado por y lo denotaremos h i

Ejemplos 7 1. El subgrupo generado por el neutro de un grupo ( ) es { }

a) { } es cerrado bajo

b) { }

c) 1 = { }Entonces { } es un subgrupo que contiene a Es claro que es el subgrupoque genera { } (no puede haber otro subgrupo mas pequeno que contenga).

2. El subgrupo de (Z + 0) generado por 2 es 2Z


a) 2 2Z

b) 2Z es cerrado bajo la suma.

c) 0 2Z

d) 2 = 2 ( ) 2ZEntonces 2Z es un subgrupo de Z que contiene a 2. Si es un subgrupode Z que contiene a 2 debe de contener tambien a 0 ( 2) = 2 a2 2 = 4, a 0 ( 4) = 4 ..., a 2 a 0 2 = 2 a 2 2 a

0 ( 2 2) = 2 ( + 1) ... Es decir, debe contener a 2Z. Por lo tanto2Z es el menor subgrupo de Z que contiene a 2

3. El subgrupo de Z generado por es ZEs analogo al anterior.

4. Todos los subgrupos de Z son de la forma Z con N

a) Un subgrupo de Z tiene que contener por lo menos al neutro 0. Si= {0} entonces = 0Z

b) Si 6= 0Z, tomemos un entero distinto de 0 que pertenezca a . Si0 notemos que 0 = 0 es un elemento de Ası que

contiene enteros positivos. Otra manera de decir esto es: Z+ 6=Usemos el principio del buen orden para convencernos de que podemostomar el menor entero positivo que pertenece a Entonces y porlo tanto

Z

c) Tomemos un elemento de , digamos, y apliquemos el algoritmo de ladivision a y :

0 6

como = + , entonces = = + ( ) . De aquı vemosque tiene que ser 0, pues de nos ser ası, serıa un elemento de mas

pequeno que el mas pequeno ). Como = 0 entonces =

5. El subgrupo de Z generado por { } es

Z+ Z = { 1 + 2 | 1 2 Z} = ( ; )Z

donde ( ; ) denota el maximo comun divisor de y

1.2. GRUPOS 11

a) Primero convenzamonos de que { 1 + 2 | 1 2 Z} es un subgrupo deZ que contiene tanto a como a (Es cerrado bajo la suma, contieneal 0, es cerrado bajo tomar inversos, y contiene a y a

b) Supongamos ahora que es un subgrupo de Z que contiene a , y a. Entonces tambien debe contener al subgrupo generado por , es decirZ . Lo mismo puede decirse de Z Como es cerrado bajo la sumaentonces Z + Z Por lo tanto, Z + Z es el subgrupo generadopor { }.

c) Ahora, Z+ Z = Z, para algun natural . Es facil comprobar que es elmaximo comun divisor de y

6.Z Z = [ ; ]Z

donde [ ; ] denota el mınimo comun multiplo de y

Teorema 2 Si entonces h i = { | Z} 1

Demostracion. 1. = 0 { | Z}2. = + { | Z}, (ejercicio).3. ( ) 1 = { | Z}, (ejercicio).Luego, { | Z} es un subgrupo de que contiene a = 1. Por lo tanto

h i 6 { | Z}Por otra parte, se demuestra por induccion, que h i Z. Esto nos da la

igualdad entre { | Z} y h i

Observacion 7 Si entonces

h i =©

11

22

33 | N Z

ªEjemplo 8 Las simetrıas del cuadrado son un subgrupo de {1 2 3 4}

Ejercicio 8 Si es un grupo, entonces

1 se define de la manera siguiente:

1. 0 = , el neutro.

2. +1 =

3. =¡

1¢

0


1. Z = +

2. Z = ( ) 1

3. Z ( ) =

Definicion 12 Sea un conjunto de puntos en el plano euclidiano, una funcion: es una simetrıa de si respeta las distancias entre puntos de

Observacion 8 Sea finito, como en la definicion anterior, entonces una simetrıade es una biyeccion:

Demostracion. Si 6= son elementos de , entonces su distancia es distintade 0 por lo tanto ( ( ) ( )) = ( ) 6= 0. En particular, 6= Por lo tantoes inyectiva. Como es inyectiva, y es finito, entonces es biyectiva.

Observacion 9 Si es un subconjunto finito del plano, entonces

{ : | es simetrıa}

es un subgrupo de ( )

Demostracion. 1. La composicion de dos simetrıas es una simetrıa:Supongamos que son dos simetrıas de y que Entonces

(( ) ( ) ( ) ( )) = ( ( ( )) ( ( ))) =

= ( ( ) ( )) = ( )

2. La funcion identidad es una simetrıa.3. Si es una simetrıa, entonces 1 tambien lo es:

sean entonces = ( ) = ( ) (recordemos que es suprayectiva).Entonces ¡

1 ( ) 1 ( )¢=

¡1 ( ( )) 1 ( ( ))

¢=

= ( ) = ( ( ) ( )) = ( )

En particular, si 1 2 3 4 son los vertices de un cuadrado, las simetrıas del con-junto de vertices del cuadrado son los elementos de un subgrupo de {1 2 3 4}Contemos el numero de simetrıas del cuadrado: el numero posible de imagenes

de 1 es 4 La imagen del 3 queda determinada por la imagen de 1 2 tiene que ir adar a un vecino de la imagen de 1 (dos posibilidades). Esto ya determina la imagende 4 En total hay 4× 2 = 8 simetrıas del cuadrado.Observando la figura anterior, vemos que las 8 simetrıas del cuadrado son 4

reflexiones (sobre los ejes de simetrıa) y 4 rotaciones (incluyendo la identidad).

1.3. ANILLOS 13

Figura 1.1:

1.3. Anillos

Definicion 13 Un anillo es una quinteta ( + 0 1) tal que:

1. ( + 0) es un grupo conmutativo.

2. ( 1) es un monoide.

3. se distribuye sobre +, por los dos lados, es decir que

( + ) = ( ) + ( )

y( + ) = ( ) + ( )

Cuando en un anillo la operacion es conmutativa, el anillo se llama anilloconmutativo.Hay que notar que la suma en un anillo siempre es conmutativa.

Ejemplos 9 1. (Z + 0 1) es un anillo.


2. (Z + 0 1) es un anillo.

3. (Q + 0 1) es un anillo.

4. (R + 0 1) es un anillo.

Ejemplo 10 Tomemos un conjunto . Consideremos ( ) definamos en ( )una suma de la manera siguiente: + =: ( ) \ ( ) (esto se llama ladiferencia simetrica de y de y tambien se denota por ).Definamos ahora el producto de y de como su interseccion:

Proposicion 1 Veremos que ( ( ) + ) es un anillo.

Demostracion. Lo unico no trivial que hay que demostrar es que + es asociativa(y que la interseccion se distribuye sobre la suma).Comparemos + ( + ) con ( + ) + = + ( + ) = + ( + ) (la

suma es conmutativa). Veremos que + ( + ) es inalterado por el intercambioy con esto habremos terminado.

En efecto:

+ ( + ) = [ ] [ ] [ ] [ ]

Notemos que los uniendos de enmedio son invariantes bajo el intercambio de con, mientras que los extremos se mapean uno en el otro, cuando uno intercambia

con .La siguiente es una verificacion de la igualdad anterior.

+ ( + ) = ( \( + )) (( + )\ ) =

= ( [( \ ) ( \ )] ([( \ ) ( \ )] ) =

= ( [( ) ( )] ) ([( ) ( )] ) =

= ( [( ) ( ) ]) [( ) ( )] =

= ( [( ) ( )]) [( ) ( )] =

= ([( ) ( )] ( )) [( ) ( )] =

= [[( ) ( )] [( ) ( ]] [( ) ( )] =

= [[( ) ] [ ( )]] [( ) ( )] =

= [( ) ( )] [( ) ( )]

Ejercicio 9 Complete los detalles de la demostracion de que ( ( ) +) es un anillo.

1.3. ANILLOS 15

1.3.1. Producto de copias de un anillo.

Definicion 14 Sea ( + 0 1) un anillo y sea un conjunto.es el conjunto de las funciones de a

Si tenemos dos elementos de , y , podemos sumarlas por medio de la definicion:¡+¢( ) =: ( ) + ( )

Del lado izquierdo de la ecuacion anterior tenemos la suma que se esta definiendo ydel lado derecho la suma en el anillo . Notemos que + es una operacion en yque es conmutativa, asociativa con neutro: 0 la funcion constante y notemos tambienque la funcion tiene inverso aditivo: calculada en da ( ).Definimos el producto en , de manera similar:

( ˜ ) ( ) =: ( ) ( )

Es una verificacion rutinaria la de la asociatividad de ˜, y la distributividad de ˜sobre + El neutro del producto es la funcion constante 1

Teorema 3 Sea ( + 0 1) un anillo. Entonces valen las siguientes afirmaciones:

1. 0 = 0 = 0

2. (( + = 0) ( = = ))

3. ( 1) = = ( 1).

4. [( ) = ( ) = ( )].

5. ( ) ( ) = .

Demostracion. 1. 0 + ( 0) = ( 0) = (0 + 0) = 0 + 0 Cancelamos0 para obtener 0 = 0. Analogamente, obtenemos 0 = 0.2. Esta es una propiedad de los grupos.3. ( 1) + = ( 1) + 1 = ( 1 + 1) = 0 = 0 Analogamente,( 1) =4. + ( ) = 0 = 0Ademas ( ) + = ( + ) = 0 = 0.5. ( ) ( ) = ( ( ) = ( ( ))) =

Definicion 15 Un anillo ( + 0 1) es un


1. Anillo conmutativo si es conmutativa.

2. Dominio si ( \ {0} 1) es un monoide con cancelacion..

3. Anillo con division si ( \ {0} 1) es un grupo.

4. Campo si ( \ {0} 1) es un grupo abeliano.

Observacion 10 Todo campo es un dominio pero hay dominios que no son campos.

Demostracion. Que un campo es un dominio, se sigue del hecho de que ungrupo es un monoide con cancelacion.Por otra parte (Z + 0 1) es un dominio que no es campo.

Definicion 16 Una unidad en un anillo es un elemento con inverso multiplica-tivo. El conjunto de las unidades para un anillo lo denotaremos ×.

Ejemplo 11 Consideremos el anillo de los enteros modulo , Z . Entonces

Z× = {¯ Z | ( ; ) = 1}

En efecto: Si ( ; ) = 1, entonces hay una combinacion entera de y , + =1. De aquı es claro que = 1, por lo que ¯ es el inverso multiplicativo de ¯Recıprocamente, si ¯ tiene inverso multiplicativo , entonces = 1 Esto equivale

a 1, es decir que | ( 1), que se puede expresar como: Ztal que= 1, o sea que

1 =

De aquı vemos que ( ; ) = 1

Corolario 2 Z es un campo es un primo.

Demostracion.Z es un campo

Z \ {0} = Z× = {¯ | ( ; ) = 1}©1 2 1

ª= {¯ Z | ( ; ) = 1}

[( ; ) = 1 Z, tal que 1 6 ] es primo.

Ejercicio 10 Demostrar la unicidad de y de en el Ejemplo 4 c.

1.3. ANILLOS 17

Ejercicio 11 Una maquina acepta palabras de ocho letras (definidas como suce-siones de ocho letras del alfabeto, inclusive si no tiene significado) e imprime unapalabra de ocho letras consistente de las primeras 5 letras de la primera palabra segui-da de las ultimas tres letras de la segunda palabra. Demuestre que el conjunto de laspalabras de ocho letras con esta regla de multiplicacion es un semigrupo. ¿Serıa este elcaso si la maquina imprime las cuatro primeras letras de la primera palabra seguidasde las cuatro ultimas de la segunda palabra? ¿Alguno de estos dos sistemas tieneneutro?

Ejercicio 12 Sea ( 1) un monoide y sea . Defınase un nuevo productopor = . Demuestre que esto define un semigrupo, ¿bajo que

condiciones hay neutro?

Ejercicio 13 Sea un semigrupo, un objeto que no pertenece a Tomese ={ } y extendamos el producto en a un producto binario en definiendo =

= . Demuestrese que ( ) es un monoide.

Ejercicio 14 Sea un conjunto finito con una operacion binaria y un neutroDemuestrese que es un grupo su tabla de multiplicar tiene las siguientes

propiedades:

1. Todo renglon y columna de la tabla contiene cada elemento de

2. Para cada par de elementos de \ { } sea un rectangulo en el cuerpo dela tabla que tiene en uno de sus vertices, un vertice en el mismo renglonque y un vertice en la misma columna que entonces el cuarto verticedepende solo de la pareja ( ) y no de la posicion de

Ejercicio 15 Encuentre los inversos multiplicativos de 2 8 11 13 15 en Z17\ {0}y en Z53\ {0}

Ejercicio 16 Muestre que si la suma y la multiplicacion en un anillo

( + 0 1)

son conmutativas, entonces una distributividad implica la otra.

Ejercicio 17 Mostrar que en un anillo , 0 = 0 = 0

Ejercicio 18 Suponga que en un anillo ( + 0 1) 0 = 1 ¿Cuantos elementostiene ? Escriba las tablas de sumar y de multiplicar.


Ejercicio 19 ¿Que pasarıa si en un anillo ademas se tuviera que la suma se dis-tribuyera sobre el producto? ¿Puede pasar esto? ¿Como serıa ?

Ejercicio 20 ¿Por que un campo debe tener por lo menos dos elementos?

Ejercicio 21 Considere el conjunton+ 2 | Q

osumense y multiplıquense como reales. ¿Es esto un campo? ¿Quien es el recıproco deun elemento + 2 6= 0?

Ejercicio 22 Considere el conjunto©+ 1 | Z

ªsumense y multiplıquense

como complejos. ¿Es esto un anillo? ¿Quienes son los elementos con recıproco?

Ejercicio 23 Compruebe la regla de los signos en un anillo:

1. ( ) ( ) = ( )

2. ( ) ( ) = ( )

3. ( ) ( ) =

Ejercicio 24 Tomemos el anillo ( (N) + N) resuelva las ecuaciones:

1. + 2N = {2 + 1 | N}

2. + {0 1 2 9} = {0 3}

3. = N

4. ( + ) = (Aquı, “resolver” quiere decir, encontrar todas las solu-ciones).

Capıtulo 2

Espacios vectoriales

2.1. Espacios vectoriales y subespacios

Definicion 17 Un espacio vectorial es una quinteta ( + 0 · : × ) talque:

1.³

+ 0és un grupo abeliano.

2. · : × satisface:

a) 1 · = ,

b) ( ) · = · ( · ),

c) ( + ) · = + ,

d) ·¡+¢= · + ·

Los elementos de se llaman vectores, los de se llaman escalares, y cuandosea claro como se definieron las operaciones, escribiremos en lugar de toda laquinteta ordenada. se lee: es un espacio vectorial sobre el campo

Ejemplo 12 (R [ ] + 0 R · : R×R [ ] R) es un espacio vectorial..

Ejemplo 13³R + 0 R · : R× R R

és un espacio vectorial, con las opera-

ciones definidas de la manera siguiente:

1. ( 1 2 ) + ( 1 2 ) = ( 1 + 1 2 + 2 + ).

2. · ( 1 2 ) = ( 1 2 )

19

20 CAPITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

Teorema 4 Si es un espacio vectorial sobre , entonces

1. 0 · = 0, .

2. · 0 = 0

3. ( 1) = ,

Demostracion. 1. 0+ (0 · ) = 0 · = (0 + 0) · = 0 · +0 · . Cancelando 0 · ,obtenemos 0 = 0 · .2. Sea , entonces 0+

³· 0´= · 0 = ·

³0+0

´= · 0+ · 0. Cancelando

· 0, obtenemos: 0 = · 03. 1 · + ( 1) · = (1 + ( 1)) · = 0 · = 0. De aquı que ( 1) · =

Ejemplo 14 Sea un campo y sea un conjunto. Entonces

= { : | es una funcion}

Se define la suma de funciones de la manera usual, y el producto de un elemento depor una funcion tambien de la manera usual:

1. + : es la funcion tal que¡+¢( ) = ( ) + ( )

2. · : es la funcion tal que ( · ) ( ) = ( ( ))

Entonces: ¡+ 0 · : ×

¢es un espacio vectorial.Demostracion. Que

¡+ 0

¢es un grupo conmutativo, se deja como ejerci-

cio.Propiedades del producto por escalares:1. (1 · ) ( ) = 1 · ( ) = ( ) Por lo tanto las funciones 1 · y

coinciden.2. [( ) · ] ( ) = ( ) · ( ) = ( ( )) = (( ) ( )) = ( · ( · )) ( ),

por lo que las funciones [( ) · ] y ( · ( · )) coinciden.3. [( + ) ( )] ( ) = ( + ) ( ( )) = ( ) + ( ) =

= ( ) ( ) + ( ) ( ) = ( + ) ( )

Por lo tanto, ( + ) ( ) = ( + ).4.£·¡+¢¤( ) =

£¡+¢( )¤= [ ( ) + ( )] =

= ( ( )) + ( ( )) = ( · ) ( ) + ( · ) ( ) =¡· + ·

¢( )

Por lo tanto ·¡+¢= · + ·

2.1. ESPACIOS VECTORIALES Y SUBESPACIOS 21

Observacion 11 Tomemos un campo y tomemos

= {1 2 } × {1 2 }

un elemento en se llama una matriz de × con coeficientes en

Por costumbre, uno escribe en lugar de escribir ( )Tambien por costumbre, uno suele escribir una matriz en la forma de un arreglo

rectangular:

1 1 1 2 1 3 · · · 1

2 1 2 2 2 3 · · · 2...

1 2 3

Ejemplos 15 De acuerdo a las definiciones:

1. ( + ) = + ( ) {1 2 } × {1 2 }

2.

µ2 3 56 7 8

¶+

µ0 7 89 5 4

¶=

µ2 10 1315 12 12

¶3. ( ) = ( ) {1 2 } × {1 2 }

4. 2

µ3 4 56 7 8

¶=

µ6 8 1012 14 16

¶Definicion 18 Sea

¡+ 0 · : ×

¢un espacio vectorial, y sea

Diremos que es un subespacio vectorial de si³+| × 0 ·| × : ×

és un espacio vectorial. Cuando esto pase, escribiremos 6

Proposicion 2 6

i) es cerrada bajo +

ii) 0iii) ·

Demostracion. )i) Que +| × sea una operacion en significa que +| × : × es

decir, que sumando dos elementos de se obtiene un elemento de Esto es lomismo que decir que es cerrado bajo +


ii) El neutro de +| × debe coincidir con el neutro de + que es 0 Por lo tanto

0iii) Que ·| × : × es una funcion con dominio × y codominio

significa exactamente lo mismo que

·

)Supongamos que se cumplen i), ii) y iii).Por el inciso i), tenemos que +| × es una operacion enPor herencia, +| × es asociativa y conmutativa.

Lo anterior, junto con ii), nos dicen que³

+| × 0és un monoide.

Ahora, de la condicion iii) y del Teorema 4 tenemos que = ( 1) · ,

Concluımos que³

+| × 0és un grupo conmutativo Es una cuestion

sencilla comprobar que el producto ·| × : × satisface las propiedades

pedidas a un producto por escalares. Ası que³

+| × 0 ·| ×

és un espacio

vectorial.1

Ejemplo 16 C (R) = { : R R | es continua} es un subespacio de RR:

1. La suma de dos funciones continuas es continua.

2. La funcion constante 0 es continua.

3. El producto de un escalar por una funcion continua es continua.

Recordemos que ( ) = { : | sop ( ) es finito} Aquı hay que recordartambien que

sop ( ) = { Dom( ) | ( ) 6= 0}

Entonces

Ejemplo 17 ( ) 6 pues:

1. La suma de dos funciones , de soporte finito es de soporte finito,puesto que sop

¡+¢

sop( ) sop( ). (La union de dos conjuntos finitos esfinita, y un subconjunto de un conjunto finito es finito).

1Por ejemplo, ( ) · = · ( · ) para cualesquiera escalares y cualquier porque loanterior se cumple para cualquier vector en

2.2. EL SUBESPACIO GENERADO POR UN CONJUNTO 23

2. La funcion constante 0 tiene soporte , que es finito.

3. Si es un escalar y es una funcion de soporte finito, entonces · tiene soportefinito ya que sop( · ) sop( ) (( ) ( ) 6= 0 ( ( )) 6= 0 ( ) 6= 0).

Definicion 19 Si × ( ) su transpuesta es la matriz × ( ) talque =

Definicion 20 Decimos que una matriz × ( ) es simetrica si = .

Ejemplo 18 Denotemos por S = { × ( ) | es simetrica} Entonces S 6

× ( )

Demostracion. 1. Supongamos que son matrices simetricas. Entonces ( +) = ( + ) = + = + = + = ( + ) . Por lo tanto

( + ) = + , es decir, + tambien es simetrica.2. La matriz de ceros es simetrica: O = 0 = O3. Si es simetrica y es un escalar, entonces

( ) = = = ( ) = ( )

Ejemplo 19 Denotemos por T = { × ( ) | = 0 si } (el conjuntode las matrices triangulares superiores). Entonces T 6 × ( )

1. Supongamos que son matrices triangulares superiores y sea . En-tonces ( + ) = + = 0 + 0 = 0 Por lo tanto + es una matriztriangular superior.

2. La matriz de ceros es triangular superior:: O = 0 si

3. Si es triangular superior, es un escalar, e entonces ( ) = =0 = 0

2.2. El subespacio generado por un conjunto

Teorema 5 Si { } es una familia de subespacios vectoriales del espacioentonces { } tambien es un subespacio de


Demostracion. 1. Sean { } , entonces , . Comocada es cerrada bajo la suma, entonces + Por lo tanto+ { }

2. 0 , por lo tanto 0 { }

3. { }{ } .

Definicion 21 Sean un espacio vectorial y un subconjunto de , definimos

L ( ) = { 6 | }

L ( ) se llama el subespacio de generado por , debido a que es el menor subes-pacio de que incluye a

Teorema 6 L ( ) es el menor subespacio de que incluye a

Demostracion. Como L ( ) = { 6 | } es una interseccion desubespacios de , entonces L ( ) tambien lo es, de acuerdo con el Teorema 5.

Por otra parte, si es un subespacio de que incluye a entonces pertenecea la familia de subespacios que estamos intersectando al definir L ( ) Por lo tantoL ( ) 6 .

Ejemplo 20 Sea y . Entonces

L ({ }) = { · | } =:

Demostracion. ) { · | } =: es un subespacio de que contiene a:

1. + = ( + ) Por lo que es cerrado bajo la suma.

2. 0 = 0

3. ( ) = ( )

4. = 1 .

Como es un subespacio vectorial que contiene a , debe entonces ser mayor oigual que el menor subespacio que tiene la propiedad, es decir que L ({ })

) Por otra parte, como L ({ }) 6 , cada multiplo escalar de debe estaren L ({ }), es decir, L ({ })


Ejemplo 21 L ({(1 2)}) = {( 2 ) | R} 6 R2

x

y

Observacion 12 6 = L ( ).

Demostracion. ) Obvio.)

Como 6 entonces L ( ) 6Por definicion, un conjunto siempre esta incluıdo en el subespacio que genera.

Por lo tanto, L ( )

Definicion 22 Si 1 2 6 , 1 + 2 =: L ( 1 2)

Proposicion 3 Si 1 2 6 , entonces

1 + 2 = { 1 + 2 | 1 1, 2 2}.

Demostracion. Denotemos con al conjunto

{ 1 + 2 | 1 1 2 2}

Este conjunto es un subespacio de que incluye tanto a 1 como a 2:En efecto:1. Supongamos que 1 1 1 y que 2 2 2, entonces ( 1 + 2) +

( 1 + 2) = ( 1 + 1) + ( 2 + 2)2. 0 = 0 + 03. · ( 1 + 2) = 1 + 2


4. 1 = + 0 Por lo tanto 1

5. 2 = 0 + Por lo tanto 2

Entonces es un subespacio de que incluye a 1 2 Por lo tanto

L ( 1 2) 6

Por otra parte, 1 1 2 2 tenemos que ambos elementos pertenecen a

1 2, ası que 1 2 L ( 1 2) Por lo tanto 1 + 2 L ( 1 2)Entonces

L ( 1 2)

Teorema 7 Si y 6= entonces

L ( ) = { 1 1 + + | N }

Demostracion. Denotemos con h i al conjunto

{ 1 1 + + | N }

Es claro que h i es cerrado bajo la suma, que contiene a 0 y que es cerrado bajomultiplicacion por escalares. Entonces es un subespacio que incluye a Por lo tantoL ( ) h iPor otra parte, dados cualesquiera vectores

1 2 3

y escalares

1 2 3

entonces, como L ( ) tenemos que

1 2 3 L ( )

que como es un subespacio, tambien contiene a los multiplos

1 1 2 2 3 3 de 1 2 3

respectivamente. Como L ( ) es un subespacio, entonces

1 1 + 2 2 + 3 3 + + L ( )

1 2 3 1 2 3

Por lo tanto h i L ( ).


Definicion 23 Dada { } una familia de subespacios de , definimosX{ } =: L

¡{ }

¢Es decir, la suma de una familia de subespacios es el subespacio de generado porla union de la familia de subespacios.

Teorema 8P{ } es el menor subespacio de que incluye cada

Demostracion. Primero notemos que

{ } L¡{ }

¢=:X

{ }

Ahora, si 6 , , entonces { } , por lo que

L¡{ }

¢6

De lo anterior, vemos que L¡{ }

¢=P{ } es el menor subespacio que

incluye a cada .

Observacion 13 L ( ) L ( )

Demostracion. L ( ) es el menor subespacio que incluye a y por otra parte,L ( ) 6 .

Proposicion 4 Para cada , se tiene que

L ( ) = L ( ) + L ( ) = L (L ( ) L ( ))

Demostracion. L ( ) + L ( ) = L (L ( ) L ( )) es cierta, por definicion.Ahora,

L ( ) L ( ) L (L ( ) L ( ))

L ( ) L (L ( ) L ( ))

Por otra parte, L ( ) L ( ). Analogamente, L ( )L ( ). Por lo tanto, L ( ) L ( ) L ( ) ası que

L (L ( ) L ( )) L ( )

De la proposicion anterior basta recordar que L ( ) = L ( ) + L ( ).


Teorema 9 (Ley Modular) Si son subespacios de tales que

6

entonces( + ) = + ( )

Demostracion. ) ( ) , tambien ( ) ( + ) Por lotanto

[ + ( ) ] [ + ( ) ( + )]

Entonces+ ( ) ( + )

) Sea ( + ) entonces = + , con Basta demostrarque . Pero = + = (ya que 6 ), ademas

Definicion 24 Sean 1 2 6 se dice que es la suma directa de 1 y 2 si:

1. 1 2 =n0oy

2. 1 + 2 =

En esta situacion, escribiremos = 1

L2

Cuando 1 2 =n0o. escribiremos 1 + 2 = 1

L2

Teorema 10 Son equivalentes para 6 :

1. =L

2. 6 y es maximo con la propiedad de que =n0o

3. 6 y es mınimo con la propiedad de que + =

Demostracion. 1) 2) Es claro que =n0oVeamos que es maximo

con esta propiedad:¡ ´6 ´ ( + ) = + ( ´ ) (por la Ley modular). Por otra

parte, ´ ( + ) = ´ = ´. Por lo tanto ´= ´ ( + ) = +( ´ )

Ası que ( ´ ) 6=n0o, pues de otra forma ´=

En resumen: ¡ ´6 ( ´ ) 6=n0o


1) 3) Resta demostrar que es mınimo con la propiedad de que + = :

Supongamos que ´¡ 6 Entonces ( ´+ ) = ´+ ( ) =

´+n0o= ´. Entonces ´+ 6= ya que en caso contrario, = ´

2) 1) Basta demostrar que + = Supongamos que + $ . Entonces\ ( + ) Ası que ¡ + L ({ }). Ahora, ( + L ({ }))

= + para alguna (note que 6= 0 implica que +

) por lo tanto = =n0o

Es decir, ( + L ({ })) =n0o

contradiciendo que es maximo con esta propiedad.. Por lo tanto, + = yası

L=

3) 1) Ejercicio.

Ejemplo 22 En RR sean

P (R) =©

RR | ( ) = ( )ª

I (R) =©

RR | ( ) = ( )ª

Entonces P (R) I (R) 6 RR (la demostracion de esto se deja como ejercicio),ademas:

1. Para P (R) I (R), ( ) = ( ) = ( ) Esto implica que 2 ( ) = 0Por lo tanto, ( ) = 0 R Por lo tanto = 0.

2. Para RR ( ) = ( )+ ( )2

+ ( ) ( )2

P (R) + I (R).Concluımos que RR = P (R)

LI (R)

Ejemplo 23 Sea ( ) =

½sen ( ) si 6 03 7 si 0

cuya grafica se muestra a conti-

nuacion:


x

y

( )

Tomando ( ) = ( )+ ( )2

, y ( ) = ( ) ( )2

, vemos las graficas de y :

-3 -2 -1 1 2 3 4

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

( ) ( ) ( )


Ejemplo 24 En (R) sean S (R) = { (R) | = }, sea A (R) = {(R) | = }. Entonces S (R) A (R) 6 (R), (Ejercicio). Ademas:

1. S (R) A (R) = = =

0 · · · 0.... . .

...0 · · · 0

2. Para (R) = 12( + )+ 1

2( ) Como 1

2( + ) es simetrica

y 12( ) es antisimetrica, entonces S (R) + A (R) Por lo tanto(R) = S (R) +A (R)

Por lo tanto (R) = S (R)LA (R)

Teorema 11 Son equivalentes para 6 :

1. =L

2. ! ! tal que = +

3. = + y 0 se puede escribir de manera unica en la forma + cony

Demostracion. 1) 2) Es claro que = + con y

( = + ). Ahora supongase que = 1 + 1 = + , con 1 1

entonces 1 = 1 =n0o, por lo tanto 1 = y = 1. Con lo

que queda demostrada la unicidad..2) 3) Inmediato.

3) 1) Basta demostrar que =n0o. Sea entonces 0 =

0 + 0 = + ( ) Por lo tanto = 0

Proposicion 5 L ( ) =Sfinito

L ( ).

Demostracion. ) L ( ) L ( ). En particular, L ( ) L ( ),para cada subconjunto finito de . Por lo tanto

Sfinito

L ( ) L ( )

) Si es finito, no hay nada que demostrar. Podemos suponer que es infinito,y en particular, que es 6= Si 0 6= L ( ), entonces = 1 1 + 2 2 + + ,


con N Entonces L ({ 1 2 }) note que { 1 2 }es finito.Por lo tanto L ( )

Sfinito

L ( )

2.3. Dependencia e independencia lineal

Definicion 25 es linealmente dependiente ( ) si L ( \ { })

Ejemplo 25n0oes linealmente dependiente:

0n0o= L ( ) = L

³n0o\n0o´

Observacion 14 Son equivalentes para :

1. es

2. tal que L ( ) = L ( \ { })

Demostracion. 1) 2) Sea L( \{ }). Entonces \{ } L( \{ }) 6L( ).Por otra parte, L ( \ { }) { } L ( \ { }) Como tambien se tiene

que \ { } L ( \ { }) entonces ({ } \ { }) L ( \ { }) Es decir queL ( \ { }). Por lo tanto L ( ) 6 L ( \ { })2) 1)Si L ( ) = L ( \ { }) para algun L entonces L ( ) =

L ( \ { })

Teorema 12 = { 1 2 } es . {1 } tal queL ({ | })

Demostracion. ) L ({ | }) L ( \ { }) (que existe dado quees ), entonces =

P=16=

, ademas implica que = 0 ( es maximo),

por lo tanto:

=X=1

L ({ | })

2.3. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 33

Teorema 13 Son equivalentes para :

1. es

2. tal que L ( ) = L ( \ { })

3. finito, tal que es

4. finito, tal que 0 =P

con algun 6= 0

Ademas, si es finito y = { 1 }:

5. {1 } tal que L ({ | })

Demostracion. Con lo que se ha demostrado hasta este momento, unicamentefalta demostrar la equivalencia de 4) con las demas proposiciones.3) 4)= { 1 2 } tal que L ( \ { }) =

P=1

6=

0 =P=1

con = 1 6= 0

4) 3)Supongamos que = { 1 2 } 0 =

P=1

con algun 6= 0

Sea { 1 } tal que 6= 0 Ası, tenemos que

=X=16=

esto implica que

=X=16=

µ1¶

L ( \ { })

Por lo tanto, es

Ejemplo 26 En [ ] = {1 2 } no es

Demostracion. Sea finito = { 1 2 }

Si L¡\© ª¢

entonces = 11 + 2

2 + + con 6= . Porlo tanto no es


Definicion 26 es (linealmente independiente) si no es

Ejemplo 27 es

Pues si fuera linealmente dependiente, tal que L ( \ { })

Observacion 15 Son equivalentes para :

1. { } es

2. 6= 0

Demostracion.{ } es

¬ ( { } tal que L ({ } \ { }))

{ } 6 L ({ } \ { })

6 L ({ } \ { }) = L ( ) =n0o

6= 0

Proposicion 6 es

Demostracion. tal que L ( \ { }) Pero L ( \ { })L ( \ { }) L ( \ { }) y es

Corolario 3 0n0o

es

Corolario 4 es


1. es

2. Todo subconjunto finito de es

2.4. BASES 35

Demostracion. 1) 2) Por el Corolario 4.2) 1) Por contrapuesta. Si es entonces tal que L ( \ { }) =S\{ }

finito

L ( ) L ( ) para algun subconjunto finito de \ { }.

L ( ) = L ([ { }] \ { }), por lo que { } esEn resumen: si es entonces algun subconjunto finito de es

Corolario 5 Son equivalentes para :

1. es

2. L ( \ { }) $ L ( )

3. tal que es finito, es

4. tal que es finito, 0 =P

= 0

2.4. Bases

Definicion 27 Decimos que genera , si L ( ) = . Tambien se diceque es un conjunto generador de

Observacion 16 Dado que 6 y L ( ) = , entonces es un conjuntogenerador de . Ası, todo espacio vectorial tiene conjuntos generadores.

Definicion 28 es una base para si es y genera

Ejemplo 28 {1 2 } es una base para [ ]

Notacion 2 1. J ( ) = { | es }

2. G ( ) = { | genera }


1. es base de

2. es un elemento maximo en J ( )

3. es un elemento mınimo en G ( )


Demostracion. 1) 2) Es claro que J ( ) basta demostrar que esmaximo.Supongase que $ 0 entonces 0\ Dado que L ( ) = entonces { }es ( =L( ) =L([ { }] \ { })Pero { } 0, por lo que 0 J ( )2) 3)Dado que J ( ), basta demostrar que L ( ) =Sea es claro que si1. si entonces L ( )2. si 6 entonces { } es linealmente dependiente, y entonces hay alguna

combinacion lineal0 = 1 1 + + + +1

con y con algun coeficiente distinto de 0 Notemos que +1 6= 0 pues en casocontrario tendrıamos que es Por lo tanto

=1

+1[ 1 1 ]

es decir, L ( )Concluımos que G ( )3) 1) Basta demostrar que es

L ( \ { }) ¡ =L( ) es

Definicion 29 es finitamente generado si finito tal que G ( )

Observacion 17 G ( ) el unico subespacio de que incluye a es

Teorema 16 finitamente generado por tal que es base para

Demostracion. 1. Si es mınimo en G ( ) tomemos =2. Si no es mınimo en G ( ) entonces 1 $ tal que 1 G ( ) Entonces

1 ya es una base de en cuyo caso tomamos = 1 o bien 2 $ 1 tal que

2 G ( ) Ası, mientras podamos, podemos repetir el argumento para obtener unasucesion de subconjuntos generadores de :

% 1 %

Notemos que este proceso termina, pues si consideramos la sucesion de las cardina-lidades de los conjuntos de arriba, obtenemos:

| | ¢ | 1| ¢ | 2|

que termina, por el principio del buen orden.Termina precisamente cuando hemos encontrado un generador mınimo

2.4. BASES 37

Teorema 17 Sea finitamente generado, G ( ) J ( ) Entonces| | 6 | |

Demostracion. Podemos suponer que 6 (ya que si el resultado esinmediato).Sea = { 1 2 } con = { 1 } (esto se puede conseguir,

reenumerando los vectores, si hiciera falta).Sea 1 \( ) { 1 1 2 } es (porque 1 L({ 1 2 })).Ahora, como { 1 1 2 } , se tiene que tal que

L({ 1 1}) y ası es claro que

L ({ 1 1 2 } \ { }) = L ({ 1 2 }) =

Lo que se ha hecho es tomar un elemento de \ ( ) y cambiarlo por un ele-mento 1 de \ , de tal manera que se obtiene un nuevo conjunto generador ( 1 =[ \ { }] { 1}).De esta manera podemos repetir el argumento, con 1 e Notemos ahora que

( 1) = { 1 1 2 } tiene un elemento mas que ( ): 1

Si tuvieramos que repetir el argumento una vez mas, obtendrıamos un nuevoconjunto generador 2, tal que

|( 1)| |( 2)| 6 | |

esto implica que el numero de veces que se puede aplicar el argumento es finito, ydebe ser claro que el proceso termina hasta que

es decir hasta que = por lo que | | 6 | | = | |En R3 = {(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)} G (R3) Por lo tanto un conjunto

linealmente independiente en R3 tiene a lo mas 3 elementos. Es decir

R3 | | 3 es

1. {(1 0 0 1) (0 1 0 2) (0 0 1 3) (0 0 1 4) ( 1 2 3 4)} genera

R4 y

2. {(1 0 0 1) (0 1 0 2) (0 0 1 0} es en R4


Demostracion. 1. Para ver que el primer conjunto genera R4 resolvamos

(1 0 0 1) + (0 1 0 2) + (0 0 1 3) + (0 0 1 4) + ( 1 2 3 4) =

= ( )

que como sistema de ecuaciones tiene la matriz aumentada

1 0 0 0 10 1 0 0 20 0 1 1 31 2 3 4 4

con forma escalonada y reducida:

1 0 0 0 10 1 0 0 20 0 1 0 13 4 + + 20 0 0 1 10 2 3

2. Veamos ahora que {(1 0 0 1) (0 1 0 2) (0 0 1 0} es en R4 :Una manera de verlo es notando que en el conjunto anterior, ningun vector es

combinacion lineal de los anteriores.Otra, es resolviendo (1 0 0 1) + (0 1 0 2) + (0 0 1 0) = (0 0 0 0) :

1 0 0 00 1 0 00 0 1 01 2 0 0

cuya forma escalonada y reducida es

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

es decir, = 0 = 0 = 0

Ahora sean

=

1001

0102

0010

=

1001

0102

0013

0014

1234

2.4. BASES 39

entonces

=

1001

0102

Como genera , entonces

0010

es por lo que algun vector en la

lista

0010

1001

0102

0013

0014

1234

es combinacion lineal de los anteriores. Es facil ver que este no es el primero, niel segundo, ni el tercero. El cuarto vector no puede ser de los anteriores, puestendrıa que ser multiplo del primero (observar las dos primeras coordenadas). Elquinto vector es del primero y del cuarto vectores de la lista:

0010

1001

0102

0013

0014

Resolvamos

0010

+

1001

+

0102

+

0013

=

0014


Cuya matriz aumentada es:

0 1 0 0 00 0 1 0 01 0 0 1 10 1 2 3 4

, con forma escalonada y reducida:

1 0 0 0 13

0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 4

3

Por lo que

0014

= 1 3

0010

+ 4 3

0013

Ahora, podemos quitar

0014

del conjunto

0010

1001

0102

0013

0014

1234

obteniendo:0010

1001

0102

0013

1234

que sigue generando R4 y que incluye al conjunto

Teorema 18 Si es finitamente generado, entonces todas las bases de sonfinitas y tienen el mismo numero de elementos.

Demostracion. Sea un subconjunto generador finito, y 0 dos basesdePor el teorema anterior, | | | 0| 6 | |Ahora,

J ( ) 0 G ( ) | | 6 | ´|

Simetricamente, tenemos que | ´| 6 | |

2.4. BASES 41

Definicion 30 Sea finitamente generado y una base de La dimension dees | |

Teorema 19 Son equivalentes para con dim( ) = :

1. es base.

2. J ( ) | | =

3. G ( ) | | =

4. = { 1 } ! 1 tal que = 1 1 + +

Demostracion. 1) 2) Es claro, por el Teorema 18.2) 1) Basta demostrar que J ( ) es maximo. Supongase que $ 0. Como

la dim( ) es esto significa que hay un conjunto generador con elementos (unabase). Por lo tanto un conjunto con mas de elementos como 0 debe serPor lo tanto, $ 0 0 es1) 3) Es inmediato del Teorema 18.3) 1) Hay que ver que es mınimo en G ( )Si 0 $ entonces G ( ) ya que

0 G ( ) J ( ) | | 6 | 0| | |

1) 4) Sea entonces

= 1 1 + +

con Si ademas,= 1 1 + +

entonces0 = = 1 1 + + ( 1 1 + + ) =

= ( 1 1) 1 + + ( )

y como es , tenemos que 0 = ( 1 1) = = ( ), es decir que

1 = 1 =

4) 1) Es claro que genera , ahora, si 0 =P=1

entonces, dado que

tambien se tiene que 0 =P=1

0 · la hipotesis de unicidad implica que

0 = 1 = = ,

por lo tanto es


Ejemplo 29 En [ ] ( ) = { [ ] | grad ( ) 6 0} {0 ( )} es un subespaciode [ ] y = {1 2 } es una base de ( )Escojamos ahora + 1 elementos distintos en

0 1 .

Definamos el polinomio

=

Q=0

6=

( )

Q=0

6=

( )

Notemos que

( ) =

½1 si =0 si 6=

SiP=0

= 0 ( ) ( ) entonces evaluando en tenemos que = 0 y esto pasa

para cada {0 } Por lo tanto { 0 } es y como |{ 0 }| = +1tenemos que { 0 } es una base para ( )Ası, si queremos un polinomio en R cuya grafica en R2 pase por los + 1 puntosdel plano ( 0 0) ( ) es facil ver que ( ) = 0 0 + + , cumple lorequerido.

Ejemplo 30 Construyamos un polinomio ( ) cuya grafica pase por los puntos

( 3 3) ( 2 1) ( 1 0) (2 4) (5 1) :

Denotemos 0 = 3 1 = 2 2 = 1 3 = 2 4 = 5

=

Q=0

6=

( )

Q=0

6=

( )

0 =( + 2) ( + 1) ( 2) ( 5)

( 3 + 2) ( 3 + 1) ( 3 2) ( 3 5)=1

804 1

203 9

802 +

1

5+1

4

2.4. BASES 43

1 =( + 3) ( + 1) ( 2) ( 5)

( 2 + 3) ( 2 + 1) ( 2 2) ( 2 5)=

1

284 +

3

283 +

15

282 19

28

15

14

2 =( + 3) ( + 2) ( 2) ( 5)

( 1 + 3) ( 1 + 2) ( 1 2) ( 1 5)=1

364 1

183 19

362 +

2

9+5

3

3 =( + 3) ( + 2) ( + 1) ( 5)

(2 + 3) (2 + 2) (2 + 1) (2 5)=

1

1804 1

1803 +

19

1802 +

49

180+1

6

4 =( + 3) ( + 2) ( + 1) ( 2)

(5 + 3) (5 + 2) (5 + 1) (5 2)=

1

10084 +

1

2523 1

10082 1

63

1

84

Ahora,3 0 + ( 1) 1 + 0 2 + 2 3 + 5 4 =

= 3

µ1

804 1

203 9

802 +

1

5+1

4

¶+

+( 1)

µ1

284 +

3

283 +

15

282 19

28

15

14

¶+

+4

µ1

1804 1

1803 +

19

1802 +

49

180+1

6

¶1

µ1

10084 +

1

2523 1

10082 1

63

1

84

¶=

( ) =1

204 17

603 9

202 +

143

60+5

2

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

x

y

( )


Teorema 20 Si es en un espacio vectorial de dimension , entoncesbase tal que

Demostracion. Sea 0 una base de Como 0 genera y es , entonces| | 6 | 0|Sea = { 1 } y 0 = { 1 } y reordenemos los elementos de y 0 de

manera que 0 = { 1 = 1 = } Entonces 6 6

1. Si = entonces 0 = , por lo que 0 y no hay nada que demostrar.2. Si , entonces { +1 1 } es Entonces existe un vector que es

combinacion lineal de los anteriores (y no es +1 porque es 6= 0, por ser parte de unconjunto ) Entonces { } tal que L ({ +1} { | }) ( ,

porque si 6 entonces { +1 1 } que es )L ({ +1} { | {1 } \ { }}) = L ({ +1 1 })

= L ({ 1 }) =Entonces { +1} { | {1 } \ { }} es un conjunto generador de conelementos, por lo que es una base deTomemos 0´= { +1} { | {1 } \ { }} y repitamos el argumento, cony 0 , notando que ahora,

0´= { 1 +1}

Con un elemento mas en la interseccion.El argumento se puede repetir hasta obtener una base tal que

= { 1 +1 } =

Observacion 18 Si es un espacio vectorial de dimension y 6 entoncestiene base y dim( ) 6 dim ( )

Demostracion. Todo subconjunto de que sea tambien es en Unsubconjunto linealmente independiente de tiene a lo mas elementos.Tomemos un subconjunto 1 de (si hay: por ejemplo ). Si es maximoentonces 1 ya es un base de Si no lo es, es porque hay un conjunto 2 que

contiene propiamente a 1 (y por lo tanto tiene mas elementos). Podemos repetir elargumento mientras no encontremos un conjunto maximo. Ası obtenemos

1 ¡ 2 ¡ ¡

sucesion de conjuntos en donde cada conjunto tiene por lo menos un elementomas que el anterior. Por lo tanto | | 1. Con esto vemos que el procesotermina, y termina cuando hemos encontrado una base de

2.4. BASES 45

Teorema 21 Sea un espacio vectorial de dimension . Entonces

1 2 6 dim ( 1 + 2) = dim ( 1) + dim ( 2) dim ( 1 2)

Demostracion. Sea 1 una base de 1 2. Como 1 1 es , entonces

1 1 tal que 1 1 es una base de 1

De la misma manera, 2 2 tal que 1 2 es una base de 2 (Notar que

2 1 = pues un elemento en 2 1 pertenecerıa a L ( 1), con lo que 1 1

serıa ).Nuestro objetivo es demostrar que 1 1 2 =: es una base para 1 + 2.1. 1 1 2 genera 1 + 2 :

L ( 1 1 2) = L (( 1 1) ( 1 2)) =

= L ( 1 1) + L ( 1 2) = 1 + 2

2. 1 1 2 es linealmente independiente:Si 1 1 2 fuera entonces habrıa en 1 1 2 un vector que depende

linealmente de los anteriores (escrıbanse primero los elementos de 1 despues los de

1 y por ultimo los de 2). Como 1 1 es , por ser una base de 1 entonceshabrıa un elemento de 2 que es de los elementos anteriores. Digamos que

= + +X

, L ( 1) L ( 1)

entonces=:

X= + , L ( 1) L ( 1)

entonces L ( 2) L ( 1 1) 1 2 Como 1 es una base de 1 2,entonces L ( 1). Pero entonces 1 { } es pero por otra parteX

=X

, 1 =X

+X

1 { 1 } es

pero tambien es un subconjunto de 1 2 que es por ser una base de 2

Esta contradiccion muestra que 1 1 2 es


Por ultimo,

dim ( 1 + 2) =¯1 1 2

¯=¯1 1

¯+ | 2|+ | 1| | 1| =

= dim ( 1) + dim ( 2) dim ( 1 2)

2.5. Conjuntos parcialmente ordenados

Definicion 31 Un conjunto parcialmente ordenado (COPO) es una pareja ( 6)donde es un conjunto y 6 es una relacion de orden en

Recordemos que una relacion en un conjunto es de orden si es reflexiva, simetricay transitiva.

Definicion 32 Sea ( 6) un COPO, un elemento es maximo si

¬ ( tal que [ 6 ] [ 6= ])

Es decir, es maximo cuando no hay elementos mayores que

Otra manera de decir que es maximo en es:

6 =

Definicion 33 Un COPO es una cadena (o conjunto totalmente ordenado) si

6 6

Ejemplo 31 (N |) no es una cadena: 2 6| 3 3 6| 2

Definicion 34 Sea ( 6) un COPO,

1. es el elemento mayor, si

6

Denotaremos may( ) al mayor elemento de , cuando lo haya.

2.5. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS 47

Figura 2.1:

2. es el elemento menor, si

6

Observacion 19 Si ( 6) es un COPO y entonces × × Como6 es una relacion en (6 × “la relacion 6 es un subconjunto de × ),entonces [6 ( × )] × Denotemos 6 ( × ) por 6 La relacion 6 esuna relacion de orden en

×

×

-

6

-

6

Ejemplo 32 Por ejemplo (N |) es un COPO, y {1 2 3 10} N.

Observacion 20 No se deben confundir los conceptos de maximo y mayor. En elejemplo anterior, no hay elemento mayor y hay 5 elementos maximos.

Sea ( 6)un COPO y sea Una cota superior para en es un elementotal que

6

Ejemplo 33 Una cota superior para {1 2 10} en (N |) es 7560


9458 7560

0

10807 7560

0

8409 7560

0

Definicion 35 Sea ( 6)un COPO y sea Una cota inferior para enes un elemento tal que

6

Notacion 3 Sea ( 6)un COPO y sea Denotaremos por al conjunto decotas superiores para , denotaremos por el conjunto de cotas inferiores de A.

Definicion 36 ( 6)un COPO y sea

1. Si existe un menor elemento en el conjunto de cotas superiores de lo lla-maremos el supremo de En sımbolos:

sup ( ) =: men¡ ¢

2. Si existe un menor elemento en el conjunto de cotas inferiores de lo lla-maremos el ınfimo de En sımbolos:

ınf ( ) =: may¡ ¢

Ejemplo 34 En (N |) el conjunto de cotas superiores para dos numeros esel conjunto de sus multiplos comunes, y el menor de los multiplos comunes es sumınimo comun multiplo. Es decir

sup { } = men { | divide a divide a } = { }

Ejemplo 35 Un subconjunto de R con el orden usual, tiene supremo si esta aco-tado por arriba (es decir, si tiene cota superior). Esto se conoce como Teorema delSupremo.

Ejemplo 36 Sea ( ( ) ) el COPO de los subconjuntos de un conjunto , conel orden parcial dado por la inclusion. Entonces:

sup { } = men { | } =

ınf { } = may { | } =

2.5. CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS 49

Figura 2.2:

Ejemplo 37 En el COPO ({1 2 3 10} |),

1. sup {2 3} = 6

2. inf{6 9} = 3

3. {4 6} = {2 1}

4. {3 5} = Por lo que {3 5} no tiene supremo.

Observacion 21 El supremo de un conjunto en un COPO ( 6) si existe, esunico.

Demostracion. Sean y dos supremos para . Entonces Comoes el menor elemento de y entonces 6 . Por simetrıa, 6 Ası que=

Notacion 4 Escribiremos o ¡ para indicar que 6 6=

Observacion 22 Sea ( 6) un COPO. Son equivalentes para :

no es el supremo de

no es cota superior de ( es cota superior de , pero no es la menor).

( tal que ) ( tal que )Las definiciones anterioresnos serviran para demostrar resultados para espacios vectoriales no necesaria-mente finitamente generados. Por ejemplo necesitaremos demostrar que todoespacio vectorial tiene base. En la seccion siguiente introduciremos (como axio-ma) el Lema de Zorn.


Figura 2.3:

2.6. Lema de Zorn

Axioma 1 (Lema de Zorn) Sea ( 6) un COPO no vacıo, si toda cadena entiene una cota superior en , entonces contiene elementos maximos.

Ejemplo 38 Sea un conjunto y consideremos el COPO ( ( ) ) Si { }es una cadena en ( ) entonces { } es una cota superior para la cadena ypertenece a ( ) El Lema de Zorn nos dice que ( ) tiene un elemento maximoy es claro que este es

Ejemplo 39 Un ideal de Z es un subconjunto cerrado bajo la resta, entonces un idealde Zresulta ser un subgrupo aditivo y por lo tanto es de la forma Z, Z. Defi-namos (Z) = { $ Z | es un ideal propio} De nuevo es claro que ( (Z) ) esun COPO (por ser un subconjunto de (Z)). (Z) 6= , y si { } es una cadenaen (Z), entonces { } es una cota superior para la cadena (hace falta verque es un ideal). El Lema de Zorn nos garantiza la existencia de ideales maximospropios. De hecho, son de la forma Z, con un numero primo.

Teorema 22 Todo espacio vectorial tiene base.

Demostracion. (J ( ) ) es un COPO, donde

J ( ) = { | es }

2.6. LEMA DE ZORN 51

Ademas J ( ) 6= pues J ( )

Tomemos { } una cadena en J ( ) Es claro que { } es una cotasuperior para la cadena, veamos que sigue perteneciendo a J ( )

Seafinito

{ } entonces = { 1 2 } con digamos. Como

{ } es una cadena, entonces { } {1 } tambien lo es y entonces uno de los

elementos de esta familia es el mayor. Entonces { } {1 } = por lo que

finitoque es , por hipotesis. Luego es Como todo subconjunto finito

de { } es , entonces { } {1 } J ( )

El Lema de Zorn nos garantiza la existencia de un elemento maximo en J ( ),pero un elemento ası, es una base.

Definicion 37 dim( ) = | |base

Mas adelante demostraremos que la anterior definicion es buena, es decir quecualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad. Estoya lo sabemos para espacios finitamente generados. Pero hay espacios vectoriales queno son finitamente generados, como el espacio de los polinomios con coeficientesreales en donde hay un conjunto linealmente independiente infinito:©

1 2ª

ver el Corolario 5.

Teorema 23 Todo subconjunto en un espacio vectorial esta incluıdo enuna base de

Demostracion. Apliquemos el Lema de Zorn al COPO

T = ({ | es } )

La demostracion es semejante a la del Teorema 22. Lo que obtenemos es un conjuntomaximo en T Resta demostrar que ademas de que es maximo en T tambien

es maximo en J ( )

Si $ ´ , entonces ´ no pertenece a T . Como incluye a , lo que sucede esque no es Por lo tanto es maximo.


2.7. Dimension

Teorema 24 6 ´ 6 tal que =L

´.

Demostracion. Sea . Como hemos visto, un conjunto se puede

extender a una base de . Por lo tanto con . Sean 0 = \

´= L ( 0) Entonces:

1. = L ( ) = L³

0´= L ( ) + L ( 0) = + ´

2. Si éntonces L ( ) L ( 0) Digamos que

=X

,

=X

, 0

Entonces = 0 =P

(P

) que es combinacion lineal del conjuntoPor lo tanto, todos los coeficientes son 0 En especial, = 0

El siguiente Teorema es de gran importancia, pues nos dice que cualesquiera dosbase de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad, con lo que se puede definirla dimension de un espacio vectorial como la cardinalidad de una base.

Teorema 25 Sean dos bases para , entonces | | = | |

Demostracion. Haremos uso del Lema de Zorn.

Sea

=n( ) | : À

h( \ [ ( )])

i odefinimos la relacion 6 en por:

( ) 6 ( ) si|=

2.7. DIMENSION 53

Vale la pena hacer enfasis en todo lo que se esta pidiendo de :

Para cada pareja ( ) se esta pidiendo que ( \ [ ( )]) sea ajeno con y quesu union sea linealmente independiente en .Notese que a se le quita la imagen de bajo y se reemplaza con .1. Veamos primero que ( 6) es un COPO.a. ( ) 6 ( ) ya que | =b. [( ) 6 ( )] [( ) 6 ( )] , Por lo que= Ademas | = Pero tambien | = | =c.

[( ) 6 ( )] [( ) 6 ( )]

y

inc.=%

ademas

inc.=%


Entonces | =¡

|

¢|= ( )| = Por lo que y | = , es decir

que ( ) 6 ( ) 6= : ( ) ˙ : y \ ( ) es en2. Sea {( )} una cadena en Definimos

: { } por7 ( ) si

a. Tenemos que ver que esta funcion esta bien definida:Si dado que ( ) ( ) forman parte de una cadena, entonces( ) 6 ( ) o ( ) 6 ( ) Sin perder generalidad supongamos que( ) 6 ( ) Ası tenemos que ( ) = | ( ) = ( )b. Veamos ahora que es inyectiva: si 6= { } , entonces

. Podemos suponer sin perder generalidad que ( ) 6 ( )por lo tanto Ademas ( ) = ( ) = ( ) 6= ( ) = ( ) (recordarque es inyectiva). Por lo tanto es inyectiva.

c. Veamos ahora que

·\

µ{ }

¶¸ µ{ }

¶es en

·\

µ{ }

¶¸ µ{ }

¶=

·\

µ{ ( )}

¶¸ µ{ }

¶

=

·µ{ \ ( )}

¶¸ µ{ }

¶Ası, si { 1 } { \ ( )} y { 1 } { }, entonces { 1 }

, p. a. (por ser {( )} una cadena) y { 1 } \ ( ).Entonces { 1 1 } \ ( ) que es Hemos demostrado quecualquier subconjunto finito de·

\

µ{ }

¶¸ µ{ }

¶es

d. Por ultimo, veamos que

·\

µ{ }

¶¸ µ{ }

¶son conjuntos ajenos:

Supongamos que hay

·\

µ{ }

¶¸ µ{ }

¶. Entonces·

\

µ{ }

¶¸=

·µ{ \ ( )}

¶¸y p. a. Entonces

\ ( ) p. a.

2.7. DIMENSION 55

e. Con todo lo anterior, hemos demostrado que¡{ }

¢. Ademas es

claro que es cota superior para la cadena {( )}3. Por el Lema de Zorn, tiene algun elemento maximo ( ) En particular

y \ ( )

Supongamos que ( \ ( )) ( \ 6= ) Entonces

( \ ( ( ) { })) (2.1)

ademas L³( \ ( ( ) { }))

´6= (pues de lo contrario

L³\ ( ( ) { })

ý ası \ ( ( )) serıa ) entonces

\ * L³( \ ( ( ) { }))

´(en caso contrario, = ( \ ) L

³( \ ( ( ) { }))

´por lo que

= L ( ) L³( \ ( ( ) { }))

´)

Como \ * L³( \ ( ( ) { }))

´\ tal que

L³³

\ ( ( ) { })´´

(2.2)

Definamos ¯ = { } y ¯ por

¯ : ¯

=

: ( ) =

-

-

6 6

Tenemos que¡¯ ¯

¢:

\¡¯¡¯¢¢

¯ = [ \ ( ( ) { })] ( { }) que es por 2.1 y 2.2.Ademas [ \ ( ( ) { })] y { } son ajenos (observese 2.2).

Pero entonces ( ) ¡¡¯ ¯

¢La contradiccion viene de la hipotesis

( \ ( )) ( \ 6= )


Por lo tanto\ ( ) = \ =

4. Si \ = entonces Por lo que

= yh( \ ( ))

iPero como es maximo, entonces \ ( ) = por lo que

( )

Por lo tanto es una biyeccion entre y Por lo tanto | | = | |Si \ ( ) = entonces es suprayectiva, por lo que | | | | | |En cualquier caso, | | | | Por simetrıa, | | | | Por el Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein, | | = | |

Teorema 26 Si | | 6 | | y | | 6 | |, entonces | | = | |.

Demostracion. ([2]).

Sean y funciones inyectivas.Tomemos 1 Si 1 Im ( ) entonces ! 1 tal que ( 1) = 1 Si

1 Im ( ) entonces ! 2 tal que 1 = ( 2) continuamos mientras seaposible. Obtenemos una sucesion

1 | 1 | 2 | 2 |

Tenemos tres posibilidades:

La sucesion anterior termina en una porque Im ( ) (2.3)

La sucesion anterior termina en una porque Im ( ) (2.4)

La sucesion anterior no termina. (2.5)

Empezando con una 1 en podemos repetir el anterior procedimiento, obteniendouna sucesion

1 | 1 | 2 | 2 |

De nuevo, uno tiene las tres posibilidades mencionadas arriba.Definamos

=: { 1 | (2.3)}

2.7. DIMENSION 57

=: { 1 | (2.4)}

=: { 1 | (2.5)}

y definamos analogamente,

Ahora, observemos que

|

³

es una biyeccion:

Si la sucesion

1 | 1 | 2 | 2 | |

termino, entonces la sucesion

( 1) | 1 | 1 | 2 | 2 | |

tambien termino. Por lo tanto la correspondencia 1 7 ( 1) va de a Esclaro que todos los elementos de provienen de un elemento de (Los elementosde que no estan en la imagen de pertenecen a ).

De la misma manera,

|

³

es una biyeccion, y tambien

|

³

es una biyeccion.

Por lo tanto | | = | | | | = | | y | | = | |.

Por lo tanto | | =¯ ¯

=¯ ¯

= | |


Ejercicios

Ejercicio 25 Demostrar que en el ejemplo 11,¡

+ 0¢es un grupo conmutativo.

Ejercicio 26 Mostrar que × ( ), se tiene que

( + ) = +

Ejercicio 27 Si es un espacio vectorial y , entonces L ({ }) =L ({ }) + L ({ }) = { + | }

Ejercicio 28 L ( ) = L³n0o´

=n0o.

Ejercicio 29 Demuestre 3) 1) en el Teorema 13.

Ejercicio 30 Demostrar que P (R) I (R) 6 RR

Ejercicio 31 Demostrar que S (R) A (R) 6 (R).

Ejercicio 32 Considere el sistema de ecuaciones con coeficientes en :

+ 2 + 53 + 6 + 3 + 21 25 + 10 + 3 + 313 + 6 + 2 + 19 + 2

= 0= 0= 0= 0

1. Tome = R y muestre que el conjunto de soluciones es un subespacio deR5. Encuentre una base para

2. Lo correspondiente,. con = Z5



Ejercicio 33 Demostrar que 12( + ) es simetrica y 1

2( ) es antisimetrica,

(R)

Ejercicio 34 Muestre quen

: R R | es continua y 0 =R 10

o6 RR.

2.7. DIMENSION 59

Ejercicio 35 Muestre que

=©

RR | sus dos primeras derivadas existen y ´( ) = ( )ª

es un subespacio del espacio

C (R) =©

R2 | ( ) ( ) existe N Rª

Ejercicio 36 Muestre que sen( ) y cos( ) son un conjunto linealmente independien-te del espacio del ejercicio anterior.

Ejercicio 37 Construir un polinomio cuya grafica pase por los puntos

( 3 3) ( 1 1) (0 0) (5 1)

Ejercicio 38 Digamos que : R R tiene perıodo 0 si ( + ) = ( )R En este caso diremos que es periodica. Por ejemplo, sen( ) tiene perıodo

2

1. : R R de perıodo y : R R de perıodo = Q\ {0} +es periodica

2. Diga un perıodo para +

3. ¿Es = { : R R | tiene perıodo 2 Z} un subespacio de RR?

4. ¿{sen( ) | N} ?

-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

x

y

sen(10x)

-1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

x

y

sen(10x+2 10)


Ejercicio 39 ¿Es {sen( ) | {1 2 3}} en RR? .

Ejercicio 40 Sea =½(1 2 3 4 5) (2 1 4 3 5) (1 1 1 1 1) (1 2 3 4 1)

(0 1 0 1 0) (3 3 7 7 10) (2 1 4 3 0)

¾1. Encontrar un subconjunto de que genere el mismo subespacio que

2. Encontrar un subconjunto de que genere el mismo subespacio que yque contenga los elementos (0 1 0 1 0) (3 3 7 7 10).

Ejercicio 41 ¿Cuantas matrices escalonadas y reducidas hay en 3×4 (Z2)?

Ejercicio 42 Respecto al ejercicio anterior, ¿cuantas matrices escalonadas y reduci-das hay de rangos 1 2 3 respectivamente?

Ejercicio 43 ¿Cuantas matrices antisimetricas hay de 5×5 con coeficientes en Z3?De una base para el espacio de las matrices antisimetricas de 5× 5 con coeficientesen Z3.

Ejercicio 44 Construya un polinomio ( )cuya grafica pase por los puntos

( 3 3) ( 2 1) ( 1 0)

y tal que su derivada en 0 sea 1.

Ejercicio 45 Construya un polinomio ( )cuya grafica pase por los puntos

( 3 3) ( 2 1) ( 1 0)

y tal que su integral de 1 a 1sea 0.

Ejercicio 46 Muestre que { }6= es { + }6= es

Ejercicio 47 Muestre que la afirmacion anterior es falsa si uno retira la hipotesisde que los elementos sean distintos (tome = 0 y vea que pasa).

Ejercicio 48 Muestre que son equivalentes para 1 2 6 :

1. = 1

L2 Recuerde que esto significa que

= 1 + 2 1 2 =n0o

2.7. DIMENSION 61

2. 1 base de 1 2base de 2, 1 es ajena con 2 y 1 2 es una base de

Ejercicio 49 Considere T = { (R) | = 0 } ¿Cual es la dimensionde T ?.

Ejercicio 50 Considere L = { (R) | = 0 } ¿Cual es la dimensionde L ?

Ejercicio 51 Considere D = { (R) | = 0 6= } ¿Cual es la dimensionde D ?

Ejercicio 52 Considere S = { (R) | = } ¿Cual es la dimen-sion de S ?

Ejercicio 53 Compruebe que

dim (T + S ) = dim (T ) + dim (S ) dim (T S )

Se define el rango de una matriz como dim (L ({ 1 })) es decir la di-mension del espacio generado por los renglones de

Ejercicio 54 Demostrar que el rango de una matriz escalonada es el numero derenglones distintos de cero, notando que un renglon distinto de cero no puede sercombinacion lineal de los renglones debajo.

Ejercicio 55 Demostrar que si las matrices × (R) son reducidas yescalonadas y tienen el mismo espacio de renglones, entonces = .

Ejercicio 56 Suponga que las matrices y son reducidas y escalonadas y quese obtienen aplicando operaciones elementales a la misma matriz Demuestre que= .

Ejercicio 57 De una base para las matrices diagonales de 3× 3 con coeficientes enR.

Ejercicio 58 De una base para las matrices simetricas de 4× 4 con coeficientes enR

Ejercicio 59 De una base para las matrices antisimetricas de 4× 4 con coeficientesen R


Ejercicio 60 De una base para el espacio de las matrices triangulares superiores(ceros debajo de la diagonal principal) de 3× 3 con coeficientes en R

Ejercicio 61 Muestre que el conjunto {(1 2 3 4) (0 1 4 3)} se puede completar auna base de R4, con cualesquiera dos elementos de la base canonica. Sugerencia:Muestre que si uno forma una matriz que tenga como renglones a los elementos del

conjunto dado y dos elementos de la base canonica (por ejemplo

1 2 3 40 1 4 30 0 1 00 0 0 1

tiene rango 4.)

Ejercicio 62 Tomemos el conjunto {(1 2 3 4) (0 2 3 4)}. Entonces la matriz1 2 3 40 2 3 41 0 0 00 0 0 1

, tiene rango 3, por lo que el conjunto

{(1 2 3 4) (0 2 3 4) (1 0 0 0) (0 0 0 1)}

es Encuentre todas las bases de R3 que contienen a (1 2 3 4) (0 2 3 4) y a doselementos de la base canonica.

Ejercicio 63 Sean

5635

5929

7331

5720

7972

9841

0568

en R4. Llamemos 1 al subespacio generado por el primer conjunto de vectores y

2 al generado por el segundo conjunto de vectores. Encontrar las dimensiones de

1 2 1 + 2 1 2 Encontrar bases

3 1 2 3

2.7. DIMENSION 63

de los subespacios correspondientes al diagrama.

1 + 2

3

% -

1 2 2

- %

1

1 2

Ejercicio 64 Muestre que hay bases como en el ejercicio anterior, para cualesquierados subespacios 1 2 de un espacio vectorial (No suponga que dim ( ) esfinita).

Ejercicio 65 Sea R, definamos =:nR R | ( ) = 0

o1. Muestre que 6 RR.

2. Suponga que R Muestre que =

3. Demuestre que

= R =©0ª

4. ( ) $ R 6=©0ª

5. +

6.¡RR +

¢( = )

7.¡RR =

L ¢ h( = )

³= R

í8. RR, tal que ( ) 6= 0 { }

LL ( ) = RR.

9. Usando lo anterior muestre que { } es maximo en£©0ªRR¢.

Ejercicio 66 Encuentre un subespacio maximo en£©0ªRR¢tal que

( 6= ) R


Ejercicio 67 Demuestre que si son conjuntos, entonces

(| | 6 | |) (| | 6 | |)

Sugerencia: Considere ==

½µ ¶|

¾, defina un orden J en =

por:

µ ¶J

µ ¶si ( y

= %

es decir,|=

Muestre que = no es vacıo, que J es un orden parcial, que toda cadena en = esta aco-tada por arriba. Concluya que = contiene un elemento maximo ( ) Observe que= ( ) = . Concluya.

Ejercicio 68 Muestre que son equivalentes para 6 :

1. =L

2. es mınimo en { 6 | + = }

Ejercicio 69 1. Muestre que cualquier segmento de recta en el plano (que tengamas de un punto) tiene tantos puntos como el intervalo [0 1]

2. Use lo anterior para mostrar que cualesquiera dos intervalos cerrados infinitostienen la misma cardinalidad.

3. Muestre tambien que cualesquiera dos intervalos abiertos no vacıos tienen lamisma cardinalidad.

4. Usando el Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein muestre que un intervaloabierto no vacıo tiene la misma cardinalidad que un intervalo cerrado infinito(y la misma cardinalidad de un intervalo que incluye un extremo y excluye alotro, como (0 2] o [2 8)).

5. Muestre que el intervalo [0 1) tiene tantos puntos como [0 ).

6. Muestre que ( 1 1) tiene tantos puntos como R.

2.7. DIMENSION 65

Ejercicio 70 Use el Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein para demostrar que

|N| = |N× N|

Ejercicio 71 Sugerencia: muestre que las siguientes funciones son inyectivas.

N N×N7 ( 0)

N×N N( ) 7 2 3

Ejercicio 72 Muestre que la union de dos conjuntos ajenos con la misma cardi-nalidad que N, sigue siendo de la misma cardinalidad de |N|. Por ejemplo, Muestreque

N×{0 1} =©( 0) | N+

ª ©(0 ) | N+

ª{(0 0)}

tiene |N| elementos. Sugerencia: el primer uniendo corresponde biyectivamente conlos pares positivos, el segundo con el conjunto de impares.

Ejercicio 73 Muestre que si es finito y ajeno con infinito entonces | | =| | Sugerencia: suponga que = { 1 2 } Supongamos ademas que N =Note que {0 1 1} { + 1 } = N y que N +

{ + 1 } es unabiyeccion. Concluya que

|N| = |{0 1 1} { + 1 }| =¯

N¯

Ahora use que incluye una copia de N digamos. Ası que = ( \ ) =( \ ) ( )

Ejercicio 74 (Opcional). Muestre, usando el Lema de Zorn, que si es un conjuntoinfinito entonces

| | = | × {0 1}|

Sugerencia: Sea

D =

(Ã³ × {0 1}

!| 6=

)ordenado por: ( ) ( ) si y

³ × {0 1}inclus. = inclus.

³ × {0 1}


la inclusion. Note que D no es vacıo porque como es infinito, entonces incluyeuna copia de N.Note tambien que si ( ) es un elemento maximo en D, entonces el conjunto\ no puede contener una copia de N, por lo que debe ser finito.

Capıtulo 3

Transformaciones lineales

3.1. Transformaciones lineales, nucleos e

imagenes

Definicion 38 Sean , espacios vectoriales. Una funcion : eslineal si:

1. ( + ) = ( ) + ( )

2. , ( ) = ( )

Observacion 23 Notemos que si : es una funcion, entonces podemosdefinir otra funcion

××

×( 1 2) 7 ( ( 1) ( 2))

Entonces la condicion 1) anterior se puede expresar diciendo que el diagrama

( 1 2) 7 1 + 2

×+

× =

×+

( ( 1) ( 2)) 7 ( 1) + ( 2) = ( 1 + 2)

conmuta. Tambien se puede expresar diciendo que “da lo mismo primero sumar eny despues aplicar (obteniendo ( 1 + 2)) que primero aplicar y despues sumaren (obteniendo ( 1) + ( 2)).

67

68 CAPITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

Observacion 24 La condicion 2) anterior se puede expresar diciendo que el diagra-ma

( ) 7

×·

× =

×·

( ( )) 7 · ( ) = ( )

conmuta. Es decir que “da lo mismo primero multiplicar por y despues aplicarque primero aplicar y despues multiplicar por ”.

1. la rotacion por un angulo .

x

y

x

y

2. : R2 R2 (reflexion sobre una lınea ).

x

y

3.1. TRANSFORMACIONES LINEALES, NUCLEOS E IMAGENES 69

3.:

7

4.7

5.0 :

7 0

Ejercicio 75 campo, : lineal tal que = · . (Es decir,toda funcion lineal de en es multiplicar por un escalar).

Definicion 39 Para : lineal, se define el nucleo de , por Ker( ) =:n| ( ) = 0

oTeorema 27 Si : es una funcion lineal, entonces:

1. 6 ( ) 6

2. 6 1 ( ) 6

Demostracion.

Notemos primero que una funcion lineal, envıa 0 a 0 :³0´=

³0 + 0

´=

³0´+

³0´

0 =³0´+

³0´=

³0´+

³0´+

³0´=

³0´

1. a) Supongamos que 6 Entonces 0 =³0´

( )

b) ( 1) + ( 2) = ( 1 + 2) ( )

c) · ( ) = ( · ) ( )

2. Supongamos ahora que 6

a) Entonces 0 1 ( ) pues³0´= 0

b) 1 21 ( ) ( 1)+ ( 2) ( 1 + 2) = ( 1)+ ( 2)


c) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) =( ) 1 ( )

Podemos notar los siguientes casos particulares.

Teorema 28 Si : es lineal, entonces

1. Ker( ) =:n

| ( ) = 0oes un subespacio de

2. ( ) 6

Demostracion. 1. Simplemente notemos que Ker( ) = 1n0o

2. Notemos que 6

Ejercicio 76 RR·R R es una funcion lineal R

Ejemplo 40 La funcion identidad en un espacio vectorial, es una funcion lineal::

Ejemplo 41 Si 6 entonces la funcion inclusion es una funcionlineal.

Ejemplo 42 La funcion constante0 :

7 0es lineal.

Teorema 29 Son equivalentes para : lineal:

1. es inyectiva.

2. Ker( ) =n0o

3. J ( ) ( ) J ( ) J ( )

Demostracion. 1) 2)³0´=³0´

0 Ker( )n0o6 Ker( ) Ahora,

si es inyectiva, entonces 0 es el unico vector que se mapea al 0 Por lo tanto

Ker( ) =n0o.

2) 3) Supongamos que J ( ) pero que ( ) es Entonces ( ) incluyeun subconjunto finito , que es de la forma ( ) con

finito.

3.1. TRANSFORMACIONES LINEALES, NUCLEOS E IMAGENES 71

Supongamos que

= { 1 }6= ( ) = { ( 1) ( )}

Si ( ) = ( ) entonces ( ) ( ) = 0, entonces 0 = ( ) ( ) =

( ) Por lo tanto Ker( ) =n0oEntonces = Ası que podemos

suponer que los elementos de { ( 1) ( )} son distintos. Como es porhipotesis, entonces hay un vector en

( 1) ( )

que es de los anteriores y no es ( 1) ya que no es 0 puesto que 1 6= 0Digamos que

( ) = ( 1) + + ( 1)

de donde( 1) + + ( 1) ( ) = 0

por lo tanto

1 + + 1 Ker ( )

por lo que 1 + + 1 = 0 pero entonces { 1 1 } es

3) 2) Si 6= 0 entonces { } es Por lo tanto { ( )} es ası que

( ) 6= 0 Por lo tanto, \n0o

\ (Ker ( )), es decir que

Ker ( )n0o

Ker ( )

2) 1)( ) = ( ) ( ) ( ) = 0

( ) = 0

Ker ( ) =n0o

= 0 =

Teorema 30 Son equivalentes para : lineal:

1. es suprayectiva.


2. G ( ) ( ) G ( ) G ( )

Demostracion. 1) 2) Supongamos que es suprayectiva y que G ( ).Entonces el unico subespacio de que incluye a es (recuerde que L ( ) es elmenor subespacio que incluye a ). Queremos ver que es el unico subespacio queincluye a ( )Si ( ) ¡ entonces 1 ( ) 6 Como acabamos de observar,

es el unico subespacio que incluye a Por lo tanto 1 ( ) = Pero aplicando ,y usando que es suprayectiva, tenemos que = ( 1) ( ) = ( ) = ( ¡)2) 1) Tomemos una base de entonces ( ) ( ) 6 por lo que

L ( ( )) 6 ( ) Pero por 2), tenemos que L ( ( )) = De esta manera,

= L ( ( )) 6 ( ) 6

Es decir, = ( ).

Ejemplos 43 1. Los unicos subespacios de R son {0} y R Entonces toda funcionlineal R R 6= 0 es una biyeccion.

2. sen( ) : R R no es lineal.

3. 2 : R R no es lineal.

4. R( )

R no es lineal pues 0 no esta en la imagen de ( ).

5. Rk kR no es lineal.

Ejemplo 44 ( ) : (R) (R) y : (R) (R) son funciones linea-les. Entonces ( ) : (R) (R) es una funcion lineal.

Ejemplo 45 1. Ker¡( )

¢= { | = O} = { | = } el subespa-

cio de las matrices simetricas.

2.¡( )

¢( (R)) = { | (R)} 6 A (R) el espacio de las ma-

trices antisimetricas.

Ejercicio 77 Muestre que vale la igualdad en el ejemplo anterior, es decir que©| (R)

ª= A (R)

3.2. LA PROPIEDAD UNIVERSAL DE LAS BASES 73

Ejercicio 78 R·( 1)

R es una funcion lineal. Muestre que la funcion

RR RR

7 ( )

es una funcion lineal ¿o no?.

3.2. La propiedad universal de las bases

Teorema 31 (Propiedad universal de las bases) Son equivalentes para:

1. es una base para

2. : funcion, ! ˆ : funcion lineal tal que conmuta el triangulo

. ˆ

Demostracion. ) Sean y : Definamos ˆ : por:

ˆ( ) =X

( )

en donde 0 6= =P

con , 6= 0. (Recuerdese que la expresion de comode elementos de con coeficientes distintos de 0 es unica porque es una base

de .) Es claro que

ˆ³0´= 0

si ha de ser lineal.Veamos que es lineal:si escribamos

=X

y

=X


podemos suponer agregando coeficientes 0 arriba y abajo si es necesario, que lasque aparece en cada suma son las mismas. Ası:

ˆ( + ) = ˆ³hX i

+hX i´

=

= ˆ³X

( + )´=X

( + ) ( ) =

=X

[ ( ) + ( )] =X

( ) +X

( ) = ˆ( ) + ˆ( )

Ademas

ˆ( · ) = ˆ³·³X ´´

= ˆ³·³X ´´

= ˆ³X

( )´=

= ˆ³X

( )´=X

( ) ( ) =X

( ( )) =X

( ) =

= ˆ( )

Debe ser claro que | = Que ês la unica funcion lineal con esa propiedadse deja como ejercicio.

) Supongamos que tiene la propiedad enunciada en 2).Primero veamos que es Si existiera tal que L ( \ { }) definamos

la funcion:

7 17 0 si 6=

Por hipotesis habrıa una funcion lineal ˆ : tal que conmuta el diagrama

. ˆ

De la definicion de se sigue que |L( \{ }) = 0|L( \{ }). Entonces

1 = ˆ( ) = |L( \{ }) ( ) = 0|L( \{ }) ( ) = 0

Esta contradiccion muestra que es

Veamos ahora que G ( ). Supongase que L ( ) ¡ , entonces 6=n0o

tal que = L ( )L

Consideremos la funcion inclusion , por hipotesis,

! tal queL ( )

L=

. (3.1)


conmuta, la funcion

: L ( )L

+ 7si L ( )

Es una funcion lineal con esa propiedad. Sin embargo, tambien hace conmutativoel diagrama 3.1. Pero 6= , contradiciendo la hipotesis de unicidad.La propiedad universal nos dice, entre otras cosas, que para definir una funcion

lineal , basta definir la funcion en una base de

Ejemplo 46 Sea = { 1 2} la base canonica para R2 sea

: R2

1 7 (2 3)

2 7¡5 2

¢entonces ˆ : R2 R2 es tal que

ˆ( ) = ˆ( 1 + 2) = ( 1) + ( 2) =

= (2 3) +³5 2

´=³2 5 3 + 2

Ćorolario 6 Sea una base para y sean : dos funciones lineales.Son equivalentes:

1. =

2. | = |

Demostracion. 1) 2) Es obvio.2) 1) Tanto como estan en un diagrama conmutativo

| = | . | = | .

la unicidad en la propiedad universal obliga la igualdad de yLo anterior se expresa diciendo lo siguiente “para ver que dos funciones lineales

coinciden, basta ver que coinciden en una base de


Observacion 25 Notemos que la propiedad universal de las bases nos dice que sies una base de entonces hay una biyeccion

( )

7 ˆ .

Entonces | ( )| =¯ ¯

Ejemplo 47 El numero de funciones lineales de (Z2)2 a (Z2)

2 es¯(Z2)

2¯2= 16

Contamos de manera explıcita el numero de imagenes posibles de la base canonica{(1 0) (0 1)} Tenemos que (Z2)

2 tiene 4 elementos:

{(0 0) (1 0) (0 1) (1 1)}

Ası, es claro que el numero es 4× 4 (4 posibles imagenes para (1 0) y otras tantaspara (0 1)).

Ejercicio 79 ¿Cuantas funciones lineales hay de (Z3)3 a (Z3)

3 ?

Ejercicio 80 ¿Cuantas funciones lineales hay de (Z ) a (Z ) ?

Corolario 7 Si : es lineal y se anula en una base de , entonces = 0

Demostracion. Se sigue del Corolario anterior, notando que y 0 coinciden enla base .

Lema 1 : es lineal ( + ) = ( ) + ( )

Demostracion. ) Si es lineal y entonces ( + ) =( ) + ( ) = ( ) + ( )

) Tomando = 1, tenemos que ( + 1 ) = ( ) + 1 ( )

Tomando = 0, entonces ( ) =³0 +

´=

³0´+ ( ) = ( )

Teorema 32 Sean : y : son funciones lineales.. Entonces

1. : tambien es una funcion lineal.

2. Ker( ) = 1 (Ker ( ))


Demostracion. 1.

( ) ( + ) = [( ) ( + )] = [ ( ) + ( )] =

= ( ( )) + ( ( )) = ( ) ( ) + [( ) ( )]

2.Ker ( ) ( ) ( ) = 0 ( ( )) = 0

( ( )) Ker ( ) 1 (Ker ( ))

Definicion 40 Si y son espacios vectoriales entonces

( ) = { : | es lineal}

Ejercicio 81 Sean y son espacios vectoriales.

1. Demuestre que = { : | es una funcion} es un espacio vectorial,con las definiciones naturales de suma y de multiplicacion por escalares (porejemplo, ( ) ( ) =: · ( )

2. ( ) 6


R3 1 R( ) 7

R3 2 R( ) 7

R3 3 R( ) 7

son funciones lineales. Entonces R 1+ 2+ 3 es tambien una funcionlineal. Es decir que la funcion

(( )) = + +

es una funcion lineal.

Ejercicio 83 Demuestre que toda funcion lineal de R3 a R es de la forma descritaen el ejercicio anterior.


Ejercicio 84 1. Demuestre que

R R( 1 2 ) 7


2. Demuestre queR R

( 1 2 ) 7P=1

es una funcion lineal para cada sucesion 1 2 R

3. Demuestre que toda funcion lineal de R a R es de esta forma.

Ejercicio 85 1. Demuestre que

R R

7 0 0| {z }lugares

0


2. Demuestre que

R · R

7 0 0| {z }lugares

0


3. Demuestre que

R R7 ( 1 2 )


Definicion 41 : lineal es un isomorfismo si : lineal tal que= y =

Teorema 33 Son equivalentes para una funcion lineal : :


1. es un isomorfismo.

2. es biyectiva.

3. base de ( ) base de

Demostracion. 1) 2) Por definicion un isomorfismo es una funcion con inver-so. Las funciones invertibles son precisamente las biyectivas.2) 3) Por los Teoremas 29 y 30, ( ) es y genera

3) 2) Primero notemos que|

( ) es una biyeccion. Basta ver que esinyectiva. Si no lo fuera, tomemos dos vectores 6= tales que ( ) = ( )Cambiemos la base cambiando por para obtener el nuevo conjunto 0 (quesigue siendo base de , ejercicio facil). Notemos que ( ) = 0 ( 0) por loque ( 0) es y entonces no es una base para

Toda vez que hemos notado que|

( ) es una biyeccion, tomemos la funcion

inversa ( ) Como ( ) es una base para, la propiedad universal de las basesnos dice que ! : tal que

( )(3.2)

Por otra parte comparando

|

( ) con

y notando que | = , tenemos por la unicidad en la propiedad universal que= Analogamente se sigue que = , comparando los diagramas

( )

|

( )

con( )( )

( )


Ejercicio 86 Muestre que son equivalentes para una funcion lineal : :


2. base de tal que|

³ ( ) y ( ) es una base de .

Teorema 34 Son equivalentes para dos espacios vectoriales , :

1. u ( es isomorfo a ).

2. dim( ) = dim( )

Demostracion. 1) 2) Sea un isomorfismo. Una base de se

mapea bajo en una base de Como|

( ) es una biyeccion, entoncesdim( ) = | | = | ( )| = dim ( )

2) 1) Sea ³ una biyeccion entre una base de y una base deUsemos la propiedad universal de las bases para definir un funcion lineal ˆ :que extienda a Definamos tambien la funcion lineal : que extiende a

1. Entonces la funcion lineal ˆ extiende a 1 = Por la propiedad

universal de las bases, ˆ= . Simetricamente, ˆ = .

Definicion 42 Para una funcion lineal : se definen:

1. nul( ) = dim (Ker ) : y se llama la nulidad de

2. rango( ) = dim ( ( ))

Teorema 35 Para una funcion lineal : , con dim( ) N, se tiene que

nul ( ) + rango ( ) = dim ( )

Demostracion. Tomemos 6 tal que = Ker( )L

Tenemos que

nul ( ) + dim ( ) = dim ( )

(la union de una base de Ker( ) con una base de nos da una base de ).

= + con Entonces ( ) =³ ´

+ ( ) = ( ) Por lo tanto

( ) ( ) ( ) y podemos considerar el diagrama

( )k

|( )


es inmediato que Ker¡

|

¢=n

| ( ) = 0o= (Ker ( )) =

n0o

Por lo tanto | es una funcion lineal inyectiva y ası, es un isomorfismo de en( ) = ( ) Por lo tanto,

dim ( ) = dim ( ( )) = rango ( )

Una simple sustitucion, nos da el resultado deseado:

nul ( ) + dim ( ) = dim ( )

nul ( ) + rango ( ) = dim ( )

Corolario 8 Sea : una funcion lineal entre dos espacios vectoriales de lamisma dimension ( N). Son equivalentes:

1. es inyectiva.

2. es suprayectiva.


Demostracion. Basta mostrar que 1) 2).

es inyectiva Ker( ) =n0o

nul( ) = 0 rango( ) = dim ( )

dim ( ( )) = dim ( ) ( ) = es suprayectiva.

Definicion 43 Recordemos que

( ) = { : | sop ( ) es finito}

Para cada definimos

:7 1

6= 7 0

Observacion 26 sop( ) = { } que es finito, por lo tanto ( ).

Lema 2 { } es una base de ( )

Demostracion.


1. Si X=1

= 0

entonces para una {1 } tenemos que

0 = 0 ( ) =

ÃX=1

!( ) =

X=1

( · ( )) = {1 }

Por lo tanto { } es linealmente independiente.

2. Sea ahora ( ) demostraremos que =Psop( )

( ) :

a) Para \sop( ), entonces ( ) = 0 y

Xsop( )

( ) ( ) =Xsop( )

( ( ) ( )) = 0

b) Para sop( ) entonces

Xsop( )

( ) ( ) =Xsop( )

( ) ( ) = ( ) · 1 = ( )

Por lo tanto =Psop( )

( )

Teorema 36 Si es un espacio vectorial, entonces u ( ) para algun conjunto

Demostracion. Sea una base de y consideremos ( ) la biyeccion

³ { }

7

muestra que tienen la misma dimension.

Ejemplo 48 Una funcion b : R R que respeta la suma y que no respeta lamultiplicacion.


Recordemos que R es un espacio vectorial sobre Q de manera natural. Como losespacios vectoriales tienen base, entonces R es isomorfo a Q(X) para algun conjunto(podemos escoger como una base de QR Podemos notar que tiene que ser

infinito, pues |Q2| = |N2| = |N| de aquı que si 6 2 , entonces

|Q| 6 |Q | 6¯Q2

¯=¯Q2

1¯= = |Q| |R| =

¯2Q¯

En particular, podemos escoger 1 y definir la funcion

R1 7 2 1

7 si 6= 1

.

Por la propiedad universal de las base, ˆ :Q R Q R lineal que extiende a . Siendolineal, tiene que respetar la suma, ahora, esta misma funcion no es lineal de RRRR, pues de serlo, serıa de la forma · , pero entonces ˆ( 1) = 2 1 = 1 yˆ( ) = = de donde se tiene que 2 = 1

Ejemplo 49 Una funcion que respeta la multiplicacion por escalares que no respetala suma.

Sea: R2 R2

( 0) 7 (2 0)( ) 7 ( ) si 6= 0

respeta multiplicacion por escalares:

( ( 0)) = (2 0) = (2 0) = ( 0)( ( )) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) si 6= 0

no respeta la suma: (1 1) = ((1 1)) = ((1 0) + (0 1))(1 0) + (0 1) = (2 0) + (0 1) = (2 1) 6= (1 1)

Ejemplo 50 El numero de funciones lineales de a es¯ ¯

mientras queel numero de funciones de a es

¯ ¯Por ejemplo, el numero de funciones

lineales de R a R es |R| pues tenemos la biyeccionR R (R R)

7 ·Pero,

|R|¯2R¯6¯RR¯


ya que |R| | (R)| =¯2R¯Ademas 2R RR, pues toda funcion con valores en

{0 1} puede pensarse como una funcion con valores en RLas funciones lineales de a son “pocas” comparadas con todas las funciones dea

Observacion 27 Para cualquier conjunto se tiene que | | ¡ | ( )|

Demostracion. La funcion( )

7 { }es inyectiva, por lo que | | 6 | ( )|

Si existiera una funcion biyectiva : ³ ( ), consideremos el conjunto

= { | ( )}

como ( ) entonces = ( ) para algunaNotemos ahora que ( ) = . Por lo tanto = ( ). Pero

como ( ) entonces .

Como no hay biyecciones entre y ( ), tenemos que | | ¡ | ( )|

Observacion 28 | ( )| =¯2¯

Demostracion. 2 = { : {0 1} | funcion} La funcion

2 ( )7 { | ( ) = 1}

es una biyeccion.

Ejercicio 87 Muestre que la funcion

( ) 27

donde es la funcion caracterıstica de :

( ) =

½1 si0 si

es la inversa de la funcion de la Observacion anterior.

3.3. LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION LINEAL 85

3.3. La matriz de una transformacion lineal

Definicion 44 Sea con base = { 1 2 } definamos :mediante la propiedad universal de las bases por medio de

¯ .

Observacion 29 Notemos que es un isomorfismo, cuyo inverso tiene la propie-dad de que 1( ) = .

Observacion 30 ( ) =

µP=1

¶=P=1

( ) =P=1

( ) =P=1

=

1

2...

El vector

1

2...

se llama el vector de coordenadas de respecto a y tambien

se denota [ ]

Observacion 31 : lineal

( 1 2 ) = 1 ( 1) + 2 ( 2) + + ( )

Definicion 45 La matriz de : es la matriz cuyas columnas son( 1) ( 2) ( ) : ( ( 1) ( 2) ( ))

Ejemplo 51 La matriz de : R3 R2 tal que

( ) = (2 + 3 2 )

es µ2 3 01 2 1

¶


Definicion 46 Si : es una funcion lineal entre los espacios vecto-riales sobre el campo de dimensiones y , respectivamente, con bases ={ 1 2 } = { 1 2 } respectivamente. Entonces [ ] es la matriz de

1

en el diagrama conmutativo

1

Explıcitamente, la -esima columna de [ ] es el vector en :¡1¢( ) = ( )

¡1 ( )

¢=

= ( ) ( ) = ( ( )) = [ ( )]

es decir, es el vector de coordenadas de ( ) respecto a la base

Observacion 32 El coeficiente -esimo de la matriz [ ] es la i-esima coordenadade [ ( )]

Ejemplo 52 Consideremos la funcion derivada : P3 (R) P2 (R) y tomemos lasbases canonicas = {1 2 3} y = {1 2} entonces

[ ] =0 1 0 00 0 2 00 0 0 3

Teorema 37 Sean y dos espacios de dimension finita respectivamente,con sendas bases . Los espacios vectoriales

( )

y

× ( )

son isomorfos.

Demostracion. Denotemos = { 1 } = { 1 }Definamos

( ) × ( )7 [ ]


1. es una funcion lineal. Tomemos ( ), , entonces ( +) = [ + ] . Calculemos la columna esima de esta matriz:³

[ + ]´= [( + ) ( )] = [ ( ) + ( ) ( )] =

= [ ( ) + ( ( ))] = ( ( ) + · ( )) =

= ( ( )) + · ( ( )) 1 = [ ( )] + · [ ( )]

=³[ ]

´+ ·

³[ ]

´=³[ ] + · [ ]

Ćomo las -esimas columnas de las matrices [ + ] y [ ] + · [ ] coinciden, yesto vale para cada columna, entonces

[ + ] = [ ] + · [ ] .

Por lo tanto es lineal.

2. es inyectiva. Para mostrar esto basta ver que Ker¡ ¢

=©0ª, la transfor-

macion lineal cero.Sea una transformacion lineal de a tal que ( ) = O Entonces, para cada

, tenemos que¡

( )¢= O =

0...0

Entonces

( ( )) = [ ( )] =

0...0

Pero entonces, aplicando 1 obtenemos

( ) = 1

0...0

= 0

de aquı tenemos que se anula en la base Por lo tanto = 0 (Ver el Corolario7).Demostracion. 3. Veamos que es suprayectiva.

Sea × ( ) Queremos resolver la ecuacion [ ] = Para una que


satisfaga la ecuacion, debemos tener que sus esimas columnas coincidan. Entoncesdebe pasar que

³[ ]

´= =

2...

como³[ ]

´= [ ( )] = ( ( )), entonces debe suceder que

( ( )) =2...

es decir que

( ) = 1 2...

=X=1

La propiedad universal de las bases, nos asegura que una funcion lineal tal

que 7P=1

para cada . Es claro que si llamamos a esta funcion lineal,

entonces ( ) =Tenemos que es un isomorfismo.

Definicion 47 Sea × ( ) definiremos la funcion lineal ( · ) :(Multiplicar por por el lado izquierdo) definiendola en la base canonica de :

· = ( · ) ( ) =:

Entonces

( · )

ÃX=1

!=X=1

Observacion 33 ( · ) : es por definicion una funcion lineal (se hausado la propiedad universal de las bases para definirla).


Observacion 34 La matriz de ( · ) respecto a las bases canonicas de y es

Demostracion. Sean y las bases canonicas de y respectivamente.³[( · )]

´= [( · )] =

£¡ ¢¤=¡ ¢

Teorema 38 Sean = { 1 } y = { 1 } y :

lineal. Entonces el siguiente cuadrado es conmutativo:

[ ] ·(3.3)

Demostracion. Sea queremos demostrar que

( )

[( )][ ] ·

[ ] · [( )] = [ ( )]

En efecto: supongamos que

= 1 1 + 2 2 + +

entonces( ) ( ) = ( ( )) = [ ( )] =

= [ ( 1 1 + 2 2 + + )] =

= [ 1 · ( 1) + 2 · ( 2) + + · ( )] =

= 1 · [ ( 1)] + 2 · [ ( 2)] + + · [ ( )] =

= 1 ·³[ ]

´1+ 2 ·

³[ ]

´2+ + ·

³[ ]

´=

= 1 ·³[ ] · 1

´+ 2 ·

³[ ] · 2

´+ + ·

³[ ] ·

´=

=³[ ] · 1 1

´+³[ ] · 2 2

´+ +

³[ ] ·

´=

= [ ] · ( 1 1 + 2 2 + + ) =

= [ ] · [( )]


Ejemplo 53 Sea = {1 2 3}base

P3 (R), = {1 2}base

P2 (R) Tomemos

la funcion derivada : P3 (R) P2 (R) entonces

[ ] =0 1 0 00 0 2 00 0 0 3

y tenemos que el diagrama siguiente conmuta:

P3 (R) P2 (R)

R4[ ] ·

R3(3.4)

Utilizando esto, podemos calcular ( + + 2 + 3) :¡+ + 2 + 3

¢= 1

³[ ] ·

´ ¡+ + 2 + 3

¢=

1³[ ] ·

´= 1 [ ] =

=0 1 0 00 0 2 00 0 0 3

=

= 1000

+100

+020

+003

=

= 1 23

= + 2 + 3 2

Definicion 48 Sea = { 1 } definimos =: [ ] .

Observacion 35

[ ] =

1 0 · · · 00 1 · · · 0....... . .

...0 0 1


Demostracion.³[ ]

´= [ ( )] = [ ] =

Definicion 49 Sean × ( ) y × ( ) Definimos como lamatriz de ( · ) ( · ) : , respecto a las bases canonicas de y

· ·son funciones lineales, tomemos y las bases canonicas

de respectivamente. Calculemos explıcitamente:

( ) = [(( · ) ( · )) ] = [ ( )]

= ( ( )) = ( ( )) Pues

·

conmuta. Por otra parte, ( ) es la j-esima columna de la matriz de · respectoa las bases y . Es decir, que es . Ahora

=

1

2...

=

ÃX=1

!=X=1

³ ³ ´´=X=1

¡ ¢(3.5)

Aquı estamos denotando =n

1 2

oAsı, la i-esima coordenada de es la i-esima coordenada de

P=1

( ) De-

notemos por:( 1 2 ) 7

(3.6)

Entonces

( ) =

ÃX=1

¡ ¢!=

ÃX=1

¡ ¢!=

=

ÃX=1

¡ ¢!=

ÃX=1

!=

ÃX=1

!En resumen,

( ) =

ÃX=1

!


Teorema 39 Sean funciones lineales entre los espacios vectoriales, con bases de cardinalidad respectivamente. Entonces

[ ] = [ ] [ ]

Demostracion. Consideremos el diagrama

[ ] · [ ] ·

Agrandemoslo de la manera siguiente:

[ ] · [ ] ·

([ ] · ) ([ ] · )

Comparandolo con

[ ] ·

Observamos que [ ] · = 1 ( ) =³[ ] ·

´ ³[ ] ·

´=³[ ] [ ]

´·

Por lo tanto [ ] = [ ] [ ]

Ejemplo 54 Consideremos las rotaciones y en el plano sus matrices respectoa la base canonica de R2 sonµ

cos ( ) sen ( )sen ( ) cos ( )

¶y

µcos ( ) sen ( )sen ( ) cos ( )

¶respectivamente. Como

R2 R2=

R2[ ] ·

R2


Entonces, = [ ] · =


¶· , por lo queµ ¶

=


¶µ ¶=

µ(cos ( )) (sen ( ))(sen ( )) + (cos ( ))

¶Ahora, es claro que = + por lo queµ


¶µcos ( ) sen ( )sen ( ) cos ( )

¶=

=

µcos ( + ) sen ( + )sen ( + ) cos ( + )

¶Si efectuamos el producto en el lado izquierdo de la ecuacion anterior, tenemos que:µ

cos ( ) cos ( ) sen ( ) sen ( ) cos ( ) sen ( ) sen ( ) cos ( )sen ( ) cos ( ) + cos ( ) sen ( ) cos ( ) cos ( ) sen ( ) sen ( )

¶=

=

µcos ( + ) sen ( + )sen ( + ) cos ( + )

¶en donde estan incluıdas las formulas

cos ( + ) = cos ( ) cos ( ) sen ( ) sen ( )

ysen ( + ) = sen ( ) cos ( ) + cos ( ) sen ( )

Ejemplo 55 Sean matrices de × y de × con coeficientes en Entonces

1. =

2. =

Demostracion. Sean las bases canonicas de y , respectivamen-te.

1. Consideremos las funciones·

y : Entonces( · )

es una funcion lineal cuya matriz respecto a las bases canonicas satisface:

= [( · )] = [( · ) ] = [( · )] [ ] = ·

2. Consideremos las funciones·

y :

= [( · )] = [ ( · )] = [ ] [( · )] = ·


Ejercicio 88 Sea : R2 R2 la reflexion sobre la lınea que pasa por el origen.Muestre que su matriz respecto a la base canonica esµ

cos (2 ) sen (2 )sen (2 ) cos (2 )

¶donde es el angulo que hace la lınea con el semieje de los reales positivos.

Ejemplo 56 Sean1y

2reflexiones sobre las lıneas 1 y 2 (una con angulo y

otra con angulo con el semieje de los reales positivos) respectivamente. Entonces

1 2

tiene matriz µcos (2 ) sen (2 )sen (2 ) cos (2 )

¶µcos (2 ) sen (2 )sen (2 ) cos (2 )

¶=

=

µcos (2 2 ) sen (2 2 )sen (2 2 ) cos (2 2 )

¶Entonces la composicion de dos reflexiones es una rotacion.

3.4. Suma y producto de matrices

Teorema 40 El producto de matrices es asociativo. Es decir, si

× ( ), × ( ), × ( ) entonces

( ) = ( ) × ( )

Demostracion. Consideremos las funciones lineales

· · ·

componiendolas obtenemos

(( · ) ( · )) ( · ) = ( · ) (( · ) ( · ))

puesto que la composicion de funciones es asociativa.Denotemos ahora son las bases canonicas de respectiva-

mente. Entonces[(( · ) ( · )) ( · )] =

3.4. SUMA Y PRODUCTO DE MATRICES 95

= [(( · ) ( · ))] [( · )] =³[( · )] [( · )]

´[( · )] = ( )

De la misma manera, [( · ) (( · ) ( · ))] = ( )

Definicion 50 Diremos que una matriz × es invertible, si × talque

= =

Ejemplo 57 La matriz de una rotacion en R2 por un angulo es invertible. Es claroque 1 = . Consecuentemente,µ

coscos

¶ 1

=

µcos ( ) ( )

( ) cos ( )

¶Verifiquemoslo: µ


¶µcos ( ) sen ( )sen ( ) cos ( )

¶=

=

µcos2 ( ) + sen2 ( ) 0

0 cos2 ( ) + sen2 ( )

¶=

µ1 00 1

¶Si se multiplica en el otro orden, obtenemosµ

cos2 ( ) + sen2 ( ) 00 cos2 ( ) + sen2 ( )

¶=

µ1 00 1

¶Ejemplo 58 Debe ser claro que una reflexion en R2 a lo largo de una lınea quepasa por el origen y que hace un angulo con la parte positiva del eje de las essu propio inverso. Por lo tanto debe pasar queµ

cos (2 ) sen (2 )sen (2 ) cos (2 )

¶ 1

=

µcos (2 ) sen (2 )sen (2 ) cos (2 )

¶En efecto, µ

cos (2 ) sen (2 )sen (2 ) cos (2 )

¶µcos (2 ) sen (2 )sen (2 ) cos (2 )

¶=

=

µcos2 (2 ) + sen2 (2 ) 0

0 sen2 (2 ) + cos2 (2 )

¶=

=

µ1 00 1

¶


Ejemplo 59 Los vertices de R2dados porµcos¡2¢

sen¡2¢

sen¡2¢cos¡2¢ ¶ µ

10

¶Z

son los vertices de un gono regular centrado en 0, uno de cuyos vertices es (1 0)Tomemos = 9, y {0 1 2 8} enµ

cos¡29

¢sen

¡29

¢sen

¡29

¢cos¡29

¢ ¶ µ10

¶µcos¡29

¢sen

¡29

¢sen

¡29

¢cos¡29

¢ ¶0µ10

¶=

µ10

¶µcos¡29

¢sen

¡29

¢sen

¡29

¢cos¡29

¢ ¶1µ10

¶=

µcos¡29

¢sen

¡29

¢ ¶µcos¡29

¢sen

¡29

¢sen

¡29

¢cos¡29

¢ ¶2µ10

¶=

µcos2

¡29

¢sen2

¡29

¢2 cos

¡29

¢sen

¡29

¢ ¶µcos¡29

¢sen

¡29

¢sen

¡29

¢cos¡29

¢ ¶3µ10

¶=

µcos3 2

93 cos

¡29

¢sen2

¡29

¢3sen

¡29

¢cos2

¡29

¢sen3

¡29

¢ ¶µcos¡29

¢sen

¡29

¢sen

¡29

¢cos¡29

¢ ¶4µ10

¶=

=

µcos4

¡29

¢9 cos2

¡29

¢sen2

¡29

¢+ sen4

¡29

¢4sen

¡29

¢cos3

¡29

¢4 cos

¡29

¢sen3

¡29

¢ ¶...


Teorema 41 Sean × ( ) × Entonces

( + ) = +

Demostracion. Consideremos las funciones lineales

( · ) ( · ) ( )

y la funcion lineal ( · ) ( ). Entonces

( · ) + ( · ) ( )

y entonces

( · ) (( · ) + ( · )) = 2 ( · ) ( · ) + ( · ) ( · )

Por lo tanto,

[( · ) (( · ) + ( · ))] = [( · ) ( · )] + [( · ) ( · )] =

[( · )] [( · )] + [( · )] [( · )] = +

Estamos denotando las bases canonicas de , respectivamente.De la misma manera,

[( · ) (( · ) + ( · ))] = [( · )] [( · ) + ( · )] =³[( · )] + [( · )]

´= ( + )

Ejercicio 89 Demostrar que si × × ( ) Entonces

( + ) = +

Teorema 42 Son equivalentes para una matriz × ( ) :

1. es invertible.

2. tiene inverso derecho.


3. tiene inverso izquierdo..

4. La funcion · : es inyectiva.

5. La funcion · : es suprayectiva.

6. La ecuacion = 0 tiene solo la solucion trivial.

7. La ecuacion = tiene solucion, 3

8. Cada ecuacion = tiene solucion unica,

Demostracion. 1) 2) Es claro.

2) 5) Supongamos que es una matriz en × ( ) tal que = Entonces= · = · = ( · ) ( · ). Por lo tanto, ( · ) tiene inverso derecho, y

como tal, es suprayectiva.

5) 1)Se sigue del Corolario 8.

1) 3) Es claro.

3) 4)Supongamos que es una matriz en × ( ) tal que = Entonces= · = · = ( · ) ( · ). Por lo tanto, ( · ) tiene inverso izquierdo,

y por lo tanto, es inyectiva.

4) 6) · : es inyectiva, si y solo si su nucleo es trivial, si y solo si

= 0 = 0

Hasta aquı, hemos visto que las primeras 6 afirmaciones son equivalentes.

5) 7) · : es suprayectiva si y solo si tal que

· =

(4) 7)) 8) Es claro.

8) 7) Es claro.

Ejemplo 60 Sea

: R3 R3

7+ 2+

+

3Note que esta ecuacion se puede interpretar como un sistema de ecuaciones con incognitas.


cuya matriz es1 1 21 1 01 1 1

Es decir que = [ ] · La funcion inversa

de , (que existe porque el sistema de ecuaciones

+ 2 = 0+ = 0+ = 0

tiene solo la solucion trivial) debe satisfacer

111

7100

111

7010

201

7001

Expresemos100

como de111

111

201

, a fin de poder

calcular en 1 (la primera columna de la matriz de )

Resolvemos111

+111

+201

=100

: es decir,

+ 2 = 1+ = 0+ = 0

cuya solucion es :1 21 21

Ahora resolvemos111

+111

+201

=010

es decir,

+ 2 = 0+ = 1+ = 0

cuya solucion es1 21 20


Por ultimo, resolviendo.+ 2 = 0

+ = 0+ = 1

obtenemos la solucion111

Esto quiere decir que la matriz de es

12

12

112

12

11 0 1

En efecto,

12

12

112

12

11 0 1

1 1 21 1 01 1 1

=1 0 00 1 00 0 1

pero tambien

1 1 21 1 01 1 1

12

12

112

12

11 0 1

=1 0 00 1 00 0 1

El teorema anterior nos sugiere un algoritmo para invertir una matriz.

Teorema 43 Sea × invertible, entonces la inversa de es la matriz cuya-esima columna es la solucion de = .

Demostracion. = ( ) = ( ) =Ası que para encontrar la inversa de la matriz , habrıa que resolver las ecuaciones

=

para cada .Esto se hace tomando la matriz aumentada

¡|

¢reduciendola y escalonan-

dola. Al final se debe obtener¡ ¯ ¢

puesto que la solucion es unica.Uno puede resolver las ecuaciones

= 1 = 2 =


simultaneamente, si se toma la matriz aumentada¡|

¢y se reduce y escalona. Se termina en¡

|¢

donde satisface = es decir que = 1

Ejemplo 61 Reduciendo y escalonando la matriz:

1 2 3 4 1 0 0 01 3 5 8 0 1 0 00 0 1 2 0 0 1 01 2 3 5 0 0 0 1

obtenemos1 0 0 0 1 2 1 20 1 0 0 1 1 2 00 0 1 0 2 0 1 20 0 0 1 1 0 0 1

Por lo tanto

1 2 3 41 3 5 80 0 1 21 2 3 5

1 2 1 21 1 2 02 0 1 21 0 0 1

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Ejercicio 90 Calcular la inversa de

1 2 3 41 3 5 80 0 1 21 2 3 5

en 4×4 (Z5) 4×4 (Z7)

Ejercicio 91 Calcular la inversa de

2 4 6 83 7 11 182 4 7 102 5 8 13

en 4×4 (R)


3.5. La matriz de cambio de base

Sea : una funcion lineal, 0 dos bases para ´ dos bases paraComo

=

entonces[ ] = [ ] ´ [ ] ´´ [ ] ´

En particular, para : ´ bases para tenemos que

[ ] = [ ] ´ [ ] ´´ [ ] ´

Su uno hace = [ ] ´ notemos que 1 = [ ] ´ y uno puede escribir

[ ] = 1 [ ] ´´

Definicion 51 La matriz [ ] ´ se llama la matriz de cambio de base de a , yaque el siguiente cuadrado es conmutativo:

7¯ ¯

[ ] 7 [ ] 0

| | | 0|

-

? ?-

[ ]0·

de donde se ve que [ ] ´ · manda el vector de coordenadas de respecto a labase al vector de coordenadas de respecto a la base .

Ası, si = { 1 }, = { 1 } y = 1 1 + + entonces

[ ] ´1... =

1... = 1 1 + +

Definicion 52 Se dice que dos matrices y × ( ) son similares si

× ( ) invertible, tal que

= 1

3.5. LA MATRIZ DE CAMBIO DE BASE 103

Ejercicio 92 La relacion de similaridad v es una relacion de equivalencia en

× ( ).

Definicion 53 1. Se dice que la matriz representa a la funcion lineal :si existen base de , base de tales que = [ ]

2. Se dice que la matriz representa a la funcion lineal : si existebase de , tal que = [ ]

Teorema 44 es similar a y representan al mismo operador lineal4

:

Demostracion. ) Si = [ ] y = [ ] , entonces:

= [ ] = [ ] · [ ] · [ ]

Como [ ] [ ] = [ ] = tenemos que [ ] =³[ ]

´ 1

) Si = 1 entonces representa a · : . Entonces =[ · ] donde es la base canonica de

= [ · ] = [ ] [ · ] [ ] y = 1 . Entonces es claro que si [ ] =1, entonces = [ · ]

De [ ] = 1observemos que basta tomar

=n¡

1¢1¯¡

1¢2¯

¡1¢n¯

o

Ejercicio 93 Sea

: 3 (R) 2×2 (R)

7

µ R 10

R 20

(0) (1) (0)

¶1. Encuentre la matriz de respecto de las bases canonicas.

2. Encuentre la inversa de la matriz anterior.

3. Encuentre 1, y diga cuanto es 1

µ ¶4Cuando una funcion lineal : , va de a , se dice que es un operador.


4. Aplique la formula para encontrar 1

µ1 23 4

¶Ejercicio 94 1. a) Encuentre un polinomio cuya integral de 0 a 1 valga 2,

b) su integral de 0 a 2 sea 4

c) su derivada en 0 sea 7

d) y su valor en 1 sea 2 mas su valor en 0

Ejercicio 95 Sea

5 (R) 2×3 (R)

7

µ(1) ((2) (0)R 11

(0) ´(0)

¶1. Calcule la matriz de respecto a las bases canonicas.

2. Encuentre el inverso de la matriz del inciso anterior.

3. Muestre que es un isomorfismo.

4. Calcule 1.

5. Use 1 para encontrar un polinomio que en 1 valga 2, en 2 valga 3, que en 0valga 5, que tenga un maximo local en 0 y que su integral de 1 a 1 sea 2

Ejercicio 96 Muestre que el conjunto de todos los polinomios que satisfacen el inciso5 del ejercicio anterior son tantos como |R|

Ejercicio 97 Sea

5 (R) 2×3 (R)

7

µ(1) ((2) (0)(1) (2) ´(0)

¶1. Calcule la inversa de

2. Use el inciso anterior para encontrar un polinomio que en 1 valga 1, en 2 valga1 en 0 valga 3, y tales que sus derivadas en 1,2, y 0 sean 1,-1,0, respectiva-mente.


1 2

-6

-4

-2

2

4

6

Ejercicio 98 = {sen ( ) cos ( )} es una base para

{ R R | ´( ) = ( ) tiene todas sus derivadas}

= {sen ( + 1) cos ( + 1)} es otra base. Encuentre la matriz de cambio de coor-denadas [ ] , y las coordenadas de sen( ) 3 cos ( ) respecto de

Ejercicio 99 Recuerde que la proyeccion sobre a lo largo de , es

:L+ 7

1. Demuestre que es idempotente, es decir, que =

2. Muestre que todo operador lineal : idempotente es una proyeccion,mostrando que =

Ker( )( )

3. Sean 1, 2, 3 los subespacios de R2, siguientes:

1 = {( 0) | R}2 = {(0 ) | R}3 = {( ) | R}

calcular 2

1

3

1y ver que son distintos.


Ejercicio 100 Sean una base de ( de dimension ) y : unafuncion.

1. Demuestre que es lineal : es lineal.

2. Demuestre que : es lineal es lineal para cada {1 }

3. Use lo anterior para mostrar que

5 (R) 2×3 (R)

7

µ(1) ((2) (0)R 11

(0) ´(0)

¶es lineal.

Ejercicio 101 Consideremos las matrices

=

1 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 1

y =

1 1 3 70 8 4 60 1 3 10 0 0 1

1. Calcule 1

2. Verifique que 1 =

1 0 1 10 2 0 60 0 2 10 0 0 1

3. Note que 1 = ( 1)

4. Calcule

1 0 1 10 2 0 60 0 2 10 0 0 1

8

.

1. Muestre que:

7

es lineal, donde = 0 0 0 1| {z }k coordenadas

0 0 .


2. Si es lineal, entonces

1

2...

=

= ( 1) ( 1) + ( 2) ( 2) + + ( ) ( )

3. ( 1 1 + 2 2 + + ) =

4. Muestre que es lineal si y solo si es lineal, para cada {1 }.

Ejercicio 102 Suponga que

µ ¶y

µ ¶son matrices de × y ×

respectivamente. Suponga que las submatrices son tales que sepueden realizar los productos

Muestre que

µ ¶·

µ ¶=

µ+ ++ +

¶Ejercicio 103 Verifique lo anterior multiplicando las matrices·

1 11 0

¸ ·1 11 0

¸£1 0

¤ £1 4

¤·

72

¸ ·6 22 1

¸·

62

¸ ·9 668 4

¸Ejercicio 104 Se dice que 6 es invariante, : lineal, si ( ) 6

es decir si

=

-

-|

6 6

conmuta.

1. Suponga que la dimension de es y que la de es Muestre que si esuna base para entonces existe base de tal que

[ ] =

µ £|

¤0

¶


2. Muestre que invertible | invertible y es invertible.

3. Muestre que es invertibleµ £|

¤0

¶ 1

=

Ã ³£|

¤ ´ 1

0 1

! 1

donde satisface£|

¤+ 1 = 0 Es decir,

=³£

|

¤ ´ 1 ¡1¢


µ0

¶es invertible y son invertibles.


1 2 1 9 51 7 73 3 5 9 1 5 80 0 2 4 4 5 50 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1

=

µ0

¶

es invertible, calculando

1 =

µ1 23 3

¶ 11 =

2 4 4 5 50 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

1

=

µ1 9 51 7 75 9 1 5 8

¶y usando el ejercicio anterior.

Ejercicio 107 Muestre que si : tiene un subespacio invariante , sonequivalentes:


1. es invertible.

2. | : y , son invertibles, donde

a) =L

,

b) es la inclusion,

c) es la proyeccion sobre a lo largo de


: R4 R4

7

+ 2 + 7 33 + 4 + 2 4

+2

tiene un subespacio invariante de dimension 2 que satisface las condicionesdel inciso 2 del ejercicio anterior.

Ejercicio 109 1. Muestre que C()C la conjugacion, no es una funcion C

lineal. Es decir, que no respeta multiplicacion por complejos.

2. Sin embargo, muestre queR2 R2µ ¶

7

µ ¶es R lineal.

3. Concluya que C()C respeta la suma pero no es lineal.


Capıtulo 4

Sistemas de ecuaciones lineales

4.1. Operaciones elementales

Observacion 36 Para una matriz × ( ) × ( ) se tiene que

=¡

1¯ | 2

¯ | | r¯

¢Demostracion. ( )j¯ = ( ) = ( ) = j

¯

Observacion 37 Denotemos = 0 1| {z }lugares

0 0 . Sea × ( ) entonces

= i¯,

el i-esimo renglon de

Demostracion.

=¡

1¯ | 2

¯ | | r¯

¢Ahora,

j¯ = 0 1| {z }

lugares

0 0

1...

...

=

111

112 CAPITULO 4. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Observacion 38 =

1¯2¯

...r¯

Demostracion. ( )i¯

= ( ) = ( ) =i¯

Definicion 54 1. Definimos la operacion elemental

J : × ( ) × ( )

como la operacion que intercambia los renglones i-esimo y j-esimo.

2. Definimos la matriz elemental J =: J ( )

Teorema 45 Si × ( ) entonces J ( ) = J · ( )

Demostracion.

Ji j · ( ) =

lugares1...

...

lugares

...

· ( ) =

=

i lugares

1¯...

j¯...

i¯

j lugares

...

n¯

= J ( )

4.1. OPERACIONES ELEMENTALES 113

Definicion 55 Definimos la funcion : por medio de:

:

7 ·

7 6=

Ası, multiplica por la -esima coordenada de un vector en .

Definicion 56 Sea la base canonica de , denotemos porM la matriz [ ] ,es decir que

=

-

?

=

?-

M ·

Notese que =M ·

Definicion 57 Ahora definamos M : × ( ) × ( ) por medio de:

M

1¯...

i¯...

n¯

=

1¯...· i

¯...

n¯

es decir, M multiplica por el esimo renglon

de una matriz. Notese queM es lineal.

Teorema 46 Si × ( ) entoncesM ( ) =M ( ) ·

Demostracion.

M ( ) =¡ ¡

1¯

¢|

¡2¯

¢| | ( m

¯ )¢=

=¡Mc i ·

1¯ | Mc i ·

2¯ | | Mc i ·

m¯

¢=

= Mc i ·

= (Mc i · 1 | Mc i · 2 | | M · ) · =

= ( ( 1) | ( 2) | | ( )) · =

=M ( ) ·


Definicion 58 Definamos S ; × ( ) × ( ) por

S ( )k¯=

½k¯si 6=

i¯+ j

¯si =

Teorema 47 S ( ) = S ( ) · .

Demostracion.

S ( ) =

½k¯si 6=

i¯+ j

¯si =

Por otra parte,

S ( ) =

½k¯si 6=

i¯+ j

¯si =

entonces

S ( ) · ( ) =

½k¯si 6=

i¯+ j

¯si =

Definicion 59 1. Las funciones J M ( 6= 0) S se llaman operacioneselementales de renglon y las matrices J ( ) M ( ) ( 6= 0) S ( ) sellaman matrices elementales.

2. Se dice que J es de tipo 1,M ( 6= 0) es de tipo 2, S es de tipo 3

3. Se dice que las matrices J ( ) M ( ) ( 6= 0) S ( ) son de tipo 1,2, 3, respectivamente.

Ejercicio 110 1. Demuestre que las operaciones elementales son invertibles. Dehecho, demuestre que J 1 = J M 1 =M1 S = S .

2. Demuestre que las matrices elementales son invertibles. Muestre que

(R ( )) 1 = R 1 ( )

3. Concluya que el inverso de una matriz elemental , es del mismo tipo que .

Notacion 5 1. Si × ( ), el rango (de renglones de ) es la dimensiondel espacio generado por los renglones. Denotaremos por rango( ) al rango derenglones de .


2. Si × ( ), el rango (de columnas de ) es la dimension del espaciogenerado por las columnas. denotaremos rango ( ).

Teorema 48 Si R es una operacion elemental de renglon, entonces para cualquiermatriz

× ( )

se tiene que

R ( ) = R ( ) ·

Demostracion. Teoremas 45, 46, 47.

Teorema 49 rango ( ) = rango( · ), donde ·

Demostracion. { 1 } genera por lo tanto

( · ) ({ 1 }) =©

1¯

2¯

m¯

ªgenera la imagen de ( · ). Entonces

rango ( · ) = dimL¡©

1¯

2¯

m¯

ª¢= rango ( )

Lema 3 Sea : una funcion lineal, y : : isomorfismosentonces rango( ) = rango( ) = rango( ).

Demostracion.

rango ( ) = dim (( ) ( )) =

= dim ( ( ( ))) = dim ( ( )) = rango ( )

Por otro lado, si consideramos , y tomamos una base de ( ) entonces( ) es una base para ( ( )) Lo anterior se debe a que tenemos un isomorfismo

( )| ( )

( ( ))

Entonces rango( ) = dim ( ( ( ))) = dim ( ( )) = rango( )


Ejercicio 111 Si el diagrama

=

-

? ?-

conmuta, y son isomorfismos, demuestre que rango( ) = rango( ).

Teorema 50 Las operaciones elementales de renglon no alteran el rango de renglonde una matriz.

Demostracion. Sea R una operacion elemental de renglon, y sea una matrizen × ( ), veamos que el espacio generado por los renglones de esta incluıdodentro del espacio generado por los renglones de R ( )1. Si R = J es claro que

L ({ 1¯

n¯}) = L

³n(J ( ))1

¯(J ( n

¯))o´

2. Si R =M entonces

{ 1¯

n¯} L

³n(M ( ))1

¯(M ( n

¯))o´

ya que n(M ( ))1

¯(M ( n

¯))o= { 1

¯i¯

n¯}

3. Si R = S , entonces el conjunto de renglones de R ( ) es:

1¯

i¯+ j

¯| {z }lugares

n¯

como j¯=¡

i¯+ j

¯

¢i¯, entonces debe ser claro que

{ 1¯

n¯} L

³n(S ( ))1

¯(S ( ))n

¯

oÉn cualquier caso tenemos que

L { 1¯

n¯} L

³n(R ( ))1

¯(R ( ))n

¯

o´


Una nueva aplicacion del argumento, nos dice que

L³n(R ( ))1

¯(R ( n

¯))o´

L³n¡

R 1R ( )¢1¯

¡R 1R ( )

¢n¯

o´=

= L { 1¯

n¯}

Entonces, como una operacion de renglon no cambia el espacio generado por losrenglones de una matriz, tampoco cambia el rango de renglon.

Teorema 51 Las operaciones elementales de renglon no alteran el rango de columnade una matriz.

Demostracion. SeaR una operacion elemental de renglon, y sea × ( ).Como vimos en el Teorema 48, R ( ) = R ( ) ·Observando el diagrama

· R( )·

y en vista de que R ( ) · es un isomorfismo1 (R ( ) tiene como inversa R 1 ( ))concluımos, usando el Teorema 49 y el Lema 3 que

rango ( ) = rango ( · ) = rango ((R ( ) · ) ( · )) =

= rango (R ( ) · ) = rango (R ( ))

Definicion 60 Se definen las operaciones elementales de columna

J´ M S

de la manera natural. Analogamente se definen las matrices elementales de columna

J´ ( ) M ( ) S ( )

Ejercicio 112 Una matriz elemental de columna es una matriz elemental de renglon(y del mismo tipo). Por ejemplo, J´ ( ) = J ( )

1Recuerdese que una funcion lineal entre dos espacios de dimension finita es invertible si y solosi su matriz es invertible.


Ejercicio 113 Denotemos por E´ una operacion elemental de columna y por E a laoperacion de renglon que se obtiene al suprimir el sımbolo “´”. (Es decir, si E´= J´ ,entonces E = J .) Demuestre que E´( ) = (E ( )) .

Teorema 52 Las operaciones elementales de columna no alteran el rango de renglon.

Demostracion. Usaremos el ejercicio anterior.

rango (E ( )) = rango¡E¡ ¢¢

=

= rango E¡ ¢

= rango¡ ¢

= rango ( )

En donde hemos usado que una operacion elemental de renglon no altera el rangode columna para afirmar que rango E ( ) = rango ( ) y el hecho obvio de querango ( ) = rango( )Es claro que una operacion elemental de columna no altera el espacio generado

por las columnas de una matriz. En consecuencia, las operaciones elementales decolumna no alteran el rango de columna de una matriz. Podemos resumir en elsiguiente Teorema.

Teorema 53 Una operacion elemental (de renglon o de columna) no altera el rango(de renglon o de columna) de una matriz.

4.1.1. Matrices reducidas y escalonadas

Definicion 61 Una matriz × ( ) esta reducida y escalonada si

1. i¯6= 0 el primer coeficiente distinto de cero de i

¯

2es 1

2.³

6= 0´

( i¯6= 0 y el coeficiente principal de i

¯va a la izquierda del

coeficiente principal de j¯).

3. Si es el coeficiente principal del renglon esimo, entonces la columna k-esima es

Ejemplo 62 1. Una matriz de ceros esta reducida y escalonada.

2.

1 2 3 0 1 00 0 0 1 2 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0

esta reducida y escalonada.

2Este coeficiente se llama el coeficiente principal.


3.

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

esta reducida y escalonada.

4.

0 0 0 0 0 00 0 0 1 2 00 0 0 0 0 11 2 3 0 1 0

no esta reducida y escalonada.

5.0 0 0 1 2 01 2 3 0 1 00 0 0 0 0 1

, no esta reducida y escalonada

6.

1 2 3 0 1 00 0 0 2 2 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0

no esta reducida y escalonada.

Definicion 62 En × ( ) definimos la relacion por:

si se puede obtener de mediante operaciones elementales de renglon.

Observacion 39 Notemos que E1 E operaciones elementales derenglon tales que E1 E ( ) = ( 1 matrices elementales tales que

1 · · · = ).

Observacion 40 La relacion es de equivalencia.

Demostracion. 1. × ( ), =M1 1 ( ) = · = .2. 1 · · · = = 1 · · 1

1 · .3. ( ) 1 · · · 1 · · · = para matrices elementales

1 1 . Entonces

1 · · · 1 · · · = 1 · · · =

es decir,

Teorema 54 Toda matriz × ( ) se puede reducir y escalonar por medio deun numero finito de operaciones elementales de renglon.


Demostracion. Por induccion sobre , el numero de columnas de Notemosque si es la matriz cero, entonces ya esta reducida y escalonada.

Base.

Si = 1, entonces =

1 1...

1...

1

Si 1 6= 0, entonces J ( ) es una matriz

cuya coordenada superior es distinta de 0:

1...

1 1...

1

aplicandoM 1

11 obtenemos

1...

1 1...

1

ahora aplicando

S 2 1 1 2 S 3 1 1 2 S 1 1 2

sucesivamente, obtenemos

10...00

que ya esta reducida y escalonada.

Paso inductivo.

Supongamos que 1 y que la afirmacion es cierta para matrices con menos decolumnas.

Por hipotesis de induccion, podemos encontrar matrices elementales

1

tales que

· · 1

¡1¯

1¢=


esta reducida y escalonada, entonces · · 1 · = ( | ) donde esta reduciday escalonada y 3 Consideremos

( | ) =

renglones

0 1 * * · · · * * *0 0 0 1 · · · * * *0 0 0 0 · · · * * *............

. . ..........

0 0 0 0 · · · 1 * *

0 0 0 0 · · · 0 0 *............ · · ·

.........

0 0 0 0 · · · 0 0 *

si las coordenadas + 1, + 2 ... de la ultima columna son 0, entonces la matrizcompleta ya esta reducida y escalonada. En caso contrario, hay una esima coor-denada ( ) de la ultima columna distinta de cero. Intercambiando el renglonesimo con el + 1 esimo, conseguimos que el coeficiente + 1 esimo de la

matriz sea distinto de cero, enseguida lo podemos cambiar por un 1, multiplicandoel + 1 esimo renglon por el recıproco del +1 esimo coeficiente. Ası el renglon+ 1 esimo es (0 0 0 1) por medio de operaciones de renglon del tercer tipo,podemos cambiar los demas coeficientes en la ultima columna por 0. Obtenemos

renglones

0 1 * * · · · * * 00 0 0 1 · · · * * 00 0 0 0 · · · * * 0............

. . ..........

0 0 0 0 · · · 1 * 0

0 0 0 0 · · · 0 0 1............ · · ·

.........

0 0 0 0 · · · 0 0 0

que ya esta reducida y escalonada.

Ejercicio 114 Demuestre que una matriz puede ser transformada en una unica ma-triz reducida y escalonada.

Teorema 55 El rango de renglon y el rango de columna de una matriz coinciden.

3Recordemos que =¡

1¯ | 2

¯ | | r¯

¢si × ( ) y × ( ).


Demostracion. Sea × ( ) por medio de operaciones elementales derenglon se puede escalonar y reducir . Supongamos que se obtienen renglonesdistintos de 0, entonces 1 es la columna que corresponde al coeficiente principal delprimer renglon, 2 es la columna que corresponde al coeficiente principal del segundorenglon, ... es la columna que corresponde al coeficiente principal del renglon .Intercambiando columnas si fuera necesario, podemos llevar la matriz a la forma

1 · · · 0.... . .

...0 · · · 1

· · ·· · ·· · ·

0 · · · 0... · · ·

...0 · · · 0

0 · · · 00 · · · 00 · · · 0

esta matriz tiene el mismo rango de renglon que de columna: . Pero tiene el mismorango de renglon (y de columna) que pues se obtuvo de por medio de operacioneselementales, que como hemos visto no alteran los rangos.

Observacion 41 El Ejercicio anterior se puede replantear en la siguiente manera:se ha observado que la relacion es una relacion de equivalencia en × ( )Entonces en cada clase de equivalencia hay una unica matriz reducida y escalonada.En particular, hay tantas clases de equivalencia en × ( ) , como matricesreducidas y escalonadas.

Notemos, como un caso particular de la observacion anterior, lo siguiente.

Lema 4 × ( ) es invertible .

Demostracion. ) Si es invertible, entonces es equivalente a una matrizreducida y escalonada con rango de columna

(rango ( ) = rango ( · ) =

pues · es un isomorfismo entre y ). Si es la matriz reducida y escalonadaequivalente con entonces tiene renglones distintos de cero. De la misma maneraque en la demostracion del Teorema 55, concluımos que las columnas de son 1

2 , es decir que = .) Si · 1 · · 1 · = entonces · 1 · · 1 =

1.

4.2. LA INVERSA DE UNA MATRIZ 123

Corolario 9 × ( ) es invertible es un producto de matrices elemen-tales.

Demostracion. ) Es claro pues toda matriz elemental es invertible y un pro-ducto de matrices invertibles es invertible.

) Como en la demostracion del Lema anterior, tenemos que

· 1 · · 1 =1

entonces= 1

1 · · 11 ·

1

4.2. La inversa de una matriz

En el ultimo Lema tenemos que si · 1 · · 1 · = , entonces

· 1 · · 1 =1

Si ponemos en la ecuacion anterior obtenemos · 1 · · 1 · = 1 Loque sugiere los siguiente:Para obtener el inverso de una matriz invertible × ( ) hay que reducir

y escalonar y despues aplicar a las mismas operaciones elementales de renglon.Es decir que si · 1 · · 1 · = entonces · 1 · · 1 · ( | ) =

( | 1).Si uno toma la matriz aumentada ( | ) y uno la reduce y escalona por medio

de operaciones elementales de renglon, al final obtiene uno ( | 1)

Ejemplo 63

5 1 1 1 0 05 1 0 0 1 00 6 6 0 0 1

on1 0 0 1

50 1

30

0 1 0 1 1 16

0 0 1 1 1 13

por lo que15

0 130

1 1 16

1 1 13

=5 1 15 1 00 6 6

1


De manera analoga, si uno reduce y escalona una matriz invertible por medio deoperaciones elementales de columna, obteniendo = 1 2 , entonces 1 =

1 2 Ası que µ ¶1 2 =

µ1

¶

Ejemplo 64

5 1 15 1 00 6 61 0 00 1 00 0 1

Ã

1 1 11 1 00 6 61 5 0 00 1 00 0 1

Ã

Ã

1 0 01 2 10 6 61 5 1 5 1 50 1 00 0 1

Ã

1 0 00 2 16 6 60 1 5 1 50 1 01 0 1

Ã

Ã

1 0 00 0 16 6 60 1 5 1 50 1 01 2 1

Ã

1 0 00 1 06 6 60 1

515

0 0 11 1 2

Ã

1 0 00 1 00 0 615

0 15

1 1 11 1 2

Ã

1 0 00 1 00 0 115

0 130

1 1 1 61 1 1 3

de nuevo, hemos obtenido que

15

0 130

1 1 1 61 1 1 3

=5 1 15 1 00 6 6

1

Ejemplo 65 Por ultimo, podemos notar que si llevamos la matriz invertible a laidentidad , por medio de operaciones elementales de renglon y columna, es decir,si

· 1 · · 1 · · 1 · 2 · · =

4.2. LA INVERSA DE UNA MATRIZ 125

entonces multiplicando por los inversos de las del lado izquierdo y por los inversosde las del lado derecho, obtenemos:

= 11 · · 1 · 1

1 · · 1 · · 12 · 1

1

entonces 1 = ( · 1 · 2 · · ) · ( · 1 · · 1 · ), esto sugiere lo siguien-te: µ

||

¶y uno lleva el bloque a la identidad por medio de operaciones

elementales de renglon y columna, obteniendo al final

µ||

¶entonces 1 =

Notemos que en el bloque indicado por un asterisco no hace falta poner nada (sise quiere se puede completar con ceros).

Ejemplo 66

5 1 15 1 00 6 61 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

Ã

1 1 11 1 00 6 61 5 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

Ã

1 1 11 1 00 1 11 5 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1 6

Ã

1 1 10 2 10 1 11 5 0 00 1 00 0 1

1 0 01 1 00 0 1 6

Ã

1 0 00 2 10 1 11 5 0 00 1 00 0 1

1 0 1 61 1 00 0 1 6

Ã

1 0 00 1 10 0 11 5 0 00 1 00 1 1

1 0 1 61 1 00 0 1 6

Ã


Ã

1 0 00 1 00 0 11 5 0 00 1 00 1 1

1 0 1 61 1 1 60 0 1 6

Ası que

1 =1 5 0 00 1 00 1 1

1 0 1 61 1 1 60 0 1 6

=

15

0 130

1 1 16

1 1 13

4.3. Sistemas de ecuaciones

Notacion 6 Dado el sistema de ecuaciones con incognitas

1 1 1+ + 1 = 1...

......

1 1+ + =

tambien lo podemos representar matricialmente por

= (4.1)

donde =

1 1 1...

...

1

=

1... =

1...

Ademas decimos que el sistema

= 0 (4.2)

es el sistema homogeneo asociado a 4.1.

Teorema 56 Sea el conjunto de soluciones de 4.2, entonces 6 y

dim ( ) = rango ( )

4.3. SISTEMAS DE ECUACIONES 127

Demostracion. =n

| = 0o= Ker

³:

·´6 y

dim ( ) + rango ( ) = nul ( · ) + rango ( · ) =

dim ( ) = rango( )

Definicion 63³

|´se llama la matriz aumentada del sistema de × 4.1.³

|és la matriz que se obtiene al agregarle a la matriz la columna como

ultima columna.

Ejemplo 67 El sistema de ecuaciones

2 + 3 = 12 + 5 = 2

tiene matriz aumentada: µ2 3 12 5 2

¶Definicion 64 Si E es una operacion elemental de renglones, podemos aplicar laoperacion E a un sistema de ecuaciones, aplicandosela a la matriz aumentada delsistema.

Es decir, si E es una operacion elemental, y = es un sistema de ecuaciones,

entonces E³

=és el sistema que tiene matriz aumentada E

³³|´´

Ejercicio 115 Muestre que E³

=´

E ( ) = E ( )

Ejemplo 68 Consideremos el sistema de ecuaciones

1 2 3 4 50 9 8 7 62 4 6 8 10

3 2 1

1

2

3

4

5

=

11

3 2

y tomemos la operacion elemental S3 4 2, la operacion que suma 3 veces el cuartorenglon al segundo.. La matriz aumentada del sistema es:

1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 12 4 6 8 10

3 2 1 3 2


el resultado de aplicar S3 4 2 a la matriz anterior es:

1 2 3 4 5 1

9 9 + 3 8 + 3 2 7 + 3 3 1 + 9 22 4 6 8 10

3 2 1 3 2

Ası que el resultado de aplicar la operacion elemental S3 4 2 al sistema original esel sistema

1 2 3 4 5

9 9 + 3 8 + 3 2 7 + 3 32 4 6 8 10

3 2 1

1

2

3

4

5

=

1

1 + 9 2

3 2

Es decir:

1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 =

9 1 + (9 + 3 ) 2 +¡8 + 3 2

¢3 + (7 + 3 ) 4 + 3 5 =

2 1 + 4 2 + 6 3 + 8 4 + 10 5 =

3 1 + 2 + 2 3 + 4 5 =

1

1 + 9 2

3 2

Teorema 57 Las operaciones elementales no alteran el conjunto de soluciones delos sistemas de ecuaciones.

Demostracion. Sean

=n

| =o

´=n

| E ( ) = E³ ó

Veremos que = .) = · ( ) = · (con = E ( )) por lo tanto E ( ) =

E ( ) Entonces E ( ) · = (E ( ) ) · = ( ) · = ( · ) = · = E ( ) · =

E³ ´

Por lo tanto ´

Por lo tanto ´) Analogo al inciso anterior, usando que E 1 es una operacion elemental.

Teorema 58 = tiene solucion rango( ) = rango³

|´


Demostracion.= tiene solucion

11 + + = tiene solucion

L¡©

1ª¢

L¡©

1ª¢= L

³©1

ª n o´rango ( ) = rango

³|´

Teorema 59 Sean=n

| =o6=

y

=n

| = 0o

entonces toda solucion puede escribirse como

= + con

donde

Demostracion. Sea , entonces = + ( ) Ahora, pues

( ) = = = 0Recıprocamente, si = + , entonces tenemos que

( + ) = + = + 0 =

por lo tantoComo las matrices se pueden reducir y escalonar por medio de operaciones ele-

mentales de renglon y como las operaciones elementales no cambian las soluciones,podemos notar que para resolver un sistema de ecuaciones lineales de × bastahacer dos cosas:1. Reducir y escalonar la matriz aumentada del sistema.2. Resolver el sistema reducido y escalonado resultante.

En adelante, fijaremos nuestra atencion en sistemas con matrices reducidas yescalonadas.


Definicion 65 Si un sistema de ecuaciones esta reducido y escalonado, podemospartir el conjunto de las variables en dos conjuntos:

1. El conjunto de las variables que corresponden a coeficientes principales de losrenglones de la matriz (a estas variables les llamaremos principales).

2. El conjunto de las demas variables, a las que llamaremos libres.

Observacion 42 Si un sistema de ecuaciones esta reducido y escalonado (y tienesolucion), entonces se pueden intercambiar las columnas (si hiciera falta) a fin deobtener un sistema de la forma µ

|O | O

¶donde es el rango de la matriz del sistema e es la matriz identidad de × .

Observacion 43 Sea=

es un sistema reducido y escalonado tal que =

µ|

O | O

¶Consideremos el

sistema=

Entonces · : = = , es una biyeccion entre el conjunto de soluciones

de = y el conjunto de soluciones de =Demostracion.es solucion de = = es solucion de = El inverso

de · es 1 · .es un producto de matrices elementales de columna del primer tipo: es de la

forma siguiente:= J 1 1 J 2 2 J´

(convengamos en que J´ = , para la afirmacion anterior).Notemos ahora que J´ ( ) = J ( ) (ejercicio). Ası que en la demostracion

del teorema anterior, si es solucion de = entonces J1 1 J2 2 J es

una solucion de =Lo anterior muestra que para resolver un sistema reducido y escalonado de ecua-

ciones, basta resolver el sistema que resulta al reordenar las columnas de manera quelas primeras sean 1 2 (estamos suponiendo que el rango de la matriz delsistema es ). El parrafo anterior muestra como recuperar las soluciones del sistemaoriginal.


Ejemplo 69 Para resolver el sistema con matriz aumentada

1 5 5 7 5 7 00 0 1 9 6 9 30 0 0 0 1 7 90 0 0 0 0 1 5

(4.3)

podemos intercambiando las columnas 3 y 2 luego las columnas 3 5 y por ultimo lascolumnas 4 y 6 obtener:

1 5 5 7 5 7 00 1 6 9 0 9 30 0 1 7 0 0 90 0 0 1 0 0 5

on

1 0 0 0 5 38 8550 1 0 0 0 9 2220 0 1 0 0 0 440 0 0 1 0 0 5

digamos que las variables son 1 6 entonces las variables principales son 1 4

y las libres son 5 y 6 Entonces

1

2

3

4

= 1

1000

+ 2

0100

+ 3

0010

+ 4

0001

=

=

855222445

5

5000

6

38900

Entonces

1

2

3

4

5

6

=

85522244500

5

500010

6

3890001

Ası, asignando valores a 5 y 6 obtenemos las soluciones.

Si queremos recuperar las soluciones del sistema original 4.3 podemos aplicar las


operaciones elementales de renglon J2 3 J3 5 J2 4 a

85522244500

5

500010

6

3890001

es decir, J2 3 J3 5 J4 6

855 + 5 5 38 6

222 9 6

445

5

6

=

855 + 5 5 38 6

5

222 9 6

6

445

=

85502220445

+ 5

510000

+ 6

3809100

En efecto:

1 5 5 7 5 70 0 1 9 6 90 0 0 0 1 70 0 0 0 0 1

855 + 5 5 38 6

5

222 9 6

6

445

=

0395

En general, podemos observar lo siguiente:

Observacion 44 El sistema de ecuaciones con incognitas

=

µ|

O | O

¶ 1... =

1...

0...0


es equivalente a:

1...

0...0

= 1 1 + 2 2 + + =

=

1...

0...0

+1

+1

0...0

m¯

0...0

ası que una solucion satisface

1...

+1...

=

1...

0...0

+1

+1

1...0

+2

+2

01...0

m¯

0...1

Que como se ve esta incluıda en la matriz

Ejemplo 70

1 0 0 51 73 86 430 1 0 73 91 50 500 0 1 1 5 39 80 0 0 0 0 0 0

1

2

3

4

5

6

7

=

467490


tiene las soluciones dadas por

467490000

+

517311000

+

739150100

+

8650390010

+

435080001

Ejemplo 71 Consideremos el sistema

+ 2 + = 1

+ 2 = 2

cuya matriz aumentada es

µ1 2 1 11 2 1 2

¶onµ1 2 0 3

2

0 0 1 12

¶, intercambiando

la segunda columna con la tercera, obtenemosµ1 0 2 3

2

0 1 0 12

¶el sistema correspondiente tiene solucion

3212

0+

201

intercambiando los renglones (en realidad, coordenadas) 2 y 3 obtenemos las solu-ciones del sistema original:

32

012

+210

En efecto: µ1 2 11 2 1

¶ 32

012

+210

=

=

µ1 2 11 2 1

¶ 32+ 2

12

=

µ12

¶


Ejemplo 72

1 2 1 0 2 5 0 10 0 0 1 2 3 0 20 0 0 0 0 0 1 3

1

2

3

4

5

6

7

=123

Intercambiando las columnas 2 y 4 y 3 y 7 obtenemos:

1 0 0 2 2 5 1 10 1 0 0 2 3 0 20 0 1 0 0 0 0 3

1

2

3

4

5

6

7

8

=123

Cuyas soluciones son:

12300000

1

20010000

2

22001000

3

53000100

4

10000010

5

12300001

intercambiando los renglones 2 y 4 y despues los renglones 3 y 7 obtenemos lassoluciones del sistema original:

10020030

1

21000000

2

20021000

3

50030100

4

10100000

5

10020031


en efecto:

1 2 1 0 2 5 0 10 0 0 1 2 3 0 20 0 0 0 0 0 1 3

1 + 2 1 2 2 5 3 4+ 5

1

4

2 2 2 3 3+2 5

2

3

3 3 5

5

=

=123

4.4. Espacios duales

Definicion 66 Se define el espacio dual de como = ( )

Observacion 45 Si la dimension de es finita, entonces

dim ( ) = dim ( )

Demostracion. Supongamos que = { 1 2 } es una base para , defi-nimos la base dual de , = { 1 } por medio de

( ) =

½1 si =0 si 6=

esto suele expresarse tambien ası:

( ) =

4 donde denota la delta de Kronecker.= { 1 } es

Supongamos que 1 1 = 0 : evaluando en obtenemos

= ( 1 1 ) ( ) = 0 ( ) = 0

4 =

½1 si =0 si 6=

4.4. ESPACIOS DUALES 137

Como esto sucede para cada tenemos que es= { 1 } genera :

Si : es lineal, entonces esta determinada por sus valores en , ası esnatural que

= ( 1) · 1 + + ( ) ·

en efecto, si evaluamos en obtenemos

( 1) · 1 ( ) + + ( ) · ( ) = ( )

Como y ( 1) · 1 + + ( ) · coinciden en la base , entonces

= ( 1) · 1 + + ( ) ·

Ası, = { 1 } genera

4.4.1. Calculo de la base dual para un espacio dedimension finita

Supongamos que = { 1 } es una base para , y denotemos = { 1 }la base canonica.Denotemos = { 1 } la base dual de Entonces

7

Ahora,

7 [ ] · [ ] =

-

? ?-

[ ] ·


muestra que la matriz cuyo renglon esimo es [ ] es la inversa de la matriz cuyascolumnas son 1 Pues se tiene que

[ 1]...

[ ]...

[ ]

( 1 | | | | ) = ( ) =

De lo anterior, es claro que para calcular la base dual de basta encontrar la matrizinversa de la matriz cuyas columnas son los elementos de Si [ ] = ( 1 )entonces ( ) = Esto querrıa decir que ( 1 2 ) = 1 1 + +

Podemos resumir la discusion anterior en el siguiente Teorema.

Teorema 60 Si = { 1 } es una base para , y

= ( 1 | | | | )

entonces el elemento esimo de la base dual, se calcula de la siguiente manera:

( 1 2 ) = 11 1 + + 1

Ejemplo 73 Encontrar la base dual de = {(1 2 3) (1 1 1) (0 1 0)} en R3

Tomemos =1 1 02 1 13 1 0

su inversa es:

120 1

232

0 12

121 1

2

. Ası que la base

dual { 1 2 3} satisface:

1 ( ) = (1 2) + (1 2)

2 ( ) = (3 2) (1 2)

3 ( ) = (1 2) + (1 2)

Una vez que sabemos encontrar la base dual para una base de , podemostambien encontrar la base dual de un espacio de dimension finita:


Observacion 46 En el diagrama

( )? ?

-

si { 1 } es la base dual de ( ) entonces es la base dual de .

Demostracion. Sea , el esimo elemento de , entonces =( ( )) = ( ) ( )

Ejemplo 74 Encontrar la base dual de {1 + 2 1 2 1 + } en 2 (R) Usando eldiagrama anterior, esto equivale a encontrar la base dual de©

1 + 2 1 2 1 +ª

en R3, donde = {1 2}

Como {1 + 2 1 2 1 + } =101

120

110

formando la ma-

triz con estas columnas obtenemos:1 1 10 2 11 0 0

cuya inversa es

0 0 113

13

13

23

13

23

.

Entonces la base dual de101

120

110

es { 1 2 3} con

1 ( ) =

2 ( ) =

µ1

3

¶ µ1

3

¶ µ1

3

¶3 ( ) =

µ2

3

¶+

µ1

3

¶ µ2

3

¶Por lo tanto, la base dual de {1 + 2 1 2 1 + } es

1 1 1


Es decir que

( 1 )¡+ + 2

¢=

( 2 )¡+ + 2

¢=

µ1

3

¶ µ1

3

¶ µ1

3

¶( 3 )

¡+ + 2

¢=

µ2

3

¶+

µ1

3

¶ µ2

3

¶Por ejemplo, notemos que

( 2 )¡1 + 2

¢=

1

3

1

3= 0

( 2 ) (1 2 ) =

µ1

3

¶+ 2 ·

1

3= 1

( 2 ) (1 + ) =1

3

1

3= 0

4.4.2. La dimension del espacio dual

Observacion 47 Si es de dimension infinita entonces

dim ( ) = dim ( ( )) =¯ ¯

donde es una base de (para afirmar esto nos apoyamos en la propiedad universalde las bases ).

Ejemplo 75 Q(N) es un espacio vectorial de dimension |N| sobre Q. Ahora,¯¡Q(N)

¢ ¯=¯QN¯ ¯

2N¯= |R| |N|.¡

Q(N)¢es un espacio vectorial sobre Q, por lo tanto

¡Q(N)

¢es isomorfo a Q( ),

para algun conjunto cuya cardinalidad es la dimension de¡Q(N)

¢Si | | = |N|

entonces|N|

¯¡Q(N)

¢ ¯=¯Q(N)

¯= |N|

Por lo tanto, dim¡¡Q(N)

¢ ¢= | | |N| = dim

¡Q(N)

¢Ejercicio 116 Demuestre que

¯Q(N)

¯= |N|: Sugerencia:

1.¯Q(N)

¯=¯N(N)

¯2.¯N(N)

¯= { N |A es finito}


3. { N |A es finito} = { } N , = { N | |A| = k} Por ejemplo

0 = { }

4. | | = |N| si 0

5. Como { N |A es finito} es una union numerable de numerables (mas unelemento) entonces { N |A es finito} es numerable.

Ejercicio 117 Demuestre las afirmaciones de la proposicion siguiente:Si es un conjunto infinito, entonces¯¡

( )¢ ¯=¯ ¯

=¯2¯

| | = dim¡

( )¢

Recordemos que si es un conjunto infinito, entonces | × | = | | de aquı sesigue que si | | 6 | | entonces | × | = | |.

Ejercicio 118 Demuestre que son equivalentes para conjuntos infinitos y :

1. | × | = | |.

2. | × | = max {| | | |}

1. De |N×N| = |N|, deduzca que una union numerable de conjuntos ajenos nu-merables es numerable.

2. Deduzca que una union numerable de conjuntos infinitos todos de cardinalidad| | es | |

Lema 5 Si es un conjunto infinito y es una campo infinito, entonces¯

( )¯=

max {| | | |}

Demostracion. ) ( ) tiene una base de cardinalidad | | por lo que¯

( )¯

| |. Por otra parte, es claro que si es un elemento distinto de 0 en ( ) entonceses un subconjunto de ( ) de cardinalidad | | Entonces

¯( )¯

| | Ası que¯( )¯

max {| | | |}.6) ¯

( )¯=

¯¯ [

finito

{ | sop ( ) = }

¯¯ (4.4)


Ahora, |{ | sop ( ) = }| =¯( \ {0})

¯= |( \ {0})| pues es finito. Ademas

como es infinito, entonces |( \ {0})| = |( )|Supongamos que es un conjunto infinito. Denotemos por ( ) el conjunto

de los subconjuntos finitos de y denotemos ( ) el conjunto de los subconjuntosde de cardinalidad Es claro que

( ) =[N

{ ( )}

0 ( ) = { } Ahora, 1 ( ){ } 7

es una biyeccion, por lo que | 1 ( )| = | |

Tenemos tambien, que× 1 ( ) 2 ( )( ) 7 { } { }

es una funcion suprayectiva,

luego,

| | = | × | | 1 ( ) 2 ( )| | |

Entonces | 2 ( )| 6 | |. Analogamente,

| 3 ( )| 6 | | | ( )| 6 | | N

Entonces, un conjunto infinito satisface:¯( )¯= | |

Viendo ahora 4.4, notamos que ( ) =S{ | sop ( ) = }

finito

es la union de una

familia de conjuntos de cardinalidad 6 | | con ındices en un conjunto de cardina-lidad | |. Entonces ¯

( )¯6 | × | 6 max { }

Corolario 10 Si es un espacio vectorial de dimension infinita sobre un campoinfinito , entonces | | = max {| | dim ( )}

Ejemplo 76 Consideremos el espacio vectorial QR entonces

|QR| = max {|Q| dim (QR)} = max {|N| dim (QR)}

Por lo que R es un espacio vectorial sobre Q, de dimension |R|.

4.5. LA TRANSPUESTA DE UNA FUNCION LINEAL 143

Ejercicio 119 Si es un conjunto infinito, use el resultado del ejercicio 117:¯¡( )¢ ¯=¯ ¯

=¯2¯

| | = dim¡

( )¢

para concluir que si | | | | infinito, entonces

dim³¡

( )¢ ´

=¯¡

( )¢ ¯=¯ ¯

dim¡

( )¢

Ejercicio 120 Concluya que dim¡¡Q(N)

¢ ¢dim

¡Q(N)

¢Ejercicio 121 1. Muestre que dim

¡¡Q(R)

¢ ¢dim

¡Q(R)

¢2. Muestre que dim

¡¡R(R)

¢ ¢dim

¡R(R)

¢Ejercicio 122 Demuestre que para todo campo existe un conjunto tal quedim

¡¡( )¢ ¢

dim¡

( )¢

Ejercicio 123 Muestre que si es de dimension infinita o si es infinito entonces| | = max {| | dim ( )}

4.5. La transpuesta de una funcion lineal

Teorema 61 Si : es una funcion lineal, entonces

7


Demostracion. Si es una funcion lineal, entonces tambienlo es. Por otra parte, si , entonces

( ) ( + ) = ( + ) = + ( ) = + (( ) )

Observacion 48 ker³ ´

=

=©

| = 0 :ª= { | ( ) Ker ( )}


Teorema 62 Si son de dimension finita y con bases y respectivamente

y : es una funcion lineal, entonces [ ] =³[ ]

´Demostracion. Sean

= { 1 }

= { 1 }

= { 1 }

= { 1 }

Entonces³[ ]

´j¯ = [( ) ( )] = [( )]

Supongamos que

[( )] =

1...

...

esto equivale a: = 1 1 + + + +Aplicando esta funcion a obtenemos

( ( )) = ( ) ( ) =

Por otra parte, dada la definicion de [ ] tenemos que (denotando los coeficientesde [ ] con aes, [ ] = ( ) ):

( ) =P=1

ası que aplicando , obtenemos

= ( ( )) =

ÃX=1

!=

Si recordamos que esta en el renglon esimo de la columna esima de [ ]tenemos que ³

[ ]´

= = =³[ ]

És decir que

³[ ]

´=³[ ]

Ćomo

³[ ]

´=³[ ]

´, tambien se denota .


Teorema 63 La funcion()

7 ( ), tal que¡

( )

¢( ) = ( )

es una funcion li-

neal inyectiva.

Demostracion. 1. ( ) es efectivamente un elemento de :Supongamos que y que entonces

( ) ( + ) = ( + ) ( ) =

= ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ( )) =

= ( ) ( ) +¡

( ) ( )¢

2. () es lineal:, queremos ver que

() ( + ) = ( + ) = ( ) + · ( )

En efecto: si entonces

( + ) ( ) = ( + ) =

= ( ) + ( ) = ( ) + ( ) =

= ( ) ( ) +¡· ( )

¢( ) =¡

( ) +¡· ( )

¢¢( )

3. Si Ker¡

()

¢entonces ( ) = 0 : es decir que ( ) ( ) = 0

Por lo tanto Ker( ) Demostraremos que esto solo es posible si = 0Si 6= 0, {Ker ( )}, entonces { } es , por lo tanto { } es parte

de una base de Tomemos la funcion constante 1 : , por la propiedaduniversal de las bases, existe una funcion lineal : , que extiende a .Entonces ( ) = 1 6= 0 Ası que Ker( ) pero Esta contradiccion

muestra que Ker¡

()

¢=n0o, por lo que la funcion lineal () es inyectiva.

Ejercicio 124 De un ejemplo de un espacio vectorial tal que () : ,no sea un isomorfismo.

Teorema 64 Si : es una funcion lineal, entonces el siguiente diagramaes conmutativo:

=

-( )

? ?-( )


Demostracion. Sea , entonces¡()

¢( ) =

¡( )

¢=¡ ¢ ¡

( )

¢= ( )

Apliquemosla a una funcion :¡( )

¢( ) =

¡( )

¢ ¡( )¢=¡

( )

¢( ) = ( ) ( )

Por otra parte,¡

()

¢( ) = () ( ( )) = ( ( )), aplicandola en , obtenemos

( ( )) ( ) = ( ( ))Por lo tanto,

:¡

( )

¢( ) = ( ( )) ( )

ası que ( ) = ( ( )).

Corolario 11 Si es de dimension finita, entonces()

es un isomorfismo.

Demostracion. Basta observar que en este caso, dim( ) = dim( ) = dim( ).

Corolario 12 Si es de dimension finita, y es una base de entonces esla base dual de una base de

Demostracion. Digamos que

= { 1 }

Tomemos= { 1 }

la base dual de Como( )

es un isomorfismo, entonces = ( ) paraalguna para cada . Entonces = ( ) = ( ) ( ) = ( ). De dondetenemos que = { 1 } .

Ejemplo 77 Consideremos el diagrama

(R)

=

(1)

(2)...

( )Rk

L ({ 2 })|S({ 2 })

R


entonces |L({ 2 }) es una funcion suprayectiva, pues para cada sucesion

1 R

existe un polinomio de grado 6 tal que (ver el ejemplo 29)

(0) = 0 (1) = 1 ( ) =

Un polinomio con esta propiedad es un multiplo de y por la tanto pertenece alsubespacio L ({ 2 })

Entonces la funcion lineal L ({ 2 })|L({ 2 })

R es suprayectiva, y comoel dominio y codominio son ambas de dimension , entonces |L({ 2 }) es un iso-morfismo. Por lo tanto la matriz de |L({ 2 }) respecto a las bases {

2 }y canonica es invertible, esta matriz es la siguiente:

1 12 · · · 12 22 · · · 23 32 · · · 3...

.... . .

...2 · · ·

Ejemplos 78 1.

µ1 12

2 22

¶=

µ1 12 4

¶, cuya inversa es:

µ2 1

2

1 12

¶

2.1 12 13

2 22 23

3 32 33=

1 1 12 4 83 9 27

, cuya inversa es :

3 32

13

52

2 12

12

12

16

Ejemplo 79 1.

1 12 13 14

2 22 23 24

3 32 33 34

4 42 43 44

=

1 1 1 12 4 8 163 9 27 814 16 64 256

y su inversa es:

4 3 43

14

133

194

73

1124

32

2 76

14

16

14

16

124


Ejemplo 80 ( ( )) tiene dimension + 1½Z 1 Z 2 Z Z +1¾( ( ))

AdemasnR 1 R 2 R R +1

oes en (R ( ))

Demostracion. Supongamos que

1

Z 1

+ 2

Z 2

+ +

Z+ +1

Z +1

= 0

Por induccion sobreBase: si = 1, entonces

1

Z 1

= 0

µ1 = 1

Z 1

1 = 0 (1) = 0

¶Por lo tanto

nR 1oes linealmente independiente.

Paso inductivo: Supongamos que

1

Z 1

+ 2

Z 2

+ +

Z+ +1

Z +1

= 0

Basta demostrar que existe un polinomio ( ) tal queZ 1

= =

Z= 0 pero con

Z +1

6= 0

Consideremos la funcion

( ) +1

7³R 1 R 2 R R +1

Éntonces

1 7 (1 2 3 + 1)

2 7¡12 22 32 2 ( + 1)2

¢3 2 7

¡13 23 33 3 ( + 1)3

¢


...

( + 1) 7¡1 +1 2 +1 3 +1 +1 ( + 1) +1

¢Ahora, el conjunto½

(1 2 3 + 1)¡12 22 32 2 ( + 1)2

¢¡1 +1 2 +1 3 +1 +1 ( + 1) +1

¢ ¾es linealmente independiente, por el ejemplo 77.Como la funcion lineal manda una base de ( ) en una base de +1 y como

ambos espacios tienen la misma dimension, tenemos que es un isomorfismo.Entonces 1 ((0 0 0 1)) =: es un polinomio tal queZ 1

= =

Z= 0

peroR +1

6= 0

Ejercicio 125 En vista del ejemplo 80,nR 1 R 2 R R +1

oes una base de

(P (R)) . Ası que debe ser la base dual de una base de P (R), encontrar esta basepara {1 2 3 4}.


Capıtulo 5

Espacios con producto interior I

5.1. Productos interiores

En lo que sigue, {R C}

Definicion 67 Sea un espacio vectorial, un producto interior (definido positi-vamente)

h i : ×

es una funcion tal que

1. , h i : es una funcion lineal.

2. h i = h i donde la barra denota conjugacion compleja.

3. h i R+n0o.

4. h i = 0 = 0.

Definicion 68 El producto interior usual en R esta dado por

h i = · = ( 1 2 ) ·

1

2...

= 1 1 + 2 2 + +

Observacion 49 El producto anterior efectivamente es un producto interior:

Demostracion.

151

152 CAPITULO 5. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR I

1. Notemos que h i = · ( ) : R R es una funcion lineal (es un caso parti-cular de que

·es una funcion lineal, para una matriz × ( )).

2. h i = h i = h i. Pues aquı, conjugar equivale a no hacer nada).

3. h i = 1 1 + 2 2 + + 0

4.

(h i = 1 1 + 2 2 + + = 0)

( = 0 {1 })³= 0

´Definicion 69 Sea × ( ), definimos la matriz conjugada de por:

¡ ¢=

. Es decir que los coeficientes de se obtienen conjugando cada uno de los coe-ficientes de

Ejemplo 81

µ1 1 + 1 27 5 10 1 +

¶=

µ1 1 1 + 27 5 + 10 1

¶Definicion 70 El producto interior usual en C esta dado por h i = ( ) · =

( 1 2 ) ·

1

2...

= 1 1 + 2 2 + +

Observacion 50 El producto anterior es en efecto un producto interior:

Demostracion.

1. h i = ( ) · es lineal, y el argumento es el mismo que en la Observacion 49

2. h i = ( ) =³( )

´(pues esto es un escalar). Ahora,

h i =³( )

´=

³( )

´=

=³( )´=

³( )´= ( ) = h i

5.1. PRODUCTOS INTERIORES 153

3.

h i = ( ) · = ( 1 ¯ )

1...

=X=1

¯ =X=1

| |2 R+ {0}

4. Por ultimo, si h i = 0 entoncesP=1

| |2 = 0 Por lo anterior, | | = 0

ası que = 0 Por lo tanto = 0

Observacion 51 h i : C C puede no ser lineal:

h i ( ) = h i = h i = h i =

= h i = h i = h i = ( h i) ( )

En particular,h i ( ) = ( h i) ( ) 6= ( h i) ( )

si h i 6= 0Por ejemplo, con el producto usual en C2 tenemos que¿µ

21

¶ µ0¶À

=¡0

¢µ 21

¶=

Por otra parte,

µ0¶=

µ01

¶pero

=

¿µ21

¶ µ01

¶À6=

¿µ21

¶ µ01

¶À=

=¡0 1

¢µ 21

¶=

Ejercicio 126 Demuestre que si h i es un producto interior en y R+ en-tonces h i : × es un producto interior definido positivamente. Sugerencia:note que h i = ( ) h i, y que ( ) : es una funcion lineal


5.2. La norma inducida por un producto

interior

Definicion 71 Si es un espacio con producto interior (definido positivamente),definimos

k k : R+ {0}

7ph i

Esta funcion se llama la norma de respecto a h i.Una notacion mas adecuada serıa k k

h ipero esto harıa mas pesada la notacion.

Observacion 52 k k : R+ {0} tiene las siguientes propiedades:

1. k k 0, y³k k = 0 = 0

´2. k k2 = h i

3. k k =ph i =

p¯h i =

q| |2 h i = | |

ph i = | | k k Aquı | | =

¯ es el modulo del numero complejo .

5.2.1. El Teorema de Cauchy-Schwarz

Teorema 65 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) En un espacio vectorialcon h i1 entonces

|h i| 6 k k k k

Demostracion.Consideremos el producto interior de consigo mismo:h i esto es un numero real mayor o igual que 0 Podemos escribir:

0 6 h i = h i+ h i =

= h i+ h i+ h i+ h i =

= k k2 + h i+ h i+ h i =

= k k2 + h i h i+ k k2 =

1En esta seccion consideramos solo productos interiores definidos positivamente, ası que ya noharemos esta aclaracion.

5.2. LA NORMA INDUCIDA POR UN PRODUCTO INTERIOR 155

= k k2 + h i h i+ k k2

Escojamos ahora = h ih i

= h i

k k22 y sustituyamosla en

0 6 k k2 + h i h i+ k k2 :

obtenemos

0 6 k k2 +h i

k k2h i

h i

k k2h i+

h i

k k2h i

k k2k k2 :

Multiplicando ahora por k k2obtenemos

0 6 k k2 k k2 + h i h i h i h i+ h i h i

por lo tanto0 6 k k2 k k2 + h i h i

es decir que|h i|2 = h i h i 6 k k2 k k2

ası que|h i|2 6 k k2 k k2

por lo que|h i| 6 k k k k

Ejemplo 82h i : C [0 1]× C [0 1] R

( ) 7R 10

es un producto interior en el espacio de las funciones reales continuas definidas enel intervalo [0 1] La desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma en este caso que¯Z 1

0

¯6

s¯Z 1

0

¯ ¯Z 1

0

¯Por ejemplo, ¯Z 1

0

sen ( ) cos ( )

¯=1

2

1

2cos2 (1) = 35404 6

2Esta eleccion de resulta de considerar la componente de a lo largo de cuya definicion seda en la seccion de ortogonalidad.


6

sZ 1

0

(sen ( ))2Z 1

0

(cos )2 =1

2

p( cos2 1 + cos4 1 + 1) = 44534

Otro ejemplo:R 10( 2 + 5) = 11

4= 2 75qR 1

0( )2

R 10( 2 + 5)2 = 2

15535 = 3 084

Ejercicio 127 Compruebe que en efecto

h i : C [0 1]× C [0 1] R( ) 7

R 10

es un producto interior en el espacio de las funciones reales continuas definidas enel intervalo [0 1]

Teorema 66 (Desigualdad del triangulo) En un espacio vectorial con h i,se tiene que

k + k 6 k k+ k k

Demostracion.

k + k2 = h + + i = k k2 + k k2 + h i+ h i

Como h i + h i = h i + h i = 2Re (h i), es claro que basta demostrarque 2Re (h i) 6 2 k k k k A la vista del Teorema de Cauchy-Schwarz, bastademostrar que |Re (h i)| 6 |h i| Pero esto es algo que se cumple para todonumero complejo = + :

| |2 = ¯ = 2 + 2 2

| | | | = |Re ( )|

5.3. La traza y la adjunta de una matriz

Teorema 67 1.: × ( )

7P=1


5.3. LA TRAZA Y LA ADJUNTA DE UNA MATRIZ 157

2. Si × ( ) × ( ) entonces ( ) = ( )

3. Si × ( ) entonces ( ) = ( )

4. Si × ( ) entonces¡ ¢

= ( )

Demostracion. 1. Esto se sigue del hecho de que: × ( )

7es

una funcion lineal, y del hecho de que ( × ( ) ) = ( × ( )) es unespacio vectorial.

2. ( ) =PµP ¶

=P

= ( )

3. Basta observar que una matriz cuadrada tiene la misma diagonal principal quesu transpuesta, y que la traza es la suma de los elementos de la diagonal.4.

¡ ¢=P

=P

= ( )

Observacion 53 Las operaciones de transponer y conjugar matrices conmutan. Es

decir que si × ( ) entonces =

Demostracion.¡ ¢

= ( ) = ( ) . Por otro lado,³ ´

=¡ ¢

=

( )

Observacion 54 Si × ( ) × ( ), entonces ( ) =

Demostracion.

( ) =X

=X

=X

=¡ ¢

Teorema 68h i : × ( )× × ( )

h i =¡ ¢

es un producto interior en × ( ).


Demostracion. 1. h i =¡

·¢es una composicion de funciones lineales,

por lo tanto es lineal.

2.

h i =¡ ¢

=¡ ¢

=

=¡ ¢

=³¡ ¢ ´

=¡ ¢

=

=³ ´

=³ ´

=¡ ¢

=¡ ¢

=

= h i

3.

h i =¡ ¢

=XÃX !

=

=XÃX !

=XÃX !

=

=X

| |2 R+ {0}

4. Por ultimo, es claro queP| |2 = 0 es la matriz cero.

Notacion 7 Si × ( ) denotaremos = = . se llama la matrizadjunta de

5.4. Ortogonalidad y el Teorema de

Gram-Schmidt

Definicion 72 Diremos que en un espacio con producto interior son perpen-diculares u ortogonales si h i = 0 Representaremos esta situacion escribiendo

5.4. ORTOGONALIDAD Y EL TEOREMA DE GRAM-SCHMIDT 159

Observacion 55 Si { } es un conjunto linealmente independiente en un espaciovectorial de dimension finita, entonces tal que ( )

Demostracion. Simplemente resolvamos 0 = h( ) i :

0 = h( ) i = h i h i = h ih i

, donde notamos que h i = k k2 6=

0 pues 6= 0 por ser un elemento de un conjunto linealmente independiente.

Notacion 8 h ih i

= h i

k k2se llama “la componente de a lo largo de ”.

Observacion 56 En R2 uno tiene que la componente de a lo largo de es(k k cos( ))

k k. Donde es el “angulo de a ”

Esto sugiere la siguiente definicion.

Definicion 73 Si son dos vectores en con h i,

( ) =h i

k k k k

Observacion 57 1. Notemos que una consecuencia del Teorema de Cauchy-Sch-warz, es que

| ( )| 6 1

2. Notemos tambien que son vectores ortogonales ( ) = 0, que tambienes compatible con nuestra experiencia geometrica acerca de R2

Definicion 74 Si 6 con h i, entonces

= { | h i = 0 }

.


Teorema 69 6

Demostracion. 1.D

0E=D0E= h i

³0´= 0 = 0 Por lo tanto 0

2. 1 2 h 1 + 2i = h 1i+ ¯h 2i = 0 + 0 = 0

Podemos considerar que( ) : ( )

hn0o i

7es una funcion que man-

da un subconjunto de en un subespacio de

Teorema 70

( ) : ( )hn0o i

7

tiene las siguientes propiedades:

1. ( ) invierte el orden.

2. = (L ( ))

3. ( ) =

4. ( 1 + 2) = 1 2 si 1 2 son subespacios de .

5. ( 1 2) 1 + 2

Demostracion.

1. Si y , entonces h i = 0 , en particular h i = 0

1 es decir,

2. L ( ) (L ( ))

Recıprocamente si y L ( ) entonces =P=1

con

ası:

h i =

*X=1

+=X=1

h i = 0


3. ( ) ( ) . De la misma manera,

( )

Entonces( )

Por otra parte,

h i = 0

Es decir,h i = 0

Por lo que( )

4. ( 1 + 2) = (L ( 1 2)) = ( 1 2) = 1 2 .

5. 1 2 1 ( 1) ( 1 2) Analogamente,

( 2) ( 1 2)

ası que( 1) + ( 2) ( 1 2)

Ejercicio 128 Sea un espacio con producto interior de dimension finita y seaun subespacio de Demostrar que dim ( ) = dim ( ) + dim

¡ ¢Ejercicio 129 Demostrar que si dimension de es finita entonces

( 1 2) = 1 + 2

Sugerencia, usar el Corolario 13 y el inciso 4 del Teorema anterior.

Ejercicio 130 Encontrar un ejemplo de que ( 1 2) ª 1 + 2

Ejercicio 131 Mostrar que si es un espacio de dimension finita, entonces sonequivalentes para dos subconjuntos de :

1. =

2. L ( ) = L ( )


Definicion 75 Sea un espacio vectorial con h i se dice que 6 es uncomplemento ortogonal de 6 si

1. =L

2. h i = 0

Definicion 76 Sea un espacio vectorial con h i y sea

1. se llama ortogonal, si h i = 0 6=

2. se llama ortonormal, si

h i = =

½0 si 6=1 si =

Teorema 71 (Gram-Schmidt) Sea un espacio vectorial con h i. Sea{ } N entonces

{ } Nortonormal

tal queL ({ 1 }) = L ({ 1 }) para cada N

Demostracion.Construiremos { } N recursivamente:

1 =: 1

k 1knotemos que 1 6= 0 puesto que 1 es un elemento de un conjunto

linealmente independiente. Notemos que { 1} es un conjunto ortonormal y que losespacios generados por 1 y 1 coinciden.Supongamos ahora que hemos construıdo { 1 } conjunto ortonormal de

vectores tal que L ({ 1 }) = L ({ 1 }) 6

En particular, estamos suponiendo que L ({ 1 }) = L ({ 1 })Definimos

=: +1

ÃP=1

h +1 i

h i

!= +1

ÃP=1

h +1 i

!

+1 =k k

1. A +1 se le estan restando sus componentes a lo largo de cada uno de losvectores Ahora tenemos que comprobar que


2.{ 1 } { +1}

es ortonormal y

3. L ({ 1 } { +1}) = L ({ 1 +1})

Por construccion, todos los vectores de { 1 } tienen norma 1. Tomemosahora 6 y calculemos h +1 i :

h +1 i =

¿k k

À=

1

k kh i =

=1

k k

*+1

ÃP=1

h +1 i

h i

! +=

=1

k k

¿+1

h +1 i

h i

À=

=1

k k

µh +1 i

¿h +1 i

h i

À¶=

=1

k k

µh +1 i

h +1 i

h ih i

¶=

=1

k k(h +1 i h +1 i) = 0

Ahora, tenemos que

+1 L ({ 1 } { +1}) = L ({ 1 }) + L { +1} =

= L ({ 1 }) + L { +1} = L ({ 1 } { +1})

De aquı se sigue que

L ({ 1 } { +1}) L ({ 1 } { +1})

Como =: +1

ÃP=1

h +1 i

h i

!entonces

+1 = k kk k

+

ÃP=1

h +1 i

h i

!=


=

ÃP=1

h +1 i

h i

!+ k k +1 L ({ 1 } { +1})

Ası que L ({ 1 } { +1}) L ({ 1 } { +1})

Nota 1 El proceso recursivo descrito en la demostracion del Teorema anterior sellama “proceso de Gram-Schmidt”.

Teorema 72 Un espacio con h i de dimension numerable (finita) tiene unabase ortonormal.

Demostracion. Tomese una base numerable (finita) y aplıquesele el proceso deGram Schmidt. Se obtiene un conjunto ortonormal que genera . En el Ejercicio 132se pide demostrar que un conjunto ortonormal es linealmente independiente.

Ejemplo 83 Encontremos un conjunto ortonormal en R4 que genere el espacio ge-nerado por

{(1 2 3 4) (1 1 1 1) ( 1 2 1 2)}

1 =(1 2 3 4)

(1 2 3 4)(1 2 3 4)=

(1 1 1 1) (1 1 1 1)¡130

30 115

30 110

30 215

30¢®

1 =1330 :

=(1 1 1 1) 1330 1

30(1 2 3 4) = 1

3(2 1 0 1)

Entonces 2 =13(2 1 0 1)

k 13 (2 1 0 1)k=

13(2 1 0 1)136

= 16(2 1 0 1)

Por ultimo:

( 1 2 1 2)

¿( 1 2 1 2) (1 2 3 4)

(1 2 3 4)(1 2 3 4)

À(1 2 3 4)

(1 2 3 4)(1 2 3 4)D( 1 2 1 2) 1

6(2 1 0 1)

E16(2 1 0 1)=

= ( 1 2 1 2) 8h(1 2 3 4) (1 2 3 4)i

(1 2 3 4) 26(2 1 0 1)=

¡3595

9535

¢Ası que 3=

( 3 9 9 3)k( 3 9 9 3)k

= 530( 3 9 9 3).

Veamos que {(1 2 3 4) (2 1 0 1) ( 3 9 9 3)} es un conjunto ortogonal:

h(1 2 3 4) (2 1 0 1)i = 2 + 2 4 = 0

h(1 2 3 4) ( 3 9 9 3)i = 3 + 18 27 + 12 = 0

h(2 1 0 1) ( 3 9 9 3)i = 6 + 9 3 = 0

Para ver que { 1 2 3} generan el mismo espacio que

{(1 2 3 4) (1 1 1 1) ( 1 2 1 2)}


basta ver que las matrices cuyos renglones son 1 2 3 y

(1 2 3 4) (1 1 1 1) ( 1 2 1 2)

respectivamente son equivalentes por renglones. Para esto basta ver que ambas ma-trices tienen la misma forma reducida y escalonada:

1 2 3 41 1 1 11 2 1 2

cuya forma reducida y escalonada es

1 0 0 10 1 0 10 0 1 1

(Comprobarlo).Por otra parte,

1 2 3 42 1 0 13 9 9 3

on1 2 3 40 3 6 93 9 9 3

on

on1 2 3 40 3 6 90 15 0 15

on1 2 3 40 1 2 30 15 0 15

on

on1 2 3 40 1 2 30 0 30 30

on1 2 3 40 1 2 30 0 1 1

on

on1 2 3 40 1 0 10 0 1 1

on1 2 0 10 1 0 10 0 1 1

on

on1 0 0 10 1 0 10 0 1 1

Observacion 58 Un conjunto ortogonal de vectores distintos de 0 es


Demostracion. Si \n0oes un conjunto ortogonal, para ver que es

basta demostrar que cualquier subconjunto finito es Sea finito, digamosque = { 1 } supongamos que 1 1 + + = 0 Multiplicando porobtenemos 0 = h i = k k2 Como k k2 6= 0 esto implica que = 0 comoesto sucede para cada concluımos que es

Ejercicio 132 Demuestre que un conjunto ortonormal de vectores es

Teorema 73 Un subespacio de dimension finita de un espacio con h i, tieneun complemento ortogonal.

Demostracion. Sea de dimension finita con base = { 1 } Entonces= = 1 para ver que esto es un complemento ortogonal de ,

basta ver que L=

) Es claro que h i = 0 = 0+) Si , entonces { } es linealmente independiente. Aplicando el proced-

imiento de Gram-Schmidt, obtenemos un conjunto ´ { } ortonormal tal que és unabase para y tal que L ( ´ { }) = L ( )+L ({ }) = +L ({ }) + ,ya que ´ por ser ortogonal a una base de Por lo tanto \ +por otra parte + ası que = ( \ ) + . Entonces= +

Corolario 13 Si dim ( ) es finita, entonces dim + dim = dim

Ejercicio 133 Sea R6 · R3 tal que =6 0 4 0 2 02 0 2 0 2 23 2 1 2 1 2

, encuentre

(Ker ( · )) , y compruebe que tiene dimension igual al rango de ( · )

Ejercicio 134 Encuentre una base ortonormal para Ker( · )

Ejercicio 135 1. Sea R6 · R3 =2 0 2 0 2 26 0 4 0 2 04 0 6 1 0 2

encuentre

(Ker( · )) .

2. Encuentre una base ortonormal para (Ker ( · ))


3. Encuentre Ker( · ) Ker( · ) (la misma de los dos ejercicios anteriores)resolviendo

6 0 4 0 2 02 0 2 0 2 23 2 1 2 1 22 0 2 0 2 26 0 4 0 2 04 0 6 1 0 2

1

2

3

4

5

6

=

000000

Ejercicio 136 Tomese y como en el ejercicio previo.

1. Encuentre la dimension de (Ker ( · ) (Ker ( · ))) y una base ortonor-mal.

2. Compruebe que

(Ker ( · ) (Ker ( · ))) = (Ker ( · )) + (Ker ( · ))


h i : R [ ]×R [ ] R

tal que

h 0 + 1 + + 0 + 1 + + i =X

es un producto interior.

Ejercicio 138 Ortonormalice el conjunto {1 2 3} respecto al producto interiordel ejercicio anterior.

Ejercicio 139 Ortonormalizar el siguiente conjunto:

= {(1 0 1) (0 1 1) (1 3 3)}

y expresar = (1 1 2) como combinacion de la base ortonormalizada.

Ejercicio 140 Sea = R3 = {(1 1 1) (1 1 2)} Calcular

Ejercicio 141 Muestre que h i : R [ ] × R [ ] R tal que h i =R 10

es unproducto interior.


Ejercicio 142 Ortonormalice el conjunto {1 2 3} respecto al producto interiordel ejercicio anterior.

Ejercicio 143 Muestre que h i =R

define un producto interior en C [ ],el espacio de las funciones reales continuas definidas en [ ] Demuestre que

1. sen y cos son ortogonales respecto a este producto interior.

2. sen( ) cos ( ), son ortogonales

3. kcos ( )k =

4. ksen ( )k =

-2 -1 0 1 2

1

x

y

cos ( ) cos ( )

-2 0 2

1

x

y

sen( )sen( )

-2 2 4

-0.5

0.5

x

y

sen( ) cos ( )

-3 -2 -1 1 2 3-0.5

0.5

x

y

sen(2 ) cos (3 )

5.4.1. Matrices respecto a una base ortonormal

Teorema 74 Sea : un operador lineal en un espacio de dimension finitacon h i Si = { }16 6 es una base ortonormal de , entonces³

[ ]´

= h ( ) i

Demostracion. Escribamos =³[ ]

Éntonces

³[ ]

´j¯ = [ ( )] =

1

2...

5.5. EL OPERADOR ADJUNTO 169

es decir que( ) = 1 1 + 2 2 + +

Aplicando h i obtenemos :

h ( ) i = h 1 1 + 2 2 + + i =

5.4.2. Representacion de elementos del espacio dual

Teorema 75 Si es un espacio con h i de dimension finita, entonces, tal que = h i

Demostracion. Si = 0 entonces = 0 satisface la afirmacion.

Si 6= 0, entonces ³ es lineal suprayectiva, ası que

nul ( ) + rango ( ) = dim ( )

Es decir que Ker( ) es un subespacio de de dimension dim ( ) 1 Como

= Ker ( )L(Ker ( ))

escojamos 0 6= (Ker ( )) entonces ( ) 6= 0Tomemos

=

de tal manera que ( ) = h i = ¯ h i = k k2 Ası que = ( )

k k2

Es claro ahora queh i|(Ker( )) = |(Ker( ))

por otra parte,h i|Ker( ) = 0|Ker( ) = |Ker( )

pues (Ker ( ))

5.5. El operador adjunto

Teorema 76 Sea un espacio vectorial de dimension finita con h i. Sea :un operador lineal en Entonces existe un operador lineal : tal

queh ( ) i = h ( )i


Demostracion. Dada entonces h i : es lineal por sercomposicion de funciones lineales. Por el Teorema 75, 0 tal que h i =h 0i Definamos ( ) =: 0

Por definicion,h i = h ( )i

Resta ver que : ası definida es una funcion lineal:tenemos que

1 2 h ( 1 + 2)i = h ( ) 1 + 2i =

= h ( ) 1i+ h ( ) 2i = h ( ) 1i+ ¯h ( ) 2i =

= h ( 1)i+ ¯h ( 2)i = h ( 1)i+ h ( 2)i =

= h ( 1) + ( 2)i

De h ( 1 + 2)i = h ( 1) + ( 2)i obtenemos

0 = h ( 1 + 2)i h ( 1) + ( 2)i =

= h [ ( 1 + 2)] [ ( 1) + ( 2)]i

Como esto vale para toda en particular vale si ponemos

= [ ( 1 + 2)] [ ( 1) + ( 2)]

De aquı obtenemos que

[ ( 1 + 2)] [ ( 1) + ( 2)] = 0

es decir que es lineal.

Definicion 77 Si son operadores lineales en un un espacio vectorial conh i tales que

h ( ) i = h i

se llama el operador adjunto de

Ejercicio 144 Sea : R2 R2 lineal, definida por

( ) = ( + 2 2 + )

Calcular

Ejercicio 145 Para un operador lineal en un espacio con producto interior,demostrar que si = 0 entonces = 0

5.6. PROPIEDADES DEL OPERADOR ADJUNTO 171

5.6. Propiedades del operador adjunto

Teorema 77 Sea un espacio vectorial de dimension finita3 con h i. Sean( )

1. ( ) =

2. (0 ) = 0 :

3. ( ) = ¯( )

4. ( ) =

5. ( + ) = +

6. =

7. Si es invertible, entonces ( ) 1 = ( 1)

Demostracion.

1. h ( ) i = h i = h ( ) i

2. h0 ( ) i =D0

E= 0 = h 0 ( ) i

3. h( )( ) i = h( ( ))( ) i = h ( ) i = h ( )i= h ¯ ( )ih (¯ )( )i.

4. Ejercicio.

5. Ejercicio.

6. h ( ) i = h ( )i = h ( ) i = h ( )i = h ( )i

7. = ( ) = ( 1) = ( 1) esto muestra que ( 1) es inversoizquierdo de Simetricamente, ( 1) es inverso derecho de . Por lo tanto( 1) =( ) 1.

Ejercicio 146 Demuestre los incisos 4 y 5 del Teorema anterior.

3La hipotesis de que es de dimension finita solo se usa para poder contar con los adjuntos delos operadores. Las mismas afirmaciones se pueden hacer suponiendo la existencia de estos adjuntos,quitando la hipotesis de finitud.


Teorema 78 Sea un espacio vectorial de dimension finita con h i Sea ={ }16 6 una base ortonormal de Sea un operador en La matriz del operadoradjunto respecto a esta dada por

[ ] =³[ ]

´=³[ ]

´Demostracion.³

[ ]´

= h ( ) i = h ( )i = h ( )i =

= h ( ) i =³[ ]

´=³[ ]

´=³³[ ]

´ ´

Corolario 14 = 1³³[ ]

´·´

Demostracion. El diagrama

=

-

? ?-

([ ] ) ·

es conmutativo, en vista del teorema anterior.

Ejemplo 84C2 C2µ ¶

7

µ( 5 5 ) + ( 3 7 )

(9 + 7 ) + (5 )

¶tiene matriz

µ5 5 3 79 + 7 5

¶Su matriz adjunta es µ

5 + 5 9 73 + 7 5

¶Entonces = 1

³³[ ]

´·´

calculando en

µ ¶obtenemos.

µ ¶=³

1³³[ ]

´·´ ´µ ¶

=

5.6. PROPIEDADES DEL OPERADOR ADJUNTO 173

= 1³³[ ]

´·´µ ¶

=

= 1

µ³[ ]

´ µ ¶¶=

= 1

µµ5 + 5 9 73 + 7 5

¶µ ¶¶=

= 1

µµ5 + 5 9 73 + 7 5

¶µ ¶¶=

=

µ5 + 5 + 9 73 + 7 5

¶A manera de verificacion, tomemos¿ µ

12 + 2

¶ µ12

¶À=

¿µ2 206 + 8

¶ µ12

¶À=

=¡1 2

¢µ 2 206 + 8

¶=: 14 32

Pues µ12 + 2

¶=

µ5 5 3 79 + 7 5

¶µ12 + 2

¶=

=

µ2 206 + 8

¶Por otra parte,¿µ

12 + 2

¶ µ12

¶À=

¿µ12 + 2

¶ µ9 + 237 + 7

¶À=

=¡9 23 7 7

¢µ 12 + 2

¶=

= 14 32

pues µ12

¶=

µ5 + 5 9 73 + 7 5

¶µ12

¶Ejercicio 147 Calcular el operador adjunto de

C3 C3

7( 5) + ( 7 ) +

(3 + 7 ) + (5 ) + ( 5)( 5) + ( 7 ) + ( 1 )


5.7. Transformaciones lineales y productos

interiores

Recomendamos a los lectores el libro de la M. en C. Ana Irene Ramırez Galarza[6] para los aspectos y aplicaciones en Geometrıa del producto interior.

Teorema 79 Son equivalentes para un operador lineal suprayectivo : ³ enun espacio vectorial con h i :

1. respeta el producto interior, es decir h ( ) ( )i = h i

2. respeta la norma,. es decir k ( )k = k k

3. manda conjuntos ortonormales en conjuntos ortonormales.

4. es invertible y 1 =

Demostracion. 1) 2) Se sigue de la definicion de norma.2) 1)

k ( )k2 = k( )k2

Ası que

h i = h ( ) ( )i =

= h ( ) ( ) ( ) ( )i

Entoncesk k2 + h i+ h i+ k k2 =

= k ( )k2 + h ( )i+ h ( ) ( )i+ k ( )k2

de donde tenemos, cancelando k k2 con k ( )k2 y k k2 con k ( )k2 que:

h i h i = h ( )i+ h ( ) ( )i

Ası queh i+ h i = h ( )i+ h ( ) ( )i

por lo que 2Re¡h i

¢= 2Re

¡h ( )i

¢, ası que

Re¡h i

¢= Re

¡h ( )i

¢(5.1)

5.7. TRANSFORMACIONES LINEALES Y PRODUCTOS INTERIORES 175

Si tomamos = 1 tenemos que

Re h i = Re h ( ) ( )i

Por otra parte, dado = + C tenemos que

Re ( ) = Re ( ( )) = Re ( + ) = = Im ( + ) = Im( )

Ası que si tomamos = en 5.1, obtenemos

Im h i = Im h ( ) ( )i

Dado que los numeros h i y h ( ) ( )i comparten sus partes reales e imagina-rias, concluımos que

h i = h ( ) ( )i

1) 3) Es claro.

3) 4) es inyectiva, pues si 6= 0 entoncesnk k

oes un conjunto ortonormal,

ası que tambien lo esn

( )k k

oen particular, k ( )k = k k y ( ) 6= 0 Luego

Ker( ) =n0o, por hipotesis tenemos que es suprayectivo.

Hemos visto en el parrafo precedente que k ( )k = k k Ası que tambientenemos que respeta el producto interior, ya que hemos demostrado que 1) y 2)son equivalentes.Ası, h ( ) i = h ( ) 1 i = h 1 i de donde vemos que 1 =4) 1) h ( ) ( )i = h ( )i = h 1 ( )i = h i

Teorema 80 Sea un espacio vectorial de dimension finita con h i Son equi-valentes para un operador lineal :

1. respeta el producto interior.

2. Para cualquier base ortonormal [ ] =³[ ]

´ 1

3. Los renglones de [ ] forman una base ortonormal de

4. Las columnas de [ ] forman una base ortonormal de


Demostracion. 1) 2) Si respeta el producto interior, entonces con el mismoargumento del Teorema de arriba, vemos que tambien respeta la norma y por lotanto es inyectivo. Dada la hipotesis de que dim( ) es finita, tenemos que esinvertible. Cuando es invertible, cualquier matriz que lo represente es invertibletambien. Como estamos dentro de las hipotesis del Teorema anterior, tenemos que

1 = .Ahora,

[ ] =£

1¤=³[ ]

´ 1

2) 3)

=³[ ]

£1¤ ´

=³[ ] [ ]

´=³[ ]

í¯

³[ ]

´j¯ =

³[ ]

í¯

µ³[ ]

´j¯

¶=

=³[ ]

í¯

Ãµ³[ ]

´ ¶j¯

!=³[ ]

í¯

µ³[ ]

´j¯

¶=

=

Ã³[ ]

í¯

µ³[ ]

´j¯

¶ !=

µ³[ ]

´j¯

¶ µ³[ ]

í¯

¶=

=

Ã*µ³[ ]

í¯

¶ µ³[ ]

´j¯

¶ +!

Luego

*µ³[ ]

í¯

¶ µ³[ ]

´j¯

¶ += Esto muestra que los renglones de [ ]

forman un conjunto ortonormal.3) 4)

=

¿³³[ ]

í¯

´ ³³[ ]

´j¯

´ À=

µ³³[ ]

´j¯

´ ¶ ³³[ ]

í¯

´=

=³³[ ]

´j¯

´³³[ ]

í¯

´=

µ³³[ ]

´j¯

´³³[ ]

í¯

´ ¶=

=

Ã³³[ ]

í¯

´µ³[ ]

´ ¶j¯

!=

µ³³[ ]

í¯

´³³[ ]

´ ´j¯

¶=

5.8. OPERADORES UNITARIOS EN R2 177

=

ÃÃµ³[ ]

´ ¶i¯

! ³³[ ]

´ ´j¯

!=

Ãµ³³[ ]

´ í¯

¶ ³³[ ]

´ ´j¯

!=

=

¿³³[ ]

´ ´j¯³³[ ]

´ í¯

ÀTenemos que las columnas de

³[ ]

´=³[ ]

´forman un conjunto ortonormal.

Esto equivale a decir que ( ) es un conjunto ortonormal. Si =P

entonces

k k2 =

*X X +=X

| |2

aquı hemos usado la ortonormalidad deComo tambien ( ) es ortonormal, entonces

k ( )k2 =

*X( )

X( )

+=

=

*X( )

X( )

+=

X| |2

De donde vemos que preserva la norma. Entonces los renglones de [ ] forman

un conjunto ortonormal, ası que las columnas de [ ] = [ ] forman un conjuntoortonormal.4) 1) Parte del argumento anterior muestra que si las columnas de [ ] forman

un conjunto ortonormal entonces respeta la norma. Apliquemos esto a = ( )

Definicion 78 Los operadores que respetan el producto interior se llaman unitarios(u ortogonales si = R)..

5.8. Operadores unitarios en R2

Ejemplo 85 Un operador unitario en R2 es una rotacion o una reflexion.


Demostracion.La matriz de un operador unitario :R2 R2 respecto de la base canonica es

una matriz con columnas (y renglones) ortonormales.

Digamos que =

µ ¶es dicha matriz, entonces:

1.

µ ¶µ ¶=

µ2 + 2 ++ 2 + 2

¶=

µ1 00 1

¶

2.

µ ¶µ ¶=

µ2 + 2 ++ 2 + 2

¶=

µ1 00 1

¶3. 2 + 2 = 1 Ahora, la funcion

[0 1)(cos( )sen( ))

n¡ ¢R2 | 2 + 2 = 1

o7

¡cos( )sen( )

¢es una biyeccion. Equivalentemente,

[0 1)( )

{ C | | | = 1}7 ( )

es una biyeccion.

Entonces existe [0 1) tal que

µ ¶=

µcos ( )sen ( )

¶Como 2 + 2 = 1 = (cos ( ))2 + 2 entonces 2 = 1 (cos )2 ası que

= ±q1 (cos ( ))2 = ±

q(sen ( ))2 = ±sen( )

Ası las posibilidades son:µ ¶ ½µcos ( ) sen ( )sen ( ) cos

¶ µcos ( ) sen ( )sen cos

¶¾tomando

en cuenta que las columnas deben ser ortogonales.µcos ( ) sen ( )sen ( ) cos ( )

¶corresponde a la rotacion por un angulo .

5.9. MOVIMIENTOS RIGIDOS (ISOMETRIAS) 179

Como

µcos ( ) cos ( 2)sen ( ) sen ( 2)

¶=


¶, tenemos que

esta es la matriz de la reflexion sobre una lınea que hace un angulo 2 con laparte positiva del eje .

Ejercicio 148 Escriba el inverso de la matrizcos ( ) 0 sen ( )0 1 0

sen ( ) 0 cossin efec-

tuar ningun calculo. ¿Que resultado uso?

Ejercicio 149 Demuestre que el inverso de un operador unitario es unitario.

Ejercicio 150 Escriba los coeficientes que faltan en

1 2 01 3

de manera que se obtenga una matriz unitaria en 3×3 (R)

5.9. Movimientos rıgidos (Isometrıas)

Definicion 79 Sea un espacio real con producto interior. Una funcion :se llama movimiento rıgido (o isometrıa) si

k ( ) ( )k = k k

Proposicion 7 Para una tal funcion , defınase : mediante ( ) =

( )³0Éntonces es lineal y ademas:

1. a) k ( )k = k k

b) k ( ) ( )k = k k

Ejercicio 151 1. a) h ( ) ( )i = h i

b) k ( + ) ( ) ( )k = 0 R (Es decir que eslineal)

2. Todo movimiento rıgido es un operador ortogonal seguido de una traslacion.


3. det( ) = ±1

4. Si = R2 y es la base ordenada canonica para R2??, entonces existe unangulo (0 6 2 ) tal que

[ ] =

µcos ( ) sen( )sen( ) cos ( )

¶si det ( ) = 1

y

[ ] =

µcos ( ) sen( )sen( ) cos ( )

¶si det ( ) = 1

5. Todo movimiento rıgido en R2 es una rotacion (con respecto al origen) segui-da de una traslacion o una reflexion (con respecto ale eje ) seguida de unarotacion (con respecto al origen) seguida de una traslacion. Observese que:µ

cos ( ) sen( )sen( ) cos ( )

¶µ1 00 1

¶=


¶Demostracion.

1. a)k ( )k = k ( ) (0)k = k 0k = k k

b) k ( ) ( )k = k k :

k ( ) ( )k =

= k ( ) (0) ( ( ) (0))k =

= k ( ) ( )k =

=z }| {porque f es isometrıa

k k

c) h ( ) ( )i = h i :Como

k ( ) ( )k2 = k k2

entoncesk ( )k2 2 h ( ) ( )i+ k ( )k2 =

= h ( ) ( ) ( ) ( )i =

= h i = k k2 2 h i+ k k2

Cancelando k ( )k2 con k k2 y k ( )k2 con k k2, acabamos.


d)

h ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( )i =

= h ( + ) ( + )i

2 h ( + ) ( ) + ( )i+

+ h ( ) + ( ) ( ) + ( )i =

= h ( + ) ( + )i

2 [h ( + ) ( )i+ h ( + ) ( )i] +

+ h ( ) ( )i+ 2 h ( ) ( )i+ 2 h ( ) ( )i =

= h( + ) ( + )i

2 [h( + ) ( )i+ h( + ) ( )i] +

+ h( ) ( )i+ 2 h( ) ( )i+ 2 h( ) ( )i =

= h( ) ( + )i+ h( ) ( + )i

2 [h i+ h i+ h( ) ( )i+ h ( )i] +

+ h( ) ( )i+ 2 h( ) ( )i+ 2 h( ) ( )i =

= h i+ h i+ h i+ h i| {z }2

·h i| {z }+ h i+ h i+ h i

¸+

+ h i| {z }+2 h i+ 2 h i = 0

2. Ahora, tenemos que es un operador ortogonal y de

( ) = ( )³0´

tenemos que ( ) = ( ) +³0´por lo que

=³+

³0´´


3. Ya hemos visto que

[ ] =


¶o

[ ] =


¶Por lo tanto

=³+

³0´´ ·µ


¶·

¸o

=³+

³0´´ ·µ


¶·

¸=

Resolviendo, ·µcos ( ) sen ( )sen ( ) cos ( )

¶=

µ1 0

0 1

¶·

¸tenemos que

=


¶µ1 0

0 1

¶=


¶

=³+

³0´´ ··µ


¶µ1 0

0 1

¶¸·

¸=

=³+

³0´´ ··µ

cos ( + ) sen ( + )sen ( + ) cos ( + )

¶µ1 0

0 1

¶¸·

¸Pues sen( + ) = sen( ) y cos ( + ) = cosEn resumen:

=³+

³0´´ ·µ


¶·

¸o

=³+

³0´´ ··µ

cos ( + ) sen ( + )sen ( + ) cos ( + )

¶µ1 0

0 1

¶¸·

¸Es decir, tenemos una rotacion seguida de una traslacion o una reflexion seguidade una rotacion, seguida de una traslacion.


Ejercicio 152 Dar un ejemplo de un operador ortogonal que no sea ni reflexion nirotacion.

Regresaremos despues a estudiar con mas detalle el producto interior, cuandodispongamos de la Teorıa de los subespacios -invariantes, de los conceptos de vectory valor propios, ademas de la Teorıa acerca de las formas canonicas para un operador.


Capıtulo 6

Determinantes

6.1. Funciones n-lineales

Observacion 59 Recuerdese que : es lineal sii 1 tales que

( 1 ) = 1 1 + +

Definicion 80 Una funcion : × ( ) es lineal si

× ( ) {1 } la siguiente funcion es lineal

:

7

1¯...

1

+1

...

n¯

donde denota el esimo renglon de .

Ejemplo 86 : × ( ) conµ ¶=

185

186 CAPITULO 6. DETERMINANTES

es 2 lineal ya que para =

µ ¶× ( )

1 ( ) =

µ ¶=

que es una funcion lineal, en vista de la Observacion anterior y

2 ( ) =

µ ¶= +

que tambien es lineal.

Ejemplo 87 0 : × ( ) es lineal, ya que si × ( ), se cumpleque

0 : = 0 :

pues

0 ( ) = 0

1¯...

...

n¯

= 0

Ejemplo 88 : × ( ) con ( ) =Q=1

1 es lineal ya que si

× ( ), entonces

( ) =

1¯...

1

+1

...

n¯

=Y=16=

1 · 1,

que lineal por la Observacion 59.

Teorema 81 El conjunto de funciones lineales es un subespacio de

× ( )

el espacio vectorial de las funciones de × ( ) a

6.1. FUNCIONES N-LINEALES 187

Demostracion. Ya hemos observado que la funcion constante0 : × ( ) es lineal.Veamos ahora que la suma de dos funciones lineales es lineal:Supongamos que

: × ( )

son dos funciones lineales. Tomemos una matriz × ( ) y escojamos unaen {1 2 }.Queremos demostrar que

( + ) :

es lineal.Ahora,

( + ) :7 ( + )

¡1¯ · · · 1 +1 · · · n

¯

¢y

( + )¡

1¯ · · · 1 +1 · · · n

¯

¢=

= ( + ) ( ) =¡

1¯ · · · 1 +1 · · · n

¯

¢+

+¡

1¯ · · · 1 +1 · · · n

¯

¢=

= ( ) + ( ) =¡

+¢( )

Por lo tanto ( + ) = + ası que es lineal por ser la suma de dos funcioneslineales.Por ultimo, si es una funcion lineal y , entonces tambien es lineal:

( ) ( ) = ( )¡

1¯ · · · 1 +1 · · · n

¯

¢=

=¡ ¡

1¯ · · · 1 +1 · · · n

¯

¢¢=

=¡

( )¢=¡ ¢

( )

Por lo tanto ( ) =¡ ¢

= ( · ) que es lineal por ser la composicion de la

funciones lineales : y ( · ) :Una manera alternativa de enunciar el ultimo Teorema es afirmando que las

combinaciones lineales de funciones lineales son lineales.


Definicion 81 Sea : × ( ) , es “alternante” si

...

i¯

+1 = i¯...

= 0

es decir, si la funcion aplicada a una matriz con dos renglones consecutivos igualeses cero.

Ejemplo 89 det : 2×2 ( ) definida por det

µ ¶= , es alter-

nante.

Ejercicio 153 Demostrar que el conjunto de funciones alternantes de

× ( )

es un subespacio de × ( )

Definicion 82 Un determinante de orden es una funcion

: × ( )

que es lineal alternante, y tal que

( ) =

1 0 · · · 00 1 · · · 0....... . .

...0 0 · · · 1

= 1

Observacion 60 La funcion del Ejemplo 89, det : 2×2 ( ) es un determi-nante.

Demostracion. Resta solo observar que

det

µ1 00 1

¶= 1

Permutaciones


6.1.1. Factorizacion unica como producto de ciclos

Definicion 83 Denotemos por al conjunto de permutaciones de {1 } Sea, definimos la relacion J en {1 } por

J si Z tal que = ( )

Observacion 61 J es una relacion de equivalencia en {1 }

Demostracion. Reflexividad) J pues = {1 } ( ) =0 ( )

Simetrıa) J = ( ), para alguna Z Aplicando obtenemos

( ) =¡

( )¢= 0 ( ) =

por lo que J .Transitividad)

( J J )¡= ( ) = ( ) para algunas Z

¢Entonces

= ( ) =¡

( )¢= + ( )

por lo que J .

Notacion 9 Si escribiremos de la siguiente forma:

=¡1 (1) 2 (1) 1 (1)

¢| {z }ciclo

¡( ) 2 ( ) ( )

¢en esta notacion, estamos suponiendo que¡

1 (1)¢= 1

y que 1 es el menor natural tal que +1 (1) = 1 Tambien estamos suponiendoque

¡( )¢= y que es el natural menor con esa propiedad. Desde luego,

podrıa ser un solo ciclo:

(1 2 3 4) 4

es la permutacion que manda 1 a 2, 2 a 3, 3 a 4 y 4 a 1


Ejemplo 90 1. Sea

5 tal que

1 7 2

2 7 1

3 7 4

4 7 5

5 7 3

entonces= (1 2) (3 4 5)

2. Sea4 tal que

1 7 2

2 7 3

3 7 1

4 7 4

entonces= (1 2 3) (4)

3. La permutacion(1 2 3) (5 8) (6 12) 12

hace lo siguiente1 7 22 7 33 7 14 7 45 7 86 7 127 7 78 7 59 7 910 7 1011 7 1112 7 6

Notacion 10 Si y

=¡1 (1) 2 (1) 1 (1)

¢( )


es decir si ( ) = omitiremos escribir el ciclo ( ) Por ejemplo, en el ejemplo 2)anterior, en lugar de escribir (1 2 3) (4) escribiremos

(1 2 3)

simplemente. Un ciclo de la forma ( ), se llama un ciclo trivial.

Proposicion 8 Si : es una funcion biyectiva tal que ( ) = , entonces

( ) = Z

Demostracion. 1) Si = 0, entonces ( ) = 0 ( ) = ( ) =Supongamos ahora que

( ) =

entonces +1 ( ) = ( ( )) = ( ) =Con lo anterior, tenemos que

( ) = N

2)Si ( ) = entonces

= ( ) = 1 ( ( )) = 1 ( )

Entonces ¡1¢( ) = N

por el inciso anterior.Por lo tanto

( ) =¡

1¢( ) = N

Combinando las conclusiones de este inciso y del anterior, tenemos que

( ) = Z

Observacion 62 En vista de la Observacion 61, tenemos que {1 }se parte enclases de equivalencia, respecto a la relacion J Es claro que la clase de equivalenciade es

[ ]J = { ( ) | Z}


Observacion 63

[ ]J = { ( ) | 0 6 6 p. a. N}

Demostracion. ) Claro.) La funcion

N {1 }7 ( )

no es inyectiva ({1 } es finito). Por lo tanto, existe 6= tales que ( ) = ( )Tomemos N mınimo con la propiedad anterior. Si 0 entonces ( ) =( ) con 0 ası que de

1 ( ) = 1+ 1 ( ) = ( ) = ( ) = 1+ 1 ( ) = 1 ( )

y del hecho de que es inyectiva, obtenemos

1 ( ) = 1 ( )

contradiciendo la eleccion de .Ası tenemos que = 0 y por lo tanto

= 0 ( ) = ( )

para alguna 0 que podemos suponer mınima con esta propiedad.Dada Z, aplicando el algoritmo de la division con ,

0 6

ası que( ) = + ( ) = + ( ) =

=¡

( )¢=

¡¡¡ ¢ ¢( )¢=

= ( )

En el ultimo paso hemos usado la proposicion 8. Pues ( ) = implica que¡¡ ¢ ¢( ) = .

Definicion 84 es ajena con si lo que mueve lo fija


Ejemplo 91 (1 2 3) es ajena con (5 7) (4 9) en 10, pues los elementos movidospor (1 2 3) 1,2,3, son fijados por (5 7) (4 9).

Observacion 64 es ajena con si y solo si es ajena con

Demostracion. Supongamos que es ajena con . Sea {1 } tal que( ) 6= Es claro que entonces ( ) = , pues si ( ) 6= , entonces ( ) =

Observacion 65 Si son permutaciones ajenas, entonces

=

Demostracion. Tomemos {1 } Consideremos los siguientes casos:1) es movido por (simetrico con el caso de que sea movido por ).2) es fijado por y . (Notemos que no puede ser movido por y a la vez

puesto que y son ajenas).En el primero de los casos, es fijado por Ası que

( ) ( ) = ( ( )) = ( )

mientras que ( ) ( ) = ( ( )) = ( ) Esto se debe a que ( ) es un elementomovido por :

( ( )) = ( ) ( ) =

En el segundo caso,( ) ( ) = ( ( )) = ( ) =

y tambien( ) ( ) = ( ( )) = ( ) =

Entonces {1 } se tiene que ( ) ( ) = ( ) ( ). Por lo tanto =

Teorema 82 Toda permutacion 6= , se puede factorizar como producto deciclos ajenos no triviales, de manera unica, excepto por el orden de los factores.

Demostracion. Por induccion sobre el numero de puntos movidos porBase. Si mueve cero elementos, es porque = en este caso convenimos en

que es producto vacıo de ciclos no triviales.Paso inductivo. Supongamos que mueve 1 elementos , y la afirmacion

cierta para permutaciones que mueven menos de elementos.


Tomemos un elemento movido por , y formemos el ciclo

=¡

( ) 2 ( ) ( )¢

donde +1 ( ) =Ahora 1 fija todos los elementos ( ) 2 ( ) ( ) es decir que

mueve menos puntos que . Pues si es un punto movido por 1 , entonces6= ( 1 ) ( ) Ası que ( ) { ( ) 2 ( ) ( )} por lo que 6=

( 1 ) ( ) = ( ) de donde tenemos que es movido por .Por hipotesis de inducccion, tenemos que 1 = 1 2 un producto

de ciclos no triviales ajenos dos a dos y que no mueven puntos de{ ( ) 2( ) ( )}. Por lo tanto

= 1 2

es una factorizacion en ciclos no triviales ajenos dos a dos.Unicidad. Supongamos que

1 2 = 1 2

son dos factorizaciones en ciclos no triviales de .Demostremos que ambas factorizaciones son iguales, por induccion sobreBase. Si = 1 entonces = 1 y entonces las clases de equivalencia de J son

todas triviales excepto por la clase de los elementos movidos por 1 Esto demuestraque = 1, pues elementos en distintos ciclos , no estarıan en la misma clase deequivalencia y serıan movidos por Pero entonces tendrıamos que

1 = 1

Paso inductivo. Supongamos que 1 Tomemos un elemento movido por

1 digamos entonces 1 = ( ( ) 2 ( ) )Como es movido por , entonces debe ser movido por alguna y podemos

suponer, sin perder generalidad que = 1(las conmutan entre sı).Como antes, 1 = ( ( ) 2 ( ) ), ası que en

1 2 = 1 2

podemos cancelar 1 con 1 De donde

2 = 2

Podemos aplicar la hipotesis de induccion para concluir la demostracion.


6.1.2. Estructura cıclica y signo de una permutacion

Sea un ciclo, definimos la longitud del ciclo como el numero de elementosmovidos por el. Una trasposicion es un ciclo de longitud dos, por ejemplo (1 2)

Definicion 85 Sea (1) 6= definimos la estructura cıclica de es la sucesion

( 1) ( 2) ( )

donde

= 1 2

es una factorizacion en ciclos ajenos dos a dos no triviales y tal que

( 1) 6 ( 2) 6 6 ( )

Ejemplos 92 1. La estructura cıclica de (1 2 3) (4 5) (7 8 9 10) es

2 3 4

2. La estructura cıclica de (1 2) es 2

Lema 6 Si es un ciclo en y es una permutacion en , entonces 1

es un ciclo de la misma longitud que

Demostracion. Notemos que si ( ) = entonces 1 ( ( )) = ( ) =( ) En sımbolos:

7 ( )1

7 ( )

En particular, es un punto fijo de ( ) es un punto fijo de 1yademas ( ( ) 2 ( ) 3 ( ) ) es un ciclo de 1

Por lo que si = ( 1 2 ) entonces

1 = ( ( 1) ( 2) ( 3) )

Observacion 66 Si y son ciclos de la misma longitud en entonces ,tal que 1 =


Demostracion. Escribamos = ( 1 2 ) y = ( 1 2 ) Para encontraruna permutacion con la propiedad deseada, notemos que como

1 = ( ( 1) ( 2) ( 3) )

basta que hagamos ( 1) = 1 ( 2) = 2 como en el diagrama

( 1¯

( 1

2¯

2

)¯

)

completamos la definicion de dando cualquier biyeccion entre

{1 } \ { 1 } y {1 } \ { 1 }

Definicion 86 Se dice que y son conjugadas en si tal que1 = .

Ejercicio 154 Demostrar que la relacion de conjugacion es una relacion de equiva-lencia en .

Ejemplo 93 (1 2 3 4 5) y (8 6 3 1 2) son conjugadas en 10:Hagamos la siguiente asignacion:

(1 2 3 4 5) (6) (7) (8) (9) (10)¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(8 6 3 1 2) (4) (5) (7) (9) (10)

Teorema 83 Dos permutaciones en son conjugadas si y solo si tienen la mismaestructura cıclica.

Demostracion. ) Supongamos que 1 2 y 1 2 son dos productos enciclos ajenos dos a dos que tienen la misma estructura cıclica. Ası, podemos suponerque ( ) = ( ) Para fijar mejor nuestra atencion, tomemos

= ( 1 2 )

y= ( 1 2 )


Definamos ahora de tal manera que

1 2¯ ¯ ¯

1 2

{1 }

Es decir que ( ) = . Completamos la definicion de por medio de cualquierbiyeccion entre

{1 } \³{ } {1 }

ý {1 } \

³{ } {1 }

Éntonces es claro, como en la Observacion 66 que 1 =Entonces

( 1 2 ) 1 =¡

11¢ ¡

21¢

1¡

1¢= 1 2

) Es claro que si 1 2 es un producto de ciclos ajenos entonces para cadase tiene que ( 1

1) ( 21) 1 ( 1) tambien es un producto de ciclos

ajenos:

(Los sımbolos y estan ambos en el ciclo )

( ( ) = para alguna Z)

( ) = ( ( )) = 1 ( ( )) =¡

1¢( ( ))

( ) y ( ) estan ambos en el ciclo 1

Definicion 87 Se define: {1 1}

por:

( ) =Y

ciclo de la factorizacion

en ciclos ajenos de

( 1) ( ) 1

Ejemplos 94 1. ((1 2)) = ( 1) ((1 2)) 1 = ( 1)2 1 = 1.


2. ((1)) =Q( 1) ( ) 1 = 1. Pues (1) es la permutacion identidad, que no

tiene ciclos no triviales en su factorizacion. Por otro lado, el producto vacıo sedefine como 1.

Se suele llamar permutaciones pares a las permutaciones con signo 1 e impares alas permutaciones con signo 1.

Nota 2 La funcion esta bien definida en virtud del teorema de factorizacionunica.

Lema 7 Si y = ( ) es una transposicion en Entonces

( ) = ( ) = ( )

Demostracion. Si es la identidad, la afirmacion se sigue de que el signo de laidentidad es 1, mientras que el signo de una transposicion es 1Si no es la identidad, factoricemos como producto de ciclos ajenos no triviales,

digamos que= 1 2

Supongamos que = ( ).Consideremos tres casos:i) ajena conii) Los elementos que mueve , son movidos por un mismo ciclo .iii) y son movidos por distintos ciclos en { 1 2 }Caso i) Es claro que aquı la factorizacion en ciclos ajenos de es

1 2

Ası que

( 1 2 ) =Y( 1) ( ) 1 ( 1) ( ) 1 =

=Y( 1) ( ) 1 ( 1)1 = ( 1 2 )

Caso ii) Supongamos que son movidos por digamos que

= ( = 1 2 = )


ası que ( ) = ( 1) 1

Entonces= ( +1 ) ( 2 3 1)

es el producto de dos ciclos ajenos, de longitudes +1 y 1 respectivamente.Luego

( ) = ( 1) ( 1) 2 = ( 1) 2 = ( 1) ( 1) = ( 1) ( )

Entonces( ) = ( 1) ( )

Caso iii) Supongamos, sin perder generalidad, que

1 = ( = 1 2 )

2 = ( = 1 2 )

De tal manera que ( 1) = ( 1) 1 y ( 2) = ( 1) 1 y por lo tanto

( 1 2) = ( 1) + = ( 1) + 2

Por otra parte,

1 2 = ( 2 2 )

un ciclo de longitud + , por lo que

( 1 2 ) = ( 1) + 1 = ( 1) ( 1) + 2 = ( 1 2)

Por lo tanto( ) = ( 1) ( )

Observacion 67 Toda permutacion ( 2) se puede escribir como productode transposiciones.

Demostracion. La permutacion identidad (1) es tal que

(1) = (1 2) (1 2)

Como toda permutacion que no sea la identidad puede factorizarse como productode ciclos ajenos no triviales, basta ver que todo ciclo no trivial se puede escribir comoproducto de transposiciones.


Sea = ( 1 2 ) consideremos

( 1 ) ( 1 3) ( 1 2)

es facil comprobar que= ( 1 ) ( 1 3) ( 1 2)

Corolario 15 Una permutacion es par (es decir tiene signo 1) si y solo sise puede factorizar como producto de un numero par de transposiciones.

Demostracion.

( 1 2 ) = ( 1) ( 1 2 1) =

= ( 1) ( 1) ( 1 2 2) = = ( 1) 1 ( 1) = ( 1)

De lo anterior es claro que aunque la factorizacion de una permutacion comoproducto de ciclos ajenos no es unica, sı se conserva la paridad del numero de trans-posiciones en una factorizacion.

Ejemplo 95 (1 2 3) = (1 3) (1 2) = (3 4) (1 3) (1 4) (1 2)

Observacion 68 Para cualesquiera dos permutaciones , se tiene que( ) = ( ) ( ).

Supongamos que = 1 2 ası que su signo es ( 1) 1 Entonces

( ) = ( 1 2 ) =

= ( 1) ( 1 2 1) = = ( 1) ( ) = ( ) ( )

Existencia y unicidad del determinante

Definicion 88

det : × ( ) P( )

µQ=1

( )

¶Lema 8 det: × ( ) es lineal:


Demostracion. Como sabemos que una combinacion de funciones lineales eslineal, basta demostrar que la funcion

: × ( )7

Q=1

( )

es lineal.Tomemos una matriz × ( ) {1 } Queremos demostrar que la

funcion( )n¯ :

7¡

1¯

1 +1 n¯

¢Ahora,

( )n¯ ( ) =¡

1¯

1 +1 n¯

¢=

Y( )6=

( ) 1( ) =

=Y( )6=

( ) · 1( ) ( )

Por lo que

( )n¯ =Y( )6=

( ) · 1( )

que es lineal por ser composicion de funciones lineales.Aquı,

1( ) :7 1( )

es proyectar la coordenada 1 ( )-esima y

-

Q( )6=

( )·

es la multiplicacion porQ( )6=

( )

Notacion 11 Denotemos por el conjunto de las permutaciones pares en , ydenotemos el conjunto de las permutaciones impares en


Observacion 69 Si 2 el numero de permutaciones pares coincide con el numerode permutaciones impares.

Demostracion. Tomemos la transposicion = (1 2). Entonces

(1 2)À³7 (1 2)

es una biyeccion cuya funcion inversa es ella misma. Por lo tanto | | = | |

Observacion 70 Si entoncesY=1

( ) =Y=1

1( )

Demostracion. Basta notar que

{( ( )) | {1 }} =©¡

1 ( )¢| {1 }

ªpara lo que basta notar que = ( ) 1 ( ) = .

Lema 9 det: × ( ) es alternante:

Demostracion. Supongamos que la matriz tiene dos columnas consecutivasiguales, digamos que = +1, entonces

det ( ) =X

( )

ÃY=1

( )

!Entoncesdet ( ) =

=X

( )

ÃY=1

( )

!+

ÃX( )

ÃY=1

( )

!!

Ahora, usando el hecho de que( +1)À³ es una biyeccion, podemos escribir,

tomando = ( + 1)det ( ) =

=X

( )

ÃY=1

( )

!+

ÃX( )

ÃY=1

( )

!!=


=X

( )

ÃY=1

( )

! ÃX( )

ÃY=1

( )

!!Consideremos ahora un producto ÃY

=1

( )

!Y=1

( ) =Y=1

( ) 1( ) =Y=1

( 1 1)( ) =Y=1

( 1 )( ) =

1

=Y{ +1}

( 1 )( ) · ( 1 )( ) · ( 1 )( +1) +1 =

=Y{ +1}

( 1 )( ) · ( 1 )( ) +1 · ( 1 )( +1) =

2

=Y{ +1}

1( ) · 1( +1) +1 · 1( ) =

3

=Y{1 }

1( ) =Y{1 }

( )

A la vista de este ultimo calculo, vemos que el producto

( )

ÃY=1

( )

!se cancela con el producto

( )

ÃY=1

( )

!1Es claro que se tiene que ( ) 1 = 1 1

Por otra parte si es una transposicion, entonces 1 = .2Aquı usamos que las columnas esima y ( + 1) esima de coinciden.3Aquı evaluamos

= ( + 1)

en cada elemento.


en X( )

ÃY=1

( )

!por lo tanto X

( )

ÃY=1

( )

!= 0

Teorema 84 det : × ( ) es un determinante.

Demostracion. Resta ver que det ( ) = 1En efecto, consideremos

X( )

ÃY=1

( ) ( )

!Q=1

( ) ( ) es distinto de 0 si y solo si cada factor es distinto de 0 Esto sucede si y

solo si ( ) = Por lo que el unico sumando distinto de 0 en

X( )

ÃY=1

( ) ( )

!

corresponde a = (1) entonces

X( )

ÃY=1

( ) ( )

!= ((1))

ÃY=1

( ) (1)( )

!= 1

Denotemos por I la operacion elemental que intercambia las columnas yde una matriz.

Denotemos por M la operacion elemental que multiplica por ( 6= 0) lacolumna

Denotemos por S la operacion elemental que suma veces la columna ala columna


Lema 10 Podemos observar el efecto en det ( ), de efectuar una operacion elemen-tal de columna.

1. det¡I ( )

¢= det ( )

2. det¡M ( )

¢= · det ( )

3. det¡S ( )

¢= det ( )

Demostracion. 1. Veamos que sucede si intercambiamos dos columnas consecu-tivas en una matriz :Notemos que

0 = det¡

1¯

2¯

k¯ + +1 +1 + k

¯n¯

¢pues en

¡1¯

2¯

k¯ + +1 +1 + k

¯n¯

¢coinciden las columnas y +1

Por otra parte,

(det)k¯¡

k¯ + +1

¢= det

¡1¯

2¯

k¯ + +1 +1 n

¯

¢Para fijar ideas, denotemos

=¡

1¯

2¯

k¯ + +1 +1 n

¯

¢Ası que

(det)+1 ¡ k

¯ + +1¢= det

¡1¯

2¯

k¯ + +1 +1 + k

¯n¯

¢=

= 0

Entonces

0 = (det)+1 ¡ k

¯ + +1¢= (det)

+1 ¡ k¯

¢+ (det)

+1 ¡ +1¢=

= det¡

1¯

2¯

k¯ + +1 n

¯

¢+

+det¡

1¯

2¯

k¯ + +1 +1 n

¯

¢=

= (det)k¯¡

k¯ + +1

¢+ (det)k¯

¡k¯ + +1

¢=

4

= (det)k¯¡

k¯

¢+ (det)k¯

¡+1¢+ (det)k¯

¡k¯

¢+ (det)k¯

¡+1¢=

= det ( ) + det¡I +1 ( )

¢+ det ( ) + det

¡1¯

+1 +1 n¯

¢=

det¡I +1 ( )

¢+ det ( )

det¡I +1 ( )

¢= det ( )

4donde = 1¯

2¯

k¯

k¯| {z }

+1 columnas

n¯


Segunda demostracion.

Llamemos = I +1 ( ), entonces

i¯ = i

¯ si { + 1}k¯ = +1

+1 =Entonces

det ( ) =X

( )

ÃY=1

( )

!=

=X

( )Y

6={ +1}

( ) ( ) +1 ( +1) =

=X

( )Y

6={ +1}

1( ) · 1( ) · 1( +1) +1 =

=X

( )Y

6={ +1}

1( ) · 1( ) +1 · 1( +1) =

=X ¡

1¢·

·Y

6={ +1}

( 1 ( +1))( ) · 1 ( +1)( +1) +1 · 1 ( +1)( ) =

=X

(( + 1))¡

1 ( + 1)¢·

·Y

6={ +1}

( 1 ( +1))( ) · 1 ( +1)( +1) +1 · 1 ( +1)( ) =

=X ¡

1 ( + 1)¢·

·Y

6={ +1}

( 1 ( +1))( ) · 1 ( +1)( +1) +1 · 1 ( +1)( ) =

= det ( )


Para concluir esto ultimo notamos que

7 1 ( + 1)

-

es una biyeccion, pues es la composicion de las biyecciones

7 1

y

7 ( + 1)

-( +1)

En general,det

¡I ( )

¢= det ( ) :

Sin perder generalidad supongamos 1, ahora,

( ) = ( 1) ( 1) ( 1)

y tambien( 1) = ( 2) ( 1 2) ( 2)

por lo que( ) =

= ( 2) ( 1 2) ( 2)

( 1) ( 2) ( 1 2) ( 2) (6.1)

Si = 2 entonces

( ) = ( 1 2) ( 1) ( 1 2)

es una composicion de transposiciones consecutivas,si 2 entonces tenemos que

( 2) = ( 3) ( 2 3) ( 3)

que podemos sustituir en la ecuacion 6.1.Continuando de esta manera vemos que

( )


se puede expresar como composicion de (un numero impar) de transposiciones queintercambian dos numeros consecutivos.2. det

¡M ( )

¢= (det)

¡· k

¯

¢= · (det)

¡k¯

¢= · det ( ) .

3.

det¡S ( )

¢= det

¡1¯

1 l¯+ k

¯+1 n

¯

¢=

= (det)l¯¡

l¯+ k

¯

¢=

= (det)l¯¡

l¯

¢+ (det)l¯

¡· k

¯

¢=

= (det)l¯¡

l¯

¢+ · (det)l¯

¡k¯

¢=

= (det)l¯ ( )

Pues

(det)l¯¡

k¯

¢= det

¡1¯

1 k¯

+1 n¯

¢= 0

ya que la matriz en la que se evalua el determinante tiene dos columnas iguales: laesima y la esima.

Ejemplo 96 Consideremos la transposicion (2 5) 7

Entonces

(2 5) = (2 4) (4 5) (2 4)

(2 4) = (2 3) (3 4) (2 3)

Por lo que

(2 5) = (2 3) (3 4) (2 3) (4 5) (2 3) (3 4) (2 3)

es una composicion de 7 transposiciones que intercambian numeros consecutivos.

Podemos evaluar un determinante en una matriz elemental.

Corolario 16 1. det¡I ( )

¢= det ( ) = 1

2. det¡M ( )

¢= · det ( ) =

3. det¡S ( )

¢= det ( ) = 1

Lema 11 Sea × ( ) y : × ( ) un determinante. Si rango( ), entonces ( ) = 0


Demostracion. Si rango( ) , entonces las columnas de forman un con-junto linealmente dependiente. Por lo que en la lista de las columnas de :

1¯

2¯

n¯

hay una columna que es combinacion lineal de las anteriores (Teorema 12).Si la primera columna es combinacion lineal de las anteriores, entonces 1

¯ = 0entonces

det ( ) = (det)1¯³0´= 0

ya que las funciones lineales mandan 0 a 0 y (det)1¯ : es lineal.Si la columna esima es combinacion de las anteriores (con 1) entonces

j¯ =

Xi¯

De manera que

S 1 1 S 2 2 S 1 1 ( )

tiene 0 en su esima columna, ası que

0 = det¡S 1 1 S 2 2 S 1 1 ( )

¢= det ( )

Teorema 85 Si ; × ( ) es un determinante, × ( ) y es unamatriz elemental, entonces ( ) = ( ) ( )

Demostracion. Simplemente recordemos que si = R ( ) donde R es unaoperacion elemental de columna, entonces

= R ( ) = R ( )

Ahora, usese el Lema 10, que habla del efecto de una operacion elemental en eldeterminante de una matriz.

Teorema 86 Si : × ( ) es un determinante y × ( ) en-tonces

( ) = ( ) ( )


Demostracion. Hemos visto que un determinante calculado en una matriz derango menor que vale 0Por otra parte recordemos que

rango ( ) 6 mın {rango ( ) rango ( )}

por lo que si una de las dos matrices, o tiene rango menor que , entoncestambien tiene rango menor que y

rango ( ) = 0 = rango ( ) rango ( )

Supongamos que tanto como son de rango Entonces se puede escribir comoproducto de matrices elementales. (Corolario 9)

= 1 2

Aplicando el Teorema anterior varias veces obtenemos que

( ) = ( 1) ( 2) ( )

Aplicando el mismo Teorema, tenemos que

( ) = ( 1 2 ) = ( ) ( 1) ( 2) ( ) = ( ) ( )

Teorema 87 El determinante es unico.

Demostracion. Supongamos que 1, 2 : × ( ) son dos determinantes.Hemos visto que tienen que coincidir en las matrices de rango menor que dondevalen 0 y en las matrices elementales.Supongamos ahora que es una matriz de rango , entonces

= 1 2

y

1 ( ) = 1 ( 1) · 1 ( 2) · · 1 ( ) =

= 2 ( 1) · 2 ( 2) · · 2 ( ) = 2 ( )

Toda vez que hemos visto que el determinante de orden es unico, podemoshablar del determinante y no de “un determinante”.


Teorema 88 det ( ) = det ( ) × ( )

Demostracion.

det¡ ¢

=XÃ

( )Y

( )

!=XÃ

( )Y

( )

!=

=XÃ

( )Y

( )

!=XÃ

( )Y

1( )

!=

=X1

Ã( 1)

Y1( )

!

Pues ( 1) = ( ) (fıjese en que 1 = (1) ) y ademas la funcion( ) 1

À³es una biyeccion (es su propio inverso).

det¡ ¢

= det ( )

Corolario 17 det : × ( ) es una funcion lineal y alternante respecto alos renglones.

En particular podemos describir el efecto de una operacion elemental de renglonen el determinante de una matriz.

SiR es una operacion elemental de renglon, denotemos R la operacion de columnacorrespondiente, por ejemplo (I ) = I

Corolario 18 Si R es una operacion elemental de renglon, entonces

1. det (R ( )) = det ( ) si R = I

2. det (R ( )) = det ( ) si R =M

3. det (R ( )) = det ( ) si R = S


Demostracion. Simplemente notemos que

R ( ) =¡¡R ( )

¢¢entonces

det (R ( )) = det³¡R¡ ¢¢ ´

=

= det¡R¡ ¢¢

= det¡¡ ¢

· R ( )¢=

= det¡ ¢

det (R ( )) =

= det ( ) det (R ( )) =

= det ( · R ( )) =

= det (R ( ))

Ası quedet (I ( )) = det (I ´ ) = det

¡I ( )

¢= det ( )

det (M ( )) = det (M ( )) = · det ( )

ydet (S ( )) = det (S ( )) = det

¡S ( ) · ( )

¢= det ( )

Ejemplo 97 Veamos un ejemplo de que R ( ) =¡¡R ( )

¢¢:

Digamos que

=

58 90 53 171 94 83 7286 23 84 9919 50 88 85

y queremos aplicar la operacion elemental de renglon S1 2 4 Es decir que queremossumar el segundo renglon al cuarto. Es claro que se obtiene

58 90 53 171 94 83 7286 23 84 9918 44 171 13

Esto mismo lo podemos hacer de la siguiente manera

58 90 53 171 94 83 7286 23 84 9919 50 88 85

( )7

58 1 86 1990 94 23 5053 83 84 8817 72 99 85

S1 2 47

6.2. EL DESARROLLO POR RENGLONES DEL DETERMINANTE 213

58 1 86 1890 94 23 4453 83 84 17117 72 99 13

( )7

58 90 53 171 94 83 7286 23 84 9918 44 171 13

6.2. El desarrollo por renglones del

determinante

Notacion 12 Si × ( ) {1 } denotaremos d la matriz en

( 1)×( 1) ( ) que se obtiene al suprimir el renglon esimo y la columna esimade la matriz

Ejemplo 98 Si =

53 58 90 53 1785 1 94 83 7249 86 23 84 9978 19 50 88 85

entonces

d2 4 =

53 58 90 1749 86 23 9978 19 50 85

Observacion 71 Sea : À³ una biyeccion tal que ( ) = Entonces

( ) =¡

|{1 1}

¢Demostracion. Si es la identidad en {1 }entonces |{1 1} es la identi-

dad en {1 1} y ambas tienen signo 1

Si 6= (1) entonces la factorizacion de en ciclos ajenos no triviales coincide conla factorizacion de |{1 1} debido a que como ( ) = entonces no esta enningun ciclo de la factorizacion de .

Entonces tenemos que:

Lema 12P( )=

( )Q=1

( ) = · det³d´


Demostracion.X( )=

( )Y=1

( ) =X( )=

( )1Y

=1

( ) =

= ·X

|{1 1}

¡|{1 1}

¢ 1Y=1

|{1 1}( ) =

·X

1

( )1Y

=1

( ) = · det³d´

Pues{ | ( ) = } 1

7 |{1 1}

es una biyeccion, por lo que “cuando corre sobre { | ( ) = } |{1 1}

corre sobre 1”.

Observacion 72 Consideremos × ( ) {1 } Consideremos ahora

el coeficiente de d1 1 1 2 1 1 · 1 +1 1

2 1 2 2 2 1 · 2 +1 2

3 1 3 2 3 1 · 3 +1 3...

.... . .

......

.... . .

...· · · ·

(6.2)

entonces ³d´=

½si

+1si

Por ejemplo, observe el coeficiente 1 +1 en la matriz 6.2, y note que esta en la

esima columna de dAsı que si tomamos la funcion

{1 } \ { }ˆ

{1 1}

7

½si1 si


entonces para tal que ( ) = , se tiene que

( ) =³d´

ˆ |{1 1}( )

Lema 13 Consideremos { | ( ) = }, entoncesX( )=

( )Y=1

( ) =³

( 1) det³d´´

Demostracion.X( )=

( )Y=1

( ) =X( )=

( )

Ã Y1

³d´ˆ |{1 1}( )

!· =

= ·X( )=

( ) ( )

Ã Y1

³d´ˆ |{1 1}( )

!

Ahora observemos el siguiente diagrama conmutativo:

{1 } À³ {1 } À³ {1 }

{1 1} À|{1 1}

{1 } \ { }ˆ

À³ {1 1}

Donde las flechas horizontales son biyecciones. Desde luego, ( ) = . Ahora, como( ) ( ) = ( ) = entonces tenemos que( ) =

¡ˆ |{1 1}

¢Por otra parte, si expresamos en notacion cıclica

tenemos que= ( 1 2 )

ası que si signo es ( 1) ( 1)+1 = ( 1)Notemos ademas que

{ | ( ) = } À³ 1

7 ˆ |{1 1}

es una biyeccion. (Si uno observa que dominio y codominio tienen ( 1)! elementosbasta observar que la funcion es inyectiva:

ˆ |{1 1} = ˆ |{1 1} |{1 1} = |{1 1}


pero ademas ( ) = = ( )Por lo tanto X

( )=

( )Y=1

( ) =

= ·

·X

ˆ |{1 1}

( 1)¡ˆ |{1 1}

¢Ã Y1

³d´ˆ |{1 1}( )

!=

= ( 1) · det³d´

Teorema 89 det ( ) =P³

( 1) det³d´´

Demostracion.

det ( ) =

=X X

( )=

( )Y=1

( ) =

=X³

( 1) det³d´´

La ecuacion anterior se llama el desarrollo del determinante respecto al -esimorenglon.El determinante se puede desarrollar respecto de cualquier renglon:

Corolario 19 det ( ) =P³

( 1) det³d ´´

(desarrollo del determi-

nante respecto al esimo renglon).

Demostracion. Podemos suponer que . Por medio de intercambios derenglon llevemos el renglon esimo al ultimo renglon. Es decir, aplicamos sucesi-vamente las operaciones elementales de renglon

I +1 I +1 +2 I 1


¿Cuantos intercambios de renglon hicimos? Escribiendo = + ( ) vemosque hicimos intercambios.

Sea =

1¯2¯...

1

+1...

n¯m¯

la matriz que se obtuvo al hacer los intercambios. Es claro

que

det ( ) = ( 1) det ( ) = ( 1) det ( )

hagamos ahora el desarrollo del determinante de respecto el ultimo renglon.Entonces

det ( ) =X³

( 1) det³d´´

=

=X³

( 1) det³[

´´Pues d =[Entonces

det ( ) = ( 1) ·X³

( 1) det³[

´´=

=X³

( 1) det³[

´´=X³

( 1) + det³[

´´Pues ( 1) = ( 1) + ya que ( 1) = ( 1) pues ( 1) ·( 1) = ( 1)0 = 1

El resultado anterior, junto con el hecho de que det ( ) = det ( ) implica que eldeterminante tambien se puede desarrollar por columnas:

det ( ) =Xµ

( ) ( 1) + det

µ\( )

¶¶=

=X³

( ) ( 1) + det³\( )

´´


pues \( ) =³\( )

´det ( ) =

X³( ) ( 1) + det

³\( )

´´se llama el desarrollo del determinante respecto a la esima columna.

Nota 3 Es claro que det ( ) = 0 si tiene dos renglones iguales.

6.3. Invertibilidad y el determinante

Definicion 89 1. Sea × ( ) definimos el cofactor de por

= ( 1) + det³d´

2. Definimos la matriz de cofactores de

× ( )

por la misma relacion anterior.

Ejemplo 99 Si

=5 5 75 7 07 6 4

Entonces

2 3 = ( 1)2+3 det

µ5 57 6

¶= 5

1 2 = ( 1)1+2 det

µ5 07 4

¶= 20

La matriz de cofactores es

28 20 7962 69 549 35 60

6.3. INVERTIBILIDAD Y EL DETERMINANTE 219

Ası sucede que el desarrollo respecto del esimo renglon del determinante dees

det ( ) =X

( 1) + det³d´

=X

=X

=¡ ¢

Como esto sucede para cada , entonces los elementos de la diagonal en el producto

es det ( ).Veamos lo que es un elemento fuera de la diagonal del producto , calculemos¡ ¢

, 6=¡ ¢=X

=X

=X

( 1) + det³d´

que es el desarrollo respecto al esimo renglon de la matriz

renglones

1¯2¯...

i¯...

i¯...

n¯

y es 0 siendo el determinante de una matriz con dos renglones iguales.Resumimos lo anterior en la siguiente formula:

= det ( ) · =

det ( ) 0 00 det ( ) 0

0 0. . . 0

0 0 det ( )

(6.3)

Analogamente,¡ ¢=X X

=X

( 1) + det³d´

= det ( )


Pues es el desarrollo del determinante de respecto a la esima columna deTambien, para 6= ,¡ ¢

=X

=X

=X

( 1) + det³d´

que es el desarrollo respecto a la esima columna del determinante de la matrizÃ1¯

2¯

j¯| {z }

columnas

1 j¯

n¯

!

Por tener dos columnas iguales el determinante de la matriz anterior es 0Entonces

= det ( ) · =

det ( ) 0 00 det ( ) 0

0 0. . . 0

0 0 det ( )

(6.4)

Corolario 20 × ( ) es invertible si y solo si det ( ) 6= 0

Demostracion. ) Tenemos que

µµ1

det ( )

¶ ¶=

1 0 00 1 0....... . .

...0 0 1

y tambien µµ1

det ( )

¶ ¶=

1 0 00 1 0....... . .

...0 0 1

Ası que³

1det( )

´= 1

) Si es invertible, entonces

1 = det ( ) = det¡

1¢= det ( ) det

¡1¢

por lo que det ( ) 6= 0 y ademas det ( 1) = 1det( )

6.3. INVERTIBILIDAD Y EL DETERMINANTE 221

Notacion 13 La transpuesta de la matriz de cofactores se suele llamar la “adjuntaclasica” o “adjugada”.

Ejemplo 100 Calcularemos el determinante de =

1 2 1 13 0 2 12 1 5 41 6 3 3

det ( ) = det (S2 3 1 ( )) = det

5 0 9 73 0 2 12 1 5 41 6 3 3

=

= detS6 3 4

5 0 9 73 0 2 12 1 5 411 0 33 27

= ( 1) ( 1)3+2 det5 9 73 2 111 33 27

=

= det S 2 3 2S3 3 1

5 9 73 2 111 33 27

= det26 5 70 0 192 21 27

=

= ( 1)2+3 det

µ26 592 21

¶= 2det

µ13 546 21

¶=

= 2 · (13 · ( 21) + 5 · 46) = 86

Ejercicio 155 Sea × ( ) × ( ) ( )×( ) ( ) 6

de tal manera que

=

µ0

¶Demostrar que det ( ) = det ( ) det ( ) Sugerencia: induccion sobre y de-sarrollo respecto a la primera columna.

Ejemplo 101 det1 2 73 4 90 0 3

= det

µ1 23 4

¶· 3 = (4 6) · 3 = 6

Ejemplo 102 Sean 0 elementos de un campo infinito Se define

( ) +1

7 ( ( 0) ( ))


Tomemos y las bases canonicas de ( ) y de +1 respectivamente. Entonces

[ ] =

1 020 0

1 121 1

1 222 2

......

.... . .

...1 2

Veremos que

det³[ ]

´=Y( )

Por induccion sobreBase. Si = 0 entonces

[ ] =¡1¢

ası que Y60

( ) =Y( ) = 1 = det

¡1¢= det

³[ ]

´Paso inductivo. Supongamos que 0 y la afirmacion cierta para 1Recordemos que

[ ] = [ ] [ ] ´[ ] ´

para cualquier base ´de ( ).Sea

´=©1 1

ªdonde

=

1Q=0

( )

1Q=0

( )

Entonces

[ ] ´=

1 0 0 1

0 1... 2

....... . .

......

0 0 1 1

0 0 0

con =1Y

=0

( )

6.4. LA REGLA DE CRAMER 223

Para ver esto ultimo, simplemente note que el coeficiente principal de es 11Q

=0( )

Ası que si expresamos como combinacion lineal de©1 1

ªel ultimo coeficiente es

1Q=0

( ).

Por otra parte,

[ ] ´=

1 01

0 01 1

11 0

......

. . ....

...1 1

11 0

1 1 1

Asıdet

³[ ]

´= det

³[ ] ´ det

³[ ] ´ =

= det

1 01

0 01 1

11 0

......

. . ....

...1 1

11 0

1 1 1

1 0 0 1

0 1... 2

....... . .

......

0 0 1 1

0 0 01Q

=0

( )

=

= det

1 01

0

1 11

1...

.... . .

...1 1

11

1Y=0

( ) =

=Y6 1

( )1Y

=0

( ) =Y( )

6.4. La regla de Cramer

Sea × ( ) una matriz invertible, consideremos el sistema de ecuaciones

=


con El sistema anterior se puede escribir en las formas equivalentes:

11 +

22 + + =

O bien1 1 1+ 1 2 2+ + 1 = 0

2 1 1+ 2 2 2+ + 2 = 0...

.... . .

......

1 1+ 2 2+ + = 0

Desde luego, el sistema tiene la solucion unica

1

Digamos que

1

2...

= 1 es la solucion y calculemos

(det)³ ´

= det³

1 2 1 +1´=

= det¡

1 2 1 11 +

22 + + +1

¢=

=X=1

det¡

1 2 1 2 +1¢=

=X=1

det¡

1 2 1 +1¢

Todos los sumando que corresponden a 6= son 0 pues en¡1 2 1 +1

¢las columnas esima y esima coinciden.Entonces

(det)³ ´

= det¡

1 2 1 +1¢= det ( )

=det

³1 2 1 +1

´det ( )

(Regla de Cramer)

6.4. LA REGLA DE CRAMER 225

Ejemplo 103 Consideremos el sistemaµ5 13 2

¶µ1

2

¶=

µ82

¶Es decir, µ

5 1 + 2

3 1 + 2 2

= 8= 2

¶

det

µ5 13 2

¶= 10 3 = 7

Ahora

Ejemplo 104 1 =

det8 12 27

= 2 2 =

det5 83 27

2.

Ejemplo 1053 1 31 1 23 0 1

1

2

3

=

det3 1 31 1 23 0 1

= det6 1 35 1 20 0 1

= det

µ6 15 1

¶= 6 + 5 = 1

Entonces

1 =

det1 31 20 1

1= + +

2 =

det3 31 23 1

1= 6 + 3 5

3 =

det3 11 13 0

1= 2 + 3 3


Ejercicio 156 Muestre que son equivalentes para una funcion: × ( ) :

1. es una funcion alternante tal que ( ) = 1 (Es decir es un determinante).

2. ( ) =P

( )Q

( )

3. ( ) =P{1 }

( 1) + det³d´

a) es multiplicativa, es decir, ( ) = ( ) ( )

b) es una funcion aditiva respecto de la primera columna de cualquier ma-triz, e. d. 1 ( + ) = 1 ( ) + 1 ( )

c) ( ) = 1 para toda matriz elemental del tercer tipo.

a) es multiplicativa,

b) ( ) =Q

, para cualquier matriz triangular (inferior o superior).

6.5. Similitud

Recordemos que dada una matriz × ( ) la funcion

·

es lineal y que [ · ] = En este caso decimos que la matriz representa a lafuncion lineal · . En general:

Definicion 90 Sea una funcion lineal con dim ( ) = decimos que

× ( ) representa a si = [ ] , para alguna base de

Definicion 91 Decimos que las matrices × ( ) son similares si

× ( ) invertible tal que= 1

Escribiremos w en caso de que y sean similares.

Ejercicio 157 Demostrar que la relacion de similitud es una relacion de equivalen-cia.

6.5. SIMILITUD 227

Lema 14 1. Si y representan a : lineal dim ( ) finita, entoncesy son similares.

2. Si representa a : lineal dim ( ) finita, y es similar a , entoncesrepresenta a

3. Si y son similares, entonces y representan al mismo operador

Demostracion. 1. = [ ] = [ ] para algunas base y de . Entonces

[ ] = [ ] [ ] [ ]

como [ ] =³[ ]

´ 1

, entonces y son similares.

2. Tenemos que = [ ] y = 1 para alguna base de y alguna matrizinvertible × ( ) Entonces

= [ ] 1

Basta hacer1 = [ ]

Para esto notemos que ( 1) = [ ] donde es el esimo elemento de la baseBasta pues, que definamos por medio de

= 1¡

1¢

para tener que = [ ] 5

3. Si = 1 notemos que = [ · ] , donde·

Utilicemos ahorael inciso anterior.

Corolario 21 Dos matrices × ( ) son similares si y solo si representanal mismo operador.

Ejercicio 158 Demuestre que si × ( ) es una matriz triangular entonces

| | =Y=1

5Desde luego, : es la funcion que envıa a su vector de coordenadas respecto a


Ejercicio 159 Calcular

¯¯¯¯

0 0 0 1 00 0 1 0 0......

.........

0 1 0 0 01 0 0 0 00 0 0 0 1

¯¯¯¯

Ejercicio 160 Sea × (C) demuestre que¯¯¯= | | donde

¡¯¢

=

Ejercicio 161 Demuestra que | | = | | si × ( )

Ejercicio 162 Sea × ( ) un campo. Defina por: =

\ {0} Calcule | | (Si =

µ1 22 4

¶2×2 (R) y = 2 entonces

=

µ20 · 1 2 1 · 121 · 3 20 · 4

¶).

Ejercicio 163 Demuestre que si × (C) es tal que = entonces | |R

Ejercicio 164 Sea × (R) y sea =1

...

1

(note que se invirtio el

orden de los renglones de ). Calcule | |

Ejercicio 165 Note que trasponer una matriz es como reflejar los coeficientes sobrela diagonal principal”, y que esto no cambia el determinante.

Suponga que × (|R|) se obtiene reflejando”los coeficientes de sobreuna lınea vertical que pas por el centro de la matriz. Calcule | | en terminos de | |

(Por ejemplo

µ1 32 4

¶7

µ3 14 2

¶).

Ejercicio 166 Suponga que se obtiene de reflejando sus elementos sobre unalınea horizontal. Muestre que | | = | |.

Ejercicio 167 Sean 1 2 3 1 2 3 C Decimos que los triangulos 4 1 2 3

y 4 1 2 3 son semejantes (4 1 2 3 4 1 2 3) si los angulos internos de los dostriangulos coinciden (en el mismo orden), es decir que se pueden numerar en elsentido de las manecillas del reloj los angulos, como

6.5. SIMILITUD 229

Figura 6.1:

1. a) Demuestre que 4 1 2 3 4 1 2 3

¯¯ 1 1 1

2 2 1

3 3 1

¯¯ = 0

2. Demuestre que 1 2 3 son colineales

¯¯ 1 1 1

2 2 1

3 3 1

¯¯ = 0

3. Demuestre que 4 1 2 3 es equilatero 4 1 2 3 = 4 3 1 2¯¯ 1 3 1

2 1 1

3 2 1

¯¯

Ejercicio 168 Encuentre una condicion, usando determinantes, para que 0 1 2 3

|C| esten en un mismo cırculo.

Ejercicio 169 Repita el ejercicio anterior, cambiando 0 por 4.

Ejercicio 170 Suponga que la matriz se obtiene de rotando”90 en el sentidodel reloj y sobre el centro de la matriz. Calcule el determinante de en terminos

del de (Por ejemplo1 2 34 5 67 8 9

77 4 18 5 29 6 3

).


Ejercicio 171 20604 53227 25755 20927 78421 son multiplos de 17 Demuestre que¯¯¯2 0 6 0 45 3 2 2 72 5 7 5 52 0 9 2 77 8 4 2 1

¯¯¯ 0 mod 17

Ejercicio 172 Calcular:

¯¯ 1 1 1 11 2 1 21 1 3 11 2 1 4

¯¯¯¯¯¯

1

2

1

3

1

4

1

51

3

1

4

1

5

1

61

4

1

5

1

6

1

71

5

1

6

1

7

1

8

¯¯¯¯

Capıtulo 7

Polinomios con coeficientes en R

7.1. Polinomios y el algoritmo de la division

Definicion 92 Sea un anillo, y N el conjunto de los naturales,

(N) =© N | ( ) 6= 0 en un subconjunto finito de N

ªDefinicion 93 Si es un elemento de (N), denotaremos

sop ( ) =: { N | ( ) 6= 0}

Proposicion 9¡

(N) +| (N)× (N) 0¢es un subgrupo de

¡N + 0

¢Demostracion. Veremos que

¡(N) +| (N)× (N) 0

¢es un subgrupo del grupo¡

N + 0¢:

1. Cerradura). Tenemos que observar que la suma de dos funciones con soportefinito tiene soporte finito. Pero debe ser claro que sop

¡+¢

sop( ) sop( ) pues( ( ) + ( ) 6= 0 ( ( ) 6= 0 ( ) 6= 0)).2. Neutro: la funcion constante 0 tiene soporte vacıo (que es finito).3. sop( ) =sop( )Vamos a darle a (N)estructura de anillo, definiendo la multiplicacion de la si-

guiente manera:

Definicion 94( ) ( ) =

X+ =

( ) ( )

Proposicion 10 es una operacion asociativa, con neutro, en (N) :

231

232 CAPITULO 7. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN R

Demostracion. 1.

sop ( ) 0 6= ( ) ( ) =X+ =

( ) ( ) sop ( ) sop ( )

para alguna y alguna tales que + = . Como sop( ) y sop( ) son finitos,tambien es finito el conjunto de productos ( ) ( ). que sean distintos de 0 Por lotanto sop( ) es finito.2. es asociativa:

(( ) ) ( ) =X+ =

( ) ( ) ( )

=X+ =

[( ) ( )] ( ) =X+ =

"X+ =

( ) ( )

#( )

=X+ + =

( ( ) ( )) ( )

Por otra parte si calculamos ( ( )) ( ) obtendremosX+ + =

( ) ( ( ) ( ))

3. El neutro es la funcion 1 : N tal que 1 (0) = 1 1 ( ) = 0 para todo 0En efecto ¡

1¢( ) =

X+ =

1 ( ) ( ) = 1 (0) ( ) = ( ) =¡

1¢( )

Proposicion 11 se distribuye sobre la suma de (N)

Demostracion.

( ( + )) ( ) =X+ =

( ) ( + ) ( )

=X+ =

( ) ( ( ) + ( )) =

" X+ =

( ) ( ) + ( ) ( )

#=X+ =

( ) ( ) +X+ =

( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) =

= [ + ] ( )

Por lo tanto ( ( + )) = +

7.1. POLINOMIOS Y EL ALGORITMO DE LA DIVISION 233

Proposicion 12¡

(N) + 0 1¢es un anillo, el anillo de polinomios con coefi-

cientes en

1. =: (0 1 0 0 0 )

2. Como consecuencia de la definicion anterior, 2 =: (0 0 1 0 0 ) ..., =:(0 0 1| {z }+1 lugares

0 0 ) 0 = 1 =: (1 0 0 )

3. Si : (0) (1) ( ) 0 0 entonces = (0) 1+ (1) + + ( )

Definicion 95 grad( ) =: max { | ( ) 6= 0}. Notemos que esta definicion no in-cluye al polinomio 0

Lema 15 Si es un campo, y (N)\©0ªentonces 6= 0

Demostracion. Basta ver que grad( ) =grad( )+ grad( ) :Si grad( ) = y grad( ) = , entonces ( ) 6= 0 y ( ) = 0 Ademas

( ) 6= 0 y ( ) = 0 Entonces

( ) ( + ) =X

+ = +

( ) ( ) = ( ) ( ) 6= 0, ya que o

Ademas si + , entonces ( ) ( ) =P+ =

( ) ( ) = 0, ya que

o

Teorema 90 La funcion : (N) definida por ( ) = , (la funcion ( 0 0 ))es una funcion que respeta la suma, el producto el uno, y ademas es inyectiva. Esdecir:

1. ( + ) = ( ) + ( ) para cualesquiera

2. ( ) = ( ) ( ) para cualesquiera

3. (1) = 1

4. ( ) = ( ) =


Demostracion. 1. Sean entonces

( + ) = [+ = ( + 0 0 ) = ( 0 0 ) + ( 0 0 ) =

= ˆ+ ˆ = ( ) + ( )

2. Sean entonces

( ) = d = ( · 0 0 ) = ( 0 0 ) ( 0 0 ) =

= ˆ ˆ = ( ) ( )

3. (1) = 1 = 1 (N)

4. ( ) = ( ) ( 0 0 ) = ( 0 0 ) =

Proposicion 13 Si es un campo, entonces¡

(N) + 0 1¢es un dominio entero.

Demostracion. Basta ver que¡

(N)\©0ª

1¢es un monoide con cancelacion.

Supongamos que ( ) ( ) = ( ) ( ) (N)\©0ªEntonces

( ) ( ( ) ( )) = 0 Como 6= 0 tenemos que ( ) ( ) = 0. Por el Lemaanterior.

Proposicion 14 Si es un campo, entonces en¡

(N) + 0 1¢hay algoritmo de

la division:Si ( ) ( ) (N) y ( ) 6= 0, entonces

! ( ) ! ( ) (N)

tales que0 = ( ) o grad ( ( )) grad ( ) , y ( ) = +

Como la proposicion anterior es un poco larga, es mejor escribir el diagrama siguien-te:

( )( ) ( )

( ) 0 = ( ) o grad( ( )) grad( ( ))

Demostracion. Podemos suponer que ( ) 6= 0 pues en caso contrario, ( ) =0 = ( ) sirven.Ahora, podemos hacerlo por induccion sobre grad( ( )) :Base.


Si grad( ) = 0 =grad( ) entonces0 0 = ( )

Si grad( ) = 0 grad( ) entonces

0

= ( ) grad( ) grad( )

Paso inductivo:Si grad( ) grad( ) entonces

0

0 = ( )

Si grad( ) grad( ) escribamos

= 0 + 1 + 22 + +

y= 0 + 1 + 2

2 + +

Multipliquemos por . Entonces = 0 o grad( ) grad( )En el primer caso tenemos

0 0 = ( )

y en el segundo tenemos

( ) 0 = ( ) o grad( ) grad( )

por hipotesis de induccion.En este ultimo caso, = + es decir que

+

( ) 0 = ( ) o grad( ) grad( )

Demostrar la unicidad se deja como ejercicio.


Corolario 22 Sea un campo y [ ]. Entonces ( ) = ( ) ( ) + ( )

Demostracion.

( )

( ) 0 = ( ) o grad( ) grad( )

Entonces ( ) es una constante, y ( ) = ( ) ( ) + . Evaluando en , obte-nemos la conclusion deseada.

Definicion 96 Sean ( ) ( ) [ ] diremos que divide a ( | ) si( ) [ ] tal que = .

Corolario 23 Sea un campo y [ ]. Entonces ( ) = 0 ( ) | ( )

Demostracion. Por el Corolario anterior, tenemos que

= ( ) ( ) + ( )

Recordando que los elementos de pueden identificarse con elementos de (N)

definiremos un producto de × (N) en (N), de manera que coincida con el productoen (N)

Definicion 97· : × (N) (N)

( ) 7 b ·Ejemplo 106 Si = ( 0 1 0 ) y , entonces

=: b =¡

0 1 0¢

De las definiciones y proposiciones antes demostradas, concluımos que para(N) con = ( 0 1 0 ) se tiene que = 01 + 1 + +Ası que

(N) =: [ ] = { 0 + 1 + + | N }

(El anillo de los polinomios con coeficientes en R).


Observacion 73 Dada R existe una unica funcion ( ) : R [ ] R , a laque llamaremos “evaluacion en ”, tal que:

1. ( ) ( ) = ,

2. ( ) ( ) =

3. ( ) respeta la suma, el producto y el uno.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

Proposicion 15 R R [ ] :

1. 1 · =

2. ( ) · = · ( · )

Ejercicio 173 Si es un anillo conmutativo que esta incluıdo en un anillo y, entonces ! : [ ] tal que el siguiente diagrama conmuta

[ ]

= @@@R

@@@R¡

¡¡µ

Es claro que ( ) = [ ] tal que = O, o grad( ) = 0Ademas

( ) = ( ) · ( ) = · ( ) = ·

Ası que

( 0 + 1 + + ) = ( 0 + 1 + + )

Ejercicio 174 Demuestre que [ ] respeta la suma, el producto y 1 Suge-

rencia: para demostrar que respeta productos, es decir, para ver que

( ( ) ( )) = ( ( )) · ( ( ))

mostrar primero que se cumple para ( ) = O luego para ( ) = · Y despueshacerlo por induccion sobre el grado de 6= O.


7.2. La estructura algebraica de R[ ]

Definicion 98 Un subconjunto de R [ ] se llama ideal de R [ ] si

1. 0 .

2. + .

3. R [ ]

Definicion 99 Se dice que un polinomio ( ) distinto de cero es monico si sucoeficiente principal es 1.

Teorema 91 6 R [ ] = R [ ] ( ) :=

= { ( ) ( ) | R [ ]} con ( ) R [ ] ( ) monico

Demostracion. )0 = 0 ·

´ + ´ = ( + )R [ ] ( ) = ( )

)Si = {0} entonces = R [ ] · 0Si 6= {0} sea

= { N | tal que grad ( ) = }

Notemos que 6= Escojamos el menor elemento de (principio del buen orden)y llamemoslo Despues tomemos una tal que grad( ) = (Notese quese puede escoger con coeficiente principal 1 multiplicando por el recıproco delcoeficiente principal, si fuera necesario).Demostraremos que = R [ ] .) Sea . Por el algoritmo de la division, = + con = 0 o grad( )

grad( ). Si fuera distinto de 0 entonces = y grad( ) = men( )Por lo tanto = 0 y ası R [ ]) R [ ] .

Teorema 92 Sean 6 R [ ], entonces:

1. 6 R [ ].

7.2. LA ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE R[ ] 239

2. + = { + | } 6 R [ ].

3. + es el menor ideal de R [ ] que incluye a

Demostracion. 1. a. Como y son ideales, entonces 0 0 , por lo que0 .1.b.

( ) ( )

( + ) ( + ) +

1.c.

R [ ] ( R [ ] )

( ) ( )

2.a. 0 0 0 = 0 + 0 +2.b. + ´+ ´ + ( + ) + (´+ ) = ( + ) + ( + ) + .2.c. . R [ ] + + ( + ) = + = + = ( + ) + .3.a. + ya que = + 0 + . Analogamente, + . Por lo

tanto+

3.b. Veamos ahora que + es el menor ideal que incluye a :Si 6 R [ ] entonces Como es un ideal,+ Por lo tanto, + .

Definicion 100 R [ ] es el maximo comun divisor de y si

1. | | (es decir, es un divisor comun).

2. | | | (Cualquier otro divisor comun divide a ).

3. es monico. (Es decir, que el coeficiente principal de es 1).

Corolario 24 Dados R [ ] R [ ] + R [ ] = R [ ] , para algunaR [ ] monico. Ademas es el maximo comun divisor de y .

Demostracion. A la vista de los resultados anteriores, lo unico que requieredemostracion es la afirmacion de que es el maximo comun divisor de y .1. R [ ] = , para alguna en R [ ]. Es decir, | . Analogamente| . Con esto vemos que es un divisor comun de y de .


2. Si es otro divisor comun, | y | . Digamos que

= y que =

Tambien tenemos que= +

Entonces= + = ( + )

Ası que | . Ası que es el maximo comun divisor de y .

Observacion 74 R [ ] = R [ ] R \ {0}.

Demostracion. = 1 ( ) R [ ] R [ ] R [ ] .Analogamente, ( ) R [ ] · R [ ] · R [ ] ·

Observacion 75 El maximo comun divisor de dos polinomios es unico.

Demostracion. Sean ´ dos maximos divisores comunes de y de .divisor comun y ´ maximo comun divisor | ´.

Por simetrıa, ´ || ´ = ´, para alguna R [ ].´| ´ = para alguna R [ ].Entonces = ´ = . Luego

0 = grad ( ) = grad ( ) + grad ( )

Por lo que y son polinomios constantes.Como y ´ son monicos y = ´ tienen coeficiente principal 1 y , tenemos

que = 1, ası que = ´.

Definicion 101 ( ) R [ ] es el mınimo comun multiplo de y de (se escribe( ) = [ ; ]) si

1. ( ) es un multiplo comun de y de : ( ) R [ ] , ( ) R [ ] .

2. Si ( ) es otro multiplo comun entonces ( ) es multiplo de ( ) : ( )R [ ] , ( ) R [ ] ( ) | ( )

3. ( ) es monico.


Observacion 76 Dados R [ ] R [ ] R [ ] = R [ ] , p. a. R [ ],monico Ademas es el mınimo comun multiplo de y .

Demostracion. es el mınimo comun multiplo de y :

R [ ] R [ ] = =

½||

es multiplo comun de

y de½||

R [ ] R [ ] R [ ] R [ ] = R [ ] |

Por lo que es el mınimo multiplo comun de y de .

Definicion 102 [ ] un campo, es irreducible si:

1. grad( ) 0.

2. = · grad( ) = 0 grad( ) = 0.

Observacion 77 Sean [ ], irreducible y monico. Entonces ( ; ) =( ; ) = 1.

Demostracion. = ( ; ) p. a. [ ] Entonces grad( ; ) = 0 grad( ) =0.Si grad( ) = 0 entonces es el coeficiente principal de ( ; ) que es el coefi-

ciente principal de que es 1 ası = 1 y = ( ; )Si grad( ; ) = 0, analogamente al argumento anterior, concluimos que =

Corolario 25 2 + es irreducible en R [ ] si R+.

Demostracion. Supongase que 2+ = · con grad( ) = grad( ) = 1 (supon-

gamos que = + ). Entonces + | 2+ ( ) (2 + ) = 0 2+ = 0

(la suma de dos reales positivos es un real positivo).

Corolario 26 2 + 1 es irreducible en R [ ].

Definicion 103 En R [ ] definimos la relacion de “congruencia modulo 2+1” por:

2+1si¡

2 + 1¢| ( )

( ( ) R [ ] ( 2 + 1)).


Proposicion 162+1

es una relacion de equivalencia en R [ ].

Demostracion.Reflexividad)

2+1ya que = 0 ( ) R [ ]

¡2 + 1

¢Simetrıa)

2+1( ) R [ ]

¡2 + 1

¢=

( ) R [ ]¡

2 + 1¢

( ) R [ ]¡

2 + 1¢ 2+1

Transitividad)

2+1 2+1( ) R [ ]

¡2 + 1

¢( ) R [ ]

¡2 + 1

¢( ) + ( ) R [ ]

¡2 + 1

¢( ) R [ ]

¡2 + 1

¢ 2+1

C = R [ ]2+1

=n( ) | ( ) R [ ]

oDonde ( ) denota la clase de congruencia de ( )

Definicion 104 Dotamos a C de suma y de producto mediante las definicionessiguientes

+ : C×C C¡¯ ¯¢7 +

· : C×C C¡¯ ¯¢7 ·

Ejercicio 175 Demostrar que las operaciones recien definidas estan bien definidas,es decir, no dependen de la eleccion de los representantes en las clases de congruencia.

Proposicion 17³C + 0 · 1

és un anillo conmutativo (el anillo de los complejos).


Demostracion. 1. ¯+ 0 = + 0 = = 0 + , C2. +

¡+

¢= +

¡+

¢= + ( + ) = ( + ) + =

¡+¢+ ¯ =¡

¯+ ¯¢+ ¯ C

3. ¯+ ¯ = + = + = ¯+ ¯ C4. ¯+ = + ( ) = 0 por lo tanto = , C.5.

·¡·¢= ·

¡·¢= · ( · ) =

= ( · ) · =¡·¢· ¯ =

¡¯ · ¯

¢· ¯ C

6. ¯ · 1 = · 1 = = 1 · C7. ¯ · ¯ = · = · = ¯ · ¯ C8.

·¡+

¢= ·

¡+

¢= · + · =

= · + · = · + · C

Proposicion 18 La funcion : R C definida por ( ) = , respeta la suma elproducto, el uno y es inyectiva.

Demostracion. Sean R entonces:1. ( + ) = + = ¯+ ¯ = ( ) + ( )2. ( · ) = · = ¯ · ¯ = ( ) · ( )3. (1R) = 1R = 1C4.

( ) = ( ) ¯ = ¯2+1 ¡

2 + 1¢| ( )

Pero como es 0 o su grado es cero, entonces = 0 Por lo tanto = .

Observacion 78 En C, 2 = 1

Demostracion. 2 + 12+1

0 0 = 2 + 1 = 1 + 2 = 1 + 2 2 = 1

Proposicion 19 Denotando con tenemos que C, = + con R.

Demostracion. Aplicando el algoritmo de la division a y a 2 + 1 :

( )2 + 1 ( )

( ) 0 = ( ) o grad( ( )) grad( 2 + 1) = 2


como 0 = ( ) o bien grad( ( )) 6 1 en cualquier caso podemos escribir ( ) =+ , con R Entonces

= · ( 2 + 1) + +

Ahora, notando que ( 2 + 1) = 0 que se puede identificar con ¯ para R,podemos escribir

= + = +

Teorema 93 C es un campo.

Demostracion. Sea ¯ C\©0ª, entonces 2 + 1 - ( 2 + 1; ) = 1 1 =

( ) ( 2 + 1) + ( )( ) = 1 = 1

Recordemos el “Teorema fundamental del Algebra”:( ( ) C [ ] ( ) 1) C tal que ( ) = 0

Ejercicio 176 Demuestre que los unicos polinomios irreducibles en C [ ] son los degrado 1.

Ejercicio 177 Demuestre que si ( ) R [ ] y ( ) = 0 con C entonces( ) = 0 donde ¯ es el conjugado de

Ejercicio 178 Demuestre que los unicos polinomios irreducibles en R [ ] son los degrado 1 y los de grado 2 que no tienen raıces reales (¿cuales son estos).

Ejercicio 179 Demuestre que un polinomio de grado 3 es irreducible no tieneraıces.Sea + + 1 + 0 Z [ ] Muestre que si Q (( ; ) = 1 Z)

es una raız entonces divide a 0 y divide a

Ejercicio 180 Demuestre que si + 11 + + 0 [ ] tiene una raız

racional, esta raız tiene que ser entera.

Ejercicio 181 Demuestre que Q N Z

Ejercicio 182 Demuestre que 3 2 6 18 5 24 son irracionales.

Ejercicio 183 Demuestra que 2 + + 1 Q [ ] es irreducible.


Ejercicio 184 Sean ( ) ( ) C [ ] Demuestre que ( ; ) = 1 no tienenraıces en comun.

Ejercicio 185 Sea

C [ ] C [ ]( ) 7 0 ( )

el operador derivada. Sea ( ) monico. Demuestre que todas las raıces de sondistintas (es decir de multiplicidad 1) ( ; 0) = 1 (Equivalentemente: tiene unaraız multiple ( ; 0) 6= 1).

Considere

Q Q [ ]incl.

&R

Cuando es inyectiva, se dice que es trascen-

dente. En caso contrario, se dice que es algebraico sobre Q. ( 2 es algebraico,son trascendentes).


1. a) algebraico ( ) es irreducible.

2. El subanillo de R generado por Q y es { ( ) | Q [ ]} (El subanillomencionado se denota Q ( )).

3. Use el algoritmo de la division para mostrar que

Q ( ) = { ( ) | ( ) ( )}

(( )( )( ) donde ( ( )) ( ), si ( ) no es cero.

)

Ejercicio 187 Demuestre que si es algebraico sobre Q, entonces Q [ ] es un campo.Sugerencia: ( ) 6= 0 ( ; ) = 1 ( es irreducible). Entonces se puede escribir 1en la forma 1 = + , donde y son polinomios. Entonces ( ) es el inversode ( )

Ejercicio 188 Encuentre el inverso multiplicativo de¡3 2¢4+ 3 2 + 3 en Q

£3 2¤

Sugerencia: encuentre primero el polinomio mınimo para 3 2


Ejercicio 189 Sean 1 2 R distintos, demostrar que¯¯¯1 1 ( 1)

2 · · · ( 1)1

1 2 ( 2)2 · · · ( 2)

1

1 3 ( 3)2 · · · ( 3)

1

......

......

1 ( )2 · · · ( ) 1

¯¯¯ =

Y( )

Sugerencia: considere 1(R) = { ( ) | ( ) 0 ( )

1} = {1 2 1}base

1(R) Note que 1 (R) R( ) 7 ( )

es una

funcion lineal y que

1 (R) R

( ) 7

( 1)( 2)...( )

tambien es una funcion lineal, cuya matriz respecto a y a la base canonica de R es

=

1 ( 1) ( 1) · · ·1 ( 2) ( 2) · · ·...

...1 ( ) ( ) · · ·

Para hacer una demostracion por induccion tomemos 0={1 ( )} tal que

[ ] 0 =

1 1 · · · 21 0

1 2 · · · 22 0

......

......

1 121 0

1 · · · 2 1

(Estamos pidiendo que ( 1) = 0 ( 2) = 0 ( 1) = 0 ( ) = 1 ) Entonces

[ ] = [ ] 0 [ ]0

Base de la induccion:

¯1 1

1 2

¯= 2 1

Capıtulo 8

Vectores propios y diagonalizacion

8.1. Vectores y valores propios

1. Sea un operador lineal. Decimos que 0 6= es un vector propio decorrespondiente al valor propio si:

( ) =

Decimos que es un valor propio de la matriz si es un valor propio deloperador · Es decir es un valor propio de si tal que

=

Ejemplo 107 Por ejemplo los elementos distintos de 0 en Ker( ) son los vectorespropios de correspondientes a 0

Ejemplo 108 Si (0 ) entonces la rotacion : R2 R2 no tiene vectorespropios (si fuera un vector propio entonces ( ) y 0 deberıan estar en la mismarecta. Cosa que no sucede.

Ejemplo 109 Todos los vectores no nulos de R2 son vectores propios de : R2

R2 la rotacion por un angulo .

Ejemplo 110 Consideremos el operador derivada

C (R) C (R)

247

248 CAPITULO 8. VECTORES PROPIOS Y DIAGONALIZACION

en el subespacio de las funciones en RR que tienen derivadas de todos los ordenes.Los vectores propios de correspondientes al valor propio 1 son las funciones nonulas tales que

=

es decir

{ | R\ {0}}

Teorema 94 Son equivalentes para y :

1. es un valor propio de

2. ker ( ) 6=n0o

3. · no es inyectiva.

Demostracion. Se sigue de que

( ) = ( ) = 0 ( ) ( ) = 0

En el caso de que sea de dimension finita, podemos agregar los siguientes incisos

· no es biyectiva.

[ · ] no es invertible.

det [ · ] = 0

Teorema 95 Son equivalentes para 0 6= dim ( ) =

1. ( ) =

2. [ ] ( ) = [ ]

8.1. VECTORES Y VALORES PROPIOS 249

Demostracion. Se sigue del diagrama conmutativo

7 ( ) =

¯ ¯

[ ] 7 [ ] ( ) = [ ]

-

? ?-

[ ]0·

Ejemplo 111 Si es un valor propio de × ( ) entonces

1. es un valor propio de

2. es un valor propio de ·

3. ( ) es un valor propio de ( ).

Pues = = = = por induccion = Engeneral, si ( ) = 0 + + entonces

( ( ) ( )) ( ) = ( ( )) ( ) =¡0 + +

¢( ) = 0 + 1 + =

=¡0 + 1 +

¢= ( )

Ejercicio 190 Se dice que una matriz × ( ) es nilpotente si

= 0 para alguna N

Demuestre que si es nilpotente entonces 0 es valor propio de y es el unico valorpropio de .


8.2. El polinomio caracterıstico

Nota 4 Si es un anillo conmutativo, y es una matriz de × con coeficientesen tenemos por definicion que

det ( ) =X

( )Y=1

( ) =X=1

( 1) + det³d´

Observacion 79 Si × ( ) entonces + × ( [ ]) y det ( + )[ ] el conjunto de los polinomios de grado 6 junto con el polinomio O

Demostracion. Por induccion sobreBase. Si = 1, entonces + = ( ) + ( ) = ( + ) cuyo determinante es

+ 1 [ ]

Paso inductivo.

det ( + ) =X=1

( 1) + ( + ) det³

\+´=

=X=1

( 1) + ( + ) det³d + d´

Con ( + ) 1 ( ) y det³d + d´

1 ( )

Definicion 105 Si × ( ) definimos el polinomio caracterıstico de ( )por:

( ) = det ( )

Lema 16 Si × ( ) entonces ( ) es un polinomio de grado con coefi-ciente principal ( 1)

Demostracion. Por la Observacion anterior, ( ) ( ).Por induccion sobre .Base.Si = 1 entonces

( )( ) = det (( ) 1) = det (( )) =

8.2. EL POLINOMIO CARACTERISTICO 251

Paso inductivo.Si × ( ) entonces

( ) = det ( ) =

=

ÃX( 1) +

³· ( )

´det

³\( )

´!+

1

+³

( )´det

³\( )

Áhora,

det( \( ) ) = det(d \( ) ) = det(d 1) = d ( )

Ası que el coeficiente principal de ( ) es

( 1) ( 1) 1 = ( 1)

Teorema 96 Dos matrices similares × ( ) tienen el mismo polinomiocaracterıstico.

Demostracion. Supongamos que = 1 Entonces

( ) = det ( ) = det¡

1¢= det

¡1 1

¢=

= det¡

1 ( )¢= det

¡1¢det ( ) det ( ) =

= det ( ) = ( )

Recordando que dos matrices cuadradas × ( ) son similares si y solosi representan a un mismo operador, podemos hacer la siguiente definicion.

Definicion 106 Si es un operador lineal en un espacio de dimensionel polinomio caracterıstico de ( ) se define como ( ) donde es cualquiermatriz que represente a

1 · ( ) = 0 si 6=


Observacion 80 En vista del Teorema 95 tenemos que los valores propios de un

operador en un espacio de dimension finita, son los mismos que los valorespropios de cualquier matriz [ ] que represente al operador.

Teorema 97 Sea × ( ), los valores propios de son las raıces de su poli-nomio caracterıstico.

Demostracion. Como tenemos que es un valor propio de si y solo sidet ( ) = 0Basta demostrar que

( ) ( ) = det ( )

Ahora,

( ) =X=1

( 1) +³

( )´det

³\( )

´Recordemos que [ ] es un morfismo de anillos, ası que respeta sumasy productos, por lo que podemos escribir

( ) =X=1

( 1) +³

( )´det

³\( )

´=

= det ( )

Ejemplo 112 Calculemos el polinomio caracterıstico de

µ1 02 1

¶

1 02 1

( ) = det

µµ1 02 1

¶ µ1 00 1

¶¶= det

µ1 02 1

¶=

= 1 2 + 2 = ( 1)2

Luego el unico valor propio de

µ1 02 1

¶es 1

En efecto:

µ1 02 1

¶1

µ1 00 1

¶=

µ0 02 0

¶. Ahora, los vectores propios de

8.2. EL POLINOMIO CARACTERISTICO 253µ1 02 1

¶son las soluciones de

µ0 02 0

¶= 0

Que a su vez, son las soluciones de

1 = 0

Es decir, x2

µ01

¶x2 \

n0oson los vectores propios de

µ1 02 1

¶:µ

1 02 1

¶µ01

¶= 1 ·

µ01

¶Ejemplo 113 Sea

2 2

7 + ´+ ´

Sea = {1 2} la base canonica de . Entonces

[ ] =1 1 00 2 20 0 3

Ası que

[ ] ( ) = det1 1 00 2 20 0 3

1 0 00 1 00 0 1

=

= det1 1 00 2 20 0 3

= (1 ) (2 ) (3 )

Por lo que los valores propios de son 1 2 3Resolvamos

1 1 00 2 20 0 3

11 0 00 1 00 0 1

= 0

es decir,0 1 00 1 20 0 2

= 0

0 1 00 1 20 0 2

0 1 00 0 00 0 1

0 1 00 0 10 0 0


Tenemos que 2 = 0 = 3 Por lo tanto las soluciones son 1

100

Analogamente,

para encontrar los vectores propios de [ ] correspondientes a 2 resolvemos

1 1 00 2 20 0 3

21 0 00 1 00 0 1

= 0

cuya matriz del sistema es1 1 00 0 20 0 1

Ahora.1 1 00 0 20 0 1

1 1 00 0 10 0 0

de donde se tiene que

1 = 2 3 = 0

Una solucion es110

Por ultimo resolvamos

1 1 00 2 20 0 3

31 0 00 1 00 0 1

= 0

Con matriz asociada

2 1 00 1 20 0 0

on2 0 20 1 20 0 0

on1 0 10 1 20 0 0

Ası que 1 = 3 2 = 2 3 una solucion es121

Ası,100

110

y121

son los vectores propios de [ ] Por lo que

1100

= 1 1110

= 11 + 1121

= 1 + 2 + 2

8.2. EL POLINOMIO CARACTERISTICO 255

deben ser los vectores propios de :(1) = 1 = 1 · 1(1 + ) = 1 + + · (1 + ) + (1 + ) = 2 + 2 = 2 · (1 + )(1 + 2 + 2) = 1 + 2 + 2 + · (1 + 2 + 2) + (1 + 2 + 2) =

3 + 6 + 3 2 = 3 · (1 + 2 + 2)

Definicion 107 1. Si es un operador lineal decimos que es diagona-lizable si existe una base de formada por vectores propios de

2. Decimos que una matriz × ( ) es diagonalizable si es similar a unamatriz diagonal.

Teorema 98 Si es un operador lineal en un espacio de dimension sonequivalentes:

1. es diagonalizable.

2. base de tal que [ ] es diagonalizable.

3. [ ] es diagonalizablebase

Demostracion. 1) 2) Sea = { 1 } una base de formada por vec-tores propios de Digamos que

( ) =

Entonces

[ ] =

1 0 0 00 2 0 0...

.... . .

...0 0 0

Que no solo es diagonalizable sino que ya es diagonal. (Es diagonalizable pues essimilar a sı misma).2) 3) Si [ ] es diagonalizable, entonces [ ] es similar a una matriz diago-

nal, digamos Entonces [ ] w Cualquier otra matriz [ ] que represente a ,

tambien es similar a [ ] Ası que

[ ] w [ ] w


3) 2) Obvio.

2) 1) Supongamos que = { 1 } y que

[ ] =

1 0 0 00 2 0 0...

.... . .

...0 0 0

Entonces

( ( )) = [ ( )] =³[ ]

´=

Aplicando 1 obtenemos

( ) = 1 ( ) = 1 ( ) =

Ademas cada 6= 0 por formar parte de una base de Entonces es una baseformada por vectores propios de

Corolario 27 es diagonalizable si y solo si · es diagonalizable.

Demostracion. =h

·i

8.3. Espacios propios y diagonalizabilidad

Definicion 108 Sea un operador lineal y sea Definimos

= Ker ( )

Observacion 81 es un valor propio de si y solo si 6=n0o

Lema 17 Sean 6= dos valores propios distintos de . Supongamos queson vectores propios de (por lo tanto ambos son distintos de 0). En-

tonces { } es linealmente independiente en

8.3. ESPACIOS PROPIOS Y DIAGONALIZABILIDAD 257

Demostracion. Si { } fuera linealmente dependiente entonces uno de los dosvectores serıa combinacion lineal de los anteriores, pero no es porque 6= 0Entonces

= (8.1)

Apliquemos para obtener=

Ahora multipliquemos la ecuacion 8.1 por para obtener

=

Restando la ultima ecuacion de la penultima, obtenemos

0 = ( )

En vista de que 6= 0, tenemos que ( ) = 0 pero como 6= , entonces = 0por lo que = 0 = 0

Podemos generalizar el Lema anterior de la manera siguiente:

Teorema 99 Sea { } un conjunto de vectores propios de tales que corres-ponde al valor propio de y ademas 6= si 6= . Entonces { } es unconjunto en

Demostracion. Recordemos un conjunto es linealmente independiente si y solo sicada uno de sus subconjuntos finitos es linealmente independiente. Entonces podemossuponer sin perder generalidad que { } es finito.Demostraremos que { } {1 } es finito por induccion sobre .Base. Si = 1, no hay nada que demostrar, pues un conjunto con un unico

vector distinto de 0 esPaso inductivo. Supongamos que 1 y que la afirmacion es cierta para 1Si

{ 1 2 1 }

no fuera entonces un vector de la lista es combinacion lineal de los anteriores,pero como, por hipotesis de Induccion, { 1 2 1} es entonces tendrıaque ser combinacion lineal de los anteriores.

= 1 1 + 2 2 + + 1 1

A la ecuacion anterior primero le aplicamos y luego la multiplicamos por paraobtener respectivamente

= 1 1 1 + 2 2 2 + + 1 1 1


y= 1 1 + 2 2 + + 1 1

Restando la segunda a la primera, obtenemos

0 = 1 ( 1 ) 1 + 2 ( 2 ) 2 + + 1 ( 1 ) 1

Como { 1 2 1} es , entonces los coeficientes de la ecuacion anterior sontodos 0:

1 ( 1 ) = 0 = 2 ( 2 ) = = 1 ( 1 )

y como { 1 1}, entonces cada = 0Por lo tanto

= 0 · 1 + 0 · 2 + + 0 · 1 = 0

Lema 18 Si { } es una familia de escalares distintos y es un ope-rador lineal, entonces la suma de los espacios propios es directa. Es decirX

=M

Demostracion. Necesitamos ver que la interseccion de uno de los subespacios

con la suma de los demas es el subespacion0o

Supongamos que X{ }

6=n0o

Entonces0 6=

X\{ }

por lo que = 1 + 2 + + , con { 1 2 } \ { }Por lo tanto

{ 1 2 }

es linealmente dependiente. Pero el Teorema anterior asegura que es linealmenteindependiente por ser un conjunto de vectores propios que corresponden a valorespropios distintos dos a dos.

Recordemos que una suma de subespaciosP{ } es directa, cuando la in-

terseccion de cada sumando con la suma de los demas subespacios esn0o


Es decirP{ } =

L{ } siX

\{ }

{ } =n0o

Teorema 100 Son equivalentes para una familia { } {1 } de subespacios vec-toriales no nulos de un espacio de dimension finita:

1. =L{ } {1 }.

2. =P{ } {1 } y

P{1 }

{dim ( )} = dim ( )

Demostracion. 1) 2)Observemos que si 6= , y es una base para una base par , entonces

= Pues si entoncesÃX6=

!

Notemos que si entonces { } {1 } es una base para :

Recordemos que el subespacio generado por una union de conjuntos es la sumade los subespacios generados por ellos. (Definicion 23).Por lo tanto

L³{ } {1 }

´=Xn

L { } {1 }

o=

entonces tenemos que { } {1 } es un conjunto generador deSi { } {1 } fuera linealmente dependiente, contendrıa un subconjunto finitodigamos que

{ 1 2 } { } {1 }

es linealmente dependiente. Como los conjuntos son linealmente independientes,no todos los elementos de { 1 2 } pertenecen al mismo conjuntoAgrupemos los elementos de { 1 2 } segun la base a la que pertenecen,

podemos suponer, reordenando si hiciera falta, que

1 = 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

1 2 =


Ahora hay una combinacion lineal de estos vectores que da 0 con no todos los coefi-cientes 0 :

0 =X

=X X

=1

=X

Con =P=1

Entonces 0 6= 1 = 2 + + 1

ÃP6=1

!0 6= 1 pues 1 es combinacion lineal no trivial de elementos de un conjunto

linealmente independiente 1

La contradiccion anterior muestra que { } {1 } es linealmente independien-te, ası que es una base de .

dim ( ) =¯{ } {1 }

¯=X

{| |} =X

{dim ( )}

2) 1)Por inducccion sobreBase. Si = 1 no hay nada que demostrar.Si = 2 entonces = 1+ 2 y dim ( ) = dim ( 1)+dim ( 2) Recordemos

ahora que (Teorema 21).

dim ( 1 + 2) = dim ( 1) + dim ( 2) dim ( 1 2)

entonces

dim ( ) = dim ( 1 + 2) = dim ( 1) + dim ( 2) dim ( 1 2)

= dim ( 1) + dim ( 2)

entonces dim ( 1 2) = 0 ası que 1 2 =n0opor lo que

= 1

M2

Paso inductivo.Supongamos que 2

=X=1

{ }


y que

dim ( ) =X=1

{dim ( )}

Entonces

= 1 +X=2

{ }

y

dim ( ) = dim ( 1) +

ÃX=2

{dim ( )}

!Por el caso = 2, tenemos que

= 1

MÃX=2

{ }

!

Como

dim

ÃX=2

{ }

!= dim ( ) dim ( 1) =

ÃX=1

{dim ( )}

!dim ( 1) =

=

ÃX=1

{dim ( )}

!tenemos, por hipotesis de induccion que

X=2

{ } =M=2

{ }

Por lo tanto

= 1

MÃX=2

{ }

!= 1

MÃM=2

{ }

!Ahora, es facil comprobar que

1

MÃM=2

{ }

!=M=1

{ }


Ejercicio 191 Demuestre que son equivalentes para una familia

{ } {1 }

de subespacios vectoriales de :

1. = 1

LµL=2

{ }

¶

2. =L=1

{ } (Es decir, =P=1

{ } y la interseccion de cada subespacio

con la suma de los demas subespacios es trivial.

3. ! {1 } tales que = 1 + 2 + +

4. ( =P=1

{ }, y 0 = 1+ 2+ + con ) 1 = 0 = 2 = =

Observacion 82 Si : es un operador lineal diagonalizable en un espaciode dimension finita, entonces ( ) es un producto de factores de grado uno.

Demostracion. Si es diagonalizable, entonces existe una matriz diagonalque representa a Digamos que

[ ] = =

1 0 · · · 0 00 2 · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · 1 00 0 · · · 0

de aquı es claro que

( ) = ( ) = ( 1 ) ( 2 ) ( )

Lo anterior muestra que para que un operador lineal en un espacio de dimensionfinita sea diagonalizable, debe suceder que el polinomio caracterıstico se factoricecomo producto de factores de grado uno.


Ejemplo 114 Consideremos la rotacion por 4

R2 4 R2

cuya matriz es µcos ( 4) sen ( 4)sen ( 4) cos ( 4)

¶con polinomio caracterıstico

2 2 + 1

que es irreducible sobre R pues sus dos raıces son complejas no reales.

Ası, tenemos que 4 (y

µcos ( 4) sen ( 4)sen ( 4) cos ( 4)

¶) no son diagonalizables.

Ejemplo 115 En cambio si pensamos que la rotacion ocurre en el plano complejo,entonces

C4=( 4· )

C

de tal manera que todos los elementos de C\ {(0 0)} son vectores propios de¡

4 ·¢

correspondientes al valor propio 4 Ası que la matriz diagonal que representa a¡4 ·¢es ¡

4¢

1×1 (C)

Por otra parte, no basta que el polinomio caracterıstico se factorice como productode factores de grado uno, para que sea diagonalizable.

Ejemplo 116 Consideremos la matriz

µ1 20 1

¶es claro que su polinomio carac-

terıstico, det

µ1 20 1

¶= (1 ) (1 ) es un producto de factores de grado

1 pero no es diagonalizable:Si lo fuera, tendrıamos que serıa similar a una matriz diagonal, con el mismo poli-

nomio caracterıstico, es decir, tendrıa que ser similar a

µ1 00 1

¶pero entonces

µ1 20 1

¶=

µ1 00 1

¶1 = 1 =

µ1 00 1

¶Ejercicio 192 Una matriz triangular superior con todos sus elementos de la dia-gonal iguales, es diagonalizable si y solo si es diagonal.


8.4. Matrices diagonalizables

Teorema 101 Son equivalentes para un operador lineal en un espaciode dimension finita :

1. es diagonalizable, con valores propios 1 2 .

2. =L

a) ( ) = ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ( )

b) dim ( ) =nul( ) =

Demostracion. 1) 2) Si es diagonalizable, con valores propios 1,

2,..., , entonces existe una base de formada por vectores propios de De estabase tomemos los elementos que corresponden a para formarEntonces

=M=1

{ }

2) 3) Si =L=1

{ } tomemos una base de . Entonces la matriz de

respecto a la base 1 2 es

| 1| × | 1|

1

. . .

1

· · · 0

.... . .

...

0 · · · | | × | | . . .

por lo que el polinomio caracterıstico de es ,

( 1 )| 1| ( 2 )| 2| ( )| |

Ademas| 1|+ | 2|+ + | | =

Basta hacer = | |

8.4. MATRICES DIAGONALIZABLES 265

3) 2) supongamos que

( ) = ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ( )

y que

dim ( ) = nul ( ) = {1 }

Como las raıces del polinomio caracterıstico son los valores propios del operador ,

entonces 6=n0o

{1 }

Ademas X{ } =

M{ }

por el Lema 18.Entonces

dim³X

{ }´= dim

³M{ }

´=X

{dim ( )} =

=X

{ } = grad¡

( )¢=

Como dim (L{ }) = = dim ( ) entonces

L{ } =

2) 1) SiL{ } = entonces la union { }, donde es una base de

es una base de formada por vectores propios de

Definicion 109 Sea un valor propio del operador de dimension finita, la multi-plicidad de como valor propio de es la multiplicidad de como raız del polinomiocaracterıstico de . Es la mayor potencia entera de ( ) que divide a ( ).

Ejemplo 117 Es claro que la matriz

=

1 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 3

es diagonalizable, pues es diagonal.Los valores propios de son 1, 2, 3 con multiplicidades 1 2 1 ya que el polinomiocaracterıstico es

(1 ) (2 )2 (3 )

dim ( 1) = 4 rango ( 4) =


= 4 rango

1 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

= 4 rango

0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 2

= 4 3 = 1

dim ( 2) = 4 rango ( 2 4) =

= 4 rango

1 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 3

2

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

= 4 rango

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 1

= 4 2 = 2

dim ( 3) = 4 rango ( 3 4) =

= 4 rango

1 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 0 3

3

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

= 4 rango

2 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

= 4 3 = 1

Ejemplo 118 Mostrar que

0 2 2 20 4 1 00 0 6 06 2 2 8

es diagonalizable.

det

2 2 20 4 1 00 0 6 06 2 2 8

= (6 ) · det2 2

0 4 06 2 8

=


= (6 ) · (4 ) det

µ2

6 8

¶= (6 ) · (4 )

¡2 8 + 12

¢=

= (6 ) · (4 ) ( 6) ( 2) = (6 )2 (4 ) (2 )

Ademas:

0 2 2 20 4 1 00 0 6 06 2 2 8

6 4 =

6 2 2 20 2 1 00 0 0 06 2 2 2

on

1 0 16

13

0 1 12

00 0 0 00 0 0 0

Las soluciones de1 0 1

613

0 1 12

00 0 0 00 0 0 0

= 0

esta generadas por0121

1360

0 2 2 20 4 1 00 0 6 06 2 2 8

4 4 =

4 2 2 20 0 1 00 0 2 06 2 2 4

on

1 0 0 10 1 0 10 0 1 00 0 0 0

Las soluciones de4 2 2 20 0 1 00 0 2 06 2 2 4

= 0

estan generadas por1101

0 2 2 20 4 1 00 0 6 06 2 2 8

2 4 =

2 2 2 20 2 1 00 0 4 06 2 2 6

on

1 0 0 10 1 0 00 0 1 00 0 0 0


Las soluciones de2 2 2 20 2 1 00 0 4 06 2 2 6

= 0

estan generadas por:1001

Entonces0121

1360

1101

1001

es una base de 4 formada por vectores propios de

Ademas si =

0 1 1 11 3 1 02 6 0 01 0 1 1

entonces 1 =

32

0 14

32

12

0 14

12

0 1 12

032

1 34

12

Por lo

que 4 1 =

6 0 1 62 0 1 20 4 2 06 4 3 2

Ahora

6 0 1 62 0 1 20 4 2 06 4 3 2

0 2 2 20 4 1 00 0 6 06 2 2 8

0 1 1 11 3 1 02 6 0 01 0 1 1

=

24 0 0 00 24 0 00 0 16 00 0 0 8

= 4 ·

6 0 0 00 6 0 00 0 4 00 0 0 2

Teorema 102 Si es diagonalizable, entonces ( ) ( ) =

0 · · · 0.... . .

...0 · · · 0


Demostracion. ( ) =Q=1

( ) =L=1

Sea entonces =P

Por otra parte, ( ) ( ) =Q=1

( ) ( ) =Q=1

( )

EntoncesY=1

( ) = ( 1 ) 1 ( 2 ) 2 ( )

Apliquemos

µQ=1

( )

¶· en :

(( 1 ) 1 · ( 2 ) 2 · · ( ) ) ( ) =

= ( 1 ) 1 · · ( 1 ) 1 · ( +1 ) +1 · ·

· ( ) · ( ) ( ) = 0

Pues ( ) ( ) = (( ) ( )) = 0 Notemos que en

( 1 ) 1 · ( 2 ) 2 · · ( )

los operadores se pueden reacomodar, pues

(( ) · ( ) ) = (( ) · ( ) ) ( ) =

= (( ) · ( ) ) ( ) = ( ) · ( )

Entonces ÃY=1

( )

!( ) = 0

por lo tanto

µQ=1

( )

¶· es el operador 0 en por lo que

ÃY=1

( )

!=

0 · · · 0.... . .

...0 · · · 0

Ejercicio 193 Compruebe lo anterior con la matriz2 4 43 6 23 2 6


8.5. El polinomio mınimo

Como ya hemos notado, si es un operador lineal en el espacio vectorialSe tiene un diagrama conmutativo

[ ]

¯

( )

7 ·

?´´´´´3

-

donde es un morfismo de anillos que satisface:¡0 + 1 + 2

2 + +¢= 0 + 1 + 2

2 + +

Notacion 14 Denotemos¡0 :

¢=©

[ ] | ( ) = 0ª

el conjunto de polinomios que se anulan en Llamaremos a¡0 :

¢el anulador de

Observacion 83¡0 :

¢es un ideal de [ ]

Demostracion. Es claro que¡0 :

¢es cerrado bajo la suma, que contiene al

polinomio 0 y que es cerrado bajo multiplicacion por cualquier polinomio.

Observacion 84 Como los ideales de [ ] estan generados por un solo polinomio,que se puede escoger monico, tenemos que si

¡0 :

¢6= {O}, entonces¡

0 :¢= [ ] · [ ]

El polinomio monico [ ] se llama el polinomio mınimo para

Teorema 103 Si es un operador lineal en un espacio vectorial de di-mension finita, entonces

¡0 :

¢6= {O}

8.5. EL POLINOMIO MINIMO 271

Demostracion. Recordemos que el espacio vectorial ( ) es isomorfo a

× ( ) ası que ambos tienen dimension 2 Luego el conjunton2 2

oes un conjunto con mas de 2 vectores en un espacio vectorial de dimension 2 porlo que resulta linealmente dependiente.Ası que existe una combinacion lineal

0 + 1 + 22 + + 2

2

= 0

con no todos los coeficientes iguales a 0.Es claro que entonces el polinomio

O 6= 0 + 1 + 22 + + 2

2 ¡0 :

¢

Ejemplo 119 Sea

µ1 22 1

¶· : R2 R2 Tomemos

½µ1 00 1

¶ µ1 22 1

¶¾notemos que es linealmente independiente pues en esta lista ningun vector es combi-

nacion lineal de los anteriores

µ1 22 1

¶2=

µ5 44 5

¶Ahora.

½µ1 00 1

¶ µ1 22 1

¶ µ5 44 5

¶¾es linealmente dependiente pues el sistemaµ

1 00 1

¶+

µ1 22 1

¶+

µ5 44 5

¶=

µ0 00 0

¶es equivalente a

1001

+

1221

+

5445

=

0000


y1 1 50 2 40 2 41 1 5

on

1 0 30 1 20 0 00 0 0

que tiene la solucion no trivial

= 3 = 2 = 1

Ası que

3 2 + 2 =

µ0 00 0

¶Luego el polinomio mınimo para es un divisor monico de

3 2 + 2 = ( 3) ( + 1)

Notando que ( 3)¡0 :

¢( + 1)

¡0 :

¢tenemos que

( ) = 3 2 + 2

Ejemplo 120 Si dim( ) no es finita puede suceder que un operador no tenga poli-nomio mınimo.Por ejemplo consideremos el operador

R [ ]R

R [ ]7

REste operador no tiene polinomio mınimo:notemos que µ

( )

µZ ¶¶(1) =

Z µ µZ µZ(1)

¶¶¶| {z }

signos de integral

=!

Ası que si un polinomio 0 + 1 + 22 + + 6= ( ) se evalua en

Ry despues

evaluamos en 1 obtenemosµ¡0 + 1 + 2

2 + +¢µZ ¶¶

(1) = 0 +1

2!2 + +

!6= 0 ( )


8.5.1. El polinomio mınimo y diagonalizabilidad

Teorema 104 Un operador definido en el espacio de dimension finitaes diagonalizable si y solo si ( ) = ( 1) ( 2) ( ) donde 1 2

son los distintos valores propios de

Demostracion. ) Si es diagonalizable, entonces existe una base de vec-

tores propios de Consideremos el polinomioQ=1

{ } donde { } {1 } es el

conjunto de los valores propios de Tomemos y supongamos que ( ) =entonces

ÃÃY=1

{ }

!( )

!( ) =

Y=16=

{ } · ( ) ( ) ( ) =

=Y=16=

{ } · ( ) ( ) =

=Y=16=

{ } (( ) ( )) =

Y=16=

{ }³0´= 0

Tenemos pues que el operador

µQ=1

{ }

¶( ) se anula en cada elemento de la base

por lo tanto (Corolario 7)Q=1

{ } es el operador 0 Entonces el polinomio

Y=1

{ }¡0 :

¢


Por lo que ÃY=1

{ }

![ ]

¡0 :

¢= ( ) · [ ]

Por otra parte si ( ) = entonces

0 = 0 ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( )

por el Ejemplo 111. Esto muestra que si es un valor propio de entonces es unaraız de su polinomio mınimo.En particular, valor propio de ( ) | ( )

Por lo tanto

µQ=1

{ }

¶| ( ) y ası

( )

ÃY=1

{ }

![ ]

Por lo tanto ÃY=1

{ }

![ ] = ( ) · [ ]

De aquı que ÃY=1

{ }

!= ( )

) Recıprocamente, si ÃY=1

{ }

!= ( )

Veremos que es diagonalizable por induccion sobreBase. Si = 1, entonces ( ) = 0 implica que = Que es diagonali-

zable.Si = 2 entonces ( 1 ) ( 2 ) = 0Hagamos la division

1

2 1

2 1


Entonces1

2 1(( 1) ( 2)) = 1

Entonces, evaluando en

1

2 1(( 1 ) ( 2 )) =

Ası que

1

2 1( 1 ) ( )

1

2 1( 2 ) ( ) = ( ) =

Ahora, observe que 12 1

( 1 ) ( ) 2 pues

( 2)

µ1

2 1( 1 ) ( )

¶=

=1

2 1(( 2 ) ( 1 ) ( )) = 0

De la misma manera, 12 1

( 2 ) ( ) 1

Por lo tanto = 1 + 2

Paso inductivoSupongamos que 2Debemos demostrar que X

valorpropio de

=

Consideremos el diagrama

1X=1

1X=1

-

-

|1P

=1

6 6

Notemos que el diagrama anterior tiene sentido pues la imagen bajo de un elemento

de1P

=1

, sigue estando en1P

=1


Es inmediato que el polinomio mınimo para | 1P=1

es

( 1) · ( 2) · · ( 1)

Tomemos una combinacion de los polinomios ( 1) · ( 2) · · ( 1) y, con coeficientes en [ ] que coincida con el polinomio 1.

Esto se puede hacer porque el maximo comun divisor entre

( 1) · ( 2) · · ( 1) y ( )

en [ ] es 1 Simplemente observe que el unico divisor monico comun posible es 1O bien, haciendo la division

( )( 1) · ( 2) · · ( 1)

6= 0

se tiene que

1 =1( )( ) +

1( 1) · ( 2 · · ( 1

Entonces

=1( )( ) +

1( 1 ) ( 2 ) ( 1 )

de aquı que cualquier vector se puede escribir como

=

µ1( ) ( )

¶( ) +

+1( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( )

el primer sumando esta en

Ker (( 1 ) ( 2 ) ( 1 )) =1X

=1

(¿por que?) y el segundo sumando esta en


Por lo tanto

= (Ker (( 1 ) ( 2 ) ( 1 ))) + =

=1X

=1

+


Ker (( 1 ) ( 2 ) ( 1 )) =1X

=1

en la demostracion anterior. Sugerencia:

( 1) ( 2) ( 1)

( 1)

( 1) ( 2) ( 1)

( 2)

( 1) ( 2) ( 1)

( 1)

son primos relativos en [ ] por lo que hay una combinacion con coeficientes en [ ]tal que

1 = 1 [ ]( 1) ( 2) ( 1)

( 1)+ +

+ 1 [ ]( 1) ( 2) ( 1)

( 1)

Ejercicio 195 Demuestre que si ( ) con dim( ) entonces losvalores propios de son las raıces de ( ) Concluya que ( ) y ( ) tienen lasmismas raıces (por supuesto, las multiplicidades puede no coincidir.

Ejercicio 196 Escriba 1 como combinacion de 1 2 y 3 con coeficientesen R [ ]

Ejercicio 197 Escriba 1 como combinacion de ( 1)( 2), ( 2)( 3) y (1)( 3) con coeficientes en R[ ].


Ejemplo 121 Consideremos la siguiente matriz en 5×5 (Z5)

=

4 0 1 4 20 4 2 3 40 0 0 4 23 0 1 2 42 0 4 2 0

4 0 1 4 20 4 2 3 40 0 0 4 23 0 1 2 42 0 4 2 0

5 =

4 0 1 4 20 4 2 3 40 0 4 23 0 1 2 42 0 4 2

Su determinante es

det

4 0 1 4 20 4 2 3 40 0 4 23 0 1 2 42 0 4 2

= 3 + 2 + 2 2 + 4 3 5 =

= ( ) = 3 + 2 + 2 2 + 4 3 5

(2) = 0 y

-t4-2t3 + 2 + 1t-2 -t5+4t3+2t2+2t+3

2 4 3 + 2 2 + 2 + 32 2 + 2 + 3

+ 30

Sea ( ) = 4 2 3 + 2 + 1 como (1) = 0

3 3 2 3 11 4 2 3 + 2 + 1

3 3 + 2 + 13 2 + 2 + 1

+ 10


Sea ( ) = 3 3 2 3 1 como (4) = 0 podemos hacer

2 2 1+ 1 3 3 2 3 1

2 2 3 110

( ) = 2 2 1 = ( 2 + 2 + 1) = ( + 1)2 ( 4)2

Entonces

( ) = ( 2) ( 1) ( 4)3

La matriz es diagonalizable si y solo si ( ) = ( 2) ( 1) ( 4)

4 0 1 4 20 4 2 3 40 0 0 4 23 0 1 2 42 0 4 2 0

2 5 =

2 0 1 4 20 2 2 3 40 0 2 4 23 0 1 0 42 0 4 2 2

4 0 1 4 20 4 2 3 40 0 0 4 23 0 1 2 42 0 4 2 0

1 5 =

3 0 1 4 20 3 2 3 40 0 1 4 23 0 1 1 42 0 4 2 1

4 0 1 4 20 4 2 3 40 0 0 4 23 0 1 2 42 0 4 2 0

4 5 =

0 0 1 4 20 0 2 3 40 0 4 4 23 0 1 2 42 0 4 2 4

y

2 0 1 4 20 2 2 3 40 0 2 4 23 0 1 0 42 0 4 2 2

·

3 0 1 4 20 3 2 3 40 0 1 4 23 0 1 1 42 0 4 2 1

·


·

0 0 1 4 20 0 2 3 40 0 4 4 23 0 1 2 42 0 4 2 4

=

=

2 0 3 0 02 1 1 0 01 0 4 0 02 0 3 4 43 0 2 2 2

0 0 1 4 20 0 2 3 40 0 4 4 23 0 1 2 42 0 4 2 4

=

=

0 0 10 20 100 0 0 15 100 0 15 20 1020 0 10 20 1010 0 5 20 10

=

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

Por lo tanto es diagonalizable.

Ejercicio 198 Encuentre una base de Z55 formada por vectores propios de

=

4 0 1 4 20 4 2 3 40 0 0 4 23 0 1 2 42 0 4 2 0

Ejercicio 199 Demuestre que si : es un operador lineal en un espacio dedimension finita tiene valores propios distintos, entonces es diagonalizable.

Ejercicio 200 Decidir si

4 0 1 20 4 2 40 0 0 40 0 1 0

es diagonalizable.

Ejercicio 201 Decidir si3 0 1

2

4 4 26 0 1

es diagonalizable.


Ejercicio 202 Supongamos que el operador : en el espacio vectorial dedimension finita tiene valores propios distintos.

1. Si dim ( ) = + 1 para algun valor propio demuestre que es diago-nalizable.

2. Si existen valores propios de 1 tales que

dim¡

1 + +¢= +

demuestre que es diagonalizable.


Capıtulo 9

Subespacios T-invariantes

9.1. Subespacios invariantes

Definicion 110 Sea un operador lineal y sea 6 Diremos quees un subespacio invariante de (escribiremos 6 ), si ( ) .

En caso de que 6 tenemos que el siguiente diagrama conmuta:

=

-

-|

6 6

es decir que 6 si y solo si|

es un operador en

Ejemplos 122 Para cualquier : :

1.n0o6

2. 6

3. Ker( ) 6

4. ( ) 6

283

284 CAPITULO 9. SUBESPACIOS T-INVARIANTES

Teorema 105 Sea : lineal, 6 dim ( ) = entonces|( )

divide a ( ).

Demostracion. Tomemos una base de y completemosla a una base deDigamos que = dim ( )Entonces

[ ] =

· £|

¤0

¸Entonces

[ ] =

· £|

¤0

¸Ası que

( ) =|( ) ( )

Ejemplo 123 Sea

R4 R4

7

+ + 2+

2+

entonces

[ ] =

1 1 2 10 1 0 10 0 2 10 0 0 1

Si tomamos =00

| R entonces 6 pues

1 1 2 10 1 0 10 0 2 10 0 0 1

00

=

+

00

9.1. SUBESPACIOS INVARIANTES 285

Hagamos = { 1 2} y = { 3 4} .£|

¤=

µ1 10 1

¶y

|( ) = (1 )2 | ( ) = (1 )3 (2 )

Definicion 111 Sea 6 y consideremos

= { : | es lineal y ( ) }

Teorema 106 1. 6 ( )

2. es cerrado bajo la composicion.

Demostracion. 1. es un subespacio de ( ) :

0 pues 0 ( ) =n0o

( + ) ( ) ( ) + ( ) + =( ) ( ) ( ( ))

2. ( ) ( ) ( ( )) ( )Notemos ademas que .En vista del Teorema anterior tenemos que

Observacion 85 1. es un espacio vectorial.

2.¡

+ 0¢es un anillo (no conmutativo en general).

Ejemplo 124 Sea

=00

| R 6 R4 =

CalcularemosNecesitamos encontrar todas las matrices 4×4 (R) tales que

00


Como00

= ( )00

vemos que basta resolver

¡1 2 3 4

¢00

= 0

Es decir 1 + 2 = 0 R Es claro que

1 = 0 2 = 0

Por lo tanto las matrices que corresponden a operadores en son de la forma

=0 00 0

Ejercicio 203 1. Compruebe que

{ 4×4 (R) | 3 1 = 3 2 = 4 1 = 4 2 = 0}

es un subanillo de 4×4 (R) es decir que es cerrado bajo la resta, el productoy que contiene al 1

2. Compruebe que

{ 4×4 (R) | 3 1 = 3 2 = 4 1 = 4 2 = 0}

es un subespacio vectorial de 4×4 (R)

Teorema 107 Si y ( ) [ ] entonces ( )

Demostracion. Tenemos el diagrama conmutativo

=

-

-|

6 6

9.1. SUBESPACIOS INVARIANTES 287

que se puede componer consigo mismo:

- -

-|

6

-|

6 6

como este diagrama sigue siendo conmutativo, vemos que¡

|

¢ ¡|

¢= ( )|

ası que por induccion, tenemos que Como es un espaciovectorial, entonces Ademas

0 + 1 + +

Teorema 108 Sean ( ) tales que = entonces

1. Ker( ) 6

2. ( ) 6

3. ( ) ( ) = ( ) ( ) [ ]

4. [ ] Ker( ( )) 6( )

y ( ) ( ) 6( )

5. = Ker( ) 6

6. Ker³( )

´6

Demostracion. 1. Si Ker( ) entonces

( ( )) = ( ( )) =³0´= 0

esto es, ( ) Ker( ) por lo que (Ker ( )) Ker( ) y entonces Ker( ) 6

2. ( ( )) = ( ( )) ( ) por lo tanto ( ) 6

3. Se demuestra por induccion que = y por lo tanto =N


Tambien por induccion sobre el grado de , se demuestra que

( ) ( ) = ( ) ( )

4. Se sigue de 1 2. y 3.5. Ker( ) ( ) = ( ( )) = ( ( )) = ( )( ) Ker( )

Por lo tanto (Ker ( )) Ker( ), y ası Ker( ) 6

6) Ejercicio.

Ejercicio 204 Sea =

µ1 20 2

¶2×2 (R) consideremos el operador · :

R2 R2. Verifique que Ker( · ) · R2 y que Im( · ) · R2.

Ejercicio 205 Haganse las inducciones del inciso 3) del Teorema anterior.

Ejercicio 206 Demuestrese el inciso 6) del Teorema anterior.

Ejercicio 207 En = 4 (R) considere = L ({ 3}) Encuentre

Ejercicio 208 En = ([0 1]), el espacio de las funciones reales continuas defini-das en [0 1], considere el subespacio = L {sen ( ) cos ( )} Muestre que para todopolinomio ( ) R [ ] (T ) donde T =

R0es el operador integral.

Notacion 15 1. Denotemos porhn0o i

el conjunto de los subespacios in-

variantes de

2. Denotemos por [ ] el conjunto de los subespacios invariantes de queincluyen a Al usar esta notacion estamos suponiendo que 6 si no

fuera el caso usamos ( ]

Teorema 109 Si { } es una familia de subespacios invariantes de en-tonces { } es un subespacio invariante de

Demostracion. Como { } 6 basta demostrar que¡{ }

¢{ }

Sea { } Entonces Por lo tanto ( )Por lo tanto ( ) { }

9.2. SUBESPACIOS T-CICLICOS 289

En vista del Teorema anterior, dado un subconjunto y un operadorexiste el subespacio invariante generado por Denotaremos este espacio por

L ( )

L ( ) =

½6 | 6

¾Es claro que L ( ) es el menor subespacio invariante que incluye a

Teorema 110 Si { } es una familia de subespacios invariantes de en-tonces

P{ } es un subespacio invariante de

Demostracion. Si = 1 + 2 + + con , entonces ( ) =( 1) + ( 2) + + ( ) 1 + + pues ( )

9.2. Subespacios T-cıclicos

Definicion 112 Se define el subespacio cıclico generado por como L ( )

donde y es lineal.

Observacion 86 L ( ) = L ({ ( ) 2 ( ) }) = { ( ) ( ) | [ ]}

Demostracion. L ( ) L ({ ( ) 2 ( ) }) :Para esto, basta demostrar que L ({ ( ) 2 ( ) }) es un subespacio in-

variante. En efecto, tomemos una combinacion lineal de©( ) 2 ( )

ªX=1

( )

aplicando obtenemos

X=1

+1 ( ) L¡©

( ) 2 ( )ª¢

L ({ ( ) 2 ( ) }) { ( ) ( ) | [ ]} :


Como arriba, un elemento de L ({ ( ) 2 ( ) }) es de la forma

X=1

( )

es claro que esto es ÃÃX=1

!( )

!( )

con ÃX=1

!= 0

0 + 11 + + [ ]

{ ( ) ( ) | [ ]} L ( ) :Para esto basta notar que como L ( ) 6 entonces todos los elementos de

la sucesion( ) 2 ( ) ( )

pertenecen a L ( ) Tambien dada cualquier conjunto finito de escalares

0 1

0 1 ( ) ( ) L ( )

y tambien

0 + 1 ( ) + + ( ) L ( )

De aquı debe ser claro que ( ) ( ) L ( ) ( ) [ ]

Lema 19 6 ( 6( )

y ( )| =¡

|

¢)

Demostracion. Por el Teorema 107 se tiene que 6 6( )

Ahora, el diagrama conmutativo

=

-

-|

6 6

9.2. SUBESPACIOS T-CICLICOS 291

se puede componer consigo mismo para producir el diagrama conmutativo

- -

-|

6

-|

6 6

de donde podemos observar que ( 2)| =¡

|

¢2Por induccion podemos demostrar

que¡ ¢

|=¡

|

¢N.

Ahora, · ası que 6·

Es facil ver que

¡·

¢|=¡

· |

¢Como 0 · 1 ·

1 · , entonces es¡0 · + 1 ·

1 + + ·¢

invariante

y es claro que ¡0 · + 1 ·

1 + + ·¢|=

=³( 0 · )| + ( 1 · )| + +

¡·

¢|

´

Teorema 111 6|( ) | ( )

Demostracion. ( )¡

|

¢=

¡|

¢= ( )| = 0| Por definicion de

polinomio mınimo, tenemos que ( ) [ ]|( )

Teorema 112 Si : es un operador lineal en un espacio de dimension

finita , entonces ( ) =n

|L ( )( ) |

oDemostracion. Por el Teorema anterior,

|L ( )( ) | ( ) Por lo tanton

|L ( )( ) |

o| ( )

Por otra parte si hacemos

( ) =:n

|L ( )( ) |

o


entonces tenemos que|L ( )

( ) | ( ) por lo que

( )|L ( )

( ) = ( )

para algun ( ) [ ] ası que

( ) ( ) =³( )

|L ( )( )´( ) = ( )

³³|L ( )

( )´( )´= 0

Entonces ( ) | ( )Por lo tanto ( ) = ( )

Ejercicio 209 Demuestre que 6 si y solo si =P{L ( ) | }

9.3. Polinomio caracterıstico y polinomio

mınimo

Teorema 113 Si = L ({ }) con dim ( ) = entonces ( ) = ± ( )

Demostracion. Es una consecuencia de las hipotesis que

=©

( ) 1 ( )ª

es una base de :Se tiene que ©

( ) | Nª

genera . Notemos que si ( ) L¡

( ) 1 ( )¢entonces

{ ( ) | N} L¡

( ) 1 ( )¢

y ası©

( ) 1 ( )ªgenera Por lo tanto

Tomemos ahora

= men©

N | ( ) L¡

( ) 1 ( )¢ª

9.3. POLINOMIO CARACTERISTICO Y POLINOMIO MINIMO 293

Tomemos©

( ) 1 ( )ªpor la manera en que escogimos en la lista

anterior ningun vector es combinacion lineal de los anteriores, por lo que©( ) 1 ( )

ªes linealmente independiente. Por lo tanto

6

Ası que = y por lo tanto

=©

( ) 1 ( )ª

es una base para .Ademas

[ ] = 2... 3... · · ·

......

0

1...

1

donde( ) = 0 + 1 ( ) + + 1

1 ( )

Calculemos el polinomio caracterıstico:

( ) = det

100...0

0

10...0

· · · · · · · · · · · ·

000...

1

0

1

2...

2

1

desarrollando el determinante respecto al primer renglon tenemos

( ) = det

10...0

0

1...0

· · · · · · · · ·

00...

1

1

2...

2

1

+¡1 +1

¢0

por induccion,

( ) =¡( 1) 1 ¡ 1

12

2 1

¢¢+¡1 +1

¢0 =


= ( 1)¡

11

22

1 0

¢Ası que

( ) ( ) = ( 1)¡

11

22

1 0

¢calculando en :¡

( )¢( ) =

( 1)¡

( ) 11 ( ) 2

2 ( ) 1 ( ) 0 ( )¢= 0

Por lo tanto ( ) | ( )Supongamos ahora que ( ) = 0 + 1 + + entonces

0 = 0 ( ) = ( ) ( ) = ( 0 + 1 + + ) ( )

de donde tenemos que 0 ( ) + 1 ( ) + + 11 ( ) = ( ) entonces

Por lo tanto grad( ( )) = = grad¡

( )¢Por otra parte, ( ) | ( )

como vimos arriba, ası que 6 Por lo tanto ( ) y ( ) tienen el mismo gradoy solo pueden diferir en el signo, es decir

( ) = ± ( )

Resta comprobar la base de la induccion de que

( ) = ( 1)¡

11

22

1 0

¢si = 1 entonces = L ( ) y ( ) = 0 luego = { } [ ] = ( 0) y ( ) =

0 = ( 1)1 ( 0)

Ejercicio 210 Demuestre el recıproco del Teorema anterior.

Ejemplo 125 SeaR2 R2µ ¶

7

µ+ 22 +

¶Entonces

µ10

¶=

µ12

¶, ası que

L

µ½µ10

¶¾¶= L

µ½µ10

¶ µ12

¶¾¶= R2

9.3. POLINOMIO CARACTERISTICO Y POLINOMIO MINIMO 295

Respecto a la base

=

½µ10

¶ µ12

¶¾la matriz de es [ ] =

µ0 51 2

¶Con polinomio caracterıstico

( ) = (2 ) + 5 = 2 2 + 5

Ademas

µ0 51 2

¶2=

µ5 102 1

¶

5

µ1 00 1

¶2

µ0 51 2

¶+

µ5 102 1

¶=

µ0 00 0

¶De donde ( ) | 2 2 + 5 Ademas 2 2 + 5, es irreducible en R [ ] pues susraıces son: 1 + 2 y 1 2 ( 1 2 ) ( 1 + 2 ) = + 2 2 + 5Por lo tanto ( ) = ( )

Ejercicio 211 Suponga que le consta queµ ¶µ0 2

1 2

¶=

µ0 2

1 2

¶µ ¶µ ¶

=

µ2

+ 2

¶

1. Muestre que hay 25 matrices que conmutan con

µ0 2

1 2

¶en

2×2(Z5)

2. De estas, ¿cuantas son invertibles?

3. ¿Cuantas matrices invertibles hay en 2×2 (Z5)?

4.

µ0 2

1 2

¶1 =

µ0 2

1 2

¶1

1 conmuta con

µ0 2

1 2

¶

5. ¿Cuantas matrices en 2×2 (Z5) son similares aµ0 2

1 2

¶?


Ejercicio 212 ¿Cuantas matrices hay en 2×2 (Z5) no diagonalizables, pero quetienen valores propios? Sugerencia. Notar que no puede tener dos valores propiosdistintos si no es diagonalizable, entonces ( ) = ( )2 = ( )

Ejercicio 213 ¿Cuantas matrices hay en 2×2 (Z5) que no sean diagonalizables,porque no tener valores propios? Sugerencia. Notar que 2 + + no tiene raıcesen Z5 2 + {2 3} Ası que hay 10 polinomios monicos de grado 2 sin raıcesen Z5

Ejercicio 214 ¿Que hay mas en 2×2 (Z5) matrices diagonalizables o matrices nodiagonalizables?

9.4. El Teorema de Cayley-Hamilton

Teorema 114 (Hamilton-Cayley) Si ( ) y

dim ( ) =

entonces( ) ( ) = 0 :

Equivalentemente: ( ) | ( )

Demostracion. Recordemos los siguientes resultados que ya demostramos.

1. ( ) =n

|L { }( ) |

o(Teorema 112).

2.|L { }

( ) = ±|L { }

( ) (Teorema 113).

3. 6|( ) | ( ) (Teorema 105).

Sea entonces|L { }

( ) = ±|L { }

( )

Ademas L { } 6 ası que por 3.,

|L { }( ) =

|L { }( ) | ( )

Por lo tanto, ( ) es un multiplo comun paran

|L { }( ) |

oPor lo

tanto ( ) | ( )Digamos que ( ) ( ) = ( ) con ( ) [ ]Ası que, evaluando en :

( ) = ( ) ( ) = 0 ( ) = 0

9.4. EL TEOREMA DE CAYLEY-HAMILTON 297

Ejemplo 126 Sea

2 (R) 2 (R)7 + ´

y sea = {1 2} la base canonica de 2 (R) Entonces

[ ] =1 1 00 1 20 0 1

por lo que ( ) = (1 )3 = 1 3 + 3 2 3

Escribamos las potencias de1 1 00 1 20 0 1

:

1 0 00 1 00 0 1

1 1 00 1 20 0 1

1 2 20 1 40 0 1

1 3 60 1 60 0 1

ası que

1 0 00 1 00 0 1

31 1 00 1 20 0 1

+ 31 2 20 1 40 0 1

1 3 60 1 60 0 1

=

=0 0 00 0 00 0 0

Como L ( 2) = L ({ 2 2 + 2 2 + 2 + 2}) y ademas { 2 2 + 2 2 + 2 + 2} es l.i. entonces L ( 2) = 2 (R) Ası que ( ) = ( ) por ser 2 (R) un espaciocıclico. Puede uno ver directamente que (o su matriz) no satisfacen 1 ni

(1 )2

Ejercicio 215 Mostrar que la matriz1 1 00 1 20 0 1

no satisface 1 y no satisface

(1 )2

Teorema 115 Si 6 , : es diagonalizable, y dim( ) =

entonces | : es diagonalizable.


Demostracion. es diagonalizable ( ) = ( 1) · ( 2) · · ( )donde 1 son los distintos valores propios deAhora,

|( ) | ( ), ası que

|( ) es un producto de factores de grado uno

distintos. Como las raıces del polinomio mınimo son los valores propios del operador,tenemos que | es diagonalizable.

9.5. Diagonalizacion simultanea

Definicion 113 Dos operadores : son simultaneamente diagonaliza-bles, si existe una base de tal que las matrices [ ] y [ ] son diagonales.

Teorema 116 Sean : dos operadores en un espacio de dimension finitaSupongamos que tanto como son diagonalizables. Entonces son equivalentes:

1. =

2. y son simultaneamente diagonalizables.

Demostracion. 2) 1) Supongamos que es una base formada por vectorespropios de y de Sea y digamos que ( ) = ( ) =Entonces

( ) ( ) = ( ( )) = ( ) = ( ( )) = ( )

simetricamente,

( ) ( ) = ( ( )) = ( ) = ( ( )) = ( )

de aquı es claro que los operadores y coinciden en la base . Por lapropiedad universal de las bases, tenemos que =1) 2) Por induccion sobre dim ( )Base. Si dim ( ) = 1 no hay nada que demostrar, pues

( ) u ( ) u

conu ( )7 ·

Paso inductivo.

9.5. DIAGONALIZACION SIMULTANEA 299

Supongamos que dim ( ) = 1 digamos que

= 1

M2

M Mdonde

n0o6= = Ker( ) {1 }

Supongamos que dim ( 1) dim ( ). 1 6 puesto que y conmutan

ademas1|es diagonalizable puesto que es diagonalizable (Teorema 115). En-

tonces, por hipotesis de induccion, |1y |

1son simultaneamente diagonalizables.

Con el mismo argumento, tenemos tambien que |2

L L y |2

L L sonsimultaneamente diagonalizables.Podemos suponer entonces que = donde = Ker( ) Entonces= · y entonces una base de vectores propios de es tambien una base de

vectores propios de

Ejemplo 127 Veremos que

1 3 30 2 10 4 3

, y4 0 90 8 00 0 8

son simultaneamente diagonalizables.

El polinomio caracterıstico para1 3 30 2 10 4 3

es

det1 3 30 2 10 4 3

= 2 + 3 3 = (2 ) ( 1 )2

Como

(( 2) ( + 1))1 3 30 2 10 4 3

=

=3 3 30 4 10 4 1

0 3 30 1 10 4 4

=

=0 0 00 0 00 0 0


vemos que el polinomio mınimo para esta matriz es ( 2) ( + 1) por lo que lamatriz es diagonalizable.

El polinomio caracterıstico para4 0 90 8 00 0 8

es

det4 0 90 8 00 0 8

= 256 + 12 2 3 = ( 4 ) (8 )2

Ahora,

(( + 4) ( 8))4 0 90 8 00 0 8

=0 0 90 12 00 0 12

12 0 90 0 00 0 0

=

=0 0 00 0 00 0 0

De aquı, que4 0 90 8 00 0 8

es diagonalizable.

Resta ver que ambas matrices conmutan:

1 3 30 2 10 4 3

4 0 90 8 00 0 8

=4 24 150 16 80 32 24

4 0 90 8 00 0 8

1 3 30 2 10 4 3

=4 24 150 16 80 32 24

Una base de vectores propios para la primera matriz se obtiene resolviendo

1 3 30 2 10 4 3

2 3 = 0

3 3 30 4 10 4 1

on1 0 3

4

0 1 14

0 0 0, las soluciones estan generadas por

314


1 3 30 2 10 4 3

+ 1 3 = 0

0 3 30 1 10 4 4

on0 1 10 0 00 0 0

. Espacio de soluciones:

L

100

011

Una base de vectores propios para1 3 30 2 10 4 3

es

314

100

011

donde el primer vector es un vector propio que corresponde a 2 y los otros dos corres-ponden al valor propio -1.

Tomemos la segunda matriz4 0 90 8 00 0 8

como 1

3 1 01 0 14 0 1

14 0 90 8 00 0 8

3 1 01 0 14 0 1

=

0 13

13

1 1 10 4

313

4 0 90 8 00 0 8

3 1 01 0 14 0 1

= :8 0 00 4 90 0 8

13 1 01 0 14 0 1

1

=0 1

313

1 1 10 4

313


Vemos que314

100

son vectores propios de4 0 90 8 00 0 8

:

4 0 90 8 00 0 8

314

=000

24 3832 4

=000

= 8

Analogamente,

4 0 90 8 00 0 8

100

=000

400

=000

= 4

Como vimos,011

no es un vector propio de la segunda matriz, pero011

100

sı puede serlo:

Resolvamos

4 0 90 8 00 0 8

011

100

=000

4 0 90 8 00 0 8

11

=000

4 + + 988

=000


Entonces = 8 y 4 + + 9 = 0 12 + 9 = 0, por lo tanto = 34ası que

011

( 3 4)100

=

34

11

es un vector propio comun para ambas matrices.Por lo tanto, una base de vectores propios comunes a las dos matrices es

314

100

34

11

Los valores propios de la primera matriz respecto de los vectores anteriores son:

2 1 1

mientras que los de la segunda matriz son

8 4 8

Ejercicio 216 Decidir si las siguientes dos matrices son simultaneamente diagona-lizables y de serlo encontrar una base comun de vectores propios.

2 5 1 92 1 1 36 6 3 122 2 1 6

4 0 1 32 2 1 34 2 0 62 0 1 1

Ejercicio 217 Decidir si la siguientes dos matrices son simultaneamente diagonali-zables y de serlo encontrar una base comun de vectores propios.µ

1 22 1

¶ µ1 11 2

¶

9.5.1. El centralizador de un operador diagonalizable

Teorema 117 Sea es un operador lineal en un espacio de dimensionentonces


1.

( ) = { ( ) | = }

es un subespacio vectorial de ( ) y

2. ( ) es cerrado bajo la composicion.

3. ( ) es un subanillo de ( )

Demostracion. 1. b0 conmuta conconmutan con

( + ) = + = + = ( + )

conmuta con ,

( ) = ( · ) = · ( ) = · ( ) =

= ( · ) = ( · ) = ( · ) = ( )

2. conmutan con

( ) = ( ) = ( ) = ( ) =

= ( ) = ( )

3. Basta notar que conmuta con

Ejercicio 218 Muestre que un operador : conmuta con

·

Denotemos D ( ) = { ( ) | es diagonalizable}

Teorema 118 Si : es un operador lineal diagonalizable en de dimensionfinita, entonces

( ) D ( ) = { : | es simultaneamente diagonalizable con }

Demostracion. Se sigue del Teorema 116.


Ejercicio 219 Use el Ejemplo 111 para mostrar que para una matriz × ( )diagonal y un polinomio ( ) [ ]

1 1 0 0 0 0

0. . . 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0. . . 0

0 0 0 0

=

( 1 1) 0 0 0 0

0. . . 0 0 0

0 0 ( ) 0 0

0 0 0. . . 0

0 0 0 0 ( )

Teorema 119 Son equivalentes para : operadores lineales simultanea-mente diagonalizables en un espacio de dimension finita, con conjuntos de valorespropios { 1 }: y { 1 }

1. ( ) [ ] tal que = ( )

2. Existe una suprayeccion

{1 }³ {1 }

tal que

´ =X( )=

Donde= Ker ( ) ´ = Ker ( )

Demostracion. 1) 2) Si ( ) = entonces ( ) ( ) = ( ) (Ejemplo111). Ası que el conjunto de valores propios de ( ) son

1 = ( 1) = ( )

Entonces es{1 } {1 }

7 si ( ) =

Ahora, ´ ( ) por lo queX( )= ( )

6 ´ ( ) (9.1)


{1 } Ademas

=X( )

X( )= ( )

6X( )

´ ( ) =

Como las sumas de arriba son directas, podemos concluir que

X( )

Xdim

( )= ( )

( ) = dim ( ) =X( )

dim¡´ ( )

¢por lo que, a la vista de la ecuacion 9.1,

dim¡´ ( )

¢=

Xdim

( )= ( )

( )

2) 1)

Supongamos que {1 }³ {1 } es tal que

´ =X( )=

{1 }

Tomemos un polinomio ( ) tal que ( ) =( )Entonces

( ) = ( ) ( ) = ( ) =( )·

Por otra parte,( ) = 6 ´

( )

ası que ( ) =( )· = ( ) ( )

En particular, y ( ) coinciden en una base de vectores propios para porlo que

( ) =


Ejercicio 220 Demuestre que ninguna de las dos matrices en el Ejemplo 127 sepuede expresar como un polinomio evaluado en la otra matriz.

Ejemplo 128 Consideremos las dos matrices reales2 0 01 3

212

1 12

32

y

3 0 04 1 24 2 1

Los valores propios de la primera son las raıces de

det2 0 01 3

212

1 12

32

= 4 8 + 5 2 3 = (1 ) (2 )2

Llamemos 1 = Ker2 0 01 3

212

1 12

32

1 3 · = L011

Llamemos 2 = Ker2 0 01 3

212

1 12

32

2 3 · =

= L120

011

Los valores propios de la segunda son: las raıces de

det3 0 04 1 24 2 1

= 9 3 + 5 2 3 = ( 1 ) (3 )2

Llamemos

´ 1 = Ker3 0 04 1 24 2 1

+ 1 3 · = L011

Llamemos

3 = Ker3 0 04 1 24 2 1

3 3 · = L120

011


Tomemos la funcion{1 2} { 1 3}1 7 12 7 3

Tenemos que ´ 1 = 1 y

3 = L

120

011

=

= 2 = L120

011

Entonces debe existir un polinomio ( ) tal que

2 0 01 3

212

1 12

32

=3 0 04 1 24 2 1

Tomemos un polinomio ( ) tal que (1) = 1 y tal que (2) = 3 :

3 (1 ) (2 ) = 5 + 4

En efecto.

42 0 01 3

212

1 12

32

5 3 =

=8 0 04 6 24 2 6

51 0 00 1 00 0 1

=3 0 04 1 24 2 1

Ejercicio 221 Encuentre un polinomio ( ) tal que

3 0 04 1 24 2 1

=2 0 01 3

212

1 12

32

Ejercicio 222 Sean × ( ) muestre que si tiene mas valores propiosque no puede haber un polinomio ( ) [ ] tal que ( ) =


Ejercicio 223 Muestre dos matrices diagonales × ( ), con el mismonumero de valores propios tal que ninguna de ellas sea un polinomio ( ) [ ]evaluado en la otra.

Ejercicio 224 Sea =

µ ¶entonces

( ) = det

µµ ¶¶= 2 ( + ) +

tiene dos raıces distintas en Z5 sii ( 2 2 + 2 + 4 ) {1 4}

Ejercicio 225 ¿Cuantas matrices diagonalizables hay en 2×2 (Z5)? Sugerencia:dos matrices similares tienen el mismo polinomio caracterıstico.

Ejercicio 226 Encuentre todas las matrices en 3×3 (Z5) que conmutan con3 0 00 1 00 0 1

Ejercicio 227 Cuente todas las matrices diagonalizables en 3×3 (Z5) que conmutan

con3 0 00 1 00 0 1

.

Ejercicio 228 Encuentre todas las matrices diagonalizables en 3×3 (Z5) que son

de la forma3 0 00 1 00 0 1

para algun polinomio ( ) [ ]

Teorema 120 Sea { 1 } un conjunto finito de operadores diagonalizables queconmutan dos a dos, entonces 1 son simultaneamente diagonalizables.

Demostracion. Por induccion sobreBase. Si = 1 hay nada que demostrar.= 2

Supongamos que

= 1

M2

donde 1 2 son los distintos valores propios de .


Como 2 conmuta con 1 entonces 12

(Teorema 108).

Por el Teorema 115,

1

2|1

1

es diagonalizable.Ası que

1=X¡

1 2

¢de donde tenemos que

=X¡

1 2

¢(9.2)

esta suma es directa (ejercicio).Ası es claro que si tomamos una base de 1 2

entonces

es una base de vectores propios de 1 y de 2

Paso inductivo.Supongamos que 2 y que 1 1 son simultaneamente diagonalizables,

digamos que los vectores propios de son

1 2

entonces=

M( 1 2 1)

³1 1 2 2 1 1

´Fijemonos en un sumando directo de la ecuacion arriba, por ejemplo en

= 1 1 2 1 1 1

Este sumando es invariante por ser una interseccion de subespacios inva-riantes.

Como | es diagonalizable, entonces

=M

( )

=M

( 1 2 1 )

³1 1 2 2 1 1

És decir 1 son simultaneamente diagonalizables.


Ejercicio 229 Demostrar que la suma en 9.2 es directa.


Capıtulo 10

Formas canonicas

10.1. Lemas basicos de descomposicion

Teorema 121 Sea ( ) y ( ) = ( ) ( ) con m.c.d.{ ( ) ( )} = 1. Entonces

= Ker ( ( ))LKer ( ( ))

Demostracion. 1 = ( ) ( ) + ( ) ( ) para algunos ( ) ( ) [ ], en-tonces

= ( ) ( ) + ( ) ( )

entonces,

= ( ( ) ( )) ( ) + ( ( ) ( )) ( )

notemos que el primer sumando pertenece a Ker( ( )) :

( ) (( ( ) ( )) ( )) = ( ( ) ( )) [ ( ) ( )] =

= ( ) [ ( ) ( )] = 0 [ ( ) ( )] = 0

Analogamente, ( ( ) ( )) ( ) Ker( ( ))Por lo tanto

= Ker ( ( )) + Ker ( ( ))

Resta ver que Ker( ( )) Ker( ( )) =n0o

Como = ( ) ( ) + ( ) ( ) entonces

Ker ( ( )) Ker ( ( )) Ker ( ) =n0o

313

314 CAPITULO 10. FORMAS CANONICAS

Por lo tantoKer ( ( )) Ker ( ( )) =

n0o

Lema 20 Sea ( ) y ( ) = 11 ( ) ·

22 ( ) · · ( ) con ( )

irreducible monico para cada {1 } y ( ) 6= ( ) si 6= Sea

= Ker¡

22 ( ) ( )

¢entonces

1.

2.|( ) = 2

2 ( ) · · ( )

Demostracion. 1. Sea sigue del Teorema 108.2. Como un operador se anula en su nucleo, entonces

22 ( ) · · ( ) =

¡22 ( ) · · ( )

¢( )

se anula en Por lo tanto

|( ) | 2

2 ( ) · · ( )

Por otra parte, se sigue del Teorema anterior que

= Ker¡

11 ( )

¢Lası que es claro que

11 ( ) |

( ) =³

11 ( ) · |

( )´( )

se anula en Por lo tanto,

( ) = 11 ( ) ·

22 ( ) · · ( ) | 1

1 ( ) · |( )

ası que22 ( ) · · ( ) |

|( )

10.1. LEMAS BASICOS DE DESCOMPOSICION 315

Teorema 122 Sea ( ) y ( ) = 11 ( ) ·

22 ( ) · · ( ) con ( )

irreducible monico para cada {1 } y ( ) 6= ( ) si 6= Entonces

= Ker¡

11 ( )

¢LKer

¡22 ( )

¢L LKer

¡( )¢

Demostracion.©

11 ( )

22 ( ) ( )

ª= 1 Entonces, por el Teorema

anterior,= Ker

¡11 ( )

¢L¡Ker

¡22 ( ) ( )

¢¢Sea =Ker

¡22 ( ) ( )

¢entonces con un razonamiento inductivo ( ya

que el polinomio mınimo de | es 22 ( ) · · ( ) (Lema anterior),

= Ker¡

22 ( )

¢L LKer

¡( )¢

Ası, finalmente,

= Ker¡

11 ( )

¢LKer

¡22 ( )

¢L LKer

¡( )¢

(Observese que la base de la induccion, = 1 es trivial y para = 2 es inmediatodel Teorema anterior).

Lema 21 Si ( ) = ( ) es irreducible dim( ) = entonces

=M=1

L ( )

Demostracion. Sea \n0oentonces

n0o© L ( ) 6 por lo que

1 6=|L ( )

( ) | ( ) = ( )

Ası que ( ) =|L ( )

( ) = ±|L ( )

( ) (Teorema 113).

Ahora,dim (L ( )) = grad ( ( ))

Si L ( ) © tomemos 1 \L ( ) entonces

L ( ) + L ( 1) = L ( )LL ( 1)

pues si 0 6= L ( ) L ( 1) entonces L ( ) L ( 1) L ( ) serıan todos dedimension grad( ( )) y como L ( ) L ( ) L ( ) L ( 1), entonces

L ( 1) = L ( ) = L ( ) ( 1 \L ( ))


Si L ( )LL ( 1) © tomemos 2 \ (L ( )

LL ( 1)) entonces

(L ( )LL ( 1)) + L ( 2) = (L ( )

LL ( 1))

LL ( 2)

pues si 0 6= (L ( )LL ( 1)) L ( 2) entonces L ( ) = L ( 2) y entonces

2 L ( 2) 6 L ( )LL ( 1)

Continuando de esta manera encontramos una sucesion de subespacios

L ( ) L ( 1) L ( 2) L ( 1)

tales que

L ( )LL ( 1)

LL ( 2)

L LL ( 1) =

(La sucesion termina pues dim ( ) = ).

Ademas

dim ( ) = · grad ( ( ))

es decir que grad( ( )) | dim ( )

10.2. La matriz companera de un polinomio

Definicion 114 Sea

( ) = 0 + 1 + 22 + + 1

1 +

un polinomio monico de grado definamos la matriz companera de como

=

0 0 · · · 0 0 0

1 0 · · · 0 0 1

0 1 · · · 0 0 2....... . .

......

...0 0 · · · 1 0 2

0 0 · · · 0 1 1

Teorema 123 ( ) = ± ( )

Demostracion. Vease la demostracion del Teorema 113

10.3. MATRICES DIAGONALES POR BLOQUES 317

Ejemplo 1290 0 11 0 20 1 3

tiene polinomio caracterıstico

(1 + 2 + 3 2 + 3) :

det0 1

1 20 1 3

= det0 0 1

1 + 2 23 + 2 1 3

=

= 1det

µ1 + 23 + 2 1

¶=

¡1 + 2 + 3 2 + 3

¢Ejemplo 130 Como 2+1 es irreducible en R [ ] entonces su matriz companera noes diagonalizable, es decir, µ

0 11 0

¶no es diagonalizable.Por la misma razon, la matriz companera de¡

2 + 1¢( 2) ( ) = 4 2 3 + 2 2

no es diagonalizable:0 0 0 01 0 0 20 1 0 10 0 1 2

10.3. Matrices diagonales por bloques

Teorema 124 Si =

µ0

0

¶entonces ( ) = [ ( ); ( )]

Demostracion.

=

µ0

0

¶para toda N y tambien,

=

µ0

0

¶


Entonces para( ) = 0 + 1 + +

tenemos que( ) = 0 + 1 + +

y que

( ) =

µ( ) 00 ( )

¶Entonces si ( ) = 0 tambien ( ) = 0 y ( ) = 0 Por lo tanto

( ) | ( )

y( ) | ( )

Por lo tanto,[ ( ) ; ( )] | ( )

En particular,[ ( ) ; ( )] | ( )

Por otra parte denotemos( ) = [ ( ) ; ( )]

entonces( ) = ( ) 1 ( ) ( ) = ( ) 2 ( )

entonces( ) = 1 ( ) ( ) = 0

y( ) = 2 ( ) ( ) = 0

Por lo tanto

( ) =

µ( ) 00 ( )

¶=

0 · · · 0.... . .

...0 · · · 0

0 · · · 0.... . .

...0 · · · 0

0 · · · 0.... . .

...0 · · · 0

0 · · · 0.... . .

...0 · · · 0

10.3. MATRICES DIAGONALES POR BLOQUES 319

Entonces( ) | ( ) = [ ( ) ; ( )]

Por lo tanto( ) = [ ( ) ; ( )]

Ejemplo 131 =

µ0

0

¶=

0 0 41 0 80 1 5

=

µ0 31 4

¶.

El polinomio mınimo para es: 4 + 8 5 2 + 3

el polinomio mınimo para es: 3 4 + 2.

:=

0 0 4 0 01 0 8 0 00 1 5 0 00 0 0 0 30 0 0 1 4

4 + 8 5 2 + 3, tiene raıces:122

Las raıces de 3 4 + 2, son

½31

¾por lo tanto,¡©

4 + 8 5 2 + 3 3 4 + 2ª¢= ( 1)( 2)2( 3)

ası que el polinomio mınimo para debe ser ( 1)( 2)2( 3)En efecto,

( 1) = (

0 0 4 0 01 0 8 0 00 1 5 0 00 0 0 0 30 0 0 1 4

1 · 5) =

1 0 4 0 01 1 8 0 00 1 4 0 00 0 0 1 30 0 0 1 3

( 2)2 = (

0 0 4 0 01 0 8 0 00 1 5 0 00 0 0 0 30 0 0 1 4

2 · 5)2 =

4 4 4 0 04 4 4 0 01 1 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1


( 3) = (

0 0 4 0 01 0 8 0 00 1 5 0 00 0 0 0 30 0 0 1 4

3 · 5) =

3 0 4 0 01 3 8 0 00 1 2 0 00 0 0 3 30 0 0 1 1

Ahora,1 0 4 0 01 1 8 0 00 1 4 0 00 0 0 1 30 0 0 1 3

4 4 4 0 04 4 4 0 01 1 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

=

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 1 30 0 0 1 3

3 0 4 0 01 3 8 0 00 1 2 0 00 0 0 3 30 0 0 1 1

=

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

10.4. El p-zoclo

Definicion 115 Sea un operador lineal en un espacio vectorial de dimen-sion finita, sea ( ) [ ] un polinomio irreducible, entonces

zoc( ) =: Ker ( ( ))

Observacion 87 zoc( ) 6

Demostracion. Esto se sigue de que y ( ) conmutan (ver el Teorema 108).

Lema 22 Sea { } , una familia enh{0}

ital queX

=M

entonceszoc(

M) =

M( zoc( ))

10.4. EL P-ZOCLO 321

Demostracion. Primero,

zoc( )

y X\{ }

zoc( )X\{ }

( )

por lo que

zoc( ) (X\{ }

{ zoc( )})X\{ }

( ) =n0o

y por lo tanto Xzoc( ) =

Mzoc( )

)

¯ zoc(M

) ¯ = ¯ 1 + + ¯ con ¯

y0 = ( )(¯) = ( )( ¯ 1) + + ( )( ¯ )X

=M

( ( ¯ ) = 0

¯ zoc( ) ¯X

zoc( ) =M

zoc( )

)

¯M

zoc( ) ¯ = ¯ 1 + + ¯ con ¯ zoc( )

( )( ¯ ) = 0

( )(¯) = 0

¯ Ker( ( )) y ¯M

¯ zoc(M

)


Teorema 125 Sea = L ({¯}) y ( ) =: ( ), sea ¯ = ( )(¯) con ( ) [ ](i. e. ¯ L ({¯})), entonces

ˆ( ) =:|L ({¯})

( ) =( )

( ( ); ( ))

Demostracion.µ(

( )

( ( ); ( ))) ( )

¶(¯) =

µ(

( )

( ( ); ( ))) ( )

¶( ( ) (¯)) =

=

µ( )

( ( ); ( ))· ( )

¶( )(¯) =

µ( )

( ( ); ( ))· ( )

¶( )(¯) =

=

µµ( )

( ( ); ( ))

¶( ) ( )

¶(¯) =

µµ( )

( ( ); ( ))

¶( ) 0

¶(¯) = 0

Por lo tanto,

¯ Ker

µµ( )

( ( ); ( ))

¶( )

¶6

entonces

L ({¯}) ¯

µ( )

( ( ); ( ))

¶( )

y µ( )

( ( ); ( ))

¶( |L ({¯})) = 0|L ({¯});

por lo que

ˆ( )|( )

( ( ); ( ))

Ahora,0 = ˆ( )( )(¯) = ˆ( )( ( )(¯)) = (ˆ( ) · ( ))( )(¯)

por lo que¯ Ker((ˆ( ) · ( )) 6

y entonces= L ({¯}) Ker(ˆ( ) · ( ))( )

con lo que(ˆ( ) ( ))( ) = 0

Entonces( ) | ˆ( ) ( )


y por lo tanto( )

( ( ); ( ))| ˆ( )

( )

( ( ); ( ))

pero µ( )

( ( ); ( ));

( )

( ( ); ( ))

¶= 1

por lo tanto( )

( ( ); ( ))| ˆ( )

Finalmente concluımos que( )

( ( ); ( ))= ˆ( )

Ejemplo 132 De que si = L ( ), con polinomio mınimo, entonces para cualquierotro polinomio ( ), tenemos que

|L ( ( )( ))( ) =

( )

( ( ) ; ( ))

Tomemos el polinomio

( 1) ( 2)¡2 + + 1

¢R [ ]

cuya matriz companera es

=

0 0 0 21 0 0 10 1 0 00 0 1 2

Entonces

R4 = L ( 1)

Estamos tomando

: R4 · R4¡2 + + 1 ·

¢( 1) =


=

0 0 0 21 0 0 10 1 0 00 0 1 2

2

+

0 0 0 21 0 0 10 1 0 00 0 1 2

+ 4 ( 1) =

=

1 0 2 61 1 1 11 1 1 10 1 3 7

( 1) =

1110

Lo que debemos esperar es que este vector genere un espacio -cıclico tal que larestriccion de a este subespacio tenga polinomio mınimo ( 1) ( 2), veamosque en efecto es ası:

L

1110

= L

1110

1110

2

1110

=

y

=

0 0 0 21 0 0 10 1 0 00 0 1 2

0111

=

2113

Ahora,1110

0111

2113

ya es un conjunto linealmente dependiente. Expresemos el tercer vector como combi-nacion lineal de los anteriores, resolviendo el sistema con matriz

1 0 21 1 11 1 10 1 3

obtenemos1 0 20 1 30 0 00 0 0


Ası que

2(

1110

) = 2

1110

) + 3 (

1110

)

por lo tanto el polinomio mınimo correspondiente es

2 3 + 2 = ( 1) ( 2)

Lema 23 Sea= L (¯)

y( ) = ( )

con ( ) [ ] irreducible y monico. Entonces

zoc( ) =©¡

1( ) · ( )¢( ) (¯) | ( ( ) ; ( )) = 1

ªDemostracion. ) Obvio.)

¯ ( zoc( )) \{0} = ( zoc (L {¯})) \{0}

¯ = ( )(¯) p. a. ( ) 1 ]

y( )(¯) = 0

Ası,

|L ({¯})( ) | ( )

(por definicion), y entonces

|L ({¯})( ) = ( )

Pero por el Teorema anterior:

|L ({¯})( ) =

( )

( ( ) ; ( ))=

( )

( ( ) ; ( ))

por lo que( ( ) ; ( ))) = 1( )

entonces( ) = 1( ) ( )


con ( ( ); ( )) = 1.Finalmente se concluye que

¯©¡

1( ) · ( )¢( ) (¯) | ( ( ) ; ( )) = 1

ª

Lema 24 Sea = L (¯) , ( ) = ( ) con ( ) [ ] irreducible y monico y

¯ \n0o. Entonces

zoc ( ) = zoc({L (¯)})

Demostracion. ) Obvio.) El Lema anterior garantiza que,

¯ zoc( ) ¯ = 1( ) ( )(¯)

con ( ; ) = 1.Ahora sea

0 6= ¯ = ( )(¯)

con( ) = ( ) ( )

y( ( ); ( )) = 1

entonces

|L ({¯})( ) =

( )

( ( ); ( ))= ( )

¯ zoc(L ({¯}) ¯ = 1( ) ( ) (¯)

( ( ) ; ( )) = 1

Ası que

zoc(L ({¯}) =©

1( ) ( ) (¯) | ( ( ) ; ( )) = 1ª=

=©

1( ) ( ) ( ( ) ( )(¯)) | ( ( ) ; ( )) = 1ª=

=©

1( ) ( ) ( ( )(¯)) | ( ( ) ; ( )) = 1ª

Ahora, como


( ( ) ; ( )) = 1

y( ( ) ; ( )) = 1

entonces( ( ) ( ) ; ( )) = 1

Por lo tanto

zoc(L ({¯}) =©

1( ) ( ) ( )(¯) | ( ( ) ; ( )) = 1ª

Ahora, si¯ zoc(L ({¯})

entonces¯ = 1( ) ( )(¯)

con ( ; ) = 1

Sea 1 = + , entonces

= 1 = ( + ) = +

por lo que

¯ = 1( ) ( )(¯) = 1( ) ( + ) ( ) (¯) =

= ( ) ( ) ( ) (¯) +¡

1¢( ) (¯) =

= 0 +£¡

1¢( )¤(¯) =

£¡1

¢( )¤(¯)

y ( ; ) = 1Entonces

¯ zoc(L ({¯})

Ası que¯ zoc (L ({¯})) zoc(L ({¯})

Teorema 126 Si dim ( ) = , ( ) y ( ) = ( ) con ( ) [ ]irreducible y monico, entonces

=M=1

(L ({¯ })

p. a. ¯ = 1


Demostracion. Por induccion sobre .La base se demostro anteriormente como un lema.Considerese el diagrama conmutativo

=

( ) ( ) ( ) ( )

-

-| ( )( )

6 6

ası1 ( ) ( ( )( )) =

n0o

con lo que,

| ( )( )( ) | 1( )

y por lo tanto

| ( )( )( ) =

con 6 1.Por hipotesis de induccion

( )( ) =M=1

(L ({¯ }))

con ¯ ( )( )\{0}, pero si ¯ ( )( ) entonces ¯ = ( )(¯ ) ¯ 6= 0Demostraremos primero queX

=1

(L ({¯ })) =M=1

(L ({¯ }))

¯ L ({¯ })X=1

6=

L ({¯ }) ¯ = ( )(¯ ) =X=1

6=

( )(¯ )

( ) (¯) = ( ) ( )(¯ ) =X=1

6=

( ) ( ) (¯ )

( ) (¯) = ( ) (¯ ) =X=1

6=

(¯ )


( ) (¯) L ({¯ })X=1

6=

L ({¯ }) = {0}

L ({¯ })X=1

6=

L ({¯ }) = {0}

( ) (¯ ) = ( )(¯) = 0

( ) =|L ({¯ })

( ) | ( )

( ) =|L ({¯ })

( ) | ( )

para alguna 0( ) | ( )

Con un razonamiento analogo, ( ) | ( ) para = 1 . Sea

( ) = ( )ˆ ( ) = 1

Entonces como

( )(¯ ) =X=1

6=

( )(¯ ) = ¯

tenemos que:

¯ =³( ) ˆ ( )

´(¯ ) =

X=1

6=

³( ) ˆ ( )

´(¯ ) =

=³ˆ ( ) ( )

´(¯ ) =

X=1

6=

³ˆ ( ) ( )

´(¯ ) =

ˆ ( )(¯ ) =X=1

6=

³ˆ ( )

´(¯ ) L ({¯ })

X=1

6=

L ({¯ }) = {0}

Es decir ¯ = 0 y por lo tantoX=1

(L ({¯ })) =M=1

(L ({¯ }))


Ahora, zoc( ( )( )) zoc( ) y zoc( ) satisface la base de la induccionya que su polinomio mınimo es ( ). Entonces zoc( ) = zoc( ( )( ))

L(con 6 y es por lo tanto suma de cıclicos).Veamos que M

=1

(L ({¯ })) = {0}

¯

ÃM=1

(L ({¯ }))

!

¯ zoc( )

ÃM=1

(L ({¯ }))

!=

= zoc(M=1

(L ({¯ }))) =

=M=1

( zoc(L ({¯ }))) =

1

=M=1

( zoc(L ({¯ })))

Por lo tanto,

¯ ( zoc( ( )( ))) =n0o

Por ultimo demostraremos que

= (M=1

(L ({¯ }))M

(y por lo tanto = (L=1

(L ({¯ }))).

¯ ( )(¯)M=1

L ({¯ })

( )(¯) =X=1

( )( ( ) (¯ ) = ( )

ÃX=1

( )((¯ )

!(¯ )

1Por el Teorema anterior.


¯X=1

( ) (¯ ) Ker( ( )) = zoc( ) = zoc( ( )( )) +

¯ = (X=1

( )(¯ ) + ¯) + ¯

con

¯ zoc( ( )( ))X=1

(L ({¯ }))

y ¯ entonces

¯ (M=1

(L ({¯ }))M

Por lo tanto

= (M=1

(L ({¯ }))M

Definicion 116 Si × ( ) y × ( ) la concatenacion de yes la matriz ( | ) + que se obtiene agregando a las columnas de

Explıcitamente, ( | ) =

½si

si.

Ejemplo 133 Consideremos el polinomio en R [ ], 2+1 = ( ), cuya matriz com-panera es µ

0 11 0

¶=

( 2 + 1)2= 4 + 2 2 + 1, cuya matriz companera es:

0 0 0 11 0 0 00 1 0 20 0 1 0

=

y ( 2 + 1)3, cuya matriz companera es:

0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 00 1 0 0 0 30 0 1 0 0 00 0 0 1 0 30 0 0 0 1 0

=


Formemos la matriz

=

µ0 11 0

¶0 0

0

0 0 0 11 0 0 00 1 0 20 0 1 0

0

0 0

0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 00 1 0 0 0 30 0 1 0 0 00 0 0 1 0 30 0 0 0 1 0

Por construccion, el polinomio mınimo para esta matriz es ( 2 + 1)3

Desde luego aquı ya tenemos expresado

R12 = L ({ 1})M

L ({ 3})M

L ({ 7})

pero queremos ilustrar como funciona el argumento inductivo.2

Sea: R12 · R12¡2 + 1

¢( ) = (10.1)

=¡

2 + 1¢=

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

2

+ 1 · 12

2Escojo deliberadamente este ejemplo, en que la descomposicion esta a la vista, precisamentepara que sea claro.


=

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 30 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2

= ( )

Notemos ahora que ( ) (R12) esta generado por

( ) ({ 1 12}) =n0 ( ) ( 3) ( ) ( 12)

o

(Observar que las dos primeras columnas de la matriz son 0 y corresponden a ( )( 1)y ( )( 2). Ademas

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 30 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2


tiene rango 6, su transpuesta es

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 1 0 3 0 2 00 0 0 0 0 0 0 1 0 3 0 2

Reduciendo y escalonando:

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


su transpuesta es

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

Por lo tanto

=: { 3 + 5 4 + 6 7 + 9 8 + 10 9 + 11 10 + 12}

es una base para ( ) ( )

Ahora, la matriz de

( ) ( ) ( ) ( )-( )| ( )( )

respecto a la base{ 3 + 5 4 + 6 7 8 9 10 11 12}

se obtiene ası:

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 1 0 1 00 0 0 1 0 10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

=


=

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 1 0 0 00 0 0 1 0 30 0 1 0 1 00 0 0 1 0 20 0 0 0 1 0


Ahora quisieramos expresar cada columna de la matriz de la derecha como com-binacion lineal de la base Concatenando las siguientes matrices

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 1 0 1 00 0 0 1 0 10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 1 0 0 00 0 0 1 0 30 0 1 0 1 00 0 0 1 0 20 0 0 0 1 0

obtenemos:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 30 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 20 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0


escalonandola y reduciendola obtenemos:

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 20 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

De las 6 ultimas columnas y eliminando los 6 ultimos renglones , obtenemos

0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 1 0 0 00 0 0 1 0 20 0 0 0 1 0

que es la matriz de

( ) ( ) ( ) ( )-( )| ( )( )

respecto de la base ..Hemos reducido el problema original, para una matriz de 16 × 16 a una matriz

de 6× 6Notemos ademas que el polinomio mınimo de ,

=:

0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 1 0 0 00 0 0 1 0 20 0 0 0 1 0

es1 + 2 2 + 4 =

¡2 + 1

¢2


Es claro del diagrama

( ) ( ) ( ) ( )

=

R6 R6

-| ( ( ))

? ?-·( )

y de

R6 = L ({ 1})M

L ({( 3)})

que 3

( ) ( ) = L¡

1 ( 1)¢M

L¡

1 ( 3)¢= L ( 3 + 5)

ML ( 7 + 9)

Ahora

3 + 5 ( ) ( ) 3 + 5 = ( ) (¯1) :

resolvamos

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

(¯1) =

001010000000

3Recuerde que =: { 3 + 5 4 + 6 7 + 9 8 + 10 9 + 11 10 + 12}


reduzcamos y escalonemos la matriz aumentada,

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0


por lo tanto

001010000000

=

000010000000

001020000000

=

= ( ( ) ( 4) ( ) ( 6)) = ( ) ( 4 6)

Ası

¯1 = 4 6

Resolvamos ahora

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

(¯3) = 7 + 9 =

000000101000


Concatenando:

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

, reduciendo y es-

calonando:1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

Por lo tanto,

000000101000

= 2

000000001000

3

000000000010

000000103030

=


2 ( )( 8) 3 ( )( 10) ( )( 12) = ( ) ( 2 8 3( 10) 12)

Por lo tanto

¯3 = 2 8 3( 10) 12

funciona.

Ası,

= R12 =³L (¯1)

ML (¯3)

´M³ M

zoc( ( ) ( ))´= zoc ( )

zoc( ) = Ker( ))

Resolvamos

( )¯ = 0 :

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 30 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

=

000000000000


la solucion es : 4

1

2

3

4

3

4

5

6

2 5

2 6

5

6

:

1 1 + 2 2 + 3 ( 3 + 5) + 4 ( 4 + 6) + 5 ( 7 + 2 9 + 11) + 6 ( 8 + 2 10 + 12) =

4Si se reduce y escalona

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 30 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2

, se obtiene

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


= 1

100000000000

+ 2

010000000000

+ 3

001000000000

+

000010000000

+ 4

000100000000

+

000001000000

+

+ 5

000000100000

+ 2

000000001000

+

000000000010

+ 6

000000010000

+ 2

000000000100

+

000000000001


Ası que

100000000000

010000000000

001010000000

000101000000

000000102010

000000010201

es una base para zoc( ) (observemos que tiene dimension 6).

Algunos vectores de esta base pertenecen a ( ) ( ), podemos ver cuales, resol-viendo la ecuacion

( ) ¯ = ¯

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 30 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2

(¯)=


=

100000000000

010000000000

001010000000

000101000000

000000102010

000000010201

Ası, somos conducidos al problema de ver cuales combinaciones lineales de las colum-nas de la matriz abajo a la izquierda, son combinaciones lineales de las columnas dela matriz abajo a la derecha.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 30 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 2 00 0 0 0 0 20 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1


este problema es equivalente al de encontrar las soluciones del sistema homogeneocuya matriz se obtiene concatenando las dos matrices anteriores:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 0 0 0 0 0 20 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1

escalonando y reduciendo:

0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


De aquı vemos que la primera, y la segunda columnas de

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 2 00 0 0 0 0 20 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

no estan en ( )( ) es decir

L

100000000000

= L

100000000000

010000000000

=

Por lo tantoR12 = L (¯1)

ML (¯3)

ML ( 1)

donde¯1 = 4 6 ¯3 = 2 8 3 10 12

Ahora,

dimL (¯1) = grad¡

|L (¯1) ( )¢= grad

¡( ) |L ( 1) ( )

¢= 2 + 2 = 4

dimL (¯3) = grad¡( ) |L ( 3) ( )

¢= 2 + 4 = 6


dimL ( 1) = grad¡

|L ( 1) ( )¢= grad ( ( )) = 2

Note, que en efecto,4 + 6 + 2 = 12

Proposicion 20 : lineal con ( |L (¯) ) = ( ) ( ( ) [ ] irre-ducible) { ( ) 1( )(¯) | ( ; ) = 1} = { ( ) 1( )(¯) | [ ]}

Demostracion. ) Obvio.) Si ( ) | ( ) entonces

( ) 1( ) = 0 { ( ) 1( )(¯) | ( ; ) = 1}

Si ( ) - ( ) entonces la pertenencia es clara.

10.5. Sumandos cıclicos

Observacion 88 Si dim( ) = y ( ) = con [ ] irreducible y( ) entonces el numero de sumandos en la descomposicion de en su-

bespacios cıclicos esdim( ) rango( ( ))

grad( ( ))

Esto es, si =L=1

L ({¯ }), entonces = rango( ( ))grad( ( ))

Demostracion. Sea { }y

( |L ({¯ }) ) = ( ) 1 6

ası,zoc(L ({¯ })) = { 1( ) ( )(¯ ) | ( ; ) = 1} =

= { ( ) 1( )(¯ ) | [ ]} = L ({ 1( )( )})

entonces1 - |L {¯ } ( ) | ( )

( y por lo tanto son iguales), entonces

dim( zoc(L ({¯ })) = grad( ( ))

10.6. ESPACIOS COCIENTE 351

Ademas, ya que

zoc( ) =M=1

( zoc(L ({¯ })))

se tienedim( zoc( )) = · grad( ( ))

y por lo tanto

=dim( zoc( ))

grad( ( ))=dim(Ker( ( )))

grad( ( ))=dim ( ) (rango( ( ))

grad( ( ))

10.6. Espacios cociente

Definicion 117 Sea definimos en por si

Observacion 89 es una relacion de equivalencia en

Demostracion. Reflexividad) = 0Simetrıa) ( ) = ( ) .Transitividad)

( ) (( ) = ( ) + ( ) )

Definicion 118 es el conjunto de clases de equivalencia

=n[ ] |

oObservacion 90

[ ] = { | } = { | = + p. a. } = +

Teorema 127

×+


definida por [ 1] + [ 2] = [ 1 + 2] esta bien definida

Demostracion. La definicion [ ] + [ ] no depende del representante de [ ] :³1

´( 1 = + ) ( 1 + = + + )

³1 + +

Ánalogamente, [ ] + [ ] no depende del representante de [ ]

Teorema 128³ b+ h

0i ´

es un grupo conmutativo.

Demostracion. Se deja como ejercicio.

Ejercicio 230 Demostrar el Teorema anterior.

Definicion 119 Definimos ×ˆ

por ˆ [ ] =: [ ]

Observacion 91 ˆ no depende del representante de [ ]

Demostracion. Supongamos que 1 como

1 1 = +

entonces

1 = +

1

Teorema 129 es un espacio vectorial sobre con las operaciones anteriores.

Demostracion. Ejercicio.

Ejercicio 231 Demuestre el Teorema anterior.

Observacion 92

7 +

es una funcion lineal suprayectiva con nucleo


Demostracion. Es claro que respeta la suma.Ademas,

( ) = + = ˆ ( + )

pues ˆ [ ] = [ ] .

Ker( ) =n| + = 0 +

o=

h0i=n0 + |

o=

Es claro que es suprayectiva.

Corolario 28 Sea y : ³ , Entonces

1. dim( ) = nul( )+ rango( ( )) = dim( ) + dim( )

2. dim( ) = dim( ) dim( )

Observacion 93 Consideremos

À³lineal

7 +

Si , y , entonces ( )base

Demostracion. ( ) genera :Sea , como L( ) L ( ) entonces

= 1 + 1 con 1 L( ) 1 L ( )

ası que ( ) = ( 1) + ( ) = ( )

( ) (L ( )) = L ( ( ))

= ( ) L ( ( ) = (L ( )) ( )

= (L ( ))

( )es en :

Supongamos que 1 ( 1) + + ( ) = 0


Como 1 ( 1) + + ( ) = ( 1 1 + + ) tenemos que

1 1 + + L ( ) = L ( ) L ( )

Como L ( ) L ( ) =n0oentonces 1 1+ + = 0 Pero como es linealmente

independiente,

1 = = = 0

Observacion 94 Si es lineal y entonces

+ 7 ( ) +

es lineal y esta bien definida.

Demostracion. Veamos que e esta bien definida:

= 1 + ( ) = ( 1) + ( )

con ( ) Por lo que ( ) ( 1)Toda vez que hemos visto que la definicion de es buena, es inmediato que es

una funcion lineal:³[ ] + [ ]

´=

³[ + ]

´= ( + ) =

= ( ) + ( ) =³[ ]

´+

³[ ]

´Podemos hacer un diagrama para representar la situacion anterior:

= =

-

?|

-

? ?¯

- -

ası que= (10.2)


Teorema 130 Sea un operador lineal en un espacio de dimension finita

y . Entonces ( ) | ( ) Donde es tal que + 7

( ) + .

Demostracion. Sea , donde , entonces

( )

y observemos que

[ ] =

"[ ]

0£ ¤ ( )

( )

#Digamos que | | = y que dim( ) = Sea el j-esimo elemento de

Entonces la columna + esima de [ ] es [ ( )]

Por otra parte, la esima columna de£ ¤ ( )

( )es£

( + )¤( )= [ ( ) + ] ( )

Si( ) = +

X+

con = { 1 } entonces

( + ) = ( ( )) = ( ) =

=

Ã+X

+

!=X

+ ( )

Por lo que la esima columna de£ ¤ ( )

( )es

+1

+2...

1

en tanto que la + -esima

columna de [ ] es

...

+1...


Podemos observar que el siguiente diagrama conmuta:

-

?

|¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢®

-

?

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢®

?

¯¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢®

( )

-

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢®

-

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢®

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢®

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢®

( )

-

?

[ | ] ·

-

?

[ ] ·

?

[ ¯]( )

( )·

- -

Teorema 131 Sea un operador lineal en un espacio de dimension finita y. Denotemos ¯ : al operador tal que + 7 ( ) + Si

es diagonalizable, entonces ¯ tambien es diagonalizable.

Demostracion. Es una consecuencia del Teorema 130 que¡¯¢= 0 :

Ası que ¯ ( ) | ( ) Ası que si ( ) es un producto de factores de gradouno distintos, entonces sucede lo mismo a ¯ ( )Podemos juntar el Teorema anterior con el Teorema 115:

Teorema 132 Si 6 , y : es diagonalizable, dim( ) =

entonces | : y ¯ : son diagonalizables.

El Teorema anterior puede sugerir la siguiente pregunta, ¿ si | : y¯ : son diagonalizables, necesariamente sera diagonalizable?

Ejemplo 134 Sea = R2 =

µ1 20 1

¶· : R2 R2 Tomemos

= L

µµ10

¶¶

10.7. FORMA CANONICA RACIONAL 357

Es claro que | = que es diagonalizable.Por otra parte,

¯ :

esta determinado por ¯µµ

01

¶+

¶dado que

½µ01

¶+

¾es una base para

el espacio , que es de dimension uno.

¯µµ

01

¶+

¶=

µ1 20 1

¶· 2 + =

=

µ21

¶+ =

µ01

¶+

Ya que µ21

¶ µ01

¶:

µ21

¶ µ01

¶:

µ20

¶= L

µ½10

¾¶Ası pues, ¯ : es la identidad en , por lo que es diagonalizable.Sin embargo, : R2 R2 no es diagonalizable, pues su polinomio mınimo es( 1)2

10.7. Forma canonica racional

Definicion 120 Si : tiene polinomio mınimo ( ) con [ ] irre-ducible y monico,

=M=1

L ({¯ }) = {¯ (¯ ) } L ({¯ })

entonces

==1

se llama una base canonica racional para respecto de .


Supongase que el polinomio mınimo de restringido a L {¯ } es ( ). Ası, si

( ) = 0 + 1 + + grad( ) 1grad( ) 1( ) + grad( )

entonces

( ) ( ) = 0

Por lo que

( grad( ))(¯ ) = 0¯ 1 (¯ ) grad( ) 1grad( ) 1(¯ )

ası, se tiene que

£|L {¯ }

¤=

0 0 · · · 0 0 0

1 0 · · · 0 0 1

0 1 · · · 0 0 2....... . . 0 0

...

0 0. . . 1 0 grad( ) 2

0 0 · · · 0 1 grad( ) 1

es la matriz companera de ( ) y se le llama ”bloque racional”.

Ası,

[ ] =

£|L {¯1}

¤1

1

0 · · · 0... · · ·

...0 · · · 0

· · ·

0 · · · 0... · · ·

...0 · · · 0

0 · · · 0... · · ·

...0 · · · 0

£|L {¯2}

¤2

2· · ·

0 · · · 0... · · ·

...0 · · · 0

......

. . ....

0 · · · 0... · · ·

...0 · · · 0

0 · · · 0... · · ·

...0 · · · 0

· · ·£|L {¯ }

¤Cuando[ ] esta descrita en esta forma se dice que esta descrita en su forma canonicaracional.


10.7.1. Diagrama de puntos

Teorema 133 Si : es lineal con ( ) = ( ) con irreducible entonces,( ), el numero de sumandos con polinomio mınimo ( ) en

=M=1

{L ({¯ })}

es( ) =

=1

grad ( )·£dim

¡1( )( )

¢2 dim ( ( )( )) + dim

¡+1( )( )

¢¤Demostracion. Recordar que si

( )( ) =M=1

{L ({¯ })}

y ¯ = ( )(¯ ) entonces

=

ÃM=1

{L ({¯ })}

!Mdonde

zoc( ) = zoc ( ( ) ( ))M

y

=M=1

L ({ ¯ })

Ademas5

|L (¯ )( ) = ( ) ·

|L (¯ )( )

5Por cada vector escribamos una columna de la siguiente forma

...

•...

• • •

1•

2• •

1 2 donde el numero de puntos en la columna “ ” es “ ” si|L ( )

( ) = ( ) Este se

llama un ”diagrama de puntos para ( )( )”. Agregando un punto por cada 1 y luego un


Denotemos por ( ) al numero de columnas con puntos (esto es, el numero desumandos con polinomio mınimo ( ), en la descomposicion

=³L ({ 1})

M ML ({¯ })

´M³L ({ ¯1})

M ML ({ ¯ })

És claro que

( ) = 1( ( )( )) = 2(2( )( )) = = 1(

1( )( ))

Ahora,dim ( zoc ( ( ) ( ))) + dim ( ) =

= dim ( zoc ( ( ) ( ))) + · ( ( ))

Ası6:

1( ) = =dim( )

grad( ( ))=dim( zoc( )) dim(( zoc( ( )( ))))

grad( ( ))=

punto por cada sumando en =L=1L ({ }) es decir, otros puntos obtenemos

...

•...

• • •

1•

2• •

1•

2• • • • •

Este se llama el ”diagrama de puntos” para .6 ( ( ) ( )) = ( ) ( ) ( ( ( ))) Ahora, de

( )

( ) ( ) ( )| ( ) ( ) ( )

vemos que³( )| ( )

´= ( ) ( ) ( ( ( ))) Ası que³( )| ( )

´+

¡2 ( )

¢= ( ( ))³

( )| ( )

´= ( ( ))

¡2 ( )

¢


=1

grad ( ( ))·£dim (Ker ( ( )))

¡rango ( ( )) rango

¡2 ( )

¢¢¤=

=1

grad( ( ))·£dim( ) rango( ( )) ( rango( ( )) rango( 2( )))

¤=

=1

grad ( ( ))·£dim ( ) 2 · rango ( ( )) + rango

¡2 ( )

¢¤Por lo tanto

1(1( )( )) =

=1

grad ( ( ))[dim( 1( )( )) 2 dim( ( )( )) + dim( 1( )( ))] =

= ( )

Observacion 95 ( ) tambien es el numero de bloques de tamano

[ · grad ( ( ))]× [ · grad ( ( ))]

en la forma canonica racional (los bloques que son la matriz companera de ( )

Ejemplo 135 Calcular la forma canonica racional de

=

0 1 5 31 0 0 10 0 3 20 0 5 3

4×4 (R)

Solucion.

( 1) = 2 y2 ( 1) = 1 Por lo tanto

2 + 1 es el polinomio mınimo para 1.Ahora,

0 1 5 31 0 0 10 0 3 20 0 5 3

5035

=

0010

y0010

= 2 ( 3) = 3


Por lo tanto 2 + 1es el polinomio mınimo para 3.Por lo tanto, R4 = L ( 1)

LL ( 3) ( ) = 2 + 1

Forma canonica racional:0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

2 =

0 1 5 31 0 0 10 0 3 20 0 5 3

2

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

por lo tanto

rango¡

2 + 1¢= 0

Entonces,

rango ( ) = 4 rango¡

2 + 1¢= 0

Por lo tanto

1 =1

2(4 2 · 0 + 0) = 2

Por lo tanto el diagrama de puntos para A es:

••

Dos bloques, cada uno de dimension 2.

Ejemplo 136 Calcular la forma canonica racional de

2 1 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 2

4×4 (R)

2 1 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 2

1000

=

2000


ası que el polinomio mınimo para 1 es 2 (abreviatura de: 2 es el polinomiomınimo para |L ( 1)).Ahora,

2 1 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 2

1200

=

4400

L ( 2) = L { 2 2}

0100

1200

4400

concatenando:0 1 41 2 40 0 00 0 0

reduciendo y escalonando:

1 0 40 1 40 0 00 0 0

2 ( 2) = 4 ( 2) 4 ( 2) por lo tanto, el polinomio mınimo para 2 es2 4 +4 =

( 2)2

Ahora,

( 3) =

2 1 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 2

0010

=

0120

2 1 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 2

0120

=

1440


2 1 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 2

1440

=

61280

Por lo tanto

©3 ( 3)

2 ( 3)3 ( 3)

ª=

0010

0120

1440

61280

Concatenando:0 0 1 60 1 4 121 2 4 80 0 0 0

reduciendo y escalonando:1 0 0 80 1 0 120 0 1 60 0 0 0

de donde3 ( 3) = 6

2 ( 3) 12 ( 3) + 8 3

ası que el polinomio mınimo es:

3 6 2 + 12 8 = ( 2)3

Finalmente,2 1 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 2

0001

=

0002

por lo que el polinomio mınimo correspondiente es 2Por lo tanto el polinomio mınimo para es ( 2)3

Ahora, rango( 2 )0 = 4

rango ( 2 ) = rango

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

= 2


rango ( 2 )2 =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

2

= rango

0 0 1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

= 1

rango ( 2 )3 = rango

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

0 0 1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

=

= rango

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

= 0

Ası,

1 =1

1(4 (2 2) + 1) = 1

2 =1

1(2 (2 1) + 0) = 0;

3 =1

1(1 (2 0) + 0) = 1;

Por lo tanto, el diagrama de puntos es

••• •

y la forma canonica racional consta de un bloque de 3× 3 y de otro de 1× 1 :

0 0 8 01 0 12 00 1 6 00 0 0 2

( 2)3 = 3 6 2 + 12 8

( 2 ) =

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0


tiene polinomio mınimo 2 Una base para ( 2 ) (R4) es 1 y 2 Es claro que 2

genera -cıclicamente ( 2 ) (R4)Resolvamos

( 2 ) (¯) = 2

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

¯ =

0100

las soluciones estan en:1

01

2

| 1 2 R

Por ejemplo 3 es una solucion.Ahora, hay que escoger un elemento de Ker(( 2 ) · ) que no este en

L ( 3) = L¡©

3 · 32 · 3

ª¢= L

0010

0120

1440

Concatenando:

0 0 10 1 41 2 40 0 0

.

Resolvamos la ecuacion

0 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

¯ =

0000

para obtener Ker(( 2 ) · ).Las soluciones son:

1

00

2

| 1 2 R


Encontremos ahora un elemento de Ker(( 2 ) · ) que no este en

L ( 3) = L¡©

3 · 32 · 3

ª¢=

= L

0010

0120

1440

Consideremos la ecuacion

0010

+

0120

+

1440

=

1

00

2

La matriz del sistema es0 0 1 1

0 1 4 01 2 4 00 0 0 2

Escalonando:1 2 4 00 1 4 00 0 1 1

0 0 0 2

Basta tomar 2 6= 0 Por ejemplo,obtenemos 4 si 2 = 1 y 1 = 0Ası, la base canonica racional es:

0010

0120

1440

0001

Comprobacion: Sea =

0 0 1 00 1 4 01 2 4 00 0 0 1

7

7

1 =

4 2 1 04 1 0 01 0 0 00 0 0 1


Entonces

0 0 1 00 1 4 01 2 4 00 0 0 1

12 1 0 00 2 1 00 0 2 00 0 0 2

0 0 1 00 1 4 01 2 4 00 0 0 1

=

0 0 8 01 0 12 00 1 6 00 0 0 2

.

10.8. Mas acerca de los diagramas de puntos

El siguiente Teorema nos dice que para calcular el diagrama de puntos para

|Ker 11 ( )

, donde ( ) = 11 ( )

22 ( ) ( ) no hace falta calcular primero

Ker¡

11 ( )

¢ |Ker 11 ( )

Ker¡

11 ( )

¢Regresemos a la situacion general:

Teorema 134 Sea : lineal, dim ( ) con

( ) = 11 ( )

22 ( ) ( )

Entoncesrango 1

1 ( ) 2 rango 1 ( ) + rango+11 ( ) =

= rango 11

³|Ker 1

1 ( )

´2 rango 1

³|Ker 1

1 ( )

´+

+rango +11

³|Ker 1

1 ( )

´Demostracion. Primero , recordemos que

= Ker 11 ( )

MKer 2

2 ( )M M

Ker ( )

Ademas, tenemos que

Ker 11 ( )

|Ker 11 ( )

Ker 11 ( )

tiene polinomio mınimo 11 ( )

Notemos que como

= Ker 11 ( )

MKer 2

2 ( )M M

Ker ( )

10.8. MAS ACERCA DE LOS DIAGRAMAS DE PUNTOS 369

entonces=

|Ker 11 ( )

M|Ker 2

2 ( )

M M|Ker ( )

entonces

1 ( ) = 1 ( )|Ker 11 ( )

M1 ( )|Ker 2

2 ( )

M M1 ( )|Ker ( )

En este momento observemos que

1 ( )|Ker 22 ( )

: Ker 22 ( ) Ker 2

2 ( )

es un isomorfismo:

¯ Ker 22 ( ) Ker 1

1 ( )22 ( ) (¯) = 0 =

11 ( ) (¯)

|L (¯)( ) |

¡11 ( ) ;

22 ( )

¢= 1 |L (¯)

( ) = 1 ¯ = 0

Por lo tanto 1 ( )|Ker 2

2 ( )

|Ker 22 ( )

es una funcion lineal inyectiva, por lo tanto es un iso-

morfismo. Ası,

rango³

1 ( )|Ker 22 ( )

´= dim Ker 2

2 ( )

Analogamente,

rango

µ1 ( )

|Ker ( )

¶= dim Ker ( ) 6= 1

Por lo tanto,rango ( 1 ( )) =

= rango³

1 ( )|Ker 11 ( )

M1 ( )|Ker 2

2 ( )

M M1 ( )|Ker ( )

´=

= rango 1 ( )|Ker 11 ( )

+ dim Ker 22 ( ) + dim Ker 3

3 ( ) +

+ dim Ker ( )

En resumen,

rango ( 1 ( )) = rango 1 ( )|Ker 11 ( )

+ dim Ker 22 ( )+

+dim Ker 33 ( ) + + dim Ker ( )

Podemos aplicar el mismo argumento a 1 ( ), para obtener:

rango ( 1 ( )) =


= rango 1 ( )|Ker 11 ( )

+ dim Ker 22 ( )+

+dim Ker 33 ( ) + + dim Ker ( )

Entoncesrango 1

1 ( ) 2 rango 1 ( ) + rango+11 ( ) =

=

Ãrango 1

1

³|Ker 1

1 ( )

´+X=2

dimKer ( )

!

2

Ãrango 1

³|Ker 1

1 ( )

´+X=2

dimKer ( )

!

+

Ãrango +1

1

³|Ker 1

1 ( )

´+X=2

dimKer ( )

!

= rango 11

³|Ker 1

1 ( )

´2³rango 1

³|Ker 1

1 ( )

´´+

+rango +11

³|Ker 1

1 ( )

´

Teorema 135 Si rango ( ) = rango 2 ( ), entonces

rango¡( )¢= rango ( ( )) N

Demostracion. De ( ) ( )( )| ( )( ) 2 ( ) ( ) se tiene que

rango ( ) = nul³( )|

´+ rango 2 ( )

Por hipotesis, se tiene que nul³( )|

´= 0, ası que ( )| es un isomorfismo entre

( ) ( ) y 2 ( ) ( ). Ahora como 2 ( ) ( ) ( ) ( ). Tenemos que

2 ( ) ( )( )| 3 ( ) ( ) tambien es un isomorfismo. Se concluye por induccion.

Teorema 136 Si rango ( ) = rango +1 ( ) entonces rango + ( ) = rango( ), N

Demostracion. Copiese de la de arriba.

10.8. MAS ACERCA DE LOS DIAGRAMAS DE PUNTOS 371

Ejemplo 137 Sea =:

0 2 0 6 21 2 0 0 21 0 1 3 21 2 1 1 21 4 3 3 4

Encontraremos su forma canonica

racional.El espacio cıclico generado por 1 esta generado por

10000

01111

20000

Por lo tanto el polinomio mınimo para 1 es2 + 2.

El espacio cıclico generado por 2 esta generado por

01000

22024

0 2 0 6 21 2 0 0 21 0 1 3 21 2 1 1 21 4 3 3 4

22024

=

02000

Por lo tanto el polinomio mınimo para 2 es2 + 2.

El espacio cıclico generado por 5 esta generado por

00001

22224

066610

488816

concatenando:

0 2 0 40 2 6 80 2 6 80 2 6 81 4 10 16

escalonando:

1 0 0 40 1 0 20 0 1 20 0 0 00 0 0 0

Por lo tanto el

polinomio mınimo para 5 es

3 2 2 + 2 4 = ( 2)¡2 + 2

¢


Entoncesel polinomio mınimo para A es ( 2)

¡2 + 2

¢Entonces

R5 = Ker ( 2 )M

Ker¡

2 + 2¢

Ahora,0 2 0 6 21 2 0 0 21 0 1 3 21 2 1 1 21 4 3 3 4

2 =

2 2 0 6 21 4 0 0 21 0 1 3 21 2 1 3 21 4 3 3 2

Resolviendo2 2 0 6 21 4 0 0 21 0 1 3 21 2 1 3 21 4 3 3 2

1

2

3

4

5

=

00000

el conjunto de soluciones es:

0

1

1

1

2 1

| 1 R = 1

01112

| 1 R

Por otra parte,

2 + 2 =

0 2 0 6 21 2 0 0 21 0 1 3 21 2 1 1 21 4 3 3 4

2

+ 2 =

0 0 0 0 00 0 6 12 60 0 6 12 60 0 6 12 60 0 12 24 12

y

¡2 + 2

¢2=

0 0 0 0 00 0 6 12 60 0 6 12 60 0 6 12 60 0 12 24 12

2

=

0 0 0 0 00 0 36 72 360 0 36 72 360 0 36 72 360 0 72 144 72

10.9. FORMA CANONICA DE JORDAN 373

Ası que

rango¡

2 + 2¢0= 5 rango

¡2 + 2

¢= 1 rango

¡2 + 2

¢2= 1

y

1 =5 2 1 + 1

2= 2 2 =

1 2 1 + 1

2= 0 3 = 0

Por lo tanto el diagrama de puntos es

• •

Por lo tanto la forma canonica racional es:

2 0 0 0 00 0 2 0 00 1 0 0 00 0 0 0 20 0 0 1 0

10.9. Forma canonica de Jordan

Si ( ) = con ( ) = ( ) (o lo que es lo mismo, ( ) = ( ) ),entonces haciendo =: , tenemos que

[ ] =

0 0 · · · 0 01 0 · · · 0 0

0 1. . .

....... . . 0 0

0 0 · · · 1 0

· · · 0

... ... ...

0 · · ·

0 0 · · · 0 01 0 · · · 0 0

0 1. . .

....... . . 0 0

0 0 · · · 1 0

y por lo tanto

[ ] =


=

0 · · · 0 01 · · · 0 0...

.... . .

......

0 0. . . 0

0 0 · · · 1

0 · · · 0

0

0 · · · 0 01 · · · 0 0

0 1. . .

....... . . 0

0 0 · · · 1

· · · 0

......

. . ....

0 0 · · ·

0 · · · 0 01 · · · 0 0

0 1. . .

....... . . 0

0 0 · · · 1

que se llama la forma canonica de Jordan para .

Definicion 121 Un bloque de Jordan correspondiente al valor propio es de laforma

0 · · · 0 0 01 · · · 0 0 0

0 1. . . 0 0 0

....... . .

......

0 0 · · · 1 00 0 · · · 0 1

Ejemplo 138 Consideremos =

2 1 0 10 3 1 00 1 1 00 1 0 3

Es obvio que el polinomio mınimo para 1 es 2.


El espacio -cıclico generado por 2 esta generado por los vectores

0100

1311

6846

26201226

concatenando:

0 1 6 261 3 8 200 1 4 120 1 6 26

, reduciendo y escalonando:

1 0 0 120 1 0 160 0 1 70 0 0 0

Por lo tanto el polinomio mınimo para 2 es

3 7 2 + 16 12 = ( 3) ( 2)2

Ahora,1000

0100

1311

6846

ya es una base de R4, pues

det

1 0 1 60 1 3 80 0 1 40 0 1 6

= 1 1 ( 6 + 4) = 2

Por lo tanto( ) = ( 3) ( 2)2

Calculemos el diagrama de puntos para Ker( 3 ) :

2 1 0 10 3 1 00 1 1 00 1 0 3

3 =

1 1 0 10 0 1 00 1 2 00 1 0 0


tiene rango 3.

1 1 0 10 0 1 00 1 2 00 1 0 0

2

=

1 0 1 10 1 2 00 2 3 00 0 1 0

tiene rango 3.Por lo tanto

1 = 4 2 rango ( 3 ) + rango ( 3 )2 = 4 6 + 3 = 1

2 = 3 2 3 + 3 = 0 = 3 =

Por lo tanto, el diagrama de puntos es:

•

Diagrama de puntos para Ker( 2 )2 :

2 1 0 10 3 1 00 1 1 00 1 0 3

2 =

0 1 0 10 1 1 00 1 1 00 1 0 1

es de rango 2

0 1 0 10 1 1 00 1 1 00 1 0 1

2

=

0 2 1 10 0 0 00 0 0 00 2 1 1

es de rango 1.

0 1 0 10 1 1 00 1 1 00 1 0 1

3

=

0 2 1 10 0 0 00 0 0 00 2 1 1

es de rango 1.Entonces,

1 = 4 2 2 + 1 = 1

2 = 2 2 1 + 1 = 1

3 = 1 2 1 + 1 = 0 = 4 =


Por lo tanto el diagrama de puntos para Ker( 2 )2 es

•• •

Por lo tanto la forma canonica racional es

3 0 0 00 0 4 00 1 4 00 0 0 2

Esto significa que hay una base 1 2 3 4 tal que ( 3) = 4, y ( 4) = 4 3+4 4

Si cambiamos a la base{ 1 2 4 ( 2 ) 4}

como( 2 ) 4 = 4 3 + 4 4 2 4 = 4 3 + 2 4)

tendremos que ( 4) = 2 4 + ( 2 ) 4 y ( 2 ) 4 = 2 ( 2 ) 4 Por loque la matriz respecto de esta nueva base es:

3 0 0 00 2 0 00 0 2 00 0 1 2

donde

µ2 01 2

¶es un bloque de Jordan.

Teorema 137 Sealineal

, con

dim ( ) y ( ) = ( 1)1 ( 2)

2 · · ( )

Entonces el numero de bloques de Jordan de × , correspondientes a 1 es

1 = rango ( 1 ) 1 2 rango ( 1 ) + rango ( 1 ) +1

y en general,

= rango ( ) 1 2 rango ( ) + rango ( ) +1


Demostracion. Se sigue de la Observacion 10.9.

Corolario 29 Sea es lineal con dim ( ) . Son equivalentes

1. es diagonalizable.

a) (Los unicos factores irreducibles de ( ) son de grado 1) y

b) ¡rango ( ) = rango ( )2

¢para cada valor propio de

Demostracion. 1) 2))Es claro que si es diagonalizable, entonces todos los factores irreducibles de( ) son de la forma Ademas, todos los bloques de Jordan (y racionales son

de la forma ( ) Dado un valor propio tenemos que la forma de Jordan paraKer( ) es

0 · · · 00 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · ·

Entonces,

1 = dim (Ker ( ))

Ahora,dim (Ker ( )) = dim ( ) rango ( )

Como

1 = rango ( )0 2 rango ( ) + rango ( )2

entonces

1 = dim (Ker ( )) = dim ( ) rango ( )

dim ( ) 2 rango ( ) + rango ( )2 =

= dim ( ) ( )

rango ( ) = rango ( )2

2) 1)


Tenemos que ( ) =Q=1

( ) basta ver que cada es 1 Y para esto basta

ver que

=

= rango ( ) 1 2 rango ( ) + rango ( ) +1 = 0

para 2 (esto querrıa decir que no hay bloques de 2×2 3× 3 etc., es decir quetodos los bloques serıan de 1× 1 y se verıan ası: ( )).Como rango( ) =rango( )2 Entonces por el Teorema 135,

rango ( ) = rango ( )2 = rango ( )3 =

entonces

2 = rango ( ) 2 rango ( )2 + rango ( )3 = 0

y para 2 ,

= rango( ) 1 2 rango( ) + rango( ) +1

= 0

Teorema 138 Sean M × ( ) Son equivalentes:

1. es similar a

2. y tienen la misma forma canonica racional. (Excepto por una permutacionen el orden de los bloques).

3. tienen el mismo polinomio mınimo y para cada ( ) tal que ( ) | ( )se tiene que

rango ( ) = rango ( )

4. rango ( ) = rango ( ), y para cada ( ) tal que ( ) | ( ), se tiene que

rango ( ) = rango ( )

5. rango ( ) = rango ( ), para cada ( ) [ ]


Demostracion. 1) 5) )Supongamos que = 1 Entonces y son matrices que representan al

operador lineal·

ası querango ( ) = rango ( · ) = rango

Ahora,1 ( ) =

¡1

¢= ( ) :

i) Se tiene que 1 = entonces

1 +1 = 1 = 1 1 =¡

1¢

Ası que por induccion se tiene que 1 = , Nii) Es claro que 1 =iii) Es claro que

1 ( 0 + 1 + + ) =

=¡

10 + 1

1 + + 1¢=

= 0 + 1 + +

Una vez que hemos visto que las matrices ( ) y ( ) son similares, podemosconcluir que tiene el mismo rango.5) 4)) Es obvio.4) 3))Solamente hay que demostrar que y tienen el mismo polinomio mınimo.Como rango ( ) = rango ( ) = 0, entonces ( ) = 0 Por lo tanto,( ) | ( ). Por simetrıa, ( ) | ( ) y entonces ( ) = ( )3) 2)) Se sigue del Teorema 134.2) 1)) es similar a su forma canonica racional que es similar a .

Corolario 30 Son equivalentes para dos matrices M × ( ) cuyos poli-nomios caracterısticos solo tengan factores irreducibles de grado 1:

1. es similar a

2. y tienen la misma forma canonica de Jordan.

Demostracion. Teorema anterior.Llamemos matriz escalar a una matriz de la forma


Ejercicio 232 Sean en 2×2 ( ) no escalares. Demuestre que y sonsimilares si y solo si y tienen el mismo polinomio caracterıstico.

Ejercicio 233 La relacion de similitud es una relacion de equivalencia en × ( )Encuentre todas las clases de similitud en 6×6 (Q) con polinomio mınimo( + 2)2 ( 1)

Ejercicio 234 Encuentre todas las clases de similitud en 6×6 (Q) con polinomiocaracterıstico ( 4 1) ( 2 1)

Ejercicio 235 Determine todas las forms canonicas racionales posibles para unatransformacion con polinomio caracterıstico 2 ( 2 + 1)

2

Ejercicio 236 Sea Q de dimension finita y un isomorfismo tal que1 = 2 + Demuestre que dim ( ) es un multiplo de 3. Demuestre tambien que

todos los operadores que satisfacen las condiciones son similares.

Ejercicio 237 Sea 10×10(Q) tal que ( ) = ( 2)4( 2 3)3 ( ) = (2)2( 2 3)2 y ( 2 10) = 8 Encuentre las formas canonicas racional y deJordan de

Ejercicio 238 Sea :Q Q tal que [ ] =

2 0 0 03 2 0 20 0 2 00 0 2 2

Encuentre

una base de tal que [ ] este en forma canonica racional.

Ejercicio 239 Sea 7×7 (C) el bloque de Jordan de 7×7 con en la diagonal.Calcule la forma de Jordan de 3 (Considere los casos = 0 6= 0).

Sea 4×4 ( ) tal que ( ) = ( 1)4 Demuestre que hay 5 posibilidadespara la forma de Jordan de . Demuestre que ( ) y ( 4) determinanla forma canonica de Jordan.

Ejercicio 240 Encuentre la forma canonica de Jordan de

=

2 0 0 0 1 0 0 00 2 0 0 0 0 0 00 0 2 0 0 0 0 00 0 0 3 0 0 0 10 0 0 0 2 1 0 00 0 0 0 0 2 1 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 3


Ejercicio 241 Encuentre la forma canonica racional de la matriz del ejercicio an-terior.

Ejercicio 242 Si × (C), demuestre que = + donde es diagonali-zable, es nilpotente y = (Sugerencia: usar formas canonicas de Jordan).

Ejercicio 243 Determine las formas canonicas racional y de Jordan para

=1 1 00 1 00 1 1

Ejercicio 244 Sea 3×3 (C) tal que su forma canonica de Jordan es

2 0 00 7 10 0 7

y sea 4×4 (C) con forma canonica de Jordan:

7 1 0 00 7 1 00 0 7 00 0 0 7

Sea C = { 3×4 (C) | = }

10.10. Cadenas de Markov

10.10.1. Lımites

Consideremos el anillo conmutativo

= RR =nR R | es funcion

odonde la suma y el producto son los naturales, es decir que

( + ) ( ) = ( ) + ( ) R( · ) ( ) = ( ) · ( ) R

Uno puede considerar matrices de × con coeficientes en .Por ejemplo µ

2 + 1cos ( )

¶2×2 ( )

Ahora, si ×

¡RR¢puede uno considerar lımites, por ejemplo

lım ( )

Para mantener los argumentos en un nivel sencillo, hacemos la siguiente definicion.

10.10. CADENAS DE MARKOV 383

Definicion 122 Si ×

¡RR¢(esto significa que ( ) : R R es una

funcion ( ) {1 } × {1 })

lım ( ) = : donde

= lım ( )

Analogamente, podemos considerar el anillo conmutativo de las sucesiones en uncampo,

= N

con las operaciones naturales de suma y de producto.De nuevo podemos considerar ×

¡N¢por ejemploµ

12

1¡1 + 1

¢ ¶y considerar por ejemplo

lım

µ12

1¡1 + 1

¢ ¶Otra vez,

lım

. . ....

· · · ( ) · · ·...

. . .

=

. . ....

· · · lım ( ) · · ·

.... . .

Ejercicio 245 Sean ×

¡RR¢tales que

1. lım ( ) existe,

2. lım ( ) existe,

entonces lım ( ( ) ( )) =³lım ( )

´³lım ( )

Éjercicio 246 Sean ×

¡CN¢tales que

1. lım ( ) existe,

2. lım ( ) existe,

entonces lım ( ( ) ( )) =³lım ( )

´³lım ( )

´


Lema 25 lım¡ ¢

= 0 si | | 1

Demostracion. Denotemos

=:

µ ¶= ·

· ( 1) · · ( + 1)

!

ası que

+1 =:+1

µ+ 1¶= +1 ·

( + 1) · ( + 1 1) · · ( + 2 )

!

ası que

+1 =: ·( + 1)

Como ( +1) 1 entonces · ( +1)

Ası que existe tal que ¯·( + 1)

¯1

en donde podemos tomar = 1 | | 1 por ejemplo.Ası, tenemos que:

| | (1 ) | +1|

entonces| | (1 ) (1 ) | +1| (1 ) | +2|


y en general,| + | | | (1 )

Como| | (1 ) 0

tenemos que | + | = 0

Por lo tanto| | = 0

Proposicion 21 Sea × (C) un bloque de Jordan correspondiente a en-tonces

1. | | 1 lım = 0

2. = 1 lım C = (1)

3. 6= 1 | | = 1 lım no existe

4. | | 1 lım no existe

Demostracion. Sea

=

0 · · · 0 0

1. . . 0 0

0 1. . . 0 0

....... . . 0

0 0 · · · 1

=

=

0 0 · · · 0 0

1 0. . . 0 0

0 1. . . 0 0

....... . . 0 0

0 0 · · · 1 0

+

1 0 · · · 0 0

0 1. . . 0 0

0 0. . . 0 0

....... . . 1 0

0 0 · · · 0 1

un bloque de Jordan de


Llamemos =

0 0 · · · 0 0

1 0. . . 0 0

0 1. . . 0 0

....... . . 0 0

0 0 · · · 1 0

supongamos que esta matriz es de ×

Consideremos la existencia de lım ( + ) para distintos valores de .

= 0)Si = 0 entonces lım ( + ) = 0 pues 1 es la matriz 0 :

su primera columna es¡1¢

1 =¡

2¢

1 =¡

2¢

2 =¡

3¢

2 =

=¡

3¢

3 = =¡

+1¢

1 =

= ( 1) = 0

La segunda columna de 1 es 12 =

11 =

¡11

¢= 0 = 0

En general,

1 = 11 =

12 = = 1 ( 1)

( 1) =

= ( 1) 11 = 0

Por lo tanto 1 = 0Ahora, supongamos que 6= 0 Como y conmutan, se puede calcular

( + ) con el Teorema del binomio de Newton.Ası que

( + ) =X=0

µ ¶( ) =

X=0

µ ¶Ası que si 1 entonces

( + ) =X=0

µ ¶=

1X=0

µ ¶Por el Lema anterior, lım

¡ ¢= 0 si | | 1 ası que tambien

lım1X

=0

µ ¶= 0


Por lo tanto, si | | 1 entonces ( + ) existe y es 0

= 1)Por otra parte, si = 1 entonces

1X=0

µ ¶

converge solo si1P

=0

¡ ¢=¡0

¢0 = 1 · esto sucede si en la suma hay un solo

sumando, es decir, si = 1 :Si 1 entonces µ

1

¶y es claro que

( + ) =Xµ ¶

tiene en su coordenada 2 1 a¡1

¢= Pues

=

0 0 · · · 0 0

1 0. . . 0 0

0 1. . . 0 0

....... . . 0 0

0 0 · · · 1 0

2 =

0 0 · · · 0 0

0 0. . . 0 0

1 0. . . 0 0

....... . . 0 0

0 0 · · · 1 0

3 =

0 0 · · · 0 00 0 · · · 0 00 0 · · · 0 01 0 · · · 0 00 1 · · · 0 0....... . .

......

Entonces

(( + ) )2 1 =X=0

µ ¶¡ ¢2 1=

µ1

¶2 1 =

µ1

¶=

6= 1 | | = 1)


Consideremos la entrada 1 1 de ( + ) :

Veamos que no converge:¯+1

¯= | | | 1| = | 1|

Veamos que 6= lım :

si | | 12| 1| entonces¯

+1¯+ | |

¯+1

¯= | 1|

por lo que ¯+1

¯| 1|

1

2| 1| =

1

2| 1|

| | 1)Por ultimo, si | | 1 entonces ( + ) no existe:

simplemente consideremos la entrada 1 1 de ( + ) :

Observacion 96 Sea × (C) existe si y solo si existe para

cada bloque de Jordan de

Demostracion. Por el Teorema fundamental del Algebra, ( ) es n productode factores de grado uno. Ası que tiene forma de Jordan.

Es claro que si =

µ0

0

¶entonces =

µ0

0

¶de donde

vemos que lım existe si y solo si existen lım y lımDe lo anterior, es claro que lım existe si y solo si existe lım para cada

uno de los bloques de Jordan de

Ejercicio 247 Si 1 = , entonces lım existe si y solo si lım existe.

En caso de existir ambos lımites, entonces lım = lım 1

Teorema 139 Sea × (C) son equivalentes:


1. lım × (C)

a) valor propio de | | 1

b) valor propio de | | = 1 = 1

c) dim ( 1) = (multiplicidad de 1 como raız del polinomio caracterıstico de). Aquı, 1 = ker (( · ) C )

Demostracion. 1. 2.) Se sigue de la Observacion anterior, pues la condicion2c equivale a que todos los bloques de Jordan de que corresponden a 1 sean deuno por uno.2. 1) Se sigue de la Observacion anterior.

10.10.2. Procesos aleatorios y Cadenas de Markov

Un proceso aleatorio se describe de la manera siguiente:

1. Consideremos “estados” posibles en que se distribuye una poblacion de ob-jetos, denotemos el numero de objetos que estan en el estado

2. Aparte de todo, la ubicacion de los objetos en sus estados puede cambiar enuna siguiente “etapa”.

3. La manera en que cambian de estado los objetos de una etapa a la siguiente,esta determinado por una matriz, que se llama matriz de transicion:

× (R)

donde es la probabilidad de que un objeto en el estado pase al estadoen la siguiente etapa, como es una probabilidad, tenemos que en realidad

× ([0 1])

Si comenzamos con una poblacion inicial

1

2...

entonces la poblacion en el

estado en la siguiente etapa sera:

1 1 + 2 2 + +


pues por ejemplo 1 1 representa la cantidad de poblacion que paso del estado 1al estadoComo

1 1 + 2 2 + + =

1...

tenemos que

1... es la distribucion de la poblacion en la etapa 1 (La etapa

inicial es la etapa cero).

Repitiendo el argumento, tenemos que

1... es el vector de poblacion en

la etapa 2 y en general

1...

es el vector de poblacion en la etapaAhora es claro que la poblacion converge a un lımite si y solo si lım existe.

A una sucesion de estados descrita de la manera anterior se le llama cadena (oproceso) de Markov.

Observacion 97 Si es una matriz de transicion, entonces la suma de los ele-mentos en cualquier columna es 1 Esto sucede porque es la probabilidad de que unpoblador del estado pase a algun otro estado.

Lo anterior equivale a decir que

(1 1 1) = (1 1 1)

Tomando la transpuesta de esta ecuacion, tenemos que

11...1

=

11...1


Es decir que 1 es un valor propio para , y por lo tanto tambien es un valor propiode

Resumimos lo anterior en el siguiente enunciado.

Teorema 140 Una matriz de transicion tiene 1 como valor propio.

Ejemplo 139 Ninos y panales.Un panal puede estar en tres estados: Nuevo, usado, doblemente usado.Si un nino ensucia un panal, este se desecha y se sustituye por uno nuevo. La pro-babilidad de que un nino ensucie un panal es 1 3 y despues de dos usos, los panalesse desechan.

1 3 1 3 12 3 0 00 2 3 0

La forma canonica de Jordan de

1 3 1 3 12 3 0 00 2 3 0

es

1 0 0

0 13+ 1

33 0

0 0 13

13

3

Ası que

1 0 0

0 13+ 1

33 0

0 0 13

13

3=

1 0 00 0 00 0 0

Se deja como ejercicio comprobar que una base de Jordan para

1 3 1 3 12 3 0 00 2 3 0

es

111

116

¡2 3 + 3

¢3

16

¡2 3 3

¢3

114

¡3 3

¢3

14

¡3 + 3

¢3


por lo que el lımite de las potencias de es

919

157

3 + 519

157

3 + 519

619

757

3 319

757

3 319

419

257

¡4 + 3

¢3 2

57

¡4 + 3

¢3

·

1 0 0

0 0 0

0 0 0

·

·

1 1 1

1 16

¡2 3 + 3

¢3 1

4

¡3 3

¢3

1 16

¡2 3 3

¢3 1

4

¡3 + 3

¢3

=

=

919

919

919

619

619

619

419

419

419

En el lımite, la proporcion sera:919

919

919

619

619

619

419

419

419

100

=

919619419

Eventualmente, habra 9 19 de panales nuevos, 619de panales usados y 4

19de panales

de dos usos. En porcentajes: 47 3 68% panales nuevos, 31 579% de panales usadosy 21 053% de panales de dos usos.

Ejercicio 248 Compruebe que una base de Jordan para

1 3 1 3 1

2 3 0 0

0 2 3 0

es

111

116

¡2 3 + 3

¢3

16

¡2 3 3

¢3

114

¡3 3

¢3

14

¡3 + 3

¢3


Proposicion 22 Sea × (R) denotemos

=X

| |

la suma de los tamanos de los elementos en el esimo renglon deDenotemos

( ) = max { | {1 }}

Si es un valor propio de entonces | | ( )

Demostracion. Sea un vector propio de correspondiente a entonces =, ası que tomando las coordenadas esimas tenemos que

=

1... =

X=1¯

¯X=1

¯¯ X

=1

| | =X=1

| | | |

Como consecuencia,

| |X=1

| | | |

ÃX=1

| |

!max {| |}

Digamos que max {| |} = | | la ecuacion de arriba vale para = , ası que

| | | | = | |

ÃX=1

| |

!| |

Entonces| |

X=1

| | =

El resultado anterior, se puede aplicar a de donde obtenemos que (recuerdeque los valores propios de y de coinciden) que

| |¡ ¢

=: ( )

En resumen: un valor propio de una matriz es menor o igual que la mayor de lassumas de los valores absolutos de los coeficientes en un renglon (o columna).En vista de lo que se acaba de mencionar, podemos hacer la siguiente observacion.


Observacion 98 Si es un valor propio de una matriz de transicion, entonces| | 1

Demostracion. Hemos notado ya que la suma de los elementos de cada columnaen una matriz de transicion es 1

Definicion 123 1. Diremos que una matriz de transicion es positiva si todossus coeficientes pertenecen a R+

2. Diremos que una matriz de transicion es regular, si N tal que espositiva.

Enseguida veremos como son los valores propios de una matriz regular.

Teorema 141 Sea × (C) positiva (es decir que sus coeficientes son realespositivos). Si es un valor propio de tal que | | = ( ) entonces = ( ) y

= S

11...1

Demostracion. Consideremos un vector propio correspondiente a Ası que= tomando las coordenadas esimas, donde | | = max {| |}1

tenemos que

( ) | | = | | | | = | | =

¯¯X

¯¯X

| |

ÃX| |

!| | ( ) | |

Ası que las desigualdades en realidad son igualdades, ası que por ejemplo,

X| | =

ÃX| |

!| |

de donde se sigue que| | = | | {1 }


Una vez notado esto, podemos escribir

( ) | | = | | | | = | | =

¯¯X

¯¯X

| |

ÃX| |

!| | ( ) | |

Ası podemos observar queÃX !| | ( ) | | {1 }

Por lo que X= ( ) {1 }

Entonces la suma de los elementos en cada renglon de es ( ) por lo que

11...1

=

( )( )...( )

= ( )

11...1

entonces ( ) es un valor propio de .Por otro lado, como ¯

¯X¯¯ =X | |

debe suceder (Ejercicio) que existe un complejo y escalares 1 2 R+ tales

que = entonces =

1

2...

ası que

=

1

2...

= ( )

1

2...


de donde se tiene que

1

2...

= ( )

1

2...

Como vimos arriba, un vector propio que correspondiera a un valor propio detamano ( ) debe tener los valores absolutos de sus coordenadas iguales.

Ası que = ...=

11...1

para R+ C

En resumidas cuentas, un vector propio de que corresponda a un valor

propio con tamano ( ) debe ser un multiplo complejo de

11...1

Como este es un

vector propio que corresponde a ( ) entonces los valores propios de tamano ( )coinciden con ( ) Otra vez: si | | = ( ) entonces existe un vector propio que

corresponde a , pero como es un multiplo de

11...1

en realidad corresponde a

( )

Corolario 31 Sea × (C) positiva (es decir que sus coeficientes son realespositivos). Si es un valor propio de tal que | | = ( ) entonces = ( ) y

es de dimension 1.

Demostracion. Simplemente notemos que ( ) = ( ) y apliquemos el Teore-ma anterior. Es inmediato entonces que | | = ( ) = ( ) = ( ) = ( )Por otra parte,

dim¡

( )

¢= rango ( ( ) ) =

= rango¡ ¡ ¢ ¢

=

= rango¡ ¡ ¢ ¢

=

= dim©

R | =¡ ¢ ª

= 1


Ejercicio 249 Sean 1 2 R+ 1 2 C tales que¯¯X

¯¯ = X

| |

entonces C 1 2 R+ tal que =Sugerencia: induccion y desigualdad del triangulo.

Corolario 32 Si es una matriz de transicion positiva y es un valor propio deentonces

1. | | 1

2. | | = 1 = 1

3. dim ( 1) = 1

Teorema 142 Si × (C) es una matriz de transicion regular entonces

1. La multiplicidad de 1 como valor propio de es 1.

2. = lım existe.

3. es una matriz de transicion.

4. = =

tiene todas sus columnas iguales, y estas son el vector de probabilidad quecorresponde al valor propio 1.

5. vector de probabilidad, lım =

Demostracion. 1. Definamos la norma k k en × (C) por:

k k = max {| |}

Si es una matriz de transicion entonces k k 1 Cualquier potencia de una matrizde transicion es de transicion, pues que la suma de los elementos de las columnas sea1 equivale a

(1 1 1) = (1 1 1)

Ası que(1 1 1) 2 = (1 1 1) = (1 1 1)


y por induccion(1 1 1) = (1 1 1)

Entoncesk k 1 N

Tenemos, para dos matrices × (C) que

k k = maxn¯( )

¯o=

= max

(¯¯X ( )

¯¯)

| (k k k k)| =

k k k k

Sea = 1 la forma de Jordan de entonces

= 1

por lo que

k k =°° 1

°° °° 1°° k k

2°° 1

°° k k k k 2°° 1

°° k k

Si tuviera un bloque de Jordan correspondiente a 1 que no fuera (1) entoncesserıa de la forma

=

1 0 · · · 01 1 · · · 0

0 1. . . 0

...... · · ·

...

=

0 0 · · · 01 0 · · · 0

0 1. . .

......... · · · 0| {z }

+

1 0 · · · 00 1 · · · 0

0 0. . .

......... · · · 1| {z }

El coeficiente 1 2 de serıa (( + ) )1 2 =¡¡

1

¢1¢= (potencias mayores

de tienen 0 en el lugar 1 2), pero entonces

k k k k 2°° 1

°° k k N

Esta contradiccion muestra que los bloques de Jordan de que corresponden a 1son de 1× 1 Con esto se tiene que

1 = dim ( 1) = multiplicidad de 1 como valor propio de


2. Es inmediato del Teorema 139.

3. Como (1 1 1) = (1 1 1) N pasando al lımite tenemos que

(1 1 1) = (1 1 1)

4.

= lım = lım +1 =

= lım ( ) = (lım ) =

Tambien,

= lım = lım +1 =

= lım ( ) = (lım ) =

Ahora, = = entonces es un vector propio correspondiente a 1tambien es un vector de probabilidad pues es la columna de una matriz de transicion.De hecho, es el unico vector de probabilidad que es vector propio correspondiente a 1(Si , son dos vectores de probabilidad que son tambien vectores propios respectoa 1 entonces

=

pues dim 1 = 1 R pues las coordenadas son reales. La suma de las coordenadasde es 1 y la suma de las coordenadas de es por lo que = 1 es decir = ).

5. Finalmente, si es un vector de probabilidad (es decir sus coordenadas suman1 y son reales no negativas), entonces

lım =

se sigue de que lım es un vector de probabilidad:

(1 1 1) lım = lım ((1 1 1) ) = (1 1 1) = 1

y de que es un vector propio de que corresponde a 1 :

(lım ) = lım ( ( )) = lım¡

+1¢= lım ( )


Ejemplo 140 Sea =

14

14

0 0

14

14

0 0

14

14

1 0

14

14

0 1

es claro que esta matriz de transicion

no es regular pues la multiplicidad de 1 como valor propio de es 2 y la dimensionde 2 es 2El polinomio caracterıstico de es 4 5

23 + 2 2 1

2= ( 1)2 ( 1 2) ası que

existe el lımite de cuandoUn vector propio correspondiente a 0 es una solucion no nula de

14

14

0 0

14

14

0 0

14

14

1 0

14

14

0 1

= 0

cuya base es:

1100

El vector propio correspondiente a 12es la solucion de

14

14

0 0

14

14

0 0

14

14

1 0

14

14

0 1

(1 2) 4 = 0


Que es equivalente a:14

14

0 0

14

14

0 0

14

14

12

0

14

14

0 12

= 0

cuyo espacio de soluciones tiene base:

1111

Ası que

1 1 0 01 1 0 00 1 1 00 1 0 1

1

·

14

14

0 014

14

0 014

141 0

14

14

0 1

·

·

1 1 0 01 1 0 00 1 1 00 1 0 1

=

0 0 0 00 1

20 0

0 0 1 00 0 0 1

0 0 0 00 1

20 0

0 0 1 00 0 0 1

=

0 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

por lo que14

14

0 014

14

0 014

141 0

14

14

0 1

=

=

1 1 0 01 1 0 00 1 1 00 1 0 1

0 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

1 1 0 01 1 0 00 1 1 00 1 0 1

1

=


=

0 0 0 0

0 0 0 012

121 0

12

120 1

Si =

13

15

25

23

25

15

0 25

25

entonces

13

15

25

23

25

15

0 25

25

2

=

1145

2375

13

2245

2875

3275

415

825

625

Por lo tanto es una matriz regular, ası que para calcular su lımite basta encontrarel vector de probabilidad que es vector propio correspondiente a 1 :

13

15

25

23

25

15

0 25

25

1 · 3 =

23

15

25

23

35

15

0 25

35

Tenemos que23

15

25

23

35

15

0 25

35

1 0 2120

0 1 32

0 0 0

Una solucion de23

15

25

23

35

15

0 25

35

= 0

es

212032

1

Como 2120+ 3

2+ 1 = 71

20entonces

20

71

212032

1

=

217130712071

es el vector de probabilidad buscado, ası que

lım

13

15

25

23

25

15

0 25

25

=

2171

2171

2171

3071

3071

3071

2071

2071

2071


En efecto, la forma canonica de Jordan de

13

15

25

23

25

15

0 25

25

es

1 0 0

0 115+ 1

1517 0

0 0 115

115

17

con base canonica :

111

125+ 1

1017

25

110

17

1920

320

17920+ 3

2017

Como el lımite de las potencias de

1 0 0

0 115+ 1

1517 0

0 0 115

115

17

es

1 0 00 0 00 0 0

entonces el lımite de las potencias de

13

15

25

23

25

15

0 25

25

es:

1 1 1

1 25+ 1

1017 9

20320

17

1 25

110

17 920+ 3

2017

1

·1 0 00 0 00 0 0

·

·

1 1 1

1 25+ 1

1017 9

20320

17

1 25

110

17 920+ 3

2017

=

2171

2171

2171

3071

3071

3071

2071

2071

2071

Que coincide con el calculo previo.


Ejemplo 141 En un hospital, los pacientes se distribuyen en los estados: leve (l), ygraves (g). Si alguien muere se admite un nuevo paciente de enfermedad leve en elhospital, lo mismo si sana. La probabilidad de que en un mes sane un paciente levees de 60%, de que siga siendo enfermo leve es 20% y de que se ponga grave es del20%. Si un enfermo esta grave la probabilidad de que en un mes sane es del 10%,de que su enfermedad se vuelva leve es del 20%, de que siga grave es del 50% y deque muera es del 20%.La matriz que describe el proceso es la siguiente:

µ8 52 5

¶

Como

µ8 52 5

¶es una matriz positiva, para encontrar lım

µ8 52 5

¶basta

encontrar el vector propio que corresponde a 1 y que es un vector de probabilidad.µ8 52 5

¶1 2 =

µ2 52 5

¶: µ

2 52 5

¶ µ1 2 50 0

¶µ2 51

¶es un vector propio que corresponde a 1 1

3 5

µ2 51

¶=

µ714 29285 71

¶.

Ası que

lım

µ8 52 5

¶=

µ714 29 714 29285 71 285 71

¶y eventualmente el hospital tendra 71 429% enfermos leves y 28 571% enfermosgraves.

Ejercicio 250 Encontrar el lımite, cuando tiende a infinito, de

16

15

110

36

26

15

210

16

16

15

310

16

26

25

410

16


Ejercicio 251 La gente de una ciudad vive en el centro, en la periferia o en unacasa rentada. Los estados se puede etiquetar o Las probabilidades de cambiarde estado en un ano son las siguientes:si se vive en el centro, hay un 40% de probabilidad de seguir en el centro, 30%de alquilar una casa y 30% de mudarse a la periferia. Si se alquila una casa hay50% de probabilidad de seguir rentando 40% de mudarse a la periferia y 10% demudarse al centro. Por ultimo, si se vive en el centro hay un 60% de probabilidad deseguir viviendo en el centro, un 20% de mudarse a la periferia y un 20% de alquilaruna casa. ¿ Despues de mucho tiempo, cuales seran las proporciones relativas de lapoblacion?

Llamemos matriz escalar a una matriz de la forma

Ejercicio 252 Sean en 2×2 ( ) no escalares. Demuestre que y sonsimilares si y solo si y tienen el mismo polinomio caracterıstico.

Ejercicio 253 La relacion de similitud es una relacion de equivalencia en × ( )Encuentre todas las clases de similitud en 6×6 (Q) con polinomio mınimo( + 2)2 ( 1)

Ejercicio 254 Encuentre todas las clases de similitud en 6×6 (Q) con polinomiocaracterıstico ( 4 1) ( 2 1)

Ejercicio 255 Determine todas las formas canonicas racionales posibles para unatransformacion con polinomio caracterıstico 2 ( 2 + 1)

2

Ejercicio 256 Sea Q de dimension finita y un isomorfismo tal que1 = 2 + Demuestre que dim ( ) es un multipo de 3. Demuestre tambien que

todos los operadores que satisfacen las condiciones son similares.

Ejercicio 257 Sea 10×10(Q) tal que ( ) = ( 2)4( 2 3)3 ( ) = (2)2( 2 3)2 y ( 2 10) = 8. Encuentre las formas canonicas racional y deJordan de

Ejercicio 258 Sea :Q Q tal que [ ] =

2 0 0 03 2 0 20 0 2 00 0 2 2

Encuentre

una base de tal que [ ] este en forma canonica racional.


Ejercicio 259 Sea 7×7 (C) el bloque de Jordan de 7×7 con en la diagonal.Calcule la forma de Jordan de 3 (Considere los casos = 0 6= 0).

Sea 4×4 ( ) tal que ( ) = ( 1)4 Demuestre que hay 5 posibilidadespara la forma de Jordan de . Demuestre que ( ) y ( 4) determinanla forma canonica de Jordan.

Ejercicio 260 Encuentre la forma canonica de Jordan de

=

2 0 0 0 1 0 0 00 2 0 0 0 0 0 00 0 2 0 0 0 0 00 0 0 3 0 0 0 10 0 0 0 2 1 0 00 0 0 0 0 2 1 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 3

Ejercicio 261 Encuentre la forma canonica racional de la matriz del ejercicio an-terior.

Ejercicio 262 Si × (C), demuestre que = + donde es diagonali-zable, es nilpotente y = (Sugerencia: usar formas canonicas de Jordan).

Ejercicio 263 Determine las formas canonicas racional y de Jordan para

=1 1 00 1 00 1 1

Ejercicio 264 Sea 3×3 (C) tal que su forma canonica de Jordan es2 0 00 7 10 0 7

y sea 4×4 (C) con forma canonica de Jordan

7 1 0 00 7 1 00 0 7 00 0 0 7

Sea C = { 3×4 (C) | = } Encuentre dim ( )

Capıtulo 11

Espacios con producto interior II

11.1. Operadores normales, autoadjuntos,

unitarios

Recordemos que un operador : en un espacio con producto interior es

Normal, si conmuta con su adjunto: =

Autoadjunto (o hermitiano cuando = R) si =

Unitario si preserva el producto interior.

Como vimos, una equivalencia a que un operador sea unitario es que su adjuntocoincida con si inversa, es decir, = 1

De aquı vemos que los operadores autoadjunto y los operadores unitarios sonoperadores normales.Es una consecuencia del Teorema 108 que si es normal entonces ( ) conmuta

con ( ) para cualesquiera dos polinomios ( ) y ( ) C [ ] En particular, sies normal, entonces ( ) ( ) = conmuta con ( ) = ¯ =¡

¯¢( )

Recordemos que el “Teorema Fundamental del Algebra” asegura que C es uncampo algebraicamente completo, es decir que cualquier polinomio de grado positivocon coeficientes en C tiene una raız en C.

Observacion 99 Si es un operador normal en C con valor propio entonces¯ es un valor propio de De hecho, ( ) = ( ) = ¯ · ( )

407

408 CAPITULO 11. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR II

Demostracion.

( ) =

0 = h ( ) ( ) i

0 = h( ) ( ) ( ) ( )i

0 = h ( ) ( ) ( )i

0 = h ( ) ( ) ( )i

0 = h( ) ( ) ( ) ( )i

0 = ( ) ( ) = ( ) ¯ ( )

( ) = ¯ · ( )

11.2. Operadores normales, = C

Teorema 143 Sea C C un operador normal en un espacio de dimensionfinita no nula con producto interior. Entonces es diagonalizable.

Demostracion. ( ) tiene tantas raıces (contando multiplicidades) comodim( ). Digamos que los valores propios de (las raıces de ( ) ) son

1

Como de costumbre, denotemos = Ker( ) ası que

1

M MC

Demostrar que es diagonalizable equivale a demostrar que

1

M M= C

Si la inclusion fuera propia, entonces

=:³

1

M M ´6=n0o= C

Notemos que es invariante:

h ( ) i = h ( )i =

h ( )i = ¯ ·®= h i = 0

11.2. OPERADORES NORMALES, = C 409

Entonces podemos considerar

|

que tambien tendrıa un valor propio. por la hipotesis de que 6=n0oAhora, un

valor propio de | es tambien un valor propio de (|( ) | ( ) Teorema 105).

Por lo tanto (P

) 6=n0o

.

Esta contradiccion muestra que

=X

por lo tanto es diagonalizable.

Corolario 33 Sea C C un operador normal en un espacio de dimensionfinita no nula con producto interior. Entonces

1. es simultaneamente diagonalizable con .

2. = ( ) para algun ( ) C [ ]

Demostracion. 1. Se sigue de que

( ) = ( ) = ¯

Por lo tanto una base de vectores propios de es tambien una base de vectorespropios de2. Como la funcion conjugacion,

{ 1 }( ) ©¯

1¯ª

es una funcion suprayectiva, podemos aplicar el Teorema 119

Corolario 34 Sea C C un operador en un espacio de dimension finita nonula con producto interior. Entonces son equivalentes:

1. es normal.

2. = ( ) para algun ( ) C [ ]


Demostracion. 1. 2.) Si es normal, entonces conmuta con entoncesy son simultaneamente diagonalizables (Teorema 116), ası que por el Corolario

anterior, tenemos que = ( ) para algun ( ) C [ ]2. 1. ) conmuta con cualquier polinomio evaluado en .

Ejercicio 265 Sea =

µ21 2

¶Demostrar que es normal y encontrar ( ) tal

que ( ) =

Teorema 144 Sea C C un operador normal en un espacio de dimensionfinita no nula con producto interior. es normal tiene una base ortonormalformada por vectores propios de

Demostracion. ) Ya vimos que es diagonalizable, por lo tanto

= 1

M MPor el Teorema de Gram-Schmidt, basta ver que vectores propios que correspondena distintos valores propios de son ortogonales.

En efecto, ³0 6= 1 0 6= 2

´1 h i = h 1 i =

= h ( ) i = h ( )i =

= ¯2

®= 2 h i

Ası que 0 6= h i 1 = 2

) ( ) = ( ) = ¯ Por lo tanto conmuta con si es diagona-lizable.

11.3. Operadores autoadjuntos, = R

Teorema 145 Sea R R un operador autoadjunto en un espacio de dimensionfinita no nula con producto interior. Entonces es diagonalizable.

11.3. OPERADORES AUTOADJUNTOS, = R 411

Demostracion. Consideremos el diagrama

R R

C C

-

? ?-

[ ] ·

? ?-

[ ] ·

Como [ ] =³[ ]

´=³[ ]

´(pues [ ] es una matriz simetrica con coe-

ficientes reales) entonces [ ] · es un operador normal, ası que tiene algun valorpropio C.

Ahora, valor propio de [ ] · ¯ es un valor propio de³[ ] ·

´= [ ] · .

Entonces y ¯ son valores propios de [ ] · Ademas 0 6= C tal que

· = [ ] · =³[ ] ·

´· = ¯ ·

por lo que = ¯ R .Ası tenemos que tiene un valor propio real (de hecho, todo sus valores

propios son reales).Ahora el argumento prosigue por induccion sobre la dimension de .Supongamos que

= 1

M M Mdonde = ( 1

L L)

Entonces es invariante. Ademas¡

|

¢=³

|

´= | ası que si 0 6= |

tenemos que | tambien tendrıa algun valor propio.

Por lo tanto ( 1

L L) 6=

n0o

.

Ası que =n0opor lo que = 1

L Les decir, es diagonalizable.

Corolario 35 Toda matriz × (R) simetrica, es diagonalizable.


Ejercicio 266 Muestre que1 2 32 4 53 5 6

es diagonalizable.

Ejercicio 267 Sea : R3 R3 definida por

(( )) = ( + + )

Decir si es autoadjunto.

El resultado anterior se aplica para eliminar terminos cruzados en las formascuadricas que se estudian en geometrıa analıtica.

Ejercicio 268 Eliminar el termino cruzado en

4 2 + 5 + 9 2 + 8 = 0

mediante un cambio de coordenadas. Sugerencia:

4 2 + 5 + 9 2 =¡ ¢µ 4 5 2

5 2 9

¶µ ¶Ejercicio 269 Encontrar nuevas coordenadas ´ ´de manera que las siguientes for-mas cuadraticas puedan escribirse como 1 ( )

2+ 2 ( )2 y decidir que tipo de curva

determinan:

1. 2 + 4 + 2 = 0

2. 2 2 + 2 + 2 2 = 0

3. 2 2 + 2 + 2 2 = 0

Ejercicio 270 Determinar si el siguiente operador lineal es normal, autoadjunto oninguna de las dos. : R2 R2 definido mediante

(( )) = (2 2 2 + 5 )

Encontrar una base ortonormal para R2 formada por vectores propios de

11.4. OPERADORES UNITARIOS 413

11.4. Operadores unitarios

Teorema 146 Sea C C un operador normal en un espacio de dimensionfinita no nula con producto interior. es unitario C tiene una base ortonormalde vectores propios correspondientes a valores propios de tamano 1

Demostracion. ) Si es unitario entonces existe una base ortonormal dede vectores propios.

Ademask k = k ( )k = k k = | | k k | | = 1

) Seabase ortonormal

formada por vectores propios cuyos valores propios sean

de tamano 1. Digamos que= { 1 }

Entonces( ) = { ( 1) ( )} = { 1 ( 1) ( )}

es un conjunto ortonormal enComo manda la base ortonormal { 1 } en la base ortonormal { 1 1

}, concluımos que es unitario (es claro que preserva la norma).

Ejercicio 271 Para la siguiente matriz encontrar una matriz ortogonal o unitaria

y una matriz diagonal tal que = =

µ0 11 0

¶

11.5. Proyecciones

Recordemos que siL

= entonces

+ 7

se llama la proyeccion sobre a lo largo de .

Observacion 100 depende de tanto como de .Por ejemplo, si

= R2

= {(0 ) | R}

1 = {( 0) | R}

2 =©( ) R2 | R

ª


entonces1 ( ) = 1 (( 0) + (0 )) = (0 )

mientras que2 ( ) = 2 (( ) + (0 )) = (0 )

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

Teorema 147 Son equivalentes para : :

1. es una proyeccion ( = ).

2. es idempotente. ( 2 = = ).

Demostracion. 1. 2. ) Es claro.

2. 1 ) Demostraremos que =Ker( )( )

Para empezar, veamos que = Ker( )L

( ))

Ker ( ) ( ) = ( )

para alguna y ademas0 = ( )

Entonces0 = ( ) = ( ( )) = ( ) =

Por lo que Ker( ) ( ) =n0o

+) = ( ( )) + ( ) Ker( ) + ( ) pues

( ( )) = ( ) ( ( )) = ( ) ( ) = 0

11.5. PROYECCIONES 415

Hemos demostrado que

= Ker ( )M

( )

Ademas,

Ker( )( ) ( ) =

Ker( )( ) (( ( )) + ( )) = ( )

Por lo queKer( )( ) =

11.5.1. Proyecciones ortogonales

Definicion 124 Sea un espacio vectorial con producto interior, con un subespaciotal que

=

Llamamos proyeccion ortogonal sobre , a la proyeccion

Observacion 101 1. Si es de dimension finita, en la definicion anterior siem-pre se tiene que =

2. Si es de dimension finita, se tiene que =L

por lo que =

Teorema 148 Son equivalentes para un operador : en un espacio conproducto interior.

1. es una proyeccion ortogonal.

2. es idempotente y normal.

Demostracion. 1. 2. ) = es idempotente.Supongamos que

= 1 + 2 1 2

= 1 + 2 1 2

entonces D( )

E= h 1 1 + 2i = h 1 1i =

= h 1 + 2 1i =D

( )E


de donde concluımos que =³ ´

2. 1 ) Como es idempotente, entonces =Ker( )( ) basta demostrar que

Ker ( ) = ( ( )) y

( ) = ( ( ))

Sea Ker( ) y sea = ( ) entonces

h ( )i = h ( ) i = h0 i =D0E= 0

Por lo tanto Ker( ) ( ( ))Veamos ahora que ( ( )) :³

( ) ( ) ( )´

h ( ) ( )i = h ( ( ))i = h ( ( ))i = 0

Una vez que hemos visto que ( ) supongamos que ( ( ))

entonces ( ) ( ) por lo que

h ( ) ( )i = 0

por lo tanto ( ) = 0 es decir que Ker( )Acabamos de demostrar que ( ) Ker( )Por lo tanto ( ) = Ker( )

Resta demostrar que ( ) = ( ( ))Siempre se tiene que ( ) ( ( )) .

Recıprocamente, sea ( ( )) entonces = ( ) + ( ( )). Como( ) Ker( ) = ( ) entonces

h ( )i = 0

Como ( ) ( ) ( ( )) tambien tenemos que

h ( ) ( )i = 0

Por lo tanto

0 = h ( )i+ h ( ) ( )i =

= h ( ) ( )i

11.5. PROYECCIONES 417

De aquı que ( ) = 0 ası que = ( ) ( ) Con esto vemos que( ( )) ( )Por lo tanto

( ( )) = ( )

Entonces

Ker ( ) = ( ( )) y

( ) = ( ( )) = Ker ( )

Por lo tanto

= ( )M

Ker ( ) = ( )M

( )

Observacion 102 Notemos que un operador idempotente y normal tiene que serautoadjunto, en vista del teorema anterior.

Ejercicio 272 Demuestre por induccion que si × (C) es idempotente ynormal, entonces =

Teorema 149 Sea de dimension finita, con producto interior, en-tonces ( ) es el vector de mas cercano a

Demostracion. = ( ) +³

( )ćon

³( )´

Aho-

ra,

k k = h i =

=D

( ) +³

( )´

( ) +³

( )´ E

=

=D³

( )´+³

( )´ ³

( )´+³

( )É=

=D³

( )´ ³

( )É+D³

( )´ ³

( )É=

=°°°³ ( )

´°°°2 + D³ ( )´ ³

( )É

D³( )´ ³

( )É=°°° ( )

°°°


11.6. El teorema espectral

Teorema 150 (Espectral) Sea un operador lineal en un espacio dedimension finita con producto interior. Supongamos que es normal si = C y quees autoadjunto si = R

Sean 1 los distintos valores propios de denotemos =: la proyeccion

ortogonal sobre Entonces

1. = 1

L L2. Denotemos ´=

L6=

entonces ´=

3. = donde denota la delta de Kronecker.

4. = 1 + +

5. = 1 1 + +

Demostracion. 1. Esto sucede porque es diagonalizable (Teoremas 143 y 145).2. Para un operador normal, vectores propios que corresponden a distintos valores

propios son ortogonales: pues si tomamos a

1 2 1 6= 2

entonces

1 h i = h 1 ( ) i = h ( ) i =

= h ( )i = ¯2 ( )

®= 2 h i

Esto muestra que ( ) 6=

Por lo tanto ´ ( ) por otra parte las dimensiones de ambos espacioscoinciden, dadas las descomposiciones de :

=M

ý

=M

( )

Por lo tanto,´= ( )

11.6. EL TEOREMA ESPECTRAL 419

3. Como es una proyeccion, entonces =Si 6= entonces ( ) =

¡ ¢´ = ( ) ası que ( ( ))³

( )´=

³( )

´=n0o

En resumen, =4. Como = 1

L Lsi

= 1 + +

debe ser claro de los incisos anteriores que 1 ( ) = 1 ( ) = entonces

= 1 ( ) + + ( ) = ( 1 + + ) ( )

5. Respetando la notacion del inciso anterior,

( ) = ( 1 + + ) =

= ( 1) + + ( ) = 1 ( 1) + + ( ) =

= 1 ( 1 ( )) + + ( ( )) =

= ( 1 1) ( ) + + ( ) ( ) =

= ( 1 1 + + ) ( )

Por lo tanto,= 1 1 + +

Corolario 36 Sea C C un operador normal en un espacio de dimension fini-ta con producto interior. es autoadjunto cada valor propio de es un elementode R.

Demostracion. Como = 1 1 + + (con la notacion del Teoremaespectral), entonces

= ( 1 1 + + ) =

= ( 1 1) + + ( ) =

= ¯1 1 + + ¯ =

= ¯1 1 + + ¯

ya que las proyecciones ortogonales son autoadjuntas (Observacion 102).


Ahora, si cada valor propio de es real entonces = ¯ para cada , y porlo tanto =

Recıprocamente, si

1 1 + + = ¯1 1 + + ¯

tomemos un vector propio de que corresponda a entonces

= ( 1 1 + + ) ( ) =

=¡¯1 1 + + ¯

¢=

= ¯

Como 6= 0 entonces = ¯

Corolario 37 Sea un operador lineal no nulo en un espacio de dimen-sion finita con producto interior. Supongamos que es normal si = C y que esautoadjunto si = R

Entonces cada =

³ és un polinomio evaluado en

Demostracion. Usaremos la notacion del Teorema espectral.Como = 1 1+ + y como = es claro que = =

Entonces los operadores y son simultaneamente diagonalizables.La afirmacion es cierta si solo tiene un valor propio, pues en este caso

= 1 1, por lo que 1=11=³11

´( ) (Si 1 = 0 entonces = 0 ) = 1

por lo que 1 =Supongamos ahora que tiene por lo menos dos valores propios.

Como =

³ ´debe ser claro que tiene exactamente dos valores

propios: 1 = 1 y 2 = 0 Denotemos

´=: { | ( ) = } {1 2}

Es claro que

1 =

y que

2 = Ker ( ) =M6=

11.6. EL TEOREMA ESPECTRAL 421

Por lo tanto la suprayeccion

{1 } ³ {1 2}7 1

6= 7 2

satisface´ =

X( )=

Pues

1 = ´1= =

X( )=1

y

0 = ´2=X6=

=X( )=2

La conclusion sigue inmediatamente del Teorema 119.

Ejercicio 273 Muestre que el Corolario anterior falla si no pedimos que el operadorsea distinto de 0

Ejercicio 274 Para =

µ0 11 0

¶:

1. Demostrar que · posee una descomposicion espectral.

2. De manera explıcita, definir cada una de las proyecciones ortogonales en losespacios propios de ·

3. Verificar los resultados usando el Teorema espectral.

422

Algunas notaciones utilizadas en el libro:

C: conjunto de numeros complejosN: conjunto de numeros naturalesQ: conjunto de numeros racionalesR: conjunto de numeros realesZ: conjunto de numeros enteros( ): conjunto de subconjuntos de: interseccion: union: union ajena

: union de con que ademas son ajenosR : producto directo de copias de R

× ( ): conjunto de las matrices de renglones y columnas( ): conjunto de las matrices de × con coeficientes en: implica: si y solo si: disyuncion, supremo: conjuncion, ınfimo×: producto cartesiano\: diferencia de conjuntos: cuantificador universal: cuantificador existencial: sımbolo de pertenencia: conjunto vacıo

{ } : familia de conjuntos con ındices en: conjunto de funciones de en

: es una funcion de en

³ : es una funcion suprayectiva: funcion inyectiva

³ : funcion biyectiva

423

: “ seguida de ”: funcion sucesor( ): conjunto de biyecciones de a: funcion identidad en el conjunto

| |: cardinal de1: inverso de en un grupo

2Z: conjunto de los paresZ: conjunto de multiplos de2 Z + 1: conjunto de los imparesZ + Z : conjunto de combianciones enteras de y

( ; ): maximo comun divisor de y[ ; ]: mınimo comun multiplo de y: inclusion de en

| : restriccion de a| : correstriccion de a|| : restriccion de a correstringida a

h i: subgrupo generado por: neutro en un monoide: distancia: complemento de

Z : enteros modulo×: unidades de Z

R [ ]: anillo de los polinomios con coeficientes en R¯: clase de congruencia de

: es un subespacio deL ( ): subespacio generado por

: coeficiente en el renglon y en la columna deS : conjunto de las matrices simetricas de ×T : conjunto de las matrices triangulares supeiores de ×L ( ): subespacio generado porL ( ): subespacio generado por{ 1 2 }: base canonica de RM: suma directa

: suma directa de los subespacios yP (R): subespacio de las funciones reales pares de variable realI (R): subespacio de las funciones reales impares de variable realu : es isomorfo a: matriz idnetidad de ×

424

: delta de Kronecker[ ] : matriz de respecto a las bases y[ ] : matriz de respecto a las bases canonicas[ ] : vector de coordenadas de respecto a la base

: la funcion 7 [ ]nul: nulidadrangorango : rango de columna|: tal que, divide a, concatenacion de matrices, restriccion, correstriccion( | ): concatenacion de las matrices y: bloque de Jordanh | i: producto interiorkk: norma||: valor absoluto, modulo(): funcion exponencial

××

× : la funcion ( ) 7 ( ( ) ( )): adjunto de: transpuesta de· : multiplicar por a la izquierda· : multiplicar por a la drecha· : multiplicar por

( ): espacio de las funciones lineales de aj¯: esima columna de

i¯: -esimo renglon de: rotacion por un angulo: rotacion por un angulo: reflexion respecto de la lınea

c.l.: combinacion lineall.i: linealmente independientel.d.: linealmente dependiente( ): conjunto de los polinomios de grado a lo mas junto con el polinomio

cero[ ]: espacio de los polinomios con coeficientes en(N): conjunto de los polinomios con coeficientes en pensados como sucesiones

casi nulasI : operacion elemental que intercambia los renglones y de una matrizI : I ( )M : operacion elemental de renglon que multiplica por el renglon de una

425

matrizM :M ( )S : operacion elemental que suma veces el renglon al renglon de una matrizR E : operaciones elementalesI : operacion elemental que intercambia las columnas y de una matrizM : operacion elemental de columna que multiplica por la columna de una

matrizS : operacion elemental de columnna que suma veces la columna a la

columna de una matriz: conjunto de soluciones de un sistema homogeneoµ0

0 0

¶: matriz con submatriz y con el resto de sus coeficientes 0

: espacio dual: base dual de la base( ): espacio de las funciones de a que se anulan en casi todo elemento de

(): la funcion 7: la funcion 7 ( )

R+: conjunto de reales positivos: traza

( ):X=1

cuando × ( )

= : adjunta de

:n| h i = 0

o() : ( )

hn0o i

: 7hn0o i

: conjunto de los subespacios de

[ ]: conjunto de los subespacios de que contienen a y queestan contenidos en

Re ( ): parte real de( ): parte imaginaria de

det ||: determinante: funcion -lineal, funcion alternante, determinante¡1 (1) 2 (1) (1)

¢: ciclo en

: grupo de las permutaciones en {1 2 }: grupo de las permutaciones pares en {1 2 }( ): signo de

426

d: matriz que se obtiene al suprimir en la matriz el renglon y la columna: R [ ] R [ ]: la funcion ( ) 7 ( )

( ): congruencia modulo ( )

C : conjunto de las funciones reales de variable real que tienen derivada -esimapara cada( ): polinomio caracterıstico de( ): polinomio mınimo para( ): polinomio caracterıstico de( ): polinomio mınimo para

: se obtiene al aplicar uan operacion elemental a: subespacio de cuyos elementos son los vectores propios de correspon-dientes al valor propio¡

0 :¢=©

[ ] | ( ) = 0ª

[ ] ( ) = { [ ] | [ ]}: es un subespacio invariante de

: conjunto de operadores en que hacen a -invarianteL ( ): subespacio -invariante generado porL ( ): subespacio -cıclico generado por( ): conjunto de los operadores que conmutan con

D ( ): conjunto de los operadores en que son diagonalizables: matriz companera del polinomio

: -zoclo, ( ( )) ( ) polinomio irreducible: espacio cociente

( ): numero de sumandos directos con polinomio mınimo ( ) en una des-composicion de en sumandos directos -cıclicos

427

428

Bibliografıa

[1] Devlin, K. The joy of Sets. New York. Springer Verlag. 1993.

[2] Hamilton, A.Numbers, Sets & Axioms: the apparatus of Mathematics. Cambridge.Cambridge University Press. 1982.

[3] Jacobson, N. Basic Algebra I. New York. W. H. Freeman and Company, 1985.

[4] Hernandez Hernandez, F. Teorıa de Conjuntos. Mexico. AportacionesMatematicas. Sociedad Matematica Mexicana. 1998.

[5] Friedberg, S. Insel, A. Spence, L. Algebra Lineal. Mexico. Publicaciones Cultural.1982.

[6] Ramırez Galarza, A. I. Geometrıa Analıtica: Una introduccion a la Geometrıa.Mexico. Prensas de Ciencias, UNAM. 1998.

[7] Rotman, I. An introduction to the Theory of Groups. New York. Springer Verlag.1995.

429

Indice alfabetico

adjugada, 221adjunta clasica, 221algoritmo

para invertir una matriz, 100alternante, 188anillo, 13

con division, 16conmutativo, 13, 16dominio, 16

asociatividaddel producto de matrices, 94

base, 35canonica racional, 357

base dual, 136bases

existencia, 50propiedad universal, 73

bloque de Jordan, 374

cadena, 46cadena de Markov, 390campo, 16Concatenacion, 331conjunto

generador, 35linealmente dependiente, 32ortonormal, 162parcialmente ordenado, 46

COPO, 46cota inferior, 48

cota superior, 47

delta de Kronecker, 136dependencia lineal, 32

caracterizacion, 33desigualdad del triangulo, 156diagonalizacion

simultanea, 298, 309diferencia simetrica, 14dimension, 41, 52

de una suma de subespacios, 45

escalares, 19espacio

cociente, 352de funciones lineales, 77dual, 136

espacio propio, 256espacio vectorial, 19

finitamente generado, 36

forma canonicade Jordan, 374racional, 358

funcionalternante, 188inclusion, 8lineal, 67n-lineal, 185periodica, 59que respeta la suma pero no la mul-

tiplicacion, 82

430

INDICE ALFABETICO 431

restriccion de una, 8

grupo, 6, 17

idealde [ ], 238

independencia lineal, 34caracterizacion, 35

ınfimo, 48inversa

de una matriz, 100inverso, 5isometrıa, 179isomorfismo, 78

kernel, vease nucleo de una funcion lineal

ley modular, 28

matricesproducto, 91similares, 102, 226

matrices invertiblescaracterizacion, 97

matriz, 21aumentada, 127companera, 316de cambio de base, 102diagonalizable, 255reducida y escalonada, 118respecto a una base ortonormal, 168simetrica, 23triangular, 23

matriz de transicionpositiva, 394regular, 394

matriz de una transformacion lineal, 86matriz elemental, 112, 114matriz elemental de columna, 117matriz escalonada, 61

matriz identidad, 90matriz invertible

y producto de matrices elementales,123

maximo comun divisor, 11, 239may, 46mayor

elemento, 46menor

elemento, 47mınimo comun multiplo, 11, 240monoide, 5, 17

-lineal, 185neutro, 4

derecho, 4izquierdo, 4

nilpotente,matriz, 249

norma, 154nucleo de una funcion lineal, 69nulidad, 80

operacion, 1asociativa, 1restriccion de una, 9

conmutativarestriccion, 9

operacion elemental, 112—114y rango, 118

operaciones elementales de columna, 117operador

adjunto, 170autoadjunto, 410, 419diagonalizable, 255, 264normal, 407, 410unitario, 177, 407, 413

operador autoadjunto, 407operador ortogonal, 177

432 INDICE ALFABETICO

orden parcial, 46ortogonal a un conjunto, 159

zoclo, 320periodo, 59polinomio

irreducible, 241monico, 238

polinomio caracterıstico, 250polinomio mınimo, 270producto de matrices, 91producto interior, 151Propiedad universal de las bases, 73proyeccion, 105, 413

ortogonal, 415

rango, 80reflexion, 68, 177

matriz de una, 94regla de Cramer, 224regla de los signos, 18relacion de orden, 46rotacion, 68, 177rotaciones en el plano, 92

semigrupo, 1, 17simetrıa, 12similitud, 102, 226sistema homogeneo, 126sistemas

con solucion, 128Sistemas de ecuaciones, 126soporte, 22subespacio

generado por un conjunto, 24cıclico, 289invariante, 283generado por , 289

subespacio vectorial, 21

subespaciossuma de, 25suma directa de, 28

subgrupo, 9generado por un conjunto, 9

suma directa, 28sumas directas, 262

caracterizacion, 31supremo, 48

invariante, 107Tablas de multiplicar, 2Teorema

Cantor-Schroeder-Bernstein, 56Cauchy-Schwarz, 154Cayley-Hamilton, 296del supremo, 48el rango de renglon coincide con el

rango de columna, 121espectral, 418existencia de bases, 50fundamental del Algebra, 407Gram-Schmidt, 162

transformacion linealmatriz de una, 86

unidad, 16

valor propio, 247variables

libres, 130principales, 130

vector propio, 247vectores, 19

ortogonales, 158

ZornLema de, 50

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?lgebra lineal...ÁLGEBRA LINEAL 2ª edición, 2006 ©Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ciencias ISBN: 968-36-9263-X La presente obra fue impresa bajo demanda