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Lugar de las raícesLugar de las raíces
Lugar de las raíces
Los polos de lazo abierto de un sistema representan característicaspropias del mismo, no pueden ser modificados a menos que se modifiqueel sistema o se agreguen otros elementos dinámicos.el sistema o se agreguen otros elementos dinámicos.
Lugar de las raíces
5
7
+s
Tim e (s ec .)
Am
plitu
de
S tep Res pons e
0 0.2 0 .4 0.6 0 .8 1 1 .20
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1 .2
1 .4
From: U(1)
To
: Y
(1)
1.4 Respuesta
No cambia el
Sistema de primer orden ante una entrada escalón:
5
7
+s4
Tim e (s ec .)
Am
plitu
de
S tep Response
0 0.2 0.4 0 .6 0.8 1 1.20
1
2
3
4
5
6
From: U(1)
To
: Y
(1)
5.6
5
7
+s2
1
+s
Tim e (s ec .)
Am
plitu
de
S tep Response
0 0.5 1 1 .5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
From: U(1)
To
: Y
(1)
No cambia eltiempo derespuesta, solo laamplitud.
El tiempo de respuesta cambia, Solo agregando otra dinámica.
1.4
0.7
Lugar de las raíces
Por otra parteLos polos de lazo cerrado pueden ser fácilmente modificados sin alterar lanaturaleza del sistema.
Las características de estabilidad de un sistema en lazo cerrado estáníntimamente ligadas con la ubicación de los polos de lazo cerrado
¿Porqué modificar los polos de lazo cerrado
Entonces:• Un sistema en lazo cerrado puede tener distintos tipos de respuesta de salida sin alterar su naturaleza.• Sistemas inestables (estables) pueden llegar a ser estables (inestables) utilizando realimentación y, en el caso más sencillo, modificando una simple ganancia.
veamos un ejemplo…
Lugar de las raíces
Sea el sistema de lazo cerrado
)7( +ss
K+
-
)(sC)(sREn lazo cerrado
Kss
K
sR
sC
++=
)7()(
)(
La ecuación característica es
072 =++ Kss
)(sB
Polos de lazo abierto:
7,0 −== ss
072 =++ KssEn lazo abierto
)7()(
)(
+=
ss
K
sE
sBLas raíces de la ecuación característica son los polos de lazo cerrado (p.l.c)
Ks −±−= 25.125.312
y dependen del valor de K
Lugar de las raíces
Para diferentes valores de K:
K cerradolazodepolos
8541.6−=s 1459.0−=s1
5−=s10 2−=s
1.0 98568.6−=s 014314.0−=s
5707.35.3 js +−= 5707.35.3 js −−=25
5.3−=s 5.3−=s25.12
5−=s10 2−=s
5.14 5.15.3 js +−= 5.15.3 js −−=
25.112 105.3 js +−= 105.3 js −−=
Cada par de polos de lazo cerrado provoca una respuesta de salida diferente
Lugar de las raíces
25.112=K
La ubicación de estas raíces en el plano s
1.0=K
Saltar gráficas
Lugar de las raíces
1.07
1.0
)(
)(2 ++
=sssR
sCclp .. 014314.02 −=s98568.61 −=s
Lugar de las raíces
17
1
)(
)(2 ++
=sssR
sCclp .. 01459.02 −=s8541.61 −=s
Lugar de las raíces
107
10
)(
)(2 ++
=sssR
sCclp .. 22 −=s51 −=s
Lugar de las raíces
25.127
25.12
)(
)(2 ++
=sssR
sCclp .. 5.32 −=s5.31 −=s
Lugar de las raíces
257
25
)(
)(2 ++
=sssR
sCclp .. 5707.35.32 js −−=5707.35.31 js +−=
Lugar de las raíces
25.1127
25.112
)(
)(2 ++
=sssR
sCclp .. 105.32 js −−=105.31 js +−=
Lugar de las raíces
Entonces si se evaluara para todos los valores positivos de K se obtendría El lugar de las raíces de ese sistema en particular. Regresando al ejemplo:
Variando el valor de la ganancia K, se tiene
acceso a cualquier valor de polos de lazo cerrado (región verde-cerrado (región verde-azul).
Otro valor fuera de esa región, no es posible obtenerlo solamente con el cambio de K
Lugar de las raíces
El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de las raíces de laecuación de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algún otroparámetro desde cero hasta infinito, partiendo de la ecuación de lazo abiertoGH(s):
Definición:
Condición de ángulo y magnitud
La ecuación característicaLa ecuación característica
0)()(1 =+ sHsG 1)()( −=sHsG
por ser un polinomio en s (variable compleja) tiene tanto magnitud y ángulo:
1)()( =sHsG ,...2,1,0,360180)()( =°±°=∠ kksHsG
Condición de magnitud Condición de ángulo
Todas las raíces del lugar de las raíces cumplen con la condición de ángulo y magnitud.
Lugar de las raíces
Retomando el ejemplo anterior con 25.112=K
ωj10j
)7(
25.112)(
+=
sssG clp .. 105.32 js −−=105.31 js +−=
1)( ==K
sG
Condición de magnitud
... clp
σ
10j
10j−
1A2A1)(
21
==AA
KsG
1)7(
25.112
105.3
=+
+−= jsss
7−
alp ..
alp ..
... clp
... clp Cumple con la condición de magnitud
Lugar de las raíces
°±°=∠ 360180)(sG
21)( θθ +=∠ sG
Condición de ángulo
σ
ωj10j
1θ2θ
7−
alp ..
alp ..
... clp
+°= −
10
5.390 1
1 tgθ
= −
5.3
1012 tgθ
10j−... clp°=∠ 180)(sG
Cumple con la condición de ángulolugar de las raíces
Cualquier otro polo de lazo cerrado fuera del lugar de las raíces no cumple con la condición de magnitud ni de ángulo.
Cualquier otro polo de lazo cerrado dentro del lugar de las raíces cumple con la condición de magnitud ni de ángulo.
Lugar de las raíces
Reglas de construcción para del lugar de las raíces
Se expondrán las reglas con un ejemplo, encontrar el lugar de las raíces de
1.- Puntos de origen (k = 0)Los puntos de origen del lugar de las raíces son los polos de GH(s). Los polos
)5)(4()()(
++=
sss
KsHsG
Los puntos de origen del lugar de las raíces son los polos de GH(s). Los polosincluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.
polos finitos .5,4,0 −=−== sss
ceros finitos hayno Gráfica
2.- Puntos terminales (k = ∞)
Los puntos terminales del lugar de las raíces son los ceros de GH(s). Los ceros incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.
Lugar de las raíces
3.- Número de ramas separadas
P = # de polos finitos de GH(s), Z = # de ceros finitos de GH(s), N = # de ramas separadas.
ZPN −=
303 =−=NRamas separadas
4.- Asíntotas del lugar de las raíces4.- Asíntotas del lugar de las raíces
N
jo
j
)12(180 +=θ
j = 0, 1, 2, 3, … hasta N -1= P - Z - 1
.2,1,0,3 == jN
°== 603
1801
o
θ °== 1803
)3(1802
o
θ °== 3003
)5(1802
o
θ
Lugar de las raíces
5.- Intersección de las asíntotas con el eje real.
N
∑−∑=
GH(s) de ceros de raícesGH(s) de polos de raíces1σ
33
)0()540(1 −=
−−−=σ
Gráfica
6.- Lugar de las raíces sobre el eje real
Un punto del eje real del plano S pertenece al lugar de las raíces si el número total de polos y ceros de GH(s) que hay a la derecha del punto considerado es impar.
Lugar de las raíces
7.- Ángulos de salida y llegada
El ángulo de salida del lugar de las raíces de un polo o el ángulo de llegadade un cero de GH(s) puede determinarse suponiendo un punto S1 muypróximo al polo o al cero aplicando la siguiente ecuación:
)12(180)( +=∑−∑=∠ jsGH ozp φφ
En el caso del ejemplo, los polos están en el eje real y puede calcularse elángulo de salida por simple inspección. Si se usa la fórmula, se define unpunto muy cercano al polo o cero a calcular su ángulo de salida o llegada.
°=−−− 180540 φφφ
°=−−− 1800180 4φ
0φ5φ
°= 04φ
punto de prueba
Lugar de las raíces
8.- Intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario
Sobre el eje imaginario el valor de es , por eso se cambia en laecuación característica . Se obtiene el valor de y el de .ωjs → ω K
s ωj
0209)()(1 23 =+++=+ KssssHsG
0)(20)(9)( 23 =+++ Kjjj ωωω 1−=j
0209 23 =++−− Kjj ωωω
se separan las parte real e imaginaria
09 2 =+− Kω 0203 =+− ωω jj
0203 =+− ωω jj
20=ω180=K
Lugar de las raíces
9.- Puntos de separaciónLos puntos de separación o de ruptura es un valor donde dos polos dejan de ser reales y se hacen imaginarios (o viceversa). Se determinan usando:
0=ds
dKticacaracterísecuaciónladedespejaseK
sssK 209 23 −−−= sssK 209 23 −−−=
020183 2 =−−−= ssds
dK
020183 2 =++ ss
4724.1−=s5275.4−=s
Lugar de las raíces
10.- Cálculo del valor de K en el lugar de las raíces
1)()( =sHsG
Se puede conocer que valor de K es necesario para obtener los polos de lazo cerrado deseados, utilizando la condición de magnitud.
Lugar de las raíces
Paso 1
Paso 2
hayno
Paso 3
3=N
Inicio
Paso 4
°= 601θ °=1802θ
°−= 602θ
Paso 5
31 −=σ
Paso 6
3−
Lugar de las raíces
Paso 7
°=1800φ °= 04φ
°=1805φ
Paso 8
20j
3−
Paso 8
20=ω180=K
20j−
Paso 9
4724.1−=s
Este es el lugar de las raíces del sistema.
Lugar de las raíces
Configuraciones típicas del lugar de las raíces
))(()()(
bsass
KsHsG
++=
)54)(52()()(
22 ++++=
ssss
KsHsG
Lugar de las raíces
)134(
)1()()(
2 ++
+=
ss
sKsHsG
)134)(1()()(
2 +++=
sss
KsHsG
1.Situar los polos y ceros en el plano S.
2. Determinar el lugar de las raíces sobre el eje real.
• 3. Determinar asíntotas del lugar de las raíces.
• Intersección de las asíntotas eje real:
Construcción del lugar de la raíces.
:
:
n polos
m zeros
impar Existe rama
par No Existe rama
→
→
180(2 1)j
j
Nθ
+=
0,1,2... 1j hasta N= −
( de polos)- ( de ceros)Raices Raicesσ
∑ ∑=
N P Z= −
• Intersección de las asíntotas eje real:
• 4. Encontrar los puntos de ruptura y de ingreso.
• Despejando k ,derivando e igualando a cero.
• 5. Determinar el ángulo de la salida (polo complejo).
• 6. Encontrar los puntos donde los lugares de las raíces cruzan el eje imaginario. s=jw.
( de polos)- ( de ceros)Raices Raices
Nσ
∑ ∑=
Angulo salida =180 [ ]1 2
oθ θ φ− + +
