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222 bac
a
b
c
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
El triángulo rectángulo es un elemento muy importante dentro de la trigonometría, ya que en este triángulo podemos definir las razones trigonométricas que son muy utilizadas en los campos de la ingeniería, la topografía, astronomía, física, etc.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Inicialmente se mencionara los lados del triángulo rectángulo.
a y b : Catetos c : Hipotenusa
El teorema se define como:
“El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”
Ej. Calcular la hipotenusa del triangulo.
Resolución:Aplicando el teorema de Pitágoras
I.E.P. LA SORBONA 1
2
4
x
3
4
x
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Ej. Calcular la hipotenusa del triangulo.
Resolución:Aplicando el teorema de Pitágoras
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Del gráfico calcular x
a)
b)
c)
d)
e)
f)
I.E.P. LA SORBONA 2
5
12
x
x
6
10
7
x
25
3
x+2
x+3
1
2
x
1
3
x
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
I.E.P. LA SORBONA 3
√2 x
x
x 3
2
√29 2
x
√17
1
x
5
8
x
7
3
x
x
9
15
3√2 x
x
x 3
5
√40 2
x
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y)
z)
I.E.P. LA SORBONA 4
√26
1
x
√ 13
6
x
7
2
x
x
12
15
√5 x
2x
5 3
2x
√51 2
x
2√17
2
8
1
2x
√65
7
1
x
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
aa)
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Para un ángulo agudo
a : cateto opuesto……..C.O b : cateto adyacente…..C.A c : Hipotenusa…………H
En el se define la razón trigonométrica para ángulo agudo como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos lados del triangulo rectángulo.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
seno……………..sen coseno…………...cos tangente………….tan cotangente……….cot secante…………..sec cosecante………..csc
PARA UN ÁNGULO Α
I.E.P. LA SORBONA 5
a
b
c
α
C.O
C.A
H
α
9
9
x
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
seno de α …………...sen α coseno de α ………....cos α tangente de α …….….tan α cotangente de α ….….cot α secante de α …….…..sec α cosecante de α ….…..csc α
PARA UN ÁNGULO AGUDO Θ
Ej. Calcular las razones trigonométricas de α
Resolución:
sen α = 3/5 csc α = 5/3cos α = 4/5 sec α = 5/4 tan α = 3/4 cot α = 4/3
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
I.E.P. LA SORBONA 6
b
a
c
θ
3
4
5
α
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
1. Calcular las razones trigonométricas de α
2. Calcular las razones trigonométricas de α
3. Calcular las razones trigonométricas de α
4. Calcular las razones trigonométricas de α
5. Calcular las razones trigonométricas de α
6. Calcular las razones trigonométricas de θ
7. Calcular las razones trigonométricas de θ
I.E.P. LA SORBONA 7
6
8
10
α
5
12
13
α
7
24
25
α
9
12
15
α
2
1
√5
α
θ 3√2 3
3
θ √7 √3
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
8. De la figura calcular sen θ + tg β
9. De la figura calcular cos θ + ctg β
10. De la figura calcular 2sen θ + 2cos β
11. Calcular sen θ + 3cos θ
12. Calcular 2ctg α + 3tg α
13. Calcular 13sen θ
14. Calcular ctg β
I.E.P. LA SORBONA 8
9
θ
4
9
β
5
5 7
θ
9
β
7
3
7
β
θ 7
4
θ 10 8
6
2
1
√5
α
θ 13 12
1
√5 β
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
15. Calcular tg θ
16. Calcular ctg θ
17. Calcular csc α
18. Calcular sec θ
19. Calcular 12tg θ
20. Calcular ctg β + tg β
21. Calcular sen θ
22. Calcular sen θ
I.E.P. LA SORBONA 9
θ √34 5
θ √10 3
1
√17 √17
α
θ 3
√7
θ √10 3
3
θ √34 5
4
1
√5 β
2
θ 13 12
5
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
23. Calcular csc α
24. Calcular 5sen θ
TRIÁNGULO NOTABLE DE 30° Y 60°
Razones trigonométricas de 30°
sen 30° = 1/2 csc 30° = 2
cos 30° =√3 /2 sec 30° = 2/√3
tan 30° = 1/√3 cot 30° = √3
Razones trigonométricas de 60°
sen 60° = √3 /2 csc 60° = 2/√3
I.E.P. LA SORBONA 10
2k
30º
k√3
k 60º
1
√17 √17
α
√15
θ 3
√7
√18
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
cos 60° = 1 /2 sec 60° = 2
tan 60° = √3 cot 60° = 1/√3
TRIÁNGULO NOTABLE DE 37° Y 53°
Razones trigonométricas de 37°
sen 37° = 3/5 csc 37° = 5/3
cos 37° = 4 /5 sec 37° = 5/4
tan 37° = 3/4 cot 37° = 4/3
Razones trigonométricas de 60°
sen 53° = 4 /5 csc 53° = 5/4
cos 53° = 3/5 sec 53° = 5/3
tan 53° = 4/3 cot 53° = 3/4
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Calcular :a) sen 30° + tg 37°
b) cos37° + 1/5
c)tg 53° + 2/3
d) 5sec 60º + 3tg 53º
e) 3sec 53º + 8sec 60º
I.E.P. LA SORBONA 11
5k
37º
4k
3k 53º
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
f) 6cos 60º + 4tg 37º
g) 12ctg 37º + √3.ctg 30º
h) 8sec 37º - 2sec 60º
i) sen 37° + 7/5
j) tg 53° + ctg 37°
k)cos 53º + 7/5
l) tg 53° + ctg 37°
m) 2sen 60º + tg 60º
n) √3.csc 60º + 4tg 37º
o) 4ctg 53º + 5cos 53º
p) √3.tg 30º + √3.csc 60º + 3ctg 37º
q)5ctg 30º + 4sen 60º - √3.tg 53º.ctg 53º
I.E.P. LA SORBONA 12
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
r) (tg 60º)2 + 4sec 37º - 4tg 37º
s)(sec 60º)3 – 3sec 53º + 2cos 60º
t) 4sec 37º + 7sec 60º + √3.sec 30º
u) 3ctg 37º + 8cos 60º - (ctg 30º)2
v)8tg 37º + 3sec 53º - 2√3.tg 60º
w) √3.ctg 30º + 5tg 60º + 4√3.tg 37º
x)5cos 53º + 4tg 37º
y)√3.csc 60º + √3.sec 30º + 5sen 53º
z)10cos 37º + 8sen 30º
2.Calcular a) 2sen 30° + cós 60°
b) 3tg 45° + 2ctg 45°
c)5csc 30° + 3tg 53°
I.E.P. LA SORBONA 13
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
d) 6tg 53° + 4tg37°
e) 2sen 53° + 2/5
f) 6tg 53° + 8tg 37°
g) (sec 60°)2 + 4tg37°
h) 5cos 53° - 4tg 37°
i) 6sec 53° + 9csc 37°
j) sec 53° + 1/3
k)tg 53° + 5/3
l) 5sen 30° + 2tg 37°
m) √3.sen 60° + sem 30°
n) (2sen 30°)4 + sec 60°
I.E.P. LA SORBONA 14
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
TRIÁNGULO NOTABLE DE 45°
Razones trigonométricas de 45°
sen 45° = √2 /2 csc 45° = √2
cos 45° = √2 /2 sec 45° = √2
tan 45° = 1 cot 45° = 1
TRIÁNGULO NOTABLE DE 16° Y 74°
Razones trigonométricas de 16°
I.E.P. LA SORBONA 15
k√2
45º
k
k 45º
25k
16º
24k
7k 74º
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
sen 16° = 7/25 csc 16° = 25/7
cos 16° = 24/25 sec 16° = 25/24
tan 16° = 7/24 cot 16° = 24/7
Razones trigonométricas de 74°
sen 74° = 24 /25 csc 74° = 25/24
cos 74° = 7/25 sec 74° = 25/7
tan 74° = 24/7 cot 74° = 7/24
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.Calcularo) sen 16° + tg 45°
p) (sec 45°)2 + 3ctg 45º
q) 2sen 45° - csc 45º
r) 7csc 16º + 5ctg 45º
s)7tg 74º - 5(csc 45º)2
t) 2cos 45º + 2sen 45º - sec 45º
u) 12tg 16º + ctg 16º
I.E.P. LA SORBONA 16
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
v)5sen 16º + 3/5
w) 7csc 16º - 10tg 45º
x)3ctg 45º + (csc 45º)2 – 25cos 74º
y)25sen 16º + 7ctg 16º + 24csc 74º
z)10(tg 45º)3 + 24ctg 74º - 25sen 16º
aa)√2.sen 45º + (sec 45º)2 – 25cos 74º
bb) √2.ctg 45º + 4cos 45º + 25√2.sen 16º
cc)sen 74º.csc 74º + 24tg 16º
I.E.P. LA SORBONA 17
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto.En la figura: α y θ: son ángulos complementarios ( θ + α = 90º)
Se cumple:
Ejemplos:
sen 20º = cos 70º tg 47º = ctg 43º sec15º = csc 75º sen 12º = cos β → 12º + β = 90º
→ β =78º
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Siendo A un ángulo agudo que se cumple
Ejemplos:
sen 20º .csc 20º = 1 cos 80º .sec 80º = 1 tg 25º. Ctg α = 1 → α = 25º cos 42º.secβ = 1→ β = 42º
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
I.E.P. LA SORBONA 18
Sen α = Cos θTanα = Cot θSecα = Csc θ
Sen α .Cscα = 1Cosα . Secα =1Tg α . ctgα = 1
c
θ θ
a
b α
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
1.Del gráfico calcular x
a) sen 3x = cos 60º
b) ctg (x+10º) = tg 50º
c) cos 60º = sen 2x
d) sen 3x = cos 2x
e) ctg (x+10º) = tg (3x + 40º)
f) cos 4x = sen 2x
g) sen x = cos 20º
h) sen (x + 10º) = cos (2x + 20º)
i) ctg (x + 30º) = tg (x+ 20º)
j) sec (10º - y) = csc (x + y + 30º)
k) csc (x + y) = sec (2x - y)
l) ctg (x2 + 30) = tg (35)
I.E.P. LA SORBONA 19
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
m)cos x2 = sen 54
n) cos 6 = sen (x3 + 20)
o) tg (3x2 + 30) = ctg (x2 - 40)
p) sen (4x+10) = cos (20)
q) cos x2 = sen 65
r) cos 10 = sen (3x + 20)
s) tg (x2 + 10) = ctg (x2 +8)
t) sen (x+10) = cos (20)
u) ctg (x2 + 11) = tg (15)
2.Calcular xa) tg x .ctg 20º = 1
b) sec 50º .cos (x + 10º) = 1
c) csc (x + 20º) .sen 40º = 1
I.E.P. LA SORBONA 20
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
d) sen (2x + 10º) .csc (50º) = 1
e) sen (x -10º) .csc (20º - x) = 1
f) tg (5x – 15º) .ctg (x + 45º) = 1
g) sec (2x – 18º) .cos (72º - x) = 1
h) sec (3x + 15º) .cos (75º - x) = 1
i) tg (x + 10º) .ctg (30º - x) = 1
j) tg (x + y) .ctg (y + 20º) = 1
k) sec (x3 + 18º) .cos (72º - x3) = 1
l) tg (x2) .ctg (36) = 1
m)sec (x3) .cos (64) = 1
n) sec (2x + 15º) .cos (75º - x) = 1
o) tg (3x + 10º) .ctg (50º - x) = 1
I.E.P. LA SORBONA 21
-3
C B 0 A
-2 -1 0 1 3 2 3...
+-H ac ia el H ac ia el
...
P(a;b)
a
b
Y
X
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
p) tg (2x + 2y) .ctg (2y + 20º) = 1q) sec (x3 + 18) .cos (54) = 1
ÁNGULOS EN POSICIÓN
Conceptos Previos
Recta Numérica
Es la representación geométrica de los números reales, donde a cada punto le corresponde un número real.
O : origen -3 : es la coordenada del punto C √3 : es la coordenada del punto A
Plano CartesianoEs aquel plano que se forma por la intersección de dos rectas numéricas perpendiculares entre sí, en sus orígenes.
Coordenada de un Punto
I.E.P. LA SORBONA 22
x
y
o
C
TERCER
CUADRANTE
III
C
SEGUNDO
CUADRANTE
II C
PRIMER
CUADRANTE
I
C
CUARTO
CUADRANTE
IV
1
3 4-1-1
-3
2
-2
-2
P(3;2)
S(4;-2)
R(-1;-3)
Q (-2;1)
Y
X
O
II IC
IIC IC
IV C
Lado F ina l de
Lado F ina l de
Eje positivo de las abscisas (lado inicialde todo ángulo enposición normal)
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Veamos un ejemplo de Aplicación:
Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano.
a) P (3;2) b) Q (-2;1)c) R (-1;3) d) S (4;2)
Resolución:
Radio Vector (r): Es la distancia del origen de coordenadas a cualquiera del plano cartesiano se representa de la siguiente manera:
Ejm.: Sea el punto P (a;b) del I.C.:
Angulo en Posición Normal:
Es un ángulo trigonométrico inscrito en el plano cartesiano y que tiene las siguientes particularidades:
Su vértice es el origen de coordenadas.
Su lado inicial se encuentra en el semieje positivo de las abscisas. Su lado final se encuentra en cualquier parte del plano, el cual indicará a
que cuadrante pertenece dicho ángulo.
I.E.P. LA SORBONA 23
O
P(a;b) r
y
x
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
RAZONES TRIGONOMETRÍCAS
EJERCICIOS DE APLICACIÓN1.¿Cuáles de los ángulos no son
ángulos en posición normal?
a)
b)
c)
2.Hallar 2ctg θ
I.E.P. LA SORBONA 24
a
rcscα
b
rsecα
a
bcotα
b
atanα
r
bcosα
r
asenα
P(a;b)
O
y
x
α
r
θ
(-2;3)
θ
α
β
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Rpta: ………….3.Hallar tg θ
Rpta: ………….
4.Hallar 3tg θ + 4ctg θ
Rpta: ………….
5.Hallar 13sen β + 12tg β
Rpta: ………….
6.Hallar 3.tg β + 5.ctg β
Rpta: ………….
7.Hallar √2.sen β + 5.tg β
Rpta: ………….
8.Hallar 13(sen α + cos α)
Rpta: ………….9.Hallar tg α + cotα
I.E.P. LA SORBONA 25
θ
(-1;2)
θ
(-3;4)
(-5;-12)
β
(-3;-5)
β
(-1;-1)
β
(12;-5)
α
(1;-5)
α
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Rpta: ………….
10. Hallar 3tg α + 4cotα
Rpta: ………….
11. Hallar sen2 α + cos2 α
Rpta: ………….12. Hallar 5sen θ + 3ctg θ
Rpta: ………….
13. Hallar 5sen θ
Rpta: ………….
14. Hallar 7tg β + 5ctg β
Rpta: ………….15. Hallar .tg β + ctg β
Rpta: ………….
16. Hallar 2tg α – 3cotα
Rpta: ………….
I.E.P. LA SORBONA 26
(3;-4)
α
(√2;-√7)
α
θ
(3;4)
θ
(-3;4)
(-3;-5)
β
(-2;-4)
(-5;-12)
β
(-7;-5)
(3;-4)
α
(2;-3)
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
17. Hallar sen α + cos α
Rpta: ………….18. Sea (-4;-3) un punto del lado
final de un ángulo en posición normal θHallar: ctg θ
Rpta: ………….
19. Sea (2;-1) un punto del lado final de un ángulo en posición normal θHallar: A = √5.sen θ
Rpta: ………….
20. Sea (-4;-4) un punto del lado final de un ángulo en posición normal θHallar: A = tan θ + ctg θ
Rpta: ………….
21. Sea (-1;√3) un punto del lado final de un ángulo en posición normal θHallar: cos θ
Rpta: ………….22. Sea (-24;7) un punto del lado
final de un ángulo en posición normal θHallar: 25cos θ
Rpta: ………….
23. Si tg α = -1/3; α pertenece al IIC
Calcular cos αRpta: ………….
24. Si cos α = 2/3; α pertenece al IC
Calcular cot αRpta: ………….
25. Si sen θ = -3/5; θ pertenece al IVC
Calcular tg θ
I.E.P. LA SORBONA 27
(√2;-√7)
α
(1;-1)
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Rpta: ………….26. Si sec θ = 4; θ pertenece al
IVC Calcular tg θ
Rpta: ………….
27. Si tg β = -2/5; β pertenece al IIC
Calcular csc β
Rpta: ………….
28. Si csc β = 3/2; β pertenece al IIC
Calcular ctg β
Rpta: ………….
29. Si cos β = 3/4; β pertenece al IC
Calcular tan β
Rpta: ………….
30. Si sen β = -5/6; β pertenece al IIIC
Calcular cot β
Rpta: ………….
31. Si sen β = -3/√19; β pertenece al IVC
Calcular tan β
Rpta: ………….
32. Si tan β = √5/6; β pertenece al IIIC
Calcular csc β
Rpta: ………….
33. Si sen β = -1/2; β pertenece al IIIC
Calcular cot β
Rpta: ………….34. Si tg β = -3/4; β pertenece al
IIC Calcular tan β + cot β
I.E.P. LA SORBONA 28
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Rpta: ………….
35. Si tg β = -7/24; β pertenece al IVC
Calcular 25sen β
Rpta: ………….
36. Si sec θ = 2; θ pertenece al IVC
Calcular sen θ
Rpta: ………….
37. Si tg β = -1/3; β pertenece al IIC
Calcular csc β
Rpta: ………….38. Si csc β = 5/2; β pertenece al
IIC Calcular tg β
Rpta: ………….
39. Si cos β = 3/7; β pertenece al IVC
Calcular sen β
Rpta: ………….
40. Si sen β = -1/6; β pertenece al IIIC
Calcular tg β
Rpta: ………….
41. Si tg α = -1/2; α pertenece al IVC
Calcular sen α
Rpta: ………….42. Si cos α = 1/3; α pertenece al
IC Calcular tg α
Rpta: ………….
43. Si sen θ = -3/5; θ pertenece al IIIC
Calcular tg θ
Rpta: ………….
I.E.P. LA SORBONA 29
Y
X
Seny
CscLas demásR.T. Son (-)
Tgy
CtgLas demásR.T. Son (-)
Cosy
SecLas demásR.T. Son (-)
Todas las R.T.Son positivas
(+)
(+) (+)
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Signos de las Razones Trigonométricas (R.T.)
Presentamos a continuación los respectivos signos de las razones trigonométricas para cada cuadrante en el siguiente cuadro:
I.E.P. LA SORBONA 30
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Ejemplos: Reducir al primer cuadrante
a) Sen 120° = sen (180° - 120°) = sen 60°
b) Tg 135° = -tg (180° - 135°) = -tg 45°
c) Csc 106° = csc (180° - 106°) = csc 74°
d) Ctg 240° = ctg (240° - 180°) = ctg 60°
e) Sen 225° = -sen (225° - 180°) = -sen 45°
f) Sen 286° = -sen (360° - 286°) = -csc 74°
I.E.P. LA SORBONA 31
9 0
180° - α
α – 180° 360° - α
1 8 0
2 7 0
3 6 0 0
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
g) Sen 300° = -sen (360° - 300°) = -sen 60°
h) Ctg 323° = -ctg (360° - 323°) = - ctg37°
Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales
Angulo
R.T
0º90º
п/2
180º
п
270º
3п/2
360º
2 п
Sen θ 0 1 0 -1 0
Cos θ1 0 -1 0 1
Tan θ0 N.D 0 N.D 0
Cot θ N.D 0 N.D 0 N.D
Sec θ 1 N.D -1 N.D 1
Csc θ N.D 1 N.D -1 N.D
I.E.P. LA SORBONA 32
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Si sen θ < 0 y cos θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ
Rpta:……………..
2. Si tg θ < 0 y cos θ > 0,A qué cuadrante pertenece θ
Rpta:……………..
3. Si sec θ > 0 y csc θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ
Rpta:……………..
4. Si sen θ < 0 y tg θ > 0,A qué cuadrante pertenece θ
Rpta:……………..
5. Si csc θ < 0 y cos θ > 0,A qué cuadrante pertenece θ
Rpta:……………..
6. Si cos θ > 0 y sen θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ
Rpta:……………..7. Si sen θ < 0 y cot θ < 0,A qué
cuadrante pertenece θ
Rpta:……………..
8. Si tg θ < 0 y cos θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ
Rpta:……………..
9. Si sec θ > 0 y sen θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ
Rpta:……………..
10. Si sen θ > 0 y sec θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ
Rpta:……………..
11. Si tg θ > 0 y sen θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ
Rpta:……………..
12. Si cos θ > 0 y sen θ < 0,A qué cuadrante pertenece θ
Rpta:……………..13. Si sec θ > 0 y sen θ < 0,A
qué cuadrante pertenece θ
I.E.P. LA SORBONA 33
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Rpta:……………..
14. Reducir al primer cuadrante
a) Sen 240°
b) Tg 315°
c) Sec 160°
d) Cos 310°
e) Sen 148°
f) Ctg 320°
g) Csc 350°
h) Sen 315°
i) Tg 225°
j) Ctg 250°
k) Sen 190°
l) Csc 200°m) Sec 210°
n) Tg 245°
o) Ctg 318°
p) Sec 175°
q) Sen 110°
r) Csc 108°
15. Calcular:
E = sen 120° + √3. tg 150°
Rpta:……………..
16. Calcular: E = sen 220° + sen 140°
Rpta:……………..
17. Calcular: E = tan 225° + √2.sen 315°
Rpta:……………..18. Calcular:
E = tan 315° + √2.sen 315°
Rpta:……………..
19. Calcular:
E = tan 135° + √2.sen 225°
Rpta:……………..
20. Calcular:
E = ctg 135° + √2.cos 45°
I.E.P. LA SORBONA 34
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Rpta:……………..
21. Calcular:
E = 4tan 217° + 3.tg 233°
Rpta:……………..
22. Calcular:
E = 5sen 233° + 10.cos 217°
Rpta:……………..23. Calcular:
E = 24tan 196° + 25.sen 196°
Rpta:……………..
24. Calcular: E = 2cos 240° + tan 315°
Rpta:……………..
25. Calcular: E = √2.cos 225° + √2.cos 315°
Rpta:……………..
26. Calcular: E = 25.cos 196° + √2.cos 225°
Rpta:……………..
27. Calcular:
E = √2.sec 225° + 5.tg 315°
Rpta:……………..28. Determinar el signo de :
E = cos 225°.tg 315°.sec 200°
Rpta:……………..
29. Determinar el signo de : E = tg 160°. sec 300°. cos 110°
Rpta:……………..
30. Determinar el signo de : E = cos 305°.tg 190°.sen 250°
Rpta:……………..
31. Determinar el signo de : E = cos 115°.ctg 170°.cos 260°
Rpta:……………..
32. Calcular: E = cos1°.cos 2°.cos 3°..........cos150°
I.E.P. LA SORBONA 35
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Rpta:……………..33. Calcular
E = cos 335°.tg 359°.sen180°
Rpta:……………..
34. Calcular E = cos 225°.tg 315°.sen 360°
Rpta:……………..
35. Calcular: E = sen 90º + cos 360º + sen 270º
Rpta:……………..
36. Calcular:
E = sen 90º + 2cos 180º + 9sen 0º
Rpta:……………..
37. Calcular:
E = cos 90º + cos 270º + sen 270º
Rpta:……………..38. Calcular:
E = 6cos 90º- 4sen 270º + 7tan 360º
Rpta:……………..
39. Calcular:
E = 2cos π/2 + 3sen π – cos 2π
Rpta:……………..
40. Calcular:
E = 2sen π/2 + sen 3π/2 – cos π
Rpta:……………..
41. Calcular:
Rpta:……………..42. Calcular:
Rpta:……………..43. Calcular:
Rpta:……………..
44. Calcular:
I.E.P. LA SORBONA 36
θ
O
α
O
I. Cuando a un ángulo trigonométrico se le invierte su sentido, su signo cambiaII. Para sumar ángulos trigonométricos en un grafico estos deben de tener el mismo sentido.
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Rpta:……………..
45. Calcular:
Rpta:……………..
46. Calcular:
Rpta:……………..
47. Calcular:
Rpta:…………….
Definición: Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo, que gira alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final.
Donde:
O: Vértice del ángulo generado α: Angulo trigonométrico positivo θ: Angulo trigonométrico negativo
I.E.P. LA SORBONA 37
β
O Lado inicial
Lado final
α : signo positivo θ : signo negativo
40+2x
+10
Sol:
40 + 2x + 10 = 90ºx = 20º
El ángulo de una vuelta
El lado inicial y el lado final coinciden por primera vez
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Ej.: Del gráfico hallar x
Ej.: Del gráfico hallar x
Sol: cambiando el sentido
3x + 9 + 2x – 4 = 180º5x = 175ºx = 35º
MEDICIÓN DE UN ÁNGULO
Ángulo de una Vuelta Es aquel ángulo que se genera cuando el lado final e inicial coincide por primera vez. La forma más lógica para medir el ángulo es el número de vuelta
I.E.P. LA SORBONA 38
40+2x
-10
4-2x 3x+9
2x-4 3x+9
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Calcular x
Rpta:……………..
2. Del gráfico calcular x, si OB es bisectriz
Rpta:……………..
3. Del gráfico calcular x
Rpta:……………..4. Del gráfico calcular x
Rpta:……………..
5. Del gráfico calcular x
Rpta:……………..
6. Del gráfico calcular x
Rpta:……………..7. Del gráfico calcular x
Rpta:……………..I.E.P. LA SORBONA 39
50+2x
-20
O
-30
20+x
C
A B
2x-4 3x+9
x-4020+5x
2x-110 x-10
6x
-2x-50 3x+30
x+20
10-x
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
8. Del gráfico calcular x
Rpta:……………..
9. Calcular x
Rpta:……………..10. Del gráfico calcular el valor
de x
Rpta:……………..
11. Calcular x
Rpta:……………..
12. Calcular x
Rpta:……………..13. Calcular x
Rpta:……………..
14. Calcular x
Rpta:……………..
15. Calcular x
I.E.P. LA SORBONA 40
40+x
-30
50+3x
-x
8x
3x+10
-40º 90º
20°-8x
2x
-4x-50 x+30
20°-12x
50° -90°
20°+8x
2x-110 x-16
4x-34
COLEGIO LA SORBONA TRIGONOMETRÍA 4TO. GRADO
Rpta:……………..16. Calcular x
Rpta:……………..
17. Calcular x
Rpta:……………..
18. Calcular x
Rpta:……………..
I.E.P. LA SORBONA 41
3x
-15
-120 x+30
-6x 150
5x
-40