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8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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IES C RPE DIEM
matemticas
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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MATEMTICAS 2 ESO 3
Antes de empezar
1.Potencias de un entero . pg. 6Qu es una potencia?Signo de una potencia
2.Operaciones con potencias............. pg. 8Potencia de productos y cocientesProducto y cociente de potenciasPotencia de una potencia
3.Potencias de 10. Notacin cientficapg. 11Potencias de base 10Notacin cientfica
4.Cuadrados perfectos. Races pg. 13Cuadrados perfectosRaces cuadradas
Ejercicios para practicar
Para saber ms
Resumen
Autoevaluacin
Actividades para enviar al tutor
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Expresar multiplicaciones deun mismo nmero en forma depotencia.
Realizar operaciones conpotencias.
Trabajar con potencias de
base 10. Expresar nmeros en notacin
cientfica. Calcular races cuadradas. Realizar clculos con la ayuda
de una calculadora.
Potencias y races de nmeros enteros1
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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MATEMTICAS 2 ESO 5
Antes de empezar
Seguro que ms de una vez habrshablado de megas o de gigas al referirte
a un ordenador. Pero, a qu nosreferimos cuando nombramos estas
unidades.
La unidad ms pequea para representarla informacin guardada en un ordenador
es el bit. Un bit (de binary digit, dgitobinario) equivale a escribir un 0 o un 1 en
un ordenador.
Pu
1
Au
1
1
ara representar ms informacin sesan grupos de bits. Por ejemplo
1001110 es un Byte.
partir de aqu, las unidades se calculansando potencias de 2
Kilobyte equivale a 1024 Bytes
KB = 210Bytes
Despus del Kilobyte se utilizan dosmedidas que seguro te sonarn ms:
El Megabyte, que equivale a 1024 KB
1 MB = 210KB
El Gigabyte, que equivale a 1024 MB
1 GB = 210MB
E
E
E
E
E
Y qu tenemos despus del Giga?
l Terabyte, 1 TB = 210GB
l Petabyte, 1 PB = 210TB
l Exabyte, 1 EB = 210PB
l Zettabyte, 1 ZB = 210EB
l Yottabyte, 1 YB = 210ZBPara que te hagas una idea de las
enormes unidades de almacenamiento deinformacin que estamos manejando,
veamos un ejemplo:
Cuntos MB equivalen a 1 YB?
1 YB = 210ZB = 220EB = 230PB == 240TB = 250GB = 260MB == 1152921504606846976 MB
Una potencia de base un entero y exponente un natural es una multiplicacin repetida.Quiz te convenga repasar las operaciones combinadas y la jerarqua de operaciones.
Potencias y races de nmeros enteros
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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Potencias y races de nmeros enteros
1. Potencias de un nmero entero
Qu es una potencia?
Una potencia cuya base es un nmero entero y cuyoexponente es un nmero natural, es un producto defactores iguales.
6 MATEMTICAS 2 ESO
La base, a, es el factor que se repite. El exponente,n, indica el nmero de veces que se repite la base.
Signo de una potencia
Al calcular potencias de base un nmero entero,presta atencin al signo de la basey al exponente.
Tambin debes distinguir a qu nmero exactamenteest afectando la potencia.
En general cualquier potencia de un nmeropositivo ser positiva. Y el opuesto de esapotenciaser siempre negativo.
Si la base es negativay el exponente par o cero, elvalor de la potencia ser positivo.
Pero si la base es negativa y el exponente esimpar, el valor de la potencia ser negativo.
Ejemplos:
35= 3 3 3 3 3
(-2)4= (-2) (-2) (-2) (-2)
02= 0 0
40= 1 (este es un caso especial,ya que no podemos multiplicar
un nmero por s mismo 0veces)
Ejemplos:
34= 81
33= 27
(-2)8 = 256
(-2)9= -512
28= 256
-28= -256 (se trata del opuestode la potencia anterior)
50= 1
-50= -1 (de nuevo el opuesto)
an= a a a ael producto se hace n veces
No es lo mismo -34 que (-3)4
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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MATEMTICAS 2 ESO 7
EJERCICIOS resueltos
1. Calcula el valor de las potencias siguientes: 42, -42, (-4)2y -40
42= 16
-42= -16
(-4)2= 16
-40= -1
2. Calcula el valor de las potencias: -35, (-3)5, (-3)0y -30
-35= -243
(-3)5= -243
(-3)0= 1
-30= -1
3. Es lo mismo calcular abque ba?
En general no es lo mismo.
Esto qu quiere decir? Pues que normalmente las dos potencias no darnel mismo resultado, pero puede ocurrir que en algn caso s coincidan.
Por ejemplo 23= 8, que no coincide con 32= 9. Esto es lo que es normal.
Ahora bien, fjate en 24y 42. Ambas potencias valen 16.
Eres capaz de encontrar algn otro ejemplo en el que coincidan?
Potencias y races de nmeros enteros
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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8 MATEMTICAS 2 ESO
2. Operaciones con potencias
Potencia de productos y cocientes
Para hacer el producto de dos nmeros elevado auna misma potencia tienes dos caminos posibles,cuyo resultado es el mismo:
Puedes primero multiplicar los dos nmeros, ydespus calcular el resultado de la potencia:
(45)4= 204= 160000
O bien puedes elevar cada nmero por separado alexponente y despus multiplicar los resultados.
(45)4= 4454= 256625 = 160000
De forma anloga puedes proceder si se trata delcociente de dos nmeros elevado a la mismapotencia.
0625,55,123 4
4
==
0625,51681
2
323
4
44
===
Producto de potencias de igual base
Observa el siguiente ejemplo:743 22222222)2222()222(22 ===
Es decir, el resultado de multiplicar potencias deigual base es una potencia con la misma base, ycuyo exponente es la suma de los exponentes delas potencias iniciales.
Potencias y races de nmeros enteros
nnn ba)ba( = yn
nn
b
aba
=
Ejemplos:
(23)3= 63= 216
(23)3= 2333= 827 = 216
9326 2
2
==
9436
26
26
222 ===
Observa que de las dos formasobtienes el mismo resultado. Ahorabien, no siempre ser igual desencillo de las dos formas.
As que piensa de antemano qumtodo va a ser ms convenientepara realizar el clculo.
Ejemplos:
117474 5555 == +
116565 )2()2()2()2( == +
108282 xxxx == +
mnmn aaa +=
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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MATEMTICAS 2 ESO 9
Cociente de potencias de igual base
Veamos cmo se hara un cociente de potencias deigual base:
43
75
15555
5555555555
5
5=
=
=
Observa que el resultado de dividir dos potenciasde igual basees otra potencia con la misma base,y en donde el exponente es la resta de losexponentesiniciales.
Potencia de una potencia
Una potencia cuyo exponente es un nmero naturalequivale a la multiplicacin repetida de la base tantasveces como indica el exponente. Qu es entonces lapotencia de una potencia?
Observa el siguiente ejemplo:
124344444434 222222)2( ==== ++
Es decir, el resultado de calcular la potencia de unapotenciaes una potencia con la misma base, y cuyoexponente es la el producto de los dosexponentes.
Potencias y races de nmeros enteros
mnmn a
aa =
Ejemplos:
7292
966
6
6==
94134
13)5()5(
)5(
)5(==
1777
7 0444
4===
32023
20
23
xxx
x==
Ejemplos:
82424 33)3( ==
[ ] 186363 )5()5()5( ==
328484 yy)y( ==
mnmn a)a( =
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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10 MATEMTICAS 2 ESO
Potencias y races de nmeros enteros
EJERCICIOS resueltos
4. Calcula el valor de los siguientes productos y cocientes:
a) 3)52( b) ( )4310 c)5
36
d)2
25
a) Nos interesa multiplicar primero: ( 100010)52 33 ==
b) Calculamos cada potencia por separado:
( ) 8100008110000310310 444 ===
c) Primero dividimos: 32236
5
5
==
d) Calculamos las potencias y despus dividimos: 25,6425
25
2
==
(Tambin
puedes dejar el resultado expresado en forma de fraccin.)
5. Expresa en forma de potencia el resultado:
a) b)
323
)5(5 2
74
2
2
2 c)
59
4
2
a) 963323 555)5(5 ==
b) 9542
74 222
2
22 ==
c) ( ) 3557 5
2
95922
2
242
==
=
6. Tiene sentido la potencia 2 ? Cmo debemos calcularla?43
El problema al calcular la potencia es saber en qu orden debemoselevar. Por ello necesitamos parntesis que nos aclaren este orden.
Podemos interpretarla como ( 1243 2)2 =
Pero tambin como 81)43( 22 = , que no coincide con el resultado anterior.
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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MATEMTICAS 2 ESO 11
3. Potencias de base 10.Notacincientfica
Potencias de base 10
Es muy sencillo calcular potencias cuya base es diez.
100 = 1, 101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000
La forma en que escribimos los nmeros utilizapotencias de base 10. Por ello se denominanumeracin decimal.
Cualquier nmero puede escribirse como una suma denaturales que multiplican a potencias de base 10, eslo que se conoce como descomposicin polinmicade un nmero:
975 = 9102+ 7101+ 5100
Notacin Cientfica
Para facilitar la lectura de cantidades muy grandes omuy pequeas que aparecen con frecuencia en eltrabajo cientfico se utiliza la notacin cientfica.
Un nmero en notacin cientfica consta de unnmero decimal, llamado mantisa, multiplicado poruna potencia de diez.
La mantisa tendr una nica cifra delante de la comadecimal. Esta cifra no puede ser cero.
Por ejemplo, la masa de la tierra es:
mtierra= 5974000000000000000000000 kg
En notacin cientfica ser 5,974 1024. Observa quesi realizas la multiplicacin se obtiene el resultado dearriba.
Otro ejemplo, la masa del electrn:
melec=0,000000000000000000000000000911 g
En notacin cientfica es 9,11 10-28.
Potencias y races de nmeros enteros
Notacin cientfica: a,bcd 10n, siendo a0
Ejemplo:
5276=5103+2102+7101+6100
El nmero tiene:
5 unidades de millar2 centenas7 decenas
6 unidades
Ejemplos:
243000 = 2,43 105
5764000000000 = 5,764 1012
90000 = 9 104
0,00000045 = 4,5 10-7
0,000003002 = 3,002 10-6
0,007 = 7 10-3
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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12 MATEMTICAS 2 ESO
EJERCICIOS resueltos
7. Obtn la descomposicin polinmica de 18067.
18067 = 1104+ 8103 + 0102+ 6101+ 7100
8. Halla la descomposicin polinmica de un nmero que tiene 4 decenas, 5unidades, 8 centenas y 7 unidades de millar.
Lo primero ser ordenar convenientemente los datos
7 unidades de millar, 8 centenas, 4 decenas y 5 unidades, es decir:
7 103+ 8102+ 4101+ 5100
9. Expresa 4560000000 en notacin cientfica.
4560000000 = 4,56109
10. Expresa 0,000000000000243 en notacin cientfica.
0,000000000000243 = 2,4310-13
11. Qu nmero decimal se corresponde con 5,27108?
5,27108= 527000000
12. Qu nmero decimal se corresponde con 1,32710-9?
1,32710-9= 0,000000001327
13. El nmero 345,910-12 no est escrito correctamente en notacin cientfica.Escrbelo de forma correcta.
Lo que debes hacer es pasar 3,459 a notacin cientfica, y despusmultiplicar por 10-12
345,910-12= 3,45910110-12 = 3,459101-12= 3,45910-11-12 = 3,459101-12= 3,45910-11
Potencias y races de nmeros enteros
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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MATEMTICAS 2 ESO 13
4. Cuadrados perfectos. Racescuadradas
Cuadrados perfectos
Un cuadrado perfecto es un nmero que escuadrado de algn nmero entero. Como es lgico, laraz cuadrada de un cuadrado perfecto es siempre unnmero entero.
Por ejemplo cuadrados perfectos son:
0 porque 0 = 02, 4 porque 4 = 22, 9 porque 9 = 32...
Para resolver una actividad de proporcionalidadcompuesta se hace de forma ordenada con elprocedimiento de reduccin a la unidad.
Races cuadradas
Veamos un ejemplo. Al escribir el nmero haz gruposde dos cifras, de derecha a izquierda: 75y 9.
Un cuadrado perfecto es el rea deun cuadrado.
Clculo de la raz:
Busca el nmero cuyo cuadrado msse acerca a 9. Es 3.
32
= 9, lo restamos de 9y bajamoslas dos cifras siguientes.
Bajo el 3 escribimos su doble, 6
Busca el nmero 6x, tal que 6xxsea el ms cercano a 75sin pasarse.
622=124 se pasa, 611=61 s sirve.
Restamos 75-61 = 14. Ponemos doscerosy una coma en el radicando.
Abajo escribimos el doble de 31, 62
Busca 62xtal que 62xxsea el mscercano a 1400sin pasarse.
6222 = 1244 es el ms cercano.
Por tanto 2,31975
Para hallar ms decimales, escribedos ceros tras el 156 y repite elproceso.
Potencias y races de nmeros enteros
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14 MATEMTICAS 2 ESO
EJERCICIOS resueltos
12. Indica si los nmeros 123, 169 y 258 son cuadrados perfectos.
123 no lo es, puesto que 112= 121, 122= 144
169 = 132 es un cuadrado perfecto. (Es el rea de un cuadrado de 13unidades de lado.)
258 no lo es, ya que 162= 256 y 172= 289
13. Con un decimal, calcula la raz cuadrada de 83.
14. Calcula la raz cuadrada de 798, con una cifra decimal.
Potencias y races de nmeros enteros
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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MATEMTICAS 2 ESO 15
Para practicar
1.Escribe en forma de potencia:
a) 77777
b) (-5)(-5)(-5)(-5)(-5)(-5)
c)31
31
31
31
31
31
d)21
21
21
21
2.Calcula el valor de las siguientespotencias:
a) -22 b) (-2)2
c) -20 d) (-2)0
3.Calcula el valor de las siguientespotencias:
a) -33 b) (-3)3
c) -32 d) (-3)2
4.Ordena de menor a mayor, utilizandopara ello el smbolo e = cuando segn losnecesites.
(-2)3, 23, -23, 20, -22, (-2)0, -20
6.Son iguales las siguientes potencias?
a) 92y 34
b) (52)2y 252
7.Escribe en forma de potencia de unapotencia:
a) 7272727272
b) (-2)4
(-2)4
(-2)4
8.Escribe en forma de potencia de unapotencia:
a)55
31
31
b)3333
21
21
21
21
9.Calcula el valor de las siguientespotencias de productos:
a) (53)2
b) (-13)3
c) (-25)4
d) [(-2)(-3)]2
10.Calcula el valor de las siguientespotencias de cocientes:
a)2
27
b)
3
24
c)4
21
d)2
23
11.Calcula los siguientes productos.Expresa el resultado en forma depotencia:
a) 3532
b) (-7)5(-7)6
c) 24232d) x4x10
12.Escribe como una potencia de diez:
a) 1000000000
b) 100010000
c) 101001000
13.Qu fraccin elevada al cubo da271 ?
14.Qu fraccin elevada a la quinta
potencia da como resultado321 ?
Potencias y races de nmeros enteros
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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16 MATEMTICAS 2 ESO
15.Calcula los siguientes cocientes.Expresa el resultado en forma depotencia:
a)2
6
5
5 b)5
12
)2(
)2(
c)7
7
3
3 d)2
8
x
x
16.Calcula. Expresa el resultado en formade potencia:
a) (35)7 b) (x4)5
c) [(-2)3]4 d) (y8)8
17.Calcula. Expresa el resultado en formade potencia:
a)
52
31
b)
34
21
c)
27
x1
18.Escribe la descomposicin polinmicade los siguientes nmeros:
a) 15978
b) 724
c) 4093
d) 99
19.Escribe la masa del protn ennotacin cientfica:
0,0000000000000000000000016726 g
20.Escribe en notacin cientfica la masade la luna:
73490000000000000000000 kg
21.Escribe en notacin cientfica eltamao del virus que provoca la fiebreaftosa.
0,000000024 m
22.Escribe en notacin cientfica eldimetro ecuatorial del planetaJpiter.
142984000 m
23.Qu nmero decimal es 4,8810-5?
24.Qu nmero decimal es 5,06109?
25.78,171012, aunque est bien escrito,no est bien expresado en notacincientfica. Escrbelo correctamente ennotacin cientfica.
26.689,23110-21no est bien expresadoen notacin cientfica, aunque esperfectamente vlido. Escrbelo deforma correcta en notacin cientfica.
27.Indica si los nmeros siguientes son ono cuadrados perfectos.
a) 51 b) 49
c) 1600 d) 120
28.Calcula las races cuadradas de losnmeros siguientes, con una cifradecimal.
a) 449 b) 97
c) 19 d) 605
29.Halla el rea de un cuadrado cuyolado mide 5 m (recuerda que el reade un cuadrado es su lado elevado a2).
30.Halla el volumen de un cubo cuyo
lado mide41 m (recuerda que el
volumen del cubo es su lado elevadoa 3).
Potencias y races de nmeros enteros
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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MATEMTICAS 2 ESO 17
Cmo de grande es el buscador Google?
En muchas ocasiones habrs usado el buscadorGoogle. Conoces la historiga de su nombre?
El matemtico Edward Kastner le pidi a susobrino de diez aos, Milton Sirotta, inventarun nombre para un nmero muy grande:
10100
Milton llam a ese nmero, un 1 seguido de 100ceros, un Googol. Si te parece que no es unnmero tan grande, piensa en lo siguiente:
Cuando en 1997 Sergey Brin y Larry Page compran un dominio para su nuevo buscador,adquieren por un error tipogrfico google.com en vez de googol.com.
Un googol es enorme, pero mayor es 1 seguido de un googol de ceros, un googol plex.
1 googol plex = )10010(googol 1010 =
Una hoja de papel suficientemente grande para escribir un googol plex no cabra dentro deluniverso
El lenguaje de los ordenadores
Los ordenadores usan cadenas de informacinformadas por ceros y unos.
Un sistema de numeracin de este tipo se
denomina binario, igual que el que usualmenteutilizamos se llama decimal, por usar 10smbolos (0 a 9).
La descomposicin polinmicade un binariousa potencias de 2 en vez de 10.
Por ejemplo, el binario 1101 es el decimal13:
1101 = 1 23+ 1 22+ 0 21+ 1 20= 8 + 4 + 0 + 1 = 13
Potencias y races de nmeros enteros
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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18 MATEMTICAS 2 ESO
Recuerdalo ms importante
1. Potencias de un nmero entero.
Una potencia cuya base es un nmeroentero y cuyo exponente es un nmeronatural, es un producto de factoresiguales.
Una potencia de un nmero positivo espositiva. El opuesto de esa potencia esnegativo.
Si la base es negativa y el exponente par ocero, el valor de la potencia ser positivo.
Si la base es negativa y el exponente esimpar, la potencia ser negativa.
Al elevar un entero positivo o negativo acero, el resultado es 1.
2. Operaciones con potencias.
Potencia de un producto o cociente:
nnn ba)ba( =
n
nn
b
aba
=
Operaciones con potencias de igual base:
mnmn aaa +
= mn
m
na
a
a =
Potencia de una potencia:
mnmn a)a( =
3a. Potencias de base 10.
Cualquier nmero puede escribirse como
una suma de naturales que multiplican apotencias de base 10, es lo que se conocecomo descomposicin polinmica de unnmero:
975 = 9102+ 7101+ 5100
3b. Notacin cientfica.
Un nmero en notacin cientfica consta de
una mantisamultiplicada por una potenciade diez.
La mantisa tendr una nica cifra no nuladelante de la coma decimal.
243000 = 2,43 105
0,000003002 = 3,002 10-6
4a. Cuadrados perfectos.
Un cuadrado perfectoes un nmero que escuadrado de algn nmero entero.
La raz cuadrada de un cuadrado perfectoes siempre un nmero entero.
400 es cuadrado perfecto, pues 400=202
Pero 28 no lo es, porque 52=25 y 62=36
4b. Races cuadradas.
Ejemplo:
Potencias y races de nmeros enteros
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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MATEMTICAS 2 ESO 19
Autoevaluacin
1. Calcula el valor de: a) -14 (-1)5 b) (-1)0(-18)
2. Calcula el valor de: a) (28)2 b)3
515
3. Es lo mismo9
)32( 2 que4)2( 22 ?
4. Calcula( )
8
252
3
33 .
5. Escribe la descomposicin polinmica del nmero 8149.
6. Cuntos de los nmeros comprendidos entre 50 y 150 soncuadrados perfectos?
7. Qu nmero decimal es 7,8710-3?
8. Escribe en notacin cientfica el nmero 0,00000694.
9. El nmero 69,2710-5 no est correctamente escrito ennotacin cientfica. Escrbelo de forma correcta. Escribetambin el nmero decimal a que corresponde.
10. Calcula 468 con una cifra decimal.
Potencias y races de nmeros enteros
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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20 MATEMTICAS 2 ESO
Soluciones de los ejercicios para practicar
1. a) 75b) (-5)6c)6
31
d)
4
21
2. a) -4 b) 4 c) -1 d) 1
3. a) -27 b) -27 c) -9 d) 9
4. (-3)3 < -32< (-3)0< (-3)2< 33
5. 23>20=(-2)0>-20>-22>-23=(-2)3
6. a) s b) s
7. a) (72)5 b) [(-2)4]3
8. a)25
31
b)
43
21
9. a) 225 b) -27 c) 10000 d) 36
10. a) 12,25 b) -8 c) 0,0625 d) 2,25
11. a) 37 b) (-7)11 c) 28 d) x14
12. a) 109 b) 107 c) 106
13.31
14.21
15. a) 54 b) (-2)7 c) 30 d) x6
16. a) 335 b) x20 c) (-2)12 d) y64
17. a)10
31
b)
12
21
c)
14
x1
18. a) 1104+5103+9102+7101+8100
b) 7102+2101+4100
c) 4103+0102+9101+3100
d) 9101+9100
19. 1,6726 10-24g
20. 7,349 1022
kg21. 2,4 10-8m
22. 1,42984 108m
23. 0,0000488
24. 5060000000
25. 7,817 1013
26. 6,89231 10-19
27. a) No b) S c) S d) No
28. a) 21,1 b) 9,8 c) 4,3 d) 24,5
29. 25 m2
30.641
m2= 0,015625 m2
No olvides enviar las actividades al tutor
Potencias y races de nmeros enteros
Soluciones AUTOEVALUACIN
1. a) 1 b) -1
2. a) 256 b) -27
3. S, ambos valen 4
4. 81
5. 8103+ 1102+ 4101+ 9100
6. Hay 5: 64, 81, 100, 121 y 144
7. 0,00787
8. 6,94 10-6
9. 6,927 10-4= 0,0006927
10. 21,6
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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MATEMTICAS 2 ESO 21
Antes de empezar
1. Fracciones..............pg. 24Fracciones EquivalentesSimplificacin de Fracciones
2.Fracciones con igual denominadorpg. 25Reduccin a comn denominadorComparacin de fracciones
3.Operaciones con fracciones..........pg. 27Suma y restaProductoCocientePotenciaRaz cuadradaOperaciones combinadas
4. Problemas de aplicacin..............pg. 29
Ejercicios para practicarPara saber ms
Resumen
Autoevaluacin
Soluciones
Objetivos
En esta quincena aprenders a:
Ver si dos fracciones sonequivalentes.
Simplificar fracciones.Reducir fracciones a igual deno-
minador.Sumar y restar fracciones.
Multiplicar y dividir fracciones.
Obtener la inversa de unafraccin.
Calcular potencias de unafraccin.
Hallar la raz cuadrada de unafraccin.
Fracciones2
http://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_1a.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_1b.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_2a.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_2b.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3a.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3b.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3c.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3d.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3e.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3f.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3f.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3e.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3d.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3c.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3b.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_3a.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_2b.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_2a.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_1b.htmhttp://roble.pntic.mec.es/poas0002/2esomatematicas/2quincena2/2quincena2_contenidos_1a.htm8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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22 MATEMTICAS 2 ESO
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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Fracciones
Antes de empezar
El trabajo con fracciones ya no es nuevo para ti. Ya sabes que una fraccin puede versedesde una triple perspectiva.
Puedes ver una fraccin simplemente como un nmero. Tambin como una parte de untotal. O tambin puedes interpretar una fraccin como un porcentaje.
Recuerda
Para trabajar con fracciones necesitars en ocasiones obtener la descomposicin factorialde un nmero, as como calcular el mnimo comn mltiplode dos o ms nmeros.
Para descomponer en factores unnmero lo dividimos por el primer nmeroprimo que podamos.
El mnimo comn mltiplo de variosnmeros naturales es el nmero naturalms pequeo que es mltiplo de todos esosnmeros a la vez, exceptuando el nmero 0.
Si podemos seguimos dividiendosucesivamente el cociente por el mismonmero primo.
Cuando no podamos hacer la divisin porese nmero primo lo hacemos por elsiguiente primo que se pueda.
As sucesivamente hasta que el cocientefinal sea 1.
Finalmente ponemos ese nmero comoun producto de potencias de factoresprimos.
MATEMTICAS 2 ESO23
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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24 MATEMTICAS 2 ESO
1. Fracciones
Fracciones Equivalentes
Halla el valor de46
y69
.Dan el mismo resultado. Son
dos fracciones equivalentes.
Sidc
ba
= , ay dreciben el nombre de extremos, by
cse llaman medios. En el ejemplo los extremos son6 y 6, los medios 4 y 9.
Observa que si los multiplicamos se obtiene igualresultado: 66=36 y 49=36.
Ejercicios: Comprueba si las siguientes fraccionessono no son equivalentes
a)540162y
24075
b)43272
y14427
Simplificacin de fracciones
Si divides por 2 el numerador y el denominador de
1218
obtienes69
, que es equivalente. Ahora puedes
dividir 9 y 6 entre 3. Obtienes23 que no se puede
simplificar. Es irreducible.
Resumiendo:23
69
1218
== que es irreducible.
Vamos a comprobar si las fraccionessiguientes son o no equivalentes.
66
y144
144
Los extremos de las fracc ones: 144 y 6
44 y 6
i
Su producto vale 1446 = 864
Los medios de las fracciones: 1
Su producto es 1446 = 864
Por lo tanto son equivalentes:
66144
= 144
PISTA
a) 75 540 = ?
240162 =?b) 27 432 =?
144 72 =?
Vamos a simplificar la fraccin siguiente:
1425
765
Numerador y denominador se
pueden dividir por 3:
475255
3:14253:765
=
N nador seumerador y denomipueden dividir por 5:
9551
5:4755:255
=
9551
c n irreducies una fra ci ble
Fracciones
Al dividir numerador y denominador deuna fraccin por un mismo nmero, seobtiene una fraccin equivalente.
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
24/257
MATEMTICAS 2 ESO 25
Vamos a reducir a igual denominador
las fracciones:3087
y28838
Hallamos el m.c.m. de losdenominadores m.c.m. (30,288) = 1440que ser el nuevo denominador de lasfracciones.
Dividimos el m.c.m entre el primerdenominador: 1440: 30 = 48ymultiplicamos el resultado por elprimer numerador: 48 87 = 4176, queser el nuevo primer numerador.
Ahora el m.c.m lo dividimos entre elsegundo denominador: 1440: 288 = 5ymultiplicamos el resultado por elsegundo numerador: 5 38 = 190, queser el nuevo segundo numerador.
As, las fracciones quedan:
1440190
y14404176
PISTA: a) m.c.m.(144, 180) = 720
b) m.c.m.(36, 180) = 180
Vamos a compararlas fracciones:
178
y43
Hallamos el m.c.m. de losdenominadores m.c.m. (17, 4) = 68
Reducimos las dos fracciones adenominador comn:
178
=6832
y43
=6851
Ahora ya podemos comparar lasfracciones:
6832
, y menor que,
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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Fracciones
3. Operaciones con fracciones
Suma y restaEjercicio resuelto: Simplifica cadafraccin y calcula:Para sumar fracciones de denominador igualdeja el
denominador y suma los numeradores.638
217
18631053
+
117
1134
113
114
=+
=+ En primer lugar simplifico las fracciones:
2313
18631053
= ;217
;319
638
= Si son fracciones de distinto denominador lasreduciremos primero a comn denominador.
Queda:319
217
2313
+ Ahora opero:Es lo mismo
73
54
+ que3543
3515
3528
=+
Calculo m.c.m. (23, 2,3) = 138 y:
26 MATEMTICAS 2 ESO
319
217
2313
+ =138874
1381173
13878
+
La solucin es:138221
PISTA: Intenta simplificar primero cadafraccinEjercicios: Calcula el valor de:
a)32272
28751625
b)693911
+ Despus calcula el m.c.m. de losdenominadores. (Ser el nuevo deno-minador)
19
Divide el m.c.m. por cada denominador ymultiplcalo por su correspondientenumerador. (Obtendrs los nuevosnumeradores)
c)
368
208
2375
1375 d)
2
17
1863
1053+
Ya puedes sumar o restar las fracciones.
Producto de fracciones
La figura representa a54
Ejercicio resuelto: Vamos a calcular elvalor del siguiente producto:
4241
905
Vamos a hallar
32
de54
.Dividimos54
en tres partes y
tomamos dos:32
54
Si es posible simplificamos las fracciones:
181
905
= 4241
es irreducible
Multiplicamos los numeradores ydenominadores:
Del total, tenemos158
75641
4218411
4241
181
==
Si es posible, simplificamos el resultado.
En este caso75641
es irreducible.
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
26/257
MATEMTICAS 2 ESO 27
Ejercicio resuelto: Vamos a calcular elvalor del siguiente cociente:
8410
:124
Si es posible simplificamos las fracciones:
425
8410
= 31
124
=
Multiplicamos numeradores y denomi-nadores en cruz:
42
15
142
35
3
1
:42
5==
Si es posible, simplificamos el resultado.
145
4215
= .
PISTA: Intenta simplificar primero cadafraccin
Multiplica numeradores y denominadoresen cruz
Si es posible, simplifica el resultado
Ejercicio resuelto: Vamos a obtener el
valor de:8
53
Elevamos numerador y denominador alexponente
8
53
= 8
8
53
Calculamos la potencia:
8
53
=8
8
5
3=
3906256561
3. Operaciones con fracciones
Cociente de fracciones
Dos fracciones son inversassi su producto es 1. Por
ejemplo53
y35
lo son pues53
35
= 1
Y escribiremos:
351
=53
. En general:
dc1=
cd
Para dividir fracciones multiplica en cruz:
Ejercicios: Calcula el valor de los cocientes:
a)2419
:3644
b)1829
:2469
c)344
:1273
d)1056
:4052
Potencia de una fraccin
Cunto vale3
25
? Desarrollemos la potencia:
Para obtener la potencia de una fraccin debesefectuar el cociente entre las potencias del numeradory el denominador.
Ejercicios: Calcula el valor de las potencias:
a)6
72
b)
4
53
c)
6
27
d)
7
132
Fracciones
Recuerda:n
nn
ba
ba
y=
1
ba
0
=
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
27/257
28 MATEMTICAS 2 ESO
3. Operaciones con fracciones
Raz cuadrada de una fraccin
Para obtener la raz cuadrada de una fraccin, haz laraz del numerador y el denominador.
9
494
= y tambin:32
94
=
La razn es que:94
32
2
=
y
94
32
2
=
luego, habr una raz positivay unanegativa.
Ejercicios: Calcula el valor de:
a)2549
b)169121
c)3616
d)2581
Operaciones combinadas con fracciones
Para realizar operaciones combinadas con fraccioneshay una serie de cuestiones que conviene tengas encuenta:
El orden de las operaciones es de izquierda aderecha.
Las multiplicaciones y divisiones se realizanantes que las sumas y restas.
Si aparecen parntesis, sus operaciones tienen
prioridad.
Los parntesis anidados se realizan de dentroa fuera.
No suele ser conveniente que esperes al finaldel ejercicio para simplificar.
Ejercicios: Calcula el valor de:
a)
74:
211
38
49
67
b)
7+
+6
924
11
8
3+
Ejercicio resuelto: Vamos a obtener elvalor de:
1699
Hallamos la raz del numerador ydenominador:
133
169
91699
==
Por ser raz cuadrada hay otra solucin:
133
1699
=
Ejercicio resuelto: Vamos a obtener elvalor de:
25
83
49
76
52
+
+
Operamos por separado en el numeradory denominador:
2
5
8
349
76
52
+
+=
8
23140326
8
232854
52
=+
Dividimos, multiplicando en cruz:
32202608
823140326
=
Si es posible, simplificamos el resultado.
805652
32202608
=
Recuerda:ba
ba y=
ba
Fracciones
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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Fracciones
4. Problemas de aplicacin
PROBLEMA 1. La semana pasada he ledo71
de un
libro. A lo largo de esta semana he podido leer54
del
resto. En total he ledo 87 pginas del libro. Cuntaspginas en total tiene el libro?
Solucin: 105 pginas
PROBLEMA 2. Hemos vaciado agua contenida en unbarril, en 41 recipientes de
43
litros cada uno. Todos
han quedado llenos salvo uno que se ha llenado por lamitad. En el barril han sobrado 14 litros. Cuntoslitros de agua contena el barril?
Solucin: 44,37 litros
PROBLEMA 3. Esta previsto destinar14
3de una finca
a plazas de aparcamiento. Pero se han destinado43
de lo previsto a zonas ajardinadas. Qu fraccin dela finca se ha destinado finalmente a zonas deaparcamiento?
Solucin:563
para aparcamientos
PROBLEMA 4. De un depsito de cereales se han
extrado los 108 . Al da siguiente se extrae 41 del
resto. Qu fraccin del total se ha extrado deldepsito?
Solucin:2017
del total
MATEMTICAS 2 ESO29
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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30 MATEMTICAS 2 ESO
EJERCICIOS resueltos
Fracciones equivalentes. Simplificacin
1. Son equivalentes1440720
y14427
?
El producto de extremos vale 27144= 38880 y el producto de medios 144720=103680
Los dos productos no coinciden y, por lo tanto, no son equivalentes:
2. Simplifica la fraccin2850510
Numerador y denominador se pueden dividir por 2: 1425
255
2:2850
2:510
=
Numerador y denominador se pueden dividir entre 3:47585
3:14253:255
=
Numerador y denominador se pueden dividir entre 5:9517
3:4755:85
=
9517
es irreducible.
Fracciones con igual denominador
3. Reduce a igual denominadorlas fracciones:10517 y
14414
Hallamos el m.c.m.de los denominadores m.c.m. (105,144) = 5040 que ser elnuevo denominador.
Dividimos el m.c.m entre el primer denominador: 5040: 105 = 48.
Multiplicamos el resultado por el primer numerador: 48 17 = 816, que ser elnuevo primer numerador.
Ahora el m.c.m lo dividimos entre el segundo denominador: 5040:144 = 35.
Y multiplicamos el resultado por el segundo numerador: 35 14 = 490, que ser el
nuevo segundo numerador. As, las fracciones quedan:
5040816
y5040490
, fracciones con igual denominador.
4. Reduce a igual denominadorlas fracciones:5766
,19248
y7225
Hallamos el m.c.m.de los denominadores m.c.m. (576, 192,72) = 576 que ser elnuevo denominador de las fracciones.
Dividimos el m.c.m entre cada denominador, multiplicando el resultado por elcorrespondiente numerador.
As, las fracciones quedan: 5766
, 576144
y 576200
.
Fracciones
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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MATEMTICAS 2 ESO31
EJERCICIOS resueltos (continuacin)
Operaciones con fracciones
5. Simplifica cada fraccin y calcula:
177
20880
1375375
+
En primer lugar simplifico las fracciones:
113
1375375
= ;135
20880
= ;177
es irreducible
Queda:177
20880
1375375
+ =2431729
24311001
2431935
2431663
=+
6. Calcula el valor del siguiente producto:
1536
18011
9024
Si es posible simplificamos las fracciones:
1536
18011
9024
=512
18011
154
Multiplicamos los numeradores y denominadores:
13500528
518015
12114=
Si es posible, simplificamos el resultado.
13500528
=
112544
7. Calcula el valor del siguiente cociente1643
:3011
Si es posible simplificamos las fracciones. En este caso ambas son irreducibles.
Multiplicamos numeradores y denominadores en cruz:
176291 0
= 30163043
3011
:1643
=
Y, si es posible, simplificamos el resultado88
= .6451761290
8. Calcula la siguiente potencia:6
75
Elevamos numerador y denominador al exponente6
75
=
6
5
6
7
Calculamos las potencias:6
75
=67
5=
6
11764915625
Fracciones
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
31/257
32 MATEMTICAS 2 ESO
EJERCICIOS resueltos (continuacin)
Operaciones con fracciones
9. Indica las dos soluciones de la raz 1214
Hallamos la raz del numerador y denominador:
112
121
41214
==
Por ser raz cuadrada hay otra solucin:
112
121
4=
10. Calcula:
112
34
97
65
211
+
+
Operamos por separado en el numerador y denominador:
112
34
97
65
211
+
+=
3350
5435
211
+=
335054332
Dividimos, multiplicando en cruz:335054
332
= 270010956
Si es posible, simplificamos el resultado.2700
10956=
225913
11. Calcula:52
118
34
2
+
Operamos primero el parntesis:52
3324
3344
2
+
=
52
3320
2
+
.
Hacemos la potencia1089400 +
52 Sumamos:
1089400 +
52 =
54454178
54452178
54452000 =+
En este caso no podemos simplificar el resultado.54454178
es una fraccin irreducible.
12. Calcula:
74
:211
38
49
67
=
877
1259
67
=
87772413
. Dividimos multiplicando en cruz55443304
.
Simplificamos el resultado5544
3304=
99
59
Fracciones
8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
32/257
MATEMTICAS 2 ESO 33
Equivalencia de fracciones
1. Comprueba si son o no equivalentes lassiguientes fracciones:
a)72108
y192292
b)9054
y15093
c)9636
y320123
d)4314
y21570
Simplificar fracciones
2. Simplifica las siguientes fracciones:
a)6440 b)
16272
c)12880
d)17236
Reducir a comn denominador
3. Reduce a comn denominador lassiguientes fracciones:
a) 20
12
, 32
24
y 24
6
b)2816
,166
y2415
c)2410
,4520
y186
d)228
,4836
y3315
Suma y resta de fracciones4. Realiza las operaciones siguientes ysimplifica el resultado cuando sea posible:
a)208
4515
368
b)184
5228
2210
c)2010
4525
159
+
d) 24920101610
Producto de fracciones
5. Calcula el valor del producto de lassiguientes fracciones y simplifica elresultado cuando sea posible:
a)65
106
b)128
115
c)107
119
d)117
56
Cociente de fracciones
6. Calcula el valor del producto de lassiguientes fracciones y simplifica elresultado cuando sea posible:
a)612
:105
b)59
:77
c)54
:48
d)57
:96
Potenciacin
7. Calcula el valor de las siguientespotencias y simplifica el resultado cuandosea posible:
a)4
97
b)
4
94
c)2
96
d)
3
67
Raz cuadrada
8. Halla el resultado de las siguientesraces. Da las dos soluciones posibles:
a)3616
b)6425
c)259
d)3625
Fracciones
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Fracciones
Operaciones combinadas
9. Realiza las operaciones siguientes ysimplifica el resultado cuando sea posible:
13.En una ciudad de 470 habitantes, 85practican deporte regularmente. Qu
fraccin del total no practican deporte conregularidad? Qu tanto por ciento es?a)
211
83
49
+
b)49
76
52
+
c)
+
+76
2:118
4
d)76
52
:118
Problemas con fracciones
14. La semana pasada he ledo31
de un
libro. A lo largo de esta semana he podido
leer76
del resto. En total he ledo 38
pginas del libro. Cuntas pginas entotal tiene el libro?
10. Cuntos botellines de refresco de
51
de litro podemos llenar con 417 litros de
refresco?
11.Expresa en forma de fraccin el rea
de un rectngulo cuya base mide65
m y
cuya altura mide9
7m.
15. Hemos vaciado agua contenida en un
barril, en 22 recipientes de32
litros cada
uno. Todos han quedado llenos salvo unoque se ha llenado por la mitad. En el barrilhan sobrado 10 litros. Cuntos litros deagua contena el barril?
16. Esta previsto destinar96
de una finca
a plazas de aparcamiento. Pero se han
destinado76
de lo previsto a zonas
ajardinadas. Qu fraccin de la finca seha destinado finalmente a zonas deaparcamiento?
12. Un camin contiene 900 Kg. de
patatas. Descarga31
de su carga. Del
resto descarga los52
. Cuntos Kg. de
patatas quedan?
17. De un depsito de cereales se han
extrado los119
. Al da siguiente se extrae
91
del resto. Qu fraccin del total se ha
extrado del depsito?
34 MATEMTICAS 2 ESO
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MATEMTICAS 2 ESO 35
El Ojo de Horus
La imagen de arriba, de origen egipcio, es
el ojo de Horus, el Udyat. Horus habaperdido el ojo en combate, pero fuesustituido por el Udyat por intervencindel dios Thot.
Para los antiguos egipcios, el Udyatsimbolizaba el estado de perfeccin y leatribuan cualidades sanadoras. Tambinles serva para escribir nmeros.
Es posible escribir cualquier fraccinpositiva como suma de fracciones de
numerador la unidad. Una suma de estetipo se llama una fraccin egipcia. Sonfracciones egipcias:
81
41
21
87
++= y51
41
21
2019
++=
Los jeroglficos usados por los egipciospara escribir las fracciones ms frecuentesen medidas agrarias de capacidad yvolumen, eran partes del Ojo de Horus.
Una fraccin interminable
Mira como est escrita esta fraccin,
Y si seguimos el proceso indefinida-mente?
Se obtiene una fraccin continua, cuyoresultado, no es una fraccin!
Con fracciones continuas puedenescribirse nmeros tan importantes enmatemticas como , el nmero de oro.
Puedes encontrar ms informacin en lawikipedia:
Nmero de oro:http://es.wikipedia.org/wiki/Nmero_ureo
Fraccin continua:http://es.wikipedia.org/wiki/Fraccin_continua
Fracciones
http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_continuahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo8/11/2019 Libro Matematicas 2ESO
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36 MATEMTICAS 2 ESO
Cundo son equivalentes dos fracciones?Cuando su producto de extremos y medioscoincide.
dc
ba
= si cumple ad=cd
Cmo se simplifican fracciones?Debes dividir numerador y denominador entre unmismo factor. Si el m.c.d. del numerador y eldenominador es la unidad, la fraccin ya no sepuede simplificar ms, es irreducible.
Si sabes el mcd del numerador y el denominador,lo mejor es dividir directamente por esa cantidad.La fraccin resultante ser irreducible.
Cmo se reducen fracciones a igualdenominador?Divide el m.c.m.de los denominadores entre eldenominador y multiplica por el numerador.
Cmo se suman y restan fracciones?Deben tener el mismo denominador.
Cmo se multiplican fracciones?Multiplica numeradores y denominadores.
Cmo se dividen fracciones?Multiplica en cruz los numeradores ydenominadores.
Cmo se obtiene la potencia de unafraccin?Eleva el numerador y el denominador.
Cmo se extrae la raz de una fraccin?Extrae la raz del numerador y el denominador
m.c.d.(20,12)=4
Fracciones
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MATEMTICAS 2 ESO 37
1. Halla una fraccin irreducible equivalente a21696
.
2. Sin simplificarlas, reduce a comn denominador246
y
3616
.
3. Calcula3612
188
+ . El resultado debe ser irreducible.
4. Calcula148
3620
(en forma irreducible).
5. Obtn la fraccin irreducible equivalente a
4230
3520
2012
++ .
6. Halla2010
248
2715
, expresado de forma irreducible.+
7. Calcula118
85 . Simplifica el resultado.
8. Halla el valor de105
:97
. El resultado debe estar
simplificado.
9. Una rueda avanza64
metros para dar una vuelta.
Cuntas vueltas debe dar para avanzar 8 metros?
10. Halla 6416 .
Fracciones
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38 MATEMTICAS 2 ESO
Soluciones de los ejercicios propuestos en los Contenidos
Fracciones equivalentes
a) No son equivalentes, puestoque el producto de medios yextremos no coinciden.
b) No son equivalentes, puestoque el producto de medios yextremos no coinciden.
Reduccin a comndenominador
a)720190
y720180
b)
24
9y
24
8
c)180115
y18022
d)18021
y180432
Comparacin de fracciones
a)97
>51
b)144