Libro Mates II

Clculo avanzado para Ingeniera.

Teora, problemas resueltos y aplicaciones

I. Arias, J.M. Gesto, J. Gibergans, F. Ikhouane, N. Pars, F. Pozo, G. Pujol, Y. Vidal

16 de febrero de 2010

2 Clculo avanzado para Ingeniera

7ndice general

Notaciones matemticas 16

Prlogo 17

1. lgebra lineal 191.1. Matrices. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4. Espacios vectoriales de dimensin finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5. Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.7. Valores propios y vectores propios. Diagonalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.8. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2. Funciones vectoriales de varias variables reales 632.1. Introduccin y primeras definiciones: funciones vectoriales y funciones escalares . . . . . . . . . 63

2.1.1. Funciones escalares de varias variables reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2. Topologa, lmites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.2.1. Entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.2. Lmite de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.3. Mtodo prctico para determinar lmites de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.4. Continuidad de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2.5. Funciones vectoriales de varias variables reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.3. Derivadas parciales, diferencial total y matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4. Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5. Derivadas de funciones compuestas: regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5.1. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.6. Desarrollo en serie de Taylor de una funcin de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.6.1. Frmula de Taylor para funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.6.2. Frmula de Taylor de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6.3. Frmula de Taylor de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.7. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.8. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3. Extremos de funciones 1073.1. Definiciones y teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.1.2. Clculo de extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2. Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114


3.2.1. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.2.2. Resolucin del problema de extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115


4. Integral mltiple y aplicaciones 1414.1. Introduccin: Integral simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.1.1. Idea para aproximar el rea superiormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.1.2. Idea para aproximar el rea inferiormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.1.3. Integrable en el sentido de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.1.4. Regla de Barrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.2. Integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.2.1. Idea para aproximar el volumen superiormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.2.2. Idea para aproximar el volumen inferiormente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.2.3. Integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.2.4. Clculo de la integral doble en regiones rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.2.5. Clculo de la integral doble sobre regiones ms generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.3. Integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.3.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.3.2. Clculo de integrales triples sobre regiones en forma de paraleleppedo . . . . . . . . . . 1494.3.3. Clculo integral triple sobre regiones ms generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.4. Integracin por cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.4.1. Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.4.2. Cambio de variable en una integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.4.3. Cambio de variable en una integral triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514.4.4. Cambios de variable usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.5.1. Valor promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.5.2. Centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.5.3. Momento de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154


5. Ecuaciones diferenciales ordinarias 1755.1. Ejemplo introductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.2.1. Primeras definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1765.2.2. Ecuaciones diferenciales de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1775.2.3. Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.2.4. Problemas de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.3. Ecuaciones diferenciales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1825.3.1. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden no homogneas con coeficientes con-

stantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845.3.2. Problemas de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.4. Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1905.5. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1925.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

96. Anlisis vectorial 2076.1. Curvas y trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.2. Campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.3. Divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2176.4. Integrales sobre trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.5. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.6. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2276.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

7. Clculo operacional 2517.1. Transformada de Laplace. Transformada inversa. Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517.2. Transformada de la derivada. Resolucin de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 2557.3. Transformada de Laplace de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2577.4. Traslacin en s, funcin escaln unitario, traslacin en t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

7.4.1. Traslacin en s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.4.2. Funcin escaln unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.4.3. Traslacin en t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

7.5. Convolucin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607.6. Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.7. Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2617.8. Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Bibliografa 275

11

ndice de cuadros

7.1. Algunas funciones f(t) y sus transformadas de Laplace F (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

13

ndice de figuras

2.1. Bola abierta de centro x y radio r (izquierda) y bola cerrada de centro x y radio r (derecha) . . . . 662.2. Representacin grfica de la funcin f(x, y) = 1 + 31+x2+y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3. Interpretacin grfica de la derivada direccional de una funcin en el punto a y en la direccin del

vector u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4. La frmula de Taylor de segundo orden permite aproximar una funcin (superficie tramada) por

un paraboloide (superficie blanca) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.5. Los diferentes casos para el punto (x0, y0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.1. Ilustracin de extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.2. El origen es un punto de silla: mximo en direccin y, mnimo en direccin x . . . . . . . . . . . 1093.3. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.4. Grfica de la funcin f(x, y) = (x2 + y2)ex

2y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.1. Idea de la integral en el sentido de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2. Convergencia de las sumas superior e inferior a medida que se toman particiones ms finas . . . . 1424.3. Idea de la integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.4. Integral doble en una regin rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464.5. Integracin sobre regiones ms generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.6. Integracin sobre regiones ms generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.7. Regin de integracin de tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1504.8. Cambios de variable usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1524.9. Tetraedro y su base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.10. Clculo del volumen comprendido entre la esfera y el cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.1. Masa suspendida de un muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1755.2. Representacin de la solucin general y particular de la ecuacin diferencial del ejemplo 106 . . . 1785.3. Circuito simple compuesto por una fuente de f.e.m., un resistor y un inductor . . . . . . . . . . . 1815.4. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.1. La trayectoria c es una aplicacin del intervalo [a, b] en el espacio, cuya imagen es la curva C . . 2086.2. La trayectoria plana c = R(cos t, sin t) describe una circunferencia de radio R . . . . . . . . . . 2096.3. Las grficas de funciones pueden describirse mediante trayectorias planas. No todas las curvas, por

ejemplo la curva C, son grficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2096.4. Al tender h a cero, el vector (c(t + h) c(t))/h tiende a un vector tangente a la curva C en el

punto c(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.5. Recta tangente a la curva descrita por c(t) en el punto c(t0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116.6. La velocidad del viento en la atmsfera o la velocidad del agua en una tubera son campos vectoriales2136.7. Representacin grfica de los campos F(x, y) = (x, y) (izquierda) y G(x, y) = (x,y) (derecha) 2146.8. Representacin grfica del campo giratorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2146.9. Ejemplos de regin simplemente conexa y otras que no lo son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223


6.10. Orientacin de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2246.11. Descomposicin de la curva C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2256.12. Regin R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2266.13. Ilustracin de la cinemtica de la rueda de la bicicleta y el reflector . . . . . . . . . . . . . . . . . 2336.14. Clculo del rea de una tapia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7.1. Ejemplo de una funcin f(t) continua por secciones. Los puntos marcan los valores de la funcinen los saltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

7.2. Ejemplo de funciones que tienen la misma transformada de Laplace. En el cuadro superior derecho,la funcin no est definida en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.3. Mtodo de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2577.4. Traslacin en s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2587.5. Funcin escaln unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2597.6. Ilustracin de un retardo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2607.7. Funcin f(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657.8. Circuito elctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2687.9. Evolucin de VC(t) y I(t) para R = 1M, C = 1F y V0 = 1V . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.10. Funcin r(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2737.11. Sistema mecnico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274


Lista parcial de notaciones matemticas

Alfabeto griegoA alfa B beta gamma delta E , psilonZ zeta H eta , theta I iota K kappa lambda M mu N nu xi O o micron pi,$ pi P , % ro , sigma T tau psilon , fi X ji psi omega

Conjuntos importantes conjunto vacoN nmeros naturales {0, 1, 2, . . .}N nmeros naturales diferentes de cero {1, 2, . . .}Z nmeros enteros {. . . ,2,1, 0, 1, 2, . . .}Q nmeros racionales {m/n : m Z, n N+}R nmeros reales (,+)R+ nmeros reales positivos [0,+)C nmeros complejos {x+ iy : x, y R} (i verifica i2 = 1)

Operadores lgicos para todo n N, n 0 existe n N, n 7! existe un solo !n N, n < 1 y (3 > 2) (2 > 1) o (2 > 3) (2 > 1) implica a, b R, (a = b) (a b) si, y slo si a, b R, (a = b) (b = a) negacin (2 > 3)

otras notaciones para la negacin (2 > 3), 2 6> 3Operadores aritmticos| | valor absoluto |x| = x si x 0; |x| = x si x 0

suma

iN+ 2i = 1

productoni=1 i = n!

! factorial 7! = 1 2 3 4 5 6 7 = 5040Operadores sobre conjuntos pertenece a {a, b, c} unin {a, b, c} {a, d} = {a, b, c, d}

. . . sobre un conjunto indexadoiN Si = S0 S1 S2

interseccin {a, b, c} {a, d} = {a}. . . sobre un conjunto indexado

iN Si = S0 S1 S2

\ diferencia entre conjuntos {a, b, c} \ {a, d} = {b, c} contiene estrictamente Z N contiene N N est contenido estrictamente en N Z est contenido en N N2A potencia de A si A = {a, b, c},

entonces 2A = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}

17

Prlogo

Este libro es el reflejo de la experiencia docente en asignaturas de clculo de siete profesores de la UniversitatPolitcnica de Catalunya. El texto sigue el esquema bsico de la asignatura troncal Matemticas 2 (captulos 1, 2,3, 4 y 6), y parte del temario de Matemticas 3 (captulos 5 y 7) que imparten los autores en la Escuela Universitariade Ingeniera Tcnica Industrial de Barcelona. No obstante, su contenido es perfectamente adaptable para cursosde clculo en varias variables de cualquier ingeniera. El texto tiene como objetivo principal iniciar al estudianteen los conceptos bsicos del clculo de funciones de varias variables, anlisis vectorial y ecuaciones diferenciales,as como en la teora de transformadas. Para el estudio de este texto, se supone que el alumno ya ha adquiridonociones bsicas de matrices, as como suponemos un amplio conocimiento de los fundamentos de funciones deuna variable, diferenciacin e integracin.

Al ser un texto dirigido a estudiantes de ingeniera, se han cuidado los aspectos de aplicacin, justificando losconceptos introducidos mediante ejemplos prcticos y motivaciones de las ciencias fsicas tales como electricidad,electrnica y mecnica, en las que se aplican los conocimientos adquiridos.

El libro, que consta de siete captulos, se puede dividir en tres partes. La primera parte trata el lgebra lineal,introduciendo los conceptos de valores y vectores propios. La segunda parte est dedicada a las funciones devarias variables: nociones bsicas de lmite, continuidad y derivacin; clculo de extremos libres y condicionados;integracin mltiple y anlisis vectorial. La tercera parte trata las ecuaciones diferenciales de primer orden y ordensuperior, la transformada de Laplace y la transformada de Fourier.

Para ilustrar la teora, se presentan ejemplos aplicados a la ingeniera, as como problemas resueltos y proble-mas propuestos que permiten al lector verificar sus conocimientos. La experiencia en la docencia de esta materiamuestra que es preferible omitir algunas demostraciones tcnicas. En este sentido, hemos mantenido las que con-sideramos que, efectivamente, permiten una mejor comprensin de los aspectos tericos.

Al final de cada uno de estos captulos, junto a los listados de ejercicios, se encuentra una recopilacin deproblemas resueltos utilizando el programa de clculo simblico Maple. De esta manera, se presentan al estudi-ante todos los comandos y herramientas necesarios para la resolucin de problemas, con especial nfasis en lascapacidades grficas y de representacin de dicho programa.

Queremos mostrar nuestro agradecimiento a la Universitat Politcnica de Catalunya y a la Escuela Universitariade Ingeniera Tcnica Industrial de Barcelona por acoger nuestro trabajo de estos aos, as como a Jos Rodellar,director del Departamento de Matemtica Aplicada III, por su apoyo y confianza.

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1 lgebra lineal

En este captulo se introducen algunos conceptos bsicos del lgebra lineal. En la Seccin 1.1 se presentan lasmatrices y su operatoria. La Seccin 1.2 se centra en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, tema con ungran abanico de aplicaciones, no slo por el hecho de que muchos problemas de inters en Ingeniera, como porejemplo el del clculo de circuitos de corriente alterna o continua, pueden plantearse directamente en trminos dela resolucin de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes reales o complejos, sino tambin porque, en elcontexto de los Mtodos Numricos, las soluciones de determinados sistemas de ecuaciones lineales representansoluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales.

En la Seccin 1.3 se establece la estructura de espacio vectorial y se describen algunas de sus propiedadesgenerales. La Seccin 1.4 est dedicada al estudio de los espacios vectoriales de dimensin finita, y la mayor partedel esfuerzo realizado va en la direccin de desarrollar un procedimiento eficiente para el clculo de bases de esosespacios vectoriales.

En la Seccin 1.5 se analizan las propiedades bsicas de las aplicaciones lineales, esenciales en muchas otrasramas de las Matemticas (diferenciacin de funciones de varias variables, geometra diferencial, etc.) y de la Fsica(tensores de tensiones y de deformaciones, tensores de inercia, etc.). En la Seccin 1.6 se da la definicin formalde determinante de una matriz cuadrada y se presentan algunas de sus propiedades. Por ltimo, en la Seccin 1.7se estudian los conceptos de valor propio y vector propio de un endomorfismo (un tipo de aplicacin lineal), conrelaciones, por ejemplo, con la resolucin de ecuaciones diferenciales y los mtodos numricos.

Se ha intentado que la informacin presentada en este captulo sea autocontenida, en el sentido de que no seanecesario poseer ms que unos pocos conocimentos elementales previos para poder comprender la totalidad de losconceptos y razonamientos descritos. El captulo incluye las demostraciones de prctimente todos los resultadosenunciados, excepto algunas que se han dejado como ejercicio para el lector y unas pocas (la demostracin dealgunas propiedades de los determinantes en la Seccin 1.6 y de dos resultados sobre diagonalizacin al final de laSeccin 1.7) que se han omitido por requerir desarrollos demasiado extensos en relacin al propsito de este texto.

Este captulo est dedicado a Sara.

1.1. Matrices. Operaciones con matrices

Definicin 1. Sean n,m N. Una matriz de n filas y m columnas con coeficientes en un cuerpo conmutativoK esuna funcin que asigna a cada par de nmeros naturales (i, j) {1, . . . , n}{1, . . . ,m} un elemento deK. Menosformalmente, puede definirse una matriz como una coleccin de elementos de K (tpicamente R o C) organizadospor filas y columnas. Denotamos el conjunto de todas las matrices de n filas y m columnas con coeficientes en Kcomo MK(n m). Si A MK(n m), i {1, . . . , n} y j {1, . . . ,m}, el elemento de K localizado en lai-sima fila y la j-sima columna de A se representa como aij o tambin como [A]ij o (A)ij .

Ejemplo 1. A =[1 1 32 1 0

]es una matriz de 2 filas y 3 columnas con coeficientes en R, es decir, A

MR(2 3), y, en particular, a22 = [A]22 = (A)22 = 1. Tambin se tiene que A MC(2 3).Definicin 2. Sean n,m, p N. Si A,B MK(nm), se define la matriz suma de A y B, A+B MK(nm),mediante la igualdad [A+B]ij = aij + bij , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m. Si A MK(nm) y K, se define la


matriz producto del escalar y la matrizA, A MK(nm),mediante la igualdad [A]ij = aij , i = 1, . . . , n,j = 1, . . . ,m. Si A MK(nm) y B MK(mp), se define la matriz producto de A y B, A B MK(mp),mediante la igualdad [A B]ij =

mk=1

aikbkj , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , p. Si A MK(nm), se define la matriztraspuesta de A, AT MK(m n), mediante la igualdad [AT ]ij = aji, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n. Tambin eshabitual utilizar la notacin [AT ]ij = aTij .

Ejemplo 2. Sean A =[2 1 10 1 1

], B =

0 11 21 1

, = 2. Entonces A+BT = (2)

[2 1 10 1 1

]+[0 1 11 2 1

]=

=[(2) 2 + 0 (2) 1 1 (2) (1) + 1(2) 0 + 1 (2) (1) + 2 (2) 1 + 1

]=[ 4 3 3

1 4 1].

Por otra parte,

A B =[2 1 10 1 1

] 0 11 2

1 1

==[2 0 + 1 (1) + (1) 1 2 1 + 1 2 + (1) 10 0 + (1) (1) + 1 1 0 1 + (1) 2 + 1 1

]=[ 2 3

2 1]

y

B A = 0 11 2

1 1

[ 2 1 10 1 1]=

=

0 2 + 1 0 0 1 + 1 (1) 0 (1) + 1 1(1) 2 + 2 0 (1) 1 + 2 (1) (1) (1) + 2 11 2 + 1 0 1 1 + 1 (1) 1 (1) + 1 1

= 0 1 12 3 3

2 0 0

.Proposicin 1. Sean n,m, p, q N. La operacin suma de matrices tiene las propiedades conmutativa y asociati-va, es decir, si A,B,C MK(nm), entonces A+B = B+A y (A+B)+C = A+(B+C). El producto de unescalar por una matriz satisface que, si , K y A,B MK(nm), entonces ( A) = ( A) = () A,(+ ) A = A+ A y (A+B) = A+ B. La operacin producto de matrices tiene la propiedadasociativa, pero en general no es conmutativa, es decir, si A MK(nm), B MK(m p) y C MK(p q),entonces (A B) C = A (B C) pero no necesariamente A B = B A. Ambas operaciones tienen la propiedaddistributiva, es decir, si A,B MK(nm), C MK(m p), entonces (A+B) C = A C +B C.Demostracin. En cuanto a la no conmutatividad del producto de matrices, basta considerar por ejemplo que siA MK(n m), B MK(m p), n,m, p N, y n 6= p, entonces la matriz B A ni siquiera est definida,mientras que si n = p 6= m entonces A B MK(n n) y B A MK(mm) no tienen la misma cantidad decoeficientes. Por ltimo, incluso en el caso n = m = p es posible encontrar matrices cuyo producto no conmute.

Por ejemplo, si A =[i 10 0

]y B =

[1 1 + i0 1

], entonces A B =

[i i0 0

]6=[i 10 0

]= B A. La

demostracin del resto de propiedades se deja como ejercicio.

Observacin 1. Con el objetivo de aligerar la notacin, en el resto de este captulo omitiremos a menudo al-gunas formalidades. Por ejemplo, una letra mayscula del alfabeto latino representar por defecto a una matriz.Asimismo, cuando nos refiramos a la matriz producto de dos matrices A y B, A B, estaremos asumiendo que lasdimensiones de las matrices involucradas son tales que el producto tiene sentido, y cuando citemos el coeficiente

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aij de una matriz A estaremos suponiendo que los ndices i, j recorren todos los nmeros naturales compatiblescon la cantidad de filas y columnas de A. Tambin daremos por hecho que cualquier variable que represente lacantidad de filas y columnas de una matriz es un nmero natural. Los casos que pudieran generar confusin serncomentados especficamente. Por otra parte, en virtud de la asociatividad del producto de matrices, utilizaremos lanotacin habitual A B C = (A B) C = A (B C), y anlogamente con ms de tres matrices.Proposicin 2. (A B)T = BT AT

Demostracin. Sea m la cantidad de columnas de A. Entonces se tiene [(A B)T ]ij = [A B]ji =mk=1

ajkbki =mk=1

aTkjbTik =

mk=1

bTikaTkj = [B

T AT ]ij .

Corolario 1. Si n N, entonces (A1 A2 . . . An)T = ATn ATn1 . . . AT1 .

Definicin 3. El smbolo ij se denomina delta de Kronecker y se define como ij ={

1 si i = j0 si i 6= j . Se define

la matriz identidad de orden n, In MK(n n), mediante la igualdad [In]ij = ij .

Ejemplo 3. I4 =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

es la matriz identidad de orden 4.Proposicin 3. Si A MK(nm), entonces A Im = A y In A = A.

Demostracin. [A Im]ij =mk=1

aikkj = aij . La segunda igualdad se demuestra anlogamente.

Definicin 4. Si A MK(nn) y existe una matriz B MK(nn) tal que A B = B A = In, entonces se diceque A es inversible y que B es su inversa, lo que se representa como B = A1. Ntese que para esta definicin seha exigido que A tenga la misma cantidad de filas que de columnas. Las matrices con esa propiedad se denominanmatrices cuadradas.

Ejemplo 4. Sean A =

1 1 10 1 10 0 1

y B = 1 1 00 1 1

0 0 1

. Es fcil comprobar que A B = B A = I3, demanera que B = A1.

Proposicin 4. Si A es inversible, entonces AT y A1 son inversibles, (AT )1 = (A1)T y (A1)1 = A.

Demostracin. Por lo que respecta a AT es suficiente ver que (A1)T AT = (A A1)T = (In)T = In yAT (A1)T = (A1 A)T = In. En cuanto a A1, basta recordar la definicin de inversa de una matriz.

Ejemplo 5. Puede comprobarse que si A =

1 0 01 1 01 1 1

y B = 1 0 01 1 0

0 1 1

, entonces B = A1(comprese con el Ejemplo 4).

Proposicin 5. Si A y B son inversibles, entonces A B es inversible y (A B)1 = B1 A1.Demostracin. Basta observar que B1 A1 A B = B1 In B = B1 B = In y que A B B1 A1 =A In A1 = A A1 = In.Corolario 2. Si n N y A1, . . . , An son matrices inversibles, entonces A1 A2 . . . An es inversible y (A1 A2 . . . An)1 = A1n A1n1 . . . A11 .


Definicin 5. Denominamos operaciones elementales de fila (oefs) a las siguientes manipulaciones con las filasde una matriz:

I. Intercambiar las filas i y j. Esta operacin se representa como fi fj .II. Multiplicar la fila i por un escalar K, 6= 0. Esta operacin se representa como fi.

III. Sumar a la fila i la fila j multiplicada por un escalar K. Esta operacin se representa como fi + fj .Llamamos e(A) a la matriz que resulta despus de aplicar una oef e a una matriz A.

Ejemplo 6. Sean A =

1 11 11 2i

, la oef tipo I e1 = f1 f3 y la oef tipo III e2 = f2 if1. Entoncese1(A) =

1 2i1 11 1

y e2(e1(A))) = 1 21 i 1 i2i

1 1

= 1 21 i 1

1 1

. Tambin puede comprobarseque e1(e2(A))) =

1 2i1 i 1 i1 1

.Definicin 6. Denominamos matriz elemental de fila a cualquier matriz que pueda obtenerse aplicando una oef ala matriz In. Es decir, si e es una oef, e(In) es una matriz elemental de fila.

Ejemplo 7. Consideremos la matriz identidad de orden 2, I2 =[1 00 1

], y la oef de tipo II e = 2f2. Entonces

la matriz e(I2) =[1 00 2

]es una matriz elemental de fila.

Proposicin 6. Si e es una oef, entonces e(A) = e(In) ADemostracin. Es un sencillo ejercicio de comprobacin para cada tipo de oef.

Ejemplo 8. Sean A =[1 01 1

]y la oef e = f1 f2. Entonces se tiene que e(A) =

[1 10 1

], e(I2) =[

0 11 0

]y e(I2) A =

[0 11 0

][1 01 1

]=[1 10 1

]= e(A).

Proposicin 7. Si E es una matriz elemental de fila, entonces E es inversible y su inversa es otra matriz elementalde fila.

Demostracin. Supongamos que E es una matriz elemental de fila asociada a la oef e, con lo que E = e(In).Si e es de tipo I, e = fi fj , entonces e(e(In)) = In, con lo que e(In) e(In) = In (Proposicin 6), o,equivalentemente, E E = In, lo que implica que E es inversible y E1 = E. En otro caso, si e es de tipo II,e = fi, podemos definir la oef e = 1fi (ntese que 6= 0), y entonces e(e(In)) = e(e(In)) = In, con lo queE e(In) = e(In) E = In, lo que implica que E es inversible y E1 = e(In). Por ltimo, si e es de tipo III,e = fi + fj , podemos definir la oef e = fi fj y proceder como en el caso anterior.

Ejemplo 9. La matriz[

1 02i 1

]es la matriz elemental de fila asociada a la oef e = f2 + 2if1. Es inmediato

comprobar que la matriz[

1 02i 1

], es decir, la matriz elemental de fila asociada a la oef e = f2 2if1, es su

inversa.

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Definicin 7. Sean A,B MK(n m). Se dice que B es equivalente a A si es posible transformar A en Bhaciendo nicamente oefs. Si B es equivalente a A, escribimos B A.Proposicin 8. Si B A entonces A B.Demostracin. SiB A entonces existe una sucesin de oefs e1, e2, . . . , es, s N, tal queB = es(. . . e2(e1(A)) . . .).Utilizando reiteradamente la Proposicin 6 obtenemos que B = es(In) . . . e2(In) e1(In) A. La matrizC = es(In) . . . e2(In) e1(In) es inversible por ser producto de matrices elementales de fila (Proposicin 7), yverifica que B = C A, con lo que tenemos C1 B = C1 C A = A. Como C1 = (e1(In))1 (e2(In))1 . . . (es(In))1 y cada una de las (ei(In))1 es a su vez una matriz elemental de fila, existen s oefs ei tales queei(In) = (ei(In))1. Esto implica que A = C1 B = e1(In) . . . es(In) B = e1(. . . (es(A)) . . .), lo queconcluye la demostracin.

Corolario 3. Si A B, entonces cada una de esas matrices se obtiene de la otra multiplicndola por una matrizinversible.

Observacin 2. No es difcil comprobar que si A B y B C entonces A C. Por otra parte, es trivialdemostrar que A A, con lo que se cumplen las tres propiedades (reflexiva, simtrica y transitiva) necesarias paraafirmar que la transformacin mediante oefs define una relacin de equivalencia en MK(n m), lo que explicael haber utilizado precisamente el trmino equivalente para referirnos a una matriz que se puede obtener de otramediante oefs.

Ejemplo 10. En la prctica, cuando se efecta una serie de operaciones elementales de fila sobre una matriz, suelesepararse cada una de las matrices obtenidas de la siguiente mediante el smbolo , indicando tambin cual es laoef que permite pasar de una a la otra. Por ejemplo, si A =

[1 0 01 2 0

], e1 = f2 f1 y e2 = f2/2, entonces

e1(A) =[1 0 00 2 0

]y e2(e1(A)) =

[1 0 00 1 0

]. Todo ello puede simbolizarse como

[1 0 01 2 0

] f2 f1

[1 0 00 2 0

] f2/2

[1 0 00 1 0

].

En el contexto de la Proposicin 8, tambin se tiene que[1 0 00 1 0

] 2f2

[1 0 00 2 0

] f2 + f1

[1 0 01 2 0

].

Definicin 8. Sea A MK(nm) una matriz de n filas y m columnas. Se dice que A es una matriz escalonadareducida por filas (merf) si y slo si verifica las siguientes propiedades:

1. Si la fila i de A es no nula y la fila j de A es nula, entonces j > i (si hay filas nulas, son las ltimas).

2. Si slo las r primeras filas de A son no nulas (r n) y k1, . . . , kr son los ndices de columna de los primeroselementos no nulos de las filas 1, . . . , r, respectivamente, entonces:

2.a Si 1 i < j r, entonces ki < kj (el primer elemento no nulo de cada fila est ms a la derecha queel primer elemento no nulo de la fila inmediatamente anterior).

2.b ajki = jki i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , i (el primer elemento no nulo de cada fila es 1 y los coeficientesde su columna con menor ndice de fila que l son nulos).

Se deduce directamente de las propiedades anteriores que todos los coeficientes de cualquier columna que corre-sponda al primer elemento no nulo de una fila de una merf son nulos excepto ste, que es igual a 1.


Ejemplo 11. La matriz

0 1 2 + i 0 0 30 0 0 1 0 i0 0 0 0 1 20 0 0 0 0 0

es una merf.Teorema 1. Toda matriz A es equivalente a una merf. Adems, si B1 y B2 son merfs y A B1 y A B2,entonces B1 = B2. Por tanto, cada matriz A es equivalente a una nica merf, que denotamos por merf(A).

Demostracin. Sea A MK(nm). Veamos en primer lugar que A es equivalente a una merf. La demostracinde este hecho es constructiva y se basa en el conocido mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan. Empecemosobservando que si todas las columnas de A son nulas entonces A es una merf. Supongamos por tanto que Aes no nula y localicemos la primera de sus columnas que contiene algn elemento no nulo. Si el ndice de esacolumna es l y a1l = 0, apliquemos a A la oef f1 fi para alguno de los i tales que ail 6= 0, y a continuacinla oef a1il f1. Obtenemos una matriz A equivalente a A tal que todas sus columnas anteriores a la l son nulas y[A]1l = 1. Si inicialmente se tuviera a1l = 1 se tomara A = A, mientras que si fuera a1l 6= 0, a1l 6= 1, A seobtendra de A haciendo simplemente la oef a11l f1. En todos los casos, el procedimiento contina realizando lasoefs fi [A]ilf1, i = 2, . . . , n, con lo que obtenemos una matriz equivalente a A tal que sus primeras l columnasconstituyen una merf no nula. Supongamos ahora que hemos conseguido una matriz B equivalente a A tal quesus primeras k columnas, k < m, constituyen una merf con exactamente r filas no nulas, r < n, y veamos quesiempre es posible obtener una matriz B equivalente a B tal que sus primeras k + 1 filas constituyan una merf(ntese que si fuera k = m o r = n la propia B sera una merf equivalente a A y el proceso habra terminado).Para obtener B, examinemos los trminos de la columna k + 1 de B con ndice de fila mayor que r, es decir,los bi,k+1, i = r + 1, . . . , n. Si todos esos coeficientes fuesen nulos, entonces las primeras k + 1 columnas de Bconstituiran una merf y bastara tomar B = B. En caso contrario, supongamos que bj,k+1 6= 0, j {r+1, . . . , n},y realicemos sobre B las oefs fr+1 fj , b1j,k+1fr+1, con lo que obtendremos una matriz B equivalente a B talque sus primeras k columnas constituyen una merf con r filas no nulas y [B]r+1,k+1 = 1 (igual que antes, algunade las dos ltimas oefs podra ser innecesaria). Si ahora aplicamos a B las oefs fi [B]i,k+1fr+1, i = 1, . . . , n,i 6= r + 1, obtenemos la matriz B que buscbamos. Razonando por induccin, esto prueba que A es equivalente auna merf.

Para ver la unicidad, supongamos que B1, B2 son merfs y A B1, A B2. Eso implica que B1 B2, con loque, en virtud de la Proposicin 8, es posible transformar B1 en B2 mediante oefs y viceversa. Segn el corolariode esa misma proposicin, tenemos en particular que B1 = C B2, B2 = C1B1 para alguna matriz inversibleC. Observemos ahora que si B1 es nula entonces tambin deben serlo A y B2, con lo que B1 = B2. Supongamosentonces que B1 no es nula (y, por tanto, tampoco lo son ni A ni B2), y veamos que si la columna l1 es la primeracolumna no nula de B1 y la columna l2 es la primera columna no nula de B2, entonces l2 = l1. En efecto, si fueral2 < l1 sera posible transformar una columna nula de B1 en una columna no nula de B2 haciendo nicamenteoefs, lo cual es absurdo. El mismo razonamiento demuestra que no puede ser l1 < l2 sin ms que intercambiar lospapeles de B1 y B2. Luego la primera columna no nula de B1 ocupa la misma posicin que la primera columnano nula de B2, de manera que ambas columnas tienen un 1 en la primera fila y ceros en las siguientes, puesto quetanto B1 como B2 son merfs. Recordando la definicin del producto de dos matrices, ello implica que tanto laprimera columna de la matriz C como la primera columna de la matriz C1 son iguales a la primera columna deIn. Supongamos ahora que las primeras k < m columnas deB1 yB2 son iguales y constituyen una merf con r < nfilas no nulas, y que tanto las primeras r columnas de C como las primeras r columnas de C1 son iguales a lasprimeras r columnas de In (ntese que si fuese k = m ya tendramos que B1 = B2, mientras que si fuese r = nsera C = In y tambin B1 = B2). En ese caso deducimos que si [B2]r+1,k+1 = 0 entonces [B1]r+1,k+1 = 0,puesto que tenemos la igualdad B1 = C B2, sabemos que las primeras r filas de C coinciden con las de Iny B1 es merf. Intercambiando los papeles de B1 y B2 y considerando la igualdad B2 = C1B1, tenemos que[B1]r+1,k+1 = 0 si y slo si [B2]r+1,k+1 = 0. En ese caso, si [B2]r+1,k+1 = 0 entonces [B1]r+1,k+1 = 0 y,recurriendo nuevamente a la igualdad B1 = C B2, tenemos que las primeras k + 1 columnas de B1 coindicencon las primeras k + 1 columnas de B2 y constituyen una merf con r filas no nulas. Si [B2]r+1,k+1 = 1, entonces

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[B1]r+1,k+1 6= 0. Como B1 es una merf, eso implica que [B1]r+1,k+1 = 1, con lo que las columnas k + 1 deB1 y B2 son iguales. As pues, tenemos por una parte que las primeras k + 1 columnas de B1 coindicen con lasprimeras k + 1 columnas de B2 y constituyen una merf con r + 1 filas no nulas, y, por otra, gracias una vez ms alas igualdades B1 = C B2, B2 = C1B1, que tanto las primeras r + 1 columnas de C como las primeras r + 1columnas de C1 son iguales a las primeras r + 1 columnas de In. Razonando por induccin, esto prueba queB1 = B2.

Ejemplo 12. Consideremos la matriz A =

0 0 2 1 10 1 1 0 10 2 0 1 1

y apliquemos el procedimiento de elimi-nacin de Gauss-Jordan para encontrar la merf a la que es equivalente: 0 0 2 1 10 1 1 0 1

0 2 0 1 1

f1 f2 0 1 1 0 10 0 2 1 1

0 2 0 1 1

f3 2f1 0 1 1 0 10 0 2 1 1

0 0 2 1 1

f2/2 0 1 1 0 10 0 1 12 12

0 0 2 1 1

f1 f2f3 + 2f2

0 1 0 12 120 0 1 12 120 0 0 0 0

= merf(A).Por tanto, si e1 = f1 f2, e2 = f3 2f1, e3 = f2/2, e4 = f1 f2 y e5 = f3 + 2f2, entonces merf(A) =e5(e4(e3(e2(e1(A))))). Ntese que en general la sucesin de oefs que permite transformar una matriz en una merfno es nica, pero, en virtud del teorema anterior, llegaremos siempre a la misma merf con independencia de lasucesin de operaciones que escojamos. En el caso de la matriz A anterior tambin podamos haber hecho, porejemplo, 0 0 2 1 10 1 1 0 1

0 2 0 1 1

f3 2f2 0 0 2 1 10 1 1 0 1

0 0 2 1 1

f1 f3 0 0 0 0 00 1 1 0 1

0 0 2 1 1

f2 + f3/2 0 0 0 0 00 1 0 12 12

0 0 2 1 1

f3/2 0 0 0 0 00 1 0 12 12

0 0 1 12 12

f1 f2 0 1 0 12 120 0 0 0 0

0 0 1 12 12

f2 f3 0 1 0 12 120 0 1 12 12

0 0 0 0 0

= merf(A),de manera que si e1 = f3 2f2, e2 = f1 f3, e3 = f2 + f3/2, e4 = f3/2, e5 = f1 f2 y e6 = f2 f3,entonces merf(A) = e6(e5(e4(e3(e2(e1(A)))))).

Definicin 9. Se define el rango por filas de una matriz A, rgfA, como la cantidad de filas no nulas de la nicamerf a la que es equivalente.

Ejemplo 13. La matriz A del Ejemplo 12 tiene rango por filas 2, es decir, rgfA = 2.

Proposicin 9. Si A MK(nm), entonces rgfA mn{n,m}.

Demostracin. Basta con tener en cuenta la definicin de rgfA y las propiedades que caracterizan las merfs.


1.2. Sistemas de ecuaciones lineales

Definicin 10. Un sistema de n ecuaciones lineales con m incgnitas y coeficientes en el cuerpo conmutativo Kes un sistema de igualdades de la forma

mj=1

ijxj = i, i = 1, . . . , n,

donde ij , k K. Resolver el sistema de ecuaciones consiste en decidir si existe alguna coleccin de m ele-mentos x1, . . . , xm K que satisfaga simultneamente las n igualdades, y, en caso afirmativo, encontrarlas todas.Llamamos solucin del sistema a cada una de esas colecciones.

Dado un sistema de ecuaciones lineales siempre es posible construir las matrices A MK(n m), X MK(m 1), B MK(n 1) y A|B MK(n (m + 1)), tales que [A]ij = ij , [X]j1 = xj , [B]j1 =j y [A|B]ij =

{ij si j mi si j = m+ 1

. Esas matrices se denominan, respectivamente, matriz de coeficientes,

matriz de incgnitas, matriz de trminos independientes y matriz ampliada del sistema, que, teniendo en cuenta ladefinicin del producto de matrices, puede reescribirse en la forma compacta A X = B. Si la matriz B es nula sedice que el sistema es homogneo.

Ejemplo 14. El conjunto de igualdades

ix1 + 2x3 2x5 + x2 = 1x1 + (1 i)x4 = 23x1 + 2x2 + 5x5 = 2i

constituye un sistema de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones con las 5 incgnitas x1, x2, x3, x4, x5 C. La matriz

de coeficientes del sistema es A =

i 1 2 0 21 0 0 1 i 03 2 0 0 5

, la matriz de incgnitas es X =x1x2x3x4x5

, la ma-

triz de trminos independientes es B =

122i

, y la matriz ampliada es A|B = 1 1 2 0 2 11 0 0 1 0 2

3 2 0 0 5 2i

.Definicin 11. Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si ambos tienen las mismassoluciones.

Proposicin 10. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si y slo si sus matrices ampliadas sonequivalentes.

Demostracin. Es un sencilla comprobacin que se deja como ejercicio.

Ejemplo 15. Los sistemas

x1 + 2x3 2x5 + x2 = 1

x1 + x4 = 23x1 + 2x2 + 5x5 = 1

y

4x3 x1 9x5 = 1

x2 + 2x3 + x4 2x5 = 32x1 + x2 2x3 + 7x5 = 0

tienen las

mismas soluciones porque si e1 = f2 + f1, e2 = f3 f1 y e3 = f1 f3, entonces 1 0 4 0 9 10 1 2 1 2 32 1 2 0 7 0

= e3e2

e1 1 1 2 0 2 11 0 0 1 0 2

3 2 0 0 5 1

27

Teorema 2. Teorema de Rouch-Frobenius: sean A y A|B la matriz de coficientes y la matriz ampliada de unsistema de n ecuaciones lineales con m incgnitas, respectivamente. Si r = rgfA, entonces se tiene:

1. Si rgfA|B 6= r el sistema no tiene soluciones (en ese caso se dice que el sistema es incompatible).2. Si rgfA|B = r el sistema tiene alguna solucin (sistema compatible). En esta caso podemos distinguir dos

situaciones:

2.a. Si r = m el sistema tiene una nica solucin (sistema compatible determinado).2.b. Si r < m el sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado).

Observacin 3. Ntese que el caso rgfA|B = r > m queda excluido por la Proposicin 9.Demostracin. Sabemos que el sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada es merf(A|B) es equivalente alsistema de ecuaciones original. Puesto que la matriz ampliada de A|B comparte con A las m primeras columnas, yrecordando el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan, merf(A|B) debe compartir con merf(A) las m primerascolumnas. Por otra parte, como A|B slo tiene una columna ms que A, entonces rgfA|B slo puede ser r o r+1.Por tanto, si rgfA|B 6= r debe ser rgfA|B = r + 1 y [merf(A|B)]r+1,m+1 = 1, mientras que, como rgfA = r,[merf(A)]ri = 0 i {1, . . . ,m}. Eso quiere decir que la r-sima ecuacin del sistema cuya matriz ampliada esmerf(A|B) se escribe 0 x1 + . . . + 0 xm = 1, es decir, 0 = 1, con lo que el sistema original no puede tenersoluciones. Ahora, si rgfA|B = r = m, entonces merf(A) debe tener m filas no nulas. Teniendo en cuenta laestructura de una merf y las dimensiones de A, eso implica necesariamente que las primeras m filas de merf(A)son las de Im. As pues, las m primeras ecuaciones del sistema cuya matriz ampliada es merf(A|B) se escribenxi = [merf(A|B)]i,m+1, i = 1, . . . ,m, mientras que el resto de las ecuaciones, en caso de haberlas, slo dicen0 = 0, de manera que el sistema original slo tiene una solucin. Por ltimo, si rgfA|B = r < m, entonces seank1, . . . , kr los ndices de columna de las posiciones de los primeros unos de cada fila no nula de merf(A). Sillamamos incgnitas principales del sistema a xkj , j = 1, . . . , r, y parmetros al resto de las incgnitas, entonceslas r primeras ecuaciones del sistema cuya matriz ampliada es merf(A|B) indican que es posible expresar cadauna de las incgnitas principales en funcin exclusivamente de los parmetros. El resto de ecuaciones, si las hay,son trivales (0 = 0), de manera que no hay ninguna restriccin sobre el valor que pueden tomar los parmetros yel sistema tiene infinitas soluciones.

Corolario 4. Todo sistema homogneo es compatible.

Ejemplo 16. El sistema de ecuaciones lineales

(1 + i)x2 x3 + x4 = 0x1 ix2 + x3 = 1x1 + x2 + x4 = 0

es incompatible. Para verlo, busquemos la merf de la matriz ampliada del sistema: 0 1 + i 1 1 01 i 1 0 11 1 0 1 0

f1 f3 1 1 0 1 01 i 1 0 1

0 1 + i 1 1 0

f2 f1 1 1 0 1 00 1 i 1 1 10 1 + i 1 1 0

f3 + f2 1 1 0 1 00 1 i 1 1 1

0 0 0 0 1

= C|DLlegados a este punto ya es claro que rgfA = 2 y rgfA|B = 3, con lo que, segn el Teorema de Rouch-Frobenius, el sistema original es incompatible. Ntese que dicho sistema debe tener las mismas soluciones que elsistema cuya matriz ampliada es C|D, y que la tercera ecuacin de ese sistema es 0 x1+0 x2+0 x3+0 x4 = 1,lo cual es imposible para cualquier combinacin de nmeros complejos x1, x2, x3, x4.



x1 x2 + x3 = 0x1 x2 x3 = 1x1 + x2 + x3 = 0

es compatible determinado. En efecto, tenemos 1 1 1 01 1 1 11 1 1 0

f2 f1f3 f1

1 1 1 00 0 2 10 2 0 0

,de manera que rgfA = rgfA|B = 3. Como el sistema original tiene tres incgintas, entonces podemos decirque dicho sistema es compatible determinado. Para hallar la solucin del sistema continuamos con el proceso deeliminacin: 1 1 1 00 0 2 1

0 2 0 0

f2/2f3/2

1 1 1 00 0 1 120 1 0 0

f2 f3 1 1 1 00 1 0 0

0 0 1 12

f1 + f2 1 0 1 00 1 0 0

0 0 1 12

f1 f3 1 0 0 120 1 0 0

0 0 1 12

= merf(A|B) = C|D.El sistema original debe tener las mismas soluciones que el sistema cuya matriz ampliada es C|D, lo que implicaque x1 =

12, x2 = 0, x3 = 12 es la nica solucin del sistema original.


x1 + x2 x3 + 2x4 = i(1 + i)(x1 + x2) + 2x4 = 2 + i

i(x1 + x2) + x3 = 2

es compatible indeterminado. Puede comprobarse que 1 1 1 2 i1 + i 1 + i 0 2 2 + ii i 1 0 2

f2 (1 + i)f1f3 if1

1 1 1 2 i0 0 1 + i 2i 30 0 1 + i 2i 3

f3 f2 1 1 1 2 i0 0 1 + i 2i 3

0 0 0 0 0

f2/(1 + i) 1 1 1 2 i0 0 1 1 i 32 (1 i)

0 0 0 0 0

f1 + f2 1 1 0 1 i 12 (3 i)0 0 1 1 i 32 (1 i)0 0 0 0 0

= merf(A|B),y, por tanto, rgfA = rgfA|B = 2. Como el sistema original tiene cuatro incgnitas, entonces podemos decirque dicho sistema es compatible indeterminado con dos incgnitas principales, x1, x3, y dos parmetros, x2, x4,

29

que pueden tomar cualquier valor en C, con lo que hay infinitas soluciones. Las incgnitas principales puedenexpresarse en trminos de los parmetros a partir de la forma reducida de A|B, obteniendo x1 = 12 (3 i) x2 (1 i)x4, x3 = 32 (1 i) + (1 + i)x4. Es habitual describir el conjunto de todas las soluciones del sistema de lasiguiente forma: x1 = 12 (3 i) (1 i), x2 = , x3 = 32 (1 i) + (1 + i), x4 = , , C.

Definicin 12. Una ecuacin matricial con matriz de coeficientes A MK(n m) y matriz de trminos inde-pendientes B MK(n p) es una ecuacin de la forma A X = B, donde X MK(m p) se denominamatriz de incgnitas. Resolver el sistema matricial consiste en decidir si existe alguna matriz X que satisfaga laigualdad y, en caso afirmativo, encontrarlas todas. Diremos que cada una de esas matrices X es una solucin de laecuacin matricial. La matriz de n filas y m + p columnas cuyas primeras m columnas son las columnas de A ycuyas ltimas p columnas son las columnas de B se denomina matriz ampliada de la ecuacin matricial. Tambinutilizaremos el smbolo A|B para representar a las matrices ampliadas de las ecuaciones matriciales.

Proposicin 11. Teorema de Rouch-Frobenius para ecuaciones matriciales: siA MK(nm) yB MK(np)son, respectivamente, la matriz de coficientes y la matriz de trminos independientes de una ecuacin matricial yr = rgfA, entonces la ecuacin tiene solucin slo cuando rgfA|B = r. En ese caso, si r = m slo existe unamatriz X MK(m p) que satisfaga la igualdad A X = B, mientras que si r < m pueden encontrarse infinitassoluciones para la ecuacin matricial.

Demostracin. Consideremos una sucesin de oefs e1, . . . , es, s N, que transforme A en merf(A), y lasmatrices Bi MK(n1), i = 1, . . . , p, tales que [Bi]j = bij . Esta claro que la ecuacin matricial tiene solucionessi y slo si todos y cada uno de los p sistemas de ecuaciones lineales asociados a las matrices ampliadasA|Bi tienensoluciones. Si rgfA|B = r, entonces debe obtenerse merf(A|B) al aplicar e1, . . . , es a A|B, con lo que tambinse obtendrmerf(A|Bi) al aplicar e1, . . . , es a cada una de las matricesA|Bi. En esas condiciones, si r = m todoslos sistemas son compatibles determinados, y por tanto, la ecuacin matricial tiene una nica solucin, mientrasque si r < m todos los sistemas son compatibles indeterminados y la ecuacin matricial tiene infinitas soluciones.Si, por el contrario, rgfA|B 6= r, deber ser rgfA|B > r. Eso slo puede suceder si para alguno de los sistemasno es rgfA|Bi = r, en cuyo caso ese sistema es incompatible y la ecuacin matricial no puede tener soluciones.

Teorema 3. Una matriz cuadrada es inversible si y slo si su rango por filas es mximo.

Demostracin. Sea A MK(nn) y consideremos una sucesin de oefs e1, . . . , es, s N, que transforme A enmerf(A). Para que A sea inversible debe existir, en particular, una matriz B MK(n n) tal que A B = In.Eso quiere decir que el sistema A X = In es compatible, con lo que rgfA = rgfA|In y la matriz que seobtiene aplicando e1, . . . , es a A|In es una merf. Como es(. . . (e1(In)) . . .) es equivalente a In, entonces su rangoes n y no puede tener filas nulas, con lo que necesariamente rgfA = n. Recprocamente, si rgfA = n entoncesmerf(A) = In y el sistema A X = In es compatible determinado con solucin X = es(. . . (e1(In)) . . .). Esasolucin verifica, adems, X A = es(. . . (e1(In)) . . .) A = es(In) . . . e1(In) A = es(. . . (e1(A)) . . .) = In,con lo que A es inversible y A1 = es(. . . (e1(In)) . . .).

Corolario 5. Se deduce de la demostracin del teorema anterior que si una matriz cuadrada tiene inversa, esainversa es nica. Tambin se ha visto que una matriz es inversible si y slo si es producto de matrices elementalesde fila, con lo que podemos afirmar que dos matrices son equivalentes si y slo si una de ellas puede obtenersemultiplicando una matriz inversible por la otra.

Ejemplo 19. Los resultados anteriores justifican el denominado mtodo de Gauss para el clculo de la inversa deuna matriz. Consideremos, por ejemplo, la matriz

A =

1 1 01 0 11 1 1

.


SiA es inversible, entonces su inversa es la nica solucin del sistema matricialAX = I3, y se obtiene reduciendola matriz ampliada A|I3: 1 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0

1 1 1 0 0 1

f2 f1f3 f1

1 1 0 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 1 0 1

f1 + f2(1)f3 1 0 1 0 1 00 1 1 1 1 0

0 0 1 1 0 1

f1 f3f2 f3

1 0 0 1 1 10 1 0 2 1 10 0 1 1 0 1

(1)f2 1 0 0 1 1 10 1 0 2 1 1

0 0 1 1 0 1

As pues, A es inversible y A1 =

1 1 12 1 11 0 1

, lo que puede comprobarse fcilmente.1.3. Espacios vectoriales

Definicin 13. SeanE un conjunto,K un cuerpo conmutativo y dos funciones s : EE E, p : KE E.Se dice que la terna (E, s, p) es un espacio vectorial sobre K (Kev) si se verifica:

1 (E, s) es un grupo conmutativo, es decir:

1.1 x,y E s(x,y) = s(y,x).1.2 x,y, z E s(s(x,y), z) = s(x, s(y, z)).1.3 v E tal que x E s(v,x) = s(x, v) = x.1.4 x E, x E tal que s(x, x) = s(x,x) = v.

2 K, x,y E p(, s(x,y)) = s(p(,x), p(,y)).3 , K, x E p(+ ,x) = s(p(,x), p(,x)).4 , K, x E p( ,x) = p(, p(,x)).5 x E p(1,x) = x.

La funcin s se denomina ley u operacin de composicin interna y la funcin p se denomina ley u operacinde composicin externa. Cuando se pretende dotar a un conjunto E de estructura de Kev es frecuente definir lasleyes s, p basndose en las operaciones suma y producto (+, ) usuales en K. Por esa razn es habitual abusar dellenguaje, llamar suma y producto por un escalar a s y p, respectivamente, y utilizar la notacin s(x,y) = x + y,p(,x) = x o bien p(,x) = x, v = 0E o simplemente v = 0, x = x y x + (y) = x y. Segn esteconvenio, las propiedades que caracterizan a un Kev pueden reescribirse de la forma ms familiar

1 (E,+) es un grupo conmutativo, es decir:

1.1 x,y E x+ y = y + x (propiedad conmutativa de la suma).1.2 x,y, z E (x+ y) + z = x+ (y + z) (propiedad asociativa de la suma).1.3 0 E tal que x E 0+ x = x+ 0 = x (existencia de un elemento neutro para la suma).

31

1.4 x E, x E tal que x+ (x) = (x) + x = 0 (existencia de un elemento opuesto para lasuma).

2 K, x,y E (x + y) = x + y (propiedad distributiva de la suma y el producto por unescalar).

3 , K, x E (+) x = x+ x (propiedad distributiva de la suma de escalares y el productopor un escalar).

4 , K, x E ( ) x = ( x).5 x E 1 x = x.

Tambin es habitual obviar la estructura (E,+, ) y referirse simplemente al Kev E. Si E es un Kev y x E, sedice que x es un vector de E.

Ejemplo 20. El conjuntoKn, n N, con las operaciones suma y producto por un escalar definidas como K,x,y Kn, si x = (x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) entonces x + y = (x1 + y1, . . . , xn + yn) y x =(x1, . . . , xn), tiene estructura de Kev. El elemento neutro para la suma es el vector nulo, 0 = (0, . . . , 0), y elelemento opuesto para la suma del vector x = (x1, . . . , xn) es el vector x = (x1, . . . ,xn)Ejemplo 21. El conjunto K[x] de todos los polinomios con coeficientes en el cuerpo conmutativo K, con lasoperaciones suma y producto por un escalar definidas como K, p, q K[x], si x K p(x) = a0 + a1x+. . .+anxn y q(x) = b0+ b1x+ . . .+ bmxm entonces x K (p+ q)(x) = (a0+ b0)+ (a1+ b1)x+ . . .+(an+bn)xn + bn+1xn+1 + . . .+ bmxm y ( p)(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn, donde, sin prdida de generalidad,se ha supuesto que m > n, tiene estructura deKev. El elemento neutro para la suma es el polinomio nulo, es decir,la funcin 0 : K K, tal que x K 0(x) = 0, y el elemento opuesto para la suma del polinomio p tal quex K p(x) = a0 + a1x+ . . .+ anxn es el polinomio p tal que x K (p)(x) = a0 a1x . . . anxn.Ejemplo 22. El conjuntoKn[x], n N, de todos los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes enel cuerpo conmutativo K, con las operaciones suma y producto por un escalar definidas de forma anloga a comose ha hecho en el ejemplo anterior, tiene estructura de Kev.

Ejemplo 23. El conjunto MK(n m) de todas las matrices de n filas y m columnas con coeficientes en elcuerpo conmutativo K, con las operaciones suma de matrices y producto de un escalar por una matriz tal comose describieron en la Definicin 2, tiene estructura de Kev. El elemento neutro para la suma es la matriz nula0nm MK(nm) tal que [0nm]ij = 0, y el elemento opuesto para la suma de la matriz A MK(nm) esla matriz A MK(nm) tal que [A]ij = aij .Observacin 4. Los Ejemplos del 20 al 23 evidencian que los elementos de un conjunto al que se ha dotadode la estructura de espacio vectorial pueden ser de naturaleza muy diferente. Pueden ser simplemente n-uplasordenadas de escalares (es decir, vectores, segn la nomenclatura habitual en los estudios preuniversitarios y enotras disciplinas como la Fsica), pero tambin pueden ser, por ejemplo, funciones o matrices. El trmino vectorpuede aplicarse a los elementos de cualquier espacio vectorial, si bien es frecuente referirse a los elementos de losespacios vectoriales Kn[x] y MK(nm) manteniendo los nombres de polinomios y matrices, respectivamente.Proposicin 12. Sea E un Kev. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1 x E 0 x = 0E .2 K 0E = 0E .3 K, x E ( x) = () x = (x).4 K, x,y E (x+ (y)) = x+ (( y)).


5 , K, x E ( ) x = x+ (( x)).6 x = 0E = { = 0 x = 0E}.

Demostracin. Se deja como ejercicio para el lector.

Definicin 14. Sea E un Kev y F E. Se dice que F es un subespacio vectorial (sev) de E cuando se verificanlas siguientes condiciones:

1. 0E F.2. K, x,y F = x+ y F.

Observacin 5. Es fcil ver que un sev F de un Kev E con la operacin + de E restringida a F F y laoperacin de E restringida a K F es tambin un Kev.Ejemplo 24. Consideremos el Rev R4 con las operaciones definidas en el Ejemplo 20. El conjunto F = {x =(x1, x2, x3, x4) R4 | x1 + x3 = 0, x2 2x4 = 0} es un sev de R4. Para demostrarlo basta ver que elelemento neutro para la suma de R4, 0 = (0, 0, 0, 0), pertenece a F, lo que es trivial puesto que 0 + 0 = 0y 0 2 0 = 0. En segundo lugar, sean R y x = (x1, x2, x3, x4),y = (y1, y2, y3, y4) F. Entoncesse tiene que x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4). Este vector pertenecer a F si y slo six1+ y1+x3+ y3 = (x1+x3)+ (y1+ y3) = 0 y x2+ y2 2(x4+ y4) = (x2 2x4)+ (y2 2y4) = 0,lo que efectivamente se cumple, puesto que x,y F.Ejemplo 25. Consideremos el Cev C2[x] con las operaciones definidas en el Ejemplo 22. El conjunto G = {p C2[x] | a, b C tales que x C p(x) = (ab)+(a+ib)x+(2ab)x2} es un sev deC2[x]. Para demostrarlobasta ver que el elemento neutro para la suma de C2[x], el polinomio nulo 0, pertenece a G, lo que es trivial puestoque x C 0(x) = (00)+(0+i 0)x+(2 00)x2. En segundo lugar, sean C y p, q G. Entonces existena, b, c, d C tales que x C p(x) = (ab)+(a+ ib)x+(2ab)x2 y q(x) = (cd)+(c+ id)x+(2cd)x2.As pues, (p + q)(x) = ((a b) + (a + ib)x + (2a b)x2) + ((c d) + (c + id)x + (2c d)x2) =((a+ c) (b+ d)) + ((a+ c) + i(b+ d))x+ (2(a+ c) (b+ d))x2, de manera que, si definimos losescalares a = a+ c, b = b+ d C, se tiene que x C (p+ q)(x) = (a b) + (a+ ib)x+ (2a b)x2, conlo que p+ q G y G es sev de C2[x].

Ejemplo 26. Los conjuntos F = {p R3[x] | p(0) = 2p(1), p(1) = 0, 10p = 0}, donde p representa la

derivada de p, y G = {A MC(2 2) | A = iAT } son sevs de R3[x] y MC(2 2), respectivamente. Lacomprobacin de este hecho se deja como ejercicio.

Definicin 15. Si E es un Kev y v,x1, . . . ,xn E, se dice que v es combinacin lineal de x1, . . . ,xn cuando 1, . . . , n K tales que v =

ni=1

ixi.

Observacin 6. Es un sencillo ejercicio comprobar que si F es un sev de un Kev E y x1, . . . ,xn F , entoncescualquier combinacin lineal de x1, . . . ,xn pertenece tambin a F . Tambin es inmediato comprobar que 0 Ees siempre combinacin lineal de cualquier sistema finito de vectores de E.

Ejemplo 27. Consideremos el Cev C4. El vector v = (1 + i, 0, 1, 2) C4 es combinacin lineal de los vectoresx = (i, i, 1,2i),y = ( i2 , 12 , 12 i2 , 0) , ya que v = (1 + i, 0, 1, 2) = i(i, i, 1,2i) + 2 ( i2 , 12 , 12 i2 , 0) =ix + 2y. Sea ahora el Rev MR(2 3). La matriz A =

[2 2 00 1 2

] MR(2 3) es combinacin lineal de las

matrices B =[1 1 00 0 0

], C =

[1 1 00 1 2

], D =

[0 0 00 1 2

] MR(2 3), ya que, por ejemplo,

A = 1 B + 1 C + 0 D y A = 0 B + 2 C + 1 D.

33

Definicin 16. Sea E un Kev y x1, . . . ,xn E. Se dice que el sistema de vectores {x1, . . . ,xn} es libre,o, equivalentemente, que los vectores x1, . . . ,xn son linealmente independientes, cuando, si 1, . . . , n K,entonces

ni=1

ixi = 0E 1 = . . . = n = 0.

Si un sistema no es libre se dice que es ligado.

Ejemplo 28. Consideremos el Rev R2[x]. El sistema formado por los polinomios p, q R2[x] tales que x Rp(x) = 1+x+x2 y q(x) = 1x es libre, porque si uno considera la igualdad p+q = 0R2[x], donde , R,encuentra que sta slo puede satisfacerse cuando x R (1+x+x2)+(1x) = (+)+()x+x2 = 0,es decir, cuando + = = = 0, o, equivalentemente, = = 0.Proposicin 13. En las mismas condiciones que en la definicin anterior, si el sistema {x1, . . . ,xn} es libre secumple:

1. xi 6= 0 i {1, . . . , n}.2. xi 6= xj i, j {1, . . . , n}, i 6= j.3. Ninguno de los elementos del sistema es combinacin lineal del resto.

Demostracin. Para el primer punto basta observar que si xi = 0E , K y tomamos j = 0 j {1, . . . , n},j 6= i, i = , entonces

ni=1

ixi = 0E . Por lo que respecta al segundo punto, si xi = xj , i 6= j, entonces tomando

k = 0 k {1, . . . , n}, k 6= i, k 6= j, i = 1, j = 1, se tieneni=1

ixi = 0E . Por ltimo, supongamos sin

prdida de generalidad que x1 es combinacin lineal de x2, . . . ,xn. Entonces i K, i = 2, . . . , n, tales quex1 =

ni=2

ixi, y, tomando i = i i {2, . . . , n}, 1 = 1, resultani=1

ixi = 0E .

Corolario 6. Si un sistema de vectores es ligado hay al menos uno de ellos que es combinacin lineal del resto.

Definicin 17. Sea E un Kev y x1, . . . ,xn E. Es inmediato comprobar que el conjunto F = {v E| v escombinacin lineal de x1, . . . ,xn} es sev de E. A este subespacio vectorial se le denomina subespacio generadopor el sistema {x1, . . . ,xn} y se le representa como x1, . . . ,xnK. Tambin se dice que x1, . . . ,xn generanx1, . . . ,xnK o que constituyen un sistema generador de ese sev.Ejemplo 29. Consideremos el Kev Kn con las operaciones anteriormentes definidas y sea x Kn. Entoncesx1, . . . , xn K tales que x = (x1, . . . , xn) = x1(1, 0, . . . , 0) + x2(0, 1, 0, . . . , 0) + . . . + xn(0, . . . , 0, 1).As pues, si llamamos e1, . . . , en a los vectores (1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 0, 1), respectivamente,tenemos que Kn = e1, . . . , enK.Ejemplo 30. Consideremos elKevKn[x] con las operaciones anteriormentes definidas y sea p Kn[x]. Entoncesa0, . . . , an K tales que x K p(x) = a0+a1x+. . .+anx2.As pues, si llamamos p0, . . . , pn a los polinomiostales que x K p0(x) = 1, p1(x) = x, . . . , pn(x) = xn, respectivamente, tenemos que Kn[x] = p0, . . . , pnK.Ejemplo 31. Consideremos el Kev MK(nm) con las operaciones anteriormentes definidas y sea A MK(nm). Si definimos las n m matrices Mij MK(n m) tales que Mij tiene un 1 en la posicin correspondientea la i-sima fila, j-sima columna, y ceros en el resto de posiciones, es decir, (Mij)ks = ikjs, entonces A =a11 M11 + a12 M12 + . . . + anm Mnm, con lo que MK(n m) = M11, . . . ,MnmK. Por ejemplo, siA MR(22), entoncesA =

[a11 a12a21 a22

]= a11

[1 00 0

]+a12

[0 10 0

]+a21

[0 01 0

]+a22

[0 00 1

],

de manera que MR(2 2) =[

1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

],

[0 00 1

]K.


Ejemplo 32. El sev F R4 presentado en el Ejemplo 24 es el subespacio generado por los vectores v =(1, 0, 1, 0),w = (0, 2, 0, 1) R4. Para comprobarlo, observemos que x = (x1, x2, x3, x4) F si y slo six1 + x3 = 0, x2 2x4 = 0. Resolviendo este sistema de dos ecuaciones lineales con cuatro incgnitas se obtieneque x = (x1, x2, x3, x4) F si y slo si existen dos escalares , R tales que x1 = , x2 = 2, x3 =, x4 = . As pues, x F si y slo si , R tales que x = (, 2, , ) = (1, 0, 1, 0)+(0, 2, 0, 1), esdecir, si y slo si x es combinacin lineal de v,w.

Ejemplo 33. El sev G C2[x] presentado en el Ejemplo 25 es el subespacio generado por los polinomiosr, s C2[x] tales que x C r(x) = 1 + x + 2x2 y s(x) = 1 + ix x2. Basta observar que G = {p C2[x] | a, b C tales que x C p(x) = (a b) + (a + ib)x + (2a b)x2} = {p C2[x] | a, b C tales que x C p(x) = a(1 + x + 2x2) + b(1 + ix x2)} = {p C2[x] | p es combinacin lineal der, s} = r, sC.Proposicin 14. SeaE unKev. Los vectores v1, . . . ,vm E son combinacin lineal de los vectores x1, . . . ,xn E si y slo si v1, . . . ,vmK x1, . . . ,xnK.Demostracin. Veamos en primer lugar que si w es combinacin lineal de v1, . . . ,vm entonces tambin es com-

binacin lineal de x1, . . . ,xn. Supongamos, por tanto, que 1, . . . , m K tales que w =mi=1

ivi. Sabemos

que i {1, . . . ,m} i1, . . . , in K tales que vi =nj=1

ijxj . Eso implica que w =mi=1

i

(nj=1

ijxj

),

y, reordenando y agrupando trminos, que w =nj=1

(mi=1

iij

)xj , con lo que w x1, . . . ,xnK. Recpro-

camente, si v1, . . . ,vmK x1, . . . ,xnK, entonces cada uno de los vi x1, . . . ,xnK, lo que concluye lademostracin.

Proposicin 15. Sean E un Kev, x1, . . . ,xn E y F = x1, . . . ,xnK. Si el sistema de vectores {x1, . . . ,xn}es ligado, entonces es posible obtener un nuevo sistema generador de F con n 1 vectores.Demostracin. Si el sistema {x1, . . . ,xn} es ligado, entonces alguno de sus vectores es combinacin lineal delresto (Corolario 6). Supongamos, sin prdida de generalidad, que x1 es combinacin lineal de x2, . . . ,xn. Entoncesbasta con observar que todos los vectores del sistema x1, . . . ,xn son combinacin lineal de los n 1 vectoresx2, . . . ,xn y recordar la Proposicin 14, puesto que es obvio que x2, . . . ,xnK x1, . . . ,xnK.

1.4. Espacios vectoriales de dimensin finita

Definicin 18. Sea E un Kev. Si x1, . . . ,xn E tales que E = x1, . . . ,xnK, entonces decimos que E es unKev de dimensin finita (Kevdf). Es decir, E es un Kevdf si es el subespacio generado por una cantidad finita devectores.

Ejemplo 34. En virtud de lo que se ha visto en los Ejemplos 29, 30 y 31, los Kevs Kn, Kn[x] y MK(n m),dotados de sus respectivas operaciones habituales, son Kevdfs.

Definicin 19. Sea E un Kevdf y B = {x1, . . . ,xn} un sistema libre de n vectores de E. Si E = x1, . . . ,xnK,entonces decimos que B es una base de E.

Ejemplo 35. Es sencillo comprobar que los sistemas {e1, . . . , en}, {p0, . . . , pn} y {M11, . . . ,Mnm}, presentadosen los Ejemplos 29, 30 y 31, son libres, con lo que constituyen bases de los Kevdfs Kn, Kn[x] y MK(n m),respectivamente. Estas bases se denominan bases cannicas de cada uno de esos espacios vectoriales.

Teorema 4. Si E es un Kevdf, E 6= {0}, entonces E tiene alguna base.

35

Demostracin. Por definicin, si E es un Kev entonces x1, . . . ,xn E tales que E = x1, . . . ,xnK. Si elsistema {x1, . . . ,xn} es libre entonces es una base de E. Si, por el contrario, el sistema es ligado, entonces unode sus vectores debe ser combinacin lineal del resto y se puede obtener un nuevo sistema generador de E conn 1 vectores (Proposicin 15). Repitiendo este procedimiento recursivamente encontraramos una base de Esalvo que tuviramos que eliminar n 1 de los vectores originales x1, . . . ,xn y el ltimo que nos quedase fuese0. Sin embargo, eso no es posible en las condiciones que establece el enunciado de este Teorema. En efecto, si 0fuese el nico superviviente despus del proceso de eliminacin, entonces el ltimo vector que habramos retiradosera una combinacin lineal de l, es decir, tambin sera 0, el penltimo vector que habramos retirado habrasido combinacin lineal de los vectores del sistema 0,0, con lo que tambin sera 0, y, razonando por induccin,los n vectores del sistema generador original seran 0, con lo que tendramos E = {0}.Ejemplo 36. Consideremos el Rev R3 y el sev generado por los vectores x1 = (1, 1, 1),x2 = (2, 1, 2),x3 =(1, 0, 1), esto es, el sev F = x1,x2,x3R. Los vectores x1,x2,x3 constituyen un sistema generador de F, perono son base porque, en particular, x2 = x1 + x3. Como x2 es combinacin lineal del resto de los vectores delsistema generador, podemos eliminarlo y seguimos teniendo un sistema generador, de manera que F = x1,x3R.Supongamos ahora que x1 + x3 = 0 R3, , R. Entonces ( + , , + ) = (0, 0, 0), de forma que+ = = 0, con lo que = = 0 y los vectores x1,x3 forman un sistema libre, constiyuyendo, por tanto, unabase de F. Este procedimiento de obtencin de una base a partir de un sistema generador es perfectamente correcto,pero en la prctica suele resultar tedioso. Intente el lector, por ejemplo, encontrar mediante esta tcnica una basedel sev G = (1, 0, 1, 0,1, 1), (2, 1, 2, 1, 0, 2), (1, 1, 1, 1, 1, 1), (3, 1, 3, 1,1, 3), (0, 1, 0, 1, 2, 0)R R6. Unode los principales objetivos del resto de esta seccin es desarrollar un procedimiento alternativo ms gil paracalcular bases de sevs.

Proposicin 16. Sea E un Kevdf y B = {x1, . . . ,xn} una de sus bases. Entonces cualquier vector v E puedeponerse como combinacin lineal de x1, . . . ,xn de forma nica.

Demostracin. Sea v E y supongamos que existen dos colecciones de escalares 1, . . . , n K, 1, . . . , n K tales que v =

ni=1

ixi =ni=1

ixi. Entonces serni=1

(i i)xi = 0E , pero como el sistema {x1, . . . ,xn} eslibre eso implica que 1 1 = . . . = n n = 0, y, por tanto, que 1 = 1, . . . , n = n.Definicin 20. Sea E un Kevdf, B = {x1, . . . ,xn} una de sus bases, v K y 1, . . . , n K los nicosescalares que satisfacen la igualdad v =

ni=1

ixi. Entonces se dice que 1, . . . , n son las coordenadas de v en la

base B. El vector de Kn que contiene esas coordenadas, (1, . . . , n), se denota por vB .

Ejemplo 37. En el contexto del Ejemplo 36, puesto que B = {x1,x3} es una base del sev F y sabemos quex2 = x1 + x3, entonces es (x2)B = (1, 1) R2. Para comprobar que no hay ningn otro par de escalares, R que satisfagan la igualdad (2, 1, 2) = x2 = x1 + x3 = (1, 1, 1) + (1, 0, 1) = ( + , , + )basta observar que el sistema de ecuaciones lineales + = 2, = 1 es compatible determinado con solucinnica = = 1.

Lema 1. Sean E un Kevdf, B = {x1, . . . ,xn} una base de E y v,w1, . . . ,wm K. Entonces se tiene que v escombinacin lineal de w1, . . . ,wm si y slo si vB es combinacin lineal de (w1)B , . . . , (wm)B .

Demostracin. Supongamos que vB = (v1, . . . , vn), (wi)B = (wi1, . . . , win), i = 1, . . . ,m, y 1, . . . , m Ktales que v =

mi=1

iwi. Entonces se tiene quenj=1

vjxj =mi=1

i

(nj=1

wijxj

), con lo que, reordenando y

reagrupando trminos,nj=1

(vj

mi=1

iwij

)xj = 0E . Dado que x1, . . . ,xn son linealmente independientes, eso

implica que j {1, . . . , n} es vj =mi=1

iwij , y, en consecuencia, que el vector vB es combinacin lineal de


los vectores (w1)B , . . . , (wm)B . Recprocamente, supongamos que 1, . . . , m K tales que vB =mi=1

iwB .

Entonces j {1, . . . , n} tenemos que vj =mi=1

iwij , de manera que v =nj=1

vjxj =nj=1

(mi=1

iwij

)xi =

mi=1

i

(nj=1

wijxj

)=

mi=1

iwi y, por tanto, v es combinacin lineal de w1, . . . ,wm.

Ejemplo 38. Consideremos el Cevdf F = p, qC C3[x], donde x C p(x) = i x2 y q(x) = ix x3. Essencillo comprobar que p, q forman un sistema libre, con lo que constituyen una base de F a la que llamaremosB. El polinomio r C3[x] tal que x C r(x) = i + 2ix x2 2x3 pertenece a F, ya que r = p + 2q. Enconsecuencia tambin se cumple que (r)B = (1, 2) = (1, 0) + 2(0, 1) = (p)B + 2(q)B C2, y, si llamamos C ala base cannica de C3[x], que (r)C = (i, 2i,1,2) = (i, 0,1, 0) + 2(0, i, 0,1) = (p)C + 2(q)C C4.Definicin 21. Consideremos una matriz A MK(n m). Con los coeficientes de cada fila de A podemosconstruir un vector de Km. De la misma manera, con los coeficientes de cada columna de A podemos construir unvector de Kn. Llamamos vector fila y vector columna de A, respectivamente, a cada uno de esos vectores.

Ejemplo 39. Sea A =[2 2 00 1 2

] MR(2 3). Entonces el segundo vector fila de A es (0, 1, 2) R3 y el

primer vector columna de A es (2, 0) R2.Proposicin 17. SeaE unKevdf,B una de sus bases, v1, . . . ,vm E, y construyamos la matrizA MK(nm)tal que [A]ij = vji, donde vkl representa la l-sima coordenada de vk en la base B. Entonces {v1, . . . ,vm} esun sistema libre si y slo si rgfA = m. Ntese que los vectores columna de A contienen las coordenadas de losvectores v1, . . . ,vm en la base B, es decir, son los vectores (v1)B , . . . , (vm)B .

Demostracin. El sistema {v1, . . . ,vm} es libre si y slo si la nica forma de conseguir que sea cierta la igual-dad

mi=1

ivi = 0E con 1, . . . , m K es tomando 1 = . . . = m = 0. Es inmediato ver que todas lascoordenadas de 0E son nulas en cualquier base de E, de manera que, en virtud del Lema anterior, el sistema

{v1, . . . ,vm} es libre si y slo si los nicos escalares 1, . . . , m K que satisfacenmi=1

i(vi1, . . . , vin) =(mi=1

ivi1, . . . ,mi=1

ivin

)= (0, . . . , 0) son 1 = . . . = m = 0, o, equivalentemente, si y slo si el sistema

de n ecuaciones lineales con m incgnitasmi=1

vjij = 0, j = 1, . . . , n, es compatible determinado, y, por tanto,

recordando el teorema de Rouch-Frobenius, rgfA = m.

Ejemplo 40. SeaC la base cannica delRevdfR3[x]. Los polinomios p, q, r R3[x] tales que x R p(x) = 1+x+x3, q(x) = x+x2 y r(x) = x3 forman un sistema libre porque (p)C = (1, 1, 0, 1), (q)C = (0, 1, 1, 0), (r)C =(0, 0, 0, 1),

1 0 01 1 00 1 01 0 1

f2 f1

f4 f1

1 0 00 1 00 1 00 0 1

f3 f2

1 0 00 1 00 0 00 0 1

,y es claro que el rango por filas de la ltima matriz es 3.

Ejemplo 41. La proposicin anterior resulta til cuando se pretende encontrar qu condiciones deben cumplir lascoordendas de un vector en una determinada base de unKevdfE para pertenecer a un sev F E. Recordemos unavez ms los sevs F = {x = (x1, x2, x3, x4) R4 | x1 + x3 = 0, x2 2x4 = 0} y G = {p C2[x] | a, b C tales que x C, p(x) = (ab)+(a+ib)x+(2ab)x2} presentados en los Ejemplos 24 y 25, respectivamente.

37

Si llamamos C1 a la base cannica deR4, tenemos que un vector x R4 pertenece a F si y slo si sus coordenadasen la base C1 son solucin del sistema homogneo x1 + x3 = 0, x2 2x4 = 0. Estas ecuaciones se denominanecuaciones implcitas del sev F en la base C1. Por otra parte, si C2 es la base cannica de C2[x], entonces tenemosque G = {p C2[x] | a, b C tales que , (p)C2 = (a b, a+ ib, 2a b)}. Es decir, si 1, 2, 3 C son lascoordenadas en la base C2 de un polinomio genrico p C2[x], entonces p G si y slo si a, b C tales que1 = a+b, 2 = a+ib, 3 = 2ab. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones paramtricas del sev G en la baseC2. En el Ejemplo 32 obtuvimos unas ecuaciones paramtricas para el sev F en la base C1 resolviendo el sistemaformado por sus ecuaciones implcitas en esa base. En efecto, vimos que x = (x1, x2, x3, x4) F si y slo si, R tales que x1 = , x2 = 2, x3 = , x4 = . Este procedimiento es general, y permite obtener unasecuaciones paramtricas para un sev a partir de unas ecuaciones implcitas del mismo. Veamos ahora cmo obtenerunas ecuaciones implcitas para un sev si se conocen unas ecuaciones paramtricas del mismo. Observemos queG = {p C2[x] | a, b C tales que , (p)C2 = a(1, 1, 2) + b(1, i,1) = a(r)C2 + (s)C2}, donde x Cr(x) = 1 + x+ 2x2 y s(x) = 1 + ix x2, con lo que {r, s} es un sistema generador de G, como ya habamosvisto en el Ejemplo 33. En virtud de la Proposicin 17, podemos afirmar que r, s son linealmente independientes(lo cual, por otra parte, resulta obvio en este caso), ya que 1 11 i

2 1

f2 f1f3 2f1

1 10 1 + i0 1

f3 (1 + i)f2 1 10 1 + i

0 0

y el rango por filas de la ltima matriz es 2, de manera que r, s constituyen una base de G. Supongamos ahora quep G. Entonces p debe ser combinacin lineal de r, s, con lo que el sistema de vectores {r, s, p} debe ser ligado,

y, por tanto, si (p)C2 = (1, 2, 3), entonces la matriz

1 1 11 i 22 1 3

no puede tener rango por filas igual a 3(aqu estamos volviendo a aplicar la Proposicin 17). Ahora bien, si hacemos 1 1 11 i 2

2 1 3

f2 f1f3 2f1

1 1 10 1 + i 2 10 1 3 21

f3 (1 + i)f2 1 1 10 1 + i 2 1

0 0 (i 1)1 (1 + i)2 + 3

,tenemos que la nica forma de que el rango de la ltima matriz no sea 3 es que (i 1)1 (1 + i)2 + 3 = 0,lo que proporciona un sistema de ecuaciones implcitas (en este caso con una sola ecuacin) para G en la base C2.Terminemos con otro ejemplo de aplicacin de esta tcnica. Si H = (0, 1, 0, 1, 2, 0), (2, 0, 2, 1, 0, 2)R R6 yllamamos x1, x2, x3, x4, x5, x6 a las coordenadas de un vector genrico x R6 en la base cannica de R6, C3,entonces haciendo

0 2 x11 0 x20 2 x31 1 x42 0 x50 2 x6

f4 f2

f5 2f1

0 2 x11 0 x20 2 x30 1 x4 x20 0 x5 2x20 2 x6

f1 2f4f3 2f4

f6 2f4

0 0 x1 + 2x2 2x41 0 x20 0 2x2 + x3 2x40 1 x4 x20 0 x5 2x20 0 2x2 2x4 + x6

comprobamos que los vectores (0, 1, 0, 1, 2, 0), (2, 0, 2, 1, 0, 2) son linealmente independientes y, por tanto, base deH, y obtenemos las siguientes ecuaciones implcitas para H en la base C3 : x1+2x22x4 = 0, 2x2+x32x4 =0, 2x2 2x4 + x6 = 0.


Teorema 5. Sea E un Kevdf y B1 = {v1, . . . ,vn}, B2 = {w1, . . . ,wm} dos bases de E. Entonces n = m (esdecir, todas las bases de un mismo Kevdf tienen la misma cantidad de elementos).

Demostracin. Consideremos las matrices A1 MK(n m), A2 MK(m n), donde los vectores columnade A1 son los vectores (v1)B2 , . . . , (vn)B2 y los vectores columna de A2 son los vectores (w1)B1 , . . . , (wm)B1 .Como el sistema {v1, . . . ,vn} es libre, se deduce de la proposicin anterior que rgfA1 = n, con lo que m n(Corolario 9). Por otra parte, como el sistema {w1, . . . ,wm} tambin es libre tenemos que rgfA2 = m y n m,lo que concluye la demostracin.

Definicin 22. Sea E un Kevdf. Si E = {0} se dice que E tiene dimensin nula, lo que representamos co-mo dimKE = 0. Si E 6= {0} llamamos dimensin de E en K, dimKE, a la cantidad de elementos de unacualquiera de sus bases. Adems, si x1, . . . ,xm E, se llama rango en K del sistema de vectores {x1, . . . ,xm},rgK{x1, . . . ,xm}, a la dimensin del subespacio que generan, es decir, rgK{x1, . . . ,xm} = dimKx1, . . . ,xmK.

Ejemplo 42. Se tiene que dimKKn = n, dimKKn[x] = n+ 1 y dimKMK(nm) = n m.

Lema 2. Si A,B,C son matrices con coeficientes en K y A = B C, entonces los vectores fila de A soncombinacin lineal de los vectores fila de C y los vectores columna de A son combinacin lineal de los vectorescolumna de B.

Demostracin. Basta con recordar cmo se define el producto de matrices.

Ejemplo 43. Si A =

2 31 11 0

, B = 1 20 11 1

y C = [ 0 11 1], entonces A = B C y se tiene, en

particular, que el primer vector fila de A es combinacin lineal de los dos vectores fila de C, ya que (2, 3) =1(0, 1) + 2(1, 1), y que el segundo vector columna de A es combinacin lineal de los dos vectores columna de B,ya que (3, 1, 0) = 1(1, 0,1) + 1(2, 1, 1).

Proposicin 18. Sea E un Kevdf, B una base de E y {v1, . . . ,vm}, {w1, . . . ,wm} dos sistemas de vectores deE con la misma cantidad de elementos. Construyamos las matrices A1, A2 MK(m n) tales que los vectoresfila de A1 son (v1)B , . . . , (vm)B y los vectores fila de A2 son (w1)B , . . . , (wm)B . Entonces v1, . . . ,vmK =w1, . . . ,wmK si y slo si A1 A2.

Demostracin. Es consecuencia directa de las Proposiciones 8 y 14 y de los Lemas 1 y 2.

Teorema 6. Sea E un Kevdf, n = dimKE, B una base de E, {v1, . . . ,vm} un sistema de vectores de E yA MK(mn) la matriz cuyos vectores fila son (v1)B , . . . , (vm)B . Entonces se verifica que rgK{v1, . . . ,vm} =rgfA.

Demostracin. Consideremos los m vectores w1, . . . ,wm E tales que (w1)B , . . . , (wm)B son los vectoresfila de merf(A), y llamemos wij a la coordenada j-sima de wi en la base B, es decir, a [merf(A)]ij . Por laProposicin anterior, v1, . . . ,vmK = w1, . . . ,wmK. Si r = rgA, entonces las ltimas mr filas de merf(A)son nulas, con lo que w1, . . . ,wmK = w1, . . . ,wrK. Por otra parte, en el contexto de la Proposicin 17,los vectores w1, . . . ,wr son linealmente independientes si y slo si el sistema de n ecuaciones lineales con r

incgnitasri=1

wjij = 0, j = 1, . . . , n, es compatible determinado. Ahora bien, por la estructura de merf(A),

hay r ecuaciones de ese sistema homogneo de las que se deduce directamente que 1 = . . . = r = 0, con loque obtenemos el resultado deseado.

Ejemplo 44. Las dos proposiciones anteriores proporcionan un mtodo til en la prctica para obtener bases deespacios vectoriales de dimensin finita. Consideremos, por ejemplo, el sev G R6 presentado en el Ejemplo 36

39

y sea C la base cannica de R6. Entonces tenemos1 0 1 0 1 12 1 2 1 0 21 1 1 1 1 13 1 3 1 1 30 1 0 1 2 0

f2 2f1f3 f1

f4 3f1

1 0 1 0 1 10 1 0 1 2 00 1 0 1 2 00 1 0 1 2 00 1 0 1 2 0

f3 f2f4 f2

f5 f2

1 0 1 0 1 10 1 0 1 2 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

,

con lo que H = (1, 0, 1, 0,1, 1), (0, 1, 0, 1, 2, 0)R y dimRH = 2, puesto que[1 0 1 0 1 10 1 0 1 2 0

]es

una merf.

Definicin 23. Si A es una matriz de coeficientes en K se define su rango por columnas, rgcA, como rgcA =rgfA

T .

Proposicin 19. Sea A MK(nm). Entonces rgcA = rgfA.Demostracin. Sean r = rgfA y s = rgcA. Por el Teorema 6, r es el rango del sistema de vectores formadopor los n vectores fila de A, y s es el rango del sistema de vectores formado por los m vectores columna de A.Sabemos que existe una matriz inversible B MK(nn) tal que A = B merf(A) (Corolario 5). Consideremosahora la matriz B MK(nr) obtenida eliminando las ltimas nr columnas de B y la matriz C MK(rm)obtenida eliminando las ltimas n r filas de merf(A). Como las ltimas n r filas de merf(A) son nulaspodemos afirmar que A = B C, de manera que los m vectores columna de A son combinacin lineal de losr vectores columna de B (Lema 2) y s r (Proposicin 14). De la misma manera, existe una matriz inversibleD MK(mm) tal que AT = D merf(AT ) y podemos razonar que r s.Corolario 7. En la Proposicin 17 la matriz A MK(nm) tal que [A]ij = vji puede reemplazarse por la matrizA MK(m n) tal que [A]ij = vij , anloga a las que se han utilizado en las proposiciones posteriores, y, engeneral, por lo que respecta a la determinacin de rangos, puede trabajarse indistintamente con una matriz y consu traspuesta.

Observacin 7. En lo que sigue escribiremos simplemente rgA para referirnos tanto a rgfA como a rgcA.

Ejemplo 45. Se tiene que

A =

1 0 1 00 1 0 11 1 1 1

f3 f1 1 0 1 00 1 0 1

0 1 0 1

f3 f2 1 0 1 00 1 0 1

0 0 0 0

,de manera que rgfA = 2. Por otra parte,

AT =

1 0 10 1 11 0 10 1 1

f3 f1

1 0 10 1 10 0 00 1 1

f4 f2

1 0 10 1 10 0 00 0 0

,de manera que rgcA = 2. Segn la Proposicin 19 este resultado es general, y decimos simplemente rgA = 2.Finalmente, en el contexto del Ejemplo 40, para ver que los polinomios p, q, r son linealmente independientesbasta ver que la matriz 1 1 0 10 1 1 0

0 0 0 1

,tiene rango 3, lo que resulta inmediato.


Teorema 7. Sea E un Kevdf, n = dimKE y F E un sev de E. Entonces F es un Kevdf y dimKF n.Demostracin. Si F = {0E}, entonces F = 0EK y dimKF = 0 n. En caso contrario, F contiene algnvector x 6= 0E y, por tanto, algn sistema libre. Consideremos ahora todos los sistemas libres de F y llamemosp N a la cantidad de vectores de uno de los sistemas libres de F con mayor cantidad de vectores. Entonceses posible encontrar un sistema libre {x1, . . . ,xp} formado por p vectores de F. Para ver que F es un Kevdfbasta con demostrar que F = x1, . . . ,xpK. Supongamos en primer lugar que v x1, . . . ,xpK. Como todoslos xi pertenecen a F y F es sev, entonces v F (Definicin 14 y Observacin 6). Por otra parte, debemosver que si v F entonces v x1, . . . ,xpK. Consideremos el sistema de vectores de F {x1, . . . ,xp,v} y laecuacin 1x1 + . . . + pxp + v = 0. Si todas las colecciones de escalares 1, . . . , p, K que satisfacenla ecuacin cumplieran = 0, entonces la ecuacin slo tendra solucin si 1 = . . . = p = = 0, puestoque el sistema {x1, . . . ,xp} es libre. Pero eso implicara que el sistema {x1, . . . ,xp,v} es libre y p no sera lacantidad de vectores de uno de los mayores sistemas libres de F. Por tanto, hay alguna solucin con 6= 0 y ves combinacin lineal de x1, . . . ,xp. Entonces es claro que dimKF = p. Finalmente, comprobemos que p n.Para ello basta ver que si B es una base de E y A es la matriz cuyos vectores fila contienen las coordenadas de losvectores x1, . . . ,xp en la base B, entonces A MK(p n) y rgA = p (Proposicin 6), de manera que n p.Proposicin 20. Sea E un Kevdf, n = dimKE y {x1, . . . ,xr} un sistema libre de vectores de E. Entonces esposible encontrar n r vectores v1, . . . ,vnr E de forma que el sistema {x1, . . . ,xr,v1, . . . ,vnr} sea unabase de E.

Demostracin. Sean B = {a1, . . . ,an} una base de E, A MK(r n) la matriz cuyos vectores fila son(x1)B , . . . , (xr)B , y los r vectoresw1, . . . ,wr E tales que (w1)B , . . . , (wr)B son los vectores fila demerf(A).Como el sistema {x1, . . . ,xr} es libre, merf(A) no tiene filas nulas (Teorema 6) y el sistema {w1, . . . ,wr} eslibre. Adems, debido a la especial estructura de merf(A), resulta sencillo (ver Ejemplo 46) encontrar las coorde-nadas en la base B de nr vectores v1, . . . ,vnr E de manera que el sistema {w1, . . . ,wr,v1, . . . ,vnr} sealibre y, por tanto, base de E. Ahora bien, como x1, . . . ,xrK = w1, . .

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Libro Mates II