Embed Size (px)
Citation preview
Limitaciones de la fısica clasica.Mecanica relativista
Salvador Olivares Campillo [email protected]
c© 28 de noviembre de 2001
#
Indice General
1 Limitaciones de la fısica clasica 11.1 El experimento de Michelson . . . . . . . 5
1.2 Aberracion estelar . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Efecto Doppler: corrimiento al rojo . . . . 21
2 Cinematica 292.1 Postulados de la relatividad especial . . . 29
2.2 Simultaneidad y tiempo . . . . . . . . . . 33
2.3 Longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Contraccion de Lorentz y dilatacion del tiem-
po . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 Tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6 Intervalos temporales y espaciales . . . . . 48
2.7 La transformacion de Lorentz . . . . . . . 55
2.8 Transformacion de la velocidad y aberra-
cion de la luz . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.9 Efecto Doppler relativista . . . . . . . . . 65
2.10 Tetravectores . . . . . . . . . . . . . . . 73
3 Mecanica relativista 803.1 Momento lineal . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2 Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3 Energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 Transformacion de la energıa y el momento
lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5 Dualidad onda-corpusculo y efecto Doppler 92
3.6 Desintegracion de las partıculas . . . . . . 96
4 Aplicacion didactica 994.1 Relacion con el curriculo . . . . . . . . . 99
4.2 Objetivos didacticos . . . . . . . . . . . 101
4.3 Orientaciones . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Teorıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.1 Experimento de Michelson . . . . 105
4.4.2 Postulados de la teorıa especial . . 106
4.4.3 Dilatacion del tiempo y contraccion
de la longitud . . . . . . . . . . . 106
4.4.4 Transformacion de la velocidad . . 107
4.4.5 Momento lineal y energıa . . . . . 108
4.4.6 Energıa de enlace . . . . . . . . . 108
4.4.7 Fotones . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5 Cuestiones y problemas . . . . . . . . . . 110
4.6 Textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Indice de Tablas
1 Receptor en reposo en el eter. . . . . . . 23
2 Receptor en movimiento respecto al eter. . 23
3 Sucesos y movimiento longitudinal. . . . . 35
4 Sucesos y movimiento transversal. . . . . 37
5 Efecto Doppler longitudinal (corrimiento al
rojo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1
1 Limitaciones de la fısica clasica
Entre las dificultades con que se encuentra la fısica clasica
(prerrelativista) estan las que se enumeran a continuacion.
1. Las leyes de la mecanica toman la misma forma al pa-
sar de un sistema de referencia inercial a otro mediante
la transformacion de Galileo (principio de relatividad
de Galileo). El que no ocurra igual con las leyes de
Maxwell parece ir en contra de un principio de relativi-
dad mas general, y sugiere un camino para determinar
si un sistema esta en reposo o en movimiento con
respecto al eter, el medio en el que las ondas electro-
magneticas tienen la velocidad c que se desprende de
las ecuaciones de Maxwell.
2. Con la fısica clasica, la aberracion de la luz se explica
por el movimiento de la Tierra a traves del eter (vease
2
la seccion 1.2); por contra, el resultado nulo del expe-
rimento de Michelson (seccion 1.1) parece indicar que
tal movimiento no existe.
3. La contraccion de FitzGerald-Lorentz es una salida
aparente (es una teorıa ad hoc) a la contradiccion;
pero el efecto Doppler para la luz —sobre todo el
transversal— es un fenomeno que guarda una rela-
cion con el tiempo analoga a la del experimento de
Michelson con la longitud. Ademas, es un hecho com-
probado que la desintegracion de partıculas (como la
de los mesones µ, por ejemplo) transcurre mucho mas
lentamente cuando se mueven a velocidades proximas
a la de la luz, como si sus “relojes” atrasaran, lo que
tambien va en contra de la hipotesis del tiempo abso-
luto, uno de los fundamentos de la mecanica clasica.
4. Por otro lado, existe una velocidad lımite, lo que, claro
3
esta, no es compatible con la ley de composicion de
velocidades de la mecanica clasica, que se basa en la
hipotesis del tiempo absoluto. Esta velocidad lımite,
que es igual a la de la luz en el vacıo, se puede encon-
trar con facilidad acelerando electrones, ya que estas
partıculas tienen una relacion carga/masa muy favo-
rable que permite que alcancen enseguida velocidades
de miles de kilometros por segundo, bastando diferen-
cias de potencial de tan solo unos cientos de voltios
entre el catodo y el anodo de un tubo de vacıo. Sin
embargo, la proporcionalidad inicial entre la energıa y
el cuadrado de la velocidad desaparece en cuanto la
velocidad del electron deja de ser despreciable frente
a la velocidad lımite, llegando un momento en que su-
cesivos aportes de energıa, incluso de gran magnitud
(de varios MeV), apenas encuentran respuesta en la
4
velocidad del electron (vease la seccion 3.3).
5. Cuando las velocidades no son pequenas (comparadas
con la de la luz), los choques elasticos dejan de seguir
las leyes de la mecanica clasica. Ası, el angulo con el
que se separan dos partıculas iguales despues del cho-
que, en el sistema en el que una estaba inicialmente
en reposo, no es recto. El angulo se reduce, casi como
si la masa de la partıcula incidente fuese mayor que
la del blanco, y no igual. Este efecto se observo por
primera vez con electrones rapidos (partıculas β) cho-
cando con los de los atomos del aire de una camara
de niebla.
6. No se cumple la ley de conservacion de la masa: la ma-
sa1 de un cuerpo compuesto no es la suma de las ma-1Por masa se entendera la masa en reposo. Veanse [18] y [1].
5
sas de las partes que lo componen. Ası, por ejemplo,
en la desintegracion espontanea de un nucleo atomico
de masa M en otros dos de masas m1 y m2, resulta
que
M > m1 + m2.
1.1 El experimento de Michelson
Este experimento se llevo a cabo por primera vez en 1881.
Sea V′ la (supuesta) velocidad de la Tierra a traves del
eter; la del eter con respecto a la Tierra es, por tanto,
V = −V′. Se va a hacer la suposicion de que el experi-
mento se realiza con esta velocidad en el plano que definen
los brazos del interferometro2 de Michelson, de longitudes2Lo que no ocurre necesariamente; pero estos experimentos se
han repetido muchas veces, en diferentes epocas del ano, a dis-tintas horas del dıa y de la noche y con diferentes orientaciones
6
l1 y l2 y a lo largo de los cuales se toman los ejes cartesianos
X e Y . Y sea θ el angulo del vector V′ = V ′(cos θ, sen θ)
(V ′ = V ) con la direccion del primer brazo. Se considerara
primero la luz yendo desde el espejo semiplateado hasta el
del extremo del primer brazo, recorriendo la longitud l1.
(Los calculos se haran tomando la velocidad de la luz co-
mo unidad3).
Considerando el sistema (S) en el que el laboratorio
del aparato.3Al reducir la unidad de tiempo desde el segundo a
1/299 792 458 segundos, el valor numerico de la velocidad dela luz en las formulas SI se hace la unidad, y se simplificanmucho las expresiones. Para volver a las formulas SI hay queaumentar la unidad de tiempo hasta el segundo, una unidad quees 299 792 458 veces la anterior, con lo que los tiempos SI ten-dran valores numericos menores 299 792 458 veces. Se ve quehay que multiplicar los valores numericos de los tiempos SI porel de c para igualarlos a los de las expresiones con c = 1; en
7
se encuentra en reposo en un cierto instante, se puede
pensar que la luz se mueve con respecto al eter (sistema
S ′) y, a la vez, es arrastrada con el. Hay un “viento de
eter” en el laboratorio y v = v′+V. Para que la luz vaya
precisamente a lo largo del primer brazo con una velocidad
v1, su velocidad respecto al eter debe formar un cierto
ellas, en la transformacion, hay que reemplazar
t por ct.
Pero esto no solo hay que hacerlo con los tiempos como tales;debe recordarse que los valores numericos de otras muchas mag-nitudes tambien cambiaron al pasar a las formulas con c = 1. Es-tas magnitudes son todas las que en sus dimensiones (SI) tienenel tiempo. Ası, por ejemplo, como [E] = ML2/T2 y [v] = L/T ,de E = m se vuelve a E/c2 = m o E = mc2, y de vx =(v′x + V )/(1 + V v′x) se pasa a vx/c = (v′x/c + V/c)/(1 + V v′x/c
2)o vx = (v′x + V )/(1 + V v′x/c
2).
8
angulo φ con el, de manera que
1(cos φ, sen φ) + (−V cos θ, −V sen θ) = (v1, 0) (1)
y, por tanto,
v1 = cos φ− V cos θ =√
1− V 2 sen2 θ − V cos θ. (2)
Es facil ver que a la vuelta, despues de reflejarse en el
espejo, la velocidad de la luz con respecto al laboratorio
es √1− V 2 sen2 θ + V cos θ, (3)
por lo que el tiempo de ida y vuelta a lo largo del primer
9
brazo resulta, finalmente:
t1 =l1√
1− V 2 sen2 θ − V cos θ+
l1√1− V 2 sen2 θ + V cos θ
=2l1√
1− V 2 sen2 θ
1− V 2. (4)
Los razonamientos para el otro brazo se simplifican obser-
vando que V′ forma el angulo π2 − θ con el, en vez de el
θ. Como el seno de un angulo es igual al coseno de su
complementario, se tiene, sin mas, que
t2 =2l2√
1− V 2 cos2 θ
1− V 2(5)
es el tiempo de ida y vuelta por el segundo brazo.
Observese que para θ = 0, esto es, para el viento de
eter en contra del primer brazo, t1 es mayor que t2 para
10
un interferometro de brazos son iguales. En general, la
diferencia4 es
t1 − t2 = 2l1√
1− V 2 sen2 θ − l2√
1− V 2 cos2 θ
1− V 2. (6)
Girando el interferometro, la diferencia de tiempos (6)
oscilara entre dos valores. El maximo se da cuando sen2 θ =
0 y, por tanto, cos2 θ = 1, lo que corresponde a θ = 0, π:4Para brazos iguales (vease el ejercicio 2-8 de [7, p. 68]), la
diferencia (6) se reduce a
t1 − t2 ≈ l(cos2 θ − sen2 θ
)V 2 = lV 2 cos 2θ,
que en el SI se escribe
t1 − t2 =lV 2
c3 cos 2θ.
La aproximacion tiene en cuenta que V 2 � 1.
11
2l1 − l2
√1− V 2
1− V 2, (7)
Y el mınimo, cuando sen2 θ = 1, lo que hace que cos2 θ =
0 y θ = ±π2 :
2l1√
1− V 2 − l21− V 2
. (8)
La diferencia entre estos valores extremos (observese que
entre uno y otro θ aumenta o disminuye en 90o) es5
2l1 + l2 − (l2 + l1)
√1− V 2
1− V 2, (9)
5En el SI: ∆ = (l2 + l1) V 2 → c∆ = (l2 + l1) (V/c)2 o ∆ =(l2 + l1) V 2/c3.
12
igual a
2(l1 + l2)
(1
1− V 2− 1√
1− V 2
)≈
2(l1 + l2)[1 + V 2 − (1 +1
2V 2)] =
(l2 + l1) V 2, (10)
y deberıa originar un cierto corrimiento de las franjas de
interferencia (vease [10, p. 688])6, igual a
δ =(l2 + l1) V 2
T, (11)
donde T es tal que 1 = c = λ/T , siendo λ la longitud de
onda de la luz visible que se emplee.6Los espejos de los brazos no son exactamente perpendiculares
entre sı, y por ello se obtienen franjas como las que da un prismade aire de angulo muy pequeno.
13
Con luz de longitud de onda de 600 nm, unos brazos
cercanos a los 1.2 m (experimento de 1881) y una veloci-
dad igual a la de la Tierra en su orbita alrededor del Sol
(V = 30/300000 = 10−4), se calcula un desplazamiento
de unas 0.04 franjas:
δ =2.4× 10−8
6× 10−7= 0.04 (12)
En el experimento de 1887 (Michelson y Morley) se es-
peraba un corrimiento de 0.4, y se habrıa detectado uno
de solo una centesima de franja. El resultado de estos (y
de otros) experimentos fue que no hubo desplazamiento
alguno en el sistema de franjas, como si la Tierra no se
moviera con respecto al eter (V = 0).
Esquematicamente, el experimento de Michelson con-
siste en comparar los tiempos de ida y vuelta de la luz por
los dos brazos, que se pueden suponer iguales, estando uno
14
de ellos dispuesto justamente en contra del viento de eter.
Por este, La velocidad de la luz a la ida es 1 − V y a la
vuelta 1 + V . Por el brazo perpendicular, la velocidad es
el cateto del triangulo con 1 como hipotenusa y V como
el otro cateto, esto es, la velocidad es√
1− V 2 tanto a
la ida como a la vuelta. Los tiempos son, pues,
t1 =l
1− V+
l
1 + V=
2l
1− V 2(13)
y
t2 =2l√
1− V 2, (14)
por lo que la diferencia es
t1 − t2 = 2l
(1
1− V 2− 1√
1− V 2
). (15)
Con la formula del desarrollo del binomio7 es muy facil7(1 + x)n ≈ 1 + nx.
15
obtener
t1 − t2 ≈ 2l
[1 + V 2 − (1 +
1
2V 2)
]= lV 2. (16)
Es aquı donde puede verse que con una contraccion del
primer brazo (t1 > t2) se puede hacer que la diferencia de
tiempos sea cero. Si midiese l√
1− V 2 en vez de l:
t1 =2l√
1− V 2
1− V 2=
2l√1− V 2
= t2. (17)
Esta es la hipotesis ad hoc de la contraccion de FitzGerald-
Lorentz.
Como se ha visto, si el primer brazo formase un angulo
con el viento de eter, se habrıa obtenido lV 2 cos 2θ, por
lo que, girando el aparato la diferencia pasa de un valor
maximo con θ = 0 a un valor mınimo con θ = π/2 (que
es lo que se puede traducir en un corrimiento de franjas).
16
La diferencia entre estos valores extremos de la diferencia
de tiempos es lV 2 − (−lV 2) = 2lV 2.
1.2 Aberracion estelar
La enorme distancia a las estrellas hace despreciables las
dimensiones de la orbita de la Tierra alrededor del Sol y,
por ello, no hay que esperar ningun cambio en la direccion
por la que viene la luz de una estrella por el simple hecho
de situar el planeta en una parte u otra de la orbita. Esta
direccion deberıa ser la de la recta que apunta a la estrella
y su angulo8 θ′ sobre el plano de la eclıptica tendrıa que
ser el mismo todo el ano. Pero, debido a que la Tierra no
esta en reposo en el sistema S ′ en el que lo estan el Sol y8θ′ es el angulo entre esa recta y su proyeccion sobre el plano
de la eclıptica, que es el menor de los angulos entre la recta a laestrella y las del plano.
17
la estrella (esto es, debido a su velocidad, no a su posicion
en la eclıptica), la estrella aparenta describir una pequena
elipse cada ano. Se vera que el eje menor de la elipse
(medido como un angulo que se llamara 2α) depende de
la altura θ′ de la estrella.
En algun momento del ano, la velocidad V′ de la Tierra
apuntara hacia la proyeccion de la estrella en el plano de la
ecıptica9. Con respecto al sistema S en el que la Tierra se
encuentra en ese instante en reposo, es S ′ el que se trasla-
da con la velocidad V = −V′; por tanto, la velocidad de
la luz de la estrella con respecto a S sera la que tiene en
S ′ mas la de S ′, y la estrella se ve con una altura θ menor
que θ′. La composicion de velocidades define un triangulo9Recuerdese que las distancias son tan grandes que la eclıptica
se reduce a un punto. La velocidad de la Tierra es un vectorque gira con el origen en este punto dando una vuelta al ano.
18
en el que se cumple que (recuerdese que c = 1)
V
sen α=
1
sen θ, (18)
siendo α = θ′ − θ el angulo de aberracion.
Si se tiene en cuenta que V � 1, la formula anterior
conduce10 a
α = V sen θ′, (19)
que es la conocida formula elemental de la aberracion de
la luz. (En el SI, α = Vc sen θ′).
Seis meses despues, la velocidad de la Tierra es la opues-
ta, y θ es mayor que θ′ justamente en el α anterior; este
semieje de la elipse mide 2α. En las posiciones interme-
dias entre estas dos, las velocidades son perpendiculares10Como sen θ = sen(θ′−α) = sen θ′ cos α−cos θ′ sen α, la ecua-
cion (18) lleva a V (sen θ′ cos α−cos θ′ sen α) = sen α. Dividiendopor cos α resulta V sen θ′ = (1+V cos θ′) tan α y, por ser V � 1,V sen θ′ ≈ tan α ≈ α.
19
a la recta que se dirige desde la Tierra a la estrella, y el
angulo de aberracion no es hacia arriba o hacia abajo, sino
lateral. La composicion de velocidades en uno de estos
dos instantes da un triangulo rectangulo de catetos 1 y V
(este triangulo es perpendicular al usado antes), con un
angulo de aberracion β tal que
tan β =V
1; (20)
por tanto, como β es pequeno,
β = V. (21)
(Observese que β = V/c en el SI). De este modo se en-
cuentra que el eje lateral de la elipse, que es el mayor11,
no depende de θ′, por lo que deberıa ser el mismo para
todas las estrellas.112β = 2V > 2V sen θ′ = 2α.
20
La aberracion de la luz la descubrio en 1725 el as-
tronomo britanico James Bradley. Sus observaciones de
la estrella γ Dragon, que tiene θ′ = 75o, de 1 de sep-
tiembre a 1 de septiembre, dan una diferencia entre la
altitud maxima y la mınima de 2α = 39.6′′ (con una varia-
cion sinusoidal12). Despejando de 2α = 2V sen θ′, resulta
V = 0.0000994, valor este que permitio a Bradley calcular
un buen valor para la velocidad de la luz, conociendo la de
la Tierra en su orbita (30 km s−1/c = 0.0000994 da una12La orbita de la Tierra es casi circular y su velocidad V
se mantiene casi constante; la componente de la velocidad enla direccion que apunta a la proyeccion de la estrella sobreel plano de la eclıptica es de la forma V cos ωt. De paso,observese que la otra componente es V sen ωt, y que los puntos(β(t), α(t)) = (V sen ωt, V cos ωt sen θ′) son los de una elipse:la de la trayectoria de la aberracion (con x = β, y = α, a = V
y b = V sen θ′ se cumple x2/a2 + y2/b2 = 1).
21
c bastante proxima a los 300 000 km/s).
1.3 Efecto Doppler: corrimiento al rojo
En 1919, estudiando las fotografıas de los espectros de las
galaxias situadas a distancias ya calculadas, Hubble des-
cubrio que estas galaxias se alejan de la Tierra con una
velocidad proporcional a la distancia, lo que despues es-
tarıa de acuerdo con la hipotesis del universo en expansion.
En los espectros se observa un corrimiento al rojo, que es
particularmente claro para dos conocidas lıneas de absor-
cion del calcio ionizado. El desplazamiento de las lıneas
de una galaxia se debe al efecto Doppler en el caso de una
fuente que se aleja del receptor segun la lınea recta que
los une.
La determinacion de las distancias a las galaxias lejanas
es difıcil. En cambio, el corrimiento al rojo se relaciona
22
facilmente con la velocidad por el efecto Doppler, y la
velocidad, a su vez, con la distancia segun la ley de Hubble.
Con la misma velocidad relativa entre la fuente y el re-
ceptor, el efecto Doppler clasico es distinto segun se mueva
(con respecto al medio) la fuente o el receptor.
Sea el primero de los casos. La fuente pasa junto al
receptor y emite un pulso que es recibido simultaneamente.
Pasado un tiempo t′, estando a la distancia vt′, emite el
siguiente, que no llegara al receptor hasta que no recorra
la distancia de separacion. Con la velocidad c = 1, este
tiempo es igual a la distancia, ası que, en definitiva, el
receptor detecta el pulso siguiente al cabo de
t = t′ + vt′ = t′(1 + v)
Como las frecuencias son inversamente proporcionales a
los perıodos, se puede escribir
ω = ω′/(1 + v), (22)
23
t, x t′, x′
Emision y recepcion de 1 0, 0 0, 0Emision de 2 t′, vt′ t′, 0
Recepcion de 2 t′(1 + v), 0
Tabla 1: Receptor en reposo en el eter.
t, x t′, x′
Emision y recepcion de 1 0, 0 0, 0Emision de 2 t′, vt′ t′, 0
Recepcion de 2 t′/(1− v), 0
Tabla 2: Receptor en movimiento respecto al eter.
que da una frecuencia (angular) menor que la propia de la
fuente en movimiento (corrimiento al rojo) .
La tabla 2 recoge el caso de que, con el mismo movi-
miento relativo entre la fuente y el receptor, sea este el
que se mueve en el medio de propagacion de las ondas
mientras que aquella permanece en reposo (en el medio).
Entonces, la separacion inicial vt′ entre el segundo pulso y
el receptor disminuye en solo 1− v por unidad de tiempo
24
(no en 1 como cuando el receptor no se mueve), y precisa
el tiempo vt′/(1−v) en reducirse a cero. En total, el tiem-
po transcurrido desde que en el receptor se detecto la senal
inmediatamente anterior es t′ + vt′/(1− v) = t′/(1− v).
En terminos de frecuencias:
ω = ω′(1− v), (23)
que tambien, como la ecuacion (22), implica un corrimien-
to al rojo.
Observese que el desarrollo de (22) en serie de potencias
de v es
ω = ω′(1− v + v2 + · · · ), (24)
por lo que (22) y (23) coinciden si se desprecia el efecto
desde el segundo orden en adelante.
El efecto Doppler es importante en el laboratorio al ana-
lizar la radiacion de los atomos (iones, nucleos, . . . ) en
25
movimiento, sobre todo cuando las velocidades son gran-
des. La luz emitida hacia adelante o hacia atras por los
atomos en movimiento presenta desplazamientos al viole-
ta y al rojo, respectivamente. Por supuesto, el corrimiento
del espectro al violeta es para la radiacion emitida por la
partıcula en el sentido de su movimiento, y solo hay que
cambiar en las formulas anteriores v por −v. Ası, para el
receptor en reposo y la fuente acercandose deberıa ser
ω = ω′/(1− v),
lo que significa un “corrimiento al violeta”.
Pero los corrimientos al rojo y al violeta observados di-
fieren de los predichos por estas formulas clasicas, como
evidenciaron los experimentos de Ives (Ives y Stilwell), en
1938. Las formulas relativistas son distintas de las clasicas;
baste observar que el perıodo propio de la fuente se puede
medir con un solo reloj —el que se mueve con ella— y, por
26
tanto, habra una dilatacion del tiempo que no se ha tenido
en cuenta en los razonamientos anteriores (comparese la
1 con la 5). La diferencia mas notable esta en el llama-
do efecto Doppler de segundo orden, que se da cuando la
luz se emite en direccion perpendicular a la direccion del
movimiento de la fuente, y que deberıa ser nulo segun las
formulas clasicas. Para ver esto, se considerara ahora una
fuente en movimiento, de modo que su velocidad v forma
un angulo θ con la recta que la une con el receptor, que
se supondra en reposo en el eter.
Entre pulso y pulso transcurre el tiempo t′, que es el
perıodo propio de la fuente, pero entre la recepcion de
uno y el siguiente transcurre un tiempo diferente, t. La
posicion desde la que se emite el primer pulso dista vt′ de
la del segundo, y estos dos puntos determinan junto con el
receptor un triangulo. Si el lado vt′ es pequeno comparado
27
con los otros, la diferencia entre estos (el primero es mayor
que el segundo si la fuente se esta acercando en algo) sera
aproximadamente igual a vt′ cos θ, siendo el angulo el de
la velocidad con el primero de los lados mayores. Con esto,
en la recepcion de las senales no mediara el mismo tiempo
t′ que en la emision, ya que la segunda ha de recorrer un
trecho menor. Con una velocidad de la luz c = 1, este
tiempo a restar es igual a la diferencia de distancias y:
t = t′ − vt′ cos θ
= t′(1− v cos θ). (25)
Como las longitudes de onda son proporcionales a los perıodos
mientras que las frecuencias angulares guardan la propor-
cionalidad inversa, se cumplen
ω = ω′1
1− v cos θ, λ = λ′(1− v cos θ). (26)
28
Se ve ahora que, cuando se recibe la luz emitida por la
fuente con un angulo recto respecto a la direccion de su
movimiento, en el detector no se encuentra una frecuencia
distinta de la propia del emisor (cos θ = 0), y lo mismo
ocurre con la longitud de onda.
Como se vera mas adelante (seccion 2.9), en los citados
experimentos de Ives juega un papel fundamental la media
de las longitudes de onda de una de las lıneas de la luz
emitida por los atomos de hidrogeno hacia adelante y hacia
atras. Es evidente que, segun las formulas clasicas,
λ(0) + λ(π)
2= λ′, (27)
pero este no fue el resultado del experimento; hubo un
desplazamiento de la longitud de onda media, proporcional
al cuadrado de la velocidad de los atomos.
29
2 Cinematica
2.1 Postulados de la relatividad especial
Los sistemas de referencia en los que el espacio es ho-
mogeneo e isotropo y el tiempo homogeneo son los llama-
dos inerciales13. El primero de los dos postulados de la
teorıa de la relatividad afirma que las leyes de la fısica to-
man la misma forma en todos estos sistemas de referencia.
Este es el principio de relatividad14.13En estos sistemas, los puntos materiales suficientemente ale-
jados de todos los demas se mueven rectilınea y uniformemente.14La forma dada en 1909 a este principio por el matematico
ruso Woldemar von Ignatowsky es la siguiente: (a) Si en el sis-tema de referencia inercial S una cantidad fısica E es funcionde ciertos paramentros aj, es decir, si E = φ(a1, a2, . . . ), enton-ces, en otro sistema sistema de referencia inercial S ′, la canti-dad correspondiente E ′ viene dada por E ′φ(a′1, a
′2, . . . ), donde
a′j es la transformada de aj. (b) Si E ′ = f(a1, a2, . . . ) entonces
30
De acuerdo con este principio, no hay manera alguna
de decidir si es el sistema inercial S ′ el que se traslada
con la velocidad V con respecto al S, o es el S el que lo
hace con V′ = −V en el S ′. Con las mismas condiciones
iniciales, todos los fenomenos fısicos (mecanicos, electro-
magneticos, etcetera) transcurren de igual modo en S y
en S ′; esto es, ningun experimento realizado en un sistema
cerrado de cuerpos permite distinguir entre el reposo o el
movimiento rectilıneo y uniforme con respecto a un siste-
ma inercial de referencia arbitrariamente elegido (sin mirar
hacia fuera no se puede saber si un sistema esta en reposo
E = f(a′1, a′2, . . . ). Vease [19, p. 90].
Un ejemplo, que se vera mas adelante, esta en la misma trans-formacion de Lorentz: si t′ = (t + V ′
xx)/√
1− V ′2x entonces
t = (t′ + Vxx′)/
√1− V 2
x , donde Vx = V es la velocidad detraslacion de S ′ con respecto a S y, por tanto, V ′
x = −V es la deS relativa a S ′.
31
o en movimiento rectilıneo y uniforme15). Si se prefiere
describir o estudiar un mismo experimento, se encontrara
que las leyes a las que obedece en los sistemas S y S ′ son
las mismas aunque las condiciones iniciales sean diferentes.
El segundo postulado es la ley de la constancia de la
velocidad de la luz en el vacıo. Dice que la luz se propaga
siempre en el vacıo con una velocidad definida c que es
independiente de la del cuerpo que la emite.
De acuerdo con el principio de relatividad, la velocidad
de la luz en el vacıo, esto es, la velocidad de las senales,
es igual en todos los sistemas inerciales de referencia: es
una constante universal.
De manera semejante a lo que ocurre con las leyes de la15Para otros movimientos sı es posible: recuerdese que el
pendulo de Foucault permite determinar que la Tierra gira sobresu eje sin necesidad de mirar a las estrellas (vease [5, p. 16-3]).
32
mecanica clasica al pasar de un sistema inercial a otro me-
diante la transformacion de Galileo (principio de relatividad
de Galileo), la teorıa relativista debe formular las leyes de
la fısica (no solo las mecanicas) de manera que mantengan
su forma despues de la transformacion que lleva de un sis-
tema inercial a otro, encontrando, a la vez, las ecuaciones
de la transformacion (que no son las de Galileo). Ademas,
para velocidades pequenas frente a c la nueva transforma-
cion se debe reducir a la de Galileo y las leyes relativistas
a las clasicas, ya que estas son lo suficientemente exactas
en esas condiciones.
De acuerdo con la teorıa de la relatividad general —que
no es objeto de estudio alguno aquı— los rayos luminosos
se curvan en el seno de campos gravitatorios. Puesto que
tal cosa solo puede ocurrir si la velocidad de propagacion
la luz varıa con la posicion, el segundo de los supuestos
33
basicos de la teorıa de la relatividad especial no puede as-
pirar a una validez ilimitada. Los resultados de esta teorıa
solo son validos en la medida en que se pueda prescin-
dir de la influencia de los campos gravitatorios sobre los
fenomenos [3, p. 68-9].
2.2 Simultaneidad y tiempo
No hay ambiguedad en la afirmacion de que dos sucesos
ocurren a la vez en un mismo lugar. Decir que el tiempo
de un suceso es t es a aseverar la simultaneidad de dos
sucesos de esta clase: el propio suceso y la indicacion t del
reloj fijo en el lugar en el que aquel ocurre.
No es igual con sucesos espacialmente separados. Decir
que los sucesos 1 y 2 que ocurren en los puntos A y B
son simultaneos significa que la senal de 1 llega al punto
medio del segmento AB a la vez que la senal de 2. Cuando
34
los sucesos son indicaciones de los relojes, la definicion
anterior permite comprobar si marchan sincronizados, que
es como se supone que van los relojes del tiempo de un
sistema de referencia.
A diferencia de los sucesos que ocurren en un mismo
punto, que dos sucesos espacialmente separados sean si-
multaneos en un sistema de referencia no hace que nece-
sariamente lo sean en otro. En el sistema S ′, los sucesos
1: t′, A′ y 2: t′, B′ son simultaneos; sin embargo, como se
vera, no lo son en cualquier otro sistema, salvo que se elija
uno de los que se desplazan transversalmente respecto a
A′B′.
Los sucesos 1 y 2 podrıan ser las llegadas a A′ y B′ de
sendas senales emitidas simultaneamente desde el punto
medio del segmento A′B′. Es evidente que en S ′ 1 y 2
son simultaneos. Pero en un S que se mueva (con respecto
35
Suceso 1 Suceso 2Sistema S ′ t′, A′ t′, B′
Sistema S t, A t + ε, B
Tabla 3: Sucesos y movimiento longitudinal.
a S ′) de B′ a A′, A′ se mueve al encuentro de la senal
del punto medio, mientras que B′ trata de alejarse; por
tanto, dado que la velocidad de la luz es tambien c en S,
el suceso 1 ocurrira antes que el 2, de modo que si 1 es
t, A, 2 sera t + ε, B, con ε > 0. Observese que si el
sistema S se hubiera elegido con el movimiento opuesto,
el suceso 2 habrıa sido el primero y el 1 el segundo. Salta a
la vista que para los sucesos de esta clase no tiene sentido
absoluto afirmar que uno es anterior al otro, por lo que
nunca puede haber una relacion de causa a efecto entre
ellos.
Se ve que con respecto a S ′ los relojes de S no estan
36
sincronizados entre ellos, a pesar de que sı lo estan en su
sistema. Por el principio de relatividad, exactamente lo
mismo debe ocurrir con los relojes de S ′ considerados en
S, y se puede ver que es ası. En el tiempo t de S tiene
lugar el suceso 1, pero todavıa no el 2; esto significa que
A′ ya ha llegado a A y, por eso, su reloj debe indicar t′,
mientras que a B′ le falta para llegar a B, donde su reloj
debe senalar el tiempo t′: en el t de S el reloj de B′ marca
un tiempo menor que t′.
La ley es que los relojes dispuestos en la direccion de
su movimiento no estan sincronizados (en el sistema fijo),
senalando los de cabeza menos tiempo que los de cola.
En cambio, con un S moviendose (con respecto a S ′)
en direccion transversal a A′B′, los sucesos 1 y 2 tambien
son simultaneos en S. El punto del espacio de S desde el
que el punto medio de A′B′ emite las senales es el vertice
37
Suceso 1 Suceso 2Sistema S ′ t′, A′ t′, B′
Sistema S t, A t, B
Tabla 4: Sucesos y movimiento transversal.
de un triangulo isosceles cuando estas llegan a A′ y B′.
Las senales, recorriendo los lados iguales con la velocidad
c, han tardado lo mismo.
Ası pues, los relojes que se mueven dispuestos en un
mismo plano perpendicular a la direccion del movimiento
marchan sincronizados entre ellos, aunque no con los de
otro plano paralelo —ni con los del sistema en relacion al
cual se mueven—.
2.3 Longitud
Los resultados anteriores obligan a reconocer que la dis-
tancia entre dos puntos del espacio de referencia de un
38
sistema, tal y como se mide en el propio sistema, no tie-
ne necesariamente que coincidir con la determinada desde
otro sistema de referencia. La primera longitud recibe el
nombre de longitud propia. La longitud propia de una vari-
lla se podrıa obtener por comparacion directa con la varilla
unidad (en reposo relativo). Ejemplos son la longitud del
segmento A′B′ en S ′ y la del AB en S: (A′B′)S′ y (AB)S.
La determinacion de la distancia entre los puntos A y
B del espacio de referencia de S, en el sistema S ′ con res-
pecto al cual se mueve, se hace midiendo en S ′ la que hay
entre dos de sus puntos: los ocupados simultaneamente
(en S ′) por A y B en algun tiempo t′. Las propiedades
del espacio y el tiempo de los sistemas inerciales de refe-
rencia hacen que esta longitud no pueda depender ni del
tiempo ni de la posicion. De acuerdo con esta definicion,
de la tabla 3 se deduce que (AB)S′ = (A′B′)S′.
39
Ahora, con la tabla 4, se puede demostrar que las lon-
gitudes transversales a la direccion del movimiento relati-
vo son iguales en los dos sistemas. Se tiene, igual que
antes, (AB)S′ = (A′B′)S′. Pero , ahora, tambien es
(A′B′)S = (AB)S. Dividiendo se encuentra que
(AB)S′
(AB)S=
(A′B′)S′
(A′B′)S. (28)
Pero la longitud por unidad de longitud propia,
δ =(AB)S′
(AB)S,
por la homogeneidad del espacio, debe ser la misma inde-
pendientemente de la longitud16. Ademas, tampoco puede16Cualquiera de las dos varillas iguales en las que podemos
considerar dividida una varilla movil dada debe tener la mismalongitud l en el sistema fijo, ya que la segunda parte es la primeratrasladada. Ası que la longitud total es L = l + l y la propia eraL0 = l0 + l0, por lo que δ = L/L0 = l/l0.
40
depender del tiempo, que tambien es homogeneo. Ası que,
para una orientacion dada respecto a la direccion del movi-
miento relativo (transversal o longitudinal), la magnitud δ
solo puede depender de la magnitud de la velocidad (tam-
poco de la direccion —o el sentido—, de la velocidad, ya
que el espacio es isotropo). Por el principio de relatividad
(la magnitud V de la velocidad de S ′ relativa a S es igual
a la de S respecto a S ′):
δ =(AB)S′
(AB)S=
(A′B′)S(A′B′)S′
. (29)
De este modo, la ecuacion (28) se escribe
δ =1
δ, (30)
y solo puede ser
δ = 1.
Esta δ es la transversal.
41
2.4 Contraccion de Lorentz y dilatacion del tiempo
El resultado para δ es otro si el segmento a medir esta en
la direccion del movimiento relativo. Se determinara ahora
esta δ longitudinal conjuntamente con ε/(AB)S, que es
un cierto tiempo por unidad de longitud propia (veanse la
tabla 3 y el final de la seccion 2.2).
El tiempo ε es el que todavıa tardara B′ en llegar a B,
contado desde la llegada de A′ a A. Si la velocidad de S ′
relativa a S es V ,
ε =(AB)S − (A′B′)S
V. (31)
Pero ε tambien es la diferencia entre lo que tardan las
senales emitidas hacia B′ y A′ desde su punto medio. Por
unidad de tiempo, la separacion entre la senal y B′ dis-
minuirıa en una unidad (c = 1) si el punto estuviese en
reposo; pero se mueve con S ′ y la disminucion es de solo
42
1−V . En el otro lado, la disminucion por unidad de tiem-
po es 1 + V , ya que A′ se mueve al encuentro de la senal.
Inicialmente las separaciones eran de 12(A
′B′)S; por tanto,
la diferencia es
ε =12(A
′B′)S
1− V−
12(A
′B′)S
1 + V=
V
1− V 2(A′B′)S. (32)
Dividiendo las ecuaciones (31) y (32) por (AB)S e igua-
lando los segundos miembros, resulta (1−δ2)/V = V δ2/(1−V 2) o
1− δ2
δ2=
V 2
1− V 2. (33)
En esto se ha tenido en cuenta que (A′B′)S′ es, por defi-
nicion, la longitud (AB)S′ del segmento AB en S ′, y, por
tanto,
(A′B′)S(AB)S
=(A′B′)S(A′B′)S′
(A′B′)S′
(AB)S= δδ = δ2. (34)
43
La simetrıa de la ecuacion (33) hace que se cumpla
δ2 = 1−V 2. Dado que la longitud por unidad de longitud
propia debe ser positiva, solo puede ser
δ =√
1− V 2. (35)
Ademas, de es facil ver que
ε
(AB)S= V. (36)
La velocidad relativa entre dos sistemas, V , no puede
ser igual o mayor que 1 (1 = c). De serlo, en S no se
producirıa nunca el suceso 2 (la distancia entre la senal
y B′ se mantiene o aumenta), y no es admisible que el
universo de sucesos no sea el mismo en cualquier sistema
de referencia. Y si todas las V ha de ser menores que 1, lo
mismo debe ocurrir con las velocidades v de las partıculas,
cualesquiera que sean sus movimientos: de ser v(t) > 1,
44
tambien serıa mayor que 1 la velocidad del sistema inercial
asociado con la partıcula en el instante t, en el que se esta
se encuentra momentaneamente en reposo.
Sin embargo, no hay ningun problema en que la veloci-
dad a la que disminuye la separacion entre dos partıculas
sea mayor que 1 (v1 + v2 puede ser mayor que 1, siendo
cada sumando menor que 1). Es facil obtener velocidades
geometricas superiores a la de la luz en el vacıo. Por ejem-
plo, con un laser girando sobre su eje a tan solo 1 rad/s
se consigue que el punto de impacto sobre la superficie de
Luna de los diferentes17 fotones corra sobre ella con una
velocidad proxima a 418.
La formula (35) expresa la llamada contraccion de FitzGerald-17No se trata del mismo objeto material moviendose por la
superficie de la Luna, ni del transporte de energıa de un puntoa otro de ella.
18La distancia de la Tierra a la Luna es de 363 300-384 400 km.
45
Lorentz. Interpretada dentro de la fısica clasica como una
contraccion de la longitud en la direccion del movimiento
absoluto (el movimiento con respecto al eter fijo), permite
explicar el resultado nulo del experimento de Michelson19.
Se llama dilatacion del tiempo al hecho de que un reloj
movil, el propio de A′ en S ′, por ejemplo, mida un tiempo
∆t′ entre los sucesos t′, A′ y t′ + ∆t′, A′ que ocurren en
su vecindad, mientras que en el sistema fijo S transcurre,19En un interferometro de brazos iguales (esto es, que si se com-
paran dispuestos en la misma direccion son iguales), el brazodirigido en contra del viento de eter no mide l0, como el trans-versal, sino l = l0
√1− V 2. Por tanto, el tiempo de ida y vuelta
de la luz por el no es l0[1/(1− V ) + 1/(1 + V )] = 2l0/(1− V 2),sino 2l0
√1− V 2/(1 − V 2) = 2l0/
√1− V 2. Y el tiempo por
el brazo transversal es exactamente el mismo (la velocidad dela luz en el eter y la del viento de eter definen un triangulorectangulo con el otro cateto dirigido por el brazo del inter-ferometro): 2l0/
√12 − V 2.
46
entre los mismos sucesos, un tiempo mayor ∆t. En S, el
primer suceso sera t, A y el segundo t + ∆t, B, siendo
V = (AB)S/∆t. Pero la velocidad de S relativa a S ′ es
de la misma magnitud, y V = (AB)S′/∆t′. Por tanto,
∆t′ =√
1− V 2∆t, (37)
ya que (AB)S′/(ABS) = δ.
2.5 Tiempo propio
En el tiempo t, un reloj (una partıcula) que efectue un mo-
vimiento cualquiera con v(t) se encontrara, momentaneamente
en reposo en el sistema inercial S ′ de velocidad V = v(t).
Ası que
dt′ =√
1− v2 dt. (38)
47
Considerando entre t y t + dt una infinidad de sistemas
inerciales S ′, se puede integrar (38) y
∆t′ = t′2 − t′1 =
∫ t2
t1
√1− v2 dt. (39)
El tiempo medido por el reloj que se mueve junto con un
cuerpo es el tiempo propio de este cuerpo. Este tiempo es
siempre menor que el correspondiente intervalo de tiempo
medido en el sistema fijo.
Cuando un reloj se separa de otro igual para describir
una trayectoria cerrada que le hace volver junto al gemelo
que no se movio, el tiempo que senala a la vuelta es menor
que el que indica en ese momento el reloj fijo. Dado que las
leyes de la naturaleza son iguales solo para los sistemas de
referencia inerciales, el que se razone considerando como
fijo el reloj que se mueve no lleva a ninguna contradiccion,
pues el sistema de referencia asociado con el reloj que
48
describe el camino cerrado no es inercial, mientras que sı
lo es el del reloj fijo (paradoja de los gemelos).
2.6 Intervalos temporales y espaciales
Sean dos sucesos cualesquiera 1: t, A y 2: t + ∆t, B
(se llamara B al lugar del segundo suceso en el tiempo,
por lo que ∆t > 0, sin perdida de generalidad). Evi-
dentemente, respecto a la relacion (AB)S/∆t, debe darse
necesariamente una de estas tres posibilidades: que sea
menor, igual o mayor que 1.
En el primer caso, se dice que el intervalo entre los dos
sucesos es temporal (o cuasi temporal) por la razon si-
guiente. En el sistema S ′ que se traslada con la velocidad
V =−→AB/∆t con respecto al S, los dos sucesos ocurren
en un mismo lugar, A′, habiendo, por tanto, solo una di-
ferencia de tiempo ∆t′ entre ellos. Esta diferencia esta
49
dada por un unico reloj movil (el de A′) y, como se sabe,
se relaciona con la diferencia de tiempo en el sistema fijo
por
∆t′ =√
1− V 2∆t. (40)
Introduciendo la velocidad V = (AB)S/∆t resulta
∆t′ =√
(∆t)2 − (AB)2S. (41)
Observemos que solo hay un S ′ en el que estos dos sucesos
ocurren en un mismo punto del espacio, y que si se pasa
desde este unico S ′ a cualquier otro S se llega tambien a la
formula (41). Esto quiere decir que, cuando (AB)S/∆t <
1, aunque cambian los tiempos y las coordenadas de los
sucesos al pasar a otro sistema, la magnitud
s12 =√
(∆t)2 − (AB)2S (42)
es la misma en todos los sistemas, es decir, es un invarian-
50
te:
∆t′ =√
(∆t)2 − (AB)2S,
∆t′ =√
(∆t′′)2 − (A′′B′′)2S′′;√(∆t)2 − (AB)2S = ∆t′ =
√(∆t′′)2 − (A′′B′′)2S′′.
Naturalmente, si los tiempos y las coordenadas de los
sucesos son t1, x1, y1, z1 y t2, x2, y2, z2,
s12 =√
(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2.
Observese que entre los sucesos que tienen lugar en una
misma partıcula solo puede haber un intervalo temporal,
pues la velocidad de la propia partıcula siempre es menor
que la de la luz.
Para la segunda clase de pares de sucesos se cumple que
(AB)S/∆t = 1. Entonces, una senal que se emitiera desde
51
A en el tiempo t llegarıa a B en el tiempo t+∆t del suceso
2. La salida y la llegada de la senal son sucesos que se
definen igual que los sucesos 1 y 2 (por sus mismos tiempos
y coordenadas), y, por la constancia de la velocidad de la
luz, debera cumplirse que (AB)S/∆t = (A′B′)S′/∆t′ = 1,
siendo S ′ cualquier otro sistema inercial de referencia. En
otras palabras, ahora es
s12 = 0
en todos los sistemas.
Sean ahora 1 y 2 sucesos que cumplen (AB)S/∆t > 1.
Esto significa que
s212 = (∆t)2 − (AB)2S < 0 (43)
y, para esta tercera y ultima clase de parejas de sucesos,
el intervalo s12 es imaginario.
52
Estos intervalos imaginarios se llaman espaciales (o cua-
siespaciales). Cuando el intervalo que definen dos sucesos
es de esta clase, se puede encontrar facilmente un sistema
en el que los sucesos son simultaneos; entonces, la dife-
rencia entre ellos esta solo en la separacion espacial, y esa
es la razon del nombre.
De acuerdo con la ecuacion (36), en el sistema S ′ que
se traslada de A a B con la velocidad
V = ε/(AB)S = ∆t/(AB)S < 1, (44)
los sucesos 1 y 2 son simultaneos (vease la tabla 3). Pero
no solo lo son en este S ′; una vez en el, se puede pasar a
cualquier otro sistema S ′′ que se mueva transversalmente
al segmento A′B′, con cualquier velocidad, y se encontrara
que los sucesos 1 y 2 siguen siendo simultaneos y con la
misma separacion espacial (seccion 2.2).
Como antes el intervalo de tiempo, la longitud (A′B′)S′
53
debe ponerse en funcion de las coordenadas y los tiempos
de los sucesos 1 y 2 en S. Como se ha visto,
(A′B′)S′ = (AB)S′ =√
1− V 2(AB)S. (45)
Introduciendo V = ∆t/(AB)S, la ecuacion (45) se trans-
forma en
(A′B′)S′ =√
(AB)2S − (∆t)2; (46)
esto es, el cuadrado de la separacion espacial en cualquiera
de los sistemas en que los dos sucesos son simultaneos es
igual al del intervalo cambiado de signo:
(A′B′)2S′ = (AB)2S − (∆t)2 = −s212. (47)
El intervalo entre dos sucesos tambien es un invariante
cuando (AB)S/∆t > 1. El paso desde un sistema inercial
de referencia S ′ a otro cualquiera S (tambien inercial), se
puede hacer pasando antes por un tercero, S ′′. Si en S ′
54
son 1 y 2 sucesos simultaneos, y S ′′ se mueve perpendicu-
larmente al segmento A′B′, tambien en S ′′ son 1 y 2 si-
multaneos y con igual separacion. Pero con este primer pa-
so, eligiendo adecuadamente la direccion y la magnitud de
la velocidad de S ′′ con respecto a S ′, se habra conseguido
que solo falte el cambio a un sistema S que se mueve direc-
tamente de B′′ a A′′ con alguna velocidad y, en este caso,
ya se ha visto que (A′′B′′)S′′ =√
(AB)2S − (∆t)2. Pero
(A′B′)S′ = (A′′B′′)S′′ y esto demuestra que la formula
(A′B′)S′ =√
(AB)2S − (∆t)2 (48)
es valida con cualquier S, moviendose en cualquier direc-
cion, no solo con los que se mueven en la de B′ a A′ (o
en la opuesta).
Estara claro que si entre dos sucesos media un intervalo
espacial, no puede se uno la causa del otro, pues habra
sistemas en los que seran simultaneos y otros en los que
55
permutaran el orden temporal. Dicho de otra forma, en
cualquier sistema, la senal del primer suceso llega al lugar
del segundo despues de que este ya ha ocurrido.
2.7 La transformacion de Lorentz
Sea un 0 un suceso cualquiera. Su tiempo se toma como
cero en los sistemas S y S ′, y su lugar como origen de los
ejes cartesianos, tanto en un sistema como en el otro. Las
direcciones de los ejes son tales que los tres coinciden en
los tiempos t = t′ = 0, y la del eje X senala la direccion
del movimiento de S ′ con respecto a S.
Otro suceso 1 tendra las coordenadas t′, x′, y′, z′ en S ′
pero t, x, y, z en S, y se desea saber la relacion que hay
entre ellas. Dado que el intervalo es un invariante, se
cumplira
s201 = t2 − x2 − y2 − z2 = t′2 − x′2 − y′2 − z′2, (49)
56
lo que conduce a la ecuacion
t2 − x2 = t′2 − x′2 (50)
por la conocida igualdad de las longitudes transversales a
la direccion del movimiento relativo:
y = y′, z = z′. (51)
Si t2 − x2 = t′2 − x′2 = s2 > 0, pueden escribirse las
ecuaciones parametricas
t = s ch a, x = s sh a (52)
t′ = s ch a′, x′ = s sh a′ (53)
(recuerdese que ch2 a − sh2 a = 1), donde la transforma-
cion se considera como el paso de un punto a otro de
una rama de una hiperbola20, o sea, un giro hiperbolico.20La ecuacion x2/a2−y2/b2 = 1 es la canonica de una hiperbola;
cuando a=b, la hiperbola se llama equilatera. Por tanto, t2 −x2 = s2 > 0 es la ecuacion de una hiperbola equilatera.
57
Introduciendo21 a = a′ + b se llega22 a
t = t′ ch b + x′ sh b, x = x′ ch b + t′ sh b. (54)
Como el origen de las coordenadas cartesianas de S ′ tiene21Si b fuera un angulo de giro, serıa el de la rotacion de los
ejes que lleva tx a t′x′. Esto es equivalente a dejar los ejesdonde estan y girar los puntos del plano en −b, de modo t, x seconvierte en t′, x′ pasando el angulo a a ser a′ = a− b.
22Las formulas ch(a′ + b) = ch a′ ch b + sh a′ sh b y sh(a′ +b) = sh a′ ch b + ch a′ sh b se diferencian poco de las conoci-das cos(a′ + b) = cos a′ cos b − sen a′ sen b y sen(a′ + b) =sen a′ cos b + cos a′ sen b, y se demuestran con las definicionesch x = (ex + e−
x
)/2, sh x = (ex − e−x)/2, lo mismo quech(−x) = ch x, sh(−x) = − sh x y ch2 x − sh2 x = 1. Con estaultima identidad, dividiendola por ch2 x e introduciendo la defi-
nicion th x = sh x/ ch x, se encuentra que ch x = 1/√
1− th2x
(se debe tomar el signo positivo porque en coseno hiperbolicosolo toma valores positivos, de 1 en adelante). Por ultimo, multi-
plicando esto por la tangente se obtiene sh x = th x/√
1− th2x.
58
x′ = 0 y se mueve con Vx = x/t, las ecuaciones anteriores
dan
Vx = th b, (55)
por lo que
ch b =1√
1− V 2x
, sh b =Vx√
1− V 2x
(56)
y
t =t′ + Vxx
′√1− V 2
x
, x =x′ + Vxt
′√1− V 2
x
. (57)
Estas dos ecuaciones junto con las de y = y′ y z = z′
dan la transformacion buscada. Naturalmente, la ley sera
la misma para la transformacion inversa, y
t′ =t + V ′
xx√1− V ′2
x
, x′ =x + V ′
xt√1− V ′2
x
. (58)
59
Puede comprobarse que se llega a este resultado reempla-
zando en (53) a′ por a−b, y teniendo en cuenta que V ′x es
la proyeccion de la velocidad del origen de S con respecto
a S ′. (Las formulas intermedias son t′ = t ch b − x sh b
y x′ = x ch b − t sh b, que tambien resultan aplicando la
misma ley (54) al giro de ejes de angulo −b, que es el que
lleva los t′x′ a los tx.)
En definitiva, con Vx = V y V ′x = −V , las formulas de
la transformacion de Lorentz son:
t =t′ + V x′√
1− V 2, t′ =
t− V x√1− V 2
, (59)
x =x′ + V t′√
1− V 2, x′ =
x− V t√1− V 2
, (60)
y = y′, y′ = y, (61)
z = z′, z′ = z. (62)
A estos mismos resultados se llega cuando s2 = t2 −
60
x2 = t′2−x′2 es negativo. Entonces la hiperbola equilatera
es x2 − t2 = −s2.
De una manera mucho mas sencilla, con la contraccion
de FitzGerald-Lorentz y el principio de relatividad, tambien
se pueden obtener estas ecuaciones. En efecto, cuando en
S se produce el suceso 1, el plano Y ′Z ′ dista Vxt del Y Z,
y la distancia x′ que hay en S ′ desde el lugar del suceso 1
al plano Y ′Z ′ es x′√
1− V 2 en S, por la contraccion de
FitzGerald-Lorentz. Ası que,
x = Vxt + x′√
1− V 2x . (63)
Por el principio de relatividad, esta misma ley es valida en
S ′ para la coordenada x′ de este mismo suceso; la ley se
escribe ahora
x′ = V ′xt′ + x
√1− V ′2
x . (64)
Introduciendo Vx = V y V ′x = −V , y despejando t y
61
x en funcion de t′, x′ y V , se llega a las ecuaciones de la
transformacion dadas antes. Con estas ecuaciones puede
demostrarse directamente que el intervalo es un invariante:
s212 = (t2 − t1)
2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)
2 − (z2 − z1)2
= (t′2 − t′1)2 − (x′2 − x′1)
2 − (y′2 − y′1)2 − (z′2 − z′1)
2.
2.8 Transformacion de la velocidad y aberracion de laluz
Diferenciando las ecuaciones de la transformacion de Lo-
rentz resultan
dt =dt′ + V dx′√
1− V 2, (65)
dx =dx′ + V dt′√
1− V 2, (66)
dy = dy′, (67)
dz = dz′. (68)
62
Dividiendo ahora las tres ultimas por la primera, y des-
pues por dt′ numerador y denominador de cada segundo
miembro, se obtienen
vx =dx
dt=
dx′ + V dt′
dt′ + V dx′
=v′x + V
1 + V v′x, (69)
vy =dy
dt=
dy′√
1− V 2
dt′ + V dx′
=v′y√
1− V 2
1 + V v′x, (70)
vz =dz
dt=
v′z√
1− V 2
1 + V v′x. (71)
Observese que, segun estas ecuaciones, si v′z = v′y = 0
y v′x = 1 (propagacion de la luz por el eje X ′), entonces
vz = vy = 0 y vx = (1 + V )/(1 + V ) = 1. El resultado
63
clasico habrıa sido vx = 1 + V .
Con las formulas anteriores se puede estudiar la aberra-
cion estelar. Sea el instante en que la velocidad de la Tierra
apunta directamente a la proyeccion de la estrella sobre el
plano de la eclıptica; el sistema inercial de referencia que
en ese momento se asocia con ella sera el S. La estrella
y el Sol se consideran en reposo en un S ′. Como tantas
veces, el eje X de S se elige en la direccion en que S ′ se
mueve con respecto a S. Se tomara el Y de modo que la
estrella este en el plano XY .
Si S ′ no se estuviera moviendo con relacion a S, la
velocidad de la luz formarıa en S un angulo θ′ por debajo
del eje X , y ese serıa el del telescopio pero sobre el eje.
sin embargo, debido a la velocidad V de S ′, el angulo
es θ < θ′, siendo la diferencia α = θ′ − θ el angulo
de aberracion. Las formulas de la transformacion de la
64
velocidad permiten calcular α.
Se tiene que v = v′ = 1 y
vx = cos θ, v′x = cos θ′, (72)
vy = − sen θ, v′y = − sen θ′, (73)
vz = 0, v′z = 0. (74)
Llevando estas igualdades a, por ejemplo, la formula (70),
se tiene
sen θ =sen θ′
√1− V 2
1 + V cos θ′. (75)
Con V � 1, el angulo de aberracion es pequeno y
sen θ = sen(θ′ − α) = sen θ′ cos α− cos θ′ sen α
≈ sen θ′ − α cos θ′. (76)
Ademas, se puede desarrollar (75) en serie de potencias de
V ; resulta
sen θ ≈ sen θ′ − V sen θ′ cos θ′. (77)
65
Comparando estas dos expresiones del sen θ, se llega a la
conclusion de que debe ser
α ≈ V sen θ′. (78)
Esta es la conocida formula de la aberracion de la luz,
obtenida clasicamente en la seccion 1.2.
2.9 Efecto Doppler relativista
Se repetira aquı lo hecho en la seccion 1.3, solo que con-
siderando la dilatacion del tiempo.
Sea una fuente en movimiento que emite un pulso cuan-
do pasa junto al receptor. Esta primera emision y su re-
cepcion, ası como el paso de la fuente junto al receptor,
son, pues, sucesos simultaneos en un mismo lugar y, por
ello, son el mismo suceso en cuanto a su caracterizacion.
Al cabo de un tiempo propio t′, la fuente emite el si-
guiente pulso. Este tiempo, el perıodo de la fuente en el
66
sistema en el que este en reposo, corresponde al paso de
un tiempo mayor en el sistema en el que es el receptor el
que permanece inmovil (dilatacion del tiempo):
t′√1− v2
. (79)
Con la velocidad v la fuente se habıa alejado hasta enton-
ces la longitud
vt′√
1− v2, (80)
por lo que aun debe transcurrir otro tiempo hasta que este
segundo pulso llegue al receptor. Con c = 1 este tiem-
po adicional es igual a la distancia inicial de separacion.
En definitiva, el segundo pulso se detecta en el receptor
67
despues del tiempo
t =t′√
1− v2+
vt′√1− v2
(81)
= t′1 + v√1− v2
, (82)
contado desde que se recibio el primero23. Los perıodos
son inversamente proporcionales a las frecuencias y (81)
se puede reemplazar por
ω = ω′√
1− v2
1 + v, (83)
que senala una disminucion de la frecuencia detectada (un
corrimiento al rojo)24 cuando la fuente se aleja.23Es evidente que el mismo tiempo media en S entre la recep-
cion del pulso enesimo —con la fuente bastante alejada— y ladel siguiente: las filas segunda y tercera de la tabla 5 cambian
68
t, x t′, x′
Emision y recepcion de 1 0, 0 0, 0
Emision de 2 t′/√
1− v2, vt′/√
1− v2 t′, 0
Recepcion de 2 t′(1 + v)/√
1− v2, 0
Tabla 5: Efecto Doppler longitudinal (corrimiento al rojo).
Si se hubiera empezado con la fuente acercandose di-
rectamente al receptor (el segundo pulso podrıa hacerse
coincidir con el paso de la fuente por el lugar del recep-
tor), en el resultado solo cambiarıa el signo de v: (81) se
puede reemplazar por
ω = ω′√
1− v2
1− v. (84)
t′ por nt′ o por (n + 1)t′24Este efecto se manifiesta como un corrimiento al rojo de los
espectros de absorcion de las galaxias lejanas, las cuales se es-tarıan alejando de acuerdo con la hipotesis de un universo enexpansion [7, p. 160].
69
En este caso se produce un aumento de la frecuencia.
(Es evidente que las expresiones (83) y (84) se pueden
simplificar si se desea, teniendo en cuenta que 1 − v2 =
(1 + v)(1− v)).
Pero, como ya se dijo, la diferencia mas notable entre
las formulas del efecto Doppler relativista y el clasico esta
en las del efecto transversal, que no existe segun la formu-
lacion basada en el tiempo absoluto. Se vera ahora que sı
se da segun la teorıa relativista.
Sea S el sistema en el que el detector esta en reposo en
alguno de sus puntos. La fuente se mueve con la velocidad
v con respecto a S, y emite un pulso cuando su velocidad
forma con la recta que le une al detector un angulo θ
medido en S. El pulso siguiente lo emite pasado el tiempo
propio t′, que corresponde al paso de un tiempo mayor en
70
S (dilatacion del tiempo):
t′√1− v2
. (85)
En esto, la fuente se ha desplazado un segmento de lon-
gitud vt′/√
1− v2, y, en general, habra cambiado su dis-
tancia al detector. Estas dos posiciones consecutivas de la
fuente y la del detector definen un triangulo. Suponiendo
que la distancia ha disminuido, y que las dos distancias
son mucho mayores que el desplazamiento, esta variacion
sera muy aproximadamente igual a
vt′√
1− v2cos θ. (86)
De esta manera, la segunda senal tarda algo menos en
llegar al detector que la primera, y en S no se encuentra
simplemente la separacion t′/√
1− v2 entre las llegadas
71
de los dos pulsos consecutivos, sino la
t =t′√
1− v2− t′√
1− v2cos θ
= t′1− v cos θ√
1− v2(87)
(recuerdese que c = 1). Ası pues, por la proporcionalidad
entre la longitud de onda y el perıodo, y la relacion de
proporcionalidad inversa entre la frecuencia y el perıodo,
se pueden escribir las ecuaciones del efecto Doppler rela-
tivista:
ω = ω′√
1− v2
1− v cos θ, λ = λ′
1− v cos θ√1− v2
. (88)
Ahora se puede ver que con θ = π/2 hay un corrimiento
no nulo:
λ(1
2π) = λ′
1√1− v2
≈ λ′(1 +1
2v2) = λ′ +
1
2λ′v2. (89)
72
El desplazamiento (12λ′v2) es, pues, proporcional al cua-
drado de la velocidad: efecto Doppler de segundo orden.
Lo curioso del resultado es que este efecto de segundo
orden es justamente el mismo que el corrimiento de la
media de las longitudes de onda correspondientes a las
radiaciones emitidas por la partıcula hacia adelante y hacia
atras; esto es:
λ(0) + λ(π)
2=
1
2λ′
(1− v√1− v2
+1 + v√1− v2
)= λ′
1√1− v2
≈ λ′(1 +1
2v2).
Dado que la medicion directa del efecto de segundo
orden con la luz emitida por los atomos transversalmente
a su movimiento exige que el angulo sea casi exactamente
73
de 90o, puesto que una pequena desviacion harıa que el
efecto de primer orden lo enmascarara, Ives y Stilwell, en
1938, buscaron el efecto con la segunda lınea de Balmer del
espectro del H, midiendo la luz emitida por los atomos en
el sentido de su movimiento y en el opuesto. El resultado
confirmo el corrimiento de la longitud de onda media, de
acuerdo con las formulas anteriores, y no su inmovilidad,
como se desprende de las relaciones clasicas λ(0) = λ′(1−v) y λ(π) = λ′(1 + v).
2.10 Tetravectores
El espacio-tiempo es un espacio tetradimensional imagina-
rio sobre cuyos ejes se toman las tres coordenadas espacia-
les y el tiempo. En este espacio los sucesos se representan
por puntos [13, p. 124].
Las coordenadas t, x, y, z de un suceso se pueden con-
74
siderar en conjunto como las componentes x0, x1, x2, x3
de un vector de posicion tetradimensional (tetravector o
cuadrivector) xµ:
xµ = (t, r). (90)
El cuadrado de su “longitud” se define con
t2 − x2 − y2 − z2, (91)
y es invariante en cualquier rotacion de los ejes cartesianos,
ası como en una transformacion de Lorentz.
Existen otros conjuntos Aµ de cuatro magnitudes
A0, A1, A2, A3
que cuando se transforma el sistema de coordenadas te-
tradimensional se comportan como las componentes del
tetravector xµ, transformandose del mismo modo (veanse
[6, pp. 25.1-8], [5, pp. 17.7-12]) y [15, pp. 20-30]). Ası, en
75
una transformacion de Lorentz (en la rotacion en el plano
tx):
A0 =A′0 + V A′1√
1− V 2, (92)
A1 =A′1 + V A′0√
1− V 2, (93)
A2 = A′2, (94)
A3 = A′3. (95)
El cuadrado de un tetravector Aµ,
A0A0 + A1(−A1) + A2(−A2) + A3(−A3), (96)
se puede escribir como
3∑µ=0
AµAµ = AµAµ, (97)
76
donde las componentes Aµ son
A0 = A0, A1 = −A1, A2 = −A2, A3 = −A3.
Las componentes Aµ del tetravector se llaman covariantes
y las Aµ son las contravariantes.
La componente A0 se llama temporal, y las otras tres
son las componentes espaciales. Estas, con respecto a las
rotaciones espaciales puras —las que no afectan al eje del
tiempo—, forman un vector tridimensional A:
Aµ = (A0, A).
Cuando el cuadrado de un tetravector es positivo se llama
temporal, nulo si es nulo y espacial cuando es negativo.
En general, el producto escalar de dos tetravectores es
AµBµ = A0B0 + A1B1 + A2B2 + A3B3 (98)
(y es igual a = AµBµ).
77
Las 16 magnitudes Aµν que cuando se transforman las
coordenadas se transforman como los productos de las
componentes de un tetravector forman un tetratensor (o
tensor tetradimensional) de segundo rango (u orden). Analogamente,
se pueden definir los tetratensores de rangos superiores.
Sea
F µ = Gµ. (99)
Dejando a un lado los cambios que se reducen a elegir
como origen de las coordenadas espacio-temporales un su-
ceso en vez de otro (esto es, a cambiar el instante que se
toma como cero y el lugar donde se coloca el origen de los
ejes espaciales), que son simples traslaciones paralelas del
sistema de coordenadas, la igualdad anterior se mantiene
con las magnitudes transformadas, tanto en una rotacion
de los ejes espaciales (que se puede descomponer en tres
rotaciones en los planos xy, yz y zx) como en una trans-
78
formacion de Lorentz (una transformacion que afecta al
eje del tiempo y que, considerada como una cierta rota-
cion, se descompondrıa en giros en los planos tx, ty y tz:
las formulas de la transformacion segun un giro en el plano
tx son las de la seccion 2.7):
F ′µ = G′µ. (100)
En efecto, como es sabido, despues de una rotacion or-
dinaria de los ejes cartesianos se cumple para los vectores
tridimensionales que F′ = G′, si antes era F = G; por
tanto, si no cambian las componentes temporales, es evi-
dente que (F ′0, F′) = G′0, G′). En el caso general, la
transformacion es lineal (la transformacion de Lorentz lo
79
es), y su ley es la misma25 para todos los tetravectores:
F ′µ = aµνFν, (101)
G′µ = aµνGν (102)
y, por (99), son F 0 = G0, F 1 = G1, · · · ; por tanto,
F ′µ = G′µ. (103)
El principio de relatividad exige la misma forma para las
leyes fısicas en todos los sistemas inerciales. Es evidente
que esto lo cumplira cualquier ley formulada como una
igualdad entre dos tetraescalares o entre dos tetravectores.
En general, la ley relativisticamente correcta debe ser una
igualdad entre magnitudes tensoriales del mismo rango.25Los coeficientes aµν son los mismos.
80
3 Mecanica relativista
3.1 Momento lineal
Es evidente que dxµ = (dt, dx, dy, dz) es un tetravec-
tor, ya que sus componentes se transforman igual que las
componentes t, x, y, z de xµ. Sin embargo, dt no es
un tetraescalar y, por ello, la magnitud dxµ/dt no puede
ser un tetravector. El tiempo propio dt√
1− v2 sı es un
81
tetraescalar26, y, por tanto,
dxµ
dt√
1− v2=
(1√
1− v2,
v√1− v2
)(104)
26Esto es evidente por su definicion, pero es interesante compro-barlo directamente empleando las formulas de transformacion dela velocidad y el tiempo. Para una partıcula moviendose en ladireccion de eje X es v = vx y son vy = vz = 0, por lo quev′y = v′z = 0 y v′x = v′. Con esto, las formulas de transformacion
se escriben dt = (dt′ + V dx′)/√
1− V 2 = dt′(1 + V v′)/√
1− V 2
y v = (v′ + V )/(1 + V v′). Sustituyendo resulta, despues desimplificar:
dt√
1− v2 = dt′1 + V v′√1− V 2
√1−
(v′ + V
1 + V v′
)2
= dt′√
1− v′2.
82
es un tetravector, que se puede llamar tetravelocidad [16,
p. 258],
vµ =1√
1− v2(1, v).
Se ve facilmente que el cuadrado de cualquier velocidad
tetradimensional es siempre la unidad (la velocidad de la
luz):
vµvµ =1
1− v2(1, v)(1, −v) =
1
1− v2(1− v2) = 1.
(105)
Esto significa que las componentes del tetravector no son
independientes las unas de las otras, ya que
(v0)2 − (v1)2 − (v2)2 − (v3)2 = 1, (106)
y tiene como consecuencia que la aceleracion tetradimen-
sional,
aµ =dvµ
dt√
1− v2(107)
83
sea ortogonal a la tetravelocidad en el espacio-tiempo: de-
rivando (106) respecto del tiempo propio se concluye que
vµaµ = 0. (108)
La masa (en reposo) es un tetraescalar y la magnitud
mvµ, (109)
un tetravector:
pµ = mvµ =
(m√
1− v2, p
). (110)
Como en todo vector tetradimensional, las componentes
espaciales forman un vector tridimensional. En este caso
es un vector que se reduce al del momento lineal de la
mecanica clasica cuando v � 1, y es el momento lineal
de la mecanica relativista:
p =mv√1− v2
. (111)
84
3.2 Fuerza
La derivada del momento lineal con respecto al tiempo es
la fuerza que actua sobre la partıcula. Cuando la velocidad
de la partıcula solo cambia de direccion (fuerza perpendi-
cular a la velocidad), se tiene
dp
dt=
m√1− v2
dv
dt. (112)
Y si solo cambia la magnitud de la velocidad (fuerza con
la direccion de la velocidad),
dp
dt=
m√(1− v2)3
dv
dt. (113)
La fuerza tetradimensional (o de Minkowski) es la mag-
nitud
F µ =dpµ
dt√
1− v2. (114)
85
Cuando las igualdades (114) son ecuaciones, constituyen
la generalizacion relativista de la segunda ley de Newton.
3.3 Energıa
Con la fuerza de Minkowski y la tetravelocidad se puede
formar el tetraescalar
F µvµ =1
1− v2
(d
dt
m√1− v2
,dp
dt
)(1, −v)
=1
1− v2
[d
dt
m√1− v2
− dp
dt· v
]. (115)
Pero esta magnitud tiene que ser nula por ser vµaµ = 0 y
F µ = maµ, y ası se encuentra que
d
dt
m√1− v2
=dp
dt· v. (116)
El segundo miembro de esta ultima igualdad es el traba-
jo por unidad de tiempo de la fuerza que actua sobre la
86
partıcula, ası que el primero se puede igualar al incremento
de energıa cinetica por unidad de tiempo. Multiplicandolo
por dt e integrando desde el reposo, se obtiene la energıa
cinetica27
m√1− v2
−m. (117)
Este resultado permite definir la energıa de la partıcula
libre como la magnitud
E =m√
1− v2, (118)
siendo entonces la energıa en reposo del punto material
igual a
m27Para v � 1 es m/
√1− v2 −m ≈ 1
2mv2, pues (1− v2)−1/2 ≈1+ 1
2v2 por el desarrollo del binomio en serie de potencias de v2.
87
una magnitud positiva para las partıculas con masa28.
Un punto material o partıcula es, en general, un cuerpo
(sistema de partıculas) de cuyas dimensiones cabe pres-
cindir al estudiar su movimiento. En la deduccion de las
formulas anteriores nunca se ha exigido que las partıculas
tuvieran caracter elemental, por lo que son validas tambien
para cualquier cuerpo complejo. En este caso, por m hay
que entender la masa total del cuerpo y por v la velocidad
del sistema cerrado de partıculas en su movimiento como
un todo.28La masa en reposo no es una propiedad necesaria de las
partıculas: la de los fotones, por ejemplo, es nula. Sin embargo,su energıa no lo es, a pesar de la igualdad a cero del numeradorde E = m/
√1− v2. La razon es evidente: con v = 1 —vease
mas abajo— tambien el denominador es nulo y esta expresiondeja indeterminada la energıa de los fotones.
88
La formula
E = m (119)
(E = mc2 en el SI) es aplicable a un cuerpo cualquiera
que este en reposo como un todo. La energıa de un cuer-
po en reposo se compone de la energıa en reposo de sus
partıculas, de la energıa cinetica de tales particulas y de
la energıa de sus interaciones mutuas. Es por esto que m
no es igual a la suma de las masas de las partıculas del
cuerpo, y en la mecanica relativista no se cumple la ley de
conservacion de la masa: la masa de un cuerpo complejo
no es igual a la suma de las masas de las partes que lo
componen [13, p. 145]. Se cumple, eso sı, la ley de con-
servacion de la energıa, en la que se debe incluir tambien
la energıa en reposo de las partıculas.
La forma de la energıa cinetica dada por (117) explica
que, como se dijo en la seccion 1, los electrones no pueden
89
alcanzar la velocidad de la luz, por muy alta que sea la
energıa que se les suministre con las elevadas diferencias
de potencial de un acelerador lineal. Es evidente que, para
v → 1, la energıa cinetica aumenta sin lımite.
3.4 Transformacion de la energıa y el momento lineal
Como puede verse ahora, la componente temporal del mo-
mento lineal tetradimensional es la energıa de la partıcula:
pµ = (E, p). (120)
De esto se deducen inmediatamente las ecuaciones de la
transformacion (S ′ se traslada con V a lo largo del eje X
90
de S):
E =E ′ + V p′x√
1− V 2, (121)
px =p′x + V E ′√
1− V 2, (122)
py = p′y, (123)
pz = p′z. (124)
El cuadrado del tetravector pµ = mvµ es pµpµ = m2vµvµ,
pero, como se ha visto, vµvµ = 1 y, por tanto, pµpµ = m2.
Por otra parte, de (120) se deduce que este mismo cuadra-
do es E2−p2. Por tanto, se llega a la importante ecuacion
E2 − p2 = m2. (125)
Se puede tambien llegar a este resultado de la manera si-
guiente. E2−p2, como todo tetraescalar, es un invariante,
91
y en el sistema S ′ en el que la partıcula este en reposo son
E ′ = m y p′ = 0; luego, E2 − p2 = m2.
Las igualdades p = mv/√
1− v2 y E = m/√
1− v2
hacen evidente la relacion
p = Ev (126)
entre el momento lineal, la energıa y la velocidad de la
partıcula.
Para las partıculas de masa nula (los fotones, por ejem-
plo), la ecuacion (125) conduce a la igualdad entre la
energıa y el modulo del momento lineal,
E = p. (127)
Y esta igualdad conlleva, por (126), que la velocidad de
estas partıculas sea la de la luz:
v = 1. (128)
92
3.5 Dualidad onda-corpusculo y efecto Doppler
La dualidad onda-corpusculo permite escribir29 ω/k =
λν = 1, una ecuacion propia de las ondas, para los cuan-
tos de luz. Por otro lado, Einstein, en su trabajo sobre el
efecto fotoelectrico, llevo la cuantizacion de Planck de los
osciladores del cuerpo negro a la propia radiacion, es decir
E = ~ω = ~k =h
λ, (129)
donde h es la constante de Planck. Pero se ha visto que
para las partıculas de masa nula la energıa es igual al mo-29Como se sabe, ω = 2π/T = 2πν y k = 2π/λ, donde ω
es la frecuencia angular, T el perıodo y ν la frecuencia de lasoscilaciones, y k y λ son, respectivamente, el numero de onda yla longitud de onda de las ondas.
93
mento lineal, luego
p = ~ω = ~k =h
λ. (130)
Esta ultima relacion es la que generalizo Louis de Broglie
en su conocida hipotesis.
Sustituyendo, para los fotones, las formulas anteriores
en la expresion del tetravector del momento lineal, se ob-
tiene otro vector tetradimensional:
pµ = (E, p) = (~ω, ~k) (131)
y, por tanto,
kµ = (ω, k) (132)
debe ser otro vector tetradimensional30. Es el tetravector
de onda.30k = n2π/λ, siendo n el vector unitario en la direccion de
propagacion de las ondas electromagneticas, es el vector de onda.
94
El que la magnitud kµ deba ser un tetravector se puede
ver de otra manera: xµ = (t, r) lo es y el producto
kµxµ = ωt− k · r (133)
es una magnitud invariante (un tetraescalar), la fase de la
onda electromagnetica.
En cualquier caso, aplicando la ley de transformacion del
tetravector de onda es muy sencillo obtener las formulas
del efecto Doppler.
Sea una partıcula que emite radiacion cuando su veloci-
dad es v en el sistema S en el que el detector se encuentra
en reposo. En el sistema S ′, en el que a su vez la partıcula
se encuentra en reposo, la frecuencia de la fuente es ω′
y se encuentra que la radiacion llega al detector con una
direccion que forma el angulo θ′ con la del eje X ′. En
cambio, en el sistema S, la radiacion se detecta llegando
con otro angulo, θ, y con otra frecuencia, ω.
95
Por las formulas de la transformacion, se tiene, para la
componente temporal del tetravector:
ω =ω′ + vk′x√
1− v2. (134)
Ademas, k′x = k′ cos θ′ y ω′/k′ = c = 1, por lo que
(134) da la frecuencia en S en funcion de la velocidad de
la partıcula y de la direccion con la que llega la onda al
detector determinada en el sistema S ′31:
ω = ω′1 + v cos θ′√
1− v2. (135)
Del mismo modo, la transformacion inversa, que lleva de31Analogamente a como las formulas de la transformacion de
Lorentz dan el tiempo y las coordenadas en un sistema en fun-cion del tiempo y las coordenadas en otro, y de la velocidad deeste otro con respecto al primero.
96
S a S ′ es
ω′ = ω1− v cos θ√
1− v2, (136)
y despejando ω de aquı se llega a la formula buscada:
ω = ω′√
1− v2
1− v cos θ. (137)
3.6 Desintegracion de las partıculas
Para que un cuerpo de masa M se pueda desintegrar de
una manera espontanea en dos partes de masas m1 y m2
debe ser
M > m1 + m2,
ya que, en el sistema de referencia en el que el cuerpo esta
en reposo,
M =m1√
1− v210
+m2√
1− v220
(138)
97
por la ley de conservacion de la energıa.
Si la suma de las masas de las partes que se deben
separar es mayor que la masa del cuerpo, la desintegracion
dada no puede transcurrir espontaneamente (el cuerpo es
estable), y debe comunicarse al cuerpo, desde fuera, una
energıa igual o mayor que la energıa de ligadura m1+m2−M .
Un ejemplo se tiene con el nucleo Be84. Su masa es
menor que la suma de las masas de los cuatro protones
y los cuatro neutrones, y el nucleo es estable respecto
de la desintegracion en protones y neutrones individuales.
Pero la masa del Be84 es mayor que la de dos nucleos de
He22, por lo que puede desintegrarse en dos partıculas α,
cosa que, de hecho, sucede. Por contra, para el Be94 el
defecto de masa es mas grande y no se pueden encontrar
otros nucleos menores en los que pueda descomponerse:
98
su masa resulta ser siempre menor que la de las partes y
el Be94 es absolutamente estable.
En el sistema de referencia en el que M esta en reposo el
momento lineal es nulo. La conservacion de esta magnitud
obliga a que 0 = p10 + p20. Luego, p210 = p2
20 o
E210 −m2
1 = E220 −m2
2. (139)
Esta ecuacion y la de la energıa
M = E10 + E20 (140)
permiten despejar las energıas de las partes que se separan.
99
4 Aplicacion didactica
4.1 Relacion con el curriculo
La teorıa de la relatividad especial se situa en el currıculo de
la Fısica de segundo de Bachillerato, dentro de los conte-
nidos del bloque Introduccion a la Fısica Moderna:
1. Insuficiencia de la fısica clasica.
2. Efecto fotoelectrico.
3. Cuantizacion de la energıa.
4. Dualidad onda-corpusculo y principio de incerti-
dumbre.
5. Fısica nuclear : composicion y estabilidad de losnucleos. Radiactividad.
6. Reacciones nucleares. Fision y fusion nuclear.
100
7. Usos de la energıa nuclear.
Se han enfatizado de dos maneras los contenidos relacio-
nados con este tema, poniendo en negrita los que lo estan
mas directamente.
El trabajo con este tema contribuye, en general, a la
consecucion de los objetivos generales de la asig-
natura, pero si hubiera que senalar solo uno serıa este:
6. Comprender que la Fısica constituye, en sı misma, una
materia que sufre continuos avances y modificacio-
nes; y que es, por tanto, su aprendizaje un proceso
dinamico que requiere una actitud abierta y flexible
frente a diversas opiniones.
Por otro lado, de los doce criterios de evalua-
cion32 hay que senalar los tres siguientes:32Enumerados —como los objetivos y los contenidos— en los Reales Decretos sobre las
ensenanzas mınimas de Bachillerato aprobados el pasado 29 de diciembre de 2000
101
1. Utilizar correctamente las unidades, ası como los pro-
cedimientos apropiados para la resolucion de proble-
mas.
11. Explicar los principales conceptos de la fısica moder-
na y su discrepancia con el tratamiento que a ciertos
fenomenos daba la fısica clasica.
12. Aplicar los conceptos de fision y fusion nuclear para
calcular la energıa asociada a estos procesos, ası como
la perdida de masa que en ellos se genera.
4.2 Objetivos didacticos
1. Comprender que la fısica clasica no puede explicar el
comportamiento dinamico de las partıculas a muy al-
tas velocidades o determinados fenomenos opticos.
2. Entender que los postulados de Einstein obligan a una
102
profunda revision de nuestras ideas sobre el espacio y
el tiempo.
3. Utilizar la relatividad especial para explicar algunas de
sus implicaciones:
(a) Contraccion de la longitud y dilatacion del tiempo.
(b) Expresiones p = mv/√
1− v2/c2 y E = mc2/√
1− v2/c2.
(c) Equivalencia masa-energıa (energıa en reposo).
4.3 Orientaciones
Los alumnos suelen estar motivados previamente. La fi-
gura de Einstein es conocida, y algunos de los resultados
de la relatividad inspiran argumentos de pelıculas y nove-
las. Y son muchos los libros de divulgacion, ası como los
artıculos con ese mismo fin en perıodicos y revistas.
103
Pero siempre se hallaran entre las ideas previas de los
alumnos, asentadas, las de la fısica clasica, sobre todo
la hipotesis del tiempo absoluto. No sera facil conseguir
con ellos un aprendizaje de la teorıa de la relatividad que
vaya mas alla del de unas pocas formulas para aplicar en
problemas.
Los alumnos trataran de reconciliar las ideas nuevas con
las clasicas, tomando la contraccion de la longitud y la di-
latacion del tiempo como meras distorsiones de la realidad.
Sobre la masa (siempre masa en reposo) y la energıa, con-
vendrıa dejar claro que:
• Se trata de magnitudes diferentes, aunque vinculadas
por la conocida proporcionalidad E = mc2 (para un
cuerpo en reposo).
• No existe la transformacion de masa en energıa. Se
trata de una interpretacion erronea, excesivamente di-
104
fundida, que viola la ley de conservacion de la energıa.
• La masa (en reposo) no se conserva en la mecanica
relativista.
• No se recomienda el empleo de la llamada masa relati-
vista (m(v) = m0/√
1− v2/c2). Tan solo se hablara
de ella para facilitar la lectura de los textos que la
emplean.
Dada la difıcil aceptacion de las nuevas ideas, es conve-
niente mostrar comprobaciones experientales. A esto ayu-
daran partes seleccionadas de los siguientes documentos-
vıdeo de la coleccion El Universo Mecanico (de Goodstein,
D. L. y otros, del Instituto de Tecnologıa de California):
• El experimento de Michelson-Morley.
• La transformacion de Lorentz.
105
• Velocidad y tiempo.
• Energıa, momento lineal y masa.
4.4 Teorıa
4.4.1 Experimento de Michelson
Se empezara con la transformacion de Galileo, mostrando
despues que segun su ley de composicion de velocidades,
si la velocidad de la luz es c en un sistema de referencia,
no lo es en otro.
El experimento de Michelson se dara solo con sus ras-
gos esenciales. Puede comprobarse despues que con una
contraccion de FitzGerald-Lorentz el resultado serıa nulo.
106
4.4.2 Postulados de la teorıa especial
Despues de enunciarlos, conviene demostrar inmediata-
mente con ellos que dos sucesos espacialmente separados,
que son simultaneos en un sistema de referencia inercial,
pueden no serlo en otro. Esto evidenciara que el tiempo
no es absoluto en la mecanica relativista.
Se vera que el principio de relatividad relativista es mas
satisfactorio (completo) que el de Galileo, y que la ley de
la constancia de la velocidad de la luz explica directamente
el resultado nulo de los experimentos de Michelson.
No es necesario dar las formulas de la transformacion
de Lorentz (si se dan, se presentan sin deduccion).
4.4.3 Dilatacion del tiempo y contraccion de la longitud
A la relacion entre el tiempo y el tiempo propio se llega
facilmente con un reloj de pulsos luminosos transversales
107
a la direccion del movimiento relativo. Despues es sencillo
encontrar la que hay entre la longitud y la longitud propia.
En efecto, un punto A′ del espacio de S ′ recorre la longitud
(AB)S = V ∆t en ∆t segun S. Pero en el sistema S ′
ha sido el segmento AB el que ha pasado por el punto
A′ (primero A), tambien con la velocidad V , pero en el
tiempo ∆t′. Luego (AB)S′ = V ∆t′ y:
(AB)S′
(AB)S=
∆t′
∆t=
√1− V 2/c2. (141)
4.4.4 Transformacion de la velocidad
Si se han dado (sin demostracion) las formulas de la trans-
formacion de Lorentz, pueden deducirse las de la velocidad.
Es seguramente mejor no hacer ni lo uno ni lo otro, y limi-
tarse a dar, sin mas, la formula de la transformacion para
el movimiento de una partıcula segun el eje X ′. Se em-
108
pleara para comprobar que las velocidades transformadas
no superan la de la luz.
4.4.5 Momento lineal y energıa
Se daran sin demostracion alguna las expresiones relativis-
tas, pero se dedicara tiempo suficiente a profundizar en su
significacion fısica. Con la aproximacion (1+x)n ≈ 1+nx
se vera que la energıa cinetica relativista conduce a la ex-
presion clasica para bajas velocidades.
Con las formulas anteriores se pueden deducir p = Ec2v
y E2
c4− p2
c2= m2, que son expresiones muy utiles.
4.4.6 Energıa de enlace
Para que un nucleo pueda desintegrarse espontaneamente
en ciertas partes, la suma de las masas de estas debe ser
menor que la del nucleo. Esto se demostrara facilmente
109
con la ley de conservacion de la energıa, aplicada en el
sistema en el que este en reposo el nucleo.
Y al reves, cuando varios nucleones se enlazan en un
nucleo, se puede comprobar, con los valores de las tablas,
que la masa del nucleo es menor que la suma de las de
los protones y neutrones. Para desintegrarlo de nuevo, la
ley de la conservacion de la energıa exige que desde fuera
se haya aportado al nucleo, por lo menos, cierta energıa
de enlace W , de manera que: Mc2 + W = c2∑n
i=1 mi.
Dividiendo por el numero de nucleones resulta la energıa
de enlace por nucleon: W/n.
4.4.7 Fotones
Para las partıculas de masa nula la velocidad debe ser la
de la luz, como se deduce de las expresiones p = Ec2v y
E2
c4− p2
c2= m2 con m = 0. Ademas, E
c = p.
110
Introduciendo la dualidad onda-corpusculo y la cuanti-
zacion de la energıa para los fotones, esto es, introduciendo
E = ~ω, (142)
y
c =ω
k=
λ
T= λν, (143)
la ecuacion Ec = p lleva a
p = ~k =h
λ(144)
4.5 Cuestiones y problemas
Entre otros semejantes, pueden proponerse los siguientes:
1. De acuerdo con el principio de relatividad, ¿es o no
cierto que ningun experimento en un sistema cerrado
puede distinguir entre el reposo o el movimiento (con
111
respecto a algun sistema inercial de referencia? [Falso:
el pendulo de Foucault demuestra la rotacion diaria de la Tierra. El principio de
relatividad se refiere al movimiento de traslacion rectilıneo y uniforme].
2. Cuando se deja caer un objeto en el interior de un
autobus, se ve caer en lınea recta. Pero, desde fue-
ra, la trayectoria es parabolica. De acuerdo con el
principio de relatividad, ¿no deberıa seguir la misma
ley en el sistema de referencia asociado al autobus en
marcha que en el relacionado con el suelo? [Y ası es: la
aceleracion es la misma, la de la gravedad. Lo que ocurre es que la misma ley
se aplica, en un caso (el del autobus), a la caıda con velocidad inicial nula, y, en
el otro, al movimiento con una cierta velocidad inicial horizontal (la del autobus
con respecto a la carretera). Tambien dentro del autobus un objeto lanzado
horizontalmente se moverıa por una parabola, igual que en tierra.].
3. Con la transformacion de Galileo, ¿cambia la energıa
potencial de la interaccion gravitatoria entre en dos
112
partıculas? [No: aunque las coordenadas de las partıculas cambian (el
tiempo, no), la distancia entre ellas es la misma. Y la energıa potencial gravi-
tatoria depende solo de la distancia de separacion.]
4. Por la transformacion de Galileo, y suponiendo que la
fuerza es la misma en los sistemas inerciales S y S ′,
¿debe ser F′ = m′a′ si se cumple F = ma? [Sı: la masa
de la partıcula no cambia y, como se deduce de las formulas de la transformacion,
la aceleracion a es igual a la a′ ].
5. Desde un punto del eje X ′ se emiten dos senales si-
multaneamente, que se mueven por este eje en sen-
tidos opuestos. Partiendo de esto, ponga un ejemplo
de sucesos simultaneos en S ′ que no lo son en el sis-
tema S que se traslada en contra del eje X ′ con la
velocidad V .
6. Partıculas a velocidades v muy altas pasan de un ex-
113
tremo a otro de un cuerpo de longitud l en el tiempo
t. Calcule, en el sistema en el que las partıculas estan
en reposo, la longitud del cuerpo y el tiempo entre
esos dos mismos sucesos.
7. Un meson mu formado en la atmosfera por los rayos
cosmicos desciende los 1800 m de una montana en
6.5 µs.
(a) Un reloj que hubiera acompanado al muon en su
recorrido, ¿que tiempo habrıa senalado?
(b) ¿Que altura tiene la montana en el sistema en el
que la partıcula esta en reposo?
8. Si un pasajero se dirige a 1 m/s hacia la cabeza de un
autobus que, a su vez, se mueve a 10 m/s con respecto
a la carretera, no cabe duda de que la velocidad del
pasajero es de 11 m/s con respecto al asfalto. Del
114
mismo modo, si la velocidad de una senal luminosa
es c a lo largo del eje X ′ del sistema S ′, ¿por que
no es c + V en el sistema S? (El sistema inercial S ′
se traslada con la velocidad V con respecto al S, y
a lo largo de su eje X. Los ejes X y X ′ se toman
coincidentes). [Por la ley de la constancia de la velocidad de la luz
(segundo postulado de la relatividad especial. La transformacion de Galileo,
que justifica lo del autobus, es valida solo para velocidades mucho menores que
c.].
9. Una partıcula se mueve por el eje X ′ con la velocidad
de 0.5c, y S ′ lo hace tambien con 0.5c, pero respecto a
S. Calcule la velocidad de la partıcula en S y comprue-
be que no es igual a c. [De acuerdo con vx = (v′x+V )/(1+V v′
x/c2),
es v = 45c].
10. Un electron es acelerado en el vacıo por un campo
electrico a traves de la diferencia de potencial de:
115
(a) 100 V.
(b) 10000 V.
(c) 1000000 V.
Conociendo la masa y la carga del electron (vease una
tabla de constantes), calcule la velocidad que en ca-
da caso alcanza la partıcula. (La velocidad inicial es
despreciable).
11. ¿Que relacion hay entre la fuerza y la aceleracion cuan-do aquella es perpendicular a la velocidad? ¿Serıa lamisma si la fuerza tuviera la direccion de la velocidad?[F = dp/dt. Derivando p = mv/
√1− v2/c2 con el modulo de la velocidad
constante, se obtiene la primera respuesta:
F =m√
1− v2/c2
dvdt
.
En el segundo caso la relacion es diferente, ya que la magnitud de la velocidad
cambia con el tiempo y esto debe tenerse en cuenta al derivar].
12. Un electron de 10 MeV, ¿que momento lineal tiene ycon que velocidad se desplaza? La masa del electron
116
es me = 9.11× 10−31 kg y e = 1.60× 10−19 C. [Con lacarga del electron se calcula la energıa E en J; despues, de la ecuacion
E2
c4− p2
c2= m2 (145)
se despeja p. Finalmente, con
p =E
c2v (146)
se obtiene v].
13. Un electron de 10 MeV penetra en la region de un
campo magnetico constante y uniforme de 1 T, per-
pendicularmente a las lıneas del campo. La masa del
electron es me = 9.11× 10−31 kg y e = 1.60× 10−19
C.
(a) ¿Que fuerza experimenta el electron? [La velocidad
se puede calcular como en el problema anterior. Despues: F = qv ×B,
F = evB].
117
(b) ¿Cual es su aceleracion? [La expresion
F =m√
1− v2/c2
dvdt
=E
c2
dvdt
(147)
obtenida para v constante permite calcular el modulo de la aceleracion
como Fc2/E. ]
(c) Calcule el radio de la circunferencia que describe.
[La aceleracion es centrıpeta, igual a v2/R].
14. Para el movimiento circular de una partıcula con cargapositiva q en un campo magnetico uniforme y cons-tante B, demuestre que qB = Ev/c2R o que qB =p/R, siendo E la energıa y R el radio de curvatura.[Sea c = 1. De
qvB =m√
1− v2
∥∥∥∥dvdt
∥∥∥∥ (148)
con el modulo de la aceleracion igual a v2/R resultan qB = Ev/R o qB = p/R.
Volviendo a las unidades SI, hay que observar primero que, como se deduce de
F = qvB, en B hay un tiempo dividiendo en las dimensiones, por lo que se
reemplazara B por B/c. Analogamente, p → p/c y E → E/c2].
118
15. Busque en las tablas las masas que necesite y calcule
la energıa que se libera en la reaccion p + D→ He3 +
γ. [De la conservacion de la energıa, suponiendo que el proton y el deuteron
estaban inicialmente en reposo, ası como que el He3 tambien lo esta al final, se
deduce que E = mpc2 + mDc2 = mHe3c
2 + W y W = (mp + mD −mHe3)c2
es la energıa del foton (unos 5.5 MeV)].
16. ¿Puede desintegrarse el Be84 en protones y neutrones
por separado? ¿Podrıa hacerlo en dos nucleos de He22?
Pida los datos (masas) que necesite.
17. Calcule el momento lineal, la frecuencia y la longitud
de onda de los fotones de la segunda lınea de la serie
de Balmer del espectro del atomo de hidrogeno (azul-
turquesa), sabiendo que su energıa se calcula con la
expresion E/eV = 13.6(1/22 − 1/42).
18. Indique algunas de las diferencias mas notables entre
119
las mecanicas clasica y relativista.
4.6 Textos
Un libro de texto podrıa ser el de Santillana para el Ba-
chillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, de
Jesus Martın, Eduardo Ruiz y Jose Marıa Fraile. Tiene
un tratamiento correcto de la masa, aunque recurre a las
transformaciones de Lorentz para introducir algunas cues-
tiones.
Otros textos, mas de consulta, son [12], [10], [11], [20]
y [2]. Y de divulgacion hay muchos, algunos son: [4], [17],
[3], [8], [9] y [14].
Referencias
[1] Alonso, M. Masa y velocidad. Revista Espanola
120
de Fısica 15 (1) (2001), 40–1.
[2] Dubrovski, V., Smorodinski, Y. y Surkov,
E. El mundo relativista. Mir, 1987.
[3] Einstein, A. Sobre la teorıa de la relatividad espe-
cial y general. Alianza, 1994.
[4] Einstein, A. y Infeld, L. La evolucion de la
fısica. Salvat, 1986.
[5] Feynman, R. P., Leighton, R. y Sands, M.
Fısica, vol. I: Mecanica, radiacion y calor. Addison-
Wesley Iberoamericana, 1987. Version en espanol del
primer volumen de The Feynman Lectures on Physics.
Los capıtulos 15, 16, 17 y 34 , ası como sendas sec-
ciones de los capıtulos 7 y 10, estan dedicados a la
relatividad.
121
[6] Feynman, R. P., Leighton, R. y Sands, M.
Fısica, vol. II: Electromagnetismo y materia. Addison-
Wesley Iberoamenricana, 1987. Debe tenerse en cuen-
ta que el campo H que Feynman maneja en este texto
es el de las formulas del SI pero multiplicado por la
constante magnetica: reemplazando H por µ0H (a
partir de la pagina 36-9) transformamos las expresio-
nes del libro en las correspondientes del SI. En los
capıtulos 13, 21, 25, 26, 27, 28, 31 y 42 hay seccio-
nes dedicadas a la teorıa de la relatividad (el 42 trata
de la general, pero se ha de recurrir a otra edicion
—la bilingue del Fondo Educativo Interamericano—
si se quiere leer completo, pues falta la pagina 42-2
del original, habiendose imprimido en su lugar lo que
en realidad es la 42-3 ).
[7] French, A. P. Relatividad especial. Reverte, 1991.
122
[8] Gamow, G. Biografıa de la fısica. Salvat, 1986.
[9] Gardner, M. La explosion de la relatividad. Sal-
vat, 1986.
[10] Giancoli, D. C. Fısica. Principios y aplicacio-
nes, vol. 2. Reverte, 1985. En esta segunda parte se
estudian (al nivel senalado en la nota del primer volu-
men) el magnetismo, las ondas electromagneticas, la
optica, la teorıa de la relatividad especial, la mecanica
cuantica y los nucleos atomicos.
[11] Holton, G. y Brush, S. G. Introduccion a los
conceptos y teorıas de las ciencias fısicas, segunda ed.
Reverte, 1993. Se hace una introduccion a la fısica
recogiendo, ademas, aspectos historicos y filosoficos.
Los capıtulos 20 y 21 tratan sobre la teorıa atomica
de la quımica y el sistema periodico, y, evidentemen-
123
te, pueden ser utiles en la Quımica. Tiene problemas
resueltos y deducciones como la de de la formula de
la aceleracion centrıpeta (p. 206) o planteamientos
como el del experimento mental de los carritos de re-
accion (debido a E. Mach) para la masa inerte (p.
194), que se pueden llevar sin mas a la clase de fısica
de cualquiera de los dos bachilleratos. Sin embargo, y
a pesar de que no se emplean los resultados del calculo
diferencial (sı el concepto de lımite), es un texto algo
mas apropiado para el Departamento o para el aula
que para el alumno.
[12] Kitaigorodski, A. I. Fısica para todos, vol. 4:
Fotones y nucleos. Mir, 1985. Cuarto y ultimo vo-
lumen de la serie. Se ocupa de las ondas electro-
magneticas de diferente longitud (estudia la radia-
cion blanda y la dura, con sus espectros, pasando por
124
los instrumentos opticos), de las generalizaciones de
la mecanica (la relativista y la ondulatoria) y de los
nucleos atomicos, y dedica un capıtulo a la astrofısica.
[13] Landau, L. y Lifshitz, E. Curso abreviado de
fısica teorica, vol. 1. Mecanica y electrodinamica. Mir,
1979.
[14] Landau, L. y Rumer, Y. Que es la teorıa de la
relatividad. Mir, 1978.
[15] Landau, L. D. y Lifshitz, E. M. Teorıa clasica
de los campos. Reverte, 1973.
[16] Levich, V. Curso de fısica teorica, vol. 1. Teorıa
del campo electromagnetico. Teorıa de la relatividad.
Reverte, 1974.
[17] Russell, B. ABC de la relatividad. Ariel, 1989.
125
[18] Sanchez Mendez, J. L. El concepto relativista
de masa inerte en los textos de fısica del nuevo ba-
chillerato. Revista Espanola de Fısica 14 (4) (2000),
45–7.
[19] Sanchez Ron, J. M. El origen y desarrollo de la
relatividad. Alianza, 1985.
[20] Tipler, P. A. Fısica Moderna. Reverte, 1985.
