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DANIEL SAENZ C Pgina 1
1
DEFINICION: Si A es un punto en Rn y r es un numero positivo, entonces la BOLA ABIERTA B ( A; r ) se define como el conjunto de todos los puntos P de Rn tales que la distancia del punto P al punto A es menor que r, es decir
P A < r. En R1 una bola abierta corresponde a un intervalo abierto. ( ) En R2 una bola abierta corresponde al interior de un disco. En R3 una bola abierta corresponde al interior de una esfera. DEFINICION: Si A es un punto en Rn y r es un numero positivo, entonces la BOLA CERRADA B A; r ] se define como el conjunto de todos los puntos P de Rn tales que la distancia del punto P al punto A es menor o igual que r, es decir
P A r. En R1 una bola cerrada corresponde a un intervalo cerrado. [ ] En R2 una bola cerrada corresponde al interior de un disco junto con su frontera.
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS BSICAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS.
DANIEL SAENZ C Pgina 2
2
En R3 una bola cerrada corresponde al interior de una esfera junto con su frontera. DEFINICION. Sea f una funcin de n variables la cual esta definida en alguna bola abierta B ( A ; r ) excepto posiblemente en el punto A mismo. Entonces el
limite de f( P ) cuando P se aproxima a A es L y se escribe LPfLimAx
)( si para cualquier > 0 , no importando que tan pequeo, existe un > 0 tal que f( P ) L siempre que 0 < P A . DEFINICION: Si f es una funcin de dos variables la cual esta definida en cualquier disco abierto B ( ( x0 , y0 ) ; r ) excepto posiblemente en el punto ( x0 ,
y0 ) mismo, entonces LyxfLim
yxyx
,
00 ,, si para cualquier > 0 , no
importando que tan pequeo, existe un > 0 tal que f( x , y ) L siempre que 0 < 20
20 yyxx .
( x0, y0 , 0 )
( x0 , y0 , f(x0 , y0 ) )
DANIEL SAENZ C Pgina 3
3
PROPIEDADES DE LOS LIMITES EN DOS VARIABLES Los limites de las funciones en dos variables, cumplen las mismas propiedades que los limites de las funciones en una variable. Es decir: Si L y M son dos nmeros reales y
LyxfLim
yxyx
,
00 ,, ;
MyxgLimyxyx
,00 ,,
, entonces las
siguientes reglas son validas:
a) Regla de la suma: MLyxgyxfLim
yxyx
,,
00 ,,
b) Regla de la resta: MLyxgyxfLim
yxyx
,,
00 ,,
c) Regla del producto MLyxgyxfLim
yxyx
,,
00 ,,
d) Regla del producto por un escalar LkyxfkLim
yxyx
,
00 ,,
e) Regla del cociente
0;,,
00 ,,
MML
yxgyxfLim
yxyx
f) Regla de la potencia: n
m
nm
yxyxLyxfLim
,
00 ,, , siempre que n
m
L sea un numero real.
EJEMPLO: Encontrar los siguientes limites:
31
3110510
3100
5
3
53
2
32
1,0,
1,0,321,0,
yxyyxLim
xyxLim
yxyyxxyxLim
yx
yx
yx
DANIEL SAENZ C Pgina 4
4
52516943 2222
1,0,
22
4,3,
yxLimyxLim
yxyx
0000
0,0,
0,0,
0,0,
2
0,0,
yxxLim
yxyxyxx
Lim
yxyxxLim
yxxyxLim
yx
yx
yxyx
DANIEL SAENZ C Pgina 5
5
ACTIVIDAD: ENCONTRAR LOS SIGUIENTES LIMITES.
253
22
22
0,0,
yxyxLim
yx yxyxyxLim
yx
22
1,1,
2 1
22
11,1,
x
xyxyLimx
yx
2
3,2,
11
yxLim
yx 253
22
22
3,3,
yxyxLim
yx
254
22
22
1,1, yxyxLnLim
yx yxyxyx
Limyxyx
220,0,
24
42,2,
yx
yxLimyxyx 42
22
420,2,
yx
yxLim
yxyx
LA PRUEBA DE LAS DOS TRAYECTORIAS PARA LA NO EXISTENCIA DE UN LIMITE. Si una funcin f(x , y ) tiene diferentes limites a lo largo de dos trayectorias diferentes cuando
( x , y ) tiende a ( x0 , y0 ) , entonces yxfLim
yxyx,
00 ,, no existe.
Ejemplo: encuentre
220,0,2
yxxyLim
yx Para encontrar el limite de la funcin buscamos dos trayectorias de acercamiento al punto ( 0 , 0 ) .
DANIEL SAENZ C Pgina 6
6
Sea S1 La trayectoria de acercamiento a travs de la recta y = x : Luego:
1
2222
2
2
0220,0,22
xy de largo lo a0,0,
x
xLimxx
xxLimyx
xyLimxxxyx
Sea S2 la trayectoria de acercamiento a travs de la parbola y = x2.
01
22
22
2042
3
0
222
2
0,0,22
xy de largo lo a0,0, 2
2
xxLim
xxxLim
xxxxLim
yxxyLim
xx
xxyx
Como la funcin tiene limites diferentes a lo largo de las dos trayectorias, se tiene
que 220,0,2
yxxyLim
yx no existe.
EJEMPLO : Encuentre 24
2
0,0,
2yxyxLim
yx Sea S la familia de curvas de acercamiento a travs de las parbolas y = kx2 , x 0.
20424
4
0
224
22
0,0,24
2
kx y de largo lo a0,0,
122
222
2
kkLim
xkxkxLim
kxxkxxLim
yxyxLim
xx
kxxyx
DANIEL SAENZ C Pgina 7
7
El limite anterior depende del valor que tenga k. as : Si ( x , y ) se acerca a ( 0 , 0 ) a travs de la parbola y = x2 , el valor de k = 1 y el limite es:
1
111222024
2
xy de largo lo a0,0,
2
xyx
LimyxyxLim
Pero si se acerca a travs de la parbola y = 2x2 , el valor de k = 2 y el limite es:
54
21222
2024
2
2x y de largo lo a0,0,
2
xyx
LimyxyxLim
Con lo que el 24
2
0,0,
2yxyxLim
yx no existe de acuerdo a la prueba de las dos trayectorias. ACTIVIDAD: DETERMINE LOS SIGUIENTES LIMITES APLICANDO LA PRUEBA DE LAS DOS TRAYECTORIAS.
220,0, yxxyLim
yx 2222
0,0, yxyxLim
yx 2233
0,0, yxyxLim
yx
22
2
0,0,
3yxyxLim
yx 244
0,0, yxxLim
yx yyxLim
yx
2
0,0,