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CLCULO DIFERENCIAL para cursos con enfoque por competencias

124124

y

1

112

2

2

3

4

x

Grfica 3.1

La grfica de esta ecuacin (grfica 3.1) resulta ser una parbola con un hueco en el punto (1,3); por lo que decimos que cuando x tiende a 1, f (x) se aproxima a 3.

Definicin formal de lmite

Si f (x) se acerca arbitrariamente a un nmero L cuando x se aproxima a c, entonces el lmite de f (x) cuando x se aproxima a c es L.

lm f x Lx c

=( )

Existen tres mtodos, que estudiaremos ms adelante, para hallar el lmite de una funcin:

1. Mtodo numrico (tabla de valores).

2. Mtodo grfico.

3. Mtodo analtico (lgebra o clculo).

3.2 Propiedades de los lmites y lmites especiales

Los lmites tambin tienen propiedades que nos permiten determinar el comportamiento de las funciones y operar con ellos de una manera ms sencilla.

1. Propiedad de la funcin constante. El lmite de una constante es igual al valor de la cons-tante.lm b b bx c

= donde es una constante.

Los lmites no existen, slo son barreras

imaginarias que nos impone nuestra

mente, y la continuidad

lo demuestra.

J.L.G.S.

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CAPTULO 3 Lmites y continuidad

125125

Ejemplo: lmx

=43 3

2. Propiedad de la identidad. El lmite de una funcin identidad que se acerca a c, es c.

lm x cx c

=

Ejemplo: lm xx

=4

4

3. Propiedad de la funcin potencia. El lmite de una variable elevada a un exponente cuando x se acerca a c, es c elevada al exponente.

lm x cx c

n n

=

Ejemplo: lm xx

=3

2 9

Teorema

Si f (x) y g(x) son funciones tales que los lmites lm f xx c

( ) y lm g xx c

( ) existen y son

lm f x Lx c

=( ) y lm g x Kx c

=( ) , entonces:

1. lm bf x b lm f x bLx c x c

= =( ) ( ) Propiedad del factor constante

2. lm f x g x lm f x lm g x Lx c x c x c

= =( ) ( ) ( ) ( ) K Propiedad de la suma y propiedad de la diferencia

3. lm f x g x lm f x lm g x LKx c x c x c

= =( ) ( ) ( ) ( ) Propiedad del producto

4. lmf xg x

lm f x

lm g xL

x cx c

x c

= =

( )( )

( )

( ) KKK si 0 Propiedad del cociente

5. Si n es un entero positivo, entonces

lm f x lm f x Lx c

n

x c

nn

=

=( ) ( ) Propiedad de la potencia

6. lm f x lm f x Lx c

n

x cn

n

= =( ) ( ) Propiedad de la raz

La propiedad 6 es vlida si n es impar. Si n es par, se puede garantizar slo si lm f xx c

>( ) .0

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126126

Tabla 3.1 Lmites trigonomtricos.

Lmites de funciones trigonomtricas

Funciones trigonomtricas Lmites trigonomtricos especiales

lm x cx c

=sen sen( ) ( )

lmx

xx=

0

1sen( )lm x c

x c=cos( ) cos( )

lm x cx c

=tan( ) tan( )

lm x cx c

=cot( ) cot( )

lmx

xx

=0

10

cos( )lm x cx c

=sec( ) sec( )

lm x cx c

=csc( ) csc( )

I. Debate sobre qu significa el lmite de una funcin. Encuentra los siguientes lmites unilaterales.

II. Con base en las propiedades de los lmites, resuelve los siguientes ejercicios.

1. lmx0

5 4. lm xx4

3 7. lm xxx

4

2

2. lm xx7

5. lm x xx

+1

23 2 8. lm xx0 5.

( )sen

3. lm xx2

4 6. lm x xx

( ) 22 1 9. lm x

x34

tan( )

? Comprend el concepto de lmite?

Soy capaz de defi nir qu es un lmite?

Soy capaz de usar cualquiera de los tres mtodos para hallar un lmite?

Dnde puedo aplicar los lmites en la vida real?

ACTIVIDAD DE TRABAJO 3.1

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CAPTULO 3 Lmites y continuidad

127127

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS

Desarrolla e integra las siguientes actividades a tu portafolio de evidencias.

1. Explica el concepto de lmite. 2. Investiga y describe tres actividades industriales en las que se aplican los lmites. 3. Elabora fichas de trabajo con las propiedades y teorema de las propiedades de los lmites, a

fin de tenerlos a la mano para trabajar de una manera ms sencilla. 4. Resuelve los ejercicios de la actividad 3.1.

3.3 Lmites laterales y unilateralesSupongamos que un comerciante vende jabn lquido a granel. Si le solicitan menos de 10 litros, cobra $15.00 por cada litro; sin embargo, para promover pedidos cuantiosos, cobra $12.00 por litro si llevan ms de 10 litros. As, si se compran x litros del producto y C(x) es la funcin del costo total del pedido, entonces:

C xx xx x

( ) =< >

15 0 1012 10

sisi

Al graficar nos damos cuenta que existe una variacin despus del punto 10. Debido a esta situacin es necesario que al considerar el lmite se tomen valores menores que 10, pero muy cer-canos, y despus de 10. Es decir, el lmite debe tomarse por la derecha y por la izquierda de 10, lo que significa que debemos tomar lmites laterales.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Grfica 3.2 Grfica de la funcin C(x).

Escribimos entonces lm C xx 10 ( ) y lm C xx +10 ( ). Esta nomenclatura debe ser clara, por lo que debemos conocer lo bsico sobre lmites.

Lmites unilateralesLos lmites unilaterales indican que la funcin se aproxima a un determinado valor a medida que x se aproxima a c por la derecha o por la izquierda. Debido a las restricciones del dominio, una funcin puede tener lmites unilaterales, como en el caso de la funcin raz.

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128128

Lmites lateralesPara que el lmite exista, tanto el lmite por la izquierda como el lmite por la derecha deben ser iguales; en otras palabras, cuando el lmite por la izquierda y por la derecha son diferentes, el lmite no existe.

a) El lmite por la derecha significa que x se aproxima a c tomando valores superiores cada vez ms cercanos a c, y se denota por lm f x

x c +( ).

b) El lmite por la izquierda significa que x se aproxima a c tomando valores inferiores cada vez ms cercanos a c, y se denota por lm f x

x c ( ).

Este tipo de lmite es til para encontrar la continuidad de una funcin; asimismo, tambin sirve para calcular el lmite de funciones que contienen races.

E J E M P L O

lm xx +

=2

2 0

lm xx

2

2 no existe porque para valores menores que 2 la funcin se indefine.

Por lo tanto, el lmite de lm xx

2

2 no existe.

Por ltimo, los lmites laterales pueden usarse para investigar el comportamiento de una fun-cin escaln o definida parte por parte.

Teorema de la existencia del lmite

Si f es una funcin y c y L son nmeros reales, el lmite de f (x) cuando x se aproxima a c es L si y slo si

lm f x L lm f xx c x c +

= =( ) ( )

Encuentra los siguientes lmites unilaterales.

1. lm xx

+

33

3. lm xx 0

3 5. lm xx

+4

4

2. lm xx

+2

6 4. lmx x

x xx +

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