Universidad Nacional de Ingeniera

Ejemplos de LinealizacinP1 EP 2013_2

El modelo de un pndulo esta descrito en la Fig. 1. El momento que produce el movimiento es Me, el cul es conocido. El Momento torsional producido por Mc que es funcin del ngulo de desplazamiento y Md que es proporcional a la velocidad rotacional , Md=d. La masa del pndulo es m, y la longitud es l .La inercia rotacional del pndulo est dada por =ml2.Los parmetros son nmeros constantes y positivos .

Fig.1 Modelo del Pndulo

a) (2 ptos) Si Me(t) es la entrada, el ngulo de rotacin (t) y la velocidad rotacional son los estados y la salida es el ngulo de rotacin (t), derivar la ecuacin de movimiento del sistema y escribirla en la forma espacio de estados. Incluir la ecuacin de salida.b) (1 pto) Calcular en el estado estacionario el ngulo y velocidad rotacional , si el Mes=0 c) (1 pto) Linealizar el sistema con respecto al punto de equilibrio ( . Presentar el sistema linealizado en su forma espacio de estados. Incluir la ecuacin de salida.d) (1 pto) Analice la estabilidad del sistema linealizado.

Solucionario

Problema1a) Modelo no lineal

Salida :

b) En el estado estacionario:

=0

c) Linealizacin alrededor del punto estacionario

Salida: d) Estabilidad del sistema linealizado

Polos:

El sistema es siempre estable para los valores de d,l,m,g establecidos en el problema.

Problema 2P1-EP 2014_2

La Figura 1 muestra la dinmica de una prensa hidrulica. Esta consiste de una cmara de aceite con volumen inicial Vo (Cuando s1=s2=0) y dos pistones mviles con las masas m1 y m2, las reas de seccin transversal A1> A2 y los desplazamientos s1 y s2. Por las fuerzas externas del pistn F1 y F2. Figura 1 Prensa HidrulicaSuponer: En la cmara de aceite la distribucin de la presin (P) y la temperatura (T) es homognea. T =cte. No ocurren fugas en los sellos del pistn. Sin embargo, existe friccin que produce una amortiguacin proporcional a la velocidad con los coeficientes de amortiguacin d1 >0y d2 >0. El peso del pistn es despreciable y la presin ambiente se supone cero aproximadamente.a)

(1 pto) La ecuacin de la densidad para el aceite es: , donde es la constante del modulo de compresin del aceite y 0 es la densidad del aceite a la presin normal po. Considerando que existe conservacin de la masa () en la cmara de aceite, determine la ecuacin diferencial de la presin para la cmara de aceite.

Ayuda: El volumen de la cmara . b) (2pto) El pistn 1 presiona el material desde arriba. Este reacciona en forma proporcional al cambio de espesor de la fuerza restauradora , donde c >0 es coeficiente de rigidez.Determine las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento de los dos pistones.

Nota.- En el pistn 2 acta la fuerza .c)

(1pto) Determine la representacin de espacio estado no lineal en la forma con el estado , con entrada , .Donde y son las velocidades de los pistones.d) (1 pto) Linealizar las ecuaciones diferenciales con respecto al punto de {s10.,0,0,.0,p0}y representar las ecuaciones en la forma espacio - estado con matrices del sistema {A, B, C, D}, con salida:.Solucina) De la ecuacin del Volumen en la cmara de aceite:

Debido a la conservacin de la masa:

Quedando:

Derivando la ecuacin de la densidad del aceite:

Igualando las derivadas de la densidad y despejando , conseguimos: b) Ecuaciones que describen el movimiento de los dos pistones:

c) Espacio estado No lineal

d) Linealizado en el punto {s10 0 0 0 po}

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