Un sistema dinámico de dimensión infinita ... - Academia UTPacademia.utp.edu.co/gredya/files/2016/03/cursillo-UTP-2016.pdf2 El modelo y análisis 3 Teoría de linealización 4 Dinámica

Resumen El modelo y análisis Teoría de linealización Dinámica del modelo con efecto Allee débil

Un sistema dinámico de dimensión infinita:Sistema difusivo presa depredador con efecto

Allee

Aida Patricia González NievaUniversidad del Cauca

Universidad Tecnológica de Pereira, 2016


Contenido

1 Resumen

2 El modelo y análisis

3 Teoría de linealización

4 Dinámica del modelo con efecto Allee débil


Resumen

Estudiaremos la dinámica de un sistema presa-depredador te-

niendo en cuenta procesos difusivos y el efecto Allee. Primero,

discutiremos un modelo matemático que consiste en dos ecua-

ciones diferenciales parciales difusivas y explicaremos algunos

aspectos relacionados con las hipótesis y consideraciones del

modelo.


Después, presentaremos la teoría de linealización para siste-

mas de E.D.O. (Teorema de Hartman-Grobman y caso particu-

lar sistemas planares). Finalizaremos, demostrando un resulta-

do de estabilidad global del estado de equilibrio de coexistencia

para el sistema dinámico de dimensión infinita, E.D.P’s difusi-

vas, discutido al comienzo.


El modelo y análisis

La primera parte de este cursillo se centrará en el estudio deuna modificación del siguiente sistema de ecuaciones diferen-ciales:

dN

dt= N

(r

(1− N

K

)− m

N + b

)− NP

N + a= f(N,P )

dP

dt= sP

(−q +

N

N + a

)= g(N,P )

(1)

Los parámetros r,K, a, b,m, q, s son constantes positivas; r es latasa de crecimiento intrínseca o potencial biológico de las pre-sasN ;K es la capacidad de carga;m y b son las constantes delefecto Allee aditivo (K > b); a, es la constante de saturación, qes la tasa de mortalidad del depredador y s, es la concentraciónde alimentos.


Este modelo fue presentado en el artículo Dynamics of a diffu-

sive predator-prey model with additive Allee effect por Y. Cai, W.

Wang y J. Wang, el cual describe la dinámica poblacional de un

sistema presa-depredador con respuesta funcional Holling-II y

efecto Allee aditivo en la presa.


La dinámica de poblaciones, a grosso modo, es la rama de la

biología que con el auxilio de otras ciencias, principalmente de

las matemáticas, trata de describir y cuantificar los cambios que

continuamente ocurren en una población. Conocer la dinámica

de una población implica pues, conocer no sólo el tamaño y la

estructura de la población, sino, lo que es más importante cono-

cer la forma y la intensidad en que ésta cambia y se renueva.


Generalmente los modelos matemáticos para la dinámica de

poblaciones se describen en términos de la densidad de pobla-

ción, dado que, la población total será justamente la densidad

por el área de la región habitada. Así pues, si N(t) denota la

densidad de una población en el tiempo t entonces, la veloci-

dad con que la población cambia se puede deducir dedN

dt.


Los primeros estudios para modelar la dinámica de poblaciones

con una sola especie se deben a Malthus (1798), quien planteó

la hipótesis que las poblaciones aumentan geométricamente.

La segunda gran contribución a la modelización de la dinámica

de poblaciones fue hecha por Verhulst (1838); quien partió de

la suposición de que a medida que la densidad de población

aumenta, los efectos de hacinamiento y agotamiento de los re-

cursos provocan que la tasa de natalidad disminuya y la tasa de

mortalidad aumente.


Sin embargo, Allee (1931) observó que muchos animales to-

man comportamientos sociales, tales como la caza en equipo

o la defensa en grupo, que pueden causar un aumento en la

tasa de natalidad o una disminución en la tasa de mortalidad,

dependiendo de la densidad de población, además, la tasa de

depredación puede disminuir con la densidad de las presas; es

a estos efectos que normalmente se les conoce como efectos

Allee.


Si suponemos que los individuos en las poblaciones N y P semueven aleatoriamente describiendo un movimiento aleatorioBrowniano, se puede obtener un modelo espacial sencillo co-rrespondiente a (1):

∂N

∂t= d1∆N + f(N,P ) (x, y) ∈ Ω = (0, L)× (0, L)

∂P

∂t= d2∆P + g(N,P )

(2)

donde N(x, y, t), P (x, y, t) representan densidades poblaciona-les de presas y depredadores en el tiempo t y localizados en(x, y), respectivamente. Las constantes d1 y d2 son no-negativasy son los coeficientes de difusión de N y P , respectivamente.


CondicionesIniciales

N(x, y, 0) = N0 > 0, P (x, y, 0) = P0 > 0 (x, y) ∈ Ω (3)

De frontera:

∂N

∂n=∂P

∂n= 0 (x, y) ∈ ∂Ω (4)

donde n es el vector normal exterior a la frontera ∂Ω. Nohay intercambio entre la zona de estudio y el exterior.


CondicionesIniciales

N(x, y, 0) = N0 > 0, P (x, y, 0) = P0 > 0 (x, y) ∈ Ω (3)

De frontera:

∂N

∂n=∂P

∂n= 0 (x, y) ∈ ∂Ω (4)

donde n es el vector normal exterior a la frontera ∂Ω. Nohay intercambio entre la zona de estudio y el exterior.


Ecuaciones presa-depredador

ut = α∆u+ uM(u, v)

vt = β∆v + vN(u, v)

Mv < 0 Nu > 0 Modelo presa-depredador

u densidad de población de la presav densidad de población del depredador


Teoría de linealización

Definición: Punto de equilibrio estable localmenteUn punto de equilibrio x ∈ E del sistema de ecuaciones se diceque es un punto de equilibrio estable localmente si para todavecindad U de x en W existe una vecindad U1 ⊆ U de x tal quetoda solución x(t) del sistema de ecuaciones, con x(0) ∈ U1,está definida y permanece en U para todo t > 0. Un punto deequilibrio que no es estable es llamado inestable.

ObservaciónSe sigue de la definición que si x es un punto de equilibrio ines-table localmente, entonces para toda vecindad U1 de x en U,existe al menos una solución x(t) con x(0) ∈ U1, que no estácompletamente contenida en U.


Definición: Asintóticamente estable localmenteUn punto de equilibrio x es un punto de equilibrio asintótica-mente estable, si es un punto de equilibrio estable y ademáslımt→∞

x(t) = x.

Definición: Topológicamente conjugados

Dos sistemas dinámicos (X,φ1) y (Y, φ2) son topológicamenteconjugados si existe un homeomorfismo h : X −→ Y tal que

h(φ1(t, x)) = φ2(t, h(x)),

para todo x ∈ X. En tal caso diremos que los flujos φ1 y φ2 sonequivalentes.


Teorema de Hartman-Grobman

SeanW un subconjunto abierto de Rn, f ∈ C2(W ). Sean x ∈Wpunto de equilibrio del sistema x′ = f(x) y φ(t, x) el flujo ge-nerado por el sistema anterior. Suponga que todos los valorespropios de la matriz J(x) := Df(x) tienen su parte real distintade cero, entonces existen abiertos U y V de Rn y un homeo-morfismo h : U −→ V tal quea) x ∈ U ;

b) 0 ∈ V ;

c) Si φ(t, x0) ∈ U entonces

h (φ(t, x0)) = etJ(x)h(x0).

Demostración.Ver en Perko, Sección 2.8.


Dinámica del modelo con efecto Allee débil (m < br)

El modelo (1) tiene dos puntos de equilibrio en la frontera y son:

E10 = (0, 0) E11 = (N11, P11)

con

N11 =r(K − b) +

√r2(K − b)2 + 4Kr(br −m)

2r,

P11 = 0.


Y un único punto de equilibrio de coexistencia de las poblacio-nes E∗1 = (N∗, P ∗) cuando

m < br +aqr

K(1− q)2((K − b)(1− q)− aq)

y

max

b,

aq

1− q

< K < b +

aq

1− qdonde

N∗ =aq

1− q, P ∗ =

ar(K −Kq − aqK(1− q)2

− am

b(1− q) + aq.


La matriz jacobiana del modelo (1) en E10 toma la forma:(r − m

b 00 −sq

).

Teorema 1El estado de equilibrio trivial E10 es un punto silla para el modelo(1)

Es posible mediante los mismos argumentos mostrar que E11

es, también, un punto silla del modelo (1).


Por otra parte la matriz jacobiana del modelo (1) enE∗1 = (N∗, P ∗)toma la forma:

J =

(J11 J12

J21 J22

)=

[mN∗

(N∗+b)2+ N∗P ∗

(N∗+a)2− rN∗

K − N∗

N∗+aasP ∗

(N∗+a)20

]

det(J) = − asN∗P ∗

(N∗ + a)3> 0 y tr(J) =

mN∗

(N∗ + b)2+

N∗P ∗

(N∗ + a)2−rN

∗

K


Figura: Diagrama de fase del sistema 1


Teorema 2. Estabilidad local del Estado de coexistencia E∗1cuando

K(1− q)3(a− b)m < r(Kq −K + a+ aq)(aq + b− bq)2

se tiene que E∗1 es un estado de equilibrio asintóticamenteestable localmente, en el modelo (1).

cuando

K(1− q)3(a− b)m > r(Kq −K + a+ aq)(aq + b− bq)2

se tiene que E∗1 es un estado de equilibrio inestable.


Teorema 2. Estabilidad local del Estado de coexistencia E∗1cuando

K(1− q)3(a− b)m < r(Kq −K + a+ aq)(aq + b− bq)2

se tiene que E∗1 es un estado de equilibrio asintóticamenteestable localmente, en el modelo (1).cuando

K(1− q)3(a− b)m > r(Kq −K + a+ aq)(aq + b− bq)2

se tiene que E∗1 es un estado de equilibrio inestable.


Teorema 3. Estabilidad global del Estado de equilibrio E∗1supongamos que

a < b;

rb2(K − a) < K(b− a)m;

maxb, aq

1−q

< K < mın

a+ b, b+ aq

1−q

Entonces E∗1 en el modelo (1) es un estado de equilibrio

globalmente estable, y además, también es globalmente

estable en el modelo (2)



a < b;

rb2(K − a) < K(b− a)m;

maxb, aq

1−q

< K < mın

a+ b, b+ aq

1−q






a < b;

rb2(K − a) < K(b− a)m;

maxb, aq

1−q

< K < mın

a+ b, b+ aq

1−q





Figura: Diagrama de fase caso estable


Referencia. Demostración del Teorema 3Se basa en el Teorema 2.5 del artículo referencia 4.

Función de Lyapunov

E(t)=∫

ΩW (u, v)dx

donde

W(u,v)=∫ uu∗

p(s)−p(u∗)p(s) ds+A

∫ vv∗

η−v∗η dη

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