LÍNEAS DE ESPERA

Gabriel García Velazquez

2.1 Definiciones, características y

suposiciones• Definición: Una Cola es una línea de espera y la teoría de

colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas.

• Características: Características de las llegadas, Características de la línea de espera, Características del dispositivo de servicio, Medida del funcionamiento de las colas, Costos de las colas

•   Supuestos: a)Un solo prestador del servicio y una sola fase. b)Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de

promedio de llegadas. c) Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio. d) Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola

2.2 Terminología y notación.

NOTACION • Características operativas.- Medidas de desempeño para una línea de espera que incluyen la

probabilidad de que no haya unidades en el sistema• Operación de estado estable.-  Operación normal de la línea de espera después de que ha

pasado por un periodo inicial o transitorio• Tasa media de llegada.- Cantidad promedio de clientes o unidades que llegan en un periodo

dado• Tasa media de servicio.- Cantidad promedio de clientes o unidades que puede atender una

instalación de servicio en un periodo dado• Población infinita.- Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, no tiene un

límite superior especificado.• Población finita.- Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, tiene un valor

fijo y finito.TERMINOLOGIA

• P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema• Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera • L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo

atendidos).• Wq = Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera.• W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema.• Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.• Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio

2.3 Proceso de nacimiento o muerte.

el término nacimiento se refiere allegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere ala salida del cliente servido.(Las dos situaciones se denominan proceso de nacimiento puro y proceso de muerte pura.)• SUPOSICIÓN 1.Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0,1,2,….)•   SUPOSICIÓN 2.Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….).• SUPOSICIÓN 3.La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que faltahasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes

2.4 Modelos Poisson.• También se denomina de sucesos raros.• Se obtiene como aproximación de una

distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n>30) y ‘p pequeño’ (p<0,1).

• Queda caracterizada por un único parámetro μ (que es a su vez su media y varianza.)

• Función de probabilidad:

,...2,1,0 ,!

][ kk

ekXPk

2.4.1 Un servidor.• Modelo M/M/1:DG/&/&Este es un modelo con un solo servidor, sin lımite en la capacidad del sistema o de la población. Se supone que las tasas de llegadas son independientes del numero en el sistema, es decir, n = . Similarmente, se supone que el servidor completa su servicio a una tasa constante, es decir, μn = μ. Definiendo = μ, del modelo generalizado de Poisson tenemos que

• Al usar c servidores paralelos se acelera la tasa de servicio. Si el numero de clientes en el sistema n es igual o excede a c, la tasa combinada de servicio es igual a cμ. Por otra parte, si n es menor que c, la tasa combinada de salidas es de nμ. En términos del modelo generalizado tenemos:

2.4.2 Múltiples Servidores.

2.5 Análisis de costos• Antes de que pueda llevarse a cabo un análisis económico

de una línea de espera, debe elaborarse un modelo de costo total, el cual incluye el costo de esperar y el costo de servicio. Cw= costo de esperar por período para cada unidadL= cantidad promedio de unidades en el sistemaCs= costo de servicio por período para cada canalK= cantidad de canales

La forma general de las curvas de costo en el análisis económico de las líneas de espera consiste en que el costo del servicio aumenta conforme aumenta la cantidad de canales; pero con más canales, el servicio es mejor. Como resultado, el tiempo de espera y el costo disminuyen conforme se aumenta la cantidad de canales.

BILBIOGRAFIA• http://www.unazulia.com/archivos/337/

Lectura6.2.pdf• http://www.mitecnologico.com/Main/

TeoriaDeColasProcesoDeNacimientoYMuerteModelosPoisson

• http://www.monografias.com/trabajos18/teoria-colas/teoria-colas.shtml

• http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/investoper2/tema37.htm

• http://enlaweb.com.mx/io2/lineas-de-espera.php