Lista de problemas confeccionada por los profesores del curso.Tema: Integrales y sus aplicaciones.

Evalué las siguientes integrales:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

29) 30)

31) 32)

33) 34)

35) 36)

37) 38)

1

39) 40)

41) 42)

43) 44)

45) 46)

47) 48)

49) 50)

51) 52)

53) 54)

55) 56)

57) 58)

59) 60)

61) 62)

63) 64)

65) 66)

67) 68)

69) 70)

71) 72)

73) 74)

75) 76)

77) 78)

79) 80)

81) 82)

83) 84)

85) 86)

87) 88)

2

89) 90)

91) 92)

93) 94)

95) 96)

97) 98)

99) 100)

101) 102)

103) 104)

105) 106)

107) 108)

109) 110)

111) 112)

113) 114)

115) 116)

117) 118)

119) 120)

121) 122)

123) 124)

125) 126)

127) 128)

3

129) 130)

131) 132)

133) 134)

135) 136)

137) 138)

139) 140)

141) 142)

143) 144)

145) 146)

147) 4xarc xdxsen 148)

149) 150)

151) 152)

153) 154)

155) 156)

APLICACIONES DE LAS INTEGRALES

Esquematice la región encerrada por las curvas dadas. Decida si integra con respecto a x ó a y. Dibuje un rectángulo típico para establecer el diferencial de área. A continuación halle el área de la región.

157)

158) 2x2 + y2 = 12 , y = x , x = 0 ( En el primer cuadrante )

159) y2 + 8x = 16 , y2 - 24x = 52160) y = arc tg x , y = 0 , x = 1

161) y = ln x , y = 0 , x = e2

162)

163)

164) y = arc cos x , y = p , x = 0

165) x2 + y2 = 8 , y2 = 2x ( Dos soluciones )166)

167)

168)

169)

4

170)

171) y el eje x.

172) y el eje x .

173)

174) 175) Calcular el área de la región R encerrada por las curvas

y .

176) Encuentre el área de la región R que se encuentra fuera de la curva y dentro de la curva .

177) Obtener el área de la región que es exterior a ala curva r = 1 e interior a la curva .

178) Encontrar el área de la región R que se encuentra fuera de la curva y dentro de la curva .

5

179) Calcular el área de la región R que esta encerrada por la curva y fuera de la curva r = 1

180) Encuentre el área de la región común de las curvas y r = 2. 

181) Hallar el área interior a la curva r = sen2q. 

6

182. Calcule el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones

y

183. Calcule el área de la región acotada por las gráficas de y ; calcule también el volumen del cuerpo generado al hacer girar la región anterior en tono de la recta y = 4.

184. Calcule el volumen del sólido de revolución formado al hacer girar la región acotada por la gráfica de y el eje x ( ) en torno al eje x.

185. Un fabricante diseña un objeto metálico en forma de esfera con un radio de 5 pulgadas, y con un orificio cilíndrico en su interior como

muestra la figura. El hueco tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del objeto metálico resultante?

186. Plantee las integrales necesarias para calcular el volumen del sólido generado al rotar la región definida por la gráfica de la curva

, el eje X y la recta x = 2.

a) Alrededor del eje X.b) Alrededor del eje x = 5.

187. Sea f una función impar continua en [- a, a], calcule

188. Evalúa las integrales siguientes interpretándolas en términos de áreas.

a)

b)

7

c)189. Un tanque esférico de almacenamiento de agua de SEDAPAL de 4 m de radio está instalado de modo tal que su parte superior queda a 20 m sobre el piso. Si en cierto momento se encuentra lleno de agua hasta la mitad de su capacidad se pide indicar (no calcular) la integral que permita determinar el trabajo en kilojoules que debe realizar una bomba para desaguar parcialmente el tanque, sabiendo que esta debe elevar el agua hasta la parte superior del mismo, pero que se desean dejar veinte centímetros de agua al fondo.

Nota: Coloque los ejes coordenados de modo que el eje x coincida con la altura de bombeo.

190. Un contratista construye un gran recipiente (para almacenar agua) en forma de un semicilindro circular recto. Al instalarlo en el campo, la cara rectangular de doce metros de longitud y tres de diámetro es apoyada horizontalmente sobre una base de concreto armado de un metro de altura. Si se vierte agua al tanque hasta cubrir la mitad de su radio, se pide indicar (no calcular) las integrales que permitan:

a) Determinar la fuerza hidrostática en kilonewtons ejercida sobre cada una de las dos caras verticales (semicirculares) del recipiente.

Nota: Coloque los ejes coordenados de modo que el eje x coincida con el nivel del agua.

b) Determinar el trabajo en kilojoules que debe realizar una bomba para desaguar el tanque, si el agua debe bombearse hasta un punto dos metros mas alto que la parte superior del mismo.

Nota: Coloque los ejes coordenados de modo que el eje x coincida con la altura de bombeo.191. Un reservorio en forma de cono circular recto tiene un diámetro de 12 m en la parte inferior y una altura de 8 m. Si el tanque se llena con agua dulce hasta una altura de 5 m, se pide calcular el trabajo en kilojoules para desaguarlo. Suponga que el tanque se apoya sobre el suelo y que el agua debe bombearse hasta una altura de 10 m, es decir dos metros mas arriba que el vértice del cono.

Nota: Coloque los ejes coordenados de modo que el eje x coincida con la altura de bombeo.

192. Una compuerta en forma de un triángulo equilátero de dos metros de altura se instala sobre la pared vertical de un enorme tanque en forma de paralelepípedo rectangular de 20 metros de largo, 12 metros de ancho y 8 metros de profundidad, de tal modo que uno de sus lados queda apoyado horizontalmente un metro antes de llegar al fondo del tanque. Si el tanque se llena con agua salada con una densidad de 1200 Kg/m3, se pide plantear (no resolver) la integral que permite calcular la fuerza hidrostática en kilonewtons sobre la compuerta.

Nota: Coloque los ejes coordenados de modo que el eje x coincida con el nivel del agua.

193. Se requiere una fuerza de 150 N para mantener estirado 8 cm un resorte de 24 cm de longitud natural. Hallar el trabajo necesario para estirarlo desde el triple hasta el quíntuplo de su longitud natural.

194. Se necesita de 50 N para mantener estirado cierto resorte 40 cm más que su longitud natural. Suponga que el resorte se estira 25 cm desde su longitud natural. Halle el trabajo que se necesita para estirarlo, desde esa posición, 15 cm más.

8

195. Un resorte se encuentra estirado una longitud de 10 cm. Si se precisan de 10 J de trabajo para estirarlo 5 cm más y de otros 14 J para estirarlo 5 cm adicionales, ¿cuáles son la longitud natural L y la constante k de este resorte?Un recipiente en forma de cilindro parabólico como el que se muestra en la figura, está lleno de agua hasta las tres cuartas partes de su altura:

196. Calcule el trabajo requerido para evacuar todo el agua por la parte superior que está tres pies por encima.La fuerza hidrostática sobre las paredes parabólicas.

197. En el fondo de una represa, a 25 m de profundidad está el centro de una compuerta circular de 2 m de diámetro. Calcule la fuerza debido a la presión del agua sobre la compuerta.

198. Suponga que R es la región limitada por la gráfica de y la recta tangente a esta curva en el punto .

Halle el área de R.Halle el volumen del sólido que se genera cuando R gira alrededor de la recta . Resuelva el problema de dos formas: En la primera, considere que ´´y´´ es la variable de integración; mientras que en la segunda, la variable de integración es ´´x´´.

199. Suponga que C es la curva con ecuación . Sea R la región limitada por C y por las rectas tangentes a C en los puntos con abscisa 5.

a) Halle el área de R.b) Halle el volumen del sólido que se genera cuando R gira alrededor de la recta . Resuelva el problema de dos maneras: En la primera, la variable de la integral definida que va a usar es ´´x´´; mientras que en la segunda, la variable de la integral definida es ´´y´´.

200. Suponga que C es la curva con ecuación y que es la recta tangente a C en el punto de ordenada 1. Si R es la región limitada por C, y el eje X :

a) Halle el área de R.b) Halle el volumen del sólido que se genera cuando R gira alrededor de la recta .

201. Un tanque tiene la forma de un paralelepípedo rectangular, cuyas medidas son 6 pies de profundidad, 4 pies de ancho y 12 pies de largo, está lleno de agua.

a. Cual es el trabajo realizado para bombear 2/3 del tanque.

9

4

8

3 4

3

b. Cual es trabajo realizado para vaciar el tanque.

202. Un tanque de forma semicilíndrica de radio 3 m, un largo de 10 m, esta llena de agua se desea bombear a una altura de 2 m.

a. Calcular el trabajo efectuado al bombear el agua hasta la mitad de su altura.

b. Calcular el trabajo efectuado al vaciar toda el agua.

203. Un tanque tiene la forma de 8 pies de largo cuyos extremos tiene la forma de triángulos equiláteros de 2 pies de lado, está lleno de agua. Calcule el trabajo que se requiere para bombear el agua hasta un punto que se encuentra a 1,2 m arriba de la parte superior de la cisterna.

204. El tanque tiene la forma de un cono truncado con un diámetro en la parte inferior de 2 m y 3 m el la parte superior con un altura de 10 m, esta lleno de agua. ¿Qué trabajo se requiere para vaciar todo el tanque.

205. Suponga que un estudiante portador de un virus de gripe o influenza regresa a un campus Universitario aislado que tiene 1000 estudiantes. Si se supone que la rapidez con que el virus es proporcional no sólo al numero x de estudiantes contagiados, sino también al número de alumnos no contagiados, determinar el número de estudiantes contagiados después de 6 días, si además observa que después de 4 días el número de estudiantes contagiados es de 50 alumnos.

206. Se tiene un reservorio semicilíndrico lleno de agua de diámetro 1m y 2m de longitud dispuesto

como muestra la figura. Se desea calcular el trabajo necesario para evacuar el tanque llevando el agua a un nivel 2m por encima del borde superior del reservorio.

207. Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 galones de líquidos en los cuales se disuelven 10 lb de sal. Una salmuera que contiene ½ lb de sal por galón se bombea al tanque con una rapidez de 6 gal/min. La solución adecuadamente mezclada se bombea enseguida hacia fuera con una velocidad de 4 gal/min. Halle el número de libras de sal que hay en el tanque después de 30 min.

208. El isótopo radiactivo de plomo (PB209), se desintegra en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante y tiene una semivida de 3.3 horas. Si inicialmente hay un gramo de plomo, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que se desintegre el 90% de dicho elemento?

209. Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcohol por galón a un tanque que inicialmente contiene 400 galones de cerveza con 3% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el interior con una velocidad de 3 gal/min, en tanto que el líquido mezclado se extrae con una rapidez de 4 gal/min. Obtenga el número A(t) de galones de alcohol que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuál es el % de alcohol que hay en el tanque después de 60 min?

210. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de seis horas la masa disminuyo en 3 %. Si la

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2m 1m

rapidez de desintegración es, en un instante cualquiera proporcional a la cantidad de sustancia en dicho instante, halle la cantidad que queda después de 24

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