M.Sc. Edinson Idrogo Burga Matemtica III

LISTA DE EJERCICIOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

I. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

1. 1)1( ,0)( 22 yxydydxyx

2. 4

)1( ,)/(cos2

yx

xyxy

dx

dy

3. 1)1( ,2

222

22

yxxyy

xxyy

dx

dy

4. 222 23 xxyyyx

5. 0)/cos())/cos()/(( dyxyxdxxyyxyxsen

6. 222 xxyyyx

7. )/( xyarctgx

y

dx

dy

8. 0)()2

(2

2

dyy

xsenydxx

y

xsen

9. 0)cos()cos( dyxyxxdxxyyy

10. 0)2()( 222 dyexxydxyex yy

11. 0)ln12( 2dyxdxxxy

12. 2)1( ,0)725()324( ydyxydxyx

13. ysenx

xyx

dx

dy cos

14. 21

1

x

xy

dx

dy

15. dxxxyxdyx )()1( 32

16. senxxyyx 2

17. 0 ,0)( ,cos2

2xy

x

xy

xdx

dy

18. 0)0( ,cos

1y

xytgxy

19. 0)0( ,constantesson ER,L, donde , iERidt

diL

20. 1)0( ,2 xexdt

dx t

21. 2

2 )32(2

x

yxy

dx

dy

22. 0cos 2yysenxdx

dyx

23. 1)1( ,03)2( 233 ydyxydxxy

24. 1)1( ,04)6( 22 yxydydxyx

25. 2)0( ,24 2/1 yyeyy x

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26. yarctgxx

yx

xy .

1

4

1

2

22

27. ,523 xyxx

y

dx

dy una solucin es xx)(

28. ,cos

22

2

x

senxsenxy

dx

dy una solucin es

xx

cos

1)(

II. Resolver los siguientes problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. 1. Un termmetro que marca 20F, se lleva a un cuarto cuya temperatura es de 72F, un minuto

despus la lectura del termmetro es de 33F. Determina las temperaturas medidas como una

funcin del tiempo y en particular encontrar la temperatura que marca el termmetro cinco

minutos despus que se lleva al cuarto.

2. Se sabe que la poblacin de cierta comunidad aumenta con una razn proporcional a la

cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la poblacin se duplico en cinco aos,

en cunto tiempo se triplicara y cuadruplicara?

3. Suponga que la poblacin de la comunidad anterior es de 10000 despus de tres aos. Cul

era la poblacin inicial? Cul ser en 10 aos?

4. La poblacin de una comunidad crece con una tasa proporcional a la poblacin en cualquier

momento. Su poblacin inicial es 500 y aumenta el 15% en 10 aos. Cul ser la poblacin

pasados 30 aos?

5. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional

a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10

horas, hay 2000 especmenes. Cul era la cantidad inicial de bacterias?

6. Un termmetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior, donde la temperatura

del aire es 5F. despus de un minuto, el termmetro indica 55F y despus de 5 minutos marca

30F. Cul era la temperatura del recinto interior?

7. Un termmetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 70F y se lleva al

exterior, donde la temperatura es 10F. pasado medio minuto el termmetro indica 50F. Cul

es la lectura cuando 1t min? Cunto tiempo se necesita para que el termmetro llegue a

15F?

8. Un tanque contiene 200 litros de agua en que se han disuelto 30 gramos de sal y le entran 4

L/min de solucin con un 1 gramo de sal por litro; est bien mezclado, y de el sale liquido con el

mismo flujo. Calcula la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier

momento t.

9. Resuelva el problema anterior suponiendo que le entra agua pura.

10. Un tanque tiene 500 galones de agua pura y le entra salmuera con 2 libras de sal por galn a un

flujo de 5 gal/min. El tanque est bien mezclado, y sale de l el mismo flujo de solucin. Calcule

la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier tiempo.

11. Resuelva el problema anterior suponiendo que la solucin sale a un flujo de 10 gal/min.

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12. Un tanque est parcialmente lleno con 100 galones de agua, con 10 libras de sal disuelta. Le

entra salmuera con 1/2 libras de sal por galn a un flujo de 6 gal/min. El contenido del tanque

est bien mezclado y de l sale un flujo de 4 gal/min de solucin. Calcule la cantidad de libras

de sal que hay en el tanque a los 30 minutos.

III. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

1. 69 32 xexyy

2. xsenyy 3542

3. 2)0( ,0)0( ,34 2 yyexyy x

4. 1)0()0( ,42 yyxeyyy x

5. )22(52 xsenxeyyy x

6. 1xivv xeyy

7. 224 xsenxxeyy x

8. xsenxxeyyy x 2cos42 2

IV. Dar la forma de la solucin particular de las siguientes ecuaciones diferenciales

1. xexyy 224

2. xyy 2cos9

3. xx xeexyyy 22 )1(65

4. xsenexxyy x 323 324

5. )1( senxxyy

V. Resolver los siguientes problemas de ecuaciones diferenciales de orden superior

1. Al fijar un contrapeso de lb24 al extremo de un resorte, lo estira in4 . Deduzca la ecuacin

del movimiento cuando el contrapeso se suelta y parte de la posicin de equilibrio con una

velocidad inicial de sft /2 hacia abajo.

2. Una masa de kg1 esta unida a un resorte cuya constante es mN /16 y todo el sistema se

sumerge en un lquido que imparte una fuerza de amortiguamiento numricamente igual a 10

veces la velocidad instantnea. Formule las ecuaciones del movimiento, si

(a) El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a m1 abajo de la posicin de equilibrio

(b) El contrapeso se suelta partiendo de la posicin de equilibrio con una velocidad de sm /12

hacia arriba.

3. Un peso de 4 libras produce un muelle, del que est suspendido, un desplazamiento de 8

pulgadas hacia abajo respecto de la longitud natural del muelle. Se tira del peso hasta

desplazarlo 6 pulgadas ms hacia abajo y se suelta a continuacin con una velocidad inicial de

8 pies/s, dirigida hacia arriba. Determina una frmula que describa la posicin del objeto en

funcin del tiempo t.