ALGEBRA IILista de teoremas para el examen final

NUMEROS COMPLEJOS, SISTEMAS DE ECUACIONES

Definicion de cuerpo. Los numeros complejos son un cuerpo. Definicion de sistemas de ecuaciones equivalentes.

MATRICES

Definicion de operaciones elementales por filas, OEF. Operaciones elementales por filas son inversibles. Definicion de matrices equivelentes por filas. Si A y B son equivalentes por files, los sistemas homogeneos asociados tienen las mismas soluciones. Definicion de matriz reducida por filas RF. Toda matriz es equivalente a una matriz RF. Definicion de matriz escalon reducida por filas ERF. Toda matriz es equivalente a una matriz ERF. El sistema homogeneo asociado a una matriz m n con m < n tiene una solucion no trivial. Una matriz A n n es equivalente a la identidad si y solo si el sistema AX = 0 tiene solo la solucion

trivial.

Definicion suma y producto de matrices. Propiedades de estas operaciones. Aplicar una OEF es igual a multiplicar por una matriz elemental. Corolarios del teorema anterior. Definicion inversa a izquierda, derecha, matrices inversibles. Inversas a izquierda y derecha son iguales. Producto de matrices inversibles es inversible. Toda matriz elemental es inversible. Corolarios del teorema anterior. Equivalencia entre matriz inversible, equivalente por filas a I, producto de matrices elementales. Corolarios. Equivalencia entre matriz inversible, sistema homogeneo tiene solo solucion trivial, sistema no homo-

geneo AX=Y tiene solucion unica para todo Y.

Corolarios.

DETERMINANTE

Definicion determinante. Teorema propiedades del determinante. Teorema det(A.B)=det(A).det(B). Teorema determinante de una matriz triangular. Teorema: inversa de una matriz en terminos de los cofactores. Teorema: Regla de Cramer.

ESPACIOS VECTORIALES

Definicion espacio vectorial. Propiedades de espacios vectoriales. Definicion combinacion lineal. Definicion subespacio vectorial. Interseccion de subespacios vectoriales es un subespacio vectorial. Definicion espacio generado por un conjunto de vectores. Teorema: el subespacio generado por un conjunto de vectores es el conjunto de sus combinaciones

lineales.

Definicion de suma de conjuntos. Teorema: Suma de subespacios vectoriales es un subespacio vectorial. Definicion: Conjuntos linealmente dependientes e independientes. Propiedades de conjuntos LI y LD. Definicion de base. Teorema: Si un conjunto B genera un espacio vectorial. Entonces todo conjunto LI tiene una cantidad

menor o igual de elementos.

Corolario1: Todas las bases tienen la misma cantidad de elementos. Corolario 2. Definicion de dimension de un espacio vectorial de dimension finita. Lema: Si un v no pertenece al espacio generado por un conjunto LI S, entonces S {v} es LI. Lema: Si S es un conjunto LD, existe un elemento v tal que S \ {v} genera el mismo espacio que S. Teorema: Todo conjunto LI es parte de una base. En todo conjunto LD que genera puedo elegir una

base.

Corolarios. Teorema: Formula dimension suma de subespacios. Definicion coordenadas. Teorema: Cambio de bases.

TRANSFORMACIONES LINEALES

Definicion de transformacion lineal, propiedades basicas. Teorema: Existe una unica TL de que lleva una base en vectores arbitrarios. Definicion de imagen y nucleo. Proposicion: Imagen y nucleo son subespacios vectoriales. Definicion de TL suryectiva e inyectiva. Proposicion: T es inyectiva sii NuT = {0}. Definicion de isomorfismo. Teorema: dimV = dim ImT + dim NuT . Teorema: Equivalencia entre isomorfismo, inyect., sury, y mandar base en otra base. Teorema: Rango fila de una matriz es igual al rango columna. Definicion de TL inversible. Inversa es unica. Una TL es inversible sii es 1a1 y sobre. La inversa de una TL es una TL. Todo espacio vectorial de dim n sobre K es isomorfo a Kn. Dos espacios vectoriales son isomorfos sii tienen la misma dimension. Teorema: matriz de una transformacion lineal.

Definicion espacio dual. Base dual.

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

Definicion autovalores y autovectores. Teorema: Equivalencia, c es un autovalor, T cI no es 1a1, det(T cI) = 0. Definicion de matriz diagonalizable. Teorema: Autovectores correspondientes a autovalores distintos son LI. Corolario.