LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO · 2018-12-20 · el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. pág.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO x x 0 significa

el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. pág.1

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

0xx significa que x toma valores cada vez más próximos a 0x .

Se lee “x tiende a 0x ”.

Ejemplo: 0; 1,9; 0,5; 1,4; 0,8; 1,1; 0,95; 1,01; 0,999; …

Es una secuencia de números cada vez más próximos a 1.

Escribimos x1.

0xx significa que x toma valores cada vez más próximos a 0x , pero menores que 0x .

Se lee “x tiende a 0x por la izquierda”.

Ejemplo: la secuencia: 0; 0,5; 0,8; 0,95; 0,99; …

Está formada por números menores que 1 y cada vez más próximos a 1.

Escribimos x1 .

0xx significa que x toma valores cada vez más próximos a 0x , pero mayores que 0x .

Se lee “x tiende a 0x por la derecha”.

Ejemplo: la secuencia: 2; 1,5; 1,1; 1,01; 1,001; …

Escribiremos x1 .

Estudiaremos el comportamiento de la función cuando x se aproxima a 0x :

El comportamiento de f(x) cuando

0xx , se expresa así:

)(lim0

xfxx

(límite de f(x) cuando x tiende a 0x por la izquierda)

El comportamiento de f(x) cuando

0xx , se expresa así:

)(lim0

xfxx

(límite de f(x) cuando x tiende a 0x por la derecha)

El comportamiento de f(x) cuando 0xx , se expresa así:

)(lim0

xfxx

(límite de f(x) cuando x tiende a 0x )

Ejemplo: 5)( 2 xxf

x 0 0,9 0,99 …

f(x) 5 5,81 5,9801 …

6)(1

xflimx


x 2 1,1 1,01 …

f(x) 9 6,21 6,02 …

6)(lim1

xfx

Por lo tanto, cuando los valores de x se aproximan a 1, los valores de f(x) se aproximan a 6:

6)(lim1

xfx

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

En resumen: Si Lxfxfxxxx

)(lim)(lim

00

, decimos que Lxfxx

)(lim0

.

Decimos que la función es convergente en x = 0x .

Si los dos límites laterales no toman el mismo valor, se dice que no existe el )(lim0

xfxx

. Y la función no

es convergente en x = 0x .

LÍMITES INFINITOS CUANDO X TIENDE A UN NÚMERO FINITO. ASÍNTOTAS VERTICALES

)(lim0

xfxx

(límite de f(x) cuando x tiende a 0x por la izquierda):

)(lim

0

xfxx

Cuando

0xx , f(x) toma valores cada vez más grandes, llegando a superar cualquier valor, por

grande que sea.

Ejemplo: 2

1

1)(

xxf

x 0 0,9 0,99 …

f(x) 1 100 10000 …

)(1

xflimx

)(lim0

xfxx

(límite de f(x) cuando x tiende a 0x por la izquierda):

)(lim

0

xfxx

Cuando

0xx , f(x) toma valores cada vez más grandes pero negativos, llegando a superar cualquier

valor, por grande que sea.

Ejemplo: 1

1)(

xxf

x 0 0,9 0,99 …

f(x) -1 -10 -100 …

)(1

xflimx


La idea de límites infinitos de una función cuando x tiende a un número real por la derecha o por la

izquierda se ve en la siguiente imagen:

Cuando ambos límites laterales son infinitos, observamos que la función presenta una asíntota vertical

en dicho punto 0x .

Ejemplo:

)(1

xflimx

;

)(lim1

xfx

LÍMITES FINITOS EN EL INFINITO

Para expresar que x toma valores cada vez más grandes, ponemos x + . Se lee “x tiende a más

infinito”.

Por ejemplo, si x toma los valores 10, 100, 1000, 10000, …, decimos que x + .

)(xflimx

(límite de f(x) cuando x tiende a más-infinito)


Análogamente, si x toma los valores - 10, - 100, - 1000, - 10000, …, decimos que x - .

)(xflimx

(límite de f(x) cuando x tiende a menos-infinito)

Cuando x + , si los valores de f(x) son cada vez más próximos a un número L, se trata de un límite

finito cuando x tiende a + .

Lxflimx

)(

Ejemplo: 5

32)(

2

2

x

xxf

x 10 100 1000 …

f(x) 1,876 1,9987 1,99999987 …

Es decir, 2)(

xflimx

Cuando los límites en el infinito son un número finito, observamos que la función presenta una asíntota

horizontal de ecuación y = L.

Ejercicio:

Dada la siguiente función, calcula los límites en - , - 2, 1 y + .


LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO

)(xflimx

Cuando x + , los valores de f(x) crecen cada vez más.

)(xflimx

Cuando x + , los valores de f(x) son cada vez más “negativos”.

)(lim xfx

Cuando x - , los valores de f(x) crecen cada vez más.

)(lim xfx

Cuando x - , los valores de f(x) son cada vez más “negativos”.

existenoxflimx

)( Cuando x+, los valores de f(x) ni crecen ni decrecen indefinidamente,

ni se acercan cada vez más a ningún número.

Los comportamientos que pueden darse:

EJERCICIOS

1.- En las siguientes funciones, cuyas gráficas se dan, calcula los valores pedidos:


f(2) f(5) f(-5) f(-6)

)(5

xflimx

)(5

xflimx

)(6

xflimx

)(2

xflimx

)(2

xflimx

)(5

xflimx

)(5

xflimx

)(5,2

xflimx

)(5,2

xflimx

g(1) g(2) g(2,5) g(3)

)(1

xglimx

)(2

xglimx

)(2

xglimx

)(3

xglimx

)(3

xglimx

)(3

xglimx

2.- En las siguientes funciones, cuyas gráficas se dan, calcula los valores pedidos:

)(1

xflimx

)(1

xflimx

)(1

xflimx

)(1

xflimx

)(xflimx

)(xflimx

)(2

xglimx

)(2

xglimx

)(2

xglimx

)(xglimx

)(xglimx

)(1

xglimx

OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES

Sean f y g dos funciones tales que existan )(xflimax

y )(xglimax

y c un número real, (a puede ser un

valor real o ), entonces:

PROPIEDADES FUNCIÓN OPERACIONES

)()())(( xglimxflimxgflimaxaxax

Suma Adición

)()())(( xglimxflimxgflimaxaxax

Diferencia

)()·())(·( xglimxflimxgflimaxaxax

Producto Multiplicación

Y

división

)(

)())((

xglim

xflimx

g

flim

ax

ax

ax

Cociente

)(limlog)(loglim xfxfax

aaax

Función logarítmica Logaritmo del límite

)()( )()(xglim

ax

xg

ax

axxflimxflim

Potencia Potenciación


Estas relaciones son ciertas siempre que tengan sentido las operaciones definidas con números reales o

las definidas al añadir los elementos + y -. En caso contrario no es posible obtener el límite del

primer miembro a partir de los límites del segundo.

Cuando esto ocurre se dice que el cálculo del límite es indeterminado. Esta expresión no significa que el

límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación directa de los teoremas tal y como

están enunciados es imposible. Los casos de indeterminación son los siguientes:

Racionales Exponenciales

k/0, /, 0·, -, 0/0 1 , 0 , 00

Si al calcular un límite se presenta alguno de estos casos, conviene transformar la expresión de la

función en otra equivalente a la que sí puedan aplicarse los teoremas de los límites. Las

indeterminaciones que vamos a estudiar este curso son las siguientes:

INDETERMINACIONES TIPOS

0

L

0

K

0

0

0

0

0

(+)-(+) -

(-)-(-)

(+)+(-)

(-)+(+)


OPERACIONES CON EXPRESIONES EN QUE APARECE ∞

SUMA Y RESTA PRODUCTO

K

0

0

ksi

ksi·k

K

0

0

ksi

ksi·k

K ·

K ·

·

COCIENTE POTENCIA

0

kk

100

1

ksi

ksik

000

10

10

ksi

ksik

0

0

0 ksi

ksik

00

0

ksi

ksik

0

0 0


CÁLCULO DE LÍMITES SENCILLOS


CÁLCULO DE LÍMITES

• Cálculo de límites de una función en un punto

El primer paso para calcular un límite es sustituir el número al que tiende x en la función.

1. El límite de una constante, en cualquier punto, es ella misma:

kklimax

2. El límite de una función polinómica, f(x)=P(x), cuando xa, coincide con P(a).

)()( aPxPlimax

Ejemplo: 1512852·3253 2323

2

xxlim

x

3. El límite de un cociente de polinomios, f(x)=P(x)/Q(x), cuando xa, coincide P(a)/Q(a) si P(a)0 y

Q(a)0.

)(

)(

)(

)(

aQ

aP

xQ

xPlim

ax

Ejemplo: 5

3

25

15

23

3·23

2

23

2

3

2

3

x

xxlimx

4. Indeterminación 0

0

a) La indeterminación 0/0 de funciones racionales desaparece descomponiendo en factores el

numerador y el denominador y simplificando.

Ejemplos:

•

0

6

0

4

2

42

2)(

0

0

82

44

2

2

22

2

2

x

xlim

xx

xlimIND

xx

xxlim

xxx

•

3

1

3

44

2

443

23)(

0

0

12167

652

2

32

2

323

23

3

xx

xxlim

xxx

xxxlimIND

xxx

xxxlim

xxx

b) La indeterminación 0/0 de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función

por la expresión radical conjugada.

Ejemplos:

•

21·5

21

21·5

21·21)(

0

0

5

21 22

555 xx

xlim

xx

xxlimIND

x

xlim

xxx

4

1

21

1)(

0

0

21·5

5

55

xlimIND

xx

xlim

xx

•

22222

11

11·2

11·11

11·2)(

0

0

11

2

x

xxlim

xx

xxlimIND

x

xlim

xxx


211211)(0

0

2

11·2

22

xlimIND

x

xxlim

xx

•

352

95

352

3535)(

0

0

2

35

22

2

222

22

22

2

2 xxx

xlim

xxx

xxlimIND

xx

xlim

xxx

3

1

12

4

35

2

352

22)(

0

0

352

4

222222

2

2

xx

xlim

xxx

xxlimIND

xxx

xlim

xxx

5. Indeterminación k/0

El caso k/0, k0, no suele tomarse como indeterminado ya que el límite, si existe, es siempre + ó -.

Se calculan los límites laterales; si son iguales, la función tiene límite + ó -; en caso contrario no

existe el límite.

Ejemplos:

• iteelexisteNo

x

xlim

x

xlim

INDK

x

xlim

x

x

xlím

0

5

3

2

0

5

3

2

)(03

2

3

3

3

• iteelexisteNo

x

xlim

x

xlim

INDK

x

xlim

x

x

xlím

0

6

2

2

0

6

2

2

)(02

22

2

2

22

2

6. La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo

la diferencia a una única expresión.

Ejemplo:

1

7

45

421 xxx

limx

7. La indeterminación 0· se resuelve transformándolas en las de tipo 0/0.

Ejemplo:

•

1

411)(

0

0

1

4·1)(·0

1

4·1

1

2

1

2

1 x

xxxlimIND

x

xxlimIND

x

xxlim

xxx

6411

xxlimx

EJERCICIOS

3.- Calcula los siguientes límites:

1) 543 23

3

xxxlim

x 2) 744 35

1

xxlim

x 3) 13 2

0

xlim

x 4) 2

1

x

xelim

5) 1

3

1 x

xlimx

6) 53

xlimx

7) 1053

xlimx

8) 22

x

xelim


9) 1

3

1 x

xlimx

10) 33 x

xlimx

11) 8

5

8 xlimx

12) 2

5

2 x

xlimx

13) 44

62

2

2

xx

xxlimx

14) 3

62

3

x

xxlimx

15) 87

828

xx

xlimx

16) 3·2

42

2

xx

xlimx

17) 1

1

1

x

xlimx

18) 21

3

2

x

xlimx

19) 2

2

2

xlimx

20) 1

122

1

x

xxlimx

21) 3

8

3

x

xlimx

22) 4

422 x

xlimx

23) xxx

xlimx 32

123

3

1

24)

xxx

xxlimx

23

2

0 2

• Cálculo de límites en el infinito

1. El límite de un polinomio cuando x es ó - según que el signo del coeficiente del término de

mayor grado sea positivo o negativo.

2. Límites cuando x-

Se calculará el límite cuando x de la expresión que resulte de cambiar x por –x en la función.

Ejemplos:

a) 132

xxlimx

b) 132

xxlimx

c) 132

xxlimx

d) 132

xxlimx

e) 133

xxlimx

f) 133

xxlimx

g) 133

xxlimx

h) 133

xxlimx

NOTA: No son indeterminaciones las siguientes expresiones:

01

; ; kkk ,0· ;

; 01

; 00 ;

0

10 .

3. Indeterminación

La indeterminación

desaparece dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x.

✓ Podemos dar la siguiente regla para hallar límites (x+) de funciones racionales:

...

...

)(

)(

n

m

bx

ax

xQ

xP

)(gra)(gra

)(gra)(gra0

)(gra)(gra

)()(

)(

xQdedoxPdedosib

a

xQdedoxPdedosi

xQdedoxPdedosi

INDxQ

xPlimx


✓ También podemos resolverlos tomando únicamente los términos de mayor grado tanto del

numerador como del denominador.

n

m

xn

m

x bx

axlim

bx

axlim

...

...

Ejemplos:

• 2

1

002

001

642

431

)(642

43

3

32

23

3

xx

xxlimINDxx

xxlim

xx

• 2

1

02

100

12

121

)(12

2

2

43

2

2

x

xxlimIND

x

xxlim

xx

•

33)(

53

35 22 xlim

x

xlimIND

x

xxlim

xxx

• 01

)(3

3

2

3

2

xlim

x

xlimIND

x

xlim

xxx

• 2

3

2

3)(

62

1532

2

2

2

x

xlimIND

x

xxlim

xx

4. La indeterminación -

a) La indeterminación - de funciones racionales desaparece efectuando la operación y reduciendo la

diferencia a una única expresión.

Ejemplos:

•

452·1

153·1452·3

452

153

1

32

322

2

32

xxx

xxxxxxlim

xx

xx

x

xlim

xx

0002

0002

4972

111052

4972

111052

32

32

23

234

xxx

xxxx

limxxx

xxxxlim

xx

•

2

3

2 2

4

2

3

x

x

x

xlimx

b) La indeterminación - de funciones con radicales desaparece multiplicando y dividiendo la función

por la expresión radical conjugada.

Ejemplos:

•

011

2

11

11·1111

xxlim

xx

xxxxlimxxlim

xxx

•

22

1

1·12

1·1

1·12

1

12

xx

xxxlim

xxxx

xxxlim

xx

xlim

xxx


1

1·12

1

1·12 xxxlim

xx

xxxlim

xx

•

xxx

xxxlim

xxx

xxxxxxlimxxxlim

xxx 254

454

254

254254254

2

22

2

222

4

5

4

5

22

5

24

5

2

x

xlim

xx

xlim

xx

xlim

xxx

5. La indeterminación 0· se resuelve transformándola en una del tipo

.

Ejemplo:

• 1)(3

)(·03·1 22

2

x

xlim

x

xlimIND

x

xxlimINDxx

xlim

xxxx

EJERCICIOS

4.- Calcula los siguientes límites:

1) 23xlimx

2) 2

8

xlimx

3) xx

xxlimx 72

284

3

4)

x

xlimx

1

1

5) 122

xxlimx

6)

x

xxlimx

1 7)

122 xx

xlimx

8) 1

xxlimx

9) 8

5

3

x

xlimx

10) 91

8

8

x

xlimx

11) 162

8

8

x

xlimx

12) 1

14

1

x

xlimx

13) 3

92

3

x

xlimx

14) 4

442

2

2

x

xxlimx

15) x

xxxlimx 5

53 23

0

16)

5

1253

5

x

xlimx

17)

4

2

4 x

xlimx

18)

55

5

5 x

xlimx

19)

34

252

5 x

xlimx

20)

2

0 x

xlimx

21) 37 35

xxlimx

22) 175 2

xxlimx

23) xx

limx 54

33

24) 442

23 xx

limx

25) 2

52 x

limx

26) 353

432

2

xx

xxlimx

27) 182

635

5

xx

xxlimx

28) xx

xxlimx 54

2532

3

29) 442

163

2

xx

xxlimx

30) 1

324

4

x

xxlimx

31) 353

32

2

xx

xxlimx

32) 24

2

4

xx

xlimx


33) 3

33

x

xlimx

34) x

xlimx

52

35)

x

xxlimx

36) 1

xxlim

x

37) xxlimx

2 38) xxlimx

39) xx

limx 3

1 40)

xxlimx

1

41) x

xelim

0 42)

x

xelim

43)

x

xelim

44)

x

xelim

45) x

xelim

0 46)

x

xelim

47)

x

xlim 2

48)

x

xlim

2

49) xx

lim3

1

50)

xxlim

3

1 51)

32

12

x

x

xlim 52)

12

13

x

x

xlim

53) xx

xxlimx 59

2

2

5.- Dada la función:

21

213

112

)(

xsix

xsi

xsix

xf , calcula:

)(1

xflimx

)(1

xflimx

)(1

xflimx

)(2

xflimx

)(2

xflimx

)(2

xflimx

)(xflimx

)(xflimx


ASÍNTOTAS

Si lim ( )x a

f x

, aR, la recta x=a, es una asíntota

vertical. Para determinar si f(x) tiende a más o menos

infinito, en x=a, habría que calcular los límites laterales y

así determinamos la posición de la curva respecto a la

asíntota. En las funciones racionales se busca en los

valores de x que son raíces del denominador.

Si bxflimx

)( , bR, la recta y=b es una asíntota

horizontal.

Asíntota horizontal a la izquierda

Asíntota horizontal a la derecha

Cálculo de asíntotas oblicuas:

Por ser una asíntota oblicua tendrá por ecuación

y=mx+n, donde “m” indica la pendiente de la

recta y “n” la ordenada en el origen. (m0 y

m, n).

Los valores de “m” y “n” se obtienen calculando

los siguientes límites:

x

xflimmx

)(

y mxxflimn

x

)(

➢ Para estudiar la posición de la gráfica respecto de las asíntotas oblicuas y horizontales calculamos

los límites cuando x de la diferencia entre la función y la asíntota. Si el resultado es positivo,

la función está encima de la asíntota, y si es negativo, está debajo.

➢ Si una función tiene una asíntota horizontal, entonces no tiene asíntota oblicua.

Ejemplos:

• Dibuja la gráfica de una función f(x) que tenga los siguientes límites:

)(1

xflimx

;

)(1

xflimx

; 1)(

xflimx

; 1)(

xflimx

.

• La asíntota vertical de la función 2

)(

x

xxf es la recta x=2:

0

2

2

0

2

2)(

0

2

2

2

2

2

x

xlim

x

xlim

INDx

xlim

x

x

x


• La asíntota horizontal de la función x

xxf

2

13)(

es la recta

2

3y :

2

3

2

13

x

xlimx

2

3

2

13

x

xlimx

Posición de la gráfica respecto de la asíntota:

0

2

1

2

3

2

13

xlim

x

xlim

xx La gráfica está debajo de la asíntota.

0

2

1

2

3

2

13

xlim

x

xlim

xx La gráfica está encima de la asíntota.

• La asíntota oblicua de la función 23

683)(

2

x

xxxf es la recta y = x - 2:

123

68323

683

2

2

2

xx

xxlim

x

x

xx

limmxx

223

66

23

683 2

x

xlimx

x

xxlimn

xx

Posición de la gráfica respecto de la asíntota:

0

23

2)2(

23

683 2

xlimx

x

xxlim

xx La gráfica está debajo.

0

23

2)2(

23

683 2

xlimx

x

xxlim

xx La gráfica está encima.

Observaciones prácticas acerca de las asíntotas horizontales y verticales:

- Las funciones polinómicas tienen ramas infinitas, pero no tienen asíntotas horizontales y tampoco

verticales.

- Las fracciones algebraicas tienen asíntota horizontal si el numerador y el denominador tienen el

mismo grado. En ese caso, es la misma asíntota por la izquierda que por la derecha.

- Las fracciones algebraicas tienen tantas asíntotas verticales como raíces tenga el denominador, salvo

que el numerador tenga alguna de esas raíces; en tal caso conviene, previamente, simplificar la

fracción.

- Las expresiones con radicales pueden tener dos asíntotas horizontales.

- En general, las asíntotas verticales son propias de expresiones que «se hacen infinitas» para valores

finitos de x.


EJERCICIOS

6.- Halla el dominio y las asíntotas de las siguientes funciones:

1) 1

2)(

xxf 2)

1

12)(

2

2

x

xxf

7.- Se ha observado que la población de una pequeña ciudad en la que sus habitantes están emigrando a

la capital, se ajusta aproximadamente a la sucesión de término general: n

an

23 , donde n es el nº de

años desde que se empezó la emigración y na son los miles de habitantes para cada valor de n.

a) Calcula cuántos habitantes había para n=1.

b) ¿Cuántos habitantes habrá para n=100?

c) Calcula el límite de la sucesión cuando n .

d) Si se mantiene el ritmo de emigración que indica la sucesión, ¿qué ocurrirá al final? ¿Se

quedará sin habitantes la ciudad?

8.- ¿Es posible que una función tenga dos asíntotas horizontales distintas? Si la respuesta es

afirmativa, dibuja la gráfica de una función que lo cumpla. ¿Es posible que tenga tres asíntotas

horizontales diferentes?

9.- Se adquiere una mercancía por un precio de 100 euros y se vende posteriormente por 200 euros. El

tanto por ciento de beneficio sobre el precio de venta es entonces del 50 %, ya que la mitad es

beneficio. Si se vende por 400 euros, el beneficio sobre la venta será del 75 %. Si se vende por x

euros, ¿cuál es el tanto por ciento de beneficio f(x), en función del precio de venta? ¿Cuál es el límite

cuando x de f(x)?

10.- Al sacar un café de una máquina expendedora se observa que el líquido se encuentra a una

temperatura elevada. Si se deja enfriar, llegará un momento en que su temperatura coincida con la

temperatura ambiente. Se sabe que la función f(x) que da la temperatura del café, en grados

centígrados, es: xexf 2,07021)( , donde x son los minutos transcurridos desde que se sacó el café

de la máquina.

a) Calcula la temperatura inicial a la que se encontraba el café al sacarlo de la máquina, es

decir, su temperatura para x=0.

b) ¿A qué temperatura estará el café cuando hayan transcurrido 10 minutos? (Utiliza la

calculadora).

c) Calcula el límite de f(x) cuando x tiende a infinito, mediante valores elevados de x. ¿Cuál es

la temperatura ambiental?

11.- Dibuja la gráfica de una función que tenga los límites siguientes:

5)(2

xflimx

;

)(2

xflimx

; 2)(

xflimx

; 2)(

xflimx

. ¿Qué asíntotas tiene?

12.- Dibuja la gráfica de una función que tenga los límites siguientes:

7)(3

xflimx

;

)(3

xflimx

;

)(xflimx

; 1)(

xflimx

. ¿Qué asíntotas tiene?

13.- Dibuja la gráfica de una función que tenga como asíntota horizontal la recta y=1, y asíntotas

verticales en las rectas x=-1 y x=1. ¿Puedes dibujar la gráfica de otra función que cumpla lo mismo pero

que sea distinta de la primera?


14.- Halla el dominio y las asíntotas de las siguientes funciones:

a) 9

)(2

x

xxf b)

2)(

2

x

xxf c)

2

3

1)(

x

xxf

d) 44

)(2

2

xx

xxxf e)

1

34)(

2

x

xxxf f)

2

3

1)(

x

xxf

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Continuidad de una función en un punto:

La idea intuitiva de continuidad implica una variación suave de la función, sin saltos bruscos que rompan

la gráfica de la misma. Dibujamos la función continua sin levantar el boli del papel.

Algunas razones por las que una función puede ser discontinua en un punto son las siguientes:

La función g(x) no puede dibujarse sin levantar el boli del papel. No tiene límite finito en x=2 y no

existe f(2). Es discontinua en x=2.

La función h(x) está definida en x=3 (existe f(3)), pero no existe en límite de la función en x=3. Por eso

es discontinua.

La función t(x) no es continua porque existen f(11) y el límite de la función en x=-1, pero ambos valores

no coinciden.


Una función y=f(x) es continua en un punto x = a si se cumplen las tres condiciones siguientes:

a) La función está definida en x=a; es decir, existe f(a).

b) Existe el límite de la función f(x) en x = a.

c) Los dos valores anteriores coinciden, es decir, )()( afxflimax

.

Si una función no es continua en un punto x=a, se dice que es discontinua en dicho punto.

La continuidad o discontinuidad de una función en un punto exige estar definida la función en él. Por

ejemplo, la función f(x)=1/x no es continua no discontinua en x=0 ya que no está definida. (Sin embargo,

vamos a hablar de discontinuidad en ese punto).

Discontinuidades

Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el

valor de la función en el mismo o no está definida.

Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y

son distintos. El valor

)()( xflimxflimaxax

se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número real, o infinito.

Ejemplos:

• Estudia la continuidad de la función

01

01

)(xsi

xsix

xf .

(Se trata de una función continua en todo su dominio).


12

1

)(xsix

xsix

xf , en x=1.

(Presenta una discontinuidad evitable: añadiendo un punto a la función, esta se convierte en continua).


01

01

)(xsi

xsi

xf , en x=0.

(Presenta una discontinuidad inevitable de salto finito).


00

01

)(

xsi

xsixxf , en x=0.

(Presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito).

• Dada la función:

13

11

1

)(

2

xsi

xsix

x

xf , ¿qué sucede en x=1?

a)

21lim

1

11lim

1

1lim

11

2

1

x

x

xx

x

x

xxx; luego existe 2)(lim

1

xf

x.

b) f(1)=3; luego la función está definida en x=1.


c) Los dos valores anteriores no coinciden.

Por tanto, la función tiene una discontinuidad evitable en x=1. Para que la función fuera continua en x=1,

debería ser f(1)=2.

• Dada la función: 3

65)(

2

x

xxxf , ¿qué sucede en x=3?

La función no está definida en x=3. Veamos cuál es el límite de la función en x=3:

12lim3

23lim)(lim

333

x

x

xxxf

xxx Para que la función fuera continua en x=3, debería ser

f(3)=1.

Funciones continuas

Una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos y cada uno de los puntos del intervalo.

Se dice que una función es continua cuando lo es en todos y cada uno de los puntos de su dominio de

definición.

Las operaciones con funciones continuas en x=a dan como resultado otra función continua en él,

siempre que tenga sentido la operación. Entonces: todas las funciones elementales (polinómicas,

racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas) son continuas en todos los puntos donde están

definidas.

Las funciones definidas a trozos serán continuas si en los puntos de unión lo son, y cada función es

continua en su trozo correspondiente.

EJERCICIOS

15.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican especificando, en su

caso, el tipo de discontinuidad que aparece. Para hacerlo tendrás que dibujar la gráfica y estudiar los

límites laterales:

1)

1 xsi x

1x2- si 2

-2 xsi

)(

2

x

xf , en x=-2, x=1 2)

0 xsi 3

0 xsi x

1

)(xf , en x=0

3)

1 xsix -1

1 xsi )(

xxf , en x=1 4)

3 xsi 5x-

3 xsi 3x)(

2 xxf , en x=3

5)

0 xsi 1x

0 xsi 1)(xf , en x=0 6)

0 xsix

0 xsi x)(

2

xf , en x=0

7)

1 xsi 2

1 xsi )(

xxf , en x=1 8)

0 xsi 2

0 xsi x

1

)(xf , en x=0


16.- Calcula cuánto debe valer a en la siguiente función para que sea continua en x=0:

0 xsi a

0 xsi x)(

2

xf . Dibuja la gráfica de la función obtenida.


1 xsi 2x

1 xsiax )(xf . Dibuja la gráfica de la función obtenida.


0 xsi ax -

0 xsi 3x-)(

2

xf . Dibuja la gráfica de la función obtenida.

19.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a)

1 xsi x

1

1 xsi 2

x-3

)(

2

xf b)

2 xsi 4

2 xsi 2

4x

)(

2

xxf

c)

4 xsi 0

4x3 si x

3 xsi 1x

)( 2xf d)

2 xsi x

2x1 si 1-x

1 xsi 1-x

)(

2

2xf

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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO · 2018-12-20 · el blog de mate de aida: Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. pág.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO x x 0 significa