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TABLA DE CONTENIDO
Tabla de contenido2
Introducción a la lógica3
Concepto de lógica4
Conectivos lógicos.5
Enunciado abierto..5
Enunciado cerrado.5
Concepto de proposición.6
Clasificación de proposición...6
Clasificación de proposición compuesta.....6−7
Valor de verdad de las proposiciones.7−8
Tabla de verdad de la proposiciones8−9
Concepto de tautología.9
Concepto de contradicción10
Concepto de contingencia10
Ej. De tablas de verdad con 3 proposiciones.10−11
Los cuantificadores11
Cuantificador universal.12
Cuantificador existencial12
Razonamiento inductivo13
Razonamiento deductivo..14
Bibliografía.15
INTRODUCCION A LA LOGICA
Es probable que en el siglo IV antes de la Era Común, se iniciara con Aristóteles el estudio de la Lógica; perono fue hasta a mediados del siglo XIX cuando George Boole (1815−1864) inicia el estudio de lo que hoy seconoce como Lógica Matemática.
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Uno de los fines de la enseñanza matemática es disciplinar la inteligencia, de ahí el valor formativo de estaciencia ya que necesita de exactitud y precisión en sus razonamientos. La inteligencia se disciplina a través deun tipo especial de pensamiento que es el razonamiento. El objetivo de la lógica es estudiar la validez de losrazonamientos.
La validez de la lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie desímbolos matemáticos y/o auxiliares llamados enunciados. Por medio de un enunciado con sentido podemosemitir un juicio (actividad mental por medio de la cual pensamos algo) o un razonamiento (evaluación mentalpor medio de la cual obtenemos conclusiones).
CONCEPTO DE LA LOGICA
La lógica es una relación entre las premisas y la conclusión expresada a través de una serie de símbolosmatemáticos y/o auxiliares llamados enunciados.
Para su estudio, se divide en lógica formal, lógica aplicada y lógica simbólica. Lógica formal: es la parte dela filosofía que estudia las formas y leyes generales del pensamiento tendiente al conocimiento de la verdad yel error.
Lógica Aplicada: es la que estudia las formas o estructura del pensamiento adaptándose al objeto de estudiode las distintas ciencias.
Lógica simbólica: es la que estudia sistemáticamente las proposiciones, los razonamientos y lasdemostraciones para lo cual utiliza un lenguaje constituido por símbolos convencionales que representanestructuras. La lógica simbólica es aquella que se refiere a las proposiciones y que también se conoce con elnombre de Calculo Propocional.
CONECTIVOS LOGICOS
Los conectivos lógicos son aquellos que sirven para formar proposiciones compuestas. Simbólicamente losconectivos se representan del modo siguiente:
Conectivo Nombre Lógico Símbolo
No Negación ~
Y Conjunción ð
O Disyunción Inclusiva V
OO Disyunción Exclusiva V
Si Entonces Implicación o Condicional
Si Solo Si Doble Implicación o Bicondicional ð
ENUNCIADOS ABIERTOS Y ENUNCIADOS CERRADOS
Un enunciado: es un conjunto de símbolos por medio de los cuales expresamos lo pensado en un juicio, ya seaen formal oral o escrita. Enunciados Abiertos o simples: son aquellos que tiene un único valor de verdad. Es elque no tiene otro enunciado como parte componente. Ejemplo: Las rosas son rojas.
Enunciados Cerrados o compuestos: un enunciado compuesto contiene otro enunciado como componente.Ejemplo: Las rosas son rojas y las violetas son azules.
CONCEPTO DE PROPOSICIONES
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Una proposición es una oración declarativa de la cual podemos asegurar que es verdadera o que es falsa, perono ambas situaciones a la vez.
CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES
Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un solo enunciado.
Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de dos o más proposiciones simplesentrelazadas por ciertas particularidades lógicas llamadas conectivos lógicos.
CLASIFICACION DE PROPOSICIONES COMPUESTAS
La Negación: la conectiva no es la que se antepone a una proposición para cambiar su valor de verdad y serepresenta por el siguiente símbolo ~.
La Conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples unidas oentrelazadas mediante el conectivo y, y se representa con el siguiente símbolo: ð.
La Disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta de dos proposiciones simples unidas por el conectivológica o, que se representa de la manera siguiente: V.
La Disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta por dos proposiciones simples entrelazas por elconectivo oo y se representa así: V.
La Condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva sientonces, quese representa de la forma siguiente: . La proposición que aparece entre las palabrasSi y Entonces, se denominaantecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra Entonces, se le llama consecuente oconclusión.
La Bicondicional o Doble Implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simplesmediante el conectivo si y solo si y se representa así:ð
VALOR DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS
La Negación: si una proposición (sea simple o compuesta) es verdadera, su negación es falsa y viceversa.Ejemplo: si P es: Constanza es un municipio de la Vega, ~ P se leerá: no es cierto que Constanza es unmunicipio de la Vega.
La Conjunción: esta proposición solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman sonverdaderas, y en los demás casos será falsa.
La Disyunción Inclusiva: esta proposición es falsa únicamente cuando las dos proposiciones que la formanson falsa, en caso contrario es verdadera.
La Disyunción Exclusiva: esta solo será verdadera cuando las dos proposiciones que la componen tienendiferentes valores de verdad, en caso contrario es falsa.
La Condicional o Implicación: una condicional solo es falsa cuando su antecedente es verdadero y elconsecuente es falso; en lo demás casos la condicional es verdadera.
La Bicondicional o Doble Implicación: esta solo es verdadera cuando las dos proposiciones que la formantiene el mismo valor de verdad, es decir, cuando las dos proposiciones que la forman ambas sean verdaderas o
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ambas falsas. En caso contrario la Bicondicional es falsa.
TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS
Negación:
p ~p
V F
F V
Conjunción:
p q p ð q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disyunción Inclusiva:
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
Disyunción Exclusiva:
p q p v q
V V F
V F V
F V V
F F F
Condicional o Implicación:
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
Bicondicional o Doble Implicación:
p q p ð q
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V V V
V F F
F V F
F F V
CONCEPTO DE TAUTOLOGIA
Una proposición compuesta es lógicamente verdadera o tautológica cuando es verdadera siempre,independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman. Ejemplo:
p q p v q p( p v q)
V V V V
V F V V
F V V V
F F F V
CONCEPTO DE CONTRADICCION
La contradicción: es una proposición compuesta que es falsa independientemente de los valores de verdad delas proposiciones que la formen. Ejemplo:
p ~p p ð q
V F F
F V F
CONCEPTO DE CONTINGENCIA
La contingencia: es la combinación de la tautología y la contradicción. Ejemplo:
p q p q
V V V
V F F
F V V
F F V
EJEMPLOS DE TABLAS DE VERDAD CON TRES PROPOSICIONES
1)
p q r p v q (p v q) ð r
V V V V V
V V F V F
V F V V V
V F F V F
F V V V V
F V F V F
F F V F F
5
F F F F F
2)
p q r p ð q (p ðq) r
V V V V V
V V F V F
V F V F V
V F F F V
F V V F V
F V F F V
F F V F V
F F F F V
LOS CUANTIFICADORES
Los cuantificadores son símbolos que se usan en matemáticas para expresar determinadas condiciones. Entreellos tenemos el cuantificador universal y cuantificador existencial.
El papel de los cuantificadores es importante ya que un enunciado abierto precedido de un cuantificador seconvierte en una proposición falsa o verdadera. Ejemplo:
Así x + 2 = 4 es un enunciado abierto mientras que
ð x � R/x + 2 = 4 es una proposición verdadera.
Cuantificador Universal: se simboliza ð (que se lee:para todo, toda, todos ó todas), el símbolo ð viene de lapalabra alemana Allzeicher que significa totalidad. El cuantificador universal indica que lo que se escribe a suderecha es verdadero para todo valor de la variable que lo acompaña. Ejemplo:
ðx; p(x): para todo x; p(x)
Sea p(x): x es una estudiante del 2do. año del bachillerato del centro de estudios Gregorio Luperón, x � B, B ={Jennifer, Wendy, Petronila, Pedro}.
Todos los elementos de B son estudiante de l 2do. año del bachillerato del centro de estudios GregorioLuperón.
Si anteponemos el cuantificador ð indica que en cada caso que x sea sustituido por uno de los nombres de B,entonces tiene que verificarse que sea un estudiante del centro de estudios Gregorio Luperón, entonces laexpresión ðx; p(x) es verdadera.
Cuantificador Existencial: se simboliza ð y se lee: algunos, existen, e indica que todas las funcionesproposicionales que se escribes a su derecha se verifica para por lo menos un valor considero para la variableo variables de la función proposicional. Ejemplo:
ðx; p(x); para algunos x; P(x)
Sea p(x): x es un estudiante del 2do. año del bachillerato del educativo Gregorio Luperón, x � C, C = {Jenifer,Pedro, Ariel, Raúl}.
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Pedro y Jenifer son estudiantes de 2do. año del bachillerato.
Ariel es un estudiante de 3er. año del bachillerato.
Raúl es un estudiante de 4to. año del bachillerato.
ðx; p(x) es verdadera porque se verifica para algunos valores de los que la variable x puede tomar.
RAZONAMIENTO INDUCTIVO Y DEDUCTIVO
El razonamiento es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o hechos. El razonamientocorrecto es aquel en que las conclusiones se siguen necesariamente o inevitablemente de las suposiciones ohechos.
Razonamiento Inductivo: proviene del latín inductio que quiere decir conducir, llevar a, introducir. Elmétodo inductivo es el que se vale de la observación de casos particulares para llegar a una conclusióngeneral. Este parte de lo particular a lo general, de lo sencillo a lo completo, de lo fácil a lo difícil. Ejemplos:
Juan es niño y juega,•
María es niña y juega,
Todos los niños juegan.
La manzana es una fruta y es saludable,•
El mango es una fruta y es saludable,
Las frutas son saludables.
El oro es un metal y brilla,•
La plata es metal y brilla,
Todos los metales brillan.
El gato es un animal y respira,•
La paloma es un animal y respira,
Todos los animales respiran.
Rosa es dominicana y orgullosa,•
Héctor es dominicano y orgulloso,
Todos los dominicanos son orgullosos.
Razonamiento deductivo: proviene del latín deductio que significa sacar o separa consecuencias de algo. Elmétodo deductivo es aquel que parte de los datos generales aceptados como validos, para llegar a unaconclusión de tipo particular. Ejemplos:
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Todos los niños juegan,•
María es una niña,
Entonces María juega.
Las frutas son saludables,•
La manzana es una fruta,
La manzana es saludable.
C) Todos los metales brillan,
La plata es metal,
La plata brilla.
D) Todos los animales respiran,
El gato es un animal,
El gato respira
Todos los dominicanos son orgullosos,•
Héctor es dominicano,
Héctor es orgulloso.
BIBLIOGRAFIA
Santana, Julián. Matemática II.• Ediciones Santillana. Matemática II.• Secretaria de Estado de Educación. Matemática II.• Ediciones Susaeta.• Báez y Rellita. Matemática Básica I.• Peña Geraldino, Rafael. Matemática Básica.• Folleto Introducción a la Lógica.•
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