Logica_modal_2012

LOGICA MODAL

Alfredo Burrieza Muniz

20 de noviembre de 2012

1. Concepto de modo. Los modos aleticos

Conforme a los logicos medievales del siglo XIII, la palabra“modo” significa, en general, una determinacion que afecta aalguna cosa (determinatio adiacens rei). En el lenguaje ordina-rio, los modos son expresiones que:

(i) afectan al sujeto de un enunciado (e.g.,el hombre prudente essabio),

(ii) o afectan al predicado de un enunciado (e.g. Alejandro con-duce deprisa),

(iii) o afectan a un enunciado tomado en su totalidad, no a unaparte del mismo (e.g., es posible que el gato este en el tejado).

La postura (iii) refleja el concepto de “modalidad de dicto” (poroposicion al concepto de “modalidad de re”, o posesion de unapropiedad –de una determinada manera– por parte de un objeto).

La palabra “modo” referida a enunciados podemos entender-la como la manera en que un enunciado es verdadero ofalso. En el caso (iii) anterior, estamos diciendo entonces que elenunciado “el gato esta en el tejado” es posiblemente verdadero.

Desde un punto de vista linguıstico, los modos permiten formarnuevos enunciados. En el ejemplo (iii) anterior la expresion “esposible que” califica al enunciado declarativo “el gato esta en eltejado” formando un enunciado nuevo. El modo “posible” es unode los llamados modos aleticos. Los enunciados determinados

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por los modos se llaman modales. Los modos aleticos son lossiguientes:

es necesario que es imposible que

es posible que es contingente que

Existen diversas clases de modos y, en consecuencia, distintostipos de enunciados modales. Ademas de los modos aleticos yamencionados existen otros muchos modos, como son los:

deonticos (es obligatorio, esta prohibido, permitido, . . . ),epistemicos (el agente sabe, el grupo sabe, . . . ),temporales (siempre en el futuro, alguna vez en el pasado, . . . ),etc.

Nos centraremos en lo que sigue en el estudio de los modosaleticos; la logica que los trata es la logica modal aletica, a la quedenominaremos simplemente logica modal siguiendo la costum-bre.

2. Concepciones de los modos aleticos

En el De Interpretatione y en los Primeros Analıticos, Aristote-les desarrolla su teorıa sobre los enunciados modales. Un aspectoa tener en cuenta es que Aristoteles distingue dos tipos de posi-bilidad:

Una acepcion mas amplia, segun la cual lo posible es lo queno es imposible; de manera que entrarıan igualmente dentrode esta clasificacion los enunciados necesarios.

Otra mas estricta, de acuerdo con la cual lo posible no esnecesario ni imposible (es usual usar el nombre de “contin-gente” para esta acepcion).

Aristoteles no realiza un analisis de las modalidades, pero otrosautores nos ofrecen distintas definiciones. Entre los antiguos des-tacan las de Diodoro, Filon y los estoicos. En lo que sigue to-mamos la exposicion del matrimonio Kneale [Kn80] (p.116 y

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ss.) acerca de los tres casos mencionados. Como puede apreciarseel termino “posible” se toma como la negacion de “imposible”;por otro lado, se toma la negacion de “necesario”, a saber, “esno-necesario que” en lugar de “contingente”. Tenemos, pues, losiguiente:

Diodoro.

Concibe las modalidades aleticas en terminos temporales:

• Necesario: Es verdadero y no sera falso que A

• Posible: Es verdadero o sera verdadero que A

• Imposible: Es falso y no sera verdadero que A

• No-necesario: Es falso o sera falso que A

Filon.

• Necesario: El enunciado A no admite la falsedad

• Posible: El enunciado A admite la verdad

• Imposible: El enunciado A no admite la verdad

• No-necesario: El enunciado A admite la falsedad

De acuerdo con los comentarios de Boecio, para entender lasnociones modales de Filon hay que apelar a la “naturalezainterna” de la asercion. Ası, lo posible es aquello que -por suintrınseca naturaleza- puede ser afirmado con verdad si cir-cunstancias externas no lo impiden (e.g. manana ire al cine.Salvo que algo lo impida, ese evento, por sı solo, puede serafirmado con verdad). Analogamente, lo necesario es aquelloque siendo verdadero en sı mismo considerado nunca podrıaser afirmado con falsedad, etc.

Los estoicos.

• Necesario: El enunciado A tropieza con el impedimentode las circunstancias externas para ser falso

• Posible: El enunciado A carece de impedimentos en razonde las circunstancias externas para ser verdadero

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• Imposible: El enunciado A tropieza con el impedimentode las circunstancias externas para ser verdadero

• No-necesario: El enunciado A carece de impedimentosen razon de las circunstancias externas para ser falso

Posteriormente han surgido otras concepciones de las modali-dades aleticas, como las de Leibniz, Carnap y Kripke. Tanto parala concepcion de Leibniz como la de Kripke acudiremos a la idealeibniziana de “mundo posible” y hablaremos algo de ellas masadelante al explicar la semantica de la logica modal. En cuan-to a Carnap, podemos resumir su postura sobre las modalidadesaleticas diciendo que un enunciado es necesario si es analıtico, en-tendiendo por tal que (i) es verdadero en virtud de su forma logicao logicamente verdadero (e.g., “Marta es periodista o no lo es”),o bien (ii) es verdadero en virtud de los significados de sus termi-nos (e.g., “ningun soltero es casado”). Asimismo, un enunciado esposible si no es logicamente falso, es imposible si es logicamentefalso y contingente si no es logicamente verdadero ni logicamentefalso.

En nuestro estudio, los conceptos de necesidad, posibilidad,imposibilidad y contingencia vamos a considerarlos en sentidologico. Para ello, siguiendo la exposicion de Hughes y Cresswellen [HC73], para aclarar este punto baste decir que un enunciadoes “necesario” cuando es verdadero independientemente de comosean los acontecimientos del mundo (Napoleon fue emperador deFrancia o no lo fue, dos y dos son cuatro, . . . ). Un enunciadoes “imposible” cuando es falso con independencia de como sea elmundo (hay cuadrados redondos, hoy ha llovido durante algunmomento y no ha llovido en absoluto, . . . ). Los enunciados “con-tingentes” son aquellos que no son ni necesarios ni imposibles; ylos “posibles”, entendidos en sentido amplio, son todos los enun-ciados que no son imposibles.

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3. Interdefinicion de los modos aleticos

Siguiendo a Aristoteles, podemos reducir todos los modos aleti-cos a uno solo, tomado como primitivo. La nocion de “contingen-te” la dejaremos a un lado, entendiendo que “contingente” essinonimo de “posible pero no necesario”. Tenemos entonces lasreducciones:

Es necesario que A = Es imposible que no-A

= No es posible que no-A

Es imposible que A = No es posible que A

= Es necesario que no-A

Es posible que A = No es necesario que no-A

= No es imposible que A

Desde un punto de vista formal, entenderemos los modos comooperadores o conectivas que forman proposiciones de un lenguajedado cuando se prefijan a proposiciones. Son, pues, operadoresmonarios. A diferencia de las conectivas booleanas clasicas, ta-les operadores no son veritativo-funcionales. No hay garantıa deque meramente de la verdad o falsedad de un enunciado poda-mos determinar siempre su necesidad, posibilidad, etc., pues losenunciados modales no se limitan a describir el mundo en el quenos movemos.

En las presentaciones formales de la logica modal es usual tra-tar unicamente los modos “necesario” y “posible”. En lo que sigue,usaremos el sımbolo para la necesidad y ♦ para la posibilidad.Ası, dada una proposicion cualquiera A, A se lee “es necesarioque A” y ♦A se lee “es posible que A”.

De lo dicho anteriormente acerca de los modos tenemos quepodemos definir uno en terminos del otro:

A =def ¬♦¬A ♦A =def ¬¬A

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Suele achacarse el nacimiento de la moderna logica modal a C.I.Lewis (1918), aunque este hace referencias a la obra de McColl(1906) como precedente. Lewis presento la logica modal axiomati-camente (puede verse una exposicion de sus sistemas en [HC73]),la introduccion de la semantica fue posterior, debido a Carnap(1947) y especialmente a Kripke (1963). Seguidamente veremosel lenguaje y la semantica de la logica modal proposicional.

4. Sintaxis: el lenguaje proposicional modal Lm

Alfabeto de Lm

1. Un conjunto infinito numerable

Ω = p, q, r, s, . . . p1, q1, r1, s1, . . . , pn, qn, rn, sn, . . .

de variables proposicionales o atomos.

2. Los operadores booleanos clasicos ¬, ∧, ∨, → y ↔.

3. Los operadores modales y ♦.

4. Los sımbolos auxiliares: (, ).

Formula de Lm

Una formula de Lm (o simplemente una formula) es una sucesionfinita de sımbolos sobre el alfabeto de Lm generada exclusivamen-te por aplicaciones de las siguientes reglas:

1. Todo elemento de Ω es una formula.

2. Si A es una formula, entonces ¬A, A y ♦A son formulas.

3. Si A y B son formulas, entonces (A B) es una formula(siendo ∈ ∧,∨,→,↔).

Ejemplo 1 Las siguientes expresiones son formulas:

(p→ (♦p ∧ q)) ♦(p→ ♦¬q) (p ∨¬q)

Las siguientes expresiones no son formulas:

(p→ ) (p ∧ ♦() ♦p♦q (p→ p)

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Usaremos convenciones habituales sobre la eliminacion de parente-sis al escribir las formulas, como:

-la omision de parentesis externos. Escribiremos p → ♦q y no(p→ ♦q), por ejemplo.

-eliminacion de parentesis en cadenas conjuntivas (disyunti-vas). Ası, anotaremos p ∧ q ∧ r, p ∨q ∨ ♦r ∨ q, etc.

5. Semantica de Lm

Los operadores modales no son veritativo-funcionales. De laverdad de p no podemos concluir si p es necesario o no. Nece-sitamos otro tipo de semantica que no sea realizar meramenteasignaciones veritativas. Usaremos la semantica de mundos posi-bles de Kripke.

5.1. Semantica de mundos posibles

EXPOSICION INFORMAL:

Para empezar, daremos una vision intuitiva de lo que entende-remos por “mundo posible”. Supongamos que Socrates hubiesesido carpintero en vez de filosofo, que la Tierra contara con dossatelites en vez de uno, que no existieran los trenes o que otrolıquido sustituyera al agua en la composicion quımica de los se-res vivos, etc., etc. Podemos imaginar un mundo semejante. Im-pondremos, no obstante, una restriccion fundamental a nuestracapacidad de concebir o imaginar, a saber, que:

lo supuesto o imaginado no implique contradiccion logica.

Tenemos, entonces, lo que denominaremos “un mundo posible”.Un mundo posible es, pues, un “estado de cosas” cuya supuestaexistencia es compatible con las leyes de la logica.

Desde este punto de vista, el mundo real, el mundo en el quehabitamos, es uno mas entre los mundos posibles que podemospostular.

La concepcion de “mundo posible” que acabamos de exponeres una concepcion logica; al decir mundo posible queremos decir

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mundo logicamente posible. Pero podemos igualmente formularuna concepcion fısica, etica, etc. de mundo posible.

Por ejemplo, un mundo fısicamente posible serıa aquel cuyasupuesta existencia es compatible con las leyes de la fısica, o loque es igual, un mundo en el cual valen las mismas leyes fısicasque en el nuestro, aun cuando pueda diferir en otros aspectos.

Un mundo eticamente posible serıa aquel en el cual valiesenlas mismas normas eticas que en el nuestro y pudiese diferir encualquier otro aspecto.

Ahora podemos definir los conceptos modales en terminos delos mundos posibles.

En primer lugar, si seguimos a Leibniz, diremos de un enun-ciado A que:

“Es necesario que A” es verdadero sii A es verdadero en todomundo posible.

“Es posible que A” es verdadero sii A es verdadero en algunmundo posible.

Con esta concepcion, los modos son cuantificadores sobre mundosposibles.

No obstante, podemos relativizar estas nociones, como haceKripke, aunque en lo que sigue nos inspiramos en Hughes yCresswell ([HC73], [HC96]).

Hablaremos de la verdad o falsedad de un enunciado necesario(o posible) respecto de un mundo posible dado w, que tomamoscomo el mundo real, y para determinar su valor de verdad en wsolo tendremos en cuenta los mundos posibles con los que se re-laciona w o que son alternativas posibles a w. Estas alternativaspodemos postularlas como mundos que se pueden concebir o ima-ginar desde w. En este sentido hablaremos de accesibilidad entremundos. Ası pues, podemos decir que w′ es accesible a w si w′ esconcebible desde w.

La capacidad para concebir o imaginar diferentes mundos po-sibles desde el nuestro depende del lenguaje que usamos, de las

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capacidades humanas, etc. La nocion de “concebible” es variaday consecuentemente posee propiedades diversas.

Si por “concebible” entendemos, conocido por alguien, entoncesla relacion de acesibilidad que estamos manejando es reflexiva;pero no es forzosamente simetrica ni transitiva, pongamos porcaso. Podemos, por ejemplo, concebir un mundo sin telefonos apartir de un mundo con telefonos, pero no hay garantıas de quesuceda al reves.

En cambio, si por “concebible” entendemos conocido de mo-do absoluto por alguien, entonces la relacion de accesibilidad esreflexiva y transitiva. Concretamente, la transitividad se apreciaal considerar que si tuvieramos un conocimiento absoluto de unmundo w′ desde un mundo w, poseerıamos tambien en w la capa-cidad de concebir de que se dispone en w′; por lo cual, cualquiermundo w′′ que fuera concebible desde w′ tambien lo serıa desdew.

Dicho esto, podemos reformular nuestros conceptos acerca dela verdad de un enunciado modal en un mundo posible como sigue.Sea A un enunciado, entonces:

“Es necesario que A” es verdadero en w sii A es verdaderoen todo mundo w′ accesible desde w

“Es posible que A” es verdadero en w sii A es verdadero enalgun mundo w′ accesible a w

Algunas consecuencias son:

(i) los mundos inaccesibles a un mundo en el que se evalua unenunciado necesario o posible se tornan irrelevantes para de-terminar su verdad o falsedad en dicho mundo.

(ii) el conjunto de mundos accesibles a un mundo dado viene de-terminado por las propiedades de la relacion de accesibilidad.

A continuacion expondremos FORMALMENTE la semantica demundos posibles.

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5.2. Marco y modelo

Un marco (frame) es un par ordenado (W,R), donde

1. W 6= ∅ (conjunto de ”mundos posibles”)

2. R ⊆ W ×W (relacion de accesibilidad)

wRw′ se lee informalmente:

w accede a w’ o bien w’ es accesible desde w

Un modelo es un triplo ordenado (W,R, V ), donde (W,R) es unmarco y V es una funcion de valoracion:

V : Ω×W −→ 0, 1

La valoracion V puede extenderse para evaluar toda formula deLm en cualquier elemento de W como sigue:

Para formulas cualesquiera A,B ∈ Lm y cualquier w ∈ W , sesatisface:

V (¬A,w) = 1 sii V (A,w) = 0

V (A ∧B,w) = 1 sii V (A,w) = V (B,w) = 1

V (A ∨B,w) = 1 sii V (A,w) = 1 o V (B,w) = 1

V (A→ B,w) = 1 sii V (A,w) = 0 o V (B,w) = 1

V (A↔ B,w) = 1 sii V (A,w) = V (B,w)

V (A,w) = 1 sii para todo w′ ∈ W t.q. wRw′, V (A,w′) = 1

V (♦A,w) = 1 sii para algun w′ ∈ W t.q. wRw′, V (A,w′) = 1

Se dice que el modelo (W,R, V ) esta basado (o se basa) sobreel marco (W,R).

5.3. Definiciones semanticas basicas

Sea A ∈ Lm. Diremos que:

A es verdadera en w si y solo si V (A,w) = 1.


A es falsa en w si y solo si V (A,w) = 0.

A es valida en (W,R, V ) si y solo si, para todo w ∈ W ,V (A,w) = 1. Se anota (W,R, V ) |= A.

A es valida en (W,R) si y solo si A es verdadera en todomodelo basado sobre (W,R). Se anota (W,R) |= A.

A es valida en una clase C de modelos (marcos) si y solo sies valida en todo modelo (marco) de C (decimos en este casotambien que A es C-valida). Se anota |=C A. Si C es la clasede todos los marcos (modelos), anotamos simplemente |= A.

5.4. Propiedades de la relacion de accesibilidad

Estableceremos algunas propiedades corrientes de la relacionde accesibilidad.

Serialidad ∀x∃yxRy

Reflexividad ∀xxRxSimetrıa ∀x∀y(xRy → yRx)Transitividad ∀x∀y∀z(xRy ∧ yRz → xRz)Euclidianeidad ∀x∀y∀z(xRy ∧ xRz → yRz)

Estas propiedades se relacionan entre sı como sigue:

Si R es reflexiva, entonces es serial.

R es simetrica y transitiva si y solo si R es simetrica yeuclıdea.

R es reflexiva, simetrica y transitiva si y solo si R es reflexivay euclıdea.

5.5. Correspondencias entre esquemas de formula y propiedades dela relacion de accesibilidad

Cada uno de los esquemas siguientes es valido exclusivamenteen la clase de marcos donde la relacion de accesibilidad posee lapropiedad indicada en cada caso:


D: A→ ♦A serialidadT: A→ A reflexividadB: A→ ♦A simetrıa4: A→ A transitividad5: ♦A→ ♦A euclidianeidad

En otras palabras, si Marcos(A) = (W,R) | |= A, entonces:

Marcos(D) = (W,R) | R es serial

Marcos(T) = (W,R) | R es reflexiva

Marcos(B) = (W,R) | R es simetrica

Marcos(4) = (W,R) | R es transitiva

Marcos(5) = (W,R) | R es euclıdea

Demostremos, como ejemplo, el resultado para el esquema 5.Probaremos lo siguiente:

1. El esquema 5 es valido en todo marco (W,R), donde R eseuclıdea.

2. El esquema 5 es invalido en todo marco (W,R), donde R noes euclıdea.

Prueba de 1.

Sea (W,R) un marco euclıdeo (i.e. R es euclıdea). Consideremosun modelo cualquiera (W,R, V ) sobre dicho marco y elijamos ar-bitrariamente un elemento w ∈ W . Probaremos ahora, por reduc-cion al absurdo, que 5 es verdadero en w, es decir, supongamosque V (5, w) = 0. Entonces, por la clausula de la funcion V para→, tenemos:

V (♦A,w) = 1 pero V (♦A,w) = 0

entonces

existe w′ ∈ W : wRw′ y V (A,w′) = 1 [1]


existe w′ ∈ W : wRw′ y V (♦A,w′) = 0 [2]

Es decir, tenemos concretamente w0, w1 tales que

wRw0 y V (A,w0) = 1 [1’]wRw1 y V (♦A,w1) = 0 [2’]

Luego, de [2’], se tiene que

para todo w′ tal que w1Rw′: V (A,w′) = 0 [3]

Dado que R es euclıdea, de [1’] y [2’], tenemos que

w1Rw0 [4]

Luego, de [3] y [4], llegamos a que

V (A,w0) = 0

que contradice que V (A,w0) = 1, establecido en [1’].

Ası pues, concluimos que V (5, w) = 1.

Prueba de 2.

Sea (W,R) un marco no euclıdeo cualquiera. Entonces:

existen w,w′, w′′ tales que wRw′, wRw′′ y no w′Rw′′

El modelo sobre dicho marco, (W,R, V ), en el cual se define:

V (p, w′′) = 1 y V (p, w∗) = 0 ( para todo w∗ 6= w′′)

refuta 5, pues la instancia ♦p→ ♦p es falsa en w.

6. Preliminares sobre sistemas axiomaticos

En general, un sistema axiomatico S para un lenguaje logicoL viene definido por:

ciertas formulas seleccionadas de L, llamadas axiomas; y por

reglas de inferencia.


Una regla de inferencia es una relacion de la forma (A1, . . . , An, A)(con n ≥ 1), donde A1, . . . , An, A son formulas de L. Se suele de-cir que A es consecuencia inmediata de A1, . . . , An. Podemosexpresar esta relacion de varias maneras, por ejemplo ası:

A1, . . . , An `S A

Los axiomas y reglas de inferencia constituyen la base axiomati-ca del sistema.

Una demostracion en S es una secuencia finita de formulas deLm, A1, A2, . . . , An (n ≥ 1), tal que cada Ai(1 ≥ i ≥ n) satisfacelo siguiente:

Ai es un axioma de S; o bien

Ai procede por aplicacion de una regla de inferencia de S auna o mas formulas anteriores en la secuencia.

Una demostracion en S de A es una demostracion en S dondela ultima formula de la secuencia es A.

En este caso se dice igualmente que A es un teorema de Sy se representa mediante `S A. Cuando lo aclare el contexto,anotaremos simplemente ` A.

Notese que, de acuerdo con la definicion de demostracion, todoslos axiomas son teoremas.

7. Sistemas normales de logica modal

En esta seccion expondremos sistemas axiomaticos de logicamodal llamados normales. Un sistema S es normal cuando tienela siguiente base axiomatica:

todas las tautologıas de la logica proposicional clasica;

todas las instancias del esquema modal K:

(A→ B)→ (A→ B)


todas las instancias del esquema modal def.♦:

♦A↔ ¬¬A

Las siguientes reglas de inferencia:

• Modus Ponens (MP): A,A→ B ` B

• Necesidad (N): A ` A

Esta base define precisamente al mınimo sistema normal de logicamodal K. El resto de los sistemas normales son extensiones deK. A este respecto, tenemos la siguiente tabla:

D: K + A→ ♦AT : K + A→ AB: T + A→ ♦AS4: T + A→ AS5: T + ♦A→ ♦A

Advirtamos que hemos hecho una presentacion axiomatica usando“esquemas de axioma” y no axiomas propiamente dichos. Cadaesquema representa un conjunto infinito numerable de axiomas(con la forma expresada por el esquema).

7.1. Relacion entre los sistemas modales normales presentados

Consideremos dos sistemas normales de logica proposicional Sy S ′ . Entonces:

-Diremos que S es mas debil que S ′ cuando todo teorema deS sea un teorema de S ′ y, ademas, al menos un teorema de S ′ nolo es de S.

Tambien se dice en este caso que S ′ es mas fuerte que S.

-Si ninguno de los dos sistemas (S y S ′) es mas fuerte que elotro y no contienen los mismos teoremas, decimos entonces queS y S ′ son independientes.


Ahora presentamos el siguiente resultado sobre los sistemaspresentados:

D es mas fuerte que K.

T es mas fuerte que D.

B y S4 son mas fuertes que T .

B y S4 son independientes.

S5 es el sistema mas fuerte.


7.1.1. Ejemplos de demostraciones

En la practica de la demostracion, conviene utilizar reglas deriva-das y teoremas previamente demostrados a modo de axiomas.

Reglas derivadas muy utiles son las dos siguientes:

(LP ) Si A es consecuencia tautologica de A1, A2, . . . , An,entonces A1, A2, . . . , An `S A.

(R) Si ` A→ B, entonces ` A→ B

T1: p→ ♦p. Prueba en el sistema T :

1. ¬p→ ¬p T2. p→ ¬¬p de 1 por LP3. ♦p↔ ¬¬p Def.♦3. p→ ♦p de 2 y 3 por LP

T2: p→ ♦p. Prueba en el sistema T :

1. p→ p T2. p→ ♦p teorema de T [T1]3. p→ ♦p de 1 y 2 por LP

T3: p→ ♦p. Prueba en el sistema en S5:

1. p→ ♦p teorema de S5 [T1]2. ♦p→ ♦p 53. p→ ♦p de 1 y 2 por LP

T4: p→ p. Prueba en el sistema S5:

1. ♦p→ p teorema de S5[conversa de 5]2. ♦p→ p de 1 por R3. p→ ♦p teorema de S5[T3]4. p→ p de 2 y 3 por LP


8. Caracterizacion de los sistemas modales normales

Sea S un sistema normal de logica modal y C una clase demarcos (o modelos). Entonces:

S es correcto respecto de C si y solo si todo teorema de Ses C-valido.

S es completo respecto de C si y solo si toda formula C-valida es un teorema de S.

S esta caracterizado por la clase de marcos C si y solo si Ses correcto y completo respecto de C.

Tenemos la siguiente tabla que presenta un resultado de carac-terizacion acerca de los sistemas normales presentados:

CARACTERIZACION

SISTEMAS CLASE C DE MARCOS (MODELOS)

K: todosD: serialesT : reflexivosB: reflexivos y simetricosS4: reflexivos y transitivosS5: de equivalencia

La relacion de equivalencia es una relacion reflexiva, simetrica ytransitiva (o lo que es igual, reflexiva y euclıdea).

9. Decidibilidad

Todos los sistemas presentados son decidibles, esto es, existenalgoritmos que pueden determinar si una formula cualquiera A eso no un teorema de cada uno de los sistemas estudiados.


Hay varios metodos de demostracion automatica muy po-pulares para la logica modal, los mas conocidos son resolucion ytableaux. Veremos este ultimo metodo mas adelante para tratarlos sistemas que hemos presentado.

Referencias

[BRV01] Blackburn, P., de Rijke, M. and Venema, Y.: ModalLogic, Cambridge University Press, 2001.

[Ch84] Chellas, B.F.: Modal Logic. An Introduction, CambridgeUniversity Press, 1984.

[HC73] Hughes, G.E. y Cresswell, M.J.: Introduccion a la logicamodal, trad. esp. de Esperanza Guijan Seijas, Tecnos, Madrid,1973.

[HC84] Hughes, G.E. y Cresswell, M.J. A Companion to ModalLogic, Methuen, Londres, Nueva York, 1984.

[HC96] Hughes, G.E. y Cresswell, M.J.: A New Introduction toModal Logic, Routledge, Londres, 1996.

[Kn80] Kneale, W. y Kneale, M.: El desarrollo de la logica, trad.esp. de Javier Muguerza, Tecnos, Madrid, 1980.

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