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“LOS PROYECTOS DE INVERSIÓN: UN PUNTO DE ENCUENTRO CON LA ESTADÍSTICA - Una mirada desde el cálculo financiero”

CASPARRI, María T.; GARNICA HERVÁS Juan R. y CASTEGNARO, Aída B.

C.M.A. (Centro de Investigación en Métodos Cuantitativos Aplicados a la Economía y a la Gestión - Facultad de Ciencias Económicas – U.B.A. casparri@econ.uba.ar; jgarnica@fibertel.com.ar; aidacastegnaro@gmail.com Área: Técnica PALABRAS CLAVE: Valor actual neto – Riesgo - Incertidumbre

RESUMEN El cálculo financiero como asignatura obligatoria para casi todas las carreras que ofrece la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires, requiere haber cursado previamente “Estadística”. Sin embargo, nuestros contenidos de enseñanza comprenden fundamentalmente la valuación de operaciones financieras ciertas y así uno de los temas del programa referido a evaluación de proyectos se lo aborda bajo el supuesto de la certidumbre. La importancia de la estadística cada vez cobra más vigor en la medida que la certeza pierde credibilidad en contextos que son cambiantes. Por ello, la aplicación de enfoques probabilísticos al flujo de fondos será el camino de dar respuesta al análisis del proyecto a través de las herramientas ya aprendidas, pero no el único, dado que ante la falta de información disponible surge la necesidad de extender la mirada tendiente a encontrar otras soluciones al problema decisorio . Las diferentes vías de solución adaptadas a un alumno de cálculo financiero que tiene un punto de encuentro con la estadística, logra el quiebre epistémico y construye bases y herramientas posibilitadoras de nuevos y más complejos modelos, los que serán tratados en asignaturas futuras. Este trabajo no intenta solapar contenidos previstos en la trayectoria de materias correlativas, sino por el contrario pretende generar concientización para que los alumnos comprendan que los conocimientos matemáticos no son solo propios de esa área, no están inconexos de otros departamentos, sino que son herramientas que permiten aplicarlos a administración financiera para comprender en toda su dimensión la viabilidad, gestión y control de un proyecto en todas sus etapas.

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“LOS PROYECTOS DE INVERSIÓN: UN PUNTO DE ENCUENTRO CON LA ESTADÍSTICA - Una mirada desde el cálculo financiero”

CASPARRI, María T.; GARNICA HERVÁS Juan R. y CASTEGNARO, Aída B.

C.M.A. (Centro de Investigación en Métodos Cuantitativos Aplicados a la Economía y a la Gestión - Facultad de Ciencias Económicas – U.B.A. casparri@econ.uba.ar; jgarnica@fibertel.com.ar; aidacastegnaro@gmail.com Área: Técnica

PALABRAS CLAVE: V.A.N. - Riesgo - Incertidumbre

INTRODUCCIÓN

El cálculo financiero como asignatura obligatoria para casi todas las carreras que ofrece la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires, requiere haber cursado previamente “Estadística”. Los contenidos de enseñanza comprenden fundamentalmente la valuación de operaciones financieras ciertas y así uno de los temas que comprenden el programa, la evaluación de proyectos, también se lo aborda bajo el supuesto de la certidumbre. En ese sentido, la valuación de Flujos de Fondos junto con los problemas relativos a la determinación de la tasa son uno de los tantos puntos comprendidos en la unidad “Métodos cuantitativos aplicables a la valuación de operaciones financieras” de la asignatura. Dada su importancia en el contexto de las decisiones financieras, otras cátedras le hemos asignado entidad propia en una unidad para su tratamiento concreto. Así, la unidad “Evaluación de Proyectos” especifica como conocimientos básicos, desde herramientas matemáticas que permiten la valuación del Flujo de Fondos de un Proyecto, sus fundamentos matemáticos relativos al análisis de rentabilidad y de análisis de la función VAN, para pasar concretamente a los criterios de decisión: V.A.N. y T.I.R, los problemas relativos a la determinación de la tasa, situaciones conflictivas en los criterios y finaliza con condiciones de Incertidumbre. Es en Administración Financiera, materia correlativa perteneciente al área de Administración que en profundidad se desarrollan las decisiones de inversión. Abarca el estudio de los diferentes modelos en condiciones de riesgo. Sin embargo, en el campo de las organizaciones también se puede dar situaciones con incertidumbre. Así, cuando no se dispone de distribuciones de probabilidad para la estimación de los flujos, no se pueden usar modelos simplificados, cuando se sale de lo aleatorio y se pasa a la incertidumbre por no encontrar leyes, se puede apelar a la matemática borrosa cuyos contenidos corresponden a asignaturas de otras carreras, tal es el caso de Estadística para administradores. La matemática difusa o borrosa (Fuzzy Sets) como una manera de tratar la incertidumbre fue abordada a nuestras jornadas en su complejidad en diferentes presentaciones por la cátedra del Dr. Mallo, Paulino de la Universidad de Mar del Plata. En el ámbito de nuestra F.C.E. de la Universidad de Buenos Aires, ha sido su pionero el Prof. Rodolfo H. Pérez, siguiéndole la Prof. Luisa L. Lazzari y el Prof. Emilio Machado. La Dra. María Teresa Casparri y el Act. Juan Ramón Garnica Hervás realizaron presentaciones en congresos internacionales y por otro lado, la Prof. Emma Loureiro de Pérez, en la materia Estadística para Administradores le asignó una unidad específica al tema. Por lo expresado, creemos que en cálculo financiero los saberes que los alumnos deben adquirir en cuanto a herramientas de evaluación de proyectos permite conectarlos con la utilización de los conocimientos previos de la estadística, por un lado para pensar la

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evaluación de una manera sencilla con algún modelo de valuación, logramos que no pierdan la continuidad en la ruta de la matemática por la necesidad de seguir conectando saberes al trabajar en contexto fuera de la certeza y por otro lado, generamos puente con otras materias cuando abordarán el tema de evaluación de proyectos en su mayor contenido y complejidad. Tal como expresa Álvarez, Messuti y Graffi (pp.148) la situación de certeza no se presenta casi nunca en la realidad y da como referencia los rendimientos en inversiones sin riesgo que tampoco son ciertos si se los miden en términos reales, por cuanto contienen un componente aleatorio que es la tasa de inflación. La incertidumbre según Brealey, Myers, Marcus, p. 218 se presenta “cuando pueden ocurrir más cosas de las que ocurrirán” y según Von Altrock, citado por E. L. de Pérez, pp.12-13 puede ser de dos tipos, la estocástica y la lingüística. La incertidumbre estocástica es aquella referida al azar, requiere de una medida de probabilidad que es aquella que expresa el grado incertidumbre acerca de la ocurrencia de un suceso aleatorio, en donde la incertidumbre radica en sí sucederá o no dicho suceso, pero es en este caso que tenemos nítidamente definidos los diferentes sucesos que pueden ocurrir. Al partir del principio aristotélico denominado del “tercero excluido presenta siempre dos alternativas que sea A o que no sea A. En cambio, la incertidumbre lingüística es lo que conocemos como la verdadera incertidumbre dada por la propia imprecisión del lenguaje y por lo tanto toma una lógica multivaluada al poder considerar todas las alternativas intermedias desde A al no A. El propósito de este trabajo es considerar la incertidumbre estocástica en un planteo muy simple.

LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN Un proyecto es una inversión realizada con el objetivo de lograr un futuro corriente de ingresos, o de acelerar la obtención de los mismos. Por lo tanto, están asociados al desembolso inicial del proyecto los flujos de caja netos periódicos, es decir que irán sucediendo a través del tiempo, ingresos y egresos periódicos y el flujo neto de caja es la suma algebraica de carácter financiero durante el horizonte de ese proyecto. Los criterios, definidos como las distintas técnicas que se aplican para la medición de proyectos, más utilizados son el V.AN. y el T.I.R. En este trabajo, dada la limitación en cuanto al tamaño del mismo se trabajará con el primero de los criterios. En ese sentido, el criterio V.A.N. –siglas de Valor Actual Neto- compara a una tasa de rentabilidad mínima aceptada –TREMA- a los ingresos y egresos netos de fondos de un proyecto y el valor hallado se interpreta como el saldo resultante en unidades monetarias que gana el proyecto por sobre la tasa de rentabilidad pretendida, después de recuperar la inversión. Ese saldo resultante puede tomar diferentes signos. Entonces, su interpretación según los valores encontrados en la valuación del proyecto es:

• V.A.N. =0 refleja que rinde lo que el inversor pretendía ganar • V.A.N. >0 refleja cuánto más gana el inversor por sobre lo que pretendía ganar. • V.A.N < 0 refleja cuánto le faltó al inversor para que ganara lo que pretendía ganar.

Por lo expuesto, este criterio plantea que se acepta un proyecto si su valor actual neto resulta ser igual o superior a cero, dado que si da cero significa que el proyecto rinde justamente lo que el evaluador exige como tasa para esa inversión. No se podrá aceptar un proyecto que arroje un VAN negativo, dado que ese valor negativo se interpreta como esa cuantía que falta para que ese proyecto rinda lo que el decisor estableció como tasa de rentabilidad mínima aceptada -TREMA . Lo importante a tener en cuenta y debe ser considerado como nota aclaratoria en los resultados hallados es el supuesto fuerte de que para que esas medidas se cumplan, se debe cumplir la totalidad de las proyecciones estimadas en el proyecto, dado que se ha valuado el proyecto en condiciones de certeza.

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Ahora bien, la situación o condición de certeza en los flujos y en la vida útil del proyecto no se presenta casi nunca en la realidad, pues hasta los rendimientos en inversiones sin riesgo tampoco son ciertos si se los miden en términos reales por cuanto contiene un componente aleatorio que es la tasa de inflación y más en países como el nuestro (Alvarez, Messuti, Graffi; p.148). Sin embargo, ante la pregunta de ¿por qué dar proyectos en condiciones de certeza? La respuesta es porque son la base sobre la que se sustenta la evaluación de proyectos y levantando esa situación de todas maneras se siguen presentando elementos comunes, desde la existencia de proyectos alternativos, el conjunto de alternativas, el método o la combinación como complemento de su estudio y el objetivo de seleccionar la mejor alternativa desde el punto de vista de un decisor racional. El apartarse del modelo tradicional o modelo determinístico significa levantar ese supuesto de flujos conocidos y pasar a los valores que pueden tomar una o varias variables susceptibles de modificarse en la vida útil del mismo, al perderse la certeza sobre los flujos netos futuros de caja que dará el proyecto y por ende, cambia pasa a la situación de riesgo o incertidumbre. Nos pareció interesante esta posición que expresa “Cuando pueden suceder más cosas de las que ocurrirán se dice que estamos en presencia de incertidumbre (Brealey p.258) …”y dado que el futuro es incierto, se supone que las cuantías aplicadas a un determinado proyecto están sujetas a riesgo. Pero, riesgo no es lo mismo que incertidumbre. Veamos: Aparecen entonces los términos certeza, incertidumbre y riesgo, que son un sistema de situaciones exhaustivo en que puede evaluarse un proyecto, según la información con que se cuenta. Veamos cada una de ellas: - Certeza: el evaluador del proyecto conoce cada una de los valores que definen la

inversión, las que pueden presentar un solo estado futuro con probabilidad igual a 1. Es aquella que situación que nos permite valuar el proyecto asumiendo que los flujos netos de caja tomarán ese valor por tener un comportamiento único.

- Riesgo: el evaluador del proyecto no tiene certeza del comportamiento de cada flujo neto de caja, pero puede tener conocimiento de todos los futuros estados posibles de la naturaleza (economía, empresarial,…) que pueden afectar los valores y se está en condiciones de asignarles una probabilidad de ocurrencia a cada uno de los estados posibles. Así, una decisión se compone de un valor que resulta de varios resultados posibles a los que se les asignan una probabilidad de ocurrencia.

- Incertidumbre: cuando no se dan por lo menos una de las dos condiciones características del riesgo, o sea puede no conocerse todos los resultados posibles y/o puede no conocerse la probabilidad de ocurrencia, es decir que no se pueden cuantificar. Se entiende que “la incertidumbre de un proyecto crece con el tiempo” (Chain & Chain, p.344)

El análisis y administración del riesgo de un proyecto significa utilizar alguna medición que permita poder cuantificar ese riesgo. El riesgo definido por Sapag Chaín, Nassir, 2007 consiste “en la variabilidad de los beneficios futuros esperados por los inversionistas”. En definitiva se trata de variabilidad de los futuros resultados de una inversión en torno al valor esperado. Para ello, se utiliza el concepto de probabilidad entendido como aquella medida cuantitativa que expresa la creencia acerca de la posibilidad de que ocurra determinado evento y puede ser una probabilidad subjetiva. Cuanto más grande sea esa variabilidad de los beneficios, más grande será el riesgo de ese proyecto. Se dice que un proyecto es riesgoso cuando factores exógenos del proyecto pueden afectar la evolución de sus componentes: los gastos, los ingresos. Así, cuando una o varias variables

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del flujo de caja son aleatorias en lugar de determinísticas, nos lleva a salir del análisis en condiciones de certeza dado que no existirá certeza de los valores de los flujos netos de caja de cada período. Consecuentemente, los indicadores, tales como V.A.N. y la T.I.R utilizados en la evaluación de proyectos son variables aleatorias dado que se calculan a partir de estos flujos. En condiciones de certeza se considera que el proyecto con mayor V.A.N. resulta ser el más conveniente. Cuando hay incertidumbre ya no sirve aplicar el criterio tradicional: maximizar el V.A.N., ya que bajo condiciones de incertidumbre este indicador constituye una variable aleatoria, sino que es necesario extender el análisis. La información disponible con la que contemos para la evaluación de proyectos será el indicador para decidir entre los diferentes métodos o enfoques que conducen a la determinación de la conveniencia o no del proyecto de inversión. Es propósito de este trabajo encontrar propuestas sencillas aplicando los saberes de un curso de estadística para salir de condiciones de certeza con soluciones simplificadas y generar puente para su continuidad futura en otras materias. Se mencionan como causas del riesgo e incertidumbre en los proyectos las siguientes (Chain, Chain, p.344):

• Insuficiencia de información dado la poca cantidad de inversiones similares al proyecto que se evalúa

• Los cambios en el contexto económico • El mundo cambiante que anula la experiencia pasada, a lo que se puede agregar una

frase popular que dice algo así: El éxito del pasado no asegura el del futuro. • La interpretación o la aplicación errónea de los datos • Los prejuicios contenidos en los datos y su apreciación que conducen a efectos

pesimistas o bien optimistas, según el caso. Salir de la certeza: un punto de encuentro con la estadística Cuando no tenemos solo una alternativa única en la sucesión del flujo neto de fondos, sino se da la existencia de dos o más alternativas, la situación de certeza encuentra ese punto de fuga en la estadística. Los dos métodos de más fácil comprensión que utilizaremos para afrontar la falta de certeza en el comportamiento futuro del flujo de fondos quedan definidos por los elementos que intervienen en la evaluación en donde el evaluador o decisor: 1) Puede asignar a cada una de las alternativas una probabilidad de ocurrencia a cada uno

de los flujos esperados del proyecto. Generalmente se trata de una probabilidad subjetiva que nos permite calcular las cuantías monetarias esperadas del proyecto, más comúnmente llamados los valores monetarios esperados. Esas cuantías son los flujos netos de caja esperados que nos permitirá encontrar medidas estadísticas tales como la esperanza matemática y la varianza del Valor Actual Neto del proyecto.

2) No conoce para cada una de las alternativas la probabilidad de ocurrencia a cada uno de

los flujos esperados del proyecto. Así, este método se referirá a la estimación de los Flujos Netos de Caja tomando como referencia los diferentes estados que puede reflejar la economía. El análisis de los escenarios permite mirar a diferentes aunque consistentes combinaciones de las variables que componen el proyecto.

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Así, se presentan un escenario más probable al que también se le llama caso base y dos escenarios ubicados por encima y por debajo del caso base, a los que se los suele denominar escenario optimista y escenario pesimista, sin considerar entonces, el factor probabilístico, dado que se prefiere que todos tengan el mismo peso. Se prefiere el mismo peso, porque no hay información que me permita otra valoración.

El escenario optimista asume los mejores valores que el proyecto pudiese dar.

Así, las cuantías consideradas en el proyecto resultan las más alentadoras en ese estado de la naturaleza, por efecto de reducción de gastos del proyecto y aumento de los ingresos del mismo, lo que generaría mejores flujos de caja netos como así puede estar asociado a una disminución en la cuantía del desembolso inicial, es decir del primer flujo de caja del momento 0.

El escenario pesimista asume los peores valores que el proyecto puede dar.

Supone que los valores considerados en el proyecto empeoran, tratándose de un proyecto de inversión se podría considerar que en el momento del desembolso inicial la cuantía se incrementa, los flujos netos de caja disminuyen, por ejemplo porque aumentan los gastos del proyecto y disminuyen los ingresos del mismo.

El escenario más probable el que se también se denomina caso base, es un escenario

más prudencial porque representa el más probable en esta terna, es decir el más esperado para todos los flujos futuros de caja.

Según la información con la que se cuenta, se elige el método y se procede a un conjunto de pasos ordenadamente para la evaluación del mejor proyecto El procedimiento para la evaluación de proyectos en condiciones de riesgo será 1) Estimar los flujos netos de caja periódicos asociados al proyecto de inversión para cada

uno de los escenarios posibles que definió el evaluador 2) Determinar el Valor Esperado del Valor Actual Neto. Para ello, recordaremos las fórmulas

utilizadas en la aplicación del criterio V.A.N. 3) Complementar con el cálculo de la Varianza. La necesidad de conocer esta medida se

debe a que el Valor Esperado no tiene en cuenta el riesgo y dado que el riesgo se presenta en la dispersión o el desvío de la distribución del V.A.N. el estudio de viabilidad de un proyecto es inconcluso sin esta medida. Así, se determina la varianza y dado que su valor está expresado en el cuadrado de la unidad de medida de la magnitud de la variable, lo que dificulta su interpretación, para poder contar con una medida cuya magnitud está expresada en la misma dimensión de la variable se calculará el desvío o desviación estándar como medida de variabilidad absoluta.

4) Se calcula el coeficiente de variación como medida de dispersión o de variabilidad relativa y está representado por un número puro que está desprovisto de magnitud.

5) Se determina en términos de probabilidad si con los valores hallados en la valuación se acepta el proyecto, estableciendo a priori ese valor de aceptación.

Repasando el criterio V.A.N. en condiciones de certeza. La valuación del proyecto con el criterio del V.A.N considerando que se trata de un modelo determinístico presenta la siguiente forma:

V.A.N. = −𝐶𝐶𝑂𝑂 .𝑣𝑣0 + 𝐶𝐶1 .𝑣𝑣1 + 𝐶𝐶2 .𝑣𝑣2 + 𝐶𝐶3 . 𝑣𝑣3 + 𝐶𝐶4 .𝑣𝑣4 +⋯+ 𝐶𝐶𝑛𝑛 .𝑣𝑣𝑛𝑛

0 0 0 0

1. .(1 ) .(1 ) (1 )

j

j j j

n n n nj j

j jj j j j

cVAN c c i c v

i i−

= = = =

= = = + =+ +∑ ∑ ∑ ∑

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Donde: Cj: Flujos Netos de Caja a valores constantes. Se ha considerado Proyectos de Inversión Simples (denominase simple si solo se presenta un solo cambio de signo en la sucesión de flujos netos de caja, dado por el signo positivo en todos los flujos de caja, salvo el del desembolso que responde al flujo inicial del momento 0 que es negativo) . En un proyecto simple el vector de flujos de caja es: [-Co; +C1; +C2; +C3; +C4;. . . +Cn] Por lo tanto:

- Co : Flujo Neto de Caja negativo que responde al desembolso inicial de la inversión + Cj : Flujo Neto de Caja positivo. Para j= 1,2,…n 𝑣𝑣𝑗𝑗: Factor de actualización de una unidad de capital “j” períodos antes de su vencimiento El criterio V.A.N. en condiciones de riesgo e incertidumbre A partir de los conocimientos básicos que son los conocimientos previos de estadística para aplicar en cálculo financiero sin entrar en complejidades podemos considerar dos métodos. Primer método: Se conocen los flujos netos de caja en términos de probabilidad. Como se señalara anteriormente, cuando al menos uno de los componentes de los flujos de fondos no se puede conocer con exactitud, pero si es posible, conocerlos en términos de probabilidad, encontraremos una solución haciendo uso de los conocimientos de estadística. Se pueden construir diferentes escenarios en los que se presentarían los distintos flujos netos de caja, así pasamos de certeza a condiciones de riesgo. Segundo método: No se conoce la probabilidad de ocurrencia de los Flujos netos de caja, pero podemos estimar diferentes flujos para cada uno de los periodos del proyecto Así, en cada uno de los periodos de vida útil del proyecto contamos con los flujos netos de caja para cada uno de los escenarios posibles, pero al desconocer la probabilidad y no poder tampoco asignarla en forma subjetiva, se asume que todos los valores cuentan con igual peso y por ende, se calcula el promedio de los diferentes valores, ese promedio resulta ser un solo valor que debe ser calculado a partir de los tres valores que se presentan en cada uno de los periodos del proyecto, a partir del cual se calculará el V.A.N. esperado y el desvío. Veamos cada uno de ellos: I - Se conocen los flujos netos de caja en términos de probabilidad. La Esperanza Matemática del Valor Actual Neto En condiciones de riesgo la valuación del proyecto con el criterio V.A.N. se presenta considerando que cada uno de los Cj –Flujos netos de Caja - no son constantes, entendidos como conocidos, independientemente del importe de cada uno, sino son variables aleatorias. Por eso, en vez de trabajar con Cj lo haremos con Xj . Recordemos que la Variable Aleatoria son los Flujos netos de caja –Xj- y por lo tanto, tienen una esperanza matemática y una varianza. Considerando el importe de cada una de las cuantías aleatorias podemos descomponer en dos factores cada uno de los términos que componen la ecuación para determinar el V.A.N.

V.A.N. = −𝑋𝑋𝑂𝑂 .𝑣𝑣0 +.𝑋𝑋1 .𝑣𝑣1 + 𝑋𝑋2 .𝑣𝑣2 + 𝑋𝑋3 . 𝑣𝑣3 + 𝑋𝑋4𝑣𝑣4 + ⋯+ 𝑋𝑋𝑛𝑛 . 𝑣𝑣𝑛𝑛

Este Valor Actual Neto no es una constante, sino que se trata de una variable aleatoria. Ya con un solo componente del proyecto que no se considere constante por estar afectado por un factor exógeno, el VAN no puede ser considerado como determinístico.

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Analizamos el Segundo miembro de la equivalencia y vemos que cada término desagrega por un lado, el componente de actualización v j - definido como el valor actual o valor presente de una unidad de capital “j” periodos antes de su vencimiento y por otro lado, el componente aleatorio, que será el valor esperado de cada variable. Entonces tenemos suma de variables aleatorias y la Esperanza del Valor Actual Neto de una suma de variables aleatorias, sean estas independientes o dependientes es siempre igual a la suma de los valores esperados o esperanzas matemáticas de cada una de dichas variables. (Recordamos ciertas propiedades de la Esperanza matemática que utilizaremos, en donde

- Propiedad 1. E (𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2) = E(𝑋𝑋1) + E(𝑋𝑋2) La esperanza matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de las esperanzas matemáticas de esas variables aleatorias.

- Propiedad 2. E (𝑘𝑘 𝑋𝑋) = k. E(X) La esperanza matemática del producto de una constante por una variable aleatoria es igual al producto de esa constante por la esperanza matemática de la variable aleatoria.

- Asimismo, de ambas propiedades: E(𝑘𝑘1 𝑋𝑋1 + 𝑘𝑘2 𝑋𝑋2) = 𝑘𝑘1 E(𝑋𝑋1) + 𝑘𝑘2 E(𝑋𝑋2) 𝐸𝐸(∑ 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑛𝑛

𝑖𝑖=1 ) = ∑ 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖=1 )

La esperanza matemática de una combinación lineal de variables aleatorias es igual a la misma combinación lineal entre las esperanzas matemáticas de esas variables aleatorias. Por lo tanto, E (V.A.N) = 𝑣𝑣0.𝐸𝐸(−𝑋𝑋𝑂𝑂) + 𝑣𝑣1.𝐸𝐸(𝑋𝑋1) + 𝑣𝑣2.𝐸𝐸(𝑋𝑋2) + 𝑣𝑣3.𝐸𝐸(𝑋𝑋3) + 𝑣𝑣4.𝐸𝐸(𝑋𝑋4 ) + ⋯+ 𝑣𝑣𝑛𝑛𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑛𝑛) En definitiva nos queda: E (𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁) = ∑ 𝑣𝑣𝑗𝑗.𝑋𝑋𝑗𝑗𝑛𝑛

𝑗𝑗=0

De donde tenemos que: 𝐸𝐸(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. ) = ∑ 𝑣𝑣𝑗𝑗.𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑗𝑗)𝑛𝑛𝑗𝑗=0

Como la 𝐸𝐸(−𝑋𝑋𝑂𝑂) es el posible valor del desembolso inicial que puede tomar para cada uno de los “t” escenarios posibles; de la misma manera E(𝑋𝑋𝑗𝑗) es el posible valor que puede tomar para cada uno de los “t” escenarios posibles cada uno de los flujos netos de caja. También podrá ser considerado que haya componentes del proyecto que no son variables aleatorias y se conoce exactamente su valor, lo que ocurre a veces con el desembolso inicial. Es un valor teórico, que no coincide en general con la realidad, pues se trata de un valor medio a largo plazo que tomaría esa variable aleatoria. Trabajando con “t” escenarios posibles, cada uno presentará un V.A.N. específico que se corresponde con los valores asignados a sus componentes que conforman el flujo neto de caja previsto. La estimación debe arrojar un valor puntual resultante de los encontrados anteriormente, por ende, para calcular el valor esperado se deberá tener en cuenta la distribución de probabilidad de esos valores. Es decir, cada uno de los Xj son variables aleatorias con unas determinadas distribuciones de probabilidad, cada una de ellas con su media y varianza. La probabilidad que se utiliza generalmente en decisiones empresariales es una probabilidad subjetiva entendida como aquella que expresa un grado en que una persona cree que ocurrirá un suceso. El criterio de selección de proyectos en condiciones de riesgo para un decisor racional que tiene que seleccionar entre diversos proyectos mutuamente excluyentes es aceptar aquel proyecto con mayor valor esperado del valor actual neto. Sin embargo, la esperanza como media teórica que es, no da una imagen completa de la información del conjunto de datos si no se consideran cuán concentrados o dispersos se encuentren los valores, acá estamos refiriéndonos a la variabilidad de los flujos de caja si son o no son homogéneos y para ello el desvío es una medida que expresa el riesgo. De allí la necesidad de complementar el estudio aclarando que si bien no todas las personas tienen el mismo comportamiento hacia el riesgo,

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los que son adversos tienen una actitud de reducir el riesgo sacrificando ese mayor valor actual neto que otro proyecto generaría. Desde un punto de vista racional, consideraremos más conveniente de todos a aquel proyecto que presente el mayor valor esperado del valor actual neto de los y menor varianza, o menor desvío; o bien, entre aquellos con igual varianza o igual desvío tengan el mayor valor esperado. Es decir que si tenemos dos proyectos mutuamente excluyentes, ambos con igual V.A.N. esperado un evaluador adverso al riesgo, preferirá aquel proyecto de inversión que refleje menor riesgo. En general, se presenta la asociación entre el riesgo y el rendimiento de un proyecto, en donde a mayor riesgo, mayor rendimiento y a menor riesgo, menor rendimiento.

La Varianza del Valor Actual Neto La varianza de una variable aleatoria recordemos que se define como el promedio ponderado de los cuadrados de las desviaciones entre los valores de la variable respecto a su valor medio, en donde la ponderación es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un determinado valor. Por lo que esta medida estadística siempre será un número positivo o nulo. Para calcular la Varianza debemos considerar si cada una de las Xj son variables aleatorias independientes, o son dependientes. Caso 1: independencia de las Xj variables aleatorias Significa que los flujos no están correlacionados y en consecuencia para toda la vida del proyecto el coeficiente de correlación es nulo. Situación que se da en mercados altamente competitivos en donde no se dan fuerzas que alteren por ejemplo las funciones de demanda En ese caso, por aplicación del T.C.L. se dice que el V.A.N. está normalmente distribuido con Media : 𝐸𝐸(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. ) = ∑ 𝑣𝑣𝑗𝑗.𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑗𝑗)𝑛𝑛

𝑗𝑗=0 y Varianza: 𝜎𝜎2(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. ) = ∑ (𝑣𝑣𝑗𝑗)2 .𝜎𝜎𝑗𝑗2𝑛𝑛

𝑗𝑗=0 Veamos: 𝜎𝜎2(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. ) = (𝑣𝑣0)2.𝜎𝜎2(𝑋𝑋𝑂𝑂) + (𝑣𝑣1)2.𝜎𝜎2(𝑋𝑋1) + (𝑣𝑣2)2.𝜎𝜎2(𝑋𝑋2) + (𝑣𝑣3)2.𝜎𝜎2(𝑋𝑋3) + (𝑣𝑣4)2.𝜎𝜎2(𝑋𝑋4 )

+ ⋯+ (𝑣𝑣𝑛𝑛)2.𝜎𝜎2(𝑋𝑋𝑛𝑛) 𝜎𝜎2(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. ) = 𝜎𝜎2(𝑋𝑋𝑂𝑂) + 𝑣𝑣2.𝜎𝜎2(𝑋𝑋1) + 𝑣𝑣4.𝜎𝜎2(𝑋𝑋2) + 𝑣𝑣6.𝜎𝜎2(𝑋𝑋3) + 𝑣𝑣8.𝜎𝜎2(𝑋𝑋4 ) + ⋯+ 𝑣𝑣2𝑛𝑛.𝜎𝜎2(𝑋𝑋𝑛𝑛) Siendo 𝜎𝜎2(𝑋𝑋1) = ∑ �𝑋𝑋𝑗𝑗𝑡𝑡 − 𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑗𝑗𝑡𝑡)�2.𝑝𝑝𝑗𝑗𝑡𝑡ℎ

𝑡𝑡=1 En donde: 𝑋𝑋𝑗𝑗𝑡𝑡: Flujo de Caja del período j para el escenario t Caso 2: dependencia de las Xj variables aleatorias 𝜎𝜎2(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. ) = 𝜎𝜎2(𝑋𝑋𝑂𝑂) + 𝑣𝑣2.𝜎𝜎2(𝑋𝑋1) + 𝑣𝑣4.𝜎𝜎2�𝑋𝑋2) + 𝑣𝑣6.𝜎𝜎2(𝑋𝑋3) + 𝑣𝑣8.𝜎𝜎2(𝑋𝑋4 � +⋯+ 𝑣𝑣2𝑛𝑛.𝜎𝜎2(𝑋𝑋𝑛𝑛)

− 𝑣𝑣. 2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑣𝑣(𝑋𝑋0.𝑋𝑋1) − 𝑣𝑣22.𝐶𝐶𝐶𝐶𝑣𝑣(𝑋𝑋0.𝑋𝑋2) …. Cuando los flujos netos de caja están perfectamente correlacionados, su coeficiente de correlación es 1, es decir: 𝜌𝜌 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑋𝑋ℎ)

𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖 .𝜎𝜎𝑋𝑋ℎ y como 𝜌𝜌 = 1 ; entonces: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑋𝑋ℎ)

𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖 .𝜎𝜎𝑋𝑋ℎ= 1

Y queda: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑣𝑣(𝑋𝑋𝑖𝑖,𝑋𝑋ℎ) = 𝜎𝜎𝑋𝑋𝑖𝑖 .𝜎𝜎𝑋𝑋ℎ si las variables aleatorias están perfectamente correlacionadas. El supuesto de que los flujos de caja están perfectamente correlacionados implica que ocurrido el flujo del primer momento, todos los restantes flujos quedan determinados La expresión de 𝜎𝜎2(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. ) la podemos escribir como:

𝜎𝜎2(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. ) = 𝜎𝜎2(𝑋𝑋𝑂𝑂) + 𝑣𝑣2.𝜎𝜎2(𝑋𝑋1) + 𝑣𝑣4.𝜎𝜎2(𝑋𝑋2) + 𝑣𝑣6.𝜎𝜎2(𝑋𝑋3) + 𝑣𝑣8.𝜎𝜎2(𝑋𝑋4 ) + ⋯+𝑣𝑣2𝑛𝑛.𝜎𝜎2(𝑋𝑋𝑛𝑛)− 𝑣𝑣. 2 .𝜎𝜎𝑋𝑋𝑜𝑜 .𝜎𝜎𝑋𝑋1 − 𝑣𝑣2. 2 .𝜎𝜎𝑋𝑋𝑜𝑜 .𝜎𝜎𝑋𝑋2 ….-….

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Caso 3: no todos los flujos de caja se encuentran correlacionados, por lo que la varianza no es otra cosa que la varianza del componente independiente al que se le suma la varianza del componente que está correlacionado. Asumiremos que los flujos de cajas son variables aleatorias independientes para la resolución de los ejercicios. El Desvío del Valor Actual Neto El indicador de variabilidad que se utiliza es el desvío típico o desviación típica dado que su valor esta expresado en las mismas unidades que la variable original. El desvío tipo o típico es la raíz cuadrada positiva de la varianza, por eso sus valores se convierte en las mismas unidades que la del valor esperado. Considerando variables aleatorias independientes tenemos que

𝜎𝜎 (V.A.N.) = �∑ (𝑣𝑣𝑗𝑗)2 .𝜎𝜎𝑗𝑗2𝑛𝑛𝑗𝑗=0

El Coeficiente de Variación El coeficiente de variación –C.V.- es una medida de dispersión relativa, a mayor C.V. , mayor riesgo relativo. Según la actitud de la empresa frente al riesgo, pero si el riesgo es importante el retorno que devuelve el proyecto debiera ser más. Como el desvío típico es un valor absoluto pues queda expresado en las mismas unidades que la variable original (en valores monetarios) entonces como medida de riesgo relativo con respecto al valor actual esperado se utiliza otra medida que es el coeficiente de variación o variabilidad. Es decir, el coeficiente de variación mide la dispersión de una variable aleatoria relativa a su esperanza matemática o valor esperado.

𝐶𝐶.𝑉𝑉. = σ (V. A. N. ) 𝐸𝐸(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁)

El cálculo de la probabilidad de variables aleatorias Si definimos a la variable aleatoria Y como la suma de n variables aleatorias independientes, se sabe por el T.C.L. que para un “n” suficientemente grande, Y sigue una distribución aproximadamente normal, independientemente del tipo de distribución de cada una de las variables aleatoria. En el V.A.N. Y= 𝑋𝑋𝑂𝑂 .𝑣𝑣0 +.𝑋𝑋1 .𝑣𝑣1 + 𝑋𝑋2 .𝑣𝑣2 + 𝑋𝑋3 . 𝑣𝑣3 + 𝑋𝑋4𝑣𝑣4 + ⋯+ 𝑋𝑋𝑛𝑛 . 𝑣𝑣𝑛𝑛 Entonces, si consideramos una variable aleatoria distribuida normalmente, con media 𝜇𝜇 y varianza 𝜎𝜎2 Para calcular la probabilidad de que el V.A.N. tome un determinado valor, consideraremos la función de la Normal que está definida por su media y su varianza. La

Normal está representada por 𝑓𝑓𝑥𝑥 = 1√2𝜋𝜋𝜎𝜎2

. 𝑒𝑒−12�𝑥𝑥−𝜇𝜇𝜎𝜎 �

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.Para la utilización deberá estandarizarse los valores de la variable X a variable estandarizada Z, en donde Z es, en unidades de desvíos, la diferencia entre el valor de la variable y la media de la distribución. Es decir, la variable aleatoria: 𝑍𝑍 = 𝑋𝑋−𝜇𝜇

𝜎𝜎 tiene una distribución normal estándar con 𝜇𝜇 = 0 y 𝜎𝜎2 = 1

En nuestro caso, genéricamente 𝑍𝑍 =𝑌𝑌−∑ 𝐶𝐶𝑗𝑗.𝐸𝐸(𝑋𝑋𝑗𝑗)𝑛𝑛

𝑗𝑗=0

�∑ (𝐶𝐶𝑗𝑗)2 .𝜎𝜎𝑗𝑗2𝑛𝑛

𝑗𝑗=0

La curva de la distribución normal es simétrica y por ello se da una regla empírica -68-95-99,7 que hace referencia a que el 68%, el 95% y el 99,7% de las observaciones estarán a más o menos uno, dos o tres desvíos respectivamente de la media.

11

II - No se conoce la probabilidad de ocurrencia de los Flujos netos de caja. Si no se conocen los flujos netos de fondos en términos de probabilidad, disponemos de una menor información para la estimación de la esperanza matemática del valor actual neto y su variabilidad. Puede ocurrir que: II.1 De alguna manera se estimaron los flujos netos de caja considerando diferentes escenarios de la economía y por ende para cada escenario se presentan los distintos flujos de caja asociados a cada uno de los periodos de vida del proyecto,. Contamos con mayor incertidumbre en la información y poco se puede hacer para calcular el V.A.N. esperado del proyecto. Podemos considerar que para cada periodo se presentan flujos netos de caja optimistas, más probables y pesimistas. Decimos que un flujo neto de caja es optimista porque refleja el mayor flujo neto de caja que se espera de ese proyecto, es decir en la mejor situación, si todo sale bien. En cambio el flujo neto de caja es pesimista cuando refleja el menor flujo neto de caja que se espera del proyecto si sale todo mal. El flujo neto de caja más probable es aquel que resulta ser el más verosímil, es decir el que normalmente debiera generar el proyecto si todo sale como normalmente se espera. En este caso se trata de una distribución triangular. II.2. Contamos con menos información aún, en donde es difícil determinar el valor más probable, y si es así, lo que nos queda es aceptar que los valores comprendidos entre los extremos tienen igual probabilidad de ocurrencia, trabajando así con los flujos netos de caja optimistas y los pesimistas. En este caso se trata de una distribución uniforme o rectangular. II. 1 Las características de la Distribución Triangular: Esperanza Matemática, Varianza, Desvío estándar y Coeficiente de Variación del Valor Actual Neto Para la determinación con resultados distintos, se puede considerar que cada uno de los valores de estimación obtenidos a) tienen el mismo peso, lo que comúnmente se denomina que siguen una distribución

triangular. b) No tienen el mismo peso y siguen

a. una distribución aproximadamente normal en donde el valor más frecuente es el base y los considerados en el escenarios tanto pesimista como optimista son los extremos.

b. Otro tipo de distribución, por ej. con mayor peso en el valor base o más probable. Considerando el supuesto porque nada nos hace pensar que puedan ponderar distinto, de que todos los resultados tienen igual peso, dado que no tengo información adicional que permita contradecirlo, para calcular el Valor Esperado del V.A.N, tomaremos en c/u de los periodos –aquí anuales- las diferentes situaciones según los estados de la naturaleza que se pueden presentar, y podrán ser considerados como flujos netos de caja triangulares. El nombre de esta distribución se lo da la forma de su representación gráfica que se ve a continuación, en donde la función de densidad tiene la forma de triángulo. Entonces, dada la poca información disponible, con solo conocer tres valores de cada uno de los flujos netos de caja, que matemáticamente los denominados los tres valores: a,b y c En donde podemos decir que el valor mínimo está representado por “a”, el valor máximo por “c” y el valor más probable por “b”. En orden creciente, los valores son a, b y c. Dado que a<b<c Estos valores también responden a los escenarios pesimista, más probable o base y optimista, respectivamente.

12

Para determinar la altura del triángulo, sabiendo que el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad es 1 y que el área del triángulo es (base * altura)/2. En el caso nuestro (c-a)/2. Entonces, 1 = (𝑐𝑐−𝑎𝑎).ℎ

2 en donde h= altura. Despejando h, queda ℎ = 2

𝑐𝑐−𝑎𝑎

Esta distribución se puede usar cuando hay información más incompleta y como simplificación de distribuciones que se verán en otras materias, tales como la beta. La representación gráfica de la función de densidad puede presentar las siguientes formas asimétrica y simétrica 2

𝑐𝑐−𝑎𝑎 2

𝑐𝑐−𝑎𝑎 2

𝑐𝑐−𝑎𝑎

a b c a b c a b c En nuestro caso denotamos a =Xt o b= Xt m y c=Xt o Partiendo de la función f(x)

0 , ∀ 𝑥𝑥 < 𝑎𝑎

2 (c − a)(b − a)

(𝑥𝑥 − 𝑎𝑎), ∀ 𝑎𝑎 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑏𝑏

f(x)=

−2 (c − a)(c − b)

(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐), ∀ 𝑏𝑏 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑐𝑐

0 , ∀ 𝑥𝑥 > 𝑐𝑐 En la distribución triangular la esperanza matemática Se obtiene a partir de la definición de momento absoluto de orden uno: 𝑢𝑢1 = ∫𝑥𝑥.𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑(𝑥𝑥)

𝑢𝑢1 = 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = � 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)

(c − a)(b − a)𝑑𝑑𝑥𝑥 +𝑏𝑏

𝑎𝑎� 𝑥𝑥

(−2)(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐) (c − a)(c − b)

𝑐𝑐

𝑏𝑏𝑑𝑑𝑥𝑥

Resolviendo nos queda 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐3

En nuestro ejemplo:𝐸𝐸�𝑋𝑋𝑡𝑡 � = �𝑋𝑋𝑡𝑡0+𝑋𝑋𝑡𝑡

𝑚𝑚+𝑋𝑋𝑡𝑡𝑝𝑝�

3

La Varianza, desvío estándar y coeficiente de variación del Valor Actual Neto Para hallar el momento centrado de orden dos, por diferencia de momentos queda expresado como la diferencia entre el momento absoluto de orden dos y el cuadrado del momento absoluto de orden uno. En donde el momento absoluto de orden dos : 𝑢𝑢2 = ∫𝑥𝑥2.𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑(𝑥𝑥)

Es decir 𝜎𝜎2 = ∫ 𝑥𝑥2 2 (𝑥𝑥−𝑎𝑎)(c−a)(b−a)𝑑𝑑𝑥𝑥 +𝑏𝑏

𝑎𝑎 ∫ 𝑥𝑥2 (−2)(𝑥𝑥−𝑐𝑐) (c−a)(c−b)

𝑐𝑐𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑥𝑥 − �𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐

3�2

Resolviendo nos queda 𝜎𝜎2 = (𝑐𝑐−𝑎𝑎)2−(𝑏𝑏−𝑎𝑎)(𝑐𝑐−𝑏𝑏)18

o bien 𝜎𝜎2 = 𝑎𝑎2+𝑏𝑏2+𝑐𝑐2−𝑎𝑎𝑏𝑏−𝑎𝑎𝑐𝑐−𝑏𝑏𝑐𝑐18

El desvío estándar 𝜎𝜎 = √𝜎𝜎2 El coeficiente de variación resulta ser el cociente entre el desvío y la media teórica o esperanza matemática.

13

Un caso particular de la distribución triangular se da cuando la distribución de los flujos netos de caja previstos es simétrica es decir (b – a)= (c – b); por lo que 𝑏𝑏 = (𝑎𝑎+𝑐𝑐)

2. Consecuentemente,

tiene 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎+𝑐𝑐2

= 𝑏𝑏 y 𝜎𝜎2 = (𝑐𝑐−𝑎𝑎)2

24

II. 2 Las características de la Distribución Uniforme: Esperanza Matemática, Varianza, Desvío estándar y Coeficiente de Variación del Valor Actual Neto La distribución uniforme es también denominada rectangular por el aspecto que presenta la función de densidad. En este caso la variable aleatoria que son los flujos netos de caja tendrán probabilidad constante en el intervalo comprendido (a, b) en el que está definida, tiene la característica de que la probabilidad de un suceso no depende de su posición en el campo de variación de la variable sino que depende del rango o amplitud. X tiene una Distribución uniforme en el intervalo (a, c); a<c. 1

𝑐𝑐−𝑎𝑎, si a<x<c

Sabemos que x tiene densidad f(x) = 0, si x≤ a o x ≥b

1𝑐𝑐−𝑎𝑎

E(x) = ∫ 𝑥𝑥 1𝑐𝑐−𝑎𝑎

𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1𝑐𝑐−𝑎𝑎 ∫ 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1

𝑐𝑐−𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎

𝑥𝑥2

2]𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑐𝑐

𝑎𝑎

0 a c E(x) = 1𝑐𝑐−𝑎𝑎

12

(𝑐𝑐2 − 𝑎𝑎2) = (𝑐𝑐−𝑎𝑎)(𝑐𝑐+𝑎𝑎)(𝑐𝑐−𝑎𝑎) 2

= (𝑐𝑐+𝑎𝑎) 2

Esta distribución uniforme tiene 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎+𝑐𝑐2

La varianza como momento centrado de orden dos 𝜎𝜎2 = 𝐸𝐸[𝑥𝑥 − 𝐸𝐸(𝑥𝑥)]2 = ∫ �𝑥𝑥 − (𝑐𝑐+𝑎𝑎) 2

�2𝑓𝑓𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

𝜎𝜎2 = ��𝑥𝑥 −(𝑐𝑐 + 𝑎𝑎)

2�2

1

𝑐𝑐 − 𝑎𝑎𝑓𝑓𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 =

1𝑐𝑐 − 𝑎𝑎

� �𝑥𝑥 −(𝑐𝑐 + 𝑎𝑎)

2�2

𝑑𝑑𝑥𝑥 =1

(𝑐𝑐 − 𝑎𝑎)13

𝑐𝑐

𝑎𝑎�𝑥𝑥 −

(𝑐𝑐 + 𝑎𝑎) 2

�3

]𝑎𝑎𝑐𝑐

Se trabaja algebraicamente y se obtiene 𝜎𝜎2 = (𝑐𝑐−𝑎𝑎)2

12

Ejemplo de Aplicación Una empresa decide analizar la factibilidad de un proyecto de inversión que requiere de un desembolso inicial de $ 100000 cuyos flujos de caja netos estimados –a valores constantes- por la empresa son los que se consignan seguidamente en la tabla “Flujos de caja neto para una Inversión”. La tasa de rentabilidad mínima aceptada por el evaluador –TREMA- es del 10% anual. La empresa aceptará el proyecto si la probabilidad de que el valor actual neto sea mayor a cero arroje un valor no menor al 90% Condiciones de certeza Supongamos que el proyecto se evalúa en condiciones de certeza, considerando que los flujos más probables son aquellos que son considerados ciertos. Por ejemplo tomando que el valor del flujo de fondos corresponde a los que se señalan a continuación. El V.A.N. que arroja representa $3082,77 de incremento medido en unidades monetarias por encima de la tasa de rentabilidad mínima aceptada del 10% anual. Regla de decisión: Aceptar el proyecto porque el V.A.N. >0

Año "j"

Flujos de Caja Fj

0 -100000 1 24000 2 21000 3 20000 4 17000 5 17000 6 15000 7 13000 8 13000 9 13000

VAN (0,10) $ 3.082,77

14

Condiciones de riesgo I - Se conoce la probabilidad de ocurrencia de los Flujos netos de caja que se han estimado para cada uno de los escenarios que pueden presentarse como sucesos colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes

Esc. 1 Esc.2 Esc.3 p=0,20 p=0,50 p=0,30

j Xj p Xj

base Xj o

0 -100000 -100000 -100000 1 16000 24000 30000 2 13000 21000 29000 3 13000 20000 26000 4 12000 17000 25000 5 11000 17000 22000 6 10000 15000 20000 7 10000 13000 20000 8 10000 13000 20000 9 5000 13000 20000

suma 0 53000 112000

Esperanza Matemática del Valor Actual Neto

TREMA del 0,10 periódico –anual- ESCENARIO 1 F(j) v j =(1+i)-j F(j)/(1+i)j P(X) F(j)/(1+i)j *p

v j =(1+0,10)-j 0 -100000 1,0000 -100000,00 0,2 -20000,00 1 16000 0,9091 14545,45 0,2 2909,09 2 13000 0,8264 10743,80 0,2 2148,76 3 13000 0,7513 9767,09 0,2 1953,42 4 12000 0,6830 8196,16 0,2 1639,23 5 11000 0,6209 6830,13 0,2 1366,03 6 10000 0,5645 5644,74 0,2 1128,95 7 10000 0,5132 5131,58 0,2 1026,32 8 10000 0,4665 4665,07 0,2 933,01 9 5000 0,4241 2120,49 0,2 424,10 0 -32355,47 -6471,09

TREMA del 0,10 periódico –anual- ESCENARIO 2 F(j) v j =(1+i)-j F(j)/(1+i)j P(X) F(j)/(1+i)j p v j = (1+0,10)-j ESCENARIO 2

0 -100000 1,0000 -100000,00 0,5 -50000,00 1 24000 0,9091 21818,18 0,5 10909,09 2 21000 0,8264 17355,37 0,5 8677,69 3 20000 0,7513 15026,30 0,5 7513,15 4 17000 0,6830 11611,23 0,5 5805,61 5 17000 0,6209 10555,66 0,5 5277,83 6 15000 0,5645 8467,11 0,5 4233,55 7 13000 0,5132 6671,06 0,5 3335,53 8 13000 0,4665 6064,60 0,5 3032,30 9 13000 0,4241 5513,27 0,5 2756,63 53000 3082,77 1541,39

15

TREMA del 0,10 periódico –anual- ESCENARIO 3

F(j) v j =(1+i)-j F(j)/(1+i)j P(X) F(j)/(1+i)j

p v j =(1+0,10)-j ESCENARIO 3

0 -100000 1,0000 -100000,00 0,3 -30000,00 1 30000 0,9091 27272,73 0,3 8181,82 2 29000 0,8264 23966,94 0,3 7190,08 3 26000 0,7513 19534,18 0,3 5860,26 4 25000 0,6830 17075,34 0,3 5122,60 5 22000 0,6209 13660,27 0,3 4098,08 6 20000 0,5645 11289,48 0,3 3386,84 7 20000 0,5132 10263,16 0,3 3078,95 8 20000 0,4665 9330,15 0,3 2799,04 9 20000 0,4241 8481,95 0,3 2544,59 112000 40874,20 12262,26

Resumen de la medida estadística

Mét. Directo V.A.N. -con riesgo-

Método indirecto V.A.N. -sin riesgo-

P

[F(j)/(1+i)j ] * p [F(j)/(1+i)j ] Escenario 1 -6471,09 -32355,47 0,20 -6471,09 Escenario 2 1541,39 3082,77 0,50 1541,39 Escenario 3 12262,26 40874,2 0,30 12262,26 SUMA Concepto

7332,56 E(V.A.N.)

11601,5 E(V.A.N.)=11601,5/3 E(V.A.N.)= 3867,17

1

7332,56 E(V.A.N.)

Otro camino hubiese sido calcular la esperanza matemática o valor esperado de los flujos netos de caja para cada uno de los periodos y luego actualizar a la tasa de rentabilidad mínima aceptada cada valor hallado a los fines de encontrar el V.A.N. a través de la suma

Flujos netos de caja periódicos-anuales-

p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Esc. 1 0,2 -100000 16000 13000 13000 12000 11000 10000 10000 10000 5000

Esc.2 0,5 -100000 24000 21000 20000 17000 17000 15000 13000 13000 13000

Esc.3 0,3 -100000 30000 29000 26000 25000 22000 20000 20000 20000 20000

Calculo de los Valores Esperados en función a los Flujos netos de caja para cada uno de los períodos anuales

p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Esc. 1 0,2 -20000 3200 2600 2600 2400 2200 2000 2000 2000 1000

Esc.2 0,5 -50000 12000 10500 10000 8500 8500 7500 6500 6500 6500

Esc.3 0,3 -30000 9000 8700 7800 7500 6600 6000 6000 6000 6000

Val.Esperado -100000 24201 21802 20403 18404 17305 15506 14507 14508 13509

Valor actual de los Valores Esperados para c/ de los periodos anuales -TREMA:10%

-100000 22001 18018 15329 12570 10745 8753 7444 6768 5729

E(V.A.N) = 7358

Varianzas de c/periodo

0

23560001

31360004

20440009

22240016

14610025

12250036

14250049

14250064

27250081

16

Supuesto: flujos independientes

Coef. Actualiz 1 0,826446 0,683014 0,564474 0,466507 0,385543 0,318631 0,263331 0,2176 0,179859

𝜎𝜎2 𝑎𝑎𝑐𝑐 0 19471075 21419304 11537852 10375132 5632797 3903239 3752483

3101229 4901167

Varianza del VAN 84094279 Desvio del V.A.N. 9170 C.V.= 1,25

La esperanza matemática del valor actual neto es positiva en $ 7332,56, por lo que habría que ver si la probabilidad mínima que se quiere para aceptar el proyecto con V.A.N>0 es 90% Entonces ¿Aceptamos el proyecto? Para calcular la probabilidad asumiremos que la variable aleatoria V.A.N que no es otra cosa que suma de(n+1) variables aleatorias –pues a los n flujos netos de caja se le suma el del momento 0- que corresponde a cada uno de los periodos de vida del proyecto tiende a una distribución normal, cuando el número de sumandos es suficientemente grande. Enuncia como regla general, Suarez y Suarez que cuando el número es menor a 10 o bien los flujos de caja netos no son independientes no se puede asumir la normalidad. No es objeto de esta materia probar la normalidad. Si no nos queremos arriesgar con el supuesto de normalidad, podemos utilizar Tchebychev para buscar probabilidades, pues el valor que nos da es una cota mínima. P[VAN>0] =𝑃𝑃 �𝑍𝑍 > 0−7332,56

9170�=1- 𝑃𝑃 �𝑍𝑍 < 0−7332,56

9170�=1- 𝑃𝑃[𝑍𝑍 < −0,80] = 1-F(-0,80)= 1 – 0,21286=

P[VAN>0] =0,78714 Por ende, P[VAN<0] = 1- P[VAN>0] = 1 -0,78714= 0,21286 (el complemento) por lo que se rechazaría el proyecto dado que da un valor alto. II - No se conoce la probabilidad de ocurrencia de los Flujos netos de caja. Ahora, pasamos a considerar los diferentes flujos netos de caja que han sido estimados como retornos de la inversión en cada uno de los escenarios que podrían presentarse en la economía, recordando que en la realidad solo uno de ellos sucederá, pero no se conoce cuál. Entonces, en primer lugar se estimaron los flujos de caja para cada uno de los escenarios posibles, los que se encuentran en el cuadro. Determinación del Valor Esperado del V.A.N. Dado que se presentan resultados diferentes, considerando que cada uno de los valores de estimación obtenidos tiene el mismo peso, pues no le podemos asignar otra probabilidad. Se presenta entonces, una distribución triangular por la insuficiencia de información.

Año

Flujos de caja según los escenarios j Estado de la naturaleza pesimista más probable optimista

0 -100000 -100000 -100000

1 16000 24000 30000

2 13000 21000 29000

3 13000 20000 26000

4 12000 17000 25000

5 11000 17000 22000

6 10000 15000 20000

7 10000 13000 20000

8 10000 13000 20000

9 5000 13000 20000

∑ 0 53000 112000

17

Entonces para calcular el Valor Esperado del V.A.N, tomaremos en c/u de los periodos –aquí anuales- las distintas situaciones según los escenarios que se pueden presentar. Así se presentan flujos netos de caja triangulares. La E(V.A.N) también resulta de promediar el VAN calculado en c/u de los escenarios posibles.

F.N.F. -Esc. Pesimista F.N.F. -Esc. o más probable F.N.F. -Esc. Optimista J Xj

p Xj base Xj

o 0 -100000 -100000 -100000 1 16000 24000 30000 2 13000 21000 29000 3 13000 20000 26000 4 12000 17000 25000 5 11000 17000 22000 6 10000 15000 20000 7 10000 13000 20000 8 10000 13000 20000 9 5000 13000 20000

suma 0 53000 112000 VAN $ -32.355,47 $ 3.082,77 $ 40.874,20

E(V.A.N) E(V.A.N.) = 𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁𝑃𝑃+𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁𝑏𝑏 +𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁𝑜𝑜3

= (−32355,47+3082,77+40874,20)3

= 3867,17

Determinación de la Varianza del Valor Actual Neto

Año

Media de los Xj

Factor de Actualización

Valor Actual Esperado

Varianza de cada

Factor de Act2 Varianza actualizada

j E(xj) 1/3.(Xj 1 +Xj 2+Xj 3)

v j =(1+i)-j E(xj) . (1+i )-j período "j" [(1+i)-j ]2

E(xj) = uj v j = (1+0,10)-j uj * v j σj 2 (v j )2 = [(1+0,10)-

j] 2 vj σj 2

0 -100000,00 1,0000 -100000,00 0,00 1,00 0,00 1 23333,33 0,9091 21212,12 8222222,22 0,83 6795224,98 2 21000,00 0,8264 17355,37 10666666,67 0,68 7285476,86 3 19666,67 0,7513 14775,86 7055555,56 0,56 3982677,17 4 18000,00 0,6830 12294,24 7166666,67 0,47 3343302,89 5 16666,67 0,6209 10348,69 5055555,56 0,39 1949135,52 6 15000,00 0,5645 8467,11 4166666,67 0,32 1327628,41 7 14333,33 0,5132 7355,27 4388888,89 0,26 1155731,62 8 14333,33 0,4665 6686,61 4388888,89 0,22 955150,10

Año Media de los Xj Fact. De Act Valor Actual Esperado J E(xj)= 1/3.(Xj 1 +Xj 2+Xj 3) v j =(1+i)-j E(xj) . (1+i )-j E(xj) = uj v j = (1+0,10)-j uj * v j

0 -100000,00 1,0000 -100000,00 1 23333,33 0,9091 21212,12 2 21000,00 0,8264 17355,37 3 19666,67 0,7513 14775,86 4 18000,00 0,6830 12294,24 5 16666,67 0,6209 10348,69 6 15000,00 0,5645 8467,11 7 14333,33 0,5132 7355,27 8 14333,33 0,4665 6686,61 9 12666,67 0,4241 5371,90

E(V.A.N) ==> 3867,17

18

9 12666,67 0,4241 5371,90 9388888,89 0,18 1688674,19 E(V.A.N) ==> 3867,17 VAR (V.A.N)==> 28483001,73

Supuesto: Las variables Xo , X1 , X2 , X3 , … Xn son variables aleatorias independientes.

Determinación del Desvío del Valor Actual Neto Desvío (V.A.N.) =√28483001,73=5336,95

Determinación del Coeficiente de Variación

𝐶𝐶.𝑉𝑉. = σ (V.A.N.) 𝐸𝐸(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁)

= 5336,953867,17

= 1,38

a) Calculemos la probabilidad de que el valor actual neto sea positivo

𝑃𝑃(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. > 0; 3867,17; 5336,95) = P�Z > 0−3867,175336,95

� = 1- P�Z < 0−3867,175336,95

� = 1-F(-0,73) =

1 – 0,2327 = 0,7673. Es decir el 77% de probabilidad de que el VAN sea positivo.

b) Calculemos la probabilidad de que el valor actual neto sea negativo 𝑃𝑃(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. < 0) = 1 − 𝑃𝑃(𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. > 0) = 1 − 0,7673 = 0,2327 = 𝐹𝐹(−0,73) = 0,232Es decir que hay un 23% de probabilidad de que el VAN sea positivo.

c) Calculemos la probabilidad de que el valor actual neto este comprendido entre la media y una vez el desvío en más y en menos. 𝑃𝑃[(3867,17− 5336,95) < 𝑉𝑉𝐴𝐴𝑁𝑁 < (3867,17 + 5336,95)] 𝑃𝑃[−1469,78 < 𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. < 9204,12] = 𝐹𝐹 �9204,12−3867,17

5336,95� − 𝐹𝐹 �−1469,78−3867,17

5336,95� = 𝐹𝐹(1) −

−𝐹𝐹(−1) = 0,84134-0,15866= 0,6845

Es decir que hay un 77% de probabilidad de que el VAN este comprendido entre -1469,78 y 9204,12. Pero dado este rango contiene perdidas en la inversión por ser VAN negativo y no interesa para su cálculo, consideramos que sea positivo hasta un valor de un desvío en más con respecto a su esperanza: 𝑃𝑃[0 < 𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. < (3867,17 + 5336,95)] = 𝑃𝑃[0 < 𝑉𝑉.𝐴𝐴.𝑁𝑁. <9204,12] = 𝐹𝐹 �9204,12−3867,17

5336,95� − 𝐹𝐹 �0−3867,17

5336,95� = 𝐹𝐹(1) − 𝐹𝐹(−0,73) = 0,84134-0,2327= 0,60864.

Tan solo un 60,864% que sea mayor a cero y gane hasta $9204 por encima de la tasa pretendida.

Distribución uniforme Al despejarse el valor más probable porque no se tiene información para determinarlo, nos quedan dos escenarios posibles, el pesimista y el optimista. Podemos llamar “a” a los flujos netos de caja en el escenario pesimista y “c” a los flujos netos de caja que se darían si se presentase el escenario optimista. Esta distribución uniforme tiene 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎+𝑐𝑐

2 y 𝜎𝜎2 = (𝑐𝑐−𝑎𝑎)2

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Por lo tanto, armamos un cuadro que nos permita calcular la esperanza matemática del valor actual neto y su varianza.

Año Flujo neto de Caja Rectangulares j Pesimista Optimista 0 -100000 -100000 1 16000 30000 2 13000 29000 3 13000 26000 4 12000 25000 5 11000 22000 6 10000 20000 7 10000 20000 8 10000 20000 9 5000 20000 0 112000

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Media de Xj Fact. De Act V.A. Esperado Varianza de c/ Fc.Act2 Var.actualizada j E(xj)= 1/2(Xj

1 +Xj 3) v j =(1+i)-j E(xj) . (1+i )-j período "j" [(1+i)-j ]2

E(xj) = uj v j = (1,10)-j uj * v j (v j )2 = [(1,10)-j] 2 vj σj 2 0 -100000,00 1,0000 -100000,00 0,00 1,00 0,00 1 23000,00 0,9091 20909,09 16333333,33 0,83 13498622,59 2 21000,00 0,8264 17355,37 21333333,33 0,68 14570953,71 3 19500,00 0,7513 14650,64 14083333,33 0,56 7949674,51 4 18500,00 0,6830 12635,75 14083333,33 0,47 6569978,94 5 16500,00 0,6209 10245,20 10083333,33 0,39 3887561,50 6 15000,00 0,5645 8467,11 8333333,33 0,32 2655256,81 7 15000,00 0,5132 7697,37 8333333,33 0,26 2194427,12 8 15000,00 0,4665 6997,61 8333333,33 0,22 1813576,13 9 12500,00 0,4241 5301,22 18750000,00 0,18 3372352,31 E(V.A.N) = 4259,36 VAR (V.A.N) 56512403,63 DESV (V.A.N) 7517,47

Despejando el panorama Cuando no se conocen los flujos netos de caja en términos de probabilidad aplicando estos dos enfoques –triangular y uniforme- que asumen menos información, encontramos tal como se observa en el cuadro que sigue, que los valores de varianza son aún mayores en la distribución uniforme, demostrando mayor variabilidad que en la triangular.

Método E(V.A.N) 𝜎𝜎 𝐶𝐶𝑉𝑉 Probabilistico 0,33;0,33;0,33 3867,17 10674 2,76 Probabilistico 0,20;0,50;0,30 7332,56 9170 1,25 Triangular ------------------- 3867,17 5336,95 1,38 Uniforme ------------------- 4259,36 7517 1,76

Si hubiésemos cambiado el grado de creencia de la ocurrencia de los flujos en los dos extremos de escenarios; cada medida estadística arrojaría esperanzas tanto positivas como negativas y casi nulas, revelando el cuidado a tener con la probabilidad asignada, pues en este tipo de decisiones es de estilo que el evaluador fije una probabilidad subjetiva. Por ello, el cálculo de los desvíos como riesgo absoluto y por ende, el riesgo relativo con el coeficiente de variación que también se usa por ser medida relativa que mide el riesgo con relación al valor esperado evidenciaría diferencias significativas,

Se puede observar que si se utilizó la distribución triangular la esperanza matemática coincide con el probabilístico con asignación del 33% para cada escenario. No obstante, el cálculo de la varianza es distinto, porque hay mayor grado de desinformación que se contiene en el contexto de la evaluación de los flujos de fondos esperados. Se deberá tener sumo cuidado en la asignación de probabilidades porque las esperanzas matemáticas de los valores actuales netos cambian significativamente

Los resultados presentados demuestran que

1) La valuación de los flujos de fondos de una inversión en condiciones de certeza supone que se conoce ex – ante del proyecto con exactitud todos los valores que componen el flujo de fondos del proyecto y así poder calcular el V.A.N., que si es positivo es interpretado como el incremento en unidades monetarias que genera el proyecto .por encima de la rentabilidad mínima aceptada

Los valores E(VAN) cuando cambian las probabilidades

E(V.A.N)

0,10;0,50;0,40 14655,52 Probabilistico 0,20;0,50;0,30 7332,56 0,30;0,50;0,20 9,58 0,40;0,50;0,10 -7313,38 0,33;0,33;0,33 3867,17

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2) Los criterios utilizados tradicionales son V.A.N. y la T.I.R. Ese trabajo es sobre V.A.N. 3) La situación de certeza no se presenta casi nunca en la realidad, pero los problemas

decisorios en cualquiera de las situaciones, certeza, riesgo o incertidumbre contienen elementos en común., relacionado a un conjunto de alternativas, un método o la combinación como complemento de su estudio con el objetivo de seleccionar la mejor alternativa desde el punto de vista de un decisor racional.

4) Cuando no se pueden conocer los resultados con certeza de cada uno de los flujos netos de la inversión se la debe tratar considerando condiciones de riesgo. Esa variedad de resultados que tratan de cubrir el riesgo del proyecto se representan mediante una distribución de probabilidades que no es otra cosa que una lista de todos los resultados posibles asociados con las respectivas probabilidades de ocurrencia. Ello nos permitirá conocer el V.A.N. esperado del proyecto como medida teórica del promedio de los resultados posibles y por otro lado, otra medida que es la dispersión de esos resultados alrededor de esa media teórica.

5) Hay que tener sumo cuidado en la asignación de probabilidades porque las Esperanzas matemáticas de los valores actuales netos cambian significativamente

6) Cuando no se utilizan probabilidades dado que se cuenta con incertidumbre se pueden usar diferentes modelos de valuación.

7) La decisión optima dependerá tanto de la medida que arroje la evaluación del proyecto como de las preferencias de los inversores en el proyecto que se manifiestan en la actitud con que enfrentan el riesgo que involucra los flujos inciertos, aunque una condición de decisor racional es moverse entre dos fuerzas en sentido opuesta: la de maximizar el V.A.N. o el rendimiento interno del proyecto y por otro lado, minimizar el riesgo, es decir, minimizar la varianza, o el desvío. Concluyendo que la decisión final la decide la empresa de acuerdo a sus preferencias en lo atinente a riesgo y rendimiento. El rendimiento entendido en este caso como incremento de sus flujos netos dado que el criterio TIR no lo hemos trabajado en el presente trabajo. A ello, todo decisor racional debe agregar las medidas halladas en cuanto al riesgo relativo –C.V- y el valor de la probabilidad de que el valor actual neto sea positivo en función de la esperanza y desvío que arrojó el análisis.

8) Se genera concientización de la articulación entre distintas ramas de la matemática son los saberes básicos necesarios como puente hacia el análisis completo y más complejo de las decisiones en proyectos de inversión tratado tanto en materias más avanzadas del área matemática como de la administración, provocando una ruptura epistémica y una motivación para continuar con modelos más completos y técnicas de simulación de las situaciones inciertas que componen el comportamiento futuro de los flujos de caja del proyecto.

9) Entonces ante tanta variedad en las esperanzas y la variabilidad y dado que no se puede asegurar que la variable en estudio siga una determinada distribución, los valores hallados hará enfrentar al evaluador entre dos decisiones aceptar o rechazar el proyecto de acuerdo al único valor actual neto resultante sea en condiciones de certeza o no porque del conjunto de flujos para cada periodo siempre se termina encontrando uno. La solución es sincerar la información y si hay poca información, tal como dice Graig Cooper y Backer, 1994, p.15 que “ante la incertidumbre, el temor peor es el propio temor”, por lo que otra opción que no corresponde a nuestra materia es utilizar como vía alternativa la matemática borrosa dado que se pueden adjudicar para cada uno de los periodos un nivel de confianza presentando todos los valores posibles que puede tomar la variable, menos preciso pero más sincero. (Mallo, P; Artola & Otros)

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Es momento de pensar si seguimos dando valuaciones en condiciones de certeza o encontramos un punto de fuga para extender nuestras miradas a otros horizontes y abandonar nuestra zona de confianza.

Más vale acertar aproximadamente, que equivocarse exactamente John M. Keynes

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