lsc.fie.umich.mxlsc.fie.umich.mx/~antonio/unidad_4_calculo_iv.pdf · UMSNH Cálculo IV FIE . Dr. Antonio Ramos Paz 108 . Periodicidad en el tiempo . Si la función es una función

UMSNH Cálculo IV FIE

Dr. Antonio Ramos Paz 98

Unidad 4 Transformación de Laplace

Transformada de Laplace Definición: Sea ( )f t una función del tiempo con valor cero para 0t ≤ y que se define arbitrariamente para 0t >

. Entonces la transformada directa de Laplace de ( )f t , simbolizada por L está dada por:

L ( ) ( ) ( )0

stf t s f t e d t+

∞ −= = ∫F

Ejemplo: Sea ( ) 1f t = , determinar la transformada de Laplace de ( )f t .

Solución:

L ( )0

1 ste dt∞

−

+

= ∫

Haciendo u st= Se tiene que: du sdt= −

por lo que: L ( )0

0

11 st ste dt es

∞∞− −

++

= = −∫

evaluando: L ( ) ( ) ( ) [ ]01 1 11 1s se es s s

− ∞ − = − − = − − =

Si se generalizara el cálculo de la transformada de laplace de una constante a se tendría que,

L ( )0

st aa a e dts

∞−

+

= =∫

Ejemplo: sea ( ) atf t Ae−= , donde ,A a∈ , determinar la transformada de laplace de ( )f t .

Solución

L ( )0

at stf t Ae e dt∞

− −

+

= ∫

o bien: L ( ) ( )

0

t a sf t A e dt∞

− +

+

= ∫

( )u t s a= − +

( )du s a dt= − +

L ( ) ( ) ( )

0

t a sAf t s a e dts a

∞− +

+

= − ++ ∫

L ( ) ( ) ( ) ( )0

0

t s a s a s aA A Af t e e es a s a s a

∞− + −∞ + − +

+ = − = − − = + + +



por lo que se tiene que: L -at AAes a

=+

Ejemplo: utilizando la definición de la transformada de laplace, calcular la transformada de laplace de

( ) 3 4f t t= + .

Solución

L ( ) ( ) 2 200

1 1 4 3 43 4 3st st stf t t e dt e t es s ss s

∞∞ − − − = + = − − − = + ∫

Ejemplo: determinar la transformada de laplace de ( ) senf t tω= donde ω∈

Solución:

( ) -

0senstF s e tdtω

∞= ∫

Puede ser demostrado que

-2 20

senax be bxdxa b

∞=

+∫

Por lo que:

( ) -2 20

senstF s e tdtsωωω

∞= =

+∫

Ejemplo: determinar la transformada de laplace de ( ) cosf t tω= donde ω∈

Solución:

( ) -

0cosstF s e tdtω

∞= ∫

Puede ser demostrado que

-2 20

cosbxax ae dxa b

∞=

+∫

Por lo que:

( ) -2 20

senst sF s e tdts

ωω

∞= =

+∫



La Tabla 4.1 muestra la transformada de Laplace de algunas funciones elementales utilizadas en el análisis de circuitos.

Tabla 4.1. Transformada de Laplace de funciones elementales ( )f t L ó ( )F s

1 ( )u t

1s

2 t 2

1s

3 ate−

1a+s

4 atte− ( )2

1a+s

5 ( )sen tω

2 2

ωω+s

6 ( )cos tω

2 2ω+s

s

7 ( )sen tω θ+

2 2

sen cosθ ω θω

++

ss

8 ( )cos tω θ+

2 2

cos senθ ω θω

−+

ss

9 ( )senate tω−

( )2 2aω

ω+ +s

10 ( )cosate tω−

( )2 2

s aa ω+

+ +s

11 dfdt

( ) ( )0f +−sF s

12 ( ) ( )nd f tdt

( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 20 0 0nn n ns s f s f f −− − − − −− − − −F s

13 ( )

0

tf dτ τ∫

( )F ss

14 ( )senh tω

2 2

ωω−s

15 ( )cosh tω

2 2

sω−s

16 nt 1

!n

ns +

17 at

( )1

1a

as +

Γ +

18 ( )tδ 1

Ejemplo: Sea ( ) 42 tf t e= calcular, L ( )f t

Solución ( ) 24

F ss

=−



Ejemplo: sea ( ) 4f t t= , calcular , L ( )f t .

Solución

( ) 4 1 5

4! 24F ss s+= =

Ejemplo: Sea ( ) 23 tf t e−= calcular, L ( )f t

Solución ( ) 32

F ss

=+

Ejemplo: Sea ( ) 3cos5f t t= calcular, L ( )f t

Solución ( ) 2

325

sF ss

=+

Ejemplo: Sea ( ) 6sen2 5cos 2f t t t= − calcular, L ( )f t

Solución ( ) 2

12 54sF s

s−

=+

Ejemplo: Sea ( ) ( )2sen cosf t t t= − calcular, L ( )f t

Solución ( ) ( )2

2

2 44

s sF ss s− +

=+

Ejemplo: determine la transformada de laplace de ( ) sen cosf t t t=

Solución

( ) 2sen cos sen22 2t t tf t = =

L sen2

2t

= 12

L 2 2 2

1 2 1sen22 2 4

ts s

= = + +

Ejemplo: determinar la transformada de laplace de ( ) ( ) ( ) ( )2

2

d y t d ytf t y t

dtdt= + + , dado que ( ) ( )0 ' 0 0y y= =

Solución ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 ' 0 0F s s Y s sy y sY s y Y s= − − + − +

Sustituyendo condiciones iniciales,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 1F s s Y s sY s Y s Y s s s= + + = + +



Continuidad seccional o a trazos Se dice que una función es seccionalmente continua o continua a trazos en un intervalo tα β≤ ≤ si es posible partir el intervalo en un número finito de subintervalos de tal manera que la función sea continua en cada uno de ellos y que tenga límites a izquierda y derecha. Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace Teorema: Si ( )F t es seccionalmente continua en cada intervalo finito 0 t N≤ ≤ de orden exponencial γ para

t N> , entonces existe la transformada de Laplace ( )f s para todo s γ>

Algunas propiedades importantes de la transformada de Laplace Propiedad de linealidad Teorema: Si α y β son constantes y ( )f t y ( )g t son funciones cuyas transformadas de Laplace son

respectivamente, ( )F s y ( )G s , entonces,

L ( ) ( ) f t g tα β α+ = L ( ) f t β+ L ( ) ( ) ( )g t F s G sα β= +

Ejemplo: Calcular la transformada de laplace de 3 45 8t t+

L 3 45 8t t+ = 5 L 3t + 8 L 3 1 4 1 4 5

3! 4! 30 1925 84ts s s s+ += ⋅ + ⋅ = +

Demostración de la propiedad de linealidad

L ( ) ( ) ( ) ( )0

staf t bg t e af t bf t dt∞

++ = + ∫

L ( ) ( ) ( ) ( )0 0

st staf t bg t a e f t dt b e f t dt∞ ∞

+ ++ = +∫ ∫

L ( ) ( ) af t bg t a+ = L ( )f t b+ L

( )g t

Primera propiedad de traslación

Teorema: Si L ( ) ( )f t F s= , entonces,

L ( ) ( )ate f t F s a= −

Ejemplo: calcular L cos 2te t−

Solución Se tiene que: ( ) cos 2f t t=



Por lo que, L 2cos 24

sts

=+

Finalmente aplicando la primera propiedad de traslación,

L ( )( )2 2

1 1cos 22 51 4

t s se t F s as ss

− + += − = =

+ ++ +

Segunda propiedad de traslación

Teorema: Si L ( ) ( )f t F s= , y

( ) ( )0

f t a t ag t

t a− >

= <

entonces,

L ( ) ( )asg t e F s−=

Ejemplo: Sea ( ) ( )32 20 2

t tg tt

− >= <

Entonces: L ( ) ( )asg t e F s−=

donde: ( ) 3f t t=

por lo que

L 34

6ts

=

entonces se tiene que,

L ( ) 2

24 4

6 6 ss eg t e

s s

−−= =

Ejemplo: determinar la transformada de laplace de la función que se muestra en la figura siguiente.

Solución

Aplicando la transformada de laplace a la expresión

( )f t

0 1 2

( )f t

t3

10

( ) ( ) ( )10 2 3f t u t u t= − − −

( ) 2 310 s sF s e es

− − = −



Ejemplo: determine la transformada de laplace de la función h(t) que se muestra en la figura siguiente.

Solución

Aplicando la transformada de laplace

Realizando operaciones y simplificando

Propiedad de cambio de escala

Teorema: Si L ( ) ( )f t F s= ,

entonces

L ( ) 1 sf at Fa a

=

Ejemplo:

L ( )sen 3t

se tiene que:

L ( ) 2

1sen1

ts

=+

entonces

L ( )( )2 2

3

1 1 3sen 33 91s

ts

= = ++

Transformada de Laplace de derivadas

Teorema: Si L ( ) ( )f t F s= ,

Entonces

L ( ) ( ) ( )0

df tsF s f

dt= −

0 2 4

( )f t

t

10

5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 2 5 2 4f t u t u t u t u t= − − + − − −

( ) 0 2 2 410 5s s sF s e e e es s

− − − − = − + −

( ) 2 410 5 5s sF s e es s s

− −= − −



Ejemplo: Si ( ) cos3f t t=

entonces

( ) 2 9sF s

s=

+

por lo que:

L ( ) ( )2

2 2' cos3 0 19 9

s sf t ss s

= − = − + +

Si en el teorema anterior ( )f t no satisface continuidad en 0t = , pero ( ) ( )lim 0f t f= + entonces,

L ( ) ( ) ( )' 0f t sF s f= − + Si en el teorema ( )f t deja de ser continua en t a= , entonces,

L ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )' 0 asf t sF s f e f a f a= − − + − −

donde ( ) ( )f a f a+ − − se llama salto en la discontinuidad t a= .

Si L ( ) ( )'f t F s= entonces,

L ( ) ( ) ( ) ( )2'' 0 0f t s F s sF f= − −

Si L ( ) ( )f t F s= entonces,

L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 10 ' 0 0 0n n n n n nf t s F s s f s f sf f− − − −= − − − − −

Ejemplo: calcular L ( )2''' 3 '' 3 ' ty y y y t e− + − =

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2 23

20 ' 0 '' 0 3 0 ' 0 3 01

s Y s s y sy y s Y s sy y sY s ys

− − − − − − + − =−

Transformada de Laplace de integrales

Teorema Si L ( ) ( )f t F s= , entonces

L ( ) ( )0

t F sf u du

s=∫

Ejemplo: calcular la transformada de laplace de t

0sen2udu∫

Solución,

Se sabe que: L 2

2sen24

ts

=+



Por lo que,

L ( )

t

20

2sen24

udus s

=+∫

Multiplicación por nt

Teorema: Si L ( ) ( )f t F s= , entonces

L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1n

n n nnn

dt f t F s F sds

= − = −

Ejemplo: calcular L 2tte

Solución

Se sabe que, L 2 12

tes

=−

Por lo que, L ( )

22

1 12 2

t dteds s s = − = − −

Ejemplo: calcular L 2 2tt e

Solución

Se sabe que, L 2 12

tes

=−

Por lo que, L ( )

22 2

2 3

1 22 2

t dt esds s

= = − −

División por t


L ( ) ( )

s

f tF u du

t∞

= ∫

siempre que exista ( )

0limt

f tt→

Ejemplo: calcular L sent

t

Solución

Se sabe que, L 2

1sen1

ts

=+



Además de que, senlim 1

t

tt→∞

= , por lo que,

L 2

sen 1arctan1s

t dut su

∞ = = + ∫

Funciones periódicas Comportamiento de ( )f s cuando s →∞


( )lim 0s

F s→∞

=

Teorema del valor inicial Teorema: Si existen los límites indicados, entonces ( ) ( )

0lim limt s

f t sF s→ →∞

=

Ejemplo: sea la función ( ) 23 tf t e−= la transformada de laplace de ( )f t es ( ) 32

F ss

=+

, por lo que se tiene

que,

( ) ( )0

33 3 3 3lim lim lim 3

2 2 22 1 01 1t s s

ss sf t F s

sss s s

→ →∞ →∞= = = = = = =

+ ++ + +∞

Teorema del valor final Teorema: Si existen los valores indicados, entonces, ( ) ( )

0lim limt s

f t sF s→∞ →

=

Ejemplo: sea la función ( ) 23 tf t e−= la transformada de laplace de ( )f t es ( ) 32

F ss

=+

, por lo que se tiene

que,

( ) ( ) ( )0 0

3 03 0lim lim lim 02 0 2 2t s s

sf t sF ss→∞ → →

= = = = =+ +

En la Figura siguiente se muestra el comportamiento de la función ( ) 23 tf t e−= . De la gráfica se aprecia que en

0t = , ( )0 3f = , en tanto que para valore muy grandes de t la función se acerca a cero.



Periodicidad en el tiempo Si la función es una función periódica, tal y como se muestra en la figura siguiente,

puede representarse como la suma de las funciones de desplazamiento en el tiempo, tal y como se muestra en la figura siguiente,

Así,

(1)

donde es la misma que la función incluida en el intervalo , es decir,

o bien

Ahora se transforma cada término de la ecuación (1) y se aplica la propiedad de desplazamiento en el tiempo, se obtiene

Factorizando el miembro derecho de la ecuación anterior

Se sabe que,

si . De esta forma,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

t

f(t)

( )f t

0 T 2T 3T

( )f t

0 T

( )1f t

0 T 2T

( )2f t

0 2T 3T

( )3f t

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3

1 1 1 2 2

f t f t f t f t

f t f t f t T u t T f t T u t T

= + + +

= + − − + − − +

( )1f t ( )f t 0 t T< <

( ) ( ) ( ) ( )1f t f t u t u t T= − −

( ) ( )1

00 en otro caso

f t t Tf t

< <=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 31 1 1 1

Ts Ts TsF s F s F s e F s e F s e− − −= + + + +

( ) ( ) 2 31 1 Ts Ts TsF s F s e e e− − − = + + + +

2 3 4 11 ...1

x x x xx

+ + + + + =−

1x <

( ) ( )1

1 Ts

F sF s

e−=−



La expresión anterior muestra que la transformada de laplace de una función periódica es la transformada de laplace del primer periodo de la función, dividida entre donde es el periodo de la función. Ejemplo: determinar la transformada de laplace de la función periódica ( )f t que se muestra en la figura

siguiente.

Solución Dado que es una función periódica, se analiza el primer periodo y se aplica el teorema de las funciones periódicas. ( ) ( ) ( )1 2f t u t u t= − −

Aplicando la transformada de laplace

( )2

11 seF s

s

−−=

Se tiene que la transformada de laplace de la función periódica es:

( ) ( ) ( )1 151 1Ts s

F s F sF s

e e− −= =− −

Por lo que

( ) ( )2

1 5

11

s

s

eF ss e

−

−

−=

−

Ejemplo: determinar la transformada de laplace de la siguiente función periódica:

Solución Un solo periodo de la función puede expresarse en términos de escalones unitarios como: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 5 3 1 3 3 5 4f t u u u t u t u t= − − + − − −

La transformada de laplace de ( )1f t es:

( )3 4

15 3 3 5s s se e eF s

s

− − −− + −=

Por lo que la transformada de laplace de ( )f t es:

( ) ( )( )

3 4

3 41

5 5

5 3 3 55 3 3 5

1 1 1

s s s

s s s

Ts s s

e e eF s e e esF s

e e s e

− − −

− − −

− − −

− + −− + −

= = =− − −

1 Tse−− T

0 2

( )f t

5 7 10 12 t

1

0 1 2 3 4

2

5

( )f t

5 6 7 8 9 t



Convolución Si las funciones f y g son continuas por tramos en [ )0,∞ , entonces un producto especial, denotada por

*f g está definido por la integral

( ) ( )0

*t

f g f gf t dτ τ τ= −∫

y se conoce como convolución de f y g . La convolución de *f g es una función de t . Teorema: Si ( )f t y ( )g t son continuas por tramos en [ )0,∞ y de orden exponencial, entonces,

L *f g = L ( ) f t L ( ) ( ) ( )g t F s G s=

Ejemplo: calcular L ( )0

sente t dτ τ τ−∫

Solución

L ( )0

sente t dτ τ τ− =∫ L te L 2

1 1sen1 1

ts s

= ⋅− +

Métodos para calcular la transformada de Laplace Existen varios métodos para calcular transformadas de laplace, como se indica a continuación. Método directo

Haciendo uso de la definición ( ) ( ) ( )0

stf t f t e d t+

∞ −= = ∫F s

Método de las series Si ( )f t tiene un desarrollo en serie dada por:

( ) 20 1 2

0

nn

nf t a a t a t a t

∞

=

= + + + = ∑

su transformada de laplace puede calcularse tomando la suma de la transformada de Laplace de cada uno de los sumandos de la serie. Así:

L ( ) 0 1 22 3 1

0

!2! nn

n

a n aa af ts s s s

∞

+=

= + + + = ∑

Ejemplo: calcular la transformada de laplace de ( ) senf t t=

Solución



Se sabe que 3 5 7

sen3! 5! 7!t t tt t= − + − + , por lo que:

L ( )f t = L t - L 3

3!t

+ L 5

5!t

+…= 2 4 6 8

1 1 1 1s s s s

− + − +

Transformada inversa de Laplace Sea ( )f t una función cuya transformada de Laplace existe y está representada por ( )F s . Entonces ( )f t puede

ser expresada en función de ( )F s como:

( )f t = L ( ) ( )1 12

jst

j

F s F s e d sj

σ

σπ

+ ∞−

− ∞

= ∫

donde jσ ω− a jσ ω+ está ligada con la región de convergencia de ( )F s .

Algunas propiedades importantes de la transformada inversa de Laplace Propiedad de linealidad Teorema: Si α y β son constantes arbitrarias y ( )F s y ( )G s son las transformadas de laplace de ( )f t y ( )g trespectivamente, entonces,

L ( ) ( ) 1 F s G sα β− + = L ( )1 F s β− + L ( ) ( ) ( )1G s f t g tα β− = +

Debido a esta propiedad podemos decir que L 1− es un operador lineal o que tiene propiedad de linealidad.

Propiedad de traslación

Teorema: Si L ( ) ( )1 F s f t− = , entonces,

L ( ) ( )1 atF s a e f t− − =

Ejemplo: Como L 12

1 1 sen224

ts

− = +

Entonces se tiene que,

L ( )

12

1 1 sen221 4

te ts

− =

− +



Segunda propiedad de traslación


L ( ) ( )1

0as f t a t a

e F st a

− − − >=

<

Ejemplo: Como L 12

1 sen1

ts

− = + , se tiene que,

L ( )/ 3

12

sen / 3 / 31 0 / 3

s t tes t

π π ππ

−− − >

= + < Propiedad de cambio de escala


L ( )1 1 tF ks fk k

− =

Ejemplo: Como L 12 cos 4

16s t

s− =

+ , se tiene que,

L ( )

( )12

2 1 4 1cos cos 22 2 22 16

s t ts

− = =

+

Transformada inversa de laplace de derivadas


L ( ) ( ) 1 nF s− = L ( ) ( ) ( )1 1n

n nn

d F s t f tds

− = −

Transformada inversa de laplace de integrales


L ( ) ( )1

s

f tf u du

t∞− =∫



Multiplicación por ns

Teorema: Si L ( ) ( )1 F s f t− = y ( ) 0f t = , entonces,

L ( ) ( )1 'sF s f t− =

Así que, multiplicar por s produce el efecto de derivar ( )f t

División por s


L ( ) ( )1

0

tF sf u du

s− =

∫

de manera que la división por s (o multiplicación por 1/ s ) produce el efecto de integrar ( )f t entre 0 y t .

Propiedad de convolución

Teorema: Si L ( ) ( )1 F s f t− = y L ( ) ( )1G s g t− = entonces,

L ( ) ( ) ( ) ( )1

0*

tF s G s f u g t u du f g− = − =∫

*f g se llama convolución de f y g , y este teorema se llama el teorema de convolución o propiedad de

convolución. Ejercicios: encontrar la transformada inversa de laplace de las siguientes funciones:

23s −

2

34s +

2

14 9s +

14 3s −

2

4 3s + 2

2 ss−

3 2

4

3 1s s ss

− + − 2

6 3ss−

2

5 69

ss++

Desarrollo en fracciones simples Caso 1: Factor s a− no repetido

Representación en fracciones parciales A

s a−

Transformada de inversa de Laplace atAe



Caso 2: Factor ( )ns a− repetido

Representación en fracciones parciales ( ) ( ) ( )

1 2 11 2

m m mm m m

A A A As as a s a s a

− −− −+ + + +

−− − −

Transformada inversa de Laplace ( ) ( )

1 2

1 2 11 ! 2 ! 1!

m mat

m mt t te A A A A

m m

− −

−

+ + + + − −

Caso 3: Factores ( )( )s a s a− − no repetidos

Representación en fracciones parciales ( )

( )( )2 22 2

A s A BAs Bs s

α α

α β α β

− + ++=

− + − +

Transformada inversa de Laplace cos senat A Be A t tαβ ββ

++

Caso 4: Factores complejos ( )( ) 2s a s a− − repetidos

Representación en fracciones parciales

( ) ( )2 2 22 2

As B Cs Dss α βα β

+ ++

− + − +

Transformada inversa de Laplace

( )3sen sen cos cos sen2 2

t tA A B C De t t t t t e C t tα αα αβ β β β β ββ β β

+ ++ − + +

Ejemplo: calcular la transformada inversa de laplace para ( ) ( )( )( )( )

96 5 128 6

s sF s

s s s+ +

=+ +

.

Solución.

( )( )( )( )

96 5 128 6 8 6

s s A B Cs s s s s s

+ += + +

+ + + +

Método 1: Dado que:

( )( )( )( )

96 5 128 6 8 6


+ += + +

+ + + +



se tiene que:

( )( )( )( )

( )( ) ( ) ( )( )( )

96 5 12 8 6 6 88 6 8 6

s s s s A s s B s s Cs s s s s s

+ + + + + + + +=

+ + + +

simplificando se obtiene:

( )2 296s A B C s+ + =

( ) ( )14 6 8 96 17s A B C s+ + =

( )48 96 60A =

Por lo que se tiene el sistema de ecuaciones:

1 1 1 9614 6 8 163248 0 0 5760

ABC

=

Resolviendo:

12078

48

ABC

= −

Por lo que la expresión es:

( ) ( )( )( )( )

96 5 12 120 72 488 6 8 6

s sF s

s s s s s s+ +

= = − ++ + + +

Calculando la transformada inversa de laplace de la expresión anterior,

( ) ( )1 8 6120 72 48t tf t F s e e− − −= = − +L

Método 2: consideremos la expresión:

( )( )( )( )

96 5 128 6 8 6


+ += + +

+ + + +

Para determinar A , multiplicar ambos lados de la expresión por s y evaluar en 0s = . Multiplicando ambos lados por s:

( )( )96 5 12s s s+ +s ( )( )8 6

ss s

=+ +

As 8 6

sB sCs s

+ ++ +

Evaluando en 0s = , se tiene que:



( )( )( )( )

96 5 12120

8 6A= =

Para determinar B , multiplicar ambos lados de la expresión por 8s + y evaluar en 8s = − Multiplicando ambos lados por 8s + :

( )( ) ( )96 5 12 8s s s+ + +

( )8s s + ( )( ) ( )88

6

ss Ass

++= +

+ 8

B

s +( )8

6s Cs+

++

Evaluando en 8s = − , se tiene que:

( )( )

( )( )96 3 4

728 2

B−

= = −− −

Para determinar C , multiplicar ambos lados de la expresión por 6s + y evaluar en 6s = − Multiplicando ambos lados por 6s + :

( )( ) ( )96 5 12 6s s s+ + +

( ) ( )8 6s s s+ +( ) ( ) ( )1 2

66 68

ss k s ks s

++ += + +

+3

6

k

s +

Evaluando en 8s = − , se tiene que:

( )( )

( )( )96 1 6

486 2

C−

= =−

Por lo que la expresión es:

( ) ( )( )( )( )

96 5 12 120 72 488 6 8 6

s sF s

s s s s s s+ +

= = − ++ + + +

Calculando la transformada inversa de laplace de la expresión anterior,

( ) ( )1 8 6120 72 48t tf t F s e e− − −= = − +L

Ejemplo: calcular la transformada inversa de laplace para ( ) ( )2

36 9

F ss s s

=+ +

Solución,

( )( ) ( )2 2

333 3

A B CF ss ss s s

= = + +++ +

Determinando los valores de A , B y C se tiene que,



( )( ) ( )2 2

3 1/ 3 1/ 3 133 3

F ss ss s s

= = − −++ +

Por lo que,

( )( )

1 1 1 3 32

1 1 1 1 1 1 13 3 3 3 33

t tf t L L L e tes s s

− − − − −= − − = − −+ +

Ejemplo: calcular la transformada inversa de laplace para ( ) ( )( )2

24 5

sF ss s

=+ +

Solución

( ) ( )( ) 22

24 54 5

s As B CF ss ss s+

= = ++ ++ +

Determinando los valores de A , B y C se tiene que,

( ) ( )( )10 8 1029 29 29

2 22

24 5 4 54 5

ss As B CF ss s s ss s

++= = + = −

+ + + ++ +

Aplicando la transformada inversa de laplace a la expresión anterior,

( ) 510 4 10cos 2 sen229 29 29

tf t t t e−= + −

Utilizando identidades trigonométricas,

( ) 2 520 10 8 10cos sen cos29 29 29 29

tf t t t t e−= − + −

Aplicación de la Transformada de la Laplace a la Solución de Ecuaciones Diferenciales

Ejemplo: resolver la ecuación diferencial ( ) ( )'' 4 9y t y t t+ =

con ( )0 0y = , ( )' 0 7y =

Solución Calculando la transformada de laplace de la ecuación diferencial, se tiene que,

( ) ( ) ( ) ( )22

90 ' 0 4s Y s sy y Y ss

− − + =

sustituyendo las condiciones iniciales



( ) ( )22

97 4s Y s Y ss

− + =

simplificando,

( ) 2

22

7 94 sY s ss+

+ =

Despejando ( )Y s

( ) ( )2

2 2

7 94

sY ss s

+=

+

aplicando fracciones parciales,

( ) ( )2

2 22 2

7 944

s A B Cs DY ss s ss s

+ += = + +

++

resolviendo

( )9 194 42 2 4

Y ss s

= ++

aplicando la transformada inversa de Laplace,

( ) ( )9 19 sen 24 8

y t t t= +

Comprobando:

( ) ( )'' 4 9y t y t t+ =

( ) ( )19 19sen 2 9 sen 2 92 2

t t t t− + + =

9 9t t= Ejemplo: encontrar la solución de la ecuación diferencial

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 15 6 0y t y t y t+ + = con las condiciones

iniciales:

( )0 1y = ( ) ( )1 0 0y =

Solución, Aplicando la transformada de laplace a todos los miembros de la ecuación se tiene que:

L ( ) ( ) 2y t + L

( ) ( ) 1y t + L ( ) 6y t = L 0

con lo que:



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 0 0 5 0 6 0s Y s sy y sY s y Y s− − + − + =

Reacomodando se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 5 6 0 5 0 0s s Y s sy y y+ + = + +

Sustituyendo condiciones iniciales se tiene que:

( ) ( )2 5 6 5s s Y s s+ + = +

despejando ( )Y s se tiene que:

( ) 2

55 6

sY ss s

+=

+ +

expandiendo en fracciones parciales el miembro derecho de la ecuación se tiene que:

( )( )2

5 55 6 2 3 2 3

s s A Bs s s s s s

+ += = +

+ + + + + +

donde: 3A = 2B = − Por lo que:

( ) 3 22 3

Y ss s

= −+ +

Aplicando la transformada inversa de laplace en ambos lados de la expresión se tiene que:

L ( ) 1 Y s− = L 1 32s

− − + L 1 2

3s− +

con lo que se tiene que:

( ) 2 33 2t ty t e e− −= −

Ejemplo: resolver ( ) ( ) ( )'' 3 ' 2 4y t y t y t− + = con ( )0 1y = , ( )' 0 0y = Solución Aplicando la transformada de laplace a la ecuación,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 40 ' 0 3 0 2s Y s sY Y sY s Y Y ss

− − − − + =

Sustituyendo valores, realizando operaciones y despejando ( )Y s

( ) ( )( )2 3 4

2 1s sY s

s s s− +

=− −

Se tiene que,



( ) ( )( )2 3 4

2 1 2 1s s A B CY s

s s s s s s− +

= = + +− − − −

Encontrando los valores de A , B y C ,

( ) 2 1 22 1

Y ss s s

= + −− −

Aplicando la transformada inversa de laplace,

( ) 22 2 2t ty t e e= + −

Ejemplo: resolver ( ) ( )'' 16 32y t y t t+ = con ( )0 3y = , ( )' 0 2y = −

Solución, Aplicando la transformada de laplace a la ecuación,

( ) ( ) ( ) ( )22

320 ' 0 16s Y s sY Y Y ss

− − + =

Sustituyendo condiciones iniciales, realizando operaciones y despejando ( )Y s se tiene que,

( ) ( )3 2

2 2

3 2 3216

s sY ss s− +

=+

Se tiene que,

( ) ( )3 2

2 22 2

3 2 321616

s s A B Cs DY ss s ss s

− + += = + +

++

Realizando operaciones se tiene que,

( ) 2 2

0 2 3 416

sY ss s s

−= + +

+

O bien,

( ) 2 2

2 3 416

sY ss s

−= +

+


( ) 2 3cos 4 sen4y t t t t= + −



Ejemplo: resolver la ecuación diferencial ( ) ( ) ( )'' 3 ' 2 4 12 ty t y t y t t e−− + = + con ( )0 6y = ,

( )' 0 1y = −

Solución ( ) 23 2 2 3 2t t ty t e e t e−= − + + +

Ejemplo: resolver la ecuación diferencial ( ) ( ) ( ) 2'' 4 ' 5 125y t y t y t t− + = con ( ) ( )0 ' 0 0y y= = ,

Solución ( ) ( )2 225 40 22 2 2sen 11costy t t t e t t= + + + −

Ejemplo: resolver la ecuación diferencial ( ) ( )'' 8cosy t y t t+ =

con ( )0 1y = , ( )' 0 1y = −

Solución ( ) cos 4sen 4 cosy t t t t t= − +

Análisis de circuitos eléctricos mediante el uso de la Transformada de Laplace La transformada de laplace es una herramienta muy útil en el análisis de los circuitos eléctricos. Para analizar un circuito eléctrico se deben de utilizar las leyes que lo rigen, tales como la ley de ohm y las leyes de kirchhoff. Una vez que se aplican estas leyes se obtienen ecuaciones integro-diferenciales, integrales, diferenciales o sistemas de ellas. Las relaciones básicas de voltaje y corriente en las resistencias, inductores y capacitores se muestran en la tabla siguiente.

Elemento Ecuación Diferencial

Resistor

( ) ( )v t Ri t= ( ) ( )1i t v tR

=

Inductor

( ) ( )di tv t L

dt= ( ) ( )1 t

i t v t dtL −∞

= ∫

Capacitor

( ) ( )1 t

v t i t dtC −∞

= ∫ ( ) ( )dv ti t C

dt=

( )i tR( )v t+

−

( )i tR( )v t+

−

( )i tL( )v t+

−

( )i tL( )v t+

−

( )i tC( )v t+

−

( )i tC( )v t+

−



Ejemplo: encontrar la respuesta de ( )i t para 0t > para el circuito que se muestra en la Figura siguiente.

Considérese que ( )0 0i = , 100R = Ω , 5HL = y 10VV = .

Por medio de la aplicación de una Ley de voltajes de Kirchhoff alrededor de la malla, se tiene que,

( ) ( )di tV Ri i L

dt= +

Sustituyendo valores y aplicando la transformada de laplace en ambos lados de la ecuación.

( ) ( )10 100 5I s sI ss= +

Despejando ( )I s

( ) ( )2

20I s

s s=

+

Aplicando fracciones parciales

( ) 1 1 110 10 20

I s ss

= − +

Aplicando la transformada inversa de laplace

( ) ( )20 201 1 1 1 A10 10 10

t ti t e e− −= − = −

A continuación se muestra la secuencia de instrucciones usadas en matlab para realizar la gráfica de la respuesta de la corriente.

t = 0:0.001:0.5; corriente = 1/10*(1-exp(-20*t)); plot(t,corriente); grid on xlabel('Tiempo (segundos)'); ylabel('Corriente (amperes)')

R

L( )i t

( )v t+−

0t =

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Tiempo (segundos)

Cor

rient

e (a

mpe

res)



Ejemplo: encontrar la respuesta de para para el circuito que se muestra en la Figura siguiente.

Considérese que , , y .

Solución Por medio de la aplicación de una Ley de voltajes de Kirchhoff alrededor de la malla, se tiene que,

Sustituyendo valores y aplicando la transformada de laplace en ambos lados de la ecuación.

Despejando


A continuación se muestra la secuencia de instrucciones usadas en matlab para realizar la gráfica de la respuesta de la corriente.

V = 100; R = 10; C = 0.01; t = 0:0.001:0.5; corriente = V/R*exp(-t/(R*C)); plot(t,corriente) grid on xlabel('Tiempo (segundos)'); ylabel('Corriente (amperes)');

( )i t 0t >

( )0 0V = 10R = Ω 0.01FC = 100VV =

0t =

+-

R

C( )v t( )i t

( ) ( )1V Ri i i t d tC

= + ∫

( ) ( )100 100.01I s

I ss s

= +

( )I s

( ) 1101

I ss

= +

( ) 10 Ati t e−=

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tiempo (segundos)

Cor

rient

e (a

mpe

res)



Ejemplo: encontrar la función de transferencia ( )( )

CV sV s

para el siguiente circuito.

Solución Por medio de la aplicación de una LVK alrededor de la malla se tiene que,

( ) ( ) ( ) ( )1di tv t L Ri t i t d t

dt C= + + ∫

Aplicando la transformada de laplace en ambos lados de la expresión

( ) ( ) ( ) ( )I sV s LsI s RI s

Cs= + +

Despejando ( )I s

( ) ( )2 1

V s CsI s

LCs RCs=

+ +

El voltaje en el capacitor está dado por:

( ) ( ) 1CV s I s

Cs= ⋅

Sustituyendo valores,

( ) ( )2 1C

V sV s

RLC s sL LC

= + +

O bien,

( )( ) 2

1

1CV s LC

RV s s sL LC

=+ +

Por lo que,



Ejemplo: encontrar una expresión para la corriente en el tiempo para 0t ≥ . Considérese condiciones iniciales iguales a cero.

Solución. Por medio de la aplicación de la Ley de voltajes de Kirchhoff alrededor de la malla formada se tiene que,

( ) ( )10 5 2di t

i tdt

= +

Aplicando la transformada de laplace a la ecuación

( ) ( )10 5 2I s sI ss= +

Despejando ( )I s

( ) 55522

A BI ss ss s

= = + ++

Realizando operaciones para encontrar el valor de A y B

( ) 2 252

I ss s

= −+


( ) 5/ 22 2 ti t e−= −

De la expresión anterior se observa que para un tiempo muy grande la corriente en el circuito será de 2 A, es decir la relación entre el voltaje de 10 V y la resistencia de 5 Ω, debido a que el inductor se comportará como un corto circuito debido a la excitación de corriente directa.

0t =

5Ω

10V 2H( )i t

0t =

5Ω

10V 2H( )i t



Ejemplo: en el circuito RLC serie mostrado en la Figura siguiente, no hay carga inicial en el capacitor ni corriente inicial en la inductancia. Si el interruptor se cierra en 0t = , determínese la corriente resultante.

Solución:

La aplicación de una LVK alrededor de la malla genera: ( )1 t

o

div Ri L i ddt C

τ τ= + + ∫

Aplicando la transformada de laplace en ambos lados de la expresión se tiene que:

L v = L Ri + L diLdt+ L ( )1 t

o

i dC

τ τ∫

se tiene que: ( ) ( ) ( )I sV RI s LsI ss sC= + +

Factorizando se tiene que: ( ) 1V I s R Lss sC

= + +

o bien: ( ) 2 1

VsI s

RCs LCssC

=+ +

Sustituyendo valores: ( )( )22

50 502 2 1 1

I ss s s

= =+ + + +

simplificando se llega a:

( ) 50 senti t e t−=

0t =

50V

( )i t+−

2Ω

0.5F

1H



Ejemplo: determinar la corriente en cada uno de los inductores para el circuito que se muestra en la figura siguiente para 0t ≥ . Considere condiciones iniciales de cero.

Solución Una vez que se ha cerrado el interruptor se tiene que:

Aplicando una LVK en la malla 1 se tiene que:

( )11 1 1 2s

diV L R i idt

= + −

Aplicando la transformada de Laplace se tiene que:

L sV = L 11

diLdt

+ L ( )1 1 2R i i−

con lo que se tiene que:

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 2V sL I s R I s R I ss= + −

sustituyendo valores y reacomodando:

( ) ( )1 1 1 1 2V I s sL R R I ss= + −

( ) ( )1 2336 8.4 42 42I s s I s

s= + −

Por medio de la aplicación de una LVK en la malla 2 se tiene que:

( ) 21 2 1 2 2 2 0diR i i L R i

dt− − − − =

Aplicando la transformada de Laplace se tiene que:

- L ( )1 2 1R i i− − L 22

diLdt

− L 2 2 0R i =

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 2 2 0R I s R I s L sI s R I s− + − − =

48Ω

8.4H

336V +− 42Ω

10H

48Ω

8.4H

336V +− 42Ω

10H

48Ω

8.4H

336V +− 42Ω

10H

( )1i t ( )2i t48Ω

8.4H

336V +− 42Ω

10H

( )1i t ( )2i t



( ) ( )2 1 2 2 1 1 0 0I s R L s R R I− + + + =

Reacomodando:

( ) ( )2 290 10 42 0I s s I s− + + =

Expresando en forma matricial:

( )( )

1

2

3368.4 42 4242 10 90 0

I sss

I ss

+ − = − +

Resolviendo por determinantes se tiene que:

( ) ( )11

I sI s

∆=

∆

( ) ( )22

I sI s

∆=

∆

donde:

( )( ) ( )( ) ( )28.4 42 428.4 42 10 90 42 42 84 14 24

42 10 90s

s s s ss

+ −∆ = = + + − − − = + +

− +

( ) ( ) ( )1

336 3360 9042 336 10 90 00 10 90

sI s ss

s ss

+− ∆ = = + − = +

( ) ( )2

3368.4 42 336 141120 4242 0

sI s s

s s+ ∆ = = − − =

−

Para la corriente 1 se tiene que:

( ) ( )11

I sI s

∆=

∆

sustituyendo valores:

( )( )

( )( )

( )( )1 2

3360 940 9

2 1284 14 241

sssI s

s s ss s

++

= =+ ++ +

Por fracciones parciales se tiene que:



( )

( )( )40 9

2 12 2 12s A B C

s s s s s S+

= + ++ + + +

Para encontrar el valor de A , multiplicamos por s y evaluamos en 0s = en ambos lados de la expresión, con lo que se tiene:

( )( )

40 915

2 12A = =

Para encontrar el valor de B , multiplicamos por 2s + y evaluamos en 2s = − en ambos lados de la expresión, con lo que se tiene:

( )( )

40 714

2 10B = = −

−

Para encontrar el valor de C , multiplicamos por 12s + y evaluamos en 12s = − en ambos lados de la expresión, con lo que se tiene:

( )( )

40 31

12 10C

−= = −− −

Por lo que se tiene que:

( )115 14 1

2 12I s

s s s= − −

+ +

Aplicando la transformada inversa de laplace se tiene que:

L ( )-11I s = L -115

s− L -1 14

2s−

+ L -1 1

12s +

con lo que se tiene:

( ) 2 121 15 14 t ti t e e− −= − −

Para el caso de ( )2I s se sabe que,

( ) ( )( )21682 12

I ss s s

=+ +

Expresando en fracciones parciales

( )2 2 12A B CI ss s s

= + ++ +

Para encontrar el valor de A , multiplicamos por s y evaluamos para 0s = en ambos lados de la expresión, con lo que se tiene:

( )168 17

2 12A = =



Para encontrar el valor de B , multiplicamos por 2s + y evaluamos para 2s = − en ambos lados de la expresión, con lo que se tiene:

( )

168 168 8.42 10 20

B = = = −− −

Para encontrar el valor de C , multiplicamos por 12s + y evaluamos para 12s = − en ambos lados de la expresión, con lo que se tiene:

( )

168 168 1.412 10 120

C = = =− −

Por lo que se tiene que:

( )27 8.4 1.4

2 12I s

s s s= − +

+ +

Aplicando la transformada inversa de laplace se tiene que:

L ( )-12I s = L -1 7

s− L -1 8.4

2s+

+ L -1 1.4

12s +

por lo que se tiene:

( ) 2 122 7 8.4 1.4t ti t e e− −= − +

Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3

2

dx tx t y t

dtdy t

y t x tdt

= −

= −

con las condiciones iniciales: ( )0 8x = ( )0 3y =

Solución Aplicando la transformada de laplace a ambas ecuaciones: ( ) ( ) ( )8 2 3sX s X s Y s− = −

( ) ( ) ( )3 2sY s Y s X s− = −

Expresando las ecuaciones anteriore de forma matricial,

( )( )

2 3 82 1 3

X ssY ss −

= −

Resolviendo



( )( ) ( )( )

1 3 82 2 3

1 4

sX s sY s s s

− − − − = + −

Se tiene que:

( ) ( )( )8 17 5 31 4 1 4sX s

s s s s−

= = ++ − + −

Aplicando la transformada inversa de laplace, ( ) 45 3t tx t e e−= +

Se tiene finalmente que:

( ) ( )( )3 22 5 21 4 1 4sY s

s s s s−

= = −+ − + −

Aplicando la transformada inversa de laplace, ( ) 45 2t ty t e e−= −

Modelado de sistemas mecánicos La transformada de laplace también puede ser utilizada en el análisis de los sistemas mecánicos. Un sistema mecánico simple está formado por masas, resortes, amortiguadores y fuerzas que actúan entre si. Para analizar un sistema mecánico se utilizan las relaciones que se muestran en la siguiente tabla.

Elemento Ecuación Diferencial

Masa

2

2md xf Mdt

=

Resorte

( )1 2Kf K x x= −

M

2

2

d xMdt

Mf

xM

2

2

d xMdt

Mf

x

Kf

Kf

1x

2x

K

Kf

Kf

1x

2x

K



Amortiguador

( )1 2Bdf B x xdt

= −

Ejemplo: encontrar una expresión para la velocidad de la masa que se muestra en la figura siguiente, la cual se encuentra en reposo en una posición 0x = y se le aplica una fuerza constante ( ) 4Nf t = . Considere

1.0N/mk = , 1.0kgM = y 1.0N-s/mβ = . Considere que no existe fricción entre la masa y el piso.

Solución La segunda ley de Newton establece que F ma=∑ , por lo que

( ) ( ) ( ) ( )

2d x t d xtM kx t f t

dt dtβ+ + =

Se sabe que ( ) ( )

dx tv t

dt= (1)

Por lo que,

( ) ( ) ( ) ( )

dv tM kx t v t f t

dtβ+ + =

Sustituyendo valores se tiene que,

( ) ( ) ( ) 4

dv tx t v t

dt+ + = (2)

Aplicando la transformada de laplace a (1) y (2) y representando en forma matricial el sistema de ecuaciones formado se tiene que,

( )( )

1 1 4 /1 0

V ss sX ss +

= −

Resolviendo el sistema anterior se tiene que,

( )( ) ( )

1 4 /1 1 0

1 1

s sV s sX s s s

− − − + = − + −

Encontrando ( )V s

Bf

Bf

1x

2x

B

Bf

Bf

1x

2x

B

( )f tM

β

k

( )x t



( ) 2

41

V ss s

=+ +

Encontrando la transformada inversa de laplace se tiene que,

( ) 1/28 3sen23

tv t e t− =

La gráfica siguiente muestra el comportamiento de la velocidad desde 0t = hasta 12.0t = segundos.

La gráfica anterior muestra que aproximadamente en 1.7 segundos se tiene la velocidad máxima, a partir de este momento el cuerpo empieza a frenarse y adquiere una velocidad negativa en un tiempo de 4.8 segundos y a partir de ahí la masa se va frenando. Ejemplo: considere el siguiente sistema mecánico.

Determinar el comportamiento de ( )x t . Considérese m = 1 kg, 3N-s/mβ = , 2N/mk = , ( )0 0.1mx = ,

( )' 0 0.05m/sx = .

Solución. Considerando todas las fuerzas que actúan sobre la masa se tiene que,

( ) ( ) ( )

2

2 0d x t d xt

m kx tdtdt

β+ + =


0 2 4 6 8 10 12-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tiempo (segundos)

velo

cida

d (m

/s)

( )x tβ

m

k



( ) ( ) ( )

2

2 3 2 0d x t d xt

x tdtdt

+ + =

Aplicado la transformada de laplace,

( ) 2

0.35 0.13 2

sX ss s

+=

+ +

Aplicando fracciones parciales,

( ) 0.15 0.252 1

X ss s

= − ++ +

Aplicando la transformada inversa de laplace, ( ) 20.15 0.25 mt tx t e e− −= − +

A continuación se muestra la secuencia de instrucciones usadas en matlab para realizar la gráfica de la respuesta de la posición.

t = 0.0:0.01:5; x = -0.15*exp(-2*t)+0.25*exp(-t); plot(t,x) grid on xlabel('Tiempo (segundos)'); ylabel('Posición (metros)');

Ejemplo: encuentre la función de transferencia ( )( )

X sF s

para el sistema que se muestra en la figura siguiente.

Solución Primeramente se procede a la realización de un diagrama de cuerpo libre en el cual se aprecian todas las fuerzas que están actuando sobre la masa.

Realizando la suma de las fuerzas se tiene que:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Tiempo (segundos)

Pos

ició

n (m

etro

s)

m

( )x t

( )f t

( )kx t

( )v

dx tf

dt( )2

2

d x tm

dt



( ) ( ) ( ) ( )2

2v

d xt d x tkx t f m f t

dt dt+ + =

Aplicando la transformada de laplace a ambos lados de la expresión: ( ) ( ) ( ) ( )2

vkX s f sX s ms X s F s+ + =

Factorizando:

( )( ) ( )2vX s k f s ms F s+ + =

Por lo que:

( )( ) 2

1

v

X sF s k f s ms

=+ +

Ejemplo: encuentre la función de transferencia ( ) ( )( )

2X sG s

F s= para la red mecánica traslacional que se muestra

en la figura siguiente.

Considere que: 1 1 kgm =

2 1 kgm = 1 N/mk = además de que no existe fricción. Solución Para la primera masa se tiene que

( ) ( ) ( ) ( )( )2

11 1 22

d x tf t m k x t x t

dt= + −

Aplicando la transformada de laplace y sustituyendo valores se tiene que:

( ) ( ) ( )21 21X s s X s F s+ − =

Para la segunda masa se tiene que:

( ) ( ) ( )( )2

22 2 120

d x tm k x t x t

dt= + −

Aplicando la transformada de laplace y sustituyendo valores se tiene que:

1m 2mk

1x

( )f t

2x



( ) ( )22 11 0X s s X s+ − =

Expresando de manera matricial,

( )( )

( )21

22

1 101 1

X s F ssX ss + −

= − +

Resolviendo para el vector X ,

( )( )

( )

( )

2

21

222

1 101 1

1 1

F ssX s sX s s

+ + =

+ −

Se tiene que:

( )( ) ( )

21

2 2

12

X s sF s s s

+=

+

Ejemplo: encontrar la función de transferencia ( )( )

CV sV s

para los siguientes circuitos.



Ejemplo: calcular la función de transferencia ( )( )

o

i

E sE s

para el circuito amplificador inversor que se muestra en la

Figura siguiente.

Solución, Aplicando una ley de voltajes de kirchhoff en la primera malla se tiene que,

1 1ie i R e= + despejando 1i ,

11

1

e eiR−

=

Aplicando una ley de voltajes de kirchhoff en la malla de salida,

2 2 oe i R e= + despejando 2i ,

22

oe ei

R−

=

Se tiene que 1 2i i= por lo que:

1

1 2

oe ee eR R

−−=

dado que 0e = se tiene que,

1

1 2

oeeR R

−=

por lo que,

2

1

o

i

e Re R= −

si aplicamos la transformada de Laplace,

( )( )

2

1

o

i

E s RE s R

= −

ie oe

2R

1R−+

2i

1i eie oe

2R

1R−+

2i

1i e



Ejemplo: en base al resultado del ejemplo anterior, determinar la salida que tendría el circuito si éste es alimentado por la señal ( ) ( )5cos Vie t t= . Considere 2 100R = Ω y 1 10R = Ω .

Solución.

Se sabe que

Por lo que la salida está dada por:

( ) ( )2

1o i

RE s E sR

= −

Aplicando la transformada inversa de laplace en ambos lados de la expresión

( ) ( )2

1o i

Re t e tR

= −


( ) ( )( ) ( )100 5cos 50cos10oe t t t= − = −

A continuación se muestra el conjunto de instrucciones usadas en matlab para la realización de las gráficas de las señales de entrada y de salida.

t = 0:0.001:4*pi; ei = 5*cos(t); eo = -50*cos(t); plot(t,ei,t,eo,'--') legend('ei','eo') grid on xlabel('Tiempo (segundos)') ylabel('Voltaje (volts)')

Ejemplo: calcular la función de transferencia ( )( )

o

i

E sE s

para el circuito que se muestra en la Figura siguiente.

Solución, en términos de impedancias, el circuito se puede representar como:

( )( )

2

1

o

i

E s RE s R

= −

0 2 4 6 8 10 12 14-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

Tiempo (segundos)

Vol

taje

(vol

ts)

eieo

ie oe

2R

1R−+

2i

1i e

C

ie oe

2R

1R−+

2i

1i e

C



Se tiene que,

( )( )

( )( )

2

1

o

i

E s Z sE s Z s

= −

donde: ( )1 1Z s R=

( ) 22

21RZ sR Cs

=+


( )( ) ( )

2

1 2 1o

i

E s RE s R R Cs

= −+

Ejemplo: obtener la función de transferencia ( ) ( )( )

11

X sG s

F s= y ( ) ( )

( )2

2

X sG s

F s= del sistema mecánico que se

muestra en la Figura.

Estabilidad de sistemas usando la transformada de laplace Definición: una función ( )f t es acotada 0t∀ > sii existe una constante M tal que,

( )f t M< 0t∀ >

Ejemplo: la función ( ) 2tf t e= no es una función acotada, ya que conforme t →∞ ( )f t →∞ , tal y como se

observa en la gráfica de la función.

( )iE s

−+

( )2I s

( )2Z s

( )1Z s

( )1I s ( )oE s( )iE s

−+

( )2I s

( )2Z s

( )1Z s

( )1I s ( )oE s



Ejemplo: la función ( ) ( ) 24sen 2 tf t t e−= no es una función acotada, ya que conforme t →∞ ( ) 0f t → , tal y

como se observa en la gráfica de la función. En este caso el valor de M es el valor pico que tiene la función, el cual es cercano a 1.29.

Una función que no satisface la definición para ser una función acotada se dice que es una función no acotada.

Teorema: sea ( ) ( ) ( )( )

1 1 P sf t L F s L

Q s− −= = , donde P y S son funciones polimiales en s, el grado de Q es

mayor que el grado de P y P y Q no tienen raíces en común. Entonces ( )f t está acotada sii ( )F s no tiene

polos en el lado derecho del plano s y los polos que están sobre el eje imaginario son simples. Ejemplo: considérese la función:

( ) 12 1

sf t Ls sβ

− = + +

Donde β ∈ . Determinar el comportamiento de ( )f t cuando:

a. 1.0β =

b. 1.0β = −

c. 0.0β = Solución a)

( ) 2 1sF s

s s=

+ + tiene sus polos en 1

1 32 2

s i= − + y 21 32 2

s i= − − , los cuales al ser representados en el

plano s muestran que se encuentran a la izquierda del plano, por lo tanto ( )f t es acotada.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

500

1000

1500

2000

2500

3000

tf(t

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t

f(t)



La transformada inversa de laplace de ( )F s es: ( ) 1/2 3 3 3cos sen2 3 2

tf t e t t− = −

, cuya gráfica es:

De la gráfica anterior se observa que la función tiene un sobreimpulso cercano a 1 , sin embargo para un tiempo muy grande se acerca a 0. b)

( ) 2 1sF s

s s=

− + tiene sus polos en 1

1 32 2

s i= + y 21 32 2

s i= − , los cuales al ser representados en el plano s

muestran que se encuentran a la derecha del plano, por lo tanto ( )f t no es acotada.

La transformada inversa de laplace de ( )F s es: ( ) 1/2 3 3 3cos sen2 3 2

tf t e t t

= +

, cuya gráfica es:

x11 32 2

s i= − +

x21 32 2

s i= − −

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

f(t)

x 11 32 2

s i= +

x2

1 32 2

s i= −



La gráfica muestra que se tiene un sobre impulso cercano a 70 en t = 9, sin embargo conforme t →∞ , ( )f t →∞

c)

( ) 2 1sF s

s=

+ tiene sus polos en 1s i= y 2s i= − , los cuales al ser representados en el plano s muestran que se

encuentran sobre el eje imaginario, pero debido a que son simples entonces ( )f t es acotada.

Definición: un sistema es estable si genera una respuesta acotada para una excitación acotada. Teorema: todos los polos de una función de transferencia de un sistema estable están a la izquierda del eje imaginario. Si la función de transferencia tiene al menos un polo sobre el eje imaginario o a la derecha de este eje, el sistema es inestable. Definición: un sistema es marginalmente inestable si la función de transferencia no tiene polos a la derecha del eje imaginario y los polos sobre el eje imaginario son simples.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-60

-40

-20

0

20

40

60

80

t

f(t)

x 1s i=

x 2s i= −

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

f(t)



Ejemplo: determinar si las siguientes funciones de transferencia producen una respuesta acotada o no acotada:

• ( )( )2

11 2s s s+ +

• ( )22

1

1s s+ +

• 4 3 2

11s s s s+ + + +

• ( )( )2

11 3 2s s s+ + +

• 4 2

11

ss s

++ +

• ( )( )2 1 2

ss s+ −

• ( )( )3 2

11 1s s s− + +

Ejemplo: la función de transferencia de un sistema es ( ) 2

1G sms s kα

=+ +

. Compruebe que el sistema es estable

cuando 0α > y que es marginalmente inestable cuando 0α = . Uso de matlab para calcular la transformada de laplace y la transformada inversa de laplace La transformada de laplace de una función ( )f t puede ser calculada utilizando matlab de la siguiente manera.

Ejemplo: sea ( ) 4 3f t t t= + , calcular su transformada de laplace usando matlab.

Solución. Primeramente se indica a matlab que t es una variable simbólica por medio del comando

syms t a continuación se utiliza el comando laplace de la siguiente manera

laplace(t^4+t^3) dando como resultado

24/s^5+6/s^4 Que representa

( ) 5 4

24 6F ss s

= +



La transformada inversa de laplace de una función ( )F s puede ser calculada utilizando matlab de la siguiente

manera.

Ejemplo: sea ( ) 2

17 12

F ss s

=+ +

, calcular su transformada de laplace usando matlab.

Solución. Primeramente se indica a matlab que s es una variable simbólica por medio del comando

syms s a continuación se utiliza el comando laplace de la siguiente manera

ilaplace(1/(s^2+7*s+12)) dando como resultado

exp(-3*t)-exp(-4*t) Que representa

( ) 3 4t tf t e e− −= −



Ejercicios propuestos Unidad 4

1. Utilizando la definición de la transformada de laplace calcular la transformada de laplace de:

a. ( ) 3 4f t t= +

b. ( ) 2f t t at b= + +

c. ( ) at bf t e +=

d. ( ) 2f t t at b= + +

e. ( ) at bf t e +=

f. ( ) ( )2f t a bt= +

g. ( ) senf t t=

h. ( ) cosf t t=

i. ( ) nf t t=

2. Calcular la transformada de laplace de las siguientes funciones usando las reglas prácticas.

a. ( ) 2 /34 tf t e=

b. ( ) 6 3f t t= −

c. ( ) ( )21f t t= +

d. ( ) ( )23 3t tf t e e−= −

e. ( ) 2sen3 5cos3f t t t= +

f. ( ) 7tf t te−=

g. ( ) 3 sen2tf t e t−=

3. Calcular la transformada inversa de laplace de las siguientes funciones

( )( )2 1s

s s+ + 2

17 12s s+ +

2

53 2s

s s+ +

( )2

36 9s s s+ +

2

52 5

ss s

++ +

2

2 44 13s

s s+

+ +



( )( )2

24 5

ss s+ +

( )( )1

4 1s s− − 2

31

ss−−

2

32 8s

s s+ −

2

3 2

6 43 2

s ss s s

− +− +

2

14 14

ss s

++ +

( )( )

2

22 3

2 1s s

s s−

− −

( )2

22

2

2 2

s s

s s

+

+ +

( )3 2

22

3 3

2 5

s s s

s s

+ − −

+ +

( )

3 2

26 14

2s s s

s+ +

+ ( )

( )

34

34

3 11

s ss s+ +

+ ( )2

10 42

ss−

−

( )32s

s −

2

3 2

6 26 266 11 6

s ss s s

− +− + −

( ) ( )

3 2

2 37 14 91 2

s s ss s− + −

− −

6

20s

( )3

15s −

2

15s −

1

3 1s −

2 10 29s

s s− +

5

2

ses

−

4. Resolver la siguientes ecuaciones diferenciales:

a. ( ) ( )'' 4 9y t y t t+ = con ( )0 0y = , ( )' 0 7y =

b. ( ) ( ) ( )'' 3 ' 2 4 12 ty t y t y t t e−− + = + con ( )0 6y = , ( )' 0 1y = −

c. ( ) ( ) ( ) 2'' 4 ' 5 125y t y t y t t− + = con ( ) ( )0 ' 0 0y y= = ,

d. ( ) ( )'' 8cosy t y t t+ = con ( )0 1y = , ( )' 0 1y = −

5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

'' ' 3 15'' 4 ' 3 12sen2

tx y x ey x y t

− + + =

− + =

Con: ( )0 35x = ( )' 0 48x = − ( )0 27y = ( )' 0 55y = −

6. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

' 2 ''' 2 1

tx y ex x y

− + =

+ − =

Con: ( )0 0x = ( )0 1y = ( )' 0 0y =

7. Encontrar una expresión para la corriente en el tiempo para 0t ≥ . Considérese condiciones iniciales

iguales a cero.



8. Un circuito serie RL con R = 10 Ω y L = 0.2 H, tiene una tensión constante V = 50 V aplicada en t = 0. Determinar la intensidad resultante utilizando el método de la transformada de Laplace.

Solución ( ) ( )505 1 Ati t e−= −

9. Un circuito en serie contiene un inductor, un resistor y un capacitor para los cuales 1 H2

L = , 10R = Ω y

0.01FC = , respectivamente. El voltaje

( )10 0 50 5

tE t

t≤ <

= ≥

se aplica al circuito. Determine la carga instantánea ( )q t presente en el capacitor cuando 0t > si

( )0 0q = y ( )' 0 0q =

10. En el circuito RL de la figura siguiente el interruptor está en la posición 1 el tiempo suficiente como para

alcanzar el estado estacionario y se cambia, posteriormente, a la posición 2 en t = 0. Determinar la intensidad.

11. En el circuito de dos mallas de la figura siguiente, determinar las intensidades resultantes cuando se cierra el interruptor.

Solución:

12. Encontrar la función de transferencia ( )( )

o

i

V sV s

para los circuitos siguientes.

E

R

C( )i t

0t =

+−50V

1 2

10Ω

0.2H

( )i t+−+−50V

1 2

10Ω

0.2H

( )i t

+−100V

5Ω0.02H

10Ω

( )1i t ( )2i t+−+−100V

5Ω0.02H

10Ω

( )1i t ( )2i t

( ) 166.71 10 3.33 Ati t e−= − ( ) 166.7

2 6.67 Ati t e−=




LV sV s

para los siguientes circuitos.


o

i

V sV s

para el circuito siguiente



Autoevaluación Unidad 4

1. Utilizando la definición de la transformada de laplace calcular la transformada de laplace de ( ) 28 5 4f t t t= − +

2. Use la definición de la transformada de laplace para encontrar la transformada de laplace de ( )f t ,

donde

( )0 1

2 1t t

f tt t

≤ ≤= − ≥

3. Exprese f en términos de funciones escalón unitario y encuetre la transformada de laplace de f

4. Determine la transformada de laplace de cada una de las siguientes funciones:

a. ( )21t +

b. ( ) 2sen3 5cos3f t t t= +

c. ( ) ( )23 3t tf t e e−= −

5. Calcular la transformada inversa de laplace para:

a) ( ) 2

14 9

F ss

=+

b) ( ) 2

3 1664

sF ss−

=−

c) ( ) ( )( )2

3 5sF s

s s=

+ +

6. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a. ( ) ( ) ( )'' 3 ' 2 4y t y t y t− + = con ( )0 1y = , ( )' 0 0y =

b. ( ) ( )'' 16 32y t y t t+ = con ( )0 3y = , ( )' 0 2y = −

7. Resolver para ( )f t

( ) ( ) 3

06

tf f t d tτ τ τ− =∫

8. Resolver para ( )y t

( ) ( ) ( )0

' cos cost

y t t y t dτ τ τ= + −∫ co ( )0 1y =

1 2 3 4

1

( )f t

t



9. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales

a. 2

dx x ydtdy xdt

= − +

= con ( )0 0x = , ( )0 1y =

b. 2

8 1

tdx y edtdy xdt

= +

= − con ( )0 1x = , ( )0 1y =

c. 2 2 1

3 3 2

dx dy xdt dt

dx dy x ydt dt

+ − =

+ − − = con ( )0 0x = ( )0 0y =

10. En el circuito RLC serie mostrado en la Figura siguiente, no hay carga inicial en el capacitor ni corriente

inicial en la inductancia. Si el interruptor se cierra en 0t = , determínese la corriente resultante.

11. La corriente ( )i t presente en un circuito RC en serie se puede determinar con base en la ecuación

integral

( ) ( )0

1 tRi i d E t

Cτ τ+ =∫

Donde ( )E t es el voltaje aplicado. Determine ( )i t cuando 10R = Ω , 0.5C F= y ( ) ( )22E t t t= +

12. Ejemplo: encontrar una expresión para la velocidad de la masa que se muestra en la figura siguiente, la

cual se encuentra en reposo en una posición 0x = y se le aplica una fuerza constante ( ) 2Nf t = .

Considere 4.0N/mk = , 2.0kgM = y 1 N-s/m2

β = . Considere que no existe fricción entre la masa y el

piso.

50V+−

1H

0t =

2Ω

0.5Fi50V

+−

1H

0t =

2Ω

0.5Fi

( )f tM

β

k

( )x t

Documents

lsc.fie.umich.mxlsc.fie.umich.mx/~antonio/unidad_4_calculo_iv.pdf · UMSNH Cálculo IV FIE . Dr. Antonio Ramos Paz 108 . Periodicidad en el tiempo . Si la función es una función