LSE FIUBA Tesis Grado Alan Kharsansky 2013

7/21/2019 LSE FIUBA Tesis Grado Alan Kharsansky 2013

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Facultad de ingenieraUniversidad de Buenos Aires

Tesis de grado de ingeniera electrnica

Diseo e implementacin de un sistemaembebido de control de actitud para

aeronaves no tripuladas

Alan Kharsansky

Director: Dr. Ing. Ariel Lutenberg

31 de mayo de 2013


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Prefacio

En este informe se presenta el trabajo de investigacin y desarrollo llevado a cabo para lograrel diseo y la implementacin de una computadora 1 de vuelo para aeronaves no tripuladas. Laidea surge del estudio de dos ramas de la ingeniera electrnica: la teora de control y los sistemasembebidos.

La teora de control trata el comportamiento de sistemas dinmicos y en particular buscacontrolar diferentes variables de estos. Es inherentemente un campo interdisciplinario que abarcareas como la electrnica, la fsica y la mecnica. Su campo de aplicacin tradicional, surge delambiente industrial con el control de temperaturas, niveles y caudales, aunque en la actualidadson cada vez ms las aplicaciones de la teora de control en industrias como la automotriz, laaeroespacial y la del transporte.

Los sistemas embebidos, son equipos electrnicos que incluyen un procesamiento de datospero que, a diferencia de una computadora personal, estn diseados para satisfacer una funcinespecfica, como en el caso de un reproductor de msica porttil, un telfono celular, un router ola computadora de abordo de un automvil o un satlite. Su diseo est optimizado para reducirsu tamao y su costo, aumentar su confiabilidad y mejorar su desempeo.

Estas dos reas pueden combinarse, logrando as los denominados sistemas de control em-bebidos. En este trabajo, se utilizar como pretexto a la aeronave no tripulada quadrotor,con el fin de estudiar todos los problemas que involucran el desarrollo de un sistema de estascaractersticas. Se comenzar con la investigacin del estado del arte de los quadrotores y lasreas que involucran. Luego se desarrollar un modelo matemtico del quadrotor que permitirestudiarlo como sistema dinmico. A continuacin se har un estudio detallado de uno de loscontroladores ms utilizados hoy en dia, el PID, y se presentaran los aspectos fundamentalespara adaptar estos a sistemas digitales discretos. Una vez obtenido esto, se tendr una primeraestimacin de los requerimientos que deber tener la computadora de vuelo y se detallaran losaspectos claves del diseo de la misma. Finalmente se comprobaran las estrategias de controlelegidas y se validarn los modelos matemticos mediante pruebas de campo con un quadrotoren vuelo bajo diferentes condiciones.

En sntesis, en este trabajo se pretende demostrar que es posible resolver un problema apa-rentemente complejo, como es el vuelo de una aeronave, dividindolo en problemas ms sencillosy luego aplicando fundamentos bsicos de la teora de control a la implementacin de un sistemade control embebido.

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Aqu el trmino computadora se har extenso a todo el equpo y no solo el microprocesador o microcontroladory se lo utilizar como sinnimo de sistema embebido.

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ndice general

ndice general 3

1. Introduccin 71.1. Principio de funcionamiento del Quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1. Funcionamiento bsico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2. Formas de vuelo y sistemas de referencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.3. Dinmica del quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2. Navegacin, control y guiado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1. Navegacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2. Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3. Guiado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1. Quadrotores recreativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.2. Quadrotores profesionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.3. Quadrotores de investigacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4. Resumen del captulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Modelado de la planta 212.1. Dinmica del quadrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Fuerzas y momentos sobre el centro de masa: M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. Actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1. Empuje y torque producido por una hlice. . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.2. Banco de pruebas de actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.3. Velocidad angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3.4. Empuje esttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.5. Torque esttico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.6. Constantes de las hlices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.7. Identificacin paramtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.8. Linealizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.9. Respuesta transitoria del actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.10. Modelo completo del actuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4. Matriz del quadrotor: MQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5. Matriz de control:MMIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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NDICE GENERAL

2.6. Parmetros constantes de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7. Perturbaciones y efectos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.7.1. Blade flapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.7.2. Efectos giroscpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7.3. Efectos aerodinmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.7.4. Efecto suelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.8. Separacin por ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.9. Resumen del captulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Controlador PID 473.1. Arquitecturas de implementacin de controladores PID. . . . . . . . . . . . . . . 483.2. Mejoras en el algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.1. Setpoint ponderado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.2. Derivacin de la variable de proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2.3. Ganancia limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.4. Saturacin de la accin integral (Windup) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.2.5. Transicin Manual/Automtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3. Implementacin digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4. Modelo matemtico del controlador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5. Validacin del controlador PID digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5.1. Planta de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5.2. Respuesta al escaln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5.3. Transicin manual automtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5.4. Anti Windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


4. Plataforma de validacin 594.1. Simulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2. Estructura mecnica y actuadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3. Diseo e implementacin de la computadora de vuelo. . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.1. Seleccin de componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.2. Arquitectura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.3. Firmware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.4. Arquitectura de Comunicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4. Segmento de tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.5. Resumen del captulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5. Implementacin 715.1. Implementacin digital del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2. Diseo en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3. Diseo del SAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3.1. Anlisis de la planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.2. Ajuste del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.3. Validacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.4. Diseo del CAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4.1. Anlisis de la planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.4.2. Ajuste del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4.3. Validacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.5. Modos de vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

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NDICE GENERAL

5.6. Limitaciones del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.6.1. Dependencias del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.6.2. Dependencia del sistema de navegacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


6. Resultados 896.1. Modos de vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.2. Vuelo en modo acrobtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.3. Vuelo en modo estabilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4. Vuelo en modo actitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.5. Hovering con perturbaciones en modo estabilizado . . . . . . . . . . . . . . . . 986.6. Computadora de vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.6.1. Consumo de recursos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.6.2. Costo estimado de fabricacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


7. Conclusiones y trabajo futuro 1037.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037.2. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.2.1. Navegacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.2.2. Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2.3. Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2.4. Guiado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2.5. Computadora de vuelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.2.6. Mejoras directas de este trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Bibliografa 107

A. Diagramas esquemticos de la Computadora de Vuelo 109

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Nomenclatura

,, ngulo de rotacin sobre los ejes X, Y, Z respectivamente. Equivalente a roll,pitch, yaw.

p, q, r Velocidad angular sobre los ejes X, Y, Z respectivamente.

xb, yb, zb Posicin de la aeronave respecto de la terna fija en tierra.

vxb, vyb, vzb Velocidad de desplazamiento de la aeronave respecto de la terna fija en tierra.

Faero Fuerzas sobre el rgido producto de efectos aerodinmicos.

Maero Momentos sobre el rgido producto de efectos aerodnmicos.

Fact Fuerzas producidas sobre el centro de masa de la aeronave por los actuadoresdel sistema.

Mact Momentos producidos sobre el centro de masa de la aeronave por los actuadoresdel sistema.

Mi Momento generado por el actuadori.

Ti Empuje generado por el actuador i.

yi Seal de control de actuador i.

Zc Accin de control colectiva de los actuadores.c Accin de control para producir torque neto en el eje X de la aeronave.

c Accin de control para producir torque neto en el eje Y de la aeronave.

c Accin de control para producir torque neto en el eje Z de la aeronave.

SAS Stability agumentation system.

CAS Control augmentation system.

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CAPTULO1

Introduccin

Las aeronaves no tripuladas, UAVs por sus siglas en ingls, se utilizan para tareas de inves-tigacin, aplicaciones comerciales, aplicaciones civiles de bsqueda y rescate, as tambin comopara seguridad. En general estas aeronaves suelen agruparse en aquellas capaces de realizar unamisin sin intervencin humana, llamadas autnomas, y aquellas controladas de manera remotapor un operador humano.

Dentro de los UAVs ms populares, se encuentra la aeronave de cuatro rotores denominadaquadrotor por su nombre en ingls que significa de cuatro rotores. En los comienzos de la avia-cin, este tipo de aeronave fue de las primeras en aparecer, inclusive previamente al helicptero

convencional, pero sus problemas mecnicos y su dificultad de control por parte del piloto lahicieron inviable para la poca. En la actualidad, gracias a los avances de la electrnica, tanto encapacidad de procesamiento como en miniaturizacin, resulta posible hacer pequeas aeronavesde este tipo, no tripuladas, capaces de volar y realizar tareas de utilidad. Es posible observaren la figura1.1 una comparacin entre el primer quadrotor diseado por el hombre y el que seutiliz para este trabajo.

Hoy en da es posible encontrar este tipo de aeronaves en aplicaciones tales como la agri-mensura y la agricultura, y que permiten sobrevolar campos de manera autnoma y sin riesgopara un humano; en seguridad e ingeniera civil, equipado con cmaras de monitoreo remoto

(a) Quadrotor tripulado de De Bothezat - 1923 (b) Quadrotor autnomo - 2013

Figura 1.1: Unos de los primeros quadrotores tripulados vs. un quadrotor autnomo moderno

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as tambin como en la industria cinematogrfica para la realizacin de tomas areas que eranimposibles de realizar con helicpteros convencionales una dcada atrs.

Este tipo de aeronaves se han popularizado en los ltimos aos dentro del ambito acadmicodebido a su bajo costo, su relativa facilidad de construccin y su reducida cantidad de partesmviles, lo que permiti que laboratorios de diferentes universidades del mundo[1,2]lo utilicencomo plataforma de estudio para diferentes areas de investigacin entre las que se destacan:

Modelado de sistemas fsicos

Teora de control

Sistemas Embebidos

Procesamiento de seales

Procesamiento de imgenes y video

Estas diferentes disciplinas se suelen encontrar tambin dentro de una rama de la ingenieraconocida como "Navegacin, control y guiado", que estudia y disea sistemas para controlar losmovimientos de automviles, barcos, aviones, etc. El significado de cada uno de estos trminoses el siguiente:

Navegacin:determinacin en un determinado momento de la posicin y actitud 1 delvehculo, asi tambin como sus derivadas.

Control:manipulacin de fuerzas de control sobre el vehculo para lograr mantener laestabilidad de la misma y cumplir con los requerimientos de guiado.

Guiado:determinacin y control del camino o recorrido que el vehculo debe realizar.

Si bien en muchos casos, estas funciones pueden ser realizadas por humanos, existen sistemasdonde las velocidades de reaccin necesarias estn por encima de las capacidades humanas. Espor eso que se recurre a sistemas electrnicos de alta velocidad, mayormente computadoras omicrocontroladores, para su implementacin.

Este trabajo se enfoca principalmente en el rea de control y en el diseo e implementacinde una computadora capaz de estabilizar y controlar el vuelo del quadrotor para luego poderusarlo junto a tcnicas de navegacin y guiado en aplicaciones de ms alto nivel. Se analizar elquadrotor como sistema fsico y se buscar desarrollar un enfoque simple que permita abordarel problema del diseo de control desde una perspectiva clsica. En particular se busca disear

un sistema de control en tiempo real que pueda mantener a un quadrotor volando paralelamenteal piso a una altura considerable del mismo, sin intervencin externa, lo cual se conoce comohovering. Aunque en algunas aplicaciones se denomina hovering a la accin de quedarse sobre-volando un mismo lugar, en este caso, no se har referencia a la posicin sino solamente a laactitud; es decir que el quadrotor se encontrar en hovering cuando el plano que conforman lashlices se encuentre paralelo al plano de la superficie terrestre.

En las siguientes secciones se presentarn los conceptos fundamentales que forman la base deestudio de este trabajo: se comenzar primero con los fundamentos del quadrotor como aeronavey luego se presenta una introduccin a los conceptos de navegacin, control y guiado.

1Se entiende por actitud a la orientacin de un objecto con respecto a un marco de referencia inercial u otro

objeto

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1.1. PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DEL QUADROTOR

1.1. Principio de funcionamiento del Quadrotor

1.1.1. Funcionamiento bsico

Un quadrotor como el que se observa en la figura 1.1b es un sistema simple, que puederesumirse con el diagrama en bloques de la figura 1.2. en donde:

CPU ESC MotorIMU

Radio

x4

Figura 1.2: Diagrama de bloques mnimo de un quadrotor

IMU:2 unidad determinacin de la actitud, posicin y velocidad de la aeronave utilizandosensores como ser girscopos, acelermetros, magnetmetros, etc.

ESC:del ingles Controlador electrnico de velocidad, recibe comandos y apartir de ellospermite variar la velocidad de los motores.

Motor: motores sin escobillas trifsicos que entregan energa a las hlices para generarfuerzas y momentos en los 4 extremos del quadrotor.

CPU:es la encargada de ejecutar los algoritmos de control que, a partir de los datos dela IMU y del recorrido o la actitud configurada, comandan los ESC para efectuar fuerzasde control sobre la aeronave.

Radio: interfaz de comunicacin con tierra que, si bien no es imprecindible, suele serutilizada para la descarga de telemetra asi tambin como para enviar informacin denavegacin y guiado.

Durante el vuelo la computadora recibe el estado actual de la aeronave en cuanto a posicin,velocidad y/o actitud de la IMU y otros sensores como ser: barmetros, sensores ultrasnicosde distancia, gps, etc. y efecta acciones correctivas utilizando los actuadores. Los actuadores,

compuestos por motores elctricos y hlices generan tanto empuje en la direccin axial, como astambin momento 3 en sentido contrario a la rotacin de las mismas. La plataforma de validacindiseada para este trabajo incorpora en una misma placa electrnica la CPU, la IMU y la radio,lo cual provee un entorno de desarrollo apropiado.

Es posible combinar las fuerzas y momentos generados por los actuadores de manera tal degenerar hasta cuatro diferentes movimientos como se observa en la figura1.3.

Si los cuatro actuadores ejercen la misma fuerza hacia arriba (y suponemos que el sistemaes perfectamente simtrico), entonces la aeronave se trasladar hacia arriba. Este control serdenominado en el resto del trabajo como el control colectivo, concepto que proviene de larama de la jerga de los helicopteros y determina el control que hace que la aeronave ascienda o

2Unidad de medicin inercial de sus siglas en ingles3Se utilizar la palabra momento como sinnimo de torque

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(a)Control de altura (colectivo) (b)Control de pitch (cabeceo)

(c)Control de roll (alabeo) (d)Control de yaw (guiada)

Figura 1.3: Posibles mezclas de las fuerzas de los actuadores para obtener diferentes movimientosespaciales

descienda. Si en cambio, se aplica empuje diferencial, es decir que algunos actuadores generanms fuerza que otros, entonces, se generan momentos en diferentes ejes provocando as que sterote. Se puede inferir que dada esta arquitectura, es imposible que la aeronave se desplace paraadelante, atras o para los lados sin tener que cambiar su actitud. Esto es denominado: un sistemasubactuado, ya que el mismo se encuentra en un entorno de 6 grados de libertad (DOF) perosolo puede actuar en cuatro de estos.

1.1.2. Formas de vuelo y sistemas de referencia

En general, los quadrotores pueden ser utilizados en dos formas de vuelo diferentes. Estas seconocen comunmente como vuelo enXy vuelo en+, cuya diferencia radica en el lado de laestructura que define el avance. En la figura1.4se observa la diferencia entre ambos conceptos.En este trabajo, dada la forma del chasis del quadrotor que se utiliz en los experimentos, seeligi el vuelo en el modo X y se mantuvo esta estructura durante todo el trabajo.

(a)Vuelo en X donde dos brazoscomponenen el adelante

(b)Vuelo en + donde solo un brazoscomponene el adelante

Figura 1.4: Modos de vuelo de un quadrotor. La flecha verde indica el sentido de avance haciaadelante de la aeronaves

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Resulta imprescindible elegir los sistemas de referencias para analizar el problema. El primeroque se utlizar es el denominado de cuerpo, y se encuentra fijo en la aeronave y ubicado ensu centro de gravedad. Se utilizar el subndice bpara denominar coordenadas o rotacines eneste sistema de referencia por la palabra inglesa body. En la figura 1.5se puede observar laorientacin de la terna elegida. Notar que el origen de la terna no es la que muestra la figurasino que esta est en el centro de masa del quadrotor.

Figura 1.5:Perspectiva del modelo CAD del quadrotor.

Para expresar las rotaciones en el sistema cuerpo, se usarn los ngulos , y que repre-sentan rotaciones en los ejes xb, yb y zb respectivamente, segn la regla de la mano derechateniendo asi, rotaciones antihorarias positivas en cada uno de los ejes. Estos ngulos suelen serllamados en la nomenclatura aeronutica como roll, pitch y yaw. El ngulo = 0 y = 0

se corresponde con la aeronave paralela al piso, y el angulo = 0 con el norte geogrfico.

Las derivadas de estos ngulos, llamadas velocidades angulares, se representarn con el vector= [p, q, r] = [ , , ].

La segunda terna utilzada es una terna fija en algn punto de la tierra y ser utilizada paradeterminar la posicin del cuerpo de la aeronave. Dadas las dimensiones del problema que seestudia, se considerar un modelo de la tierra plana, infinitamente extenso y que no rota. Estaterna es til para describir desplazamientos de la aeronave y fuerzas externas como, por ejemplo,la fuerza de gravedad o las producidas por el viento. En la figura 1.6se pueden observar estasdos ternas.

xe

yeze

Xe

xb

yb

zb

Figura 1.6: Ternas utilizadas en el sistema de referencia. b para la terna fija en la aeronave y e para lafija en la tierra.

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1.1.3. Dinmica del quadrotor

Si bien la aeronave bajo estudio no es estrictamente un cuerpo rgido, resulta suficienteconsiderarla como tal, suponiendo que:

1. La estructura es perfectamente rgida.

2. La estructura es perfectamente simtrica.

3. No se considern efectos giroscpicos de los motores y hlices debido a su pequea inerciaen comparacin con la aeronave.

De la segunda ley de Newton se sabe que la relacin entre las fuerzas y aceleraciones en unsistema de referencia inercial estn dados por la ecuacin:

Fe = m ae (1.1)

donde Fe es la suma de todas las fuerzas que actan sobre el centro de gravedad del cuerpo, mrepresenta la masa del rigido y ae la aceleracin. Para el caso de un sistema de referencia noinercial, como es el slido rgido en movimiento, se obtiene la expresin:

Fb =

FxFy

Fz

=m(ab+ vb) (1.2)

que al reemplazar por sus componentes vectoriales se convierte en:

FxFyFz =m

uvw+

pqr

uvw (1.3)

Expandiendo el producto vectorial se logran las primeras tres ecuaciones de la dinmica delcuerpo rgido:

Fx= m (u + qw rv) (1.4)Fy = m (v+ ru pw)Fz =m ( w+pv qu)

Luego se debern considerar las dinmicas de rotacin del sistema. A partir de la segunda

ley de rotacin de Euler se tiene que:Me=

dLedt

= d(Iew)

dt (1.5)

que puede ser expresado en trminos de velocidad, aceleraciones angulares y momentos ex-presados en la terna de cuerpo como:

Mb =

LM

N

=I b+ b (I b) (1.6)

Como se ver ms adelante, si el tensor de inercia Ies diagonal, se puede entonces simplificar

el desarrollo de la ecuacin1.6 para obtener las 3 ecuaciones de rotacin del rigido:

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1.2. NAVEGACIN, CONTROL Y GUIADO

L= Ixxp + qr (Izz Iyy) (1.7)M=I

yyq+pr (I

xxIzz

)

N =Izzr+pq(Iyy Ixx)

Las ecuaciones1.4y1.7determinan el modelo mtemtico completo que describe un cuerporgido libre y de manera general representan la dinmica de la aeronave. Conociendo los pa-rmetros constantes (m, Ixx, Iyy Izz), el estado inicial, las entradas de fuerza (Fx, Fy, Fz) ymomentos (L ,M,N ) sobre el centro de masa del rgido, es posible estudiar su evolucin a lolargo del tiempo.

Se puede observar en estas ecuaciones que los los ejes estan acoplados. Esto significa que untorque aplicado en el eje xprovoca un movimiento tanto en el eje xcomo en los ejes yy/o z locul hace que disear un sistema de control sea una tarea compleja. En los siguientes captulos

se estudiar con detalle este sistema de ecuaciones para obtener modelos lineales ms simplesque permitan simplificar el estudio del problema y se determinar el origen y la forma de cadauno de los trminos que componen estas ecuaciones.

1.2. Navegacin, control y guiado

1.2.1. Navegacin

Se denomina navegacin al rea de la ciencia que busca determinar variables como posicin,actitud y velocidades tanto lineales como rotativas de objetos que se mueven dentro de unentorno mediante diferentes tcnicas. Algunas permiten determinar el valor absoluto de losparmetros de navegacin del vehculo mediante mediciones referidas a cuerpos exteriores almismo, como es el caso de navegacin con brjulas magnticas, referencias visuales o inclusivemediante seales de radio conocidas en diferentes puntos del entorno (por ejemplo los sistemasVORde la aerontuica).

En cambio, otras tcnicas utilizan mediciones de parmetros que permiten inferir los parme-tros de navegacin de manera indirecta, por ejemplo propagandolos. Estos sistemas, utilizadosdesde que el hombre comenz a trasladarse por los mares (propagando a lo largo del tiempo lavelocidad de desplazamiento), por ejemplo estn limitados a las condiciones del medio y a loserrores en los metodos de medicin utilizados.

Con el avance de la tecnolga se logr disear y fabricar sensores inerciales que fijos enel vehculo pueden medir sus aceleraciones y velocidades angulares de manera muy precisa ycon acotado error, pero an as, los mtodos de propagacin con datos que se integran en eltiempo suelen diverger. Es por eso que muchos sistemas combinan ambos tipos de mediciones,las internas y las externas para corregir durante largos perodos de tiempo los parmetros denavegacin estimados. Este tipo de sistemas de navegacin es ideal para aplicaciones en entornosabiertos y para vuelos autnomos, ya que por ejemplo, implementados en un quadrotor permitenque este conozca su entorno y parmetros de navegacin, sin contacto con una estacin de tierraen particular.

Otro tipo de sistemas de navegacin que se utiliza para quadrotores en entornos cerrados sonaquellos basados en visin global que consta de camaras de video, en general dentro del espectroinfrarrojo, que detectan marcas reflectivas que se suelen adherir a los quadrotores para poderdeterminar su posicin, actitud y velocidad. Este mtodo, que proviene de la industra del cine

y los videojuegos para la captura de movimiento humano, puede capturar a una altisima tasade datos estos parmetros con excelente resolucin y muy bajo nivel de error. En general los

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http://en.wikipedia.org/wiki/VHF_omnidirectional_rangehttp://en.wikipedia.org/wiki/VHF_omnidirectional_range


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datos de este tipo de sistemas son ingresados a una computadora externa que luego mediantecomandos de radio controla a los quadrotores.

Figura 1.7: Sistema de visin para determinacin de parmetros de navegacin Vicon utilizado por launiversidad de Pensilvannia para sus trabajos de investigacin

En la figura1.7se puede observar un labotorio de la universidad de Pennsilvania equipado conun sistema de captura de movimiento de la firmaViconque determina la posicin y velocidad deun quadrotor que atraviesa una abertura. En esta imagen tambin es posible ver las tres cmarasinfrarrojas utilizadas por el sistema de visin. Si bien estos sistemas resultan muy efectivos para

entornos cerrados, requieren de una calibracin y un entorno controlado para operar, por loque se vuelven inutilizables en exteriores o ambientes no preparados especialmente con ste fin.Durante el resto de este trabajo se har mencin solamente a los sistemas de navegacin ycontrol que pueden ser utilizados tanto para entornos cerrados como abiertos y es por eso quelos sitemas de visin global o de sensores externos al quadrotor no se estudiarn.

Dentro de los sistemas de navegacin inercial, integrados generalmente en una unidad de-nominada IMU, se suelen encontrar sensores como girscopos que miden la velocidad angular,acelermetros que miden la fuerza especfica a la que estan sometidos [3], junto con magnetme-tros para medir el campo magntico de la tierra y obtener as una referencia del norte magnticoy barmetros para medir las diferencias de altura. En general, estos sensores pueden proveerdatos tiles, pero su verdadero valor surge al utilizar tcnicas de fusin de datos como ser, por

ejemplo, filtros complementarios o filtros de Kalman y pueden ser adems, fusionados con datosde sensores con referencias externas para aprovechar al mximo las caractersticas de cada unode los sensores de diferentes maneras. Este tema se desprende como una de las reas de inves-tigacin ms importantes en lo relacioando con UAVs y dada su extensin y complejidad no seabordar un estudio detallado sobre este tema. Si bin resulta imprescindible contar con datosde navegacin para poder realizar el control correctamente, se ver a lo largo de este trabajoque, bajo ciertas circunstancias, estos pueden ser obtenidos de circuitos integrados de muy bajocosto que proporcionan la informacin necesaria de navegacin para cumplir con el objetivopropuesto.

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http://www.vicon.com/http://www.vicon.com/


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1.2.2. Control

Los sistemas de control son aquellos que permiten controlar alguna cantidad o variable fsicaen un sistema o proceso. Se los suele encontrar en aplicaciones industriales para controlar: la

temperatura de hornos y calderas, el caudal o nivel de liquido en un tanque de almacenamiento,como as tambin en aplicaciones domesticas como la temperatura de la heladera o el aire acon-dicionado. Tambin es posible encontrarlos en los pilotos automticos de aviones y helicpteros.

En su expresin ms sencilla, un sistema de control, o lazo de control (denominado as porsu representacin de diagrama en bloques como se ve en la figura1.8), se compone de una plantao sistema representada por la ecuacin de transferencia Hp(t) la cual es controlada medianteuna seal u(t)generada por el controladorHc(t)en funcin del error e(t)entre el valor deseadode la salida sp(t)y el valor actual y (t). Es comn considerar perturbaciones en el sistema que,en este caso, puede estar representada por la seal d(t). La funcin de transferencia Hp(t) esuna funcin matemtica, en general una ecuacin diferencial, o en el espacio de la transformadade Laplace por un cociente de polinomios y funciones exponenciales, que dadas las condiciones

iniciales y la entrada independiente determina el valor de la variable a lo largo del tiempo. Porejemplo, si suponemos que la planta es un motor elctrico, y queremos controlar la velocidad delmismo, entonces la funcin de transferencia Hp(t)se vuelve una funcin expresada en rpm/voltque determina la velocidad de rotacin en funcin de la tensin aplicada y el estado inicial.

En general, es necesario expresarlo como una ecuacin diferencial o en diferencias porque sedeben tener en cuenta la dinmica de los sistemas. Es decir que el motor no alcanza autom-ticamente su velocidad final al aplicarle tensin, sino que, el mismo debe acelerar para llegar aese valor.

Hc(t) Hp(t)sp(t) e(t) u(t)

d(t)

y(t)

Figura 1.8: Diagrama de bloques de un sistema de control

Si ahora consideramos el sistema de control de un quadrotor, es posible proponer diferentes

objetivos: controlar la actitud, la velocidad de rotacin en algn eje, la velocidad de traslacino la altura. Si tomamos el caso del control de altura, el piloto (o l controlador) determina, laaltura a la que quiere volar mediante la entrada de referencia sp(t) y el controlador de alturaHc(t)determina el empuje, u(t) que debern hacer los actuadores en conjunto para corregir laaltura en funcin del error que se est cometiendo, e(t), calculado como la diferencia entre elvalor deseado y la altura real de la aeronave, y(t), medida por algn sensor. En este caso, lafuncin de transferencia Hp(t)determina cmo evolucionar la altura de la aeronave en funcindel tiempo, las condiciones iniciales y el empuje aplicado. La ley de control que rige,Hc(t), no esnica y es el trabajo del diseador del sistema elegirla para que esta efecte acciones correctivasde acuerdo con las caractersticas deseadas.

A lo largo de este trabajo se estudiar en profundidad este tipo de controladores y se losimplementar de manera digital en un sistema embebido que permitir controlar en vuelo dife-

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rentes variables del quadrotor. En particular este trabajo se destaca porque no se utilizar uncontrolador comercial, sino que se diseara un sistema completo partiendo de la seleccin decomponentes, el armado del circuito impreso, la programacin de los algoritmos de control, etc.

1.2.3. Guiado

El guiado es la rama del control que se encarga de ubicar a un vehculo en una determinadaposicin o hacer que este siga trayectorias de posicin a lo largo del tiempo. Estas pueden serpuntos claves en un mapa, o trayectorias precisas de actitud y posicin que el vehiculo debetomar a lo largo de un camino en determinado momento. En general, para el primero de loscasos, utilizando un sistema de posicionamiento, como por ejemplo GPS, es posible hacer que unquadrotor autnomo recorra puntos marcados en un mapa como se muestra en la figura 1.9a.Eneste caso es posible que la actitud que el quadrotor tome durante el recorrido no sea precisamentedeterminada , sino que, lo que se busca es la posicin del vehiculo.

(a)Seguimiento de trayectorias con GPS (b)Seguimiento de trayectorias precisas

Figura 1.9: Diferentes mtodos de guiado para seguimiento de trayectoria

Para el segundo de los casos en general se utilizan sistemas de visin externos para determinarla posicin de la aeronave ya que la propagacin de mediciones inerciales no resulta ser losuficientemente precisa. En la figura 1.9b se puede ver un ejemplo de guiado en donde unquadrotor debe realizar un recorrido preciso para pasar por dentro de obstculos fijos.

En este trabajo en particular no se estudiar el problema de guiado y, de ser necesario, serealizar manualmente por un piloto mediante una realimentacin visual.

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1.3. ESTADO DEL ARTE

1.3. Estado del arte

Existen hoy en da decenas de quadrotores que se comercializan en todo el mundo. Dada lagran variedad de usos que se le suelen dar, se propone una categorizacin en funcin del propsito

final para el que han sido desarrollados que se presenta en la figura 1.10. A continuacin sepresenta un descripcin breve de lo que hoy se entiende como estado del arte en cada una deestas categorias.

Quadrotores Recreativos Juguetes

Hobby

Profesionales Militar /Policial

FotografaareaBusqueday rescate

Investigacin

Indoor,controlexterno

Outdoor,aut-

nomos

Figura 1.10: Clasificacin de quadrotores

1.3.1. Quadrotores recreativos

En esta categora se agrupan dos tipos de quadrotores y en ambos casos se caracterizan por

su bajo costo y su facilidad de uso.Los quadrotores tipo juguete comenzaron con el popular Parrot AR Drone. Este quadrotores capaz de volar en un entorno cerrado y ser controlado mediante un telefno inteligente. Poseecmaras de video en la parte delantera e inferior que permiten manejarlo con facilidad. Notienen capacidad de ser mejorado o expandido mediante cargas utiles y su finalidad es puramenterecreativa. Su precio actual es de USD 300 aproximadamente[4].

Por otra parte, uno de los ms nuevos en el mercado es el quadrotor Phantom que permitevolar en entornos abiertos y puede cargar una cmara de alta resolucin. Esta equipado conun receptor de GPS y es capaz de volar en trayectorias planificadas previamente desde unacomputadora o telefono celular y en caso de perdida de enlace de radio tiene la capacidad devolver automticamente al punto de partida. Su precio es de USD 680 [5].

En la figura1.11se pueden ver estos dos modelos.

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(a) Parrot Ar Drone (b)Phantom

Figura 1.11: Quadrotores de la categora jueguetes

En la categora de hobby resulta ms dificil citar ejemplos ya que en general estos quadrotoresson armados por aficionados que construyen sus propias partes y compran otras. El punto clavede estos quadrotores es la computadora de abordo y en general se usan computadoras basadasen Arduino, o plataformas similares, para su realizacin [6, 7]. Se caracterizan por ser basadosen software y hardware libre y son capaces de funcionar con diferentes configuraciones. Algunoshan sido utilizados como plataformas de investigiacin pero en general su uso es de un pblicoaficionado. Dentro de las computadoras de vuelo ms populares de este segmento se encuentrael Arducopter, Openpilot, Papparazzi, MultiWii y Mikrokopter [?, 68]. En general suelen estarms orientados a los accesorios que se les pueden poner (cmaras, sensores, radios, etc.) y sedeja el control de vuelo y el software para los desarrolladores del proyecto lo cul los hace dificilde modificar para aplicaciones de investigacin. Su poder de procesamiento suele ser limitado

ya que en general utilizan microcontorladores pequeos de 8 bits que apenas satisfacen losrequerimientos del proyecto. El precio de estas computadoras se encuentra en USD 200 y USD400 y se les debe agregar luego el quadrotor y los equipos de radio.

1.3.2. Quadrotores profesionales

Los quadrotores profesionales se comercializan desde hace algunos aos y son, a diferenciade los de aficionados, orientados a la carga til. Es decir, su diseo ha sido pensado para llevardiferentes cargas como ser camaras de alta definicin, camaras trmicas, sensores, etc. Son engeneral diseos propietarios y el usuario solo puede usarlos con el objetivo que fueron diseados.Generalmente vienen provistos de estaciones terrenas, antenas y de todo el soporte necesario

para utilizarlo directamente en la aplicacin deseada. Se caracterizan tambin por ser aeronavesmuy confiables ya que la carga que transportan suele ser valiosa. El precio de este tipo dequadrotores ronda los 5 a 20 mil dolares.

Dentro de la categora de seguridad o militares, suelen estar equipados con camaras de vigi-lancia y son utilizados para monitorear zonas peligrosas. Resultan ser una alternativa mucho mseconmica al helicoptero convencional y como tambin es ms silencioso puede sobrevolar zonasa menor altura sin ser detectado. En la figura1.12ase pueden observar los que recientementefueron adquiridos por el departamento de policia de la localidad de Tigre.

La ms popular de las aplicaciones de hoy en da es para la fotografa aerea. Estos quadro-tores sulen estar equipados con camaras fotogrficas o de video profesionales y son utilizadospara la cobertura de eventos deportivos, pelculas y comerciales. El costo de operacin es una

fraccin con el alquier de un equipo de filmacin area en helicoptero. En general estos puede ser

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comprados o alquilados, y su precio esta dada por la cmara que utiliza ms que por el quadro-tor. En la figura1.12bse puede ver un hexacoptero (de seis rotores en vez de cuatro) equipadocon una camara profesional de fotografa. Dado que estas aplicaciones buscan tomas precisas,la camara suele encontrarse dentro de un cardn que se puede controlar independientemente dela estructura del quadrotor permitiendo independizar los movimientos de la camara de los de laaeronave.

(a) Quadrotor policial (b)Fotografa area

Figura 1.12: Quadrotores de la categora profesionales

1.3.3. Quadrotores de investigacin

Los quadrotores de investigacin son en general realizados en universidades. Algunos delos temas que se encuentran en desarrollo en la actualidad son: vuelo en formacin, enjambres

de aeronaves, trabajo colaborativo, nano quadrotores (del tamao de la palma de una mano oinclusive ms pequeos), vuelo autonomo, aprendizaje, etc.[1,2,9]. En general estas plataformasno se encuentran abiertas para su uso y muchas de ellas dependen de un sistema de navegacinbasado en visin que lo hace muy costoso. En las figuras 1.13ay1.13bse pueden ver dos deestos proyectos.

(a)Aerospace control laboratory - MIT (b) GRASP Laboratory - UPenn

Figura 1.13: Quadrotores de la categora investigacin

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1.4. RESUMEN DEL CAPTULO

1.4. Resumen del captulo

En este primer captulo se presentaron los conceptos generales de los quadrotores como casoparticular de los UAVs y se introdujeron las nociones bsicas de la navegacin, el control y

el guiado. Se presentaron, tambin, ejemplos de la aplicacin de los quadrotores y una ideade las innovaciones en esta tecnologa. El presente trabajo se enfoca en estudiar el quadrotorde forma detallada y en base a este estudio disar e implementar una computadora de vuleocapaz de mantener al sistema en hovering. En la actualidad la denominacn para este tipo decomputadoras no es uniforme y se las suele llamar tambin computadora de abordo, sistemade control de vuelo, piloto automtico, etc. [5, 6]. En este trabajo se la llamar de ahora enadelante computadora de vuelo.

Se presentaron soluciones comerciales y libres de este tipo de computadoras, pero se observque en general ninguna logra satisfacer los requerimientos propuestos, ya sea en el caso de lascomputadoras para aficionados, por su limitada potencia de clculo y capacidad de expansin,o bien por el alto costo y/o diseo cerrado caracterstico de las computadoras profesionales.

Se presentar a lo largo del trabajo el diseo de una computadora de vuelo de capaz deimplementar los algoritmos de control de actitud para un quadrotor, y luego de implementardicho control se mostrar que es posible considerar que en trabajos futuros podran implemen-tarse en la misma computadora tambin aplicaciones de navegacin y guiado simples, dejandoincluso algunos de recursos disponibles para aplicaciones de alto nivel. Si bien esto es posible enla actualidad con algunas de las computadoras de vuelo para aficionados, en general estas nodisponen de recursos adicionales ni fueron diseadas para ser expandidos.

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CAPTULO2

Modelado de la planta

El primer paso para disear un sistema de control es tener un buen conocimiento del modelomatemtico de la planta que se busca controlar. Este modelo debe representar los diferentesaspectos se que buscan controlar en una planta, es decir, su dinmica. La busqueda de estemodelo forma una parte considerable del trabajo del diseador de un sistema de control, yaque por lo general se desconoce. Como este caso no es la excepcin, el modelo matemticodel quadrotor se desconoce. En este captulo se presenta el trabajo desarrollado en cuanto almodelado del quadrotor que incluy anlisis mecnico, experimentacin en bancos de pruebascon los actuadores y ajustes empricos.

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2.1. DINMICA DEL QUADROTOR

Se pretende encontrar un modelo que describa la dinmica del quadrotor segn el diagramade bloques de la figura 2.1. ste debe tener cuatro entradas que representen las seales decontrol, y salidas que se corresponden con los parmetros observables de la aeronave, como seractitud y posicin en funcin del tiempo como as tambin sus derivadas.

Dinmica delquadrotor

+

+

M1

Actuador 1

Actuador 2

Actuador 3

Actuador 4

MMIX

Fuerzas ae-rodinmicas

Fuerzas ae-rodinmicas

Posicin xb, yb, zbvxb , vyb , vzb

Actitud ,,p, q, r

F

M

Fact

Mact

Faero

Maero

M1, T1

M2, T2

M3, T3

M4, T4

y1

y2

y3

y4

Zc

c

c

c

MQ

Figura 2.1: Modelo matemtico completo del quadrotor

El modelo comienza con las cuatro entradas de control del sistema ZC,C,Cy c, asociadasdirectamente con estos cuatro grados de libertad. Estas entradas, que luego sern comandadaspor el piloto automtico, se debern combinar de manera adecuada para actuar en cada unode los cuatro actuadores segn la diposicin y sentido de giro de los mismos. Esta mezcla de

controles se ver representada por la matrizMmix, de donde se pueden obtener las entradas decontrol a cada actuador, que como se ver a continuacin, propocionan momentos y fuerzas alsistema. Luego estas fuerzas y momentos, tomadas desde el marco de referencia del actuador, soncombinadas y llevadas al marco del quadrotor, accin realizada por la matriz M1. Se ver tambinque es posible combinar estos dos ltimos conceptos, la matrizM1y el modelo de los actuadores,en una matriz simplificada de ganancias denominadaMQmarcada en puntos en el diagrama debloques. A la salida de estos bloques, se encuentran las fuerzas y momentos internos producidaspor los actuadores, que sumado a las generadas por los efectos aerodinmicos, componen el totalde fuerzas y momentos que actan sobre el cuerpo rgido. Aplicando la teora general de ladinmica del cuerpo rigido, se obtendr un modelo simplificado y linealizado que representarla dinmica del quadrotor en vuelo hovering.

A lo largo de este captulo se detallarn y estudiarn cada uno de los bloques que componenel diagrama y se finalizar con un modelo matemtico que describe el comportamiento de cadaeje de la aeronave por separado.

2.1. Dinmica del quadrotor

Como se vio en las ecuaciones1.4y1.7, el sistema de ecuaciones que representa la dinmicadel quadrotor es no lineal y se encuentra acoplado. Si bien este sistema describir con detalle laevolucin del vuelo, resulta de utilidad disponer de un sistema lineal y desacoplado que describade forma aproximada la misma dinmica en un determinado punto de trabajo, debido a la grn

cantidad de herramientas desarrolladas para el anlisis y el diseo de algoritmos de controlpara sistemas lineales. El punto de trabajo escogido, como se vio en el captulo 1, debe ser

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2.2. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE EL CENTRO DE MASA: M1

el de hovering y se busca mantener la actitud del quadrotor dentro de su entorno. Es decirque el sistema busca mantener la actitud de la aeronave en pitch y roll lo ms cercanas a 0

posible. Es posible entonces suponer que la aeronave solo se mover en pequeas cantidadesy se puede entonces asumir un modelo de desviaciones para linealizar la planta. Esto se verreflejado en que las variables de velocidad angularp, qy r sern lo suficientemente pequeas entodo momento como para descartar sus productos de las ecuaciones1.4y1.7, obteniendo as unmodelo simplificado segn:

Fx= mu (2.1)

Fy =mv

Fz =m w

L= Ixxp

M=Iyyq

N=Izzr

Las ecuaciones linealizadas en el punto de trabajo, ya no presentan acoples entre ejes, locul permitir desarrollar una estratega de control por eje que se desarrollar a lo largo deltrabajo. Dado que el objetivo es solamente realizar un controlador de actitud de la aeronave, lasprimeras tres ecuaciones no se estudiarn en detalle, en cambio, las ltimas tres conformarn labase de estudio.

2.2. Fuerzas y momentos sobre el centro de masa: M1

Para definir el sentido de las fuerzas y momentos aplicados sobre el cuerpo, es necesario

determinar el sentido de giro de los motores y su ubicacin relativa al sistema de referencia decuerpo. En la figura2.2 se puede observar la definicin utilizada:

Figura 2.2: Diagrama de cuerpo libre

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2.2. FUERZAS Y MOMENTOS SOBRE EL CENTRO DE MASA: M1

donde las fuerzas y momentos presentes son:

Las fuerzas de cada uno de los motores en el ejezde la terna fija en la aeronave: T1, T2,T3y T4.

La fuerza de gravedad en la direccin ze de la terna fija en la tierra: mg

El torque generado por el desplazamiento de las hlices en sentido contrario al de rotainde las mismas: M1, M2, M3y M4.

El torque generado por el brazo de palanca de las fuerzas de empuje de cada actuador.

Del diagrama de cuerpo libre de la figura2.2se pueden reformular las ecuaciones de fuerzasen forma matricial como:

FxFyFz

= 0

0T1 T2 T3 T4+ mg

(2.2)Donde T1, T2, T3 y T4 son el empuje producido por cada uno de los actuadores. Mientras

que la ecuacin de momentos se transforma en:LM

N

=

T1d T2d + T3d + T4dT1d + T2d + T3d T4dM1+ M2 M3+ M4

(2.3)

donde M1, M2, M3y M4representan el contra torque generado por cada uno de los actuadoresy drepresenta el brazo de palanca medido como la mnima distancia a la lnea que pasa por el

centro de masa del cuerpo. Las ecuaciones2.2y2.3conforman las entradas a las ecuaciones2.1y pueden ser resumidas con una nica matriz segn:

FzLMN

=M1

T1T2T3T4M1M2M3M4

+

mg000

(2.4)

donde

M1=

1 1 1 1 0 0 0 0d d d d 0 0 0 0d d d d 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 1

(2.5)

En la siguiente seccin se estudiarn los valores y formas que toman el empuje Ti y losmomentos Mi producidos por cada actuador para poder utilizar la matriz M1 para hallar lasfuerzas y momentos sobre el centro de masa.

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2.3. ACTUADORES

2.3. Actuadores

Los actuadores del sistema, de los cuales se tienen cuatro iguales, estn compuesto por trespartes: el ESC, el motor y la hlice, como se muestra en la figura2.3.

Las hlices son las encargadas de generar empuje a partir de la rotacin causada por el mo-mento aplicado por el motor elctrico. Estas en general son diseadas con diferentes cantidadesde aspas, desde dos hasta seis para diferentes aplicaciones y pueden tener varias formas y ta-maos. Su principio de funcionamiento se basa en los teoremas de Bernoulli y Ventur, al igualque las alas de un avin[10]pero en este caso, para generar viento aparente que luego generesustentacin.

(a) ESC (b)Motor BLDC (c)Hlice

Figura 2.3: Fotografa de las partes que componen al subsistema de actuadores

Las hlices son caracterizadas por su forma (en ingls conocido como aerodynamic airfoil)el cual puede resumirse en dos parmetros constructivos bsicos: el paso y el dimetro. El pasodetermina cunto avanzara la hlice si estuviera en un medio que no deslizara (concepto similaral paso de un tornillo o tuerca) y el dimetro es el tamao del disco barrido, como se muestra enla figura2.4.Existen aplicaciones en las que el paso de la hlice puede ser variado por el usuario

a fin de lograr mejor eficiencia en el sistema o casos an ms complejos, como el helicopteromoderno, en donde el paso de la hlice es variado a lo largo de una misma revolucin paragenerar diferente empuje en diferentes lugares y as orientar el empuje neto para producir losmovimientos de la aeronave.

Figura 2.4: Paso y dimetro de una hlice convencional

Para el caso particular de los quadrotores se encontr que las hlices plsticas de dos palasy de paso fijo suelen ser las ms eficientes, pero existen casos interesantes en donde se utilizaronhlices de paso variable [11]como as tambin helices de tres y cuatro palas [12]. Como conclusingeneral de estos trabajos se obtiene que, para realizar maniobras agresivas o vuelos acrobticos,resultan ser ms eficientes en cuanto a capacidad de control las hlices de paso variable; pero

estas implican un sistema mecnico de control complejo que no est dentro de los objetivos.Por otra parte, no se han encontrado referencias que demuestren que la utilizacin de hlices de

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2.3. ACTUADORES

ms de dos palas sean mejores o peores para este tipo de aeronaves. Pero de manera general serescata que estas producen ms empuje al mismo dimetro que una de dos palas lo cual permitereducir el tamao total de la aeronave. Al ser estas menos utilizadas, se prefiri optar para estetrabajo por hlices de dos palas. La eleccin del tamao y forma de las hlices es un procesocomplejo, por eso se prefiri utilizar las hlices propuestas por el fabricante del chasis. Estas sonhlices plsticas de 8.0 de diametro y 4.5 de paso.

Los motores elctricos comunmente utilizados en este tipo de aeronaves son los llamadosBLDC por sus siglas en ingls que significa: motor de corriente continua sin escobillas. Sonmotores trifsicos, y son hoy en da, los motores elctricos ms eficientes. Dado su bajo peso ysu grn confiabilidad son los preferidos para estas aplicaciones. Para controlarlos, es necesarioconmutar las fases en funcin de la posicin del rotor y por ende, es necesario sensar de algunamanera la posicion del rotor. Para ello se suelen usar sensores de efecto hall, o la medicin dela tensin generada por la fuerza contra electromotriz (Back EMF en ingls) al desconectar cada

fase. A fin de variar la velocidad se debe modular esta seal trifsica con una seal de PWM,que cambiando su ciclo de funcionamiento, varia la tensin media entregada a cada fase. En lafigura2.5 es posible observar la seal de la fuerza electro motriz que se puede medir en dos delas fases de un motor BLDC controlado por PWM.

Figura 2.5:Voltaje generado por la fuerza contra electromotriz de un motor BLDC tpico controladorpor PWM. Imagen tomada deBodin Electric Company.

Tambin es importante destacar que estos motores suelen consumir una corriente de entre15A y 30A dependiendo de su tamao. Por ende, el sistema de variacin de velocidad no sueleser sencillo de realizar. Es por eso que se prefiri utilizar motores y variadores (ESC) comer-ciales que ya se encuentren probados para este tipo de aplicaciones. El variador incorpora unmicrocontrolador digital que acepta seales de control de hasta 400Hz de actualizacin en formade seal de PWM. Si bien la frecuencia de la seal de 2.5ms es fija, el ciclo activo, variableentre 1ms y 2ms, como se puede ver en la figura 2.6, determina la tensin aplicada al motor.En el resto del trabajo se hara referencia a esta entrada de control como una seal porcentual

adimensional donde el 0 % se corresponde con una seal cuyo perodo activo es de 1ms y el 100 %con una de 2ms.

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http://gearmotorblog.wordpress.com/2010/11/30/sensorless-bldc-controls/http://gearmotorblog.wordpress.com/2010/11/30/sensorless-bldc-controls/


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2.3. ACTUADORES

0 1 2 3 4 5 6 7

x 103

0123

t[s]

Seal[v]

Duty = 0%

0 1 2 3 4 5 6 7

x 103

0123

t[s]

Seal[v]

Duty = 50%

0 1 2 3 4 5 6 7

x 103

0123

t[s]

Seal[v]

Duty = 100%

Figura 2.6: Seal de control de entrada para los ESC utilizados.

Utilizando las tres partes en conjunto se forma lo que en este trabajo ser llamado actuador.El diagrama en bloques de este se presenta en la figura2.7.

ESC Motor Hlice

Actuador

yi(t) vi(t) Mi(t) Ti(t)

Mi(t)

Figura 2.7: Diagrama en bloques del actuador

en donde:

yi(t): Es la entrada al actuador i y es una seal de PWM con un duty cycle variable entre0%-100%.

vi(t): Es la seal de control que enva el ESC al motor, en este caso: una seal de tensintrifsica modulada por PWM para variar la velocidad.

Mi(t): Es el torque generado por el motor y que es aplicado sobre la hlice para generarel empuje. Por el principio de accin y reaccin este torque tambin se aplica, en sentidocontrario sobre el centro de masa de la aeronave y tambin se lo considera una salida delsubsistema .

T(t): Es el empuje generado por la hlice debido a su perfil aerodnamico y el torque deentradai(t).

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2.3. ACTUADORES

Se busca entonces, encontrar las ecuaciones de transferencia (en el espacio de la transformadade Laplace):

HT(s) =

T(S)

y(s) (2.6)y

HM(s) =M(S)

y(s) (2.7)

que caracteriza al torque ejercido por el motor en funcin de esta misma entrada. Para poderobtener dichas transferencias, es necesaria una caraterizacin de estado estacionario (sin incluirtransitorios) comnmente llamada prueba de banco esttica, en donde se observan las relacionesdel motor luego de los transitorios, y una caracterizacin dinmica en donde se puede observarcmo llega el actuador a ese estado estacionario.

2.3.1. Empuje y torque producido por una hliceEl empuje esttico generado por una hlice i en aire libre[10] est dado por:

Ti = CTArr2i

2 (2.8)

Donde Tes el empuje (o fuerza) generada por el rotor, Ar es el rea barrida, la densidaddel aire, r el radio de la hlice, la velocidad angular y CTuna constante propia de le hlicedada por su geometra.

Dado que para todas las hlices utilizadas las constantes Ar, , r y CT son prcticamenteiguales, es posible concentrar estos parmetros en solo uno, teniendo asi la ecuacin 2.9 querelaciona la velocidad angular con el empuje generado.

T(i) =KTi2 (2.9)

En general, la constanteKT suele ser difcil de estimar sin conocer los perfiles aerodinmicosde una hlice con exactitud y si no es provista por el fabricante de la misma, como sucedi eneste caso, es necesario determinarla mediante experimentos en bancos de prueba.

De manera similar al empuje, el torque generado por una hlice en rotacin se puede deter-minar con la ecuacin2.10[10].

M(i) =KMi2 (2.10)

De manera similar al caso del empuje, la constanteKM, de no ser provista por el fabricante,

debe ser encontrada mediante experimentos.Como se describe en las ecuacines 2.6 y 2.7 lo que se busca en realidad es la relacin entreempuje y torque vs. entrada al controlador, que es la nica variable manipulable (no as lavelocidad angular). Es por eso que es necesario encontrar la relacin entre la velocidad angulary la entrada de control y(t)para poder incluirla en las ecuaciones2.9y2.10en reemplazo de i.

2.3.2. Banco de pruebas de actuadores

Para caracterizar los actuadores se realizarn dos diferentes bancos de prueba, uno paramedicin de empuje y otro para medicin de torque. En ambos casos, tambin fue necesario lamedicin de la velocidad angular. Para la medicin de empuje y torque se utiliz una celda decarga PS-2008A del fabricante PASCO, mientras que para la medicin de velocidad angular seutiliz un sensor reflectivo infrarojo como tacmetro ptico y se realizaron las mediciones sobre

28


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2.3. ACTUADORES

el rotor del motor ya que result ms sencillo que tomarlas en las aspas. El banco utilizado fuetipo balancn como se puede ver en la figura2.8.

Figura 2.8: Banco de pruebas de empuje de actuadores

Para medir empuje se utiliz la configuracin de banco mostrada en la figura 2.9adonde elactuador ejerce empuje hacia arriba, lo que se traslada mediante el brazo de palanca (simtrico)en peso sobre la celda de carga. En cambio, para la medicin de torque, se roto el motor deforma tal de generar empuje en el mismo plano del balancn y asi poder traducir el contra torquea peso en la celda de carga como se observa en la figura 2.9b.

Para las pruebas estticas, en donde lo que se buscaba era la relacin entre diferentes para-metros, como por ejemplo, entrada de control, velocidad angular, empuje y/o torque, se hizo unensayo en dnde se realiz un barrido de la seal de entrada entre 0 % y 100 % para determinarel empuje y la velocidad angular de los diferentes actuadores. Para evitar el efecto transitorio,luego de cada incremento se esper hast que las RPM se estabilizaran para comenzar la tomade datos. Por cada valor de input se tomaron 100 muestras de la velocidad angular y 100 mues-tras del empuje que luego se promediaron. Esto result fundamental ya que la seal provenientede la celda de carga result ser extremadamente ruidosa debido a las vibraciones del banco depruebas como se puede ver en la figura 2.10.

Cabe destacar que en todos los casos se realizaron las pruebas con los cuatro actuadores paradeterminar las diferencias entre estos. A continuacin se presentan los experimentos y resultados

realizados para determinar las diferentes caractersticas de los actuadores.

L/2 L/2

W

T

T

(a) Prueba de empuje

L/2 L/2

W

F=M.L

M

(b)Prueba de torque

Figura 2.9:Esquemas de los bancos de prueba para empuje y torque

29


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2.3. ACTUADORES

0 50 100 150 200 250 300 350 400 4501

0

1

2

3

4

5

6

7

8

t [s]

Empuje[N]

Figura 2.10: Seal de la celda de carga en una prueba de empuje esttico

2.3.3. Velocidad angular

La primera variable que se analiza es la velocidad angular de la hlice en funcin de la entradade control obteniendo los resultados del grfico2.11.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

Velocidadangular[RPM]

Entrada [%]

Actuador A

Actuador B

Actuador C

Actuador D

Figura 2.11: Velocidad angular vs. Entrada

Se puede observar en los resultados de este experimento algunos fenmenos no ideales re-marcables, como ser la dispersin de los resultados de empuje como as tambien la presencia de

zonas muertas o de saturacin. Las principales conclusiones de la figura 2.11se pueden resumiren la siguiente lista:

30


31/113

2.3. ACTUADORES

Presencia de una zona muerta por debajo del 17 % al igual que para el empuje.

Hasta el 60 % de la entrada, las RPM parecen crecer en forma de

yi. Luego se asemejana una recta.

Se puede observar la saturacin luego del 90 %.

2.3.4. Empuje esttico

Se analiz el empuje generado por cada actuador en funcin de la entrada de control que sevari desde el 0% hasta el 100% a fin de determinar el empuje en todo el rango de operacin,dando el resultado que se muestra en la figura 2.12.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

7

Empuje[N]

Entrada [%]

Actuador A

Actuador B

Actuador C

Actuador D

Figura 2.12:Empuje vs. Entrada

De manera similar a la velocidad angular, se obtienen las siguientes conclusiones:

Existencia de una zona muerta de entrada por debajo del 17 % de la entrada de control endonde el actuador no produce empuje.

Comportameanto lineal en la respuesta del empuje de los actuadores por lo menos hastael 60 %. Luego la respuesta parece volverse cuadrtica.

Todos los actuadores saturan al 90 %.

31


32/113

2.3. ACTUADORES

2.3.5. Torque esttico

Utilizando el banco de ensayos de torque, se midi el torque que generaba el actuador ensentido contrario a la rotacin de la hlice. En la figura 2.13se pueden observar los resultados

de los experimentos.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Torqu

e[Nm]

Input [%]

Actuador A

Actuador B

Actuador C

Actuador D

Figura 2.13:Torque vs entrada de control

Debido a los efectos indeseados en la respuesta del motor en la seccin anterior tambien esposible observar que luego del 65 % aproximadamente, la respuesta cambia su pendiente.

2.3.6. Constantes de las hlices

Como se vio en las secciones anteriores, para desarrollar el modelo matemtico del quadrotorslo es necesario encontrar la relacin entre entrada de control y el empuje o torque. Por ende,las constantesKTyKMde las ecuaciones2.9y2.10respectivamente no resultan de gran inters

ya que estas solamente sirven si se conoce la velocidad angular de las mismas. Como tambin sedemostr que los ESC dan una respuesta lineal de empuje y torque, no resulta necesario conocerla relacin entre velocidad angular y estas variables. De todas maneras esto puede resultar desuma utilidad si se desea realizar un control a lazo cerrado de la velocidad angular de los motorespara mejorar la performance total del sistema, o bien porque se cambia el ESC.

Si se relacionan los resultados de empuje y velocidad angular se pueden obtener las curvasde empuje vs velocidad angular como se muestra en la figura2.14como puntos de colores (elamontonamiento de los resultados en los extremos del grifco se debe a la saturacin y a la zonamuerta que proveen una velocidad angular que no resulta montonamente crecientes). Se puedeobservar que la relacin es cuadrtica, tal como se vio en la ecuacin 2.9y en lneas de coloreslos ajustes por cuadrados mnimos de estas curvas.

La constante encontrada KTpara cada uno de los actuadores se detalla en la tabla 2.1

32


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2.3. ACTUADORES

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90001

0

1

2

3

4

5

6

7

Empuje[N]

Velocidad angular [RPM]

Actuador A

Actuador B

Actuador C

Actuador D

Figura 2.14: Regresin para la funcin de empuje vs. velocidad angular

Actuador KT[ N

RPM2

]KTA 8,263 108KTB 7,961 108KTC 7,543 108KTD 7,460 108

Cuadro 2.1: Constantes KTde los diferentes actuadores

2.3.7. Identificacin paramtrica

Como sucedi en el caso del modelo dinmico del quadrotor, tambin se busca ac obtenermodelos lineales para los actuadores. Para eso es necesario conocer el punto de trabajo endonde se linearizar el modelo. En este caso se escogi un punto de trabajo que coincide con lacondicin de hovering en la que cada actuador aporte un empuje neto de 1/4 del peso totalde la aeronave. Dado que la masa del mismo es de 1037gr, como se detalla en la seccin2.6, elempuje necesario para mantenerla en vuelo es de 10.16 Newtons y por ende cada actuador debeaportar 2.54N. Este valor se encuentra con una entrada de control yide aproximadamente 55 %y ser el punto en donde se linealizar el actuador, que se denominar como ybias. De ahora enms, las entradas de controlyi sern tomadas como desviaciones respecto de ybias.

Partiendo de esta idea es posible determinar un modelo lineal para el empuje generado porel actuador segn se muestra en el grfico2.15.El mismo se corresponde con una recta que no

33


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2.3. ACTUADORES

pasa por el origen para cada uno de los actuadores, y que se corresponde con la ecuacin:

T(yi)i = KT(yi cdz) (2.11)

Se puede observar en la figura2.15estas rectas superpuestas con los datos obtenidos mediantelos experimentos donde los parmetros de cada una se presentan en la tabla2.2.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

7

Empuje[

N]

Entrada [%]

Actuador A

Actuador B

Actuador C

Actuador D

Figura 2.15: Regresin de la funcin de Empuje vs. Entrada de control

Actuador KT[ N% ] Cdz[ %]Actuador A 0.072 16.37Actuador B 0.065 17.37Actuador C 0.064 16.00

Actuador D 0.061 16.47Cuadro 2.2: Constantes para la transferencia de velocidad de los diferentes actuadores

De manera analga se puede representar el torque generado por cada actuador como unafuncin lineal que se corresponde con la ecuacin:

M(yi) =KM(yi cdz) (2.12)Haciendo un ajuste por cuadrados mnimos de la parte lineal se obtienen los resultados

mostrados en el grfico2.16y el cuadro2.3 resume los parmetros del mismo.

34


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2.3. ACTUADORES

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1001

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Torque[Nm]

Input [%]

Actuador A

Actuador B

Actuador C

Actuador D

Figura 2.16:Ajuste de la funcin de torque vs la entrada de control

Actuador KM[Nm% ] Cdz [ %]

Actuador A 0.034 16.37Actuador B 0.035 17.37Actuador C 0.031 16.00Actuador D 0.037 16.47

Cuadro 2.3: Constantes para la transferencia de torque de los diferentes actuadores

2.3.8. Linealizacin

Si bien se pueden obtener diferentes funciones para el empuje y el torque generado por cada

actuador, resulta de gran utilidad disponer de un modelo nico de actuador promedio entretodos que luego pueda ser linealizado para obtener un modelo lineal. Se realiz un ajuste porcuadrados mnimos en donde se utilizaron los puntos de los cuatro actuadores promediados paracada valor de entrada yi. Se obtuvo entonces un nico conjunto de parametros promedio paralos actuadores segn se ve en la tabla 2.4 para el caso del empuje y2.5 en el caso del torque.

KT[N% ] Cdz[ %]

0.0667 17.03

Cuadro 2.4: Constantes para la transferencia de empuje promedio

Las ecuaciones 2.11 y 2.12 son del tipo afn, es decir, funcines lineales con ordenada al

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2.3. ACTUADORES

KM[Nm% ] Cdz[ %]

0.0346 15.90

Cuadro 2.5: Constantes para la transferencia de torque promedio

origen distinta de cero. An as, todava no se puede trabajar con ellas como si fuesen funcionespuramente lineales, como se busca para expresar funciones de transferencia. Es por eso que seutiliz el teorema de Taylor para linealizar estas ecuaciones en el punto de trabajo deseado. Deesta manera se puede obtener un modelo lineal para el actuador segn:

Ti(yi) = KTyi (2.13)

Mi(yi) = KMyi (2.14)

Como se vio anteriormente, es necesario que cada actuador entregue un total de 2.54N de empuje

para poder manter a la aeronave en hovering. Para ello se encuentra que la entrada de controlque se necesita para el actuador promedio es yi = 55 %que ser el punto de trabajo en el cualser valida la linealizacin y un entorno del mismo, como ya se mencion anteriormente. Deahora en adelante se omitir el simbolo de las ecuaciones para simplificar la nomenclatura,pero siempre se estar haciendo mencin a desviaciones respecto del punto de trabajo.

2.3.9. Respuesta transitoria del actuador

Para ensayar la respuesta dinmica del actuador se realiz un experimento en el cual se intro-dujeron diferentes valores de entradas tipo escaln para ver la respuesta transitoria. Dado que elbanco de pruebas utilizado para la medicin de empuje esttico no tena la suficiente resolucintemporal como para hacer las mediciones, se utiliz un tacmetro ptico y se midi solamente

la velocidad angular. Los valores fueron ajustados al punto de trabajo y luego transformadosde velocidad a angular en empuje utilizando la ecuacin2.9con las constantes encontradas enlos experimentos previamente descriptos. Es por eso que los mismos se encuentran centrados encero. Es posible observar los resultados de este ensayo en la figura 2.17.

Luego se realiz un ajuste por cuadrados mnimos de la transferencia de la planta para dife-rentes tipos de planta. Se propusieron tres diferentes tipos de respuesta y se ajust la respuestapara cada caso. En la figura2.18se pueden observar los resultados para sistemas de primer orden,de primer orden con tiempo de retardo y de segundo orden donde la funcin de transferenciapara cada modelo se puede ver en la tabla 2.6.

Modelo Ecuacin T1 T2 Td

FO G(S) = 1(T1s + 1) 0.080

FOPDT G(S) = 1

(T1s + 1)eTds 0.047 0.031

SOPDT G(S) = 1

(T1s + 1)(T2s + 1) 0.0385 0.0385

Cuadro 2.6: Constantes actuadores

Los resultados de los tres tipos de sistemas son similares y por ende se propuso utilizarnicamente el modelo de primer orden para el resto del trabajo por ser este el ms sencillo de

36


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2.3. ACTUADORES

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5

0

5

Entrada[%]

t[s]2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.5

0

0.5

Empuje[N]

Figura 2.17: Respuesta transitoria al escaln

2 3 4 5 6 7 80.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

t[s]

Empuje[N]

Real data

FO model

FOPDT modelSO model


los tres. Si se toma en cuenta esta transferencia, una simulacin del subsistema del actuador

completo verifica el modelo utilizado como se puede ver en la figura2.19

37


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2.3. ACTUADORES

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

t[s]

Empuje[N]


El tiempo de crecimiento obtenido T1 = 0,08sen este experimento, se encuentra dentro delorden del error cometido en las mediciones de tiempo y velocidad angular por lo que es dificil deasegurar que este sea el valor real. Dado que en el resto del trabajo se verific que con un valor

de 0.05 segundos como mximo, el modelo coincide lo suficientemente bien con los experimentosde campo, es posible corregir esta aproximacin a un valor dentro de este rango. Ms an,dentro de este rango es posible eliminar de la ecuacin la constante de tiempo y obtener elmismo resultado. Entonces resulta vlido suponer que el actuador responde instantneamente ala seal de control, o por lo menos, mucho ms rpido que el resto de las dinmicas involucradas.De este modo es posible descartar su efecto y en lo que resta del trabajo se lo considerar nulo.Esta conclusin es coincidente con resultados de otros trabajos de control con quadrotores quehan demostrado que es posible no considerar este tiempo en el modelo del actuador [13][14].

2.3.10. Modelo completo del actuador

Finalmente es posible encontrar un modelo completo y lineal del actuador expresado comouna funcin de transferencia en el espacio de la transformada de Laplace definido por:

HT(s)|ybias = T(s)y(s) =KT

HM(s)|ybias = M(s)y(s) =KM(2.15)

donde

KT = 0,0667N%

KM = 0,0346Nm

%

38


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2.4. MATRIZ DEL QUADROTOR: MQ

2.4. Matriz del quadrotor: MQ

Como se vio en la seccin anterior, el torque y momento producido por los actuadores sonproporcionales a las entradas de control y por ende es posible resumir la matriz M1 utilizadahasta ahora junto con el modelo lineal de los actuadores en una nueva matriz MQ tal que:

FzL

MN

= MQ

y1y2y3y4

+

mg000

(2.16)

donde

MQ =

KTw KTw KTw KTwdKTw dKTw dKTw dKTw

dKTw dKTw dKTw

dKTw

KMw KMw KMw KMw

(2.17)

Para que esta simplificacin sea vlida, la constante de tiempo de los motores debe serconsiderada nula. Esta nueva matriz que ser utilizada de ahora en ms en vez de las matricesM1 y MQ, permite determinar de manera aproximada si el quadrotor va a poder alcanzar lacondicin de hovering o no y cules sern las entradas de control de cada uno de los actuadores.Se debe entonces resolver la ecuacin:

FzLMN

=

mg000

= MQ

y1y2y3y4

(2.18)

que tiene solucin si y solo si el determinante de MQes distinto que cero.

2.5. Matriz de control: MM IX

Si se determinan las entradas yi de cada uno de los actuadores, se puede entonces propagaresta entrada hasta las fuerzas y momentos sobre el centro de masa de la aeronave que finalmentedescribirn la evolucin de la misma. Pero, como se observa en el diagrama de bloques de lafigura1.2se busca disear un sistema de cuatro entradas, que no son directamente la entradade control de cada actuador sino las que controlen cada uno de los cuatro grados de libertad de

la aeronave. El enfoque que se propone no es el nico posible, pero resulta ser muy sencillo decomprender. Los cuatro grados de libertad del quadrotor son: roll, pitch, yaw y el empujeen direccinz denominado colectivo. Para poder vincular estas entradas con las seales decontrol de cada uno de los actuadores se propone un enofque matricial tal que:

y1y2y3y4

= MMix

Zcccc

(2.19)

Si se observa el diagrama de bloques de la figura1.2la matriz MMixdeber tener una forma

39


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2.5. MATRIZ DE CONTROL: MMIX

similar a la inversa de la matriz2.16, es decir:

y1y2y3y4

= Kz K K KKz

K K K

Kz K K KKz K K K

Zcccc

(2.20)donde Kz, K, K, K son ganancias que se debern elegir de manera adecuada para poderhacer la mezcla de los controles. Estas constantes son un parmetro de diseo en el sistema decontrol y se las puede pensar como la sensibilidad o agresividad de cada uno de los comandosde la aeronave que tambin proporcionan un ajuste de unidades para el control. Se eligi usarentradas de control entre -1.0 y 1.0 para los controles angulares y entre 0.0 y 1.0 para el controlcolectivo.

La seleccin de las ganancias de cada control es sin duda un punto clave en el diseo delsistema de control. Si por ejemplo suponemos que Kz = 100%y la entrada de control Zc = 0,7, se

tiene, entonces, que la componente de control colectivo es 70 %. Si suponemos que un controladorde velocidad angular esta actuando sobre el control de roll, y K = 50, puede darse el caso enel cual la salida de este controlador est cercana a la saturacin por ejemplo 0.9. En ese caso lasentradas de control a cada uno de los actuadores quedaran:

y1y2y3y4

=

25 %25 %

115%115%

(2.21)

lo cual claramente satura la entrada de control. Si bien esto no es algo inaceptable, la accinde control diferencial ya no es simtrica y el sistema se vuelve alineal. Se proponen entonces

diferentes alternativas para solucionar este problema:

Elegir las ganancias Kz, K, K, K de forma tal que la suma de las mismas (con signosegn la ecuacin2.20) nunca supere el 100%.

Elegir las ganancias para obtener la mayor reaccin de control y, en consecuencia, tenerque lidiar con las alinealidades en el empuje y en el modelo del sistema.

En est trabajo se opt por la solucin conservadora ya que el resto estaba fuera del al-cance del mismo. Se obtuvieron resultados favorables tanto en las simulaciones como en losexperimentos sobre la aeronave real con las siguientes ganancias:

Ganancia ValorKz 70 %K 20 %K 20 %K 30 %

Cuadro 2.7: Ganancias de los controladores actuadores

Como se ver ms adelante, estas decisiones influyen directamente en los resultados quese podrn obtener del control. Dado que estas constantes controlan directamente la cantidad

de energa que se destinar a cada una de las cuatro acciones de control, dependiendo de laaplicacin ser posible reajustarlas para lograr diferentes objetivos. Por supuesto esto tambin

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2.6. PARMETROS CONSTANTES DE LAS ECUACIONES

depender de los actuadores elegidos ya que tener un actuador ms potente permite reducir elvalor de Kz y aumentar el del resto de los controles.

2.6. Parmetros constantes de las ecuacionesLa terna fija en la aeronave se eligi de forma tal de coincidir con los ejes principales de

inercia logrando asi un tensor de inercia Ibdiagonal cuyos productos de inercia se vuelven nulos.Se utiliz un diseo asistido por computadora (CAD) para obtener los tensores de inercia yla posicin del centro de gravedad. Para hacer el clculo de las propiedades fsicas, como sermomento de inercia, masa y centro de gravedad, se utilizaron mediciones reales de masa de lasdiferentes piezas del quadrotor para luego integrar al diseo CAD. En el cuadro2.8se muestranlos principales componentes que componen el modelo real del quadrotor y sus respectivos pesos.En este solo se consideran aquellas piezas significativas en masa que fueron consideras para elclculo de las propiedades fsicias. No fueron considerados tornillos, tuercas, adhesivos ni cables.

Cant. Pieza Descripcin Peso[gr] Subtotal[gr]4 Brazos Nylon 6/6 54 2164 ESC 30A Opto 400Hz 24 964 Motor 2212/920 Kv BLDC 56 2251 Base inferior 42 421 Base superior 27 271 Bateria 3S1P 4500mAh 25/C 339 3394 Hlices 12x4.5 12 481 FLC V2 Computadora de vuelo 44 44

Peso total [gr]: 1037

10

Cuadro 2.8: Presupuesto de masa del quadrotor

En la figura 2.20 se puede observar la ubicacin del centro de gravedad de la aeronavecalculado automticamente con el software de simulacin a partir del modelo 3D.

!"#

Figura 2.20:Perspectiva del modelo CAD del quadrotor. El bloque gris en la parte superior representaun modelo exterior de la computadora de vuelo

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2.6. PARMETROS CONSTANTES DE LAS ECUACIONES

Tomado desde el centro de gravedad en la terna fija a la aeronave y orientado como se observaen las figuras previas, se obtiene el tensor de inercia diagonal:

I=Ixx Ixy IxzIyx Iyy Iyz

Izx Izy Izz

= 9400 0 00 10000 00 0 18700

106 Kg m2 (2.22)siendo la masa total del modelo:

m= 1037gr (2.23)

Para validar el tensor de inercia obtenido mediante el software CAD se realiz un experimentode pendulo bifilar. Este consiste en suspender de dos hilos paralelos suficientemente largos elobjeto, de forma tal de medir su inercia en el eje perpendicular al plano de oscilacin como sepuede observar en la figura2.21.

Figura 2.21: Experimento del pendulo bifilar. Imagen propiedad del departamento de ingenieramecnica de la universidad de Texas

En este experimento, se hace oscilar al objeto bajo estudio a partir de una perturbacinpequea y se mide el tiempo de oscilacin. En este trabajo se utiliz el acelermetro incorporadoen la computadora de abordo para determinar este

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LSE FIUBA Tesis Grado Alan Kharsansky 2013