Macroeconomía dinámica - alexismontecinos.mit.edu · temas revisados en dicho curso. Hamilton Galindo Mi participación en este libro fue después de haber tomado mis cursos de

Macroeconomía

Modelos de ciclos económicos reales

ElpuenteentrelamacroeconomíaintermediaylosmodelosDSGE

HamiltonGalindo

FACULTAD DE INGENIERÍA ECONÓMICA, ESTADÍSTICA Y

CIENCIAS SOCIALES

dinámicaVolumen 1

AlexisMontecinos

UNIVERSIDAD NACIONALDE INGENIERÍA

Volumen 1Macroeconomía dinámica

Modelos de ciclos económicos reales

Volumen 1

Macroeconomía dinámicaModelos de ciclos económicos reales

Hamilton GalindoAlexis Montecinos

Dr. Jorge Alva HurtadoRector UNI

Dr. Gilberto Becerra ArévaloVicerrector Académico

Dr. Walter Estrada LópezVicerrector de Investigación

Primera edición,noviembre de 2018

500 ejemplaresImpreso en el Perú / Printed in Peru

Macroeconomía dinámica. Vol. 1 Modelos de ciclos económicos reales

© Hamilton Galindo / Alexis MontecinosDerechos reservados

© Derechos de edición

Fondo Editorial - EDUNICampus UNI - Pabellón CentralAv. Túpac Amaru 210, Rímac - LimaTeléfono: 4814196Central telefónica: 4811070 Anexos 7500 y 7501Correo: [email protected]

Se terminó de imprimir en noviembre de 2018 en:Gráfica Fénix SRLAv. Prolong. Arica 1827, Chacra Ríos Norte - Lima

ISBN: 978-9972-9321-3-7

Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú No 2018-14890

Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sinpermiso expreso de los autores.

A Jesucristo: mi Dios, mi Salvador, mi Señor, . . . mi todo

Hamilton Galindo

A Catita, Agustincito y Loreto, el aire que respiro

Alexis Montecinos

Agradecimientos

¡Escribir un libro es un proyecto gigantesco! Imposible para una sola persona. Ledoy gracias a Dios por haber puesto este proyecto en mi mente y por darme lasfuerzas y la capacidad para empezar y terminarlo. Este proyecto no hubiese podidollegar a buen puerto sin Alexis Montecinos –mi coautor–. En conjunto hemoshecho un excelente equipo, pues su agudeza analítica y su forma de ver los temaseconómicos desde un punto de vista extraordinario han permitido que los primerosescritos evolucionen a esta versión publicable. Asimismo, estoy en deuda con losexcelentes profesores que he tenido en la Universidad Nacional de Ingeniería(UNI), Perú, especialmente al Dr. Jorge Gobitz, con quien aprendí la intuiciónde la macroeconomía; al Dr. Paul Castillo, cuyas clases de series de tiempo y deeconomía monetaria en el pregrado y sus clases de macroeconomía avanzada en elpostgrado han sido de las mejores en mi formación académica. Muchas de susclases me ayudaron a entender los modelos DSGE, y este libro es un resultadoindirecto de sus enseñanzas. Quisiera agradecer a mi amigo Paul Collazos, quienme alentó a utilizar los modelos DSGE en el ámbito bancario, pues su agudezafinanciera me animaba a reflexionar en el alcance de estos modelos. A mis padres–Raúl Galindo y Elvira Gil– por todo su sacrificio y amor, espero este primer librolos llene de orgullo. A mis hermanos, Stefany y Gerardo, por su amor y aliento enlos proyectos que emprendo. A mi amada esposa –Jenny Ascarruz–, quien me haacompañado en los diversos proyectos que Dios me ha permitido tener a lo largode mi vida ¡Estar casado con ella es una de las bendiciones más grandes que Diosme ha dado! Finalmente, quisiera agradecer a mis alumnos del curso de TeoríaMacrodinámica de la UNI, la idea de escribir este libro nació de los primerostemas revisados en dicho curso.

Hamilton Galindo

Mi participación en este libro fue después de haber tomado mis cursos demacroeconomía en mi doctorado en finanzas en el Instituto Tecnológico de

Massachusetts (MIT, por sus siglas en inglés), donde pude darme cuenta delenorme vacío que existía para poder entender la macroeconomía moderna yavanzada. En este proceso existieron personas que hicieron posible llevar a caboeste proyecto y a las cuáles me gustaría agradecer. Como siempre, agradezco ami amada esposa por su incondicional apoyo y amor. Porque sin ella nada de loque hago sería posible. A Catita y Agustincito, mis hijos, que son el combustiblede mi vida. El motor que cada día me impulsa a seguir adelante y llevar a cabotodos los proyectos que salen en el camino. Estoy enormemente agradecido de mimadre, que me enseñó el valor de la tenacidad y el esfuerzo, que son la bases parallevar a cabo un proyecto de esta índole. De mi hermano, Patricio, que me dio lasbases para empezar esta carrera. Agradezco a mi coautor, Hamilton Galindo, porhaberme hecho parte de esta empresa, por haber confiado en mí y a la vez porhaberme permitido ahondar de forma más profunda en el hermoso campo de lamacroeconomía moderna. Agradezco al Dr. José De Gregorio por haber tomadoparte de su valioso tiempo para leer este libro, detalladamente. Igualmente, al Dr.Jorge Miranda, por haber barrido este libro de derecha a izquierda. Agradezcotambién, a mi mejor amigo y hermano, Carlos Jara, por su incondicional apoyo enmis años de doctorado en MIT. A mis grandes amigos Christian Belmar, GianBonino, Pablo Gracia y Gonzalo Sáez, quienes han sido un fuerte soporte, desdeChile, en las situaciones buenas y malas, durante todo este proceso. Además, a misqueridos amigos Martín García y Andrés Meirovich, por haber sido una importanteayuda acá en Boston, dentro de MIT. Finalmente, agradezco a mi muy querido ymuy extrañado hermano, Marcelo, que desde el cielo siempre me está apoyando.

Alexis Montecinos

En conjunto, quisiéramos expresar nuestra gratitud a todo el equipo de profe-sionales de la Facultad de Ingeniería Económica de la Universidad Nacionalde Ingeniería (UNI) por su inmenso apoyo a este proyecto, especialmente alDr. Raymundo Arnao, al Lic. Alvaro Montaño, y al Mg. Nilton Zelada por suvaliosa y constante participación. Asimismo, a Jhimy Borbor, quien se encargó dela diagramación. Estamos muy agradecidos con la Universidad Adolfo Ibáñez porel soporte económico brindado para llevar a cabo la culminación de este proyecto.El fondo otorgado por esta institución fue de mucha utilidad para poder llevar ellibro a su estado actual. Finalmente, agradecemos a Alejandro González, quiennos asistió de manera brillante como ayudante de investigación de este proyecto,proveyendo comentarios muy valiosos, desde el punto de vista del estudiante.

Prefacio

Enseñar modelos de Ciclos Económico Reales (RBC) ha sido siempre complejo. Laintuición es simple, pero las soluciones analíticas complejas. Por ello, la mayoríade los desarrollos se han basado en importantes esfuerzos computacionales decalibración de modelos de equilibrio general dinámicos y estocásticos, y luegocontrastar los resultados de esas simulaciones con la realidad. Todo el procesoes complejo. Por otra parte, los modelos RBC ocupan una parte importante delos desarrollos en macroeconomía moderna. Sus métodos se usan incluso enmodelos alejados de la tradición de RBC pero que recurren a modelos dinámicosde equilibrio general, como son los que se usan en muchos bancos centrales parasimular la política monetaria. Por lo tanto, cualquier estudiante de macroeconomíadebiera conocer estos modelos y cómo se resuelven. Este libro de Galindo yMontecinos llena un importante vacío. Es un texto y manual a la vez. Nos presentade una manera rigurosa y pedagógica los desarrollos básicos de los modelos deRBC, y además es una muy buena guía para aprender cómo se resuelven estosmodelos, desde las matemáticas a los códigos de Dynare necesarios para simularestos modelos. Estoy seguro que este libro será un texto muy usado para enseñarmodelos RBC a nivel intermedio.

José de GregorioDecano de la Facultad de Economía y Negocios

de la Universidad de Chile

Los modelos de ciclos económicos reales se han convertido en un punto de partidaobligatorio en el estudio cuantitativo de los fenómenos macroeconómicos comple-jos. El desarrollo de plataformas como Dynare, que permiten resolver y simularestos modelos de manera ágil, está haciendo posible utilizarlos más activamentepara enseñar macroeconomía tanto en pregrado como en posgrado. Galindo yMontecinos enriquecen esta posibilidad al ofrecernos un libro que, de manera

didáctica, y con una gran cantidad de ejemplos prácticos va mostrando paso a pasoa los lectores como utilizar los modelos RBC para el análisis macroeconómicocuantitativo. El libro complementa bastante bien los aspectos prácticos del uso deDynare, con un recorrido por los modelos fundamentales de ciclos económicosreales para economías cerradas, ofreciendo hábilmente no sólo la solución mate-mática de los mismos, sino que también el contraste de sus implicancias con losprincipales hechos estilizados. Es sin duda un gran aporte que estoy seguro seconvertirá en un manual de referencia obligatorio para estudiantes y profesionalesdedicados al estudio cuantitativo de los ciclos económicos.

Paul CastilloGerente de Política Monetaria

Banco Central de Reserva del Perú

Índice general

Introducción xxix

Capítulo 1. Panorama de los modelos RBC 11.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ciclos económicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Hechos estilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Perspectiva histórica de la teoría RBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.1 Panorama de las escuelas de pensamiento económico . . . . . . . . . . . 301.3.2 El desarrollo histórico de la escuela RBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4 Fundamentos teóricos de los modelos RBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.4.1 Principales supuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.4.2 Pasos para desarrollar un modelo RBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.5 Códigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Capítulo 2. Fundamentos de Dynare 812.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.2 ¿Qué es Dynare? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.3 Estructura del archivo .mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.3.1 El preámbulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.3.2 El modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.3.3 Valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.3.4 Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.3.5 Dynare y LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.3.6 Definición de los shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.3.7 Evaluación del modelo: condiciones de Blanchard y Kahn . . . . . . . 932.3.8 Cálculo de la solución estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

xi

xii ÍNDICE GENERAL

2.3.9 Simulación y filtro HP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.3.10 Análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.3.11 Formas de escribir el modelo en Dynare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.4 Modelo de Long y Plosser (1983): Aplicación en Dynare . . . . . . . . . . . 1012.4.1 Modelo de Long y Plosser (1983) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.4.2 Preámbulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.4.3 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.4.4 Valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.4.5 Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.4.6 Definición del shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.4.7 Evaluación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.4.8 Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.4.9 Función Impulso-Respuesta (IRF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.4.10 Análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302.4.11 Simulación de las variables endógenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322.4.12 Cálculo de los momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.4.13 Filtro HP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.5 Códigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Capítulo 3. Modelo RBC con solución analítica 1413.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.2 Construcción del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.2.1 Función de utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.2.2 Familias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.2.3 Empresas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1483.2.4 Equilibrio de mercado y definición del shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.2.5 Ecuaciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3.3 Calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.4 Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.5 Linealización vs Log-linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.5.1 Linealización (variable en niveles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.5.2 Linealización (variables en logaritmo) o Log-linealización . . . . . . . 164

3.6 Solución del sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.6.1 Método analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753.6.2 Método de Blanchard y Kahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

3.7 Representación de serie de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

ÍNDICE GENERAL xiii

3.8 Funciones impulso-respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033.9 Simulación de las variables endógenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2163.10 Componente cíclico de las variables simuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183.11 Cálculo de los momentos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2203.12 Comparación del modelo teórico con los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213.13 Códigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Capítulo 4. Modelo RBC con trabajo constante 2254.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2254.2 Construcción del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2264.2.1 Familias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2274.2.2 Empresas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.2.3 Equilibrio de mercado y definición del shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.2.4 Ecuaciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

4.3 Calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334.4 Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2344.5 Log-linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.5.1 Efecto sustitución y efecto ingreso de la tasa de interés . . . . . . . . . . 242

4.6 Solución del sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2504.6.1 Método de coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2514.6.2 Análisis de elasticidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

4.7 Representación de series de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2594.7.1 Serie de tiempo del capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2604.7.2 Serie de tiempo del producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2614.7.3 Serie de tiempo del consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624.7.4 Serie de tiempo de la tasa de interés real bruta . . . . . . . . . . . . . . . . . 2624.7.5 Serie de tiempo de la inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

4.8 Funciones impulso-respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2634.9 Simulación de las variables endógenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2744.10 Componente cíclico de las variables simuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774.11 Cálculo de los momentos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2784.12 Comparación del modelo teórico con los datos empíricos . . . . . . . . . . . 2814.13 Códigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Capítulo 5. Modelo RBC con trabajo variable 2855.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

xiv ÍNDICE GENERAL

5.2 Elementos del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2865.2.1 Construcción del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2865.2.2 Calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2935.2.3 Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2935.2.4 Log-linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2985.2.5 Solución del sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

5.3 Análisis de la solución del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3195.3.1 Análisis de los coeficientes de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3195.3.2 Funciones impulso-respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3385.3.3 Comparación del modelo teórico con los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

5.4 Códigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3485.5 Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

Capítulo 6. Modelo RBC con shock a la inversión y utilización variabledel capital 353

6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3536.2 Modelo RBC estándar: inclusión del shock a la inversión . . . . . . . . . . . 354

6.2.1 Sistema de ecuaciones principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3566.2.2 Solución del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3566.2.3 Funciones impulso-respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3586.2.4 Comparación del modelo con los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

6.3 Modelo RBC extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3656.3.1 Elementos del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3656.3.2 Análisis de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

6.4 Códigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

Apéndice A. Optimización Dinámica 395A.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395A.2 Fundamentos de análisis real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

A.2.1 ¿Qué conceptos matemáticos necesitamos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396A.2.2 Conceptos (parte I): espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397A.2.3 Conceptos (parte II): contracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402A.2.4 Conceptos (parte III): punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

A.3 Programación dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404A.3.1 Panorama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405A.3.2 Detalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

ÍNDICE GENERAL xv

A.3.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

Referencias 449

Índice alfabético 461

Índice de figuras

1.1 Componente cíclico del PBI percápita (1988.3-2016.4). Esta serie seha obtenido al aplicar el filtro HP al PBI per cápita con un parámetrode suavizamiento � D 1600. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 HE-1j Tasa de crecimiento anual del PBI real per cápita (1930-2015).El PBI real está expresado en dos maneras: la primera es en billones deUS$ del 2009; la segunda en índice de cantidad (2009=100). En nivelesambos enfoques son distintos, sin embargo, cuando se convierte a tasade crecimiento anual ambos enfoques brindan el mismo número. Paraconstruir el PBI per cápita se ha considerado el PBI real (en billonesde US$ del 2009) y la población (en miles). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 HE-2j Tasa de crecimiento anual del stock del capital real per cápita(1930-2015). El stock de capital está expresado bajo la concepción deBurnside y Eichenbaum (1996). La población está expresada en milesy considera a toda la economía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 HE-3j Tasa de retorno del capital por sector industrial (1987-2014) . . . 121.5 HE-4j Ratio Stock de Capital (real)/PBI (real). El PBI y el stock

del capital están expresados en términos reales (índice de cantidad,2009=100). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 HE-5j Participación de los factores en el Ingreso Nacional (1948-2014)El PBI y el stock del capital están expresados en términos reales (índicede cantidad, 2009=100). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Relaciones de largo plazo entre el PBI, consumo, inversión y comprasdel gobierno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8 PBI, consumo e inversión (1954.1-2015.4). Las variables están ex-presadas en logaritmo natural con frecuencia trimestral. El consumoconsidera bienes no durables y servicios. La inversión engloba lainversión privada y consumo de bienes durables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

xvii

xviii ÍNDICE DE FIGURAS

1.9 Stock de capital (neto) real trimestral (1954.1-2015.4). La serie trimes-tral ha sido obtenida por el método de interpolación lineal, consideran-do como punto inicial el stock de capital de 1947. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.10 Series macroeconómicas (1954.1-2015.4). El número total de horas(billones de horas trabajadas) y el empleo (millones de puestos detrabajo) corresponden al sector Nonfarm business (all persons). Elsalario real (índice 2009D100) es la compensación real por hora.La productividad (laboral) es el ratio entre el PBI real y el total dehoras trabajadas (productividadD PBI/H). Todas las variables estánen logaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.11 PBI real de Estados Unidos y componente tendencial (1954.1-2015.4).El componente tendencial se ha obtenido al aplicar el fitro HP a lasvariables en logaritmo (per cápita) con el parámetro de suavizamiento� D 1600. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.12 Componente cíclico de las series económicas de Estados Unidos(1954.1-2015.4). El componente cíclico se ha obtenido al aplicarel fitro HP a las variables en logaritmo (per cápita) con el parámetrode suavizamiento � D 1600. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.13 Componente cíclico de las series económicas de Estados Unidos(1954.1-2015.4). El componente cíclico se ha obtenido al aplicarel filtro HP a las variables en logaritmo (per cápita) con el parámetrode suavizamiento � D 1600. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.14 Correlación entre el PBI (componente cíclico) y la Productividadlaboral (componente cíclico) (1954.1-2015.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.15 Desarrollo histórico de las escuelas en macroeconomía . . . . . . . . . . . . . 301.16 Pasos para desarrollar un modelo RBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.1 Dynare como preprocesador de Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.2 Estructura del archivo .mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.3 Modelo no lineal y lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.4 Estructura M_ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.5 Estructura oo_ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.6 oo_.steady_state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.7 Reglas de decisión (oo_.dr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.8 oo_.dr.eigval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.9 Función impulso-respuesta (oo_.irfs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

ÍNDICE DE FIGURAS xix

2.10 Función impulso-respuesta del consumo (oo_.irfs.cc_e) . . . . . . . . . 1282.11 Función impulso-respuesta (gráfica de Dynare) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.12 Función impulso-respuesta (gráfica de Matlab) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.13 Análisis de sensibilidad: persistencia del shock de productividad � . . . 1322.14 Estructura oo_ (simulación) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342.15 Simulación de la variable exógena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342.16 Simulación de la variable endógena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352.17 Seis simulaciones del capital y el producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362.18 Componente cíclico y tendencial del capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.1 Esquema del modelo de Long y Plosser (1983), Plosser (1989) . . . . . . . 1423.2 Pasos del método de Blanchard y Kahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.3 Función de política . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2003.4 Función impulso-respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2043.5 Respuesta de la empresa ante el shock de productividad (t D 1) . . . . . . 2063.6 Respuesta de la familia ante el shock de productividad (t D 1) . . . . . . . 2083.7 Equilibrio en el mercado de trabajo (t D 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.8 Equilibrio en t D 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2093.9 Respuesta de la empresa ante el shock de productividad (t D 2) . . . . . . 2113.10 Respuesta de la familia ante el shock de productividad (t D 2) . . . . . . . 2133.11 Equilibrio en t D 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2143.12 Respuesta de la empresa ante el shock de productividad (t D 3) . . . . . . 2143.13 Respuesta de la familia ante el shock de productividad (t=3) . . . . . . . . . 2163.14 Simulación (primera alternativa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173.15 Simulación (segunda alternativa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2173.16 Tendencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2193.17 Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2193.18 Distribución de la Des. Est. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

4.1 Esquema del modelo de oferta de trabajo constante . . . . . . . . . . . . . . . . 2274.2 Elasticidades (coeficientes de la solución) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2594.3 Efecto sobre la función de producción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2654.4 Efecto sobre la demanda de capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2674.5 Efecto sobre la oferta y demanda de capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2684.6 Función impulso-respuesta de las variables macroeconómicas log-

lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2704.7 Función impulso-respuesta de las variables macroeconómicas en niveles272

xx ÍNDICE DE FIGURAS

4.8 Función impulso-respuesta (comparación de las variables log-lineal vsen niveles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

4.9 Simulación de las variables macroeconómicas log-lineales . . . . . . . . . . 2764.10 Aplicación del filtro HP a las variables simuladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2774.11 Distribuciones de la desviación estándar del modelo teórico . . . . . . . . . 280

5.1 Efectos de ı sobre los coeficientes del capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3215.2 Efectos de ı sobre los coeficientes del consumo e inversión . . . . . . . . . 3235.3 Efectos de ı sobre los coeficientes del producto y tasa de interés . . . . . 3245.4 Efectos de ı sobre los coeficientes del trabajo y salario . . . . . . . . . . . . . 3265.5 Elasticidad de la oferta de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3275.6 Efectos de n sobre los coeficientes del trabajo y salario . . . . . . . . . . . . 3295.7 Efectos de n sobre los coeficientes del consumo e inversión . . . . . . . . 3305.8 Efectos de n sobre los coeficientes del producto y tasa de interés . . . . 3325.9 Efectos de n sobre los coeficientes del capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3345.10 Efectos de � sobre los coeficientes del capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3355.11 Efectos de � sobre los coeficientes del consumo e inversión . . . . . . . . . 3365.12 Efectos de � sobre los coeficientes del producto y tasa de interés . . . . . 3375.13 Efectos de � sobre los coeficientes del trabajo y salario . . . . . . . . . . . . . 3385.14 Campbell (1994) con trabajo variable: shock de productividad . . . . . . . 3395.15 Elasticidad de sustitución del consumo (1= ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3505.16 Tamaño (��) del shock de productividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3505.17 Persistencia (�) del shock de productividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3515.18 Elasticidad de la oferta de trabajo (1= n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3515.19 Tasa de depreciación (ı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3525.20 Comparación entre el Modelo de Long y Plosser (1983) y el de

Campbell (1994) con trabajo variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

6.1 Modelo de Campbell (1994) con shock a la inversión . . . . . . . . . . . . . . . 3606.2 Modelo de Campbell (1994) con shock a la inversión . . . . . . . . . . . . . . . 3626.3 Esquema del modelo de Greenwood y cols. (1988) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3666.4 Depreciación variable (dependiente de la utilización del capital) . . . . . . 3696.5 Efectos del shock a la inversión en el mercado de servicios de capital . 3856.6 Efectos del shock a la inversión en la oferta de capital y el mercado de

trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3876.7 Modelo de Greenwood y cols. (1988) - Shock a la inversión . . . . . . . . . 389

ÍNDICE DE FIGURAS xxi

6.8 Modelo de utilización variable (Greenwood y cols., 1988) vs. Modelode utilización fija (Campbell, 1994) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

A.1 Del PS al PF y su proceso de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409A.2 Tres principales teoremas en programación dinámica (y su relación

con sus hipótesis y proposiciones) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410A.3 Solución de un sistema de ecuaciones no lineales (ver la función

“sistema_na.m”) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

Índice de tablas

1.1 Fechas de los ciclos económicos en Estados Unidos (1854-2009) . . . . . 71.2 Estadísticos descriptivos del componente cíclico de las series de Esta-

dos Unidos (1954.1-2015.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3 Desarrollo histórico de los modelos RBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4 Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.5 Modelos RBC con variables fiscales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.6 Modelos RBC con variables fiscales (continuación) . . . . . . . . . . . . . . . . 671.7 Códigos en Matlab y Dynare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.1 Archivos creados por Dynare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.2 Variables creadas por Dynare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.3 Ejemplos de declaración de variables endógenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.4 Ejemplos de declaración de variables enxógenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.5 Ejemplos de declaración de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.6 Valores iniciales (modelo no-lineal y lineal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.7 Definición del shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.8 Opciones de stoch_simul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.9 Opciones (continuación) de stoch_simul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.10 Macrolenguaje vs Matlab para análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . 992.11 Cuatro formas de escribir un modelo en Dynare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.12 Problema de optimización de los agentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.13 Sistema de ecuaciones no lineales del modelo (Long y Plosser, 1983) . 1022.14 Sistema de ecuaciones lineales del modelo (Long y Plosser, 1983) . . . . 1022.15 Sistema de ecuaciones log-lineales del modelo (Long y Plosser, 1983) 1032.16 Calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.17 Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042.18 Declaración de variables endógenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.19 Declaración de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

xxiii

xxiv ÍNDICE DE TABLAS

2.20 Declaración de los valores de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.21 Declaración del modelo no-lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.22 Declaración del modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.23 Declaración de los valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.24 El comando Resid: resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.25 Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.26 Definición del shock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182.27 Valores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.28 Función de política y de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.29 Momentos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372.30 Momentos teóricos (filtro HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382.31 Códigos en Matlab y Dynare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.1 Efecto de la impaciencia en el factor de descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.2 Sistema de ecuaciones no lineal del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.3 Calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1533.4 Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.5 Sistema de ecuaciones lineal del modelo (Long y Plosser, 1983) . . . . . 1643.6 Ecuaciones log-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.7 Funciones de política y de estado (solución del modelo) . . . . . . . . . . . . 1793.8 Representación de series de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023.9 Comparación del comportamiento cíclico del modelo teórico con los

datos empíricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2223.10 Códigos en Matlab y Dynare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4.1 Sistema de ecuaciones no lineal del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334.2 Calibración (valores base) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2344.3 Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.4 Ecuaciones log-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404.5 Ecuaciones log-lineales (sistema reducido) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2424.6 Coeficientes (elasticidades) de la solución del modelo lineal . . . . . . . . . 2554.7 Casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2584.8 Construcción de la función impulso-respuesta del capital . . . . . . . . . . . . 2664.9 Valores de la función impulso-respuesta (variales log-lineales) . . . . . . . 2694.10 Simulación del capital log-lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2754.11 Simulación de la productividad y del capital (log-lineal) . . . . . . . . . . . . 2754.12 Simulación de las variables macroeconómicas log-lineales . . . . . . . . . . 276

ÍNDICE DE TABLAS xxv

4.13 Comparación del comportamiento cíclico del modelo teórico con losdatos empiricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

4.14 Códigos en Matlab y Dynare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

5.1 Elasticidad de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2905.2 Sistema de ecuaciones no lineales principales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2935.3 Calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2935.4 Sistema de ecuaciones no lineales principales en estado estacionario . . 2945.5 Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2985.6 Sistema de ecuaciones log-lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3045.7 Valor de �kk1;2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3135.8 Funciones de política y de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3175.9 Función de política y de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3175.10 Función de política y de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3185.11 Comparación del comportamiento cíclico del modelo teórico con los

datos empíricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3435.12 Comparación del comportamiento cíclico del modelo teórico con los

datos empíricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3455.13 Comparación del comportamiento cíclico del modelo teórico con los


6.1 Shock a la inversión vs shock a la productividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3546.2 Sistema de ecuaciones no lineales principales (modelo de Campbell

(1994) con shock a la inversión) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3566.3 Función de política y de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3586.4 Comparación del comportamiento cíclico del modelo teórico con los

datos empíricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3656.5 Sistema de ecuaciones no lineales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3746.6 Calibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3766.7 Sistema de ecuaciones no lineales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3776.8 Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3806.9 Función de política y de estado (Modelo 1 ( D 1)) . . . . . . . . . . . . . . . . 3836.10 Función de política y de estado (Modelo 2 ( D 2)) . . . . . . . . . . . . . . . . 3836.11 Comparación del comportamiento cíclico del modelo teórico con los


Índice de códigos

2.1 Declaración de variables endógenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.2 Declaración de variables exógenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.3 Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.4 Declaración del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.5 Declaración de los valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.6 (Método 1) Usando el método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.7 Guardando el estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.8 (Método 2) Usando un archivo que contenga el estado estacionario . . . 902.9 Modelo dinámico en LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.10 Modelo estático en LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.11 Definición de shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922.12 Evaluación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.13 Cálculo de la solución estocástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

xxvii

INTRODUCCIÓN

La Macroeconomía ha evolucionado de manera sostenida en las últimas décadas.Una muestra de esto es la evolución constante de las diferentes corrientes depensamiento en este campo de estudio. Es así, como hemos transitado desde la eco-nomía clásica “pura” hasta la macroeconomía dinámica con fricciones financieras,resultado de los desarrollos expuestos después de la crisis Subprime.

Todo este gran desarrollo, para llegar a lo que hoy entendemos como macroeco-nomía moderna, ha venido acompañado de la creación de nuevos modelos y lautilización de nuevas tecnologías para poder elaborar y resolver estos modelos.Estas nuevas herramientas a su vez, están muy ligadas a una comprensión y desa-rrollo matemático de alto nivel. Dicho en otras palabras, el entendimiento dela macroeconomía moderna y su modelación pasan hoy en día por comprenderprofundamente la intuición que subyace a esta ciencia, pero, además, por entenderuna compleja serie de herramientas que vienen de diversas áreas de la matemática,tales como el álgebra lineal, la optimización con restricciones, el cálculo estocás-tico, etc. A esto se suma, el hecho que la mayoría de los modelos existentes noposeen soluciones cerradas, de modo que es necesario utilizar métodos numéricospara obtener aproximaciones, lo cual implica de fondo la utilización de ciertasherramientas de programación.

Lo anterior, implica un importante vacío en la posibilidad de comprender, modelary resolver los modelos actuales que intentan explicar el agregado. Esto se debe aque podemos leer los libros de macroeconomía intermedia, recurriendo a simplesconocimientos matemáticos, pero para dar el paso a la macroeconomía avanza-da, específicamente para navegar en los modelos de equilibrio general dinámicoestocástico (DSGE por sus siglas en inglés), necesitamos haber adquirido unaserie de conocimientos que no son comúnmente provistos en ningún programa

xxix

xxx Introducción

de estudio. Tenemos así, que pasamos de un libro que nos enseña con simplesmétodos de optimización a encontrar una condición de primer orden, para luegobuscar el siguiente libro disponible que nos muestra la resolución de un DSGE asu-miendo que conocemos todos los pasos de optimización y los métodos numéricos,conjuntamente con el álgebra lineal y análisis real que subyace a la resolución.

Este problema genera que muchos estudiantes de macroeconomía que no hantenido la posibilidad de tener una fuerte concentración matemática en sus cursosiniciales, dejen de lado la idea de avanzar al paso siguiente de la macroeconomíamoderna y por consiguiente abandonen la idea de ir más allá de la intuición quesubyace a los modelos DSGE o peor aún, dejen ir la posibilidad de crear nuevosmodelos que sigan empujando la frontera del conocimiento.

Este libro trata de llenar este vacío, asumiendo que el estudiante posee solamentealgunas herramientas básicas de optimización. Puesto de otra manera, este manus-crito está elaborado de forma que el estudiante o el investigador puedan ir desdelo más básico a lo más avanzado sin perder un paso en el proceso. Para llevar acabo este objetivo, se han descrito todos los pasos intermedios para la resoluciónde los modelos que aparecen en este libro. Esto a su vez explica la extensión dealgunos capítulos. Dicho en otras palabras, hemos preferido asumir el costo deextendernos un poco, asumiendo que esto permite dar el beneficio de no saltarnosningún paso en la solución de los modelos, de modo que el lector pueda partirdesde cero. Conjuntamente con esto, los capítulos han sido diseñados en un ordencuya idea es ir soltando supuestos desde el modelo básico del capítulo 3.

De esta forma, este libro permite pasar, con algunas herramientas básicas, desdela macroeconomía intermedia, al entendimiento de la macroeconomía moderna ymás específicamente a la comprensión de los modelos DSGE básicos, expuestosen su vertiente inicial conocida como modelos de Ciclos Económicos Reales (RBCpor sus siglas en inglés). La idea de partir en este tomo por los modelos RBC,subyace nuevamente en poder hacer transitar al lector desde lo más básico a lo máscomplejo, otorgándole las herramientas necesarias para llevar a cabo este proceso.De este modo, a nuestro entender, dentro de los modelos DSGE los modelos RBCson los mejores candidatos para partir el camino de la macroeconomía moderna. Asu vez, son los pioneros en incorporar las tecnologías estocásticas de resolución demodelos.

Introducción xxxi

Es importante mencionar que, en todos los capítulos del libro, la programacióndinámica, ha sido dejada de lado de forma intencional. Más específicamente, eldetalle de estas técnicas sólo aparece en el apéndice matemático del libro. Loanterior, se explica en el hecho que este set de herramientas supone conocimientosun poco más profundos para la formulación del problema de optimización, locual obliga a asumir que el lector posee cierto background más allá de las simplesherramientas de optimización. De esta forma, todos los problemas de maximizaciónde este libro son realizados utilizando el método secuencial.

Abordando el tema de la programación computacional, y nuevamente llenando elvacío que existe en la literatura actual, se ha preferido incluir un capítulo (capítulo2) de Dynare. A través de esto, y del detalle paso a paso de la programación en estelenguaje de los modelos explicados en el libro, se pretende entregar al lector, lasideas básicas de cómo llevar estos modelos al computador, poder parametrizarlos,simularlos y de esta forma poder realizar análisis de política económica a travésde ellos. Nuevamente, esto posee un costo de mayor extensión en las páginasdel libro, pero creemos que es sin duda uno de los mayores aportes de este libro;la posibilidad de poder replicar a través un lenguaje simple e intuitivo, con loscódigos provistos, todos los modelos presentados en este escrito.

Cabe destacar que el capítulo 1, que representa el de mayor extensión de todo eltexto, ha sido pensado, para entregar la mayor cantidad de detalles respecto a laevolución de estos modelos en el tiempo. Es así, que tanto como estudiantes oinvestigadores muchas veces desearíamos tener la cronología de hechos y teoríasque se han desarrollado a través del tiempo. Esto con el fin de conocer las basesfundamentales de la corriente de pensamiento y a su vez el estado de arte de este.El capítulo 1, como fue mencionado, trata de llevar a cabo este proceso. Lo anterior,explica la enorme extensión que este posee. De esta forma, este pretende ser unareferencia detallada de las principales contribuciones que se han hecho en la teoríaRBC, de modo que, si el lector desea ir en detalle a buscar la explicación de algúnsupuesto o las conclusiones de algún modelo, puede usar este capítulo como unadetallada revisión de la literatura existente. De esta misma forma, este capítulono es de estricta lectura para el entendimiento del resto del libro, de modo que, siel objetivo del estudiante es simplemente aprender la formulación, resolución ytrabajar con los códigos computacionales que el libro provee, puede ir directamenteal capítulo 2. O finalmente, si se desea leer el resumen de la principal literatura

xxxii Introducción

escrita, se puede ir directamente a las tablas 1.3 o 1.4 (páginas 42 a la 45 o páginas52 y 53, respectivamente).

Respecto al público objetivo de este libro, podríamos decir que son estudiantes depregrado avanzado, de maestría en economía o finanzas o incluso en matemáticaaplicada y finalmente como complemento a un curso básico de ciclos económicosde nivel doctoral. A su vez, puede ser muy útil para investigadores en la academiao en bancos centrales que utilicen estos modelos a diario en la confección depronósticos o simulaciones de variables agregadas.

Finalmente, esperamos que el lector disfrute este libro, que como fue mencionado anteriormente, pretende cerrar el vació que existe entre la macroeconomía interme-dia y la moderna con su vertiente DSGE, entregando todos los pasos intermedios para poder comprender los modelos básicos canónicos de esta corriente de pensa-miento. Dicho en otras palabras, esperamos que este texto sea el puente para llevar de la mano al estudiante o investigador desde la macroeconomía intermedia a la macroeconomía dinámica y estocástica de equilibrio general.

CAPÍTULO 1

PANORAMA DE LOS MODELOS RBC

1.1 Introducción

El objetivo de este capítulo es brindar un panorama del desarrollo de la escuelade Ciclos Económico Reales (RBC por sus siglas en inglés) desde sus inicios

en la década de los 80. Para ello, el capítulo está dividido en tres partes.

En la primera parte se describen dos aspectos importantes del ciclo económico:por un lado, se enuncia una definición clara del ciclo económico y, por el otro, semencionan sus principales características, conocidas como los hechos estilizados.

En la segunda parte, se desarrolla una perspectiva histórica de lo modelos RBCpor medio de dos enfoques complementarios. El primero, describe de manerasucinta la evolución de las escuelas económicas desde la Gran Depresión. Estadescripción permite ubicar el contexto histórico en el que la escuela RBC empezóa desarrollar sus principales ideas. El segundo enfoque describe el desarrollo de laescuela RBC por medio de la categorización de las investigaciones de esta escuela.Por ejemplo, se analizan las investigaciones que han tratado de describir el estadodel arte de esta escuela en las décadas de 1980 y 1990. Finalmente, se consideranlas investigaciones en torno al mercado del trabajo, la política fiscal, el mercadodel dinero y, por último, los shocks a la inversión.

En la tercera, se describen los principales supuestos de los modelos RBC comotambién los pasos a seguir para la construcción, solución y simulación de estosmodelos.

1

2 1.2 Ciclos económicos

1.2 Ciclos económicos

Snowdon y Vane (2005) indican que el objetivo principal de la macroeconomía esanalizar y entender los determinantes de las series económicas agregadas, como,por ejemplo, el producto bruto interno (PBI), el desempleo, la inflación y las tran-sacciones internacionales (tanto en el sector real como financiero). En particular,la macroeconomía estudia los determinantes e impactos de las fluctuaciones de laactividad económica en el corto plazo (ciclos económicos) y los determinantes dela senda de largo plazo de la actividad económica (crecimiento económico).

Bajo este objetivo, diversas escuelas de pensamiento a lo largo de la historia hantratado de brindar explicaciones del comportamiento de las series económicasagregadas. Por ejemplo, la denominada escuela Keynesiana trató de explicar el altodesempleo de inicios de la década de los 30 como consecuencia de una demandaagregada “insuficiente”. Por otro lado, la Sintesis Neoclásica sostenía la existenciade una relación inversa entre el desempleo y la inflación (curva de Phillips), lacual podría servir como un marco para analizar políticas económicas. Asimismo,los monetaristas hacían énfasis en el mercado del dinero como variable principalpara explicar los ciclos económicos. Todas estas escuelas de pensamiento y lasposteriores (la Nueva Economía Clásica, la escuela de los Ciclos EconómicosReales, la Nueva Economía Keynesiana y la reciente Nueva Sintesis Neoclásica)han construido sus propios marcos teóricos para brindar explicaciones sobre elcomportamiento de las variables agregadas.

Dado este conjunto de teorías, surge la siguiente pregunta: ¿qué aspectos debenser tomados en cuenta para evaluar una teoría en macroeconomía? Greenwald yStiglitz (1988) sugieren que se debe tomar en cuenta la habilidad de la teoría paraexplicar las principales características y “hechos estilizados” de la inestabilidadmacroeconómica. Esta idea está en línea con lo indicado previamente por Kaldor(1961), quien sugiere que el requerimiento mínimo para cualquier modelo es queeste debería ser capaz de explicar las características de los procesos económicos talcomo se observan en la realidad. Al aplicar estos requisitos a la teoría de los cicloseconómicos, Abel y Bernanke (2001) indican que para que una teoría del cicloeconómico sea exitosa, esta debe explicar el comportamiento cíclico de un rangoamplio de variables económicas. Además, estos autores afirman que existe un

1 Panorama de los modelos RBC 3

consenso razonable sobre los hechos estilizados básicos de los ciclos económicos.

Desde un punto de vista empírico, Snowdon y Vane (2005) sugieren que paraexplicar los ciclos económicos se deben identificar las propiedades estadísticasentre los comovimientos del componente cíclico de las variables agregadas y elcomponente cíclico del PBI.

De todo lo anterior, emergen dos preguntas relevantes para estudiar los cicloseconómicos. La primera es ¿qué es el ciclo económico? y la segunda, ¿cuálesson los hechos estilizados de este? La primera pregunta se aborda en la siguientesección y la segunda, en la subsiguiente.

1.2.1 Definición

La definición clásica del ciclo económico fue propuesta por Burns y Mitchell(1946): “el ciclo económico es un tipo de fluctuación de las actividades económicasagregadas de los países que organizan su trabajo principalmente en negociosempresariales”. Además, estos autores consideran que el ciclo económico estádefinido por tres características: la primera es que dicho ciclo consiste en una fasede expansión, experimentada al mismo tiempo por varias actividades económicas,seguido de una fase de recesión (contracción), y una recuperación posterior, la cualforma parte de la fase de expansión del siguiente ciclo.

La segunda característica es que el ciclo económico es recurrente, es decir sucederepetidamente en las economías y es no periódico. Esto implica que varía en sulongitud y no ocurren en intervalos predecibles. La tercera característica es que laduración de un ciclo varía desde un periodo superior a un año hasta 10 o 20 años.

A estas consideraciones del ciclo, Lucas (1977) aportó en la caracterización de esteen dos aspectos:

• Con respecto al comportamiento cualitativo de los comovimientos entre lasseries, los ciclos económicos son todos iguales.

• Esto sugiere la posibilidad de una explicación unificada de los ciclos económicosen un marco de leyes generales que gobiernan la economía de mercado.


Finalmente, Long y Plosser (1983) indican que el término “ciclo económico” serefiere al comportamiento temporal conjunto de un amplio rango de variableseconómicas tales como el precio, el producto, el empleo, el consumo y la inversión.Este comportamiento puede ser descrito por al menos dos regularidades empíri-cas. La primera se refiere al componente cíclico de cada variable; es decir, lasdesviaciones de la variable con respecto a su tendencia. La segunda se refiereal movimiento conjunto de varias actividades económicas como, por ejemplo, elproducto en diferentes sectores económicos.

1.2.2 Hechos estilizados

El término “hechos estilizados” es utilizado en diferentes campos de la cienciaeconómica. Por ejemplo, se utiliza en crecimiento económico, ciclos económicos ydesarrollo económico (Arroyo y Khalifa, 2015). Además, este término es atribuidoa Kaldor (1957) y esencialmente representa las regularidades empíricas que sehan observado en las propiedades estadísticas de las series de tiempo económicas(Snowdon y Vane, 2005).

1.2.2.1 Caracterización de los hechos estilizados

Usualmente los hechos estilizados de los ciclos económicos se caracterizan odescriben por medio de cuatro criterios: variabilidad, dirección, persistencia ytemporalidad. Estos criterios están asociados a estadísticos particulares. Así, porejemplo, la variabilidad está medida por la varianza, la dirección por la correlación(usualmente con el PBI), la persistencia por la autocorrelación, y la temporalidadestá medida por las correlaciones dinámicas con respecto al PBI.

Variabilidad (varianza): medida por la varianza o desviación estándar (ds) dela variable. También se considera la desviación estandar normalizada, que es ladivisión entre la “ds” de la variable y la “ds” del PBI.

Dirección (correlación): son los comovimientos de las variables en relación conel PBI.


corr(x,PBI)> 0 corr(x,PBI)=0 corr(x,PBI)< 0procíclica acíclica contracíclica

Persistencia (autocorrelación de 1er orden): la persistencia indica que si se tomaun punto de la variable “X” por encima de la tendencia, cuál es la probabilidadde que en el siguiente periodo dicha variable aún permanezca por encima de esepunto de referencia.

Temporalidad (correlaciones dinámicas): contempla si la variable está rezaga-da, coincide o está adelantada al PBI.

Adelantada Rezagada Coincide

Si la variable se mue-ve de manera adelan-tada al PBI.

Si la variable se mue-ve de manera rezaga-da al PBI.

Si la variable se mue-ve al mismo tiempoque el PBI.

Es importante mencionar que para obtener el componente cíclico de las variablesmacroeconómicas se debe utilizar un método que permita separar dicho componen-te del componente tendencial de la variable. En la literatura existente hay diversosmétodos (filtros) que realizan este trabajo con sus ventajas y desventajas. A lolargo del libro se utilizará el filtro de Hodrick y Prescott (filtro HP) debido a susimplicidad y porque usualmente ha sido utilizado por la escuela RBC1.

1.2.2.2 Hechos estilizados para Estados Unidos

A. Ciclo económico

La Agencia Nacional de Investigación Económica (NBER por sus siglas en inglés)ha determinado un conjunto de fechas que permiten identificar el inicio y fin de unciclo económico (ver cuadro 1.1). Este recuento histórico data desde 1854.

1El filtro HP apareció en 1981 en un documento de trabajo que posteriormente fue publicado en1997. Además del fitro HP, existen otros enfoques desarrollados por Baxter y King (1999), Woitek(1998) y Christiano y Fitzgerald (1999). Para un mejor detalle del filtro HP y del de Baxter y King,se puede revisar DeJong y Dave (2007), capítulo 3.


Para la determinación de las fechas que definen un ciclo económico, la NBERexamina un conjunto de indicadores macroeconómicos (PBI, el empleo, el ingresoy variables sectoriales), es decir, esta institución concibe a la actividad económicadesde una visión holística.

Asimismo, la NBER considera que una expansión es un periodo entre el puntomás bajo de la actividad económica hasta el siguiente punto más alto. De manerasimilar, una contracción (recesión) empieza desde el punto más alto de la actividadeconómica y termina en el punto mínimo. Se debe agregar que para esta agencia,una recesión no está definida como la reducción del PBI real en dos trimestresconsecutivos, sino que dicha institución concibe que una recesión es la reducciónsignificativa de la actividad económica en la gran mayoría de los sectores económi-cos, la cual podría durar varios meses. Esta contracción se debería observar en elPBI real, ingreso real, empleo, producción industrial y ventas a nivel mayorista yminorista2.

En la Tabla 1.1 se muestran los 33 ciclos que la NBER ha identificado. Cada unode ellos está asociado a su fecha de inicio y fin de acuerdo con los dos enfoquesutilizados para medir la longitud del ciclo económico. El primero de estos enfoquescuenta el número de meses que existe entre dos puntos máximos de la actividadeconómica. El segundo enfoque cuenta el número de meses que existe entre dospuntos mínimos de la actividad económica.

Tres conclusiones se pueden obtener del cuadro 1.1. La primera es que entre1854 y 2009 la economía norteamericana ha experimentado 33 ciclos. Al dividirla muestra en tres segmentos, dos antes de la Segunda Guerra Mundial y unodespués, se tiene lo siguiente: Estados Unidos entre 1854-1919, ha experimentado16 ciclos; entre 1919 y 1945, es decir, entre la Primera y Segunda Guerra Mundialse encuentran 6 ciclos y entre 1945 y 2009 (post Segunda Guerra Mundial) severifican 11 ciclos. La segunda conclusión es que el tiempo promedio que dura unciclo, en toda la muestra, es aproximadamente cinco años. Sin embargo, los ciclosantes de la Segunda Guerra Mundial duraban alrededor de 4 años, mientras quedespués su duración se elevo a 6.

2Para un mayor detalle ver http://www.nber.org/cycles/cyclesmain.html. En particularver http://www.nber.org/cycles/sept2010.html

http://www.nber.org/cycles/cyclesmain.html

http://www.nber.org/cycles/sept2010.html


Tabla 1.1: Fechas de los ciclos económicos en Estados Unidos (1854-2009)

Mes Año Duración (meses)Punto máximo (PM) Punto mínimo (pm) PM a PM pm a pm Ciclo

Diciembre 1854Junio 1857 Diciembre 1858 48 Ciclo 1Octubre 1860 Junio 1861 40 30 Ciclo 2Abril 1865 Diciembre 1867 54 78 Ciclo 3Junio 1869 Diciembre 1870 50 36 Ciclo 4Octubre 1873 Marzo 1879 52 99 Ciclo 5Marzo 1882 Mayo 1885 101 74 Ciclo 6Marzo 1887 Abril 1888 60 35 Ciclo 7Julio 1890 Mayo 1891 40 37 Ciclo 8Enero 1893 Junio 1894 30 37 Ciclo 9Diciembre 1895 Junio 1897 35 36 Ciclo 10Junio 1899 Diciembre 1900 42 42 Ciclo 11Septiembre 1902 Agosto 1904 39 44 Ciclo 12Mayo 1907 Junio 1908 56 46 Ciclo 13Enero 1910 Enero 1912 32 43 Ciclo 14Enero 1913 Diciembre 1914 36 35 Ciclo 15Agosto 1918 Marzo 1919 67 51 Ciclo 16Enero 1920 Julio 1921 17 28 Ciclo 17Mayo 1923 Julio 1924 40 36 Ciclo 18Octubre 1926 Noviembre 1927 41 40 Ciclo 19Agosto 1929 Marzo 1933 34 64 Ciclo 20Mayo 1937 Junio 1938 93 63 Ciclo 21Febrero 1945 Octubre 1945 93 88 Ciclo 22Noviembre 1948 Octubre 1949 45 48 Ciclo 23Julio 1953 Mayo 1954 56 55 Ciclo 24Agosto 1957 Abril 1958 49 47 Ciclo 25Abril 1960 Febrero 1961 32 34 Ciclo 26Diciembre 1969 Noviembre 1970 116 117 Ciclo 27Noviembre 1973 Marzo 1975 47 52 Ciclo 28Enero 1980 Julio 1980 74 64 Ciclo 29Julio 1981 Noviembre 1982 18 28 Ciclo 30Julio 1990 Marzo 1991 108 100 Ciclo 31Marzo 2001 Noviembre 2001 128 128 Ciclo 32Diciembre 2007 Junio 2009 81 91 Ciclo 33

Fuente: NBER (National Bureau Economics Research)


-5%

-3%

-1%

1%

3%

5%

Sep-88 Sep-90 Sep-92 Sep-94 Sep-96 Sep-98 Sep-00 Sep-02 Sep-04 Sep-06 Sep-08 Sep-10 Sep-12 Sep-14 Sep-16

Julio 1990 Marzo 2001

Marzo 1991 Noviembre 2001 Junio 2007

1er CICLO(Pto. Max a Pto. Max) 2do CICLO

(Pto. Max a Pto. Max)Desde julio 2007 hasta diciembre

2016 no se ha completado un ciclo

Diciembre 2007

1er CICLO(Pto. Min a Pto. Min)

2do CICLO(Pto. Min a Pto. Min)

Figura 1.1: Componente cíclico del PBI percápita (1988.3-2016.4). Estaserie se ha obtenido al aplicar el filtro HP al PBI per cápita con un parámetrode suavizamiento � D 1600.

Fuente: U.S. Bureau of Economic Analysis, “Table 1.1.6. Real Gross Domestic Product,Chained Dollars” (PBI en billones de US$ del 2009). Además, la población se ha obtenido de“Table 7.1. Selected Per Capita Product and Income Series in Current and Chained Dollars”.

Finalmente, la tercera conclusión es que el tiempo promedio de expansión esaproximadamente de tres años y de contracción es de un año y medio para los 33ciclos. Sin embargo, estos números cambian cuando consideramos la SegundaGuerra Mundial como el punto de quiebre en la muestra. Antes de este conflictomundial, la expansión duraba 2.4 años mientras que después de este la expansiónse duplicaba llegando hasta cinco años, aproximadamente. De igual manera, conel tiempo de la contracción, antes de la Segunda Guerra Mundial el tiempo derecesión duraba cerca de dos años, mientras que después de este evento la recesiónllegó a bordear aproximadamente un año.

La Figura 1.1 ilustra los dos últimos ciclos económicos de la economía norteame-ricana desde 1988, según la determinación de la NBER. Se puede observar queambos enfoques de medición de los ciclos económicos antes descritos conside-ran aproximadamente el mismo número de meses que dura un ciclo económico.Asimismo, desde mediados del 2007 hasta el 2016 no se ha completado un ciclo.


B. Hechos estilizados relacionados con el crecimiento económico

En la literatura que existe sobre crecimiento económico hay un conjunto amplio dehechos estilizados. Estas regularidades empíricas usualmente engloban el compor-tamiento de la contabilidad del crecimiento del capital físico, de la proporción delos factores en la renta nacional, del capital humano, entre otras variables relevantes(Jones, 2016). Dentro de dichos hechos, existen los denominados “clásicos” pro-puestos por Kaldor (1961, 1963), quien a su juicio sugirió seis hechos estilizados3,los cuales se describen a continuación:

HE-1: La producción per cápita crece en el tiempo y su tasa de crecimiento no esdecreciente.

HE-2: El capital físico per cápita crece en el tiempo.

HE-3: La tasa de retorno del capital es relativamente constante.

HE-4: El ratio capital-producto es relativamente constante: Kt=Yt D constante.

HE-5: La participación del trabajo y del capital físico en la producción nacionalson relativamente constantes: rtKt

YtD constante y wtLt

YtD constante.

HE-6: La tasa de crecimiento del producto per cápita es diferente entre los países.

HE-1: El primer hecho estilizado de Kaldor se refiere a la tasa de crecimiento per cápita del PBI. Al observar los datos entre 1930 y 2015 se infiere que la tasa de crecimiento promedio anual del PBI real per cápita es de 2.2%. De la muestra de análisis se observa que, entre los inicios de la década de los 30 hasta mediados de la década de los 40, el crecimiento del PBI real per cápita fue muy volátil, variando desde -13% hasta 17%, aproximadamente. Esto se debe a que dicho periodo estuvo caracterizado por los efectos de la crisis económica de 1929 y de la Segunda Guerra Mundial. Después de este último evento, los datos del crecimiento del PBI per cápita han mostrado una mayor estabilidad. De hecho, entre 1947 y 2015, la tasa de crecimiento promedio anual del PBI real per cápita

3Estos hechos estilizados usualmente son mencionados en los libros de crecimiento económico.Un ejemplo de ello es el libro de Barro y Sala-i Martin (2009).


fue aproximadamente 1.9% (ver Figura 1.2). Inclusive, la desviación estándar deesta variable, en el periodo mencionado, es de 2.4%, significativamente menorrespecto del periodo 1930-1946 (des. est. = 10%).

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

1930 1936 1942 1948 1954 1960 1966 1972 1978 1984 1990 1996 2002 2008 2014

Post-II Guerra Mundial

Promedio (1948 - 2016) = 1.9%

Figura 1.2: HE-1j Tasa de crecimiento anual del PBI real per cápita (1930-2015). El PBI real está expresado en dos maneras: la primera es en billonesde US$ del 2009; la segunda en índice de cantidad (2009=100). En nivelesambos enfoques son distintos, sin embargo, cuando se convierte a tasa decrecimiento anual ambos enfoques brindan el mismo número. Para construirel PBI per cápita se ha considerado el PBI real (en billones de US$ del 2009)y la población (en miles).

Fuente: U.S. Bureau of Economic Analysis, “Table 1.1.6. Real Gross Domestic Product,Chained Dollars” (PBI en billones de US$ del 2009). Además, la población se ha obtenido de“Table 7.1. Selected Per Capita Product and Income Series in Current and Chained Dollars”.

HE-2: El segundo hecho estilizado de Kaldor hace referencia a la tasa decrecimiento per cápita del capital físico. Para analizar esta variable es necesariodefinir el stock de capital. En este apartado se sigue a Burnside y Eichenbaum(1996), quienes definen el stock de capital desde una óptica amplia (componentesdel activo fijo más bienes durables). Bajo la premisa anterior, la Figura 1.3 muestrala evolución del crecimiento del capital per cápita entre 1930 y 2015. De estafigura se desprende una idea principal: al igual que la tasa de crecimiento del PBIper cápita, el crecimiento del capital per cápita es estable después de la SegundaGuerra Mundial con un valor promedio de 1.8%. Esto confirma el segundo hechoestilizado de Kaldor.


-4%

-2%

0%

2%

4%

6%

8%

10%

1930 1936 1942 1948 1954 1960 1966 1972 1978 1984 1990 1996 2002 2008 2014


Promedio (1947 - 2015) = 1.8%

Figura 1.3: HE-2j Tasa de crecimiento anual del stock del capital real percápita (1930-2015). El stock de capital está expresado bajo la concepciónde Burnside y Eichenbaum (1996). La población está expresada en miles yconsidera a toda la economía.

Fuente: U.S. Bureau of Economic Analysis,“Table 1.2. Chain-Type Quantity Indexes forNet Stock of Fixed Assets and Consumer Durable Goods” (Stock de Capital). Además, lapoblación se ha obtenido de “Table 7.1. Selected Per Capita Product and Income Series inCurrent and Chained Dollars”.

HE-3: El tercer hecho estilizado de Kaldor indica que la tasa de retorno del capital es relativamente constante. En este contexto, la agencia de estadísticas labora-les (BLS por sus siglas en inglés) estima el precio de renta del capital, el cual representa el costo de alquiler del capital (tal como se conoce en los modelos macroeconómicos de equilibrio general). Los datos estimados de esta variable se encuentran disponibles desde 1987 hasta el año 2014 con una frecuencia anual. Además, la variable está estimada para diversos niveles de la industria manufactu-rera y no manufacturera. No obstante, cabe mencionar que dicha estimación no está disponible para la economía norteamericana como un todo.

Al observar los datos para cuatro sectores industriales (maderero, maquinarias, equipo de transporte y equipos electrónicos) se infiere que la tasa de interés de alquiler del capital oscila, en promedio, entre 12% y 14% durante el periodo entre 1987 y 2014 (ver Figura 1.4). Si se considera el promedio de los 18 sectores industriales entre 1987 y 2014, la tasa de interés de alquiler del capital es


0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

1987 1990 1993 1996 1999 2002 2005 2008 2011 2014

Maquinaria

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

1987 1990 1993 1996 1999 2002 2005 2008 2011 2014

Equipo de transporte

0%

5%

10%

15%

20%

25%

1987 1990 1993 1996 1999 2002 2005 2008 2011 2014

Equipo electrónico

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

1987 1990 1993 1996 1999 2002 2005 2008 2011 2014

Productos Madera

Figura 1.4: HE-3j Tasa de retorno del capital por sector industrial (1987-2014)

Fuente: Bureau of Labor Statistics (BLS), www.bls.gov/mfp.

13%, aproximadamente. Lo observado por Kaldor es que esta tasa de interés esconstante a través del tiempo, lo cual implicaría que en un muestra más larga deobservaciones la tasa de interés muestre un comportamiento de reversión a la media.

HE-4: Para evaluar si el cuarto hecho estilizado de Kaldor se mantiene hasta laactualidad se tiene que construir el ratio capital/producto. Para ello, en primer lugar,se debe definir qué se considera como stock de capital físico real. En segundolugar, se debe obtener el PBI en términos reales. Finalmente, se procede a dividirambos agregados económicos. Es preciso mencionar que este ratio se construyecon variables anuales expresadas en términos reales.

Stock de capital. Existen diversas formar de concebir el stock de capital (Jones,2016). En este apartado se consideran tres enfoques. El primero explica queel stock de capital es sólo el activo fijo privado no residencial, el cual contieneequipos, estructuras y propiedad intelectual. El segundo enfoque considera que elstock de capital engloba no sólo el activo fijo privado no residencial, sino también

www.bls.gov/mfp


el activo fijo no residencial del gobierno. El tercer enfoque está basado en Burnsidey Eichenbaum (1996), quienes consideran que el stock de capital es la suma decuatro componentes, tres relacionados a los activos fijos y uno al consumo debienes durables:

(a) Activo fijo en equipo y estructura privada,

(b) Activo fijo residencial privado,

(c) Activo fijo residencial y no residencial público, y

(d) Bienes durables de consumo.

Conviene subrayar que todos estos conceptos se encuentran en términos reales(índice de cantidad) y se pueden encontrar en U.S. Bureau of Economic Analysis,

“Table 1.2. Chain-Type Quantity Indexes for Net Stock of Fixed Assets and ConsumerDurable Goods”.

Con las definiciones previas del stock de capital y el PBI real se construye elratio capital/producto, el cual se muestra en la Figura 1.5. Dos ideas importantesse desprenden de este gráfico: la primera es que el ratio capital/producto hasido relativamente constante desde la Segunda Guerra Mundial (1947-2015), locual está acorde con lo sugerido por Kaldor. Así por ejemplo, se tiene que elratio (considerando que el stock de capital es solamente el activo fijo privado noresidencial) es cercano a uno. Bajo el segundo enfoque del capital, este ratio es2:2 y bajo la concepción de Burnside y Eichenbaum (1996), el stock de capitales seis veces el PBI real. La segunda idea es que entre los tres enfoques delcapital, el primero permite obtener un ratio capital/producto mucho más estable encomparación con los dos restantes. Ello se comprueba al comparar las deviacionesestándar muestrales entre los años 1947 y 2015:

�Enfoque-1.D 4%/ < �Enfoque-2.D 21%/ < �Enfoque-3.D 32%/

Sin embargo, una mejor interpretación del grado de variabilidad que la sugeridapor la desviación estándar es el coeficiente de variación (CVD desviación están-dar/media), el cual expresa la desviación estándar como porcentaje de la media.Para la correcta aplicación de este estadístico, se exige que todos los valores de la


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1929 1935 1941 1947 1953 1959 1965 1971 1977 1983 1989 1995 2001 2007 2013

No residencial (privado)No residencial (privado+gobierno)Basado Burnside-Eichenbaum (1996)


𝐂𝐚𝐩𝐢𝐭𝐚𝐥𝐫𝐞𝐚𝐥

𝐏𝐁𝐈𝐫𝐞𝐚𝐥

Figura 1.5: HE-4j Ratio Stock de Capital (real)/PBI (real). El PBI y elstock del capital están expresados en términos reales (índice de cantidad,2009=100).

Fuente: U.S. Bureau of Economic Analysis, “Table 1.2. Chain-Type Quantity Indexes for NetStock of Fixed Assets and Consumer Durable Goods” (Stock de Capital) y “Table 1.1.3. RealGross Domestic Product, Quantity Indexes” (PBI)

serie sean positivos, lo cual se cumple para este caso. El coeficiente de variaciónse muestra a continuación:

CVEnfoque-1.D 4%/ < CVEnfoque-3.D 5%/ < CVEnfoque-2.D 10%/

Este estadístico sugiere que el primer y el tercer enfoque son muy similares encuanto a variabilidad; sin embargo, ambos claramente se encuentran muy alejadosde la variabilidad del segundo enfoque.

HE-5: Este hecho estilizado se refiere a la participación del trabajo y del capital enel ingreso nacional. La Figura 1.6 muestra que la participación de ambos factoresen el ingreso nacional ha sido relativamente estable. Por ejemplo, para el caso delcapital, dicha participación promedió entre 1948 y 2014 fue de 33.7%. Para eltrabajo, esta es igual a 66.3%. Estos valores son importantes, pues como se veráen el transcurso del libro, la función de producción Cobb-Douglas sugiere que laparticipación del capital es constante e igual al exponente del capital en la función


de producción. Bajo el proceso de calibración estándar en los modelos RBC, sepuede considerar que dicho exponente es igual a 33.7%, lo cual se observa en losdatos.

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

1948 1954 1960 1966 1972 1978 1984 1990 1996 2002 2008 2014

Promedio (1948 - 2014) = 66.3%

Promedio (1948 - 2014) = 33.7%

Participación del trabajo en el Ingreso Nacional

Participación del capital en el Ingreso Nacional

Figura 1.6: HE-5j Participación de los factores en el Ingreso Nacional(1948-2014) El PBI y el stock del capital están expresados en términosreales (índice de cantidad, 2009=100).

Fuente: Bureau of Labor Statistics, Multifactor Productivity Trends, “Private Business Sector”(www.bls.gov/mfp/mprdload.htm, Historical Series).

Además de los hechos estilizados de Kaldor, en la literatura existente hay unconjunto de relaciones de largo plazo entre el PBI, consumo e inversión (Stocky Watson, 1999), llamadas “relaciones de crecimiento balanceado”. Estas sonimportantes debido a que sirven de insumo en el proceso de calibración de losmodelos RBC, especialmente en las relaciones de estado estacionario.

La Figura 1.7 muestra los ratios consumo-PBI, inversión-PBI y compras delgobierno-PBI. Se puede observar que el valor promedio de cada ratio entre 1947-2016 es de 63%, 14% y 26%, respectivamente. Una característica importante dela evolución de estos ratios es que la participación del gobierno ha disminuidolentamente en el tiempo. Por otro lado, el consumo y la inversión han ganadoparticipación en el PBI. Sin embargo, dichos ratios presentan cierta estabilidadpara la misma ventana temporal.

www.bls.gov/mfp/mprdload.htm


0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

1947 1953 1959 1965 1971 1977 1983 1989 1995 2001 2007 2013

Inversión/PBI

Consumo/PBI

Compras del Gobierno/PBI

63%

26%

14%

Promedio

Figura 1.7: Relaciones de largo plazo entre el PBI, consumo, inversión ycompras del gobierno

Fuente: Bureau of Economic Analysis, “Table 1.1.6. Real Gross Domestic Product, ChainedDollars”.

C. Hechos estilizados relacionados al ciclo económico

Una de las principales referencias con respecto a los hechos estilizados de los cicloseconómicos es la investigación de Stock y Watson (1999)4 bajo el título BusinessCycle Fluctuations in US Macroeconomic Time Series. En este articulo, los autoresexaminan las propiedades cíclicas de 71 variables económicas con frecuenciatrimestral, las cuales se encuentran agrupadas en ocho categorías: empleo sectorial,cuentas nacionales, empleo agregado, productividad y utilización de la capacidad,precios y salarios, precios de activos, agregados monetarios, indicadores líderes yproducto internacional.

El periodo muestral de análisis que estos autores utilizan corresponde a los datosdespués de la Segunda Guerra Mundial (1947-1995). Esto se debe principalmentea dos razones: la primera es que la economía de Estados Unidos es muy distintaantes de la Segunda Guerra Mundial en términos de tecnología, instituciones,

4Otra importante referencia es el trabajo de Kydland y Prescott (1990). Estos autores mostraronlas regularidades cíclicas de un conjunto de variables reales y nominales. La muestra de análisiscorresponde a los datos después de la guerra entre Estados Unidos y Corea (1950-1953), es decir,desde 1954 hasta 1989. Una diferencia principal con respecto a la investigación de Stock y Watsones que Kydland y Prescott utilizaron el filtro Hodrick y Prescott para obtener el componente cíclicode las variables. Otra investigación con énfasis en los hechos estilizados en el componente cíclico delas variables relacionadas al mercado laboral es el de Kydland (1995).


producción de bienes y servicios, entre otras características. La segunda es porla calidad de los datos antes de que tuviera lugar este conflicto mundial, lo quepodría generar problemas de comparabilidad de las variables a lo largo de todala muestra. Es más, los autores utilizan este periodo para mostrar gráficamentela evolución de las variables, pero en el cálculo de los estadísticos (desviaciónestándar, correlación (dinámica) y autocorrelación) se concentran en el periodo deposguerra entre Estados Unidos y Corea. Consideran así, los datos entre 1954 y1995.

Otro aspecto importante es que Stock y Watson utilizaron el filtro de Baxter y King(1993) (band pass filter) para obtener el componente cíclico de las 71 variables.Stock y Watson (1999) sugieren que un filtro ideal preserva el componente cíclico yelimina las otras fluctuaciones (altas frecuencias y bajas frecuencias). Sin embargo,tal como señala DeJong y Dave (2007, Cap. 3), el filtro ideal no es posible deimplementar debido a que requiere un número infinito de observaciones de la serieprevio a la aplicación del este. En el caso del filtro de Baxter y King, el cual es unaaproximación al filtro ideal, el componente cíclico tiene una periodicidad de entreseis trimestres y ocho años. La ventaja de este filtro es que elimina en gran partelas fluctuaciones de alta frecuencia (menores a seis trimestres) y de baja frecuencia(mayores a ocho años). En contraste con este filtro, el propuesto por Hodrick yPrescott (1981) no impide que las fluctuaciones de alta frecuencia sean parte delcomponente cíclico.

Es preciso mencionar que a lo largo de todo este libro el filtro utilizado es el deHodrick y Prescott. Esto se debe a que las investigaciones en la escuela RBC prin-cipalmente han utilizado esta metodología. Además, y a pesar de sus debilidades,este filtro se sigue utilizando en la literatura existente por su simplicidad.

En esta sección se mostrarán los hechos estilizados de ocho variables reales:PBI, consumo, inversión, stock de capital, horas totales, empleo, salario real yproductividad (laboral). Estas variables se encuentran en logaritmo y en frecuenciatrimestral (no se expresan en términos per cápita).

Construcción de las series macroeconómicas. Antes de obtener el componentecíclico de cada variable y de calcular los estadísticos es necesario definir cadauna de las variables e identificar las fuentes de información. En los siguientes


párrafos se detalla cómo se construye cada variable (cuando ello es necesario) y lafuente, que usualmente es la Agencia de Análisis Económico (BEA por sus siglasen inglés).

Producto Bruto Interno (PBI) y Consumo. El PBI está en términos reales (billonesde US$ del 2009). Por otro lado, el consumo es calculado como la suma (entérminos reales) del consumo de bienes no durables y el consumo de servicios:

Consumo real DCbnd

IPNDCCservicios

IPS(1.1)

Donde Cbnd es el gasto personal de consumo en bienes no durables y Cservicioses el gasto personal de consumo en servicios. Además, estos componentes delgasto se encuentran en términos nominales y para transformarlos a términos realeses necesario deflactarlos por el índice de precios respectivo. De esta forma, elconsumo de bienes no durables se deflacta por el índice de precios de los bienesno durables (IPND). El mismo procedimiento se aplica para los servicios, cuyoíndice de precios es IPS . Cabe mencionar que cada índice de precio se debedividir entre 100.

Inversión. Es calculada como la suma de la inversión privada real y el consumo debienes duraderos (en términos reales):

Inversión real D Invpr CCbd

IPbd(1.2)

Donde Invpr es la inversión privada doméstica bruta (en términos reales) y Cbdes el consumo de bienes durables (en términos nominales), el cual es deflactadopor el índice de precios de bienes durables (IPbd ). Al igual que el consumo, cadaíndice de precio se divide entre 100.

La Figura 1.8 muestra la evolución del PBI, consumo e inversión, todos en términosreales y en logaritmo natural. De la evolución de estas tres variables se observaque la inversión es más volátil que el PBI y el consumo. Es preciso mencionar quela muestra considerada para los gráficos y estadísticos comprende entre el primertrimestre de 1954 hasta el cuarto trimestre del 2015; Es decir, no se considerael periodo de guerra entre Estados Unidos y Corea, tal como lo hicieron Stock yWatson (1999).


1960 1970 1980 1990 2000 201026.5

27

27.5

28

28.5

29

29.5

30

30.5

Ln(PBI) Ln(Consumo) Ln(Inversión)

Figura 1.8: PBI, consumo e inversión (1954.1-2015.4). Las variables estánexpresadas en logaritmo natural con frecuencia trimestral. El consumoconsidera bienes no durables y servicios. La inversión engloba la inversiónprivada y consumo de bienes durables.

Fuente: Bureau of Economic Analysis, “Table 1.1.6. Real Gross Domestic Product, ChainedDollars” (PBI-inversión privada); “Table 2.3.5. Personal Consumption Expenditures by Ma-jor Type of Product” (componentes del consumo); “Table 2.3.4. Price Indexes for PersonalConsumption Expenditures by Major Type of Product” (índice de precios por componente delconsumo).

Stock de capital. Como se mencionó en las líneas previas, en esta sección seconsidera el concepto de stock de capital de Burnside y Eichenbaum (1996). Losdatos disponibles de dicho stock, se encuentran en frecuencia anual. Sin embargo,es necesario “extrapolar” dichos datos a una frecuencia trimestral para podercalcular los estadísticos del componente cíclico. Por ejemplo para calcular lacorrelación dinámica con el PBI o la inversión, dado que dichas variables están enfrecuencia trimestral, se requiere que el capital esté en la misma frecuencia. Eneste contexto, Levy y Chen (1994) sugieren cuatro métodos de construir una seriedel stock de capital (neto) real trimestral.

El primer método es una interpolación lineal de la serie anual. La idea es construirlos valores trimestrales a lo largo de un segmento que conecta dos observacionesconsecutivas anuales. Formalmente:


Ki;j D Ki�1Ckj ; i D 1948; 1849; :::2015 (años); j D 1; 2; 3; 4(trimestres)(1.3)

En la Ecuación (1.3), Ki;j representa el stock de capital del trimestre “j ” delaño “i”. Por ejemplo, K1948;1 es el stock de capital del primer trimestre de 1948.Además, Ki�1 es el stock del año anterior que, en este ejemplo representaría elstock de capital de 1947. Por otra parte, kj es el factor de stock de capital adicionalpor trimestre, el cual es calculado de la siguiente manera:

kj DKi �Ki�1

4� j (1.4)

Debido a que es una interpolación lineal, la razón aritmética es simplementela diferencia de dos stocks de capital anuales consecutivos entre el número detrimestres (puntos). Bajo este supuesto, el cálculo del stock de capital del primertrimestre será igual al stock de capital inicial (del año previo) más dicha razónaritmética. Para el segundo trimestre será el stock de capital inicial (del año previo)más dos veces la razón aritmética y así sucesivamente hasta llegar al stock de capitalfinal (anual). Esta lógica de cálculo se refleja en la Ecuación (1.4). Convienesubrayar que este método es utilizado en este capítulo para “construir” la serie destock de capital neto trimestral (ver Figura 1.9).

El segundo método utiliza la relación entre el stock de capital, la depreciacióny la inversión (real), reflejada en la ecuación de movimiento del capital, paraestimar la tasa de depreciación (se supone constante a lo largo del año, perodistinta intertemporalmente). Luego en función a esta tasa de depreciación y a lainversión trimestral (que está disponible) se estima el stock de capital trimestral.Este ejercicio se realiza para cada año. El método sigue los siguientes pasos: enprimer lugar se escribe la ley de movimiento del capital para cada trimestre de unaño específico (Ecuaciones (1.5) al (1.8)).

Ki;1 D .1 � ıi /Ki�1 C Ii;1 (1.5)

Ki;2 D .1 � ıi /Ki;1 C Ii;2 (1.6)

Ki;3 D .1 � ıi /Ki;2 C Ii;3 (1.7)

Ki;4 D .1 � ıi /Ki;3 C Ii;4 (1.8)


1960 1970 1980 1990 2000 20104.6

4.8

5

5.2

5.4

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

Ln(Stock de Capital)

Figura 1.9: Stock de capital (neto) real trimestral (1954.1-2015.4). Laserie trimestral ha sido obtenida por el método de interpolación lineal,considerando como punto inicial el stock de capital de 1947.

Fuente: Bureau of Economic Analysis, “Table 1.2. Chain-Type Quantity Indexes for NetStock of Fixed Assets and Consumer Durable Goods”.

Donde Ki;4 es el stock de capital del siguiente año (Ki ) y Ki�1 es el stock decapital del año previo. Luego de definir las ecuaciones trimestrales, el segundopaso es reemplazar recursivamente la ecuación (1.5) en (1.6), esta última en (1.7)y, finalmente, esta última en (1.8). Esta sustitución recursiva permite obtener unaecuación de cuarto grado donde la variable es la tasa de depreciación, la cualpuede ser resuelta por algún método de ecuaciones no-lineales como el “Métodode Newton”. Finalmente, como tercer paso, al conocerse la tasa de depreciación,simplemente se reemplaza en las ecuaciones (1.5) al (1.8) y se obtiene el stock decapital trimestral. Este procedimiento se debe de realizar para cada año y así sepuede obtener la serie temporal trimestral del stock de capital.

El tercer método sugiere que, en lugar de estimar la tasa de depreciación, sedebe estimar directamente el monto de depreciación trimestral por medio de unainterpolación lineal de la serie de depreciación anual. Dado este cálculo se procedea calcular el stock de capital trimestral bajo la “ecuación de movimiento del capital”(dado que la inversión real trimestral es conocida). Por último, el cuarto método


supone que la depreciación trimestral es simplemente la depreciación anual divididapor cuatro. Con ello, de manera similar al tercer método, se calcula el stock decapital trimestral.

Horas totales y Empleo. Las horas totales trabajadas y el empleo (puestos detrabajo) son obtenidos de la base de datos de Valerie Ramey, quien ha compiladolos datos de empleo trimestral en base a la información proporcionada por laAgencia de Estadísticas Laborales (BLS por sus siglas en inglés). Ramey tienedos principales agregados de la serie de horas trabajadas: el total de la economía yel sector de negocios que no incluye al cultivo (Nonfarm Business (all persons)).Para el cálculo de los estadísticos se tomará en cuenta este último concepto de“horas trabajadas”. Esta variable se encuentra en frecuencia trimestral, pero ennivel anualizado, es decir, considera el total de horas trabajadas en un año. Laforma de cálculo es la siguiente:

Horast D UEt � UHt � Œ52 semanas/año�=1000 (1.9)

Donde: Horast es el número de horas “anuales” del trimestre “t”. Para su cálculo,se multiplica el promedio de puestos de trabajo (empleos) durante el trimestre(UEt ) por el promedio de horas trabajadas semanalmente durante el trimestre(UHt ). A este número se le multiplica el número de semanas que hay en un año(52). Con respecto al empleo, de manera similar al total de horas trabajadas, seconsidera el sector de negocios que no incluye al cultivo (Nonfarm Business (allpersons)).

Salario real y Productividad (laboral). El salario real, al igual que el númerode horas trabajadas y el empleo, es calculado para el sector de negocios que noincluye al cultivo. Además, representa la compensación real por hora como índice2009 D 100. Por otro lado, la productividad (laboral) es calculada como el ratioentre el PBI real y el número total de horas. En la Figura 1.10 se muestra laevolución del logaritmo natural de las variables asociadas al mercado de trabajo.

Separación del componente cíclico de las variables. Para extraer el componentecíclico de las ocho variables macroeconómicas se utiliza el filtro de Hodrick yPrescott (1981). La Figura 1.11 muestra el componente tendencial del PBI real. Sucomponente cíclico es la diferencia entre el valor de la variable en niveles (PBIreal) y el componente tendencial (obtenido por el filtro HP).


1960 1970 1980 1990 2000 2010

25.3

25.4

25.5

25.6

25.7

25.8

25.9

26

26.1ln(Horas)

1960 1970 1980 1990 2000 201017.6

17.8

18

18.2

18.4

18.6ln(Empleo)

1960 1970 1980 1990 2000 20103.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5ln(Salario Real)

1960 1970 1980 1990 2000 20103.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8ln(Productividad)

Figura 1.10: Series macroeconómicas (1954.1-2015.4). El número totalde horas (billones de horas trabajadas) y el empleo (millones de puestos detrabajo) corresponden al sector Nonfarm business (all persons). El salarioreal (índice 2009D100) es la compensación real por hora. La producti-vidad (laboral) es el ratio entre el PBI real y el total de horas trabajadas(productividadD PBI/H). Todas las variables están en logaritmo.

Fuente: El total de horas y de empleo se ha obtenido de los datos de Valerie Ramey (http://econweb.ucsd.edu/$\sim$vramey/). El salario real se obtiene de Federal Reserve Bankof St. Louis, “Nonfarm Business Sector: Real Compensation Per Hour, Index 2009 D 100,Quarterly, Seasonally Adjusted”

Las Figuras 1.12 y 1.13 muestran el componente cíclico de las ocho variables, ylas compara con el componente cíclico del PBI. La idea de esta primera compa-ración es ganar un primer entendimiento sobre la volatilidad de las variables ysus comovimientos con el PBI. Algunas observaciones emergen de este análisisgráfico:

Observación 1.1. El componente cíclico del PBI parece ser menos volátil durante

http://econweb.ucsd.edu/$\sim $vramey/

http://econweb.ucsd.edu/$\sim $vramey/


1960 1970 1980 1990 2000 201028.5

29

29.5

30

30.5

Ln(PBI) Tendencia de Ln(PBI)

Figura 1.11: PBI real de Estados Unidos y componente tendencial (1954.1-2015.4). El componente tendencial se ha obtenido al aplicar el fitro HP alas variables en logaritmo (per cápita) con el parámetro de suavizamiento� D 1600.

la segunda mitad de la década de los 805, toda la década de los 90’s y parte delprimer lustro del nuevo milenio. Este fenómeno es llamado “La Gran Moderación”y fue acuñado por Stock y Watson (2002). Estos autores encontraron que lavolatilidad de la tasa de crecimiento anual del PBI entre 1960 y 2001 (des. est.= 2.3%) es mayor que la volatilidad entre 1990 y el 2001 (des. est. = 1.5%).Uno de sus principales hallazgos fue que la reducción de la volatilidad no sólo seencontraba en la tasa de crecimiento del PBI, sino a lo largo de toda la economía.

5McConnell y Perez-Quiros (2000) fueron los que encontraron un primer indicio de esta “mo-deración”, pero solo indicaron que la reducción de la volatilidad estaba enfocada en la producciónde bienes durables. Asimismo, estos autores encontraron que el quiebre estructural en el que lavolatilidad empezó a moderarse fue el primer trimestre de 1984. Stock y Watson (2002) confirmaroneste hallazgo con ciertas diferencias.


Es decir, el crecimiento del empleo, del consumo y del PBI sectorial tambiénmostraron una reducción significativa en su volatilidad en el mismo periodo. Estoshallazgos iniciaron un conjunto de investigaciones para explicar las fuentes de esta“moderación” (por ejemplo Davis y Kahn (2008)).

Observación 1.2. El consumo parece ser menos volátil que el PBI, pero pareceestar fuertemente correlacionado (positivamente) con el producto.

Observación 1.3. La inversión parece ser más volátil que el PBI. Además, esmás volátil que el consumo. Entre la Observación 1.2 y 1.3 se concluye que:�inversión > �PBI > �consumo, donde �x representa la volatilidad.

Observación 1.4. El stock de capital parece tener muy poca volatilidad en compa-ración con el PBI y además parece tener poca correlación con el producto.

Observación 1.5. El total de horas trabajadas parece ser un poco más volátil queel PBI y tener una alta correlación con el producto.

Observación 1.6. El empleo parece ser tan volátil como el PBI y tener una corre-lación positiva con esta variable. Asimismo, aparentemente el empleo es casi tanvolátil como el número de horas trabajadas.

Observación 1.7. La volatilidad del salario real pareciera haber aumentado en eltiempo. Además, entre 1954 y mediados de 1980 la volatilidad del salario realparece ser mucho menor que la del PBI. Sin embargo, desde la segunda mitad de1980 hasta el 2015 parece que la volatilidad del salario real y del PBI son muycercanas.

Observación 1.8. La productividad laboral parece tener una volatilidad menorque la del PBI.

Cálculo de los estadísticos. La Tabla 1.2 resume los principales estadísticos delcomponente cíclico de las variables macroeconómicas, el cual complementa loobservado gráficamente. Algunas conclusiones se pueden desprender de estoscálculos.

En primer lugar, la inversión muestra una mayor volatilidad (5.5%) que el resto devariables. Asimismo, se observa que su volatilidad es mayor que la del PBI (1.52%)y, a su vez, esta es mayor que la del consumo (0.81%). Por otra parte, la variable


1960 1970 1980 1990 2000 2010-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04Ln(PBI)

1960 1970 1980 1990 2000 2010-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04Ln(PBI) ln(Consumo)

1960 1970 1980 1990 2000 2010-0.2

-0.1

0

0.1

0.2Ln(PBI) ln(Inversión)

1960 1970 1980 1990 2000 2010-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04Ln(PBI) ln(Stock de capital)

Figura 1.12: Componente cíclico de las series económicas de EstadosUnidos (1954.1-2015.4). El componente cíclico se ha obtenido al aplicarel fitro HP a las variables en logaritmo (per cápita) con el parámetro desuavizamiento � D 1600.

que tiene menor volatilidad es el stock de capital (0.26%), es decir, esta variablees más estable que las demás. En cuanto a las variables del mercado del trabajo,se observa que el total de horas trabajadas y el empleo tienen una volatilidad muycercana a la del PBI, aunque el empleo tiene menor volatilidad que el númerode horas trabajadas (1.56% vs 1.86%). Esto sugiere que el ciclo económico semanifiesta claramente en el mercado del trabajo, tal como lo menciona Cooley yPrescott (1995).

Al comparar la volatilidad del salario real con la de las horas trabajadas y elempleo, se concluye que el salario real es menos volátil que dichas variables,inclusive la volatilidad del salario real representa el 50% de la volatilidad de lashoras totales y el 60% del empleo. En los modelos RBC, este hecho estilizado


1960 1970 1980 1990 2000 2010-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04Ln(PBI) ln(Horas)

1960 1970 1980 1990 2000 2010-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04Ln(PBI) ln(Empleo)

1960 1970 1980 1990 2000 2010-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04Ln(PBI) ln(Salario Real)

1960 1970 1980 1990 2000 2010-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04Ln(PBI) ln(Productividad)

Figura 1.13: Componente cíclico de las series económicas de EstadosUnidos (1954.1-2015.4). El componente cíclico se ha obtenido al aplicarel filtro HP a las variables en logaritmo (per cápita) con el parámetro desuavizamiento � D 1600.

se podría capturar (parcialmente) bajo el supuesto de una oferta de trabajo conalta elasticidad, sin embargo, como veremos en el capítulo 6 (modelo de Hansen,1985), los datos microeconómicos sugieren que dicha elasticidad es baja. Ante elloG. D. Hansen (1985) desarrolló una extensión del modelo RBC básico con el cualsuperó parcialmente esta debilidad.

En segundo lugar, la volatilidad de la inversión es aproximadamente cuatro vecesla del PBI y la del capital es 0.17 veces la del PBI. Esto sugiere que aunque lainversión puede ser muy volátil a causa del comportamiento de los inversionistas,el stock de capital acumulado tiene un comportamiento suavizado en el tiempo. Esmás, la volatilidad de la inversión es 22.8 veces la del capital.


En tercer lugar, aunque el stock de capital tiene una baja volatilidad, esta variabletiene una alta persistencia reflejada en su autocorrelación (0.96). En general, todaslas variables, excepto el salario real y la productividad, muestran niveles de per-sistencia superiores a 0.8. Inclusive, las horas trabajadas y el empleo superan el90 por ciento de autocorrelación. Conviene subrayar que el salario real y la pro-ductividad muestran volatilidades similares (0.96% vs 0.94%) y autocorrelacionesrelativamente cercanas (0.69 y 0.79).

En cuarto lugar, se observa que el consumo, la inversión, las horas trabajadas yel empleo son altamente procíclicos (correlación con el PBI superior a 0.8). Porotra parte, se aprecia que el stock de capital es eventualmente acíclico dado quepresenta una correlación con el PBI cercana a cero (0.08). Asimismo, el salarioreal es ligeramente procíclico (correlación con el PBI de 0.22).

Tabla 1.2: Estadísticos descriptivos del componente cíclico de las series deEstados Unidos (1954.1-2015.4)

Volatilidad Volatilidad Autocorrelación CorrelaciónVariable

(Des. Est. %) relativa con el PBI

PBI 1:52 1 0:85 1Consumo 0:81 0:53 0:88 0:82Inversión 5:95 3:91 0:83 0:93Stock de capital 0:26 0:17 0:96 0:08Horas 1:86 1:23 0:91 0:87Empleo 1:56 1:03 0:93 0:8Salario real 0:96 0:63 0:69 0:22Productividad 0:94 0:62 0:79 �0:1

En quinto lugar, se observa que la correlación entre el PBI y la productividadlaboral es negativa (�0:1); es decir, esto sugiere que la productividad es contrací-clica. Este resultado, en primera instancia, parece ser contraintuitivo debido a queusualmente en los modelos RBC se ha considerado que la productividad laborales procíclica. Sin embargo, estudios recientes sugieren que la correlación entreel PBI y la productividad laboral ha ido disminuyendo e inclusive ha pasado aser negativa. El primer estudio que mostró esta “nueva” característica del cicloeconómico de Estados Unidos fue la realizada por Kevin Stiroh en 2009, bajo eltítulo “Volatility Accounting: A Production Perspective on Increased Economic


Stability”. Esta investigación inició una discusión académica sobre los posiblesfactores que explican este comportamiento (por ejemplo ver, Gali y van Rens(2010), y Fernald y Wang (2016)).

La Figura 1.14 muestra la correlación del componente cíclico del PBI real con elcomponente cíclico de la productividad laboral. Cada valor de dicha correlaciónes calculado desde el primer trimestre de 1954 hasta el cuarto trimestre del añoque se muestra en el eje horizontal. Por ejemplo, el valor de 7% que aparece enel año 1980 (primera barra azul) se ha calculado considerando la muestra desde1954.1 hasta 1980.4. De igual forma, el valor asociado a 1982 (superior a 10%) seha calculado con la muestra 1954.1-1982.4.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

-25%

-20%

-15%

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014

N° datos muestra Corr(PBI, Productividad Laboral)

La correlación entre el (componente cíclico del) PBI y la productividad laboral ha disminuido en el tiempo. Es más ha pasado de ser procíclica a ser contracíclica.

Figura 1.14: Correlación entre el PBI (componente cíclico) y la Productivi-dad laboral (componente cíclico) (1954.1-2015.4)

Esta figura muestra claramente cómo la correlación entre ambas variables hadisminuido en el tiempo. Este comportamiento se puede separar en cuatro etapas:la primera es en la década de los 80, donde dicha correlación alcanzó un valorpromedio de 10%. La segunda etapa es en la década de los 90, en la cual dichacorrelación mostró una primera reducción (valor promedio de 5%), pero manteníael comportamiento procíclico. La tercera etapa se desarrolla en el primer lustrodel nuevo milenio donde la correlación llega a valores cercanos a cero (2% enpromedio). La última etapa que comprende entre los años 2006 y 2015 muestraque la correlación mantiene niveles negativos, es decir, la productividad laboralpresenta un comportamiento contracíclico.

30 1.3 Perspectiva histórica de la teoría RBC

1.3 Perspectiva histórica de la teoría RBC

1.3.1 Panorama de las escuelas de pensamiento económico

La Figura 1.15 esboza la evolución de la teoría macroeconómica desde un puntode vista histórico. Esta figura no es exhaustiva en considerar todas las corrientesde pensamiento económico; sin embargo, presenta un panorama general de lasescuelas económicas.

EscuelaNeoclásica

EscuelaKeynesiana

SíntesisNeoclásica

EscuelaMonetarista

NuevaEconomía Neo-clásica (NEC)

EscuelaRBC

NuevaEconomía Key-nesiana (NEK)

Nueva SíntesisNeoclási-ca (NSN)

En desarrolloRBC y NEK+componentefinanciero

Antes de 1930 1930 - 1940 1950 - 1960 1960 - 1970 1960 - 1970 1980 - 1990 1990 - 2000 2009!

GranDepresión

Crisis 1929

Estanflación(Crisis del Petróleo)

Crisis 1973

Crisis FinancieraCrisis 2008

Figura 1.15: Desarrollo histórico de las escuelas en macroeconomía

El siglo XX y los inicios del siglo XXI han estado marcados por al menos trescrisis económicas trascendentales. La primera se manifestó en 1929 con la caída dela Bolsa de Valores de Nueva York, cuyos efectos fueron globales y persistentes. Aesta crisis se le llamó la Gran Depresión. Este evento tuvo al menos dos impactosimportantes: el primero es que evidenció la debilidad de la escuela Neoclásicapara explicar dicho fenómeno. Asimismo, dicha escuela no pudo dar una solucióna esta crisis. El segundo efecto es que surgió la escuela Keynesiana como unaalternativa para explicar esta crisis y para proponer algunas políticas económicasque mitigaran sus efectos.

La escuela Keynesiana se originó con la Teoría General de Keynes en 1936. Endicha investigación, Keynes ofrecía una interpretación de la Gran Depresión y unmarco teórico sólido con un fuerte argumento para la intervención del estado en laeconomía.

Una de las ideas centrales de Keynes fue que la economía de mercado es inhe-rentemente inestable. Dicha inestabilidad provoca situaciones donde el nivel deactividad se coloca por debajo del pleno empleo sin que el mercado por si solo


pueda recuperarse. Dicha situación produce un nivel de desempleo que, según Key-nes, tiene un carácter involuntario y que es el reflejo de una insuficiencia del nivelde demanda. Dado que el mercado no garantiza el regreso al equilibrio, Keynessugiere que la política económica puede corregir esta inestabilidad agregada con elfin de llevar a la economía al pleno empleo. Esto claramente constrasta con el pilarfundamental del paradigma neoclásico: “la tendencia automática hacia el plenoempleo”.

Otras ideas importantes en la revolución Keynesiana son:

1. La dependencia del nivel de actividad y del nivel de empleo respecto de lademanda efectiva,

2. El papel crucial que las expectativas juegan en un mundo con incertidumbre(animal spirits),

3. La concepción de los mercados como mecanismos rígidos e imperfectos, por loque no se produce el vaciado continuo de los mismos, y

4. El papel esencial asignado a la política económica, destinada a influir sobre lademanda efectiva de la economía. Algunos de estos elementos se operaciona-lizaron, en cierto sentido, en el modelo IS-LM elaborado por Hicks (1937) yA. H. Hansen (1949, 1953). Las ideas principales de Keynes y el modelo IS-LMformaron las bases para lo que se conoce como “La Síntesis Neoclásica”, quedominó la teoría económica durante los años 50 y 60.

La Síntesis Neoclásica, término propuesto por Samuelson (1955), reconciliabael enfoque Neoclásico con el enfoque Keynesiano. Entre 1950 y 1970 se aceptóen la academia la idea que el modelo Neoclásico era relevante para temas micro-económicos y para el análisis de crecimiento económico, mientras que el modeloKeynesiano era el más adecuado para el análisis de corto plazo. Cabe destacarque la Sintesis Neoclásica tiene tres principales elementos: el modelo IS-LM paraeconomía cerrada, el modelo IS-LM para economía abierta, y la curva de Phillips.Esta escuela de pensamiento dominó la teoría macroeconómica entre 1950 y 1970hasta la aparición de la segunda crisis del siglo XX.


La segunda crisis del siglo XX estuvo asociada al precio del petroleo. En 1973,la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo) decidió restringir lasexportaciones de petróleo a los países que apoyaron a Israel en la guerra llamadaYom Kipur, la cual se desarrolló en octubre de 1973. Esta decisión afectó a losEstados Unidos y algunos países de Europa. La restricción en la producción incre-mentó su precio y dado que los países industrializados de dicha época dependíanfuertemente del petróleo se vieron obligados a reducir su producción de bienes,lo que finalmente incrementó los precios. El alto desempleo y la alta inflación,fenómeno conjunto conocido como estanflación, fue la característica de esta crisis.

Esta crisis mostró al menos dos debilidades principales de la Síntesis Neoclásica.La primera debilidad se hallaba en el ámbito teórico y se refiere a que esta escuelano pudo explicar la estanflación. Esto es debido a que la curva de Phillips sólocontemplaba una relación inversa entre el desempleo y la inflación; sin embargo,en la crisis del 70 se observó que ambos aumentaron. La segunda debilidad es enel ámbito metodológico, la cual hace mención a que dicha escuela no consideróexpectativas racionales en su modelación (crítica de Lucas). Todo ello llevó aque se desconfiara de las recomendaciones de política económica de la SíntesisKeynesiana y dio lugar al resurgimiento de ideas Neoclásicas bajo un nuevoenfoque llamado la Nueva Economía Clásica (NEC), liderada por Robert Lucas.

La novedoso de la NEC fue que esta escuela proponía una nueva forma de hacermacroeconomía. La NEC sostenía que los modelos macroeconómicos se construíana partir de la conducta de agentes racionales, los cuales optimizaban sus decisionesen un entorno estocástico y dinámico. Esto era contrario al enfoque de la SíntesisNeoclásica donde no había optimización y los modelos usualmente eran estáticos.Además, la NEC asume que los modelos son walrasianos en el sentido que losmercados estaban en equilibrio en cada momento. Estos modelos incorporanuna oferta agregada basada en dos supuestos microeconómicos ortodoxos: lasdecisiones racionales tomadas por los trabajadores y las empresas en términosde su comportamiento optimizador y, en segundo lugar, que la oferta de trabajoy el nivel de producción de las empresas dependen de precios relativos (Lucas(1972), Lucas (1973)). Asimismo, la NEC en su modelación considera expectativasracionales y así supera la crítica de Lucas.


De esta forma, la NEC descansa en tres conjuntos de supuestos, principalmente.El primero es con respecto al comportamiento de los agentes: se asume que sonracionales en el sentido que optimizan su función de utilidad/beneficios sujeta adeterminadas restricciones. Además, usa el supuesto del agente representativoy asume también que los agentes no se dejan llevar por la ilusión monetaria, esdecir, toman sus decisiones en base a variables reales. Asimismo, las expectativasson racionales, en el sentido de que se usa toda la información disponible y no secometen errores sistemáticos. Finalmente, la información no siempre es completa,se usa óptimamente y no es asimétrica, lo que elimina los problemas de selecciónadversa o riesgo moral.

El segundo conjunto de supuestos es con respecto a las características de losmercados: se asume que existe competencia perfecta en todos los mercados y quelos mercados se vacían continuamente dada la flexibilidad de precios. El tercerconjunto de supuestos se refiere a los temas Metodológicos: los modelos debentener una fundamentación microeconómica estricta y las expectativas deben serintroducidas de forma coherente con el modelo (expectativas racionales). Además,los modelos deben ser dinámicos y de equilibrio general y deben superar la críticade Lucas.

Esta nueva forma de hacer macroeconomía y sus principales supuestos, llevó a quela Nueva Economía Clásica se convirtiera en el principal enfoque macroeconómicodurante la década de los 70.

A inicios de la década de los 80 surgió una vertiente de la NEC llamada modelosde Ciclos Económicos Reales (RBC). A diferencia de la NEC, quienes conside-raban que el principal impulso de los ciclos económicos era un shock nominal(monetario), la escuela RBC consideraba que el principal impulso debía ser unshock real. Con esta principal diferencia, pero bajo los mismos supuestos de laescuela NEC, la escuela RBC ganó protagonismo en los 80 y la primera mitadde los 90 debido a la capacidad de replicar los hechos estilizados de la economíanorteamericana. Aunque en el siguiente apartado se describirá con mayor detallesu evolución, vale la pena subrayar dos ideas importantes: la primera es que losmodelos RBC han llegado a ser un punto de partida de varios modelos (teorías)que no consideran al shock real (o tecnológico) como principal mecanismo deimpulso, y la segunda idea es que los modelos RBC se usan como laboratorios


para el análisis de políticas, en línea con lo propuesto por Lucas (1980).

En la década de los 80 y 90, de manera paralela a los modelos RBC, se desarrolló unenfoque Keynesiano, pero con nuevos elementos microeconómicos. A esta escuelase le conoce como la Nueva Economía Keynesiana y hace énfasis en la competenciamonopolística y en el ajuste costoso de precios. Tal como lo señala Goodfriend yKing (1997), se pueden distinguir tres generaciones de modelos NEK: la primeraintroduce expectativas racionales en la modelación del precio/salario (Taylor, 1980;Gordon, 1982). La segunda generación pasa de investigar la rigidez de salariosa investigar la rigidez de los precios. Además, las empresas son modeladas encompetencia monopolística y son usadas para explicar los efectos del dinerosobre el producto cuando existen rigideces de precios. En la tercera generación demodelos NEK se evalúa la mejor forma de introducir modelos de precios dinámicosen la formulación de competencia monopolística. El enfoque dependiente delestado era atractivo por sus fundamentos microeconómicos; sin embargo, era muydifícil introducirlo en un modelo macroeconómico. Una alternativa fue utilizar elenfoque dependiente del tiempo desarrollado por Calvo (1983). La ventaja de esteenfoque es que su incorporación en los modelos macroeconómicos no presentabadificultades.

A mediados de los 90 surge un consenso entre los modelos RBC y los modelosNEK. A este consenso se le conoce como la Nueva Sintesis Neoclásica (NSN)(Goodfriend y King, 1997). La NSN está basada, por un lado, en los modelosRBC al incorporar optimización intertemporal y expectativas racionales dentrode modelos macroeconómios dinámicos; por otro lado, la NSN toma elementosde la NEK tales como competencia monopolística y ajuste costoso de precios(rigidez de precios). El modelo principal de la NSN se resume en tres ecuaciones:la IS dinámica, la curva de Phillips y la regla de política monetaria. La NSN hadominado la forma de hacer macroeconomía hasta la actualidad. Sin embargo, lacrisis financiera de 2008 hizo que se repensara en algunos supuestos de la NSN,los cuales se están evaluando, en la actualidad.

La tercera crisis se gestó en los primeros años del siglo XXI y finalmente sematerializó en 2008. Esta es conocida como la crisis financiera de 2008. El origende esta crisis se encuentra en el colapso de la burbuja inmobiliaria en EstadosUnidos en el 2006 y que luego provocó una crisis de las hipotecas subprime.


Los efectos de esta crisis se volvieron globales en el 2008 y ello originó, a suvez, una crisis de liquidez internacional. Ante esta crisis, el modelo NSN quedólimitado debido a que las tasas de interés internacionales estaban en niveles muybajos (cercanos a cero), lo cual impedía utilizar la regla de Taylor para alentarla economía. Uno de los principales cuestionamientos a estos modelos fue laausencia del sector financiero. Actualmente se están incorporando elementos delsistema financiero dentro de los modelos NEK y RBC. La idea de ello es evaluarel desempeño de estos modelos al explicar las crisis financieras y evaluar políticasalternativas que suavicen el ciclo económico.

1.3.2 El desarrollo histórico de la escuela RBC

La década de los 80 y la primera mitad de los 90 fueron testigos del desarrollode la teoría de los ciclos económicos reales. El modelo inicial propuesto porKydland y Prescott (1982) fue extendido en varias direcciones. Dichas direccionesincluyen el estudio del dinero, el mercado de trabajo, el gasto público, los activosfinancieros, la competencia imperfecta y la economía abierta en el marco teóricopropuesto por la escuela RBC. El objetivo de todas estas investigaciones fueaumentar el entendimiento acerca de cómo estas variables ayudan a explicar elciclo económico. Para entender cómo las principales ideas de esta escuela depensamiento económico han evolucionado, es necesario estudiar cronológicamentelas diferentes investigaciones asociadas a los ciclos económicos reales, las cualesen su conjunto brindan una visión holística de la escuela RBC.

En 1981 surgió una nueva técnica para separar el componente cíclico de la tendenciade una variable. Esta técnica fue propuesta por Hodrick y Prescott (1997), quienesrealizaron un estudio empírico de los ciclos para Estados Unidos. después de la IIGuerra Mundial. Estos autores propusieron una metodología para separar el ciclo yla tendencia de una serie, la cual se conoce como Filtro HP. Bajo esta metodología,Hodrick y Prescott encontraron regularidades empíricas de los ciclos (volatilidad,comovimientos y persistencia).

Kydland y Prescott publicaron una investigación en 1982 en la cual utilizaron lateoría del crecimiento neoclásico con algunas modificaciones para estudiar losciclos económicos. Una de las modificaciones principales fue el supuesto de que la


construcción del capital toma varios periodos y no solo uno como era el supuestodel modelo de crecimiento neoclásico. Este supuesto es sumamente importantepara explicar las fluctuaciones agregadas debido a que se comporta como unmecanismo de transmisión con persistencia durante varios periodos. Además, laotra modificación que consideraron los autores fue que la función de utilidad debeser no separable temporalmente, lo cual presenta una alta sustitución intertemporaldel ocio. En este contexto, el único shock que explica las fluctuaciones es el deproductividad.

Bajo los supuestos de su modelo, Kydland y Prescott tuvieron éxito en replicarvarias características observadas en las series macroeconómicas de EE.UU. despuésde la II Guerra Mundial. Por ejemplo, el modelo sugiere que la desviación estándarde la inversión es 6.45% mientras que los datos indican que esta es 5.1%. Cabemencionar que estos autores utilizaron el filtro HP para separar el ciclo de latendencia de ciertas variables macroeconómicas tanto de los datos como del modelo.Con este modelo y sus resultados estos autores iniciaron la Teoría de los CiclosEconómicos Reales.

Según Rebelo (2005), de la investigación de Kydland y Prescott (1982) surgierontres ideas revolucionarias: la primera es que los ciclos económicos se puedenestudiar usando modelos de equilibrio general dinámicos. La segunda es queestos autores unificaron la teoría del crecimiento económico y la de los cicloseconómicos. Además, los modelos de ciclos económicos deben ser consistentescon regularidades empíricas de crecimiento de largo plazo. Finalmente, en suinvestigación Kydland y Prescott dieron importancia al análisis cuantitativo alcomparar las propiedades del modelo con hechos estilizados.

El aporte de Kydland y Prescott (1982) se podría al menos resumir en dos grupos.Por un lado, los supuestos que consideraron en su propuesta, los cuales fueronsuficientes para acercarse a los hechos estilizados de los ciclos económicos deEstados Unidos. Por otro, su influencia en las investigaciones futuras, no sólo delas que hacen énfasis en el lado de la oferta (o variables reales) como mecanismosde impulso (productividad), sino en aquellas que consideran que la principal causade las fluctuaciones se encuentran en el lado de la demanda y de las variablesnominales.


En línea con lo anterior, los principales supuestos considerados por Kydland yPrescott (1982) y que luego han formado parte de los modelos RBC son:

1. Los agentes responden de manera óptima a los eventos económicos todo eltiempo;

2. Las fluctuaciones del producto provienen de fuentes reales, es decir, los cicloseconómicos son consecuencia del cambio exógeno de la productividad;

3. El trabajo fluctúa por la sustitución intertemporal del ocio (o del trabajo);

4. El producto es persistente por el efecto del mecanismo de propagación interno:acumulación de capital;

5. La inversión es más volátil que el consumo, porque los agentes prefierensuavizar su consumo y trasladar cualquier movimiento transitorio en su ingresoal ahorro (inversión).

Asimismo, a las investigaciones que nacieron del estudio de Kydland y Prescott(1982) se les denominó “Modelos RBC” debido al énfasis en el rol del “shockreal”. Estos modelos han llegado a ser un punto de partida de varias teorías que noconsideran al cambio (shock) tecnológico como principal mecanismo de impulso.Por ejemplo, los modelos de la Nueva Economía Keynesiana (NEK) en su modelobásico de tres ecuaciones (IS dinámica, curva de Phillips y la regla de políticamonetaria) consideran tres shocks (de demanda, de productividad y de políticamonetaria), cada uno asociado a cada ecuación. Un aporte adicional es que losmodelos RBC se pueden utilizar como laboratorios para el análisis de políticas enlínea con lo propuesto por (Lucas, 1980).

Long y Plosser en 1983 publicaron una investigación que buscaba explicar losmovimientos conjuntos de las variables económicas de los diversos sectores pro-ductivos tales como agricultura, minería, construcción, etc. Para ello, propusieronun modelo sustentado en dos grupos de hipótesis: las hipótesis de las preferencias(familias) y las de las posibilidades de producción (empresas). En particular, elobjetivo de estos autores fue evaluar la capacidad de estas hipótesis en explicar elcomportamiento del ciclo económico (a nivel agregado y sectorial).


Usualmente, cuando se estudian las hipótesis sobre las preferencias, se hace én-fasis en su implicancia intratemporal (enfoque estático), el cual indica que anteun incremento inesperado de riqueza el consumidor incrementa su demanda deconsumo actual de bienes y de ocio. Además de esto, Long y Plosser, en su inves-tigación, resaltan que estas hipótesis también tienen implicancias intertemporales(enfoque dinámico), las cuales sugieren que el mismo shock de riqueza incentivaal consumidor a incrementar su demanda de consumo futuro de bienes (incluyendoel ocio). La implicancia principal de esto último es que el consumo (de diferentesbienes) como serie de tiempo presenta comovimientos y persistencia.

Aunque las hipótesis sobre las preferencias ayudan a describir el comovimiento ypersistencia del consumo, no logran explicar a qué se deben estas características.Esto se relaciona a qué se requiere del movimiento de los precios para que elconsumo (demanda) encuentre su contraparte en el lado de la producción (oferta).Es por ello que para tener un mejor entendimiento de los movimientos cíclicos delas variables se deben considerar las hipótesis de posibilidades de producción. Eneste aspecto, Long y Plosser (1983) suponen una función de producción neoclásica(descrita en el capítulo 3). Además, suponen que todos los bienes son perecibles,en otras palabras, que todos los bienes disponibles al inicio del periodo actual sonnuevas unidades producidas al inicio de este periodo. En términos prácticos seasume que la tasa de depreciación es igual a uno.

La principal conclusión de Long y Plosser (1983) fue que las propiedades de seriesde tiempo derivadas del modelo muestran cierto acercamiento a los encontradosen los datos. Asimismo, los autores reconocen que este modelo no captura todaslas regularidades empíricas debido, en parte, al supuesto de depreciación total; sinembargo, este modelo es un buen punto de partida (benchmark) para evaluar lainclusión de otros factores como el dinero, la política fiscal, etc.

En 1985, surgieron dos investigaciones que marcaron un hito en la escuela RBC.La primera es el modelo de Hansen y la segunda, el modelo de Mehra y Prescott.

Una de los principales críticas al modelo de Kydland y Prescott (1982) fue que elmodelo no capturaba la alta volatilidad de las horas trabajadas y la baja volatilidaddel salario real. Esta crítica, en parte, está basada en que el modelo de Kydlandy Prescott (1982) consideraba que no existe desempleo y que la volatilidad de


las horas de trabajo se debe sólo a que el trabajador ajusta su número de horaslaborales. Sin embargo, G. D. Hansen (1985) encontró que los datos sugieren queel 55% de la varianza del “total de horas de trabajo” es explicada por el número detrabajadores que entran y salen del mercado laboral, y solo el 20% es explicado porlas horas de trabajo de cada individuo. Esto llevó a Hansen a postular el principalsupuesto de su modelo: “el individuo decide trabajar un número de horas fijas ono trabajar”, es decir, el trabajo es indivisible. El principal resultado del modelode Hansen es que este explica la alta volatilidad del empleo en comparación conel salario, sin necesitar una alta elasticidad de sustitución del ocio, el cual esconsistente con los datos.

De otro lado, Mehra y Prescott (1985) publicaron una investigación en la cualse preguntaban si el modelo RBC podría capturar dos hechos estilizados de lasseries financieras: La primera corresponde al promedio histórico del retorno realde los activos riesgosos (SP500), la cual es 6.98% para el periodo 1889-1978, y lasegunda es el mismo momento empírico para el retorno real de los activos libre deriesgo (treasure bill), el cual es 0.8% para el mismo periodo. Bajo estos datos, seobtiene que la prima de riesgo es 6.18% en promedio. Los resultados del modelo deestos autores sugieren que el modelo RBC es capaz de capturar las característicascualitativas de las relaciones entre las series financieras y macroeconómicas, perono sus características cuantitativas. Los autores indican que la máxima prima porriesgo que el modelo puede generar es 0.35%. Este resultado abrió una línea deinvestigación importante que ha buscado resolver este enigma.

Hasta aquí los modelos RBC habían hecho énfasis en el shock de productividad, esdecir, el shock del lado de la oferta. Sin embargo, el pensamiento Keynesiano suge-ría que las fluctuaciones económicas se debían principalmente a los movimientosde la inversión. Con esto en mente, Greenwald y Stiglitz (1988) introdujeron doscaracterísticas al modelo RBC estándar. La primera es que no sólo se considerael capital físico, sino también los servicios que este brinda por medio de una tasade utilización. Es decir, no sólo considera, por ejemplo, una computadora (biende capital), sino también el número de horas que se utiliza este bien, a la cual sele conoce como tasa de utilización. Un impacto de dicha tasa es que el capitalse deprecia más rápidamente. La segunda es que el shock que se considera noes el de productividad, sino uno asociado a la eficiencia marginal de la inversión.La principal conclusión de este modelo es que el shock a la inversión bajo el


mecanismo descrito podría ser un elemento importante para explicar los cicloseconómicos.

Por otro lado, Cooley y Hansen (1989) estudiaron el rol del dinero en las fluctua-ciones económicas. Para ello, los autores utilizaron el modelo RBC estándar, alcual incorporaron el dinero por medio de una restricción cash-in-advance. Coneste modelo, los autores procuraron estimar los costos de bienestar provocadospor el impuesto inflacionario, y estudiaron los efectos de la inflación anticipadasobre las características de las series económicas. La principal conclusión es queen el corto plazo el dinero sí presenta correlación con el producto; sin embargo, lascaracterísticas de los ciclos económicos de una economía con alta y baja inflaciónson similares. Esto sugiere que bajo los supuestos del modelo, el dinero no ayudaa explicar mejor los ciclos económicos.

En 1991, Benhabib, Rogerson y Wright consideraron la producción del hogaren un modelo RBC para evaluar si esta extensión podría ayudar a fortalecer eldesempeño cuantitativo del modelo. El resultado fue que este modelo capturamejor los momentos empíricos de los ciclos económicos. Por ejemplo, el modelode G. D. Hansen (1985) obtenía el valor de 1:29 para la desviación estándar delPBI, mientras que el modelo Benhabib, Rogerson, y Wright (1991) registraba 1:71,el cual es más cercano a lo sugerido por los datos (1.74). Asimismo, el modelo deG. D. Hansen (1985) sobreestimaba la desviación estándar de la inversión (3:14del modelo vs. 2:82 de los datos). En cambio, el modelo de Benhabib et al. (1991)infiere que la desviación estándar de la inversión es igual a 2:73, siendo estobastante más aproximado a los datos.

Una de las principales críticas de los modelos RBC es que no capturan la bajacorrelación entre el número de horas laborales y el salario real. Los datos sugierenque esta correlación es muy cercana a cero, mientras que los modelos RBC (tra-bajo divisible/indivisible) indican que es cercana a 0:951=0:915 respectivamente.Ante esta deficiencia del modelo, Christiano y Eichenbaum6 en 1992 publicaron

6Una investigación previa de estos autores se encuentra en 1988, en la cual cuestionan laafirmación de Prescott (1986) que la “teoría es antes que la medición”. El principal argumento deChristiano y Eichenbaum es que los modelos RBC no capturan la observación de Dunlop-Tarshis,que indica que la correlación entre el número de horas trabajas y el salario real es cercana a cero.Bajo este argumento, los autores concluyen que el shock de productividad no puede ser la únicafuente de fluctuaciones económicas después de la Segunda Guerra Mundial.


una investigación donde al considerar el consumo público en el modelo RBC deG. D. Hansen (1985), obtienen que el modelo captura un poco mejor dicha corre-lación (entre 0:5 y 0:7). El consumo de gobierno tiene influencia en la economíapor dos vías: la primera es que parte del consumo público se considera dentrode la canasta de consumo de las familias. La segunda es que el gasto público secomporta como un shock que tiene un componente permanente y transitorio. Unacaracterística interesante de esta investigación es que no usa la calibración comolos modelos RBC estándar, sino que los autores utilizan una técnica econométrica(Método Generalizado de Momentos [GMM]) para estimar los ocho parámetrosestructurales, dejando sólo tres bajo el enfoque de calibración.

Por otro lado, en 1993, Baxter y King publicaron un estudio en el que evaluabanlos efectos macroeconómicos de la política fiscal en un modelo RBC. Aunque elobjetivo no fue evaluar si la política fiscal es una fuente de los ciclos económicos,su investigación es relevante para entender los efectos de corto y de largo plazo delgasto temporal y permanente del gobierno. En este modelo, el gobierno influenciaa las familias por medio de las transferencias y por medio de la función de utilidad.Se supone que el capital y el gasto del gobierno incrementan el nivel de la utilidaddel consumidor, pero no su utilidad marginal. Además, la influencia del gobiernoa las empresas se obtiene por medio del capital gubernamental que actúa comoun factor en la función de producción. La racionalidad de esto radica en que lasempresas necesitan bienes públicos como caminos, carreteras, etc., que influyenen su producción.

Uno de los principales supuestos de los modelos RBC es que todos los mercados(bienes y factores) tienen una estructura de competencia perfecta, lo cual sugiereque el precio es igual al costo marginal. Sin embargo, los datos sugieren que elprecio eventualmente es mayor que el costo marginal, es decir, que el mark-up (� Dptcmgt

) es mayor a uno. Bajo este y otros hechos empíricos, Rotemberg y Woodforden 1993 publicaron un artículo donde introducen la estructura de competenciamonopolística en un modelo RBC. En este escenario, los autores analizaron cómoesta nueva estructura de mercado podría influenciar en la transmisión del shock deproductividad especialmente por medio de su influencia en la demanda de trabajo.Además, bajo esta estructura, el análisis de un shock al mark-up podría brindar unnuevo mecanismo de impulso para explicar los ciclos.


Cogley y Nason en 1995 publicaron una investigación en la cual evaluaban la capa-cidad del modelo RBC estándar en capturar dos hechos estilizados de la dinámicadel producto nacional bruto (PNB) en Estados Unidos: la primera es que el PNBestá positivamente autocorrelacionado en el corto plazo y negativamente (peroligero) en el largo plazo, y la segunda es que el PNB parece tener un componenteimportante de reversión a la tendencia, la cual tiene una representación de mediasmóviles con forma de joroba. Los resultados de esta investigación sugieren queel modelo RBC estándar necesita un factor exógeno fuerte para replicar amboshechos estilizados. Esto se debe a que la mayoría de los modelos RBC tienenun mecanismo de propagación interno débil. Además, estos autores indican quelos modelos RBC que consideran rezagos o costos de ajuste en el trabajo sonparcialmente exitosos en capturar ambos hechos estilizados, aunque de igual formadependen de shocks transitorios grandes (lo cual es implausible) para replicar elimpulso-respuesta encontrado en los datos.

La crítica a los modelos RBC, sugerida por Cogley y Nason (1995), es sostenidapor Rotemberg y Woodford en 1996, cuando publican una investigación en lacual demuestran que el modelo RBC estándar tiene dos debilidades empíricas. Laprimera es que el modelo sugiere que la varianza del producto es muy pequeñaen comparación con lo observado. La segunda es que los comovimientos entreel producto, el consumo y las horas laborales tienen la misma dirección en losdatos, lo cual no es capturado por el modelo. Con el fin de mejorar la capacidaddel modelo en capturar estos hechos estilizados, los autores realizan un análisisde sensibilidad del valor de tres parámetros (elasticidad de la oferta de trabajo, laelasticidad de sustitución intertemporal y la participación del capital en el producto).El resultado de este esfuerzo es que el modelo mejora la volatilidad del productopero no hay mayor efecto sobre los comovimientos de las variables en mención.

Ante las principales críticas de Cogley y Nason (1995) y de Rotemberg y Woodford(1996), Burnside y Eichenbaum en 1996 analizan la importancia de la tasa deutilización del capital como mecanismo de transmisión para evaluar la posibilidadde fortalecer el mecanismo interno de propagación de los modelos RBC. Losresultados indican que esta variable es importante en términos cuantitativos parapropagar los efectos de un shock de productividad. Un resultado natural de elloes que el shock necesario para capturar las regularidades empíricas del cicloeconómico es significativamente menor a los modelos RBC estándar.


La Tabla 1.3 muestra el desarrollo cronológico de las investigaciones en la escuelaRBC. Esta tabla no es exhaustiva en cuanto a todas las investigaciones desarrolladasentre 1980 y 1996, pero son referenciales en cuanto tratan de señalar las principalesinvestigaciones.

Tabla 1.3: Desarrollo histórico de los modelos RBC

Autor Año Descripción

Hodrick y Pres-cott

1981 Título: Post-War U.S. Business Cycles: An Empirical Investi-gation.Tema: Propusieron un método de descomposición de una serietemporal.Aporte: El objetivo del método es separar el componente ci-clico y tendencial de una serie macroeconómica. Se le conocecomo filtro HP.

Kydland y Pres-cott

1982 Título: Time to Build and Aggregate Fluctuations .Tema: Utilización del modelo de crecimiento neoclásico paraexplicar los ciclos económicos.Aporte: El principal aporte fue explicar los ciclos económicosutilizando el modelo de crecimiento económico neoclásico condos variantes: la primera es que se necesita más de un periodopara construir el capital y la segunda es que el consumidorenfrenta una función de utilidad no separable temporalmente.Con esta investigación se inicia la escuela RBC.

Long y Plosser 1983 Título: Real Business Cycles .Tema: Modelo RBC con varios sectores económicos.Aporte: Se demostró que con un modelo RBC sencillo sepueden explicar algunos hechos estilizados de los ciclos eco-nómicos. Estos autores acuñaron el nombre “modelos RBC”para denotar a todos los modelos que enfatizan el shock deproductividad como fuente principal del ciclo económico.

Hansen 1985 Título: Indivisible Labor and the Business Cycle.Tema: Modelo RBC con trabajo indivisible.Aporte: Con este modelo se superó la crítica de que los mode-los RBC necesitan que la elasticidad de sustitución del trabajosea alta, lo cual no es lo observado por los datos. Este modelose convirtió en el modelo RBC estándar.


Mehra y Prescott 1985 Título: The Equity Premium: A Puzzle.Tema: Modelo RBC con prima por riesgo.Aporte: Se evaluó si el modelo RBC con variables financie-ras puede explicar el hecho estilizado de la prima por riesgo.Ellos encontraron que el modelo explica su comportamientocualitativo, pero no cuantitativo. Este resultado abrió una líneade investigación de largo aliento.

Greenwood et al. 1988 Título: Investment, Capacity Utilization, and the Real Busi-ness Cycle.Tema: Modelo RBC con utilización variable del capital yshock a la eficiencia marginal de la inversión (EMgI).Aporte: Fueron dos: [1] evaluar desde un enfoque keynesianola fuente de los ciclos económicos (shock a la EMgI), [2] sepropuso un nuevo mecanismo de transmisión de los shocks(utilización variable del capital). Este trabajo inició una líneade investigación importante. Actualmente, los modelos RBCusualmente consideran utilización variable del capital comoun elemento principal en el modelo.

Cooley y Hansen 1989 Título: The Inflation Tax in a Real Business Cycle Model.Tema: Modelo RBC con dinero.Aporte: Se evalúa si el dinero (regla de oferta monetaria)afecta la naturaleza y amplitud de los ciclos económicos. Bajolos supuestos de la investigación, los autores encontraron queel dinero no aporta mayor explicación sobre los ciclos.

Mendoza 1991 Título: Real Business Cycle in a Small Open Economy.Tema: Modelo RBC con economía abierta.Aporte: Se evalúa si el modelo RBC podría explicar los he-chos estilizados típicos de una economía abierta. En particularel autor encuentra que la correlación positiva entre el ahorro yla inversión es explicada por la persistencia del shock de pro-ductividad. Cabe mencionar que se analizó el comportamientode la economía ante dos perturbaciones: de productividad y detasa de interés externa.


Benhabib et al. 1991 Título: Homework in Macroneconomics: Household Produc-tion and Aggregate Fluctuations.Tema: Modelo RBC con producción del hogar.Aporte: Al introducir la producción del hogar y el trabajoutilizado en dicha producción en un modelo RBC, el modelocaptura mejor los momentos empíricos de las variables macro-económicas.

Christiano y Ei-chenbaum

1992 Título: Current Real-Business Cycle Theories and AggregateLabor-Market Fluctuations.Tema: Modelo RBC con consumo del gobierno.Aporte: Fortalecieron el modelo RBC para que capturaramejor la baja correlación entre las horas laborales y el salarioreal. Para ello, los autores introdujeron el gasto público en elmodelo RBC de Hansen (1985).

Baxter y King 1993 Título: Fiscal Policy in General Equilibrium.Tema: Modelo RBC con política fiscal.Aporte: Evaluaron los efectos reales de corto y de largo plazode la política fiscal en un modelo RBC. La principal diferenciaes que en este modelo no se considera un shock de productivi-dad, sino que se considera un shock a la inversión pública y algasto público.

Rotemberg yWoodford

1993 Título: Dynamic General Equilibrium Models with Imper-fectly Competitive Product Markets.Tema: Modelo RBC con competencia imperfecta.Aporte: Los autores consideraron una estructura de mercadode competencia monopolísitca en contraste con el supuesto delos modelos RBC estándar (competencia perfecta). Los auto-res analizan el rol que podría tener esta estructura en transmitirlos shocks y como fuente de fluctuaciones por medio de lasperturbaciones del mark-up.

Cogley y Nason 1995 Título: Output Dynamics in Real-Business-Cycle Models.Tema: Crítica al modelo RBCAporte: Los autores muestran que los modelos RBC tienenun mecanismo de transmisión interna débil que les impidecapturar dos hechos estilizados del producto (autocorrelacióny reversión a la tendencia). Aunque este problema se puedesuperar con algunos supuestos en el mercado de trabajo, aúndependen de shocks transitorios grandes, lo cual es implausibleen los datos.


Rotemberg yWoodford

1996 Título: Real-Business-Cycle Models and Forecastable Move-ments in Output, Hours, and Consumption.Tema: Crítica al modelo RBC.Aporte: Los autores hacen evidente la debilidad de los mode-los RBC en capturar la varianza del producto y la correlaciónpositiva entre el consumo, producto y trabajo mostrado en losdatos.

Burnside y Ei-chenbaum

1996 Título: Factor-Hoarding and the Propagation of Business-Cycle Shocks.Tema: Modelo RBC con utilización de la capacidad (capital ytrabajo).Aporte: Ante las criticas de Cogley y Nason (1996) y Rotem-berg y Woodford (1996), estos autores proponen un mecanis-mo de transmisión (utilización de la capacidad) que fortaleceel mecanismo interno de los modelos RBC. Con ello, el mo-delo modificado captura mejor lo observado en los datos sinnecesidad de recurrir a grandes shocks de productividad.

1.3.2.1 Investigaciones acerca del estado del arte de los modelos RBC

En este apartado se describen un conjunto de investigaciones que han tratado deresumir el estado del arte de los modelos RBC a lo largo del tiempo.

Los primeros investigadores que trataron de resumir el desarrollo de la Teoría RBCfueron King, Plosser y Rebelo, quienes en 1988 publicaron dos investigaciones enel Journal of Monetary Economics. La primera describía el marco téorico de losmodelos RBC y el método de solución de estos modelos; la segunda describía lasprincipales líneas de investigación que se deprendían del modelo RBC estándar7.

En su primera investigación, King, Plosser y Rebelo, consideraban que el marcoteórico para estudiar los ciclos económicos reales es el modelo neoclásico decrecimiento aumentado por la elección de trabajo. Bajo este enfoque estudianlos efectos sobre el ciclo económico de un shock de productividad. La principalconclusión que emerge de esta investigación es que el modelo neoclásico de cre-

7Estos autores publicaron un apéndice técnico después de varios años (2002) en la revistaComputational Economics.


cimiento (aumentado con trabajo) tiene la capacidad de replicar algunos hechosestilizados de los ciclos económicos sólo cuando existe un shock tecnológicoaltamente persistente. En particular, son dos grupos de hechos estilizados losque captura el modelo: el primero es que este muestra el comportamiento procí-clico del empleo, consumo e inversión. El segundo es que el modelo genera elranking observado de la volatilidad relativa de la inversión, producto y consumo(varinversión > varproducto > varconsumo).

Sin embargo, el modelo es limitado en generar otros hechos estilizados. Uno deellos, el cual es sumamente importante para caracterizar el ciclo económico, esla correlación serial del producto (autocorrelación de primer orden: 0:96 en losdatos [1948.I-1986.IV]). El modelo requiere que exista una alta persistencia de laproductividad para generar una fuerte correlación serial del producto (cuando lapersistencia del shock es igual a 0:9, este produce una autocorrelación de primerorden del producto de 0:93; sin embargo, cuando el primero es igual a cero,entonces la autocorrelación es 0:03).

En su segunda investigación, King, Plosser y Rebelo, esbozan algunas nuevasdirecciones de estudio dentro del marco teórico de los modelos RBC. Una deestas nuevas direcciones es considerar que la senda de crecimiento podría tener uncomponente estocástico, es decir, que podría tener una raíz unitaria. Esto difieredel análisis usual de los modelos RBC debido a que en estos modelos se consideraque la senda de crecimiento es exógena y determinística. Una segunda línea deinvestigación es permitir que la tasa de crecimiento de largo plazo sea el resultadoendógeno de la tecnología. Esto claramente contrasta con el supuesto usual en losmodelos RBC estándar: la tasa de crecimiento de largo plazo es exógenamentedeterminada por la tasa de crecimiento del cambio técnico aumentador de trabajo,la cual se asume que es un parámetro calibrado.

La tercera línea de investigación que mencionan estos autores es la inclusiónde impuestos distorsionadores, competencia imperfecta y otros elementos queproduzcan un equilibrio subóptimo. En este caso, los autores se centran en losmétodos para incluir dichos elementos en el modelo RBC. Finalmente, la cuartalínea de investigación se refiere a la inclusión de agentes heterogéneos, lo cualcontrasta con el supuesto de “agente representativo” en los modelos RBC. Esta líneade investigación responde a que la evidencia empírica sugiere que las familias son


distintas por diferentes variables. Es más, J. Heckman (1984) sugiere que lo másapropiado para estudiar el mercado del trabajo es el supuesto de heterogeneidadentre los agentes.

Stadler en 1994 publica una investigación que resume y evalúa la teoría de losCiclos Económicos Reales. Una de sus principales conclusiones es que la TeoríaRBC ha cambiado la forma de ver los ciclos económicos. Lo que esta teoría sugierees que no se necesitan distorsiones para obtener fluctuaciones macroeconómicas; esdecir, una economía eficiente y con mercados completos podría mostrar fluctuacio-nes si el cambio tecnológico es estocástico. Esta afirmación abre toda una línea deinvestigación de los ciclos económicos. Otra conclusión es que aún existen algunosretos que la Teoría RBC no ha superado. Uno de ellos es la dificultad de que estosmodelos capturen muy cercanamente los hechos estilizados. Otra dificultad radicaen que no pueden explicar satisfactoriamente la dinámica del producto, lo cualestá asociado a otra debilidad: un mecanismo de transmisión débil. Rouwenhorst(1991) indica que las fluctuaciones producidas en el modelo de Kydland y Prescott(1982) se deben esencialmente al comportamiento estocástico de la productividad.El rol del mecanismo de transmisión del “tiempo para construir” el capital espequeño, el cual se esperaba fuera importante en propagar el impulso inicial.

Una dificultad adicional es que el supuesto de un “agente representativo” es cues-tionable debido a los datos microeconómicos. Tal como señala Stoker (1993), losdatos a nivel microeconómicos sugieren la existencia de heterogeneidad entre lasfamilias y las empresas. Por ejemplo, se pueden encontrar diferencias entre eltamaño de las familias o de las empresas. Asimismo, existen diferencias entre em-presas de acuerdo a qué tipo de factores son los intensivos en sus labores (algunosintensivos en capital y otros en trabajo). Finalmente, Stadler (1994a) sugiere que,a pesar de los retos que enfrenta la Teoría RBC, su contribución de largo plazoradica en que ha propuesto nuevos métodos de investigación macroeconómica y deevaluación de políticas económicas.

En 1995, Thomas F. Cooley edita un libro en el cual congrega diferentes temasimportantes de la escuela RBC. Tal como lo señala el autor, el objetivo de estelibro es brindar una exposición organizada de las principales ideas y métodosde los modelos RBC. Los temas que aborda el libro son los siguientes: unainvestigación orientada al crecimiento económico y ciclo económico, la cual


brinda el punto de referencia en todo el libro; un conjunto de investigacionesque describen las extensiones del modelo RBC (agentes heterogéneos, dinero,producción doméstica, competencia imperfecta, precios de activos y economíaabierta); dos investigaciones metodológicas, una de ellas orientada a la solución delmodelo en un ambiente de equilibrio competitivo, y la otra orientada a la soluciónen economías subóptimas. Finalmente, el autor incluye una investigación sobre laseconomías no walrasianas y otra sobre el análisis de políticas en los modelos RBC.

En el mismo espíritu que Cooley y Prescott (1995); Hartley, Hoover y Salyer en1998 presentan una colección de artículos que, a su juicio, definen y muestran eldesarrollo de la escuela RBC por un lado y, por otro, manifiestan sus principalescríticas. Tal como señalan los autores, el objetivo del libro es hacer un balance entrelas investigaciones que están a favor de la escuela RBC y aquellas que la critican.Al comparar esta colección con el libro de Cooley y Prescott (1995) se observandos principales diferencias: la primera es que la colección de Hartley, Hoover, ySalyer (1998) tiene una mayor extensión que la de Cooley y Prescott (1995).Tanasí es, que Hartley et al. (1998) considera 31 investigaciones, mientras que Cooleyy Prescott (1995) doce. La segunda diferencia importante es que Hartley et al.(1998) efectivamente hacen un balance de las investigaciones en el campo de losmodelos RBC; en otras palabras, entre sus 31 artículos, al menos once de ellosson críticas. Esto difiere de la obra de Cooley y Prescott (1995) que no incluyeninguna crítica, ya que el objetivo de este autor fue solamente mostrar las ideas ymétodos de la escuela RBC de una manera organizada.

Es importante subrayar que la obra de Hartley et al. (1998) está organizada encinco categorías: la primera contiene un conjunto de investigaciones sobre losfundamentos del modelamiento de los ciclos económicos reales. Por ejemplo,en este primer conjunto de investigaciones se encuentra el articulo de Kydland yPrescott (1982), el cual inició la escuela RBC. La segunda categoría contiene lasprincipales extensiones de los modelos RBC. En este aspecto, la obra de Cooley yPrescott (1995) es más exhaustiva en el sentido de que contiene más extensiones.Por ejemplo, en Cooley y Prescott (1995) se puede encontrar el modelo RBC coneconomía abierta o con activos financieros, los cuales están ausentes en Hartleyet al. (1998). La tercera categoría contiene investigaciones que critican el métodode calibración de los modelos RBC. La cuarta categoría hace referencia a lasinvestigaciones sobre la forma de evaluar los modelos RBC. Es preciso resaltar


que esta categoría es la más extensa del libro, lo cual no es de extrañar por eldebate que surgió a causa de la forma “no convencional” de evaluar los modelosRBC iniciada por Kydland y Prescott (1982), es decir, la comparación entre losmomentos teóricos (de la simulación del modelo) y los momentos empíricos, loque contrasta con la econometría usual. La quinta categoría se refiere al residuode Solow y la última describe la forma de obtener el componente cíclico de lasvariables agregadas. La lectura de ambos libros provee un panorama completo delas fortalezas y debilidades de los modelos RBC.

En 1999, King y Rebelo escribieron un articulo en el Handbook of Macroecono-mics8, el cual titularon “Resuscitating Real Business Cycles”. De este artículo sepueden rescatar al menos tres ideas: la primera es que los autores reconocen laprincipal debilidad de los modelos RBC y sugieren una forma de superar esta debi-lidad. La segunda idea es que los autores demuestran que las principales críticas oproblemas que enfrentaron los modelos RBC han podido ser resueltas exitosamente.Finalmente, los autores sugieren que existen nuevas líneas de investigación en losmodelos RBC, lo cual indica que este programa de investigación aún está vigente.

Con respecto a la primera idea, los autores afirman que la principal debilidad delos modelos RBC es que estos requieren shocks tecnológicos grandes (desviaciónestándar y persistencia significativa) para producir ciclos económicos cercanos ala realidad. Sin embargo, dichas perturbaciones tecnológicas no son tan grandesni persistentes en los datos como el modelo lo requiere. Ante esta debilidad, losautores proponen considerar un mecanismo amplificador importante: la utilizaciónvariable del capital. Al introducir este componente en un modelo RBC, estepodría reproducir los ciclos económicos observados con un shock de productividadpequeño, tal como la evidencia empírica lo indica.

Con respecto a la segunda idea, los autores argumentan que existen tres críticasprincipales que han podido ser resueltas a favor de los modelos RBC. La primeracrítica es la sensibilidad de los resultados del modelo a la parametrización. Tal

8El objetivo del Handbook of Macroeconomics, tal como se señala en sus mismas páginas, esproveer una revisión de la literatura sobre el estado actual del conocimiento en macroeconomía. Lostemas revisados incluyen la teoría del crecimiento económico y de los ciclos económicos, comotambién las consecuencias de la política fiscal y monetaria. Actualmente, existen dos handbooks, elprimero fue publicado en 1999 (editado por John B. Taylor y Michael Woodford) y el último en el2016 (editado por John B. Taylor y Harald Uhlig).


como señalan los autores, el modelo RBC es resistente a los diferentes valores delos parámetros; por ejemplo, los resultados del modelo son satisfactorios inclusiveen el caso de una elasticidad de la oferta de trabajo pequeña a nivel individual(familia), pero alta a nivel agregado. La segunda crítica es la limitación que poseeel modelo para producir un comportamiento realista de los precios. Esto ha sidosuperado al incluir variables nominales (oferta de dinero, precios, etc) en el modeloRBC. Por ejemplo, esto se puede observar en Cooley y Hansen (1989). Finalmente,la tercera crítica es sobre el supuesto de shocks tecnológicos grandes. Como seindicó en el párrafo anterior, los autores reconocen esta debilidad, la cual puedeser superada cuando al modelo RBC estándar se le agrega la utilización variabledel capital.

La tercera idea que se desprende de la investigación de R. G. King y Rebelo (1999)es que el programa de investigación de los modelos RBC está aún vigente debidoa las nuevas líneas de investigación que han surgido. Por ejemplo, el estudiode un modelo multisectorial aún está pendiente. La forma usual de estudiar losciclos económicos en los modelos RBC ha sido bajo un modelo unisectorial; sinembargo, al considerar varios sectores se podría ganar mayor entendimiento de larelación entre dichos sectores y cómo la utilización variable del capital se comportaen cada sector. En este campo existen investigaciones previas tales como lashechas por Long y Plosser (1983). No obstante, no han sido totalmente explotadas,considerando la utilización variable del capital y shocks tecnológicos más realistas.Otra línea de investigación es la consideración de agentes heterogéneos. Enprincipio, su introducción en el modelo RBC podría enriquecer la dinámica delmercado del trabajo, llevando a que el modelo se acerque más a la realidad.

En el 2005, Rebelo publicó un artículo en el cual revisa brevemente la contribuciónde los modelos RBC en el entendimiento de los ciclos económicos, y describedetalladamente los principales temas abiertos en la literatura existente. Estainvestigación complementa de manera importante el estudio de R. G. King yRebelo (1999) al hacer énfasis en las líneas de investigación futuras.

Según Rebelo (2005), dos temas que aún requieren una mayor investigación, en elmarco de los modelos RBC, son, por un lado, la explicación del comportamientode los precios de los activos financieros y por otro, el entendimiento de la GranDepresión. Con respecto al primero, el trabajo pionero de Mehra y Prescott (1985)


demostró que el modelo RBC tenía la capacidad de capturar las característicascualitativas de la prima por riesgo, pero fallaba en replicar sus característicascuantitativas. A esta debilidad del modelo se le conoce como el “enigma de laprima por riesgo” (Equity premium puzzle). Estos hallazgos iniciaron una líneade investigación activa hasta el día de hoy. Una de la propuestas para superaresta debilidad fue elaborada por Boldrin, Christiano, y Fisher (2001), quienesintrodujeron la formación de hábitos en un modelo RBC. El resultado de ello fueque el modelo aún mantenía la debilidad encontrada por Mehra y Prescott (1985).Otro esfuerzo en la misma dirección fue la de Boldrin et al. (2001), quienes bajo elsupuesto de que la producción de bienes de consumo y de inversión se realiza endiferentes sectores y que existen fricciones del movimiento del capital y trabajoentre sectores, obtuvieron resultados del comportamiento de la prima por riesgomás cercanos a lo observado en los datos. Sin embargo, esta línea de investigacióndemanda mayores estudios.

El segundo tema que demanda mayor investigación, a la luz de los modelos RBC,es la Gran Depresión. En particular, el reto que presentan los modelos RBC esexplicar cuáles fueron las causas de la Gran Depresión. Tal como señala Rebelo(2005), a la fecha existe un conjunto de investigaciones en este campo, sin embargo,aún es un tema abierto en la escuela RBC debido a que la Gran Depresión fueoriginada por la combinación de varios shocks adversos y de políticas económicasinadecuadas.

Además de estos dos grandes temas de investigación, el autor menciona otras líneasde investigación abiertas: una de ellas es el estudio de shocks alternativos al deproductividad (de petroleo, fiscal y cambio tecnológico específico a la inversión).Otra línea es el modelo monetario, es decir, la extensión del modelo RBC paraque contemple fricciones nominales y reales, los cuales en la práctica son modelosNEK. Además de lo anterior, Rebelo (2005) indica que la consideración de losmodelos con equilibrios múltiples bajo el espíritu de Farmer (1999) aún es un temaque requiere mayor estudio.

En la Tabla 1.4 se describen brevemente, desde un enfoque histórico, las investiga-ciones que han tratado de proveer el estado del arte de la escuela RBC a lo largodel tiempo.


Tabla 1.4: Estado del arte


King et al. 1988a Título: Production, Growth and Business Cycles - I. The BasicNeoclassical Model.Tema: Marco teórico y métodos de solución de los modelosRBC.Aporte: Por un lado, sustentan que el modelo de crecimien-to neoclásico extendido (incorpora endógenamente la decisiónconsumo-inversión y la decisión ocio-trabajo) tiene la capacidadde replicar las características de algunas variables agregadas. Porotro lado, manifiestan que las conclusiones del modelo requierenque los shocks de productividad sean persistentes.

King et al. 1988b Título: Production, Growth and Business Cycles - II. New Direc-tions.Tema: Nuevas líneas de investigación en los modelos RBC.Aporte: Enumeran y explican las líneas de investigación pen-dientes en los modelos.

Stadler 1994 Título: Real Business Cycles.Tema: Resume y evalúa la teoría RBC.Aporte: Describe el modelo RBC estándar, luego menciona lasprincipales extensiones y, finalmente, menciona las críticas.

Cooley 1995 Título: Frontiers of Business Cycle Research.Tema: Desarrollo de los modelos RBC.Aporte: Muestra de manera organizada el desarrollo de las prin-cipales ideas y métodos de los modelos RBC. El libro es uncompendio de investigaciones en el marco de la teoría RBC.

Hartley et al. 1998 Título: Real Business Cycles - A Reader.Tema: Balance entre las investigaciones que soportan los mode-los RBC y aquellas que los critican.Aporte: Congrega 31 artículos, los cuales no sólo muestran eldesarrollo de la escuela RBC, sino también sus principales debili-dades y las investigaciones que la sustentan.


King y Rebelo 1999 Título: Resuscitating Real Business Cycles.Tema: Modelo RBC con modificaciones que superan las críticasiniciales y las futuras líneas de investigación.Aporte: Al menos tres ideas se rescatan. La primera es que lainclusión de la utilización variable del capital ayuda a obtener unmejor desempeño del modelo con un shock de productividad másrealista. La segunda es que los modelos RBC han superado trescríticas importantes y la última idea es que aún existen líneas deinvestigación en los estos modelos.

Rebelo 2005 Título: Real Business Cycle Models: Past, Present, and Future.Tema: Énfasis en las líneas de investigación pendientes en losmodelos RBC .Aporte: Revisa brevemente la contribución de los modelos RBCy explica detalladamente las líneas de investigación pendientes.

1.3.2.2 Investigaciones asociadas al mercado del trabajo

Kydland (1995) afirma que el comportamiento del mercado de trabajo tiene unrol importante para entender los ciclos económicos. Es por ello que uno de losprincipales aspectos en la evaluación de los modelos RBC es su capacidad dereplicar los hechos estilizados del mercado laboral. En particular, la economíanorteamericana muestra dos hechos estilizados de importancia: el primero es quelas horas trabajadas son más volátiles que el salario real; el segundo es que lacorrelación entre las horas trabajadas y el salario real es cercana a cero. Además,los estudios microeconométricos sugieren que la elasticidad de la oferta de trabajoes pequeña. A continuación se describen las principales investigaciones que hantratado de capturar estos hechos estilizados.

Una de las principales críticas al modelo de Kydland y Prescott (1982) fue elsupuesto que la elasticidad de la oferta de trabajo es significativa, lo cual no esrespaldado por los datos. En su investigación, Kydland y Prescott (1982) se con-centraron en el componente intensive margin de la oferta de trabajo, que es medidocomo el número promedio de horas trabajadas. Estos autores asumieron que elmovimiento de las “horas de trabajo agregadas” se debe esencialmente por el ajustede horas trabajadas que realiza el empleado. Sin embargo, G. D. Hansen (1985)considera que la variación de horas de trabajo agregadas es principalmente debida


a la entrada y salida de los individuos en el mercado de trabajo; es decir, el compo-nente extensive margin de la oferta de trabajo. Bajo este supuesto, G. D. Hansen(1985) logra obtener una elasticidad de oferta de trabajo más acorde con los datosmicroeconómicos.

Christiano y Eichenbaum (1992b) indican que el modelo de Kydland y Prescott(1982) y el de G. D. Hansen (1985) fallan en replicar los dos principales hechosestilizados del mercado de trabajo:

1. Las horas trabajadas son más volátiles que el salario real, y

2. La correlación entre las horas trabajadas y el salario real es cercana a cero.

Ante ello, Christiano y Eichenbaum (1992b) proponen un modelo en el que elgasto público tiene un rol importante en el consumo privado. Bajo el supuestode que el consumo público es un sustituto imperfecto del consumo privado, estosautores indican que un incremento del gasto del gobierno produce un efecto riquezanegativo, lo cual induce a las familias a reducir su demanda de ocio y, por tanto, aincrementar su oferta de trabajo. Con esta especificación, los autores encuentranque el modelo se acerca mejor a los datos.

Otro esfuerzo en mejorar el desempeño cuantitativo del modelo RBC en el mercadolaboral fue realizado por Benhabib et al. (1991). Estos autores propusieron incluiren la modelación la producción del sector que trabaja en el hogar (no mercado)debido a su alta participación en el producto nacional (20% a 50%), según Eisner(1988). La idea principal de este modelo es que los agentes también obtienenutilidad cuando consumen lo producido por este sector y los que trabajan en estesector obtienen desutilidad, tal como se observa en el mercado. Bajo esta premisa,los autores encuentran que existen incentivos para que un individuo se trasladedel trabajo en el hogar (no mercado) al trabajo en el mercado. El efecto de ello esque la oferta de trabajo podría incrementarse de manera similar al shock de gastopúblico de Christiano y Eichenbaum (1992b). Con esta especificación, los autoresencuentran que el modelo se acerca mejor a los datos.


1.3.2.3 Investigaciones asociadas a la política fiscal

En este apartado se describen dos conjuntos de investigaciones. El primer conjunto,desde el punto de vista empírico, ha puntualizado la relación que existe entre lasvariables fiscales (impuestos, gasto y déficit) y las variables macroeconómicas(producto, consumo, inversión, empleo y salario real). El segundo, desde un puntode vista teórico, ha planteado diversos modelos RBC con un sector público. Elobjetivo de ello es evaluar la capacidad de estos modelos para capturar la evidenciaempírica. De todos estos esfuerzos se concluye, tal como lo señala (Cooper, 1998),que no existe un rol para la política fiscal en el modelo RBC estándar, el cualconsidera mercados completos y ausencia de externalidades. Es decir, para que elsector fiscal gane un rol importante en el modelamiento, es necesario consideraralgunos supuestos distintos a los propuestos por la escuela RBC.

A. Evidencia empírica

En la literatura existente se pueden distinguir al menos dos conjuntos de investi-gaciones empíricas. El primer conjunto relaciona el shock de gasto público comoconsecuencia de eventos militares en lugar de eventos macroeconómicos (Hall(1986); Barro (1982); Rotemberg y Woodford (1992); Ramey y Shapiro (1998)),y usualmente utilizan modelos de regresión lineal o el enfoque “narrativo”9 paraidentificar el shock de gasto fiscal. El segundo conjunto hace énfasis en que elgasto público responde a eventos macroeconómicos y utiliza el enfoque de Vectores

9El enfoque narrativo consiste en revisar diversas fuentes históricas tales como el discursopresidencial, el reporte económico del presidente y los reportes de las reuniones del Congreso paraidentificar la motivación de cada cambio de impuesto/gasto público legislado. La idea de este métodoes separar los cambios en las variables fiscales legisladas en aquellos que responden legitimamentea cambios en variables macroeconómicas de aquellos, que responden a otras motivaciones (porejemplo: motivaciones políticas). Para una mejor descripción de este método, revisar Romer yRomer (2010).


Autoregresivos Estructurales (SVAR)10 para identificar el shock fiscal. En esteapartado nos centraremos en este último conjunto de investigaciones.

Bajo el enfoque VAR diversos estudios han encontrado que el shock de políticafiscal (definido como compras del gobierno) tiene efectos positivos sobre el pro-ducto, horas trabajadas, consumo y salario real (Fatás y Mihov (2001); Blanchard yPerotti (2002); Perotti (2005); Galí, López-Salido, y Vallés (2007) y Pappa (2009)).Mountford y Uhlig (2009) encuentran que un shock de gasto público anticipado sibien tiene efectos positivos sobre el producto y el consumo, estos son pequeños.

Fatás y Mihov (2001), basados en la investigación de Blanchard y Perotti (1999)11,estudiaron el efecto del shock de gasto público sobre el consumo, la inversión yel empleo. En su modelo VAR inicial encontraron que el shock positivo de gastopúblico incrementa el PBI real. En un segundo modelo, en el que incluyeron loscomponentes del consumo (consumo total, consumo de bienes durables, consumode bienes no durables y consumo de servicios), observaron que el consumo totaly todos sus componentes reaccionan positivamente al shock de gasto público.Esto sugiere que el consumo es procíclico. Al realizar el mismo ejercicio con lainversión y sus componentes, los autores concluyen que la inversión total se contraeligeramente en los primeros seis trimestres para luego reaccionar positivamenteante el shock, hasta volver a la tendencia luego de tres años. Además, se observaque el motor del comportamiento de la inversión es la inversión residencial, la

10Los modelos VAR (o SVAR) se han convertido en una de las herramientas econométricas másutilizadas en macroeconometría. Esto se debe a que esta técnica puede describir las relacionesde forma reducida entre las variables agregadas sin imponer a priori la teoría económica. Sinembargo, cuando se desean analizar las relaciones económicas estructurales entre las variables senecesita alguna forma de identificación, las cuales usualmente están basadas en la teoría económica.Chudik y Fidora (2011) señalan que en la literatura existente hay al menos cuatro enfoques paraimponer restricciones de identificación del shock: el primero es colocar de manera recursiva lasvariables (descomposición de Cholesky); el segundo es imponer restricciones “cero” en el sistemade ecuaciones lineales. Estas restricciones son un conjunto de variables que no son afectadas porel shock de interés durante cierto periodo de tiempo. El tercer enfoque es la descomposición encomponentes permanentes y temporales. La cuarta forma de imponer restricciones de identificaciónson las restricciones de signo. Esta alternativa consiste en indicar el signo que debe tener la funciónimpulso-respuesta estructural para un número de periodos después del shock. Como indica Chudik yFidora (2011), la idea básica detrás de este método es poder identificar el shock estructural al revisarsi el signo correspondiente de su función impulso-respuesta está acorde con la teoría económica.

11Cabe mencionar que esta investigación fue publicada luego en el 2002 en “The QuarterlyJournal of Economics”, la cual se describe en el párrafo siguiente.


cual siempre se mantiene por encima de la tendencia hasta el tercer año. Deestos ejercicios los autores infieren que el consumo y la inversión reaccionanpositivamente frente un shock de gasto público.

Al evaluar los impactos del shock fiscal sobre las variables del mercado del trabajo,los autores concluyen que el empleo se incrementa después del shock, pero queel salario real cambia marginalmente. Ante este último resultado, los autoresindican que la reacción del salario real de la economía no es lo suficientementerobusta ante diferentes especificaciones del salario nominal y de los métodos dedeflación (Burnside, Eichenbaum, y Fisher, 2000), por lo cual prefieren analizar larespuesta del salario real del sector manufactura, que si es robusta. Bajo este cambiode variable, los autores encuentran que el salario real (del sector manufactura)responde positivamente (y significativamente) ante el shock de gasto público.

Fatás y Mihov (2001), en un paso adicional, contrastan sus resultados empíricoscon el modelo RBC. El objetivo de este constraste es evaluar si el modelo RBC conun sector del gobierno tiene la capacidad de capturar el comportamiento empíricodel consumo y del empleo frente un shock de gasto público. Lo que encuentranestos autores es que el modelo no es capaz de replicar el comportamiento procíclicodel consumo; es más, el modelo RBC predice que el consumo debe de contraerse.

Blanchard y Perotti (2002) analizaron el efecto de un shock de gasto público yde impuestos sobre el producto. La principal conclusión de este estudio es que elproducto se incrementa ante un shock positivo de gasto público y se reduce anteun incremento de los impuestos. Este resultado es consistente con lo sugerido porlos modelos RBC que introducen el gasto público como un shock. En un nivelmás de análisis, los autores evalúan el impacto de los shocks fiscales sobre loscomponentes del PBI. Los resultados indican que el consumo privado reaccionapositivamente frente al shock de gasto público y que la inversión se contrae; esdecir, encuentran que el consumo es procíclico. Al observar los resultados de losmodelos RBC que incluyen política fiscal se encuentra que no son consistentescon el comportamiento observado del consumo, pero que sí capturan la reducciónde la inversión.

Es preciso mencionar que la investigación de Fatás y Mihov (2001) y de Blanchardy Perotti (2002) tienen algunas similitudes, pero también algunas diferencias. En


primer lugar, en ambos estudios el shock fiscal genera una respuesta positivadel producto con un multiplicador fiscal mayor a uno en Fatás y Mihov (2001)y muy cercano a uno en Blanchard y Perotti (2002). En segundo lugar, ambasinvestigaciones encuentran que el consumo se incrementa significativamente anteel shock fiscal. En tercer lugar, existe un diferencia importante en cuanto alcomportamiento de la inversión. (Fatás y Mihov, 2001) indican que el shock degasto público genera una respuesta positiva marginal de la inversión, mientrasque Blanchard y Perotti (2002) encuentran que dicha respuesta es negativa ysignificativa.

Galí et al. (2007) confirman la evidencia previa sobre los efectos macroeconómicosdel shock de gasto público. En particular, encuentran resultados similares para elproducto y el consumo. Para el caso de la inversión, sus resultados están en líneacon lo encontrado cualitativamente por Blanchard y Perotti (2002) (reducción dela inversión), pero cuantitativamente dicha respuesta es insignificante. Además,encuentran que el salario real y el número de horas trabajadas se incrementanpersistentemente ante el shock fiscal.

Ante esta evidencia, los autores sugieren un modelo NEK que considere un com-ponente heterogéneo en las familias. El supuesto principal es que en la economíasubsisten dos tipos de familias: las ricardianas y las no ricardianas. El primer tipode familia tiene un comportamiento estándar en los modelos macroeconómicos(optimización intertemporal); el segundo tipo de familia solo consume su ingresolaboral y no puede trasladar recursos intertemporalmente. Bajo este supuesto ylos correspondientes a los modelos NEK (competencia monopolistica y rigidez deprecios), el modelo genera un incremento del consumo como respuesta al shock degasto público.

Las investigaciones mencionadas han hecho énfasis en las restricciones estándarde identificación de los shocks, tales como la descomposición de Cholesky orestricciones “cero”. A diferencia de estas investigaciones, Mountford y Uhlig(2009) estudiaron los efectos de los shocks de política fiscal desde una ópticadistinta. Lo novedoso de esta investigación es la utilización de “las retriccionesde signo” en un modelo VAR para identificar los shocks de política fiscal. Talcomo señalan estos autores, la identificación de estos shocks es difícil debido atres factores. En primer lugar, existe dificultad en discernir si el movimiento de las


variables fiscales se debe al shock de política fiscal o simplemente a la respuestaa otros shocks como monetario o de productividad. El segundo, es que no estáclaro qué es lo que se entiende por shock fiscal, el cual puede ser un incremento(esperado o no esperado) de gasto público, un recorte de impuestos, entre otrasvariables. Esto hace contraste con el shock de política monetaria, que claramentese entiende como el aumento no esperado de la tasa de interés. El tercer factores que se debe de tomar en cuenta el anuncio y la implementación de la políticafiscal. Esto es importante porque el anuncio puede causar movimientos en lasvariables macroeconómicas sin necesidad de que las variables fiscales muestrenalgún movimiento previo.

Una de las principales conclusiones de este estudio es que un shock de gasto públicoanticipado12 tiene un efecto positivo débil sobre el producto, la tasa de interés y elconsumo; es decir, el consumo es procíclico. Además, los efectos de este shock sonmás fuertes que el shock de gasto público no anticipado. En térmimos generales,estos resultados están en línea con las investigaciones empíricas previas.

Bajo la misma técnica econométrica (SVAR con restricciones de signo), Pappa(2009) se enfocó en estudiar los efectos del shock fiscal en el mercado del tra-bajo. Lo novedoso de este estudio es que el autor utilizó los resultados de losmodelos DSGE con shock fiscal, para luego utilizar los “signos” predichos comorestricciones en la identificación de los shocks fiscales en un modelo SVAR. Enparticular, el autor propone un modelo RBC con sector fiscal en línea con Finn(1998) y un modelo NEK altenativo para encontrar el efecto del shock fiscal sobrelas variables macroeconómicas. El resultado de ello es que, en ambos modelos,el producto y el déficit fiscal se incrementan ante un shock positivo de consumopúblico. Este resultado es utilizado por el autor para identificar el shock fiscal ensu modelo SVAR. El resultado empírico de este modelo econométrico es que elsalario real y el empleo responden positivamente (y significativamente) ante unshock de consumo público. Una conclusión que se desprende de esta investigaciónes que la evidencia empírica sobre la respuesta (positiva) del salario real no escapturada por el modelo RBC (el cual predice una reducción del salario real), perosí por el modelo NEK.

12Se asume que el anuncio del shock fiscal se realiza hoy pero su implementación es dentro de unaño.


B. Modelos teóricos

Ramey (2016) sugiere que la literatura existente sobre el gasto público usualmenteha buscado responder dos principales preguntas:

1. ¿Los modelos DSGE teóricos (RBC y NEK) capturan los hechos estilizados dela política fiscal?

2. ¿Cuáles son los multiplicadores fiscales?

En esta sección nos vamos a detener en la primera pregunta y, en especial, en cómolos modelos RBC han tratado de capturar la evidencia empírica de las variablesfiscales13.

Antes de describir algunos modelos RBC que incluyen al sector gobierno esimportante mencionar que usualmente las variables que describen el gasto públicohan sido introducidas en los modelos RBC como shocks. Esto se debe a que lapregunta que se ha buscado responder en estas investigaciones es acerca de cuálesson los impactos del gasto de gobierno sobre la volatilidad del producto. Bajoesta premisa, el gasto de gobierno ha sido modelado como un proceso estocásticoexógeno, usualmente AR(1), como el shock de productividad. Es en este escenariodonde los modelos RBC han servido de marco teórico para evaluar distintaspolíticas fiscales (gasto de gobierno). Sin embargo, tal como lo señala Stadler(1994b), dados los supuestos de los modelos RBC (agente representativo y ausenciade fricciones nominales y reales), ha sido difícil para estos modelos colocarse comoun “marco conceptualmente completo” para el análisis de políticas fiscales.

Además de lo anterior, R. G. King y Rebelo (1999) indican que otra desventaja deconsiderar al gasto público como un shock en los modelos RBC es que el modelo nopuede replicar los comovimientos de las variables macroeconómicas. Por ejemplo,cuando se considera que el único shock del modelo es el gasto público, financiadopor impuestos de suma alzada, se obtiene que el consumo es contracíclico, lo cuales inconsistente con los datos. Esto se debe a que el efecto riqueza negativo queproduce el gasto público induce a la familia a reducir su consumo, pero la incentiva

13Para ver en detalle una revisión de la literatura sobre los multiplicadores fiscales se puede revisarRamey (2011, 2016).


a incrementar las horas trabajadas y, por tanto, el producto agregado. Es decir,un incremento del gasto público financiado con impuestos de suma alzada (en elperiodo actual o en el futuro) reduce la riqueza de las familias debido al incrementoactual (o esperado) de los impuestos, lo cual finalmente incentiva a las familias areducir su consumo.

Hall y Mishkin (1980) y Barro (1981, 1987) analizaron el impacto que tiene elconsumo del gobierno sobre el producto, el empleo y la tasa de interés real. Enambos casos los autores utilizaron el modelo de crecimiento neoclásico estándar.De estos estudios se derivan cuatro conclusiones: la primera es que un incrementotemporal o persistente del consumo público debería aumentar el producto y lashoras trabajadas. La segunda es que Hall y Mishkin (1980) sugiere que los efectossobre el empleo y el producto de un incremento temporal del consumo públicoson mayores cuando este es temporal en comparación con uno permanente. Latercera conclusión es que el multiplicador fiscal (del consumo público) es menora uno (en estado estacionario); es decir, �Y=�G < 1. La cuarta conclusión esque la tasa de interés reacciona diferente dependiendo si el cambio de consumopúblico es temporal o permanente. En el primer caso (cambio temporal), la tasade interés responde positivamente, mientras que en el segundo caso (permanente)prácticamente no cambia (Barro, 1981, 1987).

Estos hallazgos fueron contrastados por Aiyagari, Christiano, y Eichenbaum (1992),quienes utilizaron un modelo de crecimiento neoclásico estándar modificado queincluía una oferta de trabajo variable y un sector gobierno; es decir, un modelo RBCcon sector público. Además, los autores consideraron dos principales supuestos:el primero es que el consumo del gobierno es financiado por impuestos de sumaalzada, y el segundo es que la función de utilidad es aditivamente separable en elconsumo público y privado. Bajo todos estos supuestos, el modelo brinda cuatroconclusiones. La primera es que, de manera similar a Hall y Mishkin (1980) y Barro(1981, 1987), el producto y el empleo responden positivamente al incremento delconsumo público. La segunda es que un cambio persistente del consumo públicotiene efectos más fuertes sobre el empleo y el producto que un cambio temporal.Esto claramente contradice lo sugerido por Hall y Mishkin (1980).

La tercera conclusión es que el multiplicador fiscal (del consumo público) es mayora uno (en estado estacionario) si el cambio del consumo público es permanente; es


decir, �Y=�G > 1 (si �G es permanente). La cuarta conclusión es que la tasa deinterés reacciona positivamente independientemente de la persistencia del cambiodel consumo público. Sin embargo, la persistencia de este último determina lamagnitud de la respuesta de la tasa de interés: a mayor persistencia, mayor es larespuesta de la tasa de interés.

Baxter y King (1993) abordan tres preguntas relevantes en política fiscal: ¿cuálesson los efectos macroeconómicos de las compras temporales/permanentes delgobierno?, ¿cómo cambian los efectos de las compras del gobierno bajo distintasdecisiones de financiamiento? y ¿cuáles son los efectos macroeconómicos si lascompras del gobierno incrementan el stock de capital público? Para responderestas preguntas, los autores introducen variables fiscales en las familias y en lasempresas en el marco teórico de un modelo RBC estándar. En el caso de lasfamilias, se asume que el gasto del gobierno y el stock de capital público brindanutilidad, pero no afectan la utilidad marginal. De otro lado, en el caso de lasempresas se asume que el stock de capital público es un factor de produccióny que sí afecta la productividad de los factores de producción (stock de capitalprivado y trabajo). Asimismo, se considera que al igual que el stock de capitalprivado, el capital público sigue una ley de movimiento de acumulación del capital.Esta ley considera la misma tasa de depreciación del capital privado y la forma deincrementar capital público es por medio de la inversión del gobierno.

Los principales resultados del modelo se pueden resumir en tres grupos. El primerocontiene los impactos del incremento en las compras del gobierno. En este caso, elmodelo predice que el producto responde positivamente ante un shock temporalo permanente de compras del gobierno. En constraste, el consumo en ambosescenarios se contrae, lo cual resulta en una correlación negativa entre el PBI yel consumo. Este resultado no se ajusta a lo observado en los datos. De otrolado, el salario real se contrae y el trabajo se incrementa independientemente de lapersistencia del shock fiscal (temporal o permanente). La contracción del salarioreal difiere claramente con la evidencia empírica.

El segundo grupo de resultados es sobre cómo la decisión o la forma de financia-miento del gobierno podrían cambiar los impactos del shock fiscal. Al comparardos alternativas de financiación (impuestos de suma alzada vs. impuestos distor-cionadores) se observa que el modelo predice una reducción del producto cuando


los impuestos son proporcionales (distorcionadores). Es más, el impacto negativono solo se observa en el producto, sino también en el consumo, inversión y en eltrabajo. Por tanto, los autores concluyen que la forma de financiamiento sí influyesobre los impactos del shock fiscal.

El tercer grupo de resultados es sobre los efectos del shock de capital público. Elmodelo sugiere que el producto y el trabajo responden positivamente, mientrasque el consumo se contrae los primeros seis años para luego mostrar una respuestapositiva los periodos restantes hasta volver al estado estacionario.

Ludvigson (1996) estudia los efectos macroeconómicos de la deuda del gobierno.El análisis usual del impacto del shock fiscal es que el incremento actual del gastopúblico (compras del estado) será financiado por medio de impuestos de sumaalzada en el futuro. Este incremento esperado de los impuestos tiene un efectoriqueza negativo hoy, induciendo a las familias a reducir su consumo y ahorro (=inversión, en economía cerrada). Sin embargo, Ludvigson (1996) sugiere que si lareducción de impuestos distorsionadores (shock fiscal positivo) es financiado poremisión de deuda pública, entonces dicho shock fiscal podría inducir un incrementodel consumo y de la inversión. La racionalidad detrás de este resultado consiste enque las familias observan una reducción actual de los impuestos, pero esperan quese incrementen en el futuro para pagar la deuda pública de hoy. Este incrementoesperado de la tasa de impuestos reduce la tasa de interés futura. Esto se debe a quela tasa impositiva afecta la demanda de capital (por ser proporcional al ingreso).Ante esta reducción de tasa de interés, las familias aumentan su consumo/inversiónhoy por el efecto sustitución, el cual refuerza el incremento inicial por la reducciónde impuestos hoy.

Además, Ludvigson (1996) señala que este efecto sobre el consumo y la inversióndepende de la elasticidad de la oferta de trabajo y el grado de persistencia de ladeuda pública. Tanto es así esto, que a medida que la oferta de trabajo tiende aser más elástica y la deuda pública tiende a ser más persistente, la respuesta delconsumo ante la emisión de deuda se fortalece.

Finn (1998), a diferencia de las investigaciones previas, separa el gasto público endos componentes: compra de bienes finales y la compensación laboral (del sectorpúblico). Las investigaciones previas han centrado su análisis en el primer compo-


nente; sin embargo, la compensación laboral tiene una participación relevante enel gasto público (59% en promedio entre 1950.1 y 1993.4). Además, como señalaFinn (1998), teóricamente el shock a la compra de bienes del sector público tieneefectos distintos sobre el ciclo económico que el shock a la compensación laboralpública. Bajo estas premisas, el autor desarrolla un modelo RBC, del cual emergeun resultado principal: el gasto de gobierno no es una fuente importante de lasfluctuaciones económicas. Esto se observa cuando se evalúa el modelo solo con unshock de productividad en comparación con el modelo que, además del shock deproductividad, contiene el shock fiscal. En particular, la simulación indica que elshock fiscal agrega 0.02% a la desviación estándar del producto.

Fatás y Mihov (2001) utilizan un modelo RBC con un sector de gobierno similaral de Ludvigson (1996). El objetivo de estos autores es evaluar si el modelo RBC,bajo diferentes escenarios fiscales, podría capturar la correlación positiva entre elPBI y el consumo ante la presencia de un shock de gasto público, según sugiere laevidencia empírica. Para ello, los autores evalúan al modelo en cuatro escenarios:

1. Incremento del gasto público financiado por impuestos (de suma alzada),

2. Incremento del gasto público financiado por impuestos (distorsionadores),

3. Reducción del impuesto (distorisionador) financiado por deuda, y

4. Incremento del gasto público financiado por deuda.

Bajo estos escenarios, al menos dos resultados son importantes de mencionar: elprimero es que en los cuatro escenarios fiscales el consumo se contrae, esto revelala dificultad del modelo en capturar el comportamiento observado del consumoante un shock fiscal. El segundo resultado es que el producto se incrementa entodos los casos, excepto cuando el gasto público es financiado por impuestosdistorsionadores, lo cual captura en cierto grado lo sugerido por la evidenciaempírica.

En la Tabla 1.5 se describen cronológicamente algunas investigaciones acerca dela evidencia empírica de las variables fiscales y sus efectos sobre las variablesmacroeconómicas. Asimismo, la Tabla 1.6 muestra la evolución de los diferen-


tes modelos RBC que han incluido el sector gobierno para tratar de capturar laevidencia empírica mencionada en la Tabla 1.5.

Tabla 1.5: Modelos RBC con variables fiscales


Investigaciones empíricasFatás y Mihov 2001 Título: The Effects of Fiscal Policy on Consumption and Em-

ployment: Theory and Evidence.Tema: Estudian el efecto del shock de gasto público sobre elconsumo, la inversión y el empleo.Aporte: Encuentran que ante un shock de gasto público, elempleo, el salario real (del sector manufactura), el producto ylos componentes del consumo (bienes durables, no durablesy servicios) responden positivamente. La respuesta de la in-versión en el corto plazo es negativa, pero se expande en elmediano plazo.

Blanchard y Pe-rotti

2002 Título: An Empirical Characterization of the Dynamic Effectsof Changes in Government Spending and Taxes on Output.Tema: Analizan el efecto del shock del gasto público y deimpuestos sobre el producto.Aporte: Encuentran que ante un shock de gasto público po-sitivo (o shock de impuestos negativo) el PBI se incrementa.Además, bajo un shock de gasto público el consumo se incre-menta y la inversión se contrae (marginalmente).

Galí et al. 2007 Título: Understanding the Effects of Government Spendingon Consumption.Tema: Analizan el efecto del shock del gasto público sobrelas variables macroeconómicas y proponen un modelo NEKque captura la evidencia empírica.Aporte: Encuentran que el consumo y el producto se incre-mentan ante un shock de gasto público. En contraste, la in-versión se contrae (significativamente). Además, proponenun modelo NEK con familias ricardianas y no ricardianasque permite capturar los efectos empíricos del shock de gastopúblico.


Pappa 2009 Título: The Effects of Fiscal Shocks on Employment and theReal Wage.Tema: Análisis del impacto del gasto público sobre el empleoy salario.Aporte: Utiliza los modelos DSGE (RBC y NEK) para de-terminar restricciones de signo, las cuales usa en un modeloSVAR. Bajo este último modelo, obtiene que el salario real yel empleo se incrementan ante el aumento de consumo público.El modelo RBC propuesto falla en capturar esta evidenciaempírica, mientras el modelo NEK tiene éxito.

Tabla 1.6: Modelos RBC con variables fiscales (continuación)


Investigaciones teóricasAiyagari et al. 1992 Título: The Output, Employment, and Interes Rate Effects of

Government Consumption.Tema: Analizan los efectos del consumo temporal/permanen-te del gobierno bajo un modelo RBC.Aporte: Pioneros en utilizar un modelo RBC para analizar losefectos del consumo del gobierno. Estudios previos utilizabanel modelo de crecimiento estándar (sin extensiones). El mo-delo captura la respuesta positiva del PBI ante el shock fiscal(independientemente de la persistencia del shock). Además, latasa de interés se incrementa.

Baxter y King 1993 Título: Fiscal Policy in General Equilibrium.Tema: Evalúa los efectos macroeconómicos del gasto fiscal,del tipo de financiamiento y de inversión pública en un modeloRBC.Aporte: El modelo no lográ capturar el incremento observadodel consumo y sugiere que el tipo de financiamiento sí afectala respuesta del producto. Además, indica que un shock decapital público incrementa el producto y el empleo.


Ludvigson 1996 Título: The Macoeconomic Effects of Government Debt inStochastic Growth Model.Tema: Estudia los efectos macroeconómicos de la deuda pú-blica en un modelo RBC.Aporte: Analiza los efectos de un shock fiscal positivo (re-ducción de impuestos distorsionadores) financiado por deuda.Esto es distinto de la forma estándar para analizar el shockfiscal (" gasto público financiado por impuestos de suma alza-da). En este escenario, el modelo predice un incremento delproducto y consumo, lo cual es consistente con los datos.

Finn 1998 Título: Cyclical Effects of Government’s Employment andGoods Purchases.Tema: Bajo un modelo RBC estudia si el shock de gasto pú-blico ayuda a explicar el ciclo económico.Aporte: Diferencia dos componentes del gasto público (consu-mo vs. compensaciones). Los modelos usuales han estudiadoel primer componente dejando de lado el segundo. Bajo unmodelo RBC que considera los dos componentes, se concluyeque el shock de gasto público no ayuda a explicar los cicloseconómicos.

Fatás y Mihov 2001 Título: The Effects of Fiscal Policy on Consumption and Em-ployment: Theory and Evidence.Tema: Estudia cuatro escenarios fiscales en un modelo RBC.Aporte: La principal conclusión es que en los cuatro escena-rios fiscales el consumo se contrae en contraste por lo predichopor los datos.

1.3.2.4 Investigaciones asociadas al dinero

En este apartado se describen dos conjuntos de investigaciones. El primer conjuntose refiere a la investigaciones empíricas, las cuales sugieren que el shock de políticamonetaria tiene efectos sobre el producto y el precio. El segundo conjunto resumelos diferentes modelos RBC que han tratado de capturar este comportamientoobservado en los datos. Una conclusión que se desprende de todas estas inves-tigaciones es que el modelo RBC necesita otros supuestos, como las friccionesnominales y reales, para poder capturar los efectos del shock monetario sobre lasvariables reales.


A. Evidencia empírica

En la literatura existente hay un conjunto vasto de investigaciones que sugieren queel shock monetario (o shock de política monetaria) tiene efectos sobre el producto yel precio (Friedman y Schwartz, 1963; Romer y Romer, 1989; Bernanke y Blinder,1992; Shapiro, 1994; Leeper, 1997; Christiano, Eichenbaum, y Evans, 1999; Fausty Henderson, 2004; Bernanke, Boivin, y Eliasz, 2005; Smets y Wouters, 2007;Coibion, 2012; Ahmadi y Uhlig, 2015). Por lo general, es un consenso en la litera-tura empírica que un shock de política monetaria contractivo (reducción de la tasade crecimiento de la oferta del dinero) tiene efectos negativos (importantes) sobreel producto. En el caso de la respuesta del precio, la literatura no es concluyente.Lo que se espera es que ante un shock de política monetaria contractivo el precio sereduzca (debido a una reducción de la demanda); sin embargo, lo que se observa,en algunas especificaciones14, es que en el corto plazo el precio se incrementa.A este hecho empírico Eichenbaum (1992) lo denominó “el enigma del precio”(Price Puzzle).

De otro lado, Christiano y Eichenbaum (1992b, 1992a) indican que un shockmonetario positivo (incremento de la tasa de crecimiento de la oferta de dinero)reduce la tasa de interés, pero aumenta el producto, el empleo y el salario real.

Además de lo anterior, Christiano et al. (1999) subrayan dos temas importantes: elprimero se refiere a la identificación del shock de política monetaria y el segundo,a la evaluación del modelo que busca capturar la evidencia empírica.

Con respecto al primero es importante diferenciar dos componentes de las accionesde política monetaria: el primer componente es la respuesta a comportamientosno monetarios en la economía, y el segundo es el shock monetario propiamentedicho. Esta separación es importante porque antes de construir algún modeloDSGE (con dinero) es necesario saber cómo reacciona la economía después deun shock monetario. Para identificar el shock monetario, la literatura existentesugiere tres estratégias. La primera es asumir que la autoridad monetaria respondeal estado de la economía por medio de una regla de retroalimentación, y todos

14Por ejemplo, Christiano et al. (1999) bajo su especificación econométrica (SVAR) encuentranque el precio aumenta (enigma del precio), pero en una pequeña magnitud. En constraste, Smets yWouters (2007), bajo un DSGE estimado, encuentra que el precio se reduce (ausencia del enigma delprecio).


aquellos movimientos de política monetaria que no se desprenden de esta reglason catalogados como shock monetario. Los modelos RBC con sector monetariousualmente siguen esta forma de identificar el shock monetario. La segundaestrategia es buscar en los datos algún signo de política monetaria exógena. Latercera es identificar el shock de política monetaria por medio del supuesto de queeste shock no afecta la actividad económica en el largo plazo.

El segundo tema importante es la evaluación de los modelos. A diferencia dela forma usual de evaluar los modelos RBC, en los cuales se comparaban losestadísticos del modelo teórico con los observados en los datos, en este caso secomparan las funciones impulso-respuesta observadas en los datos con lo obtenidodel modelo. Esto permite discriminar qué modelos (y bajo qué supuestos) seacercan más a la realidad.

B. Modelos teóricos

Cooper (1998) señala que cualquier modelo que incluya política monetaria enfrentados dilemas. El primer dilema es que el modelo debe tener la capacidad de generaruna demanda de dinero. El segundo es que el modelo debe contemplar una fuentede no neutralidad (efectos reales del dinero). Aunque los modelos RBC han tratadode incluir estos dos elementos para capturar los efectos reales del shock monetarioobservado en la evidencia empírica, el resultado es que estos modelos predicen quedicho efecto es pequeño (lo cual es inconsistente con los datos). Esto representa unalimitante principal de los modelos RBC, la cual ha sido superada por los modelosde la Nueva Economía Keynesiana (NEK). Los modelos NEK logran obtener lainfluencia del dinero en el corto plazo y sus efectos sobre el ciclo económico bajodos supuestos principales: competencia monopolística (fricción real) y rigidez deprecios (fricción nominal).

En este apartado se categorizan las investigaciones teóricas (modelos RBC condinero), de acuerdo con la forma en cómo cada una de ellas ha modelado lademanda de dinero. Bajo esta premisa, en la literatura existente se pueden distinguirque los modelos RBC usualmente han considerado tres formas de obtener unademanda de dinero: restricción cash in advance, saldos reales en la función deutilidad y efectos de liquidez. La primera forma indica que el dinero es requeridopara comprar bienes; la segunda indica que los saldos reales brindan utilidad directaal consumidor; y la tercera indica que el dinero puede ser requerido para ahorrar


costos de transacción asociados a la compra de bienes. En esta sección se describelas dos primeras formas de obtener una demanda de dinero.

Restricción cash in advance. El fundamento teórico de la restricción cash inadvance fue desarrollada por Lucas y Stokey (1983, 1987), y Svensson (1985).Asimismo, la aplicación empírica ha sido desarrollada por varios autores entre loscuales se encuentran Eichenbaum y Singleton (1986), Cooley y Hansen (1989,1991, 1992), Greenwood y Huffman (1987) y Christiano (1991). En este apartado,se describen dos de estas investigaciones: la de Eichenbaum y Singleton en 1986,y la de Cooley y Hansen en 1989. Esto se debe a que la primera investigación fueun esfuerzo inicial en evaluar si los modelos RBC con dinero tienen la capacidadde capturar la evidencia empírica. La segunda investigación es elegida porquerepresenta un aporte significativo al estudio del dinero en el marco de los modelosRBC.

Eichenbaum y Singleton (1986) evaluaron si los shocks de política monetaria fueronimportantes en determinar la actividad económica durante el periodo posterior a laSegunda Guerra Mundial. Para ello se basaron en dos modelos: el primero es unmodelo monetario; es decir, se considera una restricción de cash in advance paradeterminar la demanda de dinero, y se concibe un regla monetaria para representarla oferta de dinero. El segundo es un modelo RBC (sin mercado de dinero). Cabemencionar que ambos modelos son similares en la representación de los agentes(familia y empresa) y en la consideración de los parámetros. La única diferenciaes el componente monetario. Asimismo, ambos modelos consideran los dosprincipales supuestos de Long y Plosser (1983), utilidad logarítmica y depreciacióntotal, pero bajo el supuesto que el trabajo es fijo. El principal resultado es que lasexpresiones de equilibrio son similares en ambos modelos, lo cual sugiere que eldinero no juega un rol en explicar los ciclos. Es más, bajo una formulación deVAR bivariado (crecimiento del dinero y producto), los autores encuentran que unshock exógeno monetario no es una fuente importante de variación del producto enel periodo de posguerra (1949-1983).

Aunque el trabajo de Eichenbaum y Singleton (1986) es importante en mostrarla débil influencia del dinero en los modelos RBC para explicar los ciclos; noobstante, estos autores no siguieron la evaluación estándar de los modelos RBC:comparar los momentos teóricos (producidos por el modelo) con los momentos


empíricos (producidos por los datos), sino se basaron en un modelo VAR y en lacausalidad de Granger.

A diferencia de ellos, Cooley y Hansen (1989) siguen el proceso estándarde evaluación de un modelo RBC. En particular estos autores agregan almodelo de G. D. Hansen (1985) el mercado monetario similar a Eichenbaumy Singleton (1986). En este modelo el principal mecanismo de transmisióndel dinero es el impuesto inflación; es decir, un incremento del dinero (ofertamonetaria) produce inflación y esta se comporta como un impuesto al reducirla capacidad adquisitiva de los consumidores, la cual finalmente afecta suconsumo e inversión y sus decisiones de trabajo/ocio; en otras palabras, afecta lasvariables reales. El principal resultado del modelo es que las características de losciclos de una economía con alta inflación son similares a una economía con ba-ja inflación. El dinero no juega un rol relevante para explicar los ciclos económicos.

Saldos reales en la función de utilidad. Farmer (1997) desarrolló un modeloRBC donde la forma de obtener la demanda de dinero es por medio del supuestoque los saldos reales brindan utilidad a las familias (función de utilidad con saldosreales). Además, otra de las principales diferencias de este modelo, en comparacióncon los modelos RBC que han considerado el dinero, es que la función de utilidadno sigue la forma estándar de separabilidad temporal15. Esto se debe a que el autorbusca capturar dos efectos observados del dinero. Por un lado, la utilidad marginaldel dinero es pequeña (efecto directo); por otro, la complementariedad del dinerocon otros commodities (consumo y la oferta de trabajo) es alta (efecto indirecto).

Una de las principales implicancias de este tipo de función de utilidad es que enel equilibrio de estado estacionario no solo puede existir una solución única, sinoque para un conjunto de valores de los parámetros la solución es indeterminada.Es decir, que cerca de la senda de crecimiento balanceado existe un continuo de

15La función de utilidad propuesta por Farmer (1997) es:

U.C;M=P;L/ D.F1.C;M=P //

1��

1 � �� .F2.C;M=P //

1��V.L/


equilibrios de expectativas racionales16. El autor subraya que la indeterminacióndel equilbrio de estado estacionario permite al modelo capturar las principalescaracterísticas dinámicas de los datos en Estados Unidos.

1.3.2.5 Investigaciones asociadas al shock a la inversión

Una de las principales críticas a los modelos RBC es que su capacidad de replicarlos hechos estilizados de los ciclos económicos descansa en que el shock deproductividad debe ser significativo y persistente, lo cual no es avalado por laevidencia empírica. Ante ello, diversos autores han estudiado shocks alternativosque tendrían el potencial de explicar los ciclos económicos. Entre ellos, el principales el cambio tecnológico específico a la inversión. Este stock indica que se podríanproducir más unidades de capital con una unidad de inversión debido a la existenciade una tecnología específica a la inversión. Esto es diferente al enfoque ortodoxoque indica que con una unidad de inversión se produce una unidad de nuevo capital,lo cual se puede observar en la ecuación del movimiento del capital.

Uno de los primeros esfuerzos en considerar las fluctuaciones de la inversión comoposible fuente de los ciclos económicos fue realizado por Greenwood, Hercowitzy Huffman en 1988. A diferencia de los modelos RBC estándar, estos autoresintrodujeron un shock a la inversión, lo cual refleja la visión keynesiana sobre elhecho que las fluctuaciones de la inversión son importantes para explicar el ciclo.En este modelo, el mecanismo de transmisión es la tasa de utilización variabledel capital. Los resultados de la simulación de este modelo indican que el shocka la inversión y el mecanismo de transmisión mencionado pueden ser elementosimportantes en la explicación de los ciclos económicos.

En la década de los 90 Greenwood, Hercowitz y Krusell elaboraron dos inves-tigaciones complementarias sobre el rol del cambio tecnológico específico a lainversión. La primera fue publicada en 1997 y se centraron en los efectos de largoplazo de este tipo de cambio tecnológico. La principal conclusión de esta investi-gación fue que dicho cambio tecnológico explica cerca del 60% del crecimientodel producto por hora hombre después de la Segunda Guerra Mundial. Además, en

16El caso que estudia Farmer es un conjunto de equilibrios en estado estacionario (indetermina-ción), pero todos ellos son estables. En contraste, por ejemplo, con el modelo de Ramsey dondeexiste dos equilibrios en estado estacionario, pero solo uno es estable.

74 1.4 Fundamentos teóricos de los modelos RBC

esta investigación estos autores mostraron la evidencia empírica sobre la existenciade este shock. En particular, estos autores observaron dos comportamientos enlos datos: el primero es que en el largo plazo, el precio relativo del equipo se hareducido significativamente mientras que el ratio inversión en equipo/productonacional bruto (PNB) se ha incrementado. El segundo comportamiento es que en elcorto plazo existe una correlación negativa entre el precio del equipo y la inversiónen equipo o PNB. La primera observación sugiere que el cambio tecnológicoespecífico a la inversión podría ser una fuente de crecimiento económico, mientrasque la segunda sugiere que dicho cambio tecnológico podría ser una fuente defluctuación económica.

La segunda investigación fue publicada en el 2000 y su enfoque de estudio fue-ron los efectos de corto plazo del mismo tipo de cambio tecnológico. En estainvestigación, los autores utilizaron el mismo modelo RBC de 1997 con algunasmodificaciones. Una de ellas es que la tasa de utilización del equipo es endógenay tiene un rol importante en la transmisión de los shocks en el corto plazo. Laprincipal conclusión de esta investigación es que el shock específico a la inversiónexplica alrededor del 30% de la variabilidad del Producto Nacional Bruto. Losautores indican que este resultado es significativo, dado que la inversión en elnuevo equipo es solo 7%.

En línea con lo anterior, diversas investigaciones han resaltado la importancia delcambio tecnológico específico a la inversión en la explicación del ciclo económico(Fisher, 2006; Smets y Wouters, 2007; y Justiniano y Primiceri, 2008). Sinembargo, al introducir este shock en los modelos DSGE se encuentra que produceuna correlación negativa entre el consumo y la inversión, lo cual es contrario a losdatos (Guerrieri, Henderson, y Kim, 2010). Esto representa la principal debilidadde este tipo de shock y es uno de los principales retos de los modelos DSGE.

1.4 Fundamentos teóricos de los modelos RBC

En esta sección se describen los principales supuestos de los modelos RBC y lospasos para desarrollar un modelo de este tipo.


1.4.1 Principales supuestos

Supuestos generales. Estos supuestos se concentran esencialmente en el tipo deeconomía, tipo de mercado y en los agentes que participan en el modelo.

• Usualmente, los modelos RBC suponen economía cerrada, lo cual implica quela inversión sea igual al ahorro. Sin embargo, varios autores han extendido elmodelo a economía abierta (Mendoza, 1991 y 1995).

• Los mercados de factores y bienes finales son de competencia perfecta. Noobstante, Rotemberg y Woodford (1993) evaluaron las implicancias del modeloRBC bajo el supuesto de competencia monopolística en el mercado de bienes.

• Se asumen dos agentes económicos: familias y empresas. Cuando se considerael gobierno, este es considerado por medio de su restricción presupuestaria.Asimismo, la autoridad monetaria es expresada por su restricción presupuestariay por una regla de política monetaria.

• La única fuente de incertidumbre proviene por el lado de la oferta (shock deproductividad).

• El único bien producido es utilizado para el consumo y la inversión.

Agente representativo. Se supone que todas las familias de la economía sonidénticas y que pueden ser representadas por una familia típica. De igual forma,se supone que existe una empresa representativa. Esta forma de simplificar laeconomía evita los problemas de agregación.

Optimización. Se supone que la familia y empresa representativa optimizan unafunción objetivo explícita sujeta a restricciones de recursos y de tecnología, respec-tivamente.

Mecanismos de impulso y de transmisión. Sobre la base de Frisch (1933) y Slutsky(1937), los modelos RBC diferencian dos tipos de mecanimos: de impulso y depropagación.

• El mecanismo de impulso causa que una variable se desvie de su estado estacio-nario.

• El mecanismo de propagación amplifica los efectos del mecanismo de impulsosobre las variables endógenas y hace que la desviación de dichas variables conrespecto a su estado estacionario sea persistente durante un periodo de tiempo.


El principal mecanismo de impulso en los modelos RBC es el shock a la producti-vidad y el principal mecanismo de propagación es la elasticidad de sustitución delocio. En la literatura RBC se pueden observar al menos cuatro tipos de mecanismosde propagación:

Suavizamiento del consumo. Un shock temporal (positivo) sobre la economíaafectará fuertemente el ahorro. En una economía cerrada, la inversión es igualal ahorro; por tanto, la inversión se incrementará permitiendo un mayor stock decapital en el siguiente periodo. Dada su participación en la función de producción,elevará el producto en dicho periodo (mecanismo débil).

Rezagos de inversión. Un shock hoy puede afectar la inversión en el futuro(Kydland y Prescott, 1982) incrementando el producto futuro (mecanismo másusado).

Elasticidad de sustitución intertemporal. Una variación de los salarios incre-menta la cantidad de trabajo ofrecido cuyo efecto sobre el producto es positivo(mecanismo más usado).

Acumulación de inventarios. las firmas acumulan inventarios para hacer frente avariaciones inesperadas en la demanda (mecanismo no consistente con la evidenciaempírica).

Expectativas Racionales. Se supone que los agentes presentes en la economíatienen expectativas racionales con el fin de superar la “Crítica de Lucas”.

Equilibrio General. La teoría RBC mantiene el enfoque de Walras (equilibriogeneral) en un contexto de competencia perfecta (precios flexibles) donde losagentes son precio aceptantes y existen un continuo de equilibrios de mercado,información simétrica, mercados completos y ausencia de fricciones.

Dinámico. Considera un análisis intertemporal, donde las decisiones de los agentesson tomadas intertemporalmente.


1.4.2 Pasos para desarrollar un modelo RBC

En esta sección, se describen de manera práctica los pasos o etapas que se debenseguir en el desarrollo de un modelo RBC y en general en cualquier modelo DSGE.La figura 1.16 esboza los once pasos.

1 2 3 4

Construir elmodelo

Hallar condicionesde 1er orden,

equilibrio y shockCalibración

Hallar el estadoestacionario

8 7 6 5

Simular lasvariables

endógenas

Hallar lasfunciones impulso-

respuesta

Solución delsistema lineal

Log-linealizar elmodelo

9 10 11

Hallar elcomponente

cíclico (Filtro HP)

Hallar losmomentos

teóricos

Comparar losmomentos

teóricos con losempíricos

Figura 1.16: Pasos para desarrollar un modelo RBC

1. Construir el modelo. En esta etapa se definen los principales supuestos delmodelo, los cuales incluyen al menos [a] el tipo de economía (abierta o cerrada), [b]agentes en la economía (familia, empresas, gobierno y autoridad monetaria), [c] lasreglas de comportamiento de cada agente (función objetivo de maximización y lasrestricciones), [d] supuestos sobre el mercado de factores y de bienes (competenciaperfecta o competencia monopolítica o alguna combinación de ambas) y [e] eltipo de shock (productividad, fiscal, monetario, tasa de interés internacional, entreotros).

2. Hallar condiciones de primer orden, equilibrio y shock. En esta etapa seprocede a resolver el problema de optimización de cada agente. Por ejemplo, lafamilia usualmente maximiza su función de utilidad esperada, descontada, sujetaa su restricción presupuestaria. Al resolver este problema de optimización, seobtiene la ecuación de Euler y la oferta de trabajo. De la misma manera se procedecon la empresa, que maximiza su función de beneficios sujeta a la tecnologíadisponible (función de producción). De esta optimización, se obtiene la demandade trabajo y de capital. Además de estas ecuaciones, es necesario indicar, de


manera explícita, las ecuaciones de equilibrio de mercado. Por ejemplo, es usualconsiderar el equilibrio en el mercado de bienes (ct C it D yt ). Finalmente, sedebe de hacer explícito también el comportamiento del shock; es decir, indicar sieste tiene un comportamiento AR(1). Todo este conjunto de ecuaciones representaun sistema no lineal. Es importante mencionar que el número de ecuaciones debeser igual al número de variables para que el sistema esté bien definido.

3. Calibración. Aquí se asigna un valor a cada parámetro. Si el modelo estátotalmente calibrado, entonces todos los parámetros tienen un valor asignado conbase en otras investigaciones. En esta etapa, de manera práctica se podría elaboraruna lista de los parámetros con sus valores asignados y las investigaciones de dondese han extraído dichos valores.

4. Hallar el estado estacionario. Para hallar el estado estacionario es necesariotomar el sistema de ecuaciones de la segunda etapa. A dicho sistema se le eliminatoda la temporalidad; es decir, en todas las ecuaciones se realiza el siguiente cambiode variable: xt D xtC1 D xss , donde xss representa el valor de estado estacionariode la variable “x”. Asimismo, se elimina el operador expectativas en aquellasecuaciones donde se presente. Por ejemplo, al considerar la ecuación de Eulerc�1t D ˇEtc

�1tC1RtC1 en estado estacionario se eliminan las expectativas quedando

c�1t D ˇc�1tC1RtC1, y si además aplicamos el principio previo de eliminar latemporalidad, la ecuación de Euler en estado estacionario sería c�1ss D ˇc

�1ss Rss .

El objetivo de esta etapa es encontrar el valor de estado estacionario de cadavariable del sistema xss en función del conjunto de parámetros, los cuales hansido previamente calibrados. Por ejemplo, de la ecuación de Euler en estadoestacionario se infiere que la tasa de interés real en estado estacionario dependedel factor de descuentos Rss D 1

ˇ.

5. Log-linealizar el modelo. El sistema de ecuaciones no lineal descrito en lasegunda etapa requiere ser linealizado para aplicar los métodos matemáticos desolución de sistemas de ecuaciones lineales. En términos generales, la linealizaciónconsiste en aproximar una ecuación no lineal por medio de la expansión de Taylorde primer orden. En este estadío se puede linealizar el modelo considerando lasvariables en niveles o considerando a las variables en logaritmo. Esta última recibeel nombre de log-linealización. En ambos casos la linealización se realiza alrededordel estado estacionario de cada variable.


6. Solución del sistema lineal. La solución del sistema lineal consiste en encon-trar las funciones de políticas; es decir, las variables de control en función delas variables de estado y variables exógenas. En la literatura existente hay variasformas de resolver el sistema de ecuaciones en diferencias estocásicas. DeJongy Dave (2007) sugieren que al menos cuatro métodos son usuales: método deBlanchard y Kahn (1980), método de Sims (2002), método de Klein (2000) yel método de coeficientes indeterminados de Uhlig (1999). Para encontrar lasolución del sistema, usualmente se utiliza un software como Matlab debido aque el sistema de ecuaciones es grande. En algunos casos como, por ejemplo, elmodelo de Long y Plosser (1983), en su versión de un solo sector, podría tener unasolución analítica. La solución del sistema es importante porque sobre la base deella se obtendrán los pasos siguientes (función impulso-respuesta, simulación delas variables, componente cíclico de cada variable y los momentos teóricos).

7. Hallar la función impulso-respuesta. En esta etapa se calcula la funciónimpulso-respuesta de cada variable del modelo ante el shock definido previamenteen el modelo. Tres elementos se deben de observar en la respuesta de cada variable:la magnitud, el signo, y el número de periodos que demora la variable en volver asu estado estacionario. Esto es importante debido a que usualmente se compara lafunción impulso-respuesta del modelo con lo observado en los datos. Para obtenerla función impulso-respuesta, se expresa cada variable en su forma de serie detiempo ARMA.p; q/. Para ello se utiliza la solución de cada variable obtenida enla etapa previa.

8. Simular las variables endógenas. Al tener cada variable expresada en suformaARMA.p; q/, es posible realizar simulaciones para cada una de las variablesasumiendo que el error de la ecuación del shock es una serie con distribuciónnormal con media cero y varianza constante. Usualmente, el número de periodosque se considera en la simulación es el mismo que se dispone en los datos. Porejemplo, si la muestra disponible con la cual se calculan los momentos empíricoscomprende 120 datos trimestrales, entonces este mismo número se considera parala simulación de las series en el modelo. Otro aspecto es el número de veces quela serie se simulará. En la literatura existente no está claro el número de vecesque se debe simular; sin embargo, se podría considerar un número cercano a 100.Por ejemplo, G. D. Hansen (1985) simuló las series 100 veces al igual que Cooleyy Prescott (1995, cap. 1), mientras que Cooley y Hansen (1989) utilizaron 50simulaciones.

80 1.5 Códigos

9. Hallar el componente cíclico. En la etapas 7 y 8 se han considerado lasvariables en niveles; es decir, cada variable contiene su componente tendencial ycíclico. Sin embargo, para evaluar si el modelo RBC tiene la capacidad de replicarlos hechos estilizados del ciclo económico se debe extraer el componente cíclico decada variable, para luego calcular sus momentos teóricos. En la literatura existentehay varios métodos para extraer el componente cíclico de las variables. El másutilizado en la escuela RBC es el filtro de Hodrick y Prescott (1981).

10. Hallar los momentos teóricos. En esta etapa se calculan los momentosteóricos del componente cíclico de cada variable. Usualmente estos momentostéoricos son cuatro: desviación estándar, autocorrelación, correlación con el PBI ycorrelaciones dinámicas.

11. Comparar los momentos teóricos con los empíricos. Aquí se comparan losmomentos teóricos brindados por el modelo con aquellos encontrados en los datos.El objetivo de esta etapa es evaluar si el modelo es capaz de capturar los hechosestilizados de la economía.

1.5 Códigos

En la Tabla 1.7 se indica el código utilizado en este capítulo.

Tabla 1.7: Códigos en Matlab y Dynare

Códigos Descripción

Hechos_estilizados_agregados.m Este m-file grafica las variables macroeconó-micas en niveles y halla el componente cíclicopor medio del filtro HP. Además, calcula losestadísticos del componente cíclico.

CAPÍTULO 2

FUNDAMENTOS DE DYNARE

2.1 Introducción

Los modelos DSGE se pueden resumir en un conjunto de ecuaciones en diferen-cias con no linealidades. La naturaleza de este sistema exige aplicar métodos

numéricos para aproximarse a la solución. Realizar este trabajo sin un software esmuy tedioso y hasta quizás ineficiente.

Matlab es un software que tiene implementado las herramientas de optimizacióny solución de ecuaciones en diferencias nolineales; además, trabaja bajo un enfo-que matricial. Estas características convierten a dicho software en un candidatoimportante para la solución y simulación de los modelos DSGE. Sin embargo,contextualizar el modelo al lenguaje de Matlab requiere que el usuario tenga unnivel avanzado de programación en dicho lenguaje, lo cual complica la utilizacióndel software.

En este escenario, diversos grupos de economistas, con formación en matemática einformática, han tratado de construir programas basados en Matlab que facilitenla solución de los modelos DSGE. En estos esfuerzos, surge Dynare como unpreprocesador que permite traducir el modelo en lenguaje de Matlab1.

En línea con lo anterior, el objetivo de este capítulo es entender los principalescomandos de Dynare que son utilizados para realizar cada uno de los pasos enla construcción y simulación de un modelo DSGE. Para ello, este capítulo estádividido en tres partes.

1Este capítulo está basado en el manual de Dynare disponible en su página web www.dynare.org.Asimismo, en esta página se encuentra este toolbox listo para descargarlo y diferentes ejemplosilustrativos.

81

www.dynare.org

82 2.2 ¿Qué es Dynare?

En la primera parte, se describen cada uno de los comandos necesarios paratrasladar el modelo DSGE al ambiente de Dynare; además, se mencionan loscomandos necesarios para resolver y simular el modelo.

En la parte siguiente, se ilustran los códigos antes mencionados al aplicarlos en unmodelo RBC básico (modelo de Long y Plosser (1983)). Finalmente, en la últimasección, se hace mención a los códigos utilizados en este capítulo.

2.2 ¿Qué es Dynare?

Dynare es un preprocesador y colector de rutinas de Matlab. Es decir, Dynarees una colección de códigos de matlab que actua como un toolbox. El objetivoprincipal de Dynare es resolver, simular y estimar diferentes modelos no linealescon variables forward looking, entre los cuales se encuentran los modelos DSGE yOLG (generaciones traslapadas).

El principal insumo de este toolbox es un archivo con extensión .mod, dondese escribe el modelo y las sentencias que se desea que Dynare ejecute (resolver,estimar, etc.). Para crear este archivo, se abre un block de notas y se guarda conextensión mod. En este contexto, ¿cómo se invoca Dynare?: luego de crear elarchivo .mod ejemplo.mod, en el prompt de Matlab se coloca lo siguiente:

>> dynare ejemplo

Tabla 2.1: Archivos creados por Dynare

3 archivos intermedios creados por Dynarefilename.m filename_dynamic.m filename_static.m

Contiene [1] declaraciónde variables y [2] tareas decálculo.

Contiene las ecuacionesdel modelo dinámico; esdecir, considera los adelan-tos y rezagos de las varia-bles.

Contiene las ecuacionesdel modelo estático de lar-go plazo; es decir, conside-ra las ecuaciones sin tem-poralidad.

2 Fundamentos de Dynare 83

El comando dynare pone en marcha el preprocesador (Dynare) sobre el archi-vo .mod y ejecuta las instrucciones incluidas en este archivo (“ejemplo.mod”).Considerando un nombre genérico para el archivo .mod “filename.mod”, elpre-procesador crea 3 archivos intermedios (ver tabla 2.1).

Dynare llevará a cabo las tareas de cálculo al ejecutar el archivo “filename.m”.Entre los resultados de Dynare se encuentran 3 variables principales (se muestranen el workspace de Matlab):

Tabla 2.2: Variables creadas por Dynare

3 principales variables (estructura) creada por DynareM_ options_ oo_

Contiene información va-riada del modelo. Porejemplo: el nombre del ar-chivo mod y nombres delas variables.

Contiene los valores de va-rias opciones usadas porDynare durante el cálculo.

Contiene varios resultadosdel cálculo. Por ejem-plo: la función impulso-respuesta y las simulacio-nes.

Dynare guarda estas tres variables en la carpeta de trabajo actual (current folder)con el nombre: “filename_results.mat”. En la figura 2.1 se muestra cómoDynare trabaja con Matlab.

�

ejemplo_static.m

ejemplo_dynamic.m

ejemplo.m

otros

00_

options_

M_

Archivoejemplo.mod

Pre-procesadorDynare

Rutinas deMatlab Resultados

Ambiente de Matlab

Figura 2.1: Dynare como preprocesador de Matlab

84 2.3 Estructura del archivo .mod

2.3 Estructura del archivo .mod

El archivo que contiene el modelo (.mod), el cual será utilizado por Dynare, tieneuna estructura de seis bloques principales (Figura 2.2). El primer bloque es elpreámbulo, en el cual se especifican las variables endógeneas y exógenas, y losparámetros del modelo. El segundo es el modelo propiamente dicho. En estebloque, se escriben las ecuaciones en su versión no lineal o lineal (o log-lineal).El tercero es la especificación de los valores iniciales, los cuales definen el puntode partida para que Dynare calcule el estado estacionario del sistema. El cuartoes el cálculo del estado estacionario. El quinto corresponde a la definición de lavarianza o desviación estándar de los shocks; finalmente, el sexto bloque contieneel cálculo de la solución del modelo, las simulaciones, el cálculo de los momentosy la construcción de las funciones impulso-respuesta.2

Es importante mencionar que además de estos seis bloques se pueden agregar otroscomandos dependiendo de las tareas que se requieran; por ejemplo, si se desea haceranálisis de sensibilidad de los parámetros, se pueden agregar comandos que realicenesta tarea. Los seis bloques antes mencionados son las partes fundamentales quetodo archivo .mod debe tener.

Preámbulo

Modelo

shocks

Simulación de Cálculo

Valores iniciales yEstado estacionario

Se definen las variables endógenas y exógenas;además, se lista los parámetros y sus valoresiniciales.

Se escriben las ecuaciones del modelo no linealo lineal. El número de variables endógenas debeser igual al número de ecuaciones.

Se definen los valores iniciales de las variables(estado estacionario) y se le pide a Dynare quecalcule el estado estacionario de las variables.

Se define la varianza del shock

Se pide a Dynare que calcule los FIRs, momen-tos, etc.

Figura 2.2: Estructura del archivo .mod

2El hecho de que Dynare sea un preprocesador implica que las sentencias del archivo .mod

son “traducidas” al lenguaje de Matlab; no obstante, no es un m.file y, por lo tanto, no podemosejecutarlo por partes.


2.3.1 El preámbulo

En el preámbulo se especifican las variables (endógenas y exógenas) y los pará-metros (y sus valores). Tres comandos le indicarán a Dynare qué variables sondel modelo y cuáles son los parámetros: variables (var y varexo) y parámetros(parameters).

Código 2.1: Declaración de variables endógenas

var variable_name1 $latex_name1$ (long_name= ‘nombre’);

El comando var declara las variables endógenas y tiene tres componentes: elprimero se refiere al nombre de la variable que será utilizado en todo el archivo.mod (variable_name1); el segundo indica el nombre que esta variable tomaráen el archivo LATEX ($latex_name1$); y el tercero es una opción (la cual tieneque estar entre paréntesis) que permite escribir el nombre completo de la variable(long_name= ‘nombre’). La Tabla 2.3 ilustra la utilización de este código.

Tabla 2.3: Ejemplos de declaración de variables endógenas

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3

var var vary y $y_t$ y $y_t$ (long_nameD ‘Producto’)c c $c_t$ c $c_t$ (long_nameD ‘Consumo’)k; k $k_t$; k $k_t$ (long_nameD ‘Capital’);

Código 2.2: Declaración de variables exógenas

varexo variable_name1 $latex_name1$ (long_name= ‘nombre’);

El comando varexo declara las variables exógenas (shocks) y, de la mismaforma que las variables endógenas, tiene tres componentes: el primero serefiere al nombre de la variable que será utilizado en todo el archivo .mod

(variable_name1); el segundo indica el nombre que esta variable tomará enel archivo LATEX ($latex_name1$); y el tercero es una opción (la cual tiene queestar entre paréntesis) que permite escribir el nombre completo de la variable(long_name= ‘nombre’).


Cabe mencionar que en un modelo estocástico usualmente la productividad (at )tiene un comportamiento autorregresivo de la siguiente forma:

atC1 D �at C �t

Donde �t es el componente estocástico, con una distribución normal con mediacero y varianza constate. Para Dynare, at es una variable endógena y debido aque �t es un ruido blanco, esta es considerada como una variable exógena. Portanto, bajo los comandos declarados en el código 2, esta variable exógena se podríaescribir en Dynare de tres formas (ver Tabla 2.4).

Tabla 2.4: Ejemplos de declaración de variables enxógenas


varexo e varexo e $e_t$ varexo e $e_t$ (long_nameD ‘shock de productividad’)

Código 2.3: Parámetros

parameters parametro_name1 $latex_name1$ (long_name= ‘nombre1’)

parametro_name2 $latex_name2$ (long_name= ‘nombre2’);

El comando parameters declara los parámetros que se usarán en el modelo. Nosólo aquellos referidos a las ecuaciones (funciones) de comportamiento de losagentes (por ejemplo la función de utilidad), sino también, los valores iniciales,que usualmente son los valores de estado estacionario, y los parámetros asociadosa los shocks. Además, en este segmento deben ser asignados los valores quecorresponden a cada parámetro (calibración). El cuadro 2.5 describe tres ejemplosde la declaración de los parámetros y de la asignación de sus valores.

Tabla 2.5: Ejemplos de declaración de parámetros


parameters parameters parametersbeta beta $ n beta$ beta $ n beta$ (long_nameD ‘Elasticidad de Frisch’)delta; delta $ n delta$; delta $ n delta$ (long_nameD ‘Depreciación’);beta=0.99; beta=0.99; beta=0.99;delta=0.22; delta=0.99; delta=0.99;


2.3.2 El modelo

El modelo (sistema de ecuaciones no lineales) es declarado en Dynare por mediodel bloque model;...end;.

Código 2.4: Declaración del modelo

model(opciones); ecuación1; ecuación2;...;ecuaciónN; end;

Este bloque detalla las ecuaciones principales del modelo. Se puede escribir elmodelo (no-lineal) en Dynare tal como se tiene en el papel y para ello se introducenlas ecuaciones en el ambiente model;$---$ end;

Código

model;ecuación1;ecuación2;...ecuaciónN;end;

Se tiene que tener en cuenta que el número de ecuaciones debe ser igual al númerode variables endógenas. Si el modelo que se escribe en Dynare está linealiza-do (sea con variables en niveles o variables en logaritmo), entonces se escribe:model(linear).


Ejemplo 1: modelo RBC elemental (no-lineal)

Ejemplo 2: modelo lineal

Variables endógenas

Variables

exógenas Parámetros

Ley de

movimiento

del capital

Ecuación de

Euler

PR

EÁ

MB

UL

O

MO

DE

LO

M

OD

EL

O

Modelo

lineal

Figura 2.3: Modelo no lineal y lineal

2.3.3 Valores iniciales

Dentro de este bloque se colocan los valores iniciales de cada una de las variablesendógenas, los cuales generalmente son los valores de estado estacionario calcula-dos por el usuario. Estos valores son utilizados por Dynare como punto de partidapara el cálculo del estado estacionario. Es importante mencionar que cuando elmodelo está en forma log-lineal los valores de estado estacionario de las variables(en log-desviaciones) son iguales a cero; por tanto, los valores iniciales son igualesa cero, también.

Código 2.5: Declaración de los valores iniciales

initval;

variable_name1 = valor1;

variable_name2 = valor2;

...;

variable_nameN = valorN;

end;

La Tabla 2.6 describe dos ejemplos de valores iniciales.


Tabla 2.6: Valores iniciales (modelo no-lineal y lineal)

Código Ejemplo (no-lineal) Ejemplo (log-lineal)

initval; initval; initval;

variable_name1 = valor1; c = 0.5; ch = 0

variable_name2 = valo2; k = 0.1; kh = 0

... ... ...

variable_nameN = valorN; y = 0.8; yh = 0

end; end; end;

Es preciso mencionar que la variable ch es igual a “lnct � lncss”; es decir, es ladesviación de la variable en logaritmo con respecto a su estado estacionario, lacual, por construcción, en estado estacionario es igual a cero.

Los valores iniciales son los que Dynare utilizará en el “filename_static.mod”para calcular el estado estacionario. Dynare necesita un punto de partida paradicho cálculo debido a que el método de solución es de apróximaciones sucesivas(método de Newton).

2.3.4 Estado estacionario

Dynare tiene dos formas de considerar el estado estacionario del modelo. Laprimera es que Dynare mismo calcule el estado estacionario. Para ello, Dynareutiliza el método de Newton para resolver ecuaciones no lineales. La segundaes brindarle a Dynare un archivo de Matlab (m-file) que contenga el estadoestacionario.

El método de Newton, conocido también como el método de Newton � Raphson,es una técnica orientada a resolver ecuaciones no lineales. Esta técnica encuentrala solución por medio de iteraciones sucesivas desde un punto inicial. El objetivode esta técnica consiste en encontrar los valores de la variable “x” que hacen quela función (o ecuación) sea cero; es decir, busca las raíces de la función:

f .x/ D 0

La técnica empieza con un punto inicial x0 y aproxima el siguiente valor de “x”


por medio:

x1 D x0 �f .x0/

f0.x0/

Generalizando��! xnC1 D xn �

f .xn/

f0.xn/

Esto aplicado al cálculo de estado estacionario del modelo se tiene, por ejemplo,para la función de producción:

yt D atk˛t h1�˛t

Definimos f .x/, donde x D Œyt ; at ; kt ; ht �

f .x/ D yt � atk˛t h1�˛t D 0

El objetivo es encontrar la solución; es decir, el estado estacionario (xt D xtC1).Para ver mayor detalle del método, revisar Kelley (2003).

Código 2.6: (Método 1) Usando el método de Newton

steady;

Para que Dynare calcule el estado estacionario utilizando el método de Newtonse coloca el comando steady después del bloque del modelo. Para ello, consideracomo punto inicial los valores indicados en la sección initval. Dynare aplica elmétodo de Newton al modelo estático (el modelo del .mod sin rezagos ni adelantos)para encontrar el estado estacionario.

Código 2.7: Guardando el estado estacionario

oo_.steady_state;

El estado estacionario calculado por steady se guarda en “oo_.steady_state”.Cabe mencionar que el orden en que aparecen los estados estacionarios es el mismoal como han sido declaradas las variables endógenas en la sección var.

Código 2.8: (Método 2) Usando un archivo que contenga el estado estacionario

dos opciones

En este segundo método, existen dos opciones:


• bloque de “estado estacionario” en el .mod. en este caso se define cadavariable en función de los parámetros profundos. El código es:

steady_state_model; r = 1/beta; k = delta*beta;...;end;

El m-file en que guardará Dynare los estados estacionarios es“NombreMod_steadystate2.m”. Donde “NombreMod” es el nombre delarchivo “.mod”. Cabe mencionar que este bloque se coloca después del bloque deparámetros.• m-file que contenga el “estado estacionario”: en este caso se puede construiruna función en Matlab que calcule los estados estacionarios. Esto requiere hacerun poco más de programación en un m-file.

2.3.5 Dynare y LATEX

En Dynare, existe la posibilidad de trasladar las ecuaciones del modelo al formatode LATEX. Para ello se usan dos códigos dependiendo de qué tipo de modelo sedesea traducir en lenguaje LATEX:

Código 2.9: Modelo dinámico en LATEX

write_latex_dynamic_model;

Este código escribe cada ecuación del modelo en formato LATEX y lo guarda enun archivo “.tex” dependiendo del nombre del archivo “.mod”. Por ejemplo,si el archivo mod tiene el nombre de “campbell.mod”, el archivo en LATEX será“campbell_dynamic.tex”, el cual contiene la lista de todas las ecuaciones diná-micas. Cabe mencionar que si en los parámetros y en las variables se han declaradonombres en versión LATEX, el archivo “.tex” los usará.

Código 2.10: Modelo estático en LATEX

write_latex_static_model;

Este código permite guardar las ecuaciones del modelo, en su versión estática, enun archivo “.tex”. La versión estática significa que en las ecuaciones se han eli-minado los rezagos y adelantos. De la misma manera que el código para el modelodinámico, la versión estática se guarda en “campbell_static.tex\lstinline”(cuando el modelo en Dynare se llama “campbell.mod”).


Cabe mencionar que estos códigos (ecuaciones dinámicas o estáticas) se escribendespués del bloque model.

2.3.6 Definición de los shocks

En este bloque se definen los shocks temporales del modelo (shock de producti-vidad, de gasto público, etc.). En Dynare, las variables exógenas (shock) tomanvalores aleatorios que siguen una distribución normal con media cero y varianzaconstante. En el archivo .mod se debe especificar la varianza.

Código 2.11: Definición de shocks

dos alternativas

Para definir la varianza o desviación estándar del shock existen dos formas:

Alternativa 1 Alternativa 2

shocks; shocks;

var variable_name = valor_varianza; var variable_name;

end; stderr valor_desviación_estándar;

end;

En la Tabla 2.7 se describe un ejemplo de la aplicación del código del bloque delshock.

Tabla 2.7: Definición del shock

Alternativa 1 Alternativa 2

shocks; shocks;

var e = 0.5; var e;

end; stderr $0.5^{1/2}$;

end;


2.3.7 Evaluación del modelo: condiciones de Blanchard y Kahn

Dynare tiene la capacidad de calcular los valores propios del modelo linealizadoalrededor de los valores asignados en el bloque de initval, los cuales usualmenteson los estados estacionarios. En particular, si el número de valores propios conmódulo mayor a uno es igual al número de variables forward looking, entoncesel sistema de ecuaciones linealizadas tiene solución única. En el Capítulo 3 sedetallan estos criterios y el método de solución de Blanchard y Kahn (1980).

Código 2.12: Evaluación del modelo

check;

Este comando calcula los valores propios y los guarda en la variable global“oo_.dr.eigval”. Dynare también cuenta con otro comando que brinda va-rias pruebas de salud del modelo e imprime un mensaje si es que un problema esdetectado: model_diagnostics;.

2.3.8 Cálculo de la solución estocástica

Dynare utiliza el código stoch_simul para obtener las funciones de política y deestado (transición) del modelo.

Código 2.13: Cálculo de la solución estocástica

stoch_simul (opciones);

Este comando resuelve el modelo estocástico (o modelo de expectativas racionales)usando el método de perturbación3. Cabe mencionar que en el proceso de solucióndel sistema de ecuaciones, Dynare utiliza el método de descomposición generali-zada de Schur (o descomposición QZ). Lo que hace este método es descomponer

3Este método construye aproximaciones de series de Taylor para la solución del modelo DSGEalrededor de su estado estacionario determinístico. Este método ha sido utilizado en física y en otrasciencias naturales; en economía fue popularizado por Judd y Guu (1993). Ha ganado popularidad eneconomía en las últimas dos décadas debido a tres razones:• Es adecuado. El método de perturbación encuentra una solución aproximada que es local; es decir,

que es muy adecuada alrededor del punto donde se toma la expansión de Taylor.• El resultado es intuitivo y fácilmente interpretable.


una matriz en tres matrices multiplicativas: A D QUQ�1. La descomposición deSchur mantiene el mismo espíritu que la descomposición de Jordan (ver el capítulo3 para mayor detalle).

Funciones de Impulso-Respuesta (FIR)

Todos los ejercicios econométricos o estadísticos requieren alguna forma decomunicar sus resultados de forma sencilla y transparente. Para los modelosmulti-ecuacionales (y, potencialmente, no-lineales) reportar parámetros raravez cumple el objetivo anterior. Es por esto que los macroeconomistas utilizanlas funciones de impulso-respuesta.

Una función de impulso-respuesta nos entrega un perfil de respuestas sobreun horizonte de tiempo (digamos, 2 años para datos trimestrales) al aplicarun impulso o shock, de ahí su nombre. Esta función es usualmente unacombinación no-lineal de varios parámetros presentes en el modelo.

En términos mas formales, sea xt la variable endógena de interés (por ejemplo,el producto) y " el shock de interés (por ejemplo, un shock tecnológico), laFIR se define como:

FIRx;"� D@xtC�

@"t(2.1)

Dicho de otra forma, es la respuesta en el periodo � de aplicar el shock " en elperiodo t .

Como mencionamos, las FIR usualmente son una expresión no-lineal de losparámetros del modelo. Por lo tanto, se presentan de forma gráfica, con el ejex mostrando el horizonte de interés sobre el cual se quiere evaluar la respuesta,y el eje y mostrando la respuesta de la variable endógena frente al shock.

Como el alumno aprenderá mas adelante, los macroeconomistas tienen par-ticular interés en que las FIR de su modelo DSGE se parezcan a las FIR

• Gracias al desarrollo de software como Dynare y DynareCC, el método de perturbación paramayores grados de expansión es fácil de calcular y no requiere estar familiarizado con métodosnuméricos.


presentes en los datos. Esto se debe a que las FIR entregan un conjunto muyútil de información al econometrista. Nos permiten comparar la magnitud dela respuesta de distintas variables con respecto a los shocks, la persistencia delas respuestas, la dirección de estas, entre otros objetos de interés.

En estricto rigor, las FIR usualmente se obtienen estimando vectores autoregre-sivos estructurales, y son sensibles a los supuestos económicos o estadísticosque imponga el econometrista para poder identificarlos. A pesar de lo anterior,en este texto tomaremos las FIR como un dato externo que nos interesa replicar,postergando la discusión de su estimación.

Dentro de las opciones de stoch_simul se le puede solicitar a Dynare que realiceoperaciones especificas como hallar los impulsos respuestas, estimar los paráme-tros, etc. Por ejemplo:

stoch_simul(order=1;irf=30)

Esta sentencia indica a Dynare que al sistema de ecuaciones no lineales (escrito enel bloque model) lo linealice por medio de una apróximación de Taylor de primerorden, la cual es calculada alrededor del estado estacionario (order=1). Luego,usa esas aproximaciones para calcular la función impulso-respuesta (IRF por sussiglas en inglés) y diversos estadísticos descriptivos (momentos, descomposiciónde varianza, coeficientes de correlación y autocorrelación). Además, esta sentenciale indica a Dynare que calcule la función impulso-respuesta con 30 periodos (irfD 30). El IRF es calculado como la diferencia entre la trayectoria de la variableante un shock (en t D 1) y su estado estacionario. Dynare grafica el IRF solo para12 variables.

El código “stoch_simul” brinda las funciones de política y de estado (conocidastambién como reglas de decisión), cuyos coeficientes se guardan en “oo_.dr” ( dres un diminutivo para decision rules). Cabe mencionar que la función de política,en Dynare, tiene la siguiente estructura:

yt D yss C Axt C But

Donde: yss es el vector del estado estacionario de las variables.


Tabla 2.8: Opciones de stoch_simul

[1] Solución del modelo

orderD entero Indica el orden de la apróximación de Taylor. Losvalores disponibles son 1; 2 y 3 (defaultD 2).Ejemplo: stoch_simul(order = 1);

loglinear Transforma todas las variables en log-lineales. Portanto, nos tenemos que asegurar que los estadosestacionarios son estrictamente positivos. Todoslos resultados (FIR, momentos, función de política,etc) consideran que las variables son log-lineales.Ejemplo: stoch_simul(loglinear);

[2] Función impulso respuesta (FIR)

irfD entero Número de periodos para el cálculo de la FIR (de-faultD 40). Las FIR se guardan en “oo_.irfs”.Ejemplo:stoch_simul(order = 1,irf=30);

irf_shocks D (nombre de lavariable exógena)

Calcula la FIR para la variable exógena solicitada.Se usa cuando en el modelo existen varios shocks.Ejemplo:stoch_simul(order = 1,irf_shocks=(e));

• oo_.dr.ys: guarda los estados estacionarios yss , cuyo orden es similar a comohan sido declaradas las variables en el bloque var.

• oo_.dr.ghx: guarda la matriz “A”. Las filas corresponden a todas las variablesendógenas (en orden como están listadas en “oo_.dr.order_var”), mientrasque las columnas corresponden a las variables de estado.

• oo_.dr.ghu: guarda la matriz “B”. Las filas corresponden a todas las variablesendógenas (en orden como están listadas en “oo_.dr.order_var”), mientrasque las columnas corresponden a las variables exógenas.


2.3.9 Simulación y filtro HP

De la solución del sistema de ecuaciones no lineales se puede obtener el comporta-miento en series de tiempo de cada una de las variables endógenas. Por ejemplo, lafunción de estado del capital podría sugerir que el capital se comporta como unAR(2); o de la función de política del producto se puede deducir que el producto secomporta como un ARMA(2,1). El camino para obtener la serie de tiempo de cadavariable se describirá en detalle en los Capítulos 3 y 4. Al tener la representaciónde series de tiempo se puede realizar una simulación de la variable. Para ello,dos insumos son importantes: el número de periodos (meses, trimestres o años)que deseamos simular la variable, y el número de veces que se desee realizar lasimulación; por ejemplo, se podría desear simular 30 veces la misma variable.

Para realizar esta simulación en Dynare se usan dos comandos en “stoch_simul”:periods y simul_replic. Ambas están descritas en el cuadro 2.9. Por otrolado, si se desea que Dynare grafique alguna variable simulada, se puede escribir,después de “stoch_simul”, el código “rplot nombre_variable” y Dynaremostrará la gráfica.

Asimismo, si se desea evaluar la habilidad del modelo en capturar el compor-tamiento del ciclo económico, es necesario calcular los momentos teóricos delcomponente cíclico de cada variable proveniente del modelo. En ese sentido, esnecesario aplicar un filtro que permita separar el ciclo de la tendencia. Para estatarea, Dynare cuenta con el filtro HP, cuyo código es: hp_filter= entero, quese coloca dentro de “stoch_simul”. El “entero” refleja el parámetro de suaviza-miento, el cual varía en valor dependiendo de la frecuencia (mensual, trimestral oanual). La elección del parámetro radica en la frecuencia en que los parámetrosdel modelo han sido calibrados; por ejemplo, si todos los parámetros del modelo(tasa de depreciación, factor de descuento de la utilidad, etc.) han sido calibradostrimestralmente, entonces el parámetro de suavizamiento en el filtro HP debe sertrimestral. El cuadro 2.9 describe con mayor detalle lo mencionado líneas arriba.


Tabla 2.9: Opciones (continuación) de stoch_simul

[3] Simulación de las variables endógenas

periodsD entero Indica el número de periodos que se usarán en lasimulación de cada variable endógena (solo realizauna simulación). Dicha simulación es guardadaen la matriz global oo_.endo_simul. Bajo estaopción, los momentos empíricos serán calculadosen lugar de los teóricos.Ejemplo:stoch_simul(order = 1, periods=300);

simul_replic=entero Esta opción permite simular las variables elnúmero de veces que se indica en el “entero”.Esta opción siempre va acompañada de la opción“periods”.Ejemplo:stoch_simul(order = 1,periods = 300,

simul_replic = 150);. Este ejemplo indicaque se deben simular 150 veces las variables para300 periodos cada una. Cabe mencionar que estassimulaciones no se consideran para calcular losmomentos empíricos; además, se guardan en“NombreMod_simul”. El valor por default es uno.

rplot nombre_variable Grafica las variables simuladas, que estan guar-dadas en “oo_.endo_simul”. Este comando secoloca después de “stoch_simul”, en el cual esnecesario colocar periods.Ejemplo:stoch_simul(order = 1, periods=150);

rplot c;

[4] Filtro HP

hp_filter= entero Usa el filtro HP con � D entero (mensual:14400;trimestral:1600; anual:100) para calcular losmomentos.Ejemplo:stoch_simul(order = 1,hp_filter = 1600);

2.3.10 Análisis de sensibilidad

Es usual realizar un análisis de sensibilidad del modelo ante cambios en el valor delos parámetros. Por ejemplo, es útil comparar los IRFs del modelo ante dos valoresdistintos del parámetro de persistencia del shock. Para realizar este tipo de tareas,Dynare brinda una opción por medio de comandos “macro”. Este macrolenguajede Dynare provee un conjunto de macrocomandos, los cuales se pueden insertaren el archivo “.mod”. Las principales tareas que realiza este macrolenguaje son:incluir un archivo en el .mod, sustitución de expresiones, estructuras condicionales(if) y bucles (for).

En esta subsección se hace énfasis en los bucles (loops) debido a que estos ayudana realizar análisis de sensibilidad. En el cuadro 2.10 se hace una comparación delmacrolenguaje de Dynare y del código de Matlab. Ambos producen lo mismo;sin embargo, la principal diferencia entre ellos es que el vector que contiene losvalores del parámetro no aparecerá en el ambiente de Matlab cuando corremos elmacrolenguaje, el código de Matlab reemplazará sucesivamente los valores delparámetro, mostrando el último valor en el workspace de Matlab y guardará elvector de valores del parámetro. Cabe mencionar que estos códigos se escribendespués del “stoch_simul”.

Tabla 2.10: Macrolenguaje vs Matlab para análisis de sensibilidad

Macrolenguaje Matlab

rhos D [ 0.8, 0.9, 1]; rhos D [ 0.8, 0.9, 1];

@]for i in 1:3 for i D 1:length(rhos)

rho = rhos(@i); rho D rhos(i);

stoch_simul(order=1); stoch_simul(orderD1);

save oo_ D oo_; save oo_ D oo_;

@]endfor end


2.3.11 Formas de escribir el modelo en Dynare

Una ventaja de Dynare es que se puede escribir el mismo modelo en diferentesformas. En primer lugar se puede escribir el modelo no lineal y esperar que Dynarelo linealice o se puede escribir directamente el modelo linealizado por el usuario.En segundo lugar, las variables se pueden introducir en niveles o en logaritmo.Esto es importante porque cuando Dynare linealice el sistema o el usuario escribael sistema linealizado los coeficientes de la función de política y de estado seleerán como elasticidades. En la siguiente sección se utilizará el modelo de Longy Plosser (1983) para ilustrar los comandos antes descritos. Para dicho fin, seconsiderarán cuatro formas de escribir este modelo en Dynare. El objetivo deesto último es ver las diferencias entre ellos en cuanto a la solución, la funciónimpulso-respuesta y los momentos.

En el cuadro 2.11 se describen los cuatro archivos .mod que reflejan las cuatroformas distintas de ingresar o escribir un modelo en Dynare. Como se mencionópreviamente, los cuatro archivos contienen el mismo modelo.

Tabla 2.11: Cuatro formas de escribir un modelo en Dynare

Modelo (.mod) Descripción

Long_Plosser_Dynare_lineal_log.mod (mod1) Este .mod contiene las ecuacioneslog-lineales. Cabe resaltar que elvalor de estado estacionario de cadavariable log-lineal es igual a cero.

Long_Plosser_Dynare_lineal_niv.mod (mod2) Este .mod contiene las ecuacioneslineales pero con las variables en ni-veles.

Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod (mod3) Este .mod contiene las ecuacionesno-lineales y con las variables en lo-garitmo.

Long_Plosser_Dynare_nolineal_niv.mod (mod4) Este .mod contiene las ecuacionesno-lineales y con las variables en ni-veles.


2.4 Modelo de Long y Plosser (1983): Aplicación en Dynare

2.4.1 Modelo de Long y Plosser (1983)

Con el fin de aplicar los códigos de Dynare antes descritos en la solución ysimulación de un modelo de equilibrio general, en esta sección se utilizará elmodelo de Long y Plosser (1983), el cual es descrito en detalle en el Capítulo 3.Además, es preciso mencionar que este modelo tiene dos supuestos importantes: elprimero es que el capital se deprecia totalmente en cada periodo, y el segundo esque la utilidad es logarítmica en el consumo y el ocio. En la Tabla 2.12 se describeel problema de optimización de la familia y de la empresa.

En cada problema de optimización se obtienen condiciones de primer orden quereflejan el comportamiento de cada agente. En conjunto, estas reglas de comporta-miento conforman un sistema de ecuaciones no lineales estocásticas, las cuales sedescriben en la Tabla 2.13.

Estas no linealidades hacen difícil su solución. El camino usual para reducir lacomplejidad de este sistema de ecuaciones es obteniendo una apróximación deprimer orden por medio de la expansión de Taylor, la cual es llamada linealización.Como se menciona en el capítulo 3, existen dos formas de linealizar el sistemade ecuaciones. La primera es considerando la variable en niveles y la segunda esconsiderando la variable en logaritmo. La Tabla 2.14 muestra las ecuaciones luegode linealizar el modelo considerando las variables en niveles, donde para el casodel consumo se tiene:ect D ct � css .

Tabla 2.12: Problema de optimización de los agentes

Familias Empresas

maxfct ;ht ;ktC1g

1tD0

E0

1XtD0

ˇt�ln.ct /C �ln.1 � ht /

�ct C it D wtht C rtkt C �t

ktC1 D it

maxfkt ;lt g

1tD0

�t D yt � Œwtht C rtkt �

yt D atk1�˛t h˛t

102 2.4 Modelo de Long y Plosser (1983): Aplicación en Dynare

Tabla 2.13: Sistema de ecuaciones no lineales del modelo (Long y Plosser,1983)

Agente Ecuaciones Descripción

Familia 1ctD ˇEt

�1

ctC1rtC1

�Ecuación de Euler

ktC1 D it Ley de movimiento del capital�

1�htD

wtct

Oferta de trabajo

Empresa yt D atk1�˛t h˛t Función de producción

rt D .1 � ˛/ytkt

Demanda del capital

wt D ˛ytht

Demanda de trabajo

Equilibrio yt D ct C it Equilibrio mercado de bienes

Shock ln at D � ln at�1 C �t Shock de productividad

Por otro lado, la Tabla 2.15 muestra las ecuaciones linealizadas considerando lasvariables en logaritmo. En este enfoque, el cambio de variable, por ejemplo para elconsumo, sigue la siguiente forma:bct D lnct � lncss .

Tabla 2.14: Sistema de ecuaciones lineales del modelo (Long y Plosser,1983)


Familia ect D ˇEt .rssectC1 � csser tC1/ Ecuación de EulerektC1 Dei t Ley de movimiento del capitalewt D wss.1�hss/

eht C �1�hss

ect Oferta de trabajo

Empresa eyt D yssasseat C .1 � ˛/ysskssekt C ˛ yssasseht Función de producción

ysskssekt Deyt � kss

1�˛er t Demanda del capitalewt D � ˛

hss

�eyt � �˛yssh2ss

�eht Demanda de trabajo

Equilibrio eyt Dect Cei t Equilibrio mercado de bienes

Shock eat D �eat�1 C �t Shock de productividad

La Tabla 2.16 muestra los valores que toman los parámetros del modelo, los cualesestán basados en King y Rebelo (2000). Cabe mencionar que estos parámetros sehan obtenido considerando que los datos son trimestrales. Por tanto, cada periodoen el modelo, sea en la simulación como en la función impulso-respuesta, se


Tabla 2.15: Sistema de ecuaciones log-lineales del modelo (Long y Plosser,1983)

Ecuaciones log-lineal Descripción

Œ1� bct D Et �bctC1 �br tC1� Ecuación de Euler

Œ2� bktC1 Dbi t Ley de movimiento del capital

Œ3� hss1�hss

bht D bwt �bct Oferta de trabajo

Œ4� byt Dbat C .1 � ˛/bkt C ˛bht Función de producción

Œ5� br t Dbyt �bkt Demanda de capital

Œ6� bwt Dbyt �bht Demanda de trabajo

Œ7� byt D cssyssbct C iss

yssbi t Equilibrio en el mercado de bienes

Œ8� bat D �bat�1 C �t Shock de productividadNota: Para obtener directamente la solución del modelo con Dynare se puede utilizar el archivo“Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

entiende como un trimestre.

La Tabla 2.17 menciona el estado estacionario de cada variable. Para calcular esteequilibrio de largo plazo se asume que la variable es la misma, independientementede la temporalidad; es decir, xt D xtC1. En ese sentido, todos los rezagos yadelantos presentes en el sistema de ecuaciones que reflejan el modelo, desaparecen.Es en este escenario donde se calcula el estado estacionario para cada variable, elcual finalmente depende de los parámetros del modelo. El detalle de cómo se llegóa cada expresión se encuentra en el Capítulo 3.

Tabla 2.16: Calibración

Parámetro Observación

˛ D 0:667 Proporción de largo plazo del trabajo en el ingreso nacional

� D 3:968 Calibrado para que el trabajo en estado estacionario sea igual a 20%

� D 0:979 Persistencia del shock

ˇ D 0:984 Factor de descuento

�e D 0:0072 Desviación estándar del shock de productividad


Tabla 2.17: Estado estacionario

Estado estacionario (forma recursiva) Estado estacionario (forma paramétrica)

rss D1ˇ

D1ˇ

hss D˛

�.1�ˇ.1�˛//C˛D

˛�.1�ˇ.1�˛//C˛

ass D 1 D 1

kss D hss�

1ˇ.1�˛/

��1=˛D�

˛�.1�ˇ.1�˛//C˛

��ˇ.1 � ˛/

�1=˛iss D kss D

�˛

�.1�ˇ.1�˛//C˛

��ˇ.1 � ˛/

�1=˛yss D kss

�1

ˇ.1�˛/

�D�

˛�.1�ˇ.1�˛//C˛

��ˇ.1 � ˛/

� 1˛�1

css D kss�

1ˇ.1�˛/

� 1�

D�

˛�.1�ˇ.1�˛//C˛

��ˇ.1�˛/

�1=˛� 1ˇ.1�˛/

�1�

wss D ˛ysshss

D ˛�ˇ.1 � ˛/

� 1˛�1

Nota: El cálculo de los estados estacionarios se encuentran en Long_Plosser.m (Sección 2) (ver elCapítulo 3).

2.4.2 Preámbulo

Definición de las variables endógenas. La Tabla 2.18 describe la declaración delas variables endógenas en cada uno de los archivos .mod y de él se desprendencuatro conclusiones. La primera es que en el [mod1] cada variable declarada esla variable que aparece en el modelo no-lineal. Por ejemplo “c” representa elconsumo en periodo “t”.

La segunda es que en el [mod2] cada variable declarada representa el logaritmoneperiano de la variable. Por ejemplo “cc” es igual al “ln ct”. Cabe mencionar queel [mod1] y [mod2] contienen al modelo no-lineal. La tercera es que en el [mod3]cada variable declarada representa la desviación de la variable con respecto a suestado estacionario. Por ejemplo, “ct” es igual al “ct � css”. Cabe mencionar que“ct” es una forma de representarect , tal como aparece en el modelo linealizado enniveles (ver la Tabla 2.14).

Además, una cuarta conclusión es que en el [mod4] cada variable declarada repre-senta la desviación del logaritmo de la variable con respecto al logaritmo de suestado estacionario. Por ejemplo “ch” es igual al “lnct � lncss”. De igual formaque en el [mod3], “ch” es una forma de representarbct , tal como aparece en elmodelo log-linealizado (ver la Tabla 2.15).


Asimismo, es importante mencionar que el número de variables declaradas es elmismo que el número de ecuaciones a escribir en el bloque model. Finalmente, laproductividad en Dynare se declara como una variable endógena y es el shock �t elque se declara como exógeno.

Tabla 2.18: Declaración de variables endógenas

Modelo no-lineal Modelo linealVariable en niveles Variable en logaritmo Variable en niveles Variable en logaritmo

(mod1) (mod2) (mod3) (mod4)

var var var varc cc ct chi ii it ihy yy yt yhk kk kt khh hh ht hhr rr rt rhw ww wt wha aa at ah; ; ; ;

Definición de variables exógenas. La única variable exógena es la perturbación(error) de la productividad �t . La forma de introducirlo en el archivo .mod essimilar entre las cuatro versiones.

varexo e $e_t$ (long_name = ’Shock de productividad’);

Dónde: $e_t$ es el nombre que tomará la variable en formato LATEX4, y(long_name = ’Shock de productividad’) es el nombre “largo” que seasigna a la variable.

Definición de parámetros. En la Tabla 2.19 se describe la definición de losparámetros, la cual es similar en los cuatro archivos .mod. Cabe mencionar queno solo se indican los parámetros asociados a las ecuaciones como la función de

4LATEX es un software de código libre diseñado para escribir textos de alta calidad tipográfica.Es una herramienta muy flexible por la cantidad de opciones que posee, especialmente para incluirexpresiones matemáticas (ecuaciones, tablas de regresiones, problemas de optimizacion) de formaelegante y sencilla.


producción, por ejemplo, sino que también se definen como parámetro a los valoresde estado estacionario.

Tabla 2.19: Declaración de los parámetros

parameterstheta $ ntheta$ (long_nameD ’peso del ocio en la función de utilidad’)beta $ nbeta$ (long_nameD ’factor de descuento’)alpha $ nalpha$ (long_nameD ’participación del trabajo en el ingreso nacional’)rho $ nrho$ (long_nameD ’persistencia del shock’)sigma_ee $ nsigma_e$ (long_nameD ’des. est. del shock’)y_ssc_ssi_ssw_ssr_ssk_ssh_ssa_ss;

Nota: Esta declaración de parámetros pertenece al Mod1.

Luego de definir los parámetros es necesario indicarle a Dynare los valores decada uno (calibración), incluyendo los valores del estado estacionario. Esto esimportante porque en el modelo lineal usualmente aparece de forma multiplicativao aditiva el valor del estado estacionar io de algunas variables y además porqueestos estados estacionarios se colocan en el bloque de valores iniciales. En la Tabla2.20 se describe la forma de introducir los valores de los parámetros en Dynare.Estos códigos se escriben después del bloque de parámetros y antes del bloque delmodelo.

¿Donde guarda Dynare la información acerca de las variables y los paráme-tros? Dynare, luego de leer el archivo .mod, crea una variable en el workspace deMatlab: M_, en la que guarda información del modelo. Bajo la categorización delas variables de Matlab, esta variable es una estructura; es decir, puede contenerotras variables, como numéricas (matrices y vectores), lógicas y de cadena decaracteres (texto); inclusive puede contener otra estructura.


Tabla 2.20: Declaración de los valores de los parámetros

Para (mod1) al (mod4)

h_ss=0.2;beta=0.984;alpha=0.667;rho=0.979;sigma_ee=0.0072;theta=alpha*(1-h_ss)/(h_ss*(1-beta*(1-alpha)));r_ss=1/beta;a_ss=1;k_ss=h_ss*(1/(beta*(1-alpha)))^(-1/alpha);i_ss=k_ss;y_ss=k_ss*(1/(beta*(1-alpha)));c_ss=k_ss*(1/(beta*(1-alpha))-1);w_ss=alpha*y_ss/h_ss;

En la Figura 2.4 se observa que la variable M_ contiene un conjunto amplio deotras variables. En este apartado se mencionan aquellas en que Dynare guarda elnombre de las variables y de los parámetros del modelo. Cabe mencionar que dadoque estas variables de Matlab guardan texto (nombres), entonces bajo la tipologiade Matlab son variables de “cadena de caracteres (char)”.

• variable asociada al nombre del modelo: “fname” es una variable que contieneel nombre del archivo .mod.• variables asociadas a la variable exógena: en este caso existen tres variables.La primera es “exo_names”, la cual contiene el nombre de la variable exógena;la segunda es “exo_names_tex”, que contiene el nombre que la variable tomaráen formato LATEX; y, finalmente, “exo_names_long”, que contiene los nombresextendidos de las variables exógenas.• variables asociadas a la variable endógena: al igual que en el caso de lavariable exógena, también existen tres variables para la variable endógena. Laprimera es “endo_names”, la cual contiene el nombre de las variables endógenas;la segunda es “endo_names_tex”, que incluye el nombre que las variables tomaránen formato LATEX; finalmente, “endo_names_long” que contiene dichos nombresextendidos de las variables endógenas.• variables asociadas a los parámetros: en este caso existen cuatro variables.


Figura 2.4: Estructura M_Nota: Esta estructura M_ se obtiene del archivo “Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

Una de ellas es “params”, la cual contiene los valores de los parámetros (en elmismo orden con que se ha escrito en el bloque parameters en el .mod). Las tresvariables restantes están asociadas a los nombres de los parámetros: la primeraes “param_names”, la cual contiene el nombre de los parámetros; la segundaes “param_names_tex”, que incluye el nombre que los parámetros tomarán enformato LATEX; y, finalmente, “param_names_long”, que contiene los nombresextendidos de los parámetros.

Cabe mencionar que para extraer alguna variable hallada dentro de la estructura M_basta escribir en el Command Window de Matlab: “M_.NombreVariable”. Porejemplo, si se desea extraer el nombre del archivo .mod, se escribe lo siguiente:

>> M_.fname

Esto mostrará:

ans =

Long_Plosser_Dynare_nolineal_log

Quiza se requiera extraer la versión completa de los nombres de las variablesendógenas. En dicho caso, se escribe en el Command Window de Matlab losiguiente:

$>>$ M_.endo_names_long

Esto mostrará:


ans =

Ln Consumo

Ln Inversión

Ln Producto

Ln Capital

Ln Trabajo

Ln Tasa de interés real

Ln Salario real

Ln Productividad

Es importante mencionar que una de las variables que tiene la estructura M_ esSigma_e. Esta es una variable especial de Dynare y no se puede usar este nombrepara definir otra variable en el archivo .mod (por ejemplo, la desviación estándardel shock). Sigma_e es la matriz de varianza-covarianza del shock estocástico yse escribe como una matriz triangular superior o inferior. Por ejemplo, para elmodelo no-lineal con variable en logaritmo (mod2), Sigma_e D 0:00005184, locual corresponde a la varianza del shock. Como en el archivo .mod se ha definidoque la desviación estándar del shock es sigma_ee D 0:0072, entonces la varianzaes 0:00005184, que Dynare calcula y guarda en Sigma_e (variable de la estructuraM_).

2.4.3 Modelo

En la Tabla 2.21 se menciona la forma de escribir en Dynare el modelo no-linealconsiderando las variables en niveles o variables en logaritmo. De este cuadrose desprende algunos comentarios generales que son transversales para cualquiermodelo:

Definición del tiempo: es importante mencionar cómo Dynare considera el “tiem-po”. En primer lugar, cuando se escribe una variable en Dynare en “t”, sólo secoloca la variable. Por ejemplo “c” representa ct . Si se desea escribir una variableadelantada en un periodo, se escribe “c(+1)”, la cual representa ctC1.

Variables de control: Dynare considera que las variables de control están escritasen “t” y que las variables acompañadas por (+1) son forward looking. En este caso,


no es necesario escribir las expectativas porque Dynare entiende que cualquiervariable escrita en (+1) siempre lleva acompañado el operador de expectativas Et .Por ejemplo, la ecuación de Euler descrita en la Tabla 2.21 no lleva el operador deexpectativas.

Variables de estado: es importante mencionar que el capital, en este modelo, esuna variable de estado; es decir, en “t” ya está determinada. Entonces, el capitalen “t+1” es ktC1, el cual fue determinado en “t”. Por tanto, cuando se escribaen Dynare se debe colocar “k” para representar ktC1, y cuando en una ecuaciónaparezca kt se debe escribir en Dynare como “k(-1)”. Esto se puede observar enla demanda de capital y la función de producción en la Tabla 2.21. Por ejemplo,la función de producción es yt D atk˛�1t h˛t , la cual se escribe en Dynare como:y=a*((k(-1))^(1-alpha))*h^(alpha).

Además de lo anterior, en la Tabla 2.21 se pueden desprender algunas conclusionesespecíficas:

Modelo no-lineal con variables en niveles (mod1): en este caso, la variable querepresenta el consumo es “c”, lo cual es similar para las demás variables. Lasecuaciones están escritas de la misma forma que en el papel; es decir, son lasrelaciones de primer orden no lineales que surgen de la optimización. Cuando aDynare se le pida que realice la linealización, creará la variable x D x � xss .

Modelo no-lineal con variables en logaritmo (mod2): en este caso, en Dynarese define la variable “ln x” como “xx”. Esto se realiza con el fin de considerarlas variables en logarítmos. Entonces, en cada ecuación del sistema no-lineal, enlugar de escribir “x” se reescribe dicha variable como “exp(ln x)”, la cual brindael mismo “x”. Pero se sabe que “xx = ln x”, entonces “exp(ln x)” se convierteen “exp(xx)”. Esta última expresión es lo que se escribe en Dynare para cadavariable. Cuando a Dynare se le pida que realice la linealización, creará la variablexx D xx � xxss D ln x � ln xss .

Con respecto a la versión lineal del modelo, la Tabla 2.22 muestra las dos alter-nativas de linealizar el modelo: en niveles (mod3) o en logaritmo (mod4). Cabemencionar que esta linealización la realiza previamente el usuario y luego escribeel modelo linealizado en Dynare; en este caso Dynare ya no aplicará la aproxi-


Tabl

a2.

21:D

ecla

raci

ónde

lmod

elo

no-l

inea

l

Var

iabl

esen

nive

les

(mod

1)V

aria

bles

enlo

gari

tmo

(mod

2)

model;

model;

1/c=beta

*(1/c(+1))*(

r(+1));

1/exp(cc)=beta*(

1/exp(cc(+1)))

*(exp(rr(+1)));

k=i;

exp(kk)=exp(ii);

theta/(1-h)=w/c;

theta/(1-exp(hh))=exp(ww)/exp(cc);

y=a *

((k(-1))O(1-alpha)) *

hO(alpha);

exp(yy)=exp(aa) *((exp(kk(-1)))O(1-alpha)) *

exp(hh)O(alpha);

r=(1-alpha) *

y/k(-1);

exp(rr)=(1-alpha) *exp(yy)/exp(kk(-1));

w=(alpha) *

y/h;

exp(ww)=(alpha) *exp(yy)/exp(hh);

y=c+i;

exp(yy)=exp(cc)+exp(ii);

ln(a)=rho *

ln(a(-1))+e;

aa=rho*aa(-1)+e;

end;

end;


mación de primer orden de Taylor sobre el modelo. Esto es diferente a los dosmodelos previos donde el usuario escribía el modelo no-linal y solo cambiaba lanaturaleza de la variable (lineal o logarítmica). De la Tabla 2.22 se desprendenalgunas consideraciones:

Modelo lineal: cuando se desea escribir un modelo linealizado en Dynare se debecolocar la opción linear en el bloque model. Esto se hace de la siguiente manera:model (linear); . . . end;

Modelo lineal con variable en niveles (mod3): en este caso, se ha definido lavariable xt D x�xss . Dicha variable es la que representa la variableext del cuadro2.14.

Modelo lineal con variable en logaritmo (mod4): en este caso, se ha definidola variable xh D ln x � ln xss . Dicha variable es la que representa la variablebxtde la Tabla 2.15.

Una diferencia importante de las ecuaciones entre el modelo no-lineal y linealizadoes que en este último los valores de estado estacionario están presentes en lasecuaciones.


Tabl

a2.

22:D

ecla

raci

ónde

lmod

elo

linea

l

Var

iabl

esen

nive

les

(mod

3)V

aria

bles

enlo

gari

tmo

(mod

4)

model(linear);

model(linear);

ct=beta *

(r_ss *

ct(+1)-c_ss *rt(+1));

ch=ch(+1)-rh(+1);

kt=it;

(h_ss/(1-h_ss)) *

hh=wh-ch;

wt=(w_ss/(1-h_ss))*h

t+(theta/(1-h_ss))

*ct;

kh=ih;

yt=(y_ss/a_ss)

*at+(1-alpha) *

(y_ss/k_ss) *

kt(-1)

yh=ah+(1-alpha) *

kh(-1)+alpha*h

h;

+alpha

*(y_ss/h_ss)

*ht;

(y_ss/k_ss) *

kt(-1)=yt-(k_ss/(1-alpha))

*rt;

rh=yh-kh(-1);

wt=(alpha/h_ss) *yt-((alpha

*y_ss)/(h_ss)^

2)*h

t;wh=yh-hh;

yt=ct+it;

yh=(c_ss/y_ss)

*ch+(i_ss/y_ss) *

ih;

at=rho

*at(-1)+e;

ah=rho

*ah(-1)+e;

end;

end;


2.4.4 Valores iniciales

Los valores iniciales son importantes porque son el punto de partida que Dynareutiliza para calcular el estado estacionario por medio de aproximaciones sucesivas.Usualmente, calculamos primero el estado estacionario manualmente para luegointroducirlo en el bloque de valores iniciales. La Tabla 2.23 contiene la formade ingresar los valores iniciales en Dynare según el tipo de modelo que estamosutilizando. De esta tabla se desprenden las siguientes conclusiones:

Modelo no-lineal con variables en niveles: en esta forma de escribir el modelo,el valor inicial de cada variable es el estado estacionario que previamente se hadefinido en el bloque de parámetros “parameters”, y que luego se ha calculado(ver la Tabla 2.20).

Modelo no-lineal con variables en logaritmo: debido a que la variable que se hadefinido es el logaritmo de ella misma (xx = ln x), entonces en los valores inicialesse coloca “xx D lnxss”. Cabe mencionar que en Matlab el logaritmo neperiano(ln) se expresa como “log”.

Modelo lineal con variables en niveles: dado que la variable definida es “xt Dx � xss”, entonces en el bloque de valores iniciales se coloca: xt D xss � xss ,entonces xt D 0.

Modelo lineal con variables en logaritmo: de manera similar al caso anterior,dado que la variable definida es “xh D lnx � lnxss”, entonces el estado estacio-nario es “xh D lnxss � lnxss”, y, en consecuencia, xh D 0, siendo este valor elque se coloca en el bloque de valores iniciales para todas las variables.

Resid. Este comando, que se coloca después del bloque de valores iniciales, calculael residuo en cada ecuación cuando se reemplaza cada variable por su valor inicial;es decir, coloca los valores iniciales en cada ecuación y calcula el residuo entre laexpresión de la derecha menos la expresión de la izquierda. Por ejemplo, para lafunción de producción:

F D yt � atk1�˛t h˛t

En estado estacionario:F D y � ak1�˛h˛


Tabla 2.23: Declaración de los valores iniciales

Modelo no-lineal Modelo linealVariables en niveles Variables en logaritmo Variables en niveles Variables en logaritmo

(mod1) (mod2) (mod3) (mod4)

initval; initval; initval; initval;

h =h_ss; hh =log(h_ss); ht =0; hh =0;

k =k_ss; kk =log(k_ss); kt =0; kh =0;

i =i_ss; ii =log(i_ss); it =0; ih =0;

c =c_ss; cc =log(c_ss); ct =0; ch =0;

w =w_ss; ww =log(w_ss); wt =0; wh =0;

r =r_ss; rr =log(r_ss); rt =0; rh =0;

y =y_ss; yy =log(y_ss); yt =0; yh =0;

a =a_ss; aa =log(a_ss); at =0; ah =0;

end; end; end; end;

Lo que hace Dynare es colocar los valores iniciales en esta ecuación y calcular elresiduo (F). Si este residuo es cero, significa que los valores iniciales introducidosson exactamente los correctos; es decir, hemos calculado correctamente el estadoestacionario. Puede ser que el residuo sea diferente de cero, lo cual indica que noshemos equivocado en el cálculo del estado estacionario, y aún así Dynare encuentreel verdadero valor del estado estacionario. Esto se debe a que Dynare necesitaun punto de partida cercano al verdadero valor del estado estacionario y con elloempezar a iterar. Luego de calcular el estado estacionario, Dynare mostrará dichosvalores en el prompt de Matlab, el cual se encuentra en la Tabla 2.24.

Además, la Tabla 2.24, que corresponde al modelo no-lineal con variables en loga-ritmo, indica que los valores iniciales (estado estacionario calculado) consideradosson exactamente los estados estacionarios correctos del modelo; por ello, el residuode cada ecuación es igual a cero. Si no hemos colocado bien los valores iniciales,Dynare mostrará que el residuo es diferente de cero en algunas ecuaciones, lo cualnos brinda información para detectar en qué variable no hemos calculado el estadoestacionario correctamente. Si el residuo es muy grande, significa que los valoresiniciales son muy distintos o muy lejanos del estado estacionario y Dynare podríaparar el proceso debido a que no logrará encontrar el estado estacionario desde elpunto inicial dado.


Tabla 2.24: El comando Resid: resultados

Residuals of the static equations:Equation number 1 : 0Equation number 2 : 0Equation number 3 : 0Equation number 4 : 0Equation number 5 : 0Equation number 6 : 0Equation number 7 : 0Equation number 8 : 0


La Tabla 2.25 muestra los resultados de aplicar el comando steady;. De estecuadro se desprenden algunas conclusiones:

Modelo no-lineal con variables en logaritmo (mod2): recordemos que en estemodelo las variables están expresadas en logaritmo. Por ejemplo, el logaritmodel consumo está representado por “cc”; es decir, cc D lnc. Entonces en estadoestacionario se tiene que ccss D lncss . Considerando que ccss D �2:56348,entonces css D exp.�2:56348/ D 0:0770361. De la misma manera se hace conlas demás variables.

Modelo lineal: el caso del modelo lineal con variables en niveles (mod3), se sabeque cada variable está expresada como la diferencia entre su nivel y su estadoestacionario. Por ejemplo, para el consumo se tiene ct D c � css . Evaluando lavariable en estado estacionario se tiene: ctss D css � css D 0. De manera similarse tiene para el modelo lineal con variables en logaritmo (mod4). Por ejemplo,para el consumo se tiene: ch D lnc � lncss . Al evaluar esta variable en estadoestacionario: chss D css � css D 0.

¿Dónde guarda Dynare los estados estacionarios?Dynare crea una variable estructura (similar a M_) llamada oo_, en la cual guardalas simulaciones, el estado estacionario, los momentos de las variables endógenas(media, varianza y autocorrelación) y la función impulso-respuesta de cada variable.


Tabla 2.25: Estado Estacionario

Modelo No-Lineal Modelo Lineal

Variables en niveles Variables en logaritmo Variables en niveles Variables en logaritmo(mod1) (mod2) (mod3) (mod4)

c 0:0770361 cc �2:56348 ct 0 ch 0

i 0:037545 ii �3:28221 it 0 ih 0

y 0:114581 yy �2:16647 yt 0 yh 0

k 0:037545 kk �3:28221 kt 0 kh 0

h 0:2 hh �1:60944 ht 0 hh 0

r 1:01626 rr 0:0161294 rt 0 rh 0

w 0:382128 ww �0:962 wt 0 wh 0

a 1 aa 0 at 0 ah 0

En la Figura 2.5 se muestran todas las variables que tiene la estructura oo_.

Figura 2.5: Estructura oo_Nota: Esta estructura oo_ se obtiene del archivo “Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

En particular, la variable que contiene los estados estacionarios calculados porDynare es “oo_.steady_state” (ver la figura 2.6).


Figura 2.6: oo_.steady_stateNota: Esta variable oo_.steady_state se obtiene del archivo“Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

2.4.6 Definición del shock

Para los cuatro archivos .mod se define de manera similar el shock. La Tabla 2.26muestra cómo se escribe en Dynare la varianza del shock de productividad.

Tabla 2.26: Definición del shock

shocks;var e = (sigma_ee)O2;end;

2.4.7 Evaluación del modelo

Para evaluar el modelo, se coloca el código check;. El resultado de este comandoes el vector de valores propios de la matriz F. Esta matriz se obtiene de escribir elmodelo (sistema de ecuaciones lineales) en forma de estado-espacio. La ecuación(2.2) refleja la versión estado-espacio del modelo. En el Capítulo 3 se describecómo se obtiene esta ecuación con mayor detalle.

"XtC1

EtYtC1

#D F

"Xt

Yt

#CGVtC1 (2.2)


En la Tabla 2.27 se escribe el vector de valores propios de cada modelo; además,Dynare muestra un mensaje que indica si el modelo cumple la condición deBlanchard y Kahn. Por ejemplo, en el mod1 se observa que existen cuatro valorespropios cuyos módulos son: 0:333; 0:979; 3:052 y1. De estos cuatro módulos,dos son mayores a uno. De otro lado, el modelo tiene dos variables forward lookingctC1 y rtC1. Por tanto, se cumple la condición de Blanchard y Kahn, la cual indicaque si el número de valores propios cuyo módulo es mayor a uno es igual al númerode variables forward looking, entonces el sistema tiene solución única. Este es elmensaje que Dynare imprime en pantalla.

Tabla 2.27: Valores Propios

Modelo No-Lineal

Variables en niveles (mod1) Variables en logaritmos (mod2)

Módulo Real Imaginario Módulo Real Imaginario0.333 0.333 0 0.333 0.333 00.979 0.979 0 0.979 0.979 03.052 3.052 0 3.052 3.052 0

Inf -Inf 0 9.84E+15 -9.84E+15 0

Hay dos valores propios mayores que 1 Hay dos valores propios mayores que 1en módulo para 2 variables forward-looking en módulo para 2 variables forward-lookingLa condición de rango es verificada. La condición de rango es verificada.

Modelo Lineal

Variables en niveles (mod3) Variables en logaritmos (mod4)

Módulo Real Imaginario Módulo Real Imaginario0.333 0.333 0 0.333 0.333 00.979 0.979 0 0.979 0.979 03.052 3.052 0 3.052 3.052 0

4.59E+17 4.59E+17 0 Inf -Inf 0

Hay dos valores propios mayores que 1 Hay dos valores mayores que 1en módulo para 2 variables forward-looking en módulo para 2 variables forward-lookingLa condición de rango es verificada. La condición de rango es verificada.

¿Dónde guarda Dynare el vector de valores propios?Dentro de la estructura oo_ que Dynare crea cuando procesa el modelo se encuentrala estructura oo_.dr. Esta estructura guarda dos variables importantes: los valores


propios y la regla de decisión; es decir, la solución del modelo. En la Figura 2.7 semuestran las variables que contiene oo_.dr.

Figura 2.7: Reglas de decisión (oo_.dr)Nota: Esta estructura oo_.dr se obtiene del archivo “Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

La Figura 2.8 muestra la variable oo_.dr.eigval, la cual contiene el vector delos valores propios.

Figura 2.8: oo_.dr.eigvalNota: Este vector oo_.dr.eigval se obtiene del archivo“Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

2.4.8 Solución

En la tabla 2.28 se muestra la solución del modelo (función de política y de estado)para los cuatro archivos .mod. Cabe mencionar que el código utilizado para obtenerla solución es:

stoch_simul(order = 1,irf=40);


Donde: “order = 1” indica que el modelo debe ser aproximado por la expansiónde Taylor de primer orden. Esta opción no opera cuando en el bloque del modelo seha especificado que el modelo es lineal por medio de “model(linear)”. Algunasobservaciones emergen de la Tabla 2.28:

Modelo no-lineal con variable en niveles (mod1): para el consumo “c”, la solu-ción es la siguiente:

c D 0:077C 0:683k.�1/C 0:075a.�1/C 0:077�

Debido a que se le ha pedido a Dynare que linealice el sistema (order=1), lo cualpermite obtener un sistema de ecuaciones como la tabla 2.14, entonces la variablede estado k(-1) y exógena a(-1) están expresadas como desviaciones respecto a suestado estacionario. Es decir: k.�1/ D kt � kss y a.�1/ D at�1 � ass; entonces:

ct D 0:077C 0:683.kt � kss/C 0:075.at�1 � ass/C 0:077�t

Cabe mencionar que la constante 0:077 es el valor de estado estacionario delconsumo.

.ct � 0:077/ D 0:683.kt � kss/C 0:075.at�1 � ass/C 0:077�t

Factorizando 0:077 de .at�1 � ass/ y et , se tiene:

.ct � 0:077/ D 0:683.kt � kss/C 0:077.0:979.at�1 � ass/C et /

Se sabe que en el modelo no-lineal la ecuación de la productividad es lnat D�lnat�1 C �t ; sin embargo, al solicitar a Dynare que linealice el sistema, estaecuación es transformada en: eat D 0:979eat�1 C et , dondeeat D at � ass . Portanto, reemplazando esta expresión en la ecuación anterior:

.ct � 0:077/„ ƒ‚ …ect D 0:683ekt C 0:077eatect D 0:683ekt C 0:077eat

Esta es la función de política del consumo (expresada en desviaciones de su estadoestacionario): ect D F.ekt ;eat /. Los coeficientes se leen de la siguiente manera:un incremento en una unidad enekt (manteniendo lo demás constante) produce


un incremento deect en 0.683 unidades; es decir, si el capital de hoy se aleja enuna unidad con respecto a su estado estacionario, el consumo se aleja en 0:683unidades con respecto a su estado estacionario. Estos coeficientes permiten calcularen unidades la desviación de las variables con respecto a su estado estacionario; sinembargo, una medida más apropiada sería considerar dicha desviación en términosporcentuales. Para ello se puede realizar lo siguiente:

.ct � 0:077/ D 0:683.kt � kss/C 0:077.at � ass/C �t

.ct � 0:077/

csscss D 0:683

.kt � kss/

ksskss C 0:077

.at � ass/

assass C �t

bctcss D 0:683bktkss C 0:077batass C �tbctcss D 0:683kssbkt C 0:077assbat C �tbct0:077 D 0:683 � 0:0375bkt C 0:077 � 1bat C �tbct0:077 D 0:0256bkt C 0:077bat C �t (2.3)

De la Ecuación (2.3) la variable bxt se lee como la desviación porcentual de lavariable con respecto a su estado estacionario. Entonces: un incremento en 1% enbkt , es decir, que el capital se está incrementando en 1% con respecto a su estadoestacionario y produce un incremento de .0:0256=0:077/ � 1% D 0:333% debct ;es decir, que el consumo se desvía por encima de su estado estacionario en un0:333%.

Modelo no-lineal con variables en logaritmos (mod2): en este caso, la solución,por ejemplo, para el consumo es:

cc D �2:563C 0:333kk.�1/C 0:979aa.�1/C e

Considerando que Dynare ha realizado la linealización tomando en cuenta quecada variable está expresada en logaritmo, entonces cct D lnct , pero la variablede estado y la variable exógena están expresadas como: kk.�1/ D lnkt � lnkssy aa.�1/ D lnat�1 � lnass .

ln ct D �2:563C 0:333.ln kt � ln kss/C 0:979 ln.ln at�1 � ln ass/C et


La constante de esta ecuación corresponde al estado estacionario de la variable; esdecir, ln css D �2:563, entonces: css D exp.�2:563/ D 0:077, lo cual coincidecon lo calculado en el primer modelo (mod1). Introduciendo esto en la ecuaciónprevia:

lnct D �2:563C 0:333.lnkt � lnkss/C 0:979.lnat�1 � lnass/C et

lnct � lncss D 0:333.lnkt � lnkss/C 0:979.lnat�1 � lnass/C etbct D 0:333bkt C 0:979bat�1 C et„ ƒ‚ …batbct D 0:333bkt Cbat (2.4)

En este caso, los coeficientes son elasticidades; es decir, si el capital aumenta en1% con respecto a su estado estacionario (manteniendo lo demás constante), elconsumo se incrementa en 0:333% con respecto a su estado estacionario.

Modelo lineal: respecto del modelo lineal se puede observar que tiene los mismoscoeficientes que en el modelo no-lineal, el cual fue linealizado por Dynare. Laprincipal diferencia es que cuando introducimos un modelo lineal en Dynare elestado estacionario es cero; por ello no aparece ningún intercepto en las ecuacionesdel modelo lineal (mod3 y mod4).

De lo anterior, dos conclusiones son importante mencionar: la primera es que espreferible que en la función de política cada variable esté expresada en desviacionesporcentuales con respecto al estado estacionario; es decir, se prefiere variablesen logaritmo. Esto se debe a que los coeficientes de la solución se entiendencomo elasticidades y porque ello permite tener una lectura sencilla de la funciónimpulso-respuesta. La segunda es que ya sea que coloquemos el modelo no-linealen Dynare o que lo hayamos linealizado y luego lo coloquemos en Dynare, loscoeficientes de la función de política y de estado serán los mismos. Por ejemplopara las variables en niveles: el modelo no-lineal (mod1) y el lineal (mod3) tienenlos mismos coeficientes. De manera similar para las variables en logaritmo (mod2y mod4).


Tabla 2.28: Función de política y de estado

Modelo no-lineal: variables en niveles (mod1)

c i y k h r w aConstante 0.077 0.038 0.115 0.038 0.2 1.016 0.382 1k(-1) 0.683 0.333 1.016 0.333 0 -18.054 3.389 0a(-1) 0.075 0.037 0.112 0.037 0 0.995 0.374 0.979e 0.077 0.038 0.115 0.038 0 1.016 0.382 1

Modelo no-lineal: variables en logaritmo (mod2)

cc ii yy kk hh rr ww aaConstante -2.563 -3.282 -2.166 -3.282 -1.609 0.016 -0.962 0kk(-1) 0.333 0.333 0.333 0.333 0 -0.667 0.333 0aa(-1) 0.979 0.979 0.979 0.979 0 0.979 0.979 0.979e 1 1 1 1 0 1 1 1

Modelo lineal: variables en niveles (mod3)

ct it yt kt ht rt wt atkt(-1) 0.683 0.333 1.016 0.333 0 -18.054 3.389 0at(-1) 0.075 0.037 0.112 0.037 0 0.995 0.374 0.979e 0.077 0.038 0.115 0.038 0 1.016 0.382 1

Modelo lineal: variables en logaritmo (mod4)

ch ih yh kh hh rh wh ahkh(-1) 0.333 0.333 0.333 0.333 0 -0.667 0.333 0ah(-1) 0.979 0.979 0.979 0.979 0 0.979 0.979 0.979e 1 1 1 1 0 1 1 1

Este cuadro ha sido construido en base a lo que muestra Dynare en el prompt de Matlab,manteniendo el orden (inicial) de las variables que aparecen en el .mod.


¿Dónde guarda Dynare los coeficientes de la función de política y de estado?Dynare guarda la función de política y de estado en varias variables dentro dela estructura “oo_.dr”. Existen algunas consideraciones para capturar de maneracorrecta los coeficientes de estas funciones.

1. Orden de las variables. El orden inicial de las variables, tal como se escribióen el archivo .mod, es el siguiente: c, i, y, k, h, r, w, a. Entonces, elconsumo tiene el primer lugar, mientras que la inversión el segundo y así sucesiva-mente para las demás variables. Sin embargo, cuando Dynare resuelve el sistema,reordena estas variables, guardando el nuevo orden en “oo_.dr.oder_var”. Estavariable muestra un vector de números que contiene la nueva posición de las varia-bles: 2; 3; 5; 7; 4; 8; 1; 6. Esto significa que la variable que estaba en la posicióninicial 2 (que es la inversión) ahora está en el primer lugar. Por ejemplo, el consu-mo estaba inicialmente en la primera posición, pero ahora aparece en la posición7. Esto es importante porque los coeficientes de la solución corresponden a estenuevo orden. Entonces el vector de variable reordenado es:

Posición inicial Posición reordenada1

2

3

4

5

6

7

8

2666666666664

c

i

y

k

h

r

w

a

3777777777775�!

2666666666664

i

y

h

w

k

a

c

r

3777777777775

2

3

5

7

4

8

1

6

2. Función de política y de estado como sistema de ecuaciones. Sea el vector devariables endógenas reordenadas Yt , el vector de los valores de estado estacionarioYss , la matriz que contiene los coeficientes de las variables de estado “ghx”, elvector de las variables de estado Xt y el vector que contiene los coeficientesasociados al error “ghu”. Entonces, el sistema de ecuaciones que representan lasfunciones de política y de estado es:

Yt D Yss C ghx �Xt C ghu � Ut

Escribiendo este sistema en su forma extensiva:


26666666666664

i

y

h

w

k

a

c

r

37777777777775D

26666666666664

iss

yss

hss

wss

kss

ass

css

rss

37777777777775C

26666666666664

�ik �ia

�yk �ya

�hk �ha

�wk �wa

�kk �ka

�ak �aa

�ck �ca

�rk �ra

37777777777775�

"k.�1/

a.�1/

#C

26666666666664

�iu

�yu

�hu

�wu

�ku

�au

�cu

�ru

37777777777775� e

Por ejemplo, la ecuación de política de la inversión es:

i D iss C �ikk.�1/C �iaa.�1/C �iue

Entonces, para el mod2, en la Tabla 2.28, se tiene:

i D �3:282C 0:333k.�1/C 0:979a.�1/C 1e

3. Coeficientes de estas funciones en oo_.dr. El vector de estado estacionario seencuentra en “oo_.dr.ys”, el cual mantiene el orden inicial de las variables. Elnuevo orden solo aplica para la matriz asociada a las variables de estado y del errorque están guardadas respectivamente en “oo_.dr.ghx” y “oo_.dr.ghu”.

oo_:dr:ys D

26666666666664

�2:563

�3:282

�2:166

�3:282

�1:609

0:016

�0:962

0

37777777777775oo_:dr:ghx D

26666666666664

0:333 0:979

0:3330:979

3:09E � 15 1:03E � 14

0:333 0:979

0:333 0:979

0 0:979

0:333 0:979

�0:667 0:979

37777777777775


oo_:dr:ghu D

26666666666664

1

1

2:54E � 14

1

1

1

1

1

37777777777775

2.4.9 Función Impulso-Respuesta (IRF)

Como se mencionó previamente, la estructura oo_ también contiene la funciónimpulso-respuesta del modelo. Debido a que se requiere que todas las variablesendógenas respondan al impulso, entonces Dynare crea otra estructura llamada“irfs”, en la cual guarda la función impulso-respuesta de cada variable, tal como sepuede ver en la Figura 2.9.

Figura 2.9: Función impulso-respuesta (oo_.irfs)Nota: Esta función impulso-respuesta se obtiene del archivo“Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

Si se requiere solo la función-impulso respuesta del consumo, por ejemplo,entonces basta con hacer click en la variable “oo_.irfs.cc_e”. Como se observa enla Figura 2.10, la variable “oo_.irfs.cc_e” contiene un vector de 40 periodos,lo cual fue definifo en stoch_simul cuando se colocó “irf=40”.


Figura 2.10: Función impulso-respuesta del consumo (oo_.irfs.cc_e)Nota: Esta función impulso-respuesta se obtiene del archivo“Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

Dynare también grafica cada una de las variables que se encuentran en la estructura“oo_.irfs”; sin embargo, la gráfica es esencialmente básica en el sentido que nose modifican las líneas y además no considera los nombres de las variables en suversión extendida. Esto se observa en la figura 2.11.

10 20 30 400

0.005

0.01

0.015cc

10 20 30 400

0.005

0.01

0.015ii

10 20 30 400

0.005

0.01

0.015yy

10 20 30 400

0.005

0.01

0.015kk

10 20 30 40−5

0

5

10x 10

−3 rr

10 20 30 400

0.005

0.01

0.015ww

10 20 30 400

0.005

0.01aa

Figura 2.11: Función impulso-respuesta (gráfica de Dynare)Nota: Esta gráfica impulso-respuesta se obtiene del archivo“Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

La Figura 2.11 se podría mejorar si se construye un código en Matlab que sealimente del archivo .mod y que grafique con los nombres extendidos de lasvariables y modificaciones estéticas en el gráfico. Esto se realiza en el código“irfs_nolineal_log.m” y se puede ver en el Gráfico 2.12 el resultado.


Descripción del código

Primero se corre el archivo .mod (línea 1 del código):

dynare Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod;

Luego se define una matriz que contenga todas las funciones impulso-respuesta(IRF), línea 2 del código. En tercer lugar, se define un vector de celda que contengalos nombres de las variables (names). Finalmente, se construye un bucle paragraficar cada impulso-respuesta con el nombre de la variable apropiada y el tamañode linea apropiado (línea 4 al 9 del código). Los dos últimos comandos de estesegmento de código colocan la hoja donde se guarda el gráfico en orientaciónhorizontal (orient landscape) y luego la guardan en extensión pdf (línea 11).

0 20 404

5

6

7

8

9

10

11x 10

−3 Consumo

0 20 404

5

6

7

8

9

10

11x 10

−3 Inversión

0 20 404

5

6

7

8

9

10

11x 10

−3 Producto

0 20 404

5

6

7

8

9

10

11x 10

−3 Capital

0 20 400

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

−16 Trabajo

0 20 40−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

−3Tasa de interés

0 20 404

5

6

7

8

9

10

11x 10

−3 Salario real

0 20 403

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5x 10

−3 Productividad

Figura 2.12: Función impulso-respuesta (gráfica de Matlab)Nota: Esta gráfica impulso-respuesta se obtiene del archivo “ifrs_nolineal_log.m”


2.4.10 Análisis de sensibilidad

La Tabla 2.13 muestra la función impulso-respuesta ante tres valores de la persisten-cia del shock de productividad. Se puede observar que mientras mayor persistenciamuestra el shock, mayor es la reacción de cada variable endógena (excepto la tasade interés y el trabajo, los cuales se mantienen en su valor de estado estacionario).Además, se puede observar que las variables se toman más tiempo para volver a suestado estacionario. Este gráfico se obtiene al escribir los siguientes códigos en elarchivo .mod después de escribir stoch_simul.

% Valores del parámetro

rhos = [0.5 0.7 0.9];

for j= 1:size(rhos,2)

rho = rhos(j);

stoch_simul(order=1, irf=40, nograph, nomoments,nofunctions);

oo_sen{j} = oo_;

end;

% Gráfica

name = {’Consumo’, ’Inversión’,’Producción’,’Capital’,’Trabajo

’,’Tasa de interés real’, ’Salario’, ’Productividad’};

field_name = fieldnames(oo_sen{1}.irfs); time = 1:40;

for j=1:size(name,2)

subplot(2,4,j)

plot(time,oo_sen{1}.irfs.(field_name{j}),...

time,oo_sen{2}.irfs.(field_name{j}),’--’,...

time,oo_sen{3}.irfs.(field_name{j}),’-.’,’

LineWidth’, 1.5)

title(name{j});

grid;

end;

legend(’\rho=0.5’, ’\rho=0.7’, ’\rho=0.9’);

orient landscape

saveas(gcf,’analisis_sensibilidad’,’pdf’);


Descripción del código

Este código tiene dos partes. La primera consiste en guardar la simulación delmodelo ante cada valor de la persistencia de la productividad. Para ello, se define unvector de valores de la persistencia (línea 2), y luego se aplica stoch_simul paralos tres valores y se guarda cada resultado (oo_) en un vector de celda (oo_sen).

La segunda parte del código es graficar la función impulso-respuesta bajo lostres valores del parámetro. Para obtener esta gráfica, en primer lugar se defineel nombre de las variables, cuyo orden es el que se describe al inicio del archivo.mod. En segundo lugar, se extraen (como vector de celda) los nombres de laestructura “oo_sen{1}.irfs” (línea 9). La utilidad de esto es que servirá para hacerbucles con estructuras. En tercer lugar se construye un bucle para graficar elimpulso-respuesta de cada variable ante los tres valores de la persistencia. La línea13 es de especial importancia: el código “oo_sen{1}.irfs.(field_name{j})” para j=1es “oo_sen{1}.irfs.cc_e”. Para j=2 es “oo_sen{1}.irfs.ii_e” y así sucesivamente.En ello se puede ver la utilidad que tiene el “campo” de una variable estructura.Finalmente, el código orient indica la orientación de la hoja en la que se guardaráel gráfico y el código saveas indica el nombre y la extensión con que se guardaráel gráfico (usualmente se guarda en pdf o eps por su utilidad en LATEX).


0 20 400

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

−3 Consumo

0 20 400

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

−3 Inversión

0 20 400

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

−3 Producción

0 20 400

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

−3 Capital

0 20 400

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

−16 Trabajo

0 20 40−4

−2

0

2

4

6

8x 10

−3Tasa de interés real

0 20 400

1

2

3

4

5

6

7

8

9x 10

−3 Salario

0 20 400

1

2

3

4

5

6

7

8x 10

−3 Productividad

ρ=0.5ρ=0.7ρ=0.9

Figura 2.13: Análisis de sensibilidad: persistencia del shock de productivi-dad �

Nota: Esta gráfica impulso-respuesta se obtiene del archivo“Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

2.4.11 Simulación de las variables endógenas

Luego de que Dynare encuentra la solución del sistema linealizado, se puede obte-ner la representación de series de tiempo ARMA(p,q) de las variables endógenas.Por ejemplo, de la Tabla 2.28 para el capital del modelo no-lineal con variable enlogaritmo se tiene:

kktC1 D kkss C �kkkkt C �kaaat�1 C �t

kktC1 � kkss D �kkkkt C �kaaat�1 C �t

.lnktC1 � lnkss/ D �kk.lnkt � lnkss/C �ka.lnat�1 � lnass/C �tbktC1 D �kkbkt C �kabat�1 C �tbktC1 D 0:333bkt C 0:979bat�1 C �t„ ƒ‚ …batbktC1 D 0:333bkt Cbat.1 � 0:333L/bktC1 Dbat (2.5)


Considerando que la productividad, se comporta como un AR(1), se puede expresaren su forma MA(1), así;

aat D �aat�1 C �t

.1 � �L/aat D �t

aat D�t

1 � �L

Sabiendo: ass D 1

ln at � ln ass D�t

1 � �Lbat D �t

1 � �L(2.6)

Introduciendo la Ecuación (2.6) en la Ecuación (2.5) se tiene que el capital secomporta como un AR(2):

.1 � 0:333L/bktC1 Dbat (2.7)

.1 � 0:333L/bktC1 D �t

1 � �L(2.8)

bktC1 D �t

.1 � 0:333L/.1 � �L/(2.9)

Dado que se tiene la expresión de series de tiempo de cada variable, Dynarepodría simular el comportamiento de cada variable asumiendo un comportamientoaleatorio N.0; �2e / para el error �. Para que Dynare realice esta tarea es suficienteindicarle en el stoch_simul el número de periodos (periods) que deseamos quela variable tenga. Por ejemplo:

stoch_simul(order=1,periods=150)

Tres resultados podemos enfatizar sobre este código: en primer lugar, las varia-bles simuladas son guardadas en la estructura oo_, en particular en las variables“exo_simul” y “endo_simul” (ver Figura 2.14). La primera variable contiene lasimulación de la variable exógena; es decir, el error �t que se distribuye como unanormal con media cero y varianza constante �2e (ver Figura [2.15]). La segunda(endo_simul) contiene la simulación de todas las variables endógenas (en estecaso son ocho). Cada fila representa la simulación de una variable y el número de


Figura 2.14: Estructura oo_ (simulación)Nota: Esta estructura se obtiene de “Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

Figura 2.15: Simulación de la variable exógenaNota: Esta estructura se obtiene de “Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

columnas es el número de periodos que se definió en stoch_simul (ver Figura2.16).

Lo anterior muestra una simulación para cada una de las variables endógenas. Sinembargo, si se desean realizar por ejemplo, 300 simulaciones para cada variableconsiderando 150 periodos, es necesario no solo utilizar periods = 150, sinotambién simul_replic=300. El resultado de estas opciones de stoch_simul esun archivo binario con el siguiente nombre: “NombreMod_simul”. Una desventajade este archivo es que no se puede abrir directamente en Matlab o algún otroprograma. Para leer este archivo se usará una función creada por Johannes Pfeifer5,

5https://github.com/JohannesPfeifer/DSGE_mod/blob/master/Hansen_1985/

get_simul_replications.m

https://github.com/JohannesPfeifer/DSGE_mod/blob/master/Hansen_1985/get_simul_replications.m

https://github.com/JohannesPfeifer/DSGE_mod/blob/master/Hansen_1985/get_simul_replications.m


Figura 2.16: Simulación de la variable endógenaNota: Esta estructura se obtiene de “Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”

el cual se puede descargar de la web. A continuación se describen los pasos paraaplicar esta función:

• En primer lugar, la función “get_simul_replications.m” tiene que estarpresente en el directorio donde se encuentre el archivo .mod.• En el archivo mod, después del comando stoch_simul se debe colocar losiguiente:

[sim_array]=get_simul_replications(M_,options_);

y_sim=squeeze(sim_array(strmatch(’y’,M_.endo_names,’exact’),:,:));

k_sim=squeeze(sim_array(strmatch(’k’,M_.endo_names,’exact’),:,:));

La primera línea llama a la función “get_simul_replications.m” para conver-tir el archivo binario en una variable matricial de Matlab llamada “sim_array”, lacual se guarda en el workspace. La segunda línea crea la variable “y_sim”, quecontiene la simulación del producto; es decir, contiene las 300 simulaciones (filas)de 100 periodos (columnas). Esta misma línea de código se puede aplicar a cadavariable. El resultado de ello es una matriz, por variable, de 300 filas con 100columnas. La tercera línea, el código, es el mismo que la segunda, solo que para elcapital.

En la Figura 2.17 se observan seis simulaciones del conjunto de 300 para el capitaly el producto.


0 50 100 150−3.45

−3.4

−3.35

−3.3

−3.25

−3.2

−3.15

−3.1

−3.05

Capital (lnk − lnkss

)

0 50 100 150−2.35

−2.3

−2.25

−2.2

−2.15

−2.1

−2.05

−2

−1.95

Producto (lny − lnyss

)

Figura 2.17: Seis simulaciones del capital y el productoNota: Esta estructura se obtiene de “Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod” y del código“simulacion_filtrohp.m”

2.4.12 Cálculo de los momentos

La Tabla 2.29 muestra los momentos calculados por Dynare para las cuatro formasde escribir el modelo en Dynare. Una primera observación es que los momentosson similares cuando las variables tienen la misma naturaleza; es decir, si lasvariables están en niveles, entonces no importa si el modelo que se escribió enDynare fue no-lineal o linealizado, pues los momentos son similares. Lo mismose concluye para las variables en logaritmo. Una segunda observación es quelos momentos entre el modelo con las variables en niveles y el modelo con lasvariables en logaritmo son diferentes, lo cual es consistente con lo esperado.

¿Dónde guarda Dynare los momentos?

Dynare guarda la media, la matriz de varianza y covarianza y las autocorrelacionesdentro de la estructura oo_. Como se puede ver en la Figura 2.14, el promediose guarda en la variable “mean”, la matriz de covarianza en la variable “var” y lamatriz de autocorrelación en “autocorr”.


Tabla 2.29: Momentos teóricos

Modelo No-Lineal

Variables en niveles Variables en logaritmos

Variable Media Des. Est. Varianza Variable Media Des. Est. Varianzac 0.077 0.004 0 cc -2.564 0.053 0.0028i 0.038 0.002 0 ii -3.282 0.053 0.0028y 0.115 0.006 0 yy -2.167 0.053 0.0028k 0.038 0.002 0 kk -3.282 0.053 0.0028h 0.200 0 0 hh -1.609 0 0r 1.016 0.008 0.0001 rr 0.016 0.008 0.0001w 0.382 0.020 0.0004 ww -0.962 0.053 0.0028a 1 0.035 0.0012 aa 0 0.035 0.0012

Modelo Lineal

Variables en niveles Variables en logaritmos

Variable Media Des. Est. Varianza Variable Media Des. Est. Varianzact 0.077 0.004 0 ch -2.564 0.053 0.0028it 0.038 0.002 0 ih -3.282 0.053 0.0028yt 0.115 0.006 0 yh -2.167 0.053 0.0028kt 0.038 0.002 0 kh -3.282 0.053 0.0028ht 0.200 0 0 hh -1.609 0 0rt 1.016 0.008 0.0001 rh 0.016 0.008 0.0001wt 0.382 0.020 0.0004 wh -0.962 0.053 0.0028at 1 0.035 0.0012 ah 0 0.035 0.0012

2.4.13 Filtro HP

La Tabla 2.29 muestra los momentos de las variables endógenas, mas no muestralos momentos de su componente cíclico, el cual es necesario para compararlo conlos hechos estilizados y evaluar el poder explicativo del modelo. Para obtenerel componente cíclico es necesario aplicar un filtro; es decir, una técnica quedescomponga la variable en sus dos componentes: tendencia y ciclo. Para realizaresta tarea, usualmente se aplica el filtro HP, el cual Dynare tiene habilitado comouna opción de stoch_simul. El código para usar el filtro HP es el siguiente:

stoch_simul(order=1, hp_filter= lambda)


Donde “lambda” es igual a 1600 para datos trimestrales (para mayor detalle ver laTabla 2.9). Este código brinda los momentos del componente cíclico en el commandwindow de Matlab, los cuales se muestran en la Tabla 2.30. Cabe mencionar queDynare no muestra el componente cíclico como una serie de tiempo.

Tabla 2.30: Momentos teóricos (filtro HP)

Momentos teóricos (HP filter, lambda=1600)

Variable Media Des. Est. Varianza

cc -2.5635 0.0126 0.0002ii -3.2822 0.0126 0.0002yy -2.1665 0.0126 0.0002kk -3.2822 0.0126 0.0002hh -1.6094 0 0rr 0.0161 0.0072 0.0001

ww -0.962 0.0126 0.0002aa 0 0.0094 0.0001

Ante la desventaja de que Dynare no calcula el componente cíclico de las se-ries, Matlab dispone de una función llamada “hpfilter.m”, la cual brinda elcomponente tendencial y cíclico de la serie. El uso de esta función se aprecia acontinuación:

[trend_k,ciclo_k] =hpfilter(kk_sim(:,1),1600);

La función “hpfilter.m” requiere dos insumos. El primero es la serie o conjuntode series a la que se desea aplicar el filtro; en este caso, es la primera simulaciónde capital “kk_sim(:,1)”. La segunda es el parámetro de suavizamiento, el cualdepende de la frecuencia de los datos (que se refleja en la calibración). El parámetrotoma el valor de 14400 para datos mensuales, 1600 para datos trimestrales y100 para datos anuales. En este caso en particular estamos considerando datostrimestrales; por ello se coloca 1600.

Asimismo, esta función entrega dos resultados: el primero es el componentetendencial de la serie (trend_k) y la segunda es el componente cíclico (ciclo_k). Enla Figura 2.18 se observa el componente cíclico y tendencial del capital derivadode la aplicación del filtro HP.


0 50 100 150−3.4

−3.35

−3.3

−3.25

−3.2

−3.15

−3.1El capital y su componente tendencial

CapitalTendencia del capital

0 50 100 150−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03El componente ciclico del capital

Figura 2.18: Componente cíclico y tendencial del capitalNota: Esta estructura se obtiene de “Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”y del código“simulacion_filtrohp.m”

2.5 Códigos

En la Tabla 2.31 se indican los códigos utilizados en este capítulo.

140 2.5 Códigos



Matlab

irfs_nolineal_log.m Este m-file ilustra que los gráficos para lafunción impulso-respuesta obtenidos de Dy-nare pueden ser mejorados mediante códi-gos de Matlab.

simulacion_filtrohp.m Este m-file aplica el filtro HP a la seriessimuladas del modelo.

aux_irfs_nolineal_log.m Este m-file grafica las funciones impulso-respuesta por medio de un bucle.

aux_analisis_sensibilidad.m Este m-file describe el código que se pue-de escribir al final de un archivo .mod pararealizar análisis de sensibilidad, es decir, pa-ra obtener las funciones impulso-respuestaante diferentes valores de los parámetros.

Dynare

Long_Plosser_Dynare_nolineal_niv.mod Este .mod contiene las ecuaciones no-lineales con las variables en niveles del mo-delo de Long y Plosser (1983, 1989).

Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod Este .mod contiene las ecuaciones no-lineales con las variables en logaritmo delmodelo de Long y Plosser (1983, 1989).Este código es utilizado en los capítulos 2y 3. En el capítulo 2, este código se usapara ejemplificar los comandos de Dynare.En el capítulo 3, se utiliza para obtener lasolución del modelo y las FIR.

Long_Plosser_Dynare_lineal_niv.mod Considera el modelo lineal con las variablesen niveles del modelo de Long y Plosser(1983, 1989).

Long_Plosser_Dynare_lineal_log.mod Considera el modelo lineal con las variablesen logaritmo del modelo de Long y Plosser(1983, 1989).

CAPÍTULO 3

MODELO RBC CON SOLUCIÓN ANALÍTICA

3.1 Introducción

El objetivo de este capítulo es ilustrar en profundidad cada uno de los pasos enla construcción de un modelo RBC. Con este fin en mente, estudiar un modelo

sencillo es una ventaja. Para ello, este capítulo se basa en el modelo desarrolladopor Long y Plosser (1983) y Plosser (1989).

El modelo propuesto por Long y Plosser (1983) busca capturar las dinámicas dediversos sectores económicos y sus comovimientos entre ellos ante un shock deproductividad. De otro lado, el modelo propuesto por Plosser (1989) es un modelounisectorial. Ambos modelos tienen dos supuestos subyacentes. El primero, esque se asume que los bienes son perecibles y duran un solo periodo; es decir, elcapital se deprecia totalmente. El segundo, asume que las preferencias son aditivasy están expresadas como el logaritmo del consumo y el logaritmo del ocio.

Estos dos supuestos tienen importantes efectos en la solución del modelo. Enprimer lugar permite que el modelo sea resuelto analíticamente; es decir, se puedeencontrar una solución exacta a mano y papel. La segunda es que la función depolítica del trabajo sugiere que esta variable no reacciona ante el capital ni anteel shock de productividad; es decir, siempre se mantiene en estado estacionario.Esto se debe a que el efecto de la tasa de interés sobre el consumo es nulo porqueel efecto sustitución e ingreso se contrarrestan totalmente entre ellos.

141

142 3.2 Construcción del modelo

3.2 Construcción del modelo

Este modelo está basado en los trabajos de Long y Plosser (1983), Plosser (1989)y tiene solución analítica; es decir, se puede resolver directamente por medio deoperaciones algebraicas. Esto se debe a dos supuestos: depreciación total y utilidadlogarítmica (en consumo y ocio). Además, el modelo supone que en la economíaexisten dos agentes económicos (familias y empresas), de las cuales las familiasson dueñas del capital y las empresas se desarrollan en un ambiente de competenciaperfecta, tanto en el mercado de bienes como en el de factores.

Por otra parte, se asume que la economía es cerrada, lo cual implica que el ahorro esigual a la inversión. Finalmente, en esta economía, la única fuente de incertidumbreproviene por el lado de la oferta, donde en particular se asume un shock deproductividad. La Figura 3.1 esquematiza la interacción entre las familias, lasempresas y los mercados en que ellos participan.

Familias- Utilidad logarítmica- Depreciación total

Empresas

Choque a laproductividad

hoferta koferta

hdemanda kdemanda

cdemanda idemanda

yoferta

Mercado de trabajo(competencia perfecta)

Mercado de bienes(competencia perfecta)

Mercado de capital(competencia perfecta)

Economía cerrada

Figura 3.1: Esquema del modelo de Long y Plosser (1983), Plosser (1989)

3.2.1 Función de utilidad

Antes de describir en detalle el modelo es importante entender el rol que tiene lafunción de utilidad en la construcción del modelo de equilibrio general. R. King,Plosser, y Rebelo (1988) imponen dos restricciones sobre las preferencias (fun-ción de utilidad) que permiten que el estado estacionario sea compatible con unequilibrio competitivo óptimo:

3 Modelo RBC con solución analítica 143

• La elasticidad de sustitución intertemporal del consumo debe ser invariante a laescala del consumo.

• Los efectos ingreso y sustitución asociados con el crecimiento en la productividadlaboral no deben alterar la oferta de trabajo.

La función de utilidad que cumple estas dos restricciones es:

u.c; l/ D

8<:�

11��

c1��v.l/; si � > 0 y � ¤ 1

ln.c/C v.l/; si � D 1

Donde c es consumo y l es ocio; � es la elasticidad de sustitución del consumo(invariante a la escala del consumo) y v.l/ es una función del ocio. Según R. King etal. (1988), un caso particular de esta función de utilidad es cuando v.l/ D � ln.l/:

u.c; l/ D ln.c/C � ln.l/ (3.1)

Además, en la literatura de los modelos RBC aparecen otras funciones de utilidad,en las cuales se considera que lt es el ocio, ht es el trabajo y que se cumple lasiguiente relación entre ambas: lt C ht D 1, donde el tiempo disponible por lafamilia, que usualmente son 24 horas, se ha normalizado a 1. A continuación semencionan otras funciones de utilidad usual en la literatura existente:

• G. D. Hansen (1985):u.ct ; lt / D ln.ct /C Blt (3.2)

• Greenwood et al. (1988):

u.ct ; ht / D1

1 �

��ct �

h1C�t

1C �

�1� � 1

�(3.3)

• Campbell (1994): trabajo fijo (se usa en el capítulo 4)

u.ct ; ht / Dc1� t

1 � (3.4)

• Campbell (1994): trabajo variable (se usa en el capítulo 5)

u.ct ; ht / D ln.ct /C �.1 � ht /

1� n

1 � n(3.5)


• Long y Plosser (1983) y Plosser (1989):

u.ct ; ht / D ln.ct /C � ln.1 � ht / (3.6)

La función de utilidad de la Ecuación (3.6) se obtiene considerando n D 1 enla función de utilidad (3.5). Esta es la función de utilidad que Long y Plosser(1983) consideran en su modelo. Caben resaltar dos ideas: la primera es que � esla participación del ocio en todo el tiempo que dispone la familia representativa.La segunda es que cada función de utilidad tiene un nivel diferente de elasticidadde Frisch1 y de elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (ESIc).

3.2.2 Familias

Uno de los principales supuestos de los modelos RBC es que las familias presentesen la economía son todas idénticas. En otras palabras, sus preferencias y restriccio-nes son similares. Este supuesto permite analizar el comportamiento de las familiaspor medio del estudio de un agente representativo (una familia que represente atodas), y permite realizar la agregación de las familias de manera sencilla. En elmodelo de Long y Plosser se considera el supuesto del agente representativo, elcual maximiza una función de utilidad descontada:

Maxfct ;ht ;ktC1g

1tD0

E0

1XtD0

ˇtu.ct ; ht / (3.7)

Donde ct es el consumo del periodo t y ˇ es el factor de descuento, el cual estáexpresado de la siguiente manera:

ˇ D1

1C �

Aquí, � refleja la impaciencia del agente representativo. Mientras más impacientesea la familia, más grande será � y, por tanto, ˇ será menor. Es decir, el individuovalora menos las utilidades futuras. Si � D 0, significa que la familia es totalmentepaciente y, por ende ˇ D 1, lo cual indica que la familia brinda la misma valoracióna la utilidad de hoy que la utilidad de mañana. Este análisis se aprecia mejor en la

1La elasticidad de Frisch es la elasticidad de la oferta de trabajo manteniendo constante el efectoingreso. Esta elasticidad será analizada con mayor detalle en el capítulo 5.


Tabla 3.1 considerando que el valor presente de la función de utilidad se expresade la siguiente manera:

1XtD0

ˇtu.ct ; ht / D u.c0; h0/C ˇu.c1; h1/C ˇ2u.c2; h2/C ˇ

3u.c3; h3/ � � �

Tabla 3.1: Efecto de la impaciencia en el factor de descuento

Impaciencia�

Efecto enˇ

P1tD0 ˇ

tu.ct ; ht / Valoración

Impaciencianula� D 0

ˇ D 1 u.c0; h0/ C u.c1; h1/ C

u.c2; h2/C :::

La familia brinda la misma valora-ción a la utilidad a traves del tiem-po.

Poca im-paciencia� D 1

ˇ D 1=2 u.c0; h0/ C12u.c1; h1/ C

14u.c2; h2/C :::

La familia brinda más valoración ala utilidad de hoy que en el futuro:la valoración a la utilidad de hoyes 1, mientras que a la utilidad ent D 1 es 0.5 y en t D 2 es 0.25.

Mayor im-paciencia� D 2

ˇ D 1=3 u.c0; h0/ C13u.c1; h1/ C

19u.c2; h2/C :::

La familia brinda más valoracióna la utilidad de hoy que en el fu-turo: la valoración a la utilidad dehoy es 1, mientras que a la utilidadde mañana lo valora con 0.33 y en“t D 2” es 0.11.

Impacienciatotal� D1

ˇ D 0 u.c0; h0/ C 0u.c1; h1/ C

0u.c2; h2/C :::

La familia brinda toda la valora-ción a la utilidad de hoy. No valoranada consumir en el futuro.

Considerando la forma funcional de la función instantánea de utilidad según laecuación (3.6), la función objetivo a maximizar sería:

Maxfct ;ht ;ktC1g

1tD0

E0

1XtD0

ˇt�ln.ct /C � ln.1 � ht /

�La maximización de esta función objetivo está sujeta a dos restricciones: la restric-ción presupuestaria y la ley de movimiento del capital, las cuales se describen acontinuación.

Restricción presupuestaria. Por un lado, la familia percibe sus ingresos delalquiler del capital kt a las empresas a una tasa de interés real rt . Además, las


familias forman parte del mercado de trabajo donde ofrecen mano de obra ht aun salario real wt . Ambos ingresos se observan en cada periodo y son iguales a:rtkt C wtht .

Por otro lado, la familia destina sus ingresos a bienes de consumo ct y al ahorroque, en economía cerrada, es igual a la inversión it . Por tanto, uniendo los ingresosy los egresos, la restricción presupuestaria de la familia representativa es:

ct C it D rtkt C wtht (3.8)

Ley de movimiento del capital. Por cuentas nacionales se sabe que la inversiónneta es igual a la inversión bruta menos la depreciación:

Ineta D Ibruta � Depreciación (3.9)

ktC1 � kt D it � ıkt

ktC1 D .1 � ı/kt C it (3.10)

A la Ecuación (3.10) se le conoce como la ley de movimiento de capital, la cualdescribe el comportamiento del stock de capital. Cabe mencionar que esta ecuaciónsupone que el stock de capital se deprecia en un porcentaje ı (usualmente 2:5%trimestral) en cada periodo. Sin embargo, Long y Plosser (1983) asumieron que latasa de depreciación es total (ı D 1); es decir, que el capital en cada periodo sedeprecia totalmente en ese mismo periodo de tal manera que no queda capital parael siguiente (esto bajo el supuesto de que todos los commodities son perecibles).Aunque el supuesto es muy poco realista, ayuda a eliminar ciertas no linealidadesdel sistema de ecuaciones. Con este supuesto en mente, la Ecuación (3.10) seconvierte en:

ktC1 D it (3.11)

Es decir, el capital en t C 1 es la inversión que se realiza en “t”. No hay stock decapital, el capital se convierte en un flujo y siempre es igual a los nuevos bienes encada periodo. Introduciendo la Ecuación (3.11) en la restricción presupuestaria,Ecuación (3.8), se tiene:

ct C ktC1 D rtkt C wtht (3.12)


Entonces, el problema de optimización de la familia es:

Maxfct ;ht ;ktC1g

1tD0

E0

1XtD0

ˇt�ln.ct /C � ln.1 � ht /

�sujeto a:

ct C ktC1 D rtkt C wtht

Construyendo la función de Lagrange:

L D E01XtD0

ˇt�u.ct ; ht /C �t

�rtkt C wtht � .ct C ktC1/

��Donde la versión extendida de la función de Lagrange se puede expresar de lasiguiente manera:

L D E0�ˇ0�u.c0; h0/C �0

�r0k0 C w0h0 � .c0 C k1/

��C

ˇ1�u.c1; h1/C �1

�r1k1 C w1h1 � .c1 C k2/

��C

ˇ2�u.c2; h2/C �2

�r2k2 C w2h2 � .c2 C k3/

��C

ˇ3�u.c3; h3/C �3

�r3k3 C w3h3 � .c3 C k4/

��C

ˇ4�u.c4; h4/C �4

�r4k4 C w4h4 � .c4 C k5/

��C

� � �C

ˇt�u.ct ; ht /C �t

�rtkt C wtht � .ct C ktC1/

��C

ˇtC1�u.ctC1; htC1/C �tC1

�rtC1ktC1 C wtC1htC1 � .ctC1 C ktC2/

��C

� � �C

� � �

�Las condiciones de primer orden, en el periodo “t”, son:

@L@ctD 0 H) E0

�ˇt�uct C �t .�1/

��D 0

uct D �t (3.13)

@L@htD 0 H) E0

�ˇt�uht C �t .wt /

��D 0

uht D ��twt (3.14)


Reemplazando la Ecuación (3.13) en la Ecuación (3.14) se obtiene la oferta detrabajo:

uht D ��twt

��

1 � htD �

1

ctwt

�

1 � htDwt

ct(3.15)

De otro lado, la condición de primer orden con respecto al capital ktC1 es:

@L@ktC1

D 0 H) E0

�ˇt��t .�1/�C ˇ

tC1��tC1.rtC1/

��D 0

�t D ˇEt�tC1.rtC1/ (3.16)

Reemplazando le Ecuación (3.13) en la Ecuación (3.16) se obtiene la ecuación deEuler:

uct D ˇEtuctC1.rtC1/

1

ctD ˇEt

1

ctC1.rtC1/ (3.17)

3.2.3 Empresas

3.2.3.1 Función de producción

Se asume que existe un solo bien final en la economía y es producido por unafunción de producción neoclásica f .at ; kt ; ht /. La función de producción Cobb-Douglas cumple con las características de una función neoclásica y describerazonablemente bien la producción de un país.

yt D f .at ; kt ; ht / D atk1�˛t h˛t (3.18)

Donde kt es el stock de capital predeterminado (elegido en el periodo “t � 1”) yht es el insumo trabajo. Además, la variable at hace referencia a la productividad;el cual se supone que se comporta de manera estocástica y es expresada por unAR(1).


Una característica importante de la función Cobb-Douglas es que la participaciónde cada uno de los factores en la renta total es constante e igual a los exponentesde cada factor en la función de producción. Como se sabe en competencia perfecta(supuesto clave en los modelos RBC), el alquiler del capital es igual a la productivi-dad marginal del capital; es decir: rt D .1 � ˛/

ytkt

. De igual forma para el trabajo:wt D ˛

ytht

.

La renta destinada al pago del capital y del trabajo es rtkt y wtht , respectivamente.Al considerar que la producción representa toda la renta de un país, entonces laproporción de la renta orientada al pago del capital con respecto a la renta total esrtkt=yt :

rtkt

ytD .1 � ˛/

yt

kt

kt

ytD .1 � ˛/ (3.19)

De igual forma, calculando la proporción de la renta total orientada al pago deltrabajo:

wtht

ytD ˛

yt

ht

ht

ytD ˛ (3.20)

Las Ecuaciones (3.19) y (3.20) indican que la participación del capital en la rentaes igual a “1 � ˛”, y la participación del trabajo en la renta es “˛”. Ambasparticipaciones son constantes e iguales a los exponentes de los factores en lafunción de producción. Esto sugiere que se podría obtener el valor de “˛” mediantelas cuentas nacionales, lo cual sería en los términos de los modelos RBC unacalibración del parámetro ˛. En el Capítulo 1 se observa que el promedio de laparticipación del trabajo en el ingreso nacional entre 1948 y 2014 para la economíanorteamericana es igual a 66:3%. Esto sugiere que ˛ podría tomar dicho valor.

Características de la función de producción neoclásica

Para que una función de producción f .at ; kt ; ht / sea considerada neoclásicadebe tener tres características (Barro y Sala-i Martin, 2009):

Rendimientos a escala constante: la función f .at ; kt ; ht / debe mostrar ren-dimientos a escala constante; es decir, si multiplicamos el capital y el trabajopor una constante �, el producto queda multiplicado por esa misma constante.

f .at ; �kt ; �ht / D �f .at ; kt ; ht / (3.21)


Rendimientos positivos y decrecientes: la función de producción neoclásicapresenta productos marginales positivos y decrecientes en cada factor deproducción.

Rendimientos positivos W@f .�/

@kt> 0;

@f .�/

@ht> 0

Rendimientos decrecientes W@2f .�/

@k2t< 0;

@2f .�/

@h2t< 0

Condiciones de Inada: estas condiciones indican que el producto marginaldel capital tiende a infinito cuando el capital tiende a cero y tiende a cerocuando el capital tiende a infinito. La misma condición se cumple para eltrabajo. En términos matemáticos estas condiciones se expresan como:

Capital W Limkt!0

�@f .�/

@kt

�D1; Lim

kt!1

�@f .�/

@kt

�D 0

Trabajo W Limht!0

�@f .�/

@ht

�D1; Lim

ht!1

�@f .�/

@ht

�D 0

3.2.3.2 La optimización

Las empresas se desenvuelven en un contexto de competencia perfecta en elmercado de bienes y en el mercado de factores (trabajo y capital). Ellas maximizansu función de beneficios considerando su tecnología, la cual se asume que tienela forma funcional Cobb-Douglas. En este modelo, las empresas deciden cuántocapital alquilar y cuánto trabajo (en horas) contratar. Por tanto, las dos variables deoptimización son el capital kt y el trabajo ht .

Maxfkt ;ht g

1tD0

…t D yt � .rtkt C wtht /

Sujeto a la función de producción:

yt D atk1�˛t h˛t (3.22)

Cabe mencionar que debido a que la empresa no enfrenta una restricción dinámica,la empresa maximiza los beneficios en cada momento del tiempo. Por ello el


problema de optimización es estático. Para resolver este problema se introduce lafunción de producción en la función objetivo:

Maxfkt ;ht g

1tD0

…t D atk1�˛t h˛t � .rtkt C wtht / (3.23)

Derivando esta expresión, Ecuación (3.23), con respecto al capital kt :

@…

@ktD 0 H)

@.atk1�˛t h˛t � rtkt /

@ktD 0 H) .1 � ˛/atkt

�˛ht˛� rt D 0

De esta condición de primer orden se obtiene la demanda de capital:

rt D .1 � ˛/at

�ht

kt

�˛rt D .1 � ˛/at

�h˛tk˛t

�rt D .1 � ˛/ath

˛t k�˛t

kt

kt

rt D .1 � ˛/ath˛t k1�˛t

1

kt

rt D .1 � ˛/yt

kt(3.24)

Derivando la Ecuación (3.23) con respecto al trabajo ht :

@…

@htD 0 H)

@.atk1�˛t h˛t � rtkt � wtht /

@htD 0 H) ˛atkt

1�˛ht˛�1� wt D 0

De esta condición de primer orden se obtiene la demanda del trabajo:

wt D ˛at

�kt

ht

�1�˛wt D ˛at

�k1�˛t

h1�˛t

�wt D ˛at

k1�˛t h˛tht

wt D ˛yt

ht(3.25)


3.2.4 Equilibrio de mercado y definición del shock

Para cerrar el modelo, es necesario definir el equilibrio en el mercado de bienes:

yt D ct C it (3.26)

Además, es necesario definir el comportamiento de la productividad:

ln at D � ln at�1 C �t (3.27)

Cabe mencionar que el shock de productividad �t se comporta como una distribu-ción normal con media cero y varianza constante: �t Ï N.0; �2� /.

3.2.5 Ecuaciones principales

Las ecuaciones principales del modelo se resumen en la Tabla 3.2:

Tabla 3.2: Sistema de ecuaciones no lineal del modelo


Familia 1ctD ˇEt

�1

ctC1rtC1


ktC1 D it Ley de movimiento del capital�

1�htD

wtct

Oferta de trabajoEmpresa yt D atk

1�˛t h˛t Función de producción

rt D .1 � ˛/ytkt

Demanda del capitalwt D ˛

ytht

Demanda de trabajoEquilibrio yt D ct C it Equilibrio mercado de bienesShock ln at D � ln at�1 C �t Shock de productividad

Es importante mencionar que el sistema de ecuaciones está conformado por:

1. El mercado de capital: oferta de capital representada por la ley de movimientode capital y la demanda de capital;

2. El mercado de trabajo: oferta de trabajo y la demanda de trabajo;

3. El mercado de bienes: la oferta de bienes representada por la función deproducción, la demanda de consumo representada por la ecuación de Euler y la


demanda de inversión que está representada por la ley de movimiento de capital;asismimo, este mercado requiere que se haga explícito su equilibrio por mediode la ecuación yt D ct C it ; finalmente

4. El shock de productividad.

Todas estas ecuaciones están descritas en la Tabla 3.2. Asimismo, es importanteverificar que el número de variables sea igual al número de ecuaciones. En estecaso, existen ocho variables (yt , ct , it , kt , ht , rt , wt y at ) y ocho ecuaciones.

3.3 Calibración

La calibración puede ser entendida como una forma de estimación por simulación(Hoover, 1995). Este procedimiento consiste en asignar valores a los parámetrosdel modelo y luego se comparan las principales características de las variablessimuladas del modelo calibrado con aquellas provenientes de los datos. En estecapítulo, como en el capítulo 2, la calibración está basada en R. G. King y Rebelo(1999), cuyos valores se muestran en la Tabla 3.3.



˛ D 0:667 Proporción de largo plazo del trabajo en el ingreso nacional� D 3:968 Calibrado para que el trabajo en estado estacionario sea igual a 20%� D 0:979 Persistencia del shockˇ D 0:984 Factor de descuento�e D 0:0072 Desviación estándar del shock de productividad

Tal como lo mencionan Cooley y Prescott (1995), dado que la estructura subyacentea los modelos RBC es un modelo neoclásico de crecimiento, la elección del valorde los parámetros (calibración) y las formas funcionales (por ejemplo: funciónde utilidad y la ley de movimiento de capital) deberían asegurar que el modelo

154 3.4 Estado estacionario

económico muestre un crecimiento balanceado2.

3.4 Estado estacionario

Al estado estacionario se le conoce como equilibrio de largo plazo donde �xt D 0(para todas las variables del modelo) y el shock de productividad ("t ) toma su valorpromedio (D 0). Además, dada la ecuación de movimiento de la productividad, suvalor de estado estacionario es a D 1. Asimismo, las expectativas desaparecen;por ello, se le conoce como solución no estocástica. El objetivo es encontrar elvalor de estado estacionario en función del conjunto de parámetros del modelo.Para tal fin, es importante considerar los siguientes tres criterios: en primer lugar,colocar todas las ecuaciones del modelo en estado estacionario; es decir, eliminarla temporalidad y las expectativas. En segundo lugar, utilizar las variables quesolo dependen de los parámetros del modelo para hallar el estado estacionario delas demás variables. En tercer lugar, tratar de resolver el sistema de ecuacionesen función de ratios; por ejemplo, en lugar de buscar el valor de kss (capital deestado estacionario) se podría buscar el valor del ratio yss=kss . Cabe mencionarque hallar el estado estacionario es un paso previo a la log-linelización. Para laecuación de Euler se tiene lo siguiente:

1

ctD ˇEt

1

ctC1rtC1

1

cssD ˇEt

1

cssrss

1 D ˇrss

2Se entiende por crecimiento balanceado (balanced growth) a la situación en la cual todos lossectores de una economía crecen a la misma tasa constante. Esto es similar a la definición de“crecimiento en estado estacionario” (steady-state growth), el cual indica la situación en la cual elproducto, capital, trabajo y consumo cambian a la misma tasa. Como la tasa de crecimiento delcapital depende de los ahorros, el crecimiento en estado estacionario requiere que la función deahorros sea estable: la política de endeudamiento puede promover estabilidad manteniendo la tasa deinterés constante. Si la tasa de crecimiento es igual a cero, entonces se dice que la economía está enestado estacionario (stationary state o steady state). Este ultimo es un estado teórico de la economíaen el cual se consume exactamente lo que se produce y reemplaza lo que este consume al final delperiodo. Otra forma de entenderlo es cuando una economía tiene un tamaño de población y stock decapital constante; es decir, la inversión solo es realizada para mantener el stock de capital existente;en otras palabras, su steady-state growth es igual a cero (Lau, Pahlke, y Rutherford, 2002).


rss D1

ˇ(3.28)

De la misma manera para la ley de movimiento del capital:

ktC1 D it

kss D iss (3.29)

Para la oferta de trabajo:

�

1 � htDwt

ct�

1 � hssDwss

css(3.30)

Para la función de producción:


yss D assk1�˛ss h˛ss (3.31)

Para la demanda de capital:

rt D .1 � ˛/yt

kt

rss D .1 � ˛/yss

kss(3.32)

Considerando la Ecuación (3.28) en la Ecuación (3.32), se tiene el ratio ysskss

enfunción de parámetros del modelo:

rss D .1 � ˛/yss

kss1

ˇD .1 � ˛/

yss

kssyss

kssD

1

ˇ.1 � ˛/(3.33)

Es una buena estrategia encontrar ratios, especialmente cuando el denominador esel capital. Esto permite que cada variable dependa del capital en estado estacionario,el cual al hallar su valor permite encontrar los valores de las variables restantes.

Para demanda de trabajo:

wt D ˛yt

ht


wss D ˛yss

hss(3.34)

Para la ecuación de equilibrio en el mercado de bienes:

yt D ct C it

yss D css C iss (3.35)

Pero, de la Ecuación (3.29) se sabe que: kss D iss , entonces considerando estaigualdad en la Ecuación (3.35), se tiene:

yss D css C iss

yss D css C kssyss

kssDcss

kssC 1

css

kssDyss

kss� 1

css

kssD

1

ˇ.1 � ˛/� 1 (3.36)

Finalmente, para la ecuación de comportamiento de la productividad:

lnat D � ln at�1 C �tlnass D � ln ass C �ss„ƒ‚…

D0.valor de su media/

lnass D � ln assln.ass/ D ln.a�ss/

ass D a�ss (3.37)

Dos valores de ass podrían resolver esta última Ecuación (3.37): ass D 1 oass D 0. Sin embargo, solo cuando ass D 1, el ln ass existe. Por tanto, la solucióncorrecta es ass D 1.

Con el fin de encontrar los estados estacionarios de las demás variables es necesariorealizar algunas operaciones algebraicas adicionales.

Uniendo la oferta de trabajo, Ecuación (3.30), con la demanda de trabajo, Ecuación(3.34), por medio del salario real se tiene:

�css

1 � hss„ ƒ‚ …oferta de trabajo

D wss D ˛yss

hss„ƒ‚…demanda de trabajo

(3.38)


Operando en la ecuación resultante:

�css

1 � hssD ˛

yss

hss�hss

1 � hssD ˛

yss

css�hss

1 � hssD ˛

yss=kss

css=kss

De la ecuación (3.33) y (3.36)

�hss

1 � hssD ˛

1ˇ.1�˛/

1ˇ.1�˛/

� 1

1 � hss

�hssD .˛�1/

1ˇ.1�˛/

� 1

1ˇ.1�˛/

1

hss� 1 D �.˛�1/.1 � ˇ.1 � ˛//

1

hssD �.˛�1/.1 � ˇ.1 � ˛//C 1

hss D˛

�.1 � ˇ.1 � ˛//C ˛(3.39)

Dado que ya se tiene el valor de hss , entonces se puede hallar el capital de estadoestacionario kss de la función de producción (Ecuación (3.31)):

yss D a˛ssk

1�˛ss h˛ss

yss

kssD

�hss

kss

�˛De la Ecuación (3.33)

1

ˇ.1 � ˛/D

�hss

kss

�˛�

1

ˇ.1 � ˛/

�1=˛Dhss

kss

kss D hss

�1

ˇ.1 � ˛/

��1=˛kss D

�˛

�.1 � ˇ.1 � ˛//C ˛

��ˇ.1 � ˛/

�1=˛ (3.40)


Dado que algunas variables se encuentran expresadas en ratio con respecto alcapital, entonces su valor de estado estacionario se puede hallar en función delvalor de estado estacionario del capital. De la Ecuación (3.33) se halla el productoyss:

yss

kssD

1

ˇ.1 � ˛/

yss D kss

�1

ˇ.1 � ˛/

�yss D

�˛

�.1 � ˇ.1 � ˛//C ˛

��ˇ.1 � ˛/

� 1˛�1 (3.41)

Haciendo lo mismo en la Ecuación (3.36) se halla el consumo css:

css

kssD

1

ˇ.1 � ˛/� 1

css D kss

�1

ˇ.1 � ˛/� 1

�css D

�˛

�.1 � ˇ.1 � ˛//C ˛

��ˇ.1 � ˛/

�1=˛� 1

ˇ.1 � ˛/� 1

�(3.42)

En la demanda de trabajo, ecuación (3.34), se sustituye yss y hss y se obtiene elsalario de estado estacionario wss:

wss D ˛yss

hss

wss D ˛

�˛

�.1�ˇ.1�˛//C˛

��ˇ.1 � ˛/

� 1˛�1

˛�.1�ˇ.1�˛//C˛

wss D ˛�ˇ.1 � ˛/

� 1˛�1 (3.43)

En la Tabla 3.4 se resume la expresión del estado estacionario de cada variable delmodelo.

Como se mencionó antes, este modelo está basado en la calibración de R. G. Kingy Rebelo (1999). En ese estudio los autores asumen que el trabajo de estadoestacionario hss es igual a 0:2. Bajo esta premisa, el valor del parámetro � secalcula endógenamente de la expresión de estado estacionario del trabajo, el cual



Estado estacionario(forma recursiva)

Estado estacionario (forma paramétrica) Valores

rss D1ˇ

D1ˇ

rss D 1:0163

hss D˛

�.1�ˇ.1�˛//C˛D

˛�.1�ˇ.1�˛//C˛

hss D 0:2

ass D 1 D 1 ass D 1

kss D hss�

1ˇ.1�˛/

��1=˛D�

˛�.1�ˇ.1�˛//C˛

��ˇ.1 � ˛/

�1=˛kss D 0:0375

iss D kss D�

˛�.1�ˇ.1�˛//C˛

��ˇ.1 � ˛/

�1=˛iss D 0:0375

yss D kss�

1ˇ.1�˛/

�D�

˛�.1�ˇ.1�˛//C˛

��ˇ.1 � ˛/

� 1˛�1 yss D 0:1146

css D kss�

1ˇ.1�˛/

� 1�D�

˛�.1�ˇ.1�˛//C˛

��ˇ.1 � ˛/

�1=˛� 1ˇ.1�˛/

� 1�css D 0:077

wss D ˛ysshss

D ˛�ˇ.1 � ˛/

� 1˛�1 wss D 0:3821

Nota: El cálculo de los estados estacionarios se encuentra enLong_Plosser_EstadoEstacionario.m.

se deriva del modelo. Entonces, bajo esta consideración se tiene:

hss D˛

�.1 � ˇ.1 � ˛/„ ƒ‚ …�

/C ˛

hss D˛

��C ˛

Despejando ��C ˛ D˛

hss

�� D ˛.1

hss� 1/

� D ˛

�1 � hss

�hss

�(3.44)

3.5 Linealización vs Log-linealización

Un paso importante en el proceso de solución del modelo es linealizar o log-linealizar las ecuaciones del sistema. En sentido estricto, la técnica de linealizaciónes única; lo que difiere es la naturaleza de la variable, la cual en un caso estáconsiderada en niveles y en otro caso en logaritmo. En términos prácticos sellamará variable en niveles a la primera linealización y variable en logaritmos a la

160 3.5 Linealización vs Log-linealización

segunda log-linealización. En ambos casos, se aproxima cada ecuación del modelopor medio de la expansión de Taylor de primer orden (DeJong y Dave, 2007).

3.5.1 Linealización (variable en niveles)

Paso 1: El primer paso consiste en ordenar cada ecuación del sistema de tal maneraque el lado derecho de la ecuación sea igual a cero. Luego, el lado izquierdo de laecuación es necesario renombrarlo como una función que depende de las variablesque aparecen en la ecuación. Por ejemplo, sea la siguiente expresión una ecuacióndel modelo:

˛xtyt D ˇyt C �zt (3.45)

Se ordenan los términos al lado izquierdo:

˛xtyt � ˇyt � �zt D 0 (3.46)

Finalmente, renombramos la ecuación como una función:

F.xt ; yt ; zt / D ˛xtyt � ˇyt � �zt D 0 (3.47)

Paso 2: El segundo paso es aproximar la función [3.47] por medio de una expan-sión de Taylor de primer orden alrededor del estado estacionario.

F.xt ; yt ; zt / D ˛xtyt � ˇyt � �zt D 0

F.xt ; yt ; zt / � F.� /jss C@F

@xtjss.xt � xss/C

@F

@ytjss.yt � yss/

C@F

@ztjss.zt � zss/ (3.48)

Considerando que F.� /jss D 0 y realizando un cambio de variable: ext D xt �xss;donde ext es la desviación de la variable (en niveles) con respecto a su estadoestacionario. Aplicando este cambio de variable a la Ecuación (3.48), se tiene que:

F.xt ; yt ; zt / � F.� /jss C@F

@xtjss.xt � xss/C

@F

@ytjss.yt � yss/

C@F

@ztjss.zt � zss/

F.xt ; yt ; zt / � 0C@F

@xtjss.ext /C @F

@ytjss.eyt /C @F

@ztjss.ezt /


F.xt ; yt ; zt / � .˛yss/ext C .�ˇ/eyt C .��/eztpero F.xt ; yt ; zt / D 0, entonces

0 D F.xt ; yt ; zt / � .˛yss/ext C .�ˇ/eyt C .��/ezt0 D .˛yss/ext C .�ˇ/eyt C .��/ezt

˛yssext D ˇeyt C �ezt (3.49)

La Ecuación (3.49) es la versión lineal de la Ecuación (3.46). Aplicando estatécnica a cada ecuación del sistema no lineal se obtendrá el sistema lineal con lasvariables en niveles. Para el caso de la ecuación de Euler se tiene:

F.ct ; ctC1; rtC1/ D1

ct� ˇEt

rtC1

ctC1D 0

Extrayendo las expectativas:

EtF.ct ; ctC1; rtC1/ D Et .1

ct� ˇ

rtC1

ctC1/ D 0

F.ct ; ctC1; rtC1/ � F.� /jss C@F

@ctjss.ct � css/C

@F

@ctC1jss.ctC1 � css/

C@F

@rtC1jss.rtC1 � rss/

F.ct ; ctC1; rtC1/ � 0C

��

1

c2ss

�ect C �ˇ rssc2ss

�ectC1 C � � ˇ

css

�er tC10 D Et

��

1

c2ss

�ect C �ˇ rssc2ss


css

�er tC1�0 D

��

1

c2ss

�ect CEt��ˇ rssc2ss


css

�er tC1��1

c2ss

�ect D Et��ˇ rssc2ss


css

�er tC1�ect D ˇEt .rssectC1 � csser tC1/ (3.50)

Haciendo el mismo procedimiento de linealización para la ley de movimiento delcapital:

F.ktC1; it / D ktC1 � it D 0


F.ktC1; it / � F.� /jss C@F

@ktC1jss.ktC1 � kss/C

@F

@itjss.it � iss/

F.ktC1; it / � 0C .1/ektC1 C .�1/ei t0 DektC1 C .�1/ei tektC1 Dei t (3.51)

Para la oferta de trabajo, la ecuación linealizada sería:

F.ht ; wt ; ct / D�

1 � ht�wt

ctD 0

F.ht ; wt ; ct / � F.� /jss C@F

@htjss.ht � hss/C

@F

@wtjss.wt � wss/

C@F

@ctjss.ct � css/

F.ht ; wt ; ct / � 0C�

.1 � hss/2eht C �1

cssewt C wss

c2ssect

0 D�

.1 � hss/2eht � 1

cssewt C wss

c2ssect

1

cssewt D �

.1 � hss/2eht C wss

c2ssect

ewt D wss

.1 � hss/eht C �

1 � hssect (3.52)

De manera similar para la función de producción:

F.yt ; at ; kt ; ht / D yt � atk1�˛t h˛t D 0

F.yt ; at ; kt ; ht / � F.� /jss C@F

@ytjss.yt � yss/C

@F

@atjss.at � ass/

C@F

@ktjss.kt � kss/C

@F

@htjss.ht � hss/

F.yt ; at ; kt ; ht / � 0C .eyt /C .�k1�˛ss h˛ss/.eat /C .�.1 � ˛/assk�˛ss h˛ss/.ekt /C .�˛assk

1�˛ss h˛�1ss /.eht /

0 Deyt � yssasseat � .1 � ˛/yss

kssekt � ˛yss

hsseht

eyt D yss

asseat C .1 � ˛/yss

kssekt C ˛yss

hsseht (3.53)

Haciendo lo mismo para demanda de capital:

F.rt ; yt ; kt / D rt � .1 � ˛/yt

ktD 0


F.rt ; yt ; kt / � F.� /jss C@F

@rtjss.rt � rss/C

@F

@ytjss.yt � yss/C

@F

@ktjss.kt � kss/

F.rt ; yt ; kt / � 0C .1/er t C �.1 � ˛/kss

eyt C .1 � ˛/yss

k2ss

ekt0 D .1/er t C �.1 � ˛/

ksseyt C .1 � ˛/yss

k2ss

ektyss

kssekt Deyt � kss

1 � ˛er t (3.54)

De igual forma para la demanda de trabajo:

F.wt ; yt ; ht / D wt � ˛yt

htD 0

F.wt ; yt ; ht / � F.� /jss C@F

@wtjss.wt � wss/C

@F

@ytjss.yt � yss/

C@F

@htjss.ht � hss/

F.wt ; yt ; ht / � 0C .1/ewt C ��˛hss

�eyt C �˛yssh2ss

�eht0 D ewt � � ˛

hss

�eyt C �˛yssh2ss

�ehtewt D � ˛

hss


�eht (3.55)


F.yt ; ct ; it / D yt � ct � it D 0

F.yt ; ct ; it / � F.� /jss C@F

@ytjss.yt � yss/C

@F

@ctjss.ct � css/C

@F

@itjss.it � iss/

F.yt ; ct ; it / � 0C .1/eyt C .�1/ect C .�1/ei teyt Dect Cei t (3.56)

Finalmente para el shock de productividad:

F.at ; at�1; �t / D ln at � � ln at�1 � �t D 0

F.at ; at�1; �t / � F.� /jss C@F

@atjss.at � ass/C

@F

@at�1jss.at�1 � ass/

C@F

@�tjss.�t � �ss/


Considerando �ss D 0

F.at ; at�1; �t / � 0C1

asseat C .� �

ass/eat�1 C .�1/�t

0 D1

asseat C .� �

ass/eat�1 C .�1/�t

1

asseat D . �

ass/eat�1 C �t

Dado que ass D 1

eat D �eat�1 C �t (3.57)

La Tabla 3.5 resume las ecuaciones linealizadas del modelo.

Tabla 3.5: Sistema de ecuaciones lineal del modelo (Long y Plosser, 1983)


Familia ect D ˇEt .rssectC1 � csser tC1/ Ecuación de EulerektC1 Dei t Ley de movimiento del capitalewt D wss.1�hss/

eht C �1�hss

ect Oferta de trabajoEmpresa eyt D yss

asseat C .1 � ˛/ysskssekt C ˛ yssasseht Función de producción

ysskssekt Deyt � kss

1�˛er t Demanda del capitalewt D � ˛

hss


�eht Demanda de trabajo

Equilibrio eyt Dect Cei t Equilibrio mercado de bienesShock eat D �eat�1 C �t Shock de productividad

3.5.2 Linealización (variables en logaritmo) o Log-linealización

Es usual considerar la log-linealización del modelo debido a que las variables trans-formadas están expresadas como la desviación porcentual de su estado estacionario.Es decir: bxt D ln.xt / � ln.xss/

En ese contexto, los coeficientes de la solución del sistema lineal se interpretancomo elasticidades. Esta técnica fue inicialmente propuesta por R. King, Plosser,Stock, y Watson (1987) y Campbell (1994).


Para log-linealizar el sistema no lineal se pueden aplicar dos formas. La primera essiguiendo el mismo camino descrito en la sección previa, pero con una variante.La forma estándar sugiere que los términos de la ecuación son llevados al ladoizquierdo y luego es renombrada por una función (que depende de las variables dela ecuación), para finalmente aplicar una aproximación de esta función por mediode la expansión de Taylor de primer orden. La variante es que primero se tiene queaplicar logaritmo a ambos lados de cada ecuación y luego procurar expresar cadavariable en logaritmo; por ejemplo, si el consumo ct está en niveles, para que estéexpresado en logaritmo se puede hacer lo siguiente: elnct .

La segunda forma es propuesta por Uhlig (1999), la cual es mucho más práctica. Lapropuesta de Uhlig (1999) consiste en reemplazar cada una de las variables por sulog-desviación (xt D xssebxt ) y luego considerar tres propiedades de aproximación,las cuales se mencionan más adelante.

Cabe mencionar que, para el modelo de este capítulo en particular, ambas formasde log-linealizar no representan diferencia en esfuerzo. La propuesta de Uhlig(1999) gana mayor importancia en cuanto a practicidad a medida que el modeloes más complejo. Por ejemplo, el modelo del Capítulo 5 hacia adelante puede serlog-linealizado rápidamente y con poco esfuerzo por medio de la técnica de Uhligen comparación con el camino estándar.

3.5.2.1 Método estándar

Debido a los supuestos del modelo de Long y Plosser (1983), algunas ecuacionesno requerirán una aproximación de Taylor de primer orden, sino que será sencilloobtener la ecuación expresada en log-desviaciones. En estos casos, bastará colocarla ecuación en logaritmo y restar la ecuación en estado estacionario. Dichasecuaciones son las siguientes: la ley de movimiento del capital, la función deproducción, la demanda de capital, la demanda de trabajo y la productividad. Parael caso de la ecuación de Euler, la oferta de trabajo y la ecuación de equilibrio delmercado de bienes sí se requiere aplicar la expansión de Taylor. Claramente, amedida que el modelo sea más complejo, la aplicación de la expansión de Taylorserá más requerida.


Para la ecuación de Euler se tiene lo siguiente: en primer lugar se toman logarit-mos en ambos lados de la ecuación (Ecuación (3.58)), luego se llevan todos loselementos de esta ecuación al lado izquierdo y se renombra como una función delas variables endógenas que aparecen en esta ecuación. En este caso en particular,la función es f .lnrtC1; ln ctC1; ln ct /.

1

ctD ˇEt

rtC1

ctC1

ln�1

ct

�D Et ln

�ˇrtC1

ctC1

�(3.58)

� ln ct D Et Œlnˇ C ln rtC1 � ln ctC1�

Et Œlnˇ C ln rtC1 � ln ctC1�C ln ct D 0

F.ln rtC1; ln ctC1; ln ct / D Et Œlnˇ C ln rtC1 � ln ctC1 C ln ct � D 0

F.ln rtC1; ln ctC1; ln ct / D 0 (3.59)

El paso siguiente es aproximar la función “F.�/” por medio de una expansión deTaylor de primer orden.

F.ln rtC1; ln ctC1; ln ct / � Et�F.� /jss C

@F

@ ln rtC1jss.ln rtC1 � ln rss/

C@F

@ ln ctC1jss.ln ctC1 � ln css/

C@F

@ ln ctjss.ln ct � ln css/

�F.ln rtC1; ln ctC1; ln ct / � Et

�0C .1/.ln rtC1 � ln rss/C .�1/.ln ctC1 � ln css/

C .1/.ln ct � ln css/�

F.ln rtC1; ln ctC1; ln ct / � Et�br tC1 �bctC1 Cbct �bct D Et �bctC1 �br tC1� (3.60)

Con respecto a la ley de movimiento del capital se procede de la misma maneraque en la ecuación de Euler, excepto que no es necesario aplicar la aproximaciónde Taylor.

ktC1 D it

ln ktC1 D ln itln kss D ln iss

ln ktC1 � ln kss D ln it � ln iss


bktC1 Dbi t (3.61)

En el caso de la oferta de trabajo,

�

1 � htDwt

ct

ln�

1 � htD ln

wt

ct

ln � � ln.1 � ht / D lnwt � ln ct (3.62)

ln � � ln.1 � hss/ D lnwss � ln css (3.63)

(3.62) � (3.63):

� ln.1 � ht /C ln.1 � hss/ D lnwt � ln ct � lnwss C ln css

ordenando:

� ln.1 � ht /C ln.1 � hss/ D .lnwt � lnwss/ � .lnct � ln css/

� ln.1 � ht /C ln.1 � hss/ D bwt �bct (3.64)

Para que la Ecuación (3.64) esté totalmente log-linealizada falta expresar el trabajocomo su log-desviación respecto a su estado estacionario. Para ello se hará losiguiente:

ln.1 � ht / D ln.1 � elnht /

Esta expresión se aproxima por medio de la expansión de Taylor de primer orden:

g.lnht / D ln.1 � elnht / Ð g.� /jss C@g

@ ln htjss.lnht � ln hss/

ln.1 � elnht / Ð ln.1 � elnhss /C��elnht

1 � elnht

�.lnht � ln hss/

ln.1 � elnht / Ð ln.1 � hss/ ��

hss

1 � hss

�.lnht � ln hss/

ln.1 � elnht / Ð ln.1 � hss/ ��

hss

1 � hss

�bht (3.65)

Reemplazando la ecuación (3.65) en (3.64) se obtiene la expresión log-lineal de laoferta de trabajo.

� ln.1 � ht /C ln.1 � hss/ D bwt �bct


�ln.1 � hss/C

�hss

1 � hss

�bht C ln.1 � hss/ D bwt �bct�hss

1 � hss

�bht D bwt �bct (3.66)

Para obtener la forma log-lineal de la función de producción basta con aplicarlogaritmo a la función de producción y luego evaluarla en su estado estacionario,para, finalmente, restar ambas ecuaciones.


lnyt D ln at C .1 � ˛/lnkt C ˛ht (3.67)

lnyss D ln ass C .1 � ˛/lnkss C ˛hss (3.68)

(3.67) � (3.68):

lnyt � lnyss D ln at � ln ass C .1 � ˛/lnkt � .1 � ˛/lnkss C ˛ht � ˛hssbyt Dbat C .1 � ˛/bkt C ˛bht (3.69)

La demanda de trabajo sigue los mismos pasos que la función de producción:

wt D ˛yt

ht

lnwt D ln˛ C lnyt � ln ht (3.70)

lnwss D ln˛ C lnyss � ln hss (3.71)

(3.70) � (3.71):

lnwt � lnwss D lnyt � lnyss � ln ht C ln hssbwt Dbyt �bht (3.72)

Con respecto a la demanda del capital se obtiene:

rt D .1 � ˛/yt

kt

lnrt D ln.1 � ˛/C lnyt � ln kt (3.73)

lnrss D ln.1 � ˛/C lnyss � ln kss (3.74)

(3.73) � (3.74):

ln rt � ln rss D lnyt � lnyss � ln kt C ln kss


br t Dbyt �bkt (3.75)

Para la ecuación de equilibrio de mercado se tiene:

yt D ct C it

lnyt D ln.ct C it /

lnyt � ln.ct C it / D 0 (3.76)

Debido a que se desea que las variables estén expresadas en logaritmo, se realiza elsiguiente artificio: cada variable xt se expresa como elnxt . Aplicando este artificioa la Ecuación (3.76):

lnyt � ln.ct C it / D 0

lnyt � ln.elnct C elnit / D 0

F.yt ; ct ; it / D lnyt � ln.elnct C elnit / D 0 (3.77)

Aproximando F.yt ; ct ; it / por medio de la expansión de Taylor de primer ordense tiene:

F.yt ; ct ; it / � F.� /jss C@F

@ lnytjss.lnyt � lnyss/C

@F

@ ln ctjss.ln ct � ln css/

C@F

@ ln itjss.lnit � ln iss/

F.yt ; ct ; it / � 0C .1/.lnyt � lnyss/C�elncss

eln css C eln iss.ln ct � ln css/

C�eln iss

eln css C eln iss.ln it � ln iss/

�byt � css

css C issbct � iss

css C issbi t

�byt � cssyssbct � iss

yssbi t

byt � css

yssbct C iss

yssbi t (3.78)

Finalmente, para la ecuación de productividad:

ln at D � ln at�1 C �t

Se sabe ln ass D 0, Así

ln at � ln ass D � ln at�1 � � ln ass C �tbat D �bat�1 C �t (3.79)


3.5.2.2 Método de Uhilg (1997)

Se definebxt como la log-desviación de la variable xt con respecto a su valor deestado estacionario (xss):

bxt D ln.xt / � ln.xss/ (3.80)

De lo anterior se obtiene:xt D xsse

bxt (3.81)

Además, se sabe que para pequeñas desviaciones del estado estacionario se cumpleque:

1era propiedad W ebxt � 1Cbxt (3.82)

Esta primera propiedad se obtiene al aplicar una aproximación de Taylor de primerorden, la cual se explica a continuación.

Aproximación de Taylor (1er orden). Aproximar la función f .bxt / alrededor desu estado estacionariobxss:

f .bxt / � f .bxss/C f 0.bxss/1Š

.bxt �bxss/C f 00.bxss/2Š

.bxt �bxss/2 C � � �Considerando una aproximación de 1er orden:

f .bxt / � f .bxss/C f 0.bxss/1Š

.bxt �bxss/Si f .bxt / D ebxt , entonces (sabiendo quebxss D 0, porquebxt D xt � xss):

ebxt � ebxss C ebxss .bxt �bxss/ebxt � 1C .bxt �bxss/ebxt � 1Cbxt

Dos propiedades adicionales son importantes:

primera propiedad W bxtbyt Ð 0 (3.83)

segunda propiedad W Et ŒaebxtC1 � D Et ŒabxtC1�C a (3.84)


Aplicando estas propiedades, se procede a log-linealizar el sistema descrito en laTabla 3.3:

Para la ecuación de Euler:

c�1t D ˇEtc�1tC1rtC1�

cssebct ��1 D ˇEt �cssebctC1��1�rssebrtC1�e�bct D Ete�bctC1ebrtC1e�bct D Ete�bctC1CbrtC11 �bct D Et �1 �bctC1 Cbr tC1�bct D Et �bctC1 �br tC1� (3.85)

La ley de moviento de capital en su forma log-lineal quedaría:

ktC1 D it

kssebktC1 D issebi t

kss.1CbktC1/ D iss.1Cbi t /kss C kssbktC1 D iss C issbi t

kssbktC1 D issbi tcomo kss D iss

bktC1 Dbi t (3.86)

Para la oferta de trabajo:

�

1 � htDwt

ct

Recordando: 1 � ht D lt

�

ltDwt

ct

�

lsseblt D wsse

bwtcssebct


e�blt D ebwt�bct

1 �bl t D 1C bwt �bctbl t Dbct � bwt (3.87)

Para terminar de obtener la oferta de trabajo en su versión log-lineal es necesarioobtener la relación log-lineal entre el ocio lt y el trabajo ht :

lt D 1 � ht

Log-linealizando esta expresión:

lt D 1 � ht

lsseblt D 1 � hssebht

lss.1Cbl t / D 1 � hss.1Cbht /lss C lssbl t D 1 � hss � hssbht

lssbl t D �hssbhtbl t D �hsslssbht

bl t D � hss

1 � hssbht (3.88)

Introduciendo (3.88) en (3.87) se obtiene la oferta de trabajo log-lineal:

bl t Dbct � bwt�

hss

1 � hssbht Dbct � bwt

hss

1 � hssbht D bwt �bct (3.89)

Haciendo lo mismo para la función de producción:


yssebyt D �assebat ��kssebkt �1�˛�hssebht �˛

yssebyt D assebatk1�˛ss e.1�˛/

bkth˛sse bhtebyt D ebatC.1�˛/bktC bht


1Cbyt D 1Cbat C .1 � ˛/bkt C ˛bhtbyt Dbat C .1 � ˛/bkt CC˛bht (3.90)

Con respecto a la demanda de capital:

rt D .1 � ˛/

�yt

kt

�rsse

brt D .1 � ˛/�yssebytksse

bkt�

rssebrt D .1 � ˛/�yssebyt�bkt

kss

�ebrt D ebyt�bkt

1Cbr t D 1Cbyt �bktbr t Dbyt �bkt (3.91)

Para la demanda de trabajo:

wt D ˛yt

ht

wssebwt D ˛yssebyt

hssebht

ebwt D ebytebht

ebwt D ebyt�bht1C bwt D 1Cbyt �bhtbwt Dbyt �bht (3.92)

En el equilibrio de mercado de bienes:

yt D ct C it

yssebyt D cssebct C issebi t

yss.1Cbyt / D css.1Cbct /C iss.1Cbi t /yss C yssbyt D css C cssbct C iss C issbi t

yssbyt D cssbct C issbi t

174 3.6 Solución del sistema lineal

byt D css

yssbct C iss

yssbi t (3.93)

Finalmente, la ecuación de la productividad:


ln assebat D � ln assebat�1 C �tln ass Cbat D � ln ass C �bat�1 C �tbat D �bat�1 C �t (3.94)

La Tabla 3.6 resume las ecuaciones log-lineal del modelo obtenidas por las dosformas (método estándar o la propuesta de Uhilg):

Tabla 3.6: Ecuaciones log-lineales


Œ1� bct D Et �bctC1 �br tC1� Ecuación de EulerŒ2� bktC1 Dbi t Ley de movimiento del capitalŒ3� hss

1�hssbht D bwt �bct Oferta de trabajo

Œ4� byt Dbat C .1 � ˛/bkt C ˛bht Función de producciónŒ5� br t Dbyt �bkt Demanda de capitalŒ6� bwt Dbyt �bht Demanda de trabajoŒ7� byt D css

yssbct C iss


Œ8� bat D �bat�1 C �t Shock de productividadNota: Para obtener directamente la solución del modelo con Dynare se puede utilizar el mod“Long_Plosser_Dynare_lineal_log.mod” del Capítulo 2.

3.6 Solución del sistema lineal

La solución del sistema lineal consiste en encontrar las funciones de política; esdecir, las variables de control en función de las variables de estado y variablesexógenas. En este modelo, la variable de estado es el capital kt y la variableexógena es la productividad at . La idea es encontrar, por ejemplo, para el consumo:

bct D �ckbkt C �cabatDe manera similar, para todas las variables endógenas: byt ,bct ,bi t ,bktC1,bht , bwt ybr t . En la literatura existente, hay varias formas de resolver el sistema de ecuaciones


en diferencias estocásticas. Dejong y Dave (2007) sugieren que al menos cuatrométodos son usuales: método de Blanchard y Kahn (1983), método de Sim (2001),método de Klein (2000) y el método de coeficientes indeterminados de Uhlig(1999). Este capítulo se concentra en los dos más usuales: método de Blanchard yKahn, y el método de coeficientes indeterminados. Sin embargo, antes de describiry aplicar ambos métodos, se resolverá el modelo de Long y Plosser analíticamente.Esta solución analítica es factible debido a que las no linealidades desaparecen acausa de los dos supuestos del modelo: depreciación total y utilidad logarítmica.

3.6.1 Método analítico

En primer lugar, se procura disminuir la dimensión del sistema de ecuacioneslineales mediante la unión de algunas ecuaciones. Empezamos con el equilibrio enel mercado de trabajo (eliminamos bwt ). De la Tabla 3.4 unimos la ecuación [3] y[6]:

hss

1 � hssbht Cbct Dbyt �bht1

1 � hssbht Dbyt �bct (3.95)

Luego se elimina la inversiónbi t al reemplazar la ecuación [2] en [7]:

byt D css

yssbct C iss

yssbi t

byt D css

yssbct C iss

yssbktC1 (3.96)

Introduciendo la tasa de interés real (ecuación [5]) en la ecuación de Euler (ecuación[1]):

bct D Et �bctC1 �br tC1�bct D Et �bctC1 � .bytC1 �bktC1/�bct D Et �bctC1 �bytC1 CbktC1� (3.97)

Pero de la Ecuación (3.95) se sabe que:

1

1 � hssbht Dbyt �bct


bct �byt D � 1

1 � hssbht

bctC1 �bytC1 D � 1

1 � hssbhtC1 (3.98)

Reemplazando la ecuación (3.98) en la ecuación de Euler (ecuación (3.97)):

bct D Et �bctC1 �bytC1 CbktC1�bct D Et � � 1

1 � hssbhtC1 CbktC1� (3.99)

Además, de la ecuación (3.96) se despeja el capital en “t C 1”:

byt D css

yssbct C iss

yssbktC1

bktC1 D yss

iss.byt � css

yssbct / (3.100)

Esta última expresión se reemplaza en la ecuación de Euler (Ecuación (3.99)):

bct D Et � � 1

1 � hssbhtC1 CbktC1�

bct D Et � � 1

1 � hssbhtC1 C yss

iss.byt � css

yssbct /�

bct � yssiss.byt � css

yssbct / D Et � � 1

1 � hssbhtC1�

bct .css C iss/iss

�yss

issbyt D Et � � 1

1 � hssbhtC1�

bct yssiss�yss

issbyt D Et � � 1

1 � hssbhtC1�

yss

iss.bct �byt / D Et � � 1

1 � hssbhtC1�

yss

iss

��

1

1 � hssbht� D Et � � 1

1 � hssbhtC1�

yss

issbht D EtbhtC1

1

ˇ.1 � ˛/„ ƒ‚ …D�h>1

bht D EtbhtC1 (3.101)

Por un momento evaluemos la Ecuación (3.64) sin el operador expectativa:

�hbht DbhtC1 (3.102)


Debido a que �h es mayor a uno, entonces esta ecuación es explosiva. La únicasolución estable es cuando bht D 0. Esto implica que la solución del modelopara el trabajo es que esta variable se mantiene en su estado estacionario: comobht D 0, entonces, ln ht � ln hss D 0, lo cual implica que ln ht D ln hss y por tanto:ht D hss .

Por tanto, la función de política del trabajo bht es bht D 0. Dos conclusionesimportantes emergen de esta última ecuación. Primero, no fue necesario utilizarel método de coeficientes indeterminados para obtener la solución debht , y comoveremos más adelante, de las demás variables. Esto es debido a que los dossupuestos del modelo de Long y Plosser (1983), depreciación total y utilidadlogarítmica, eliminan no linealidades del sistema de ecuaciones. Esto permite queel modelo pueda ser resuelto directamente. Segundo, el trabajobht no depende de lavariable exógenabat ni de la variable de estadobkt . Esto indica que un incrementode la productividad no afecta al trabajo ni directa ni indirectamente por medio delcapital.

Para encontrar la solución del resto de variables se revisan sus ecuaciones decomportamiento. En primer lugar se revisa la función de producción log-lineal:

byt Dbat C .1 � ˛/bkt C ˛bhtbyt Dbat C .1 � ˛/bkt C 0byt Dbat C .1 � ˛/„ ƒ‚ …�yk

bktbyt Dbat C �ykbkt (3.103)

De la demanda de capital se obtiene la solución para la tasa de interés realbr t :br t Dbyt �bkt

De la ecuación (3.103):

br t D �ykbkt Cbat �bktbr t D .�yk � 1/„ ƒ‚ …�rk

bkt Cbatbr t D �rkbkt Cbat (3.104)


En la demanda de trabajo se obtiene el salario real bwt :bwt Dbyt �bht

De la solución: ecuación (3.103) ybht D 0bwt D �ykbkt Cbat � 0bwt D �ykbkt Cbat (3.105)

Al reemplazar la solución debht y de bwt en la oferta del trabajo se encuentra lasolución del consumobct :

hss

1 � hssbht D bwt �bct0 D bwt �bctbct D bwtbct D �ykbkt Cbat (3.106)

De la ecuación de equilibrio en el mercado de bienes se obtiene la solución para lainversión:

byt D css

yssbct C iss

yssbi t

bi t D �byt � cssyssbct�yss

issbi t D ��ykbkt Cbat � cssyss

.�ykbkt Cbat /�yssissbi t D .�ykbkt Cbat /.1 � css

yss/yss

issbi t D .�ykbkt Cbat / issyss

yss

issbi t D �ykbkt Cbat (3.107)

Finalmente, de la ley de movimiento del capital se obtiene la solución para elcapital:

bktC1 Dbi tbktC1 D �ykbkt Cbat (3.108)


Tabla 3.7: Funciones de política y de estado (solución del modelo)

Funciones de política Coeficientes (elasticidades) Valores

Œ1� bht D 0Œ2� byt D �ykbkt Cbat �yk D 1 � ˛ �yk D 0:333

Œ3� br t D �rkbkt Cbat �rk D �yk � 1 �rk D 0:667

Œ4� bwt D �ykbkt CbatŒ5� bct D �ykbkt CbatŒ6� bi t D �ykbkt CbatŒ7� bktC1 D �ykbkt Cbat

3.6.2 Método de Blanchard y Kahn

El método de Blanchard y Kahn resuelve un sistema de ecuaciones en diferenciasestocástica por medio de la descomposición de Jordan; es decir, trata de partir elmodelo o el sistema en dos componentes. La estrategia de solución consiste enresolver el componente inestable, a partir del cual se halla la función de política, yluego introducir esta función de política en la representación estado-espacio inicialpara encontrar la ecuación de estado.

En este apartado, se diferencian dos subsecciones: en la primera, se explica elmétodo en términos generales y, en la segunda, se aplica el método al modelo deLong y Plosser (1983).

3.6.2.1 Descripción del método

El métódo de Blanchard y Kahn se puede descomponer en siete pasos (ver la Figura3.3). El primero consiste en transformar el sistema de ecuaciones a su forma deestado-espacio. La utilidad de esta representación es que las ecuaciones se puedenescribir como un sistema en diferencias de primer orden. El segundo paso consisteen obtener una forma de estado-espacio alternativo; es decir, trasladar al ladoderecho la matriz de coeficientes asociados al vector de la izquierda de la ecuación.El fin de ello es obtener un sistema de la forma siguiente: ZtC1 D FZt CGUtC1.

El tercer paso consiste en descomponer el sistema de ecuaciones en dos partes.Para ello se utiliza la descomposición de Jordan, la cual particiona la matriz de


coeficientes “F ” en sus valores propios asociados. El cuarto paso es utilizarla partición de Jordan para separar el sistema de ecuaciones en un subsistemainestable y en un subsistema estable. La nomenclatura inestable se refiere a queson las ecuaciones asociadas a los valores propios inestables (módulo mayor a uno)de la matriz “F ”, y el subsistema estable se refiere a las ecuaciones asociadas alos valores propios estables (módulo menor a uno). El quinto paso es el cambio devariable con el fin de aprovechar al máximo la descomposición de Jordan, lo cualsimplifica la solución del modelo. El sexto paso consiste en resolver la ecuacióninestable por medio del método de sustitución iterada. El resultado de ello es lafunción de política. Finalmente, el paso es utilizar la función de política en elmodelo estado-espacio alternativo y de allí encontrar la función de estado.

Paso 5

Forma deestado-espacio

Forma deestado-espacio

alternativo

Descomposiciónde Jordan

Particióndel modelo

Cambio devariable

Solución dela ecuación

inestable

Encontrandola funciónde estado

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

Paso 6Paso 7

Figura 3.2: Pasos del método de Blanchard y Kahn

Paso 1: Forma estado-espacio generalizado

El primer paso para resolver el sistema de ecuaciones no lineales que representanel modelo3 es colocar dicho sistema en forma estado-espacio:

A

"XtC1

EtYtC1

#D B

"Xt

Yt

#C CVtC1 (3.109)

En la representación (3.109), la matriz VtC1 puede estar compuesta por shocksiid con media igual a cero (E.Vt / D 0) y autocorrelación nula. Alternativamente,

3Cabe mencionar que a este sistema de ecuaciones no lineales se le conoce también como modeloestructural. Esto es debido a que muestra los parámetros profundos o iniciales del modelo. Elmodelo reducido es aquel que se obtiene de combinar las ecuaciones de este sistema inicial; en estecaso, los parámetros son combinaciones de los parámetros profundos.


VtC1 puede comportarse como un proceso AR(1), lo cual depende de shocksexógenos iid.

En este sistema de ecuaciones, se pueden definir dos tipos de variables: Xt esel vector de variables backward looking (predeterminadas o variables de estado).Estas variables son funciones solo de las variables conocidas en “t”, y dado queson predeterminadas se cumple: EtXtC1 D XtC1. Un ejemplo de ello es el capitalktC1, el cual ha sido determinado en “t”; es decir, ya se conoce en “t”; por tanto,EtktC1 D ktC1.

Cabe mencionar que las variables de estado pueden ser endógenas y exógenas.Usualmente la variable de estado exógena es la productividad porque se comportacomo un AR(1) y no depende de ninguna variable del modelo. Además de loanterior, el segundo tipo de variables es el vector de variables forward looking(variables de control) Yt .

Variables de estado Variables de control Variables de shocks

Xt D

2666664X1t

X2t

:

:

Xnt

3777775nx1

Yt D

2666664Y1t

Y2t

:

:

Ymt

3777775mx1

Vt D

2666664V1t

V2t

:

:

Vnv t

3777775nvx1

• El número de variables de estado “n” es igual al número de variables de estadoendógenas “ns” más el número de variables de estado exógenas “nv”:

n D ns C nv

• El número total de variables “nCm” es igual al número total de ecuaciones.

Con estas consideraciones, el Sistema (3.72) quedaría caracterizado de la siguientemanera:

A.nCm/x.nCm/

"XtC1

EtYtC1

#D B.nCm/x.nCm/

"Xt

Yt

#C C.nCm/xnvVtC1 (3.110)


Paso 2. Forma estado-espacio alternativo

A

"XtC1

EtYtC1

#D B

"Xt

Yt

#C CVtC1"

XtC1

EtYtC1

#D A�1B„ƒ‚…

F

"Xt

Yt

#C A�1C„ƒ‚…

G

VtC1"XtC1

EtYtC1

#D F

"Xt

Yt

#CGVtC1

Paso 3. Descomposición de Jordan de F

La matriz F puede ser expresada (por la descomposición de Jordan) de la siguientemanera:

F D HJH�1 (3.111)

F D Œd1:::dnCm�

26664�1 ::: 0

: ::: :

: ::: :

0 ::: �nCm

37775 Œd1:::dnCm��1 (3.112)

Donde H es la matriz de vectores propios y J es la matrix diagonal de valorespropios. Además, f�ignCmiD1 son valores propios y fdignCmiD1 son los vectores propiosasociados.

Introduciendo la descomposición de Jordan, Ecuación (3.111), en la forma deestado-espacio alternativo, se tiene:"

XtC1

EtYtC1

#D F

"Xt

Yt

#CGVtC1"

XtC1

EtYtC1

#D HJH�1

"Xt

Yt

#CGVtC1

H�1

"XtC1

EtYtC1

#D JH�1

"Xt

Yt

#CH�1GVtC1 (3.113)


Paso 4. Partición del modelo

Un paso importante en el método de Blanchard y Kahn es que los valores propiosse ordenan de manera ascendente, esto se lleva a cabo con el fin de identificaraquellos valores propios que en módulo son mayores a uno. Por tanto, los valorespropios ordenados, en módulo, son:

j �1 j<j �2 j<j �3 j< � � � j �nCm j

Asumiendo que la matriz de valores propios está ordenada, se tiene que “J ” sepuede expresar de la siguiente manera:

J D

"J1nxn 0nxm

0mxn J2mxm

#.nCm/x.nCm/

(3.114)

La matriz “J ” se ha particionado en cuatro elementos, de los cuales dos de ellosson importantes: el primero es J1nxn , que es una matriz diagonal que contienelos valores propios cuyos módulos son menores a uno (j � j< 1); el segundo esJ2mxm , que es una matriz diagonal que contiene los valores propios cuyos módulosson mayores a uno (j � j> 1).

En base a la partición de la matriz de valores propios se particiona también lamatriz de vectores propios y su matriz inversa:

Matriz de vectores propios Inversa de la matriz de vectores propios

H D

�H11nxn H12nxmH21mxn H22mxm

�.nCm/x.nCm/

H�1 D

�eH 11nxneH 12nxmeH 21mxneH 22mxm

�.nCm/x.nCm/

Considerando la partición de matrices en la Ecuación (3.114):

H�1

"XtC1

EtYtC1

#D JH�1

"Xt

Yt

#CH�1GVtC1"eH 11

eH 12eH 21eH 22

#"XtC1

EtYtC1

#D J

"eH 11eH 12eH 21eH 22

#"Xt

Yt

#C

"eH 11eH 12eH 21eH 22

#GVtC1


Además, considerando que G D

"G1nxnvG2mxnv

#"eH 11

eH 12eH 21eH 22

#"XtC1

EtYtC1

#D J

"eH 11eH 12eH 21eH 22

#"Xt

Yt

#C

"eH 11eH 12eH 21eH 22

#"G1

G2

#VtC1

(3.115)

Paso 5. Cambio de variable

En la Ecuación (3.114) se pueden definir dos nuevas variables eX t y eY t :"eH 11eH 12eH 21eH 22

#"Xt

Yt

#D

"eX teY t#

(3.116)

Además, se considera: "eH 11eH 12eH 21eH 22

#"G1

G2

#D

"eG1eG2#

(3.117)

Introduciendo las dos nuevas variables en la Ecuación (3.116) y el nuevo vector eG,se tiene:"eH 11

eH 12eH 21eH 22

#"XtC1

EtYtC1

#D J

"eH 11eH 12eH 21eH 22

#"Xt

Yt

#C

"eH 11eH 12eH 21eH 22

#"G1

G2

#VtC1" eX tC1

EteY tC1#D J

"eX teY t#C

"eG1eG2#VtC1" eX tC1

EteY tC1#D

"J1 0

0 J2

#"eX teY t#C

"eG1eG2#VtC1 (3.118)

Paso 6. Desacoplamiento de las ecuaciones

De la Ecuación (3.118) se podrían obtener dos ecuaciones; es decir, el sistemapuede desacoplarse:

Ecuación estable

eX tC1 D J1eX t C eG1VtC1 (3.119)


Ecuación inestable

EteY tC1 D J2eY t C eG2VtC1 (3.120)

La ventaja de este desacoplamiento es que cada ecuación puede ser resuelta porseparado.

Paso 7. Resolviendo la ecuación inestable (encontrando la función de política)

La Ecuación (3.120) es una ecuación en diferencias estocástica con expectativasracionales de primer orden. Para obtener la solución de este tipo de ecuacionesusualmente se aplica la técnica de sustitución repetida.

EteY tC1 D J2eY t C eG2VtC1Reordenando los términos y considerando que J2 es una matriz diagonal (m �m),cuyos elementos son mayores a uno, se tiene:

J2eY t D EteY tC1 � eG2VtC1eY t D J�12„ƒ‚…DP1

EteY tC1 � J�12 eG2„ ƒ‚ …DP2

VtC1

eY t D P1EteY tC1 � P2VtC1 (3.121)

Donde P1 es una matriz diagonal, cuyos elementos son mayores a uno. La soluciónde la Ecuación (3.121) se obtiene al aplicar el método de sustitución repetida. Estatécnica trabaja de la siguiente manera: dado que esta ecuación se mantiene entodos los periodos bajo expectativas racionales, entonces la Ecuación (3.121) sepuede adelantar un periodo y aplicar el operador de expectativas en “t”.

eY t D P1EteY tC1 � P2VtC1eY tC1 D P1EteY tC2 � P2VtC2EteY tC1 D P1EteY tC2 � P2EtVtC2 (3.122)

La Ecuación (3.122) se reemplaza en (3.121) y se obtiene lo siguiente:

eY t D P1EteY tC1 � P2VtC1eY t D P1�P1EteY tC2 � P2EtVtC2� � P2VtC1


eY t D P 21EteY tC2 � P1P2EtVtC2 � P2VtC1 (3.123)

Adelantando dos periodos en la Ecuación (3.123) y aplicando expectativas en “t”,se tiene:

eY tC2 D P1EteY tC3 � P2VtC3EteY tC2 D P1EteY tC3 � P2EtVtC3 (3.124)

Nuevamente, reemplazando la Ecuación (3.124) en (3.123), resulta:

eY t D P 21 �P1EteY tC3 � P2EtVtC3� � P1P2EtVtC2 � P2VtC1eY t D P 31EteY tC3 � P 21 P2EtVtC3 � P1P2EtVtC2 � P2VtC1 (3.125)

Al generalizar la Ecuación (3.125) para “n” periodos, se tiene:

eY t D P n1 EteY tCn � P n�11 P2EtVtCn � Pn�21 P2EtVtC.n�1/

� P n�31 P2EtVtC.n�2/ � � � � P1P2EtVtC2 � P2VtC1 (3.126)

En forma compacta:

eY t D P n1 EteY tCn � nXjD2

Pj�11 P2EtVtCj � P2VtC1 (3.127)

Considerando n!1:

eY t D Limn!1

˚P n1 Et

eY tCn � Limn!1

nXjD2

Pj�11 P2EtVtCj � Lim

n!1P2VtC1

eY t D Limn!1

˚P n1 Et

eY tCn � 1XjD2


El primer término de la Ecuación (3.128), Limn!1

˚P n1 Et

eY tCn, es igual a cero. Esto

se debe a que la matriz diagonal P n1 tiene valores menores a uno, los cuales tiendena cero a medida que “n” crece. Además, desde un punto de vista de optimización,que este término sea igual a cero refleja la condición de transversalidad que sele impone a la solución de esta ecuación en diferencias. Desde un punto de vistaeconómico, tiene sentido suponer que el valor esperado de la variable en un tiempomuy lejano no tenga influencia en la variable el día de hoy. A continuación semuestra la convergencia a cero de la matriz P n1 cuando n tiende a infinito.

P n1 D .J�12 /n


D

26666641=�i;1

1=�i;1

1=�i;1

:::

1=�i;m

3777775

n

D

26666641=�i;1

1=�ni;11=�ni;1

:::

1=�ni;m

3777775Aplicando límite con “n” que tiende a infinito:

Limn!1

P n1 D

266666664

Limn!1

1=�i;1

Limn!1

1=�ni;1

Limn!1

1=�ni;1

:::

Limn!1

1=�ni;m

377777775Limn!1

P n1 D Œ0�mxm

Por tanto W Limn!1

˚P n1 Et

eY tCn D 0 (3.129)

Considerando el resultado de la Ecuación (3.129), la Ecuación (3.128) quedaría:

eY t D � 1XjD2


Además, se sabe que la Matriz Vt se distribuye como una normal con mediacero y matriz de varianza covarianza constante; es decir, Vt Ï N.0; �2v /. Estadistribución se mantiene para cada periodo; es decir, se cumple: Vt Ï N.0; �2v /,VtC1 Ï N.0; �2v /; : : : ; VtCn Ï N.0; �2v /. Donde la media condicional de lavariable siempre es igual a cero: EtVtCn D 0 cuando j D 1; 2; 3 : : :. Bajo estapremisa, entonces EtVtCj D 0. Reemplazando esta expresión en la Ecuación(3.92) se tiene:

eY t D � 1XjD2

Pj�11 P2EtVtCj„ ƒ‚ …

D0

�P2VtC1


eY t D �P2VtC1 (3.131)

Aplicando del operador expectativas en t a la Ecuación (3.131) se obtiene:

eY t D �P2VtC1EteY t D �P2EtVtC1

Se sabe: EtVtC1 D 0. Entonces:

EteY t D 0Por tanto:

eY t D 0 (3.132)

De la ecuación (3.116) que refleja el cambio de variable:

eH 21Xt C eH 22Yt D eY teH 21Xt C eH 22Yt D 0eH 22Yt D �eH 21Xt

Función de política D Yt D �eH�122 eH 21Xt (3.133)

La Ecuación (3.133) representa la función de política porque las variables decontrol (representada por el vector Yt ) están en función de las variables de estado(representadas por el vector Xt ).

Paso 8. En el sistema inicial (encontrando la función de estado)

Reescribiendo la representación de estado-espacio alternativo:"XtC1

EtYtC1

#D F

"Xt

Yt

#CGVtC1"

XtC1

EtYtC1

#D

"F11 F12

F21 F22

#"Xt

Yt

#C

"G1

G2

#VtC1

La ecuación para la primera variable (la variable de estado) es:

XtC1 D F11Xt C F12Yt CG1VtC1 (3.134)


Esta ecuación depende de la variable de control; sin embargo, por la función depolítica, Ecuación (3.133), se sabe la relación entre Yt y Xt . Reemplazando estarelación en la Ecuación (3.134):

XtC1 D F11Xt C F12.�eH�122 eH 21Xt /CG1VtC1

Ecuación de estado

W XtC1 D .F11 � F12eH�122 eH 21/Xt CG1VtC1 (3.135)

La Ecuación (3.135) es la ecuación de estado. Con ella, el modelo queda resuelto.

3.6.2.2 Aplicación del método

En la aplicación del modelo de Long y Plosser se seguirán los mismos pasos paramantener el hilo conductor del método de solución. Antes de aplicar el método, esnecesario reducir el número de ecuaciones y, por ende, el número de variables. Elfin de ello es evitar que aparezca alguna fila llena de ceros en cualquier lado (matrizA o B) de la representación estado-espacio. Si, por ejemplo, aparece una fila deceros en la matriz A, entonces dicha matriz no sería invertible. Esto imposibilitaríala aplicación del método de Blanchard y Kahn. Entonces partiendo del sistemade ecuaciones lineales (con variables en logaritmo) de la Tabla 3.6, se realizanalgunos artificios algebraicos descritos a continuación.

En primer lugar se elimina el salario real wt al considerar el equilibrio en elmercado de trabajo; es decir, se iguala la oferta de trabajo (ecuación [3] de laTabla 3.6) con la demanda de trabajo (ecuación [6] de la Tabla 3.6). La ecuaciónresultante se muestra a continuación:

Oferta de trabajo:

hss

1 � hssbht D bwt �bct

Demanda de trabajo:

bwt Dbyt �bht


Equilibrio:

hss

1 � hssbht Cbct D bwt Dbyt �bht

hss

1 � hssbht Cbct Dbyt �bht1

1 � hssbht Dbyt �bct (3.136)

La ecuación [5] de la Tabla 3.6, que representa la demanda de capital, puede serintroducida en la ecuación [1] (ecuación de Euler) por medio de la tasa de interés.

Demanda de capital:

br t Dbyt �bktEcuación de Euler:

bct D Et �bctC1 �br tC1�br tC1 en la ecuación de Euler:

bct D Et �bctC1 �bytC1 �bktC1� (3.137)

Finalmente, la ecuación [2] se introduce en la restricción presupuestaria (ecuación[7]):

Ley de movimiento del capital:

bktC1 Dbi tRestricción presupuestaria:

byt D css

yssbct C iss

yssbi t

byt D css

yssbct C iss

yssbktC1 (3.138)


Hasta aquí se tiene un conjunto de cinco ecuaciones con cinco variables debido aque se han eliminado tres variables (br t ,bi t y bwt ). Sin embargo, el sistema aún sepodría resumir un poco más. Despejando el trabajobht de la Ecuación (3.100) eintroduciendo esta expresión en la función de producción (ecuación [4] de la Tabla[3.6]), se tiene:

Equilibrio (mercado de trabajo):

bht D .1 � hss/.byt �bct /Función de producción:

byt Dbat C .1 � ˛/bkt C ˛bhtbyt Dbat C .1 � ˛/bkt C ˛.1 � hss/.byt �bct /.1 � ˛.1 � hss//byt Dbat C .1 � ˛/bkt � ˛.1 � hss/bct (3.139)

Con esta última ecuación y habiendo eliminado el trabajobht y su correspondienteecuación, el sistema se convierte en cuatro ecuaciones con cuatro variables:bct ,byt ,bkt ybat .

E1 W bct D Et �bctC1 �bytC1 �bktC1� (3.140)

E2 W byt D css

yssbct C iss

yssbktC1 (3.141)

E3 W .1 � ˛.1 � hss//byt Dbat C .1 � ˛/bkt � ˛.1 � hss/bct (3.142)

E4 W bat D �bat�1 C �t (3.143)

A este nivel se puede intentar escribir el sistema de cuatro ecuaciones en forma deestado-espacio. Para ello, se definen las variables de control (bct ybyt ) y las variablesde estado (bkt ybat ). Las primeras dos variables tienen asociado el operador deexpectativas, por lo cual son consideradas variables forward looking o de control.Cabe mencionar que aunque el capital en “t C 1” tenga asociado el operador deexpectativas, este sigue siendo una variable de estado porquebktC1 es determinadaen “t”. Entonces EtbktC1 es igual abktC1 (sin expectativas).

La siguiente ecuación expresa la forma genérica de escribir el sistema en formaestado-espacio:

A

"XtC1

EtYtC1

#D B

"Xt

Yt

#C CVtC1


Donde en este caso en particular Xt D Œbkt bat �t y Yt D Œbyt bct �t . Bajo estapremisa, se escribe el sistema en forma estado-espacio:26664

�1 0 �1 1

�iss=yss 0 0 0

0 0 0 0

0 1 0 0

3777526664bktC1batC1EtbctC1EtbytC1

37775 D � � � (3.144)

La representación estado-espacio no puede llevarse a cabo debido a que la matriz“A” presenta una línea llena de ceros. Esto imposibilita encontrar la inversa de estamatriz y, por tanto, encontrar solución al sistema. Todo ello sugiere que el modelopuede ser aún más resumido.

Se despeja la producciónbyt de la Ecuación (??) y se introduce en la Ecuación (??)y (??). Con ello se elimina una variable (byt ) y una Ecuación (??).

De E3

byt D 1

1 � ˛.1 � hss/.bat C .1 � ˛/bkt � ˛.1 � hss/bct / (3.145)

(3.145) en E2

1

1 � ˛.1 � hss/.bat C .1 � ˛/bkt � ˛.1 � hss/bct / D css

yssbct C iss

yssbktC1

ncbct C nkbktC1 Dbat C .1 � ˛/bkt (3.146)

Donde: nc D cssyss.1 � ˛.1 � hss// C ˛.1 � hss/ y nk D

issyss.1 � ˛.1 � hss//.

Reemplazando la Ecuación (3.147) en E1 se tiene:

E1

bct D Et �bctC1 �bytC1 �bktC1� (3.147)

(3.146) en E1

bct D Et �bctC1 C ŒbatC1 C .1 � ˛/bktC1 � ˛.1 � hss/bctC1� 1

1 � ˛.1 � hss/„ ƒ‚ …ny

CbktC1�


bct D Et �.1C ˛.1 � hss/ny/bctC1 � nybatC1 C .1 � .1 � ˛/ny/bktC1 (3.148)

Finalmente, el sistema está compuesto por tres ecuaciones con tres variables:bct ,bkt ybat :E1* W bct D Et �.1C ˛.1 � hss/ny/bctC1 � nybatC1 C .1 � .1 � ˛/ny/bktC1�

(3.149)

E2* W ncbct C nkbktC1 Dbat C .1 � ˛/bkt (3.150)

E3* W bat D �bat�1 C �t (3.151)

Considerando que la única variable forward looking es el consumo y que existendos variables de estado: el capital y la productividad, se procede a escribir estesistema en forma estado-espacio:264�.1 � .1 � ˛/ny/ ny �.1C ˛.1 � hss/ny/

nk 0 0

0 1 0

375264 bktC1batC1EtbctC1

375D

264 0 0 �1

.1 � ˛/ 1 �nc

0 � 0

375264 bktbatEtbct

375C264001

375 �tC1 (3.152)

En este caso cada matriz (A y B) no tiene filas llenas de ceros, entonces, sepodría encontrar la inversa de A. A continuación, se siguen los pasos descritosanteriormente en la metodología de Blanchard y Kahn pero esta vez aplicado almodelo de Long y Plosser (1983).

Paso 1. Forma estado-espacio

En términos generales la forma estado espacio para este modelo sería:

A


375 D B264bktbatbct

375C C�tC1 (3.153)

Sin embargo, para este modelo las matrices A, B y C tienen sus propios valores enfunción de los parámetros.


264�.1 � .1 � ˛/ny/ ny �.1C ˛.1 � hss/ny/

nk 0 0

0 1 0


375D

264 0 0 �1

.1 � ˛/ 1 �nc

0 � 0

375264 bktbatEtbct

375C264001

375 �tC1 (3.154)

Al reemplazar los valores de los parámetros, la ecuación (3.154) quedaría:

264�0:2860 2:14416 � 2:1441

0:1528 0 0

0 1 0


375D

264 0 0 �1

0:333 1 �0:8472

0 0:979 0

375264bktbatbct

375C264001

375 �tC1 (3.155)

Paso 2. Forma estado-espacio alternativo

Se multiplica la Ecuación (3.155) por la inversa de la matriz A con el fin de obtenerla forma estado espacio alternativo:


375 D264 2:1789 6:5434 �5:5434

0 0:9790 0

�0:2907 0:1061 1:2059

375264bktbatbct

375C264011

375 �tC1 (3.156)

Donde la matriz que acompaña al vector [bkt ,bat ,bct ]t es la matriz “F ” y el vector[0,1,1]t es el vector “G”. Cabe mencionar que la inversa de la matriz A estárepresentada por la siguiente matriz:

A�1 D

264 0 6:5434 0

0 0 1:0000

�0:4664 �0:8729 1:0000

375


Paso 3. Descomposición de Jordan de F

Al aplicar la descomposición de Jordan de la matriz F se obtiene lo siguiente:

J D

2640:333 0 0

0 0:979 0

0 0 3:0518

375 (3.157)

En la matriz J se puede observar que existen dos valores propios con módulomenor a uno y uno con módulo mayor a uno. La condición de Blanchard y Kahnpara que el sistema tenga solución única indica que el número de valores propioscon módulo mayor a uno debe ser igual al número de variables forward looking.Dado que el consumo es la única variable forward looking, entonces la condiciónde Blanchard y Kahn se cumple para este modelo.

Paso 4. Partición del modelo

Particionando la matriz de valores propios se tiene J1 que contiene aquellos valorespropios estables.

J1 D

"0:333 0

0 0:979

#(3.158)

De otro lado, J2 contiene el único valor propio inestable:

J2 D 3:0518 (3.159)

Además, considerando la matriz inversa de H y sus matrices particionadas:

H�1 D

2640:3384 �3:7805 2:1490

0 2:3860 0

0:6873 2:0640 �2:0640

375 H�1 D

" eH 11nxneH 12nxmeH 21mxneH 22mxm

#

Donde, cada matriz particionada es:

eH 11 D

"0:3384 �3:7805

0 2:3860

# eH 12 D

"2:1490

0

#eH 21 D

h0:6873 2:0640

i eH 22 D

h�2:0640

i


Paso 5. Cambio de variable

En línea con la Ecuación (3.116) se tiene:"eH 11eH 12eH 21eH 22

#"Xt

Yt

#D

"eX teY t#

Aplicando a los parámetros del modelo:2640:3384 �3:7805 2:1490

0 2:3860 0

0:6873 2:0640 �2:0640

375264bktbatbct

375 D264ebktebatebct375 (3.160)

De igual manera con la Ecuación (3.117):"eH 11eH 12eH 21eH 22

#"G1

G2

#D

"eG1eG2#

La aplicamos a los parámetros del modelo:2640:3384 �3:7805 2:1490

0 2:3860 0

0:6873 2:0640 �2:0640

375264011

375 D "eG1eG2#

(3.161)

Por tanto el sistema con el cambio de variable quedaría:264ebktC1ebatC1EtebctC1

375 D "J1 0

0 J2

#264ebktebatebct375C "eG1eG2

#�tC1

264ebktC1ebatC1EtebctC1

375 D2640:3330 0 0

0 0:9790 0

0 0 3:0518

375264ebktebatebct375C

264�1:63162:3860

0

375 �tC1 (3.162)

Paso 6. Desacoplamiento de las ecuaciones

De la Ecuación (3.118), se podrían obtener dos subsistemas; es decir, el sistema sepuede desacoplar:


Ecuación estable

eX tC1 D J1eX t C eG1VtC1"ebktC1ebatC1#D

"0:3330 0

0 0:9790

#"ebktebat#C

"�1:6316

2:3860

#�tC1 (3.163)

Ecuación inestable

EteY tC1 D J2eY t C eG2VtC1EtebctC1 D 3:0518ebct C 0�tC1 (3.164)

Paso 7. Resolviendo la ecuación inestable (encontrando la función de política)

Resolviendo la Ecuación (3.164) se tiene que:

ebct D 0 (3.165)

Además, se sabe del cambio de variable (Ecuación (3.160)) que:

ebct D 0:6873bkt C 2:064bat � 2:064bct (3.166)

Por tanto, combinando la Ecuación (3.165) y (3.166):

bct D 0:6873

2:064bkt C 2:064

2:064bat

bct D 0:333bkt Cbat (3.167)

La Ecuación (3.167) representa la función de política para el consumo.

Paso 8. En el sistema inicial (encontrando la función de estado)

La siguiente ecuación es la representación de estado-espacio alternativo (Ecuación(3.156)) que se mencionó líneas arriba.264 bktC1batC1

EtbctC1375 D

264 2:1789 6:5434 �5:5434

0 0:9790 0

�0:2907 0:1061 1:2059

375264bktbatbct

375C264011

375 �tC1


De esta ecuación se pueden obtener las ecuaciones para las variables de estado.Por ejemplo, para elbktC1 se tiene:

bktC1 D 2:1789bkt C 6:5434bat � 5:5434bct (3.168)

Reemplazando la ecuación de política (Ecuación (3.167)) se tiene:

bktC1 D 2:1789bkt C 6:5434bat � 5:5434.0:333bkt Cbat /bktC1 D 0:333bkt Cbat (3.169)

Esta ecuación representa la ecuación de estado. Lo mismo se hace con la segundavariable, la cual muestra la evolución de la productividad:

batC1 D 0:9790bat C �tC1 (3.170)

Con la función de política para el consumo y la función de estado se podríanobtener las reglas de decisión de las demás variables. De la Tabla 3.6, la cualcontiene las ecuaciones log-lineales, se puede extraer la ecuación [2]:

bi t DbktC1bi t D 0:333bkt Cbat (3.171)

La Ecuación (3.171) representa la función de política (solución) para la inversiónbi t . De la ecuación [7] de la misma tabla se puede obtener la solución para laproducción (Ecuación (3.172)):

byt D css

yssbct C iss

yssbi t

byt D css

yss.0:333bkt Cbat /C iss

yss.0:333bkt Cbat /

byt D . cssyssCiss

yss„ ƒ‚ …D1

/.0:333bkt Cbat /byt D 0:333bkt Cbat (3.172)

De la misma manera para la tasa de interés (ecuación [5] de la Tabla [3.6]):

br t Dbyt �bktbr t D .0:333bkt Cbat / �bkt


br t D �0:667bkt Cbat (3.173)

Para el trabajobht , se utiliza la ecuación [4] para obtener su solución:

byt Dbat C . 1 � ˛„ƒ‚…D0:333

/bkt C ˛bht0:333bkt Cbat Dbat C 0:333bkt C ˛bht

0 D ˛bhtbht D 0 (3.174)

Finalmente, de la ecuación [3] se obtiene la solución para el salario real bwt :hss

1 � hssbht D bwt �bct0 D bwt � .0:333bkt Cbat /bwt D 0:333bkt Cbat (3.175)

Las Ecuaciones (3.167) y (3.169) a (3.175) representan la solución del sistema deecuaciones log-lineales, las cuales son similares a las obtenidas analíticamente(Tabla 3.7). En la Figura 3.3 se grafica la función de política del consumo y de latasa de interés. La relación entre estas variables y el capital es lineal debido a quese ha restringido la aproximación de la solución a la expansión de Taylor de primerorden.

200 3.7 Representación de serie de tiempo

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Consumo: c_hat = 0.333*k_hat + a_hat

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Tasa de interés: r_hat = −0.667*k_hat + a_hat

c_hat = 0.333*k_hatc_hat = 0.333*k_hat + 0.5c_hat = 0.333*k_hat + 1

r_hat = −0.667*k_hatr_hat = −0.667*k_hat + 0.5r_hat = −0.667*k_hat + 1

Figura 3.3: Función de política

3.7 Representación de serie de tiempo

Las funciones de política y de estado son útiles para encontrar la representación deserie de tiempo de cada variable. En primer lugar, se debe de expresar la productivi-dad en su forma MA(1) y luegoes necesario encontrar la representación de seriesde tiempo de la variable de estado kt en su forma MA(1). La representaciónMA(1) permite obtener ambas variables en función del error �t . Finalmente,debido a que las demás variables están en función a la productividad y al capital,entonces se puede obtener la representación de serie de tiempo de cada una de ellascon tan solo sustituir la forma MA(1) de la productividad y del capital en cadafunción de política. A continuación se muestra el procedimiento descrito.

bat D �bat�1 C �t.1 � �L/bat D �tbat D �t

1 � �L(3.176)

Siguiendo el mismo procedimiento para el capital y considerando la representación(3.176):

bktC1 D �ykbkt Cbat.1 � �ykL/bktC1 Dbat


.1 � �ykL/bktC1 D �t

1 � �LbktC1 D �t

.1 � �ykL/.1 � �L/(3.177)

La Ecuación (3.177) indica que el capital se comporta como un AR(2):

.1 � .�yk C �/LC �yk�L2/bktC1 D �tbktC1 � .�yk C �/bkt C �yk�bkt�1 D �tbktC1 D .�yk C �/bkt � �yk�bkt�1 C �t (3.178)

De la Tabla 3.7 se observa que el producto, el consumo, la inversión y el salariotienen la misma función de política, la cual es la misma que la del capital:

byt Dbct Dbi t D bwt DbktC1 D �ykbkt CbatPor tanto, estas variables también se comportan como un AR(2), la misma represen-tación de serie de tiempo del capital e inclusive los mismos coeficientes asociadosa cada componente de la serie de tiempo. De otro lado, la función de política dela tasa de interés es distinta a las demas variables en su coeficiente asociado alcapital:

br t D �rkbkt CbatDonde: �rk D �yk � 1

br t D .�yk � 1/bkt Cbatbr t D �ykbkt Cbat„ ƒ‚ …DbktC1

�bktbr t DbktC1 �bktbr t D �t

.1 � �ykL/.1 � �L/�

�t�1

.1 � �ykL/.1 � �L/br t D �t � �t�1

.1 � �ykL/.1 � �L/

br t D .1 � L/�t

.1 � �ykL/.1 � �L/(3.179)

202 3.7 Representación de serie de tiempo

La Ecuación (3.179) sugiere que la tasa de interés se comporta como un AR-MA(2,1), tal como se puede ver en la siguiente ecuación:

br t D .1 � L/�t

.1 � �ykL/.1 � �L/

.1 � .�yk C �/LC �yk�L2/br t D �t � �t�1bktC1 � .�yk C �/br t�1 C �yk�br t�2 D �t � �t�1br t D .�yk C �/br t�1 � �yk�br t�2 C �t � �t�1

(3.180)

Cabe mencionar que al igual que las demás variables endógenas, la tasa de interésmantiene los coeficientes del componente autorregresivo de orden 2 que presentael capital. En la Tabla 3.8 se muestra un resumen de la representación de serie detiempo de las variables del modelo.

Tabla 3.8: Representación de series de tiempo

Variable Serie de tiempobyt AR(2)bct AR(2)bi t AR(2)bkt AR(2)bht AR(2)bwt AR(2)br t ARMA(2,1)bat AR(1)

Hasta aquí se ha encontrado la solución del modelo, estas son reglas de decisiónque describen el consumo, trabajo e inversión óptima del agente representativo.Estas reglas dependen del stock de capital (predeterminado) y de la productividad.Para evidenciar el efecto del shock de productividad en estas decisiones se podríasustituir la productividad por su representación MA(1). De la Ecuación (3.176)puede obtenerse la versión en medias móviles de la productividad:

bat D �t

1 � �Lbat D �t C ��t�1 C �2�t�2 C �3�t�3 C � � �


Introduciendo esta expresión en la solución, por ejemplo, del producto (Ecuación(3.172)):

byt D 0:333bkt Cbatbyt D 0:333bkt C �t C ��t�1 C �2�t�2 C �3�t�3 C � � �En forma compacta:

byt D 0:333bkt C 1XjD0

�j �t�j

Esta última ecuación sugiere que el producto de hoy depende del stock de ca-pital acumulado hasta hoy (que fue determinado en el periodo previo) y de laacumulación de shocks de productividad (positivos o negativos).

3.8 Funciones impulso-respuesta

La función impulso-respuesta representa el comportamiento temporal de cadavariable endógena ante la realización de un shock. Es importante notar que cadaelemento de esta función es un equilibrio. Por ejemplo, cada valor de la funciónimpulso-respuesta del consumo refleja el equilibrio en el mercado de bienes encada periodo. De igual forma, la función impulso-respuesta del salario refleja elequilibrio en cada periodo del mercado de trabajo.

El Gráfico 3.4 ilustra las reacciones de las variables ante un shock positivode productividad en el periodo “t D 1”. Para entender por qué cada variablese comporta de la manera como se muestra en el Gráfico 3.4 se analizará elcomportamiento de las variables (del modelo en general) desde “t D 0” hasta“t D 4”.

Periodo t D 0. En este periodo, la economía está en estado estacionario; es decir,está en el equilibrio de largo plazo. En dicho equilibrio, todas las variables soniguales a su valor de estado estacionario:

br0 Dby0 Dbc0 D bw0 Dbh0 Dbi0 Dbk0 Dba0 D 0

204 3.8 Funciones impulso-respuesta

0 20 404

5

6

7

8

9

10

11x 10

−3 Consumo

0 20 404

5

6

7

8

9

10

11x 10

−3 Inversión

0 20 404

5

6

7

8

9

10

11x 10

−3 Producto

0 20 404

5

6

7

8

9

10

11x 10

−3 Capital

0 20 400

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

−16 Trabajo

0 20 40−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8x 10


0 20 404

5

6

7

8

9

10

11x 10

−3 Salario real

0 20 403

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5x 10

−3 Productividad

Figura 3.4: Función impulso-respuestaNota: Esta gráfica impulso-respuesta se obtiene del archivo “irfs_nolineal_log.m”

Además, el capital en el periodo “t=1” es igual a la inversión en “t D 0”:

bk1 Dbi0 D 0De lo anterior se concluye que el capital en el periodo “t D 0” y “t D 1” es iguala cero (está en su estado estacionario):

bk1 Dbk0 D 0Periodo t D 1. En este periodo sucede el shock, el cual toma el valor de sudesviación estándar �� D 0:0072 :

ba1 D � ba0„ƒ‚…D0

C �1„ƒ‚…D��ba1 D �� (3.181)

Reacciones de la empresa. El incremento de la productividad influencia positiva-


mente el producto, la cual a su vez incrementa la demanda de factores.

"ba1 !"by1 !" Pmgbk1.Dk1/^ " Pmgbh1.Dh1/En primer lugar, el efecto directo del incremento de la productividad es sobre lafunción de producción:

by1 D ba1„ƒ‚…D��

C.1 � ˛/ bk1„ƒ‚…D0

C˛bh1by1 D �� C ˛bh1 (3.182)

La Ecuación (3.182) sugiere que la producción en “t D 1” es mayor que en“t D 0” aunque el trabajo sea igual a cero. En segundo lugar, este incremento enla producción genera un aumento en la productividad marginal del capital y deltrabajo; es decir, incentiva una mayor demanda de dichos factores por el lado de laempresa.

Demanda de trabajo:

bw1 Dby1 �bh1bw1 D �� C ˛bh1 �bh1 (3.183)

Por tanto, dado queby1 >by0, entonces la demanda de trabajo se incrementa (verGráfico 3.5). En tercer lugar, la demanda del capital se expande:

Demanda de capital

br1 Dby1 � bk1„ƒ‚…D0br1 Dby1 D �� C ˛bh1 (3.184)

Reacciones de la familia. La familia representativa se ve afectada indirectamentepor el shock de productividad por medio del mercado de factores. Ante este cambiode condiciones, la familia responde ajustando su curva de oferta de trabajo y decapital.


k0 D k1 D 0 kt

rt

r0 D y0 � k0

r1 D y1 � k1

A

Br1

t D1

Mercado de capital

h0 D 0 ht

wt

w0 D y0 � h0

w1 D y1 � h1

hss1�hss

h0 Dw0 � c0

A

t D1

Mercado de trabajo

Figura 3.5: Respuesta de la empresa ante el shock de productividad (t D 1)

En primer lugar, dado que la oferta de capital en “t D 1” ha sido determinadaen “t D 0”, la cual es igual a cero; es decir, el capital se mantiene en el estadoestacionario, entonces el equilibrio en el mercado de capital en “t D 1” estádeterminado en el punto “B” de la Figura 3.5. El incremento de la tasa de interés(br1 >br0) produce dos efectos sobre el consumo. El primero es conocido comoefecto sustitución, el cual indica que un incremento en la tasa de interés esperadoen el periodo siguiente reduce el consumo en el periodo actual e incrementa elconsumo en el periodo siguiente. Esto se debe a que el consumidor tiene unadisposición a sustituir consumo intertemporalmente si el incentivo (la tasa deinterés) es cada vez más fuerte. Cabe mencionar que por “incremento” se entiendeque la variable está por encima de su estado estacionario; es decir,br t > 0. Cuandoello sucede, el efecto sustitución sugiere que el consumobct�1 se reduce. Por otrolado, sibr t < 0, el consumobct�1 se incrementa.

El análisis del efecto sustitución se realiza mediante la ecuación de Euler. Alanalizar dicha ecuación en t D 0 se tiene:

bc0 D Et Œbc1 �br1�En este caso, un incremento debr1 produciría una caída debc0 y un incremento debc1; sin embargo, dado que en t D 0 la economía está en estado estacionario, elúnico efecto que se mantiene es el incremento del consumo en “t D 1”. Es decir,bc1 Dbr1 (Efecto 0).


Dado que la familia está parada en “t D 1”, es necesario analizar el efectosustitución en este periodo:

bc1 D Et Œbc2 �br2�Esta ecuación sugiere que si la tasa de interés del periodo siguiente se incrementa,es decir,br2 > 0, entonces el consumo de hoybc1 disminuye. Como se verá másadelante, efectivamente en “t D 2” se tiene quebr2 > 0 y, por tanto, el efectosustitución indica quebc1 disminuye (efecto 1).

El segundo efecto de la tasa de interés es conocido como “efecto riqueza” o“efecto ingreso”, el cual indica que el consumidor se siente más rico debido aque el costo de alquiler del capital (tasa de interés) se ha incrementado y asítambién sus ingresos. Para analizar este efecto es necesario recurrir a la restricciónpresupuestaria (en niveles) en “t D 1”.

c1 C i1 D w1h1 C r1k1

Dado el aumento de la tasa de interés en “t D 1”, la familia podría destinar estosrecursos a un mayor consumobc1 e inversiónbi1 (efecto 2). Hasta aquí estos dosefectos son contrapuestos, por lo que la pregunta que resulta es la siguiente: quéefecto es dominante. En este modelo, ambos efectos se neutralizan debido a que laelasticidad de sustitución intertemporal es igual a uno. Tal como se demostrará enel Capítulo 4, la dominancia del efecto sustitución sobre el efecto ingreso dependede la elasticidad de sustitución. Por tanto, no hay un movimiento en el consumopor esta vía, solo por el efecto sustitución en “t D 0” que produce un incrementodel consumo en “t D 1” (Efecto 0).

En la Figura 3.6 se muestra la reacción de la familia por medio de la oferta detrabajo, llevando el equilibrio en “t D 1” al punto “B”. La pregunta que surgees, entonces ¿hasta qué punto la familia reduce su oferta de trabajo? si es quesuponemos que h1 es el equilibrio final. Si esto es así, se debe cumplir que elsalario w1 debe equilibrar la oferta y demanda de trabajo:

hss

1 � hssbh1 Cbc1„ ƒ‚ …

oferta de trabajo

D bw1 D by1 �bh1„ ƒ‚ …demanda de trabajo

(3.185)


k0 D k1 D 0 kt

rt

r0 D y0 � k0

r1 D y1 � k1

A

Br1

t D1

Mercado de capital

k2

En t D 1 se determina la ofer-ta de capital para t D 2, lacual es perfectamente inelástica

h0 D 0 ht

wt

w0 D y0 � h0

w1 D y1 � h1

hss

1� hssh0 Dw0 � c0

hss


tD1

t D1

w1

h1

A

B

Mercado de trabajo

Figura 3.6: Respuesta de la familia ante el shock de productividad (t D 1)

Operando en ambos lados de la Expresión (3.185) se tiene:

hss

1 � hssbh1 Dby1 �bc1 (3.186)

Pero se sabe que: bc1 Dbr1 Dby1 D �� C ˛bh1Entonces reemplazando esta expresión en la Ecuación (3.186):

hss

1 � hssbh1 D 0 (3.187)

Por tanto, el trabajo de equilibrio en “t D 1” es igual a cero; es decir, es igual alvalor de su estado estacionario: bh1 D 0. Por tanto, lo que realmente pasa con laoferta de trabajo es que se reduce sucesivamente hasta llegar al punto “C” (ver laFigura 3.7).

Por tanto, para resumir los valores de equilibrio de las variables se tiene losiguiente:ba1 D ��, luego:bh1 D 0 yby1 D bw1 Dbc1 Dbr1 D ��Además,bk1 D 0 ybi1 D bk2. Para hallar el valor debk2 se utiliza la ecuación deequilibrio del mercado de bienes:

by1„ƒ‚…Dbc1

Dcss

yssbc1 C iss

yssbi1


h0 D 0 ht

wt

w0 D y0 � h0

w1 D y1 � h1

hss


hss


tD1

t D1

Mercado de trabajo

A

B

Cw1

Figura 3.7: Equilibrio en el mercado de trabajo (t D 1)

�1 �

css

yss

�bc1 D iss

yssbi1

iss

yssbc1 D iss

yssbi1

bc1 Dbi1 (3.188)

Dado quebc1 D �� , entonces:bi1 D �� y, por tanto: bk2 D �� . La Figura 3.8 indicael equilibrio final en el periodo “t D 1” en el mercado de factores.

k0 D k1 D 0 kt

rt

r1 D y1 � k1

A

r1 D �"C

Mercado de capital

h0 D h1 D 0 ht

wt

w1 D y1 � h1

A

B

Cw1 D ��

hss


Mercado de trabajo

Figura 3.8: Equilibrio en t D 1


Periodo t D 2. En este periodo aún el efecto de la productividad se vislumbraaunque con menor fuerza. La Ecuación (3.189) indica que la productividad en esteperiodoba2 es menor que en el periodo anteriorba1:

ba2 D � ba1„ƒ‚…D��

C �2„ƒ‚…D0ba2 D �� (3.189)

Cabe mencionar que el shock que se considera en este modelo es temporal; es decir,su realización es en un solo periodo y es igual a su desviación estándar: �1 D ��.En los siguientes periodos, el shock es igual a su estado estacionario; es decir:�2 D �3 D �4 D � � � D 0. Ademas, al obtener la representación MA(1) de laproductividad se pueden analizar los efectos del shock de productividad sobre laproductividad en los siguientes periodos:

bat D �t C ��t�1 C �2�t�2 C �3�t�3 C �4�t�4 C ::: (3.190)

Al calcular la variación de la productividad en “t” ante un shock en el mismoperiodo se tiene:

�bat��tD 1

Considerando que ��t D ��, entonces: �bat D �� y además, si se sabe quela variación de la productividad es con respecto a su estado estacionario (D 0),entonces:bat D �� . De la misma forma se calcula el impacto del shock en “t C 1”,“t C 2” y así sucesivamente, se tiene lo siguiente:

batC1 D ��; batC2 D �2��; batC3 D �3�� : : :Este resultado es importante y sugiere dos ideas centrales: la primera es que dadoque � < 1 entonces el impacto del shock se diluye o disminuye en el tiempo. Lasegunda idea es que la magnitud del impacto depende del valor del parámetrode persistencia �. Si este parámetro es pequeño, entonces rápidamente el efectodesaparecerá en el tiempo.

Reacciones de la empresa. Como se mencionó antes, el primer impacto del shockde productividad es sobre la función de producción.

by2 Dba2 C .1 � ˛/bk2 C ˛bh2


by2 D �� C .1 � ˛/�� C ˛bh2by2 D .� C .1 � ˛//�� C ˛bh2; � D 0:979; ˛ D 0:667by2 D 1:312�� C ˛bh2 (3.191)

De los resultados de equilibrio en el periodo “t D 1” se sabe que by1 D ��.Entonces, dadobh2, en la Ecuación (3.191) se observa que el coeficiente (1:312)que multiplica a �� en by2 es mayor al asociado a by1 (1). Esto sugiere que:by2 > by1 > 0. El incremento del producto a causa de la mayor productividadincentiva a la empresa a expandir su demanda de trabajo y de capital como se veen la Figura 3.9.

k0 D k1 D 0 kt

rt

r1 D y1 � k1

r2 D y2 � k2

k2 D ��

A

r1 D �" CD

t D2

Mercado de capital

h0 D h1 D 0 ht

wt

w1 D y1 � h1

w2 D y2 � h2A

B

Cw1 D ��

hss


t D2

Mercado de trabajo


Al reemplazar el valor del producto en la demanda de capital se obtiene lo siguiente:

br2 Dby2 �bk2br2 D .� C .1 � ˛//�� C ˛bh2 � .��/br2 D .� � ˛„ƒ‚…0:312

/�� C ˛bh2 (3.192)

Se sabe que la tasa de interés de equilibrio en el periodo “t D 1” esbr1 D ��.Entonces al comparar este resultado con la Ecuación (3.192) se deduce quebr2 < br1. Esto indica que la demanda del capital en el periodo “t D 2” no seha expandido lo suficiente como para incrementar la tasa de interés por encimadebr1. Cabe mencionar que, aunque la tasa de interés es menor que el periodo


anterior, sigue siendo mayor al estado estacionario y, por tanto sigue produciendoun incentivo de sustituir consumo de hoy por mañana (efecto sustitución negativoen el consumo de hoy) y sigue generando ingresos positivos a la familia (efectoingreso positivo), aunque en menor medida que en el periodo “t D 1”.

Reacciones de la familia. El efecto ingreso se puede observar en la restricciónpresupuestaria (en niveles):

c2 C i2 D w2h2 C r2k2

Donde el lado del ingreso se incrementa debido al aumento de la tasa de interéscon respecto a su estado estacionario. Cabe mencionar que este incremento esmenor con respecto al periodo previo. Esto produce que el consumo y la inversiónen “t D 2” aumenten, pero en menor proporción (con respecto al periodo previo).De otro lado, el efecto sustitución sugiere que el consumo en “t D 2” tambiéndebería aumentar y el consumo del periodo “t D 1” debería disminuir:

bc1 D Et Œbc2 �br2� (3.193)

Por tanto, ante el incremento del consumo por efectos de la tasa de interés, lafamilia se siente con recursos suficientes como para sacrificar ocio. Esto lleva a lareducción de la oferta de trabajo en el periodo “t D 2” hasta el nivel en el que eltrabajo se queda en su valor de estado estacionario (ver la Figura 3.10).

Luego de que la empresa y la familia han reaccionado ante los efectos de shockde productividad, el cual se materializó en el periodo 1, se tienen los siguientesvalores de equilibrio de las variables en el periodo 2: ba2 D ��, luego: bh2 D 0

yby2 D bw2 Dbc2 D .� C 1 � ˛/��. Además, se tiene quebr2 D .� � ˛/��. Dela misma manera que en el periodo 1, se puede concluir que bajo la restricciónpresupuestaria la inversión en equilibrio es igual al consumo de equilibrio:

bc2 Dbi2Asimismo, por la ley de movimiento del capital se sabe que: bk3 Dbi2. Por tanto,los valores de equilibrio de todas las variables son:

by2 D bw2 Dbc2 Dbi2 Dbk3 D .� C 1 � ˛/��; ba2 D ��; bh2 D 0La Figura 3.11 muestra el equilibrio en el mercado de factores en el segundoperiodo.


h0 D h1 D 0 ht

wt

w1 D y1 � h1

w2 D y2 � h2

hss


hss


t D2

tD2

tD2

Mercado de trabajo

A

B

C

D

w1 D ��

Figura 3.10: Respuesta de la familia ante el shock de productividad (t D 2)

Periodo t D 3. En este periodo, los efectos del shock de productividad aúnpersisten aunque con menor impacto.

ba3 D � ba2„ƒ‚…D��

C �3„ƒ‚…D0ba3 D �2�� (3.194)

De la Ecuación (3.194) se puede inferir queba3 D �2�� y es menor queba2 D �� .Por tanto, el impacto sobre el producto será positivo, pero menor que en el periodo“t D 2”.

Reacciones de la empresa. Dado que el stock de capital se ha estado incremen-tando entre los periodos 2 y 3 (pasó debk2 D �� abk3 D 1:312��) y que además losefectos del shock que se materializó en el primer periodo aún persisten, en menorfuerza, en el tercer periodo. Todo ello lleva al producto a incrementarse en esteperiodo, tal como se muestra a continuación:

by3 Dba3 C .1 � ˛/bk3 C ˛bh3by3 D �2�� C .1 � ˛/.1C � � ˛/�� C ˛bh3by3 D .�2 C .1 � ˛/.1C � � ˛//„ ƒ‚ …D1:3953

�� C ˛bh3


kt

rt

r2 D y2 � k2

k2 D ��

r2 D 0:312�"

Equilibrio en t D 0

Equilibrio en t D 1Equilibrio en t D 2

A

CD

Mercado de capital

ht

wt

w2 D y2 � h2

hss


Mercado de trabajo

A

C

D

w2 D 1:312�"

Figura 3.11: Equilibrio en t D 2

by3 D 1:3953�� C ˛bh3 (3.195)

Al comparar con el producto del periodo “t D 2”, se tiene lo siguiente:

1:3953�� C ˛bh3 Dby3 >by2 D 1:312��Ante el incremento del producto, la empresa expande su demanda de capital y detrabajo como en los periodos previos, tal como se observa en la Figura 3.12.

kt

rt

r2 D y2 � k2

r3 D y3 � k3

k2 D �� k3 D 1:312�"

r2 D 0:312�"

Equilibrio en t D 0

Equilibrio en t D 1

A

CD

E

t D3

t D 3Mercado de capital

ht

wt

w2 D y2 � h2

w3 D y3 � h3

hss


t D3

Mercado de trabajo

A

C

D

w2 D 1:312�"


Al reemplazar el valor del producto en la demanda de capital se obtiene lo siguiente:

br3 Dby3 �bk3


br3 D 1:3953�� C ˛bh3 � 1:312��br3 D 0:0833�� C ˛bh3 (3.196)

Al comparar el valor de equilibrio de la tasa de interés en el periodo “t D 1”,Ecuación (3.192) con la Ecuación (3.196), se observa que la tasa de interés en elperiodo 3 se ha reducido significativamente: el coeficiente de �� en la ecuación dedemanda de la tasa de interés pasó de 31:2% en el segundo periodo a 8:33% en eltercero (Ecuación 3.196). Esto se debe a dos efectos: por un lado, la influencia delshock de productividad se diluye en el tiempo y la expansión del stock de capitales menor; es decir, se incrementa, pero a un menor ritmo.

Reacciones de la familia. Ante un escenario de mayor demanda de trabajo y decapital por el lado de las empresas, aunque en menor magnitud que en el periodoanterior, los ingresos de la familia aún se mantienen positivos, es decir, por encimadel estado estacionario debido a que la tasa de interés (aunque pequeña) aún siguesiendo positiva. Asimismo, el salario real se mantiene al alza. Todo ello implicaque la familia experimenta un efecto ingreso menor que el periodo anterior peroque permite incrementar el consumo, el ocio y la inversión. El incremento del ociose traduce en una reducción de la oferta de trabajo hasta llegar al equilibrio en “E”(ver la Figura 3.13).

Por otro lado, el efecto sustitución implica una reducción del consumo en elsegundo periodo, pero un incremento en el periodo actual. Cabe mencionar quedado que la tasa de interés en este periodo ya está muy cercana a cero, el efectosustitución es pequeño.

Los valores de equilibrio de todas las variables son:

by3 D bw3 Dbc3 Dbi3 Dbk4 D .�2C .1�˛/.1C��˛//��; ba3 D �2��; bh3 D 0En los siguientes periodos, el efecto del shock de productividad prácticamentedesaparecerá, lo cual llevará a que la demanda del capital se incremente margi-nalmente ante una expansión de la oferta de capital. Ello producirá que la tasa deinterés se vuelva negativa; es decir, se halle por debajo de su estado estacionario.Ante esta situación, por el efecto sustitución la familia aumentará su consumo hoy

216 3.9 Simulación de las variables endógenas

h0 D h1 D 0 ht

wt

w1 D y1 � h1

w2 D y2 � h2

hss


hss


t D3

tD3

tD3

Mercado de trabajo

A

B

Cw1 D ��

D

E

Figura 3.13: Respuesta de la familia ante el shock de productividad (t=3)

evitando trasladar consumo presente al futuro. El incremento del consumo presenteimplica una menor inversión hoy, lo que finalmente se traduce en la reduccióndel stock del capital en los periodos siguientes. Esta reducción de la oferta decapital por el lado de las familias se mantendrá hasta que el capital vuelva al estadoestacionario. Este comportamiento llevará a que todas las variables de la economíavuelvan al estado estacionario en un periodo de tiempo.

3.9 Simulación de las variables endógenas

Tal como se indicó en el Capítulo 2, la simulación de las variables endógenasse puede realizar de dos formas: la primera es indicándole a Dynare dentro de“stoch_simul” el número de periodos que se desea simular. La desventaja deeste camino es que solo se puede hacer una simulación. La segunda es utilizardos opciones de Dynare (periodos y número de réplica). La primera opción indicael número de periodos y la segunda el número de veces que se desea realizar lasimulación. La desventaja de este método es que Dynare crea un archivo binario,el cual es difícil de leer en Matlab. Sin embargo, Johannes Pfeifer ha creado unafunción en Matlab que soluciona este problema (para mayor detalle ver el Capítulo2).


La Figura 3.14 muestra la simulación mediante la primera opción. Cabe mencionarque para esta simulación se utiliza el código “Long_Plosser.m” (Sección 5).Asimismo, la Figura 3.15 muestra la décima simulación de las variables por mediode la segunda opción.

0 50 100 150−2.65

−2.6

−2.55

−2.5

−2.45

−2.4LnConsumo

0 50 100 150−3.4

−3.35

−3.3

−3.25

−3.2

−3.15

−3.1LnInversion

0 50 100 150−2.25

−2.2

−2.15

−2.1

−2.05

−2LnProducto

0 50 100 150−3.4

−3.35

−3.3

−3.25

−3.2

−3.15

−3.1LnCapital

0 50 100 150−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094LnTrabajo

0 50 100 150−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05LnTasaInt

0 50 100 150−1.05

−1

−0.95

−0.9

−0.85

−0.8LnSalario

0 50 100 150−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1LnProductividad

Figura 3.14: Simulación (primera alternativa)

0 50 100 150−2.35

−2.3

−2.25

−2.2

−2.15

−2.1

−2.05

−2LnProducto

0 50 100 150−2.7

−2.65

−2.6

−2.55

−2.5

−2.45LnConsumo

0 50 100 150−3.45

−3.4

−3.35

−3.3

−3.25

−3.2LnInversion

0 50 100 150−3.45

−3.4

−3.35

−3.3

−3.25

−3.2LnCapital

0 50 100 150−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04LnTasaInt

0 50 100 150−1.1

−1.05

−1

−0.95

−0.9

−0.85LnSalario

0 50 100 150−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094LnTrabajo

0 50 100 150−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06LnProductividad

Simulación N°10Simulación N°20

Figura 3.15: Simulación (segunda alternativa)

218 3.10 Componente cíclico de las variables simuladas

Como se puede ver, en ambas alternativas de simulación, las variables endógenas(en logaritmo) se comportan según la representación de serie de tiempo que sederiva de la solución (ver Tabla 3.8).

3.10 Componente cíclico de las variables simuladas

Para calcular el componente cíclico se utilizan las series simuladas (100 veces con150 periodos). Los pasos son los siguientes: en primer lugar se aplica el filtroHP a cada simulación de las variables; por ejemplo, dado que el producto se hasimulado 100 veces, entonces se tienen 100 series y se procede a aplicar el filtroHP a cada serie de tal manera que se obtienen 100 componentes cíclicos y 100tendencias. Todas ellas son de la misma variable. En segundo lugar, se procede agraficar el componente tendencial y cíclico de una de las simulaciones. En estecaso se ha graficado la simulación 10 (ver Figura 3.16). La Figura 3.16 muestra elcomponente tendencial de cada variable endógena (correspondiente a la décimasimulación). Como se puede observar, la tendencia es la serie suavizada que pasapor el medio de toda la serie. Cabe subrayar que el trabajo no tiene tendencia; lalínea que fluctúa alrededor de la variable tiene el mismo valor en el eje “Y ”; portanto, no tiene tendencia ni componente cíclico.

La Figura 3.17 muestra el componente cíclico para cada variable (de la décimasimulación). Dicho componente se obtiene de la diferencia entre la variable y sutendencia. Como resultado de ello, el valor promedio del componente cíclico esigual a cero. Cabe mencionar que los Gráficas 3.16 y 3.17 se obtienen del código“Long_Plosser.m” (Sección 4)


0 50 100 150−2.35

−2.3

−2.25

−2.2

−2.15

−2.1LnProducto

0 50 100 150−2.7

−2.65

−2.6

−2.55

−2.5

−2.45LnConsumo

0 50 100 150−3.45

−3.4

−3.35

−3.3

−3.25

−3.2LnInversion

0 50 100 150−3.45

−3.4

−3.35

−3.3

−3.25

−3.2LnCapital

0 50 100 150−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04LnTasaInt

0 50 100 150−1.1

−1.05

−1

−0.95

−0.9

−0.85LnSalario

0 50 100 150−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094

−1.6094LnTrabajo

0 50 100 150−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06LnProductividad

VariableTendencia

Figura 3.16: Tendencia

0 50 100 150−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03LnProducto

0 50 100 150−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03LnConsumo

0 50 100 150−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03LnInversion

0 50 100 150−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03LnCapital

0 50 100 150−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025LnTasaInt

0 50 100 150−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03LnSalario

0 50 100 150−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4x 10

−13 LnTrabajo

0 50 100 150−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03LnProductividad

Figura 3.17: Ciclo

3.11 Cálculo de los momentos teóricos

En esta sección se tomarán las 100 simulaciones de la sección previa para calcularla distribución de cada momento; en particular de la desviación estándar. Parael cálculo de los momentos del componente cíclico de las variables se utiliza elcódigo “Long\_Plosser.m” (Sección 5)

0.005 0.01 0.015 0.020

5

10

15

20

25LnProducto

0.005 0.01 0.015 0.020

5

10

15

20

25LnConsumo

0.005 0.01 0.015 0.020

5

10

15

20

25LnInversion

0.005 0.01 0.015 0.020

5

10

15

20

25LnCapital

4 6 8 10

x 10−3

0

5

10

15

20

25LnTasaInt

0.005 0.01 0.015 0.020

5

10

15

20

25LnSalario

Figura 3.18: Distribución de la Des. Est.

El modelo supone que el error �t se distribuye como una Normal .0; ��/. Entonces,cada una de las variables también se distribuye como una normal, con su media ydesviación estándar propia. La Figura 3.18 muestra la desviación estándar de cadavariable simulada (100 veces). El valor de desviación estándar de cada variableproducida por el modelo es el promedio o la mediana de cada distribución. Porejemplo, el promedio de la distribución de la desviación estándar del logaritmo delproducto es 0:0124. De igual forma, para el logaritmo del consumo es 0.0124.


3.12 Comparación del modelo teórico con los datos

Una prueba clave que evalúa el poder de capturar la realidad por parte del modeloes comparar los momentos teóricos (brindados por el modelo) con los momentosempíricos (encontrados en los datos). La Tabla 3.9 muestra los momentos quese obtienen del modelo en comparación con aquellos obtenidos por los datos.Cabe precisar que los momentos teóricos son obtenidos utilizando el archivo“Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”, el cual considera el filro HP.

De la Tabla 3.9 se desprenden dos conclusiones: la primera es que el modelo deLong y Plosser está muy lejos de replicar la realidad. Esto era de esperarse porlos supuestos considerados. La segunda es que el modelo puede ser fortalecidoen varias direcciones; por ejemplo, se puede levantar el supuesto de depreciacióntotal o suponer una función de utilidad que permita obtener una elasticidad desustitución diferente de uno.

222 3.13 Códigos

Tabla 3.9: Comparación del comportamiento cíclico del modelo teórico conlos datos empíricos

Datos empíricos USA Modelo teórico

Variable DesEst Corr. con producto (t) DesEst Corr. con producto (t)

Producto 1:72 1 1:26 1.0:17/

Consumo 1:27 0:83 1:26 1.0:17/

Inversión 8:24 0:91 1:26 1.0:17/

Capital 5:34 0:9 1:26 1.0:17/

Trabajo 1:59 0:86 0. 0/

Salario 0:757 0:68 1:26 1.0:17/

Tasa de interés 0:72 0:2841.0:045 /

Nota: Los valores empíricos han sido tomados de Cooley y Prescott (1995), los cuales han sidocalculados bajo el periodo muestral de 1954.I hasta 1991.III, mientras que los valores teóricos se hanobtenido de una simulación de 100 veces considerando un periodo de 150 trimestres. Los valoresmostrados en el modelo teórico son los valores promedios de cada distribución. Estos valores seobtienen del archivo “Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod”.

3.13 Códigos

En la Tabla 3.10 se indican los códigos utilizados en este capítulo.




Matlab

Long_Plosser.m Este m-file calcula el estado estacio-nario, los coeficientes de la solucióndel modelo y se aplica el filtro HP alas variables simuladas (100 veces con150 periodos). Además, se calculanlos momentos teóricos del componentecíclico.

Long_Plosser_BlanchardKahn.m Este m-file busca seguir paso a paso laaplicación del método de Blachard yKahn al modelo de Long y Plosser.

ifrs_nolineal_log.m Este m-file grafica la función impulso-respuesta del modelo Long y Plosser,el cual está descrito en el archivo moddescrito líneas abajo.

Dynare

Long_Plosser_Dynare_nolineal_log.mod Este .mod contiene las ecuaciones no-lineales y con las variables en loga-ritmo del modelo de Long y Plosser(1983), Plosser (1989).

CAPÍTULO 4

MODELO RBC CON TRABAJO CONSTANTE

4.1 Introducción

El objetivo principal de este capítulo es comprender detalladamente el procesode construcción y solución de un modelo de ciclos económicos reales. Adicio-

nalmente, es importante entender cómo se construye la simulación de las variablesy cómo se obtiene la función impulso-respuesta. Para estos fines, en este capítulo,se analiza en detalle uno de los modelos propuestos por Campbell (1994).

El modelo base propuesto por Campbell (1994) es un modelo estacionario (sintendencia), pero con crecimiento diferente de cero en el estado estacionario. Estemodelo es una extensión del modelo de crecimiento estocástico, el cual permiterastrear los efectos dinámicos de cualquier evento aleatorio (shock).

No obstante, la solución del modelo estocástico es difícil de caracterizar, principal-mente por las no-linealidades que emergen del mismo modelo, las cuales se derivande la interacción entre elementos multiplicativos (función de producción Cobb-Douglas) y elementos aditivos (ley de movimiento del capital). Un caso especial esel modelo propuesto por Long y Plosser (1983), descrito en el Capítulo 3. En dichomodelo, las no-linealidades desaparecen debido al supuesto no realista de que ladepreciación es total; es decir, la tasa de depreciación es igual a uno (ı D 1) y que,además, la función de utilidad es logarítmica (u.ct ; ht / D lnct C �ln.1 � ht /).En este caso, el modelo llega a ser lineal y puede ser resuelto analíticamente; enlos demás, una “solución aproximada” es requerida.

En línea con lo anterior, Campbell (1994) menciona que un paper típico en laliteratura RBC plasma el modelo y luego se mueve directamente a la discusión de

225


las propiedades de solución, sin especificar cómo se ha arribado a dicha solución.Lo anterior no permite que el lector entienda el proceso para obtener dichaspropiedades de solución, ni la solución en sí misma.

Ante ello, el autor propone un enfoque analítico simple del modelo de crecimientoestocástico, cuya versión log-lineal puede ser resuelta analíticamente para mostrarel mecanismo de solución de la manera más transparente posible. Con el fin deilustrar el método de solución, Campbell (1994) lo aplica a cuatro modelos:

1. Modelo con oferta de trabajo fija,

2. Modelo con oferta de trabajo variable y función de utilidad aditivamente sepa-rable,

3. Modelo con oferta de trabajo variable y función de utilidad no aditivamenteseparable, y

4. El segundo modelo extendido con un shock de gasto público.

Este capítulo se centra en el primer modelo (oferta de trabajo constante o fija),dejando para el siguiente capítulo el modelo con oferta de trabajo variable.

4.2 Construcción del modelo

Este modelo está compuesto por familias y empresas en un entorno de economíacerrada, en la cual existe un único bien. Por un lado, las familias tienen trabajo fijo;es decir, todas las familias están empleadas. Por el otro, las familias son dueñasdel capital y, en consecuencia demandan bienes para invertir, lo que a su vez creauna oferta de capital. Asimismo, las familias demandan bienes de consumo.

De otro lado, las empresas tienen una tecnología para producir un único bien en laeconomía en función del capital. Por ello, las empresas demandan capital. En laFigura 4.1 se esquematiza el modelo.

4 Modelo RBC con trabajo constante 227

Economía cerrada

cdemanda idemanda

yoferta

koferta

kdemanda

Mercado de capital(competencia perfecta)


Familias

Empresas

Figura 4.1: Esquema del modelo de oferta de trabajo constante

4.2.1 Familias

En este modelo, se asume que la economía está poblada por un conjunto de familiasidénticas que tienen vida infinita. La familia representativa busca maximizar sufunción de utilidad descontada:

Maxfct ;ktC1g

1tD0

E0

1XtD0

ˇtu.ct / (4.1)

Donde ct es el consumo del periodo t y ˇ es el factor de descuento. Además, lafunción de utilidad instantánea se halla descrita por la siguiente forma funcional:

u.ct / Dc1� t

1 � (4.2)

Propiedades de la función de utilidad

La función de utilidad previa tiene un coeficiente de aversión al riesgo igual a y una elasticidad de sustitución intertemporal (del consumo) � D 1=


Cálculo de ESI ctC1;t (� ):

uct D c� t

TMgSI ctC1;t D �Et

�uct

ˇuctC1

�D �Et

�c t

ˇc tC1

�ESI ctC1;t D

@ln.ctC1ct/

@ln.TMgSI ctC1;t /DTMgSI ctC1;t

ctC1ct

La elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (�) se entiende como ladisposición de la familia de sustituir consumo hoy (# ct ) por consumo de mañana(" ctC1). Cuando se dice que dicha elasticidad es fuerte (� es grande), se entiendeque el consumidor está dispuesto a reducir su consumo hoy en mayor cantidad.

De otro lado, se asume que la familia es dueña del capital físico (kt ), cuya dinámicade acumulación está representada por la ley de movimiento del capital:

ktC1 D .1 � ı/kt C it (4.3)

Dicho capital (kt ) es alquilado a las empresas a una tasa de interés real rt . Este flujo.rtkt / positivo representa los ingresos de la familia, los cuales son distribuidosentre el consumo (ct ) y la inversión (it ). Esta equivalencia de flujos, para cadaperiodo de tiempo, está representada en la restricción presupuestaria.

ct C it D rtkt (4.4)

Problema de optimización

El problema de optimización de la familia representativa es el siguiente:

Maxfct ;ktC1g

1tD0

E0

1XtD0

ˇtc1� t

1 �

Sujeto a la restricción presupuestaria:

ct C ktC1 � .1 � ı/kt D rtkt


Donde la inversión (it ) se ha reemplazado por su expresión derivada de la leyde movimiento del capital (Ecuación (4.3)). Además, cabe mencionar que lasvariables de control, en este problema de optimización, son ct y ktC1.

El problema de optimización de las familias puede ser escrito como una funciónde Lagrange:

L D E01XtD0

ˇt�u.ct /C �t

�rtkt � .ct C ktC1 � .1 � ı/kt /

��Donde, de manera similar al capítulo 3 (modelo Long y Plosser (1983)), la versiónextendida de la función de Lagrange se puede expresar de la siguiente manera:

L DE0�ˇ0�u.c0/C �0

�r0k0 � .c0 C k1 � .1 � ı/k0/

��C

ˇ1�u.c1/C �1

�r1k1 � .c1 C k2 � .1 � ı/k1/

��C

ˇ2�u.c2/C �2

�r2k2 � .c2 C k3 � .1 � ı/k2/

��C

ˇ3�u.c3/C �3

�r3k3 � .c3 C k4 � .1 � ı/k3/

��C

ˇ4�u.c4/C �4

�r4k4 � .c4 C k5 � .1 � ı/k4/

��C

� � �C

ˇt�u.ct /C �t

�rtkt � .ct C ktC1 � .1 � ı/kt /

��C

ˇtC1�u.ctC1/C �tC1

�rtC1ktC1 � .ctC1 C ktC2 � .1 � ı/ktC1/

��C

� � �C

� � �

�

Las condiciones de primer orden, en el periodo “t”, son:

@L@ctD 0 H) E0

�ˇt�uct C �t .�1/

��D 0

uct D �t (4.5)


@L@ktC1

D 0 H) E0

�ˇt��t .�1/�C ˇ

tC1��tC1.rtC1 C .1 � ı//

��D 0

�t D ˇEt�tC1.rtC1 C .1 � ı// (4.6)

Reemplazando la Ecuación (4.5) en la Ecuación (4.6) se obtiene la ecuación deEuler:

uct D ˇEtuctC1.rtC1 C .1 � ı//

c� t D ˇEtc

� tC1.rtC1 C .1 � ı// (4.7)

En línea con Campbell (1994), se define la variableRt como la tasa bruta de interésde la inversión en capital de un periodo, la cual es igual a la tasa de interés realneta (rt ) más el capital no depreciado (1 � ı). En el periodo “t C 1”, esta relaciónse expresa de la siguiente manera:

RtC1 D rtC1 C .1 � ı/ (4.8)

Considerando la expresión anterior, la ecuación de Euler tendría la forma siguiente:

c� t D ˇEtc

� tC1RtC1 (4.9)

La ecuación de Euler expresa una comparación beneficio/costo marginal de con-sumir una unidad del bien. Por un lado, se tiene el costo marginal de dejar deconsumir una unidad adicional del bien, el cual es expresado por la utilidad margi-nal uct y, por el otro se tiene el beneficio marginal de no consumir dicha unidad delbien en “t”, la cual en el periodo siguiente “t C 1” se convierte en 1.1C rtC1 � ı/unidades del bien. Esto se debe a que existe una tasa de interés y una tasa dedepreciación. La utilidad marginal que brinda esta unidad adicional en “t C 1”es uctC1RtC1. Sin embargo, para compararla con el costo marginal en “t” esnecesario traerla a valor presente por medio del factor de descuento “ˇ”. Portanto, el beneficio marginal en “t”, es igual a ˇuctC1.RtC1/. Esto se observa en lasiguiente ecuación:

uct„ƒ‚…costo marginal

D ˇEtuctC1.rtC1 C .1 � ı//„ ƒ‚ …beneficio marginal

Por tanto, la ecuación de Euler indica que la familia está dispuesta a sacrificarconsumo hoy hasta que el costo marginal de dejar de consumir una unidad del bienhoy sea igual al beneficio marginal de dicha unidad del bien traído a valor presente.


4.2.2 Empresas

Se asume que las empresas se desarrollan en un contexto de competencia perfecta,tanto en el mercado de bienes como en el mercado de factores de producción. Eneste escenario, la empresa representativa maximiza su función de beneficios sujetaa su tecnología (función de producción). Dicho problema de optimización estádescrito de la siguiente manera:

Maxfkt g1tD0

…t D yt � rtkt

Sujeto a la función de producción:

yt D a˛t k1�˛t (4.10)

La función de producción solo depende de la productividad at y del capital ktdebido a que se asume que el trabajo ht es constante (fijo). Además, debido a quela empresa no toma decisiones intertemporales, su problema de optimización serealiza para cada uno de los periodos. Por tanto, el problema de optimización sepuede realizar en t y extender el resultado para los siguientes periodos. Introdu-ciendo la función de producción en la función objetivo y derivando esta última conrespecto a la única variable de control (kt ), se obtiene la siguiente expresión.

@…

@ktD 0 H)

@.a˛t k1�˛t � rtkt /

@ktD 0 H) .1 � ˛/

�at

kt

�˛� rt D 0

De esta condición de primer orden se obtiene la demanda de capital:

rt D .1 � ˛/

�at

kt

�˛(4.11)

4.2.3 Equilibrio de mercado y definición del shock

Para completar el modelo antes descrito es necesario especificar dos ecuacionesadicionales. La primera describe el equilibrio en el mercado de bienes; es decir,todo lo que se produce en la economía debe encontrar su contraparte en los dife-rentes componentes del gasto agregado. La segunda especifica el comportamientode la productividad. Con respecto a esta última, usualmente se supone que esestacionaria en media y que tiene una varianza constante. La forma estándar de


representarla es asumiendo que la productividad sigue un proceso autorregresivode orden uno.

En este modelo en particular, se asume que no existe gasto de gobierno (gt D 0) yque la economía es pequeña y cerrada. Por lo tanto, toda la producción tendrá dosposibles destinos: el consumo (ct ) y la inversión (it ). En ese sentido, la condiciónde equilibrio está descrita por la siguiente ecuación:

yt D ct C it (4.12)

De otro lado, la productividad sigue un comportamiento estacionario AR(1), enel cual el shock está representado por el ruido blanco �t , que tiene una función dedistribución normal con media cero y varianza constante [N.0; �2� /]. En estadoestacionario, se asume que dicho ruido blanco toma el valor de su media. Asimismo,cuando se dice que la economía ha sufrido un “shock” en t D 0 significa que endicho periodo el ruido blanco (�t ) ha dejado de ser cero y ha tomado, solo en eseperiodo, algún valor proporcional a su desviación estándar (n��). Usualmente, seconsidera que n es igual a uno. La Ecuación (4.13) describe el comportamiento dela productividad:

lnat D �lnat�1 C �t (4.13)

Cabe subrayar que el logaritmo de la productividad se comporta como un AR(1)y no la productividad en sí misma. Esto es importante porque permite que, enel estado estacionario, la productividad sea igual a uno, lo cual evita cualquierdivisión entre cero.

4.2.4 Ecuaciones principales

Las ecuaciones principales del modelo se resumen en la Tabla [4.1]:

Este conjunto de ecuaciones representan un sistema de ecuaciones en diferencias nolineales y estocásticas. Para resolver dicho sistema, como es usual en la literatura,se transforma en un sistema de ecuaciones lineales. Esto se debe a que las técnicasmatemáticas de solución de sistemas lineales son ampliamente conocidas. Lasolución del sistema lineal será, entonces, una aproximación de la solución delsistema no-lineal. Cabe mencionar que un paso previo a la linealización del sistema


de ecuaciones es la asignación de valores a los parámetros (calibración) y el cálculodel estado estacionario.

Tabla 4.1: Sistema de ecuaciones no lineal del modelo

Ecuaciones Descripción

c� t D ˇEtc

� tC1RtC1 Ecuación de Euler

yt D a˛t k

1�˛t Función de producción

rt D .1 � ˛/�atkt

�˛ Demanda del capitalRt D rt C .1 � ı/ Rt es la tasa de interés real (bruta)

rt es la tasa de interés real (neta) que consi-dera la depreciación

yt D ct C it Equilibrio mercado de bienesktC1 D .1 � ı/kt C it Ley de movimiento del capitallnat D �lnat�1 C �t Shock de productividad

Nota: Estas 7 ecuaciones se pueden escribir directamente en un “mod” enDynare para obtener la solución del modelo y los IRFs.

4.3 Calibración

Calibración es una metodología empírica, que consiste en asignar un valor a losparámetros del modelo de equilibrio general basado en una diversidad de fuentes.Según Heer y Maussner (2009), las fuentes mas comúnes son las siguientes:

1. El uso del promedio del nivel de variables económicas de series de tiempo o elpromedio de los ratios de dichas variables.

2. La estimación econométrica de una ecuación.

3. La referencia a estudios econométricos basados en datos microeconómicos omacroeconómicos.

4. El ajuste de los parámetros para que el modelo replique ciertos hechos empí-ricos como segundos momentos de los datos o impulso-respuesta de un VARestructural.


La forma de evaluar el poder del modelo para capturar la realidad es por mediode la comparación de los valores de los segundos momentos y de las funcionesimpulso-respuesta con los valores obtenidos empíricamente. En la Tabla [4.2]se indican los valores de los parámetros del modelo, los cuales están basados enCampbell (1994).

Tabla 4.2: Calibración (valores base)

Parámetro Nombre Sustento anual

˛ D 0:667 (1 � ˛) es la participación del ca-pital en el producto

ı D 0:025 Tasa de depreciación 10% anualln.Rss/ D 0:015, lleva aRss D 1:015 y por tanto:ˇ D 0:9852

Tasa de interés real bruta de estadoestacionario

6.184% anual: .1C0:015/4 � 1

� D 0:2 Elasticidad de sustitución inter-temporal del consumo

� D 0:95 Persistencia del shock�� D 1 Desviación estándar del shock

4.4 Estado estacionario

Para el cálculo del estado estacionario se considera que la variable xt se mantieneconstante. Entonces, en el estado estacionario se tiene que xt D xtC1 D xss . Estaúltima condición se aplica a todas las variables endógenas. Además, en el estadoestacionario el shock �ss toma su valor promedio, que es igual a cero. Para laecuación de Euler se tiene lo siguiente:

c� t D ˇEtc

� tC1RtC1

c� ss D ˇc� ss Rss

1 D ˇRss

Rss D1

ˇ(4.14)

Para la función de producción:

yt D a˛t k1�˛t


yss D a˛ssk

1�˛ss (4.15)

Para la demanda de capital:

rt D .1 � ˛/

�at

kt

�˛rss D .1 � ˛/

�ass

kss

�˛(4.16)

De la ecuación de la tasa de interés bruta:

Rt D rt C .1 � ı/

Rss D rss C .1 � ı/

Por la Ecuación (4.14):

1

ˇD rss C .1 � ı/

rss D1

ˇ� .1 � ı/ (4.17)


yt D ct C it

yss D css C iss (4.18)

De la misma manera para la ley de movimiento del capital:

kt D .1 � ı/kt C it

kss D .1 � ı/kss C iss

iss D ıkss (4.19)

Finalmente, para la ecuación de comportamiento de la productividad:

lnat D � ln at�1 C �tlnass D � ln ass C �ss„ƒ‚…

D0.valor de su media/

lnass D � ln assln.ass/ D ln.a�ss/


ass D a�ss (4.20)

Al igual que en el modelo de Long y Plosser (1983), dos valores de ass podríanresolver esta última Ecuación (4.20): ass D 1 o ass D 0. Sin embargo, solocuando ass D 1, el lnass existe. Por tanto, la solución correcta es ass D 1. Laventaja de considerar la ecuación del shock de productividad en logaritmos esque evita que la productividad en estado estacionario pueda ser cero. Esto esimportante porque evita que en las ecuaciones de estado estacionario y en lasecuaciones log-lineales se encuentre algún número o variable dividida por cero.

Hasta aquí se ha encontrado el valor de estado estacionario de la tasa de interésbruta Rss , de la tasa de interés neta rss y de la productividad ass; sin embargo,para encontrar el estado estacionario para las demás variables se tienen que realizaralgunas operaciones algebraicas adicionales. De la Ecuación (4.16) se tiene:

rss D .1 � ˛/

�ass

kss

�˛Como ya se conoce el valor de rss por la Ecuación (4.17) y de ass , entonces sepuede conocer el valor del capital kss .

rss D .1 � ˛/

�ass

kss

�˛kss D ass

�rss

.1 � ˛/

�� 1˛

(4.21)

Debido a que ya se conoce kss , entonces se puede hallar el valor del producto yss ,de la inversión iss y del consumo css:

yss D a˛ssk

1�˛ss ; de la Ecuación (4.15) (4.22)

iss D ıkss; de la Ecuación (4.19) (4.23)

css D yss � iss; de la Ecuación (4.18) (4.24)

En la Tabla 4.3 se resume la expresión del estado estacionario de cada variable delmodelo:



Estado estacionario (forma recursiva) Estado estacionario (forma paramétrica)

Rss D1ˇ

D1ˇ

rss D Rss � .1 � ı/ D1ˇ� .1 � ı/

ass D 1 D 1

kss D ass

�rss.1�˛/

�� 1˛D

�1ˇ�.1�ı/

1�˛

�� 1˛yss D a

˛ssk

1�˛ss D

�1ˇ�.1�ı/

1�˛

�� .1�˛/˛

iss D ıkss D ı

�1ˇ�.1�ı/

1�˛

�� 1˛css D yss � iss D

�1ˇC˛ı�1

1�˛

��1ˇ�.1�ı/

1�˛

�� 1˛Nota: El cálculo de los estados estacionarios se encuentran en Campbell_Lfijo.m (sección 1).

4.5 Log-linealización

El sistema de ecuaciones que describe el modelo de Campbell (1994) es no li-neal. Esta característica del modelo dificulta la forma de encontrar la soluciónde dicho sistema. Una forma estándar de abordar esta dificultad es log-linealizarcada ecuación; es decir, convertir una ecuación no lineal en una ecuación linealen términos de log-desviación de la variable con respecto a su estado estacionario.Además, para pequeñas desviaciones del estado estacionario, la log-desviación deuna variable tiene una interpretación económica importante: ella es aproximada-mente igual a la desviación, en porcentaje, del estado estacionario (Uhlig, 1995).La ventaja de aplicar log-linealización es que convierte el sistema no lineal enlineal, al cual se le pueden aplicar los métodos matemáticos estándar para resolverdichos sistemas (Blanchard y Kahn, 1980). En primer lugar, se define la variableen log-desviaciones:

bxt D ln xt � ln xss (4.25)

Segundo, despejando la variable xt de la Ecuación [4.25] se tiene:

xt D xssebxt (4.26)

238 4.5 Log-linealización

En tercer lugar, se hace una aproximación de Taylor de primer orden de ebxt conrespecto al estado estacionario, en el cualbxt D 0; es decir, xt D xss:

ebxt ˇbxtD0 Š ebxtD0 C ebxtD0.bxt � 0/ebxt ˇbxtD0 Š 1Cbxt

ebxt Š 1Cbxt (4.27)

Esta última ecuación se reemplaza en la Ecuación (4.26):

xt D xssebxt Š xss.1Cbxt / (4.28)

De la Ecuación (4.28) se despejabxt :bxt Š xt � xss

xss(4.29)

Por tanto, la variable en log-desviaciones es aproximadamente igual a la desviación,en porcentaje, del estado estacionario. Desde un punto de vista práctico, sepuede reemplazar cada variable por su expresión log-lineal y luego aplicar laaproximación de primer orden según la Ecuación (4.27). Log-linealizando laecuación de Euler se tiene:

c� t D ˇEtc

� tC1RtC1�

cssebct �� D ˇEt �cssebctC1�� RssebRtC1�e� bct D Ete� bctC1ebRtC1e� bct D Ete� bctC1CbRtC1

1 � bct D Et �1 � bctC1 C bRtC1�bct D Et �bctC1 � 1

bRtC1� (4.30)

Haciendo lo mismo para la función de producción:

yt D a˛t k1�˛t

yssebyt D �assebat �˛�kssebkt �1�˛

yssebyt D a˛sse batk1�˛ss e.1�˛/

bktebyt D e batC.1�˛/bkt


1Cbyt D 1C ˛bat C .1 � ˛/bktbyt D ˛bat C .1 � ˛/bkt (4.31)

Con respecto a la demanda de capital:

rt D .1 � ˛/

�at

kt

�˛rsse

brt D .1 � ˛/�assebatksse

bkt�˛

rssebrt D .1 � ˛/�ass

kss

�˛�ebatebkt

�˛rsse

brt D .1 � ˛/�asskss

�˛.e˛.bat�bkt //

ebrt D e˛.bat�bkt /1Cbr t D 1C ˛.bat �bkt /br t D ˛.bat �bkt / (4.32)

En el caso de la tasa bruta de interés, su forma log-lineal se obtiene de la siguientemanera:

Rt D rt C .1 � ı/

RssebRt D rssebrt

Rss.1C bRt / D rss.1Cbr t /bRt D rss

Rssbr t (4.33)

En el equilibrio de mercado de bienes:

yt D ct C it



yssbyt D cssbct C issbi tbyt D css

yssbct C iss

yssbi t (4.34)


La ley de moviento de capital en su forma log-lineal quedaría:

ktC1 D .1 � ı/kt C it

kssebktC1 D .1 � ı/kssebkt C issebi t

kss.1CbktC1/ D .1 � ı/kss.1Cbkt /C iss.1Cbi t /kss C kssbktC1 D .1 � ı/kss C .1 � ı/kssbkt C iss C issbi t

kssbktC1 D .1 � ı/kssbkt C issbi tbktC1 D .1 � ı/bkt C iss

kssbi t (4.35)

Finalmente, la ecuación de la productividad es:



La Tabla [4.4] resume las ecuaciones log-lineales del modelo:

Tabla 4.4: Ecuaciones log-lineales

Ecuaciones log-lineales Descripción

Œ1� bct D Et �bctC1 � 1 bRtC1� Ecuación de Euler

Œ2� byt D ˛bat C .1 � ˛/bkt Función de producciónŒ3� br t D ˛Œbat �bkt � Demanda de capitalŒ4� bRt D rss

Rssbr t Tasa de interés bruta

Œ5� byt D cssyssbct C iss


Œ6� bktC1 D .1 � ı/bkt C isskssbi t Ley de movimiento del capital

Œ7� bat D �bat�1 C �t Shock de productividadNota: Para obtener directamente la solución del modelo con Dynare se puedeutilizar el mod “Campbell_Lfijo_Dynare.mod”

El número de ecuaciones de la Tabla [4.4] se puede resumir en cinco y, para ello,se introduce la ecuación de equilibrio del mercado de bienes (Ecuación [5]) enla ecuación del movimiento del capital (Ecuación [6]). La variable que relacionaambas ecuaciones es la inversión. En primer lugar, se despeja la inversión de la


Ecuación [5]: bi t D �byt � cssyssbct�yss

iss

Segundo, se introduce esta ecuación en la ley de movimiento de capital:

bktC1 D .1 � ı/bkt C iss

kss

��byt � cssyssbct�yss

iss

�Además, se introduce la ecuación de la función de producción (yt ):

bktC1 D .1 � ı/bkt C iss

kss

��˛bat C .1 � ˛/bkt� � css

yssbct�yss

iss

�Ordenando los términos algebraicos, se tiene:

bktC1 D �.1 � ı/C ı.1 � ˛/yssiss

�„ ƒ‚ …

�1

bkt C ı˛yssiss„ƒ‚…�2

bat � ı cssissbct (4.37)

De los coeficientes de la Ecuación (4.37) se demuestra que:

�ıcss

issD 1 � �1 � �2

Por tanto, la ecuación final es:

bktC1 D �1bkt C �2bat C .1 � �1 � �2/bct (4.38)

De otro lado, la Ecuación [3] (demanda de capital) se introduce en la Ecuación [4](tasa de interés bruta):

bRt D ˛ rssRss

br tbRt D ˛ rss

RssŒbat �bkt �

bRt D �3Œbat �bkt � (4.39)

Donde, en la ecuación previa, se ha definido el coeficiente �3:

�3 D ˛rss

Rss

La Tabla 4.5 resume las cinco principales ecuaciones log-lineales del modelo detrabajo fijo de Campbell (1994).


Tabla 4.5: Ecuaciones log-lineales (sistema reducido)

Ecuaciones log-lineales

Œ1� bct D Et �bctC1 � 1 bRtC1�

Œ2� byt D ˛bat C .1 � ˛/bktŒ3� bRt D �3Œbat �bkt �Œ4� bktC1 D �1bkt C �2bat C .1 � �1 � �2/bctŒ5� bat D �bat�1 C �t

4.5.1 Efecto sustitución y efecto ingreso de la tasa de interés

Antes de resolver el sistema log-lineal es importante analizar el impacto de la tasade interés real sobre el consumo. Para abordar este análisis es muy práctico utilizarlas ecuaciones log-lineales.

La teoría del consumidor sugiere que cuando el precio (pt ) de un bien (qt ) cambiahay dos efectos sobre el consumidor: primero, el precio de qt relativo a otrosproductos cambia; segundo, debido al cambio en pt , el ingreso real del consumidortambién cambia. El cambio del consumo óptimo como resultado de un cambio enel precio contiene ambos efectos.

El efecto sustitución es el efecto obtenido únicamente por el cambio de preciosrelativos, manteniendo constante el ingreso real, mientras que el efecto ingreso esel efecto obtenido solo por el cambio en el ingreso real.

La tasa de interés representa el precio relativo de la canasta en el periodo “t C 1”(ctC1) con respecto a hoy (ct ). Por tanto, un cambio en la tasa de interés producirádos efectos: sustitución e ingreso.

Efecto sustitución (ES). Un incremento en la tasa de interés real hace que elconsumo de mañana ctC1 sea relativamente menos costoso comparado con elconsumo de hoy ct . Esto se debe a que el ahorro es más rentable para alcanzarel mismo monto de consumo mañana; es decir, el consumidor necesita sacrificarmenos consumo hoy. Por ende, el efecto sustitución se resume así:

" RtEfecto Sustitución��!# ct y " ctC1


Cabe mencionar que la ecuación de Euler refleja el efecto sustitución del consumo.Además, � es la elasticidad de sustitución intertemporal del consumo:

bct D Et �bctC1 � 1 bRtC1�

La magnitud del efecto sustitución es controlado por � . Mientras más grande sea� , mayor será el efecto sustitución; es decir:

" RtEfecto sustitución��!## ct y "" ctC1

Efecto ingreso (EI). Un incremento de la tasa de interés produce un efecto ingreso.Si el consumidor tiene activos (bonos o ahorro), un incremento de la tasa de interésproduce mayores ganancias por esos activos y, en consecuencia, mayor ingreso.Este efecto tiende a incrementar el consumo en todos los periodos.

" RtEfecto ingreso��!" ct y " ctC1

Cabe mencionar que la restricción presupuestaria refleja el efecto ingreso:

ct C it D rtkt

Un incremento de la tasa de interés produce dos efectos:ES! # ct y " ctC1 (Ecuación de Euler)EI! " ct y " ctC1 (Restricción presupuestaria)

� � � � � �

ET! Depende de ESI � y " ctC1

Efecto total (ET). Para observar el efecto final de la tasa de interés sobre elconsumo nos basaremos en la restricción presupuestaria y la ecuación de Euler (delas variables en niveles).

ct C it D rkkt (4.40)

pero se sabe que:



despejando:

it D ktC1 � .1 � ı/kt (4.41)

(4.41) en (4.40):

ct C ktC1 � .1 � ı/kt D rkkt

ct C ktC1 D .rk C .1 � ı/„ ƒ‚ …Rt

/kt

ct C ktC1 D Rtkt (4.42)

Como es conocido, el ingreso de la familia representativa en “t” es Rtkt , el cualse resumirá en At . De igual forma para el ingreso en “t C 1”: RtC1ktC1 D AtC1.Reescribiendo la Ecuación (4.42) en términos de ingreso se tiene:

ct C ktC1 D Rtkt

ct CRtC1ktC1

RtC1D Rtkt

ct CAtC1

RtC1D At (4.43)

La Ecuación (4.43) es una ecuación en diferencias, la cual se puede resolveriterando hacia adelante. Por inducción matemática, hacemos lo siguiente:

At D ct CAtC1

RtC1(4.44)

AtC1 D ctC1 CAtC2

RtC2(4.45)

AtC2 D ctC2 CAtC3

RtC3(4.46)

Luego la Ecuación (4.46) se reemplaza en (4.45):

AtC1 D ctC1 CAtC2

RtC2

AtC1 D ctC1 C1

RtC2.ctC2 C

AtC3

RtC3/

AtC1 D ctC1 CctC2

RtC2C

AtC3

RtC2RtC3(4.47)


La Ecuación (4.47) se reemplaza en (4.44):

At D ct CAtC1

RtC1

At D ct C1

RtC1.ctC1 C

ctC2

RtC2C

AtC3

RtC2RtC3/

At D ct CCctC1

RtC1C

ctC2

RtC1RtC2C

AtC3

RtC1RtC2RtC3(4.48)

Dividiendo toda la Ecuación (4.48) por Rt para hacer una generalización (ensumatoria) más sencilla:

At

RtDct

RtC

ctC1

RtRtC1C

ctC2

RtRtC1RtC2C

AtC3

RtRtC1RtC2RtC3

Resumiendo en una sumatoria:

At

RtD

2XsD0

ctCsQsjD0RtCj

CAtC3Q3jD0RtCj

(4.49)

Generalizando para “n”:

At

RtD

nXsD0

ctCsQsjD0RtCj

CAtC.nC1/QnC1jD0RtCj

Aplicando límite cuando n!1:

At

RtD

1XsD0

ctCsQsjD0RtCj

C Limn!1AtC.nC1/QnC1jD0RtCj„ ƒ‚ …

D0.por transversalidad/

At

RtD

1XsD0

ctCsQsjD0RtCj

(4.50)

Para encontrar la relación de la tasa de interés con el consumo de hoy, es necesarioencontrar la relación del ctCs con el consumo actual ct . Para ello se usa la ecuaciónde Euler (abstrayendo el operador expectativa) para “t”, “t C 1” y “t C 2”:

c� t D ˇc

� tC1RtC1

c� tC1 D ˇc

� tC2RtC2


c� tC2 D ˇc

� tC3RtC3

Multiplicando estas ecuaciones se tiene:

c� t c� tC1c

� tC2 D ˇ

3c� tC1RtC1c

� tC2RtC2c

� tC3RtC3

c� t D ˇ

3c� tC3

Rt

RtRtC1RtC2RtC3

c� t D ˇ

3c� tC3

Rt

3YjD0

RtCj

generalizando para “s”:

c� t D ˇ

sc� tCs

Rt

sYjD0

RtCj�ctCs

ct

�� D

Rt

ˇsQsjD0RtCj

Despejando ctCs:

ctCs D

�Rt

ˇsQsjD0RtCj

�� 1

ct (4.51)

Introduciendo la Ecuación (4.51) en la Ecuación (4.50):

At

RtD

1XsD0

�Rt

ˇsQsjD0RtCj

��1

ctQsjD0RtCj

At

RtD

1XsD0

ˇs � sYjD0

RtCj� 1 �1ctR�1= t

At

RtD ct

� 1XsD0

ˇs � sYjD0

RtCj� 1 �1R�1= t

�(4.52)

Caso simplificado. Para analizar el efecto de la tasa de interés sobre el consumode hoy ct se supone que la tasa de interés es la misma en todos los periodos; esdecir, Rt D RtC1 D RtC2 D � � � D RtCj D R. Introduciendo este supuesto enla productoria de la Ecuación (4.52) entonces:

sYjD0

RtCj D RsC1


Reemplazando la expresión anterior en la Ecuación (4.52) se tiene:

At

RD ct

� 1XsD0

ˇs �RsC1

� 1 �1R�1=

�At

RD ct

� 1XsD0

ˇs R.sC1/

1 �1R�1=

�At

RD ct

� 1XsD0

ˇs R.s.

1 �1/C 1

�1R�1=

�At

RD ct

� 1XsD0

ˇs R.s.

1 �1/R�1

�

At D ct

� 1XsD0

ˇs R.s.

1 �1/

�

At D ct

� 1XsD0

�ˇ1 R

1 �1

�s�(4.53)

Por progresión geométrica deP1sD0

�ˇ1 R

1 �1

�sse tiene que:

1XsD0

�ˇ1 R

1 �1

�sD 1C

�ˇ1 R

1 �1

�C

�ˇ1 R

1 �1

�2C

�ˇ1 R

1 �1

�3� � � D

1

1 � ˇ1 R

1 �1

(4.54)

Reemplazando la Expresión (4.54) en la Ecuación (4.53):

At D ct

�1

1 � ˇ1 R

1 �1

�ct D At

�1 � ˇ

1 R

1 �1�

(4.55)

Aplicando logaritmo a la Ecuación (4.55):

ln.At / D ln.ct /C ln�1 � ˇ

1 R

1 �1�

(4.56)

Aplicando la aproximación de Taylor de primer orden a ln�1 � ˇ

1 R

1 �1�

se tieneque:

ln�1 � ˇ

1 R

1 �1�� ˇ

1 R

1 �1 (4.57)


Reemplazando (4.57) en (4.56):

ln.At / D ln.ct /C ˇ1 R

1 �1 (4.58)

Tomando el diferencial de la Ecuación (4.58) y considerando que At no cambia y,además, 1

D � (ESI), entonces:

�ln.ct / D �.� � 1/ˇ�R��R

�ln.ct /

�RD �.� � 1/ˇ�R� (4.59)

La Ecuación (4.59) refleja el efecto final sobre el consumo de hoy como unmovimiento de la tasa de interés real. Una conclusión importante es que el efectofinal depende de la elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (�). Laexpresión siguiente muestra el efecto final sobre el consumo dependiendo del valorde la ESI:

� < 1 �!�ln.ct /

�R> 0 �!" ct

� D 1 �!�ln.ct /

�RD 0 �! R no afecta el consumo

� > 1 �!�ln.ct /

�R< 0 �!# ct

Caso general. Considerando la Ecuación (4.52) y desarrollándola se tiene:

At

RtD ct

� 1XsD0

ˇs � sYjD0

RtCj� 1 �1R�1= t

�At

R1�1= t

D ct

� 1XsD0

ˇs � sYjD0

RtCj� 1 �1�

Siendo explícito en la sumatoria:

At

R1�1= t

Dct

�1Cˇ

1 .RtRtC1/

1 �1Cˇ

2 .RtRtC1RtC2/

1 �1Cˇ

3 .RtRtC1RtC2RtC3/

1 �1��„ ƒ‚ …

Nt

�At D ctR

1�1= t Œ1CNt �


At D ctR1�1= t C ctR

1�1= t Nt (4.60)

Diferenciando la Ecuación (4.60) con respecto a RtC1 y considerando que Rj.j ¤ 1/ no depende de RtC1:

�At

�RtC1D R

1�1= t

�ct

�RtC1C

�ct

�RtC1R1�1= t Nt C ctR

1�1= t

�Nt

�RtC1(4.61)

Desarrollando el diferencial �Nt�RtC1

:,

�Nt

�RtC1D� 1 � 1

�ˇ1 .RtRtC1/

1 �2Rt C

� 1 � 1

�ˇ2 .RtRtC1RtC2/

1 �2RtRtC2

C� 1 � 1

�ˇ3 .RtRtC1RtC2RtC3/

1 �2RtRtC2RtC3 C � � �

Multiplicando y dividiendo por RtC1:

D1

RtC1

�� 1 � 1

�ˇ1 .RtRtC1/

1 �2RtRtC1

C� 1 � 1

�ˇ2 .RtRtC1RtC2/

1 �2RtRtC1RtC2

C� 1 � 1

�ˇ3 .RtRtC1RtC2RtC3/

1 �2RtRtC1RtC2RtC3 C � � �

�D

1

RtC1

� 1 � 1

��ˇ1 .RtRtC1/

1 �1C ˇ

2 .RtRtC1RtC2/

1 �1

C ˇ3 .RtRtC1RtC2RtC3/

1 �1C � � �

�D

1

RtC1

� 1 � 1

�Nt

D� 1 � 1

� NtRtC1

(4.62)

Introduciendo la Ecuación (4.62) en la Ecuación (4.61):

�At

�RtC1D R

1�1= t

�ct

�RtC1C

�ct


1�1= t

�Nt

�RtC1(4.63)

�At

�RtC1D R

1�1= t

�ct

�RtC1C

�ct


1�1= t

� 1 � 1

� NtRtC1


�At D R1�1= t �ct C�ctR

1�1= t Nt C�RtC1ctR

1�1= t

� 1 � 1

� NtRtC1

Se sabe que �At D 0, entonces:

0 D R1�1= t �ct C�ctR

1�1= t Nt C�RtC1ctR

1�1= t

� 1 � 1

� NtRtC1

0 D R1�1= t

��ct C�ctNt C

� 1 � 1

�ctNt

�RtC1

RtC1

�0 D �ct C�ctNt C

� 1 � 1

�ctNt

�RtC1

RtC1

0 D �ct Œ1CNt �C� 1 � 1

�ctNt

�RtC1

RtC1

Ordenando algebraicamente los términos, se tiene:

��ct Œ1CNt � D� 1 � 1

�ctNt

�RtC1

RtC1

��ct

ct

Œ1CNt �

NtD� 1 � 1

��RtC1RtC1

�ct

ctD �

� 1 � 1

� Nt

1CNt

�RtC1

RtC1(4.64)

De la Ecuación (4.64) se puede concluir que el impacto de la tasa de interés delperiodo siguiente sobre el consumo de hoy es gobernada por la elasticidad desustitución del consumo ( 1

D � ), tal como se observó en el caso simplificado.

4.6 Solución del sistema lineal

En los Capítulos 1 y 3 se señaló que en la literatura existente hay varios métodospara solucionar sistemas de ecuaciones lineales. En el Capítulo 3 se ilustró elmétodo de Blanchard y Kahn (1980) y dada la naturaleza del modelo de Long yPlosser (1983) se pudo obtener también la solución de manera analítica. En estecapítulo se utilizará el método de coeficientes indeterminados de Uhlig (1999) conel fin de tener un panorama de los distintos métodos de solución.


4.6.1 Método de coeficientes indeterminados

El método de coeficientes indeterminados busca que las variables de control esténen función de las variables de estado (bkt ) y de la variable exógena (bat ). Es decir,de la misma forma que el método de Blanchard y Kahn, este método busca lafunción de política y la función de estado. Al analizar si cada ecuación log-linealse encuentra en función del capital (bkt ) y de la productividad (bat ), se observa en laTabla 4.5, que la ecuación [2] (función de producción) y la ecuación [3] (demandade capital que considera la tasa de interés bruta) dependen de dichas variables.Además, la ecuación [5] describe la productividad.

Al introducir la demanda de capital en la ecuación de Euler, dicha ecuación estaríaen función del capital y de la productividad:

bct D Et .bctC1 � ��3.batC1 �bktC1// (4.65)

De otro lado, la ley de movimiento del capital contiene a la variable de estado y elshock: bktC1 D �1bkt C �2bat C .1 � �1 � �2/bct (4.66)

Por tanto, si encontramos bct y bktC1 en función de .bkt ;bat /, el sistema estaríasolucionado. Para ello, bajo el método de coeficientes indeterminados, se proponela siguiente solución:

bct D �ckbkt C �cabat (4.67)bktC1 D �kkbkt C �kabat (4.68)

En este contexto, el problema radica en encontrar los valores de los coeficientes:�ck , �ca, �kk , �ka. Con este fin, el análisis se realizará en cinco pasos:

1. Ecuación de Euler. Al reemplazar la solución propuesta en la ecuación deEuler (4.65) se obtiene una expresión para los coeficientes �ca y �ck:

�ca D�ka.��3 C �ck/ � ��3

1 � �! �ca D f .�ka; �ck/ (4.69)

�ck D�kk��3

1 � �kk! �ck D f .�kk/ (4.70)


2. Ecuación del capital. Al reemplazar la solución propuesta en la ecuación demovimiento del capital (4.66) se obtiene una expresión para los coeficientes�kk y �ka:

�kk D �1 C .1 � �1 � �2/�ck ! �kk D f .�ck/ (4.71)

�ka D �2 C .1 � �1 � �2/�ca ! �ka D f .�ca/ (4.72)

3. Primer coeficiente. Para hallar �ck , elegimos (4.70) y (4.71):

�ck D f .�kk/ W

�ck D�kk��3

1 � �kk(4.73)

�kk D f .�ck/ W

�kk D �1 C .1 � �1 � �2/�ck (4.74)

4. Encontrando �ck . La Ecuación (4.74) se reemplaza en (4.73), de la cual seobtiene:

Q2�2ck CQ1�ck CQ0 D 0 (4.75)

Donde, en primer lugar, las dos raíces de esta ecuación representan los dosvalores que puede tomar �ck . Segundo, el valor de este coeficiente permiteobtener el valor de los tres restantes y, finalmente, los valores de Qi son:

Q2 D 1 � �1 � �2

Q1 D �1 � 1C ��3.1 � �1 � �2/

Q0 D �1��3

Al resolver la Ecuación (4.75) se obtienen los dos valores de �ck:

�ck1 D�Q1 C

qQ21 � 4Q2Q0

2Q2

�ck2 D�Q1 �

qQ21 � 4Q2Q0

2Q2

El signo de �ck que debe elegirse es positivo porque esto permite que �kk seamenor a uno, lo cual indica que la ecuación del capital es estable (no explosiva).Para ello, se evalúa el signo de cada Qi :


• Q2 < 0 (porque �1 > 1 y �2 > 0)• Q0 > 0• Q1 > 0 (Q1 D �1 � 1CQ2Q0=�1)

De lo anterior, se demuestra que �ck2 tiene signo positivo; por tanto, se eligeesta raíz. Esto permite obtener los dos coeficientes �ck y �kk:

�ck D�Q1 �

qQ21 � 4Q2Q0

2Q2(4.76)

�kk D �1 C .1 � �1 � �2/�ck (4.77)

5. Coefientes restantes. Para hallar los dos coeficientes restantes �ca y �ka, seeligen las Ecuaciones (4.69) y (4.72):

�ka D �2 C .1 � �1 � �2/�ca ! �ka D f .�ca/

�ca D�ka.��3 C �ck/ � ��3

1 � �! �ca D f .�ka; �ck/

�ka y �ca:

�ca D��ck�2 C ��3.� � �2/

� � 1C .1 � �1 � �2/.�ck C ��3/

�ka D �2 C .1 � �1 � �2/�ca

Con los parámetros calibrados para el modelo base se obtiene que: �ck D0:3253, �ca D 0:2643, �kk D 0:9841 y �ka D 0:0551. Finalmente, la solucióndel modelo para cada una de las variables endógenas son

Solución para el consumo:

bct D �ckbkt C �cabat (4.78)

Solución para el capital:

bktC1 D �kkbkt C �kabat (4.79)

Solución para el producto:

byt D .1 � ˛/bkt C ˛bat (4.80)


Solución para la inversión:

byt D css

yssbct C iss

yssbi t

bi t D yss

iss

�byt � cssyssbct�

Reemplazando (4.78) y (4.80):

bi t D yss

iss.1 � ˛ �

css

yss�ck/bkt C yss

iss.˛ �

css

yss�ca/bat (4.81)

Solución (tasa de interés neta):

br t D ˛.bat �bkt / (4.82)

Solución (tasa de interés bruta):

bRt D ˛ rssRss

.bat �bkt / (4.83)

4.6.2 Análisis de elasticidades

Los coeficientes de la solución de cada una de las variables representan elasticida-des. Esto se debe a que las variables están expresadas en logaritmos. Por ejemplo,para el caso del consumo se tiene:

bct D �ckbkt C �cabatDado quebct D ln. ct

css/, y de manera similar para las demás variables, se tiene:

ln.ct

css/ D �ck ln.

kt

kss/C �ca ln.

at

ass/

ln.ct / � ln.css/ D �ck.ln.kt / � ln.kss//C �ca.ln.at / � ln.ass//

ln.ct / D �Œln.css/C ln.kss/C ln.ass/�C �ck ln.kt /C �ca ln.at /

Tomando diferencial con respecto al capital (kt ):

�ln.ct / D �ck�ln.kt /


�ct

ctD �ck

�kt

kt�ctct

�ktkt

D �ck

Elasticidadct ;kt D �ck (4.84)

Como se puede observar en la Ecuación (4.84), �ck refleja la elasticidad delconsumo ante un cambio del capital. En particular, �ck mide el efecto del capital(“kt”) sobre el consumo actual (“ct”), manteniendo constante la productividad(“at”); es decir, si el capital aumenta 1%, el consumo aumenta en �ck%. Deesta forma se leen todos los coeficientes de la solución del sistema log-lineal. LaTabla 4.6 resume las elasticidades:

Tabla 4.6: Coeficientes (elasticidades) de la solución del modelo lineal

Elasticidad Expresión Valor

Elasticidad del consumo al capital: �ck �ck D�Q1�

qQ21�4Q2Q0

2Q20.3253

Elasticidad del consumo a la productivi-dad: �ca

�ca D��ck�2C��3.��2/

��1C.1��1��2/.�ckC��3/0.2643

Elasticidad del capital de mañana al ca-pital de hoy: �kk

�kk D �1 C .1 � �1 � �2/�ck 0.9841

Elasticidad del capital de mañana a laproductividad: �ka

�ka D �2 C .1 � �1 � �2/�ca 0.0551

Nota: La expresión de las elasticidades y sus valores están en “Campbell_Lfijo.m” (sección 2).

En el análisis de elasticidades dos parámetros son importantes: la elasticidad desustitución intertemporal del consumo � y la persistencia del shock �. Para vercómo estos parámetros influyen sobre las elasticidades vamos a revisar cada unade las elasticidades.

Revisando �1, �2 y �3:

�1 D .1 � ı/C ı.1 � ˛/yss

iss

D .1 � ı/C ı.1 � ˛/

�1

ık�˛ss

�D .1 � ı/C .1 � ˛/

rss

1 � ˛


D .1 � ı/C .1

ˇ� .1 � ı//

D1

ˇ

�1 D F.ˇ/ (4.85)

�2 D ı˛yss

iss

D ı˛

�1

ık�˛ss

�D ˛

rss

1 � ˛

D˛

1 � ˛.1

ˇ� .1 � ı//

�2 D F.˛; ˇ; ı/ (4.86)

�3 D ˛rss

Rss

D ˛

1ˇ� .1 � ı/

1ˇ

D ˛.1 � ˇ.1 � ı/

�3 D F.˛; ˇ; ı/ (4.87)

Revisando Q0, Q1 y Q2:

Q2 D 1 � �1 � �2

D 1 � .1

ˇ/ �

˛

1 � ˛.1

ˇ� .1 � ı//

D �

� 1ˇC ˛ı � 1

1 � ˛

�Q2 D F.˛; ˇ; ı/ (4.88)

Q1 D �1 � 1C ��3.1 � �1 � �2/

D �1„ƒ‚…F.ˇ/

�1C � �3.1 � �1 � �2/„ ƒ‚ …F.˛;ˇ;ı/


Q1 D F.�.C/˛; ˇ; ı/ (4.89)

Q0 D �1��3

D �1„ƒ‚…F.ˇ/

� �3„ƒ‚…F.˛;ˇ;ı/

Q0 D F.�.C/˛; ˇ; ı/ (4.90)

¿De qué parámetros dependen las elasticidades (�ck y �kk)?

Debido a que Q2 es negativo, el componente dentro del radical es positivo. Enese caso, � , que afecta positivamente a Q0 y Q1, tiene un impacto positivo sobre�ck . De otro lado,Q1 que se encuentra fuera del radical, también traslada el efectopositivo de � sobre �ck . Cabe mencionar que �ck no depende de la persistenciadel shock (�).

�ck D�Q1 �

qQ21 � 4Q2Q0

2Q2D F.� .C/˛; ˇ; ı/ (4.91)

De lo anterior se concluye la siguiente observación:

Observación 4.1. �ck se incrementa a medida que aumenta la elasticidad desustitución del consumo (� ).

De otro lado, al analizar el coeficiente �kk se obtiene lo siguiente:

�kk D �1 C .1 � �1 � �2/�ck

D �1„ƒ‚…F.ˇ/

C .1 � �1 � �2/„ ƒ‚ …D�ı css

iss

�ck„ƒ‚…F.�.C/˛;ˇ;ı/

D �1„ƒ‚…F.ˇ/

�ıcss

iss�ck„ƒ‚…

F.�.C/˛;ˇ;ı/

D �1„ƒ‚…F.ˇ/

� ıcss

iss„ƒ‚…F.˛;ˇ;ı/

�ck„ƒ‚…F.�.C/˛;ˇ;ı/

�kk D F.�.�/˛; ˇ; ı/ (4.92)

De la Ecuación (4.92) se derivan las siguientes observaciones:


Observación 4.2. �ck y �kk no dependen de �.

Observación 4.3. �kk se reduce a medida que se incrementa la elasticidad desustitución intertemporal del consumo (� ).

¿De qué parámetros dependen las elasticidades (�ca y �ka)?

�ca D��ck�2 C ��3.� � �2/

� � 1C .1 � �1 � �2/.�ck C ��3/D F.�; �; ˛; ˇ; ı/ (4.93)

�ka D �2 C .1 � �1 � �2/�ca D F.�; �; ˛; ˇ; ı/ (4.94)

De la Expresión (4.94) se puede ver que �ca tiene una relación no lineal con �y � . De manera similar ocurre para �ka. De lo anterior se derivan las siguientesobservaciones:

Observación 4.4. �ca se incrementa a medida que � aumenta para valores bajosde � (� 6 1), pero se reduce para valores altos (� > 1).

Observación 4.5. �kk y �ka se reducen a medida que se incrementa la elasticidadde sustitución del consumo (� ).

En la Tabla 4.7 se mencionan tres casos de especial interés.

Tabla 4.7: Casos especiales

Caso Valor de � Función deutilidad

Elasticidad Serie de tiempo

Caso 1 � D 0 No existe efectosustitución inter-temporal.

�kk D 1 ln.ct / es un random walk, yln.kt / y ln.kt / cointegran conel ln.ct /.

Caso 2 � D 1 Función de utili-dad logarítmica:u.ct / D ln.ct /.

El efecto sustitución y el efec-to ingreso se anulan.

Caso 3 � D1 Función de uti-lidad lineal:u.ct / D ct .

�kk D 0, �ka D � kt se comporta como unAR(1), mientras ct y yt

se comportan como unARMA(1,1).


0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

ηck

Elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ)0 2 4 6 8 10

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

ηkk

Elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (σ)

0 2 4 6 8 10−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15


ηca

φ=0 φ=0.4 φ=0.8

0 2 4 6 8 100.065

0.07

0.075

0.08

0.085

0.09

0.095

0.1


ηka

φ=0 φ=0.4 φ=0.8

Figura 4.2: Elasticidades (coeficientes de la solución)Nota: Cabe mencionar que estos gráficos se obtienen del código “Camp-bell_Lfijo_Sim_Parametros.m”

4.7 Representación de series de tiempo

Debido a que se tiene la solución del modelo; es decir, cada variable endógena enfunción de la variable de estado (capital) y de la variable exógena (productividad),considerando además que la productividad se comporta como un proceso AR(1),entonces se puede hallar la representación de series de tiempo ARMA (p,q) decada variable.

260 4.7 Representación de series de tiempo

4.7.1 Serie de tiempo del capital

De la solución del modelo, en particular de la ecuación que describe el compor-tamiento del capital en t C 1 en función del capital en t y de la productividad, setiene lo siguiente: bktC1 D �kkbkt C �kabatDonde los coeficientes �kk y �ka han sido hallados previamente. De esta ecuaciónse puede encontrar la forma autorregresiva del capital (bktC1):

.1 � �kkL/bktC1 D �kabatbktC1 D �ka

1 � �kkLbat (4.95)

Además:

bat D �bat�1 C �tConsiderando quebat se puede expresar como:

at D�t

1 � �L(4.96)

Entonces se tiene que:

bktC1 D �ka

.1 � �kkL/

�t

.1 � �L/(4.97)

La expresión anterior demuestra que el capital se comporta como un AR(2): dosraíces reales (� y �kk) y menores a 1 (ktC1 es estable). La expresión AR(2) delcapital es:

bktC1 D �ka

.1 � �kkL/

�t

.1 � �L/

.1 � �kkL/.1 � �L/bktC1 D �ka�t.1 � �kkL � �LC �kk�L

2/bktC1 D �ka�tbktC1 � �kkbkt � �bkt C �kk�bkt�1 D �ka�tbktC1 D .� C �kk/bkt � �kk�bkt�1 C �ka�t(4.98)


4.7.2 Serie de tiempo del producto

De igual manera que en el caso del capital, para encontrar la expresión de series detiempo del producto se parte de la solución del modelo:

byt D ˛bat C .1 � ˛/bkt (4.99)

Para encontrar el modelo de series de tiempo del producto (yt ) se reemplaza en laecuación previa (4.98) la expresión de la productividad (en función del error) y laexpresión del capital (en función de la productividad). Esta última corresponde ala Ecuación (4.96):

byt D ˛bat C .1 � ˛/bktbyt D ˛ et

1 � �LC .1 � ˛/

�ka

.1 � �kkL/bat�1

byt D ˛ et

1 � �LC .1 � ˛/

�ka

.1 � �kkL/

et�1

.1 � �L/

byt D ˛ et

1 � �LC .1 � ˛/

�kaL

.1 � �kkL/

et

.1 � �L/(4.100)

La Ecuación (4.100) sugiere que el producto se comporta como un ARMA(2,1):

byt D �˛ C Œ.1 � ˛/�ka � ˛�kk�L.1 � �kkL/.1 � �L/

��t

(4.101)

.1 � �kkL/.1 � �L/byt D �˛ C Œ.1 � ˛/�ka � ˛�kk�L��t.1 � �kkL � �LC �kk�L

2/byt D ˛�t C Œ.1 � ˛/�ka � ˛�kk��t�1byt � �kkbyt�1 � �byt�1 C �kk�byt�2 D ˛�t C Œ.1 � ˛/�ka � ˛�kk��t�1byt D .�kk C �/byt�1 � �kk�byt�2„ ƒ‚ …AR.2/

C ˛�t C Œ.1 � ˛/�ka � ˛�kk��t�1„ ƒ‚ …MA.1/

262 4.7 Representación de series de tiempo

4.7.3 Serie de tiempo del consumo

De la solución del modelo:

bct D �ckbkt C �cabatEl consumo se comporta como un ARMA(2,1):

bct D ��ca C .�ck�ka � �ca�kk/L.1 � �kkL/.1 � �L/

��t (4.102)

4.7.4 Serie de tiempo de la tasa de interés real bruta

De la solución del modelo:

bRtC1 D �3.batC1 �bktC1/La tasa de interés se comporta como un ARMA(2,1):

bRtC1 D �3� .1 � �ka � �kkL/

.1 � �kkL/.1 � �L/

��t (4.103)

4.7.5 Serie de tiempo de la inversión

De la solución para la inversión (Ecuación (4.81)):

bi t D .1 � ˛ � cssyss

�ck/„ ƒ‚ …�ik

bkt C .˛ � cssyss

�ca/„ ƒ‚ …�ia

batbi t D �ikbkt C �iabatbi t D �ik �ka

.1 � �kkL/

�t�1

.1 � �L/C �ia

�t

1 � �Lbi t D ��ik �kaL

.1 � �kkL/C �ia

��t

1 � �Lbi t D ��ik�kaLC �ia.1 � �kkL/.1 � �kkL/

��t

1 � �Lbi t D ��ia C .�ik�ka � �ia�kk/L.1 � �kkL/

��t

1 � �L


Por tanto, la inversión se comporta como un ARMA(2,1):

bi t D ��ia C .�ik�ka � �ia�kk/L.1 � �kkL/.1 � �L/

��t (4.104)

4.8 Funciones impulso-respuesta

La construcción de la función impulso-respuesta de las variables endógenas re-quiere de dos etapas. En la primera, se transforma la forma autorregresiva delcapital AR(2) a su versión de medias móviles MA(1). En la segunda, se cuantificael impacto, en cada periodo, de un shock temporal (en un solo periodo) en cadavariable endógena.

Primera etapa. Se obtiene la forma MA(1) del capital:

bktC1 D .� C �kk„ ƒ‚ …�1

/bkt C��kk�„ƒ‚…�2

bkt�1 C �ka�tbktC1 D �1bkt�1 C �2bkt C �ka�t

.1 � �1L � �2L2/bktC1 D �ka�t

Calculando las raíces del AR(2):

1 � �1L � �2L2D 0

En factores:.L � y1/.L � y2/ D 0

Factorizando y1 del primer factor e y2 del segundo:

y1

�1

y1L � 1

�y2

�1

y2L � 1

�D 0

La expresión se reduce a:�1

y1„ƒ‚…�1

L � 1

��1

y2„ƒ‚…�2

L � 1

�D 0


Multiplicando por .�/ a ambos términos:

.1 � �1L/.1 � �2L/ D 0

Por tanto, equivalencia de raíces

.L � y1/.L � y2/ D .1 � �1L/.1 � �2L/ D 0

Donde:

• �1 D 1y1

• �2 D 1y2

Utilizando la equivalencia de raíces del AR(2):

.L � y1/.L � y2/bktC1 D �ka�t.1 � �1L/.1 � �2L/bktC1 D �ka�tbktC1 D 1

.1 � �1L/.1 � �2L/„ ƒ‚ …‰.L/

�ka�t

Donde:

‰.L/ D 1C 1LC 2L2C 3L

3C :::C kL

kC :::

k D

kXjD0

�j1 �

k�j2

Versión MA(1) del capital:

bktC1 D .1C 1LC 2L2 C 3L3 C :::/�ka�t (4.105)

Con esta expresión, calculamos la función impulso-respuesta. La versión extendidade la Ecuación (4.105) es la siguiente:

bktC1 D .1C 1LC 2L2 C 3L3 C � � � /�ka�tbktC1 D �ka�t C . 1�ka/�t�1 C . 2�ka/�t�2 C . 3�ka/�t�3 C � � � (4.106)


K

Y

Y0

Y1

Kss D K0 D K1

Y1

Y0 A

B

Figura 4.3: Efecto sobre la función de producción

Segunda etapa. En esta etapa se calcula la función impulso-respuesta del capitalante un shock de productividad. Para el cálculo de la función impulso-respuestadel capital se considera que el impulso o shock �t se realiza en un solo periodo (elperiodo uno) y que toma el valor de una desviación estándar ��, el cual se asumeque es igual a uno; es decir, en t D 1, �1 D �� D 1. El error (�t ) toma el valorde cero durante los periodos antes del shock y después del shock. La Tabla 4.8muestra la construcción de la función impulso-respuesta del capital.

En t D 0 todas las variables se encuentran en su estado estacionario. El capitalen t D 1, el cual se determina en t D 0, también se halla en estado estacionario.Tanto es así que se cumple la ley de movimiento del capital: k1 D .1 � ı/k0 C i0,donde k1 D k0 D kss . El shock de productividad se realiza en el periodo t D 1,lo que produce los siguientes efectos:

1. Efecto (sobre las empresas). Un incremento de la productividad produce unincremento en la función de producción para cada nivel de capital. El capital sehace más productivo en t D 1; es decir, con el mismo capital se puede producirmás. Por tanto, la demanda de este aumenta.

2. Efecto (sobre las empresas). El aumento de la demanda de capital permiteque la tasa de interés en t D 1 se incremente: " rt .r0 �! r1/; r1 > r0. Estose debe a que la oferta de capital en t D 1 se mantiene constante ya que no se veafectada por el shock de productividad.


Tabl

a4.

8:C

onst

rucc

ión

dela

func

ión

impu

lso-

resp

uest

ade

lcap

ital

t� t

Ver

sión

MA

(1)d

eb k tC1

IFR

deb k tC1

0� 0D0

b k 1D�ka

� 0 „ƒ‚…

D0

C. 1�ka/� �1 „ƒ‚…

D0

C��

b k 1D�ka� 0

1� 1D1

b k 2D�ka

� 1 „ƒ‚…

D1

C. 1�ka/� 0 „ƒ‚…

D0

C��

b k 2D�ka� 1

2� 2D0

b k 3D�ka

� 2 „ƒ‚…

D0

C. 1�ka/� 1 „ƒ‚…

D1

C. 2�ka/� 0 „ƒ‚…

D0

C��

b k 3D 1�ka� 1

3� 3D0

b k 4D�ka

� 3 „ƒ‚…

D0

C. 1�ka/� 2 „ƒ‚…

D0

C. 2�ka/� 1 „ƒ‚…

D1

C. 3�ka/� 0 „ƒ‚…

D0

C��

b k 4D 2�ka� 1

4� 4D0

��

b k 5D 3�ka� 1


K

r

Dk0

Dk1

Kss D K0 D K1

Ok0 D Ok1

r0

r1

A

B

Figura 4.4: Efecto sobre la demanda de capital

3. Efecto (sobre las familias). El incremento de la tasa de interés real produce unefecto ingreso sobre el consumo:

" rt .r1 > r0/ �! r1k1 > r0k0 �!" c1

4. Efecto (sobre las familias). El incremento de la tasa de interés incentiva elahorro, el cual en economía cerrada es igual a la inversión. Entonces, la inversiónpasa de i0 a i1 (i1 > i0). El impacto de una mayor inversión se observa en elincremento de la oferta de capital en el siguiente periodo (t D 2).

k2 D .1 � ı/k1 C i1

Por tanto:i1 > i0 �! k2 > k1

5. Efecto (sobre las empresas y las familias). El impacto del shock de produc-tividad tiene persistencia; es decir, sus efectos son positivos aunque cada vezmenores en el tiempo. En t D 2, la función de producción se incrementa, lo cualgenera que la demanda de capital también se incremente, pero en menor magnitudque lo observado en t D 1. Esto produce que la tasa de interés real en t D 2 seamenor que en t D 1 .r2 < r1/; sin embargo, sigue siendo mayor que el valor ent D 0.


K

r

Dk0

Dk1

Dk2

Kss D K0

D K1

Ok1 D Ok0

K2

Ok2

r0

r1r2

A

BC

Figura 4.5: Efecto sobre la oferta y demanda de capital

Entonces, dado que el individuo compara su situación en cada periodo con respectoa t D 0 (estado estacionario), entonces esta mayor tasa de interés (r2 > r0)produce dos efectos sobre el consumo:

r2 > r0 W Efecto sustitución �!# c1 " c2

r2 > r0 W Efecto ingreso �! r2k2 > r1k1 �!" c2

Por tanto, el efecto final de la tasa de interés sobre el consumo, para � pequeño, es:

EI > jESj �!" c1 " c2

La Tabla 4.9 muestra los valores de la función impulso-respuesta de las variablesendógenas del modelo. Para leer correctamente estos valores se debe recordar queestas funciones corresponden a las variables log-lineales, las cuales, por ejemplo,para el producto está expresada de la siguiente manera: byt D ln.yt / � ln.yss/ oen su forma reducidabyt D ln� ytyss �.En línea con lo anterior, según la Tabla 4.9 el valor del producto (log-lineal) ent D 0 es igual a cero. Es decir,by0 D ln

� y0yss

�D 0. La única solución para esta

expresión es que y0yssD 1, lo cual conlleva a que y0 D yss . Esto quiere decir que

cuando la variable log-linealbyt se encuentra en el valor cero, esto significa que lavariable en niveles yt se encuentra en su estado estacionario.


Tabla 4.9: Valores de la función impulso-respuesta (variales log-lineales)

t byt bktC1 bct bi t bRt bat0 0 0 0 0 0 01 0.667 0.05512 0.26429 2.20468 0.02636 12 0.652 0.10660 0.26901 2.11441 0.02359 0.953 0.63747 0.15464 0.27321 2.02834 0.02098 0.90254 0.62337 0.19943 0.27691 1.94626 0.01852 0.85738. . . . . . .

Nota: Debido a que el shock se realiza en el primer periodo (t D 1), el valor delas variables en t D 0 es cero. Cabe mencionar que estos valores se obtienen delcódigo “Campbell_Lfijo.m (sección 4)”

De otro lado, en t D 1 el valor del producto (log-lineal) es igual a 0:667, en elcual se cumple: by1 D 0:667 D ln� y1yss �. Resolviendo la segunda igualdad se tieneque y1

yssD e0:667 Ð 1 C 0:667. Por tanto, y1

yssD 1 C 0:667, lo cual conlleva

finalmente a y1 D .1C 0:667/yss .

En t D 1 7! by1 D 0:667„ ƒ‚ …variable log-lineal

7! y1 D .1C 0:667/yss„ ƒ‚ …variable en niveles

En consecuencia, el valor (0:667) de la función-impulso respuesta en t D 1

significa que la variable producto en niveles (y1) está 66:7% por encima de sunivel de estado estacionario (yss).

En la Figura 4.6 y Tabla 4.9 se puede observar lo siguiente:

1. En t D 0 (antes de shock) todas las variables permanecen en su estado es-tacionario. Por tanto, las variables log-lineales en t D 0 son iguales a cero(bxss D ln

�xssxss

�D ln.1/ D 0).

2. En el periodo del shock (t D 1), �1 toma el valor de su desviación estándar, eneste caso igual a 1.

3. El primer efecto del shock de productividad es un incremento en la función deproducción, la cual incrementa la productividad marginal del capital PMgkt ;es decir, la demanda del capital en “t” (Dk).


0 50 100 150 2000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Producto

0 50 100 150 2000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Capital

0 50 100 150 2000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35Consumo

0 50 100 150 2000

0.5

1

1.5

2

2.5Inversión

0 50 100 150 200−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03Tasa de interés real bruta

0 50 100 150 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1Productividad

Figura 4.6: Función impulso-respuesta de las variables macroeconómicaslog-linealesNota: Estas funciones impulso-respuesta corresponde a las variables log-lineales;es decir abyt ,bkt ,bct ,bi t ,br t ybat . Cabe mencionar que estos gráficos se obtienen delcódigo “Campbell_Lfijo.m (sección 4).”


4. El incremento de la demanda de capital aumenta la tasa de interés de hoy (bRt ).Esto se debe a que la oferta del capital es perfectamente inelástica (vertical)porque es fijada en el periodo anteriorbkt .

5. " bRt ! produce un efecto ingreso (EI): " .bRtbkt /6. El efecto ingreso incrementa el ct y it .

7. " it expande ktC1 (oferta del capital de “t C 1”).

8. Lo anterior produce una caída de la tasa de interés en “t C 1” (# rtC1), peroaún está por encima de su estado estacionario; en otras palabras, es más alta quela tasa de interés antes del shock bR0, lo que incentiva a la familia a trasladarconsumo de hoy “t” hacia mañana “tC1”. Es decir, existe un efecto sustituciónque es gobernado por la elasticidad de sustitución del consumo. Para poder veresta relación revisemos la ecuación de Euler log-lineal:

bct D Et �bctC1 � 1 bRtC1�

Aquí se puede observar que si la tasa de interés de t C 1 se incrementa en 1%,entonces el consumo hoy “t” se reduce en 1

(elasticidad de sustitución del

consumo). Todo ello es el efecto sustitución que produce la tasa de interés.

9. # bRtC1 (pero por encima del estado estado estacionario) produce dos efectos:efecto sustitución (ES) y efecto ingreso (EI).

10. Efecto sustitución (de la tasa de interés):

bRtC1 > bRt !#bct11. Efecto ingreso (de la tasa de interés):

bRtC1 > bRt !"bctC1De la Figura 4.7 se pueden concluir algunas ideas. La primera es que el capital esmás grande en unidades que cualquier otra variable. Por ejemplo, el valor de estado


0 50 100 150 2002.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6Producto

0 50 100 150 20020

25

30

35

40

45

50Capital

0 50 100 150 2002.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

3.1Consumo

0 50 100 150 2000

1

2

3

4

5

6Inversión

0 50 100 150 2001

1.005

1.01

1.015

1.02

1.025

1.03

1.035

1.04


0 50 100 150 2001

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8Productividad

Figura 4.7: Función impulso-respuesta de las variables macroeconómicasen nivelesNota: Estas funciones impulso-respuesta corresponde a las variables en niveles;es decir a yt , kt , ct , it , Rt y at . Cabe mencionar que esta gráfica se obtienen delcódigo “Campbell_Lfijo.m” (sección 5).

estacionario del capital es de 23:88 unidades, lo cual es mayor en gran medida conrespecto a las demás variables (el valor de estado estacionario del producto es de2:87 unidades). Para entender por qué el stock de capital en estado estacionario esgrande se debe revisar los parámetros de los cuales depende:

kss D

� 1ˇ� .1 � ı/

1 � ˛

�� 1˛

Aplicando el signo del exponente se tiene:

kss D

�1 � ˛

1ˇ� .1 � ı/

� 1˛

Entonces, kss es una función de ˛, ˇ y ı. En primer lugar, el exponente 1˛

esmayor a uno porque ˛ es menor a uno (D 0:667). Mientras más pequeño sea ˛,


más grande será el exponente y mayor será el numerador, lo que incrementará elkss . En segundo lugar, un incremento de la tasa de depreciación reduce kss , loque tiene sentido debido a que el capital se consume con una mayor depreciación.Por ejemplo, si el capital se deprecia totalmente (ı D 1), entonces kss D 0:1880.Finalmente, una mayor tasa de descuento incrementa kss .

La segunda conclusión es que la inversión es muy pequeña en comparación con elcapital. Esto se debe a que en estado estacionario la inversión iss es igual a unaproporción del capital ıkss . Es más, ı es igual a 2:5%; es decir, la inversión enestado estacionario (D 0:597) es igual al 2:5% del capital. Una tercera conlusiónes que los valores de la función impulso-respuesta de las variables log-linealescumplen con la siguiente expresión:

byt D css

yssbct C iss

yssbi t

Entonces se puede obtener una relación entre los niveles de las variables (en lafunción impulso-respuesta de las variables en niveles):

byt D css

yssbct C iss

yssbi t

ln

�yt

yss

�Dcss

yssln

�ct

css

�Ciss

yssln

�it

iss

�ln.yt / D .ln.yt / �

css

yssln.css/ �

iss

yssln.iss//C

css

yssln.ct /C

iss

yssln.it /

(4.107)

De la Figura 4.8 (gráfica de la derecha) se desprende una conclusión importante:ante un shock de productividad, la inversión reacciona fuertemente superando alproducto y al consumo. Es más, la inversión se incrementa un poco más del 200%del valor de su estado estacionario. Además, las variables demoran más de 100periodos (trimestres) en volver a su estado estacionario debido a que el shock tieneuna alta persistencia (� D 0:95).


0 50 100 150 2000

1

2

3

4

5

6Variables en niveles

ProductoConsumoInversiónSS

ProductoSS

ConsumoSS

Inversión

0 50 100 150 2000

0.5

1

1.5

2

2.5Variables log−lineal

ProductoConsumoInversión

Figura 4.8: Función impulso-respuesta (comparación de las variables log-lineal vs en niveles)Nota: Cabe mencionar que esta gráfica se obtiene del código “Campbell_Lfijo.m(sección 5)”.

4.9 Simulación de las variables endógenas

Para la simulación del capital, usaremos su representación autorregresiva AR(2):

bktC1 D �1bkt C �2bkt�1 C �ka�tAsumiremos que la variable inicia en su estado estacionario: bk0 D 0. Además,se asume que la variable en periodos previos se ha mantenido en steady state,entoncesbk�1 D 0.

Para la simulación de las variables macroeconómicas como el producto, consumo einversión, primero se necesita la serie simulada de la productividadbat y del capitalbkt , las cuales se muestran en la Tabla 4.11. Para esto último se utiliza la solución


Tabla 4.10: Simulación del capital log-lineal

t �t Representación AR(2) del ktC1

0 �0 D 0 (steady state) bk1 D �1bk0 C �2bk�1 C �ka�01 �1 D valor aleatorio bk2 D �1bk1 C �2bk0 C �ka�12 �2 D valor aleatorio bk3 D �1bk2 C �2bk1 C �ka�23 �3 D valor aleatorio bk4 D �1bk3 C �2bk2 C �ka�34 �4 D valor aleatorio bk5 D �1bk4 C �2bk3 C �ka�4

del sistema de ecuaciones log-lineal:

bat D �bat�1 C �bktC1 D �1bkt C �2bkt�1 C �ka�tTabla 4.11: Simulación de la productividad y del capital (log-lineal)

t �t bat bktC10 �0 D 0 ba0 D 0 bk1 D 00 �1 D valor aleatorio de una N(0,1) ba1 D 0:1832 bk2 D 0:01010 �2 D valor aleatorio de una N(0,1) ba2 D �0:8557 bk3 D �0:03720 �3 D valor aleatorio de una N(0,1) ba3 D 0:1363 bk4 D �0:02910 �4 D valor aleatorio de una N(0,1) ba4 D 0:4366 bk5 D �0:0046� � � �

� � � �

Para la simulación de las demás variables macroeconómicas (byt ,bct ,bi t y bRt ) seutiliza la solución siguiente:

byt D ˛bat C .1 � ˛bkt /bct D �ckbkt C �cabatbi t D yss

iss.1 � ˛ �

css

yss�ck/bkt C yss

iss.˛ �

css

yss�ca/bat

bRt D �3.bat �bkt /Donde:

�ik Dyss

iss.1 � ˛ �

css

yss�ck/ y �ia D

yss

iss.˛ �

css

yss�ca/


Tabla 4.12: Simulación de las variables macroeconómicas log-lineales

t byt bct bi t bRt0 y0 D ˛a0 C .1 � ˛k0/ c0 D �ckk0 C �caa0 i0 D �ikk0 C �iaa0 R0 D �3.a0 � k0/1 y1 D ˛a1 C .1 � ˛k1/ c1 D �ckk1 C �caa1 i1 D �ikk1 C �iaa1 R1 D �3.a1 � k1/2 y2 D ˛a2 C .1 � ˛k2/ c2 D �ckk2 C �caa2 i2 D �ikk2 C �iaa2 R2 D �3.a2 � k2/3 y3 D ˛a3 C .1 � ˛k3/ c3 D �ckk3 C �caa3 i3 D �ikk3 C �iaa3 R3 D �3.a3 � k3/4 y4 D ˛a4 C .1 � ˛k4/ c4 D �ckk4 C �caa4 i4 D �ikk4 C �iaa4 R4 D �3.a4 � k4/. . . . .. . . . .

0 50 100 150 200−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1Producto

0 50 100 150 200−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1Capital

0 50 100 150 200−4

−3.5

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5Consumo

0 50 100 150 200−20

−15

−10

−5

0

5

10Inversión

0 50 100 150 200−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2


0 50 100 150 200−8

−6

−4

−2

0

2

4Productividad

Figura 4.9: Simulación de las variables macroeconómicas log-linealesNota: El capital se comporta como AR(2), mientras que el producto, el consumo, la inversión y latasa de interés real se comportan como ARMA(2,1). Además, la productividad sigue un procesoAR(1). Este gráfico se obtiene del código “Campbell_Lfijo.m” (sección 6).

La simulación de las variables pueden tomar valores negativos debido a que seencuentran expresadas en log-desviaciones de su estado estacionario (ln

�xtxss

�).


El valor negativo de la variable log-lineal significa que la variable en niveles seencuentra por debajo de su estado estacionario. Además, es de esperar que lavariable simulada log-lineal tenga valores negativos porque su media es igual acero. Sin embargo, la variable simulada en niveles tiene solo valores positivos.

4.10 Componente cíclico de las variables simuladas

Para hallar el componente cíclico de las variables log-lineales se aplica el filtroHodrick-Prescott (Filtro HP). Este filtro permite separar la serie en dos componen-tes: el componente tendencial y el componente cíclico. La Figura 4.10 muestra elcomponente cíclico y tendencial para cada variable simulada.

0 50 100 150 200−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2Producto

y Tendencia Ciclo

0 50 100 150 200−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1Capital

k Tendencia Ciclo

0 50 100 150 200−4

−3

−2

−1

0

1Consumo

c Tendencia Ciclo

0 50 100 150 200−20

−15

−10

−5

0

5

10Inversión

i Tendencia Ciclo

0 50 100 150 200−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2


R Tendencia Ciclo

0 50 100 150 200−8

−6

−4

−2

0

2

4Productividad

a Tendencia Ciclo

Figura 4.10: Aplicación del filtro HP a las variables simuladasNota: Debido a que los parámetros calibrados corresponden a datos trimestrales, enton-ces cada periodo en esta figura se entiende como un trimestre. Esto sugiere que se debede usar el parámetro de suavizamiento del filtro HP correspondiente a datos trimestrales(� D 1600). Este gráfico se obtiene del código “Campbell_Lfijo.m” (sección 7).

278 4.11 Cálculo de los momentos teóricos

Lo que nos interesa evaluar del modelo son los momentos del componente cíclicode cada variable simulada, es decir, la varianza, la autocorrelación y la correlacióncon otras variables.

4.11 Cálculo de los momentos teóricos

Al realizar la simulación del modelo en Matlab, lo que se obtiene son los momentosteóricos para las variables log-lineales. Sin embargo, lo que se necesita es volvera las variables en niveles debido a que los momentos empíricos corresponden alas variables en niveles. Para calcular los momentos teóricos de las variables enniveles se utiliza la relación entre la variable log-lineal y la variable en niveles:

bxt D ln�xt

xss

�(4.108)

Media. La media de la variable log-lineal es cero. Luego de los artificios algebrai-cos se concluye la Relación (4.109), la cual indica que la media del logaritmo dela variable “x” es igual al logaritmo de la variable en estado estacionario.

bxt D ln�xt

xss

�Ebxt D E ln

�xt

xss

��bxt D E.ln.xt / � ln.xss//

�bxt D E.ln.xt // � ln.xss/

�bxt D �ln.xt / � ln.xss/

0 D �ln.xt / � ln.xss/

�ln.xt / D ln.xss/ (4.109)

Varianza. La varianza de la variable log-lineal es igual a la varianza del logaritmode la variable en niveles (ver la Ecuación (4.110)). Por su defecto la desviaciónestándar de ambas variables es la misma:

Var.bxt / D Var� ln�xt

xss

��


Por propiedad Var.ax C b/ D a2Var.x/:

Var.bxt / D Var� ln.xt / � ln.xss/�

Var.bxt / D Var� ln.xt /�

�2bxt D �2ln.xt / (4.110)

Correlación. La correlación entre dos variables log-lineales es igual a la correla-ción entre el logaritmo de dichas variables en niveles:

corr.bx;by/ D PNiD1.bxi � �bxi /.byi � �byi /

�bx�byPero �bxi D 0 y �bxi D 0:

corr.bx;by/ D PNiD1.bxi /.byi /�bx�by

D

PNiD1.ln

xixss/.ln yi

yss/

�bx�byD

PNiD1.ln.xi / � ln xss/.ln.yi / � lnyss/

�bx�byD

PNiD1.ln.xi / � �ln.xt //.ln.yi / � �ln.yt //

�ln.xt /�ln.yt /

corr.bx;by/ D corr.ln.xt /; ln.yt // (4.111)

De lo anterior se concluye que los segundos momentos de las variables log-linealesson exactamente iguales a los segundos momentos del logaritmo natural de lasvariables en niveles. Por tanto, podemos concluir que los segundos momentos delcomponente cíclico de las variables log-lineales (simuladas) son idénticas a los delcomponente cíclico del logaritmo de las variables en niveles. Entonces, basta com-parar los momentos (del componente cíclico) obtenidos por el modelo (simulación)con los correspondientes obtenidos de los datos (variables en logaritmos).

Para realizar la comparación se hace lo siguiente: en primer lugar se fija el periodode estudio de las variables macroeconómicas (por ejemplo: 1980.I hasta 2016.III).

280 4.11 Cálculo de los momentos teóricos

Este periodo esta compuesto por 147 trimestres. Segundo, se realizan 500 simu-laciones considerando que cada variable tenga un periodo de 147 trimestres. Entercer lugar, para cada simulación se aplica el filtro HP y se abstrae el componentecíclico. Luego, se calcula la media, varianza, autocorrelación de primer ordeny correlación del componente cíclico para cada simulación. En quinto lugar, seconstruye una distribución para la media, la varianza, autocorrelación de primerorden y la correlación. Se elige el valor medio de cada distribución, y ese valorrepresenta el valor de cada segundo momento teórico. Finalmente, dichos valoresse comparan con los datos.

0.8 1 1.2 1.40

2

4

6

8

10

12

14

16

18Producto

0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

5

10

15

20

25Capital

0.25 0.3 0.35 0.4 0.450

2

4

6

8

10

12

14

16

18Consumo

2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16

18Inversión

0.025 0.03 0.035 0.04 0.0450

5

10

15

20Tasa de interés real

0.5 1 1.5 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18Productividad

Figura 4.11: Distribuciones de la desviación estándar del modelo teóricoNota: Estas distribuciones se obtiene de simular 100 veces las variables considerando unperiodo de 150 trimestres. El valor que se toma de cada distribución es el valor promedio.Este gráfico se obtiene del código “Campbell_Lfijo_Sim_Variables.m” (sección 7).


4.12 Comparación del modelo teórico con los datos empíricos

Tabla 4.13: Comparación del comportamiento cíclico del modelo teóricocon los datos empiricos

Datos empíricos USA Modelo teórico

Variable DesEst (%) Corr. con producto (t) DesEst (%) Corr. con producto (t)

Producto 1.72 1 0.85 1(0.093)

Consumo 1.27 0.83 0.34 0.9874(0.0382)

Inversión 8.24 0.91 2.82 0.9972(0.3065)

Nota: Los valores empíricos han sido tomados de Cooley y Prescott (1995), los cuales han sidocalculados bajo el periodo muestral de 1954.I hasta 1991.III; en cambio los valores teóricos se hanobtenido de una simulación de 100 veces considerando un periodo de 150 trimestres. Los valoresmostrados en el modelo teórico son los valores promedios de cada distribución. Dichos valores seobtienen del código “Campbell_Lfijo_Sim_Variables.m” (sección 8).

De la Tabla 4.13 se desprenden algunas conclusiones. La primera es que losdatos sugieren que la volatilidad de la inversión es mayor que el producto y elconsumo; tan es así que la desviación estándar de la inversión es 4:8 veces lavolatilidad del producto y 6:4 veces la del consumo. Sin embargo, el modeloteórico no captura todas estas relaciones encontradas en los datos. En primerlugar, aunque mantiene que la volatilidad de la inversión es mayor que la delconsumo, sobreestima la magnitud (la volatilidad de la inversión es 8:2 veces ladel consumo). Segundo, la volatilidad para las tres variables (producto, consumoe inversión) está muy por debajo de lo observado en los datos. De otro lado, unabondad del modelo es que captura la dirección correcta en cuanto a volatilidad ( ): inversión > producto > consumo.

Una segunda conclusión es que la correlación temporal del producto con el con-sumo y la inversión está sobrevaluada por el modelo. No obstante, este se acercamucho más a la correlación producto-inversión que la correpondiente con el consu-mo.

282 4.13 Códigos

4.13 Códigos

La solución del modelo como también las funciones impulso-respuesta y la si-mulación de las variables se han desarrollado directamente en Matlab (mediantela construcción de varios m-file) y también por medio de Dynare (mediante laconstrucción de un mod-file). El resultado de ambos caminos es el mismo, perola ventaja de construir directamente un m-file es que se pueden hacer explíci-tos muchos detalles en la solución y simulación del modelo, los cuales ya estánprogramados en Dynare.




Matlab

Campbell_Lfijo.m Este m-file calcula el estado estacionario ylos coeficientes de la solución derivados delmétodo de coeficientes indeterminados. Ade-más, calcula la función impulso-respuesta yrealiza una simulación de las variables. Fi-nalmente, aplica el filtro HP para obtener latendencia y el ciclo de cada variable simula-da.

Campbell_Lfijo_Sim_Parametros.m Este m-file simula los valores de las elastici-dades (coeficientes de la solución) en funciónde la persistencia (�) y de la ESI del consumo(� ).

Campbell_Lfijo_Sim_Variables.m Este m-file simula 100 veces las variables(forma ARMA(p,q)) para 150 periodos. Ca-be mencionar que ambos parámetros puedenser cambiados por el usuario para realizardistintas simulaciones.

Dynare

Campbell_Lfijo_Dynare_nolineal_log.mod Este archivo mod contiene el modelo nolinealcon variables en logaritmo y es el que usaDynare para resolver el modelo.

Campbell_Lfijo_Dynare_lineal_log.mod Este archivo mod contiene el modelo linealcon variables en logaritmo y es el que usaDynare para resolver el modelo. Cabe men-cionar que ambos archivos mod brindan elmismo resultado en cuanto a las funciones depolítica y de estado.

CAPÍTULO 5

MODELO RBC CON TRABAJO VARIABLE

5.1 Introducción

Este capítulo tiene dos objetivos. El primero es extender el modelo del Capítulo 4al considerar que el trabajo es variable. Esta extensión permite entender el rol

que juega el mercado de trabajo en los ciclos económicos. El segundo objetivoes comparar el desempeño del modelo de Long y Plosser (1983), desarrollado enel Capítulo 3, con los dos modelos de Campbell (1994): el modelo con trabajofijo, desarrollado en el Capítulo 4, y el modelo con trabajo variable, desarrolladoen este capítulo. Una ventaja del modelo de este capítulo es que bajo el supuestode elasticidad de sustitución del trabajo igual a uno y depreciación total, se puedeobtener el modelo de Long y Plosser (1983); es decir, este último modelo es uncaso particular de un modelo más general descrito en el presente capítulo.

Con estos objetivos en mente, este capítulo tiene dos secciones importantes. En laprimera, se describen los elementos del modelo; es decir, el comportamiento delas familias, las empresas, el equilibrio de mercado y el shock de productividad, ytambién se especifica el sistema de ecuaciones que resume el modelo. Además, seasignan los valores a los parámetros (calibración), se calcula el estado estacionario yse log-linealiza el sistema de ecuaciones. Finalmente, se resuelve dicho sistema porel método de coeficientes indeterminados, el cual fue explicado en el Capítulo 4.

En la segunda sección, se analiza la solución del modelo. Este análisis comprendela sensibilidad de los coeficientes de la solución ante distintos valores de losparámetros profundos del modelo. La idea detrás de este análisis es evaluar cómoresponde la solución cuando los parámetros cambian. Una conclusión de esteanálisis es, por ejemplo, que los coeficientes de la solución asociados al stock de

285

286 5.2 Elementos del modelo

capital no son sensibles al parámetro de persistencia del shock �. Además, en estasección se calcula la función impulso-respuesta ante un shock de productividad.Finalmente, se realizan dos análisis: el primero evalúa la necesidad de que el shockde productividad sea significativo para que el modelo RBC tenga la capacidad dereplicar los datos; el segundo, evalúa la importancia de la elasticidad de la ofertade trabajo para mejorar la capacidad del modelo en replicar los datos.

5.2 Elementos del modelo

5.2.1 Construcción del modelo

5.2.1.1 Familias

En este modelo se asume que la economía está poblada por un conjunto de familiasidénticas que tienen vida infinita. Estas familias obtienen bienestar del consumo debienes (ct ) y de las horas de ocio (lt ). Estas preferencias se reflejan en la siguientefunción de utilidad:

u.ct ; ht / D ln.ct /C �.1 � ht /

1� n

1 � n

Donde � representa la valoración que el consumidor brinda al ocio en su funciónde utilidad y n corresponde a la inversa de la elasticidad de sustitución del trabajoy también representa, como se verá más adelante, la inversa de la elasticidad de laoferta de trabajo (elasticidad de Frisch). Además, la dotación de horas totales quedispone la familia se normaliza a uno, de tal forma que la distribución del tiempocumple con la siguiente restricción:

lt C ht D 1

Donde ht son horas destinadas al trabajo y lt son horas destinadas al ocio. Dadoque las familias tienen expectativas racionales y son optimizadoras, entonces estasmaximizan su función de utilidad esperada descontada representada por:

Maxfct ;ht ;ktC1g

1tD0

E0

1XtD0

ˇt�

ln.ct /C �.1 � ht /

1� n

1 � n

�(5.1)

5 Modelo RBC con trabajo variable 287

Las familias deben de elegir la senda temporal óptima de ct , ht y ktC1. Deotro lado, la restricción presupuestaria de la familia está definida por la siguienteexpresión:

ct C it D wtht C rtkt (5.2)

Donde:

• it es la inversión, con cual la familia acumula stock de bienes de capital que a suvez alquila a las empresas.

• wt representa el salario real.• rt es la tasa de alquiler del capital que pagan las empresas.

Además, el modelo supone que las familias son dueñas de los bienes de capital enla economía, por lo cual deben de invertir (it ) para ofrecer capital en “t C 1”. Laecuación de movimiento del capital es:

ktC1 D .1 � ı/kt C it (5.3)

Problema de optimización de la familia

El problema de optimización de la familia se resume en la Ecuación (5.1) sujeto ala restricción presupuestaria, Ecuación (5.2), y a la ley de movimiento del capital,Ecuación (5.3):

Maxfct ;ht ;ktC1g

1tD0

E0

1XtD0

ˇt�ln.ct /C �

.1 � ht /1� n

1 � n

�ct C it D wtht C rtkt


Función de Lagrange y condiciones de primer orden

Al observar las dos restricciones se puede concluir que ambas podrían convertirseen una sola. Para ello se despeja la inversión it de la ecuación de movimiento delcapital y se reemplaza en la restricción presupuestaria. De esta forma se obtiene lasiguiente única restricción:

ct C ktC1 D wtht C .rt C .1 � ı//kt (5.4)


Dada esta única restricción y la función objetivo, entonces la función de Lagrangeestaría definida por la siguiente expresión:

L D E0� 1XtD0

ˇt�u.ct ; ht /C �t .wtht C rtkt � ct � ktC1 C .1 � ı/kt /

��Las condiciones de primer orden son las siguientes:

@L@ctD 0 H)

1

ctC �t .�1/ D 0 (5.5)

@L@htD 0 H)

��

.1 � ht / nC �t .wt / D 0 (5.6)

@L@ktC1

D 0 H) Et��t .�1/C ˇ�tC1.rtC1 C .1 � ı//

�D 0 (5.7)

Condición Intratemporal: está representada por la oferta de trabajo, que seobtiene de las Ecuaciones (5.5) y (5.6):

�.1 � ht /� n D

wt

ct(5.8)

Condición Intertemporal: es representada por la ecuación de Euler, que indica lasenda óptima del consumo. Esta se obtiene de (5.5) y (5.7):

1

ctD ˇEt

�1

ctC1ŒrtC1 C .1 � ı/�

�(5.9)

Las Ecuaciones (5.8) y (5.9) representan las dos principales ecuaciones de compor-tamiento de las familias. Una de estas ecuaciones es la oferta de trabajo, la cualestá influenciada por el parámetro n. La inversa de este parámetro es conocidoen la literatura como la elasticidad de Frisch de la oferta de trabajo, detallada acontinuación.

Elasticidad Frisch de la Oferta de Trabajo (EFOT): es el cambio porcentualen la oferta de trabajo ante un cambio porcentual en el salario real, manteniendoconstante la utilidad marginal del consumo. Además, la EFOT mide el efectosustitución que un cambio en el salario real genera en la oferta laboral. En otraspalabras, no considera el efecto ingreso que se deriva de la sustitución intratemporalentre el consumoy el ocio. El cálculo de la EFOT tiene tres pasos, los cuales sedescriben a continuación:


Paso 1. Se calcula la diferenciación total de la oferta de trabajo (5.8), de la cual seobtiene la Ecuación (5.10):

�.1 � ht /� n D

wt

ct

Aplicando diferenciación total:

�.� n/.1 � ht /� n�1.��ht / D

ct�wt � wt�ct

c2t

Ordenando los términos:

�.1 � ht /� n

n

.1 � ht /�ht D

�wt

ct�wt

ct

�ct

ct

Por la oferta de trabajo; �.1 � ht /� nD wtct

:

wt

ct

n

.1 � ht /�ht D

�wt

ct�wt

ct

�ct

ct

n�ht

.1 � ht /D

�wtct�wtct

�ctct

wtct

n�ht

.1 � ht /D�wt

wt��ct

ct

nht

ht

�ht

.1 � ht /D�wt

wt

�1 �

�ct=ct

�wt=wt

� n

ht

1 � ht

�ht

htD�wt

wt

�1 �

�ct=ct

�wt=wt

��ht=ht

�wt=wtD

1

n

�1 � ht

ht

��1 �

�ct=ct

�wt=wt

�ehwt D

1

n

�1 � ht

ht

�Œ1 � ecwt � (5.10)

Donde, ehwt representa la elasticidad de la oferta de trabajo con respecto al salarioreal ( �ht=ht

�wt=wt); de otro lado, ecwt es la elasticidad del consumo con respecto al

salario real ( �ct=ct�wt=wt

).

Paso 2. Según la definición de la “Elasticidad de Frisch”, la utilidad marginal delconsumo se mantiene constante, lo cual indica un nivel de consumo fijo invarianteante cambios en el salario real y, por lo que la ecwt sería igual a cero.


Paso 3. Finalmente, la EFOT queda representada por la siguiente expresión:

ehwt D1

n

�1 � ht

ht

�(5.11)

Por tanto, la EFOT (ehwt ) depende de manera inversa del n. Por esta razón seconsidera que n es la inversa de la elasticidad de Frisch (EFOT).

En el modelo RBC, una mayor elasticidad de Frisch (menor n) amplifica más elshock de productividad; es decir, la oferta de trabajo más elástica incrementa másel trabajo y, por ende, el producto en t .

Elasticidad de sustitución intertemporal del trabajo: la tasa marginal de susti-tución (TMgS1;2) indica la cantidad del bien 1 que se está dispuesto a ceder si seincrementa en una unidad el bien 2, manteniendo constante el nivel de utilidad.

TMgS1;2 D@x1

@x2D �

UMg2

UMg1

De otro lado, la elasticidad de sustitución (ES1;2) mide la facilidad de sustituir unbien con respecto al otro; además, mide la curvatura de la curva de indiferencia ypor tanto la sustituibilidad entre bienes.

ES1;2 [email protected]=x2/

@ln.TMgS1;2/

Asimismo, cabe mencionar que la elasticidad de sustitución se observa en dosdimensiones:

Tabla 5.1: Elasticidad de sustitución

Intratemporal (ct ; lt ) Intertemporal (ct ; ctC1)

TMgSIct ;lt D �UMglUMgc

TMgSI ctC1;t D �Et

�UMgct

ˇUMgctC1

�

ESIct ;lt [email protected]=lt /

@ln.TMgSIct ;lt /ESI ctC1;t D

@ln.ctC1=ct /

@ln.TMgSIctC1;t

/

Aplicando el caso intertemporal para la oferta de trabajo se obtiene la elasticidadde sustitución intertemporal del trabajo (ht ; htC1):


• TMgSIhtC1;t D �Et

�1ˇ

�1�ht1�htC1

�� n�• ESIhtC1;t D �

1 nEt

�1�htC1htC1

�

Según la expresión de ESIhtC1;t , el parámetro n se puede considerar como lainversa de la elasticidad de sustitución intertemporal del trabajo. En este escenariola elasticidad de Frisch y la ESIhtC1;t son similares.

5.2.1.2 Empresas

En este modelo se asume que las empresas se desarrollan en un contexto decompetencia perfecta, tanto en el mercado de bienes como en el mercado de factoresde producción. Bajo estas condiciones, la empresa representativa maximiza sufunción de beneficios sujeta a su tecnología (función de producción). Dichoproblema de optimización está descrito de la siguiente manera:

Maxfkt ;ht g

1tD0

…t D yt � Œwtht C rtkt �

Sujeto a la función de producción o tecnología disponible:

yt D atk˛t h1�˛t (5.12)

La función de producción se puede reemplazar en la función de beneficios �t loque permite que el problema de optimización se reduzca a uno sin restricciones:

Maxfkt ;ht g

1tD0

…t D atk˛t h1�˛t � Œwtht C rtkt � (5.13)

Derivando directamente la función objetivo, Ecuación (5.13), con respecto alcapital kt y al trabajo ht se obtiene:

@…t

@ktD 0 H) at˛k

˛�1t h1�˛t � rt D 0

˛atk

˛t h1�˛t

ktD rt

Demanda del capital:

˛yt

ktD rt (5.14)


@…t

@htD 0 H) at .1 � ˛/k

˛t h�˛t � wt D 0

.1 � ˛/atk

˛t h1�˛t

htD wt

Demanda del trabajo:

.1 � ˛/yt

htD wt (5.15)

5.2.1.3 Equilibrio de mercado y definición del shock

Para completar el modelo, es necesario agregar dos ecuaciones. La ecuaciónhace referencia al equilibrio en el mercado de bienes, el cual está descrito por lasiguiente expresión:

yt D ct C it (5.16)

La segunda ecuación describe el comportamiento de la “productividad”, que secomporta como un AR(1):

ln.at / D �ln.at�1/C �t ; �t � N.0; �2� / (5.17)

Donde � es llamado “shock de productividad”.

5.2.1.4 Sistema de ecuaciones principales

La Tabla [5.2] muestra las ecuaciones que describen el comportamiento óptimotanto de las familias como de las empresas; así también indica las ecuacionesde equilibrio de mercado y del comportamiento de la productividad. Todo esteconjunto de ecuaciones forman un sistema que representa el modelo RBC contrabajo variable en línea con Campbell (1994).


Tabla 5.2: Sistema de ecuaciones no lineales principales.


1ctD ˇEt

�1

ctC1ŒrtC1 C .1 � ı/�


rt D ˛ytkt

Demanda del capital�.1 � ht /

� n Dwtct

Oferta de trabajoht D .1 � ˛/

ytwt

Demanda de trabajoyt D atk

˛t h


yt D ct C it Equilibrio mercado de bienesktC1 D .1 � ı/kt C it Ley de movimiento del capitallnat D �lnat�1 C �t Shock de productividad

5.2.2 Calibración

Los valores de los parámetros corresponden a la calibración de Campbell (1994)excepto el valor de � que ha sido tomado de Prescott (1986). La Tabla 5.3 muestralos valores asociados a los parámetros.



˛ D 0:333 Proporción del capital en el ingreso nacional n D 0:25 Inversa de la elasticidad de Frisch (valor para simular)ı D 0:025 Corresponde a una depreciación del 10% anual� D �

1��D 2 � es el tiempo productivo orientado a actividades no-mercado

� D 0:95 La productividad es estacionariaˇ D 0:984

� D 0:01 Desviación estándar del shock de productividad


Se conoce como equilibrio de largo plazo donde �xt D 0 para todas las variablesdel modelo y el shock de productividad ("t ) toma su valor promedio (D 0). Además,dada la ecuación de movimiento de la productividad, su valor de estado estacionarioes a D 1. Asimismo, las expectativas desaparecen, por ello, se le conoce comosolución no estocástica. Cabe mencionar que hallar el estado estacionario es un


paso previo a la log-linealización. En la Tabla 5.4 se escriben las ecuacionesprincipales del modelo en su versión de estado estacionario.

Tabla 5.4: Sistema de ecuaciones no lineales principales en estado estacio-nario


[1] rss D ˛ ysskss Demanda del capital

[2] 1cssD ˇ

�1cssŒrss C .1 � ı/�


[3] �.1 � hss/� n D wsscss

Oferta de trabajo[4] hss D .1 � ˛/ ysswss

Demanda de trabajo[5] yss D assk˛ssh1�˛ss Función de producción[6] yss D css C iss Equilibrio mercado de bienes[7] kss D .1 � ı/kss C iss Ley de movimiento del capital[8] lnass D �lnass C �valor medio Shock de productividad

De la ecuación 8 de la Tabla 5.3 se obtiene que el único valor que resuelve laexpresión ln ass D � ln ass es ass D 1. Asimismo, de la ecuación 2 se obtiene latasa de interés en estado estacionario:

rss D1

ˇ� .1 � ı/ (5.18)

De la ecuación 7 se obtiene el ratio inversión/capital en estado estacionario:

iss

kssD ı (5.19)

De la ecuación 1, que describe la demanda de capital, se obtiene el ratio producto/-capital en estado estacionario:

yss

kssDrss

˛(5.20)

De la ecuación 5, luego de considerar que ass D 1, se obtiene:

yss

kssD

�hss

kss

�1�˛(5.21)

Dado que en la Ecuación (5.20) se encontró el valor del ratio yss=kss , entonces:

hss

kssD

�rss

˛

� 11�˛

(5.22)


Los elementos de la ecuación 6, que expresa el equilibrio en el mercado de bienes,pueden ser divididos por el valor del capital en estado estacionario (kss):

yss

kssDcss

kssCiss

kss(5.23)

De la Ecuación (5.19) se sabe que el ratio iss=kss es igual a ı. Además, por laEcuación (5.21) se tiene que el ratio yss=kss es igual a rss

˛. Bajo estos valores, la

Ecuación (5.23) quedaría descrita por:

rss

˛Dcss

kssC ı (5.24)

Este resultado permite encontrar el ratio css=kss:

css

kssDrss

˛� ı (5.25)

De otro lado, dividendo los dos lados de la ecuación de la demanda de trabajo(ecuación (4)) por el valor del capital en estado estacionario se tiene:

hss

kssD .1 � ˛/

yss

wsskss(5.26)

De esta ecuación se despeja el salario real en estado estacionario wss:

wss D .1 � ˛/

ysskss

hsskss

(5.27)

Además, de la Ecuación (5.22) se sabe que el ratio hss=kss es una constante y es

igual a�Rss˛

� 11�˛ . Asimismo, por la Ecuación (5.20) se tiene que el ratio yss=kss

es igual a rss˛

. Estos dos valores permiten obtener el valor del salario real en estadoestacionario wss:

wss D .1 � ˛/

rss˛�

rss˛

� 11�˛

wss D .1 � ˛/

�rss

˛

� �˛1�˛

(5.28)

Finalmente, en la oferta de trabajo (ecuación 3) se multiplica y divide por kss altrabajo en estado estacionario (hss) y al consumo (css):

�.1 � ksshss

kss/� n D

wss

ksscsskss

(5.29)


De esta expresión, el valor de wss , csskss y hsskss

son conocidos. Por temas de sim-plicidad se considera que el ratio css

ksses igual a �1, y que wss

csskss

es igual a �2. En

consecuencia, se tiene:�.1 � �1kss/

� n D�2

kss(5.30)

Esta ecuación es no lineal en el capital de estado estacionario (kss). Si se encuentrael valor del capital que resuelve esta ecuación, entonces se encontrarán todos losvalores de las variables en estado estacionario, ya que dichas variables dependendel capital. Cabe mencionar el hecho de que la no linealidad de esta ecuaciónse debe al parámetro n (inversa de la elasticidad de Frisch). Si el valor de esteparámetro es igual a uno, entonces la no linealidad desaparece y el valor de ksses igual a �2

�C�1�2. Asimismo, vale señalar que n sea igual a uno significa que el

trabajo en la función de utilidad se expresa como el ln.1 � ht /.

De manera alternativa, la Ecuación (5.29) se puede expresar de manera no linealen el trabajo. Esta opción es mejor debido a que se sabe que el valor del trabajoen estado estacionario se halla entre cero y uno; es decir, hss 2 Œ0; 1�. Esto esimportante debido a que las técnicas de optimización numérica (aproximaciones)requieren un punto inicial. Por tanto, la Ecuación (5.29) quedaría de la siguientemanera:

�.1 � hss/� n D

wss

hssksshss

csskss

(5.31)

Simplificando esta expresión, se tiene:

�.1 � hss/� n D

wss

hssksshss

csskss

�css

kss

kss

hsshss D wss.1 � hss/

n

Reordenando los términos:

�css

kss„ƒ‚…D 1

hss D wsshss

kss„ ƒ‚ … 2

.1 � hss/ n

1hss D 2.1 � hss/ n (5.32)

La Ecuación (5.32) puede ser resuelta por métodos numéricos. Para ello se haconstruido una función llamada “trabajo\_ss.m”, la cual resuelve la Ecuación


(5.32) y, por tanto, brinda un valor de hss . Dado este valor, entonces se puedeobtener el valor de estado estacionario de las demás variables. Por ejemplo, de laEcuación (5.22) se puede obtener el capital kss:

hss

kssD

�rss

˛

� 11�˛

kss D hss

�rss

˛

� �11�˛

(5.33)

Al tener el valor de kss , entonces de la Ecuación (5.20) se obtiene la producciónyss:

yss

kssDrss

˛

yss D kssrss

˛(5.34)

De la misma manera, al considerar el valor de kss en la Ecuación (5.19) se obtieneel valor de la inversión en estado estacionario iss .

iss

kssD ı

iss D ıkss (5.35)

El consumo de estado estacionario css se puede obtener de la Ecuación (5.23)debido a que se conoce el producto y la inversión (ambos en estado estacionario).

yss

kssDcss

kssCiss

kss

css D yss � iss (5.36)

En la Tabla 5.5 se indica la expresión del estado estacionario de cada variable delmodelo.



Estado estacionario (forma recursiva)

rss D1ˇ� .1 � ı/

ass D 1

wss D .1 � ˛/

�rss˛

� �˛1�˛

1hss D 2.1 � hss/ n

kss D hss

�rss˛

� �11�˛

yss D kssrss˛

iss D ıkss

css D yss � iss

5.2.4 Log-linealización

De la misma forma que en los capítulos previos, el modelo será log-linealizadosiguiendo la técnica de Uhlig (1995). En primer lugar se define la variable bxtcomo la diferencia entre el logaritmo de la variable “x” y el logaritmo de su estadoestacionario “xss”: bxt D lnxt � lnxssEsta expresión puede ser reordenada de tal manera que la variable x quede enfunción de su estado estacionario xss y de la variablebxt :

xt D xssebxt (5.37)

La expresión de “xt” se reemplazará en todas las ecuaciones del modelo nolineal. En segundo lugar, la Expresión (5.37) requiere que ebxt sea aproximadapor una función lineal, de lo contrario el sistema de ecuaciones aún mantendríasu naturaleza no-lineal. Ante ello, se aproxima ebxt por medio de la expansión deTaylor de primer orden, donde el punto de referencia para la aproximación es elestado estacionario. Al aplicar la expansión de Taylor, ebxt quedaría expresado dela siguiente manera:

ebxt � 1Cbxt (5.38)

Considerando las propiedades (5.37) y (5.38) se procede a log-linealizar el sistemadescrito en la Tabla 5.3:


Demanda del capital. Para encontrar la demanda del capital log-lineal primerodebe reemplazarse cada variable xt por su expresión xssebxt , dondebxt es la variableen desviación porcentual del ln xt con respecto a su estado estacionario (segundalínea). Luego de realizar algunas operaciones algebraicas se llega a la línea 4, endonde se aplica la aproximación de primer orden (ex � 1 C x) y se obtiene lalínea 5. Finalmente, la Ecuación (5.39) es la ecuación log-lineal de la demanda decapital.

kt D ˛yt

rtLínea 1

kssebkt D ˛yssebyt

rssebrt Línea 2

ebkt D ebyt

ebrt Línea 3

ebkt D ebyt�brt Línea 4

1Cbkt D 1Cbyt �br t Línea 5bkt Dbyt �br t (5.39)

Ecuación de Euler. Para encontrar la ecuación de Euler log-lineal primero serealiza un cambio de variable (ztC1 D rtC1 C .1 � ı/), la cual se aprecia enla segunda línea de la Ecuación (5.40). Esto se debe a que, para simplificar latransformación log-lineal de una ecuación, es preferible que todas las variables seencuentren en forma multiplicativa. En segundo lugar, se reemplaza cada variablext por su expresión xssebxt , dondebxt es la variable en desviación porcentual delln xt con respecto a su estado estacionario (tercera línea de la Ecuación (5.40)).Luego de realizar algunas operaciones algebraicas se llega a la línea 5, en dondese aplica la aproximación de primer orden (ebx � 1Cbx) y se obtiene la línea 6.Finalmente, luego de eliminar la constante (número uno) se llega a la línea 7.

1

ctD ˇEt

�1

ctC1ŒRtC1 C .1 � ı/�

�1

ctD ˇEt

�1

ctC1ŒztC1�

�1

cssebct D ˇEt�

1

cssebctC1 ŒzssebztC1 ��


1

ebct D Et�

1

ebctC1 ŒebztC1 ��

e�bct D Et �ebztC1�bctC1�1 �bct D Et Œ1CbztC1 �bctC1��bct D Et ŒbztC1 �bctC1� (5.40)

Para terminar de caracterizar la ecuación log-lineal de Euler se debe encontrarbztC1en función de la tasa de interés en log-desviaciones de su estado estacionario (br tC1).Con tal fin, primero se debe de considerar dicha relación en estado estacionario:

Zss D rss C .1 � ı/ D„ƒ‚…por la ecuación (5.18)

1

ˇ(5.41)

La relación entrebztC1 ybr tC1 se expresa en la Ecuación (5.42):

ztC1 D rtC1 C .1 � ı/

ZssebztC1 D rssebrtC1 C .1 � ı/

Zss.1CbztC1/ D rss.1Cbr tC1/C .1 � ı/Zss CZssbztC1 D rss C rssbr tC1 C .1 � ı/ (5.42)

Al considerar la relación de estado estacionario de la Ecuación (5.41) en la Ecua-ción (5.42) se tiene:

ZssbztC1 D rssbr tC11

ˇbztC1 D rssbr tC1bztC1 D ˇrssbr tC1 (5.43)

Luego, al introducir la Ecuación (5.43) en (5.40) se obtiene la ecuación log-linealde Euler:

�bct D Et ŒbztC1 �bctC1��bct D Et Œˇrssbr tC1 �bctC1� (5.44)

Oferta de trabajo. Para obtener la ecuación log-lineal de la oferta de trabajo, aligual que la ecuación de Euler, se realiza un cambio de variable para que todos los


términos de la ecuación se encuentren multiplicando. En ese sentido, se reemplaza1 � ht por hht (línea dos de la Ecuación (5.45). Asimismo, al igual que en lasecuaciones previas, cada variable xt se reemplaza por su expresión xssebxt (terceralínea de la Ecuación (5.45)), y se ha aplicado la aproximación de primer orden(5.38) (séptima línea de la Ecuación (5.45)).

�.1 � ht /� n D

wt

ct

�.hht /� n D

wt

ct

�.hhssebhht /� n D wsse

bwthssebct

�hh� nss e� nbhht D wsse

bwthssebct

e� nbhht D ebwt

ebcte� n

bhht D ebwt�bct1 � nchht D 1C bwt �bct� nchht D bwt �bct (5.45)

Para terminar de encontrar la ecuación log-lineal de la oferta de trabajo es necesarioencontrar la versión log-lineal del cambio de variable: hht D 1 � ht .

hht D 1 � ht

hhssebhht D 1 � hssebht

hhss.1Cchht / D 1 � hss.1Cbht /hhss C hhsschht D 1 � hss � hssbht

hhsschht D �hssbhtchht D � hsshhss

bhtchht D � hss

1 � hssbht (5.46)

Reemplazando esta Ecuación (5.46) en la Ecuación (5.45) se obtiene la ecuaciónlog-lineal de la oferta de trabajo (Ecuación (5.47)):

� nchht D bwt �bct


� n

��

hss

1 � hssbht� D bwt �bct

nhss


Demanda de trabajo. La ecuación log-lineal de la demanda de trabajo está des-crita por la Ecuación (5.48). Para ello, de la misma forma que en las ecuacionesprevias, se ha reemplazado cada variable xt por su expresión xssebxt (segunda líneade la Ecuación (5.48), y se ha aplicado la aproximación de primer orden (5.38)(quinta línea de la ecuación (5.48)).

ht D .1 � ˛/yt

wt

hssebht D .1 � ˛/ yssebyt

wssebwtebht D ebyt

ebwtebht D ebyt�bwt

1Cbht D 1Cbyt � bwtbht Dbyt � bwt (5.48)

Función de producción. La ecuación log-lineal de la función de producción estádescrita por la Ecuación (5.49). Para ello, se ha reemplazado cada variable xtpor su expresión xssebxt (segunda línea de la Ecuación (5.49)), y se ha aplicado laaproximación de primer orden (5.38) (sexta línea de la Ecuación (5.49)).

yt D atk˛t h1�˛t

yssebyt D assebat Œkssebkt �˛Œhssebht �1�˛

yssebyt D assebat Œk˛sse˛bkt �Œh1�˛ss e.1�˛/

bht �ebyt D ebat Œe˛bkt �Œe.1�˛/bht �ebyt D ebatC˛bktC.1�˛/bht

1Cbyt D 1Cbat C ˛bkt C .1 � ˛/bhtbyt Dbat C ˛bkt C .1 � ˛/bht (5.49)


Equilibrio mercado de bienes. Al igual que en las ecuaciones previas, paraobtener la condición de equilibrio en el mercado de bienes log-lineal se debereemplazar cada variable xt por su expresión xssebxt (segunda línea de la Ecuación(5.50)), y debe aplicarse la aproximación de primer orden (5.38) (tercera línea dela Ecuación (5.50)).

yt D ct C it



yssbyt D cssbct C issbi tbyt D css

yssbct C iss

yssbi t (5.50)

Ley de movimiento del capital. La ley de movimiento del capital log-lineal estáexpresada en la Ecuación (5.51). De igual forma que en las ecuaciones previas,se ha aplicado la transformación de la variable inicial kt por su equivalente enlog-desviaciones (línea 2 de la Ecuación (5.51)). Además, se ha considerado laapróximación de Taylor de primer orden de dicha transformación (línea 5 de laEcuación (5.51)).


kssebktC1 D .1 � ı/kssebkt C issebi tebktC1 D .1 � ı/ebkt C iss

kssebi t

ebktC1 D .1 � ı/ebkt C ıebi t

1CbktC1 D .1 � ı/.1Cbkt /C ı.1Cbi t /1CbktC1 D .1 � ı/C .1 � ı/bkt C ı C ıbi tbktC1 D .1 � ı/bkt C ıbi t (5.51)

Shock de productividad. En sentido estricto, el shock de productividad estárepresentado por la variable �t , la cual tiene una distribución normal con media


cero y varianza constante. Así, la Ecuación (5.52) representa la ecuación log-linealde la productividad (no del shock).



La Tabla 5.6 resume el sistema de ecuaciones log-lineales que describen el modelo.

Tabla 5.6: Sistema de ecuaciones log-lineal


�bct D Et Œˇrssbr tC1 �bctC1� Ecuación de Eulerbkt Dbyt �br t Demanda del capital n

hss1�hss

bht D bwt �bct Oferta de trabajobht Dbyt �bwt Demanda de trabajobyt Dbat C ˛bkt C .1 � ˛/bht Función de producciónbyt D cssyssbct C iss

yssbi t Equilibrio mercado de bienesbktC1 D .1 � ı/bkt C ıbi t Ley de movimiento del capitalbat D �bat�1 C �t Shock de productividad

5.2.5 Solución del sistema lineal

5.2.5.1 Método de coeficientes indeterminados

En la literatura de modelos de equilibrio general, los métodos para encontrar lasolución se han focalizado en resolver el sistema de ecuaciones lineales (o log-lineales). De manera similar a los capítulos previos, en este capítulo se aplicael método de coeficientes indeterminados. La solución consiste en colocar lasvariables endógenas en función de las variables de estado y del shock. Por ejemplo,para el capital, el producto y el consumo se tiene lo siguiente:

bktC1 D �kkbkt C �kabat (5.53)byt D �ykbkt C �yabat (5.54)


bct D �ckbkt C �cabat (5.55)

Cabe mencionar que debido a que el sistema de ecuaciones ha sido log-linealizado(ver Tabla [5.4]), entonces las variables están expresadas como log-desviacionesde su estado estacionario; es decir,bxt D ln xt � ln xss . Asimismo, los coeficientesde la solución (por ejemplo, las Ecuaciones (5.53), (5.54) y (5.55)) expresan elasti-cidad; en otras palabras, de la Ecuación (5.53) se puede apreciar lo siguiente: si elcapital de hoy se incrementa en 1%, entonces el capital de mañana se incrementaen �kk%. Esto se observa en la siguiente expresión:

bktC1 D �kkbkt C �kabatDiferenciando:

�bktC1 D �kk�bkt C �ka�batAsumiendo quebat se mantiene constante:

�bktC1 D �kk�bkt C 0�ŒlnktC1 � lnkss� D �kk�Œlnkt � lnkss�

�ŒlnktC1� � 0 D �kk�Œlnkt � � 0

�ktC1

ktC1D �kk

�kt

kt�ktC1ktC1

�ktkt

D �kk

EktC1;kt D �kk (5.56)

La Expresión (5.56) indica claramente que �kk representa la elasticidad del capitalde mañana ante el capital de hoy manteniendo lo demás constante. Por tanto, unincremento en 1% en el capital de hoy incrementa en �kk% el capital de mañanamanteniendo lo demás constante. De esta forma se lee cada uno de los coeficientesde la solución del modelo. Cabe mencionar que cualquiera sea el método desolución del modelo la solución siempre está descrita por las Ecuaciones (5.53),(5.54), (5.55) y las demás ecuaciones de las variables endógenas que mantienen lamisma forma. El método de coefientes indeterminados consiste en encontrar losvalores de los coeficientes de la solución en función de los parámetros. Cuando seencuentran dichos coeficientes, entonces la solución queda bien definida.


Antes de aplicar el método de coeficientes indeterminados se debe reducir elsistema de ecuaciones lo máximo posible. En este modelo de ocho ecuaciones, loideal sería reducir el sistema hasta tres o cuatro ecuaciones.

A. Reducción de sistema I

El sistema de ocho ecuaciones descrito en la Tabla 5.4 se puede reducir a uno decinco, eliminando primero el salario real wt por medio del equilibrio en el mercadodel trabajo. Luego se elimina la inversión Oit reemplazando posteriormente la leyde movimiento del capital en el equilibrio de mercado de bienes. Por último, seelimina la tasa de interés real Ort por medio de la introducción de la demanda decapital en la ecuación de Euler.

Eliminando el salario real wt : de la demanda de trabajo se despeja el salario real.

Demanda de trabajo:

bht Dbyt � bwtbwt Dbyt �bht (5.57)

La Ecuación (5.57) se reemplaza en la oferta de trabajo, la cual esta descrita por lasiguiente ecuación:

nhss


Al igualar la oferta de trabajo con la demanda de trabajo en el salario real se tiene:

n

�hss

1 � hss

�„ ƒ‚ …

Dm1

bht Dbyt �bht �bctm1bht Dbyt �bht �bct

.1Cm1/bht Dbyt �bct (5.59)

Eliminando la inversión it : de la ley del movimiento del capital se despeja lainversión y se reemplaza en el equilibrio del mercado de bienes.


Ley de movimiento del capital:

bktC1 D .1 � ı/bkt C ıbi tıbi t DbktC1 � .1 � ı/bktbi t D 1

ıŒbktC1 � .1 � ı/bkt � (5.60)

Equilibrio en el mercado de bienes:

byt D css

yssbct C iss

yssbi t„ƒ‚…

Ecu. (5.60)

byt D css

yssbct C iss

yss

�1

ıŒbktC1 � .1 � ı/bkt �� (5.61)

Eliminando la tasa de interés real rt : de la demanda de capital se despeja la tasade interés y luego se reemplaza en la ecuación de Euler.

Demanda de capital:

bkt Dbyt �br tbr t Dbyt �bkt (5.62)

Ecuación de Euler:

�bct D Et Œˇrssbr tC1 �bctC1�bct D Et ŒbctC1 � ˇrss br tC1„ƒ‚…Ecu. (5.62)

�

bct D Et ŒbctC1 � ˇrssŒbytC1 �bktC1�� (5.63)

Con estas reducciones el sistema estaría compuesto por cinco ecuaciones:

.1Cm1/bht Dbyt �bct (5.64)

byt D css

yssbct C iss

yss

�1

ıŒbktC1 � .1 � ı/bkt �� (5.65)



Función de producción:

byt Dbat C ˛bkt C .1 � ˛/bht (5.67)

Shock de productividad:

bat D �bat�1 C �t (5.68)

B. Reducción de sistema II

El sistema podría reducirse aún más. De la Ecuación (5.64) se despeja el trabajobht y se introduce en la Ecuación (5.67) relativa a la función de producción.

Equilibrio en el mercado de trabajo:

.1Cm1/bht Dbyt �bctbht D � 1

1Cm1

�Œbyt �bct � (5.69)

Función de produción:

byt Dbat C ˛bkt C .1 � ˛/ bht„ƒ‚…Ecu. (5.69)

byt Dbat C ˛bkt C .1 � ˛/� 1

1Cm1

�Œbyt �bct ��

1 �1 � ˛

1Cm1

�byt Dbat C ˛bkt � � 1 � ˛1Cm1

�bct�m1 C ˛

1Cm1


�bct (5.70)

Con estas reducciones adicionales, el sistema estaría compuesto por cuatro ecua-ciones: �

m1 C ˛

1Cm1


�bct (5.71)

byt D css

yssbct C iss

yss

�1

ıŒbktC1 � .1 � ı/bkt �� (5.72)


Shock de productividad:

bat D �bat�1 C �t (5.74)


C. Reducción de sistema III

El sistema previo de cuatro ecuaciones aún puede reducirse en una ecuación más.Para ello se despeja el producto byt de la Ecuación (5.71) y se reemplaza en lasEcuaciones (5.72) y (5.73).�

m1 C ˛

1Cm1


�bctbyt D � 1Cm1

m1 C ˛

��bat C ˛bkt � � 1 � ˛1Cm1

�bct� (5.75)

La Ecuación (5.75) se reemplaza en la Ecuación (5.71):

byt D css

yssbct C iss

yss

�1

ıŒbktC1 � .1 � ı/bkt ��

1Cm1

m1 C ˛

��bat C ˛bkt � � 1 � ˛1Cm1

�bct� D css

yssbct C iss

yss

�1

ıŒbktC1 � .1 � ı/bkt ��

1Cm1

m1 C ˛

�bat C ˛� 1Cm1m1 C ˛

�bkt � � 1 � ˛

m1 C ˛

�bct D css

yssbct C iss

yssıbktC1 � iss.1 � ı/

yssıbkt�

1Cm1

m1 C ˛

�„ ƒ‚ …

m2

bat Cbkt �˛.1Cm1/m1 C ˛

Ciss.1 � ı/

yssı

�„ ƒ‚ …

m3

Dbct � cssyssC

1 � ˛

m1 C ˛

�„ ƒ‚ …

m4

Ciss

yssı„ƒ‚…m5

bktC1m2bat Cm3bkt D m4bct Cm5bktC1

m4bct D m2bat Cm3bkt �m5bktC1 (5.76)

De la misma manera, la Ecuación (5.75) se reemplaza en la Ecuación (5.72):bct D Et ŒbctC1 � ˇrssŒbytC1 �bktC1��bct D Et ŒbctC1 � ˇrssŒ� 1Cm1

m1 C ˛

��batC1 C ˛bktC1 � � 1 � ˛1Cm1

�bctC1� �bktC1��bct D Et ŒbctC1 � ˇrss� 1Cm1

m1 C ˛

��batC1 C ˛bktC1 � � 1 � ˛1Cm1

�bctC1� � ˇrssbktC1�bct D Et Œ.1C ˇrss 1 � ˛

m1 C ˛/bctC1 � ˇrss 1Cm1

m1 C ˛batC1 C .ˇrss � ˇrss 1Cm1

m1 C ˛/bktC1

bct D Et Œ.1C ˇrss 1 � ˛m1 C ˛

/„ ƒ‚ …n1

bctC1 � ˇrss 1Cm1m1 C ˛„ ƒ‚ …n2

batC1 C .ˇrss � ˇrss 1Cm1m1 C ˛

˛/„ ƒ‚ …n3

bktC1bct D Et Œn1bctC1 � n2batC1 C n3bktC1� (5.77)

Después de esta última reducción, el sistema de ecuaciones quedaría representadopor tres ecuaciones:

m4bct D m2bat Cm3bkt �m5bktC1 (5.78)


bct D Et Œn1bctC1 � n2batC1 C n3bktC1� (5.79)bat D �bat�1 C �t (5.80)

D. Aplicación del método de coeficientes indeterminados

El sistema de ecuaciones representado por las Ecuaciones (5.78), (5.79) y (5.80)tiene tres variables: ct , ktC1 y at . De estas variables, dos son endógenas: ct yktC1, a las cuales se les puede proponer una solución lineal en la variable de estadokt y la variable exógena at :

bktC1 D �kkbkt C �kabat (5.81)bct D �ckbkt C �cabat (5.82)

Reemplazando esta solución en la Ecuación (5.78) se tiene:

m4bct D m2bat Cm3bkt �m5bktC1m4.�ckbkt C �cabat / D m2bat Cm3bkt �m5.�kkbkt C �kabat /

.m4�ck/bkt C .m4�ca/bat D .m2 �m5�ka/bat C .m3 �m5�kk/bkt (5.83)

Al igualar los coeficientes de cada variable del lado derecho con su correspondientedel lado izquierdo se tiene:

Coeficientes del capital:

m4�ck D m3 �m5�kk (5.84)

Coeficientes de la productividad:

m4�ca D m2 �m5�ka (5.85)

Al reemplazar la solución a la Ecuación (5.79) resulta:

bct D Et Œn1bctC1 � n2batC1 C n3bktC1��ckbkt C �cabat D Et Œn1.�ckbktC1 C �cabatC1/ � n2batC1

C n3.�kkbkt C �kabat /�.�ck � n3�kk/bkt C .�ca � n3�ka/bat D Et Œn1�ckbktC1 C .n1�ca � n2/batC1�


Considerando que:bat D �bat�1 C �t.�ck � n3�kk/bkt C .�ca � n3�ka/bat D Et Œn1�ckbktC1 C .n1�ca � n2/.�bat C �tC1/�

D Et Œn1�ckbktC1�C .n1�ca � n2/Et Œ�bat C �tC1�D Et Œn1�ckbktC1�C .n1�ca � n2/Œ�Etbat CEt�tC1„ ƒ‚ …

D0

�

Reemplazando: la solución debktC1D Et Œn1�ck.�kkbkt C �kabat /�C .n1�ca � n2/�batD Et Œn1�ck�kkbkt C n1�ck�kabat �C .n1�ca � n2/�batD .n1�ck�kk/bkt C .n1�ck�ka C .n1�ca � n2/�/bat

.�ck � n3�kk/bkt C .�ca � n3�ka/bat D .n1�ck�kk/bkt C .n1�ck�ka C .n1�ca � n2/�/bat(5.86)

De la Ecuación (5.86) se igualan los coeficientes para cada variable. Para el capitalse tiene:

�ck � n3�kk D n1�ck�kk

�kk D�ck

n3 C n1�ck(5.87)

En el caso de la productividad, al igualar los coeficientes se tiene:

�ca � n3�ka D n1�ck�ka C .n1�ca � n2/�

.1 � �n1/�ca D �ka.n1�ck C n3/ � �n2 (5.88)

El método de coeficientes indeterminados consiste en encontrar los valores delos coeficientes en función de los parámetros del modelo. En este caso, existencuatro coeficientes “desconocidos” (�ck , �ca, �kk y �ka). Estas cuatro “nuevas”variables requieren cuatro ecuaciones, las cuales son las siguientes:

La Ecuación (5.84):

m4�ck D m3 �m5�kk


m4�ca D m2 �m5�ka



�kk D�ck

n3 C n1�ck


.1 � �n1/�ca D �ka.n1�ck C n3/ � �n2

1. Función de política del consumo y del capital

Para solucionar el sistema de Ecuaciones ((5.84), (5.85), (5.87) y (5.88)), donde lasvariables son los coeficientes de la funcion de política del consumo y de la funciónde estado, se requiere reducir las ecuaciones. En primer lugar, de la Ecuación(5.84) se despeja �ck y se reemplaza en la Ecuación (5.87) para encontrar el valorde �kk .

De la Ecuación (5.84):

m4�ck D m3 �m5�kk

�ck D1

m4.m3 �m5�kk/ (5.89)


�kk D�ck

n3 C n1�ck

n3�kk C n1�ck�kk D �ck

n3�kk D �ck„ƒ‚…Ecu. (5.89)

.1 � n1�kk/

n3�kk D1

m4.m3 �m5�kk/.1 � n1�kk/

m4n3�kk D .m3 �m5�kk/.1 � n1�kk/

m4n3�kk D m3 �m3n1�kk �m5�kk

Cm5n1�2kk

m5n1„ƒ‚…Da

�2kk C�.m3n1 Cm5 Cm4n3/„ ƒ‚ …Db

�kk C m3„ƒ‚…Dc

D 0 (5.90)

a�2kk C b�kk C c D 0 (5.91)


La Ecuación (5.91) tiene dos soluciones:

�kk1;2 D�b ˙

pb2 � 4ac

2a

Dado que se requiere que el capital sea estacionario, entonces �kk debe ser menora uno en valor absoluto; es decir, �kk 2� � 1; 1Œ.

Tabla 5.7: Valor de �kk1;2

� ˇ ı n ˛ �kk1 �kk2

2 0.984 0.025 0.25 0.333 1.0897 0.9326

El valor de �kk que se elige es �kk2 D 0:9326. Dado el valor de �kk , entonces sepuede encontrar utilizando la ecuación:

�ck D1

m4.m3 �m5�kk/ (5.92)

Para encontrar el valor del coeficiente �ka se despeja �ca de la Ecuación (5.85) yse reemplaza en la Ecuación (5.88).



�ca D1

m4.m2 �m5�ka/ (5.93)


.1 � �n1/ �ca„ƒ‚…Ecu. (5.93)

D �ka.n1�ck C n3/ � �n2

.1 � �n1/.1

m4.m2 �m5�ka// D �ka.n1�ck C n3/ � �n2

m2

m4.1 � �n1/ �

m5

m4.1 � �n1/�ka D �ka.n1�ck C n3/ � �n2

��ka�m5m4.1 � �n1/C n1�ck C n3

�D ��n2 �

m2

m4.1 � �n1/

�ka�m5m4.1 � �n1/C n1�ck C n3

�D �n2 C

m2

m4.1 � �n1/


�ka D�n2 C

m2m4.1 � �n1/

m5m4.1 � �n1/C n1�ck C n3

(5.94)

Finalmente, �ca se obtiene de la Ecuación (5.85):


�ca D1

m4.m2 �m5�ka/ (5.95)

Hasta aquí se han encontrado los valores de los coeficientes �ck , �ca, �kk y �ka,los cuales permiten definir la solución del consumo y del capital; es decir, lafunción de política del consumo y la función de estado del modelo1:

bktC1 D �kk„ƒ‚…0:9326

bkt C �ka„ƒ‚…0:1618

bat (5.96)

bct D �ck„ƒ‚…0:5205

bkt C �ca„ƒ‚…0:4945

bat (5.97)

2. Función de política de las demás variables

La función de política del producto se obtiene de reemplazar la solución delconsumo en la Ecuación (5.71).

De la Ecuación (5.71):�m1 C ˛

1Cm1


�bctSe reemplaza la solución debct :�

m1 C ˛

1Cm1


�.�ckbkt C �cabat /�

m1 C ˛

1Cm1

�byt D .1 � 1 � ˛

1Cm1�ca/bat C .˛ � 1 � ˛

1Cm1�ck/bkt

byt D � 1Cm1m1 C ˛

�.1 �

1 � ˛

1Cm1�ca/„ ƒ‚ …

�ya

bat C � 1Cm1m1 C ˛

�.˛ �

1 � ˛

1Cm1�ck/„ ƒ‚ …

�yk

bkt1Los valores de estos coeficientes la solución de las demás variables endógenas se encuentran en

Campbell_Lvariable.m


byt D �yabat C �ykbkt (5.98)

De otro lado, la función de política del trabajo se obtiene de reemplazar la solucióndel consumo y del producto en la Ecuación (5.64).


.1Cm1/bht Dbyt �bctReemplazando la solución debct ybyt

.1Cm1/bht D .�yabat C �ykbkt / � .�cabat C �ckbkt /

.1Cm1/bht D .�ya � �ca/bat C .�yk � �ck/bktbht D ��ya � �ca1Cm1

�bat C ��yk � �ck1Cm1

�bktbht D �habat C �hkbkt (5.99)

Además, el salario real se obtiene de reemplazar la solución del producto y deltrabajo en la demanda de trabajo (Ecuación (5.57)).


bwt Dbyt �bhtReemplazando la solución debyt ybht

bwt D .�yabat C �ykbkt / � .�habat C �hkbkt /bwt D .�ya � �ha/bat C .�yk � �hk/bktbwt D �wabat C �wkbkt (5.100)

La inversión se obtiene al reemplazar la solución del producto y del consumo en laecuación del equilibrio de mercado de bienes:

byt D css

yssbct C iss

yssbi t

bi t D yss

iss.byt � css

yssbct /


Reemplazando la solución debyt ybctbi t D yss

iss..�yabat C �ykbkt / � css

yss.�cabat C �ckbkt //

bi t D yss

iss..�yk �

css

yss�ck/bkt C .�ya � css

yss�ca/bat /

bi t D yss

iss.�yk �

css

yss�ck/bkt C yss

iss.�ya �

css

yss�ca/bat

bi t D �ikbkt C �iabat (5.101)

Finalmente, la tasa de interés real se obtiene de reemplazar la solución del productoy de capital en la demanda del capital.


br t Dbyt �bktReemplazando la solución debyt

br t D .�yabat C �ykbkt / �bkt /br t D .�yk � 1/bkt C �yabatbr t D �rkbkt C �rabat (5.102)

En la Tabla5.8 se menciona la solución (funciones de política y de estado) delsistema de ecuaciones log-lineal.

5.2.5.2 Solución obtenida de Dynare

El sistema de ecuaciones no-lineal descrito en la Tabla 5.2 se ha colocado en elarchivo .mod “Campbell_Lvariable_Dynare_nolineal_log5”. Este archivo,que contiene el modelo, tiene dos características que vale la pena comentar. Laprimera es que las variables están en logaritmo. El objetivo de ello es que cuandoDynare linealice el sistema aparezca la variable en log-desviaciones; es decir,bxt D lnxt�lnxss . Cabe mencionar que bajo este tipo de variable, Dynare mostrarála solución (función de política y de estado) y la función impulso-respuesta entérminos debxt . La segunda característica es que el modelo que se ha escrito en este


Tabla 5.8: Funciones de política y de estado

Solución Coeficientes

bkt D �kkbkt C �kabat �kk1;2 D�b˙

pb2�4ac2a

�ka D�n2C

m2m4.1��n1/

m5m4.1��n1/Cn1�ckCn3bct D �ckbkt C �cabat �ck D

1m4.m3 �m5�kk/ �ca D

1m4.m2 �m5�ka/byt D �ykbkt C �yabat �yk D

�1Cm1m1C˛

�.˛ � 1�˛

1Cm1�ck/ �ya D

�1Cm1m1C˛

�.1 � 1�˛

1Cm1�ca/bht D �hkbkt C �habat �hk D

��yk��ck1Cm1

��ha D

��ya��ca1Cm1

�bwt D �wkbkt C �wabat �wk D �yk � �hk �wa D �ya � �habi t D �ikbkt C �iabat �ik D

yssiss.�yk �

cssyss�ck/ �ia D

yssiss.�ya �

cssyss�ca/br t D �rkbkt C �rabat �rk D �yk � 1 �ra D �ya

archivo es no-lineal y se le ha pedido a Dynare que linealice el sistema por mediodel comando “orderD1” en “stoch_simul”. La Tabla 5.9 muestra la solución delmodelo tal cual Dynare brinda en la pantalla de Matlab.


cc ii yy kk hh rr ww aa

Constant -0.1718 -1.5471 0.0535 2.1418 -0.9890 -3.1879 0.6376 0kk(-1) 0.5205 -1.6972 0.0730 0.9326 -0.3898 -0.9270 0.4628 0aa(-1) 0.4698 6.1500 1.6159 0.1538 0.9983 1.6159 0.6176 0.95e 0.4945 6.4737 1.7009 0.1618 1.0508 1.7009 0.6501 1

Nota: los resultados se han obtenido de “Campbell_Lvariable_Dynare_nolineal_log5.mod”

Para leer correctamente la Tabla 5.9 se deben tomar en cuenta las siguientesconsideraciones. En primer lugar, cada columna representa la función de políticade la variable del encabezado. Por ejemplo, la segunda columna es la función depolítica del consumo, la tercera columna es la función de política de la inversión yasí sucesivamente. Es importante destacar que la cuarta columna es la ecuación deestado.

En segundo lugar, las variables endógenas del encabezado de la Tabla 5.9 expresancada variable en logaritmo. Por ejemplo, el consumo cc es igual al ln ct , y de igualmanera para el producto: yy D lnyt . En el caso del capital “kk”, este es igual allogaritmo del capital en “t C 1”; es decir, kk D ln ktC1. Esto se debe a que en el


archivo .mod el capital en “t” se ha escrito como kk.�1/; de otro modo, Dynareentendería que esta variable es de control cuando en realidad es de estado.

En tercer lugar, la “constante” en la segunda fila de la Tabla 5.9 representa ellogarítmo de cada una de las variables en estado estacionario. Por ejemplo, enla ecuación del consumo se tiene que �0:1718 D lncss , lo cual a su vez permiteencontrar el estado estacionario de la variable en niveles: css D e�0:1718 D

0:8421. En cuarto lugar, en la primera columna del mismo cuadro está la variablede estado y la variable exógena. La variable kk.�1/ es igual a bkt D ln kt �lnkss; además, aa.�1/ D bat�1 D ln at�1 � ln ass y e representa el shock deproductividad �t . Con todas estas consideraciones se reexpresa la Tabla 5.9, cuyosresultados se muestran en la Tabla 5.10.


ln.ct / ln.it / ln.yt / ln.ktC1/ ln.ht / ln.rt / ln.wt / ln.at /

constante -0.1718 -1.5471 0.0535 2.1418 -0.9890 -3.1879 0.6376 0bkt 0.5205 -1.6972 0.0730 0.9326 -0.3898 -0.9270 0.4628 0bat�1 0.4698 6.1500 1.6159 0.1538 0.9983 1.6159 0.6176 0.95et 0.4945 6.4737 1.7009 0.1618 1.0508 1.7009 0.6501 1

Nota: los resultados se han obtenido de “Campbell_Lvariable_nolineal_log5.mod”

En la Tabla 5.10 se describe la solución del sistema log-lineal. Las ecuaciones seleen de la siguiente manera, ejemplificando para el caso del consumo: se tiene:

ln.ct / D �0:1718C 0:5205bkt C 0:4698bat�1 C 0:4945et (5.103)

También se puede expresar así:

ln.ct / D �0:1718C 0:5205bkt C 0:4698bat�1 C 0:4945etln.ct / D �0:1718C 0:5205bkt C 0:4945.0:4698

0:4945bat�1 C et /

ln.ct / D �0:1718C 0:5205bkt C 0:4945.0:95bat�1 C et /ln.ct / D �0:1718C 0:5205bkt C 0:4945.bat /ln.ct / D �0:1718C 0:5205bkt C 0:4945batln.ct / D �0:1718C 0:5205bkt C 0:4945bat (5.104)


La constante �0:1718 representa el logaritmo del consumo en estado estacionarioln.css/. Considerando esto último en la Ecuación (5.104), se tiene:

ln.ct / D �0:1718C 0:5205bkt C 0:4945batln.ct / D ln.css/C 0:5205bkt C 0:4945bat

ln.ct / � ln.css/ D 0:5205bkt C 0:4945batbct D 0:5205bkt C 0:4945bat (5.105)

El coeficiente 0:5205 y 0:4945 representa la elasticidad del consumo ante el capitaly la productividad respectivamente. Es decir, un incremento de 1 por ciento en elcapital produce que el consumo se incremente en 0:5205 por ciento.

5.3 Análisis de la solución del modelo

5.3.1 Análisis de los coeficientes de la solución

En el análisis de los coeficientes de la solución es útil considerar que en la solucióngenerica del modelo la variable de estadobkt representa el estado de la economíaen “t”, mientras que la variablebat representa el shock transitorio (� < 1) a la cualla economía podría estar sujeta en “t”.

bxt D �xk bkt„ƒ‚…Estado de la economía

C�xa bat„ƒ‚…Shock transitorio

5.3.1.1 Efectos de ı

La tasa de depreciación ı tiene un rol importante en el comportamiento de loscoeficientes de la solución del modelo (función de política y de estado). Porejemplo, la elasticidad inversión-capital �ik pasa de ser negativa a positiva amedida que ı se incrementa. Los diferentes valores de ı 2 Œ0; 1� representandiversos casos. El caso extremo es cuando ı es igual a uno, el cual corresponde auno de los supuestos del modelo de Long y Plosser (1983). Este supuesto indicaque el capital se deprecia totalmente en el mismo periodo produciendo que el stockde capital se convierta en un flujo sostenido únicamente por la inversión. Esto

320 5.3 Análisis de la solución del modelo

último se observa de la ley de movimiento de capitalbktC1 D .1 � ı/bkt C ıbi t , lacual bajo ı D 1 se convierte enbktC1 Dbi t .A. Efectos sobre el capital

1. La persistencia del capital; es decir, su coeficiente estable (menor a 1) �kk2disminuye a medida que la tasa de depreciación se incrementa (ver la Figura 5.1).Al incrementarse la tasa de depreciación, el stock de capital del siguiente periodoserá menor. El caso extremo es ejemplificado por el modelo de Long y Plosser(1983), en el cual ı D 1; en este caso, el stock de capital está compuesto porel flujo de bienes de inversión, no se acumula capital del periodo previo y, portanto, el capital es menor. Todo ello produce que el capital se encuentre muypoco autocorrelacionado, lo cual se puede observar en el valor decreciente de �kk2a medida que ı se fortalece. Dado que la acumulación de capital tiene un roltransversal en la respuesta óptima del agente representativo en todas las variablesendógenas, entonces el impacto de la depreciación se extenderá en la regla dedecisión (funciones de política) de todas las variables.

2. La elasticidad del capital ante la productividad �ka se fortalece a medida que latasa de depreciación se incrementa (ver la Figura 5.1). Para entender esta elasticidades importante analizar la ley de movimiento de capital: bktC1 D .1 � ı/bkt C ıbi t .Esta ecuación sugiere que el capital de mañana está afectado por el stock de capitalde hoy y por la inversión: cada uno ponderado por (1 � ı) y ı. Entre estas dosvariables, la inversión es la que reacciona ante un shock de productividad en “t”:un incremento enbat eleva la inversiónbi t , cuya elasticidad es mayor a uno (verFigura 5.2). Por tanto, un incremento de la productividad eleva el capital en “t C 1”por medio de la inversión; es decir, la �ka es positiva. De otro lado, un incrementode la depreciación fortalece el impacto de la inversión sobre el capital en “t C 1”(bktC1 D .1 � ı/bkt C ıbi t ), lo cual sugiere que �ka se fortalece a medida que ı seincrementa.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

1.5

2

2.5

3

3.5nkk1

Tasa de depreciación (δ)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1nkk2

Tasa de depreciación (δ)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.2

0.4

0.6

0.8

1nka


Figura 5.1: Efectos de ı sobre los coeficientes del capitalNota: Todos los gráficos de la sección “Análisis de los coeficientes de la solución” se obtienen delm-file “Sensibilidad_parametros.m”

B. Efectos sobre el consumo y la inversión

1. La elasticidad del consumo ante el capital �ck disminuye a medida que latasa de depreciación se incrementa (ver la Figura 5.2). En el contexto de tasa dedepreciación baja, �ck es alta debido a que el agente responde reduciendo su inver-sión (�ik negativa) por lo cual deja recursos para el consumo; es decir, el agenterepresentativo encuentra óptimo reducir su inversión e incrementar su consumocuando la depreciación es baja. Sin embargo, a medida que ı se incrementa, �ck sedebilita debido a que el agente representativo está dispuesto a orientar más recursosa la inversión porque el capital se deprecia rápidamente.

2. La elasticidad de la inversión ante el capital �ik pasa de ser negativa a positivaa medida que la tasa de depreciación se incrementa (ver la Figura 5.2). Si ladepreciación es pequeña, entonces no se necesita mucha inversión para aumentarsignificativamente el capital, por lo cual el agente representativo encuentra óptimoreducir su inversión ante un incremento del stock de capital en “t”, lo que serefleja en una elasticidad negativa. Sin embargo, a medida que ı se incrementa,se requiere mayor inversión para reponer el capital depreciado e incrementar el


stock de capital, lo cual se refleja en un fortalecimiento de dicha elasticidad �ik ; esmás, esta elasticidad que para niveles bajos de depreciación es negativa pasa a serpositiva desde un ı D 0:5 apróximadamente.

3. La elasticidad del consumo ante la productividad �ca se fortalece a medidaque la tasa de depreciación se incrementa (ver la Figura 5.2). De otro lado, seobserva que la elasticidad de la inversión ante la productividad �ia se debilita amedida que la tasa de depreciación se incrementa (ver la Figura 5.2). Para nivelespequeños de la tasa de depreciación, la respuesta del agente representativo anteun shock transitoriobat es responder fuertemente en el ahorro (inversión) y dejarque el consumo reaccione débilmente. Esto se refleja en los valores altos de �iay bajos de �ca para valores de ı pequeños. A su vez, tiene sentido con la teoríadel consumidor que indica que el agente prefiere suavizar el consumo ante shockstransitorios. De otro lado, se observa que una mayor tasa de depreciación incentivaa que el agente representativo destine el efecto riqueza producido por el shockde productividad a un mayor consumo y reduzca su inversión. Esto se refleja enel fortalecimiento de �ca y debilitamiento de �ia. Cabe mencionar que �ia tienemás volatilidad que �ca. Para valores de ı 2 Œ0:025 � 1�, �ia toma valores desdeŒ6:47 � 1�; en cambio �ca tiene valores más acotados Œ0:49 � 1� para el mismorango de valores de ı.

C. Efectos sobre el producto y la tasa de interés

1. La elasticidad del producto ante el capital �yk se fortalece a medida que latasa de depreciación se incrementa (ver la Figura 5.3). Un incremento del capital,si mantenemos fijo el trabajo, incrementa la producción por medio de la funciónde producción (byt D bat C ˛bkt C .1 � ˛/bht ) independientemente del valor deı; lo cual se refleja en el signo positivo de �yk . Además, una mayor tasa dedepreciación reduce el stock de capital y, por ende, incrementa la productividadmarginal del capital (por su naturaleza decreciente en el capital), lo cual que reflejaen el incremento de la elasticidad producto-capital �yk a medida que ı crece (yque se reduce el capital).

2. La elasticidad del producto ante la productividad �ya se debilita a medida quela tasa de depreciación se incrementa (ver la Figura 5.3). El shock de productividadincrementa la producción por medio de la función de producción, lo cual se reflejaen el signo positivo de �ya. Sin embargo, esta elasticidad se reduce a medida que


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.35

0.4

0.45

0.5nck


0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

nca


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1

−0.5

0

0.5nik


1

1.5

2

2.5

3

3.5nia


Figura 5.2: Efectos de ı sobre los coeficientes del consumo e inversión

aumenta ı debido a que el incremento de la depreciación reduce el stock de capital,lo cual mitiga parcialmente el efecto de la productividad. Entonces, el shock deproductividad tendrá menor efecto sobre el producto a medida que el stock decapital se reduzca o, de manera equivalente, a medida que ı se incremente.

3. La elasticidad de la tasa de interés ante el capital �rk es negativa para cual-quier valor de la tasa de depreciación y se reduce a medida que ı se incrementa(ver la Figura 5.3). El signo de esta elasticidad refleja la demanda del capital(pendiente negativa con respecto al capital) y los valores de esta elasticidad reflejanel equilibrio del mercado del capital. La forma correcta de leer los valores de�rk es la siguiente: para valores bajos de ı, un incremento de la oferta de capital(vertical) produce una reducción de la tasa de interés (siempre que se mantengala demanda de capital invariante). En este escenario, no importa la magnitud dela expansión de la oferta (pequeña o significativa); en cualquier caso la tasa deinterés siempre se reducirá. Esto último indica que la elasticidad tasa de interés -capital �rk tiene signo negativo. De otro lado, si la tasa de depreciación es pequeña,entonces la expansión de la oferta de capital será significativa, por lo que induciráuna reducción de la tasa de interés importante, y ello se reflejará en una elasticidadtasa de interés-capital grande. Sin embargo, si la tasa de depreciación es muy alta,


entonces la expansión de la oferta de capital será reducida y, por tanto, la tasa deinterés caerá poco. Este análisis se refleja en el comportamiento decreciente de�rk ante incrementos de ı.

4. La elasticidad de la tasa de interés ante la productividad �ra se debilita amedida que la tasa de depreciación se incrementa (ver la Figura 5.3). En estecaso, el shock de productividad afecta la demanda de capital (mas no la oferta decapital). Un incremento de la productividad incentiva la demanda de capital y,por tanto, se incrementa la tasa de interés real; es decir, la elasticidad de la tasade interés a la productividad �ra es positiva tal como se observa en la Figura 5.3independientemente del valor de ı. Sin embargo, la magnitud de esta elasticidaddepende del valor de ı. Cuando la tasa de depreciación se incrementa reduce elstock de capital en “t”, lo cual reduce la producción en ese mismo periodo y, porende hace que la demanda de capital se contraiga (br t D byt �bkt ), lo que mitigaparcialmente el efecto de la productividad. Por ello, el valor de �ra, aunque semantiene positivo, se reduce a medida que se incrementa ı.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35nyk


1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5nya


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.9

−0.85

−0.8

−0.75

−0.7

−0.65nrk


1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5nra


Figura 5.3: Efectos de ı sobre los coeficientes del producto y tasa de interés


D. Efectos sobre el trabajo y el salario

1. La elasticidad del trabajo ante el capital �hk es negativa y converge a cero amedida que la tasa de depreciación se incrementa (ver la Figura 5.4). El signo deesta elasticidad de obtiene del siguiente análisis: un incremento del capital produceun efecto ingreso (que se refleja en la restricción presupuestaria de la familia).Dicho efecto ingreso permite a la familia incrementar su consumo de ocio y, así,reducir su oferta de trabajo. Como resultado de ello se observa que un incrementodel capital conlleva una reducción del trabajo vía efecto riqueza. Esta relacióninversa se observa en el signo de �hk . De otro lado, si la tasa de depreciación seincrementa, entonces el stock de capital será menor y, por tanto, el efecto riquezaserá menor. Dado un efecto riqueza debilitado, entonces el ocio se expande peroen menor proporción, y la oferta de trabajo se reduce en menor magnitud. El casoextremo ocurre cuando el efecto riqueza es cero porque la depreciación es total(ı D 1), lo cual lleva a que el ocio y el trabajo no reaccionen. Esto se observa en elcomportamiento de �hk .

2. La elasticidad del salario real ante el capital �wk se reduce a medida que la tasade depreciación se incrementa (ver la Figura 5.4). Esta observación amerita doscomentarios: en primer lugar, un incremento del capital incrementa la produccióny, por ende, expande la demanda de trabajo (bht D byt � bwt ). Bajo una oferta detrabajo invariante, el incremento de la demanda de trabajo eleva el salario real.Entonces se puede deducir que un incremento del capital induce un incremento delsalario real; es decir, la elasticidad salario real-capital �wk es positiva, tal como seobserva en la Figura 5.4. En segundo lugar, la tasa de depreciación influye sobreel stock de capital y, por consecuencia, sobre la elasticidad salario real-capital�wk . El incremento de capital con un ı mayor inducirá a que dicho incremento seamenor y, entonces, la demanda se expandirá, pero en menor medida. El resultadode ello es que el salario real se incrementa pero no tan fuertemente como antes,lo cual sugiere que la elasticidad salario real-capital �wk sigue positiva, pero maspequeña.

3. La elasticidad del salario real ante la productividad �wa se fortalece a medidaque la tasa de depreciación se incrementa (ver la Figura 5.4). Además, la elasticidaddel trabajo ante la productividad �ha es positiva y converge a cero a medida que latasa de depreciación se incrementa (ver la Figura 5.4). Un shock de productividadafecta directamente la demanda de trabajo e indirectamente la oferta de trabajo.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0nhk


0

0.2

0.4

0.6

0.8nha


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.35

0.4

0.45

0.5nwk


0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1nwa


Figura 5.4: Efectos de ı sobre los coeficientes del trabajo y salario

Para un nivel de depreciación dado, se observa que el shock de productividadincrementa la demanda de trabajo y por medio del incremento del consumo secontrae la oferta de trabajo. El resultado es que el trabajo y el salario real deequilibrio se incrementan. En este escenario, un incremento de la depreciacióninducirá un mayor consumo debido a que la inversión se reduce por el aumentode la depreciación. Este incremento adicional del consumo reduce la oferta detrabajo, incrementa un poco más el salario real y reduce el trabajo. En este nuevoequilibrio el salario real es más alto y el trabajo es mayor que el inicial peroen menor medida. En otras palabras, la elasticidad salario-productividad se haincrementado, mas la elasticidad trabajo-productividad se ha reducido ante unamayor tasa de depreciación.

5.3.1.2 Efectos de n

La elasticidad de Frisch de la oferta de trabajo (1= n), también conocida como laelasticidad de sustitución intertemporal del trabajo, tiene un rol importante en latransmisión del shock de productividad. Como se puede observar en la Figura 5.5,mientras más elástica sea la oferta, entonces el shock de productividad que expande


la demanda de trabajo afecta en mayor medida el trabajo y en menor magnitudal salario real (ver Figura 5.5, gráfico de la derecha). Esto es importante porquepermite obtener mayor volatilidad del trabajo en comparación con el salario, locual es avalado por los datos.

En esta sección se analiza la importancia que tiene n en el comportamiento delos coeficientes de las funciones de política y de estado. Cabe mencionar que paraleer correctamente los gráficos se considera que a medida que el eje horizontal seacerca a cero, la elasticidad de Frisch aumenta.

ht

wt

Oferta de trabajomás elástica

Oferta de trabajomenos elástica

h0

w0

h1

w1

h2

w2

nhss1�hss

ht Dwt � ct

A

B

C

Mercado de trabajoIncremento en el stock de capital

ht

wt

Oferta de trabajomás elástica

Oferta de trabajomenos elástica

h0

w0

h1

w1

h2

w2 nhss1�hss

ht Dwt � ct

A

B

C

�at

Mercado de trabajoIncremento en la productividad

Figura 5.5: Elasticidad de la oferta de trabajo

A. Efectos sobre el trabajo y el salario

1. La elasticidad del trabajo ante el capital �hk es negativa y aumenta a medidaque la oferta de trabajo es más elástica (ver Figura 5.6). Además, la elasticidaddel salario real ante el capital �hk es positiva y aumenta a medida que la oferta detrabajo es más elástica (ver Figura 5.6). Como se mencionó en párrafos previos,un incremento del capital produce un efecto riqueza, por medio del incremento delos ingresos de la familia, lo que permite aumentar el consumo de ocio y, comoconsecuencia, reducir la oferta de trabajo. Esta reducción, bajo la consideración deque la demanda de trabajo no se mueve, produce un alza en el salario real y unareducción en el empleo. Ambos efectos se reflejan en el signo negativo de �hk yen el signo positivo de �wk . En el caso de que la oferta de trabajo sea más elástica,entonces el mismo incremento del capital produce que el nuevo equilibrio reflejeun mayor incremento del salario real y una reducción mayor del empleo; es decir,


�wk y �wk se hacen más fuertes cuando se incrementa la elasticidad. Esto se debea que el consumidor está más dispuesto a sustituir trabajo hoy por mañana. Estadisposición hace que se desprenda del ocio de mañana por más ocio de hoy y, portanto, una reducción mayor en las horas trabajadas hoy (ver Figura 5.5, gráfico dela izquierda).

2. La elasticidad del trabajo ante la productividad �ha es positiva y aumentaa medida que la oferta de trabajo es más elástica (ver Figura 5.6). Además, laelasticidad del salario real ante la productividad �ha es positiva y disminuye amedida que la oferta de trabajo es más elástica (ver Figura 5.6). Un incrementotemporal en la productividad afecta directamente la demanda de trabajo hacia elalza. Esta expansión se refleja en un aumento del salario real y el empleo, locual justifica el signo positivo de �ha y �wa. Sin embargo, la elasticidad de laoferta de trabajo controla la magnitud de �ha y �wa. En el escenario de que laoferta de trabajo sea muy elástica, un incremento de la productividad produciráque, en el nuevo equilibrio, el trabajo reaccione más fuertemente que el salario.Esto se debe a que la familias está mucho más dispuesta a sacrificar ocio hoy si suprecio se incrementa (" bwt ); por tanto, bajo una alta elasticidad la familia reducefuertemente su ocio e incrementa fuertemente su número de horas trabajadas (verFigura 5.5, gráfico de la derecha).

B. Efectos sobre el consumo e inversión

1. La elasticidad del consumo ante el capital �ck es positiva y se debilita a medidaque la oferta de trabajo es más elástica (ver Figura 5.7). Un incremento del stockde capital de la economía, produce que las familias incrementen sus ingresospor medio del alquiler del capital (br tbkt /; por otro lado, la oferta de bienes seincrementa por medio de la función de producción. Este incremento de los ingresoslleva a la familia a aumentar el consumo, lo cual se observa en el signo positivode �ck . Además, la magnitud de �ck es afectada por la elasticidad de la ofertade trabajo. El incremento del capital induce a que la familia reduzca su nivel dehoras trabajadas, lo que afecta negativamente los ingresos. Este efecto mitigaparciamente el efecto inicial del incremento del capital. Mientras más fuerte seala elasticidad de la oferta de trabajo, más fuerte será la reducción de ingresos porel lado laboral y, por tanto, mitigará en mayor medida el incremento inicial delcapital. El resultado será que la elasticidad consumo-capital será menor a medidaque n sea más fuerte, tal como se observa en la Figura 5.7.


0 1 2 3 4 5−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15nhk

Inversa de la elasticidad de Frisch (γn)0 1 2 3 4 5

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9nha

Inversa de la elasticidad de Frisch (γn)

0 1 2 3 4 50.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48nwk


0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95nwa


Figura 5.6: Efectos de n sobre los coeficientes del trabajo y salario

2. La elasticidad de la inversión ante el capital �ik es negativa y se fortalece amedida que la oferta de trabajo es más elástica (ver Figura 5.7). En la ley demovimiento del capital existen dos variables de control: bktC1 ybi t . Usualmente,en la optimización una de estas dos variables es eliminada ya que dependenuna de otra. La ley de movimiento del capital por lo general se escribe comobktC1 D .1 � ı/bkt C ıbi t ; sin embargo, se puede reescribir esta ecuación de lasiguiente manera: ıbi t DbktC1 � .1 � ı/bkt . Bajo esta última forma se observa queun incremento del stock de capitalbkt incentiva a la familia a reducir su inversión. Amayor elasticidad de la oferta de trabajo, un incremento del stock de capital de hoyaumenta en menor medida el de mañana, lo cual se observa en el comportamientode �kk . Este efecto incentiva que la inversión se debilite; por tanto, a medida que n disminuye, se fortalece �ik .

3. Las elasticidades del consumo �ca y de la inversión �ia ante la productividadson positivas y se fortalecen a medida que la oferta de trabajo es más elástica(ver Figura 5.7). Un shock de productividad genera un efecto riqueza, el cual esorientado al consumo y ahorro. Como se mencionó en el análisis de ı, la familiarepresentativa encuentra óptimo suavizar su consumo ante shocks transitorios ytrasladar gran parte de su efecto al ahorro (inversión). Este comportamiento de


la familia hace que el consumo y la inversión se incremente, pero este último enmayor proporción. Esto se refleja en el signo positivo de �ca y �ia, y en que �iaes mayor que �ca para todos los valores de n (como también para los valoresde ı). Cabe mencionar que la magnitud de ambas elasticidades es moderada porla elasticidad de la oferta de trabajo (1= n). Cuando dicha elasticidad es mayor,entonces la familia reduce más su ocio de hoy (más trabajo) por mayor ocio mañanaante un shock de productividad. Este incremento de las horas trabajadas inducea la familia a tener más recursos, los cuales son direccionados al consumo y a lainversión. En el caso de que la elasticidad de la oferta de trabajo sea pequeña,las horas trabajadas también se incrementarán pero en menor magnitud, lo cualpermite la expansión del consumo e inversión en menor magnitud que en el casode una elasticidad de oferta de trabajo mayor.

0 1 2 3 4 50.53

0.54

0.55

0.56

0.57

0.58nck


0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5nca


0 1 2 3 4 5−1.6

−1.5

−1.4

−1.3

−1.2

−1.1nik


4.5

5

5.5

6

6.5nia


Figura 5.7: Efectos de n sobre los coeficientes del consumo e inversión

C. Efectos sobre el producto y la tasa de interés

1. La elasticidad del producto con respecto al capital �yk es positiva y se reducea medida que la oferta de trabajo es más elástica (ver la Figura 5.8). Un incrementodel capital, por medio de la función de producción, eleva la producción en “t”,lo cual se refleja en el signo positivo de �yk . De otro lado, el incremento delcapital eleva los ingresos de las familias, las cuales al sentirse más “ricas”, deciden


incrementar su consumo de ocio y reducir su oferta de trabajo. Esta contracciónde la oferta de trabajo induce un efecto negativo sobre la función de producciónmitigando parcialmente el efecto positivo del incremento del capital. La magnitudde este efecto negativo depende de la elasticidad de la oferta de trabajo. Si la ofertade trabajo fuera más elástica, entonces el trabajo de equilibrio sería mucho menory, por ende, el efecto negativo sobre la producción sería más grande y mitigaría conmás fuerza el efecto positivo inicial del capital. Todo esto se refleja en que �yksería más pequeña a medida que la elasticidad de la oferta de trabajo fuera mayor.

2. La elasticidad de la tasa de interés con respecto al capital �rk es negativa y seincrementa a medida que la oferta de trabajo es más elástica (ver la Figura 5.8). Unincremento del stock de capital en “t” significa que la oferta del capital se expande.En este escenario, y bajo una demanda de capital invariante, la tasa de interés deequilibrio se contrae. Este comportamiento se refleja en el signo negativo de �rk .Un segundo efecto de este incremento en el stock de capital es sobre la demanda decapital, la cual se expande por medio del aumento del producto: el capital aumenta,entonces incrementa el producto y, por tanto, eleva la demanda de capital. Esteúltimo movimiento mitiga parcialmente la reducción inicial de la tasa de interés.Uno de los parámetros que controla la expansión de la demanda de capital es laelasticidad de la oferta de trabajo (1= n). Del párrafo previo se sabe que �yk esmenor a medida que 1= n se incrementa. Entonces, si la elasticidad de la oferta detrabajo es grande, el movimiento de la demanda de capital será pequeño porque�yk es reducido y, como consecuencia, el efecto mitigador sobre la reducción de latasa de interés será pequeño. Todo esto indica que a medida que la elasticidad dela oferta de trabajo sea fuerte entonces �rk lo será también, tal como se observa enla Figura 5.8.

3. La elasticidad de producto con respecto a la productividad �ya es positiva yse incrementa a medida que la oferta de trabajo es más elástica (ver la Figura5.8). Un incremento en la productividad expande de manera paralela la función deproducción log-lineal, lo cual sugiere el signo positivo de �ya. Existe un efectoadicional cuando se considera la elasticidad de la oferta de trabajo n. Cuandola oferta de trabajo es más elástica, entonces el número de horas trabajadas deequilibrio son mayores que en el caso de que dicha oferta tenga menor elasticidad.Este incremento mayor en el trabajo influye positivamente sobre el producto yfortalece así �ya.


4. La elasticidad de la tasa de interés con respecto a la productividad �ra espositiva y se incrementa a medida que la oferta de trabajo es más elástica (ver laFigura 5.8). El signo positivo se debe a que un incremento de la productividadincentiva la demanda de bienes de capital, lo cual bajo una oferta de capitalperfectamente inelástica empuja al alza la tasa de interés real. De otro lado, lamagnitud de �ra está influenciado por n. Bajo el escenario de una oferta de trabajomuy elástica, la demanda de capital sufrirá una expansión adicional por el efectodel incremento del trabajo en la función de producción. Dado que n controladicho incremento del trabajo, entonces a mayor n, más horas trabajadas y, portanto, el efecto positivo sobre la demanda de capital será mayor. Este movimientoadicional de la demanda de capital fortalece más el incremento de la tasa de interés.En consecuencia, a mayor n, mayor �ra, tal como se observa en la Figura 5.8.

0 1 2 3 4 50.1

0.15

0.2

0.25nyk


1.3

1.4

1.5

1.6nya


0 1 2 3 4 5−0.9

−0.85

−0.8

−0.75

−0.7nrk


1.3

1.4

1.5

1.6nra


Figura 5.8: Efectos de n sobre los coeficientes del producto y tasa deinterés


D. Efectos sobre el capital:

1. La elasticidad del capital en “tC1” con respecto al capital en “t” �kk es positivay se reduce a medida que la elasticidad de la oferta de trabajo es mayor (ver laFigura 5.9). Por la ecuación del movimiento del capital (bktC1 D .1 � ı/bkt C ıbi t )se infiere que un incremento del capital de hoy puede influenciar al capital demañana por dos vías: la primera, de manera directa .1 � ı/bkt ,y la segunda, demanera indirecta por medio de la inversión ıbi t . El efecto de este segundo elementosobre el capital de mañana está condicionado al valor de la elasticidad de la ofertade trabajo. Como se sabe por la Figura 5.7, �ik es negativo y se fortalece a medidaque 1= n se incrementa. En este escenario, se aprecia que ante un incrementodel stock de capital, el efecto de la inversión sobrebktC1 mitiga parcialmente elefecto positivo debkt . Tomando como base todo lo anterior, a medida que 1= n sefortalece, �kk se debilita.

2. La elasticidad del capital en “t C 1” con respecto a la productividad en “t”,�ka es positiva y se fortalece a medida que la elasticidad de la oferta de trabajoes mayor (ver la Figura 5.9). Un shock de productividad impacta positivamentesobre la inversión, tal como se observa en la Figura 5.7, lo cual a su vez influyesobrebktC1 por medio de la ecuación del movimiento del capital. La Figura 5.7sugiere que �ia se fortalece a medida que la elasticidad de la oferta de trabajo seincrementa. Debido a que la inversión afecta directamente al capital de mañana,entonces el mismo comportamiento de �ia se traslada a �ka.

5.3.1.3 Efectos de �

La persistencia del shock de productividad � es importante en la supervivenciatemporal de los efectos del shock inicial. Dada la naturaleza de la productividad, lacual se comporta como un AR(1):bat D �bat�1 C �t , una alta persistencia permitequebat se mantenga por encima de su estado estacionario por más tiempo, si elshock es positivo, lo cual afecta a la economía por más tiempo. Existen dos casosextremos: por un lado, persistencia igual a cero, que indica que el shock solo viveun periodo; por el otro lado, persistencia igual a uno, que indica que el shock espermanente; es decir, el efecto del shock se mantiene en todos los periodos. Enesta sección se analizan los efectos de la persistencia sobre las elasticidades de lasolución considerando que el shock es temporal; es decir, que � 2 Œ0; 1Œ.


0 1 2 3 4 51.07

1.075

1.08

1.085

1.09

1.095nkk1


0.935

0.94

0.945

0.95

0.955nkk2


0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16nka


Figura 5.9: Efectos de n sobre los coeficientes del capital

Una de las primeras conclusiones que se desprende de las Figuras 5.10 al 5.13 esque la persistencia no afecta las elasticidades asociadas al stock del capitalbkt . Porejemplo, �kk , �ck y �ik se mantienen invariantes ante distintos valores de �. Estose debe a que la persistencia solo afecta el comportamiento de la productividady, por tanto, es de esperar que dicho parámetro influya en los coeficientes de lasolución asociados a la productividadbat . Por ejemplo, �ka, �ca y �ia muestransensibilidad ante distintos valores de la persistencia.

A. Efectos sobre el capital

1. La elasticidad del capital en “t C 1” con respecto a la productividad �ka espositiva y decreciente a medida que la persistencia de la productividad se incremen-ta (ver Figura 5.10). Un shock de productividad, entonces, influye positivamentesobrebktC1 por medio de la inversión. Dado que un shock de productividad produceun efecto riqueza, la familia representativa decide incrementar el consumo y lainversión, lo cual incrementa el capital de mañana. Es por ello que el signo de �kaes positivo. De otro lado, la familia siente que el shock es más “permanente” amedida que la persistencia se acerca a uno, y por consecuencia decide incrementarmás su consumo que su inversión, lo cual se observa en la Figura 5.11. Este


incremento cada vez menor de la inversión a medida que la persistencia se fortaleceproduce que el capital de mañana se incremente, pero bajo el mismo patrón; esdecir, cada vez menos cuando la persistencia se incrementa. Este comportamientose observa en �ka.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5nkk1

Persistencia del choque (φ)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2nkk2

Persistencia del choque (φ)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35nka


Figura 5.10: Efectos de � sobre los coeficientes del capital

B. Efectos sobre el consumo e inversión

1. La elasticidad del consumo con respecto a la productividad �ca es positivay creciente a medida que la persistencia de la productividad se incrementa (verFigura 5.11). Por el contrario, la elasticidad de la inversión con respecto a laproductividad �ia es decreciente, aunque positiva como �ca (Figura 5.11). Elshock de productividad produce un efecto riqueza en la familia. Este efecto se debea que la demanda de capital y la demanda de trabajo se incrementan y, dado que lafamilia recibe ingresos por ambos factores, entonces su nivel de ingresos se eleva.Este mayor ingreso es destinado al consumo e inversión, los cuales aumentan. Espor ello que las elasticidades �ca y �ia tienen el mismo signo positivo. Además, lamagnitud aquellas está influenciada por el valor de �. A medida que � se acerca auno, la familia percibe que el shock de productividad es más “permanente”; es decir,que sus efectos se mantienen en el tiempo. En este escenario, la familia encuentraóptimo orientar más recursos al consumo que a la inversión porque su patrón de


ingreso ha cambiado casi permanentemente. Por tanto, la elasticidad del consumoes alta cuando la persistencia del shock es alta, mientras que la elasticidad de lainversión es baja en este mismo escenario. En el caso de que la persistencia tiendaa cero; es decir, que el shock viva solo un periodo y sus efectos sean “temporales”,entonces la familia encontrará óptimo orientar los recursos al ahorro (inversión)con el fin de suavizar su consumo. Por tanto, en este escenario se observa que laelasticidad del consumo es baja, mientras la elasticidad de la inversión es alta.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.5

0

0.5

1

1.5

2nck


0

0.2

0.4

0.6

0.8nca


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5nik


4

6

8

10

12nia


Figura 5.11: Efectos de � sobre los coeficientes del consumo e inversión

C. Efectos sobre el producto y tasa de interés

1. La elasticidad del producto con respecto a la productividad �ya es positiva ydecreciente a medida que la persistencia de la productividad se incrementa (verFigura 5.12). El shock de productividad afecta a la producción directamente porbat e indirectamente por el trabajobht . Esto se observa en la forma funcional dela producción: byt Dbat C ˛bkt C .1 � ˛/bht . Para entender cómo � influye sobre�ya es necesario analizar cómo el trabajo responde ante este parámetro. Se sabe,según la Figura 5.13 que una mayor persistencia del shock de productividad inducea la familia a incrementar su ocio y reducir el trabajo porque ella siente que laproductividad tiene efectos permanentes. Entonces, a medida que se incrementa�, la familia incrementa su trabajo ante un shock de productividad, mas en menor


medida. Por lo tanto, a medida que se incrementa la persistencia, el productoaumenta, pero cada vez en menor medida pues el trabajo aumenta también enmenor medida.

2. La elasticidad de la tasa de interés con respecto a la productividad �ya es posi-tiva y decreciente a medida que la persistencia de la productividad se incrementa(ver Figura 5.12). El shock de productividad eleva la demanda de capital y, bajo unaoferta inelástica de capital, incrementa la tasa de interés de equilibrio. Debido a quela demanda de capitalbr t Dbyt �bkt depende del producto, entonces el patrón delmovimiento del producto ante un shock de productividad es trasladada totalmenteal comportamiento de la demanda. Por ejemplo, el párrafo anterior indica que �yaes decreciente a medida que la persistencia de la productividad se incrementa. Estecomportamiento es trasladado a la demanda de capital que, en conjunto con laoferta de capital, permiten que la elasticidad tasa de interés-productividad tambiénsea decreciente en �.

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Figura 5.12: Efectos de � sobre los coeficientes del producto y tasa deinterés


D. Efectos sobre el trabajo y el salario

1. La elasticidad del trabajo con respecto a la productividad es positiva y sereduce a medida que la persistencia de la productividad se incrementa (Figura5.13). Además, la elasticidad del salario con respecto a la productividad es positivay se fortalece a medida que la persistencia de la productividad se incrementa (verFigura 5.13). Un shock de productividad tiene dos efectos en el mercado laboral:el primero va directamente sobre la demanda, la cual se expande; el segundo, vaindirectamente sobre la oferta por medio del incremento del consumo. Por un lado,la demanda se expande y, por otro, la oferta se contrae.

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Figura 5.13: Efectos de � sobre los coeficientes del trabajo y salario

5.3.2 Funciones impulso-respuesta

La función impulso-respuesta es la reacción de las variables endógenas ante unshock. Esta reacción tiene una magnitud y un tiempo de vida. Cabe mencionarque cada elemento de la función impulso-respuesta representa un equilibrio y, portanto, una respuesta óptima del agente representativo. En esta sección, se consideraque el shock es el de productividad.


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0.012Productividad

Figura 5.14: Campbell (1994) con trabajo variable: shock de productividadNota: Este gráfico se obtiene del m�file “Analisis\_sensibilidad\_irf.m”

5.3.2.1 ¿Cómo reacciona la economía ante un shock de productividad?

• El shock de productividad se produce en t D 0 y en este periodo �0 toma elvalor de su desviación estándar � D 0:763. Esto lleva a que la productividad seincremente ("bat ).• El incremento de la productividad tiene dos efectos: el primero es el incrementode la función de producción "byt D "bat C ˛bkt C .1 � ˛/bht ; el segundo, elincremento de la demanda en el mercado de factores (del capital y del trabajo).• En el caso del mercado de trabajo, el incremento de la demanda eleva el salarioreal y el número de horas de trabajo de equilibrio. Debe notarse que a medidaque la oferta es más elástica (# n), el impacto del movimiento de la demanda esmayor.• En el mercado de bienes de capital se observa que el incremento de la demandase traslada completamente a la oferta. Esto se debe a que la oferta es perfectamenteinelástica (invariante con la tasa de interés). Además, este incremento en lademanda eleva la tasa de interés.• El mayor salario (" wt ) y el incremento de la tasa de interés (" rt ) aumenta elingreso de la familia, lo cual lleva a elevar el consumo y la inversión.


5.3.3 Comparación del modelo teórico con los datos

5.3.3.1 ¿Se necesita que el shock sea significativo para que el modelo repliquelos datos?

La respuesta a esta pregunta a priori es sí. El modelo RBC, por lo general,necesita que la magnitud del shock de productividad sea significativo (alrededor de0.7%). Sin embargo, esta dependencia se reduce cuando se considera la utilizaciónvariable del capital. R. G. King y Rebelo (1999) señalan que, un modelo RBC conutilización de capital requiere un shock de productividad de 0:1% aproximadamentepara acercarse a los datos. En los párrafos siguientes se describe cómo la magnituddel shock tiene implicancias sobre la capacidad del modelo para acercarse a losdatos. En principio, con un shock de 0:4% el modelo se encuentra muy lejos de losdatos, mientras que con un shock de 0:7% el modelo se comporta mejor, aunquecon ciertas deficiencias. Además, se observa que la correlación del producto conlas variables del modelo y la autocorrelación de primer orden no dependen de lamagnitud del shock.

En la Tabla 5.11 se muestran tres estadísticos (desviación estándar, correlación yautocorrelación de primer orden) del componente cíclico de los datos y del modelopara cada variable. Los estadísticos del modelo se han calculado suponiendo cuatrovalores del shock de productividad (�). La idea detrás de esto es evaluar si elmodelo necesita un shock “significativo” para replicar los datos. Con esto enmente, se describen las conclusiones que emergen de este cuadro.

A. Desviación estándar

En primer lugar, se observa que a medida que el shock es más fuerte (de � D 0:004a 0:015), la desviación estándar de las variables se incrementa. Por ejemplo, ladesviación estándar del consumo para � D 0:004 es igual a 0:31%, mientras quepara � D 0:015 es igual a 1:16%. En segundo lugar, bajo una magnitud pequeñadel shock de productividad, el modelo se queda muy lejos de lo observado en losdatos. Para � D 0:004 la desviación estándar del consumo es 0:31% mientras quelos datos indican que dicho estadístico es igual a 1:27%. De igual forma para lainversión, el modelo se queda lejos de lo encontrado en los datos (3:37% en elmodelo vs. 5:30% en los datos). Este mismo comportamiento se observa en todaslas variables.


En tercer lugar, el valor de � D 0:007 ha sido utilizado por Prescott (1986), unvalor similar (� D 0:00712) por G. D. Hansen (1985) y por R. G. King y Rebelo(1999) (� D 0:0072). Bajo esta magnitud del shock, el modelo mejora en acercarsea los datos (en comparación con � D 0:004). Por ejemplo, la desviación estándarde la inversión que brinda el modelo es 5:9%, lo cual es más cercano a los datos(5:30%). De la misma manera se observa para el producto y el salario real. Sinembargo, los resultados del modelo para el consumo, el trabajo y la tasa de interésaún están lejos de lo observado. Por ejemplo, la desviación estándar del consumopasa de 0:31% a 0:54% cuando el shock se incrementa de 0:004 a 0:007, pero aúnestá por debajo del valor empírico 1:35%. Lo mismo se observa para el trabajo, elmodelo indica que la desviación estándar es 0:96%, mientras los datos sugierenque dicho estadístico es igual a 1:79%. En cuanto a la tasa de interés, el modelosobreestima fuertemente el estadístico (1:58% vs 0:30%). En cuarto lugar, el valorde � D 0:01 es considerado por Campbell (1994). Bajo este valor, el modelosobreestima el estadístico en cuatro variables: la inversión, el producto, la tasa deinterés y el salario real. Por ejemplo, la desviación de la inversión llega a ser 8:42%superando largamente lo observado (5:30%). Sin embargo, se observa que en elconsumo y el trabajo el modelo se acerca más a los datos, pero aún por debajo.Por ejemplo, la desviación estándar del consumo se incrementa de 0:54% a 0:77%cuando el shock pasa de 0:007 a 0:010, mas aún está por debajo de lo observado(1:35%).

En quinto lugar, se observa que para un shock de productividad mayor (� D 0:015)los resultados del modelo sobreestiman largamente lo encontrado en los datos,excepto para el consumo. Por ejemplo, para el caso de la inversión, los datosindican que su desviación estándar es 5:30%, mientras que el modelo indica quees 12:64%. De la misma forma para el producto pues el modelo sugiere quela desviación estándar es casi el doble de lo encontrado en los datos (3:33% vs.1:72%). Solo en el consumo, el modelo se acerca mejor a los datos (1:16% enel modelo vs. 1:35% en los datos). Finalmente, es importante mencionar que elimpacto del shock de productividad está sujeto a la parametrización del modelo.


B. Correlación con el PBI

En primer lugar, la correlación del producto con las demás variables no dependede la magnitud del shock de productividad; por tanto, las diferencias que sepodrían encontrar entre lo observado y lo inferido por el modelo no correspondea la magnitud del shock, sino a la parametrización del modelo y los supuestossubyacentes. En segundo lugar, de la Tabla 5.11 se observa que la correlación quebrinda el modelo es mayor en todas las variables con respecto a lo sugerido porlos datos. Por ejemplo, la correlación del producto con el consumo en los datos esde 0:88, mientras que el modelo indica que este es igual a 0:8851. De igual formapara la inversión (0:80 en los datos vs. 0:9856 en el modelo). Esta sobreestimacióndel modelo se observa en la correlación del producto con todas las variables.

En tercer lugar, los datos indican que la tasa de interés es contracíclica(corr.yt ; rt / < 0); sin embargo, el modelo infiere que la tasa de interés esaltamente procíclica (corr.yt ; rt / D 0:9477). En cuarto lugar, los datos sugierenque el salario real tiene una correlación muy pequeña con el producto, aunque elmodelo sugiere que dicho estadístico es muy cercano a uno. Estas dos debilidadesdel modelo en replicar los datos, por lo general, son transversales a los modelosRBC y representan dos principales críticas a esta escuela.

C. Autocorrelación de primer orden

En primer lugar, la autocorrelación de primer orden, al igual que la correlacióndel producto con las variables del modelo, no depende de la magnitud del shockde productividad. En segundo lugar, el modelo subestima la autocorrelación delproducto (0:7013 vs. 0:87). Esto constituye otra de las críticas relevantes al modeloRBC y ha sido enfatizada por varios autores entre los cuales se encuentra Cogley yNason (1995). En tercer lugar, el modelo sobreestima la autocorrelación del salarioreal y subestima la autocorrelación del trabajo.

5.3.3.2 ¿Se necesita que la oferta de trabajo sea muy elástica para que elmodelo replique los datos?

La respuesta a esta pregunta es sí. El modelo RBC necesita un mecanismo detransmisión fuerte que traslade los efectos del shock a las variables endógenas.En este contexto, la elasticidad de la oferta de trabajo se coloca como uno de los


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.


principales mecanismos de transmisión. Como se observa en las Tablas 5.12 y5.13, a mayor elasticidad de la oferta de trabajo, los efectos del shock inicial sonamplificados, lo cual influye sobre los estadísticos del modelo. Dichos estadísticosse acercan más a lo observado en los datos a medida que la oferta de trabajo es máselástica. La dependencia del modelo RBC con respecto a la elasticidad de la ofertade trabajo fue duramente criticada debido a que los estudios microeconómicosindicaban que dicha elasticidad es pequeña, lo cual contrastaba con lo supuestopor la escuela RBC. Esta crítica fue contrarrestada por G. D. Hansen (1985), quiendesarrolló un modelo RBC libre de la dependencia de una fuerte elasticidad dela oferta de trabajo. Este último modelo se estudiará en detalle en el siguientecapítulo. En la Tabla 5.12 se muestra cómo cambia la desviación estándar de cadauna de las variables ante cuatro valores de la elasticidad de Frisch, asumiendoun shock de 0:01; además, el estadístico obtenido del modelo se compara conlo observado en los datos. A continuación se describe el comportamiento de ladesviación estándar.

A. Desviación estándar

En primer lugar, se observa que a medida que la demanda de trabajo es más elástica,la desviación estándar de todas las variables se incrementan, con la excepción delsalario real, el cual disminuye. En segundo lugar, la desviación estándar del trabajoy del salario real producido por el modelo se acerca más a los datos a medida quela elasticidad de la oferta de trabajo se incrementa. Por ejemplo, la desviaciónestándar del trabajo pasa de 0:57% a 1:44% cuando la elasticidad se incrementade 0:2 a 5. Sin embargo, en el caso de la inversión, el modelo sobreestima sudesviación estándar para todos los valores de dicha elasticidad. De igual formaocurre para la tasa de interés, donde el valor de elasticidad más bajo del cuadro( n D 0:2) produce una desviación estándar de 1:72%, la cual se encuentra muypor encima del valor observado (0:30%).

En la Tabla 5.13 se describen dos estadísticos adicionales: la correlación delproducto con las variables del modelo y la autocorrelación de primer orden. Am-bos estadísticos son importantes en el comportamiento de los ciclos económicos.Asimismo, los cálculos derivados del modelo son comparados con la evidenciaempírica. El objetivo de ello es evaluar si la mayor elasticidad de la oferta detrabajo fortalece la capacidad del modelo para replicar los datos. A continuación,se describen los datos de la Tabla 5.13.


Tabla 5.12: Comparación del comportamiento cíclico del modelo teóricocon los datos empíricos

Variable (xt ) Desviación Estándar (%)

Datos ModeloElasticidad Frisch (1= n)= 0.2 1 2 5

Consumo 1.35 0.63 0.7 0.74 0:78Inversión 5.30 6.21 7.25 7.84 8:59Producto 1.81 1.69 1.94 2.08 2:26Capital 0.54 0.63 0.68 0:74Trabajo 1.79 0.57 0.95 1.17 1:44Tasa de interés 0.30 1.72 1.98 2.12 2:3Salario real 0.68 1.14 1.04 0.99 0:92

Nota: Los valores empíricos han sido tomado de R. G. King yRebelo (1999) y todas las variables están en logarítmo natural,excepto la tasa de interés, mientras los valores teóricos se hanobtenido de una sola simulación. Estos valores se obtienen delarchivo “Campbell_Lvariable_nolineal_log8.mod”.

B. Correlación con el PBI

En primer lugar, la correlación del producto con cada una de las variables del mo-delo es superior a lo observado en los datos. En segundo lugar, dicha correlación seacerca más a la evidencia empírica a medida que la oferta de trabajo es más elástica(" 1= n). Por ejemplo, los datos sugieren que la correlación del producto con elconsumo es igual a 0:88, mientras que el modelo infiere que dicha correlación pasade 0:9097 (con 1= n D 0:2) a 0:8834 (con 1= n D 5).

Como tercer punto, la correlación del producto con la inversión, obtenida delmodelo, no es afectada por la elasticidad de la oferta de trabajo. Como se puedeobservar en la Tabla 5.13, la correlación del producto con la inversión es 0:9856para cualquier valor de 1= n, la cual se encuentra por encima del valor observadoen los datos (0:8). En cuarto lugar, la elasticidad de la oferta de trabajo tiene pocainfluencia sobre la correlación entre el producto y el trabajo. Esto se observa enel hecho de que a medida que la elasticidad se incrementa, dicha correlación solocambia en el cuarto decimal (de 0:9730 a 0:9736).


En quinto lugar, el modelo sobreestima largamente la correlación del producto conla tasa de interés y con el salario real. Con respecto a la tasa de interés, se observaque el modelo infiere que dicha correlación siempre es positiva y cercana a 1; esdecir, altamente procíclica. Sin embargo, los datos sugieren que la tasa de interéses contracíclica. Con respecto a la correlación del producto con el salario real, elmodelo captura el comportamiento cualitativo, pero no el cuantitativo. Los datossugieren que dicha correlación es baja (0:12); sin embargo, el modelo (para loscuatro valores de 1= n) brinda correlaciones superiores a 0:9. Cabe mencionar quela elasticidad de la oferta de trabajo ayuda a disminuir dicha correlación, mas nolo suficiente. Por ejemplo, para una alta elasticidad (1= n D 5), la correlacion es0:9351, lo cual es claramente superior a lo observado (0.12).

C. Autocorrelación de primer orden

En primer lugar, una menor elasticidad de la oferta de trabajo ayuda al modeloa obtener una autocorrelación del consumo más cercana a lo observado. Porejemplo, para una elasticidad de Frisch de 0:2, la autocorrelación del consumoderivada del modelo es 0:8093, cifra muy cercana a lo observado (0:8). En segundolugar, la autocorrelación de la inversión inferida por el modelo es menor que loobservado (0:84). Además, el cambio de elasticidad de la oferta de trabajo tieneun impacto marginal en este estadístico. Por ejemplo, dicho estadístico pasa de0:7063 a 0:7009, cuando la elasticidad se incrementa de 0:2 a 5. Es más, una mayorelasticidad de la oferta de trabajo produce que dicha autocorrelación disminuya yse aleje más de los datos.

En tercer lugar, la autocorrelación del salario real es la que más reacciona antecambios de la elasticidad de la oferta de trabajo. Por ejemplo, cuando la elasticidadse reduce de 5 a 0:2, dicha autocorrelación pasa de 0:7874 a 0:7388. Sin embargo,este último valor aún permanece por encima de lo observado (0:66).


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.

348 5.4 Códigos

5.4 Códigos

En la Tabla 5.14 se mencionan los códigos de Matlab y de Dynare utilizados eneste capítulo.



Matlab

Campbell_Lvariable.m Este m-file contiene: [1] Calibración, [2]Cálculo del estado estacionario, y [3] Cálcu-lo de los coeficientes de la solución (métodocoeficientes indeterminados).

trabajo_ss.m El objetivo es calcular hss que está expresadoen una ecuación no lineal.

Analisis_sensibilidad_irf.m Este m-file grafica: [1A] ESI del consumo,[1B] persistencia del shock, [1C] Elasticidadde Frisch, [2A] (tamaño) shock de productivi-dad, [3A] Tasa de depreciación, [4A] Modelode Campbell (1994) vs Long y Plosser (1983),y [4B] solo el modelo de Campbell (1994) contrabajo variable.

Sensibilidad_parametros.m De este m-file se obtiene la simulación de loscoeficientes de la solución ante ı (tasa de de-preciación), ˛ (participación del capital en larenta nacional), n (inversa de elasticidad deFrisch), y � (persistencia del shock).

Dynare

Campbell_Lvariable_nolineal_log1.mod El modelo de Campbell(1994) con trabajo va-riable. Además, se realiza análisis de sensibi-lidad para: [A] ESI del consumo (1= ), [B]Persistencia (�) del shock de productividad, y[C] Elasticidad de Frisch (1= n).

Campbell_Lvariable_nolineal_log2.mod El modelo de Campbell(1994) con trabajo va-riable y con diferentes valores del shock deproductividad (� ).


Campbell_Lvariable_nolineal_log3.mod El modelo de Campbell(1994) con trabajo va-riable y con diferentes valores de la tasa dedepreciación (ı).

Campbell_Lvariable_nolineal_log4.mod El modelo de Long y Plosser(1983) con lacalibración de Campbell(1994).

Campbell_Lvariable_nolineal_log5.mod Es el mismo modelo de Campbell(1994) contrabajo variable del “mod1”, el cual es utili-zado para constuir la tabla de la función depolítica y estado de este capítulo.

Campbell_Lvariable_nolineal_log7.mod El modelo de Campbell(1994) con trabajo va-riable. Se analiza los momentos del compo-nente cíclico de las variables (filtro HP) antesdistintos valores del shock (� ).

Campbell_Lvariable_nolineal_log8.mod El modelo de Campbell(1994) con trabajo va-riable. Se analiza los momentos del compo-nente cíclico de las variables (filtro HP) antesdistintos valores de la elasticidad de Frisch(1= n).

5.5 Anexos

0 20 400

0.005

0.01

0.015

0.02Consumo

0 20 40−0.02

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0.04

0.06

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0 20 400

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025Producto

0 20 400

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025Capital

0 20 40−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02Trabajo

0 20 40−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025Tasa de interés

0 20 402

4

6

8

10

12x 10

−3 Salario

0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012Productividad

γ = 0.2

γ = 1

γ = 5

Figura 5.15: Elasticidad de sustitución del consumo (1= )

0 20 400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Consumo

0 20 40−0.5

0

0.5

1

1.5

2Inversión

0 20 400

0.2

0.4

0.6

0.8Producto

0 20 400

0.1

0.2

0.3

0.4Capital

0 20 40−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Trabajo

0 20 40−0.2

0

0.2

0.4

0.6Tasa de interés

0 20 400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Salario

0 20 400

0.1

0.2

0.3

0.4Productividad

σε = 1%

σε = 2%

σε = 3%

Figura 5.16: Tamaño (��) del shock de productividad


0 20 400

2

4

6

8x 10

−3 Consumo

0 20 40−0.05

0

0.05

0.1

0.15Inversión

0 20 400

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025Producto

0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012Capital

0 20 40−5

0

5

10

15

20x 10

−3 Trabajo

0 20 40−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02


0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01Salario

0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012Productividad

φ= 0

φ= 0.3

φ= 0.6

φ= 0.95

Figura 5.17: Persistencia (�) del shock de productividad

0 20 404

5

6

7

8x 10

−3 Consumo

0 20 40−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08Inversión

0 20 400

0.005

0.01

0.015

0.02Producto

0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012Capital

0 20 40−5

0

5

10

15x 10

−3 Trabajo

0 20 40−5

0

5

10

15

20x 10


0 20 402

4

6

8

10x 10

−3 Salario

0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012Productividad

γn= 5

γn= 1

γn= 0.2

Figura 5.18: Elasticidad de la oferta de trabajo (1= n)

352 5.5 Anexos

0 20 402

4

6

8

10

12

14x 10

−3 Consumo

0 20 40−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08Inversión

0 20 400

0.005

0.01

0.015

0.02Producto

0 20 400

0.005

0.01

0.015Capital

0 20 40−5

0

5

10

15x 10

−3 Trabajo

0 20 40−5

0

5

10

15

20x 10


0 20 402

4

6

8

10

12

14x 10

−3 Salario

0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012Productividad

δ = 0.025

δ = 0.1

δ = 0.5

δ = 1

Figura 5.19: Tasa de depreciación (ı)

0 20 402

4

6

8

10

12

14x 10

−3 Consumo

0 20 40−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08Inversión

0 20 400

0.005

0.01

0.015

0.02Producto

0 20 400

0.005

0.01

0.015Capital

0 20 40−5

0

5

10

15x 10

−3 Trabajo

0 20 40−5

0

5

10

15

20x 10


0 20 402

4

6

8

10

12

14x 10

−3 Salario

0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012Productividad

Campbell (1994)Long y Plosser (1983)

Figura 5.20: Comparación entre el Modelo de Long y Plosser (1983) y elde Campbell (1994) con trabajo variable

CAPÍTULO 6

MODELO RBC CON shock A LA INVERSIÓN Y

UTILIZACIÓN VARIABLE DEL CAPITAL

6.1 Introducción

El objetivo de este capítulo es analizar los efectos sobre las variables endógenasde un shock diferente al de la productividad. En la literatura existente, el shock

a la productividad ha sido muy cuestionado. Una de sus principales críticas esque su magnitud y persistencia considerada en el modelo RBC, está por encimade lo observado en los datos. Además de ello, los modelos RBC asumen que unarecesión ocurre cuando la productividad es negativa; es decir, cuando hay unareversión tecnológica, lo cual no es plausible con la evidencia empírica.

A diferencia de los capítulos previos, este capítulo se basa en la perspectiva deKeynes sobre la fuente de los ciclos económicos. En particular, Keynes sosteníaque la inversión era uno de los determinantes de los ciclos económicos. En esesentido, en este capítulo analizaremos el efecto del shock a la inversión en elcontexto de los postulados de la escuela RBC. Para tal fin, nos basaremos en elmodelo de Greenwood et al. (1988), quienes que un aumento en la eficiencia dela inversión (�t ) incrementa la formación de nuevo capital (ktC1) e incentiva unmayor uso del capital que ya se dispone (kt ), lo que acelera su depreciación (ıt ).

En este capítulo se analiza el efecto del shock a la inversión en un modelo RBCestándar, como el de Campbell (1994), y en un modelo que considera la utilizaciónvariable del capital, como el de Greenwood et al. (1988). Cuando se incorporaun shock a la eficiencia marginal de la inversión en un modelo RBC estándar, elmecanismo de transmisión es la sustitución intertemporal del ocio, la cual produceque el consumo se mueva de manera contracíclica y ello contradice la evidenciaempírica.

353

354 6.2 Modelo RBC estándar: inclusión del shock a la inversión

Tabla 6.1: Shock a la inversión vs shock a la productividad

Modelo RBC estándar(Kydland y Prescott, 1982; Longy Plosser, 1983; Campbell,1994)

Un shock de productividad incrementa la produc-ción y, por ende, el consumo y la inversión. Deello se desprende que “la inversión reacciona a laproducción”. Esto sugiere que los shocks primerotienen que afectar al producto.

Modelo de Greenwood et al.(1988)

Un shock a la eficiencia marginal de la inversiónincrementa el capital de mañana (ktC1). Este últi-mo eleva la producción en t C 1 (ytC1). Entonces,en este modelo,“la producción reacciona a la inver-sión”. Esto sugiere que los shocks primero debenafectar a la inversión.

Sin embargo, al incorporar este shock en un modelo RBC estándar que considere la“tasa de utilización variable del capital”, el modelo es consistente con la evidenciaempírica al producir un incremento del consumo. En este caso el mecanismo detransmisión es la “tasa de utilización variable del capital”.

6.2 Modelo RBC estándar: inclusión del shock a la inversión

El modelo RBC estándar, como el modelo de Long y Plosser (1983) o el deCampbell (1994), usualmente considera que la variable principal que produce losciclos económicos es el shock a la productividad. En este modelo, el principalmecanismo de transmisión es la elasticidad de sustitución intertemporal del ocio,además del mecanismo de acumulación del capital. Si en este modelo se evalúaun shock a la inversión (shock de demanda) en lugar de un shock de productividad(shock de oferta), entonces el modelo tiene problemas para replicar lo observado enlos datos. En particular, el modelo sugiere que el consumo cae ante un incrementode la inversión, lo que produce una correlación negativa entre ambos. Además,el modelo sugiere que la correlación entre el producto y el consumo es negativa.Ambos resultados son claramente opuestos a lo observado en los datos. En estasección, se analiza el modelo de Campbell (1994) desarrollado en el capítulo cinco,pero considerando que la economía se halla sujeta a un shock a la inversión.

6 Modelo RBC con shock a la inversión y utilización variable del capital 355

El shock a la inversión se observa en la ley de movimiento del capital:

ktC1 D .1 � ı/kt C .1C �t /it (6.1)

La idea detrás de este shock es que la inversión se hace así más eficiente; es decir,si con una unidad de inversión, antes, se producía una unidad de capital en “t C 1”,ahora con el shock, esa misma unidad de inversión produce (1 C �t ) unidadesde capital en “t C 1”. Por ejemplo, bajo el supuesto de que el shock es igual auno (�t D 1): una unidad de inversión produce 2 unidades de nuevo capital, encontraste a cuando el shock está ausente, en el sentido de que la misma unidad deinversión produce solo 1 unidad de nuevo capital. Uno de los primeros efectos deeste shock es que incrementa el stock de capital de “t C 1”; es decir, la oferta decapital se expande en “t C 1”.

Dado que en la restricción presupuestaria de la familia se reemplaza la inversión itpor su expresión derivada de la ley de movimiento del capital, entonces el shock ala inversión influenciará dicha restricción presupuestaria. Además, esta restricciónjuega un rol en la optimización de tal manera que la ecuación de Euler tambiénestará afectada por el shock a la inversión:

1

ct .1C �t /D ˇEt

�1

ctC1ŒrtC1 C

.1 � ı/

.1C �tC1/�

�(6.2)

La ecuación (6.2) muestra la ecuación de Euler modificada por la presencia delshock a la inversión. Es interesante observar que el shock a la inversión �t fortalecela elasticidad de sustitución intertemporal del consumo debido a que multiplica latasa de interés. Este fortalecimiento incentiva a la familia a reducir su consumoactual (# ct ) e incrementar su consumo futuro (" ctC1).

Además, debido a que se elimina el shock a la productividad para estudiar solamenteel efecto del shock a la inversión, entonces la función de producción quedaría así:

Modelo estándar W yt D atk˛t h1�˛t

Modelo modificado W yt D k˛t h1�˛t (6.3)

Asimismo, se elimina la ecuación de la productividad ln at D � ln at�1 C �t y sereemplaza por la ecuación del shock a la inversión:

ln �t D � ln �t�1 C vt (6.4)


6.2.1 Sistema de ecuaciones principales

En la Tabla 6.2 se mencionan las ecuaciones no lineales del modelo de Campbell(1994) considerando un shock a la inversión. Como se mencionó previamente, laley de movimiento del capital, la ecuación de Euler, la función de producción yla ecuación de productividad han sido modificados para considerar el shock a lainversión. El resto de ecuaciones se obtiene de manera convencional, tal como seha detallado en el capítulo cinco.

Tabla 6.2: Sistema de ecuaciones no lineales principales (modelo deCampbell (1994) con shock a la inversión)


rt D ˛ytkt

Demanda del capital1

ct .1C�t /D ˇEt

�1

ctC1ŒrtC1 C

.1�ı/.1C�tC1/

�


�.1 � ht /� n D

wtct

Oferta de trabajoht D .1 � ˛/

ytwt

Demanda de trabajoyt D k

˛t h


yt D ct C it Equilibrio de mercado de bienesktC1 D .1 � ı/kt C .1C �t /it Ley de movimiento del capitalln�t D �ln�t�1 C vt Shock a la inversión

6.2.2 Solución del modelo

El modelo representado por el sistema de ecuaciones descrito en la Tabla 6.2 seescribe en Dynare para encontrar la función de política y de estado (solución).Además, se le pide a Dynare que calcule los momentos teóricos (desviación están-dar, correlación y autocorrelación) del componente cíclico de las variables. Paraello se escribe la sentencia “stoch_simul(order = 1, hp_filter=1600)”.Esta sentencia le indica a Dynare que linealice el modelo, cuyas variables sehan escrito en logaritmo y, por tanto, cuando Dynare linealice el modelo, elcambio de variable que hará este preprocesador será bxt D ln xt � ln xss; esdecir, log-linealizará el modelo. Asimismo, la opción “hp_filter=1600” leindica a Dynare que aplique el filtro HP para encontrar el componente cícli-co de cada variable. Este modelo está escrito en el siguiente archivo .mod

“Campbell_Lvariable_nolineal_log5_inv.mod”. Asimismo, la calibración


es la misma del modelo descrito en el capítulo cinco.

La Tabla 6.3 muestra la solución del modelo RBC estándar con shock a la inversión.La función de política para el consumo es la siguiente:

ln.ct / D 0:1742„ƒ‚…ln css

C0:5205bkt � 0:2401b�t�1 � 0:2528vt (6.5)

ln.ct / D ln css C 0:5205bkt � 0:2528.�0:2401�0:2528

b�t�1 C vt /ln.ct / D ln css C 0:5205bkt � 0:2528.0:95b�t�1 C vt /ln.ct / D ln css C 0:5205bkt � 0:2528b�t

ln.ct / � ln css D 0:5205bkt � 0:2528b�tbct D 0:5205bkt � 0:2528b�t (6.6)

La Ecuación (6.6) sugiere que el consumo responde en dirección opuesta al shock eindica que, si el shock a la inversión se incrementa en 1% por encima de su estadoestacionario, el consumo se reduce en 0:2528%. Al analizar cómo reacciona lainversión ante este mismo shock, la función de política de esta variable indica quela inversión se incrementa (ver Ecuación (6.7)). Es más, un incremento de 1% delshock a la inversión incentiva que la inversión se incremente en 2:7368%. Esteincremento en la inversión es muy fuerte en comparación con la reducción delconsumo.

ln.it / D �1:2011„ ƒ‚ …ln iss

�1:6972bkt C 2:6b�t�1 C 2:7368vtln.it / � ln iss D �1:6972bkt C 2:7368.2:7368

2:6b�t�1 C vt /bi t D �1:6972bkt C 2:7368.0:95b�t�1 C vt /bi t D �1:6972bkt C 2:7368b�t (6.7)

De la función de política del consumo y de la inversión se infiere que ambasvariables se mueven en dirección opuesta ante un shock a la inversión. Estoproduce que la correlación entre ambos sea negativa, lo cual es contrario a laevidencia empírica. Esta es una de las principales falencias del modelo RBCestándar cuando se introduce un shock a la inversión.



ln.ct / ln.it / ln.yt / ln.ktC1/ ln.ht / ln.rt / ln.wt / ln.�t /

Constante 0.1742 -1.2011 0.3996 3.1810 -0.9890 -3.8810 0.9836 0bkt 0.5205 -1.6972 0.0730 0.9326 -0.3898 -0.9270 0.4628 0b�t�1 -0.2401 2.6000 0.3329 0.0769 0.4991 0.3329 -0.1662 0.95vt -0.2528 2.7368 0.3505 0.0809 0.5254 0.3505 -0.1750 1

Nota: los resultados se han obtenido de “Campbell_Lvariable_Dynare_nolineal_log5_inv.mod”

Otra falencia del modelo, relacionada con la anterior, es que el consumo se muevede manera contracíclica. Al observar la función de política del producto, se esperaque este aumente ante un shock a la inversión. Por tanto, bajo este shock se tieneque en “t” la inversión y el producto se incrementan, mientras que el consumo sereduce.

Este comportamiento lleva a que la correlación entre el producto y el consumo seanegativa, lo cual no es avalado por la evidencia empírica.

Para evaluar los efectos dinámicos del shock de inversión se procede a calcular lasfunciones impulso-respuesta. En la siguiente sección se detalla el comportamientode las variables endógenas ante este shock.

6.2.3 Funciones impulso-respuesta

La Figura 6.1, que contiene gráficos de líneas continuas, muestra la respuestadinámica de cada una de las variables del modelo ante un shock a la inversión. Acontinuación se describen los efectos de este shock.

En primer lugar, el shock a la inversión fortalece la sustitución intertemporal delconsumo (SIC), y lleva a la familia representativa a reducir su consumo actualy aumentar su consumo futuro. Este efecto se puede observar claramente en laecuación de Euler (Ecuación (6.8)):

1

ct .1C �t /D ˇEt

�1

ctC1ŒrtC1 C

.1 � ı/

.1C �tC1/�

�


1

ctD ˇEt

�1

ctC1.1C �t /„ ƒ‚ …

Fortalece SIC

ŒrtC1 C.1 � ı/

.1C �tC1/„ ƒ‚ …Móvil de la SIC

�

�(6.8)

En segundo lugar, dada la reducción del consumo actual, en el equilibrio delmercado de bienes se observa que la inversión se reduce debido a que, en principio,la producción no se mueve: yt D# ct C "it .

El tercer efecto consiste en que, el shock a la inversión y el incremento del nivel deinversión incentivan a la creación de nuevo capital ktC1. Esto se observa en la leyde movimiento del capital:

ktC1 D .1 � ı/kt C .1C �t /it

"ktC1 D„ƒ‚…

.1 � ı/kt C .1C "�t /"it (6.9)

En cuarto lugar, la reducción del consumo produce un efecto riqueza negativo sobrela oferta de trabajo e incentiva a la familia representativa a incrementar su númerode horas trabajadas. Por tanto, la oferta de trabajo se expande (desplazamientohacia abajo). Este primer efecto en el mercado laboral, en el que la demanda detrabajo no se mueve aún, lleva a que el salario de equilibrio disminuya y el trabajoaumente.

En quinto lugar, el incremento de horas trabajadas incentiva una mayor producción(" yt D k˛t h

1�˛t ) por parte de las empresas. Esto lleva a que la productividad

marginal de cada uno de los factores se incremente (" PMght y " PMgkt ) y,por tanto, las empresas incrementen así la demanda de cada uno de los factores deproducción.

Por último, el incremento o desplazamiento a la derecha de PMgkt eleva la tasade interés actual dado que la oferta de capital es fija. De otro lado, el incrementode la demanda de trabajo agrega un efecto adicional positivo sobre el trabajo (" ht )e incrementa el salario real (" wt ), lo que contraarresta parcialmente la reduccióninicial del salario. En el neto, el trabajo se incrementa y el salario real se reduce.

En consecuencia, un shock a la inversión en “t” incentiva que el consumo y elsalario real se contraigan y la producción, el capital en “t C 1”, el empleo y la tasade interés se incrementen en el mismo periodo. Dado que el shock pierde fuerza


en los siguientes periodos, pero aún se mantiene por encima del estado estaciona-rio, entonces el consumo progresivamente se recuperará debido a que la tasa deinterés empezará a reducirse. Este comportamiento de las variables es similar a loobservado en las funciones de política y de estado analizado previamente.

0 20 400

1

2

3

4x 10

−3 Producto

0 20 40−3

−2

−1

0

1

2x 10

−3 Consumo

0 20 40−0.01

0

0.01

0.02

0.03Inversión

0 20 400

1

2

3

4

5

6x 10

−3 Capital

0 20 40−4

−2

0

2

4x 10


0 20 40−2

0

2

4

6x 10

−3 Trabajo

0 20 40−2

−1

0

1

2x 10

−3 Salario real

0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012Choque a la inversión

EF = 4 (γn = 0.25) EF = 0.1 (γn = 10)

Figura 6.1: Modelo de Campbell (1994) con shock a la inversiónNota: “EF” significa Elasticidad de Frisch (1= n) o también conocida como elasti-cidad de sustitución intertemporal del trabajo. Esta figura se obtiene del archivo“Campbell_Lvariable_nolineal_log5_inv.mod”.

En este punto cabe preguntarse si el modelo RBC estándar podría mejorar (ob-tener un incremento del consumo en lugar de una reducción) si la elasticidad desustitución intertemporal del trabajo es mayor; es decir, si la oferta de trabajoes más elástica. Con esta idea en mente, en la Figura 6.1 se muestra la funciónimpulso-respuesta del modelo RBC estándar con dos elasticidades de oferta detrabajo diferentes. Se observa que aunque el modelo tenga una Elasticidad deFrisch alta (EF = 4), el modelo aún mantiene una caída del consumo ante un shocka la inversión.

Además, se observa que la reducción del consumo es muy similar en ambos casos,lo que indica que aunque el mecanismo de transmisión usual del modelo RBC(elasticidad intertemporal del trabajo) se fortalezca, el modelo sigue mostrando


la misma debilidad (reducción del consumo). Es más, es importante mencionarque estos resultados se obtienen de comparar una economía con una elasticidadexcesivamente alta (EF = 4) en contraste con una elasticidad muy pequeña (EF =0.1). Para valores intermedios, probablemente no exista efecto sobre el consumodejado en niveles negativos (por debajo de su estado estacionario).

Un segundo cuestionamiento es si la elasticidad de sustitución intertemporal delconsumo (ESIC) podría ayudar a mejorar el modelo. En ese sentido, la Figura6.2 ilustra los efectos de un modelo con baja y alta ESIC. Antes de analizar dichafigura es necesario hacer algunas acotaciones sobre la función de utilidad paraque la ESIC quede explícita en el modelo. Dado que el modelo de Campbell(1994) asume que dicha elasticidad es igual a uno y, por tanto, la función deutilidad es logarítmica en el consumo, entonces resulta necesario modificar lafunción de utilidad (en su versión más general) para que considere este parámetroexplícitamente. La Ecuación (6.10) muestra la función de utilidad de Campbell(1994), mientras que la Ecuación (6.11) muestra una función de utilidad genérica:

Función de utilidad de Campbell (1994):

u.ct ; ht / D ln.ct /C �.1 � ht /

1� n

1 � n(6.10)

Función de utilidad genérica:

u.ct ; ht / Dc1� t

1 � C �

.1 � ht /1� n

1 � n(6.11)

Donde el parámetro representa la inversa de la elasticidad intertemporal delconsumo. Bajo la función de utilidad descrita en la Ecuación (6.11) se obtiene lasiguiente ecuación de Euler:

1

c t .1C �t /

D ˇEt

�1

c tC1

ŒrtC1 C.1 � ı/

.1C �tC1/�

�(6.12)

En la Ecuación (6.12) se observa cómo el parámetro controla la elasticidadde sustitución intertemporal del consumo. Esto se aprecia mejor en la versiónlog-lineal de esta ecuación:

bct D Et �bctC1 � 1 .Abr tC1 � 1

2.Bb�tC1 �b�t //�;

A D2rss

2rss C .1 � ı/; B D

1 � ı

2rss C .1 � ı/

(6.13)


En la Ecuación (6.13) se observa claramente que un incremento en la ESIC (1= )incentiva a la familia a reducir su consumo actual por el consumo futuro. Es más,se observa también que dicha elasticidad fortalece o amplifica el efecto del shocka la inversión, lo cual produce que el consumo se reduzca más. La pregunta quesurge en este escenario, como se mencionó antes, es si el modelo RBC estándarmejora su capacidad cuando se considera una ESIC menor, de tal manera que nose amplifiquen mucho sus efectos. A priori se observa que independiente del valorque tome ESIC, el shock a la inversión tiene un efecto negativo sobre el consumo.Lo único que puede hacer una menor magnitud de ESIC es reducir el efecto delshock, pero no origina que el consumo se incremente. Por tanto, dado que laESIC controla el efecto sustitución, el cual siempre será negativo para el consumo,entonces lo que se requiere para que el consumo se incremente ante el shock a lainversión es un efecto ingreso significativo que anule completamente este efectosustitución, y es esto lo que justamente está ausente en el modelo RBC estándar.

0 20 400

1

2

3

4x 10

−3 Producto

0 20 40−3

−2

−1

0

1

2x 10

−3 Consumo

0 20 40−0.01

0

0.01

0.02

0.03Inversión

0 20 400

1

2

3

4

5

6x 10

−3 Capital

0 20 40−4

−2

0

2

4x 10


0 20 40−2

0

2

4

6x 10

−3 Trabajo

0 20 40−2

−1

0

1

2x 10

−3 Salario real

0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012Choque a la inversión

ESIC = 1 (γ = 1) ESIC = 0.2 (γ = 5)

Figura 6.2: Modelo de Campbell (1994) con shock a la inversiónNota: “ESIC” significa Elasticidad de Sustitución Intertemporal del Consumo (1= ). Esta figura seobtiene del archivo “Campbell_Lvariable_nolineal_log5_inv.mod”.

En línea con lo anterior, la Figura 6.2 sugiere que la presencia de un menor ESICen la economía artificial reduce la amplificación del shock a la inversión. Esto seobserva en que las funciones impulso-respuesta de todas las variables tienen menor


magnitud y vuelven más rápidamente al estado estacionario cuando la ESIC esbaja. Por ejemplo, el producto reacciona tres veces menos en un modelo con bajaESIC (D 0:1), en comparación con una economía de alta ESIC (D 1). Asimismo,se observa que con una ESIC baja (D 0:1), el consumo no se reduce tanto; sinembargo, en el equilibrio aún se mantiene por debajo de su estado estacionario.

En conclusión, el modelo RBC estándar brinda resultados contradictorios a losdatos cuando se introduce un shock a la inversión. Inclusive estos resultados semantienen cuando el mecanismo de transmisión vía elasticidad de sustituciónde la oferta de trabajo se incrementa o cuando la elasticidad de sustitución delconsumo se reduce. Lo que falta para mejorar el modelo es quizá un mecanismode transmisión distinto y/o un efecto ingreso significativo, aunque Barro y King(1984) sugieren que este último no es suficiente.

6.2.4 Comparación del modelo con los datos

Con el fin de confirmar lo encontrado en la solución del modelo y en la funciónimpulso-respuesta, en esta sección se muestran los estadísticos que el modeloinfiere. Estos estadísticos son comparados con los datos para evaluar cuán lejosse encuentra el modelo de la realidad. La Tabla 6.11 contiene tres estadísticos:desviación estándar, correlación del PBI con las demás variables macroeconómicasy la correlación del consumo con las otras variables del modelo. De este cuadrose pueden mencionar las siguientes conclusiones: en primer lugar, se observa quela correlación del PBI con el consumo es positiva en los datos; sin embargo, elmodelo sugiere que esta correlación es negativa.

En segundo lugar, el modelo predice que la correlación del PBI con el salario reales negativa; sin embargo, los datos indican que es positiva. Esto sugiere que elmodelo carece de alguna variable que permita que el salario real se mueva procícli-camente, aunque el shock de productividad en el modelo RBC estándar no capturael comportamiento cuantitativo del salario real, pero sí captura su comportamientocualitativo. En otras palabras, el modelo bajo un shock de productividad infiereque el salario real es procíclico, pero con un valor de 0:9423, el cual es muchomayor al observado (0:12).


Como tercera conclusión, el modelo indica que la correlación del consumo con lainversión, el producto y el trabajo es negativa. Es decir, el consumo se mueve endirección opuesta a estas variables, lo cual contrasta con la evidencia empírica queindica que estas variables se mueven en la misma dirección.

En cuarto lugar, el modelo produce una desviación estándar muy por debajo de loencontrado en los datos, excepto para la tasa de interés. Esto sugiere que el modelonecesita otro mecanismo de transmisión que amplifique con mayor fuerza el shocka la inversión. Esta falencia del modelo se observa inclusive con una persistenciaalta del shock (� D 0:95) y un valor significativo de este shock (�v D 0:1). Bajoestos mismos parámetros, el shock de productividad en el modelo de Campbell(1994), descrito en el capítulo cinco, produce un mejor desempeño del modelo. Porejemplo, para el consumo se obtiene una desviación estándar de 0:77% en contrastecon 0:37% del modelo con shock a la inversión. De igual forma se observa para elproducto, ya que el modelo con shock de productividad obtiene un valor de 2:22%para dicho estadístico en comparación con el pobre desempeño del modelo conshock a la inversión (0:46%).

Todo esto confirma lo analizado en las secciones previas: que el modelo RBCestándar tiene problemas para acercarse a los datos cuando se considera un shock ala inversión. Esto se encuentra en línea con Barro y King (1984), quienes indicaronque en el modelo neoclásico un movimiento en la demanda de inversión produceun incremento en la tasa de interés y en el producto, pero reduce el consumo. Estecomportamiento no se ajusta con los patrones típicos observados en los datos. Eneste escenario, surge la siguiente interrogante: ¿qué elementos se deben considerardentro del modelo RBC estándar para que replique los datos ante un shock a lainversión? En 1988, Jeremy Greenwood, Zvi Hercowitz y Gregory W. Huffmanpropusieron algunas modificaciones al modelo RBC estándar que permitió superarestas debilidades.


Tabla 6.4: Comparación del comportamiento cíclico del modelo teórico conlos datos empíricos

Datos ModeloVariable (xt ) Des. Est. (%) Corr (PBI, xt ) Des. Est. (%) Corr (PBI, xt ) Corr (ct , xt )

Consumo 1.35 0.88 0.37 -0.82 1Inversión 5.30 0.8 3.57 0.97 -0.93Producto 1.81 1 0.46 1 -0.83Capital 0.36 0.42 0.16Trabajo 1.79 0.88 0.69 0.97 -0.94

Tasa de interés 0.30 -0.35 0.54 0.75 -0.99Salario real 0.68 0.12 0.27 -0.75 0.99

Nota: Los valores empíricos han sido tomados de R. G. King y Rebelo (1999) y to-das las variables están en logaritmo natural, excepto la tasa de interés. Los valoresteóricos se han obtenido de una sola simulación. Estos valores se obtienen del archivo“Campbell_Lvariable_nolineal_log5_inv.mod”.

6.3 Modelo RBC extendido: inclusión del shock a la inver-sión y utilización variable del capital

6.3.1 Elementos del modelo

En esta sección se sigue de cerca el modelo propuesto por Greenwood et al. (1988).Cabe mencionar que en el artículo original de estos autores, el modelo se planteadesde el punto de vista del planificador central; no obstante, en este capítulose desarrolla la versión descentralizada cuyos resultados son similares debido alcontexto competitivo en el que se desarrolla el modelo.

De otro lado, la economía de este modelo está poblada por familias que vivenuna vida infinita y por empresas. Ambos agentes se desarrollan en un ambientecompetitivo tanto en el mercado de bienes como en el de factores. Asimismo, seasume que esta economía es cerrada y no hay presencia del gobierno.

Además de lo anterior, este modelo tiene tres características distintivas con respectoa los modelos estudiados en capítulos previos: la primera es que la función deutilidad elimina el efecto ingreso en la oferta de trabajo. La segunda es que la

366 6.3 Modelo RBC extendido

empresa no demanda bienes de capital como en los modelos RBC estándar, sinoque demanda “servicios de capital”, lo cual representa la productoria del númerode horas que utiliza el capital por el número de bienes de capital. Por ejemplo, enlos modelos RBC previos se considera que la empresa demanda 100 computadoras(bienes de capital); sin embargo, en este modelo no solo se considera lo anterior,sino también la tasa de utilización de este capital, el cual, por ejemplo, puede ser 3horas al día. Considerando ambos elementos, el “servicio de capital” demandadoes 300 D .100 � 3).

La tercera característica es que se asume que la mayor utilización del capital inducea que este se deprecie con mayor velocidad. Finalmente, se considera que el shocka la inversión hace que dicha inversión sea más productiva en la generación denuevos bienes de capital. Este efecto se observa en la ley de movimiento delcapital.

En la Figura 6.3 se esbozan las relaciones entre los agentes: en primer lugar, lasfamilias ofrecen horas laborales y servicios de capital; segundo, las empresasdemandan ambos servicios en el mercado de factores. Finalmente, la economíaestá sujeta a un shock a la inversión, la cual afecta inicialmente el comportamientode las familias y luego a las empresas.

Familias- Función de Utilidad genérica- Depreciación total

Empresas

Choque a lainversión

hoferta

sin efecto ingresohkoferta

utilización del capitalvariable

hdemanda hkdemanda

cdemanda idemanda

yoferta

Mercado de trabajo(competencia perfecta)


Mercado de serviciosde capital

(competencia perfecta)

Economía cerrada

Figura 6.3: Esquema del modelo de Greenwood et al. (1988)


6.3.1.1 Familias

A. La función de utilidad

La función de utilidad de Greenwood et al. (1988) está descrita en la siguienteexpresión:

U.ct ; lt / D U.ct �G.lt // (6.14)

Y tiene las siguientes características:

PU > 0 RU < 0 PG > 0 RG > 0

En esta función de utilidad se puede calcular la utilidad marginal del consumo(U1) y la utilidad marginal del trabajo (U2), las cuales se expresan de la siguientemanera:

U1 D@U@[email protected] �G.lt //

@ctD PU �

�@.ct �G.lt //

@ct

�D PU (6.15)

U2 D@U@[email protected] �G.lt //

@ltD PU �

�@.ct �G.lt //

@lt

�D � PU PG (6.16)

Asimismo, la expresión de la tasa marginal de sustitución entre el consumo y eltrabajo que (en estricto rigor debiese ser el ocio) está representada por:

TMgSct ;lt D �U2U1D �� PU PG

PUD PG (6.17)

Esta expresión es la característica principal de la función de utilidad propuesta porGreenwood et al. (1988): la TMgSct ;lt solo depende del trabajo lt y no dependedel consumo ct . Como se verá más adelante, en la optimización de la familiaesto es importante porque permite obtener una oferta de trabajo sin la presenciadel consumo ct ; es decir, sin el efecto ingreso. En otras palabras, el efecto de lasustitución intertemporal del consumo sobre el lt es eliminado, y “lt es determinadoindependientemente de la elección intertemporal consumo/ahorro”. Además, estaúltima característica es importante porque permite enfatizar el “mecanismo detransmisión” del shock a la inversión en este modelo.

La Expresión (6.18) es la forma funcional de la función de utilidad de Greenwoodet al. (1988):

U.ct ; lt / D1

1 �

��ct �

l1C�t

1C �

�1� � 1

�(6.18)


Donde la tasa marginal de sustitución marginal entre el consumo y el trabajo(TMgSct ;lt ) tiene la siguiente expresión:

TMgSct ;lt D l�t (6.19)

La expresión de la TMgSct ;lt derivada de la función de utilidad de Greenwoodet al. (1988) es distinta a los modelos RBC usuales. Por ejemplo, el modelo deCampbell (1994) asume una función de utilidad de la siguiente forma:

U.ct ; lt / D u.ct /C u.lt / D lnct C �.1 � lt /

1� n

1 � n(6.20)

Al calcular la TMgSct ;lt de esta función de utilidad se tiene:

TMgSct ;lt D �U2U1D ��.1 � lt /

� n

c�1tD ct .1 � lt /

� n (6.21)

Claramente se observa que la TMgSct ;lt de esta función de utilidad depende deltrabajo y también del consumo y, por tanto, se mantiene el efecto riqueza en laoferta de trabajo.

B. La ley movimiento del capital

En este modelo, como se mencionó previamente, la familia no solo ofrece bienesde capital “kt”, sino también intensidad de uso de ese capital “ht”, los cualesen su conjunto representan “servicios de capital” (ktht ). Asimismo, el capitalevoluciona según su ley de movimiento:

ktC1 D .1 � ı.ht //kt C .1C �t /it (6.22)

De la Ecuación (6.22) emergen tres observaciones: la primera es que la Ecuación(6.20) se puede ver como una función de producción de “capital nuevo” (ktC1), elcual tiene como “inputs” a la inversión (it ) y al stock de capital (kt ).

La segunda es que la eficiencia marginal de la inversión está definida por:

@ktC1

@itD 1C �t (6.23)

Esta ecuación indica que si no hay shock (�t D 0), entonces 1 unidad de it seconvierte en 1 unidad de ktC1. Pero si �t > 0, entonces 1 unidad de it se hace másproductiva (eficiente) porque produce (1C �t ) unidades de ktC1.


La tercera observación es que ı.ht / representa la depreciación endógena, la cualexpresa que una mayor utilización del capital (kt ) provoca una mayor depreciaciónde este debido a:

1. Mayor deterioro con el uso y

2. Menos tiempo para mantenimiento.

La forma funcional de la depreciación considerada en el modelo es la siguiente:

ı.ht / Dh!t!

(6.24)

Esta función cumple con tres características: en primer lugar, tiene pendiente posi-tiva ( Pı > 0) para reflejar que la mayor utilización implica una mayor depreciacióndel stock de capital. En segundo lugar, la segunda derivada de esta función tambiénes positiva Rı > 0, lo cual sugiere que la aceleración en la utilización (o un usointensivo) del capital induce a que el stock de capital se deprecie rápidamente.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5δ(h

t) =

h

ω

t

ω

Tasa de utilización variable del capital (ht)

Tas

a de

dep

reci

ació

n va

riabl

e (δ(

h t))

ω = 0.7 ω = 1 ω = 1.42

Figura 6.4: Depreciación variable (dependiente de la utilización del capital)

En tercer lugar, el valor de ! debe ser positivo y mayor a uno para que cumpla conlas dos propiedades mencionadas ( Pı D h!�1t > 0 y Rı D .! � 1/h!�2t > 0). En la


Figura 6.4 se observan tres valores de ! y que para valores menores o iguales auno, la función ı no cumple con las propiedades mencionadas.

En este modelo, se elige un valor de ! (D 1:42) que permita obtener un valor deestado estacionario de la depreciación de 0:1 (ıss D 0:1). Además, dado que pordefinición ı debe ser menor o igual a uno, el valor de ht queda acotado a valoresmenores a 1:3 aproximadamente.

En conclusión, la ecuación del movimiento del capital es de vital importancia en elmodelo porque incluye el mecanismo de impulso “shock a la eficiencia marginalde la inversión (�t )” y el mecanismo de propagación “la utilización variable delcapital (ht )”.

C. Restricción presupuestaria

La familia representativa destina recursos a la adquisición de bienes de consumo(ct ) y bienes de inversión (it ). Sus ingresos se derivan del salario real (wt ), obtenidopor ofrecer trabajo, y de la renta de alquiler (rkt ) de servicios de capital (ktht ). Laigualdad entre los ingresos y los egresos representa la restricción presupuestaria, lacual está descrita por la Ecuación (6.25):

ct C it D wt lt C rt .ktht / (6.25)

D. El problema de optimización

La familia busca maximizar su función de utilidad U.ct ; lt / esperada descontada,donde ct es el consumo del único bien producido en la economía y lt es el trabajo.En este modelo, a diferencia del modelo RBC estándar, la familia también decidela tasa de utilización variable del capital óptimo ht que ofrecerá en el mercadode bienes de capital. Esto se debe a que dicha variable ht influye en sus ingresos(ktht ) y afecta la decisión consumo-inversión de la familia. Por tanto, las variablesde control son cuatro: consumo ct , el trabajo lt , la tasa de utilización del capital ht ,y el nuevo capital ktC1. Con estas consideraciones, el problema de optimizaciónde las familias se encuentra descrito por la siguiente expresión:

Maxfct ;lt ;ht ;ktC1g

1tD0

E0

1XtD0

ˇtU.ct ; lt /


Sujeto a la restricción presupuestaria y a la ley de movimiento del capital:

ct C it D wt lt C rt .ktht / (6.26)

ktC1 D .1 � ı.ht //kt C .1C �t /it (6.27)

Donde:

ı.ht / Dh!t!

y U.ct ; lt / D1

1 �

��ct �

l1C�t

1C �

�1� � 1

�:

Estas dos restricciones se pueden resumir en una sola al reemplazar el valor de lainversión, la cual se despeja de la ley de movimiento del capital, en la restricciónpresupuestaria. Entonces la única restricción quedaría así:

ct CktC1

1C �t� .1 � ı.ht //

kt

1C �t„ ƒ‚ …egresost

D wt lt C rt .ktht /„ ƒ‚ …ingresost

(6.28)

Con la función objetivo y la única restricción (Ecuación (6.28)) se construye lafunción de Lagrange:

L D E01XtD0

ˇt�

U.ct ; lt /C �t Œingresost � egresost ��

Condiciones de primer orden. A continuación se obtienen las derivadas de lafunción de Lagrange con respecto a cada una de las variables de control (ct , lt , hty ktC1).

Derivada con respecto al consumo:

@L@ctD 0

ent.�! U1 C �t Œ�1� D 0

ent.�! U1 D �t (6.29)

Donde: U1 D�ct �

l1C�t

1C�

�� . Por tanto:

U1 D�ct �

l1C�t

1C �

�� D �t (6.30)

Derivada con respecto al trabajo:

@L@ltD 0

ent.�! U2 C �t Œwt � D 0

ent.�! U2 D ��twt (6.31)


Donde: U2 D�ct �

l1C�t

1C�

�� .�l�t /. Por tanto:

U2 D�ct �

l1C�t

1C �

�� .�l�t / D ��twt (6.32)

De la Ecuación (6.30) y (6.32) se obtiene la oferta de trabajo:

U2U1D �wt (6.33)�

ct �l1C�t

1C�

�� .�l�t /�

ct �l1C�t

1C�

�� D �wt

l�t D wt (6.34)

Esta oferta de trabajo es particular: no tiene un efecto ingreso; es decir, no apareceel consumo. Esto se debe a la forma de la función de utilidad de la cual se deriva quela tasa marginal de sustitución entre el consumo y el trabajo depende únicamentedel trabajo.

Derivada con respecto a la utilización variable del capital:

@L@htD 0

ent.�! �t

�rtkt �

Pı.ht /kt

1C �t

�D 0 (6.35)

Debido a que �t es igual a la utilidad marginal del consumo (@U.ct ; lt /=@ct ), lacual es positiva, entonces la única manera para que la Ecuación (6.35) se cumplaes que la expresión entre corchetes sea igual a cero. Por tanto, se tiene lo siguiente:

rtkt DPı.ht /kt

1C �t„ ƒ‚ …Oferta de utilizaciónvariable del capital

(6.36)

Derivada con respecto al nuevo capital:

@L@ktC1

D 0ent.�! �t

��

1

1C �t

�CEtˇ�tC1

�rtC1htC1C

1 � ı.htC1/

1C �tC1

�D 0

(6.37)


De lo anterior se obtiene la condición de optimalidad de la inversión:

�t

�1

1C �t

�D Etˇ�tC1

�rtC1htC1 C

1 � ı.htC1/

1C �tC1

��ct �

l1C�t

1C �

�� 1

1C �t

�D ˇEt

�ctC1 �

l1C�tC1

1C �

�� rtC1htC1 C

1 � ı.htC1/

1C �tC1

�(6.38)

6.3.1.2 Empresa

Por el lado de las firmas, se tiene que estas buscan maximizar su función debeneficios (�t ) en cada periodo sujeta a su función de producción, tal como semuestra en la siguiente expresión:

Maxflt ;ht g

1tD0

�t D yt � Œwt lt C rt .ktht /�

Sujeta a la función de producción:

yt D F.ktht ; lt / (6.39)

Introduciendo la función de producción en la función de beneficios y derivandocon respecto a las variables de control, se obtienen las siguientes condiciones deprimer orden:

@�t

@ltD 0

ent.�! F2 � wt D 0

ent.�! F2 D wt„ ƒ‚ …

Demanda de trabajo

(6.40)

@�t

@htD 0

ent.�! F1kt �R

kt kt D 0

ent.�! F1 D R

kt„ ƒ‚ …

Demanda de servicios de capital

(6.41)

Considerando que la función de produccion tiene la siguiente especificación:

F.ktht ; lt / D .htkt /˛l1�˛t (6.42)

Ambas demandas quedarían expresadas de la siguiente manera:

Demanda de trabajo W .1 � ˛/yt

ltD wt (6.43)

Demanda de servicios de capital W ˛yt

htktD rt (6.44)


6.3.1.3 Equilibrio de mercado y definición del shock

Para completar el modelo es necesario agregar dos ecuaciones. La primera ecuaciónhace referencia al equilibrio en el mercado de bienes, el cual está descrito por lasiguiente expresión:

yt D ct C it (6.45)

La segunda ecuación describe el comportamiento del shock a la inversión, que secomporta como un AR(1):

�t D ��t�1 C �t ; �t � N.0; �2� / (6.46)

Donde �t es propiamente el shock a la inversión.

6.3.1.4 Sistema de ecuaciones principales

La Tabla 6.12 muestra las ecuaciones que describen el comportamiento óptimode las familias y de las empresas; así también, indica las ecuaciones de equilibriode mercado y del comportamiento del shock a la inversión. Todo este conjuntode ecuaciones forman un sistema que representa al modelo RBC propuesto porGreenwood et al. (1988).

Tabla 6.5: Sistema de ecuaciones no lineales principales

Ecuaciones Descripción�ct �

l1C�t

1C�

�� 1

1C�t

�D

ˇEt

�ctC1 �

l1C�tC1

1C�

�� rtC1htC1 C

1�ıtC11C�tC1

� Ecuación de Euler

rt Dh!�1t

1C�tOferta de servicios de capital

rt D ˛ythtkt

Demanda de servicios de capitall�t D wt Oferta de trabajowt D .1 � ˛/

ytlt

Demanda de trabajoyt D .htkt /

˛l1�˛t Función de producciónyt D ct C it Equilibrio de mercado de bienesktC1 D .1 � ıt /kt C .1C �t /it Ley de movimiento del capitalıt D

h!t!

Tasa de depreciación variable�t D ��t�1 C �t Shock a la inversión


6.3.1.5 Calibración

Los valores asociados a los parámetros de este modelo se obtienen de la siguientemanera. Para calcular el valor de ˛, se considera el promedio anual de la proporcióndel capital en el ingreso nacional entre 1948 y 1985. De otro lado, la elasticidad desustitución intertemporal del trabajo 1=� se encuentra entre 0:3 y 2:2 (Macurdy,1981; J. Heckman James y Macurdy, 1980). El valor que inicialmente se elige es1:7, el cual permite obtener un valor de � D 0:6. Sin embargo, vale la pena haceranálisis de sensibilidad de este parámetro.

En cuanto a la inversa de la elasticidad de sustitución intertemporal del consumo(ESIC), se plantean dos valores: D 1 y D 2. La simulación del modelo con-templará ambos valores con el fin de comparar los efectos del shock a la inversiónen una economía con alta ESIC (1= D 1), en contraste con una economía conbaja ESIC (1= D 1=2).

De otro lado, la elasticidad de la depreciación con respecto al consumo ! escalibrado de tal manera que la tasa de depreciación de estado estacionario seaigual a 0:1. Asimismo, los dos parámetros del comportamiento del shock a lainversión: magnitud de shock (� : desviación estándar) y la persistencia del shock(�: autocorrelación de primer orden) son calibrados para reproducir la desviaciónestándar y la correlación serial de primer orden, observados en los datos delproducto. Entonces, para D 1, se tiene que � D 0:05 y � D 0:47, y para D 2, se tiene que � D 0:0515 y � D 0:51. En la Tabla 6.6 se indican los valoresasociados a cada parámetro.

6.3.1.6 Estado estacionario

En la Tabla 6.7 se escriben las ecuaciones del modelo en su representación deestado estacionario.



Parámetro Valor Observaciónˇ 0.96 Factor de descuento˛ 0.29 Proporción del capital en el ingreso nacional (pro-

medio anual entre 1950 - 1985)� 0.6 Inversa de la elasticidad de la oferta de trabajo

(elasticidad de Frisch de 1.7) 1 - 2 Coeficiente relativo de aversión al riesgo o inversa

de la ESIC! 1.42 Elasticidad de la depreciación con respecto a la

tasa de utilización (para que ıss D 0:1)� 0.05 - 0.0515 Desviación estándar del shock a la inversión �t� 0.47 - 0.51 Coeficiente de autocorrelación de 1° orden del

shock (persistencia)

A. Reducción de las ecuaciones I

En primer lugar, en la ecuación 10 de la Tabla 6.7 se considera que en estadoestacionario el shock toma el valor de su media (�ss D 0). Por tanto, dichaecuación quedaría así:

�ss D ��ss C �ss„ƒ‚…D0

De esta expresión se infiere que el único valor de �ss que resuelve esta ecuación escero. Por tanto, �ss D 0.

En segundo lugar, de la ecuación de Euler (Ecuación [1]) de la Tabla 6.7 se obtienelo siguiente:�

css �l1C�ss

1C �

�� 1

1C �ss

�D ˇEt

�css �

l1C�ss

1C �

�� rsshss C

1 � ıss

1C �ss

�1 D ˇ

�rsshss C

1 � ıss

1C �ss„ƒ‚…D0

�

1

ˇD rsshss C 1 � ıss (6.47)

En tercer lugar, considerando que �ss D 0, la oferta de servicios de capital quedaría


Tabla 6.7: Sistema de ecuaciones no lineales principales


[1]�css �

l1C�ss

1C�

�� 1

1C�ss

�D

ˇEt

�css �

l1C�ss

1C�

�� rsshss C

1�ıss1C�ss

� Ecuación de Euler

[2] rss Dh!�1ss

1C�ssOferta de servicios de capital

[3] rss D ˛ ysshsskss

Demanda de servicios de capital[4] l�ss D wss Oferta de trabajo[5] wss D .1 � ˛/ysslss Demanda de trabajo[6] yss D .hsskss/˛l1�˛ss Función de producción[7] yss D css C iss Equilibrio de mercado de bienes[8] kss D .1 � ıss/kss C .1C �ss/iss Ley de movimiento del capital[9] ıss D

h!ss!

Tasa de depreciación variable[10] �ss D ��ss C �ss Shock a la inversión

de esta manera:

rss Dh!�1ss

1C �ss„ƒ‚…D0

rss D h!�1ss (6.48)

En cuarto lugar, la ley de movimiento del capital quedaría expresada de la siguienteforma:

kss D .1 � ıss/kss C .1C �ss„ƒ‚…D0

/iss

ısskss D iss (6.49)

B. Reducción de las ecuaciones II

Dado que el valor de rss está en función de hss (Ecuación (6.48)) y que, de igualmanera, ıss depende de hss (Ecuación [9] de la Tabla 6.7). Entonces, reemplazandoambas expresiones en la Ecuación (6.47) se obtiene el valor de hss en función alos parámetros del modelo.

1

ˇD rsshss C 1 � ıss


1

ˇD h!�1ss hss C 1 �

h!ss!

1

ˇ� 1 D h!ss �

h!ss!

1

ˇ� 1 D h!ss.1 �

1

!/

hss D

� 1ˇ� 1

1 � 1!

� 1!

(6.50)

Con el valor de hss se puede obtener el valor de rss y de ıss . Por tanto, hasta aquíse tiene el valor de estado estacionario de las siguientes variables:

�ss D 0 hss D

�1ˇ�1

1� 1!

� 1!

rss D h!�1ss ıss D

h!ss!

C. Reducción de las ecuaciones III

Para obtener el valor de estado estacionario de las demás variables se procurarátrabajar con ratios. Dado que se tiene el valor de estado estacionario de la tasade interés, entonces es útil empezar por una ecuación que la contenga como lademanda de servicios de capital.

rss D ˛yss

hsskss

Reemplazando la función de producción:

rss D ˛.hsskss/

˛l1�˛ss

hsskss

rss D ˛

�hsskss

lss

�˛�1�rss

˛

� 1˛�1

Dhsskss

lss

kss

lssD

�rss

˛

� 1˛�1 1

hss(6.51)

La Ecuación (6.51) brinda un valor del ratio kss=lss . Por tanto, es útil encontrarlos ratios de las demás variables en función a este kss=lss . En primer lugar, de la


ley de movimiento del capital (Ecuación (6.49)) se obtiene iss=lss:

ısskss D iss

Se reemplaza la expresión de ıss:

h!ss!kss D iss

iss

lssDh!ss!

�kss

lss

�(6.52)

En segundo lugar, de la función de producción se obtiene el ratio yss=lss:

yss D .hsskss/˛l1�˛ss

yss

lssD .hsskss/

˛l�˛ss

yss

lssD

�kss

lsshss

�˛(6.53)

En tercer lugar, en el equilibrio de mercado de bienes se obtiene el ratio css=lss:

yss D css C iss

yss

lssDcss

lssCiss

lsscss

lssDyss

lss�iss

lss(6.54)

En cuarto lugar, de la demanda de trabajo se obtiene el valor de wss:

wss D .1 � ˛/yss

lss

wss D .1 � ˛/.hsskss/

˛l1�˛ss

lss

wss D .1 � ˛/

�hsskss

lss

�˛(6.55)

Dado que se conoce el valor de kss=lss (Ecuación (6.51)) y el valor de hss , enton-ces el salario real en estado estacionario queda definido por la Ecuación (6.55).Finalmente, de la oferta de trabajo se obtiene el valor de lss:

l�ss D wss


lss D .wss/1=� (6.56)

Desarrollando la Ecuación (6.56) se tiene:

lss D . wss„ƒ‚…Ec. (6.55)

/1=�

lss D

�.1 � ˛/

�hsskss

lss

�˛�1=�lss D

�.1 � ˛/

�hss

kss

lss„ƒ‚…Ec. (6.51)

�˛�1=�

lss D

�.1 � ˛/

�hss

�rss

˛

� 1˛�1 1

hss

�˛�1=�lss D

�.1 � ˛/

�rss

˛

� ˛˛�1

�1=�(6.57)

Dado que se tiene el valor de lss , entonces de las ecuaciones previas se puedeencontrar el capital, la inversión, el producto, el consumo y el salario real (verlas Ecuaciones (6.51) a (6.55)). En la Tabla 6.8 se indica la expresión del estadoestacionario de cada variable del modelo.


Estado estacionario (forma recursiva)

�ss D 0

hss D

�1ˇ�1

1� 1!

� 1!

rss D h!�1ss

ıss Dh!ss!

lss D

�.1 � ˛/

�rss˛

� ˛˛�1

�1=�kss D lss

�rss˛

� 1˛�1

1hss

iss Dh!ss!kss

yss D .hsskss/˛l1�˛ss

css D yss � iss

wss D .1 � ˛/ysslss


6.3.1.7 Solución del modelo

La Tabla 6.7 contiene las 10 ecuaciones y 10 variables del modelo. Este sistema deecuaciones es no-lineal. Al introducirlo en Dynare, este sistema será linealizado.Con el fin de que el sistema sea log-linealizado por Dynare se procede a escribiren Dynare cada variable como: exp.xx/, donde xx D ln xt . Por ejemplo, la ofertade servicios de capital quedará expresada en Dynare de la siguiente manera:

Oferta de servicios de capital “en el modelo”

rt Dh!�1t

1C �t

Oferta de servicios de capital “en Dynare”

exp.rr/ Dexp.hh/!�1

1C exp.��/

Al realizar este cambio de variable, Dynare linealizará el modelo y obtendráuna variable en log-desviaciones de su estado estacionario de la forma siguiente:bxt D xxt � xxss D ln xt � ln xss . La variable bxt será la que Dynare utilicepara calcular el estado estacionario, la función de política y de estado, la funciónimpulso-respuesta y los momentos teóricos.

Las Tablas 6.9 y 6.10 muestran la solución del modelo (función de política y deestado) para dos conjuntos de valores de los parámetros.

El primer cuadro corresponde al modelo con D 1, � D 0:47 y �v D 0:05,mientras que el segundo considera D 2, � D 0:51 y �v D 0:0515. Cabemencionar que la diferencia importante entre ambos ejercicios es la ESIC ( ), yaque los valores de la persistencia (�) y del shock (�v) son muy similares entreambos. Por tanto, las diferencias entre los coeficientes en la solución de cadavariable endógena responderá principalmente a .


A. Modelo 1 ( D 1)

En la Tabla 6.9 se observa que la función de política del consumo está expresadocomo:

ln ct D �0:7612C 0:3788bkt � 0:007bet�1 � 0:0148�t (6.58)

ln ct D ln ccc C 0:3788bkt � 0:0148. 0:0070:0148

bet�1 C �t / (6.59)

ln ct � ln ccc D 0:3788bkt � 0:0148.0:47bet�1 C �t / (6.60)bct D 0:3788bkt � 0:0148bet (6.61)

En la función de política del consumo, Ecuación (6.61), se observa que el shock ala inversiónbet afecta negativamente al consumo en el mismo periodo. Esto indicaque bajo una alta elasticidad de sustitución intertemporal del consumo, dichavariable no reacciona positivamente ante un shock a la inversión. En contraste,la función de política de todas las demás variables, excepto de la tasa de interés,reaccionan positivamente ante el shock a la inversión, lo cual está acorde a los datos.Cabe mencionar que aunque el consumo se reduce, lo hace en menor maginituden comparación con el modelo de Campbell (1994). Por ejemplo, el modelo deCampbell (1994) indica que la elasticidad del consumo-shock a la inversión esigual a �0:25 en contraste con este modelo �0:014.

B. Modelo 2 ( D 2)

La Tabla 6.10 muestra la función de política y de estado del modelo bajo el supuestode D 2. Esta menor elasticidad permite que el consumo reaccione positivamenteante el shock a la inversión (elasticidad ct -et es igual a 0:0775) y hace posible quela correlación entre el consumo y la inversión sea positiva. Esto genera, además,que el consumo sea procíclico. Asimismo, al igual que en el modelo con D 1, larespuesta de las demás variables tienen el signo observado en los datos.


Tabl

a6.

9:Fu

nció

nde

polít

ica

yde

esta

do(M

odel

o1

( D1

))

lnc t

lni t

lnyt

lnktC1

lnl t

lnht

lnr t

lnwt

lndt

lne t

Con

stan

te-0

.761

2-2

.121

3-0

.532

70.

8824

-0.5

470

-1.3

802

-1.2

728

-0.3

282

-2.3

106

0b k t

0.37

88-0

.282

80.

2437

0.94

780.

1523

-0.5

326

-0.2

237

0.09

14-0

.756

30

be t�1-0

.007

00.

6947

0.13

630.

0554

0.08

520.

2615

-0.1

252

0.05

110.

3713

0.47

�t

-0.0

148

1.47

820.

2901

0.11

790.

1813

0.55

64-0

.266

30.

1088

0.79

011

Not

a:lo

sre

sulta

dos

seha

nob

teni

dode

“modelo_ghh_log1

”

Tabl

a6.

10:F

unci

ónde

polít

ica

yde

esta

do(M

odel

o2

( D2

))

lnc t

lni t

lnyt

lnktC1

lnl t

lnht

lnr t

lnwt

lndt

lne t

Con

stan

te-0

.761

2-2

.121

3-0

.532

70.

8824

-0.5

470

-1.3

802

-1.2

728

-0.3

282

-2.3

106

0b k t

0.32

99-0

.092

40.

2437

0.96

670.

1523

-0.5

326

-0.2

237

0.09

14-0

.756

30

be t�10.

0395

0.57

030.

1479

0.04

190.

0925

0.28

38-0

.135

80.

0555

0.40

290.

51�t

0.07

751.

1182

0.29

010.

0822

0.18

130.

5564

-0.2

663

0.10

880.

7901

1N

ota:

los

resu

ltado

sse

han

obte

nido

de“modelo_ghh_log1

”


6.3.2 Análisis de la solución

6.3.2.1 Funciones impulso-respuesta

A continuación, se analiza la respuesta de las variables endógenas en “t” ante unshock a la inversión en el mismo periodo.

A. Primer efecto

En primer lugar, el shock se materializa en el periodo “t”. Antes de este periodo,las variables se encuentran en su estado estacionario. Por ejemplo, el shock tomael valor de su media (�t�1 D 0), mientras que el consumo toma el valor de cero(bct D 0). Recordemos quebct es la desviación del logaritmo de la variable conrespecto al logaritmo de su estado estacionario: bct D ln ct � ln css . Por tanto,cuandobct D 0 implica que ct D css; es decir, la variable se encuentra en su estadoestacionario.

En segundo lugar, un incremento en el shock a la inversión se materializa en elperiodo “t”, lo cual significa que �t toma el valor de su desviación estándar (�v)y, por tanto, saca del estado estacionario a �t ."/ . Este shock tiene tres efectosiniciales: el primero es en la ecuación de Euler; el segundo, en la ley de movimientodel capital y el tercero, en la oferta de servicios de capital.

Ecuación de Euler: el shock a la inversión influye sobre la sustitución intertemporaldel consumo. Un incremento en el shock a la inversión " �t incentiva a que lafamilia representativa sustituya su consumo actual por consumo futuro, lo cual serefleja en # ct y " ctC1.

�ct �

l1C�t

1C �

�� 1

1C " �t

�D ˇEt

�ctC1�

l1C�tC1

1C �

�� rtC1htC1C

1 � ıtC1

1C �tC1

�(6.62)

Ley de movimiento del capital: un incremento en el shock a la inversión " �tincentiva que la producción de nuevo capital en “t C 1” se incremente.

" ktC1 D„ƒ‚…

.1 � ıt /kt C .1C " �t /it (6.63)


Oferta de servicios de capital: esta ecuación es muy importante en el modelo. Adiferencia del modelo RBC estándar como el de Campbell (1994), en el que noexiste diferencia entre la oferta de capital y la oferta de servicios de capital (ambasson perfectamente inelásticas), en el modelo de Greenwood et al. (1988) ambasofertas son distintas. En primer lugar, la oferta de capital kt es perfectamenteinelástica como en el modelo de Campbell (1994), dado que esta representa elstock de capital de la economía y es una variable predeterminada en “t”. Ensegundo lugar, la oferta de servicios de capital htkt tiene pendiente positiva (conrespecto a la tasa de interés) debido a que un incremento en la inversión incentivaa las familias a ofrecer una mayor utilización del capital " ht . Esto se observa conmayor claridad en la oferta de servicios de capital:

rt Dh!�1t

1C �t

.1C " �t /rt D„ƒ‚…!

"h!�1t (6.64)

Por tanto, un shock a la inversión positivo mueve hacia la derecha (expande) laoferta de servicios de capital (ver Figura 6.5).

htkt

rt

Oferta Serviciosde capital

ht;0kt

kt

ht;0ktC1

ktC1

rt;0 A

�et

Mercado de servicios de capitalEfecto en la ley de movimiento del capital

htkt

rt

Oferta Serviciosde capital

ht;0kt

kt

rt;0

Brt;1

A

�et

Mercado de servicios de capitalEfecto en la oferta de servicios de capital

Figura 6.5: Efectos del shock a la inversión en el mercado de servicios decapital


B. Segundo efecto

En primer lugar, dado que el consumo se contrae en “t” y la inversión ha llegadoa ser más productiva, entonces la familia representativa incrementa la inversión" it . Este incremento adiciona un efecto positivo a la oferta de bienes de capitalen “t C 1”. Cabe notar que la reducción del consumo no impacta sobre la ofertade trabajo como en el modelo de Campbell (1994). Esto se debe a que la funciónde utilidad que se considera en el modelo de Greenwood et al. (1988) eliminala presencia del consumo en la oferta de trabajo. Tal como se mencionó antes,la forma de esta función de utilidad elimina el efecto riqueza sobre la oferta detrabajo. Los efectos de este supuesto es que impide que el salario real se reduzca.

En segundo lugar, el incremento de la utilización del capital tiene efectos sobrela demanda de trabajo debido a que ambos factores son complementarios. Adiferencia de la demanda de servicios de capital, en la cual un movimiento deht implica un movimiento en la misma curva de la demanda de capital (no undesplazamiento); en la demanda de trabajo, un movimiento de ht desplaza dichacurva1. Por tanto, una mayor utilización del capital implica la expansión dela demanda de trabajo, la cual, en equilibrio, lleva al incremento de las horastrabajadas " lt y del salario real " wt (ver Figura 6.6).

En tercer lugar, la mayor utilización del stock de capital produce una mayordepreciación, lo cual afecta negativamente a la acumulación de capital del siguienteperiodo. Entonces, se observa que:

" �t !" ht !" ıt !# htC1

Esto se aprecia en la ley de movimiento del capital:

# ktC1 D„ƒ‚…

.1� " ıt /kt C .1C �t /it (6.65)

Por ende, un incremento del shock a la productividad tiene tres efectos sobre ktC1:

" �t !" ktC1 (6.66)

" �t !" it !" ktC1 (6.67)

1Cabe mencionar que estos movimientos son distintos en el caso de un shock de productividadat . En él, ambas demandas (trabajo y capital) se expanden debido a que at no afecta la pendiente dedichas curvas.


htkt

rt

kt ktC1

rt;0 A

�et �it

�ıt

B

Mercado de servicios de capitalTres efectos

lt

wt

Oferta de Trabajo(sin efecto ingreso)

Demanda de Trabajo(depende de ht )

lt;0

wt;0

lt;1

Bwt;1

A

�ht

Mercado de trabajoEfecto de un incremento en ht

Figura 6.6: Efectos del shock a la inversión en la oferta de capital y elmercado de trabajo

" �t !" ht !" ıt !# ktC1 (6.68)

En cuarto lugar, la reducción de la tasa de interés en “t” .# rt /, el incremento delos servicios de capital ." htkt / y el incremento de los ingresos laborales ." wt lt /,en conjunto producen un efecto ingreso positivo en la restricción presupuestaria dela familia representativa. Estos mayores ingresos incrementan el consumo ." ct /.

Finalmente, en el periodo “t C 1” los efectos del shock se mantienen, debido asu persistencia, pero con menor magnitud. En este periodo, la tasa de interésrtC1 se contrae pero en menor proporción que en “t”. Esta reducción de la tasade interés produce un efecto sutitución sobre el consumo actual: la familia anteuna reducción de la tasa de interés en “t C 1” reduce su consumo en “t” (# ct )e incrementa su consumo en “t C 1” (# ctC1). Esto se debe a que la “ganancia(rtC1)” de desprenderse de una unidad de consumo en “t” ha disminuido.

C. Resumen de efectos

En primer lugar, como se ha mencionado previamente, el shock a la inversión tienetres efectos sobre el stock de capital de “t C 1”. Los dos primeros lo incrementan(" �t y " it ) y el tercero lo reduce (" ıt ). En el neto, el stock de capital en “t C 1”se incrementa.


Segundo, dado que no existe efecto ingreso en la oferta de trabajo, el salario realy las horas trabajadas son mayores en equilibrio después del shock a la inversión.Tercero, en el mercado de servicios de capital, solo la oferta se expande debidoal shock a la inversión, lo que lleva a una mayor utilización del capital. En estemercado, la demanda no se desplaza en “t”; solo se ajusta a lo largo de la curva.En el equilibrio, la tasa de interés real se contrae y la utilización del capital seincrementa.

Cuarto, el shock a la inversión tiene tres efectos sobre el consumo actual. El primerefecto se obtiene de manera directa en la ecuación de Euler: el shock a la inversiónreduce el consumo actual (# ct ). Este efecto se puede entender como un “efectosustitución intratemporal”. El segundo se obtiene por medio del “efecto riqueza”:los ingresos laborales y de servicios de capital se incrementan haciendo más ricaa la familia. Este efecto riqueza lleva a un incremento del consumo actual (" ct ).Finalmente, en el periodo “t C 1”, la tasa de interés se mantiene por debajo delestado estacionario, lo cual incentiva por medio del efecto sustitución a un aumentodel consumo en “t” (" ct ). Esto se puede entender como el “efecto sustituciónintertemporal”.

D. Función impulso-respuesta

La Figura 6.7 muestra las funciones impulso-respuesta y el modelo de Greenwoodet al. (1988) bajo dos escenarios. La principal diferencia entre ambos es la elasti-cidad de sustitución intertemporal del consumo (ESIC = 1= ). Los dos tambiénconsideran una persistencia y magnitud diferente del shock; no obstante, dichasdiferencias son marginales. La principal conclusión de la comparación de estosdos escenarios es que una menor elasticidad de sustitución modera la reduccióndel consumo ante un shock a la inversión (efecto de sustitución intratemporal).Esto permite que el efecto ingreso y el efecto de sustitución intertemporal (poruna reducción de rtC1) superen la reducción del consumo. En el neto, el consumoaumenta cuando la ESIC es menor.

De otro lado, se observa que cuando el consumo aumenta en el periodo actual, lainversión se incrementa, pero en menor magnitud. Este incremento moderado dela inversión tiene efectos sobre el stock de capital en “t C 1”, el cual es menor queen el caso de ESIC más alta. Finalmente, las demás variables no son afectadas porla ESIC.


0 20 400

0.005

0.01

0.015Producto

0 20 40−1

0

1

2

3

4x 10

−3 Consumo

0 20 40−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08Inversión

0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01Capital

0 20 40−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

← Salario real

← Tasa de interés

0 20 40−0.01

0

0.01

0.02

0.03Utilización variable del capital

0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01Trabajo

0 20 400

1

2

3

4

5

6x 10

−3Choque a la inversión

E1: γ = 1, φ = 0.47, σv = 0.05 E2: γ = 2, φ = 0.51, σv = 0.0515

Figura 6.7: Modelo de Greenwood et al. (1988) - Shock a la inversiónNota: esta figura se obtiene del archivo “modelo_ghh_log1.mod”.

E. Comparación de modelos

La Figura 6.8 muestra la comparación entre el modelo de Campbell (1994), queconsidera utilización del capital fijo, y el modelo de Greenwood et al. (1988), elcual considera utilización del capital variable. Ambos modelos mantienen la mismacalibración y están sujetos a un shock a la inversión. Las principales diferencias semencionan a continuación.

En primer lugar, el producto en el modelo de Campbell (1994) es ligeramentemayor al modelo de Greenwood et al. (1988). Esto se debe a que en el primermodelo el incremento del trabajo es casi tres veces el incremento del segundo.No obstante, esta ausencia de respuesta del trabajo en el segundo modelo escontrarrestado por el incremento de la utilización del capital.

En segundo lugar, el consumo en el modelo de Campbell (1994) se contrae, adiferencia del incremento de esta variable en el modelo de Greenwood et al. (1988).En ambos modelos el shock a la inversión tiene tres efectos sobre el consumo actual:


el primero es la sustitución intratemporal que permite un incremento del consumo,similar en ambos modelos. El segundo es el efecto riqueza que también incrementael consumo actual, similar en ambos modelos. El tercero es el efecto de sutituciónintertemporal, el cual es distinto para cada modelo. En el modelo de Campbell(1994), el incremento de la demanda de capital, bajo una oferta perfectamenteinelástica, aumenta la tasa de interés real, que se mantiene por encima del estadoestacionario en el periodo “t C 1”. Este incremento de la tasa de interés en “t C 1”induce a la familia a reducir su consumo en “t”. Por tanto, el efecto de sustituciónintertemporal en el modelo de Campbell (1994) reduce el consumo. En contrastecon lo anterior, en el modelo de Greenwood et al. (1988) la curva que se expande noes la demanda de capital, sino la oferta de servicios de capital, la cual en equilibrioproduce un nivel de tasa de interés por debajo del estado estacionario. Este nivel,pero en menor magnitud, se mantiene en el periodo “t C 1”, lo que induce a lafamilia a incrementar su consumo en “t”. En consecuencia, el efecto de sustituciónintertemporal en el modelo de Greenwood et al. (1988) incrementa el consumo.

En tercer lugar, la inversión se incrementa en ambos modelos aunque en menorproporción en el modelo de Greenwood et al. (1988). Esta menor volatilidadresponde a que los recursos son destinados a un incremento del consumo, locual deja menos recursos para la inversión. Esto difiere del modelo de Campbell(1994), en el cual el consumo se reduce por el incremento de la tasa de interés,que hace más atractiva la inversión. Esta reducción del consumo incentiva unamayor distribución de recursos hacia la inversión. Un efecto directo de la menorinversión es la menor acumulación de capital, tal como se observa en la funciónimpulso-respuesta del capital.

Como cuarto punto, en el mercado de trabajo se observan similitudes y diferenciasentre el modelo de Campbell (1994) y el modelo de Greenwood et al. (1988). Laprincipal similitud es que el número de horas trabajadas se incrementa en ambosmodelos, aunque con menor magnitud en el modelo de Greenwood et al. (1988)debido a que la oferta de trabajo no está sujeta al efecto riqueza (ct no está presenteen dicha oferta). La principal diferencia es que el salario real se incrementa enel modelo de Greenwood et al. (1988), pero se reduce en el modelo de Campbell(1994). La reducción del salario real en el modelo de Campbell (1994) se debea que la oferta de trabajo se expande por el efecto riqueza presente (dado que elconsumo se contrae, entonces la familia decide trabajar más). Este movimiento de


0 20 40−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025Producto

0 20 40−10

−5

0

5x 10

−3 Consumo

0 20 40−0.1

0

0.1

0.2

0.3Inversión

0 20 400

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012Capital

0 20 40−0.01

0

0.01

0.02

0.03Trabajo

0 20 40−0.02

−0.01

0

0.01

0.02


0 20 40−0.01

−0.005

0

0.005

0.01Salario real

0 20 40−0.01

0

0.01

0.02

0.03Utilización variable del capital

Modelo de Campbell(1994) Modelo de Greenwood et al (1988)

Figura 6.8: Modelo de utilización variable (Greenwood et al., 1988) vs.Modelo de utilización fija (Campbell, 1994)

Nota: el modelo de Greenwood et al. (1988) considera D 2, � D 0:51 y �v D 0:515. Además,el modelo de Campbell (1994) mantiene la misma calibración para que ambos modelos seancomparables. Este gráfico corresponde a un shock a la inversión. La figura se obtiene del archivo“Campbell_vs_GHH.m”.

la curva está ausente en el modelo de Greenwood et al. (1988).

6.3.2.2 Comparación del modelo teórico con los datos

En el cálculo de los estadísticos empíricos, Greenwood et al. (1988) utilizandatos anuales comprendidos entre 1948 y 1985 inclusive. Además, el proceso deextracción del componente cíclico, tanto en los datos como en el modelo, es pormedio de “tendencia lineal cuadrática”. Esto es una diferencia importante con elmétodo usual de separar la tendencia de los modelos RBC, quienes utilizan el filtroHodrick-Prescott.

La Tabla 6.11 muestra los momentos empíricos y teóricos de cada una de lasvariables del modelo. Dado que en secciones previas se ha considerado la función


de política y la función impulso-respuesta de dos modelos ( D 1 vs D 2), enesta sección se muestran los momentos obtenidos de cada uno de estos modelos.Cabe mencionar que los momentos teóricos derivados del modelo son obtenidosde una simulación y sin aplicar ningún filtro. Por ello, las desviaciones estándar noson comparables con los datos, pero sí la correlación y autocorrelación.

La principal conclusión que emerge de la Tabla 6.11 es que el modelo con D 2(menor ESIC) permite obtener dos hechos estilizados que el modelo RBC estándarno podía: el primero es que la correlación del consumo con la inversión es positiva;y el segundo, es que el consumo es procíclico. Una segunda conclusión es que, engeneral, los momentos inferidos por el modelo se acercan a lo observado en losdatos. Finalmente, todos estos valores son obtenidos considerando una persistenciadel shock a la inversión (� D 0:51) menor en comparación con los modelos RBCestándar (� D 0:9).


Tabl

a6.

11:C

ompa

raci

ónde

lcom

port

amie

nto

cícl

ico

delm

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( D1

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(xt)

(1)a

(2)b

(3)c

(1)a

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(4)d

(1)a

(2)b

(3)c

(4)d

Con

sum

o2.

200.

740.

721.

270.

510.

971.

001.

210.

800.

951.

00In

vers

ión

10.5

00.

680.

258.

270.

860.

44-0

.01

6.46

0.90

0.50

0.46

Prod

ucto

3.50

1.00

0.66

1.96

1.00

0.66

0.51

1.96

1.00

0.66

0.80

Cap

ital

3.38

0.71

0.98

0.97

3.20

0.65

0.99

0.97

Trab

ajo

2.10

0.81

0.39

1.22

1.00

0.66

0.51

1.23

1.00

0.66

0.80

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iliza

ción

3.36

0.55

0.48

-0.4

43.

420.

610.

530.

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real

2.20

0.82

0.77

0.73

1.00

0.66

0.51

0.74

1.00

0.66

0.80

Dep

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550.

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0.61

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6.4 Códigos

En la Tabla 6.12 se mencionan los códigos de Matlab y de Dynare utilizados en elpresente capítulo.



Matlab

grafica_depreciacion.m Este m-file grafica la depreciación enfunción a la utilización del capital y tresvalores de !.

Campbell_vs_GHH.m Grafica la función impulso-respuestadel modelo de Campbell (1994) vs.Greenwood et al. (1988). Ambos mode-los tienen la misma calibración propues-ta por Greenwood et al. (1988).

Dynare

modelo_ghh_log1.mod Replica el modelo de Greenwood et al.(1988). Además, simula el modelo parados escenarios: E1 ( D 1, � D 0:47,�v D 0:05) y E2 ( D 2, � D 0:51,�v D 0:0515).

modelo_ghh_log2.mod Es el mismo modelo de “mode-lo_ghh_log1.mod”, pero con algunosparámetros para reproducir un modeloRBC con utilización fija.

Campbell_Lvariable_nolineal_log5_inv.mod Es el mismo mod “Camp-bell_Lvariable_nolineal_log5.mod”del capítulo 5, con la única diferenciade que este tiene shock a la inversiónpara compararlo con el modelo deGreenwood et al. (1988).

APÉNDICE A

OPTIMIZACIÓN DINÁMICA

A.1 Introducción

En este apéndice se describen los elementos matemáticos que se necesitan enprogramación dinámica. Cada uno de los modelos descritos en el libro pueden

ser abordados por este método, el cual es muy usado en macroeconomía.

Este apéndice tiene dos partes. La primera contiene algunos conceptos de análisisreal y el segundo contiene los principales elementos de programación dinámica. Elobjetivo de la primera parte es hacer énfasis en los conceptos necesarios en estatécnica; por ello, solo nos hemos enfocado en algunos temas de análisis real. Enla segunda parte, hemos tratado de ser explicitos en las hipótesis, proposicionesy teoremas que subyacen a la programación dinámica con el fin de que el lectortenga un claro panorama de esta técnica. Finalmente, hemos descrito paso a pasouna aplicación para que el lector observe cómo utilizar la técnica y hemos dejadoun ejercicio para que aquel tenga la libertad de aplicar lo aprendido.

A.2 Fundamentos de análisis real

Los conceptos descritos en esta sección están cuidadosamente desarrollados en ellibro de Principios de análisis matemático de Rudin (1976) y el libro de Métodosmatemáticos y modelos para economistas de de la Fuente (2000).

395

396 A.2 Fundamentos de análisis real

A.2.1 ¿Qué conceptos matemáticos necesitamos?

Para definir qué conceptos matemáticos necesitamos en programación dinámicaes útil empezar con uno de sus principales teoremas denominado: teorema delpunto fijo para contracciones (de Banach).

Este teorema indica lo siguiente: Sea Ca.X/ el conjunto de funciones continuas yacotadas con la norma del supremo k � k (espacio vectorial normado y completo),entonces el operador “T”, definido en Ca.X/, es una aplicación de este espacio ensí mismo; es decir T: Ca.X/! Ca.X/ , definido como:

T ŒV �.x/ D sup

�r.xt ; ut /C ˇV.g.xt ; ut //

�(A.1)

sujeto a: ut 2 �.xt /, Satisface:

1. T ŒV � 2 Ca.X/

2. “T” tiene un único punto fijo “V”: T ŒV � D V

3. Para cualquier V0 2 Ca.X/, se tiene:

kT n.V0/ � V k � ˇnkV0 � V k

En particular:Limn!1

T n.V0/ D V

Este teorema contiene tres grandes conceptos, los cuales desarrollaremos aquí:

1. Un espacio de funciones Ca.X/. Para entender este espacio, vale la pena revisarla definición de espacio vectorial, espacio métrico, espacio normado y espaciocompleto.

2. Contracción T ŒV �. En particular nos interesa encontrar las condiciones sufi-cientes para que un operador sea considerado “contracción”.

3. Punto fijo (de una contracción). De igual forma al caso de la contracción,nos interesa encontrar algunas condiciones para que una contracción tenga un“punto fijo”.

A Optimización Dinámica 397

A.2.2 Conceptos (parte I): espacios

A.2.2.1 Espacio vectorial

Un espacio vectorial (real) “X” es un conjunto de elementos (vectores) con dosoperaciones:

1. Adición. Para dos vectores x; y 2 X , la adición brinda un vector “xC y” 2 X .

2. Multiplicación escalar. Para un vector x 2 X y un número real ˛ 2 R, lamultiplicación escalar brinda un vector “˛x” 2 X .

Además, dichas operaciones obedecen las leyes usuales del álgebra; es decir, paratodo x; y; z 2 X , y ˛; ˇ 2 R:

• x C y D y C x• .x C y/C z D x C .y C z/• ˛.x C y/ D ˛x C ˛y• .˛ C ˇ/x D ˛x C ˇx• .˛ˇ/x D ˛.ˇx/

Además, existe un vector “0” 2 X que tiene las siguientes propiedades:• x C 0 D x• 0x D 0

Finalmente,• 1x D x

Los dos siguientes ejemplos ilustran las propiedades de un espacio vectorial:

Ejemplo 1. El plano cartesiano R2: Este plano, cuyos elementos tienen la si-guiente forma .x; y/ con x; y 2 R, es un espacio vectorial real con las siguientesoperaciones:

• Adición:.x1; y1/C .x2; y2/ D .x1 C x2; y1 C y2/

• Multiplicación escalar:a:.x; y/ D .ax; ay/

Donde “a 2 R”


Ejemplo 2. Conjunto de funciones. Sea X un conjunto no vacío. El conjuntoRX de todas las funciones deX enR es un espacio vectorial real con las siguientesoperaciones:

• Adición:.f C g/.x/ D f .x/C g.x/

• Multiplicación escalar:a:f .x/ D af .x/

8x 2 X;8a 2 R

• SiX D R, entonces se obtiene el espacio de todas las funciones reales de variablereal.

• Si X es un intervalo abierto, por ejemplo .a; b/ o R, y C.X/ es el conjunto defunciones continuas de X en R, entonces C.X/ es un espacio vectorial real.

Espacio vectorial con estructura adicional. Aunque los espacios vectoriales adhoc representan un elemento conceptual importante en análisis real, no ofrecen unmarco para analizar si una sucesión de funciones converge a otra función. Además,no está adaptada para hacer frente a series infinitas, ya que la suma solo permiteun número finito de términos.

Ambos temas son fundamentales en análisis matemático; por ello, se requierennuevas estructuras como los espacios métricos y espacios normados, los cuales sonimportantes en programación dinámica. Antes de abordar estas nuevas estructuras,cabe mencionar que el espacio normado es un espacio vectorial; no obstante, unespacio métrico puede ser o no un espacio vectorial.

A.2.2.2 Espacio métrico

¿Qué es una métrica? Una métrica (o distancia) es una función “d”, definidacomo:

d W SxS ! R

Tal que para todo x; y; z 2 S se cumple:

a) d.x; y/ � 0, con igualdad si y solo si x D y (no negatividad)


b) d.x; y/ D d.y; x/ (simetría)

c) d.x; z/ � d.x; y/C d.y; z/ (desigualdad triangular)

La definición de “métrica” resume las cuatro propiedades básicas de la distanciaeuclideana:

1. La distancia entre distintos puntos es estrictamente positiva.

2. La distancia de un punto a sí mismo es cero.

3. La distancia es simétrica.

4. La desigualdad triangular se mantiene.

¿Qué es un espacio métrico? Un espacio métrico es un conjunto “S” en el cualse ha definido una métrica “d”. Usualmente, a la dupla .S; d/ se le llama espaciométrico. A continuación se ilustra este concepto por medio de dos ejemplos:

Ejemplo 3. R como espacio métrico. R es un espacio métrico con una funcióndistancia d.x; y/ D jx � yj. Entonces, .R; d/ es un espacio métrico.

Ejemplo 4. Espacio de funciones. El conjunto de funciones C Œa; b� (funcionescontinuas del intervalo cerrado Œa; b� en R) es un espacio métrico con una funcióndistancia (métrica):

d1 W C Œa; b�xC Œa; b�! R

Definida por:d1.f; g/ D sup

t2Œa;b�

jf .t/ � g.t/j

Entonces, .C Œa; b�; d1/ es un espacio métrico.


¿Por qué es útil el concepto de espacio métrico? Los espacios métricos tienencuatro propiedades:

• Conexidad: si un espacio puede ser separado en dos conjuntos abiertos conintersección vacía, entonces el espacio es no conexo.

• Separabilidad: relacionada con conjuntos numerables.• Compacidad: un espacio puede ser descrito por un número finito de conjuntos

abiertos.• Completitud: permite analizar si una sucesión es convergente sin necesidad de

conocer su límite.

Las dos últimas propiedades (compacidad y completitud) son esenciales en elanálisis real y en la teoría de optimización. Además, en los espacios métricos sepueden estudiar: conjuntos abiertos, conjuntos cerrados y puntos interiores, entreotros conceptos de conjuntos.

A.2.2.3 Espacio (vectorial) normado

¿Qué es una norma? Una norma es una función que brinda la noción de “longitud”de un vector. La norma “k � k” está definida como:

k � k W S ! R

Tal que para todo x; y; z 2 S y ˛ 2 R se cumple:

a. k � k � 0, con igualdad si y solo si x D 0b. k˛xk Dj ˛ j kxkc. kx C yk � kxk C kyk (desigualdad triangular)

Por ejemplo, la norma del supremo está definida de la siguiente manera:

kf k D supfjf .x/jg (A.2)


¿Qué es un espacio normado? Un espacio normado es un espacio vectorial “S”en el cual se ha definido una norma “k � k”. La notación usual es la siguiente:.S; k � k/ se le llama espacio normado.

Asimismo, todo espacio normado .S; k � k/ es un espacio métrico con la métricadada por:

d.x; y/ D kx � yk

A esta métrica se le llama “métrica inducida por la norma k � k”. Además, todoslos conceptos definidos para espacios métricos aplican a espacios normados.

A.2.2.4 Espacio completo

Convergencia de una secuencia. Una secuencia fxng1nD0 en S converge a x 2 S ,si para cada � > 0, existe N� tal que:

d.xn; x/ < �; para todo n � N� (A.3)

Por tanto, una secuencia fxng1nD0 en un espacio métrico .S; d/ converge a x 2 Ssi y solo si la secuencia de distancias fd.xn; x/g, una secuencia en RC, converge acero. En este caso se escribe:

xn �! x() d.xn; x/ �! 0

Secuencia de Cauchy. Una secuencia fxng1nD0 en S es una secuencia de Cauchy(satisface el criterio de Cauchy) si para cada � > 0, existe N� tal que:

d.xn; xm/ < �; para todo n;m � N� (A.4)

Por tanto, una secuencia es de Cauchy si los puntos son cada vez más cercanosuno del otro. La ventaja del criterio de Cauchy, en comparación con (A.3), es que(A.4) puede ser revisado solo conociendo la secuencia fxng1nD0. No obstante, paraque el criterio de Cauchy sea útil, es necesario trabajar en espacios donde este (elespacio) implique la existencia de un punto límite. Entonces, ¿Cuándo se puedeafirmar que una sucesión de Cauchy implica convergencia (de dicha sucesión)?Ello puede afirmarse cuando trabajamos en espacios completos.


Espacio (métrico) completo. Un espacio métrico .S; d/ es completo si cadasecuencia de Cauchy en S converge a un elemento en S . En un espacio completo,verificar que una secuencia satisface el criterio de Cauchy es un camino paraverificar la existencia de un punto límite en S . Cabe mencionar que a un espaciovectorial normado completo se le llama Espacio de Banach.

Espacio normado completo. SeaX � Rl ; y sea Ca.X/ el conjunto de funcionescontinuas y acotadas f W X ! R con la norma del supremo, kf k D sup

x2X

kf .x/k,

entonces:Ca.X/ es un espacio vectorial normado completo.

En este espacio, la métrica definida es d.x; y/ D kx � yk, donde x; y sonfunciones.

A.2.3 Conceptos (parte II): contracciones

A.2.3.1 Contracción (aplicación contractiva)

¿Qué es una contracción? Sea (X, d) un espacio métrico. Una aplicación (fun-ción) en sí misma T W S ! S se llama contracción (con módulo ˇ) si 8x; y 2 S ,existe algún ˇ 2 .0; 1/ tal que:

d.T .x/; T .y// � ˇd.x; y/

Es decir, la distancia entre las imágenes de los dos puntos es menor que la distanciaentre dichos puntos. Toda contracción cumple con las siguientes propiedades:

• Una contracción posee al menos un punto fijo.• El teorema de Banach del punto fijo afirma que toda contracción sobre un

espacio métrico completo tiene un único punto fijo, y por tanto para cada x de Sla secuencia iterativa x; f .x/; f .f .x//; f .f .f .x///; ::: converge al punto fijo.

• Toda contracción T en un espacio métrico (S, d) es continua.


A.2.3.2 Condiciones de Blackwell

Blackwell brinda condiciones para que un operador T sea considerado contracción.

Condiciones suficientes de Blackwell para contracciones. Sea X � Rl , y seaB.X/ el espacio de funciones acotadas definidas en X , f W X ! R, con la normadel supremo. Sea T W B.X/! B.X/ un operador que satisface:

1. (monotonicidad) f; g 2 B.X/ y f .x/ � g.x/, para todo x 2 X , implica:

T Œf �.x/ � T Œg�.x/; para todo x 2 X

2. (descuento) existe algún ˇ 2 .0; 1/ tal que:

T Œf C a�.x/ � T Œf �.x/C ˇa; para todo f 2 B.X/; a � 0; x 2 X

Donde: .f C a/.x/ es la función definida por .f C a/.x/ D f .x/C a

Entonces, “T” es una contracción con módulo ˇ.

A.2.4 Conceptos (parte III): punto fijo

A.2.4.1 ¿Qué es un punto fijo?

Los puntos fijos de T son los elementos de S que satisfacen:

T .x/ D x

Es decir, son las intersecciones con la línea de 45. En este contexto, la preguntaque emerge es: ¿bajo qué circunstancias se puede asegurar que una contraccióntiene un punto fijo? Bajo las condiciones del teorema de Banach.

A.2.4.2 Teorema de la aplicación contractiva

Si (S; d ) es un espacio métrico completo y T W S ! S es una aplicación contracti-va con módulo ˇ, entonces:

404 A.3 Programación dinámica

a) T tiene solo un punto fijo v 2 S

b) Para cualquier v0 2 S; d.T nv0; v/ � ˇnd.v0; v/, n D 0; 1; 2:::

Este teorema sugiere dos temas importantes:

• Para asegurar que el operador T tenga un único punto fijo se requieren dos cosas:(1) Que el espacio de trabajo (conjunto de funciones) sea un espacio métrico

completo; y

(2) T sea una contracción.• Vamos a converger a dicho punto fijo independientemente de donde empecemos

a iterar el operador. Este se deduce de la expresión “para cualquier v0 2 S” enel item “b”.

A.3 Programación dinámica

Programación dinámica es una de las principales herramientas matemáticas enmacroeconomía. Su utilidad radica en que facilita la solución de los modelosrecursivos, comunes en macroeconomía, por medio del “principio de optimalidad”de Bellman (1957). Este principio indica que podemos empezar a resolver elmodelo desde el último periodo, considerando como dada la solución del periodoprevio. Este proceso recursivo se realiza periodo por periodo hasta el periodo inicial.Un excelente libro que explica con mayor detalle los conceptos relacionados ala Programación Dinámica es el de Stokey y Lucas (1989). Este apéndice siguede cerca a Riascos Villegas (2009). En particular, las hipótesis y proposicioneshan sido tomadas de Riascos Villegas (2009), quien las explica detalladamente.Referimos al lector a dicha obra para ver los detalles.


A.3.1 Panorama

En esta sección, se define qué problema queremos resolver. En macroecono-mía dinámica, usualmente el problema está definido en términos secuenciales.Esto significa que la solución consiste en un conjunto de secuencias como, porejemplo, la “secuencia del consumo” fctg1tD0, la cual en forma extendida es:c0; c1; c2; c3; :::; ci ; ::: Donde cada valor del consumo en cada periodo es el valorde equilibrio (óptimo) que el consumidor representativo elige como solución alproblema de optimización dinámica que enfrenta. Lo interesante del método deprogramación dinámica es que transforma este problema secuencial en un problemafuncional, el cual es más sencillo de resolver bajo ciertas condiciones. Asimismo,en esta sección se definen la función valor, la ecuación de Bellman y el problemafuncional.

A.3.1.1 ¿Qué tipo de problema queremos resolver?

Queremos resolver un problema de “optimización dinámica”, al cual llamaremosProblema Secuencial (PS):

supfut g

1XtD0

ˇtr.xt ; ut / (A.5)

s:a W

xtC1 D g.xt ; ut /

ut 2 �.xt /; t D 0; 1; 2; :::

x0 2 X dado

Donde:

1. r.xt;ut/ W función de retorno (instantáneo)

r.xt ; ut / W XxRm ! R

2. ˇ W factor de descuento, ˇ 2 Œ0;1/

3. xt W vector de variables de estado (xt 2 Rn)


4. ut W vector de variables de control (ut 2 Rm)

5. g.xt;ut/ W función que describe la evolución de la variables de estado (funciónde transición o ley de movimiento):

g.xt ; ut / W XxRm ! X

6. A.xt/ W es una correspondencia que describe las posibilidades de la variablede control cuando la economía se encuentra en el estado “xt”.

� W X � Rm

7. X W es el espacio de los valores que puede tomar la variable de estado (X � Rn)

8. x0 W el valor inicial de la variable de estado (estado inicial)

Ejemplo: Brock y Mirman (1972).El modelo básico de crecimiento está descrito por el siguiente problema (entérminos generales):

Maxfct ;ktC1g

1tD0

1XtD0

ˇt ln ct

s.a:


ct C it D f .kt /

ct ; kt � 08t

A este problema lo llamamos problema secuencial (PS). Considerando las siguien-tes formas funcionales: u.ct / D ln ct , f .kt / D k˛t . Además de los siguientessupuestos: ˛ 2 .0; 1/, ı D 1 y k0 dado, se tiene lo siguiente:

Maxfct ;ktC1g

1tD0

1XtD0

ˇt ln ct

s.a:

ktC1 D k˛t � ct

ct ; kt � 0

Existen tres formas de resolver este tipo de problema:


1. Método de apróximaciones sucesivas. Este método parte de un valor inicialde la solución y sucesivamente se acerca a la solución.

2. Programación dinámica. Este método resuelve un problema de optimizacióndinámica a través del análisis de ecuaciones funcionales.

3. Método de Lagrange. Método que hemos utilizado a lo largo del libro y quees una extensión de la técnica de Lagrange aplicada al modelo estático.

A.3.1.2 Función Valor

Bellman (1957) indica que el PS tiene una propiedad recursiva, lo cual permitetransformar el PS en un Problema Funcional (PF). En este contexto, se define una“función valor V.x0/” que indica el valor máximo de la función objetivo para cadax0 > 0.

V.x0/ D maxfut g

� 1XtD0

ˇtr.xt ; ut /

�(A.6)

Por ejemplo, en t D 1 se tiene x1:

V.x1/ D maxfut g

� 1XtD1

ˇt�1r.xt ; ut /

�(A.7)

A.3.1.3 Ecuación de Bellman

Bellman (1957) transformó la función objetivo del PS en una ecuación funcional:

V.x0/ D maxfut g

� 1XtD0

ˇtr.xt ; ut /

�D maxfut g

�r.x0; u0/C ˇr.x1; u1/C ˇ

2r.x2; u2/:::

�D maxfut g

�r.x0; u0/C ˇ

�r.x1; u1/C ˇ

2r.x2; u2/:::„ ƒ‚ …V.x1/

��

V.x0/ D maxfut g

�r.x0; u0/C ˇV.x1/

�


A esta última ecuación se le conoce como ecuación de Bellman. Esta es unaecuación funcional; es decir, es una ecuación cuya solución es una función (funciónvalor).

A.3.1.4 Problema funcional

Al reemplazar la ecuación de Bellman en el PS, se obtiene el PF (para t):

V.xt / D maxfut g

�r.x0; u0/C ˇV.g.xt ; ut //

�(A.8)

s.a:

ut 2 �.xt /; t D 0; 1; 2; :::

x0 2 X dado

Este PF merece tres comentarios:

1. El problema de infinitos periodos (PS) se ha convertido en un problema de dosperiodos.

2. Se está utilizando (explotando) la recursividad del PS.

3. Ahora el problema consiste en encontrar la función que resuelve el PF; es decir,la función valor.

A.3.1.5 Del PS al PF

La Figura A.1 describe el proceso de transformación del PS al PF y cómo sesoluciona dicho problema. El proceso es el siguiente: en primer lugar, el PS setransforma a un PF, cuya solución consiste en una función llamada función valor.En segundo lugar, el PF se transforma en un problema de punto fijo, el cual es mássencillo de resolver bajo el teorema de “punto fijo”. Lo interesante de este “nuevo”problema es que el teorema de punto fijo nos sugiere una forma de encontrar lasolución (función) por medio de la iteración de la función de valor. Luego deencontrar esta función, se procede a encontrar la función de política que describe


Problema Secuencial (PS)

Problema Funcional (PF)

Problema punto fijo

Solución Solución PF Solución PS

(valor supremo)

Teorema de Equivalencia

Se transforma Se transforma

2 1 3

4 5 6

Por el teorema del punto fijo para contracciones

Encontrar el punto fijo del operador T en Ca(X):

T[V](x) = V(x) Se encuentra la función

valor (V)

Se encuentra la función de política: h(x)

Se encuentra el plan óptimo: {(xt, ut)}

Resolviendo paso a paso el problema de

maximización del PF

Es…

Ca(X): conjunto de todas las funciones acotadas

Figura A.1: Del PS al PF y su proceso de solución

el comportamiento de las variables de control en función de las variables de estado;después se encuentra el plan óptimo de las variables de control. Finalmente, estasolución del problema de punto fijo es la solución del PF, la cual por medio delteorema de equivalencia, es la solución del PS.

A.3.2 Detalles

En la sección previa hemos definido el PS, el PF y la relación entre ellas. Es más,hemos visto cómo podemos transformar el PS a un PF. Sin embargo, no hemossido explícitos en los supuestos detras de dicha relación ni hemos obtenido dicharelación formalmente. En esta sección detallaremos cómo pasar del PS al PF ycuáles son las hipótesis que necesitamos para obtener dicha relación.


T3 (teorema de diferenciabilidad de

la función valor) Teorema de Benveniste-

Scheinkman

Teoremas Proposiciones Hipótesis

P1: ῦ resuelve el PF P2: ῦ resuelve el PS P3: din. fac. en el PF P4: din. fac. en el PS

T1 (teorema de equivalencia)

Principio de optimalidad

H1 al H3

T2 (punto fijo para contracciones)

H4 y H5

H4 al H7 P5: función valor

estrictamente monótona

H4, H5 y H7 al H10 P6: función valor

estrictamente cóncava

H4, H5 y H7 al H12

Función objetivo

Supremo

Monotonicidad

Concavidad

Diferenciabilidad

3 propiedades de la función valor

PS

PF

Figura A.2: Tres principales teoremas en programación dinámica (y surelación con sus hipótesis y proposiciones)

Hipótesis que sustentan las proposiciones y los teoremas. En la Figura A.2, sedescriben las hipótesis que sustentan las proposiciones y los teoremas para el PS yPF. En programación dinámica, existen tres principales teoremas: el primero esel teorema de equivalencia, que permite transformar el PS al PF; el segundo es elteorema del punto fijo, el cual permite transformar el PF a un problema de puntofijo. Finalmente, el tercer teorema es acerca de la diferenciabilidad de la funciónvalor, el cual permite obtener la solución del PF explotando las propiedades de lafunción valor.

Cada uno de estos teoremas están basados en un conjunto de hipótesis (o supuestos).Por ejemplo, el primer teorema está basado en cuatro proposiciones, las cuales, asu vez, están basados en tres hipótesis (H1 al H3). Asimismo, el segundo teoremase basa en dos hipótesis (H4 y H5). Finalmente, el tercer teorema tiene su base enocho hipótesis (H4, H5 y H7 al H12). Todas estas hipótesis serán descritas másadelante en el apéndice.


A.3.2.1 Principio de optimalidad

Bellman (1957) propuso un principio, el cual permitía encontrar una relación entrela solución del PS y el PF. A este principio se le conoce como el “Principio deoptimalidad”.

Teorema 1: Principio de optimalidad. La solución V del PF, evaluado en x0,brinda el valor del supremo en el PS cuando el estado inicial es x0. Además, unasecuencia futg1tD0 alcanza el supremo si y solo si esta secuencia satisface (A.9)

V.xt / D r.xt ; ut /C ˇV.xtC1/ (A.9)

La pregunta que surge es: ¿Bajo qué condiciones el principio de optimalidad semantiene? Cuatro proposiciones juntas establecen las condiciones que permitenque la solución del PS y del PF coincidan exactamente, y que posibilitan quelas políticas óptimas sean aquellas que satisfacen (A.9). Estas proposiciones sedetallan a continuación (ver Figura A.2):

1. Proposición 1. Establece que la función del supremo eV para el PS satisfaceel PF (del PS al PF). No obstante, la ecuación funcional (además de eV ) puedetener otras soluciones.

2. Proposición 2. Establece lo inverso de manera parcial (del PF al PS). Es parcialporque se impone una condición de acotamiento. Esta proposición impide quela ecuación funcional tenga otras soluciones porque no cumplen la condiciónde transversalidad fuerte. La única solución que cumple dicha condición es eV .

3. Proposición 3. Muestra que si futg1tD0 es una secuencia que alcanza el supremoen el PS, entonces este satisface (A.9) para:

V„ƒ‚…sol. del PF

D eV„ƒ‚…sol. del PS

4. Proposición 4. Establece que cualquier secuencia futg1tD0 que satisface (A.9)para V D eV y que también satisface una condición de acotamiento, entoncestambién alcanza el supremo en el PS.


Definiciones. Antes de analizar las hipótesis que sustentan las cuatro proposicio-nes es importante mencionar algunas definiciones:

1. Dinámica factible desde x0. Es una sucesión de estados y controlesf.xt ; ut /g

1tD0 en XxRm para el PS si: ut 2 �.xt / y xtC1 D g.xt ; ut / pa-

ra todo t D 0; 1; 2:::

2. ….x0/: Conjunto de todas las dinámicas factibles desde x0.

….x0/ W

�f.xt ; ut /g

1tD0 tal que ut 2 �.xt /;8t D 0; 1; 2:::

�

3. Plan factible desde x0. Es una sucesión de controles f.ut /g1tD0.

4. Plan óptimo desde x0. Es un plan factible f.u�t /g1tD0 que permite alcanzar el

supremo del PS.

Cabe mencionar que un plan factible determina unívocamente una dinámicafactible. Por tanto, un plan óptimo f.ut /g1tD0 determina una dinámica óptimaf.x�t ; u

�t /g1tD0.

Hipótesis 1: �.x/ ¤ � para todo x 2 X .

• La hipótesis 1 asegura que ….x0/ (conjunto de dinámicas factibles desde x0)no sea vacío 8x0 2 X . Esto indica que todos los planes factibles pueden serevaluados usando r.x; u/ y ˇ.

• En el PS,P1tD0 ˇ

tr.xt ; ut / podría tomar tres valores: un número finito,C1 o�1. Deseamos que esta función objetivo esté acotada; es decir, que la sumatoriainfinita tenga un valor finito.

Hipótesis 2: Función objetivo

Para todo x0 2 X , 9Mx0 2 R, tal queP1tD0 ˇ

tr.xt ; ut / � Mx0 para todadinámica factible f.xt ; ut /gtD0;1;2::: desde x0.

• La hipótesis 2 elimina la posibilidad queP1tD0 ˇ

tr.xt ; ut / seaC1. Para ellose restringe el conjunto de dinámicas factibles de tal forma que dicha sumatoriaesté acotada (superiormente).


• No obstante, la función objetivo (suma infinita) aún puede tomar, para ciertasdinámicas factibles, el valor de �1. La hipótesis 3 busca acotar dicha dinámicas.

Hipótesis 3: Función objetivo

Para todo x0 2 X , 9 una dinámica factible f.xt ; ut /gtD0;1;2::: desde x0 y unmx0 2R, tal que la sucesión de sumas parciales fSngtD0;1;2:::Sn D

PntD0 ˇ

tr.xt ; ut /

satisface mx0 � Sn.

• Por tanto, las hipótesis 2 y 3 tienen como único fin garantizar la existencia de unvalor finito para el supremo del PS; es decir, que la función objetivo esté biendefinida para cada dinámica factible f.xt ; ut /g 2 �.x0/.

• Según las condiciones anteriores, podemos definir la “función supremo” eV WX ! R que sea el valor supremo del PS:

eV .x0/ D supf.xt ;ut /g2….x0/

1XtD0


Donde eV .x0/ es el valor supremo del PS. A esta función eV se le llama “funciónvalor”.

Función Supremo. Por definición, la función supremo eV W X ! R es única ysatisface tres condiciones (considerando una función objetivo genérica �.x/):

eV .x0/ D supx2….x0/

�.x/

1. Si jeV .x0/j <1, entonces:

• eV .x0/ � �.x/;8(para todo) x 2 ….x0/• Para cualquier � > 0: eV .x0/ � �.x/C �; para algún x 2 ….x0/

2. Si jeV .x0/j D C1, entonces existe una secuencia fxkg en ….x0/ tal que:

Limk!1

�.xk/ D C1

3. Si jeV .x0/j D �1, entonces �.x/ D �1, para todo x 2 ….x0/


A continuación, se describen detalladamente las cuatro proposiciones que sustentanel principio de optimalidad.

Proposición 1. Bajo las hipótesis 1, 2 y 3, eV resuelve el PF.

Demostración. La estrategia de demostración tiene dos pasos. El primero esencontrar la relación entre la función supremo eV y la ecuación funcional para dosvalores iniciales distintos x1 y x0; el segundo consiste en unir el resultado del paso1 para x1 y x0.

1. Evaluando en x1: Sea � > 0; u0 2 �.x0/ y x1 D g.x0; u0/

• Como eV .x1/ es el valor supremo del PS con valor inicial x1.t D 1/, entonces9 una dinámica factible desde x1; f.x1; u1/; .x2; u2/; :::g, tal que (por lapropiedad del supremo):

1XtD1

ˇt�1r.xt ; ut / � eV .x1/ � � (A.11)

• Se sabe que f.x0; u0/; .x1; u1/; :::g 2 ….x0/ y que por la propiedad delsupremo:

eV .x0/ � 1XtD0

ˇtr.xt ; ut /

� r.x0; u0/C ˇ

1XtD1

ˇt�1r.xt ; ut /

� r.x0; u0/C ˇeV .x1/ � ˇ�eV .x0/ � r.x0; u0/C ˇeV .g.x0; u0// � ˇ�Para pasar de la segunda a la tercera línea se utiliza la Ecuación (A.11).

• Como la última ecuación es verdad para todo � > 0 y u0 en cualquierelemento de �.x0/, entonces tenemos que:eV .x0/ � r.x0; u0/C ˇeV .g.x0; u0//; 8u0 2 �.x0/

• Como la ecuación anterior se cumple para todo u0, entonces:

eV .x0/ � supu02�.x0/

�r.x0; u0/C ˇeV .g.x0; u0//�


• Generalizando para todo “t”:

eV .x/ � supu2�.x/

�r.x; u/C ˇeV .g.x; u//� (A.12)

2. Evaluando en x0: Sea � > 0, entonces por definición del supremo, 9 unadinámica factible desde x0 f.x0; u0/; .x1; u1/; :::g, tal que:

eV .x0/ � 1XtD0

ˇtr.xt ; ut /C �

eV .x0/ � r.x0; u0/C ˇeV .x1/C �• Como � es arbitrario, entonces:eV .x0/ � r.x0; u0/C ˇeV .g.x0; u0//eV .x0/ � sup

u02�.x0/

�r.x0; u0/C ˇeV .g.x0; u0//�

• Generalizando para todo “t”:

eV .x/ � supu2�.x/

�r.x; u/C ˇeV .g.x; u//� (A.13)

3. Uniendo resultados. Al unir las dos ecuaciones (A.12) y (A.13) se tiene:

supu2�.x/

�r.x; u/C ˇeV .g.x; u//� � eV .x/ � sup

u2�.x/

�r.x; u/C ˇeV .g.x; u//�

4. Por tanto: eV .x/ D supu2�.x/

�r.x; u/C ˇeV .g.x; u//� (A.14)

Lo cual indica que la función supremo (o función valor) es una solución de laecuación funcional (PF).

5. La proposición 1 indica que eV es una solución del PF, pero no indica que sea laúnica. Con el fin de asegurar que esta sea la única solución del PF se imponeuna restricción adicional: “condición de transversalidad fuerte”. La proposición2 asegura lo anterior.


Proposición 2. Según las hipótesis 1, 2 y 3, V resuelve el PF, y si además secumple la condición de transversalidad fuerte:

Limt!1

ˇtV.xt / D 0

para todo x0 2 X y dinámica factible f.xt ; ut /g desde x0, entonces eV D V (esdecir, V resuelve el PS).

Demostración. En este caso, hay que demostrar que V es la función supremoeV . La estrategia de demostración tiene dos pasos: el primero es demostrar quepara toda dinámica factible desde x0 se cumple que V.x0/ �

P1tD0 ˇ

tr.xt ; ut /;el segundo es demostrar que para todo � > 0; 9 una dinámica factible f.xt ; ut /gdesde x0, de modo que: V.x0/ �

P1tD0 ˇ

tr.xt ; ut /C �. Ambos pasos aseguranque V es la función supremo (o función valor).

1. Paso 1a. Como V es solución del PF, entonces 8 dinámica factible f.xt ; ut /g 2….x0/ tenemos:

V.x0/ � r.x0; u0/C ˇV.x1/ (POR PROPIEDAD DEL SUPREMO)

V.x1/ � r.x1; u1/C ˇV.x2/ (PARA x1 )

r.x0; u0/C ˇV.x1/ � r.x0; u0/C ˇr.x1; u1/C ˇ�ˇV.x2/

�POR TRANSITIVIDAD EN LA 1ERA INECUACIÓN:

V.x0/ � r.x0; u0/C ˇr.x1; u1/C ˇ2V.x2/

V .x0/ �

1XtD0

ˇtr.xt ; ut /C ˇ2V.x2/ (EN FORMA COMPACTA)

POR INDUCCIÓN (K PASOS):

V.x0/ �

kXtD0

ˇtr.xt ; ut /C ˇkC1V.xkC1/ (A.15)

2. Paso 1b. Haciendo k !1 y usando la condición de transversalidad fuerte:

V.x0/ � Limk!1

� kXtD0

ˇtr.xt ; ut /C ˇkC1V.xkC1/

�

V.x0/ � Limk!1

� kXtD0

ˇtr.xt ; ut /

�C Limk!1

�ˇkC1V.xkC1/

�


POR CONDICIÓN DE TRANSVERSALIDAD FUERTE:

V.x0/ �

1XtD0

ˇtr.xt ; ut /C 0

V.x0/ �

1XtD0


3. Paso 2a. Sea � > 0 y fıtgtD0;1;2::: una sucesión de números reales positivos,tal que:

1XtD0

ıtˇt� � (A.17)

4. Paso 2b. Como V resuelve el PF, entonces 9u0 2 �.x0/ de modo que:

(POR PROPIEDAD DEL SUPREMO)

V.x0/ � r.x0; u0/C ˇV.x1/C ı0

TAMBIÉN EXISTE u1 2 �.x1/ TAL QUE:

V.x1/ � r.x1; u1/C ˇV.x2/C ı1

r.x0; u0/C ˇV.x1/ � r.x0; u0/C ˇr.x1; u1/C ˇ�ˇV.x2/

�C ˇı1

POR TRANSITIVIDAD EN LA 1ERA INECUACIÓN:

V.x0/ � r.x0; u0/C ˇr.x1; u1/C ˇ2V.x2/C ˇı1

(EN FORMA COMPACTA)

V.x0/ �

1XtD0

ˇtr.xt ; ut /C ˇ2V.x2/C

1XtD1

ˇtıt

5. Paso 2c. Por inducción (k pasos):

V.x0/ �

kXtD0

ˇtr.xt ; ut /C ˇkC1V.xkC1/C

kXtD1

ˇtıt

6. Paso 2d. Haciendo k !1 y usando la Expresión (A.17):

V.x0/ � Limk!1

� kXtD0

ˇtr.xt ; ut /C ˇkC1V.xkC1/C

kXtD1

ˇtıt

�


V.x0/ � Limk!1

� kXtD0

ˇtr.xt ; ut /

�C Limk!1

�ˇkC1V.xkC1/

�C Limk!1

� kXtD1

ˇtıt

�POR CONDICIÓN DE TRANSVERSALIDAD FUERTE Y (A.17):

V.x0/ �

1XtD0

ˇtr.xt ; ut /C 0C �

V .x0/ �

1XtD0

ˇtr.xt ; ut /C � (A.18)

7. De las relaciones (A.16) y (A.18) se concluye que V es la función supremo(función valor).

8. El PF puede tener muchas soluciones, pero la proposición 2 muestra que dichassoluciones (excepto eV ) violan la condición de transversalidad fuerte y la únicaque satisface dicha condición es eV . Por tanto, V D eV

Proposición 3. Bajo las hipótesis 1,2 y 3: sea f.x�t ; u�t /g una dinámica factible

desde x�0 que permite alcanzar el supremo del PS, entonces dicha dinámica factiblecumple con (A.9): eV .x�t / D r.x�t ; u�t /C ˇeV .x�tC1/ (A.19)

Es decir, permite alcanzar el supremo en el PF.

Demostración. La estrategia de demostración tiene dos pasos: primero demos-tramos que la Ecuación (A.19) se cumple para t D 0; luego extendemos esteresultado para todo t D 1; 2; 3 (por inducción).

1. Paso 1a. Debido a que f.x�t ; u�t /g es una dinámica factible desde x�0 que

permite alcanzar el supremo del PS, entonces se cumple:

eV .x�0 / D 1XtD0

ˇtr.x�t ; u�t /

1XtD0

ˇtr.x�t ; u�t / D r.x

�0 ; u�0/C ˇ

1XtD0

ˇtr.x�tC1; u�tC1/ (A.20)


2. Paso 1b. Para toda dinámica factible f.x�1 ; u1/; .x2; u2/; .x3; u3/; :::g 2….x�1 /, por la definición del supremo se cumple:

1XtD0

ˇtr.x�t ; u�t / � r.x

�0 ; u�0/C ˇ

1XtD0

ˇtr.xtC1; utC1/ (A.21)

Por tanto, de la expresión (A.20) y (A.21) se tiene que:1XtD0

ˇtr.x�tC1; u�tC1/ �

1XtD0

ˇtr.xtC1; utC1/ (A.22)

3. Paso 1c. Además, como la dinámica factiblef.x�1 ; u

�1/; .x

�2 ; u�2/; .x

�3 ; u�3/; :::g 2 ….x�1 /, entonces se cumple queP1

tD0 ˇtr.x�tC1; u

�tC1/ tiene que ser el valor supremo con valor inicial en x�1 :

eV .x�1 / D 1XtD0

ˇtr.x�tC1; u�tC1/ (A.23)

4. Paso 1d. Reemplazando la expresión (A.23) en (A.20) se tiene:eV .x�0 / D r.x�0 ; u�0/C ˇeV .x�1 / (A.24)

5. Paso 2a. Se probó que:eV .x�0 / D r.x�0 ; u�0/C ˇeV .x�1 /eV .x�1 / D 1X

tD0

ˇtr.x�tC1; u�tC1/

6. Paso 2b. Se propone la hipótesis inductiva:eV .x�k / D r.x�k ; u�k/C ˇeV .x�kC1/ (A.25)

Donde eV .x�k/8k 2 N se define como:

eV .x�k / D 1XtD0

ˇtr.x�tCk; u�tCk/ (A.26)

Si la hipótesis (ecuación (A.25)) se cumple para “k C 1”, entonces la hipótesises verdadera.


7. Paso 2c. Verificando para “k C 1”:

DE (A.25) Y DE (A.26)

r.x�k ; u�k/C ˇ

eV .x�kC1/ D eV .x�k / D 1XtD0

ˇtr.x�tCk; u�tCk/

r.x�k ; u�k/C ˇ

eV .x�kC1/ D r.x�k ; u�k/C ˇ 1XtD0

ˇtr.x�tC.kC1/; u�tC.kC1//

eV .x�kC1/ D 1XtD0


eV .x�kC1/ D r.x�kC1; u�kC1/C ˇ 1XtD0


eV .x�kC1/ D r.x�kC1; u�kC1/C ˇeV .x�kC2/ (A.27)

Por tanto, la hipótesis inductiva es verdadera y generalizable para todo “t D0; 1; 2; :::”

Proposición 4. Bajo las hipótesis 1,2 y 3, si f.x�t ; u�t /g una dinámica factible

desde x�0 que satisface (A.19) y se cumple la condición de transversalidad débil:

Limt!1

ˇtV.xt / � 0;

entonces f.x�t ; u�t /g resuelve el PS.

Demostración. La estrategia es la siguiente: si f.x�t ; u�t /g resuelve el PS, esto

significa que permite alcanzar el supremo: eV .x0/ D supfut g

˚P1tD0 ˇ

tr.xt ; ut /; es

decir, eV .x�0 / DP1tD0 ˇtr.x�t ; u�t /. Esto último es lo que tenemos que demostrar.

1. Paso 1. Como f.x�t ; u�t /g es una dinámica factible desde x0, entonces:

eV .x�0 / � 1XtD0

ˇtr.x�t ; u�t / (A.28)


2. Paso 2. Además, f.x�t ; u�t /g satisface (A.19); es decir, permite alcanzar el

supremo en el PF:

eV .x�t / D r.x�t ; u�t /C ˇeV .x�tC1/8t D 0;1;2; ::: :eV .x�0 / D r.x�0 ; u�0/C ˇeV .x�1 /eV .x�1 / D r.x�1 ; u�1/C ˇeV .x�2 /eV .x�2 / D r.x�2 ; u�2/C ˇeV .x�3 /...eV .x�k / D r.x�k ; u�k/C ˇeV .x�kC1/

3. Paso 3. Reemplazando eV .x�2 / en eV .x�1 /:eV .x�2 / D r.x�2 ; u�2/C ˇeV .x�3 /eV .x�1 / D r.x�1 ; u�1/C ˇ�r.x�2 ; u�2/C ˇeV .x�3 /�

REEMPLAZANDOeV .x�1 / ENeV .x�0 /:eV .x�0 / D r.x�0 ; u�0/C ˇ�r.x�1 ; u�1/C ˇr.x�2 ; u�2/C ˇ2eV .x�3 /�DE FORMA COMPACTA:

eV .x�0 / D 2XtD0

ˇtr.x�t ; u�t /C ˇ

3eV .x�3 /POR INDUCCIÓN (K PASOS):

eV .x�0 / D kXtD0


kC1eV .x�kC1/ (A.29)

4. Paso 4. Tomando k !1 en la Ecuación (A.29):

eV .x�0 / D Limk!1

� kXtD0


kC1eV .x�kC1/�eV .x�0 / D 1X

tD0

ˇtr.x�t ; u�t /C Lim

k!1

�ˇkC1eV .x�kC1/�

POR CONDICIÓN DE TRANSVERSALIDAD DÉBIL: Limt!1

ˇtV.xt /� 0


eV .x�0 / � 1XtD0

ˇtr.x�t ; u�t / (A.30)

5. Paso 5. De las relaciones (A.28) y (A.30) se tiene1XtD0

ˇtr.x�t ; u�t / �

eV .x�0 / � 1XtD0

ˇtr.x�t ; u�t / (A.31)

Por tanto: eV .x�0 / D 1XtD0

ˇtr.x�t ; u�t / (A.32)

Lo cual indica que la dinámica factible f.x�t ; u�t /g resuelve el PS.

Conclusión: Las proposiciones 1 a 4 implican que (bajo las hipótesis 1, 2 y 3)la solución a la Ecuación (A.9): V.xt / D r.xt ; ut / C ˇV.xtC1/ (PF) coincideexactamente (en términos de valores y planes óptimos) con la solución del PS; esdecir, el principio de optimalidad se mantiene.

A.3.2.2 Método para solucionar el PF

Hasta aquí se ha estudiado la relación entre el PS y el PF, pero no se ha presentadoningún método para solucionar el PF. Lo interesante de la programación dinámicaes que ofrece varios métodos de solución del PF: métodos teóricos y numéricos. Elprincipal método es considerar al PF como un problema de punto fijo. Para ello,necesitamos dos hipótesis adicionales: sobre la correspondencia �.x/ y la funciónde retorno r.x; u/.

Hipótesis que permiten considerar el PF como un punto fijo:

Hipótesis 4: � W X � X es una correspondencia de valores compactos (i.e. �.x/es compacto para todo x), continua y �.x/ ¤ � para todo x.

Hipótesis 5: ˇ 2 .0; 1/ y r.xt ; ut / es acotada y continua sobre el grafo de � .

Donde:Grafo de � W

˚.x; u/ 2 XxRm tal que u 2 �.x/


• Las hipótesis 4 y 5 implican las hipótesis 1, 2 y 3. Entonces, las proposiciones 1al 4 se mantienen y, por ende, el principio de optimalidad.

• Por la hipótesis 5, eV (y, en consecuencia, “V” por el principio de optimalidad)que es una función real, también es acotada y continua.

• Definamos Ca.X/ W Espacio de las funciones reales, continuas y acotadas.Entonces: eV D V 2 Ca.X/.

• Definimos un operador T: Ca.X/! Ca.X/ del PF:

T ŒV �.x/ D supfug2�.x/

�r.x; u/C ˇV.g.x; u//

�(A.33)

• Del PF sabemos:

V.x/ D supfug2�.x/

�r.x; u/C ˇV.g.x; u//

�(A.34)

• De (A.33) y (A.34), el PF se convierte en un “Problema de punto fijo (PptoFijo)”:

T ŒV �.x/ D V.x/ (A.35)

Donde la función V es el punto fijo. Si encontramos la función V que resuelve(A.35) (PptoFijo), entonces tendremos la solución del PF y por el principio deoptimalidad tendremos la solución del PS.

• Debido a que se tiene la función valor, se puede encontrar el plan óptimo:– Forma 1: resolviendo paso a paso el problema del máximo que aparece en el

PF (i.e. encontrar la función de política).– Forma 2: resolviendo el sistema de ecuaciones:

V.x�t / D r.x�t ; u�t /C ˇV.x

�tC1/; t D 0; 1; 2; 3:::

Necesitamos un teorema que asegure que el operador “T W Ca.X/! Ca.X/”tiene un único punto fijo y, por tanto, una solución al (A.35) (Punto Fijo). Elteorema del punto fijo para contracciones asegura lo anterior.

Teorema 2: Teorema del punto fijo. Bajo las hipótesis 4 y 5, sea Ca.X/ (espaciode las funciones reales, continuas y acotadas sobre X) con la norma del supremok � k, entonces el operador “T” definido en Ca.X/ es una aplicación de este espacioen sí mismo, T: Ca.X/! Ca.X/ , definido como:

T ŒV �.x/ D sup

�r.xt ; ut /C ˇV.g.xt ; ut //

�(A.36)


sujeto a: ut 2 �.xt /, Satisface:

1. T ŒV � 2 Ca.X/

2. “T ” tiene un único punto fijo “V ”: T ŒV � D V

3. Para cualquier V0 2 Ca.X/, se tiene:


En particular:Limn!1

T n.V0/ D V

Nota: la norma del supremo k � k está definida como:

kf k D supfjf .x/jg (A.37)

El teorema del punto fijo ofrece un método de solución del PF: “la convergenciade iteraciones sucesivas de una función contractiva al punto fijo”, la cual consisteen la sucesión de funciones fVng1nD0, definida como:

Vn D T ŒVn�1�; n � 1 (A.38)

Que converge al punto fijo (V ) de la contracción T ; es decir:

Limn!1

Vn D V (A.39)

Demostración.

1. Paso 1. Bajo las hipótesis 4, 5 y 8, se tiene que para cada f 2 Ca.X/^ x 2 Xel problema del punto de fijo:

T Œf �.x/ D maxut2�.X/

˚r.xt ; ut /C f .ut /

(A.40)

Se reduce a maximizar la función continua:˚r.xt ; �/C f .�/

(A.41)


Sobre el conjunto compacto �.X/. Esto permite alcanzar el máximo.

Una pregunta que tenemos que responder es: ¿T Œf � es acotada y continua? Sesabe que su dominio lo es.

2. Paso 2a. Debido a que r.xt ; ut / y f .ut / son acotadas, entonces:

T Œf �; también es acotada.

3. Paso 2b. Debido a que r.xt ; ut / y f .ut / son continuas, y �.X/ es compacto,entonces:

por el teorema del máximo, se tiene que T Œf � es continua.

Por tanto, de los pasos 2a y 2b se tiene que: T Œf � es continua y acotada, y dadoque T fue definido (dominio) en Ca.X/, entonces se obtiene que el operadorT Œf � es:

T Œf � W Ca.X/! Ca.X/

4. Paso 4. ¿T es una contracción?

Sí. Esto se debe a que el operador T cumple con las condiciones de Blackwell.

5. Paso 5. ¿T tiene un único punto fijo?

Sí. Debido a que Ca.X/ es un espacio de Banach, entonces por el teorema de la“aplicación contractiva”, T tiene un único punto fijo V 2 Ca.X/ y se cumpleque:


Con estas herramientas en nuestras manos, pasemos a resolver algunos ejemplos.


Ejemplo. Modelo de Brock y Mirman (1972):El modelo básico de crecimiento está descrito por el siguiente problema (entérminos generales):

Maxfct ;ktC1g

1tD0

1XtD0

ˇt ln ct

s.a:


ct C it D f .kt /

ct ; kt � 08t

A este problema lo llamamos problema secuencial (PS). Considerando las siguien-tes formas funcionales

�u.ct / ln ct , f .kt / D k˛t

�, y supuestos

�˛ 2 .0; 1/, ı D 1

y k0 dado�

se tiene:

Maxfct ;ktC1g

1tD0

1XtD0

ˇt ln ct

s.a:

ktC1 D k˛t � ct

ct ; kt � 0

La ecuación funcional (o de Bellman) es:

V.kt / D Maxfct ;ktC1g

1tD0

˚ln ct C ˇV.ktC1/

Al reemplazar la restricción en la ecuación de Bellman ktC1 D k˛t �ct , el problemafuncional asociado queda descrito de la siguiente manera:

V.kt / D Maxfct g1tD0

˚ln ct C ˇV.k˛t � ct /

0 � ct � k

˛t

1. Para resolver el PF utilizaremos el método de iteración de la función valor(propuesto por el teorema del punto fijo para contracciones), la Expresión(A.38):

Vn D T ŒVn�1�; n � 1 (A.42)

Se inicia con la función más sencilla: V0 D 0


2. Encontrando V1:

V1 D T ŒV0�

#

D Maxfct g1tD0

˚ln ct C ˇ V0.k˛t � ct /„ ƒ‚ …

D0

D Maxfct g1tD0

˚ln ct

(A.43)

(a) En esta etapa, se aplica la condición de primer orden:

@ función objetivo@ct

D 0

No obstante, en este caso, por ser “ln” monótona, entonces el valor máximose alcanza cuando ct D k˛t (ver la restricción del PF).

(b) Reemplazando ct que maximiza la función objetivo en (A.73) se obtieneT ŒV0� y, por ende, V1:

V1 D T ŒV0� D ln�k˛t�

V1 D ˛ ln kt (A.44)

3. Encontrando V2:

V2 D T ŒV1�

#

D Maxfct g1tD0

˚ln ct C ˇ V1.k˛t � ct /„ ƒ‚ …

D˛ ln.k˛t �ct /

D Maxfct g1tD0

˚ln ct C ˇ˛ ln.k˛t � ct /

(A.45)



D 0

ct Dk˛t

1C ˇ˛(A.46)


(b) Reemplazando ct que maximiza la función objetivo en (A.75) se obtieneT ŒV1� y, por ende, V2:

V2 D T ŒV1� D ˛.1C ˇ˛/ ln kt C ˇ˛ ln�

ˇ˛

1C ˇ˛

�� ln.1C ˇ˛/

V2 D ˛.1C ˇ˛/ ln kt C ˇ˛ ln�

ˇ˛

1C ˇ˛

�� ln.1C ˇ˛/ (A.47)

4. De igual forma podemos hacer para V3 y luego, en forma general, vemos que:

Vn.kt / D An C

�˛

n�1XiD0

.ˇ˛/i ln kt

�(A.48)

Donde hacemos que n!1 por la propiedad (A.39):

Limn!1

Vn D V

Limn!1

Vn.kt / D Limn!1

An C Limn!1

�˛

n�1XiD0

.ˇ˛/i ln kt

�

V D AC

�˛

1XiD0

.ˇ˛/i ln kt

�V D AC

˛

1 � ˇ˛ln kt (A.49)

La constante “A” la podemos encontrar reemplazando “V” y podemos encontrar ladinámica óptima en la ecuación de Bellman. Después de esto, pasamos a encontrarla función de política. Con este fin en mente, dado que ya conocemos la funciónvalor (V ), la reemplazamos en la ecuación de Bellman del PF.

1. Reemplazando la función valor en el PF:

V.kt / D Maxfct g1tD0

˚ln ct C ˇ

�ln.k˛t � ct /

�0 � ct � k

˛t

El problema funcional se convierte en un problema de optimización estándar(en “t”), al cual se le pueden aplicar las condiciones de primer orden (CPO).


Aplicando CPO:@ función objetivo

@ctD 0

Encontramos la función de política: ct D h.kt /

ct D .1 � ˛ˇ/k˛t (A.50)

2. Encontrando la constante “A”: reemplazamos la función valor y la función depolítica en la ecuación de Bellman (el máximo desaparece porque la función depolítica permite alcanzarlo):

AC˛

1 � ˇ˛ln kt D ln.h.kt //C ˇ

�ln.k˛t � h.kt //

�Resolviendo e igualando los coeficientes de los términos similares:

A D

�1

1 � ˇ

�.ln.1 � ˛ˇ/C

˛ˇ

1 � ˛ˇln˛ˇ/

Finalmente, encontramos la dinámica optima:

1. La dinámica óptima es la sucesión fct ; ktg1tD0 descrita por este sistema deecuaciones (con k0 dado):

EC. DE EVOLUCIÓN DE LA VARIABLE DE ESTADO

ktC1 D k˛t � .1 � ˛ˇ/k

˛t D ˛ˇk

˛t (A.51)

FUNCIÓN DE POLÍTICA

ct D .1 � ˛ˇ/k˛t (A.52)

El siguiente ejercicio se deja para el lector. La forma de resolverlo es siguiendo lospasos del ejemplo.

Ejercicio. Modelo con hábitos de consumo:

Maxfct ;ktC1g

1tD0

1XtD0

ˇt .ln ct C ln ct�1/


sujeto a:ct C ktC1 � Ak

˛t

Donde: ˇ 2 .0; 1/, < 0, A > 0 y ˛ 2 .0; 1/. k0 y c�1 dado.

1. Escribir la ecuación de Bellman.

2. Demostrar que la solución de dicha ecuación tiene la siguiente forma:

v.kt ; ct�1/ D E C F lnkt CGlnct�1

3. Demostrar que la dinámica óptima del capital tiene esta forma:

ln ktC1 D I CH ln kt

Donde E;F;G;H; I son constantes. Dé fórmulas explícitas para estas constan-tes en términos de los parámetros del problema.

A.3.2.3 Método de cálculo diferencial para solucionar el PF

Para aplicar los métodos de cálculo diferencial en la solución de problemas deoptimización dinámica se requiere que la función valor tenga tres propiedadesimportantes: monotonicidad, concavidad, y diferenciabilidad.

[1] Monotonicidad de V.xt /. Para asegurar la monotonocidad de la función valor,necesitamos dos hipótesis adicionales (H6 y H7).

Hipótesis 6: r.x; u/ y g.x; u/.Para cada u 2 Rm, las funciones:

r.xt ; u/ W X ! R es estrictamente creciente

g.xt ; u/ W X ! X es creciente

Hipótesis 7: �.x/� es monótona (i.e. si x0 > x ! �.x0/ � �.x/ )

Con estas dos hipótesis adiconales tenemos la siguiente proposición que asegura lamonotonicidad de la función valor:


Proposición 5 (Monotonicidad de V.x/). Bajo las hipótesis 4 al 7, la función valores estrictamente creciente.

Demostración. La estrategia tiene dos pasos. El primero es demostrar que “T Œf �”es una función estrictamente creciente; el segundo paso es considerar el “Problemade Punto Fijo” y de allí derivar que “V ” es también estrictamente creciente.

1. Sabemos:

• Ca.X/ es el espacio de las funciones reales, continuas y acotadas con lanorma del supremo.

• Cc.X/ � Ca.X/ es el espacio de las funciones reales, continuas, acotadas ycrecientes.

• Se observa que Cc.X/ es un subespacio cerrado en Ca.X/, y por tanto es unespacio completo en la norma del supremo.

2. Paso 1. Vamos a probar que “si f 2 Ca.X/ es creciente, entonces T Œf � es unafunción estrictamente creciente.”

3. Paso 1a. Por la hipótesis 6, si x0 � x, entonces g.x0; u/ � g.x; u/ 8u.

DADO QUE F ES CRECIENTE:

f .g.x0; u// � f .g.x; u//

r.x0; u/C ˇf .g.x0; u// � r.x0; u/C ˇf .g.x; u//

POR LA HIPÓTESIS 6 r.x;u/ ES CRECIENTE:

r.x0;u/� r.x;u/, ENTONCES:

r.x0; u/C ˇf .g.x0; u// > r.x; u/C ˇf .g.x; u// (A.53)

4. Paso 1b. Aplicando “max” en la relación (A.53):

maxu2�.x/

�r.x0; u/C f .g.x0; u//

�> maxu2�.x/

�r.x; u/C f .g.x; u//

�(A.54)


5. Paso 1c. Por la hipótesis 7 se tiene que: “si x0 � x) �.x0/ � �.x/”

Γ(X’)

Γ(X)

u

Donde u 2 �.x/, entonces u 2 �.x0/. Reemplazando este resultado en (A.54)se tiene:

maxu2�.x0/

�r.x0; u/C f .g.x0; u//

�> maxu2�.x/

�r.x; u/C f .g.x; u//

�(A.55)

6. Paso 1d. Por la definición del operador “T ” para una función “f ” cualquiera:

T Œf �.x/ D supfug2�.x/

�r.x; u/C f .g.x; u//

�

La expresión (A.55) se convierte en:

T Œf �.x0/ > T Œf �.x/ (A.56)

Es decir, T Œf � es estrictamente creciente.

Conclusión 1:

Se cumple lo que queríamos probar en el paso 1: “si f 2 Ca.X/ es creciente,entonces T Œf � es una función estrictamente creciente.”

7. Paso 2. Como Cc.X/ es un subespacio cerrado de Ca.X/, entonces la funciónvalor “V ” está en Cc.X/:


Ca(X)

Cc(X)

V

Además, como T ŒV � D V , y T es estrictamente creciente, entonces “V ”también es estrictamente creciente.

Conclusión 2:

La función valor (V ) es estrictamente creciente.

[2] Concavidad de V.xt /. Para asegurar la concavidad de la función de valor serequieren tres hipótesis adicionales: la primera está relacionada con el conjunto X ;la segunda, con las funciones r.�/ y g.�/, y la tercera, con �.x/.

Hipótesis 8: XX es un subconjunto convexo de Rn.

Cabe recordar que el conjunto “X” es convexo si para dos elementos de dichoconjunto x e y, la combinación lineal (con t 2 Œ0; 1�) también se encuentradentro de dicho conjunto. Es decir: 8x ^ y 2 X y 8t 2 Œ0; 1� se cumple queŒ.1 � t /x C ty� 2 X .

Conjunto convexo Conjunto no convexo

Todas las combinaciones convexasde dos elementos del conjuntopertenecen al conjunto.

No todas las combinacionesconvexas de dos elementos delconjunto pertenecen al conjunto.


Hipótesis 9: r.x; u/ y g.x; u/r.xt ; ut / es estrictamente cóncava y g.xt ; ut / es cóncava.

Recordemos que una función real, definida en un conjunto convexo (dominio), escóncava, si para dos puntos x e y cualesquiera definidos en su dominio, y paracualquier t 2 Œ0; 1� se cumple:

f .tx C .1 � t /y/ � tf .x/C .1 � t /f .y/:

Hipótesis 10: �.x/�.xt / es convexa; es decir:

1. �.x/ es un conjunto convexo para todo x 2 X .

2. Dado � 2 Œ0; 1�; x; x0 2 X y x ¤ x0, entonces si u 2 �.x/ y u0 2 �.x0/implica que:

�uC .1 � �/u0 2 �.�x C .1 � �/x0/

Con estas hipótesis adicionales, la concavidad de la función valor está asegurada,lo cual se expresa en la siguiente proposición:

Proposición 6. Concavidad de V.x/)Según las hipótesis 4, 5, 8, 9 y 10, la función valor es estrictamente cóncava y lacorrespondencia de política es una función continua.

Demostración. la estrategia consiste en demostrar primero que “T Œf �” es una


función creciente y estrictamente cóncava; luego, es considerar el “Problema dePunto Fijo” y de allí derivar que “V ” también es creciente y estrictamente cóncava.

1. Paso 1. Vamos a probar que “si f 2 Ca.X/ es creciente y cóncava, entoncesT Œf � es una función creciente y estrictamente cóncava” (que sea creciente losabemos de la proposición 5).

2. Paso 1a. Dado � 2 Œ0; 1�, x; x0 2 X y x ¤ x0, y sea u; u0 tales que resuelven elproblema del máximo definido por: T Œf �.x/ y T Œf �.x0/, respectivamente.

3. Paso 1b. Además, por la hipótesis 10 se tiene que:

�uC .1 � �/u0 2 �.�x C .1 � �/x0/

Entonces, tenemos que (por la definición del supremo):

T Œf �.ex/ � r.ex;eu/C f .g.ex;eu// (A.57)

Donde:

ex D �x C .1 � �/x0eu D uC .1 � �/u04. Paso 1c. Pero r.�; �/ es estrictamente cóncava (hipótesis 9); entonces, parar.ex;eu/ que es igual a r.�x C .1 � �/x0; uC .1 � �/u0/ se tiene que:

r.�x C .1 � �/x0; uC .1 � �/u0/ > �r.x; u/C .1 � �/r.x0; u0/ (A.58)

5. Paso 1d. Además, dado que g.�; �/ es cóncava (hipótesis 9), entonces se tiene:

g.ex;eu/ � �g.x; u/C .1 � �/g.x0; u0/ (A.59)

Y dado que f es creciente, entonces aplicando “f ” a la ecuación anterior (A.59):

f .g.ex;eu// � f .�g.x; u/C .1 � �/g.x0; u0// (A.60)

Y como f es cóncava:

f .�g.x; u/C .1 � �/g.x0; u0// � �f .g.x; u//C .1 � �/f .g.x0; u0// (A.61)


6. Paso 1e. Introduciendo la expresión (A.58) y (A.61) (multiplicada por ˇ) en laexpresión inicial (A.57) se tiene:

T Œf �.ex/ � r.ex;eu/C f .g.ex;eu//> �r.x; u/C .1 � �/r.x0; u0/C ˇŒ�f .g.x; u//C .1 � �/f .g.x0; u0//�

>��r.x; u/C � f .g.x; u//

�C�.1 � �/r.x0; u0/C .1 � �/ f .g.x0; u0//

�> �

�r.x; u/C f .g.x; u//„ ƒ‚ …

T Œf �.x/

�C .1 � �/

�r.x0; u0/C f .g.x0; u0//„ ƒ‚ …

T Œf �.x0/

�T Œf �.ex/ > �T Œf �.x/C .1 � �/T Œf �.x0/

Conclusión 1.: Se cumple lo que queríamos probar en el paso 1:

“si f 2 Ca.X/ es creciente y cóncava, entonces T Œf � es una función creciente yestrictamente cóncava.”

7. Paso 2. Como Cc.X/ (acotado para las funciones estrictamente cóncavas) esun subespacio cerrado de Ca.X/, entonces la función valor “V ” está en Cc.X/(acotado para las funciones estrictamente cóncavas):

Ca(X)

Cc(X)

V

Estrictamente Cóncava

Además, como T ŒV � D V , y T es estrictamente cóncava entonces “V ” tambiénlo es.

Conclusión 2: La función valor (V ) es estrictamente cóncava.

[3] Diferenciabilidad de V.xt /. De igual forma que en las dos propiedades previasde la función valor, para que esta sea diferenciable se requieren dos hipótesisadicionales.


Hipótesis 11: r.x; u/ y g.x; u/:r.xt ; ut / y g.xt ; ut / son continuamente diferenciables en el interior del grafo de�.xt /.

Hipótesis 12: DiferenciabilidadSea .x�; u�/ en el interior del grafo de � , tal que 9 una función diferenciable “�”definida en una vecindad abierta V de x� tal que:

� W V ! U

Y para todo x 2 V W �.x/ 2 �.x/ y g.x; �.x// D g.x�; u�/

Con estas dos hipótesis adicionales se obtienen dos teoremas muy útiles en pro-gramación dinámica. El primero corresponde a la diferenciabilidad de la funciónvalor, y el segundo es un forma práctica de obtener las condiciones de primerorden directamente de diferenciar la función valor. Ambos teoremas provienen deBenveniste-Scheinkman; el último es conocido como el teorema de la envolvente.

Teorema 3A: Diferenciabilidad de la función valor (Benveniste-Scheinkman).Bajo las hipótesis 4, 5, 8, 9, 10, 11 y 12; si x0 2 Int.X/ y h.x0/ 2 Int.�.x0//,entonces la función valor es continuamente diferenciable en x0 y su derivada estádada por:

@V.x0/

@[email protected]; h.x0//

@x0C ˇ

@V.g.x0; h.x0///

@x0(A.62)

Esto es generalizado para todo t .

Este teorema es un paso previo para demostrar el teorema de la envolvente. Asimis-mo, dicho teorema requiere que en la ecuación de Bellman se introduzca la funciónde política h.x/ (además de la ecuación de movimiento de la variable de estadog.x; h.x//). Cabe resaltar que las hipótesis descritas aseguran que la función valorsea dos veces diferenciable (Stokey y Lucas, 1989 pag. 84), lo cual asegura quela función de política h.x/ sea diferenciable. Esta propiedad es recogida en elteorema de 3A y 3B.


Teorema 3B: Teorema de la envolvente (Benveniste-Scheinkman). Bajo lashipótesis 4, 5, 8, 9, 10, 11 y 12; si x0 2 Int.X/ y h.x0/ 2 Int.�.x0//, ycumpliéndose el teorema 3A, entonces para x; u se cumple:

@V.x0/

@[email protected]; u0/

@u0(A.63)

Esto es generalizado para todo t .

Este teorema asegura una relación entre la función de valor y la función de utilidad.

Pasos para utilizar el método de Benveniste-Scheinkman

1. En la ecuación de Bellman aplicar las CPO; es decir, derivar el lado derecho dedicha ecuación con respecto a la variable de control.

2. Aplicar el teorema de la envolvente. Recordar que el teorema de la diferenciabi-lidad es solo para demostrar el teorema de la envolvente.

Cabe subrayar que este método (teorema de BS) brinda explícitamente las CPOsin necesidad de conocer la función valor; no obstante, no brinda la solución alproblema, es decir, no especifica la función de política.

Ejemplo: Aplicación del teorema de la envolvente. Un ejemplo típico del problemadel consumidor.

Maxfct ;wtC1g

1tD0

1XtD0

ˇtu.ct /

sujeto a:wtC1 D .1C r/.wt C ct /

Donde: ˇ 2 .0; 1/, wt es la riqueza del individuo y w0 dado.

Solución: la ecuación de Bellman es:

V.wt / D Maxfct g1tD0

�u.ct /C ˇV.wtC1/

�Introduciendo la ecuación de la variable de estado:

V.wt / D Maxfct g1tD0

�u.ct /C ˇV..1C r/.wt C ct //

�(A.64)


Las condiciones de primer orden se obtienen derivando el lado derecho de laecuación de Bellman con respecto a la variable de control ct :

@u.ct /

@ctC ˇ

@V.wtC1/

@wtC1

@Œ.1C r/.wt C ct /�

@ctD 0

@u.ct /

@ctC ˇ

@V.wtC1/

@wtC1.�1/.1C r/ D 0

@u.ct /

@ctD ˇ.1C r/

@V .wtC1/

@wtC1(A.65)

El teorema del envolvente indica:

@V.wt /

@[email protected] /

@ct(A.66)

Un periodo hacia adelante:

@V.wtC1/

@[email protected]/

@ctC1(A.67)

Introduciendo la ecuación (A.67) (teorema de la envolvente) en la ecuación (A.68)(CPO), se tiene la ecuación de Euler:

@u.ct /

@ctD ˇ.1C r/

@V .wtC1/

@wtC1

@u.ct /

@ctD ˇ.1C r/

@u.ctC1/

@ctC1(A.68)

A.3.3 Aplicaciones

A.3.3.1 Crecimiento con capital humano

Preliminares:

1. Este modelo sostiene que existe un trade off entre el tiempo que se dedica atrabajar (nt ) y a capacitarse (acumular capital humano (ht )). Mientras mástiempo se dedique a trabajar, menor tiempo será orientado a la capacitacion:“para acumular capital humano hay que dedicar tiempo a estudiar/capacitarse,lo que implica dejar de trabajar un poco”.

" nt !# ht


2. La dinámica descrita se captura por medio de esta expresión:

htC1 D ht‰.nt / (A.69)

Donde: ‰.nt / es una función de Œ0; 1� en RC:

‰.nt / W Œ0; 1�! RC

Además, se asume que ‰.nt / cumple con las siguientes propiedades:

• Continua• Estrictamente cóncava• Estrictamente decreciente• ‰.0/ D 1C �, lo que indica que si el agente representativo dedica todo su

tiempo a capacitarse, entonces la acumulación del capital humano crecerá auna tasa constante (�):

htC1 D ht .1C �/

• ‰.1/ D 1 � ı, lo que indica que si el agente representativo dedica todo sutiempo a trabajar, entonces la acumulación del capital humano decrecerá auna tasa constante (ı):

htC1 D ht .1 � ı/

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.98

0.985

0.99

0.995

1

1.005

1.01

1.015

1.02

1.025

1.03

nt

Función Ψ(nt)


Enunciado:

Maxfct ;nt g

1tD0

1XtD0

ˇt�c�t�

�sujeto a:

ct D f .htnt / D .htnt /˛

htC1 D ht‰.nt /

‰.nt / D .�C ı/

q1 � n2t C .1 � ı/, ˇ 2 .0; 1/, 2 .0; 1/, ˛ 2 .0; 1/ y h0 dado.

Se le pide lo siguiente:

1. Plantear el problema secuencial.

2. Encontrar la ecuación de Bellman y plantear el problema funcional.

3. Demostrar que la función valor (V ) tiene la forma Ah˛�t .

4. Demostrar que la función de política es constante (i.e. encontrar el trabajoóptimo) (n) y la constante A de la función valor, considerando los valores delos parámetros: � D 0:5, ˇ D 0:95, � D 0:025, ı D 0:01, ˛ D 0:8. En estecaso construir un código en Matlab para solucionar el sistema no lineal.

Solución:

[1] Problema secuencial:

Maxfnt g1tD0

1XtD0

ˇt�Œhtnt �

˛�

�

�sujeto a:

htC1 D ht‰.nt /

[2] Ecuación de Bellman:

V.ht / D Maxfnt g1tD0

�Œhtnt �

˛�

�C ˇV.htC1/

�(A.70)


[3] Problema funcional:

Introduciendo la ecuación de la variable de estado en la ecuación de Bellman:


�Œhtnt �

˛�

�C ˇV.ht‰.nt //

�(A.71)

sujeto a:0 � nt � 1

[4] Iteración de la función valor

1. Para resolver el PF utilizaremos el método de iteración de la función valor(propuesto por el teorema del punto fijo para contracciones):

Vn D T ŒVn�1�; n � 1 (A.72)

Se inicia con la función más sencilla: V0 D 0

2. Encontrando V1:

V1 D T ŒV0�

#

D Maxfnt g1tD0

�Œhtnt �

˛�

�C ˇ V0.ht‰.nt //„ ƒ‚ …

D0

�

D Maxfnt g1tD0

�Œhtnt �

˛�

�

�(A.73)


@ función objetivo@nt

D 0

No obstante, en este caso, la función objetivo toma su valor máximo cuandont D 1 (ver la restricción del PF).

(b) Reemplazando nt que maximiza la función objetivo en (A.73) se obtieneT ŒV0� y, por ende, V1:

V1 D T ŒV0� DŒht �

˛�

�


V1 DŒht �

˛�

�(A.74)

3. Encontrando V2:

V2 D T ŒV1�

#

D Maxfnt g1tD0

�Œhtnt �

˛�

�C ˇ V1.ht‰.nt //„ ƒ‚ …

DŒht‰.nt /�

˛�

�

�

D Maxfnt g1tD0

�Œhtnt �

˛�

�C ˇ

Œht‰.nt /�˛�

�

�(A.75)



D 0

No obstante, se puede ver que la máximización de la función objetivo nodepende de ht . Ello indica que al derivar dicha función objetivo con respec-to a la variable de control (nt ), esta solo dependerá de los parámetros delmodelo (valores constantes) y, por ende, nt D constante. En consecuencia,en la función valor se podría considerar como una constante A.

Factorizando�Œht �

˛�

�

�:

V2 D

�Œht �

˛�

�

�Maxfnt g1tD0

�Œnt �

˛�C ˇŒ‰.nt /�

˛�„ ƒ‚ …No depende deht

�(A.76)

Del CPO se obtendrá:

nt D constante en función de los parámetros D n (A.77)

(b) Reemplazando nt D n que maximiza la función objetivo en (A.75) seobtiene T ŒV1� y, por ende, V2:

V2 D T ŒV1� D A.n/

�Œht �

˛�

�

�


V2 D A.n/

�Œht �

˛�

�

�(A.78)

Donde: A.n/ es una constante, la cual llamamos solamente A.

4. Podemos generalizar la ecuación anterior:

V.ht / D A

�Œht �

˛�

�

�(A.79)

La constante “A” puede ser encontrada reemplazando “V ” y la dinámica óptimaen la ecuación de Bellman.

[5] Encontrando la función de política

Reemplazando la función de valor (V ) en la ecuación de Bellman:


�Œhtnt �

˛�

�C ˇ V.ht‰.nt //„ ƒ‚ …

DAŒht‰.nt /�

˛�

�

�

D Maxfnt g1tD0

�Œhtnt �

˛�

�C ˇA

Œht‰.nt /�˛�

�

�(A.80)

Factorizando�Œht �

˛�

�

�:

V.ht / D

�Œht �

˛�

�

�Maxfnt g1tD0

�Œnt �

˛�C ˇAŒ‰.nt /�

˛�

�(A.81)

Aplicando CPO (derivada con respecto a la variable de control) se tiene:

n˛��1t D �ˇA.‰.nt //˛��1 P‰.nt / (A.82)

La solución de esta ecuación no lineal es la siguiente:

nt D n�

La función de política es una constante; es decir, no interesa cuál sea el nivel decapital humano (ht ), pues el agente siempre escoge trabajar n�. Para conocer elvalor de n� tenemos que encontrar la constante A y definir la función ‰.nt /.


[6] Encontrando la constante A:

Reemplazando la función valor y la función de política en la ecuación de Bellmanse tiene:

AŒht �

˛�

�D

�Œht �

˛�

�

��Œn��˛� C ˇAŒ‰.n�/�˛�

�Por tanto:

A D Œn��˛� C ˇAŒ‰.n�/�˛� (A.83)

Entonces:A D A.n�/

Las ecuaciones (A.82) y (A.83) forman un sistema de ecuaciones no lineales en(n�; A):

n�˛��1

D �ˇA.‰.n�//˛��1 P‰.n�/ (A.84)

A D Œn��˛� C ˇAŒ‰.n�/�˛� (A.85)

Donde:‰.nt / D .�C ı/

q1 � n2t C .1 � ı/

La pregunta que surge es la siguiente: ¿cómo resolvemos un sistema de ecuacionesno lineales en Matlab? La función “fsolve” nos ayudará en esta labor.

Solución de sistemas de ecuaciones no lineales (Matlab). Esta función resuelvesistemas de ecuaciones no lineales; es decir, encuentra las raíces del sistema. Paraello, el sistema tiene que ser especificado así:

F.x/ D 0

El objetivo es encontrar el valor del vector x que hace que F.x/ sea igual a cero.La sintaxis:

x D f solve.f un; x0/

Donde: “fun” es una función que contiene al sistema de ecuaciones no lineal(F.x/) y x0 es el valor inicial para el vector x.

Ejemplo: Sea el siguiente sistema de ecuaciones no lineales.

y D x2 � 5 (A.86)


y D 3x C 7 (A.87)

El sistema lo podemos reescribir como:

F1 D y � x2C 5 D 0 (A.88)

F2 D y � 3x � 7 D 0 (A.89)

Entonces:F.x/ D ŒF1; F2�

Asumiendo que: z D Œz.1/; z.2/� D Œx; y�, escribimos una funciónen Matlab que capture el sistema no lineal (ver ejemplo_funcion.m ysol_ejemplo_funcion.m).

−6 −4 −2 0 2 4 6−15

−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

35Sistema de ecuaciones

y = x2 − 5y = 3x + 7

Figura A.3: Solución de un sistema de ecuaciones no lineales (ver la función“sistema_na.m”)


A.3.3.2 Modelo de Hercowitz y Sampson (1991)

Este modelo se deja como ejercicio para el lector. Para resolverlo, se sugiereseguir los pasos descritos en la primera aplicación. Considere el modelo básico decrecimiento con estos datos:

u.ct ; lt / D ln.ct � an t /

yt D kt˛nt

1�˛

ktC1 D kt

�it

kt

�1�ıD kt

ı it1�ı

Considerando que a > 0 y > 1, se pide lo siguiente:

Se pide lo siguiente:

1. Plantear el PS, la ecuación de Bellman y el PF.

2. Demostrar que la función valor tiene la siguiente forma:

V.kt / D D0 CD1 ln kt

Donde Di son constantes.

3. Demostrar que la función de política tiene la siguiente forma:

ct D …1k‰1t

nt D …2k‰2t

Donde ‰2 D ˛�1C C˛

4. Demostrar que la dinámica óptima del capital es:

ktC1 D …3k‰3t

Donde …i son constantes.

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ÍNDICE ALFABÉTICO

AAnálisis de elasticidades . . . . . . . 254Análisis de sensibilidad . . . . . . . . . 99Aproximación de Taylor . . . . . . . 238AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Archivo .mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84ARMA (p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

CCalibración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333Ciclos Económico Reales . . . . . . . . 1Ciclos económicos . . . . . . . . . . . . . . 2Componente cíclico . . . . . . . . . . . 278Condiciones

de Blanchard y Kahn . . . . . . . 93Condiciones de Inada . . . . . . . . . . 150Consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Correlaciones dinámicas . . . . . . . . . 5Crecimiento balanceado . . . . . . . 154Crecimiento económico . . . . . . . . . . 9

DDefinición del tiempo . . . . . . . . . 109Dinero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68DSGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Dyanre y LaTeX . . . . . . . . . . . . . . . 91Dynare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

EEfecto ingreso . . . . . . . . . . . . 242, 243Efecto sustitución . . . . . . . . . . . . . 242Efecto total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Efectos ingreso . . . . . . . . . . . . . . . 143Elasticidad de Frisch . . . . . . . . . . 291Elasticidad de la oferta de trabajo 54Elasticidad de sustitución . . . . . . 290Elasticidad de sustitución

intertemporal . . . . . . . . . 227Elasticidad de sustitución

intertemporal del consumo143

Elasticidad de sustituciónintertemporal del trabajo290

Elasticidad Frisch de la Oferta deTrabajo . . . . . . . . . . . . . . 288

Equilibrio General . . . . . . . . . . . . . .76Escuelas de pensamiento económico

30Estado estacionario . . . . . . . . . . . . . 78Expectativas Racionales . . . . . . . . 76

FFiltro HP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Forma estado-espacio generalizado

180

459

460 ÍNDICE ALFABÉTICO

Función de política . . . . . . . . . . . . 314Función de producción . . . . . . . . 148función de producción

neoclásica . . . . . . . . . . . . . . . . 149Función de utilidad . . . . . . . 143, 227Función impulso-respuesta . . . . . . 79

HHechos estilizados . . . . . . . . . . . . . . . 4

IInversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

KKaldor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

LLey de movimiento del capital . . 146Linealización . . . . . . . . . . . . . . . . . 159log-desviaciones . . . . . . . . . . . . . . 237Log-linealización . . . . . . . . . . . . . 159Log-linealizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

MMétodo analítico . . . . . . . . . . . . . . 175Método de Blanchard y Kahn . . 179Método de coeficientes

indeterminados . . . . . . . 251Método de Uhilg (1997) . . . . . . . 170Mecanismo de impulso . . . . . . . . . 75Mecanismo de propagación . . . . . 75Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278Mercado de trabajo . . . . . . . . . . . . . 54Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87Modelo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Modelo lineal con variable en

logaritmo . . . . . . . . . . . . 112

Modelo lineal con variable en niveles112

Modelo no-lineal con variables enlogaritmo . . . . . . . . . . . . 110

Modelo no-lineal con variables enniveles . . . . . . . . . . . . . . . 110

Momentos teóricos . . . . . . . . . . . . . 80

NNueva Economía Clásica (NEC) . 32

OOferta de servicios de capital . . . 385OLG (generaciones traslapadas) . 82

PParámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Política fiscal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Preámbulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

RRBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Rendimientos positivos y

decrecientes . . . . . . . . . . 150Representación de series de tiempo

259Restricción cash in advance . . . . . 71Restricción presupuestaria . . . . . 145

SSíntesis Neoclásica . . . . . . . . . . . . . 31Salario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Shock a la inversión . . . . . . . . . . . . 73Shock a la productividad . . . . . . . . 76Shock de demanda. . . . . . . . . . . . .354Shock de oferta . . . . . . . . . . . . . . . 354Solución estocástica . . . . . . . . . . . . 93

ÍNDICE ALFABÉTICO 461

TTasa de interés . . . . . . . . . . . . . . . . 330Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Trabajo constante . . . . . . . . . . . . . 225

UUtilización variable del capital . 353,

372

VValores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . 88Variable de estado . . . . . . . . . . . . . 110Variables de control . . . . . . . . . . . 109Variables endógenas . . . . . . . . . . . . 85Variables exógenas . . . . . . . . . . . . . 85Varianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .278

Los modelos DSGE abarcan modelos de Ciclos Económicos Reales (RBC), modelos de la Nueva Economía Keynesiana (NEK) y modelos RBC y NEK con fricciones finan-cieras.

Abordar los detalles de todos estos modelos en un solo libro es muy complejo e inclusive no es didác�co. Por ello, hemos pensado abarcar todos estos modelos en cuatro volúmenes: el primero solo centrado en los modelos RBC, el segundo centrado en los modelos RBC con fricciones financieras, el tercero enfocado en los modelos NEK y el cuarto centrado en los modelos NEK con fricciones finan-cieras. En un futuro cercano esperamos tener la primera edición del segundo volumen.

Asimismo, debido a la importancia de los modelos RBC, hemos dejado intencional-mente para la segunda edición de este libro los modelos RBC que incluyen traba-jo indivisible, dinero, competencia imper-fecta, gasto público y economía abierta.

Los códigos de Matlab y Dynare u�lizados en este libro están disponibles en la siguiente página web:

www.hamiltongalindo.com

La intención de estos códigos es que el lector pueda replicar cada uno de los modelos descritos en este volumen.

Cursa el Ph.D. en Finanzas en Arizona State University, Estados Unidos. Es Magíster en Economía por la Universidad del Pacífico e Ingeniero Economista por la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI), ambas de Lima, Perú, en donde ha sido profesor de teoría macrodinámica, economía monetaria y finanzas internacionales. Sus principales temas de inves�gación son Macroeconomía, Macro-Finance, Asset Pricing y Corporate Finance.

Profesor asistente de finanzas de la Universidad de Suffolk en Boston, Estados Unidos y profesor adjunto de finanzas de la Universidad Adolfo Ibáñez de Chile. Sus principales temas de inves�gación son Macro-Finance, Banking, Real State y Empirical Asset Pricing.

Paul Castillo, Gerente de Política Monetaria del Banco Central de Reserva del Perú

Galindo y Montecinos guían al lector en la formulación, solución y análisis de los modelos macroeconómicos más actuales. Estos modelos pueden ser muy complejos porque son dinámicos y estocás�cos, pero Galindo y Montecinos explican paso por paso cómo se pueden formular y resolver, tanto en la teoría como en la prác�ca. Un aspecto novedoso del libro es la exposición de métodos computacionales simples, con lo que el lector termina el libro listo para aplicar sus técnicas a problemas nuevos. Esta contribución será muy ú�l para la enseñanza de macroeconomía moderna.

Roberto Chang, Profesor de Economía de la Universidad de Rutgers, USA

Este libro de Galindo y Montecinos llena un importante vacío. Es un texto y manual a la vez. Nos presenta de una manera rigurosa y pedagógica los desarrollos básicos de los modelos de RBC, y además es una muy buena guía para aprender cómo se resuelven estos modelos, desde las matemá�cas a los códigos de Dynare necesarios para simular estos modelos. Estoy seguro que este libro será un texto muy usado para enseñar modelos RBC a nivel intermedio.

José de Gregorio, Decano de la Facultad de Economía y Negocios de la Universidad de Chile, expresidente del Banco Central de Chile

El libro de Galindo y Montecinos es ideal para prac�cantes de macroeconomía cuan�ta�va en un pregrado avanzado, magister, banco central o en consultorías. No solo provee una detallada guía para resolver una variada gama de modelos macroeconómicos de ciclos reales, potencialmente u�lizando Dynare, si no que también provee un análisis detallado de los mecanismos y comparación con los datos.

Jorge Miranda, Profesor Asistente de Economía de la Universidad de Queensland, Australia

Galindo y Montecinos enriquecen la posibilidad de entender los modelos RBC al ofrecernos un libro que, de manera didác�ca, y con una gran can�dad de ejemplos prác�cos, va mostrando paso a paso a los lectores como u�lizar los modelos RBC para el análisis macroeconómico cuan�ta�vo. El libro complementa bastante bien los aspectos prác�cos del uso de Dynare, con un recorrido por los modelos fundamentales de ciclos económicos reales para economías cerradas, y ofrece hábilmente no solo la solución matemá�ca de los mismos, sino que también el contraste de sus implicancias con los principales hechos es�lizados. Es, sin duda, un gran aporte que estoy seguro se conver�rá en un manual de referencia obligatorio para estudiantes y profesionales dedicados al estudio cuan�ta�vo de los ciclos económicos.

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Macroeconomía dinámica - alexismontecinos.mit.edu · temas revisados en dicho curso. Hamilton Galindo Mi participación en este libro fue después de haber tomado mis cursos de