Manual Del Estudiante

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 1 1

APUNTES CÁLCULO

MTCL01

INACAP

Ciencias Básicas

Vicerrectoría de Académica de Pregrado

2015


ÍNDICE

UNIDAD 1: ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE…………..…...5

UNIDAD 2: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE….113

UNIDAD 3: DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.....……………….164

UNIDAD 4: INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE …………..……243


PRESENTACIÓN


a necesidad de resolver problemas prácticos, científicos, filosóficos,

artísticos o matemáticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la

historia, a crear y desarrollar la matemática. La actividad matemática

involucra muchos más aspectos que solo definir, enunciar o demostrar

propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al conocimiento

matemático, el hombre debió utilizar intuición, inventiva y experimentación,

elementos fundamentales de la creación matemática, que quedan ocultos en la

exposición formal que habitualmente se nos presenta en los libros.

La matemática siempre ha buscado poder medir lo inaccesible. Lograr la medida

de una cantidad mediante datos indirectos más accesibles. Ello ha permitido a las

demás ciencias el logro de éxitos como el de conocer la velocidad de la luz, saber

cuánto pesa y qué edad tiene una estrella, medir el diámetro de un átomo o saber

la masa de una electrón. Así las ciencias han abierto el secreto del universo, y la

técnica que nace de ese conocimiento ha cambiado la vida de la humanidad para

siempre. Mucho del éxito de la ciencia se ha basado en la capacidad de asegurar

valores y posiciones de objetos inaccesibles, como cuando Rutherford (1871 -

1937), en 1911, confirma que la masa de los átomos se concentra en su núcleo,

con carga positiva, al observar cómo un chorro de partículas Alfa producía

formas geométricas al pasar por una lámina muy delgada, combinando geometría

con cálculo, química, y física.

El Cálculo Diferencial e Integral es un producto de la indagación de dos siglos,

realizando la ambición de poder determinar el comportamiento de una operación

o de una curva geométrica contando con la mínima información, lo que, desde su

descubrimiento por Newton (1643 – 1727) y Leibniz (1646 - 1716), abrió el

camino de la revolución científica, técnica e industrial. Los orígenes del cálculo

los podemos encontrar en Arquímedes (287 AC – 212 AC), quien utilizó el

método de palancas y la idea de subdividir exhaustivamente, para calcular áreas y

volúmenes de figuras no simples, como secciones delimitadas por parábolas.

L


MTCL01

UNIDAD 1

ÁLGEBRA Y FUNCIONES REALES EN UNA VARIABLE

APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas desarrollando operatoria algebraica mediante estrategias de valorización, reducción de términos semejantes, factorización, simplificación y resolución de ecuaciones, explicando los pasos aplicados.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Valoriza expresiones algebraicas mediante operatoria en los números reales, en contextos diversos.

Despeja un término literal en función de otros términos presentes en una expresión algebraica.

Reduce expresiones algebraicas mediante propiedades de términos semejantes y eliminación de paréntesis, explicando su estrategia.

Reduce expresiones algebraicas fraccionarias explicando las estrategias de factorización y simplificación utilizadas.

Resuelve problemas mediante la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, aplicando propiedades y fórmulas.


Representa un modelo funcional a través del planteamiento de un enunciado verbal en el ámbito del lenguaje de la especialidad, en forma analítica y gráfica, señalando las variables en estudio, propiedades y características principales.


Reconoce el modelo analítico funcional de dos variables en estudio, estableciendo la dependencia de ellas.

Representa gráficamente un modelo funcional, destacando sus principales características.


Representa analíticamente un enunciado verbal, que involucra la dependencia de dos variables.


Analiza el comportamiento de crecimiento de una función de valor real y las condiciones que

debe cumplir para obtener la función inversa.


Determina gráficamente si la función propuesta es creciente, decreciente o constante.

Revisa en forma gráfica si la función es inyectiva, epiyectiva y biyectiva.

Determina la función inversa de un modelo funcional dado, comprobando si cumple con las condiciones o si requiere restricciones.


Resuelve problemas de enunciado en el ámbito de especialidad dados por funciones lineales cuadráticas, exponenciales y logarítmicas, analizando gráficas, comportamiento y comunicando sus resultados de manera efectiva.


Realiza cálculos de imágenes y pre-imágenes en modelos matemáticos contextualizados a diversas disciplinas.

Resuelve problemas relacionados al costo, ingreso o utilidad mediante un modelo analítico funcional.

Analiza la solución de un problema, a partir del contexto en el que fue planteado.

Resuelve problemas relativos a la especialidad modelados por una función lineal, cuadrática, exponencial, logarítmica u de otro tipo, analizando la pertinencia de los resultados y comunicando sus resultados de manera efectiva.


Introducción

Expresiones Algebraicas

El álgebra elemental es una herramienta útil para describir y

resolver problemas de diversas áreas, pero para ello debemos

ser capaces de expresar simbólicamente relaciones y procesos.

Intentamos expresar simbólicamente las relaciones, ya sean

estas de un proceso involucrado en una situación cotidiana o

un problema abstracto. Combinando números y letras,

mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división

o extracción de raíces, entonces la expresión obtenida se

denominará expresión algebraica.

Ejemplos:

1. √𝑥 +𝑥+5

𝑥−2+ 3 es una expresión algebraica en la

variable (o factor literal) 𝑥.

2. √𝑦 + 2 +𝑦+5

𝑦2+1+ 4 es una expresión algebraica en la

variable (o factor literal) 𝑥.

3. (𝑥+𝑦)3−𝑥𝑦

𝑦 es una expresión algebraica en las

variables(o factores literales) 𝑥 e 𝑦.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Consideremos la expresión algebraica 2𝑎𝑥3en la variable 𝑥.

Tenemos que 2 es el coeficiente numérico del factor literal

𝑎𝑥3, y 2𝑎 es el coeficiente de 𝑥3. Además, si al realizar un

análisis a es un número fijo se le denomina constante.

Las expresiones algebraicas que tienen sólo un término se

denominan monomios, las que poseen más de un término se

denominan multinomios; dentro de estas las que poseen dos

términos son binomios y tres términos son trinomios.

En los siguientes ejemplos veremos cómo expresar

algebraicamente enunciados literales:

1. El doble de un número más cuatro: 2𝑥 + 4

2. El doble de la suma de un número más cuatro:

2(𝑥 + 4)

3. La tercera parte del cuadrado de un número: 𝑥2

3

4. Un número menos siete: 𝑥 − 7

5. El cubo de la suma de un número más seis:

(𝑥 + 7)3

6. El triple de un número más su cuarta parte:

3𝑥 +𝑥

4

7. El número once menos el triple de un número:

11 − 3𝑥

8. La diferencia del doble de un número con 8 elevada al

cubo: (2𝑥 − 8)3

9. Un número más el doble de su sucesor:

𝑥 + 2(𝑥 + 1)

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


10. El cubo del doble de un número, menos ocho:

(2𝑥)3 − 8

11. La suma de dos números consecutivos:

𝑥 + (𝑥 + 1)

Las expresiones algebraicas son útiles en diversos contextos,

veamos los siguientes problemas:

Ejemplo

Inicialmente el ancho de un terreno rectangular era el triple de

su largo, pero luego se decidió ampliarlo 3 metros de ancho y

1 metros de largo ¿Cuantos metros de alambre serán

necesario para cercarlo?

Solución:

El ancho del terreno podría ser cualquier número positivo,

por lo que es un número generalizado.

Sea 𝑥 = ancho del terreno.

Dado que el ancho del terreno puede ser cualquier número, lo

que queremos es determinar una expresión general del

perímetro en términos de 𝑥. Por el enunciado, tenemos que:

Si el perímetro es 𝑃, tenemos que está dado por la expresión

algebraica

𝑃 = 2(3𝑥 + 3) + 2(𝑥 + 1)

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Podemos decir que el perímetro 𝑃 está en función del ancho

𝑥.

Ejemplo El ancho de un terreno rectangular era el triple de su largo, pero al ampliarse 3 metros de ancho y 1 metros de largo ¿Cuantos metros de alambre serán necesarios para cercarlo si el ancho es 10 metros? Solución:

El ancho del terreno es un número dado, por lo que sólo

debemos valorizar en la expresión algebraica obtenida en el

problema anterior.

Tenemos que 𝑥 = 10 metros, tenemos que el perímetro es

𝑃 = 2(3 ∙ 10 + 3) + 2(10 + 1) = 66 + 22

= 88 metros.

Ejemplo

El ancho de un terreno rectangular era el triple de su largo, pero al ampliarse 3 metros de ancho y 1 metro de largo se necesitaron 56 metros de alambre para cercarlo.

¿Cuáles eran las medidas del terreno inicialmente? Solución:

El ancho del terreno es un número positivo desconocido,

cuyo valor se requiere y puede ser obtenido con los datos

dados en el problema, por lo que es una incógnita

Ahora tenemos que el perímetro es 56 metros. Por lo que

tenemos que

56 = 2(3𝑥 + 3) + 2(𝑥 + 1) = 8𝑥 + 8

Luego 8𝑥 = 56 − 8 = 48

Y finalmente 𝑥 = 6.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ya hemos visto como determinar expresiones algebraicas, por

lo que a continuación veremos valorizar expresiones

algebraicas y ecuaciones.

Valorizar expresiones Algebraicas:

El propósito es representar una situación a través de una

expresión algebraica, pero a veces es necesario obtener valores

específicos a partir de la generalización realizada.

Es común querer obtener un número explícito, para una

situación dada, para esto reemplazamos las letras por números

particulares (dados).

Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor

numérico a cada variable de los términos y resolver las

operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor

final.

El resultado de esta expresión es lo que llamaremos valor

numérico de la expresión algebraica para esos valores de las

variables.

Ejemplos:

Valoremos las expresiones siguientes

1. 5𝑥2𝑦 – 8𝑥𝑦2 – 9𝑦3 si 𝑥 = 2; 𝑦 = – 1. Tenemos que:

5 ∙ (2)2 ∙ (−1)– 8 ∙ 2 ∙ (−1)2 – 9 ∙ (−1)3

= −20 − 16 + 9 = −27 2. 2x5 + 8xy2 – 9xy3, si x = −1; y = – 2.

Tenemos que: 2 ∙ (−1)5 + 8 ∙ (−1) ∙ (−2)2 – 9 ∙ (−1) ∙ (−2)3

= −2 − 32 + 72 = 38.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Es importante destacar, que al valorizar debemos seguir un

orden, no debemos olvidar que:

1. Reemplazar cada variable por el valor asignado. 2. Calcular las potencias indicadas 3. Efectuar las multiplicaciones y divisiones 4. Realizar las adiciones y sustracciones

Ejemplos: La ecuación I = Prt es la fórmula para el interés

simple I sobre un capital de P pesos a una tasa de interés

anual r en un periodo de t años. Expresar r en términos de I, P

y t. ¿Cuál será la tasa de interés si I = 200, P = 100, t = 2?

Solución:

Tenemos que

𝐼

𝑃𝑡=𝑃𝑟𝑡

𝑃𝑡⟹ 𝑟 =

𝐼

𝑃𝑡.

Luego, valorizando tenemos:

𝑟 =200

100 ∙ 2= 1.

Cabe destacar que la valorización de expresiones algebraicas,

es útil además para comprobar si algunas expresiones

algebraicas son ciertas.

Por ejemplo, si creemos que se satisface

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2

para todos los números reales, basta ver que para 𝑎 = 𝑏 = 1

tenemos que

(1 + 1)2 = 22 = 4

12 + 12 = 2

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Por lo que vemos que la igualdad no se satisface. Así hemos

comprobado que no se trata de una identidad matemática.

Ejercicios:

1. Exprese los siguientes enunciados en expresiones algebraicas:

a. La velocidad promedio de un automóvil es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla.

b. El tiempo que tardará en llenarse una piscina que

tiene capacidad de 𝐿 litros, si el agua entra 0,5 litros por minuto.

2. De lunes a viernes, en una industria se fabrican 7𝑥

artículos; el día sábado, 2𝑦 artículos; y el domingo, 2𝑧 artículos. ¿Cuántos artículos se fabrican en 3 semanas?

3. Si tenía depositados en el banco $ (1.200 𝑛) y retiré la mitad, ¿cuánto debo depositar para tener el doble de lo que tengo?

4. Pedro tiene 𝑛 dulces y su hermano tiene la mitad de esta cantidad más uno. Si al hermano de Pedro le regalan 3 dulces y él, a su vez, regala 2, ¿con cuántos dulces queda el

hermano de Pedro si 𝑛 = 14?.

5. Si al triple del antecesor de x se le restan 2𝑥, ¿qué valor

se obtiene para 𝑥 = – 5?

6. La ecuación 𝑆 = 𝑃 + 𝑃𝑟𝑡 es la fórmula para el valor 𝑆

de una inversión de un capital de 𝑃 dólares a un interés anual

simple 𝑟 durante un periodo de 𝑡 años. Cuanto es 𝑃 si 𝑟 =1,3, 𝑆 = 2500 y 𝑡 = 24.

7. Utilice la fórmula 𝑃 = 2𝑤 + 2𝑙 para determinar el

ancho 𝑤 de un rectángulo con perímetro P de 950 m, cuyo

largo 𝑙 es de 250m.

8. La ecuación ℎ = −4,9𝑡2 +𝑚 es la fórmula para la

altura ℎ, en metros, de un objeto 𝑡 segundos después que es

soltado desde una posición inicial de 𝑚 metros. ¿A qué altura está si se ha soltado desde 50 metros hace 2 segundos?

9. Determina cuales de las siguientes igualdades no son propiedades matemáticas validas para todos los valores de sus variables:

a. 𝑎+𝑐

𝑏+𝑐=

𝑎

𝑏

b. (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 𝑏2

c. (𝑎+𝑏)2

(𝑎−𝑏)2=

𝑎+𝑏

𝑎−𝑏

d. (𝑎 + 𝑏)2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)2

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Reducción de expresiones algebraicas

Las operaciones en las expresiones algebraicas están basadas

en las propiedades de los números reales. Por lo que haremos

un breve repaso de estas propiedades, para que así la

manipulación de expresiones algebraicas tenga sentido.

Reducción de términos semejantes

La reducción de términos semejantes está relacionada con

la suma y resta de expresiones que tienen el mismo factor

literal. Por ejemplo:

4𝑥 − 6𝑥; 5𝑧√𝑦 − 8𝑧√𝑦; 7𝑎3𝑏 − 𝑎3𝑏 + 3𝑎3𝑏.

Recordemos que en los números reales tenemos la propiedad

distributiva, que también corresponde a factorización según el

uso que le demos:

𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐)

𝑎 ⋅ 𝑏 − 𝑎 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑏 − 𝑐)

Ejemplo

Aplicando esta propiedad a las expresiones algebraicas

tenemos:

1. 4𝑥 − 6𝑥 = (4 − 6)𝑥 = (−2)𝑥 = −2𝑥

2. 5𝑧√𝑦 − 8𝑧√𝑦 = (5 − 8)𝑧√𝑦

= (−3)𝑧√𝑦 = −3𝑧√𝑦

3. 4𝑎3𝑏 − 𝑐𝑎3𝑏 + 3𝑎3𝑏 = 4𝑎3𝑏 − 𝑐 ∙ 𝑎3𝑏 + 3𝑎3𝑏

= (4 − 𝑐 + 3)𝑎3𝑏 = (7 − 𝑐)𝑎3𝑏.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Reducción de paréntesis:

Al manipular las expresiones algebraicas será natural querer

sumar o restar expresiones, para ello será útil escribir estas

sumas (o restas) con paréntesis para luego simplificar y poder

obtener la expresión algebraica resultante de esta operación.

Nuevamente la propiedad distributiva será primordial

𝑎 ∙ (𝑏 ± 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 ± 𝑎 ∙ 𝑐

Ejemplo

Reduzcamos

(3𝑥2𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦) − (4𝑥2𝑦 − 3𝑥 + 2) − (5𝑦 + 3)

Primero debemos eliminar los paréntesis. Notemos que

−(4𝑥2𝑦 − 3𝑥 + 2) = (−1) ∙ (4𝑥2𝑦 − 3𝑥 + 2)

= (−1) ∙ 4𝑥2𝑦 − (−1) ∙ 3𝑥 + (−1) ∙ 2

= −4𝑥2𝑦 + 3𝑥 − 2,

−(5𝑦 + 3) = (−1) ∙ (5𝑦 + 3) = (−1) ∙ 5𝑦 + (−1) ∙ 3

= −5𝑦 − 3,

dado que (−1) ∙ (−1) = 1 y (−1) ∙ (1) = −1.

Luego, tenemos que:

(3𝑥2𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦) − (4𝑥2𝑦 − 3𝑥 + 2) − (5𝑦 + 3)

= (3𝑥2𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦)

+ (−1)(4𝑥2𝑦 − 3𝑥 + 2) + (−1)(5𝑦 + 3)

= (3𝑥2𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦) + (−4𝑥2𝑦 + 3𝑥 − 2)

+ (−5𝑦 − 3)

Eliminando los paréntesis, tenemos que:

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


(3𝑥2𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦) + (−4𝑥2𝑦 + 3𝑥 − 2) + (−5𝑦 − 3)

= 3𝑥2𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦 − 4𝑥2𝑦 + 3𝑥 − 2 − 5𝑦

− 3 = −𝑥2𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 5

Por lo tanto,

(3𝑥2𝑦 − 2𝑥 + 2𝑦) − (4𝑥2𝑦 − 3𝑥 + 2) − (5𝑦 + 3)

= −𝑥2𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 5

Productos algebraicos:

Hemos visto como sumar las expresiones algebraicas, pero ¿cómo

se multiplican? No existe impedimento para multiplicar cantidades

literales, y se aplica la propiedad de distributiva de la multiplicación.

¿Cómo multiplicamos (𝑥 + 𝑦)(2𝑥 + 𝑦 − 3)?, para esto sólo debemos

aplicar la propiedad distributiva:

(𝑥 + 𝑦)(2𝑥 + 𝑦 − 3)

= (𝑥 + 𝑦) ∙ (2𝑥) + (𝑥 + 𝑦) ∙ 𝑦 − (𝑥 + 𝑦) ∙ 3

= 𝑥 ∙ (2𝑥) + 𝑦 ∙ (2𝑥) + 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑦 ∙ 𝑦 − 𝑥 ∙ 3 + 𝑦 ∙ 3

= 2𝑥^2 + 2𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦^2 − 3𝑥 + 3𝑦 = 2𝑥^2 + 3𝑥𝑦 +

𝑦^2 − 3𝑥 + 3𝑦

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Factorización y productos notables:

Recibe el nombre de Productos Notables las multiplicaciones

de expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas,

cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de

factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia

de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios

conjugados, y recíprocamente.

Estos son los productos notables más usuales:

1. 𝑥(𝑦 + 𝑧) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 Factor común

2. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

3. (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) = 𝑎𝑏𝑥2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑐𝑑

4. (𝑥 + 𝑎)2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2 Cuadrado de un binomio

5. (𝑥 − 𝑎)2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 Cuadrado de un binomio

6. (𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 − 𝑎2 Producto de suma y

diferencia

7. (𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥3 + 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 + 𝑎3 Cubo de un

binomio

8. (𝑥 − 𝑎)3 = 𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 − 𝑎3 Cubo de un

binomio

Factorizaciones:

En los números naturales podemos realizar la factorización de

ellos, por ejemplo, el número 54 = 27 ∙ 2 = 3 ∙ 9 ∙ 2 = 3 ∙ 3 ∙

3 ∙ 2 = 33 ∙ 2. Esta propiedad es bastante útil para dividir,

por ejemplo. Nos gustaría extender esta propiedad a las

expresiones algebraicas.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Debemos tener en mente que no siempre es necesario tener la

expresión algebraica desarrollada, a veces es útil expresarla

como producto de expresiones algebraicas, principalmente

para resolver ecuaciones.

Ejemplo

Una parcela dispone de un terreno cuadrado de 𝑎 metros para

plantar lechugas. Si el terreno se agranda 𝑏 metros hacia cada

lado, ¿Cuál es el área?

Solución

Tenemos que

Tenemos que el área total, es la suma de las áreas de cada

cuadrado y rectángulo en la figura, es decir, es

𝑎2 + 𝑏𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2.

Por otro lado podemos observar que es lo mismo que

considerar el cuadrado:

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Por lo que el área del cuadrado es (𝑎 + 𝑏)2. Así que tenemos

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2.

Ejemplo

Analicemos el trinomio 𝑥2 + 2𝑥 + 1. Para poder factorizar,

se deben satisfacer 2𝑎 = 2 y 𝑎2 = 1, de la última igualdad

tenemos que 𝑎 es 1 o −1, y de la otra concluimos que 𝑎 = 1.

Así tenemos que 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2.

Ejemplo

Una fábrica dispone de un terreno cuadrado de lado 𝑎 metros

que utiliza de bodega. Si el terreno se agranda 𝑏 metros de

largo y 𝑐 metros de ancho, ¿Cuál es el área?

Solución

Tenemos que

Tenemos que el área total, es la suma de las áreas de cada

cuadrado y rectángulo en la figura, es decir, es

𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏 = 𝑎2 + (𝑏 + 𝑐)𝑎 + 𝑐𝑏.

Por otro lado podemos observar que es lo mismo que

considerar el cuadrado:

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Por lo que el área del rectángulo es (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐). Por lo

que, tenemos

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐) = 𝑎2 + (𝑏 + 𝑐)𝑎 + 𝑏𝑐.

Ejemplo

Para poder factorizar el trinomio 𝑥2 + 12𝑥 + 18 de la forma

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) se deben satisfacer que 𝑎 + 𝑏 = 12 y 𝑎𝑏 =

18, notemos que 18 = 18 ∙ 1 = 9 ∙ 2 = 6 ∙ 3, y además 9 +

2 = 11, 18 + 1 = 19 y 6 + 3 = 12. Concluimos que los

números que satisfacen ambas relaciones son 6 y 3. Así

tenemos que 𝑥2 + 12𝑥 + 18 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 6).

Ejemplo

Explique las siguientes factorizaciones:

𝑥2 − 7𝑥 + 12 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 4)

𝑥2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

3𝑥2 + 6𝑥 + 3 = 3(𝑥2 + 2𝑥 + 1) = 3(𝑥 + 1)2

9𝑥2 + 9𝑥 + 2 = 9 (𝑥2 + 𝑥 +2

9)

= 9(𝑥 +2

3) (𝑥 +

1

3)

= (3𝑥 + 1)(3𝑥 + 2)

𝑥2 − 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)2

𝑥2

3 − 6𝑥1

3 + 9 = (𝑥1

3)2

− 6𝑥1

3 + 9

= (𝑥13 − 3) (𝑥

13 − 3) = (𝑥

13 − 3)2

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Factor común:

Sabemos que (3 + 6) = 3 ∙ 1 + 3 ∙ 2 = 3 ∙ (1 + 2), con lo

que hemos factorizado el factor común que en este caso es 3.

¿Esto se podrá extender para las expresiones algebraicas?

La respuesta es sí. Queremos extender esta idea para

expresiones algebraicas, y así tener técnicas para poder

factorizar y así poder realizar un estudio más sencillo de ellas

estudiando cada término que se multiplica. El procedimiento

es análogo, descomponer en factores, reconocer los factores

comunes y factorizarlos.

Ejemplo

Verifique las siguientes factorizaciones:

1. 𝑎𝑏𝑐 + 2𝑎𝑏𝑐2 + 3𝑎𝑏𝑐3 + 4𝑎𝑏𝑐4

= 𝑎𝑏𝑐(1 + 2𝑐 + 3𝑐2 + 4𝑐3)

2. 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦2 = 𝑧(𝑥 + 𝑦) + 2𝑦(𝑥 + 𝑦)

= (𝑥 + 𝑦)(𝑧 + 2𝑦)

Factorización de algunos tipos de binomios.

Factorización de diferencias de cuadrados

𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

Factorización de diferencia de cubos

𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Factorización de suma de cubos

𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

Ejemplo

Factorice

2𝑥2 − 8 = 2(𝑥2 − 4) = 2(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)

8 − 𝑥3 = (2)3 − 𝑥3 = (2 − 𝑥)(𝑥2 + 2𝑥 + 4)

𝑥6 − 𝑦6 = (𝑥3)2 − (𝑦3)2 = (𝑥3 − 𝑦3)(𝑥3 + 𝑦3)

= (𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2)(𝑥 + 𝑦)(𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2)

Tenemos la siguiente estrategia general de factorización:

1. Intentar factor común.

2. Contar el número de sumandos de la expresión:

a. si tiene dos términos intentar suma por

diferencia.

b. si tiene tres términos intentar primero

cuadrado de binomio, si no trinomio que no son cuadrados.

c. si tiene más de tres términos agrupar

convenientemente.

3. La expresión debe quedar totalmente factorizada.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejercicios

1. Desarrolle usando productos notables:

a. (𝑎 +𝑏

𝑐)2

b. (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2

c. (3𝑎 − 2𝑐)2

d. (2𝑎 +3𝑏

4𝑐)2

e. (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)

f. (𝑎2𝑏3𝑥2 − 𝑦)(𝑎2𝑏3𝑥2 + 𝑦)

g. (𝑥 − 𝑦)(𝑎𝑥 + 𝑦)

h. (2𝑎 + 𝑐)3

i. (3𝑎 + 3𝑏)3

j. (𝑥 − 2𝑥𝑦)3

2. Desarrolle las siguientes expresiones y reduzca

términos semejantes, cuando sea posible:

a. (𝑎 + 2)(𝑎 − 3) − (𝑎 − 3)2

b. (𝑎 + 2)(𝑎 − 3) − (𝑎 + 2)2

c. (𝑎 + 2)(𝑎 − 3) − (𝑎 − 4)2

d. (𝑏 − 3)2 − (𝑏 + 1)(𝑏 − 1)

e. (𝑥 − 3)3 − 𝑥(𝑥 + 2)2 + 𝑥 − 9

f. (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 − (𝑎 − 3)2

3. Al cercar un terreno cuadrado de 𝑥 metros de lado, se

cometió un error al construirlo y se cercaron 0,5 metros más

hacia cada lado. ¿En cuántos metros cuadrados excede el

terreno cercado respecto a su medida inicial?

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Fracciones algebraicas y simplificaciones:

Las fracciones algebraicas son aquellas en que tanto en el

numerador como en el denominador son expresiones

algebraicas. Por ejemplo

𝑥 + 2

𝑥2 + 3𝑥 + 1

Estas se operan de la misma forma que los números

racionales, cuando nos enfrentemos con una fracción

algebraica intentaremos siempre escribirla de manera sencilla y

lo más “limpia” posible, para ello utilizaremos la

simplificación.

Recordemos las siguientes propiedades de potencias en los

números reales:

(𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛 y 𝑎𝑛

𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚

Ejemplos

12𝑎5𝑏3

15𝑎2𝑏=

4∙3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏

5∙3𝑎𝑎𝑏=

4∙3𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏

5∙3𝑎𝑎𝑏=

4𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏

5=

4𝑎3𝑏2

5, con 𝑎, 𝑏 ≠ 0

𝑥+2

𝑥2+3𝑥+1=

𝑥+2

(𝑥+2)(𝑥+1)=

1

(𝑥+1) con 𝑥 ≠ −2 y 𝑥 ≠ −1

12𝑎3𝑏5−3𝑎2𝑏

3𝑎2𝑏8+6𝑎2𝑏=

3𝑎2𝑏(𝑎𝑏4−1)

3𝑎2𝑏(𝑏7+2)=

𝑎𝑏4−1

𝑏7+2, con 𝑎, 𝑏 ≠ 0 y

𝑏 ≠ √−27

Suma de fracciones algebraicas.

Al sumar fracciones algebraicas lo haremos de la misma

manera que cuando sumamos fracciones de números reales,

recordemos que:

3

4+1

6=3 ∙ 3

4 ∙ 3+1 ∙ 2

6 ∙ 2=9

12+2

12=11

12

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FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


¿Qué hemos hecho para poder sumar las fracciones?

Para sumarlas hemos encontrado su máximo común múltiplo

que es 15. Notemos que si descomponemos en los factores

primos tenemos que:

3

4+1

6=3

22+

1

2 ∙ 3,

Por lo que podemos notar que el máximo común múltiplo

entre 4 y 6 es el producto de la mayor potencia de cada uno de

los factores primos de los denominadores. Y luego

amplificamos por los factores que faltan para completar el

máximo común múltiplo en cada denominador. Y luego

sumamos.

¿Cómo podemos aplicar esto para sumar fracciones

algebraicas?

Es completamente análogo, factorizamos los denominadores.

Determinamos el máximo común múltiplo y luego

amplificamos (multiplicando por los factores que faltan para

completar el máximo común múltiplo) y sumamos las

fracciones.

Debemos notar que la fracción algebraica obtenida puede

seguir desarrollándose, si es necesario.

Ejemplos

1. 1

(𝑥+1)2+

𝑥

(𝑥+1)(𝑥−1)2=

1∙(𝑥−1)2

(𝑥+1)2(𝑥−1)2+

𝑥∙(𝑥+1)

(𝑥+1)2(𝑥−1)2=

𝑥2−2𝑥+1+𝑥2+𝑥

(𝑥+1)2(𝑥−1)2=

2𝑥2−𝑥+1

(𝑥+1)2(𝑥−1)2

2. 1

(𝑥−2)+

1

(𝑥+1)=

(𝑥+1)

(𝑥−2)(𝑥+1)+

(𝑥−2)

(𝑥−2)(𝑥+1)=

2𝑥−1

(𝑥−2)(𝑥+1)

3. 𝑥2−5𝑥+4

𝑥2+2𝑥−3−

𝑥2+2𝑥

𝑥2+5𝑥+6=

(𝑥−1)(𝑥−4)

(𝑥−1)(𝑥+3)−

𝑥(𝑥+2)

(𝑥+2)(𝑥+3)=

(𝑥−4)

(𝑥+3)−

𝑥

(𝑥+3)= −

4

(𝑥+3)

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejercicios

1. Realice las operaciones y simplifique tanto como sea

posible.

a. 𝑥2−4

𝑥2−2𝑥

b. 3𝑥2−27𝑥+24

2𝑥3−16𝑥2+14𝑥

c. 6𝑥2+𝑥−2

2𝑥2+3𝑥−2

d. 𝑥2−9𝑥+20

𝑥2+𝑥−20

e. 𝑥2

𝑥+3+5𝑥−6

𝑥+3

f. 1 −𝑎2

𝑎2−1

g. 2

𝑥+2+

𝑥

𝑥+2

h. 𝑠

𝑠+4+ 𝑠

i. 1

𝑥2−𝑥−2+

1

𝑥2−1

j. 2

𝑡+

1

3𝑡

k. 4

2𝑥−1+

𝑥

𝑥+3

l. 𝑥+1

𝑥−1−𝑥−1

𝑥+1

m. 2

3𝑡2−5𝑡+2−

𝑡

3𝑡2−7𝑡+2

n. 2𝑥−3

2𝑥2+11𝑥−6−

3𝑥−1

3𝑥2+16𝑥−12+

1

3𝑥−2

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FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Racionalización:

La racionalización es un proceso en donde se tiene que

eliminar la raíz o raíces que están en el denominador de una

fracción.

Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es

encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el

denominador. Para ello se multiplica el numerador y el

denominador por una expresión adecuada, de forma que al

operar, se elimine la raíz del denominador.

Veamos algunos ejemplos en los números racionales:

2

√3=

2∙√3

√3∙√3=

2∙√3

3

15

√53 =

15∙ √523

√53

∙ √523 =

15∙ √523

√533 =

15∙ √523

5= 3 ∙ √52

3

1

2 √653 =

1

2 √63623 =

1

2∙6 √623 =

1∙ √63

12 √623

∙ √63 =

√63

12 √633 =

√63

12∙6=

√63

72

2

√3−√2=

2(√3+√2)

(√3−√2)(√3+√2)=

2(√3+√2)

(√3)2−(√2)

2 =2(√3+√2)

3−2=

2(√3 + √2)

Usando la idea de los ejemplos anteriores veremos cómo

racionalizar fracciones algebraicas.

Por ejemplo, para racionalizar 𝑥−2

√𝑥+2 utilizaremos que √𝑎𝑛

𝑛=

𝑎, si 𝑛 ≥ 2, 𝑎 ∈ ℝ y √𝑎𝑛

∈ ℝ. Así amplificamos por √𝑥 + 2,

y tenemos que

𝑥 − 2

√𝑥 + 2=(𝑥 − 2)√𝑥 + 2

√𝑥 + 2 ∙ √𝑥 + 2=(𝑥 − 2)√𝑥 + 2

𝑥 + 2.

Podemos ver que utilizando las mismas técnicas utilizadas para

los números racionales podemos racionalizar fracciones

algebraicas.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


En los siguientes ejemplos debemos tener presente las

siguientes factorizaciones:

𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)

𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

Veremos cómo utilizarlas en los siguientes ejemplos:

𝑥2 − 4

√𝑥 − 2=(𝑥2 − 4)√𝑥 − 2

√𝑥 − 2 ∙ √𝑥 − 2=(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)√𝑥 − 2

(𝑥 − 2)

= (𝑥 + 2)√𝑥 − 2,

9𝑦 − 4𝑥2

2𝑥 + 3√𝑦=

9𝑦 − 4𝑥2

(2𝑥 + 3√𝑦)∙2𝑥 − 3√𝑦

2𝑥 − 3√𝑦

=(9𝑦 − 4𝑥2)(2𝑥 − 3√𝑦)

(4𝑥2 − 9𝑦)

= −2𝑥 + 3√𝑦,

3

√𝑥 − √𝑥 + 1=

3

√𝑥 − √𝑥 + 1∙√𝑥 + √𝑥 + 1

√𝑥 + √𝑥 + 1

=3(√𝑥 + √𝑥 + 1)

𝑥 − (𝑥 + 1)=3(√𝑥 + √𝑥 + 1)

−1

= −3(√𝑥 + √𝑥 + 1),

8𝑥 + 11

2√𝑥 − 23

+ 3=

8𝑥 + 11

2√𝑥 − 23

+ 3∙(2√𝑥 − 2

3)2− 2√𝑥 − 2

3∙ 3 + 32

(2√𝑥 − 23

)2− 2√𝑥 − 2

3∙ 3 + 32

=(8𝑥 + 11) ((2√𝑥 − 2

3)2− 2√𝑥 − 2

3∙ 3 + 32)

(2√𝑥 − 23

)3+ 33

=(8𝑥 + 11) ((2√𝑥 − 2

3)2− 2√𝑥 − 2

3∙ 3 + 32)

8(𝑥 − 2) + 27

=(8𝑥 + 11) ((2√𝑥 − 2

3)2− 2√𝑥 − 2

3∙ 3 + 32)

8𝑥 + 11

= ((2√𝑥 − 23

)2− 2√𝑥 − 2

3∙ 3 + 32),

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FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


𝑥2 − 1

√1 − √𝑥3

=𝑥2 − 1

√1 − √𝑥3

∙√(1 − √𝑥)

23

√(1 − √𝑥)23

=(𝑥2 − 1)√(1 − √𝑥)

23

1 − √𝑥

=(𝑥2 − 1)√(1 − √𝑥)

23

1 − √𝑥∙1 + √𝑥

1 + √𝑥

=(1 + √𝑥)(𝑥2 − 1)√(1 − √𝑥)

23

(1 − 𝑥)

=(1 + √𝑥)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)√(1 − √𝑥)

23

−(𝑥 − 1)

= −(1 + √𝑥)(𝑥 + 1)√(1 − √𝑥)23

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EN UNA

VARIABLE


Ejercicios

1. Realice las operaciones, luego racionalice.

a. 2

√𝑥+ℎ−

2

√𝑥

b. 𝑎√𝑎

√2+𝑎+

1

√𝑎

c. 𝑎√𝑎

√2+𝑎−

1

√𝑎

d. 𝑎

√2+𝑎2+

1

𝑎

e. 𝑥−3

√𝑥−1+

4

√𝑥−1

f. 𝑥

√𝑥−1+

4

√𝑥−2

g. 𝑥−3

√𝑥+1−1+

4

√𝑥+3−2

h. 𝑥2−2

√2−√𝑥3

i. 𝑥+11

2 √𝑥−23

+3

j. 𝑥2−2

√2−√𝑥3 −

𝑥+11

2 √𝑥−23

+3

k. 16𝑦−9𝑥2

3𝑥+4√𝑦

l. 𝑥+2

3 √𝑥3

−2 √𝑥+13

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EN UNA

VARIABLE


Ecuaciones Lineales y cuadráticas:

Una ecuación es una igualdad con alguna incógnita, de la que

se quiere saber el conjunto de números reales que hacen

verdadera la igualdad, recordando que una igualdad entre dos

expresiones es una proposición que indica que ambas

expresiones se refieren al mismo número. Las dos expresiones

que conforman una ecuación son llamadas sus lados o

miembros, y están separadas por el signo de igualdad “=”.

Por ejemplo, 𝑦

𝑦−4= 6, donde 𝑦 es la variable de la ecuación.

Es importante notar que nunca permitamos que en una

ecuación haya una variable que tenga un valor para el cual esa

ecuación no esté definida, por tanto, en la ecuación anterior 𝑦

no puede ser 4.

Resolver una ecuación es encontrar todos los valores de sus

incógnitas (o variables) para los cuales la ecuación es

verdadera. Estos valores se conocen como soluciones de la

ecuación y se dice que satisfacen la ecuación.

Antes repasaremos las propiedades de las igualdades

Teorema

Propiedades suma: Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, tal que 𝑎 = 𝑏. Entonces:

1. 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐.

2. 𝑎 − 𝑐 = 𝑏 − 𝑐.

Propiedades multiplicación:

1. 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐

2. Si 𝑐 ≠ 0, entonces 𝑎 ∙1

𝑐= 𝑏 ∙

1

𝑐

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Ecuaciones Lineales

La ecuación lineal es de la forma:

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0.

Para resolverla, despejaremos la incógnita 𝑥, para ello

aplicaremos las propiedades de las igualdades, tenemos:

𝑎𝑥 = −𝑏

Por lo tanto la solución es 𝑥 = −𝑏

𝑎.

Cabe destacar que la ecuación no siempre estará expresada de

esta forma, pero podremos llevarla a esta forma. Así tenemos

los siguientes ejemplos:

Ejemplo

Encuentre la solución de la ecuación 3(3𝑥 + 1) − (𝑥 − 1) =

6(𝑥 + 10).

Al distribuir, tenemos

9𝑥 + 3 − 𝑥 + 1 = 6𝑥 + 60,

Sumando los términos,

8𝑥 + 4 = 6𝑥 + 60,

Luego, tenemos que

2𝑥 = 56.

Por lo tanto, 𝑥 = 28.

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VARIABLE


Ejemplo

Encuentre la solución de la ecuación 3𝑥−1

4− 2 = 3.

Si multiplicamos por 4 la ecuación, obtenemos:

3𝑥 − 1 − 2 ∙ 4 = 3 ∙ 4

que es equivalente a la ecuación con la que comenzamos.

Luego, despejando 𝑥 obtenemos:

3𝑥 = 21.

Finalmente la solución es 𝑥 = 7.

Ejemplo

Resuelva la ecuación 𝑥

𝑥−5+

1

𝑥−5=

−4

𝑥−5.

Para resolver este ejercicio, supondremos que 𝑥 ≠ 5, ya que si

𝑥 = 5 estaremos dividiendo por cero lo cual nos puede llevar

a peligrosos errores.

Así tenemos que

𝑥

𝑥 − 5+

4

𝑥 − 5+

1

𝑥 − 5= 0

Luego,

𝑥

𝑥 − 5+

5

𝑥 − 5= 0 | ∙ (𝑥 − 5)

Así obtenemos una ecuación lineal:

𝑥 + 5 = 0

Cuya solución es 𝑥 = −5.

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EN UNA

VARIABLE


Cabe destacar que debemos tener cuidado al dividir o

multiplicar por (𝑥 − 5), ya que puede ser cero. Dividir por

cero nos puede llevar a grandes errores, sabemos que 0 ∙ 2 =

0 ∙ 5 = 0. Si 𝑥 = 5 tenemos que (𝑥 − 5) = 0, por lo que

podemos reescribir:

0 ∙ 2 = 0 ∙ 5 ⇒ (𝑥 − 5) ∙ 2 = (𝑥 − 5) ∙ 5

Luego si dividimos por (𝑥 − 5), tenemos que 2 = 5, lo cual

sabemos que es falso.

Ejemplo

Resuelva la ecuación −𝑥

𝑥−5+

1

𝑥−5=

−4

𝑥−5.

Para resolver este ejercicio, supondremos que 𝑥 ≠ 5.

Así tenemos que

−𝑥

𝑥 − 5=

−4

𝑥 − 5−

1

𝑥 − 5=

−5

𝑥 − 5

Luego,

−𝑥

𝑥 − 5=

−5

𝑥 − 5⇒ 𝑥 = 5.

Lo cual no es posible ya que sabíamos que era distinto de 5.

Así, la ecuación no posee solución.

Ejercicios

1. Pablo tiene un hermano que es 33 centímetros más

alto que él, si el hermano de Pablo mide 1.73 metros. ¿Qué

estatura tiene Pablo?

2. Un automóvil recorrió 80 km. A una velocidad de 60

km/h. ¿Cuánto tiempo demoró en recorrer la distancia

señalada?

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EN UNA

VARIABLE


3. Un recipiente A contiene 550 litros de agua y se está

llenando a razón de 45 litros por minuto de otro recipiente B

que contiene 1000 litros. ¿En cuánto tiempo tendrán la misma

cantidad de agua ambos recipientes?

Ecuación de Segundo Grado

La ecuación general de segundo grado es de la forma:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0.

Para resolverla completaremos cuadrados.

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Primero, dejamos la constante al lado derecho

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = −𝑐,

factorizamos por 𝑎 al lado izquierdo

𝑎 (𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥) = −𝑐,

dividimos por 𝑎, ya que es distinto de cero. Y sumamos (𝑏

2𝑎)2

a ambos lados de la igualdad, para completar el cuadrado de

binomio:

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 + (

𝑏

2𝑎)2

= 𝑥2 + 2𝑏

2𝑎𝑥 + (

𝑏

2𝑎)2

= (𝑏

2𝑎)2

−𝑐

𝑎

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EN UNA

VARIABLE


Luego, formamos el cuadrado de binomio, y sumamos las

fracciones.

(𝑥 +𝑏

2𝑎)2

=𝑏2

4𝑎2−𝑐

𝑎=𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0, aplicamos raíz cuadrada a ambos lados, y

obtenemos:

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±√

𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

Notemos que el símbolo ± aparece, dado que

(√𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2)

2

= (−√𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2)

2

=𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2.

Despejamos 𝑥, y obtenemos

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Finalmente la solución general de la ecuación de segundo

grado puede escribirse como:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Así símbolo ± indica que se puede realizar tanto la suma

como la resta, por esto la ecuación de segundo grado posee

una o dos soluciones, dadas por

𝑥1 =−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎 ; 𝑥2 =

−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, ambas soluciones coinciden. Cuando 𝑎 =

0, la ecuación cuadrática se transforma en una ecuación lineal

de la forma 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, por lo cual la formula anterior no

tiene sentido.

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EN UNA

VARIABLE


Por otra parte el término 𝑏2 − 4𝑎𝑐 recibe el nombre de

discriminante y se representa por el símbolo Δ. Si el

discriminante es negativo diremos que la ecuación no tiene

solución real.

Teorema

Si 𝑝 y 𝑞 son soluciones reales de 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, entonces

para todo 𝑥 ∈ ℝ se cumple

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ⋅ (𝑥 − 𝑝) ⋅ (𝑥 − 𝑞)

Ejemplo

Resuelva la ecuación 3𝑥2 − 3𝑥 − 18 = 0 y factorice la

cuadrática.

Solución

De la ecuación podemos notar que 𝑎 = 3, 𝑏 = −3, 𝑐 = −18.

Al reemplazar en la fórmula de las soluciones, tenemos:

𝑥1 =3+√(−3)2−4∙3∙(−18)

2∙3=

3+√225

6=

3+15

6= 3𝑥2 =

3−√(−3)2−4∙3∙(−18)

2∙3=

3−√225

6=

3−15

6= −2

Finalmente, las soluciones son 𝑥1 = 3 y 𝑥2 = −2 y se cumple

3𝑥2 − 3𝑥 − 18 = 3(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

Ejemplo

Resuelva la ecuación 2𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0.

Solución

De la ecuación podemos notar que 𝑎 = 2, 𝑏 = 1, 𝑐 = 1, y el

discriminante es Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 1 − 8 = −7 > 0, que es

negativo, por lo que la ecuación no posee soluciones reales.

Ejemplo

Resuelva la ecuación 2𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 0.

Solución

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EN UNA

VARIABLE


De la ecuación podemos notar que 𝑎 = 2, 𝑏 = 4, 𝑐 = 2. Al

reemplazar en la fórmula de las soluciones, tenemos:

𝑥1 =−4 + √42 − 4 ∙ 2 ∙ 2

2 ∙ 2=−4 + √16 − 16

4= −1;

𝑥2 =−4 − √42 − 4 ∙ 2 ∙ 2

2 ∙ 2=−4 − √16 − 16

4= −1;

Dado que el discriminante es cero, la solución es única y es

𝑥 = −1 y 2𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 2 ⋅ (𝑥 + 1)2.

Cabe destacar que cuando el discriminante es cero la solución

es única, si es positivo existen dos soluciones distintas y si es

negativo no posee solución en el conjunto de los números

reales.

Ejercicios

1. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:

a. 4𝑥 = 16

b. 3𝑥 + 1 = 9

c. 𝑥

7+𝑥

3= 2

d. 𝑥

3+ 𝑥 =

𝑥

4+ 19

e. 𝑡 = 2 − 2(2𝑡 − 3(1 − 𝑡))

f. 2𝑦−5

5=

3𝑦+7

3

g. 7+2(𝑦−5)

5=

6𝑦

3

h. 𝑦−3

𝑦+3=

𝑦−3

𝑦+2

i. 𝑦−8

𝑦+3=

𝑦−8

𝑦+2

j. 𝑦−6

𝑦−

6

𝑦=

𝑦+6

𝑦−6

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EN UNA

VARIABLE


2. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:

a. (𝑥 − 1)2 = 1

b. (𝑥 − 1)2 = 0

c. 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0

d. (𝑥 − 3)(𝑥 + 4) = 0

e. 𝑥2 + 𝑥 − 12 = 0

f. (𝑥 − 2)(2𝑥 + 5) = 0

g. 2𝑥2 + 𝑥 − 10 = 0

h. 𝑥2 + 3𝑥 − 12 = 0

i. 𝑥2 +3

2𝑥 −

12

5= 0

j. 𝑥2 − 1 = 3(𝑥 − 1)

k. 𝑥2 + 7𝑥 − 21 = 0

l. (𝑥 − 3)2 − (𝑥 − 2)2 = 1

m. −(3𝑥 − 1)2 + (5𝑥 − 3)2 = (4𝑥 − 2)2

n. (3𝑥 − 1)2 − (5𝑥 − 3)2 = −(4𝑥 − 2)2

3. En las siguientes expresiones exprese el símbolo

indicado en termino de los símbolos restantes:

a. 𝐼 = 𝑃𝑟𝑡; 𝑃.

b. 𝑝 = −3𝑞 + 6; 𝑞.

c. 𝑆 = 𝑃(1 + 𝑟𝑡); 𝑟.

d. 𝑉 = 𝑛𝑃𝑅; 𝑅.

ÁLGEBRA Y

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EN UNA

VARIABLE


Definición de Función:

En los fenómenos de la naturaleza intervienen distintos

factores, a los cuales llamaremos variables, siempre se trata de

obtener relaciones entre ellos ya que los cambios suelen estar

relacionados. Por ejemplo, la presión y temperatura de un gas,

sabemos que al aumentar la temperatura del gas la presión

aumenta, es decir, la presión cambia en “función” de la

temperatura (Esta ley fue enunciada en 1802 por el físico y

químico francés Louis Joseph Gay-Lussac). Así surge la

pregunta ¿Es posible definir una relación tal que sea posible

predecir la presión de un gas para una temperatura dada?

Para ello se determinará una regla de asignación que haga

corresponder a cada temperatura con la presión del gas. A esta

correspondencia entre variables se denomina función.

Las funciones no necesariamente se representan de manera

explícita, es decir, a través de una fórmula. Cuando se puede

determinar a través de una fórmula estas reciben el nombre de

funciones analíticas. En el ejemplo anterior tenemos que la

relación entre la presión y la temperatura es:

𝑃 = 𝑘𝑇,

donde 𝑘 es una constante de proporcionalidad relacionada

con el gas, 𝑃 y 𝑇 son la presión y la temperatura,

respectivamente.

Diremos que 𝑇 es la variable independiente y 𝑃 es la variable

dependiente, esta dependencia la denotamos por 𝑃(𝑇), esto es

𝑃 depende de 𝑇.

Si la variable 𝑦 es función de la variable 𝑥, se utiliza una letra,

generalmente 𝑓 para representar la relación entre las variables.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Definición:

1. Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos no vacíos. Una función 𝑓 de 𝐴

en 𝐵 es un objeto matemático que asigna a cada objeto 𝑥 de 𝐴

un único objeto 𝑓(𝑥) de 𝐵 llamado imagen de 𝑥 por 𝑓.

𝑓: 𝐴 → 𝐵

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)

2. Si 𝑓: 𝐴 → 𝐵, el conjunto 𝐴 es llamado dominio de 𝑓 y

denotado Dom(𝑓), mientras 𝐵 es llamado codominio de la

función y denotado Cod(𝑓).

3. Si 𝑓 es una función, se denomina regla de asignación

de 𝑓 a la manera que determina la imagen 𝑓(𝑥) para cada

elemento de 𝑥 de Dom(𝑓).

Observación:

Una función que cumpla 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es un objeto con

tres componentes: dominio (𝐴), codominio (𝐵) y la regla de

asignación 𝑥 → 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐴. La regla de asignación puede ser

dada de modo algebraico, algorítmico, o ser implícita.

Note que siempre se cumple que 𝑓: Dom(𝑓) →

Cod(𝑓). En particular, al afirmar que 𝑓: 𝐴 → 𝐵 siempre se

cumplen 𝐴 = Dom(𝑓) y 𝐵 = Cod(𝑓).

Definición:

Sea 𝑓 una función. El recorrido de 𝑓 es el conjunto de todas

las imágenes y lo denotaremos por Rec(𝑓).

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Analicemos los siguientes diagramas

Si es función, con dominio A, codominio B, regla de

asignación f(1) = 5, f(2) = 6, f(3) = 6 y f(4) = 8 y

recorrido {5,6,8}.

No es función ya que 4 está en el dominio pero no tiene

correspondiente.

No es función ya que 3 le corresponden 6 y 7 (posee dos

imágenes).

ÁLGEBRA Y

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EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Dada la función f:R→R,f(x)=4x+1, determine:

1. La imagen de 1.

2. La imagen de 0.

3. La preimagen de 9

Solución

1. f(1)=4∙1+1=5.

2. f(0)=4∙0+1=1.

3. Buscamos x∈R, tal que f(x)=9. Por lo que

tenemos 4𝑥 + 1 = 9 es decir, 4𝑥 = 8 así que la

preimagen es x=2.

Ejercicios

1. Indique cuales de los siguientes diagramas

representan una función de A en B:

a.

b.

ÁLGEBRA Y

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EN UNA

VARIABLE


c.

2. Expresar matemáticamente:

a. 0 es la imagen de 1 por la función 𝑓

b. 1 es la imagen de 0 por la función 𝑔

c. La imagen de 4 por la función ℎ es 1.

d. Una preimagen de 6 por la función 𝑓 es 0.

e. Una preimagen de 3 por la función ℎ es 1.

3. Dada la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 1 a. La imagen de 1. b. La imagen de 0. c. La preimagen de 0. d. La preimagen de 3

4. La temperatura de una habitación es una función del

tiempo 𝑡 en minutos, y la función está dada por

𝑇(𝑡) = 10 +1

90𝑡,

a. ¿Cuál es la temperatura después de 100 minutos?

b. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la temperatura de la habitación sean 35° C?

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Gráfica de funciones.

La definición de función dada se puede relacionar con la

representación geométrica de una curva. Representaremos la

gráfica de una función en el plano cartesiano, este está

compuesto por dos ejes ordenados, el eje 𝑥 o eje de abscisas y

el eje 𝑦 o eje de las ordenadas. Y el punto de intersección 𝑂

entre ellas se denomina origen.

Cada punto del plano está compuesto por dos números 𝑎 y 𝑏,

sus coordenadas que indican sentido y distancia con respecto

al origen, y se escriben como un par ordenado (𝑎, 𝑏).

La gráfica de una función es el conjunto de puntos del plano

que cumplen con la regla de asignación. Un punto de la gráfica

(𝑥, 𝑦) satisface que 𝑓(𝑥) = 𝑦, es decir, el punto es de la

forma (𝑥, 𝑓(𝑥)).

Notemos que las siguientes gráficas no corresponden a una

función, si 𝑓:ℝ → ℝ entonces para 𝑎 ∈ Dom(𝑓), se tiene

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


no representa una función, ya que la gráfica presenta un

“vacío” , lo que nos indica que hay un valor del dominio de 𝑓

que no tiene imagen.

Consideremos para 𝑎 ∈ Dom(𝑓), la gráfica:

no representa una función, ya que 𝑎 posee dos imágenes.

Para graficar una función es útil considerar una tabla de

valores, con elementos del dominio y su imagen a través de la

función, y luego realizar una gráfica aproximada.

Mientras más puntos consideremos la gráfica que obtengamos

será cada vez más exacta.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Dada la función 𝑓:ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1.

Observemos que para obtener la gráfica de la función es

suficiente hacer una tabla de valores, con elementos del

dominio y sus respectivas imágenes. Tenemos la siguiente

tabla de valores

𝑥 𝑓(𝑥)

-2 -1

-1 0

0 1

1 2

2 3

3 4

4 5

considerando que el Dom(𝑓) = ℝ, obtenemos que su gráfica

es

Ejemplo

Dada la función 𝑓:ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥2, obtenemos la

siguiente tabla de valores

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


𝑥 𝑓(𝑥) -2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

4 16

considerando que el Dom(𝑓) = ℝ, tenemos que su gráfica es

Ejemplo

Dada la función 𝑓:ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥3, tenemos la siguiente

tabla de valores

𝑥 𝑓(𝑥)

-2 -8

-1 -1

0 0

1 1

2 8

3 27

4 64

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


considerando que el Dom(𝑓) = ℝ, obtenemos que su gráfica

es

Las gráficas de las funciones anteriores las podemos dibujar

sin necesidad de levantar el lápiz. Pero esto no siempre es así:

Ejemplo

Dada la función 𝑓: ℤ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, tenemos la

siguiente tabla de valores

𝑥 𝑓(𝑥)

-2 -1

-1 0

0 1

1 2

2 3

3 4

4 5

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


considerando que el Dom(𝑓) = ℤ, tenemos que su gráfica es

Las gráficas son útiles y nos proporcionan información de la

función que no podemos obtener inmediatamente analizando

la regla de asignación.

Cabe destacar que su recorrido de la función se puede

observar en el eje 𝑦 de la gráfica como el conjunto de

elementos tal que al trazar una recta horizontal a la altura de

ese elemento intersecta a la gráfica de la función. Y su

dominio será el conjunto de elementos para los cuales al trazar

una recta vertical esta intersecta a la gráfica.

Tipos de funciones, definición y propiedades:

Definición de Función constante

Una función es constante es aquella función que toma el

mismo valor para cualquier valor de la variable independiente,

es decir, es una función 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑐, para todo

𝑥 ∈ ℝ y 𝑐 ∈ ℝ fijo. Su dominio es ℝ y su recorrido

Rec(𝑓) = {𝑐}.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 5, para todo 𝑥 ∈ ℝ.

Analicemos algunas características de esta función:

a) Su dominio es ℝ

b) Su recorrido {5}.

Consideremos la siguiente tabla de valores:

𝑥 𝑓(𝑥)

-2 5

-1 5

0 5

1 5

2 5

3 5

4 5

Por lo que, su gráfica es:

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Definición de Función afín.

Una función 𝑓:ℝ → ℝ es afín cuando es de la forma 𝑓(𝑥) =

𝑚𝑥 + 𝑛.

Las gráficas de estas funciones son rectas, que dependen de

𝒎, ya que esta da la pendiente de la recta (grado de

inclinación). El punto donde la recta corta al eje de ordenadas

es 𝑛. Las coordenadas de este punto son: (0, n).

Notemos que cuando la pendiente de la recta es 0, no es ni

creciente ni decreciente. Y por lo tanto se vuelve una función

constante.

Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6, para todo 𝑥 ∈ ℝ.



b) Su recorrido ℝ.

c) 𝑓(0) = 6.

d) Además, buscamos 𝑥 ∈ ℝ tal que:

𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 = −2

Por lo tanto, tenemos que 𝑓(−2) = 0.

e) A medida que crece 𝑥 también crece 𝑓(𝑥), es

decir,𝑥 < 𝑦 entonces tenemos 3𝑥 + 6 < 3𝑦 + 6, o sea

𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦).

f) No hay dos elementos del dominio que posean

la misma imagen, es decir, si tenemos que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦),

entonces 3𝑥 + 6 = 3𝑦 + 6 por lo tanto 𝑥 = 𝑦.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE



Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6, para todo 𝑥 ∈ ℝ.



b) Su recorrido ℝ.

c) 𝑓(0) = 6.

d) Además, buscamos 𝑥 ∈ ℝ tal que:

𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 = 2

Por lo tanto, tenemos que 𝑓(2) = 0.

e) A medida que 𝑥 crece 𝑓(𝑥) decrece, es decir,

𝑥 < 𝑦 entonces tenemos −3𝑥 + 6 > −3𝑦 + 6, o sea 𝑓(𝑥) >

𝑓(𝑦).

f) No hay dos elementos del dominio que posean

la misma imagen, es decir, si tenemos que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦),

entonces−3𝑥 + 6 = −3𝑦 + 6 por lo tanto 𝑥 = 𝑦.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE



𝑥 𝑓(𝑥)

-2 12

-1 9

0 6

1 3

2 0

3 -3

4 -6


Podemos observar en los gráficos y tablas que si 𝑚 es positiva

le función es crece (la gráfica se eleva cuando nos movemos a

la derecha). Si 𝑚 es negativa la función decrece (la gráfica

desciende cuando nos movemos a la derecha).

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Además en el gráfico es sencillo ver que no hay valores

distintos con la misma imagen, ya que para que esto ocurra en

la gráfica deberíamos observar que en el eje 𝑦 que hay al

menos dos puntos en la misma “altura”, es decir, que tenga la

segunda coordenada igual, y no es así en este caso.

Las siguientes definiciones nos ayudarán a estudiar las

funciones y su comportamiento:

Definición

Sea 𝑓 una función.

1. Diremos que 𝑓 es una función (estrictamente)

creciente en un intervalo 𝐼 ⊆ Dom(𝑓) si y sólo si

Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 (𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏))

2. Diremos que 𝑓 es una función (estrictamente)

decreciente en un intervalo 𝐼 ⊆ Dom(𝑓) si y sólo si

Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼 (𝑎 < 𝑏 ⇒ 𝑓(𝑎) > 𝑓(𝑏))

En la gráfica de una función se verá que es creciente cuando

la función “sube” desde izquierda a derecha, o decrece

cuando la gráfica “baja” desde izquierda a derecha.

Las siguientes definiciones nos ayudarán a describir algunas

propiedades:

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Definición

Sea 𝑓 una función.

1. Diremos que 𝑓 es una función inyectiva si y sólo si

Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ Dom(𝑓)(𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ⇒ 𝑎 = 𝑏 ).

2. Diremos que 𝑓 es una función epiyectiva si y sólo si

Rec(𝑓) = Cod(𝑓).

3. Diremos que 𝑓 es una función biyectiva si es

inyectiva y epiyectiva.

En la gráfica de una función se verá que es inyectiva si al

trazar cualquier recta horizontal esta intersecta solo una vez a

la gráfica de la función. Y veremos que es epiyectiva si su

dominio (en el eje 𝑥) es distinto a su recorrido (en el eje 𝑦).

Analicemos los siguientes diagramas, para entender estos

conceptos.

No es inyectiva ya que 𝑓(3) = 𝑓(2) = 6. No es sobreyectiva

ya que el recorrido es {5,6,7} y el codominio es{5,6,7,8}.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Es inyectiva pero no es sobreyectiva ya que el recorrido es

{5,6,7,8} y el codominio es {5,6,7,8,9}.

Es inyectiva y sobreyectiva.

Definición

Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es invertible si y sólo si es biyectiva.

En tal caso su inversa es la función denotada 𝑓−1 con

𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 que cumple que para todo 𝑥 ∈ 𝐴 𝑓−1( 𝑓(𝑥)) =

𝑥 y para todo 𝑦 ∈ 𝐵 𝑓(𝑓−1(𝑦)) = 𝑦.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Por ejemplo,

Sin embargo, sabiendo que f es biyectiva, basta comprobar

sólo una de las dos condiciones dadas.

Función cuadrática

Una función 𝑓:ℝ → ℝ es cuadrática si es de la forma

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑎 ≠ 0, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ.

Notemos que al completar cuadrados tenemos que:

𝑓(𝑥) = 𝑎 (𝑥 +𝑏

2𝑎)2

−𝑏2

4𝑎+ 𝑐.

Notemos que 𝑓 (−𝑏

2𝑎) =

−𝑏2+4𝑎𝑐

4𝑎, y el punto

(−𝑏

2𝑎,−𝑏2+4𝑎𝑐

4𝑎) diremos que es el vértice de la función.

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas

verticales, además cuando 𝑎 > 0, el vértice de la parábola se

encuentra en la parte inferior de la misma, es decir, la parábola

se abre "hacia arriba", y cuando 𝑎 < 0 el vértice se encuentra

en la parte superior, es decir, la parábola se abre "hacia abajo".

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplos

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, para todo 𝑥 ∈ ℝ.



b) 𝑓(0) = 1.

c) Además, buscamos 𝑥 ∈ ℝ tal que:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 = 0 ⇒ 𝑥2 = −1

Por lo tanto, tenemos no existe 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 0.


𝑥 𝑓(𝑥)

-2 5

-1 2

0 1

1 2

2 5

3 10

4 17

De la tabla tenemos que la función no es inyectiva ya que

𝑓(−1) = 𝑓(1) = 2.

Además la función no es creciente ya que −1 < 0 y 𝑓(−1) =

2 > 𝑓(0) = 1.

Tampoco la función es decreciente ya que 0 < 1 y 𝑓(0) =

1 < 𝑓(1) = 2.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Para analizar el recorrido analizaremos las soluciones de la

ecuación

𝑦 = 𝑥2 + 1,

o equivalentemente,

𝑥2 + (1 − 𝑦) = 0

Además, sabemos que esta ecuación tiene solución cuando el

discriminante es mayor o igual a cero, por lo que

0 ≤ −4 ∙ 1 ∙ (1 − 𝑦) = −4 + 4𝑦

Así 𝑦 está en el recorrido de 𝑓 cuando 1 ≤ 𝑦.

Es decir, Rec(𝑓) = [1,+∞[.

Concluimos que la función no es sobreyectiva.


Al punto (1,1) lo llamamos vértice de la parábola.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 1 = (1 − 𝑥)(1 + 𝑥).



b) 𝑓(0) = 1.


𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 1 = 0 ⇒ 𝑥2 = 1

Por lo tanto, para 𝑥 = 1 y 𝑥 = −1 se tiene que 𝑓(1) = 0 y

𝑓(−1) = 0.


𝑥 𝑓(𝑥)

-2 -3

-1 0

0 1

1 0

2 -3

3 -8

4 -15


𝑓(−1) = 𝑓(1) = 0.

Además la función no es creciente ya que 0 < 1 y 𝑓(0) =

1 > 𝑓(1) = 0.

Tampoco la función es decreciente ya que −2 < −1 y

𝑓(−2) = −3 < 𝑓(−1) = 0.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE



ecuación

𝑦 = −𝑥2 + 1,

o equivalentemente,

𝑥2 + (−1 + 𝑦) = 0



0 ≤ −4 ∙ 1 ∙ (−1 + 𝑦) = 4 − 4𝑦

Así 𝑦 está en el recorrido de 𝑓 cuando

𝑦 ≤ 1.

Es decir, Rec(𝑓) =] − ∞, 1[.


El vértice de la parábola es (1,1).


ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)2.



b) 𝑓(0) = 1.


𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 = 0 ⇒ 𝑥 = −1

Por lo tanto, para 𝑥 = −1 se tiene que 𝑓(−1) = 0.


𝑥 𝑓(𝑥)

-2 1

-1 0

0 1

1 4

2 9

3 16

4 25


𝑓(−2) = 𝑓(0) = 1.

Además la función no es creciente ya que −2 < −1 y

𝑓(−2) = 1 > 𝑓(−1) = 0.


1 < 𝑓(1) = 4.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE



ecuación

𝑦 = (𝑥 + 1)2 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1,

o equivalentemente,

𝑥2 + 2𝑥 + (1 − 𝑦) = 0



0 ≤ 22 − 4 ∙ 1 ∙ (1 − 𝑦) = 4 − 4 + 4𝑦

Así 𝑦 está en el recorrido de 𝑓 cuando

0 ≤ 𝑦.

Es decir, Rec(𝑓) = [0,∞[.


El vértice de la parábola es (−1,0).


ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2).



b) 𝑓(0) = −2.


𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 y 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 0

Por lo tanto, para 𝑥 = −1 y 𝑥 = 2 se tiene que 𝑓(−1) = 0 y

𝑓(2) = 0.


𝑥 𝑓(𝑥)

-2 4

-1 0

0 -2

1 -2

2 0

3 4

4 10


𝑓(−1) = 𝑓(2) = 0.


𝑓(−2) = 4 > 𝑓(−1) = 0.


0 < 𝑓(3) = 4.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE



ecuación

𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 − 2,

o equivalentemente,

𝑥2 − 𝑥 − (2 + 𝑦) = 0



0 ≤ (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−2 − 𝑦) = 9 + 4𝑦

Así 𝑦 está en el recorrido de 𝑓 cuando−9

4≤ 𝑦.

Es decir, Rec(𝑓) = [−9

4, +∞[.


Donde el vértice de la parábola es (1

2, −

9

4).


ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Teorema

Propiedades de las funciones cuadráticas:

La parábola cambia su crecimiento en el vértice

y no es inyectiva.

Si 𝑎 > 0 (la parábola se abre hacia arriba)

entonces es decreciente a la izquierda del vértice y creciente a

la derecha del vértice.

Si 𝑎 < 0 (la parábola se abre hacia abajo)

entonces es creciente a la izquierda del vértice y decreciente a

la derecha del vértice.

Al resolver la ecuación 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, estamos

encontrando los puntos en donde la parábola se intersecta con

el eje 𝑥.

Función exponencial

La función exponencial de base 𝑎 > 0 esta dada por 𝑓:ℝ →

ℝ y es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , con 𝑎 ≠ 1.

Debemos notar que para cada 𝑎 como base se tiene una

función exponencial diferente. Usualmente se considera la

función 𝑓:ℝ → ℝ+ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑏𝑥, con 𝑏 ∈ ℝ donde 𝑒

es el número de Euler (aproximadamente 2,718281828).

Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ+ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥.



b) 𝑓(0) = 1.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


c) Además notemos que no existe 𝑥 en los

números reales tal que 𝑓(𝑥) = 0.


𝑥 𝑓(𝑥)

-2 0,135335283

-1 0,367879441

0 1

1 2,718281828

2 7,389056099

3 20,08553692

4 54,59815003

La tabla sugiere que la función es creciente y positiva.

Su gráfica es:

De la gráfica podemos deducir que es una función inyectiva y

notemos que su recorrido es ]0, +∞[ ,que no es igual a su

codominio por lo que la función no es epiyectiva.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Recordemos las propiedades básicas de las potencias:

Sea 𝑎 > 0, para todo 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, se cumplen:

1. 𝑎0 = 1

2. 𝑎1 = 𝑎

3. 𝑎𝑥 ∙ 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦

4. 𝑎𝑥

𝑎𝑦= 𝑎𝑥−𝑦

5. 𝑎−𝑥 =1

𝑎𝑥

6. (𝑎𝑥)𝑦 = 𝑎𝑥∙𝑦

7. 𝑎𝑥 > 0

Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥.



b) 𝑓(0) = 1.




𝑥 𝑓(𝑥)

-4 54,59815003

-3 20,08553692

-2 7,389056099

-1 2,718281828

0 1

1 0,367879441

2 0,135335283

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


La tabla sugiere que la función es decreciente y positiva.

Su gráfica es:


notemos que su recorrido es ]0, +∞[.

Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 .



b) 𝑓(0) = 1.



ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE



𝑥 𝑓(𝑥)

-4 0,0625

-3 0,125

-2 0,25

-1 0,5

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

10 1024

25 33554432

La tabla sugiere que la función es creciente y positiva.

Su gráfica es:


notemos que su recorrido es ]0, +∞[.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Teorema

Propiedades de las funciones exponenciales:

Si 𝑎 > 1 la función es creciente.

Si 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente.

Son funciones inyectivas y no epiyectivas.

Si se restringe el codominio de las exponenciales a ]0,∞[,

resultan ser epiyectivas, y por tanto biyectivas, con función

inversa.

Función logarítmica

La función logarítmica está dada por 𝑓: ]0,∞[ → ℝ con regla

de asignación 𝑓(𝑥) = log𝑎 (𝑥), para 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1, tal que

satisface

𝑎𝑏 = 𝑐 si y sólo si 𝑏 = log𝑎(𝑐).

Se trata de la función inversa de la exponencial de base 𝑎, pero

donde se restringe el codominio de la exponencial a ]0,∞[, de

modo que resulta biyectiva.

Dado que es la función inversa de 𝑎𝑥, el dominio de log𝑎(𝑥)

es el recorrido de 𝑎𝑥, es decir, es [0, +∞[ . Y el recorrido de

log𝑎(𝑥) es el dominio de 𝑎𝑥, es decir, es ℝ.

Por ser funciones inversas satisfacen que 𝑎log𝑎(𝑥) = 𝑥 para

todo 𝑥 > 0 y log𝑎(𝑎𝑥) = 𝑥 para todo 𝑥 ∈ ℝ.

Teorema

Propiedades de los logaritmos:

1. log𝑎(1) = 0.

2. log𝑎(𝑎) = 1.

3. log𝑎(𝑝 ∙ 𝑞) = log𝑎(𝑝) + log𝑎(𝑞).

4. log𝑎 (𝑝

𝑞) = log𝑎(𝑝) − log𝑎(𝑞)

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


5. log𝑎(𝑝𝑞) = 𝑞log𝑎(𝑝)

Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ+ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = log (𝑥).


a) Su dominio es ℝ+

b) 𝑓(1) = 0.


𝑥 𝑓(𝑥)

0,000000001 -9

0,00000001 -8

0,0000001 -7

0,00001 -5

0,001 -3

0,01 -2

0,1 -1

1 0

10 1

50 1,698970004

100 2

1000 3

La tabla sugiere que la función es creciente, sin embargo el

crecimiento es lento.

Su gráfica es:

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Como mencionamos anteriormente, en las funciones

exponenciales, es bastante útil el número 𝑒 (de Euler). Cuando

la base del logaritmo es el número de Euler, lo llamaremos

logaritmo natural y lo denotaremos por ln(𝑥). Además

cuando la base del logaritmo es 10 lo denotaremos por

log(𝑥). Sin embargo estas notaciones no son universales

diversos textos denotan el logaritmo natural por log (𝑥).

A veces es útil cambiar la base, ya sea de la función

exponencial o del logaritmo, por lo que las siguientes

propiedades se vuelven esenciales. Para 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1,

tenemos:

1. log𝑏(𝑝) =log𝑎(𝑝)

log𝑎(𝑏)

2. 𝑎𝑥 = 𝑒𝑥∙ln (𝑎)

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ+ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = ln (𝑥).



b) 𝑓(1) = 0.


𝑥 𝑓(𝑥)

0,000000001 -20,7232658

0,00000001 -18,4206807

0,0000001 -16,1180957

0,00001 -11,5129255

0,001 -6,90775528

0,01 -4,60517019

0,1 -2,30258509

1 0

10 2,302585093

50 3,912023005

100 4,605170186

1000 6,907755279

La tabla sugiere que la función es creciente, sin embargo, al

igual que en el ejemplo anterior el crecimiento es lento.

Su gráfica es:

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Sea 𝑓: ]0,∞[→ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = log1/2(𝑥).



b) 𝑓(1) = 0.


𝑥 𝑓(𝑥)

0,000000001 29,8973529

0,00000001 26,5754248

0,0000001 23,2534967

0,00001 16,6096405

0,001 9,96578428

0,01 6,64385619

0,1 3,32192809

1 0

10 -3,32192809

50 -5,64385619

100 -6,64385619

1000 -9,96578428

La tabla sugiere que la función es decreciente, notemos que el

decrecimiento es lento.

Su gráfica es:

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Teorema

Propiedades de las funciones logaritmicas:

1. Si la base es mayor a 1, es decir, 𝑎 > 1, la función es

creciente.

2. Si la base es menor a 1 y mayor a 0, es decir, 0 < 𝑎 <

1, la función es decreciente.

3. Son funciones inyectivas y sobreyectivas, por lo tanto,

biyectivas. Y su función inversa es la función exponencial.

Función valor absoluto

La función valor absoluto está dada por 𝑓:ℝ → ℝ con regla

de asignación 𝑓(𝑥) = |𝑥| donde |𝑥| = { 𝑥 si 𝑥 > 0−𝑥 si 𝑥 < 0

.

Cabe destacar que la función está definida por tramos.

Notemos que:

1. |−1| = 1 ya que −1 < 0 y tenemos que −(−1) = 1.

2. |3| = 3 ya que 3 > 0.

Una manera de interpretar la función valor absoluto es que

mide la distancia de un número con respecto al cero.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Consideremos la función 𝑔:ℝ → ℝ con regla de asignación

𝑔(𝑥) = ±|𝑎𝑥 − 𝑏| + 𝑐, diremos que el vértice de la función

es el punto (𝑏

𝑎, 𝑐).

Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = |𝑥|.



b) 𝑓(0) = 0.


𝑥 𝑓(𝑥)

-2 2

-1 1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4


𝑓(−1) = 𝑓(1) = 1.


𝑓(−2) = 2 > 𝑓(−1) = 1.


2 < 𝑓(3) = 3.

El recorrido de 𝑓 son los reales positivos, es decir, Rec(𝑓) =

[0, +∞[.


ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


El vértice es (0,0).


Ejemplo: Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2| + 4.



b) 𝑓(0) = 6.


𝑥 𝑓(𝑥)

-4 6

-3 5

-2 4

-1 5

0 6

1 7

2 8


𝑓(−3) = 𝑓(−1) = 5.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE



𝑓(−3) = 5 > 𝑓(−2) = 4.


6 < 𝑓(1) = 7.


[4, +∞[.


El vértice es (−2,4).


Ejemplo: Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 4 − |𝑥 + 2|.



b) 𝑓(0) = 2.


ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


𝑥 𝑓(𝑥)

-7 -1

-6 0

-5 1

-4 2

-3 3

-2 4

-1 3

0 2

1 1

2 0

3 -1


𝑓(−6) = 𝑓(2) = 0.

Además la función no es creciente ya que 0 < 1 y 𝑓(0) =

2 > 𝑓(1) = 1.

Tampoco la función es decreciente ya que −4 < −3 y

𝑓(−4) = 2 < 𝑓(−3) = 3.


] − ∞, 4].


El vértice es (−2,4). Por lo que, su gráfica es:

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Teorema

Propiedades de la función valor absoluto:

La función cambia su crecimiento en el vértice

y no es inyectiva.

Si 𝑓(𝑥) = |𝑥| (la gráfica de la función se abre

hacia arriba) entonces es decreciente a la izquierda del vértice y

creciente a la derecha del vértice.

Si 𝑓(𝑥) = −|𝑥| (la gráfica de la función se

abre hacia abajo) entonces es creciente a la izquierda del

vértice y decreciente a la derecha del vértice.

Debemos notar que al hacer una tabla de valores, si está

considera valores alejados del vértice se puede confundir con

una función afín por lo que debemos realizar un análisis

previo antes de escoger los valores para la tabla y escoger

valores que estén en una vecindad del vértice.

Función parte entera

La función parte entera está dada por 𝑓: ℝ → ℝ con regla de

asignación

𝑓(𝑥) = [𝑥], donde [𝑥] denota el mayor número entero que

sea menor o igual al número.

Ejemplo

a. [0,5]=0 ya que 0 ≤ 0,5 < 1.

b. [1,2]=1 ya que 1 ≤ 1,2 < 2.

c. [2,9]=2 ya que 2 ≤ 2,9 < 3.

d. [-7,6]=-8 ya que −8 ≤ −7,6 < −7.

e. [-9,9]=-10 ya que −10 ≤ −9,9 < −9.

f. [-0,5]=-1 ya que −1 ≤ −0,5 < 0.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = [𝑥].


Notemos que su dominio es ℝ

Al realizar la tabla de valores debemos tener cuidado con que

valores escogemos ya que si escogemos solo valores enteros

obtenemos que:

𝑥 𝑓(𝑥)

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

Por lo cual podemos llegar a conclusiones erróneas. Sin

embargo, si escogemos además valores decimales, obtenemos

que

𝑥 𝑓(𝑥)

𝑥 𝑓(𝑥)

-1 -1

1,5 1

-0,5 -1

1,7 1

-0,8 -1

2 2

0 0

2,5 2

0,5 0

3 3

0,8 0

3,4 3

1 1

4 4


𝑓(0) = 𝑓(0,5) = 0.

Además la función no es creciente ni decreciente ya que 0 <

0,5 y 𝑓(0) = 𝑓(0,5).

La función es constante entre enteros consecutivos.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


El recorrido de 𝑓 son los números enteros, es decir,

Rec(𝑓) = ℤ.


Por lo que si gráfica es:

Debemos notar que cada segmento de la gráfica sobre

intervalos consecutivos tiene el borde izquierdo pero no el

derecho.

Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = [𝑥 +1

2].

Se deja como ejercicio realizar el análisis de esta función y

corroborara que su gráfica es:

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = [𝑥 +1

2] + 1.

Se deja como ejercicio realizar el análisis de esta función y

corroborara que su gráfica es:

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


La función es constante en intervalos entre

enteros consecutivos.

No es inyectiva.

Debemos recordar que al hacer una tabla de valores se deben

considerar valores racionales (con decimales) para obtener la

gráfica adecuada y no llegar a conclusiones erróneas ya que si

solo consideramos números enteros se puede confundir con

una función afín.

Funciones semejantes a la función parte entera ocurren en

electrónica.

Funciones por tramos

Una función definida por tramos es una función cuya regla de

asignación cambia dependiendo del valor de la variable

independiente. Formalmente, es una función cuya definición

está dada por varios conjuntos disjuntos de su dominio

(conocidos como subdominios).

La palabra "por tramos" se usa para describir cualquier

propiedad de una función definida a trozos que se cumple

para cada trozo aunque podría no cumplirse para todo el

dominio de 𝑓, por ejemplo, podría ser creciente en un tramo

pero no necesariamente en todos.

Ya conocemos algunas funciones por tramos, por ejemplo, la

función parte entera o la función valor absoluto son funciones

definidas por tramos, donde los tramos son [𝑛, 𝑛 +

1[, con 𝑛 ∈ ℤ y ] − ∞, 0[ y [0,∞[, respectivamente.

Veamos más ejemplos:

a. Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = {𝑥 si 𝑥 ≥ 0𝑥2 si 𝑥 < 0.

b. Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = {𝑒−𝑥 si 𝑥 ≥ 0𝑒𝑥 si 𝑥 < 0.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


a. Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = {1 si 𝑥 ≥ 0−1 si 𝑥 < 0.

b. Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥)

= {2𝑥 + 3 si 𝑥 ≥ 03 si 𝑥 < 0.

c. Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥)

= {1 si 𝑥 > 1

𝑥 si − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1−1 si 𝑥 < −1

Para analizar estas funciones debemos hacer un estudio en

cada tramo, y luego juntar la información, debemos tener

cuidado, por ejemplo la función puede ser inyectiva en cada

tramo pero en todo su dominio puede no serlo, al igual que

puede ser creciente pero no serlo en todo su dominio.

Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = {−2𝑥 + 3 si 𝑥 > 1 𝑥 si − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1

2𝑥 + 3 si 𝑥 < −1

Analicemos algunas características de esta función: notemos

que su dominio es ℝ

Al realizar la tabla de valores debemos tener cuidado con que

valores escogemos, debemos ser cuidadoso y considerar cada

tramo:

𝑥 𝑓(𝑥)

𝑥 𝑓(𝑥)

𝑥 𝑓(𝑥)

-4 -5

-1 -1

1,1 0,8

-3 -3

-0,5 -0,5

1,5 0

-2 -1

0 0

2 -1

-1,5 0

0,5 0,5

3 -3

-1,9 -0,8

1 1

4 -5

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE



𝑓(0) = 𝑓(1,5) = 𝑓(−1,5) = 0.

Además la función no es creciente ni decreciente ya que 0 <

0,5 y 𝑓(0) = 𝑓(0,5).

La función es constante entre enteros consecutivos.

Por lo que si gráfica es:

Podemos notar que el recorrido de 𝑓 es ] − ∞, 1] , por lo que,

la función no es sobreyectiva.

Debemos notar que la función es creciente en ] − ∞,−1] y en

[−1,1], sin embargo, no es creciente en ] − ∞, 1]; y

decreciente en ]1,∞[.

Así, vemos que debemos analizar cada subdominio y luego

analizar la función en todo su dominio.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas están involucradas en

geometría, y en muchos otros contextos. Su carácter de

funciones periódicas (que repite sus valores al sumar un valor

fijo a la variable) les involucra tanto en aplicaciones en

movimiento armónico, en sonido y campos eléctricos, en

modelos poblacionales, en modelos de reacciones químicas y

muchos más.

Ángulos en radianes y funciones seno y coseno.

Antes de definir las funciones trigonométricas, es necesario

definir el radian.

Los radianes representan el ángulo central en una

circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del

radio, esto permite que el ángulo en radianes sea

independiente del radio de la circunferencia.

Definición

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia,

medido en radianes, es igual a la longitud del arco que

delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, 𝜃 = 𝑠/𝑟,

donde 𝜃 es ángulo, 𝑠 es la longitud de arco, y 𝑟 es el radio.

Por tanto, el ángulo completo, 𝜃 de una circunferencia de radio r,

medido en radianes, es

𝜃 =2𝜋𝑟

𝑟= 2𝜋

Ya que la longitud del arco de una circunferencia (perímetro)

es 2𝜋𝑟. Su símbolo es rad.

Cabe destacar que al medir un ángulo en el sentido de las

manillas del reloj, desde el punto (1,0) lo consideramos

negativo, y cuando es en contra del sentido de las manillas del

reloj lo consideramos positivo.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Para realizar la conversión entre grados y radianes, tenemos la

siguiente relación:

𝜋

180=𝑥 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

𝑧 °,

si conocemos 𝑧 solo debemos despejar 𝑥 para tener la

equivalencia entre ese ángulo sexagesimal y el ángulo en

radian. Análogamente, si conocemos 𝑥 y queremos ver la

equivalencia con los ángulos sexagesimales.

Ejemplo

Sea 𝑧 = 90°, tenemos que

𝜋

180=𝑥 𝑟𝑎𝑑

90 °⇒ 𝑥 𝑟𝑎𝑑 =

𝜋 ∙ 90

180=𝜋

2𝑟𝑎𝑑

Ejemplo

Sea 𝑧 = 30°, tenemos que

𝜋

180=𝑥 𝑟𝑎𝑑

30 °⇒ 𝑥 𝑟𝑎𝑑 =

𝜋 ∙ 30

180=𝜋

6 𝑟𝑎𝑑

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Sea 𝑥 =𝜋

4, tenemos que

𝜋

180=

𝜋4 𝑟𝑎𝑑

𝑧 °⇒ 𝑧 ° =

180 ∙𝜋4

𝜋= 45°

Ejemplo

Sea 𝑥 = 2𝜋, tenemos que

𝜋

180=2𝜋 𝑟𝑎𝑑

𝑧 °⇒ 𝑧 ° =

180 ∙ 2𝜋

𝜋= 360°

Definición: Se definen las funciones seno, denotada por sen, y

coseno, denotada por cos, por 𝑃(𝑡) = (𝑐𝑜𝑠(𝑡), 𝑠𝑒𝑛(𝑡)) tal

que satisfacen

Teorema

Para todo 𝑡 ∈ ℝ se cumplen

1. 0 < 𝑡 <𝜋

2 entonces cos(𝑡) > 0 y 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) > 0.

2. 𝜋

2< 𝑡 < 𝜋 entonces cos(𝑡) < 0 y 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) > 0.

3. 𝜋 < 𝑡 <3𝜋

2 entonces cos(𝑡) < 0 y 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) < 0.

4. 3𝜋

2< 𝑡 < 2𝜋 entonces cos(𝑡) > 0 y 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) < 0.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Teorema

Para todo 𝑡 ∈ ℝ se cumple:

1. cos2(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑡) = 1.

2. |cos (𝑡)| < 1, |𝑠𝑒𝑛(𝑡)| < 1.

3. cos(0) = 1 y 𝑠𝑒𝑛 (0) = 0.

4. cos (𝜋

2) = 0 y 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

2) = 1.

5. cos(𝜋) = −1 y 𝑠𝑒𝑛 (𝜋) = 0.

6. cos (3𝜋

2) = 0 y 𝑠𝑒𝑛 (

3𝜋

2) = −1.

7. cos(2𝜋) = 1 y 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋) = 0.

Teorema

Para todo 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ se cumple:

1. 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) y cos(−𝑥) = cos(𝑥).

2. cos(𝑥 + 𝑦) = cos(𝑥) cos(𝑦) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑦).

3. sen(𝑥 + 𝑦) = cos(𝑥) sen(𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑦).

4. 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2 cos(𝑥) sen(𝑥).

5. cos(2𝑥) = cos2(𝑥) − sen2(𝑥).

Teorema (Periodicidad)

Para todo 𝑥 ∈ ℝ y 𝑘 ∈ ℤ se cumplen cos(𝑥 + 2𝑘𝜋) =

cos(𝑥) y sen(𝑥 + 2𝑘𝜋) = sen(𝑥).

Por las proposiciones observamos que las funciones seno y

coseno, no son inyectivas ni sobreyectivas.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥).

Analicemos algunas características de esta función: notemos

que su dominio es ℝ

Al realizar la tabla de valores consideraremos algunos

múltiplos de 𝜋, obtenemos que:

𝑥 𝑓(𝑥)

0 0

0,5 0,479425539

0,785398163 0,707106781

1 0,841470985

1,570796327 1

2,35619449 0,707106781

3,141592654 1,22515E-16

4,71238898 -1

6,283185307 -2,4503E-16

6,783185307 0,479425539

7,068583471 0,707106781

1 0,841470985

7,853981634 1

8,639379797 0,707106781

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Recordemos que en la tabla solo tenemos valores

aproximados.

Por lo que su gráfica es:

De la gráfica observamos que las funciones seno no es

inyectivas ni sobreyectivas, ni creciente ni decreciente en su

dominio, sin embargo, es creciente en los intervalos ] −𝜋

2+

2𝑘𝜋,𝜋

2+ 2𝑘𝜋[ y es decreciente en ]

𝜋

2+ 2𝑘𝜋,

3𝜋

2+ 2𝑘𝜋[, con

𝑘 ∈ ℤ.

¿Cómo será la gráfica de la función coseno?

Ejercicios

1. Analice las siguientes funciones afines indicando si son

inyectivas, su crecimiento o decrecimiento, epiyectividad,

recorrido y gráfica.

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

c. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3

d. 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 5

e. 𝑓(𝑥) =2

3𝑥 − 1

f. 𝑓(𝑥) = −𝑥 −5

6

g. 𝑓(𝑥) =3

5𝑥 + 9

h. 𝑓(𝑥) = −3

2𝑥 − 1

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


2. Analice las siguientes funciones cuadráticas indicando

si son inyectivas, su crecimiento o decrecimiento,

epiyectividad, recorrido, gráfica, los ceros que posee y la

coordenada de su vértice.

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 2

c. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 4

d. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 1

e. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥

f. 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 − 12𝑥 − 10

g. 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 6𝑥 − 4

h. 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 − 18𝑥 − 12

3. Analice las siguientes funciones, indicando si son

inyectivas, su crecimiento o decrecimiento, epiyectividad,

recorrido, gráfica, la coordenada de su vértice, posibles

intersecciones con el eje 𝑥 e 𝑦.

a. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|

b. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1| + 3

c. 𝑓(𝑥) = −|𝑥 − 3| + 1

d. 𝑓(𝑥) = −|2𝑥 − 1| + 2

e. 𝑓(𝑥) = |𝑥| + 2

f. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| + 6

g. 𝑓(𝑥) = |6𝑥 − 4|

h. 𝑓(𝑥) = −|2𝑥 + 1| + 6

i. 𝑓(𝑥) = −|18𝑥 − 12| + 2

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


4. Analice las siguientes funciones dando una gráfica

aproximada de la función.

a. 𝑓(𝑥) = [𝑥] + 1

b. 𝑓(𝑥) = [𝑥 + 2]

c. 𝑓(𝑥) = 2[𝑥] + 1

d. 𝑓(𝑥) = −2[𝑥] + 1

e. 𝑓(𝑥) = [𝑥]+2

f. 𝑓(𝑥) = [𝑥 +1

2] + 2

g. 𝑓(𝑥) = [2𝑥 +1

2] + 6

h. 𝑓(𝑥) = − [2𝑥 +1

2] + 6

i. 𝑓(𝑥) = [𝑥 + 4] + 6


aproximada de la función (utilice las propiedades si fuera útil).

a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥

b. 𝑓(𝑥) = 2𝑥

c. 𝑓(𝑥) = (0,5)𝑥

d. 𝑓(𝑥) = 3−𝑥

e. 𝑓(𝑥) = 5𝑥

f. 𝑓(𝑥) = 2−𝑥

g. 𝑓(𝑥) = (0,2)𝑥

h. 𝑓(𝑥) = (0,2)−𝑥



a. 𝑓(𝑥) = log(𝑥)

b. 𝑓(𝑥) = log(𝑥) + 2

c. 𝑓(𝑥) = 3 log(𝑥)

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


d. 𝑓(𝑥) = ln(3𝑥)

e. 𝑓(𝑥) = 2ln(5𝑥) + 3

f. 𝑓(𝑥) = − ln(3𝑥)

g. 𝑓(𝑥) = − ln(3𝑥) − 25



a. 𝑓(𝑥) = sin (𝑥 + 2𝜋)

b. 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) + 2

c. 𝑓(𝑥) = 2sen (3𝑥)

d. 𝑓(𝑥) = 3cos(𝑥) + 2

e. 𝑓(𝑥) = 4sen (𝑥 + 𝜋) − 2

f. 𝑓(𝑥) = cos (𝑥 +𝜋

2) + 2



a. 𝑓(𝑥) = {[𝑥] si 𝑥 < 0

3𝑥 + 3 si 𝑥 > 0

b. 𝑓(𝑥) = {(0.5)𝑥 si 𝑥 < 03𝑥 + 1 si 𝑥 > 0

c. 𝑓(𝑥) = {−1 si 𝑥 ≤ −1𝑥 si − 1 < 𝑥 < 1log(𝑥) + 2 si 𝑥 ≥ 1

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Temas de Especialidad

A continuación veremos cómo aplicar los conceptos

estudiados en problemas aplicados a la economía y a modelos

poblacionales:

Crecimiento poblacional

Comencemos con el problema de Crecimiento Poblacional,

durante años se ha estudiado la la dinámica de poblaciones es

uno de los temas de mayor importancia para entender el

desarrollo temporal y espacial de los grupos de organismos de

la misma especie que se desarrollan en distintos ambientes. En

términos prácticos, interesa para el manejo de plagas agrícolas,

para comprender la epidemiologia de numerosas

enfermedades, para estimar densidades pesqueras, para

manejar poblaciones silvestres, etc.

El crecimiento poblacional es el cambio en la población en

un cierto plazo, y puede ser cuantificado como el cambio en el

número de individuos en una población por unidad de tiempo

para su medición. El término crecimiento demográfico puede

referirse técnicamente a cualquier especie, pero refiere casi

siempre a seres humanos.

Ejemplo

El número de bacterias presentes en un cultivo después de 𝑡

minutos está dado por

𝑁(𝑡) = 300 (4

3)𝑡

1. ¿Cuántas bacterias están presentes al inicio?

Solución: Queremos determinar 𝑁(𝑡) cuando 𝑡 = 0.

Tenemos

𝑁(0) = 300 (4

3)0

= 300.

Así, 300 bacterias están presentes al inicio.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


2. En forma aproximada, ¿cuántas bacterias estarán

presentes después de 2 minutos?

Solución: Queremos determinar 𝑁(𝑡) cuando 𝑡 = 2.

Tenemos

𝑁(2) = 300 (4

3)2

= 300 ∙16

9=1600

3≈ 533.

Por lo que casi 533 bacterias están presentes después de 2

minutos.

3. La población proyectada 𝑃, de una ciudad está dada

por

𝑃(𝑡) = 10000 ∙ 𝑒0,05∙𝑡

donde 𝑡 es el número de años después de 1990. Pronosticar la

población para el año 2010. ¿Cuándo la población llegará a los

15.000 habitantes?

Solución: El número de años desde 1990 a 2010 es 20. Por lo

que, hacemos

𝑡 = 20. Entonces:

𝑃(20) = 10.000 ∙ 𝑒0,05∙20 = 10.000𝑒1 ≈ 27.182.

Ahora para ver cuando la población será de 15000

habitantes buscamos 𝑡0 tal que

𝑃(𝑡0) = 10.000 ∙ 𝑒0,05∙𝑡0 = 15.000

Así, lo que debemos hacer es despejar 𝑡0 para ello recordemos

que la función inversa de la función exponencial es el

logaritmo natural, por lo que:

𝑒0,05∙𝑡0 =15.000

10.000=15

10= 3/2

aplicando logaritmo, tenemos que:

0,05 ∙ 𝑡0 = ln (3

2)

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Finalmente,𝑡0 = 20 ∙ ln (3

2) ≈ 8 años.

Ejercicios:

1. La población proyectada de una ciudad está dada por

𝑃 = 125.000 ∙ (1.11)𝑡/20, donde 𝑡 es el número de años a

partir de 1995. ¿Cuál es la población estimada para el año

2015?

2. Para cierta ciudad, la población P crece a una tasa de

2% por año. La fórmula 𝑃 =. ,000.000(1 + 0.02)𝑡

proporciona la población t años después de 1998. Determine

la población en (a) 1.999 y (b) 2.000.

3. La población de una ciudad de 5000 habitantes crece a

razón de 3% anual.

a. Determine una ecuación que proporcione la

población después de 𝑡 años a partir de ahora.

b. Determine la población 4 años después de

ahora. (Obtenga el entero más cercano).

4. En un cultivo se tienen bacterias cuyo número se incrementa a razón de 5% cada hora. Al inicio estaban presentes 400 bacterias.

a. Determine una ecuación que dé el número, N, de bacterias presentes después de t horas.

b. ¿Cuántas bacterias están presentes después de 1 hora? (c) ¿Después de 4 horas?

5. Las ciudades A y B en la actualidad tienen poblaciones de 70,000 y 60,000 habitantes, respectivamente. La ciudad A crece a razón de 4% anual y la de B crece a razón de 5% anual. Determine la diferencia entre las poblaciones al final de 5 años. Dé su respuesta al entero más cercano.

6. A causa de una recesión económica, la población de cierta área urbana disminuye a razón de 1% anual, es decir, la

fórmula 𝑃 = 100000(1 − 0.01)𝑡 proporciona la población

después de 𝑡 años, si al inicio la población era de 100,000 habitantes. ¿Cuál es la población después de 3 años?

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Oferta y Demanda

La oferta y la demanda son las fuerzas que hacen que las

economías de mercado o capitalistas funcionen. La oferta y la

demanda determinan la cantidad que se produce de cada bien

y el precio al que debe venderse. Y esto lo hacen al interactuar

en los mercados, entendiendo por mercado toda institución

social en la que los bienes y servicios, así como los factores

productivos, se intercambian.

La demanda tiene que ver con lo que los consumidores desean

adquirir. Demandar significa estar dispuesto a comprar,

mientras que comprar es efectuar realmente la adquisición. La

demanda refleja una intención, mientras que la compra

constituye una acción.

Las cantidades demandadas de un bien que los

consumidores desean y pueden comprar se denominan

demanda de dicho bien.

Ejemplo

Suponga que la ecuación 𝑝 =100

𝑞 describe la relación entre el

precio por unidad 𝑝 de cierto producto, y el número de

unidades 𝑞 del producto que los consumidores comprarán

(demanda) por semana a ese precio. Esta ecuación se llama

ecuación de demanda para el producto. Si 𝑞 es un número de

entrada, entonces para cada valor de 𝑞 se asigna exactamente

un número de salida 𝑝:

𝑞 →100

𝑞= 𝑝

Por ejemplo,

20 →100

20= 5

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


esto es, cuando 𝑞 es 20, entonces 𝑝 es 5.

Así, el precio 𝑝 es una función de la cantidad demandada, 𝑞.

Esta función se llama función de demanda. La variable

independiente es 𝑞, y 𝑝 es la variable dependiente. Ya que 𝑞

no puede ser cero (la división entre cero no está definida) y no

puede ser negativa (𝑞 representa una cantidad), el dominio son

todos los valores de 𝑞 tales que 𝑞 > 0.

El lado de la oferta tiene que ver con los términos en los que

las empresas desean producir y vender sus productos. Al igual

que hicimos en el caso de la demanda, al distinguir entre

demandar y comprar, ahora debemos precisar la diferencia

entre ofrecer y vender. Ofrecer es tener la intención o estar

dispuesto a vender, mientras que vender es hacerlo realmente.

La oferta recoge las intenciones de venta de los productores.

La cantidad ofrecida de un bien es lo que los vendedores

quieren y pueden vender.

Como podemos ver los compradores determinan la demanda

y los vendedores determinan la oferta.

En el valor de p para el cual la oferta es igual a la demanda, se

dice que el mercado está en equilibrio.

Ejemplo

Suponga que la ecuación 𝑝 =100

𝑞 describe la relación entre el

precio por unidad 𝑝 de cierto producto y la cantidad 𝑞 que

los fabricantes proporcionan por semana a ese precio. A cada

precio le corresponde exactamente una cantidad y viceversa.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Esta ecuación se llama ecuación de oferta para el producto. Si 𝑝 es

un número de entrada, entonces para cada valor de 𝑝 se asigna

exactamente un número de salida 𝑞:

𝑝 → 10𝑝 = 𝑞

Por ejemplo,

20 → 10 ∙ 5 = 50

esto es, cuando 𝑝 es 20, entonces 𝑞 es 50.

Así, la cantidad 𝑞 es una función del precio 𝑝. Esta función se

llama función de oferta. La variable independiente es 𝑝, y 𝑞

es la variable dependiente, digamos 𝑓(𝑝) = 𝑞. Esta función

suele ser creciente, es decir, cuando el precio por unidad se

incremente, los fabricantes están dispuestos a surtir más

unidades por semana.

Ejercicios

1. Supóngase que la función de demanda semanal para

pizzas grandes en una pizzería es 𝑝 = 26 −𝑞

40.

a. Si el precio actual es US$18.50 por pizza, ¿cuántas

pizzas se venden por semana?

b. Si se venden 200 pizzas cada semana, ¿cuál es el

precio actual?

c. Si el propietario quiere duplicar el número de pizzas

grandes vendidas por semana (a 400), ¿cuál debe ser su precio?

2. Supóngase que la función de oferta semanal por una libra

de su café casero en un local de venta de café es 𝑝 =𝑞

50, en

donde q es el número de libras de café que se ofrecen por

semana. ¿Cuántas libras de café a la semana deben ofrecerse si

el precio es de US$8.00 por libra? ¿Cuántas libras de café a la

semana deben ofrecerse si el precio es de US$20.00 por libra?

¿Cómo cambia la cantidad ofrecida conforme el precio se

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


incrementa?

3. Dadas las funciones de demanda y oferta de un bien,

𝑝𝑞 = 4, 𝑞 = 𝑝 + 3 donde 𝑝 es el precio en miles de pesos y

𝑞 es la cantidad de unidades.

a. Determine el precio y la cantidad de equilibrio del

mercado.

Represente gráficamente ambas funciones en un sistema

donde el precio es la variable independiente y la cantidad es la

variable dependiente.

4. Dadas las funciones e ingreso y costo total de una proceso

productivo 𝐼 = 92𝑞 − 𝑞2; 𝐶 = 2𝑞 + 800 donde 𝑞 es el nivel

de producción.

a. Halle los niveles de producción para que no haya

pérdida ni ganancia.

b. Represente ambas funciones en un sistema con la

variable independiente 𝑞.

5. Dadas las funciones de demanda y oferta de un bien,

𝑝(𝑥) =8

𝑥+4, 𝑞(𝑥) = 5𝑥 − 19. Determine el punto de

equilibrio del mercado.

6. Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad,

suponga que un fabricante suministrará 2p - 8 unidades del

producto al mercado y que los consumidores demandarán 300

- 2p unidades. Determine ese valor de p.

7. Repita el problema anterior para las condiciones

siguientes: a un precio de p dólares por unidad, la oferta es

3𝑝2 − 4𝑝 y la demanda es 24 − 𝑝2.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Costos

La teoría de los costos estudia las relaciones que existen entre

los costos de los insumos y los diferentes niveles de

producción. El problema más importante para el empresario

es “decidir lo que hay que producir y cuánto”.

La teoría de los costos permite determinar que método de los

técnicamente eficientes, adoptar á la empresa, atendiendo a

sus objetivos minimizadores de costos. Es decir, el costo

influye decisivamente en la cantidad de bienes que el

productor está dispuesto a lanzar al mercado. Si el precio

vigente fuese demasiado bajo para cubrir los costos de

funcionamiento, no ofrecería ninguna unidad a la venta; si, por

el contrario, el precio fuera muy alto, ofrecería una gran

cantidad. El principal factor que determina los precios de

oferta de las diversas cantidades de productos, es el costo de

producirlo.

En el ejemplo siguiente nos referimos a algunos términos de

negocios relativos a una compañía manufacturera. Costo fijo

(o gastos generales) es la suma de todos los costos que son

independientes del nivel de producción, como renta, seguros,

etc. Este costo debe pagarse independientemente de que se

produzca o no. Costo variable es la suma de todos los costos

dependientes del nivel de producción, como salarios y

materiales. Costo total es la suma de los costos variable y fijo:

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 + 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜.

La función de costo total de un fabricante, 𝑐 = 𝑓(𝑞), nos da

el costo total 𝑐 de producir y comerciar 𝑞 unidades de un

producto

Si c es el costo total de producir q unidades de un producto,

entonces el costo promedio por unidad �̅� es:

�̅� =𝑐

𝑞.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Por ejemplo, si el costo total de 20 unidades es de $100,

entonces el costo promedio por unidad es �̅� =100

20= 5.

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por q

obtenemos

c = q�̅�

Esto es, el costo total es el producto del número de unidades

producidas multiplicado por el costo promedio unitario.

Ejemplo

En la fabricación de un componente para una máquina, el

costo inicial de un troquel es de $850 y todos los otros costos

adicionales son de $3 por unidad producida.

a. Exprese el costo total C (en dólares) como una

función lineal del número q de unidades producidas.

b. ¿Cuántas unidades se producen si el costo total

es de $1600?

Ejercicios

1. Para alentar el ahorro, una compañía de gas cobra dos

tarifas. Usted paga US$0.53 por termia para un consumo de 0-

70 termias, y US$0.74 por cada termia por encima de 70. Haga

la gráfica de la función definida por tramos, que representa el

costo mensual de t termias de gas.

2. El costo diario promedio, C, para una cuarto en un

hospital de la ciudad se elevó US$59.82 por año durante los

años 1990 a 2000. Si el costo promedio en 1996 fue

US$1128.50, ¿cuál es una ecuación que describe el costo

promedio durante esta década, como una función del número

de años, T, desde 1990?

3. Suponga que el costo para producir 10 unidades de un producto es US$40 y el costo para 20 unidades es US$70. Si el costo, c, está relacionado de manera lineal con la producción, q, determine el costo de producir 35 unidades.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


4. Un anunciante va con un impresor y éste le cobra US$79 por 100 copias de un volante y US$88 por 400 copias de otro volante. Este impresor cobra un costo fijo, más una tarifa por cada copia de volantes de una sola página. Determine una función que describa el costo de un trabajo de impresión, si x es el número de copias que se hacen.

Ingreso

El término ingreso tiene básicamente dos acepciones: las

cantidades que recibe una empresa por la venta de sus productos

o servicios (ingresos empresariales, en inglés revenue), y el conjunto

de rentas recibidas por los ciudadanos (en inglés income).

El aumento de ingresos es el proceso de determinación de

aumento del porcentaje en el ingreso por un producto a lo largo

del tiempo.

El ingreso promedio se obtiene, en promedio, por cada unidad de

producto vendida; es decir, es el ingreso total dividido en el total

de unidades vendidas

El ingreso total es el dinero que un fabricante recibe por la venta

de su producto. Está dado por:

𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

= (𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑)(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠)

Ejemplo

El ingreso total de una cafetería con base en la venta de x cafés

especiales está dado por 𝑟 = 2.25𝑥, y sus costos totales diarios

están dados por 𝑐 = 0.75𝑥 + 300. ¿Cuántos cafés especiales se

necesitan vender cada día para obtener el punto de equilibrio? En

otras palabras, ¿cuándo el ingreso es igual a los costos?

Solución

Para resolver este problema debemos resolver la ecuación:

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


2.25𝑥 = 0.75𝑥 + 300

Tenemos que:

1.50𝑥 = 300

Por lo que, 𝑥 =300

1.5= 200. Se necesitan 200 cafés especiales.

Ejercicios

1. El ingreso mensual total de una guardería obtenido del

cuidado de x niños está dado por 𝑟 = 450𝑥, y sus costos

mensuales totales están dados por 𝑐 = 380𝑥 + 3500.

¿Cuántos niños se necesitan inscribir mensualmente para llegar

al punto de equilibrio? En otras palabras, ¿cuándo los ingresos

igualan a los costos?

2. Un pequeño negocio pronostica que su ingreso crecerá

de acuerdo con el método de la línea recta con una pendiente

de $50,000 por año. En su quinto año, el negocio tuvo

ingresos por $330,000. Determine una ecuación que describa

la relación entre los ingresos, R, y el número de años, T, desde

la apertura del negocio.

Utilidad

Utilidad (ganancia o pérdida si es negativa) es el ingreso total

menos el costo total:

𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙.

El incremento de utilidades es el proceso de determinación de

aumento del porcentaje de la utilidad de un producto a lo

largo del tiempo.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Entenderemos por utilidad total a la utilidad que proporciona

toda la cantidad consumida del bien.

Ejemplo

La compañía Anderson fabrica un producto para el cual el

costo variable por unidad es de $6 y el costo fijo de $80,000.

Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el

número de unidades que deben venderse para obtener una

utilidad de $60,000.

Solución

Tenemos que el costo total está dado por:

𝐶(𝑞) = 80000 + 6𝑞.

Y el ingreso total está dado por 10𝑞.

Además sabemos que la utilidad es

𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙,

Por lo que, tenemos que la siguiente función

𝑈(𝑞) = 10𝑞 − (80000 + 6𝑞)

describe la utilidad del producto.

Así buscamos 𝑞0, tal que 𝑈(𝑞0) = 60000, es decir, debemos

resolver la ecuación

10𝑞0 − (80000 + 6𝑞0) = 60000

Así, tenemos que 𝑞0 = 35000 unidades. Por lo que debemos

vender 35000 unidades para tener $60000 de utilidad.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


Ejercicios

1. Cuando se venden 𝑞 unidades de cierto producto (q es no

negativa), la utilidad 𝑃 está dada por la ecuación 𝑃 = 1.25𝑞.

¿Es P una función de 𝑞? ¿Cuál es la variable dependiente y

cuál la independiente?

2. Una compañía de refinación de maíz produce gluten de

maíz para alimento de ganado, con un costo variable de $76

por tonelada. Si los costos fijos son $110,000 por mes y el

alimento se vende en $126 por tonelada, ¿cuántas toneladas

deben venderse para que la compañía tenga una utilidad

mensual de $540,000?

3. La directiva de una compañía quiere saber cuántas

unidades de su producto necesita vender para obtener una

utilidad de $l00,000. Para este caso se cuenta con la siguiente

información: precio de venta por unidad, $20; costo variable

por unidad, $15; costo fijo total, $600,000. A partir de estos

datos determine las unidades que deben venderse.

4. Una compañía determina que si produce y vende q

unidades de un producto, el ingreso total por las ventas será

100√q. Si el costo variable por unidad es de $2 y el costo fijo

de $1200, determine los valores de q para que la utilidad sea

cero. Es decir, que ingreso total por ventas = costo variable +

costo fijo.

5. El margen de utilidad de una compañía es su ingreso neto

dividido entre sus ventas totales. El margen de utilidad en

cierta compañía aumentó en 0.02 con respecto al año anterior.

El año anterior vendió su producto en $3.00 cada uno y tuvo

un ingreso neto de $4500. Este año incrementó el precio de su

producto en $0.50 por unidad, vendió 2000 más y tuvo un

ingreso neto de $7140. La compañía nunca ha tenido un

margen de utilidad mayor que 0.15. ¿Cuántos de sus productos

vendió la compañía el año pasado y cuántos vendió este año?

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


6. Para una compañía que fabrica calentadores para acuarios,

el costo combinado de mano de obra y material es de $21 por

calentador. Los costos fijos (costos en que se incurre en un

periodo dado, sin importar la producción) son $70,000. Si el

precio de venta de un calentador es $35, ¿cuántos debe vender

para que la compañía genere utilidades?

7. Una compañía de publicidad determina que el costo por

publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El

ingreso recibido de los distribuidores es $1.40 por revista. El

ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los

distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de

10,000. ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben

venderse de modo que la compañía obtenga utilidades?

8. La compañía Davis fabrica un producto que tiene un

precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si

los costos fijos son de $600,000, determine el número mínimo

de unidades que deben venderse para que la compañía tenga

utilidades.

9. Para producir una unidad de un producto nuevo, una

compañía determina que el costo del material es de $2.50 y el

de mano de obra de $4. El gasto general, sin importar el

volumen de ventas, es de $5000. Si el precio para un mayorista

es de $7.40 por unidad, determine el número mínimo de

unidades que debe venderse para que la compañía obtenga

utilidades.

10. Una fábrica de camisetas produce N camisetas con un

costo de mano de obra total (en dólares) de 1.2N y un costo

total por material de 0.3N. Los gastos generales para la planta

son de $6000. Si cada camiseta se vende en $3, ¿cuántas

camisetas deben venderse para que la compañía obtenga

utilidades?

11. Un expendio de café vende una libra de café por $9.75.

Los gastos mensuales son $4500 más $4.25 por cada libra de

café vendida.

a. Escriba una función r(x) para el ingreso mensual total

como una función del número de libras de café vendidas.

b. Escriba una función e(x) para los gastos mensuales

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


totales como una función del número de libras de café

vendidas.

c. Escriba una función (r - e)(x) para la utilidad mensual

total como una función del número de libras de café vendidas.

12. La utilidad diaria de un concesionario de automóviles por

la venta de un tipo de minivan está dada por 𝑃(𝑥) = −𝑥2 +

3𝑥 + 399, en donde 𝑥 es el número de minivans vendidas.

Determine el vértice de la función y sus intersecciones con los

ejes, y haga una gráfica de la función.

13. La utilidad diaria de la venta de árboles para el

departamento de jardinería de un almacén está dada por

𝑃(𝑥) = −𝑥2 + 18𝑥 + 144, en donde 𝑥 es el número de

árboles vendidos. Determine el vértice y las intersecciones con

los ejes de la función, y haga la gráfica de la función.

ÁLGEBRA Y

FUNCIONES REALES

EN UNA

VARIABLE


MTCL01

UNIDAD 2

LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE


Aplica la noción intuitiva de límite de función, empleando aproximaciones laterales, mediante, tabulación de datos y presentación gráfica.


Determina el límite de una función real a través de su gráfica.

Estima el valor del límite de una función real, por aproximaciones laterales presentadas a través de una tabla.

Establece la diferencia entre el concepto de límite e imagen de una función real en un punto. APRENDIZAJE ESPERADO

Determina el límite de funciones de una variable mediante teoremas y propiedades.


Calcula límites de funciones mediante teoremas y propiedades.

Calcula límites al infinito mediante teoremas y propiedades.

Determina la no existencia de un límite mediante el reconocimiento de asíntotas.


Analiza continuidades y discontinuidades de funciones de una variable, mediante teoremas y propiedades.


Determina la continuidad de una función a partir del análisis de su gráfica.

Determina la continuidad de una función mediante teoremas y propiedades de límites.


Determina la discontinuidad de una función a partir del análisis de su gráfica.

Determina la discontinuidad de una función mediante teoremas y propiedades de límites.


Introducción

Noción de función

Se dice que un número 𝐿 es el límite de una función 𝑓 hacia un valor 𝑎 si

los valores 𝑓(𝑥) se aproximan a 𝐿 cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎.

Eso es demasiado informal para ser útil, por lo que conectaremos con

curvas y gráficas:

La noción de límite de una función 𝑓 hacia 𝑎 ∈ ℝ (en horizontal)

corresponde a la existencia de un valor 𝐿 ∈ ℝ (en vertical) de modo que

el punto (𝑎, 𝐿) es concordante con los puntos circundantes de la gráfica

de 𝑓.

Precisando un poco más, un número 𝐿 es el límite de una función 𝑓 hacia

un valor 𝑎 cuando el punto (𝑎, 𝐿) es concordante con los puntos

(𝑥, 𝑓(𝑥)) para 𝑥 arbitrariamente cercano.

La idea al representar lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿, es que el límite es, si existe, el

número 𝐿 al que los resultados de la función se aproximan cuando la

función se evalúa en valores de 𝑥 que aproximan, pero son distintos, de 𝑎.

NOCIÓN DE

LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Observaciones

Antes de continuar es importante mencionar algunos aspectos de la

definición anterior.

1. Denotamos por lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 a la afirmación de que 𝐿 es el límite

de 𝑓 hacia 𝑎.

2. 𝑓(𝑥) tiene sentido si y solo si 𝑥 pertenece al dominio de 𝑓.

3. La noción de “puntos de la gráfica circundante” se puede

considerar respecto de la recta vertical 𝑥 = 𝑎.

4. De existir el límite, debe ser único para que tenga sentido la noción

de ser concordante con los puntos circundantes.

5. La definición matemáticamente rigurosa la veremos más adelante.

6. Leemos “𝑥 tiende a 𝑎” para 𝑥 → 𝑎. De hecho, se dice que 𝐿 =

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) si y sólo si 𝑓(𝑥) tiende a 𝐿 cuando 𝑥 tiende a 𝑎.

Los límites nos permitirán estudiar el comportamiento de funciones ya sea

para 𝑎 ∈ ℝ o para valores muy grandes, es decir, al infinito).

Ejemplo

Considere la función racional 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥−1. Recuerde que el dominio está

dado por

Dom(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 − 1 ≠ 0} = ℝ − {1}.

De lo anterior se deduce que 𝑥 = 1 no pertenece al dominio de la función,

sin embargo podemos preguntarnos si existe lim𝑥→1

𝑓(𝑥). Si consideramos

las siguientes tablas

NOCIÓN DE

LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


0,7 1,700 1,1 2,100

0,8 1,800 1,05 2,050

0,9 1,900 1,04 2,040

0,95 1,950 1,03 2,030

0,96 1,960 1,02 2,020

0,97 1,970 1,01 2,010

0,98 1,980 1,09 2,090

0,999 1,999 1,001 2,001

Se puede observar que cuando 𝑥 está próximo a 1 (sin importar si se

aproxima por izquierda o por derecha), entonces 𝑓(𝑥) está próxima a 2.

De hecho más adelante se mostrara que

limx→1

𝑓(𝑥) = 2.

No podemos dejar de ver que cuando 𝑥 ≠ 1 la función

𝑓(𝑥) =𝑥2 − 1

𝑥 − 1=(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

𝑥 − 1= 𝑥 + 1.

Por lo tanto para valores de 𝑥 distintos de 1, la función tiene el mismo

comportamiento que 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1, pero en 𝑥 = 1 la función 𝑓 no está

definida. Esto es importante porque en realidad no estamos interesados en

saber qué pasa con 𝑓 exactamente en 𝑥 = 1 (por que en efecto no

podemos), si no que estamos interesados en saber que sucede alrededor de

ese punto, y es por esto que podemos observar el comportamiento de la

función 𝑔 en lugar de observar la propia función 𝑓. Tenemos que la

gráfica de la función 𝑓 es:

x f x x f x

NOCIÓN DE

LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Ejemplo

La función 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 + 2, cuya gráfica está dada por

Notemos que el dominio es Dom(𝑓) = ℝ.

Haremos un breve análisis intuitivo, veremos que sucede con 𝑓 cuando 𝑥

tiende a 0.

Analizando la gráfica podemos observar que al cercarnos por la derecha

hacia el cero, tenemos:

NOCIÓN DE

LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Podemos observar que 𝑓(𝑥) se acerca a 3 cuando 𝑥 se acerca a 0 por la

derecha.

Análogamente, analizando la gráfica podemos observar que al acercarnos

por la izquierda hacia el cero, tenemos:

Podemos observar que 𝑓(𝑥) se acerca a 3 cuando 𝑥 se acerca a 0 por la

izquierda.

NOCIÓN DE

LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Esto quiere decir que si caminamos por la curva a 𝑥 = 0 (sin importar si

es por la izquierda o la derecha) llegaremos a 3. Así, de manera intuitiva,

tenemos que lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 3.

Lo que cual concuerda al analizar la siguiente tabla de valores:

𝑥 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑓(𝑥)

0,3 2,7408 -0,3 3,3499

0,2 2,8187 -0,2 3,2214

0,1 2,9048 -0,1 3,1052

0,05 2,9512 -0,05 3,0513

0,04 2,9608 -0,04 3,0408

0,03 2,9704 -0,3 3,3499

0,02 2,9802 -0,02 3,0202

0,001 2,9990 -0,001 3,0010

Cabe destacar que 𝑓(0) = 3, es decir, en este caso el límite hacia 0

coincide con el valor de la función al evaluarla en 0. Ello no siempre será

así.

Ejemplo

La función 𝑔(𝑥) = {𝑥2 si 𝑥 ≠ 05 si 𝑥 = 0

, cuya gráfica está dada por

NOCIÓN DE

LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Notemos que el dominio está dado por Dom(𝑔) = ℝ.

Haremos un breve análisis intuitivo, veremos que sucede con 𝑓 cuando 𝑥

tiende a 0.

Analizando la gráfica podemos observar que al cercarnos por la derecha

hacia el cero, tenemos:

Podemos observar que 𝑔(𝑥) se acerca a 0 cuando 𝑥 se acerca a 0 por la

derecha.

Análogamente, analizando la gráfica podemos observar que al acercarnos

por la izquierda hacia el cero, tenemos:

podemos observar que 𝑔(𝑥) se acerca a 0 cuando 𝑥 se acerca a 0 por la

izquierda.

Esto quiere decir que si caminamos por la curva a 𝑥 = 0 (sin importar si

es por la izquierda o la derecha) llegaremos a 0. Así, de manera intuitiva,

tenemos que lim𝑥→0

𝑔(𝑥) = 0.

NOCIÓN DE

LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Lo que cual concuerda al analizar la siguiente tabla de valores:

𝑥 𝑔(𝑥) 𝑥 𝑔(𝑥)

0,3 0,0900 -0,3 0,0900

0,2 0,0400 -0,2 0,0400

0,1 0,0100 -0,1 0,0100

0,05 0,0025 -0,05 0,0025

0,04 0,0016 -0,04 0,0016

0,03 0,0009 -0,3 0,0900

0,02 0,0004 -0,02 0,0004

0,01 0,0001 -0,01 0,0001

Cabe destacar que 𝑔(0) = 5, lo que no concuerda con el límite de la

función hacia 0.

Por ello, no siempre es lo mismo calcular la imagen de una función en un

valor que tomar el límite de la función hacia el punto.

Ejercicios

1. Evalúe los siguientes límites usando gráfica y tabla:

a. lim𝑥→1

𝑥2 − 1

b. lim𝑥→(−1)

𝑥2 − 1

c. lim𝑥→0

√1 − 𝑥2

d. lim𝑥→4

𝑥+6

𝑥+4

2. Responde:

a. ¿Es verdad que lim𝑥→2

(𝑥 − 1)2 − 1 = 0?

b. ¿Es verdad que lim𝑥→2

𝑥2 − 𝑥 = 1?

c. ¿Qué valor tiene lim𝑥→11

45?

d. ¿Tiene sentido lim𝑥→0

1

𝑥2?

Propiedades básicas de límites.

Las siguientes propiedades nos ayudarán a comprender y resolver límites

de manera más sencilla.

NOCIÓN DE

LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Teorema: Sean 𝑓 y 𝑔 funciones y sea 𝑎 un punto no aislado de

(Dom(𝑓) ∩ Dom(𝑔)) tales que existen lim𝑥→𝑎

𝑓 (𝑥) y lim𝑥→𝑎

𝑔 (𝑥), entonces:

a) lim𝑥→𝑎

(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) = (lim𝑥→𝑎

𝑓 (𝑥)) + (lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)).

b) Si 𝛼 ∈ ℝ es constante (no varía con 𝑥) entonces

lim𝑥→𝑐

𝛼 = 𝛼

lim𝑥→𝑎

𝛼𝑓 (𝑥) = 𝛼 (lim𝑥→𝑎

𝑓 (𝑥))

c) lim𝑥→𝑎

𝑓 (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = (lim𝑥→𝑎

𝑓 (𝑥)) ∙ (lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥)).

d) Si lim𝑥→𝑎

𝑔 (𝑥) ≠ 0, entonces lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥).

e) Si 𝑐 > 1 y 𝑛 ∈ ℕ, entonces lim𝑥→𝑐

√𝑥𝑛

= √𝑐𝑛

.

f) lim𝑥→𝑐

𝑥 = 𝑐

A continuación veremos cómo aplicar el Teorema:

Ejemplo

Siguiendo los puntos c) y f) de la Proposición, podemos ver que, para todo

𝑛 ∈ ℕ y para todo 𝑐 ∈ ℝ se cumple que

limx→c

𝑥𝑛 = 𝑐𝑛.

Ejemplo

Se tiene

lim𝑥→1

𝑥2 + 2𝑥 + 3 =6.

Ya que, según el ejemplo anterior, para cada expresión 𝑥𝑛 con 𝑛 ∈ ℕ, el

límite cuando 𝑥 tiende a 𝑐 es 𝑐𝑛, y junto con la propiedad aditiva de los

límites, puntos a) y b) de la Proposición anterior, tenemos que

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


lim𝑥→1

(𝑥2 + 2𝑥 + 3) =12 + 2 ⋅ 1 + 3 = 6.

Ejemplo

Para calcular lim𝑥→2

3𝑥3 + 5𝑥2 + 7, de la misma forma como lo hicimos

antes, sabemos que:

lim𝑥→2

𝑥3 = 8 , lim𝑥→2

𝑥2 = 4 y lim𝑥→2

7 = 7.

Luego, utilizando nuevamente los puntos a) y b) de la Proposición, se

obtiene

lim𝑥→2

3𝑥3 + 5𝑥2 + 7 = 3 ⋅ 8 + 5 ⋅ 4 + 7 = 51.

Teorema

Sean 𝑚 ∈ ℕ y 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑥

𝑚 , para algunos

números 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑚 ∈ ℝ. De la Proposición y el ejemplo anterior, se

sigue que:

limx→c

𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑥

𝑚

= 𝑎0 + 𝑎1𝑐 + 𝑎2𝑐2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑐

𝑚.

Es decir, para todo polinomio 𝑝(𝑥) se cumple

lim𝑥→𝑐

𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐)

Ejemplo

Considere una función de variable real 𝑓 tal que 𝑓(𝑥) ≠ 2 en el conjunto

]0,1[ ∪ ]1,2[ y limx→1

𝑓(𝑥) = 2. Determinemos si existe el límite

limx→1

(𝑓(𝑥))2+ 3𝑓(𝑥) − 10

(𝑓(𝑥))2− 4

Notemos que:

limx→1

(𝑓(𝑥))2+3𝑓(𝑥)−10

(𝑓(𝑥))2−4

= limx→1

(𝑓(𝑥)−2)(𝑓(𝑥)+5)

(𝑓(𝑥)−2)(𝑓(𝑥)+2)= lim

x→1

(𝑓(𝑥)+5)

(𝑓(𝑥)+2)

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


De la Proposición, tenemos que:lim𝑥→𝑎

ℎ(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→𝑎

ℎ(𝑥)

lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑥), cuando ambos límites

existen y el límite en el denominador es distinto de 0.

Por lo tanto, el límite que estamos calculando es igual a:

limx→1

(𝑓(𝑥) + 5)

(𝑓(𝑥) + 2)=limx→1

(𝑓(𝑥) + 5)

limx→1

(𝑓(𝑥) + 2)=limx→1

𝑓(𝑥) + limx→1

5

limx→1

𝑓(𝑥) + limx→1

2=2 + 5

2 + 2=7

4

Así, de lo anterior se deduce que limx→1

(𝑓(𝑥))2+3𝑓(𝑥)−10

(𝑓(𝑥))2−4

=7

4.

Observación

Antes de aplicar la Proposición se debe verificar previamente el

cumplimiento de las hipótesis, caso contrario las conclusiones obtenidas

pueden ser falsas.

Teorema. Cada una de las siguientes igualdades es válida.

1) Para todo número real 𝑐 en el dominio de cada función:

a. lim𝑥→𝑐

sen (𝑥) = sen(𝑐)

b. lim𝑥→𝑐

cos (𝑥) = cos(𝑐)

c. lim𝑥→𝑐

tan (𝑥) = tan(𝑐)

d. lim𝑥→𝑐

sec (𝑥) = sec(𝑐)

e. lim𝑥→𝑐

cosec (𝑥) = cosec(𝑐)

f. lim𝑥→𝑐

cotan(𝑥) = cotan(𝑐)

2) lim𝑥→0

sen(𝑥)

𝑥= 1.

3) lim𝑥→0

(1 + 𝑥)1

𝑥 = 𝑒.

4) lim𝑥→0

1−cos(𝑥)

𝑥2=

1

2.

5) lim𝑥→0

𝑎𝑥−1

𝑥= ln(𝑎), si 𝑎 > 0.

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Muchas veces nos encontraremos con límites como el que viene en el

siguiente ejemplo, que son muy parecidos a algunos que conocemos (en

este caso el primero del teorema) pero no pueden ser usados directamente

pues necesitan de un cambio de variables o algún paso para convertirlos

en conocidos:

Teorema (cambio de variable)

Sea 𝑔 una función inyectiva en un intervalo que contiene a 𝑐 tal que

lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑐),

entonces,

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑔(𝑥)) = lim𝑦→𝑔(𝑐)

𝑓(𝑦).

Ejemplo

Utilicemos los teoremas anteriores para calcular el siguiente límite

lim𝑥→0

sen(5𝑥)

𝑥

Solución. Por el teorema anterior podríamos calcular este límite si el

denominador y el argumento de la función seno fueran iguales, entonces

para que lo sean amplificamos por 5 la fracción, y tenemos:

lim𝑥→0

sen(5𝑥)

𝑥 = lim

𝑥→0

5 sen(5𝑥)

5𝑥 = 5 lim

𝑥→0

sen(5𝑥)

5𝑥= 5 ⋅ lim

𝑦→0

sen(𝑦)

𝑦

= 5 ⋅ 1 = 5.

Ejemplo


lim𝑥→1

𝑥−𝑥2

𝑥−𝑥4 .

Solución. Para calcular el límite en cuestión observemos que:

lim𝑥→1

𝑥 − 𝑥2

𝑥 − 𝑥4= lim

𝑥→1

𝑥(1 − 𝑥)

𝑥(1 − 𝑥3)= lim

𝑥→1

𝑥(1 − 𝑥)

𝑥(1 − 𝑥)(1 + 𝑥 + 𝑥2)

= lim𝑥→1

1

(1 + 𝑥 + 𝑥2)=

1

lim𝑥→1

(1 + 𝑥 + 𝑥2)=1

3

Finalmente, tenemos que lim𝑥→1

𝑥−𝑥2

𝑥−𝑥4=

1

3.

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Ejemplo


lim𝑥→1

√𝑥−𝑥

√𝑥−𝑥2.

Solución. En este caso no podemos factorizar por simple inspección el

numerador y el denominador. Sin embargo, si se considera el cambio de

variable √𝑥 = 𝑢, o equivalentemente 𝑥 = 𝑢2, y considerando que cuando

𝑥 → 1, entonces 𝑢 → 1, (es importante notar que la función 𝑢2 no es

inyectiva en todo su dominio, pero dado que el límite es en 𝑥 = 1

podemos restringir a un intervalo que contenga este punto para poder

cumplir con las hipótesis del teorema del cambio de variable) y

obtenemos:

lim𝑥→1

√𝑥 − 𝑥

√𝑥 − 𝑥2= lim𝑢→1

𝑢 − 𝑢2

𝑢 − 𝑢4

Observe que con el cambio de variable que hemos realizado se ha

transformado el límite que hemos analizado en b. el cual involucra una

función racional. Por lo que:

lim𝑥→1

√𝑥 − 𝑥

√𝑥 − 𝑥2= lim𝑢→1

𝑢 − 𝑢2

𝑢 − 𝑢4=1

3

Ejemplo


lim𝑥→−1

√𝑥3

− 𝑥

1 + √𝑥5

Solución. El límite a determinar es similar al anterior, sin embargo las

raíces tienen radicales distintos. Para calcular el límite en cuestión

usaremos el cambio de variable 𝑥 = 𝑢15, donde15 = 𝑚𝑐𝑚(3,5), es decir

15 es el mínimo común múltiplo de 3 y 5. Al realizar el cambio de variable

indicado se obtiene:

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


lim𝑥→−1

√𝑥3

− 𝑥

1 + √𝑥5 = lim

𝑥→−1

𝑢5 − 𝑢15

1 + 𝑢3= lim

𝑥→−1

𝑢5(1 − 𝑢10)

1 − (−𝑢)3

= lim𝑥→−1

𝑢5(1 − 𝑢5)(1 + 𝑢5)

(1 + 𝑢)(1 − 𝑢 + 𝑢2)

= lim𝑥→−1

𝑢5(1 − 𝑢5)(1 + 𝑢)(1 − 𝑢 + 𝑢2 − 𝑢3 + 𝑢4)

(1 + 𝑢)(1 − 𝑢 + 𝑢2)

= lim𝑥→−1

𝑢5(1 − 𝑢5)(1 − 𝑢 + 𝑢2 − 𝑢3 + 𝑢4)

(1 − 𝑢 + 𝑢2)=−10

3

Así tenemos que

lim𝑥→−1

√𝑥3

− 𝑥

1 + √𝑥5 =

−10

3

Ejemplo


lim𝑥→

𝜋4

sen(𝑥) − cos(𝑥)

1 − tan(𝑥).

Solución. Primero se observa que:

lim𝑥→

𝜋4


1 − tan(𝑥)= lim

𝑥→𝜋4 (sen(𝑥) − cos(𝑥)

1 −sen(𝑥)cos(𝑥)

)

= lim𝑥→

𝜋4 (sen(𝑥) − cos(𝑥)

cos(𝑥) − sin(𝑥)cos(𝑥)

)

= lim𝑥→

𝜋4 (sen(𝑥) − cos(𝑥)

−(sen(𝑥) − cos(𝑥))cos(𝑥)) = − lim

𝑥→𝜋4 cos(𝑥)

= cos (𝜋

4)

Por lo tanto, tenemos

lim𝑥→

𝜋4


1 − tan(𝑥)= −

√2

2

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Ejemplo


lim𝑥→0

𝑒𝑎𝑥 − 𝑒𝑏𝑥

𝑥.

Solución

Primero recordemos el límite lim𝑥→0

𝑎𝑥−1

𝑥= ln(𝑎), si 𝑎 > 0.

Así tenemos que:

lim𝑥→0

𝑒𝑎𝑥 − 𝑒𝑏𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

𝑒𝑎𝑥 − 1 + 1 − 𝑒𝑏𝑥

𝑥

= lim𝑥→0

(𝑒𝑎𝑥 − 1

𝑥−𝑒𝑏𝑥 − 1

𝑥)

= lim𝑥→0

(𝑒𝑎)𝑥 − 1

𝑥− lim𝑥→0

(𝑒𝑏)𝑥 − 1

𝑥= ln(𝑒𝑎) − ln(𝑒𝑏) = 𝑎 − 𝑏

Por lo tanto: lim𝑥→0

𝑒𝑎𝑥−𝑒𝑏𝑥

𝑥= 𝑎 − 𝑏

Teorema

Si lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 , lim𝑥→𝐿

𝑔(𝑥) = 𝑐 y 𝑓(𝑥) ≠ 𝐿 para todo 𝑥 ≠ 𝑎 en algún

intervalo abierto que contiene al punto 𝑎 entonces lim𝑥→𝑎

𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑐.

Ejemplo

Dada la función 𝑓(𝑥) =2𝑥2+3𝑥+1

𝑥2+4𝑥+3,

a. Calcule lim 𝑥→0

𝑓(𝑥)

Solución

Tenemos que

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


lim 𝑥→0

2𝑥2 + 3𝑥 + 1

𝑥2 + 4𝑥 + 3=lim 𝑥→0

2𝑥2 + 3𝑥 + 1

lim 𝑥→0

𝑥2 + 4𝑥 + 3=2 ∙ 02 + 3 ∙ 0 + 1

02 + 4 ∙ 0 + 3=1

3

b. Calcule lim 𝑥→−1

𝑓(𝑥)

Solución

Tenemos que:

lim 𝑥→−1

𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0

Por lo que, no podemos utilizar el argumento anterior.

En este caso se indefine, ya que −1 ∉ Dom(𝑓). Aquí, tanto la expresión

del numerador como del denominador son expresiones cuadráticas, por lo

que intentaremos factorizar. Al factorizar, obtenemos:

lim𝑥→−1

2𝑥2 + 3𝑥 + 1

𝑥2 + 4𝑥 + 3= lim

𝑥→−1

(2𝑥 + 1)(𝑥 + 1)

(𝑥 + 3)(𝑥 + 1)= lim𝑥→−1

2𝑥 + 1

𝑥 + 3.

Y como 𝑥 + 3 no se anula en 𝑥 = −1, tenemos que:

lim𝑥→−1

2𝑥 + 1

𝑥 + 3=lim𝑥→−1

(2𝑥 + 1)

lim𝑥→−1

(𝑥 + 3)= −

1

2.

Concluimos que lim𝑥→−1

2𝑥2+3𝑥+1

𝑥2+4𝑥+3= −

1

2

c. Con Geogebra grafique 𝑦 = 𝑓(𝑥) e interprete los resultados que

obtuvo en las preguntas anteriores.

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


En la parte a. obtuvimos que lim 𝑥→0

2𝑥2+3𝑥+1

𝑥2+4𝑥+3=

1

3 y en el gráfico se puede

apreciar que cuando 𝑥 tiende a 0, las imágenes de 𝑓 se acercan a un valor

más pequeño que 1, el cual según los cálculos es precisamente 1

3 .

También obtuvimos que lim 𝑥→−1

2𝑥2+3𝑥+1

𝑥2+4𝑥+3= −

1

2 y en el gráfico se aprecia

que mientras 𝑥 se acerca a −1, las imágenes de 𝑓 se acercan a un valor que

está entre 0 y −1.

Ejemplo

Calcule:

lim 𝑥→0

1 − cos (𝑥)

𝑥2

Solución

Notemos que lim 𝑥→0

𝑥2 = 0, por lo que no podemos calcular este límite

aplicando solo las propiedades de los límites. Por esto, para calcular este

límite utilizaremos que lim 𝑥→0

sen(𝑥)

𝑥= 1, algunas identidades

trigonométricas, además de las propiedades de los límites.

Primero, amplificaremos por el conjugado de 1 − cos (𝑥):

lim 𝑥→0

1 − cos (𝑥)

𝑥2= lim

𝑥→0

1 − cos (𝑥)

𝑥2⋅1 + cos (𝑥)

1 + cos (𝑥)= lim

𝑥→0

1 − cos2 (𝑥)

𝑥2(1 + cos (𝑥))

Utilizando la identidad trigonométrica cos2(𝑥) + sen2(𝑥) = 1, tenemos

que sen2(𝑥) = 1 − cos2(𝑥) y reemplazamos esto en el numerador de la

expresión anterior:

lim 𝑥→0

1 − cos2 (𝑥)

𝑥2(1 + cos (𝑥))= lim

𝑥→0

sen2 (𝑥)

𝑥2(1 + cos (𝑥))

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Ahora, agrupando de manera conveniente:

lim 𝑥→0

sen2 (𝑥)


𝑥→0

sen (𝑥) ∙ sen (𝑥)

𝑥 ∙ 𝑥 ∙ (1 + cos (𝑥))

= lim 𝑥→0

sen (𝑥)

𝑥∙sen (𝑥)

𝑥∙

1

1 + cos (𝑥)

Por álgebra de límites, sabemos que podemos separar el límite siempre y

cuando cada uno de ellos exista por separado; entonces nos queda:

lim 𝑥→0

sen2 (𝑥)


𝑥→0

sen (𝑥)

𝑥∙ lim 𝑥→0

sen (𝑥)

𝑥∙ lim 𝑥→0

1

1 + cos (𝑥)

Como lim 𝑥→0

sen (𝑥)

𝑥= 1, sólo nos queda:

lim 𝑥→0

sen2 (𝑥)

𝑥2(1 + cos (𝑥))= 1 ∙ 1 ∙ lim

𝑥→0

1

1 + cos(𝑥)=

lim 𝑥→0

1

lim 𝑥→0

(1 + cos(𝑥))

=1

1 + cos(0)=1

2

Por lo tanto,

lim 𝑥→0

1 − cos (𝑥)

𝑥2=1

2.

Ejemplo

Calcule

lim𝑥→−1

√5𝑥 + 7.

Solución

Sabemos que lim𝑥→c

√𝑥 = 𝑐 cuando c > 0, por esta razón utilizaremos el

teorema de cambio de variables. Podemos reescribir el problema de la

siguiente manera:

Consideremos el cambio de variables 𝑦 = 5𝑥 + 7, tenemos y → 2 cuando

x → −1, por lo tanto,

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


lim𝑥→−1

√5𝑥 + 7 = lim𝑦→2

√𝑦 = √2.

Observación. Es importante mencionar que hasta el momento se han

calculado límites de funciones las cuales no están definidas por tramos. Sin

embargo la definición de límite no establece diferencia entre funciones

definidas por tramos y funciones que no lo estén. En los primeros

ejemplos intuitivos hemos visto la necesidad contar con nuevas

herramientas para determinar el límite de una función de variable real

definida por tramos donde el punto donde queremos calcular el límite está

en la frontera de los tramos.

Problema. Considere la función 𝑓:ℝ → ℝ definida por:

𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 3𝑥 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1𝑥 − 1

𝑥2 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 > 1.

Determine la existencia de lim𝑥→1

𝑓(𝑥).

Observe que en este caso no se puede determinar el límite directamente ya

que la función cambia su definición dependiendo de cómo se aproxima 𝑥

a 1. Considerando lo anterior se introducirá la definición de límite lateral el

cual permitirá determinar la existencia del límite de una función definida

por tramos.

Definición (límites laterales)

Dada una función de variable real 𝑓: ]𝑎, 𝑏[→ ℝ y 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[, definimos.

a. lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) con 𝑥 > 𝑐, por el límite lateral a la derecha de

𝑐.

b. lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) con 𝑥 < 𝑐 por el límite lateral a la izquierda

de 𝑐.

Teorema.

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝐿 si y sólo si lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = 𝐿

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Así volviendo al ejemplo anterior vemos que

𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 3𝑥 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1𝑥 − 1

𝑥2 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 > 1.

Entonces si se calculan los límites laterales obtenemos:

Al calcular el límite lateral por la derecha:

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+

𝑥 − 1

𝑥2 − 1= lim

𝑥→1+

𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)= lim

𝑥→1+

1

𝑥 + 1=1

2.

Tenemos que 𝑥−1

(𝑥−1)(𝑥+1)=

1

(𝑥+1), ya que 𝑥 ≠ 1.

Al calcular el límite lateral por la izquierda:

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1−

𝑥2 + 3𝑥 + 3 = 7

Observe que de estos dos cálculos se tiene que los límites laterales en

cuestión son distintos, y entonces al aplicar el teorema anterior se puede

deducir que lim𝑥→1

𝑓(𝑥) no existe.

Ejemplo. Utilicemos el concepto de límite lateral para determinar la

existencia de los siguientes límites.

a. lim𝑥→1

sen(𝑥2−1)

|𝑥−1|

Solución.

Primero observe que al calcular el límite lateral por la izquierda, es

decir, cuando 𝑥 < 1. Obtenemos:

lim𝑥→1−

sen(𝑥2 − 1)

|𝑥 − 1|= lim

𝑥→1−

sen(𝑥2 − 1)

−(𝑥 − 1)= lim

𝑥→1−

sen(𝑥2 − 1)

−(𝑥 − 1)

(𝑥 + 1)

(𝑥 + 1)

= lim𝑥→1−

sen(𝑥2 − 1)

(𝑥2 − 1)

(𝑥 + 1)

−1= lim

𝑥→1−

sen(𝑥2 − 1)

(𝑥2 − 1)

(𝑥 + 1)

−1

= ( lim𝑥→1−

sen(𝑥2 − 1)

(𝑥2 − 1))( lim

𝑥→1−

(𝑥 + 1)

−1) =

= ( lim𝑥→0−

sen(𝑢)

𝑢)( lim

𝑥→1−

(𝑥 + 1)

−1) = 1 ∙ (−2) = −2

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Por lo tanto, lim𝑥→1−

sen(𝑥2−1)

|𝑥−1|= −2.

Por otro lado, si se calcula el límite lateral por la derecha, es decir,

cuando 𝑥 > 1. Obtenemos

lim𝑥→1+

sen(𝑥2 − 1)

|𝑥 − 1|= lim

𝑥→1∓

sen(𝑥2 − 1)

(𝑥 − 1)= lim

𝑥→1+

sen(𝑥2 − 1)

(𝑥 − 1)

(𝑥 + 1)

(𝑥 + 1)

= lim𝑥→1+

sen(𝑥2 − 1)

(𝑥2 − 1)

(𝑥 + 1)

1= lim

𝑥→1+

sen(𝑥2 − 1)

(𝑥2 − 1)

(𝑥 + 1)

1

= ( lim𝑥→1+

sen(𝑥2 − 1)

(𝑥2 − 1))( lim

𝑥→1+

(𝑥 + 1)

1) =

= ( lim𝑥→0+

sen(𝑢)

𝑢)( lim

𝑥→1+

(𝑥 + 1)

1) = 1 ∙ 2 = 2

Por lo tanto, lim𝑥→1+

sen(𝑥2−1)

|𝑥−1|= 2.

Finalmente podemos concluir que lim𝑥→1

sen(𝑥2−1)

|𝑥−1| no existe, dado que sus

límites laterales no son iguales.

b. Determine para que valores de 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, la función de variable real

𝑓:ℝ → ℝ definida por:

𝑓(𝑥) =

{

𝑥2 + 2𝑥

𝑥2 + 3𝑥 + 2, 𝑥 < −2

𝑎𝑥 + 𝑏, −2 ≤ 𝑥 ≤ 0

𝑒3𝑥 − 𝑒4𝑥

𝑥, 0 < 𝑥.

Admita límite en 𝑥0 = −2 y 𝑥0 = 0.

Solución. Primero analicemos la existencia de límite en 𝑥0 = −2.

Observe que al aplicar límites laterales obtenemos:

lim𝑥→−2+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→−2+

𝑎𝑥 + 𝑏 = −2𝑎 + 𝑏

lim𝑥→−2−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→−2−

𝑥2 + 2𝑥

𝑥2 + 3𝑥 + 2= lim

𝑥→−2−

𝑥(𝑥 + 2)

(𝑥 + 1)(𝑥 + 2)

= lim𝑥→−2−

𝑥

(𝑥 + 1)= 2

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Por lo tanto, lim𝑥→2

𝑓(𝑥) existe si y sólo si los límites laterales son iguales, es

decir, si se satisface

−2𝑎 + 𝑏 = 2.

Analicemos la existencia de límite en 𝑥1 = 0. Observe que al aplicar

límites laterales obtenemos:

lim𝑥→0−


(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑏

lim𝑥→0+


𝑒3𝑥 − 𝑒4𝑥

𝑥= −1

Por lo tanto, lim𝑥→0

𝑓(𝑥) existe si y sólo si los límites laterales son iguales, es

decir, si se satisface

𝑏 = −1.

Al resolver el sistema

−2𝑎 + 𝑏 = 2

𝑏 = −1,

obtenemos 𝑏 = −1 y 𝑎 = −3

2.

Así, tenemos que lim𝑥→−2

𝑓(𝑥) y lim𝑥→0

𝑓(𝑥) existen si y sólo si 𝑏 = −1 y 𝑎 =

−3

2.

Observación

Cuando la función no está definida por ramas, por ejemplo en el caso de

𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 3𝑥 , no es necesario en general analizar límites laterales, en

este caso por ejemplo

lim𝑥→c

4x + 3x = 4𝑐 + 3𝑐 ,

sin importar si es por izquierda o por derecha. Pero por ejemplo en el caso

de funciones que contienen la función valor absoluto es distinto pues el

cambio de estructura está escondido tácitamente en esta función.

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Ejemplo

Para

lim𝑥→0

𝑥

|𝑥|,

sabemos que el límite lateral izquierdo es -1 y su límite lateral derecho es 1,

y por lo tanto el límite no existe.

Ejercicios

1. Dada 𝑓(𝑥) = (1 +1

𝑥)𝑥

calcule los siguientes límites mediante una

tabla de valores:

a. lim𝑥→∞

(1 +1

𝑥)𝑥

b. lim𝑥→0

(1 +1

𝑥)𝑥

2. Dada 𝑓(𝑥) =𝑥−5

𝑥2−25 determine utilizando tabla de valores y/o

propiedades y teoremas:

a. El gráfico de 𝑓.

b. lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

c. lim𝑥→5

𝑓(𝑥)

3. Dada f(x) =x

√x+5−√5 determine utilizando tabla de valores y/o

propiedades y teoremas:

a. El gráfico de 𝑓

b. lim𝑥→−5−

𝑓(𝑥)

c. lim𝑥→−5+

𝑓(𝑥)

d. lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

4. Calcule los siguientes límites:

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


a. lim𝑥→5

𝑥2−25

𝑥−5

b. lim𝑥→−3

𝑥2+𝑥−6

𝑥2−9

c. lim𝑥→0

√𝑥+5−√5

𝑥

d. lim𝑥→4

√𝑥+5−3

𝑥−4

e. lim𝑥→0

[1/(3+𝑥)]−1/3

𝑥 (con [ ] como parte entera)

f. lim𝑢→0

sen(𝑢)

5𝑢

g. lim𝑥→0

sen(𝑥)(1−cos(𝑥))

2𝑥2

h. lim𝑡→0

sen2(𝑡)

𝑡

i. limℎ→0

(1−cos(ℎ))2

ℎ

j. lim𝑟→

π

2

cos(𝑟)

cot(𝑟)

A continuación, daremos la definición matemática de límite:

Definición.

Sea 𝑓 una función de variable real. Dado 𝑎 ∈ ℝ, se diremos que 𝑓 admite

límite 𝐿 en el punto 𝑥 = 𝑎, si y sólo si

∀𝜖 > 0 ∃𝛿 > 0 (0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜖)

En este caso, escribimos lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿.

PROPIEDADES

DE LÍMITE DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


La definición de límite nos dice que todas las imágenes por 𝑓 que están a

una distancia menor que 𝜖 de 𝐿 tiene su preimagen en alguna vecindad del

punto 𝑎.

Límite al infinito

En lo que sigue queremos definir el concepto de límite al infinito de una

función, es decir, ¿Qué le sucede a la función 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 crece

indefinidamente?, escrito matemáticamente:

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥).

Un límite infinito refleja el crecimiento o decrecimiento indefinido de la

variable dependiente. En estos casos nos interesa analizar el

comportamiento en el infinito. ¿Por qué nos interesa el comportamiento

en el infinito? Puede ser útil para realizar una proyección o analizar el

comportamiento de un sistema, ya sea que tengamos una función para

describir un modelo de crecimiento poblacional, la temperatura de un

reactor o el flujo de un río. Nos interesa saber el comportamiento cuando

el tiempo crezca de manera indefinida para saber el comportamiento de

este modelo y saber si tendrá algún problema.

LÍMITE AL

INFINITO DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Sin embargo, debemos recordar que ∞ y −∞ no son números, son

símbolos que denotan lo que pasa “a la larga”, alejándose indefinidamente

a derecha o izquierda de 0.

La característica fundamental es el comportamiento de diversas

expresiones matemáticas para valores muy grandes de x:

Ejemplo

Considerando 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2+1 y 𝑥 = 1010, entonces 𝑥2 = 1020y se tiene

que 𝑥2 + 1 = 1020 + 1 = 100.000.000.000.000.000.001

Lo que no es sustancialmene diferente de 𝑥2 = 1020 =

100.000.000.000.000.000.000, de modo que

𝑓(𝑥) = 𝑓(1010) = 10.000.000.000

100.000.000.000.000.000.001

≈10.000.000.000

100.000.000.000.000.000.000=

1

10.000.000.000

=1

𝑥

Es decir, para valores grandes de 𝑥 la función 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2+1 es

indistinguible numéricamente de la función 𝑓(𝑥) =1

𝑥

Definición

Límite cuando 𝑥 → ∞.

Sea 𝑓: [𝑎,∞[ → ℝ definida para algún 𝑎 ∈ ℝ. Diremos que lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) =

𝐿, si para cada 𝜖 > 0 existe un correspondiente 𝑀 ∈ ℝ, tal que:

𝑥 > 𝑀 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖.

Con esto queremos decir que 𝑥 crece hacia la derecha sin cota, y NO que

se está aproximando a un número llamado infinito.

Análogamente para 𝑥 → −∞, 𝑥 decrece sin cota por la izquierda.

LÍMITE AL

INFINITO DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Equivalentemente para límites en −∞.

Definición: Límite cuando 𝑥 → −∞.

Sea 𝑓: ] − ∞, 𝑎] → ℝ definida para algun 𝑎 ∈ ℝ. Diremos que

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝐿, si para cada 𝜖 > 0 existe un correspondiente 𝑀 > 0, tal

que:

𝑥 < −𝑀 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖.

Ejemplo

lim𝑥→∞

1

𝑥= 0 y es razonable, porque si pensamos que 𝑥 va creciendo sin

cota, entonces 1

𝑥 irá decreciendo a 0 por la derecha. Observemos en la

siguiente tabla:

2 0,5

10 0,1

100 0,01

1000 0,001

10000 0,0001

100000 0,00001

1000000 0,000001

10000000 0,0000001

que cuando 𝑥 se crece, la función se acerca a cero.

Además, si queremos respetar la definición, entonces basta con considerar

𝑀 =1

𝜖, así tenemos que para:

𝑥 >1

𝜖⇒ |

1

𝑥− 0| < 𝜖,

y por lo tanto,

lim𝑥→∞

1

𝑥= 0.

x f x

LÍMITE AL

INFINITO DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


El Teorema de álgebra de límites para límites no infinitos se puede

utilizar también en esta definición, en efecto:

Teorema: Sean 𝑓 y 𝑔 funciones reales tales que existen (son números

reales) lim𝑥→∞

𝑓 (𝑥) y lim𝑥→∞

𝑔 (𝑥), entonces:

a) lim𝑥→∞

(𝑓 (𝑥) + 𝑔(𝑥)) = ( lim𝑥→∞

𝑓 (𝑥)) + ( lim𝑥→∞

𝑔(𝑥)).

b) Si 𝛼 ∈ ℝ es constante (no varía con 𝑥) entonces lim𝑥→∞

𝛼𝑓 (𝑥) =

𝛼( lim𝑥→∞

𝑓 (𝑥)).

c) lim𝑥→∞

𝑓 (𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = ( lim𝑥→∞

𝑓 (𝑥)) ∙ ( lim𝑥→∞

𝑔(𝑥)).

d) Si lim𝑥→∞

𝑔 (𝑥) ≠ 0, entonces lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)=

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

lim𝑥→∞

𝑔(𝑥).

Teorema

Para todo 𝑘 ≥ 1, lim𝑥→∞

1

𝑥𝑘= 0.

Ejemplo

lim𝑥→∞

3

𝑥= 0, ya que, utilizando las propiedades anteriores, tenemos que

lim𝑥→∞

3

𝑥= 3 lim

𝑥→∞

1

𝑥= 3 ∙ 0 = 0.

Ejemplo

Para calcular lim𝑥→−∞

(3 +2

𝑥) ⋅ (2 +

1

𝑥6) , consideramos 𝑓(𝑥) = 1 +

2

𝑥 y

𝑔(𝑥) = 2 +1

𝑥6, además tenemos que

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 3 y lim𝑥→−∞

𝑔(𝑥) = 2,

por lo tanto,

LÍMITE AL

INFINITO DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


lim𝑥→−∞

(3 +2

𝑥) ⋅ (2 +

1

𝑥6)

= lim𝑥→−∞

(3 +2

𝑥) ⋅ lim

𝑥→−∞(2 +

1

𝑥6) = 3 ∙ 2 = 6.

Ejemplo

Para calcular lim𝑥→∞

1+𝑥+𝑥2+2𝑥3

3𝑥4+5𝑥5, debemos reordenar un poco los

componentes para poder usar lo aprendido hasta ahora, por ejemplo:

lim𝑥→∞

1 + 𝑥 + 𝑥2 + 2𝑥3

3𝑥4 + 5𝑥5= lim

𝑥→∞

𝑥5 (1𝑥5+𝑥𝑥5+𝑥2

𝑥5+2𝑥3

𝑥5)

𝑥5 (3𝑥 + 5)

= lim𝑥→∞

1𝑥5+1𝑥4+1𝑥3+2𝑥2

3𝑥 + 5

.

Por algebra de límites, tenemos que

lim𝑥→∞

1𝑥5+1𝑥4+1𝑥3+2𝑥2

3𝑥 + 5

=lim𝑥→∞

(1𝑥5+1𝑥4+1𝑥3+2𝑥2)

lim𝑥→∞

(3𝑥 + 5)

=0

5

ya que el límite del denominador es distinto de 0.

Límites infinitos

Es claro que lim𝑥→∞

𝑥 = ∞, ya que estamos diciendo que 𝑥 crece

ilimitadamente..

Otro caso no tan claro es cuando estudiamos la función 𝑓(𝑥) =1

𝑥−1 en

torno a 𝑥 = 1.

Notamos que por la derecha de 1, los valores de 𝑥 son mayores que 1 y

por lo tanto 𝑥 − 1 > 0, a medida que más se acerca a 1, entonces 𝑥 − 1 se

aproxima más a 0, y por lo tanto la división va creciendo, observemos la

siguiente tabla de valores:

LÍMITE AL

INFINITO DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


1,5 2

1,1 10

1,01 100

1,001 1000

1,0001 10000

1,00001 100000

1,000001 1000000

1,0000001 9999999,99

por lo tanto, necesitamos una definición de la idea de un límite que crece o

decrece indefinidamente.

Definición (Límites infinitos):

a) Sean 𝑓 una función y 𝑎 no está aislado de Dom(𝑓). Se dice que el límite

de 𝑓 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es ∞, denotado lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = ∞ por:

∀𝐾 > 0∃𝛿 > 0∀𝑥 ∈ Dom(𝑓)(0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ 𝐾 < 𝑓(𝑥))

Equivalentemente podemos definir:

b) Sean 𝑓 una función y 𝑎 no está aislado de Dom(𝑓). Se dice que el límite

de 𝑓 cuando 𝑥 tiende a 𝑎 es −∞, denotado lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = −∞ por:

∀𝐾 > 0∃𝛿 > 0∀𝑥 ∈ Dom(𝑓)(0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿 ⇒ 𝐾 < −𝑓(𝑥))

Ejemplo

Para calcular lim𝑥→3

1

(𝑥−3)2.

Si 𝑓(𝑥) =1

(𝑥−3)2 su dominio excluye el punto 𝑥 = 3, además tenemos que

𝑓 es siempre positiva por ser un cuadrado. Cuando uno se acerca a 3 por

ambos lados, 𝑓(𝑥) crece indefinidamente. Su gráfica es:

x f x

LÍMITES

INFINITOS DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Así, concluimos que lim𝑥→3

1

(𝑥−3)2= ∞.

Teorema

Si g es acotada entre positivos (en particular, si tiene límite positivo hacia

c) y lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = ∞, entonces

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) = ∞

Si g es acotada entre negativos (en particular, si tiene límite negativo hacia

c) y lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = ∞, entonces

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) = −∞

Si lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ±∞, entonces lim𝑥→∞

1

𝑓(𝑥)= 0

Ejemplo

Para calcular los límites laterales de 𝑔(𝑥) =1

𝑥−3 cuando 𝑥 → 3, notemos

que la función 𝑔 cambia de signo según 𝑥 sea mayor o menor que 3.

Cuando 𝑥 → 3+ , la función crece indefinidamente y cuando 𝑥 → 3−, la

función crece indefinidamente. Por lo que tenemos que lim𝑥→3+

1

𝑥−3= ∞ y

lim𝑥→3−

1

𝑥−3= −∞.

LÍMITES

INFINITOS DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Ejemplo

Calcule lim𝑥→3+

cos(𝜋𝑥)

𝑥−3.

Notemos primero que el límite del denominador se anula, pero el del

numerador no, en efecto, lim𝑥→3

cos(𝜋𝑥) = −1. Por lo anterior, tenemos

que lim𝑥→3+

1

𝑥−3= ∞. Y dado que la función cos(𝜋𝑥) es una función

acotada, tenemos:

Y por lo tanto, lim𝑥→3+

cos(𝜋𝑥)

𝑥−3= −∞.

LÍMITES

INFINITOS DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Ejemplo

Para calcular limx→

π

2

+tan (x).

Sabemos que 𝜋

2+ 𝑘𝜋 con 𝑘 ∈ ℤ, no pertenece al dominio de la función

tangente. Además, dado que cuando 𝜋

2+ 2𝑘𝜋 < 𝑥 < 𝜋 + 2𝑘𝜋 la función

seno y coseno son positiva y negativa, respectivamente. Por otro lado, la

función coseno se anula en 𝜋

2:, además tan(𝑥) =

sen(𝑥)

cos(𝑥), por lo que

tenemos:

limx→

π2

+tan(𝑥) = −∞.

Y su gráfica es:

Donde la recta es 𝑥 =𝜋

2.

LÍMITES

INFINITOS DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Ejemplo

Calcule lim𝑥→1+

𝑥4−1

(𝑥−1)2.

Solución

Tenemos que

lim𝑥→1+

𝑥4 − 1

(𝑥 − 1)2= lim

𝑥→1+

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)

(𝑥 − 1)2

= lim𝑥→1+

(𝑥 + 1)(𝑥2 + 1)

(𝑥 − 1).

Observamos que después de haber realizado todas las simplificaciones, en

𝑥 = 1, el numerador vale 4, y el denominador vale 0, por lo que, el límite

se indefine, ahora, como estamos hablando de un límite por la derecha,

entonces tenemos que

𝑥 − 1 > 0, entonces

lim𝑥→1+

𝑥4 − 1

(𝑥 − 1)2= ∞.

Podemos observar que todas las funciones a las cuales les hemos calculado

los límites anteriores, su denominador es cero cuando evaluamos en el

punto que queremos calcular el límite.

La siguiente definición nos ayudará a comprender los ejemplos anteriores:

Definición:

Se llama Asíntota Vertical de una función 𝑓(𝑥), a la recta paralela al eje 𝑦

que hace que la dicha función tienda a infinito. Es decir, si existe alguno

de estos dos límites:

lim𝑥→𝑎−

𝑓(𝑥) = ±∞, lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = ±∞

a la recta 𝑥 = 𝑎 a se la denomina asíntota vertical.

LÍMITES

INFINITOS DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Teorema

Sean 𝑓 y 𝑔 funciones reales tales que para un intervalo en torno a 𝑎 (es

decir, un intervalo de la forma (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) para algún 𝛿 > 0), se

satisface:

a)𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) y lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = ∞ entonces lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥) = ∞.

b) 𝑔(𝑥) < 𝑓(𝑥) y lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = −∞ entonces lim𝑥→𝑐

𝑔(𝑥) = −∞.

Ejemplo

Se verifica que 1

𝑥2<

1+𝑥2+𝑥4

𝑥2, además sabemos que

lim𝑥→0

1

𝑥2= ∞.

Por el teorema anterior, obtenemos que:

lim𝑥→0

1 + 𝑥2 + 𝑥4

𝑥2= ∞.

Ejercicios

1. Dada 𝑓(𝑥) =𝑒−5𝑥(𝑥−5)

𝑥2−10𝑥+25 determine utilizando propiedades y

teoremas:

a. El gráfico de 𝑓.

b. lim𝑥→−5−

𝑓(𝑥)

c. lim𝑥→−5+

𝑓(𝑥)

d. lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

e. lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

f. lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥)

LÍMITES

INFINITOS DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


2. Calcule los siguientes límites y determine si existe asíntota

vertical en el punto:

a. lim𝑥→−3+

𝑥√3−𝑥

3+𝑥

b. lim𝑥→1−

𝑥√𝑥

1−𝑥

c. lim𝑥→−3−

1

𝑥2+𝑥−6

d. lim𝑥→−3+

1

𝑥2+𝑥−6

e. lim𝑥→2−

1

𝑥2+𝑥−6

f. lim𝑥→2+

1

𝑥2+𝑥−6

g. lim𝑥→−1−

3x2−1

x3−𝑥

h. lim𝑥→−1+

3x2−1

x3−𝑥

i. lim𝑥→0−

3x2−1

x3−𝑥

j. lim𝑥→0+

3x2−1

x3−𝑥

LÍMITES

INFINITOS DE

FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Continuidad.

Una metáfora útil es pensar que una curva es continua cuando es un cable

eléctrico que conduce la electricidad entre cualquier par de puntos de la

curva, es decir no hay interrupciones.

Otra metáfora, es considerar que una curva es continua en uno de sus

puntos si éste es concordante con los puntos circundantes de la curva; la

curva es continua entonces si es continua en cada uno de sus puntos.

Otra forma de ver la continuidad es que la gráfica de la función no tenga

interrupciones o saltos, es decir, podemos dibujar su gráfica sin levantar el

lápiz del papel.

Para gráficas de funciones, el punto y sus circundantes se describen

mediante sus primeras coordenadas.

A continuación daremos una definición más formal de continuidad,

utilizando lo que sabemos de límites.

Definición:

1. Sean 𝑓: ]𝑎, 𝑏[ → ℝ una función y 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[, diremos que 𝑓 es

continua 𝑥 = 𝑐 si:

a. 𝑐 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓), es decir, 𝑓(𝑐) existe.

b. lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) existe.

c. lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐).

Si alguna de estas propiedades no se verifica, se dice que la función es

discontinua en 𝑐.

2. Diremos que 𝑓 es continua en el intervalo ]𝑎, 𝑏[ si es continua

para todo 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[.

3. Y diremos que es continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] si es

continua en todos los puntos del intervalo abierto ]𝑎, 𝑏[ y además

lim𝑥→𝑎+

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) y lim𝑥→𝑏−

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏).

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Definición:

Existen dos tipos de discontinuidad:

1. La primera es la discontinuidad reparable, la cual corresponde al

caso en que la propiedad b) (de la definición de continuidad) se verifica

mientras que a) y c) no se verifican.

2. La segunda es la discontinuidad esencial o no evitable, y estas

se pueden catalogar como:

a. Discontinuidad de salto finito, la cual corresponde al

caso en que la propiedad b) no se satisface, es decir los límites laterales son

distintos, y además estos son finitos.

b. Discontinuidad de salto infinito la cual corresponde al

caso en que la propiedad b) no se satisface, es decir los límites laterales son

distintos, y además al menos uno de ellos es infinito.

Ejemplo

En un ejemplo anterior teníamos la función

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 + 3𝑥 + 3, si 𝑥 ≤ 1𝑥 − 1

𝑥2 − 1, si 𝑥 > 1.

Calculamos ambos límites laterales en 𝑥 = 1 y obtuvimos que

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = 7 y lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = 1

2,

Además 𝑓(1) = 7, por lo que la función no es continua en 𝑥 = 1. De

hecho, es una discontinuidad esencial (ya que no se verifican las

propiedades b) y c) de la definición).

Ejemplo

Haciendo uso del teorema 2 e inducción probamos que

limx→c

𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑥

𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1𝑐 + 𝑎2𝑐2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑐

𝑚.

Lo que implica que los polinomios de una variable son continuos, lo

enunciaremos como un teorema.

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Teorema

Cada función polinomial es continua en todo número real 𝑐.

Cada función racional es continua en todo número real 𝑐 en su dominio,

es decir, en todos aquellos puntos donde el denominador no se anula.

Las funciones valor absoluto, potencias, raíces, trigonométricas,

exponenciales y logaritmos son continuas en sus dominios.

Ejemplo

a) Para 𝑐 ≥ 0:

lim𝑥→𝑐

√𝑥 =√𝑐.

b) Para 𝑐 ∈ ℝ:

lim𝑥→𝑐

√𝑥3

= √𝑐3.

c) Sea la función 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥−1 , notemos que 1 ∉ Dom(𝑓), pero

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1= 2.

Por lo tanto, podemos definir una extensión continua, dada por:

𝑔(𝑥) = {𝑥2 − 1

𝑥 − 1, 𝑥 ≠ 1.

2, 𝑥 = 1.

En este caso la función 𝑓 posee una discontinuidad reparable.

Teorema: Sean 𝑓 y 𝑔 funciones, entonces:

a) 𝑓 + 𝑔 es continua donde lo sean simultáneamente 𝑓 y 𝑔.

b) Si 𝛼 ∈ ℝ es constante (no varía con 𝑥) entonces 𝛼𝑓 es continua

donde lo sea 𝑓 .

c) 𝑓 ∙ 𝑔 es continua donde lo sean simultáneamente 𝑓 y 𝑔.

d) 𝑓

𝑔 es continua donde lo sean simultáneamente 𝑓 y 𝑔, y 𝑔 ≠ 0.

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Ejemplo

Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 cos(𝑥), la función 𝑔1(𝑥) = 𝑥 es un polinomio y por ende

continua en ℝ. Además, la función 𝑔2(𝑥) = cos (𝑥) continua en ℝ, luego

por el punto c) del teorema anterior, la multiplicación de estas es funciones

continua, así tenemos que para cada 𝑐 ∈ ℝ la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 cos(𝑥) es

continua.

Ejemplo

Sea 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + cos(𝑥), ¿es 𝑔(𝑥) continua en 𝑥 = 𝜋?.

Por el punto a) del teorema anterior, sabemos que la suma de funciones

continuas es una función continua y en este caso tanto ℎ1(𝑥) = 3𝑥 como

ℎ2(𝑥) = cos (𝑥) son continuas en 𝑥 = 𝜋, por lo tanto 𝑔(𝑥) es continua

en 𝜋.

Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ, la función definida por

𝑓(𝑥) = {3𝑥 + 1, 𝑥 ≤ 3.

5𝑥2 + 3, 𝑥 > 3.

¿es continua en 𝑥 = 3?

Para ver si es continua, primero observemos que 𝑓(3) = 3 ⋅ 3 + 1 = 10.

Ahora, calculamos el límite cuando 𝑥 → 3, para esto estudiaremos los

límites laterales ya que la función está definida por tramos. Tenemos que el

límite lateral izquierdo es:

lim𝑥→3−


3𝑥 + 1 = 10.

Y el límite lateral derecho es:

lim𝑥→3+


5𝑥2 + 3 = 48,

Por lo que concluimos que el límite en 𝑥 = 3 no existe y, por lo tanto, la

función no es continua.

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Ejemplo

Considere la gráfica de la función 𝑓:ℝ → ℝ:

Observando la gráfica de la función podemos ver que es discontinua en 0.

Además, los límites laterales son distintos, tenemos que

lim𝑥→0−

𝑓(𝑥) = 0 y lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = 1.

En cambio, en la siguiente gráfica:

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


La función 𝑔(𝑥) tiene límites laterales iguales en 𝑥 = 0, de hecho, el limite

existe y es

lim𝑥→0

𝑔(𝑥) = 0,

pero 𝑔(0) = 1, por lo tanto, a pesar de que la función está definida en el

punto, y que exista el límite, la función evaluada en el punto y el límite no

son iguales, por lo tanto la función no es continua.

Usualmente, una noción intuitiva de continuidad es ver si es posible trazar

la gráfica de la función sin necesidad de levantar el lápiz del papel, es claro

en el caso de la función 𝑔(𝑥) que esto no es posible de hacer al momento

de llegar al origen, sin importar de si uno se acerca por la derecha o por la

izquierda de este no será posible cruzar al otro lado de la gráfica sin quitar

el lápiz del papel.

Cabe destacar, que en este caso podemos definir una extensión de la

función 𝑔 en el punto de discontinuidad para que sea una función

continua y obtener:

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Ejemplo

Un ejemplo de una gráfica con discontinuidad de salto infinito es la

siguiente:

Dado que lim𝑥→1−

ℎ(𝑥) = ∞ y lim𝑥→1+

ℎ(𝑥) = ∞.

Ejemplo

La función 𝑓: ]1,2[ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) =1

𝑥 es continua en el intervalo

]1,2[. Pero la función 𝑔: ]−2,0[ ∪ ]0,2[ → ℝ definida por 𝑔(𝑥) =1

𝑥 no

es continua en todo el intervalo abierto pues no está definida en 𝑥 = 0,

más aun, la discontinuidad es de salto infinito y por lo tanto no es

reparable.

Ejemplo

La función 𝑓:ℝ ∖ {0} → ℝ definida por 𝑓(𝑥) =|𝑥|

𝑥 no está definida en

cero, y por lo tanto es discontinua. Pero, ¿Será la discontinuidad

reparable?, para responder esta pregunta calcularemos los límites laterales

en 𝑥 = 0, tenemos que:

lim𝑥→0+


|𝑥|

𝑥= lim

𝑥→0

𝑥

𝑥= 1.

Por otro lado,

lim𝑥→0−


|𝑥|

𝑥= lim

𝑥→0

−𝑥

𝑥= −1.

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Como los límites laterales son distintos, la discontinuidad es de salto

finito y por lo tanto no se puede reparar. En resumen, esta función es

continua en cualquier intervalo que no contenga al cero. Como podemos

ver en la siguiente gráfica:

La función graficada a continuación está definida en el intervalo ]−5,6[ de

la siguiente manera:

Es continua en los intervalos ]−5,0], ]0,3[ y ]3,6[, pero no en ]−5,6[.

Ejemplo

¿Es 𝑓(𝑥) =7𝑥+5

𝑥2+1 una función continua en todos los reales?

Solución Sabemos que el cociente de funciones continuas es continua

siempre y cuando el denominador no se anule. En este caso, tanto el

numerador como el denominador son polinomios, por lo que ambos son

continuos en ℝ. Para concluir si 𝑓 es continua, debemos ver si la ecuación

x2 + 1 = 0 tiene soluciones reales. La respuesta es no, por lo que el

teorema de álgebra de funciones continuas se satisface y podemos concluir

que 𝑓 es una función continua en todo ℝ.

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Ejemplo

Considere la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2, definida en el intervalo [−1,1]. Esta

función es continua en todos los puntos del dominio y cumple además

que:

lim𝑥→−1+

𝑓(𝑥) = 1 = 𝑓(−1) ∧ lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = 1 = 𝑓(1).

Por lo tanto, la función es continua en todo el intervalo cerrado.

Por otro lado, la función 𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 1 definida en el intervalo [1,2] es

continua también en todo su dominio, pero si definimos:

ℎ(𝑥) = {𝑥2 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1,

𝑥3 + 1 1 < 𝑥 < 2.

La gráfica de esta nueva función, es:

que se forma por la superposición de dos funciones continuas, pero estas

“no se pegan bien”, dando origen a una función con una discontinuidad

de salto finito, y por lo tanto de continuidad no reparable.

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Teorema del valor Intermedio: Sean 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ y T un número

entre 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏). Si 𝑓 es continua en [𝑎, 𝑏], entonces existe 𝑐 ∈ ]𝑎, 𝑏[

tal que 𝑓(𝑐) = 𝑇.

Si leemos con cuidado el teorema, este no nos dice dónde está la solución

de la ecuación 𝑓(𝑐) = 𝑇 ni tampoco cuantas hay, solo nos asegura la

existencia de al menos una solución.

Ejemplo

Use el Teorema del valor intermedio para demostrar que hay una solución

de la ecuación cos(𝑥) − 𝑥 = 0 en el intervalo ]0,𝜋

2[.

Primero que todo, definamos 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) − 𝑥, luego notemos que

𝑓(0) = 1 y 𝑓 (𝜋

2) = −

𝜋

2, por lo que 0 ∈ ]𝑓 (

𝜋

2) , 𝑓(0)[ = ]−

𝜋

2, 1[. Por lo

tanto, 0 está en la imagen de la función, y con el Teorema del valor

intermedio (TVI) aseguramos la existencia de una solución de la ecuación.

Sin embargo, no nos dice cuál es dicha solución ni tampoco si es única.

Ejercicios

1. En los siguientes ejercicios indicar en que puntos la función no es

continua y que tipo de discontinuidad presentan:

a.

b.

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


c.

d. 2. Determine cuál(es) de las siguientes funciones son continuas en

𝑥 = 1, en caso de no serlo, ¿qué tipo de discontinuidad es?. Si es reparable

¿cómo se repara?

a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥).

b. 𝑓(𝑥) =1

𝑥+

1

𝑥2.

c. 𝑓(𝑥) = cos (1

x−1) .

d. 𝑓(𝑥) =𝑥2−1

𝑥4−1

e. 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|.

f. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ cos(2𝑥 − 𝜋).

3. Estudie la continuidad de las siguientes funciones:

a. 𝑓:ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = {|𝑥|

𝑥𝑥 ≠ 0

1 𝑥 = 0.

b. 𝑓:ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑥 ≠ 01 𝑥 = 0

.

c. 𝑓:ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑥 ≠ 11 𝑥 = 1

.

d. 𝑓: [0,∞[ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = {√𝑥

𝑥𝑥 ≠ 0

0 𝑥 = 0.

e. 𝑓: [0,∞[ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = {𝑥

√𝑥𝑥 ≠ 0

0 𝑥 = 0.

f. 𝑓:ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥| − 𝑥.

g. 𝑓:ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = √|𝑥| − x.

h. 𝑓:ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + |𝑥|.

i. 𝑓: [1,∞[ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = √𝑥3 − |𝑥|.

4. En los siguientes ejercicios determine si existe a y b tal que la

función sea continua en todos los reales.

a. 𝑓(𝑥) = {𝑥3, 𝑥 < 2

𝑎𝑥2, 𝑥 ≥ 2

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


b. 𝑓(𝑥) = {𝑥3, 𝑥 < 0

𝑎𝑥2, 𝑥 ≥ 0

c. 𝑓(𝑥) = {2, 𝑥 ≤ −1

𝑎𝑥 + 𝑏, − 1 < 𝑥 < 3−2, 𝑥 ≥ 3

d. 𝑓(𝑥) = {𝑥2−𝑎2

𝑥−𝑎, 𝑥 ≠ 𝑎

8, 𝑥 = 𝑎

5. Use el TVI para demostrar que la ecuación 𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 tiene una solución en el intervalo ]0,1[. 6. Use el TVI para determinar la existencia de una solución de la

ecuación cos(𝑥) ⋅ 𝑥3 + 6𝑠𝑒𝑛5(𝑥) − 3 = 0 en el intervalo ]0,2𝜋[. 7. En los sistemas de refrigeración es necesario suministrar un fluido con gasto constante. Esto se consigue a través de un tubo denominado frasco de Mariotte. La altura del líquido en función del tiempo está modelada mediante la

función ℎ(𝑡) = 15 (1 − 𝑒−2𝑡

[𝑠]) [𝑐𝑚] cuya gráfica es:

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE


Determine el valor de lim𝑡→∞

15 (1 − 𝑒−2𝑡

[𝑠]) [𝑐𝑚] e interprete su

resultado.

8. Mediante un resorte se ancla un objeto circular a una pared, tal

como lo muestra la figura:

El modelo más simple para modelar la distancia desde la pared hasta el

punto más próximo de la pelota en función del tiempo es suponer que el

resorte no tiene masa, no hay resistencia del aire y por lo tanto, se contrae

y se estira continuamente. Una de las funciones que sirve para esto es

𝑑(𝑥) = (cos(𝑥) + 1)[𝑚], cuya gráfica es

a. Determine lim𝑥→0

(cos(𝑥) + 1) [𝑚] e interprete su resultado.

b. Determine lim𝑥→∞

(cos(𝑥) + 1) [𝑚] e interprete su resultado.

Observación:

[s] simboliza segundos.

[m] simboliza metros.

CONTINUIDAD

DE FUNCIONES DE

UNA VARIABLE

CÁLCULO MTCL01 UNIDAD 3

164

MTCL01

UNIDAD 3

DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE


Realiza el cálculo de derivadas en funciones de valor real, mediante reglas y teoremas expuestos.


Calcula la pendiente en un punto de una función de valor real mediante la derivada.

Utiliza reglas de derivación en el cálculo de derivadas de funciones polinómicas.

Determina la derivada de funciones trigonométricas, exponencial y logarítmica, mediante reglas de derivación.

Aplica teoremas de derivadas en operatoria aritmética de funciones. APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas contextualizados en diversas disciplinas que involucren la derivada de un modelamiento funcional, analizando el comportamiento y entregando sus resultados de manera efectiva.


Resuelve problemas que involucren derivación implícita y/o derivadas de orden superior, explicando su estrategia de resolución.

Resuelve problemas relacionados con la razón de cambio, mediante el concepto de derivada.

Resuelve problemas de máximos y mínimos en problemas de optimización y especialidad contextualizados a diversas disciplinas.


165

Introducción

Suponga que 𝑓(𝑥) es la distancia, en kilómetros, recorrida por un

automóvil alejándose linealmente desde su punto de partida, cuando han

pasado 𝑥 horas desde que comenzó a moverse. Note que 𝑓(7,25). Es la

distancia recorrida luego de 7 horas y 15 minutos, ya que 0,25 =1

4.

La velocidad promedio entre la segunda y la quinta horas es el cociente

entre la distancia recorrida en ese lapso, 𝑓(5) − 𝑓(2), y el lapso de tiempo,

5 − 2 = 3, es decir,

𝑓(5) − 𝑓(2)

5 − 2 [𝑘𝑚

ℎ𝑟]

Que es un cociente del tipo del que aparece en la definición de derivada,

antes de tomar el límite.

La pregunta que aclara el concepto de derivada es la siguiente: ¿qué

velocidad marca el velocímetro exactamente a las dos horas? Eso significa

saber qué marca el velocímetro cuando 𝑐 = 2 considerando que no

tenemos el registro de la velocidad, sino de la distancia recorrida en cada

instante. Salvo que la velocidad fuera constante, la velocidad promedio sólo

indica una aproximación, considerando que el automóvil puede acelerar

frenar, e incluso detenerse en algunos instantes.

Pero esa velocidad promedio mejora si tomamos velocidades promedio

entre 𝑐 = 2 y valores de 𝑥 cada vez más cercanos a 2. Es decir, si tomamos

el límite cuando 𝑥 tiende a 2 de las velocidades promedio 𝑓(𝑥)−𝑓(2)

𝑥−2,

debiéramos obtener el valor que marca el velocímetro para 𝑐 = 2, es decir,

lim𝑥→2

𝑓(𝑥)−𝑓(2)

𝑥−2, que es la derivada de 𝑓en 2, debe ser la velocidad que marca

el velocímetro; es llamada velocidad instantánea para contraponerla a la

velocidad promedio.

Luego, podemos concluir que si 𝑓(𝑥) es la distancia en kilómetros de un

automóvil desde su punto de partida, y 𝑥 es el tiempo en horas

transcurridos desde que se aleja de la posición fija, entonces 𝑓′(2) es la

velocidad instantánea, en kilómetros por hora, del automóvil cuando han

pasado dos horas desde que se inició su movimiento.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


166

Pero, ¿qué significa lo que marca el velocímetro en un momento dado, por

ejemplo, a dos horas de iniciado el viaje? Significa que, en ese momento la

tendencia a cambiar la distancia recorrida por unidad de tiempo es la que

marca el velocímetro, es decir, si durante una hora se mantiene constante

la velocidad, el automóvil debiera recorrer 𝑓′(2) kilómetros entre la

segunda y la tercera horas de iniciado el recorrido. Pero si mantuviera

constante esa velocidad durante media hora, debiera recorrer 𝑓′(2)

2

kilómetros en esa media hora, y si mantiene constante la velocidad durante

10 minutos, que es un sexto de una hora, entonces debiera recorrer 𝑓′(2)

6

kilómetros en ese lapso.

En suma, la derivada de la distancia recorrida respecto del tiempo

transcurrido en un instante dado indica la tendencia a cambiar tal distancia

respecto del tiempo, en ese instante.

“La derivada de una función en un valor 𝑐 respecto de su variable indica la

tendencia a cambiar del valor de la función respecto de la variable, para ese

valor 𝑐.”

Derivada de una función de una variable.

Definición

La derivada de una función 𝑓: 𝐴 → ℝ en un punto 𝑐 ∈ 𝐴 es, si existe, el

valor del límite

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑐)

𝑥 − 𝑐

De existir tal límite, se dice que 𝑓 es derivable en 𝑐 y la derivada se 𝑓 en 𝑐

se denota 𝑓′(𝑐) o también 𝑑𝑓

𝑑𝑥(𝑐)

Para comprender el significado de la derivada de una función en un punto

dado, consideremos dos casos: velocidad instantánea versus velocidad

promedio, y recta tangente a una gráfica.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


167

Ejemplo

Si el volumen es constante, entonces la presión de un gas sobre el

recipiente que lo contiene es función de la temperatura del gas, y la

derivada de la presión respecto de la temperatura en un valor dado de

temperatura indica cómo tiende a variar la presión para esa temperatura. Si

la derivada es positiva y grande, indica que la presión tiende a aumentar

mucho, pero si es negativa, indicaría que la presión tiende a disminuir.

La segunda interpretación de la derivada, que es una interpretación

geométrica basada en la gráfica de la función, puede obtenerse desde el

ejemplo de la velocidad del automóvil.

Ejemplo

Sabemos que si la velocidad de un automóvil es constante de valor 𝑘

kilómetros por hora, entonces la distancia recorrida 𝑦 kilómetros es de la

forma 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑛 donde 𝑥 es el tiempo en horas transcurrido desde el

inicio del movimiento y 𝑛 es la posición inicial, cuando el movimiento se

inició.

En ese caso la gráfica de la posición respecto del tiempo es una recta con

pendiente 𝑘.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


168

Volvamos al ejemplo del automóvil que en cada instante 𝑥 (en horas)

está a 𝑓(𝑥) kilómetros del punto de partida. Suponemos que la velocidad

no es constante.

Ya vimos que la velocidad instantánea a las dos horas es 𝑓′(2). Si desde

ese instante en adelante se mantuviera constante esa velocidad, su gráfica

sería algo como la gráfica siguiente, donde la línea continua sobre el

intervalo [0,2] da la gráfica de 𝑓(𝑥) (es una gráfica cualquiera que pasa

por el origen), mientras que a derecha de 2 está graficada, en línea

punteada, la recta 𝑦 = 𝑓′(2) ⋅ (𝑥 − 2) + 𝑓(2), que corresponde a la

distancia recorrida si se tuviera velocidad constante 𝑓′(2) a partir de las

dos horas. Es fácil verificar que la recta dada tiene pendiente 𝑓′(2) y pasa

por el punto (2, 𝑓(2))

Si a esa imagen le agregamos la continuación de la gráfica de 𝑓(𝑥) sin

suponer que desde la segunda hora se mantenga velocidad constante, se

tiene

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


169

La recta es muy parecida a la gráfica de 𝑓(𝑥) si los valores son poco

mayores que 2, pero luego se apartan.

Si proyectamos la recta a valores menores que 2, se tiene:

Lo que estamos descubriendo es la recta tangente a la gráfica de la función

𝑓(𝑥) en el punto (2, 𝑓(2)), que es la recta que mejor aproxima a la gráfica

en torno del punto.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


170

Definición (recta tangente)

La recta tangente a la gráfica de una función 𝑓(𝑥) en un punto (𝑐, 𝑓(𝑐))

donde exista 𝑓′(𝑐) es 𝑦 = 𝑓′(𝑐) ⋅ (𝑥 − 𝑐) + 𝑓(𝑐), y en ese caso, es la

recta que mejor aproxima a la gráfica de la función en las cercanías del

punto.

La definición de derivada justifica el teorema:

Si existe 𝑓′(𝑐), se tiene 𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐)

𝑥−𝑐, y para valores de 𝑥

cercanos pero distintos de 𝑐, los cocientes 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐)

𝑥−𝑐 son pendientes de las

rectas que pasan por (𝑐, 𝑓(𝑐)) y por (𝑥, 𝑓(𝑥))

En la figura se han considerado tres rectas del tipo anterior, en líneas

punteadas, y la recta tangente en línea continua, sólo a derecha del punto

para facilitar la visualización.

En el límite, esas rectas tienden a la recta tangente, por lo que el límite de

sus pendientes tiende a la pendiente de la recta tangente.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


171

Ejemplo

Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = 2𝑥2 en el

punto (1,2).

Solución

Para construir la recta tangente necesitamos la pendiente pues ya tenemos

un punto que está contenido en esta. Entonces:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝑥→1

2𝑥2 − 2

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

𝑥 − 1= lim

𝑥→1 2(𝑥 + 1) = 4.

Por lo tanto la recta buscada es 𝑦 = 4(𝑥 − 1) + 2

Ejemplo

Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

en el punto (0,0).

Solución

Calculamos la pendiente mediante la derivada:

𝑑𝑓

𝑑𝑥= lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(0)

𝑥 − 0= lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 0

𝑥 − 0= lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥= 1.

Por lo tanto la recta tangente es 𝑦 − 0 = 1 ⋅ (𝑥 − 0).

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


172

Ejemplo

Determine la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ cos (𝑥) en (𝜋,−𝜋).

Solución

Calculamos la derivada de 𝑓(𝑥) en el punto indicado para obtener a

pendiente de la recta tangente:

lim𝑥→𝜋

𝑥 ⋅ cos(𝑥) + 𝜋

𝑥 − 𝜋= lim

𝑥→𝜋

(𝑥 − 𝜋 + 𝜋) ⋅ cos(𝑥) + 𝜋

𝑥 − 𝜋

= lim𝑥→𝜋

cos(𝑥) + 𝜋 ⋅ cos(𝑥 − 𝜋 + 𝜋) + 1

𝑥 − 𝜋

lim𝑥→𝜋

cos(𝑥) + 𝜋 ⋅1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋)

𝑥 − 𝜋= − 1

Luego, la recta buscada es 𝑦 = (−𝜋) + (−1) ⋅ (𝑥 − 𝜋) , o simplificando,

𝑦 = −𝑥

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


173

Ejemplo

Determine la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 =1

𝑥 en cada

uno de los puntos de la gráfica.

Solución

Consideremos un punto cualquiera de la gráfica (𝑐,1

𝑐) , con 𝑐 ≠ 0. La

pendiente de la recta tangente en ese punto viene dada por la derivada de

la función 𝑓(𝑥) =1

𝑥 para 𝑥 = 𝑐:

𝑓′(𝑐) = lim𝑥→𝑐

1𝑥 −

1𝑐

𝑥 − 𝑐= lim

𝑥→𝑐

𝑐 − 𝑥𝑥𝑐𝑥 − 𝑐

= lim𝑥→𝑐

−1

𝑥𝑐= −

1

𝑐2.

Entonces la ecuación de la recta tangente en todos y cada uno de los

puntos (𝑐,1

𝑐) , con 𝑐 ≠ 0de la gráfica de esta función es

𝑦 =1

𝑐 −

1

𝑐2(𝑥 − 𝑐).

Ejercicios

1. Explique en términos de derivadas la relación entre el volumen de

líquido que hay en un recipiente, en cada instante de tiempo, y un flujo no

constante de agua que se vierte al recipiente.

2. Determine, en cada caso, la recta tangente a la gráfica de la función

en el punto indicado, usando la definición de derivada:

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 en 𝑥 = 3

b. 𝑓(𝑥) = 3 −1

𝑥 en 𝑥 = 2

c. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 5 en 𝑥 = −1

d. 𝑓(𝑥) = 𝑥 +2

𝑥 en 𝑥 = 3

e. 𝑓(𝑥) = 1 + 3cos (𝑥) en 𝑥 =𝜋

3

f. 𝑓(𝑥) = 2√1 + 𝑥 en 𝑥 = 3

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


174

Cálculo de derivadas

Usar cada vez la definición de derivada, que es un límite, no facilita los

cálculos. Pero podemos obtener la forma de la derivada de algunas

funciones básicas, y luego ver algunas reglas de derivación para cuando se

mezclan funciones.

En esta sección nos ocuparemos de calcular derivadas de funciones en

todo punto en que existan, por lo que en vez de usar la notación 𝑓′(𝑐)

para la derivada, usaremos 𝑓′(𝑥) donde se indica, de ser necesario, los

valores de 𝑥 donde la fórmula sea válida.

Derivadas de funciones conocidas

Teorema (derivada de polinomios)

1. Para cada 𝑛 ∈ ℕ y todo 𝑥 ∈ ℝ se cumple (𝑥𝑛)′ = 𝑛 ⋅ 𝑥𝑛−1

2. Si 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 +⋯+ 𝑎3 ⋅ 𝑥

3 + 𝑎2 ⋅ 𝑥2 + 𝑎1 ⋅ 𝑥 + 𝑎0 es un

polinomio, entonces para todo 𝑥 ∈ ℝ

( 𝑝(𝑥))′= 𝑛 ⋅ 𝑎𝑛 ⋅ 𝑥

𝑛−1 +⋯+ 3 ⋅ 𝑎3 ⋅ 𝑥3 + 2 ⋅ 𝑎2 ⋅ 𝑥

1 + 𝑎1

Ejemplos

1. (5𝑥2 + 3𝑥 + 9)′ = 10𝑥 + 3

2. (2𝑥7 + 12𝑥5 − 𝑥3 + 𝑥 + 33)′ = 14𝑥6 + 60𝑥4 − 3𝑥2 + 1

3. (𝑥12 + 𝑥9 + 𝑥6 + 𝑥3 + 81)′ = 12𝑥11 + 9𝑥8 + 6𝑥5 + 3𝑥2

La regla para derivar las potencias que aparecen en un polinomio es válida

para toda potencia de exponente constante:

Teorema

Para cada 𝑘 ∈ ℝ distinto de cero se cumple (𝑥𝑘)′ = 𝑘 ⋅ 𝑥𝑘−1 para los

valores adecuados de 𝑥.

Ejemplos

1. (𝑥2

5 )′

=2

5⋅ 𝑥−

3

5 porque 2

5− 1 = −

3

5

2. (√𝑥 )′=

1

2√𝑥 porque √𝑥 = 𝑥

1

2 y entonces

(√𝑥)′= (𝑥

12)′

=1

2⋅ 𝑥−

12 =

1

2𝑥12

=1

2√𝑥

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


175

Usando la definición de derivada, se pueden calcular las derivadas de las

funciones seno y coseno, exponencial y logartimo.

Veamos dos ejemplos, los demás casos quedan de ejercicio:

Ejemplo

Calcule la derivada de coseno

Solución

limh→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ= lim

h→0

𝑐𝑜𝑠(𝑥+ℎ)−𝑐𝑜𝑠(𝑥)

ℎ= lim

h→0

cos(𝑥) cos(ℎ)−𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(ℎ)−𝑐𝑜𝑠(𝑥)

ℎ=

limh→0

𝑐𝑜𝑠(𝑥)(cos(ℎ)−1)−𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(ℎ)

ℎ= cos(𝑥) ⋅ lim

ℎ→0

cos(ℎ)−1

ℎ− 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ lim

ℎ→0

𝑠𝑒𝑛(ℎ)

ℎ=

cos(𝑥) ⋅ 0 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ 1 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥).

Ejemplo

Calcule Calcule la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥. Solución.

Siguiendo la definición:

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑒𝑥+ℎ − 𝑒𝑥

ℎ= 𝑒𝑥 ⋅ lim

ℎ→0

𝑒ℎ − 1

ℎ,

y sabemos de un teorema del capítulo anterior que limℎ→0

𝑒ℎ−1

ℎ= 1, por lo

tanto 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥.

Teorema (Derivada de funciones básicas)

Para cada 𝑥 en el respectivo dominio, se cumplen:

1. (cos(𝑥))′ = −sen(𝑥)

2. (sen(𝑥))′ = cos (𝑥)

3. (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥

4. (𝑎𝑥)′ = 𝑎𝑥 ⋅ ln(𝑎) para todo 𝑎 > 0 con 𝑎 ≠ 1, recordando que

𝑎𝑥 = 𝑒𝑥⋅ln(𝑎)

5. (ln (𝑥))′ =1

𝑥

6. (log𝑎(𝑥))′ =

1

𝑥⋅ln (𝑎) para todo 𝑎 > 0 con 𝑎 ≠ 1, recordando que

log𝑎(𝑥) =ln(𝑥)

ln (𝑎)

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


176

Ahora hay que establecer reglas de derivación que permitan derivar

funciones con estructura más complejas, como cos(2x+7)

x2+5.

Teorema (Reglas de derivación para aritmética de funciones)

Sean 𝑓, 𝑔 dos funciones derivables ambas en 𝑥. Entonces:

a) la función 𝑓 ponderada por un escalar es derivable y:

(𝛼𝑓)′(𝑥) = 𝛼 ⋅ 𝑓′(𝑥).

b) La función suma (o resta) de 𝑓(𝑥) con 𝑔(𝑥), es derivable y

(𝑓 ± 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥).

Estas dos primeras propiedades son conocidas como linealidad de la

derivada.

c) La función multiplicación 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) es derivable y

(𝑓 ⋅ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥).

d) La función división de 𝑓 con 𝑔, es derivable si 𝑔(𝑥) ≠ 0 y

(𝑓

𝑔)′

(𝑥) =(𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥))

(𝑔(𝑥))2 .

Ejemplo

Calcule la derivada de 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) ⋅ 𝑒𝑥.

Solución

Usaremos la regla de la multiplicación enunciada anteriormente para

calcular la derivada de esta función:

𝑓′(𝑥) = (cos(𝑥))′ ⋅ 𝑒𝑥 + cos(𝑥) ⋅ (𝑒𝑥)′ = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑒𝑥 + cos(𝑥) 𝑒𝑥.

Ejemplo

Use la regla de la división para calcular la derivada de la función f(x) =

tan(x).

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


177

Solución

Sabemos que podemos reescribir la función tangente como el cociente

entre las funciones seno y coseno, entonces:

𝑓′(𝑥) = tan(𝑥)′ = (𝑠𝑒𝑛(𝑥)

cos(𝑥))

′

=(sen(𝑥))′ ⋅ cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ (cos(𝑥))′

cos(𝑥)2

=cos(𝑥) ⋅ cos(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ⋅ (−𝑠𝑒𝑛(𝑥))

cos(𝑥)2=

1

cos(𝑥)2

= 𝑠𝑒𝑐2(𝑥)

Ejercicios.

1. Use las reglas de derivación para calcular la derivada de todas las

funciones trigonométricas.

2. Calcule la función derivada de las siguientes funciones:

a. 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 + 3.

b. 𝑓(𝑥) = 3sen(𝑥)

c. 𝑓(𝑥) = 4 cos(𝑥) + 𝑒𝑥

d. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 ⋅ cos(𝑥) + 𝑥

e. 𝑓(𝑥) =cos(𝑥)

sen(𝑥)

f. 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 + 5𝑥 + 7)𝑒𝑥

g. 𝑓(𝑥) = sen(𝑥)𝑒𝑥 + 3𝑥

h. 𝑓(𝑥) = (4𝑥3 + 7𝑥)(3𝑥7 + 5𝑥)

i. 𝑓(𝑥) =1

𝑥⋅ cos(𝑥)

j. 𝑓(𝑥) =1

𝑥+ sen(𝑥).

3. Para cada una de las siguientes funciones determine la recta tangente

en el punto indicado:

a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 4, 𝑥 = 3.

b. 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) , 𝑥 = 𝜋.

c. 𝑓(𝑥) = 3 ⋅ sen(𝑥) + 𝑥2, 𝑥 =𝜋

3.

d. 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) + sen(𝑥)𝑒𝑥, 𝑥 =𝜋

2.

e. 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 1)𝑒𝑥, 𝑥 = 0.

f. 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥

sen(𝑥), 𝑥 =

𝜋

4.

g. 𝑓(𝑥) =3

𝑥, 𝑥 = 3.

h. 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥−1, 𝑥 = 2.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


178

Teorema

Derivada de una composición de funciones (Regla de la cadena)

Hasta ahora hemos aprendido a derivar, y por lo tanto a determinar la

recta tangente, de distintas funciones, pero aún nos queda ver cómo

podemos derivar expresiones más complejas, como por ejemplo:

ℎ(𝑥) = 𝑒2𝑥, ℎ(𝑥) = (3𝑥 + 4)100, ℎ(𝑥) = cos (3𝑥2)

La diferencia entre los ejemplos anteriores de estos 3 ejemplos y las

derivadas que efectivamente hemos calculado hasta ahora es que estas

funciones se forman vía una composición de dos o más funciones; esto es,

se aplica una función a la imagen de otra.

Continuando los ejemplos:

a) 𝑒2𝑥 es la composición de la función exponencial con la función

2𝑥.

b) (3𝑥 + 4)100 es la composición de elevar a la potencia 100 con

3𝑥 + 4.

c) cos (3𝑥2) es la composición de la función coseno con la función

3𝑥2.

El siguiente teorema nos ayudará a derivar funciones compuestas, como

las mostradas anteriormente:

Teorema. (Regla de la cadena)

Sean 𝑦 = 𝑓(𝑢) y 𝑢 = 𝑔(𝑥). Si 𝑔 es derivable en 𝑥 y 𝑓 es derivable en

𝑢 = 𝑔(𝑥) , entonces la función compuesta 𝑓 ∘ 𝑔, definida por

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

es derivable en 𝑥, y se cumple

(𝑓 ∘ 𝑔)′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥).

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


179

Ejemplos

a) Calcule la derivada de ℎ(𝑥) = 𝑒2𝑥.

Solución

En este caso, como ya mencionamos antes, la composición es de la

función 𝑓(𝑢) = 𝑒𝑢 y 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 2𝑥, entonces 𝑓′(𝑢) = 𝑒𝑢 y 𝑔′(𝑥) = 2

y por lo tanto,

ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥) = 𝑒2𝑥 ⋅ 2 = 2 𝑒2𝑥.

b) Calcule la derivada de ℎ(𝑥) = (3𝑥 + 1)100.

Solución

En este ejemplo podemos ver que la composición la realizan las funciones

𝑓(𝑢) = 𝑢100 y 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1, entonces la regla del a cadena dice que

debemos derivar 𝑓 y evaluar esta función en 𝑔, y esto multiplicarlo por la

derivada de 𝑔 respecto de 𝑥. Es decir:

𝑓′(𝑢) = 100𝑢99, 𝑔′(𝑥) = 3 ⇒ ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥)

= 100(3𝑥 + 1)99 ⋅ 3 = 300(3𝑥 + 1)99.

c) Calcule la derivada de ℎ(𝑥) = cos (3𝑥2), entonces como ya

sabemos, la derivada de 𝑓(𝑢) = cos(𝑢) es 𝑓′(𝑢) = −𝑠𝑒𝑛 (𝑢) y la

derivada de 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 es 𝑔′(𝑥) = 6𝑥, por lo que:

ℎ′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(3𝑥2) ⋅ 6𝑥.

Ejercicios.

Calcule, usando la regla de la cadena, la derivada de las siguientes

funciones compuestas e indique en cada uno de los casos cuales son las

funciones 𝑓 y 𝑔 que forman dicha composición.

1. ℎ(𝑥) = (3𝑥 + 7𝑒𝑥)100

2. ℎ(𝑥) = cos(𝑒𝑥)

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


180

3. ℎ(𝑥) = sen(𝑒𝑥) ⋅ 𝑥

4. ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥2+1

5. ℎ(𝑥) = (𝑥2 + 7𝑥) cos(𝑥2 + 7𝑥)

6. ℎ(𝑥) = (𝑥+1

𝑥2+4𝑥+7)37

7. ℎ(𝑥) = sen(3𝑥2 + 𝑒𝑥) ⋅ cos(3𝑥 + 4)

8. ℎ(𝑥) = 𝑒𝑠𝑒𝑛(𝑥)

9. ℎ(𝑥) =1

cos(𝑥)

10. ℎ(𝑥) = 𝑒1

𝑥

También podemos usar la regla de la cadena para calcular la derivada de

funciones que se forman por más de dos composiciones:

Ejemplo.

Calcule la derivada en 𝑥 = 1, de la función ℎ(𝑥) = cos (𝑒𝑥+1

𝑥+2).

Solución

En este caso queremos determinar la derivada evaluada en 𝑥 = 1, dicho de

otra manera, queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la

gráfica de ℎ(𝑥) = cos (𝑒𝑥+1

𝑥+2) cuando 𝑥 = 1. Para esto sabemos que

debemos usar la regla de la cadena, pero a diferencia de los ejemplos

anteriores aquí hay una triple composición de funciones, entonces

procederemos en dos pasos:

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


181

a) Calcularemos la derivada de 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥+1

𝑥+2, es claro que 𝑔 es una

composición de 𝑢(𝑥) =𝑥+1

𝑥+2 y 𝑒𝑢, por lo tanto, para derivar componemos

la derivada de 𝑒𝑢, que es también 𝑒𝑢, y evaluamos en 𝑢(𝑥) =𝑥+1

𝑥+2 y luego

multiplicamos por la derivada de 𝑢(𝑥) =𝑥+1

𝑥+2, que es

1

(𝑥+2)2, entonces

tenemos que

𝑔′(𝑥) = 𝑒𝑥+1𝑥+2 ⋅

1

(𝑥 + 2)2.

b) Entonces estamos en condiciones de calcular la derivada de

h(x) = cos (ex+1

x+2),

ℎ′(𝑥) = −sen (𝑒𝑥+1𝑥+2) ⋅ 𝑒

𝑥+1𝑥+2 ⋅

1

(𝑥 + 2)2.

c) Ahora, para terminar con el problema debemos evaluar la función

derivada en x = 1:

ℎ′(1) = −sen (𝑒1+11+2) ⋅ 𝑒

1+11+2 ⋅

1

(1 + 2)2= −sen (𝑒

13) ⋅

𝑒13

9.

Así, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ℎ(𝑥) en el punto

(1, ℎ(1)) es

𝑚 = −sen (𝑒13) ⋅

𝑒13

9.

Es posible extender la regla de la cadena a una triple composición, como

acabamos de hacer, o a más composiciones, simplemente debemos

descomponer la derivación en varios pasos y tratarlos con cuidado para no

perder el orden de estas.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


182

Ejemplo.

Determine la recta tangente de la función ℎ(𝑥) = (3𝑥+1

2𝑥+3)2014

en el punto

𝑥 = 0.

Solución

Calculamos primero la derivada de la función, para luego evaluar en el

punto y finalmente construir la recta tangente.

a) si ℎ(𝑥) = (3𝑥+1

2𝑥+3)2014

, entonces podemos descomponerla en 𝑓(𝑢) =

𝑢2014 y 𝑔(𝑥) =3𝑥+1

2𝑥+3, usando la derivada del cociente que aprendimos

antes tenemos que:

𝑔′(𝑥) =(3𝑥 + 1)′ ⋅ (2𝑥 + 3) − (3𝑥 + 1) ⋅ (2𝑥 + 3)′

(2𝑥 + 3)2=

7

(2𝑥 + 3)2

y

𝑓′(𝑥) = 2014 ⋅ 𝑢2013.

Con esto entonces tenemos que:

ℎ′(𝑥) = 2014 ⋅ (3𝑥 + 1

2𝑥 + 3)2013

⋅7

(2𝑥 + 3)2.

b) Ahora , evaluando en 𝑥 = 0 para obtener la pendiente de la recta

tangente en el punto (0, ℎ(0)) = (0,1

32014).

ℎ′(0) = 2014 ⋅ (1

3)2013

⋅7

(3)2=14098

32015.

c) Con lo anterior estamos en condiciones de formular la recta

tangente en el punto (0,1

32014):

𝑦 −1

32014=14098

32015(𝑥 − 0).

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


183

Derivadas de orden superior.

Geométricamente la derivada surge como una manera de determinar la

pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto de esta, pero

eventualmente nos damos cuenta que la derivada es una función que valga

la redundancia se obtiene de derivar otra función, con esto surge

automáticamente la pregunta ¿podemos derivar la función derivada? Y una

respuesta natural podría ser ¿por qué no?

Aun no le daremos sentido a la derivada de la derivada de una función, o

incluso la derivada de la derivada de la derivada de una función… y así

sucesivamente, pero eventualmente tendrá sentido cuando hablemos de un

problema concreto.

Definición.

Sea 𝑓 una función derivable, con derivada 𝑓′, definimos la segunda

derivada de 𝑓 como 𝑓′′(𝑥) = (𝑓′(𝑥))′ , y la tercera derivada 𝑓′′′(𝑥) =

(𝑓′′(𝑥))′ y en general

𝑓(𝑛)(𝑥) = (𝑓(𝑛−1)(𝑥))′

,

como la derivada 𝑛-ésima de la función 𝑓.

Si 𝑛 < 4 se usan comillas: 𝑓′, 𝑓′′ y 𝑓′′′. Si 3 < 𝑛 < 10, se usan números

romanos (para que no parezcan potencias de la función): 𝑓(𝑖𝑣), 𝑓(𝑣), 𝑓(𝑣𝑖)

y así en adelante.

También podemos escribir las derivadas de orden 𝑛 de una función de las

siguientes maneras:

𝑑𝑛𝑓

𝑑𝑥𝑛, 𝐷𝑥

(𝑛)𝑓, 𝐷𝑥(𝑛)𝑦,

𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛.

Ejemplo

a) calcule la segunda derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


184

Solución.

La primera derivada de 𝑓 es 𝑓′(𝑥) = 2𝑥, y la derivada de esta es

𝑓′′(𝑥) = 2.

b) Calcule la tercera derivada de 𝑓(𝑥) = cos(𝑥).

Solución.

Ahora lo que tenemos que hacer es derivar 3 veces la función 𝑓(𝑥) =

cos(𝑥).

𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥),

𝑓′′(𝑥) = −cos(𝑥),

𝑓′′′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥).

Entonces la tercera derivada de 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) es 𝑓′′′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥).

c) Calcule la segunda derivada de la función

𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 3𝑥 + 7) cos(𝑥)

Solución.

Aquí debemos ser cuidadosos pues para derivar la función debemos

recurrir a la regla para derivar multiplicación de funciones:

𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 3𝑥 + 7)′ ⋅ cos(𝑥) + (𝑥2 + 3𝑥 + 7) ⋅ cos(𝑥)′

= (2𝑥 + 3) cos(𝑥) + (𝑥2 + 3𝑥 + 7)(−𝑠𝑒𝑛(𝑥)),

𝑓′′(𝑥) = ((2𝑥 + 3) cos(𝑥) + (𝑥2 + 3𝑥 + 7)(−𝑠𝑒𝑛(𝑥)))′

= (2𝑥 + 3)′ ⋅ cos(𝑥) + (2𝑥 + 3) ⋅ cos(𝑥)′ −

(𝑥2 + 3𝑥 + 7)′ ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − (𝑥2 + 3𝑥 + 7)𝑠𝑒𝑛(𝑥)′

= 2 cos(𝑥) + (2𝑥 + 3)(−𝑠𝑒𝑛(𝑥)) − (2𝑥 + 3)𝑠𝑒𝑛(𝑥)

− (𝑥2 + 3𝑥 + 7) cos(𝑥)

= 2 cos(𝑥) − 2(2𝑥 + 3)𝑠𝑒𝑛(𝑥) − (𝑥2 + 3𝑥 + 7) cos(𝑥).

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


185

d) Calcule la tercera derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2.

Solución.

Para la primera derivada usamos la regla de la cadena

𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥2⋅ 2𝑥.

Para la segunda derivada necesitamos nuevamente la regla de la cadena,

pero también la regla de la derivada para la multiplicación de funciones:

𝑓′′(𝑥) = (𝑒𝑥2)′ ⋅ 2𝑥 + 𝑒𝑥

2⋅ (2𝑥)′ = (𝑒𝑥

2⋅ 2𝑥) ⋅ 2𝑥 + 𝑒𝑥

2⋅ 2

= 2𝑒𝑥2+ 4𝑥2 𝑒𝑥

2.

Y finalmente,

𝑓′′′(𝑥) = (2𝑒𝑥2+ 4𝑥2 𝑒𝑥

2)′ = 2𝑒𝑥

2⋅ 2𝑥 + 4(2𝑥𝑒𝑥

2+ 𝑥2𝑒𝑥

2⋅ 2𝑥)

= 12𝑥𝑒𝑥2+ 8𝑥3𝑒𝑥

2.

Ejercicios.

Para los siguientes ejemplos determine la quinta derivada.

a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 4.

b) 𝑓(𝑥) = cos(𝜋𝑥)

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 sen(𝑥)

d) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 3𝑥 + 1) cos(𝜋𝑥 + 1)

e) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2 + 3)

f) 𝑓(𝑥) = ln (𝑒𝑥 + 2)

g) 𝑓(𝑥) =3𝑥+1

𝑥+3

h) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥+1

𝑥−1) + 𝑥2

Podemos preguntarnos ¿qué sentido geométrico-físico tiene entonces la

segunda derivada de la función 𝑓? Tenemos que

𝑓′′(𝑥) = limℎ→0

𝑓′(𝑡 + ℎ) − 𝑓′(𝑡)

ℎ,

en este caso, la segunda derivada mide la tasa de cambio de la velocidad

del móvil, este concepto es el que conocemos como aceleración.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


186

Ejemplo

Considere un objeto que se mueve sobre el eje 𝑂𝑋 según la función

𝑓(𝑡) = 3𝑡3 − 9𝑡2 + 32𝑡 + 100[𝑘𝑚], donde 𝑡 está medido en horas.

Determine en que momento la aceleración es igual a 12 [𝑘𝑚

ℎ2].

Solución

Calculamos la velocidad para luego poder calcular la aceleración de este

móvil:

𝑓′(𝑡) = 9𝑡2 − 18𝑡 + 32,

𝑓′′(𝑡) = 18𝑡 − 18.

Entonces si queremos determinar en que instante la aceleración es igual a

12, entonces debemos resolver la ecuación;

18𝑡 − 18 = 12 ∴ 𝑡 =5

3.

Entonces, en el instante 𝑡 =5

3[ℎ] la aceleración es de 12 [

𝑘𝑚

ℎ2].

Ejercicio

Determine la aceleración de un móvil que se mueve sobre el eje 𝑂𝑋 y cuya

función velocidad es:

a) 𝑣(𝑡) = 5𝑡2 +1

𝑡, 𝑡 > 0.

b) 𝑣(𝑡) = 4𝑒𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 𝑡 ≥ 0.

c) 𝑣(𝑡) =cos(𝑡+3)

𝑡2+1, 𝑡 ≥ 0.

d) 𝑣(𝑡) = 𝑒cos(𝑡), 𝑡 ≥ 0.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


187

Derivación Implícita.

Las rectas tangentes son un concepto geométrico y como tal no debería

depender de si la construcción de la gráfica se realiza con una función o

simplemente con una relación, por ejemplo una circunferencia ¿será

posible determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la

circunferencia de ecuación

𝑥2 + 𝑦2 = 8,

en el punto (2,2)?

¿cuál debería ser la estrategia correcta para resolver este problema?

¿podemos usar derivadas si 𝑦 no es función de 𝑥? (es importante hacer la

aclaración de que en este caso no tenemos una función pues no cumple

con la prueba de la recta vertical.

Una opción podría ser despejar 𝑦 como una variable dependiente, usando

además el hecho de que conocemos el punto donde se quiere calcular la

recta tangente, y obtener:

𝑦(𝑥) = √8 − 𝑥2,

(y no 𝑦 = −√8 − 𝑥2, por que estamos interesados en la recta tangente en

el punto (2,2), es decir, 𝑦 = 2 > 0), y derivar:

𝑦′(𝑥) =1

2√8 − 𝑥2⋅ (−2𝑥),

evaluando en 𝑥 = 2 obtenemos que la pendiente de la recta tangente es

𝑚 = −1, y por lo tanto, la recta tangente tiene ecuación

𝑦 = 2 + (−1)(𝑥 − 2).

Pero ¿qué pasa en el caso de la gráfica definida por la relación que se

muestra a continuación?

𝑦3 + 𝑥3 + 4𝑥𝑦 = 1

¿será posible despejar 𝑦 = 𝑦(𝑥)?

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


188

A simple vista la respuesta es: no, no es posible despejar explícitamente

𝑦 como función de 𝑥. Pero de todas maneras debería ser posible

determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica para, por ejemplo, el

punto (1,0). Ahora, supongamos que si es posible definir 𝑦 = 𝑦(𝑥) y

usando la regla de la cadena derivamos la expresión anterior, el primer

paso es derivar la expresión 𝑦3, para eso lo primero es no olvidar que

𝑦 depende tácitamente de 𝑥 y como tal debe ser derivada como una

función de la variable independiente, entonces usando la regla de la cadena

tenemos:

(𝑦3)′ = 3𝑦2 ⋅ 𝑦′,

siguiendo con las reglas de derivación tenemos:

(𝑥3)′ = 3𝑥2, (4𝑥𝑦)′ = 4𝑦 + 4𝑥𝑦′, 1′ = 0.

Entonces si derivamos la expresión completa

𝑦2 + 𝑥3 + 4𝑥𝑦 = 1,

obtendremos:

3𝑦2 ⋅ 𝑦′ + 3𝑥2 + 4𝑦 + 4𝑥𝑦′ = 0.

De donde podemos concluir que para un punto (𝑥0, 𝑦0) de la gráfica de la

expresión 𝑦2 + 𝑥3 + 4𝑥𝑦 = 1, la pendiente de la recta tangente viene

dada por:

𝑦′(𝑥0, 𝑦0) = −3𝑥0

2 + 4𝑦0

4𝑥0 + 3𝑦02

Siempre que 3𝑦02 ≠ −4𝑥0.

Por lo tanto, en el punto (1,0) la pendiente de la recta tangente es 𝑚 =

−3

4, y la recta tangente tiene ecuación:

𝑦 − 0 = −3

4(𝑥 − 1).

Notemos que en el ejemplo de la circunferencia de ecuación 𝑥2 + 𝑦2 = 8,

podemos realizar el mismo proceso de derivar la igualdad usando la regla

de la cadena, y obtendremos:

2𝑥 + 2𝑦𝑦′ = 0,

y por lo tanto la pendiente de la recta tangente en el punto (𝑥0, 𝑦0) es

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


189

𝑚 = −𝑥0𝑦0,

siempre y cuando 𝑦0 ≠ 0. Para el punto (2,2) (como se hizo

anteriormente) la pendiente es 𝑚 = −1 (como antes) y por lo tanto la

recta tangente es:

𝑦 = 2 − 1(𝑥 − 2),

igual a la que se obtuvo usando el proceso usual de derivación.

Al proceso de derivación que acabamos de aprender, donde no es posible

despejar la variable dependiente 𝑦 explícitamente como función de la

variable dependiente 𝑥, se le conoce como derivación implícita.

Ejemplos

a) Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de

ecuación

𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 + 8𝑦 = 0,

en el punto (1, −1).

Solución.

Derivando implícitamente la expresión obtenemos:

2𝑥 + 2𝑦𝑦′ + 6 + 8𝑦′ = 0

y reemplazando 𝑥 = 1 e 𝑦 = −1:

2 + 2(−1)𝑦′(1,−1) + 6 + 8𝑦′(1, −1) = 0 ⇒ 𝑦′(1, −1) = −4

3.

Y por lo tanto la recta tangente tiene ecuación:

𝑦 = −1 −4

3(𝑥 − 1).

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


190

b) Determine la recta tangente en 𝑥 = −1 para la relación 4𝑥3 +

5𝑦2 = 1.

Solución.

Primero estableceremos que hay dos valores de 𝑦 para 𝑥 = −1, pues la

expresión 4𝑥3 + 5𝑦2 = 1 no determina a 𝑦 como función de 𝑥. Si 𝑥 =

−1, entonces tenemos que:

−4 + 5𝑦2 = 1 ⇒ 𝑦2 = 1 ⇒ 𝑦 = 1 ∨ 𝑦 = −1.

Entonces para dar una respuesta completa debemos mostrar las dos rectas

tangentes asociadas a 𝑥 = −1.

Aplicamos derivación implícita a la expresión que define la gráfica:

12𝑥2 + 10𝑦𝑦′ = 0 ⇒ 𝑦′ = −6𝑥2

5𝑦,

Para valores de 𝑦 ≠ 0, pues en aquellos puntos la derivada se indefine, y

como podemos ver en la gráfica, la recta tangente en ese punto es vertical:

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


191

Entonces, para 𝑥 = −1 e 𝑦 = 1 la recta tangente tiene una pendiente

𝑚 = −6

5, y por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es:

𝑦 = 1 −6

5(𝑥 + 1),

por otro lado, para el punto (−1,−1), que está por debajo del eje

horizontal, tenemos que la recta tangente tiene pendiente 𝑚 =6

5 y

ecuación:

𝑦 = −1 +6

5(𝑥 + 1).

Ejercicios.

En los siguientes problemas determine la recta tangente a la gráfica que

define cada una relaciones en el (o los) punto(s) indicado(s).

a) 𝑥2 + 𝑦2 = 5 en (1, −2)

b) 𝑦2 + 3𝑥 = 0 en (−3,3)

c) 𝑥2 + 9𝑦2 = 1 en (0,1

3)

d) 3𝑥𝑦 + cos(𝑥𝑦) = 𝑥 en (1,0)

e) 𝑥3 + 𝑦3 = 16 en (2,2)

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


192

Ya hablamos de cómo la derivada se puede interpretar como la medición

de la velocidad cuando la función 𝑓 representa una medición de distancia.

Podemos dar otras interpretaciones para distintos modelos.

Función de costos:

Diremos que 𝐶(𝑥) es la función de costos de una firma cuando nos

entrega el costo asociado a producir 𝑥 cantidad del bien de producción de

la firma, por ejemplo:

Si 𝐶(𝑥) = 𝑥 + 2 podemos interpretar que 2 es el costo fijo de la firma,

que no importa si se producen 5 o 1000 unidades del bien de producción,

hay un costo de 2 que siempre estará, por ejemplo arriendo del lugar

donde opera la fábrica, sobre eso cuesta 𝑥 producir 𝑥 unidades, en el

fondo, cada unidad cuesta 1, ¿no?

¿Cómo podemos interpretar 𝐶′(𝑥)?

Matemáticamente 𝐶′(𝑥) = limℎ→0

𝐶(𝑥+ℎ)−𝐶(𝑥)

ℎ, midiendo a que costo se

produce una unidad más, por ejemplo, para la función de costos 𝐶(𝑥) =

𝑥 + 2 producir 3 unidades cuesta 5, producir 4 unidades vale 6, producir 5

unidades vale 7, y así sucesivamente. Entonces ¿cuánto vale producir una

unidad más? Para el caso específico de esta función de costos, la

producción de una unidad más es siempre 1, o dicho de otra manera, la

producción de una unidad extra tiene un costo extra- de 1.

A la función 𝐶′(𝑥) le llamaremos costo marginal, pues nos dice cuanto

cuesta una unidad en el margen.

Veamos otro ejemplo, consideremos una función de costos de la forma

𝐶: [0,∞[ → ℝ definida por 𝐶(𝑥) = 𝑥2. La función costo marginal

asociada a esta función de costos la podemos obtener derivando, es decir:

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝐶′(𝑥) = 2𝑥.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


193

Por lo que deducimos que si la producción es de 100, el costo de una

unidad extra es de 200 unidades monetarias, pero si la producción es de

1000, entonces la producción de una unidad extra es de 2000 (mucho más

caro que en el caso en que se producen 100), en este caso el dueño de la

firma tiene que tener un muy buen precio para que le interese producir una

unidad más pues el costo marginal es altísimo comparado con bajos

niveles de producción.

Probablemente una buena acotación en este momento es decir que costos

altos o bajos siempre dependerán del precio de venta del bien, por ejemplo

no son lo mismo los costos de construir una casa que los costos de

producir una caja de fósforos.

Ejercicios

Calcule la función de costo marginal de las siguientes funciones de costos.

a) 𝐶(𝑥) = 𝑒𝑥.

b) 𝐶(𝑥) = ln(𝑥 + 4).

c) 𝐶(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥.

d) 𝐶(𝑥) = 𝑥 ln(𝑥 + 4).

e) 𝐶(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 + 3.

f) 𝐶(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥 ¿Cambian en algo los costos marginales de esta

función respecto de la anterior? ¿por qué?.

Cuando el empresario decide abrir una fábrica debe tener en cuenta el

costo del bien de producción, pero también el precio de venta de este.

Nunca debemos perder de vista que lo que prevalece en la visión del

empresario es ganar dinero, por lo tanto el precio al que se vende el bien

debe ir en línea con este factor clave en toda empresa.

Ingresos

Hemos analizado los costos de la firma, pero para que una empresa

funcione no solo debe salir dinero, también debe ingresar. Definimos la

función de ingresos como la cantidad de dinero que recibe la firma cuando

se venden 𝑥 unidades del bien de producción. Si el precio de venta es 𝑝

entonces la función de ingresos viene dada por:

𝐼(𝑥) = 𝑝 ⋅ 𝑥.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


194

El ingreso marginal se define como la razón de cambio del valor

total recibido, con respecto al número total de unidades vendidas.

Ejemplo

Supóngase que un fabricante vende un producto a $2 por unidad. Si se

venden q unidades, el ingreso total está dado por

𝑟 = 2𝑞

La función de ingreso marginal es

𝑟′ = 2

que es una función constante. Entonces, el ingreso marginal es igual a 2

sin importar el número de unidades vendidas. Esto es lo que

esperaríamos, ya que el fabricante recibe $2 por cada unidad vendida.

Llamaremos función de utilidad a las ganancias que genera la

producción y posterior venta de un bien de consumo. Supongamos que

en una firma la producción de 𝑥 unidades del bien de consumo tiene un

costo de 𝐶(𝑥) y el precio de venta es 𝑝, entonces, ¿cuál es la función de

utilidades de la firma?. La función de utilidades de la firma viene dada

por la resta entre el ingreso y los costos, es decir,

𝐺(𝑥) = 𝑝 ⋅ 𝑥 − 𝐶(𝑥).

Para los ejemplos anteriores, las funciones de ganancia son:

a) 𝐶(𝑥) = 𝑥 + 2, entonces 𝐺(𝑥) = 𝑝𝑥 − 𝑥 − 2.

b) 𝐶(𝑥) = 𝑥2, entonces 𝐺(𝑥) = 𝑝𝑥 − 𝑥2.

La utilidad marginal es la noción que ordena el valor, es decir el

significado que otorga un agente económico a un bien por cada unidad

adicional del mismo que obtiene, entendida como medio para alcanzar

sus fines. Cada unidad adicional equivalente de un bien será asignada a

un fin de menor prioridad que la anterior.

El concepto de utilidad marginal aclara el viejo enigma del agua y los

diamantes. El precio de un bien se define a través de su utilidad

marginal, no a través de la utilidad objetiva. Allí donde el agua está

disponible en abundancia, su utilidad marginal es baja; la utilidad

marginal de los diamantes es alta a causa de su rareza, pero se pueden

invertir los papeles. Este enunciado aclara la observación diaria de que

la oferta repentina amplia de un bien -por ejemplo, tomate- en general

conduce a una caída de su precio.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


195

Otras aplicaciones

Ejemplo

Considere una escalera de largo fijo 𝐿 que está apoyada en una pared

vertical, en un instante la escalera comienza a resbalar

Cuando el extremo inferior de la escalera va en el punto (0,𝐿

2) este

extremo lleva una velocidad de 𝑣0 [𝑚

𝑠], ¿cuál es la velocidad del extremo

superior de la escalera?

Solución

Primero necesitamos una relación entre las dos variables, sabemos que la

escalera tiene largo 𝐿, y por lo tanto, la distancia entre los dos extremos es

𝐿, es decir:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝐿2.

Notemos que tanto la posición vertical como la horizontal son funciones

de la variable tiempo (𝑡) que está implícitamente en este problema, es

decir:

𝑥(𝑡)2 + 𝑦(𝑡)2 = 𝐿2,

y derivando respecto de 𝑡 a ambos lados de la ecuación obtenemos una

relación entre las velocidades de caída del extremo superior, y la velocidad

horizontal del extremo inferior:

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


196

2𝑥(𝑡) ⋅ 𝑥′(𝑡) + 2𝑦(𝑡) ⋅ 𝑦′(𝑡) = 0 ⇒ 𝑦′(𝑡) = −𝑥(𝑡)

𝑦(𝑡)⋅ 𝑥′(𝑡),

Llamamos 𝑡0 al momento cuando 𝑥 =𝐿

2, y usando la ecuación que

relaciona las dos variables, tenemos que 𝑦(𝑡0) =√3

2𝐿, y entonces

𝑦′(𝑡0) = −

𝐿2

√32 𝐿

⋅ 𝑣0 =√3

3𝑣0.

Y por lo tanto, la velocidad con la que desciende el extremo superior

de la escalera es √3

3𝑣0.

Ejemplo

Se vierte café en un vaso de forma cónica de diámetro inferior

3𝑐𝑚𝑠, diámetro superior de 5𝑐𝑚𝑠 y altura 5 𝑐𝑚𝑠. Se vierte café en el

vaso a razón de 2 𝑐𝑚𝑠3 por minuto. Determine con que velocidad

aumenta la altura del café cuando esta es de 3 𝑐𝑚𝑠.

Solución.

El volumen de un cono circular truncado de estas características es

𝑉 =1

3(32 + 3 ⋅ 5 + 52) ⋅ ℎ =

49

3ℎ.

Si derivamos respecto del tiempo obtendremos:

𝑉′(𝑡) =49

3ℎ′(𝑡).

En el instante 𝑡0 ocurre la altura ℎ = 3, y entonces:

𝑉′(𝑡0) =49

3ℎ′(𝑡0),

sabiendo que el volumen aumenta a razón de 𝑐𝑚𝑠3 por minuto,

entonces

2 =49

3ℎ′(𝑡0),

por lo tanto, la altura cambia a una tasa de 6

49[𝑐𝑚𝑠

𝑠𝑒𝑔].

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


197

Crecimiento y decrecimiento.

En muchas ocasiones nos interesará conocer el máximo y/o mínimo de

una función –en caso de que estos existan-, y para esto necesitamos

comprender el concepto de crecimiento de una función.

Definición

Sea 𝑓 una función a valores reales definida en el intervalo ]𝑎, 𝑏[. Diremos

que:

a) 𝑓 es creciente en ]𝑎, 𝑏[ si cada vez que 𝑥1, 𝑥2 ∈ ]𝑎, 𝑏[ y 𝑥1 < 𝑥2

entonces 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2).

b) 𝑓 es estrictamente creciente en ]𝑎, 𝑏[ si cada vez que 𝑥1, 𝑥2 ∈

]𝑎, 𝑏[ y 𝑥1 < 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2).

c) 𝑓 es decreciente en ]𝑎, 𝑏[ si cada vez que 𝑥1, 𝑥2 ∈ ]𝑎, 𝑏[ y 𝑥1 < 𝑥2

entonces 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2).

d) 𝑓 es estrictamente decreciente en ]𝑎, 𝑏[ si cada vez que

x1, x2 ∈ ]𝑎, 𝑏[ y x1 < x2 entonces 𝑓(x1) > 𝑓(x2).

Ejemplo

El gráfico de 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 es

De la definición anterior, es claro que la gráfica de esta función es

estrictamente creciente a la derecha del origen, es decir, 𝑓 crece en ]0,∞ [,

y decrece estrictamente en ]−∞, 0[.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


198

Es importante recalcar que crecimiento puede ser leído también como no

decrecimiento pues este acepta que la función sea constante en el tramo

de interés, por ejemplo la función que se muestra a continuación:

es creciente en todo el dominio (todo el conjunto de números reales) pero

no es estrictamente creciente en el intervalo (0,3) donde es constante, de

hecho la formulación algebraica de esta función es:

𝑓(𝑥) = {−𝑥2 + 3 𝑥 ∈ ]−∞, 0[

3 𝑥 ∈ [0,4]

(𝑥 − 4)2 + 3 𝑥 ∈ ]4,∞[

Pero si podemos decir que es estrictamente creciente en ]−∞, 0[ y

también en 𝑥 ∈ ]4,∞[.

Volvamos por un instante al problema del empresario que enfrenta una

función de costos 𝐶(𝑥) = 𝑥2 y un precio de venta 𝑝 = 6, dijimos que el

empresario tiene como meta ganar dinero, y parece natural pensar que

realmente el objetivo de él debería ser ganar la mayor cantidad de dinero

posible. La función de ingreso de este empresario es 𝐼(𝑥) = 6𝑥 y como la

función de costos es 𝐶(𝑥) = 𝑥2, entonces la función de ganancias viene

dada por la expresión:

𝐺(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥2,

es obvio del contexto que 𝑥 no puede tomar valores negativos, y tampoco

la función 𝐺, pues en ese caso el empresario tendría ganancias negativas

(lo cual no tiene sentido y es mejor cerrar la empresa). Si graficamos la

función de ganancias de este empresario obtenemos:

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


199

Vemos que la función ganancia es creciente desde (0,0) hasta el vértice

de la parábola, que en éste ejemplo está ubicado en el punto (0,3), y

luego decrece desde el vértice hasta el punto (6,0). Esto se puede

interpretar de la siguiente manera, supongamos que el empresario decide

producir 1 unidad, con eso ganará (bajo el supuesto de que venderá toda

la producción) 𝐺(1) = 6 ⋅ 1 − 12 = 5 unidades monetarias, pero como

la función es creciente en el punto (1,5) entonces le conviene producir

más pues sus ganancias aumentarán. Por otro lado, si decidiera producir 5

unidades, entonces sus ganancias serían 𝐺(5) = 6 ⋅ 5 − 52 = 5 unidades

monetarias, y si decidiera producir más estaría cometiendo un error pues

la función a la derecha del vértice es decreciente, esto es, si nos movemos

a la derecha en el gráfico entonces estaremos más abajo y, por ende, con

menores ganancias.

¿Hay una relación entre el crecimiento y la derivada?

Si, hay una estrecha relación entre el crecimiento y la derivada, el signo de

la derivada está totalmente determinado por el crecimiento de la función,

en efecto:

Teorema:

Sea 𝑓 una función derivable en ]𝑎, 𝑏[, entonces:

a) 𝑓 es creciente en ]𝑎, 𝑏[ si 𝑓′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[.

b) 𝑓 es decreciente en ]𝑎, 𝑏[ si 𝑓′(𝑥) < 0 para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


200

Volviendo al problema del empresario, nos es claro del gráfico que la

función es creciente en ]0,3[, calculamos su derivada para verificar el

teorema:

𝑓′(𝑥) = 6 − 2𝑥 = 2(3 − 𝑥),

La función 𝑓′(𝑥) = 6 − 2𝑥 es positiva para 𝑥 < 3, y por lo tanto 𝑓 es

creciente; la función 𝑓′(𝑥) = 6 − 2𝑥 es negativa para 𝑥 > 3, y por lo

tanto 𝑓 es decreciente.

¿Cuál es el nivel de producción que debería alcanzar este empresario?

Es claro que en ninguna punto inferior a el nivel de producción de 3

unidades, pues en ese lado de la función ganancia la pendiente es positiva,

es decir, si produce un poco más ganará más; de la misma forma no

debería hacerlo más a la derecha de 3, pues al hacerlo se sitúa en una zona

de decrecimiento y por lo tanto toda variación positiva en el nivel de

producción lo hará ganar menos dinero, lo que tampoco es “óptimo” por

parte del empresario.

Ejemplos.

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la

función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 1.

Solución.

Como se explica en el teorema, los intervalos de crecimiento son aquellos

donde la derivada tiene signo positivo, por lo que debemos partir

calculando la derivada para esta función:

𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 3.

𝑓′(𝑥) > 0 cuando 2𝑥 + 3 > 0 y eso es para 𝑥 ∈ ]−3

2, ∞[ y por lo tanto

la función es creciente en ese intervalo. Dado lo anterior, 𝑓′(𝑥) < 0

cuando 2𝑥 + 3 < 0 y eso es para 𝑥 ∈ ]−∞,−3

2[ y por lo tanto la función

es decreciente en ese intervalo.

En el caso de una función cuadrática, como la de este ejemplo, el punto

donde el crecimiento cambia (ya sea de creciente a decreciente o viceversa)

es en el vértice de la función, que es el mismo punto donde la derivada

cambia de signo.

b) Sea 𝑓: ]0,2𝜋[ → ℝ la función definida por 𝑓(𝑥) = sen(𝑥),

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


201

determine los intervalos donde la función es creciente.

Solución.

La derivada de la función seno es la función coseno, por lo tanto, en este

problema debemos determinar donde coseno es positivo en el intervalo

relevante, es decir, ¿donde cos(𝑥) es positivo para 𝑥 ∈ ]0,2𝜋[?

Según lo aprendido en cursos previos, cos(𝑥) > 0 si y solo si 𝑥 ∈ ]0,𝜋

2[ ∪

]3𝜋

2, 2𝜋[. Esto lo podemos corroborar mirando la gráfica de la función

𝑓(𝑥) = sen(𝑥):

c) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la

función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 .

Solución.

La derivada de la función exponencial, como ya vimos anteriormente, es la

misma función, es decir:

𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥,

y como sabemos esta función es siempre positiva, por lo tanto, siempre

creciente. Dicho de otra manera, el intervalo de crecimiento de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

es ℝ.

Lo anterior se confirma observando su gráfica:

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


202

d) Determine los intervalos de crecimiento de 𝑓: ]0,2𝜋[ → ℝ definida

por 𝑓(𝑥) = 𝑒cos(𝑥).

Solución.

Para decidir cuáles son los intervalos de crecimiento de esta función

debemos, como ya sabemos, calcular su primera derivada, y para esto

necesitamos recordar la regla de la cadena:

𝑓′(𝑥) = 𝑒cos(𝑥) ⋅ (cos(𝑥))′ = 𝑒cos(𝑥) ⋅ (−sen(𝑥)),

la función 𝑒cos(𝑥) es siempre positiva (pues la exponencial lo es), entonces

los cambios de crecimiento vienen definidos por los cambios en el signo

de – sen(𝑥). Como estamos interesados en los intervalos de crecimiento

de 𝑓 entonces buscamos donde – sen(𝑥) es positiva, y por lo tanto, donde

sen(𝑥) es negativo, como sabemos, la función seno es negativa en

]𝜋, 2𝜋[, y por lo tanto 𝑓 es creciente en ]𝜋, 2𝜋[. Podemos verificar

nuestro análisis en la siguiente gráfica:

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


203

Definición.

a) Diremos que una función derivable es cóncava hacia arriba en el

intervalo ]𝑎, 𝑏[ si su derivada, 𝑓’, es creciente en ]𝑎, 𝑏[.

b) Diremos que una función derivable es cóncava había abajo en el

intervalo ]𝑎, 𝑏[ si su derivada, 𝑓’, es decreciente en ]𝑎, 𝑏[

Note que una recta es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo a la vez.

Ejemplo

La función 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥| es cóncava hacia arriba, en

efecto la derivada es -1 en el intervalo ]−∞, 0[ y es 1 en el intervalo

]0,∞[, por lo que la función derivada es una función creciente en su

dominio, lo que implica que la función es cóncava hacia arriba.

Ejemplo

La función 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 es cóncava hacia arriba en

todo su dominio como se observa en la siguiente gráfica:

Observamos que la forma de la función es como una U que es la forma

que tienen las funciones cóncavas hacia arriba.

Siendo rigurosos con la definición de concavidad calculamos la primera

derivada:

𝑓′(𝑥) = 2𝑥,

y para ver si esta función es creciente debemos calcular su derivada, es

decir, la segunda derivada de 𝑓:

𝑓′′(𝑥) = 2 > 0,

y como la segunda derivada de 𝑓 es positiva, entonces 𝑓’ es una función

creciente y, por lo tanto, 𝑓 es cóncava hacia arriba.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


204

Ejemplo

Muestre que 𝑓(𝑥) = −𝑥2 es cóncava hacia abajo.

Solución.

Viendo la gráfica vemos claramente que está función se abre hacia abajo

en todo el dominio:

Pero no basta con ver en la gráfica se cumple la condición planteada y

debemos ir a la definición de concavidad, para eso calculamos la primera

derivada, y luego para ver si esta es creciente (pues en este caso existe la

segunda derivada) usamos su derivada:

𝑓′(𝑥) = −2𝑥 ⇒ 𝑓′′(𝑥) = −2 < 0,

La primera derivada es una función decreciente (pues su derivada es

negativa) y por lo tanto la función 𝑓 es cóncava hacia abajo en todo su

dominio.

Ejemplo

Determine en que intervalos la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 es

cóncava hacia arriba y en que intervalos es cóncava hacia abajo, y sus

puntos de inflexión, si tuviera.

Solución.

Calculamos las derivadas

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


205

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 1 ⇒ 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥.

Para analizar el crecimiento de 𝑓′ analizamos los signos de 𝑓′′, esta

función es positiva en ]0,∞[ y negativa en ]−∞, 0[, por lo tanto, 𝑓 es

cóncava hacia arriba en ]0,∞[ y cóncava hacia abajo en ]−∞, 0[. De

hecho podemos observar de su gráfica el análisis que acabamos de hacer:

Concluimos que la función tiene un punto de inflexión en 𝑥 = 0.

Algunos de los ejemplos anteriores nos muestran que una manera de ver si

conocer la concavidad de una función es mirando el signo de su segunda

derivada, pero eso solo sirve en el caso que la función sea dos veces

derivable, de hecho, podemos escribir el siguiente teorema.

Teorema

Sea 𝑓: (𝑎, 𝑏) → ℝ, una función dos veces derivable en ]𝑎, 𝑏[.

Si 𝑓′′(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[, entonces la función 𝑓 es cóncava hacia

arriba en ese intervalo.

Si por el contrario, 𝑓′′(𝑥) < 0 para todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[ entonces la función 𝑓

es cóncava hacia abajo en ese intervalo.

Definición.

Diremos que el punto 𝑥 = 𝑐, en el dominio de 𝑓, es un punto de inflexión

de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) si la función es cóncava hacia arriba a un lado de

𝑐 y cóncava hacia abajo hacia el otro lado.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


206

Ejemplo

La función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 tiene un punto de inflexión en 𝑥 = 0. De

hecho, es el único punto de inflexión de esta función.

Ejemplo

La función 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) tiene infinitos puntos de inflexión, podemos

darnos cuenta de ello observando su gráfica:

pero además podemos ver que la segunda derivada de la función es

𝑓′′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)

la cual tiene infinitos cambios de signo, que se traducen en cambios de la

concavidad.

Ejercicio

Indique cuales son los intervalos donde las siguientes funciones son

creciente, decrecientes, cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo, y sus

puntos de inflexión, si tuviera.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 + 7

b) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥

c) 𝑓(𝑥) =2𝑥2

𝑥2−1

d) 𝑓(𝑥) =𝑥2

√𝑥+1

e) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

f) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

g) 𝑓(𝑥) =𝑥3

𝑥2+1

h) 𝑓(𝑥) =𝑥

1+𝑥2

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


207

Máximos y Mínimos.

Volvamos ahora al problema de empresario, hemos dicho que el

empresario busca ganar dinero, pero en realidad lo que él busca es

maximizar las ganancias, es decir, decidir un nivel de producción en el cuál

esté ganando lo más posible y no tenga incentivos para cambiar su

decisión de producción. En el ejemplo anterior (con función de ganancias

𝐺(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥2), si el empresario decidiera producir 2 unidades ganaría 8

unidades monetarias, pero es claro que por estar en una zona creciente de

la función de ganancias, si se mueve un poco a la derecha en la decisión de

producción entonces ganará más, es decir, tiene incentivos para decidir

otra cantidad a producir. Lo mismo pasa si decidiera producir 5 unidades,

por estar en la zona decreciente de la función se da cuenta que la decisión

de producción debería ser menor que 5 y tiene incentivos para decidir un

nivel de producción menor.

Definición

Diremos que 𝑓: ]𝑎, 𝑏[ → ℝ tiene un máximo global en 𝑥 = 𝑥0 si para

todo 𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[

𝑓(𝑥0) ≥ 𝑓(𝑥).

Diremos que 𝑓: ]𝑎, 𝑏[ → ℝ tiene un mínimo global en 𝑥 = 𝑥0 si para todo

𝑥 ∈ ]𝑎, 𝑏[

𝑓(𝑥0) ≤ 𝑓(𝑥).

En nuestro ejemplo, el punto más alto de la función de ganancias es el

vértice de la parábola, y por lo tanto, ahí está el máximo de la función. En

la gráfica se puede observar que tanto a la derecha del vértice como a la

izquierda los valores son menores que 𝐺(3) = 6 ⋅ 3 − 32 = 9. Cuando el

empresario decide producir 3 unidades (y por consiguiente ganar 9) no

tiene ninguna intención ni incentivo a cambiar su decisión pues tanto a la

derecha como a la izquierda las ganancias serán menores.

Ejemplos.

a) La función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 tiene un mínimo global en 𝑥 = 0, y este

mínimo vale 𝑓(0) = 0.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


208

b) La función 𝑓: ]−1,1[ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 tiene un

máximo global en 𝑥 = −√3

3 y un mínimo global en 𝑥 =

√3

3.

Definición.

Sea D el dominio de la función 𝑓 que contiene al punto 𝑐. Diremos que:

a) 𝑓(𝑐) es un valor máximo local si existe un intervalo ]𝑎, 𝑏[ que

contiene a 𝑐 tal que 𝑓(𝑐) es el valor máximo de 𝑓 en el intervalo ]𝑎, 𝑏[.

b) 𝑓(𝑐) es un valor mínimo local si existe un intervalo ]𝑎, 𝑏[ que

contiene a 𝑐 tal que 𝑓(𝑐) es el valor mínimo de 𝑓 en el intervalo ]𝑎, 𝑏[.

c) 𝑓(𝑐) es un valor extremo local de 𝑓, si es un mínimo local o un

máximo local.

Ejemplo.

La función 𝑓: [−10,10] → ℝ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 tiene un

máximo local en 𝑥 = −√3

3 que vale

2√3

3, y un mínimo local en 𝑥 = −

√3

3

que vale −2√3

3, pero es evidente que 𝑓(10) = 990 y 𝑓(−10) = −990

son, respectivamente, el máximo y mínimo globales de la función. Lo

importante para que un punto (𝑐, 𝑓(𝑐)) sea un extremo local es que exista

un intervalo alrededor de 𝑐 donde 𝑓(𝑐) sea el punto más alto o más bajo

(según corresponda).

La pregunta en este minuto es ¿cómo podemos determinar los máximos y

mínimos globales?

Necesitamos primero un criterio para determinar los candidatos a extremo

(ya sea máximo, mínimo, local o global), para eso tenemos el siguiente

teorema:

Teorema:

Sea 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ una función tal que el punto 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏]. Si (𝑐, 𝑓(𝑐)) es

un punto extremo, entonces 𝑐 debe ser un punto crítico, es decir:

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


209

a) 𝑐 es un punto frontera del intervalo [𝑎, 𝑏], esto es, 𝑐 = 𝑎 o 𝑐 =

𝑏.

b) 𝑓′(𝑐) = 0, en este caso lo llamamos punto estacionario.

c) 𝑓′(𝑐) no existe, en este caso lo llamamos un punto singular.

Ejemplo

Sea 𝑓: [−1,3] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥|.

Podemos ver de la gráfica que en 𝑥 = −1 hay un máximo local, que vale

1, pero no es un máximo global pues 𝑓(3) = 3 es el punto más alto de la

gráfica. En ambos casos lo que tenemos es un punto fronterizo, por lo que

en este ejemplo los dos puntos fronterizos son puntos críticos.

Por otro lado, la derivada en 𝑥 = 0 no existe, por lo que, 𝑥 = 0 también

es un punto crítico, de hecho es un mínimo local y global de la función.

Ejemplo

Sea 𝑓: [0, 𝜋] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), automáticamente 𝑥 = 0

y 𝑥 = 𝜋 son puntos críticos, pero además notamos que para esta función

la derivada siempre existe en el intervalo (0, 𝜋) por lo que no hay puntos

singulares, pero como su derivada es:

𝑓′(𝑥) = cos (𝑥)

y esta se anula en 𝑥 =𝜋

2, entonces tenemos un punto estacionario. En

resumen esta función tiene 3 puntos críticos.

Ejemplo

Sea 𝑓:ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3, esta función crece sin límite

cuando 𝑥 →∞, y decrece sin límite cuando 𝑥 → −∞, pero además tiene

un punto estacionario, pues:

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 = 0 ⇔ 𝑥 = 0,

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


210

ese punto estacionario está en 𝑥 = 0, por lo tanto es un punto crítico,

pero ¿es un extremo? Necesitamos un criterio que nos diga si un punto

crítico es o no un extremo de la función. Notemos que la derivada de esta

función es siempre no negativa, por lo que nunca decrece.

Ahora damos dos criterios para decidir si un punto crítico es o no un

extremo de la función.

Teorema (criterio de la primera derivada).

Si (𝑐, 𝑓(𝑐)) es un extremo local, entonces:

a) si 𝑓′ es positiva a la izquierda de 𝑐 y negativa a la derecha, entonces

en 𝑥 = 𝑐 se produce un máximo local.

b) si 𝑓′ es negativa a la izquierda de 𝑐 y positiva a la derecha,

entonces en 𝑥 = 𝑐 se produce un mínimo local.

Continuando los ejemplos anteriores:

Ejemplo

Para 𝑓: [−1,3] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥|, a la derecha de 𝑥 = 0 la

derivada es negativa y a su derecha es positiva, por lo que el punto crítico

es efectivamente un extremo, en efecto es un mínimo, por otro lado, para

los puntos fronterizos: en 𝑥 = −1, a su derecha la función decrece, por lo

tanto es un máximo local; y en 𝑥 = 3, por su izquierda la función crece,

por lo que también es un máximo local. Notamos que hay un solo mínimo

local que es además mínimo global de la función; en el caso de los

máximos locales claramente no hay puntos más altos que 𝑓(3) = 3, por lo

que este es el máximo global de la función.

Ejemplo

𝑓: [0, 𝜋] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), los extremos son: fronterizos

𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝜋, donde a la derecha de 0 la función crece, por lo que es un

mínimo local, y en 𝑥 = 𝜋, a su izquierda la función decrece, por lo que

también es un mínimo local; para el punto estacionario 𝑥 =𝜋

2, la derivada

la izquierda es positiva y a la derecha es negativa, por lo que estamos en

presencia de un máximo local. Entonces tenemos dos mínimos locales,

que valen lo mismo 𝑓(0) = 𝑓(𝜋) = 0, y un máximo local en 𝑥 =𝜋

2 que

vale 𝑓 (𝜋

2) = 1, en este caso, ambos mínimos locales son mínimos

globales, y el máximo local es un máximo global.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


211

Ejemplo

Para 𝑓:ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3, no hay puntos fronterizos, de

hecho el único punto crítico es 𝑥 = 0, pero tanto a su izquierda como a su

derecha la función es creciente, por lo tanto, en este punto no hay un

extremo. De hecho, esta función no tiene extremos, como vemos en la

siguiente gráfica:

Ejercicio

Determine los puntos críticos de las siguientes funciones y explique cuales

son máximos locales y/o globales, y cuales son mínimos locales y/o

globales.

a) 𝑓: [−3,5] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2|.

b) 𝑓: [−1,2] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + |𝑥| ⋅ 𝑥.

c) 𝑓:ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥.

d) 𝑓: [−10,10] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑒𝑥.

e) 𝑓: [−5,8] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2.

f) 𝑓: [−10,10] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3.

g) 𝑓:ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 4.

h) 𝑓: [0,10] → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = sen(𝜋𝑥).

Hay aún otro criterio para determinar si un punto crítico (recordemos que

un punto crítico es: o un punto fronterizo, o un punto singular, o un

punto estacionario) es o no un extremo de la función.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


212

Teorema (Prueba de la segunda derivada).

Supongamos que 𝑓′ y 𝑓′′ existen y son continuas en todo punto de un

intervalo abierto ]𝑎, 𝑏[, que contiene a 𝑐, y suponga también que 𝑓′(𝑐) =

0, entonces:

a) si 𝑓′′(𝑐) > 0, entonces 𝑓 tiene en 𝑥 = 𝑐 un mínimo local.

b) si 𝑓′′(𝑐) < 0, entonces 𝑓 tiene en 𝑥 = 𝑐 un máximo local.

Ejemplo

Determine los máximos y mínimos locales y globales de la función

𝑓:ℝ → ℝ definida por

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 12𝑥 − 3.

Solución.

Como esta función está definida para todos los reales, entonces los

puntos críticos fronterizos no son para nosotros una preocupación;

además, la función es un polinomio, por lo que su derivada existe en todo

ℝ, luego los puntos críticos que podamos encontrar solo provienen de

aquellos estacionarios, es decir donde la derivada se hace 0. Calculamos

entonces la primera derivada de la función:

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 18𝑥 + 12 = 6(𝑥 − 1)(𝑥 − 2),

las soluciones de la ecuación 6𝑥2 − 18𝑥 + 12 = 0, son 𝑥1 = 1 y 𝑥2 =

2. Usemos la prueba de la segunda derivada para ver si son máximos o

mínimos locales, calculamos la segunda derivada y obtenemos:

𝑓′′(𝑥) = 12𝑥 − 18,

luego evaluando en los dos puntos críticos que son estacionarios

(recordemos que la prueba de la segunda derivada solo sirve para puntos

estacionarios) tenemos:

a) 𝑓′′(𝑥1) = 𝑓′′(1) = 12 − 18 = −6 < 0, por lo tanto en

𝑥1 = 1 hay un máximo local de la función y vale 𝑓(1) = 2.

b) 𝑓′′(𝑥2) = 𝑓′′(2) = 12 ⋅ 2 − 18 = 6 > 0, por lo tanto en

𝑥2 = 2 hay un mínimo local de la función y vale 𝑓(2) = 1.

c) Ninguno de estos dos puntos es un extremo global, pues

como sabemos, una función cúbica no está acotada.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


213

Ejemplo

Determine los extremos locales y globales de la función 𝑓: [−15,8] → ℝ

definida por 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2−𝑥.

Solución.

En este caso tenemos dos puntos fronterizos (y por lo tanto críticos) 𝑥1 =

−15 y 𝑥2 = 8. Como la función es derivable en todo su dominio,

entonces no habrán puntos singulares (recordamos que la función

exponencial es derivable en todo el dominio, también las funciones

polinomiales y por lo tanto la composición de estas dos es derivable en

todo su dominio), luego nos queda buscar puntos estacionarios, es decir,

aquellos donde la primera derivada se anula, para esto calculamos la

primera derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2−𝑥:

𝑓(𝑥) = (𝑒𝑥2−𝑥)′ = 𝑒𝑥

2−𝑥 ⋅ (2𝑥 − 1),

esta función se anula solo cuando 𝑥 =1

2, pues 𝑒𝑥

2−𝑥 es siempre

estrictamente mayor que cero. Para saber si este punto crítico es un

máximo o un mínimo (local) hacemos la prueba de la segunda derivada:

𝑓′′(𝑥) = 𝑒𝑥2−𝑥 ⋅ (2𝑥 − 1)2 + 2𝑒𝑥

2−𝑥,

y evaluamos en 𝑥 =1

2,

𝑓′′ (1

2) = 2𝑒(

12)2−12 > 0.

Entonces la prueba de la segunda derivada nos dice que en 𝑥 =1

2 hay un

mínimo local, pero además vemos que la segunda derivada es siempre

positiva, y la función decrece desde infinito hasta (1

2, 𝑓 (

1

2)), y desde este

punto crece hacia infinito, por lo tanto no hay otro mínimo (además no

hay otro punto crítico) por lo que es un mínimo global. Además la función

no tiene máximo, ni local ni global.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


214

Elaboración de gráficas.

Con todo el análisis anterior podemos construir sin ayuda de un software

una gráfica bastante acabada de una función, determinar puntos de

discontinuidad, determinar intervalos de crecimiento, intervalos de

decrecimiento, intervalos de concavidad positiva e intervalos de

concavidad negativa, máximos y mínimos tanto locales como globales,

pero nos falta aún revisar un concepto importante para poder elaborar

gráficas sofisticadas, el concepto de asíntota:

Definición.

a) La recta 𝑥 = 𝑐 es una asíntota vertical de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) si alguna de las siguientes proposiciones es verdadera:

lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) = ±∞

o bien lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = ±∞

b) La recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 es una asíntota en infinito si los siguientes

dos límites existen:

𝑚 = lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑥

y también 𝑛 = lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥.

c) La recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 es una asíntota en infinito negativo si los

siguientes dos límites existen:

𝑚 = lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥)

𝑥

y también 𝑛 = lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥.

Entonces con los resultados anteriores más esta última definición de

asíntotas podemos elaborar una gráfica sin la ayuda de un software:

Ejemplo.

Realice una gráfica de la función 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥) =𝑥2+3𝑥−1

𝑥−2.

Primero notamos que en 𝑥 = 2 hay una asíntota vertical, en efecto:

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥) = ∞

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


215

y por lo tanto hay un ese punto una discontinuidad de salto infinito.

Por otro lado, la función es continua en ]−∞, 2[ ∪ ]2,∞[, pues es la

división de dos funciones continuas donde la función que está en el

denominador no se anula en el dominio.

La función es no acotada, ya que

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) = ∞

y

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = −∞.

De lo anterior podemos deducir además que la función no tiene mínimo

global, ni máximo global.

Para buscar intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

calculamos la primera derivada:

𝑓′(𝑥) = (𝑥2 + 3𝑥 − 1

𝑥 − 2)

′

=(𝑥2 + 3𝑥 − 1)′ ⋅ (𝑥 − 2) − (𝑥2 + 3𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2)′

(𝑥 − 2)2

=(2𝑥 + 3)(𝑥 − 2) − (𝑥2 + 3𝑥 − 1) ⋅ 1

(𝑥 − 2)2

=𝑥2 − 4𝑥 − 5

(𝑥 − 2)2=(𝑥 − 5)(𝑥 + 1)

(𝑥 − 2)2.

La derivada de 𝑓 es positiva en ]−∞,−1[ ∪ ]5,∞[ y por lo tanto

creciente en cada uno de estos dos intervalos. Por otro lado, la derivada de

𝑓 es negativa en el intervalo ]−1,2[ y por lo tanto decreciente en este

intervalo, así como también en el intervalo ]2,5[.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


216

Vemos además que las soluciones de la ecuación 𝑓′(𝑥) = 0, para

determinar puntos estacionarios, son 𝑥1 = −1 y 𝑥2 = 5, y usando la

prueba de la primera derivada podemos deducir que en 𝑥 = −1 hay un

máximo local –pues a su izquierda la función es creciente y a su derecha es

decreciente- que vale 𝑓(−1) = 1, y en 𝑥 = 5 hay un mínimo local- pues a

su izquierda es decreciente y a su derecha es creciente- que vale 𝑓(5) =

13.

Calculamos ahora la segunda derivada para determinar los puntos de

inflexión y los intervalos de concavidad:

𝑓′′(𝑥) =18

(𝑥 − 2)3.

Notemos que en 𝑥 = 2 la concavidad cambia de negativa a positiva, pero

la función no está definida en este punto (ni ninguna de sus derivadas), por

lo tanto no se clasifica como un punto de inflexión. Sin embrago, es

importante para la gráfica considerar que 𝑓 es cóncava hacia arriba en

]2,∞[ y cóncava hacia abajo en ]−∞, 2[.

Finalmente notamos que hay una asíntota vertical en el punto de

discontinuidad 𝑥 = 2 y en los extremos tenemos:

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥)

𝑥= lim

𝑥→∞

𝑥2 + 3𝑥 − 1𝑥 − 2𝑥

= 1

y

lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) − 𝑥 = lim𝑥→∞

𝑥2 + 3𝑥 − 1

𝑥 − 2− 𝑥 = 5,

además:

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥)

𝑥= lim

𝑥→−∞

𝑥2 + 3𝑥 − 1𝑥 − 2𝑥

= 1

y

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) − 𝑥 = lim𝑥→−∞

𝑥2 + 3𝑥 − 1

𝑥 − 2− 𝑥 = 5.

Por lo tanto la recta 𝑦 = 𝑥 + 5 es asíntota de la función tanto en infinito

positivo como en infinito negativo.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


217

Con todo lo anterior podemos realizar la gráfica de la función:

Ejercicios:

Realice, sin usar un software, las gráficas para las siguientes funciones:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 5.

b) 𝑓(𝑥) = sen(𝑥)

c) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥)

d) 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) − 𝜋𝑥

e) 𝑓(𝑥) = |𝑥2 + 2𝑥|

f) 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥+1

g) 𝑓(𝑥) = 𝑥2(𝑥2 − 1)

h) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1

i) 𝑓(𝑥) = √sen(𝑥) para 𝑥 ∈ (−𝜋

2,𝜋

2).

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


218

Derivada de la función inversa.

Sabemos que una función es invertible si inyectiva y sobreyectiva, pero no

aprendimos como podemos determinar algebraicamente dicha función

inversa, de hecho en ocasiones no es factible determinar una expresión

que defina dicha función inversa pero si podremos, como veremos a

continuación, determinar la derivada de la función inversa en un punto

cualquiera.

Si 𝑓 es una función biyectiva, y por lo tanto invertible, y su inversa la

denotamos por 𝑓−1 entonces:

𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥.

Derivando respecto de 𝑥 la igualdad anterior y haciendo uso de la regla de

la cadena se tiene que:

(𝑓−1)′(𝑓(𝑥)) ⋅ 𝑓′(𝑥) = 1,

y por lo tanto podemos despejar (𝑓−1)’ y obtenemos:

(𝑓−1)′(𝑓(𝑥)) =1

𝑓′(𝑥).

Esta fórmula tiene sentido cuando (𝑥, 𝑓(𝑥)) es un punto de la gráfica de

𝑓, por lo tanto podemos reescribirla de la siguiente manera:

(𝑓−1)′(𝑦) =1

𝑓′(𝑥),

donde (𝑥, 𝑦) es un punto en la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Ejemplo.

Vimos anteriormente que (ln(𝑥))′ =1

𝑥, podemos demostrar esta

afirmación usando el resultado anterior:

Sabemos que (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥, y que la función exponencial y el logaritmo

natural son funciones inversas, por lo tanto, aplicando este resultado

((𝑓−1)′(𝑦) =1

𝑓′(𝑥)) se tiene que:

(ln(𝑥))′ =1

𝑒𝑦=1

𝑥.

Como se concluyó anteriormente.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


219

Ejercicios.

Para las siguientes funciones, determine un intervalo donde sean

invertibles y calcule la derivada de la función inversa en dicho intervalo.

a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1.

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1.

c) 𝑓(𝑥) = √𝑥.

d) 𝑓(𝑥) =1

𝑥+1.

e) 𝑓(𝑥) = sen(𝜋𝑥).

f) 𝑓(𝑥) =𝑥+3

2𝑥−1.

g) 𝑓(𝑥) = ln (𝑥2 + 2𝑥), 𝑥 > −1.

Teorema del valor medio para derivadas.

Si 𝑓 es continua en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y derivable en su interior

(𝑎, 𝑏), entonces existe al menos un número 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) donde:

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎= 𝑓′(𝑐),

o de manera equivalente, donde

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑐)(𝑏 − 𝑎).

Es este teorema el que permite vincular crecimiento y signo de la derivada.

Ejemplo.

Asegúrese de que es imposible que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 − 8 valga

cero en dos puntos diferentes en el intervalo [−1,1]

Solución

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


220

De no ser así, si hubiera dos valores 𝑝 y 𝑞 en [−1,1] tales que 𝑓(𝑝) =

0 y 𝑓(𝑞) = 0, como los polinomios son continuos y derivables en todo ℝ,

por Teorema del valor medio debe existir 𝑐 entre 𝑝 y 𝑞 con 𝑓′(𝑐) =𝑓(𝑞)−𝑓(𝑝)

𝑞−𝑝= 0, pero 𝑓′(𝑐) = 3𝑐2 − 3 < 0 en [−1,1]

Por lo que la función no puede valer cero en dos puntos del intervalo.

Ejemplos misceláneos

1. La intensidad de una onda eléctrica (medida en amperes) está

modelada por:

𝐼(𝑡) = 2 cos(𝑡) + 2 cos(𝑡) sen(𝑡)

Donde 𝑡 es el tiempo (medido en segundos) y cuya gráfica es:

a. Determine 𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡

Solución:

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡=𝑑(2 cos(𝑡) + 2 cos(𝑡) sen(𝑡))

𝑑𝑡

=𝑑 2 cos(𝑡)

𝑑𝑡+𝑑 2 cos(𝑡) sen(𝑡)

𝑑𝑡

= 2𝑑 cos(𝑡)

𝑑𝑡+ 2

𝑑 cos(𝑡) sen(𝑡)

𝑑𝑡

= 2 ∙ (− sen(𝑡)) + 2(𝑑 cos(𝑡)

𝑑𝑡⋅ sen(𝑡) + cos(𝑡) ⋅

𝑑 sen(𝑡)

𝑑𝑡)

= −2 sen(𝑡) − 2sen2(𝑡) + 2cos2(𝑡)

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


221

b. Evalúe la derivada de la función 𝐼 en el instante en que 𝑡 =

𝜋 segundos e interprete el resultado.

Solución

Al reemplazar 𝑡 = 𝜋 en la derivada obtenemos:

𝑑𝐼(𝑡)

𝑑𝑡|𝑡=𝜋

= −2sen(𝜋) − 2sen2(𝜋) + 2cos2(𝜋) = 2

Por lo tanto, la derivada de 𝐼 en 𝑡 = 𝜋 es 2. Esto significa que la pendiente

de la recta tangente a la curva en 𝑡 = 𝜋 es 2. Esa interpretación es

geométrica y general para cualquier función; en este caso en particular 𝑡 es

el tiempo e 𝐼 es la intensidad de la onda; entonces, la derivada es la

variación de la intensidad con respecto al tiempo. Aquí, la interpretación es

que la intensidad está aumentando 2 ampere/segundo en el instante que

𝑡 = 𝜋 segundos (ya que es positivo).

2. Calcular la derivada de 𝑓(𝑥) = tan(𝑥)

Solución

d tan(𝑥)

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(sen(𝑥)

cos(𝑥))

=

𝑑 sen(𝑥)𝑑𝑥

∙ cos(𝑥) − sen(𝑥) ∙𝑑 cos(𝑥)𝑑𝑥

cos 2(𝑥)

=cos(𝑥) ∙ cos(𝑥) − sen(𝑥) ∙ (− sen(𝑥))

cos 2(𝑥)

=cos2(𝑥) + sen2(𝑥)

cos 2(𝑥)=

1

cos 2(𝑥)= sec2(𝑥)

3. Una isla se encuentra a 2 𝑘𝑚 del punto más cercano a la costa (en

línea recta). Un poblado (punto A) está a 12 𝑘𝑚 desde el punto B, tal

como lo muestra la figura:

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


222

Si una persona puede remar a una velocidad de 2 𝑘𝑚/ℎ𝑟 y caminar a

una velocidad de 5 𝑘𝑚/ℎ𝑟 el tiempo 𝑇- que tarda para ir desde el poblado

hasta la isla- dependiendo de la distancia 𝑥 -distancia que va desde B hasta

el punto donde comienza a remar en el bote- está dada por:

𝑇(𝑥) =√𝑥2 + 4[𝑘𝑚2]

2[ℎ𝑟

𝑘𝑚] +

12[𝑘𝑚] − 𝑥

5[ℎ𝑟

𝑘𝑚]

Miremos la secuencia de imágenes que muestran distintos puntos donde

podría comenzar a remar:

a. Grafique e interprete el gráfico.

Solución

Para construir el gráfico, lo haremos con una tabla de valores.

Reemplazaremos el valor de 𝑥 por los números enteros que hay entre 0 y

12 kilómetros, (si no fuese suficiente podríamos evaluar por valores

intermedios, como por ejemplo 𝑥 = 3.5 [𝑘𝑚]).

A la derecha colocaremos el gráfico resultante al ubicar los puntos

obtenidos en la tabla y al final colocaremos las conclusiones:

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


223

x y

0 [km] 3.4 [hr]

1 [km] 3.32 [hr]

2 [km] 3.41 [hr]

3 [km] 3.6 [hr]

4 [km] 3.84 [hr]

5 [km] 4.09 [hr]

6 [ m] 4.36 [hr]

7 [km] 4.64 [hr]

8 [km] 4.92 [hr]

9 [km] 5.21 [hr]

10 [km] 5.5 [hr]

11 [km] 5.79 [hr]

12 [km] 6.08 [hr]

El gráfico en el eje 𝑥 muestra la distancia desde el punto 𝐵 hasta el punto

donde comienza a remar. El eje 𝑦 muestra el tiempo que demora

dependiendo del lugar donde se comienza a remar.

Por ejemplo si 𝑥 = 0, significa que caminó hasta el punto 𝐵 y desde allí

comenzó a remar; el tiempo utilizado es entre 3 y 4 horas. En cambio, si

no camina hasta 𝐵, el tiempo que utiliza disminuye, pero sólo hasta cierto

punto (entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 2 kilómetros) y luego el tiempo empleado en

transportarse desde el poblado hasta la isla aumenta.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


224

b. Calcule la derivada de la función 𝑇.

Solución

No tomaremos en cuenta las unidades para facilitar el trabajo de

derivación y trabajaremos simplemente con:

𝑇(𝑥) =√𝑥2 + 4

2+12 − 𝑥

5

Luego, usando la notación 𝑇′ para la derivada, se tiene:

𝑇′(𝑥) = (√𝑥2 + 4

2)

′

+ (12 − 𝑥

5)′

=1

2(√𝑥2 + 4)

′

+1

5(12 − 𝑥)′

=1

2((𝑥2 + 4)

12)′

+1

5(12′ − 𝑥′)

=1

4

1

(𝑥2 + 4)12

(2𝑥 + 0) −1

5

=𝑥

2√(𝑥2 + 4)−1

5

4. Aplique derivación implícita para determinar 𝑑𝑦

𝑑𝑥 en la circunferencia

con ecuación (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 4 y calcule la pendiente de la recta

tangente a la circunferencia en el punto (2,√3 + 2) de ella.

Solución

Derivando a ambos lados:

𝑑

𝑑𝑥((𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2) =

𝑑 4

𝑑𝑥= 0

2(𝑥 − 1) + 2(𝑦 − 2)𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑥 − 1

𝑦 − 2 para 𝑦 ≠ 2

Luego, en el punto (2,√3 + 2), se tiene

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

(2) − 1

(√3 + 2) − 2= −

1

√3≈ −0.57

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


225

5. En una pared se instaló un sistema que consiste en mover una viga

metálica de 5 [𝑚] de largo mediante un sistema eléctrico y una rueda que

está puesta en la parte inferior, tal como se muestra en la secuencia de

figuras:

a. Encuentre un modelo matemático para calcular la velocidad con

que se desliza el extremo superior de la escalera en la pared.

Solución

Primero, tenemos que identificar las magnitudes variables, las magnitudes

constantes y alguna relación que involucre todas las magnitudes:

Una de las magnitudes es el largo de la viga, la cual mide 5 [𝑚] de

largo.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


226

Una de las magnitudes variables es la distancia que hay desde la

base de la pared hasta la rueda que está en la parte inferior de la viga, a esta

variable la denominaremos 𝑥.

La otra magnitud variable que tiene el problema, es la distancia que

hay desde la parte superior de la viga hasta el suelo. A esta variable la

denominaremos 𝑦.

Si agregamos las variables a la figura nos queda:

Una relación que involucra a las tres magnitudes es Pitágoras; entonces, al

aplicar este teorema nos queda:

𝑥2 + 𝑦2 = 25

Ahora que tenemos la relación entre las variables, calcularemos la

velocidad con que cambia 𝑦; es decir, tenemos que calcular 𝑑𝑦

𝑑𝑡. Además,

debemos considerar que la rueda que está en la parte inferior de la viga se

mueve a una velocidad constante de 0.4 [𝑚/𝑠]. Matemáticamente lo

podemos expresar como 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0.4 [𝑚/𝑠]. Entonces, derivaremos la

relación con respecto a 𝑡, quedándonos:

𝑥2 + 𝑦2 = 25 /𝑑

𝑑𝑡

Aplicando derivación implícita obtenemos:

2𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑡+ 2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0

Despejamos 𝑑𝑦

𝑑𝑡 y nos queda:

𝑑𝑦

𝑑𝑡=2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑡

2𝑦

Y luego simplificamos:

𝑑𝑦

𝑑𝑡=𝑥

𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑡

Como 𝑑𝑥

𝑑𝑡= 0.4 [𝑚/𝑠], al reemplazar la expresión anterior nos queda:

𝑑𝑦

𝑑𝑡=𝑥

𝑦0.4[𝑚/𝑠]

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


227

Por lo tanto, la velocidad con que se desplaza la parte superior de la

viga está dada por

𝑑𝑦

𝑑𝑡=𝑥

𝑦0.4[𝑚/𝑠]

b. Interprete el resultado anterior para determinar si la velocidad con

que se desplaza la parte superior de la viga (la que está apoyada en la

pared) es constante.

Solución

En el ejercicio anterior, obtuvimos que 𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑥

𝑦0.4[𝑚/𝑠]; es decir, la

velocidad con que cambia la distancia 𝑦, depende de las variables 𝑥 e 𝑦

mediante el cuociente 𝑥

𝑦.

Por lo tanto, no es constante.

Incluso podemos analizar la expresión 𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑥

𝑦0.4[𝑚/𝑠] y concluir que la

velocidad aumenta, ya que 𝑥 aumenta desde 0 hasta 5; en cambio 𝑦

disminuye desde 5 hasta 0. Es decir, el numerador aumenta mientras que

el denominador disminuye, en consecuencia, el cociente aumenta.

c. Determine la velocidad con que se desplaza la viga cuando la parte

inferior se encuentra a 2 [𝑚] de la pared.

Solución

Que la parte inferior de la pared esté a 2 [𝑚] de la pared, significa en

nuestro diagrama que 𝑥 = 2 [𝑚]. También necesitamos saber cuánto vale

𝑦 si 𝑥 = 2 [𝑚]; para esto utilizaremos la relación 𝑥2 + 𝑦2 = 25:

22 + 𝑦2 = 25

4 + 𝑦2 = 25 /−4

𝑦2 = 21 /√

𝑦 = ±√21

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


228

Como 𝑦 es una distancia, sólo nos sirve la solución positiva; por lo

tanto, 𝑦 = √21 [𝑚]

Al reemplazar 𝑥 = 2 [𝑚] e 𝑦 = √21 [𝑚] en 𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑥

𝑦0.4[𝑚/𝑠] nos qeda:

𝑑𝑦

𝑑𝑥|(2,√21)

=2 [𝑚]

√21 [𝑚]0.4[𝑚/𝑠] ≈ 0.17 [𝑚/𝑠]

Así, la velocidad de la parte superior de la viga- cuando la parte inferior se

encuentra a 2 [𝑚] de la pared- es de aproximadamente 0.17 [𝑚/𝑠], o sea,

menos de la mitad de la velocidad de la parte inferior.

d. Determine la velocidad con que se desplaza la parte superior de la

viga cuando la parte inferior se encuentra a 4 [𝑚] de la pared y compare

este resultado con el resultado obtenido en el punto anterior.

Solución

Si hacemos un trabajo análogo al anterior, podemos determinar que si 𝑥 =

4 [𝑚]; entonces, 𝑦 = 3 [𝑚]. Por lo tanto, al reemplazar estos valores en 𝑑𝑦

𝑑𝑡=

𝑥

𝑦0.4[𝑚/𝑠] obtenemos:

𝑑𝑦

𝑑𝑥|(2,3)

=4 [𝑚]

3 [𝑚]0.4[𝑚/𝑠] ≈ 0.53[𝑚/𝑠]

En consecuencia, la parte superior de la viga cuando 𝑥 = 4 [𝑚] se mueve

a una velocidad de 0.53[𝑚/𝑠], lo que significa un aumento de casi tres

veces con respecto a la velocidad que tenía en 𝑥 = 2 [𝑚].

Ejemplo (Razón de cambio)

La distancia desde el punto 𝑂 hasta el punto 𝑃 (a la que denominamos 𝐷),

depende del ángulo 𝜃 que se forma entre los puntos 𝐵, 𝑂 y 𝐴, tal como lo

muestra la secuencia de figuras:

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


229

Si el radio del disco mide 3 [𝑐𝑚], el brazo 𝐴𝐵 mide 5 [𝑐𝑚] y el brazo

𝐵𝑃 mide 3 [𝑐𝑚], entonces, la función que entrega la distancia desde el

punto 𝑂 hasta el punto 𝑃 en términos del ángulo 𝜃 es:

𝐷(𝜃) = 3[𝑐𝑚] + 3 cos(𝜃)[𝑐𝑚] + √9 cos2(𝜃) + 16[𝑐𝑚]

a. Si el pistón gira a una velocidad de 𝜋

36 radianes por segundo,

determine la variación de la distancia con respecto al tiempo.

Solución

Lo que nos están pidiendo es 𝑑𝐷

𝑑𝑡.

Para derivar la expresión utilizaremos los siguientes teoremas y

propiedades y obviaremos las unidades:

𝑑

𝑑𝑥[𝑥𝑛] = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1(Derivada de un polinomio)

𝑑

𝑑𝑥[cos (𝑥)] = −sen (𝑥) (Derivada de coseno)

𝑑

𝑑𝑥[𝑐] = 0 (Derivada de una constante)

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] =

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)] +

𝑑

𝑑𝑥[𝑔(𝑥)] (Derivada de la suma

de funciones)

𝑑

𝑑𝑥[𝑘 ∙ 𝑓(𝑥)] = 𝑘 ∙

𝑑

𝑑𝑥[𝑓(𝑥)] (Derivada de una función

multiplicada por un número)

𝑑 𝑓(𝑔(𝑥))

𝑑𝑥= 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) (Regla de la cadena)

𝑎𝑚

𝑛 = √𝑎𝑚𝑛

con 𝑎 > 0 si n es par y 𝑎 ∈ ℝ si n es impar.

𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛 con a≠0

Si 𝐷(𝜃) = 3 + 3 cos(𝜃) + √9 cos2(𝜃) + 16, entonces, derivaremos con

respecto a 𝑡 y nos queda:

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡=𝑑

𝑑𝑡[3 + 3 cos(𝜃) + √9 cos2(𝜃) + 16]

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


230

Al separar por suma obtenemos:

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡=𝑑

𝑑𝑡[3] +

𝑑

𝑑𝑡[3cos (𝜃)] +

𝑑

𝑑𝑡[√9 cos2(𝜃) + 16]

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡= 0 + 3

𝑑

𝑑𝑡[cos (𝜃)] +

𝑑

𝑑𝑡[(9 cos2(𝜃) + 16)

12]

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡= 3 ∙ −sen (𝜃)

𝑑𝜃

𝑑𝑡

+1

2(9 cos2(𝜃) + 16)

12−1 𝑑

𝑑𝑡[9 cos2(𝜃) + 16]

Resolviendo las operaciones numéricas obtenemos:

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡= −3 sen(𝜃)

𝑑𝜃

𝑑𝑡

+1

2(9 cos2(𝜃) + 16)−

12 (𝑑

𝑑𝑡[9 cos2(𝜃)] +

𝑑

𝑑𝑡[16])

𝑑𝐷(𝜃)


𝑑𝜃

𝑑𝑡+1

2

1

(9 cos2(𝜃) + 16)12

(9𝑑

𝑑𝑡[cos2(𝜃)] + 0)

𝑑𝐷(𝜃)


𝑑𝜃

𝑑𝑡

+1

2

1

√9 cos2(𝜃) + 16(9 ∙ 2cos (𝜃)

𝑑

𝑑𝑡[cos(𝜃)])

Sólo nos falta calcular la última derivada a la que nuevamente aplicamos

vi. y nos queda:

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡= −3sen(𝜃)

𝑑𝜃

𝑑𝑡

+1

2

1

√9 cos2(𝜃) + 16(18 cos(𝜃) ∙ −sen(𝜃)

𝑑𝜃

𝑑𝑡)

Desarrollando las multiplicaciones obtenemos:

𝑑𝐷(𝜃)


𝑑𝜃

𝑑𝑡+−9cos(𝜃) sen(𝜃)

√9 cos2(𝜃) + 16

𝑑𝜃

𝑑𝑡

El enunciado indica que el pistón gira a una velocidad de 𝜋

36 radianes por

segundo, esto es equivalente a decir 𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝜋

36[𝑟𝑎𝑑

𝑠].

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


231

Al reemplazar𝑑𝜃

𝑑𝑡=

𝜋

36[𝑟𝑎𝑑

𝑠] y agregar las unidades nos queda:

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡= −3 sen(𝜃)[𝑐𝑚] +

−9 cos(𝜃) sen(𝜃)

√9 cos2(𝜃) + 16∙𝜋

36[𝑟𝑎𝑑

𝑠] [𝑐𝑚]

Simplificando y sacando los radianes (ya que no es una unidad)

obtenemos:

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡=−𝜋sen(𝜃)

4[𝑐𝑚

𝑠] +

−𝜋 cos(𝜃) sen(𝜃)

4√9 cos2(𝜃) + 16[𝑐𝑚

𝑠]

b. Calcule 𝑑𝐷

𝑑𝑡 cuando 𝜃 = 60∘ e interprete el resultado.

Solución

Si evaluamos la derivada en 𝜃 = 60∘ nos queda:

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡|𝜃=60∘

=−𝜋sen(60∘)

4[𝑐𝑚

𝑠] +

−𝜋 cos(60∘) sen(60∘)

4√9 cos2(60∘) + 16[𝑐𝑚

𝑠]

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡|𝜃=60∘

=−𝜋

√32

4[𝑐𝑚

𝑠] +

−𝜋12√32

4√9 (12)

2

+ 16

[𝑐𝑚

𝑠]

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡|𝜃=60∘

=−𝜋√3

8[𝑐𝑚

𝑠] +

−𝜋√219

584[𝑐𝑚

𝑠]

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡|𝜃=60∘

≈ −0.76 [𝑐𝑚

𝑠]

El signo negativo significa que la distancia va disminuyendo, tal cual como

lo muestra la siguiente secuencia:

Cuando 0∘ < 𝜃 < 180∘ la distancia disminuye, por lo tanto, la velocidad

es negativa.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


232

c. Calcule 𝑑𝐷

𝑑𝑡 cuando 𝜃 = 220∘, interprete el resultado y

compárelo con el anterior.

Solución

Si evaluamos la derivada en 𝜃 = 60∘, nos queda:

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡|𝜃=220∘

=−𝜋sen(220∘)

4[𝑐𝑚

𝑠]

+−𝜋 cos(220∘) sen(220∘)

4√9 cos2(220∘) + 16[𝑐𝑚

𝑠]

En este caso ni sen(220∘), ni cos(220∘) son ángulos notables, por lo que

los calcularemos directamente con la calculadora quedándonos:

𝑑𝐷(𝜃)

𝑑𝑡|𝜃=140∘

= 0.504 [𝑐𝑚

𝑠] + 0.239 [

𝑐𝑚

𝑠] = 0.743 [

𝑐𝑚

𝑠]

En este caso el resultado es positivo porque la distancia va creciendo. En

términos de magnitud es similar a la obtenida cuando 𝜃 = 60∘.

6. En páginas anteriores resolvimos el siguiente problema:

Un poblado (punto A) está a 12 𝑘𝑚 desde el punto B, tal como lo

muestra la siguiente figura:

Si una persona puede remar a una velocidad de 2 𝑘𝑚/ℎ𝑟 y caminar a una

velocidad de 5 𝑘𝑚/ℎ𝑟, el tiempo 𝑇 que tarda para ir desde el poblado

hasta la isla, dependiendo de la distancia 𝑥 (distancia que va desde B hasta

el punto donde comienza a remar en el bote) está dada por:

𝑇(𝑥) =√𝑥2 + 4[𝑘𝑚2]

2[ℎ𝑟

𝑘𝑚] +

12[𝑘𝑚] − 𝑥

5[ℎ𝑟

𝑘𝑚]

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


233

Observemos la secuencia de imágenes que muestra distintos puntos

donde podría comenzar a remar:

En el problema de la sección anterior, se pidió graficar y calcular la

derivada, obteniéndose:

𝑇′(𝑥) =𝑥

2√(𝑥2 + 4)−1

5

Ahora utilice esta información para determinar el punto mínimo de la

función 𝑇e interprete el resultado anterior en términos del problema.

Solución

En el punto mínimo de la función 𝑇, la pendiente de la recta tangente es

cero. Como la pendiente de la recta tangente es cero, tenemos que resolver

la ecuación 𝑇′(𝑥) = 0

Como

𝑇′(𝑥) =𝑥

2√(𝑥2 + 4)−1

5

Al reemplazar, la ecuación nos queda:

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


234

𝑥

2√(𝑥2 + 4)−1

5= 0 /+

1

5

𝑥

2√(𝑥2 + 4)=1

5 /∙ 2√(𝑥2 + 4)

𝑥

2√(𝑥2 + 4)=1

5 /∙ 2√(𝑥2 + 4)

5𝑥 = 2√(𝑥2 + 4) /∙ ( )2

25𝑥2 = 4(𝑥2 + 4)

25𝑥2 = 4𝑥2 + 16 /−4𝑥2

21𝑥2 = 16 /∙1

21

𝑥2 =16

21 /√

𝑥 = ±4

√21

𝑥 ≈ ±0.87

Como tenemos la restricción 𝑥 ≥ 0, sólo es válida la solución positiva.

Por el gráfico, podemos observar que el valor mínimo se obtiene cuando

𝑥 =4

√21, para calcular el valor de 𝑦 reemplazamos este valor en la función

y obtenemos:

𝑇 (4

√21[𝑘𝑚]) =

√(4

√21[𝑘𝑚])

2

+ 4[𝑘𝑚2]

2[ℎ𝑟

𝑘𝑚]

+

12[𝑘𝑚] −4

√21[𝑘𝑚]

5[ℎ𝑟

𝑘𝑚]

Luego

𝑇 (4

√21[𝑘𝑚]) =

√21 + 12

5[ℎ𝑟] ≈ 3.33[ℎ𝑟]

Por lo tanto, el mínimo está en el punto (4

√21[𝑘𝑚],

√21+12

5[ℎ𝑟]) ≈

(0.87[𝑘𝑚], 3.33[ℎ𝑟])

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


235

En términos del contexto, El trayecto donde utiliza el menor tiempo en

trasladarse desde el poblado hasta la isla es caminando aproximadamente

11.3 kilómetros por la costa y en este punto tomando el bote para llegar a

la isla en aproximadamente 3.33 horas.

Ejemplo (optimización)

Se tiene una plancha de metal de 6[𝑚] × 6[𝑚]. En cada esquina se quiere

cortar un cuadrado para formar una caja sin tapa, tal como se muestra en

la secuencia de figuras:

a. Establezca un modelo matemático para determinar el volumen en

función del tamaño de uno de los lados del cuadrado.

Solución

El tamaño de uno de los lados es variable, por lo cual lo denominaremos

𝑥. Entonces, la caja tiene las siguientes medidas:

Sabemos que el volumen de una caja está dado por:

𝑉 = 𝑎𝑙𝑡𝑜 ∙ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∙ 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


236

Al reemplazar en términos de 𝑥 obtenemos:

𝑉(𝑥) = 𝑥(6[𝑚] − 2𝑥)(6[𝑚] − 2𝑥)

b. Determine el tamaño del cuadrado que se corta en cada esquina, de

tal forma que el volumen sea máximo.

Solución

El problema pide maximizar el volumen. Como tenemos un modelo para

calcular el volumen- en términos del tamaño de los lados del cuadrado que

se corta en cada esquina- entonces tenemos que buscar el máximo de esta

función. Para resolver el problema aplicaremos el test de la primera y

segunda derivada.

Para aplicar la primera derivada, derivaremos la función 𝑉(𝑥) =

𝑥(6 − 2𝑥)(6 − 2𝑥) (observe que se obviaron las unidades para

simplificar el proceso de derivación) y resolveremos la ecuación asociada al

igualar a cero la derivada obtenida:

Para derivar 𝑉(𝑥) = 𝑥(6 − 2𝑥)(6 − 2𝑥) primero desarrollaremos las

multiplicaciones para que nos quede como una suma de expresiones

polinomiales:

𝑉(𝑥) = 4𝑥3 − 24𝑥2 + 36𝑥

Luego

𝑑𝑉(𝑥)

𝑑𝑥= 12𝑥2 − 48𝑥 + 36

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


237

Luego, los posibles máximos y/o mínimos los obtendremos igualando

a cero la derivada y resolviendo la ecuación asociada:

12𝑥2 − 48𝑥 + 36 = 0

Aplicando la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado

obtenemos:

𝑥 =−(−48) ± √(−48)2 − 4 ∙ 12 ∙ 36

2 ∙ 12

𝑥 =48 ± √576

24

𝑥 =48 ± 24

24

𝑥 = {

48 + 24

24= 3

48 − 24

24= 1

Por lo tanto, las dos soluciones de la ecuación son 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3.

Estos dos valores son los posibles máximos o mínimos. Para saber cuál es

máximo y/o mínimo lo haremos mediante el test de la segunda derivada,

el cual consiste en calcular la segunda derivada de la función 𝑉 y evaluarla

en los candidatos a máximos y/o mínimos obtenidos anteriormente. Si al

evaluar la segunda derivada en el punto crítico de la primera derivada es

positivo, entonces el punto es mínimo; en cambio, si es negativo, entonces

el punto es un máximo.

Luego

𝑑2𝑉(𝑥)

𝑑𝑥2= 24𝑥 − 48

De la parte anterior obtuvimos que los puntos críticos de la derivada son

𝑥 = 1 y 𝑥 = 3. Si evaluamos estos valores en la segunda nos queda:

- 𝑑2𝑉(1)

𝑑𝑥2= 24 ∙ 1 − 48 = −24 < 0 por lo tanto 𝑥 = 1 es un

máximo.

- 𝑑2𝑉(3)

𝑑𝑥2= 24 ∙ 3 − 48 = 24 > 0 por lo tanto 𝑥 = 3 es un

mínimo.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


238

Por lo tanto, si se corta un cuadrado de 1[𝑚] × 1[𝑚] a cada lado se

obtiene una caja sin tapa con el máximo volumen posible.

c. Determine el volumen máximo que se puede obtener, escriba este

volumen en litros.

Si el volumen máximo se obtiene cuando 𝑥 = 1[𝑚]; entonces, el volumen

de la caja está dado por:

4 [𝑚] × 4 [𝑚] × 1 [𝑚] = 16[𝑚3] = 16.000.000[𝑐𝑚3] = 16.000[𝑙𝑡]

Ejercicios

1. Utilice la gráfica que se muestra a continuación de la función 𝑓para

identificar o trazar las siguientes cantidades u objetos matemáticos:

a. 𝑓(1)

b. 𝑓(4)

c. 𝑓(4) − 𝑓(1)

d. 𝑦 =𝑓(4)−𝑓(1)

4−1(𝑥 − 1) + 𝑓(1)

2. En los siguientes ejercicios encontrar la pendiente de la recta

tangente a la gráfica de la función en el punto dado, y use Geogebra para

observar resultados:

a. 𝑓(𝑥) = 3 − 2𝑥, (−1,5)

b. 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4, (1,−3)

c. 𝑓(𝑡) = 3𝑡 − 𝑡2, (0,0)

3. En los siguientes ejercicios i) encontrar la ecuación de la recta

tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto indicado, ii) utilizar GeoGebra para

dibujar la gráfica de la función y su recta tangente en dicho punto:

a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, (2,5)

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


239

b. 𝑓(𝑥) = 𝑥3, (2,8)

c. 𝑓(𝑥) = √𝑥 , (1,1)

d. 𝑓(𝑥) = 𝑥 +4

𝑥 , (4,5)

4. En los siguientes ejercicios encontrar la pendiente de la recta

tangente a la gráfica en el valor de 𝑥 indicado.

a. 𝑓(𝑥) =3

𝑥2 en 𝑥 = −1.

b. 𝑔(𝑥) = −2𝑒𝑥 + 1 en 𝑥 = 0.

c. ℎ(𝑡) = ln(𝑥) − 𝑥 en 𝑥 = 2.

d. 𝑓(𝑥) = 2cos(𝑥) ⋅ sen(𝑥) en 𝑥 = 𝜋.

5. En los siguientes ejercicios calcula la derivada de la función:

a. 𝑦 = (2𝑥 − 7)3

b. 𝑔(𝑥) = 3(4 − 9𝑥)4

c. 𝑓(𝑡) = √1 − 𝑡

d. 𝑦 = √9𝑥2 + 43

e. 𝑦 = 2√4 − 𝑥24

f. 𝑦 =1

𝑥−2

g. 𝑓(𝑡) = (1

𝑡−3)2

h. 𝑦 =1

√𝑥+2

6. En los siguientes ejercicios calcula la derivada de la función:

a. 𝑦 = cos (3𝑥)

b. 𝑔(𝑥) = 3tan (4𝑥)

c. 𝑦 = sen(𝜋𝑥)2

d. ℎ(𝑥) = sen(2𝑥)cos (2𝑥)

e. 𝑓(𝑥) =cot(𝑥)

sen(𝑥)

f. 𝑦 = 4sec 2(𝑥)

g. 𝑓(𝜃) = sen2(2𝜃)

h. 𝑓(𝑡) = 3sec2(𝜋𝑡 − 1)

7. En los siguientes ejercicios, calcular la pendiente de la recta

tangente a la gráfica en el punto propuesto:

a. Bruja de Agnesi: (𝑥2 + 4)𝑦 = 8 en 𝑃 = (2,1)

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


240

b. Bifolio:(𝑥2 + 𝑦2)2 = 4𝑥2𝑦 en 𝑃 = (1,1)

c. Parábola horizontal: (𝑦 − 2)2 = 4(𝑥 − 3) en 𝑃 = (4,0)

8. En los siguientes ejercicios encontrar lo pedido, suponiendo que 𝑥

e 𝑦 son funciones derivables de 𝑡 y utilizando la información dada:

a. Si 𝑦 = √𝑥 encontrar:

i. 𝑑𝑦

𝑑𝑡 cuando 𝑥 = 4 y

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 3

ii. 𝑑𝑥


𝑑𝑦

𝑑𝑡= 2

b. Si 𝑥𝑦 = 4 encontrar:

i. 𝑑𝑦


𝑑𝑥

𝑑𝑡= 10

ii. 𝑑𝑥


𝑑𝑦

𝑑𝑡= −6

9. (Área) El radio 𝑟 de un círculo está creciendo a razón de 3

centímetros por minuto.

Calcular la tasa de cambio del área cuando:

a. 𝑟 = 6 [𝑐𝑚]

b. 𝑟 = 24 [𝑐𝑚]

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


241

10. (Área) En un triángulo isósceles con dos lados iguales de

longitud 𝑠, el ángulo entre ellos es 𝜃.

a. Verificar que el área de un triángulo se obtiene mediante la

función

𝐴 =1

2𝑠2sen(𝜃)

b. Si 𝜃 está creciendo a razón de 1

2 radián por minuto,

encontrar la tasa de cambio del área cuando 𝜃 = 𝜋/6 y cuando 𝜃 = 𝜋/3

c. Explicar el que la tasa de cambio del área del triángulo no

es constante, a pesar de que 𝑑𝜃/𝑑𝑡 es constante.

11. (Volumen) Se infla un globo esférico con gas a razón de 800

centímetros cúbicos por minuto. ¿A qué ritmo está aumentando su radio

en el momento en que

a. el radio es de 30 centímetros.

b. el radio es de 60 centímetros.

12. Encontrar dos números positivos que sumen 𝑆 y cuyo producto

sea máximo.

13. Encontrar dos números positivos cuyo producto sea 192 y donde

la suma del primero más tres veces el segundo sea mínimo.

14. Encontrar dos números positivo donde la suma del primero y el

doble del segundo es 100 y el producto es máximo.

15. Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que un perímetro

de 100 centímetros y cuya área es máxima.

16. Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene un área

de 64 centímetros cuadrados y cuyo perímetro es mínimo.

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


242

17. En una reacción química autocatalítica, el producto formado es

un catalizador para reacción. Si 𝑄0 es la cantidad de sustacia original y 𝑥 es

la cantidad de catalizador formado, y 𝑘 es una constante positiva que

depende de la sustancia, entonces el ritmo o velocidad de reacción química

es:

𝑑𝑄

𝑑𝑥= 𝑘𝑥(𝑄0 − 𝑥)

¿Para qué valor de 𝑥 la velocidad de la reacción química será la mayor?

DERIVADAS DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


243

MTCL01

UNIDAD 4

INTEGRALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE


Determina la integral indefinida de una función propuesta mediante la definición de primitiva o antiderivada.


Identifica la primitiva de una función mediante la derivada.

Obtiene la integral de una función mediante la definición de antiderivada.

Realiza el cálculo de integrales indefinidas en funciones elementales de una variable, descomponiendo en integrales más simples.


Resuelve problemas contextualizados a variadas disciplinas mediante la utilización de métodos de integración.


Utiliza reglas de integración en el cálculo de integrales de funciones polinómicas.

Determina la integral de funciones trigonométricas, exponencial y logarítmica, mediante teoremas.

Realiza ejercicios y problemas de integrales mediante el uso de variable auxiliar.

Calcula integrales de funciones compuestas mediante método de integración por partes.

Resuelve integrales de funciones racionales mediante el método de fracciones parciales. APRENDIZAJE ESPERADO

Resuelve problemas contextualizados a la especialidad que involucren el cálculo de áreas mediante técnicas de integración.


244


Calcula integrales definidas de funciones de valor real en una variable.

Determina el valor del área de la región limitada bajo la curva de un modelo funcional y el eje de las abscisas, mediante la integral definida.

Aplica la integral definida en la resolución de problemas, que involucran el cálculo de áreas de regiones limitadas por modelamiento de funciones y sus puntos de intersección.


245

Introducción

Ejemplo inicial

Suponga que tiene un estanque vacío, de gran capacidad, en el cuál

ingresan 10 litros de agua por minuto, a partir de un determinado tiempo

𝑡𝑜, y usted desea saber cuánta agua se acumula en el estanque, digamos

𝐹(𝑡) es la cantidad de agua en el tiempo 𝑡. Para esto simplemente medirá

la cantidad de agua inicial 𝐹(𝑡𝑜) y agregará lo acumulado, es decir:

𝐹(𝑡) = 10(𝑡 − 𝑡o) + 𝐹(to)

O equivalentemente,

𝐹(𝑡) = 10𝑡 + 𝑐 donde 𝑐 = 𝐹(to) − 10to es constante

Es claro que la cantidad de agua que entra es la variación de agua en el

tiempo, el flujo en este caso, y por lo tanto es la derivada de la cantidad

total de agua en ese instante, es decir, 𝐹′(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡(10𝑡 + 𝑐) = 10.

Observamos que en este caso la acumulación de la variación de agua es la

cantidad de agua. Pareciera ser que al acumular una derivada, es decir

calcular las sumas de 𝐹′(𝑡) (𝑡 − 𝑡0), estamos haciendo el proceso inverso

de la derivada. En este caso teníamos que 𝐹′(𝑡) era constante, veamos qué

pasa cuando varía.

Suponga ahora que la cantidad de agua que entra no es constante y está

dada por 𝐹′(𝑡) en cada instante. Sabemos que la variación de agua,

𝐹′(𝑡),es el flujo o la cantidad de agua que ingresa en el tiempo 𝑡. Dado un

intervalo [𝑡𝑜 , 𝑝] , vemos que es difícil calcular la acumulación, ya que

habría que considerar cada instante entre 𝑡𝑜 y 𝑝, es decir, infinitos valores.

Pero si suponemos que 𝐹′ es continua y un intervalo lo suficientemente

pequeño [𝑡𝑜 , 𝑡1], es decir 𝑡1 − 𝑡0 es un valor muy pequeño, la imagen en

ese intervalo no variará mucho y podremos aproximar lo acumulado por

𝐹′(𝑐1) (𝑡1 − 𝑡0) (un valor cercano al que toma la función en ese intervalo

por la cantidad de tiempo), con 𝑐1 ∈ [𝑡1 − 𝑡𝑜].

Luego, si dividimos el intervalo [𝑡𝑜 , 𝑝] en 𝑛 subintervalos [𝑡𝑜 , 𝑡1], [𝑡1, 𝑡2],

[𝑡2, 𝑡3],..., [𝑡𝑛−1, 𝑎], con 𝑡𝑜 < 𝑡1 < 𝑡2 <. . . < 𝑡𝑛−1 < 𝑝, la acumulación

de agua puede ser aproximada por la siguiente suma:

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


246

𝐹(𝑝) − 𝐹(𝑡0) ≈ 𝐹′(𝑐1)(𝑡1 − 𝑡𝑜) + 𝐹

′ (𝑐2)(𝑡2 − 𝑡1) + ⋯

+ 𝐹′(𝑐𝑛)(𝑝 − 𝑡𝑛−1)

Con 𝑡0 < 𝑡1 < 𝑡2 < 𝑡3 < ⋯ < 𝑡𝑛−1 < 𝑡𝑛 = 𝑝 y 𝑐𝑖 ∈ [𝑡𝑖−1, 𝑡𝑖].

Luego, si tomamos el límite cuando tenemos infinitos subintervalos, es

decir cuando n tiende a infinito, tendremos la igualdad:

𝑓(𝑝) − 𝑓(𝑡𝑜) = lim𝑛→∞

(𝑓′(𝑐1)(𝑡1 − 𝑡𝑜) + 𝑓

′ (𝑐2)(𝑡2 − 𝑡1) + ⋯

+𝑓′(𝑐𝑛)(𝑝 − 𝑡𝑛−1))

Lo que permite medir la cantidad de agua acumulada en ese lapso si se

conociera el flujo 𝐹′(𝑡), es decir, es límite mide la acumulación de 𝐹′(𝑡)

en el intervalo [𝑡0, 𝑝]. Esa acumulación será la integral de 𝐹′(𝑡) en el

intervalo.

Definición

Una función 𝑓 es integrable en un intervalo [𝑎, 𝑏]si el siguiente límite

existe:

lim𝑛→∞

𝑓(𝑐1)(𝑡1 − 𝑡𝑜) + 𝑓(𝑐2)(𝑡2 − 𝑡1) + ⋯+ 𝑓(𝑐𝑛)(𝑏 − 𝑡𝑛−1)

Donde 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 y 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖].

Si ese límite converge, lo llamaremos como la integral definida de 𝑓(𝑡) y

lo escribiremos como ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎.

Teorema

Toda función continua en un intervalo [𝑎, 𝑏] es integrable en [𝑎, 𝑏]

Si bien la definición de integral es muy útil, porque permite entender que la

integral es una medida de acumulación de una función y se basa en límites,

que ya conocemos, el problema es que calcular una integral de ese modo

es laborioso para funciones que no sean del todo simples. Pero hay otra

forma, que ya se notó en el ejemplo inicial, y es que se cumplirá:

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


247

Teorema

Para toda función derivable 𝐹(𝑥) en un intervalo [𝑎, 𝑏] se cumple

∫ 𝐹′(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)𝑏

𝑎

Por lo tanto, para calcular ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎 basta encontrar una función 𝐹(𝑥)

que cumpla 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Definición

Si 𝐹(𝑥) es una función tal que 𝐹’(𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥, diremos que

𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥).

Es usual referirse a la primitiva de una función como su antiderivada, ya

que es el proceso inverso de derivar.

Observación

Notemos que si 𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥), entonces 𝐹(𝑥) + 𝑐, con 𝑐

cualquier constante, también lo es. Basta ver que (𝐹(𝑥) + 𝑐)′ = 𝐹′(𝑥) +

0 = 𝑓(𝑥), por lo tanto si una función tiene primitiva, estas son infinitas

(una por cada valor de 𝑐 ∈ ℝ).

Ejemplo

Una primitiva de 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 es 𝐹(𝑥) =2𝑥3

3 ya que 𝐹′(𝑥) = 2𝑥2

Teorema

Si 𝐹 y 𝐺 son dos primitivas de 𝑓, entonces existe una constante 𝑐 ∈ ℝ tal

que:

𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) = 𝑐

Demostración

Definimos ℎ(𝑥) = 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥), vemos que para todo 𝑥 se cumple

ℎ’(𝑥) = 𝐹’(𝑥) − 𝐺’(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥) = 0

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


248

Por lo tanto, por el Teorema del Valor Medio, la función ℎ(𝑥) debe ser

constante, de otro modo habría una pendiente entre algún par de puntos

que no valga cero, y por tanto, una derivada que no valga cero. Luego

ℎ(𝑥) = 𝑐 con 𝑐 ∈ ℝ, es decir 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) = 𝑐.

Este resultado es importante ya que nos dice que encontrar el conjunto de

primitivas de una función se reduce a encontrar una primitiva de la

función, porque el resto de las primitivas difiere sólo en la constante. Es

decir, si 𝐹 es primitiva de 𝑓, entonces el conjunto de sus primitivas está

dado por:

{𝐹(𝑥) + 𝑐 ∶ 𝑐 ∈ ℝ}

Ejemplo

∫ 2𝑥2𝑑𝑥4

1

=2(4)3

3−2 ⋅ (1)3

3= 42

considerando que ya vimos que 2𝑥3

3es una primitiva de 2𝑥2.

Pero salvo en los casos más simples, buscar primitivas no es trivial.

Como notamos al derivar funciones, una derivada puede ser más

complicada que la función original, por ejemplo al derivar productos nos

quedaba la suma de la derivada de una función por la otra función y

viceversa, o también al derivar una composición, en que aparece un

producto.

Por ello, la búsqueda de primitivas tiene sus métodos y nomenclaturas

propias, a fin de facilitar la búsqueda de primitivas y, por tanto, facilitar el

cálculo de integrales definidas.

Integral indefinida

Sean 𝑓 una función continua y 𝐹 una primitiva de esta, es decir 𝐹’(𝑥) =

𝑓(𝑥). Definimos la integral indefinida de f como:

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


249

Donde 𝐹(𝑥) + 𝑐, bajo un abuso de notación, representa el conjunto de

primitivas de 𝑓(𝑥), es decir,

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = {𝐹(𝑥) + 𝑐 ∶ 𝑐 ∈ ℝ}

Ejemplo

1) Como (𝑥3

3+ 𝑐)

′

= 𝑥2, entonces ∫𝑥2𝑑𝑥 =𝑥3

3+ 𝑐

2) Como (√𝑥 + 𝑐)′=

1

2√𝑥 , entonces ∫

1

2√𝑥𝑑𝑥 = √𝑥 + 𝑐

Observación

Es claro que para comprobar que una integral indefinida esté correcta

basta con derivar el lado derecho y ver que es igual a la función que se está

integrando.

Ejemplos

1. Si 𝑘 es constante, entonces ∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐, porque (𝑘𝑥)′ = 𝑘

2. ∫(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑑𝑥 = 𝑎𝑥2

2+ 𝑏𝑥 + 𝑐, porque (𝑎

𝑥2

2+ 𝑏𝑥)

′

= 𝑎𝑥 + 𝑏

3. ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = sen(𝑥) + 𝑐, porque (sen(𝑥))′= cos (𝑥)

4. ∫ sen(𝑥) 𝑑𝑥 = −cos(𝑥) + 𝑐, porque (−cos(𝑥))′= sen(𝑥)

5. ∫1

𝑥𝑑𝑥 = ln(|𝑥|) + 𝑐, porque (ln(𝑥))

′=

1

𝑥

6. ∫ ℯx𝑑𝑥 = ℯx + 𝑐, porque (ℯx)′ = ℯx

Teorema

La integral es lineal, es decir:

1) ∫𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

2) ∫𝜆𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜆 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 con 𝜆 constante

Demostración:

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


250

1) Sean 𝐹 una primitiva de 𝑓 y 𝐺 una primitiva de 𝑔.

Luego∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥) + 𝑐 , además 𝐹 + 𝐺 es

primitiva de 𝑓 + 𝑔 ya que (𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥))’ = 𝐹’(𝑥) + 𝐺’(𝑥) = 𝑓(𝑥) +

𝑔(𝑥), por linealidad de la derivada, por lo tanto ∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 =

𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥) + 𝑐. Finalmente:

∫𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

2) Si F es primitiva de f, entonces 𝜆𝐹 es primitiva de 𝜆𝑓 ya que

(𝜆𝐹)′(𝑥) = 𝜆𝐹′(𝑥) = 𝜆𝑓(𝑥). Por lo tanto:

∫𝜆𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜆𝐹(𝑥) + 𝑐 = 𝜆∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Ejemplo:

∫(𝑥 + 2)2𝑑𝑥 = ∫(𝑥2 + 4𝑥 + 4)𝑑𝑥

= ∫𝑥2𝑑𝑥 + ∫4𝑥 𝑑𝑥 + ∫4𝑑𝑥

= ∫𝑥2𝑑𝑥 + 4∫𝑥 𝑑𝑥 + ∫4𝑑𝑥

=𝑥3

3+ 4

𝑥2

2+ 4𝑥 + 𝑐

=𝑥3

3+ 2𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐

Notar que cada integral contiene una constante que recorre ℝ:

∫𝑥2𝑑𝑥 =𝑥3

3+ 𝑐1

∫4𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥2 + 𝑐2

∫4𝑑𝑥 = 4𝑥 + 𝑐3

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


251

Sin embargo la suma de estas constantes se puede escribir como otra

constante 𝑐 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 que también recorre todo ℝ, por eso en una

suma de integrales se anota una sola constante.

Teorema

∫𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝑐 , para todo 𝑛 ∈ ℝ distinto de −1

Demostración:

Basta ver que 𝑥𝑛+1

𝑛+1 es primitiva de 𝑥𝑛, porque (

𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝑐)

′

=

(𝑛 + 1)𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 0 = 𝑥𝑛+1.

Ejemplos

1) ∫(𝑥4 + 𝑥2 +1

𝑥2)𝑑𝑥 = ∫𝑥4𝑑𝑥 +∫𝑥2𝑑𝑥 +∫𝑥−2𝑑𝑥

= 𝑥5

5+𝑥3

3−𝑥−1

1 +c

2) ∫(𝑥 + 3)3𝑑𝑥 = ∫(𝑥3 + 3𝑥2 + 27𝑥 +27)𝑑𝑥

= ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 + 3∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + 27 ∫𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 27𝑑𝑥

= 𝑥4

4+ 3

𝑥3

3+ 27

𝑥2

2+ 27𝑥 + 𝑐

= 𝑥4

4+ 𝑥3 + 27

𝑥2

2+ 27𝑥 + 𝑐

3) Encuentre

∫(√𝑥3

−1

𝑥)2

𝑑𝑥

Para resolver escribimos cada raíz como una potencia, y resolvemos el

cuadrado de binomio

∫(𝑥13 −

1

𝑥)2

𝑑𝑥 = ∫(𝑥23 −

2𝑥13

𝑥+1

𝑥2)𝑑𝑥

Reescribiendo:

∫(𝑥13 −

1

𝑥)2

𝑑𝑥 = ∫(𝑥23 − 2𝑥

.

−23 + 𝑥−2)𝑑𝑥

Luego por linealidad de la integral:

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


252

∫(𝑥13 −

1

𝑥)2

𝑑𝑥 = ∫𝑥23𝑑𝑥 − 2∫𝑥

.

−23𝑑𝑥 + ∫𝑥−2𝑑𝑥

Finalmente aplicamos la integral directa:

- ∫𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝑐, con 𝑐 constante y 𝑛 ≠ −1

∫(𝑥13 −

1

𝑥)2

𝑑𝑥 =𝑥53

53

−2𝑥

13

13

+𝑥−1

−1+ 𝑐

Que es equivalente a:

∫(𝑥13 −

1

𝑥)2

𝑑𝑥 =3

5𝑥53 − 6𝑥

13 −

1

𝑥+ 𝑐.

Ejercicios

1. Encuentra las siguientes integrales indefinidas:

a. ∫ 3𝑥2 + 4𝑥 − 7 𝑑𝑥

b. ∫1

𝑥+ 4𝑑𝑥

c. ∫ (sen(𝑥) + 𝑥)𝑑𝑥

d. ∫ 2sen(𝑥) + 4 cos(𝑥) 𝑑𝑥

e. ∫ 3𝑒𝑥 + 𝑥−3

4 + 7𝑑𝑥

2. Encuentre las primitivas de las siguientes funciones:

a. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 7𝑒𝑥

b. 𝑓(𝑥) = cos(𝑥)

c. 𝑓(𝑥) =1

𝑥13

d. 𝑓(𝑥) =3

𝑥2−

4

𝑥+ 𝑒𝑥

e. 𝑓(𝑥) =2

𝑥+ 3

f. 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)2

g. 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)3

h. 𝑓(𝑥) = 5

i. 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 2𝑥

j. 𝑓(𝑡) = sen(𝑡) − 1

k. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − cos(𝑥) + 3

l. 𝑓(𝑥) = 3𝑥7 − 2𝑥3 + 10

m. 𝑓(𝑥) = √𝑥 −1

𝑥

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


253

Integrales de inversas trigonométricas

Hemos encontrado las primitivas de polinomios, la función exponencial, el

logaritmo. Además hemos visto que seno, coseno y tangente son

primitivas de otras funciones. Ahora veremos que las inversas de las

funciones trigonométricas también son primitivas para otras funciones;

para esto basta encontrar la derivada de cada inversa trigonométrica.

Ejemplo

La función inversa de seno es Arcsen(𝑥), es decir, 𝑦 = Arcsen(𝑥) debe

implicar sen(𝑦) = 𝑥, es decir, Arcsen(𝑥) entrega el ángulo (en radianes)

al que, al aplicarle seno, entrega 𝑥. Pero como la función seno es periódica,

repitiéndose sus valores al avanzar 2𝜋, el valor de 𝑦 debe limitarse, y las

imágenes de Arcsen se encuentran en el intervalo [−𝜋

2,𝜋

2], que es

entonces el recorrido de Arcsen. Por otra parte, como el recorrido de

seno es [−1,1], ése intervalo debe ser el dominio de Arcsen.

El que sean funciones inversas una de la otra nos da la identidad

sen(Arcsen(𝑥)) = 𝑥 para cada 𝑥 ∈ [−1,1].

Derivando esta igualdad y ocupando la regla de la cadena:

cos(Arcsen(𝑥)) ⋅ Arcsen′ (𝑥) = 1

Luego si cos(Arcsen(𝑥)) ≠ 0 , es decir, 𝑥 ≠ 1 y 𝑥 ≠ −1, se tiene que:

Arcsen′(𝑥) = 1

cos(Arcsen(𝑥))

Pero Arcsen(𝑥) 𝜖 ]−𝜋

2,𝜋

2[ porque 𝑥 ≠ 1 y 𝑥 ≠ −1, y entonces

cos(Arcsen(𝑥)) > 0. De la identidad sen2(𝛼)+cos2(𝛼) = 1 se tiene

que

cos(Arcsen(𝑥)) = √1 − sen(Arcsen(𝑥))2

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


254

y entonces, para todo 𝑥 ∈ ]−1,1[ se tiene

Arcsen′(𝑥) = 1

√1 − sen(Arcsen(𝑥))2=

1

√1 − 𝑥2

Pero si conocemos la derivada de una función, vistas al revés, tenemos

∫1

√1 − 𝑥2𝑑𝑥 = Arcsen(𝑥) + 𝑐

Podemos ocupar el mismo procedimiento para encontrar las derivadas de

las inversas de coseno y de tangente. Resumiendo:

Teorema

1. Se cumple

∫1

√1 − 𝑥2𝑑𝑥 = Arcsen(𝑥) + 𝑐

donde Arcsen es la función inversa de seno. Arcsen tiene dominio

[−1,1], recorrido [−𝜋

2,𝜋

2], se cumple sen(Arcsen(𝑥)) = 𝑥, y para 𝑥 ∈

]−1,1[

Arcsen′(𝑥) =1

√1 − 𝑥2

2. Se cumple

∫−1

√1 − 𝑥2𝑑𝑥 = Arccos(𝑥) + 𝑐

donde Arccos es la función inversa de coseno. Arccos tiene dominio

[−1,1], recorrido [0, 𝜋], se cumple cos(Arccos(𝑥)) = 𝑥, y para 𝑥 ∈

]−1,1[

Arccos′(𝑥) =−1

√1 − 𝑥2

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


255

3. Se cumple

∫1

1 + 𝑥2𝑑𝑥 = Arctg(𝑥) + 𝑐

donde Arctan es la función inversa de tangente. Arctan tiene dominio ℝ,

recorrido ]−𝜋

2,𝜋

2[, se cumple tan(Arctan(𝑥)) = 𝑥, y para 𝑥 ∈ ℝ

Arctan′(𝑥) =1

1 + 𝑥2

Ejercicio

Verifique que para todo 𝑎 ∈ ℝ distinto de 0 se cumplen

∫1

√𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 =

1

𝑎⋅ Arcsen (

𝑥

𝑎) + 𝑐,

∫1

𝑎2 + 𝑥2𝑑𝑥 =

1

𝑎⋅ Arctan (

𝑥

𝑎) + 𝑐.,

Métodos de Integración

Los métodos de sustitución permiten encontrar primitivas de muchas

funciones que no son directas como las anteriores.

Sustitución

Hay propiedades de la derivada que tienen un análogo integral, por

ejemplo tomemos la Regla de la Cadena: (𝑓(𝑔(𝑥)))′

= 𝑓′(𝑔(𝑥)) ⋅

𝑔′(𝑥) . Por ello 𝑓(𝑔(𝑥)) es una primitiva de 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) , por lo

tanto podemos afirmar:

∫𝑓′(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) + 𝑐.

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


256

Teorema (Método de Sustitución)

Sea F primitiva de f y g derivable, entonces:

∫𝑓(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝑐.

Es común tener que ocupar el método de sustitución, y otros, más de una

vez al calcular integrales. Por lo que es más cómodo ocupar la siguiente

notación:

Teorema (Método de Sustitución)

El mismo método se puede escribir ocupando el cambio de variable: 𝑢 =

𝑔(𝑥). Esto implica que un pequeño cambio en u será un pequeño cambio

en g, lo que se simboliza 𝑑𝑢 = 𝑔’(𝑥)𝑑𝑥. Luego:

∫𝑓(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝑐 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝑐

Al hacer una sustitución el objetivo es que, al integrar una función que

tiene una composición, con la sustitución por la nueva variable se “limpie”

la integral, quedando más simple. Pero es obligatorio volver a la variable

original, ya que la variable intermedia es invento nuestro.

Ejemplos:

1. Para calcular ∫ cos(𝑥2 + 5) ⋅ 𝑥 𝑑𝑥, hacemos el cambio de variable

𝑢 = 𝑥2 + 5, de modo que 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥, o mejor, 𝑑𝑢

2= 𝑥 𝑑𝑥.

Luego,

∫cos(𝑥2 + 5) ⋅ 𝑥 𝑑𝑥 =1

2∫cos(𝑢) 𝑑𝑢

=1

2sen(𝑢) + 𝑐 =

𝑠𝑒𝑛(𝑥2 + 5)

2+ 𝑐

2. Para calcular ∫ tan(𝑥)𝑑𝑥 , se tiene

∫tan(𝑥)𝑑𝑥 = ∫sen(𝑥)

cos (𝑥)𝑑𝑥

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


257

Si hacemos el cambio de variable 𝑢 = cos (𝑥) tenemos que 𝑑𝑢 =

−sen(𝑥)𝑑𝑥 y por lo tanto sen(𝑥)

𝑐𝑜𝑠 (𝑥)𝑑𝑥 =

−𝑑𝑢

𝑢 , entonces:

∫tan(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−1

u𝑑𝑢

= −∫1

𝑢𝑑𝑢

= − ln(|𝑢|) + 𝑐

= − ln(|cos(𝑥) |) + 𝑐

Otro aspecto importante es no mezclar las variables cuando se realiza la

sustitución, ya que se produce una ambigüedad respecto a la variable. Por

ejemplo, en el ejercicio anterior, la siguiente igualdad es incorrecta:

∫tan(𝑥)𝑑𝑥 = ∫−1

cos (𝑥)𝑑𝑢

Nunca se deben mezclar las variables, incluso si estas se simplifican y al

final el resultado queda en una sola variable.

Ejemplo

Para calcular ∫ sen(3x) dx, ocupamos el cambio de variable 𝑢 = 3𝑥, con

lo cual 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥. Por lo tanto:

∫sen(3x)dx = ∫sen(u)

3du

=−cos (𝑢)

3+ 𝑐 =

−cos (3𝑥)

3+ 𝑐

Ejemplo

Para calcular ∫ cos(𝑥)sen2(𝑥)𝑑𝑥, ocupamos el cambio de variable 𝑢 =

𝑠𝑒𝑛(𝑥) esto implica 𝑑𝑢 = cos(𝑥) 𝑑𝑥, y entonces

∫cos(𝑥)sen2(𝑥)𝑑𝑥 =∫𝑢2𝑑𝑢 =𝑢3

3+ 𝐶 =

sen(𝑥)3

3+ 𝑐

Ejemplo

Para calcular ∫ sen(𝜋𝑥) 𝑑𝑥, ocupamos el cambio de variable 𝑢 = 𝜋𝑥 con

lo cual 𝑑𝑢 = 𝜋𝑑𝑥. Entonces:

∫sen(𝜋𝑥)𝑑𝑥 =1

𝜋∫sen(𝜋𝑥) ⋅ 𝜋 𝑑𝑥 =

1

𝜋∫sen(𝑢) ⋅ 𝑑𝑢

= −1

𝜋cos(𝑢) + 𝑐 = −

1

𝜋cos(𝜋𝑥) + 𝑐

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


258

Ejemplo

Para calcular

∫(5𝑥4 + 3𝑥2 + 1)𝑠𝑒𝑛(𝑥5 + 𝑥3 + 𝑥)𝑑𝑥

ocupamos el cambio de variable 𝑢 = 𝑥5 + 𝑥3 + 𝑥 por lo tanto

𝑑𝑢 = (5𝑥4 + 3𝑥2 + 1)𝑑𝑥

∫(5𝑥4 + 3𝑥2 + 1)𝑠𝑒𝑛(𝑥5 + 𝑥3 + 𝑥)𝑑𝑥 = ∫sen(𝑢)𝑑𝑢

= −cos(𝑢) + 𝑐 = −cos (𝑥5 + 𝑥3 + 𝑥) + 𝑐

Ejemplo

Para calcular

∫3

2𝑥2 + 6𝑑𝑥

Vemos que la fracción se parece a la derivada de Arctan, así que

adecuamos la función:

∫3

2𝑥2 + 6𝑑𝑥 =

1

6∫

3

(𝑥

√3)2

+ 1

𝑑𝑥 =1

2∫

1

(𝑥

√3)2

+ 1

𝑑𝑥

Luego ocupamos la sustitución 𝑢 =𝑥

√3 y tenemos 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥

√3:

1

2∫

1

(𝑥

√3)2

+ 1

𝑑𝑥 =√3

2∫

𝑑𝑢

𝑢2 + 1

=√3

2Arctg(𝑢) + 𝑐 =

√3

2Arctg (

𝑥

√3) + 𝑐

Teorema

Sea f derivable, se tiene que:

∫𝑓′(𝑥)

𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ln(|𝑓(𝑥)|) + 𝑐

La demostración es inmediata usando sustitución 𝑢 = 𝑓(𝑥).

Ejemplos

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


259

1. ∫8𝑥3

(2𝑥4+5)𝑑𝑥 = ln(2𝑥4 + 5) + 𝑐 ya que (2𝑥4 + 5)′ = 8𝑥3

2. ∫1

x⋅ln (𝑥)𝑑𝑥 = ln(ln(𝑥)) + 𝑐 ya que (ln (ln(𝑥)))′ =

1

𝑥⋅ln (𝑥)

3. ∫cos(𝑥)+1

𝑥+𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = ln(𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) + 𝑐 ya que

(𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥))′ = 1 + cos (𝑥)

Ejercicios

Resuelva las siguientes integrales indefinidas:

1. ∫ (𝑥 + 1)√𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥

2. ∫ cos6(𝑥2 + 1)sen(𝑥2 + 1)7𝑥 𝑑𝑥

3. ∫1

1+4𝑥2𝑑𝑥

4. ∫ sen(𝑥)(1 + cos(𝑥))4𝑑𝑥

5. ∫4(3𝑥 + 1)3𝑑𝑥

6. ∫𝑥

𝑥2+1 𝑑𝑥

7. ∫(𝑥 − 1)sen(𝑥2 − 2𝑥 + 5) 𝑑𝑥

8. ∫ cos(𝑥)sen2(𝑥)𝑑𝑥

9. ∫(5𝑥2 + 1)√5𝑥3 + 3𝑥 + 7𝑑𝑥 Integración por partes

Otro método muy útil para resolver integrales es la integración por partes,

la cual proviene de la regla de la derivada del producto. En efecto se tiene

que:

(𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥))′= 𝑓′(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥)

Reescribiendo la igualdad:

𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥) = (𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥))′− 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓′(𝑥)

Si integramos esta expresión, obtenemos:

∫𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 =∫(𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥))′𝑑𝑥 −∫𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥

Pero la primitiva de una derivada de una función es la función misma:

∫𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 =𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥) − ∫𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


260

A este resultado se le conoce como integración por partes y se puede

reescribir si ocupamos el cambio de variable 𝑢 = 𝑓(𝑥) y 𝑣 = 𝑔(𝑥),

tenemos 𝑑𝑢 = 𝑓’(𝑥) 𝑑𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑔’(𝑥) 𝑑𝑥, obteníendose la

Integración por partes:

∫𝑢 ⋅ 𝑑𝑣 =𝑢 ⋅ 𝑣 −∫𝑣 ⋅ 𝑑𝑢

Note que dado un 𝑑𝑣 basta encontrar un 𝑣 sin la constante, es decir un

𝑣 + 𝑐 es redundante.

Ejemplos

1) ∫𝑥 ⋅ sen(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑥 ⋅ cos(𝑥)—∫− cos(𝑥) 𝑑𝑥

= −𝑥 ⋅ cos(𝑥) + sen(𝑥) + 𝑐

(𝑢 = 𝑥 ∴ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = − cos(𝑥))

2) ∫𝑥 ⋅ cos(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ sen(𝑥) − ∫ sen(𝑥)𝑑𝑥

= 𝑥 ⋅ sen(𝑥) + cos(𝑥) + 𝑐

(𝑢 = x ∴ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥))

3) ∫𝑥2 ⋅ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥2sen(x) − ∫ 2x ⋅ sen(x)dx

= 𝑥2sen(x) − 2∫x ⋅ sen(x)dx

(𝑢 = x2 ∴ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥))

Pero ∫ 𝑥 ⋅ sen(𝑥) 𝑑𝑥 = −𝑥 ⋅ cos(𝑥)—∫− cos(𝑥) 𝑑𝑥

Luego:

∫𝑥2 ⋅ cos(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥2 ⋅ sen(x) − 2∫x ⋅ sen(x) dx

= 𝑥2 ⋅ sen(x) − 2 (−x ⋅ cos(x) + sen(x)) + c

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


261

4) ∫(sen(𝑥))2𝑑𝑥 = ∫ sen(𝑥)sen(𝑥)𝑑𝑥

= −sen(𝑥) cos(𝑥) − ∫−(cos(𝑥))2𝑑𝑥

= −sen(𝑥) cos(𝑥) + ∫(cos (𝑥))2𝑑𝑥

(𝑢 = sen(x) ∴ 𝑑𝑢 = cos(𝑥) 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = sen(𝑥)𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥))

Pero ∫(cos (𝑥))2𝑑𝑥 = ∫(1 − (sen (𝑥))2) 𝑑𝑥 , reemplazando:

∫(sen(𝑥))2𝑑𝑥 = −sen(𝑥) cos(𝑥) + ∫(1 − (sen(𝑥))2)𝑑𝑥

= −sen(𝑥) cos(𝑥) + 𝑥 − ∫(sen(𝑥))2𝑑𝑥

Vemos que ∫(sen(𝑥))2𝑑𝑥 está a ambos lados de la igualdad, así que

pasamos sumando al lado izquierdo para poder despejar:

2∫(sen(𝑥))2𝑑𝑥 = −sen(𝑥) cos(𝑥) + 𝑥 + 𝑐

∴ ∫ sen(𝑥)2𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) cos(𝑥)

2+𝑥

2+ 𝑐

5) ∫ ln(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln(𝑥) − ∫𝑥 ∙1

𝑥𝑑𝑥

= 𝑥 ⋅ ln(𝑥) − ∫𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ ln(𝑥) − 𝑥 + 𝑐

(𝑢 = 𝑙𝑛(x) ∴ 𝑑𝑢 =1

𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ∴ 𝑣 = 𝑥

)

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


262

Ejercicios

1. Calcular las siguientes integrales indefinidas:

a. ∫𝑥 ⋅ 𝑒𝑥𝑑𝑥

b. ∫𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥

c. ∫ 𝑒𝑥 cos(𝑥) 𝑑𝑥

d. ∫𝑥2 ⋅ ln(𝑥) 𝑑𝑥

e. ∫𝑥 ⋅ cos(𝑥) 𝑑𝑥

f. ∫𝑥2 ⋅ 𝑒−𝑥𝑑𝑥

2. Ocupe sustitución o integración por partes para calcular:

a. ∫𝑥𝑒−3𝑥𝑑𝑥

b. ∫7𝑥

√6−𝑥2𝑑𝑥

c. ∫Arcsen(𝑥)𝑑𝑥

d. ∫Arccos(𝑥)𝑑𝑥

e. ∫ sen(𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥

f. ∫(3𝑥 + 2)𝑒𝑥𝑑𝑥

g. ∫ sen(𝑥)(𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥

h. ∫ cos(𝑥)(𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥

i. ∫ ln(3𝑥) (𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥

j. ∫ cos(𝑥) (𝑥3 + 1)𝑑𝑥

k. ∫ ln(3𝑥 + 1) 𝑑𝑥

l. ∫𝑥^2Arccos(𝑥) 𝑑𝑥

m. ∫(6𝑥 + 7)Arcsen(𝑥) 𝑑𝑥

n. ∫(5𝑥2 + 2) Arctan(𝑥) 𝑑𝑥

o. ∫(5𝑥2 + 2)𝑒3𝑥𝑑𝑥

p. ∫(𝑥 − 𝜋)Arccos(𝑥) 𝑑𝑥

q. ∫(𝑥 − 𝜋) cos(𝑥) 𝑑𝑥

r. ∫(𝑥 + 1)√1 + 3𝑥 𝑑𝑥

s. ∫Arctan (5𝑥)𝑑𝑥

t. ∫ sen(ln (𝑥))𝑑𝑥

u. ∫ (𝑥 + 1)√𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥

v. ∫ 𝑐𝑜𝑠3(𝑥2)sen(𝑥2)𝑥 𝑑𝑥

w. ∫1

2+3𝑥2𝑑𝑥

x. ∫ sen(𝑥)(2 + cos(𝑥))3𝑑𝑥

y. ∫4(3𝑥 + 1)3𝑑𝑥

z. ∫𝑒𝑥

𝑒2𝑥+1 𝑑𝑥

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


263

Sustituciones trigonométricas

En muchos casos aparecerán expresiones que son parecidas a las derivadas

de las funciones trigonométricas inversas que acabamos de ver, entonces,

si aparece la expresión √𝑎2 − 𝑥2 debemos usar el teorema de sustitución

para 𝑥 = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑢), ya que

√𝑎2 − (𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑢))2= √𝑎2 − 𝑎2𝑠𝑒𝑛(𝑢)2 = 𝑎√1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑢)2 =

𝑎|cos (𝑢)| la expresión que resulta es más fácil de trabajar.

Si la expresión es √𝑎2 + 𝑥2, entonces debemos cambiar x = a ⋅ tan(𝑢),

ya que 𝑎2 + 𝑥2 = 𝑎2 + 𝑎2𝑡𝑔(𝑢)2 = 𝑎2sec (𝑢)2.

Y para √𝑥2 − 𝑎2 ocupamos x = a ⋅ sec(𝑢), obteniendo 𝑥2 − 𝑎2 =

𝑎2sec (𝑢)2 − 𝑎2 = 𝑎2tan(𝑢)2.

Ejemplos

1) ∫𝑥

√16−𝑥2𝑑𝑥

Ocupamos la sustitución 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛(𝑢) y obtenemos:

𝑑𝑥 = 4 cos(𝑢) 𝑑𝑢

√16 − 𝑥2 = √16 − 16 sen(𝑢)2

= 4√1 − sen (𝑢)2 = 4cos(𝑢)

Entonces:

∫𝑥

√16 − 𝑥2𝑑𝑥 = ∫

4sen(𝑢)4 cos(𝑢) 𝑑𝑢

4 cos(𝑢)

= 4∫sen(𝑢)𝑑𝑢 = −4cos(𝑢) + 𝑐

= −√16 − 𝑥2 + 𝑐

2) ∫𝑥

√𝑥2+9𝑑𝑥

Ocupamos la sustitución 𝑥 = 3tan(𝑢) y obtenemos:

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


264

𝑑𝑥 = 3sec (𝑢)2𝑑𝑢

√𝑥2 + 9 = √9tan(𝑢)2 + 9 = 3√tan(𝑢)2 + 1 = 3sec (𝑢)

Entonces:

∫𝑥

√𝑥2 + 9𝑑𝑥 = ∫

3tan(𝑢)

3sec (𝑢)3sec (𝑢)2𝑑𝑢

= ∫ tan(𝑢) sec(𝑢) 𝑑𝑢 = ∫sen(𝑢)

cos (𝑢)2𝑑𝑢

Volvemos a ocupar un cambio de variable:

ℎ = cos (𝑢)

𝑑ℎ = −𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢

∴ ∫sen(𝑢)

cos (𝑢)2𝑑𝑢 = ∫

−𝑑ℎ

ℎ2=1

ℎ+ 𝑐 =

1

cos (𝑢)+ 𝑐

Finalmente como 𝑥 = 3tan(𝑢):

∫𝑥

√𝑥2 + 9𝑑𝑥 =∫

sen(𝑢)

cos (𝑢)2𝑑𝑢 =

1

cos (𝑢)+ 𝑐

Debemos determinar el cos(𝑢), para esto construimos un triángulo

rectángulo de catetos 𝑥 y 3, para que 𝑥 = 3tan(𝑢), y despejamos 𝑐𝑜𝑠(𝑢):

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


265

Por lo tanto cos(𝑢) =3

√𝑥2+9. Luego:

∫𝑥

√𝑥2 + 9𝑑𝑥 =

1

cos (𝑢)+ 𝑐 =

√𝑥2 + 9

3+ 𝑐

3) ∫𝑥

√𝑥2−𝑎2𝑑𝑥

Ocupamos el cambio de variable 𝑥 = 𝑎 sec (𝑢) y obtenemos:

𝑑𝑥 = 𝑎 sec(𝑢) tan(𝑢)𝑑𝑢

√𝑥2 − 𝑎2 = 𝑎 tan(𝑢)

Entonces:

∫𝑥

√𝑥2 − 𝑎2𝑑𝑥 = ∫

𝑎 sec(𝑢)

𝑎 tg(𝑢)𝑎 sec(𝑢) tan(𝑢)𝑑𝑢

= 𝑎∫(sec (u))2 𝑑𝑥 = 𝑎 tan(𝑢) + 𝑐

Como 𝑥 = 𝑎 sec (𝑢) se tiene que tan(𝑢) = √sec (𝑢)2 − 1 =

√𝑥

𝑎2

2− 1 =

√𝑥2−𝑎2

𝑎, , entonces:

∫𝑥

√𝑥2 − 𝑎2𝑑𝑥 =√𝑥2 − 𝑎2 + 𝑐

Fracciones Parciales

Hemos calculado algunas primitivas de cocientes de polinomios, sin

embargo aún desconocemos primitivas como ∫3𝑥+1

𝑥2+𝑥𝑑𝑥 o ∫

1

(𝑥−1)(𝑥+3)𝑑𝑥

por ejemplo, y muchas más. Sin embargo veremos que estos cocientes

pueden descomponerse en sumas de fracciones de las cuales conocemos

su primitiva

Recordemos que un polinomio con coeficientes reales en la indeterminada

de 𝑥 es una expresión de la forma 𝑎0+𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥

𝑛, donde 𝑛

es no negativo y 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 son elementos en ℝ. Si 𝑎𝑛 ≠ 0, entonces

decimos que el polinomio tiene grado 𝑛 y es el mayor exponente que

aparece en las potencias de 𝑥 que tiene el polinomio.

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


266

Todo número real es también un polinomio, para uniformizar las

operaciones, donde el 0 no tiene grado y donde los números distintos de

cero tienen grado cero.

Los polinomios se pueden sumar y multiplicar siguiendo las reglas

algebraicas de agrupación de términos semejantes, producto de potencias

de base 𝑥, y distributividad.

Ejemplo

Si 𝑝(𝑥) = 3𝑥2 + 4 y 𝑞(𝑥) = 2𝑥 + 1, entonces el grado de 𝑝(𝑥) es 2 y el

grado de 𝑞(𝑥) es 1, y además

𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = (3𝑥2 + 4) + (2𝑥 + 1) = 3𝑥2 + 2𝑥 + 5

𝑝(𝑥) ⋅ 𝑞(𝑥) = (3𝑥2 + 4) ⋅ (2𝑥 + 1) = 6𝑥3 + 3𝑥2 + 8𝑥 + 4

Más aún, podemos considerar operaciones con potencias de polinomio,

como

𝑝(𝑥) ⋅ (𝑞(𝑥))2= (3𝑥2 + 4) ⋅ (2𝑥 + 1)2

= (3𝑥2 + 4) ⋅ (4𝑥2 + 4𝑥 + 1)

= 12 𝑥4 + 12 𝑥3 + 19 𝑥2 + 16 𝑥 + 4

Notemos que al multiplicar polinomios se suman sus grados.

En importante, pero no simple en general, el hacer el reverso de la

operación anterior, es decir, dado un polinomio lograr escribirlo como

producto de factores más simples.

Para eso, además de las identidades algebraicas, ayuda lo siguiente:

Teorema

Un número 𝑐 es una raíz del polinomio 𝑝(𝑥) si se cumple que 𝑝(𝑐) = 0.

En tal caso, existe un polinomio 𝑞(𝑥) que permite la factorización

𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) ⋅ (𝑥 − 𝑐)

Es decir, conocer las raíces de un polinomio permite factorizarlo, tal como

ocurre en la cuadrática.

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


267

De hecho, polinomios de grado dos son conocidos como cuadráticos, y

polinomios de grado uno son conocidos como lineales. Recuerde que si el

discriminante de una cuadrática es negativo, entonces no tiene raíces

reales.

Teorema

Todo polinomio de grado positivo se puede factorizar totalmente y de

modo único como producto de factores lineales y de factores cuadráticos

que no tienen raíces reales.

Volviendo a fracciones parciales, la idea es descomponer fracciones entre

polinomios en sumas de fracciones entre polinomios que sean más simples

de integrar.

Ejemplo

Con sustituciones, sabemos que

∫(1

𝑥 − 1−

1

𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ∫

1

𝑥 − 1𝑑𝑥 − ∫

1

𝑥 + 2𝑑𝑥

= ln(|𝑥 − 1|) − ln(|𝑥 + 2|) + 𝑐

Pero no se ve tan fácil integrar

∫3

𝑥2 + 𝑥 − 2𝑑𝑥

Sin embargo, se cumple

1

𝑥 − 1−

1

𝑥 + 2=

3

𝑥2 + 𝑥 − 2

Por lo que

∫3

𝑥2 + 𝑥 − 2𝑑𝑥 = ∫(

1

𝑥 − 1−

1

𝑥 + 2)𝑑𝑥

= ln(|𝑥 − 1|) − ln(|𝑥 + 2|) + 𝑐

El problema que viene a ser resuelto por las fracciones parciales es, dada

una fracción como 𝟑

𝒙𝟐+𝒙−2, de qué modo descomponerla en las fracciones

parciales 𝟏

𝒙−𝟏−

𝟏

𝒙+𝟐

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


268

El método se aplica cuando el polinomio del denominador está

factorizado, y lo describimos por casos a partir de ejemplos.

Fracción parcial con factores lineales diferentes.

Ocurre cuando en el denominador factorizado sólo hay polinomios

lineales diferentes, y el método aporta un sumando por cada factor, pero

con coeficientes incógnitos a determinar, como muestra el ejemplo

siguiente:

Para descomponer 4𝑥−1

(𝑥−1)(𝑥+2) en fracciones parciales, se busca encontrar

los valores de los coeficientes reales 𝐴 y 𝐵 que logren

4𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)=

𝐴

𝑥 − 1+

𝐵

𝑥 + 2

Eso debe ser una igualdad para todo 𝑥, no una ecuación que se cumpla

para algunos valores de 𝑥 solamente.

Luego, reagrupando el lado derecho, se tiene

4𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)=

𝐴

𝑥 − 1+

𝐵

𝑥 + 2=𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

=(𝐴 + 𝐵)𝑥 + (2𝐴 − 𝐵)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

Los numeradores deben ser iguales, así que se tiene el sistema de

ecuaciones

{𝐴 + 𝐵 = 42𝐴 − 𝐵 = −1

Al resolver el sistema, obtenemos 𝐴 = 1 y 𝐵 = 3, de modo que

4𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)=

1

𝑥 − 1+

3

𝑥 + 2

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


269

Como estamos en el tema de integración, integramos

∫4𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)𝑑𝑥 = ∫

1

𝑥 − 1𝑑𝑥 + ∫

3

𝑥 + 2𝑑𝑥

= ln|𝑥 − 1| + 3 ln|𝑥 + 2| + 𝑐

La idea del método en el caso de que el denominador tenga sólo factores

lineales diferentes es que para cada factor lineal 𝑎𝑥 + 𝑏 del denominador

se agrega un sumando de la forma 𝐴

𝑎𝑥+𝑏 a la descomposición en fracciones

parciales. Cuidado, el grado del numerados debe ser menor que el grado

del denominador.

Ejemplo

Calcule

∫𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) 𝑑𝑥

Solución

Aplicando fracciones parciales, como el denominador tiene tres factores

lineales diferentes, hay que determinar los valores de 𝐴, 𝐵 y 𝐶 (los

nombres son arbitrarios) tales que

𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)=𝐴

𝑥+

𝐵

𝑥 + 1+

𝐶

𝑥 + 3

=𝐴(𝑥 + 1)(𝑥 + 3) + 𝐵𝑥(𝑥 + 3) + 𝐶𝑥(𝑥 + 1)

𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)

=(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑥2 + (4𝐴 + 3𝐵 + 𝐶)𝑥 + 3𝐴

𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)

Luego, se obtiene el sistema de ecuaciones

{𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 1

4𝐴 + 3𝐵 + 𝐶 = −13𝐴 = −6

Resolviendo el sistema, se llega a que 𝐴 = −2, 𝐵 = 2 y 𝐶 = 1 Luego

𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3)=−2

𝑥+

2

𝑥 + 1+

1

𝑥 + 3

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


270

y por tanto

∫𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥 (𝑥 + 1)(𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = −2∫

1

𝑥𝑑𝑥 + 2∫

1

𝑥 + 1𝑑𝑥 + ∫

1

𝑥 + 3𝑑𝑥

= −2 ln|𝑥| + 2 ln|𝑥 + 1| + ln|𝑥 + 3| + 𝑐

Fracción parcial con factores lineales iguales.

En el caso de que en el denominador de la fracción aparezca varias veces

el mismo factor lineal, es decir, aparezca elevado a potencia, se agregan

tantos sumandos como sea la potencia, como muestra el ejemplo siguiente:

Para calcular

∫3𝑥2 − 8𝑥 + 13

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2𝑑𝑥

Con el factor 𝑥 + 3 ya sabemos que se agrega el sumando 𝐴

𝑥+3 Como el

factor 𝑥 − 1 se repite dos veces, agregamos a la descomposición los

sumandos 𝐵

𝑥−1+

𝐶

(𝑥−1)2, es decir, con la misma forma que antes, pero uno

por cada potencia hasta alcanzar la potencia con que aparece en la fracción

original

Luego, buscaremos 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ de manera tal que:

3𝑥2 − 8𝑥 + 13

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2=

𝐴

𝑥 + 3+

𝐵

𝑥 − 1+

𝐶

(𝑥 − 1)2

=𝐴(𝑥 − 1)2 + 𝐵(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) + 𝐶(𝑥 + 3)

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2

=(𝐴 + 𝐵)𝑥2 + (−2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶)𝑥 + (𝐴 − 3𝐵 + 3𝐶)

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2

De donde se obtiene el sistema

{𝐴 + 𝐵 = 3

−2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = −8𝐴 − 3𝐵 + 3𝐶 = 13

Al resolverlo, se obtiene 𝐴 = 4, 𝐵 = −1 y 𝐶 = 2, y

3𝑥2 − 8𝑥 + 13

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2=

4

𝑥 + 3+

−1

𝑥 − 1+

2

(𝑥 − 1)2

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


271

Luego,

∫3𝑥2 − 8𝑥 + 13

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)2𝑑𝑥

= 4∫1

𝑥 + 3𝑑𝑥 − ∫

1

𝑥 − 1𝑑𝑥 + 2∫

1

(𝑥 − 1)2𝑑𝑥

= 4 ln|𝑥 + 3| − ln|𝑥 − 1| −2

𝑥 − 1+ 𝑐

Respecto del método en este caso, note que la cantidad de sumandos que

aporta la potencia de un factor lineal es exactamente el exponente de esa

potencia. Por ejemplo, si en el denominador aparece (𝒙 − 𝟏)𝟒 , el aporte

en sumandos de ese factor a la descomposición es

𝐴

𝑥 − 1+

𝐵

(𝑥 − 1)2+

𝐶

(𝑥 − 1)3+

𝐷

(𝑥 − 1)4

Cuatro sumandos con las respectivas constantes. Por supuesto, otros

factores hacen sus propios aportes.

Fracción parcial con factores cuadráticos.

Si en el denominador de una fracción de polinomios, ya factorizado,

aparece un factor cuadrático sin raíces reales, entonces no se puede

reescribir como producto de lineales ni como el cuadrado de un lineal. En

ese caso, el aporte de tal cuadrático a la descomposición en fracciones

parciales tiene un numerador lineal o constante, es decir, de la forma 𝑎𝑥 +

𝑏

Ejemplo

Para calcular ∫𝑥−9

(𝑥+1)(𝑥2+9)𝑑𝑥

Ya sabemos el aporte del factor 𝑥 + 1, que es 𝐴

𝑥+1. El factor cuadrático

𝑥2 + 9 no tiene raíces reales, por lo que su aporte a la descomposición es

el sumando 𝐵𝑥+𝐶

𝑥2+9, con numerador lineal o constante (si 𝐵 = 0 sería

constante)

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


272

La descomposición queda

𝑥 − 9

(𝑥 + 1)(𝑥2 + 9)=

𝐴

𝑥 + 1 +𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥2 + 9

=𝐴(𝑥2 + 9) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 + 1)

(𝑥 + 1)(𝑥2 + 9)

=(𝐴 + 𝐵)𝑥2 + (𝐵 + 𝐶)𝑥 + (9𝐴 + 𝐶)

(𝑥 + 1)(𝑥2 + 9)

De donde, notando que en 𝑥 − 9 = 0 ⋅ 𝑥2 + 𝑥 − 9 el coeficiente de 𝑥2es

0, se obtiene el sistema

{𝐴 + 𝐵 = 0𝐵 + 𝐶 = 19𝐴 + 𝐶 = −9

Resolviendo, se obtiene 𝐴 = −1, 𝐵 = 1 y 𝐶 = 0. Luego

𝑥 − 9

(𝑥 + 1)(𝑥2 + 9)=

−1

𝑥 + 1 +

𝑥

𝑥2 + 9

Y entonces

∫𝑥 − 9

(𝑥 + 1)(𝑥2 + 9)𝑑𝑥 = −∫

1

𝑥 + 1𝑑𝑥 + ∫

𝑥

𝑥2 + 9𝑑𝑥

= − ln|𝑥 + 1| +ln|𝑥2 + 9|

2+ 𝑐

Ejercicios

Calcule las integrales siguientes:

1. ∫2𝑥−4

𝑥3−𝑥2+4𝑥−4𝑑𝑥

2. ∫1

𝑥(𝑥+1) 𝑑𝑥

3. ∫3

𝑥2−1 𝑑𝑥

4. ∫𝑥−11

𝑥2+3𝑥−4 𝑑𝑥

5. ∫3𝑥−13

𝑥2+3𝑥−10 𝑑𝑥

6. ∫2𝑥+3

𝑥2+5𝑥+6 𝑑𝑥

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


273

7. ∫5𝑥+7

𝑥2+4𝑥+4 𝑑𝑥

8. ∫3𝑥

(𝑥−2)(𝑥−1)2 𝑑𝑥

9. ∫𝑥2+1

𝑥3−4𝑥𝑑𝑥

10. ∫6𝑥2−15𝑥+22

(𝑥+3)(𝑥2+2)2𝑑𝑥

Integral definida

Recordemos que la integral definida mide la acumulación de una función

en un intervalo, y para una función 𝑓 en un intervalo [𝑎, 𝑏] se tenía que su

integral era

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑏

𝑎

= lim𝑛→∞

𝑓(𝑐1)(𝑡1 − 𝑡𝑜) + 𝑓(𝑐2)(𝑡2 − 𝑡1) +⋯+ 𝑓(𝑐𝑛)(𝑎 − 𝑡𝑛−1)

Donde 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 y 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]. Si

ese límite converge, se dice que 𝑓(𝑥) es integrable en ese intervalo.

Además

Teorema Fundamental del Cálculo 1° parte

Si 𝑓 es integrable en [𝑎, 𝑏] y 𝑔 es una primitiva de 𝑓, es decir 𝑔’(𝑥) =

𝑓(𝑥), entonces:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)𝑏

𝑎

Notación

Ocuparemos la siguiente abreviatura (𝑔(𝑥)) 𝑎𝑏 = 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)

Ejemplo

∫𝑥

𝑥2 + 5𝑑𝑥 =

1

2

1

0

∫2𝑥

𝑥2 + 5𝑑𝑥 =

1

0

(1

2ln(𝑥2 + 5))

0

1

=1

2ln(6) −

1

2ln(5) =

1

2ln (

6

5)

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


274

Teorema

Sea 𝑓 integrable en el intervalo [𝑎, 𝑏] y sea 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏]. Se tiene que:

1) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0𝑎

𝑎

2) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

3) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏

𝑎∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +𝑐

𝑎∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑐

Demostración:

Sea F primitiva de f, entonces:

1) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑎) = 0𝑎

𝑎

2) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = −(𝐹(𝑎) − 𝐹(𝑏)) = −∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

3) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏

𝑎𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = 𝐹(𝑐) − 𝐹(𝑎) + 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑐) =

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +𝑐

𝑎∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑐

Teorema Fundamental del Cálculo 2° parte

Si 𝑓 es continua, entonces

𝑑

𝑑𝑥(∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑥

𝑎

) = 𝑓(𝑥)

Demostración:

Sea F primitiva de f, entonces:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑥

𝑎

= 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎)

Derivando esta expresión:

𝑑

𝑑𝑥(∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑥

𝑎

) =𝑑

𝑑𝑥(𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎)) = 𝐹′(𝑥) − 0 = 𝑓(𝑥)

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


275

El método de sustitución es empleado de la misma manera, sólo que

ahora también debemos considerar los límites de integración:

∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏

𝑎

∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢𝑑

𝑐

Donde 𝑐 es el valor de 𝑢 cuando 𝑥 = 𝑎 y 𝑑 es el valor de u cuando 𝑥 = 𝑏.

Integración por partes también se puede formular para integral definida:

∫ 𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = (𝑓(𝑥) ⋅ 𝑔(𝑥))𝑎

𝑏−∫ 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

Los límites de integración se mantienen.

Ejercicios

Encuentre las siguientes integrales:

1. ∫ (𝑥 + 1)√𝑥2 + 2𝑥𝑑𝑥3

2

2. ∫ 𝑐𝑜𝑠6(𝑥2 + 1)sen(𝑥2 + 1)7𝑥 𝑑𝑥5

4

3. ∫1

1+4𝑥2𝑑𝑥

10

0

4. ∫ sen(𝑥)(1 + cos(𝑥))42

1𝑑𝑥

5. ∫ 4(3𝑥 + 1)310

8𝑑𝑥

6. ∫𝑥

𝑥2+1

5

0𝑑𝑥

7. ∫ (𝑥 − 1)sen(𝑥2 − 2𝑥 + 5)3

2𝑑𝑥

8. ∫ cos(x)sen2(x)1

0dx

9. ∫ (5𝑥2 + 1)√5𝑥3 + 3𝑥 + 71

0𝑑𝑥

10. ∫ (𝑥 − 1)sen(𝑥2 − 2𝑥 + 5)2

2𝑑𝑥

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


276

Integrales y áreas

Si recordamos la definición inicial del capítulo, tenemos que la integral de f

en el intervalo [a,b] está dada por

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑛→∞

𝑓(𝑐1)(𝑡1 − 𝑡𝑜) + 𝑓(𝑐2)(𝑡2 − 𝑡1) + … 𝑏

𝑎

+𝑓(𝑐𝑛)(𝑏 − 𝑡𝑛−1)

Donde 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 y 𝑐𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖].

En el caso de que 𝑓(𝑥) > 0 en el intervalo [𝑎, 𝑏], para cada 𝑛, cada

sumando 𝑓(𝑐𝑖)(𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1) tiene el valor del área de un rectángulo de base

(𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1) y altura 𝑓(𝑐𝑖), de modo que para cada 𝑛 la suma

𝑓(𝑐1)(𝑡1 − 𝑡𝑜) + 𝑓(𝑐2)(𝑡2 − 𝑡1) + …+ 𝑓(𝑐𝑛)(𝑏 − 𝑡𝑛−1)

Es la suma de áreas de rectángulos que aproximan el área de la región

encerrada entre el eje X y la gráfica de 𝑓(𝑥), como muestra la imagen:

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


277

Acá se muestra una caso donde 𝑛 = 4, es decir, se divide en 4

subintervalos, en cada uno se muestran los puntos 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 y 𝑐4 con

líneas verticales punteadas para mostrar que la función se evalúa en esos

puntos para formar la altura de cada rectángulo, donde la base es el ancho

del subintervalo. Puede notarse que la región encerrada entre la curva y el

eje X es la de la siguiente figura

La suma

𝑓(𝑐1)(𝑡1 − 𝑡𝑜) + 𝑓(𝑐2)(𝑡2 − 𝑡1) + 𝑓(𝑐3)(𝑡3 − 𝑡2) + 𝑓(𝑐4)(𝑏 − 𝑡3)

Es una aproximación de tal área.

La idea es que usando más subintervalos, es decir, a medida que 𝑛 crece

ilimitadamente, la suma es cada vez más parecida al área, y en el límite, converge

al área.

Teorema

Si la función 𝑓(𝑥) es continua y positiva en [𝑎, 𝑏], entonces ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

mide el área de la región entre el eje X y la gráfica de la función.

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


278

Si la función no es positiva, entonces la integral no medirá el área. Pero

por las propiedades de la integral, si cambia de signo la función también

cambia de signo la integral, por lo que la integral de una función negativa

mide el negativo del área encerrada.

Por último, si la función cambia de signo, entonces la integral donde es

positiva menos la integral donde es negativa, mide el área encerrada entre

la curva y el eje X.

La respuesta es no, basta ver los siguientes ejemplos:

1) ∫ −2𝑥𝑑𝑥1

0= −12 − (−02) = −1

Esperaríamos que esta integral nos diera el área bajo la curva, sin embargo

nos da un resultado negativo, lo cual es contradictorio. Esto se debe a que

la imagen de 𝑓(𝑥) = −2𝑥 es negativa.

2) ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 =𝜋

0𝑠𝑒𝑛(𝜋) − 𝑠𝑒𝑛(0) = 0

En este caso vemos que el resultado es cero, esto se apreciar claramente

con la gráfica de 𝑐𝑜𝑠(𝑥):

Vemos que la integral en el intervalo [0,𝜋

2] será positiva, sin embargo en

[𝜋

2, 𝜋] tendrá el mismo valor pero negativo. Con lo cual concluimos que la

integral definida de una función no es el área bajo la curva, sin embargo

podemos enunciar el siguiente resultado.

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


279

Teorema

Sea 𝑓 una función integrable en [𝑎, 𝑏], el área bajo la curva de esta función

está dado por

∫ |𝑓(𝑥)|𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Ya que el valor absoluto de una función es siempre positivo.

Teorema

Sean 𝑓, 𝑔: [𝑎, 𝑏] → ℝ dos funciones continuas (excepto tal vez en un

número finito de puntos), entonces el área entre las dos gráficas en el

intervalo [𝑎, 𝑏] se puede obtener de la siguiente integral:

∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥𝑏

𝑎

.

Ejemplos

1) Calcule el área bajo la curva de 𝑦 = −2𝑥 en [−1,1]:

Vemos que 𝑦 = −2𝑥 >0 si 𝑥 ∈ [−1,0] y 𝑦 = −2𝑥 < 0 si 𝑥 ∈ [0,1].

Luego:

∫ |−2𝑥|1

−1

𝑑𝑥 = ∫ |−2𝑥|𝑑𝑥 +0

−1

∫ |−2𝑥|𝑑𝑥1

0

= ∫ −2𝑥𝑑𝑥 +0

−1

∫ 2𝑥𝑑𝑥1

0

Pero sabemos que ∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶. Entonces:

∫ |−2𝑥|1

−1

𝑑𝑥 = −2(02) − (−2(−1)2) + 2(1) − 2(0) = 4

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


280

2) Calcule el área bajo la curva de 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 en [0,2]

Vemos que 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 = 𝑥2(𝑥 − 1) y como 𝑥2 ≥ 0, se tiene que 𝑥3 −

𝑥2 = 𝑥2(𝑥 − 1) > 0 cuando 𝑥 − 1 > 0, es decir, 𝑥 > 1 y análogamente

𝑥3 − 𝑥2 < 0 cuando 𝑥 < 1. Luego:

∫ |𝑥3 −𝑥2|𝑑𝑥2

0

= ∫ |𝑥3 −𝑥2|𝑑𝑥1

0

+∫ |𝑥3 −𝑥2|𝑑𝑥 2

1

= ∫ −(𝑥3 − 𝑥2)1

0

𝑑𝑥 + ∫ (𝑥3 − 𝑥2)𝑑𝑥2

1

Pero ∫(𝑥3 − 𝑥2)𝑑𝑥 =𝑥4

4−𝑥3

3+ 𝑐

∫ |𝑥3 −𝑥2|2

0

𝑑𝑥 = (−14

4+13

3+ 0 − 0) + (

24

4−23

3−14

4+13

3) =

3

4

3) Calcule el área encerrada entre las curvas 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥2 en el

intervalo [0,1]

Para resolver este problema lo primero es graficar, para esto encontramos

las intersecciones igualando ambas curvas:

𝑥 = 𝑥2, es decir, 𝑥 = 0 o 𝑥 = 1

Por lo tanto se intersectan en 𝑥 = 0 y en 𝑥 = 1. Además notamos que

𝑥 > 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]0,1[ , luego el área pedida será la resta entre el área de la

recta y la parábola como muestra el gráfico:

Entonces el área es:

∫ (𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥1

0

= (𝑥2

2−𝑥3

3)0

1

=1

2−1

3=1

6

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE


281

Calcule el área de la siguiente circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 = 1

Tenemos una circunferencia centrada en el origen y de radio 1, por lo

tanto tenemos que integrar entre 𝑥 = −1 y 𝑥 = 1. Para esto necesitamos

una función y tenemos una ecuación que no es función, sin embargo basta

hallar el área de la mitad de la circunferencia y multiplicarla por dos.

Tenemos que la mitad superior de la circunferencia está determinada por

la función 𝑦 = √1 − 𝑥2. Luego el área será:

∫ √1 − 𝑥2𝑑𝑥1

−1

Hacemos la sustitución 𝑥 = sen(𝑢), con lo cual tenemos 𝑑𝑥 =

𝑐𝑜𝑠(𝑢)𝑑𝑢. Y si 𝑥 = −1 entonces u = Arcsen(−1) = −𝜋

2 y si 𝑥 = 1

entonces u = Arcsen(1) =𝜋

2

∫ √1 − 𝑥21

−1

= ∫ cos(𝑢) cos(𝑢) 𝑑𝑢 = (𝑥

2+𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

4)−𝜋2

𝜋2

𝜋2

−𝜋2

= 𝜋

2

Luego se tiene que el área es 𝜋.

Ejercicios

1. Calcule el área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) = 1 − 𝑥2 para 𝑥 ∈

[0,1].

2. Calcule el área que se encuentra entre el eje horizontal y la gráfica

de la función 𝑓(𝑥) = sen(𝑥) para 𝑥 ∈ [0, 𝜋]. 3. Calcule el área que se encierra entre la gráfica de la curva 𝑓(𝑥) =

𝑒𝑥 y el eje horizontal para 𝑥 ∈ [1, ln(5)].

4. Calcule el área encerrada por la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 1 y las

rectas 𝑥 = 2, 𝑥 = 3 y el eje horizontal.

5. Calcule el área encerrada entre las curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥2 y 𝑔(𝑥) =

4𝑥 − 3.

6. Determine una fórmula para el área de una elipse.

INTEGRALES DE

FUNCIONES DE UNA

VARIABLE

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