Mat021-Apunte Demostraciones Prof Cesar Flores-udc

8/2/2019 Mat021-Apunte Demostraciones Prof Cesar Flores-udc

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Cuando un problema esta resuelto ?

Cesar Flores S. Departamento de Matematica Universidad de Concepcion e-mail: [email protected]

1.1. Respuestas completas

e incompletasAl enfrentar una situacion problematica o

un ejercicio matematico, luego de meditar untiempo se puede llegar a un sospechoso desolucion o conjetura. Por ejemplo:

Problema 1. Puede recorrerse un tablero de 3x3con los movimientos de un caballo? (Pasando unasola vez por cada casillero)

Problema 2. Paran = 1, 2,..., la expresion

F(n) = n2 + n + 41

Es siempre un numero primo?

En el primer problema, luego de hacer variosintentos,

1 4 76 23 8 5

4 7 21 56 3 8

Figura: El 1 indica la posicion de partida del caballo,

y luego se indican los sucesivas posiciones siguiendo

mocimientos en forma de L

puede sospecharse que no es posible llenar eltablero de 3x3. La conjetura es entonces

)No, no es posible recorrer un tablero de 3x3con los movimientos de un caballo

y justificar esta respuesta diciendo)Trate de hacerlo y nunca pude.

Claramente, la respuesta no es satisfactoria,pues el decir yo no pude no es lo mismo quedecir no se puede.

En el caso del segundo problema, podemostratar de hacernos una idea probando con al-

gunos valores de n en la expresion. As, se tiene

F(1) = 43, es primo.

F(2) = 4 + 2 + 41 = 47 es primo.

F(3) = 9 + 3 + 41 = 53 es primo.

F(4) = 16 + 4 + 41 = 61 es primo.

F(5) = 25 + 5 + 41 = 71 es primo.

. . .

Es necesario verificar mas y mas ? La conje-tura aqu es entonces

) La expresion F(n) siempre da un numeroprimo

y justificar con Ce

s

a

r

F

l

o

r

e

s

S.

) Al ir reemplazando se ve claramente quesiempre va a dar un numero primo.

Nuevamente estamos frente a una respuestapoco satisfactoria, pues el hecho que algo secumpla para algunos valores no significa quese cumpla para todos los valores posibles (queson infinitos).

Veamos entonces una respuesta para elProblema 1. Esta consiste en notar que elcasillero central nunca puede ser alcanzado.Por ejemplo:

) No puede recorrerse el tablero de 3x3.Si comienzo del casillero central, no puede

saltarse a ninguna otra casilla. Si comienzo deun casillero en el borde, no puede alcanzarse el

central

1


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2

Notese la diferencia de rigor entre las respues-

tas. La primera es una afirmacion dudosa,basada en una conviccion personal. La segundaes una argumentacion incontestable, es decir,una demostracion matematica en toda regla.

En el caso del Problema 2, la respuesta da-da no solo es incompleta, sino que erronea. Enefecto, es tan cierto el hecho de que si algose verifica para algunos numeros no necesaria-mente se verifica para todos los numeros queaqu lo afirmado en realidad no es cierto. La

respuesta correcta es)La expresion F(n) NO siempre da un

numero primo.En efecto, podramos seguir intentando para

distintos valores de n Incluso hasta n = 39siempre da un numero primo ! Pero para n =40 se tiene

F(40) = 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41

= 40

41 + 41 = 412

es un cuadrado perfecto, y no es primo. Eneste caso, la justificacion de nuestra conjeturaes mas simple

) La expresion F(n) no siempre da unnumero primo. En efecto, F(40) no es primo.

Esto muestra que las justificaciones ade-cuadas no tienen porque ser complicadas, solodeben ser concluyentes y desprovistas de afir-maciones dudosas.

1.2. Justificacion completa

= Demostracion

La actividad mas importante de lasmatematicas no es hacer calculos ni memorizarteoremas. Es demostrar propiedades. Estoes, dar una justificacion concluyente de lo quese afirma y dilucidar porque el fenomeno estu-

diado se comporta de cierta manera.

Ilustremos con otro par de ejemplos.

Problema 3 . Existen cuadrados magicos para la

suma de 2x2 ? ?? ? ?

Primero, recordemos que un cuadrado magi-co para la suma debe tener la misma sumaen sus filas, columnas y diagonales. Ademas,no puede tener el mismo numero en todos sus

casilleros, as,1 11 1

o67 6767 67

no valen

como cuadrados magicos (no tienen nada de

magicos, es verdad).C

e

s

a

r

F

l

o

r

e

s

S.

Nuevamente, se pueden hacer varios intentosy conjeturar que la respuesta es que no existen.Sin embargo, ya estamos prevenidos contra lasrespuestas del tipo

)No existen, pues no he podido encontraruno.

Pero entonces, como demostrarlo?Bueno, supongamos que se pudiera llenar las

casillas formando un cuadrado magico:

a bc d

La suma de las filas, columnas y diagonalessiempre es la misma. En particular, si

a + b = a + c,

debe tenerse que b = c. Similarmente d = apero, tomando la diagonal, a = b. En con-

clusion, todos los numeros deben ser iguales.Pero entonces el cuadrado no es magico (nopuede tener todos los numeros iguales). Luego,no puede existir un cuadrado magico 2x2.

Nuevamente estamos frente a un argumen-to sencillo e incontestable, es decir, una de-mostracion.

Problema 4. Siempre es cierto que al cortarsedos rectas los angulos opuestos por el vertice soniguales?

Este problema es distinto a los anteriores.Pero Que se pregunta aqu?


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1.3. SOBRE LA NECESIDAD DE DEMOSTRAR 3

Todos sabemos que lo afirmado siempre es

cierto, pero Como justificarlo ? Alguien po-dra decir:

) Porque as me lo ensenaron,

pero esta respuesta no satisface una mentecrtica. Ademas, a veces la memoria nos enganay puede que recuerde mal lo que me ensenaron.Como estar seguros?

Bueno, se trata de encontrar el motivo quelleva a la igualdad buscada.

Siempre ayuda una figura para ilustrar la

situacion.

Debemos encontrar el motivo que nos lleva a

conjeturar que a = c.Algunos pueden verlo inmediatamente, otros

requeriran mas tiempo, pero nos damos cuentaque es de ayuda el angulo b.

En efecto, notamos primero que a + b = 180.

Pero tambien c + b = 180.

As, tenemos que

a + b = 180 = c + b.

De donde concluimos a = c.Lo mismo puede hacerse para comprobar

que b = d.

Ahora no solo sabemos que el resultado escierto, sino que comprendemos porque es cierto.

1.3. Sobre la necesidad deDemostrar

Una demostracion es entonces una justifi-cacion incontestable de lo que se afirma. Lanecesidad de demostrarlos resultados fue vistapor los Griegos al avanzar en su estudio de laGeometra. De hecho, esto ha elevado histori-camente a los Griegos como los padres de lamatematica. C

es

a

r

F

l

o

r

e

s

S.

Sin embargo, antes de los Griegos ya se cul-tivaba la geometra y los Egipcios y Babilo-nios eran verdaderos expertos. Por ejemplo, losEgipcios utilizaban el triangulo de lados 3-4-5 para construir angulos rectos y eran espe-cialistas en la medicion de terrenos. En susmultiples viajes, los sabios griegos recopilaronmuchos de los resultados obtenidos por otrasculturas sobre la geometra. Pero entonces, siotras civilizaciones ya cultivaban esta ciencia

Porque se considera a los Griegos los padresde la Matematica ? Se trata de una injusticiahistorica ?

La diferencia es la siguiente. Egipcios y ba-bilonios deducan los resultados geometricospor la practica, y los iban perfeccionandopoco a poco para disminuir el error en susmediciones, quedandose finalmente con los quedemostraran mayor exactitud. As, si un egip-cio preguntaba a su maestro:

) Porque el tri angulo 3-4-5 forma un angu-lo recto?,la respuesta habra sido seguramente


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4

) Porque as me lo enseno mi abuelo,

ademas que funciona en la practica.Este tipo de respuesta no poda satisfacera los inquietos Griegos. Tales de Mileto, unode los siete sabios, fue el precursor de unarevision crtica de todos los resultados de lageometra conocidos hasta ese momento. Eranecesario poder distinguir los resultados ver-daderos de los falsos (rondaban muchos re-sultados dudosos). As, se trataba de saberporque un metodo que pareca funcionar eracierto. Esto es lo que distingue a los Griegosde sus precursores. Los Griegos demuestran,sus precursores solo hacen calculos y desarrrol-lan metodos por ensayo y error.

Hoy en da los matematicos siguen des-cubriendo nuevos resultados, pero necesitancomprender el porque son ciertos y justificarlosadecuadamente, es decir, demostrarlos.

1.3.1. Solo se que nada se?

Tales de Mileto vio la necesidad de revisarlos resultados geometricos conocidos y justi-ficar los verdaderos, desechando los falsos. Esteproceso crtico tuvo su culminacion con Eu-clides que escribio el tratado Elementos, en elcual se justifica toda la geometra conocida enla epoca (que no era poca).

Si los antiguos griegos fueron capaces dellevar a cabo esta revision total de susconocimientos Podras tu mismo pensar al-

gunos resultados de matematicas que conozcasy tratar de encontrar el porque son ciertos?Que es lo que realmente sabes?

Ejemplo. Las races de la ecuacion cuadratica gen-eral

Ax2 + Bx + C= 0

estan dadas por la formula

x =B B2 4AC

2A.

Demostracion. A veces conviene observarun caso mas simple a manera de gua. Si fuera

B = 0, la ecuacion queda Ax2 + C = 0. Esta

se resuelve facilmente:

x =

C/A =002 4AC

2A.

Verificandose la formula con B = 0. Para elcaso general, notemos que

Ax2 + Bx + C = 0 x2 + BA

x +C

A= 0.

Usamos un truco muy util, conocido comoLema de Nikita-Nipone. La idea es completar elcuadrado de binomio x2 + B/Ax. Esto se lograsumando ( B

2A)2. As,

x2 +B

Ax +

C

A= 0

x2 + BA

x +B2

4A2+

C

A=

B2

4A2

(x + B2A

)2 = B2

4A2 C

A= B

2

4AC4A2

,

de donde se deduce la formula conocida.

C

e

s

a

r

F

l

or

e

s

S.

Notemos que la comprension de una de-mostracion otorga maestras adicionales. Si al-guien olvida la formula puede recordar que elmetodo para resolver la ecuacion es haciendouna completacion de cuadrado.

Por ejemplo, para resolver la ecuacion

x2 4x + 1 = 0

vemos que para completar el cuadrado x2 4xse debe sumar 4, quedando la expresion

x2 4x + 4 + 1 = 4 (x 2)2 + 1 = 4

(x 2)2 = 3.

As, inmediatamente las soluciones son

x = 2 +

3, x = 2

3.


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1.4. OTROS EJEMPLOS 5

1.4. Otros Ejemplos

Una vez que se tiene claro que es necesariodemostrar lo que se afirma, se pasa a tratarde desarrollar tecnicas para encontrar justifi-caciones adecuadas. Si bien no existe (ni puedeexistir) un metodo para encontrar demostra-ciones, hay ciertas estrategias generales quepueden ayudar.

Tal vez la primera manera de enfrentar unproblema es avanzar poco a poco a partir de loshechos conocidos hasta llegar a la conclusion

que se quiere obtener.

Problema 5. Existen numeros enteros p, q talesque 5 +p2 + q2 = 2pq + 4 ?

Al intentar con varios valores para p y q, nosdamos cuenta que el lado derecho siempre re-sulta menor que el izquierdo. Si pasamos todoslos terminos al lado izquierdo, la igualdad que-da como 1 + p2 + q2 2pq = 0.

Pero notamos que p2 + q2

2pq = (p

q)2,

de donde la igualdad es

1 + (p q)2 = 0.Pero esta igualdad nunca puede cumplirse,pues el lado izquierdo siempre es mayor que1.

El problema 5 es un ejemplo de la tecnicade demostracion por avances sucesivos. Es de-cir, se avanza paso a paso, conectando distintos

hechos, hasta llegar a la conclusion.

Problema 6. Demostrar que para cualquiernumero positivo x (no necesariamente entero), secumple que x + 1

x 2.

Se nos pide demostrar que

x +1

x 2.

Ahora, nos damos cuenta que esto es equiva-lente a

x +1

x 2 0

o, lo que es lo mismo,

x2 + 1 2xx

0.

Pero podemos ver aqu que el numerador esigual a (x 1)2, lo que nos ilumina para darla demostracion, la cual puede redactarse demanera directa como sigue.

La cantidad (x1)2 = x22x +1 siemprees 0 (es un cuadrado).

Luego, como x > 0, se tienex22x+1

x 0.Simplificando la expresion anterior se ob-tiene lo que se quera.

C

e

s

a

r

F

lo

r

e

s

S.

Este problema es un ejemplo de de-mostracion retrocediendo, que consiste en par-tir de la conclusion y tratar de relacionarla conun hecho conocido, para luego deducir lo quese quiere de ese hecho conocido.

Problema 7. Sin es un numero impar, entonces laecuacionp2+pn = 0 no admite ninguna solucionentera

En efecto, supongamos que la ecuacion ad-mite una solucion p. Si p es par, p2 es par yluego p2 + p es par. Pero n es impar. Si p esimpar, p2 es impar y p2 +p es par, lo que nue-vamente niega el hecho que n es impar.

Esta es una demostracion por pesimismo.

Este tipo de demostracion se ajusta especial-mente a afirmaciones del tipo Supongamos quese cumple .... , entonces es cierto que ..... Setrata de asumir que no se cumple la conclusion,llegando a la negacion de los supuestos.

Problema 8. Si un triangulo tiene dos angulosiguales, entonces es isosceles.

Otro resultado conocido. Para justificarlo,supongamos que se cumple la igualdad de


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angulos A = B. Que pasara si los lados

opuestos a estos angulos no fueran iguales? Porejemplo, si AC > BC.

En ese caso, podemos marcar un punto P sobreACde manera que AP = BC. Pero entonces setiene la correspondencia Lado- Angulo- Lado

AP = BC, P AB = CBA,AB = BA,

y los triangulos AP B y BC A seran con-gruentes. Pero esto no puede ser, pues eltriangulo original es mas grande que el otro.Luego, los lados deben ser iguales.

Este es un ejemplo de demostraccion por re-duccion al absurdo ( o por ridiculizacion).Consiste en suponer que el resultado no es cier-to y deducir alguna barbaridad de eso. Estosignifica que el resultado no puede ser falso,por lo cual es verdadero.

Estas son solo algunas de las tecnicas quepueden identificarse. Seguramente, luego de re-

solver varios problemas, tu mismo podras de-sarrollar tus propias tecnicas.

1.5. Ejercicios

1. El cuadrado de un numero impar es unnumero impar.

2. Las diagonales de un paralelogramo sebisecan.

3. La suma de los angulos interiores de untriangulo es 180 grados.

4. Las mediatrices de un triangulo concurren

en un punto.

5. Puede recorrerse un tablero de 4x4 conlos movimientos de un caballo?

6. Encuentre todos los numeros enteros p, qque satisfacen la relacion 1 + p + q = pq. C

e

s

a

r

F

l

o

r

e

s

S.

7. Considere un cuadrado de lado entero n.

Suponga que se puede subdividir com-pletamente en triangulos rectangulos concatetos de longitud 3cm y 4cm. Demostrarque la cantidad de triangulos en que se di-vide el cuadrado siempre es par.

8. Considere cinco puntos (n1, m1), (n2, m2),(n3, m3), (n4, m4) y (n5, m5), de coorde-nadas enteras en el plano cartesiano.Muestre que el punto medio de al menos

uno de los segmentos que dichos pun-tos determinan tambien tiene coordenadasenteras.

9. Es verdad que un numero entero positivon es divisible por 3 cuando la suma de suscifras es un multiplo de 3 ?

10. Puedes encontrar y justificar un criterio

de divisibilidad por 9 ?

11. Se dibujan 5 puntos en el interior de uncuadrado de lado 2. Demuestre que almenos dos de estos puntos estan a una dis-tancia menor o igual que

2.

12. Demuestre que

2 no puede ser unnumero racional.

13. Demuestre que hay infinitos numeros pri-mos.


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1.6. COMENTARIO FINAL: LOS RESULTADOS DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL 7

1.6. Comentario Final: Los

resultados de la Ge-ometra elemental

Al hacer una revision crtica de los resulta-dos que uno conoce surge una dificultad logica:Cual es el punto de partida ?

Por ejemplo, para poder ver que los angulosopuestos por el vertice son iguales usamos elhecho que un angulo extendido mide 180. PeroComo sabemos eso? Es decir, ya que estamosdudando de todo Que me impide dudar tam-bien de esto?

Ahora, se podra responder:

) Un angulo extendido mide 180 porque con-tiene dos angulos rectos, que miden 90 cada

uno.

Pero Como sabemos lo de los angulos rectos?

En fin, los Griegos tambien vieron esta di-ficultad : Si para justificar un hecho recurroa otro hecho, entonces tengo que justificar el

justificador, y luego justificar el hecho que

justifica la justificacion... y as hasta el infini-

to.

Este crculo vicioso se rompe mediante losaxiomas. Toda teora matematica debe tenerun punto de partida, hechos que se aceptancomo verdaderos y de los cuales se debe de-ducir todo lo demas. Los Elementos de Eu-clides comienzan, en consecuencia, enumeran-

do cinco hechos que se aceptaran como ver-daderos, los Cinco postulados de Euclides. Unode ellos dice:

) Postulado 4: Todos los angulos rectosson iguales.

De este postulado se deduce que un anguloextendido mide dos rectos y, en consecuencia,los angulos opuestos por el vertice son iguales.Una de las cosas que impresionan de los Ele-mentos es el hecho que a partir de solo 5 sim-

ples postulados se pueda deducir todo resultadode la Geometra, incluyendo los mas complica-dos.

Si te interesa este tema, puedes ver mi

apunteGeometra Elemental: ResultadosBasicos. (Pronto en la red) C

e

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es

S.

Dr. Cesar Flores S. Departamento deMatematica. Universidad de Concepcion.

e-mail: [email protected]

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