Mat021 Apunte Materia

5/16/2018 Mat021 Apunte Materia - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/mat021-apunte-materia 1/63

Apuntes de Catedra N◦ 1

Matematicas 021

Mauricio Godoy MolinaAyudante del Departamento de Matematicas

Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

Valparaıso, Chile



2



Indice

I Matematicas 021 7

1 Logica Proposicional: Enfoque Algebraico 91.1 Propiedades, Definiciones y Teoremas . . . . . . . . . . . . . . 91.1.1 Definiciones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.2 Leyes de la Logica Binaria . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Tipos de Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Demostracion Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2 Reductio ad Absurdum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Temas sobre Teorıa de Conjuntos 192.1 Definiciones y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Logica Proposicional: Enfoque Cuantificacional 273.1 Introduccion a los Polinomios Booleanos . . . . . . . . . . . . 273.2 Funciones Logicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Cuantificadores: Definiciones y Aplicaciones . . . . . . . . . . 30

4 Numeros Reales 334.1 Construccion Axiomatica de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Axiomas Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.2 Axiomas de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.3 Axiomas de Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Tipos de Intervalos de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.1 Intervalos Acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.2 Intervalos no Acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Representacion Decimal: ¿Existen otras bases? . . . . . . . . . 414.4 Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.5 Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3



4 INDICE

4.5.1 Idea Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.5.2 ¿Discreto o continuo?: Cardinales . . . . . . . . . . . . 444.5.3 Otros Cardinales: Hipotesis del Continuo . . . . . . . . 484.5.4 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.6 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.6.1 Desigualdades I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.6.2 Potencias, Logaritmos y Raıces . . . . . . . . . . . . . 524.6.3 La Ecuacion Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.6.4 Desigualdades II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57



Introduccion

Parece natural, al comenzar el estudio de la ingenierıa, que la necesidadde conocer ciertos componentes basicos de las ciencias (y no tan ciencias)

que fundamentan el funcionamiento del mundo es no menos que un obje-tivo trascendental: porque lo que estudien en las matematicas y fısicas sonconocimientos que, tal vez no explıcitamente, apareceran en lo que les restede vida.

Usualmente (ası lo confirman muchos prefacios de libros de matematicas)los matematicos a la hora de escribir un libro para estudiantes, se encuen-tran con el dilema de que elegir: pedagogıa o rigidez matematica. Noes mi intencion comparar estos apuntes con obras consagradas de grandesmatematicos (vease [1]), sino estructurarlo de tal manera que compatibiliceestas dos alternativas sin restarle atencion a ninguna de ellas.

Una y otra vez los ayudantes (o al menos los preocupados de mejorar)nos hemos encontrado con el grave problema que al sugerir libros a nuestrosayudados surge la pregunta: ¿Que necesitas: de donde yo estudie, del queyo estudiarıa ahora o del que todo el mundo estudia? Esta pregunta poseeuna respuesta no trivial, dado que si sugiero el libro del que yo estudie estoycomparando mi metodo de aprendizaje con el de mi ayudado; si sugieroel libro del que estudiarıa ahora, probablemente – debido a la cantidad deconocimientos acumulados – no serıa un buen material de apoyo pedagogicopara los alumnos; finalmente al recomendar el libro del cual la gran mayorıaestudia es de esperarse que la calidad de la informacion y la rigidez con que

se tratan los contenidos sea, por decirlo de alguna manera, insuficiente.Luego, surge una interrrogante natural: ¿por que no crear un compendio

de los contenidos que deberıa dominar un alumno de la UTFSM? Esta pre-gunta parece no tener respuesta pues habiendo una cantidad apreciable dematerial en biblioteca, disponible vıa Internet, en los centros de fotocopiadodentro y fuera de la Universidad nunca los ayudantes nos habıamos prop-

5



6 INDICE

uesto realizar esta tarea. Ahora bien se preguntaran ¿por que un ayudante

y no un profesor? Facil: los ayudantes hemos sido formados como ustedes,por los mismos profesores con los que ustedes toman ramos y con los mismosmetodos de ensenanza; en cambio los profesores, pese a poseer muchısimomas conocimiento que nosotros, han sido educados por otros profesores dife-rentes – salvo honrosas excepciones – a los que actualmente hacen clases enla Universidad y con metodologıas que difieren bastante de las actuales.

Espero que estos apuntes (que lamentablemente se han vuelto un resumende definiciones, teoremas y ejemplos) se complementen con la bibliografıa ycon los Ejercicios Propuestos y sirvan de guıa tanto a alumnos como ayu-dantes para tratar de comprender las necesidades de unos y otros, es decir:

Ayudantes: Tenemos que dejar de ser paltosos pues nuestros ayudadosnecesitan contenidos, no miles de ejercicios resueltos en forma vacıa;necesitan que los invitemos a elaborar conceptos.

Ayudados: Deben olvidar la mecanizacion, es decir, esta es una cordial in-vitacion a que realicen el trabajo que, espero, van a desarrollar durantesu vida profesional: pensar .

Mauricio Godoy Molina.Ayudante del Departamento de Matematicas.

Valparaıso, 2005.



Parte I

Matematicas 021

7





Capıtulo 1

Logica Proposicional: Enfoque

Algebraico

1.1 Propiedades, Definiciones y Teoremas

Ası como en el texto de Ferrater y Leblanc (ver [9]) comenzaremos citandoal insigne Condillac 1 “(. . . la ciencia) es un lenguaje bien hecho”; haciendoun pequeno analisis a esta frase y remitiendonos a la logica vemos que esta,como la conocemos actualmente, es el lenguaje perfecto (o, al menos, lo mas

perfecto que nos puede permitir nuestra imperfeccion natural). Es por estoque resulta de vital importancia comenzar el estudio de las matematicas nece-sarias para la comprension de las ciencias y la ingenierıa con un breve vistazoa los fundamentos algebraicos de la logica simbolica binaria. Como veremosen los capıtulos siguientes, la logica simbolica tiene una conexion ıntima conla gran mayorıa de los contenidos a ver en este curso, tanto ası que existenproposiciones logicas que definen conceptos importantes, a modo de ejemplo:la teorıa intuitiva de conjuntos hereda leyes y propiedades de la logica, ladefinicion de lımite esta formulada en forma de proposicion cuantificacional(que se vera en un capıtulo posterior), algunas demostraciones hacen uso depropiedades de conectivos, etc.

Mas aun, se daran cuenta, a lo largo del extenso camino matematico queles queda por recorrer en la Universidad, de que la mayorıa de los temasque se van a abordar no son precisamente practicos en el sentido usual que

1Etienne Bonnot, Abbe de Condillac, 1714-1780. Logico frances que hizo grandes

aportes al movimiento filosofico empirista de Locke, Berkeley y Hume.

9



10CAP ITULO 1. LOGICA PROPOSICIONAL: ENFOQUE ALGEBRAICO

ustedes conocen. El objetivo principal no es que sean expertos en logica (o

en otras disciplinas matematicas) ni que se dediquen a dilucidar los secretosde este bellısimo lenguaje (de hecho, la historia indica que muchas de laspersonas que se han dedicado a este delicado asunto han terminado sus dıascon serios danos psiquiatricos; si les interesa un ejemplo pueden consultar labiografıa de Kurt Godel en [10]) sino que, por sobre todas las cosas, seanpersonas logicas.

Sin mas preambulos, esperando que tengan exito y que estos apuntes lessean de utilidad para lograrlo, comencemos el curso MAT-021. Bienvenidosa la UTFSM.

1.1.1 Definiciones BasicasComencemos el estudio de la logica simbolica binaria con algunas definiciones:

Definicion 1.1.1 Diremos que un valor de verdad es simplemente la consi-deraci´ on de verdadero o falso. Utilizaremos la notaci´ on estandarizada V para verdadero y F para falso.

Definicion 1.1.2 Una proposici´ on es una frase (juicio o sentencia) quetiene asociado un valor de verdad.

Ejemplos:

1. 2+2=5

2. ‘2+2=5’ es una proposicion.

3. ‘2+2=5’ es una proposicion falsa.

Observacion: Se suelen ocupar las semicomillas ‘’ para denotar la refe-rencia a otra proposicion o partıcula. Esto se conoce como metal´ ogica L1.Al hacer sucesivas metalogicas L1 se pueden obtener metalogicas de orden n,

denotadas por Ln. Por ejemplo, es incorrecto, segun esta notacion, escribir:

Logica es una palabra trisilabica

en cambio, es correcto escribir:

‘Logica’ es una palabra trisilabica.



1.1. PROPIEDADES, DEFINICIONES Y TEOREMAS 11

mas aun podemos crear una proposicion L2 simplemente diciendo

“Logica’ es una palabra trisilabica’ es una proposicion verdadera.

y ası sucesivamente.

Definicion 1.1.3 Un operador unario es una operaci´ on que, al aplicarse a una proposici´ on, cambia o matiene su valor de verdad.

Los operadores unarios, en logica binaria, son:

1. Negacion: Este operador cambia el valor de verdad de una proposici onde verdadero a falso o viceversa.

Si denotamos por p a una proposicion, su negacion se denota por ¯ p

2. Identidad: Este operador conserva el valor de verdad inicial de unaproposicion p.

Definicion 1.1.4 Un conectivo binario es un operador que crea una nueva proposici´ on de verdad a partir de otras dos.

Entre los conectivos binarios podemos destacar los siguientes

1. Conjuncion: Este operador toma dos proposiciones con sus respectivosvalores de verdad y entrega falso si existe al menos un valor de verdad

falso entre las dos proposiciones. En caso contrario, entrega verdadero.

Si denotamos por p y q a dos proposiciones, su conjuncion se denotapor p ∧ q.

2. Disyuncion: Este operador toma dos proposiciones con sus respectivosvalores de verdad y entrega verdadero si existe al menos un valor deverdad verdadero entre las dos proposiciones. En caso contrario entregafalso.

Si denotamos por p y q a dos proposiciones, su disyuncion se denotapor p

∨q.

3. Implicacion: Este operador toma dos proposiciones con sus respectivosvalores de verdad y entrega falso si la primera proposicion tiene el valorde verdad verdadero y la segunda tiene el valor de verdad falso.

Si denotamos por p y q a dos proposiciones, su implicacion se denotapor p ⇒ q.




4. Doble Implicacion: Este operador toma dos proposiciones con sus res-

pectivos valores de verdad y entrega falso si ambas proposiciones tienendiferentes valores de verdad.

Si denotamos por p y q a dos proposiciones, su conjuncion se denotapor p ⇔ q.

Observacion: En el caso de que tengamos la proposicion p ⇒ q diremosque q es condicion necesaria para p, o bien que p es condicion suficiente paraq. La explicacion de estos terminos se iran comprendiendo a lo largo delcurso.

Definicion 1.1.5 Una proposici´ on primitiva es aquella que no se puede re-ducir a otras proposiciones m´ as b´ asicas unidas por conectivos o por ope-radores unarios. En general cuando hablemos de las proposiciones p y q,estamos diciendo que p y q son proposiciones primitivas.

Ejemplos:

1. Paris esta en Francia.

2. 5 ≤ 10150.

3. Todo par es primo.

Observacion: No confundamos lo que corresponde a proposiciones primi-tivas en la logica con lo que corresponden a las partıculas primitivas de unaestructura teorica formal (como la matematica o cualquier otro cuerpo a-xiomatico). Las partıculas primitivas de un sistema axiomatico formal sonconocidos como axiomas y pueden no ser traducibles como proposicionesprimitivas en el sentido de la logica (para un detalle mejor puede consultarse[32]).

Definicion 1.1.6 Una proposici´ on compuesta es aquella que es formada a partir de proposiciones primitivas utilizando conectivos binarios u operadoresunarios. Eventualmente puede ser reducida a proposiciones primitivas, perosin perder su car´ acter de proposici´ on compuesta. Las proposiciones primiti-vas que forman una proposici´ on compuesta son conocidas como proposicionescomponentes.



1.1. PROPIEDADES, DEFINICIONES Y TEOREMAS 13

Ejemplos:

1. Si p, q y r son proposiciones primitivas, podemos crear la siguienteproposicion compuesta: ¯ p ∧ [(q ⇒ r) ∨ (q ⇔ r)].

2. En el lenguaje usual podemos encontrar proposiciones compuestas, porejemplo: Si digo que me gusta la Cato, entonces me gusta el futbol.Obviamente no es lo mismo que decir que si no me gusta el futbol,entonces no me gusta la Cato. Claramente esta proposicion debe tenerun valor de verdad (¿o no?).

Definicion 1.1.7 Una tabla de verdad es un resumen gr´ afico de los valoresde verdad de proposiciones compuestas a partir de las posibles combinacionesde valores de verdad de las proposiciones componentes.

Veamos la tabla de verdad de las operaciones basicas.

p q p p ∨ q p ∧ q p ⇒ q p ⇔ qV V F V V V VV F F V F F FF V V V F V FF F V F F V V

Definicion 1.1.8 Una tautologıa es una proposici´ on compuesta que, sin im-

portar el valor de verdad de sus proposiciones componentes, siempre entrega el valor de verdad verdadero.

Ejemplos:

1. p ∨ ¯ p

2. ( p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ ¯ p)

Definicion 1.1.9 Una contradicci´ on es una proposici´ on compuesta que, sin importar el valor de verdad de sus proposiciones componentes, siempre en-

trega el valor de verdad falso.

Ejemplos:

1. Toda negacion de una tautologıa es una contradiccion.

2. p ∧ ¯ p




1.1.2 Leyes de la Logica Binaria

Con estas definiciones podemos mostrar algunas de las leyes que rigen elalgebra proposicional. Estas reglas son en realidad teoremas pero, por sim-pleza, no los establecere como tales y, como es de esperarse no dare su de-mostracion.

Leyes de Idempotencia

[ p ∨ p] ⇔ p [ p ∧ p] ⇔ p

Leyes de Asociatividad

[( p ∨ q) ∨ r] ⇔ [ p ∨ (q ∨ r)]

[( p ∧ q) ∧ r] ⇔ [ p ∧ (q ∧ r)]

Leyes de Conmutatividad

[ p ∨ q] ⇔ [q ∨ p] [ p ∧ q] ⇔ [q ∧ p]

Leyes de Distribucion

[ p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)][ p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)]

Leyes de Identidad

[ p ∨ F ] ⇔ p [ p ∨ V ] ⇔ V

[ p ∧ F ] ⇔ F [ p ∧ V ] ⇔ p

Leyes de Complemento

[ p ∨ ¯ p] ⇔ V [ p ∧ ¯ p] ⇔ F

(¯ p) ⇔ p

(la ley anterior es mejor conocida como la involucion de la negacion)

V ⇔ F F ⇔ V



1.2. TIPOS DE DEMOSTRACIONES 15

Ley de Absorcion

( p ∨ q) ∧ p ⇔ p ( p ∧ q) ∨ p ⇔ p

Leyes de De Morgan

( p ∨ q) ⇔ [¯ p ∧ q]

( p ∧ q) ⇔ [¯ p ∨ q]

Observacion: Mas alla de memorizar todas estas propiedades (las cualesse haran mucho mas claras en el capıtulo 2) lo importante es indicar paso

a paso el razonamiento que permitio reducir una expresion a otra, o bien adeterminar en forma precisa su valor de verdad.

Observacion: La correcta utilizacion de estas leyes permite establecer equiv-alencias y valores de verdad algebraicos; al reemplazar las proposiciones p,q o r por proposiciones linguısticas que poseen un valor de verdad determi-nado nos permiten darnos cuenta mas facilmente de la utilidad que prestanen nuestro lenguaje coloquial.

Ejemplo: Se conoce la tautologıa p

∨¯ p, luego la siguiente proposicion

linguıstica compuesta

llueve o no llueve

es siempre verdadera.

1.2 Tipos de Demostraciones

La idea de demostrar afirmaciones nace en los albores del pensamiento mate-matico cuando un mercader de Mileto llamado Tales se percata de que en

diferentes lugares existıan formulaciones diferentes a problemas equivalentes:tenıa la necesidad de discriminar cual formulacion era la correcta y poderexplicar, con fundamentos solidos, el por que lo era.

En esta pequena seccion pretendo referirme a dos tipos esenciales de de-mostracion: demostraciones directas y por reductio ad absurdum . Si bienpareciese ser que a traves de un camino logico de proposiciones verdaderas




debiesemos llegar a verificar todos los teoremas no siempre es ası y necesita-

mos recurrir a la tautologıa

[ p =⇒ q] ⇐⇒ [q =⇒ ¯ p]

la cual define al razonamiento por absurdo: negar lo que queremos probarpara obtener una contradiccion.

Definicion 1.2.1 Una demostraci´ on es un conjunto de pasos l´ ogicos que por medio de sucesivas implicancias verifica una afirmaci´ on a partir de otras.Las afirmaciones utilizadas se conocen como hip´ otesis y la afirmaci´ on que sedemuestra se conoce como tesis.

Observacion: Todo teorema puede escribirse de la forma

H =⇒ T

donde H correponde al conjunto de las hipotesis del teorema (es decir lasproposiciones que supondremos verdaderas) y T al de las tesis (las proposi-ciones que queremos demostrar haciendo uso de las hipotesis).

1.2.1 Demostracion Directa

Creo prudente el entender ambos tipos de demostracion en base a un ejemploen cada caso. Demostremos el siguiente

Teorema 1.2.1 (de Pitagoras) Si en un tri´ angulo rect´ angulo denotamosa la medida de sus catetos por a y b y a la de su hipotenusa por c, entoncesse cumple la siguiente relaci´ on:

a2 + b2 = c2

Demostracion 1.2.1 A pesar de la gran cantidad de demostraciones de este

teorema que se puede encontrar en literatura a diferentes niveles (geometrıa vectorial, trigonometrıa, teorema de Parseval, etc.) pretendo mostrar una delas m´ as simples que yo conozco.

Supongamos que a < b. Dibujemos un cuadrado de lado a + b. Dividamosel cuadrado en dos peque˜ nos cuadrados de lados a y b que comparten s´ oloun vertice. En los dos rect´ angulos de lados a y b se ubican cuatro tri´ angulos



1.2. TIPOS DE DEMOSTRACIONES 17

rect´ angulos de catetos a y b. Traslad´ andolos de tal suerte que cada vertice

opuesto a la hipotenusa coincida con un vertice del cuadrado y haciendo coin-cidir el vertice opuesto al cateto a con el vertice opuesto al cateto b claramentese tiene el teorema de Pit´ agoras a partir de la comparaci´ on del primer con el ´ ultimo cuadrado.

1.2.2 Reductio ad Absurdum

Como dijese Holbrook Jackson: “La reductio ad absurdum es el razonamientofavorito de Dios”. Difıcilmente se puede expresar mejor en palabras la bellezade este tipo de demostracion. Desde la gran mayorıa de los teoremas deunicidad de las matematicas hasta el sofisticado teorema de incompletitud deChaitin fundamental en la Teorıa de Informacion Algorıtmica, pocas formasde pensar han rendido tantos frutos como esta sutileza l ogica. El ejemploque explicara lo potente de este razonamiento corresponde a otro teoremaclasico.

Teorema 1.2.2 (de Euclides) Existen infinitos n´ umeros primos.

Demostracion 1.2.2 Sup´ ongase que existen finitos n´ umeros primos, es de-cir, el total de n´ umero primos fuese { p1, p2, . . . , pr}. Luego, si formamos el n´ umero

N = 1 + p1 · p2 · p3 · . . . · pr

se observa claramente que N no es divisible por ning´ un primo dado por el conjunto finito de primos que supusimos originalmente.

Ahora bien, si N es primo no pertenece a la secuencia dada pues esmayor que cualquiera de los n´ umeros del conjunto; si N es compuesto, esdivisible por un primo diferente a los de la secuencia; por lo tanto, existe una contradicci´ on a la hip´ otesis de una secuencia finita.

Observacion: Notese que dado que la tautologıa que permite el reductioad absurdum requiere que se invierta el orden de las proposiciones lo que se

debe negar es la tesis para tratar de contradecir las hipotesis que se suponenverdaderas.

Observacion: Un tipo especial de demostracion directa es conocido comoel Principio de Induccion Completa; su analisis y utilizacion como argumentovalido de demopstracion se vera posteriormente.






Capıtulo 2

Temas sobre Teorıa de

Conjuntos

Con los conocimientos obtenidos en el capıtulo anterior y teniendo presenteque ciertas operaciones van a tener analogos evidentes entre la teorıa deconjuntos y la logica binaria no veo la necesidad de dar una introduccionmuy acabada.

En todo caso, siempre es bueno hacer la siguiente precauci on: no se dejenllevar por lo simple que pudiese parecer un contenido; en general encierrandificultades inesperadas y son las que precisamente suelen aparecer en las

evaluaciones.

Observacion: Se supone que todos estan familiarizados con los diagramasde Venn-Euler (o diagramas de Venn), los cuales vienen a ser los analogosde las tablas de verdad de l ogica; es por esto que no se recomiendan paranada mas que para visualizar el problema pues no bastan para probar unaproposicion.

2.1 Definiciones, Conceptos y Propiedades:

Relacion con la Logica BinariaPara comenzar este importante topico observemos que la definicion de conjunto, que pareciese ser algo trivial, no lo es tanto; a saber les propongo elsiguiente problema: traten de definir un conjunto sin utilizar las palabrascolecci´ on , familia , agrupaci´ on o cualquier otra del mismo campo semantico.

19



20 CAP ITULO 2. TEMAS SOBRE TEORIA DE CONJUNTOS

¿No pueden? Los matematicos tampoco. Es por este hecho que consideramos

que el concepto de conjunto – ası como el de elemento – es un concepto (lla-mado) primitivo. Para efectos del desarrollo apropiado de esta seccion esimportante que reconozcan en el sentido usual los conjuntos N, Z y Q.

Observacion: Denotaremos a los conjuntos por letras mayusculas comoA, B, C, etc. y a los elementos por medio de letras minusculas como a, b, c,etc.

Observacion: Existen, en esencia, dos maneras de definir conjuntos: porextension o por comprension. En el caso de un conjunto definido por ex-

tension se muestran todos los elementos del conjunto. Asimismo, en el casoen que el conjunto es definido por comprension, se expresan todos y cadauno de los elementos por medio de una regla general que los define a todos.En uno y otro caso un conjunto se escribe entre parentesis tipo llave: {}.

Ejemplos:

1. El conjunto A de todos los numeros pares menores e iguales que 10queda definido por extension de la siguiente manera:

A = {2, 4, 6, 8, 10}

2. El conjunto de los numeros primos queda definido por comprension por:

P = { p| p es primo}(desde ahora en adelante el sımbolo | representara la expresion tal que).

3. Dado que un conjunto no necesariamente tiene que estar compuestopor numeros, les propongo el conjunto

B = {, ◦, ♣, ♦, ♥, ♠, }Observacion: Claramente podemos definir un conjunto de mas de una

forma. Por ejemplo, el conjunto A del ejemplo anterior tambien se puedeescribir A = {n|n es par menor o igual a 10}, etc.

Definicion 2.1.1 Diremos que dos conjuntos son iguales si y s´ olo si poseen los mismos elementos. De esta definici´ on se deduce inmediatamente que en la representaci´ on de un conjunto no importa el orden en que se muestren suselementos.



2.1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES 21

Observacion: La sentencia logica ‘el elemento a se encuentra contenido en

el conjunto A’ se denota simbolicamente a ∈ A.

Ejemplos: Usemos los mismos conjuntos utilizados en el ejemplo ante-rior.

1. Claramente se tiene que 2 ∈ A y que 5 /∈ A por simple inspeccion.

2. Evidentemente 91 /∈ P (pues 91 = 7 · 13), pero 101 ∈ P .3. Simplemente corresponde que ℵ /∈ B, pero ∈ B.

Para estructurar lo mejor posible nuestra breve visita a la teorıa intuitivade conjuntos necesitamos restringir nuestra conversacion. Para esto, veamosla siguiente

Definicion 2.1.2 Diremos que un conjunto es finito si y s´ olo si tiene un n´ umero finito de elementos.

Esta definicion es muy importante pues, por ejemplo, aunque tener conjuntos con un numero finito o infinito de elementos puede no representar grandiferencia en ciertos casos, en otros casos esta es no menos que trascendental(por ejemplo al definir el numero de elementos de un conjunto). En lo suce-

sivo solo de ser necesario estableceremos explıcitamente si un conjunto es ono finito.

Observacion: No presenta mayor dificultad el notar que un conjunto in-finito no puede ser representado por extension. Aun ası existen representa-ciones mixtas de conjuntos infinitos, las cuales tratare de evitar al menos eneste capıtulo. A modo de ejemplo representativo, el conjunto de los numerospares puede representarse de la siguiente manera:

{2, 4, 6, 8, . . . , 2n , . . .}

Ahora bien, parece natural el definir la cantidad de elementos de unconjunto finito.

Definicion 2.1.3 Dado un conjunto A finito. Diremos que este tiene car-dinalidad n ∈ N si y s´ olo si el n´ umero de elementos de A es exactamente n.De ser este el caso escribiremos #A = n




Observacion: Este concepto puede ser ampliado a conjuntos de cardinali-

dad infinita. Para ejemplos de esto, pueden ver [11] o bien [30], o bien esperarla seccion 4.5.

Definicion 2.1.4 Diremos que un conjunto B es un subconjunto de A si todo elemento de B est´ a tambien en A; este hecho se denota por B ⊆ A.Escrito en terminos l´ ogicos diremos que:

(B ⊆ A) ⇐⇒ (x ∈ B =⇒ x ∈ A)

En el caso en que se sepa que A = B y que B ⊆ A podemos decir que B esun subconjunto propio de

Ay se escribir´ a simplemente

B ⊂ A.

Definicion 2.1.5 Diremos que el conjunto ∅ es el conjunto vacıo si y s´ olo si este no posee ning´ un elemento. ∅ tambien se representa por {}. En terminosl´ ogicos, este se puede expresar por:

(x ∈ ∅) ⇐⇒ (x = x)

Observacion: El termino posterior de la doble implicancia de la definicionpuede ser reemplazado por cualquier contradiccion que involucre a x.

Observacion: Notemos que ∅ ⊂ A para todo posible conjunto A, es decir,el conjunto vacıo es subcconjunto de todo conjunto.Para efectos de algebra de conjuntos y aplicaciones importantes (como en

teorıa de medida, ver [30] y [31]; o en teorıa de probabilidades, ver [20]) de laingenierıa y la matematica es imprescindible definir un conjunto que poseatodos los posibles elementos de los conjuntos con los que se esta trabajando.El definir un conjunto que posea todos (y absolutamente todos) los elementosposibles en general conlleva a algunas paradojas en el sistema de la teorıastandard de conjuntos (cuyos axiomas conocidos como la teorıa formal deZermelo-Fraenkel pueden ser consultados en [4]).

Definicion 2.1.6 Diremos que el conjunto U es el conjunto universo (o uni-versal) relativo a los conjuntos A1, A2, . . . (secuencia finita o infinita de conjuntos) si y s´ olo si contiene (al menos) todos los elementos de los conjuntosde la secuencia anterior. En terminos l´ ogicos

(x ∈ U ) ⇐⇒ (x = x)




Observacion: Claramente, al igual que en el caso de ∅, podemos reem-

plazar el miembro derecho de la doble implicancia por cualquier otra tau-tologıa que involucre a x.

Definicion 2.1.7 Dado el conjunto A, se define su conjunto potencia P (A)como el conjunto de subconjuntos de A. Es decir, en terminos l´ ogicos

(V ⊆ A) ⇐⇒ (V ∈ P (A))

Hasta ahora no me he referido al problema que se presenta cuando que-remos operar con los conjuntos que hemos definido.

Definicion 2.1.8 Diremos que el conjunto A ∪ B es el conjunto uni´ on delos conjuntos A y B si y s´ olo si cualquier elemento tanto de A como de B seencuentra en A ∪ B. En terminos l´ ogicos se expresa por:

(x ∈ A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B)

Definicion 2.1.9 Diremos que el conjunto A∩B es el conjunto intersecci´ on de los conjuntos A y B si y s´ olo si cualquier elemento com´ un de A y de Bse encuentra en A ∪ B. En terminos l´ ogicos se expresa por:

(x∈ A ∩ B

)⇐⇒

(x∈ A ∧

x∈ B

)

Observacion: Cuando ocurra que dos conjuntos tengan interseccion vacıa(tambien llamados disjuntos) hablaremos, en lugar de la union usual, deunion disjunta. Si (A ∩ B = ∅) ⇔ (A ∪ B = A∪B).

Definicion 2.1.10 Diremos que el conjunto A−B es el conjunto diferencia de los conjuntos A y B si y s´ olo si cualquier elemento de A − B est´ a en A,pero no en B. En terminos l´ ogicos se expresa por:

(x

∈ A − B)

⇐⇒(x

∈ A ∧x /

∈ B)

Definicion 2.1.11 Diremos que el conjunto AB es el conjuno diferencia simetrica si y s´ olo si cualquier elemento de AB se encuentra en A o en B,pero no en ambos. En nomenclatura l´ ogica se tiene:

(x ∈AB) ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B)




Definicion 2.1.12 Diremos que el conjunto Ac es el complemento del con-

junto A con respecto del universo U si y s´ olo si contiene a todos los puntosdel universo que no pertenecen a A. En formulaci´ on l´ ogica:

(x ∈ Ac) ⇐⇒ (x /∈ A)

A continuacion veamos una tabla comparativa entre la teorıa de conjuntosy la logica proposicional, en base a lo mostrado en las definiciones.

Conjuntos Logica Prop.A ⊆ B p ⇒ q

A ∪ B p ∨ qA ∩ B p ∧ qA − B p ∧ qAB p ∨ qAc ¯ p

En base a esta tabla se deducen todas las propiedades de los conjuntos,pues son heredadas directamente de la logica proposicional. Por ejemplola union de conjuntos es conmutativa y asociativa pues el conectivo ∨ esconmutativo y asociativo, asimismo podemos verificar la involucion del com-plemento, etc. Dadas todas las propiedades y el algebra de la logica quedantotalmente definidas las propiedades y el algebra de conjuntos. Si bien todaslas propiedades heredadas deben demostrarse (ası como las propiedades quelos originan que, en su momento, no fueron demostradas) no creo prudentehacerlo en este momento. Aun ası, entregare las leyes que se cumplen enteorıa de cojuntos en el mismo orden y con los mismos nombres que en elcaso de la logica proposicional.

Leyes de Idempotencia

A ∪ A=

A A ∩ A=

ALeyes de Asociatividad

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)




Leyes de Conmutatividad

A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

Leyes de Distribucion

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Leyes de Identidad

A ∪ ∅ = A A ∪ U = U

A ∩ ∅ = ∅ A ∩ U = A

Leyes de Complemento

A ∪ Ac = U A ∩ Ac = ∅

(Ac)c = A(la ley anterior es mejor conocida como la involucion del complemento)

U c = ∅ ∅c = U

Ley de Absorcion

(A ∪ B) ∩ A = A (A ∩ B) ∪ A = A

Leyes de De Morgan

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc




Observacion: Creo a lugar el insistir que las leyes de la l ogica proposi-

cional son exactamente las mismas que las de la teorıa de conjuntos, es decir,operar en logica proposicional es exactamente lo mismo que operar en teorıa(intuitiva) de conjuntos.

Definicion 2.1.13 Diremos que el producto cartesiano entre los conjuntosA y B, por ejemplo,

A = {a1, a2, . . . , am} B = {b1, b2, . . . , bn}

es el conjunto de pares ordenados:

A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} =

= {(a1, b1), (a1, b2), . . . , (a1, bn), (a2, b1), (a2, b2), . . . , (am, bn)}

Observacion: En el caso particular en que A = B en la definicion anterior,escribiremos el producto cartesiano A × B como A2.

Observacion: Claramente podemos definir el producto cartesiano de dos,tres o, en general, n conjuntos introduciendo el concepto de ternas, cuartasy, en general, n-uplas ordenadas (secuencias ordenadas de n valores) con

los elementos de n conjuntos, usando asociacion, es decir, si queremos elproducto cartesiano de A1, A2, . . . , An tendremos

A1 × A2 × . . . × An = {(a1, a2, . . . , an)|a1 ∈ A1; a2 ∈ A2; . . . ; an ∈ An}

Si todos ellos fuesen iguales, se extiende la notacion de la observacion ante-rior, es decir, el producto anterior serıa An.



Capıtulo 3

Logica Proposicional: Enfoque

Cuantificacional

Cuando establecimos la maravillosa correspondencia entre las leyes de lalogica proposicional y la teorıa intuitiva de conjuntos no hice hincapie en queno es la unica relacion posible de establecer entre estas dos teorıas. Otraforma de relacionarlas, la cual ha entregado maravillosas nuevas ideas a lamatematica, es por medio de los llamados cuantificadores. Las aplicaciones,principalmente en areas relacionadas con informacion (ver [29]) son tan im-portantes que nuevos descubrimientos se han basado en la capacidad de los

cuantificadores de establecer esta conexion (por ejemplo, haciendo uso de lalogica, la teorıa de conjuntos y el reductio ad absurdum , entre otras ideas, sepudo obtener en la teorıa de informacion algorıtmica el famoso Teorema deIncompletitud de Chaitin, ver [32]).

3.1 Introduccion a los Polinomios Booleanos

Importante es aclarar que usualmente este no es un t opico correspondiente aMAT 021. Debido a su simpleza y a la utilidad de sus resultados y notaciones

no me explico el por que ni siquiera se menciona (permıtome observar queeste topico se extiende bastante mas al considerar ciertas operaciones, dehecho, existe el Algebra Booleana1).

Definicion 3.1.1 Diremos que un polinomio booleano es una proposici´ on

1George Boole, 1813-1864, insigne matematico ingles

27



28CAP ITULO 3. LOGICA PROPOSICIONAL: ENFOQUE CUANTIFICACIONAL

compuesta donde el valor de verdad de las proposiciones componentes es vari-

able.

Ejemplos:

1. Un caso con una variable podrıa ser f (r) = r ∨ [r ⇒ (r ∧ r)].

2. En dos variables se tiene g( p, q) = [( p ⇔ q) ∧ q] ∨ (¯ p ∧ q).

3. Combinando polinomios booleanos se pueden obtener otros mucho mascomplicados, por ejemplo h( p, q, r) = [f (r) ⇔ g( p, q)] ∨ f (r).

Observacion: Notemos que el proceso en que se construye una tabla deverdad pasa necesariamente por establecer la proposicion compuesta comoun polinomio booleano pues, al hacer la tabla de verdad, se hacen variar losvalores de verdad de las proposiciones componentes.

Ahora podemos preocuparnos de dar valores de verdad a las diferentesproposiciones componentes de un polinomio booleano. Sabemos que unaproposicion siempre posee un valor de verdad, por lo tanto es evidente quereemplazando en el polinomio booleano proposiciones conocidas este entre-gara un valor de verdad.

Ejemplos:

1. En el ejemplo anterior consideremos, por ejemplo, una proposicion ver-dadera, tal como r : { Nicolas Gogol es el escritor de La Nariz}. Luegose tiene que f (r) = F ∨ [V ⇒ (V ∧ F )] = F .

2. Asimismo, con el segundo ejemplo si consideramos las proposiciones p : {2 + 2 = 5} y q : {2 + 2 = 4} se tiene g( p, q) = [(F ⇔ F ) ∧ V ] ∨(V ∧ V ) = V .

3. Reemplazando exactamente lo mismo anterior en el tercer ejemploobtenemos h( p, q, r) = [F ⇔ V ] ∨ V = V .

Obsservacion: El lector cuidadoso ya se debe haber dado cuenta de que sicambiamos las proposiciones de un polinomio booleano por otras que tenganel mismo valor de verdad el valor final del polinomio no cambia.



3.1. INTRODUCCI ON A LOS POLINOMIOS BOOLEANOS 29

Basicamente estos polinomios nos permiten expresar conceptos anteriores

de una manera un poco mas formal, como por ejemplo las siguientes defini-ciones son una reescritura de las Definiciones 1.1.8 y 1.1.9.

Definicion 3.1.2 Diremos que una proposici´ on escrita en forma de poli-nomio booleano f ( p, q, . . .) es una tautologıa si f ( p0, q0, . . .) entrega siempreverdadero sin importar las proposiciones p0, q0, . . .

Definicion 3.1.3 Diremos que una proposici´ on escrita en forma de poli-nomio booleano f ( p, q, . . .) es una contradicci´ on si f ( p0, q0, . . .) entrega siem-pre falso sin importar las proposiciones p0, q0, . . .

Ademas de esto, podemos crear nuevos conceptos utilizando los poli-nomios booleanos tales como

Definicion 3.1.4 Diremos que dos proposiciones f ( p, q, . . .) y g( p, q, . . .) son l´ ogicamente equivalentes si y s´ olo si para el mismo conjunto de proposiciones p0, q0, . . . siempre entregan el mismo valor de verdad. Reformulando esta aseveraci´ on notamos que dos proposiciones son l´ ogicamente equivalentes si y s´ olo si poseen la misma tabla de verdad.

Observacion: Denotaremos la equivalencia logica entre las proposicionesf ( p, q, . . .) y g( p, q, . . .) por f ( p, q, . . .) ≡ g( p, q, . . .).

Ejemplos:

1. Si definimos ϕ(r) = r se tiene, usando el polinomio booleano f delejemplo, que f (r) ≡ ϕ(r).

2. Se tiene la equivalencia logica f ( p, q, . . .) ≡ g( p, q, . . .) si y s olo si laproposicion f ( p, q, . . .) ⇔ g( p, q, . . .) es una tautologıa.

Definicion 3.1.5 Diremos que la proposici´ on f ( p, q, . . .) implica l´ ogicamentea la proposici´ on g( p, q, . . .) si y s´ olo si se cumple que f ( p, q, . . .) ⇒ g( p, q, . . .)es una tautologıa.




3.2 Funciones Logicas

Para empezar correctamente este capıtulo establezcamos una pequena ge-neralizacion del concepto de proposicion estudiado en el primer capıtulo. Sibien el conepto de proposicion nos parece natural, apropiado y casi concreto,para la matematica es insuficiente para muchos de sus propositos (para lalogica es mas que suficiente para gran parte de su teorıa, por ejemplo, parala sintactica, ver [9]). Esta generalizacion, en un principio un poco oscurasera el punto de partida de una de las ideas fructıferas de la conexion entrelogica y conjuntos.

Definicion 3.2.1 Diremos que una funci´ on l´ ogica es una regla que asocia

a cada elemento de un conjunto la caracterıstica de verdadero o falso. La notaci´ on para esto es p(x), x ∈ A donde p(x) es una funci´ on l´ ogica para el conjunto A.

Ejemplos:

1. Es evidente que, sin importar el conjunto A = ∅ que consideremos, lafuncion logica p(x) = {x|x ∈ A} es una tautologıa.

2. La funcion logica q(x) para el conjunto B = {, ◦, ♣, ♦, ♥, ♠, }definida por q(x) =

{x|x es un palo de la baraja

}entrega los valores

logicos q() = F , q(♥) = V , etc.

En capıtulos posteriores nos encargaremos de aclarar, con mas detallesque es una funcion, pero por ahora es una regla de asociacion que entrega uny solo un valor de verdad por cada entrada de un conjunto.

Observacion: Es importantısimo a la hora de considerar una funcion logicael dejar lo mas claro posible el conjunto al cual se refiere la funcion.

3.3 Cuantificadores: Definiciones y Aplica-ciones

Ahora que ya extendimos el concepto de valores de verdad a los elementos deun conjuto basandose en una funcion logica, podemos incorporar en nuestroanalisis las definiciones de los dos cuantificadores que utilizaremos.



3.3. CUANTIFICADORES: DEFINICIONES Y APLICACIONES 31

Definicion 3.3.1 Diremos que ∀ es el cuantificador universal, pues dada

una funci´ on l´ ogica p(x) definida en el conjunto A se tiene que la proposici´ on ∀x ∈ A : p(x) es verdadera si y s´ olo si p(x) entrega verdadero para todos y cada uno de los elementos de A.

Observacion: El cuantificador universal se lee “para todo”, es decir laproposicion ∀x ∈ A : p(x) se lee “para todo x en A se cumple p(x)”.

Definicion 3.3.2 Diremos que ∃ es el cuantificador existencial, pues dada una funci´ on l´ ogica p(x) definida en el conjunto A se tiene que la proposici´ on ∃x ∈ A : p(x) es verdadera si y s´ olo si p(x) entrega verdadero para al menosuno de los elementos de

A.

Observacion: El cuantificador existencial se lee “existe”, es decir la proposici on∃x ∈ A : p(x) se lee “existe un x en A que cumple p(x)”.

Ejemplos: Veamos algunas proposiciones verdaderas y falsas con losdiferentes cuantificadores y algunas composiciones.

1. ∀x ∈ R− {0} : x2 ∈ R− {0} es una proposicion verdadera. En cam-

bio ∀A ∈ U : A ∪ Ac = ∅ es una proposicion falsa (suponiendo, claro,que U = ∅).

2. ∃x ∈ [0, 1] : x2 − 1

2= 0 es una proposicion verdadera. Asimismo la

proposicion ∃A ∈ U : A ∪ Ac = ∅ es una proposicion falsa (suponiendo,claro, que U = ∅).

3. (∀x ∈ R)(∃y ∈ R+0 )(x2 = y) es una proposicion claramente verdadera.

Finalmente la proposicion (∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(√

xy =√

x√

y) es evi-

dentemente falsa.

Teorema 3.3.1 (de De Morgan) Si se tiene una proposici´ on cuantifica-

cional, tal como ∀x ∈ A : p(x) (respectivamente ∃x ∈ A : p(x)) diremosque su negaci´ on corresponde a la proposici´ on ∃x ∈ A : p(x) (respectivamente∀x ∈ A : p(x)).

Demostracion 3.3.1 La demostraci´ on de este teorema es esencialementel´ ogica, por esto no corresponde darla ac´ a. En todo caso no es difıcil y pueden tratar de hacerla ustedes.




Ejemplo: Niegue la siguiente proposicion

(∀ε > 0)(∃γ > 0)(α < γ ⇒ β < ε)

Claramente la negacion de esta proposicion esta dada (usando el teorema3.3.1) por

(∃ε > 0)(∀γ > 0)(α < γ ⇒ β < ε) ⇐⇒ (∃ε > 0)(∀γ > 0)(α < γ ∧ β ≥ ε)

Observacion: Un Tipo Especial de Cuantificador.Uno de los mayores pecados que cometemos muchos es que al notar alguna

situacion particular en una teorıa (a pesar de conocer ciertos aspectos de

ella) no somos capaces de preguntar o hacer suficiente hincapie en el asunto,por ejemplo: todos sabemos que la fruta se torna parda una vez cortadadebido a la oxidacion, pero ¿alguien se ha preguntado que se oxida a cienciacierta, alguien lo ha buscado en algun libro, alguien lo ha consultado conotra persona que pudiese saber del tema2?

Es por esto que recordamos que en el colegio conocimos un cuantificadorparticular: existe un unico (representado por ∃!). A pesar que este cuan-tificador no queda comprendido dentro de la teorıa formal como un caso se-parado de los anteriores (dado que es absorvido por el existe) efectivamentesirve a nivel de lenguaje para enfatizar la unicidad de una propiedad.

Ejemplos:

1. La proposicion (∃!x0 ∈ R)(3x0 − 2 = 4) es verdadera.

2. La proposicion ∃!φ ∈ R+ : φ2 − φ − 1 = 0 es verdadera. En cambio la

proposicion ∃!x ∈ R : x + (−x) = 0 es falsa.

2Por si las moscas la fruta se torna parda porque los fenoles al reaccionar con el oxıgeno

se transforman en melaninas



Capıtulo 4

Numeros Reales

Parece ser que los numeros reales les son bien conocidos (o, mejor dicho, lesson familiares) desde aquella lejana epoca llamada colegio. Lamentablementepodran notar a lo largo de este capıtulo (y otros cursos si les interesa) quelos numeros reales encierran una belleza enorme y una cantidad de conceptotan interesantes que existen libros especialmente dedicados a este tema (ver[30]). El lamentablemente anterior se justifica por el hecho de que las ideasque vieron en el colegio son tan mınimas que seran brutalmente rechazadasy reemplazadas por conceptos muchos mas fuertes que los anteriores. desdeaquı en adelante notaran que este fenomeno es muy comun a lo largo de la

educacion universitaria (salvo muy honrosas excepciones que tuvieron unamuy buena formacion en su colegio).

4.1 Construccion Axiomatica de R

Existe una forma de construir el conjunto de los numeros reales a partir de Q(llamado los “cortes de Dedekind1”) que maravilla por el ingenio empleadoal llevarla a cabo y la simplicidad con que se desarrollan las ideas, pero espropia de cursos de Analisis Real (ver [26]). En este caso nos remitiremos a

la construccion axiomatica deR

, es decir, a partir de un conjunto ordenadode axiomas de los cuales se deducen todas las propiedades de los numerosreales: esta construccion parece ser la de mejor comprension pues utiliza soloconceptos basicos de aritmetica. Este cuerpo axiomatico esta estructuradoen tres grupos, los cuales estan bien determinados para subsanar todas las

1Richard Dedekind, -, matematico aleman

33



34 CAP ITULO 4. N UMEROS REALES

posibles necesidades que pudiesen surgir a la hora de demostrar un teorema,

citar una propiedad o resolver un ejercicio. Los grupos en que se dividen losdistintos tipos de axiomas son:

• Axiomas Algebraicos

• Axiomas de Orden

• Axiomas de Completitud

4.1.1 Axiomas Algebraicos

Los axiomas algebraicos son ampliamente conocidos y corresponden a lasclasicas propiedades de cuerpo vistas en el colegio. Para estructurar estasideas necesitamos un conjunto, obviamente R, y dos operaciones, obviamente+ y ·. Las propiedades que posee el triple (R, +, ·) son:

Axioma 4.1.1 (Clausura de la Suma)

(∀x, y ∈ R)(x + y ∈ R)

Axioma 4.1.2 (Asociatividad de la Suma)

(∀

x,y,z∈R)(x + (y + z) = (x + y) + z)

Axioma 4.1.3 (Elemento Neutro Aditivo)

(∃!0 ∈ R)(x + 0 = 0 + x = x)(∀x ∈ R)

Axioma 4.1.4 (Elemento Inverso Aditivo)

(∀x ∈ R)(∃!(−x) ∈ R)(x + (−x) = (−x) + x = 0)

Observacion: Como es usual si se tiene la operacion a + (−b) escribiremos

simplemente a − b y hablaremos de la operacion diferencia.Axioma 4.1.5 (Conmutatividad de la Suma)

(∀x, y ∈ R)(x + y = y + x)

Observacion: Hasta ahora se dice que el par (R, +) es un Grupo Abeliano.



4.1. CONSTRUCCI ON AXIOM ATICA DE R 35

Observacion: Como es usual el producto x · y se denotara por yuxta-

posicion, es decir, xy.

Axioma 4.1.6 (Clausura de la Multiplicacion)

(∀x, y ∈ R)(xy ∈ R)

Axioma 4.1.7 (Asociatividad de la Multiplicacion)

(∀x,y,z ∈ R)(x(yz) = (xy)z)

Axioma 4.1.8 (Elemento Neutro Multiplicativo)

(∃!1 ∈ R)(x1 = 1x = x)(∀x ∈ R)

Axioma 4.1.9 (Elemento Inverso Multiplicativo)

(∀x ∈ R− {0})(∃!x−1 ∈ R)(xx−1 = x−1x = 1)

Observacion: Como es usual si se tiene la operacion ab−1 (obviamente

b = 0) escribiremos simplementea

b y hablaremos de la operacion division.

Axioma 4.1.10 (Conmutatividad de la Multiplicacion)

(∀x, y ∈ R)(xy = yx)

Observacion: Hasta ahora se dice que el par (R, ·) es un Grupo Abeliano.

Axioma 4.1.11 (Distributividad)

(∀x,y,z ∈ R)(x(y + z) = xy + xz)

En base a todas los axiomas anteriores decimos que (R, +, ·) es un cuerpoalgebraico. Para una descripcion muchısimo mas precisa y general de loque significan los conceptos de cuerpo algebraico y grupo abeliano, puedenreferirse a [15].




4.1.2 Axiomas de Orden

Es necesario precisar un poco mas en el concepto de cuerpo ya que R no essimplemente un cuerpo algebraico (en el sentido de los axiomas anteriores)sino que es un cuerpo totalmente ordenado, es decir, admite una relaci onllamada de “orden total” (a diferencia, por ejemplo, de C que es cuerpoalgebraico, pero no ordenado como se vera mas adelante). El concepto generalde relacion de orden (pese a que la idea de relacion surge como tal en la seccion??) puede ser entendido con claridad en [11] y en [33]; asimismo se puedenconsultar en esas referencias algunos ejemplos no triviales de relaciones deorden que pueden parecer no intuitivas.

Axioma 4.1.12 (Descomposicion de R)

(∃R+ ⊂ R)(R = R+ ∪ {0} ∪ −R+)

donde se tiene que −R+ = {(−x)|x ∈ R+} = R−.

Axioma 4.1.13 (Clausura de (R+, +))

(∀x, y ∈ R+)(x + y ∈ R+)

Axioma 4.1.14 (Clausura de (R+, ·))

(∀x, y ∈ R+)(xy ∈ R+)

Definicion 4.1.1 (Orden Total de R) Si a, b ∈ R, entonces diremos quea < b si y s´ olo si b − a ∈ R+.

Axioma 4.1.15 (Tricotomıa) S´ olo puede ser v´ alida una de las siguientesrelaciones

a < b ´ o a = b ´ o b < a

Axioma 4.1.16 (Propiedad Arquimediana)

(∀x, y ∈ R+

)(x < y)(∃n ∈ N : nx > y)

Observacion: Existe tambien un orden parcial en R dado por la relaciona ≤ b que permite vulnerar la tricotomıa incluyendo la igualdad, es decir,al escribir a ≤ b estamos refiriendonos a que a puede ser menor que b o,eventualmente, pueden ser iguales.



4.1. CONSTRUCCI ON AXIOM ATICA DE R 37

Observacion: Introduciremos los sımbolos +∞ y −∞ como aquellos que

permiten las siguientes relaciones: (∀x ∈ R)(x < +∞) y (∀x ∈ R)(−∞ < x),es decir, son valores mas grandes y mas pequenos que cualquier numero real.

Observacion: Se define el conjunto llamado “real extendido” (denotadoR) como R = R ∪{−∞}∪{+∞}. Tambien existe una forma de agregarsolo un punto infinito por medio de la proyeccion estereografica (ver [30]). Elmismo argumento se puede emplear en mas dimensiones, por ejemplo vease[30] o bien consultar [13].

4.1.3 Axiomas de Completitud

Este topico es algo mas complicado, pero sus resultados pareceran evidentesuna vez que trabajemos con ellos desde una perspectiva geometrica. Impor-tante es destacar que las definiciones, los axiomas y los teoremas que sigantienen mucho que deberles a los axiomas y definiciones anteriores.

Como una pequena sugerencia les aconsejo que tomen un papel en blancoy un lapiz la leer esta seccion pues resulta muchısimo mas facil identificar losconjuntos que se definen a continuacion sobre la recta real.

Definicion 4.1.2 Diremos que s ∈ R es una cota superior del conjunto

A ⊂R si y s´ olo si (

∀x

∈ A)(x < s).

Definicion 4.1.3 Diremos que i ∈ R es una cota inferior del conjunto A ⊂R si y s´ olo si (∀x ∈ A)(i < x).

Observacion: Con el proposito de simplificar las notaciones diremos queCS (A) = {x|x es cota superior de A} y, como es de esperarse, tambien dire-mos que CI (A) = {x|x es cota inferior de A}.

Definicion 4.1.4 Diremos que el conjunto A es acotado superiormente (re-spectivamente inferiormente) si y s´ olo si CS (A) = ∅ (respectivamente CI (A) =

∅). En el caso de que sea acotado tanto superior como inferiormente simple-

mente diremos que A es acotado.

Definicion 4.1.5 Supongamos A ⊂ R acotado superiormente. Diremos queL ∈ CS (A) es el supremo de A si y s´ olo si se cumple que

L es el menor elemento de CS (A)




Observacion: Por notacion diremos que si L es el supremo de A, entonces

L = sup A.

Definicion 4.1.6 Supongamos A ⊂ R acotado inferiormente. Diremos quel ∈ CI (A) es el ınfimo de A si y s´ olo si se cumple que

l es el mayor elemento de CI (A)

Observacion: Por notacion diremos que si l es el ınfimo de A, entoncesl = inf A.

Axioma 4.1.17 (Axioma del Supremo) Todo conjunto no vacıo acotadosuperiormente posee supremo (en R). Ete mismo enunciado es v´ alido para el ınfimo de un conjunto no vacıo acotado inferiormente

Teorema 4.1.1 (Caracterizacion del Supremo) Diremos que L es el su-premo del conjunto A si y s´ olo si L ∈ CS (A) y (∀ε > 0)(∃c ∈ A)(L − ε < c).

Demostracion 4.1.1 ⇒ Claramente, a partir de la definici´ on de sup A setiene que L ∈ CS (A) como condici´ on necesaria. En otras palabras, esv´ alido asegurar que

(∀α ∈ A)(α < L)

Adem´ as dado que L es la menor de las cotas superiores, necesariamenteexiste c ∈ A tal que α < c < L. Considerando α = L − ε concluye la demostraci´ on.

⇐ Esta direcci´ on de la demostraci´ on es f´ acil, traten de hacerla ustedes.

Observacion: Es claro que un argumento similar al anterior es valido parael ınfimo l de A, pues el que efectivamente l sea el ınfimo de A se verifica

si y solo si l ∈ CI y (∀ε > 0)(∃c ∈ A)(l + ε > c). La demostracion de estaproposicion es similar a la anterior.

Definicion 4.1.7 Si sup A ∈ A diremos que sup A es el m´ aximo de A (de-notado max A). Asimismo si inf A ∈ A diremos que inf A es el mınimo deA (denotado min A).



4.2. TIPOS DE INTERVALOS DE R 39

Observacion: Los conceptos de maximo y mnınimo, que una vez asumidos

y entendidos pueden parecer solamente formalismos casi sin sentido, encie-rran una riqueza y son tan importantes en el desarrollo de ideas como la deconvergencia que son no menos que un aporte fundamental en la matematica.

Observacion: La seccion que viene a continuacion requiere (para la com-prension final de conceptos ya conocidos) que hayan interiorizado la nocionde supremo y de ınfimo.

4.2 Tipos de Intervalos de R

Los axiomas y las definiciones anteriores (en particular los relacionados concompletitud) entregan una forma simple y natural de clasificar subconjuntosde R. Si bien estos topicos son delicados en casos mas complicados en el casode R se entrega una caracterizacion total.

Antes de comenzar la clasificacion de los subconjuntos de los reales, pre-cisemos un concepto fundamental.

Definicion 4.2.1 Diremos que I ⊂ R es un intervalo si y s´ olo si dadosx, y ∈ I tales que x < y, entonces (∀c ∈ R)(x < c < y : c ∈ I ).

Definicion 4.2.2 El intervalo I ⊂ R es cerrado en su extremo superior (respectivamente en su extremo inferior) si y s´ olo si su extremo superior (respectivamente su extremo inferior) est´ a contenido en I . De no ser el caso,diremos que el intervalo es abierto en su extremo superior (respectivamenteen su extremo inferior).

Observacion: Es importante hacer notar que la clasificacion de subconjun-tos de R es la clasificacion clasica de los diferentes intervalos que se puedendar. Mas aun probablemente vieron esta clasificacion en el colegio y estanfamiliarizados con ella.

En esencia los intervalos de R son de dos tipos: acotados y no acotados.

4.2.1 Intervalos Acotados

Los intervalos acotados que se pueden tener en R simplemente son las dife-rentes combinaciones entre si son abiertos o cerrados en sus extremos.




Intervalos Cerrados:

Son cerrados en ambos extremos. Si sus extremos inferior y superior, re-spectivamente, son a y b, entonces se denota por: [a, b]. Su definicion masprecisa viene dada por [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b}. Estos intervalos tambien sonconocidos como compactos (ver el Teorema de Heine-Borel, por ejemplo en[30] o en [26]).

Intervalos Mixtos:

Son cerrados en un extremo y abiertos en el otro. Si sus extremos inferiory superior, respectivamente, son a y b, entonces se tienen las combinaciones:

(a, b] y [a, b). Sus definiciones mas precisas vienen dadas por (a, b] = {x|a <x ≤ b} y [a, b) = {x|a ≤ x < b}.

Intervalos Abiertos:

Son abiertos en ambos extremos. Si sus extremos inferior y superior, respec-tivamente, son a y b, entonces se denota por: (a, b). Su definicion mas precisaviene dada por (a, b) = {x|a < x < b}.

4.2.2 Intervalos no AcotadosAnalogamente al caso anterior los intervalos acotados que se pueden teneren R simplemente son las diferentes combinaciones entre si son abiertos ocerrados en uno de sus extremos, pues el otro se definira como abierto.

Intervalos no Acotados Superiormente:

Pueden ser cerrados o abiertos en su extremo inferior. Ellos son [a, +∞) y(a, +∞). Su definicion mas precisa viene dada por [a, +∞) = {x|x ≥ a} y(a, +

∞) =

{x

|x > a

}.

Intervalos no acotados Inferiormente:

Pueden ser cerrados o abiertos en su extremo superior. Ellos son (−∞, b] y(−∞, b). Su definicion mas precisa viene dada por (−∞, b] = {x|x ≤ b} y(−∞, b) = {x|x < b}.



4.3. REPRESENTACI ON DECIMAL: ¿EXISTEN OTRAS BASES? 41

Intervalo no Acotado:

Claramente si consideramos el intervalo no acotado ni superior ni inferior-mente (−∞, +∞) estamos hablando exactamente de R.

Observacion: Si consideramos el sistema R todos los intervalos son acota-dos (esta propiedad se conoce como una “compactificacion” de R; otra com-pactificacion esta dada por el punto infinito de la proyeccion estereografica,ver [30] o bien [26]).

4.3 Representacion Decimal: ¿Existen otras

bases?

En este apartado veremos algunos topicos que pueden ser familiares paramuchos de ustedes (de hecho lo son desde, aproximadamente, 1◦ ano basico).

Definicion 4.3.1 Diremos que un n´ umero real positivo n ∈ R+ est´ a escritoen la base natural r ∈ N− {1} si y s´ olo si

n = . . . + a−2r−2 + a−1r−1 + a0 + a1r1 + a2r2 + . . .

donde los diferentes . . . , a−2, a−1, a0, a1, a2, . . . pertenecen al conjunto

{0, 1, 2, . . . , r

−1}

Estos coeficientes son conocidos como dıgitos

Observacion: Notemos que esta definicion justifica la descomposicion deun numero natural en unidades, decenas, centenas, etc., siempre y cuandoconsideremos la base usual de descomposicion de los numeros que es la base10.

Definicion 4.3.2 Las bases cuando r = 2, 3 y 10 se conocen respectivamentecomo base binaria, ternaria y decimal.

Observacion: Estas tres bases son de gran importancia teorica y practica,pues en un ordenador los comandos son comprendidos como numeros binarios(por ejemplo el codigo ASCII emplea una codificacion en 128 bits), paraanalizar el conjunto de los numeros de Cantor se consideran aquellos numeroscon dıgitos en el conjunto {0, 2} en representacion ternaria y son bastanteclaras las aplicaciones de la base decimal.




Observacion: La razon de por que hacemos uso de la base decimal casi

en forma natural, creen ciertos estudiosos, esta dado por el hecho de quetenemos 10 dedos.

Observacion: En matematicas mas recientes ciertos individuos se handado cuenta de lo importantes que son las bases primas (por sobre las demas)y han creado un interesante area de la matematica llamada analisis p-adico.

4.4 Densidad

Tal vez se puede creer que los axiomas de completitud, en particular el A-xioma del Supremo, son solamente una forma de complicar la existencia delos estudiantes, pero van un poco mas alla: existen problemas en Q que sesolucionan en R gracias a estos axiomas.

Es bien conocido desde el colegio que entre dos numeros racionales dis-tintos siempre existen infinitos numeros racionales, resultado conocido comola densidad de Q. Asimismo, dado que Q es un subconjunto de R, nece-sariamente debe cumplirse que entre dos numeros reales diferentes existeninfinitos numeros reales (pero un infinito diferente como se vera en la seccionsiguiente). Expresemos esto como

Teorema 4.4.1 (Densidad de R) Dado cualquier par de n´ umeros realesdiferentes, siempre es posible intercalar entre ellos un n´ umero infinito den´ umeros reales.

Demostracion 4.4.1 Simplısima, consideremos que los n´ umeros son α y β ( α < β ), entonces entre ellos se encuentra el n´ umero

γ 1 = α +β − α

2=

α + β

2

Asimismo, entre α y γ 1 se encuentra el n´ umero

γ 2 = α +γ 1 − α

2=

3a + b

4

y ası podemos seguir hasta el infinito.



4.5. CARDINALIDAD 43

Observacion: Otras formas similares de entender la densidad es pensando

que entre dos numeros racionales diferentes hay infinitos numeros irracionales,entre dos numeros irracionales distintos hay infinitps numeros racionales, etc.Es por este hecho que se desprende una importante propiedad que otorga ladensidad: existen infinitos numeros racionales infinitamente proximos a unnumero irracional, es decir, cuando queramos probar algo para todo R solonecesitamos verificarlo para el conjunto Q.

4.5 Cardinalidad

¡Por fin algo nuevo! Es de mi mayor agrado el presentar ideas que habıanestado reservadas para un pequeno grupo en la Universidad y que todos soncapaces de conocer y dominar. Es de esperarse que los matem aticos, una vezque formalizaron la nocion de conjunto, hayan querido medir la cantidad deelementos que posee un conjunto: el encargado de llevar a cabo tal titanicatarea fue Georg Cantor. Espero que les guste tanto este tema como a mı megusto cuando lo conocı (pueden consultar, por ejemplo, a [11] y a [30]).

4.5.1 Idea intuitiva: Conjunto Potencia y Teorema deCantor

Si tenemos un conjunto con un numero finito de elementos, por ejemplo elconjunto usado en el capıtulo 2:

B = {, ◦, ♣, ♦, ♥, ♠, }

Podemos asegurar que B posee exactamente 7 elementos (no se necesita haberentrado a la UTFSM para darse cuenta de eso). Analicemos con un poco mas

de cuidado el como nos dimos cuenta de este interesante hecho: salvo algunamente superior a la del resto, en general lo que hacemos es contar el numerode elementos uno a uno hasta completar el conjunto, es decir, asociamosa cada elemento del conjunto un numero natural en forma consecutiva yestablecemos que el numero de elementos de B corresponde al ultimo numeronatural asociado. Si lo vemos en un diagrama tenemos que:




−→ 1

◦ −→ 2

♣ −→ 3

♦ −→ 4

♥ −→ 5

♠ −→ 6

−→ 7

Por lo tanto el conjunto B posee 7 elementos. Esta idea es la que gene-

ralizaremos en la subseccion posterior, pero antes de eso me permito aclararalgo acerca del concepto de conjunto potencia visto en el capıtulo 2 (denotadopor P (conjunto)). Parece evidente a primera vista que el conjunto potenciade un conjunto dado tiene mas elementos que el conjunto original, tras unaserie de intentos nos damos cuenta de una situacion bastante interesante: Sila cardinalidad del conjunto dado es n, la cardinalidad del conjunto potenciaes 2n. Obviamente el teorema fue corregido y aumentado por Cantor quienestablecio el siguiente

Teorema 4.5.1 (de Cantor) Para cualquier conjunto A se cumple que

#A < #P

(A)

Demostracion 4.5.1 A pesar de no ser en lo absoluto una demostraci´ on complicada esta requiere algo m´ as de sapiencia en t´ opicos de funciones.

Aunque pareciese decir menos que nuestro apasionante resultado de lacardinalidad del conjunto potemncia de un conjunto finito dado, el teoremade Cantor encierra un detalle tal vez no notado hasta ahora: incluye conjun-tos infinitos.

4.5.2 ¿Discreto o continuo?: Cardinales

Cantor de manera prodigiosa trabajo esta potente idea: medir de algunamanera los conjuntos infinitos. Es claro que en los conjuntos finitos se puedecontar el numero de elementos por medio de enumeracion (por muy grandeque sea el conjunto: si es finito, se puede contar el numero de elementos).Con el fin de solucionar las diferencias entre conjuntos finitos e infinitos, sedesarrollaron algunas definiciones que zanjaban el asunto en forma definitiva:




Definicion 4.5.1 Una correspondencia biunıvoca entre dos conjuntos A y B

es una regla que asocia todos los elementos de A con todos los elementos deB una sola vez.

Ejemplo: El diagrama mostrado mas arriba es una correspondenciabiunıvoca entre el conjunto B y el subconjunto de N {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Definicion 4.5.2 Un n´ umero cardinal es aquel que representa la cantidad de elementos de un cierto conjunto, ya sea finito o infinito.

Ejemplo: el conjunto B tiene cardinal (ya no cardinalidad) igual a 7.

Definicion 4.5.3 Diremos que dos conjuntos A y B tienen el mismo cardi-nal si y s´ olo si existe una correspondencia biunıvoca entre los elementos deambos conjuntos.

Definicion 4.5.4 Diremos que un conjunto es discreto o que posee cardinal numerable si posee el mismo cardinal que N. En tal caso el cardinal es ℵ0

(se lee aleph cero: aleph es la primera letra del alfabeto ´ arabe).

Observacion: Cualquier conjunto que posea un cardinal mayor que ℵ0

sera llamado de cardinal no numerable. En particular diremos que R posee

cardinal continuo.

Teorema 4.5.2 Todo conjunto infinito posee un subconjunto numerable.

Demostracion 4.5.2 Suponfgamos A un conjunto infinito cualquiera. Eli- jamos un elemento cualquiera del conjunto, digamos a1 ∈ A. Dado queel conjunto es infinito, el conjunto A1 = A − {a1} es no vacıo, tomemosa2 ∈ A1. Nuevamente, dado que A − {a1} es infinito, entonces A − {a1, a2}es infinito, y ası seguimos sucesivamente. Finalmente lo que tendremos esun conjunto de elementos

{a1, a2, a3, . . .

}que es, claramente, de cardinal ℵ0. Por si no es claro a simple vista, miremosla correspondencia

a1 a2 a3 · · ·↓ ↓ ↓ · · ·1 2 3 · · ·




Corolario 4.5.3 ℵ0 es el menor cardinal infinito.

Demostracion 4.5.3 Inmediata.

Teorema 4.5.4 Los conjuntos Z y Q tienen cardinal ℵ0.

Demostracion 4.5.4 Probar que Z tiene cardinal numerable es sumamentesencillo, pues si ordenamos los elementos de Z apropiadamente la correspon-dencia biunıvoca sigue de inmediato

0 1 −1 2 −2 3 · · ·

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ · · ·1 2 3 4 5 6 · · ·Con el conjunto Q el asunto es un poco m´ as delicado pero gracias a Cantor

tenemos una bella demostraci´ on llamada la demostraci´ on diagonal. Es f´ acil observar que si probamos que Q+ tiene cardinal ℵ0 tambien tiene el mismocardinal todo Q (por simple similitud a la correspondencia anterior). Es f´ acil notar que la siguiente ordenaci´ on contiene a todos los racionales positivos:

1/1 1/2 1/3 1/4 · · ·2/1 2/2 2/3 2/4 · · ·3/1 3/2 3/3 3/4

· · ·4/1 4/2 4/3 4/4 · · ·...

......

.... . .

Ahora establezcamos el siguiente diagrama:

1/1 1/2 → 1/3 1/4 → · · ·↓ · · ·

2/1 2/2 2/3 2/4 · · · · · ·

3/1 3/2 3/3 3/4 · · ·↓ · · ·

4/1 4/2 4/3 4/4 · · ·...

......

... · · ·Resulta no menos que evidente que asociando a cada flecha un n´ umero natural tenemos la correspondencia biunıvoca buscada.




Teorema 4.5.5 R no es numerable.

Demostracion 4.5.5 Es claro que si un subconjunto de R no es nume-rable, entonces R completo no es numerable. Consideremos el conjunto delos n´ umeros en el intervalo [0, 1] cuyos dıgitos en su expansi´ on decimal noson ni ceros ni nueves. Supongamos que este conjunto fuese numerable, luegopodrıamos hacer el siguiente arreglo de estos n´ umeros:

a1 = 0.a11a12a13 . . . a1n . . .a2 = 0.a21a22a23 . . . a2n . . .a3 = 0.a31a32a33 . . . a3n . . .

...an = 0.an1an2an3 . . . ann . . .

...

Luego, construyamos el n´ umero b = b1b2b3 . . . bn . . . con la condici on queb1 = a11, b2 = a22 y ası sucesivamente bn = ann para todo n ∈ N. Claramenteb = ak, para todo k ∈ N, por lo tanto, se produce una contradicci´ on.

Teorema 4.5.6 La uni´ on y el producto cartesiano de finitos conjuntos nu-

merables es numerable.

Demostracion 4.5.6 Basta ordenar apropiadamente los elementos de losconjuntos, traten de hacerlo.

Teorema 4.5.7 Todo subconjunto infinito de un conjunto numerable es nu-merable.

Demostracion 4.5.7 Supongan la afirmaci´ on contraria y lleguen a una con-tradicci´ on.

Observacion: Note que el teorema anterior indica que los conjuntos de losnumeros pares, impares, primos, divisibles por 3, potencias de 5, racionalescon denominador potencia de numero primo, etc. son conjuntos numerables.




4.5.3 Otros Cardinales: Hipotesis del Continuo

Usando el teorema de Cantor podemos notar de inmediato que podemos tenerinfinitos cardinales diferentes (¿el conjunto de los cardinales sera numerable ono?) pues basta fijar un conjunto de un cardinal dado y tomar sucesivamentelos conjuntos potencia del anterior y cada vez obtenemos un cardinal mayor.

Un gran problema en el estudio de la teorıa de conjuntos fue el encontrarun cardinal que fuese mayor que el cardinal numerable, pero a la vez menorque el cardinal del continuo: de existir fallarıan algunas leyes de la axiomaticaestablecida, por lo tanto Cantor asumio como hipotesis que, para la validez dealgunas de sus afirmaciones tal cardinal no deberıa existir. Esta hipotesis fueconocida como Hipotesis del Continuo e incluso fue consideada dentro de los23 problemas que David Hilbert presentara ante el Congreso Internacional deMatematicas de 1900. Durante varios anos muchos matematicos se dedicarona su resolucion hasta que el brillante Kurt Godel propusiese su teorema en ladecada de los 30’s: la hipotesis del continuo era indecidible, es decir, podıaconsiderarse verdadera pero no podıa ser demostrada (para descripcionesdetalladas, ver [10] y [32]).

Para que vean los increibles secretos que guarda la matematica: pensarque algunos creen que es aburrida . . . pobres.

4.5.4 Valor AbsolutoA veces ocurre que necesitamos conocer ciertas propiedades de los numerosreales que van un poco mas alla de ver si son positivos o negativos, sipertenecen o no a un intervalo, si son racionales o irracionales (problemanada trivial). El concepto de valor absoluto surge en forma natural a partirde ciertas necesidades practicas, por ejemplo: ¿como medimos la distanciaentre dos puntos de la recta real? la respuesta es sencilla: tomamos el masgrande y le restamos el mas chico. Esta idea da inicio a un bello conceptoque aparecera con frecuencia en sus cursos de matemasticas.

Definicion 4.5.5 Diremos que el valor absoluto de un n´ umero x ∈ R (de-notado |x|) es:

|x| =

x si x > 00 si x = 0

−x si x < 0



4.6. DESIGUALDADES 49

Observacion: Notemos que el valor absoluto es, precisamente la distancia

entre cero y cualquier punto de la recta real. En otras palabras, el valor ab-soluto consiste en dejar siempre el numero en forma positiva, excepto cuandoel numero es identicamente cero.

Observacion: El problema de la distancia entre dos puntos es ahora sim-ple: Si x, y ∈ R : dist(x, y) = |x − y|.

Teorema 4.5.8 El valor absoluto cumple las siguientes propiedades:

1. |x| ≥ 0, ∀x ∈ R2. |x| = 0 ⇐⇒ x = 0

3. |λx| = |λ||x|, ∀x, λ ∈ R4. |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀x, y ∈ R

Demostracion 4.5.8 Las afirmaciones 1., 2. y 3. se siguen inmediata-mente de la definici´ on. La afirmaci´ on 4. se desprende de inmediato al con-siderar que si x e y tienen igual signo se tiene la igualdad y si tienen signosdiferentes la desigualdad estricta es evidente.

Observacion: La afirmacion 4. es conocida como desigualdad triangular.

Observacion: Las propiedades del teorema anterior son conocidas comolas condiciones que debe cumplir una “norma”. Veremos otro ejemplo denorma cuando estudiemos numeros complejos.

4.6 Desigualdades

A partir de las definiciones y los teoremas entregados en la seccion anterior esque podemos deducir que podemos plantear problemas donde no necesitemosencontrar un numero finito de soluciones, sino un conjunto de posibles solu-ciones (de hecho un conjunto infinito) que ayuden a determinar una posiblemejor solucion: un ejemplo de este hecho es la llamada programaci on lineal,uno de los metodos ampliamente utilizados para optimizar procesos.




4.6.1 Desigualdades I

Un primer vistazo a las desigualdades (o inecuaciones), antes de entrar adetalles de potencias y raıces puede ayudarles bastante a comprender lo quese les avecina a pasos agigantados. En esencia trabajaremos con inecuacioneslineales, algunas inecuaciones escritas en forma de fraccion e introducire elimportantısimo concepto de restriccion.

Definicion 4.6.1 Diremos que una expresi´ on algebraica es una desigualdad si responde a uno de los siguientes esquemas:

expresi´ on 1 < expresi´ on 2 ; expresi´ on 1 > expresi´ on 2

expresi´ on 1 ≤ expresi´ on 2 ; expresi´ on 1 ≥ expresi´ on 2

Observacion: En general diremos que la desigualdad depende de una va-riable (que es lo que, en general, se vera en MAT-021) si en las diferentesexpresiones esta involucrada una sola incognita. Casos de dos o mas variablesseran casos excepcionales y se utilizaran solo en casos muy particulares.

Ejemplos:

• Una desigualdad en una variable es

3x2 + ex > −18π

• Una desigualdad en dos variables es

x2 + y2 ≥ 0

Definicion 4.6.2 Diremos que el conjunto soluci´ on S de una desigualdad cualquiera es el conjunto de todos los valores que cumplen la desigualdad.

Definicion 4.6.3 Diremos que una desigualdad es lineal si y s´ olo si respondea alguno de los siguientes esquemas (con a = 0):

ax + b < c ; ax + b > cax + b ≤ c ; ax + b ≥ c




Observacion: Claramente la resolucion de estas desigualdades es analoga

a la resolucion de ecuaciones de primer grado, por lo tanto, no creo prudenteentregar mayores detalles.

Un interesante, pero ya no tan simple, fenomeno es el que ocurre cuandouna desigualdad (ya no lineal) tiene la forma

ax + b

cx + d< 0 ;

ax + b

cx + d> 0 ;

ax + b

cx + d≤ 0 ;

ax + b

cx + d≥ 0

donde se cumple que ad − bc = 0 (de lo contrario la fraccion serıa constante,exactamente a

b). Tambien consideremos un concepto nuevo, el de: restriccion,

es decir, un valor (o, en general, un conjunto de valores) que no debe cumplirla desigualdad con el fin de tener coherencia aritmetica. En este caso, larestriccion que se debe tener es que

x = −d

c

Es decir, se tiene:

S ⊂ R−

−d

c

Ahora bien, tratemos de analizar esta desigualdad recordando la regla de los

signos de Arquımedes para el caso en que aparece <:

Siax + b

cx + d< 0 =⇒ [ax + b > 0 ∧ cx + d < 0] ∨ [ax + b < 0 ∧ cx + d > 0]

Interpretemos lo anterior: lo que quiere decir la proposicion compuesta esque tanto el numerador como el denominador deben poseer signos opuestospara que se cumpla que la fraccion en cuestion tenga signo negativo. Enforma analoga se debe proceder en el caso de tener las demas relaciones deorden.

Observacion: Cuando se tiene una restriccion al resolver una desigualdad,el conjunto solucion que se obtiene en forma preliminar al resolver simple-mente las desigualdades lineales debe intersectarse con el conjunto de posi-bles valores de la inecuacion. Esta afirmacion adquirira mucho mas sentidocuando se estudien desigualdades con raıces.




Observacion: Resolver desigualdades con valor absoluto es muy sencillo si

tenemos en consideracion las siguientes reglas:1. Si |x| < a ∈ R+, entonces todos los valores que puede tomar x estan

contenidos en el intervalo (−a, a).

2. Si |x| > a ∈ R+, entonces todos los valores que puede tomar x estancontenidos en el conjunto (−∞, −a) ∪ (a, ∞).

Ejemplo: Para resolver |2x − 1| + |x + 2| < 5 tenemos que considerarlos puntos donde las expresiones dentro de los valores absolutos cambian designo, es decir, cuando valen cero: estos valores son x = 1

2y x = −2. Notemos

que si x ∈ (−∞, −2), ambas expresiones dentro de los valores absolutostienen signo negativo, entonces por la definicion de valor absoluto debemosresolver la desigualdad:

−(2x − 1) − (x + 2) < 5 ⇐⇒ −3x − 1 < 5 ⇐⇒ x > −2

Por lo tanto, en este caso (que x ∈ (−∞, −2)) no hay soluciones. Por otrolado, cuando x ∈ (−2, 1

2) se tiene:

−(2x − 1) + (x + 2) < 5 ⇐⇒ −x + 3 < 5 ⇐⇒ x > −2

Por lo tanto, lo cumplen todos los x del conjunto (

−2, 1

2). Finalmente, si

x ∈ (12 , ∞) se tiene que:

2x − 1 + x + 2 < 5 ⇐⇒ 3x + 1 < 5 ⇐⇒ x <4

3

Por lo tanto, lo cumplen todos los x tales que 1

2< x < 4

3. Finalmente

consideremos los extremos: x = −2 no cumple la desigualdad pues resulta5 < 5; x = 1

2cumple la desigualdad pues resulta 5

2< 5. Por lo tanto el

conjunto solucion de la desigualdad es:

S =

−2,

1

2

∪

1

2,

4

3

∪

1

2

=

−2,

4

3

4.6.2 Potencias, Logaritmos y Raıces

Estudiaremos los casos generales de la potenciacion, la radicacion y los log-aritmos que resultan ser de inmediata aplicacion en muchısimas areas de laingenierıa.




Potencias y Raıces

La operacion de potenciacion de numeros enteros (e incluso de numerosracionales) por exponentes enteros es bien conocida desde la bella epocadel colegio (donde todo era mas facil), mas aun, algunos tuvimos el privi-legio de conocer casos particulares de potencias con exponentes no enteros,sino racionales: las raıces. En ese preciso instante fuimos bastantes los quecolapsamos y nos dijimos: “¿podra haber algo mas difıcil?”. La experienciaconfirma que sı.

Definicion 4.6.4 Diremos que si a es un n´ umero real positivo y r = p

qes

un n´ umero racional positivo (fracci´ on irreducible de n´ umeros naturales), el

n´ umeroar = a

p

q = (a p)1

q

es la potencia de base a con exponente r. Su c´ alculo se deduce desde los casosusuales de potenciaci´ on, es decir:

a p = a·

p veces . . . ·a

a = a1

q ·q veces

. . . ·a 1

q

Observacion: Si p = 1 tenemos los casos clasicos de radicacion, si q = 1tenemos la potenciacion conocida desde la ensenanza basica, si ampliamosla definiciones a permitir exponentes negativos hacemos uso de la conocidaidentidad a−r = 1

ar. Extender la definicion anterior para bases enteras no es

un tema trivial y tratare de evitarlo, a menos que sea necesario explicitarlo.

Proposicion 4.6.1 De acuerdo con la Definici´ on anterior se deducen lassiguientes propiedades:

1. ar · as = ar+s, ∀a ∈ R+, ∀r, s ∈ Q

2. ar

as = ar−s, ∀a ∈ R+, ∀r, s ∈ Q3. a0 = 1, ∀a ∈ R+

4. ar · br = (ab)r, ∀a, b ∈ R+, ∀r ∈ Q5. ar

br= (a

b)r, ∀a, b ∈ R+, ∀r ∈ Q




6. 1r = 1, ∀r ∈ QDemostracion 4.6.1 Traten de verificar las propiedades anteriores; no de-berıan resultarles complicadas, en particular son simples las afirmaciones 3.y 6.

Observacion: Es claro que no existe la raız cuadrada ( p = 1, q = 2 en laDefinicion) de un numero negativo (en R), pues ningun numero real elevadoa dos entrega un numero negativo. Mas aun si tenemos que q es un numeropar y p un numero impar, es imposible calcular la potencia a

p

q si a < 0. Siel denominador de la fraccion es impar, el signo de la base es el mismo queel signo de la potencia completa.

Ejemplo: Ecuaciones Exponenciales.Dado que las potencias cumplen una propiedad llamada biyectividad (que

deberıan haber escuchado en el colegio) es simple resolver cierto tipo deecuaciones, por ejemplo:

9x−23−x = 27

que entrega claramente la solucion x = 7, pues

9x−23−x = 32x−4−x = 3x−4 = 33 ⇐⇒ x = 7

Observacion: Que pasa si queremos calcular, por ejemplo, el numero 2√ 2

(conocido como la Constante de Schneider). Pensemos: es un numero enteroβ elevado a una potencia irracional κ, es decir, esta elevado a un numero queno puede ser escrito en la forma de una fracci on. Usando la representaciondecimal de los reales, se tiene que un numero κ ∈ R+ −Q se puede escribircomo:

κ = a.a1a2a3 . . . an . . .

donde a ∈ Z es conocido como la parte entera de κ y a1, a2, a3, . . . , an, . . . sondıgitos que no definen un numero periodico o con finitos decimales (como

cuando se vuelven solo cero o nueve a partir de un cierto ındice). Luegovemos que

|β κ − β a| < |β κ − β a.a1 | < · · · < |β κ − β a.a1a2a3...an...| < · · ·De hecho, formalizaremos el concepto despues, pero esta diferencia tiende aachicarse arbitrariamente, es decir, si queremos aproximaciones de 2

√ 2 lo que




debemos hacer es considerar las potencias usuales (con exponentes racionales)

con truncamientos de los decimales de √2. Conocer exactamente estas po-tencias queda vetado por el Teorema de Gelfond-Schneider que establece lairracionalidad (mas aun la trascendencia) de ciertas potencias tales como

2√ 2, 3π, etc.

Logaritmos

Hemos visto en 4.6.2 que las raıces son casos particulares de la potenciacional extender esta operacion al caso racional (e incluso al caso real, bajo ar-gumentos de densidad). Es bastante valido el preguntarse acerca de comofunciona la operacion inversa a la potenciacion, mas aun, referirse a si se con-servan o se invierten algunas de las operaciones elementales de las potenciasy de las raıces. Veamos que podemos hacer, probablemente resultara masinteresante de lo que parece.

Definicion 4.6.5 Diremos que el logaritmo en la base a ∈ R+ de n ∈ R+ esun n´ umero r ∈ Q tal que ar = n. Denotaremos a r por loga n.

Proposicion 4.6.2 De acuerdo con la Definici´ on anterior se deducen lassiguientes propiedades:

1. loga m + loga n = loga mn,

∀a

∈R+,

∀m, n

∈R+

2. loga m − loga n = logamn

, ∀a ∈ R+, ∀m, n ∈ R+

3. loga 1 = 0, ∀a ∈ R+

4. loga n =logb n

logb a, ∀a, b ∈ R+, ∀n ∈ R+

5. loga nr = r loga n, ∀a ∈ R+, ∀n ∈ R+, ∀r ∈ R6. loga a = 1, ∀a ∈ R+

Demostracion 4.6.2 Si se demostraron los resultados de la Proposici´ on 4.6.1, estas afirmaciones siguen de inmediato.

Observacion: Notemos que la Proposicion anterior es la version logarıtmicade la Proposicion 4.6.1. En otras palabras, ambas proposiciones son, de he-cho, equivalentes.




Observacion: Claramente, al igual que en el caso de potenciacion, lo que

queremos resolver son ecuaciones con logaritmos involucrados. Evidente-mente lo que debemos hacer en casi todos los casos es llevar la expresi on auna lo mas reducida posible y, una vez reducida, aplicar la exponencial de labase respectiva.

4.6.3 La Ecuacion Cuadratica

No creo prudente (en honor a su intelecto) el definir que es una ecuacion,concepto que dare por conocido. En todo caso no crean que este brevecomentario es simplemente una broma: existe una rama de la matematicabastante complicada conocida como la Teorıa de Ecuaciones, pero dejemosesas pequeneces de lado.

Definicion 4.6.6 La forma general de la ecuaci´ on cuadr´ atica est´ a dada por ax2 + bx + c = 0, donde a = 0 (tiene sentido porque, de lo contrario, la ecuaci´ on dejarıa de ser cuadr´ atica).

Teorema 4.6.3 La ecuaci´ on cuadr´ atica ax2+bx+c = 0 tiene dos solucionesreales si y s´ olo si b2 − 4ac > 0, dadas por

x1 =−b +

√b2 − 4ac

2ay x2 =

−b − √b2 − 4ac

2a

Y una ´ unica soluci´ on real si y s´ olo si b2

− 4ac = 0, dada por

x =−b

2a

Demostracion 4.6.3 A pesar de que esta demostraci´ on es ampliamenteconocida igual la voy a mostrar, pero de forma muy superficial y sin explicar cada uno de los pasos que doy.

ax2 + bx + c = 0 ⇐⇒ a2x2 + abx = −ac ⇐⇒

ax +1

2b

2

− 1

4b2 = −ac

ax + 12

b = ±12√b2 − 4ac ⇐⇒ x = −b ± √b

2

− 4ac2a

El otro caso se desprende inmediatamente de esta f´ ormula. Para probar el recıproco s olo basta con reemplazar la soluci´ on en la ecuaci´ on y la condici´ on b2 − 4ac se deduce inmediatamente por estar este termino bajo el signo deraız.




Observacion: El valor b2 − 4ac se conoce como el discriminante de la

ecuacion ax2

+ bx + c = 0.

Teorema 4.6.4 Si en ax2 + bx + c = 0 el discriminante es negativo, en-tonces la ecuaci´ on no tiene soluciones reales y, al reemplazar el valor de xse obtienen s´ olo resultados positivos o negativos dependiendo del signo de arespectivamente.

Demostracion 4.6.4 La primera parte se deduce de inmediato del teorema anterior. Una demostraci´ on geometrica de la segunda parte de este teorema ser´ a visto en el capıtulo ??. Una demostraci on m´ as formal de este hecho

requiere de conocimientos de continuidad.

4.6.4 Desigualdades II

Finalmente en este capıtulo concluire con una pequena descripcion de de-sigualdades mas generales y algunos aspectos geometricos de la resolucion deellas. Esta subseccion les ensenara una valiosa leccion que podran verificarlaa lo largo de su estadıa en la U: sin importar cuan simple pueda pareceruna idea, los matematicos (y algunos ayudantes) son expertos en complicarla existencia de los estudiantes. Evidentemente complicar los ejercicios no

significa nada si se tienen claras las ideas que estan detras de una simpleoperatoria.

Observacion: Dado que el fundamento teorico de lo que son las desigual-dades se dio anteriormente, al igual que la nocion de potencias, raıces yexpresiones cuadraticas no deberıa haber mayor inconveniente en aplicar losconocimientos anteriores en un ejercicio general de desigualdades. Dicho deotra manera, comprenderemos mejor las ideas (y de manera no tan redun-dante) si solo expongo un ejericio.

Ejercicios:

1. Resuelva la siguiente desigualdad:

√x2 − 6x + 9(−|x − 2|3)

(x2 + 1)(x2 − 5x + 6)< 0




Es claro que:√

x2 − 6x + 9 =

(x − 3)2 = |x − 3|. Tambien resulta

evidente notar que x2

+ 1 > 0 y que x2

−5x +6 = (x−2)(x−3). Luego,tenemos como restriccion que x = 2 y x = 3, por lo tanto:

S ⊂ R− {2, 3}Reescribiendo la desigualdad original con los cambios pertinentes yacomodando los factores de manera apropiada se tiene que:

− |x − 3||x − 2|3

x2 + 1

1

(x − 2)(x − 3)< 0

Notemos que la expresion que aparece entre parentesis grandes siem-pre es positiva (usando la restriccion para que las expresiones estenbien definidas), por lo tanto, dado que un numero positivo no altera elsımbolo de desigualdad tenemos que la desigualdad original es equiva-lente a:

− 1

(x − 2)(x − 3)< 0

Y, resolverla es equivalente a resolver

(x − 2)(x − 3) > 0

Desigualdad que junto a la restriccion trivialmente entregan el conjuntosolucion

S = (−∞, 2) ∪ (3, ∞) = R− [2, 3]

2. Resuelva la siguiente desigualdad: |2x − 1| − 4 < x − 2

Establezcamos primeramente las restricciones. A menos que se diga locontrario la raız cuadrada de numeros reales sera considerada solo conel valor positivo, por lo tanto debe ocurrir que

x − 2 > 0 ⇐⇒ x > 2

Ademas para que la raoz este bien definida necesitamos que

|2x − 1| − 4 ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ −3

2∨ x ≥ 5

2




Por lo tanto se deduce que el conjunto solucion debe cumplir:

S ⊂ [52

, ∞)

Dadas ya las condiciones apropiadas en las restricciones podemos elevaral cuadrado ambos lados de la expresion y eliminar el valor absoluto(debido a que x > 5

2), obteniendo:

(2x − 1) − 4 < x2 − 4x + 4 ⇐⇒ x2 − 6x + 9 > 0 ⇐⇒ x ∈ R− {3}

Es decir, el conjunto solucion de esta desiguldad es

S = [5

2 , ∞) − {3}3. Verifique la siguiente proposicion:

(∀x ∈ R+)

1

x+ x ≥ 2

Recordemos la siguiente desigualdad trivial:

(x − 1)2 ≥ 0

la cual es equivalente a decir

x2 + 1 ≥ 2x

y dado que x > 0 podemos dividir por x sin invertir el signo de de-sigualdad obteniendo precisamente la proposicion.

4. Desafıo: Haciendo uso de la pregunta anterior, verifique que si a+b+c =1 y tanto a como b y c son positivos se tiene la siguiente desigualdad:

1

a −1

1

b −1

1

c −1 ≥

8






Bibliografıa

[1] A Course of Pure Mathematics. G. H. Hardy. Cambridge: At The Uni-versity Press. (1947).

[2] Calculo Infinitesimal de Una Variable. Juan de Burgos. McGraw-Hill.(1994).

[3] Calculo Infinitesimal de Varias Variables. Juan de Burgos. McGraw-Hill.(1994).

[4] Algebra Lineal. Juan de Burgos. McGraw-Hill. (1997).

[5] Calculus (Volumenes I y II). Tom M. Apostol. Editorial Reverte S.A.(1997).

[6] Introduccion al Analisis Matematico. Tom M. Apostol. Editorial ReverteS.A. ().

[7] Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Claudio Fernandez y Rolando Re-bolledo. Ediciones Universidad Catolica de Chile. (1995).

[8] Lectures on Linear Algebra. I. M. Gel’Fand. Interscience Publishers, Inc.(1967).

[9] Logica Matematica. Jose Ferrater Mora y Hugues Leblanc. Fondo deCultura Economica. (1994).

[10] La Maravilla de las Matematicas. Clifford A. Pickover. . ().

[11] Introduccion a la Teorıa de Conjuntos. Lıa Oubina. Editorial Universi-taria de Buenos Aires. (1965).

[12] El Calculo 7◦ Edicion. Louis Leithold. Oxford University Press. (1999).

61



62 BIBLIOGRAF IA

[13] Ecuaciones Diferenciales y Variable Compleja. Julian Lopez-Gomez.

Pearson Educacion S.A. (2001).

[14] Numerical Linear Algebra. Lloyd N. Trefethen y David Bau, III. SIAM.(1997).

[15] Algebra Abstracta. John B. Fraleigh. Addison-Wesley IberoamericanaS.A. (1987).

[16] Calculo Diferencial. Henry Cartan. . ().

[17] Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Murray Spiegel. . ().

[18] Que son los Numeros. Rolando Chuaqui. Traduccion de Was sind und was sollen die z¨ ahlen de Richard Dedekind. Fascıculos para la Com-prension de las ciencias y las Humanidades. Editorial Universitaria.(1980).

[19] Tratado Completo de Geometrıa Superior o Analıtica. H. B. Luebsen.Imprenta de Pablo E. Cony. (1884).

[20] Procesos Aleatorios. Yuri Rozanov. Editorial MIR. (1973).

[21] Elementary Linear Algebra. Bernard Kolman. Macmillan PublishingCompany. (1971).

[22] Algebra Lineal. Kenneth Hoffman y Ray Kunze. Prentice Hall His-panoamericana S.A. (1997).

[23] Ejercicios y Problemas Resueltos de Algebra Lineal. Jesus Rojo e IsabelMartın. McGraw-Hill. (1994).

[24] Calculo. Michael Spivak. . ().

[25] Calculo en una Variable. Kitchen. ().

[26] Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin. McGraw-Hill.(1964).

[27] Fallacies in Mathematics. E. A. Maxwell. Cambridge at the UniversityPress. (1961).



BIBLIOGRAF IA 63

[28] Notas Introductorias MAT 023-024. Ruben Hidalgo. Apuntes disponibles

en http://docencia.mat.utfsm.cl/ rhidalgo.

[29] Matematicas Discretas y Combinatoria. Ralph P. Grimaldi. AddisonWesley Longman. (1998).

[30] Introductory Real Analysis. A. N. Kolmogorov y S. V. Fomin. DoverPublications, Inc. (1999).

[31] Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. A. N.Kolmogorov y S. V. Fomin. Dover Publications, Inc. (1999).

[32] META MATH! The Quest for Omega. Gregory Chaitin. Disponible enla red en http://arxiv.org/math.HO/0404335.

[33] Matematicas Generales. Pisot y Zamansky. . ().

Documents

Mat021 Apunte Materia