8/2/2019 Mat021 Guia Aplicacion Programacion Lineal 1.2003 Stgo

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Universidad Tecnica Federico Santa Mara

Departamento de Matematica

Campus Santiago

Primer Semestre del 2003

Aplicaciones a la Programacion Lineal

En matematica los problemas de maximizar o minimizar se conocen como problemas

de optimizacion. Cuando las relaciones que existen entre las variables del problema son

lineales, entonces se habla de un problema de programacion lineal.

Para formular un problema de programacion lineal debemos :

1. Definir las variables o incognitas del problema.

2. Establecer las restricciones del problema, que en genaral es un sistema de inecua-

ciones o ecuaciones.

3. Imponer condiciones de no negatividad, es decir, que todas las variables sean

mayores o iguales que cero.

4. Determinar el objetivo. En un problema de programacion lineal existe solo un

objetivo que resulta evidente al observar el problema. La forma matematica del

objetivo se llama Funcion Objetivo. Luego, el problema se reduce a maximizar o

minimizar esta funcion objetivo.

Los metodos que se utilizan para resolver un problema de programacion lineal son:

metodo grafico, metodo analtico, metodo computacional.

En el metodo grafico encontramos una interesante aplicacion de las inecuaciones.

Este metodo se usa cuando en el problema hay dos variables. Para una mayor cantidad

de variables no resulta un metodo eficiente.

Cuando X = {x, y} satisface las restricciones y las condiciones de no negatividad,se dice que X es una solucion factible del problema. El conjunto F = {X/X es unasolucion factible } se llama conjunto factible. Si X es una solucion factible que optimizala funcion objetivo, entonces X se llama solucion factible optima.

En el metodo grafico la solucion se determina graficando, en primer lugar, el conjunto

factible F. Este resulta ser un conjunto convexo de puntos y, el punto que permiteoptimizar la funcion objetivo se encuentra, salvo casos especiales, en un vertice del

conjunto F.

Resuelva los siguientes problemas de programacion lineal.

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1. Maximice la funcion objetivo z = 5x + 3y, sujeta a las siguientes restricciones:

3x + 5y 185x + 2y 11

x 0

y 0

2. Minimice z = x + 2y, sujeta a las siguientes restricciones:

2x + y 72y x 12x y 3x, y 0

3. Maximizar z = 4x + 5y, sujeta a las restricciones:

x + 2y 2

3x + 2y 10x + 6y 63x + 2y 6x, y 0

4. Una compana fabrica motos y bicicletas. Para permanecer en el negocio tiene

que producir por lo menos 10 motos cada mes, pero no tiene las facilidades para

producir mas de 60 motos. Tampoco las tiene para producir mas de 120 bicicletas.

La produccion total de motos y bicicletas no puede exceder las 160 unidades. Los

beneficios realizados por cada moto son $ 134 y por bicicleta $ 20. Cuantas

motos y bicicletas se deben producir para obtener la mayor ganancia?

5. Una persona piensa invertir hasta $ 22.000 en el banco A o en el banco B o en

ambos. Quiere invertir por lo menos $ 2.000, pero no mas de $ 14.000 en A. El

banco B no asegura una inversion mayor de $ 15.000, asi que no invertira mas de

eso en el banco B. El interes en el banco A es del 6% y en el banco B es del 6,5%

por ano. Cuanto debe invertir en cada banco para obtener el maximo interes?

Cuanto es el interes maximo?

6. Una empresa que da servicio de limpieza prepara sus propias soluciones mezclando

2 ingredientes: I1 y I2. Esto lo hace para obtener una solucion que tiene lo que

considera una combinacion apropiada de fosfato y cloruro. El ingrediente I1 tiene

5% de fosfato y 2% de cloruro y cuesta $ 25 el gramo; el ingrediente I2 tiene 7%de fosfato y 1% de cloruro y cuesta $ 20 el gramo. La empresa necesita que la

mezcla final tenga no menos del 6% de fosfatos, 1.5% de cloruro y desea que el

costo sea el mnimo posible.

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