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MATE2PROC
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1
Cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje
CON LA CO LABORACIÓN DE Angel Sandova l L em u s
(Versión para fase inicial)
1999
MATEMÁTICAS II
2
MATEMÁTICAS IICuadernillo de Procedimientos para el Aprendizaje1998. Secretaría de Educación Pública/ Dirección General del Bachillerato
COSTO DE RECUPERACIÓN $ 15.00
3
ÍNDICE
Presentación ................................................................................................................................... 5
UNIDAD I. Geometría ....................................................................................................................... 71.1. Polígonos.............................................................................................................................................. 81.1.1. Clasificación de polígonos.............................................................................................................. 81.1.2. Triangulación de polígonos......................................................................................................... 111.1.3. Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono...................................................... 131.1.4. Cálculo de perímetros y áreas..................................................................................................... 21
1.2. Círculo y circunferencia.................................................................................................................... 311.2.1. Elementos de la circunferencia................................................................................................... 311.2.2. Ángulos de la circunferencia....................................................................................................... 321.2.3. Transformación de medidas angulares..................................................................................... 351.2.4. Cálculo del perímetro de la circunferencia y área de un círculo.......................................... 38
1.3. Sólidos.................................................................................................................................................. 511.3.1. Prismas............................................................................................................................................. 511.3.2. Paralelepípedos............................................................................................................................... 581.3.3. Cilindro............................................................................................................................................ 681.3.4. Cono.................................................................................................................................................. 701.3.5. Esfera................................................................................................................................................ 71Quiero saber más ..................................................................................................................................... 88
UNIDAD II. Trigonometría...................................................................................................... 892.1. Razones trigonométricas....................................................................................................... 902.1.1. Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente................................................. 922.1.2. Cálculo para ángulos notables: 30°, 45° y 60°............................................................... 942.1.3. Razones trigonométricas para triángulos rectángulos.............................................. 98
2.2. Funciones trigonométricas................................................................................................... 1072.2.1. Funciones directas, inversas y/o recíprocas................................................................. 1072.2.2. Círculo trigonométrico...................................................................................................... 1162.2.3. Reducción al primer cuadrante......................................................................................... 1172.3. Identidades trigonométricas................................................................................................. 1442.3.1. Funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos.............................................. 1792.3.2. Funciones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos...................................... 185
2.4. Triángulos................................................................................................................................. 2002.4.1. Resolución de triángulos rectángulos............................................................................. 2002.4.2. Resolución general de triángulos oblicuángulos.................................................................... 206Quiero saber más........................................................................................................................................ 222
4
5
Las Matemáticas se conciben como una ciencia formal debido a que en su desarrollohistórico ha construido métodos, lenguajes numéricos y procedimientossistemáticos que posibilitan la representación simbólica de la realidad o susfenómenos.
La Geometría y la Trigonometría se encuentran estrechamente relacionadas con elcálculo de perímetros y áreas, volúmenes y ángulos; también se relacionan con lasrazones, funciones, identidades y aplicación de leyes en: triángulo, rectángulo,oblicuángulo, círculo, circunferencia y sólidos.
El familiarizarte con métodos matemáticos es parte del saber intelectual y científico, yaque constituye una base para el avance de la ciencia y la tecnología; además, teproporciona herramientas para tu propio desarrollo -individual y social- en la vidacotidiana.
El conocimiento que te proporciona Matemáticas II, se aplica en actividades como elarte, la cultura, la ciencia y la tecnología, facilitando el trabajo de músicos, dibujantes,artistas, comerciantes, fabricantes de aparatos y máquinas, y carpinteros, entre otros.
La asignatura de Matemáticas II, por su particularidad en el método, lenguaje yprocedimiento, permite facilitar la representación de la realidad (es decir, podemosvisualizar y representar geométricamente, fenómenos, hechos y sucesos), estudiarla,interpretarla y analizarla a través de la construcción de modelos.
Para abordar los contenidos que se han propuesto en esta asignatura, es importanteque consideres su secuencia lógica, orden y congruencia.
Cada una de las actividades que se te señalan tiene una función que debes seguir paralograr tu proceso de aprendizaje. Para ello, se requiere que desarrolles tu habilidad delectura y de constancia en la resolución de ejercicios y problemas, de tal manera quevincules los conocimientos adquiridos en esta asignatura con la vida cotidiana.
Los ejercicios de reflexión y aplicación (solución de problemas) te ayudarán a reafirmarlo aprendido a partir de actividades que te permitan integrar, relacionar, contrastar ygeneralizar nuevos conocimientos.
Al final de cada tema encontrarás conceptos y términos cuyo significado deberásinvestigar. Te sugerimos que con ellos elabores un glosario y lo consultes para facilitartu estudio.
Cómo elaborar un glosario:
- Anota en una tarjeta la palabra, su significado o definición, según el texto donde la localizaste.
- Ordena las palabras alfabéticamente.
- En caso de ser necesario anota tu interpretación al reverso de la tarjeta.
PRESENTACIÓN
MA
TEM
ÁTI
CA
S II
Palabra/concepto
significado
6
Antes de iniciar con la primera unidad es conveniente que contestes el apartado llamado EvaluaciónDiagnóstica (se encuentra en el cuadernillo de evaluación), con lo cual tendrás una idea de losconocimientos y habilidades con que cuentas para iniciar la siguiente experiencia de aprendizaje.
A lo largo de las unidades de aprendizaje que forman la asignatura de matemáticas II, te encontraráscon el apartado Quiero saber más donde se te proporcionarán actividades y ejercicios que requeriránde la aplicación de los conocimientos aprendidos a lo largo de la unidad.
Es importante que lleves un registro de tus avances, con la finalidad de identificar los temas dondenecesites esforzarte para estudiar con mayor profundidad. Nunca te desanimes, analiza las dificultadesque has encontrado y supéralas. Ya sabes que hay más de una manera de resolver los problemas a losque nos enfrentamos.
La importancia de esta asignatura radica en que te permite una visualización geométrica de losfenómenos que se presentan en tu entorno, así como su interpretación, por medio de la construcciónde modelos matemáticos para su estudio.
El estudio de Matemáticas II fomentará tu capacidad de comprensión, análisis y reflexión, mismosque aplicarás en las asignaturas de Física y Química, así como en las Matemáticas subsecuentes a estecurso.
Para abordar los diferentes temas y subtemas de este cuadernillo el texto base es: Baldor, J.A. GeometríaPlana y del Espacio. México, Publicaciones Cultural, 1996.
Para ampliar informes y conocimientos, además de tu cuadernillo de procedimientos para el aprendizaje,cuentas con un centro de asesoría en donde encontrarás diversos materiales didácticos (libros, guías -cuadernillos de trabajo y evaluación-, videos y programas de T.V.), mismos que te ayudarán a aclarar,reforzar y ejercitar los temas vistos, así como un asesor para resolver tus dudas.
Ubicación de la asignatura
La Aritmética y el Álgebra constituyen el fundamento teórico-metodológico para abordar los contenidosde la asignatura en este segundo bloque. Dichos contenidos son la Geometría y la Trigonometría, loscuales nos permitirán la representación y el estudio de fenómenos químicos, biológicos y físicos.
Matemáticas II se ubica en el segundo bloque y, junto con Matemáticas I, III y IV, constituye parte detu formación básica en la modalidad a distancia.
Objetivo de la asignatura
Aplicar la Geometría y Trigonometría, a través del uso de sus principios, lemas, teoremas y leyes, enla resolución de problemas de la vida cotidiana.
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¿QUÉ VOY A APRENDER?
GEOMETRÍA
UNIDAD IUNIDAD IUNIDAD IUNIDAD IUNIDAD IObjetivo de la Unidad:
Resolver problemas de la vida cotidiana, a través de la aplicación deconceptos, postulados y teoremas de polígonos, círculo, circunferencia ysólidos; para determinar perímetros, áreas, superficies y volúmenes.
Para lograr el objetivo mencionado, la presente unidad se ha conformado por trestemas: polígonos, círculos y circunferencias, y sólidos. De los polígonos conocerássu definición, clasificación (regulares e irregulares), la suma de sus ángulos(interiores y exteriores), la triangulación, y el cálculo de perímetros y áreas. Conel estudio del círculo y la circunferencia desarrollarás habilidades para: identificarcuáles son los elementos que constituyen la circunferencia, conocer sus ángulos(interiores, exteriores, central, inscrito y semi-inscrito), el arco, la transformaciónde las medidas angulares, así como obtener áreas y perímetros. En cuanto a lossólidos estudiarás los prismas, paralelepípedos, cilindros, cono y esfera, de los cualespodremos conocer sus volúmenes y superficies respectivamente.
8
1.1. POLÍGONOS
1.1.1. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS
Lee con atención las siguientes fichas temáticas:
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOSConcepto y definición
Un polígono es una figura geométrica determinada por una polígonal cerrada. Una polígonal es lasucesión de segmentos de recta en los que el origen de un segmento coincide con el final de otro.Las poligonales pueden ser cerradas o abiertas.
LÍNEA POLIGONAL POLÍGONO
Polígono Concepto Ejemplo
Equilátero Es el que tiene todos sus lados iguales.
Equiángulo Es aquel que tiene todos sus ángulos iguales
Convexo Es el que tiene todos sus ángulos menores de 180°
Cóncavo Es aquel que tiene uno o varios ángulos mayores de 180°
¿CÓMO APRENDO?
·
·
· ·
· ·
· ·
· ·
9
Los polígonos regulares son los que tienen ángulos y lados iguales, es decir, los que a la vez son equiláteros y equiángulos.
Polígono Concepto Ejemplo Regular
Los polígonos regulares son: · Triángulo ( 3 lados) · Cuadrilátero ( 4 lados) · Pentágono ( 5 lados) · Hexágono ( 6 lados) · Heptágono ( 7 lados) · Octágono ( 8 lados) · Eneágono ( 9 lados) · Decágono (10 lados) · Endecágono (11 lados) · Dodecágono (12 lados) · Pentedecágono (15 lados)
Los demás polígonos no tienen nombre particular; se dice polígono de 23 lados, polígono de 16 lados, etc.
Dibuja los polígonos restantes y observa que a medida que aumentan los lados se hace igual a la circunferencia.
POLÍGONOS REGULARES: Concepto y definición
10
POLÍGONOS IRREGULARES: Concepto y definición
Los polígonos irregulares son los polígonos de lados desiguales o ángulos desiguales; por ejemplo, cualquier triángulo que no sea equilátero o equiángulo. Polígono Concepto Ejemplo
Rectángulo Son los que tienen lados iguales (dos a dos) y los cuatro ángulos son rectos.
Trapecio rectángulo, isósceles o escaleno.
Es la sección inferior de un triángulo rectángulo cortado por una línea paralela a la base.
Es la sección inferior de un triángulo isósceles cortado por una línea paralela a la base.
Es la sección inferior de un triángulo escaleno cortado por una línea paralela a la base.
Trapezoide
Es aquel que no tiene ningún lado paralelo.
Rombo
Es un paralelogramo de lados iguales y ángulos opuestos iguales (dos a dos).
Romboide
Es un paralelogramo de lados consecutivos desiguales y ángulos iguales (dos a dos).
Lee las páginas 73-75 del texto de Baldor, elabora un cuadro donde clasifiques los diferentes polígonos. Posteriormente, compáralo con la ficha temática.
11
1.1.2. Triángulación de polígonos
Antes de ver la suma de ángulos interiores y exteriores, lee las páginas 75, 77 y 82 del libro deBaldor y conteste lo siguiente:
1. Se le llama �Diagonal� al:
2. De acuerdo al concepto anterior, traza las �diagonales� correspondiente a cada figura de lospolígonos.
Son diagonales
3. Es muy importante que analices y concluyas que el número de �diagonales� que puedentrazarse desde un vértice es igual a:
Si tienes duda al respecto lee el teorema 26 de la página 77 de Baldor, Op. cit.
D C
A B
FIGURA 1
D C
A B
FIGURA 2
B
D
F C
E
A
FIGURA 5
D
E C
A B
FIGURA 4
D C
A B
FIGURA 3
Referencia
N° de lados del
polígono
N° de Diagonales que se forman
desde un vértice d=n-3
Polígono
N° de triángulos que se forman
D=n-2
Fig. (1) Fig. (2) Fig. (3)
4
d4=4-3=1
Fig. (4)
5
d5=5-3=2
Fig. (5)
6
d6=6-3=3
AC y BD
12
Ahora vas a completar en la siguiente tabla, la última columna al calcular el número de trián-gulos obtenidos en cada polígono al trazar los �Diagonales� desde un vértice.
Así el número de triángulos que se forman de acuerdo al polígono es �n-2�. (El alumno debióescribir 2, 3 y 4 triángulos).
4. Para calcular el número total de �Diagonales� se debe considerar si:
5. Y la fórmula es:
6. Completa la tabla:
Ejemplo
N° de lados n
Total de diagonales
D=( )
2
3nn -
N° total de diagonales en el
polígono
4
( ) ( )2
2
4
2
14
2
344D4 ===
-=
1 2
13
1.1.3. Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono
Lee la siguiente ficha temática y analiza cómo se resolvieron los polígonos regulares.
Para realizar la suma de los ángulos, tanto interiores como exteriores, es importanteconsiderar: a) el número de lados y b) el número de triángulos que se forman del polígonoal trazar las diagonales.
Ejemplos:
FORMULARIO
SUMA DE ÁNGULOS
Interiores
Si = 2 R (n - 2)
Si= suma de los ángulos interiores de un
polígono
Se= suma de los ángulos exteriores de un
polígono
i=ángulo interior
e= ángulo exterior
R= ángulo recto de 90°
n= No. de lados del polígono
n-2= No. de triángulos que se forman
Exteriores
Se = 4 R
VALOR DEL ÁNGULO
Interiores
i = n
2) - (nR 2
Exteriores
e= n
R 4
Polígono: TRIÁNGULO
No. de lados = 3
No. de triángulos que se forman: 3 � 2 = 1
SUMA DE LOS ÁNGULOS
Interiores
2 (90°) (3 - 2) = 180° (1) = 180°
Exteriores
4 (90°) = 360°
1
2
3
14
No. de lados = 5
No. de triángulos que se forman: 5 - 2 = 3
1 3
4
2
5 Polígono: PENTÁGONO
VALOR DEL ÁNGULO
Interiores
00
603
180=
Comprobación:(60°)(3)=180°
Exteriores
°=°
120 3
360
Comprobación: (120°)(3)= 360°
Polígono: CUADRILÁTERO
No. de lados = 4
No. de triángulos que se forman: 4 - 2 = 2
SUMA DE LOS ÁNGULOS
Interiores
2 (90°) (4 - 2) = 180° (2) = 360°
Exteriores
4 (90°) = 360°
VALOR DEL ÁNGULO
Interiores
00
904
360=
Comprobación
(4) (90°) = 360°
Exteriores
00
904
360=
Comprobación
(4) (90)=360°
90°
90°
90°
90°
60°
60° 60°
120°
120°
60°
60° 60°
120°
120°
60°
60° 60°
2
1 3
4
90° 90°
90° 90°
15
SUMA DE LOS ÁNGULOS
Interiores
2 (90°) (5 - 2) = 180° (3) = 540°
Exteriores
4 (90°) = 360°
VALOR DEL ÁNGULO
Interiores
00
1085
540 =
Comprobación
(5) (108°) = 540°
Exteriores
00
725
360=
Comprobación
(5) (72°)=360°
10 8°
10 8° 10 8°
10 8°10 8°
7 2 °
7 2 °
7 2 °
7 2 °
7 2 °
Una vez observadas las fichas temáticas, resuelve los siguientes ejercicios
No. de lados =
No. de triángulos que se forman:
SUMA DE LOS ÁNGULOS
Interiores
Exteriores
VALOR DEL ÁNGULO
Interiores
Comprobación
Exteriores
Comprobación
Polígono: HEXÁGONO
16
No. de lados =
No. de triángulos que se forman:
SUMA DE LOS ÁNGULOS
Interiores
Exteriores
VALOR DEL ÁNGULO
Interiores
Comprobación
Exteriores
Comprobación
Polígono: HEPTÁGONO
Con el conocimiento adquirido anteriormente, elabora un resumen para calcular el n°de lados del polígono y el n° de triángulos que se forman, así como el valor del ángulointerior y exterior, y la suma de cada uno de éstos.
Observa con atención los siguientes ejemplos.
No.
de
lado
s
POLÍGONO
n
n-2
SUMA DE LOS ÁNGULOS
INTERIORES
Si =2R(n-2)
VALOR DEL ÁNGULO
SUMADE LOS ÁNGULOS
EXTERIORES
Se = 4R
Triángulo
3
3-2=1
2(90)(3-2)=180(1) 180°
3
180°=60°
3
)90(4 °=120°
4(90)=360° comprobación (120°)(3)=360°
Cuadrilátero
4
4-2=2
2(90)(4-2)=180(2) 360°
4
360°=90°
4
)90(4 °=90°
4(90)=360° comprobación (90°)(4)=360°
Pentágono
5
5-2=3
2(90)(5-2)=180(3) 540°
5540°
=108°
5
)90(4 °= 72°
4(90)=360° comprobación (72°)(5)=360°
i=n
)2n(R2 -
e= n
R4
No.
de
triá
ngul
os q
ue
lo fo
rman
17
Con base en esto, completa el siguiente cuadro resumen:
No.
de
lado
s
POLÍGONO
n
n-2
SUMA DE LOS ÁNGULOS
INTERIORES
Si =2R(n-2)
VALOR DEL ÁNGULO
SUMADE LOS ÁNGULOS
EXTERIORES
Se = 4R
Hexágono
Heptágono
Octágono
Eneágono
Decágono
No.
de
triá
ngul
os q
ue
lo fo
rman
i=n
)2n(R2 - e= n
R4
18
Lee del libro de Baldor, Op. cit., las páginas 81-82 y responde lo que se te pide.
1. ¿Qué es un cuadrilátero?
2. Señala sus características.
a) Lados consecutivos.
b) Lados opuestos
c) Vértices y ángulos opuestos
d) Suma de ángulos interiores
e) Diagonales desde un vértice
f) N° total de diagonales
Lee del libro de Baldor, las páginas 82 - 87 y realiza las siguientes actividades:
1. ¿Qué criterio se utiliza para clasificar un cuadrilátero? Explica brevemente.
19
2. Dibuja un paralelogramo, trapecio, trapezoide, rectángulo, cuadrado, romboide y rombo.Después indica sus características y elementos.
3. ¿Qué criterio se utiliza para indicar las propiedades particulares de los paralelogramos?Explica brevemente.
20
4. Dibuja los paralelogramos y comenta las propiedades de cada uno.
5. Resuelve los ejercicios 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 y 15 de la página 88 del libro de Baldor. Comparatus resultados con los del libro. En caso de duda acude con tu asesor.
21
1.1.4. Cálculo de perímetros y áreas
Concepto y definición Perímetro: Área:
Es la medida del contorno de una figura geométrica. Se representa con la letra P. Es la medida de una superficie. Se representa con la letra A.
Ejemplos:
Si ABC es un triángulo rectángulo, ¿cómo se calcula el perímetro y el área?
P = a + b + c 2
h))(B(=A
P = 3 + 4 + 5 = 12 cm 6 2
12
2
)4)(3(A ===
A = 6 cm2
Calcular el área de un triángulo cuya base mide 8 cm y la altura 6 cm.
( )( )2
hBA = 24
2
48
2
)6)(8(A ===
A = 24cm2
P E R ÍM E T R O P = a + b + c
Á R E A ( )( )
2hB
A =
P olíg on o : T R IÁ N G U L O
C
4 cm 5 cm
B A 3 cm
C
6 cm
8 cm A
A
P
a
c b a c
b
h
B
h
B
22
Cuando los triángulos no son rectángulos y se conocen las medidas de los tres lados, sus áreasse calculan con la fórmula de Herón.
Ejemplos: Retomando el ejemplo anterior del triángulo rectángulo, observa cómo se calcula el área aplicando la fórmula de Herón. Compara los resultados.
Semiperímetro = 62
122
543S ==
++=
)36)(46)(56(6A ---=
636)3)(2)(1(6A ===
A = 6 cm ²
Calcular el área de un triángulo cuyos lados miden 9 cm, 7 cm y 5 cm, aplicando la fórmula de Herón.
Semiperímetro = 5.102
21
2
975S ==
++=
)55.10)(75.10)(95.10(5.10A ---=
1875.303)5.5)(5.3)(5.1(5.10A ==
A =17.41 cm ²
C
B A D
h
b a
4cm
3cm
5cm
C
B A
5cm
9cm
7cm
C
B A
El área de un triángulo en término de sus lados
a, b y c está dada por la fórmula de Herón:
)c-S)(b-S)(a-S(SA =
Donde S es igual al semiperímetro del triángulo:
2
cba S
++=
23
CÁLCULO DE PERÍMETRO Y ÁREA Ejemplo: Si se sabe que el área de ABCD es de 49 cm2, calcular:
a) el valor de x b) el área sombreada de cada figura geométrica c) el área total sombreada d) el perímetro de la figura geométrica ABCD
Solución
Datos AB = 2+x+2 = 4+x BC = 2+x+2 = 4+x Área total = ABCD = 49 cm2
a) Como puedes observar, la figura geométrica es un cuadrado y conocemos que: A=a2=(a)(a), por lo cual sustituimos los valores de cada lado en la ecuación.
A= (a)(a) 49= (4+x) (4+x) 49= 16+4x+4x+x² 49= 16+8x+ x²
Se trata de una ecuación de 2do. Grado* y para resolverla igualamos a cero y aplicamos la fórmula General.
x² +8x+16-49=0
x² +8x-33=0 )a(2
ac4bbx
2 - - ±=
* Recuerda que en el bloque 1estudiaste el tema de ecuaciones a=1 b=8 c=-33
32
6
2
148x
2
148
2
1968
2
132648
)1(2
)33)(1(4)8()8(x
2
==+-
=
±=
±=
+±=
±= - --- - -
x= 3
2
C L K B
M N D O P A
H
E
G
F
E
I J
2 x
2
x
2
24
X
2
b) El área sombreada de la figura geométrica ABCD es igual al: rectángulo EFIJ = FGLK = HGMN = EHOP
A=(2)(x) sustituyendo el valor de x obtenido anteriormente: A=(2)(3)=6 cm² EFIJ=FGLK=HGMN=EHOP=6 cm²
c) El área sombreada total es:
A TOTAL=(4 figuras geométricas) (A rectángulo) AT=(4)(6)=24 cm²
d) El perímetro del cuadrado ABCD es: P=4(2+x+2) sustituyendo el valor de x=3 en la expresión anterior: P=4(2+3+2)=4(7)=28 cm P= 28 cm Comprobación: El área del cuadrado ABCD mide 49 cm² (dato original): A= (2+x+2) (2+x+2) sustituyendo el valor de x=3: A= (2+3+2) (2+3+2) = (7)(7)=49 A= 49 cm²
25
Polígono: CUADRADO
P = a + a + a + a A = (lado)(lado)=(a)(a) = a2
Ejemplo:
Calcular el perímetro y el área de un cuadrado cuyo lado mide 2 cm.
P = a + a + a + a A = (a) (a) P = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 cm A = (2)(2) = 4 cm2 P = 8 cm A = 4 cm2
a
a a
a
2 cm
2 cm 2 cm
2 cm
Polígono: RECTÁNGULO
P = 2a + 2b A = (largo) (ancho) A = (a)(b)
Ejemplo:
Calcular el perímetro y el área del rectángulo, si el largo mide 8 cm y el ancho 5 cm.
P = 2(8) + 2(5) = 16 + 10 = 26 cm A = (8)(5) = 40 cm2 P = 26 cm A = 40 cm2
a
b
5 cm
8 cm
Polígono: PENTÁGONO REGULAR
P = suma de las medidas de sus lados
li
P = n · li
)(a (P) 2
1 =A
a = apotema
P = perímetro
å n 1 =i = P
a li
E
A
D
C
B
26
Polígono: ROMBO
li = (4) (li)
( )( )
2
dD = A
donde: D = diagonal mayor d = diagonal menor
Ejemplo:
Calcular el perímetro y el área del rombo cuyos lados miden 2 cm, su diagonal mayor 3.5 cm y la menor 1.7 cm.
P = 4(2) = 8 cm P = 8 cm
( )( )
2.975 = 2
7.13.5 = A
A = 2.975 cm2 = 2.9 cm2
å 4
1 = i = P
d
D li
Ejemplo:
Calcular el perímetro y el área de un pentágono regular cuyo lado mide 2.3 cm y su apotema 1.5 cm.
P = n · li P = 5(2.3) = 11.5 cm P = 11.5 cm
( )( )ap 2
1 = A
A = 2
1 (11.5) (1.5) = 8.625 cm2
A = 8.6 cm2
a
L=2.3
E
A
D
C
B
3.5
1.7
2i =l
27
Polígono: TRAPECIO
li (lados)
h2
bBA ÷
øö
çèæ +
= en donde: B = base mayor
b = base menor h = altura
Ejemplo: Calcular el perímetro y el área del trapecio cuya base mayor mide 4 cm y la menor 1.5 cm, la altura es de 2 cm y el último lado mide 3.3 cm.
P = 4 + 1.5 + 2 + 3.3 P = 10.8 cm
( ) 5.5225.5
)2(21.5+4
= A =÷øö
çèæ=÷
øö
çèæ
A = 5.5 cm 2
å 4
1 = i = P
B
h
b
1.5
3.3
4
2
Polígono: IRREGULAR
Para el cálculo del área de polígonos irregulares se aplica el método de triangulación y se calcula el área de cada triángulo.
La suma de las áreas de todos los triángulos es el área del polígono irregular.
Calcular el área del polígono irregular, tomando como base
la figura de la izquierda.
3
5
2 3.16
II
III
IV
28
Ejem plo: ¿Cuál es el área de un rectángulo cuya diagonal m ide 9 cm y su altura 2 cm? Solución X = ?
Datos Diagonal = 9 Altura = 2 Ancho = ?
Determinar el N° de triángulos.
Triángulo I II III IV
N° triángulos = n � 2 N° triángulos = 6 � 2 N° triángulos = 4 Cálculo de área
2cm12
2
2
1x2 = A ==
2cm3
2
6
2
3x2 = A ==
2cm5
2
10
2
5x2 = A ==
2cm5.4
2
9
2
3x3 = A ==
Suma total de las áreas = 1 + 3 + 5 + 4.5 = 13.5 cm2
Área total = 13.5 cm2
9 cm 2
29
Aplicando el Teorema de Pitágoras (visto en Matemáticas I):
77.877x
77x
481x
29x
92x
2
2
222
222
==
=
-=
=
=+
-
Aplicando la fórmula del área de un rectángulo:
A=(a)(h)=(x)(2)
Sustituyendo el valor de �x�:
A=(8.77)(2)=17.54
Ejercicio tomado de Geometría y trigonometría de Baldor, pp. 228-229.
Resultado A=17.54 cm2
Realiza los siguientes ejercicios. Al finalizar verifica tus respuestas.
1. Calcular el perímetro y el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos son 6 y 8 cm.
2. Calcular el área de un triángulo cuya base mide 12 cm y la altura 7 cm.
3. Calcular el perímetro y el área de un rectángulo donde el largo mide 12 cm y el ancho 7cm.
4. Calcular el perímetro y el área de un hexágono regular, cuyo lado mide 3 cm y su apotema1.5 cm.
5. Calcular el perímetro y el área del rombo donde la diagonal mayor mide 9 cm, la menor 6cm y los lados 5.5. cm.
6. Calcular el perímetro y el área de un trapecio donde la base mayor mide 2 veces más que labase menor que mide 3 cm, la altura es de 4 cm, y el último lado 5 cm.
30
4 4
2
4
6
2 4 2
Respuestas: 1. P = 24 cm A = 24 cm2 2. A = 42 cm2 3. P = 38 cm A = 84 cm2 4. P = 18 cm A = 13.5 cm2 5. P = 22 cm A = 27 cm2 6. P = 18 cm A= 18 cm2 7. Atotal = 6 + 16 + 12 + 2 + 4 Atotal = 40 cm2
Para concluir con este tema, realiza las siguientes actividades.
1. Resuelve los ejercicios: 1, 3, 5, 7, 8, 9, 12 de las páginas 228-229, y 15, 17 y 19 que aparecenen las páginas 230 y 231 del libro de Baldor. Recuerda que para obtener la incógnita (x)requieres del Teorema de Pitágoras en los ejercicios 5, 8 y 9.
2. Lee las páginas 203-215 y 218-220 del mismo libro y señala los diferentes polígonosregulares e irregulares; al lado de cada figura, escribe la fórmula para calcular su área.
7. Calcular el área del polígono irregular de las siguientes dimensiones
31
1.2. CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA
Concepto de circunferencia y círculo
La circunferencia: Se refiere a una curva cerrada y plana donde todos sus puntos equidistan de otro punto interior llamado centro (se representa con la letra O mayúscula).
El círculo: Se refiere a todos los puntos de una circunferencia así como a los interiores de la misma; es decir, es la superficie plana limitada por la circunferencia.
1.2.1. Elementos de la circunferencia
Radio: Es el segmento que va del centro a un punto de la circunferencia (se representa con la letra r).
Diámetro: Es el segmento de recta que pasa por el centro del círculo y une dos puntos (A y B). El diámetro es la mayor cuerda posible trazada en una circunferencia.
Cuerda: Es el segmento de recta cuyos extremos (A y B) son puntos de la circunferencia [ l ].
Arco: Es el segmento de curva marcado por dos puntos A y B de la circunferencia [Ç].
Secante: Es la recta AB que corta en dos puntos a la circunferencia por cualesquiera de sus puntos.
Tangente: Es la recta AB que toca a la circunferencia en un solo punto (C).
.O
.O
r O
B
A
O
B
A
.O
B
A
. O
B A
. O
B
A
. O C
32
1.2.2. Ángulos en la circunferencia
Ángulo Central: Es aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios.
ángulo central = 0= AOB=ÇAB
Ángulo inscrito: Es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son dos secantes.
ángulo inscrito = ABC= 2
ACÇ
Ángulo semi-inscrito: Es aquel que tiene su vértice en la circunferencia, donde uno de sus lados es una tangente y el otro una secante.
ángulo semi-inscrito = BAC =2
ADÇ
Ángulo ex-inscrito: Es aquel ángulo adyacente a un ángulo
inscrito. CBD es el ángulo ex-inscrito
Ángulo adyacente: Es aquel que tiene el mismo vértice con otro ángulo y un lado común que los separa.
Ángulo interior: Es aquel cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia y sus lados son dos secantes.
ángulo interior = B= 2
DCAD Ç+Ç
ABD, DBC, CBE, ABE son ángulos interiores
Ángulo exterior: Es aquel cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia.
ángulo exterior = ABC = 2
DEAC Ç-Ç
A
. O
B
D
C
. O
A
B
C
D
. O
A
B C
D
E
. O
A C
B
A
B
C
B
A
E
D
. O
33
Figura Datos Fórmula Sustitición y resultado
Si: Ç 0100AB = encontrar: AOB=?
ángulo central 0= AOB=ÇAB
Como AOB= ÇAB AOB=100° Respuesta
AOB =100°
Si: ÇAC=150° encontrar:
ABC = ?
ángulo inscrito
ABC=2
ACÇ
ABC= °=°
752
150
Respuesta ABC=75°
Si: ÇBC=220° encontrar:
ABC = ?
ángulo semi-inscrito
ABC=2
BCÇ
ABC= °=°
110 2
220
Respuesta ABC=110°
Si: ÇBD=20° y ÇAE=80° encontrar:
BCD = ?
ángulo exterior
BCD = 2
BDAE Ç-Ç
BCD= 0OOO
302
60
2
2080 ==-
Respuesta BCD=30°
Si: ÇDC=60° y ÇAE=130° encontrar:
DBC = ?
ángulo interior DBC=
2
DCAE Ç+Ç
DBC=
°=°
=°+°
952
190
2
60130
Respuesta DBC=95°
Si: AOC=70°
encontrar:
ABC = ?
ángulo central AOC= ÇAC
ángulo inscrito
ABC=2
ACÇ
Como: AOC= ÇAC ÇAC=70° y
ABC=0
0
352
70
2
AC==
Ç
Respuesta
ABC=35°
B o.
A
C
O
0.
C
A B
Ejemplos:Observa cómo se realizaron los cálculos para los ángulos y arcos de la circunferencia.
0
A
100°
B
B D C
A E
D
A
B C E
O .
A
C
B .O
34
Figura Datos Fórmula Sustitución y resultado
Si: BOC=40° encontrar: BAC=?
Respuesta BAC=20°
Si: ABC=80° ÇDC=35° encontrar: ÇAD=?
Respuesta ÇAD=125°
Si: EC es paralela a FB ÇBD=30° ÇAF=100° encontrar: BCD=? ÇAE=?
Respuesta BCD=50° ÇAE=130°
Si: ABD=30° ÇBE=70° encontrar: ACD=?
Respuesta ACD=65°
Resuelve los ejercicios del 1 al 8 de las páginas 158 y 159 del libro de Baldor. En caso dedudas acude con tu asesor.
A B
C D
Completa la siguiente tabla:
A
B
C O
A
B
C
D
A B C
D
E
F
A
B
C
D
E ·
Figura Datos Fórmula Sustitución y resultado
Si AB es una cuerda paralela a CD y BAC =35° encontrar: ÇBC=? ÇAD=?
ángulo inscrito BAC=
2
BCÇ y
ACD=2
ADÇ
BAC= ACD por ser alternos internos (concepto visto en el bloque 1).
Como: BAC = 35° ACD=35° A.I.
BAC= 2BCÇ
sustituyendo el valor del ángulo de 35° y despejando el arco de BC. 2( BAC)= ÇBC ÇBC=2(35° )=70° ÇBC=70° ÇAD=2(<ACD) ÇAD=2(35)=70° ÇAD=70°
35
MEDIDAS ANGULARES
La letra griega pp (pi) representa la relación que existe entre el diámetro de una circunferencia y su longitud; pp se define como la razón de L a D.
D
Lp pp (pi): Es un número irracional por lo que no se puede expresar
como cociente de dos números enteros. Su valor es 3.1416 aproximadamente.
UNIDAD DE MEDIDA
Grado Radián
La unidad de medida angular para la circunferencia es el grado [°], con lo cual se considera a la circunferencia dividida en 360°.
Otra unidad de medida angular es el radián. Un radián es un ángulo cuya longitud de arco es igual al radio; se representa como: 1 rad.
1 revolución 1°1� 1°
= 360° = 60� = 60�� = 60 x 60 =3600��
El ángulo formado por
AOB representa un radián.
1 rad = p2
3600
= 570 17� 44.3�
A
B
r O .
p=180° 2p=360°
1.2.3. Transformación de medidas angulares
Para desarrollar una transformación con las medidas angulares, consideremos el siguiente razonamiento sobre la circunferencia.
De grados a radianes De radianes a grados 1p radián = 180° 1p radián = 180°
1p radián = 1° (180) 1 radián = p
0180
\ 1°= 180
1p radián
0°
36
II.- Convertir de grados a radianes 1) 300 = ? radián
Para convertir a radianes la medida de un arco se multiplica por: 0180
p
300 ÷øö
çèæ
0180p
para simplificar las operaciones se saca la décima:
rad 183p
se saca tercera:
rad 6
1p
Respuesta: rad 6
= rad 6
1300 p
p=
2) 600 = ? radián
600 = 600 rad 3
1
18
6
1800pp
p
==÷ø
öçè
æ
Respuesta: rad 3
= rad 31
600 p
p=
3) 900 = ? radián
900 = 900 rad 2
1
18
9
1800 pp
p
==÷øö
çèæ
Respuesta: rad 2
= rad 21
900 p
p=
Ejemplos:
37
IIII. Convertir de radianes a grados
1) grados ?rad6
=p
La conversión a grados de la medida de un arco se realiza multiplicando el valor
inverso: p
0180
0
00
306
1801806
==÷÷ø
öççè
æp
p
Respuesta: 030rad6
=p
2) grados ?rad3
=p
0
00
603
180180
3rad
3==÷÷
ø
öççè
æ=
p
pp
Respuesta: 060rad3
=p
3) grados ?rad2
=p
0
00
902
1801802
rad2
==÷÷ø
öççè
æ=
p
pp
Respuesta: 090rad2
=p
38
1.2.4. Cálculo del perímetro de la circunferencia y área de un círculo
El perímetro es el contorno que limita una circunferencia o la longitud de la circunferencia; es decir, el doble de p multiplicado por el radio. Su fórmula es: L=pD = p(2r)= 2pr Donde: L= longitud de la circunferencia D= diámetro p= 3.1416 r= radio
El área de un círculo es igual al producto de p por el cuadrado de su radio. Su fórmula es: A=p r² Donde: A= área del círculo p= 3.1416 r= radio
Ejemplos: 1) Calcular el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 6 cm. L=? Datos Fórmula Sustitución Resultado r= 6 cm P=L=2pr L=2(3.1416)(6) L=37.70 cm p= 3.1416 L=37.6992 P=? 2) Una circunferencia tiene como diámetro 22 cm, ¿cuál será su perímetro? Datos Fórmula Sustitución Resultado
D= 22 cm P=L=2pr r=2
D=
2
22=11 L=69.12 cm
p= 3.1416 D=2r L=2(3.1416)(11)
P=? r=2
D L=69.1152
D=22
R=6
39
ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR La corona circular es el área limitada por dos circunferencias concéntricas; es decir, cuando dos circunferencias tienen un mismo centro. Se representa como Acc. El área de la corona circular se obtiene restando el área del círculo mayor, al área del círculo menor: Acc = A1 - A2 Acc = pr1² - pr2² =p (r1² - r2² )
r2
r1
3) Si el perímetro de una circunferencia es igual a 120 cm, ¿cuánto mide su radio? Datos Fórmula Sustitución Resultado L=P=120 cm L=2pr r=
)1416.3(2
120 r=19.10cm
p= 3.1416 Despejando �r� r= 2832.6120
r=? r=ð2
L r=19.098
4) Determinar el área de un círculo cuyo radio mide 8 cm. Datos Fórmula Sustitución Resultado r= 8cm A=pr² A=(3.1416)(8) ² A=201.06cm² p =3.1416 A=201.0624 A=? 5) Calcular el radio de un círculo cuya área mide 90 cm2. Datos Fórmula Sustitución Resultado
A=90 cm² A=p r² p
Ar = r=5.35cm
p=3.1416 despejando �r�
r=? r² =p
A 6478.28
1416.390
r ==
p
Ar = r= 5.352366
r
R=8
A=90cm2
40
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR El área de un sector circular es igual a la mitad del producto de la longitud del arco por el radio. Se representa como Asc.
°
°=
=
360
)n)((r A
2
(L)(r) A
2
sc
sc
p
Donde: n° = ángulos en grados
360° = son las partes en que se divide el círculo •r n°
L
Ejemplos: 1) Calcular el área de la corona circular donde el radio mayor mide 8 cm y el menor 5 cm. Datos Fórmula Sustitución r1=8cm Acc= p( r1² - r2² ) Acc=(3.1416)[82-52] r2=5cm Acc=(3.1416)[64-25] p= 3.1416 Acc=(3.1416)[39] Acc=? Resultado Acc=122.52cm2 2) Calcular el área de la corona circular (Acc) de la moneda de $5.00 que actualmente circula en México. El Acc es la franja con símbolos prehispánicos. Datos Fórmula Sustitución d1=2.5 cm Acc= p( r1² - r2² ) Acc=(3.1416)[(1.25)2-(0.9)2] \r1=1.25 cm Acc=(3.1416)[1.5625-0.81] d2 = 1.8 cm Acc=(3.1416)(0.7525) \ r2=0.9 cm Acc=2.364054 Acc=?
Resultado Acc=2.36cm
r1=8
r2=5
41
•60°
r=500
B
L
A
Ejemplos: 1) Determinar el área de un sector circular cuyo radio mide 12 cm y la longitud de arco
es de 8 cm. Datos Fórmula Sustitución
r=12 cm 2
(L)(r) Asc = Asc =
2)12(8
L=8 cm Asc = 48 Asc=? 2) Si el radio de una circunferencia es de 50 cm, calcular el área del sector circular que
define un ángulo central de 60°. Datos Fórmula Sustitución
r=50 cm 2
(L)(r) A sc =
AOB=60° 360° es 2pr L = 52.36 60° es L(?) después se sustituye . para obtener el área: donde se obtiene:
L=0
0
360
)2)(60( rp A= 2
)50)(36.52(
2
)r)(L(=
Resultado Asc = 1,309 cm2
Resultado Asc = 48 cm2
• r=12
L=8
0
Como se conoce �L� se realiza el siguiente razonamiento:
Primero se calcula la longitud del arco:
°
°=
360
)(50)])[2(3.1416(60 L
2p r
360°
42
3) Si el área de un sector circular mide 150 cm² y su radio 30 cm. ¿Cuál es la longitud del arco y el ángulo central que se forma? Datos Fórmula Sustitución
Asc=150cm² 2
)r)(L(A sc = L=
30
)150(2
r=30cm despejando �L� L= 10
L= ? L=r
A2 sc
AOB=?
360° es 2pr AOB=)30)(1416.3(2
)10)(360( O
X° (?) es L AOB=496.188
3600
Donde se obtiene �x�: AOB=19.0985
X°= AOB= ( )( )r2
L360p
°
Resultados L = 10cm. AoB = 19.09° AoB = 19°5� 4) Calcular el área de un sector circular de 75° cuyo radio mide 4 cm. Datos Fórmula Sustitución
AOB=75° °
°
360
nr 2p
( )( ) ( )
°°
3607541416.3 2
r=4cm °36092.3769
Asc=? Asc=10.472
Resultado Asc=10.47cm2
2pr
360°
•0
75°
A
r=4
B
Para encontrar el ángulo se sustituye el valor de L= 10 en la expresión:
Para calcular el ángulo partimos del razonamiento:
•A=150
0 r=30B
AL
Resuelve los ejercicios 7 - 10 de la página 200 de Baldor. En caso de dudas acude contu asesor.
43
A
•B
0
130°
Área del segmento circular
El área del segmento circular se obtiene restando al área del sector circular, el área del triángulo incluido en el mismo. Se representa como Aseg. Aseg= Asc-área triángulo
Aseg = 2
bh360
nr0
02
- p
Aseg =2
bh2
)r)(L(- Donde: L= longitud del arco AB
r= radio Ejemplos: 1) Calcular el área de un segmento circular de 130° que pertenece a un círculo de 4 cm de radio, cuya cuerda mide 7 cm y la altura del triángulo correspondiente es de 2.5 cm.
Datos Fórmula Sustitución
Aseg =? Aseg = 2
bh
360
nr 0
02
-p
Aseg =2
)5.2)(7(
360
)130()4)(1416.3(0
02
-
AOB=130° Aseg = 2
5.17
360
528.6534O - = 18.1514-8.75
r=4cm Aseg= 9.4014 b=7cm h=2.5cm
2) Determinar el área de un segmento circular definido en una circunferencia donde el radio mide 9 cm, la longitud de arco 16 cm y la cuerda es igual al radio.
Datos Fórmula Sustitución Aseg =? Aseg =
2
)h)(b(
2
)r)(L(- Por el teorema de Pitágoras:
r=9 cm Teorema de Pitágoras: L=16 cm a² +b² =c² (4.5)² +h² =(9)²
b=9 cm h² =(9)² -(4.5)²
25.2081h -= 75.60h =
h=7.7942
0
A B
• rr
Resultado Aseg=9.40cm2
•9 9
9A B
L
•9 9
9A B
L
44
Ejemplos: 1) Dado un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia cuya altura es de 12 cm, calcular el radio, el apotema y el lado. Datos Fórmulas Sustitución Resultado
h=12 cm r= h3
2 r= ( ) 8
3
2412
3
2== r=8 cm
r=? a= h3
1 a= 4)12(
31
= a=4 cm
a=? l3=r 3 l3=8 3 =8(1.73) l3=13.86 cm l3=? l3=13.8564
Aseg=2
)79.7)(9(
2
)9)(16(-
Aseg=211.70
2144
-
Aseg=72-35.05 Aseg= 36.95 Resultado Aseg= 36.95
9 9
9
h9
4.5
h
Relación que existe entre: el lado, el apotema y el radio de polígonos regulares de 3, 4 y 6 lados. Posteriormente este conocimiento será útil al estudiar el tema de prismas y pirámides.
TRIÁNGULO EQUILÁTERO Esta relación se forma al trazar el apotema �a� y el radio �r� cuyos extremos son puntos de uno de los lados del polígono �l �. l3=r 3
radio: h32
apotema: a = h31
ó r2
1
altura: h =a+r
•0l3
l6
r
A
D
C
B
r
a
45
2) Si en una circunferencia se encuentra inscrito un triángulo equilátero, ¿cómo se determina el lado, el apotema y la altura sabiendo que el radio es igual a 16 cm? Datos Fórmulas Sustitución Resultado r=16 cm l3=r 3 )73.1(163)16(3 ==l l3=27.68 cm
l3=? a= r2
1 l3=27.68 a=8 cm
a=? r= h3
2 a= 8)16(
2
1= h=24 cm
h=? despejando �h�: h= 24)16(2
3=
h= r2
3
CUADRADO Lado del cuadrado: l4 = 2r
Apotema: 2r2
1
2
1a 4 == l
EJEMPLOS: 1) Dado un cuadrado inscrito en una circunferencia cuyo radio es igual a 9 cm, determinar el lado y el apotema. Datos Fórmula Sustitución Resultados r=9 cm l4= 2r l4=(9)( 2 ) l4=12.73 cm
l4=? a= 2r2
1 l4=(9)(1.4142) a=6.36 cm
a=? l4=12.7278
a= )2)(9(21
a= )7278.12(21
a=6.36
·l
4
l 4
A
B
C
D
l4
l 4
46
2) Si en una circunferencia se encuentra inscrito un cuadrado, determinar el radio y el apotema, sabiendo que el lado es igual a 20 cm. Datos Fórmula Sustitución Resultados
l4=20 cm a= 42
1l a= 10)20(
2
1= a=10cm
r=? a= 2r2
1 r=
2
20
2
)10(2= r=14.14cm
a=? despejando �r�: r= 14.144142.1
20=
r=2
a2
HEXÁGONO REGULAR Lado del hexagono: l6 = r
Apotema: a = 3r2
1
EJEMPLOS:
1) Si en una circunferencia se encuentra inscrito un hexágono regular cuyo radio mide 8 cm, determinar el lado y el apotema.
Datos Fórmula Sustitución Resultados r=8 cm l6 =r l6= r =8 cm l6=8 cm
l6=? a= 3r2
1 a= )3)(8(
2
1 a=6.92 cm
a=? a= )73.1)(8(2
1
a=6.92
2) Si en una circunferencia se encuentra inscrito un hexágono regular, ¿cuál es el radio y el apotema si el lado es de 20 cm?
Datos Fórmula Sustitución Resultados l6= 20cm r=l6 r=20 cm r= 20 cm
r=? a= 3r2
1 a= )3)(20(
2
1 a=17.3 cm
a=? a = )73.1)(20(2
1
a=17.3
•r
l6
a
1l6
621
l
ar
621
l
ar
47
Resolver los ejercicios 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 de las páginas 184 y 185 del texto deBaldor. En caso de dudas acude con tu asesor.
Para complementar tu aprendizaje, realiza los siguientes ejercicios. Al finalizar compara tus resultados
1. Dado un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia, determinar:
a) El radio, el apotema y el lado, si la altura mide 30 cm.b) El lado, el apotema y la altura, si el radio mide 12 cm.
2. Dado un cuadrado inscrito en una circunferencia, determinar:
a) El lado y el apotema, si el radio es igual a 25 cm.b) El radio y el apotema, si el lado del cuadrado mide 60 cm.
3. Dado un hexágono regular inscrito en una circunferencia, determinar:
a) El lado y el apotema, si el radio mide 16 cm.b) El radio y el apotema, si el lado del hexágono mide 5 cm.
Resultados:
1.a) r=20 cm, a= 10 cm, l
3=34.6l cm
b) l3=20.76 cm, a=6 cm, h=18 cm
2.a) l4=35.35 cm, a=17.67 cmb) a=30 cm, r=42.42 cm
3.a) l6=16 cm, a=13.84 cmb) r=5 cm, a=4.33 cm
48
CÁLCULO DE PERÍMETRO Y ÁREAS 1) Determinar el área sombreada: Datos Razonamiento Fórmula l4=40 cm Az =(l) (l)=l² r=20 cm Ao =pr² Sustitución Acuadrado = (40)² =1600 Acírculo = (3.1416)(20)² =1256.64 Asombreada = Acuadrado - Acírculo As=1600-1256.64 Resultado As=343.36 As= 343.36 cm² 2) Determinar el área sombreada: Datos Razonamiento Fórmula b=500 cm Arect =(b)(h) h=2500 mm Acír=pr²
h=250 cm 2
1 Acír= 2
1 pr²
r=125 cm Sustitución Arect =(500)(250)=125,000
Acír2
1
=2
1 (3.1416)(125)2=24,543.75
Asombreada = Arect- Acír2
1
As=125,000-24 ,543.75=100,456.25 Resultado As=100,456.25 cm²
- =
- =
40cm
40cm
2500mm
500cm
r=125cm
49
3) Determinar el área sombreada: Datos Razonamiento Fórmula cuadrado Arect=bxh l4=20 cm Acua=l²
triángulo Atria=2
bh
b=20 cm Acir
21 =
2
1 pr²
h=20 cm círculo r=20 cm rectángulo b=50 cm h=40 cm Sustitución Arect=50x40=2000 Acua=(20)² =400
Atria=2
)20(20 =200
Acir2
1=
2
1 (3.1416)(20)2 = 628.32
Asom=2000-(400+200+628.32) Asom =2000-1228.32 Asom =771.68 Resultado As=771.68 cm²
20
20
20
30
•r=20
= - - -
50
Para practicar lo aprendido, realiza lo siguiente:
1. Resuelve los ejercicios 22 al 31 de la página 232 del libro Baldor. En caso de duda acudecon tu asesor.
2. Lee de la página 128 a la 146 del libro de Baldor el apartado que se refiere a la definicióny diferencia entre circunferencia y círculo. Después elabora una ficha temática dondeindiques las principales diferencias entre la circunferencia y el círculo. Si tienes dudas,acude con tu asesor.
3. Resuelve los ejercicios 1, 3, 5, 7, 8, 9 y 10 de las páginas 146-148 del libro de Baldor.
4. Lee de la página 149 a la 158 del libro de Baldor. Elabora un cuadro donde clasifiques losdiferentes ángulos de la circunferencia: central, inscrito, semi-inscrito, interior y exterior.Si tienes dudas, acude con tu asesor.
5. Lee de la página 130 a la 133 del libro de Baldor, el apartado que se refiere al concepto deArco. Continúa tu lectura en las páginas 153-158. Elabora una ficha temática donde indiquesel concepto y las principales aplicaciones del arco. Si tienes dudas, acude con tu asesor.
6. Resuelve los siguientes ejercicios, expresando su respuesta en la medida angular solicitada,después verifica tus respuestas.
I.- Convertir de grados a radianes:
II. Convertir de radianes a grados:
1) 00
2) 1200
3) 1500
4) 1800
5) 450
6) 2700
7) 2400
8) 3000
9) 3400
10) 1950
1) 4
p
2) p
3
2
3) ð
5
3
4) 2 p
5) ð
5
6
6) p
4
7
7) p
6
5
8) p
3
5
9) 1 p
10) p
9
17
51
Respuestas:
7. Lee de las páginas 221-228 del texto de Baldor, el apartado sobre el área de un círculo.Elabora un cuadro donde incluyas la definición de perímetro y área, así como sus fórmulasy procedimientos para su cálculo.
1) 0 rad
2) rad 3
2p
3) rad 6
5p
4) 1 p rad
5) rad 4
p
6) rad 2
3p
7) rad 3
4p
8) rad 35p
9) rad 9
17p
10) rad 12
13p
1) 450 2) 1200 3) 1080 4) 3600 5) 2160
6) 3150 7) 1500 8) 3000 9) 1800 10) 3400
1.3. SÓLIDOS
En el medio en que vivimos nos encontramos frecuentemente con figuras de cuerposgeométricos, las cuales pueden verse tan sencillas como complejas. Así, encontramos envasestetrapack, edificios, esculturas, y pirámides, cuyas figuras se adaptan a la forma geométrica;es decir, tienen tres dimensiones: longitud, altura y ancho.
1.3.1. Prismas
Un prisma es un poliedro con dos bases paralelas en forma de polígono y caras laterales queson paralelogramos.
Entre la diversidad de figuras y cuerpos geométricos se distinguen las que están formadaspor polígonos* , y que por sus características los llamamos prismas.
52
PRISMAS REGULARES
Son aquellos cuerpos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí, de tal manera, que en cada vértice concurren el mismo número de caras. Los prismas de mayor interés son los poliedros regulares, igual que en geometría plana se estudia los polígonos regulares, en los cuerpos sólidos se puede pensar en analogías con características en cuanto a la regularidad. A continuación se muestran algunas de las relaciones que se pueden establecer entre los polígonos de la geometría plana y los poliedros mencionados de la geometría del espacio. Geometría plana Geometría del espacio Polígono Poliedro
êê êê Cuadrilátero Prisma
ê ê Paralelogramo Paralelepípedo Rectángulo Cuadrado Paralelepípedo Cubo Rectángulo Tomado de Barnett, Rich. Geometría Plana con coordenadas. Teoría y 850 problemas resueltos. México, Mc Graw-Hill, 1992, p. 14.
Podemos identificar a los prismas rectos cuando las aristas laterales son perpendiculares a labase y, a los prismas oblicuos (llamados romboides) cuando las aristas laterales son oblicuasa la base.
Prisma recto Prisma oblicuo
* Polígono: Figura que se forma por una línea poligonal cerrada; existen dos tipos: Convexo, formado por una línea polígonal convexa Cóncavo, formado por una línea polígonal cóncava.
53
FIGURA
CONCEPTO
El tetraedro está limitado por cuatro caras que son triángulos equiláteros. El cubo o hexaedro está limitado por seis caras que son cuadrados. El octaedro es limitado por ocho caras que son triángulos equiláteros. El dodecaedro es limitado por doce caras que son pentágonos regulares. El icosaedro, limitado por veinte caras que son triángulos equiláteros.
Sólo existen cinco prismas regulares, también sólidos poliédricos. Estos se clasifican, deacuerdo con el tipo de polígonos de las bases, en: triangular, cuadrangular, pentagonal,etc.
54
La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que corta todas sus aristas en puntos distintos del vértice. Todas sus caras tienen un vértice común, menos la base que no tiene vértice. La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. Criterios análogos a los utilizados en prismas permiten clasificar las pirámides en: · Rectas y oblicuas. · Regulares e irregulares. · De base triangular, cuadrangular,
pentagonal, hexagonal, etc.
apotema
Apotema (altura de la cara lateral o altura inclinada)
Altura de la pirámide
Cara lateral
base
En una pirámide regular el apotema es la altura de una de sus caras laterales (en algunoslibros se utiliza también el nombre de altura inclinada, o bien, altura de la cara lateral). Esimportante notar que el apotema de la pirámide forma, junto con el apotema de la base y laaltura de la pirámide, un triángulo rectángulo.
Tú puedes construir diferentes tipos de éstas, por el método experimental del hilo elásticocomo se muestra en la siguiente figura:
55
Tomada de García Arenas, Jesús y Beltrán Infante, Celestí. Geometría y experiencias. México, Alhambra, 1990, p. 131 (Biblioteca de Recursos Didácticos).
56
ÁREA Y VOLUMEN DEL PRISMA Y LA PIRÁMIDE El área de prismas y pirámides es igual a la suma de las áreas de las caras laterales más las áreas de las bases.
Como te diste cuenta en la definición, para determinar el área de los prismas y pirámides, se requieren dos momentos: primero se obtiene el área lateral y después el área total.
Prisma de altura h, con caras laterales rectangulares y bases pentagonales. ´AA = h =altura P= BCAB + AEDECD +++ Fórmulas área lateral AL = (p) (h) Donde: P= perímetro de la base h= altura área total AT =(p) (h)+2B Donde: B= Área de cada base. Pirámide regular con base pentagonal, altura inclinada y aristas de la base. EG =altura inclinada P= BCAB + FADFCD +++ Fórmulas área lateral
AL = hP2
1
Donde: P = perímetro de la base h = altura inclinada área total
AT = hP2
1 +B
Donde: B= área de la base Tomado de Clemens y otros. Geometría con aplicaciones y solución de problemas. México, Addison-Wesley Iberoamericana, 1989, p. 449.
h
A´
B´ C´
D´
E´
B
B CA
A
E
D
AG
B C
D
F
E
57
VOLUMEN DE SÓLIDOS La unidad de medida de los prismas es la unidad cúbica, la cual se refiere al volumen de un cuerpo y es el número de unidades cúbicas que éste puede contener. Por ejemplo, una caja de forma rectangular con 4 unidades de longitud, 3 de ancho y 2 de altura, ocupa 24 unidades cúbicas como se muestra a continuación:
Cubo
l
Figura Fórmula para
el volumen
V= l 3
l
h a
Rectángulo
V=( l )(a)(h)
h h
Prisma
V= Bh
Donde:
B=Área de la base
Figura Fórmula para
el volumen
h
Prisma recto
V= Bh
Donde:
B=Área de la base del prisma
• B
h
Pirámide regular
V= Bh
Donde:
B= Á rea de la base de la pir á mide
B
24u2
= +
12u2
+
12u2
Total: 24u2
B
58
Ejemplos: Cálculo de áreas y volumen de cuerpos sólidos
1) Calcular el área y el volumen de un prisma en forma de cubo regular, cuyo lado mide 5 cm.
Datos Fórmulas Sustitución l4=5 cm Área lateral Perímetro AL=(P) (h) P= 4 (l)= 4(5)=20 cm
Perímetro de la base Área lateral P= l1+l2+l3+l4 AL=(20) (5)=100 cm2
Área Total Área base cuadrada AT= (P) (h)+2B B=A=(5)2=25cm2 B=A= área de la base AT= (P) (h)+2B de la pirámide B=A=l2 Área total AT=(20) (5)+2(25) V=l3 AT=100+50 AT=150 cm2
V=(5)3=125 cm3
Respuestas AT=150 cm2 V=125 cm3
5
B
55
1.3.2. Paralelepípedos Los prismas son poliedros de igual manera que los paralelepípedos son prismas. El paralelepípedo se caracteriza por tener caras en forma de paralelogramo (lados paralelos dos a dos). Podemos identificar algunos paralelepípedos: el rectángulo (cuya base es un rectángulo), el recto (sus aristas son perpendiculares a los planos de base) y el paralelogramo oblicuángulo (también llamado romboide).
E
A B
F
DC
H G
Rectángulo
E
H
A
D
B
F
G
C
Cubo
A B
DC
E
H G
F
Romboide
59
2) Calcular área y volumen de un prisma en forma rectangular, donde el largo mide 12 cm, el ancho 5 cm y la altura 3 cm. Datos Fórmulas Sustitución
l =12 cm Área lateral Perímetro a =5 cm AL=(P) (h) P=2(12)+2(5)=24+10=34 cm h =3 cm Perímetro de la base Área lateral P = 2l + 2a Al=34(3)=102 cm2 Área total Área base rectangular AT=(P) (h) +2B B=(12) (5)=60 cm2 B= Área de la base Área total del prisma AT = (34)(3)+2(60) rectangular AT=102+120 B = (l) (a) AT=222 cm2
V=(l)(a)(h) V=(12)(5)(3)=180 cm3
Respuestas AT=222 cm2 V=180 cm3
3) Calcular el área y el volumen de una caja de zapatos sin tapa, cuyo largo mide 30 cm, el ancho 17 cm y la altura 11 cm. Datos Fórmulas Sustitución
l =30 cm Área lateral Perímetro a =17 cm AL= (P) (h) P=2(30)+2(17)=60+34=94 cm h =11 cm Perímetro de la base Área lateral P=2l+2a AL=94(11)=1,034 cm2
Área total Área de la base AT= (P) (h) +1B B=(30)(17)=510 cm2 B= Área de la base Área total B=(l)(a) AT=1034+1(510)=1544 cm2
V=(l)(a)(h) V=(30)(17)(11) V=5610 cm3
Respuestas AT=1544 cm2 V=5610 cm3
l=12a=5
h=3
3017
11
60
4) Calcular el área y el volumen de una pirámide regular de base cuadrada, si el lado tiene una medida de 7 cm y una altura inclinada de 9 cm. Datos Fórmulas Sustitución g=9 Perímetro base cuadrada Perímetro l=7 P=4l P=4(7)=28cm Área lateral Área lateral
Al= 21
g P Al= 21
(9)(28)=126 cm2
Área de la base cuadrada Área total A=(7)2=49 cm2
AT= AL+1B B= Área de base Área total cuadrada AT = 126 + 1 (49) B=l2 AT=126+49 AT=175 cm2
V=3
1B h (3.5)2 + h2 = (9)2
12.25 + h2 = 81 h2 = 81-12.25 h2 = 68.75 h = 75.68 h = 8.29
V= 3
1 (49)(8.29)
V = 135.40 Respuestas A = 175 cm2 V = 135.40 cm3
A
F
B C
D
E
g=9
7
E
h
F3.5
g=9
61
5) Calcular las longitudes de las aristas de un prisma cuya área total con base cuadrada mide 896 cm2 y la altura es el triple de la longitud de las aristas de la base. Datos Fórmulas Sustitución Área Total = 896 cm2 Área lateral Perímetro l = x AL= (P) (h) P=4x Altura del prisma h = 3 x Perímetro Área lateral P=4l AL=(4x)(3x)=12x2 Área base cuadrada Área base cuadrada B = l2 B=(x)2=x2
Área total AT= (P) (h)+2B Área prisma: AT=896 cm2
Sustituyendo en la fórmula: AT = (P) (h) + 2B 896 = 12x2 + 2(x2) Sumando algebraicamente: 896=14x2
14896 =x2
64=x2
x2=64 x = 64 x =8 Respuestas x = 8 cm 3x =3(8) =24 cm
3x
xx
62
6) Calcular el área y el volumen de la pirámide regular con base hexagonal de 4 cm de longitud de cada lado y altura inclinada de 12 cm.
Datos Fórmulas Sustitución Lado pirámide l6=4 cm Pirámide Perímetro base hexagonal
Altura pirámide Al = 2
1 (h) (P) P=6(4)=24 cm
g=EH=12 cm P= (6) (l6) Área lateral pirámide
h = EO AT=2
1 (h) (P) +1B Al = 2
1(12)(24)=144 cm2
B= Área base hexágonal Área de la base hexagonal
B= ÷øö
çèæ
66 a2
1n l B = ( ) ( )( )úû
ùêëé 4322
16
a = apotema hexagonal B = ( )[ ]346
V= 3
1Bh B = 324
Aplicamos el Teorema de Pitágoras para determinar �a�
(IJ)2+(IO)2=(OJ)2 Área total pirámide
(2)2+(a)2=(4)2 B1)P)(h(
2
1
B1AA LT
+=
+=
a2=(4)2-(2)2 AT = ( )3241144 +
a= 416 AT = 144+24(1.7320)
a= 12 AT =144+41.568 a= ( )34 AT =185.568cm2
a=2 3 a2 + h2 = g2
( )232 +h2 = (12)2
12 + h2 = 144 h2 = 144 - 12 h2 = 132 h = 132 = 11.48
V = 3
1(24 3 )(11.48) = 159.0
Respuestas AT = 185.57 cm2 V = 159.03 cm3
E
F G
H
B C
D
h
g=12
32 O
a
o
I J2
4a
o
I J2I JI J2
44
4
a
I J2
4
4
a
I J2
4
a
I J2
44
I J2
a4 2Ö3
I J2
I JI J2
a4 2Ö3
a4 2Ö3
63
A continuación se te presentan los ejercicios 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 y 15 tomados de laspáginas 442 y 443 del libro Geometría con aplicaciones y soluciones de problemas. Clemensy otros. México, Addison-Wesley Iberoamérica, 1989.Resuélvelos y compara tusrespuestas.
1. Selecciónese la fórmula correcta para encontrar el área. p es el perímetro de la base, h es la altura, l es la altura inclinada y B es el área de la(s) base(s).
a) S = 21ph+2B
b) S = ph+B c) S = ph+2B d) S = pl+2B
7. Encuéntrese el área de un prisma recto con base de triángulo equilátero si todas las aristas miden 2 unidades de longitud. 9. Encuéntrese el área de esta pirámide regular.
3 y 5. Encuéntrese el área de estos prismas rectos y de la pirámide regular.
11. La superficie de un prisma con base cuadrada es 360 cm2, y la altura es el doble de la longitud de las aristas de la base. ¿Cuáles son las longitudes de las aristas del prisma?
h
1)
8
3Ö3
8
3Ö3
3)
2
2
2
7 cm
6 cm
5) 2x
x
S = 360cm2
64
12. El área de una pirámide con base cuadrada es 48 cm2. Si la altura inclinada es igual a la arista de la base, ¿cuál es el área de la base? 13. ¿Cuál es la longitud de la altura de la pirámide del ejercicio anterior?
15. Se desea cubrir unos moldes para bizcochos de 20 cm de lado por 6 cm de profundidad con un material antiadherente. Si la cantidad disponible de antiadherente cubre 100 metros cuadrados. ¿Cuántos moldes podrán cubrirse?
X
X
Respuestas: 1) c 3)24 5)120 7) 12+2 3
9) 72 3 + 3281
=112.5 3
11) 6 cm, 12 cm
13) Determine la arista, x2+ 2
2
x÷øö
çèæ =c2; c2=
4
5X2;
4
5X2+ ( )222 = altura2; altura=
32 cm
15) Cada molde necesita 880 cm2; 880 cm2 x 2
2
cm000,10
m1=0.088m2
x moldes = 2
2
m088.0
m 100 =
molde 1
moldes x= 1136 moldes
65
Resuelve los ejercicios 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15 y 17 extraídos de las páginas 446 y 447 dellibro Geometría con aplicaciones y solución de problemas, Op. cit. Al terminar verifica tusrespuestas.
Encuéntrense los volúmenes de las cajas siguientes.
Encuéntrese el volumen de los prismas de los ejercicios 9 a 11. 9. 11.
5. ¿Cuántos cubos de 2 cm de lado pueden colocarse en la caja del ejercicio 1? 7. ¿Cuántos cubos de 1 cm de lado pueden colocarse en la caja del ejercicio 3?
15. Un recipiente rectangular tiene 5 cm de ancho y 12 cm de longitud, y contiene agua hasta una profundidad de 7 cm. Se mete una piedra y el nivel del agua sube 1.7 cm. ¿Cuál es el volumen de la piedra? 17. Si un recipiente rectangular con base cuadrada tiene 2 pies de altura y un volumen de 50 pies cúbicos, encuéntrense la medida de los lados de la base.
7.1cm
3.5cm 2.6cm
3)
2cm
4cm 3cm
1)
3 5
8
8
6
12cm 5cm
7cm
66
Respuestas:
1) 24 cm3 3) 64.6 cm3 5) 2 cubos 7) 42 cubos 9) 60 11) 432 3 15) 102 cm3 17) 5 pies
Realiza las siguientes actividades:
1. Lee las páginas 262-281 del texto de Baldor y elabora un cuadro donde obtengas elvolumen de los poliedros.
2. Resuelve los ejercicios 1, 3, 5, 7, 10 y 14 de las páginas 281 y 282 del libro de Baldor.
67
CILINDRO, CONO Y ESFERA Concepto y definición
Anteriormente se estudiaron los poliedros, ahora analizaremos las figuras geométricas que no son poliedros, como: el frasco de café; una lata de conservas (cilindro); un embudo o un dulce en forma de pirámide (cono); una pelota o un tanque de gas esférico (esfera). Tales figuras geométricas pertenecen a la familia de los cuerpos redondos de revolución. Se recomienda que veas cómo trabajan los alfareros al utilizar el torno para obtener piezas como ollas, jarros, etc. Las figuras de revolución se obtienen al hacer girar una figura plana. Se te recomienda realizar el siguiente experimento con el objeto de que observes cómo se forman las siguientes superficies de revolución*.
Gira el rectángulo con rapidez para que se
produzca el cilindro.
Gira el triángulo rectángulo alrededor de
un cateto para que se produzca el cono.
Gira el semicírculo alrededor de su
diámetro para que se produzca la esfera.
A
B
eje
eje
A
B
eje
ejeeje
eje
eje
A
B O
ejeeje
ejeeje
A
B O
eje
eje
ejeeje
ejeeje
68
Ejemplos de la vida cotidiana para cada figura de revolución serían:
Cilindro: Un vaso cilíndrico, tubo de PVC o de cobre, tubo de anuncios luminosos.
Cono: Embudo, boca alta de frasco de salsa, cono de galleta para el helado, desagüe de un fregadero.
Esfera: Pelota, canica, frutas como la naranja, esfera para almacenar el gas LP (gaseras).
* (Fuente: García Arenas, Jesús y Beltrán Infante Celesti. Geometría y Experiencias. México, Biblioteca de Recursos Didácticos, Alhambra, 1996, pág. 140).
Realiza lo que se pide:
1. Lee las páginas 283-297 del texto de Baldor y elabora un cuadro donde clasifiques losdiferentes cuerpos de revolución. Incluye en tu información la superficie de revolución, cómose calcula el área lateral, total y volumen. Posteriormente compáralo con la ficha temática.
2. Resuelve los ejercicios 1, 5, 7, 13, 15, 21, 24, 29, 30 y 32 que aparecen en las páginas 298-301 del libro de Baldor.
1.3.3. Cilindro
.
h
Cilindro oblicuo
.
r .
h
Cilindro recto
Como te habrás dado cuenta, el rectángulo genera una figura de revolución conocida comocilindro. Así, podemos encontrar:
Su generatriz es perpendicular Los dos planos no son perpendiculares a la base al eje o generatriz.
Al igual que otras figuras geométricas, podemos conocer el área y volumen del cilindro.Para conocer el área del cilindro primero habremos de obtener su área lateral y posteriormentesu área total.
69
Observa el siguiente dibujo:
El cilindro se compone de un rectángulo y dos círculos de ahí que:
Fórmula
Área lateral: AL = 2 πrhÁrea total: AT= AL + 2πr2
Fórmula para obtener el volumen:
V=( πr2)(h)V= (B)(h)
Es decir que: El área total es igual al área lateral más las áreas de las dos bases y el volumen es igual al producto del área de la base por la altura (la altura es la generatriz).
Tomado de García Arenas, Jesús y Belrán Infante, Celesti. Op. Cit., p. 142.
h
.
.
2ppr
h
r
r
2ppr
h
r
rr
70
1.3.4. Cono
h
Vértice
Cara lateral
Eje o Generatriz
Base directriz
h
Cono oblicuo
r•
2pr
g=a
h
r
g=a
Haciendo un corte al cono recto a lo largo de una generatriz y desplegándolo sobre el plano, observamos como su desarrollo lo componen: un sector circular de radio, la generatriz del cono y la longitud de arco que es igual a la circunferencia de la base 2pr, junto con un círculo básico de radio r.
Otra de las figuras de revolución es el cono, el cual se forma al hacer girar un triánguloisósceles sobre su eje.
h
Cono recto
Para obtener el área y el volumen del cono consideramos:
AL = 2
1 (P) (a)
Donde �P� es el perímetro de la base y �a = g� la generatriz
Área Lateral = (21
) (2 p r) (g) = prg
Área Total = AL + (p) (r2) = (pr) (g + r)
Donde: r= radio de la base circular g= a= generatriz p= 2pr = perímetro (longitud de la circunferencia
71
Volumen: Para obtener el volumen del cono es necesario conocer el área de la base Ab ) y la altura (h)
Fórmula: V= 31
Bh
V= 31
p (r2) (h)
Tomado de García Arenas, Jesús y Beltrán Infante, Celesti. Op. Cit., pp. 145-146.
Se genera a partir de la rotación de un círculo, por lo que podemos considerar que laesfera es el conjunto de todos los puntos que están a una distancia dada de un punto fijollamado centro.
La esfera puede ser dividida; una de las divisiones más conocidas es la formación dehemisferios que sucede cuando una recta o un plano pasa por el centro separando la esferaen dos partes.
1.3.5. Esfera
Círculo máximo
Or
O : Centro
r : radio
Círculo máximo
Or
O : Centro
r : radio
72
Estas partes son productos de la superficie esférica o del volumen esférico.
Superficie esférica
Volumen esférico
Huso esférico
Casquete esférico
Zona esférica
Cuña esférica
Segmento esférico de una base
Segmento esférico de dos bases
Sector esférico
Sector esférico
de dos bases
73
Ejemplos: área y volumen del cilindro
1) Calcular el área y el volumen de un recipiente para alimentos de forma cilíndrica circular recto que mide 11 cm de altura y 8 cm de diámetro.
Datos Fórmulas Sustituciones
h=11 cm Área lateral Área lateral D=8 cm Al
= 2 πrh Al
= 2 (π)(4)(11)=88 π cm2
Al = 88(3.1416)=276.46 cm2
Área total Área total AT = Al +2 πr2 AT = 88 π+ 2 (π)(4)2
AT
= 88π + 32 π = 120 π Volumen A
T =276.46+100.53
V = (B) (h) AT=376.99 cm2 = 120 π cm2
V = πr2h Volumen V=(3.1416)(4)2 (11) V=552.92 cm3 = 176 πcm3
Respuestas AT= 120 π cm2 = 376.99 cm2
V= 176 π cm3 = 552.92 cm3
11
8
r = 4
11
8
r = 4r = 4
Para calcular el área y el volumen de una esfera, se utilizan las siguientes fórmulas:
Tomado de García Arenas, Jesús y Beltrán Infante, Celesti. Op. Cit, p. 153.
Área = A = 4pr2
Volumen = V =3
4pr2
74
3) En un prisma de base cuadrada se extrae un cilindro de 12 cm de diámetro (que equivalea la base del cuadrado). Si la arista del rectángulo es de 20 cm de altura, ¿cuál es el áreay el volumen de ese sólido hueco?
Datos Fórmula Sustitución V=500 cm3 V= pr2 h 500=(3.1416)( r2)(10) h= 10 cm 500=31.416( r2) r=?
D= r2=416.31
500=15.9154
r= 915.15 =3.989=4 cm Respuestas r=4 cm D=8 cm
A
B
1 0V = 5 0 0
A
B
1 0V = 5 0 0
2) El volumen de una botella de perfume en forma cilíndrica es de 500 cm3. Calcular el radio y el diámetro de la base, si la altura es de 10 cm.
Datos Fórmulas Sustituciones Rectángulo Rectángulo (Área) l =12 cm Al = (P) (h) P=4(12)=48 cm D =12 cm P =4l Al = (48)(20)=960 cm2 AT = (P) (h)+2B B=(12)2 =144 cm2 r =6 cm B = (l)2 AT=960+2(144) h =20 cm V=l(a)(h) AT=960+288 AT=1,248 cm2
Cilindro Cilindro (Área) . Al= 2prh Al = 2p(6)(20)=753.984 cm2 AT= Al+2pr2 AT = 753.984+2p(6) 2 AT=2prh+2pr2 AT = 733.984+226.195
AT = 980.179 V = pr2h AT = 980.18 cm2
l= 12
H=20
l= 12
75
l=12
l=12
r
D=12
r=16
Área rectángulo hueco AHUECA = AT(rectángulo)-T(cilindro) AH =1248-980.18 AH=267.82 cm2
Rectángulo (volumen)
V = l(l)(h) = l2(h) V = 12(12)(20)=2880 cm3 V=2,880 cm3
Cilindro (volumen) V = pr2 h V = (3.1416)(6)2 (20) V = 2261.952 V = 2261.95 cm3
Volumen hueco Vhueco = VT(rectángulo)-VT(cilindro) VH = 2880-2261.95 VH = 618.05 Respuestas AH = 267.82 cm2 VH = 618.05 cm3
76
Resuelve los siguientes ejercicios 1, 3, 5, 7, 9 y 11 tomados de las páginas 454 y 455 del libro de Clemens y otros. Op. Cit. Después compara tus respuestas. Encuéntrese el área y el volumen de los cilindros de los ejercicios 1 a 3. 4. Un depósito cilíndrico tiene 17 pies de altura, y el radio de su base es 10 pies 5. ¿Cuántas yardas cúbicas contiene el depósito del ejercicio 4? 7. El volumen de un cilindro circular recto es 972 cm3. Si la altura es 12 cm, ¿cuál es el radio de la base?
9. En un cubo se corta un cilindro de 8 pulgadas de diámetro. La arista del cubo también mide 8 pulgadas. Encuéntrense el volumen y el área de este sólido hueco. 11. En una caja se embalan seis latas cilíndricas. ¿Cuál es la razón entre el volumen de la caja y los volúmenes de las seis latas juntas?
12
20
A
B
25
5A
B
2525
5
Respuestas a los ejercicios propuestos 1. 768p unidades cuadradas, 2880p unidades cúbicas. 3. 300p unidades cuadradas, 625p unidades cúbicas.
5. p
27
1700=197.8 yardas3
7. 5.1cm 9. 512-128p pulgadas2, 384-32p-64p pulgadas2 11. r= radio de la lata; h= profundidad de la caja; volumen de las latas=6 pr2h; volumen de la caja=24 r2h; razón 4:p
77
Ejemplos: área y volumen de conos
1) Calcular el área y volumen de un cono circular recto con un diámetro de 6 cm y 12 cmde altura.
Datos Fórmulas Sustituciones A=? Al = prg Aplicando el teorema de pitágoras* para calcular �g�: V=? AT = Al + pr2 32 + 122 = g2
D=6 cm V = 31
Bh = p
3
1r2 h g2 = 122 + 32 = 144 + 9
H=12 cm g = 153 Teorema de Pitágoras Descomponiendo en factores primos el 153 se obtiene: a2 + b2 = c2 153 3 51 3 153= (3) (3) (17) = 33 (17) 17 17
( ) 173*173153g 2 ===\ Área Total AT = (p) (3) ( )173 + p (3)2
AT = 9p 17+9p cm2
AT = 9 (3.1416) (4.1231) + 9(3.1416) AT= 114.85 cm2 Volumen:
V = pp 36)12()3(3
1 2 =
Respuestas V = 36p cm3 V = 36 (3.1416) = 113.10 cm3
* Recordando conceptos de Álgebra (Matemáticas I) 22 3)17(3 = 17317 =
12
h
3
6
3
12g12
h
3
6
12
h
33
6
3
12g
3
12g
78
2) Calcula el área y volumen del cono recto, si el diámetro y la altura miden 12 cm,respectivamente.
Datos Fórmulas Sustituciones A= ? AT = prg + pr2 Aplicando el Teorema de Pitágoras:
V= ? V =3
1 pr2 h 62 +122 = g2
D = 6 cm
h = 12 cm Teorema de Pitágoras g2 = 122 + 62 = 144 + 36
a2 + b2 = c2 g = 180 Descomponiendo en factores primos El valor de 180, se obtiene: 180 2 90 2 45 3 15 3 180 = (22) (32) (5)
5 5 1
\ g = 180 = *)5)(3)(2( 22 = 56
Área Total
A = p (6) )56( + p (6)2
A = 36p p365 + A = 36 (3.1416) (2.236) + 36(3.1416) A= 365.98 cm2 Volumen
V =3
1p (6)2 (12) = 144p
V = 144 p cm3 V = 144 (3.1416) = 452.39 cm3
Respuestas A = 36p +5 36p = 365.98 cm2 V = 144p cm3 = 452.39 cm3
*Recordando conceptos de Álgebra (Matemáticas I): ( )( )53)2( 22 = 532 22 = ( )( ) 532 = 56
12
h
6 cm
12 cm
6
12g12
h
6 cm
12 cm
12
h
6 cm6 cm
12 cm
6
12g
6
12g
79
Datos Fórmulas Sustituciones
A=? A = prg + pr2 Por el Teorema de Pitágoras
V=? V = 31
pr2 h 22 + h2 = 202
D= 4cm h2 = 202 - 22 = 400 - 4 = 396 g = altura(inclinada)=20 cm h = 396
Teorema de Pitágoras Descomponiendo en factores primos el valor de 396, a2 + b2 = c2 se obtiene:
396 2 198 2
99 3 396 = )11)(3)(2( 22
33 3 = 1132 22 11 11 = (2) (3) 11 1 = 116 \ h = 116396 = Área total
A = p (2) (20) + p (2)2 A = 40p + 4p = 44p A = 44p cm2
A = 44 (3.1416) = 138.2304 cm2
Volumen
V = )116()2(3
1 2p
V = 1183
1124p
p =
V =( )
3
)3166.3(1416.324= 83.36 cm3
Respuestas A=44p=138.23 cm2
V=8p 11=83.36 cm3
3) Calcular el área y volumen de un cono recto cuyo diámetro mide 4 cm y la alturainclinada es de 20 cm.
2
h20
20
h
2 cm
4 cm
2
h20
20
h
2 cm
4 cm
20
h
2 cm2 cm
4 cm
80
hg
r
r
g
h
h=r
Datos Fórmulas Sustituciones
V = 243p V = 3
1pr2 h Como el volumen es de 243p, sustituimos
en la fórmula: 243p =3
1pr2 h
y como h = r sustituyendo en la expresión anterior:
243p = 3
1pr2 r
243p = p3
1 r3
3r)3(243
=p
p
729 = r3 r = 3 729 r = 9 Respuestas r= 9 cm h= 9 cm
h = r
4) En un cono el volumen es de 243π; calcular la altura y el radio si para ello tienen la mismamedida.
81
Vci = p (3)2 (12) = 108p Área cono Vci = 108p AT = prg + pr2
g = apotema Volumen Recipiente = Vol. cono + Vol. Cilindro Área cilindro V= 2prh + 2pr2 VT = 12 p + 108 = 120p VT = 120p = 120 (3.1416) = 376.99 cm3
Área cono Aco = p (3) (5) + p (3)2 = 15p + 9p = 24p Donde Área base cono = 9 p =pr2 Área cilíndrica Aci = 2p (3) (12) + 2p (3)2 Aci = 72p + 18p = 90p Área total recipiente = Área cono + Área cilindro � 2 Base del cilindro AT = 24p + 90p - 2 (9p) = 114p -18p AT = 96p = 301.59 cm2
Respuestas
V = 120p = 376.99 cm2
A = 96p = 301.59 cm2
5) Un recipiente está formado por un cono de 6 cm de diámetro, 4 cm de altura y, en la partesuperior tiene un cilindro circular recto de 12 cm de altura; calcular el volumen y el área delrecipiente.
Datos Fórmulas Sustituciones D=6 cm Teorema de pitágoras Por el Teorema de Pitágoras Hco=4 cm a2 + b2 = c2 32 + 42 = g2 Cilindro g2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 Hci=12 cm Volumen cono g = 25= 5 g = 5
Vrecip=? V= 31
pr2 h Volumen cono
Volumen cilindro Vco. = ( ) ( )433
1 2p = 12 p
V = p r2 h Vco = 12 p Volumen cilíndrico
A
B
3
6 cm
4
12
A
B
3
6 cm
4
12
4g
3
Sumar (+)
Restar (-)
Área
Área
Área
h
Sumar (+)
Restar (-)
Área
Área
Área
h
82
Resuelve los ejercicios 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11 y 13, de las páginas 458 y 459 del libro:de Clemens y otros. Op. cit. Después verifica tus respuestas..
1. En los ejercicios 1 y 3, encuéntrense el volumen y el área de cada uno de los conos rectos.
8. Encuéntrese el volumen de este trompo. 9. Encuéntrese el área de este trompo.
15 17
8
12
5
16
7
14
5. Si el volumen de un cono es 72p, encuéntrense la altura y el radio si son iguales.
6. Si un recipiente está formado por un cilindro circular recto de 4 cm de diámetro y 8 cm de altura, y un cono de 6 cm de altura. Encuéntrese el volumen del recipiente.
7. Encuéntrese el área del recipiente.
11 ¿Cuántas pulgadas cúbicas de grafito hay en la punta afilada de este lápiz? (Empléese una calculadora).
0.125” diámetro
0.25”
13. Los catetos de un triángulo rectángulo tienen longitudes 2 y 3. Al rotar los triángulos sobre sus lados cortos y largos, se forman conos. Encuéntrense la razón entre volúmenes y la razón entre las áreas de ambos sólidos.
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
83
Respuestas: 1. 320p; 200p 8. 448p 3.
3
11925p ; 85p 9. 8p 6516113 p+
5. 6 11. 0.001 pulgadas3 7. 36p + 4p 10 cm2 13. 3: 2 y
4132
9133
++
Ejemplos: área y volumen de la esfera
1) Si una esfera tiene como radio 12 cm ¿cuál es su volumen y área?
Datos Fórmulas Sustituciones Respuestas
2) Encontrar el volumen y el área de una esfera cuyo radio es 6π cm.
Datos Fórmulas Sustituciones Respuestas
•r
V= 2304p cm3
V= 7238.25 cm3
A= 576p A= 1,809.56 cm2
V =43
p(12)3
V = 43
p(1728)
V = 2304p cm3 A = 4p (12)2 = 4p (144) A = 567p
V=43
pr3
A= 4pr2
•r
V= 288p4 cm3
V= 28,054.08cm3
A = 144p3 cm2
A = 4,464.93cm2
r = 6p V = 3
4 p (6p)3
V = 3
4 p(216p3)
V = 288p4 A = 4p (6p)2 A = 4p (36p2 ) A = 144p3
V= 3
4 pr3
A= 4pr2
84
•r
Como el volumen es igual a: V = 216p, sustituyendo en la fórmula 216p = 3 162 pr3 216p ( 3
4p) = r3
162 = r3 r = 3 162 Obtenemos los números primos al valor 162: 162 2 81 3 162 = 2 (3) (33) 3 3 3 3 3 3 1
\ 3 162 = ( )( )3 3332
3 162 = 3 )3(2 3 33
3 162 = 3 6 3
r = 3 162 = 3 3 6 r=? V=216
V = 34
pr3
4) Si el volumen de una esfera es 216 π ¿cuál es el valor del radio?
Datos Fórmula Sustitución Respuestas
3) Encontrar el valor del radio, si el área de la esfera es de 64π cm.
Datos Fórmula Sustitución Respuesta
•r
r = 4 Como el área es 64p, sustituyendo en la fórmula: 64p = 4pr2
r 2 =p
p
4
64 = 16
r = 16
A = 64 p r=?
A = 4pr2
85
5) Encontrar el área de una esfera cuyo volumen es 972π cm3.
Datos Fórmulas Sustituciones
El área es A = 4p (9)2 = 4p (81) = 324p A = 324p
Respuestas A= 324p cm2 A = 1017.88 cm2
A=?
V=972p
V = 34
pr3
A = 4pr2
•r
Como el volumen vale: V = 972p se sustituye en la fórmula
972p = 3
4 pr3
Despejando a �r� 3r
4
3972 =÷
øö
çèæ
pp
729 = r3 r3 = 729: r = 3 729 r = 9
6. Encontrar el volumen de una esfera cuya área es 900π cm2.
Datos Fórmulas Sustitución
Como el área vale: A = 900p Se sustituye en la fórmula: 900p = 4pr2 Despejando �r�:
2r4
900=
p
p
225 = r2
r2 = 225 r = 225 r = 15
Respuestas V = 4,500p cm3 V = 14,137.2 cm3
El volumen es:
V = 3)15(3
4p
= )3375(3
4p
V = 4,5003
500,13pp =
A = 4pr2
V = 3
4 pr3
V=? A=900p
•r
86
11. Encuéntrese el volumen de una esfera cuya área es 144p unidades cuadradas. 13. Si el número de pies cuadrados del área de una esfera es igual al número de pies cúbicos del volumen, ¿cuál es el radio de la esfera? 15. Una esfera está inscrita en un cilindro. Muéstrese que el área de la esfera es igual al área lateral del cilindro.
17. Un Cono tiene una altura igual al doble de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. ¿Cuál es la relación entre el volumen del cono y el volumen de la esfera?
Resuelve los ejercicios 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 15 y 17 tomados de las páginas 462y 463, del libro de Clemens y otros. Op. cit. Después compara tus respuestas.
1. Encuéntrese el volumen de una esfera de radio 9 cm. 2. Encuéntrese el área de una esfera de radio 9 cm.
9 cm
•
3. Encuéntrese el volumen de una esfera de radio 2p. 4. Encuéntrese el área de una esfera de radio 2p. 5. Si el área de una esfera es 36p, encuéntrese el radio.
7. Si el área de una esfera es 8p, encuéntrese el radio. 8. Si el volumen de una esfera es 4p
3 , encuéntrese el radio. En el ejercicio 9, supóngase que el sólido de abajo es un cilindro recto tapado con dos semiesferas. 9. Encuéntrese el volumen del sólido que se muestra.
18
20
18
20
87
Respuestas:
1. 972 p cm3 9. 1800 p + .3
4000p
2. 324 p cm2 11. 288 p unidades cúbicas 3. 4
332
p 13. 3 pies
4. 16 p3 cm2 15. Sea r = radio de la esfera; sea h = 2r; área lateral = 2 p rh = 2 p r (2r) = 4 5. 3 7. 2 17. 1: 2 8. 3
88
QUIERO SABER MÁS
Recorta piezas de cartón con formas de rectángulo, triángulo isósceles y
círculo, pasando después a perforarlas oportunamente como muestran las
figuras.
Utiliza hilo elástico a fin de crear un eje de giro en cada una de ellas y
observarás que al tomar los extremos y girar estos con gran rapidez,
producirás con dichas piezas el efecto óptico propio de las figuras de
revolución. Identifica cada una de ellas.
Experiencia: Generando figuras de revolución
Tomado de García Arenas, Jesús y Beltrán Infante, Celesti. Geometría y experiencias. México, Alhambra p. 41(Bibliotecade Didácticas)
89
¿QUÉ VOY A APRENDER?
TRIGONOMETRÍA
UNIDAD IIUNIDAD IIUNIDAD IIUNIDAD IIUNIDAD IIObjetivo de la Unidad:
Resolver problemas de la vida cotidiana, a través de las razones, funciones,identidades trigonométricas, leyes de senos y cosenos; para triángulosrectángulos y oblicuángulos.
Para lograr el objetivo mencionado, en esta segunda unidad te adentrarás al estudio dela Trigonometría, para ello se diseñaron cuatro temas: razones trigonométricas, funcionestrigonométricas, identidades y triángulos.
De las razones trigonométricas conocerás el seno, coseno y tangente para los triángulosrectángulos. Después estudiarás las funciones directas, inversas y recíprocas para elcírculo trigonométrico. Y por último abordarás el Teorema de Pitágoras, la suma dediferencias y la reducción al primer cuadrante para de ahí conocer: los triángulos,rectángulos y oblicuángulos, a partir de la ley de los senos y cosenos.
90
2.1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Lee con atención las siguientes fichas temáticas:
¿CÓMO APRENDO?
Concepto y definición
La trigonometría es una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las seis razones: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, denominadas también funciones trigonométricas; es decir, el cálculo de la razón de los lados y ángulos de triángulos a partir de tres magnitudes conocidas (los dos catetos y la hipotenusa). En este apartado se estudiarán únicamente las 3 primeras razones trigonométricas. Para introducirnos al concepto de razón trigonométrica es importante retomar el ángulo que se define como dos semirrectas que se cortan en un punto común llamado vértice.
LADO INICIAL
A
B
a
LADO FINAL
VÉRTICE · ·
LADO INICIAL
LADO FINAL
VÉRTICE
91
A partir del mismo valor del ángulo se pueden formar diversos triángulos. Observa elsiguiente ejemplo basado en la recta f(x) = 2x+3.
Ejemplo:
En la siguiente expresión, encontrar los valores correspondientes para formar la gráfica de lafunción f(x)= 2x+3
Parejasx f(x) = 2x+3 ordenadas-1 f(-1)=2(-1)+3=1 A(-1,1) 0 f(0)=2(0)+3=3 B(0,3) 1 f(1)=2(1)+3=5 C(1,5) 2 f(2)=2(2)+3=7 D(2,7)
Se puede establecer que se forman varios triángulos semejantes a partir de las coordenadasanteriores y todos ellos con una abertura de ángulos igual a �α�, obsérvense las siguientesfiguras:
Los triángulos ABE, FBG, HCI y JDK son semejantes y las longitudes de sus lados sonproporcionales, por lo que podemos escribir las siguientes igualdades:
x
r
x
r
x
r
x
r1
1
2
2
3
3
4
4
= = = y
r
y
r
y
r
y
r1
1
2
2
3
3
4
4
= = =
y
x
y
x
y
x
y
x1
1
2
2
3
3
4
4
= = =
..
..A(-1,1)
B(0,3)
D(2,7)
C(1,5)
ax
y
. B(0,3)
a
r1
x1
y1
x
y
A(-1,1)E
B(0,3)
..
F G
r2
x2
y2
x
y
a
C(1,5).
.y3
x3
r3
H I
y
xa .
D(2,7)
J
.r4 y4
x
y
Kx4
a
92
El análisis anterior nos lleva a la definición de las 3 funciones trigonométricas primarias,también llamadas razones: seno, coseno y tangente.
x
yy
r
x ,
r
y
2.1.1. Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente
y
A
ra
O x B X
y
y
A
ra
O x B X
y
Nombre de la función
Abreviatura Razones trigonométricas
Razón trigonométrica empleando el triángulo
rectángulo.* x = cateto adyacente y = cateto opuesto r = hipotenusa
seno de a
sen a
sen a = r
y
sen a = hipotenusa
opuesto cateto
coseno de a
cos a
cos a = r
x
cos a = hipotenusa
adyacente cateto
tangente de a
tan a
tan a = x
y
x o¹
tan a= adyacente cateto
opuesto cateto
*Teorema de Pitágoras: x2+y2=r2. La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
93
Datos Fórmulas Sustitución Respuestas
Cateto adyacente = -3 sen a = r
y x2+y2=r2 sen a =
5
4
Hipotenusa = 5 cos a = r
x como x = -3 tan a =
3
4
-=
34-
cos a = - 53
tan a = x
y y2 = r2-x2
Teorema de y2 = (5)2-(3)2 Pitágoras y = 925 - x2+y2 = r2 y = 16
Para nuestro problema se toma el valor de +4
y = 4 y = -4
Ejemplos:
1) El lado final de un ángulo α está en el punto A (6,8) de la siguiente figura. Determínese losvalores del seno, coseno y tangente del ángulo α.
2) Si el valor de cos α = -53
y α es un ángulo en el segundo cuadrante, encontrar los valores
de sen α y tan α.
a
Bx
ry
0
y
A(6,8)
x
ry
-3
y
y´
A(-3,4)
a
0x´
Datos Fórmulas Sustitución (operaciones) 6xOB == Teorema de Pitágoras ( ) ( )222 86r += 8yAB == x2+y2 = r2 r2 = 36+64
?rOA == sen a = r
y r = 100
sen a= ? cos a = r
x
cos a = ? tan a = x
y Respuestas
tan a = ? sen a = 10
8
cos a = 10
6
tan a = 6
8
r = 10
94
2.1.2. Cálculo para ángulos notables: 30°, 45° y 60°
Introducción
Para introducirte al tema es importante que tengas un juego geométrico (escuadras y transportador). Observa las siguientes figuras y con tu transportador determina: A, B y C.
A
A
B B
C
C
E E
DD FF
Fig. 1
Fig. 3 Fig. 4
Fig. 2A
A
B B
C
C
E E
DD FF
Fig. 1
Fig. 3 Fig. 4
Fig. 2
Los valores que obtuviste deben ser los siguientes: Figura Valor del ángulo Figura Valor del ángulo 1 y 2 CAB = 60° 3 y 4 DEF = 45° ABC = 90° DFE = 45° ACB = 30° EDF = 90° Calcular las funciones trigonométricas nos ayuda a calcular distancias y resolver algunos problemas cotidianos. A continuación calcularemos las funciones trigonométricas para los ángulos notables de 30° y 60°, y posteriormente, para 45°.
95
Respuestas
sen 60° = 23
cos 60° = 2
1
tan 60° = 313
=
Para obtener los valores de las razones trigonométricas de 30° y 60°, se procede a identificar en el sistema de ejes de coordenadas los puntos B1 (1, 3 ) ver Fig. 1 y, B2 ( 3 , 1) ver Fig. 2. Datos Razones trigonométricas Procedimiento
x=1 cateto adyacente a 60° sen 60° = r
y Por el Teorema de Pitágoras
y= 3 cateto opuesto a 60° cos 60° = r
x x2+y2 = r2
r=? hipotenusa tan 60° = x
y Sustituyendo los valores B(1, 3 )
en la expresión anterior: Teorema de Pitágoras (1)2+ ( 3 )2 = r2 x2+y2 = r2 1+3 = r2 4 = r2 r2 = 4 r = 4 =2 Fig. 1
r = 2
Recordando Matemáticas I (Bloque I). Si se traza un triángulo equilátero (aquel que tiene sus 3 lados iguales) que mide 2 unidades por lado, como se muestra a continuación y, posteriormente se traza una línea perpendicular del punto B al lado OC del triángulo, se forman dos triángulos son congruentes.
OC OB BC= = \es un triángulo equilátero
0 0A A
BB
C
222
60°
60°
60° 60°
30°
3
12
0 0A A
BB
C
222
60°
60°
60° 60°
30°
3
12
Y
X
30°
60°
B1 (1, 3 )
r
A 1 0
3
96
Datos Razones trigonométricas Procedimiento
x = 3 cateto adyacente a 30° sen 30° = r
y sen 30°=
2
1
y = 1 cateto opuesto a 30° cos 30° = r
x cos 30°=
2
3
r = 2 hipotenusa tan 30° = x
y tan 30°=
3
3
3
3
3
1
3
1=·=
Fig. 2 Para obtener los valores de las razones trigonométricas de 45°, se procede a identificar en el sistema de ejes de coordenadas el punto B(1,1). Ver Fig. 3. Datos Razones trigonométricas Procedimiento
B(1,1) sen 45° = r
y Por el Teorema de Pitágoras
x = 1 cos 45° = r
x x2+y2=r2
y = 1 tan 45° = x
y
r = ?
0
Y
A
1,3B2
160°
30°
2
30
Y
A
1,3B2
160°
30°
2
3
97
Teorema de Sustituyendo los valores de Pitágoras: B (1,1) en la expresión Anterior
(1)2+(1)2 = r2
x2+y2 = r2 1+1 = r2 r2 = 2 2r = Fig. 3 Respuestas
sen 45° = 2
2
2
1=
cos 45° = 2
2
2
1=
tan 45° = 11
1=
B (1,1)
A0 1
45°
45°
1r
B (1,1)
A0 1
45°
45°
1r
Recordando Matemáticas I. (Bloque I). Si se traza un triángulo rectángulo isósceles (aquel que tiene dos lados iguales y uno diferente) de lados OB BC= = 2 y OC = 2 como se muestra a continuación y, posteriormente se traza una línea perpendicular del punto B al lado OC del triángulo, se forman dos triángulos iguales. OB BC= \ es un triángulo isósceles
BB
A Ac0 0 1
2 22
45° 45° 45°
45°
1
BB
A Ac0 0 1
2 22
45° 45° 45°
45°
1
98
x
y
r
B(2,8)
A 0
8
2
2.1.3. Razones trigonométricas para triángulos rectángulos
Ahora aplicarás los conocimientos adquiridos acerca de las razones trigonométricas al resolver problemas sobre triángulos rectángulos.
1. Si se tiene el triángulo rectángulo donde el ángulo OAB vale 90°, calcular las razones trigonométricas de los ángulos AOB y ABO, si los catetos tienen los valores de OA = 2 y 8AB = . Expresa las respuestas en su valor exacto y simplificándolo al máximo.
Datos Razones trigonométricas Procedimiento
B(2,8) sen AOB = r
y Por el Teorema de Pitágoras:
x=2 cos AOB = r
x x2+y2 = r2
y=8 tan AOB =x
y Sustituyendo los valores
r=? de B(2,8) en la
expresión anterior
(2)2+(8)2=r2
4+64=r2
sen ABO =r
x r2=68
cos ABO =r
y r = 68
tan ABO =y
x r = ( ) 172172 22 =
Teorema de Pitágoras x2+y2=r2
r = 2 17
99
Razones trigonométricas para el ángulo AOB Respuestas
sen AOB = 17
174
17
17
17
4
17
4
172
8=·== sen AOB =
17
174
cos AOB = 17
17
17
17
17
1
17
1
172
2=·== cos AOB =
17
17
tan AOB = 428
= tan AOB = 4
Razones trigonométricas para el ángulo ABO Respuestas
sen ABO = 17
17
17
17
17
1
17
1
172
2=·== sen ABO =
1717
cos ABO = 17
174
17
17
17
4
17
4
172
8=·== cos ABO =
17
174
tan ABO = 41
82
= tan ABO = 4
1
CONCLUSIONES SOBRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Como podrás observar, las respuestas para los ángulos AOB y ABO son iguales en unos casos y, recíprocos en otros, lo que se escribe en las siguientes igualdades:
sen AOB = cos ABO = 17
174
cos AOB = cos ABO = 17
17
tan AOB = 4
tan ABO = 4
1
El resultado es igual para ángulos complementarios. El resultado es inverso (este tema se estudiará más adelante).
100
2. En un triángulo rectángulo, donde el ángulo OAB = 90°, calcular las razones trigonométricas de los ángulos AOB y ABO, donde los catetos tienen los valores de OA = 4 mts y AB = 10 mts. Expresar las respuestas en su valor exacto y simplificándolo al máximo. Datos Razones trigonométricas Procedimiento
sen AOB = cos ABO = r
y Por el Teorema de
. Pitágoras:
cos AOB = sen ABO = r
x x2+y2=r2
tan AOB = x
y (4)2+(10)2=r2
tan ABO = y
x r2=16+100
r= ( )292116 2= Teorema de Pitágoras x2+y2=r2 Resultados
sen AOB = cos ABO = 29
295
292
10=
cos AOB = sen ABO = 29
292
292
4=
tan AOB = 2
5
4
10=
tan ABO = 52
104
=
r = 292
B (4,10)
A0 4
10r
B (4,10)
A0 4
10r
101
Resolución de problemas de la vida cotidiana, a través de la aplicación de las razonestrigonométricas, para triángulos rectángulos.
En toda aplicación para la resolución de triángulos se proporcionan datos incompletos o se desconocen algunos de ellos, como en el caso de los ángulos o longitudes de catetos de un triángulo rectángulo. Al procedimiento de encontrar los valores restantes partiendo de los datos originales, se le conoce como �resolución de un triángulo rectángulo�. Para que esto se cumpla, debes saber resolver problemas sencillos donde apliques las razones trigonométricas para el uso de triángulos rectángulos y recordar el teorema de Pitágoras. Un triángulo rectángulo puede resolverse cuando se den como datos:
a) Dos lados. b) Un lado y la hipotenusa. c) Un lado y un ángulo agudo. d) La hipotenusa y un ángulo agudo.
3
4
(a)
5
4
(b)
53
4
(c)
3a
b
(d)
5 5
a
b
102
Ejemplos: 1. El techo de una casa habitación construida a doble agua (ver figura), tiene una distancia horizontal de 20 mts y una elevación de 3 mts. Calcular la longitud de la parte inclinada del techo y el ángulo de inclinación*. Datos Fórmula Sustitución OC = 20 mts Teorema de Pitágoras Aplicando el teorema h = 3 mts x2 + y2 = r2 (10)2+(3)2 = r2
r = ? tan a = x
y r = 22 )3()10( +
a = ? r = 9100 + r = 109
r = 10.44 mts
Aplicando la función trigonométrica de la tan a:
tan a = 10
3
tan a = 0.3 a= ang. tan 0.3 a= 16.69° = 17°
CASA
HABITACION
O
B
CA
18 mts
20 mts
r
O
B
A
y = 3 mts.
x=10 mts
aELEVACIÓN = 3 MTS
a
RespuestasLongitud de la parte inclinada:r= 10.44 mts.Ángulo de inclinación: α = 17°
El ángulo «α» también se llamaángulo de elevación entre lahorinzontal y la línea de observacióncuando se mira al objeto
103
Respuesta Altura del acantilado h = 1143 mts.
B
A
y = ?
a=85°
ángulo de
la depresión
x=100 mts
µ’
B
O A
y = h = ?
x=100 mts
a’=85°
O
a = a� = por ser ángulos alternos i
2. Dos jóvenes desean calcular la altura de un acantilado; uno de ellos se sitúa en la parte altay observa hacia abajo con un ángulo de depresión* de 85°, mientras el otro joven se en-cuentra a 100 mts de la base del acantilado.
Datos Fórmula Sustitución
OA = 100 mts tan a = x
y tan 85° =
100h
a = 85° h = 100 (tan 85°) h = ? h = 100 (11.43) h = 1143 mts
Al ángulo «α» se le llama ángulo dedepresión y se define como: elángulo entre la horinzontal y la líneade observación, cuando se ve unobjeto hacia abajo.
104
Apoyo de la calculadora para obtener valores de funciones trigonométricas
En estos tiempos es común usar una calculadora científica que nos permita determinar másrápidamente los valores de funciones. Para ello es necesario que en la calculadora presiones latecla para que aparezcan las siglas (DEG), es decir, ángulos en grados sexagesimales.
Ejemplo:Para encontrar el valor de sen 35° a través de tu calculadora, procede a:
• Encender la calculadora• Cerciórate que en la pantalla aparezca: �DEG�• Presiona el valor de 35• Presiona inmediatamente la tecla de �sin�• Observa que aparece en la pantalla el valor de: 0.573576436• Para fines prácticos y cálculos matemáticos sólo se toma el valor con cuatro decimales,
esto es:
Encuentra los valores de las siguientes funciones trigonométricas, siguiendo los pasosanteriores. Después compara tus respuestas.
sen 35° = 0.5736
Razón trigonométrica
Valor de la calculadora
Razón trigonométrica
Valor de la calculadora
1) sen 75° 13) cos 15° 2) cos 75° 14) sen 15° 3) tan 75° 15) tan 15° 4) sen 65° 16) cos 25° 5) cos 65° 17) sen 25° 6) tan 65° 18) tan 25° 7) sen 120° 19) sen 60° 8) cos 120° 20) cos 60° 9) tan 120° 21) tan 60° 10) sen 150° 22) sen 30° 11) cos 150° 23) cos 30° 12) tan 150° 24) tan 30° Respuestas
1) 0.9659; 2) 0.2588; 3) 3.7321; 4) 0.9063; 5) 0.4226; 6) 2.1445; 7) 0.8660; 8) -0.5; 9) -1.7320; 10) 0.5; 11) -0.8660; 12) -0.5773; 13) 0.9659; 14) 0.2588;15) 0.2679; 16) 0.9063; 17) 0.4226; 18) 0.4663; 19) 0.8660; 20) 0.5; 21) 1.7321:22) 0.5; 23) 0.8660; 24) 0.5773
105
Ahora podrás calcular valores de expresiones como las siguientes.
Ejemplos:
1) 6 sen2 45° + 6 cos2 60°
Con el objeto de aprender a resolver expresiones como la que se planteo, te recomendamosseguir los pasos anteriores al realizar las operaciones con tu calculadora.
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )22
22
22
22
7071.028660.04
)7071.0(45.016
45cos260sen4
45sen460cos16+
+=°+°°+°
( ) ( )( ) ( ) 5.1
23
46
1324
5.0275.045.0425.016 ===
++=
++=
Procedimiento algebraico Procedimiento a seguir 6(sen 45°)2 + 6(cos60°)2= El cuadrado de un ángulo es igual al ángulo
elevado al cuadrado. 6(0.7071)2 + 6(0.5)2 Con la calculadora se obtiene el valor de la
función. 6(0.5) + 6(0.25) Se elevó al cuadrado y se multiplicaron los
valores. 3 + 1.5 Se realizan las operaciones indicadas. 4.5 Respuesta.
2) °+°+
45cos260sen4
45sen460cos1622
22
106
Resultados:
5)3
4;
5
3;
5
4-- 15) 0;-1;0
7) 15
12;
13
5;
13
12-- 17) cos q =
5
3- ; tan q =
3
4
9) 1;2
2;
2
2-- 19) sen q =
5
3; tan q
4
3-
11) 3
4;
5
3;
5
4-- 21) sen q =
41
415- ; cos q = -
41
414
13) 15
8;
17
15;
17
8-- 23) sen q =
13
5 ; tan q = 12
5
Resuelve los siguientes ejercicios tomados de las páginas 19 y 20 del libro:Trigonometría. Conceptos y aplicaciones de Hirsch / Shoen. Mc. Graw-Hill, 1987.Después verifica tus resultados
En los siguientes ejercicios, evalúense las funciones sen θ, cos θ y tan θ del ángulo θ enposición normal, donde las recta del lado final pasa por los puntos cuyas coordenadas seindican. Escribe tus resultados en la forma más sencilla posible.
5) P (3,-4) 11) P (-9,12)
7) P (-5,-12) 13) P (15,-8)
9) P (-5, 5) 15) P (-8, 0)
Supóngase que θ es la medida de un ángulo en posición normal, cuyo lado final se encuentraen el cuadrante indicado para cada caso. En los siguientes ejercicios se da el valor de unafunción; encuéntrense los valores de las dos funciones restantes. Expresa los resultados enla forma más sencilla posible.
17) sen q = 5
4- ; cuadrante III
19) cos q = 10
8- ; cuadrante II
21) tan q = 4
5; cuadrante III
23) cos q = 13
12; cuadrante I
107
Del libro de Baldor: Geometría y Trigonometría, páginas 315 a 317, resuelve del ejercicio (1) las letras B, E, G, H, I, K, M, N, O, Q; los ejercicios (2), (3) y de (4) sólo resuelve los ejercicios 1, 2 y 3; por último, del ejercicio (6) resuelve los ejercicios 1, 2, 5, 8 y 13.
Si tienes dudas, lee de la página 302 a la 315 del libro de Baldor sobre Trigonometría, sipersisten acude con tu asesor.
2.2. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Retomando los conocimientos adquiridos sobre razones trigonométricas, ahora veremosque se dividen en :directas (seno, coseno, tangente) y en inversas o recíprocas (cotangente,secante, cosecante). Asimismo, veremos que se emplea el círculo unitario o trigonométricopara estudiar los diferentes ángulos que se forman en los cuatro cuadrantes ubicados en lossistemas de ejes coordenadas. Finalmente, aplicarás los conocimientos anteriores enproblemas de la vida cotidiana.
2.2.1.Funciones directas, inversas y/o recíprocas
Lee con atención las siguientes fichas temáticas:
Concepto y definición
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, tal que a cada elemento de �A�se le asocia un único elemento de �B�. Al primer conjunto �A� se le llama dominio de lafunción y al conjunto �B� se le llama contradominio, también llamado (rango o imagen).
f: {(x,f(x)|f(x)=2x+3}
Conjunto “A” Conjunto “B”
-1 1
0 3
2
1 5
7
Dominio Contradominio,Rango o imagen
Conjunto “A” Conjunto “B”
-1 1
0 3
2
1 5
7
Dominio Contradominio,Rango o imagen
108
X
Y
(0,3)
3 0
3
9 (3,9)
6
X
Y
(0,3)
3
0
1 0
(2,11)
2
(-2,11)
5 (1,5) (-1,5)
1 - 1
- 2
(2,19)
(1,5)
(0,3) (-1,1)
(-2,-13)
y
x
Tipo de función Gráfica Dominio e imagen
f(x) = 2x+3 Lineal Dominio: R(el exponente en x es �1�). Imagen : R
f(x) = 2x2+3
Cuadrática Dominio: R(el exponente en x es �2�). Imagen: y :y≥3
f(X)=2x3+3
cúbica Dominio: R (el exponente en x es �3�) Imagen: R
109
X
Y
0
10
2 1 - 1
- 2
5
Ahora, indica en los espacios a qué función corresponde:
f(x)=2X
(el exponente es_______). Dominio:_______ Imagen:_______Determina su gráfica eindica su dominio e imagen.
Anteriormente se estudiaron las razones trigonométricas para las funciones: seno, coseno ytangente; ahora se definirán las funciones: cotangente, secante y cosecante.
B(x,y)
B’(x’,y’)
A’A0
Y
A
a
A’
y’r’
aa
r
X’0
x= cateto adyacentey= cateto opuestor= hipotenusa
0
x’= cateto adyacentey’= cateto opuestor’= hipotenusa
B’(x’,y’)
B(x,y)B(x,y)
B’(x’,y’)
A’A0
Y
A
a
A’
y’r’
aa
r
X’0
x= cateto adyacentey= cateto opuestor= hipotenusa
0
x’= cateto adyacentey’= cateto opuestor’= hipotenusa
B’(x’,y’)
B(x,y)
110
Tabla de funciones trigonométricas directas e inversas con base en la figura anterior
Considerando las figuras anteriores donde B (x, y) y B� (x�, y�) son los dos puntos del ángulo�α� que se forma al girar en sentido contrario a las manecillas del reloj, se observa que seforman dos triángulos rectángulos semejantes, por lo que las razones que existen entre loslados varían de acuerdo con el ángulo que se forma:
Función Razón
seno de a= hipotenusa
opuesto cateto
Funciones trigonométricas Directas Recíprocas*
sen a = r
y csc a =
y
r
coseno de a = hipotenusa
adyacente cateto cos a =
r
x sec a =
x
r
tangente de a = adyacente cateto
opuesto cateto tan a=
x
y cot a =
y
x
cotangente de a= opuesto cateto
adyacente cateto cot a=
y
x tan a =
x
y
secante de a= adyacente cateto
hipotenusa sec a =
x
r cos a =
r
x
cosecante de a = opuesto cateto
hipotenusa csc a=
y
r sen a =
r
y
* Recordando conceptos de Matemáticas I Recíproco: En álgebra, son dos números cuyo producto es igual a �uno�, y se le llama inverso multiplicativo. Ejemplo:
3
5y
5
3 son recíprocos, ya que 1
15
15
3
5
5
3==÷
øö
çèæ
÷øö
çèæ
8
1 y 8 son recíprocos, ya que 1
8
8
1
8
8
1==÷
øö
çèæ
÷øö
çèæ
De la tabla anterior se tiene:
(sena) (csc a) = 1 <=> 1y
r
r
y=÷÷
ø
öççè
æ÷ø
öçè
æ
(cos a) (sec a) = 1<=> 1x
r
r
x=÷
øö
çèæ
÷øö
çèæ
(tan a) (cot a) = 1 <=> 1y
x
x
y=÷÷
ø
öççè
æ÷ø
öçè
æ
111
Realiza el análisis de los cuatro cuadrantes para cada una de las funcionestrigonométricas y completa en el cuadro resumen Si tienes duda, consulta en el librode Baldor: Geometría y Trigonometría, la página 308 o acude con tu asesor.
Signos de las funciones trigonométricas
CUADRANTE
x = cateto adyacente y = cateto opuesto r = hipotenusa
I.
sen a = +=++
=+=++
= acsc hipotenusa signo
opuesto cateto signo
cos a = +=++
=+=++
= asec potenusahi nosig
adyacente cateto signo
tan a = +=++
=+=-+
= acot adyacente cateto signo
opuesto cateto signo
B(x,y)
x
y
0
a
+
B(x,y)
x
y
0
a
+
II.
sen a = ++
= + csc a = ¾ =
cos a = ¾ = sec a = +-
= -
tan a = +-
= - cot a = ¾ =
III.
sen a = -+
= - csc a = ¾ =
cos a = ¾ = sec a = ¾ =
tan a = ¾ = cot a = --
= +
IV.
sen a= ¾ = csc a = ¾ =
cos a= ++
= + sec a = ¾ =
tan a = -+
= - cot a = ¾ =
B(-x,y)
x
y
0-
+r
B(-x,y)
x
y
0-
+r
B(-x,-y)
x
y
0-
r-
B(-x,-y)
x
y
0-
r-
B(x,-y)
x
y
0+
r -
B(x,-y)
x
y
0+
r -
112
Cuadro resumen FUNCIÓN SIGNOS EN LOS
CUADRANTES TRIGONOMÉTRICA I II III IV
sen
+
+
-
cos
+
+
tan
+
-
-
cot
+
+
sec
+
-
csc
+
Con tu calculadora, comprueba las respuestas de la siguiente table. Oprime directamente lasteclas para las funciones directas: sin, cos y tan; para las funciones recíprocas lo podrás
realizar a través de obtener el valor del recíproco (x1
)del valor obtenido de las funciones
directas.
* Para determinar los valores de las funciones recíprocas con la calculadora, realiza lossiguientes pasos:
Se debe comprobar que los resultados sean iguales.
Es recomendable que practiques los demás valores del ángulo θ, al utilizar la calculadora yapretar en la secuencia indicada para obtener las respuestas de las funciones trigonométricasinversas.
Recíprocas* Directas
Ang. q sen q cos q tan q 1 tan q
1 cos q
1 sen q
15° 0.2588 0.9659 0.2679 1 0.2588
1 0.9659
1 0.2679
30° 0.5000 (1) 0.5773 (2) 1.1547 (3) 45° (4) 0.7071 (5) 1.0000 (6) 1.4142 60° 0.8660 (7) 1.7320 (8) 2.0000 (9) 65° 0.9063 0.4226 2.1445 (10) (11) (12) 70° (13) (14) (15) 0.3639 2.9238 1.0641 75° (16) 0.2588 (17) 0.2679 (18) 1.0352 80° 0.9848 (19) 5.6712 (20) 5.7587 (21)
=1.0352 =3.8637
sec q = csc q = cot q =
=3.7327
Para obtener Presionar las teclas en el siguiente orden:
El resultado en la pantalla debe ser:
cot 15° 1 ¸ 15 tan = 3.7327 sec 15° 1 ¸ 15 cos = 1.0352 csc 15° 1 ¸ 15 sin = 3.8637
113
Ejemplos:
Comprueba las respuestas de la siguiente tabla complementaria sobre las funciones inversas,comprueba las respuestas con la calculadora. Oprime directamente las teclas para las funcionesinversas: sin-1, cos-1 y tan-1 y, para las funciones cot-1, sec-1 y csc-1, lo podrás realizar al
obtener el valor del recíproco [x1
] del valor obtenido de las funciones normales.
• Recuerda que la calculadora debe estar en grados sexagesimales, es decir, deben aparecerlas siglas �DEG� en la pantalla.
1. Si partimos del valor final o calculado de:
sen θ = 0.2588
y se desea conocer el valor del ángulo �θ�, se procede a:
- Identificar el valor del ángulo por la notación
θ = ang sen θ = sen −1 θ
Lo cual indica que debemos calcular y/o encontrar el valor del ángulo θ deseado.
- Se resuelve a través del siguiente procedimiento:
2 Si ahora se tiene cos θ = 0.8660. Calcula el valor del ángulo.
3. Calcular ángulo sen 0.7071 = ?
Para obtener el valor del ángulo
Presionar las teclas en el siguiente orden
El resultado en la pantalla debe ser:
q 0.2588 INV sin -1 15°
q 0.8660 INV cos -1 30°
Para obtener el valor del ángulo
Presionar las teclas en el siguiente orden
El resultado en la pantalla debe ser:
q 0.7071 INV sen-1 45°
114
4. Calcular ángulo tan-1 1.0 = ?
5. Calcula el valor de θ Si cos θ = 0.5
6. Se tiene cot θ = 3.7327, calcular el valor del ángulo
7. Calcular el valor del ángulo, si se tiene csc θ = 1.0154
q 1.0 INV tan-1 45°
q 0.5 INV cos-1 60°
q Se saca el valor del inverso de la cantidad:
7327.3
1 = 0.2679
Luego se procede a utilizar la función inversa de la cotangente; es decir, la tangente. Por lo cual se oprime la tecla de la función tan -1. 0.2679 INV tan-1
15°
q
Se saca el valor del inverso de la cantidad .
0154.1
1 = 0.98483
Luego se procede a utilizar la función inversa de la cosecante; es decir, el seno. Por lo cual se usara la tecla de la función
de sen -1
0.98483 INV sin-1
80°
115
Para practicar lo visto anteriormente, calcula el valor del ángulo θ, si se dan lossiguientes datos:
Respuestas
1) θ = 65°; 2) θ = 65°; 3) θ = 75°; 4) θ = 60°;5) θ = 70°; 6) θ = 80°; 7) θ = 70°; 8) θ=60°9) θ = 15°; 10) θ = 80°
Dato
Incógnita
1) sen q = 0.9063
sen -1 q = ? sen -1 0.9063
2) cos q = 0.4226
3) tan q = 0.9659
4) cos q = 0.5000
5) sen q = 0.9396
6) tan q = 5.6712
7) cot q = 0.3639
8) sec q = 2.000
9) csc q = 3.8637
10) sec q = 5.7587
116
2.2.2. Círculo trigonométrico
Para cubrir este tema debes consultar el libro de Baldor y leer de la página 318 a la325. Después contesta lo siguiente:
1. A qué se llama círculo trigonométrico:
6. Explica cómo son los tres triángulos que se forman para el ángulo a.
2. Sean xx´ e yy´ un sistema de ________________________________________
3. Se traza el círculo trigonométrico de manera que su centro coincida ________________________________________
4. Se considera un ángulo cualquiera a, en el primer cuadrante.
XX’
Y’
A
B
CD S
MR
T
ar=1r=1
XX’
Y’
A
B
CD S
MR
T
ar=1r=1
5. Explica con tus palabras los trazos que se realizaron: Se traza: BD I OX TC I OX AM II OX RS I OX
117
7. Aplicando las definiciones de razones trigonométricas, calcula las seis funcionestrigonométricas para el círculo unitario.
sen a = BD1
BD
r
BD
OB
BD===
cos a = === OD
tan a = ====
OD
cot a = sec a = csc a =
r
2.2.3. Reducción al primer cuadrante
A partir de la lectura anterior, continúa respondiendo:
1. Indica en qué consiste hacer la reducción al primer cuadrante:
2. Los ángulos que se relacionan con estas reducciones son los: complementarios ysuplementarios por defecto y por exceso, y los explementarios por defecto.
Indica los tres conceptos sobre reducciones al primer cuadrante:
118
De lo anterior se deduce que:
Ejemplo: sen (90°-70°) = cos 70° sen 20° = cos 70° 0.3420 = 0.3420
Tomando en cuenta el ejemplo, resuelve los siguientes ejercicios:
1) cos(90°-15°) = sen 15° 2) tan (90°-45°) = cot 45°
* Utiliza tu calculadora científica
Lee la página 320 del libro de Baldor y contesta:
Funciones trigonométricas del ángulo (90-a)
En el círculo trigonométrico los triángulos∆BOA y ∆A´OB´ son_____________________
· 1BOOA =¢=
· BOA = OB´A´
• Luego
BAAO
′′′ =
=
A’
B’
a
90-a
Y
XX’
Y’
B
A
A’
B’
a
90-a
Y
XX’
Y’
B
A
sen (90°-a) = cos a cot (90°-a) = tan a cos (90°-a) = sen a sec (90°-a) = csc a tan (90°-a) = cot a csc (90°-a) = sec a
119
Lee la página 321 del libro de Baldor y realiza las siguientes actividades.
Funciones trigonométricas del ángulo (180°-a)
1rAOOA ==¢= Para convertir del segundo
BAAB ¢¢= al primer cuadrante, se OBBO -=¢ tienen las funciones
trigonométricas:
Y’
Y
B’
A
0 X X’
B a
A’
B’
180° a °
-a
sen (180°-a) = sen a cot (180°-a) = -cot a cos (180°-a) = sec ( - ) = tan ( ) = - tan a csc ( ) = csc a
Escribe en los espacios vacíos las funciones trigonométricas para convertir del segundo al primer cuadrante.
Ejemplo: sen (180°-70°)= sen 70° sen 110° = sen 70° 0.9397 = 0.9397
Tomando en cuenta el ejemplo, resuelve los siguientes ejercicios:
1) cos (180°-10°) = cos 10° 2) tan (180°-20°) = tan 20°
* Utiliza tu calculadora científica.
120
1rAOOA ==¢= Para convertir del tercer al OBBO -=¢ primer cuadrante, se tienen
ABBA -=¢¢ las funciones trigonométricas:
Y’
Y
A
0 X X’ B
a
A’
B’ 180°+a
Funciones trigonométricas del ángulo (180°+a)
Ejemplo:tan (180°+30°) = tan 30°tan 210° = tan 30°0.5774 = 0.5774
Tomando en cuenta el ejemplo, resuelve los siguientes ejercicios:
1) cos (180°+50°) = - cos 50° 2) sen (180°+45°) = - sen 45°
�∗ Utiliza tu calculadora científica.
sen (180°+a) = -sen a cot (180°+a) = cot a cos (180°+ ) = sec (180°+ ) = - tan ( +a) = tan a csc ( +a) = -
Escribe en los espacios vacíos del siguiente recuadro las funciones trigonométricas para convertir del tercer al primer cuadrante.
121
Y’
Y
A
X X’ B
A’
a
-a
360°-a
0
Para convertir del cuarto al primer cuadrante, se tienen las funciones trigonométricas:
1rAOOA ==¢= ABBA -=¢
sen (360°-a)= -sen a cot (360°-a)=-cot a cos (360°- )= cos a sec (360°- )= tan ( -a)= - csc ( -a)= -
Escribe en los espacios vacíos del siguiente cuadro las funciones trigonométricas para convertir del cuarto al primer cuadrante.
Funciones trigonométricas del ángulo (360°-a)
Ejemplos:
cos (360°-25°) = cos 25° cos 335° = cos 25°
0.9063 = 0.9063
Tomando en cuenta el ejemplo, resuelve los siguientes ejercicios:
1) tan (360°-20°) = - tan 20° 2) sen (360°-55°) = -sen 55°
∗ Utiliza tu calculadora científica.
122
Funciones trigonométricas del ángulo (-a)
De lo anterior se deduce:
Ejemplos:
sen (-60°)= -sen 60° -0.8660= -0.8660
Tomando en cuenta el ejemplo, resuelve los siguientes ejercicios:
1) cos (-25°) = cos 25° 2) tan (-35°) = - tan 35°
∗ Utiliza tu calculadora científica.
3. Resuelve los apartados impares de los ejercicios 1, 2 y 3 del libro de Baldor, páginas 325 y326. Si tienes alguna duda vuelve a revisar tu material y consulta a tu asesor.
Y’
Y
A
XX’ B
A’
a
-a0
Las funciones trigonomé-tricas de un ángulo negativo son ___________ _____________________ _____________________ _____________________
1rAOOA ==¢= ABBA -=¢
sen (-a)= -sen a cot (-a)= -cot a cos (-a)= cos a sec (-a)= sec a tan (-a)= -tan a csc (-a)= -csc a
123
Resolución de problemas a través de la aplicación de las funciones trigonométricas:directas, inversas y recíprocas para triángulos rectángulos
Para una mayor comprensión sobre cómo resolver este tipo de problemas, lee con atención lossiguientes ejercicios tomados del libro: Hirsh, R. Cristian y Schoen, I. Harold. Trigonometría,Conceptos y Aplicaciones. México, Mc Graw-Hill, 1987, pp. 24 y 25.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Y
q
0
P(8,-15)
X
En la figura, la recta del lado final de un ángulo q en posición normal contiene el punto P (8, ¾15). Obténganse los valores de csc q, sec q y cot q.
Solución El valor de r se obtiene mediante el Teorema de Pitágoras.
r = ( ) 17289158 22 ==-+ Entonces,
csc q = 15
17
15
17-=
-
sec q = 8
17
cot q = 15
8
15
8-=
-
Supóngase que q es un ángulo en posición normal, para el que sec q < 0 y cot q > 0. Dígase en qué cuadrante se encuentra el lado final.
Solución Se tiene sec q = r/x y r > 0, sec q < 0 cuando x < 0; entonces se puede encontrar en los cuadrantes II o III. Si se tiene cot q > 0, x y y deben ser positivas o negativas a la vez y, en ese caso, el ángulo podrá estar en los cuadrantes I o III. El lado final de q está en el cuadrante III.
124
Si se conocen el valor de una de las funciones trigonométricas de θ y el cuadrante en que se encuentra, se pueden encontrar los valores de las otras cinco funciones.
Ejemplo 3
Resuelve los siguientes ejercicios tomados del libro: Trigonometría. Conceptos yaplicaciones, pp. 25 y 26.
EjerciciosConjunto A
Supóngase que se tiene un ángulo θ en posición normal,con su lado final en el cuadrante dado.
1. Cópiese la siguiente tabla y, con base en la figura,indíquese si el valor de cada función es positivo onegativo en cada cuadrante.
Si se tiene un ángulo q en el cuadrante III y csc q = -2, encuéntrese sen q, cos q, tan q, sec q y cot q.
Solución De csc q = -2 se obtiene su función recíproca, con lo que sen q = - 2
1 . Para obtener los valores de las
demás funciones, se deben conocer los valores de las coordenadas de un punto sobre el lado final de q. De la definición de cosecante se tiene que csc q = -2 = 2/(-1), de donde y = -1 y r = 2. Del Teorema de Pitágoras: x2 + (-1)2 = 22, se obtiene x = 3± y como se tiene un ángulo en el cuadrante III, x =
3- . De aquí se sigue que,
cos q = 2
3- sec q =
3
32
3
2-=-
tan q = 3
3
3
1-=- cot q = 3-
Y
1
0
P (X,Y)
X
2
q
Y II I X < 0 X > 0 Y > 0 Y > 0 X < 0 X > 0 Y < 0 Y < 0 III IV
125
2. Dígase si existe algún cuadrante en el que las funciones csc θ, sec θ y cot θ sean negativasal mismo tiempo.
Los siguientes ejercicios se refieren a un ángulo θ en posición normal, cuyo lado finalcontiene el punto de coordenadas dadas. Determínese el valor de csc θ, sec θ y cot θ,expresando las respuestas en la forma más sencilla posible.
5 P(-4,-3)
7 P(-12, 5)
9 P(7,-7)
11 P(12,-9)
Los siguientes ejercicios se refieren a un ángulo θ en posición normal, cuyo lado final seencuentra en el cuadrante dado. En cada caso se proporciona una función trigonométricay hay que encontrar las cinco restantes; exprésense las respuestas en la forma más sencillaposible.
7 csc q =
3
4- ; cuadrante III
8 sec q = 12
13; cuadrante IV
9 cot q = -3; cuadrante II
csc q
sec q
cot q
I II III IV
126
I II III
IV
csc q + + - -
sec q + - - +
cot q + - + -
2. no
3. 3
4;
4
5;
3
5-
-
4. 5
12;
12
13;
5
13--
5. ;2- 2: -1
6. 3
4;
4
5;
3
5--
7. sen q = 4
3- ; cos q =
4
7- ; sec q =
774
- ; tan q = 7
73; cot q =
3
7
8. cos q = 13
12; sen q =
13
5- , csc q =
5
13- ; tan q =
12
5- ; cot q =
5
12-
9. sen q = 10
10; cos q =
10
103- ; tan q =
3
1- ; csc q = 10 ; sec q =
3
10-
Respuestas a los ejercicios propuestos:
1.
127
Valor de la función trigonométrica de ángulos especiales: 0°, 90°, 180°, 270° y 360°
Para obtener esta información, es importante que el alumno tome nota en su cuaderno de loque aquí se presenta con objeto de que posteriormente pueda continuar resolviendoproblemas con aplicaciones de estos conceptos.
Información tomada del libro: Trigonometría, conceptos y aplicaciones: Hirsch / Schoen. Edit.Mc Graw Hill, 1987, pp. 32-36.
Es fácil determinar las funciones trigonométricas de ángulos cuadrantes. Al aplicar lasdefiniciones de estas funciones, puede usarse cualquier punto P ubicado sobre el lado finaldel ángulo. En las siguientes figuras, P se ha escogido de manera que r = PO = 1
Compruébense los valores de la siguiente tabla. Nótese que, para ciertos valores de θ,algunas funciones tienen valores indefinidos. ¿Por qué?
·
y y y y
x
P(1,0) P(1,0) P(1,0) P(1,0)
0
q =0°
·
P(0,1)
y
x
q =90
0
·
y
x P(-1,0) 0
q =180°
·
y
x
0 P(0,-1)
128
0°
90°
180°
270°
sen q = r
y
0
1
0
-1
cos q = r
x
1
0
-1
0
tan q = x
y
0
Indefinido
0
Indefinido
cot q = y
x
Indefinido
0
Indefinido
0
sec q =x
r
1
Indefinido
-1
Indefinido
csc q =y
r
Indefinido
1
Indefinido
-1
Y
0 P(-1,0)
X
Y
0
P(1,0)X
Y
0
P(1,0)
X
Ejemplo 1
Determínense los valores de a) sen 360°, b) tan (-270°) y c) sec 540°.
Solución Hágase un dibujo para cada ángulo y evalúese con base en la tabla anterior.
a) b) c)
sen 360° =
10
= 0; tan (-270°) = 01
, sec 540° = 11
1-=
-
129
Y
0
P (x, y)
X
A 1
60°
2 30°
3
Determínense sen 60°, cos 60° y tan 60°. Solución Dibujando un ángulo como el de la figura, se puede escoger un punto P sobre la recta del lado final, de tal manera que r = OP = 2. Sea A el punto desde el que se levanta una perpendicular al eje x, con lo que DPAO es un triángulo rectángulo de 30° y 60°. La longitud del lado opuesto al ángulo de 30° es la mitad de la longitud de la hipotenusa, lo que lleva a la conclusión de que OA = 2
1 (2) = 1. La longitud
del lado opuesto al ángulo de 60° es 3 veces la longitud del lado más corto, con lo que se concluye que PA = 3 . De lo anterior se tiene que las coordenadas de P son x = 1, y = 3 ; entonces;
Las funciones trigonométricas de otros ángulos especiales también pueden determinarsemediante el empleo de relaciones geométricas.
Ejemplo 2
Ejemplo 3
sen 60° =
2
3 cos 60° =
2
1 tan 60° = 3
Y
0
P(x,y)
XA
1
30°
260°
3-
150°
Determínese los valores de sec 150°, csc 150° y cot 150°.
Solución Dibújese el ángulo y el triángulo PAO con r = 2. De la figura, se tiene POA = (180° - 150°) = 30°. El triángulo PAO es un triángulo rectángulo de 30° y 60° y las coordenadas del punto P son x = 3- , y = 1, de donde se tiene que:
sec 150° =
3
32
3
2-=
- csc 150°= 2 cot 150° = 3-
130
45°
315°
P(x,y)
A
2-
2
245°
o
-135°
45°
45°
P (x,y)
A
225°
0
y
x
2
Determínese los valores de sen 315°, cos 315° y tan 315°.
Solución Como en los ejemplos anteriores, dibújese una recta con r = 2. Entonces, POA = (360° - 315°) = 45°. El triángulo considerado es el DPAO rectángulo de 45° y 45°. La longitud de la hipotenusa es 2 veces la longitud de cada uno de los lados restantes. De aquí que =)OA(2 2 y OA
= 2 . En forma similar, PA = 2 y las coordinadas de P serán x = 2 , y = - 2 , de donde se tiene que:
Determínense sec (-135°), csc (-135°) y cot (-135°). Solución Trácese una recta en el plano de coordenadas, con r = 2: En la figura se observa que los ángulos de -135° y 225° son terminales y POA = 225°-180° = 45°, donde las coordenadas de P son x = 2- y y = 2- ; con los datos anteriores, se pueden determinar los valores de las funciones que se piden:
Ejemplo 4
El método aplicado en los ejemplos 2 a 4 también se aplica si la medida del ángulo enposición normal es negativa.
Ejemplo 5
sen 315° =
2
2- cos 315° =
22
tan 315° = 12
2-=
-
sec (-135°) = 2
2
2-=
- csc (-135°) = 2
2
2-=
-
tan (-135°) = 12
2=
--
131
La clave para encontrar los valores de las funciones de los ejemplos 2 a 5 ha sido poderestablecer el triángulo rectángulo PAO, encontrar el valor del ángulo POA y utilizarlo paradeterminar las coordenadas del punto P. El ángulo POA se conoce como ángulo de referenciapara cada caso. El ángulo de referencia de un ángulo θ dado enposición normal es el ángulo agudo positivo, determinado por el lado final o terminal de θy el eje de las x.
Ejemplo 6
Los siguientes ángulos están en posición normal. Determínese, para cada caso, su ángulode referencia:
a) 210° b) 135° c) 300° d) -315°
SoluciónDescríbase gráficamente cada ángulo.
·
·
·
·
210°
y
x
210° - 180° = 30°
A
A
y
x
a) b)
P
P
0
135°
180° - 135° = 45°
0
y
x A
P
- 315° es coterminal con 45°
- 315°
d)
P
x
y
300° A
360° - 300° = 60°
c)
0
132
Resuelve los siguientes ejercicios tomados del mismo libro, pp. 35-36. Después verifica tus resultados.
Conjunto ALos siguientes ejercicios se refieren a ángulos en posición normal, para los cuales hay quedeterminar las seis funciones trigonométricas. Cuando el valor de la función sea indefinido,establézcase también.
a) 210° b) 300° c) 540°
d) 630° e) 240° f) 330°
Los siguientes ejercicios se refieren a ángulos en posición normal; determínese su ángulode referencia.
g) 150° h) 75° i) 350° j) 100° k) 505°
Conjunto BLos siguientes ejercicios son aseveraciones. Dígase si son verdaderas o falsas (V o F).
a) cos (-45°) = cos 45°b) tan (-30°) = tan 30°c) sen 30° = cos 60°d) cos 30° + cos 60° = cos (30° + 60°)e) (sec 180°)2 = 1 + (tan 180°)2
En los siguientes ejercicios se deben encontrar todos los ángulos posibles en posición normal,para los cuales 0° = θ = 360° y se cumple con la condición indicada.
f) sen q =
12
g) tan q = -1 h) sec q es indefinida
i) cos q = -12
j) csc q = - 2
133
Conjunto C
En el siguiente ejercicio se deben encontrar todos los ángulos posibles en posición normal,para los que 0° = θ = 360° y se cumple con la condición indicada.
1) tan θ = cot θ
2) El segmento de recta DC es tangente al círculo unitario en el punto de coordenadasD(0,1). Encuéntrense un segmento cuya longitud sea igual a cada una de las siguientesfunciones. Véase la siguiente figura:
a) cos θb) cot θc) csc θ
P
A
D (0,1)
y
0
c
134
Solución Conjunto A
3
3 = 240cot 2;- = 240 sec ;
3
32- = 240 csc
3 = 240 tan ;2
1- = 240 cos ;
2
3- = 240sen e)
0 = 630cot ;indefinida es 630 sec 1;- = 630 csc
indefinida es 630 tan 0; = 630 cos 1;- = 630sen d)
indefinido es 540cot 1;- = 540 sec ;indefinido es 540 csc
0 = 540 tan 1;- = 540 cos 0; = 540sen c)
3
3- = 300cot 2; = 300 sec ;
3
32- = 300 csc
3- = 300n ta ;2
1 = 300 cos ;
2
3- = 300sen b)
3 = 210cot ;3
32- = 210 sec 2;- = 210 csc
3
3 = 210 tan ;
2
3- = 210 cos ;
2
1- = 210sen a)
°°°
°°°
°°°
°°°
°°°
°°°
°°°
°°°
°°°
°°°
3- 330cot ;3
32 330 sec 2;330 csc
3
3-330an t;
2
3330 cos ;
2
1330sen f)
=°=°-=°
=°=°-=°
g) 30°
h) 75°
i) 10°
j) 80°
k) 35°
135
A
B
C
45 m ⋅ 54° 18’
Río
Resolución de problemas de la vida cotidiana, a través de la aplicación de las funcionestrigonométricas: directas, inversas y recíprocas para triángulos rectángulos.
1) Un topógrafo debe hacer el levantamiento del plano para la construcción de un puenteque cruce el río. Para encontrar la anchura del río, establece un teodolito en el punto A ya través de su anteojo localiza un punto B en el lado opuesto del río. Posteriormente girael teodolito 90° y establece el punto C, de tal manera que los puntos forman el ánguloBAC de 90°. El punto C está ubicado a 45 metros del punto A. Ubicando el teodolito enel punto C, encuentra que la medida del ángulo ACB es 54° 18� (ver figura). Encuéntresela anchura del río con una décima de metro de aproximación.
OC c)
DC b)
OA a) 2)
315 ; 225 ; 135 ; 45 1)
C Conjunto
315 ; 225 j) 240 ; 120 i) 270 ; 90 h) 315 ; 135 g) 150 ; 30 f)
V e) F d) V c) F b) V a)
°°°°
°°°°°°°°°°
ConjuntoB
136
Solución:
Ubíquese el ángulo de 54° 18� En posición normal dentro de un sistema de coordenadas.La coordenada x del punto B es 45. Utilícese la función tangente para determinar el valorde la coordenada y. Consúltese la siguiente figura.
Respuesta
El río tiene una anchura aproximada de 62.6 m.
Problema tomado de Hirsch/Shoen, Op. cit., p. 40.
2. Calcular los valores de las funciones trigonométricas de la cotangente, secante y lacosecante del ángulo α, si su lado final pasa por el punto B (3, 4).
Solución
54° 18’
45 m A
B
C
y
Datos Fórmulas Sustitución B (3, 4) Teorema de Pitágoras Aplicando el Teorema de \ x = 3 x2+y2 = r2 Pitágoras y = 4 r2 = 32 + 42 Normalmente nos aprendemos r = 25 = 169 + r = ? las tres primeras funciones r = 5 cot a = ? trigonométricas: sec a = ? Las funciones trigonométricas csc a = ? solicitadas son:
tan 54° 18� = m45
y
Entonces: y = 45 tan 54° 18� = 45m (1.3916) = 62.6m
137
sen a =
r
y
cos a = r
x cot a =
4
3
tan a = x
y sec a =
3
5
Las funciones restantes son csc a = 4
5
�recíprocas� por lo cual sus
fórmulas son:
cot a = y
x
sec a = x
r
csc a = y
r
4
B(3, 4)
r
O
y
A x 3
r
y
x
a
138
sen a =
r
y
cos a = r
x directas sec a =
3
5
4
3=
tan a = x
y csc a =
4
5
3
5-=
-
cot a = y
x
sec a = x
r recíprocas
csc a = y
r
O
x A
-y r
B (6, -8)
x
y
IV CUADRANTE
Respuestas
cot a = 86
- = -4
3
sec a = 3
5 =
6
10
csc a = 4
5 - =
8
10-
3) Si el valor de cot a =
8
6- y el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante, encontrar los
valores de las otras dos funciones trigonométricas (sec a y csc a). Solución Datos Fórmulas Sustitución
cot a = 8
6- Teorema de Pitágoras Por el Teorema de Pitágoras
x2+y2 = r2 r2 = x2+y2
\x= + 6 r = 64+36 = )8()6( 22 -+
y= -8 Funciones trigonométricas r = 10 = 100 r = ? sec a = ? r = 10 csc a = ?
139
Resolución de problemas aplicando funciones trigonométricas
Se recomienda que resuelvas el siguiente problema en tu cuaderno para que te familiaricescon el procedimiento.
1. En un punto P el ángulo de elevación a la cima de una colina es de 36.3°. En un punto Q,situado en la misma recta horinzontal que P y al pie de la colina, a 60 m de P, el ángulo deelevación es de 24.5°. Determine la altura de la colina.
Sugerencia: Lee con atención el enunciado del problema y subraya los datos que se teproporcionan y observa la figura.
Datos Fórmulas a emplear
Medida de los ángulos tan q = y
h
Sustituyendo Considerando los triángulos A y B
tenemos que:
tan 36.3° = y
h tan 24.5° =
y60
h+
y tan 36.3° = h (60 + y) tan 24.5° = h igualando ambas expresiones tenemos que: y tan 36.3° = (60 + y) tan 24.5° por lo tanto: y tan 36.3° = (60 + y) tan 24.5° y tan 36.3° = 60 tan 24.5° + y tan 24.5° y tan 36.3° - y tan 24.5° = 60 tan 24.5° y (.7345) � y (.4557) = 60 (.4557) .2788 y = 27.342
y=2788.
342.27
y = 98.07
A B
C
36.3°
y metros
h
Triángulo A
A B
C
36.3°
y metros
h
Triángulo A
24.5°
y metros
h
Triángulo B
24.5°
y metros
h
Triángulo B
140
A partir de la igualdad anterior, determinamos el valor de �y�, que corresponde al cateto adyacente del triángulo BAC. Pero el enunciado del problema nos pide la altura, por lo tanto es necesario determinar h.
tan 36.3° = 07.98
h
h= (98.07) tan 36.3°=(98.07)(.7345)= 72.03 h= 72.03 Por lo tanto la altura de la colina es de 72.03 metros.
B
C
36.3°
h
A
C
36.3°
98.7 metros
h
B
C
36.3°
h
A
C
36.3°
98.7 metros
h
2. Desde la cima de una montaña 532 m, más alta que un río cercano, el ángulo de depresiónde un punto P situado en la ribera más próxima es 52.6° y el ángulo de depresión de unpunto Q directamente opuesto en el otro lado es 35.5�. Los puntos P y Q, así como la basede la montaña, están en la misma línea horizontal. Encuentre la distancia a través del ríode P a Q.
Sugerencia: Lee con atención el enunciado del problema y subraya los datos que se teproporcionan y observa la figura.
Datos Fórmulas a emplear
Medida de los ángulos tan q = y
h
Considerando los triángulos APB y APQ tenemos que:
tan 52.6° = y
532
y tan 52.6° = 532
532
52.6°34.5°
P
Q
532
52.6°34.5°
P
Q
141
y = 7447.4063079.1
532
6.52tan
532==
°
y= 406.7447
tan 34.5° = a
532
a tan 34.5° = 532
a = 0648.7746872.
532
5.34tan
532==
°
a= 774.0648 Para determinar la magnitud de PQ es necesario calcular: a � y = 774.0648 � 406.7447 = 367.3201 a � y = 367.3201
Por lo tanto la distancia de P a Q es de 367.3201 metros.
P
B
Ay
52.6°
532
P
B
Ay
52.6°
532
Q
B
A
34.5°
Q
B
A
34.5°
Ejercicios tomados del libro de Leithold. Matemáticas previas al cálculo. México, Harla. 1991. p. 483.
142
Realiza los siguientes ejercicios tomados de Hirsch/Shoen. Op. cit., pp. 41-44.
Utilícese una calculadora manual en la modalidad de grados (DEG) para completar lossiguientes ejercicios. De la respuesta con cuatro decimales de aproximación.
Encuéntrese cada par de valores y compárense las respuestas:
1 sen 10°; cos 80°
3 sen 23° ;cos 67°
5 sen 45°; cos 45°
7 sen 65° 15�; cos 24° 45�
9 sen 82° 46�; cos 7° 14�
11 sen 67.8°; cos 22.2°
13 Dígase cuál se considera el valor de cos (90°- θ), si 0° ≤ θ ≤ 90° y sen θ ≈ 0.6018
27 Dígase cuál se considera el valor de cot (90°- θ), si 0° ≤ θ ≤ 90° y tan θ ≈ 0.3739
67. Pat está haciendo volar una cometa de papel y tiene una cuerda de 500 ft de longitud, quesostiene a una altura de 4.5 ft del terreno. Consúltese la figura y dígase aproximando a ft.
a) Si θ = 40°, ¿a qué altura sobre el nivel del terreno se encuentra la cometa?b) Cuando el viento tiene su máxima intensidad, Pat puede volar su cometa formando un ángulo θ = 59° ¿Cuál será la altura de la cometa?c) ¿Cuál es la máxima altura teórica que podría alcanzar la cometa con 500 ft de cuerda?
¿Cuál sería el valor del ángulo en esas condiciones?
q
143
d) Aplíquese el método de prueba y error para estimar (con precisión de un grado) elángulo necesario para que la cometa se encuentre volando a una altura de 400 ft sobreel nivel del terreno.
69. Los planos para la construcción de una casa nueva especifican que la anchura o amplituddel tejado será de 34 ft, con un alero de 16 in. Si la pendiente del tejado es de 31°, dígase cuálserá la dimensión de las vigas que se usarán. Dese la respuesta con precisión de una in yvéase la figura.
71. Una estructura prefabricada para la construcción de techos mide 8 m de largo. El ánguloentre la estructura y el terreno se puede ajustar para valores entre 20° y 55° ¿Cuál es lagama de alturas (con aproximación de 0.1 m) que puede alcanzar la estructura?
Respuestas
1) 0.1736; 0.17363) 0.3907; 0.39075) 0.7071; 0.70717) 0.9081; 0.90819) 0.9920; 0.992011) 0.9259; 0.925913) 0.6018; θ = 37°; cos (90°-37°) = sen 37°;27)0.3739; θ = 20.5; cot (90°-20.5°) = tan 20.5°
67)a)326 ftb) 433 ftc) 504.5 ft; 90°d) 52.27°
69) 254 in71) 2.7 to 6.6 m.
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144
2.3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Para introducirnos en este tema, recuerda que las identidades trigonométricas son igualdadesque relacionan a las distintas funciones trigonométricas. Para ello, primero se te recomiendarepasar el concepto de razones trigonométricas para las tres últimas funciones (cotangente,secante y cosecante). Después debes leer de la página 327 a la 330 del libro de Baldor, dondeconocerás las principales identidades trigonométricas, las cuales son: recíprocas, de cocientey las pitagóricas.
Relaciones fundamentales entre las funciones trigonométricasde un mismo ángulo
Se deberá trazar un punto C (x1,y
1) en el sistema de ejes coordenados, considerando un
ángulo �α� de lado inicial OM.
Aplicando las definiciones de las funciones trigonométricas, se obtendrán los valoressiguientes.
Se puede escribir:
y
y
O x M x
r
C(x1, y1)
a
)6....(....................MC
OC
y
rcsc
)5..(.................... OC
x
rsec
)4.....(....................MC
OMcot
)3.....(....................OM
MC ytan
)2....(....................OC
OMcos
)1.....(....................r
ysen
OM
y
x
x
r
x
OC
MC
==
==
==
==
==
==
a
a
a
a
a
a
OC = r
MC = y
OM = x
145
Si tienes dudas, consulta nuevamente tu material de apoyo a partir de trigonometría y leela p. 328 del libro de Baldor para avanzar y obtener las ocho principales identidadestrigonométricas. Si no tuviste dudas ¡Felicidades!
Lee con atención y completa la información.
1) Tomando en cuenta el ejercicio anterior, multiplica la expresión (1) por (6) y sustituyelos valores de las razones trigonométricas:
(sena)(csca) = ÷ø
öçè
æ÷ø
öçè
æMC
OC
OC
MC aplicando la propiedad conmutativa.
(sena)(csca) = ÷ø
öçè
æ÷ø
öçè
æOC
OC
MC
MC como son términos iguales, el cociente da como
resultado la unidad. (sena)(csca) = 1 Primera identidad recíproca trigonométrica (I) Escribe en los espacios en blanco la expresión que se solicita.
Despejando (sena) de la expresión I sen a = acsc
1
Despejando (csca) de la expresión I a) 1) Se multiplica la expresión (2) por (5) y se sustituyen los valores de las razones
trigonométricas.
(cosa)(seca) = ÷ø
öçè
æ÷ø
öçè
æOM
OC
OC
OM aplicando la propiedad conmutativa.
(cosa)(seca) = ÷ø
öçè
æ÷ø
öçè
æOC
OC
OM
OM
146
Escribe dentro del rectángulo el resultado anterior. Segunda identidad recíproca Trigonométrica (II) Escribe dentro del rectángulo la expresión que se solicita.
Despejando (cosa) de la expresión II a
a
sec
1cos =
Despejando (seca) de la expresión II b) 3) Realiza la multiplicación de la expresión (3) por (4) y sustituye los valores de las razones trigonométricas en el siguiente espacio.
147
Escribe dentro del rectángulo el procedimiento de tu análisis.
Tercera identidad trigonométricaRecíproca
(III)
Despejando (tanα) de la expresión III c)
Despejando (cotα) de la expresión III d)
De las tres fórmulas anteriores, se deduce que son recíprocas las siguientes funciones delmismo arco:
Identidades Recíprocas
1. El seno y la cosecante
2. El coseno y la secante
3. La tangente y la cotangente
148
4) Ahora dividamos la expresión (1) entre (2).
( )( )( )( )OCOM
OCMC
OC
OMOC
MC
cossen
==a
a
Multiplicando extremo superior por inferior e interior por interior y eliminando el término semejante:
OM
MC
cos
sen=
a
a
El cociente del segundo miembro es igual a la
expresión (3) que es la tan a.
a
a
a
tancos
sen=
a
a
a
cos
sentan =
Cuarta identidad trigonométrica de cociente (IV) Escribe dentro del rectángulo la expresión que se solicita. Despejando (sena) de la expresión IV e) Despejando (cosa) de la expresión IV f)
149
5) Para obtener la siguiente identidad de cociente trigonométrica, partimos de la identidad (III). Se recomienda que analices el procedimiento y luego realices los mismos pasos. Lo anterior es con el objeto de retroalimentarte al obtener la V identidad trigonométrica. De la expresión III: (tan a) (cot a) = 1 Despejando (tan a):
tana= acot
1 .........................(7)
De la expresión (IV) tenemos:
a
a
a
cos
sen tan = ......................(8)
Sustituyendo la ecuación (7) en la ecuación (8), se tiene:
a
a
a cos
sen
cot
1=
Despejando (cota) de la expresión anterior:
a
a
a
sen
cos= cot
Quinta identidad de cociente
Trigonométrica (V)
Escribe dentro del rectángulo la expresión que se solicita: Despejando (sen a) de la expresión (V): g) Despejando (cos a) de la expresión (V): h)
150
6) Para obtener las identidades pitagóricas, partimos de las fórmulas (1) y (2):
OC
MCsen =a .....................................(1)
OC
OMcos =a .....................................(2)
Si elevamos al cuadrado ambos miembros de las fórmulas (1) y (2), tenemos: De (1): De (2): Sumando las dos expresiones anteriores, miembro a miembro:
2
2
2
222
OC
OM
OC
MCcossen +=+ aa
Resolviendo la fracción, se obtiene:
2
2222
OC
OMMCcossen
+=+ aa .........................................(3)
Recordando el Teorema de Pitágoras
222OCMCOM =+ ...................... (4)
Sustituyendo la expresión (4) en el numerador de (3), se tiene:
1OC
OCcossen 2
222 ==+ aa
2
22
2
2
OC
MCsen
OC
MC)sen(
=
÷ø
öçè
æ=
a
a
2
22
2
2
OC
OMcos
OC
OM)(cos
=
÷ø
öçè
æ=
a
a
0 M
C
a
151
sen2 α + cos2 α = 1
Sexta identidad pitagórica Trigonométrica
(VI)
Escribe dentro del rectángulo la expresión que se solicita.
Despejando (senα) de la expresión (VI) i)
Despejando (cosα) de la expresión (VI) j)
7) Desarrolla la siguiente actividad para obtener la séptima identidad pitagóricatrigonométrica.
A partir de la igualdad anterior (identidad trigonométrica VI): sen2 α + cos2 α = 1
Dividiendo ambos miembros por (sen2α), se obtiene:
1 + cot2 α = csc2 α
Séptima identidad pitagórica Trigonométrica
(VII)
152
8) Para obtener la octava identidad trigonométrica, recuerda la VII identidad trigonométrica
sen2 α + cos2 α = 1
Dividiendo ambos miembros de la expresión anterior por (cos2α), se obtiene:
tan2 α + 1 = sec2 α
Octava identidad pitagórica trigonométrica
(VIII)
153
Principales identidades trigonométricas
Identidades Expresión fundamental de la trigonométricas identidad trigonométrica (I)
Recíprocas (II)
(III)
(IV) Cociente (V) (VI)
Pitagóricas (VII)
(VIII)
9) Para hacer un resumen acerca de las identidades trigonométricas obtenidas, completa elsiguiente cuadro:
154
αα
ααα
αα
αααα
αααα
αααααα
ααα
ααα
αα
αα
αα
αα
22
22
2
2
2
22
22
22
csc cot1
sen
1
sen
cos
sen
sen
sen1
sen
cossen 7)
sen-1 = cos j) ;cos-1 = sen i) 6)
))(cot(sen = cos h) ;cotcos
= sen g) )5
tansen
= cos )f
tan cos = sen e) 4)
tan1
cot d) ;cot
1= tan c) 3)
cos1
= sec b) 2)
sen1
= csc a) 1)
=+
=+
=+
•
=
ααα
ααα
αα
αα
αα
αα
ααα
αα
αααα
sencos
=cot .V
cossen
=tan IV.
1=))(cot(tan III.
1=)(sec)(cos II.
1=))(csc(sen I. )9
sec1tan
cos1
coscos
cossen
cos1
coscossen
)8
22
22
2
2
2
22
22
=+
=+
=+
VI. sen2a + cos2a = 1 VII. 1 + cot2 a = csc2 a VIII. 1+ tan2 a = sec2a
Respuestas:
155
b) Tangente
· Como se quiere obtener la
función de la tangente en función del seno, no es necesario despejar la tangente para este caso.
· Para que esté todo en función
del seno, se toma como base la respuesta anterior
Expresión (datos)
Procedimiento algebraico y trigonométrico
Respuesta
Ejemplo: a) Coseno Si: sen2 a + cos2 a=1
· Como se quiere obtener el
coseno en función del seno, se despeja el cos a de la expresión dada:
sen2 a+ cos2 a = 1 cos2 a = 1-sen2 a · Para eliminar el exponente
dos del coseno, se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros:
.....(1)
αα
αα2
22
sen1cos
sen1cos
−=
−=
αα 2sen1cos −=
ααα
cossen
tan:Si =
Para utilizar las identidades fundamentales y resolver los siguientes ejercicios, tomacomo base el libro de Baldor en la parte correspondiente a la trigonometría, a partirde la página 330 hasta la 337. Escribe sobre los espacios en blanco la secuencialógica al desarrollo de cada una de las identidades trigonométricas.
I. Dado el seno, obtener todas las demás funciones trigonométricas respecto a:
αα 2sen1cos −=
156
· S u st itu y en d o la ex p re s ión an te r io r en la id e nt id a d tr ig o n om étr ic a , s e o b t ien e :
.. . .. (2 )
ααα
2sen1
sentan
−=
αα
ααα
2sen1
sencossen
tan−
==
c) Cotangente
a
a
tan
1cot:Si =
a
a
a
sen
sen1cot
2-= .....(3)
157
d) Secante
Si: a
a
cos
1sec =
a
a2sen1
1sec
-= ...(4)
e) Cosecante
Si: a
a
sen
1csc =
a
a
sen
1csc = ...............(5)
158
II. Obtener todas las funciones trigonométricas en función del coseno.
Expresión (datos)
Procedimiento algebraico y trigonométrico
Respuesta
Ejemplo: a) Seno Si: sen2 a + cos2 a=1
· Como se quiere obtener el seno
en función del coseno, se procede a despejar el seno de la identidad trigonométrica planteada.
sen2 a+ cos2 a = 1 sen2 a = 1 - cos2 a
· Para eliminar el exponente dos
del seno, se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros:
aa
aa
2
22
cos1sen
cos1sen
-=
-=
aa2cos1sen -= .....(6)
b)Tangente
Si: a
a
a
cos
sentan =
a
a
a
cos
cos1tan
2-= .....(7)
159
c) Cotangente
Si: a
a
tan
1cot =
a
a
a2cos1
coscot
-= ......(8)
d) Secante
Si: a
a
cos
1sec =
a
a
cos
1sec = ...............(9)
160
d) Cosecante
Si: a
a
sen
1csc =
a
a2cos1
1csc
-= ...(10)
161
III. Obtener todas las funciones trigonométricas en función de la tangente.
Expresión (datos)
Procedimiento algebraico y trigonométrico
Respuesta
Ejemplo: a) Seno
Si: a
aa
cos
sentan =
· Como se quiere obtener el seno
en función de la tangente, se despeja el seno de la identidad trigonométrica dada:
a
a
a
cos
sentan =
(tan a)(cos a) = sen a
sen a=(tan a)(cos a)..........(A)
· Tenemos del primer
planteamiento, la expresión (1):
aa2sen1cos -= ............ (1)
· Sustituyendo la expresión (1) en la ecuación (A):
( )aaa
2sen1)(tansen -=
· Para eliminar el radical, se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad anterior:
( ))sen1(tansen
sen1)(tan)sen(222
2222
aaa
aaa
-=
-=
· Multiplicando el segundo
miembro, aplicando la propiedad distributiva, se obtiene:
162
)sen(tantansen 2222
aaaa -=
· Pasando el segundo término, del segundo al primer miembro, se obtiene:
aaaa
2222 tan)sen(tansen =+
· Factorizando a sen2 a en el primer miembro:
aaa
222 tan)tan1(sen =+
· Despejando de tal manera que el sen2 a quede en el primer miembro:
a
a
a 2
22
tan1
tansen
+=
· Por último, para eliminar el
exponente dos de la función sen2a, se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros:
a
a
a
a
a
a
2
2
22
tan1
tansen
tan1
tansen
+=
+=
a
a
a2tan1
tansen
+= ....(11)
163
b) Coseno
Si: a
a
a
cos
sentan =
a
a2tan1
1cos
+= .....(12)
c) Cotangente
Si: a
a
tan
1cot =
a
a
tan
1cot = ...............(13)
164
d) Secante
Si: a
a
cos
1sec =
aa2tan1sec += ......(14)
e) Cosecante
Si: a
a
sen
1csc =
a
a
a
tan
tan1csc
2+= ....(15)
165
IV. Obtener todas las funciones trigonométricas en función de la cotangente.
Expresión (datos)
Procedimiento algebraico y trigonométrico
Respuesta
Ejemplo: a) Seno
Si: a
a
a
sen
coscot =
· Como se quiere obtener el seno
en función de la cotangente, se despeja el seno de la identidad trigonométrica planteada. (NOTA. Se sugiere al estudiante, realizar los despejes paso a paso, para evitar los errores comunes).
a
a
a
sen
coscot =
)B..(..........cot
cossen
cos))(cotsen(
a
a
a
aaa
=
=
· Tenemos del primer
planteamiento, la expresión (1):
aa2sen1cos -= ............de (1)
· Sustituyendo la expresión (1) en la ecuación (B), se obtiene:
a
a
a
a
a
cot
sen1
cot
cossen
2-==
· Para eliminar el radical, se eleva
al cuadrado a ambos miembros de la igualdad anterior:
( )( )
a
a
a
a
a
a
2
22
2
22
2
cot
sen1sen
cot
sen1)sen(
-=
-=
166
· Despejando y agrupando
términos semejantes como factor a (sen2 a):
1cot
1sen
1)1(cotsen
1sen))(cotsen(
sen1))(cotsen(
22
22
222
222
+=
=+
=+
-=
a
a
aa
aaa
aaa
· Por último, para eliminar el
exponente dos de la función sen2a, se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros:
a
a
a
a
2
2
2
cot1
1sen
1cot
1sen
+=
+=
a
a2cot1
1sen
+= ...(16)
167
b) Coseno
Si: a
a
a
sen
coscot =
a
a
a2cot1
cotcos
+= ....(17)
c) Tangente
Si: a
a
cot
1tan =
a
a
cot
1tan = .............(18)
168
d) Secante
Si: a
a
cos
1sec =
a
a
a
cot
cot1sec
2+= ....(19)
e) Cosecante
Si: a
a
sen
1csc =
aa2cot1csc += ....(20)
169
V. Obtener todas las funciones trigonométricas en función de la secante.
Expresión (datos)
Procedimiento algebraico y trigonométrico
Respuesta
Ejemplo: a) Seno
Si: a
a
cos
1sec =
· Se quiere obtener el seno en
función de la secante, y como puedes observar, la identidad inicial no contiene la función seno, por lo tanto nos apoyaremos en la respuesta del primer planteamiento identificada con el número (1):
Se conoce que:
aa2sen1cos -= ............... (1)
· Sustituyendo esta expresión
trigonométrica en la expresión dada, tenemos:
a
a
a
a
2sen1
1sec
cos
1sec
-=
=
· Para eliminar el radical del segundo miembro (ya que es la incógnita que tenemos que dejar por ser la función seno), se eleva al cuadrado a ambos miembros:
( )
a
a
a
a
22
22
22
sen1
1sec
sen1
)1()(sec
-=
-=
170
· Efectuando las operaciones para
igualar a uno, se despeja el cociente del segundo miembro:
1)sen1)((sec 22 =- aa
· Multiplicando la expresión, aplicando la propiedad distributiva:
1)sen)((secsec 222 =- aaa
· Pasando el segundo término al segundo miembro y aplicando la propiedad conmutativa, se tiene:
aaa
aaa
222
222
sec)sen)((sec1
)sen)((sec1sec
=+
+=
· Despejando la unidad:
1sec)sen)((sec 222 -= aaa · Despejando el primer miembro,
se deja la función seno:
a
a
a2
22
sec
1secsen
-=
· Por último, para eliminar el exponente dos de la función seno, se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros:
a
a
a
a
a
a
sec1sec
sen
sec
1secsen
2
2
22
-=
-=
a
a
a
sec
1secsen
2 -= ....(21)
171
b) Coseno
Si: a
a
cos
1sec =
a
a
sec
1cos = ............(22)
c) Tangente
Si: a
a
a
cos
sentan =
1sectan 2 -= aa ....(23)
172
d) Cotangente
Si: a
a
tan
1cot =
1sec
1cot
2 -=a .......(24)
e) Cosecante
Si: cscsen
a
a
=1
1sec
seccsc
2 -=
a
a
a ....(25)
173
VI. Obtener todas las funciones trigonométricas en función de la cosecante.
Expresión (datos)
Procedimiento algebraico y trigonométrico
Respuesta
Ejemplo: a) Seno
Si: a
a
sen1
csc =
· Como se quiere obtener el seno
en función de la cosecante, partimos de la expresión dada despejando a sen a de la identidad original.
a
a
sen
1csc =
a
a
aa
csc1
sen
1)sen)((csc
=
=
a
a
csc1
sen = .............(26)
b) Coseno
Si: a
a
sen1
csc =
a
a
a
csc
1csccos
2 -= .(27)
174
c) Tangente
Si: a
a
a
cos
sentan =
1csc
1tan
2 -=
a
a ....(28)
d) Cotangente
Si: a
a
tan
1cot =
cot csca a= -2 1..(29)
175
e) Secante
Si: a
a
cos
1sec =
1csc
cscsec
2 -=
a
a
a .(30)
Para obtener un resumen que considere cada uno de los treinta resultados obtenidosal utilizar las funciones de identidades trigonométricas, escribe en el espacio en blancoel resultado que obtuviste en cada ejercicio.
sen a cos a tan a cot a sec a csc a
sen a
a
a
2tan1
tan
+
a
a
sec
1sec2 -
cos a a
2sen1-
a
a
2cot1
cot
+
a
a
csc
1csc2 -
tan a
a
a
cos
cos1 2-
cot a
a
a
sen
sen1 2-
1sec
12 -a
sec a a
2tan1+
1csc
csc2 -a
a
csc a
a2cos1
1
-
a
2cot1+
176
Lee las pp. 337 - 339 del libro de Baldor y responde lo que se te pide.
1. Son identidades trigonométricas:
2. En qué consiste el método para probar las identidades trigonométricas:
3. Demuestra, que: (csc a)(sec a) = cot a + tan a
4. Son ecuaciones trigonométricas:
5. Escribe cuál es el método para resolver una ecuación trigonométrica.
Razona los ejercicios resueltos que presenta el libro de Baldor sobre ecuacionestrigonométricas. Al finalizar, realiza los ejercicios que se presentan a continuacióny verifica que tus respuestas sean correctas.
177
1. 3 + 3 cosx = 2 sen2x
Las soluciones son:
2
1xcosPara = ........... )360(n120x °±°=
1xcosPara -= .......... )360(n180x °±°=
178
2. sen x + 1 = cos x
Expresando el coseno en función del seno.
Las soluciones son:
Para sen x = 0 x = 90° ± n (360°)
Para sen x = -1 x = 270° ± n (360°)
Resuelve los ejercicios impares en la sección de trigonometría del libro de Baldor,páginas 340 a la 344. En caso de existir dudas, revisa nuevamente tu guía y si lasdudas continúan, consulta a tu asesor.
179
Para continuar con las identidades trigonométricas, debes leer el apartado de trigonometríaen el libro Baldor, páginas 345 a la 350, con el fin de analizar las funciones trigonométricasde la suma y de la diferencia de dos ángulos.
2.3.1. Funciones trigonométricas de la suma de dos ángulos
Para continuar con el análisis, debes completar la información en los espacios enblanco:
y
O x
D
C
b
a
H
a
N M
Sean XOC = a
y COD = b dos ángulos cuya suma es:
XOC + COD = XOD
XOC + COD = a + b
Por un punto cualquiera de OC , tracemos CM ^ OX y ^ . Por el punto D trazar DN ^ OX por el punto C, trazar ^ DN . Consideremos los triángulos: ______________________________________ En D OCM y D CDH: CDH = MOC = a por ser ambos ángulos _____________________ y tener lados _____________________________
A. Cálculo de sen (a+b) De la figura anterior, tenemos:
OD
ND)ba(sen =+ ............................................ (1)
180
Pero ND = NH + HD .................................... (2) (explicar la igualdad). El todo...___________________________________________________________ __________________________________________________________________ y NH = MC .................................................... (3) Por ser lados... ______________________________________________________ Sustituyendo la ecuación (2) en la (3):
ND = MC + HD ......................................... (4) Sustituyendo la ecuación anterior (4) en (1), tenemos:
OD
HD
OD
MC
OD
HDMC)ba(sen +=
+=+
Multiplicando el numerador y denominador de la primera fracción por OC y el
numerador y denominador de la segunda por CD, tenemos:
CD
CD
OD
HD
OC
OC
OD
MC)ba(sen ·+·=+
Aplicando la propiedad conmutativa de la división:
OD
CD
CD
HD
OD
OC
OC
MC)ba(sen ·+·=+ .................... (5)
181
Pero: senaOC
MC=
bcosOD
OC=
Sustituyendo estos valores en la ecuación (5). Se tiene:
OD
CD
CD
HD
OD
OC
OC
MC)ba(sen ·+·=+
b) a)(sen (cosb) a)(cos sen()ba(sen +=+
Primera identidad trigonométrica de sumas de ángulos
acosCD
HD=
senbOD
CD=
C
O M
a
D
C
O
D
CH
a
D
C
O
b
182
B. Cálculo de cos (a+b) De la figura anterior, tenemos:
cos (a+b) = OD
ON .................................... (1)
Desarrolla los pasos necesarios para obtener la segunda identidad trigonométrica de sumas. cos (a+b) = (cos a)(cos b) � (sen a)(sen b)
Segunda identidad trigonométrica de sumas de ángulos
183
C. Cálculo de tan (a+b) De la figura original tenemos
b) a)(sen (sen-b) a)(cos (cos
a) b)(cos (sen+b) a)(cos sen(
)bacos(
)ba(sen)ba( tan =
+
+=+
b) (tan a tan 1
b tan a tanb)(a tan
-+
=+
Tercera identidad trigonométrica de sumas de ángulos
184
D. Cálculo de cot (a+b) Partimos de:
a) b)(cos (sen b) a)(cos sen(
b) a)(sen (sen - b) a)(cos (cos
b)(a sen
b)(a cos b)(a cot
+=
+
+=+
b cot a cot
1 - b) a)(cot (cot b)(a cot
+=+
Cuarta identidad trigonométrica de sumas de ángulos
185
2.3.2. Funciones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos
Si en las fórmulas anteriores, suponemos el ángulo b negativo, tendremos:
A. Cálculo de sen (a-b)
Si recordamos la primera identidad trigonométrica de sumas de ángulos:
sen (a+b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)
Suponemos ahora b = -b; como negativo, se tiene:
sen [a+(-b)] = (sen a)[cos (-b)] + [sen (-b)] (cos a).......................................... (1)
Recordando que:
cos (-b) = cos b, ......................................... (2) y
sen (-b) = -sen b, ....................................... (3)
Sustituyendo las ecuaciones (2) y (3) en la ecuación (1), tenemos:
sen (a-b) = (sen a)(cos b) � (sen b)(cos a)
Primera identidad trigonométrica de la diferencia de dos ángulos
186
B. Cálculo de cos (a-b)
cos (a-b) = (cos a)(cos b) + (sen a)(sen b)
Segunda identidad trigonométrica de la diferencia de dos ángulos C. Cálculo de tan (a-b)
b) (tan a tan 1b tan - a tan
b)-(a tan+
=
Tercera identidad trigonométrica de la diferencia de dos ángulos
187
D. Cálculo de cot (a-b)
a cot - b cot
1 b) (cot a cot b)-(a cot
+=
Cuarta identidad trigonométrica de la diferencia de dos ángulos
Para calcular la secante y cosecante de la suma y la diferencia de dos arcos, debi do a su complejidad es preferible usar las siguientes relaciones:
)bcos(
1)basec(
±=±
)ba(sen
1)bacsc(
±=±
188
Resumen de las identidades trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos
1) sen(a ± b) = sen a cos b ± sen b cos a
4)
a cot b cot
1)b )(cota (cot)bacot(
±=±
m
2) cos(a ± b) = cos a cos b m sen a sen b
5)
)bacos(
1)basec(
±=±
3)
b) (tana tan1
b tana tan)batan(
m
±=±
6)
)ba(sen
1)bacsc(
±=±
Sigue el desarrollo de los siguientes ejemplos y consulta las páginas 350 a 352 del libro de Baldor para corroborar su resolución. Ejemplos:
Sabiendo que: 22
a sen = y 23
=b cos ,
calcular las funciones trigonométricas de (a ± b). Solución Para dar respuesta es conveniente que se obtengan todos los valores de las seis funciones trigonométricas: tres de cada ángulo (a) y (b) de las funciones seno, coseno y tangente. De la fórmula calculada como la número (1), tenemos:
asen-1=a cos 2
189
Sustituyendo en esta expresión el valor de:
2
2=a sen
Se tiene que:
4
21
)2(
)2(1
2
2-1=a cos 2
22
-=-=÷÷ø
öççè
æ
2
2
4
2
4
2
4
2-4=a cos ===
2
2=a cos
De la cuarta identidad trigonométrica, tenemos:
122
22
2
22
2
a cos
a sen=a tan === tan a = 1
De la quinta identidad trigonométrica, tenemos:
122
22
2
22
2
a sen
a cos=a cot === cot a = 1
190
De la fórmula calculada como la número (6), tenemos:
bcos-1=b sen 2
Sustituyendo en esta expresión el valor de 2
3=b cos
4
1
4
34
4
31
)2(
)3(1
2
3-1=b sen 2
22
=-
=-=-=÷÷ø
öççè
æ = 21
41
=b sen =
De la cuarta identidad trigonométrica, tenemos:
3
3
3
3
33
31
3
1
3)(2(
)2)(1(
2
32
1
b cos
b sen=b tan 2 ======
3
3=b tan
De la quinta identidad trigonométrica, tenemos:
3)1)(2(
)3)(2(
2
12
3
b sen
b cos=b cot ===
3=b cot
191
Sustitución de los valores de las funciones trigonométricas.
2
2a sen = 1a cot =
2
1b sen = 3b cot =
22
a cos = 2
3b cos =
tan a = 1 3
3b tan =
Respuesta
Cuadro resumen del ejemplo planteado
Identidad trigonométrica de la suma y la diferencia de dos ángulos.
4
2
4
6
4
2
4
)3)(2(
2
2
2
1
2
3
2
2)ba(sen ±=±=÷÷
ø
öççè
æ÷ø
öçè
æ±÷÷
ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ=±
4
26)ba(sen
±=±
4
26b)+sen(a
+=
4
26b)-sen(a
-=
)a)(cossenb()b)(cossena()ba(sen ±=±
4
26
4
2
4
6
2
1
2
2
2
3
2
2)bacos(
mmm ==÷
øö
çèæ÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ÷÷ø
öççè
æ=±
4
26)bacos(
-=+
4
26)bacos(
+=-
)senb)(sena()b)(cosa(cos)bacos( m=±
)33(3
)33(3
3
333
33
3
31
3
33
3
311
3
31
)batan(mm
mm
±=
±
=
±
=
÷÷ø
öççè
æ
±=±
)b (tana tan1
b tana tan)batan(
m
±=±
192
( )( )( )
( )( )( )
326
)32(6)batan(
63612
393369
)3()3(
)3()3)(3(2)3()batan(
333333
3333
3333
)batan(
3333
)batan(
326
)32(6)batan(
63612
393369
)3()3(
)3()3)(3(2)3()batan(
333333
3333
3333
)batan(
22
22
2
22
22
2
−=−=−
−=−
+−=−
+−=−
=−+
−=−−•
+−=−
+−=−
+=+=+
+=−
++=−
++=+
=+−
+=++•
−+=+
Recuerda, tus conocimientos algebraicos (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b) (a + b) = a2 - b2
Para racionalizar la expresión, se multiplica por el conjugado del denominador.
3333
)batan(m
±=±
Para racionalizar la expresión; se multiplica por el conjugado del denominador.
32)batan( +=+
32)batan( -=-
193
)ba( tan1
)bacot(±
=±
( )
( ) 321
32
34
32
3)2(
32)bacot(
3232
321
)bacot(
321
)bacot(
321
323432
3)2(
32)bacot(
3232
321
)bacot(
321
)bacot(
)batan(
1)bacot(
22
22
+=+=−
+=−+=−
++•
−=−
−=−
−=−=−
−=−−=+
−−•
+=+
+=+
±=± Sustituyendo en la expresión
dada los valores obtenidos anteriormente:
32)ba( tan
32)ba( tan
-=+
+=+
Para racionalizar la expresión, se multiplica por el conjugado del denominador.
Para racionalizar la expresión, se multiplica por el conjugado del denominador.
32)bacot( −=+
32)bacot( +=−
194
Tomando como base el segundo resultado obtenido:
4
2 6)bacos(
m=±
Racionalizando la expresión, se multiplica por el conjugado del denominador.
)bacos(1
)basec(±
=± )bacos(1
)basec(±
=±
Se sustituye en el denominador:
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )26
4
264
26
264)basec(
22
26
264
26
26
26
4
26
4)basec(
264
264
26
264)basec(
22
26
264
26
26
26
4
26
4)basec(
26
4)basec(
26
4
26)1(
)1(4
4
261
1
4
26
1)basec(
−=−
=−−
=−
−
−=
−−
•+
=+
=−
+=+
=−+
=+
−
+=++•
−=
−=+
−=+
====±mmmm
26)basec( +=+
26)basec( −=−
195
Te sugerimos repasar el ejercicio anterior y si es necesario, realiza el procedimiento y/oanálisis paso a paso.
)ba(sen1
)bacsc(±
=± )ba(sen1
)bacsc(±
=± Tomando como base el primer resultado obtenido:
426)ba(sen ±=±
Se sustituye en el denominador:
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )26
4
264
26
264)bacsc(
22
26
264
26
26
26
4
26
4)bacsc(
264
264
26
264)bacsc(
22
26
264
26
26
26
4
26
4)bacsc(
4
4
261
1
4
26
1)bacsc(
26
+=+=−+=−
−
+=
++
•−
=−
=−
−=−
=−−
=+
−
−=−−•
+=
+=+
=±
=±
=±±
26)bacsc( -=+
26)bacsc( +=-
196
a) Calcula las funciones trigonométricas de los ángulos (a±b), sabiendo que:
53
sena = y 13
132senb =
Resuelve el siguiente ejercicio tomado de la página 353 del libro de Baldor.
197
Cuadro resumen del ejercicio anterior. Identidad trigonométrica de la suma y de diferencia de dos ángulos.
Situación de los valores de las funciones trigonométricas. sen a= cot a= sen b= cot b= cos a= cos b= tan a= tan b=
)a)(cossenb()b)(cossena()ba(sen ±=±
)senb)(sena()b)(cosa(cos)bacos( m=±
Respuesta
651317
)ba(sen =+
65
13)ba(sen =-
65
136)bacos( =+
65
1318)bacos( =-
198
)b (tan a tan1
b tana tan)batan(
m
±=±
)batan(1
)bacot(±
=±
6
17)batan( =+
18
1)batan( =-
176
)bacot( =+
cot ( a - b ) = 18
199
)bacos(
1)basec(
±=±
)ba(sen1
)bacsc(±
=±
6
135)basec( =+
18135
)basec( =-
17135
)bacsc( =+
135= ) b a (c sc -
Como repaso de lo visto anteriormente, realiza lo siguiente:
1. Resuelve los ejercicios impares de la página 352 a la 355 del texto de Baldor.
2. Si tienes alguna duda repasa tus notas y tu guía para reafirmar tus conocimientos, si aúnpersiste la duda acude con tu asesor.
3. Es recomendable que leas los apartados sobre funciones trigonométricas del ángulo duplo,triplo y del ángulo mitad; así como, la transformación de sumas y diferencias de senos,cosenos y tangentes en productos, que se encuentran en las página 352 - 355 del libro deBaldor y resuelve los ejercicios que vienen marcados dentro de los contenidos.
200
2.4. TRIÁNGULOS
2.4.1.Resolución de triángulos rectángulos
Para abordar el tema, lee las páginas 366-368 del texto de Baldor. Después contestala información solicitada:
1. Todo triángulo consta de seis elementos:
2. Un triángulo está perfectamente determinado si ____________________________;es decir, resolver un ángulo consiste en calcular:
3. Indica las principales características de los triángulos rectángulos:
4. Para encontrar la resolución de los triángulos rectángulos, se pueden presentar lossiguientes casos:
a) Dados los dos catetos.b) _________________________c) _________________________d) _________________________
201
Primer caso: dados los dos catetos
Datos Fórmulas
Procedimiento
b= 50 m c= 64 m A= 90°
C
a
BA
c
b
Incógnitas: a = ?
B = ? C = ?
Teorema de Pitágoras b 2 + c 2 = a 2
tan B = c
b
sen C = ac
o utilizar:
C=90°- B
Cálculo de a: a = 22 cb +
a = 22 )64()50( + a = 40962500 + a = 6596 a = 81.21 m
Cálculo de B:
tan B = cb
tan B = 6450
tan B = 0.7812 B= tan-1 0.7812 * B = 38° Cálculo de C:
sen C = 21.81
64
sen C = 0.7880 C=sen-1 0.7880 * C = 52° También se puede obtener por medio de:
C = 90° - B
C = 90° - 38°
C = 52°
Respuestas a = 81.21 m B = 38° C = 52°
*Recordando como se obtiene el valor del ángulo visto en las razones trigonométricas. Para obtener el valor del ángulo B, por medio de la calculadora, aprieta las teclas en el orden señalado: B = tan 0.7812 = ? Marcar 0.7812 INV tan-1 = 38° C = sen-1 0.7880 = ? Marcar 0.7880 INV sen-1 = 52°
202
Resuelve los siguientes casos mostrando paso a paso la secuencia para encontrar losresultados de las incógnitas faltantes.
Segundo caso: dados un cateto y la hipotenusa Datos Fórmulas
Procedimiento
a= 60 cm c= 28 cm A= 90°
C
a
BA c
b
Incógnitas: b = ?
B = ? C = ?
Respuestas b = 53.06 cm C = 27°49¢ B = 62° 11¢
203
Tercer caso: dados un cateto y un ángulo agudo Datos Fórmulas
Procedimiento
b= 1.4 m C= 37° A= 90°
C
a
BA c
b
Incógnitas: a = ? c = ?
B = ?
Respuestas B = 53° c = 1.06 m a = 1.76 m
204
Cuarto caso: dados la hipotenusa y un ángulo agudo
Datos Fórmulas
Procedimiento
a= 20.1 Km C= 38 16¢ A= 90°
C
a
BA c
b
Incógnitas: b = ? c = ?
B = ?
Respuestas B = 51° 44¢ b = 15.78 Km c = 12.45 Km
205
Realiza un resumen acerca del área de los triángulos rectángulos. Para ello, lee laspáginas 369 y 370 del libro de Baldor. Después responde lo siguiente:
1. Recuerda que el área de un triángulo rectángulo es igual a:
2. En un triángulo rectángulo, se puede tomar por base y altura:
3. Continúa, ahora tú con el análisis y obtén tus conclusiones:
Resuelve los ejercicios impares de las páginas 370 y 371 del libro de Baldor. Si tienesalguna duda, vuelve a repasar tus notas y a revisar tu guía. Si persiste la duda, consultaa tu asesor.
C
B A
a
c
b
A = 4
1 a 2 sen 2B
y A =
4
1 a 2 sen 2C
206
2.4.2. Resolución general de triángulos oblicuángulos
Para cubrir este tema, lee el libro de Baldor en las páginas 372-374 los apartados sobre laley de los senos y la ley del coseno.
Después de tu lectura, contesta las siguientes preguntas:
Ley de los senos
1. Escribe el concepto de la ley:
2. ¿Cómo se define un triángulo acutángulo?
3. Investiga qué significa la altura en un triángulo y escribe su concepto:
En la demostración se va a considerar el primer caso del libro de Baldor.
Sea ABC un triángulo acutángulo: Trazar las alturas CD y AE.
C
B A
D
E
b
c
a
207
En el D ACD:
sen A = b
CD despejando CD
CD = b(sen A). . . . . . . . . . . . . . . (1)
En el D BCD:
sen B = a
CD despejando CD
CD = a(sen B) . . . . . . . . . . . . . . . (2) Igualando la ecuación (1) con la (2), tenemos:
b(sen A) = a(sen B) . . . . . . . . . . . . . . . . . despejando (sen A) y (sen B)
senB
b =
senAa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)
A
C
D
b
C
BD
a
c
208
En el D ACE:
sen C = b
AE . . . . . . . . .despejando AE
AE = b(sen C) . . . . . . . (4) En el D ABE:
sen B = c
AE . . . . . . . . .despejando AE
AE = c (sen B) . . . . . . . . . . . . . . . . . (5) Igualando la ecuación (4) con la(5), tenemos: b (sen C) = c (sen B) . . . . . . . . . . . . . despejando (sen C) y (sen B).
senB
b =
senC
b . . . . . . . . . . . . . . . (6)
Comparando las ecuaciones (3) y (6) tenemos:
senA
a =
senB
b =
senC
c
Ley de los senos
E
A BC
C
E
A
b
209
Ley de los cosenos
4. Escribe el concepto de la ley: En la demostración se considera el estudio para un triángulo acutángulo. Sea ABC un triángulo acutángulo: Trazar la altura .BD
D
A
B
C
ac
b
x
b
b-x
210
En el D ADB:
Por el teorema de Pitágoras, se tiene:
x 2 + h 2 = c 2 . . . . . . . . . . despejando h 2 h 2 = c 2 - x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
cos A = c
x . . . . . . . . . . . . despejando x
x = c (cos A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
En el D BDC:
Por el teorema de Pitágoras, se tiene:
h 2 + (b-x) 2 = a 2 . . . . . . . . . . . despejando h h2= a2- (b-x) 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)
Igualando la ecuación (1) con la (3), tenemos: c 2 - x 2 = a 2 - (b-x) 2
B
ch
DA
x
B
D C
h a
b - x
Desarrollando el binomio: (b-x) 2 = b 2 - 2b x + x 2 Como tiene signo negativo -(b-x) 2 , se cambian los signos: -(b-x) 2 = - b 2 + 2bx- x 2 -(b � x)2= - [b2 � 2bx+x2] = - b2 +2bx+1
211
c 2 - x 2 = a 2 - b 2 + 2bx - x 2 Despejando a 2 : a 2 = b 2 - 2bx + x 2 +c 2 - x 2 a 2 = b 2 + c 2 - 2bx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4) Sustituyendo el valor de la ecuación (2) en la (4), tenemos: De (2): x = c(cos A) a 2 = b 2 + c 2 - 2b [c (cos A)]
a2= b2+ c2 - 2bc cos A Esta es una de las tres expresiones de la ley de los cosenos
De modo similar se pueden obtener las otras dos expresiones:
b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C
Resolución de triángulos oblicuángulos
Ley de los senos
Ley de los cosenos
Acosbc2cba 222 -+=
senC
c
senB
b
senA
a==
Bcosac2cab 222 -+=
Ccosab2bac 222 -+=
212
Datos
Fórmulas a emplear Sustitución
a = 34 b = 40 c = 28
Incógnitas:
A = ? B = ? C = ?
Dada la característica de conocer los tres lados, se utiliza la ley de los cosenos. (No se utiliza la ley de los senos, por desconocer los ángulos del triángulo). a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b2 = a2 + c2 - 2ac cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
Para calcular los ángulos se procede a despejar en cada caso el cos q. Cálculo del ángulo A a2 + 2bc cos A = b2+ c2 2bc cos A = b2+ c2- a2
cos A = bc2
acb 222 -+
Sustituyendo los valores:
( )
5482.02240
1228= Acos
2240
1156-784+1600= Acos
)28)(40( 2
)34()28(40= Acos
222
=
-+
cos A = 0.5482
A = cos-10.5482
A = 56.7554°
A = 56° [0.7554(60�)]
A = 56°45�
C
B
a = 34b = 40
A C = 28
Ejemplo resuelto, tomado de Baldor Op. Cit., p. 376.
Ejercicios de resolución de triángulos oblicuángulos
Se recomienda que resuelvas el siguiente ejercicio en tu cuaderno para que te familiarices conel procedimiento.
Primer caso: conocidos los tres lados
Resolver el triángulo cuyos lados son: a= 34; b=40; c=28.
213
Recuerda que para transformar grados a minutos se procede a: 56.7554° = 56° x�
1° 60� °
¢°=
1
)06)(75.0(x
0.7554° x x = 45� CONCLUSIÓN Es decir que la parte decimal solo se debe multiplicar por 60 min. \56.7554° = 56°45�
Cálculo del ángulo B Análogamente:
ac2
bcaB cos
222 -+=
Sustituyendo los valores
)28)(34(2
)40()28()34(Bcos
222 -+=
1940
16007841156Bcos
-+=
1785.01904
340Bcos ==
cos B = 0.1785
B = cos-10.1785
B = 79° 43� Cálculo del ángulo C: Análogamente
ab2
cba = C cos
222 -+
Sustituyendo los valores
cos c =( ) ( ) ( )
( )( )40342
284034 222 -+
cos c =2720
1972 = 0.725
C = 43° 32�
214
Datos Fórmulas Sustitución
A = 68°18� b = 6 c = 10 Incógnitas:
B = ? C = ?
a = ?
Al igual que el primer caso, nos apoyamos en la ley de los cosenos por no conocer los otros ángulos. Como falta el lado �a�, se toma para este caso la fórmula correspondiente a �a�. (Aquí sí se conoce el valor del ángulo �A�). a
2= b
2+ c
2- 2bc cos A
cos B = ac2
bca 222 -+
cos C = ab2
cba 222 -+
Para calcular �a�: a 2 = b 2+ c 2 - 2bc cos A Se extrae la raíz cuadrada a ambos miembros:
2a = Acosb2cb 22 -+ Sustituyendo los datos del problema:
a= )8168)(cos10)(6(2)10()6( 22 ¢°-+ a= )3697.0(12010036 -+ a= 37.44136 - = 63.91 a=9.57
Resuelve los ejercicios impares del texto Baldor, Op. cit., las páginas 377 y 378. Sitienen dudas repasa el ejercicio resuelto, para esto, analiza paso a paso en tu cuadernoel procedimiento e intenta resolverlo. Si aún persiste la duda acude con tu asesor.
Se recomienda que resuelvas el siguiente ejercicio en tu cuaderno para que te familiarices conel procedimiento.
Segundo caso: resolver un triángulo, conocidos dos lados y el ángulo comprendido
Resolver el triángulo cuyos datos son:
Ejemplo tomado del libro de Baldor, Op. cit., p. 378.
Para comprobar, los resultados obtenidos se procederá a sumarlos.
Explica porqué obtuviste 180° al sumar los ángulos.
A =
B =
C =
__________________________________________ SUMA:
215
Cálculo del ángulo B:
cos B = ac2
bca 222 -+
Sustituyendo los valores, tenemos:
B= 35°36� Cálculo del ángulo C:
C= 76°6�
Comprobación: Sumar los tres ángulos.
A= B= C= SUMA:
Resuelve los ejercicios impares de las páginas 379 y 380 del texto de Baldor. Si tienesdudas repasa el ejercicio resuelto, analízalo paso a paso en tu cuaderno e intenta resolverlos ejercicios propuestos. Si continúan las dudas acude con tu asesor.
216
Se recomienda que resuelvas el siguiente ejercicio en tu cuaderno para que te familiarices conel procedimiento.
Tercer caso: dados un lado y dos ángulos.
Resolver el triángulo cuyos datos son:
Datos Fórmulas a emplear Sustitución
A=80°25� B=35°43�
c=60 Incógnitas:
C=? a=? b=?
Como se conocen dos ángulos de tres que tiene un triángulo, se utiliza (por facilidad) el teorema que dice: la �suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°�.
A+ B+ C=180° Ahora se conocen dos ángulos y un lado, entonces se usa la ley de los senos. (no se utiliza la ley de los cosenos por desconocer los lados del triángulo).
senA
a =
senB
b=
senC
c
Cálculo del ángulo c:
A+ B+ C=180° Sustituyendo los datos del problema, tenemos: 80°25�+35°43�+ C=180° 80.416°+35.716°+ C=180° 116.13°+ C=180°
C=180°-116.13° C=63.86°
C=63°52�
Cálculo del lado �a�:
senA
a =
senC
c
Sustituyendo los datos del problema y el ángulo de C obtenido anteriormente:
5280sen
a¢° =
2563sen
60¢°
°641.80sen
a =
°68.63sen
60
Ejemplo tomado del libro de Baldor, pp. 330.
217
Obteniendo los valores de las funciones seno (con el apoyo de la calculadora), se obtiene:
8977.0
60
9860.0
a=
Despejando el valor de a:
a= ÷øö
çèæ
8977.0
60 (0.98604)
a = 65.90 Cálculo del lado �b�:
C senc
B senb
=
Sustituyendo los datos del problema y el ángulo de C:
2563sen
60
3435sen
b¢°
=¢°
°=
° 68.63sen
60
671.35sen
b
Obteniendo los valores de las funciones seno (con el apoyo de la calculadora), se obtiene:
8977.0
60
5837.0
b=
Despejando el valor de b:
b= ÷øö
çèæ
8977.0
60 (0.58378)
b= 39.01
218
Para concluir con la unidad, realiza lo siguiente:
1. Resuelve los ejercicios impares de la página 381 del texto de Baldor. Si tienes dudas repasael ejercicio resuelto, analízalo paso a paso en tu cuaderno e intenta resolver los ejerciciospropuestos. Si continúan las dudas acude con tu asesor.
2. Para resolver problemas a través de la aplicación de triángulos rectángulos y de la ley desenos y cosenos para triángulos oblicuángulos, revisa los siguientes problemas y realizalos ejercicios 8 a 17 de las páginas 410 y 411 del texto de Baldor. Te recomendamoselaborar un dibujo y/o una representación esquemática del planteamiento del problema,con el objeto de realizar un análisis y determinar qué fórmula debe emplearse y cuál esel procedimiento adecuado para resolver el ejercicio.
Resolución de problemas empleando: La ley de los senos
Caso donde se conoce la medida de uno de sus lados y dos ángulos.
1. Para determinar la distancia a través de un río recto, un topógrafo elige los puntos P y Qen la ribera, donde la distancia entre P y Q es 200 m. En cada uno de estos puntos seobserva el punto R en la ribera opuesta. El ángulo que tiene lados PQ y PR mide 63.1° y elángulo cuyos lados son PQ y QR mide 80.4. ¿Cuál es la distancia de Q a R y de P a R?
Sugerencia: Lee con atención el enunciado del problema, subraya los datos que se teproporcionan y observa la figura.
Datos Fórmulas a emplear
Medida de los ángulos P, Q Dada la característica del problema
Medida del segmento PQ conocemos la medida de dos de sus ángulos y uno desus lados, por lo tanto aplicaremos la ley de los senos:
R200 m63.1°
80.4°
P
Q
R200 m63.1°
80.4°
P
Q
senCc
senBb
senAa ==
219
Sustitución
Para el caso del problema se enunciaría:
Rr
P
Q
q
p
R
P
Q
q
p
Rr
P
Q
q
p
R
P
Q
q
p
1ecuaciónsenP
psenQ
qsenR
r ==
En nuestro caso conocemos las medidas de r=200m, Q=80.4° y P= 63.1°. Aplicando el teorema: La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo tenemos que R = 36.5°, por lo tanto al sustituir estos valores en la ecuación tenemos que:
°=
°=
° 1.63sen
p
4.80sen
q
5.36sen
200
°=
° 4.80sen
q
5.36sen
200 y
°=
° 1.63sen
p
5.36sen
200
resolvemos ambas ecuaciones
°=
° 4.80sen
q
5.36sen
200
°=
° 1.63sen
p
5.36sen
200
9859.
q
5948.
200=
8918.
p
5948.
200=
8639.3265948.
4186.194
5948.
)9859)(.200(q === 86.299
5948.
36.178
5948.
)8918)(.200(p ===
Por lo tanto la distancia de P a R es 326.8639 y la de Q a R es 299.86
220
Caso donde se conoce la medida de dos de sus lados y un ángulo
2. Una escalera de 35.4 pies de longitud está recargada sobre un terraplán inclinado 62.5°con respecto a la horizontal. Si el extremo inferior de la escalera está a 10.2 pie de la basedel terraplén, ¿Cuál es la distancia del extremo superior de la escalera a la base del terraplénen el suelo?
Sugerencia: Lee con atención el enunciado del problema y subraya los datos que se teproporcionan y observa la figura.
Datos Fórmulas a emplear
Medida de la longitud de la Dada la característica del problema
Escalera 35.4 pie conocemos la medida de uno de sus
Medida del segmento AC ángulos y dos de sus lados, por lo tanto
igual 10.2 pie aplicaremos la ley de los senos:
Sustitución
Para determinar QR es necesario aplicar la ley delos senos:
senCc
senBb
senAa ==
senCc
senBb
senAa ==
62.5°
35.4 pie
117.5°
A
B
C
62.5°
35.4 pie
117.5°
A
B
C
A
B
C
117.5°
10.2 pie
35.4 pie
A
B
C
117.5°
10.2 pie
35.4 pie
A
B
C
a
b
c
A
B
C
a
b
c
221
En nuestro caso conocemos las medidas de b= 10.2 pie, C= 117.5° y c= 35.4. Aplicando la ley de los senos para este caso tenemos:
°=
°=
° 5.117sen
4.35
senB
2.10
senA
x
°=
° 5.117sen
4.35
senB
2.10 y
°=
° senB
2.10
senA
x
resolvemos ambas ecuaciones
°=
° 5.117sen
4.35
senB
2.10 ecuación 1
°=
° senB
2.10
senA
x ecuación 2
Sustituyendo los valores en Sustituyendo el valor de la la ecuación 1 tenemos: medida del ángulo B en la ecuación 2 se tiene:
35.4(senB) = (10.2)(sen117.5°) °
=° senB
2.10
senA
x
°=
° 80.14sen
2.10
senA
x
4.35
)8870)(.2.10(
4.35
)5.117sen)(2.10(senB =
°= Ahora aplicando el teorema:
2555.4.35
0474.9== La suma de las medidas de los
\B = sen-1 .2555=14.80=14°48� ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°, entonces tenemos que la medida del ángulo A es 47.7°
°
=° 80.14sen
2.10
7.47sen
x
2554.
2.10
7396.
x=
43.292554.
5439.7
2554.
)7396)(.2.10(x ===
x= 29.53 pie Por Lo tanto la distancia desde el extremo superior de la escalera a la base del terraplén en el suelo es de 29.53 pie.
222
Para profundizar en los temas, te recomendamos leer los siguientes capítulos del libro deBaldor.
• � La ley de las tangentes�, pp. 374-376. Elabora una síntesis sobre este tema.
• �El área de los triángulos oblicuángulos�. Analiza los tres casos particulares para obtener elárea.
Otra recomendación es leer del libro de Trigonometría, conceptos y aplicaciones. Hirsh, R.Cristian y Shoen, I. Harold.
• �Aplicaciones de los vectores en la trigonometría�, pp. 315-359.
• �Números complejos y la trigonometría�, pp. 361-401.
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