MATEaplicada_2014

7/24/2019 MATEaplicada_2014

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COLEGIO DE ESTUDIOSCIENTFICOS y

TECNOLGICOS DEL ESTADO DENUEVO LEN

DIRECCIN ACADMICA

PROGRAMA DE APOYO DIDCTICOBACHILLERATO TECNOLGICO

SEMESTRE VI

NOMBRE DEL PLANTEL:______________________________________

NOMBRE DEL ALUMNO:______________________________________

GRUPO: _____ N DE

MATEMTICAAPLICADASEMESTRE: FEBRERO JULIO !"#


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DIRECTORIO

Ing. Jos Efrn Castillo Sarabia

Director General

Ing. Fortino Garza RodrguezDirector Acadmico

Li. !itoriana !illanue"a #a$ata

Directora Administrativa

Ing. Eduardo %lonso Castillo &onte'a(or

Director de Planeacin y Evaluacin

Ing. Rafael Co"arrubias Ortiz

Director de Vinculacin

Semestre: febrero julio 2014

Colegio Estudios Cientcos y Tecnolgicos del Estdo de !ue"o #en$ %ndes !&2'22$Coloni (rdn )bis*do$ C+ ,40-0$ .onterrey$ !/#/$ .ico/Telfono: 01131-1',00 et/ 124

ocentes colbordores en ls ediciones 2011 2012:.r del Crmen 5r6 Sl6r$ 5eorgin Cstillo de 7oyos$ (os 8brr .rtne6 y

9icrdo +edr6 9odrgue6

Co'it Tnio %ad'io


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PRESENTACIN

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A los maestros y alumnos

El 18 de agosto de 1993 se cre el CECyTE-NL. Recin cu!lios los !rieros "einte a#os de"ida institucional y ya teneos 29 !lanteles con $ e%tensiones i!artiendo Educacin &edia'u!erior en las odalidades de (ac)illerato Tecnolgico y (ac)illerato *eneral+ atendiendouna atr,cula de s de 9// estudiantes con 434 aestros. Teneos !resencia en 34unici!ios de Nue"o Len.

0urante este ciclo escolar 2/13 2/14+ el CECyTE-NL a"an en su consolidacin cooinstitucin de Educacin &edia 'u!erior de calidad al ingresar nue"e de sus !lanteles al'istea Nacional de (ac)illerato+ teniendo encausados a otro gru!o i!ortante de !lanteles)acia la consecucin de este oeti"o. 5ara estos logros+ )eos contado y seguireosnecesitando del es6uero y a),nco de docentes y alunos. 0e los !ro6esores re7uerios su"oluntad !ara 7ue logren su acreditacin y certi6icacin en Co!etencias 0ocentes+ !ues cooya se )a dic)o+ son los actores !rinci!ales de la re6ora. 0e nuestros estudiantes necesitaos desu e!e#o !ara 7ue logren un a!rendiae signi6icati"o con el desarrollo de las co!etencias

7ue de6inen su !er6il de egreso y 7ue constituyen el &arco Curricular Con del 'N(.En el Colegio nos interesa 7ue nuestros estudiantes !eranecan )asta concluir sus estudios+!or eso entregaos gratuitaente en cada seestre+ a los estudiantes y aestros+ esta coleccinde te%tos escolares+ elaorados !or los !ro!ios docentes del CECyTE-NL.

Estos liros re!resentan una !arte i!ortante de los recursos didcticos 7ue los aestrosutiliarn !ara 6orar integralente a los "enes+ !ara 7ue en el corto !lao logren insertarseen el sector !roducti"o+ en la educacin su!erior+ en el sector !lico o e!rendan su !ro!ionegocio y se con"iertan en !e7ue#os e!resarios con !osiilidades de crecer y consolidarse enel ediano !lao.

Tain uscaos 7ue estos recursos didcticos sean astin i!ortante contra el aandonoescolar y a 6a"or de la e6iciencia terinal+ colaorando !ara 7ue los a!rendiaes seanrele"antes+ signi6icati"os+ oti"adores e interesantes.

0e igual 6ora+ deseaos 7ue sean !recursores de uenos resultados en las distintase"aluaciones+ coo las curriculares+ nacionales e internacionales+ trtese de la !ruea ENLCE&edia 'u!erior o 5:'; !or ello+ es!eraos 7ue este es6uero !ara dotarlos de recursosdidcticos sicos+ sea "alorado y utiliado a!ro!iadaente.

tentaente

:ng.


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PERFIL DE EGRESO DE LOS ALUMNOS DEL CECYTE-NL


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Los alunos 7ue egresan del Colegio de Estudios Cient,6icos y Tecnolgicos del Estado deNue"o Len+ )an desarrollado las siguientes co!etencias+ las cuales constituyen el &arcoCurricular Con del 'istea Nacional de (ac)illerato=

GENRICAS

Las co!etencias genricas 7ue articulan y dan identidad a la E&' y 7ue constituyen el !er6il delegresado del 'N( son las 7ue todos los ac)illeres deen estar en ca!acidad de dese!e#ar; les!eriten co!render el undo e in6luir en l; les ca!acitan !ara continuar a!rendiendo de 6oraautnoa a lo largo de sus "idas+ y !ara desarrollar relaciones arnicas con 7uienes les rodean.

Las co!etencias genricas y sus !rinci!ales atriutos+ son las 7ue se estalecen a continuacin=

Se auto!eterm"na y #u"!a !e s$

1. 'e conoce y "alora a s, iso y aorda !roleas y retos teniendo en cuenta los oeti"os 7ue!ersigue.

triutos=

En6renta las di6icultades 7ue se le !resentan y es consciente de sus "alores+ 6ortaleas ydeilidades.

:denti6ica sus eociones+ las anea de anera constructi"a y reconoce la necesidad desolicitar a!oyo ante una situacin 7ue lo rease.

Elige alternati"as y cursos de accin con ase en criterios sustentados y en el arco de un!royecto de "ida.

nalia cr,ticaente los 6actores 7ue in6luyen en su toa de decisiones.

sue las consecuencias de sus co!ortaientos y decisiones.

dinistra los recursos dis!oniles teniendo en cuenta las restricciones !ara el logro de susetas.

2. Es sensile al arte y !artici!a en la a!reciacin e inter!retacin de sus e%!resiones en distintosgneros.

triutos=

>alora el arte coo ani6estacin de la ellea y e%!resin de ideas+ sensaciones yeociones.

E%!erienta el arte coo un )ec)o )istrico co!artido 7ue !erite la counicacin entreindi"iduos y culturas en el tie!o y el es!acio+ a la "e 7ue desarrolla un sentido deidentidad.

5artici!a en !rcticas relacionadas con el arte.

3. Elige y !ractica estilos de "ida saludales.

triutos=

Reconoce la acti"idad 6,sica coo un edio !ara su desarrollo 6,sico+ ental y social.

Toa decisiones a !artir de la "aloracin de las consecuencias de distintos )itos deconsuo y conductas de riesgo.

Culti"a relaciones inter!ersonales 7ue contriuyen a su desarrollo )uano y el de 7uienes lorodean.

Se e%&resa y #omun"#a

4. Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos ediante la utiliacinde edios+ cdigos y )erraientas a!ro!iados.

triutos=

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E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o gr6icas.

!lica distintas estrategias counicati"as segn 7uienes sean sus interlocutores+ el conte%toen el 7ue se encuentra y los oeti"os 7ue !ersigue.

:denti6ica las ideas cla"e en un te%to o discurso oral e in6iere conclusiones a !artir de ellas.

'e counica en una segunda lengua en situaciones cotidianas. &anea las tecnolog,as de la in6oracin y la counicacin !ara otener in6oracin ye%!resar ideas.

P"ensa #r$t"#a y re'le%"(amente

$. 0esarrolla inno"aciones y !ro!one soluciones a !roleas a !artir de todos estalecidos.

triutos=

'igue instrucciones y !rocediientos de anera re6le%i"a+ co!rendiendo coo cada unode sus !asos contriuye al alcance de un oeti"o.

Ardena in6oracin de acuerdo a categor,as+ erar7u,as y relaciones.

:denti6ica los sisteas y reglas o !rinci!ios edulares 7ue suyacen a una serie de6enenos.

Construye )i!tesis y dise#a y a!lica odelos !ara !roar su "alide.

'intetia e"idencias otenidas ediante la e%!erientacin !ara !roducir conclusiones y6orular nue"as !reguntas.

Btilia las tecnolog,as de la in6oracin y counicacin !ara !rocesar e inter!retarin6oracin.

. 'ustenta una !ostura !ersonal sore teas de inters y rele"ancia general+ considerando otros!untos de "ista de anera cr,tica y re6le%i"a.

triutos=

Elige las 6uentes de in6oracin s rele"antes !ara un !ro!sito es!ec,6ico y discriinaentre ellas de acuerdo a su rele"ancia y con6iailidad.

E"ala arguentos y o!iniones e identi6ica !reuicios y 6alacias.

Reconoce los !ro!ios !reuicios+ odi6ica sus !untos de "ista al conocer nue"as e"idencias+e integra nue"os conociientos y !ers!ecti"as al acer"o con el 7ue cuenta.

Estructura ideas y arguentos de anera clara+ co)erente y sinttica.

A&ren!e !e 'orma aut)noma

?. !rende !or iniciati"a e inters !ro!io a lo largo de la "ida.

triutos=

0e6ine etas y da seguiiento a sus !rocesos de construccin de conociiento. :denti6ica las acti"idades 7ue le resultan de enor y ayor inters y di6icultad+

reconociendo y controlando sus reacciones 6rente a retos y ostculos.

rticula saeres de di"ersos ca!os y estalece relaciones entre ellos y su "ida cotidiana.

Tra*a+a en 'orma #ola*orat"(a

8. 5artici!a y colaora de anera e6ecti"a en e7ui!os di"ersos.

triutos=

5ro!one aneras de solucionar un !rolea o desarrollar un !royecto en e7ui!o+ de6iniendoun curso de accin con !asos es!ec,6icos.

!orta !untos de "ista con a!ertura y considera los de otras !ersonas de anera re6le%i"a. sue una actitud constructi"a+ congruente con los conociientos y )ailidades con los

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7ue cuenta dentro de distintos e7ui!os de traao.

Part"#"&a #on res&onsa*"l"!a! en la so#"e!a!

9. 5artici!a con una conciencia c,"ica y tica en la "ida de su counidad+ regin+ &%ico y elundo.

triutos= 5ri"ilegia el dilogo coo ecaniso !ara la solucin de con6lictos.

Toa decisiones a 6in de contriuir a la e7uidad+ ienestar y desarrollo deocrtico de lasociedad.

Conoce sus derec)os y oligaciones coo e%icano y iero de distintas counidades einstituciones+ y reconoce el "alor de la !artici!acin coo )erraienta !ara eercerlos.

Contriuye a alcanar un e7uilirio entre el inters y ienestar indi"idual y el inters generalde la sociedad.

cta de anera !ro!ositi"a 6rente a 6enenos de la sociedad y se antiene in6orado.

d"ierte 7ue los 6enenos 7ue se desarrollan en los itos local+ nacional e internacional

ocurren dentro de un conte%to gloal interde!endiente.1/. &antiene una actitud res!etuosa )acia la interculturalidad y la di"ersidad de creencias+ "alores+

ideas y !rcticas sociales.

triutos=

Reconoce 7ue la di"ersidad tiene lugar en un es!acio deocrtico de igualdad de dignidad yderec)os de todas las !ersonas+ y rec)aa toda 6ora de discriinacin.

0ialoga y a!rende de !ersonas con distintos !untos de "ista y tradiciones culturalesediante la uicacin de sus !ro!ias circunstancias en un conte%to s a!lio.

sue 7ue el res!eto de las di6erencias es el !rinci!io de integracin y con"i"encia en losconte%tos local+ nacional e internacional.

11. Contriuye al desarrollo sustentale de anera cr,tica+ con acciones res!onsales.

triutos=

sue una actitud 7ue 6a"orece la solucin de !roleas aientales en los itos local+nacional e internacional.

Reconoce y co!rende las i!licaciones iolgicas+ econicas+ !ol,ticas y sociales delda#o aiental en un conte%to gloal interde!endiente.

Contriuye al alcance de un e7uilirio entre los intereses de corto y largo !lao con relacinal aiente.

DISCIPLINARES ,SICAS DEL CAMPO CIENCIAS E.PERIMENTALES

Las co!etencias disci!linares sicas de ciencias e%!erientales estn orientadas a 7ue losestudiantes conocan y a!li7uen los todos y !rocediientos de dic)as ciencias !ara la resolucinde !roleas cotidianos y !ara la co!rensin racional de su entorno.

Tienen un en6o7ue !rctico se re6ieren a estructuras de !ensaiento y !rocesos a!licales aconte%tos di"ersos+ 7ue sern tiles !ara los estudiantes a lo largo de la "ida+ sin 7ue !or ello deende suetarse al rigor etodolgico 7ue i!onen las disci!linas 7ue las con6oran. 'u desarrollo6a"orece acciones res!onsales y 6undadas !or !arte de los estudiantes )acia el aiente y )acia s,isos.

Co!etencias=

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1. Estalece la interrelacin entre la ciencia+ la tecnolog,a+ la sociedad y el aiente en conte%tos)istricos y sociales es!ec,6icos.

2. undaenta o!iniones sore los i!actos de la ciencia y la tecnolog,a en su "ida cotidiana+asuiendo consideraciones ticas.

3. :denti6ica !roleas+ 6orula !reguntas de carcter cient,6ico y !lantea las )i!tesis necesarias

!ara res!onderlas.4. Atiene+ registra y sisteatia la in6oracin !ara res!onder a !reguntas de carcter cient,6ico+

consultando 6uentes rele"antes y realiando e%!erientos !ertinentes.

$. Contrasta los resultados otenidos en una in"estigacin o e%!eriento con )i!tesis !re"ias ycounica sus conclusiones.

. >alora las !reconce!ciones !ersonales o counes sore di"ersos 6enenos naturales a !artirde e"idencias cient,6icas.

?. Dace e%!l,citas las nociones cient,6icas 7ue sustentan los !rocesos !ara la solucin de!roleas cotidianos.

8. E%!lica el 6uncionaiento de 7uinas de uso con a !artir de nociones cient,6icas.

9. 0ise#a odelos o !rototi!os !ara resol"er !roleas+ satis6acer necesidades o deostrar!rinci!ios cient,6icos.

1/. Relaciona las e%!resiones silicas de un 6eneno de la naturalea y los rasgos oser"alesa si!le "ista o ediante instruentos o odelos cient,6icos.

11. nalia las leyes generales 7ue rigen el 6uncionaiento del edio 6,sico y "alora las acciones)uanas de i!acto aiental.

12. 0ecide sore el cuidado de su salud a !artir del conociiento de su cuer!o+ sus !rocesos "italesy el entorno al 7ue !ertenece.

13. Relaciona los ni"eles de organiacin 7u,ica+ iolgica+ 6,sica y ecolgica de los sisteas"i"os.

14. !lica noras de seguridad en el aneo de sustancias+ instruentos y e7ui!o en la realiacin

de acti"idades de su "ida cotidiana.

DISCIPLINARES E.TENDIDAS DEL CAMPO CIENCIAS E.PERIMENTALES

Las co!etencias disci!linares e%tendidas i!lican los ni"eles de co!leidad deseales !ara7uienes o!ten !or una deterinada trayectoria acadica y+ en consecuencia+ tienen una 6uncin!ro!edutica en la edida 7ue !re!ararn a los estudiantes de la E&' !ara su ingreso y!eranencia en la educacin su!erior.

1. >alora de 6ora cr,tica y res!onsale los ene6icios y riesgos 7ue trae consigo el desarrollode la ciencia y la a!licacin de la tecnolog,a en un conte%to )istrico-social+ !ara darsolucin a !roleas.

2. E"ala las i!licaciones del uso de la ciencia y la tecnolog,a+ as, coo los 6enenosrelacionados con el origen+ continuidad y trans6oracin de la naturalea !ara estaleceracciones a 6in de !reser"arla en todas sus ani6estaciones.

3. !lica los a"ances cient,6icos y tecnolgicos en el eoraiento de las condiciones de suentorno social.

4. E"ala los 6actores y eleentos de riesgo 6,sico+ 7u,ico y iolgico !resentes en lanaturalea 7ue alteran la calidad de "ida de una !olacin !ara !ro!oner edidas!re"enti"as.

$. !lica la etodolog,a a!ro!iada en la realiacin de !royectos interdisci!linariosatendiendo !roleas relacionados con las ciencias e%!erientales.

. Btilia )erraientas y e7ui!os es!ecialiados en la s7ueda+ seleccin+ anlisis y s,ntesis!ara la di"ulgacin de la in6oracin cient,6ica 7ue contriuya a su 6oracin acadica.

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?. 0ise#a !rototi!os o odelos !ara resol"er !roleas+ satis6acer necesidades o deostrar!rinci!ios cient,6icos+ )ec)os o 6enenos relacionados con las ciencias e%!erientales.

8. Con6ronta las ideas !reconceidas acerca de los 6enenos naturales con el conociientocient,6ico !ara e%!licar y ad7uirir nue"os conociientos.

9. >alora el !a!el 6undaental del ser )uano coo agente odi6icador de su edio natural

!ro!oniendo alternati"as 7ue res!ondan a las necesidades del )ore y la sociedad+cuidando el entorno.

1/. Resuel"e !roleas estalecidos o reales de su entorno+ utiliando las cienciase%!erientales !ara la co!rensin y eora del iso.

11. 5ro!one y eecuta acciones counitarias )acia la !roteccin del edio y la iodi"ersidad!ara la !reser"acin del e7uilirio ecolgico.

12. 5ro!one estrategias de solucin+ !re"enti"as y correcti"as+ a !roleas relacionados con lasalud+ a ni"el !ersonal y social+ !ara 6a"orecer el desarrollo de su counidad.

13. >alora las i!licaciones en su !royecto de "ida al asuir de anera aserti"a el eercicio desu se%ualidad+ !roo"iendo la e7uidad de gnero y el res!eto a la di"ersidad.

14. nalia y a!lica el conociiento sore la 6uncin de los nutrientes en los !rocesosetalicos 7ue se realian en los seres "i"os !ara eorar su calidad de "ida.

1$. nalia la co!osicin+ caios e interde!endencia entre la ateria y la energ,a en los6enenos naturales+ !ara el uso racional de los recursos de su entorno.

1. !lica edidas de seguridad !ara !re"enir accidentes en su entorno yo !ara en6rentardesastres naturales 7ue a6ecten su "ida cotidiana.

1?. !lica noras de seguridad !ara disinuir riesgos y da#os a s, iso y a la naturalea+ enel uso y aneo de sustancias+ instruentos y e7ui!os en cual7uier conte%to

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INDICE

Contenido +gin

;!8% ;!)Secuenci

1 #diferencil


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12 8ntegrl denid: Clculo de "ol?menes y slidos dere"olucin


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;0 Pro!u#tos !e a&ren!"0 Momentos !e la se#uen#"a

APERTURA

Las integrales indefinidas son el !rier !aso en la a!licacin de di6erenciales !ara el clculo delasprimitivas de una funciny esto tiene a!licacin en uc)as disci!linas.

ACTI7IDAD 10- :n"estiga el tea de deri"ada y contesta las siguientes !reguntas.

F 7u se le llaa !roceso de deri"acin de una 6uncinG

FCul es el conce!to de deri"adaG

FHu signi6icado tiene el s,olox G

FHu denota el s,olody

dx G

FHu signi6icado tiene el s,oloy G

DESARROLLO

LA DIFERENCIAL

En cursos anteriores de ateticas se de6ini el conce!to de la deri"ada=

La derivada de una funcin con respecto a una variable es el lmite del incremento de lafuncin entre el incremento de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a ceroEste conce!to !uede ser e%!resado coo=

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lim x 0 y

x=f (x )=y

derivada=dy

dx=

Es i!ortante encionar 7ue la notacindy

dx no dee considerase coo una 6raccin

ordinaria condy coo nuerador y

dx coo denoinador+ sino 7ue re!resenta el

lmite del cociente cuandox tiende a cero.

E%isten uc)os !roleas+ en los 7ue es i!ortante dar inter!retaciones adx y

dy

se!aradaente+ es!ecialente en las a!licaciones del Clculo integral. Este conce!to se llaa

diferencial de una funcin.

0e tal anera+ 7ue si y=f(x) la !riera deri"ada se e%!resa coo=

dy

dx=f (x )

0onde oteneos la di6erencial de la 6uncin=

dy= f (x) dx

5or lo tanto+ la diferencial de una funcin es igual al producto de su derivada por elincremento o diferencial de la variable independiente.

:N'TRBCC:ANE'.- Calcular la di6erencial dy=dy

dxdx en cada una de las siguientes

6unciones=

uncin 0eri"ada 0i6erencial

y=x2 dydx

=2x dy=2x dx

y=6x4 dydx=24x3 dy=24x

3dx

y=3x24x+2 dy

dx=6x4 dy=(6x4)dx

1$


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ACTI7IDAD 40- Dalla la di6erencial dy de las siguientes 6unciones=

1. y=9x2 2. y=6x4

3. y=7x2+x 4. y=cx+d x3

$. y=6x3+5x2+x . y=3x2x

?. y=3x2x 8. y=2x+1

9. y=sen5x4 1/. y= tan5x3

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LADIFERENCIAL

El tea de la deri"ada inicia con el !rolea de encontrar la!endiente de la recta tangente a la gra6ica de una 6uncin

y=f(x) .

En la 6igura se uestra 7ue este !rolea se resuel"econsiderando 7ue la !endiente de la lnea secantees igual a=

msec=f(x+x )f(x )

x=

y

x

5ara "alores !e7ue#os dex + teneos 7ue

msec mtan o ieny

x m

tan .

5ero saeos 7ue mtan=f (x ) !uede escriirsey

x f (x)

y f (x ) x

1


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LA DIFERENCIAL COMO APRO.IMACION DELINCREMENTO

El uso !rinci!al de las di6erenciales consiste en !roducira!ro%iaciones.

'u!ngase 7ue y=f(x) en la 6igura. Cuando se da a

x un increentox + y recie un increento

y +

corres!ondiente+ 7ue !uede considerase coo un "alor

a!ro%iado dedy .

5or lo tanto+ el "alor a!ro%iado def(x+x ) es=

f(x+x ) f(x )+dy= f(x )+ f (x ) x

1/3

Su*ong Aue necesit un buen *roimcin *r 4.6 y

8.2 $ *ero Aue su clculdor est descom*uest/ Bu

*odr Dcer

Considere la gra6ica de y=x

diuada en la 6igura.

La di6erencial de la 6uncin es

dy=1

2x

12

dx= 1

2x dx

'i x caia de 4 a 4.

x caia de 4=2 a

Ia!ro%iadaenteJ 4+dy .

1?


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5ara x=4 y dx=0.6 teneos 7ue el "alor de dy es de=

dy=f (x) dx

dy= 1

24(0.6)

dy=0.6

4=0.15

5or lo tanto+ 4.64+dy=2+0.15=2.15

(ao el iso !rocediiento !ara la a!ro%iacin de 8.2 =

'i x=9 y dx=0.8 teneos 7ue el "alor de dy es de=

dy=f (x) dx

dy= 1

29(0.8)

dy=0.86 =0.133

5or lo tanto+ 8.2 9+dy=3+(0.133)=2.867

Los "alores a!ro%iados de 2.1$ y 2.8? se !ueden co!arar con los "alores "erdaderos2.1448 y 2.83

2/3

El ldo de un cudrdo es igul cm/ Clcul el incremento*roimdo de su re si el ldo ument 0/02 cm/

Considere lo siguiente=

El clculo del rea de un cuadrado es A=l2

entonces la 6uncin re!resentati"a del

rea es y=x2

x=8y dx=0.02

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El clculo dedy=2x dx

dy=2 (8 ) (0.02 )=0.32

'i y=x2=(8)2=64

y+dy=64+0.32=64.32

elincremento enel rea esde0.32 cm2

ACTI7IDAD 50-Calcula la di6erencial dy en el !unto x !ara el "alor de

dx

7ue se indica en cada 6uncin=

1. y=9x2 x=6 dx=0.004

2. y=7x2+x x=5 dx=0.001

3. y=6x3+5x2+x x=1 dx=0.0005

4. y=3x2x x=2 dx=0.0003

CIERRE

ACTI7IDAD 50- Calcula ediante di6erencial y resuel"e cada uno de los eerciciossiguientes.

1. Calcula el increento del rea de un cuadrado de lado de $ etros cuando su lado auenta2.$

2. 0eterina el increento del "oluen de un cuo de lado de 3.$ etros si sus lado

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auenta /.//2 .

3. Atener el "alor a!ro%iado en el auento 7ue tendr el rea de una es6era de 8 c deradio cuando el radio auenta 3 c.

UNIDAD UNOSe#uen#"a !"!/#t"#a No0 4

La Inte2ral "n!e'"n"!a3 ant"!er"(a!a

10 Datos 2enerales31010 Nom*re !e la mater"a3&ateticas !licadas1040 Tema "nte2ra!or3La tecnolog,a

1050 Cate2or$a3orden y es!acio1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o1080 Ses"ones3 9 )oras

40 Pro&)s"to3conocer y a!licar el conce!to de antideri"ada coo una 6uncin in"ersa a la dederi"ar+ ades de a!licar las di"ersas 6rulas de integracin de 6unciones algeraicas ytrascendentes.50 Com&eten#"as &or !esarrollar0

5010 Gen9r"#as3 Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos ediante la

utiliacin de edios+ cdigos y )erraientas a!ro!iadas.o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+

ateticas o gr6icas.5040 D"s#"&l"nares3

E%!lica e inter!reta los resultados otenidos ediante !rocediientos ateticos ylos contrasta con odelos estalecidos o situaciones reales

60 Conten"!os #on#e&tuales06010 Con#e&tos 'un!amentales3La antideri"ada6040 Con#e&tos su*s"!"ar"os3 :ntroduccin a la integral inde6inida+ 6orulas de integracinde 6unciones algeraicas.80 Conten"!os &ro#e!"mentales3 El aluno desarrollar sus acti"idades en 6oraindi"idual+ en e7ui!o gru!al; de!endiendo de la acti"idad 7ue "aya a realiar.

:0 Conten"!os a#t"tu!"nales3El aluno realiar sus acti"idades en 6ora res!onsale y

atendiendo las indicaciones 7ue se le !resentan; al socialiar res!etar las a!ortaciones de losco!a#eros.;0 Pro!u#tos !e a&ren!"


21/102

?Cual es el &ro#e!"m"ento &ara !esarrollarla !er"(a!a@

Al o*tener una !er"(a!a

?Como (ol(er a o*tener la 'un#")n or"2"nal@

?ue s"2n"'"#a !er"(ar una 'un#")n@

A&erturaA#t"("!a! 1.Cuestionario

DesarrolloA#t"("!a! 40 ',ntesis y 6orulario.A#t"("!a! 5. Co!letar una tala re6erente alconce!to de deri"ada+ di6erencial e integral.A#t"("!a! 60 :ntegrales de una 6uncin constante.A#t"("!a! 80:ntegrales de !otencias de K%.A#t"("!a! :0:ntegrales de "ariale inde!endientecontenida en una ra, de cual7uier ,ndice.A#t"("!a! ;0 :ntegrales del !roducto de unaconstante !or una 6uncin.A#t"("!a! =0 :ntegrales de la sua yo resta de6unciones.A#t"("!a! >0 :ntegracin del !roducto de 6unciones.A#t"("!a! 1B0:ntegracin de una 6uncin co!uesta.

C"erre

A#t"("!a! 1100eterinacindel "alor de laconstante deintegracin..

A#t"("!a! 140Eercicios dea!licacin del"alor deconstante deintegracin.

=0 Rela#")n #on otras as"2naturas3 los a!rendiaes desarrollados en sta secuencia te ser"irn!ara 7ue sean a!licados a lo largo de la "ida+ ya 7ue la realiacin de cada una de lasacti"idades te darn las )erraientas necesarias !ara 7ue la a!li7ues en las asignaturas de

&ateticas+ (iolog,a+ ,sica e :n6ortica.

>0 Momentos !e la se#uen#"a

APERTURA

INTRODUCCIN A LA INTEGRAL INDEFINIDA0

A#t"("!a! 10 Contesta indi"idualente los siguientes cuestionaientos.

DESARROLLO

A#t"("!a! 40El tea 7ue a continuacin se !resenta te dar la res!uesta al cuestionaiento deFCo "ol"er a la 6uncin original des!us de )aer deri"adoG+ !or lo 7ue es necesario toar

nota !ara )acer una s$ntes"s de los conce!tos 7ue se aordan en el tea+ as, coo tainenlistar el 6orulario 7ue se utiliar en el !roceso de integracin de 6unciones.

21


22/102

d if erencial

d y= f(x )d xin teg ral

y= f(x)

DEFINICIN DE INTEGRAL INDEFINIDA O ANTIDERI7ADA

Las ateticas contienen uc)as !ares de o!eraciones in"ersas= adicin y sustraccin+ulti!licacin y di"isin+ ele"acin a !otencias y e%traccin de ra,ces.

En clculo integral+ la integracin esuna o!eracin in"ersa a la deri"acin.

En clculo di6erencial a!rendios a

calcular la deri"ada f (x) de una

6uncin dada f(x) + o!eracin 7ue

se indica !ordy

dxf(x )= f (x) o

ien+ si e!leaos di6erenciales+ !ordy=f (x ) dx .

El !ro!sito 6undaental del clculointegral de!ende de la o!eracinin"ersa a la di6erenciacin+ es decir=

Dallar una 6uncin y=f(x) cuya di6erencial dy= f (x ) dx es conocida. Lo anterior

se !uede resuir y e%!oner con la siguiente ilustracin.

La 6uncin f(x) 7ue se otiene se llaa integral o antiderivada de la e%!resin

di6erencial; el !rocediiento !ara )allarla+ se llaa integracin; la o!eracin se indica

escriiendo el signo integral delante de la e%!resin di6erencial+ de anera 7ue=

f (x ) dx=f(x)

El trino antideri"ada se utilia indistintaente en lugar de integral !or ser una o!eracinin"ersa a la di6erenciacin.

:N'TRBCC:ANE'.- Calcular la di6erencial dy=dy

dxdx y su integral en cada una de las

siguientes 6unciones=

F$%&'(% D')*+*%&',- I%.*/+,-

22


23/102

d if erencia l

d y=3xd xinteg ra l

y=f(x )?

y=x2 dy=2x dx 2x dx=x2

y=6x4 dy=24x3 dx 24x3 dx=6x4

y=ex dy=ex dx ex

dx=ex

>eaos el siguiente cuestionaiento=

S" la !er"(a!a !e f(x) es 3x2

dx ?CUL ES LA f(x) @

5riero recordeos las 6orulas de deri"acin y oteneos 7ue f(x )=x3

a esta 6uncin se

le llaafuncin primitiva. 5ero oser"aos 7ue esta 6uncin no es la nica+ ya 7ue tain lo

es f(x )=x3+5 + tain

f(x )=x3+7 + de )ec)o cual7uier 6uncin

con la 6ora f(x )=x3+C austa

!er6ectaente.

En general+ la ant"!er"(a!a o 'un#")n

&r"m"t"(ade una 6uncin f(x) es otra

6uncin F(x ) cuya deri"ada f (x)

y cuya di6erencial es dy=f (x ) dx 0

5ara re!resentar la integral se e!lea el s,olo 7ue tiene su origen en la inicial dela !alara sua y se re!resenta coo=

F(x )=F(x)dx

5uesto 7ue la deri"ada de una constante es cero+ es !osile suar una #onstante ar*"trar"a C

a la 6uncin F(x ) .

0e odo 7ue la integral indefinidase escrie coo=

23


24/102

f (x)dx=F(x )+C

FUNCION DERIVADA

DIFERENCIAL INTEGRAL

y=x3

dy

dx=4x2

dy=6x3

dx

5x2dx=5x3

3 15

y=2x23x

d t=5x dx

SIGNIFICADO GEOMTRICO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIN

Cuando se integra una di6erencial dada+ lo 7ue se est oteniendo es una 6ailia de 6unciones de

la 6ora f(x )+C donde C se denoina constante de integracin; y es una constante

arbitraria!or 7ue se le !uede asignar cual7uier "alor real.

F$%&'(% D*+'0,1, I%.*/+,-

y=x3 dydx

(x3 )=3x2 3x2

dx=x3+C

24

ACTI7IDAD 50- Co!leta la siguiente tala=

y=x32y=x3

y=x3+1

Fa'ilia de


25/102

y=x3+1 dydx

(x3+1)=3x2 3x2

dx=x3+1

y=x32 dydx

(x32)=3x2 3x2

dx=x32

0ado 7ue !odeos dar a Ccuantos "alores 7ueraos+ de lo cual si una e%!resin di6erencialdada tiene una integral+ tiene tain una in6inidad de integrales 7ue di6ieren solo enconstantes. 5or lo tanto+

f (x)dx=F(x )+C

y !uesto 7ue Ces desconocida e inde6inida+ la e%!resin F(x )+C se llaa la integral

indefinida de f (x ) dx -

LA INTEGRAL INDEFINIDA Y LAS REGLAS PARA LA INTEGRACIN INMEDIATADE FUNCIONES ALGE,RAICAS0

Coo la deri"acin y la integracin son o!eraciones in"ersas+ ello !erite otener las 6orulasde integracin directaente de las 6orulas de deri"acin.

En el !roceso de deri"acin nos a!oyaos en una serie de 6rulas 7ue !erit,an deterinarlas deri"adas. En la integracin tain )ay un conunto de 6rulas 7ue ayudaran a realiar el!roceso de anera sencilla. un7ue es necesario encionar 7ue no todas las integrales se!ueden realiar autoticaente+ !ues cada caso necesita un trato es!ecial+ y se llega a laintegral de una e%!resin di6erencial dada a!licando nuestro conociiento de los resultados dedi6erenciacin.

La integracin se realia !or edio de talas de integracin las cuales se conocen con el noredeIN!"#$L!% IN&!'I$$%.

En siguiente cuadro resue las 6orulas sicas de integracin en 6unciones algeraicas+ lascuales !osteriorente sern detalladas ee!los y eercicios !ara cada una de ellas.

CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATASDE FUNCIONES ALGEBRAICAS

1

/

LA INTEGRAL

INDEFINIDA DEUN FACTOR

dx=x+C

2$


26/102

CONSTANTE22/

LA INTEGRALINDEFINIDA DEUNA POTENCIA2

xn dx=xn+1

n+1+C n 1

=

/

LA INTEGRAL DEL

PRODUCTO DEUNA CONSTANTEPOR UNAFUNCIN2

k f(x ) dx=k f(x ) dx+C

4/

INTEGRALINDEFINIDA DELA SUMA DE UNN3MERO FINITODE FUNCIONES2

[ f(x )+g (x )h(x )] dx= f(x )dx+ g (x )dx h (x ) dx

-/

INTEGRALINDEFINIDA DE

UNA FUNCINCOMPUESTA:Sustitucin por

cambio de variable

Cn

uduu

n

n +

+

=+

11

si

1nConsidere l literl

ucomo culAuier

funcin de l "riblex

1/ #% 8!TE59%# 8!EF8!8% E ;! F%CT)9 C)!ST%!TE/

dx=x+C

:N'TRBCC:ANE'.- Realia la integracin en las siguientes e%!resiones !or edio de la6orula de integracin res!ecti"a.

"2 3dx

Considerndo Aue es l integrl de unfctor constnte y *licndo lintegrl inmedit 1/

3dx=3x+C

2 52

d t

Considerndo Aue es l integrl de un fctor

constnte y *licndo l integrl inmedit 1/

5

2

dt

2


27/102

Es necesrio notr Aue l diferencil d t

identic GtH como l "rible de integrcin/

5

2t+C

42 a dx

Considerndo Aue es l integrl de un fctorconstnte y *licndo l integrl inmedit 1/

Es necesrio notr Aue l diferencil dx

identic GH como l "rible deintegrcin$ *or lo cul l "rible GHre*resent un "lor constnte/

a dx

a x+C

ACTIVIDAD #2

Encuentr l integrl indenid/

1/ = dx2 2/ = dw=/ = dx? 4/ = dx2

1

-/= dv4

$ ,/= dx?

4

'/= 3

dx / = dt

a

>/ = dxa 10/ = dx9

2 LA INTEGRAL INDEFINIDA DE UNAPOTENCIA2

xn dx=xn+1

n+1+C n 1

Observa que para antiderivar una potencia de x se aumenta ! al

exponente y se divide entre el nuevo exponente" #onsiderando que el

exponente debe ser di$erente de uno"

2?


28/102


"2

= dxx 2

Considerndo Aue es l integrl de un *otenci$ donde ele*onente es *ositi"o y entero$ *licmos l integrlinmedit 2/ 12

12

2

+=

+

x

dxx

Cx

x

dxx +==3

32

3

1

3

2

= dxx $

Considerndo Aue es l integrl de un *otenci$donde el e*onente es negti"o y entero$*licmos l integrl inmedit 2/ 1$

1$

$

+=

+ xdxx

C

x

dxx 4

4$

+=

C

xdxx

4

14

$ +=

ACTIVIDAD 52


1/ = dxx 2/ = dxx 2

=/ = dxx 9 4/ = dxx

28


29/102

-/ = dww ? ,/ = dxx 12

Cuando intentaos integrar una e%!resin esta !uede !resentarse ele"ada a un e%!onenten

+el cual !uede ser un "alor entero o una 6raccin. En aas situaciones+ utiliaos la isa6rula de integracin inediata de !otencia I6rula nero 2J.

xn dx=xn+1

n+1+C

Bna 6uncin !or integrar !uede estarcontenida en un radical de cual7uier ,ndice+este integrando !uede odi6icarse a su6ora e%!onencial !ara 6acilitar suintegracin.

0es!us a la e%!resin otenida laintegraos a tra"s de la a!licacin de la6rula de integracin de !otencias. 5oree!lo+ en el siguiente cuadro+ se uestrala 6ora radical y e%!onencial de unae%!resin !or integrar=


"2

= dxx 3 2

do Aue es l integrcin de un e*resin contenid

en un rdicl$ es necesrio seguir dos *sos:I E*resmos el rdicl en form e*onencil$bI integrmos l e*resin resultnte tr"s de lfrmul de *otencis/

dxxdxx 32

3 2 =

+orAue n=2

3

n=2

31=

2

3

3

3=5

3

13

2

11

3

232

+

++

= xdxx

29

FORMA

RADICAL

FORMA

EXPONENCIAL

3 2x 32

x

x 21

x

$ ?x $?

x


30/102

n=5

3 Cx

x+== 3

$

3

$

3

$

$

3

!ue"mente trnsformmos de e*resin e*onencil e*resin rdicl/

Cx $

3 3 $ +

2

= dxxdo Aue es l integrcin de un e*resin contenid

en un rdicl$ es necesrio seguir dos *sos:I E*resmos el rdicl en form e*onencil$bI integrmos l e*resin resultnte tr"s de lfrmul de *otencis/

dxxdxx 21

=

+orAue n=1

2

n=1

21=

1

2

2

2=

3

2

12

1

11

2

121

+

++

= xdxx

n=53

Cxx +== 23

2

3

2

3

32

Cx 3

2 2 3 +

ACTIVIDAD 62


1/ = dxx? 2/ = dxx $ ?

=/ =

dxx

9 4/ =

dxx3

3/


31/102

-/ = dyy ,/ = dxx $

'/

= dxx 4

1 /

= dxx 2

?

>/= dxx 3

8 10/= dww ?

4

42 LA INTEGRAL INDEFINIDA DEL PRODUCTO DE UNACONSTANTE POR UNA FUNCIN2

k f(x ) dx=k f(x ) dx+C

5ara realiar la integracin de una 6uncin es necesario considerar lo siguiente= 'i ( es una constante 7ue esta coo 6actor en el integrando se !uede !oner coo

6actor de la integral. La "ariale de integracin K% no !uede 7uedar 6uera del signo de integral.


"2

dxx 2$

Considerndo Aue es l integrl indenid del*roducto de un constnte *or un funcin$ esdecir$ Aue reli6mos el *roducto de lconstnte - *or l integrl de l "rible/

= dxx $2

+

=+

12$$12

2 xdxx

31


32/102

Cxx

+=

= 3

3

3

$

3$

2

= dxx 2 $ 4

Considerndo Aue es l integrl deun *otenci$ donde el e*onente esun frccin$ *licmos l integrlinmedit 2/

=dxx 2 $4

9eli6ndo o*erciones con ele*onente frccionrio:

$9

$

$

$

41

$

4=+=+

=

+

+

$9

2

1$4

2$

91

$

4

xx

Cxx +=

$

9

$

9

9

1/

9

$2

Cx +$ 99

1/

=/3 4

3x

72 dx

Considerndo Aue es l integrl de un*otenci$ donde el e*onente esnegti"o y entero$ *licmos l integrlinmedit 2/

4

3x

72 dx

9eli6ndo o*erciones con ele*onente frccionrio:

2$

2

2

2

?1

2

? =+

=+

=

+

+

2

$3

4

12

?3

4 2$

12

?

xx

Cxx +

=

2

$

2

$

1$

8

$

2

3

4

Cxx

+=

1$

8-

1$

8$

2$

32


33/102

ACTIVIDAD 7


1/

= dxx43 2/ = dxx$

=/ =

dxx

312

4/= dxx2

3

1

-/ = dxx 92

$ ,/ = dxx 2 $

'/ = dxx 3

8

9/

=

dxx ?4

2

3

>

/ = dxx?

1

3

2 10/

= dxx3

1

8

1

#2 INTEGRAL INDEFINIDA DE LA SUMA DE UN N3MEROFINITO DE FUNCIONES2

[ f(x )+g (x )h(x )] dx= f(x )dx+ g (x )dx h (x ) dx

%ecuerda que la inte&ral de una suma es i&ual a la suma o resta de lasinte&rales


"2 (x+2)dx

33


34/102

Considerndo Aue es l integrl de un sum defunciones$ *licmos l integrl inmedit 4/

x dx+2dx

%*licmos l integrl inmedit 2 y 1 en cd un dels funciones res*ecti"s/

(x2

2+C

1)+(2x+C2 )#onsidere que a cada inte&ral 'abr(a que sumarle unaconstante #) pero solamente se escribe la del *nal

porque la suma de varias constantes es otraconstante"

x2

2+2x+C

2

( ) dxxx + 3$ 2

Considerndo Aue es l integrl de"ris e*resiones$ *licmos l

integrl inmedit 4/

=+ dxxdxx 3$ 2

% su "e6$ es necesrio *licr lintegrl inmedit de un constnte*or un funcin y l integrl de*otencis/

+

+

+

++

13

12$

112xx

Cxx ++= ?3?

3

3

$

ACTIVIDAD 82


1/ =++ dxxxx J28I 43 2/ =++ dxxxx J23I $2

=/ =++ dxxx J238I 23 4/ =+ dxxx J2$I 3

-/

=+ dwww J13I4 ,/

( 21 ) dx

'/=

+ dttt 4

32

3

?

1 / =+ dxxx J32I 2$

>/=

+ dxxx 3

$4

1 10/ =+ dxxx JI

$$8

En la integracin de !roductos o cocientes de !olinoios+ en algunos casos este !roceso !uede

6acilitarse si se e6ectan !re"iaente las o!eraciones algeraicas indicadas en cada uno de loscasos.

34


35/102


"2

( ) ( ) dxx!x + 3129eli6ndo l multi*liccinlgebric de ls e*resiones/ ( ) dxxxx + 32 2

8ntegrndo cd termino lgebricodel *roducto resultnte

2x2 dx5x dx3 dx

23

x35

2x

23x+C

ACTIVIDA

D 92


1/ =+ dxxxx J3I 4 2/ =+ dxxxx J22I 23

=/ =++ dxxxxx J2IJ23I 2$2 4/ dxxxx J1IJ84I 2

-/ dxxxx J1IJ$2I 2 ,/ +++ dxxxx J$IJ238I 23

52 INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIN COMPUESTA:Sustitui)n $or a'bio de "ariable

Cn

uduu

n

n ++

=+

11

si

1n

Considere l literlu

como culAuier funcin de l "riblex

"l propsito de esta t#cnica es identificar en el integrandouna funcin $ue est# multiplicadapor la diferencialde esa funcin% para poder aplicar una frmula de integracin% esta tcnicade sustitucin es llaada tain cambio de variable.

3$


36/102

En este todo se elige una literalu

+ 7ue se iguala a la 6uncin 7ue incluye el integrando+ !orello es necesario se#alar 7ue est en 6uncin de la "ariale de dic)a 6uncin.

En la integracin de una 6uncin co!uesta se !ueden !resentar dos casos !osiles=

Cuando la funcin elevada a una potencia es multiplicada por su derivada.

Cuando la 6uncin ele"ada a una !otencia es ulti!licada !or otra 6uncin di6erente asu deri"ada


C$,%1 -, )$%&'(% *-*0,1, , $%, ;.*%&', *< =$-.';-'&,1,;+


37/102

situcin es necesriodeterminr un fctor Aue*ermit Aue mbs deri"dssen igules/

22

3

13 xx =

8ntegrndo l e*resin:

183

1

1$3

1 1$ uuu=

=

+

=+

Sustituyendo:u por x

3+4 Cx

++18

J4I 3

ACTIVIDAD"!2

Clculr ls siguientes integrles medinte uncmbio de "rible/

1/( ) dxx 323

3

2/ ( ) dxxx 1/2$

42

+

=/ dxxx J83I 32 + 4/ dxxx 4? 2$ 3 -/ dxxx J4I 1/2 + ,/ ( ) dxxx 2$ 832 +'/ dxx 43 + / + dxxx 21 2

DETERMINACIN DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIN MEDIANTE LASCONDICIONES INICIALES0

'e )a encionado 7ue la ecuacin y= f(x)dx tiene uc)as soluciones+ las cualesdi6ieren en una constante. Esto signi6ica 7ue las gra6icas de cuales7uiera dos antideri"adas o

!riiti"as de f(x) son traslaciones "erticales una de otra.

5ara calcular el "alor de la constante de integracines necesario tener la e%!resin di6erencial

7ue se )a de integrar y algunos datos+ !rocediiento 7ue ilustrareos con los ee!lossiguientes.

3?


38/102

l oser"ar la 6igura+ !odeos se#alar lo siguiente=

Las gra6icas de "arias antideri"adas o !riiti"asde la 6ora !ara di"ersos "alores enteros de C es

y= (3x21) dx=x3x+C

Cada una de estas antideri"adas o !riiti"as esuna solucin de la ecuacin di6erencial

dy

dx=3x21

En a!licaciones de integracin+ se da su6iciente

in6oracin !ara deterinar una solucin particular. 5araesto+ solo se necesita conocer el "alor de y=F(x)

!ara un "alor de K%. Esta in6oracin recie el nore decondicional inicial.

5or ee!lo en la 6igura+ solo una cur"a !asa !or el !untoI2+ 4J. 5ara encontrar esta cur"a se utilia la in6oracin inicial ao el siguiente !rocediiento=

F(x )=

x3

x+

C Solucin generl

F(2 )=4 Condicin inicil J2$ 4I

;tili6ndo l condicininicil en l solucingenerl$ obtenemos:

F(2 )=(2 )3(2 )+C=4

F(2 )=82+C=4

es*ejndo *r lconstnte de integrcin:

C=48+2

C=2

e tl modo$ se obtienel solucin *rticulr: F(x )=x

3

x2

2 H,--, *- 0,-+ 1* -, &%


39/102

8ntegrmos y obtenemos f(x) : dy= 6x2 dx2x dx

y=6x

3

3

2x2

2 +C

y=2x3

x2

+C

Sustituyendo los "lores del *unto J2$=I

3=2(2)3(2)2+C

9esol"iendo o*erciones ydes*ejndo:

3=164+C

C=316+4

C=9

Sustituyendo en l funcin tenemosAue:

y=2x3x29

Conclusin:

El "lor de l constnte deintegrcin es C=9 y l

funcin originl esy=2x3x29

SIGNIFICADO FSICO DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIN0

'e re6iere a las condiciones iniciales 6,sicas de un !roceso+ coo !uede ser+ la !osicin inicialde una !art,cula en o"iiento+ el in"entario de un negocio+ los costos 6ios+ el nero de

acterias al coenar un e%!eriento+ etctera.

&rolemas sore movimientos'

C%


40/102

"2 A-*> -,%, $%, ;*-., ,&', ,++',1*


41/102

2 U%, ;*-.,


42/102

Entonces l ecucin solicitd es: s ( t)=64 t16 t2+80

C$%1 --*/,+ -, ;*-., ,-


43/102

des*us de t Dors de o*ercin/

-/

;n *oblcin es tcd *or un e*idemi de gri*e/

Se !(t) el numero de *ersons enferms l tiem*o t medido en

ds$ dems cundo inici l e*idemi es de 100 *ersons$ es decir! (t)=0 y un mtemtico determin Aue l *ro*gcin de l gri*e

est dd *or l ecucin ded!

d t=120 t3 t2 *ersons *or d/

7llr cuntos enfermos Dbr des*us de 10 ds si no secontrol l e*idemi/

Se#uen#"a !"!/#t"#a No0 5Inte2ra#")n !e 'un#"ones tras#en!entes

10 Datos 2enerales3

1010 Nom*re !e la mater"a3&ateticas !licadas1040 Tema "nte2ra!or3La sociedad1050 Cate2or$a3orden y es!acio1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o1080 Ses"ones3 8 )oras

40 Pro&)s"to3 conocer y a!licar las 6orulas de integrales inde6inidas !ara las 6uncionestrascendentes+ ya sean trigonotricas directas+ in"ersas+ logar,ticas y e%!onenciales.50 Com&eten#"as &or !esarrollar0


utiliacin de edios+ cdigos y )erraientas a!ro!iadas. E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ ateticas o

gr6icas.5040 D"s#"&l"nares3


60 Conten"!os #on#e&tuales06010 Con#e&tos 'un!amentales3La antideri"ada.6040 Con#e&tos su*s"!"ar"os3 unciones trascendentes Itrigonotricas directas+ in"ersas+logar,ticas y e%!onenciales.80 Conten"!os &ro#e!"mentales3 El aluno desarrollar sus acti"idades en 6oraindi"idual+ en e7ui!o gru!al; de!endiendo de la acti"idad 7ue "aya a realiar.

:0 Conten"!os a#t"tu!"nales3El aluno realiar sus acti"idades en 6ora res!onsale yatendiendo las indicaciones 7ue se le !resentan; al socialiar res!etar las a!ortaciones de losco!a#eros.

;0 Pro!u#tos !e a&ren!"


44/102

CLASIFICACION DE

FUNCIONES

CLASIFICACION DEFUNCIONES

TRASCENDENTES

ciencias.

=0 Rela#")n #on otras as"2naturas3 los a!rendiaes desarrollados en sta secuencia te ser"irn!ara 7ue sean a!licados a lo largo de la "ida+ ya 7ue la realiacin de cada una de lasacti"idades te darn las )erraientas necesarias !ara 7ue la a!li7ues en las asignaturas de&ateticas+ (iolog,a+ ,sica e :n6ortica.

>0 Momentos !e la se#uen#"a

INTRODUCCIN A LAS FUNCIONES TRASCENDENTES

APERTURA

A#t"("!a! 10Contesta de anera indi"idual las !reguntas 7ue a continuacin se !resenta.

1/ .encion los ti*os de funciones conls Aue Demos *licdo *rocesos dederi"cin/

2/ .encion ls funcionestrscendentes Aue cono6cs/

=/ Clsic ls funciones de cuerdo ls res*uests seKlds en lsnteriores *regunts/

44


45/102

)?>AL4>M"

)?>A L A

)?>A L -%

?>M>A

)?>A L?>M>A4

)?>A L *>M5

DESARROLLO

LA INTEGRAL INDEFINIDA Y LAS REGLAS PARA LA INTEGRACIN

INMEDIATA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES3 )*NCI+N!%#I"+N+IC$% 'I#!C$%.

En la integracin de las 6unciones trigonotricas es necesario utiliar la tcnica de sustitucin!or caio de "ariale. des utiliareos las 6rulas de integracin descritas en elsiguiente cuadro=

CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATASDE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

DIRECTAS

"2 senudu=cosu+C

2 cosu du=senu+C

42 tanu du=lncosu+C

#2 cotu du=ln senu+C

52 secudu=ln ( secu+ tan u )+C

62 sec2u du=tanu+C

72 secu tanu du=secu+C

82 cscudu=ln (cscucotu )+C

92 csc2 u du=cot u+C

"!2 cscucotu du=cscu+C

4$


46/102

C$,%1 -, )$%&'(% .+'/%=.+'&, *< =$-.';-'&,1 ;+

-, 1*+'0,1, 1* u

"2 =dxxen ?J?I

9eli6ndo el cmbio de"rible: = duusen Considerndo Aue:

u=7x

du=7dx

Cdusen += ucosu

Sustituyendo:u por 7x

en l funcin trigonomtricresultnte:

cosu+C

cos7x+C

C$,%1 -, )$%&'(% .+'/%=.+'&, *< =$-.';-'&,1, ;+ .+,

)$%&'(% 1')*+*%.* ,- 1* -, 1*+'0,1, 1*u

2

2= dxxx J3Icos

2

9eli6ndo el cmbio de"rible: = duucosConsiderndo Aue:

u=3x2

du=6x dx

)bser"mos Aue du es

1')*+*%.* dx / En est

situcin es necesriodeterminr un fctor Aue*ermit Aue mbs deri"dssen igules:

xx =

1

= duucos1

== duucos1

8ntegrndo l e*resintrigonomtric: Cusen += JI

1

4


47/102

Sustituyendo:u por3x

2 Cxsen

+

3 2

ACTIVIDAD 2

E"l? l integrl indenid dd usndo un

sustitucin de u donde se reAuerid/

1/ dxxCos J$I 2/ dxxxCos 2

$

=/ ( ) dxxxCos

+ 3? $ 4/ dxxxen J3I

-/ dxxan J.3I ,/ dxxxen J4I 2 +'/ dxx J$tanI2 / dxxxec J1?I 22

>/ ( ) + dxxxec 43JI2 10/ dxxCotxCsc J$IJ$I11/ + dxxCsc J$3I

2 12/

dx

x)an

x(ec

3

3

LA INTEGRAL INDEFINIDA Y LAS REGLAS PARA LA INTEGRACININMEDIATA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES3 )*NCI+N!%#I"+N+IC$% IN-!#%$%.

CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATASDE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

INVERSAS"2

Ca

u

arcsenua

du

+

= 22

2C

a

u

aua

du+

=

+ arctan1

22

42C

a

uarc

aauu

du+

=

sec

122

5ara a!licar las anteriores 6rulas de trigonotricas in"ersas es necesario identi6icar ycalcular los "alores de las siguientes e%!resiones=

4?


48/102

2a 2u du

a u dx

D*.*+='%,+ -, '%.*/+,- '%1*%'1, 1* -, ;+*


49/102

Sustitucin de "lores: Cx

arc +

3

2sec

3

1

ACTIVIDAD 42

Clculr ls integrles siguientes/

1/3 =

29 xdx 2/3 =

+ 19 2xdx

=/3 =+ 19 2x

dx 4/3=

+ 232

x

dx

-/3 = 21 x

dx ,/3=

+ 1

4x

dxx

'/

3 = 42xx

dx /3

=

2

1//4

x

dxx

>/3 =

49

4

x

xdx 10/3 = 19 2xx

dx

LA INTEGRACIN INMEDIATA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES3)*NCIN '! L+"$#I&+ N$*#$L / )*NCIN !01+N!NCI$L.

INTEGRAL DE LA FUNCIN EPONENCIAL8!TE59%# E #%F;!C8L! #)5%98T.)!%T;9%#

F;!C8L!EM+)!E!C8%# E

@%SE e

F;!C8L! EM+)!E!C8%#

E @%SE a

Cuu

dudu

uduu +=== ln

11 e

udu=eu+C audu=( 1ln a )au+C

8!TE59%# E #% F;!C8L!

#)5%98T.) !%T;9%# Cuudu

duuduu +===

ln

1

1

49


50/102

INTEGRAL DE LA FUNCIN LOGARITMO NATURAL

"2

=dxx21

9eli6ndo el cmbio de"rible: Cudu

u+= ln

1

Considerndo Aue:u=2x

du=2dx

)bser"mos Aue du es

1')*+*%.* dx / En est

situcin es necesriodeterminr un fctor Aue*ermit Aue mbs deri"dssen igules:

1

2

12 =

1

2

1

udu=

1

udu=

1

2

8ntegrndo l e*resin : 12ln|u|+C


1

2ln|2x|+C

ACTIVIDAD #2

Clculr ls integrles indenids siguientes/

1/3 2x

dx 2/3dx

x

x

12 +

=/3 dx

x

32

1

+

4/3dx

x

+

?2

$

$/


51/102

-/3 dx

x

x

$3 4

3

,/3

dtt

12

3 +

:NTE*RL 0E L BNC:MNE5ANENC:L 0E ('E e

eu du=eu+C

INTEGRAL DE LA FUNCIN E.PONENCIAL DE ,ASE e

"2 e3x+1

dx

9eli6ndo el cmbio de "rible: eu du=eu+C

Considerndo Aue:u=3x+1

du=3dx

)bser"mos Aue du es 1')*+*%.* dx / En est situcin es necesrio

determinr un fctor Aue *ermit Auembs deri"ds sen igules:

13

13 =

1

3e

udu=

1

3 eu du

8ntegrndo l e*resin : 13

eu+C

Sustituyendo:u por3x+1

1

3e

3x+1+C

2 5x ex2

dx

9eli6ndo el cmbio de "rible: eu du=eu+C

Considerndo Aue:u=x2

du=2x dx

5eu

du=

$1


52/102

)bser"mos Aue du es 1')*+*%.*

dx / En est situcin es necesrio

determinr un fctor Aue *ermit Aue

mbs deri"ds sen igules:xx =

2

12

512

eu

du=

5

2 eu du=

8ntegrndo l e*resin : 52

eu+C

Sustituyendo:u porx2

5

2ex2+C

42 # ts mundil de consumo de *etrleo l tiem*o GtH es 16.1 e0.07 t

de millones de brriles nules/

7llr l cntidd totl de *etrleo Aue se consumi de 1>>0 JtN0I l2000 JtN10I/

Considermos Aue C( t) es el

consumo totl del tiem*o 0 l tiem*oGtH/

C( t)=16.1e0.07 t dt+C

Considerndo Aue:u=0.07 t

du=0.07dt

)bser"mos Aue du es 1')*+*%.*

dx / En est situcin es necesrio

determinr un fctor Aue *ermit Auembs deri"ds sen igules:

1/?./

1/?./ =

16.1e0.07t dt

16.1 e0.07 tdu=

16.1 10.07

eu

du=

8ntegrndo l e*resin : 16.10.07e

u+C

Sustituyendo:u por0.07

230e0.07 t+C

C( t)=230e0.07 t+C

Si tN0 el "lor de l constnte es: C(0)=230e0.07(0)+C

C(0

)=230

e

0

+C

$2


53/102

230=C

Sustituyendo$ obtenemos el consumototl en culAuier GtH:

C(t)=230e0.07 t230

Entonces el consumo Aue " de 1>>0 2000 t es:

C(10)=230e0.07 (10)230

C( t)233miles de millones de "arriles #

ACTIVIDAD 52

Clculr ls integrles indenidssiguientes/

1/3 dxe x3 2/3 dxex x

32

=/3 dxe

x 1/ $ 4/3 ex4

(4x3 ) dx

-/3 ex dx ,/3 eax+" dx

:NTE*RL 0E L BNC:MN

E5ANENC:L 0E ('E a au

du=( 1

ln a

)a

u

+C

:NTE*RL 0E L BNC:MN E5ANENC:L 0E ('E a

"2

= dxx239eli6ndo el cmbio de"rible:

au

du=

Considerndo Aue:u=2x

du=2dx

1

2a

udu=

$3


54/102

)bser"mos Aue du es

1')*+*%.* dx / En est

situcin es necesriodeterminr un fctor Aue

*ermit Aue mbs deri"dssen igules:

12

12 =

au

du=1

2

8ntegrndo l e*resin :au du=( 1ln3 )32x+C


1

2 ( 1ln 3 )32x+C

ACTIVIDAD 62

Clculr ls integrles indenids siguientes/

1/3 2x dx 2/3 102x dx

=/3 35y dy 4/3 ( e3x+73x ) dx

-/3 2sen xcosx dx ,/3 32 t2 t dt

CIERRE

ACTI7IDAD ;0- nalia las siguientes situaciones !lanteadas y resuel"e !or edio de laintegracin de 6unciones trascendentales.

$4


55/102

1.- La tasa de !roduccin de gas natural industrialiado en Estados Bnidos )a sido de $(t)

illones de (TB anuales al tie!o Kt+ donde tO/ corres!onde a 19? y $( t)=20e0 #02 t .

Dallar una 6rula 7ue descria la !roduccin total de gas natural industrialiado de19? )asta el tie!o Kt.

2.- Estados Bnidos )a consuido ineral de )ierro a ran de $(t) illones de toneladas

tricas anuales al tie!o Kt+ donde tO/ corres!onde a 198/ y $( t)=94 e0# 016t .

Dallar una 6rula 7ue descria el consuo total del ineral )asta el tie!o Kt.

3.- Bn !a7uete de 6resas congeladas se retira de un congelador a -$P C y se trans!orta a una)aitacin a 2/P C. l tie!o Kt la te!eratura !roedio de las 6resas esta creciendo a ran

de 10e0.4t grados cent,grados !or )ora.

Encuentra la te!eratura de las 6resas en relacin al tie!o Kt.

ACTI7IDAD =0- La integral+ al igual 7ue la deri"ada+ es i!ortante deido a su a!licacin auc)os !roleas. Realia una in"estigacin donde se#ales la a!licacinde la integracin en las ciencias+ considera ee!li6icar y encionar la6uente iliogr6ica consultada.

UNIDAD DOS

Se#uen#"a !"!/#t"#a No0 6Inte2ra#")n !e &oten#"a !e 'un#"ones tr"2onom9tr"#as

10 Datos 2enerales31010 Nom*re !e la mater"a3&ateticas !licadas1040 Tema "nte2ra!or3La sociedad1050 Cate2or$a3orden y es!acio1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o

1080 Ses"ones3 ;40 Pro&)s"to3!licar el todo de integracin de !otencia de 6unciones trigonotricas atra"s de las 6rulas estalecidas elaorando di6erentes !roleas.50 Com&eten#"as &or !esarrollar0





60 Conten"!os #on#e&tuales06010 Con#e&tos 'un!amentales3:ntegracin de !otencia de 6unciones trigonotricas.

$$


56/102

6040 Con#e&tos su*s"!"ar"os3 :ntegracin de !otencia de 6unciones trigonotricas.80 Conten"!os &ro#e!"mentales3El aluno desarrollar sus acti"idades en 6ora indi"idual+ en

e7ui!o gru!al; de!endiendo de la acti"idad 7ue "aya a realiar.:0 Conten"!os a#t"tu!"nales3El aluno realiar sus acti"idades en 6ora res!onsale y

atendiendo las indicaciones 7ue se le !resentan; al socialiar res!etar las a!ortaciones de losco!a#eros.

;0 Pro!u#tos !e a&ren!"0 Momentos !e la se#uen#"a

APERTURA

A#t"("!a! 10 Aser"a las siguientes integrales y contesta lo 7ue se te !ide.

xdxsen 2 xdxsen 22

xdxsen 23

xdxxsen 2cos24

aJ FCul es la seeana entre ellasG

J FCul es la di6erencia entre ellasG

cJ FCul de las integrales !uedes resol"erG Q F!or7uCo!arte tus res!uestas con tus co!a#eros y aestro+ !ara llegar a un acuerdo a cerca de lasres!uestas realiadas.

DESARROLLO

$


57/102

A#t"("!a! 405ara resol"er las integrales+ deers )acer uso de identidades trigonotricas 7uea continuacin se te !ro!orcionan.

a sen2u+cos2 u=1 f cos2u=1+cos 2u

2

"1+tan2 u=sec2 u gcscu= 1

senu

c 1+cot2u=csc2u h secu= 1

cosu

d sen2u=2 senucosui tanu=

senu

cosu

e sen2 u=1cos2u

2 % cotu=

cosu

senu

Inte2ra#")n !e &oten#"a !e 'un#"ones tr"2onom9tr"#as

Cuando se intenta otener la solucin de una integral es !roale 7ue sta no est consideradacon alguna de las 6rulas de integracin corres!ondientes a 6unciones si!les. En este caso+

los todos de integracin ayudan a trans6orar esas integrales en otras 7ue se resuel"en conlas 6rulas de integracin ordinarias.

En este todo+ el integrando est 6orado !or 6unciones trigonotricas Iseno+ coseno+ etc.Jele"adas a una !otencia dada. 5ara la integracin de 6unciones trigonotricas de seno y cosenose consideran tres casos+ y se re7uiere el uso de identidades !itagricas e identidades de ediongulo.

Considerando el ti!o de 6uncin trigonotrica !or integrar as, coo su !otencia !odeos)acer uso de la siguiente tala !ara e6ectuar la integracin de dic)as 6unciones=

CASO I0

duuenm

JI

',m

es :&5R1 Btiliar la identidad trigonotrica

JI1JI 22 uCosuen =

',m

es 5R

Btiliar la identidad trigonotrica

JR2I1S2

1JI2 uCosuen =

CASO II0

$?


58/102

duuCosm

JI',

mes :&5R

1 Btiliar la identidadJI1JI 22 uenuCos =

',

m

es 5R Btiliar la identidad

JR2I1S

2

1JI

2 uCosuCos +=

CASO III0

JIuenm JIuCosn du

p

$

',m

yn

son

:&5RE'1

Btiliar la identidad

JI1JI 22 uCosuen =en la !arte de !

JI1JI 22 uenuCos =

en la !arte de 7',

mes 5R

yn

es :&5R1

JI1JI 22 uenuCos =en la !arte de 7

',m

es :&5R1

yn

es 5R

JI1JI 22 uCosuen =en la !arte de !

',m

yn

son5RE'

JR2I1S2

1JI2 uCosuen =

en la !arte ! y

JR2I1S2

1JI2 uCosuCos +=

en la !arte 7

E+em&los3 Caso I

1J Calcular la integral de xdxsen 4

Pro#e!"m"ento3

En este caso es necesario utiliar las identidades del ngulo edio

[ ]u)((u)sen 2cos12

12 =

= xdxxsensendxxsen 224

+ al sustituir la identidad se tiene=

= dx

xxxdxxsensen

2

2cos1

2

2cos122

$8


59/102

Ele"ando al cuadrado=

( )dxxxdxx

+= 2cos2cos21

4

12

2

2cos1 2

'e!arando e integrando= + xdxxdxdx 2cos412cos42141

2

1J

Cxdx += 41

14

1

2J

xdx2cos42

se otiene uO2% du O2d%

Cxsenxdx +=

2412cos4221

3J En la tercera integral se dee utiliar nue"aente la identidad=

Cxsenxxdxdxdxxxdx +== = 4321814cos81812 4cos1412cos412

5or lo tanto el resultado 6inal es=

Cxsenxsenxxsenxxsenxxsen ++=++= 4321

24

1

8

34

1

1

8

12

4

1

4

14

2J Calcular la integral de xdxsen 3

Pro#e!"m"ento3

En este caso es necesario utiliar las identidadesJI

2cos1

2

u(u)sen =

$9


60/102

'e resta 1 al e%!onente de la 6uncin 7uedando

dxxsenxsen 2


= dxsenxxdxsenxxsen Jcos1I 22

'e ulti!lican la identidad !or la 6uncin de seno 7uedando=

( )dxsenxxsenx 2cos

'e!arando e integrando= dxsenxxxdxsen 2cos

1J 'e a!lican 6rula sica de integracin

Cxsenxdx += cos

2J dxsenxx2cos

se otiene uOcos % du O-sen% d% ;

Cx

Cu

duu +=+= 3cos

3

332


Cx

xCx

xxdxsen +

+=+

=

3cos

cos

3

coscos

333

A#t"("!a! 50Resuel"e las siguientes integrales de !otencias de 6unciones de trigonotricas entu lireta.

1J xdxen

2

2J xdxen 22

3J xdxen 1/3

/


61/102

4J xdxen 32

$J xdxen$

J xdxen $3

E+em&los Caso II

3J Calcular la integral de

xdx2cos

Pro#e!"m"ento3

En este caso es necesario utiliar las identidades del ngulo edio

[ ]u)((u) 2cos12

1cos

2 +=

+ alsustituir la identidad se tiene=

+

= dxx

xdx2

2cos1cos4

'e!arando e integrando=

+ xdxdx 2cos21

12

1

1J

Cxdx += 21

12

1

2J xdx2cos21

se otiene uO2% du O2d%

Cxsenxdx += 241

2cos2

1

2

1


Cxsenxx ++= 241

2

1cos2

1


62/102

3J Calcular la integral de xdx3cos

Pro#e!"m"ento3

En este caso es necesario utiliar las identidades JI1cos22

usen(u) =

'e resta 1 al e%!onente de la 6uncin 7uedando

dxxx coscos2


= dxxxsendxxx cosJ1Icoscos 22

'e ulti!lican la identidad !or la 6uncin de seno 7uedando=

( )dxxxsenx coscos 2

'e!arando e integrando= dxxxsenxdx coscos 2

1J 'e a!lican 6rula sica de integracin

Csenxxdx +=cos

2J dxxxsen cos

2

se otiene uOsen % du Ocos% d% ;C

xsen

C

u

duu +=+= 3333

2


Cxsen

senxxdx +

= 3cos

33


1J

xdxCos ?22J

xdxCos 1/3

3J xdx

4cos

4J

xdx$cos$J

xdx$cos2

J

xdx3cos3

2


63/102

Se

sustituye

l

identidd

9estr 1 l e*onente *r descom*oner l funcin

E+em&los Caso III5ara este caso tendrs 7ue utiliar los casos anteriores de!endiendo de los

e%!onentes de las 6unciones.

Anal"


64/102

'ustituyendo en la integral

teneos

+

=+

=

1/2

1

2

1

222

222

$342

42

uuduuduu

xsen

duxsenu

xsen

duxsenu

'e regresan los datosoriginales c

xx++

1/

2cos

2cos $3


1J dxxxen JIcosJI22

2J dxxxen JIcosJI33

3J dxxxen JIcosJI32

CIERRE

A#t"("!a! :0Elaora un a!a conce!tual en tu lireta del tea= :ntegracin de !otencia de6unciones trigonotricas.

A#t"("!a! ;0 5ara resol"er las integrales+ deers )acer uso de identidades trigonotricas !or

lo 7ue te in"ito a leas la siguiente in6oracin y elaores un 6orulario.

1J xdxen 3

2

2J xdxen 2

3

3J xdxsen 3$

4J dxxJ4Icos2

$J xdxCos 23

J xdxCos 3

$

?J

dxxCosxen JIJ.I $28J

dxxCosxen J3IJ.3I 229J

dxxCosxen J2IJ2I $2

4


65/102

Se#uen#"a !"!/#t"#a No0 8Inte2ra#")n &or sust"tu#")n tr"2onom9tr"#a

10 Datos 2enerales3

1010 Nom*re !e la mater"a3&ateticas !licadas1040 Tema "nte2ra!or3Tecnolog,a1050 Cate2or$a3orden y es!acio1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o1080 Ses"ones3 :

40 Pro&)s"to3!licar el todo de integracin !or sustitucin trigonotricas a tra"s de las6rulas estalecidas elaorando di6erentes !roleas.

50 Com&eten#"as &or !esarrollar05010 Gen9r"#as3

Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos ediante lautiliacin de edios+ cdigos y )erraientas a!ro!iadas.o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+



60 Conten"!os #on#e&tuales06010 Con#e&tos 'un!amentales3:ntegracin !or sustitucin trigonotricas.6040 Con#e&tos su*s"!"ar"os3 :ntegracin !or sustitucin trigonotricas.

80 Conten"!os &ro#e!"mentales3El aluno desarrollar sus acti"idades en 6ora indi"idual+ ene7ui!o gru!al; de!endiendo de la acti"idad 7ue "aya a realiar.




66/102

O

APERTURAA#t"("!a! 10 !artir del siguiente tringulo "e contestando lo 7ue se te !ide=

1J FHu ti!o de tringulo esG2J 'i u es el cateto o!uesto y a es el cateto adayacente. FCunto"ale la )i!otenusaG3J Co!arte con tus co!a#eros las res!uestas y con ayuda de tuaestro deterinen !ara 7ue ser"ir el tringulo en la integracin.

DESARROLLO

A#t"("!a! 40 Lee la siguiente in6oracin suraya lo s i!ortante.

Inte2ra#")n &or sust"tu#")n tr"2onom9tr"#aEste todo se utilia !ara resol"er integrales inde6inidas 7ue contengan en su integrando

e%!resiones del ti!o

22au +

+

22au

y

22ua

. En este caso se recoienda odi6icarla integral original introduciendo un caio de "ariale trigonotrica.

Este todo de integracin consideran los siguientes casos=

CASO I0 Suma !e #ua!ra!os22 au +

22 au

+ u

a

au=

tan

adu=

2

ec

d

aau =+ 22

ec

CASO II0D"'eren#"a !e#ua!ra!os

22 au

u

22 au

a

au=

ec

adu=

ec

an

d

aau = 22

an

CASO III0 D"'eren#"a !e#ua!ra!os

22 ua


67/102

a

u

22 ua

au=

en

adu=

Cos

d

aua = 22

Cos

E+em&los3 Resuel"e las siguientes integrales.

+ 24 xdx

El radical corres!onde al caso :+ !or lo tanto teneos=

sec24

sec2

tan2

2

2

=+

=

=

x

ddx

x

'ustituyendo en la integral original se tiene=

( ) ==+

ddx

dx secsec2

sec24

2

2

Recordando las 6rulas de integracin de 6unciones trigonotricas se tiene=

Cd ++= tanseclnsec

Btilia el tringulo del caso : !ara encontrar el "alor del

secadyacentecateto

*ipotenusa=

2

4sec

2x+=

tanadyacentecateto

opuestocateto=2

tan x=

'ustituios en el resultado 6inal=

Cxx

C +++=++22

4lntansecln

2

?


68/102

2J

922 xxdx

El radical corres!onde al caso ::+ !or lo tanto teneos=

tan39

tansec3

9secsec3

2

22

=

===

x

ddx

xx

'ustituyendo en la integral original se tiene=

( )( ) ==

sec9

1

tan3sec9

tansec3

9222

dd

xx

dx

Bna "e 7ue si!li6ica la e%!resin dees oser"ar 7ue no cuentas con 6rula 7ue te integre elresultado otenido !or lo cual es necesario utiliar identidades trigonotricas+ en este caso=

++

sec

1cos =

5or lo tanto teneos=

Csend += 91

cos9

1

Btilia el tringulo del caso :: !ara encontrar el "alor delsen

!ara ello dees recordar 7ue el

seno es igual al cateto o!uesto entre la )i!otenusa=

x

xsen

92 =

'ustituios en el resultado 6inal=

Cx

xCsen +

=+

9

9

1

9

1 2

=I

24 xdx

'i oser"a el radical+ !odrs "er 7ue !riero se encuentra laconstante y des!us la "ariale+ este ti!o de radical corres!ondeal caso :::.

24 x

Realia un anlisis

cos

cos

22aua

dadu

asenu

=

==

cos24

cos2

2

2 =

==

x

ddx

senx

'e sustituye en la integral original=

+===

Cdd

x

dx

cos2

cos2

4

2

8


69/102

'e toa=senx 2=

!ara des!ear el ngulo

=

=

2

2

1

xsenarc

x

sen

sustituyendo en el resultado 6inal se tiene=

Cx

senarcC +

=+

2

A#t"("!a! 50 :ntegra cada una de las siguientes e%!resiones+ utiliando el todo de integracin!or sustitucin trigonotrica.

1/

dxxx + 42

2.

dxxx + 42

3.

+ 21 xdx

4/

dxx

x 923

-/

12xdx

.

dxxx 21'/

dxx

x

248.

dxx .813 2

>/

2

32 J9Ix

dx

1/.

24 xxdx 11/

dxxx 23 112.

22 axdx

CIERRE

A#t"("!a! 60Elaora un 6orulario del tea 'ustitucin Trigonotrica

A#t"("!a! 80 Resuel"e las siguientes integrales.

1/

+ 29 xdx

2.

+ 2$2x

dx

3.

dxx

x

2$2

4/

dxx

x 12

$.

dxx

x

2

2

9 . dxx 21

A#t"("!a! :0 En 6ora indi"idual elaora un re!orte acerca de la relacin entre la tecnolog,a y

las ateticas y co!arte tu traao en el gru!o.

9


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Se#uen#"a !"!/#t"#a No0 :Inte2ra#")n !e 'ra##"ones &ar#"ales

10 Datos 2enerales3

1010 Nom*re !e la mater"a3&ateticas !licadas1040 Tema "nte2ra!or3La sociedad1050 Cate2or$a3orden y es!acio1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o1080 Ses"ones3 :

40 Pro&)s"to3!licar el todo de integracin !or 6racciones !arciales a tra"s de los casosestalecidos elaorando di6erentes !roleas.


Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos ediante lautiliacin de edios+ cdigos y )erraientas a!ro!iadas.

?/


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o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ateticas o gr6icas.

5040 D"s#"&l"nares3 E%!lica e inter!reta los resultados otenidos ediante !rocediientos ateticos y

los contrasta con odelos estalecidos o situaciones reales

60 Conten"!os #on#e&tuales06010 Con#e&tos 'un!amentales3:ntegracin de 6racciones !arciales6040 Con#e&tos su*s"!"ar"os3 :ntegracin de 6racciones !arciales





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Inte2ra#")n &or 'ra##"ones &ar#"ales

'e llaa 6uncin racional a7uella cuyos trinos algeraicos+ tanto el nuerador coo eldenoinador+ son e%!resiones en donde la "ariale tiene solaente e%!onentes enteros y!ositi"os+ es decir no tienen literales con e%!onentes 6raccionarios.

'eaJI

JIJI

x,

x&xf =

es una 6uncin racional+ donde 5 y H son !olinoios

'i el grado de&

es enor al grado de,

+ entoncesJIxf

es una 6raccin racionalpropia; encaso contrario+ es impropia

BNC:ANR

9C:AN9L

impropia

En este caso+ se e6ecta una di"isin algeraica del nuerador entredenoinador. La e%!resin resultante da coo resultado la sua de un

!olinoio y de una 6uncin racional !ro!ia. Es decir+ el !rolea de integrar6unciones racionales se reduce a las racionales !ro!ias.

propia

En este ti!o de 6uncin racional+ se 6actoria el denoinadorJIx,

coo un!roducto de 6actores lineales o cuadrticos.

Las 6racciones racionales !ro!ias !ueden e%!resarse coo una sua de'ra##"ones &ar#"ales s"m&les+ cada una de las cuales se integra a!licando laintegracin inediata. El nero de 6racciones !arciales de!ende de lanaturalea de los 6actores lineales o cuadrticos. El nero de constantes !ordeterinar es igual al grado del denoinador.

5ara desco!oner una 6uncin racional en 6racciones racionales se tienen los siguientes casos=

Caso 10Todos los 6actores lineales del denoinador son distintos.Ee!lo

J1JI2I

23=otieneser ydenoinadoeliaos Cactor

2

23

23+

xxx

x

xxx

x

El resultado se e%!resa en 6racciones !arciales de la siguiente 6ora=

12J1JI2I

23

++

+=

+

x

C

x

-

x

+

xxx

x

Caso 40 lgunos 6actores lineales del denoinador se re!itenEe!lo

223J1I

1=otieneser ydenoinadoeliaos Cactor

2

1

+ xxxxx


?2


73/102

( )22

11J1I

1

+

+=

x

C

x

-

x

+

xx

Caso 50actores cuadrticos del denoinador distintos.

Ee!lo=J1I

1=

12

otieneser ydenoinadoelosCactoria3

++ xxxx


1J1I

1

22 +

++=

+ x

C-x

x

+

xx

Caso 60actores cuadrticos del denoinador re!etidos.

Ee!lo=( )22 3

otieneser ydenoinadoelaosCactori12

3

=

9

123

24

+

++

++

++

x

xx

xx

xx


22222

3

J3I3J3I

12

+

++

+

+=

+

++

x

.Cx

x

-+x

x

xx

E+em&lo3 Resuel(ela siguiente integral

++

dxxx

x

J2JI4I

2

Coo el denoinador est 6actoriado se !rocede adesco!oner en 6racciones !arciales este !roleacorres!onde al caso 1

24J2JI4I

2

++

+=

++

x

-

x

+

xx

x

'e !rocede a encontrar los "alores de y ( J4IJ2I2 +++= x-x+x

'e dan "alores a % de tal 6ora 7ue se eliine uno de los6actores

S" %H-4

22E424

J42IJ22I22

===

+++=

--

-+

S" %H-6

32E2

J44IJ24I24

===

+++=

++

-+

'e sustituyen los "alores en la 6raccin

2

2

4

3

+

+

+ xx

'e integra cada una de las 6racciones

Cxx

x

dx

x

dx

+++

+

+

2ln24ln3

2

2

4

3

A#t"("!a! 50En 6ora gru!al resuel"an los siguientes !roleas.

?3


74/102

1I

dxx

x

1

1$2

2I

dxxx

x 43

$2

=I

dxxxx

x

+32

3$3

4I

dxxx

x

132

-I

dxx

x

+4

12

3

,I

dxx

x 2J3I

'I

dxxxx

x

2

123

I

dxxx

x 43

$2

>I

22 axdx 10I

dx

xx

x

++

22

J2I

12411I

dx

xx

x

++

J4I

42

12I

dx

xxx

xx

++

34

311423

2

CIERRE

A#t"("!a! 6. 0esco!one en 6racciones !arciales.

1I

J1JI3I

2

+

+

xx

x

2I

2$1/

322 ++

+xx

x

=I

2J3JI1I

22

+xx

x

4I

J2JI1I

132 ++

xx

x

A#t"("!a! 80En 6ora indi"idual+ integra en cada caso utiliando el todo de 6racciones!arciales.

1I

++

dxxx

x

J2JI4I

2

2I

+++

dxxx

x

1/?

32

=I

++

dxxx

x

J3I

14I

dxxx

x

J?JI4I

122

-I

dxxx

xx +

+3$2

1/922

2

,I

dxxx

x

+3

2

2

'I

dxxx

x

+2J2I

2

I

dxx 1

14

A#t"("!a! :0 En e7ui!os deern in"estigar la a!licacin de las ateticas en la "idacotidiana+ cada e7ui!o e%!ondr su traao.

?4


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Se#uen#"a !"!/#t"#a No0 ;Inte2ra#")n &or &artes

10 Datos 2enerales31010 Nom*re !e la mater"a3&ateticas !licadas1040 Tema "nte2ra!or3La sociedad1050 Cate2or$a3orden y es!acio1060 7alores3 Res!eto+ orden+ res!onsailidad y traao colaorati"o1080 Ses"ones3 :

40 Pro&)s"to3!licar el todo de integracin !or !artes a tra"s de las 6rulas estalecidaselaorando di6erentes !roleas.


Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos ediante la




60 Conten"!os #on#e&tuales06010 Con#e&tos 'un!amentales3:ntegracin !or !artes6040 Con#e&tos su*s"!"ar"os3 :ntegracin !or !artes





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APERTURA

A#t"("!a! 10 0ada la siguiente integral dxxe

x2$

identi6ica sus eleentos:ntegrandoUUUUUUUUUUUUUU0i6erencialUUUUUUUUU

F'e !uede resol"er el integrandoGUUUUUU F!or 7uGUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU.F!arece 6unciones e%!onencialesGUUUUUUFCulGUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU.

Co!ara las res!uestas con tus co!a#eros y lleguen a una conclusin 6inal con la ayuda de tuaestro.

DESARROLLO


Inte2ra#")n &or &artesCuando 6racasa la integracin !or sustitucin+ se intenta una dole sustitucin+ conocida coointegracin !or !artes.

Este todo se asa en la integracin de la 6rula de la deri"ada del !roducto de dos6unciones. 'e usa !ara integrar un gran nero de integrales no inediatas 7ue se !lanteancoo 6unciones algeraicas+ logar,ticas y trigonotricas in"ersas.

'eaJIxu=

yJIxvv=

. Entonces

+ JIJIJIJI xu

dx

dyxvxv

dx

dyxu

dx

dy

y

ediante la integracin de aos ieros de esta ecuacin+ se otiene y en 6ora silicala integracin !or !artes de integrales inde6inidas=

= vduuvudv5rocediiento !ara integrar !or !artes=

1.-

0ada la integraludv

+ se seleccionanu

ydv

.

2.-La 6uncin

udee ser deri"ale y dv dee ser un trino 7ue se !ueda integrar

6cilente.

3.- En la 6rula de integracin !or !artes se sustituyen los datos otenidos del !aso anterior+

considerando 7uevdu

no dee ser s co!licada 7ueudv

.

En la integracin !or !artes+ se usa generalente !ara resol"er integrales en las 7ue elintegrando est 6orado !or !roductos yo cocientes de di"ersas 6unciones+ tales coo=

uncin algeraica con 6uncin algeraica. uncin algeraica con trascendente+ y

?


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uncin trascendente con 6uncin trascendente.

En este todo de integracin+ en ocasiones es necesario a!licar "arias "eces la integracin !or!artes+ es decir realiaos una iteracinde este !rocediiento.Pro#e!"m"ento3

1J :denti6ica de la integral 7uien es uy dv2J La 6uncin u dee ser deri"ale y dvtiene 7ue ser un trino 7ue se !ueda integrar

6cilente.

3J 'e sustituye los datos otenidos del !aso anterior+ considerando 7uevdu

nosea sco!licada 7ue la integral original.

Ee!los

1J Calcula la integral inde6inida en cada caso=

aJ

dxxex2$

dxdu

xu

==

x

x

x

ev

dxedv

dxedv

2

2

2

2

1

=otieneseintegrarl

=

=

=

'e sustituyen los datos en la 6rula y se integra=

( )

( )

Cexe

eex

dxeexdxxe

vduuvudv

xx

xx

xxx

+=

=

=

=

22

22

222

4

$

2

$

2

1

2

1

2

1$

2

1

2

1$$

J dxxx 2cos

dxdu

xu

==

xsenv

xdxdv

xdxdv

2

2

1

=otieneseintegrarl

2cos

2cos

=

=

=

??


78/102


( )

Cxxxsen

Cxxxsen

dxxsenxsenxxdxx

vduuvudv

++=

+

=

=

=

2cos4

1

2

2

2cos2

1

2

1

2

2

22

12

2

12cos

cJ dxxx ln2

dxx

du

xu

1

ln

=

=

3=otieneseintegrarl

3

2

2

xv

dxxdv

dxxdv

=

=

=


( )

( )

Cxxxxxx

dxxx

x

dxx

xx

xxdxx

vduuvudv

+

=

=

=

=

=

93

ln

33

1

3

ln

3

1

3ln

1

3

1

3lnln

3333

23

33

2

A#t"("!a! 50 Bsa la integracin !or !artes !ara realiar las integraciones indicadas

dxxx 1 dxxx 423 dxxxen J3I dxxxCos JI

dxxxCos J8I dxxx(en

2

dxxenx JI2 dxxCosx JI2

dxxe x2 dxxex dxex x32 dxex x22

dxex x3

dxxene x

J2I

2

dxxx JlnI dxxenex

JI

?8


79/102

dxxx 423 dxex x xdxx arctan xdxarctan

CIERRE0

A#t"("!a! 60Resuel"e las siguientes integrales

dxxe x32 dxxxe dxxx + 2

dxxxsen 23 dxxx $cos dxxxsen 4

xdxx 3cos2 dxxenx J2I2 dxxCosx J?I2

UNIDAD TRESSe#uen#"a !"!/#t"#a =

Sumator"as10 Datos 2enerales

1.1 Nore de la ateria= &ateticas !licadas1.2 Tea integrador= la "i"ienda1.3 Categor,a= Es!acio1.4 >alores= orden+ res!eto y traao colaorati"o1.$ 'esiones= $ )oras

2 Pro&)s"to30esarrollar la )ailidad del uso de las suatorias+ considerando las 6orulas7ue !ueden ser utiliadas en cada uno de los casos+ lo anterior con la realiacin de lasacti"idades designadas en el tea+ traaando de anera indi"idual+ e7ui!o y gru!al.

5 Com&eten#"as &or !esarrollar33.1 *enricas= Escuc)a+ inter!reta y eite ensaes !ertinentes en distintos conte%tos ediante la

utiliacin de edios+ cdigos y )erraientas a!ro!iados.

o E%!resa ideas y conce!tos ediante re!resentaciones ling@,sticas+ateticas o gr6icas.

3.2 0isci!linares orula y resuel"e !roleas ateticos+ a!licando di6erentes en6o7ues.

6 Conten"!os #on#e&tuales4.1 Conce!tos 6undaentales= !licacin de las integrales4.2 Conce!tos susidiarios= La notacin siga IVJ.

8 Conten"!os &ro#e!"mentales3!licar las di6erentes 6orulas de la suatoria !ara resol"er los !roleas 7ue se !lantean+

con la ayuda de co!a#eros y aestro.

?9


80/102

: Conten"!os a#t"tu!"nales30esarrollar cada una de las acti"idades 7ue sean encargadas !or el docente de aneraordenada+ traaando con la ayuda de los co!a#eros y res!etando las ideas 7ue cada uno!resente de los conociientos del tea.

? Pro!u#tos !e a&ren!" Momentos !e la se#uen#"a !"!/#t"#a

APERTURA

A#t"("!a! 1. Contestar las !reguntas 7ue a continuacin se !resentan+ las cuales se deenrealiar en la lireta y de anera indi"idual.

1. El s,olo V es una letra griega llaada Ksiga+ recuerdas Fdnde la utiliasteG2. FCul es el uso 7ue se le da a este s,oloG3. Realia el conteo de uno en uno de los neros del 1 al 1/

4. Realia el cont

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