República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Cabudare-Lara

Nombre: Luis Álvarez

Sección: Saia A

Prof: Domingo Méndez

Barquisimeto 12 de Septiembre del 2013

Trabajo de la Unidad 1

Sumatoria o Notación Sigma

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.

La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ,  y se representa así:

Expresión que se lee: "sumatoria de Xi,  donde i toma los valores desde 1 hasta n".

i es el valor inicial, llamado límite inferior.

n es el valor final, llamado límite superior.

Pero necesariamente debe cumplirse que:

i ≤ n

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:

                                                                        Ahora, veamos un ejemplo: Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

Pero también hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido.

Una anécdota aclaratoria

La historia relata que cuando Carl Friedrich Gauss tenía diez años su profesor de matemática le impuso al curso, como una

forma de mantenerlos ocupados por largo rato, el siguiente ejercicio:

Sumar todos los números desde el 1 hasta el 100, de este modo:

1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ……………….+ 98 + 99 + 100  =

Confiado en que los niños estarían ocupados durante mucho rato, el profesor se enfrascó en sus tareas de estudio, pero a los cinco minutos, el pequeño Gauss le entregó el resultado: 5.050.

Sorprendido, el profesor le pidió a Gauss que le explicara cómo lo hizo:

El pequeño se dio cuenta de que la suma del primer número con el último (1 + 100 = 101) da un resultado que se repite sumando todos los simétricos: 1 + 100 = 101;  2 + 99 = 101; 3 +  98 = 101; 4 + 97 = 101; etc., logrando establecer 50 sumas cuyo resultado es 101.

Entonces, hizo: 50 veces 101 es igual a 50 x 101 = 5.050

Este procedimiento nos conduce a la fórmula de la sumatoria de  n números consecutivos:

                                  Si aplicamos la fórmula al problema anterior, tendremos:

               Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, si se puede usar la fórmula:

Algunas fórmulas de la operación sumatoria

Fórmula para la suma de n números consecutivos (1+ 2 + 3 + 4 + 5 ……+ n); que acabamos de ver arriba.

 

Fórmula para la sumatoria de los cuadrados de n números consecutivos  (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ……….+ n2) :

 

Fórmula para  la sumatoria de los cubos de n números consecutivos (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73……..+ n3):

Áreas

Para calcular el área de una figura plana es necesario conocer algunas de sus características particulares.Por ejemplo, cuando se dice que el área de un triángulo es igual a :

es necesario conocer el significado de las palabras 'base' y 'altura'.

Por ejemplo, en el triángulo   de la figura, cualquier lado puede tomarse como base, y en relación a la base escogida, hay una altura, que es la perpendicular a la base, trazada desde el vértice opuesto:

Esto significa que muchos triángulos distintos a este triángulo   tienen igual área, por ejemplo, todos los que se generan en la figura de la izquierda.

Paralelogramos: 

Los rectángulos, así como los cuadrados, los rombos y romboides, son figuras geométricas que tienen cuatro lados (son cuadriláteros) y tienen sus lados paralelos dos a dos. Por eso, todos ellos se llaman paralelogramos.

Cada una de las estas figuras es un paralelogramo con características particulares. Se llaman diagonales de un paralelogramo a los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos.(Ver figura de la izquierda)  y   son las diagonales del rectángulo.

Algunas características de los distintos tipos de paralelogramos:Rectángulo: 

4 ángulos rectos y diagonales iguales, no necesariamente perpendiculares entre sí. Lados iguales dos a dos. 

  

 

Cuadrado: 4 ángulos rectos y diagonales iguales y perpendiculares entre sí. 4 lados iguales.

Rombo: ángulos opuestos iguales, diagonales perpendiculares y no necesariamente iguales. 4 lados iguales.

 Romboide: ángulos opuestos iguales, diagonales desiguales, no perpendiculares. Lados iguales dos

a dos.

  

Sabiendo calcular el área de un triángulo cualquiera, se puede calcular el área de un paralelogramo cualquiera, pues al trazar una de las diagonales, su área queda dividida en dos triángulos congruentes. 

Rectángulo:   es congruente a  . Por lo tanto:

área    área

área    área    área área

Como área    entonces,

   área    así,

área

En otras palabras, el área de un rectángulo es igual al producto de su lado menor por su lado mayor. 

Cuadrado:  es congruente a 

Propiedades de la Integral Definida

Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.

1)   donde c es una constante

2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las siguientes propiedades son verdaderas:

(Se pueden generalizar para más de dos funciones)

3) Si x está definida para x = a entonces      0

4) Si f es integrable en [a, b] entonces   

5) Propiedad de aditivita del intervalo: si f es integrable en los dos intervalos cerrados definidos por a, b y c

entonces 

Demostrando…

Conservación de Desigualdades

* Si f es integrable y no negativa en el intervalo cerrado

[a, b] entonces 

Demostración: Si f(x)  0 entonces  representa el área bajo la curva de f de modo que la interpretación geométrica de esta propiedad es sencillamente el área. (También se deduce directamente de la definición porque todas las cantidades son positivas).

* Si f y g son integrables en el intervalo cerrado [a, b] con

f(x)  g(x) para todo x en [a, b] entonces 

Demostración: Si f(x)  g(x) podemos asegurar que f(x)  g(x)  0 y le podemos aplicar la propiedad anterior y

por lo tanto . De aquí   0 y de

esta manera .

Supongamos que m y M son constantes tales que m  f(x)  M para a  x  b. Se dice que f está acotada arriba por M y acotada abajo por m, la gráfica queda entre la recta y = m y   la recta   y = M. Podemos enunciar el siguiente teorema:

* Si f es integrable y   m  f(x)  M   para   a  x  b

entonces     m (b  a)    M (b  a).

(La gráfica ilustra la propiedad cuando f(x)  0)

Si y  f(x) es continua y m y M son los valores mínimos y máximos de la misma en el intervalo [a, b] gráficamente esta propiedad indica que el área debajo de la gráfica de f es mayor que el área del rectángulo con altura m y menor que la del rectángulo con altura M.

En general dado que m  f(x)  M podemos asegurar, por la propiedad anterior que

.

Teorema del Valor Medio

El teorema del valor medio o de Lagrange dice que:

Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c   (a, b) tal que:

La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

Teorema del Valor Medio para Integrales

Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que

f(c)(b - a) = 

Demostración:

Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto.

Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que m £ f(x) £ M " x Î [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades. Aplicando propiedades:

m(b - a)   M(b - a)      entonces       

m   M.

Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el

valor   en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe algún c tal que

f(c) =  .

Interpretación gráfica del teorema para una función positiva:

rectángulo inscripto (área menor que la de la región)

rectángulo del valor medio (área igual que la de la

región)

rectángulo circunscripto (área mayor que la de la región)

El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo determinar c. Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. Permite una interpretación interesante para el caso en que f es no

negativa en [a, b]. En este caso   es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El teorema asegura que existe un valor c del intervalo al que está asociado f(c) que corresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base (b - a) y su área coincide con la de la región.

A =   = f(c)(b - a)

El valor de f(c) hallado según el teorema del valor medio para integrales coincide con el valor promedio o medio de una

función por eso a f(c) =   se lo llama valor medio de f en el intervalo [a, b].

Ejemplo: halle el valor promedio de f(x) = 3x2 - 2x en el intervalo [1, 4].

Calculamos:

fprom =  =   =  =   (64 - 16 -1 + 1) = 16

Sabemos que el área de la región es igual al área del rectángulo cuya altura es el valor promedio. Se puede observar gráficamente.

Método de integración por cambio de variables

El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si   es la variable original y   es una función invertible, se tiene:

Sustitución trigonométrica

   A menudo es posible hallar la antiderivada de una función cuando el integrando presenta expresiones de la forma:

Se elimina el radical haciendo la sustitución trigonométrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonométricas cuya integración nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cuál debe ser la sustitución:

Expresión en el integrando

Sustitución trigonométrica