POLINOMIOSValor numérico de una fracción algebraica:

Valor numérico de una fracción algebraica, para determinados valores de sus indeterminadas, es el número que resulta al sustituir estas por sus valores respectivos y realizar las operaciones indicadas. Cuando los dos términos de una fracción son polinomios en "X", el hecho de que se anulen para un valor determinado "A", significa que son divisibles por (X - A) y se puede simplificar la fracción descomponiendo sus dos términos en factores. El valor numérico de la fracción descomponiendo sus dos términos en factores. El valor numérico de la fracción equivalente obtenida se llama verdadero valor de la fracción dada.

Reducción de fracción algebraica a mínimo común denominador:

Reducir a mínimo común denominador dos o más fracciones algebraicas, es hallar otras fracciones equivalentes a las primeras que tengan como denominador común. (PASOS)

- Se reducen las fracciones lo más posible.

- Se halla el m.c.m de los denominadores, obteniendo así el denominador común.

- Para hallar el numerador de cada fracción, se divide el m.c.m por el denominador y se multiplica el cociente obtenido por el numerador correspondiente.

Trinomio cuadrado perfecto:

Un trinomio es un cuadrado perfecto cuando coincide con el desarrollo del cuadrado de un binomio, es decir:

- Dos de sus términos son cuadrados perfectos.

- El otro término, con signo más o menos, es el doble del producto de las bases de los cuadrados anteriores.

Binomio diferencia de cuadrados:

Un binomio formado por la sustracción de dos cuadrados perfectos, se puede expresar como una multiplicación de dos factores, uno de ellos puede expresar como una multiplicación de dos factores; uno de ellos es la suma de las bases de los cuadrados y el otro es su diferencia.

POLINOMIOS

Son el resultado de sumar monomios no semejantes. Cada monomio, cada sumando, es un término del polinomio.

Grado de un polinomio:

- Es el grado del término de mayor grado.

- El término de primer grado se llama término lineal.

- El término de grado cero se denomina término independiente.

Valor numérico de un polinomio:

Para hallar el valor numérico de un polinomio se sustituyen las indeterminadas por sus valores y se efectúan las operaciones indicadas.

Adición de polinomios:

Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre ambos el signo de la adición, y se reducen términos semejantes.

Sustracción de polinomios:

La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

Expresiones algebraicas:

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas.

- Monomio: es cualquier expresión algebraica cuyos elementos no están separados por los signos +, -.

- Monomios semejantes: Son expresiones monómicas que tienen las mismas letras y los mismos exponentes.

- Monomios iguales: Son monomios semejantes con coeficientes iguales.

- Monomios opuestos: Son monomios semejantes con coeficientes opuestos.

Operaciones con fracciones algebraicas:

- Adición y sustracción:

La suma y diferencia de dos fracciones que tengan el mismo denominador es otra fracción cuyo numerador es la suma o la diferencia de los numeradores y cuyo denominador es el denominador común.

- Multiplicación y división:

Se llama fracción producto a la fracción que tiene como numeradores y denominadores el producto de los denominadores de las fracciones dadas. Antes de efectuar una multiplicación de fracciones algebraicas conviene simplificar los factores dividiendo los numeradores y los denominadores por factores comunes.

- Potenciación y radicación:.

La potencia de una fracción algebraica es igual a la potencia del numerador partida por la del denominador. La raíz de una fracción algebraica es igual a la raíz del numerador por la raíz del denominador.

Matemática - PolinomiosResolver:

1) Clasificar las siguientes expresiones algebraicas

a) (5 - x ²)/3x

b) x³ + 2x - x1/2

c) y³/2 - 2xy/(x - 3)

d) 2.(x - 3) + 5yz ²x - x ²/4

e) [21/2 + (3x)1/3 - 41/4]/(x - y)

f) 4.x-1 + 3

2) Decir si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no.

a) 2x + 3x ² -1/2

b) 2x + 3x ² -1/x

c) 3x - 2(x + 4) ²

d) (3x - 4).x(-2/3) + 4

3) Determinar grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios, ordenarlos según las potencias decrecientes.

a) 4x³ - 1 + 3x ²

b) x5/2 + x6

c) -2x + 3x³ - 2x ²/3

d) -(x - 4)/3 + (4 - x + x³)/2

4) Hallar C(x) y R dividiendo P(x) y Q(x).

a) P(x) = x³ - x ² + 4 y Q(x) = - x³ - x + 1

b) P(x) = x4 + a4 y Q(x) = x ² + a ²

c) P(x) = 2y4/3 y Q(x) = y ² - y

d) P(x) = z³ - 2z ² - 1 + z y Q(x) = - z + 1

5) Hallar C(x) y R dividiendo P(x) y Q(x) por Ruffini.

a) P(x) = x4/2 + x ² - 1 y Q(x) = x - 2

b) P(x) = - x5 + x³ y Q(x) = x + 1/2

c) P(x) = - x + 3 - x³ - x5 y Q(x) = x + 2

d) P(x) = a.(x³ - a³) y Q(x) = x - a

e) P(x) = (x - 2)³ - 3(x - 2) y Q(x) = 3x - 1 + 2x)

f) P(x) = x4 - x y Q(x) = (3x - 1)/4

g) P(x) = 2x³ y Q(x) = - 3x + 2

6) Decir si P(x) es divisible por Q(x).

a) P(z) = 2z ² - z - 1 y Q(z) = z - 1

b) P(t) = t4 - a ²t ² + t + a y Q(t) = t + a

7) Simplificar

a) (4 ² - 1)/(2.x³ + x ²)

b) (4 - y ²)/(y ² - 2.y)

c) (z ² - z)/(1 - z ²)

d) (x³ - 8)/(2.x ² - 8.x + 8)

Matemática - Polinomios

1) Calcular el valor numérico de P(x) para los siguientes valores:

a) x = 1

b) x = -1

c) x = 2/3

d) x = -3

P(x) = x/2 - 3.x + 4.x ² - 5.x³ - 2.x4/3 + 5/4

2) Dados los polinomios:

P(x) = 4.x ² - x + 2

Q(x) = x³ + x - 1

R(x) = 2.x - 1

Hallar:

a) P(x) + Q(x)

b) P(x) + R(x)

c) Q(x).R(x)

d) P(x).Q(x)

e) P(x):R(x)

f) Q(x):R(x)

g) El resto de la división de P(x) por x - 1

h) P(-1)

i) P(-2) + [Q(-2)] ²

j) El grado de [P(x)]4

3) Dividir por Ruffini los siguientes polinomios:

a) P(x) = 3.x³ + 2.x ² - x - ½ Q(x) = x + 2

b) P(x) = x7 + x5 - x³ - x Q(x) = x - 1

c) P(x) = 64.x6 + 26 Q(x) = x - 1

4) Verificar los resultados de los ejercicios anteriores por el Teorema del Resto.

5) Dividir por Ruffini los siguientes polinomios:

a) P(x) = x4/2 + x ² - 1 Q(x) = x - 2

b) P(x) = -x5 + x³ Q(x) = x + 1/2

c) P(x) = -x + 3 - x³ - x5 Q(x) = x - 2

d) P(x) = a.(x³ + a ²) Q(x) = x - a

e) P(x) = (x - 2)³ - 3.(x - 2) Q(x) = 3.x - (1 + 2.x)

f) P(x) = 2.x³ + 3.x - 1 Q(x) = 2.x - 1

g) P(x) = x4 - x Q(x) = 3.x/4 - 1/4

h) P(x) = 2.x³ Q(x) = -3.x + 2

6) Determinar k, sabiendo que el resto de la división entre P(x) y Q(x) es 30.

P(x) = 3.x³ - k.x ² - + 2 Q(x) = x + 2

7) Decir si:

a) P(x) = 2.x ² - x - 1 es divisible por Q(x) = x - 2

b) P(x) = x4 - a ².x ² + x + a es divisible por Q(x) = x + a

8) Calcular k para que:

a) P(x) = x8 - k.x4 + 1 sea divisible por Q(x) = x + 1

b) P(x) = (-k.x + 4) ² sea divisible por Q(x) = x - k

c) P(x) = x4 - 3.x³ + k.x - 1 sea divisible por Q(x) = x + 2

d) P(x) = x4 - 2.x ² + 1 sea divisible por Q(x) = x - k

Matemática - Polinomios

1) Dividir aplicando regla de Ruffini:

a) (-2.x³ + x4 - 1):(x + 2) =

b) (a.x4 - a5):(x - a) =

c) [(1 + i).x4 - i.x³ + x - 9.(3 - i)]:(x + 3 - i) =

d) (3.x³ - 6.x + 1):(3.x - 9) =

e) (4.z³ + z ²):[z + (1 + i)] =

f) (i.x4 - 2.x ² + i):(x + i) =

g) (-a.x³ + a³.x - 1):(x - a) =

h) (3.x4 + x³/2 - 29.x ²/6 + 16.x/15 - 3/15):(x + 1/3) =

i) (x5 - 2.x³ - x ² + 3):(x - 3) =

j) (3.x8/2 - 7.x6/4 + 9.x4/4 + x - 3):(x - 1) =

k) (2.a4 + 11.a/2 + 3 - a ²/2):(a + 3/2) =

l) 3.x³ - 32.x ²/15 - 24.x/5 + 10):(x - 0,6) =

m) (3.y4 + 2.y³/5 - 27.y ²/25 + 9.y/10 + 1):(y + 0,2) =

2) Hallar el polinomio P(x) tal que:

a) P(x)/(x + a) = x³ - a.x ² + a ².x - a³

b) (x5 - 32)/P(x) = x4 + 2.x³ + 4.x ² + 8.x + 16

c) P(x)/(x + 3) = x³ - 3.x ² + 9.x - 27

d) P(x)/(x - 3) = x³ + 3.x ² + 9.x + 27

3) Dada la expresión:

S(x) = (x5 - x4 - 7.x³ + x ² + k.x)/(x ² - 1)

a) Hallar aplicando sucesivamente la regla de Ruffini el valor de k para que el cociente sea exacto.

b) Decir para que valores no esta definido S(x).

c) Factorear S(x).

4) Obtener las restantes raíces y factorear el polinomio: P(x) = x5 - 3.x4 - x³ + 11.x ² - 12.x + 4, sabiendo que 2 y -2 son raíces

Matemática - Polinomios

1) Sumar los siguientes polinomios:

2) Restar los siguientes polinomios:

3) Efectuar las siguientes multiplicaciones:

Matemática - Polinomios

1) Efectuar:

2) El número racional 7/5 puede escribirse como 1 + 2/5; del mismo modo la fracción racional (x + 3)/(x - 2) se puede escribir como 1 + 5/(x - 2). Hacer lo mismo con las siguientes expresiones:

a) (x + 8)/(x - 3)

b) (x ² - 8)/(x + 4)

c) (x ² - 5.x + 1)/(x + 3)

3) Escribir como suma de fracciones parciales las siguientes fracciones:

4) Clasificar las siguientes expresiones algebraicas, justificar cada respuesta:

5) Decir si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no, justificar:

a) 2.x + 3.x ² - 1/2

b) 2.x + 3.x ² - 1/x

c) 3.x - 2.(x + 4) ²

d) (3.x - 4).x-2/3 + 4

Matemática - Polinomios

1) Decir cuáles de la siguientes proposiciones son valederas, justificar la respuesta:

a) El opuesto de un polinomio es único.

b) Si a un polinomio le sumamos el polinomio nulo obtenemos su opuesto.

c) El polinomio nulo es neutro para el producto de polinomios.

d) El polinomio que es neutro para el producto no tiene grado.

e) x³ + 1/x + 3 es un polinomio de 3° grado.

f) Si a un polinomio le sumamos su opuesto obtenemos el polinomio nulo.

g) x-1 + x-2 + x4 no es un polinomio.

2) Determinar lo valores de a, b, c y d sabiendo que>:

a) 3 + 4.x + 5.x ² + 7.x³ = a + (a + b).x + (b - c).x ² + d.x³

b) i.x ² + (1 + i).x + 2 = a.(x ² + x + 1) + b.(x - 1).(x - 2) + c.x.(x - 1)

c) 9.x ² - 16.x + 4 = a.(x -1).(x - 2) + b.x.(x - 2) + c.x.(x - 1)

d) x + 2 = a.(x ² + x + 1) + (b.x + c).(x + 1)

3) Dado:

a) P(x) = a - (2.a - 4).x ² + 3.a.x

Calcular a para que la función sea afín.

b) Si Q(x) = (2.a + b).x ² - (1 - 2.b).x + (b - a)/2

Calcular a y b para que Q(x) sea una función constante.

4) Determinar el valor numérico de los siguientes polinomios:

a) P(x) = x4 + 4.x ² - 2; para x = 2

b) P(x) = i.x³ + (1 - i).x ² - i; para x = 1 + i

c) P(x) = 2.x4 - 4.x³ - 7.x ² - 14; para x = 1 + √3

d) P(x) = x³ - 3.x ² + 3.x - 3; para x = 1 + ³√2

e) P(x;y) = (x ² - y ²)/(x + y) + (x³ - y)/(x - y) + x/y; para x = 1/2 e y = -2/3

5) Determinar el valor de a, si P(x) = a.x³ + 4 y P(-1) = 8.

6) Dado P(x) hallar c para que P(c) = 0:

a) P(x) = 2.x - 3

b) P(x) = x ² - 4

c) P(x) = (x - 2).(x + 2).(2.x - 3)

7) Dados los polinomios:

R(x) = 2.x³/3 - 3.x ²/2 + 1

Q(x) = x ² - 1/6

Hallar:

a) R(2) + Q(3) =

b) R(0) - Q(1) =

c) R(-1) - Q(-1) =

Matemática - Polinomios

1) Para cada uno de los siguientes polinomios completar la tabla y representar graficamente:

a) P(x) = 3.x - 1

x -1 0 1/3 1 2 3

P(x) =

b) P(x) = 2.x ² - 1

x -1 0 1/2 1 1,5 2

P(x) =

c) P(x) =x³ + 1

x -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

P(x) =

2) Encontrar a y b para que los siguientes polinomios tengan una raíz con los valores indicados:

a) a.x4 + a.x ² - x - 1 en x = 1

b) a.x5 + 3.x³ - b.x ² + 1 en x = -1 y x = 1/2

3) Calcular a, b y c tales que 2.x -1 = a.(x ² + x + 3) +b.(x ² - 2.x +1) + c.(x ² - 3)

4) Determinar los números reales a tales que los polinomios:

P(x) = (x - a) ².(x + 1) y Q(x) = x4 - a ².x ² + 2.x + 5

tengan por lo menos una raíz común.

5) Hallar el valor de a para que el polinomio:

P(x) = a.(x + 1)4.(x - 1)6.(x - 3) ²

al ser dividido por x - 2 de resto 9.

6) Factorear:

a) x ² - x.y - 6.y ²

b) b5.m + b ²m - b³.m - 1

c) a ² - x ² + 2.a + 1

7) Efectuar las siguientes operaciones:

8) Hallar a y b para que las expresiones x4 + 1 y (x ² + a.x + b).(x ² - a.x + b)

sean iguales.

Matemática - Polinomios

1) Determinar a, b, c y d para que la expresión:

a(x + c)³ + b(x + d)

sea idéntica al polinomio:

P(x) = x3 + 6.x ² +15.x + 14

Deducir el resultado de las raíces de P(x).

2) Hallar las restantes raíces de los siguientes polinomios y factorearlos:

a) x³ + x ² - 14.x - 24 sabiendo que: -3 es raíz.

b) x4 + 3.x³ - 3.x ² - 11.x - 6 sabiendo que: -1 es raíz doble.

3) Hallar el polinomio de grado mínimo que tiene por raíz triple a -5, por raíz doble a 1, por raíz simple a 2, que es divisible por (x + 1) y tal que P(0) = 25

4) Dados:

P(x) = x5 + a.x4 + 3.x ² - 8.x + b y Q(x) = x³ - 6.x + 2,

hallar los números reales a y b de tal forma que - 1 sea raíz del cociente y del resto de la división de P(x) por Q(x).

5) Determinar a de modo que al dividir P(x) = 2.x15 - a.x13 + 5.x8 + 2.a.x4 - 6 por x + 1, el resto sea igual a 2.

6) Al dividir P(x) por (x - 2) se obtiene de resto 3, si se lo divide por (x + 1) el resto es -8, ¿qué resto se obtendrá al dividirlo por Q(x) = (x - 2).(x + 1)?.

7) Determinar si el polinomio:

P(x) = 2.x17 + 4.x4 + x - 1

es divisible por:

a) x + 1

b) x - 1

c) x ² - 1

8) Determinar los valores de a y b que satisfacen la ecuación:

(5.x + 1)/(x ² + x - 6) = a/(x + 3) + b/(x - 2)

9) Factorear:

a) x4 - 7

b) x ² - y ² + 2.y - 1

c) (x + 1)4 - (x - 1) ²

d) (x/y)6 - (x/y)3

e) P(x) = x4 + 2.x³ - 2.x - 1, sabiendo que P(-1) = 0

f) (x ² + x).(x ² + x + 1/4) + (x + 1/2) ².(x ² - 1)

10) Racionalizar el denominador de las siguientes expresiones y simplificar si es posible:

Matemática - FuncionesAutor: HUGO DAVID GIMENEZ AYALA

Intervalo - Desigualdad - Representación gráfica

- Escribir en lenguaje de conjunto los siguientes intervalos:

1) ] -∞, 3 [ = {x / -∞ < x < 3; x R}.

2) ] -8, 0 ] =

3) [ -5, 0 [ =

4) [ - 4, ½ ] =

5) ] -3, 5 [ =

6) [ -2, 1 ] =

7) [ -2, 3 [ =

8) ] -2, 5 ] =

9) ] -2, 7 [ =

10) ] -1, 5 ] =

11) [ 0, ∞ [=

12) [ ¼, 2 [ =

13) [ ¼, 5 ] =

14) ] ½, 5 [ =

15) [ 3, 6 [ =

16) ] 4, 8 [ =

- Representa en la recta real los siguientes intervalos:

1) ] -∞, 2 ] =

2) ] -7, 1 ] =

3) [ -3, 2 ] =

4) [ -3, 0 ] =

5) ] -2, 1 ] =

6) ] -2, 7/2 ] =

7) ] -2, 5 [ =

8) ] -1, 5 [ =

9) [ 0, 6 [ =

10) [ ¼, 4 ] =

11) ] 1, 6 [ =

12) [ 2, 8 ] =

13) [ 3, 7 ] =

14) ] 4, 9 ] =

15) ] 5, 7 ] =

16) [ 6, 10 ] =

- Usando la notación de conjunto; escribir los siguientes intervalos que están representados en la recta real:

- Usando la notación de intervalos; escribir los siguientes intervalos que están en lenguaje de conjunto:

1) {x / - 6 ≤ x < 8; x R} = [- 6, 8 [.

2) {x / - 4 ≤ x < 0; x R} =

3) {x / - 4 ≤ x < ½; x R} =

4) {x / - 4 ≤ x ≤ 7; x R} =

5) {x / -3 < x < 1; x R} =

6) {x / -2 ≤ x ≤ 2; x R} =

7) {x / -2 ≤ x ≤ 4; x R} =

8) {x / 0 < x ≤ 4; x R} =

9) {x / 0 < x ≤ 5; x R} =

10) {x / ¼ ≤ x < 1; x R} =

11) {x / 2/5 ≤ x ≤ 3/2 ; x R} =

12) {x / ½ ≤ x < 3; x R} =

13) {x / 3/5 ≤ x ≤ 7/2 ; x R} =

14) {x / 3/5 ≤ x < 7; x R} =

15) {x / 2 < x < 5; x R} =

16) {x / 3 < x < 7; x R} =- Usando la notación de intervalos; escribir los siguientes intervalos que están representados en la recta real:

- Resolver las siguientes inecuaciones indicadas:1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)

2 x ≥ - 414 x ≤ 2 x - 9

x + 1 ≤ 5x + 2 < 5

2 x + 1 < 92 x + 4 > 03 x - 2 ≤ 5

3 x - 2 ≤ 135 x - 2 ≤ 05 x - 3 ≤ 21 - x ≤ 5

Resultado: x ≥ -2.Resultado: x ≤ - ¾.Resultado: x ≤ 4.Resultado: x < 3.Resultado: x < 4.Resultado: x > -2.

Resultado: x ≤ 7/3 .Resultado: x ≤ 5.

Resultado: x ≤ 2/5 .Resultado: x ≤ 1.

Resultado: x ≥ - 4.

12)13)14)15)16)17)18)19)20)21)22)

5 - 3 x ≥ -13 x - 7 ≤ 3/22.x/5 - 1 ≤ 2x/2 - 3/2 < 0x/2 - 3 ≤ 5

2 x - 1 ≥ x + 33 x + 7 ≥ 2 x - 34 x - 5 > 7 x - 3

5 x - 12 > 3 x - 42 x - 5/3 > x/3 + 10

3 x - 4 + x/4 < 5.x/2 + 2

Resultado: x ≤ 2.Resultado: x ≤ 17/6.Resultado: x ≤ 15/2 .

Resultado: x < 3.Resultado: x ≤ 16.Resultado: x ≥ 4.

Resultado: x ≥ -10.Resultado: x < - 2/3.

Resultado: x > 4.Resultado: x > 7.Resultado: x < 8.

23) (5 - 2.x)/7 ≤ 3/2 Resultado: x ≥ - 11/4 .

24) (11 - 5.x)/2 > (3.x - 5)/4 Resultado: x < 27/13 .

25) (2.x + 1)/(3.x - 1) > (2.x + 5)/(3.x + 2) Resultado: x < 7/6 .

26) 1/(3.x - 7) ≥ 4/(3 - 2.x) Resultado: x ≤ 31/14 .

27) (x + 3)/3 - 4/(x + 2) > x/3 Resultado: x > 2.

28)29)

(x + 2).(x + 1) + 26 < (x + 4).(x + 5)(x - 1) ² - 7 > (x - 2) ²

Resultado: x > 4/3.Resultado: x > 5.

- Resolver las siguientes Inecuaciones indicadas con Valor Absoluto1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)

|x | < 1|x | > 2|x | < 3|x | < 4|x | ≤ 4|3 x | ≤ 12|x/14 | ≤ 1/6|x/4 | ≤ 3/2|2.x/7| ≤ 8|x - 1 |< 3

Resultado: -1 < x < 1.Resultado: -2 > x > 2.Resultado: -3 < x < 3.Resultado: - 4 < x < 4.Resultado: - 4 ≤ x ≤ 4.Resultado: - 4 ≤ x ≤ 4.Resultado: - 7/3 ≤ x ≤ 7/3.Resultado: - 6 ≤ x ≤ 6.Resultado: -28 ≤ x ≤ 28.Resultado: -2 < x < 4.

11)12)13)14)15)16)17)18)19)

|x + 2 | ≤ 5|x - 2 | ≤ 5|x - 2 | ≥ 5|x - 3 | ≤ 3|x - 4 | < 10|x + 5 | < 4|2 x - 1 | < 11|2 x - 5 | < 7|2 x + 5 | < 7

Resultado: -7 ≤ x ≤ 3.Resultado: -3 ≤ x ≤ 7.Resultado: -3 ≥ x ≥ 7.Resultado: 0 ≤ x ≤ 6.Resultado: - 6 < x < 14.Resultado: - 9 < x < -1.Resultado: - 5 < x < 6.Resultado: -1 < x < 6.Resultado: - 6 < x < 1.

20) |3 x - 1 | ≤ 1 Resultado: 0 ≤ x ≤ 2/3 .

21)22)23)24)25)26)27)28)29)

|3 x - 9 | < 9|3 x - 9 | > 12|5 x - 4 |< 6|5 x - 4 | ≤ 3/2|8.x - (5.x - 4)| < 6|8.x - (3.x - 4)| ≤ 6|2 - x | ≥ 6|3 - x | < 1|6 - 4 x | ≤ 8

Resultado: 0 < x < 6.Resultado: -1 > x > 7.Resultado: - 2/5 < x < 2.Resultado: ½ ≤ x ≤ 11/10.Resultado: - 10/3 < x < 2/3.Resultado: -2 ≤ x ≤ 2/5.Resultado: 8 ≤ x ≤ - 4.Resultado: 4 > x > 2.Resultado: 7/2 ≥ x ≥ - ½.

30) |x/2 - 2| ≤ 3 Resultado: -2 ≤ x ≤ 10.

31) |x/2 + 5| ≤ 2/3 Resultado: - 34/3 ≤ x ≤ - 26/3 .

32) |(5.x + 2)/(x - 2)| < 5/3 Resultado: 1/5 < x < - 8/5.Matemática - Factoreo

Autor: HUGO DAVID GIMENEZ AYALAFactorización

Definición: Factorizar o factorear una expresión algebraica es convertirlo o descomponerlo en un producto de expresiones algebraicas más simples.

Así, se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre sí dan como producto la 1ra expresión.

Ejemplos: I) 6x ² - 5x - 6 = (2x - 3) (3x + 2)

II) m4 - n4 = (m ² + n ²) (m + n) (m - n)

III) a5 - x5 = (a - x) (a4 + a³x + a ²x ² + ax³ + x4)

IV) a5 + b5 = (a + b) (a4 - a³b + a ²b ² - ab³ + b4)

V) a4 - b4 = (a + b) (a³ - a ²b + ab ² - b³)

· 7 mo Caso : Trinomio de la forma ax ² + bx + c.

Es aquel trinomio cuyo 1er término tiene un coeficiente distinto de 1.

Ejemplos:

Ejercicios de aplicación.

1) 2x ² + 3x - 2

2) 2y ² + 29y + 90

3) 2m ² + 11m + 5

4) 2a ² + a - 3

5) 2n ² + 5n + 2

6) 2a ² - 7a + 3

7) 3x ² - 5x - 2

8) 3a ² + 7a - 6

9) 3x ² - 7x - 10

10) 3y ² + 9y + 6

11) 3a ² - 13a - 30

12) 4a ² + 15a + 9

13) 4m ² + m - 33

14) 5y ² - 2y - 7

15) 5x ² + 13x - 6

16) 6n ² - 7n - 3

17) 6x ² + 7x + 2

18) 6a ² - 5a - 6

19) 7y ² - 23y + 6

20) 7x ² - 44x - 35

21) 8a ² - 14a - 15

22) 9n ² + 10n + 1

23) 9y ² - 21y + 12

24) 9x ² + 37x + 4

25) 10a ² + 11a + 3

26) 10m ² - m - 2

27) 10x ² + 7x - 12

28) 12m ² - 13m - 35

29) 12x ² - x - 6

30) 12x ² - 7x - 12

31) 14m ² - 31m - 10

32) 15n ² + n - 6

33) 15m ² + 16m - 15

34) 15a ² - 8a - 12

35) 15b ² - 16b + 4

36) 18a ² - 13a - 5

37) 20x ² + 7x - 6

38) 20y ² + y - 1

39) 20m ² + 44m - 15

40) 20n ² - 9n - 20

41) 20a ² - 7a - 40

42) 21x ² + 11x - 2

43) 30m ² + 13m - 10

44) 6x4 + 5x ² - 6

45) 7y4 - 33y ² - 10

46) 8n4 - 2n ² - 15

47) 10m4 - 23m ² - 5

48) 12a4 - 19a ² - 18

49) 14m4 - 45m ² - 14

50) 15x4 - 11x ² - 12

51) 15a4 - 17a ² - 4

52) 2a6 + 5a³ - 12

53) 5x6 + 4x³ - 12

54) 7m6 - 33m ³ - 10

55) 2a ² + ab - 3b ²

56) 4m ² - 20mn + 9n ²

57) 4x ² - 11xy + 6y ²

58) 5a ² - 2ab - 7b ²

59) 6a ² + 13ab + 6b ²

60) 6x ² - 11ax - 10a ²

61) 6m ² - 13am - 15a ²

62) 6a ² - ax - 15x ²

63) 9x ² + 6xy - 8y ²

64) 15m ² - am - 2a ²

65) 18a ² + 17ay - 15y ²

66) 20a ² - 27ab + 9b ²

67) 21x ² - 29xy - 72y ²

68) 30a ² - 13ab - 3b ²

69) 30m ² + 17am - 21a ²

70) 4a4 - 10a ²b + 6b ²

71) 4x4 - 12x ²y + 5 y ²

72) 4a4 - 20a ²b + 9 b ²

73) 6m4 + 13m ²n + 6n ²

74) 9x4 + 6x ²y - 8y ²

75) 15m4 - am ² - 2a ²

76) 12x ² - 19xy ² - 18y4

· 8 vo Caso : Suma o Diferencia de potencias de igual grado con exponente par o impar.

a) Suma de potencias de igual grado con exponente par.

No se puede factorear ; pues la suma de potencias de igual grado de exponente par nunca es divisible ni por la suma ni por la diferencia de sus bases.

Ejemplos:

b) Suma de potencias de igual grado con exponente impar.

En éste caso; la suma de potencias de igual grado de exponente impar únicamente es divisible por la suma de sus bases.

Ejemplos:

Ejercicios de aplicación.

1) a³ + 1

2) x³ + 1

3) y³ + 1

4) a³b³x³ + 1

5) a³ + 8

6) m ³ + 27

7) x³ + 125

8) n³ + 1.000

9) m ³ + 8a³x³

10) x³ + y³

11) 8a³ + b³

12) 27m ³ + n³

13) 8x³ + 27y³

14) 8a³ + 125b³

15) 27m ³ + 8n³

16) 343 + 8a³

17) 1 + a³

18) 1 + m ³

19) 1 + 216b³

20) 1 + 343n³

21) a5 + 1

22) a5 + 243

23) x5 + 32

24) m5 + 32

25) b5 + 1/32

26) a5 + 32b5

27) a5 + b5c5

28) a5 + b5

29) a5 + x5

30) b5 + y5

31) m5 + n5

32) x5 + m5

33) x5 + y5

34) 32x5 + 1

35) 1 + 243 y5

36) a7 + 1

37) b7 + 1

38) n7 + 128

39) y7 + 2.187

40) a7 + b7

41) m7 + n7

42) x7 + y7

43) 1 + b7

44) 1 + x7

45) 1 + 128a7

c) Diferencia de potencias de igual grado con exponente par.

En éste caso; la diferencia de potencias de igual grado de exponente par es divisible por la suma y por la diferencia de sus bases. También se puede factorear como diferencia de

cuadrados (el más usado).

Ejemplos:

Ejercicios de aplicación.

1) a4 - 1

2) n4 - 81

3) b4 - 625

4) a4 - b4c4

5) x4 - y4

6) m4 - n4

7) a4x4 - m4

8) x4 - 16m4n4

9) 16m4 - 81n4

10) 81x4 - 16y4

11) 625 - n4

12) a6 - 1

13) m6 - 64

14) x6 - 729

15) b6 - 729

16) x6 - a6y6

17) a6 - b6

18) x6 - y6

19) 729a6 - 1

20) 1 - a6b6

21) 64 - x6

22) a8 - b8

23) m8 - n8

24) x8 - y8

25) 1 - a8

26) 256 - y8

d) Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar.

En éste caso; la diferencia de potencias de igual grado de exponente impar únicamente es divisible por la diferencia de sus bases.

Ejemplos:

Ejercicios de aplicación.

1) a³ - 1

2) y³ - 1

3) a³ - 8

4) x³ - 27

5) b³ - 64

6) x³ - 216

7) a³ - 125

8) b³ - 8a³

9) a³ - b³

10) m ³ - n³

11) x³ - y³

12) m ³ - 8n³

13) 8x³ - 1

14) 8m ³ - 1

15) 27a³ - 1

16) 1.000y³ - 1

17) 8x³ - 125

18) 64a³ - 729

19) 27a³ - b³

20) 27m ³ - n³

21) 8m ³ - 27n³

22) 1 - b³

23) 1 - m ³

24) 1 - 8x³

25) 1 - 27a³b³

26) 1 - 216m ³

27) a5 - 1

28) m5 - 32n5

29) a5 - b5

30) a5 - x5

31) a5 - 243b5

32) 32m5 - 1

33) 1 - x5

34) 1 - 32y5

35) 32 - m5

36) 243 - 32b5

37) a7 - 1

38) b7 - 1

39) x7 - 1

40) n7 - 128

41) y7 - 2.187

42) a7 - b7

43) m7 - n7

44) x7 - y7

45) m7 - a7x7

46) a7 - 128b7

47) 1 - n7

48) 1 - y7

49) 1 - 128a7

Matemática - Ecuaciones

NORMAS GENERALISIMAS PARA EFECTUAR, COMO DIOS MANDA, LAS

ECUACIONES

Veamos primero algunos conceptos útiles:

Una ecuación es una igualdad. Lo que tenemos que hallar es el valor de la incógnita -puede estar representada por la letra x o por otra cualquiera- para que se cumpla esa igualdad. Por lo tanto es imprescindible que exista el símbolo "=".

En la ecuación tenemos que hacer las operaciones necesarias para mantener siempre la igualdad original, no podemos, por comodidad, no hacer caso de alguno de los pasos.

Cuando ponemos 3x significa "tres veces el valor de la "incógnita" o sea "3 por x". No pierdas de vista que si ponemos sólo x significa, como es lógico "1 por x"

Las operaciones están indicadas por los signos de sumar, restar, multiplicar o dividir. Ya sabes que siempre hay que empezar haciendo las multiplicaciones o las divisiones antes que las sumas o las restas.

Los términos de la ecuación van siempre separados por los signos + ó -. Irán variando su número según las operaciones que hagamos.

Vamos a empezar. No hay nada mejor que tomar una de las ecuaciones que te resulten más complicadas. Así verás que es muy fácil.

Resolver:

- 1r paso: Efectuar las operaciones indicadas.

Las únicas operaciones que podemos hacer son los productos indicados en los numeradores de las fracciones. Ten en cuenta que en esta ecuación hay 6 términos.

En el primer término de esta ecuación el 3 multiplica a todo el paréntesis, por lo que tendremos que aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Y lo mismo haremos con el primer término del segundo miembro de la igualdad.

Quedará:

- 2° paso: Quitar denominadores: (si los hay)

1.- Si hay algún término que no tenga denominador se sitúa el denominador 1.2.- Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.

- Si se tiene vista se pone.

- Si se es miope:

- se descomponen los denominadores en factores primos.

- se toman los factores comunes y no comunes afectados con el mayor exponente.

3.- Se ponen tantas rayitas de fracción como tengamos en el paso 2-1 y se coloca como denominador el mínimo común múltiplo hallado en el apartado anterior.

4.- Se multiplica cada numerador por el mismo número que el que hemos tenido que multiplicar su denominador para encontrar el denominador común. Es conveniente dejar las multiplicaciones indicadas.

5.- Se quitan los denominadores.

Veámoslo paso por paso:

Paso 2-1.

... a que no es difícil

Paso 2-2.

Hallar el mcm de 2, 4, 6 y 12.... como supongo que no eres miope verás que es 12

Paso 2-3. ... poner rayitas..

Paso 2-4. Fíjate bien en este paso: para que la primera fracción sea igual que la de arriba te das cuenta que el denominador ha pasado de ser 2 a ser 12. O sea que lo hemos multiplicado por 6. Para que la fracción que escribas sea la misma que la de arriba has de multiplicar el numerador por el mismo numerito que en el denominador... recuerda que para que una fracción no varía si se multiplica por el mismo número arriba - el numerador- y abajo - el denominador-.

Como ves en las dos partes de la igualdad tenemos todo dividido por un mismo número.

Aplicamos la propiedad uniforme de la multiplicación que dice que si a las dos partes de una igualdad se le multiplica por un mismo numero la igualdad no varía,

¿ Qué te parece si multiplicamos ahora todo por 12? ... se irán los denominadores...

Por supuesto que en cada ecuación el denominador será distinto... por lo que en realidad no tendremos nunca que multiplicar por ese dichoso numerito... bastará quitar el denominador.

Por lo que quedará:

6.(15.x - 24) - 3.(8 - 5.x) - 12.x = 2.(2.x - 8) - 12 + (x - 7)

Como ves hemos eliminado el 1 que multiplicaba al último paréntesis. Ya sabes que todo multiplicado por 1 queda lo mismo... pero fíjate que hemos mantenido el paréntesis.

- 3r paso: Quitar paréntesis: (si los hay)

1.- Se efectúan las operaciones indicadas.

LOS RESULTADOS SE MANTIENEN ENTRE PARENTESIS.2.- Se quitan los paréntesis teniendo en cuenta si van precedidos del signo + o del signo -.

- Si van precedidos del signo +: se quitan los paréntesis y ya está.

- Si van precedidos del signo -: se cambian todos los signos de dentro del paréntesis.

- El orden para quitar paréntesis es, si los hay:

1°. (...)2°. [...]3°. {...}

Veámoslo por pasos:

3-1. Tenemos que volver a aplicar la propiedad distributiva:

(90.x - 144) - (24 - 15.x) - 12.x = (4.x - 16) - 12 + (x - 7)

3-2. Todo el mundo se equivoca aquí.

Fíjate: si tienes un paréntesis con un signo + delante significará que todo eso que está dentro se tiene que añadir; y si lleva signo - se deberá quitar. ¿Has pensado que si tienes - 9 pesetas en realidad debes 9 pesetas? Y ¿qué pasa si te quitan la deuda de 9 pesetas?... pues que has ganado 9 pesetas... En matemáticas esto último se escribe así - (-9x) = + 9x

El primer paréntesis y el que está a la derecha del signo = no llevan signo. ¿Que hacer? No te preocupes: en el lenguaje matemático si no llevan delante ningún signo se supone que llevan el +.

Pero ¿y dentro del paréntesis? ¿qué signo tienen el 90x del primer paréntesis o el 24 del segundo?... pues aplicamos lo de antes: llevan signo +. Ten en cuenta que los signos que van delante de los paréntesis afectan sólo al paréntesis y no a los primeros términos que están dentro de ellos.

Por lo que queda:

90.x - 144 - 24 + 15.x - 12.x = 4.x - 16 - 12 + x - 7- 4° paso: Transposición de términos semejantes:

- Se ponen a un lado del signo igual (=) todos los términos que tenga incógnita (x), y al otro lado todos los términos independientes (que no tengan incógnita).

- Nótese que si un término cambia de lateralidad cambia de signo.

Vamos a aplicar ahora la propiedad uniforme de la suma que dice que si a los dos miembros de una igualdad se le suma o se le resta un mismo número la igualdad no varía.

90.x - 15.x - 12.x - 4.x - x = 144 + 24 - 16 - 12 - 7- 5° paso: Reducción de términos semejantes:

- Si se tiene la suficiente habilidad se efectúan las operaciones indicadas a cada lado del signo =.

- Si no se está seguro (caso de lo más frecuente), a cada lado del signo igual se opera de la siguiente forma:

- Sumamos todos los términos precedidos de +.- Sumamos todos los términos precedidos de _.

- Restamos como podamos las dos sumas anteriores.- Ponemos delante el signo de la suma de mayor valor absoluto.

- Hacemos votos para no equivocarnos en esta tontería.

En realidad lo que volver a aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación al revés, es decir, sacamos factor común...

88.x = 133

Deberíamos haber hecho:

x.(90 + 15 - 12 - 4 - 1) = 144 + 24 - 16 - 12 - 7

... pero es un peñazo... mejor hacerlo directamente ¿no crees?- 6° paso: Despejamos la incógnita:

- Despejar la incógnita consiste en dejarla sola y con signo +.

Para ello: el número que acompaña a la incógnita lo pasamos dividiendo (como denominador) a la otra parte del signo =.

- Se reduce al máximo la fracción resultante.- Se pone una vela a un Santo de vuestra devoción para suplicar no haberse

equivocado.- Se convence uno que lo mejor es seguir el refrán "A Dios rogando y con el mazo dando", lo cual quiere decir que hay que hacer 25.308 ecuaciones por lo menos

para conseguir una perfecta maña.

x = 133/88

Y un detalle: cuando te encuentres con otra ecuación más sencilla que la que hemos resuelto sólo tienes que empezar en el paso en el que el ejemplo sea parecida a la tuya...

BUENA SUERTE

A M E N

Matemática - Ecuaciones

1) ¿Cuál debe ser el valor del coeficiente a, si se sabe que el valor de la función y = a.x ² para x = 1 es igual a 2?.

Respuesta: a = 2

2) Dada la ecuación 18.x ² - 12.k.x + (6.k - 2) = 0, determinar el valor de k para que:

a) Sus raíces sean iguales.

b) Sus raíces sean opuestas.

c) Sus raíces sean recíprocas.

d) Una de sus raíces sea nula.

Respuesta: a) k = 233/89 o 34/89

b) k = 0

c) k = 10/3

d) k = 1/3

3) Factorear:

a) y = 2.x ² - x - 1

b) y = 5.x ² + 3.x - 2

c) y = x ² - 2.x + 1

d) y = 4.x ² + 16.x + 15

Respuesta: a) (x - 1).(x + ½)

b) (x + 1).(x - 2/5)

c) (x - 1) ²

d) (x + 3/2).(x + 5/2)

4) Obtener las ecuaciones cuyas raíces son:

a) x1 = 1/3 y x2 = -3/2

b) x1 = -1/2 + 2.i y x2 = -1/2 - 2.i

c) x1 = 0 y x2 = -4/3

Respuesta: a) y = x ² + 7.x/6 - 1/2

b) y = x ² + x + 17/4

c) y = x ² + 4.x/3

5) Resolver los siguientes sistemas:

a) y = x ² + 4.x

3.x + 2 = y

b) (x + 5) ² = y + 2

y = 3.x + 13

Respuesta: a) P1 (1; 5) y P2 (-2; -4)

b) P1 (-2; 7) y P2 (-5; 2)

6) Resolver y graficar las siguientes desigualdades:

a) 2.x ² - 5.x - 3 > 0

b) 5.x ² - 8.x + 3 < 2.x ² + 3.x + 7

c) 8.x - 3 ≥ x ² + 4

7) |x ² - 5 |³ 4

Matemática - EcuacionesResolver:

1 -2 -3 - 4 -5 - 6 -7 - 8 -

3.x + 1 = (2.x/3 - 5/6).62.(x + 3.x ²/2 - 1) = 3.(x ² - 1)8 - 3.x + 25.x ² = (1 - 5.x) ²

(x - 1,5) ² = (x + 1).(x - 3,.5) - 0,25(2.x + 5) ² = (-3 + 2.x) ²(x + 5)³ - x³ - 15.x ² = 50

(3.x - 1)/4 + 1 = (x - 2)/5 + (x - 1)/23.x/5 - 1 + 3.x/2 = -0,9.x + 5

10 -11 -12 - 13 -14 - 15 -16 - 17 -

x/2 - (x - 3)/5 = (x + 3)/2 + x/5(x - 1) ²/6 - [(x ²/2) - 1]/3 = 0

(x - 3)/2 - 3.(x - 1)/4 = 1/2 + x5/x + 2/x ² - 1/(2.x) + 4/(5.x) = 0

x - (3/2 - x)/x = x - 8(2 - x)/(2 + x) = (2 + x)/(2 - x)

x/(x + 1/2) - (x - 1/2)/3 = (5 - 2.x)/61/(x + 1) - 3.x/(x ² - 1) = 2/(x - 1)

9 - x/5 - 3.x/2 + (5.x ² - 3)/10 = (2.x ² - 1)/418 - 2/(x³ - x ² + x - 1) - 1/(x ² + 1) = -x ²/(x4 - 1) + 2/(x³ - x ² - x + 1)19 - 2.(x + 5) ²/(x³ - 27) - (2.x + 3)/(x ² + 3.x + 9) = 0

Respuestas:

1 -2 -3 -4 -5 -

6-1/2-112

-1/2 

11 -12 -13 -14 -15 -

3/2-1

-20/531/60

6 -7 -8 -9 -

10 -

-1-332

-1/26-9/4

16 -17 -18 -19 -

1-3/4

5-59/23

 Matemática - Ecuaciones

1) Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:

2) Resolver las siguientes ecuaciones:

Matemática - EcuacionesPROBLEMAS DE ALGEBRA (primera parte)

Ir a segunda parte - tercera parte

Algunos de los problemas de esta colección están tomados de libros de Matemáticas de principios de siglo. Aún a riesgo de ser anacrónicos tanto en los enunciados como en los datos, es una pena cambiar los mismos, ya que conservan el sabor inequívoco de esa época.

1- Hallar cinco números enteros consecutivos cuya suma sea 60.

2- En una fábrica trabajan 50 operarios entre hombres y niños, de los cuales los niños están en mayor numero. Entre todos cobran diariamente 1.050 pesetas. A cada hombre se le pagan tantas pesetas como niños hay, y a cada niño tantas pesetas como hombres hay. ¿Cuántos hombres y niños trabajan en la fábrica?.

3- Descomponer el número 48 en dos partes, tales que dividiendo una por otra se obtenga 3 de cociente y 4 de resto.

4- Hallar dos números enteros consecutivos, sabiendo que la diferencia de sus cubos es 397.

5- Una persona cambia monedas de 1 pta. por monedas de 2,50 pesetas. sin ganar ni perder en el cambio, resultando que al final tiene 15 monedas menos. ¿Cuánto dinero tiene?.

6- Dividir 273 pesetas. entre dos personas, de manera que la parte de la primera sea 2/5 de la parte de la segunda.

7- Dos capitales están en razón 5/4. Si el primero disminuye en 2.500 pesetas y el segundo se aumenta en un 12,5 %, entonces la razón de los capitales es 25/24. ¿A cuánto ascienden éstos?.

8- Dos números enteros consecutivos son tales que la mitad del menor más el mayor, excede en 13 a 1/5 del menor más 1/11 del mayor. Hállalos.

9- Hallar un número de tres cifras divisible por 11, tal que la suma de sus cifras sea 10, y la diferencia entre dicho número y el obtenido invirtiendo el orden de sus cifras sea 297.

10- Dos personas compran tela de distinta clase. Entre ambas compran 55 m. y cada una de ellas gasta el mismo dinero. Si la primera persona hubiera comprado los metros que compró la segunda habría gastado 360 pesetas. Y si la segunda hubiera comprado los metros que compró la primera su gasto sería de 250 pesetas. ¿Cuántos metros compró cada una y a qué precio?.

11- Encontrar tres números enteros consecutivos, sabiendo que el cociente de su producto entre su suma es igual a 5.

12- La razón de dos números es 3/4. Si se suman 10 unidades a cada uno de ellos la razón de los nuevos números es 11/14. Hállalos.

13- Por 1200 pesetas. se ha comprado un cierto número de libros de igual precio. Si cada libro se hubiera pagado 10 pesetas. más caro se habrían comprado 4 libros menos. ¿Cuánto cuesta cada libro y cuántos libros se han comprado?

14- Entre dos vasos A y B de igual capacidad se distribuyen en partes desiguales 10 l. de agua. El vaso A se llenaría si se vertiesen los 4/5 del agua contenida en B, y éste se llenaría si se añadiesen los 3/4 del agua contenida en A. Se desea saber el agua contenida en cada vaso y su capacidad

15- Entre 15 amigos han de pagar una deuda de 1380 pesetas. Como algunos de ellos no tienen dinero, cada uno de los restantes han pagado 23 pesetas. más que las que les correspondían. ¿Cuántos son los amigos que no tienen dinero?.

16- Un almacenista compra 11 sillas a 350 pesetas. cada una. Se estropean un cierto número de ellas por lo que para no perder dinero vende cada una de las restantes aumentando el precio de venta en tantas veces 50 pesetas. como sillas se han roto. Hallar el número de sillas estropeadas.

17- Hallar un número de tres cifras, sabiendo que éstas suman 9; la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos y que si del número dado se resta el que resulta de invertir el orden de las cifras, la diferencia es 198.

18- En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hay de cada clase si en total hay 156 personas?.

19- Un alumno debe sumar 1 a un número, restar de 4 el número dado y multiplicar los resultados. Por error suma 4 al número, resta 1 de dicho número y multiplica los resultados, con lo que ¡oh casualidad! obtiene lo mismo que si no se hubiera equivocado. No te equivoques tú y halla ese numerito. ¿Vale?.

20- En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 61 cabezas y 196 patas. ¿Cuántos bichos hay de cada clase?.

21- Para pagar una cuenta de 2400 ptas un turista entrega 9 libras esterlinas y 15 dólares, recibiendo 75 pesetas. de vuelta. Y para pagar otra cuenta de 3200 pesetas. entrega 15 libras esterlinas y 9 dólares y 35 pesetas. ¿A qué cambios en pesetas se han cotizado ese día las libras y los dólares?.

22- Un grupo de estudiantes organiza una excursión a la vuelta de la esquina y para ello alquilan un autobús cuyo coste es de 540 pesetas. Al salir aparecen 6 alumnos más que están interesadísimos en ir a esa maravillosa excursión por lo que cada uno de los anteriores han de pagar 3 pesetas. menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión y cuánto pagó cada uno?.

23- En un trayecto de 120 m. la rueda delantera de un coche da 6 vueltas más que la rueda trasera. Si se aumentara la circunferencia de la primera en su quinta parte y de la segunda en su sexta parte la diferencia del número de vueltas sería 4 en el mismo trayecto. ¿Cuántos metros mide cada rueda?.

24- Dividir un ángulo recto en tres ángulos, de manera que el segundo sea el doble del primero y el tercero sea igual al triple del primero, disminuido en 18 grados.

25- Hallar dos números tales que su cociente sea igual a su diferencia y que uno de ellos sea igual al quíntuplo del otro, más 6.

26- Hallar la fracción de términos mas sencillos que siendo equivalente a 6/11, la diferencia de sus términos sea múltiplo de 7.

27- Hallar una fracción que sea igual a 4/5, y tal que si se le resta 3 a sus dos términos, la fracción resultante es igual a 3/4.

28- Hallar una fracción sabiendo que es igual a 1 si se disminuye el numerador en 4 unidades y se aumenta el denominador en 5, y que es igual a 3 si el denominador se disminuye en 7.

29- Hallar una fracción tal que si al numerador se le suma 1 su valor es 1/3, y si ésta unidad se le agrega al denominador su valor es 1/4.

30- Halla las edades de tres hermanos, tales que, sumadas dos a dos, dan 5, 7 y 8 años respectivamente.

31- Los reyes de una dinastía tuvieron 9 nombres distintos. La tercera parte de los reyes llevó el primer nombre; la cuarta parte el segundo; la octava parte el tercero; la doceava parte el cuarto, y cada uno de los nombres restantes los llevó un solo rey. Halla el número de reyes de la dinastía.

32- Los viajeros de un avión pertenecen a cuatro nacionalidades; en total viajan 65. Colocados en orden decreciente los números de personas de cada país son 2/3 del anterior. ¿Cuántos viajeros hay de cada país?.

33- Llevo recorridos 7/15 de un camino y aún me queda 1/3 de kilómetro para llegar a la mitad. ¿Qué longitud tiene el camino?.

34- Pedro y Juan emplean 360 pesetas. cada uno en comprar libros. El precio de los adquiridos por Juan excede en 30 pesetas. al de los comprados por Pedro, quien ha comprado 2 libros más que Juan. Averigua el precio de los libros adquiridos por cada uno de ellos.

35- Rafael y Angel tienen 45 manzanas. Dice Rafael a Angel: "Dame 5 manzanas y así tendré el doble que tú". ¿Cuántas tiene cada uno?.

36- Se deben llenar dos toneles de 54 y de 60 l. de capacidad con dos clases de vino. El costo del litro de vino del segundo tonel es 9/10 del costo del litro del otro vino. Habiéndose cambiado los dos toneles, el importe total sufre un aumento de 30 pesetas. Hallar el valor del litro de vino de cada clase.

37- Se desea distribuir 3950 ptas entre tres personas, de tal modo que a la segunda corresponda los 4/5 de lo que corresponde a la primera y a la tercera los 5/6 de lo de la segunda. ¿Cuánto corresponde a cada una?.

38- Se han consumido 7/8 partes de un bidón de aceite. Reponiendo 38 l. ha quedado lleno hasta sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón.

39- Se han vendido 4/11 de una cierta cantidad de vino a 440 pesetas/l., 1/3 a 520 pesetas/l., y el resto a 340 pesetas/l., recaudándose en total 11.600 pesetas. ¿Cuántos litros se han vendido?.

40- Se importan del extranjero un cierto número de toneladas de una mercancía que ha de venderse a 800 pesetas/Tm. Por avería en el transporte se inutilizan 150 Tm. y, con objeto de que la ganancia sea la que se había propuesto, se vende cada Tm. del resto a 1000 pesetas. ¿Cuántas toneladas se importaron?.

41- Si al producto de un cierto número por 3/5 le restamos 20, y la diferencia resultante se divide por 211,25 se obtiene 1.088. Halla ese número.

42- Si la estatura de Carlos aumentase en el triple de la diferencia de las estaturas de Antonio y Juan, Carlos sería igual de alto que Juan. Hallar las estaturas de los tres sabiendo que entre todos miden 515 cm., y que la estatura de Antonio es 9/8 de la de Carlos.

43- Sobre una camioneta que pesa 3 Tm. se cargan tres bidones. El doble del peso del primero menos el triple del peso del tercero es 4 Kg., el quíntuplo del peso del segundo menos 1/3 del peso del tercero es 50 Kg. Hallar el peso de los tres bidones sabiendo que la camioneta más los tres bidones pesa 3275 Kg.

44- Tengo tres barriles y 600 l. de vino que distribuyo en partes iguales en cada barril. El primero se llena hasta sus 2/3 partes; el segundo hasta sus 4/5. ¿Qué fracción del tercero se llenará sabiendo que su capacidad es la suma de las capacidades de los otros dos?.

45- Tengo una jarra y una botella llenas de agua. Si vacío los 2/5 de la primera me queda lo mismo que si vacío 1/3 del contenido de la botella. Sabiendo que la cantidad de agua que me queda entre las dos es medio litro, calcular las capacidades de la jarra y de la botella.

46- Una cierta cantidad de dinero se reparte entre varias personas. Si el número de éstas aumenta en 3, cada una de ellas recibe 25 pesetas. menos, pero si disminuye en 2, entonces cada persona recibe 25 pesetas. más. Encontrar el número de personas y el dinero que se reparte.

47- Una factura de 760 pesetas. se ha pagado con monedas de 50, 25 y 5 pesetas. El número de monedas de 50 pesetas. es el doble que el de las de 25, y las de 5 son la sexta parte de las primeras. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?.

48- Un rectángulo tiene 48 m ² de área y 10 m de diagonal. Encontrar la longitud de sus lados.

49- Una madre distribuye un paquete de caramelos entres sus tres hijos. Al primero le da la mitad de los caramelos más 2; al segundo la mitad de los que quedan más 2, y al tercero la mitad del resto más 2. Después de repartidos no le queda ningún caramelo. ¿Cuántos caramelos se han repartido?.

50- Una octava parte de los alumnos de una curso no pueden ir a una excursión. Concertada ésta, por sacar horrendas notas en Matemáticas los 3/5 de los que pensaban ir pierden el permiso de sus padres, y además, el día del viaje, pierden el tren 1/21 de los que quedaban. Al final van a la excursión 80 alumnos. ¿Cuántos alumnos tenía el curso?.

51- Una persona, al morir deja dinero de la siguiente forma: 1/2 del dinero a la Sociedad Protectora de Boniatos Silvestres (S.P.B.S.), 1/5 al Partido de Promoción Personal (P.P.P.), 1/9 al Cohombro Fútbol Club (C.F.C.), y 45360 pesetas. a su perro Bonifacio (no tiene siglas de identificación). ¿Cuánto fue el dinero que legó a éstas importantes sociedades?.

52- Una torre B tiene de altura los 4/3 de otra torre A más 1 m. Una tercera torre C tiene 4/3 de la torre B más 2 m. Sabiendo que la torre C es doble de alta que la A, ¿qué altura tiene cada torre?.

53- Un automóvil al salir de viaje lleva de gasolina una cierta cantidad en su depósito. El viaje lo hace en dos etapas: en la primera consume 1/5 de la gasolina. En la segunda 1/4 de lo que quedaba. Al final del trayecto acaba con 30 l. ¿Con cuántos litros emprendió el viaje?.

54- Un comerciante compra por 16200 pesetas. una partida de sacos de café. Un segundo pedido le cuesta la misma cantidad, pero cada saco le cuesta 270 pesetas. más, habiendo 2 sacos menos. Calcular el precio de cada saco y el número de éstos en la primera partida.

55- Un labrador debe suministrar a otro una cierta cantidad de trigo, recibiendo a cambio 2000 pesetas y una cierta cantidad de vino y aceite. El primero sólo puede entregar 5/6 de la cantidad de trigo prometida, por lo que recibe 1000 pesetas., más la cantidad de vino y aceite convenida. Hallar el valor del vino y el aceite.

56.-Un labrador vende la uva recogida en una cosecha de la siguiente forma: 7/20 a 265 pesetas. el Qm., 9/13 de la parte restante a 296 pesetas. el Qm., y el resto, que son 12 Qm. a 312 pesetas. el Qm. Averiguar el número de quintales métricos vendidos y su importe total.

57- Un librero vende 84 libros a dos precios distintos: unos a 45 ptas y otros a 36 pesetas., y obtuvo de la venta 3105 pesetas. ¿Cuántos hay de cada clase?.

58- Un negociante recorre tres plazas; en la primera duplica su dinero y gasta 1000 pesetas.; en la segunda triplica el dinero restante y gasta 1800 ptas; en la tercera cuadruplica el dinero que le queda y gasta 2400 pesetas. Halla el dinero con que salió, sabiendo que regresó con 1920 pesetas.

59- Un poste tiene bajo tierra 2/7 de su longitud, 2/5 del resto sumergido en el agua, y la parte emergente mide 6 m. Halla su altura.

60- Un terreno de 4.500 m ². ha sido adquirido al precio de 85 pesetas/m ². Los 5/9 del mismo fueron vendidos a 150 pesetas/m ². y los 7/10 del resto a 165 pesetas/m ². Vendida la parte sobrante se obtiene una ganancia de 450.000 pesetas. Halla qué fracción de todo el terreno es la última parte vendida y a qué precio el m ².

61- Dos personas poseen respectivamente 4000 y 3500 pesetas. Después de realizadas compras por el mismo valor, la segunda tiene 5/6 de lo que le queda a la primera. Halla el importe de la compra realizada.

62- En una población de 6000 habitantes, en un determinado año, se han casado el 15% de las mujeres con el 10% de los hombres, realizándose todos los matrimonios exclusivamente entre habitantes de dicha población. Calcular el número de hombres y mujeres de dicha población.

63- En unos exámenes son eliminados en el ejercicio escrito la cuarta parte de los alumnos presentados, y en el siguiente la quinta parte de los que quedaron. Al final aprobaron 744 alumnos. ¿Cuántos alumnos se presentaron al examen?.

64- Se han de repartir 720 pesetas. entre algunas personas, pero 4 de ellas renuncian a su parte, con lo cual las otras cobran 6 pesetas. más. ¿Cuántas eran las personas que había al principio y cuánto dinero les correspondía?.

65- Una obra la realizan entre dos personas. El primero trabaja 15 días y el segundo 12 días acabándose la obra. Calcular cuanto tiempo tardaría cada uno en hacerla por separado sabiendo que el primero tardaría en hacerla del todo 6 días más que el otro.

66- Una señora dedica 108 pesetas. para comprar huevos. Al llegar a la tienda observa que la docena vale 7,20 pesetas. más de lo que ella había calculado, por lo que compra media docena menos de lo previsto. ¿Cuánto paga por un huevo y cuántos huevos compró?.

67- Un automóvil ha consumido 2/5 de la gasolina que cabe en su depósito al recorrer 5/11 de un cierto trayecto. Sabiendo que al final de quedan 6 l. en su depósito. ¿Cuántos litros caben en éste?.

68- Un comerciante compra dos objetos por 1800 pesetas y los vende por la misma cantidad. Calcular cuánto pagó por cada uno de dichos objetos, sabiendo que en la venta del primero ganó el 12% y en la del otro perdió el 15%.

69- Un padre, para estimular a su hijo a estudiar la superimportante asignatura de MATEMATICAS le dice: "Por cada ejercicio que resuelvas bien te daré 70 pesetas y por cada uno que metas la pata me darás 50 pesetas." Después de hacer 25 ejercicios el muchacho se encuentra con 550 pesetas. ¿Cuántos problemas ha resuelto correctamente?.

70- En un temporal de lluvias la cuenca A recibió 220 l. por m2. y la cuenca B 300 l./m2., con lo que ésta recogió doble cantidad de agua que la primera. En otro temporal cayeron sobre ambas 150 l./m2., y la cuenca B recogió 8400000 l/m2. de agua más que la cuenca A. Calcular el número de m2. que tiene cada cuenca.

71- Hemos comprado 5 Tm. de un cierto artículo a 25 pesetas/Kg. para venderlo más tarde. Antes de venderlo, lo hemos depositado en un almacén donde sufre una perdida de su peso del 8%. ¿A qué precio debe venderse el Kg. para obtener un beneficio total de 13000 pesetas.?.

72- Hemos hecho un pedido a una casa comercial de 10 Kg. de un artículo A y 8 Kg. de otro artículo B. cobrándonos en total 240 pesetas. Otro pedido de 6 Kg. de A y 15 Kg. de B, nos ha costado 297 pesetas. ¿Cuánto costará un tercer pedido de 5 Kg. de A y 20 Kg. de B?.

73- La suma de dos números vale 14 y la suma de sus inversos 7/24. Hallar dichos números.

74- Cuando el agua se hiela aumenta 1/10 su volumen. Calcular los litros de agua que se obtienen al derretirse 180 dm3 de hielo.

75- Un joyero ha vendido 18 medallas de plata y 13 de oro por 31500 pesetas. ¿Cuál es el precio de una medalla de cada clase sabiendo que una de oro cuesta cuatro veces más que una de plata?.

76- Al invertir el orden de las cifras de un número, éste disminuye en 99 unidades; la cifra de las centenas sumada a la de las decenas dan 5, y las decenas con las unidades suman 4. ¿Cuál es el numero?.

77- Determinar dos números impares consecutivos, tales que la suma del recíproco del mayor con el doble del menor sea 31/5.

78- Encontrar dos números enteros consecutivos sabiendo que la suma de la cuarta parte y la quinta parte del menor, y la suma de la tercera y séptima parte del mayor son también números consecutivos.

79- Para distribuir un lote de objetos, se da igual número de ellos a cada una de las 15 personas presentes. Al llegar una persona más hay que dar un objeto menos y entonces sobran 11. ¿Cuántos objetos había?.

80- Se han de encuadernar 5000 libros de lo que se encarga una casa que lo hace a razón de 140 diarios. A los dos días y medio, se encarga simultáneamente a otra casa que encuaderna 170 libros cada día. ¿Al cabo de cuánto tiempo terminarán el trabajo y cuántos libros encuadernarán cada casa?.

81- Si a un número cualquiera, X, se duplica; a ese duplo se le suma 12; a esa suma se le quita la mitad, y a lo que queda se le quita el número X, ¿qué resultado se obtiene?. Y ahora piensa por qué pasa eso.

82- Un comerciante piensa vender en 540 pesetas. una partida de objetos. Por inutilizarse uno de ellos y para no perder en la venta debe vender los que le queda a 6 pesetas. más.¿De cuántos objetos constaba la partida?.

83- Una persona realiza 3/5 partes de un viaje en ferrocarril, los 7/8 del resto en autobús y los 10 km. que le quedan a lomos de un coqueto burro. No seas ídem y averigua cuantos km. recorrió en total.

84- Varias personas tienen que pagar entre todas, por partes iguales 108000 pesetas. Dos de ellas se declaran insolventes por lo que cada una de las restantes debe pagar 9.000 pesetas. más. ¿Cuántas personas eran las deudoras?.

85- El vino que hay en un tonel lleno vale 1560 pesetas y el que queda después de haber sacado 135 l., 1155 pesetas. ¿A qué precio debe venderse el litro de vino para ganar 390 ptas con el vino del tonel lleno?.

86- Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto valga 4224.

87- Hallar dos números tales que su suma, su producto y la diferencia de sus cuadrados sean iguales entre sí.

88- Hallar el valor de tres números enteros consecutivos, cuyos cuadrados sumen tanto como el producto del mayor por 12, más 5.

89- Hallar los términos de una fracción equivalente a 3/4, y cuyos términos elevados al cuadrado sumen 324900.

90- Hallar una fracción de denominador 13 que al sumarla con su inversa se obtenga 194/65.

91- Hallar un número de tres cifras, sabiendo que, la suma de los cuadrados de sus cifras es 117, el cuadrado de la cifra de las decenas es igual al triplo del producto de las cifras de centenas y unidades, más 1, y que la cifra de las unidades es 1/4 de la cifra de las centenas.

92- Hallar dos números cuya suma sea 100 y la diferencia de sus cuadrados es 1000.

93- La suma de dos números es 56, y la diferencia de sus cuadrados es 448. Hállalos.

94- Hallar dos números cuya suma sea 18 y la de sus inversos 9/40.

95- Descomponer el número 895 en dos partes, de modo que al dividir la mayor por la menor se obtenga 6 de cociente y 6 de resto.

96- Entre los dos estantes de una librería hay 80 libros. Si se pasan 10 libros del primer al segundo estante ambos tienen la misma cantidad de libros. ¿Cuántos libros había al principio en cada estante?.

97- Al invertir el orden de las cifras de un número de dos cifras, éste queda disminuido en 36 unidades. Hallar el número sabiendo que la suma de sus cifras es 12.

98- Un abuelo dice a sus nietos: "multiplicando mi edad por su cuarta y su sexta partes y dividiendo el producto por los 8/9 de la misma hallaréis 243 años". ¿Cuál era su edad?.

99- ¿Cuál es el número de dos cifras cuya suma es 9, sabiendo que si invierto el orden de las mismas resulta otro número que es igual a 9 aumentado en cuatro veces el número primero?

100- Dos automóviles parten juntos para recorrer 200 km. La velocidad por hora del primero es igual a la del segundo más 10 km/h. De éste modo el primero tarda una hora menos en hacer el recorrido. Se pide las velocidades de los dos automóviles.

101- Dos personas parten del mismo lugar y se dirigen a otro que dista del primero 12 km., llegando a él la segunda persona una hora antes que la primera. Hallar la velocidad de cada una, sabiendo que sus velocidades se diferencian en 1 km./h.

102- En una circunferencia de centro O, se consideran dos puntos A y B tales que AÔB = 90°. De A parte un móvil hacia B, siguiendo la circunferencia, con velocidad de 60 km/h. y de B parte hacia A otro con una velocidad de 90 km/h. encontrándose ambos en el punto X. Calcula el ángulo AÔX.

103- Entre dos pueblos hay una distancia de 132 km. Salen de cada uno de ellos dos ciclistas al mismo tiempo con velocidades medias de 19 y 14 km/h. respectivamente. ¿Cuándo y dónde se encontrarán?.

104- Un automóvil pasa por un puesto de vigilancia a 90 km/h. A los 5 minutas de haber pasado el auto, sale en su persecución una Honda 250 a 120 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará la moto en alcanzar al coche?.

105- Ha salido a las 6 h. 20 min. de la mañana, un coche a una velocidad media de 60 km/h. Dos horas mas tarde sale en su persecución otro coche con una velocidad media de 80 km/h. ¿A qué hora le alcanzará?

106- Un caminante sale a las 8 de la mañana para ir a un punto situado a 10 km. de distancia, y vuelve con una velocidad de 2 km/h. superior a la de ida, llegando de vuelta a las 12 h. 10 min. ¿Cuáles han sido las velocidades de ida y vuelta?.

107- Un peatón recorre 23 km. en 7 horas; los 8 primeros km. con una velocidad superior en 1 km/h. a la del resto del camino. Calcular la velocidad con que inició el camino.

108- Una persona dispone de dos horas para dar un paseo en coche. ¿Qué distancia podrá recorrer sabiendo que la velocidad a la ida es de 40 km/h. y que vuelve, sin detenerse, a 60 km./h.?.

109- Una persona dispone de dos horas y media para dar un paseo. Sale en bicicleta a una velocidad de 12 km./h. ¿A qué distancia tendrá que abandonar la bici si vuelve a pie con una velocidad de 4 km./h.?.

110- Un automóvil consume 13 l. de gasolina cada 100 km. costando 6,40 francos el litro. La gasolina gastada en un mes ha costado 1.996,80 francos. Calcula el número de km. recorridos en dicho mes.

111- Un automóvil ha tardado en recorrer una distancia 6 h.15 min. Si la velocidad disminuyese en 10 km./h. ¿Cuánto tardaría en recorrer la misma distancia, sabiendo que la razón de sus velocidades vale 6/5?.

112- Un automóvil sale de una población a 60 km/h. Tres horas más tarde sale a su alcance otro vehículo que marcha a 75 km/h. ¿A qué distancia del punto de partida le alcanzará?.

113- Un ciclista recorre la distancia de 111 km. en 7 horas. Después de las dos primeras horas, la velocidad se reduce a los 5/6. ¿Con qué velocidad inició el camino?.

114- Un móvil recorre 210 km. con movimiento uniforme. Si la velocidad aumentase 1 km/h. tardaría 1 h. menos en hacer el recorrido. ¿Cuál es la velocidad del móvil y cuánto tiempo ha empleado?.

115- Un tren parte de una ciudad a las 7 de la mañana y llega a otra a las 11 y media. Recorre, primero, los 3/5 del camino a una velocidad de 42 km/h. y en el resto la velocidad disminuye en 1/6. ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades?

116- Un tren tortuga sale de Madrid en dirección a Avila a las 10 de la mañana a 30 km/h. Dos horas después sale otro tren a 40 km/h. Si la distancia entre ambas ciudades es de 75 km. ¿Le adelantará antes de llegar a Avila?.

117- De dos puntos A y B, distantes 36 km. parten a las 8 de la mañana un ciclista y un auto respectivamente. El auto tarda 3/4 de hora en hacer el recorrido y la velocidad del ciclista es 1/3 de la del auto. ¿A qué hora y a qué distancia se encontrarán los dos móviles?.

118- Dos amigos tienen coches que consumen respectivamente 10 y 15 l. de gasolina cada 100 km. Parten de dos ciudades separadas 400 km. y se encuentran en un punto, tal que el consumo de gasolina es el mismo. ¿Cuántos km. ha recorrido cada uno?.

119- Dos automóviles recorren juntos una distancia de 1850 km. consumiendo entre los dos 325 l de gasolina. El primero consume 5 l. más que el segundo cada 100 km. ¿Cuántos litros consumió cada uno en el recorrido?. ¿Cuántos litros consume cada uno en 100 km.?.

120- Dos viajeros, de los cuales uno recorre 192 m en 3 min y el otro 56 m/min, parten el uno hacia el otro de dos estaciones distantes entre sí 62.400 m. El segundo sale dos horas y media después del otro. ¿Cuánto tardarán en encontrarse?.

121- Tres localidades A, B y C son los vértices de un triángulo cuyos lados son carreteras de las siguientes longitudes: AB = 56 km., BC = 84 km. y AC = 70 km. Dos coches parten a las 11 de la mañana de A, a la velocidad de 60 km./h., uno hacia B y otro hacia C. El primero se detiene 4 min en B y el segundo 26 min en C, para continuar el viaje a la misma velocidad, el primero hacia C y el segundo hacia B. Averiguar a qué hora se encuentran.

122- De dos ciudades que distan 360 km. parten el uno hacia el otro dos automóviles que consumen 12 y 15 l. de gasolina cada 100 km. Cuando se encuentran cada uno ha gastado la misma cantidad de gasolina. ¿Cuántos km. ha recorrido cada uno?.

123- Dos automóviles circulan por la misma carretera en sentido opuesto, el uno hacia el otro, con velocidades de 70 y 50 km/h. Sabiendo que a las 17 h. la distancia que los separa es de 600 km. ¿A qué hora se encontrarán?.

124- Un barco, navegando a favor de la corriente de un río lleva una velocidad de 12 km/h. y contra corriente de 9 km./h. Sabiendo que en un viaje de ida y vuelta emplea un total de 1 h. 45 min. ¿Cuánto tiempo emplea a la ida y a la vuelta?.

125- A las 8 de la mañana sale de un lugar un caminante que marcha a razón de 5 km/h. A las 12 h, sale en su persecución un ciclista, con una velocidad de 30 km/h. ¿A qué hora le alcanza?.

126- De un punto salen al mismo tiempo dos personas, una en sentido Sur-Norte y otra en sentido Este-Oeste. La primera marcha a 6 km/h. y la segunda a 8 km/h. ¿Qué tiempo deberán caminar para encontrarse a 5 km. de distancia una de otra?.

127- Un camión produce un accidente a 60 km. de una ciudad; inmediatamente se avisa a la policía de la ciudad, que sale al instante en persecución del camión a una velocidad de 100 km/h. El camión escapa con una velocidad media de 75 km/h. ¿Al cabo de cuanto tiempo será alcanzado el camión?. ¿Cuánto tiempo tardará en ser alcanzado?.

128- Un móvil A sale de un cierto punto P a las 8 de la mañana en línea recta con una velocidad de 2O km/h. Otro móvil B sale del mismo punto 45 minutos más tarde, también en línea recta por otro camino que forma con el anterior un ángulo de 60o con una velocidad de 25 km/h. Se desea saber: 1°: ¿A qué hora estarán los dos móviles a igual distancia del punto P?. 2°: ¿Qué distancia será ésta?. 3°: ¿Cuál será la distancia entre el móvil A y el B?.

129- Un peatón recorre 22 km. en 5 horas, pero los 10 primeros km. con velocidad superior en 1 km/h. a los del resto. Halla la velocidad con que recorre el primer espacio.

130- Dos embarcaciones salen al mismo tiempo hacia un puerto que dista 224 km. Una de ellas navega 2 km/h. más rápida que la otra, por lo que llega dos horas antes. Hallar ambas velocidades.

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PROBLEMAS DE ALGEBRA (segunda parte)Ir a primera parte - tercera parte

131- Dos fuentes llenan un depósito en 12 min. La primera fuente tardaría en llenar el depósito manando ella sola 10 min más que la segunda. ¿Cuál sería ese tiempo?.

132- Una señora paga por una figura de cerámica y una lámpara 1000 pesetas. Si se hubiera hecho un descuento del 25% en la figura y un 30% en la lámpara se habría ahorrado 285 pesetas. ¿Cuánto cuesta cada uno de los objetos?.

133- Un grupo de personas salen de excursión en dos vehículos. Si del primero pasan al segundo 3 personas, habrá igual número de personas en ambos; pero si del segundo pasan tres al primero, serán en éste doble que en segundo. ¿Cuántas personas van en cada coche?.

134- Hallar tres números positivos consecutivos, tales que la diferencia entre su producto y el cubo del menor sea 901.

135- Si a la tercera parte de la edad de un niño se le suman dos años, se obtiene un número que equivale a 9 veces el recíproco del que expresa su edad. ¿Cuántos años tiene?.

136- En una tienda de antigüedades tienen dos cuadros y una jarra de porcelana. La jarra vale 5000 pesetas. Uno de los cuadros más la jarra equivale al cuádruplo del precio del otro cuadro, mientras que este último cuadro y la jarra valen 4000 pesetas. más que el primer cuadro. ¿Cuánto vale cada objeto?.

137- Un empleado tarda en hacer el control de asistencia de los obreros de una fábrica 2 horas más que otro. Trabajando juntos lo hacen en 1 h 20 min ¿Cuánto tiempo tarda cada uno solo?.

138- Un muchacho dice: "Tengo tantos hermanos como hermanas", y entonces una de sus hermanas dice: "Tengo hermanos y hermanas en razón 3/2". ¿Cuántos hermanos y hermanas son?.

139- Un peón es contratado por 2000 ptas diarias si trabaja todo el día. Si sólo lo hace por la mañana recibe 1250 pesetas. Al cabo de un mes recibe 51000 pesetas. ¿Cuántos días trabajó por la mañana?.

140- Se desean repartir 312 pesetas. entre varias personas a partes iguales. Al no acudir dos de ellas, reciben las restantes 13 pesetas. más de las que les correspondería en el primer caso. Hallar cuántas personas había.

141- Una factura de 410 pesetas. es pagada con 3 dólares y 2 libras esterlinas, y otra de 2.940 pesetas. con 10 dólares y 20 libras. ¿A cuánto estaba el cambio?.

142- Si del número 125 se le resta el producto del triple de un número por sí mismo, el resultado obtenido es igual al quíntuplo de ese mismo número, aumentado en 5 unidades. Hallar dicho número.

143- La edad del padre excede en 6 años al triple de la edad del hijo. Hallar ambas edades sabiendo que hace 4 años la del padre excedía al cuadrado de la del hijo en 10 años.

144- Entre dos manantiales pueden llenar juntos un depósito en 18 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría uno separadamente en llenarlo sabiendo que el primero tardaría en llenarlo 27 horas más que el segundo?.

145- ¿Cuántos operarios habrá en cada una de las dos secciones de un taller, sabiendo que hay igual número en las dos al pasar tres de la primera sección a la segunda, y, en cambio, si de la segunda pasan tres a la primera estarán en ésta en número doble que en la otra?.

146- Hallar las edades de dos hermanos, sabiendo que al mayor le falta un año para tener 6 veces la edad del otro, y que restando 2 años al mayor y dividiendo esta diferencia por la edad del menor se obtiene 5 de cociente.

147- Hallar dos números impares consecutivos, tales que la diferencia de sus cuadrados es 48.

148- Hallar las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que el producto de sus cuatro lados es 3600, y el de sus diagonales 169.

149- Hallar un número de tres cifras tal que su suma sea 16. La cifra de las decenas es doble que la de las centenas y que la diferencia entre el número que resulta al invertir el orden de sus cifras y dicho número es 396.

150- Se tiene un rombo cuyas diagonales miden 18 y 12 m. ¿Qué longitud igual deberíamos añadir a cada una de ellas de modo que la superficie del nuevo rombo sea el doble que la del primero?.

151- Por un kilo de pescado, otro de legumbres y otro de fruta se pagaron, hace siglos, 112 pesetas. Hallar lo que cuesta cada cosa sabiendo que el kilo de legumbres costaba 8 pesetas. más que el de fruta y que el kilo de pescado valía tanto como uno de legumbres y de fruta juntos.

152- Al unir los dos puntos medios de dos lados desiguales de un rectángulo, se obtiene un segmento de 50 cm. de longitud. Hallar el área del rectángulo sabiendo que dichos lados son entre sí como 4 es a 3.

153- Se llena una caja de forma cúbica con cubitos de 1 cm. de arista y nos sobran 272 cubitos. Se construye otra caja que tiene un cm. más de arista y entonces nos faltan 197 cubitos. ¿Cuántos cubitos tenemos?.

154- Si al cuadrado de un número disminuido en 9 unidades lo dividimos por dicho número se obtiene el mismo resultado que restándole al número 2 unidades. ¿De qué número se trata?.

155- Un comerciante compra dos objetos por 2.100 pesetas y los vende por 2.202 pesetas. Si en la venta de uno de estos objetos gana el 10 % y en el otro pierde el 8 %, ¿qué cantidad pagó por cada uno de dichos objetos?.

156- Repartir 284 pesetas. entre tres personas, de modo que la primera reciba 15 pesetas. más que la segunda y la tercera tanto como las otras dos.

157- Repartir 305 pesetas. entre tres personas, de modo que la primera reciba 15 pesetas. más que la segunda, y ésta 10 pesetas. más que la tercera.

158- Repartir 213 ptas entre dos personas, de modo que una tenga 49 pesetas. menos que la otra.

159- Dividir el número 285 en dos partes que sean entre si como 7 es a 8.

160- Hállese un número cuya tercera y cuarta parte sumen 1.421.

161- Entre tres personas tienen 110 años. Hállese la edad de cada uno sabiendo que la segunda tiene 12 años más que la primera y que la tercera tiene tanta edad como las otras dos menos 6 años.

162- Una madre y sus dos hijos tienen juntos 48 años; calcúlese la edad de cada uno, sabiendo que el primogénito tiene tres veces la edad de su hermano, y que la madre tiene el duplo de la edad de sus dos hijos.

163- Repartir 280 entre dos personas, de modo que la parte de la primera sobrepuje en 1/3 a la parte de la segunda.

164- Tenemos 1.050 pesetas. en igual número de monedas de 25 y de 5 pesetas. ¿Cuántas monedas tenemos?.

165- Dividir el número 198 en dos partes, tales que al partir una por 5 y la otra por 3, la suma de los cocientes sea 42.

166- La suma de dos números es 483, y su diferencia es igual a los 7/3 del menor. ¿Cuáles son esos números?.

167- Repartir 564 pesetas. entre dos personas, de manera que una tenga tantas monedas de una peseta como de duros tenga la otra.

168- La cuarta parte de un campo está plantado de vides, los 4/7 están sembrados de trigo y el resto de patatas. La viña ocupa 18,48 m2. más que la parte plantada de patatas. ¿Cuál es la superficie del campo?.

169- ¿Cuál es el número cuyos 3/4 menos 18, y la mitad aumentada en 16, sumen 133?.

170- ¿Cual es el número cuyos 5/8 aumentados en 15 unidades equivalen a los 3/4 disminuidos en 10?.

171- Se han vendido 1/3, 1/4 y 1/6 de una pieza de tela y quedan aún 18 m. Hállese la longitud de la pieza.

172- ¿Cuál es el valor de una pieza de tela sabiendo que hay 5.585,70 ptas de diferencia entre los 5/7 y los 3/11 de ese valor?.

173- La suma de dos números es 24. Si se aumenta a los dos en 8 unidades, su razón es 3/5. Hállalos.

174- Una persona ha comprado 1/5, y otra 2/3 de una pieza de tela; la segunda lleva 21 m. más que la primera. Halla la longitud de esa pieza de tela.

175- Se quiere vender un carro, un burro y sus arreos por 27.200 pesetas.; el burro vale 4 veces sus arreos, y el carro tres veces el burro. No seas idem. y halla cuánto valen las tres cosas.

176- Un señor, bastante cutre por cierto, conviene en dar a un peón 8600 pesetas. anuales y un reloj. A los 5 meses el peón, harto de currar por tan poco dinero, se despide, y el señor tiene que pagarle 3350 pesetas y el reloj. ¿Cuánto cuesta el Rolex?.

177- Los ingresos en un Banco han sido 716813 pesetas. en tres días. ¿Cuál fue el ingreso diario sabiendo que cada día se recibió 1/5 de lo del día anterior?.

178- En tres meses una fábrica de desodorantes que no abandonan, ha producido 51650 stiks (ya no se fabrican sprays por lo del ozono). Halla cuántos ha fabricado cada mes si la producción ha aumentado 5/16 de la del mes anterior.

179- Cinco personas se reparten 25.773 pesetas. de manera que cada una reciba 3/4 de la anterior. ¿Cuánto recibe cada una?

180- Otro señor, tan roñica como el del problema 176, paga a su mayordomo anualmente 10500 pesetas y un traje que por las pintas no es ni de El Corte Inglés (nótese que no se puede poner "del" Corte Inglés). Volvamos al problema: el mencionado mayordomo decide a los 8 meses largarse y su patrón le entrega 6500 ptas y el dichoso traje. ¿Cuánto vale éste?.

181- El difunto del problema 51 decide legar 1/3 del dinero de una cuenta corriente (debía ser bastante corriente) a la Consorcio de Compositores Cojos (C.C.C.), 1/4 de la misma a la Promotora de Edificios sin Cimientos para Anticiclones (P.E.C.A.), 1/5 a la Asamblea de Pelirrojos de Nigeria (A.P.N.), 5.195 pesetas. a la Unión Norteamericana de Onagros (U.N.O.) y 5 ptas al F.C.B. (el nombre no consta en los ficheros). ¿Cuánto dinero tenía en esa C.C.?.

182- Con 36 monedas de 25 y de 5 pesetas. se quiere formar una suma de 500 pesetas. ¿Cuántas monedas de cada clase se han de tomar?.

183- ¿Cuántos discos de 20 y 25 mm. de diámetro se necesitan alinear para obtener la longitud de 1 m. con 48 de ellos?.

184- El haber de una persona sufre durante 4 años un incremento anual de 2/9. Al final del cuarto año se encuentra con 29.282 pesetas. ¿Cuánto tenía al principio?.

185- Una persona tiene actualmente 5 veces la edad de su sobrino; dentro de 3 años, su edad no será más que 4 veces mayor. Calcúlese la edad de cada uno.

186- La suma de las edades de dos personas es actualmente 65 años; si 1/4 de la edad del mas joven equivale a 1/6 de la edad del mayor, halla la edad de cada uno.

187- El beneficio en 27 Kg. de mercancía sana y vendida a 800 pesetas/Kg. compensa exactamente la pérdida en 28 Kg. de la misma mercancía averiada y vendida a 525 pesetas/Kg. ¿Cuál es el precio de compra?.

188- Un obrero debe terminar cierto número de metros de un obra en 16 días. Trabajando 9 horas diarias, le faltarán 19 m., y trabajando 11 horas diarias haría 13 m. más de lo convenido. ¿Cuántos m. tiene que hacer?.

189- Un frutero que ha vendido los 3/4 de un cesto de manzanas dice que añadiendo 65 a las que le quedan, el contenido primitivo del cesto aumentaría en 1/3. ¿Cuántas manzanas había?.

190- Un caminante ha recorrido el primer día 1/4 de su camino; el segundo los 5/9 y, por fin, el tercero termina su viaje recorriendo 21 km. Halla la longitud del trayecto.

191- Un galgo persigue a una liebre que está a 30 m. de distancia. Si el galgo recorre 5 m./s. y la liebre sólo

3 m./s. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzarla?.

192- Un comerciante tiene vino a 60 pesetas/l.; no debe ser muy honrado pues añade agua tal que 75 l. no valen más que 3.600 pesetas. ¿Qué cantidad de agua contiene un litro de mezcla?.

193- Un estanque recibe agua de tres caños: el primero podría llenarlo en 5 horas, el segundo en 3,5 horas y el tercero en 4,5 horas. Un tubo de desagüe puede vaciarlo en 6 horas. Si, estando vacío el depósito, se abren a la vez los tres caños y el desagüe, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse?.

194- Un cajero efectúa tres pagos. En el primero entrega la mitad de lo que tiene en caja, mas 275 pesetas. En el segundo un tercio de lo que le queda, menos 100 pesetas., en el tercero la cuarta parte de lo que le queda aún, más 155 pesetas. Verificados estos pagos tiene aún en caja 5920 pesetas. ¿Cuánto dinero tenía al principio?.

195- He gastado 3/5 de lo que tenía, menos 6 pesetas.; después, el cuarto del resto, más 6 pesetas.; luego los 3/5 del nuevo resto, más 2 pesetas., y regreso a casa con 82 pesetas. ¿Cuánto dinero tenía al salir?.

196- Un colono tiene dos jornaleros que ganan lo mismo. Por 50 días de trabajo da a uno 23000 ptas y 4 medidas de trigo. Por 68 días de trabajo da al otro 28500 pesetas y 8,2 medidas de trigo. ¿Cuánto vale la medida de trigo?.

197- Aumentando un rebaño en 26 ovejas, equivaldría a 1/3 más 2/5 más 3/8 del número de cabezas que tiene. ¿Cuántas son éstas?.

198- Añadiendo al triple de una cantidad, la mitad, la tercera, cuarta, quinta y sexta partes de esa misma cantidad se obtiene 534. ¿Cuál es esa cantidad?.

199- Siendo 678 la diferencia de dos números y la suma de éstos los 25/11 del menor. ¿Cuáles son?.

200- Dos fuentes llenan un depósito en 7 horas. Una de ellas podría llenarlo sola en 12 horas. ¿Y la otra?.

201- Los 3/5 de una propiedad están sembrados de calabazas; la tercera parte está con viñas y el resto es jardín. Halla la superficie total sabiendo que la vid ocupa 56 m2 menos que las calabazas.

202- Vendidos los 5/8 de una pieza de tela quedan aún los 3/7, menos 9 m. Halla la longitud total.

203- ¿Cuál es el quebrado que se reduce a 2/3 si se aumentan sus dos términos en 5, y a 3/4 si se aumentan en 12?.

204- ¿Cuál es la fracción que se reduce a 4/5 si se añade 5 al numerador, y a 3/4 si se disminuye el denominador en 4 unidades?.

205- Halla dos números, tales que su diferencia sea 1/4 de su suma y 1/105 de su producto.

206- Descompón 357 en dos partes que sean entre sí como 4 es a 11.

207- Halla dos números que estén en razón 3/5 y que se diferencien en 304 unidades.

208- Dos objetos cuestan 13000 pesetas. Calcula el valor de cada uno, sabiendo que el tercio y el cuarto del precio del primero iguala los 7/9 del precio del segundo.

209- Hallar dos números tales, que su diferencia sea 45, y que el cociente del menor por el mayor sea 6/7.

210- Dividir el número 174 en dos partes tales, que dividiendo la primera por 15 y la segunda por 12, la diferencia se los cocientes es 8.

211- El cociente de dos números es 8, dando 66 de resto. Hállalos sabiendo que su diferencia es 570.

212- Un número consta de dos cifras cuyos valores absolutos suman 12; invirtiendo las cifras se obtiene un segundo número que equivale a los 4/7 del primero. Hállalo.

213- Repartir 8600 pesetas. entre tres personas, de manera que la parte de la primera sea a la segunda como 2 es a 3, y que la segunda sea a la tercera como 5 es a 6.

214- Un número consta de dos cifras que están entre sí como 2 es a 3. Si se añade 27 a ese número se obtiene el número invertido. ¿Cuál es ese número?.

215- Halla cuatro números que sumados tres a tres den respectivamente 12, 13, 14 y 15.

216- El pesado del problema 181 resulta que tiene otra cuenta corriente (C.C.) con 438000 pesetas. Decide en la última cláusula de su testamento (esperemos que sea verdad) dejar esa cantidad en partes proporcionales a las edades de sus tres sobrinos (como los del Pato Donald). Averigua cuánto les toca a cada uno de ellos si tienen 6, 7, y 8 años respectivamente.

217- Un número de dos cifras equivale a tres veces la suma de sus cifras, y el cuadrado de esa suma es igual a tres veces el número. ¿Cuál es?.

218- La suma, la diferencia y el producto de dos números están entre sí como 5, 3 y 16. Hállalos.

219- Mezclando 4 hl de vino de una determinada calidad con 5 hl de otra se obtiene vino a 4.700 ptas/hl, y mezclando 7 hl del primero con 8 hl del segundo el precio será de 4.704 ptas/hl. Averigua cuál es el precio de cada una de las clases.

220- Hace 19 años, la edad de una persona era el doble de la de otra. Dentro de 11 años la edad de la segunda será los 7/9 de la edad de la primera. ¿Qué edad tienen actualmente?.

221- Tres toneles de vino han costado 34000 pesetas. El vino del tercer tonel equivale a los 3/5 del segundo, y el del primero vale los 2/3 del segundo. ¿Cuánto cuesta cada tonel?.

222- Tres jugadores convienen que el que pierda una partida doblará el dinero de los otros dos. Después de perder sucesivamente una partida cada uno, resulta que cada uno de ellos tiene 16 pesetas. ¿Cuánto dinero tenía cada uno al empezar el juego?.

223- ¿Cuál es el número cuyos 3/4 más 9, multiplicado por los 3/4 menos 9, da 100?.

224- Una suma de 400 pesetas. debe distribuirse en partes iguales entre cierto número de personas. Pero al efectuar la repartición faltan 5 de ellas, por lo que las restantes reciben 4 pesetas. más. ¿Cuántas personas había al principio?.

225- ¿Cuál es el número cuyos 4/5 multiplicados por los 3/4 dan 540?

226- Los 2/3 de la capacidad de un barril multiplicados por los 4/5 dan 1080 l. ¿Cuál es su capacidad?.

227- El producto de un número aumentado en 15, por ese mismo número disminuido en 15, da 799. ¿Cuál es ese número?.

228- Divide 113 en dos partes cuyo producto sea 3102.

229- Halla tres números pares consecutivos tales, que su producto equivalga a 64 veces su suma.

230- Halla un número cuyo cuadrado es 12882 unidades mayor que dicho número.

231- Halla un número que sumado con 4 veces su raíz cuadrada de 221.

232- ¿Cuál es el número que excede a su raíz cuadrada en 56 unidades?.

233- ¿Cuál es el número que añadido a su raíz cuadrada da 650?.

234- El dividendo de una división es 726. El divisor sumado con el cuádruplo del cociente da 121. Halla el divisor.

235- Halla dos números cuya suma sea 222 y el producto 12.277.

236- El producto de dos factores es 73.728. ¿Cuáles son, sabiendo que son entre sí como 2/3 es a 3/4?.

237- La suma de dos números es 42, y la diferencia de sus cuadrados es 336. Hállalos.

238- La diferencia de dos números es 22 y la de sus cuadrados es 1232. Hállalos.

239- Dentro de tres años la edad de un niño será cuadrado perfecto; hace tres años su edad era precisamente la raíz de ese mismo cuadrado. ¿Qué edad tiene ahora?.

240- Un hombre dice: "Multiplicando mi edad por su cuarta y su sexta parte y dividiendo el producto por los 8/9 de la misma, hallaréis 243 años". ¿Qué edad es esa?.

241- Un comerciante vende un retal de tela (debe ser de saco) por 144 pesetas. de ese modo realiza un tanto por ciento de beneficio igual a la cantidad que expresa el coste de la tela. ¿Cuál era esa cantidad?.

242- Un cacharrero (tipo que vende botijos) compró cierto número de botijos (¿lo veis?) por 629 pesetas.; se le rompen tres y vende cada uno de los que le quedan por 4 pesetas. más de lo que le habían costado, ganando así 85 pesetas. ¿Cuántos botijos compró y a qué precio?.

243- Hallar dos números tales que su razón sea 4/9, y la suma de sus cuadrados 7.857.

244- La suma de dos números es 30 y el producto 224. Hállalos.

245- Halla dos números pares consecutivos, cuyo producto sea 4.488.

246- La diferencia de dos números es 15 y su producto 1666. Hállalos.

247- La diferencia de dos números es 75. Hállalos sabiendo que el producto equivale a 1500 veces esa diferencia.

248- Los lados de un triángulo rectángulo son números pares consecutivos. Hállalos.

249- La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 8 m. mayor que el cateto pequeño y 1 m. mayor que el cateto grande. Halla los lados de ese triángulo.

250- Si de las 3/9 partes del cuadrado de un número se le quitan 800 unidades, resulta 1900. ¿Qué número es éste?.

251- Preguntaron a un caballero que edad tenía y contestó: "La mitad, el tercio y la cuarta parte de mis años, suman los años que tengo más tres". ¿Qué edad tenía?.

252- Antonio y Juan tienen 570 pesetas., y el segundo tiene 330 ptas más que el primero. ¿Qué cantidad tiene cada uno?.

253- En un parque de artillería, hay un montón de bombas y otro de granadas que dan conjuntamente 413 proyectiles. Si el número de bombas excede al de granadas en 87, ¿cuántos proyectiles hay de cada clase?.

254- Descompóngase el número 426 en dos partes, tales que, el duplo de la menor exceda en 187 unidades a la mitad del mayor.

255- Descomponer el número 750 en dos partes, de modo que el quinto de la mayor exceda a la mitad de la menor en 59.

256- Hallar un número que, disminuyéndolo en 25, dé 111 menos el número que se busca.

257- Determinar un número tal, que la suma de su mitad, quinta y sexta partes sea igual a su mitad y tercio sumados con 115.

258- Si al duplo de la edad de Luis quitamos el cuádruplo de la que tenía hace 6 años, resultará su edad actual. ¿Cuál era su edad?.

259- Si del tercio, y la mitad de los huevos que hay en el cesto quitamos la cuarta parte de los mismos, sobran 21. ¿Cuántos huevos hay?.

260- La mitad, el tercio y la cuarta arte de la longitud de una pieza de tela suman la mencionada longitud más 2 m. ¿Cuántos metros mide dicha pieza?.

261- Un jugador triplicó su dinero y prestó 9 ptas a un amigo; triplicó lo que le quedaba, y prestó a su amigo 9 pesetas. más; volvió a triplicar el sobrante, prestó otra vez 9 pesetas y se encontró sin dinero. ¿Con cuántas pesetas empezó a jugar?

262- Cierto individuo repartió su dinero de la siguiente forma: la mitad, a su esposa; el tercio a su hijo; la décima parte a un sobrino, y 2000 pesetas. a su gato Luis Ricardo. ¿Cuánto dinero repartió?.

263- Distribúyanse 2000 pesetas. entre tres personas, de modo que la primera tenga tantas monedas de 5 ptas como la segunda de 2 pesetas y de a 1 pta. la tercera.

264- Un padre tiene 49 años y su hijo 11. ¿Cuántos años han transcurrido para que la edad del padre sea el triplo de la del hijo?.

265- Un militar que yo conozco entretiene sus ocios dedicándose con acierto a la cría de los canarios. Terminado este año, ha distribuido sus 250 pájaros en tres jaulas grandes: en la primera, hay 30 menos que en la segunda, y en ésta, 10 menos que en la tercera. ¿Cuántos canarios hay en cada jaula?.

266- En una reunión de 200 personas, compuesta de hombres, mujeres y niños, hay tres veces tantos hombres como niños, y 4 veces tantas mujeres como niños. ¿Cuántas personas hay de cada clase?.

267- Un dependiente de un comercio gasta en alimentarse la tercera parte de lo que gana mensualmente; en vestir, la décima parte; en gastos menores, la quinceava parte, y deposita 150 pesetas. en la Caja de Ahorros. ¿Cuánto gana cada mes?.

268- La guarnición de una fortaleza, compuesta de artillería e infantería, es de 500 hombres; cada artillero cobra 30 reales al mes, y 20 reales cada soldado de infantería. La guarnición gasta, diariamente, 400 reales. ¿Cuántos soldados hay de cada arma?. (Nota: el "real" es la cuarta parte de la peseta).

269- El dueño de una ebanistería ha contratado a un obrero en las siguientes condiciones: cada día que trabajara, ganará 40 reales y cada día que dejara de acudir al taller perderá 4 reales. Al cabo de 30 días ajustaron cuentas y el obrero cobró 38 duros. ¿Cuántos días había trabajado?. (Otra nota: el real ya sabéis lo que es. El duro de aquel tiempo era lo mismo que ahora: 5 pesetas. Lo que no es lo mismo es lo que cuesta vivir antes y ahora).

270- Enseñaba un padre a su hijo las letras del abecedario, y con el fin de estimularle, le dejo así: "por cada una de las 27 letras que aciertes, te daré 5 céntimos; más tú me darás 10 céntimos por cada vez que te equivoques". Leídas las letras, el padre dio al hijo 30 céntimos. ¿Cuántas veces se equivocó el niño?.

271.-Quiere uno distribuir las bolas que tiene entre cierto número de niños, y observa que, si da a cada uno 5 bolas, le sobran 5, y para dar a cada niño 6 bolas, le faltan 2. ¿Cuántos niños eran?.

272- Un caritativo caballero quiso distribuir el dinero que llevaba entre varios pobres, y observó que, para dar a cada uno 4 céntimos de peseta, le faltaban 40 céntimos, y que si daba 3 céntimos a cada pobre, le sobraban 20 céntimos. Averígüese cuántos eran los pobres.

273- Cierto individuo pagó 848 reales en 52 monedas de duro y de peseta. ¿Cuántas había de cada clase?.

274- Juan tiene 40 años; su hermano Enrique 30, y el hijo de éste 4. ¿Dentro de cuántos años, sumadas las edades de los dos últimos, darán la edad de Juan?.

275- Un tratante de pájaros tiene loros y cotorras, y entre unos y otras son 70. El precio de cada loro es de 60 pesetas., y 50 pesetas. el de cada cotorra, siendo el valor total de todos 3900 pesetas. ¿Cuántos pájaros hay de cada clase?.

276- Cierto sujeto compró un reloj y una cadena, pagando por cada una de ambas cosas igual cantidad. Si el reloj hubiese costado 100 pesetas. más y la cadena 200 pesetas. menos, el valor de la cadena hubiera sido la mitad de lo que pagó por el reloj: ¿cuánto costó éste?.

277- Una mujer tiene huevos en un cesto, y se propone venderlos a 7 céntimos cada uno: por un accidente casual, se le rompen 10 huevos, y ve que, para no perder nada, ha de vender los huevos que le quedan a 8 céntimos cada uno. ¿Cuántos llevaba?.

278- Un mercader compró cierto número de metros de tela a 20 pesetas. cada 9 metros, y luego los vendió a 30 pesetas. cada 10 m., ganando 280 pesetas. ¿Cuántos metros compró?.

279- Un filántropo caballero reparte cierto número de panes entre cinco familias necesitadas: a la primera le da la mitad de los panes menos 8; a la segunda la mitad de los que quedan menos 8; a la tercera la mitad de los que quedan menos 8, y lo mismo a la cuarta, dando por último a la quinta los 20 panes que quedan. ¿Cuántos panes repartió?.

280- Un acomodado labrador empleó 369,90 ptas en la compra de gallinas: pagó la mitad de ellas a 3,50 pesetas. por cabeza; la quinta parte de las mismas, a 4 pesetas y el resto a 5,20 pesetas. ¿Cuántas gallinas compró?.

281- El dueño de un comercio compró bastones de cuatro clases: los de la primera clase, que eran la décima parte de todos a 5 pesetas. uno; los de la segunda clase, que eran la quinta parte, a 2,50 pesetas.; los de la tercera clase, que eran la tercera parte a 3,40 pesetas y el resto a 4,125 pesetas. Importó la compra 1093,75 pesetas. ¿Cuántos bastones compró?.

282- Cierto buhonero recibió un número de sortijas, de cuya venta creía sacar 100 pesetas. Después de haber vendido 8 sortijas, un ladrón le robó la cuarta parte de los que quedaban, con lo que sólo pudo sacar de la venta 85 pesetas. ¿Cuántas sortijas tenía y a qué precio vendió cada una?.

283- Se han puesto dentro de una caja 3150 monedas de oro, plata y cobre: el número de las monedas de cobre es tres veces mayor que el de las de plata, y el número de las de oro es la quinta parte e las de plata. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?.

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PROBLEMAS DE ALGEBRA (tercera parte)Ir a primera parte - segunda parte

284- Compró un tabernero 500 l. de vino a 30 céntimos el litro, y los vendió, sin perder ni ganar nada, a 25 céntimos el litro. ¿Cuántos litros de agua mezcló?.

285- El tabernero que en el problema anterior se menciona, tiene vino de Jerez de a 30 y de a 22 pesetas. el decalitro. ¿Cuántos decalitros de la segunda clase deberá mezclar con 60 l. de la clase primera, deseando vender la mezcla a 25 pesetas. el decalitro?.

286- Divídase el número 400 en dos partes, tales, que su diferencia sea 60.

287- Dividir el número 100 en dos partes, tales, que la mayor sea igual al triple de la menor más 20.

288- Juan tiene un número de bolas tal, que, dando 30 a Luis, le queda tres veces más que si le diese 100. ¿Cuántas bolas tiene?.

289- Un jugador tenía 20 pesetas y otro 100; ganaron ambos igual suma, y entonces el segundo tuvo tres veces más dinero que el primero. ¿Cuánto ganó cada uno?.

290- Preguntaron a un pastor cuántas ovejas tenía en su rebaño, y respondió: "Si de las ovejas que tengo quitáis su mitad, a las que queden añadís 25 y volvéis a quitar las tres cuartas partes, me quedo sin oveja alguna". Hállese el número de ovejas que tenía.

291- Una señora necesitada quiere desprenderse de una sortija, unos pendientes y una pulsera, deseando que la venta de estos objetos le produzca 400 pesetas. El valor de la sortija es tres veces mayor que el de los pendientes, y el de la pulsera cuatro veces mayor que el de la sortija. ¿Por cuánto debe vender cada objeto?.

292- ¿Donde guardas las 48 pesetas. que ayer cobraste?, dijo Antonio a Serafín, y éste le respondió: No cobré tantas; mas, si hubiese recibido cinco veces más que las que cobré, las pesetas que tendría pasarían de 48 en tanto como me falta ahora para tener este número. ¿Cuántas pesetas tenía Serafín?.

293- Una campesina dice haber vendido la mitad menos 2 de los huevos que tenía en una cesta, y que ahora le falta vender las tres quintas partes de los mismos, menos 4 huevos. ¿Cuántos huevos llevaba en la cesta?.

294- Preguntaron a un matemático qué hora era, y contestó: "Queda de día el tercio de las horas que han pasado". ¿Qué hora era?.

295- Tenía un niño cierto número de naranjas, y las distribuyó entre tres amigos del siguiente modo: dio al primero la mitad de las naranjas más una; al segundo, la mitad de las que quedaban más la mitad de una; al tercero, la mitad de las que quedaban más la mitad de una, y resultó que había dado todas sus naranjas sin partir ninguna. ¿Cuántas naranjas tenía?.

296- Se sabe que el doble de la edad que tiene hoy una señorita, se quita el duplo de la que tenía 10 años atrás, se tiene su edad actual. ¿Cuántos años tiene?.

297- Tenemos dos toneles llenos de vino y de igual capacidad. Si sacamos 20 l. del primero y 90 l. del segundo, queda en el primero doble cantidad de líquido que en el segundo. Determínese la capacidad de estos toneles.

298- Pregunta un joven a su padre cuántos años tiene, y éste contesta: "Doce años atrás, tu edad era 1/4 de la mía; pero ahora es 1/2". ¿Qué edad tiene cada uno?.

299- Mezclando 32 decalitros de vino de Málaga de a 20 ptas del dl con vino de idem de a 14 ptas id., ¿cuántos dl. de la segunda clase deberán tomarse queriendo vender la mezcla a 18 pesetas.?.

300- 30 años atrás, la edad de Pedro era un tercio de la de Juan; mas hoy los años del primero son los 2/3 de los del segundo. ¿Qué edad tiene cada uno?.

301- Compré cierto número de kg. de cacao a 5 pesetas. uno, y luego los vendí a 6 pesetas. idem, ganando 40 pesetas. ¿Cuántos kg. compré?.

302- El dueño de una tienda de mercería compró cierto número de corbatas a 20 pesetas. la docena, las vendió del modo siguiente: la mitad a 2 pesetas. cada una; la mitad de las que quedaron a 2,50 pesetas. cada una, y el resto a 1,50 pesetas. Ganó 48 pesetas.: ¿cuántas corbatas había comprado?.

303- Un tendero compró una partida de litros de alcohol a 3 pesetas. el litro, y duplo número a 4 pesetas. el litro; los mezcló y vendió como sigue: la cuarta parte a 2,50 pesetas. el litro; la quinta parte a 3,50 pesetas y el resto a 4,50 pesetas. Ganó 16 pesetas.: ¿cuántos litros compró?.

304- Una fuente tiene cuatro caños: el primero da 2400 litros cada 5 horas; el segundo, 800 litros cada 4 horas; el tercero, 2000 litros cada 8 horas, y el cuarto 500 litros cada 2 horas. Manando juntos los cuatro caños, ¿qué tiempo necesitarán para dar 40000 litros de agua?.

305- Dos amigos tienen igual número de pesetas.; el primero gasta 120 pesetas., y el segundo 57., y entonces el primero se halla con el cuádruplo de pesetas que han quedado al segundo. ¿cuántas pesetas tenía cada uno antes de empezar a gastar?.

306- Una mujer vendió, en dos días, 1200 manzanas, por las que cobró 80 pesetas., 40 cada día; más el segundo día vendió las manzanas por la mitad de precio del día primero. Averígüese cuántas manzanas vendió cada día y a qué precio las vendió.

307- A un cocinero que venía de hacer su compra, le preguntaron cuántas naranjas llevaba en el cesto; aquel, hábil calculador, respondió: "La docena me costó 90 céntimos, y si yo tuviese 4 naranjas más por el dinero que he gastado, la docena me habría costado 10 céntimos menos." ¿Cuántas naranjas llevaba?.

308- Juan dice a Pedro: Si gastas la mitad y la quinta parte del dinero que tienes, podrás comprar un reloj que vale 84 pesetas., y le contesta Pedro: Si tu gastas la cuarta y la décima parte de tu dinero, también podrás comprar el mismo reloj. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?.

309- Un comerciante ha cobrado 215 ptas en monedas de 5 y de 2 pesetas., habiendo recibido el citado importe en 55 piezas. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?.

310- En un almacén hay 200 fardos de esparto de dos diferentes clases, cuyo peso total es 10800 kg. Los fardos de la primera clase pesan cada uno 60 kg., y 45 kg. cada fardo de la segunda clase: determínese cuántos fardos hay de cada clase.

311- Un tratante de caza y volatería ha comprado un número tal de perdices y conejos que suman, en conjunto, 72 cabezas y 208 patas. Averígüese cuántos animales de cada clase ha comprado.

312- La diferencia de los cuadrados de dos números es 448, y la suma de estos números 56. ¿Qué números son los de referencia?.

313- La diferencia de los cuadrados de dos números es 384: la diferencia de dichos números es 4. ¿Qué números son éstos?.

314- Se tiene una mesa de forma cuadrada. Si se prolongasen los lados opuestos 8 cm. y los otros dos en 3 cm, el área del rectángulo que resulta excedería a la del cuadrado en 22 cm2. Calcúlese, según esto, la longitud del lado de dicha mesa.

315- El dueño de una cochería ha comprado 50 quintales métricos de heno de primera clase y 35 quintales métricos de segunda, por 305 pesetas., y cede a su amigo, al mismo precio que compró, 10 quintales m. de la primera clase y 8 de la segunda por 64 pesetas. Hállese el precio a que pagó el quintal métrico de heno de cada clase

316- Luis y Carlos tienen tantas bolas que, el quinto de las del primero más el tercio de las del segundo suman las bolas de éste, y el duplo de las del segundo con la mitad de las del primero, dan las de éste más 6. ¿Cuántas bolas tiene cada uno?.

317- Preguntó José María a sus hermanas Angelita y Catalina qué edad tenían, y la primera respondió: "Si al cuarto y tercio de los años de Catalina, añades el tercio de los míos tendrás su edad; y si a la mitad, tercio, y cuarto de su edad añades el quinto de la mía, sabrás los años que yo tengo más 1." ¿Qué edad tiene cada una?.

318- Hallar una fracción de tal naturaleza que, si se añade 1 a cada uno de sus dos términos, se convierte en 4/5, y que, su se quitan 3 de cada uno de sus dos términos, se convierte en 2/3.

319- Hállense dos números cuya diferencia multiplicada por 5 sea 30, y cuya suma, más 4 sea 14.

320- Dos números son tales, que los 2/3 del segundo más el primero suman el segundo, y la mitad del segundo más la cuarta parte del primero dan el primero más 6. ¿Cuáles son esos números?.

321- Se repartió cierta cantidad en partes iguales entre varias personas; si hubiese habido 8 personas más, cada una hubiera recibido 2 pesetas. menos que las que les tocaron, y si hubiese habido 2 personas menos, cada uno hubiera cobrado 1 pta. más. ¿Cuántas eran las personas y cuánto recibió cada una?.

322- La suma de dos números es 48, y el cociente de los mismos 3. ¿Qué números eran éstos?.

323- Las edades de dos personas están, actualmente, entre sí, como 3 es a 2, y 5 años atrás, eran como 11 es a 7. ¿Qué edad tiene cada uno?.

324- Hombres, mujeres y niños, en número de 40 han solemnizado la fiesta de Navidad con un modesto banquete que ha importado 66 pesetas.: cada hombre ha gastado 4 pesetas., cada mujer, 3, y cada niño, 1. Se sabe que el número de niños era el triplo que el de hombres y mujeres juntos: ¿cuántos había de cada clase?.

325- Tiene Solita cierto número de monedas en cada mano, y dice a su amigo Román: "Si quito una moneda de la mano izquierda y la pongo en la derecha, tengo en ésta doble número que en la izquierda; pero si quito tres monedas de la mano derecha y las pongo en la izquierda, entonces tengo en ésta doble número que en la derecha". ¿Cuántas monedas tiene en cada mano?.

326- El dueño de una taberna tiene vino en dos toneles: si sacase 5 l. del primero y los echase en el segundo, habría en éste los litros que antes había en el primero, y si sacase 10 l. del segundo y los echase en el primero, entonces quedaría en el tonel segundo la sexta parte del vino contenido en el primero. ¿Cuántos litros de vino hay en el tonel?.

327- Tres jornaleros han cobrado el trabajo de una semana: el primero y el segundo han recibido, conjuntamente, 32 pesetas.; el segundo y el tercero, conjuntamente también, 43 pesetas., y la suma de lo cobrado por el primero y el tercero es 39 pesetas. ¿Cuánto ha recibido cada uno?.

328- Compró un niño cromos y bolas por valor de 55 céntimos, pagando por cada 4 cromos 5 céntimos, y 10 céntimos por cada 6 bolas. Dos días después vendió, a razón de como los había comprado, los 3/5 de los cromos y la tercera parte de las bolas por 25 céntimos. ¿Cuántos cromos y cuántas bolas compró?.

329- Un librero invirtió 1280 pesetas. en libretas y cartapacios, pagando las libretas a 6 pesetas. la docena y los cartapacios a 4 pesetas. el centenar. Para complacer a un compañero, cedióle, a iguales precios, 1/5 de sus libretas y los 3/4 de los cartapacios por 300 pesetas. Determínese cuántas libretas y cuántos cartapacios compró el librero.

330- Un tabernero tiene vino de tres clases, cuyos precios son 7,4 y 3 pesetas. el decalitro, respectivamente. Se propone obtener 200 decalitros de mezcla para venderlos a 4,50 pesetas. el decalitro, y desea que entren en la mezcla tantos decalitros de la tercera clase como de la primera y segunda juntos. ¿Qué cantidad de vino deberá tomar de cada clase?.

331- Tenemos tres bolsas, cada una de las cuales contiene cierta cantidad de dinero: si se tomasen 2 pesetas. de la segunda y se pusiesen en la primera, habría en la primera doble cantidad de lo que entonces contendría la segunda; si se sacasen 7 ptas de la tercera y se pusiesen en la segunda, habría en ésta 9 veces lo que contendría la tercera, y si sacásemos 4 ptas de la tercera y las pusiésemos en la primera, quedaría en la tercera la cuarta parte del dinero que contendría la primera. ¿Cuánto hay en cada bolsa?

332- Al autor de éste libro, en 1893, un Profesor amigo le preguntó qué edad tenía, y aquel contestó: "El año en que nací lo representa un número de cuatro guarismos, cuyos valores absolutos suman 21; la cifra de las centenas es igual a la de sus unidades sumada con la de los millares; el duplo de la cifra de las unidades es igual a la suma de las decenas, centenas y millares, y la cifra de las decenas vale tanto como la suma de la de los millares con la mitad de la de las centenas". Averígüese en qué año nació el autor de éste libro y cuántos años tenía.

333- Determínese la longitud del radio de un cilindro cuyo volumen es 4,7500992 m3 y 4,20 m. su altura.

334- ¿Cuál es el número que, multiplicado por sus 3/5 da de producto 6615?.

335- Pedro tiene tanto dinero como los 2/3 del que posee Luis, y si las pesetas de éste se multiplican por las del primero se obtiene 3174. ¿Cuántas pesetas tiene cada uno?.

336- Aumentando un número en 4 unidades y multiplicándole por el mismo número disminuido de 4 unidades, se obtiene 609. ¿Qué número es el de referencia?.

337- Calcúlense las dimensiones de la base y altura de un campo de forma rectangular cuya área es de 10800 m2 sabiendo, además, que la altura es los 3/4 de la base.

338- ¿Cuál es el número cuyo cuadrado disminuido en 924, es igual a 20 veces dicho número?.

339- Si al triplo de las pesetas que tiene Andrés más el duplo de dichas pesetas, se quitan 240 pesetas., resultan 1000 pesetas. cabales. ¿Cuántas pesetas tiene Andrés?.

340- Si al duplo del cuadrado de la edad que tiene un niño, más el triplo de esta edad, se añaden 48 años, resultan 200 años. ¿Cuántos años tiene el niño?.

341- Descomponer el número 40 en dos partes, tales, cuyo producto sea 256.

342- Las tres cuartas partes del cuadrado del valor de un libro, más el duplo de este valor, más 1 pta., equivalen a 6 veces el valor del libro más los 2/3 de este valor. ¿Qué precio tiene el libro?.

343- Hállese un número tal, que su cuadrado, disminuido en 5 unidades, sea igual a 4 veces dicho número.

344- Calcúlese el número cuyo cuadrado, sumado con el duplo y el cuádruplo de dicho número, den de suma 135.

345- Hállense dos números enteros consecutivos cuyo producto sea 1056.

346- ¿Cuál es el número que excede a su raíz cuadrada en 123 unidades?

347- La diferencia de dos números es 14, y 436, la suma de sus cuadrados. ¿Qué números son éstos?.

348- El área de un triángulo es 2480 m2., y se sabe que la altura mide 18 m. menos que la base. ¿Cuánto miden la base y la altura?.

349- Determínense las dimensiones de un rectángulo cuya área es de 2520 m2., sabiendo que la base tiene de longitud 18 m. más que la altura.

350- El área de un rectángulo es 1000 m2., y su perímetro mide 140 m. ¿Cuáles son sus dimensiones?.

351- Un señor tiene 42 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple de la del hijo?.

352- El cociente y el resto de una división entera son iguales a 4. Entre el dividendo y el divisor suman 149. Hállalos.

353- Hallar cuatro múltiplos de 3, consecutivos, tal que su suma sea 1218.

354- Agregando una misma cantidad a los números 11, 16, 35 y 40 se puede escribir con ellos una proporción (en el orden dado). ¿Qué cantidad deberemos añadir?.

355- De dos ciudades, distantes 84 km, parten a encontrarse dos móviles, uno con una velocidad de 9 km/h y otro con una velocidad de 13 km/h. ¿Qué tiempo tardarán en encontrarse si el primero salió 2 h antes que el segundo?.

356- En una carretera, y por este orden, se encuentran las ciudades A, B y C. A las 9 de la mañana sale de B hacia C un móvil, con velocidad de 15 km/h; 2 h después sale de A un móvil persiguiendo al anterior con velocidad de 20 km/h. Si la distancia AB es de 40 km, se pide: 1°, ¿a qué hora alcanza el segundo móvil al primero?. 2°, Si la distancia BC es 100 km, ¿le alcanzará antes o después de la ciudad C?.

357- Entre dos obreros hacen un trabajo en 3 h. Uno de ellos solo lo hace en 4 h. ¿Cuántas horas tardará en hacerlo el otro trabajando solo?.

358- Una fuente llena un depósito en 12 h y otra en 20 h. ¿Qué tardarán en llenarlo manando juntas ambas fuentes?.

359- Hallar dos números consecutivos, tales que la suma de sus cuadrados sea 481.

360- Dos fuentes llenan un depósito en 6 h. ¿En cuánto tiempo lo llenaría cada una por separado si la primera lo hace en 5 h menos que la segunda?.

361- El perímetro de un rectángulo es de 98 m. Su área es de 570 m ². Hallar sus dimensiones.

362- Los tres lados de un triángulo miden 18, 16 y 9 m. Determinar que misma cantidad se debe restar a cada lado para que resulte rectángulo.

363- Hallar dos números pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 452.

364- Dos números suman 62. Sus cuadrados suman 1954. Hállalos.

365- El área de un triángulo rectángulo es 60 m ² y la suma de sus catetos es 23 m. Hallar sus lados.

366- Aumentando un lados de un cuadrado en 4 m y los lados contiguos en 6 m, se obtiene un rectángulo de doble área que el cuadrado. Hallar el lado del cuadrado.

367- El perímetro de un triángulo rectángulo es de 70 m y la hipotenusa 29 m. Hallar los lados.

368- Dos nadadores atraviesan un río, partiendo de orillas opuestas al mismo tiempo, y regresando luego cada uno a la orilla de que salió. Se encuentran en el viaje de ida a 300 m de una orilla y al regreso se cruzan a 450 m de la orilla opuesta. ¿Cuál es la anchura del río?.

369- Los grifos A y B llenan un depósito en 1 h y 10 min. Los grifos A y C lo hacen en 1 h y 24 min. Los grifos B y C lo llenan en 2 h y 20 min. Determinar el tiempo que tardarán en hacerlo cada uno por separado y los tres conjuntamente.

370- Los lados de un triángulo valen 15, 18 y 23 cm. Con centro en cada vértice se trazan tres circunferencias que son tangentes entre sí dos a dos. Hallar los radios de las mismas.

371- Hallar las edades de un abuelo, un padre y un hijo, sabiendo que en la actualidad la edad del abuelo es doble que la edad del padre y de éste doble que la del hijo, y que las tres suman 140 años.

372- Un obrero ha trabajado en dos obras durante 38 días. En la primera cobra 630 pesetas diarias, y en la segunda, 555 pesetas diarias. Sabiendo que ha cobrado en total 22965 pesetas, ¿cuántos días ha trabajado en cada obra?.

373- Un padre reparte entre sus hijos cierta cantidad de dinero. Si hubiera dos hijos menos a cada uno le corresponderían 13000 pesetas, y si hubiera 4 hijos más a cada uno le corresponderían 10000 pesetas. Determinar el número de hijos y la cantidad repartida.

374- Hallar dos número tales que su suma y su producto sea 1.

375- Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las mismas es 10 y el producto de sus cuadrados es 625.

376- Dividir el número 46 en dos partes tales que 1/7 de una más 1/3 de la otra sumen 10.

377- ¿Cuál es el número cuyos 3/4 menos 8, y la mitad más 5 dan 122.

378- Se han vendido 1/3, 1/4 y 1/6 de una pieza de tela, de la cual todavía quedan 15 m. Búsquese se la longitud total de la pieza.

379- Repártase 100 pesetas entre tres personas, de manera que la primera reciba 5 pesetas más que la segunda y que ésta reciba 10 pesetas más que la tercera.

380- Repartir 90 € entre 3 personas de manera que la tercera reciba 5 € menos que la segunda y ésta 10 € más que la primera.

381- La suma de las edades de 3 personas es 100 años. Averigua la edad de cada uno sabiendo que la de en medio tiene 10 años más que la más joven y que la mayor tiene tantos años como las otras dos juntas.

382- Las edades de una madre y de sus dos hijos suman 60 años. Búsquese la edad de cada uno de los hijos, sabiendo que el mayor tiene tres veces la edad de su hermano y que la madre tiene el doble que la edad de sus hijos.

383- En 3 días un Banco recibió 16800 pesetas. Hállese el ingreso diario, sabiendo que esto ocurrió hace muchos años ya que si es en la actualidad al cabo de un mes está en quiebra, y que cada día recibió 1/4 de lo que había recibido la víspera.

384- En 3 meses una fábrica de armas -son unos belicistas- suministró 55.900 fusiles (supongamos que son para cazar conejos en Australia). Halla la producción mensual, sabiendo que cada mes se entregaban los 17/10 del número de armas del mes anterior.

385- 5 personas se han repartido 8.591 €; busca la parte de cada una, sabiendo que la segunda recibió los 3/4 de lo que recibió la primera, la tercera los 3/4 de lo que recibió la segunda y así sucesivamente.

386- Una persona gasta la mitad de lo que gana en su alimento, y 1/3 en sus otros gastos; después de 40 días ha ahorrado 30 _; ¿cuánto gana por día?.

387- Descomponer 176 en dos partes que sean entre sí como 5 es a 6.

388- Búsquese en número cuyos 2/7 más los 0,291 hagan 0,0027.

389- Dos fincas han costado 33000 €; ¿cuál es el valor de cada una, sabiendo que el tercio y el cuarto del precio de la primera es igual a los 7/10 del precio de la segunda?.

390- Hállense dos números consecutivos cuya suma sea igual a los 2/3 del primero más los 117/88 del segundo.

391- Dividir el número 200 en dos partes tales que dividiendo la primera por 16 y la segunda por 10, la diferencia de los cocientes sea 6.

392- Hállese un número que, dividido por 5, dé 1 de resto; por 6, 2; por 7, 5; y cuya suma de los cocientes sea igual a la mitad del número menos 2.

393- ¿Qué número debe agregarse a los dos términos de la fracción 23/40 para que se convierta en 2/3?.

394- Búsquese una proporción cuyos cuatro términos excedan igualmente a los números 11, 6, 8 y 4.

395- La suma de los cuatro términos de una proporción es 65; cada uno de los tres últimos términos es los 2/3 del precedente; búsquese esta proporción.

396- Un padre tiene 40 años y su hijo 12; ¿cuántos años hace que la edad del padre era 5 veces la edad del hijo?.

397- La edad de una persona es doble de la de otra, y hace 7 años la suma de las edades de las dos personas era igual a la edad actual de la primera; ¿cuáles son actualmente las edades de las dos personas?.

398- Un padre decía a su hijo: Ahora tu edad es el quinto de la mía; hace 5 años no era más que el noveno; ¿qué edad tenemos los dos?.

399- Un niño nació en noviembre, y el 10 de diciembre tiene una edad igual al número de días transcurridos del 1° de noviembre al día del nacimiento; hállese la fecha del nacimiento de este niño.

400- ¿Cuál es la fecha del mes de marzo en la cual la fracción transcurrida del mes es la misma que la fracción transcurrida del año: 1°, para un año común. 2°, para un año bisiesto.

401- Un comerciante compra vino a 30 € el hectolitro; vende la mitad a 35 €; el tercio a 29 € y el resto a 32 €. Realiza una ganancia de 1815 e. ¿Cuántos hectolitros compró?.

402- Se tienen 100 litros de vino a 0,45 € el litro. ¿Qué cantidad de vino a 0,60 e el litro debe agregarse para que la mezcla salga a 0,50 € el litro?.

403- Dos viajeros salen al mismo tiempo, el uno de A, y el otro de B; van al encuentro uno de otro y caminan, el primero 5 Km/h, el segundo 5,5 Km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán sabiendo que la distancia entre los dos pueblos es de 60 Km?.

404- Una persona viaja haciendo 7 leguas en 5 horas; 8 horas después sale otra persona de la misma ciudad, haciendo 5 leguas en 3 horas. ¿Cuántas leguas recorrerá la primera persona antes que le alcance la segunda?.

405- De cierta ciudad sale un móvil que anda 28 Km en 5 horas; de otra ciudad situada 32 Km atrás de la primera sale, 8 horas después en el mismo sentido, un segundo móvil que anda 20 Km en 3 horas. ¿Cuándo y dónde el segundo móvil alcanzará al primero?.

406- Un convoy sale a las 8 horas 20 minutos para recorrer un trayecto de 471 Km que efectúa en 16 horas y 40 minutos. ¿Qué velocidad debe llevar un segundo convoy que sale 1 hora y 20 minutos después del primero para que lo alcance a 356 Km del punto de partida?.

407- Un zorro perseguido por un galgo le lleva 50 saltos de ventaja, y da 4 saltos mientras el galgo sólo da 3; pero 2 saltos del galgo equivalen a 3 del zorro. ¿Cuántos saltos dará el galgo para alcanzar al zorro?.

408- Un maestro propone 16 problemas a un discípulo y le promete 5 vales por cada uno de los problemas que resuelva, a condición de que el alumno le dé 3 vales por cada uno de los que no resuelva. Sucede que el maestro y el alumno, al final, no se deben nada. ¿Cuántos problemas resolvió correctamente el alumno?.

409- En un juego de tiro se pagan 0,40 € por cada tiro errado, y se recibe 1 € por cada tiro acertado. Si después de 25 tiros el tirador debe 10 € al dueño del tiro, ¿cuántos acertó?.

410- Un escribiente entra al estudio de un notario; se le prometen 2600 pesetas, y una gratificación por 5 años de trabajo. Al cabo de 3 años y 3 meses, el escribiente abandona el estudio medio muerto de hambre, y recibe con su gratificación 850 pesetas. ¿A cuánto asciende la gratificación?.

411- Un viajero gasta todos los días la mitad de lo que posee más 1 €. Al cabo de 3 días ha gastado todo. ¿Qué suma tenía?.

412- Un comerciante aumenta cada año su fortuna en un tercio de su valor y gasta 1000 €. Habiéndose duplicado su fortuna al final de tercer año, se pregunta cuánto tenía al principio.

413- Otro comerciante, tal extraño como el del problema anterior, (¡vaya manera de calcular dineros!) al final del primer año de comercio, encuentra que habría duplicado su dinero si hubiera 1.500 € más; le pasa lo mismo lo mismo al final del segundo y del tercer año, y entonces tiene un capital que son los 11/4 del capital primitivo. ¿Cuál es éste?.

414- ¿Os acordáis del pesado del problema 51?. Pues ahora parece que ha resucitado para cambiar el testamento de la siguiente forma: Al Partido Kalahorricitano (P.K.) le lega 1.000 pesetas y 1/7 del resto; al Partido Independentista con Ombligos (P.I.C.O.) 2.000 pesetas más 1/7 del nuevo resto; a la Mutualidad Uniformemente Amigable (M.U.A.) 3.000 pesetas y 1/7 del nuevo resto, y así sucesivamente. Averigua cuánto ascendía la fortuna del mencionado fiambre y a cuántas extrañas asociaciones o partidos legó su dinero sabiendo que a todos les dejó lo mismo.

415- La víspera de una batalla, los efectivos de dos ejércitos eran entre sí como 5 es a 6; el primero perdió en la batalla 14.000 hombres y el segundo 6.000; la relación es entonces de 2 a 3. ¿De cuántos hombres estaba formado cada ejército?.

416- Un comerciante tiene vino de dos clases; cuando la mezcla está en la relación de 4 a 5, el hectolitro vale 50 €; cuando la mezcla es de 3 a 2, el hectolitro no vale más que 48,60 €. ¿Cuál es el precio del hectolitro de cada clase?.

417- Determinar el volumen de dos líquidos cuya densidad es la de uno 1,3 y la de otro 0,7, sabiendo que si se mezclan, el volumen es igual a 3 litros y la densidad es 0,9.

418- Dos obreros trabajan juntos; el primero gana por día 1/3 más que el segundo. Al cabo de cierto tiempo, el primero, que ha trabajado 5 días más que el segundo, ha recibido 100 €, mientras que el otro ha recibido 60 €. ¿Cuánto gana cada uno al día?.

419- Un niño dice a su amigo: "Dame 5 canicas y tendremos tantas el uno como el otro". El otro le contesta: "Dame 10 de las tuyas y tendré el doble de las que te queden". ¿Cuántas tienen cada uno?.

420- Una señora compra en el almacén 10 m de terciopelo y 12 m de seda. El importe neto de la factura es de 347,90 € después de la deducción del 2 % sobre el precio de las mercancías. Pasado algún tiempo compra 4 m de terciopelo y 6 m de seda, y, por un descuento que le hacen del 4 % no paga más que 146,40 €. ¿Cuál es el precio del metro de cada género?.

421- La cifra de las decenas de un número es los 2/3 de la cifra de las unidades, el número leído al revés excede el 13 al número primitivo. ¿Cuál es ese número?.

422- La cifra de las centenas de un número de tres cifras vale 3/5 de la cifra de las unidades, y la cifra de las decenas es la mitad de la suma de las otros dos. Búsquese este número, sabiendo que agregándole 198 se obtiene el número invertido.

423- Determinar un número comprendido ente 400 y 500 sabiendo que la suma de sus cifras es 9 y que el número leído al revés no es más que los 36/47 de número primitivo.

424- Isaac Newton nació en el siglo XVII y murió en el XVIII. Se pregunta el año de su nacimiento y el de su muerte, sabiendo que el número formado por las dos últimas cifras de la época de su nacimiento, aumentado en 12 es el doble del número formado por las dos últimas cifras del año de su muerte, y que éste último número de dos cifras, aumentado en una unidad es los 2/3 del primero.

425- La fecha de la invención de la imprenta por Gutemberg está expresada por un número de cuatro cifras: búsquese este número, sabiendo que la suma de las cifras es 14, la cifra de las decenas es la mitad que la de las unidades, la cifra de las centenas es igual a la suma de la cifra de las decenas y millares, y si se añade 4.905 a este número se obtiene el número invertido.

426- Si has llegado aquí te mereces un premio: ¿qué número hay que sumarle al 1 para que dé 2? (la respuesta no está en el solucionario).

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1.- 5 + 6x = 2

2.- 4b + 1 = -18

3.- 18c - 3 = 0

4.- 5 - 2d = 9

5.- - 3f + 1 = 4

6.- - 2 - 5g = 0

7.- 13 - h = 13

8.- 5j - 9 = 3j + 5

9.- 2k + 7 = 12 - 3k

10.- 10 - 4x = 7 - 6x

11.- 5m - 3,2 = 2m + 2,8

12.- 5n - 2n + 12 = 35 - 4n - 9

13.- 3ñ - 15 + 2ñ - 14 = ñ - 11

14.- 48p - 13 + 12p = 72p - 3 - 24p

15.- q - 3 + 6q - 9 + 12q - 15 = q

16.- 6r + 12r - 9 - 8r + 10 + r = 0

17.- 5s + (4 - s) = 9 - (s - 6)

18.- (3t - 1) + 7 = 8t - (3 - 2t)

19.- 3 - (8v - 5) + (6 - 7v) - 1 = 7 - (v -1) + (4v + 4)

20.- (3w - 8) - (4 - 9w) + 3 = 7w - 2 - (5w + 9 - 3)

21.- -(4x - 6 + 5x) + (9 - 5x + 3 - 2x) = 7x - (1 - 6x)

22.- 12y = 3(3y - 5)

23.- 3z - 1 = 2(z - 1)

24.- 2(b + 2) - 5(2b - 3) = 3

25.- 7 - 6(c - 1) + 3(3 - 4c) = 7 + (7c - 4)

26.- 4 - 2(d + 7) - (3d + 5)=2d + (4d - 9 + 3d) - (d - 3)

27.- 8(6f - 14) - 7(12 - 5f) + (23f + 2) - (2f + 65) = 0

28.- 21 - [5g - (3g - 1)] - g = 5g - 12

29.- 40h - [24 - (6h + 8) - (5 - 2h)] = 3 - (8h - 12)

30.- 3[2 - (3j - 6)] + 4[6j - (1 - 2j)] = 4 - 5j

31.- 2 - {k - [6k - (1 - 2k)]} = 100

32.- 3[2x - (5x + 2)] + 1 = 3x - 9(x -3)

33.- 2 - {2m + [2m - (2 - 2m)]} = 2

34.- 34 - 52(12n - 34) + 235 = 32 + 101(35n - 1)

35.- 2 - (3ñ + 4) - (5ñ - 6) - (7ñ - 8) - (9ñ - 10) = 11

36.- 2[7p - 2(p - 1)] + 3(4p + 7) = 5 - (p - 1)

37.- 8{2 - [q + 2(q - 3)] + 1} = 3 - (8 - 3q)

38.- 2 - 3(r - 7) - 7r = 4(r - 2) + 8

39.- 33,7 - (1,5s + 2,3) = 3,4s - (0,4 - 5,7s)

40.- (t - 3) ² - (t - 2) ² = 5

41.- (2v - 4) ² + 6.v - 3 = 4.v ² - (3.v - 1)

42.- (w + 3) ² + 4 = (w - 2) ² + 5w - 2

43.- (3x - 3) ² - (2x - 7) = (3x - 5)(3x + 5)

44.- 2 - (y + 1) ² = 5 - 3[y - (5y + 9)] - y ²

45.- 6z - 1 + 2z + 5z - 9 - 234 = 999

46.- 2{x - [x - (x - 1)]} + (x + 2) = 256

47.- (x - 7) ² - (1 + x) ² = 2(3x - 4)

48.- 6x - (2x - 1)(2x + 1) = 2 - (3 + 2x) ²

49.- 7 - [8x - 3(x + 3)] = 5x - (4 - 2x)

50.- 1 - a = 1

51.- b/5 = 1/2

52.- 2.c/7 = 3/4

100.- (x - 2) ² - (x + 1).(x - 1) = 5

SOLUCIONES A LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO

(salvo error u omisión, por supuesto)

1. -1/22. -19/4

21. 19/2922. -5

41. 12/742. -11/5

61. 7/1062. 8/3

81. -27/3882. 28/3

3. 1/64. -25. -1

6. -2/57. 08. 79. 1

10. -3/211. 212. 2

13. 9/214. 5/615. 3/2

16. -1/1117. 11/518. 9/7

19. 1/1820. 1/10

23. -124. 2

25. 19/2526. -9/13

27. 259/10428. 4

29. 1/230. -4/731. 99/732. -32/333. 1/3

34. 2106/415935. 19/2436. -19/2337. 77/2738. -21/8

39. 340. 0

43. 41/2044. -31/14

45. 1243/1346. 256/347. 28/1148. -4/949. 5/350. 0

51. 5/252. 21/8

53. 554. 5055. -256. 5

57. -46/1558. 259. 160. -8

63. 67/2564. 91/62

65. 539/7366. 734/22367. 173/66

68. -491/31469. 53/2870. 78/1771. 47/4

72. 127/8973. 159/2574. -7/39

75. 137/2676. 73/7177. 16/3

78. 677/8979. -71/480. -15/62

83. 19/1384. 767/451

85. 6/786. -28/3387. 169/34

88. 26/389. 139/62

90. -117/12191. 135/146

92. 9/1993. 76/4794. -56/1995. 23/18

96. 173/29697. 130/7198. -11/3

99. -23/28100. 0

Matemática - EcuacionesSOLUCIONES A LOS PROBLEMAS

(s.e.u.o.)(las soluciones se dan sin unidades)

1.- x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = 60

solución: x = 10

2.- x (50 - x) + (50 - x) x = 1050

Solución: x = 15 ó x = 35

3.- 48 - x = 3x + 4

Solución: x = 11

4.- (x + 1)³ - x³ = 397

Solución: x = 11

5.- x = 2,50 (x - 15)

Solución: x = 25

6.- 2.x + 2.x/5 = 273Solución: x = 195

7.-  

x/y = 5/4(x - 2500)/(y + 12,5.y/100) = 25/24

Solución: x = 40000; y = 32000

8.-  

x/2 + (x + 1) - 13 = x/5 + (x + 1)/11 Solución: x = 10

9.-  

x + z - y = 0x + y + z = 10

(100.x + 10.y + z) - (100.z + 10.y + x) = 297Solución: x = 4; y = 5; z = 1

10.-  

x + y = 55x.z = y.uy.z = 360x.u = 250

Solución: x = 25; y = 30; z = 12; u = 10

11.-  

(x + 1).x.(x - 1)/[(x + 1) + x + (x - 1)] = 5 Solución: x = 4

12.-  

x/y = 3/4(x + 10)/(y + 10) = 11/14

Solución: x = 45; y = 60

13.-  

x.y = 1200(x - 4)/(y + 10) = 1200

Solución: x = 24; y = 50

14.-  

x + 3.(x - 10)/5 = (10 - x) + x/4 Solución: x= 4.4

15.-  

Adivina adivinanza, ¿cuál será la ecuación?. Solución: 3

16.-  

(11 - x).(350 + 50.x) = 11.x.350 Solución: x = 4

17.-  

x + y + z = 9y = (x + z)/2

(100.x + 10.y + z) - (100.z + 10.y + x) = 198Solución: x = 4; y = 3; z = 2

18.-  

x + 2.x + 9.x = 156 Solución: x = 13

19.-  

(x + 1).(4 - x) = (x + 4).(x - 1) Solución: x = 2

20.-  

2.x + 4.(61 - x) = 196 Solución: x = 24

21.-  

9.£ + 15.$ = 247515.£ + 9.$ = 3165

Solución: $ = 36; £ = 175

22.-  

x.y = 540(x + 6).(y - 3) = 540

Solución: x = 30; y = 18

23.-  

120/x - 120/y = 6120/(x + x/2) - 120/(y + y/6) = 4

Solución: xl = 2.5; y = 2.857

24.-  

x + 2.x + 3.x - 18 = 90 Solución: x = 18

25.-  

x/y = x - yx = 5.y + 6

Solución: x = 11.530; y = 1.106

26.-  

x/y = 6/11y - x = 35

Solución: x = 42; y = 77

27.-  

x/y = 4/5(x - 3)/(y - 3) = 3/4

Solución: x = 12; y = 15

28.-  

(x - 4)/(y + 5) = 1x/(y - 7) = 3

Solución: x = 24; y = 15

29.-  

(x + 1)/y = 1/3x/(y + 1) = 1/4

Solución: x = 4; y = 15

30.-  

x + y = 5x + z = 7y + z = 8

Solución: x = 2; y = 3; z = 5

31.-  

x/3 + x/4 + x/8 + x/12 + 5 = x Solución: x = 24

32.-  

x + 2.x/3 + 4.x/9 + 8.x/27 = 65 Solución: x = 27

33.-  

7.x/15 + 1/3 = x/2 Solución: x = 10

34.-  

x.(y + 2) = 360y.(x + 30) = 360

Solución: x = 6; y = 4

35.- x + 5 = 2.[(45 - x) - 5]

Solución: x = 25

36.- 54.x + (60/10).(9.x) + 30 = (54/10).(9.x) + 60.x

Solución: x = 50

37.- x + 4.x/5 + 2.x/3 = 3950

Solución: x = 1601.35

38.- x - 7.x/8 + 38 = 3.x/5

Solución: x = 80

39.- (4.x/11).(440) + (x/3).(520) + 340.(x - 4.x/11 - x/3) = 11600

Solución: x = 26.583

40.- 800.x = 1000.(x - 150)Solución: x = 750

41.-  

(3.x/5 - 20)/211,25 = 1088 Solución: x = 383100

42.-  

c + 3.(a - j) = jc + a + j = 515

a = 9.c/8Solución: x = 383100

43.-  

2.x - 3.z = 45.y - z/3 = 50

x + y + z = 275

Solución: x = 155.70; y = 16.83; z = 102.46

44.-  

¿Sabes leer lo que pone? Solución: 4/11

45.-  

x - 2.x/5 = y - y/3x - 2./5 + y - y/3 = 1/2

Solución: x = 0.416; y = 0.375

46.-  

x.y = z(x + 3).(y - 25) = z(x - 2).(y + 25) = z

Solución: x = 12; y = 125; z = 1500

47.-  

50.(2.x) + 25.x + 5.(2.x/6) = 760 Solución: x = 2

48.-  

x ² + y ² = 10 ²x.y = 48

Solución: x = ±6; y = ±8

49.-  

x/2 + 2 + (1/2).[x - (x/2 + 2)] + 2 + (1/2).{x - [x/2 + 2 + (1/2).(x - (x/2 + 2) + 2)]} + 2 = x

Solución: x = 28

50.-  

(20/21).(2/5).(7.x/8) = 80 Solución: x = 240

51.-  

x/2 + x/5 + x/9 + 45360 = x Solución: x = 240141.18

52.-  

B = 4.A/3 + 1C = 4.B/3 + 2

C = 2.A

Solución: A = 15; B = 21; C = 30

53.-  

x/5 + (x - x/5)/4 + 30 = x Solución: x = 50

54.-  

x.y = 16200(x - 2).(y + 270) = 16200

Solución: x = 12; y = 1350

55.-  

x = 2000 + y5.x/6 = 1000 + y

Solución: x = 6000; y = 4000

56.-  

7.x/20 + (9/13).(x - 7.x/20) + 12 = x Solución: x = 60

57.-  

x + y = 8445.x + 36.y = 3105

Solución: x = 9; y = 75

58.-  

4.[3.(2.x - 1000) - 1800] - 2400 = 1920 Solución: x = 980

59.-  

2.x/7 + (2/5).(x - 2x./7) + 6 = x Solución: x = 14

60.-  

¿Sabes sumar, restar, multiplicar y dividir?  

61.-  

5.(4000 - x)/6 = 3500 - x Solución: x = 1000

62.-  

h + m = 600015.m/100 = 10.h/100

Solución: h = 3600; m = 2400

63.-  

(4/5).(3.x/4) = 744 Solución: x = 1240

64.-  

x.y = 720(x - 4).(y + 6) = 720

Solución: x = 24; y = 30

65.-  

15/(x + 6) + 12/x = 1 Solución: x = 24

66.-  

x.y = 108(x - 6).(y + 0,6) = 108

Solución: x = 36; y = 3

67.-  

22.x/25 + 6 = x Solución: x = 50

68.-  

x + y = 1800x + 12.x/100 + y - 15.y/100 = 1800

Solución: x = 1000; y = 800

69.-  

70.x - 50.(25 - x) = 550 Solución: x = 15

70.-  

2.(220.A) = 300.B150.A + 8400000 = 150.B

Solución: A = 120000; B = 176000

71.-  

[5000 - 8.(5000)/100].x = 25.(5000) + 13000 Solución: x = 30

72.-  

10.A + 8.B = 2406.A + 15.B = 297

5.A + 20.B = x

Solución: A = 12; B = 15; x = 348

73.-  

x + y = 141/x + 1/y = 7/24

Solución: x = 6; y = 89

74.-  

x + x/10 = 180 Solución: x = 163.33

75.-  

18.Ag + 13.Au = 31500Au = 4.Ag

Solución: Ag = 450; Au = 1800

76.-  

x + z = 5y + z = 4

(100.x + 10.y + z) - (100.z + 10.y + x) = 99Solución: x = 4; y = 1; z = 3

77.-  

1/(x + 2) + 2.x = 31/5 Solución: x = 3

78.-  

x/4 + x/5 + 1 = (x + 1)/3 + (x + 1)/7 Solución: x = 20

79.-  

15.x = y16.(x - 1) + 11 = y

Solución: x = 5; y = 75

80.-  

140.(x + 2,5) + 170.x = 5000 Solución: x = 15

81.-  

(2.x + 12)/2 - x = ¡ufff! Solución: 6

82.-  

x.y = 540(x - 1).(y + 6) = 540

Solución: x = 10; y = 54

83.-  

3.x/5 + (7/8).(x - 3.x/5) + 10 = x Solución: x = 200

84.-  

x.y = 108000(x - 2).(y + 9000) = 108000

Solución: x = 6; y = 18000

85.- ¿Has visto lo que pone en el problema 60?.

Matemática - EcuacionesSOLUCIONES A LOS PROBLEMAS

(s.e.u.o.)(las soluciones se dan sin unidades)

86.-  

x.(x + 2) = 4224 Solución: x = 64

87.-  

x + y = x.yx + y = x ² - y ²

Solución: x = 2.618; y = 1.618

88.-  

x ² + (x + 1) ² + (x + 2) ² = 12.(x + 2) + 5

Solución: x = 4

89.-  

x/y = 3/4x ² + y ² = 324900

Solución: x = 342; y = 456

90.-  

x/13 + 13/x = 194/65 Solución: x = 5

91.-  

x ² + y ² + z ² = 117y ² = 3.x.z + 1

z = x/4Solución: 872

92.-  

x + y = 100x ² - y ² = 1000

Solución: x = 55; y = 45

93.-  

x + y = 56x ² - y ² = 448

Solución: x = 32; y = 24

94.-  

x + y = 181/x + 1/y = 9/40

Solución: x = 10; y = 8

95.-  

895 - x = 6.x + 6 Solución: x = 127

96.-  

x + 10 = 80 - x - 10 Solución: x = 30

97.-  

x + y = 1210.x + y - (10.y + x) = 36

Solución: 84

98.-  

x.(x/4).(x/6)/(8.x/9) = 243 Solución: x = 81

99.-  

x + y = 910.y + x = 9 + 4.(10.x + y)

Solución: x = 18

100.-  

v.t = 200(v - 10).(t + 1) = 200

Solución: v = 50; t = 4

101.-  

v.t = 12(v - 10).(t + 1) = 12

Solución: v = 50; t = 4

102.- 60.t + 90.t = 90

Solución: t = 0.6

103.- 19.t + 14.t = 132

Solución: t = 4

104.- 120.(t - 5/60) = 90.t

Solución: t = 1/3

105.- 60.t = 80.(t - 2)

Solución: t = 8

106.- 10/v + 10/(v + 2) = 4 + 10/60

Solución: v = 4

107.- 8/(v + 1) + 15/v = 7

Solución: v = 3

108.- x/40 + x/60 = 2

Solución: x = 48

109.- x/12 + x/4 = 2,5

Solución: x = 7.5

110.- ¿Te acuerdas lo dicho en otros problemas?.

111.- v/(v - 10) = 6/5

Solución: v = 60

112.- 60.t = 75.(t - 3)

Solución: t = 15

113.- 2.v + 5.(5.v/6) = 111Solución: v = 18

114.-  

v.t = 210(v + 1).(t - 1) = 210

Solución: v = 14; t = 15

115.-  

(3.x/5)/42 + (2.x/5)/35 = 4,5 Solución: x = 175

116.- 30.t = 40.(t - 2)

Solución: t = 8

117.- 48.t + 16.t = 36

Solución: t = 0.5625

118.- 10.x/100 = 15.(400 - 5)/100

Solución: x = 140

119.- 1850.[x/100 + (x + 5)/100] = 325

Solución: x = 6.283

120.- 192.(t + 150)/3 + 56.t = 62400

Solución: t = 440

121.- Una ayudita: 60 km/h = 1 m/min. Ahora a pensar.

122.- 12.x/100 = 15.(360 - x)/100

Solución: x = 200

123.- 70.t + 50.t = 600

Solución: t = 5

124.- x/12 + x/9 = 1 + 45/60

Solución: x = 9

125.- 5.t = 30.(t - 4)

Solución: t = 4.8

126.- (6.t) ² + (8.t) ² = 5 ²

Solución: t = 0.5

127.- 75.t + 60 = 100.t

Solución: t = 2.4

128.- 20.t = 25.(t - 45/60)

Solución: t = 3.75

129.- 10/(v + 1) + 12/v = 5Solución: v = 4

130.-  

v.t = 24(v + 2).(t - 2) = 24

Solución: v = 14; t = 16

131.-  

1/x + 1/(x + 10) = 1/12 Solución: x = 20

132.-  

x + y = 100025.x/100 + 30.y/100 = 285

Solución: x = 300; y = 700

133.-  

x - 3 = y + 3x + 3 = 2.(y - 3)

Solución: x = 21; y = 15

134.-  

x.(x + 1).(x + 2) - x³ = 901 Solución: x = 17

135.-  

x/3 + 2 = 9/x Solución: x = 3

136.-  

x + 5000 = 4.yy + 5000 = 4000 + x

Solución: x = 3000; y = 2000

137.-  

1/x + 1/(x + 2) = 1/(1 + 1/3) Solución: x = 2

138.-  

x - 1 = yx/(y - 1) = 3/2

Solución: x = 6; y = 5

139.-  

2000.x + 1250.(30 - x) = 51000 Solución: x = 18

140.-  

x.y = 312(x - 2).(y + 13) = 312

Solución: x = 8; y = 39

141.-  

3.$ + 2.£ = 41010.$ + 2.£ = 2940

Solución: $ = 58; £ = 118

142.-  

125 - 3.x ² = 5.x + 5 Solución: x = 5,54

143.-  

3.x + 6 - 4 = (x - 4) ² + 10 Solución: x = 8

144.-  

1/x + 1/(x + 27) = 1/18 Solución: x = 27

145.-  

x - 3 = y + 3x + 3 = 2.(y - 3)

Solución: x = 21; y = 15

146.-  

(6.x - 1 - 2)/x = 5 Solución: x = 3

147.-  

(x + 2) ² - x ² = 48 Solución: x = 11

148.-  

x ².y ² = 3600x ² + y ² = 169

Solución: x = 12; y = 5

149.-  

x + y + z = 16y = 2.x

(100.z + 10.y + x) - (100.x + 10.y + z) = 396Solución: 367

150.-  

(12 + x).(18 + x)/2 = 12.18/2 Solución: x = 6

151.-  

p + l + f = 112l = 8 + fp = l + f

Solución: p = 56; l = 32; f = 24

152.-  

x/y = 4/3 Solución: x = 40; y = 30

x ² + y ² = 50 ²

153.-  

x³ + 272 = (x + 1)³ - 197 Solución: x = 12

154.-  

(x ² - 9)/x = x - 2 Solución: x = 4,5

155.-  

x + y = 2100x + 10.x/100 + y - 8.y/100 = 2202

Solución: x = 1500; y = 600

156.-  

x + x + 15 + (x + x + 15) = 284 Solución: x = 63,5

157.-  

x + x + 10 + x + 25 = 305 Solución: x = 90

158.-  

x + x - 49 = 213 Solución: x = 131

159.-  

x + y = 285x/y = 7/8

Solución: x = 133; y = 152

160.- x/3 + x/4 = 1421

Solución: x = 2436

161.- x + (x + 12) + (x + x + 12) - 6 = 110

Solución: x = 23

162.- x + 3.x + 8.x = 48

Solución: x = 4

163.- x + 4.x/3 = 280

Solución: x = 120

164.- 25.x + 5.x = 1050

Solución: x = 35

165.- x/5 + (198 - x)/3 = 42Solución: x = 180

166.-  

x + y = 483x - y = 7.y/3

Solución: x = 371,5; y = 111, 5

167.- x + 5.x = 564

Solución: x = 94

168.- x/4 + 18,48 = x - (x/4 - 4.x/7)

Solución: x = 258,72

169.- 3.x/4 - 18 + x/2 + 16 = 133

Solución: x = 108

170.- 5.x/8 + 15 = 3.x/4 - 10

Solución: x = 200BUSCADOR

Matemática - EcuacionesSOLUCIONES A LOS PROBLEMAS

(s.e.u.o.)(las soluciones se dan sin unidades)

171.-  

x/3 + x/4 + x/6 + 18 = x Solución: x = 72

172.-  

5x/7 - 3.x/11 = 5585,70 Solución: x = 12.649,96

173.-  

x + y = 24(x + 8)/(y + 8) = 3/5

Solución: x = 7; y = 17

174.-  

x/5 + 21 = 2.x/3 Solución: x = 45

175.-  

c + b + a = 27200b = 4.ac = 3.b

Solución: a = 1.600; b = 6.400; c = 19.200

176.- (8600 + x)/12 = (330 + x)/5

Solución: x = 400

177.- x + x/5 + x/25 = 716813

Solución: x = 578.075

178.- x + x + 5.x/16 + [x + 5.x/16 + 5/16.(x + 5.x/16)] = 51650

Solución: x = 12.800

179.- x + 3.x/4 + 9.x/16 + 27.x/64 + 81.x/256 = 25773

Solución: x = 8448

180.- (10500 + x)/12 = (6500 + x)/8

Solución: x = 1.500

181.- x/3 + x/4 + x/5 + 5195 + 5 = x

Solución: x = 24.000

182.- 25.x + 5.(36 - x) = 500

Solución: x = 16

183.- 20.x + 25.(48 - x) = 1000

Solución: x = 40

184.- 1331.x/729 = 29282

Solución: x = 16.038

185.- 4.(x + 3) = 5.x + 3Solución: x = 9

186.-  

x + y = 65x/4 = y/6

Solución: x = 26; y = 39

187.- 27.(800 - x) = 28.(x - 525)

Solución: x = 660

188.- 16.(9.x) + 19 = 16.(11.x) - 13

Solución: x = 1

189.- x/4 + 65 = x + x/3

Solución: x = 60

190.- x/4 + 5.x/9 + 21 = x

Solución: x = 108

191.- 5.t - 3.t = 30

Solución: t = 15

192.- 60.x = 3600

Solución: x = 60

193.- 1/5 + 1/3,5 + 1/4,5 + 1/6 = 1/x

Solución: x = 1,8475

194.- (x - 570)/4 + 5920 = x

Solución: x = 7.703,33

195.- (6.x - 130)/50 + 82 = x

Solución: x = 90,22

196.- (23000 + 4.x)/50 = (28500 + 8,2.x)/68

Solución: x = 1.007,24

197.- x/3 + 2.x/5 + 3.x/8 = x + 26

Solución: x = 240

198.- 3.x + x/2 + x/3 + x/5 + x/6 = 534Solución: 127,14

199.-  

x - y = 678x + y = 25.y/11

Solución: x = 3.164; y = 2.486

200.- 1/x + 1/12 = 1/7

Solución: x = 16,8

201.- x/3 + 56 = 3.x/5

Solución: x = 210

202.- x - 5.x/8 = 3.x/7 - 9Solución: x = 168

203.-  

(x + 5)/(y + 5) = 2/3(x + 12)/(y + 12) = 3/4

Solución: x = 9; y = 16

204.-  

(x + 5)/y = 4/5x/(y - 5) = 3/4

Solución: x = 27; y = 40

205.-  

x - y = (x + y)/4x - y = x.y/105

Solución: x = 70; y = 42

206.-  

x + y = 357x/y = 4/11

Solución: x = 95,2; y = 261,8

207.-  

y - x = 304x/y = 3/5

Solución: x = 456; y = 760

208.-  

x + y = 13000x/3 + x/4 = 7.y/9

Solución: x = 7.428,6; y = 5.571,4

209.-  

x - y = 45y/x = 6/7

Solución: x = 315; y = 270

210.-  

x/15 - (174 - x)/12 = 8 Solución: x = 150

211.-  

x + 570 = 8.x + 66 Solución: x = 72

212.-  

x + y = 1210.y + x = 4.(10.x + y)/7

Solución: 84

213.-  

x + y + z = 8600x/y = 2/3y/z = 5/6

Solución: x = 2000 y = 3000 z = 3600

214.-  

x/y = 2/310.x + y + 27 = 10.y + x

Solución: 69

215.-  

x + y + z = 12x + y + u = 13x + z + u = 14y + z + u = 15

Solución: x = 3; y = 4; z = 5; u = 6

216.-  

x/6 = y/7 = z/8 = 438000/21 Solución: x = 125.142,86; y = 146.000; z = 166.857,4

217.-  

10.x + y = 3.(x + y)(x + y) ² = 3.(10.x + y)

Solución: 27

218.-  

(x + y)/5 = (x - y) /3(x + y)/5 = x.y/16

Solución: x = 16; y = 4

219.-  

4.x + 5.y = 9.47007.x + 8.y = 15.4704

Solución: x = 4.800; y = 4.620

220.-  

x - 19 = 2.(y - 19)7.(x + 11)/9 = y + 11

Solución: x = 43; y = 31

221.-  

x + y + z = 34000z = 3.y/5x = 2.y/3

Solución: x = 10.000; y = 15.000; z = 9.000

222.-  

4.x + 4.y + 4.z = 166.y - 2.x - 2.z = 16

7.z - x - y = 16Solución: x = 26; y = 14; z = 8

223.-  

(3.x/4 + 9).(3.x/4 - 9) = 100 Solución: x = 44,8

224.-  

x.y = 400(x - 5).(y + 4) = 400

Solución: x = 25; y = 16

225.- (4.x/5).(3.x/4) = 540

Solución: x = 30

226.- (2.x/3).(4.x/5) = 1080

Solución: x = 45

227.- (x - 15)(x + 15) = 799

Solución: x = 287

228.- x.(113 - x) = 3102

Solución: x = 47

229.- (x + 2).(x).(x - 2) = 64.[(x + 2) + x + (x - 2)]

Solución: x = 14

230.- x ² - x = 12882

Solución: x = 114

231.- x + 4.√x = 221

Solución: x = 169

232.- x - √x = 56

Solución: x = 64

233.- x + √x = 650Solución: x = 625

234.-  

x.y = 726x + 4.y = 121

Solución: x = 33; y = 22

235.-  

x + y = 222x.y = 12277

Solución: x = 104,36; y = 117,64

236.-  

x.y = 73728x/y = (2/3)/(3/4)

Solución: x = 256; y = 288

237.-  

x + y = 42x ² - y ² = 336

Solución: x = 25; y = 17

238.-  

x - y = 22x ² - y ² = 1232

Solución: x = 39; y = 17

239.-  

x + 3 = yx - 3 = √y

Solución: x = 6; y = 9

240.-  

x.(x/4).(x/6)/(8.x/9) = 243 Solución: x = 72

241.-  

x + x ²/100 = 144 Solución: x = 80

242.-  

x.y = 629(x - 3).(y + 4) = 629 + 85

Solución: x = 37; y = 17

243.-  

x/y = 4/9 Solución: x = 36; y = 81

x ² + y ² = 7857

244.-  

x + y = 30x.y = 224

Solución: x = 14; y = 16

245.-  

x.(x + 2) = 4488 Solución: x = 66

246.-  

x - y = 15x.y = 1666

Solución: x = 49; y = 34

247.-  

x - y = 15x.y = 1500.(x - y)

Solución: x = 375; y = 300

248.- (x + 4) ² = (x + 2) ² + x ²

Solución: x = 6

249.- (x + 8) ² = (x + 7) ² + x ²

Solución: x = 5

250.- 3.x ²/9 - 800 = 1900

Solución: x = 90

251.- x/2 + x/3 + x/4 = x + 3

Solución: x = 36

252.- x + x + 330 = 570

Solución: x = 120

253.- x + x + 87 = 413

Solución: x = 168

254.- 2.x = (426 - x)/2 + 187

Solución: x = 160

255.- x/5 = (750 - x)/2 + 59

Solución: x = 620BUSCADOR

Matemática - EcuacionesSOLUCIONES A LOS PROBLEMAS

(s.e.u.o.)(las soluciones se dan sin unidades)

256.- x - 25 = 111 - x

Solución: x = 68

257.- x/2 + x/5 + x/6 = x/2 +x/3 + 115

Solución: x = 3.450

258.- 2.x - 4.(x - 6) = x

Solución: x = 8

259.- x/3 +x/2 - x/4 = 21

Solución: x = 36

260.- x/2 + x/3 + x/4 = x - 2

Solución: x = 24

261.- 27.x - 117 = 0

Solución: x = 4,33

ESTA CATEGORIA• Geometría • Conjuntos • Vectores • Números reales • Trigonometría • Imaginarios • Factoreo • Polinomios • Funciones • Ecuaciones • Sistemas de

ecuaciones • Progresiones • Limites • Derivadas • Integrales • Funciones varias

262.- x/2 + x/3 + x/10 + 2000 = x

Solución: x = 30.000

263.- 5.x + 2.x + x = 2000

Solución: x = 250

264.- 49 + x = 3.(11 + x)

Solución: x = 8

265.- x + x - 10 + x - 40 = 250

Solución: x = 100

266.- x + 4.x + 3.x = 200

Solución: x = 25

267.- x/3 + x/10 + x/15 + 150 = x

Solución: x = 300

268.- 30.x + 20.(500 - x) = 12000

Solución: x = 200

269.- 40.x - 4.(30 - x) = 760

Solución: x = 20

270.- 5.(27 - x) - 10.x = 30

Solución: x = 7

271.- 5.x + 5 = 6.x - 2

Solución: x = 7

272.- 4.x - 40 = 3.x + 20

Solución: x = 60

273.- 20.x + 4.(52 - x) = 848

Solución: x = 40

274.- 30 + x + 4 + x = 40 + x

Solución: x = 60

275.- 60.x + 50.(70 - x) = 3900

Solución: x = 40

276.- x + 100 = 2.(x - 200)

Solución: x = 500

277.- 7.x = 8.(x - 10)

Solución: x = 80

278.- 20.x/9 + 280 = 30.x/10

Solución: x = 360

279.- x/2 - 8 + x/4 - 4 + x/8 - 2 + x/16 - 1 + 20 = x

Solución: x = 80

280.- 7.x/4 + 4.x/5 + 39.x/25 = 369,90

Solución: x = 90

281.- x/2 + x/2 + 17.x/15 + 121.x/80 = 1093,75

Solución: x = 300

282.- [(x - 8)/4].(100/x) = 100 - 85

Solución: x = 20

283.- x+ 3.x + x/5 = 3150

Solución: x = 750

• Limites varias • Diferencial • Ecuaciones

diferenciales • Probabilidades • Modelos de

examen

284.- 500.(30) = 25.(500 + x)

Solución: x = 100

285.- 60.(30) + 22.x = (60 + x).25

Solución: x = 100

286.- 400 - x - x = 60

Solución: x = 170

287.- 100 - x = 3.x + 20

Solución: x = 20

288.- x - 30 = 3.(x - 100)

Solución: x = 135

289.- 3.(20 + x) = 100 + x

Solución: x = 20

290.- x - x/2 + 25 - 3.x/4 = 0

Solución: x = 100

291.- x + 3.x + 12.x = 400

Solución: x = 25

292.- 5.x - 48 = 48 -x

Solución: x = 16

293.- x/2 + 2 = 3.x/5 - 4

Solución: x = 60

294.- x = 3.(24 - x)

Solución: x = 18

295.- x/2 + 1 + x/4 + x/8 = x

Solución: x = 8

296.- 2.x - 2.(x - 10) = x

Solución: x = 20

297.- x - 20 = 2.(x - 90)

Solución: x = 160

298.- 4.x - 48 + 12 = 2.x

Solución: x = 18

299.- 32.(20) + 14.x = (32 + x).18

Solución: x = 16

300.- (x - 30)/3 + 30 = 2.x/3

Solución: x = 60

301.- 5.x + 40 = 6.x

Solución: x = 40

302.- 20.x/12 + 48 = x + 5.x/8 + 3.x/8

Solución: x = 144

303.- 15.x/8 + 21.x/10 + 297.x/40 = 11.x + 16

Solución: x = 40

304.- 480.x + 200.x + 250.x + 250.x = 40000

Solución: x = 33,89

305.- x - 120 = 4.(x - 57)

Solución: x = 72

306.- 40/x = 2.[40/(1200 - x)]Solución: x = 400

307.-  

(90.x/12) /(x + 4) = 80/12 Solución: x = 32

308.-  

x/2 + y/5 = 84x/4 + y/10 = 42

Solución: x = y = 120

309.-  

5.x + 2.(55 - x) = 215 Solución: x = 35

310.-  

60.x + 45.(200 - x) = 10800 Solución: x = 120

311.-  

2.x + 4.(72 - x) = 208 Solución: x = 40

312.-  

x ² - (56 - x) ² = 448 Solución: x = 12

313.-  

(x + 4) ² - x ² = 348 Solución: x = 46

314.-  

(x + 8).(x + 3) = x ² + 222 Solución: x = 18

315.-  

50.x + 35.y = 30510.x + 8.y = 64

Solución: x = 4; y = 3

316.-  

x/5 + y/3 = 52.y + x/2 = x + 6

Solución: x = 60; y = 18

317.-  

y/4 + y/3 + x/3 = yy/2 + y/3 + y/4 + x/5 = x + 1

Solución: x = 15; y = 12

318.-  

(x + 1)/(y + 1) = 4/5(x - 3)/(y - 3) = 2/3

Solución: 7/9

319.-  

5.(x - y) = 30x + y + 4 = 14

Solución: x = 8; y = 2

320.-  

2.y/3 + x = yy/2 + x/4 = x + 6

Solución: x = 8; y = 24

321.-  

(x + 8).(y - 2) = x.y(x - 2).(y + 1) = x.y

Solución: x = 12; y = 5

322.-  

x + y = 48x = 3.y

Solución: x = 12; y = 36

323.-  

x/y = 3/2(x - 5)/(y - 5) = 11/7

Solución: x = 60; y = 40

324.-  

x + z + y = 404.x + 3.z + y = 66

y = 3.(x + z)Solución: x = 6; y = 30; z = 4

325.-  

x + 1 = 2.(y - 1)y + 3 = 2.(x - 3)

Solución: x = 7; y = 5

326.-  

y + 5 = xy - 10 = (x + 10) / 6

Solución: x = 20; y = 15

327.-  

x + z = 32z + y = 43x + y = 39

Solución: x = 14; y = 25; z = 18

328.-  

5.x/4 + 10.y/6 = 55(3.x/5).(5/4) + (y/3).(10/6) =

25Solución: x = 20; y = 18

329.-  

6.x/12 + 4.y/100 = 12806.x/60 + 12.y/400 = 300

Solución: x = 2.400; y = 2.000

330.-  

7.x + 4.z + 3.y = 200.4,5y = x + z

x + y + z = 200

Solución: x = 66,66; y = 100; z = 33.33

331.-  

x + 2 = 2.(z - 2)z + 7 = 9.(y - 7)x + 4 = 4.(y - 4)

Solución: x = 16; y = 9; z = 11

332.-  

m + z + y + x = 21y = x + m

2.x = z + y + mz = y/2 + m

Solución: 1857

333.-  

4,7500992 = 4.π.r ² Solución: r = 0,6

334.-  

3.x ²/5 = 6615 Solución: x = 105

335.-  

2.x ²/3 = 3174 Solución: x = 69

336.-  

(x + 4).(x - 4) = 609 Solución: x = 25

337.-  

x.y = 10800 Solución: x = 90; y = 120

x/y = 3/4

338.-  

x ² - 924 = 20.x Solución: x = 42

339.-  

3.x + 2.x - 240 = 1000 Solución: x = 248

340.-  

2.x ² + 3.x + 48 = 200 Solución: x = 8

BUSCADOR

Búsquda en Fisicanet      

Resultados por página:    Todas:    Alguna:    Matemática - Ecuaciones

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS(s.e.u.o.)

(las soluciones se dan sin unidades)

341.- x.(40 - x) = 256

Solución: x = 8

342.- 3.x ²/4 + 2.x + 1 = 6.x + 2.x/3

Solución: x = 6

343.- x ² - 5 = 4.x

Solución: x = 5

344.- x ² + 2.x + 4.x = 135

Solución: x = 9

345.- x.(x + 1) = 1056

Solución: x = 32

346.- √x + 132 = x

Solución: x = 144

347.- x ² + (x + 14) ² = 436

Solución: x = 6

348.- x.(x - 18)/2 = 2480

Solución: x = 80

349.- x.(x - 18) = 2520Solución: x = 60

350.-  

2.x + 2.y = 140x.y = 1000

Solución: x = 20; y = 50

352.- x = 4.(149 - x) + 4

Solución: x = 120

353.- x - 3 + x + x + 3 + x + 6 = 1218

Solución: x = 300

354.- (11 + x)/(16 + x) = (35 + x)/(40 + x)

Solución: x = Φ

355.- 9.(x + 2) + 13.x = 84

Solución: x = 3

356.- 20.(x - 2) - 15.x = 40

Solución: x = 16

357.- 1/4 + 1/x = 1/3

Solución: x = 12

358.- 1/12 + 1/20 = 1/x

Solución: x = 7,5

359.- x ² + (x + 1) ² = 481

Solución: x = 15

360.- (1/x) + 1/(x - 5) = 1/6Solución: x = 15

361.-  

x + y = 49x.y = 570

Solución: x = 30; y = 19

362.- (18 - x) ² = (16 - x) ² + (9 - x) ²

Solución: x = 1

363.- x ² + (x + 2) ² = 452

Solución: x = 14

364.- x ² + (64 - x) ² = 1954

Solución: x = 35

365.- x.(23 - x)/2 = 60

Solución: x = 8

366.- (x + 4).(x + 6) = 2.x ²

Solución: x = 12

367.- x ² + (41 - x) ² = 29 ²Solución: x = 20

368.-  

v.t = 300x.t = x - 300

v.y = x - 300 + 450x.y = 300 + x - 450

Solución: x = 450; y = 2/3; v = 900; t = 1/3

369.-  

1/x + 1/y = 1/701/x + 1/z = 1/80

1/y + 1/z = 1/140Solución: x = 105; y = 210; z = 420

370.-  

x + y = 15x + z = 18y + z = 23

Solución: x = 5; y = 10; z = 13

371.-  

x = 2.yy = 2.z

x + y + z = 140Solución: x = 80; y = 40; z = 20

372.-  

x + y = 38630.x + 555.y = 22965

Solución: x = 25; y = 13

373.-  

z/(x - 2) = 13000z/(x + 4) = 10000

Solución: x = 22; z = 260000

374.-  

x + y = 1x.y = 1

Solución: x = (1 ± √-1)/2 ()

375.-  

x + y = 10x ².y ² = 625

Solución: x = 5; y = 5

376.- x/7 + (46 - x)/3 = 10

Solución: x = 28

377.- 3.x/4 - 8 + x/2 + 5 = 122

Solución: x = 100

378.- x/3 + x/4 + x/6 + 15 = x

Solución: x = 60

379.- 3.x + 25 = 100

Solución: x = 25

380.- 3.x + 15 = 90

Solución: x = 25

381.- 4.x + 20 = 100

Solución: x = 30

382.- 12.x = 60

Solución: x = 5

383.- x + x/4 + x/16 = 16800

Solución: x = 12.800

384.- x + 17.x/10 + 289.x/100 = 55900

Solución: x = 10.000

385.- x + 3.x/4 + 9.x/16 + 27.x/64 + 81.x/256 = 8591

Solución: x = 2.816

386.- 40.x/6 = 30

Solución: x = 4,50

387.- x/(176 - x) = 5/6

Solución: x = 80

388.- 2.x/7 + 291.x/1000 = 0,0027

Solución: x = 0,00467

389.- x/3 + x/4 = 7.(33000 - x)/10

Solución: x = 18.000

390.- x + x + 1 = 2.x/3 + 117.(x + 1)/88

Solución: x = 87

391.- x/16 - (200 - x)/10 = 6

Solución: x = 160

392.- (x - 1)/5 + (x - 2)/6 + (x - 5)/7 = (x - 2)/2

Solución: x = 26

393.- (23 + x)/(40 + x) = 2/3

Solución: x = 11

394.- (11 + x)/(6 + x) = (8 + x)/(4 + x)

s : x = 4

395.- x + 2.x/3 + 4.x/9 + 8.x/27 = 65

Solución: x = 27

396.- 5.(12 - x) = 40 - x

s : x = 5

397.- 2.x - 7 + x = 2.x

Solución: x = 14

398.- x - 5 = 9.[(x/5) - 5]

Solución: x = 50

399.- 40 - x = x

Solución: x = 20

400.- x/31 = (59 + x)/365

Solución: x = 5 dias, 11 horas, 25 minutos.

401.- 35.x/2 + 29.x/3 + 32.x/6 = 1815

Solución: x = 726

402.- 0,5.(100 + x) = 45 + 0,6.x

Solución: x = 50

403.- x/5 = (60 - x)/5,5

Solución: x = 28 + 4/7

404.- 7.x/5 = 5.(x - 8)/3

Solución: x = 50

405.- 20.(x - 8)/3 - 28.x/5 = 32

Solución: x = 80

406.- Sin comentarios

Solución: 31,61

407.- x = 100/3 + 8.x/9

Solución: x = 300

408.- 5.x = 3.(16 - x)

Solución: x = 6

409.- 0,4.(25 - x) - x = 10

Solución: x = 0

410.- (2600 + x)/60 = (850 + x)/39

Solución: x = 2.400

411.- (x + 2)/2 + (x + 2)/4 + (x + 2)/8 = x

Solución: x = 14

412.- 64.x/27 - 37000/9 = 2.x

s : x = 11.100

413.- 8.x - 10500 = 11.x/4

Solución: x = 2.000

414.- 1000 + (x - 1000)7 = 2000 + [x - (x + 6000)/7 - 2000]/7Solución: x = 36.000

415.-  

x/y = 5/6 Solución: x = 50.000; y = 60.000

(x - 14000)/(y - 6000) = 2/3

416.-  

4.x + 5.y = 9.503.x + 2.y = 5.48,6

Solución: x = 45; y = 54

417.-  

v + v´ = 31,3.v + 0,7.v´ = 2,7

Solución: v = 1; v´ = 2

418.-  

x.y = 60(4.x/3).(y + 5) = 100

Solución: x = 3; y = 4

419.-  

x + 5 = y - 5y + 10 = 2.(x - 10)

Solución: x = 40; y = 50

420.-  

98.(10.x + 12.y)/100 = 347,996.(4.x + 6.y)/100 = 146,40

Solución: x = 25; y = 8,75

421.-  

x = 2.y/310.y + x = 10.x + y + 18

Solución: x = 4; y = 6

422.-  

x = 3.z/5y = (x + z)/2

100.x + 10.y + z + 198 = 100.z + 10.y + xSolución: x = 3; y = 4; z = 5

423.-  

x + y = 5100.y + 10.x + 4 = 36(400 + 10.x + y)/47

Solución: 423

424.-  

x +12 = 2.yy + 1 = 2.x/3

Solución: x = 42; y = 27

425.-  

x +y + z + u = 14y = z + x

1000.x + 100.y + 10.z + u + 4905 = 100.u + 100.z + 10.y + x

z = u/2

Solución: x = 1; y = 4; z = 3; u = 6

Matemática - Sistemas de EcuacionesResolución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Un sistema está formado por dos semiecuaciones (arriba y abajo), que siempre debemos ordenar de forma que delante del igual siempre haya las dos letras y detrás el término independiente. Si ello no ocurre se hace la transposición de términos. Si aparecen fracciones se resuelven por el método del mínimo común múltiplo.

2 x + 3 y = 7[A semiecuación de arriba]

4 x - 5 y = 3[B semiecuación de abajo]

Sustitución

Pasos a seguir:

1. Se despeja la x de la semiecuación de arriba (siempre positiva)

2. El valor de la x despejada de la semiecuación de arriba se sustituye en la x de la semiecuación de abajo.

3. Se resuelve la semiecuación de abajo como una ecuación de 1er grado cuya incógnita es y.

4. El valor de la y obtenida se sustituye por la y de la semiecuación de arriba.

Igualación

Pasos a seguir:

1. Se despeja la x de las dos semiecuaciones (siempre positivas).

2. Como las x despejadas son las mismas se igualan los valores.

3. Se resuelve la ecuación de 1er grado cuya incógnita es y que queda multiplicando en cruz para suprimir los denominadores..

4. El valor de la y obtenida se sustituye en las dos x despejadas al principio y que por tanto tendrán el mismo valor.

Reducción

Pasos a seguir:

1. Se multiplica el coeficiente (número de delante) de la x de la semiecuación de abajo por toda la semiecuación de arriba sin el signo y el coeficiente de la x de arriba por toda la semiecuación de abajo sin el signo.

2. Quitamos paréntesis mediante la propiedad distributiva.

3. Cambiamos los signos a conveniencia para poder tachar en caso de estar cambiados los signos pudiendo tachar se deja tal y como estaba.

4. Se tachan las x y se suman miembro a miembro las y, que se despeja y hallamos su valor

5. Para hallar el valor de la x se repiten los pasos con los coeficientes de las y.

Matemática - Sistemas de Ecuaciones

Trabajo de matemáticas

García Chico, Fco JavierAlgebra

1. Expresiones algebraicas

Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos.

Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.

Valor número de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.

Clases de expresiones algebraicas:

1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x ²

2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x ² + 3xy

3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio.

Ej: 5x ² + 4y5 - 6x ²y

4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.

Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:

1°- Si está ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, según su grado.

2°- Si está completo. Completar un polinomio es añadir los términos que falten poniendo de coeficiente 0.

3°- Cuál es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus términos.

Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o más expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor númerico.

2. Ejercicios operatorios con los monomios y polinomios

Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x³ + 5x³ - 6x³.

Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x³ + 5x³ - 6x³ = x³.

Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x ²y³= 12x³y4

División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y³:2x ²y= 2x³y2

Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.

Ej:

7x5+0x4+3x³+4x ²-2x

5x 5 +0x 4 +0x³ -x ² -x

12x5+0x4+3x³ +3x ² - 3x

Multiplicación de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.

Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.Ej:

P(x) = 2x5+3x4-2x³-x ²+2x

Q(x) = 2x³

P(x).Q(x) =

4x8+6x7-4x6-2x5+4x4

División de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. Así sucesivamente.

Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 términos.Ej:

4x4 -2x³ +6x ² -8x -4 2x

-4x4 2x³-x ²+3x-4

0 -2x³

+2x³

0 +6x ²

-6x ²

0 -8x

+8x

0 -4

P(x):Q(x) = 2.x³ - x ² + 3.x - 4R = - 43. Igualdades notables

1- Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo.

Ej: (a+b) ²= a ²+2ab+b ²

2- Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Ej: (a-b) ²= a ²-2ab+b ²

3- Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero más cubo del segundo.

Ej: (a+b)³= a³+3a ²b+3b ²a+b³

4- Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero menos cubo del segundo.

Ej: (a-b)³= a³-3a ²b+3b ²-b³

5- La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados.

Ej: (a+b) (a-b)= a ²-b2

Las ecuaciones

1. Ecuación y función

Ecuación es toda función algebraica igualada a 0 ó a otra igualdad algebraica. A la primera parte de la igualdad se la llama 1er término y a la segunda se la llama 2° término. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo resultado.

Hay distintos tipos de igualdades:

Una igualdad numérica: 2+5=4+3

Una igualdad algebraica: 2x+3x=6x

Una función: 3x+2=y

Una función es una expresión algebraica igualada a y.

2. Resolución de ecuacionesPara resolver una ecuación, hallaremos el valor de la incógnita, siendo la incógnita el número desconocido, expresado normalmente por x.

Pasos para resolver una ecuación:

1°- Se quitan los paréntesis si los hubiere.

2°- Se quitan los denominadores si los hubiere.

3°- Se pasan todas las incógnitas al 1er miembro de la igualdad.

4°- Se reducen los términos semejantes.

5°- Hallamos el valor de la incógnita.

Ej: 5x-7=28+4x ; 5x-4x=28+7 ; x = 35

Ecuaciones con denominadores:

Quitamos los denominadores por el m.c.m. para ello:

1°- Hallamos el m.c.m. de los denominadores.

2°-Ese es el denominador común y lo sustituimos por los denominadores anteriores.

3°- Se divide el m.c.m. entre el denominador antiguo y se multiplica por el denominador.

Ej: x/2 - 4 = x/3 - 3 ; m.c.m.(2 y 3)=6 ; 3x-24 = 2x-18 ; 3x-2x = -18+24 ; x = 6

3. Sistemas de ecuaciones

Si una expresión algebraica la igualamos a otra expresión algebraica y nos encontramos con dos incógnitas necesitamos otra igualdad de expresiones algebraicas para poderla resolver.

Una expresión algebraica con dos incógnitas es lo que llamamos sistema de ecuaciones.

Todo sistema de ecuaciones necesita tantas ecuaciones como incógnitas tenga.

Sistema de ecuaciones con dos incógnitas:

Para resolver un sistema de ecuaciones podemos utilizar cuatro métodos:

1°- Método de sustitución.2°- Método de igualación.3°- Método de reducción o de sumas y restas.4°- Método gráfico.Resolver un sistema por el método de sustitución:

1°- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

2°- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

3°- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2° miembro.

4°- Reducimos los términos semejantes.

5°- Despejamos una incógnita y la sustituimos en la 2ª ecuación.

6°- Resolvemos la ecuación resultante.

Resolver un sistema por el método de igualación:

1°- Quitar los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

2°- Quitar los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

3°- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2° miembro.

4°- Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones.

5°- Igualar las incógnitas despejadas y resolver la ecuación resultante.

Resolver un sistema por el método de reducción o de sumas y restas:

1°- Quitamos los paréntesis (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

2°- Quitamos los denominadores (si los hubiere) de las dos ecuaciones.

3°- Pasamos las incógnitas al 1er miembro de la igualdad y los números al 2° miembro.

4°- Igualar los coeficientes de una incógnita y cambiar de signo si son iguales.

5°- Sumar o restar el sistema que ha quedado al multiplicar y resolver la ecuación resultante.

Matemática - Sistemas de EcuacionesSistemas de Ecuaciones

# concepto y representacion

# RESOLUCION DE SISTEMAS

# TIPOS DE SISTEMAS

# TEOREMA ROUCHE-FROBENIUS# REGLA DE CRAMER

# SISTEMAS HOMOGENEOS

# POR DESCOMPOSICION L U

concepto y representacion

Llamaremos sistema de m ecuaciones con n incognitas a toda expresión:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2

.......................

am1 x1 + am2 x2 +...+ am n xn = bm

Donde:aij Kbi K

xi

son los coeficientesson los términos independientes

son las incognitas

a) Se puede representar de forma MATRICIAL:

A · X = B

Donde A = Matriz de los coeficientesx = Vector solución

B = Vector de Términos IndependientesA* = Resulta de añadir los términos independientes a la matriz A

b) También de forma VECTORIAL :

x1 A1 + x2 A2 + ... + xn An = B (Donde Ai son las columnas de A)

c) Como una APLICACION LINEAL

Sabiendo que toda matriz de dimensión m x n define una aplicación lineal f: Kn Km respecto de las bases canónicas de Kn y Km.

Podemos entender un sistema de m ecuaciones y n incognitas, como una aplicación lineal coeficientes de las distintas incognitas K n

SIMPLIFICACION

Si a un sistema de ecuaciones se le añade un numero finito de ecuaciones lineales que son combinaciones lineales de las dadas, el nuevo sistema es equivalente al inicial.

Del mismo modo si eliminamos una ecuacion que sea c.l. de otra se puede eliminar.

solución del sistema

Si (α 1, α 2,..., α n) satisface las m ecuaciones decimos que α es el vector solución del sistema.Según el numero de soluciones un sistema puede ser:

SISTEMA HOMOGENEO: Si los términos independientes son cero

SISTEMA INCOMPATIBLE: Si el sistema no tiene solucion

SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO:INDETERMINADO:

Si el sistema posee una una solucionSi el sistema posee infinitas soluciones

Si dos sistema tienen las mismas soluciones son EQUIVALENTES

Si Ax = b un sistema de ecuaciones podemos ver la matriz A como asociada a una aplicación lineal f.

Resolver el sistema es hallar f -1(b) = x + Ker f donde f(x) = b.

Ej.- Obtener una base del espacio vectorial solución del sistema:x + 0.y + 0.z + 0.t = 0

x + 0y - 1z + at = 0 x = 0 (x, y, z, t) = (0, y, 0, 0)

3x + 0y - 1z + at = 0 t = 0

bx + 0y + 0z + 1t = z = 0

La solución es < (0, 1, 0, 0) > que es base del espacio vectorial formado por las soluciones.

TEOREMA ROUCHE-FROBENIUS

Dado Ax = b un sistema de m ecuaciones con n incognitas, tiene solución si:

rango A = rango A* = n° de incognitas (n)

rango A = rango A* < n° de incognitas (n)

rango A < rango A*

S. C. DETERMINADO

S. C. INDETERMINADO

S. INCOMPATIBLE

REGLA DE CRAMER

Dado un sistema COMPATIBLE DETERMINADO, tenemos que:

Su expresion matricial es A X = B y al ser rg A = n |A| ≠ 0 y además A tiene inversa A -1. Así pues:

A-1 · A · X = A-1 · B I · X = A-1 · B X = A-1 · B X = ( 1/|A| · At)· B

xi = 1/|A| · (A1i b1 + A2i b2 +....+ An i bn)

De donde obtenemos la Regla de Cramer:

det(B, C2, C3,..., Cn)   det(C1, B, C3,..., Cn)   det(C1, C2, C3,..., B)

x1 = , x2 = ,....... xn =

det |A|   det |A|   det |A|

Si el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO podemos resolverlo por Cramer:

- Pasamos una de las incognitas a la matriz de los términos independientes en cada ecuacion.

- Resolvemos el sistema por Cramer, y nos daran las soluciones en funcion de esa incognita.

- Expresamos la solución en forma de envoltura lineal.

Ej.- Resolver el sistema

x + y + z = 1 por Cramer

x - y + 3z = 3

Cambiamos z por λ y pasamos λ a la derecha

Resolvemos el sistema por Cramer y obtenemos:

x = -2 λ +2 de modo que la solución es {(-2 λ + 2, -1 + λ, λ) ; λ R} {(2, -1, 0) + (-2 λ, λ, λ); λ R}

y = -1 + λ

y por ultimo extrayendo λ tenemos que las infinitas soluciones del sistema son:

{ (2, -1, 0) + < (-2, 1, 1) > }

SISTEMAS HOMOGENEOS

Un sistema homogeneo siempre posee, al menos, la solución trivial (x, y, z, t ...) = (0, 0, 0...0).

Por el T.de Rouche podemos afirmar que siempre es compatible, ya que Rg A = Rg A*. Ax = 0

Si rg A = rg A* = n es S.C.Determinado con la solución trivial como única solucion.

Si rg A = rg A* < n es S.C.Indeterminado cuyas soluciones son los valores que anulan la ecuacion.

Es decir, los valores de las incognitas para los cuales f es cero (Ker f).

Un sistema homogeneo siempre se puede expresar con n ecuaciones con n incognitas. De modo que si faltan ecuaciones (ecuaciones < incognitas) se añaden combinaciones lineales y si sobran (ecuaciones > incognitas) entonces se eliminan pq alguna ecuacion será c.l.

Ej.- Resolver el siguiente sistema homogeneo:

x + y + z = 0

2x + 2y +2z = 0

x + y - z = 0

3x + 3y + z = 0

Primero eliminamos la segunda ecuacion pq es proporcional a la primera.

Hallamos el determinante de A para saber el rango

Como C1 = C2 el rango es dos. Y al ser homogeneo Rg A = Rg A* = 2 < n.incognitas S.C.I

Si resolvemos el sistema por igualacion tenemos x = - y por lo que la solución es { (x, -x, 0) : R}

O lo que es lo mismo { < (1, -1, 0) > } = Ker (f) si tomamos el sistema como la ap. lineal f.

METODO DE GAUSSConsiste en transformar un sistema Ax = B en un sistema triangular Ux = c realizando operaciones elementales de Gauss en la matriz ampliada A *. El sistema triangular obtenido es equivalente al inicial.Si al reducir por Gauss llegaramos a un absurdo como 0 = 1 el Sistema inicial era Incompatible.

Ej.- Resolvemos el sistema anterior por Gauss

x + y +z = 0

x + y - z = 0

3x + 3y + z = 0

x + y+ z = 0 z = 0 x = -y

Solución: < (x, -x, 0) > ; x R

POR DESCOMPOSICION L U

Dado un sistema AX = B siendo A una matriz cuadrada (incognitas = ecuaciones) podemos encontrar la descomposicion LU de la matriz A de modo que A = L · U.

A X= B LU X= B UX = Y

L Y = B

La solución se obtiene resolviendo dos sistemas triangulares, se resuelve LY = B y una vez tenemos el vector Y hallamos X, las componentes de X con las incognitas x, y, z, t...

Este metodo es util para la resolucion se sistemas simultáneos, es decir, que con una sola descomposicion LU podemos hallar las soluciones de un mismo sistema para cualquier valor que tomen sus términos independientes (cambiando B).

temas de EcuacionesParte [A] - [B] - [C] - [D]

MATRICES Y DETERMINANTES (Parte A)

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

Matrices

Una matriz es una tabla ordenada de escalares a× de la forma

 

a11 a12 ... a1n

 a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

am1 am2 ... a mn

La matriz anterior se denota también por (a×), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (a×).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

La siguiente matriz es una matriz de 2 x 3:

 1 -3 4

 0 5 -2

 

donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus columnas  1

  ,  -3

  y  4

 0 5 -2

Clases de matrices

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

A =  

1 2 -3

 4 0 5

3 -1 2 

B =  2 -3

 -1 5

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad

Sea A = (a×) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22, ..., ann. La traza de A, escrito tr A, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A· I = I · A = A.

Matrices triangulares

Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diagonal (d11, d22, ..., dnn). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diagonal(3,-1,7) diagonal(4,-3) y diagonal(2,6,0,-1).

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT. Así, la traspuesta de

A =  

3 -1 4

 2 5 -7

4 0 9

es

AT =  3 2 4

 -1 5 0

4 -7 9

En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m x n, entonces AT = (aTij) es la matriz n x´ m.

La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA)T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB)T = BT AT.

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = - A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

A =  

2 -3 5

 -3 6 7

5 7 -8 

B =  

0 3 -4

 -3 0 5

4 -5 0 

C =  1 0 0

 0 1 0

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica. Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica. A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AA T = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT. Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria:

A =  

a1 a2 a3

 b1 b2 b3

c1 c2 c3

Si A es ortogonal, entonces:

A.AT =  

a1 a2 a3

  .  

a1 b1 c1

  =  

1 0 0

  = I b1 b2 b3 a2 b2 c2 0 1 0

c1 c2 c3 a3 b3 c3 0 0 1

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA T = AT A. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

Sea  6 -3

  , entonces:3 6

  A.AT =   6 -3   .   6 3 . =   45 0  

3 6 -3 6 0 45 

AT.A =  6 3

  .  6 -3

. =  45 0

 -3 6 3 6 0 45

Puesto que AA T = A T A, la matriz es normal.

Operaciones con matricesSuma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 x 2 y otra de 3 x 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Sean las matrices: A =  

3 1 2

 0 5 -3

7 0 4 

y B =  

-1 2 4

 2 5 8

0 1 -2

Entonces:

A + B =  

3 1 2

  +  

-1 2 4

  =  

2 3 6

 0 5 -3 2 5 8 2 10 2

7 0 4 0 1 -2 7 1 2 

A.B =  

3 1 2

  .  

-1 2 4

  =  

4 -1 -2

 0 5 -3 2 5 8 -2 0 5

7 0 4 0 1 -2 7 -1 6

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

Sean

A =  -1 2 4

  , B =  3 2 0

. y C =  5 -1 3

 2 7 6 0 -3 -1 1 1 2

 

A + B + C=  -1 2 4

  +  3 2 0

. +  5 -1 3

  =  7 3 7

 2 7 6 0 -3 -1 1 1 2 3 5 7

 

A - B + C=  -1 2 4

  -  3 2 0

. +  5 -1 3

  =  1 -1 7

 2 7 6 0 -3 -1 1 1 2 3 11 9

Producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda. Es decir, si tenemos

una matriz 2 x 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 x 5, la matriz resultante será de orden 2 x 5.

(2 x 3) x (3 x 5) = (2 x 5)

Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.

3 x 5 por 2 x 3,

puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda. Supongamos que A = (a×) y B = (b×) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de filas de B; es decir, A es una matriz m x p y B una matriz p x n. Entonces el producto AB es la matriz m x n cuya entrada ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B. Esto es,

 

a11 ... a1p

  .  

b11 ... b1j ... b1n

  =  

c11 ... c1n

 

. ... . . ...   ... . . ... .

ai1 ... a ip . ...   ... . . c ij .

. ... . . ...   ... . . ... .

a m1 ... a mp b p1 ... b pj ... b pm c m1 ... c mn

donde c ij = ai1 b1j + ai2 b2j + ...+ a ip b pj

Ejemplo:

1.

2.

- Producto por un escalar

El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada de A por k:

k.A =  

k.a11 k.a12 ... k.a1n

 ... ... ... ...

k.am1 k.am2 ... k.a mn

Ejemplo:

Sea A =  1 -2 3

 4 5 -2

Entonces:

3.A =  3.1

3.(-2)

3.3  =  

3 -6 9 

3.4 3.5 3.(-2) 12 15 -6

División de matrices

La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:

Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

Ejemplo:

Sean la matriz A =  8 16

  , y k = 2 un escalar. En este caso:3 -6

MATRICES INVERTIBLES

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que

AB = BA = I

siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.

Ejemplo:

Supongamos A =  2 5

 1 3

 

y B =  3 -5

 -1 2

Entonces:

A.B =  2 5

  .   3 -5

  =  6 - 5

-10 + 10   =  

1 0  = I

1 3 -1 2 3 - 3 -5 + 6 0 1 

A.B =  3 -5

  .   2 5

  =  6 - 5

15 - 15   =  

1 0  = I

-1 2 1 3 -2 + 2 -5 + 6 0 1

Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Método de Gauss

Sea A = (a×) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matriz n x 2n M = (A I) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria

A =  

a11 a12 a13

 a21 a22 a23

a31 a32 a33

Paso 1.

M = (A I) =  

a11 a12 a13 1 0 0

  ~a21 a22 a23 0 1 0

a31 a32 a33 0 0 1

Paso 2.

 

a11 a12 a13 1 0 0

 0

a11.a22 -- a21.a12

a11.a23 -- a21.a13

a11.0 -- a21.1

a11.1 -- a21.0

a11.0 -- a21.0

0a11.a32 -- a31.a12

a11.a33 -- a31.a13

a11.1 -- a31.1

a11.0 -- a31.0

a11.1 -- a31.0

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal. Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.

Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.

Ejemplo:

Supongamos que queremos encontrar la inversa de

A =  

1 0 2

 2 -1 3

4 1 8

Primero construimos la matriz M = (A I),

M =  

1 0 2 1 0 0

 2 -1 3 0 1 0

4 1 8 0 0 1 

~  

1 0 2 1 0 0

  ~0 -1 - 2.0 3 - 2.2 0 - 2 1 - 2.0 0

0 1 - 4.0 8 - 4.2 0 - 4 0 1 - 0  

~  

1 0 2 1 0 0

 0 -1 -1 -2 1 0

0 1 0 -4 0 1

Luego se toma como pivote a22 = -1,

~  

1 0 2 1 0 0

  ~0 -1 -1 -2 1 0

0 00 - (-

1) 4 - (-

2) 0 - 1 -1 - 0

 

~  

1 0 2 1 0 0

  ~0 -1 -1 -2 1 0

0 0 1 6 -1 -1

La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible). A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

~   1 0 0 -11 2 2  

0 -1 0 4 0 1

0 0 1 6 -1 -1

Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:

~  

1 0 0 -11 2 2

 0 1 0 -4 0 1

0 0 1 6 -1 -1

La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:

A-1 =  

-11 2 2

 -4 0 1

6 -1 -1

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.

Comprobación:

AA-1 = I

 

1 0 2

  .  

-11 2 2

  = 2 -1 3 -4 0 1

4 1 8 6 -1 -1

 

=  

-11 + 0 + 12 2 + 0 - 2 2 + 0 - 2

  =  

1 0 0

  = I -22 + 4 + 18 4 + 0 - 3 4 - 1 - 3 0 1 0

-44 - 4 + 48 8 + 0 - 8 8 + 1 - 8 0 0 1

BUSCADOR

Búsquda en Fisicanet   Matemática - Sistemas de Ecuaciones

Parte [A] - [B] - [C] - [D]

MATRICES Y DETERMINANTES (Parte B)Ejercicio: operaciones con matrices

Sean

A =  

2 4 1

 1 -2 3

5 0 -1 

B =  

3 -1 -2

 0 5 6

0 0 9 

C =  

2 0 1

 0 -1 2

1 -2 5

a) ¿Qué clase de matrices son?

b) Calcular:

- A - B + C.

A + B - C.

3 A + C/2.

c) Calcular:

(A · B) / C.

d) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado.

Resolución:

a) Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica

porque los elementos simétricos son opuestos entre sí.

b)

-A - B + C = -  

2 4 1

  -  

3 -1 -2

  +  

2 0 1

  =1 -2 3 0 5 6 0 -1 2

5 0 -1 0 0 9 1 -2 5

A + B - C =  

2 4 1

  +  

3 -1 -2

  -  

2 0 1

  =1 -2 3 0 5 6 0 -1 2

5 0 -1 0 0 9 1 -2 5

c)

- Puesto que (A . B) / C = A . B . C-1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto.

C-1 =  2 0 -1 1 0 0

 0 -1 2 0 1 0

1 -2 5 0 0 1 

~  

2 0 -1 1 0 0

  ~0 -1 2 0 1 0

0 -4 11 -1 0 2 

~  

2 0 -1 1 0 0

  ~0 -1 2 0 1 0

0 0 -3 1 4 -2 

~  

-6 0 0 -2 4 -2

  ~0 3 0 -2 -11 4

0 0 -3 1 4 -2

- Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,

~  

1 0 0 -1/3 -2/3 1/3

 0 1 0 -2/3-11/34/3

0 0 1 -1/3 -4/3 2/3

- Por lo tanto, la matriz inversa de C es:

C-1 =  

-1/3 -2/3 1/3

 -2/3-11/34/3

-1/3 -4/3 2/3

- A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B,

A.B =  

2 4 1

  .  

3 -1 -2

  =  

6 18 29

  ,1 -2 3 0 5 6 3 -11 13

5 0 -1 0 0 9 15 -5 -19

- Por último, calculamos (A. B). C-1.

- Sacando factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:

(A.B).C-1 = (1/3).  59 326136

 12 63 -15

44 101-43

d)

- Primero se construye la matriz M = (A I) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:

M = (A I) =  

2 4 1 1 0 0

  ~1 -2 3 0 1 0

5 0 -1 0 0 1 

~  

2 4 1 1 0 0

  ~0 -8 5 -1 2 0

0 0 156 -5 0 2 

~  

2 4 1 1 0 0

  ~0 -8 5 -1 2 0

0 0 39 20 40 -16

- Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene

~  

2 4 1 1 0 0

  ~0 -8 5 -1 2 0

0 0 39 5 10 -4

y se continua calculando,

~  

78 156 0 34 -10 4

  ~0 -312 0 -64 28 20

0 0 39 5 10 -4

Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,

~  

39 78 0 17 -5 2

  ~0 -78 0 -16 7 5

0 0 39 5 10 -4 

~  

-3042

0 0 -78-

156-

546  ~0 -78 0 -16 7 5

0 0 39 5 10 -4

- Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -

3042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,

~  

1 0 0 1/39 2/39 7/39

  ~0 1 0 8/39-7/78-5/78

0 0 1 5/3910/39-4/39

Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:

A-1 = (1/78).  

2 4 14

 16 -7 -5

10 20 -8

- Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A-1, tiene que cumplir

AA-1 = I.

Procedamos a la comprobación:

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:

M =  

a11 a12 ... a1n b1

 a21 a22 ... a2n b2

... ... ... ... ...

am1 am2 ... a mn bm

Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada,

específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.Método de Gauss

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Sea el sistema,

x + 2.y + z = 3

2.x + 5.y - z = -4

3.x - 2.y - z = 2

su matriz ampliada asociada es

 

x y z    

 1 2 1 3

2 5 -1 -4

3 -2 -1 2Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a

los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:

De este modo, el sistema tiene la solución única

x = 2, y = -1, z = 3.

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.

Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices

Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:

a)

x + y - 2.z + 4.t = 5

2.x + 2.y -3.z + t = 3

3.x + 3.y - 4.z - 2.t = 1

b)

x + y - 2.z + 3.t = 4

2.x + 3.y -3.z + t = 3

5.x + 7.y + 4.z + t = 5

a) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:

M =  

x y z t    

 1 1 -2 4 5

2 2 -3 1 3

3 3 -4 -2 1 

~  

x y z t    

 1 1 -2 4 5

0 0 1 -7 -7

0 0 2 -14 -14

La tercera fila se suprime, puesto que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula. Así, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:

~  x y z t    

 1 1 -2 4 5

0 0 1 -7 -7

0 0 2 -14 -14

La solución del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones.

x = -9 - y + 10 t

z = 7 t - 7 ó (- 9 - y + 10 t, y, 7 t - 7, t).

Dependiendo de qué valores se escojan para y y t, salen distintos resultados. Así, para y = t = 0 tendremos la solución del sistema

x = -9, y = 0, z = -7, t = 0.

b) La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:

M =  

x y z t    

 1 1 -2 3 4

2 3 3 -1 6

5 7 4 1 5 

~  

x y z t    

 1 1 -2 3 4

0 1 7 -7 -5

0 2 14 -14 -15 

~  

x y z t    

 1 1 -2 3 4

0 1 7 -7 -5

0 0 0 0 -5

No hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución.

Específicamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación

0 x + 0 y + 0 z + 0 t = -5

obteniendo como resultado 0 = -5, que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solución.

Determinantes

A cada matriz n-cuadrada A = (aij) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

am1 am2 ... a mn

Una tabla ordenada n. n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden n, no es una matriz. La función determinante apareció por primera

vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.

Determinantes de orden uno y dos

Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

| a11| = a11

a11 a12 = a11.a22 - a12.a21

a21 a22

Así, el determinante de una matriz 1 . 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = | a11| = a11.

Ejemplos:

a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3 x+5) = 3 x+5.

b)

3 5 = (3).(1) - (5).(2) = 3 - 10 = -72 1

  2 -3 = (2).(-4) - (-3).(1) = -8 - (-3) = -8 + 3 = -

51 -4

Determinantes de orden tres

Consideremos una matriz 3 . 3 arbitraria A = (a ij). El determinante de A se define como sigue:

det(A) =

a11 a12 a13

=a21 a22 a23

a31 a32 a33

= a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a21.a32.a13 - a13.a22.a31 - a12.a21.a33 - a32.a23.a11

Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo

negativo (cambian su signo). Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

(Para los tres productos positivos)

(Para los tres productos negativos)Ejemplo:

Calcular el valor del determinante:

3 2 1

=0 2 -5

-2 1 4

= (3).(2).(4) + (2).(-5).(-2) + (0).(1).(1) - (-2).(2).(1) - (0).(2).(4) - (1).(-5).(3) =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

El determinante de la matriz 3 . 3 A = (a×) puede reescribirse como:

det (A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) =

= a11.a22 a23

- a12.a21 a23

+ a13.a21 a22

a32 a33 a31 a33 a31 a32

que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal

puede indicarse de la forma siguiente:

a11. a11 a12 a13 - a12. a11 a12 a13 + a13. a11 a12 a13

a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23

a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33

Nótese que cada matriz 2 . 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.

Ejemplo:

Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :

3 2 1

=0 2 -5

-2 1 4 

= 3.

3 2 1

- 2.

3 2 1

+ 1.

3 2 1

=0 2 -5 0 2 -5 0 2 -5

-2 1 4 -2 1 4 -2 1 4 

= 3.2 -5

- 2.0 -5

+ 1.0 2

=1 4 -2 4 -2 1

= 3.(8+5) - 2.(0-10) + 1.(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Propiedades de los determinantes

Las propiedades básicas del determinante son las siguientes:

1. El determinante de una matriz A y el de su traspuesta AT son iguales, es decir,

| A | = | AT |

2. Sea A una matriz cuadrada,

- Si A posee dos filas (columnas) iguales, necesariamente |A| = 0.

- Si A es triangular, esto es, A sólo tiene ceros por encima o por debajo de la diagonal principal, entonces |A| es igual al producto de los elementos de la diagonal.

3. Supongamos que B se ha obtenido de A mediante una operación elemental entre filas o columnas,

- Si se han intercambiado dos filas (columnas) de A, |B| = - |A|.

- Si se ha sumado un múltiplo de una fila (columna) a otra, entonces |B| = |A|.

- Si se ha multiplicado una fila (columna) de A por un escalar k, |B| = k.|A|.

4. Sea A cualquier matriz n-cuadrada, son equivalentes los siguientes principios:

- A es invertible, es decir, A tiene inversa A-1.

- AX = 0 tiene solamente la solución trivial.

- El determinante de A no es nulo: |A| ≠ 0.

5. El determinante es una función multiplicativa. Es decir, el determinante del producto de matrices A y B es el producto de los determinantes: |A.B| = |A|.|B|.

6. Supongamos que A y B son matrices similares, entonces: |A| = |B|.

DETERMINANTE DE ORDEN ARBITRARIO

Sea A = (ann) una matriz de orden arbitrario n . n (siendo n un número par). Para calcular el det (A) se procede de la siguiente manera:

a11 a12 ... a1n

=a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

an1 an2 ... ann

 

= a11.

a22 ... a2n

- a21.

a12 ... a1n

... ... -an1.

a12 ... a1n

... ... ... ... ... ... a22 ... a2n

an2 ... ann an2 ... ann ... ... ...

Los signos se van alternando según la posición que ocupen las entradas del determinante. Es decir:

+ - + -   ...

- + - +   ...

+ - + -   ...

           

... ... ... ... ... ...

Ejemplo:

Calcular el determinante de A =  

3 2 0 -1

 1 5 1 0

4 -2 0 1

0 1 -3 2

Si observamos la matriz, podemos ver que en la tercera columna hay dos ceros. Así pues, si cogemos las entradas de la tercera columna para calcular el determinante, nos

ahorraremos calcular dos determinantes, ya que el producto de un determinante por cero es cero.

det(A) = -1.

3 2 -1

- (-3).

3 2 -1

=4 -2 1 1 5 0

0 1 2 4 -2 1

= -1(-12 + 0 - 4 - 16 - 3) + 3.(15 + 0 + 2 + 20 - 2 - 0) =

= -1.(-35) + 3.(35) = 35 + 105 = 140

SISTEMAS DE 2 ECUACIONES DE 1ER GRADO CON 2 INCÓGNITAS

- Métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones.

1) Método de reducción por suma o resta (o de eliminación).

2) Método de igualación.

3) Método de sustitución.

Método de reducción por suma o resta (o de eliminación).

Ejemplo:

6.x - 7.y = 5

8.x - 9.y = 7

 

1 er Paso : Multiplicamos las 2 ecuaciones por un "número" (resultado del m.c.m. entre ellos), para igualar el valor numérico de los coeficientes de la incógnita "x" en las 2 ecuaciones.

2 do Paso : Restamos las 2 ecuaciones para eliminar las incógnitas "x" luego resolvemos la ecuación.

3 er Paso : Reemplazamos la incógnita "y", en cualquiera de las 2 ecuaciones para obtener el valor de la incógnita "x" o bien se calcula está incógnita repitiendo los pasos anteriores.

6 x - 7 y = 5

6 x - 7 . (1) = 5

6 x - 7 = 5

6 x = 5 + 7

6 x = 12

x = 2

Por último; el conjunto solución es: (2 ; 1)Ejercicios de aplicación. 

2.x - 4.y = -7x + 8.y = -1

R: [-3; 1/4]  3.x - 5.y = 19

2.x + y = 4R: [3; -2]

 

5.x + 4.y = 23.x - 2.y = -12

R: [-2; 3]  -9.x - 12.y = 1430.x + 6.y = -58

R: [-2; 1/3]

 

2.x - 5.y/3 = 53.x - 4.y = 3

R: [5; 3]  2.x - 2.y = -54.x - 3.y = -9

R: [-3/2; 1]

 

x + y = 7x - y = -1

R: [3; 4]  x - y/5 = 9/5

2.x + y/2 = 9/2R: [2; 1]

 

-2.x - 4.y = 18x + 5.y = -36

R: [9; -9]  2.x/3 - 5.y = -55/33.x - y/2 = -33/2

R: [-5; 3]

 

3.x - 3.y = -14 R: [1/3; 5]   2.x - 5.y = -9 R: [1/2; 2]

9.x + 4.y = 23 x + 4.y = 8,5

 

x - 5.y = -14,52.x + 3.y = 10

R: [1/2; 3]  5.x - 6.y = 34

11.x + 9.y = -14R: [2; -4]

 

- Método de igualación.

Ejemplo:

x + 3.y = 10

2.x + 5.y/4 = 1

 

1 er Paso : Se despeja la incógnita "x" de cada una de las ecuaciones dadas.

2 do Paso : Igualamos las incógnitas "x" luego resolvemos la ecuación.

3 er Paso : Reemplazamos la incógnita "y", en cualquiera de las 2 ecuaciones despejadas para obtener el valor de la incógnita "x".

Por último; el conjunto solución es: (- 2 ; 4).

Ejercicios de aplicación.

 

5.x - y = 92.x + 4.y = 8

R: [2; 1]  5.x - y = 1/2

2.x + 3.y = -10R: [-1/2; -3]

 

2.x - 4.y = -7x + 8.y = -1

R: [-3; 1/4]  -3.x + 15.y = 593.x + 4.y = 17

R: [1/3; 4]

 

-3.x - 4.y = 5-x - 2.y = 2

R: [-1; -1/2]  3.x - 5.y = 19

2.x + y = 4R: [3; -2]

 

x/5 - y/2 = 1,32.x - y = 1

R: [-1; -3]  3.x - y = -1/2

4.x/5 + 3.y = 6,4R: [1/2; 2]

 

2.x - y/2 = -9,53.x/5 + y = -4

R: [-5; -1]  x/3 - y = -3

-4.x - y/2 = 11R: [-3; 2]

 

3.x + 2.y = -102.x - 10.y = -1

R: [-3; -1/2]  3.x - 2.y = 5

-3.x + 4.y = -9R: [1/3; -2]

 

- Método de sustitución

Ejemplo:

x + 2.y = 9

3.x - y = 13

 

1 er Paso : Se despeja la incógnita "x" de una de las ecuaciones dadas.

x + 2 y = 9

x = 9 - 2 y

2 do Paso : Reemplazamos la incógnita "x", en la otra ecuación dada; para obtener el valor de la incógnita "y".

3 er Paso : Reemplazamos la incógnita "y", en la 1ra expresión obtenida; para obtener el valor de la incógnita "x".

x = 9 - 2 y

x = 9 - 2 . (2)

x = 9 - 4

x = 5

Por último; el conjunto solución es: (5 ; 2).

Ejercicios de aplicación. 

2.x - 3.y = 53.x - 2.y = 5

R: [1; -1]  x/5 - 2.y = 10

3.x - 3.y/2 = 36R: [10; -4]

 

2.x + y = 31,5.x - 2.y = 5

R: [2; -1]  x + 8.y = 3

3.x - y = -28,5R: [-9; 3/2]

 

2.x - 5.y/3 = 53.x - 4.y = 3

R: [5; 3]  2.x - 4.y = 5

3.x + y = 5,75R: [2; -1/4]

 

5.x + 6.y = 323.x - 2.y = -20

R: [-2; 7]  x + 2.y = -123.x - y = -1

R: [-2; -5]

 

6.x + 3.y = 3,55.x - 2.y = 2/3

R: [1/3; 1/2]  3.x/2 + y = 8

2,5.x - 3.y/2 = 7R: [4; 2]

 

5.x - 6.y = -93.x + 4.y = -13

R: [-3; -1]  4.x - 3.y = -416.x + 11.y = 47

R: [-5; 7]

Matemática - Sistemas de Ecuaciones

1) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por los métodos de:

a) Igualación

b) Sustitución

c) Reducción

d) DeterminantesGraficar.

a - 3.x - 2.y = -165.x + 4.y = 10

f - x/5 - y = -24.x + y/4 = 41

k - 3.x - 4.y = 12.x - 3.y = 0

p - -7.x + 4.y = 3y = x

b - 4.x - y = 122.x + 3.y = -5

g - 2.x - y/2 = 9/2x - y/5 = 9/5

l - 4.x + 3.y = 276.x + 3.y - 3 = 0

q - y = 22.x + 2.y -1 = 0

c - 3.x + y = -82.x - 5.y = -11

h - 4.x - 8.y = 442.x + 4.y = 22

m - x + y = 50x/y = 4

r - x - 2.y -1 = 0y - 2.x + 2 = 0

d - 4.x - 3.y = 65.x + y = 17

i - 22.x - 3.y = 04.x - y/3 = 14

n - x + y = 5-x + y = -2

s - x - 1 = 01 - y = 0

e - 5.x - 4.y = 22.x + 3.y = 17/4

j - x + 2.y = 05.x + 10.y = 14

o - 2.x - 3.y = 04.x + y = 14

t - 3.y + 8.x -1 = 0y = 5 - 2.x

Respuestas

a -b -c -d -e -

P(-2;5)P(41/14;-2/7)

P(-3;1)P(3;2)

P(1;3/4)

f -g -h -i -j -

P(10;4)P(0;-9)P(11;0)P(9;66)

Sin solución

k -l -

m -n -o -

P(3;2)P(-12;25)P(40;10)

P(7/2;3/2)P(3;2)

p -q -r -s -t -

P(-1;-1)P(-1/2;2)

P(1;0)P(1;1)P(3;-1)

Matemática - Sistemas de Ecuaciones

1) Si a ambos términos de la fracción 4/9 se les suma cierto número entero se obtiene 9/14. ¿Cuál es ese número entero?.

2) La cifra de las docenas de un número de dos cifras es mayor que la de las unidades en 4. Dividiendo el número por la suma de las dos cifras se obtiene como cociente 7. Calcular dicho número.

3) Sobre cierta carretera, dos ciudades distan 26 km, de una de las ciudades sale un ciclista que recorre un km cada tres minutos, de la otra ciudad y al encuentro del ciclista anterior sale simultáneamente otro que recorre 1 km cada cuatro minutos. Calcular cuanto tiempo tardarán en encontrarse.

4) Una persona gasta 1/3 de su dinero y luego 2/5 de lo que le queda, tiene aún $ 60. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente?.

5) La mitad de un número, más la tercera parte de su consecutivo, más la cuarta parte del siguiente, es igual a éste número. ¿Cuáles son los números?.

6) La base mayor de un trapecio es el doble de la otra y la altura del mismo es igual a 12,5 cm. ¿Cuántos centímetros tiene cada una de las bases, si la superficie del trapecio es de 75 cm ²?.

7) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, en forma gráfica y analítica:

a -x + 3.y = 5x - 5.y = -3

b -3.x - 2.y = 112.x + 3.y = 16

c -7.y - 5.x = 3

7.x - 5.y = 15

d -x = 6 - y

y = 3.x - 4

e -3/(3.y - x) = 7/(3.x - y)9/(4.x - 3) = 5/(4.y - 3)

8) Averiguar en qué día y hora del mes de Abril de un año bisiesto se verifica que la fracción transcurrida del mes es igual a la fracción transcurrida del año.

9) Una canilla abierta por completo llena un tanque en 5 horas. Otra abierta por completo lo hace en dos horas. ¿Cuánto tiempo se tardará en llenarlo si se mantienen las dos canillas abiertas parcialmente de tal manera que permitan el pasaje de la mitad del caudal?.

10) Dado el siguiente sistema de ecuaciones reales:

2.m.x + (m + 1).y = 2(m + 2).x + (2.m + 1).y = m + 2

Determinar las raíces posibles del parámetro m R para que el sistema tenga:

a) Infinitas soluciones.

b) Unica solución.

c) Ninguna solución.

d) Rectas perpendiculares.

Matemática - Sistemas de Ecuaciones

1) Determinar si las siguientes ecuaciones con tres incógnitas son de primer grado:

a) (x - 2.y + z) ² + 4.x.y = 2.x.z - 4.y.z

b) (2.x - y)/[x ² - (x + z) ²] = 3/(x + y + z)

2) Determinar para qué valores del parámetro k el siguiente sistema no tiene solución:

(1 + 2.k).x + 5.y = 7

(2 + k).x + 4.y = 8

3) Determinar para qué valores del parámetro k el siguiente sistema tiene soluciones positivas:

2.x + 7.y = k

3.x + 5.y = 13

4) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con tres incógnitas:

a-

x - y - z = 6

3.y - x - z = 12

7.z - y - x = 24

b-

3.x + 2.y + 4.z = 19

2.x + 3.y + 3.z = 21

3.x - y + z = 4

c-

6/x + 4/y + 5/z = 4

3/x = 4 - 8/y - 5/z

9/x - 10/z = 4 - 12/y

5) Dos personas aportan capitales a una empresa, la diferencia de aportes representa un tercio del capital conjunto y el doble de uno de los aportes menos el otro es de $ 60000. ¿Cuál es el capital integrado?.

6) ¿Para qué valores reales a y b el siguiente sistema es determinado, indeterminado, incompatible o representa rectas perpendiculares?:

3.x + a.y = 8

b.x + 4.y = 2

7) ¿Para qué valores de n Z la solución del siguiente sistema satisface la condición x > 0 e y < 0 ?:

n.x - y = 5

2.x + 3.n.y = 7

8) Un barril contiene 12 ls de vino y 18 ls de agua, y otro barril contiene 9 ls de vino y 3 ls de agua. ¿Cuántos litros hay que sacar de cada barril para obtener una mezcla de 7 ls de vino y 7 ls de agua?.

9) Hallar cuántos caballos y forraje para cuántos días, tiene un campesino, sabiendo que si vende 50 caballos el forraje le dura diez días más, y que si compra 60 caballos el forraje le dura diez días menos.

Figuras del Espacio

CUBO

D ... diagonal del cubod ... diagonal de una cara

a ... arista del cubo

d = a.√2D = a.√3Ab = a ²

SL = 4.a ²ST = 6.a ²

V = a³

√2 = 1,41√3 = 1,73

V en m ³ Cap = V.1000V en dm ³ Cap = VV en cm ³ Cap = V/1000

 

Pb triángulo equilátero = l.3Ab triángulo equilátero = l ².√3/4Pb cuadrado = l.4Ab cuadrado = l ²Pb hexágono = l.6Ab hexágono = 3.l ².√3/2

 

PRISMA

Pb = depende del polígono de la baseAb = depende del polígono de la base

SL = Pb.hST = SL + 2.Ab

V = Ab.harista lateral = h

 

CILINDRO

Pb = Cia = 2.π.RAb = Co = π.R ²

SL = Pb.hST = SL + 2.Ab

V = Ab.hgeneratríz = h

 

PIRAMIDE

h ... altura de la pirámideAp ... apotema de la pirámide

a ... arista lateral de la pirámideap ... apotema de la base

r ... radio de la base

Pb = depende del polígono de la baseAb = depende del polígono de la base

SL = Pb.Ap/2ST = SL + Ab Ap ² = h ² + ap ²

V = Ab.h/3 a ² = h ² + r ²

 

CONO

g ... generatríz del conoh ... altura del cono

R ... radio de la base

Pb = Cia = 2.π.RAb = Co = π.R ²

SL = Pb.g/2ST = SL + Ab

V = Ab.h/3g ² = h ² + R ²

 

ESFERA

R ² = r ² + d ²

d ... distancia entre las circunferenciasR ... radio de la circunferencia máxima o de la

esferar ... radio de cualquier circunferencia menor

π = 3,14Cia máxima = 2.π.RCia menor = 2.π.rCo máxima = π.R ²Co menor = π.r ²

A = 4.π.R ²V = 4.π.R³/3

ap triángulo equilátero = l.√3/6r triángulo equilátero = l/√3ap cuadrado = l/2r cuadrado = l/√2ap hexágono = l.√3/2r hexágono = l

 

Autor: HUGO DAVID GIMENEZ AYALAParte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]

Parte A

CUBO

Problemas del Cubo

1) Datosa = 2,5 m

Incógnitasd = ?D = ?SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

Ab = 6,25 m ²

Soluciónd = 3,525 m.D = 4,325 m.SL = 25 m ².

ST = 37,5 m ².V = 15,625 m ³.

Capacidad = 15.625 litros.

2) Datosd = 2,256 m

IncógnitasD = ?SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 1,6 mAb = 2,56 m ²

SoluciónD = 2,768 m.

SL = 10,24 m ².ST = 15,36 m ².V = 4,096 m ³.

Capacidad = 4.096 litros.

3) Datosd = 3,243 m

IncógnitasD = ?SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 2,3 mAb = 5,29 m ²

SoluciónD = 3,979 m.

SL = 21,16 m ².ST = 31,74 m ².V = 12,167 m ³.

Capacidad = 12.167 litros.

4) Datosd = 6,8385 m

IncógnitasD = ?SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 4,85 mAb = 23,5225 m ²

SoluciónD = 8,3905 m.

SL = 94,09 m ².ST = 141,135 m ².V = 114,084 m ³.

Capacidad = 114.084 litros.

5) Datosd = 7,05 m

IncógnitasD = ?SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 5 mAb = 25 m ²

SoluciónD = 8,65 m.

SL = 100 m ².ST = 150 m ².V = 125 m ³.

Capacidad = 125.000 litros.

6) Datosd = 9,024 m

IncógnitasD = ?SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 6,4 mAb = 40,96 m ²

SoluciónD = 11,072 m.

SL = 163,84 m ².ST = 245,76 m ².V = 262,144 m ³.

Capacidad = 262.144 litros.

7) Datosd = 9,447 m

IncógnitasD = ?

FórmulasCubo

SoluciónD = 11,591 m.

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

a = 6,7 mAb = 44,89 m ²

SL = 179,56 m ².ST = 269,34 m ².V = 300,763 m ³.

Capacidad = 300.763 litros.

8) Datosd = 10,293 m

IncógnitasD = ?SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 7,3 mAb = 53,29 m ²

SoluciónD = 12,629 m.

SL = 213,16 m ².ST = 319,74 m ².V = 389,017 m ³.

Capacidad = 389.017 litros.

9) DatosD = 3,633 m

Incógnitasd = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 2,1 mAb = 4,41 m ²

Soluciónd = 2,961 m.

SL = 17,64 m ².ST = 26,46 m ².V = 9,261 m ³.

Capacidad = 9.261 litros.

10) DatosD = 5,882 m

Incógnitasd = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 3,4 mAb = 11,56 m ²

Soluciónd = 4,794 m.

SL = 46,24 m ².ST = 69,36 m ².V = 39,304 m ³.

Capacidad = 39.304 litros.

11) DatosD = 6,747 m

Incógnitasd = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 3,9 mAb = 15,21 m ²

Soluciónd = 5,499 m.

SL = 60,84 m ².ST = 91,26 m ².V = 59,319 m ³.

Capacidad = 59.319 litros.

12) DatosD = 36,676 m

Incógnitasd = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 21,2 mAb = 449,44 m ²

Soluciónd = 29,892 m.

SL = 1.797,76 m ².ST = 2.696,64 m ².V = 9.528,128 m ³.

Capacidad = 9.528.128 litros.

13) DatosSL = 51,84 m ²

Incógnitasd = ?D = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 3,6 mAb = 12,96 m ²

Soluciónd = 5,076 m.D = 6,228 m.

ST = 77,76 m ².V = 46,656 m ³.

Capacidad = 46.656 litros.

14) DatosSL = 169 m ²

Incógnitasd = ?D = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 6,5 mAb = 42,25 m ²

Soluciónd = 9,165 m.

D = 11,245 m.ST = 253,5 m ².V = 274,625 m ³.

Capacidad = 274.625 litros.

15) DatosST = 552,96 m ²

Incógnitasd = ?D = ?SL = ?V = ?

FórmulasCubo

a = 9,6 mAb = 92,16 m ²

Soluciónd = 13,536 m.D = 16,608 m.

SL = 368,64 m ².V = 884,736 m ³.

Capacidad = ? Capacidad = 884.736 litros.

16) DatosV = 15,625 m ³

Incógnitasd = ?D = ?SL = ?ST = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 2,5 mAb = 6,25 m ²

Soluciónd = 3,525 m.D = 4,325 m.SL = 25 m ².

ST = 37,5 m ².Capacidad = 37.500 litros.

17) DatosV = 19,683 m ³

Incógnitasd = ?D = ?SL = ?ST = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 2,7 mAb = 7,29 m ²

Soluciónd = 3,807 m.D = 4,671 m.

SL = 29,16 m ².ST = 43,74 m ².

Capacidad = 19.683 litros.

18) DatosV = 32,768 m ³

Incógnitasd = ?D = ?SL = ?ST = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 3,2 mAb = 10,24 m ²

Soluciónd = 4,512 m.D = 5,536 m.

SL = 40,96 m ².ST = 61,44 m ².

Capacidad = 32.768 litros.

19) DatosV = 1.728 m ³

Incógnitasd = ?D = ?SL = ?ST = ?

Capacidad = ?

FórmulasCubo

a = 12 mAb = 144 m ²

Soluciónd = 16,92 m.D = 20,76 m.SL = 576 m ².ST = 864 m ².

Capacidad = 864.000 litros.

20) Se desea pintar un cubo cuya diagonal mide 15,916 m. Calcular cuánto se debe pagar al pintor si cobra 1.900 $ el m ².

Respuesta: a = 9,2 m; ST = 507,84 m ² y Costo = 964.896 $.

21) Se desea pintar un cubo por dentro y por fuera; si su diagonal mide 2,249 m. Calcular cuánto se debe pagar al pintor si cobra 1.500 $ el m ².

Respuesta: a = 1,3 m; ST = 10,14 m ²; Superficie cubo por dentro y por fuera = 20,28 m ² y Costo =30.420 $.

22) Se desea pintar un cubo por dentro y por fuera; sabiendo que la diagonal de una cara mide 4,089 m. Calcular cuánto se debe pagar al pintor sabiendo que cobra 2.350 $ el metro.

Respuesta: a = 2,9 m; ST = 50,46 m ²; Superficie cubo por dentro y por fuera = 100,92 m ² y Costo =237.162 $.

23) Se desea pintar un recipiente de forma cúbica por dentro y por fuera. ¿Cuánto se deberá pagar al pintor sabiendo que el cobra 1.500 $ el m ² y que la diagonal de una cara del recipiente mide 9,306 m.

Respuesta: a = 6,6 m; ST = 261,36 m ²; Superficie cubo por dentro y por fuera = 522,72 m ² y Costo =784.080 $.

24) Se desea pintar una pared de un cubo por dentro y por fuera; sabiendo que su diagonal mide 3,114 m. Encontrar cuánto se debe pagar al pintor si éste cobra a razón de 1.500 $ el m ².

Respuesta: a = 1,8 m; Ab = 3,24 m ²; Superficie pared por dentro y por fuera = 6,48 m ² y Costo =9.720 $.

25) Se desea pintar un cubo por dentro y por fuera si su superficie lateral es 153,76 m ². Calcular cuánto se debe pagar al pintor si cobra 1.450 $ el m ².

Respuesta: a = 6,2 m; ST = 230,64 m ²; Superficie pared por dentro y por fuera = 461,28 m ² y Costo = 668.856 $.

26) Se desean pintar las paredes laterales externas e internas de un recipiente de forma cúbica al igual que una de sus bases; sabiendo que la diagonal del recipiente es 5,017 m. Cuántos litros de pintura serán necesarios si con cada litro se pintan 2 m ².

Respuesta: a = 2,9 m; SL = 33,64 m ²; Superficie pared externa e interna = 67,28 m ²; Ab = 8,41 m ²;

Superficie pintada =75,69 m ²; y serán necesarios 37,845 litros de pintura.

27) Se desean pintar por dentro y por fuera las paredes laterales de un cubo cuya diagonal mide 3,979 m. Calcular cuánto se debe pagar al pintor sabiendo que cobra a razón de 1.250 $ el metro.

Respuesta: a = 2,3 m; SL = 21,16 m ²; Superficie pared por dentro y por fuera = 42,32 m ² y Costo =52.900 $.

28) En un recipiente de forma cúbica entran 343.000 litros de agua. Calcular cuánto se deberá pagar a un pintor que cobra a razón de 1.500 $ el m ²; y se desean pintar las paredes laterales externas e internas del recipiente.

Respuesta: V = 343 m ³; a = 7 m; SL = 196 m ²; Superficie pared externa e interna = 392 m ² y Costo = 588.000 $.

Observación: Los cálculos matemáticos están hechos con redondeo a 2 decimales.

29) La arista de un cubo mide 1,6 m. Calcular la superficie lateral, la diagonal del cubo y la diagonal de la base.

Respuesta: SL = 10,24 m ²; D = 2,77 m y d = 2,26 m.

30) En un cubo de 2,4 m de arista lateral. ¿Cuál es la superficie total del cubo?.

Respuesta: ST = 34,56 m ².

31) La arista de un cubo es de 4,5 m. Hallar el área de base, la superficie total, el volumen y la capacidad.

Respuesta: Ab = 20,25 m ²; ST = 121,5 m ²; V = 91,125 m ³ y Capacidad = 91.125 litros.

32) La suma de las medidas de todas las aristas de un cubo es 60 m. Calcular la superficie total y el volumen.

Obs: El cubo tiene 12 aristas.

Respuesta: a = 5 m; ST = 150 m ² y V = 125 m ³.

33) En un cubo la diagonal de la cara es 7 m. Calcular la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la diagonal del cubo.

Respuesta: a = 4,96 m; SL = 98,41 m ²; ST = 147,61 m ²; V = 122,02 m ³ y D = 8,58 m.

34) La diagonal de una cara de un cubo mide 7,05 m. Calcular la diagonal del cubo, la superficie total, el volumen y la capacidad.

Respuesta: a = 5 m; D = 8,65 m; ST = 150 m ²; V = 125 m ³ y Capacidad = 125.000 litros.

35) La diagonal de una de las caras de un cubo es 9,87 m. Calcular la superficie total, el volumen y la capacidad.

Respuesta: a = 7 m; ST = 294 m ²; V = 343 m ³ y Capacidad = 343.000 litros.

36) La diagonal de una cara de un cubo mide 14,1 m. Calcular la diagonal del cubo, la superficie total y el volumen.

Respuesta: a = 10 m; D = 17,3 m; ST = 600 m ² y V = 1.000 m ³.

37) Sabiendo que una de las diagonales del cubo es de 0,8748 m. Expresar en cm la arista del mismo.

Respuesta: a = 50,57 cm.

38) La diagonal de un cubo mide 8,65 m. Calcular la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad del mismo.

Respuesta: a = 5 m;SL = 100 m ²; ST = 150 m ²; V = 125 m ³ y Capacidad = 125.000 litros.

39) La diagonal de un cubo mide 13,84 m. Calcular la superficie lateral, el volumen y la diagonal de la cara.

Respuesta: a = 8 m; SL = 256 m ²; V = 512 m ³ y d = 11,28 m.

40) ¿Cuánto mide la diagonal de un cubo de arista 17,3 m?.

Respuesta: D = 29,93 m.

41) La superficie de una de las caras de un cubo es de 30,25 m ². ¿Cuál es el volumen del cubo?.

Respuesta: a = 5,5 m y V = 166,38 m ³.

42) De una cartulina de 0,65 m de largo y 0,40 m de ancho se quiere construir un cubo de 0,2 m de arista. ¿Cuántos m ² de cartulina sobran?.

Respuesta: Superficie cartulina = 0,26 m ²; ST cubo = 0,24 m ² y sobran 0,02 m ² de cartulina.

43) La superficie lateral de un cubo es de 9 m ². Calcular la superficie total,el área de base y el volumen.

Respuesta: a = 1,5 m; ST = 13,5 m ²; Ab = 2,25 m ² y V = 3,38 m ³.

44) La superficie lateral del cubo es de 144 m ². Hallar la arista, la superficie total y las diagonales del mismo.

Respuesta: a = 6 m; ST = 216 m ²; D = 10,38 m y d = 8,46 m.

45) La superficie lateral de un cubo es 256 m ². Hallar la diagonal del cubo y la diagonal de una de las caras.

Respuesta: a = 8 m; D = 13,84 m y d = 11,28 m.

46) Un cubo tiene 0,375 m ² de superficie total. Se desea saber cuánto mide la arista de otro cubo cuya superficie es 4 veces mayor que la del primero.

Respuesta: a = 0,5 m.

47) Sabiendo que la superficie total de un cubo es 18 m ². Calcular la superficie lateral, el volumen y la capacidad.

Respuesta: a = 1,73 m; SL = 11,97 m ²; V = 5,177 m ³ y Capacidad = 5.177 litros.

48) ¿Cuántos litros de agua se podrán cargar en una caja cúbica de 96 m ² de superficie total?.

Respuesta: a = 4 m y Capacidad = 64.000 litros.

49) La superficie total de un cubo es de 150 m ². Calcular la superficie lateral,el volumen, las diagonales y la capacidad.

Respuesta: a = 5 m; SL = 100 m ²; V = 125 m ³; d = 7,05 m; D = 8,65 m y Capacidad = 125.000 litros.

50) Se sabe que un cubo tiene 216 m ² de superficie total. Calcular el volumen y la capacidad de ese cubo.

Respuesta: a = 6 m; V = 216 m ³ y Capacidad = 216.000 litros.

51) La superficie total en un cubo es de 726 m ². Calcular su volumen y su capacidad.

Respuesta: a = 11 m; V = 1.331 m ³ y Capacidad = 1.331.000 litros.

52) La superficie total de un cubo es de 1.350 m ². Calcular el área de base, la superficie lateral y el volumen.

Respuesta: a = 15 m; Ab = 225 m ²; SL = 900 m ² y V = 3.375 m ³.

53) Determinar cuántos cm ² de madera son necesarias para fabricar una caja cúbica con las dimensiones indicadas en la figura. La figura indica que la arista es de 22 cm.

Respuesta: Son necesarios para fabricar una caja cúbica 2.904 cm ² de madera.

54) Se han construido una docena de envases cúbicos de lata que medían 0,22 m de arista. ¿Cuántos m ² se empleó?.

Respuesta: ST de 1 cubo = 0,29 m ²; ST empleada en 12 cubos = 3,48 m ².

55) El volumen de un cubo es 64 m ³. Hallar el área de base, la superficie total, las diagonales del mismo y su capacidad.

Respuesta: a = 4 m; Ab = 16 m ²; ST = 96 m ²; d = 5,64 m; D = 6,92 m y Capacidad = 64.000 litros.

56) Un depósito cúbico contiene exactamente 729 litros. Expresar en dm el valor de la arista.

Respuesta: a = 9 dm.

57) Un cubo tiene 8.000 m ³ de volumen. Calcular la arista, la superficie lateral y la superficie total.

Respuesta: a = 20 m; SL = 1.600 m ² y ST = 2.400 m ².

Parte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]Matemática - Geometría

Autor: HUGO DAVID GIMENEZ AYALAParte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]

Parte BPRISMA

Problemas del Prisma

1) Datos Incógnitas Fórmulas Solución

l base =12 mh = 20 m

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

Prisma triangularPb = 36 m

Ab = 62,28 m ²

SL = 720 m ².ST = 844,56 m ².V = 1.245,6 m ³.

Capacidad = 1.245.600 litros.

2) Datosh base =1,384 mSL = 4,32 m ²

Incógnitash = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma triangular

l base =1,6 mPb = 4,8 m

Ab = 1,1072 m ²

Soluciónh = 0,9 m.

ST = 6,5344 m ².V = 0,99648 m ³.

Capacidad = 996,48 litros.

3) Datosh base =5,19 m

ST = 38,34 m ²

Incógnitash = ?

SL = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma triangular

l base = 6 mPb = 18 m

Ab = 15,57 m ²

Soluciónh = 0,4 m.

SL = 7,2 m ².V = 6,228 m ³.

Capacidad = 6.228 litros.

4) DatosPb = 15 m

h = 3 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma triangular

l base = 5 mAb = 10,81 m ²

SoluciónSL = 45 m ².

ST = 66,62 m ².V = 32,43 m ³.

Capacidad = 32.430 litros.

5) DatosPb = 15 m

ST = 27,625 m ²

Incógnitash = ?

SL = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma triangular

l base = 5 mAb = 10,8125 m ²

Soluciónh = 0,4 m.SL = 6 m ².

V = 4,325 m ³.Capacidad = 4.325 litros.

6) DatosPb = 4,2 m

V = 0,59339 m ³

Incógnitash = ?

SL = ?ST = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma triangular

l base =1,4 mAb = 0,8477 m ²

Soluciónh = 0,7 m.

SL = 2,94 m ².ST = 4,6354 m ².

Capacidad = 593,39 litros.

7) DatosAb = 9,9288 m ²SL = 17,28 m ²

Incógnitash = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma triangular

l base =4,79 mPb = 14,37 m

Soluciónh = 1,2 m.

ST = 37,13 m ².V = 11,914 m ³.

Capacidad = 11.914 litros.

8) DatosSL = 180 m ²

Pb = 18 m

Incógnitash = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma triangular

l base = 6 mAb = 15,57 m ²

Soluciónh = 10 m.

ST = 211,14 m ².V = 155,7 m ³.

Capacidad = 155.700 litros.

9) DatosST = 5,0554 m ²

SL = 3,36 m ²

Incógnitash = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma triangular

l base =1,4 mPb = 4,2 m

Ab = 0,8477 m ²

Soluciónh = 0,8 m.

V = 0,67816 m ³.Capacidad = 678,16 litros.

10) DatosST = 37,1304 m ²

SL = 25,98 m ²

Incógnitash = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma triangular

l base =3,59 mPb = 10,77 m

Ab = 5,5752 m ²

Soluciónh = 2,41 m.

V = 13,436 m ³.Capacidad = 13.436 litros.

11) Datosd base =4,23 m

IncógnitasSL = ?

FórmulasPrisma cuadrangular

SoluciónSL = 60 m ².

h = 5 m ST = ?V = ?

Capacidad = ?

l base = 3 mPb = 12 mAb = 9 m ²

ST = 78 m ².V = 45 m ³.

Capacidad = 45.000 litros.

12) Datosd base =7,5 m

h = 3,4 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma cuadrangular

l base =5,31 mPb = 21,24 m

Ab = 28,19 m ²

SoluciónSL = 72,21 m ².

ST = 128,59 m ².V = 95,846 m ³.

Capacidad = 95.846 litros.

13) Datosd base =1,833 mST = 4,94 m ²

Incógnitash = ?

SL = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma cuadrangular

l base =1,3 mPb = 5,2 m

Ab = 1,69 m ²

Soluciónh = 0,3 m.

SL = 1,56 m ².V = 0,507 m ³.

Capacidad = 507 litros.

14) DatosPb = 5,2 m

V = 2,197 m ³

Incógnitash = ?

SL = ?ST = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma cuadrangular

l base =1,3 mAb = 1,69 m ²

Soluciónh = 1,3 m.

SL = 6,76 m ².ST = 10,14 m ².

Capacidad = 2.197 litros.

15) DatosAb = 20,25 m ²

h = 10 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma cuadrangular

l base =4,5 mPb = 18 m

SoluciónSL = 180 m ².

ST = 220,5 m ².V = 202,5 m ³.

Capacidad = 202.500 litros.

16) DatosAb = 5,76 m ²

SL = 29,76 m ²

Incógnitash = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma cuadrangular

l base =2,4 mPb = 9,6 m

Soluciónh = 3,1 m.

ST = 41,28 m ².V = 17,856 m ³.

Capacidad = 17.856 litros.

17) DatosST = 5,12 m ²SL = 3,84 m ²

Incógnitash = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma cuadrangular

l base =0,8 mPb = 3,2 m

Ab = 0,64 m ²

Soluciónh = 1,2 m.

V = 0,768 m ³.Capacidad = 768 litros.

18) DatosST = 17,28 m ²SL = 14,4 m ²

Incógnitash = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma cuadrangular

l base =1,2 mPb = 4,8 m

Ab = 1,44 m ²

Soluciónh = 3 m.

V = 4,32 m ³.Capacidad = 4.320 litros.

19) DatosST = 378 m ²SL = 280 m ²

Incógnitash = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma cuadrangular

l base = 7 mPb = 28 m

Ab = 49 m ²

Soluciónh = 10 m.

V = 490 m ³.Capacidad = 490.000 litros.

20) DatosV = 20 m ³h = 0,8 m

IncógnitasSL = ?ST = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma cuadrangular

l base = 5 mPb = 20 m

Ab = 25 m ²

SoluciónSL = 16 m ².ST = 66 m ².

Capacidad = 20.000 litros.

21) Datosl base = 6 mh = 12 m

IncógnitasSL = ?ST = ?

FórmulasPrisma hexagonal

Pb = 36 m

SoluciónSL = 432 m ².

ST = 618,84 m ².

V = ?Capacidad = ?

Ab = 93,42 m ² V = 1.121,04 m ³.Capacidad = 1.121.040 litros.

22) Datosap base =6,92 m

h = 40 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma hexagonal

l base = 8 mPb = 48 m

Ab = 166,08 m ²

SoluciónSL = 1.920 m ².

ST = 2.252,16 m ².V = 6.643,2 m ³.

Capacidad = 6.643.200 litros.

23) Datosap base =8,65 m

h = 30 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma hexagonal

l base =10 mPb = 60 m

Ab = 259,5 m ²

SoluciónSL = 1.800 m ².ST = 2.319 m ².V = 7.785 m ³.

Capacidad = 7.785.000 litros.

24) Datosap base =1,038 mSL = 5,76 m ²

Incógnitash = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma hexagonal

l base =1,2 mPb = 7,2 m

Ab = 3,7368 m ²

Soluciónh = 0,8 m.

ST = 13,2336 m ².V = 2,98944 m ³.

Capacidad = 2.989,44 litros.

25) DatosPb = 42 mh = 21 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma hexagonal

l base = 7 mAb = 127,15 m ²

SoluciónSL = 882 m ².

ST = 1.136,3 m ².V = 2.670,15 m ³.

Capacidad = 2.670.150 litros.

26) DatosPb = 4,8 m

V = 0,99648 m ³

Incógnitash = ?

SL = ?ST = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma hexagonal

l base =0,8 mAb = 1,6608 m ²

Soluciónh = 0,6 m.

SL = 2,88 m ².ST = 6,2016 m ².

Capacidad = 996,48 litros.

27) DatosPb = 4,8 m

V = 2,15904 m ³

Incógnitash = ?

SL = ?ST = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma hexagonal

l base =0,8 mAb = 1,6608 m ²

Soluciónh = 1,3 m.

SL = 6,24 m ².ST = 9,5616 m ².

Capacidad = 2.159,04 litros.

28) DatosAb = 3,7368 m ²

SL = 9,36 m ²

Incógnitash = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma hexagonal

l base =1,2 mPb = 7,2 m

Soluciónh = 1,3 m.

ST = 16,8336 m ².V = 4,85784 m ³.

Capacidad = 4.857,84 litros.

29) DatosST = 4,7616 m ²

SL = 1,44 m ²

Incógnitash = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma hexagonal

l base =0,8 mPb = 4,8 m

Ab = 1,6608 m ²

Soluciónh = 0,3 m.

V = 0,49824 m ³.Capacidad = 498,24 litros.

30) DatosV = 207,6 m ³

h = 5 m

IncógnitasSL = ?ST = ?

Capacidad = ?

FórmulasPrisma hexagonal

l base = 4 mPb = 24 m

Ab = 41,52 m ²

SoluciónSL = 120 m ².

ST = 203,04 m ².Capacidad = 207.600 litros.

Observación: Los cálculos matemáticos están hechos con redondeo a 2 decimales.

1) Un prisma triangular regular tiene 1,73 m de lado de base; sabiendo que la medida de la altura es el doble de la medida del lado de base. Calcular la superficie lateral del prisma.

Respuesta: SL = 17,96 m ².

32) Calcular la superficie lateral de un prisma recto cuya base es un triángulo equilátero de lado igual a 8 m y cuya altura mide 2 m. Además; la superficie total y el volumen.

Respuesta: SL = 48 m ²; ST = 103,36 m ² y V = 55,36 m ³.

33) Se conoce el perímetro de base de un prisma triangular regular, cuyo valor es de 30 m. La altura del prisma es el doble del lado de base. Hallar la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad del mismo.

Respuesta: SL = 600 m ²; ST = 686,5 m ²; V = 865 m ³ y Capacidad = 865.000 litros.

34) Un prisma recto tiene 9,6 m de altura y la base es un triángulo equilátero cuyo lado mide 5,3 m. Calcular el área de base, la superficie lateral y la superficie total.

Respuesta: Ab = 12,14 m ²; SL = 152,64 m ² y ST = 176,62 m ².

35) Calcular la superficie lateral y la superficie total de un prisma regular triangular de 58 cm de altura, sabiendo que el área de base es de 692 cm ². Además se pide su volumen y su capacidad.

Respuesta: SL = 6.960 cm ²; ST = 8.344 cm ²; V = 40.136 cm ³ y Capacidad = 40,136 litros.

36) La superficie lateral de un prisma triangular regular es 36 m ²; sabiendo que la medida de la altura del prisma es el triple de la medida del lado de base. Calcular la superficie total.

Respuesta: ST = 39,46 m ².

37) El soporte de un velador tiene la forma de un prisma triangular regular. El lado de base del prisma mide 20 cm y la altura 50 cm; sabiendo que el soporte debe ser revestido de vidrio, determinar la superficie en m ² de la superficie de ese material que será utilizado en la construcción de 30 veladores.

Respuesta: Superficie de material utilizado en 30 veladores = 10,038 m ².

38) Determinar cuántos m ² de lona, es preciso utilizar para construir una carpa con la forma de un prisma triangular cuyas medidas son: el lado de base 2,82 m y la altura 5 m.

Respuesta: Se necesitan 49,18 m ² de lona para construir una carpa.

39) La altura de un prisma recto es 2/3 del lado de base y la base es un triángulo equilátero cuya superficie es 62,352 m ². Calcular la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad.

Respuesta: sL = 288 m ²; ST = 412,7 m ²; V = 498,816 m ³ y Capacidad = 498.816 litros.

40) Determinar cuántos m ² de lona, es preciso utilizar para construir una carpa con la forma de un prisma triangular indicado en la figura.

Respuesta: Se necesitan 56,2 m ² de lona para construir una carpa.

41) La superficie lateral de un prisma triangular regular mide 153 m ² y la altura del cuerpo es 8,5 m. Averiguar la superficie total, el volumen y la capacidad.

Respuesta: ST = 184,14 m ²; V = 133,195 m ³ y Capacidad = 133.195 litros.

42) ¿Cuál es la superficie total de un prisma recto de 30 m de altura si su base es un triángulo equilátero de 12,11 m de altura?.

Respuesta: ST = 1.429,54 m ².

43) El volumen de un prisma triangular regular mide 40,136 m ³ y la altura 5,8 m. ¿Cuánto será el valor de la superficie lateral y de la superficie total?.

Respuesta: SL = 69,6 m ² y ST = 83,44 m ².

44) Calcular la superficie lateral de un prisma recto cuya base es un triángulo escaleno de lados 4 m; 6 m y 8 m; y cuya altura es de 2 m.

Respuesta: SL = 36 m ².

45) La base de un prisma recto es un triángulo escaleno cuyos lados son 8 m; 10 m y 12 m. Si la altura del prisma mide 5 m. Calcular la superficie lateral.

Respuesta: SL = 150 m ².

46) Calcular la superficie lateral de un prisma recto, cuya altura tiene 4 m y su base es un cuadrado de 2 m de lado.

Respuesta: SL = 32 m ².

47) ¿Cuántos litros de nafta contiene una lata de base cuadrada de 0,23 m de lado de base y 0,38 m de altura?.

Respuesta: La lata contiene 20,102 litros de nafta.

48) Hallar la superficie lateral, la superficie total y el volumen de un prisma cuya altura es de 10,5 m, siendo la base un cuadrado que mide 6,8 m de lado.

Respuesta: SL = 285,6 m ²; ST = 378,08 m ² y V = 458,52 m ³.

49) La diagonal de la base de un prisma cuadrangular es de 5,64 m y la altura del prisma es de 8 m. Hallar la superficie lateral, la superficie total, el volumen y su capacidad.

Respuesta: SL = 128 m ²; ST = 160 m ²; V = 128 m ³ y Capacidad = 128.000 litros.

50) El área de base de un prisma cuadrangular es de 1,96 m ² y la altura del prisma es el triple del lado de base. Hallar la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad.

Respuesta: SL = 23,52 m ²; ST = 27,44 m ²; V = 8,232 m ³ y Capacidad = 8.232 litros.

51) Determinar la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad de un prisma cuadrangular cuya área de base es 56,25 m ²; si la altura del mismo es el triple del lado de base.

Respuesta: sL = 675 m ²; ST = 787,5 m ²; V = 1.265,625 m ³ y Capacidad = 1.265.625 litros.

52) Determinar la capacidad de un depósito de forma de prisma regular cuadrangular de 2,5 m de altura y de 6 m de perímetro de base.

Respuesta: Capacidad = 5.625 litros.

53) En un prisma cuadrangular regular el lado de base mide 6 m; sabiendo que la superficie lateral del prisma es 216 m ². Calcular la medida de la altura del prisma.

Respuesta: h = 9 m.

54) Un prisma recto de 45 m de altura tiene por base un cuadrado de 210,25 m ² de superficie. ¿Cuál es la superficie total del prisma?.

Respuesta: ST = 3.030,5 m ².

55) Hallar la superficie total de un prisma recto de 15 cm de altura cuya base es un rombo de 12 cm y 16 cm de diagonales.

Respuesta: ST = 792 cm ².

56) Calcular la superficie total de un prisma recto de 6 m de altura, teniendo por bases un rectángulo de 12 m ² de área y cuyo largo mide 5 m.

Respuesta: ST = 112,8 m ².

57) ¿Cuál es la superficie lateral de un prisma recto de 15 m de altura cuya base es un hexágono regular de 6,92 m de apotema?.

Respuesta: SL = 720 m ².

58) Calcular el área de base, la superficie lateral y la superficie total de un prisma recto que tiene 6 m de altura y cuya base es un hexágono regular que tiene 2 m de lado.

Respuesta: Ab = 10,38 m ²; SL = 72 m ² y ST = 92,76 m ².

59) Averiguar la superficie lateral, la superficie total y el área de base de un prisma regular hexagonal cuyo perímetro de base es 84 m y la altura es el doble del lado de base.

Respuesta: SL = 392 m ²; ST = 1.409,24 m ² y Ab = 508,62 m ².

60) La superficie total de un prisma hexagonal es de 140,76 m ²; siendo el perímetro de base igual a 12 m. Calcular la superficie lateral, el volumen y capacidad.

Respuesta: SL = 120 m ²; V = 103,8 m ³ y Capacidad = 103.800 litros.

61) La base de un prisma es un hexágono de 93,42 m ² de superficie, siendo la altura del prisma el triple del lado de base. Calcular la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad del mismo.

Respuesta: SL = 648 m ²; ST = 834,84 m ²; V = 1681,56 m ³ y Capacidad = 1.681.560 litros.

62) ¿Cuál es la superficie lateral de un prisma recto cuya altura es 8 m y la base es un hexágono regular de 30 m ² de superficie?.

Respuesta: SL = 163,2 m ².

63) Sabiendo que la superficie lateral de un prisma recto tiene 288 m ² y que su base es un hexágono regular de 5 m de lado. Calcular la altura del prisma.

Respuesta: h = 9,6 m.

64) La superficie lateral de un prisma hexagonal es de 81 dm ² y el perímetro de base es de 75 dm. Calcular su volumen y capacidad.

Respuesta: V = 437,91 dm ³ y Capacidad = 437,91 litros.

Parte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]Matemática - Geometría

Autor: HUGO DAVID GIMENEZ AYALAParte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]

Parte CPIRAMIDE

Problemas de la Pirámide

1) Datosl base = 8 mAp = 5 m

Incógnitash = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasPirámide triangular

Pb = 24 mAb = 27,68 m ²

ap base = 2,306 m

Soluciónh = 4,436 m.SL = 60 m ².

ST = 87,68 m ².V = 40,929 m ³.

Cap = 40.929 litros.

2) Datosl base =10 mh = 10,52 m

IncógnitasAp = ?SL = ?ST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasPirámide triangular

Pb = 30 mAb = 43,25 m ²

ap base = 2,883 m

SoluciónAp = 10,907 m.

SL = 163,605 m ².ST = 206,855 m ².V = 151,663 m ³.

Cap = 151.663 litros.

3) Datosl base =12 mh = 10 m

IncógnitasAp = ?SL = ?ST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasPirámide triangular

Pb = 36 mAb = 62,28 m ²ap base = 3,46 m

SoluciónAp = 10,581 m.

SL = 190,45 m ².ST = 252,73 m ².

V = 207,6 m ³.Cap = 207.600 litros.

4) DatosAb = 6,92 m ²

Ap = 12 m

Incógnitash = ?

SL = ?

FórmulasPirámide triangular

l base = 4 m

Soluciónh = 11,944 m.SL = 72 m ².

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

Pb = 12 map base = 1,153 m

ST = 78,92 m ².V = 27,55 m ³.

Capacidad = 27.550 litros.

5) Datosl base =5,6 mAp = 12 m

Incógnitash = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPirámide cuadrangular

Pb = 22,4 mAb = 31,36 m ²ap base = 2,8 m

Soluciónh = 11,668 m.

SL = 134,4 m ².ST = 165,76 m ².V = 121,969 m ³.

Capacidad = 121.969 litros.

6) Datosl base = 8 mAp = 10 m

Incógnitash = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPirámide cuadrangular

Pb = 32 mAb = 64 m ²ap base = 4 m

Soluciónh = 9,165 m.SL = 160 m ².ST = 224 m ².

V = 195,52 m ³.Capacidad = 195.520 litros.

7) Datosl base =25 mAp = 20 m

Incógnitash = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasPirámide cuadrangular

Pb = 100 mAb = 625 m ²

ap base = 12,5 m

Soluciónh = 15,612 m.

SL = 1.000 m ².ST = 1.625 m ².V = 3.252,5 m ³.

Cap = 3.252.500 litros.

8) Datosl base =36 m

SL = 1.404 m ²

Incógnitash = ?

Ap = ?ST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasPirámide cuadrangular

Pb = 144 mAb = 1.296 m ²ap base = 18 m

Soluciónh = 7,5 m.

Ap = 19,5 m.ST = 2.700 m ².V = 3.240 m ³.

Cap = 3.240.000 litros.

9) DatosAp = 3,9 mh = 3,6 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPirámide cuadrangular

l base = 3 mPb = 12 mAb = 9 m ²

ap base =1,5 m

SoluciónSL = 23,4 m ².ST = 32,4 m ².V = 10,8 m ³.

Capacidad = 10.800 litros.

10) DatosAp = 10 m

h = 6 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPirámide cuadrangular

l base =16 mPb = 64 m

Ab = 256 m ²ap base =8 m

SoluciónSL = 320 m ².ST = 576 m ².V = 512 m ³.

Capacidad = 512.000 litros.

11) DatosPb = 80 mh = 10,5 m

IncógnitasAp = ?SL = ?ST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasPirámide cuadrangular

l base =20 mAb = 400 m ²ap base = 10 m

SoluciónAp = 14,5 m.SL = 580 m ².AT = 980 m ².V = 1.400 m ³.

Cap = 1.400.000 litros.

12) DatosPb = 57,6 mST = 648 m ²

Incógnitash = ?

Ap = ?SL = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPirámide cuadrangular

l base =14,4 mAb = 207,36 m ²ap base = 7,2 m

Soluciónh = 13,5 m.

Ap = 15,3 m.SL = 440,64 m ².V = 933,12 m ³.

Capacidad = 933.120 litros.

13) DatosAb = 1.600 m ²

h = 48 m

IncógnitasAp = ?SL = ?ST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasPirámide cuadrangular

l base =40 mPb = 160 m

ap base = 20 m

SoluciónAp = 52 m.

SL = 4.160 m ².ST = 5.760 m ².V = 25.600 m ³.

Cap = 25.600.000 litros.

14) DatosSL = 500 m ²Ap = 12,5 m

Incógnitash = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPirámide cuadrangular

l base =20 mPb = 80 m

Ab = 400 m ²ap base = 10 m

Soluciónh = 7,5 m.

ST = 900 m ².V = 1.000 m ³.

Capacidad = 1.000.000 litros.

15) DatosST = 188,16 m ²SL = 117,6 m ²

IncógnitasAp = ?h = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPirámide cuadrangular

l base =8,4 mPb = 33,6 m

Ab = 70,56 m ²ap base = 4,2 m

SoluciónAp = 7 m.h = 5,6 m.

V = 131,712 m ³.Capacidad = 131.712 litros.

16) DatosST = 464,64 m ²SL = 290,4 m ²

IncógnitasAp = ?h = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPirámide cuadrangular

l base =13,2 mPb = 52,8 m

Ab = 174,24 m ²ap base = 6,6 m

SoluciónAp = 11 m.h = 8,8 m.

V = 511,104 m ³.Capacidad = 511.104 litros.

17) Datosl base = 3 mh = 4,45 m

IncógnitasAp = ?SL = ?ST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasPirámide hexagonal

Pb = 18 mAb = 23,355 m ²ap base = 2,595 m

SoluciónAp = 5,151 m.

SL = 46,359 m ².ST = 69,714 m ².V = 34,643 m ³.

Cap = 34.643 litros.

18) Datosl base =12 mh = 10 m

IncógnitasAp = ?SL = ?ST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasPirámide hexagonal

Pb = 72 mAb = 373,68 m ²ap base = 10,38 m

SoluciónAp = 14,413 m.

SL = 518,868 m ².ST = 892,548 m ².V = 1.245,6 m ³.

Cap = 1.245.600 litros.

19) Datosl base = 5 m

SL = 337,5 m ²

IncógnitasAp = ?h = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPirámide hexagonal

Pb = 30 mAb = 64,875 m ²ap base = 4,325 m

SoluciónAp = 22,5 m.h = 22,08 m.

ST = 402,375 m ².V = 477,48 m ³.

Capacidad = 477.480 litros.

20) DatosAp = 19,5 m

h = 18 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPirámide hexagonal

l base =8,67 mPb = 52,02 m

Ab = 195,06 m ²ap base = 7,5 m

SoluciónSL = 507,19 m ².ST = 702,25 m ².V = 1.170,36 m ³.

Capacidad = 1.170.360 litros.

21) DatosAb = 20,76 m ²

ST = 740,76 m ²

IncógnitasAp = ?h = ?

FórmulasPirámide hexagonal

l base =2,82 m

SoluciónAp = 85,106 m.h = 85,071 m.

SL = ?V = ?

Capacidad = ?

Pb = 16,92 map base = 2,439 m

SL = 720 m ².V = 588,691 m ³.

Capacidad = 588.691 litros.

22) DatosST = 406,08 m ²

SL = 246 m ²

IncógnitasAp = ?h = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasPirámide hexagonal

l base =7,85 mPb = 47,1 m

Ab = 160,08 m ²ap base = 6,79 m

SoluciónAp = 10,44 m.

h = 7,93 m.V = 423,144 m ³.

Capacidad = 423.144 litros.

Observación: Los cálculos matemáticos están hechos con redondeo a 2 decimales.

23) El área de base de una pirámide triangular es de 6,92 m ² y la apotema de la pirámide es el triple del lado. Calcular la superficie total, la altura, el volumen y la capacidad.

Respuesta: ST = 78,92 m ²; h = 11,94 m; V = 27,541 m ³ y Capacidad = 27.541 litros.

24) La arista lateral de una pirámide triangular mide 12 m y el lado de base mide 10 m. Calcular la superficie total, la altura de la pirámide, el volumen y capacidad del mismo.

Respuesta: ST = 206,6 m ²; h = 10,51 m; V = 151,51 m ³ y Capacidad = 151.510 litros.

25) En una pirámide regular triangular, el lado de base es 8 m y la apotema de la pirámide es 5 m. Calcular la superficie total, el volumen y la altura de la pirámide.

Respuesta: ST =87,68 m ²; V = 40,87 m ³ y h = 4,43 m.

26) Calcular la apotema y la arista lateral de una pirámide triangular; sabiendo que su lado de base es de 12 m y su altura es 10 m. Averiguar la superficie total y el volumen del mismo.

Respuesta: Ap = 10,58 m; a = 12,16 m; ST = 252,72 m ² y V = 207,6 m ³.

27) Calcular el área de base, la superficie lateral, la superficie total, la altura, el volumen y la capacidad de una pirámide cuadrangular cuyo lado es de 5,6 dm; siendo la apotema de la pirámide igual a 12 dm.

Respuesta: Ab = 31,36 dm ²; SL = 134,4 dm ²; ST = 165,76 dm ²; h =11,66 dm; V = 121,88 dm ³ y Capacidad = 121, 88 litros.

28) Una pirámide regular cuadrangular tiene de perímetro de base 57,6 m y la superficie total 648 m ². Calcular la superficie lateral, la altura, el volumen y la capacidad del mismo.

Respuesta: SL = 440,64 m ²; h = 13,5 m; V = 933,12 m ³ y Capacidad = 933.120 litros.

29) En una pirámide regular cuadrangular, el área de base es de 1.600 m ² y la altura es 6/5 del lado de base. Calcular la superficie total, la apotema de la pirámide, el volumen y la capacidad.

Respuesta: ST = 5.760 m ²; Ap = 52 m; V = 25.600 m ³ y Capacidad = 25.600.000 litros.

30) El lado de base de una pirámide cuadrangular es 8 m y la apotema de la pirámide es 10 m. Calcular la superficie lateral, la superficie total y la altura de la pirámide.

Respuesta: AL = 160 m ²; AT = 224 m ² y h = 9,16 m.

31) La altura de una pirámide regular cuadrangular es de 6 m y la apotema de 10 m. Calcular el área de base, el volumen y la capacidad del mismo.

Respuesta: Ab =256 m ²; V = 512 m ³ y Capacidad = 512.000 litros.

32) Hallar la superficie lateral, la superficie total, la altura y el volumen de una pirámide cuadrangular cuyo lado de base es 25 m y la apotema es 20 m.

Respuesta: SL =1.000 m ²; ST = 1.625 m ²; h = 15,61 m y V = 3.252,08 m ³.

33) Calcular la altura, el volumen, la superficie total y capacidad de una pirámide cuadrangular, sabiendo que la superficie lateral mide 1.404 m ² y que el lado de base es 36 m.

Respuesta: h = 7,5 m; V = 3.240 m ³; ST = 2.700 m ² y Capacidad = 3.240.000 litros.

34) Calcular la arista lateral, la apotema, el volumen y capacidad de una pirámide cuadrangular de 10,5 m de altura y el perímetro de base igual a 80 m.

Respuesta: a = 17,64 m; Ap = 14,5 m; V = 1.400 m ³ y Capacidad = 1.400.000 litros.

35) Una pirámide cuya base es un hexágono regular de 5 m de lado mide de superficie lateral 337,5 m ². ¿Cuál es la superficie total, la altura, el volumen y la capacidad?.

Respuesta: ST =402,37 m ²; h = 22,08 m; V = 477,443 m ³ y Capacidad = 477.443 litros.

36) La superficie total de una pirámide hexagonal es de 740,76 m ². Calcular la altura de la pirámide, la superficie lateral y el volumen del mismo, siendo el área de base igual a 20,76 m ².

Respuesta: h = 85,06 m; SL = 720 m ² y V = 588,61 m ³.

37) En una pirámide hexagonal el lado de base es 12 m y la altura es 10 m. Calcular la apotema de la pirámide, la capacidad y la superficie total.

Respuesta: Ap = 14,41 m; Capacidad = 1.245.600 litros y ST = 892,44 m ².

38) El techo de un pabellón educativo tiene la forma de una pirámide hexagonal de 4,45 m de altura y 3 m de lado de base. ¿Cuántas hojas de zinc de 2,80 m de largo y 0,70 m de ancho se necesitan para forrar el techo?.

Respuesta: Superficie del techo = 46,35 m ². Superficie de c/hoja de zinc = 1,96 m ². Se necesitan para forrar el techo 24 hojas de zinc.

Parte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]Matemática - Geometría

Autor: HUGO DAVID GIMENEZ AYALAParte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]

Parte DCILINDRO

Problemas del Cilindro

1) DatosR = 0,9 mh = 2,1 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

Pb = 5,65 mAb = 2,54 m ²

SoluciónSL = 11,865 m ².ST = 16,945 m ².

V = 5,334 m ³.Capacidad = 5.334 litros.

2) DatosR = 2,4 mh = 4,5 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

Pb = 15,07 mAb = 18,08 m ²

SoluciónSL = 67,815 m ².

ST = 103,975 m ².V = 81,36 m ³.

Capacidad = 81.360 litros.

3) DatosR = 3,5 mh = 12 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

Pb = 21,98 mAb = 38,465 m ²

SoluciónSL = 263,76 m ².ST = 340,69 m ².V = 461,58 m ³.

Capacidad = 461.580 litros.

4) DatosR = 4 mh = 15 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

Pb = 25,12 mAb = 50,24 m ²

SoluciónSL = 376,8 m ².

ST = 477,28 m ².V = 753,6 m ³.

Capacidad = 753.600 litros.

5) DatosR = 4 m

h = 15,5 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

Pb = 25,12 mAb = 50,24 m ²

SoluciónSL = 389,36 m ².ST = 489,84 m ².V = 778,72 m ³.

Capacidad = 778.720 litros.

6) DatosR = 40 mh = 150 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

Pb = 251,2 mAb = 5.024 m ²

SoluciónSL = 37.680 m ².ST = 47.728 m ².V = 753.600 m ³.

Cap = 753.600.000 litros.

7) DatosR = 3 m

SL = 150,72 m ²

Incógnitash = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

Pb = 18,84 mAb = 28,26 m ²

Soluciónh = 8 m.

ST = 207,24 m ².V = 226,08 m ³.

Capacidad = 226.080 litros.

8) DatosR = 3 m

ST = 244,92 m ²

Incógnitash = ?

SL = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

Pb = 18,84 mAb = 28,26 m ²

Soluciónh = 10 m.

SL = 188,4 m ².V = 282,6 m ³.

Capacidad = 282.600 litros.

9) DatosPb = 8,79 m

h = 1,5 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

R = 1,39 mAb = 6,06 m ²

SoluciónSL = 13,185 m ².ST = 25,305 m ².

V = 9,09 m ³.Capacidad = 9.090 litros.

10) DatosPb = 21,98 m

h = 6,5 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

R = 3,5 mAb = 38,46 m ²

SoluciónSL = 142,87 m ².ST = 219,79 m ².V = 249,99 m ³.

Capacidad = 249.990 litros.

11) DatosPb = 9,42 m

ST = 20,724 m ²

Incógnitash = ?

SL = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

R = 1,5 mAb = 7,065 m ²

Soluciónh = 0,7 m.

SL = 6,594 m ².V = 4,9455 m ³.

Capacidad = 4.945,5 litros.

12) DatosPb = 2,512 m

ST = 4,0624 m ²

Incógnitash = ?

SL = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

R = 0,4 mAb = 0,5024 m ²

Soluciónh = 1,217 m.

SL = 3,0576 m ².V = 0,6114 m ³.

Capacidad = 611,4 litros.

13) Datos Incógnitas Fórmulas Solución

Pb = 6,908 mV = 3,03952 m ³

h = ?SL = ?ST = ?

Capacidad = ?

CilindroR = 1,1 m

Ab = 3,7994 m ²

h = 0,8 m.SL = 5,5264 m ².

ST = 13,1252 m ².Capacidad = 3.039,52 litros.

14) DatosAb = 50,24 m ²

h = 2,5 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindroR = 4 m

Pb = 25,12 m

SoluciónSL = 62,8 m ².

ST = 163,28 m ².V = 125,6 m ³.

Capacidad = 125.600 litros.

15) DatosAb = 12,56 m ²

h = 6 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindroR = 2 m

Pb = 12,56 m

SoluciónSL = 75,36 m ².

ST = 100,48 m ².V = 75,36 m ³.

Capacidad = 75.360 litros.

16) DatosAb = 84 m ²h = 5,17 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

R = 5,17 mPb = 32,46 m

SoluciónSL = 167,81 m ².ST = 335,81 m ².V = 434,28 m ³.

Capacidad = 434.280 litros.

17) DatosAb = 78,5 m ²

h = 12 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindroR = 5 m

Pb = 31,4 m

SoluciónSL = 376,8 m ².ST = 533,8 m ².

V = 942 m ³.Capacidad = 942.000 litros.

18) DatosSL = 314 m ²

h = 25 m

IncógnitasST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindroR = 2 m

Pb = 12,56 mAb = 12,56 m ²

SoluciónST = 339,12 m ².

V = 314 m ³.Capacidad = 314.000 litros.

19) DatosSL = 565,2 m ²

h = 18 m

IncógnitasST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasCilindroR = 5 m

Pb = 31,4 mAb = 78,5 m ²

SoluciónST = 722,2 m ².V = 1.413 m ³.

Cap = 1.413.000 litros.

20) DatosSL = 5,7148 m ²Ab = 5,3066 m ²

Incógnitash = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

R = 1,3 mPb = 8,164 m

Soluciónh = 0,7 m.

ST = 16,328 m ².V = 3,71462 m ³.

Capacidad = 3.714,62 litros.

21) DatosSL = 28,1344 m ²Ab = 32,1536 m ²

Incógnitash = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

R = 3,2 mPb = 20,096 m

Soluciónh = 1,4 m.

ST = 92,4416 m ².V = 45,01504 m ³.

Capacidad =45.015,04 litros.

22) DatosST = 150,33 m ²SL = 102,45 m ²

Incógnitash = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

R = 2,76 mPb = 17,33 m

Ab = 23,94 m ²

Soluciónh = 5,91 m.

V = 141,485 m ³.Capacidad = 141.485 litros.

23) DatosST = 50,554 m ²

Incógnitash = ?

FórmulasCilindro

Soluciónh = 1,2 m.

SL = 17,3328 m ² V = ?Cap = ?

R = 2,3 mPb = 14,444 m

Ab = 16,6106 m ²

V = 19,93272 m ³.Cap = 19.932,72 litros.

24) DatosST = 23,1104 m ²SL = 7,0336 m ²

Incógnitash = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasCilindro

R = 1,6 mPb = 10,048 m

Ab = 8,0384 m ²

Soluciónh = 0,7 m.

V = 5,62688 m ³.Cap = 5.626,88 litros.

25) DatosV = 785 m ³

h = 10 m

IncógnitasSL = ?ST = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindroR = 5 m

Pb = 31,4 mAb = 78,5 m ²

SoluciónSL = 314 m ².ST = 471 m ².

Capacidad = 785.000 litros.

26) DatosV = 4.448,21 m ³Ab = 664,42 m ²

Incógnitash = ?

SL = ?ST = ?

Capacidad = ?

FórmulasCilindro

R = 14,54 mPb = 91,31 m

Soluciónh = 6,69 m.

SL = 610,86 m ².ST = 1.939,7 m ².

Cap = 4.448.210 litros.

Observación: Los cálculos matemáticos están hechos con redondeo a 2 decimales.

27) El área de base de un cilindro es de 12,56 m ². Hallar la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad; sabiendo que la altura es el triple del radio de la base.

Respuesta: SL = 75,36 m ²; ST = 100,48 m ²; V = 75,36 m ³ y Capacidad =75.360 litros.

28) ¿Cuál es la altura de un cilindro recto, si el área de base es 84 m ² y la altura mide la mitad del diámetro de base?.

Respuesta: h = 5,1 m.

29) Calcular el radio de base, la superficie total, el volumen y la capacidad de un cilindro; sabiendo que el área de base es de 78,5 m ² y la altura mide 12 m.

Respuesta: R = 5 m; ST = 533,8 m ²; V = 942 m ³ y Capacidad = 942.000 litros.

30) Hallar la superficie lateral de un cilindro de 12 m de altura, cuya base es un círculo de 3,5 m de radio.

Respuesta: SL = 263,76 m ².

31) ¿Cuál es la superficie lateral de un cilindro de 15,5 m de altura y 8 m de diámetro de base?.

Respuesta: SL = 389,36 m ².

32) Calcular la superficie lateral de un cilindro de 2,5 m de altura cuya base es un círculo de 50,24 m ² de superficie.

Respuesta: SL = 628 m ².

33) La superficie lateral de un cilindro es de 150,72 m ². ¿Cuál es la altura,si el radio de la base es de 3 m?.

Respuesta: h = 8 m.

34) La superficie lateral de un cilindro de 25 m de altura, es de 314 m ². ¿Cuál es el área de cada base?.

Respuesta: Ab = 12,56 m ².

35) Un cilindro de 18 m de altura, tiene 565,2 m ² de superficie lateral. ¿Cuál es la superficie total?.

Respuesta: ST = 722,2 m ².

36) La superficie total de un cilindro es 150,33 m ² y la superficie lateral es 102,45 m ². ¿Cuál es el área de cada base?.

Respuesta: Ab = 23,94 m ².

37) La superficie total de un cilindro es 244,92 m ², si el radio de la base es de 3 m. ¿Cuál es la altura?.

Respuesta: h = 10 m.

38) Una lata de cerveza tiene la forma cilíndrica con 8 cm de diámetro y 15 cm de altura. ¿Cuántos litros de cerveza contiene esa lata?.

Respuesta: La lata de cerveza contiene 0,75 litros.

39) El diámetro de un pozo cilíndrico es de 1,8 m y el agua tiene 2,1 m de profundidad. ¿Cuántos litros de agua hay entonces en el pozo?.

Respuesta: En el pozo hay 5.341,14 litros de agua.

40) ¿Cuál es el volumen de un cilindro cuya Cia de base mide 8,792 m y la altura mide 1,5 m?.

Respuesta: V = 9,23 m ³.

41) Calcular la altura de un cilindro de 4.448,2068 m ³ de volumen y 664,424 m ² de área de base.

Respuesta: h = 6,69m.

42) Un pozo de forma cilíndrica tiene un orificio de longitud 4 m y una profundidad de 8 m. ¿Cuántos días duró su perforación si se sabe que por día se extraen 10 m ³ de tierra?.

Respuesta: Volumen del pozo = 100,48 m ³. La perforación del pozo duró 10,048 días.

43) Calcular la superficie lateral, la superficie total y el volumen de un cilindro cuya longitud de Cia mide 21,98 m y 6,5 m de altura.

Respuesta: SL = 142,87 m ²; ST = 219,80 m ² y V = 250,02 m ³.

44) Calcular la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad de un cilindro cuya base es una Cia de 31,4 m y de altura 10 m.

Respuesta: SL = 314 m ²; ST = 471 m ²; V = 785 m ³ y Capacidad = 785.000 litros.

45) Un tanque cilíndrico de 4,5 m de largo, con radio de 2,4 m está lleno de agua. ¿Cuál es el volumen del agua contenida?.

Respuesta: V = 81,38 m ³.

46) Se han mandado pintar 500 caños de agua corriente de 4 m de largo y 0,2 m de radio cada uno; a razón de 350 $ el m ². ¿Cuánto costó pintar?.

Respuesta: Costo = 879.200 $.

47) ¿Cuál es el radio de la Cia de la base de un cilindro de 10 m de altura, si su volumen es de 785 m ³?.

Respuesta: R = 5 m.

48) Calcular la cantidad de gasolina, contenida en un tanque de 80 cm de diámetro y 150 cm de profundidad.

Respuesta: La cantidad de gasolina es de 753,6 litros.

Parte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]Matemática - Geometría

Autor: HUGO DAVID GIMENEZ AYALAParte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]

Parte ECONO

Problemas del Cono

1) Datosg = 6,72 mh = 6,01 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 3 m.Pb = 18,84 m

Ab = 28,26 m ²

SoluciónSL = 63,3 m ².

ST = 91,56 m ².V = 56,614 m ³.

Capacidad = 56.614 litros.

2) Datosg = 7,05 m

h = 7 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 0,83 m.Pb = 5,21 m

Ab = 2,16 m ²

SoluciónSL = 18,36 m ².ST = 20,52 m ².

V = 5,04 m ³.Capacidad = 5.040 litros.

3) Datosg = 10 m

h = 9,48 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 3,18 m.Pb = 19,97 m

Ab = 31,75 m ²

SoluciónSL = 99,85 m ².ST = 131,6 m ².V = 100,33 m ³.

Capacidad = 100.330 litros.

4) Datosg = 19,5 mh = 18 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 7,5 mPb = 47,1 m

Ab = 176,625 m ²

SoluciónSL = 459,225 m ².ST = 635,85 m ².V = 1.059,75 m ³.

Capacidad = 1.059.750 litros.

5) Datosg = 20 mh = 12 m

IncógnitasSL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 16mPb = 100,48 m

Ab = 803,84 m ²

SoluciónSL = 1.004,8 m ².

ST = 1.808,64 m ².V = 3.215,36 m ³.

Capacidad = 3.215.360 litros.

6) Datosg = 10 mR = 2,5 m

Incógnitash = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

Pb = 15,7 mAb = 19,62 m ²

Soluciónh = 9,68 m.

SL = 78,5 m ².ST = 98,12 m ².V = 63,307 m ³.

Capacidad = 63.307 litros.

7) Datos Incógnitas Fórmulas Solución

g = 10 mR = 4 m

h = ?SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

ConoPb = 25,12 m

Ab = 50,24 m ²

h = 9,16 m.SL = 125,6 m ².

ST = 175,84 m ².V = 153,399 m ³.

Capacidad = 153.399 litros.

8) Datosg = 11 mR = 6,6 m

Incógnitash = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

Pb = 41,448 mAb = 136,7784 m ²

Soluciónh = 8,8 m.

SL = 227,964 m ².ST = 364,7424 m ².V = 401,21664 m ³.

Capacidad = 401.216,64 litros.

9) Datosh = 8 mR = 6 m

Incógnitasg = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

Pb = 37,68 mAb = 113,04 m ²

Solucióng = 10 m.

SL = 188,4 m ².ST = 301,44 m ².V = 301,44 m ³.

Capacidad = 301.440 litros.

10) Datosh = 24 mR = 18 m

Incógnitasg = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasCono

Pb = 113,04 mAb = 1.017,36 m ²

Solucióng = 30 m.

SL = 1.695,6 m ².ST = 2.712,96 m ².V = 8.138,88 m ³.

Cap = 8.138.880 litros.

11) Datosh = 46,16 mR = 1,4 m

Incógnitasg = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasCono

Pb = 8,79 mAb = 6,15 m ²

Solucióng = 46,18 m.

SL = 202,96 m ².ST = 209,11 m ².V = 94,628 m ³.

Cap = 94.628 litros.

12) Datosh = 20 m

Diámetro = 12 m

Incógnitasg = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 6 m.Pb = 37,68 m

Ab = 113,04 m ²

Solucióng = 20,88 m.

SL = 393,37 m ².ST = 506,41 m ².

V = 753,6 m ³.Capacidad = 753.600 litros.

13) DatosPb = 47,1 m

g = 30 m

Incógnitash = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasCono

R = 7,5 mAb = 176,62 m ²

Soluciónh = 29,04 m.

SL = 706,5 m ².ST = 883,12 m ².

V = 1.709,681 m ³.Cap = 1.709.681 litros.

14) DatosPb = 15,7 m

h = 9,5 m

Incógnitasg = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 2,5 mAb = 19,62 m ²

Solucióng = 9,82 m.

SL = 77,08 m ².ST = 96,7 m ².V = 62,13 m ³.

Capacidad = 62.130 litros.

15) DatosAb = 28,26 m ²

h = 15 m

Incógnitasg = ?

SL = ?ST = ?

FórmulasCono

R = 3 mPb = 18,84 m

Solucióng = 15,29 m.

SL = 144,03 m ².ST = 172,29 m ².

V = ?Capacidad = ?

V = 141,3 m ³.Capacidad = 141.300 litros.

16) DatosAb = 78,5 m ²

h = 6,67 m

Incógnitasg = ?

SL = ?ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 5 mPb = 31,4 m

Solucióng = 8,33 m.

SL = 130,78 m ².ST = 209,28 m ².V = 174,531 m ³.

Capacidad = 174.531 litros.

17) DatosSL = 37,68 m ²

g = 6 m

Incógnitash = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 2 mPb = 12,56 m

Ab = 12,56 m ²

Soluciónh = 5,66 m.

ST = 50,24 m ².V = 23,696 m ³.

Capacidad = 23.696 litros.

18) DatosSL = 1.020 m ²

R = 5 m

Incógnitasg = ?h = ?

ST = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

Pb = 31,4 mAb = 78,5 m ²

Solucióng = 64,96 m.h = 64,76 m.

ST = 1.098,5 m ².V = 1.694,553 m ³.

Capacidad = 1.694.533 litros.

19) DatosSL = 18,369 m ²

Pb = 9,42 m

Incógnitasg = ?h = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 1,5 mAb = 7,065 m ²

Solucióng = 3,9 m.h = 3,6 m.

ST = 25,434 m ²V = 8,478 m ³.

Capacidad = 8.478 litros.

20) DatosST = 828,96 m ²

R = 8 m

Incógnitasg = ?h = ?

SL = ?V = ?

Cap = ?

FórmulasCono

Pb = 50,24 mAb = 200,96 m ²

Solucióng = 25 m.

h = 23,68 mSL = 628 m ².

V = 1.586,244 m ³.Cap = 1.586.244 litros.

21) DatosST = 671,18 m ²Ab = 176,63 m ²

Incógnitasg = ?h = ?

SL = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 7,5 mPb = 47,1 m

Solucióng = 21 m.

h = 19,61 mSL = 494,55 m ².

V = 1.154,571 m ³.Capacidad = 1.154.571 litros.

22) DatosST = 75,36 m ²SL = 47,1 m ²

Incógnitasg = ?h = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 3 mPb = 18,84 m

Ab = 28,26 m ²

Solucióng = 5 m.h = 4 m.

V = 37,68 m ³.Capacidad = 37.680 litros.

23) DatosST = 434,0736 m ²SL = 271,296 m ²

Incógnitasg = ?h = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasCono

R = 7,2 mPb =45,216 m

Ab = 162,7776 m ²

Solucióng = 12 m.h = 9,6 m.

V = 520,88832 m ³.Capacidad = 520.888,32 litros.

24) DatosV = 56,52 m ³

h = 6 m

Incógnitasg = ?

SL = ?ST = ?

FórmulasCono

R = 3 mPb = 18,84 m

Solucióng = 6,7 m.

SL = 63,11 m ².ST = 91,37 m ².

Capacidad = ? Ab = 28,26 m ² Capacidad = 56.360 litros.

Observación: Los cálculos matemáticos están hechos con redondeo a 2 decimales.

25) En un cono recto el radio de base mide 6 m y la altura mide 8 m. Calcular la medida de la generatriz.

Respuesta: g = 10 m.

26) Sea un cono de radio 18 m y 24 m de altura. Calcular la superficie lateral y la superficie total.

Respuesta: SL = 1.695,6 m ² y ST = 2.712,96 m ².

27) La generatriz de un cono circular recto es 7,05 m; si la altura del cono es 7 m. Calcular el radio de la base.

Respuesta: R = 1 m.

28) En un cono cuya generatriz es el doble del diámetro de la longitud de la Cia de base igual a 47,1 m. ¿Cuál es la superficie lateral?.

Respuesta: SL = 706,50 m ².

29) Calcular la superficie lateral de un cono de 2,5 m de radio y 10 m de generatriz.

Respuesta: SL = 78,5 m ².

30) El área de base de un cono circular recto es de 113,04 m ²; sabiendo que la generatriz del cono mide 10 m. Calcular el volumen del cono.

Respuesta: V = 144,44 cm ³.

31) Calcular la superficie lateral de un cono de 9,5 m de altura cuya base tiene 15,7 m de Cia.

Respuesta: SL = 77,08 m ².

32) Hallar la superficie lateral de un cono de 15 m de altura; sabiendo que su base es un círculo de 28,26 m ² de superficie.

Respuesta: SL = 144,0318 m ².

33) La superficie lateral de un cono es 37,68 m ²; sabiendo que la generatriz es el triple del radio. ¿Cuál es la altura?.

Respuesta: h = 5,65 m.

34) La superficie lateral de un cono recto es 47,1 m ² y la superficie total es 75,36 m ². Calcular la medida del radio del cono.

Respuesta: R = 3 m.

35) Calcular la superficie total de un cono de 8 m de altura y 10 m de generatriz.

Respuesta: ST = 301,44 m ².

36) La superficie total de un cono es 828,96 m ²; sabiendo que el radio de base es 8 m. Calcular la generatriz del cono.

Respuesta: g = 25 m.

37) ¿Cuál es la superficie total de un cono, si el área de base es 78,5 m ² y su altura es 2/3 del diámetro?.

Respuesta: ST = 209,33 m ².

38) La superficie total de un cono es de 671,175 m ²; sabiendo que el área de base es de 176,625 m ². ¿Cuál es la altura?.

Respuesta: h = 19,61 m.

39) Calcular el volumen de un cono recto de 10 m de generatriz; siendo la altura igual al triple del radio de la base.

Respuesta: V = 99,22 m ³.

40) Un tanque cónico tiene 20 m de profundidad y su tapa circular tiene 12 m de diámetro. Calcular el volumen y la capacidad del mismo.

Respuesta: V = 753,6 m ³ y Capacidad = 753.600 litros.

41) El volumen de un cono recto es 56,52 cm ³ y la altura del cono es igual al diámetro de la base. ¿Cuánto mide la altura del cono?.

Respuesta: h = 6 cm.

42) La generatriz de un cono recto es de 6,72 cm; sabiendo que la altura del cono es igual al doble del radio de base. Calcular el volumen del cono.

Respuesta: V = 56,52 cm ³.

43) La generatriz de un cono recto mide 10 cm y radio de base 4 cm. Calcular el volumen y la capacidad.

Respuesta: V = 152,394 cm ³ y Capacidad = 0,152 litros.

44) ¿Cuál es la superficie lateral de un cono recto cuyo radio de base tiene 1,4 m y cuya altura es 21/4 de la Cia de base?.

Respuesta: SL = 203,01 m ².

45) Si la superficie lateral de un cono es 1.020 m ² y el radio de base es 5 m. Calcular la superficie total y el volumen del cono.

Respuesta: ST = 1.098,5 m ² y V = 1.694,815 m ³.

46) La generatriz de un cono circular recto es 20 cm y la altura es 12 cm. Calcular la superficie lateral, la superficie total, el volumen y la capacidad.

Respuesta: SL = 1.004,8 cm ²; ST = 1.808,64 cm ²; V = 3.215,36 cm ³ y Capacidad = 3,215 litros.

Matemática - GeometríaAutor: HUGO DAVID GIMENEZ AYALAParte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]

Parte FESFERA

Problemas de la Esfera

1) DatosA = 379,94 m ²

Co menor =31,086 m ²

Incógnitasr = ?d = ?

Cia menor = ?

FórmulasEsfera

R = 5,5 m

Soluciónr = 3,1 m.d = 4,5 m.

Cia menor = 19,468 m.

Cia máx = ?Co máx =?

V = ?Capacidad = ?

Cia máx = 34,54 m.Co máx =94,985 m ².

V = 696,556m ³.

Capacidad = 696.556 litros.

2) DatosA = 633,1496 cm ²

IncógnitasCia máx = ?Co máx =?

V = ?Capacidad = ?

FórmulasEsfera

R = 7,1 cm

SoluciónCia máx = 44,588 cm.

Co máx =158,2874 cm ².V = 357,911 cm ³.Cap = 0,357 litros.

3) DatosA = 706,5 m ²

IncógnitasCia máx = ?Co máx =?

V = ?Capacidad = ?

FórmulasEsfera

R = 7,5 m

SoluciónCia máx = 47,1 m.

Co máx =176,625 m ².V = 1.766,25 m ³.

Cap = 1.766.250 litros.

4) DatosA = 1.519,76 m ²

IncógnitasCia máx = ?Co máx =?

V = ?Capacidad = ?

FórmulasEsfera

R = 11 m

SoluciónCia máx = 69,08 m.

Co máx =379,94 m ².V = 5.572,453 m ³.

Cap = 5.572.453 litros.

5) DatosA = 2.122,64 m ²

Co menor =191,0376 m ²

Incógnitasr = ?d = ?

Cia menor = ?Cia máx = ?Co máx =?

V = ?Capacidad = ?

FórmulasEsfera

R = 13 m

Soluciónr = 7,8 m.

d = 10,4 m.Cia menor = 48,984 m.Cia máx = 81,64 m.

Co máx =530,66 m ².V = 9.198,106

m ³.Capacidad = 9.198.106 litros.

6) DatosCia máx = 75,36 m

IncógnitasCo máx =?

A = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasEsfera

R = 12 m

SoluciónCo máx =452,16 m ².A = 1.808,64 m ².V = 7.234,56 m ³.

Cap = 7.234.560 litros.

7) DatosCo máx = 254,34 m ²

IncógnitasCo máx =?

A = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasEsfera

R = 9 m

SoluciónCia máx =56,62 m.A = 1.017,36 m ².V = 3.052,08 m ³.

Cap = 3.052.080 litros.

8) DatosCia menor = 22,608 m

d = 4,8 m

Incógnitasr = ?

Co menor =?Cia máx = ?Co máx = ?

A = ?V = ?

Capacidad = ?

FórmulasEsfera

R = 6 m

Soluciónr = 3,6 m.

Co menor =40,6944 m ².Cia máx = 37,68 m.

Co máx = 113,04 m ².A = 452,16 m ².V = 904,32 m ³.

Capacidad = 904.320 litros.

9) DatosV = 113,04 m ³

d = 1,8 m

Incógnitasr = ?

Cia menor = ?Co menor =?

FórmulasEsfera

R = 3 m

Soluciónr = 2,4 m.

Cia menor = 15,072 m.Co menor = 18,0864 m ².

Cia máx = ?Co máx =?

A = ?Capacidad = ?

Cia máx = 18,84 m.Co máx =28,26 m ².

A = 113,04 m ².Capacidad = 113.040 litros.

10) DatosV = 904,32 cm ³

IncógnitasA = ?

Cia máx =?Co máx = ?Cap = ?

FórmulasEsfera

R = 6 cm

SoluciónA = 452,16 cm ².

Cia máx = 37,68 cm.Co máx =113,04 cm ².

Capacidad = 0,113 litros.

11) DatosV = 14.130 cm ³

IncógnitasA = ?

Cia máx =?Co máx = ?Cap = ?

FórmulasEsfera

R = 15 cm

SoluciónA = 2.826 cm ².

Cia máx = 94,2 cm.Co máx =706,5 cm ².

Capacidad = 0,706 litros.

12) El área de una esfera mide 631,14 cm 2 . Hallar el círculo y la circunferencia menor sabiendo que éste dista del centro 4,5 cm.

Respuesta: R = 7,08 cm; r = 5,46 cm; Co menor = 93,608424 cm ² y Cia menor = 34,2888 cm.

13) Hallar cuánto dista del centro, el círculo menor de una esfera sabiendo que la Cia menor = 20,724 cm y el A = 379,94 cm ².

Respuesta: R = 5,5 cm; r = 3,3 cm y d = 4,4 cm.

Observación: Los cálculos matemáticos están hechos con redondeo a 2 decimales.

14) ¿Cuál es el área de una esfera de 3,5 m de radio?.

Respuesta: A = 153,86 m ².

15) Una esfera tiene de radio 2,24 m. Calcular el área de la superficie esférica.

Respuesta: A = 63,02 m ².

16) Calcular el área de una superficie esférica de radio igual a 1,13 m.

Respuesta: A = 16,03 m ².

17) El radio de una esfera es de 3 m. Calcular su volumen y su capacidad.

Respuesta: V = 113,04 m ³ y Capacidad = 113.040 litros.

18) El radio de una esfera es de 2,11 m. Calcular el volumen y su capacidad.

Respuesta: V = 39,329 m ³ y Capacidad = 39.239 litros.

19) Calcular el volumen y la capacidad de una esfera de 4,5 m de radio.

Respuesta: V = 381,51 m ³ y Capacidad = 381.510 litros.

20) Expresar en dm ² el área de una esfera de 0,5 m de diámetro.

Respuesta: R = 0,25 m y A = 78,5 dm ².

21) ¿Cuál es el área de una esfera en la cual la Cia de un círculo máximo es de 28,26 m?.

Respuesta: R = 4,5 m y A = 254,34 m ².

22) ¿Cuál es el área de una esfera en la cual el área del círculo máximo es de 45,34 m ²?.

Respuesta: R = 3,79 m y A = 181,36 m ².

23) Calcular el área de una superficie esférica; sabiendo que el área del círculo máximo de la esfera es de 45,84 m ².

Respuesta: R = 3,82 m y A = 183,28 m ².

24) ¿Cuántos m ² de plomo se necesitan para revestir una cúpula esférica, cuya base abarca un área de 78,5 m ²?.

Respuesta: R = 5 m y se necesitan 314 m ² de plomo para revestir la cúpula esférica.

25) El área de una superficie esférica es de 113,04 m ². Calcular el radio de la esfera.

Respuesta: R = 3 m.

26) El área de una esfera es de 57,4 m ². ¿Cuál es el área de un círculo máximo?.

Respuesta: R = 2,13 m y Co máx = 14,24 m ².

27) El área de una esfera es de 706,5 m ². ¿Cuál es la longitud de una Cia máxima?.

Respuesta: R = 7,5 m y Cia máx = 47,1 m.

28) El área de una superficie esférica es de 706,5 m ². Hallar el radio de la esfera y su volumen.

Respuesta: R = 7,5 m y V = 1.766,25 m ³.

29) Determínese el círculo máximo correspondiente a una esfera de 57,4 m ² de área. Además se pide el volumen y la capacidad de la esfera.

Respuesta: R = 2,13 m; Co máx = 14,24 m ²; V = 40,458 m ³ y Capacidad = 40.458 litros.

30) El volumen de una esfera es de 523,33 m ³. Calcular el radio y su área.

Respuesta: R = 4,99 m y A = 312,74 m ².

31) ¿Cuántos litros contiene una semiesfera de 0,8 m de diámetro?.

Respuesta: R = 0,4 m; V esfera = 0,26794 m ³; V semiesfera = 0,13397 m ³ y Capacidad = 133,97 litros.

32) La cúpula semiesférica de una iglesia tiene 12 m de diámetro. ¿Cuánto costará pintarla sabiendo que el m ² se cobra a razón de 4.800 $?.

Respuesta: R = 6 m; A esfera = 452,16 m ²; A semiesfera = 226,08 m ² y la cúpula semiesférica de la iglesia costarán 1.085.184 $.

33) Una esfera está seccionada por un plano distante 12 m del centro de la esfera. El radio de la sección obtenida es de 9 m. Calcular el volumen de la esfera.

Respuesta: R = 15 m y V = 14.130 m ³.

34) Calcular el área de una esfera y su volumen; sabiendo que el área de un círculo menor cuyo plano dista 5 m del centro es de 452,16 m ².

Respuesta: r = 12 m; R = 13 m; A = 2.122,64 m ² y V = 9.198,1 m ³.

35) El área de una esfera es de 113,04 m ². Hallar el área del círculo determinado al seccionar la esfera con un plano que dista 2 m del centro de la misma.

Respuesta: R = 3 m; r = 2,23 m y Co menor = 15,61 m ².

36) El área de una esfera es de 706,5 m ². ¿Cuál es el área del Co que se obtiene al cortar la esfera con un plano que dista 4,5 m del centro?.

Respuesta: R = 7,5 m; r = 6 m y Co menor = 113,04 m ².

Parte [A] - [B] - [C] - [D] - [E] - [F]Matemática - Progresiones

ESTUDIO DE LAS PROGRESIONESIR A SEGUNDA PARTE

PRIMERA PARTE

Las progresiones constituyen el ejemplo más sencillo del concepto de sucesión. Desde los albores de la historia de las matemáticas se han estudiado sus propiedades, y éstas han sido aplicadas, sobre todo, a la aritmética comercial.

El estudio de las progresiones aritméticas es paralelo al de las geométricas por cuanto las propiedades de estas últimas emanan de las primeras sin más que convertir las sumas en productos, diferencias en cocientes, y el producto por un número natural en una potencia de exponente natural.

El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia de

progresiones varios siglos antes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir su paternidad a ningún matemático concreto.

Es conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. - 600 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas.

En el libro IX de Los Elementos de Euclides aparece escrita una fórmula, semejante a la actual, de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Bhaskara, matemático hindú del siglo XII, plantea en su más conocida obra, el Lilavati , diversos problemas sobre progresiones aritméticas y geométricas.SUCESIONES

Se entenderá por sucesión una colección de números dispuestos uno a continuación de otro.

Sirvan de ejemplo:

a) -3, 0, 1/5, √2, 7, π, 13...

b) -1, 3, 7, 11, 15...

c) 3, 6, 12, 24, 48...

En el primero no es posible averiguar qué número seguiría a 13 (no se encuentra una regla que indique la relación entre los términos). En el segundo, a 15 le seguirían 19, 23, 27... (cada término es cuatro unidades mayor que el anterior). En el tercero, al término quinto, que es 48, le seguiría 96 (cada término es el doble del anterior).

Cuando se habla de una sucesión cualquiera, la forma más usual de referirse a ella es escribir a1, a2, a3, a4, ..., an - 2 , an - 1 , an, ... donde los subíndices determinan el lugar que cada término ocupa dentro de la sucesión, y los puntos suspensivos evitan la necesidad de escribir todos los números.

Es también frecuente encontrar una sucesión simbolizada por (an)nN, o simplemente (an).

Término general de una sucesión

El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al término general de una sucesión se le denota por an y se hablará de término n-ésimo.

De entre los muchos ejemplos que se podrían citar, valgan los siguientes:

1/2, 3/2, 3/4, 4/5, ... an = n/(n + 1)

4, 4/2, 16/3, 25/4, ... bn = (n + 1) ²/n

1/2, 1, 9/8, 1, 25/32, ... cn = n ²/2n

Ejercicio: determinación de términos de una sucesión

1) ¿cuál es el término sexagésimo de la sucesión 1/2, 3/2, 3/4, 4/5, ...?

Resolución:

- Es claro que el término general es an = n/(n + 1)

- Así, el término a60 será a60 = 60/61

Escribir los seis primeros términos de la sucesión an = 3.2n - 1

Resolución:

a1 = 3.21 - 1 = 3.1 = 3 a4 = 3.23 = 24

a2 = 3.2 = 6 a5 = 3.24 = 48

a3 = 3.2 ² = 12 a6 = 3.25 = 96

La obtención del término general de una sucesión puede entrañar una notable dificultad. No obstante, se estudiarán a continuación dos clases de sucesiones en las que el hallazgo del término general es bastante sencillo.

PROGRESIONES ARITMETICAS

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, que se representa por la letra d.

Así, si (an) es una progresión aritmética, se verifica que:

an = an - 1 + d

Ejercicio: cómo reconocer una progresión aritmética

Para asegurarse de que una sucesión es una progresión aritmética se ha de comprobar que la diferencia entre cada término y su anterior es siempre la misma. Además, esta comprobación elemental determina el valor de la diferencia de la progresión.

¿Es la sucesión 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5 ... una progresión aritmética? Si lo es, ¿cuál es la diferencia?

Resolución:

Se determina si la diferencia entre cada dos términos consecutivos es la misma:

5 - 7 = -2; 3 - 5 = -2; 1 - 3 = -2; -1 - 1 = -2; ...

Es una progresión aritmética de diferencia d = -2.

2) ¿Es 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 9/2, ... una progresión aritmética?

Resolución:

3/2 -1 = 1/2, 3 - 5/2 = 1/2, 2 - 3/2 = 1/2, 9/2 - 3 = 3/2, 5/2 - 2 = 1/2

No es una progresión aritmética.

Término general de una progresión aritmética

La fórmula del término general de una progresión aritmética (an) se encuentra sin más que observar que:

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2 d

a4 = a3 + d = (a1 + 2.d) + d = a1 + 3 d

a5 = a4 + d = (a1 + 3.d) + d = a1 + 4 d

Nótese que en todos los casos el término correspondiente es la suma de dos cantidades:

- La primera es siempre a1

- La segunda es el producto (n - 1) d.

an = a1 + (n - 1) d

Si la diferencia de una progresión aritmética es positiva, la progresión es creciente; es decir cada término es mayor que el anterior.

Si la diferencia de una progresión aritmética es cero, la progresión es constante, es decir, tiene todos sus términos iguales.

Si la diferencia de una progresión aritmética es negativa, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.

Ejercicio: cálculo del término general de una progresión aritmética

Sea la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, ... ¿Cuál es su término general?

Resolución:

Se trata de una progresión aritmética de diferencia d = 2 y primer término a1 = 1. El término general es, por tanto:

an = 1 + (n - 1).2 = 2 n-1

Calcular a qué altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en un 6.° piso, sabiendo que los bajos del edificio tienen una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de 2,8 m.

Resolución:

Es claro que si se considera la sucesión de las alturas de los pisos, la diferencia entre cada vivienda y la anterior es constante e igual a 2,8 m.

Así pues, se está en el caso de una progresión aritmética en la que el primer término es 4 (altura a la que se encuentra el primer piso) y la diferencia es 2,8.

El problema se resuelve calculando el término 6.°:

an = 4 + (n - 1).2,8

a6 = 4 + (6 - 1).2,8 = 18

Términos equidistantes de una progresión aritmética

El interés de las progresiones aritméticas no acaba en el cálculo del término general. Estudiando más detalladamente algunos modelos de progresiones aritméticas, se pueden deducir propiedades de enorme interés:

En cada uno de estos tres modelos se han elegido al azar dos parejas distintas de términos, de forma que la suma de los subíndices es igual en ambos casos. Sumando el valor de los términos en cada una de las dos parejas, se observa que los resultados coinciden.

Esto conduce a la pregunta de si, elegidas cualesquiera dos parejas de términos cuyas sumas de subíndices coincidan, también coincidirán las sumas de sus términos correspondientes.

Dicho en lenguaje matemático, cabe preguntarse si será cierto que el hecho de

ser r + s = u + v, se desprende la igualdad ar + as = au + av .

La respuesta es afirmativa, y este resultado se conoce con el nombre de propiedad de los términos equidistantes de una progresión aritmética.

Propiedad: Si an es una progresión aritmética de diferencia d y r + s = u + v, entonces ar + as = au + av.

Demostración:

Estos dos resultados son iguales por ser r + s = u + v.

Ejercicio: cálculo de términos equidistantes en una progresión aritmética

En una progresión artimética se sabe que a1 = -2, a32 = 91, a16 = 43. Encontrar a17.

Resolución:

Puesto que 1 + 32 = 16 + 17 = 33, por la propiedad de los términos equidistantes,

a1 + a32 = a16 + a17

-2 + 91 = 43 + a17 a17 = 46

Interpolación de medios aritméticos

Interpolar (de inter , entre y polos, ejes) n números entre otros dos conocidos a y b; consiste en construir una progresión aritmética a, a1, a2, ... , an, b.

Para resolver este problema basta con conocer la diferencia que ha de tener la progresión, la cual se deduce sin más que tener en cuenta dos cosas:

1) La sucesión tiene n + 2 términos

2) El primer término es a y el término an + 2 es b.

Aplicando la fórmula del término general de una progresión aritmética, se tiene que:

b = a + [(n + 2) - 1]. d ,

d = (b - a)/(n + 1)

Una vez conocido el valor de la diferencia, a1 se obtiene como la suma de a y d ; a2 es la suma de a1 y d , y así sucesivamente.

Los números a1, a2, ... , an reciben el nombre de medios aritméticos.

Ejercicio: interpolación de medios aritméticos

Interpolar cinco medios aritméticos entre -18 y 25.

Resolución:

La progresión es: -18, a1, a2, a3, a4, a5, 25.

Aplicando la fórmula obtenida con a = -18 y b = 25.

d = [25 - (-18)]/(5 + 1) = 43/6

a1 = -18 + 43/6 = -65/6

a2 = -65/6 + 43/6 = -22/6 = -11/3

a3 = -11/3 + 43/6 = 21/6 = 7/2

a4 = 7/2 + 43/6 = 64/6 = 32/3

a5 = 32/3 + 43/6 = 107/6

La progresión aritmética que se buscaba es:

-18, -65/6, -11/3, 7/2, 32/3, 107/6, 25, ...

Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética

Se denotará por Sn a la suma a1 + a2 + ... + an

Se tiene entonces:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 2 + an - 1 + an

Invirtiendo el orden,

Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... + a3 + a2 + a1

y sumando,

2 Sn = (a1 + a2) + (a2 + an - 1) + ... + (an - 1 + a2) + (an + a1)

Ahora bien, por la propiedad de los términos equidistantes se sabe que:

a1 + an = a2 + an - 1 = a3 + an - 2 = ... = an + a1

Por tanto, 2. Sn = n(a1 + an), y despejando:

Sn = (a1 + an).n/2

Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética sino para sumar cualesquiera n términos consecutivos.

Para sumar, por ejemplo, a5 + a6 ... + a83, es necesario constatar que hay

(83 - 4 = 79) 79 términos (faltan los cuatro primeros).

La suma es:

(a5 + a63).79/2

Es muy conocida la anécdota según la cual a Carl Frederich Gauss (1777-1855), cuando contaba con diez años de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros números naturales. Ante el asombro del profesor, apenas éste había acabado de dictar el problema, Gauss dio la solución: 5 050.

Lo que este insigne matemático observó fue que la suma 1 + 100 era igual a

2 + 99, igual a 3 + 98, ... etc. es decir, sólo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar: 50.101 = 5 050.

Ejercicio: suma de términos de una progresión aritmética

Sumar los veinte primeros términos de la progresión:

-5, 4, 13, 22, 31, 40

Resolución:

S20 = (a1 + a20).d/2

La diferencia es d = 9

a20 = -5 + (20 - 1).9

a20 = -5 + 19·9 = 166

S20 = (-5 + 116).20/2 = 1610

Dada la progresión aritmética 8, 3, -2, -7, -12, ..., sumar los términos comprendidos entre a24 y a36.

Resolución:

La diferencia es d = -5.

a24 = 8 + 23.(-5) = -107

a36 = 8 + 35.(-5) = -167

Entre ambos hay 36 - 23 = 13 términos. La suma pedida es S13 = [(-120) + (-116)].13/2 = -1781

¿Cuántos términos de la progresión -11, -4, 3, 10, ... hay que tomar para que su suma sea 570?

Resolución:

Se sabe que:

a1 = -11, d = 7, an = -11 + (n - 1) 7 = 7 n - 18 y Sn = 570.

Se ha de calcular n:

570 = (-11 + 7.n - 18).n/2

1140 = 7 n ² - 29 n

7 n ² - 29 n - 1140 = 0

Se resuelve la ecuación de 2.° grado:

n = (29 ± √841 + 31920)/14 = (29 ± √32761)/14 = (29 ± 181)/14 =

Como n ha de ser entero y positivo -76/7 no puede ser la solución, luego n = 15

PROGRESIONES GEOMETRICAS (I)

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada elemento se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón, y que se representará por la letra r.

Así, si (an) es una progresión geométrica, se verifica

an = an - 1 .r

Ejercicio: cómo reconocer una progresión geométrica

Para asegurarse de que una sucesión es una progresión geométrica se ha de comprobar que el cociente entre cada término y su anterior es siempre el mismo. Además esta comprobación elemental determina el valor de esta razón de la progresión.

¿Es 5, 15, 45, 135, 405 ... una progresión geométrica?

Resolución:

- 15/5 = 45/15 = 135/45 = 405/135 = 3. Es una progresión geométrica de razón 3.

2) ¿Es la sucesión 25, -5, 1, -1/5, 1/25, 1/125 una progresión geométrica?

Resolución:

No es una progresión geométrica

Término general de una progresión geométrica

La fórmula del término general de una progresión geométrica (an) se encuentra sin más que observar que:

a2 = a1 .r

a3 = a2. r = (a1 .r). r = a1 .r ²

a4 = a3. r = (a1 .r ²). r = a1 .r³

a5 = a4. r = (a1 .r³). r = a1 .r4

Nótese que, en todos los casos, el término correspondiente es el producto de dos cantidades:

- La primera es siempre a1

- La segunda es una potencia de base r y exponente un cierto número, que se obtiene restando una unidad al subíndice.

En definitiva, la expresión del término general es:

an = a1 .rn - 1

Si la razón de una progresión geométrica es mayor que uno, la progresión es creciente, es decir, cada término es mayor que el anterior.

Si la razón de una progresión geométrica está comprendida entre cero y uno, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.

Si la razón de una progresión geométrica es igual a uno, la progresión es constante, es decir, tiene todos los términos iguales.

Si la razón de una progresión geométrica es menor que cero, la progresión es alterna, es decir, sus términos son alternativamente positivos y negativos.

IR A SEGUNDA PARTEMatemática - Progresiones

Autor: HUGO DAVID GIMENEZ AYALAPROGRESIONES

1- Progresión Aritmética: es una sucesión en la cual cada término después del 1ro se obtiene sumándole al término anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia común.

Se la representa con el signo (:).

: a1, a2, a3, a4,..............., an-1, an.

Donde: a1 = 1er término.

an = último término o término general.

n = número de términos.

r = razón aritmética.

Sn = suma de los "n" términos.

m = nro de términos de los medios aritméticos.

Ley de formación.

a1.    

a2 = a1 + r.   r = a2 - a1  

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2 r.        

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3 r.   Sn = (a1 + an) * n  

        2  

             

an = a1 + (n - 1) * r   r =an - a1

n - 1

Interpolación de Medios Aritméticos entre 2 números dados: es formar una progresión aritmética cuyos extremos sean los 2 números dados.

a1, a2, .............., an-1, an.

m términos

Datos: a1; an; n = m + 2.

Se llaman medios aritméticos a los términos de una progresión aritmética que se hallan entre el primero y el último término de la progresión.

TEOREMA: En toda progresión aritmética la suma de los 2 términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los 2 términos extremos.

Ejemplo: a1, a2, a3, a4,.............., an-2, an-1, an.

Luego; a3 + an-2 = a1 + an.

TEOREMA: Si la progresión aritmética tiene un número impar de términos, el término medio equidista de los extremos y por tanto el doble del término medio es igual a la suma de los extremos.

Ejemplo: a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9.

Luego; 2 * a5 = a1 + a9.

2- Progresión Geométrica: es una sucesión en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante que es la razón o cociente común.

Se la representa con el signo (::).

:: a1, a2, a3, a4,..............., an-1, an.

Donde: a1 = 1er término.

an = último término o término general.

n = número de términos.

q = razón geométrica.

Sn = suma de los "n" términos.

m = nro de términos de los medios geométricos.

Ley de formación.

a1.    

a2 = a1*q.   q = a2/a1  

a3 = a2*q = (a1*q)*q = a1*q2.        

a4 = a3*q = (a1*q2)*q = a1*q3.  Sn =

a1*(qn - 1)  

          q - 1  

                 

an = a1*q(n - 1)   n =

log an - log a1

+ 1  log q

 

Interpolación de Medios Geométricos entre 2 números dados: es formar una progresión geométrica cuyos extremos sean los 2 números dados.

:: a1, a2, .............., an-1, an.

m términos

Datos: a1; an; n = m + 2.

Se llaman medios geométricos a los términos de una progresión geométrica que se hallan entre el primero y el último término de la progresión.

TEOREMA: En toda progresión geométrica el producto de los 2 términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los 2 términos extremos.

Ejemplo: :: a1, a2, a3, a4,.............., an-2, an-1, an.

Luego; a3 * an-2 = a1 * an.

TEOREMA: Si la progresión geométrica tiene un número impar de términos, el cuadrado del término medio equivale al producto de los extremos.

Ejemplo: :: a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9.

Luego; (a5) ² = a1 * a9.

3- Resolver los siguientes ejercicios:

1) Hallar el 9no término de una progresión aritmética : (7, 10, 13,..............).

2) Calcular el 21° término de una P.A. (-3/5, -14/15,...............).

3) Determinar el término general de la progresión aritmética : (6, 9,..........).

4) Hallar el 39° término de una P.A. (-3, -5/4,..............).

5) Encontrar el término general de la P.A. (x - 1, x,...........).

6) Hallar el 19° término de una P.A. (5/6, -1/3,..........).

7) Hallar el 9no término de la P.A. (1, 6, 11,...............).

8) El 15° término de una P.A. es 20 y la razón es 2/7. Hallar el 1er término.

9) Calcular la razón de una P.A. (3,........., 8,.....) ;donde 8 es el 6to término.

10) Cuántos términos tiene la P.A. (4, 6,............., 30).

11) Determinar el 1er término de la P.A. en que el 15° término es 44 y la razón es 3.

12) En una P.A. el 1er término es 5 y la razón es 9. Determinar el orden del término igual a 239.

13) El 5to término de una P.A. es 7 y el 7mo término es 25/3. Hallar la razón.

14) Una P.A. comienza por 2, termina con 3 y su razón es 1/10. Cuántos términos hay en la progresión.

15) El 1er término de una progresión aritmética es 23 y el último es 35. Determinar la progresión sabiendo que el número de términos es igual a la razón.

16) Sí el 31° término de una P.A. es 156 y el 1er término es 6; determínese la razón de la misma.

17) Hallar la suma de la progresión aritmética : (0,2; 0,7; 1,2;..................) ;siendo n = 12.

18) La suma de 3 números que están en P.A. es 21 y el producto de los mismos es 231. Calcular esos números.

19) Hallar 3 números en P.A. cuya suma es 54 y cuyo producto es 5.670.

20) La suma de 3 números que están en progresión aritmética es 9 y la suma de sus cuadrados es 35. Hallar los 3 números.

21) Cuántos múltiplos de 5 existen entre el 18 y el 193.

22) Cuántos múltiplos de 11 existen entre 100 y 1.000.

23) Hallar la suma de los 8 primeros términos de una P.A. (15, 19, 23,................).

24) Hallar la suma de los 72 primeros múltiplos de 11 que siguen a 76.

25) Hallar la suma de los 43 primeros números terminados en 9.

26) Hallar la suma de los 20 primeros múltiplos de 7.

27) Hallar la suma de los 80 primeros múltiplos de 5.

28) Hallar la suma de los impares del 51 al 813.

29) Hallar la suma de los 100 primeros números pares.

30) Hallar la suma de los 100 primeros números impares mayores que 7.

31) Interpolar 3 medios aritméticos entre -1 y 7.

32) Interpolar 3 medios aritméticos entre 3 y 11.

33) Interpolar 4 medios aritméticos entre 8 y 23.

34) Interpolar 4 medios aritméticos entre -42 y 53.

35) Interpolar 4 medios aritméticos entre 1 y 3.

36) Interpolar 5 medios aritméticos entre -6 y 18.

37) Interpolar 6 medios aritméticos entre 1 y 1/2.

38) Interpolar 9 medios aritméticos entre 18 y -12.

39) Hallar el 5to término de una P.G. (5/6, 1/2,................).

40) Encontrar el 9no término de la progresión geométrica :: (2, 8,..............).

41) Calcular 9no término de la P.G. (1/32, 1/16, 1/8,...................).

42) Hallar el 10mo término de una P.G. (-3/4, -1/4, -1/12,...........).

43) Hallar el 11° término de una P.G. (-8, -4, -2,..............).

44) Determinar el 15° término de la progresión geométrica :: (2, 6,..............).

45) Determinar el término general (an) de la progresión geométrica :: (5, 25, 125,.............).

46) Hallar el número de términos de una P.G. (4, 8,................., 512).

47) Hallar el 1er término de una P.G. de razón 2; siendo el 10mo término igual a 1.536.

48) El 9no término de una P.G. es 64/2.187 y su razón es 2/3. Hallar el 1er término.

49) El 4to término de una P.G. es 1/4 y el 7mo término es 1/32. Hallar el 6to término.

50) El 3er término de una P.G. es 28 y el 5to término es 112. Formar la progresión.

51) La razón de una progresión geométrica es 1/2 y el 7mo término es 1/64. Hallar el 1er término.

52) En una P.G., el 2do término es igual a 6 y el 5to término es 2/9. Formar la progresión.

53) En una P.G., el 1er término es 3 y la razón es 4. Determinar el orden del término igual a 768.

54) La razón de una progresión geométrica de 5 términos es 4 y el último término es 1.280. ¿Cuál es el 1er término de dicha progresión?

55) En una P.G. de 4 términos, el 1er término es 12 y el último término es 96. Calcular la razón y formar la progresión.

56) En una P.G. de razón - 5 el 1er término es 25 y el último es -3.125. Determinar el número de términos de está progresión.

57) En una progresión geométrica de 5 términos el cuadrado del 3er término es 4/81. Sí el último término es 8/81. Cuál es el primero.

58) Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica :: (3, 6,............,2.187).

59) Hallar la suma de los 5 primeros términos de una P.G. (6, 3, 3/2,...............).

60) Hallar la suma de los 7 primeros términos de una P.G. (-1/10, 1/5, -2/5,..............).

61) Calcular la suma de los primeros 8 términos de la P.G. (1, 1/2, 1/4,...............).

62) Calcular la suma de los 9 primeros términos de la P.G. (2, 6, 18,...................).

63) En una progresión geométrica la suma de los términos es 510. Sabiendo que el último término es 256 y la razón es 2. Calcular el 1er término.

64) El 1er término de una P.G. es 375 y el 4to término es 192. Calcular la razón y la suma de los cuatro primeros términos.

65) Interpolar 3 medios geométricos entre 1 y 81.

66) Interpolar 4 medios geométricos entre -7 y -224.

67) Interpolar 4 medios geométricos entre 2 y 486.

68) Interpolar 4 medios geométricos entre 4/9 y 27/256.

69) Interpolar 5 medios geométricos entre 32/81 y 9/2.

70) Interpolar 6 medios geométricos entre 512 y -4.

4- Resolver los siguientes problemas:

1) Las sumas del 1er y 3er término de una progresión aritmética es 12; y las sumas del 2do y 5to término es 21. Hallar los términos y la razón.

2) El 3er y 5to término de una P.A. suman 46; y el 4to y 6to término suman 58. Hallar la razón y el valor de dichos términos.

3) El 2do y 4to término de una P.A. suman 22; y el 3er y 6to término suman 34. Hallar el valor de las incógnitas.

4) El 4to y 3er término de una P.A. suman 2; y el 3er con el 5to término suman 4. Hallar las incógnitas.

5) La suma del 2do y 3er término de una progresión aritmética es -5 y la suma del 5to y 6to término es 13. Hallar la razón y el valor de dichos términos.

6) Las ganancias de 3 años de una empresa están en progresión aritmética. El 1er año ganó 10.000 $ y el 3er año 24.000 $. Cuál fue la ganancia del 2do año.

7) En el 1er mes de negocios una persona ganó 500 $ y en el último ganó 1.900 $. Sí en cada mes ganó 200 $ más que el mes anterior. ¿Cuántos meses tuvo el negocio?.

8) Se compra 1 artículo a pagar en 15 meses de este modo: 1 $ el 1er mes; 3 $ el 2do mes; 9 $ el 3er mes y así sucesivamente. Cuál es el importe del artículo.

9) Un hombre avanza en el 1er segundo de su carrera 6 mts. y en cada segundo posterior avanza 25 cm. más que el anterior. Cuánto avanzó en el 8vo segundo y qué distancia habrá recorrido en ese tiempo.

10) Hallar las longitudes de los lados de un triángulo, sabiendo que están en progresión aritmética de razón igual a 6 cm. y que su perímetro es igual a 54 cm.

11) Una deuda debe ser pagada en 32 semanas; pagando 5 $ la 1ra semana, 8 $ la 2da semana, 11 $ la 3ra semana y así sucesivamente. Hallar el importe de la suma.

12) Los ahorros de los 3 primeros meses de una familia están en P.A. Sí en los 3 meses ha ahorrado 2.400 $ y el 1er mes ahorró la mitad de lo que ahorró el 2do mes. Cuánto ahorró cada mes.

13) El perímetro de un triángulo rectángulo es 60 cm. Calcular las longitudes de los lados, sabiendo que están en progresión aritmética.

14) Una piedra dejada caer libremente desde la azotea de un edificio recorre 16,1 pies en el 1er segundo y en cada segundo posterior recorre 32,2 pies más que el 2do anterior. Sí la piedra tarda 5 segundos en llegar al suelo. Cuál es la altura del edificio.

15) Calcular las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus medidas expresadas en cm. son números que están en P.A. cuya razón es igual a 7.

16) Las ganancias mensuales de un comerciante durante 11 meses están en progresión aritmética. El 1er mes ganó 1.180 $ y el último 6.180 $. Cuánto más ganó en cada mes a contar del 2do mes, que en el anterior.

17) Determinar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que están en P.A. de razón igual a 5.

18) Determinar el valor de "x" para que formen progresión aritmética de x ², (x + 2) ², (x + 3) ².

19) Determinar el valor de "x" para que formen P.A. de (3x - 1), (x + 3), (x + 9).

20) En una progresión geométrica de razón positiva, la suma del 3er término con el 4to es 240 y la suma del 5to con el 6to es 3.840. Calcular la razón y formar la progresión.

21) Calcular la razón de una P.G. de 5 términos; sabiendo que la suma de los dos primeros términos es 120 y la suma de los dos últimos es 960.

22) Una P.G. de razón positiva consta de 4 términos. Sabiendo que la suma de los dos primeros es 6 y que la correspondiente de los dos últimos es 24, determinar la razón y formar la progresión.

23) El valor del 3er término de una progresión geométrica es 32 y la diferencia entre el 4to y el 2do término es 120. Calcular la razón y la suma de los 4 primeros términos.

24) ¿Cuántos términos debemos considerar en la P.G. (3, 6,...........) para obtener una suma de 1.533 ?

25) La suma de 3 números consecutivos que están en progresión geométrica es 28 y el producto entre ellos es 512. Calcular los 3 números.

26) La suma de los tres primeros términos de una P.G. es 77 y su producto es 10.648. Calcular los tres números.

27) La suma de 3 números positivos en una progresión geométrica es 210, el tercero excede al primero en 90. Hallar los 3 números positivos.

28) Hallar 3 números que están en P.G., sabiendo que su suma es 65 y su producto es 3.375.

29) Hallar el valor de "x" para que la sucesión (2x - 5), (x - 4), (10 - 3x) sea una P.G.

30) Hallar el valor de "x" para que la sucesión x, (x + 9), (x + 45) sea una P.G.

31) Hallar el valor de "x", de modo que los números (x - 5), x, (x + 10); en ese orden, estén en P.G. Construir dicha progresión.

Matemática - Progresiones

1) Escribir las siguientes progresiones aritméticas:

  a r n

a -b -c -d -

-7-5-31

78-71/2

5567

2) Escribir las siguientes progresiones aritméticas sabiendo que:

  a r n

a -

b -

c -

-5.b

-3.x + 5.b

7.x + 8

b

x - b

x -1

5

4

7

3) Escribir las siguientes progresiones aritméticas:

a) La que se puede formar con los 10 primeros números naturales a partir de 1.

b) La que se puede formar con los 7 primeros números naturales impares a partir de 1.

c) La que se puede formar con los primeros números naturales pares a partir de 2.

4) Calcular el último término de una progresión aritmética sabiendo que:

  a r n

a -b -c -

5-8-3

65

1/2

476

5) Escribir las siguientes progresiones geométricas:

  a q n

a -b -c -d -

316-2-81

1/224

-1/3

3457

6) Escribir las siguientes progresiones geométricas:

  a r n

a -b -c -

a-b1/x

ab

x ²

546

7) Determinar la razón de las siguientes progresiones geométricas:

a) 3; 12; 48; 192

b) -4; 12; -36; 108; -324

c) 1/5; 1/25; 1/125

d) 3/8; 3/4; 3/2; 3

e) -1; 1/4; -1/16; 1/64

Matemática - Progresiones

1) Se da la progresión geométrica infinita:

2/3; 2/9; 2/27; 2/81;...

Calcule la suma de ocho de sus términos.

2) En una progresión geométrica de cuatro términos, la suma de los dos primeros es 2 y la de los dos últimos es 50. Calcular dichos términos.

3) Calcular la suma de las seis primeras potencias de exponente natural 2.

4) El segundo y cuarto término de una progresión geométrica finita de cinco términos son, respectivamente 6 y 24. Calcular la suma de todos los términos de la progresión y escribirla.

5) En una progresión aritmética, la suma de todos ellos es 264 y la diferencia entre los extremos es 40, ¿cuál es la progresión?.

6) ¿Cuál es la razón de una progresión geométrica de nueve términos, sabiendo que a9 = 192 y a1 = 12?. Calcule la suma de sus términos y el quinto término.

7) Hallar el primer término y el último de una progresión aritmética, sabiendo que: n = 24; r = 3 y S = 924.

8) El perímetro de un triángulo rectángulo es 1,8 m. Calcular la longitud de sus lados sabiendo que están en progresión aritmética.

9) ¿Los siguientes números forman una progresión aritmética?:

(√6 + 2)/(√3 + √2); 2.(√6 + 2)/(√3 + √2); 3.√2

10) Calcular la diferencia a31 - a12 de una progresión aritmética de razón igual a-5.

11) Escribir la progresión aritmética donde:

a2 = √2 - √3

a9 = 8.√2 - 22.√3

12) Calcular la suma de los 32 primeros términos de una progresión aritmética con an = 5.n + 4.

13) La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 12, y el quinto término es el quíntuplo del primero, ¿cuál es la progresión aritmética?.

14) Tres números están en progresión aritmética. Si les sumamos 2, 8 y 10 respectivamente a los tres primeros, los resultados son proporcionales a los números 3, 7, 10. ¿Cuáles son esos números?.

15) Calcular a10 en la progresión geométrica:

1/243; 1/81; 1/27;...

16) Determinar los términos de la progresión geométrica creciente de números naturales, de 6 términos, en la que el producto de los términos de orden impar es 64 y el de los términos de orden par es 512.

17) Resolver la ecuación:

18) Los primeros números de la secuencia: 2, a, b, 9 están en progresión aritmética y los últimos en progresión geométrica, calcular a y b.

Matemática - Progresiones

1) Calcular los elementos que faltan de las siguientes expresiones:

a-

a1 = 3.√3

n = 6

r = √3

b-

au = 7.√3

a1 = -3.√3

r = 2.√3

c-

an = 2187

q = 1/3

n = 7

d-

an = 27

a1 = 1/27

n = 7

e-

an = 3.√3

n = 7

r = -2.√3

f-

a1 = 8.√3/3

an = 8.√3/3

r = 7

g-

an = 1/3

n = 5

q = √3

h-

an = 54

a1 = 2

q = √3

2) Calcular la suma de los n primeros números naturales pares.

3) Calcular la suma de los ángulos interiores del pentágono ABCDE sabiendo que el ángulo a = 90° y que todos, en el orden dado, forman progresión aritmética.

4) Calcular cuatro números en progresión aritmética, sabiendo que su suma es 22 y la suma de los cuadrados es 166.

5) El último término de una progresión aritmética es 1458; la razón es 3 y 7 el número de términos. Calcular el primer término y la suma de todos los términos.

6) La suma de los 4 primeros términos de una progresión geométrica es:

4.(1 - √3)

La razón es: -√3

Calcular el 2° término.

Respuesta: -√3

7) El primer término de una progresión es x - 2, el tercero es x + 6 y la media aritmética de dichos términos se refiere al segundo como 5:3. Determinar x.

8) Dos cuerpos que se encuentran a una distancia de 153 m uno del otro, se mueven al encuentro mutuo. El primero recorre 10 m por segundo, y el segundo recorrió 3 m en el primer segundo, en cada segundo siguiente recorre 5 m más que en el anterior. ¿Después de cuántos segundos los cuerpos se encuentran?.

9) ¿Pueden los números que expresan las longitudes de los lados de un triángulo y su perímetro, formar una progresión aritmética?.

10) Cuatro números forman una progresión geométrica decreciente. Sabiendo que la suma de los términos extremos es igual a 27, y la suma de los términos medios igual a 18, hallar esa progresión.

11) La suma de tres números positivos, que forman una progresión aritmética, es igual a 21. Si a estos números les sumamos respectivamente 2, 3 y 9, los nuevos números forman una progresión geométrica. Hallar esos números.

12) Intercalar:

a) 8 medios aritméticos entre 4 y 40.

b) 3 medios geométricos entre 12 y 972.

Respuesta: a) r = 4; b) q = 3 y q = -3

Definición.- Son aquellos productos cuyo desarrollo se conocen fácilmente por simple observación.

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES    CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES    PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES    

CUBO DE UNA SUMA FÓRMULAS DE PRODUCTOS NOTABLES

CUBO DE UNA DIFERENCIA EJERCICIOS

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN EVALUACIÓN

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

( a + b )2   = a2   + 2ab + b2  

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

1)  

a)   El cuadrado del 1er término es (5x)(5x) = 25x2

b)   El doble producto de ambos términos es 2(5x)(7)=(10x)(7) = 70xc)   El cuadrado del 2do término es (7)(7) = 49Entonces ( 5x + 7 )2   = 25x2   + 70x + 49 

2)  

a) El cuadrado del 1er término es (0.5x)(0.5x) = 0.25x2

b) El doble producto de ambos términos es 2(0.5x)(9)=(1x)(9) = 9x

c) El cuadrado del 2do término es (9)(9)=81

Entonces ( 0.5x + 9 )2   = 0.25x2   + 9x + 81

 CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

( a - b )2   = a2   - 2ab + b2

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término.

1)

a)   El cuadrado del 1er término es (3x)(3x) = 9x2

b)   El doble producto de ambos términos es 2(3x)(8y2) = (6x)(8y2) = 48xy2

c)   El cuadrado del 2do término es (8y2)(8y2) = 64y4 Entonces ( 3x - 8y2 )2   = 9x2   - 48xy2 + 64y4   

2)

a) El cuadrado del 1er término es (x2)(x2) = x4

b) El doble producto de ambos términos es 2(x2)(5y3) = (2x2)(5y3) = 10x2y3

c) El cuadrado del 2do término es (5y3)(5y3) = 25y6

Entonces ( x2 - 5y3 )2   = x4   - 10x2y3 + 25y6  

 PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

( a + b ) ( a - b ) = a2   - b2  

La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

1)

a) El cuadrado del 1er término es (4x)(4x) = 16x2

b) El cuadrado del 2do término es (9y)(9y) = 81y2

Entonces ( 4x + 9y ) ( 4x - 9y ) = 16x2   - 81y2

 

2)

a) El cuadrado del 1er término es (10x)(10x) = 100x2

b) El cuadrado del 2do término es (12y3)(12y3) = 144y6

Entonces ( 10x + 12y3 ) ( 10x - 12y3 ) = 100x2   - 144y6

 CUBO DE UNA SUMA

( a + b )3   = a3   + 3a2b + 3ab2 + b3  

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.

1) ( 2x + 4y )3   = (2x)3   + 3(2x)2(4y) + 3(2x)(4y)2 + (4y)3  

a) El cubo del 1er término es (2x)(2x)(2x) = 8x3

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término

3(2x)(2x)(4y)=(6x)(2x)(4y)=(12x2)(4y)=(48x2y)

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

3(2x)(4y)(4y)=(6x)(4y)(4y)=(24xy)(4y)=(96xy2)

d) El cubo del 2do término es (4y)(4y)(4y) = 64y3

Entonces ( 2x + 4y )3   = 8x3   + 48x2y + 96xy2 + 64y3  

2) ( 5x + 6y )3   = (5x)3   + 3(5x)2(6y) + 3(5x)(6y)2 + (6y)3  

a) El cubo del 1er término es (5x)(5x)(5x) = 125x3

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término

3(5x)(5x)(6y)=(15x)(5x)(6y)=(75x2)(6y)=(450x2y)

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

3(5x)(6y)(6y)=(15x)(6y)(6y)=(90xy)(6y)=(540xy2)

d) El cubo del 2do término es (6y)(6y)(6y) =216y3

Entonces ( 5x + 6y )3   = 125x3   + 450x2y + 540xy2 + 216y3

 CUBO DE UNA DIFERENCIA

( a - b )3   = a3   - 3a2b + 3ab2 - b3

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.

1) ( 6x - 2y )3   = (6x)3   - 3(6x)2(2y) + 3(6x)(2y)2 - (2y)3  

a) El cubo del 1er término es (6x)(6x)(6x) = 216x3

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término

3(6x)(6x)(2y)=(18x)(6x)(2y)=(108x2)(2y)=(216x2y)

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

3(6x)(2y)(2y)=(18x)(2y)(2y)=(36xy)(2y)=(72xy2)

d) El cubo del 2do término es (2y)(2y)(2y) = 8y3

Entonces ( 6x - 2y )3   = 216x3   - 216x2y + 72xy2 - 8y3

2) ( 4x6 - 5y )3   = (4x6)3   - 3(4x6)2(5y) + 3(4x6)(5y)2 - (5y)3  

a) El cubo del 1er término es (4x6)(4x6)(4x6) = 64x18

b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término

3(4x6)(4x6)(5y)=(12x6)(4x6)(5y)=(48x12)(5y)=(240x12y)

c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término

3(4x6)(5y)(5y)=(12x6)(5y)(5y)=(60x6y)(5y)=(300x6y2)

d) El cubo del 2do término es (5y)(5y)(5y) = 125y3

Entonces ( 4x6 - 5y )3   = 64x18   - 240x12y + 300x6y2 - 125y3

 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN

(x + a )(x + b ) = x2   + (a+b) x + ab

El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes.

1) (x + 2)(x + 7 ) = x2   + (2 + 7) x + (2)(7)

a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2

b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (2 + 7)x = 9x

c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Entonces: (x + 2)(x + 7 ) = x2   + 9 x + 14

2) (y + 9)(y - 4 ) = y2   + (9 - 4) y + (9)(-4)

a) El cuadrado del término común es (y)(y) = y2

b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (9 - 4)y = 5y

c) El producto de los términos no comunes es (9)(-4) = -36

Entonces: (y + 9)(y - 4 ) = y2   + 5 y - 36

 

FÓRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES 

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES CUBO DE UNA SUMA( a + b )2 = a2 + 2ab +b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

CUBO DE UNA DIFERENCIA

( a - b )2 = a2- 2ab + b2 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 -b3

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA

(a + b) (a - b) = a2 -b2 (x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x +ab

EJERCICIOS

  PREGUNTAS   RESPUESTAS01 (x + 5)2 = x2 + 10x + 2502 (7a + b)2 = 49a2 + 14ab + b2

03 (4ab2 + 6xy3)2 = 16a2b4 + 48ab2xy3 + 36x 2y6 04 (xa+1 + yb-2)2 = x2a+2 + 2xa+1yb-2 + y2b-4

05 (8 - a)2 = 64 - 16a + a2

06 (3x4 -5y2)2 = 9x8 - 30x4y2 + 25y4

07 (xa+1 - 4xa-2)2 = x2a+2 - 8x2a-1 + 16x2a-4

08 (5a + 10b)(5a - 10b) = 25a2 - 100b2

09 (7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) = 49x4 - 144y6

10 (x + 4)3 = x3 + 12x2 + 48x + 6411 (5x + 2y)3 = 125x3 + 150x2y + 60xy2 + 8y3

12 (2x2y + 4m)3 = 18x6y3 + 48x4y2m + 96x2ym2 + 64m3

13 (1 - 4y)3 = 1 - 12y + 48y2 -64y3

14 (3a3 - 7xy4)3 = 27a9 - 189a6xy4 + 441a3x2y8 - 343x3y12

15 (2xa+4 - 8ya-1)3 = 8x3a+12 - 96x2a+8ya-1 + 384xa+4y3a-3 - 512y3a-3

16 (x + 5)(x + 3) = x2 + 8x + 1517 (a + 9)(a - 6) = a2 + 3a - 5418 (y - 12)(y - 7) = y2 - 19y + 8419 (4x3 + 15)(4x3 + 5) = 16x6 + 80x3 + 7520 (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14) = 25y2a+2 - 50ya+1 - 56

 

Definición.- A aquellos cocientes que sin efectuar la operación de división, pueden ser escritos por simple inspección. Los cocientes notables son cocientes exactos.

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma de las cantidadesCociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidadesCociente de la suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de las cantidadesCociente de la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferencia de las cantidadesFórmulas de Cocientes NotablesEjercicios EVALUACIÓN

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

Ejemplo 1:  

 

a) La raíz cuadrada de x2 es x       b) La raíz cuadrada de 16 es 4 Entonces:  

 

Ejemplo 2:  

 

a) La raíz cuadrada de 100x4 es 10x2       b) La raíz cuadrada de 169y2 es 13y   Entonces:  

 

 

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

Ejemplo 1:  

 

a) La raíz cuadrada de x2 es x       b) La raíz cuadrada de 64 es 8   Entonces:  

 

Ejemplo 2  

 

a) La raíz cuadrada de 121x4 es 11x2       b) La raíz cuadrada de 225y2 es 15y

   Entonces:  

 

 

COCIENTE DE LA SUMA DE LOS CUBOS ENTRE LA SUMA DE LAS CANTIDADES

La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el producto de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidades.

  x3 + 64    Ejemplo 1: --- -- --- =    x + 4    a) La raíz cubica de x3 es x             b) La raíz cubica de 64 es 4  x3 + 64    Entonces: --- -- --- = x2 - (x)(4) + 42 = x2 - 4x + 16  x + 4    

  125x3 + 343y3    Ejemplo 2: ------ -- ------ =    5x + 7y    a) La raíz cubica de 125x3 es 5x       b) La raíz cubica de 343y3 es 7y  125x3 + 343y3    Entonces: ------ -- ------ = (5x)2 - (5x)(7y) + (7y)2 = 25x2 - 35xy + 49y2

  5x + 7y    

 

COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE LOS CUBOS DE DOS CANTIDADES ENTRE LA DIFERENCIA DE LAS CANTIDADES

La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

  z3 - 1000    Ejemplo 1: --- -- ------ =    z - 10    a) La raíz cubica de z3 es z       b) La raíz cubica de 1000 es 10  z3 - 1000  Entonces: --- -- ------ = z2 +(z)(10) +102 = z2 + 10z+ 100  z - 10    

  216x3 - 8y3z3    Ejemplo 2: ------ -- ------ =    6x - 2yz    a) La raíz cubica de 216x3 es 6x       b) La raíz cubica de 8y3z3 es 2yz  216x3 - 8y3z3    Entonces: ------ -- ------ = (6x)2 +(6x)(2yz) + (2y)2 = 36x2 + 12xyz + 4y2

  6x - 2yz    

 

FÓRMULA DE LOS COCIENTES NOTABLES

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma de las cantidades

Cociente de la suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de las cantidades

   Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades

Cociente de la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades

      

EJERCICIOS

    PREGUNTAS   RESPUESTAS           PREGUNTAS   RESPUESTAS    a2 - 16               125a3 + 27b3    01   --------- = a - 4       11   ------------ = 25a2 - 15ab + 9b2

    a + 4               5a + 3b                                 25x2 - 49y2               x9 + y6    02   --------------- = 5x - 7y       12   ------- = x6 - x3y2 + y4

    5x + 7y               x3 + y2                                 4a2 - 16x2y4               27m3 - 1    03   ---------------- = 2a + 4xy2       13   --------- = 9m2 + 3m + 1    2a + 4xy2               3m - 1                                 x2a - y2b               8a12 - 125b15    04   ----------- = xa - yb       14   ------------- = 4a8 + 10a4b5 + 25b10

    xa + yb               2a4 - 5b5                                 9 - 36x4               343a3 - 1000b18    05   ----------- = 3 + 6x2       15   -------------- = 49a2 + 70ab6 + 100b12

    3 - 6x2               7a - 10b6                             

    16x4 - 25y4               729x3y6 - 512z9    06   --------------- = 4x2 + 5y2       16   -------------- = 81x2y4 + 72xy2z3 + 64z6

    4x2 - 5y2               9xy2 - 8z3                                 (x + y)2 - 100               (a + b)4 - 49m6    07   ----------------- = (x + y) + 10       17   -------------- = (a + b)2 + 7m3

    (x + y) - 10               (a + b)2 - 7m3                                 169 - (a - b)2               x4a+2 - 400    08   ---------------- = 13 + (a - b)       18   -------------- = x2a+1 + 20    13 - (a - b)               x2a+1 - 20                                 1 + x3                    09   -------- = 1 - x + x2                    1 + x                                                 64x3 + 27y3                    10   --------------- = 16x2 - 12xy +9y2                    4x + 3y                                             

Definición.- Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.

Uno de los casos es Factor Común los temas a estudiar son:Factor común monomio.Factor común polinomio. Factor común por agrupación.FórmulasEjerciciosEvaluación

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FACTOR COMÚN MONOMIO

ab + ac + ad = a ( b + c + d ) Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio.

Procedimiento para factorizar

1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor.

2)Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

1): Factorizar x7 + x3

M.C.D. (1, 1) = 1

Variable común con su menor exponente: x3

Factor común monomio: x3

  x7 + x3    Luego se divide --------- = x4 + 1

  x3  

Entonces: x7+ x3 = x3(x4 + 1)

2): Factorizar a9 + 7a

M.C.D. (1, 5) = 1

Variable común con su menor exponente: aFactor común monomio: a

  a9 + 7a    Luego se divide --------- = a8 + 7

  a  

Entonces: a9 + 7a = a(a8 + 7)

3): Factorizar 4a10 + 8a3

M.C.D. (4, 8) = 4

Variable común con su menor exponente: a3

Factor común monomio: 4a3

  4a10 + 8a3    Luego se divide ------------ = a7 + 2

  4a3  

Entonces: 4a10 + 8a3 = 4a3(a7 + 2)

 FACTOR COMÚN POLINOMIO

c(a + b) + d(a + b) + e(a + b) = (a + b)( c + d + e )

Cuando el factor común que aparece es un polinomio.Procedimiento para factorizar

1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor.

2)Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

1): Factorizar a(x + 3) + b(x + 3)Factor común con su menor exponente: (x + 3)

  a(x + 3) + b(x + 3)    Luego se divide ----------------------- = a + b

  (x + 3)  

Entonces: a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b)

2): Factorizar (2a - 3)(y + 1) - y - 1

Arreglando = (2a - 3)(y + 1) - (y + 1)Factor común con su menor exponente: (y + 1)

  (2a - 3)(y + 1) - (y + 1)    Luego se divide ----------------------------- = (2a - 3) - 1 = 2a - 3 - 1 = 2a - 4

  (y + 1)  

Entonces: (2a - 3)(y + 1) - y - 1 = (y + 1)(2a - 4)

3): Factorizar (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2

Factor común con su menor exponente: (a + 1)(y + 1)

  (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2    Luego se divide --------------------------------------- = (a + 1) - (y + 1) = (a + 1 - y - 1) = (a - y)

  (a + 1)(y + 1)  

Entonces: (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2 = (a + 1)(y + 1)(a - y)

 FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y )

Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un polinomio.Procedimiento para factorizar

1)Se trata de agrupar con la finalidad de obtener en primer lugar un factor común monomio y como consecuencia un factor común polinomio.

2)Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

1): Factorizar ax + bx + aw + bw

Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw)

Factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b)Factor común polinomio: (a + b)

  x(a + b) + w(a + b)    Luego se divide ----------------------- = x + w

  (a + b)  

Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)

2): Factorizar 2x2 - 4xy + 4x - 8y

Agrupamos ( 2x2 - 4xy ) + ( 4x - 8y )

Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y)Factor común polinomio: (x - 2y)

  2x(x - 2y) + 4(x - 2y)    Luego se divide -------------------------- = 2x + 4

  (x - 2y)  

Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y)(2x + 4)

3): Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n

Agrupamos ( 2m+n + 2m8m ) + ( 8m+n + 2n8n )

Factor común en cada binomio: 2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )

Factor común polinomio: ( 2n + 8m )

  2m( 2n + 8m ) + 8n( 8m + 2n )    Luego se divide ------------------------------------ = 2m + 8n

  ( 2n + 8m )  

Entonces: 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n = ( 2n + 8m )(2m + 8n)

 

EJERCICIOS

    PREGUNTAS   RESPUESTAS01   xy2 - y2w = y2( x - w )         02   5xy2 - 15y = 5xy( y - 3 )         03   24a3b2 - 12a3b3 = 12a3b2( 2 - b )         04   4xy - 8xy2 - 12xy3 = 4xy( 1 + 2y - 3y2 )         05   16a4b5 - 20a3b2 - 24a2b6 = 4a2b4 ( 4a2b - 5a + 6b2 )         06   xa + 2 - 3xa + 3 - 5xa = xa (x2 + 3x3 + 5)         07   36x2ayb - 24xa + 1yb+1 + 12xay2b = 12xayb ( 3xa - 2xy + yb )         08   x(a + 7) - 5(a + 7) = (a + 7)(x - 5)         09   2x(a - 1) - 3y(a - 1) = (a - 1)(2x - 3y)         10   x(a + 9) - a - 9 = (a + 9)(x - 1)         11   - x - y + a(x + y) = (x + y)(a - 1)         12   (a + 5)(a + 1) - 2(a + 1) = (a + 1)(a + 3)         13   (a + b - 2)(a2 + 2) - a2 - 2 = (a2 + 2)(a + b - 3)         14   (3x2 + 8)(x + y - z) - (3x2 + 8) - (x + y - 4)(3x2 + 8) = (3x2 + 8)(3 - z)         15   xm - ym + xn - yn = (x - y)(m + n)         16   a2x2 - 8bx2 + a2y2 - 8by2 = (x2 + y2)(a2 - 8b)         17   1 + a + 8ab + 8b = (a + 1)(8b + 1)         18   6ax - 2by - 2bx - 12a + 6ay + 4b = (6a - 2b)(x + y - 2)         19   a2b3 - m5 + a2b3x2 - m5 x2 - 3a2b3x + 3m5x = (a2b3 - m5)(1- 3x + x2)         

20   (x + 3)(x + 2)(x + 5) + (x + 2)(x + 5) + (x + 5) = (x + 5)(x + 3)2

         

DIFERENCIA DE CUADRADOS

En una diferencia de dos cuadrados perfectos.

Procedimiento para factorizar1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos. 2) Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas.

1) Factorizar 25x2 - 1

La raíz cuadrada de : 25x2 es 5xLa raíz cuadrada de : 1 es 1

Luego 25x2 - 1 = (5x + 1)(5x - 1)

2) Factorizar 16x2 - 36y4

La raíz cuadrada de : 16x2 es 4x

La raíz cuadrada de : 36y4 es 6y2

Luego 16x2 - 36y4 = (4x + 6y2)(4x - 6y2)

3) Factorizar 121a2b4c8 - 144d10e14

La raíz cuadrada de : 121a2b4c8 es 11ab2c4

La raíz cuadrada de : 144d10e14 es 12d5e7

Luego 121a2b4c8 - 144d10e14 = (11ab2c4 + 12d5e7)(11ab2c4 - 12d5e7)

  x2   9y2n  4) Factorizar --- - ----- =   49   64           x2   xLa raíz cuadrada de : -- es -  49   7         9y2n   3yn

La raíz cuadrada de : ------ es -  64   8         x2   9y2n     x   3yn   x   3yn

Luego: --- - ----- = (-- + -----) (-- - ----)  49   64     7     8     7     8  

 

CASO ESPECIAL DE DIFERENCIA DE CUADRADOS

En una diferencia de dos cuadrados perfectos.Procedimiento para factorizar

1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos. 2) Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas.

1) Factorizar (w + t)2 - z2

La raíz cuadrada de : (w + t)2 es (w + t)

La raíz cuadrada de : z2 es z

Luego (w + t)2 - z2 = [(w + t) + z][(w - t) - z]

2) Factorizar (a + y)2 - (y + 6)2

La raíz cuadrada de : (a + y)2 es (a + y)

La raíz cuadrada de : (y + 6)2 es (y + 6)

Luego (a + y)2 - (y + 6)2 = [(a + y) + (y + 6)][(a + y) - (y + 6)]                                              = [a + y + y + 6][a + y - y - 6]                                              = [a + 2y + 6][ a - 6]

3) Factorizar 25(x + y)2 - 441(x - y)2

La raíz cuadrada de : 25(x + y)2 es 5(x + y)

La raíz cuadrada de : 441(x - y)2 es 21(x - y)

Luego 25(x + y)2 - 441(x - y)2 = [5(x + y) + 21(x - y)] [5(x + y) - 21(x - y)]                                                        = [5x+ 5y + 21x - 21y)] [5x + 5y - 21x + 21y)]                                                        = [26x - 16y] [- 16x + 26y] = [26x - 16y] [26y - 16x]

4) Factorizar (x - y2 - z4)2 - 400(3m + 2n)2

La raíz cuadrada de : (x - y2 - z4)2 es (x - y2 - z4)

La raíz cuadrada de : 400(3m + 2n)2 es 20(3m + 2n)

Luego (x - y2 - z4)2 - 20(3m + 2n)2 = [(x - y2 - z4) + 20(3m + 2n)] [(x - y2 - z4) - 20(3m + 2n)]                                                                  = [x - y2 - z4 + 60m + 40n] [x - y2 - z4 - 60m - 40n]

 

EJERCICIOS

    PREGUNTAS  01)   m2 - n2         02)   x2 - 100         03)   25a2 - 144b2         04)   9x2y4 - 121z8  

       05)   400x14 - 1         06)   1/4 - 16x2         07)   1/16 - x4/25         08)   a6/36 - 49b4/100         09)   x2nb8n - 1/169         10)   0.81a6 - 1.21b8         11)   1.69x8y10 - 2.25z12         12)   a4nb6n - c12x /64         13)   (m - n)2 - (x + y)2         14)   (3x - 4)2 - (2x - 6)2         15)   (3a + 2b - c)2 - (2a + 2b)2         16)   25a10 - (3a2 + 4)2         17)   36(x - y)2 - 16(x + y)2         18)   (c2a + ab2)2 - (ac2 - ab2)2         19)   49(x4 - y2)2 - 400(z2 - 2zy + y2)2         20)   900(a2 - 2ab + b2)2 - 225(a2 + 2ab + b2)2         

Definición.- Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.

Otro caso de factorización, los temas a estudiar son:

Suma de cubos perfectos. Diferencia de cubos perfectos.FórmulasEjerciciosEVALUACIÓN

SUMA DE CUBOS PERFECTOS

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

 

a   b

En una suma de cubos perfectos.Procedimiento para factorizar1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio. 2) Se forma un producto de dos factores. 3) Los factores binomios son la suma de las raíces cúbicas de los términos del binomio.4) Los factores trinomios se determinan así:

 El cuadrado de la primera raíz menos el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo 1: Factorizar x3 + 1

La raíz cúbica de : x3 es xLa raíz cúbica de : 1 es 1

Según procedimiento x3 + 1 = (x + 1)[(x)2 - (x)(1) + (1)2]Luego x3 + 1 = (x + 1)(x2 - x + 1)

Ejemplo 2: Factorizar 8x3 + 64

La raíz cúbica de : 8x3 es 2xLa raíz cúbica de : 64 es 4

Según procedimiento 8x3 + 64 = (2x + 4)[(2x)2 - (2x)(4) + (4)2]Luego 8x3 + 64 = (2x + 4)(4x2 - 8x + 16)

Ejemplo 3: Factorizar 1000x6y3 + 125z12w15

La raíz cúbica de : 1000x6y3 es 10x2y

La raíz cúbica de : 125z12w15 es 5z4w5

Según procedimiento

1000x6y3 + 125z12w15 =(10x2y + 5z4w5) [(10x2y)2 - (10x2y)(5z4w5) + (5z4w5)2]

Luego 1000x6y3 + 125z12w15 = (10x2y + 5z4w5)(100x4y2 - 50x2yz4w5 + 25z8w10)

 DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

 

a   b

En una diferencia de cubos perfectos.Procedimiento para factorizar

1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio. 2) Se forma un producto de dos factores. 3) Los factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio.4) Los factores trinomios se determinan así:

 El cuadrado de la primera raíz más el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo 1: Factorizar y3 - 27

La raíz cúbica de : y3 es yLa raíz cúbica de : 27 es 3

Según procedimiento y3 - 27 = (y - 3)[(y)2 + (y)(3) + (3)2]Luego y3 - 27 = (y - 3)(y2 + 3y + 9)

Ejemplo 2: Factorizar 125x3 - 1000

La raíz cúbica de : 125x3 es 5xLa raíz cúbica de : 1000 es 10

Según procedimiento 125x3 - 1000 = (5x - 10)[(5x)2 + (5x)(10) + (10)2]Luego 125x3 - 1000 = (5x - 10)(25x2 + 50x + 100)

Ejemplo 3: Factorizar 216x9y12z15 - 343m30w18a

La raíz cúbica de : 216x9y12z15 es 6x3y4z5

La raíz cúbica de : 343m30w18a es 7m10w6a

Según procedimiento:

216x9y12z15 - 343m30w18a = (6x3y4z5 - 7m10w6a)[(6x3y4z5)2 + (6x3y4z5)(7m10w6a) + (7m10w6a)2]Luego 216x9y12z15 - 343m30w18a = (6x3y4z5 - 7m10w6a)(36x6y8z10 + 42x3y4z5m10w6a + 49m20w12a)

 

EJERCICIOS

    PREGUNTAS01)   1 + x3

     02)   x3 + 1000     03)   27a3 + 125b3

     04)   64x3y6 + 216z9

     05)   512x6a + 729y3b

     06)   1/8 + 125x3

     07)   1/27 + x6/216     08)   a6/343 + 8b12/1000     09)   1000 - m3

     10)   8a3 - 64b3

     11)   125x9y18 - 512z27

     12)   216x12 - 729y21a      13)   343x3a - 512y6b      14)   (x + 4)3 - 8     15)   (3a + 2b)3 - (2a + 2b)3

     16)   125 - (3a2 + 1)3

     17)   27(x - y)3 - 8(x + y)3

     18)   0.027x3 - 0.008y6

     19)   8/125x6 - 1000z9/64y12      20)   64(a - b)3 + 27(a + b)3

     

Definición.- Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.

Otro caso de factorización. Los temas a estudiar son:

Trinomios cuadrados perfectosFórmulasEjerciciosEVALUACIÓN

TRINOMIOS CUADRADOS PERFECTOS

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

           a       b       En un trinomio cuadrado perfecto.Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.1) Un trinomio ordenado con relación a una letra2) Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos3) El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.Procedimiento para factorizar1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.

2)Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a + b)(a + b).

3) Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.Si el ejercicio fuera así:

a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2

         a       b     Procedimiento para factorizar1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b. 2) Se forma un producto de dos factores binomios con la diferencia de estas raíces; entonces   (a - b)(a - b). 3) Este producto es la expresión factorizada (a - b)2.

Ejemplo 1: Factorizar x2 + 10x + 25

La raíz cuadrada de : x2 es x

La raíz cuadrada de : 25 es 5

El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x

Luego x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

Ejemplo 2: Factorizar 49y2 + 14y + 1

La raíz cuadrada de : 49y2 es 7y

La raíz cuadrada de : 1 es 1El doble producto de las raíces: 2(7y)(1) es 14y

Luego 49y2 + 14y + 1 = (7y + 1)2

Ejemplo 3: Factorizar 81z2 - 180z + 100

La raíz cuadrada de : 81z2 es 9z

La raíz cúbica de : 100 es 10El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z

Luego 81z2 - 180z + 100 = (9z - 10)2

    4a8   32a4bEjemplo 4: Factorizar --- - ------ + 64b2

    49   7  4a8   2a4

La raíz cuadrada de : -- es --  49   7

La raíz cuadrada de : 64b2 es 8b

El doble producto de las raíces: 2(2a4 / 7)(8b) es 32a4b / 7

    4a8   32a4b         2a4    Luego: Factorizar --- - ------- + 64b2 =( --- - 8b)2

    49   7         7    

 

EJERCICIOS

    PREGUNTAS01)   x2 + 6x + 9     02)   16x2 + 8x +1     03)   y2 + 10y + 25     04)   4y2 - 24y + 36     05)   49x2 + 112x + 64     06)   81y2 - 180y + 100     07)   25x2 + 30xy + 9y2

     08)   81z2+ 108zw + 36w2

     09)   64x4y2 + 176x2y +121w6

     

10)   144x8 - 24 x4y5 + 5y3

     11)   0.04x2 - 4x + 100     12)   400y4 - 12y2 + 0.09     13)   a2/4 + 4a + 16     14)   x2/9 - 16x/3 + 64     15)   25x2/4 + 20xy/3 + 16y2/9     16)   x2 + 2x(a+b) + (a + b)2

     17)   9 - 6(x + y) + (x + y)2

     18)   4(x + y)2 + 4(x + y)(x - y) + (x - y)2

     19)   9(x - y)2 + 12(x - y)(x + y) + 4(x + y)2      20)   4(1 + a)2 - 4(1 + a)(b - 1) + (b - 1)2

     

Definición.- Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.

Otro caso de factorización. Los temas a estudiar son:

Trinomio de la forma x2 + bx + c. FórmulasEjercicios EVALUACIÓN

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x2   + bx + c = (x + d)(x + e)     Procedimiento para factorizarx

x

d

e

=

=

dx

ex   

1) Se extrae la raíz cuadrada del 1er. término; aquí, x.

2) Dos números d, e, tales que multiplicados den "c".

        bx     3) Sumados resulten "b" (d + e = b).Regla para conocer si es un trinomio de la forma x2 + bx + c.1) El coeficiente del primer término es 1.2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3)El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

4)El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2° términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Ejemplo 1: Factorizar

Luego x2 + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)

Ejemplo 2: Factorizar y2   - 13y + 40 = (y - 8)(y - 5)

 y

y

- 8

- 5

=

=

- 8y

- 5y

          -13yLuego y2 - 13y + 40 = (y - 8)(y - 5)

Ejemplo 3: Factorizar

Luego x2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)

Ejemplo 4:Factorizar

Luego x2 + 9x - 52 = (x + 13)(x - 4)

Ejemplo 5:Factorizar

z2   - z - 272 = (z - 17)(z + 16)

   Descomponer 272 en sus factores primos

 z

z

- 17

+ 16

=

=

- 17z

+ 16z   

            - z            Luego z2 - z - 272 = (z - 17)(z + 16)

 

EJERCICIOS

    PREGUNTAS01)   x2 + 8x + 15     02)   n2 + n - 20     03)   m2 - 12m + 27     04)   x2 - 2x - 24     05)   x2 + 20x + 75     

06)   y2 + 16y - 80     07)   x2 - 25x + 100     08)   y2 - 6y - 72     

09)  

     

10)  

     11)   x2 + 0.6x - 2.16     12)   y2- 0.2y - 1.95     13)   x2 + 35x + 300     14)   y2 + 10y - 600     15)   z2 + 12z - 693     16)   w2 - 69w + 1080     17)   x2y2 + 34xy + 120     18)   z2 - 2.3z + 1.26     19)   w2 + 0.8w + 0.15      20)   403 - 44x + x2

     

Definición.- Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre si.

Otro caso de factorización. Los temas a estudiar son:

Trinomio de la forma ax2 + bx + c. FórmulasEjerciciosEVALUACIÓN

Procedimiento para factorizar1) Se traza un aspa entre los términos, ax2 y c.

2) Se descompone en los extremos del aspa los coeficientes a y c.3) Se comprueba el término que falta con el producto es aspa, "b" (dg + ef = b).

Ejemplo 1: Factorizar

Luego 6x2 + 13x + 6 = (3x + 2)(2x + 3)

Ejemplo 2: Factorizar

Luego 20x2 - 2x - 6 = (4x + 2)(5x - 3)

Ejemplo 3: Factorizar

Luego 10x2 - 11x + 3 = (5x - 3)(2x - 1)

Ejemplo 4:Factorizar

Luego 24x2 - 26x - 5 = (6x - 1)(4x + 5)

 

EJERCICIOS

    PREGUNTAS 01)   2x2 + 7x + 3     02)   2y2 + 9y + 4     03)   3z2 - 14z - 5     04)   4x2 - 29x + 7     05)   5x2 + 12x - 9     06)   6y2 + 21y + 12     07)   7x2 - 46x - 21     08)   8y2 + 24y - 32     09)   9x2 - 66x + 40     

10)   10x2 - 32x - 90     11)   20x2 + 84x - 80     12)   24b2 + 58b - 35     13)   10x2 + 110x + 300     14)   6y2 + 50y - 600     15)   15z2 + 186z - 693     16)   1.5w2 + 4w + 2     17)   2x2y2 + 5xy + 2     18)   0.2z2 - 1.3z + 2     19)   0.1w2 + 13w - 3      20)   200 - 130x + 11x2

     

ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN R

Definición.- Es aquella que después de simplificada tiene la forma ax + b = c o sea una sola variable y con exponente 1..

Los temas a estudiar son:

Características generales de las ecuacionesSea por ejemplo: 3x + 5 = 11

a)Miembros de una ecuación son las partes separadas por el signo igual. La parte que está a la izquierda se llama primer miembro (3x + 5) y el segundo miembro (17).

b)Términos de una ecuación son cada una de las expresiones literales (3x) o numéricas (5 y 17) separadas por el signo + o el signo -.

c)Resolver una ecuación es hallar el conjunto solución. En la ecuación dada el conjunto solución es {4}.

d)El grado de una ecuación está indicado por el mayor exponente de la variable. En el ejemplo el exponente de la variable es 1.

 Procedimiento para resolución de una ecuación1) Suprimimos signos de colección o agrupación.

2)Hacemos transposición de términos escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la ecuación.

3) Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.4) Despejamos la incógnita.

Ejemplo 1: Resolver

Luego x + 9 = 20   Su Conjunto Solución { 11 }

Ejemplo 2: Resolver

Luego 20x - 8 = 4x - 40   Su Conjunto Solución { - 2 }

Ejemplo 3: Resolver

Luego - (5x - 2x) - 1= 8 + ( - x + 7)   Su Conjunto Solución { - 8 }

Ejemplo 4: Resolver

Luego   Su Conjunto Solución { }

Ejemplo 5: Resolver

Luego (x + 2)(x - 5) = x2 + 7x - 50   Su Conjunto Solución { 4 }

 

EJERCICIOS

    PREGUNTAS 01)   x + 4 = 28     

02)   y - 6.5 = 31     03)   8z = 40 + 3z      04)   10x = - 5x + 60     05)   - 15y + 3 = - 36 - 18y     06)   2x + 4 + (3x - 4) = 3x + 12     07)   4(3x + 2) - 8 = 5(2x + 3) + 5     08)   15x - 40 - 5x - 20 = 0     09)   16 - ( - 2x - 4) - (5x - 3x + 2) = - 4x - ( - 8x + 2)     10)   - (7x - 2 + 12) + ( - 5x - 3x + 4) = - ( - x + 7) - (6x - 4 - 7)     11)   - 18 - [ 3(x + 2) + 4] = 21 - [ 6( - 2x - 2) + 1]     

12)  

     

13)  

     

14)  

     15)   (x + 7)(x - 3) = x2 + 3x - 16     16)   (x + 3)(x - 3) = (x + 6)2

     

17)  

     

18)  

     19)   3(x - 2)2(x + 5) = 3(x + 1)2(x - 1) + 3     

20)  

INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Definición.- Es todo enunciado abierto que tiene el signo > ó <, con una sola variable y con exponente 1.

ax + b > c ó ax + b < c

Características generales de las inecuaciones

Sea por ejemplo: 5x + 15 > 30

a) Miembros de una inecuación son las partes separadas por el signo de la desigual. La parte que está a la izquierda se llama primer miembro (5x + 15) y el segundo miembro (30).

b) Términos de una inecuación son cada una de las expresiones literales (5x) o numéricas (15 y 30) separadas por el signo + o el signo.

c) Resolver una inecuación es hallar el conjunto solución. En la inecuación dada el conjunto solución es {x > 3}.

d) El grado de una inecuación está indicado por el mayor exponente de la variable. En el ejemplo el exponente de la variable es 1.

Procedimiento para resolución de una inecuación:

1.- Suprimimos signos de colección.

2.- Hacemos transposición de términos escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la inecuación.

3.- Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.

4.- Despejamos la incógnita.

Ejemplo 1: Resolver

Luego 3x - 9 < 6   Su Conjunto Solución { x < 5 }

Ejemplo 2: Resolver

Luego 5x - 9 2x + 18   Su Conjunto Solución { x 9 }

Ejemplo 3: Resolver

Luego 5(x - 5) + 2 < 7   Su Conjunto Solución { x < 6 }

Ejemplo 4: Resolver

Luego   Su Conjunto Solución { x < 14 }

Ejemplo 5: Resolver

Luego   Su Conjunto Solución { x > - 2}

 

EJERCICIOS

    PREGUNTAS 01)   3x < 15     02)   3x + 6 > 2x + 12     03)   4x - 8 > 3x - 14     04)   10x + 24 < 16x + 12     

05)  

     06)   - 2x + 3 > - 3x - 1     07)   5(x + 6) - 5 > - 10     

08)  

     

09)  

     10)   6 + 3(x + 1) > 7 + 4(x - 1)     11)   5 - [ 2x + (x + 2) ] < 4     

12)  

     

13)  

     14)   2x - 3 - 4(x2 - 5) > 20 + 5x - 4x2

     15)   7x(2x +5) - 5x(2x + 3) < (2x + 4)2

     16)   (4x + 2)(4x + 9) (4x + 6)2

     

17)  

     18)       

19)  

     

20)  

Definición.- Se llama sistema de ecuaciones al conjunto de ecuaciones que presentan soluciones comunes.

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

El método más práctico y rápido es el de reducción y es el que utilizaremos en la solución de los ejemplos.

Ejemplo: 1.-Resolver: Su Conjunto Solución { (3, 2) }

Ejemplo 2: Resolver: Su Conjunto Solución {(-2, 4)}

Ejemplo 3: Resolver: Su Conjunto Solución {(0, 4)}

EJERCICIOS

1) x + y = 14 2) 2x - 3y = - 14 3) - 4x - 4y = 30

x - y = 6 3x + 3y = 39 4x + 5y = - 44

4) 5x + y = 8 5) 6x + 4y = 14 6) 3x + 5 = y

4x + y = 6 6x - 3y = - 21 y - 11 = 6x

7) - 4x+3y =-1

x+2y =

07)  

     

08)  

     

09)  4x + 0.3y = 16.90.5x - 3y = - 7

     

10)  0.2x + 5y = 70.3x + 0.4y = 3.4

     

11)  2(x + y) - 4 = 10 - x0.3x + 0.4y = 3.4

     

12)  4x - 2y + 8 = 8y - 6x - 23(x - y +1) = 3y - 2x - 9

     

13)  2(x + y) = 3(x - y)3y = x + 2

     

14)  2(3x - 4y) = 383(2x + 3y) + 4 = 5x

     

15)  

     

16)  (x - y) - (6x + 8y) = - (10x + 5y + 3)

(x + y) - (9y - 11x) = 2y - 2x     

17)  x(y - 2) - y(x -3) = - 14y(x - 6) - x(y + 9) = 54

     

18)  

     

19)  3x - 4y - 2(2x - 7) = 05(x - 1) - (2y - 1) = 0

     

20)  5x - 0.5 = 5y + 0.58y + 3 = 4x + 9 

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADODefinición.- Es aquella expresión en la que el exponente máximo es 2, siendo además racional y entera de la forma: ax2 + bx + c = 0; donde a, b, c, son números reales y a 0.Clases:Completas: ax2 + bx + c = 0Incompletas: ax2 + bx = 0 donde c = 0 ax2 + c = 0 donde b = 0

SOLUCION POR LA FORMULA GENERAL ax2+bx+c=0

La incógnita es x los coeficientes a, b, c.

Sea por ejemplo: x2 - 5x + 6 = 0, aplicando la fórmula general.

Procedimiento para resolución de la ecuación

1º Hallar el valor de los coeficientes.

a=1 b=-5 c= 6

2º Remplazar el valor de los coeficientes en la fórmula general.

3º Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro.

4º Despejamos la incógnita

Ejemplo 1: Resolver: x2 - 5x + 6 = 0 Su Conjunto Solución { 3 , 2}

Ejemplo 2: Resolver: 6x2 + 7x – 20 =0

Su Conjunto Solución { }

Procedimiento para resolución de una ecuación1) .Se identifica los coeficientes a y b2) Se remplaza en la fórmula y se efectua las operaciones indicadas

Ejemplo 1: Resolver  

 

Luego x2 - 36x = 0 Su Conjunto Solución { 0, 6 }

Ejemplo 2: Resolver  

 

Luego 8x2 = - 64x   Su Conjunto Solución { 0, - 8 }

Procedimiento para resolución de una ecuación1) Se identifica los coeficientes a y c..2) Se remplaza en la fórmula y se efectua las operaciones indicadas.

Ejemplo 1: Resolver  

 

Luego x2 - 16 = 0 Su Conjunto Solución { - 4, + 4 }

Ejemplo 2: Resolver  

 

Luego 2x2 = 50   Su Conjunto Solución { - 5, + 5}

EJERCICIOS

    PREGUNTAS 01)   x2 = 81     02)   14x2 - 28 = 0     03)   (x + 6)(x - 6) = 13     04)   (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0     05)   (x + 11)(x - 11) = 23     06)   x2 = 7x     07)   21x2 + 100 = - 5     08)   2x2 - 6x = 6x2 - 8x     09)   (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16     10)   (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)     11)   x2 + 12x + 35 = 0     12)   x2 - 3x + 2 = 0     13)   x2 + 4x =285     14)   5x(x - 1) - 2(2x2 - 7x) = - 8     15)   (x + 2)2 = 1 - x(x + 3)     

16)  

     

17)  

     

18)  

     

19)  

     

20)  

Geometría

Geometría.- Es el estudio de la forma y extensión de los cuerpos geométricos y según sus puntos estén situados en el plano o en el espacio.

Terminología

 Proposición

 Axioma

 Teorema

 Postulado

 Lema

 Corolario

 Escolio

 Problema

 

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

Términos Básicos no Definidos:

Punto. Un punto se representa gráficamente por un pequeño círculo de tamaño variable pero aún el más pequeño posee cierta área. En matemáticas, un punto no tiene tamaño, sólo tiene posición. Para referirse a los puntos, se emplean letras mayúsculas.

Postulado: Hay infinitos puntos

Recta. Significará siempre una línea que se prolonga indefinidamente en dos sentidos opuestos. Al dibujar una recta, se trazan puntas de flechas para enfatizar el hecho de que la recta no termina.

Postulados:

- Por dos puntos pasa una recta y solamente una.

- Dos rectas no pueden tener más que un solo punto común

- Una línea tiene una sola dimensión: longitud.

Propiedades de la recta:

1. Dos rectas se intersecan en un punto, y sólo en uno.

2. Si fuera de una recta se encuentra un punto, el punto y la recta están contenidos en un plano, y sólo en uno.

3. Si dos rectas se intersecan, ambas están contenidos en un plano, y sólo en uno.

4. Si en una misma recta están tres puntos, no más de uno está situado entre los otros dos.

5. En un rayo existe un punto, y sólo uno, situado a una distancia dada del punto extremo del rayo.

6. Un segmento tiene un punto medio y sólo uno.

Plano. Es una superficie llana que se extiende indefinidamente. Una pizarra o la ventana nos dan la idea de un plano.

Igual que en la recta, y en todas las figuras geométricas, se puede considerar un plano como un conjunto de puntos.

Postulados: Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno.

Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, toda la recta está contenida en el plano.

Dos puntos de un mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta que da origen a los dos semiplanos; y dos puntos de distinto semiplano determinan un segmento que corta a la recta.

Si dos planos tienen un punto común tiene una recta común.

 Ángulo

Definición: Se llama ángulo a la unión de dos rayos que tienen el mismo punto extremo. A los dos rayos se le llama lados del ángulo y a su punto extremo común se le llama vértice.

Elementos de un ángulo:

Vértice.- Es el origen "O" común de los rayos.

Lados.- Son los rayos que forman el ángulo.Lado

Notación: a

Se lee: medida del ángulo AOB.

Bisectriz.-de un ángulo, es un rayo que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos iguales ( AOC= COB)

Clasificación

Los ángulos se clasifican según su magnitud, según sus características y según su posición.

A.- Según su magnitud:

I. Ángulos Nulos: Son aquellos iguales a 0°.

II. Ángulos Convexos: Son aquellos mayores que 0° pero menores que 180°.

Estos ángulos convexos a su vez son:

a) Ángulos Agudos: Son aquellos menores que 90°. (a<90º)

b) Ángulos Rectos. Son aquellos iguales a 90°. Sus lados son dos rayos llamados rayos perpendiculares. ( b=90º)

c)c)c)c)c)c)c)c)c)c)c)

Ángulos Obtusos: Son aquellos mayores que 90°. (c>90º)

III. Ángulos Llanos: Son aquellos iguales a 180°. Sus lados son dos rayos opuestos.

IV. Ángulos Cóncavos: Son aquellos mayores que 180° y menores que 360°.

V. Ángulos de una vuelta. Si su medida es 360°. ( AOB)

B.- Según sus características:

a) Ángulos Complementarios: Si la suma de sus medidas es 90º.Fig. (a)

Complemento de un Ángulo: Es lo que le falta a la medida de un ángulo para

ser igual a 90º.Así Complemento de 40º es 50º porque 90º- 40º = 50º

En General: C = 90º - (se lee “complemento de ”)

b) Ángulos Suplementarios: Si la suma de sus medidas es 180°. Fig. (b)

Suplemento de un Ángulo: Es lo que le falta a la medida de un ángulo para ser igual

a 180º. Así: El suplemento de 130º es 50º porque 180º - 130º = 50º.

En General: S = 180º - (se lee “suplemento de ”)

C.- Según su posición:

a) Ángulos Consecutivos: Son aquellos que teniendo el mismo vértice y un lado común, se encuentran a uno y otro lado del lado común.

b) Ángulos adyacentes: Son dos ángulos consecutivos cuyos lados no comunes son rayos opuestos.

c) Ángulos Opuestos por el Vértice: Son aquellos cuyos lados de uno son las prolongaciones en sentido contrario de los lados del otro.

Propiedades:

1.- La suma de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto y a un

mismo lado de una recta, es igual a 180°. Fig. (a) a+ b+ d+ c =180º

2.- Dos ángulos adyacentes son suplementarios. Fig. (b) e+ f = 180º

3.- La suma de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo punto,

es igual a 360°. (aº+bº+cº+dº+eº+fº=360º)

4.- Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Fig. (c) a = b

5.- Las bisectrices de dos ángulos adyacentes forman un ángulo recto.

6.- Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice forman un ángulo llano.

Medida de ángulos

Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad.

Sistema sexagesimal.- Se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos.

Los símbolos para esta unidad son:

Grado ( ° ), minuto ( ´ ), segundo( " )

Sistema centesimal.- Es la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos centesimales" y cada minuto tiene 100 "segundos centesimales".

Los símbolos para esta unidad son:

Grado( g), minutos(m), segundos(s)

Sistema circular.- En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián". Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

Como la longitud de una circunferencia es 2 radianes, es decir 6.28 radianes, dándole a el valor de 3.14

Un radián equivale a 57°18' (se obtiene dividiendo 360° entre 2 )

Ejercicios

¿Cuántas bisectrices puede tener un ángulo?

Una

Un ángulo agudo puede medir

Menos de 90°:

Un ángulo cuya medida es 90° se llama...

Recto

Un ángulo obtuso según su clasificación corresponde a...

Magnitud

El complemento de 30° es

60°

El suplemento de 40° es

140º

Un ángulo llano mide:

180°

Los ángulos opuestos por el vértice sus medidas son:

Igual

Hallar el ángulo que es igual a la mitad de su complemento

30°

Hallar el ángulo que es igual al doble de su suplemento

120º

Dos ángulos están en relación 3:4 y su suma vale 70°. Hallar los ángulos.

30° y 40°:

 

Triángulos

Definición: Triángulo es una porción de plano limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Fig. (a)

Elementos

1) Vértices: Son los puntos de intersección A, B, C, de las rectas que forman el triángulo ABC. Ver Fig. (a)

2) Lados: Son los segmentos AB, BC, AC, ó a, b, c, limitados por dos lados y el vértice común. Ver Fig. (a)

3) Ángulos exteriores: Son los ángulos 180° - a, 180° - b, 80° - c, formados por un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente. Ver

Fig. (b)

Notación: Un triángulo se denota así: ABC y se lee "triángulo ABC"

Perímetro: De un triángulo está dado por la suma de sus tres lados.

P = AB + BC + AC. Ver Fig. (a).

Clasificación de Triángulos

Se clasifican así: atendiendo a sus lados y a sus ángulos.

1.- Atendiendo a sus lados, son:

a) Equiláteros: Son los que tienen sus 3 lados iguales.

b) Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales.

c) Escaleno: Son los que sus 3 lados desiguales.

2.- Atendiendo a sus ángulos, son:

a) Rectángulos: Son los que tienen un ángulo recto (90°).

b) Acutángulos: Son los que tienen sus 3 ángulos agudos.

c) Obtusángulos: Son los que tienen un ángulo obtuso.

Teoremas elementales de los Triángulos

1.- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°.

2.- Todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

3.- La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°

4.- En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos iguales.

5.- En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.

6.- En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos pero mayor que su diferencia.

Líneas Notables en un Triángulo

 

Altura "h": Es la recta perpendicular (AH) trazada desde un vértice al lado opuesto.

Bisectriz: Es la recta que parte de un vértice y que divide al ángulo interior en dos ángulos iguales.

Mediana: Es la recta (AM) que une el vértice con el punto medio del lado opuesto.

Mediatriz: Es la recta (MF) perpendicular a un lado, trazada desde su punto medio M.

Ceviana: Es la recta (AQ) que une un vértice con cualquier punto del lado opuesto.

Propiedades de ángulos con las líneas notables de un Triángulo

 

1.- El ángulo formado por dos bisectrices interiores es igual a un ángulo recto más la mitad del tercer ángulo.

2.- El ángulo formado por dos bisectrices exteriores es igual a un ángulo recto menos la mitad del tercer ángulo.

3.- El ángulo formado por dos bisectrices, una interior y la otra exterior de ángulos distintos de un mismo triángulo, es igual a la mitad del tercer ángulo.

4.- El ángulo formado por una altura y una bisectriz interior de un triángulo trazados desde un mismo vértice es igual a la semidiferencia de los otros dos ángulos.

Polígonos

 

 Polígonos

Polígonos es la porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada.Elementos:1) Lados: Son los segmentos rectilíneos que lo limitan: AB, BC, CD, DE, etc.2) Vértices: Son las intersecciones de dos lados consecutivos, los vértices son: A, B, C, D, etc.3) Ángulos interiores: Son los ángulos formados por dos lados consecutivos. 4) Ángulos exteriores: Son los ángulos formados en un vértice por un lado y la prolongación del lado consecutivo.5) Diagonales: Son líneas rectas que unen dos vértices no consecutivos. AD, AC, BEPerímetro: Es la longitud total de su contorno ó es la suma de sus lados.

Gráficos de un   Triángulo  Para ver el gráfico coloque el mouse sobre la palabra triángulo

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Clasificación

Se clasifican: Por el número de sus lados y por la forma de su contorno.A.- Por el número de sus lados:- Triángulos: Son los polígonos de tres lados.

-Cuadriláteros: Son los polígonos de cuatro lados

- Pentágonos: Son los polígonos de cinco lados- Exágono: Son los polígonos de seis lados- Heptágonos: Son los polígonos de siete lados- Octágonos: Son los polígonos de ocho lados- Nonágonos: Son los polígonos de nueve lados- Decágonos: Son los polígonos de diez lados

-Endecágonos: Son los polígonos de once lados

-Dodecágonos: Son los polígonos de doce lados

-Pentadecágonos: Son los polígonos de quince lados

- Icoságonos: Son los polígonos de veinte lados

DefiniciónClasificaciónPropiedadesEjerciciosEvaluación

 B.- Por la forma de su contorno:

-Convexos: Son aquellos polígonos, en los que al atravesarlos una recta lo cortan en un máximo de dos puntos.

-Cáncavos: Son aquellos polígonos, en los que una recta al atravesarlos pueden cortar en más de dos puntos.

- Equiláteros: Son los polígonos que tienen todos sus lados iguales.- Equiángulos: Son los polígonos que tienen sus ángulos iguales.- Regulares: Son los polígonos que tienen sus ángulos y sus lados iguales entre sí.- Irregulares: Son los polígonos que tienen sus ángulos y lados desiguales.- Alabeados: Son los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano.

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Propiedades de los polígonos

1ra La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo de "n" lados es igual a tantas

veces un ángulo llano como lados menos dos tiene el polígono.  

2daEl valor de un solo ángulo interior de un polígono convexo regular de "n" lados es:

3raLa suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es igual a 4 ángulos rectos

4taEl valor de un solo ángulo exterior de un polígono regular convexo de "n" lados es:

5taLa suma de los ángulos centrales de un polígono convexo regular es igual a 4 ángulos

rectos.

6taEl valor de un solo ángulo central de un polígono convexo regular de "n" lados es:

7ma

El número total de diagonales de un polígono es: De cada vértice de un polígono se pueden trazar (n - 3) diagonales; de los "n" vértices se podrán trazar n(n - 3) diagonales, pero todo sobre dos, pues cada diagonal corresponde a dos vértices diferentes.  

 

8va La suma de los ángulos interiores de un polígono cóncavo es igual a tantas veces un ángulo llano como lados menos dos tiene el polígono.  

9naLa suma de los ángulos exteriores de un polígono cóncavo es igual a 4 ángulos rectos.

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Cuadrilátero

DefiniciónClasificaciónParalelogramoPropiedades de los paralelogramosTrapecioPropiedades de los trapeciosTrapezoidesPropiedades de los trapezoidesEjercicios

Evaluación 

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Cuadriláteros

Cuadriláteros.- Son polígonos que tienen cuatro lados.Elementos:1) Vértices: Son los puntos de intersección A, B, C y D, de las rectas que forman el cuadrilátero ABCD.2) Lados: Son los segmentos AB, BC, CD y DA limitados por dos lados y el vértice común3) Ángulos interiores: Son los ángulos A, B, C y D formados por dos lados y el vértice común.4) Ángulos exteriores: Son los ángulos ß1, ß2, ß3 y ß4, formados por un lado, un vértice y la prolongación del lado adyacente. 

Perímetro: De un cuadrilátero está dado por la suma de sus cuatro lados.Gráficos de un   Triángulo  

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Clasificación

Se clasifican en cuadriláteros "convexos" y "cóncavos" .

A.- Cuadrilátero convexo:

Se dice que un cuadrilátero es convexo cuando al trazar una recta sobre el cuadrilátero lo corta a lo más en "dos lados".

B.- Cuadrilátero cóncavo:Se dice que un cuadrilátero es cóncavo cuando al trazar una recta sobre el cuadrilátero lo corta en "más de dos lados".

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Paralelogramos

Son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos. Hay 4 clases de paralelogramos, estos son:

A.- Romboide.- Conocidos simplemento como paralelogramo. Es un paralelogramo que tiene sus ángulos y sus lados opuestos iguales dos a dos.

B.- Rombo .- Es un paralelogramo que tiene sus 4 lados iguales y sus ángulos opuestos iguales dos a dos.

C.- Rectángulo.- Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos iguales y rectos y sus lados opuestos iguales dos a dos.

D.- Cuadrado.- Es un paralelogramo que tiene sus 4 ángulos iguales y rectos y sus 4 lados iguales. 

Gráficos de un

  Romboide   Rombo   Rectángulo   Cuadrado  

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Propiedades de los Paralelogramos

1ra. Propiedad.- En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes a un mismo lado son suplementarios.

2da. Propiedad.- En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.

3ra. Propiedad.- En todo paralelogramo las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales.

4ta. Propiedad.- Las diagonales de un rectángulos son iguales.

5ta. Propiedad.- Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y bisectrices de sus ángulos.6ta. Propiedad.- Las diagonales de un cuadrado son iguales, perpendiculares y bisectrices de sus ángulos.

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Trapecios

Son cuadriláteros que tienen dos lados opuestos paralelos y se les llaman bases. Hay 3 clases de trapecios: trapecio escaleno, trapecio isósceles y trapecio rectangular.

A.- Trapecio escaleno.- Es aquel que tiene sus lados no paralelos desiguales.

B.- Trapecio isósceles.- Es aquel que tiene sus lados no paralelo desiguales.C.- Trapecio rectangular.- Es aquel que tiene dos ángulos rectos.

Notas:- Mediana de un trapecio es la línea que une los puntos medios de los lados no paralelos.-Altura de un trapecio es la distancia que existe entre las dos bases.Gráficos de

Trapecio escaleno

 Trapecio isósceles

 Trapecio rectangular

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Propiedades de los Trapecios

1ra. Propiedad.- La mediana de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases.

2da. Propiedad.- En todo el trapecio, el segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales, es igual a la semidiferencia de las bases.

3ra. Propiedad.- Los ángulos adyacentes a una misma base de un trapecio isósceles son iguales y los ángulos opuestos son suplementarios.

4ta. Propiedad.- Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales. 

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Trapezoides

Son cuadriláteros que no tienen ningún lado paralelo al otro. Hay dos clases de trapezoides:

A.- Trapezoide simétrico.- Si una de sus diagonales es mediatriz de la otra.B.- Trapecio asimétrico.- Es aquel que no tiene ninguna simetría.

Gráficos de

 trapecio simétrico

 trapecio asimétrico

 

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Propiedades de los Trapezoides

1ra. Propiedad.- Los lados consecutivos de un trapezoide simétrico son iguales dos a dos y la diagonal que une los vértices donde concurren los lados iguales es bisectriz de los ángulos respectivos. 

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Circunferencia  

DefiniciónPropiedades de la circunferenciaEjerciciosEvaluación

 

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Circunferencia

Circunferencia.- Es el conjunto de puntos que están en un mismo plano y que equidistan de otro punto del mismo plano llamado centro.

La circunferencia y el círculo están íntimamente ligados que los elementos de uno corresponden al otro.

Elementos:

Centro   Radio   Cuerda   Diámetro   Secante   Tangente   Flecha   Arco  

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Propiedades de la Circunferencia

 

1ra.- En toda circunferencia, a arcos iguales corresponden cuerdas iguales.

2da.- El diámetro perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda y al arco que subtiende en dos partes iguales.

3ra.- En toda circunferencia las cuerdas iguales equidistan del centro.

4ta.- Los arcos de una circunferencia comprendidos entre dos cuerdas paralelas son iguales. 

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Ejercicios

¿Cuál es mayor el radio o el diámetro?

Haga un click a lado derecho de la respuesta correcta

Radio: Diámetro: Son iguales:

¿Cuál es mayor la flecha o sagita?

Haga un click a lado derecho de la respuesta correcta

Ninguno: Flecha: Sagita:

Si el radio mide 7 cm entonces el diámetro mide:

Haga un click a lado derecho de la respuesta correcta

3.5 cm: 14 cm:

Si el diámetro mide 20 cm entonces el radio mide:

Haga un click a lado derecho de la respuesta correcta

5 cm: 40 cm: 10 cms:

Es la porción de circunferencia limitada por los extremos de dos radios es la definición de:

Haga un click a lado derecho de la respuesta correcta

Arco: Flecha:

Punto equidistante de todos los puntos de la circunferencia es la definición de:

Haga un click a lado derecho de la respuesta correcta

Centro: Radio: Diámetro:

Es la cuerda mayor que pasa por el centro es la definición de:

Haga un click a lado derecho de la respuesta correcta

Tangente: Diámetro:

Un punto dista 2 cm del centro de una circunferencia de 6 cm de diámetro. Hallar la menor distancia del punto a la circunferencia.

Haga un click a lado derecho de la respuesta correcta

3 cm: 2 cm: 1 cm:

¿Cuántas tangentes se puede trazar en una circunferencia?

Haga un click a lado derecho de la respuesta correcta

Una: Finitas: Infinitas:

¿En un plano cuántas circunferencias se puede trazar?

Haga un click a lado derecho de la respuesta correcta

Infinitas: Una:  

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Círculo

Círculo.- Es el conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los interiores a la misma.

La circunferencia y el círculo están íntimamente ligados que los elementos de uno corresponden al otro.

Figuras en el círculo:

Segmento circular   Sector circular   Corona circular   Trapecio circular  

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Segmentos proporcionales y Teorema de Thales

Razón de dos segmentosSegmentos proporcionalesTeorema Paralelas que determinan segmentos congruentes en dos secantesTeorema de ThalesCorolarioEjerciciosEvaluación

 

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Razón de dos segmentos

Se llama así al cociente de sus medidas hechas con una misma unidad.

Dos segmentos tienen las siguientes dimensiones:

a = 8 cm y b = 2 cm ¿Cuál es la razón de sus medidas?

La razón es 4 

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Segmentos proporcionales

Sean los segmentos:

a = 2 m , b = 3 m

c = 4 m y d = 6 m

La razón de estos segmentos:

 

La proporción es  

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Teorema.-Paralelas que determinan segmentos congruentes entre dos secantesTres o más paralelas que determinan segmentos congruentes en una secante, determinarán también segmentos congruentes en cualquier otra secante.Hipótesis        

  y  Tesis        

       

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Teorema de Thales

Tres o más paralelas determinan en dos secantes segmentos proporcionales.Hipótesis

Sean , dos secantes,

Tesis

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Corolario

Toda paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos en segmentos proporcionales.

Si

entonces

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Teorema de Pitágoras

Teorema de PitágorasCorolarioPostulado 30° - 60°Postulado 45°Postulado 15° - 75°Postulado 37° - 53°Teorema Generalización del Teorema de PitágorasTeorema Cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso en un triánguloEjerciciosEvaluación

 

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Teorema de PitágorasEn todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Hipótesis:Sea el triángulo rectángulo ABC con C = 90°, a y b catetos.Tesis:c2 = a2 + b2

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1. Corolario.- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro cateto. 

a2 = c2 - b2

   b2 = c2 - a2

2. Corolario.- En un triángulo rectángulo isósceles, el cuadrado de la hipotenusa es igual al duplo del cuadrado de un cateto. 

c2 = a2 + b2

   

pero como b = a

entonces c2 = 2a2     ó     c2 = 2b2

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Postulado.- En un triángulo rectángulo 30° - 60°, el cateto opuesto al ángulo de 30° mide la

mitad de la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo de 60° mide veces la hipotenusa.

  

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Postulado.- Si los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son de 45°, entonces la hipotenusa es igual a un cateto por la raíz cuadrada de dos.

c2 = a2 + b2 y a = b

          

 Donde a = b = l

       

  

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Postulado.- En todo triángulo rectágulo de lados 3, 4 y 5; o sus múltiplos los ángulos agudos miden aproximadamente 37° y 53° y se oponen a los catetos de valor 3 y 4 respectivamente.

  

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Teorema.- Generalización del Teorema de Pitágoras (Cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo en un triángulo)

En todo triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él.

a2 = b2 + c2 - 2cm

 

  

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Teorema.- (Cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso, en un triángulo)

En un triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, más el doble del producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él.

a2 = b2 + c2 + 2cm

 

  

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Cubo o Exaedro

Cubo.-   Un sólido rectangular que tiene todas sus aristas iguales se llama cubo.Tiene seis caras iguales (cuadrados).

   

Si desea ver como se desarrolla un cubo

Tiene ocho vértices. Un clic en la figura

Tiene doce aristas.  

El cubo es un sólido limitado por seis cuadrados iguales, también se le conoce con el nombre de hexaedroPara calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo click sobre la figura anteriorPara calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:   Volumen del cubo = arista elevada al cubo 

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Prisma

Prisma.- Un sólido geométrico limitado por dos polígonos iguales y paralelos, llamados bases, y por lo tanto rectángulos como lados tenga la base. 

Tiene dos bases iguales.

   

Si desea ver como se desarrolla un prisma

Tiene vértices.Un clic en la figura

Tiene carasTiene aristas de la base.

 Tiene aristas lateralesTiene alturaPara calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo click sobre la figura anteriorPara calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:   Volumen del prisma = área de la base . altura

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Pirámide

Pirámide.- Pirámide regular es un sólido que tiene por base un polígono y cuyas caras son triángulos que se reúnen en un mismo punto llamado vértice. 

Tiene una base.

   

Si desea ver como se desarrolla una piramide

Tiene vértices.Un clic en la figura

Tiene carasTiene aristas de la base.

Tetaedro es una pirámide formada por 4 triángulos

Tiene aristas lateralesequiláteros. Cualquier cara puede ser la base.

Tiene altura  

Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo click sobre la figura anteriorPara calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:   Volumen del pirámide = (área de la base . altura) / 3

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Cono

Cono.-  Es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos..

Elementos:

   

Si desea ver como se desarrolla un conoBase: el círculo que lo limita.

Eje: Segmento entre V y la base. Un clic en la figuraAltura: distancia entre el vértice V y la base.  Generatriz: porción de generatriz entre V y la base.

 

Radio: radio del círculo de la base.  Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo click sobre la figura anteriorPara calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:   Volumen del cono = (área de la base . altura) / 3 

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Cilindro

Cilindro.-   Es el sólido engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados.Elementos:

   

Si desea ver como se desarrolla un cilindroBase: los dos círculos iguales.

Eje: los centros de estas bases. Un clic en la figuraAltura: distancia entre sus base.  Generatriz: lado o arista: segmento

 paralelo al eje que une dos puntos,de las circunferencias básicas.Radio: el de su sección recta.  Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo click sobre la figura anteriorPara calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:   Volumen del cilindro = área de la base . altura

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Esfera

Esfera.-   Es el sólido engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.Elementos:Centro: es el de la semicircunferencia generatriz.Cuerda: segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la superficie.Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro.Radio: distancia del centro a los puntos de la superficie.

Para calcular su área se emplea la siguiente fórmulaArea de la esfera = 4(3,14 . radio al cuadrado)              Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:  

Volumen de la esfera = 4/3(3,14 . radio al cubo)              

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Áreas

TRIÁNGULO

El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados. Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula: Área del triángulo = (base . altura) / 2

CUADRADO

El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del cuadrado = lado al cuadrado

RECTÁNGULO

El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:Área del rectángulo = base.altura

ROMBO

El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90ª. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:Área del rombo = (diagonal mayor.diagonal menor) / 2

TRAPECIO

El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:Área del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2

PARALELOGRAMO

El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del paralelogramo = base.altura

PENTÁGONO

El pentágono regular es un polígono de cinco lados iguales y cinco ángulos iguales El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:Área del pentágono = (perímetro.apotema) / 2

HEXÁGONO

El hexágono regular es un polígono de seis lados iguales y seis ángulos iguales.Los triángulos formados, al unir el centro con todos los vértices, son equiláteros. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:Área del hexágono = (perímetro.apotema) / 2

CÍRCULO

El círculo es la región delimitada por una circunferencia, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: Área del círculo = 3'14.radio al cuadrado

TrigonometríaTrigonometría.- Es la parte de las matemáticas elementales puras, que trata de la resolución analítica de los triángulos, relacionando sus lados y sus ángulos.

  Ángulo, arcos y sus medidas     Arcos complementarios y suplementarios

  Funciones trigonométricas    Transformación a producto de sumas y restas de funciones

  Fórmulas fundamentales     Ecuaciones trigonométricas

 Líneas trigonométricas en función de una de ellas

    Construcción de tablas trigonométricas

 Valores numéricos de las funciones de los arcos notables

    Resolución de triángulos rectángulos

 Funciones de la suma y diferencia de arcos

    Resolución de triángulos oblicuángulos

 Funciones de arcos dobles, triples y arcos mitades

    Funciones inversas

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Ángulos: Arcos y sus medidas

Grados y radianesLas unidades de medida de ángulos mas conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medidas está basada en la división en partes iguales de una circunferencia.

Las equivalencias son las siguientes:

360º = un giro completo alrededor de una circunferencia180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia

90º = 1/4 de vuelta1º = 1/360 de vuelta, etc.

También se puede definir otra unidad angular, el radian, que en las aplicaciones físicas es mucho mas practico y directo que trabajar con grados.

La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es chica, normal o familiar.

De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes.

Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio de la circunferencia]

Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario (2 * r = 2 ), entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2 . Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360º, entonces podemos definir una equivalencia:

1 radian = 57,29º

a partir de esta igualdad, determinamos que:90º = /2 radianes60º = /3 radianes45º = /4 radianes30º = /6 radianes

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   Página de Trigonometría

Funciones seno y coseno

El triángulo OAB es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.

En un triángulo rectangulo, sen es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, cos el la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan:sen = |AB| / |OA| = |AB| / 1 = |AB|cos = |OB| / |OA| = |OB| / 1 = |OB|A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

ángulo

sen cos

0º 0 1

30º 1/2 ( 3)/2

45º ( 2)/2 ( 2)/2

60º ( 3)/2 1/2

90º 1 0

Como en el triángulo rectángulo se cumple que a² + b² = c², de la figura anterior se tiene que sen =a, cos =b, c=1; entonces(sen )² + (cos )² = 1para todo angulo .

Algunas identidades trigonometricas importantes son: sen (90 - ) = cos cos (90 - ) = sen sen (180 - ) = sen cos (180 - ) = -cos sen 2 = 2 sen cossen ( + ) = sen cos + cos sen cos ( + ) = cos cos - sen sen

Función tangente

En un triángulo rectángulo, la tangente es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos tan ( /2) = tan (90º) = + tan (- /2) = tan (-90º) = - tan (0) = 0tan ( /4) = tan (45º) = 1tan ( /3) = tan (60º)= ( 3)tan ( /6) = tan (30º) = ( 3)/3

Una identidad importante con la tangente es:tan ( + ) = ( tan + tan ) / (1 - tan . tan )

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   Página de Trigonometría

Fórmulas Fundamentales

1.- Relación entre el seno y el coseno

sen2a + cos2a = 1

2.- Relación entre la tangente, seno y coseno

3.- Relación entre la cotagente, coseno y seno

4.- Relación entre la secante y el coseno

5.- Relación entre la cosecante y el seno

6.- Relación entre la secante y tangente

sec2a = 1 + tg2a

7.- Relación entre la cosecante y la cotangente

cosec2a = 1 + ctg2a

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   Página de Trigonometría

Líneas Trigonométricas en función de una de ellas

En Función del seno.- Sea el círculo trigonométrico de centro O, sea el arco "a", al cual se le traza su seno PM; por Pitágoras se calcula OP, en función del seno, dando:

 

En Función del coseno.- Sea el círculo trigonométrico de centro O, sea el arco "a", se traza su coseno OP y, por Pitágoras se calcula MP en función del coseno, dando:

 

En Función de la tangente.- Sea el círculo trigonométrico de centro O, sea el arco "a", se traza su tangente AT y, por Pitágoras se calcula OT en función de la tangente, dando:

 

En Función de la cotangente.- Sea el círculo trigonométrico de centro O, sea el arco "a", se traza su cotangente BC y, por Pitágoras se calcula OC en función de la cotangente, dando:

 

En Función de la secante.- Sea el círculo trigonométrico de centro O, sea el arco "a", se traza su secante OS y, por Pitágoras se calcula MS en función de la secante, dando:

 

En Función de la cosecante.- Sea el círculo trigonométrico de centro O, sea el arco "a", se traza su cosecante OZ y, por Pitágoras se calcula MZ en función de la cosecante, dando: 

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   Página de TrigonometríaValores de las funciones de los arcos principales

Angulos0° 30° 45°60° 90°

180°

270°(grados)

Angulos2 /6 /4 /3 /2 3 /2(radiane

s)

sen 0 1/2 1 0 -1

cos 1 1/2 0 -1 0

tg 0 1 0

ctg 1 0 0

sec 1 2 -1

cosec 2 1 -1

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   Página de Trigonometría

ADIVINANZAS

Ahora llegó el momento de pensar y pensar

hasta que la respuesta puedas encontrar!!!!

        1  Alto alto como un pino,

pesa menos que un comino.                

                             

        2  En el monte, grita;

en la casa, mudita.                

                               

        3  

Adivina quién soy:

cuanto más lavo,

más sucia voy.

               

                               

        4  

Una cajita chiquita, blanca como la cal: todos la saben abrir, nadie la sabe cerrar.

               

                               

Respuestas

  ir a la página principal       trabalenguas

 

                                                        Envianos tus propias adivinanzas

 

Respuestas:

                          1.   El humo                                  2.   El hacha                                  3.   El agua                                  4.   El huevo        

 

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TRABALENGUAS

     

Había una caracatrepa con tres caracatrepitos. Cuando la caracatrepa trepa, trepan los tres caracatrepitos

             

                       

     

Me han dicho que has dicho un dicho, un dicho que he dicho yo, ese dicho que te han dicho que yo he dicho, no lo he dicho; y si yo lo hubiera dicho, estaría muy bien dichopor haberlo dicho yo.

             

                       

     Como poco coco como, poco coco compro.

             

                       

     

Pepe Peña pela papa, pica piña, pita un pito, pica piña, pela papa, Pepe Peña.

             

                       

     

El cielo está engarabintantingulizado, ¿quién lo desengarabintantingulizará? El desengarabintantingulizador que lo desengarabintantingulice, buen desengarabintantingulizador será.

             

                       

     

Mariana Magaña desenmarañará mañana la maraña que enmarañara Mariana Mañara.

             

                       

VALOR ABSOLUTO  

Cualquier número a tiene su representación en la recta real.  El valor absoluto de un número representa la distancia del punto a  al origen. Observe en el dibujo que la distancia del 3 al origen es 3 unidades, igualmente la distancia del punto -3 al origen es 3. En notación, esto

es .  Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas. En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número. Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero,

entonces  y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces

. Esto lo escribimos en la siguiente definición     

Definición.-  El valor absoluto de un número real, x, se define como:

Veamos los siguientes ejemplos

 

Ejemplo 1

a.- 

b.- . Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo. 

c.- Si x>2 entonces , pues x-2>0 y así usamos la primera parte de la definición. Visto de otra manera a la expresión que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo y el valor absoluto  lo deja igual. 

d.- Si x<2 entonces  , pues x-2<0 y así usamos la segunda formula de la   definición. Visto de otra manera a la expresión que le estamos tomando valor absoluto es de signo negativo  y el valor absoluto  le cambia de signo.         ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 

Si x es una incógnita en la expresión , entonces no sabemos si x-3 es positivo o negativo. Ahora bien, si tenemos la ecuación:

=5,deberíamos considerar las dos posibilidades de signo. Es decir hay dos alternativas: 

x-3=5      o        x-3=-5 

La primera es en el caso que x -3 sea positivo, la segunda en la situación que sea negativo.Resolviendo las dos ecuación, tenemos que

 x=8     o      x=-2

 

Efectivamente estos valores de x satisfacen la ecuación: =5. Veamos más ejemplos de resolución de ecuaciones en valor absoluto. 

Ejemplo 1.- Resolver   Solución: Hay dos posibilidades

x-4=3        o    x-4=-3.Las soluciones de ellas son 7 y 1.Efectivamente el lector puede comprobar que si sustituimos estos valores en la ecuación ellas satisfacen la igualdad.

 

Ejemplo 2.- Resolver     3 Solución:   Sabemos resolver una ecuación  con valor absoluto cuando el valor absoluto está solo en el lado izquierda, así que lo llevamos a esta forma, dividiendo entre 3. De esta manera la ecuación dada es equivalente a: 

 Ahora esta ecuación en valor absoluto  es equivalente a  

5-4x=3      ó      5-4x =-3 

La solución de ellas son    y  2.

Podemos representar el conjunto solución de nuestra ecuación  3

a través de la notación  de conjunto como: { ,2}. Recuerde que un valor absoluto siempre es mayor o igual a cero, nunca negativo.  

Ejemplo 3.- Resolver   Solución: Esta igualdad   es imposible de cumplirse. Por tanto la solución es vacía...  |a-b | =  | b-a|   representa la distancia entre a y b. 

                                  Ejemplo 4- Conseguir  todos los puntos cuya distancia a 3 es igual a 4.Solución: Sea x los puntos cuya distancia a 3 es igual a 4.

Entonces . El lector puede chequear que las soluciones de está ecuación son -1 y  7. DESIGUALDADES CON  VALORES ABSOLUTOS  La expresión |x|<2 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen es menor que 2, estos x son todos los números que están entre -2 y 2.  Así la desigualdad                     |x|<2  es equivalente a  -2<x<2 

                      

La expresión |x|>2 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen es mayor que 2, estos x son todos los números mayores que 2 y los menores que  -2 .  Así la desigualdad |x|>2  es equivalente a  x<-2  ó  x>2 

                            Generalizando, si a>0, entonces  1)   |x|>a     si y sólo si        x<-a   ó     x>a. 

                                        Este tipo de conjunto se suele representar usando el símbolo unión ( ) y se escribe como

, que significa todos los números  que están en    ó en . 2)   |x|<a      si y sólo si       -a<x<a 

                                 Estas equivalencias entre desigualdades nos permitirán resolver desigualdades en valores absolutos al convertirlas en desigualdades sin valor absoluto. Una estrategia a utilizar  será interpretar que x puede ser una expresión más complicada.  Ejemplo 1 Convertir las siguientes desigualdades en otra proposición  equivalente sin valor absoluto. 

a)      b)    c)    Solución:a) Usamos la forma 1. 

   es equivalente a      o    .  (Note  que 2x-1 hace las veces de x) b) Usamos la forma 2. Observe que un resultado similar a 2 se cumple en el caso de la desigualdad con  .

 

    es equivalente a   .  c) Para usar algunas de las dos formas anteriores, debemos primero dejar el valor absoluto completamente despejado en el lado izquierdo de la desigualdad.

 

                      Como el 4 está sumando, pasa restando al otro lado

  

       Multiplicamos por – ambos lados de la desigualdad, hay que  recordar que la desigualdad cambia de sentido.  

  .                                       Esta es la forma 2  Finalmente:

 

   es equivalente a    ó                                                        -x ≥ 3-1    ó     -x ≤ -3-1                                                    -x ≥ 2      ó      -x  ≤  -4                                                      x≤ -2      ó        x  ≥   4 

 A través de la notación  el conjunto  solución será    St  =  ( - ∞, -2]  [ 4,  + ∞ )  Ejercicio: Convertir la siguiente desigualdad en otra expresión  equivalente sin valor absoluto.

Solución: Para usar algunas de las dos formas anteriores, debemos primero dejar el valor absoluto completamente despejado en el lado izquierdo de la desigualdad.  

                                                    

                                                       

,    que es equivalente a          

                                                              

                                                                   

A través de la notación  el conjunto  solución será    St  =  Para resolver completamente una desigualdad con valor absoluto, primero deberemos expresarla de una manera equivalente pero sin valor absoluto, estas últimas serán las que resolveremos con las reglas vistas anteriormente.

 

Ejemplo 2.-  Resolver   a)     b) Solución

a)   es equivalente a   , es decir tiene las mismas soluciones. Esta última es la que resolvemos: 

                  Primero restamos 1 a cada lado de la desigualdad.

   

                               Dividimos entre 2 cada miembro de la desigualdad.   

.                  Así la solución son todos los números contenidos en el                                                        intervalo cerrado [-1,2]

                                      b) Primero, se busca escribir esta desigualdad con el valor absoluto despejado del lado

izquierdo.      En la desigualdad  primero pasamos el 10 restando al otro lado                  

                    Dividimos entre -3 ambos lados  

       

Esta desigualdad es de la forma 2.  Por  tanto es equivalente a 

       ó        

Este tipo de desigualdades dobles  no pueden ser resueltas de la manera sintetizada como  en el caso a).  En el lado izquierdo resolvemos la primera y en el lado derecho resolvemos la segunda desigualdad, manteniendo el conectivo “o”  

        ó                      Sumamos 3 a cada lado de la desigualdad 

              ó                           Dividimos entre 2 ambos miembros

              ó       

Así las soluciones de la desigualdad    es el conjunto   

                                          Representados por 

                                El siguiente ejemplo muestra algunas desigualdades en valor absoluto cuya soluciones son

triviales: R ó   o un punto. 

Ejemplo 3.-  Resolver   a)    b) ;  c) Solución:a) En la primera desigualdad estamos comparando un valor absoluto, el cuál es positivo, con un número negativo. Obviamente esta relación no se cumple para ningún x. Así la solución

es el conjunto . b) En este caso primero  despejamos el valor absoluto en el lado izquierdo, dando

. Para cualquier valor de x tenemos que , esto es por la propia definición de valor absoluto y  por tanto mayor que -3. Así la solución de está desigualdad son todos los número reales R. c) Como el valor absoluto siempre da una cantidad mayor o igual a 0, la única forma que se

cumpla esta proposición es cuando  y esto ocurre solo cuando . Así que la

única solución de esta desigualdad es el punto  Comentario: Observe que el ejemplo 3a no es de la forma 2, pues a tiene que ser positivo.

Por la misma razón,   no es de la forma 1. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTODaremos algunas propiedades útiles del valor absoluto:

1.-     . 

2.-    ,  con . 

3.-    . 

4.-    

5.-     si y sólo si    análogo a (    y ) 

6.-      si y sólo si   ó    

7.-    si y sólo si       y        ó   x=-a Ejemplo 4.-

a) La ecuación    es equivalente a  las siguientes:

           Se factoriza  

         Propiedad de la multiplicación 

 

         Se simplifica  

                      Propiedad 4  

b) La desigualdad    es equivalente a las siguientes:

            Propiedad del cociente  

              Propiedad 4  

      

En ocasiones se utiliza el valor absoluto para expresar ciertas relaciones entre cantidades: Ejemplo 5.- Escriba las siguientes proposiciones en términos de desigualdades y valores absolutos

a.- x está a más de 3 unidades de -7:   

b.- x está al menos a 3 unidades de 5:   

c.- x dista de 7 en menos de 3 unidades:   d.-  El número de horas que trabaja una máquina sin interrupciones, x, difiere de 12 en

menos de 2 horas: