UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y DE ENERGIA

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE INGENIERIA MECANICA

MATEMATICA APLICADA A LA INGENIERIA

ESPACIOS VECTORIALES

RESOLUCION N◦ 053-2016-D-FIME

ANDRES COLLANTE HUANTO

SEMESTRE 2016-B

CALLAO-PERU

INDICE

ESPACIOS VECTORIALES 2

1 Definicion 2

1.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Subespacios 5

2.1 Combinacion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Envolvente lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Operaciones con subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Independencia Lineal, Bases y Dimension 14

3.1 Independencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Matriz de cambio de base 23

REFERENCIALES 30

1

ESPACIOS VECTORIALES

La definicion de un espacio vectorial envuelve un campo K arbitrario cuyos elementos

se llaman escalares.

1 Definicion

Se llama espacio vectorial sobre el campo K1, a un conjunto V 6= ∅, que tiene dos

operaciones que son: la suma y el producto por un escalar

• La suma

+ : V × V −→ V

(u, v) −→ u+ v

• El producto por un escalar

· : K× V −→ V

(λ, µ) −→ λµ

y satisface los siguientes axiomas, ∀u, v, w ∈ V, ∀α, β ∈ K

[S1] : u+ v = v + u

[S2] : (u+ v) + w = u+ (v + w)

[S3] : ∃ un elementos 0 ∈ V , llamado cero /u+ 0 = u ∀u ∈ V

[S4] : ∀u ∈ V ∃ un elemento u′ ∈ V/u + u′ = 0. El elemento u′ se llama el opuesto de

u y se denota por u′ = −u

[P1] : α(βu) = (αβ)u

[P2] : (α + β)u = αu+ βu

[P3] : α(u+ v) = αu+ αv

1En adelante consideraremos a K como el conjunto de los numeros reales

2

[P4] : 1 · u = u

NOTA

Sea V un espacio vectorial sobre el campo K

1. Los elementos de V se llaman vectores

2. Los elementos de K se llaman escalares

3. Se dice que V es un espacio vectorial racional si K = Q

4. Se dice que V es un espacio vectorial real si K = R

5. Se dice que V es un espacio vectorial complejo si K = C

1.1 Ejemplos

Ejemplos de espacio vectorial

1. V = Kn, n = 1, 2, 3, . . . , donde K es un campo arbitrario. Sean

u = (u1, u2, . . . , un), v = (v1, v2, . . . , vn)

elementos de V y α ∈ K. Se definen las siguientes operaciones

u+ v = (u1 + v1, , u2 + v2, . . . , un + vn), αv = (αv1, αv2, . . . , αvn)

V = Kn es un espacio vectorial sobre K

2. En V = Rn, n = 2, 3, 4, . . . toda recta o plano que pasa por el origen de coor-

denadas con las operaciones definidas en ejemplo 1, es un espacio vectorial sobre

R. Por ejemplo

L = {(x, y) ∈ R2/5x+ 4y = 0}

y

P = {(x, y, z) = t(1, 2, 3) + r(0, 0, 1)/t, r ∈ R}

son espacios vectoriales sobre el campo K = R

3

3. Sea U 6= ∅ un conjunto arbitrario

KU = {f : U → K/f es una funcion}

con las operaciones

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(αf)(x) = αf(x)

para x ∈ U, f, g ∈ KU , α ∈ K, KU es un espacio vectorial sobre K

4. Sea K[x] el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en K, con las

operaciones suma de polinomios y el producto de un escalar por un polinomio,

K[x] es un espacio vectorial sobre K.

5. Sea I = [a, b], con a < b

C(I) = {f : I → R/f es continua}

con las operaciones del ejemplo 3, C(I) es un espacio vectorial sobre R.

6. El conjunto

E = {f : R→ R/f es diferenciable en x = 2}

con las operaciones del ejemplo 3, E es un espacio vectorial sobre R.

7. Sea

D = {f : [−2, 2]→ R/f es integrable}

con las operaciones del ejemplo 3, D es un espacio vectorial sobre R.

8. Sea Pn el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual

a n con las operaciones suma de polinomios y el producto de un escalar real por

un polinomio, Pn es un espacio vectorial sobre R.

9. Sea Mm×n el conjunto de matrices de orden m× n

Mm×n = {[aij]/aij ∈ R}

con las operaciones usuales de suma de matrices y el producto de un escalar real

por una matriz, Mm×n es un espacio vectorial sobre R.

4

10. Ademas

F = {f : R→ R/f ′′′ − 5f ′ + 8f = 0}

con las operaciones del ejemplo 3, F es un espacio vectorial sobre R.

2 Subespacios

Definicion

Sea V un espacio vectorial sobre K, S 6= ∅, S ⊂ V, S es un subespacio de V si S es

un espacio vectorial con las operaciones de V

Ejemplos

1. Si V es un espacio vectorial sobre K y 0 ∈ V ⇒ {0} es un sub-espacio de V

2. L = {a(1, 0)/a ∈ R} es un sub-espacio de R2

P = {a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0)/a, b ∈ R} es un subespacio de R3

3. Sea V = R[x] el conjunto de todos los polinomios con coeficientes en R, V = R[x]

tiene infinitos sub-espacios. Veamos algunos de ellos

M = {f(x) ∈ V/grado(f(x)) ≤ 8}

R = {g(x3)/g(x) ∈ V }

S = {h(x) ∈ V/h(−x) = −h(x)}

Proposicion. Sea V un espacio vectorial, S 6= ∅, S ⊂ V, S es un subespacio de V si

y solo si

αu+ βv ∈ S ∀u, v ∈ S, ∀α, β ∈ K

Ejemplos

1. Probar que L = {a(1, 0)/a ∈ R} es un subespacio de R2

Solucion

L ⊂ R2, (1, 0) ∈ L ⇒ L 6= ∅

5

Sea b(1, 0) ∈ L , c(1, 0) ∈ L , α, β ∈ K

αb(1, 0) + βc(1, 0) = (αb+ βc)(1, 0) ∈ L

∴ L es un subespacio de R2

2. Determinar si W = {(x, y, z)/x2 + y2 + z2 ≤ 1} es un subespacio de R3

Solucion

W 6= ∅ pues (1, 0, 0) ∈ W ademas W ⊂ R3

(1, 0, 0) + (1, 0, 0) = (2, 0, 0) /∈ W

∴ W no es sub-espacio de R3

3. Probar que Pm es un sub-espacio de Pn donde 0 ≤ m ≤ n

Solucion

Pm 6= ∅ pues 0 ∈ Pm, ademas Pm ⊂ Pn

Sean α, β ∈ R

Sean p(x), q(x) ∈Pm entonces

p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ am−1xm−1 + amx

m, ai ∈ R

q(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bm−1xm−1 + bmx

m, bi ∈ R

y grado(p(x)) ≤ m, grado(q(x)) ≤ m

Planteamos

αp(x) + βq(x) = (αa0 + βb0) + (αa1 + βb1)x

+ · · ·+ (αam−1 + βbm−1)xm−1 + (αam + βbm)xm ∈Pm

∴ Pm es sub-espacio de Pn

4. Verificar que S = {g(x3)/g(x) ∈ V } es un subespacio de V = R[x]

Solucion

Vemos que

0 ∈ S 6= ∅ ∧ S ⊂ V

6

Sean f(x3), g(x3) ∈ S y α, β ∈ R

αf(x3) + βg(x3) = (αf + βg)(x3) ∈ S

∴ S es un subespacio de V = R[x]

5. Sea C ′[0, 1] = {f : [0, 1]→ R/f ′ es continua en [0, 1]}. Probar que C ′[0, 1] es un

subespacio de C[0, 1]

Solucion

C ′[0, 1] 6= 0 pues la funcion nulo 0 ∈ C ′[0, 1]

Veamos que C ′[0, 1] ⊂ C[0, 1]

Sea f ∈ C ′[0, 1] −→ f ′ es continua en [0, 1]

−→ f es diferenciable en [0, 1]

−→ f es continua en [0, 1]

−→ f ∈ C[0, 1]

Sean f, g ∈ C ′[0, 1] y α, β ∈ R

f ∈ C ′[0, 1] −→ f ′ es continua en [0, 1]

−→ αf ′ es continua en [0, 1]

g ∈ C ′[0, 1] −→ g′ es continua en [0, 1]

−→ βg′ es continua en [0, 1]

Luego

−→ αf ′ + βg′ es continua en [0, 1]

−→ (αf + βg)′ es continua en [0, 1]

−→ αf + βg ∈ C ′[0, 1]

∴ C ′[0, 1] es un subespacio de C[0, 1]

7

2.1 Combinacion lineal

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Sean v1, v2, . . . , vm ∈ V y sean

α1, α2, . . . , αm ∈ K. El vector de la forma

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αmvm

se llama combinacion lineal de v1, v2, . . . , vm.

2.2 Envolvente lineal

Sea V un espacio vectorial sobre K, S 6= ∅ y S ⊂ V . Se llama envolvente lineal

generada por S al conjunto de vectores que se puede poner como combinacion lineal

de elementos de S

L[S] = {αv1 + α2v2 + · · ·+ αmvm/v1, . . . , vm ∈ S, α1, α2, . . . , αm ∈ K,m ∈ N}

Al conjunto S se le llama conjunto generador de L[S].

Teorema

Sea V un espacio vectorial sobre K, S 6= ∅ y S ⊂ V

Se cumple las siguientes proposiciones

i) S ⊂ L[S] y L[S] es un subespacio de V .

ii) Si W es subespacio de V y S ⊂ W entonces L[S] ⊂ W

NOTA

1. L[S] se llama el subespacio generado por S.

2. L[∅] = {0}

Definicion

Si L[S] = V se dice que S es un conjunto generador de V

Ejemplos

1. Probar que {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} genera R3

8

Solucion

Probemos que

L[{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}] = R3

Veamos que

L[{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}] ⊂ R3 obvio pues

α1(1, 0, 0) + α2(0, 1, 0) + α3(0, 0, 1) = (α1, α2, α3) ∈ R3

Veamos que

R3 ⊂ L[{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}]

Sea (x, y, z) ∈ R3 ⇒ (x, y, z) = x(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1) ∈ L[{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}]

∴ {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} genera a R3

2. Determinar si {(1, 2), (1, 1)} genera a R2

Solucion

Veamos que L[{(1, 2), (1, 1)}] = R2

L[{(1, 2), (1, 1)}] ⊂ R2 obvio

Probemos que R2 ⊂ L[{(1, 2), (1, 1)}]

Sea (x, y) ∈ R2

(x, y) = α(1, 2) + β(1, 1)

α + β = x

2α + β = y→

1 1

2 1

αβ

=

xy

1 1 x

2 1 y

→ 1 1 x

0 −1 y − 2x

→ 1 0 y − x

0 −1 y − 2x

α = y − x β = 2x− y

(x, y) = (y − x)(1, 2) + (2x− y)(1, 1)

∴ {(1, 2), (1, 1)} genera a R2

9

3. A = {1, x, x2, . . . , xn, . . .} genera a R[x]

4. B = {1, x, x2, . . . , xn} genera a Pn

5. Determinar si {1 + x, x2, x− 2x2} genera a P2

Solucion

Veamos que L[{1 + x, x2, x− 2x2}] = P2

Probemos que L[{1 + x, x2, x− 2x2}] ⊂ P2 obvio

Probemos que P2 ⊂ L[{1 + x, x2, x− 2x2}]

Sea a+ bx+ cx2 ∈ P2

a+ bx+ cx2 = α(1 + x) + βx2 + γ(x− 2x2)

entonces

a = α

b = α + γ → γ = b− a

c = β − 2γ → β = c+ 2γ → β = c+ 2(b− a)

a+bx+cx2 = a(1+x)+(c+2b−2a)x2 +(b−a)(x−2x2) ∈ L[{1+x, x2, x−2x2}]

L[{1 + x, x2, x− 2x2}] ⊂ P2

∴ {1 + x, x2, x− 2x2} genera a P2

6. Sea S = {1 +x, x+x2, 1 +x+x2, 1 + 2x+x2}. Verificar que 1 + 2x+ 3x2 ∈ L[S]

(envolvente lineal de S)

Solucion

1 + 2x+ 3x2 = α(1 + x) + β(x+ x2) + γ(1 + x+ x2) + η(1 + 2x+ x2)

1 = α + γ + η

2 = α + β + γ + 2η

3 = β + γ + η

10

1 0 1 1

1 1 1 2

0 1 1 1

α

β

γ

η

=

1

2

3

Formamos la matriz aumentada y realizamos operaciones elementales por filas

1 0 1 1 1

1 1 1 2 2

0 1 1 1 3

−→

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 1 1 1 3

−→

1 0 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 2

−→

1 0 0 1 −1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 2

γ = 2

α + η = −1→ α = −1− η

β + η = 1→ β = 1− η

1+2x+3x2 = (−1−η)(1+x)+(1−n)(x+x2)+2(1+x+x2)+η(1+2x+x2) ∀η ∈ R

1 + 2x+ 3x2 ∈ L[S]

7. Si S = {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}. Determinar el sub-espacio de R3 generado por S.

Solucion

El sub-espacio generado por S es

L[S] = {α1(1, 1, 0) + α2(0, 1, 1)/α1, α2 ∈ R}

ecuacion vectorial de un plano

Podemos hacer las siguientes operaciones

(x, y, z) = α1(1, 1, 0) + α2(0, 1, 1)

x = α1

y = α1 + α2

z = α2

→ y = x+ z

tambien se puede escribir como

L[S] = {(x, y, z)/y = x+ z}

11

2.3 Operaciones con subespacios

Sea V un espacio vectorial sobre K, sean V1 y V2 subespacios de V , se definen las

siguientes operaciones:

V1 ∩ V2 = {u ∈ V/u ∈ V1 ∧ u ∈ V2}

V1 ∪ V2 = {u ∈ V/u ∈ V1 ∨ u ∈ V2}

V1 + V2 = {u1 + u2 ∈ V/u1 ∈ V1, u2 ∈ V2}

Proposicion. V1 ∩ V2 y V1 + V2 son subespacios de V , en cambio no siempre V1 ∪ V2es un subespacio de V

Ejemplo

1. Sea

V1 = {α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0)/α, β ∈ R}

V2 = {m(0, 1, 0) + n(0, 0, 1)/m, n ∈ R}

Determinar V1 ∩ V2

Solucion

V1 es el plano XY y V2 es el plano Y Z

α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) = m(0, 1, 0) + n(0, 0, 1)

α = 0

β = m

0 = n

V1 ∩ V2 = {r(0, 1, 0)/r ∈ R}

2. Sea

V1 = {α(0, 1, 0)/α ∈ R}

V2 = {β(0, 0, 1)/β ∈ R}

Halle V1 + V2

12

Solucion

V1 + V2 = {α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1)/α(0, 1, 0) ∈ V1 ∧ β(0, 0, 1) ∈ V2}

V1 + V2 = {α(0, 1, 0) + β(0, 0, 1)/α, β ∈ R}

es el plano Y Z

3. Sea

V1 = {α(1, 0, 0)/α ∈ R}

V2 = {β(0, 1, 0)/β ∈ R}

Determinar si V1 ∪ V2 es subespacio de R3

Solucion

V1 ∪ V2 = {v ∈ V/v ∈ V1 ∨ v ∈ V2}

(1, 0, 0) ∈ V1 −→ (1, 0, 0) ∈ V1 ∪ V2

(0, 1, 0) ∈ V2 −→ (0, 1, 0) ∈ V1 ∪ V2

(1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) /∈ V1 ∪ V2

∴ V1 ∪ V2 no es subespacio de R3

2.3.1 Suma directa

Sea V e.v.2, sean V1, V2 subespacios de V . La suma V1 + V2 se llama suma directa si

V1 ∩ V2 = {0}. En este caso la suma se denota V1 ⊕ V2

Ejemplo

1. Sean

V1 = {(x, y, z) ∈ R3/x− y + z = 0}

2e.v. abreviatura de espacio vectorial

13

V2 = {(x, y, z) ∈ R3/− x+ y + z = 0}

L = {λ(1, 1, 2)/λ ∈ R}

Determine si V1 + V2 y V1 + L son sumas directas

Solucion

Hallemos V1 ∩ V2

x− y + z = 0

−x+ y + z = 0

→ 1 −1 1

−1 1 1

x

y

z

=

0

0

1 −1 1

0 0 2

→1 −1 0

0 0 1

x

y

z

=

0

0

x− y = 0 −→ x = y

z = 0

(x, y, z) = (x, x, 0) = x(1, 1, 0)

V1 ∩ V2 = {x(1, 1, 0)/x ∈ R} 6= {0}

luego V1 + V2 no es suma directa

Hallemos V1 ∩ L

x− y + z = 0

(x, y, z) = λ(1, 1, 2)

→ λ− λ+ 2λ = 0→ λ = 0

V1 ∩ L = {0}

Luego V1 + L es suma directa

3 Independencia Lineal, Bases y Dimension

3.1 Independencia Lineal

Definicion

Se dice que los vectores v1, v2, . . . , vn ∈ V e.v. son linealmente independientes si la

14

ecuacion

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0 (αi ∈ K) ⇒ α1 = α2 = · · · = αn = 0

solucion unica. En caso contrario se dice que son linealmente dependiente.

Ejemplos

1. Pruebe que v1 = (1, 2, 3), v2 = (1, 2, 2), v3 = (2, 2, 3) son l.i.

Solucion

De

α1(1, 2, 3) + α2(1, 2, 2) + α3(2, 2, 3) = (0, 0, 0)

α1 + α2 + 2α3 = 0

2α1 + 2α2 + 2α3 = 0

3α1 + 2α2 + 3α2 = 0

1 1 2

2 2 2

3 2 3

α1

α2

α3

=

0

0

0

1 1 2

0 0 −2

3 2 3

→

1 1 0

0 0 1

3 2 0

→

1 1 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

α1

α2

α3

=

0

0

0

⇒ α1 = α2 = α3 = 0

⇒ v1, v2 y v3 son linealmente independientes

2. Sea L [S] = {(x, y, z, w) ∈ R4/x− y + w = 0, 2x + y − w = 0, z + w = 0}. Halle

un conjunto S que genere a L [S]

15

Solucion

x− y + w = 0

2x+ y − w = 0

z + w = 0

⇒

1 −1 0 1

2 1 0 −1

0 0 1 1

x

y

z

w

=

0

0

0

→

1 −1 0 1

1 0 0 0

0 0 1 1

→

0 −1 0 1

1 0 0 0

0 0 1 1

x

y

z

w

=

0

0

0

−y + w = 0 −→ y = w

x = 0 −→ x = 0

z + w = 0 −→ z = −w

(x, y, z, w) = (0, w,−w,w) = w(0, 1,−1, 1)

L [S] = {w(0, 1,−1, 1)/w ∈ R}

S = {(0, 1,−1, 1)}

3. Sea

A =

0 a

b 0

/a, b ∈ R

Halle un conjunto S que genere al conjunto A

Solucion

A =

a0 1

0 0

+ b

0 0

1 0

/a, b ∈ R

A = L

0 1

0 0

,

0 0

1 0

S =

0 1

0 0

,

0 0

1 0

16

Definicion

Un conjunto A ⊂ V es l.i. si toda coleccion finita de elementos de A es linealmente

independiente.

Ejemplo

A = {1, x, x2, . . .} ⊂ R[x] es l.i.

3.2 Bases

Sea V un espacio vectorial, un conjunto S ⊂ V es una base si

(i) S genera V , es decir L[S] = V

(ii) S es linealmente independiente.

Ejemplos

1. Si ej = (0, . . . , 0, 1︸ ︷︷ ︸j

, 0, . . . , 0), j = 1, 2, . . . , n

{e1, e2, . . . , en} es una base de Rn llamada base canonica.

2. {(1, 2), (2, 1)} es una base de R2

3. {1, x, x2, . . .} es una base de R[x]

4. {1, x, x2, x3} es una base de P3

5.

1 0

0 0

,

0 1

0 0

,

0 0

1 0

,

0 0

0 1

es una base M2×2

6. Halle una base de V = {(x, y, z) ∈ R3/x− y + z = 0}

Solucion

x− y + z = 0 −→ x = y − z

(x, y, z) = (y − z, y, z) = y(1, 1, 0) + z(−1, 0, 1)

17

V = {y(1, 1, 0) + z(−1, 0, 1)/y, z ∈ R}

V = L [{(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}]

S = {(1, 1, 0), (−1, 0, 1)} genera V

es facil ver que (1, 1, 0) y (−1, 0, 1) son l.i.

Ası S es una base de V

Proposicion. Cualquier base de un espacio vectorial tiene la misma cantidad de ele-

mentos

Ejemplos

1. {(1, 0), (0, 1)} base de R2

{(1, 2), (2, 1)} base de R2

2. {1, x, x2} base de P2

{1, 1 + x, 1 + x+ x2} base de P2

Proposicion. De cualquier conjunto de generadores de V se puede extraer una base

Ejemplo

Sea A = {(1,−3, 2, 0), (1, 1, 0, 2), (2,−2, 2, 2), (0,−4, 2,−2), (3,−1, 2, 4)}

Halle un subconjunto de A que sea una base de L [A]

Solucion

α1(1,−3, 2, 0)+α2(1, 1, 0, 2)+α3(2,−2, 2, 2)+α4(0,−4, 2,−2)+α5(3,−1, 2, 4) = (0, 0, 0, 0)

1 1 2 0 3

−3 1 −2 −4 −1

2 0 2 2 2

0 2 2 −2 4

α1

α2

α3

α4

α5

=

0

0

0

0

(1)

18

Formamos la matriz aumentada y por operaciones elementales por filas lo llevamos a

la forma de una matriz escalonada1 1 2 0 3 0

−3 1 −2 −4 −1 0

2 0 2 2 2 0

0 2 2 −2 4 0

−→

1 1 2 0 3 0

−3 1 −2 −4 −1 0

2 2 4 0 6 0

0 2 2 −2 4 0

−→

1 1 2 0 3 0

−3 1 −2 −4 −1 0

0 0 0 0 0 0

0 1 1 −1 2 0

−→

1 0 1 +1 1 0

−3 1 −2 −4 −1 0

0 0 0 0 0 0

0 1 1 −1 2 0

−→

1 0 1 1 1 0

0 1 1 −1 2 0

0 0 0 0 0 0

0 1 1 −1 2 0

−→

1 0 1 1 1 0

0 1 1 −1 2 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

La columna 1 y 2 son pivote entonces la columna 1 y 2 de la matriz de coeficientes

de (1) son una base de L [A]. Es decir

{(1,−3, 2, 0), (1, 1, 0, 2)}

es una base para L [A]

3.3 Dimension

Definicion

La dimension de un espacio vectorial V es el numero de elementos de una base. Este

numero se denota por dimV

NOTA

1. Si V = {0} ⇒ dimV = 0

2. Sea S = {v1, v2, . . . , vn} una base de V ⇒ dimV = n

3. Si V tiene una base infinita ⇒ dimV =∞

19

Ejemplos

1. {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R3 ⇒ dimR3 = 3

2. {1, x, x2, x3} es una base de P3 ⇒ dimP3 = 4

3.

1 0

0 0

,0 1

0 0

,0 0

1 0

,0 0

0 1

es una base de M2×2 ⇒ dimM2×2 = 4

4. {1, x, x2, x3, . . .} es una base de R[x]⇒ dimR[x] =∞

Proposicion (Completacion de una base). Sea V un K-espacio vectorial, dimV = n.

Si v1, v2, . . . , vr, r < n son l.i. en V ⇒ ∃ vr+1, . . . vn/{v1, . . . , vr, . . . , vn} es una base

de V

Ejemplos

1. En R2 tenemos el vector v1 = (1, 0) completando a una base

(1, 0), (0, 1)

2. En P3 tenemos los vectores 1, x completando a una base

1, x, x2, x3

Corolario

Si dimV ≥ 1 todo vector v 6= 0 forma parte de una base de V .

Proposicion. Sea S sub-espacio de V ocurre

1. dimS ≤ dimV

2. dimV <∞ y dimV = dimS =⇒ S = V

3. dimV =∞ la afirmacion anterior es falsa en general

Ejemplo

20

1. En R3 sea

L = {λ(1, 2)/λ ∈ R}

P = {a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0)/a, b ∈ R}

entonces dim(L ) ≤ dim(R3) y dim(P) ≤ dim(R3)

2. Sea

V = L[{1, x, x2, . . .}] y S = L[{x, x2, x3, . . .}]

entonces dimV = dimS =∞ y S 6= V

Proposicion. Si V1 y V2 son sub-espacios de V (dimV <∞) ⇒

dim(V1 + V2) = dimV1 + dimV2 − dim(V1 ∩ V2)

Ejemplo

1. Sea los espacios vectoriales

V1 = {α(1, 0, 0)/α ∈ R}

V2 = {β(0, 1, 0)/β ∈ R}

Halle dim(V1 ∩ V2)

Solucion

La suma de espacios V1 y V2 es

V1 + V2 = {α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0)/α, β ∈ R}

Luego

dim(V1 + V2) = 2, dimV1 = 1, dimV2 = 1

2 = 1 + 1− dim(V1 ∩ V2)

→ dim(V1 ∩ V2) = 0

Proposicion. Sea V un espacio vectorial y S = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V, dimV = n

S es linealmente independiente ⇐⇒ S genera a V

21

Definicion

Sea V un espacio vectorial sobre R, dimV = n, B = {v1, v2, . . . , vn} es una base de V

y v ∈ V

El vector de coordenadas de v respecto a la base B es

(v)B = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Rn

donde

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn

La matriz de coordenadas de v respecto a la base B es

[v]B =

α1

α2

...

αn

Ejemplos

1. Sea v = (3, 4), B = {(1, 0), (0, 1)}

Halle (v)B y [v]B

Solucion

(3, 4) = α1(1, 0) + α2(0, 1)

α1 = 3 , α2 = 4

(v)B = (3, 4) y [v]B =

3

4

2. Sea v = (3, 4), B1 = {(1, 3), (−1, 2)}

Halle (v)B1 y [v]B1

Solucion

(3, 4) = α1(1, 3) + α2(−1, 2)

22

1 −1

3 2

α1

α2

=

3

4

1 −1 3

3 2 4

−→ 1 −1 3

0 5 −5

−→ 1 −1 3

0 1 −1

1 0 2

0 1 −1

(v)B1 = (2,−1) y [v]B =

2

−1

x

y

(−1, 2)

(1, 3)

(3, 4)

(1,−2)

4 Matriz de cambio de base

Sea V un espacio vectorial sobre R dimV = n

B1 = {v1, v2, . . . , vn} y B2 = {u1, u2, . . . , un} dos bases de V

Sea w ∈ V

w = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn, αi ∈ R

w = β1u1 + β2u2 + · · ·+ βnun βi ∈ R

23

v1 = m1u1 +m2u2 + · · ·+mnun mi ∈ R

v2 = n1u1 + n2u2 + · · ·+ nnun ni ∈ R...

vn = f1u1 + f2u2 + · · ·+ fnun fi ∈ R

[w]B2 = [α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn]B2

[w]B2 = α1[v1]B2 + α2[v2]B2 + · · ·+ αn[vn]B2

[w]b2 =[[v1]B2 [v2]B2 · · · [vn]B2

]α1

α2

...

αn

[w]B2 =

m1 n1 · · · f1

m2 n2 · · · f2...

...

mn nn · · · fn

︸ ︷︷ ︸

p

[w]B1

P [w]B1 = [w]B2

P matriz de cambio de base de B1 a B2

Observacion

1. |P | 6= 0 (P es no singular)

2. Si P [w]B1 = [w]B2 entonces P−1[w]B2 = [w]B1 , donde P−1 es la matriz cambio de

base de B2 hacia B1

Ejemplos

1. Sea

B1 = {(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3)}

24

B2 = {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}

bases de R3, halle la matriz de cambio de base de B1 a B2

Solucion

(1, 1, 1) = α1(0, 0, 1) + α2(0, 1, 1) + α3(1, 1, 1)

(1, 2, 2) = β1(0, 0, 1) + β2(0, 1, 1) + β3(1, 1, 1)

(1, 2, 3) = γ1(0, 0, 1) + γ2(0, 1, 1) + γ3(1, 1, 1)

0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 2 2

1 1 1 1 2 3

f3−f2−−−→

0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 2 2

1 0 0 0 0 1

f2−f1−−−→

0 0 1 1 1 1

0 1 0 0 1 1

1 0 0 0 0 1

−→

1 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 1

0 0 1 1 1 1

−→ P =

0 0 1

0 1 1

1 1 1

2. Sea v = (3, 5, 6), considere las bases del ejemplo (1). Halle [v]B1 , [v]B2

Solucion

(3, 5, 6) = α1(1, 1, 1) + α2(1, 2, 2) + α3(1, 2, 3)

[v]B1 =

1

1

1

(3, 5, 6) = β1(0, 0, 1) + β2(0, 1, 1) + β3(1, 1, 1)

[v]B2 =

1

2

3

25

se verifica 0 0 1

0 1 1

1 1 1

1

1

1

=

1

2

3

P [v]B1 = [v]B2

26

Ejercicios

1. Determine si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales, justifique su re-

spuesta

(a) V = {f : R→ R/2f(0) = f(1)}

(b) U =

a a+ b

a+ b b

/a, b ∈ R

2. Determine si los siguientes vectores son linealmente independientes a = (2, 2i, 2+

2i,−2i), b = (−i, 0, 2, 2− i, 1 + i), c = (0,−1, 0, 1), d = (3i,−2− i, 3i− 5,−i)

3. Probar que los siguientes conjuntos son linealmente independientes

(a) {x, x2, x3}

(b) {sen x, cosx, x cosx}

(c) {x2ex, xex, ex}

4. Hallar el valor de β para que g = −x+y+3z, f = 5x−2y+9z, h = x−βy+2βz

sean linealmente dependientes

5. Sea el subespacio V = L [{t+ t2, 1− 3t+ 2t2,−3 + 11t− 4t2}]

(a) ¿V es un subespacio de P2?

(b) Diga si los vectores a = 1− t+ t2, b = −3 + 6t− 9t2 pertenecen a V

(c) Determine la condicion entre m,n y p para que el vector m(1 + t) + n(1 −

t) + pt2 pertenezca a V

6. Considere los siguientes subespacios de

V = L[{1 + 2x+ 3x2 + x3, 4− x+ 3x2 + 6x3, 5 + x+ 6x2 + 12x3}

]U = L

[{1− x+ x2 + x3, 2− x+ 4x2 + 5x3}

](a) Halle una base para U ∩ V y su dimension

(b) Extienda la base hallada en a) a una base V y luego a una base de U

(c) Halle una base para U + V y su dimension

27

7. Sea W ⊂ Pn/ W = {p(x)/p(2) = 1}. Diga si W es un subespacio.

8. Sean los subespacios U = {(x, y, z)/x + y + z = 0}, V = {(x, y, z)/x = y = z}.

Halle U ⊕ V

9. Sea U el conjunto de soluciones del sistema

x− y + 3z = 0

3x+ 2y − z = 0

3x− 8y + kz = 0

Halle el valor de k de modo que dim(U) sea 0, 1, 2

10. Diga si es verdad o falso la siguiente proposicion, justifique su respuesta

L[{sen2x, cos2 x, sen2x+ 2, 8sen2x− cos2 x}

]= L

[{1, sen2x}

]11. Sea el espacio vectorial V = {f/f : [−3, 3] → R} con las operaciones usuales,

S = {f ∈ V/f(x) = f(−x)}, T = {f ∈ V/f(x) = −f(−x)}

(a) Pruebe que S y T son subespacios de V

(b) Calcule S ∩ T

(c) Pruebe que V = S + T

12. En R3 considere los subespacios

W1 = {(x, y, z)/2x+ 3y + 3z = 0}, W2 = L[{(0, 0, 1), (−1, 1, 0)}]

Halle una base y dimension de

(a) W1 ∩W2

(b) W1 +W2

13. Sean las bases S1 = {β1, β2, β3} y S2 = {t2 + 1, t, 1} y P =

1 2 3

0 1 4

0 0 1

Halle

28

(a) (β)S2 si β = 3t2 − 2t+ 1

(b) La base S1, si P es la matriz cambio de base de S2 a la base S1

29

REFERENCIALES

[1] Kolman Bernard. Algebra Lineal con aplicaciones y matlab. Sexta edicion. Prentice

Hall, Mexico 1999.

[2] Grossman Stanley I. “Algebral lineal”. Ed. Mc. Graw Hill 1995.

[3] Kreyszyg, Erwin. “Matematicas Avanzadas para Ingenierıa”. Vol 1. Editorial

Limusa, 1996.

[4] Carlos Chavez V. “Algebra lineal”. Editorial Moshera 2012.

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