Matemática Básica

Indice general

1. Sistema de Numeros Reales 21.1. Conjuntos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Sistema de Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Recta de Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1. Recta de Numeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.2. Relacion de Orden Menor que y Mayor que . . . . . . . . . . . . . 71.3.3. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.4. Distancia entre puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.5. Coordenada del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Exponentes Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1. Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2. Leyes de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Sistema Internacional de Unidades o Medidas 122.1. Notacion Cientıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1. Representacion de Numeros Enteros y Decimales en Notacion Cientıfi-ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2. Sistema Internacional de Unidades o Medidas . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1. Unidades del Sistema Internacional de Medidas . . . . . . . . . . 152.2.2. Prefijos del Sistema Internacional de Medidas . . . . . . . . . . . 172.2.3. Medidas de Longitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.4. Medidas de Superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.5. Otras Medidas de Superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.6. Medidas de Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.7. Medidas de Capacidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.8. Medidas de Longitud en el Sistema Ingles de Medidas. . . . . . . 192.2.9. Medidas de Superficie en el Sistema Ingles de Medidas. . . . . . . 192.2.10. Medidas de Volumen en el Sistema Ingles de Medidas . . . . . . . 20

2.3. Ejercicios Desarrollados del capıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Ecuaciones en R 273.1. Ecuacion Algebraica. Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2. Clases de Ecuaciones segun su Conjunto Solucion . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1. Ecuacion Compatible: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2

3.2.2. Ecuacion Incompatible: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.3. Ecuacion Equivalente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3. Clases de Ecuaciones segun el Grado del Polinomio . . . . . . . . . . . . 303.3.1. Ecuacion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.2. Ecuacion Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.3. Ecuaciones Polinomicas de grado mayor que dos. . . . . . . . . . 37

3.4. Ecuaciones Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5. Ecuaciones Logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.7. Problemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Inecuaciones en R 504.1. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1.1. Clases de Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1.2. Operaciones con Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.1. Propiedades de las Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.2. Inecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.3. Inecuaciones Cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.4. Inecuaciones Polinomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2.5. Inecuaciones Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4. Poblemas de Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Relaciones Binarias en R 635.1. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1.1. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2. Relacion Binaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.1. Dominio y Rango de una Relacion Binaria . . . . . . . . . . . . . 655.2.2. Propiedades de una Relacion Binaria . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3. Relaciones Binarias en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.1. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.2. Graficas de relaciones binarias en R . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3.3. La Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3.4. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.5. La Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.6. La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.3.7. La Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.5. Problemas Aplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6. Funciones Reales de Variable real 816.1. Definicion de Funcion Real de Variable Real . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2. Dominio y Rango de una funcion real de variable real . . . . . . . . . . . 84

6.2.1. Criterio para el calculo del dominio y rango de una funcion real devariable real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.3. Grafica de una funcion real de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.3.1. Propiedad Fundamental de las funciones reales de variable real . . 87

6.4. Clases de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4.1. Funcion Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4.2. Funcion Cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.4.3. Funcion Cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4.4. Funcion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4.5. Funcion Logarıtmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.5. Trazado de graficos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.7. Problemas Aplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7. Lımite y Continuidad de una funcion real de variable real 1097.1. Punto de acumulacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2. Lımites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.3. Lımite de una funcion real de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.4. Operaciones con Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.5. Lımites Indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.6. Continuidad de una funcion real de variable real . . . . . . . . . . . . . . 1347.7. Funciones continuas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8. Derivada de una Funcion Real de Variable Real 1418.1. Formulas inmediatas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1448.2. Derivada Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.3. Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.4. L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.5. Maximos y Mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.7. Problemas Aplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

9. INTEGRACION 1679.1. Formulas de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1689.2. Integracion por cambio de variable o por sustitucion . . . . . . . . . . . 1819.3. Integral Definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1869.4. Aplicaciones de la Integral Definida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

9.4.1. Aplicaciones de la Integral Definida al Calculo de Areas. . . . . . 1879.4.2. Aplicaciones de la Integral Definida al Calculo de Volumenes. . . 1899.4.3. Momentos y Centros de Masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1919.4.4. Longitud de Arco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.5. Ejercicios Propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Capıtulo 1

Sistema de Numeros Reales

Los numeros reales se usan en toda la matematica y el estudiante debe estar familiarizadocon sımbolos que los representan, por ejemplo:

2, 35, −7, 67

34,√5, 0,

5√28, 0,3333..., 476,32

1.1. Conjuntos Numericos

Numeros Naturales o Enteros Positivos

N = {1, 2, 3, 4, ...}Numeros Enteros

Z = {...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}El conjunto Z incluye tanto a los enteros positivos como los negativos y el numero cero,el cual no es ni negativo ni positivo.

Numeros Racionales

Q = {pq/ p y q son numeros enteros, q 6= 0}

El conjunto Q esta compuesto de todos los cocientes de dos enteros, siempre que eldenominador no sea un cero; por ejemplo:

−25,

17

3,

15

−3 = −5, −81

= −8, 0

7= 0

Nota 1.

El cociente abes indefinido si b = 0. Por ejemplo: 7

0y 0

0son indefinidos.

5

Numeros IrracionalesEl conjunto de los numeros irracionales, esta formado por todos los numeros que no sepueden expresar como el cociente de dos numeros enteros.

I = {...,−√5,√2, π,

3

√

5

4, etc.}

Numeros RealesEl conjuntos de los numeros reales R esta formado por la union de los conjuntos de losnumeros racionales e irracionales, es decir:

R = Q ∪ I

Numeros Complejos

C = {x+ iy/ x y ∈ R}, donde i =√−1

Nota 2.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R; I ⊂ R y R ⊂ C

Números Complejos

Números Reales

NúmerosRacionales

NúmerosIrracionales:

NúmerosEnteros: ...,-3,-2,-1,0,1,...

Números Racionales que no sonenteros:2/3, -4/5, 19/-6,8.2, 0.5666...

Todos losnúmeros0,1,2,3,...

NúmerosNaturales1,2,3,...

Zero: 0

Enteros Negativos:...,-3,-2,-1

π, 2,3

5- ,

-4.030030003...,...

Figura 1.1: Conjuntos Numericos

1.2. Sistema de Numeros Reales

El conjunto de numeros reales junto con las operaciones de la adicion y la multiplicacionse llama Sistema de Numeros Reales. Las reglas basicas del algebra para este sistemanos permiten expresar hechos matematicos en formas simples y concisas, y resolver ecua-ciones para encontrar respuestas a preguntas matematicas. Las propiedades basicas delsistema de numeros reales con respecto a las operaciones de la adicion y la multiplicacionestan en una lista en el siguiente cuadro, donde a, b y c representan numeros reales.

Propiedades del Sistema de Numeros Reales

Adicion

1. Propiedad de Clausura:

a+ b es un numero real

2. Propiedad Asociativa:

a+ (b+ c) = (a+ b) + c

3. Propiedad Conmutativa:

a+ b = b+ a

4. Propiedad de Identidad: Elnumero real 0 es llamado identidadaditiva, ya que para todo numeroreal a, se cumple:

a+ 0 = a = 0 + a

5. Propiedad del Inverso: Para to-do numero real a, existe un uniconumero real llamado inverso adi-tivo de a, representado por −a, detal manera que:

a+ (−a) = 0 = (−a) + a

6. Propiedad Distributiva:

a · (b+ c) = a · b+ a · c

(a+ b) · c = a · c+ b · c

Multiplicacion

1. Propiedad de Clausura:

a · b es un numero real

2. Propiedad Asociativa:

a · (b · c) = (a · b) · c

3. Propiedad Conmutativa:

a · b = b · a

4. Propiedad de Identidad: Elnumero real 1 es llamado identidadmultiplicativa, ya que para todonumero real a, se cumple:

a · 1 = a = 1 · a

5. Propiedad del Inverso: Para todonumero real a 6= 0, existe un uniconumero real llamado recıproco oinverso multiplicativo de a, rep-resentado por 1

a, de tal manera que:

a · 1a= 1 = (

1

a) · a

Muchas propiedades adicionales de los numeros reales pueden derivarse de las propiedadesbasicas. Las siguinetes propiedades tambien se utilizaran a lo largo de este texto.

1. Ley Cancelativa o Anulativa:

a) Si a+ c = b+ c, entonces a = b

b) Si a · c = b · c y c 6= 0, entoncesa = b

2. Ley de la Multiplicacion porcero:

a) a · 0 = 0 · a = 0

b) Si a · b = 0, entonces a = 0o b = 0 (o ambas)

Definicion 1.

Para los numeros reales a y b, la diferencia, a− b, se define como:

a− b = a + (−b)

Definicion 2.

Para los numeros reales a y b, con b 6= 0 el cociente, a÷ b, se define como:

a÷ b = a(1

b) =

a

b

En el cociente ab, a se llama numerador y b denominador. Con frecuencia, el

cociente de dos numeros reales abse llama fraccion.

Ahora, hagamos una lista de las propiedades importantes de la sustraccion, rela-cionadas con numeros reales negativos y fraccionarios, con los cuales usted puede estarya familiarizado.

Propiedades de la Sustraccion y negativos

Sean a y b dos numeros reales diferentes de cero, entonces se cumple

1. −(−a) = a

2. −(ab) = (−a)b = a(−b)

3. −a = (−1)a

4. (−a)(−b) = ab

Propiedades de las Fracciones

Para todas las fracciones aby c

d, donde b 6= 0 y d 6= 0, se cumple

1. Fracciones equivalentes

a

b=

c

d⇔ ad = bc

2. Regla de los signos

−ab=−ab

=a

−b

3. Cancelativa

ac

bc=

a

b, c 6= 0

4. Adicion y sustraccion con comun de-nominador

a

b± c

b=

a± c

b

5. Adicion y sustraccion con distintosdenominadores

a

d± c

b=

ab± dc

db

6. Multiplicacion

a

b· cd=

ac

bd

7. Division

a

b÷ c

d=

abcd

=a

b· dc=

ad

bc, c 6= 0

8. Division de cero y division por cero

a) 0÷ b = 0b, b 6= 0

b) 0÷ 0 = 00es indefinido

c) a÷ 0 = a0es indefinido, a 6= 0

Nota 3.

Un error comun es cancelar las letras v en la expresion u+vv.

No se puede realizar ninguna cancelacion debido a que v no es factor tanto del numeradorcomo del denominador como lo requiere la ley cancelativa.

1.3. Recta de Numeros Reales

Para dos numeros reales distintos a y b, siempre hay un tercer numero real entreellos; por ejemplo, su promedio a+b

2es el punto medio entre ellos. De igual manera, para

dos puntos distintos A y B en una recta, hay siempre un tercer punto entre ellos; porejemplo, el punto medio M del segmento de recta AB. Hay muchas similaridades comoesta entre el conjunto de numeros reales y el conjunto de puntos en una recta que indicanel uso de una recta para describir el conjunto de los numeros reales. Esto puede hacersecomo se explica a continuacion.

1.3.1. Recta de Numeros Reales

-x -2 -1 0 1 2 x

distancia x distancia x

Unidad de longitud

Figura 1.2:

Dada cualquier recta, escogemos un punto sobre ella para representar el numero 0.Este punto, en particular, se llama origen. Si ahora seleccionamos un segmento de rectade longitud unitaria, como lo muestra la figura ??, cada numero real positivo x puederepresentarse por un punto a una distancia x a la derecha del rigen. De igual forma,

cada numero real negativo −x puede representarse con un punto a una distancia x haciala izaquierda del origen. Esta asociacion produce una correspondencia uno a uno entreel conjunto de numeros reales y el conjunto de puntos en una recta, llamada recta denumeros reales, recta numerica o recta coordenada. Para cualquier punto P dadoen la recta numerica, el numero p, que corresponde a este punto se llama coordenada deP .

En general, no diferenciaremos entre un punto sobre la recta numerica y su coorde-nada. Ası por ejemplo, algunas veces nos referiremos al punto en la recta de numerosreales con coordenada 6 como “el punto 6 ”

1.3.2. Relacion de Orden Menor que y Mayor que

Dos numeros reales a y b, a 6= b, pueden compararse mediante la relacion de ordenmenor que o mayor que.

Relacion de orden menor que:

a es menor que b y se denota como a < b, si y solo si b− a es positivo.

Relacion de orden mayor que:

b es mayor que a y se denota como b > a, si y solo si b− a es positivo.

La recta de numeros reales es util para demostrar la relacion de orden menor queo mayor que. Geometricamente, a < b significa que el punto que corresponde a a en larecta numerica se halla a la izquierda del punto que corresponde a b. (vease la figura 1.3)

a b

a<b

Figura 1.3:

Dos relaciones de orden son importantes:

1. a es menor o igual a b, dado por

a ≤ b⇔ a < b ∨ a = b

2. a es mayor o igual a b, dado por

a ≥ b⇔ a > b ∨ a = b

1.3.3. Valor Absoluto

Tambien podemos utilizar la recta de numeros reales para presentar la distancia.Como lo muestra la figura ??, la distancia desde el punto 2 hasta el origen es de 2

unidades y la distancia desde el punto −2 hasta el origen es de 2, o −(−2), unidades.De nuestra discusion sobre la recta numerica resulta que, en general, la distancia decualquier numero al origen es el “valor sin signo”de ese numero.

De forma mas precisa, como lo muestra la figura 1.4, para cualquier numero realpositivo x, la distancia del punto x al origen, es x; pero para cualquier numero negativoy la distancia del punto y al origen, es −y. Por supuesto, para x = 0 la distancia al origenes 0. El concepto de distancia de un punto en la recta numerica al origen, es descrito porel valor absoluto.

-y x

y 0 x

Figura 1.4:

Definicion 3.

Para cualquier numero real a, el valor absoluto de a denotado por |a| es:

|a| ={

a, si a ≥ 0−a, si a < 0

Propiedades del Valor Absoluto

Sean x e y dos numeros reales, entonces se cumple:

1. |x| ≥ 0

2. |x| = 0⇔ x = 0

3. |x| = | − x|

4. |xy| = |x||y|

5. |xy| = |x|

|y| , y 6= 0

6. Desigualdad Triangular:

|x+ y| ≤ |x|+ |y|

Definir estas propiedades con palabras es una froma de aumentar su comprension deellas. Por ejemplo, la propiedad 1 dice que el valor absoluto de una cantidada es siempreno negativa. La propiedad 5 dice que el valor absoluto de un cociente de dos numeros esigual al cociente de los valores absolutos de los dos numeros.

1.3.4. Distancia entre puntos

El concepto de valor absoluto no solo describe la distancia de un punto al origen;tambien es util para hallar la distancia entre puntos en la recta numerica. Debido a quedeseamos describir la distancia como una cantidada positiva, restamos una coordenadade la otra y luego sacamos el valor absoluto de la diferencia.

a b

d(a,b)=lb-al

Figura 1.5:

Definicion 4.

Si a y b son dos puntos en la recta numerica, la distancia de a a b es:

d(a, b) = |b− a|

1.3.5. Coordenada del punto medio

La definicion anterior (de la distancia entre puntos), puede utilizarse para hallar unaexpresion para el punto medio de un segmento de recta.

El punto medio m de un segmento de recta que une a a y b es el promedio de los dosextremos, es decir:

m =a + b

2

a bm

d(a,m) = d(m,b)

Figura 1.6:

1.4. Exponentes Enteros

1.4.1. Exponentes

Estamos seguros que es mas conveniente escribir una suma repetida x+x+x+x+x+xde forma 6x. De igual manera, podemos escribir el producto repetido x ·x ·x ·x de maneramas efectiva, utilizando exponentes. En particular

x · x · x · x = x4

En general, para cualquier numero real x y para cualquier entero positivo n, el sımboloxn, que se lee como “x a la enesima potencia”, representa el producto de n factores dex. Ası,

xn = x · x · x · · ·x︸︷︷︸

n−factores

para cualquier entero positivo n. En la expresion xn, n se denomina exponente opotencia de x y x se denomina base. Por ejemplo,

25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32

Nota 4.

Es importante reconocer la diferencia entre 2x3 y (2x)3. Los parentesis indican queel exponente 3 se aplica a 2x y no solo a x. Es decir:

2x3 = 2 · x · x · x y (2x)3 = 2x · 2x · 2x = 8x3

De igual manera, hay que tener cuidado con las siguientes expresiones:

−54 = −(5 · 5 · 5 · 5) = −625 y (−5)4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

1.4.2. Leyes de los exponentes

Ahora mencionaremos algunas propiedades que involucran a los exponentes:Sean x y y numeros reales y m y n numeros enteros. Entonces:

1. xm · xn = xm+n

2. (xm)n = xm·n = (xn)m

3. (x · y)n = xn · yn

4. (xy)n = xn

yn, con y 6= 0

5. xm

xn = xm−n

6. n√xm = x

mn = ( n

√x)m

7. x−n = 1xn con x 6= 0

8. x0 = 1 con x 6= 0

Nota 5.

00 es indefinido

Capıtulo 2

Sistema Internacional de Unidades oMedidas

Despues de la Revolucion Francesa los estudios para determinar un sistema de unidadesunico y universal concluyeron con el establecimiento del Sistema Metrico Decimal. Laadopcion universal de este sistema se hizo con el Tratado del Metro o la Convencion delMetro, que se firmo en Francia el 20 de mayo de 1875, y en el cual se establece la creacionde una organizacion cientıfica que tuviera, por una parte, una estructura permanente quepermitiera a los paıses miembros tener una accion comun sobre todas las cuestiones quese relacionen con las unidades de medida y que asegure la unificacion mundial de lasmediciones fısicas.

Antes de estudiar el Sistema Internacional de Medidas, hablaremos acerca de la No-tacion Cientıfica

2.1. Notacion Cientıfica

En algunas ocasiones, las cifras de numeros enteros muy grandes, o las decimalesextremadamente pequenas, se representan en forma mas simplificada. Veamos algunosejemplos:

La velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo, o tambiende 300 000 000 m/seg

Si hablamos de grandes cantidades de bytes, se puede decir que la capacidad dealmacenamiento de datos de una gran computadora es de 500 Terabytes, o sea, unacantidad equivalente a 500 000 000 000 000 bytes.

Si nos referimos a la longitud de onda de los rayos cosmicos, se podrıa decir quesu medida es inferior a 0,000000000000001 metros.

Sin embargo, en los textos cientıficos o tecnicos las cifras no aparecen escritas de for-ma tan grandes, sino mas bien simplificadas, utilizando un procedimiento matematicodenominado “Notacion Cientıfica”. Por tanto, las cifras de los items anteriores segu-ramente aparecerıan escritas en textos de ciencia y tecnica de la forma siguiente:

La velocidad de la luz es de 3× 108m/seg.

15

La capacidad de almacenamiento de datos de la gran computadora es de 5 × 1014

bytes, y

La longitud de onda de los rayos cosmicos es inferior a 1× 10−14 metros.

Definicion 5.

La notacion cientıfica o notacion ındice estandar es una manera rapida derepresentar un numero utilizando potencias de base diez.

Esta notacion se utiliza para poder expresar facilmente numeros muy grandes o muypequenos. Los numeros se escriben como un producto:

a× 10n

Siendo:

a un numero entero o decimal mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe elnombre de coeficiente.

n un numero entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

2.1.1. Representacion de Numeros Enteros y Decimales en No-tacion Cientıfica

Cualquier numero entero o decimal, independientemente de la cantidad de cifras queposea, se puede reducir empleando la notacion cientıfica. Veamos en la practica algunosejemplos:

a) 529 745 386 = 5, 29× 108

b) 450 = 4, 5× 102

c) 590 587 348 584 = 5, 9× 1011

d) 0, 3483 = 3, 5× 10−1

e) 0, 000987 = 9, 87× 10−4

Como se puede observar en los ejemplos anteriores, la notacion cientıfica se com-

pone siempre de un solo numero entero y el resto pueden ser uno o varios

decimales, segun la mayor o menor exactitud que requiera una representacion numericadeterminada. La cantidad de decimales se puede recortar a uno o dos numeros solamentepor medio de la aproximacion o redondeo de la cifra, pues el objetivo de emplear lanotacion cientıfica es, precisamente, acortar las cifras largas, ya sean de numeros enteroso decimales.

Para convertir en notacion cientıfica el numero del ejemplo (a), en este caso 529 745 386,se procede de la siguiente manera: se cuenta de derecha a izquierda, los espacios que ex-isten entre el ultimo numero en este caso 6, hasta llegar al primer numero que es 5.Observe la figura 2.1

Como se puede apreciar, despues de contar observamos que hay 8 espacios, por loque la notacion cientıfica del numero 529 745 386, la podemos escribir como:

5, 29× 108

529 745 386

derechaizquierda

8 espacios

Figura 2.1: Notacion Cientıfica de un numero entero

El exponente 8 representa los espacios que hemos contado desde el 6 hasta el 5.

El procedimiento para convertir un numero decimal en otro numero en notacioncientıfica es parecido al anterior. Tomemos el numero del ejemplo e, el cual es 0, 000987.Para realizar la conversion corremos la coma hacia la derecha, hasta llegar al espaciodespues del primer numero diferente de cero, en este caso 9; y luego contabilizamos losespacios que esta se ha desplazado. Observe la figura 2.2 Por tanto la notacion cientıfica

derechaizquierda

4 espacios

0,000987

Figura 2.2: Notacion Cientıfica de un numero decimal

del numero 0, 000987 sera de la siguiente forma:

9, 87× 10−4

Resaltaremos que cuando la coma se dezplaza de izquiera a derecha (como en este caso),el exponente 4 que representa el numero de espacios que la coma ha recorrido, lleva signonegativo. Esto servira para indicar que la notacion cientıfica corresponde a un numerofraccionario en lugar de un entero.

2.2. Sistema Internacional de Unidades o Medidas

El Sistema Internacional de Unidades (SI) surge como una necesidad de uniformizarla comunicacion mundial en cuanto a pesos y medidas, debido fundamentalmente a ladiferencia de idiomas, estilos y terminologıa que usa cada paıs.

El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI del frances: Le Systeme Interna-tional d′Unites), tambien denominado Sistema Internacional de Medidas, es el nombreque recibe el sistema de unidades que se usa en todos los paıses y es la forma actual delsistema metrico decimal. El SI tambien es conocido como “sistema metrico”, especial-mente en las naciones en las que aun no se ha implantado para su uso cotidiano.

Fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesos y Medidas, que inicialmentedefinio seis unidades fısicas basicas. En 1971 se anadio la septima unidad basica, el mol.

Una de las principales caracterısticas, que constituye la gran ventaja del SistemaInternacional, es que sus unidades estan basadas en fenomenos fısicos fundamentales.La unica excepcion es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, que esta definidacomo ((la masa del prototipo internacional del kilogramo)), el cilindro de platino e iridioalmacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas.Las unidades del SI son la referencia internacional de las indicaciones de los instrumen-tos de medida y a las que estan referidas a traves de una cadena ininterrumpida decalibraciones o comparaciones. Esto permite alcanzar la equivalencia de las medidas re-alizadas por instrumentos similares, utilizados y calibrados en lugares apartados y porende asegurar, sin la necesidad de ensayos y mediciones duplicadas, el cumplimiento delas caracterısticas de los objetos que circulan en el comercio internacional y su intercam-biabilidad. Entre el 2006 y el 2009 el SI se ha unificado con la norma ISO 31 para formarel Sistema Internacional de Magnitudes (ISO/IEC 80000, con la sigla ISQ)

2.2.1. Unidades del Sistema Internacional de Medidas

Las unidades del SI son divididas en 3 clases:Unidades de Base

Unidades Derivadas

Unidades Suplementarias

1. Unidades de Base. Las unidades de base son 7, bien definidas por su convencion; yestan consideradas dimensionalmente independientes.

2. Unidades Derivadas. Las Unidades Derivadas son aquellas que estan dadas porexpresiones algebraicas a partir de las unidades de base, algunas de las cualestienen un nombre especial y un sımbolo particular y pueden a su vez ser utilizadaspara expresar otras unidades. Ahora mencionaremos algunas de estas:

3. Unidades Suplementarias. Son las que aun no han sido clasificadas ni como unidadesde base ni como unidades derivadas.

Cantidad Unidad Sımbolo

Longitud Metro mMasa Kilogramo kgTiempo Segundo sCorriente Electrica Amperio ATemperatura Termodinamica Kelvin kCantidad de Substancia mol molIntensidad Luminosa Candela Cd

Cuadro 2.1: Unidades de Base del Sistema Internacional de Medidas


Area metro cuadrado m2

Volumen metro cubico m3

Velocidad metro por segundo m/sAceleracion metro por segundo al cuadrado m/s2

Masa Especıfica kilogramo por metro cubico kg/m3

Densidad de Corriente amperio por metro cuadrado A/m2

Volumen Especıfico metro cubico por kilogramo m3/kg

Cuadro 2.2: Unidades Derivadas expresadas en terminos de unidades base


Angulo Plano radian rad

Angulo Solido estereoradian sr

Cuadro 2.3: Unidades Suplementarias del Sistema Internacional de Medidas

2.2.2. Prefijos del Sistema Internacional de Medidas

Los prefijos y sımbolos registrados en la tabla 2.4 son usados para indicar ordenes demagnitud de las unidades del Sistema Internacional. Entre las unidades base, la unidadde masa (kilogramo) es la unica cuyo nombre, por razones historicas contiene ya unprefijo. Los nombres de multiplos y submultiplos decimales de la unidad de masa estanformados por prefijos enlazados a la palabra “gramo”, por ejemplo mg, pero no ukg, porque los prefijos compuestos no son admitidos.

Los prefijos deben ser seleccionados para reducir dıgitos no significativos o ceros enfracciones decimales. Un prefijo preferiblemente deberıa ser seleccionado de tal maneraque el valor numerico situado entre 0.1 y 1000 y la misma unidad, multiplo o submultiplosea usado en un texto, incluyendo sus tablas y graficos. Expresiones exponenciales denumeros es aceptable. El prefijo deberıa ser enlazado a una unidad en el numerador.Un exponente enlazado a un sımbolo conteniendo un prefijo indica que la unidad con suprefijo es elevado a la potencia expresado por el exponente,

Factor de Multiplicacion Prefijo Sımbolo

1 000 000 000 000 000 000 = 1018 exa E1 000 000 000 000 000 = 1015 peta P

1 000 000 000 000 = 1012 tera T1 000 000 000 = 109 giga G

1 000 000 = 106 mega M1 000 = 103 kilo k100 = 102 hecto h10 = 101 deca da0, 1 = 10−1 deci d0, 01 = 10−2 centi c

0, 001 = 10−3 mili m0, 000 001 = 10−6 micro u

0, 000 000 001 = 10−9 nano n0, 000 000 000 001 = 10−12 pico p

0, 000 000 000 000 001 = 10−15 fento f0, 000 000 000 000 000 001 = 10−18 atto a

Cuadro 2.4: Prefijos del Sistema Internacional de Medidas

2.2.3. Medidas de Longitud.

Observe el cuadro 2.5

Factor de Multiplicacion Prefijo Sımbolo

1 000 000 000 000 000 000 = 1018 exametro Em1 000 000 000 000 000 = 1015 petametro Pm

1 000 000 000 000 = 1012 terametro Tm1 000 000 000 = 109 gigametro Gm

1 000 000 = 106 megametro Mm1 000 = 103 kilometro km100 = 102 hectometro hm10 = 101 decametro dam1 metro m

0, 1 = 10−1 decimetro dm0, 01 = 10−2 centimetro cm

0, 001 = 10−3 milimetro mm0, 000 001 = 10−6 micrometro um

0, 000 000 001 = 10−9 nanometro nm0, 000 000 000 001 = 10−12 picometro pm

0, 000 000 000 000 001 = 10−15 fentometro fm0, 000 000 000 000 000 001 = 10−18 attometro am

Cuadro 2.5: Medidas de Longitud

2.2.4. Medidas de Superficie.


1 kilometro cuadrado km2 = 1 000 000 m2

1 hectometro cuadrado hm2 = 10 000 m2

1 decametro cuadrado dam2 = 100 m2

1 metro cuadrado m2 = 1 m2

1 decımetro cuadrado dm2 = 0, 001 m2

1 centımetro cuadrado cm2 = 0, 0001 m2

1 milımetro cuadrado mm2 = 0, 000001 m2

Cuadro 2.6: Medidas de Superficie

2.2.5. Otras Medidas de Superficie.


1 area a = 100 m2

1 Hectarea Ha = 10 000 m2

1 Centiarea Ca = 1 m2

Cuadro 2.7: Otras Medidas de Superficie

2.2.6. Medidas de Volumen

. Observe el cuadro 2.8

1 metro cubico m3 = 1 m3

1 decımetro cubico dm3 = 0, 001 m3

1 centımetro cubico cm3 = 0, 000001 m3

1 milımetro cubico mm3 = 0, 000000001 m3

Cuadro 2.8: Medidas de Volumen

2.2.7. Medidas de Capacidad.


1 kilolitro kl = 1000 litros1 hectolitro hl = 100 litros1 decalitro dl = 10 litros1 litro l = 1 litro1 decilitro dl = 0, 1 litros1 centilitro cl = 0, 01 litros1 mililitro ml = 0, 001 litros

Cuadro 2.9: Medidas de Capacidad

2.2.8. Medidas de Longitud en el Sistema Ingles de Medidas.


1 yarda = 3 pies = 0, 914 m = 914 mm1 pie = 12 pulgadas = 30, 48 cm = 0, 3048 m

Cuadro 2.10: Medidas de Longitud en el Sistema Ingles de Medidas

2.2.9. Medidas de Superficie en el Sistema Ingles de Medidas.


1 yarda cuadrada = 0, 83616 m2

1 pie cuadrado = 0, 09290 m2

1 pulgada cuadrada = 0, 0006452 m2

Cuadro 2.11: Medidas de Superficie en el Sistema Ingles de Medidas

2.2.10. Medidas de Volumen en el Sistema Ingles de Medidas


1 yarda cubica = 0, 764559 m3

1 pie cubico = 0, 028317 m3

1 pulgada cubica = 0, 000016387 m3

Cuadro 2.12: Medidas de Volumen

Observacion 1. El acre es una medida de superficie en los paıses anglosajones, y:

1 acre = 4047m2

2.3. Ejercicios Desarrollados del capıtulo

1. Expresar en notacion cientıfica los siguientes numeros:

a) 178 000 000 000 000

Solucion:

178 000 000 000 000 = 1, 78× 1014

b) 0, 0000345

Solucion:

0, 0000345 = 3, 45× 10−5

c) −0, 0000000001056

Solucion:

−0, 0000000001056 = −1, 056× 10−10

2. Efectuar: R = 2×10−3+1, 2×102−5, 5×10−2, y expresar el resultado en notacioncientıfica

Solucion:

R = 2× 10−3 + 1, 2× 102 − 5, 5× 10−2

= 0, 002 + 120− 0, 055= 119, 947

R = 1, 19947× 102

3. Convertir 120 km a metros.

Solucion:

x = 120km× 1000m

1km= 120 000m = 1, 2× 105m

4. Convertir 345 metros a kilometros.

Solucion:

x = 345m× 1km

1000m= 0, 345 km = 3, 45× 10−1km

5. Convertir 22025 cm a metros

Solucion:

x = 22025cm× 1m

100cm= 220, 25m = 2, 2025× 102m

6. Convertir 134,45 mm a decımetros

Solucion:

x = 134, 45mm× 10−2dm

1mm= 1, 3445 dm

7. Convertir 0,0467 km a centımetros

Solucion:

x = 0, 0467km× 105cm

1km= 4670 cm

8. Convertir 35 km2 a m2

Solucion:

x = 35km2 × 1000000m2

1km2= 35000000 = 3, 5× 106m2

9. Convertir 13,5 m2 a km2

Solucion:

x = 13, 5m2 × 10−6km2

1m2= 13, 5× 10−6 = 1, 35× 10−5km2

10. Convertir 545 hectareas a metros cuadrados

Solucion:

x = 545Ha× 10000m2

1Ha= 545× 104 = 5, 45× 106m2

11. Convertir 23,5 pies a pulgadas

Solucion:

x = 23, 5pies× 12pulgadas

1pie= 282pulgadas

12. Convertir 75,4 metros a pies Solucion:

x = 75, 4m× 1pie

0, 3048m= 247, 36pies

2.4. Ejercicios Propuestos

1. Expresa en notacion cientıfica las siguientes cantidades

a) 300 000 000

b) 0, 000 000 1

c) 0, 000 000 62

d) −18 400 000 000

e) −7894, 34f ) 456, 987

g) 0, 000 000 000 93

h) −0, 00345

i) −0, 000 546j ) 0, 1589

k) 12, 007 000

l) −0, 123 345

2. Expresa en notacion decimal las siguientes cantidades:

a) 4× 103

b) −6, 3456× 10−6

c) 5, 112× 10−3

d) 1, 43× 10−5

e) 1, 74× 10−4

f ) 1, 3× 105

g) 9, 3× 10−2

h) 2, 5× 107

i) 1, 8× 10−8

j ) −3, 45× 10−1

k) 6, 83× 103

l) −0, 45× 10−4

3. Realizar la operacion:

E =0, 000 000 000 000 000 000 000 006 63× 30 000 000 000

0, 000 000 091 16

4. Efectuar las siguientes operaciones, expresando el resultado tambien en notacioncientıfica

a) 3× 10−1 − 5× 10−2 + 3× 10−3

b) 9, 8× 10−3 + 3, 2× 102

c) 1, 2× 102 + 1, 8× 103

d) 2, 5× 10−3 − 7, 3× 10−5

e) 3, 74× 10−10 × 1, 8× 1018

f ) 5, 4× 108 × 6, 8× 1012

g) 5, 6× 10−2(4, 2× 102 + 3, 3× 103)

h) (9×10−3)(5×10−4)1,5×108

i) (1,6×10−2)(5×105)4×10−6

j ) 7,2×10−6

(1,2×10−6)(3×10−1)

k) 3,2×107×0,7(2×1014)(6×10−5)

l) (3,2×10−1)(1,5×10−3)3×10−5

5. Realizar las siguientes conversiones de sistemas de medidas de longitud:

a) 35 km. a cm.

b) 1, 8m. amm.

c) 123 cm.a dm.

d) 345, 32Dm.a cm.

e) 0, 345m.a cm.

f ) 234, 34mm.a m.

g) 756 dm. a Dm.

h) 0, 12mm. a cm.

i) 45, 37 dm. a cm.

j ) 5, 789 cm. a Hm.

k) 25m. a Hm.

l) 6, 72 cm. a Dm.

m) 0, 54mm. a m.

n) 0, 54mm. a m.

n) 234, 567 cm. a Km.

o) 345m. a Km.

p) 234, 567Km. a dm.

6. Realizar las siguientes conversiones de sistemas de medidas de longitud:

a) 52 yardas a cm.

b) 3, 2m. apies

c) 1, 23 cm. a pulgadas

d) 34, 5m. a pulgadas

e) 0, 345 pies a pulgadas

f ) 234, 34 pulgadas a m.

g) 7, 56m. a yardas

h) 0, 12mm. a pies

i) 45, 37 cm. a pulgadas

j ) 5, 789 pies a m.

k) 25 pulgadas a pies

l) 6, 72 cm. a pies

7. Realizar las siguientes conversiones de sistemas de medidas de area:

a) 33Ha. a m2.

b) 4, 532m2. a Ha.

c) 1, 2 cm2. a m2.

d) 0, 54m2. a mm2.

e) 653, 35mm2. a cm2.

f ) 25mm2. a Ha.

g) 7, 56 pies2 a yardas2

h) 17, 4Ha. a pies2

i) 63, 45m2. a pies2

j ) 0, 57m2. a pulgadas2

8. Realizar las siguientes conversiones de sistemas de medidas de volumen:

a) 15, 3m3. a cm3.

b) 13, 25 cm3. a m3.

c) 0, 2789 dm3. a m3.

d) 55, 78m3. a mm3.

e) 27, 33 cm3. a mm3.

f ) 106, 76mm3. a dm3.

g) 7, 56m3 a dm3

h) 106, 76mm3. a dm3.

i) 1000 cm3. a m3

j ) 559, 67mm3. a m3

9. Realizar las siguientes conversiones de sistemas de medidas de volumen:

a) 15, 3m3. a pies3.

b) 103, 2 pies3. a m3.

c) 0, 2789 yarda3 a m3.

d) 55, 78m3. a yardas3

e) 27, 33 pulgadas3 a m3.

f ) 65, 76m3. a pulgadas3

g) 7, 56 pies3 a pulgadas3

h) 233 pulgadas3 a pies3

i) 1000 yardas3 a pies3

j ) 559, 67 pulgadas3 a yardas3

10. Realizar las siguientes conversiones de sistemas de medidas de capacidad:

a) 150 litros a Hectolitros

b) 45, 3 Hectolitros a litros

c) 23, 6 centilitro a litros

d) 25, 7 litros a centilitros

e) 27, 33mililitro a centilitro

f ) 15, 46mililitro a litros

g) 7, 56Hectolitro a mililitro

h) 233 centilitro a Kilolitro

i) 1000Decalitro a litros

j ) 559, 67Kilolitro. a litros

11. Resolver los siguientes problemas:

a) De un rollo de alambre que tiene 45m., se venden sucesivamente 5, 4m.; 80cm.;170dm.; y 1200mm. ¿Cuantos metros quedan en el rollo?

b) Un ciclista debe recorrer 150km.Despues de haber recorrido 5000dm y 76000m.¿Cuantos kilometros le faltan recorrer?

c) Calcula el area de un rectangulo que mide 570mm. de largo y 7, 6cm. de ancho.Expresa tu respuesta en dm2

d) En un metro cuadrado de tierra se pueden sembrar aproximadamente 4 matasde col. ¿Cuantas matas se pueden sembrar en un terreno que ocupa unahectarea?

e) .

Una pintura rectangular seha pegado en una hoja en blancocomo se muestra en la figura.¿Cual es el area del papelque no ha sido cubierta por la pintura?

6.0 dm

0.2 dm

0.4 m

45 cm

f ) El largo de un rectangulo excede al ancho en 8m. Si cada dimension se aumentaen 3 × 102cm., el area aumentarıa en 57m2. ¿Cuales son las dimensiones delrectangulo?

g) En el huerto de una escuela se tiene sembrado un cantero de ajı que tiene formarectangular de 8, 4m de largo por 20dm. de ancho y cubre dos septimos delmismo. ¿Cual es el area del huerto? Exprese su respuesta en metros cuadrados.

h) En un salon de reuniones se coloca una alfombra rectangular de 2, 4m de largopor 20dm de ancho y cubre dos novenos del mismo. Si el salon es rectangulary posee 7, 2m de largo. ¿Cuanto mide el ancho del salon?

i) ¿Cuantos metros debe tener el largo de un aula que tiene 50dm de ancho, paraque pueda contener 30 estudiantes a razon de 0,75m2 por estudiante?

j ) Un nino tiene una pieza de carton rectangular de 480mm de largo y 3, 7dmde ancho. Calcule el area y el perımetro de la pieza dando las respuestas enm2 y cm2 respectivamente.

12. Resolver los siguientes problemas:

a) La altura de una piramide regular de base cuadrada mide 1, 4dm y el lado dela base es de 1, 5× 102mm. Determinar:

La longitud de la arista lateral en cm

¿Cuantos litros de capacidad puede contener esta piramide?

b) Cuantos litros de agua caben en una cisterna de forma de ortoedro si susdimensiones son: largo 45dm, ancho 2, 5m y altura 2× 102cm

c) Determina la cantidad de litros de agua que pueden almacenarse en un tanquecilındrico de 5, 25× 102mm de diametro y 95cm de altura

d) Una caja de galletas tiene forma de cubo de 3, 5dm de arista. Determine:

¿Que cantidad de metros de papel se necesita para forrar la caja, sinincluir las partes posterior e inferior.

¿Cual es la maxima cantidad de galletas que puede contener la caja sicada una ocupa 25cm3?

e) Para festejar el aniversario de bodas, Jorge compro 5 litros de vino blanco y0,12 hectolitros de vino tinto, pagando en total 360 soles. Determine:

¿Cuanto cuesta el litro de cada uno, si el vino blanco es 4 soles mas caroque el vino tinto?

¿En cuantos frascos de 125ml se podra envasar el vino blanco?

Capıtulo 3

Ecuaciones en R

Las ecuaciones son de suma importancia en las matematicas y otras ciencias, desde losbabilonios, pasando por los egipcios y los griegos, ...hasta nuestra epoca, las ecuacioneshan sido las herramientas matematicas que se utilizan para resolver problemas donde serequiere saber el valor de una “incognita”. Las ecuaciones son igualdades, que se hacenverdaderas para valores especıficos, por ejemplo si:

3x+ 5 = −1;

para que esta igualdad sea verdadera, el valor de x debe ser −2 y no otro. Resolveruna ecuacion es hallar el valor o los valores de la incognita que hagan verdadera dichaigualdad. A su vez las soluciones pueden ser reales o imaginarias; segun el caso, porejemplo:

x2 − 9 = 0,

x puede tomar los valores 3 y −3, pero si

x2 + 9 = 0,

x toma valores 3i y −3i. Siendo i =√−1 el sımbolo de Imaginario.

Antes de definir lo que es una Ecuacion, definiremos en terminos matematicos lapalabra Igualdad

Definicion 6.

Igualdad Es aquella relacion que existe entre dos cantidades y que nos indica quetiene el mismo valor.

Las igualdades se clasifican en:

1. Igualdades Absolutas o Identidades.

2. Igualdades Relativas o Ecuaciones.

30

Igualdad Absoluta o IdentidadLas igualdades absolutas o identidades, son aquellas que se verifican para cualquier

sistema de valores atribuidos a sus variables.

Ejemplo 3.1.

1. (x− y)2 = x2 − 2xy + y2

2. x2 − y2 = (x+ y)(x− y)

3. (x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

4. x3 + y3 = (x+ y)(x2 − xy + y2)

Ahora en la siguiente seccion estudiaremos la Igualdad Relativa o Ecuacion.

3.1. Ecuacion Algebraica. Clasificacion

Definicion 7. Una variable es un sımbolo que esta representado por una letra, la cualtoma uno o varios valores, que pertenecen a un mismo conjunto (el conjunto solucion,que estudiaremos mas adelante).

Una incognita o variable es la letra que representa al numero buscado en la ecuacion;generalmente se le representa por las letras x, y y z

Definicion 8. Una constante es un sımbolo que nombra exactamente un elemento.

Definicion 9. Se llama ecuacion algebraica a la igualdad relativa de dos expresionesalgebraicas que involucran al menos una variable; las cuales adquieren el mismo valornumerico, para los mismos valores de sus incognitas.

Ejemplo 3.2.

1. 3x+ 1 = 7x− 2

2. x2 + 7x+ 10 = 0

3. x+2x−3

= xx+1

4. x4 − 3x2 + 2 = 0

Definicion 10. Se llama Conjunto solucion al conjunto cuyos elementos son todaslas soluciones de una cierta ecuacion.

Ejemplo 3.3. Para la ecuacion

x3 + 4x2 + x− 6 = 0,

sus raıces o soluciones son:

x1 = 1, x2 = −2 y x3 = −3Entonces su conjunto solucion de esta ecuacion sera:

C.S = {−3,−2, 1}Las ecuaciones algebraicas se clasifican de dos maneras:

1. Segun su Conjunto Solucion, y

2. Segun el Grado del Polinomio.

3.2. Clases de Ecuaciones segun su Conjunto Solu-

cion

Las ecuaciones algebraicas segun su conjunto solucion pueden ser:

Compatible Incompatible Equivalente

Determinada

Indeterminada

Ecuación Algebraica

Figura 3.1: Clasificacion de una Ecuacion Algebraica, segun su conjunto solucion

3.2.1. Ecuacion Compatible:

Es aquella cuyo conjunto solucion tiene por lo menos un elemento. Esta a su vezpuede ser:

1. Ecuacion Compatible Determinada: Es aquella en la que se pueden enumerarlos elementos del conjunto solucion.

Ejemplo 3.4. La ecuacionx2 − 7x+ 6 = 0

es una ecuacion compatible determinada, ya que tiene como conjunto solucion

C.S. = {−6,−1}

el cual es un conjunto finito, es decir sus elementos se pueden enumerar.

2. Ecuacion Compatible Indeterminada: Es aquella en la que no se pueden enu-merar los elementos del conjunto solucion.

Ejemplo 3.5. La ecuacion

x+ 2

x− 2− x− 2

x+ 2=

8x

x2 − 4

es una ecuacion compatible indeterminada, ya que al solucionarla vamos a llegar ala igualdad

8x = 8x

lo cual implica que su conjunto solucion es

C.S. = R− {−2, 2}

y este es un conjunto infinito.

3.2.2. Ecuacion Incompatible:

Denominada tambien Absurda o incosistente; es aquella cuyo conjunto solucion no rep-resenta ningun elemento.Ejemplo 3.6. La ecuacion

x+ 3

x− 4=

x+ 5

x− 2

es una ecuacion incompatible, puesto que al resolverla, llegaremos a la igualdad

−6 = −20,

lo cual es un absurdo, por tanto el C.S. = φ

3.2.3. Ecuacion Equivalente:

Dos ecuaciones son equivalentes si sus conjuntos soluciones poseen los mismos ele-mentos.Ejemplo 3.7. Las ecuaciones:

3x− 2 = 10 y 5x− 14 = 6

son equivalentes, ya que tienen el mismo conjunto solucion, el cual es:

C.S. = {4}

3.3. Clases de Ecuaciones segun el Grado del Poli-

nomio

Llamadas tambien polinomiales, estas pueden ser:1. De grado uno o Lineales,

2. De grado dos o Cuadraticas,

3. De grado tres o Cubicas, etc

En general a las ecuaciones de grado uno, dos, tres, etc, se les denomina: “Ecuaciones

Polinomicas”.

Ahora estudiaremos detenidamente cada una de este tipo de ecuaciones:

3.3.1. Ecuacion Lineal

Definicion 11. Una ecuacion lineal es aquella cuyo mayor exponente de la variableo incognita es 1.

Forma General: ax+ b = 0Resolucion ax = −bSiendo a 6= 0 ⇒ x = −b

a

Ejemplo 3.8. Resolver la siguiente ecuacion lineal:

4x− (3x− 4) = 6x− (3− 8x) + (−2x+ 29)

Solucion:

a) Suprimir parentesis: 4x− 3x+ 4 = 6x− 3 + 8x− 2x+ 29b) Transponer terminos: 4x− 3x− 6x− 8x+ 2x = −3 + 29− 4c) Reducir terminos −11x = 22d) Despejar x : x = 22

−11

e) Solucion: x = −2f) Conjunto Solucion: C.S. = {−2}


9t+ (−2t + 8) = 3t+ (5− 6t)− (−5t− 18)

Solucion:

a) Suprimir parentesis: 9t− 2t+ 8 = 3t+ 5− 6t + 5t+ 18b) Transponer terminos: 9t− 2t− 3t+ 6t− 5t = 5 + 18− 8c) Reducir terminos 5t = 15d) Despejar t : t = 15

5

e) Solucion: t = 3f) Conjunto Solucion: C.S. = {3}


3

2m− 2 =

5

4m+

3

5

Solucion:

a) Transponer terminos: 32m− 5

4m = 3

5+ 2

b) Reducir terminos 14m = 13

5

c) Despejar m : m =13514

d) Solucion: m = 525

f) Conjunto Solucion: C.S. = {525}

Ejemplo 3.11. Resolver la siguiente ecuacion:

(2p+ 5)2 − p(4p− 5) = 100

Solucion:

a) Suprimir parentesis: 4p2 + 20p+ 25− 4p2 + 5p = 100b) Transponer terminos: 4p2 + 20p− 4p2 + 5p = 100− 25c) Reducir terminos 25p = 75d) Despejar p : p = 75

25

e) Solucion: p = 3f) Conjunto Solucion: C.S. = {3}


8x− 5

2x+ 5= 5− 3x+ 7

3x+ 2

Solucion:

a) Transponer fracciones algebraicas: 8x−52x+5

+ 3x+73x+2

= 5

b) Operamos las fracciones: (8x−5)(3x+2)+(3x+7)(2x+5)(2x+5)(3x+2)

= 5

c) Multiplicamos algebraicamente yreducimos terminos: 30x2 + 30x+ 25 = 30x2 + 95x+ 50

d) Transponer terminos: 30x2 + 30x− 30x2 − 95x = 50− 25e) Reducir terminos −65x = 25

f) Despejar x : x = 25−65

g) Solucion: x = − 513

h) Conjunto Solucion: C.S. = {− 513}

En este ejemplo debemos tener mucho cuidado con la solucion, ya que supongamos quela solucion hubiese sido x = −5

2o x = −2

3, entonces la ecuacion no existirıa, puesto que

estos valores hacen de que el denominador de las fracciones sean cero, lo cual implicarıaque los terminos 8x−5

2x+5y 3x+7

3x+2no existan.


6

x+ 2+

x+ 2

2− x=

x2

4− x2

Solucion:

6(2−x)+(x+2)2

4−x2 = x2

4−x2

12− 6x+ x2 + 8x+ 4 = x2

2x = −8x = −4

C.S. = {−4}En este ejemplo, al igual que el anterior, se debe tener cuidado con la solucion, puesto

que x, no debe tomar los valores −2 y 2, por las mismas razones expuestas anteriormente.

3.3.2. Ecuacion Cuadratica

Definicion 12. Una ecuacion cuadratica es aquella ecuacion algebraica cuyo mayorexponente de la variable o incognita es 2.

Forma General: ax2 + bx+ c = 0

donde: a, b y c ∈ R, con a 6= 0Para solucionar una ecuacion cuadratica, existen los siguientes metodos:

Por Factorizacion.

Utilizando la Formula Cuadratica.

Completando Cuadrados.

1. Por Factorizacion.

Solucionaremos ecuaciones cuadraticas empleando los metodos de factorizacion co-mo: factor comun y aspa simple.

Ejemplo 3.14. Resolver la siguiente ecuacion cuadratica:

3x2 − 5x = 0

Solucion:

a) Factorizamos elfactor comun x : x(3x− 5) = 0Cada factor lo

d) igualamos a 0 : x = 0 ∨ 3x− 5 = 0e) Soluciones: x = 0 ∨ x = 5

3

f) Conjunto Solucion C.S. = {0, 53}


x2 − 5x+ 6 = 0

Solucion:

Para resolver esta ecuacion, utilizaremos la factorizacion por el metodo del aspasimple, el cual en nuestro caso, consiste en hallar dos numeros (con sus respectivossignos) que multiplicados den como resultado 6 y que sumados o restados den elvalor de −5. Ası pues, en este ejercicio, los numeros buscados son −2 y −3:

x2 − 5x+ 6 = 0(x− 2)(x− 3) = 0

(x− 2) = 0 ∨ (x− 3) = 0x = 2 ∨ x = 3C.S. = {2, 3}


3x2 + x− 2 = 0

Solucion:

3x2 + x− 2 = 0(3x− 2)(x+ 1) = 0

(3x− 2) = 0 ∨ (x+ 1) = 0x = 2

3∨ x = −1

C.S. = {−1, 23}

2. Por Formula Cuadratica.

Dada la ecuacion cuadratica

ax2 + bx+ c = 0 (3.1)

donde: a, b y c ∈ R, con a 6= 0. Entonces la formula cuadratica para obtener lassoluciones de la ecuacion (3.1), es:

x =−b±

√∆

2a, (3.2)

donde: ∆ = b2−4ac, es denominado “Discriminante”de la ecuacion (3.1). Luego,se tiene que:

x1 =−b+

√∆

2ay x2 =

−b−√∆

2a

son las dos soluciones o raıces de la ecuacion (3.1).

b.1) Analisis de la naturaleza de las raıces de una ecuacion cuadratica.

b.1.1) Si ∆ > 0, las raıces x1 y x2 son reales y diferentes.

b.1.2) Si ∆ = 0, las raıces x1 y x2 son reales e iguales.

b.1.3) Si ∆ < 0, las raıces x1 y x2 son complejas y conjugadas.


3x2 + x− 2 = 0,

utilizando la formula cuadratica

Solucion:

Primero analizaremos el discrimante para saber, si la ecuacion tiene solucionesen R. En efecto:

∆ = b2 − 4ac = (1)2 − 4(3)(−2) = 25 > 0

Observamos que ∆ > 0, entonces la ecuacion tiene soluciones reales.

Luego, las raıces son:

x1 =−b+

√∆

2a=−1 + 5

6=

2

3

y

x2 =−b−

√∆

2a=−1− 5

6= −1

Por tanto el conjunto solucion es:

C.S. = {−1, 23}


x2 + x+ 7 = 0,

utilizando la formula cuadratica

Solucion:

Primero analizaremos el discrimante para saber, si la ecuacion tiene solucionesen R. En efecto:

∆ = b2 − 4ac = (1)2 − 4(1)(7) = −27 < 0

Observamos que ∆ < 0, entonces la ecuacion no tiene soluciones reales, perosı soluciones complejas y conjugadas; por tanto diremos que esta ecuacionno tiene solucion en R. La solucion de este tipo de ecuaciones las dejaremoscuando estudiemos los numeros complejos.

b.2) Propiedades de las raıces de una ecuacion cuadratica. Las raıces dela ecuacion (3.1) cumplen las siguientes propiedades.

b.2.1) Suma de raıces: x1 + x2 =−ba.

b.2.2) Producto de raıces: x1 · x2 =ca.

b.2.3) Diferencia de raıces: |x1 − x2| =√∆a.

Ejemplo 3.19. En la ecuacion

4mx2 − (20m+ 3)x+ 15 = 0, (3.3)

si la suma de las raıces de la ecuacion es 8, hallar el valor de m.

Solucion:

Sean x1 y x2 las raıces de la ecuacion (3.3), entonces por propiedad de las raıcesde una ecuacion cuadratica, se tiene:

x1 + x2 = −−(20m+ 3)

4m=

20m+ 3

4m(3.4)

Por datos del problema tambien se tiene que:

x1 + x2 = 8 (3.5)

Luego, igualando las ecuaciones (3.4) y (3.5), se tiene:

20m+ 3

4m= 8

Ası, al despejar m en la ecuacion anterior, obtenemos m = 14.

Ejemplo 3.20. En la ecuacion

(n− 1)x2 − 5x+ 2n = 0, (3.6)

si el producto de las raıces de la ecuacion es 4, hallar el valor de n.

Solucion:

Sean x1 y x2 las raıces de la ecuacion (3.6), entonces por propiedad de las raıcesde una ecuacion cuadratica, se tiene:

x1 · x2 =2n

n− 1(3.7)

Por datos del problema tambien se tiene que:

x1 · x2 = 4 (3.8)

Luego, igualando las ecuaciones (3.7) y (3.8), se tiene:

2n

n− 1= 4

Ası, al despejar n en la ecuacion anterior, obtenemos n = 2.

3.3.3. Ecuaciones Polinomicas de grado mayor que dos.

Las ecuaciones polinomicas de grado n tienen la forma general siguiente:

Forma General : P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0 = 0

Donde: ai ∈ R, con i = 0...n y an 6= 0.

Para solucionar este tipo de ecuaciones utilizaremos algunos metodos de factorizaciontales como el metodo de Ruffini, entre otros, que lo explicaremos en los siguientes ejem-plos.Ejemplo 3.21. Hallar el conjunto solucion de la ecuacion

x4 − x3 − 7x2 + x+ 6 = 0 (3.9)

Solucion:En primer lugar hallamos un conjunto de posibles puntos que anulen el polinomio, a

los que llamaremos puntos crıticos (P.C.), este conjunto de puntos se halla de la siguientemanera:

P.C. = {±Divisores del Termino Independiente

Divisores del coeficiente Principal}

En nuestro caso, el termino independiente es 6 y sus divisores son: 1, 2, 3 y 6; y elcoeficiente principal (que es el coeficiente de la variable que tiene mayor exponente) es 1y sus divisores es: 1. Por tanto:

P.C. = {±1, 2, 3, 61} = {±1,±2,±3,±6}

En este conjunto estaran los puntos que anulen el polinomio, es importante destacar queno todos estos puntos anulan al polinomio.

El siguiente paso es, observar si el polinomio es completo y ordenado, de lo contrario secompleta con ceros y se ordena. Luego como nuestro polinomio cumple estas condiciones,entonces ubicamos los coeficientes de este, de la siguiente manera, y probamos con elpunto crıtico x = 1, si es que anula al polinomio.

1 -1 -7 1 6x = 1 ↓ 1 0 -7 -6

1 0 -7 -6 0

Observamos que el punto crıtico x = 1, si anula al polinomio.Ahora repetimos el proceso con la ultima fila de la tabla anterior, y probamos con x = −1

1 0 -7 -6x = −1 ↓ -1 1 6

1 -1 -6 0

Volvemos a repetir el proceso con la ultima fila de la tabla anterior, y probamos conx = −2

1 -1 -6x = −2 ↓ -2 6

1 -3 0

Luego nuestra ecuacion (3.9)quedara expresada en terminos de sus factores primos,de la siguiente manera:

(x− 1)(x+ 1)(x+ 2)(x− 3) = 0

De donde tenemos:

x− 1 = 0 ∨ x+ 1 = 0 ∨ x+ 2 = 0 ∨ x− 3 = 0

De esto ultimo se tiene:

x = 1 ∨ x = −1 ∨ x = −2 ∨ x = 3

Por tanto el conjunto solucion es:

C.S. = {−2,−1, 1, 3}

Ejemplo 3.22. Hallar el conjunto solucion de la ecuacion

x6 + 7x5 + 7x4 − 35x3 − 56x2 + 28x+ 48 = 0 (3.10)

Solucion:Hallamos el conjunto de puntos que posiblemente anulen al polinomio anterior.

P.C. = {±1, 2, 3, 4, 6, 8, 121

} = {±1,±2,±3,±4,±6,±8,±12}

Ahora aplicamos el metodo de Ruffini, como en el ejemplo anterior.Probemos para x = −1

1 7 7 -35 -56 28 48x = −1 ↓ -1 -6 -1 36 20 -48

1 6 1 -36 -20 48 0

Probemos para x = 1

1 6 1 -36 -20 48x = 1 ↓ 1 7 8 -28 -48

1 7 8 -28 -48 0

Para: x = −21 7 8 -28 -48

x = −2 ↓ -2 -10 4 481 5 -2 -24 0

Para: x = 2

1 5 -2 -24x = 2 ↓ 2 14 24

1 7 12 0

Para: x = −31 7 12

x = −3 ↓ -3 -121 4 0

Luego la ecuacion (3.10), quedara expresada en terminos de sus factores primos, de lasiguiente forma:

(x+ 1)(x− 1)(x+ 2)(x− 2)(x+ 3)(x+ 4) = 0

Luego:

x+ 1 = 0 ∨ x− 1 = 0 ∨ x+ 2 = 0 ∨ x− 2 = 0 ∨ x+ 3 = 0 ∨ x+ 4 = 0

De donde se tiene:

x = −1 ∨ x = 1 ∨ x = −2 ∨ x = 2 ∨ x = −3 ∨ x = −4

Por lo tanto el conjunto solucion para la ecuacion (3.10) es:

C.S. = {−4,−3,−2,−1, 1, 2}

3.4. Ecuaciones Exponenciales

Definicion 13. Es aquella ecuacion donde la incognita forma parte solo de los expo-nentes de potencias para ciertas bases constantes.

Ejemplo 3.23.8x = 512, 3x−1 = 2187, 6

23−x

3 = 6x3

Casos

1. Si bx = by ⇒ x = y con b 6= 0 y 1

2. Si xb = yb ⇒ x = y con b 6= 0

3. Si bb = xx ⇒ b = x con b 6= 0 y 1

Ejemplo 3.24. Resolver:22x+3 − 32x+1 = 32x+2

Solucion:

22x+3 = 32x+2 + 32x+1

22x23 = 32x32 + 32x31

22x23 = 32x(32 + 3)

22x

32x= 12

23

(23)2x = 22·3

23

(23)2x = 3

2

(23)2x = (2

3)−1

luego por la caso 1, se tiene que 2x = −1, de donde se tiene el conjunto solucion

C.S. = {−12}

Ejemplo 3.25. Resolver:x3x0,5 = 0, 125

Solucion:Sabemos que: 0, 125 = 125

1000= 1

8= (1

2)3

Luego:x3x0,5 = (1

2)3

(xx0,5)3 = (1

2)3

xx12 = 1

2

(xx12 ) = (1

2)12

(x12 )x

12 = (1

2)12

aplicando el caso 3, se tiene:x

12 = 1

2

(x12 )2 = (1

2)2

x = 14

Ası el conjunto solucion para esta ecuacion es:

C.S. = {14}

3.5. Ecuaciones Logarıtmicas

Definicion 14. El logaritmo de un numero real positivo N en una base positiva b(diferentede la unidad), se define como el exponente x al cual hay que elevar a la base para quenos origine el numero N . Es decir:

logb N = x↔ N = bx

Definicion 15. Una ecuacion logarıtmica, es aquella igualdad en donde aparecenexpresiones logaritmicas y cuya caracterıstica es tener la incognita en la base b, o en elnumero N

Propiedades de los logaritmos

1. logb b = 1

2. logb(AB) = logb A+ logb B

3. logb 1 = 0

4. logb(AB) = logb A− logb B

5. logb Nn = n logb N

6. logaN = logb Nlogb a

7. logb a · loga b = 1

8. log 1bN = − logb N

Ejemplo 3.26. Calcular x en:log25 5 = x+ 3

Solucion:5 = 25x+3

5 = (52)x+3

5 = 52(x+3)

⇒ 1 = 2x+ 6−5

2= x

Por lo tanto:

C.S. = {−52}

Ejemplo 3.27. Resolver:3 + [logx(log3 x)] = 0

Solucion:logx[log3 x] = −3

x−3 = log3 x

x = 3x−3

x = 31x3

xx3= (3

1x3 )x

3

xx3= 3

(xx3) = 33

(x3)(x3) = 33

x3 = 3

x = 3√3

Por lo tanto:C.S. = { 3

√3}

Ejemplo 3.28. Hallar x en:

log xlog x − log x− 6 = 0

Solucion:log x · log x− log x− 6 = 0(log x)2 − log x− 6 = 0(log x− 3)(log x+ 2) = 0

Entonces: x1 = 103 y x2 = 10−2

Por lo tanto:C.S. = {10−2, 103}


1. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) x− 1312x = 5

18x+ 13

12

b) 3y − 4 = 5 + 3(y5− 1)

c) 2− 4(27x+ 1

7) = 3

2− x

d) 5x− 3(3− x4) = 7

2x− 3

e) 5(23t− 3

5t) + 1 = 2t− 2(t− 1)

f ) 23m− 4(m

5− 1

6) = 1

15

g) 1− 23(z − 3) = 2− 1

4(3z − 4)

h) 12( t3− t

2) + 1

9= 1

2(12− t

3)

i) 23p− 5( p

12+ 1

4) = 3− 2(1− p

6)

j ) 3(116x− x)− 4 = 2x− 3(1− x

6)

k) 1−3x4

= 2x− 3(x− 12)

l) 2t− t+18

= 3− 3t−14

m) 3s− s−22

= 2(2 + s4)

n) 34x− 1 = x− 1−5x

2

n) 1−9p3− 2 = p

3− 11p−1

2

o) 1− 2x−215

= x3+ x−1

5

p) y − 3−y3

= 32y − 8−3y

4

q) a− a+15

= a+32− 2

r) a+xb− x−b

a= 2 si a 6= b

2. Hallar el valor de k para que laecuacion:

2kx− 3

x− 1+

3kx− 2

x+ 1= 2k + 3

se reduzca a una ecuacion de primergrado.

3. Resolver los siguientes sistemas deecuaciones lineales:

a)x + 2y = 82x + y = 7

b)12x − 1

3y = 0

x + 23y = 8

c)2x − 3y = −43x + y = 5

d)4x + 3y = 106x + 9y = 21

e)2x + 9y = 83x + 10y = 5

f )4x + 5y = −75x − 3y = 19

4. Resolver los siguientes sistemas deecuaciones lineales:

a)x+3y4

+ x6

= − 112

x + 4y = 2

b)x+2y2

+ 2x−y4

= 92

2x + y = 8

c)4x−3y+3x+y−2

= 5

x + 2y = 1

d)x+y+2x−2y+1

= 2

x + 3y = 16

e)4x−2y

3− 2x−3y

5= 7

152x−y2

+ x+5y3

= 236

f )ax + by = a2 + b2

a2x + b2y = a2b+ ab2

5. Resolver los siguientes sistemas deecuaciones:

a)1x

+ 1y

= 73x

+ 2y

= 16

b)9x

+ 5y

= −13x− 10

y= −5

c)10x

+ 9y

= 15x− 6

y= −3

6. Resolver los siguientes sistemas deecuaciones lineales con tres vari-ables:

a)x + y − 2z = 82x − y + z = 33x + y + 2z = 6

b)3x − 2y + 3z = 252x − 4y + 2z = 14x − y − z = −4

c)2x + z = 2

3y − 2z = 222x − y = 13

d)x − 3y = −1

3y − z = −9x − 4y = 1

7. Si Ia = ER+Ra

y E = RI, demuestreque:

R =RaIaI − Ia

8. Si E = Ix(Rx +R), E = Ia(Ra+R),y E = IR, demostrar que:

Rx =

(I−IxIx

I−IaIa

)

Ra

9. Resolver las siguientes ecuacionescuadraticas:

a) x2 + 2x+ 1 = 4

b) x2 − 6x+ 9 = 16

c) 3x2 + 2x− 3 = 2x2 + 7− x

d) 2x(2x−5)+18 = x(7−x)−12

e) x(2x− 1) + 35= 3x2−x

5+ 1

5

f ) x(x− 1) + 1 = 56+ x(2x−1)

3

g) 11(x−1)2 = (2x−3)2+4x2+1

h) (3x− 12)(3x+ 1

2)−2x = 8x2−1

i) 3x[2 − (2x+ 5) + x−13] + 5x2 =

x2 − 12x− x−25

j ) (x + 1)[32− 2(1 − x)] = 3x2 +

11(x−1)2

k) 64x2+x−3

= 1x2+x−1

l) 3x+ 2 = 3(4x+3)4−3x

m) 2(3x+2)x−1

= 3x+4x+2

n) (x+2)2

5− x2−9

4= (x+3)2

2+ 1

5

n) 2x− 6x2−2x+16

+ 2x2−3x2

= −1o) (x−3)(x−4)(x−5)−x2(x−3) =

4x2 − 3x− 27

p) 2+(2x+3)(x−2) = (2x+1)(x−4) + 18

q) x−32x−5

= 3x+16x+1

r) 11−x

= 1x−x2

s)√2(x− 3)(x+ 1

3) = 0

t) x2 −√2x−

√3 = 0

u) a−xa

= −2ax−a

v) 9a2x2 − 12ax− 12 = 0

w) x2 = 2a2b2 + abx

x ) a2x2 − b2 = 2ab+ 2a2x

y) (a2 − b2)x2 − 4abx+ b2 = a2

z ) x2 = 2a2b2 + abx


a) x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0

b) x3 − 5x2 + 8x− 4 = 0

c) x3 + 2x2 − 4x− 8 = 0

d) x3 − x = 0

e) x3 − 2x2 − 5x+ 6 = 0

f ) x4 − 6x3 + 13x2 − 12x+ 4 = 0

g) x4 − 3x3 − x2 + 3x = 0

h) x4 + 5x3 − 20x− 16 = 0

i) x4 + 3x3 − x2 − 3x = 0

j ) x5 − 8x3 + 6x2 + 7x− 6 = 0

k) x5−5x4+10x3−10x2+5x−1 =0

l) x5−2x4−2x3+4x2+x−2 = 0

m) 3x5−3x4−6x3+6x2+3x−3 = 0


a) x4 − 5x2 − 36 = 0

b) x4 − 5x2 + 4 = 0

c) x4 − 61x2 + 900 = 0

d) x4 − 7x2 + 10 = 0

e) 2x4 − 4x2 + 2 = 0

f ) x6 − 7x3 − 8 = 0

g) x10 − 33x5 + 32 = 0

h) (4x2 + 3)2 = 11(4x2 + 3)− 28

i) 3x−2 = 4x−1 + 4

j ) (x+2x−1

)2 − 5(x+2x−1

) + 6 = 0

k) ( x+12x−1

) + 2(2x−1x+1

) = 3

12. Resolver las siguientes ecuacionesexponenciales:

a) (12)2x−1 = 32

b) 3x + 32x = 2

c) 23x − 7 · 22x + 14 · 2x − 8 = 0

d) 42x−1 = 4 · 2x+1 − 63

e) 11x2−3x−37 = 1331

f ) 3x · 32x−3 = 35

g)√35x−11 = 9

h)3√52x+8 = 25

i)√2x+5 =

3√4x+2

j ) 2x+1 + 2x + 2x−1 = 7

k) 22x − 10 · 2x + 24 = 0

l) 5x−5−x

2= 3

m) ex − 5e−x + 4e−3x = 0

n)

{3x = 3y · 81

x+ y = 3

Resolver las siguientes ecuacioneslogarıtmicas:

a) Sabiendo en cada caso el valorde log k =, calcular los logarit-mos que se indican

Siendo log k = 14, 4, hallar:

logk

100; log 0, 1k2; log

3

√

1

k; (log k)1/2

b) log3(x2−3x−5) = log3(7−2x)

c) log(x+4)+log(2x+3) = log(1−2x)

d) log(x2 − 1) = − log(x− 1)

e) log2(x+ 3) = 4

f ) log(x+ 3) = 10 + log(2x+ 5)

g) 2 log x− log(x− 16) = 2

h) log(x + 1) = log(5x − 13) −log(x− 3)

i) 2 log x− log(x− 16) = log 4

j ) log(5x+4)−log 2 = 12log(x+4)

k) log√3x+ 5 + log

√x = 1

l) ln x+ ln 2x+ ln 4x = 3

13. Resuelva las siguientes ecua-ciones exponenciales aplicando laspropiedades de los logaritmos:

a) 5x = 3

b) 7x = 512

c) 0, 2x = 0, 0016

d) 9x = 0, 576

e) 2x = 3

f ) 7x+1 = 2x

g) 52x+1 = 6x−2

h) e5x−13 = 4e4x

i) ex2−1 = 7ex

2+x

j ) 4e3x+1 = 12ex+11

14. Usar logaritmos naturales o comunespara resolver x en terminos de y enlas siguientes ecuaciones:

a) y = ex+e−x

ex−e−x

b) y = ex−e−x

2

c) y = 10x−10−x

10x+10−x

d) y = 110x−10−x

15. Resolver los siguientes sistemas deecuaciones logarıtmicas:

a)

{x+ y = 22

log x− log y = 1

b)

{log(x+ y) + log(x− y) = log 33

log x2 − log y2 = 3

3.7. Problemas de Ecuaciones

1. La valla del patio rectangular de un colegio mide 3600 metros. Si su largo es eldoble que su ancho, ¿cuales son las dimensiones del patio?

2. Un terreno rectangular tiene un perımetro de 640 metros. Calcula las dimensionesdel terreno sabiendo que uno de sus lados mide 8 metros mas que el otro.

3. Calcula las dimensiones de un rectangulo en el que la base mide 2 centımetrosmenos que la altura, y la diagonal mide 10 centımetros.

4. Al aumentar en 5 metros el lado de un cuadrado, su superficie aumenta en 75metros cuadrados. Calcula el lado del cuadrado.

5. Calcular las dimensiones de un rectangulo, cuya area es de 375 metros cuadrados,ademas el largo es el doble del ancho menos cinco metros.

6. alcular la hipotenusa de un triangulo rectangulo, sabiendo que las medidas de suslados son tres numeros consecutivos.

7. Dado un terreno de forma rectangular en el que una de sus dimensiones mide eltriple de la otra. Si disminuimos en 1 metro cada lado, el area inicial disminuye en15 m cuadrados . Calcular las dimensiones y el area del terreno rectangular inicial.

8. Determina las medidas de un triangulo rectangulo, sabiendo que su perımetro es80 cm. Y la suma de sus catetos es 46cm.

9. Encuentre las dimensiones de un rectangulo con un perımetro de 54 metros, si sulongitud es 3 metros menor que el doble de su ancho.

10. Un rectangulo de 24 metros de longitud tiene la misma area que un cuadrado quetiene 12 metros de lado. ¿Cuales son las dimensiones del rectangulo?

11. Encuentre el perımetro de un triangulo, si uno de sus lados mide 16 pies, otro dosseptimos del primero y el tercero un tercio del perımetro.

12. Si la longitud y el ancho de un rectangulo de 4 por 2 metros se aumenta en lamisma cantidad cada una, el area del nuevo rectangulo sera dos veces el areaoriginal. ¿Cuales seran las dimensiones del rectangulo (con dos cifras decimales)?

13. Encuentre la base b y la altura h de un triangulo cuya area es de 2 pies cuadradossi su base es 3 metros mas larga que su altura. [Recuerde: El area de un trianguloesta dada por A = 1

2bh]

14. La diagonal de un rectangulo es de 10 metros, y el area es de 45 m2. Encuentre lasdimensiones del rectangulo correcto con una cifra decimal.

15.

De cada esquina de una hoja metali-ca cuadrada, se corta un cuadrado de 9cm. por lado. Se doblan los lados paraconstruir una caja sin tapa. Si la cajadebe contener 144 centımetros cubicos,¿cuales deben ser las dimensiones de lahoja metalica? Ver figura.

x

x

9 cm

9 cm 9 cm

9 cm

9 cm

9 cm

9 cm

9 cm

16. Una caja sin tapa sera construida de una hoja de metal rectangular cuya longitudes el doble que su anchura, a la cual se le quitara de cada esquina un cuadrado de 1cm. por lado, y se doblara hacia arriba los lados. Si la caja tendra capacidad para4 cm3, ¿cuales deben ser las dimensiones de la hoja metalica?

17. La piscina de un centro deportivo tiene 15 metros de ancho por 20 metros de largo.Los miembros del club desean agregar un pasillo de ancho uniforme alrededor dela piscina. Tienen suficiente material para 74 m2. ¿Que tan ancho puede ser estepasillo?

18. Un terreno rectangular de 4 metros de ancho por 8 metros de largo es usado comojardın. Se decide poner una vereda de ancho uniforme en toda la orilla interior demodo que 12 m2 del terreno se dejen para flores. ¿Cual debe ser el ancho de lavereda?

19. Danessa quiere comprar una Alfombra para un cuarto que mide 12m por 15m.Quiere tener una franja uniforme de piso alrededor de la alfombra. Solo puedecomprar 108m2 de alfombra. ¿Que dimensiones debe tener la alfombra?

20.

Un arquitecto quiere construir un edifi-cio rectangular en un terreno de formatriangular que tiene 200 pies de ancho y400 pies de largo (vease la figura). En-cuentre las dimensiones del edificio si laseccion transversal de su area mide 15 000pies2. [Sugerencia: Use el teorema de Eu-clides para encontrar una relacion entreel largo y el ancho del edificio.]

200 pies

400 pies

15 000 pies 2

21.

Un arquitecto esta disenando un marcoen forma de A para una cabana de descan-so. Una seccion transversal de la cabanaes un triangulo isosceles cuya area mide98 pies2. En la pared del frente se debeponer una puerta corrediza que mide 6pies de ancho y 8 de altura (vease la figu-ra ??). Encuentre el ancho y la altura dela seccion transversal de la cabana. [Re-cuerde: El area de un triangulo con baseb y altura h es bh

2]. 6 pies

8 pies

22.

Una pista de carreras de 14

de millaesta formada por dos semicırculos unidospor carreteras rectas paralelas (vease lafigura). Con el fin de proporcionar sufi-ciente espacio para el equipo de servicio,vehıculos de emergencia y estacionamien-to para espectadores, el area de la pistadebe medir 100 000 pies2. Encuentre lalongitud de las carreteras y el diametrode los semicırculos que mas aproximen.[Recuerde: El area A y la circunferenciaC de un cırculo de diametro d estan dadospor A = πd2

4y C = πd.]

100 000 pies 2

23.

Una artesa para agua esta construida conuna placa rectangular de metal de 4 por 6pies, con los extremos doblados de tal for-ma que al unirse entre sı exactamente enmedio del rectangulo, forman un triangu-lo en cada lado (vease la figura). Si el vol-umen de la artesa es 9 pies3, encuentre elancho correcto con dos cifras decimales

6 pies

2 pies

24.

Un cono de papel para beber agua, con laforma de un cono circular esta formadopor 125 centımetros cuadrados de papel(vease la figura). Si la altura del cono esde 10 centımetros, encuentre el radio cor-recto con dos cifras decimales. [Recuerde:El area de la superficie lateral del cono esS = πr

√r2 + h2]

h

r

25.

Se desea construir un silo para granos enforma de cilindro circular y semiesfericoen la parte superior. El diametro del silodebe ser de 30 pies, ¿cual sera la alturadel silo, si la capacidad debe ser de 11.250pies3? Vease la figura. 30 pies

h

26.

Calcular L y el angulo β en la figura

40.3o

100 m

200 m

L

β

27.

Calcular el valor de x en la figura ??

20 m

30 m

x

45˚ 30˚

28.

Se desea construir una rampa de accesoa la azotea de un edificio. Si la alturadel edificio es de 4 metros, ¿que longitudtendra la rampa si el angulo de elevaciondebe ser de 30◦? Vease la figura 30˚

40 m

L

29. En la figura 3.2 se muestra una estructura de acero. Obtenga las longitudes ”x”,”y”, ”z”, y el angulo θ.

45˚ 45˚

X Z Y

10 m 14 m 14 m 10 m

θ

Figura 3.2:

30. Un disenador de jardines usa tablones de 8 pies para formar una serie de triangulosisosceles a lo largo de la pared de una casa (vease la figura 3.3). Si el area de cadatriangulo mide 24 pies2, encuentre la base correcta con dos cifras decimales.

8pies

Figura 3.3:

31.

El dueno de una perrera tiene 270 met-ros de material para cercar y dividir unarea rectangular en 10 jaulas iguales, co-mo se ve en la figura. Encuentre dimen-siones que permitan 100m2 para cada unade las jaulas.

32.

Un acuario sin tapa se va a construir concostados de 6 metros de largo y extremoscuadrados, como se ve en la figura.

a) Encuentre la altura del acuario si elvolumen ha de ser de 48m3

b) Encuentre la altura si se van a usar44m2 de vidrio

33.

Un agricultor piensa usar 180 metros decerca para encerrar una region rectangu-lar, usando parte de un margen recta deun rıo en lugar de cerca como uno de loslados del rectangulo, como se ve en lafigura. Encuentre el area de la region, sila longitud del lado paralelo a la margenmide

a) el doble de la longitud de un ladoadyacente

b) la mitad de la longitud de un ladoadyacente

c) igual que la longitud de un ladoadyacente

Capıtulo 4

Inecuaciones en R

Antes de estudiar las inecuaciones o desigualdades en R, estudiaremos los intervalosen el conjunto de los numeros reales R.

4.1. Intervalos

Definicion 16. Un Intervalo es un subconjunto del conjunto de los numeros reales,diferente del vacıo, que se corresponden con los puntos de un segmento de recta, en larecta de los numeros reales.

4.1.1. Clases de Intervalos

Los intervalos se clasifican en Intervalos Finitos e Intervalos Infinitos.1. Intervalos Finitos. Estos pueden ser:

Intervalo Notacion Simbolica Notacion en Conjunto

Abierto〈a, b〉(a, b)]a, b[

{x/x ∈ R ∧ a < x < b}

Cerrado [a, b] {x/x ∈ R ∧ a ≤ x ≤ b}Semiabierto

[a, b〉〈a, b]

{x/x ∈ R ∧ a ≤ x < b}{x/x ∈ R ∧ a < x ≤ b}

2. Intervalos Infinitos. Estos pueden ser:

Intervalo Notacion Simbolica Notacion en ConjuntoInfinito Abierto por la derecha 〈−∞, a〉 {x/x ∈ R ∧ x < a}Infinito Abierto por la izquierda 〈a,+∞〉 {x/x ∈ R ∧ x > a}Infinito Cerrado por la derecha 〈−∞, a] {x/x ∈ R ∧ x ≤ a}Infinito Cerrado por la izquierda [a,+∞〉 {x/x ∈ R ∧ x ≥ a}

53

a b

a b

a b

a b

Intervalo Abierto

Intervalo Cerrado

Intervalo Semiabierto

Figura 4.1: Intervalos Finitos

a

a

a

a

-

+

-

+

α

α

α

α

Intervalo Infinitoabierto por laderecha

Intervalo Infinitoabierto por laizquierda

Intervalo Infinitocerrado por laderecha

Intervalo Infinitocerrado por laizquierda

Figura 4.2: Intervalos Infinitos

4.1.2. Operaciones con Intervalos

En toda esta seccion el conjunto R de numeros reales sera considerado como el uni-verso U , a menos q se especifique otra cosa.Ejemplo 4.1. Si A = 〈−6, 0〉 ∪ 〈1, 7]. Hallar A′

Solucion:Recordemos que A′ es el complemento del conjunto A

A A

−6 0 1 7

A’A’

A’

Figura 4.3:

A′ = 〈−∞,−6] ∪ [0, 1] ∪ 〈7,+∞〉

Ejemplo 4.2. Si A = [2, 3], B = 〈0, 32〉 y C = 〈−1, 2]. Hallar:

1. A ∩B

2. A ∩ C

3. B ∩ C

4. (A ∪ B) ∩ C

Solucion:

0-1 3/2 2 3

A

B

C

Figura 4.4:

Ayudandonos de la grafica en la figura 4.4

1. A ∩B = φ

2. A ∩ C = {2}

3. B ∩ C = B = 〈0, 32〉

4. (A ∪B) ∩ C = 〈0, 32〉 ∪ {2}

4.2. Inecuaciones

Definicion 17. De una forma general, una inecuacion es un enunciado de que doscantidades o expresiones no son iguales.

Ahora definiremos una inecuacion desde el punto de vista del algebra.

Definicion 18. Una inecuacion llamada tambien desigualdad, es una expresion de laforma P (x) < Q(x), donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado n y m respectivamente,ademas uno de ellos puede ser un polinomio de grado cero. Otras formas de expresardesigualdades son:

P (x) > Q(x)

P (x) ≤ Q(x)

P (x) ≥ Q(x)

A continuacion mencionaremos algunas propiedades importantes que nos ayudaranen el desarrollo de ejercicios acerca de inecuaciones

4.2.1. Propiedades de las Inecuaciones

Sean a, b, c numeros reales, entonces se cumple:

1. Si a < b, entonces a+ c < b+ c

2. Si a < b, entonces a− c < b− c

3. Si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c

4. Si a < b y c < 0, entonces a · c > b · c

5. Para cualquier numero real a, a2 > 0

6. Si a > 0, entonces 1a> 0

7. Si a < 0, entonces 1a< 0

4.2.2. Inecuaciones Lineales

Las inecuaciones lineales son de la forma:

ax+ b < c,

ax+ b > c,

ax+ b ≤ c,

ax+ b ≥ c

donde: a, b y c son numeros reales, con a 6= 0 Para resolver inecuaciones de este tipose busca despejar la variable, aplicando las propiedades estudiadas anteriormente y lasleyes matematicas basicas; como la de los signos, terminos semejantes y demas.Ejemplo 4.3. Resolver:

−3x+ 4 < 11

Solucion:

−3x+ 4 < 11−3x < 11− 4−3x < 7−7 < 3x−73

< x

Por lo tanto:

C.S = 〈−73,+∞〉

Ejemplo 4.4. Resolver:

−5 ≤ 4− 3x

2< 1

Solucion:

−5 ≤ 4−3x2

< 1−10 ≤ 4− 3x < 2−10− 4 ≤ −3x < 2− 4−14 ≤ −3x < −214 ≥ 3x > 2 (multiplicando por − 1)143

≥ x > 23

Por lo tanto:

C.S. = 〈23,14

3]

4.2.3. Inecuaciones Cuadraticas

Las inecuaciones cuadraticas son de la forma

ax2 + bx + c < 0,

ax2 + bx + c > 0,

ax2 + bx+ c ≥ 0,

ax2 + bx+ c ≤ 0

donde: a, b y c son numeros reales, con a 6= 0.La resolucion de este tipo de inecuaciones, se puede hacer por el metodo de diagrama

de signos, que lo explicaremos en el siguiente ejemplo.Ejemplo 4.5. Resolver: x2 − x− 6 ≥ 0

Solucion:

1. El primer paso es determinar los puntos crıticos, los cuales se obtienen desarrollandola ecuacion:

x2 − x− 6 = 0

Utilizando los metodos estudiados para resolver una ecuacion cuadratica, obten-emos los puntos crıticos: x = 3 y x = −2

2. Ahora ubicamos los puntos crıticos hallados en el paso anterior, en la recta de losnumeros reales; luego particionamos la recta en los intervalos 〈−∞,−2], [−2, 3]y [3,+∞〉, y ubicamos los signos + y − en los intervalos de manera alternadaempezando de derecha a izquierda, como se muestra en la figura 4.5.

-2 3

+-+

+α−α

Figura 4.5:

3. Por ultimo, observemos que en la inecuacion del ejemplo, la expresion x2 − x − 6es “≥ 0”(mayor o igual que cero), entonces el conjunto solucion es la union de losintervalos que tienen el signo “+”, es decir:

C.S. = 〈−∞,−2] ∪ [3,+∞〉

Ejemplo 4.6. Resolver: x2 − x− 6 ≤ 0

Solucion:


x2 − x− 6 = 0


2. Ahora ubicamos los puntos crıticos hallados en el paso anterior, en la recta de losnumeros reales; luego particionamos la recta en los intervalos 〈−∞,−2], [−2, 3]y [3,+∞〉, y ubicamos los signos + y − en los intervalos de manera alternadaempezando de derecha a izquierda, como se muestra en la figura 4.5.

3. Por ultimo, observemos que en la inecuacion del ejemplo dado, la expresion x2−x−6es “≤ 0”(menor o igual que cero), entonces el conjunto solucion es la union de losintervalos que tienen el signo “−”, en este caso:

C.S. = [−2, 3]

Ejemplo 4.7. Resolver: x2 − x− 6 > 0

Solucion:


x2 − x− 6 = 0


2. Ahora ubicamos los puntos crıticos hallados en el paso anterior, en la recta de losnumeros reales; luego particionamos la recta en los intervalos 〈−∞,−2〉, 〈−2, 3〉y 〈3,+∞〉, y ubicamos los signos + y − en los intervalos de manera alternadaempezando de derecha a izquierda, como se muestra en la figura 4.6.

-2 3

+-+

+α−α

Figura 4.6:

3. Por ultimo, observemos que en la inecuacion del ejemplo, la expresion x2−x−6 es“> 0”(mayor que cero), entonces el conjunto solucion es la union de los intervalosque tienen el signo “+”, es decir:

C.S. = 〈−∞,−2〉 ∪ 〈3,+∞〉

Ejemplo 4.8. Resolver: x2 − x− 6 < 0

Solucion:


x2 − x− 6 = 0


2. Ahora ubicamos los puntos crıticos hallados en el paso anterior, en la recta de losnumeros reales; luego particionamos la recta en los intervalos 〈−∞,−2〉, 〈−2, 3〉y 〈3,+∞〉, y ubicamos los signos + y − en los intervalos de manera alternadaempezando de derecha a izquierda, como se muestra en la figura 4.6.

3. Por ultimo, observemos que en la inecuacion del ejemplo, la expresion x2−x−6 es“< 0”(menor que cero), entonces el conjunto solucion es la union de los intervalosque tienen el signo “−”, en este caso:

C.S. = 〈−2, 3〉

4.2.4. Inecuaciones Polinomicas

Las inecuaciones polinomicas tienen la forma:

P (x) : anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0 > 0

P (x) : anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0 < 0

Para un polinomio de grado n, con coeficientes reales:

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0

existen n numeros reales ri con i = 1, n (no necesariamente distintos) tales que:

P (x) = (x− r1)(x− r2)(x− r3) . . . (x− rn)

Si uno de los factores del polinomio P (x) es (x − r), entonces se dice que r es un ceroo raız de P (x); si m de estos factores son precisamente (x − r), r se llama un cero demultiplicidad m.Se dice que un valor crıtico es un cero simple si su multiplicidad es uno, en caso contrario,se dice que es un cero multiple.Existen tres casos para resolver inecuaciones polinomicas y son los siguientes:

1. Caso I. Los ceros del polinomio P (x) son de multiplicidad simple, es decir, sonreales y diferentes. Esto es, si:

P (x) = (x− r1)(x− r2)(x− r3) . . . (x− rn)

donde: r1 < r2 < r3 < . . . < rnLos pasos a seguir son los siguientes:

a) Se halla los valores crıticos factorizando el polinomio P (x) y resolviendo laecuacion P (x) = 0.

b) Se ubica los valores crıticos sobre una recta real y se senalan los intervalos devariacion.

c) Se anota con signo (+) el ultimo intervalo 〈rn,+∞〉, luego en los demas in-tervalos se alterna los signos (−), (+), (−),. . . de derecha a izquierda

d) El conjunto solucion lo conforman la union de intervalos con signo positivo siP (x) > 0 (o P (x) ≥ 0), o la union de intervalos con signo negativo si P (x) < 0(o P (x) ≤ 0).


x4 + 2x3 − 9x2 − 2x+ 8 > 0

Solucion:

a) Hallamos los puntos crıticos resolviendo la ecuacion

x4 + 2x3 − 9x2 − 2x+ 8 = 0

de donde se tiene: x = −4, x = −1, x = 1 y x = 2

b) Ahora ubicamos los puntos crıticos (en orden) en la recta de los numerosreales y luego la particionamos en los intervalos 〈−∞,−4〉, 〈−4,−1〉, 〈−1, 1〉,〈1, 2〉 y 〈2,+∞〉; luego ubicamos los signos + y − en los intervalos de maneraalternada, de derecha a izquierda, como se muestra en la figura 4.7

+-+

+α−α-4 -1 1 2

+ -

Figura 4.7:

c) Luego, el conjunto solucion es la union de los intervalos que tienen el signopositivo, pues en la inecuacion, la expresion x4 +2x3− 9x2− 2x+8 es mayorque cero. Ası pues:

C.S = 〈−∞,−4〉 ∪ 〈−1, 1〉 ∪ 〈2,+∞〉


2x4 − 7x3 − 11x2 + 22x+ 24 ≤ 0

Solucion:

El desarrollo le dejamos al lector: P.C.: −1, 2, 4,−3/2

2. Caso II. Los factores de P (x) son todos lineales y algunos son ceros de multiplici-dad multiple. Supongamos que (x− ri) es el factor que se repite m veces, entoncespuede ocurrir lo siguiente:

a) Si m es par, los signos de los intervalos donde figure ri son iguales, es decir,no son alternados. Entonces se elimina el factor (x− ri) y se trabaja con losdemas factores como en el caso I. Esto es, si:

1) (x− ri)m(x− a)(x− b) > 0↔ (x− a)(x− b) > 0 y x 6= ri

2) (x− ri)m(x− a)(x− b) < 0↔ (x− a)(x− b) < 0 y x 6= ri

3) (x− ri)m(x− a)(x− b) ≥ 0↔ (x− a)(x− b) ≥ 0 o x = ri

4) (x− ri)m(x− a)(x− b) ≤ 0↔ (x− a)(x− b) ≤ 0 o x = ri


(x+ 2)(x− 1)2(x− 4) ≥ 0

Solucion:

Observamos que en la inecuacion dada, aparece el factor lineal (x−1) elevadoa un exponente par, en este caso 2. Aplicando el caso II en esta desigualdad,podemos eliminar el factor (x − 1)2, pero teniendo en cuenta que x = 1 estambien solucion para esta inecuacion. Entonces:

(x+ 2)(x− 1)2(x− 4) ≥ 0⇔ (x+ 2)(x− 4) ≥ 0 ∨ x = 1

Aplicando el caso I, se deduce que:

C.S = 〈−∞, 2] ∪ [4,+∞〉

b) Si m es impar, el factor (x − ri) tiene el mismo signo del factor (x − ri), enconsecuencia, la inecuacion se resuelve como en el caso I, esto es, si:

1) (x− ri)m(x− a)(x− b) > 0↔ (x− ri)(x− a)(x− b) > 0

2) (x− ri)m(x− a)(x− b) < 0↔ (x− ri)(x− a)(x− b) < 0


(x+ 2)(x− 1)3(x− 3)(x− 6) < 0

En esta inecuacion observamos que hay un factor lineal elevado a un expo-nente impar, (x − 1)3, entonces resolvemos la desigualdad como en el caso I,considerando el factor (x− 1). Entonces:

(x+ 2)(x− 1)3(x− 3)(x− 6) < 0⇔ (x+ 2)(x− 1)(x− 3)(x− 6) < 0

De donde se tiene elC.S. = 〈−2, 1〉 ∪ 〈3, 6〉

3. Caso III. Cuando los factores de P (x) son lineales y cuadraticos, siendo los cerosdel factor cuadratico no reales, entonces se prescinde de este factor y se analiza lossignos con los demas factores.


(x+ 2)(x− 1)(x− 3)(x2 + 4) < 0

Solucion:

Observamos que en esta desigualdad, aparece un factor cuadratico irreducible (nofactorizable), (x2 + 4), entonces eliminamos este factor, y se analiza la inecuacioncon los demas factores, es decir:

(x+ 2)(x− 1)(x− 3)(x2 + 4) < 0⇔ (x+ 2)(x− 1)(x− 3) < 0

Aplicando el caso I, se tiene el conjunto solucion:

C.S = 〈−∞,−2〉 ∪ 〈1, 3〉

Nota 6. Para determinar si el factor cuadratico ax2 + bx+ c es irreducible, bastaanalizar el discriminante ∆ = b2 − 4ac de la ecuacion ax2 + bx+ c = 0

Si ∆ < 0, el factor cuadratico es irreducible


(x+ 1)(x− 1)(x− 4)(x2 − 2x+ 4) > 0

Solucion:

Observemos que el factor cuadratico x2 − 2x + 4 es irreducible, pues ∆ = −12 <0, entonces debemos eliminar este factor, y analizar la inecuacion con los demasfactores, es decir:

(x+ 1)(x− 1)(x− 4)(x2 − 2x+ 4) > 0⇔ (x+ 1)(x− 1)(x− 4) > 0

Aplicando el caso I, obtenemos el conjunto solucion:

C.S. = 〈−1, 1〉 ∪ 〈4,+∞〉


(x3 − 8)(x2 − 9)2(x2 + 4)

(x2 − 4)(x− 1)≤ 0

Solucion: El desarrollo se deja al lector

4.2.5. Inecuaciones Racionales

Las inecuaciones racionales son aquellas donde el numerador y denominador de lafraccion que la define son polinomios lineales, se pueden esquematizar ası:

P (x)

Q(x)< 0

para Q(x) 6= 0, o tambien como P (x)Q(x)

> 0, P (x)Q(x)≥ 0, P (x)

Q(x)≤ 0

Resolver una inecuacion racional P (x)Q(x)

> 0 con Q(x) 6= 0, es equivalente a solucionarla desigualdad

P (x)Q(x) > 0

Ejemplo 4.16. Resolver: x+2x+3

> 0

Solucion:Resolver la inecuacion dada, es equivalente a resolver la desigualdad

(x+ 2)(x+ 3) > 0

con x + 3 6= 0 (o x 6= −3) luego aplicando el caso I para inecuaciones polinomicas,tenemos el conjunto solucion

C.S. = 〈−∞,−3〉 ∪ 〈−2,+∞〉

Ejemplo 4.17. Resolver: x+2x+3≥ 0

Solucion:Resolver la inecuacion dada, es equivalente a resolver la desigualdad

(x+ 2)(x+ 3) ≥ 0

con x + 3 6= 0 (o x 6= −3) luego aplicando el caso I para inecuaciones polinomicas,tenemos el conjunto solucion

C.S. = 〈−∞,−3] ∪ [−2,+∞〉, con x 6= −3o lo que es equivalente a:

C.S. = 〈−∞,−3〉 ∪ [−2,+∞〉


1. Resolver las siguientes inecuaciones:

a) −1 ≤ −3 + 3x ≤ 2

b) x2− 1

4> 2x+ 1

3

c) 5x− 2 < 10x+ 8 < 2x− 8

d) xa2−b2

+ 3xa+b

< 5a−b

, a > b > 0

e) 2x3a

+ 4 > 5x6b

+ 2x, a > b > 0

f ) xa+ x

b> 1 + x

c, c > b > a > 0


a) 2x2 − 6x+ 3 < 0

b) 9x2 + 54x > −76c) 4x2 + 9x+ 9 < 0

d) x4 − 2x2 − 8 < 0

e) x2 − 2√3x− 2 > 0

f ) 3x2 − 10x+ 3 < 0

g) 4x2 − 8x+ 1 < 0

h) x(x− 3)(x− 1)(x+ 2) > 16

i) (x2 + x− 6)(4x− 4− x2) ≤ 0

j ) x3 − 3x2 − 13x+ 15 > 0

k) x5 + 3x4 − 5x3 − 15x2 + 4x+ 12 > 0

l) (x2 − 2x− 5)(x2 − 2x− 7)(x2 − 2x− 4) ≤ 0

m) (x3 − 5x2 + 7x− 3)(2− x) ≥ 0

n) (x2 + 6x− 1)(x3 − 2x2 − 2x+ 4)(x+ 5)5 > 0

n) (3− x)3(x2 − 1)2(1− x)5x > 0

o) x4 − 3x3 + 5x2 − 27x− 36 < 0

p) (2x2 − 4x− 1)(3x2 − 6x+ 4)(x2 + 4x− 2) ≥ 0

q) (x2 − 1)(x2 + 9)(x+ 4)(x− 5) > 0

r) x6 + 6x4 + 9x2 + 4 ≤ 0

s) x5 − 6x4 − 17x3 + 17x2 + 6x− 1 > 0

t) x4 − 2x3 − 5x2 + 10x− 3 ≤ 0


a) x+12−x

< x3+x

b) x+2x−2≥ x2+2

x2

c) x3−4x2+2

< x3−2x2+1

d) x2+2x4+1

> x2+1x4+1

e) 1x≤ 3x+1

x< 4

f ) x+4x2+4x+4

> x−2x2−4

g) −12< 2x2−3x+3

(x−2)(2x+3)

h) xx2+4

≤ x−3x2+x+4

i) (x2−2)(x+5)(x−3)x(x2+2)(x+3)

> 0

j ) (6x+3)2(x2+1)3(3x−5)7

(x+6)2(2x+3)17≥ 0

k) (4x+2)2(x2+2)5(2x−8)9

(x+1)2(2x+5)13≤ 0

l) x2−2x+3x2−4x+3

> −3m) 2x−1

x+4+ x+2

3−x> x−1

x+3

n) (x2+x−6)(x2−x−6)(x2−4)(x2−16)

≤ 0

n) (x−3)(x+2)2(x+1)(x−4)x(x+2)(x2−3)(x+3)(x2+4)

> 0

o) (x2−5)(x2+7)(x2+x+1)(x2−3x+2)

≥ 0

p) 2x−252(x2+2x−3)

+ 2x+112(x2−1)

> 1x+3

q) x3−x2−8x+12x2+5x−14

≤ 0

r) x4−3x3−6x2−28x−2440+(x−1)(x−3)(x+4)(x+6)

< 0

s) 2x2x2+7x+5

> xx2+6x+5

t) 7x−4

+ 30x+2≤ 7

x+1

4.4. Poblemas de Inecuaciones

1. Una resistencia de 7 ohmios y una resistencia variable se instalan en paralelo. Laresistencia resultante RT esta dada por

RT =7R

7 +R

determine los valores de la resistencia variable R para los cuales la resistenciaresultante RT sera mayor de 3 ohmios.

2. Un macizo rectangular va a ser dos veces mas largo que ancho. Si el area circundadadebe ser de mas de 98m2, ¿que puede concluir sobre el ancho del macizo?

3. La intensidad I en lumen de cierta fuente de luz en un punto a r centımetros dela fuente esta dada por

I =625

r2

¿A que distancias de la fuente de luz la intensidad sera menor de 25 lumens?

4. El numero de diagonales d de un polıgono de nlados, esta dado por

d =(n− 1)n

2− n

¿Para que polıgonos pasara de 27 el numero de diagonales?

5.

Los lados de un cuadrado se extien-den para formar un rectangulo. Como lomuestra la figura, un lado se extiende2 cm. y el otro 5 cm. Si el area delrectangulo resultante es menor de 130cm2, ¿Cuales son las posibles longitudesde un lado del cuadrado original?

x

x 5

2

6. El aire seco tiende a avanzar hacia arriba y a expandirse, y al ir avanzando se enfrıaa una razon constante de 5,5◦F por cada 1000 pies que asciende hasta alcanzaruna altitud de 40 000 pies. Si la temperatura en el suelo es de 70◦F , entonces latemperatura T a una altura h estara dada aproximadamente por

T = 70− 0,0055h

. ¿Para que rango de altitud la temperatura estara entre 26◦F y −40◦F , en total?

7. En 1984, al perforar el pozo mas profundo del mundo, los sovieticos encontraronque la temperatura a x kilometros de profundidad de la Tierra estaba dada por

T = 30 + 25(x− 3) 3 ≤ x ≤ 15

donde T es la temperatura en grados Celsius. ¿A que profundidad la temperaturaestara entre 200◦ y 300◦ en total?

8. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad de 90 m/seg.La distancia y de la pelota al suelo despues de t segundos es: y = 80t− 16t2. ¿Enque intervalo de tiempo la pelota estara a mas de 96 metros de altura?

9.

Capıtulo 5

Relaciones Binarias en R

Como concepto fundamental, la palabra relacion significa una conexion o correspon-dencia de un determinado ente con otro.Ası por ejemplo, las expresiones “papa de”, “hijo de”, designan relaciones entre miembrosde una familia (seres vivos); las expresiones “menor que”, “mayor que”denotan relacionesentre numeros (entes abstractos). Expresiones como estas y muchas mas, llevan a enten-der que relacion es un conjunto de parejas que satisfacen una propiedad.

5.1. Producto Cartesiano

Par Ordenado

LLamaremos par ordenado de numeros reales a la expresion (a, b) donde a es lla-mada la primera componente y b la segunda componente. A a tambien se le llama abcisay a b ordenada.Ejemplo 5.1. (1, 2), (−1

4, 5), (

√7, 0) son ejemplos de pares ordenados.

Igualdad de Pares Ordenados

Los pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si sus correspondientes componentesson iguales, es decir:

(a, b) = (c, d)⇔ a = c ∧ b = d

5.1.1. Producto Cartesiano

Definicion 19. Dados dos conjuntos A y B (diferentes del conjunto vacıo), se llamaproducto cartesiano de A por B en ese orden, al conjunto formado por todos los paresordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B y simbolicamente se representa ası:

A×B = {(a, b) ∈ A× B/a ∈ A ∧ b ∈ B}

Ejemplo 5.2. Dados los conjuntos: A = {2, 4, 6} y B = {1, 3}, hallar A× B y B ×A.Ademas representar geometricamente estos productos cartesianos.

Solucion:

66

A \B 1 32 (2, 1) (2, 3)4 (4, 1) (4, 3)6 (6, 1) (6, 3)

B \ A 2 4 61 (1, 2) (1, 4) (1, 6)3 (3, 2) (3, 4) (3, 6)

Ası pues:A×B = {(2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (6, 3)}

yB ×A = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 1), (3, 4), (3, 6)}

Geometricamente representamos A× B y B ×A respectivamente

0 2 4 6

1

3

A

B

(2,1)

(2,3) (4,3)

(4,1)

(6,3)

(6,1)

0

2

4

6

1 3

A

B

(1,2) (3,2)

(1,4) (3,4)

(1,6) (3,6)

5.2. Relacion Binaria

Definicion 20. Dados los conjuntos A y B no vacıos. Se llama relacion binaria de Aen B (o relacion entre elementos de A y B) a todo subconjunto R del producto cartesianoA×B. Simbolicamente:

R es una relacion de A en B ⇔R ⊆ A×B

Ejemplo 5.3. Sean A = {2, 4, 6} y B = {1, 3}. Analice si los siguientes conjuntos sonrelaciones binarias de A en B:

1. R1 = {(2, 1), (6, 1), (6, 3)}

2. R2 = {(2, 3), (3, 4), (6, 1)}

3. R3 = {(2, 2), (4, 1)(6, 1)}

4. R4 = {(2, 3)(6, 3)}

Solucion:Sabemos que

A×B = {(2, 1), (2, 3), (4, 1), (4, 3), (6, 1), (6, 3)}

Entonces

1. R1 es una relacion binaria de A enB, pues R1 ⊂ A×B

2. R2 no es una relacion binaria de Aen B, pues R2 * A × B, ya que(3, 4) /∈ A× B

3. R3 no es una relacion binaria de Aen B, pues R3 * A×B, ya que (2, 2)y (6, 1) no son elementos de A× B

4. R4 es una relacion binaria de A enB, pues R4 ⊂ A× B

Observacion 2. Debemos tener en cuenta lo siguiente:

1. Si A = B, entonces R es una relacion en A o, R es una relacion entre elementosde A.

2. Si R es una relacion entre elementos de A y B, al conjunto A le llamaremosconjunto de partida y al conjunto B le llamaremos conjunto de llegada.

3. Si A tiene p elementos y B tiene q elementos, entonces existen 2n relaciones entreA y B, donde n = pq

4. Si A = B = R, entonces R es una relacion binaria en R.

5. Una relacion binaria R, entre elementos del conjunto de los numeros reales R,esta determinado por una funcion proposicional P (x, y), es decir:

R = {(x, y) ∈ R× R/P (x, y)}

6. Cuando el par ordenado (a, b) satisface a la funcion proposicional P (x, y) de larelacion R, diremos que (a, b) ∈ R, en caso contrario (a, b) /∈ R.

5.2.1. Dominio y Rango de una Relacion Binaria

Definicion 21. Sean A y B dos conjuntos (no vacıos) y R una relacion binaria de Aen B, entonces:

1. El dominio de la relacion R denotado por Dom(R), es el conjunto definido por:

Dom(R) = {a ∈ A/∃ b ∈ B ∧ (a, b) ∈ R}

2. El rango de la relacion R denotado por Ran(R), es el conjunto definido por:

Ran(R) = {b ∈ B/∃ a ∈ A ∧ (a, b) ∈ R}

La definicion anterior nos dice, que el dominio de una relacion R es el conjuntoformado por todas las primeras componentes (sin que se repitan) de los pares ordenadosque pertenecen a R; de la misma manera, el rango esta formado por todas las segundascomponentes (sin que se repitan) de los pares ordenados que pertenecen a REjemplo 5.4. Sean A = {2, 4, 6} y B = {1, 3} y sea R = {(2, 1), (4, 1)} una relacionbinaria de A en B, entonces:

Dom(R) = {2, 4}y

Ran(R) = {1}

5.2.2. Propiedades de una Relacion Binaria

1. Reflexiva. Sea A un conjunto diferente del vacıo, y R una relacion binaria enA, entonces diremos que R es reflexiva si para todo elemento a ∈ A, se cumple(a, a) ∈ R.

R es reflexiva en A⇔ ∀ a ∈ A, (a, a) ∈ R2. Simetrica. Sea A un conjunto diferente del vacıo, y R una relacion binaria en A,

entonces diremos que R es simetrica si (a, b) ∈ R, implica (b, a) ∈ R.R es simetrica en A⇔ ∀ (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R

3. Transitiva. Sea A un conjunto diferente del vacıo, y R una relacion binaria en A,entonces diremos que R es transitiva si (a, b) ∈ R y (b, c) ∈ R, implica (a, c) ∈ R.

R es transitiva en A⇔ [(a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R]

4. Antisimetrica. Una relacion R en A, diremos que es antisimetrica si y solo si,(a, b) ∈ R y (b, a) ∈ R entonces a = b.

R es antisimetrica en A⇔ [(a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b]

5. De Equivalencia. Una relacionR enA es de equivalencia, si cumple la propiedadreflexiva, simetrica y transitiva a la vez.

6. De Orden. Una relacion R en A es de orden, si cumple la propiedad reflexiva,antisimetrica y transitiva a la vez.

5.3. Relaciones Binarias en R

En esta seccion estudiaremos las relaciones binarias en R, es decir aquellas relacionesque tienen como conjunto de partida y de llegada al conjunto de los numeros reales R ysus respectivas graficas.

El producto cartesiano R× R o denotado simplemente por R2 esta definido como:

R2 = R× R = {(x, y) ∈ R2/x ∈ R ∧ y ∈ R}

5.3.1. Distancia entre dos puntos

Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos delplano cartesiano (o coordenado) R2, en-tonces la distancia entre estos dos puntosesta dado por:

d(P1, P2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)20 Rx x

y

y

1

1

2

2

1

2

P

P

d

R

x1

x2

-

y1

y2

-

Ejemplo 5.5. Dados los puntos P1(1, 3) y P2(−3, 4). Hallar la distancia del punto P1 aP2

Solucion:

d(P1, P2) =√

(−3 − 1)2 + (4− 3)2 =√17 = 4,123 u

5.3.2. Graficas de relaciones binarias en R

Un conjunto G de puntos del plano cartesiano es la grafica de la relacionR si verificanla propiedad:

P (x, y) ∈ G⇔ (x, y) ∈ REn la practica, la grafica de una ecuacion de la forma

E(x, y) = 0

en las variables x e y, es la grafica de la relacion:

R = {(x, y)/E(x, y) = 0}

En las siguientes secciones estudiaremos algunas relaciones binarias en el conjuntod elos numeros reales muy importantes, como son la Recta, Parabola, Circunferencia,Elipse e Hiperbola.

5.3.3. La Recta

La recta es la grafica de la relacion

R = {(x, y) ∈ R2/Ax+By + C = 0}

donde A, B y C son numeros reales.

Ejemplo 5.6. Trazar la grafica de la relacion

R1 = {(x, y) ∈ R2/2x+ 5y − 10 = 0}

Solucion:Segun un postulado de la geometrıa que afirma que dos puntos distintos determinan

una recta y solo una, entonces para nuestro ejemplo bastara hallar dos pares de puntosde la misma recta, de la siguiente manera:

1. Si x = 0, entonces

5y − 10 = 0

de donde se tiene y = 2, por lo tan-to obtenemos el punto P (0, 2) quepertenece a la recta.

2. Si y = 0, entonces

2x− 10 = 0

de donde se tiene x = 5, por lotanto obtenemos el punto Q(5, 0) quepertenece a la recta.

El dominio de esta relacion es

Dom(R1) = R

y tambien el rango esta dado por:

Ran(R1) = R

Ejemplo 5.7. Trazar la grafica de la relacion

R2 = {(x, y) ∈ R2/2x+ 5y − 10 = 0, −2 < x ≤ 4}

Solucion:1. Si x = −2 entonces

5y − 14 = 0

de donde se tiene y = 145, por lo tan-

to obtenemos el punto P (−2, 145) que

pertenece a la recta.

2. Si x = 4 entonces

5y − 2 = 0

de donde se tiene y = 25, por lo tan-

to obtenemos el punto Q(4, 25) que

pertenece a la recta.El dominio de esta relacion es

Dom(R2) = 〈−2, 4]

y tambien el rango esta dado por:

Ran(R1) =

[2

5,14

5

⟩

Como podemos observar la grafica de la ecuacion de la forma

Ax+By + C = 0

es una recta, ahora seguiremos estudiando mas sobre rectas, antes debemos definir lapendiente de una recta.

Definicion 22. Sea L una recta que noes paralela al eje Y y sean P1(x1, y1) yP2(x2, y2) puntos distintos en L. La pendi-

ente m de L es:

m = tan θ = y2−y1x2−x1

P

P

1

2

x x

y

y

1

2

1 2

L

x2

- x1

y2

y1

-

θ

θ

Nota 7.

1. La pendiente de una recta es la tangente del angulo de inclinacion de dicha recta.

2. La pendiente nos indica el comportamiento de la recta, es decir:

a) Si m > 0 la recta se inclina hacia la dercha

b) Si m = 0 la recta es paralela al eje horizontal X

c) Si m < 0 la recta se inclina hacia la izquierda.

3. Si la recta L es paralela al eje Y , entonces la pendiente de L no esta definida.

L

m>0

X

Y

L

m=0

X

Y

L

m<0

X

YL

"m" no está definida

X

Y

Ejemplo 5.8. Trace la recta que pasa por cada par de puntos y encuentre su pendientem:

1. P (−1, 4) y Q(3, 2)

2. P (2, 5) y Q(−2,−1)

3. P (4, 3) y Q(−2, 3)

4. P (4,−1) y Q(4, 4)

Forma de punto pendiente para la ecuacion de una recta

Una ecuacion para la recta que pasa por el punto P1(x1, y1) con pendiente m es

y − y1 = m(x− x1)

Ejemplo 5.9. Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por el punto P1(3, 2) y tienecomo pendiente m = −3.

Ejemplo 5.10. Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por los punto P (−1, 4) yQ(3, 5).

Forma de ordenada en el origen para la ecuacion de una recta

La ecuacion de una recta que tiene pendiente m y pasa por la ordenada b, es:

y = mx+ b

Ejemplo 5.11. Encuentre la ecuacion de la recta en su forma ordenada en el origen,que tiene como pendiente 2 y corta al eje Y en el punto P (0, 5).

Ejemplo 5.12. Exprese la ecuacion 4x− 3y = 12 en forma de ordenada en el origen.

Forma general para la ecuacion de una recta

La ecuacion general de una recta, es:

Ax+By + C = 0

donde A, B y C son numeros reales

Ahora estudiaremos las rectas paralelas y perpendiculares

1. Rectas Paralelas

Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 ym2 son paralelas si m1 y m2 son iguales.Simbolicamente:

L1 ‖ L2 ⇔ m1 = m2

L

X

Y 1

L2

2. Rectas Perpendiculares

Dos rectas L1 y L2 con pendientes m1 ym2 son perpendiculares si y solo si elproducto de sus pendientes es igual a −1.Simbolicamente:

L1 ⊥ L2 ⇔ m1 ·m2 = −1

L

X

Y

1L

2

Ejemplo 5.13. Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por el punto P (−1, 1) y esparalela a la recta 3x− 2y = 6

Ejemplo 5.14. Encuentre la ecuacion de la recta que pasa por el punto P (−1, 1) y esperpendicular a la recta 3x− 2y = 6

5.3.4. La Circunferencia

La circunferencia es la grafica de la relacion

R = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0}donde D, E y F son numeros reales.

De la ecuacionx2 + y2 +Dx+ Ey + F = 0

, que es la ecuacion general de la circunferencia, por el metodo de completar cuadra-dos se llega a una expresion de la forma:

(x+D

2)2 + (y +

E

2)2 =

1

4(D2 + E2 − 4F )

Haciendo: t = 14(D2 + E2 + 4F ), entonces:

1. Si t > 0, la grafica de R es una circunferencia de centro (−D2,−E

2) y radio r =

√t

2. Si t = 0, la grafica de R es un punto: (−D2,−E

2)

3. Si t < 0, R no tiene representacion grafica, es un conjunto vacıo.

Ecuacion particular o estandar de la circunferencia

Si en la ecuacion:

(x+D

2)2 + (y +

E

2)2 =

1

4(D2 + E2 − 4F )

hacemos que:h = −D

2

k = −E2

r2 = 14(D2 + E2 + 4F )

entonces, tenemos la ecuacion particular de la circunferencia:

(x− h)2 + (y − k)2 = r2

Luego:

1. El centro de la circunferencia esta dado por el punto C(h, k), y

2. El radio de la circunferencia esta dado por “r”

Ejemplo 5.15. Graficar la relacion

R1 = {(x, y) ∈ R2/(x− 1)2 + (y + 3)2 = 9}

y, hallar el dominio y rango de de la relacion

Solucion:Observemos que:

(x− 1)2 + (y + 3)2 = 9

es la ecuacion de una circunferencia, en-tonces tiene como centro al punto

C(1,−3)

y el radio es r = 3.De la grafica, se obtiene:

Dom(R1) = [−2, 4]y

Ran(R1) = [−6, 0]

Ejemplo 5.16. Graficar la relacion

R2 = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 + 4x− 2y + 1 = 0}

y, hallar el dominio y rango de de la relacion

Solucion:Observemos que

x2 + y2 + 4x− 2y + 1 = 0

es la ecuacon general de la circunferencia, ahora deduzcamos la ecuacion particular porel metodo de completar cuadrados:

(x2 + 4x) + (y2 − 2y) + 1 = 0

(x+ 42)2 − (4

2)2 + (y − 2

2)2 − (2

2)2 + 1 = 0

(x+ 42)2 + (y − 2

2)2 = 4

(x+ 2)2 + (y − 1)2 = 4

Ası pues, el centro de la circunferencia es

C(−2, 1)

y el radio es r = 2. De la grafica se determinaque:

Dom(R2) = [−4, 0]y

Ran(R2) = [−1, 3]

Ejemplo 5.17. Encuentre una ecuacion de la circunferencia que tiene centro C(−2, 3)y contiene el punto P (4, 5). Grafıquela y, halle el dominio y rango.

5.3.5. La Parabola

Definicion 23. Una parabola es el conjun-to de todos los puntos de un plano equidis-tantes de un punto fijo F (el foco) y una rec-ta fija L (la directriz) que esta en el plano

P

FV

LEje Focal

Directriz

La parabola es la grafica de las relaciones

R1 = {(x, y) ∈ R2/Ax2 +Bx+ Cy +D = 0}

o

R2 = {(x, y) ∈ R2/Ay2 +Bx+ Cy +D = 0}donde: A, B, C y D son numeros reales.

En el siguiente cuadro haremos las diferencias entre las relaciones R1 y R2

Ax2 +Bx+ Cy +D = 0 Ay2 +Bx+ Cy +D = 0

Ecuacion particular o estandar (x− h)2 = 4p(y − k) (y − k)2 = 4p(x− h)

Parametro p p

Vertice V (h, k) V (h, k)

Foco F (h, k + p) F (h+ p, k)

Recta Directriz L y = k − p x = h− p

Observacion 3. El parametro p es la distancia que hay del foco al vertice, o tambien ladistancia que hay del vertice a la recta directriz, es decir:

p = d(F, V ) = d(V, L)

En cuanto al comportamiento de las graficas tenemos lo siguiente:

1. Para Ax2 + Bx + Cy +D = 0, si p > 0 la parabola se abre hacia arriba desde elvertice; si p < 0 la parabola se abre hacia abajo desde el vertice.

Figura 5.1: Comportamiento de la parabola Ax2 +Bx+ Cy +D = 0

2. Para Ay2 +Bx+ Cy +D = 0, si p > 0 la parabola se abre hacia la derecha desdeel vertice; si p < 0 la parabola se abre hacia la izquierda desde el vertice.

Ejemplo 5.18. Trazar las graficas de las parabolas:

1. x2 − 4x+ 4y = 0

2. y2 − 6y − 4x+ 5 = 0

3. 4x2 − 8x+ 3y + 6 = 0

Ademas hallar el dominio y rango.

Figura 5.2: Comportamiento de la parabola Ay2 +Bx+ Cy +D = 0

5.3.6. La Elipse

Definicion 24. Una Elipse es el conjuntode todos los puntos en un plano, tales que lasuma de cuyas distancias desde dos puntosfijos (los focos) en el plano es una constantepositiva.

P(x,y)

F F1 2

La elipse es la grafica de las relacion

R1 = {(x, y) ∈ R2/Ax2 +By2 + Cx+Dy + E = 0}

donde: A, B, C y D y E son numeros reales.Luego, por el metodo de completar cuadrados se obtiene, la ecuacion particular o

estandar

(x−h)2

a2+ (y−k)2

b2= 1

En la ecuacion estandar de la elipse, se distinguen dos casos:

1. Caso I: Cuando a > b

2. CasoII: Cuando b > a

En la elipse tambien hablaremos de centro, focos, vertices, rectas directrices, excentri-cidad, la manera de hallarlos depende del caso I o del caso II, como se muestra en elsiguiente cuadro:

a > b b > aCentro C(h, k) C(h, k)

Vertice V (h± a, k) V (h, k ± b)

Distancia del centro al foco: c c2 = a2 − b2 c2 = b2 − a2

Focos F (h± c, k) F (h, k ± c)

Excentricidad e e = ca

e = cb

Rectas Directrices L : x = h± ae

L : y = k ± be

La manera de graficar una elipse, depende tambien del caso I y II, esto es:

1. Si a > b, la elipse tiene un comportamiento horizontal, esto debido a que su ejefocal (recta en la que se encuentran sus focos) es paralelo al eje X

2. Si a < b, la elipse tiene un comportamiento vertical, esto debido a que su eje focales paralelo al eje Y

EjeFocal

X

Y

F F1 2 F

F

1

2

EjeFocal

X

Y

Figura 5.3: Comportamiento de la elipse (x−h)2

a2+ (y−k)2

b2= 1

Ejemplo 5.19. Trace las graficas de las elipses:

1. (x−1)2

4+ (y+3)2

9= 1

2. x2

25+ (y−1)2

4= 1

3. 16x2 + 9y2 + 64x− 18y − 71 = 0

5.3.7. La Hiperbola

Definicion 25. Una Hiperbola es el con-junto de todos los puntos de un plano, talesque la diferencia de cuyas distancias desdedos puntos fijos (los focos) en el plano esuna constante positiva.

X

Y

F F1 2

P(x,y)

La hiperbola es la grafica de las relaciones

R1 = {(x, y) ∈ R2/Ax2 −By2 + Cx+Dy + E = 0}o

R1 = {(x, y) ∈ R2/By2 − Ax2 + Cx+Dy + E = 0}donde: A, B, C y D y E son numeros reales.

Luego, por el metodo de completar cuadrados se obtiene, las ecuaciones particular oestandar respectivamente

(x−h)2

a2− (y−k)2

b2= 1

(y−k)2

b2− (x−h)2

a2= 1

En la hiperbola tambien hablaremos de centro, focos, vertices, rectas directrices,excentricidad, la manera de hallarlos depende del de sus ecuaciones estandar (o general),como se muestra en el siguiente cuadro:

(x−h)2

a2− (y−k)2

b2= 1 (y−k)2

b2− (x−h)2

a2= 1

Centro C(h, k) C(h, k)

Vertice V (h± a, k) V (h, k ± b)

Distancia del centro al foco: c c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2

Focos F (h± c, k) F (h, k ± c)

Excentricidad e e = ca

e = cb

Rectas Directrices L : x = h± ae

L : y = k ± be

La manera de graficar una hiperbola, depende de las ecuaciones estandar (o general):

1. Si la ecuacion de la hiperbola es (x−h)2

a2− (y−k)2

b2= 1, la hierbola tiene un compor-

tamiento horizontal, esto debido a que su eje focal (recta en la que se encuentransus focos) es paralelo al eje X

2. Si la ecuacion es (y−k)2

b2− (x−h)2

a2= 1, la hiperbola tiene un comportamiento vertical,

esto debido a que su eje focal es paralelo al eje Y

Ejemplo 5.20. Trace la grafica de las siguientes hiperbolas:

1. 9x2 − 16y2 + 144x+ 32y + 79 = 0

2. 4y2 − 16x2 − 48x− 4y + 1 = 0

3. 9x2 − 4y2 − 18x− 4y + 44 = 0

4. 5y2 − 4x2 − 6x− 15y + 10 = 0

Figura 5.4: Comportamiento de la hiperbola (x−h)2

a2− (y−k)2

b2= 1 y (y−k)2

b2− (x−h)2

a2= 1

respectivamente


1. Trace la recta que pasa por los puntos P y Q

a) P (3, 1), Q(0, 5)

b) P (−4, 3), Q(1, 1)

c) P (−2,−1), Q(−3, 0)d) P (2, 6), Q(4, 12)

2. Trace la grafica de la recta que pasa por P y tiene como pendiente m

a) P (3, 1), m = 12

b) P (−2, 4), m = −2

3. Trace las graficas de las rectas en el mismo plano de coordenadas

a) y = x+ 3, y = x+ 1, y = −x+ 1 b) y = −2x − 1, y = −2x + 3, y =12x+ 3

4. Encuentre una forma general de una ecuacion de la recta que pasa por el punto Pque satisfaga la condicion dada.

a) P (2,−4); paralela a la recta 5x− 2y = 4

b) P (4, 5); perpendicular a la recta 3x+ 2y = 7

c) P (4,−5); que pasa por Q(−3, 6)

5. Use la forma de ordenada en el origen para hallar la pendiente de la recta dada ytrace su grafica:

a) 2x = 15− 3y

b) 4x− 3y = 9

c) 7x− 2y + 5 = 0

d) 3x+ 4y − 2 = 0

6. Trace la grafica de la circunferencia dada, hallando el dominio y rango.

a) x2 + y2 = 4

b) (x+ 3)2 + (y − 2)2 = 9

c) (x− 2)2 + y2 = 16

d) x2 + (y − 2)2 = 25

7. Encuentre una ecuacion de la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas.

a) Centro C(14, 0), radio

√3

b) Centro C(2,−3), radio 5

c) Centro C(−4, 6), pasando por el

punto P (1, 2)

d) Centro en el origen, pasando porel punto P (4,−7)

8. Encuentre el centro y radio de la circunferencia con la ecuacion dada, hallando eldominio y rango.

a) x2 + y2 − 4x+ 6y − 36 = 0

b) x2 + y2 + 4x− 117 = 0

c) 2x2 + 2y2 − 12x+ 4y − 15 = 0

d) 9x2 + 9y2 + 12x− 6y + 4 = 0

9. Hallar el parametro, vertice, foco y directriz de la parabola. Trace su grafica y,halle el dominio y rango.

a) 8y = x2

b) 2y2 = −3xc) (x+ 2)2 = −8(y − 1)

d) (y + 1)2 = −12(x+ 2)

e) x2 − 4x− y + 2 = 0

f ) y2 + 14y + 4x+ 45 = 0

10. Encuentre la ecuacion de la parabola que satisface las condiciones dadas.

a) Foco F (2, 0), directriz x = −2b) Foco F (6, 4), directriz y = −2c) Vertice V (−2, 3), directriz y = 5

d) Vertice V (3,−5), directriz x = 2

e) Vertice V (−1, 0), foco F (−4, 0)f ) Vertice V (1,−2), foco F (1, 0)

11. Encuentre los vertices, focos, centro y las rectas directrices de la elipse. Trace sugrafica y, halle el dominio y rango.

a) x2

9+ y2

4= 1

b) 4x2 + y2 = 16

c) 4x2 + 25y2 = 1

d) (x−3)2

16+ (y+4)2

9= 1

e) 4x2 + 9y2 − 32x− 36y + 64 = 0

f ) 25x2+4y2− 250x− 16y+541 = 0

12. Encuentre los vertices, focos, centro y las rectas directrices de la hiperbola. Tracesu grafica y, halle el dominio y rango.

a) x2

9− y2

4= 1

b) y2 − x2

24= 1

c) 16x2 − 36y2 = 1

d) (x−3)2

25− (y−1)2

4= 1

e) 144x2−25y2+864x−100y−2404 =0

f ) 4y2 − x2 + 40y − 4x+ 60 = 0

5.5. Problemas Aplicativos

1. Alcances de transmisores de radio. La senal de una estacion de radio tiene unalcance circular de 50 millas. Una segunda estacion de radio, situada a 100 millasal este y 80 millas al norte de la primera estacion, tiene un alcance de 80 millas.¿Hay lugares donde las senales se puedan recibir de ambas estaciones de radio?Explique su respuesta.

2. Localizar el foco de una antena satelital de TV.

El interior de una antena satelital de TVes un disco con forma de un paraboloide(finito) que tiene 4 metros de diametro y0.5 metros de profundidad, como se mues-tra en la figura. Encuentre la distancia delcentro del disco al foco

44mm4m0.5m

3. Disco de antena. El disco de una antena satelital tiene la forma de un paraboloideque mide 10 pies de diametro en el extremo abierto y tiene 3 pies de profundidad.¿A que distancia del centro del disco debe colocarse el receptor para recibir lamaxima intensidad de ondas de sonido?

4. Espejo de Telescopio.

El espejo para un telescopio reflectortiene la forma de un paraboloide (finito)de 10cm de diametro y 1cm de profundi-dad. ¿A que distancia del espejo se colec-tara la luz entrante?

5. Espejo de Telescopio.

El espejo de una linterna tiene la formade un paraboloide de 20 cm de diametroy 5 cm de profundidad, como se ve enla figura. ¿Donde debe colocarse el focopara que los rayos de luz emitidos seanparalelos al eje del parabolide?

6. Un tunel tiene forma parabolica, su altura maxima es de 12,8 metros y el anchode la base es de 10,2 metros; ¿Cual sera el espacio libre vertical a 1,5 metros de laorilla del tunel?

7. Dimensiones de un arco.

El arco de un puente es semielıptico, coneje mayor horizontal. La base del arco esde 50 metros de diametro y la parte masalta del arco esta 4 metros arriba del pavi-mento horizontal, como se ve en la figura.Encuentre la altura del arco a 2.5 metrosdel centro de la base

50 m

4m

8. Diseno oval.

Un artista planea crear un diseno elıpti-co con eje mayor de 1m y eje menor de50cm, centrado en una puerta que mide2m. por 70 cm. el metodo descrito porla figura. En una recta vertical que di-vide en dos a la puerta, ¿aproximada-mente a que distancia de cada extremode la puerta deben insertarse las tachue-las? ¿De que largo debe ser la cuerda?

Capıtulo 6

Funciones Reales de Variable real

La nocion de correspondencia se presenta con frecuencia en nuestra vida diaria.Algunos ejemplos se dan en la ilustracion siguiente.

Correspondencia1. A cada estudiante de la Universidad Catolica Santo Toribio de Mogrovejo le cor-

responde un codigo de ingreso a la universidad.

2. A cada habitante de la ciudad de Chiclayo le corresponde una fecha de nacimiento.

3. Si la temperatura de la region Lambayeque se registra durante todo el dıa, entoncesa cada instante corresponde una temperatura

Cada correspondencia de la ilustracion anterior comprende dos conjuntos, A y B. Enla primera ilustracion, A denota el conjunto de estudiantes de la Universidad CatolicaSanto Toribio de Mogrovejo y B es el conjunto de codigos de ingreso a la universidad.

A veces describimos correspondencias por diagramas del tipo que se muestan en lafigura 6.1, donde los conjuntos A y B estan representados por puntos dentro de lasregiones en un plano. La flecha curva indica que el elemento y de B corresponde alelemento x de A. Los dos conjuntos pueden tener elemento en comun. En realidad, confreceuncia tenemos quue A = B. Es importante observar que a cada x en A correspondeexactamente una y en B, pero el mismo elemento de B puede corresponder a elementodiferentes de A. Por ejemplo, dos habitentes de Chiclayo pueden tener la misma fechade nacimiento y la temperatura puede ser igual a diferentes horas.

En casi toda este capıtulo, A y B seran conjuntos de numeros. En particular A =B = R (conjunto de numeros reales).

Cada una de nuestras ilustraciones de una correspondencia es una funcion que defin-imos como sigue

x

y

A

B

Figura 6.1:

84

Definicion 26. Una funcion f de un conjunto A = R a un conjunto B = R es unacorrespondencia que asigna a cada elemento x de A exactamente un elemento y de B

6.1. Definicion de Funcion Real de Variable Real

Definicion 27. Una funcion f de un conjunto A = R a un conjunto B = R es unacorrespondencia que asigna a cada numero real x exactamente otro numero real y.

Considere el diagrama de la figura ??. Lasflechas indican que los elemento f(w), f(z),f(x) y f(a) de B = R corresponden a loselementos w, z, x y a de A = R. A cada ele-mento de A = R hay asignado exactamenteun valor de funcion en B = R; no obstante,diferentes elementos de A = R, como porejemplo w y z en la figura, pueden tener elmismo valor en B = R

x

A=R

B

w

z

af(w)

f(z)

f(x)

f(a)

=R

Los sımbolos:

Rf→ R

yf : R→ R

significan que f es una funcion de R a R o simplemente que “ f es una funcion real

de variable real ”.

Ahora mencionaremos algunas definiciones de funcion real de variable real, equiva-lentes a la anterior.

Definicion 28. Una funcion de R en R es una relacion f ⊆ R×R que hace correspondera cada elemento x de R (conjunto de partida) a lo mas un elemento y de R (conjuntode llegada), denotado por y = f(x) ∈ R

Definicion 29. Un subconjunto de pares ordenados f ⊆ R× R es una funcion de R enR si para todo x ∈ R existe a lo mas un elemento y ∈ R tal que (x, y) ∈ f

Observacion 4. En un par ordenado (x, y) ∈ f , a la segunda componente se le denotay = f(x) y se le llama el valor de la funcion f en x.

A y = f(x) tambien se le denomina imagen de x mediante f , y al elemento x se lellama contraimagen (o antecedente) de y = f(x)

Ejemplo 6.1. Sea la funcion real de variable real f , tal que

f(x) = 3x2 − 2x+ 1

. Hallar:

1. f(−2)

2. f(14)

3. f(√2)

4. f(a+ b)

5. f(a) + f(b)

Solucion:Para hallar los valores de f en los puntos dados, debemos sustituir cada uno de estos

puntos por x en la ecuacionf(x) = 3x2 − 2x+ 1

Ası pues:

1. f(−2) = 3(−2)2 − 2(−2) + 1 = 17

2. f(14) = 3(1

4)2 − 2(1

4) + 1 = 11

16

3. f(√2) = 3(

√2)2 − 2(

√2) + 1 = 3(2)− 2

√2 + 1 = 7− 2

√2

4. f(a+ b) = 3(a+ b)2− 2(a+ b) + 1 = 3(a2 + 2ab+ b2)− 2(a+ b) + 1 = 3(a2 + b2)−2(a+ b) + 6ab+ 1

5. f(a) + f(b) = 3(a)2 − 2(a) + 1 + 3(b)2 − 2(b) + 1 = 3(a2 + b2)− 2(a+ b) + 2

Nota 8. Notese que, en general

f(a+ b) 6= f(a) + f(b)

Ejemplo 6.2. Si f(x + 2) = x2 − 3x + 4, hallar la regla de correspondencia de f , esdecir f(x)

Solucion:Haciendo un cambio de variable, es decir, si

u = x+ 2

entoncesx = u− 2

luego:f(u) = (u− 2)2 − 3(u− 2) + 4 = u2 − 7u+ 14

Ahora consideremos nuevamente la variable x como otra variable en la ecuacion anterior,y por lo tanto:

f(x) = x2 − 7x+ 14

6.2. Dominio y Rango de una funcion real de vari-

able real

Definicion 30. Se llama Dominio de una funcion f al conjunto de todos sus an-tecedentes (primeras componentes), y se le denota por:

Dom(f) = {x ∈ R / ∃ y ∈ R , (x, y) ∈ f} ⊆ R

oDom(f) = {x ∈ R / ∃ y ∈ R , y = f(x)} ⊆ R

Definicion 31. Se llama Rango o Recorrido de una funcion f al conjunto de lasimagenes de todos los elementos de R, vıa f ; y se le denota por:

Ran(f) = {y ∈ R / ∃ x ∈ R , y = f(x)} ⊆ R

oDom(f) = {f(x) ∈ R / x ∈ Dom(f) ⊆ R} ⊆ R

Observacion 5. De las definiciones anteriores se pueden deducir lo siguiente:

1. A la funcion f se le puede representar por el conjunto de pares ordenados

f = {(x, f(x)) ∈ R× ∈ R = R2 / x ∈ Dom(f) ⊆ R}

2. El Dominio de f viene a ser el conjunto de todas las primeras componentes de lospares ordenados de f , mientras que el Rango de f viene a ser el conjunto de todaslas segundas componentes.

3. El Rango de f , que es el conjunto de todas las imagenes de f , no necesariamentecubre a todo R

4. El conjunto de llegada que en este caso es R tambien es denominado Codominio

de f

RR

f

xy=f(x)

Dom(f) Ran(f)

Figura 6.2:

6.2.1. Criterio para el calculo del dominio y rango de una fun-

cion real de variable real.

Para calcular el dominio y rango de una funcion real de variable real, se debe teneren cuenta lo siguiente:

1. Para calcular el dominio de una funcion f , se analizan todos los valores posiblesque pueda tomar x, de tal manera que f(x) sea real, salvo el caso en que dichodominio sea especificado.

2. Para calcular el rango de una funcion f , primero se debe despejar la variable x enfuncion de y, y luego se analizan todos los valores posibles que pueda tomar y detal amera que x sea real.

Ejemplo 6.3. Hallar el dominio y rango de la funcion f(x) = 3x+ 1

Solucion:

1. Para hallar el dominio de f , nos hacemos la siguiente pregunta: “¿para que valoresde x, existe la funcion f?”

Nuestra respuesta es, que la funcion existe para todo numero real. Por lo tanto:

Dom(f) = R

2. Para hallar el rango de f , lo primero que haremos es despejar la variable x enfuncion de y = f(x), es decir, si:

y = 3x+ 1

entonces

x =y − 1

3esta ultima expresion nos indica que la variable x esta en funcion de y. Luego noshacemos la siguiente pregunta: “¿para que valores de y, existe la variable x?”

Al igual que cuando calculamos el dominio, nuestra respeusta es: la variable y existepara todo numero real . Por lo tanto:

Ran(f) = R

Ejemplo 6.4. Hallar el dominio y rango de la funcion f(x) = 1x

Solucion:

1. Para hallar el dominio de f , nos hacemos la siguiente pregunta: “¿para que valoresde x, existe la funcion f?”

Nuestra respuesta es, que la funcion existe para todo numero real excepto para elvalor 0, ya que, si evaluamos la funcion f en 0, se obtiene:

f(0) =1

0← ∄

y ya sabemos que esta ultima expresion no existe (o es indeterminado). Por lotanto:

Dom(f) = R− {0}

2. Para hallar el rango de f , lo primero que haremos es despejar la variable x enfuncion de y = f(x), es decir, si:

y =1

xentonces

x =1

y

esta ultima expresion nos indica que la variable x esta en funcion de y. Luego noshacemos la siguiente pregunta: “¿para que valores de y, existe la variable x?”

Al igual que cuando calculamos el dominio, nuestra respuesta es: la variable y existepara todo numero real excepto para el valor 0, ya que no esta definido 1

0. Por lo

tanto:Ran(f) = R− {0}

Observacion 6. Es importante mencionar que no siempre el dominio de una funcionreal es igual al rango de esta.

Ejemplo 6.5. Hallar el dominio y rango de la funcion f(x) = 2x−13x+5

Solucion:Siguiendo los mismos pasos de los ejemplos anteriores, obtenemos que:

Dom(f) = R− {−53}

y

Ran(f) = R− {23}

Ejemplo 6.6. Hallar el dominio y rango de la funcion f(x) = 4xx+3

Solucion:El desarrollo le dejamos al lector.

6.3. Grafica de una funcion real de variable real

Definicion 32. Si f es una funcion real de variable real con dominio Dom(f), entoncesla grafica de f denotado por Gra(f)es el conjunto de pares ordenados

Gra(f) = {(x, f(x))/ x ∈ Dom(f)}

En otras palabras, la grafica de f es el conjunto de los puntos (x, y) tales que y = f(x);es decir, la grafica de f es la grafica de la ecuacion y = f(x)

Ejemplo 6.7. Trace las graficas de las siguientes funciones

1. f(x) = x2

2. g(x) = x3

3. h(x) =√x

Solucion:Primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntos expresados

en la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener la grafica.

x f(x) = x2

0 0±1

214

±1 1±2 4±3 9

x g(x) = x3

0 012

18

1 12 8−1

2−1

8

−1 −1−2 −8

x h(x) =√x

0 01 1

2√2

3√3

4 2

5√5

Figura 6.3: Graficas de F (x) = x2, g(x) = x3 y h(x) =√x respectivamente

6.3.1. Propiedad Fundamental de las funciones reales de vari-able real

La propiedad fundamental de las funciones reales de variable real es la siguiente.

“Una relacion f ⊆ R2 = R×R es una funcion real de variable real si y solo si toda rectavertical corta a la grafica de f a lo mas en un punto.”

Ejemplo 6.8. La circunferencia y la hiperbola son algunos ejemplos de relaciones queno son funciones, ya que si trazamos una recta vertical, esta corta ala grafica en mas deun punto. Vea la figura 6.4

En la figura 6.5 se tienen ejemplos de graficas de relaciones que si son funciones, puesal trazar una recta vertical, esta corta solo en un punto a la grafica.

La circunferenciano es función

X

Y

X

La Hipérbolano es función

f

Figura 6.4: Ejemplos de relaciones que no son funciones

X

Si es función

f

X

f

Si es función

Figura 6.5: Ejemplos de relaciones que si son funciones

6.4. Clases de Funciones

6.4.1. Funcion Lineal

Definicion 33. Una funcion f es una funcion lineal, si

f(x) = ax+ b

donde x ∈ R y a y b son constantes. Simbolicamente

f : Dom(f) ⊆ R → Ran(f) ⊆ Rx → f(x) = ax+ b

La grafica de f de la definicion precedente es la grafica de y = ax + b, que por laforma de ordenada en el origen, es una recta con pendiente a y que pasa por el puntoP (0, b). Ası la grafica de una funcion lineal es una recta. Como f(x) existe paratoda x, entonces el dominio de f es R. Como se ilustra en el ejemplo siguiente, si a 6= 0,entonces el rango de f tambien es R.

Ejemplo 6.9. Sea f(x) = 2x+ 3.

1. Trace la grafica de f

2. Encuentre el dominio y rango de f

Solucion:

1. Como f(x) tiene la forma ax + b, con a = 2 y b = 3, f es una funcion lineal. Lagrafica de y = 2x + 3 es la recta con pendiente 2 y punto de cruce 3con el eje Y ,ilustrado en la figura 6.6.

Figura 6.6:

2. Vemos de la grafica que x y y pueden ser cualquier numero real, de modo que eldominio y el rango de f son R.

Ejemplo 6.10. Si f es una funcion lineal tal que f(−2) = 5 y f(6) = 3, encuentref(x), donde x es cualquier numero real.

Solucion:Por la definicion de funcion lineal,

f(x) = ax+ b

donde a y b son constantes. Ahora por dato tenemos que:

1. f(−2) = 5, de donde se tiene:−2a+ b = 5 (6.1)

2. f(6) = 3, entonces6a+ b = 3 (6.2)

Luego con las ecuaciones 6.1 y 6.2 se tiene un sistema de ecuaciones con dos variables,al solucionarlo, obtenemos que

a = −14

y b =9

2

Por lo tanto

f(x) = −14x+

9

2

6.4.2. Funcion Cuadratica

Definicion 34. Una funcion f es una funcion cuadratica, si

f(x) = ax2 + bx+ c

donde a, b y c ∈ R con a 6= 0. Simbolicamente

f : Dom(f) ⊆ R → Ran(f) ⊆ Rx → f(x) = ax2 + bx+ c

La grafica de una funcion cuadratica es una parabola, que se abre hacia arriba oabajo. Una parabola que se abre hacia la izquierda o a la derecha no es una funcion, yaque por la propiedad fundamental de las funciones reales de variable real, si trazamosuna recta vertical, esta corta en mas de un punto a la grafica.

Ahora dada una funcion cuadratica

f(x) = ax2 + bx+ c (6.3)

y ademas sabemos que su grafica es una parabola que abre hacia arriba o abajo, nospreguntamos ¿como reconozco si la parabola se abre hacia arriba o abajo?. El compor-tamiento de la parabola depende del coeficiente “a”, en la ecuacion 6.3 pues:

1. Si a > 0 la parabola se abre hacia arriba.

2. Si a < 0 la parabola se abre hacia abajo.

Nosotros tambien podemos encontrar el vertice V de la parabola que es la grafica dela funcion cuadratica 6.3, de la siguiente manera:

V = (− b2a, 4ac−b2

4a)

X- b

2a

4ac-b2

4a

a>0

f

Y

X- b2a

4ac-b2

4a

a<0

f

Y

Figura 6.7: Comportamiento de la grafica de una funcion cuadratica

De la grafica se puede observar que:

1. Cuando la parabola se abre hacia arriba, entonces

Dom(f) = R

y

Ran(f) =

[4ac− b2

4a,+∞

⟩

2. Cuando la parabola se abre hacia abajo, entonces

Dom(f) = R

y

Ran(f) =

⟨

−∞,4ac− b2

4a

]

Ejemplo 6.11. Sea la funcion f(x) = x2 − 3x+ 2, determine

1. El vertice de la parabola

2. Los puntos en donde la parabola corta al eje X

3. Grafique la funcion

4. Halle el dominio y rango de la funcion

Solucion:

1. El vertice de la parabola lo podemos hallarlo utilizando la formula para el verticede una parabola , entonces:

V =

(

− −32(1)

,4(1)(2)− (−3)2

4(1)

)

=

(3

2,−1

4

)

2. Para hallar los puntos de interseccion de la parabola con el eje X , hacemos quef(x) = 0, es decir:

x2 − 3x+ 2 = 0

originandose una ecuacion cuadratica, al solucionarla, obtenemos que x = 1 y x = 2

3. Como el el coeficiente de x2 es a = 1 > 0, entonces la parabola se abre hacia arribadesde el vertice, y luego tenemos la siguiente grafica. Vea la figura 6.8

4. Por ultimo, de la grafica se deduce que

Dom(f) = R

y

Ran(f) =

[

−14,+∞

⟩

Figura 6.8:

Ejemplo 6.12. Sea la funcion f(x) = −2x2 + 9x− 4, determine

1. El vertice de la parabola

2. Los puntos en donde la parabola corta al eje X

3. Grafique la funcion

4. Halle el dominio y rango de la funcion

Solucion:El desarrollo se deja al lector

Teorema sobre el valor maximo o mınimo de una funcion cuadratica

Si f(x) = ax2 + bx+ c, donde a 6= 0, entonces f(− b2a) es

1. el valor maximo de f , si a < 0

2. el valor mınimo de f , si a > 0

Ejemplo 6.13.

Una larga hoja rectangular metalica, de 20metros de ancho, se ha de convertir en canalal doblar hacia arriba cada uno de los la-dos, de modo que sean perpendiculares a lahoja. ¿Cuantas metros deben doblarse haciaarriba de tal manera, que den al canal sumaxima capacidad?

x

x

20-2x

Solucion:Si x denota el numero de metros que se doblan hacia arriba en cada lado, entoncesel ancho de la base del canal es 20 − 2x metros. Es obvio pensar que la capacidadsera maxima cuando el area de seccion transversal del rectangulo con lados de longitudesx y 20− 2x tiene su valor maximo. Sea A(x) esta area,entonces tenemos:

A(x) = x(20− 2x)= 20x− 2x2

A(x) = −2x2 + 20x

observemso que la funcion A(x) tiene la forma de una funcion cuadratica, es decir,A(x) = ax2+bx+c con a = −2, b = 20, y c = 0. Ahora podemos dar respuesta a nuestrapregunta del ejemplo Como A es una funcion cuadratica y a = −2 < 0, se deduce delteorema anterior que el valor maximo de f se presenta en

x = − b

2a= − 20

2(−2) = 5

Ası pues el numero de pulgadas que se deben doblar hacia arriba de tal manera que elcanal tenga una capacidad maxima es, x = 5 metros.

6.4.3. Funcion Cubica

Definicion 35. Una funcion f es una funcion cubica, si

f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d

donde a, b, c y d ∈ R con a 6= 0. Simbolicamente

f : Dom(f) ⊆ R → Ran(f) ⊆ Rx → f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d

Las graficas de estas funciones tienen el comportamiento que se muestran en lassiguientes ejemplos:

Ejemplo 6.14. Graficar:

f(x) = x3

Solucion:


f(x) = x3 + 2

Solucion:

Figura 6.9: Comportamiento de las graficas de una funcion cubica


f(x) = −x3

Solucion:


f(x) = −x3 + 2x2 + 4x− 1

Solucion:

Figura 6.10: Comportamiento de las graficas de una funcion cubica

6.4.4. Funcion Exponencial

Definicion 36. Una funcion f es una funcion exponencial, si

f(x) = ax

para toda x en R, donde a > 0 y a 6= 1. Simbolicamente

f : Dom(f) ⊆ R → Ran(f) ⊆ Rx → f(x) = ax

El comportamiento de la grafica de una funcion exponencial f(x) = ax depende delvalor que puede tomar a, es decir:

1. Si a > 1, la grafica de f(x) = ax

tiene el siguiente comportamiento2. Si 0 < a < 1, la grafica de f(x) = ax

tiene el siguiente comportamiento

Figura 6.11: Comportamiento de las graficas de una funcion exponencial


f(x) = 3x


f(x) = (2

5)x

Figura 6.12: Graficas de las funciones f(x) = 3x y f(x) = (25)x

Aplicacion: Crecimiento de bacterias

Las funciones exponenciales pueden usarse para describir el crecimiento de ciertaspoblaciones. Veamos el siguiente ejemplo

Ejemplo 6.20. Supongamos que en el laboratorio Suiza Lab, se observa experimental-mente que el numero de bacterias en un cultivo se triplica al dıa. Si 500 bacterias estanpresentes al inicio, entonces obtenemos la tabla siguiente, donde t es el tiempo en dıas yf(t) es la cantidad de bacterias en el tiempo t.

t (tiempo en dıas) 0 1 2 3 4f(t) (cantidad de bacterias) 500 1500 4500 13500 40500

Parece que

f(t) = (500)3t

Con esta formula podemos predecir elnumero de bacterias presentes en cualquiertiempo t. Por ejemplo, en t = 2,5 = 5

2,

f(t) = (500)352 = 7794,25 ≈ 7794

En la definicion siguiente usamos e ≈ 2,71828 como base para una importante funcionexponencial.

Definicion 37. Una funcion f es una funcion exponencial natural, si

f(x) = ex

para toda x en R, donde e ≈ 2,71828. Simbolicamente

f : Dom(f) ⊆ R → Ran(f) ⊆ Rx → f(x) = ex

El comportamiento de la grafica de esta funcion es similar al comportamiento de lafuncion f(x) = ax cuando a > 1, tal como lo muestra la figura 6.13

Figura 6.13:

Observacion 7. En todas las graficas de las funciones exponenciales, podemos deducirque:

1. Dom(f) = R

2. Ran(f) = 〈0,+∞〉

Ley de la formula de crecimiento (o decrecimiento)

“Sea q0 el valor de una cantidad q en el tiempo t = 0 (esto es, q0 es la cantidad inicial deq). Si q cambia instantaneamente a una razon proporcional a su valor actual, entonces

q = q(t) = q0ert

donde r > 0 es la rapidez de crecimiento (o r < 0 es la rapidez de decrecimiento) de q.”

Ejemplo 6.21. La poblacion de una ciudad en 1970 era de 153 800. Suponiendo que lapoblacion aumenta a razon de 5% por ano, prediga la poblacion de la ciudad en el ano2013.

Solucion:Aplicamos la formula del crecimiento

q = q0ert

con poblacion inicial q0 = 153 800, rapidez de crecimiento r = 5% = 0,05 y tiempot = 2013− 1970 = 43 anos. Entonces, una prediccion para la poblacion de la ciudad enel ano 2013 es

q(43) = 153 800e(0,05)(43) = 1 320 351,16 ≈ 1 320 351

Ejemplo 6.22. Trace la grafica de f si

f(x) =ex + e−x

2

Solucion:

Figura 6.14: funcion f(x) = ex y f(x) = e−x

6.4.5. Funcion Logarıtmo

Definicion 38. Una funcion f es una funcion logarıtmo de x con base a, si

f(x) = loga x

para toda x ∈ 〈0,+∞〉 en donde a > 0 y a 6= 1. Simbolicamente

f : 〈0,+∞〉 ⊆ R → Ran(f) ⊆ Rx → f(x) = loga x

Observacion 8. Recordemos que

y = f(x) = loga x⇔ x = ay

para toda x > 0 y todo numero real y.

Observacion 9. Recordemos que si no aparace indicada la base a en la funcion log-arıtmica es decir

y = f(x) = log x

se entiende que el logaritmo esta en base a = 10.

El comportamiento de la grafica de una funcion logarıtmica f(x) = loga x dependedel valor que puede tomar a, es decir:

1. Si a > 1, la grafica de f(x) = loga xtiene el siguiente comportamiento

2. Si 0 < a < 1, la grafica def(x) = loga x tiene el siguiente com-portamiento

Figura 6.15: Comportamiento de las graficas de una funcion logarıtmica

Definicion 39. Una funcion f es una funcion logarıtmo natural, si

f(x) = ln x

para toda x ∈ 〈0,+∞〉. Simbolicamente

f : x ∈ 〈0,+∞〉 → Ran(f) ⊆ Rx → f(x) = ln x

Observacion 10. Recordemos que

ln x = loge x

para toda x > 0 y e = 2,71828.

El comportamiento de la grafica de esta funcion es similar al comportamiento de lafuncion f(x) = loga x cuando a > 1, tal como lo muestra la figura 6.16

Ejemplo 6.23. En la escala Richter, la magnitud R de un terremoto de intensidad Iesta dada por

R = logI

I0

donde I0 es cierta intensidad mınima.

1. Si la intensidad de un terremoto es 10000I0, encuentre R.

2. Exprese I en terminos de R e I0.

Solucion:

Figura 6.16: Grafica de la funcion f(x) = ln x

1.R = log I

I0Del enunciado

= log 10000I0I0

Del dato I = 10000I0

= log 10000 cancelando I0

= log 104 1000 = 104

R = 4 log 10x = x para toda x

De este resultado vemos que un aumento multiplicado por diez en intensidad resultaen un aumento de 1 en magnitud (si 1000 se cambiara a 100 000, entonces 4cambiarıa a 5)

2.R = log I

I0Del enunciado

II0

= 10R definicion de logarıtmo

I = I0 · 10R

6.5. Trazado de graficos especiales

Cuando se conoce una funcion y = f(x), en base a esta funcion, se puede construirotra funcion en una forma rapida mediante los siguientes criterios

1. Si se tiene la grafica de y = f(x) entonces la grafica de la funcion

F (x) = f(x) + c

se obtiene de la siguiente manera:

a) Si c > 0 la grafica de la funcion y = f(x) se desplaza verticalmente c unidadeshacia arriba

b) Si c < 0 la grafica de la funcion y = f(x) se desplaza verticalmente c unidadeshacia arriba

Ejemplo 6.24. Graficar las funciones f(x) = x2, g(x) = x2 + 3 y h(x) = x2 − 3

Solucion:

sabemos que la grafica de f(x) = x2 es una parabola con vertice en en el punto(0, 0), tal como lo muestra la figura 6.17

Figura 6.17: Grafica de la funcion f(x) = x2

Luego, la grafica de la funcion g(x) = x2 + 3, se obtendra dezplazando la graficade la funcion f(x), 3 unidadaes hacia arriba, y la grafica de h(x) = x2 − 3 seobtendra dezplazando la grafica de la funcion f(x), 3 unidadaes hacia abajo,comose muestra en la figura 6.18.

Figura 6.18: Grafica de las funciones g(x) = x2 + 3 y h(x) = x2 − 3 respectivamente


F (x) = f(x− c)


a) Si c > 0 la grafica de la funcion y = f(x) se desplaza horizontalmente cunidades hacia la derecha

b) Si c < 0 la grafica de la funcion y = f(x) se desplaza horizontalmente cunidades hacia la izquierda

Ejemplo 6.25. Graficar las funciones g(x) = (x− 4)2 y h(x) = (x+ 4)2

Solucion:

sabemos que la grafica de f(x) = x2 es una parabola con vertice en en el punto(0, 0), tal como lo muestra la figura 6.17, entonces las graficas de las funciones g(x)y h(x) se obtendran desplazando la grafica de f(x), 4 unidades hacia la derecha y4 hacia la izquierda respectivamente. Vea la figura 6.19

Figura 6.19: Grafica de las funciones g(x) = (x− 4)2 y h(x) = (x+ 4)2 respectivamente


F (x) = f(x− h) + k


a) Si h > 0 y k > 0 la grafica de la funcion y = f(x) se desplaza horizontalmenteh unidades hacia la derecha y k hacia arriba.

b) Si h < 0 y k > 0 la grafica de la funcion y = f(x) se desplaza horizontalmenteh unidades hacia la izquierda y k unidades hacia arriba.

c) Si h > 0 y k < 0 la grafica de la funcion y = f(x) se desplaza horizontalmenteh unidades hacia la derecha y k unidades hacia abajo.

d) Si h < 0 y k < 0 la grafica de la funcion y = f(x) se desplaza horizontalmenteh unidades hacia la izquierda y k unidades hacia abajo.

Ejemplo 6.26. Graficar las funciones g(x) = (x − 4)2 + 3, h(x) = (x + 4)2 + 3,m(x) = (x− 4)2 − 3 y n(x) = (x+ 4)−3

Solucion:

sabemos que la grafica de f(x) = x2 es una parabola con vertice en en el punto(0, 0), tal como lo muestra la figura 6.17, entonces las graficas de las funciones g(x),h(x), m(x) y n(x) se muestran en la figura 6.20 y 6.21

Figura 6.20: Grafica de las funciones g(x) = (x− 4)2 + 3 y h(x) = (x+ 4)2 + 3 respecti-vamente

Figura 6.21: Grafica de las funciones g(x) = (x− 4)2 − 3 y h(x) = (x+ 4)2 − 3 respecti-vamente


1. Si a y h son numeros reales, encuentre: f(a), f(−a), −f(a) y f(a + h) de lassiguientes funciones.

a) f(x) = 5x− 2 b) f(x) = 2x2 + 3x− 7

2. Si f es una funcion real de variable real, tal que f(x+ 3) = x2 − 1, hallar el valorde

f(a+ 2)− f(2)

a− 2

con a 6= 2

3. Si f es una funcion real de variable real, tal que, f(x+ 1) = x2 + 3 hallar el valorde

f(a+ 2)− f(a− 2)

a− 1

con a 6= 1

4. Diga si la relacion dada es o no una funcion, utilizando la propiedad fundamentalde las funciones reales de variable real.

a) R = {(x, y)/x2 − y = 1}b) R = {(x, y)/4y2 − x2 = 144, y ≥

0}

c) R = {(x, y)/x2+y2+2x−4y = 4}

d) R = {(x, y)/x2−4x−2y+10 = 0}

5. Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones

a) f(x) = 5x−7x+1

b) f(x) = 2x−83x−2

6. Si una funcion lineal f satisface las condiciones dadas, encuentre f(x)

a) f(−3) = 1 y f(3) = 2 b) f(−2) = 7 y f(4) = −2

7. Grafique y halle el dominio y rango de las siguientes funciones

a) f(x) = 3x+ 5

b) f(x) = −2x+ 1, con x ∈ [0, 1]

c) f(x) = x+ 3, con −3 ≤ x < 4

d) f(x) = 4x− 2, con 0 < x < 3

e) f(x) = −x+ 4, con x ≥ 0

f ) f(x) = 32x+−2, con x < −2

8. Determinar una funcion cuadratica f que tiene a R como su dominio y tal quef(−1) = 3, f(2) = 0, f(4) = 28

9. Dadas las siguientes funciones

a) f(x) = x2 − 4x

b) f(x) = −12x2 + 11x+ 15

c) f(x) = 6x2 + 7x− 24

d) f(x) = −2x2 + 20x− 43

e) f(x) = 2x2 − 4x− 11

f ) f(x) = −3x2 − 6x− 6

hallar

a) El vertice de la parabola

b) Los puntos en donde la parabola corta al eje X

c) Grafique la funcion

d) El valor maximo o mınimo de la funcion

e) Halle el dominio y rango de la funcion

10. Grafique y halle el dominio y rango de las siguientes funciones

a) f(x) = x2

b) f(x) = x2 − 3x+ 1, con x ∈ [0, 1]

c) f(x) = −x2+x−3, con −3 ≤ x <4

d) f(x) = 3x2+2x−4, con 0 < x < 3

11. Trace la grafica de f(x) = 4x y de f(x) = (0,25)x

12. Trace la grafica de f(x) = log4 x y de f(x) = log 12x

13. Trace la grafica de las funciones, usando las graficas de las funciones f(x) = x2 yf(x) = x3

a) f(x) = x2 + 5

b) f(x) = x3 − 1

c) f(x) = (x− 1)2 + 1

d) f(x) = (x+ 2)3

e) f(x) = (x+ 4)3 − 2

f ) f(x) = (x− 2)2 − 5

14. Trace la grafica de las funciones, usando las graficas de las funciones f(x) = ex

a) f(x) = ex+2

b) f(x) = ex − 1

c) f(x) = ex + 3

d) f(x) = ex−1 − 4

e) f(x) = ex+3 + 2


1. Aumento de temperatura del suelo. En 1870, el promedio de temperatura del sueloen Parıs fue de 11,8◦C. Desde entonces, ha subido a un ritmo casi constante (lineal),llegando a 13,5◦C en 1969.

a) Exprese la temperatura T en (◦C) en funcion del tiempo t (en anos), dondet = 0 corresponde al ano 1870 y 0 ≤ t ≤ 99

b) ¿Durante que ano fue de 12,5◦C el promedio de temperatura del suelo?

2. Construccion de una Caja.

De una pieza rectangular de carton quetiene dimensiones de 15 cm × 25 cm, unacaja abierta se ha de construir al cortarun cuadrado identico de area x2 de cadaesquina y voltear hacia arriba los lados(vea la figura). Exprese el volumen V dela caja como funcion de x.

x x

x

x

15

25

3. Dimensiones de un edificio.Una pequena unidad para oficinas debecontener 25 metros cuadrados. Un modelosimplificado se ilustra en la figura.

a) Exprese la longitud y del edificio co-mo funcion del ancho x

b) Si las paredes cuestan 50 soles pormetro cuadrado, exprese el costo Cde las paredes como funcion del an-cho x. (No considere el espacio depared arriba de las puertas ni elgrosor de las paredes.)

y

x75cm

75cm OFICINA

SALA DEESPERA

4. Reglamento de Construccion.

El ayuntamiento de la ciudad de Chiclayoesta proponiendo un nuevo reglamento deconstruccion, el cual requiere que el re-bajo S para cualquier edificio desde unaresidencia sea un mınimo de 30 metros,mas otros 2 metros por cada metro de al-tura arriba de 8 metros. Encuentre unafuncion lineal para S en terminos de h

h

Rebajo

5. Dimensiones de un acuario.

Un acuario de 50 cm. de altura debe ten-er un volumen de 2 m3. Con x denote lalongitud de la base y y el ancho (vea lafigura).

a) Exprese y como funcion de x.

b) Exprese el numero total S de piecuadrado de vidrio necesario comofuncion de x.

yx

50 cm

6. Longitud de una cuerda floja

La figura ilustra el aparato para un equi-librista. Dos postes se colocan a 15 met-ros uno del otro, pero el punto de unionP para la cuerda no se ha determinado.

a) Exprese la longitud L de la cuerdacomo funcion de la distancia x de Pal suelo.

b) Si la caminata total debe ser de 25metros, determine la distancia de Pal suelo.

15 m.

x

1m

L

Cuerda

P

7. Pista de un aeropuerto

Las posiciones relativas de una pista paraaviones y una torre de control de 6 metrosde altura se ven en la figura. El principiode la pista esta a una distancia perpendic-ular de 90 metros de la base de la torre. Six denota la distancia que un avion se hamovido por la pista, exprese la distanciad entre el avion y la parte superior de latorre de control como funcion de x.

6 m.90m

d

x

8. Construccion de jaulas

Con 300 metros de malla metalica se vana construir cuatro corrales para animales,como se ve en la figura.

a) Exprese el ancho y como funcion dela longitud x

b) Exprese el area encerrada total Ade olas jaulas como funcion de x

c) Encuentre las dimensiones quemaximizan el area encerrada. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

y

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

9. Forma de un puente colgante

Una seccion de un puente colgante tienesu peso uniformemente distribuido entretorres gemelas que estan a 120 metrosentre sı y se elevan 30 metros sobre lacalzada horizontal (vea la figura). Un ca-ble tendido entre los remates de las torrestiene la forma de una parabola y su pun-to central esta 5 metros sobre la calzada.Suponga que se introducen ejes de coor-denadas, como se ve en la figura.

120m

30m

y

x

a) Encuentre una ecuacion para la parabola.

b) Nueve cables verticales igualmente espaciados se usan para sostener el puente(vea la figura). Encuentre la longitud total de estos soportes.

10. Renta de un departamento. La empresa de bienes raıces Centenario S.A. es propi-etaria de 200 departamentos en edificios, que estan ocupados en su totalidad cuandola renta es de 800 soles al mes. La empresa estima que por cada 25 soles de aumen-to en renta, 5 departamentos se desocuparan. ¿Cual debe ser la renta para que lacompanıa reciba el maximo ingreso mensual?

11. Crecimiento de poblacion en India. En el ano 2000, la estimacion de poblacionen India era de 500 millones y ha estado creciendo a razon de 1,8% por ano.Suponiendo que continue este rapido porcentaje de crecimiento, estime la poblacionN(t) de India en el ano 2014.

12. Crecimiento de poblacion en India. Del ejercicio anterior, la poblacion N(t) (enmillones) de India t anos despues de 2000 puede aproximarse con la formula

N(t) = 500e0,018t

¿cuando es que la poblacion sera de 2500 millones?

13. Crecimiento de poblacion en Estados Unidos. La poblacion N(t) (en millones) deEstados Unidos t anos despues de 1980 se puede aproximar con la formula

N(t) = 231e0,0103t

a) ¿Cuando es que la poblacion sera el doble de la de 1980?

b) ¿Cuando es que la poblacion sera de 2 000 millones?

14. Densidad de poblacion urbana. Un modelo de densidad urbana es una formula querelaciona la densidad de poblacion D (en miles/mi2) con la distancia x (en millas)del centro de la ciudad. La formula

D = ae−bx

para la densidad central a y coeficiente de decaimiento b se ha encontrado apropiadapara muchas grandes ciudades de Estados Unidos. Para la ciudad de Chiclayo en1995, a = 5,5 y b = 0,10. ¿Aproximadamente a que distancia era la densidad depoblacion de 1000 por milla cuadrada?

Capıtulo 7

Lımite y Continuidad de unafuncion real de variable real

En esta seccion se desarrolla la terminologıa que nos ayudara a estudiar diferenciacionde funciones de variable real. Esta seccion esta centrada en los conceptos de punto deacumulacion, lımite y continuidad.

7.1. Punto de acumulacion:

Comenzamos esta seccion con la definicion de vencindad de un puntoDefinicion 40. Sea x0 ∈ R y δ > 0. En la recta real una vecindad o entorno de centrox0 y radio δ se define por

Vδ(x0) = 〈x0 − δ, x0 + δ〉

-d +dxo xo

xo( )

Notacion 1.

Decimos que

x ∈ Vδ(x0) si y solo si x ∈ 〈x0 − δ, x0 + δ〉si y solo si x0 − δ < x < x0 + δsi y solo si −δ < x− x0 < δsi y solo si |x− x0| < δ

Ejemplo 7.1. Sea x0 = 2, δ = 1, hallar V1(2).

Solucion:Por definicion:

V1(2) =< 2− 1, 2 + 1 >=< 1, 3 >

1 2 3

δ δ

112

Ejemplo 7.2. Sea V0,5(x0) =< 0,5, 1,5 >, hallar x0.

Solucion:Por definicion:

< 0,5, 1,5 >=< x0 − δ, x0 + δ >⇒ x0 − δ = 0,5⇒ x0 − 0,5 = 0,5⇒ x0 = 1

Ejemplo 7.3. Sea Vδ(x0) =< −1,4, 2,6 >, hallar x0 y δ.

Solucion:Haciendo los calculos,

x0 =(x0 − δ) + (x0 + δ)

2=−1,4 + 2,6

2= 0,6

y x0 − δ = −1,4δ = x0 + 1,4⇒ δ = 0,6 + 1,4 = 2

Definicion 41 (Vecindad Reducida). Una vecindad reducidad de centro x0 y radio δ, sedefine como el conjunto.

V′

δ (x0) = Vδ(x0)− {x0}

Notacion 2. V′

δ (x0) se lee vecindad reducida de centro x0 y radio δ > 0

V′

δ (x0) = Vδ(x0)− {x0} =< x0 − δ, x0 + δ > −{x0} =< x0 − δ, x0 > ∪ < x0, x0 + δ >

Decimos que

x ∈ V′

δ (x0) sii x ∈< x0 − δ, x0 > ∪ < x0, x0 + δ >, x 6= x0

sii x ∈< x0 − δ, x0 > ∨ x ∈< x0, x0 + δ >, x 6= x0

sii x0 − δ < x < x0 ∨ x0 < x < x0 + δ, x 6= x0

sii −δ < x− x0 < 0 ∨ 0 < x− x0 < δ, x 6= x0

sii −δ < x− x0 < 0 < δ ∨ −δ < 0 < x− x0 < δ, x 6= x0

sii |x− x0| < δ, x 6= x0

Ejemplo 7.4. Expresar la vecindad reducida en un intervalo

V′

1,6(3) =< 3− 1,6, 3 + 1,6 > −{3} =< 1,4, 4,6 > −{3}

V′

0,5(−2) =< −2− 0,5,−2 + 0,5 > −{−2} =< −2,5,−1,5 > −{3}

Definicion 42 (Punto de Acumulacion). Un punto x0 se llama punto de acumulacionde un conjunto A ⊂ R si

V′

δ (x0) ∩ A 6= ∅

Es decir, la vecindad reducida V′

δ (x0) contiene al menos un punto de A.

Ejemplo 7.5. :

1. ¿x0 = 3 es un punto de acumulacion de A =< 3, 5]?Solucion: La vencindad agujereada queda

V′

δ (x0) = V′

δ (3) =< 3− δ, 3 > ∪ < 3, 3 + δ >, δ > 0

Luego, la interseccion queda

V′

δ (3) ∩A = (< 3− δ, 3 > ∪ < 3, 3 + δ >)∩ < 3, 5] =< 3, 3 + δ > 6= ∅

Por tanto, x0 = 3 es un punto de acumulacion de A

2. ¿x0 = 2 es un punto de acumulacion de A =< 0, 2]?Solucion: La vencindad agujereada queda

V′

δ (2) =< 2− δ, 2 > ∪ < 2, 2 + δ >


V′

δ (2) ∩ A = (< 2− δ, 2 > ∪ < 2, 2 + δ >)∩ < 0, 2 >=< 2− δ, 2 > 6= ∅

Por tanto, x0 = 2 es un punto de acumulacion de A

3. ¿x0 = −4 es un punto de acumulacion de A = Z−?Solucion: La vencindad agujereada queda

V′

δ (−4) =< −4− δ,−4 > ∪ < −4,−4 + δ >


V′

δ (−4) ∩ A = (< −4− δ,−4 > ∪ < −4,−4 + δ >) ∩ Z−

Tomemos δ = 0,8

(< −4,8,−4 > ∪ < −4,−3,2 >) ∩ Z− = ∅

Por tanto, x0 = −4 no es un punto de acumulacion de A

4. ¿x0 = 3 es un punto de acumulacion de A = {1, 2, 3, 4, 5}?Solucion: La vencindad agujereada queda

V′

δ (3) =< 3− δ, 3 > ∪ < 3, 3 + δ >


V′

δ (3) ∩ A = (< 3− δ, 3 > ∪ < 3, 3 + δ >) ∩ {1, 2, 3, 4, 5}

Tomemos δ = 0,5

(< 2,5, 3 > ∪ < 3, 3,5 >) ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = ∅

Por tanto, x0 = 3 no es un punto de acumulacion de A.

5. ¿x0 = 0 es un punto de acumulacion de A = { 1n/n ∈ Z+}?

La notacion moderna del lımite de una funcion se remonta a Bolzano quien, en 1817,introdujo las bases de la tecnica epsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocidomientras el estuvo vivo. Cauchy expuso lımites en su Cours danalyse (1821) y parecehaber expresado la esencia de la idea, pero no en una manera sistematica. La primerapresentacion rigurosa de la tecnica hecha publica fue dada por Weierstrass en los 1850y 1860 y desde entonces se ha convertido en el metodo estandar para trabajar con lımites.

La notacion de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debido aHardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

7.2. Lımites Laterales

Investiguemos el comportamiento de la funcion por derecha e izquierda de x0 = 2Ejemplo 7.6. La funcion

f(x) = x2 + 1

determina la posicion de un automovil en un determinado tiempo (x seg).

x 1 1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.999f(x) 2 3.25 4.24 4.61 4.8025 4.9601 4.996001

x 3 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.001f(x) 10 7.25 5.84 5.41 5.2025 5.0401 5.004001

La grafica de los puntos de la tabla

1 2 3

10

5

2

4.96

5.2

DerechaIzquierda

Si nos acercamos por la derecha de 2, las imagenes se acercan a 5, entonces se diceque el lımite de la funcion f(x) = x2 + 1 cuando x tiende a 2 por la derecha es 5 y seescribe

lımx→2+

f(x) = 5

Si nos acercamos por la izquierda de 2, las imagenes se acercan a 5, entonces se diceque el lımite de la funcion f(x) = x2 + 1 cuando x tiende a 2 por la izquierda es 5 y seescribe

lımx→2−

f(x) = 5

Definicion 43. Decimos que el lımite de f(x) es igual a L1 cuando x tiende a x0 por laderecha, si podemos aproximar los valores de f(x) a L1 tanto como queramos, escogiendox lo bastante cerca x0 por la derecha (x mayor que x0), en sımbolos

lımx→x+

0

f(x) = L1

Definicion 44. Decimos que el lımite de f(x) es igual a L2 cuando x tiende a x0 porla izquierda, si podemos aproximar los valores de f(x) a L2 tanto como queramos, esco-giendo x lo bastante cerca x0 por la izquierda (x mayor que x0), en sımbolos

lımx→x−

0

f(x) = L2

Ejemplo 7.7. Calcular lımx→2−

(3x2 + 5x− 3)

Solucion:

lımx→2−

(3x2 + 5x− 3) = 3(2)2 + 5(2)− 3 = 19

Ejemplo 7.8. Calcular lımx→−4+

x+ 3

2x− 1

Solucion:

lımx→−4+

x+ 3

2x− 1=−4 + 3

2(−4)− 1=

1

9

Observacion 11. Decimos que los lımites laterales existen siempre y cuando L1 y L2

pertenezcan a los reales. En sımbolos,

lımx→x+

0

f(x) = L1 ∈ R , lımx→x−

0

f(x) = L2 ∈ R

Ejemplo 7.9. Calcular los lımites laterales de la funcion f(x) =

{x− 3, x ≥ 3x2 + 1, x < 3.

en

x = 3

Solucion:f(3) = 3− 3 = 0 existe (la igualdad esta en la primera funcion) Los lımites laterales

lımx→3+

f(x) = lımx→3+

x− 3 = 3− 3 = 0 (existe)

lımx→3−

f(x) = lımx→3−

x2 + 1 = (3)2 + 1 = 10 (existe)

Ejemplo 7.10. Calcular los lımites laterales de la funcion f(x) =

x+ 3, x > −16, x = −1x2 + x+ 1, x < −1.

en x = −1

Solucion:f(−1) = 6 existe (la igualdad esta en la segunda funcion)

Los lımites laterales

lımx→−1+

f(x) = lımx→−1+

x+ 3 = 2 (existe)

lımx→−1−

f(x) = lımx→−1−

x2 + x+ 1 = (−1)2 + (−1) + 1 = 1 (existe)

Investiguemos el comportamiento de la funcion del ejemplo (9.57)

Ejemplo 7.11. La funcionf(x) = x2 + 1

determina la posicion de un automovil en un determinado tiempo (x seg).

x 1 1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.999f(x) 2 3.25 4.24 4.61 4.8025 4.9601 4.996001

x 3 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.001f(x) 10 7.25 5.84 5.41 5.2025 5.0401 5.004001

La grafica de los puntos de la tabla

1 2 3

10

5

2

4.96

5.2

Esto afirma que los valores de f(x) = x2 + 1se aproximan cada vez al numero 5 cuandox se aproxima a 2 por derecha e izquierda

El lımite de la funcion f(x) = x2 + 1cuando x tiende a 2 es 5

Se escribelımx→2

f(x) = 5

Observacion 12. Decimos que el lımite de la funcion f(x) es igual a L y existe cuandox tiende a x0 si y solo si los lımites laterales existen y son iguales. En sımbolos:

lımx→x0

f(x) = L (existe) si y solo si lımx→x+

0

f(x) = L, lımx→x−

0

f(x) = L

Ejemplo 7.12. Calcular lımx→2

(3x2 + 5x− 3)

Solucion:Primero calculamos los lımites laterales

lımx→2+

f(x) = lımx→2+

(3x2 + 5x− 3) = 3(2)2 + 5(2)− 3 = 19 (existe)

lımx→2−

f(x) = lımx→2−

(3x2 + 5x− 3) = 3(2)2 + 5(2)− 3 = 19 (existe)

Los lımites laterales son iguales y existen, entonces

lımx→2

(3x2 + 5x− 3) = 3(2)2 + 5(2)− 3 = 19

existe

Ejemplo 7.13. Calcular el lımite de la funcion f(x) =

{x− 3, x ≥ 3x2 + 1, x < 3.

en x = 3

Solucion:f(3) = 3− 3 = 0 existe (la igualdad esta en la primera funcion)


lımx→3+

f(x) = lımx→3+

x− 3 = 3− 3 = 0 (existe)

lımx→3−

f(x) = lımx→3−

x2 + 1 = (3)2 + 1 = 10 (existe)

Los lımites laterales existen y son diferentes entonces lımx→3

f(x) no existe


x+ 3, x > −16, x = −1x2 + x+ 1, x < −1.

en

x = −1

Solucion:f(−1) = 6 existe (la igualdad esta en la segunda funcion)


lımx→−1+


x+ 3 = 2 (existe)

lımx→−1−


x2 + x+ 1 = (−1)2 + (−1) + 1 = 1 (existe)

Los lımites laterales existen y son diferentes entonces lımx→1

f(x) no existe

Observacion 13. Notese que x0 no necesariamente debe estar en el dominio de la fun-cion, de modo que no necesariamente esta definida f(x0). La existencia del lımite de lafuncion f(x) es independiente de que x0 este o no este en el dominio de la funcion.


{x+ 3, x > −2x2 − 3, x < −2. en x = −2

Solucion:f(−2) no existe


lımx→−2+


x+ 3 = −2 + 3 = 1 (existe)

lımx→−2−


x2 − 3 = (−2)2 − 3 = 1 (existe)

Los lımites laterales existen y son iguales entonces lımx→−2

f(x) existe

Continuamos nuestro estudio, con el analisis de algunas graficas de funciones

Ejemplo 7.16. Analizar la grafica de la funcion

65cm

xo

L

L1

2

x

• x0 ∈ dom(f)

• existe f(x0) = L1

• existe lımx→x+

0

f(x) = L2

• existe lımx→x−

0

f(x) = L1

• Los lımites laterales son diferentes• lım

x→x0

f(x) = ∄


65cm

xo

L

L1

2

x

• x0 ∈ dom(f)

• existe f(x0) = L2

• existe lımx→x+

0

f(x) = L1


0

f(x) = L1

• Los lımites laterales son iguales• existe lım

x→x0

f(x) = L1


65cm

xo

Lx

• x0 ∈ dom(f)

• existe f(x0) = L• existe lım

x→x+0

f(x) = L


0

f(x) = L

• Los lımites laterales son iguales• existe lım

x→x0

f(x) = L


65cm

xo

x

• x0 no pertenece al dom(f)

• no existe f(x0) = ∄• existe lım

x→x+0

f(x) = +∞


0

f(x) = −∞

• Los lımites laterales son diferentes• lım

x→x0

f(x) = ∄


65cm

xo

x



x→x+0

f(x) = +∞


0

f(x) = +∞

• Los lımites laterales son iguales• lım

x→x0

f(x) = +∞ = ∄


65cm xo

x



x→x+0

f(x) = −∞


0

f(x) = −∞

• Los lımites laterales son iguales• lım

x→x0

f(x) = −∞ = ∄

7.3. Lımite de una funcion real de variable real

El lımite de una funcion es un concepto fundamental del calculo diferencial matematico.Informalmente, el hecho que una funcion f tiene un lımite L en el punto x0, significa queel valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientementecercanos a x0, pero distintos de x0. En sımbolos,

lımx→x0

f(x) = L

El lımite de la funcion f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imagenes(las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tiendenlas imagenes cuando los originales tienden a x0.

Definicion 45 (Lımite). Se dice que lımx→x0

f(x) = L si y solamente si para todo (∀) ε > 0,

existe (∃ )δ > 0, δ = δ(ε) tal que

|f(x)− L| < ε siempre que 0 < |x− x0| < δ, x ∈ Df

x

L

0 x0x0

L

L

+δ−δ

+ε

−ε

δ

ε

δ

ε

f(x)

Observacion 14. Se dice que la funcion f(x) tiene como lımite el numero L , cuandox tiende a x0, si fijado un numero real positivo ε , mayor que cero, existe un numeropositivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 quecumplen la condicion |x− x0| < δ , se cumple que |f(x)− L| < ε.

Interpretacion:

lım f(x): Lımite de una funcion f(x)

x: Variable Independiente

x0: Punto de Acumulacion

x → x0: x se aproxima a x0, para valores mayores que x0 (por derecha) y paravalores menores que x0 (por izquierda)

L: es el resultado del lımite (se observa en el eje y )

ε(epsilon): Una distancia muy pequena mayor que cero.

δ(delta): Una distancia muy pequena que depende del valor de ε

|f(x)− L| < ε: Es un intervalo abierto

−ε < f(x) < ε⇒ L− ε < f(x) < L+ ε⇒ f(x) ∈< L− ε, L+ ε >

0 < |x− x1| < δ: Es un intervalo abierto

Df : Dominio de la funcion f

Teorema 1. Sean f y g dos funciones, reales de variable real, definidas al menos enun entorno reducido de un punto x0 esto es: lım

x→x0

f(x) = L y lımx→x0

g(x) = m entonces:

a) lımx→x0

[Kf(x)] = K

(

lımx→x0

f(x)

)

= KL

b) lımx→x0

[f(x) + g(x)] = lımx→x0

f(x) + lımx→x0

g(x) = L+m

c) lımx→x0

[f(x)− g(x)] = lımx→x0

f(x)− lımx→x0

g(x) = L−m

d) lımx→x0

[f(x)g(x)] = lımx→x0

f(x) lımx→x0

g(x) = Lm

e) lımx→x0

[f(x)g(x)

] =lımx→x0

f(x)

lımx→x0

g(x)= L

m

f) lımx→x0

[logb f(x)] = logb[ lımx→x0

] = logb L, L > 0, b > 0, b 6= 1

g) lımx→x0

uf(x) = ulım

x→x0f(x)

= uL, u > 0

h) lımx→x0

f(x)g(x) = [ lımx→x0

f(x)]lım

x→x0g(x)

= Lm, L > 0

i) lımx→x0

[f(x)]n = [ lımx→x0

f(x)]n = Ln, n ∈ Z+

Ejemplo 7.22. Aplicaciones de los teoremas:

1. lımx→3

x2 − 1

x=

lımx→3

(x2 − 1)

lımx→3

x=

lımx→3

x2 − lımx→3

1

3=

(

lımx→3

x)2

− 1

3=

32 − 1

3=

8

3

2. lımx→1

log(3x− 2) + 2x

3x4 + 6=

log(

lımx→1

(3x− 2))

+ 2lımx→1

x

3(

lımx→1

x)4

+ 6=

log(1) + 21

3(1) + 6=

2

9

7.4. Operaciones con Infinito

1. Sumas con infinito

Infinito mas un numero∞± k =∞

Infinito mas infinito∞+∞ =∞

Infinito menos infinito∞−∞ = Ind

2. Productos con infinito

Infinito por un numero∞(±k) = ±∞, k 6= 0

Infinito por infinito∞(∞) =∞

Infinito por cero0(∞) = Ind

3. Cocientes con infinito y cero

Cero partido por un numero

0

k= 0, k 6= 0

Un numero partido por cero

k

0=∞, k 6= 0

Un numero partido por infinito

k

∞ = 0, k 6=∞

Infinito partido por un numero

∞k

=∞, k 6=∞

Cero partido por infinito0

∞ = 0

Infinito partido por cero ∞0

=∞

Cero partido por cero0

0= Ind

Infinito partido por infinito ∞∞ = Ind

4. Potencias con infinito y cero

Un numero elevado a cerok0 = 1

Cero elevado a cero00 = Ind

Infinito elevado a cero∞0 = Ind

Cero elevado a un numero

0k =

{0, k > 0∞, k < 0

Un numero elevado a infinito

k+∞ =

{∞, k > 10, 0 < k < 1

k−∞ =

{0, k > 1+∞, 0 < k < 1

Cero elevado a infinito0∞ = 0

Infinito elevado a infinito∞∞ =∞

Uno elevado a infinito1∞ = Ind

5. Logaritmos con infinitos y ceros

Logaritmo con infinito

logb(+∞) = +∞, si b > 1

logb(+∞) = −∞, si 0 < b < 1

Logaritmo con cero

logb(0) = −∞, si b > 1

logb(0) = +∞, si 0 < b < 1

Ejemplo 7.23. Calcular los lımites de las siguientes funciones

1)∞± k =∞ lımx→∞

(x+ 3)

2)∞+∞ =∞ lımx→∞

(x2 + x)

3)∞−∞ = Ind lımx→∞

√x− x2

4)∞(±k) = ±∞, k 6= 0 lımx→−∞

3x2

5)∞(∞) =∞ lımx→+∞

√x(x− 3)

6)0(∞) = Ind lımx→3

(x− 3) ln(x− 3)


7)0

k= 0, k 6= 0 lım

x→0

x

3

8)k

0=∞, k 6= 0 lım

x→0

−4x

9)k

∞ = 0, k 6=∞ lımx→+∞

8

x

10)∞k

=∞, k 6=∞ lımx→−∞

x

9

11)0

∞ = 0 lımx→0

x

ln x

12)∞0

=∞ lımx→8

ln(x− 8)

x− 8

13)0

0= Ind lım

x→3

x− 3

x2 − 9

14)∞∞ = Ind lım

x→∞

√x

x− 8


15)k0 = 1 lımx→8

x(x−8)

16)00 = Ind lımx→−7

(x+ 7)(x+7)

17)∞0 = Ind lımx→4

(1

x− 4)(x−4)

18)1∞ = Ind lımx→0

(1 + 2x)

1

x

19)0∞ = 0 lımx→3

(x− 3)

1

x2 − 9

20)∞∞ =∞ lımx→+∞

xx

7.5. Lımites Indeterminados

Un lımite es indeterminado, cuando al reemplazar el punto de acumulacion en lafuncion, obtenemos uno de los siguientes resultados:

0

0,∞∞ , 1∞, 0.∞, ∞−∞, 00, ∞0

Los siguientes casos muestran tecnicas para levantar indeterminaciones, es decir, obtenerun valor determinado del lımite

I. Si lımx→x0

f(x)g(x)

= 00

A. Si f(x) y g(x) son polinomios:

lımx→x0

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a0

bmxm + bm−1x

m−1 + . . .+ b0=

0

0

Para levantar la indeterminacion factorizamos el numerador y denominador ycancelamos el factor x− x0

Recordar que:

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ an−3b2 + . . .+ abn−2 + bn−1)

an + bn = (a− b)(an−1 − an−2b+ an−3b2 − . . .± bn−1)

Ejemplo 7.26. :

1. lımx→2

x3 + x2 − 4x− 4x2 − 5x+ 6

= lımx→2

8 + 4− 8− 44− 10 + 6 = 0

0

lımx→2

x3 + x2 − 4x− 4x2 − 5x+ 6

= lımx→2

x2(x+ 1)− 4(x+ 1)(x− 2)(x− 3)

= lımx→2

(x2 − 4)(x+ 1)(x− 2)(x− 3)

= lımx→2

(x+ 2)(x+ 1)x− 3 =

4(3)

−1 = −12

2. lımx→1

x7 − 1x− 1 = 0

0

lımx→1

x7 − 1x− 1 = lım

x→1

(x− 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1)(x− 1)

= lımx→1

(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 ++x+ 1) = 7

3. lımx→−2

x5 + 32x7 + 128

= 00

lımx→−2

x5 + 32x7 + 128

= lımx→−2

(x+ 2)(x4 − 2x3 + 4x2 − 8x+ 16)(x+ 2)(x6 − 2x5 + 4x4 − 8x3 + 16x2 − 32x+ 64)

=5(16)

7(64)=

5

28

4. Si f(x) = x3 + 3. Hallar lımh→0

f(x+ h)− f(x)h

, h 6= 0

f(x+ h) = (x+ h)3 + 3 = x3 + 3x2h+ 3xh2 + 3xh2 + h3

f(x+ h)− f(x)h

= x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − x3 − 3h

= 3x2 + 3xh+ h2

lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lım

h→0(3x2 + 3xh+ h2) = 3x2

5. lımx→1

2x2n + 1− 3x−2n

3x2n − 5 + 2x−2n = 00

lımx→1

(2xn + 3x−n)(xn − x−n)

(3xn − 2x−2n)(xn − x−n)= lım

x→1

2xn + 3x−n

3xn − 2x−n =5

1= 5

6. lımx→1

xa+c − xa+d − xb+c + xb+d

x5 − x4 − x+ 1= 0

0, a > b, c > d

= lımx→1

xa(xc − xd)− xb(xc − xd)x5 − x4 − x+ 1

= lımx→1

(xa − xb)(xc − xd)x5 − x4 − x+ 1

= lımx→1

xb(xa−c − 1)xd(xc−d − 1)x5 − x4 − x+ 1

= lımx→1

xb+d(x− 1)2(xa−b−1 + xa−b−2 + . . .+ 1)(xc−d−1 + xc−d−2 + . . .+ 1(x+ 1)(x2 + 1)(x− 1)2

= lımx→1

xb+d(xa−b−1 + xa−b−2 + . . .+ 1)(xc−d−1 + xc−d−2 + . . .+ 1(x+ 1)(x2 + 1)

=(a− b− 1)(1)(c− d− 1)

(2)(2)=

(a− b− 1)(c− d− 1)

4

B. Si f(x) o g(x) son funciones irracionales, se racionaliza el numerador o de-nominador y se cancela el factor x− x0

Se recomienda tener en cuenta:

(a− b) = ( n√a− n√b)(

n√an−1 +

n√an−2. n

√b+

n√an−3.

n√b2 + . . .+

n√bn−1)

(a+ b) = ( n√a+

n√b)(

n√an−1 − n

√an−2.

n√b+

n√an−3.

n√b2 − . . .± n

√bn−1)

n√a+ m√b = p√am + p

√an , p es M.C.M(n,m)

1. lımx→2

x− 2√4x+ 1− 3

= 00

lımx→2

x− 2√4x+ 1− 3

= lımx→2

(x− 2)(√4x+ 1 + 3)

(√4x+ 1− 3)(

√4x+ 1 + 3)

= lımx→2

(x− 2)(√4x+ 1 + 3)

4x+ 1− 9

= lımx→2

(x− 2)(√4x+ 1 + 3)

4(x− 2)

= lımx→2

√4x+ 1 + 3

4 = 64= 3

2

2. lımx→0

x√x2 + 3x+ 1− 1

= 00

lımx→0

x√x2 + 3x+ 1− 1

= lımx→0

x(√x2 + 3x+ 1 + 1)

(√x2 + 3x+ 1− 1)(

√x2 + 3x+ 1 + 1)

= lımx→0

x(√x2 + 3x+ 1 + 1)

x2 + 3x+ 1− 1

= lımx→0

x(√x2 + 3x+ 1 + 1)x(x+ 3)

= lımx→0

√x2 + 3x+ 1 + 1

x+ 3 = 23

3. lımx→1

4√x− 1

5√x− 1

= 00

= lımx→1

( 4√x− 1)(

4√x3 +

4√x2 + 4

√x+ 1)(

5√x5 +

5√x3 +

5√x2 + 5

√x+ 1)

( 5√x− 1)(

4√x3 +

4√x2 + 4

√x+ 1)(

5√x5 +

5√x3 +

5√x2 + 5

√x+ 1)

= lımx→1

(x− 1)(5√x5 +

5√x3 +

5√x2 + 5

√x+ 1)

(x− 1)(4√x3 +

4√x2 + 4

√x+ 1)

= lımx→1

5√x5 +

5√x3 +

5√x2 + 5

√x+ 1

4√x3 +

4√x2 + 4

√x+ 1

=5

4

4. lımx→0

x2 + x√x2 − x+ 4−

√x2 + 3x+ 4

= 00

= lımx→0

(x2 + x)(√x2 − x+ 4 +

√x2 + 3x+ 4)

(√x2 − x+ 4−

√x2 + 3x+ 4)(

√x2 − x+ 4 +

√x2 + 3x+ 4)

= lımx→0

(x2 + x)(√x2 − x+ 4 +

√x2 + 3x+ 4)

(x2 − x+ 4)− (x2 + 3x+ 4)

= lımx→0

(x2 + x)(√x2 − x+ 4 +

√x2 + 3x+ 4)

−4x= lım

x→0

(x2 + x)(√x2 − x+ 4 +

√x2 + 3x+ 4)

−4 =4

−4 = −1

5. lımx→2

x2 − 4√x2 + 2x+ 1− 3

√3x2 + 7x+ 1

= 00

M.C.M.(2, 3) = 6

lımx→2

x2 − 4√x2 + 2x+ 1− 3

√3x2 + 7x+ 1

= lımx→2

x2 − 46√

(x2 + 2x+ 1)3 − 6√

(3x2 + 7x+ 1)2

Factor Racionalizante(F.R.)

[ 6√

(x2 + 2x+ 1)3]5

+[ 6√

(x2 + 2x+ 1)3]4[ 6√

(3x2 + 7x+ 1)2]

+[ 6√

(x2 + 2x+ 1)3]3[ 6√

(3x2 + 7x+ 1)2]2

+[ 6√

(x2 + 2x+ 1)3]2[ 6√

(3x2 + 7x+ 1)2]3

+[ 6√

(x2 + 2x+ 1)3][ 6√

(3x2 + 7x+ 1)2]4

+[ 6√

(3x2 + 7x+ 1)2]5

= lımx→2

(x2 − 4)(F.R.)

( 6√

(x2 + 2x+ 1)3 − 6√

(3x2 + 7x+ 1)2)(F.R.)

= lımx→2

(x2 − 4)(F.R.)(x2 + 2x+ 1)3 − (3x2 + 7x+ 1)2

= lımx→2

(x− 2)(x+ 2)(F.R.)x6 + 6x5 + 6x4 − 22x3 − 40x2 − 8x

= lımx→2

(x− 2)(x+ 2)(F.R.)x(x− 2)(x4 + 8x3 + 22x2 + 22x+ 4)

= lımx→2

(x+ 2)(F.R.)x(x4 + 8x3 + 22x2 + 22x+ 4)

=4(6)(35)2(216)

=4(6)(35)2(23)(33)

=27

2

C. Si f(x) o g(x) son funciones trigonometricas, entonces aplicamos las identi-dades trigonometricas al lımite notable:

lımu→0

sen uu = 1

Recordemos algunas identidades trigonometricas:

1. sen u. csc u = 1

2. cos u. sec u = 1

3. tan u. cotu = 1

4. sen(A±B) = senA cosB ± senB cosA

5. cos(A± B) = cosA cosB ∓ senA senB

6. tan(A± B) = tanA± tanB1∓ tanA tanB

7. sen(2A) = 2 senA. cosB

8. cos(2A) = cos2A− sen2A

9. 2 sen2A = 1− cos(2A)

10. 2 cos2A = 1 + cos(2A)

Ejemplo 7.27. :

1. lımx→0

xsen x = 0

0

= lımx→0

(sen x

x

)−1

=(

lımx→0

sen x

x

)−1

= (1)−1 = 1

2. lımx→0

tanxx = 0

0

= lımx→0

sen x

x cosx=(

lımx→0

sen x

x

)(

lımx→0

1

cos x

)

= (1)(1/1) = 1

3. lımx→0

sen(mx)nx = 0

0

= lımx→0

m sen(mx)

(mx)n=

m

nlımx→0

sen(mx)

mx=

m

n(1) =

m

n

4. lımx→0

sen(ax)sen(bx)

= 00

= lımx→0

sen(ax)

xsen(bx)

x

=lımx→0

asen(ax)

ax

lımx→0

bsen(bx)

bx

=a(1)

b(1)=

a

b

5. lımx→0

x2

1− cos(3x)= 0

0

= lımx→0

x2

22

sen(3x

2)= 1

2

lım

x→0

x

2 sen3x

2

2

= 12

lım

x→0

sen3x

22

3

3x

2

−2

= 12(32)−2

lım

x→0

sen3x

23x

2

−2

= 12(49)(1)−2 =

2

9

6. lımx→π

2

1− sen x

(π

2− x)2

= 00

Hacemos x− π2= h⇒ x = h+ π

2

Si x→ π2⇒ h→ 0

Sustituyendo:

lımh→0

1− sen(h +π

2)

(−h)2 = lımh→0

1− (sen h cosπ

2+ sen

π

2cosh)

h2

= lımh→0

1− coshh2 = lım

h→0

22

senh

2h2 = 2 lım

h→0

senh

2h

2

= 24

lım

h→0

senh

2h

2

2

= 12(1) = 1

2

7. lımx→0

x(1− cos(sen x))sen(sen x)

= 00

= lımx→0

x[

22

sen(sen x

2)]

sen(sen x)= 2 lım

x→0

x

[

sen2( senx2

)sen2 x

4

]

sen2 x

4

sen(sen x)

sen xsen x

= 0

8. lımx→1

1− x2

sen(2πx)= 0

0

Hacemos x− 1 = h⇒ x = h + 1

Si x→ 1⇒ h→ 0

Sustituyendo:

= lımh→0

1− (h+ 1)2

sen[2π(h+ 1)]= lım

h→0

1− h2 − 2h− 1sen(2πh+ 2π)

= − lımh→0

h2 + 2hsen(2πh)

=

(

lımh→0

hsen(2πh)

)(

lımh→0

(h+ 2))

= −(

lımh→0

2πh2π sen(2πh)

)

(2) = −1

π(1) = −1

π

9. lımx→0

√1 + x sen x−

√cos 2x

tan2 x

2

= 00

= lımx→0

(√1 + x sen x−

√cos 2x)(

√1 + x sen x+

√cos 2x)

(tan2 x

2)(√1 + x sen x+

√cos 2x)

= lımx→0

1 + x sen x− cos 2x

(tan2 x

2)(√1 + x sen x+

√cos 2x)

= lımx→0

(1− cos 2x) + x sen x

(tan2 x

2)(√1 + x sen x+

√cos 2x)

= lımx→0

22

sen x+ x sen x

(tan2 x

2)(√1 + x sen x+

√cos 2x)

= lımx→0

2 sen2 x

x2+

x sen x

x2(tan2 x

2

x2

)

(√1 + x sen x+

√cos 2x)

= lımx→0

2(sen x

x

)2

+(sen x

x

)

1

4

(tan x

2x2

)2

(√1 + x sen x+

√cos 2x)

= (4)2(1)2 + 1(1)2(1 + 1)

= 6

II. Si lımx→x0

f(x)g(x)

= ∞∞Consiste dividir al numerador y denominador por la variables de mayor exponente

que figura en la funcion.Se debe tener en cuenta lo siguiente: Si x→ ±∞ entonces 1

x→ 0

Si x→ +∞ entonces 1xn → 0, n ∈ Z+

Si x→ −∞ entonces 1xn → 0, n ∈ Z+

Ejemplo 7.28. :

1. lımx→+∞

x3 + x2 − 2x+ 3x4 + 1

lımx→+∞

x3 + x2 − 2x+ 3x4 + 1

= lımx→+∞

x3 + x2 − 2x+ 3

x4

x4 + 1

x4

= lımx→+∞

1

x+

1

x2− 2

x3+

3

x4

1 +1

x4

=0

1= 0

2. lımx→+∞

x5 + 3x3 − xx2 − 1

lımx→+∞

x5 + 3x3 − x

x2 − 1= lım

x→+∞

x5 + 3x3 − x

x5

x2 − 1

x5

= lımx→+∞

1 +3

x2− 1

x4

1

x3− 1

x5

=1

0=∞

3. lımx→+∞

3x+ 46x− 2

lımx→+∞

3x+ 4

6x− 2= lım

x→+∞

3x+ 4

x6x− 2

x

= lımx→+∞

3 +4

x

6− 2

x

=3

6=

1

2

4. lımx→+∞

√3x2 + 2x− 1

x+ 6Dividimos por:

√x2 = |x| =

{

x si , x→ +∞−x si x→ −∞.

lımx→+∞

√

3x2 + 2x− 1

x2

x+ 6

x

= lımx→+∞

√

3 +2

x− 1

x2

1 +6

x

=

√3

1=√3

5. lımx→−∞

3x− 2√4x2 − 3x+ 1

Dividimos por:√x2 = |x| = −x cuando x→ −∞

lımx→−∞

3x− 2√4x2 − 3x+ 1

= lımx→−∞

3x− 2

x

−√

4x2 − 3x+ 1

x2

= lımx→−∞

3− 2

x

−√

4− 3

x+

1

x2

= −32

6. lımx→−∞

√9− x2

2x+ 1 sea f(x) =

√9− x2

2x+ 1Dominio de f es:9−x2 ≥ 0⇔ x2 ≤ 9⇔ −3 ≤ x ≤ 3∧2x+1 = 0⇒ x = −1

2

Dom(f) = [−3, 3]− {−1/2}No se puede calcular el lımite.

7. lımx→+∞

√

x+

√

x+√x+ 3

√x+ 3

lımx→+∞

√

x+

√

x+√x+ 3

√x+ 3

= lımx→+∞

√

x+

√

x+√x+ 3

x+ 3=

= lımx→+∞

√√√√√√

1 +1

x

√

x+√x+ 3

1 +3

x=

= lımx→+∞

√√√√√√√

1 +

√

x+√x+ 3

x2

1 +3

x=

= lımx→+∞

√√√√√√√

1 +

√

1

x+

√

x+ 3

x4

1 +3

x=

= lımx→+∞

√√√√√√√

1 +

√

1

x+

√

1

x4+

3

x4

1 +3

x

= 1

III. Si lımx→x0

[f(x)]g(x) = 1∞

Para levantar la indeterminacion hacemos uso de los lımites notables siguientes:

lımx→∞

(

1 +1

u

)u

= e

lımx→0

(1 + x)1x = e

Ejemplo 7.29. :

1. lımx→∞

(

1 + 23x

)x

= lımx→∞

1 + 1

3x

2

( 3x2)( 2

3)

= e23

2. lımx→0

(1 + 5x)1x = lım

x→0(1 + 5x)(

15x

)(5) = e5

3. lımx→0

(1− 4x)12x = lım

x→0(1 + (−4x))( 1

−4x)(−2) = (e)−2

4. lımx→+∞

(x+ 7x+ 4

)x

= lımx→+∞

x+ 7

xx+ 4

x

x

=

lımx→+∞

(

1 +7

x

)x

lımx→+∞

(

1 +4

x

)x

=

lımx→+∞

(

1 +1x7

)(x7)( 7

x)

lımx→+∞

(

1 +1x4

)(x4)(4) = e7

e4= e3

5. lımx→+∞

(x− 5x+ 2

)x+2

= lımx→+∞

(

1 + −7x+ 2

)x+2

= lımx→+∞

1 + 1

x+ 2

−7

(x+2−7

)(−7)

= e−7

6. lımx→0

sen x

√3− sen x3 + sen x = lım

x→0

(

1 + −2 sen x3 + sen x

) 1sen x

= lımx→0

1 + 1

−3 + sen x

2 sen x

(− 3+sen x2 sen x

)( 1x)

= elımx→0

[(− 2 sen x

3 + sen x)(

1

sen x)]= e−2 lım

x→0(

1

3 + sen x)= e−23

7. lımx→0

x[ln(x+ 1)− ln x] = lımx→0

[ln x+ 1x ]x = lım

x→0ln[1 + 1

x ]x

= ln(lımx→0

(1 + 1x)

1x ) = ln e = 1

8. lımx→0

(2− cos x)1x2 = lım

x→0(1 + 1− cosx)

1x2 = lım

x→0(1 + 2 sen2 x

2)

1x2

= lımx→0

(1 + 2 sen2 x2)( 12 sen2 x

2)(

2 sen2 x2

x2)= e

2 lımx→0

sen2 x2

x2 = e2 lımx→0

(

sen x2

2x2

)2

= e12lımx→0

(

sen x2

x2

)2

= e12(1)2 = e

12 =√e

9. lımx→0

(cosx+ sen x)1x = lım

x→0(1 + cosx+ sen x− 1)

1x

= lımx→0

(1 + sen x− (1− cosx))1x == lım

x→0(1 + sen x− 2 sen2 x

2)

1x

= lımx→0

(1 + sen x− 2 sen2 x2)( 1senx−2 sen2 x

2)(

sen x−2 sen2 x2

x)= e

lımx→0

senx−2 sen2 x2

x

= e( lımx→0

sen xx

)−2 lımx→0

sen x2. lımx→0

sen x2

x = e1−2(0).( 12) = e

7.6. Continuidad de una funcion real de variable real

Definicion 46 (Continuidad en un punto). Decimos que una funcion f es continua enun punto x0 si

a) f(x0) existeb) lım

x→x0

f(x) existe

c) lımx→x0

f(x) = f(x0)xo

L

x

La definicion afirma que f es continua en x0 si f(x) tiende a f(x0). Por tanto unafuncion continua tiene la propiedad de que un cambio pequeno en x solo produce unapequena alteracion en f(x).

Los fenomenos fısicos suelen ser continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o la veloci-dad de un vehıculo varıan en forma continua con el tiempo, como pasa con la estaturade una persona. Pero en realidad se presentan discontinuidades en situciones como lascorrientes electricas.

Geometricamente, una funcion continua en un punto x0 en un intervalo se puedeconcebir como una funcion cuya grafica no se rompe en dicho punto. La grafica se puedetrazar sin levantar la punta del lapicero en el papel.

Ejemplo 7.30. Analiza la continuidad de f en x0 = 0

f(x) =

{x3 + 3x+ 1 si x ≥ 0ln(x2 + ex) si x < 0

a) f(x0) = f(0) = x3 + 3x+ 1 = 1

b) Los lımites laterales existen

lımx→0+

x3 + 3x+ 1 = 1

lımx→0−

ln(x2 + ex) = 1

entonces el lımx→0

f(x) = 1

c) lımx→0

f(x) = f(0)

Por tanto f es continua en x0 = 0.

Observacion 15. Una funcion f es discontinua en x0 si f no es continua en x0. Ladiscontinuidades en un punto x0 son de dos tipos:

Decimos que f tiene discontinuidad evitable o removible si el lımite existe.

xo

L

L1

2

x

Decimos que f tiene discontinuidad esencial si los lımites laterales son diferentes osi el lımite de f es infinito (+∞ o −∞)

xo

L

L1

2

xo

L

L1

2

Ejemplo 7.31. Analiza la continuidad de f(x) =x2 − 3

x+ 1en x0 = −1

Solucion:

f(x0) = f(−1) = −20

no existe, entonces f es discontinua. Como

lımx→−1

x2 − 3

x+ 1=∞

entonces f presenta una discontinuidad no removible en el punto x0 = −1

Ejemplo 7.32. Analiza la continuidad de f(x) =

x2 + 1 si x ≥ 1

x

|x|+ 3si x < 1

en x0 = 1

Solucion:

a) f(x0) = f(1) = 12 + 1 = 2 existe

b) lımx→1+

x2 + 1 = 2

c) lımx→1−

x

|x|+ 3=

1

4. Entonces no existe lım

x→1f(x)

Por tanto f es discontinua en x = 1 y presenta una discontinuidad no removible.

Ejemplo 7.33. Analiza la continuidad de f en x0 = 1

f(x) =

x2 − 1 si x < 11− |x| si x > 1

2 si x = 1

a) f(x0) = f(1) = 2

b) lımx→1+

(1− |x|) = 0

c) lımx→1−

(x2 − 1) = 0. Existe lımx→1

f(x)

Por tanto f no es continua en x = 1 y tiene discontinuidad evitable.

Ejercicios:

1. f(x) = x2 + 1 en x0 = 1

2. f(x) =x+ 3

x+ 1en x0 = −2

3. f(x) =

x2 − 9

x+ 3si x 6= −3

−3 si x = −3en x0 = −3

4. f(x) =

|x||x| − 1

si x > 2

2 si x ≤ 2en x0 = 2

Propiedad 1. Sean f y g dos funciones de variable real, definidas al menos en unentorno de a. Si f y g son continuas en x = a entonces

a) f es acotada para todo x ∈ V (a)

b) Si f(a) 6= 0 entonces f(x) y f(a) tienen el mismo signo para todo x ∈ V (a)

c) kf es continua en x = a

d) f ± g es continua en x = a

e) f.g es continua en x = a

f) f/g es continua en x = a, g 6= 0

g) 1/g es continua en x = a, g 6= 0

h) |f | es continua en x = a

7.7. Funciones continuas elementales

1. Si f(x) = k entonces f es continua en todos los reales

2. Si f(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0 entonces f es continua en todos los reales

3. Sianx

n + an−1xn−1 + . . .+ a1x+ a0

bnxn + bn−1xn−1 + . . .+ b1x+ b0

No siempre es continua, generalmente es continua por intervalos. f es continuapara todo punto del conjunto

R− {x ∈ R : bnxn + bn−1x

n−1 + . . .+ b1x+ b0}

Si el denominador nunca es cero la funcion es continua en todos los reales

4. Si f(x) = |x| entonces f es continua en R

5. Si f(x) = ex entonces f es continua en R

6. Si f(x) = ax, a > 0, a 6= 1 entonces f es continua en R

7. Si f(x) = lnx entonces f es continua en (0,+∞)

8. Si f(x) = logbx, b > 0, b 6= 1 entonces f es continua en (0,+∞)

9. Si f(x) =√x entonces f es continua en [0,+∞), x ≥ 0

10. Si f(x) = senx entonces f es continua en R

11. Si f(x) = cosx entonces f es continua en R

12. Si f(x) = tgx entonces f es continua en R−{x ∈ R : cosx = 0} = R−{(2n+1)π

2:

n ∈ Z}

13. Si f(x) = cotgx entonces f es continua en R−{x ∈ R : senx = 0} = R−{nπ : n ∈ Z}

14. Si f(x) = ‖x‖ entonces f es continua en R− Z

15. Si f(x) = sgn(x) entonces f es continua en R− {0}

Ejemplo 7.34. Algunos ejemplos

1. f(x) = senx+ cosx es continua en todos los reales

2. f(x) = ln(x− 1) es continua en < 1,+∞)

3. f(x) =x2

x2 + 1es continua en todos los reales pues el denominador nunca es cero

4. f(x) =√x2 + 2 es continua en todos los reales pues el radical siempre es mayor que

cero

Ejemplo 7.35. Analizar la continuidad de

f(x) =

1− x si 0 ≤ x ≤ 2√x2 + 4− 1 si −1 ≤ x < 0ln(2− x) si −4 ≤ x < −1

en el intervalo [−4, 2 >

Solucion:Sabemos que

f(x) = f1(x) ∪ f2(x) ∪ f3(x)

donde:f1(x) = 1− x si 0 ≤ x ≤ 2

f2(x) =√x2 + 4− 1 si −1 ≤ x < 0

f3(x) = ln(2 − x) si −4 ≤ x < −1Analicemos la continuidad de cada subfuncion en los intervalos dados

f1(x) es continua en los reales entonces es continua en [0, 2]

f2(x) es continua en los reales entonces es continua en [−1, 0)

f3(x) es continua en (−∞, 2) entonces es continua en [−4,−1)

Analicemos la continuidad de f(x) en los puntos de quiebre

En x = 0

f(0) = 1

lımx→0+

f(x) = lımx→0+

(1− x) = 1

lımx→0−

f(x) = lımx→0−

(√x2 + 4− 1) = 1

lımx→0

f(x) = f(0)

entonces f es continua en x = 0

En x = −1

f(−1) =√

(−1)2 + 4− 1 =√5− 1

lımx→−1+


√x2 + 4− 1 =

√5− 1

lımx→−1−


ln(2− x) = ln3

entonces f no es continua en x = −1.

Por tanto f es continua en [−4, 2]− {−1}


g(x) =

x2 − 2x+ 3 si 0 < x ≤ 5|x− 4| − 1 si −2 ≤ x ≤ 0√x2 + 5 + 2 si −8 ≤ x < −2

en el intervalo [−8, 5]

Solucion:Analicemos la continuidad de cada subfuncion en los intervalos dados

g1(x) es continua en los reales entonces es continua en < 0, 5]

g2(x) es continua en los reales entonces es continua en [−2, 0]

g3(x) es continua en los reales entonces es continua en [−8,−2)

Analicemos la continuidad de g(x) en los puntos de quiebre

En x = 0

g(0) = 3

lımx→0+

g(x) = lımx→0+

(x2 − 2x+ 3) = 3

lımx→0−

g(x) = lımx→0−

(|x− 4| − 1) = 3

entonces g es continua en x = 0

En x = −2

g(−2) = | − 2− 4| − 1 = 5

lımx→−2+

g(x) = lımx→−2+

(|x− 4| − 1) = 5

lımx→−2−

g(x) = lımx→−2−

(√x2 + 5 + 2) = 5

entonces g es continua en x = −2.

Por tanto g es continua en [−8, 5]


h(x) =

x2 + 1

x2 − 4si −1 ≤ x < 2

−23

si −4 ≤ x < −1

en el intervalo [−4, 2 >

Solucion:h1(x) es continua en [−1, 2), h2(x) es continua en [−4,−1).

En x = −1

h(−1) = −23

lımx→−1+

h(x) = lımx→−1+

(x2 + 1

x2 − 4) =−23

lımx→−1−

h(x) = lımx→−1−

(−23) =−23

entonces h es continua en x = −1. Por tanto h es continua en [−4, 2)

Capıtulo 8

Derivada de una Funcion Real deVariable Real

Sea ∆x = x − x0 la variacion de la variable x y sea ∆y = y − y0 la variacion de lavariable y. El cociente de diferencias

∆y

∆x=

f(x)− f(x0)

x− x0

es la razon promedio de cambio de y con respecto a x. La razon de cambio promedio dauna medicion de cuanto cambia la funcion f cuando cambia x.

y=f(x)

x0

f(x )0

x

f(x )

Vari

ació

n d

e X

Variación de Y

Si f(t) es la posicion de una partıcula entonces∆f

∆tes la razon promedio de cambio

de la posicion con respecto al tiempo.

Ejemplo 8.1. Sea f(t) = t4 − 5t3 + 9 el desplazamiento en kilometros de un auto ent horas. Encuentre la razon promedio de cambio del desplazamiento del auto desde las5:00 hasta las 7:00 a.m.

Solucion:La razon promedio de cambio de f

∆f

∆x=

f(5)− f(3)

5− 3=

695− 9

5− 3= 343Km/h

Si Q(t) es la cantidad de carga electrica que pasa por un alambre entonces∆f

∆tes la

razon promedio de cambio de carga electrica respecto al tiempo.

144

Ejemplo 8.2. Sea Q(t) = t2 + 3t + 1 la cantidad de carga electrica en Couloms (C)que pasa por un alambre en t horas. Encuentre la razon promedio de cambio de cargaelectrica desde las 5:00 hasta las 7:00 a.m.

Solucion:La razon promedio de cambio de Q

∆Q

∆x=

Q(5)−Q(3)

5− 3=

71− 41

5− 3= 15C/h

Si P (t) indica el numero de individuos de una poblacion entonces∆P

∆tes la razon

promedio de la poblacion respecto al tiempo.

Ejemplo 8.3. Sea P (t) = 500(3t) el numero de bacterias en t horas. Encuentre la razonpromedio de cambio del numero de bacterias desde 5:00 hasta las 7:00 a.m.

Solucion:La razon promedio de cambio de P

∆P

∆x=

P (5)− P (3)

5− 3=

1093500− 121500

5− 3= 486000Bacterias/h

Si C(x) es el costo total y x el numero de unidades de cierto artıculo entonces∆C

∆xes la razon promedio del costo respecto al numero de unidades de cierto artıculo.

Ejemplo 8.4. Se sabe que para producir x unidades de juguetes el costo total (soles)estara dado por el siguiente modelo matematico:

C(x) = 100 + 4x+ 0,02x2

Encuentre la razon promedio de cambio del costo desde 50 hasta 51 juguetes.

Solucion:La razon promedio de cambio de C

∆C

∆x=

C(51)− C(50)

51− 50=

356,02− 350

51− 50= 6,02soles/juguete

Si aproximamos x a x0 entonces ∆x se aproxima a cero. Este lımite

lım∆x→0

∆y

∆x= lım

x→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

es la razon de cambio instantanea de y con respecto a x.

y=f(x)

x0

f(x )0

x

f(x )

y=mx+b

Observacion 16. Esta razon de cambio instantanea toma diversas denominaciones,segun el area de trabajo, por ejemplo

1. En fısica la denominan “Velocidad”

V = lım∆t→0

∆f

∆t

2. En electricidad la denominan “Corriente electrica ”

lım∆t→0

∆Q

∆t

3. En biologıa la denominan “tasa de crecimiento de una poblacion ”

lım∆t→0

∆P

∆t

4. En economıa la denominan “Costo marginal”

lım∆x→0

∆C

∆x

5. En matematica la denominan “Derivada ”

f ′(x0) = lım∆x→0

∆f

∆x

Definicion 47. Sea x0 ∈ dom(f) un punto fijo. La derivada de f en x0 se define por:

f ′(x0) = lımx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

siempre que el lımite existe.

Observacion 17. La derivada se interpreta como la pendiente de la recta tangente a lagrafica de f en el punto x = x0.

Observacion 18.dy

dx,Df(x), f ′(x), f ′(x) denota la derivada de f con respecto a x.

La derivada en cualquier punto x se define en forma analoga por

f ′(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h

Observacion 19. Una funcion f es derivable en un intervalo I si f es derivable en todopunto de dicho intervalo.

Ejemplo 8.5. Hallar la derivada de cada funcion

1. f(x) = x2 − 1


f(x+ h)− f(x)

h

= lımh→0

(x+ h)2 − 1− (x2 − 1)

h= lım

h→02x+ h

= 2x

2. f(x) =√x


f(x+ h)− f(x)

h

= lımh→0

√x+ h−

√h

h

= lımh→0

x+ h− x

h(√x+ h+

√x)

= lımh→0

1√x+ h +

√x

=1

2√x

3. f(x) = senx, x =π

2


f(x+ h)− f(x)

h

= lımh→0

sen(x+ h)− senx

h

= lımh→0

senxcosh + senhcosx− senx

h

= lımh→0

senx(cosh− 1) + senhcosx

h

= lımh→0

senx(sen2h

2) + senhcosx

h= 0 + cosx

= cosx

Luego f ′(π

2) = 0

8.1. Formulas inmediatas de derivacion

I. Si f(x) = k, entonces f ′(x) = 0

Ejemplo 8.6. Aplicando la formula I.

1. Si f(x) = 2⇒ f ′(x) = 0

2. Si f(x) = 15⇒ f ′(x) = 0

3. Si f(x) = −π ⇒ f ′(x) = 0

4. Si f(x) = cos(30◦)⇒ f ′(x) = 0

5. Si f(x) = 35 ⇒ f ′(x) = 0

6. Si f(x) = −√8⇒ f ′(x) = 0

II. Si f(x) = x, entonces f ′(x) = 1

Ejemplo 8.7. Aplicando la formula II.

1. Si f(m) = m⇒ f ′(m) = 1

2. Si f(t) = t⇒ f ′(t) = 1

3. Si f(p) = p⇒ f ′(p) = 1

4. Si f(u) = u⇒ f ′(u) = 1

III. Si f(x) = [u(x)]n, n ∈ R, entonces f ′(x) = n[u(x)]n−1

Ejemplo 8.8. Aplicando la formula III.

1. Si f(x) = x2 ⇒ f ′(x) = 2x

2. Si f(x) = x15 ⇒ f ′(x) = 15x14

3. Si f(x) = x−4 ⇒ f ′(x) = −4x−5

4. Si f(x) = x13 ⇒ f ′(x) = 1

3x− 2

3

5. Si f(x) =√x⇒ f ′(x) = 1

2x− 1

2 ; pues

f(x) =√x = x

12

Propiedades Fundamentales de la DerivadaSean f y g dos funciones derivables en x ∈ I, entonces

a. [kf(x)]′ = kf ′(x)

b. [f(x)± g(x)]′ = f ′(x)± g′(x)

c. [f(x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + g′(x)f(x)

d. [1

g(x)]′ =−g′(x)[g(x)]2

e.

[f(x)

g(x)

]′=

f ′(x)g(x)− g′(x)f(x)

[g(x)]2, g(x) 6= 0

Ejemplo 8.9. Encontrar la derivada de las siguientes funciones

1. f(x) = 6x7 entonces por propiedad y formula III

f ′(x) = 6(x7)′ = 6(7x6) = 42x6

2. f(x) = x3 − 8x4 entonces

f ′(x) = (x3 − 8x4)′ = (x3)′ − (8x4)′ = 3x2 − 32x3

3. f(x) = x2(x3 − x)23 entonces

f ′(x) = (x2)′(x3− x)23 + x2((x3− x)23)′ = 2x(x3− x)23 + x2(23)(x3− x)22(3x2− 1)

4. f(x) =x− 1

x2 + xentonces

f ′(x) =(x− 1)′(x2 + x)− (x− 1)(x2 + x)′

(x2 + x)2=

1(x2 + x)− (x− 1)(2x+ 1)

(x2 + x)2

IV. Si f(x) = eu(x), entonces f ′(x) = eu(x)[u′(x)]

Ejemplo 8.10. Aplicando la formula IV.

1. Si f(x) = e−x entonces f ′(x) = −e−x

2. Si f(x) = e(1+x2) entonces f ′(x) = 2xe(1+x2)

3. Si f(x) = e(3x6+x2) entonces f ′(x) = (18x5 + 2x)e(3x

6+x2)

V. Si f(x) = au(x) entonces f ′(x) = au(x)[u′(x)]lna, a > 0, a 6= 1

Ejemplo 8.11. Aplicando la formula V.

1. Si f(x) = 21−2x entonces f ′(x) = −2ln2e1−2x

2. Si f(x) = 3x2entonces f ′(x) = 2x(ln3)3x

2

VI. Si f(x) = ln[u(x)] entonces f ′(x) =u′(x)

u(x), u(x) > 0

Ejemplo 8.12. Aplicando la formula VI.

1. Si f(x) = ln(1− 2x) entonces f ′(x) =−2

1− 2x

2. Si g(x) = ln(3x− x2)3 entonces g′(x) =3(3x− x2)(3− 2x)

(3− 2x)3

VII. Si f(x) = logb[u(x)] entonces f ′(x) =u′(x)

(ln b)u(x), u(x) > 0

Ejemplo 8.13. Aplicando la formula VII.

1. Si f(x) = log5(1− x2) entonces f ′(x) =−2x

(1− x2) ln 5

2. Si g(x) = log(1− 2−x) entonces g′(x) =−2−xln2

(1− 2−x) ln 10

VIII. Si f(x) = sen u(x) entonces f ′(x) = [cosu(x)]u′(x)

Ejemplo 8.14. Aplicando la formula VIII.

1. Si f(x) = sen x entonces f ′(x) = cosx

2. Si f(x) = sen(1− x2) entonces f ′(x) = −2x cos(1− x2)

IX. Si f(x) = cosu(x) entonces f ′(x) = [− sen u(x)]u′(x)

Ejemplo 8.15. Aplicando la formula IX.

1. Si f(x) = cos ex entonces f ′(x) = −ex sen ex

2. Si f(x) = cos(1− x2) entonces f ′(x) = 2x sen(1− x2)

X. Si f(x) = tan u(x) entonces f ′(x) = [sec2 u(x)]u′(x)

Ejemplo 8.16. Aplicando la formula X.

1. Si f(x) = tan√1− x entonces f ′(x) =

−12(1− x)−

12 sec2

√1− x

2. Si f(x) = tan(1− x2) entonces f ′(x) = −2x sec2(1− x2)

XI. f(x) = cot u(x) entonces f ′(x) = [− csc2 u(x)]u′(x)

Ejemplo 8.17. Aplicando la formula XI.

1. Si f(x) = cot ln(1− x2) entonces f ′(x) =−2x1− x2

csc2(ln(1− x2))

2. Si f(x) = cot log sen x entonces f ′(x) =− cosx

sen x ln 10csc(log(sen x))

XII. f(x) = sec u(x) entonces f ′(x) = sec u(x) tanu(x)u′(x)

Ejemplo 8.18. Aplicando la formula XII.

1. Si f(x) = sec(1− x) entonces f ′(x) = − sec(1− x) tan(1− x)

XIII. f(x) = csc u(x) entonces f ′(x) = − csc u(x) cotu(x)u′(x)

Ejemplo 8.19. Aplicando la formula XIII.

1. Si f(x) = arcsen x entonces f ′(x) =1√

1− x2

2. Si f(x) = arcsen e−3x entonces f ′(x) =−3e−3x

√

1− [e−3x]2

XV. f(x) = arc cosu(x) entonces f ′(x) =−u′(x)

√

1− [u(x)]2

XVI. f(x) = arctan u(x) entonces f ′(x) =u′(x)

1 + [u(x)]2

XVII. f(x) = arccotu(x) entonces f ′(x) =−u′(x)

1 + [u(x)]2

XVIII. f(x) = arcsecu(x) entonces f ′(x) =u′(x)

u(x)√

[u(x)]2 − 1

XIX. f(x) = arccscu(x) entonces f ′(x) =−u′(x)

u(x)√

[u(x)]2 − 1

Ejemplo 8.20. Sea f(t) = t4 − 5t3 + 9 el desplazamiento en kilometros de un auto en thoras.

Encuentre la velocidad en el instante t

¿Cual es la velocidad despues de 2 y 4 horas?

¿Cuando esta en reposo el auto?

Solucion:La velocidad en el instante t

f ′(t) = 4t3 − 15t2

La velocidad despues de 2 y 4 horas

f ′(2) = 4(2)3 − 15(2)2 = −28km/h, f ′(4) = 4(4)3 − 15(4)2 = 16km/h

Un auto esta en reposo cuando su velocidad es cero. La primera derivada

f ′(t) = 4t3 − 15t2 = t2(4t− 15)

se anula en t = 0, t = 15/4. El auto se encuentra en reposo a las 0 horas y a las 15/4horas.

Ejemplo 8.21. Sea Q(t) = t2 + 3t + 1 la cantidad de carga electrica en Couloms (C)que pasa por un alambre en t horas. Encuentre la corriente cuando t = 1.

Solucion:La intensidad de corriente electrica

Q′(t) = 2t + 3

en t = 1hQ′(1) = 2(1) + 3 = 5C/h

Ejemplo 8.22. Se sabe que para producir x unidades de juguetes el costo total (soles)estara dado por el siguiente modelo matematico:

C(x) = 100 + 4x+ 0,02x2

Encuentre el costo marginal en 50 juguetes.

Solucion:El costo marginal

C ′(x) = 4 + 0,04x

en x = 50C ′(50) = 4 + 0,04(50) = 6soles/juguete

8.2. Derivada Implıcita

Las funciones que hemos encontrado hasta ahora se pueden describir expresando unavariable explıcitamente en terminos de otra variable por ejemplo

y =x

x+ 1, y =

5√x2 + 6

Sim embargo, algunas funciones se definen implıcitamente por medio de una relacionentre x e y, por ejemplo

x2 + xy + y3 = 9, x2 sen y − 8xy + tan(xy)

Las derivadas de una expresion explıcita se calculan mediante formulas de derivacion,pero en una expresion implıcita, podemos aplicar el metodo de derivacion implıcita sinnecesidad de despejar y. Este consiste en derivar ambos miembros de la ecuacion conrespecto a x y luego despejar y′ en la ecuacion resultante.

Ejemplo 8.23. Si x4 − y3 + xy = 0 encontrardy

dx.

Solucion:Derivando en ambos miembros:

x4 − y3 + xy = 04x3 − 3y2y′ + y + xy′ = 0

Despejamos y′ de la ecuacion resultante

y′ =−4x3 − y

−3y2 + x

Ejemplo 8.24. Si x sen y + cos 2y = cos y encontrardy

dx.

Solucion:Derivando en ambos miembros:

x sen y + cos 2y = cos ysen y + x(cos y)y′ − 2y′ sen 2y = −y′ sen y

Despejamos y′ de la ecuacion resultante

y′ =− sen y

x cos y − 2 sen 2y + sen y

Ejemplo 8.25. La longitud del largo de un rectangulo disminuye a razon de 2 cm/segmientras que el ancho aumenta a razon de 2 cm/seg. Cuando el largo es de 12 cm y elancho de 5 cm, hallar:

la variacion del area del rectangulo

la variacion del perımetro del rectangulo

Solucion:El procedimiento es deducir una ecuacion que relacione las dos cantidades y despues

aplicar la derivada implıcita. Asignemos un sımbolo a las diferentes cantidades que nosmencione el problema

L el largo del rectangulo, L = 12cm

dL

dt= −2cm/seg la razon o rapidez del largo respecto al tiempo.

A el ancho del rectangulo, A = 5cm

dA

dt= 2cm/seg la razon o rapidez del ancho respecto al tiempo.

Ar el area del rectangulo, Ar = LA

P el perımetro del rectangulo, P = 2L+ 2A

La razon de cambio del area del rectangulo se obtiene por derivacion implıcita de lafuncion Ar = AL con respecto al tiempo

dAr

dt= A

dL

dt+ L

dA

dt

en los puntos L = 12, A = 5

dAr

dt= (5)(−2) + +12(2) = 14cm/seg

La razon de cambio del perımetro del rectangulo se obtiene por derivacion implıcita dela funcion P = 2L+ 2A con respecto al tiempo

dP

dt= 2

dL

dt+ 2

dA

dt

en los puntos L = 12, A = 5

dAr

dt= 2(−2) + 2(2) = 0cm/seg

Ejemplo 8.26. Un hombre se aleja de un edificio de 30 metros de altura a una veloci-dad de 1.5 metros por segundo. Una persona en la azotea del edificio observa al hombrealejarse. A que velocidad varia el angulo de depresion de la persona de la azotea haciael hombre, cuando este dista 20 metros de la base del edificio.

Solucion:Asignemos un sımbolo a las diferentes cantidades que nos mencione el problema

x la distancia de la base del edificio hacia el hombre.

La rapidez con que se aleja esdx

dt= 1,5m/s

θ el angulo de depresion cuando el hombre se encuentra a 30 metros del edificio.

La variacion del angulo de depresion esdθ

dt

30

X

θ

Se observa en el triangulo que

tan θ =30

x,

y derivando implıcitamente

(sec2 θ)dθ

dt=

(−30x2

)dx

dt

dθ

dt=

(−30 cos2 θx2

)dx

dt

Si x = 20

dθ

dt=

−30(

3010

√13

)2

(20)2

(1,5)

Ejemplo 8.27. Un recipiente conico (con el vertice hacia abajo) tiene 5 metros de anchoarriba y 4,5 metros de hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razon de 5 metroscubicos por minuto, encuentre la razon de cambio de la altura del agua cuando tal alturaes de 3 metros.

Solucion:Asignemos un sımbolo a las diferentes cantidades que nos mencione el problema

2r la anchura del agua en el cono.

h altura del agua en el cono ydh

dtrazon de cambio de la altura del agua

V el volumen de agua en el cono.

La variacion del volumen del agua con respecto al tiempodV

dt= 5m3/min

r

2.5

h

4.5

Las cantidades V y h se relacionan mediante la ecuacion

V =1

3πr2h

pero es importante expresar V solo en funcion de h. Para eliminar r recurrimos a lasemejanza de los triangulos

r

h=

2,5

4,5−→ r =

5h

9

y la ecuacion V se transforma en

V =1

3πr2h =

1

3π

(5h

9

)2

h =25πh3

243

Al derivar implıcitamente con respecto a t

dV

dt=

25π

81h2dh

dt

De modo que

dh

dt=

81

25πh2

dV

dt

Al sustituir h = 3m ydV

dt= 5m3/min, obtenemos

dh

dt=

81

25π(3)2(5) =

9

5πm/min

8.3. Derivadas de Orden Superior

Definamos:

f ′(x) =df

dx

f ′′(x) =d2f

dx2=

d

dx

(df

dx

)

f ′′′(x) =d3f

dx3=

d

dx

(d2f

dx2

)

f (iv)(x) =d4f

dx4=

d

dx

(d3f

dx3

)

......

...

f (n)(x) =dnf

dxn=

d

dx

(d(n−1)f

dx(n−1)

)

Ejemplo 8.28. Encontrar la segunda derivada de f(x) = x5 − 6x4 + 9x

Solucion:Aplicando formulas y propiedades

f ′(x) = (x5 − 6x4 + 9x)′ = 5x4 − 24x3 + 9f ′′(x) = (5x4 − 24x3 + 9)′ = 20x3 − 72x2

Ejemplo 8.29. Encontrar la tercer derivada de f(x) = x lnx


f ′(x) = (x ln x)′ = ln x+ x(1/x)f ′′(x) = (ln x+ 1)′ = 1/xf ′′′(x) = (1/x)′ = −1/x2

Ejemplo 8.30. Encontrar la segunda derivada de f(x) =√9− x2


f ′(x) = (√9− x2)′ =

−2x2√9− x2

f ′′(x) = (−x√9− x2

)′ =

−1√9− x2 + (x)

−x√9− x2

9− x2

8.4. L’Hospital

En esta seccion presentaremos un metodo sistematico conocido como Regla de L’Hospital,para la evalucion de formas indeterminadas.Caso A: Indeterminaciones 0

0, ∞∞

lımx→a

f(x)

g(x)=

0

0

o

lımx→a

f(x)

g(x)=∞∞

Para levantar la indeterminacion, la regla de L’Hospital afirma que debemos derivarel numerador y denominador:

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)

g′(x)

Si otra vez resulta indeterminado, hay que derivar tantas veces hasta llegar a unadeterminacion.

lımx→a

f(x)

g(x)= lım

x→a

f ′(x)

g′(x)= lım

x→a

f ′′(x)

g′′(x)= . . . = lım

x→a

f (n)(x)

g(n)(x)

Ejemplo 8.31. Hallar los siguientes lımites:

lımx→∞

ex

x2

lımx→∞

ex

x2=

e∞

(∞)2= ∞

∞

= lımx→∞

(ex)′

(x2)′

= lımx→∞

ex

2x= ∞

∞

= lımx→∞

(ex)′

(2x)′

= lımx→∞

ex

2= ∞

lımx→0

ex − e−x

sen x

lımx→0

ex − e−x

sen x=

e0 − e0

sen 0= 0

0

= lımx→0

(ex − e−x)′

(sen x)′

= lımx→0

ex + e−x

cosx= 2

lımx→0

sen x− x

x

lımx→0

sen x− x

x=

sen 0− 0

0= 0

0

= lımx→0

(sen x− x)′

(x)′

= lımx→0

cosx− 1

1= 0

lımx→0

ln sen 2x

ln sen x

lımx→0

ln sen 2x

ln sen x=

ln sen 0

ln sen 0= −∞

−∞

= lımx→0

(2 cos 2x

sen 2x)

cosx

sen x

= lımx→0

2 cos 2x sen x

cosx sen 2x= 0

0

= lımx→0

−4 sen 2x sen x+ 2 cos 2x cosx

− sen x sen 2x+ 2 cosx cos 2x= 1

Caso B: Indeterminacion 0.∞

lımx→a

f(x)g(x) = 0.∞ =∞ · 0

Para levantar la indeterminacion, la regla de L’Hospital afirma que debemos ex-presarlo en la forma ∞

∞ , 00:

lımx→a

f(x)g(x) = lımx→a

f(x)1

g(x)

= 00

o

lımx→a

f(x)g(x) = lımx→a

g(x)1

f(x)

= ∞∞

Ejemplo 8.32. Hallar el lımite:

lımx→0

x ln sen x

lımx→0

x ln sen x = 0 ln sen 0 = 0(−∞)

= lımx→0

ln sen x1

x

=∞∞

= lımx→0

cos x

sen x−1x2

= lımx→0

−x2 cosx

sen x=

0

0

= lımx→0

−2x cosx+ x2 sen x

cosx= 0

lımx→∞

xe−x

lımx→∞

xe−x = ∞e−∞ = ∞ · 0

= lımx→∞

x

ex=

∞∞

= lımx→∞

1

ex= 0

Caso C: ∞ −∞ Para levantar la indeterminacion, la regla de L’Hospital afirma que

debemos expresarlo en la forma0

0:

lımx→x0

(f(x)− g(x)) = lımx→x0

11

f(x)

− 11

g(x)

= lımx→x0

1

g(x)− 1

f(x)1

f(x).

1

g(x)

=0

0

Ejemplo 8.33. Hallar el lımite:

lımx→1

(1

ln x− x

ln x

)

lımx→1

(1

ln x− x

ln x

)

=

(1

ln 1− 1

ln 1

)

= ∞−∞

= lımx→1

ln x

x− ln x

ln x

x. ln x

=

0

0

= lımx→1

(1/x)x− ln x

x2− (1/x)

(1/x)x− ln x

x2ln x+

ln x

x.(1/x)

= lımx→1

1− ln x− x

x2

2 lnx− (ln x)2

x2

= lımx→1

1− ln x− x

2 lnx− (ln x)2=

0

0

= lımx→1

(−1/x)− 1

2(1/x)− 2(ln x)(1/x)

= lımx→1

−1 − x

2− 2(ln x)= −1

lımx→1

(1

ln x− 1

x− 1

)

lımx→1

(1

ln x− 1

x− 1

)

=

(1

ln 1− 1

1− 1

)

= ∞−∞

= lımx→1

(x− 1)− ln x

(x− 1) lnx=

0

0

= lımx→1

1− 1/x

ln x+ (x− 1)(1/x)

= lımx→1

x− 1

x ln x+ (x− 1)=

0

0

= lımx→1

1

ln x+ x(1/x) + 1

= lımx→1

1

ln x+ 2=

1

2

Caso D: Indeterminaciones 1∞,∞0, 00

lımx→x0

f(x)g(x) = 1∞, lımx→x0

f(x)g(x) =∞0, lımx→x0

f(x)g(x) = 00

Para levantar la indeterminacion, la regla de L’Hospital afirma que debemos ex-presarlo en la forma 0.∞,

lımx→x0

f(x)g(x) = lımx→x0

eg(x) ln f(x) = e0.∞

Ejemplo 8.34. Hallar lımx→0+

xsen x

lımx→0+

xsen x = 00 −→ lımx→0+

esenx lnx = e0.∞

Basta con calcular

lımx→0+

sen x lnx = 0.∞

= lımx→0+

(ln x)′

(sec x)′

= lımx→0+

1/x

sec x tanx

= lımx→0+

1

x sec x tanx= 1/0 = +∞

Luegolımx→0+

xsen x = e∞ =∞

Ejemplo 8.35. Hallar lımx→0

(1− 2x)1/x

lımx→0

(1− 2x)1/x = 1∞ −→ lımx→0

e(1/x) ln(1−2x) = e0.∞

Basta con calcular

lımx→0

(1/x) ln(1− 2x) = 0.∞

= lımx→0

(ln(1− 2x))′

(x)′

= lımx→0

−2/(1− 2x)

1

= lımx→0

−21− 2x

= −2/1 = −2

Luegolımx→0

(1− 2x)1/x = e−2

8.5. Maximos y Mınimos

Numerosos problemas practicos nos exigen minizar un costo o maximizar un area, o dealguna manera, encontrar el mejor resultado en alguna situacion. Aprenderemos comolas derivadas nos ayudan a localizar los valores maximos y mınimos de las funciones.Definicion 48. Una funcion tiene un maximo absoluto (global) en x = a si

f(a) ≥ f(x),

para todo x ∈ dom(f)

Definicion 49. Una funcion tiene un mınimo absoluto (global) en x = a si

f(a) ≤ f(x),

para todo x ∈ dom(f)

0 10 20 30 40 50

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

X

Y

MínimoMáximo

Mínimo

En la figura se observan los maximos y mınimos de una funcion.

Ejemplo 8.36. Por ejemplo

f(x) = 3x2 − 12x+ 5

Figura 8.1: Maximos y Mınimos

Tiene un mınimo en x = 2

−3 −2 −1 0 1 2 3

−80

−60

−40

−20

0

20

40

60

Figura 8.2: Maximos y Mınimos

f(x) =x

x+ 1No tiene maximos ni mınimos

Observacion 20. Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza sumaximo y mınimo en algun punto de dicho intervalo

Nos es tan sencillo calcular valores maximos y mınimos de una funcion con la defini-cion, es por esto, que estudiaremos el criterio de la segunda derivada, este criterio nospermite a traves de la segunda derivada calcular valores maximos y mınimos de unamanera rapida y sencilla. Iniciemos el estudio con la definicion de punto crıtico.

Definicion 50. Un numero a ∈ dom(f) es crıtico si

f ′(a) = 0 o f ′(a) no existe

Ejemplo 8.37. Sea f(x) = x2 + 4x+ 5 con dom(f) = R y derivada

f ′(x) = 2x+ 4

La derivada se anula en el punto x = −2 y este punto pertenece al dominio de la funcion.Entonces f tiene un punto crıtico en x = −2

Ejemplo 8.38. Sea f(x) =√x− 3 con dom(f) = [3,+∞ > y derivada

f ′(x) =1

2√x− 3

La derivada no esta definida en x = 3 pero este punto pertenece al dominio de la funcion.Entonces f tiene un punto crıtico en x = 3

Ejemplo 8.39. Sea f(x) =x

x+ 1con dom(f) = R− {−1} y derivada

f ′(x) =x′(x+ 1)− x(x+ 1)′

(x+ 1)2=

1

(x+ 1)2

La derivada no esta definida en x = −1, y este punto no pertenece al dominio de f.Entonces f no tiene puntos crıticos.

Observacion 21 (Criterio de la segunda Derivada:). Si x = a es un punto crıtico de lafuncion f : R→ R y si

f ′′(a) > 0 entonces f tiene un valor mınimo en x = a

f ′′(a) < 0 entonces f tiene un valor maximo en x = a

f ′′(a) = 0 entonces no se puede afirmar que f tiene un valor mınimo o maximo.

Ejemplo 8.40. Sea f(x) = x4 − 4x2 + 2 con dominio dom(f) = R y derivadas

f ′(x) = 4x3 − 8x, f ′′(x) = 12x2 − 8

Los puntos x = 0, x =√2, x = −

√2 son puntos crıticos de f pues,

f ′(x) = 4x3 − 8x = (4x)(x−√2)(x+

√2) = 0.

Por el criterio de la segunda derivada

f ′′(0) = 12(0)2 − 8 = −8 < 0 f tiene un maximo en x = 0

f ′′(√2) = 12(

√2)2 − 8 = 16 > 0 f tiene un mınimo en x =

√2

f ′′(−√2) = 12(−

√2)2 − 8 = 16 > 0 f tiene un mınimo en x = −

√2

Ejemplo 8.41. Sea f(x) =√x− 4 con dominio dom(f) = [4,∞ > y derivadas

f ′(x) =1

2√x− 4

, f ′′(x) =−1

4(√x− 4)3

La primera derivada no esta definida en x = 4 pero este punto pertenece al dominio dela funcion, entonces f tiene un punto crıtico en x = 4


f ′′(4) =−1

4(√4− 4)3

no existe

Por tanto f no tiene valor maximo ni valor mınimo

Ejemplo 8.42. Sea f(x) =1 + x2

1− x2con dominio dom(f) = R− {−1, 1} y derivadas

f ′(x) =4x

(1− x2)2, f ′′(x) =

4(−x2 + 4x+ 1)

(1− x2)3

El punto x = 0 anula la primera derivada y f ′ no esta definida de x = 1, x = −1entonces x = 0 es punto crıtico de f. Y por el criterio de la segunda derivada.

f ′′(0) =4(−(0)2 + 4(0) + 1)

(1− (0)2)3= 4 > 0 f tiene un mınimo en x = 0

Los valores maximo y mınimos de funciones tienen aplicaciones practicas en muchasareas de la vida. Una persona de negocios quiere minimizar los costos y maximizarsus utilidades. Un fısico quiere conocer la velocidad maxima o mınima de un objeto.Un quımico quiere maximizar o minimizar la concentracion de un reactivo, etc. Ahoraresolveremos problemas que involucren valores maximos y mınimos.

Ejemplo 8.43. De una lamina rectangular de 120 m.× 75 m. Se desea construir unacaja sin tapa del mayor volumen posible recortando cuadrados iguales de las esquinas dela lamina y doblando hacia arriba las salientes para tomar las caras laterales. ¿Cualesdeben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen sea maximo? ¿Cual es elvolumen maximo que puede contener?

Solucion:Solucion: Se desea construir una caja sin tapa con la lamina rectangular. La longitud

de los lados del cuadrado la desconocemos, asi que le asignamos un valor x.

X

X

X

X120-2X

75-2x

Una vez recortados los cuadraditos, doblaremos los contornos para formar la cajita.Las dimensiones de la base de la cajita son 120−2x y 75−2x. Como la cajita tiene la formade un paralelepıpedo, el volumen de la cajita corresponde al volumen del paralelepıpedo(largo x ancho x altura),

V (x) = (120− 2x)(75− 2x)x = 4x3 − 390x2 + 9000x

El problema nos pide calcular las dimensiones de la caja para que su volumen seamaximo, entonces debemos calcular los valores donde la funcion volumen es maxima.Para ello calculamos las derivadas

V ′(x) = 12x2 − 780x+ 9000, V ′′(x) = 24x− 780

La primera derivada se anula en los puntos x = 50 y x = 15. Descartamos x = 50,pues hace negativa a la expresion 75− 2x y no podemos tener longitudes negativas, en-tonces el punto crıtico es x = 15.


V ′′(15) = −420 < 0, V tiene un maximo en x = 15

Luego las dimensiones de la caja para que el volumen se maximo deben ser

120− 2(15) = 90m.75− 2(15) = 35m.

El volumen maximo resulta de reemplazar x = 15 en la funcion

V (15) = (120− 2(15))(75− 2(15))(15) = 90(35)(15) = 47250m3

Ejemplo 8.44. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba entonces su alturadespues de t segundos es

s(t) = 80t− 16t2

¿Cual es la altura maxima que alcanza la pelota?

Solucion:El problema nos pide calcular la altura maxima, entonces debemos calcular los valores

donde la funcion es maxima. Para ello calculamos las derivadas

s′(t) = 80− 32t, s′′(t) = −32

s(t)

La primera derivada se anula en el punto x = 5/2, que corresponde al punto crıtico. Porel criterio de la segunda derivada

s′′(5/2) = −32 < 0, s tiene un maximo en x = 5/2

Luego la altura maxima ocurre en el punto x = 5/2 y su valor maximo es

s(5/2) = 80(5/2)− 16(5/2)2 = 100m.

Ejemplo 8.45. El costo promedio por unidad (en miles de soles) al producir x varillasde fierro es

C(x) = 20− 0,06x+ 0,0002x2

¿Que numero de varillas de fierro producidas minimizarıan el costo promedio? ¿Cual esel correspondiente costo mınimo por unidad?

Solucion:El problema nos pide calcular el costo mınimo correspondiente, entonces debemos

calcular los valores donde la funcion es mınima. Para ello calculamos sus derivadas

C ′(x) = −0,06 + 0,0004x, C ′′(x) = 0,0004

La primera derivada se anula en x = 150, que corresponde al punto crıtico. Por el criteriode la segunda derivada

C ′′(150) = 0,0004 > 0, C tiene un mınimo en x = 150.

Luego 150 varillas minimizan el costo y el costo mınimo es C(150) = 15,5 miles de soles.


1. Encuentre la derivada de la funcion dada aplicando la definicion de derivada.

a) f(x) = 5x+ 4

b) f(x) = x3 − x2 + 2x

c) f(x) = 4−3x2+x

d) f(x) = x+√x

e) f(x) = x4

f ) f(x) =√1 + 2x

2. Derive la funcion

a) f(x) = 5x− 1

b) f(x) = x2 + 3x− 4

c) f(x) = 5ex + 3

d) f(x) = x2 + 4x5 − 7

e) f(x) = 3√x

f ) f(x) = 4π5

g) f(x) = ex+1 + 5

h) f(x) = x2 + 2ex

i) f(x) = x− 15

j ) f(x) =3√x2 + 2

√x3


a) f(x) = x2ex

b) f(x) =√xex

c) f(x) = x+2x−1

d) f(x) = (x3 − x+ 1)(x−2 + 2x−3)

e) f(x) = 1x4+x2+1

f ) f(x) = ex

x+ex

g) f(x) = ax+bcx+d

h) f(x) = u2−u−2u+1


a) f(x) = x− 3 sen x

b) f(x) = sen x+ cos x

c) f(x) = 4 sec x+ tanx

d) f(x) = senxx2

e) f(x) = tan x−1secx

f ) f(x) = x sen x cosx

g) f(x) = csc x cotx

h) f(x) = cosx+ ex sen x


a) f(x) = ln(2− x)

b) f(x) = log3(x2 − 4)

c) f(x) = cos(ln x)

d) f(x) = 1+lnx1−lnx

e) f(x) = 2x + 5

f ) f(x) = 4x3+2x+6

g) f(x) = ln(x+√x2 − 1)

h) f(x) = log7(x3 − 6x+ 8)

i) f(x) = log3(√

3x+23x−2

)


a) f(x) = (3x+ 1)6(5x2 − 7)3

b) f(x) = (2x5 + 3x+ 8)3(x+ 1)4

c) f(x) = (3x2−1)5

(x3+8)3

d) f(x) = (x4+5)3

(5x3+3x)2


a) f(x) = sen(e(2x3+6)3)

b) f(x) = tan( ex−1ex+1

)

c) f(x) = 3e3x+5

+ e4x2+5

d) f(x) = ln( cos(2x−1)sen(5x2+3)

)

e) f(x) = (log6(3x3 + 2))5

f ) f(x) = sec3( ex+1

2x+3)

8. Halle los valores maximo y/o mınimo de las siguientes funciones sobre el intervalodado

a) f(x) = 3x2 − 12x+ 5, [0, 3]

b) f(x) = x3 − 3x+ 1, [0, 3]

c) f(x) = 2x3 + 3x2 + 4, [−2, 1]

d) f(x) = x3 − 3x2 − 9x+ 15

e) f(x) = 5x2 + 10x− 9

f ) f(x) = 2x3 + 9x2 + 12x+ 24


1. Se desea construir una caja sin tapa, de base cuadrangular, a partir de una laminacuadrada de 60 unidades de longitud de lado, recortando cuadrados de sus esquinasy doblando las pestanas sobrantes para que sean su altura. Calcular las dimensionesde la caja de mayor volumen.

2. Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular portres de sus lados, ya que el cuarto lado estara limitado por el cause de un rıo. ¿Deque medidas debera hacerse para que su superficie sea la maxima abarcada?

3. Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular portres de sus lados, ya que el cuarto lado estara limitado por el cause de un rıo. ¿Deque medidads debera hacerse para que su superficie sea la maxima abarcada?

4. Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular po suscuatro lados. ¿De que medidas debera hacerse para que su superficie sea la maximaabarcada?

5. Se deben construir envases cilındricos de bebida con capacidad de 300 cm3. Calcularlas dimensiones que deben tener para que su costo sea mınimo.

6. Con un rollo de 270 metros de alambrada se deben construir dos corrales adyacentesidenticos. Calcular las dimensiones que debe tener el cercado para que el areaabarcada sea maxima

7. Se debe construir una ventana que tenga 15 unidades de perımetro, cuya forma seaun rectangulo y un semicırculo sobre su parte superior. Calcular las dimensionesque debe tener para que permita el maximo paso de luz.

Capıtulo 9

INTEGRACION

La integracion es un concepto fundamental de las matematicas, especialmente en loscampos del calculo y del analisis matematico, es muy comun en la ingenierıa y en lamatematica en general y se utiliza principalmente para el calculo de areas y volumenesde regiones y solidos de revolucion.

Fue usado por primera vez por cientıficos como Arquımedes, Rene Descartes, IsaacNewton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este ultimo y los aportesde Newton generaron el teorema fundamental del calculo integral, que propone que laderivacion y la integracion son procesos inversos.

La palabra “integral”tambien puede hacer referencia a la nocion de primitiva: unafuncion F (x), cuya derivada es la funcion f(x).Ejemplo 9.1. Una primitiva de la funcion f(x) = x, es la funcion F (x) = x2/2 ya que

d(x2/2)

dx= x, para todo x ∈ R

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que f(x) = x tendra unnumero infinito de primitivas tales como

x2/2, x2/2 + 15, x2/2− 61

Es mas, cualquier primitiva de la funcion f(x) = x sera de la forma

F (x) = x2/2 + C

donde C es una constante conocida.

El proceso de hallar la primitiva de una funcion se conoce como integracion indefiniday es por tanto el inverso de la derivacion. Si F (x) es una primitiva de una funcion f(x),el conjunto de sus primitivas es F (x) + C, donde C es una constante. A dicho conjuntose le llama integral indefinida de f(x) y se representa como:

∫

f(x)dx

170

Se lee: “La integral definida de f(x) con respecto a la variable x”Se enuncian las principales primitivas de una funcion de variable real con sus respec-

tivos ejemplos

9.1. Formulas de integracion

Formula 1:

I.

∫

1dx = x+ C

Formula 2:

II.

∫

[u(x)]nd(u(x)) =[u(x)]n+1

n + 1+ C, n 6= −1

Ejemplo 9.2. Hallar

∫

xdx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = x, n = 1

d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = 1dx

∫

xdx =

∫

[x]1︸︷︷︸

u(x)n

(1)dx︸︷︷︸

d(u(x))

=x2

2+ C

Ejemplo 9.3. Hallar

∫

x9dx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = x, n = 9

d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = 1dx

∫

x9dx =

∫

[x]9︸︷︷︸

u(x)n

(1)dx︸︷︷︸

d(u(x))

=x10

10+ C

Ejemplo 9.4. Hallar

∫

x−5dx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = x, n = −5

d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = 1dx

∫

x−5dx =

∫

[x]−5

︸︷︷︸

u(x)n

(1)dx︸︷︷︸

d(u(x))

=x−4

−4 + C

Ejemplo 9.5. Hallar

∫5√x2dx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = x, n = 2/5

d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = 1dx

∫

x2/5dx =

∫

[x]2/5︸︷︷︸

u(x)n

(1)dx︸︷︷︸

d(u(x))

=x7/5

7/5+ C =

5x7/5

7+ C

Ejemplo 9.6. Hallar

∫

(sen x)3 cosxdx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = sen x, n = 3

d(u(x))

dx= cosx→ d(u(x)) = cos xdx

∫

(sen x)3 cosxdx =

∫

[sen x]3︸︷︷︸

u(x)n

(cosx)dx︸︷︷︸

d(u(x))

=sen4 x

4+ C

Ejemplo 9.7. Hallar

∫ln5 x

xdx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = ln x, n = 5

d(u(x))

dx=

1

x→ d(u(x)) =

1

xdx

∫ln5 x

xdx =

∫

ln5 x

(1

x

)

dx =

∫

[ln x]5︸︷︷︸

u(x)n

(1

x

)

dx

︸︷︷︸

d(u(x))

=ln6 x

6+ C

Formula 3:

III.

∫

a[u(x)]d[u(x)] =1

ln aa[u(x)] + C

Ejemplo 9.8. Hallar

∫

2xdx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = x

d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = 1dx

∫

2xdx =

∫

2x︸︷︷︸

au(x)

(1) dx︸︷︷︸

d(u(x))

=1

ln 22x + C

Ejemplo 9.9. Hallar

∫

3x−5dx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = x− 5

d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = 1dx

∫

3x−5dx =

∫

3x−5︸︷︷︸

au(x)

(1) dx︸︷︷︸

d(u(x))

=1

ln 33x−5 + C

Ejemplo 9.10. Hallar

∫

5−3x+4(−3)dx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = −3x+ 4

d(u(x))

dx= −3→ d(u(x)) = −3dx

∫

5−3x+4(−3)dx =

∫

5−3x+4︸︷︷︸

au(x)

(−3) dx︸︷︷︸

d(u(x))

=1

ln 55−3x+4 + C


∫

9senx cosxdx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = sen x

d(u(x))


∫

9senx cosxdx =

∫

9senx︸︷︷︸

au(x)

(cosx) dx︸︷︷︸

d(u(x))

=1

ln 99senx + C

Ejemplo 9.12. Calcular

∫2log(x/3)

xdx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = log(x/3)

d(u(x))

dx= 1/x→ d(u(x)) = (1/x)dx

∫2log(x/3)

xdx =

∫

2log(x/3)︸︷︷︸

au(x)

(1

x

)

dx

︸︷︷︸

d(u(x))

=1

ln 22log(x/3) + C


∫

eu(x)d(u(x))

∫

eu(x)d(u(x)) =

∫

eu(x)︸︷︷︸

au(x)

(d(u(x)))︸︷︷︸

d(u(x))

=1

ln eeu(x) + C = eu(x) + C

Formula 4:

IV.

∫

eu(x)d[u(x)] = eu(x) + C

Formula 5:

V.

∫d[u(x)]

u(x)= ln |u(x)|+ C


∫1

xdx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = x

d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = dx

∫1

xdx =

∫

d(u(x))︷︸︸︷

1dx

x︸︷︷︸

u(x)

= ln |x|+ C


∫cosx

sen xdx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = sen x

d(u(x))


∫cos x

sen xdx =

∫

d(u(x))︷︸︸︷

cosxdx

sen x︸︷︷︸

u(x)

= ln | sen x| + C


∫1

x ln xdx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = ln x

d(u(x))

dx=

1

x→ d(u(x)) =

1

xdx

∫1

x ln xdx =

∫

d(u(x))︷︸︸︷

(1/x)dx

lnx︸︷︷︸

u(x)

= ln | lnx|+ C

Formula 6:

VI.

∫

sen[u(x)]d[u(x)] = − cos[u(x)] + C


∫

4 sen 4x

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = 4x

d(u(x))

dx= 4→ d(u(x)) = 4dx

∫

4 sen 4xdx =

∫

sen 4x︸︷︷︸

u(x)

(4) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= − cos 4x+ C


∫sen x/5

5

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = x/5

d(u(x))

dx= (1/5)→ d(u(x)) =

dx

5dx

∫sen x/5

5dx =

∫

sen x/5︸︷︷︸

u(x)

(1/5)dx︸︷︷︸

d(u(x))

= − cos x/5 + C


∫

3x2 sen x3

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = x3,

d(u(x))

dx= 3x2 → d(u(x)) = 3x2dx

∫

3x2 sen x3dx =

∫

sen x3︸︷︷︸

u(x)

(3x2)dx

︸︷︷︸

d(u(x))

= − cosx3 + C

Formula 7:

VII.

∫

cos[u(x)]d[u(x)] = sen[u(x)] + C


∫

4 cos 4x

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = 4x

d(u(x))

dx= 4→ d(u(x)) = 4dx

∫

4 cos 4xdx =

∫

cos 4x︸︷︷︸

u(x)

(4) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= sen 4x+ C


∫cosx/5

5

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = x/5

d(u(x))

dx= (1/5)→ d(u(x)) =

dx

5dx

∫cosx/5

5dx =

∫

cos x/5︸︷︷︸

u(x)

(1/5) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= sen x/5 + C


∫

3x2 cosx3


d(u(x))

dx= 3x2 → d(u(x)) = 3x2dx

∫

3x2 cosx3dx =

∫

cos x3︸︷︷︸

u(x)

(3x2)dx

︸︷︷︸

d(u(x))

= sen x3 + C

Formula 8:

VIII.

∫

tan[u(x)]d[u(x)] = − ln | cos[u(x)]|+ C


∫

5 tan 5x

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = 5x,

d(u(x))

dx= 5→ d(u(x)) = 5dx

∫

5 tan 5xdx =

∫

tan 5x︸︷︷︸

u(x)

(5) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= − ln | cos 5x|+ C


∫

5x4 tan x5


d(u(x))

dx= 5x4 → d(u(x)) = 5x4dx

∫

5x4 tan x5dx =

∫

tan x5︸︷︷︸

u(x)

(5x4)dx

︸︷︷︸

d(u(x))

= − ln | cosx5|+ C


∫tan(ln x)

x

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = ln x,

d(u(x))

dx=

1

x→ d(u(x)) = (1/x)dx

∫tan(ln x)

xdx =

∫

tan ln x︸︷︷︸

u(x)

(1/x) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= − ln | cos(lnx)| + C

Formula 9:

IX.

∫

cot[u(x)]d[u(x)] = ln | sen[u(x)]|+ C


∫

5 cot 5x

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = 5x,

d(u(x))

dx= 5→ d(u(x)) = 5dx

∫

5 cot 5xdx =

∫

cot 5x︸︷︷︸

u(x)

(5) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= ln | sen 5x|+ C


∫

5x4 cot x5


d(u(x))

dx= 5x4 → d(u(x)) = 5x4dx

∫

5x4 cot x5dx =

∫

cot x5︸︷︷︸

u(x)

(5x4)dx

︸︷︷︸

d(u(x))

= ln | sen x5|+ C


∫cot(ln x)

x

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = ln x,

d(u(x))

dx=

1

x→ d(u(x)) = (1/x)dx

∫cot(ln x)

xdx =

∫

cot ln x︸︷︷︸

u(x)

(1/x) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= ln | sen(ln x)|+ C

Formula 10:

X.

∫

sec[u(x)]d[u(x)] = ln | sec[u(x)] + tan[u(x)]|+ C


∫

sec x

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = x,

d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = 1dx

∫

sec xdx =

∫

sec x︸︷︷︸

u(x)

(1) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= ln | sec x+ tanx|+ C


∫

2x sec x2


d(u(x))

dx= 2x→ d(u(x)) = 2xdx

∫

sec x2dx =

∫

sec x2︸︷︷︸

u(x)

(2x) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= ln | sec x2 + tan x2|+ C


∫

−2x−3 sec(1/x2)

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = 1/x2,

d(u(x))

dx= −2x−3 → d(u(x)) = −2x−3dx

∫

−2x−3 sec(1/x2)dx =

∫

sec 1/x2

︸︷︷︸

u(x)

(−2x−3

)dx

︸︷︷︸

d(u(x))

= ln | sec(1/x2) + tan(1/x2)|+ C

Formula 11:

XI.

∫

csc[u(x)]d[u(x)] = − ln | csc[u(x)] + cot[u(x)]|+ C


∫

csc x


d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = 1dx

∫

csc xdx =

∫

csc x︸︷︷︸

u(x)

(1) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= − ln | csc x+ cot x|+ C


∫

2x csc x2


d(u(x))

dx= 2x→ d(u(x)) = 2xdx

∫

csc x2dx =

∫

csc x2︸︷︷︸

u(x)

(2x) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= − ln | csc x2 + cotx2|+ C


∫

−2x−3 csc(1/x2)

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = 1/x2,

d(u(x))

dx= −2x−3 → d(u(x)) = −2x−3dx

∫

−2x−3 csc(1/x2)dx =

∫

csc 1/x2

︸︷︷︸

u(x)

(−2x−3

)dx

︸︷︷︸

d(u(x))

= − ln | csc(1/x2) + cot(1/x2)|+ C

Formula 12:

XII.

∫

sec2[u(x)]d[u(x)] = tan[u(x)] + C


∫

sec2(x)


d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = 1dx

∫

sec2(x)dx =

∫

sec2 (x)︸︷︷︸

u(x)

(1) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= tanx+ C


∫

3 sec2(3x+ 5)

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = 3x+ 5,

d(u(x))

dx= 3→ d(u(x)) = 3dx

∫

3 sec2(3x+ 5)dx =

∫

sec2 (3x+ 5)︸︷︷︸

u(x)

(3) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= tan(3x+ 5) + C

Formula 13:

XIII.

∫

csc2[u(x)]f(x)d[u(x)] = − cot[u(x)] + C


∫

csc2(x)


d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = 1dx

∫

csc2(x)dx =

∫

csc2 (x)︸︷︷︸

u(x)

(1) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= − cot x+ C


∫

3 csc2(3x+ 5)

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula:u(x) = 3x+ 5,

d(u(x))

dx= 3→ d(u(x)) = 3dx

∫

3 csc2(3x+ 5)dx =

∫

csc2 (3x+ 5)︸︷︷︸

u(x)

(3) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= − cot(3x+ 5) + C

Formula 14:

XIV.

∫

csc2[u(x)]f(x)d[u(x)] = − cot[u(x)] + C


∫

−2 sec(−2x+ 1) tan(−2x+ 1)dx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = −2x+ 1,

d(u(x))

dx= −2→ d(u(x)) = −2dx

∫

−2 sec(−2x+ 1) tan(−2x+ 1)dx =

∫

sec(−2x+ 1) tan (−2x+ 1)︸︷︷︸

u(x)

(−2) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= sec(−2x+ 1) + C


∫

sec(x) tan(x)dx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = x,

d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = 1dx

∫

sec(x) tan(x)dx =

∫

sec(x) tan (x)︸︷︷︸

u(x)

(1) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= sec(x) + C

Formula 15:

XV.

∫

csc[u(x)]cot[u(x)]d[u(x)] = − csc[u(x)] + C


∫

−2 csc(−2x+ 1) cot(−2x+ 1)dx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = −2x+ 1,

d(u(x))

dx= −2→ d(u(x)) = −2dx

∫

−2 csc(−2x+ 1) cot(−2x+ 1)dx =

∫

csc(−2x+ 1) cot (−2x+ 1)︸︷︷︸

u(x)

(−2) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= − csc(−2x+ 1) + C


∫

csc(x) cot(x)dx

Solucion:Reconocemos los elementos de la formula: u(x) = x,

d(u(x))

dx= 1→ d(u(x)) = 1dx

∫

csc(x) cot(x)dx =

∫

csc(x) cot (x)︸︷︷︸

u(x)

(1) dx︸︷︷︸

d(u(x))

= − csc(x) + C

A continuacion Se enuncian algunas propiedades y teoremas basicos de las integralesindefinidas que ayudaran a evaluarlas con mas facilidad.

Teorema 2 (Propiedades). : Si f(x), g(x) dos funciones reales de variable real y k unaconstante real entonces se cumple

∫

kf(x)dx = k

∫

f(x)dx

∫

(f(x) + g(x))dx =

∫

f(x)dx+

∫

g(x)dx

∫

(f(x)− g(x))dx =

∫

f(x)dx−∫

g(x)dx


∫

x3 − 5exdx

Solucion:

∫

x3 − 5exdx =

∫

x3dx−∫

5exdx

=

∫

x3dx− 5

∫

exdx

= x4

4− 5ex + C


∫

cos x+ x4dx

Solucion:

∫

cosx+ x4dx =

∫

cosxdx−∫

x4dx

= sen x− x5

5+ C


∫

tan(8x)dx

Solucion:En este ejemplo, se utilizaran la formula , donde u(x) = 8x y

d(u(x)) = 8dx

y la propiedad 1 ∫

tan(8x)dx =

∫

(1/8)(8) tan(8x)dx

= (1/8)

∫

8 tan(8x)dx

= (1/8)(− ln | cos(8x)|) + C


∫5x√

3x2 + 7dx

Solucion:En este ejemplo, se utilizaran la formula 2, donde u(x) = 3x2 + 7 y

d(u(x)) = 6xdx

y la propiedad 1∫

5x√3x2 + 7

dx =

∫

(1/6)(6)5x√

3x2 + 7dx

=

∫

(5/6)6x√

3x2 + 7dx

= (5/6)

∫

(6x)(3x2 + 7)−1/2dx

= (5/6)

((3x2 + 7)1/2

1/2

)

+ C

Se entiende por metodos de integracion cualquiera de las diferentes tecnicas ele-mentales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una funcion.Mencionemos algunos

9.2. Integracion por cambio de variable o por susti-

tucion

El metodo de integracion por sustitucion o por cambio de variable se basa en realizarun reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillocon una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no sontriviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar facilmente su primitiva.Este metodo realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivacion.

Procedimiento Practico:

a) Se hace el cambio de variable x = µ(t)

b) Se diferencia en dos terminos: dx = µ′(t)dt

c) Se despeja x y el diferencial dx si fuera posible

d) Sustituimos en la integral: I =∫f(x)dx =

∫f [µ(t)]µ(t)dt

e) Si la integral resultante es mas sencilla, integramos.

f) Regresamos a la variable inicial x

Ejemplo 9.47. Hallar I =

∫

e4xdx

Solucion:

a) Se hace el cambio de variable x =t

4

b) Se diferencia en dos terminos: dx =1

4dt

c) No es necesario despejar x y dx

d) Sustituimos en la integral:

I =

∫

e4xdx =

∫

e4(t/4)1

4dt


I =

∫

e4xdx =1

4

∫

etdt︸︷︷︸

Form 4

= et + C


x =t

4→ t = 4x

I = e4x + C


∫ √1− x2dx

Solucion:

a) Se hace el cambio de variable x = sen(t)

b) Se diferencia en dos terminos: dx = cos(t)dt

c) x y el diferencial dx estan despejados

d) Sustituimos en la integral: I =

∫ √1− x2dx =

∫√

1− (sen t)2 cos tdt


I =

∫ √1− x2dx =

∫√

1− (sen t)2 cos tdt

=

∫

(cos t) cos tdt

=

∫

(cos t)2dt

=

∫cos 2t+ 1

2dt

= (1/2)

∫

cos 2t + 1dt︸︷︷︸

Form 7 y 2

= (1/2)

(sen 2t

2+ t

)

+ C


x = sen t→ t = arc sen x

I = (1/2)

(sen 2(arc sen x)

2+ arc sen x

)

+ C


∫1√

3x+ 5dx

Solucion:

a) Se hace el cambio de variable x =t− 5

3

b) Se diferencia en dos terminos: dx =1

3dt

c) No es necesario despejar x ni dx

d) Sustituimos en la integral: I =

∫1√

3x+ 5dx =

∫1√t

dt

3


I =

∫1√

3x+ 5dx =

∫1√t

dt

3

=1

3

∫

t−1/2dt︸︷︷︸

Form 2

=1

3

t1/2

1/2+ C


x =t− 5

3→ t = 3x+ 5

I =1

3

(3x+ 5)1/2

1/2+ C


∫ln x

xdx

Solucion:

a) Se hace el cambio de variable t = ln x

b) Se diferencia en dos terminos: dt =1

xdx

c) No es necesario despejar x y dx


I =

∫ln x

xdx =

∫

ln x1

xdx =

∫

tdt


I =

∫ln x

xdx =

∫

tdt︸︷︷︸

Form f2

=t2

2+ C


I =(lnx)2

2+ C


∫

sen ax dx donde a ∈ R− {0}

Solucion:

a) Se hace el cambio de variable t = ax

b) Se diferencia en dos terminos: dt = adx

c) Despejamos dx =dt

a


I =

∫

sen axdx =

∫

sen tdt

a


I =

∫

sen axdx =1

a

∫

sen tdt︸︷︷︸

Form 6

=1

a(− cos t) + C


I =1

a(− cos ax) + C


∫

ex2+4x+3(x+ 2)dx

Solucion:Se hace el cambio de variable

t = x2 + 4x+ 3→ dt = 2x+ 4dx = 2(x+ 2)dx→ dt

2= (x+ 2)dx

Sustituimos

I =

∫

ex2+4x+3(x+ 2)dx =

∫

etdt

2︸︷︷︸

Form 4

=1

2(et) + C

Regresamos la variable original

I =1

2(ex

2+4x+3) + C


∫ √1 + 3 cos2 x sen 2xdx

Solucion:Se hace el cambio de variable

t = 1 + 3 cos2 x→ dt = 3(2) cosx sen xdx→ dt

3= sen 2xdx

Sustituimos

I =

∫ √1 + 3 cos2 x sen 2xdx =

∫ √tdt

3︸︷︷︸

Form 2

=1

3

(t3/2

3/2

)

+ C

Regresamos la variable original

I =1

3

((1 + 3 cos2 x)3/2

3/2

)

+ C

9.3. Integral Definida.

Definicion 51. Si f es una funcion continua definida para a ≤ x ≤ b, dividimos elintervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho ∆x = (b−a)

n. Denotamos con x0(=

a), x1, x2,...,xn(= b) los puntos extremos de estos subintervalos y elegimos los puntosmuestra x∗

1, x∗2,...,x

∗n en estos subintervalos, de modo que x∗

i se encuentre en el i−esimosubintervalo [xi−1, xi]. Entonces la integral definida de f , desde a hasta b, es

∫ b

af(x)dx = lım

n→∞

n∑

i=1

f(x∗i )∆x

Propiedades de la Integral Definida

1.∫ b

af(x)dx = −

∫ b

af(x)dx

2.∫ b

acdx = c(b− a), en donde c es cualquier constante.

3.∫ b

a[f(x) + g(x)]dx =

∫ b

af(x)dx+

∫ b

ag(x)dx

4.∫ b

acf(x)dx = c

∫ b

af(x)dx, en donde c es cualquier constante.

5.∫ b

a[f(x)− g(x)]dx =

∫ b

af(x)dx−

∫ b

ag(x)dx

Teorema Fundamental del Calculo

Teorema 3 (Teorema Fundamental del Calculo, primera parte). Si f es continua en[a, b], la funcion g definida por

g(x) =∫ x

af(t)dt a ≤ x ≤ b

es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y g′(x) = f(x)

Teorema 4 (Teorema Fundamental del Calculo, segunda parte). Si f es continua en[a, b], entonces

∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a)

en donde F es cualquier antiderivada de f , esto es, es una funcion tal que F ′ = f

Ejemplo 9.54. Calcular∫ 2

0(x3 + 1)dx

Solucion:

∫ 2

0

(x3 + 1)dx =

(x4

4+ x

)∣∣∣∣

2

0

= ((2)4

4+ 4)− (

04

4+ 0) = 8

Ejemplo 9.55. Calcular∫ 2

−1(x2 + x)dx

Solucion:

∫ 2

−1

(x3 + 1)dx =

(x3

3+

x2

2

)∣∣∣∣

2

−1

=

((2)3

3+

(2)2

2

)

−((−1)33

+(−1)22

)

=9

2

9.4. Aplicaciones de la Integral Definida.

9.4.1. Aplicaciones de la Integral Definida al Calculo de Areas.

En esta seccion definiremos y calculamosareas, de regiones que se encuentran debajode las graficas de funciones. Ahora usaremoslas integrales para hallar areas de regionesdelimitadas por las graficas de funciones. Laintegral definida de una funcion f se inter-preta como el area bajo la curva (la graficade la funcion f).

Sea f una funcion continua en el intervalo [a, b], entonces el area A de la region queesta bajo la curva de la funcion f se puede calcular hallando la integral de la funcion fdesde a hasta b, es decir

A =∫ b

af(x)dx

f

A=área

a b X

Y

Figura 9.1: Area bajo la curva de f

Figura 9.2: Area entre dos curvas de

Ejemplo 9.56. Calcular el area bajo la curva y = x2+1 y sobre el eje X, en el intervalo[1, 2]

Solucion:

A =

∫ 2

1

(x2 + 1)dx = (x3

3+ x)|21 =

10

3= 3,33u2

Si A es el area de la region R que esta entre las curvas f(x) y g(x) con f(x) ≥ g(x)definidas en el intervalo [a, b], entonces el area A se puede calcular de la siguiente manera:

A =∫ b

a[f(x)− g(x)]dx

f

A=área

a b X

Y

g


Ejemplo 9.57. Calcular el area entre las curvas f(x) = −x2 + 9 y g(x) = x2 + 1

Solucion:Lo primero que tenemos que hacer es hallar los lımites de integracion, estos se obtienen

de igualar las dos funciones es decir f(x) = g(x), de donde se obtiene:

−x2 + 9 = x2 + 1


al desarrollar esta ecuacion se obtiene que x = −2 y x = 2 que son nuestros lımites deintegracion, entonces:

A =

∫ 2

−2

[(−x2 + 9)− (x2 + 1)]dx =

∫ 2

−2

[−2x2 + 8] =64

3= 21,3u2

9.4.2. Aplicaciones de la Integral Definida al Calculo de Volumenes.

Al tratar de hallar el volumen de un solido,enfrentamos el mismo tipo de problema queal buscar areas. Aplicando el calculo dare-mos una definicion exacta de volumen.

Definicion 52. Sea S un solido que se encuentra entre x = a y x = b. Si el area de laseccion transversal de S en el plano Px, que pasa por x y es perpendicular al eje X, esA(x), donde A es una funcion continua, entonces el volumen de S es

V = lımn→∞

n∑

i=1

A(x∗i )∆x =

∫ b

aA(x)dx

Si el solido generado al hacer girar una region limitada por dos curvas f(x) y g(x)con f(x) ≥ g(x) por la region, entonces el volumen se calculara de la siguiente manera

V = π∫ b

a([f(x)]2 − [g(x)]2)dx

Ejemplo 9.58. Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girar la region limitadapor y = x2, y = 4 y x = 0 alrededor del eje Y

Solucion:En la figura 9.5 se muestra la region y en la figura 9.6, el solido que resulta al hacer

girar la region alrededor del eje Y . Si cortamos el solido de manera perpendicular al eje

Y a una altura y como se ve en la figura 9.6, entonces obtenemos un disco circular conradio x, en donde

x =√y

Luego el area de la seccion tranversal a traves de y esta dada por:

A(y) = πx2 = π(√y)2 = πy

Ası pues el volumen del solido es:

V =

∫ 4

0

A(y)dy =

∫ 4

0

πy = πy2

2

∣∣40 = 8πu3

y=4

y=x2x=0

X

Y

Figura 9.5: Grafica de y = x2

4

X

Y

xy (x,y)

0

Figura 9.6: Solido de revolucion generado por y = x2

Ejemplo 9.59. Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del ejeOX la region limitada por y = x2 y y =

√x.

Solucion:

Figura 9.7: Area entre las curvas y = x2 y y =√x

Figura 9.8: Solido de revolucion generado por y = x2 y y =√x

El punto de interseccion de las dos graficas, se halla haciendo

x2 =√x

, de aquı se obtiene los lımites de integracion x = 0 y x = 1, entonces

V = π

∫ 1

0

((√x)2 − (x2)2)dx =

∫ 1

0

(x− x4)dx = π(x2

2− x5

5)|10 =

3

10πu3

9.4.3. Momentos y Centros de Masa.

El objetivo principal de esta seccion es deter-minar el punto P en el cual se equilibra, hor-izontalmente , una placa delgada que ocupauna region R de cualquier forma dada. Estepunto se llama centro de masa o centrode gravedad de la placa.

R

y=f(x)

a bX

Y

0

Figura 9.9:

Suponga que la region R es del tipo que vemos en la figura 9.9, esto es, R queda entrelıneas x = a y x = b, arriba del eje X y abajo de la grafica de f , donde f es una funcioncontinua.

Entonces el centro de masa de la placa (o el centroide de R) esta en el punto (x, y),donde

x = 1A

∫ b

axf(x)dx

y

y = 1A

∫ b

a12[f(x)]2dx

donde: A es el area de la region R.

Observacion 22. El lugar del centro de masa es independiente de la densidad de laplaca.

Ejemplo 9.60. Hallar el centro de masa de la region R limitada por la parabola y =−x2 + 4, y el eje X.

Solucion:

x=-20

X

Y

R

-x2+4

4

x=2

Figura 9.10:

Primero hallemos los lımites de integracion, en nuestro caso, estos van a ser lospuntos de corte en donde la parabola intersecta al eje X , pues se calculan desarrollandola ecuacion f(x) = 0, entonces

−x2 + 1 = 0,

de donde se obtiene x = −2 y x = 2.

Luego, calculamos el area A de la region R.

A =

∫ 2

−2

(−x2 + 4)dx

como la grafica es simetrica con respecto al eje Y , entonces

A =

∫ 2

−2

(−x2 + 4)dx = 2

∫ 2

0

(−x2 + 4)dx = 2(−x3

3+ 4x)|20 =

32

3u2

Ahora calculamos el centroide de R

x = 1A

∫ 2

−2xf(x)dx

= 1323

∫ 2

−2x(−x2 + 4)dx

= 332

∫ 2

−2(−x3 + 4x)dx

= 332(−x4

4+ 2x2)|2−2

x = 0

yy = 1

A

∫ 2

−212[f(x)]2dx

= 1323

∫ 2

−212(−x2 + 4)2dx

= 364

∫ 2

−2(x4 − 8x2 + 16)dx

= 364(x

5

5− 8

3x3 + 16x)|2−2

y = 45

De esta manera, el centroide de la region R es:

(x, y) = (0,4

5)

Si la region R esta entre las dos curvas y = f(x) y y = g(x), donde f(x) ≥ g(x),entonces el centroide de R esta en (x, y), donde

x = 1A

∫ b

ax[f(x)− g(x)]dx

y

y = 1A

∫ b

a12([f(x)]2 − [g(x)]2)dx

Figura 9.11:

Ejemplo 9.61. Hallar el centro de masa de la region R limitada por la parabola y = x2,y la recta y = 3x.

Solucion:Primero hallemos los lımites de integracion, haciendo

x2 = 3x,

de donde se obtiene x = 0 y x = 3.Luego, calculamos el area A de la region R.

A =

∫ 3

0

(3x− x2)dx = (3

2x2 − x3

3)|30 =

9

2u2

Ahora calculamos el centroide de R

x = 1A

∫ 3

0x[3x− x2]dx

= 192

∫ 3

0(3x2 − x3)dx

= 29(3x

3

3− x4

4)|30

= 32

x = 1,5

y

y = 1A

∫ 3

012([3x]2 − [x2])dx

= 192

∫ 3

012(9x2 − x4)dx

= 19

∫ 3

0(9x2 − x4)dx

= 19(9x

3

3− x5

5)|30

= 16245

y = 3,6

De esta manera, el centroide de la region R es:

(x, y) = (1,5; 3,6)

9.4.4. Longitud de Arco.

Cuando se habla de la longitud de arco, po-drıamos pensar en ajustar un hilo sobre lacurva y luego medir el hilo con una regla demedida. Pero este trabajo serıa muy tedioso(aunque, no imposible) la curva a medir esmuy complicada. Necesitamos una definicionprecisa para la longitud de un arco de curva,en los mismos terminos en que hemos desar-rollado los conceptos de area y de volumen.

A continuacion mencionamos un resultado muy importante para poder hallar la lon-gitud de arco de una curva.

Si f es continua en [a, b], la longitud de la curva y = f(x), a ≤ x ≤ b, es∫ b

a

√

1 + [f ′(x)]2dx

Ejemplo 9.62. Determine la longitud de una estructura arquitectonica que tiene formade la curva y = f(x) = x2 − lnx

8y cuya amplitud mide 2 metros.

Solucion:Primero hallemos f ′(x), entonces

f ′(x) = 2x− 1

8x

Ademas

1 + [f ′(x)] = 1 + (2x− 1

8x) = 4x2 +

1

2+

1

64x2= (2x+

1

8x)2

Entonces la longitud de arco podemos calcularla mediante

L =

∫ b

a

√

1 + [f ′(x)]2dx =

∫ 2

0

√

(2x+1

8x)2dx

de donde se tiene que.

L =

∫ 2

0

(2x+1

8x)dx = (x2 +

1

8ln x− 1)|20 = 3,0866m.

9.5. Ejercicios Propuestos.

1. Calcular las siguientes integrales

a)∫(5x3 + 3x3 − 3)dx

b)∫(14x6 −

√2x5 + π)dx

c)∫(3x7 − 2

3x4 + 5

√4x+ 1)dx

d)∫θdθ

e)∫(t

15 − t−3 + 2)dt

f )∫(3t−

23 + 5t2 + 5)d


a)∫x(x2 − 3)7dx

b)∫2x5√x6 + 3dx

c)∫7x3(3x4 − 2)5dx

d)∫x 3√5x2 + 6dx

e)∫

4x3

(5x4−2)3dx

f )∫(16x4 + 3)−8x3dx


a)∫

dx5x+8

b)∫ex

2xdx

c)∫

dx12x+3

dx

d)∫

x2dx3x3+3

e)∫x6e−3x7

dx

f )∫

3x5dx7x6+2


a)∫e5xdx

b)∫

dxcos2 7x

c)∫

dx3x−7

d)∫

dx5−2x

e)∫cot(5x− 7)dx

f )∫tanϕ. sec2 ϕdϕ

g)∫sen2 x cosxdx

h)∫cos3 x sen xdx

i)∫

x2√x3+1

dx

j )∫

cos xdx√2 senx+1

k)∫ √

tan x+1cos2 x

dx

l)∫

arctan x1+x2 dx

m)∫

dxcos2 x(3 tanx+1)

n)∫cos(ln x)dx

x

n)∫

exdx3+4ex

o)∫√

1+√x√

xdx

p)∫

dx√x√

1+√x

5. Encontrar el area de la region limitada por la curva que describe la grafica de lafuncion, el eje X y las rectas x = a y x = b

a) f(x) = x2+2x+2, x = −2, x = 1.

b) f(x) = 6− x− x2, x = −3, x = 2.

c) f(x) = 2x2 − x, x = −2, x = −1

d) f(x) = 3x, x = 0, x = 2

e) f(x) = x2, x = −2, x = 3

f ) f(x) = −5x+ 2, x = 2, x = 3

6. Encontrar el area de la region limitada por la grafica de las ecuaciones dadas.

a) y = 9− x2, y = x2.

b) y = x2 + 3, y = 4.

c) f(x) = x3, g(x) = x

d) f(x) = 2x+ 3, g(x) = x

e) f(x) = 2x+ 3, g(x) = x2 + 3x− 9

f ) f(x) = 4x, g(x) = 2x− 4

g) f(x) = x, g(x) = x2 − 4x+ 6

h) f(x) = 4− x2, g(x) = x+ 2

i) f(x) = x3 + 1, g(x) = 4x+ 1

7. Encontrar el volumen del solido obtenido al girar la region limitada por las curvasdadas alrededor del eje especificado. Trace un esquema de la region, del solido.

a) y = x2, x = 1, y = 0; alrededordel eje X .

b) y = ex, y = 0, x = 0, x = 1;alrededor del eje X .

c) y = x2, y2 = x; alrededor del eje

X

d) y2 = x, x = 2y; alrededor del ejeY

e) y = x2/3, x = 1, y = 0; alrededordel eje Y

8. Dibuje la region limitada por las curvas y halle las coordenadas exactas del cen-troide.

a) y = x2, x = 2, y = 0.

b) y = ex, y = 0, x = 0, x = 1.

c) y =√x, y = 0, x = 9.

d) y = 1x, y = 0, x = 1, x = 2.

e) y = x, y = 0, y = 1x, x = 2.

f ) y = 2x, y = x2, x = 0, x = 2.

9. Grafique y Calcule la longitud de la curva.

a) y = x2

2− lnx

4, 2 ≤ x ≤ 4.

b) y = x3

6+ 1

2x, 1

2≤ x ≤ 1.

c) y = x4

4+ 1

8x2 , 1 ≤ x ≤ 3.

d) y = 13(x2 + 2)

32 , 0 ≤ x ≤ 1.

Bibliografıa

[1] Swokowski-Cole. Algebra y trigonometrıa con geometrıa analıtica. 12a. edicion. Ed-itorial CENGAGE Learning.

[2] Spinadel-Nottoli. Herramientas matematicas, para la arquitectura y el diseno. Edi-torial Nobuko.

[3] Stewart J. Calculo de una variable. Trascendentes Tempranas. 4a. edicion. EditorialThomson.

202

Documents

Matemática Básica