MATEMÁTICA BÁSICA CEROSesión N°5

TANTO POR CIENTO

Departamento de Ciencias

El Perú vive desde fines de la última década del siglo XX un sostenido crecimiento de la industria de la construcción, impulsado, sobre todo, por el aumento de los ingresos económicos de los hogares.

2. ¿Qué entiendes por TANTO POR CIENTO?

1. ¿Cómo representarías una cantidad con respecto a otra?

RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS:

4. ¿Cuál es la diferencia en que una máquina de producción esté trabajando en un 50% con otra que está trabajando en un 100%?

3. ¿El uso de los porcentajes te ayudaría a representar una cantidad con respecto a otra? ¿En que forma?

Si el gráfico nos muestra el crecimiento porcentual en el sector construcción de departamentos a nivel Lima. Determine la variación real (en unidades) en el año 2007, si se sabe que en el 2006 se registró la construcción de 120 000 departamentos

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LOGRO DE SESIÓN

Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve ejercicios en los que explica lo que es porcentaje y calcula porcentaje en problemas aplicativos.

CONTENIDOS

1. TANTO POR CIENTO2. PORCENTAJES3. EQUIVALENCIAS4. OPERACIONES CON PORCENTAJES5. VARIACIÓN PORCENTUAL6. DESCUENTOS Y AUMENTOS

SUCESIVOS7. APLICACIÓN COMERCIAL8. PROBLEMAS9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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1. TANTO POR CIENTO

Se denomina TANTO POR CIENTO al número de partes que se toman en cuenta de una cierta unidad o cantidad que se ha dividido en 100 partes iguales.

7

𝟕𝟑𝟏𝟎𝟎

73 partes tomadas de un todo dividido en 100 partes

iguales.

¿0.73

1.1 CÁLCULO GRÁFICO DE UN PORCENTAJE

%24100

24 Se lee: 24 por ciento

24 partes tomadas de un todo dividido en 100 partes

iguales

8

1.1 CÁLCULO GRÁFICO DE UN PORCENTAJE

Se lee: 60 por ciento

60 partes tomadas de un todo dividido en 100 partes

iguales

60100

=60%

9

2. PORCENTAJES

Ejemplos:

o El 20% de A:

o El 75% de B:

o El 100% de N:

20 1. .

100 5A A

75 3. .

100 4B B

100.

100N N

porcentajecientoportotan

147)420(%35

PORCENTAJE:

Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una cantidad. Ejemplo:

Halle el 35% de 420:

10

3. EQUIVALENCIAS

o 50% <> 1/2 <> 0,5 o 25% <> 1/4 <> 0,25 o 75% <> 3/4 <> 0,75 o 10% <> 1/10 <> 0,1o 20% <> 1/5 <> 0,2o 40% <> 2/5 <> 0,4o 100% <> 1o 100%N <> No 200% <> 2o 500% <> 5

Un tanto por ciento tiene su equivalente con un número racional positivo y viceversa

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3.1. TABLA DE EQUIVALENCIAS

EXISTE UNA RELACIÓN CLARA ENTRE LOS PORCENTAJES, LAS FRACCIONES Y LOS NÚMEROS DECIMALES.

Porcentajes

Fracciones

Decimales100

90

100

80

100

70

100

60

100

50

100

40

100

30

100

20

100

10

Para obtener el número decimal equivalente a un porcentaje se separan con una coma, empezando por la derecha, dos cifras decimales en la cantidad que indica el porcentaje.

Porcentaje

10065

Número decimal

0,65Fracción

65%

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4. OPERACIONES CON PORCENTAJES

a%N + b%N = (a+b)%N

Ejemplo:

o 25%M + 37%M = 62%M

o N + 32%N = 132%N

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4. OPERACIONES CON PORCENTAJES

a%N – b%N = (a – b)%N

Ejemplo:

o 35%M - 27%M = 8%M

o N - 12%N = 88%N

14

4. OPERACIONES CON PORCENTAJES

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a%  de N=a% (N )= a100

×N

PorcentajeEs el resultado de aplicar el tanto por ciento a una cantidad.

Ejemplo 1:Halle el 35% de 420:

Tanto por ciento

Porcentaje

Ejemplo 2:Halle el 48% de 375:

Tanto por ciento

Porcentaje

4. OPERACIONES CON PORCENTAJES

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Observación: Las expresiones “de, del, de los” indican producto.

Ejemplos:1) El 3% de 300 = 3%(300) =

2) El 10% del 20% de los 2/5 de 1000

10 20 21000 8

100 100 5

3 3009

100

5. VARIACIÓN PORCENTUAL

Toda variación porcentual, ya sea de aumento o disminución, se hace tomando como referencia un todo (100%)

DISMINUCIÓN AUMENTO

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SI PIERDO O GASTO QUEDA

20% 80%

35% 65%

2,5% 97,5%

2% 98%

m% (100 – m)%

SI GANO O AGREGO RESULTA

22% 122%

45% 145%

2,3% 102,3%

0,5% 100,5%

m% (100 + m)%

5.1 EJEMPLO DE VARIACIÓN PORCENTUAL

Una persona tenía 240 soles y pierde el 20% de su dinero ¿Cuánto dinero tiene ahora?

El sueldo de Juan es de 3500 soles, si recibe un aumento del 15% ¿Cuál es su nuevo sueldo?

Si pierde 20% entonces le queda 80%

80 % (240 )= 80100

(240 )=192𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠

Si le aumentan 15% entonces le recibe 115%

1 15 % (3500 )=115100

(3500 )=4025 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠

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6. DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS

.%

100U

a bA a b

19

.%

100U

a bD a b

Descuentos Sucesivos del a% y b%

Aumentos Sucesivos del a% y b%

6. DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS

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En la compra de una cámara se hizo dos descuentos sucesivos de 25% y 20%. ¿Cuál es el porcentaje único de descuento equivalente a dichos descuentos?

¿Cuál es el incremento único equivalente a dos incrementos sucesivos de 25% y 20%?

o Precio de Costo (Pc).- Es lo que el comerciante invierte en la adquisición de una mercadería para luego venderla.

o Precio de Venta (Pv).- Es lo que el cliente paga al comerciante por la compra de la mercadería.

o Precio de Lista o Fijado (Pf).- Es el valor que pide el comerciante por la mercadería que ofrece.

o Ganancia (G).- Es la diferencia que se obtiene cuando el precio de venta es mayor que el costo.

o Pérdida (P).- Es la diferencia que resulta cuando la mercadería se vende a un precio menor que el costo.

o Descuento (D).-Es el ahorro que obtiene el cliente al comprar la mercadería a un precio menor que el precio de lista.

7. APLICACIÓN COMERCIAL

21

7.1. ESQUEMA APLICACIÓN COMERCIAL

Precio de costo (Pc)

Precio de lista(PL)

Precio de venta(Pv)

+ Aumento %- Disminución %

Precio en la fábrica o Mayorista

Precio en la vitrina

Precio que paga el comprador

G=Ganancia P=Pérdida

G=Pv-Pc P=Pc-Pv22

8. PROBLEMA 1

A una conferencia asisten 400 ingenieros y arquitectos, el 75% son hombres y el resto mujeres. Si el 80% de los hombres y el 15% de las mujeres, son ingenieros. ¿Cuántas personas son arquitectos?

400Hombres: 75%(400) = 300

Mujeres: 25% (400) = 100

Ingenieros: 80%(300) = 240

Ingenieras: 15%(300) = 15

Total de ingenieros : 240 + 15 = 255

Personas que son arquitectos: 400 – 255 = 145

23

Solución:

PROBLEMA 2

24

100

64

10

10

8

8

P1 = 40m

P2 = 32m

Diferencia = 8m 40 8100

x

20x

Solución:

Si a un cuadrado de 100de área se le reduce 36. ¿Qué porcentaje del perímetro inicial es la diferencia de perímetros?

Si el gráfico nos muestra el crecimiento porcentual en el sector construcción de departamentos a nivel Lima. Determine la variación real (en unidades) en el año 2007, si se sabe que en el 2006 se registró la construcción de 120 000 departamentos

Solución:

Del gráfico podemos observar que el aumento producido del año 2006 al 2007 es de:

16,6% – 14,8% = 1,8%

Por lo tanto podemos decir que la variación real sería de:

1,8%(120 000) = 2160 departamentos

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PROBLEMA 3

Un artefacto costó S/. 2 500. Por motivos económicos, su dueño decide venderlo ganando el 5% de su costo, más el 20% de su precio de venta, más S/. 200. ¿A cuánto lo vendió?, ¿A cuánto ascendió su ganancia? Solución:

?200%20%52500 PvPvPcGPc

3531,25. S/. a vendióLo

25,3531

2825%80

2001252500%20

200%20)2500%(52500

:datos ndo Reemplaza

:con ventade precio el mos Determina

Pv

Pv

PvPv

PvPv

GPcPv

1031,25. S/. de sería gananciaSu

25,1031

250025,3531

:con ganancia la osDeterminam

G

G

PcPvG

PROBLEMA 4

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A qué tasa anual se prestaron 1200 soles, durante 5 años, si se obtuvo una ganancia de 1500 soles? Solución:

1500I

5

1200

?

: tasala Hallamos

añosn

C

t

anual. 25% S/. de será tasaLa

2551200

1001500100

51200

:Solución

txx

t

xtx1500

PROBLEMA 5

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Ejemplo 4: Una señorita compra un coche cuyo precio de fábrica es de 8200 euros. A este precio hay que añadirle un16% de IVA (impuesto sobre el valor añadido). ¿Cuál será el precio final del coche?

Si el impuesto es del 16%, quiere decir que por cada 100 euros debemos pagar 116.

Aplicando la regla de tres simple se tiene:

Si por 100 euros pagamos 116

Por 8200 euros pagaremos x

100 116

8200 x 9512

100

8200 · 116x

Por tanto, tendrá que pagar 9512 euros por el coche.

Un incremento del 16% equivale a multiplicar por 0,16. La cantidad resultante es el incremento total.

Incremento: 8200 · 0,16 = 1312. Se paga: 8200 + 1312 = 9512 euros

Directamente. Si se incrementa el 16%, se pagará el 116%.Se pagarán 8200 · 1,16 = 9512 euros

En la práctica

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AURELIO BALDOR. ARITMÉTICA. 2° EDICIÓN. ED. PATRIA. PAG. 532 – 548.

SALVADOR TIMOTEO. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO. 1° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS. PAG. 627 – 652.

SALVADOR TIMOTEO. ARITMÉTICA. 2° EDICIÓN. ED. SAN MARCOS.

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