Matemática Pág. Nº 1

Matemática / Clase 2Razones y Proporciones

Contenidos de Razones y Proporciones 1. Razón2. Proporción. 3. Proporcionalidad Directa. 4. Proporcionalidad Inversa. 5. Aplicaciones de la Proporcionalidad. 6. Ejercicios.

Razón

DefiniciónLa comparación por cuociente de dos cantidades que forman parte de una misma magnitud (longitud, tiempo, producción, ingresos etc.) se denomina razón. La primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente.

Ejemplo 1: 3 : 4 (se lee 3 es a 4 ), donde el 3 es el antecedente y el 4, el consecuente.

Esta razón también puede escribirse como .

Ejemplo 2Un maestro constructor prepara una mezcla con 40 paladas de arena y 24 de cemento. ¿Cuál es la razón entre cemento y arena?

Solución:La razón nombra primero al antecedente y luego el consecuente. Por lo tanto, en este caso, el cemento es el antecedente y la arena el consecuente.

La razón pedida es:

Simplificando por 8, la razón queda en EMBED Equation.3 53

, lo que significa que la

mezcla está conformada por 3 partes de cemento por cada 5 partes de arena, o que por cada 8 partes de mezcla hay 3 de cemento y 5 de arena.

Ejemplo 3Repartir $ 125.000 entre Pedro y David en razón 2 : 3, respectivamente.

Solución:La repartición debe ser en el orden dado, o sea, Pedro ---> 2 partes y Patricio ---> 3 partes.Esto significa que: 2 partes + 3 partes = $125.000.Algebraicamente:2p + 3p = 125.0005p = 125.000p = 25.000 constante de proporcionalidad.

O sea, cada parte es de $25.000. Por lo tanto a cada uno le corresponde:Pedro = 2 partes = 2 · 25.000 = $ 50.000Patricio = 3 partes = 3 · 25.000 = $ 75.000

Ejemplo 4Dos números están en la razón 5 : 2 y su diferencia es 60. ¿Cuáles son los números?

Solución:5p - 2p = 603p = 60p = 20

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Los números son: 5p = 5 ·20 = 100 y 2p = 2 ·20 = 40

Proporción

DefiniciónEs la igualdad entre dos razones.

Por ejemplo, tenemos las razones 3 es a 4 y 9 es a 12.

Determinemos el valor de cada razón, efectuando las respectivas divisiones.3 : 4 = 0,75 y 9 : 12 = 0,75

Como ambas tienen el mismo valor, podemos establecer una igualdad entre ellas. Así, se forma la proporción:

3 : 4 = 9 : 12Que se lee: 3 es a 4 como 9 es a 12.

Esta proporción también puede escribirse como: EMBED Equation.3 129

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Propiedad fundamental de las proporciones

a : b = c : d <===> a · d = b · c; o bien

Esta relación se conoce como el teorema fundamental de una proporción y es frecuentemente enunciada como “El producto de los medios (b y c) es igual al producto de los extremos (a y d)”.

Tipos de proporcionesProporción discontinua

Es aquella que tiene todos sus términos desiguales. Ejemplo: Cuarta proporcional geométrica: Es cada uno de los términos de una proporción discontinua.Ejemplo:

Si , entonces se puede afirmar que:

49 es la cuarta proporcional entre 21, 3 y 73 es la cuarta proporcional entre 21, 7 y 497 es la cuarta proporcional entre 3, 49 y 2121 es la cuarta proporcional entre 49, 3 y 7

Proporción Continua

Es la que tiene los medios o los extremos iguales. Ejemplo: Tercera Proporcional Geométrica: Es cada uno de los términos no repetidos de una proporción continua.

Ejemplo:

Si , entonces se puede afirmar que:

4 es la tercera proporcional entre 6 y 9.9 es la tercera proporcional entre 6 y 4

Media Proporcional Geométrica: Es el término que se repite en una proporción continua. Ejemplo:

Si , entonces se puede afirmar que:

6 es la media proporcional entre 4 y 9.

Medios

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Cálculo del término desconocido de una proporción

Si en la proporción se desconoce alguno de sus términos, es posible calcularlo

aplicando la propiedad fundamental:

De este modo, si w · z = x · y, de donde se puede despejar w, x, y o z.

, , , etc.

Ejemplo: Calcular x en la proporción

Solución:Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:7,5 · 10 = 4 · x75 = 4x

= x

x = 18,75

Propiedades de una proporción

Componer una proporciónEs comparar la suma del antecedente y consecuente con su respectivo antecedente y consecuente:

o bien,

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Descomponer una proporciónEs comparar la diferencia entre el antecedente y el consecuente con su respectivo antecedente y consecuente.

o bien,

Componer y descomponerEs comparar suma y diferencia simultáneamente

Serie de razones o serie de proporciones

La serie de razones: a : c : e = b : d : f

Puede ser expresada como ; con k = constante.

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Entonces, se verifica que:

Por ejemplo, en la serie de razones 2 : 4 : 6 = 3 : 6 : 9 o bien: se puede verificar

que:

; y

Es decir que: constante.

Prop orcionalidad Directa

Concepto de proporcionalidad directaObserva la siguiente tabla, que muestra, para un libro determinado, el precio a pagar según el número de libros:

Nº libros Precio a pagar1 $ 2.4002 $ 4.8003 $ 7.2004 $ 9.600

A medida que aumenta el número de libros aumenta el precio a pagar y, mientras menos libros, menos precio a pagar. Esto nos ilustra el principio fundamental para reconocer una proporcionalidad directa, que es, “el aumento de una variable hace aumentar el valor de la otra variable. Al disminuir el valor de una variable disminuye también la otra.”

Definición de proporcionalidad directaDos cantidades A y B son directamente proporcionales si su cuociente es constante. Esto es:

, siendo k = constante de proporcionalidad.De aquí, despejando A, se tiene: A = k · BEsta igualdad se lee: “A es directamente proporcional a B”.

Prop orcionalidad Inversa

Concepto de proporcionalidad inversaConsideremos la siguiente tabla, que muestra el número de días que emplean en pintar una casa un determinado número de obreros, suponiendo que el rendimiento es constante:

Nº Nº días

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Obreros2 123 86 48 3

A medida que aumenta el número de obreros, disminuye el número de días que emplean en pintar la casa. Si disminuye el número de obreros, aumentan los días que emplean. Este es el principio de análisis para reconocer una proporcionalidad inversa, que es, “el aumento del valor numérico de una variable hace disminuir el valor de la otra variable. Al disminuir el valor de una variable, aumenta el valor de la otra.”

En forma gráfica, este caso de proporcionalidad se representa por una curva denominada hipérbole. Para el caso de los obreros pintores, la grafica es la siguiente:

Definición de proporcionalidad inversaDos cantidades A y B son inversamente proporcionales si su producto es constante. Esto es:A*B=k, siendo k = constante de proporcionalidad.De aquí, despejando A, se tiene:

A = EMBED Equation.3 Bk

Esta igualdad se lee: “A es inversamente proporcional a B”.

Aplicaciones de la Proporcionalidad

1º: Lectura comprensiva del texto del problema.2º: Identificación y ordenación de los datos dados.3º: Identificar tipo de proporcionalidad: directa o inversa.4º: Planteamiento de la proporción según tipo.5º: Resolución algebraica.6º: Respuesta y verificación de la solución.

Ejemplo 1: Seis obreros cavan una zanja de 18 metros en dos horas ¿Cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 9 obreros, trabajando al mismo ritmo?

Ordenación y análisis de los datos:6 obreros 18 metros9 obreros x metros

En el caso descrito, se infiere que, mientras más obreros, estos cavan más metros. Entonces es una proporcionalidad directa y, en consecuencia, se forma la siguiente proporción:

La cual, al ser resuelta, se tiene: 6x = 9*18 x = = 27 metros.

Respuesta: los 9 obreros cavan 27 metros de zanja.El resultado al cual se llega es consistente con lo esperado, ya que a mayor cantidad de obreros, mayor cantidad de metros de zanja cavados.

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Ejemplo 2: Ocho obreros demoran 3 semanas en construir una casa. ¿Cuántas semanas demorarán 6 obreros en construir la misma casa, si trabajan el mismo número de horas diarias, con el mismo rendimiento?Ordenación y análisis de los datos:8 obreros 3 semanas6 obreros x semanas

Para este caso se tiene que mientras menos obreros trabajan, se necesitan más semanas para construir la casa. Entonces se trata de una proporción inversa y nos permite igualar el producto de las variables.6x = 8 · 36x = 24x = 4 semanas

Respuesta: los 6 obreros se demoran 4 semanas en construir la casa.Esta solución es congruente con lo esperado, ya que a menor cantidad de obreros, más días emplean en construir la casa.

Eje rcicios :

En cierta comuna del norte de Chile, hombres y mujeres están en la razón 7 : 10. Esto significa que en esa comuna:

I: Hay 7 hombres por cada 10 mujeres.II: Hay 10 mujeres por cada 17 habitantes.III: Por cada 10 habitantes hay 7 hombres.

Es (son) correcta(s):a) Solo Ib) Solo I y IIc) Solo II y IIId) Solo I y IIIe) I, II y III

El enunciado: “El cuadrado de P es directamente proporcional a la raíz cuadrada de Q e inversamente proporcional a R”, con constante de proporcionalidad K, se puede expresar algebraicamente como:

a) b) c) d)

e)

Si N es directamente proporcional al cuadrado de X e inversamente proporcional al cuadrado de Y, cuando X se mantiene constante e Y aumenta al doble de su valor, el valor de N: a) Aumenta al cuádruplo de su valor.b) Aumenta al doble de su valor.c) Disminuye a la mitad de su valor.d) Disminuye a la cuarta parte de su valor.e) No se puede afirmar nada sin conocer la constante de proporcionalidad.

Doña Florinda fabrica mermelada casera con fruta picada, azúcar y nueces picadas, midiendo las cantidades por tazas, en la razón 4 : 2 :1 . Si solo cuenta con 2 tazas de nueces picadas, ¿Cuánta azúcar necesitará para hacer la cantidad máxima de mermelada? a) 2 tazasb) 4 tazasc) 6 tazasd) 8 tazase) 12 tazas

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Un señor desea saber la distancia recta entre su casa y el estadio. En un plano a escala 1 : 7.500, entre su casa y el campo deportivo hay 9,4 cm. ¿Aproximadamente, a cuántos kilómetros de su casa está el estadio?: a) Más de 100 Km.b) 94 Km.c) 71 Km.d) 7 Km.e) Menos de 1 Km.

En la figura, se muestran dos magnitudes relacionadas por proporcionalidad inversa. La constante de proporcionalidad es igual a:

Si la igualdad es una proporción, entonces, ¿cuál de las siguientes igualdades

NO se cumple?

a) R S = 18 b) c)

d) e)

En cierto triángulo ABC, los ángulos internos están en la razón 5 : 4 : 3. Entonces, la suma de los dos ángulos menores es: a) 145°b) 120°c) 105°d) 90°e) 70°

En valor absoluto, la diferencia entre dos números naturales es 48. Si estos están en la razón 7 : 3, ¿Cuál es su suma? a) 192b) 120c) 72d) 60e) 48

En una empresa se dispone de $120.000.000, los cuales deben cubrir los gastos de: Sueldos, Materias Primas y Gastos Generales. Si estos gastos están en la razón 3 : 5 : 2, ¿Cuánto se debe destinar a Sueldos? a) $12 millonesb) $24 millonesc) $36 millonesd) $40 millonese) $48 millones

a) 60b) 30c) 15d) 2,4e) 0,41

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