MATEMÁTICA Eje temático: Álgebra y funcionespsucuentaregresiva.cl/wp-content/uploads/2017/08/materiapsu... · respuesta es un número irracional entre 1 y 2. ... Una ecuación

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n

MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Álgebra y funciones LOGARITMOS Si nos preguntamos: ¿a cuánto hay que elevar el número 2 para obtener 3?, la respuesta es un número irracional entre 1 y 2. Este número, por definición, se denomina “logaritmo en base dos de tres”, lo que se anota log23. En la expresión loga b, a se denomina base del logaritmo y b se llama argumento, con a>0, b>0 y a ≠1. Por lo tanto la definición de logaritmo es: loga b = n ⇔ an = b (a>0, b>0, a ≠1) A partir de esta definición, se pueden deducir las siguientes propiedades básicas. 1. Propiedades de logaritmos Las siguientes igualdades son válidas solo para aquellos valores donde esté definido el logaritmo, es decir: a>0 (1) loga a = 1 (2) loga1 = 0 (3) loga an = n (4) =alog na n Las tres primeras propiedades las puedes verificar inmediatamente a partir de la definición; la última requiere un poco más de elaboración. Supongamos que ab = n (con a>0). A partir de la definición de logaritmo, lo anterior es equivalente a: loga n = b. Si reemplazamos este valor de b en la igualdad anterior, obtenemos:

=alog na , que es lo que se quería demostrar.

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Aparte de las cuatro propiedades básicas anteriores, tenemos las siguientes: (5) logc (ab) = logc a + logc b

(6) c c

alo cg log a log b

b⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(7) logc an = nlogc a (8) Si logc a = logc b ⇒ a = b Para que se cumplan las propiedades anteriores es necesario que a>0, b>0 y c>0. A continuación demostraremos solo una de estas propiedades. Las demás se pueden demostrar de forma similar. Demostración de propiedad (5) logc (ab) = logc a + logc b Supongamos que logc (ab) = x ; logc a = y ; logc b = z. Si demostramos que x = y + z, la propiedad (5) está demostrada. Si logc (ab) = x ⇒ cx = ab. Si logc a = y ⇒ cy = a y si logc b = z ⇒ cz = b. Entonces: cy . cz = ab , pero cy . cz = cy+z. Por lo tanto cy+z = ab y cx = ab, de modo que: cx = c y+z ⇒ x = y + z. Hemos efectuado esta demostración solo con el objetivo de que entiendas el por qué de ella, pero lo más importante es que la apliques bien y no las confundas. Por ejemplo, de la propiedad (5) se puede deducir que: log28 = log24 + log22 lo que es correcto, ya que log28 = 3 ; log24 = 2 y log22 = 1 y 3 = 2 + 1

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2. Logaritmos vulgares o de Briggs Cuando la base del logaritmo es 10, el logaritmo se llama “logaritmo vulgar” o “de Briggs”, y su base no se anota: log a = log10 a A partir de esta base tenemos que: log 10 = 1 ; log 100 = 2 ; log 1000 = 3; etc. Si graficamos la (en base 10) tenemos lo siguiente:

La gráfica corresponde a una función creciente, es decir, si x > y, entonces log x > log y. Por otro lado, la curva se acerca indefinidamente al eje y en la medida que x se acerca a 0. Por ejemplo, log 10-5 =-5; log 10-8 =-8, etc. Observa en la gráfica que cuando calculamos un logaritmo de un número comprendido entre 0 y 1 resulta un número negativo, es decir: log (0,5) < 0; log (2/3) < 0, etc. Por el contrario, al calcular el logaritmo de un número mayor a 1, el resultado siempre es positivo: log (1,2) > 0 ; log (1,03) > 0, etc.

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Ejercicios resueltos: 1) Calcular log4 8 Supongamos que log4 8 = x, entonces por la definición: 4x = 8, igualando bases:

22x = 23 3

x2

⇒ = , por lo tanto: log4 8 = 32

2) Desarrollar la expresión: 2

ablog

c⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

utilizando las propiedades 5,6 y 7:

( ) 22

ablog log ab logc loga logb 2logc

c⎛ ⎞ = − = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

3) Expresar en un solo logaritmo la expresión: 2log a – log b – 3log c. En este ejercicio se solicita lo contrario que en el anterior: Primero ocupamos la propiedad 7: log a2 – log b – log c3 Ahora utilizamos la propiedad 6:

23a

log logcb

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

Volviendo a utilizar la propiedad 6 obtenemos:

2

3

alog

bc⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

5

4) ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. log (0,2) + log (0,3) < 0. II. log 3 – log (0,2) < 0. III. log 3 . log (0,1) < 0. Por la propiedad 5: log (0,2) + log (0,3) = log (0,2 . 0,3) = log (0,06) < 0 I es verdadera. Por la propiedad 6:

log 3 – log (0,2) = 3

log log 150,2

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

> 0

II es falsa. log 3 > 0 y log (0,1) < 0, por lo tanto: log 3 . log (0,1) < 0 III es verdadera. 3. Ecuaciones exponenciales Cuando no podemos igualar las bases en una ecuación exponencial aplicamos logaritmos a ambos lados de la ecuación, tal como lo ilustra el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación: 2 x+1 = 3 Aplicamos logaritmo (en base 10 u otra base) a ambos lados de la ecuación: 2 x+1 = 3 / log ( ) log (2 x+1 ) = log 3

(x+1) log 2 = log 3

x log 2 + log 2 = log 3

log3 log2x

log2−

=

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En las ecuaciones exponenciales generalmente se ocupa la base 10, puesto que este logaritmo aparece en las calculadoras científicas. También se puede ocupar logaritmo natural, que se anota ln y corresponde a un logaritmo que tiene como base al número irracional

e = 2,71828....

Ejemplo:

Una población de bacterias crece según el modelo: P(t) = 2 . 3t, donde t es la cantidad de minutos transcurridos. ¿Cuántos minutos habrá que esperar para que el número de bacterias sea 1.000?

Según el enunciado, debe cumplirse que: P(t) = 2 . 3t = 1000.

Aplicando logaritmo a ambos lados:

log (2 . 3t) = log (1000)

log 2 + t log 3 = 3

3 log2

tlog3−

=

4. Ecuaciones logarítmicas Una ecuación logarítmica se caracteriza porque la incógnita aparece en el argumento de una expresión logarítmica. Para resolverlas se trata de eliminar los logaritmos que aparezcan utilizando las propiedades vistas anteriormente. Ejemplo: Resolver la ecuación: log (x + 1) – log (x – 1) = log 2; aplicando propiedad 6:

x 1log log 2

x 1+⎛ ⎞ =⎜ ⎟−⎝ ⎠

; aplicando la propiedad 7, podemos eliminar ambos

logaritmos:

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x 1

2x 1

+=

−

x + 1= 2x – 2 x = 3 Esta solución se debe comprobar en la ecuación original:

log (3 + 1) – log (3 – 1) = log 4 – log 2 = 4

log2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= log 2; por lo tanto

x = 3 es la solución. Tal como lo hemos visto en este ejemplo, siempre se debe comprobar el valor de x en la ecuación original. 5. Aplicaciones de los logaritmos Los logaritmos tienen variadas aplicaciones en modelos de fenómenos naturales y sociales: una de ellas es la escala Richter. Escala Richter Una escala habitualmente utilizada en la medición de la intensidad de los sismos es la escala Richter.

Los grados se calculan mediante la expresión R = A

logp

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, donde A es la

amplitud medida en micrómetros (1 micrómetro = 10-4 cm) y p es el período medido en segundos. Ejemplo: ¿Cuál es la magnitud de un sismo en la escala Richter si la amplitud es 10-2 cm y su período es 1 segundo? Como 1 micrómetro = 10-4 cm, entonces 10-2 cm equivalen a 102 micrómetros. Entonces la cantidad de grados Richter R es:

2A 10R log log 2

p 1⎛ ⎞⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

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Sitios sugeridos

Ejercitación con propiedades de logaritmos y ecuaciones logarítmicas. http://www.luventicus.org/articulos/02A019/ Ejercicios de logaritmos: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m2tp03/tpm2_23d_funciones_logaritmos.php Ecuaciones logarítmicas: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_y_logaritmicas/Ecu_log.htm Gráfica de funciones logarítmicas y exponenciales: http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_CNST_1/Funcion_logaritmica/Funcion_logaritmo_1.htm Breve historia de los logaritmos y tablas de logaritmos: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1bach/naturaleza/numeroe/numeroe.htm Aplicaciones de las funciones exponencial y logarítmica: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/1bach/naturaleza/aplicacionesdelaexponencial/aplicaciones.htm Historia y aplicaciones de los logaritmos: http://descartes.cnice.mecd.es/Analisis/mod_fun_expolog_macr/CINCO.htm Función exponencial: gráfica y aplicaciones: http://www.hiru.com/matematika/matematika_03500.html

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MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Geometría 1. ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS A continuación repasaremos las fórmulas de áreas y volúmenes de aquellos cuerpos más importantes. Área = A Volumen = V Cubo A = 6a2 V = a3

Paralelepípedo recto rectangular A = 2ab +2ac + 2bc V = abc

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Cilindro recto circular Área basal = 2πr2

Área lateral = 2πrh Área total = 2πr2 + 2πrh

V = πr2h

Cono recto circular Área basal = πr2

Área lateral = πrg Área total = πr2 + πrg

V = 21

r h3

π

Esfera A = 4πr2

V = 34

r3

π

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2. VOLÚMENES DE CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS A continuación veremos los cuerpos que se generan al rotar o trasladar algunas figuras planas. 1) Si un cuadrado se traslada en una dirección perpendicular al plano que lo contiene, se genera un paralelepípedo de base rectangular.

2) Si un rectángulo se rota en torno de uno de sus lados, se genera un cilindro recto circular. 3) Si un círculo se traslada en dirección perpendicular al plano que la contiene, se genera un cilindro recto circular.

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4) Si un triángulo rectángulo se rota en torno a uno de sus catetos, se forma un cono recto circular. 5) Si un triángulo rectángulo se hace girar en torno a su hipotenusa, se forman dos conos pegados en la base.

6) Si un cuadrante de un círculo se rota en torno a uno de sus radios frontera, se genera una semiesfera. 7) Si un semicírculo se rota en torno a su diámetro, se genera una esfera.

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Ejemplo: La figura está formada por un cuadrado de lado 4 cm y su circunferencia inscrita. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado al girar la figura sombreada en torno al lado ABdel cuadrado? El cuadrado genera un cilindro de base y altura 4 cm: El volumen del cilindro generado es, entonces, π . 42 . 4 = 64π cm3. El semicírculo genera una esfera de radio 2 cm, cuyo volumen es:

34 32

3 3π ⋅ = π

2 cm3.

Por lo tanto el volumen pedido es: 32 160

643 3

π − π = π cm3.

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3. GEOMETRÍA DEL ESPACIO A continuación veremos una lista de teoremas y propiedades relativas a rectas y planos en el espacio. 3.1. Posiciones de dos rectas en el espacio Dos rectas en el espacio, pueden ser paralelas, alabeadas o secantes. Rectas paralelas Dos rectas paralelas siempre están contenidas en un mismo plano. Rectas alabeadas Dos rectas alabeadas no se interceptan y no existe un plano que las contenga. Rectas secantes Dos rectas secantes son siempre coplanares (están en un mismo plano).

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3.2. Posiciones de dos planos en el espacio Dos planos en el espacio pueden ser paralelos o secantes. Planos paralelos Dos planos paralelos no tienen un punto en común. Planos secantes Dos planos secantes se interceptan en una línea recta. Planos y rectas perpendiculares Dos rectas perpendiculares son secantes y se interceptan formando ángulos rectos.

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3.3. Recta perpendicular a un plano Una recta es perpendicular a un plano si todas las rectas del plano que pasan por el punto de intersección de la recta con el plano son perpendiculares a ella. En la figura, todas las rectas del plano que pasan por el punto de intersección de L con el plano son perpendiculares a ella. 3.4. Planos perpendiculares Dos planos son perpendiculares si uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro plano.

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4. SISTEMA CARTESIANO TRIDIMENSIONAL Un sistema cartesiano tridimensional está compuesto por tres planos perpendiculares entre sí, los cuales se interceptan en los ejes coordenados, los que se denominan ejes Ox, Oy y Oz. Las coordenadas del punto E de la figura son (x,y,z). La distancia signada x se llama abscisa, y se llama ordenada y z se llama cota. Los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes. Los signos de las coordenadas se ilustran en la siguiente figura:

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Ejemplo: El cubo de la figura tiene una arista de 8 unidades y se ubica en el sistema cartesiano tal como se ilustra en la siguiente figura. ¿Cuáles son las coordenadas del punto P? En la figura, se cumple que x = 0; y = 8 y z = 8, por lo tanto, sus coordenadas son (0,8,8). Sitios sugeridos Actividades de traslación y rotación de figuras planas: http://www.sectormatematica.cl/media/trayrot.htm Sitios que contienen animaciones de cuerpos de revolución: Cilindro: http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Cuerpos_d3/cilindros.htm Esfera: http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Cuerpos_d3/esferas.htm Cono: http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Cuerpos_d3/conos.htm Cuerpos redondos: http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Cuerpos_d3/redondos.htm Ejercicios de planos y rectas: http://www.educarchile.cl/medios/171220049558.doc Software interactivo con sólidos geométricos 3D: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t5-geometria/Geometria/node9.html

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Presentaciones Power Point Solidos geométricos: http://www.santamaria.edu.pe/webareas/matematica/Gali/Webs/Presentaci%C3%B3n8.ppt http://www.sectormatematica.cl/ppt/poliedros.ppt http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-93100.html

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MATEMÁTICA MÓDULO 4 Eje temático: Estadística y Probabilidades Empezaremos este breve estudio de estadística correspondiente al cuarto año de Enseñanza Media revisando los diferentes tipos de gráficos. 1. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Histograma En el eje horizontal se ubica el intervalo o dato en cuestión y en el eje vertical anotamos la frecuencia o frecuencia relativa. Ejemplo: Edades de los alumnos de un colegio: Observa que en este histograma en particular se presentan dificultades para distinguir las frecuencias de cada intervalo. Para resolver lo anterior, algunas veces se anota la frecuencia respectiva sobre la columna.

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Gráficos de líneas Este tipo de gráficos frecuentemente aparece en diarios y revistas, ya que ilustra con mucha claridad las variaciones que tiene alguna variable en estudio. Ejemplo: Fluctuación del precio de la gasolina durante un mes: Gráfico de barras Es un gráfico en el cual el dato en estudio (o intervalo) es puesto en el eje horizontal y se utilizan rectángulos cuyo alto, indicado en el eje y, señala el valor del dato en el estudio. Ejemplo: Número de salas de cine en el país:

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Gráfico Circular En el gráfico circular cada sector circular (por ende cada ángulo central), es proporcional al valor que corresponde a cada dato. Ejemplo: Una encuesta practicada a 180 adultos, para determinar si estos fumaban o no, se resume en el siguiente gráfico circular:

Ahora, determina la cantidad de personas que nunca han fumado y cuántos no contestaron la encuesta. Las preguntas se pueden contestar aplicando los principios de proporcionalidad directa (ver módulo 1, eje temático “Números y Proporcionalidad”). El total de personas es 180 y le corresponden 360°, por lo tanto: 180 x

x 10360 20

= ⇒ =° °

, es decir: 10 personas nunca habían fumado.

Por otro lado, a las personas que no contestaron la encuesta les corresponde un ángulo de: 360°-(90°+120°+20°+80°) = 50°, por lo que planteamos la proporción: 180 x

x 25360 50

= ⇒ =° °

, de modo que 25 personas no contestaron la encuesta.

Los problemas acerca de gráficos de sectores circulares pueden plantearse al revés, es decir, determinar los ángulos centrales si se conoce la cantidad (o porcentaje) de cada rubro.

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Pictograma Es un gráfico donde se ocupa una figura o ícono que representa el dato que se está estudiando. Ejemplo: Número de líneas instaladas en una determinada ciudad durante 3 años consecutivos. 2. ESTADÍGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL Los estadígrafos de tendencia central que estudiaremos son la media, la mediana y la moda. Estos estadígrafos nos dan alguna idea de los datos que estamos estudiando. 2.1. Media aritmética La media aritmética también se llama “media” o “promedio aritmético” y es lo que siempre has ocupado para calcular el promedio de notas. La media aritmética se calcula dependiendo de cómo vengan los datos, pero en general es la suma de los datos dividida por el número de datos. Media aritmética de datos no agrupados La media x de n datos corresponde al resultado de la expresión:

n

ii 1

xx

n==∑

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Ejemplo: Pedrito ha obtenido las siguientes notas en Ciencias: 6,0 – 5,8 – 7 – 6,8 – 5,6 Su media aritmética o promedio es:

6 5,8 7 6,8 5,6 31,2x 6

5 5+ + + +

= = ,24= , lo que se redondea al décimo

como 6,2. Media de datos dados en una tabla de frecuencia En este caso se debe multiplicar cada dato con su respectiva frecuencia, sumar todos estos productos, y el resultado dividirlo por la suma de los datos, esto es:

n

i ii 1

x fx

n=

⋅=∑

Ejemplo: Se ha lanzado un dado 40 veces obteniéndose los siguientes resultados:

Por lo tanto su media es: 1 5 2 6 3 7 4 8 5 5 6 9

x 3,72540

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅= =

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Media de datos agrupados en intervalos Se define la marca de clase de un intervalo como la media aritmética entre los extremos de él. Si llamamos a la marca de clase de un intervalo: ix , entonces la media de un

conjunto de datos agrupados en intervalos es:

n

i ii 1

x fx

n=

⋅=∑

Ejemplo: La distribución de edades de un conjunto de 50 personas está representada en el siguiente gráfico: La media de este conjunto de datos es:

15 14 25 16 35 12 45 20 55 8x 3

70⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= = 0,86 años,

aproximadamente. Media ponderada de datos En algunas oportunidades los datos no tienen la misma importancia, de modo que cada dato se multiplica por un factor, el cual indica el grado de importancia que tiene en la muestra; en este caso la media se calcula con la expresión:

n

i ii 1

n

ii 1

x px

p

=

=

⋅=∑

∑

donde pi es un factor del dato xi, el cual viene dado en la situación planteada en el problema.

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Ejemplo: Un alumno tiene nota 5,0 como promedio de controles que vale un 80% de la nota final y obtiene un 6,0 en el examen. ¿Cuál es su promedio final? En este caso el dato 5,0 tiene un factor de 0,8 (80%) y el dato 6,0 tiene un factor de 0,2 (20%), por lo tanto su media es:

5,0 0,8 6,0 0,2

x 50,8 0,2⋅ + ⋅

= =+

,2

Propiedades de la media Sean los n datos: x1, x2, x3, x4,...xn, con media x . Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. La suma de los datos corresponde al producto: n x⋅ . Es decir, la suma de los datos se puede determinar multiplicando la media con el número de datos.

2. Si a cada uno de los datos se le suma (o resta) una cantidad “a”, la media aritmética será x a±

3. Si a cada uno de los datos se le multiplica por una cantidad “a”, la media aritmética será x a⋅ .

Ejemplo: Un colegio tiene tres cuartos medios que en el último ensayo de Lenguaje obtuvieron los siguientes puntajes promedio: Ocupando la propiedad 1: la suma de los puntajes del 4° A es la multiplicación del promedio con el número de alumnos, esto es: Suma = 20 . 650 = 13.000

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Por lo tanto, la suma de todos los puntajes de los alumnos es: 20 . 650 + 30 . 600 + 25 . 580 = 45.500

Así, la media aritmética de los tres cursos es: 45.500

606,675

=

Ejemplo: La media aritmética de las edades de tres hermanos es 25 años. ¿Cuál será su media en tres años? Dada la propiedad 2, la media aritmética será 28 años. 2.2. Mediana Si los datos se ordenan en sentido creciente o decreciente, la mediana indica el dato que se ubica al centro de ellos. Si el número de datos “n” es un número impar, entonces la mediana es el dato: n 1

2

x +

Si el número de datos “n” es un número par, entonces la mediana es la media aritmética entre los datos: n

2

x y n1

2

x+

.

Las fórmulas anteriores las puedes obviar si tienes en cuenta que la mediana es el término central en el caso que este sea uno, o bien la media de los términos centrales en el caso que sean dos. Ejemplo 1: Las alturas de 6 integrantes de un equipo de básquetbol (en cm) son las siguientes: 182 – 175 – 181 – 182 – 178 – 183. ¿Cuál es la mediana? Primero ordenemos los datos de menor a mayor (o al revés): 175 – 178 – 181 – 182 – 182 – 183. Como hay dos datos centrales, se calcula la media de ambos datos:

181 182Me 181,5

2+

= =

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Ejemplo 2: Se ha consultado la edad a treinta trabajadores de una empresa, obteniendo los siguientes resultados:

La suma de las frecuencias es 30, por lo tanto, es un número par de datos; la mediana es la media entre el dato de lugar 15 y el de lugar 16; el dato de lugar 15 es 23 y el de lugar 16 es 27, por lo tanto:

23 27Me 25

2+

= =

2.3. Moda La moda es el dato que más se repite, es decir, el que tiene mayor frecuencia. Volviendo al ejemplo 1: Las alturas eran: 182 – 175 – 181 – 182 – 178 – 183; por lo tanto la moda es 182, ya que es el dato que más se repite.

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En el ejemplo 2:

La moda es 23, ya que tiene mayor frecuencia. Hay veces que los datos no tienen moda. Por ejemplo, si los datos fueran: 185 – 188 – 183 – 178 – 177, no hay un dato que tenga mayor frecuencia que los otros. Hay otras distribuciones que pueden tener más de una moda: Por ejemplo:

La moda es 16 y 20; y en este caso se habla de una distribución bimodal.

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Sitios sugeridos http://www.pntic.mec.es/Descartes/Estadistica/Estadistica_descriptiva/Frecuencias.htm#centrales http://sapiens.ya.com/matagus/unidad2.htm http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Estadistica/Estadistica_descriptiva/Diagramas.htm http://www.liccom.edu.uy/bedelia/cursos/metodos/material/estadistica/med_pos.html http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node18.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt151.html http://www.southlink.com.ar/vap/MEDIDAS.htm http://www.unavarra.es/estadistica/I.T.T.Imagen/descriptiva.pdf http://endrino.cnice.mecd.es/~jhem0027/estadistica/estadistica02.htm Ejercicios de media, mediana y moda: http://www.pupr.edu/cpu/pdf/Matematicas/Math102/23.Media%20Moda%20y%20Mediana.pdf Presentación Power Point http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-93095.html

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Intervalos de confianza En la inferencia estadística, se quiere estimar parámetros poblacionales a partir de datos de muestras observadas. Un intervalo de confianza proporciona una gama prevista de valores que es probable que incluya un parámetro poblacional desconocido, el rango estimado se calcula a partir de un determinado conjunto de datos de la muestra. (Definición tomada de Valerie J. Easton y de John H. McColl )

La notación común para el parámetro en cuestión es. A menudo, este parámetro es la media de

la población, que se estima a través de la media de la muestra. El nivel C de un intervalo de confianza indica la probabilidad de que el intervalo producido por el método empleado incluye el

verdadero valor del parámetro. Ejemplo: Supongamos que un estudiante de la medición de la temperatura de ebullición de un determinado líquido observa las lecturas (en grados Celsius) 102.5, 101.7, 103.1, 100.9, 100.5, 102.2 y en 6 muestras diferentes del líquido. Se calcula la media de la muestra para ser 101.82. Si él sabe que la desviación estándar para este procedimiento es de 1,2 grados, lo que es el intervalo de confianza para la media poblacional en un nivel de confianza del 95%? En otras palabras, el estudiante desea estimar la verdadera temperatura media de ebullición del líquido utilizando los resultados de sus mediciones. Si las mediciones siguen una distribución normal, entonces

la media de la muestra tendrá la distribución N (,). Dado que el tamaño de la muestra es 6, la desviación estándar de la media de la muestra es igual a 1.2 / sqrt (6) = 0,49.

La selección de un nivel de confianza para un intervalo determina la probabilidad de que el intervalo de confianza producida contendrá el valor del parámetro verdadero. Opciones comunes para el nivel de confianza C son 0,90, 0,95 y 0,99. Estos niveles corresponden a porcentajes del área de la curva de densidad normal. Por ejemplo, un intervalo de confianza del 95% cubre 95% de la curva normal - la probabilidad de observar un valor fuera de esta zona es de menos de 0,05. Debido a que la curva normal es simétrica, la mitad de la zona está en la cola izquierda de la curva, y la otra mitad de la superficie está en la cola derecha de la curva. Como se muestra en el diagrama de la derecha, para un intervalo de


confianza con el nivel C, el área en cada cola de la curva es igual a (1- C) / 2. Para un intervalo de confianza del 95%, el área en cada cola es igual a 0,05 / 2 = 0,025. El valor z * representa el punto de la curva de densidad normal estándar de tal manera que la probabilidad de observar un valor mayor que z * es igual a p se conoce como la parte superior del valor crítico de la distribución normal estándar. Por ejemplo, si p = 0.025, el valor z * tal que P (Z> z *) = 0,025, P (Z < z *) = 0,975, es igual a 1,96. Para un intervalo de confianza con el nivel C, el valor p es igual a (1- C) / 2. Un intervalo de confianza del 95% para la distribución normal estándar, entonces, es el intervalo (-1,96, 1,96), ya que el 95% de la superficie bajo la curva cae dentro de este intervalo.

Intervalos de confianza para una media desconocida y desviación estándar conocida

Para una población con media desconocida y desviación estándar conocida, un intervalo de confianza para la media poblacional, basado en una muestra aleatoria simple (SRS) de tamaño n, está +

z *, donde z * es el superior (1- C) / 2 valor crítico de la distribución normal estándar. Nota: Este intervalo sólo es exacto cuando la distribución de la población es normal. Para las grandes muestras de otras distribuciones de la población, el intervalo es aproximadamente correcta por el teorema del límite central. En el ejemplo anterior, el estudiante calculado la media de la muestra de las temperaturas de ebullición sea 101,82, con una desviación estándar de 0.49. El valor crítico para un intervalo de confianza del 95%

es de 1.96, donde (1-0,95) / 2 = 0,025. Un intervalo de confianza 95% para la media desconocida es ((101.82 - (1.96 * 0.49)), (101,82 + (1,96 * 0,49))) = (101,82 - 0,96, 101,82 + 0,96) = (100.86, 102.78). A medida que el nivel de confianza disminuye, el tamaño del intervalo correspondiente disminuirá. Supongamos que el estudiante estaba interesado en un intervalo de confianza del 90% para la temperatura de ebullición. En este caso, C = 0,90, y (1- C) / 2 = 0,05. El crítico valor z * para este nivel es igual a 1,645, por lo que el intervalo de confianza del 90% es ((101.82 - (1,645 * 0,49)), (101.82 + (1,645 * 0,49))) = (101,82 - 0,81, 101,82 + 0,81 ) = (101.01, 102.63). Un aumento en el tamaño de la muestra disminuirá la longitud del intervalo de confianza sin reducir el nivel de confianza. Esto es debido a la desviación estándar disminuye a medida que n aumenta. El margen de error m de un intervalo de confianza se define como el valor añadido o sustraído de la

muestra significa que determina la longitud del intervalo: Supongamos que en el ejemplo anterior, el estudiante desea tener un margen de error igual a 0,5 con 95% de confianza. Sustituyendo los valores adecuados en la expresión para m y resolviendo para n da el cálculo n = (1,96 * 1,2 / 0,5) ² = (2,35 / 0,5) ² = 4.7² = 22,09. Para lograr un intervalo de confianza del 95% para el punto de ebullición medio con una longitud total de menos de 1 grado, el estudiante tendrá que tomar 23 mediciones. Intervalos de confianza para la media y Desviación Estándar desconocidas En la investigación más práctica, no se conoce la desviación estándar de la población de interés. En este

caso, la desviación estándar se sustituye por el estimado desviación estándar s, también conocido como el error estándar. Puesto que el error estándar es una estimación para el verdadero valor de la

desviación estándar, la distribución de la media de la muestra ya no es normal con media y

desviación estándar. En cambio, la media de la muestra sigue la distribución t con media y desviación estándar. El t distribución también es descrito por sus grados de libertad. Para una muestra de tamaño n, la t de distribución tendrá n-1 grados de libertad. La notación para un t de distribución con k grados de libertad es t (k). A medida que el tamaño de la muestra n aumenta, el t distribución se


vuelve más cerca de la distribución normal, ya que el error estándar se aproxima a la verdadera

desviación estándar para grandes n.

Para una población con media desconocida y desviación estándar desconocida, un intervalo de confianza para la media poblacional, basado en una muestra aleatoria simple (SRS) de tamaño n, está + t *, donde t * es el superior (1- C) / 2 valor crítico para la t de distribución con n-1 grados de libertad, t (n-

1). Distribución binomial Muchas veces en la vida cotidiana tenemos que decidir solo entre dos caminos o chequear una única característica de objetos o personas. Si esto se realiza muchas veces tenemos la opción de modelar el proceso completo mediante la llamada Distribución Binomial. Por ejemplo pensemos en un operario que trabaja en una empresa que produce ampolletas. El trabajador está encargado de revisar el estado de cada ampolleta cuando pasan por una huincha. Por experiencia se sabe que la producción genera siempre un 20% de ampolletas en mal estado, por lo tanto, al hacer la revisión de 8 ampolletas, ¿cuál es la probabilidad de encontrar 3 en mal estado?

Entonces cuando el operario revisa una ampolleta tiene solo dos posibilidades para el estado de ésta, que esté buena (B) o mala (M), por lo tanto, una de las opciones que puede obtener al revisar una tanda de 8 ampolletas es la siguiente:

B y M y M y B y B y B y M y B Donde se verifica que hay 3 ampolletas en mal estado. La probabilidad de que ocurra este único evento es:

P=0,8∙0,2∙0,2∙0,8∙0,8∙0,8∙0,2∙0,8 = 0,23∙0,8

5

Pero como habrás notado esta no es la única posibilidad que hay de obtener 3 ampolletas en mal estado, por lo que, debemos sumar todas las posibles combinaciones, tales como,

Pero como te darás cuenta la probabilidad de que ocurra cada uno de estas posibilidades es la misma (0,2

3∙0,8

5), por lo tanto, solo nos falta conocer cuantas posibilidades existen. Resulta que la distribución

binomial hace este cálculo de la siguiente forma:

N: Cantidad de experimentos x: Cantidad de éxitos p: Probabilidad de éxito.


q: Probabilidad de fracasos. N-x: Cantidad de fracasos. Para nuestro ejemplo: N = 8 ampolletas a revisar. x = 3 ampolletas en mal estado. p = 0,2 probabilidad de encontrar una ampolleta en mal estado. q = 0,8 probabilidad de encontrar una ampolleta en buen estado. N-x = 8-3 =5 ampolletas en buen estado. Entonces:

Si comparamos este resultado con nuestros cálculos anteriores vemos que la probabilidad es la misma, solo que la combinatoria de 8 sobre 3 calcula cuantas posibilidades había de obtener 3 ampolletas en mal estado (56 casos posibles). Otro ejemplo… Carlos tiene que responder una prueba de 10 preguntas, con 5 alternativas cada una, donde solo hay una alternativa correcta. Al responder esta prueba, ¿cuál es la probabilidad de que tenga 8 respuestas correctas? N = 10 x = 8 p = 1/5 q = 4/5

Función de probabilidad para variable discreta Sea p(x) una función de probabilidad de una variable X si p(x) es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor x, con x perteneciente al recorrido de la variable aleatoria. Pensemos en el siguiente experimento aleatorio:

En un corral hay 5 corderos de los cuales dos son negros y 3 son blancos. Un experimento consiste en sacar los corderos uno a uno del corral y la variable aleatoria cuenta la cantidad de corderos sacados hasta encontrar el primer cordero negro. Entonces, si tuviéramos suerte y el primer cordero extraído fuera negro, entonces la variable aleatoria tomaría el valor 1. Si saliera un cordero blanco y luego uno negro, entonces la variable aleatoria tomaría el valor 2 y así sucesivamente. Por lo tanto, la variable aleatoria puede tomar valores {1, 2, 3, 4}. Ahora bien miremos algunos resultados del experimento y el valor que le asigna la variable:


Como vemos la variable aleatoria no puede tomar valor 5, porque ya saliendo el tercer cordero blanco necesariamente el cordero siguiente va a ser negro. Ahora calculemos las probabilidades:

Necesitamos que en la primera sacada salga inmediatamente un cordero negro, por lo tanto, tenemos 2 posibilidades de 5.

Para que la variable aleatoria tome valor 2, tiene que primero salir un cordero blanco, o sea, 3 posibilidades de 5 y después salir uno negro, o sea, 2 posibilidades de 4 corderos que quedan.

Para que la variable aleatoria tome valor 3, deben salir dos corderos blancos primero y después debe salir un cordero negro. O sea, el primero blanco son 3 de 5, luego otro blanco solo quedan 2 de 4, y el tercero negro quedan 2 negros de 3 corderos.

Una de las propiedades importantes de cualquier variable aleatoria bien definida es que:

Lo que quiere decir que si sumamos las probabilidades de la variable aleatoria para todos los valores del recorrido debe ser 1. Verificamos para nuestro ejemplo:

P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0,4+0,3+0,2+0,1=1 Entonces ahora definimos la función de probabilidad para esta variable aleatoria como:

• e.o.c =en otro caso.


Que puede ser graficada de la siguiente forma:

Para un mejor entendimiento miremos otro ejemplo. Para una urna que contiene 3 bolitas rojas, 1 bolita verde y 6 bolitas blancas se define el experimento aleatorio “sacar dos bolitas con reposición”. Y se define la variable aleatoria como X = {número de bolitas blancas obtenidas}. Por lo tanto, la variable aleatoria puede tomar valores {0, 1, 2} ahora calculando las probabilidades:

El primer cálculo se basa en obtener una bolita no blanca (o sea, las 3 rojas o la verde) y después otra no blanca de nuevo. El segundo cálculo se basa en sacar una bolita blanca primero y después una no blanca o sacar una no blanca primero y después una blanca. El tercer cálculo se basa sacar una bolita blanca primero y después otra blanca. Por lo tanto, la función de probabilidad es:

Ahora practica con estos ejercicios: Ejemplos 1. Se lanzan dos dados no cargados y se define la variable aleatoria X como la diferencia positiva entre los valores obtenidos. Entonces si P(X) representa la función de probabilidad para la variable aleatoria X, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) correcta(s)? I) P(X=0) = P(X=6) II) P(X=5) = 1/9 III) P(X=3) = 1/6 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 2. La siguiente tabla muestra la función de probabilidad para una variable aleatoria X. Entonces, ¿cuál de las siguientes opciones es FALSA?

X 1 2 3 4


P(X) 0,2 a 0,3 0,1

A) P(X≤2)=0,6 B) P(X≥2)<1)+p(x<="" p=""> 3. Al lanzar 3 monedas al aire se define la variable aleatoria X como la cantidad de caras obtenidas. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que la variable aleatoria tome valor 3? A) 1/4 B) 1/8 C) 1/2 D) 1/6 E) 3/8 4. Arturo Vidal tiene un 30% de probabilidades de anotar un gol al lanzar un penal. Si en una definición a penales por el campeonato mundial debe tirar 3 penales y se define la variable aleatoria como la cantidad de penales convertidos, ¿cuál de las siguientes tablas representa la función de probabilidad para la variable?

5. Si el recorrido de una variable aleatoria X es {1, 2, 3} y se conoce que P(X=1 ó 2) = 0,7 y P(X=2 ó 3) = 0,5, por lo tanto, P(X=2) = A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5 Claves: 1 E, 2 B, 3 B, 4 E, 5 B Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria X es una regla que asigna a cada elemento del espacio muestral Ω, resultante de un experimento aleatorio, un número real. Consideremos el siguiente ejemplo: Juan lanza en varias ocasiones tres monedas al aire y se dedica a anotar cuantas caras va obteniendo. O sea, en este caso tenemos el experimento aleatorio “lanzar tres monedas al aire” y la variable aleatoria X = “cantidad de caras que se obtienen”. Entonces el espacio muestral y los valores que toma la variable se vería de la siguiente forma:


Por lo tanto, podemos decir que la variable aleatoria toma los valores 0, 1, 2, 3. A estos cuatro valores se les denomina recorrido de la variable aleatoria y a los elementos del espacio muestral (CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS) se les denomina dominio de la variable aleatoria. Para reforzar pensemos en otro ejemplo. En una urna se tienen 4 bolitas rojas, 5 bolitas azules y 3 bolitas verdes. Se define el experimento aleatorio sacar 4 bolitas de la urna con reposición y la variable aleatoria Y = “cantidad de bolitas verdes obtenidas”. Ahora como nuestra variable aleatoria cuenta las bolitas verdes obtenidas en las 4 sacadas, veamos algunos casos posibles y que valor le asignaría la variable aleatoria.

Por lo tanto, vemos el espacio muestral posee varios elementos y a cada uno de ellos la variable aleatoria le asigna un valor. Debido a que solo existen tres bolitas verdes en la urna la variable aleatoria


puede tomar valores; 0 si en las 4 extracciones no obtengo ninguna bolita verde, 1 si obtengo 1 bolita verde, 2 si obtengo 2 bolitas verdes y 3 si obtengo las 3 bolitas verdes. O sea, el recorrido de Y = {0, 1, 2, 3}. Ahora practica con estos ejercicios: 1. Se lanza al aire dos dados y se define la variable aleatoria como el producto de los puntos obtenidos. Por lo tanto, ¿cuántos elementos tiene el recorrido de la variable aleatoria? A) 5 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36 2. Para una urna con 7 bolitas rojas, 3 bolitas blancas y 5 azules se define el experimento aleatorio “extraer simultáneamente 2 bolitas”. Además se definen tres variables aleatorias; X = cantidad de bolitas rojas, Y = cantidad de bolitas blancas y Z = cantidad de bolitas azules. De acuerdo a esto, es correcto afirmar que I) el recorrido de X, Y y Z es el mismo. II) el recorrido de X tiene 7 elementos. III) la cantidad de casos en que Y =2 es la misma en que Z=2. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 3. Se lanzan cuatro monedas al aire y se define la variable aleatoria X = producto entre la cantidad de caras y cantidad de sellos obtenido. Por lo tanto el recorrido de la variable es A) {0, 1, 2, 3, 4} B) {1, 3, 4} C) {0, 2, 3, 4} D) {0, 3, 4} E) {1, 2, 3, 4} 4. Se tiene una urna con bolitas numeradas del 1 al 20. Al extraer 3 bolitas con reposición, ¿cuál de las siguientes opciones NO representa una variable aleatoria bien definida? A) Suma entre los números obtenidos. B) El producto de los números obtenidos. C) Cantidad de veces que aparece el número 5. D) Cantidad de números primos obtenidos. E) cociente entre cantidad de pares obtenidos e impares obtenidos. 5. Se tienen 3 jaulas con conejos y tortugas. Si se extrae consecutivamente un animal de la caja 1, luego de la caja 2 y después de la caja 3 y se define la variable aleatoria X como el número de cajas vistas hasta sacar el primer conejo, entonces, es correcto que I) el recorrido de la variable es {0, 1, 2, 3} II) la probabilidad de que X=1 es igual a que X=2. III) la probabilidad de que X=3 es 1. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Ninguna de las anteriores.


Claves 1 C, 2 A, 3 D, 4 E, 5 E Valor Esperado o Esperanza para variable aleatoria discreta Muchas veces nos gustaría saber cuál será el valor promedio que tomará una variable aleatoria si realizamos un experimento aleatorio muchas veces. Por ejemplo, si lanzamos dos dados al aire y definimos la variable aleatoria como la suma de los valores obtenidos, quisiéramos saber, después de lanzar estos dos dados 1000 veces, cuál es el promedio de las sumas obtenidas. Lamentablemente la respuesta no es tan sencilla, incluso imposible. Debido a que las sumas obtenidas forman parte de una variable aleatoria, que como su nombre bien lo indica, toma valores aleatorios, estocásticos, producto netamente del azar, el resultado de estos 1000 lanzamientos será distinto cada vez que intentemos hacer los 1000 lanzamientos de nuevo. Por suerte, la matemática nos entrega una fuerte herramienta para acercarse mucho a este resultado, el llamado valor esperado que se define de la siguiente forma: Si X es una variable aleatoria que toma valores {x1, x2, x3,…xn} y sea p(x) la función de probabilidad de esta variable, entonces la esperanza se calcula como:

E(x)=x1∙P(x1)+x2∙P(x2)+⋯+xn∙P(xn) Para que se entienda mejor veamos un ejemplo: Una urna contiene 6 bolitas con números del 1 al 6. El experimento aleatorio consiste en sacar una a una las bolitas de la urna y la variable aleatoria será la cantidad de bolitas extraídas hasta encontrar la primera bolita con un número primo. Entonces ¿cuál es la esperanza de esta variable aleatoria? Veamos primero como serían algunos valores de la variable aleatoria:

O sea, como vemos el máximo valor que puede tomar la variable aleatoria es 4 (que el primer número primo sale en la cuarta posición). Ahora calculamos sus probabilidades:

Ahora calculamos el valor esperado:


Valor esperado en juegos Pensemos ahora en la siguiente situación: Andrés crea el siguiente juego para su amigo Claudio. Coloca en una urna 2 bolitas rojas, 3 bolitas negras y 1 bolitas blancas. Le ofrece sacar dos bolitas una a continuación de la otra con el siguiente convenio; si es que salen dos bolitas rojas él le pagará $2.400, si sale solo una roja Claudio perderá $300 y si no sale ninguna roja también perderá $400. Por lo tanto, ¿Le conviene participar a Claudio? Para responder esta pregunta vamos a calcular el valor esperado de este juego:

Ahora calculamos la esperanza tomando como valor de la variable aleatoria las ganancias o pérdidas del juego:

Que la esperanza de este juego sea negativa, quiere decir que el juego es injusto, o sea, que si Claudio accede a jugar este juego muchas veces, en promedio perderá aproximadamente $160 por cada juego.

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MATEMÁTICA Eje temático: Álgebra y funcionespsucuentaregresiva.cl/wp-content/uploads/2017/08/materiapsu... · respuesta es un número irracional entre 1 y 2. ... Una ecuación