CONCEPTOS BÁSICOS

La matemática fianciera es la ciencia que nos proporciona las herramientas necesarias para tomar decisiones de inversión o de crédito, a lo largo del tiempo.

¿Para qué sirve la Matemática Financiera?

Para manejar flujos monetarios en el tiempo con criterio técnico

¿Qué vamos a aprender al finalizar el curso?Vamos a aprender tres cosas:

A programar y administrar nuestro dinero a lo largo del tiempo.1°

A manejar la “Tasa de interés”.2°A “tomar decisiones” de inversión,de endeudamiento o de reestructuración3

°

Es la representación gráfica de unacantidad monetaria de ingreso oegreso (inversión ó pago).Un flujo, cambia de valor cuando sedesplaza a lo largo del tiempo, y sólosi, está afectado por una tasa deinterés.

FLUJO

¿ Por qué cambia de valor un flujo?

El valor de un flujo cambia solo por estar afectado por unaTASA DE INTERESy al DESPLAZARSEa lo largo del tiempo.

Valor Futuro

Valor Presenteo Valor Actual

DISMINUYE CRECE

Desplazamiento de un flujo Financiero

INTERÉSEl interés comprende el precio del uso del capital ajeno durante

determinado intervalo de tiempo; el beneficio que se obtiene por la colocación de un capital representado por un stock de efectivo; o recíprocamente, el costo que asume el prestatario por usar ese capital durante el referido intervalo temporal.

El interés generado por un principal que se simboliza con la letra I está en función de múltiples variables, entre las cuales se encuentran:La magnitud del principal colocado o invertido,La tasa de interés implícita o explícita.El horizonte temporal: a mayor tiempo, mayor interés para un

mismo principal y una misma tasa de interés.El riesgo de la operación; se supone que a mayor riesgo al principal

le corresponde una mayor tasa de interés que genera un mayor interés.

Otras variables de carácter económico, político, social, etc.

Si se designa P al principal y se supone que el horizonte temporal, el riesgo y las otras variables enunciadas están reflejadas en la tasa de interés i, el interés puede calcularse con la siguiente fórmula:

I = Pi (1)

La fórmula (1) calcula el interés en función del principal y de la tasa de interés efectiva acumulada durante determinado horizonte temporal. Las fórmulas para las variables P e i pueden deducirse a partir de la fórmula (1):

i = I / P (2) P = I / i (3)

MONTOEl monto de una cuenta está formado por el principal y el interés devengado que se generó a partir de una tasa de interés acordada entre el deudor y el acreedor.

S = P + I (4)

La fórmula (4) calcula el monto en función del principal y el interés generado por la cuenta hasta determinado momento del horizonte temporal.

P = S – I (5) I = S – P (6)

Al reemplazar (6) en (2), se obtiene:

i = I/P = (S – P)/P = S/P – P/P

i = S/P - 1 (7)

La fórmula (7) calcula la tasa de interés efectiva acumulada en determinado horizonte temporal en función del principal y del monto.

CAPITALIZACIÓN DEL INTERÉS

• Mientras la cuenta esté vigente, el interés se genera al aplicar una tasa de interés a una base de cálculo denominada capital. Al momento de apertura de la cuenta, el capital coincide con el principal; posteriormente puede variar debido a la incorporación del interés, proceso que se denomina “capitalización de interés”.

Si este proceso se da una sola vez durante la vigencia de la cuenta, se presenta un régimen de interés monocapitalizado como el del interés simple. Si ocurre múltiples veces, se trata de un régimen de interés multicapitalizado como el del interés compuesto.

PLAZO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHAS• Si se abre una cuenta el día 28 de abril y se cierra el 2 de mayo del

mismo año, ¿cuántos días deben considerarse entre ambas fechas?____________________________________________

28/04 29/04 30/04 01/05 02/05

Al incluir el día inicial (28/04) y el día terminado (02/05) se podrá decir que han transcurrido 5 días; mientras que por otra parte al excluir el día inicial e incluir el terminal, o al incluir el día inicial y excluir el terminal, se podrá asegurar que han transcurrido cuatro días. En nuestro caso, excepto indicación contraria, se adoptará el método de días terminales

Método de días terminales• El cómputo del plazo comprendido entre una fecha inicial y una

final, cuando se aplica el método de días terminales, consiste en considerar todos los días posteriores a la fecha inicial que no sean posteriores a la final; se excluye el día correspondiente a la fecha inicial.

___________________________0 1

28/04 29/04

Para aplicar el método de días terminales, se debe efectuar:Para depósitos y retiros efectuados en el mismo mes: restar al día

de retiro el día de depósito. Por ejemplo, para un depósito del 3 de abril retirado el 26 del mismo mes, se considerará 23 días:

26 – 3 = 23 días

1 día

Para depósitos y retiros producidos en periodos que incluyen más de un mes: restar al número de días del primer mes los días transcurridos desde que se efectúo el depósito (incluido ese día) y adicionar los días de los meses siguiente, inclusive el día del retiro. Por ejemplo, para un depósito del 26 de mayo, retirado el 7 de junio, se considerará 12 días (5 en mayo y 7 en junio).

Ejemplo 1: ¿Cuántos días se habrán acumulado entre el 27 de junio y el 4 de agosto del mismo año, fechas de depósito y cancelación de un importe ahorrado en un banco?Solución: Los días transcurridos en cada mes son:Junio: Dado que junio tiene 30 días, se efectúa la siguiente operación: 30 – 27 = 3. Los 30 días del mes de junio menos el día 27, que da inicio al plazo de interés; se incluyen los días 28, 29 y 30.Julio: Incluye los 31 días del mes.Agosto: Incluye los 4 días de este mes.El número de días en el intervalo de tiempo corresponde a la suma: 3 + 31 + 4 = 38 días.

PERIODOS DE TIEMPO BANCARIOS• Cuando en términos generales se dice que se contrató un préstamo para

amortizarlo, por ejemplo, cada mes o cada año, sin dar mayores detalles adicionales, el término mes puede referirse a periodos de 28 días (febrero en año no bisiesto), 29 días (febrero en año bisiesto), 30 días (abril, junio, setiembre y noviembre) o 31 días (enero, marzo, mayo, julio, agosto, octubre y diciembre), mientras que el término año puede referirse a periodos de 365 días (año no bisiesto) o de 366 días (año bisiesto).

Periodo bancario Número de díasAño 360Semestre 180Cuatrimestre 120Trimestre 90Bimestre 60Mes 30Quincena 15Día 1

Para evitar confusiones, se usa el término año bancario, el cual se refiere a un periodo de 360 días, el cual tiene submúltiplos que se indican en la tabla siguiente:

HORIZONTE Y SUBHORIZONTE TEMPORALES• El horizonte temporal de una cuenta es el intervalo de tiempo que

existe desde que se abre la cuenta hasta que se cierra; su plazo se simboliza con la letra H.

___________________________ Momento de apertura Momento de cierre

• Un subhorizonte temporal es un intervalo de tiempo dentro del horizonte temporal de la cuenta.

• Cuando el horizonte temporal se divide en subhorizontes temporales uniformes, su plazo se simboliza con la letra h; si los subhorizontes temporales no son necesariamente uniformes, entonces el k-ésimo subhorizonte se simboliza hk.

H

• Por ejemplo, en un préstamo que debe amortizarse en el plazo de 90 días, con cuotas cada 30 días, el horizonte temporal puede dividirse en tres subhorizontes uniformes; entonces, se tiene: H = 90 días y h = 30 días.

_________________________________________0 h=30 días 30 h=30 días 60 h=30 días 90

• Ejemplo 2: Determine el horizonte temporal de una cuenta a un plazo de 30 días, si ésta se abre el 2 de enero y se cierra el 29 de enero.Solución: Al aplicar el método de días terminales se tiene que el valor de H = 27 días. Note que aunque en el enunciado del ejemplo se dice que la cuenta es a un plazo de 30 días, en realidad se cierra a los 27 días. Ocurre que a veces las cuentas a plazos ofrecen una tasa de interés para un plazo mínimo; en este caso, 30 días. Si el cliente cierra la cuenta antes del término de este plazo, se le aplica una tasa menor.

H = 90 días

• Ejemplo 3: Determinar el horizonte temporal de una cuenta a un plazo de 15 días, si ésta se abre el 2 de enero y se cierra el 1 de febrero.Solución: Al aplicar el método de días terminales se tiene que H = 30 días. Observe que aunque en el enunciado del ejemplo se dice que la cuenta es a un plazo de 15 días, en verdad se cierra a los 30 días.

EJERCICIOS1. En una cuenta bancaria se colocó un principal de S/. 6 500 durante un

trimestre; la tasa de interés para ese periodo de tiempo ascendió a 4%. ¿Cuál fue el interés generado al término del trimestre?Solución:P = S/. 6 500 I = P . ii = 0,04 I = (6 500)(0,04)I = ? I = S/. 260

2. Una cuenta bancaria que tiene un plazo de 180 días se abrió con un principal de S/. 5 000. Por ese periodo de tiempo el banco le ofrece una tasa de interés de 8%. ¿A cuánto ascenderá el interés al término del semestre?Solución:P = S/. 5 000 I = P . ii = 0,08 I = (5 000)(0,08)I = ? I = S/. 400

3. En una cuenta se colocó un principal de S/. 4 500 que generó un interés de S/. 67,50 en el plazo de un mes, ¿cuál fue la tasa de interés en ese periodo?Solución:P = S/. 4 500 i = I / PI = S/. 67,50 i = 67,50 / 4 500 = 0,015i = ? i = 1,5%

4. Calcule el importe del principal con el que se abrió una cuenta, la misma que hasta el momento de cierre generó un interés de S/. 75. La tasa de interés de ese periodo fue de 5%.Solución:P = ? P = I / ii = 0,05 P = 75 / 0,05I = S/. 75 P = S/. 1 500

5. Calcule la tasa de interés de una cuenta, la misma que se abrió con un principal de S/. 1 100 y que al momento de cierre registró un monto de S/. 1 210.Solución:P = S/. 1 100 i = (S / P) - 1

S = S/. 1 210 i = (1 210 / 1 100) - 1 = 0,10i = ? i = 10%

6. ¿Cuál es el monto actual de una cuenta que se abrió con un principal de S/. 1 500 y que devengó hasta hoy una tasa de interés de 5%?Solución: S = ? S = P (1 + i) P = S/. 1 500 S = 1 500 (1 + 0,05) = 1 500 (1,05) i = 0,05 P = S/. 1 575

7. Calcule el monto de una cuenta, la misma que registra un interés de S/. 300, generado por una tasa de interés de ese periodo de 4%.Solución:S = ? P = I / i = 300 / 0,04 = S/. 7 500

I = S/. 300 S = P + I = 7 500 + 300i = 0,04 S = S/. 7 800

8. Calcule el principal con el que se abrió una cuenta, la misma que registró un monto de S/. 1 442, a una tasa de interés de 3%Solución: P = ? P = S / (1 + i) S = S/. 1 442 P = 1 442 / (1 + 0,03) = 1 442 (1,03) i = 0,03 P = S/. 1 400

9. ¿Cuál es el interés que registra una cuenta abierta con un principal de S/. 1 500 cuyo monto es S/. 1 750.Solución:I = ? I = S - P

P = S/. 1 500 I = 1 750 - 1 500S = S/. 1 750 I = S/. 250