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2014
Ing. Mario Adolfo
Valles Mendoza.
CETIS 86
Tercer Semestre.
GEOMETRIA ANALITICA
René Descartes (1596 – 1650) Pierre de Fermat
(1601 – 1665)
GEOMETRIA ANALITICA
CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLOGICOS
Industrial y de servicios Nº 86
GEOMETRIA ANALITICA
SEMESTRE AGOSTO 2014 – ENERO 2015
NOMBRE__________________________________________GRUPO___ ___________
ESPECIALIDAD______________________________________TURNO____________
TITULAR: ING. MARIO ADOLFO VALLES MENDOZA
GEOMETRIA ANALITICA
CONTENIDO TEMÁTICO
I SISTEMAS COORDENADOS
1.1. Rectangulares
1.1.1 Puntos en el plano 1.1.2 Distancia entre dos puntos 1.1.3 División de un segmento en una razón dada 1.1.4 Punto medio 1.1.5 Áreas de polígonos
1.2. Polares
1.2.1 Transformaciones del sistema coordenado polar al rectangular y viceversa Radio vector Ángulo polar
II LUGARES GEOMETRICOS
2.1. La recta
2.1.1 Pendiente y ángulo de inclinación 2.1.2 Condiciones de paralelismo y de perpendicularidad y ángulo entre dos rectas
2.1.3 Grafica de una recta dado un punto y su pendiente
2.1.4 Formas de la ecuación de una recta y sus transformaciones 2.1.5 Distancia de un punto a una recta y distancia entre rectas paralelas
2.1.6 Aplicaciones (MODELOS LINEALES)
2.2 Las Cónicas
2.2.1 Circunferencia 2.2.1.1 Elementos
2.2.1.2 Ecuaciones
2.2.1.3 Condiciones geométricas y analíticas
2.2.2 Parábola 2.2.2.1 Elementos
2.2.2.2 Ecuaciones
2.2.2.3 Condiciones geométricas y analíticas
2.2.3 Elipse
2.2.3.1 Elementos 2.2.3.2 Ecuaciones
2.2.3.3 Condiciones geométricas y analíticas
2.2.4 Hipérbola
2.2.4.1 Elementos
2.2.4.2 Ecuaciones 2.2.4.3 Condiciones geométricas y analíticas
PRESENTACION
La presente guía ha sido elaborada como recurso metodológico, que permita al alumno un aprendizaje integral y significativo.
GEOMETRIA ANALITICA
Esta guía se apega al programa oficial de la asignatura y pone el centro de la actividad en el propio estudiante, basado en competencias. ¿Qué significa esto?, bien, para que una persona sea competente en una actividad, además de conocimientos debe poseer habilidades, destrezas, actitudes y valores. Por ejemplo, para manejar de manera adecuada un vehículo estándar en la ciudad, debe tener conocimientos sobre como abrir la puerta del vehículo, como se enciende, donde está el freno, del reglamento de vialidad, etc. Sin embargo no basta con esos conocimientos para ser competente, sino que debe desarrollar destreza para operar los pedales y girar el volante y debe expresar una actitud de respeto hacia los demás, ser responsable y conducirse correctamente acatando el reglamento de tránsito.
Como vez, los conocimientos son importantes, pero por si solos son insuficientes, por lo que esta guía pretende una formación y evaluación integral, en ella podrás encontrar diversas situaciones prácticas, de su entorno social, familiar o personal, que requiere de la búsqueda de explicaciones o soluciones.
También te conduce a la solución de las situaciones propuestas y que podrás realizarlas individualmente o de una manera colectiva, de modo que a través del análisis y la reflexión, estudio, investigación y el trabajo personal y colaborativo, desarrolles habilidades cognitivas que te permitan aplicar el conocimiento en cualquier situación de tu vida.
La forma de trabajo que se propone para el desarrollo de este programa, está acorde con los lineamientos actuales para el aprendizaje de las Matemáticas.
En este sentido, son los estudiantes quienes se responsabilizan de su aprendizaje, la ayuda que requieran para validar sus resultados la tendrán de su profesor del curso y de sus compañeros de clase.
Así como instrumentos que permitan la autoevaluación y cooevaluación.
Esta guía está organizada por 3 bloques:
El bloque 1, se denomina Sistemas de Coordenadas, en el que se estudia la localización de puntos en un plano cartesiano, distancia entre dos puntos, división de un segmento en una razón dada, perímetros y áreas, transformación de coordenadas rectangulares a polares y viceversa.
El bloque 2, corresponde al estudio de la recta, como lugar geométrico, estudiando su pendiente y sus diversas formas de ecuación y su aplicación en diversos campos del conocimiento.
El bloque 3, se estudia las curvas cónicas, circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, se explica su ecuación correspondiente, su representación gráfica y algunas aplicaciones a la vida cotidiana.
Finalmente esta guía representa una estructura didáctica que está integrada por una serie de elementos que te ayudarán a fortalecer las competencias genéricas y disciplinarias, que te permitirán construir el conocimiento y adquirir habilidades para representar el lenguaje matemático en aspectos de la vida cotidiana y en diversos campos del conocimiento, obtener destrezas para el manejo de las tecnologías y fortalecer valores tanto en el trabajo individual y colectivo.
REGLAS DE OPERACIÓN:
ENCUADRE DEL CURSO DE CÁLCULO
1. Presentación de los participantes.
GEOMETRIA ANALITICA
2. Examen de diagnóstico.
3. Análisis de expectativas.
Responde a las siguientes preguntas:
Describan tres situaciones de su vida personal en donde crean requerir los conocimientos a adquirir en el curso. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Qué espero del curso. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Qué quiero que suceda en él. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Qué quiero que no suceda. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Qué estoy dispuesto a aportar para lograrlo. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Qué espero del profesor. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. Presentación del programa:
Materia: Matemáticas.
Componente de formación: Básica.
Asignatura: Geometría Analítica.
Semestre: Tercero.
Carga horaria: 4 horas/semana.
5. Objetivos generales de aprendizaje.
En cada secuencia didáctica.
6. Criterios de evaluación:
El curso será calificado con tres evaluaciones, las cuales deben de sumar al menos 18 puntos
para aprobar satisfactoriamente la materia.
MEDIANTE UNA LISTA DE COTEJO (30%)
Actividades en el aula.
Investigaciones.
Tareas y trabajos.
GEOMETRIA ANALITICA
Limpieza en sus trabajos.
Puntualidad para entregar trabajos.
Portafolio de evidencias.
Exposiciones.
EN UNA GUIA DE OBSERVACIÓN (10%)
Disciplina en clase. Puntualidad y asistencia en clase. Participación. Lecturas recomendadas.
EXAMEN ESCRITO (60%)
Examen. 7. Establecimiento del “Contrato de trabajo”.
- Mis responsabilidades y obligaciones como maestro son.
- Puntualidad. - Presentación del programa de la asignatura. - Informar las competencias genéricas y disciplinares que se fortalecerán y se desarrollarán respectivamente. - Informar sobre los criterios de evaluación. - Revisar las tareas y los trabajos de investigación. - Revisar el portafolio de evidencias. - Prescindir del uso de teléfono celular durante la clase. - Informar las fechas de exámenes parciales. - Informar el avance programático para los exámenes. - Dar revisión el día y hora señalada. - Revisar las Actividades y hacer seguimiento antes de los exámenes parciales. - Respetar los acuerdos de academia - Enseñar de forma congruente, fidedigna y precisa al alumnado - Ser justo e imparcial al evaluar. Mis responsabilidades y obligaciones como alumno son
- Puntualidad para ingresar a clase. - Cumplir con un mínimo de 80% de asistencias. - Conocer el contenido de la unidad de aprendizaje. - Conocer los criterios de evaluación. - Cumplir en forma y a tiempo con los ejercicios y trabajos de investigación requeridos. - Elaborar su portafolio de evidencias. - Prescindir del uso de teléfono celular durante la clase. - Conocer fechas de exámenes parciales. - Presentar exámenes. - Presentarse a la revisión de exámenes. - Informarse sobre los acuerdos académicos que tengan relevancia para ellos. - Presentarse a clase con su material de estudio y útiles de trabajo. - Estudiar, y resolver las actividades planteadas dentro y fuera del aula - Participar activamente en el aula y fuera de ella. - Entregar en tiempo y forma trabajos y tareas. - Resolver de forma personal todas las actividades referentes a la materia. - Disposición para trabajar colaborativamente.
PROGRAMA OFICIAL DE LA ASIGNATURA
GEOMETRIA ANALITICA
PROPÓSITO GENERAL DE LA ASIGNATURA
Que el estudiante interprete, argumente, comunique y resuelva diversas situaciones problemáticas de su contexto por medios gráficos y analíticos, que incluyan la representación de figuras en el plano cartesiano.
SECUENCIA DIDACTICA 1
GEOMETRIA ANALITICA
TEMA I. SISTEMAS DE COORDENADAS
PROPOSITOS: Representa e interpreta a través de sistemas coordenados fenómenos naturales y sociales de su
entorno.
OBJETIVOS:
Identifica las coordenadas de un punto en el plano y conoce su interpretación geométrica.
Reconoce y representa gráficamente lugares geométricos de puntos a distancia constante de los
ejes.
Ubica puntos en el plano cartesiano y calcula las longitudes de segmentos.
Aplica el concepto de distancia en problemas de la vida cotidiana.
Reconoce y aplica las fórmulas para encontrar puntos de división, áreas y perímetros de
problemas geométricos y de la vida cotidiana.
Identifica y resuelve problemas que involucran coordenadas polares y su transformación con las
coordenadas rectangulares.
Determina el ángulo de inclinación de una recta y encontrar las pendientes de los lados de una
figura geométrica.
Establece las relaciones específicas que condicionan el paralelismo y la perpendicularidad entre
rectas.
Reconoce y aplica las fórmulas para encontrar el ángulo entre dos rectas y las utiliza para hallar los ángulos interiores de cualquier polígono.
VALORES QUE PROMUEVE:
Desarrolla un sentido de responsabilidad y compromiso al reconocer que la geometría
analítica se aplica de manera permanente en su vida diaria.
Valora las aplicaciones de la geometría analítica en su vida cotidiana y en el desarrollo de la
humanidad.
Muestra interés por participar en la construcción de su propio conocimiento y el de sus
compañeros de clase.
Valora las aportaciones de matemáticos que han consolidado la geometría analítica como la conocemos hoy.
COMPETENCIAS GENERICAS Y SUS ATRIBUTOS
Categoría Competencia Genérica. Atributo
Se expresa y se comunica
4.- Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiadas.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones
lingüísticas, matemáticas o gráficas.
4.5 Maneja las tecnologías de la información y la
comunicación para obtener información y expresar ideas
Piensa crítica y
reflexivamente
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflex iva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.
Trabaja en forma colaborativa
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
8.2 Aporta puntos de v ista con apertura y considera
los de otras personas de manera reflex iva.
COMPETENCIAS DISCIPLINARIAS
1.- Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2.- Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
GEOMETRIA ANALITICA
3.- Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4.- Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos y variacionales, mediante el lenguaje verbal y matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación. 8.- Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos
INTRODUCCION LA GEOMETRÍA ANALITICA es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando
las distancias del punto a cada uno de los ejes. La Geometría Analítica; se aplica a la en la fabricación de aparatos de recepción de señal, telescopios y en algunas construcciones arquitectónicas, El manejo de los elementos de ella nos permite conocer además algunos
movimientos en la naturaleza como la trayectoria de proyectiles, la rotación de los planetas con respecto al sol, etc… Es una gran herramienta para desarrollar la apreciación analítica y gráfica. La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en
esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se
representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.
ANTECEDENTES HISTORICOS En el siglo XVII con la geometría analítica nace la matemática moderna, en el siglo de Descartes, Galileo, Newton, Leibniz y Fermat. El álgebra y la trigonometría adquieren cierta madurez, condiciones particularmente favorables
para la ciencia matemática obtenga una fecundidad maravillosa. Los resultados de tales condiciones favorables pronto se harán sentir, y en siglo XVII verá en pr imer lugar una admirable nueva rama de la matemática: la geometría analítica, que produce en esa ciencia verdadera revolución
(fue comparada con la revolución industrial). Más tarde se verá surgir el análisis infinitesimal en su doble aspecto: como algorit mo del infinito, y como instrumento indispensable para el estudio de los fenómenos naturales.
En el siglo XVII asiste al nacimiento de la teoría de los números, del cálculo de la probabilidad y de la geometría proyectiva. El advenimiento de la geometría analítica está vinculado con el gran filósofo René Descartes (1596-1650).
La geometría analítica se conoce también con el nombre de geometría cartesiana. En 1637, en Leyden, Descartes publico el discurso DEL MÉTODO obra celebre formada por tres ensayos: La Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría.
El concepto de sistema coordenado, que caracteriza a la geometría analítica se encuentra en la obra “geometrie” (1637), tratado de poco más de cien páginas. Su aportación principal es la unificación de del álgebra c on la geometría; su fundamento es la correspondencia entre los números reales y los puntos de una línea.
El primer capítulo del libro primero de los tres que componen la “Geometría” trata sobre como el cálculo de la aritmética se relaciona con las operaciones de la geometría. En el libro primer capítulo del libro primero de los tres que componen la “Geometría” trata sobre como el cálculo de
la aritmética se relaciona con las operaciones geométricas. Otro gran matemático fue Fermat (1601-1665) contemporáneo de Descartes, realizo trabajos relacionados con la geometría analítica en el año 1629 y cuya aproximación a la Geometría Analítica es más exacta a la obra de
descartes. La obra geométrica de Fermat es importante, pues enseña a interpretar ecuaciones con dos variables, considerando rectas, elipse, parábolas e hipérbolas.
René Descartes y su famoso “DISCURSO DEL MÉTODO” es un tratado celebre para conducir bien las razón y buscar la verdad en las ciencias.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1: 1.- Evaluación Diagnostica: Resolver en forma individual el cuestionario que le será proporcionado por su maestro. Duración de la evaluación diagnostica. (30 minutos). EVALUACIÓN DIAGNOSTICA
GEOMETRIA ANALITICA
CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLOGICOS industrial y de servicios Nº 86 GEOMETRIA ANALITICA
EXAMEN DIAGNOSTICO PERIODO: AGOSTO 2014 - ENERO 2015
NOMBRE ___________________________________________________________ GRUPO ___________________
Instrucciones. Contesta el cuestionario siguiente, con la finalidad de que repases y recuerdes los conceptos previos necesarios para que los apliques en la construcción del nuevo conocimiento.
1. Es aquel triangulo que tiene dos lados iguales y uno desigual. A) Agudo. B) Isósceles. C) Equilátero. D) Escaleno.
2. Está constituida por una sucesión continua de puntos y solo posee una dimensión. A) Círculo. B) Punto. C) Angulo. D) Línea.
3. Rectas que al cruzarse forman cuatro ángulos rectos. A) Rectangulares. B) Perpendiculares. C) Paralelas. D) Oblicuas.
4. Perpendicular que corta a un segmento de recta en su punto medio. A) Mediana. B) Bisectriz. C) Mediatriz. D) Oblicua.
5. Recta que une el centro de una circunferencia con cualquier punto de la misma. A) Diámetro. B) Cuerda. C) Radio. D) Tangente.
6. Angulo cuya medida es de 90°. A) Isósceles. B) Recto. C) Obtuso. D) Perigonio.
7. Es aquella recta que toca a la circunferencia en un solo punto, es decir recta y circunferencia
tienen un solo punto en común. A) Cuerda. B) Diámetro. C) Tangente. D) Secante.
8. Recta que divide un Angulo en dos ángulos iguales. A) Mediatriz. B) Bisectriz. C) Mediana. D) Cortadora.
9. Sucesión de puntos alineados en una misma dirección cuya trayectoria es una línea recta. A) Seguidos. B) Bifurcados. C) Colineales. D) Agudos.
10. Triangulo que consta de dos ángulos agudos y uno recto. A) Agudo. B) Obtuso. C) Rectángulo. D) Isósceles.
11. Un triángulo Rectángulo está comprendido por un cateto opuesto, un cateto adyacente y ……….. A) Hipotenusa. B) Tangente. C) Seno. D) cateto no adyacente.
12. La suma de los ángulos internos de cualquier triangulo es: A) 360° B) 180° C) 90° D) 360°
GEOMETRIA ANALITICA
13. La ecuación matemática que representa el teorema de Pitágoras: A) a2 = b2 + c2 B) b2 = a2 + c2 C) c2 = a2 + b2 D) c2 = a2 – b2
14. Es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo. A) Seno B) Hipotenusa C) Cateto Opuesto D) Cateto Adyacente
15. Es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar. A) Seno B) Hipotenusa C) Cateto Opuesto D) Cateto Adyacente
16. Es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar. A) Seno B) Hipotenusa C) Cateto Opuesto D) Cateto Adyacente
17. El __________ de un ángulo la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:
A) Seno B) Coseno C) Tangente D) Secante
18. La __________ de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:
A) Seno B) Coseno C) Tangente D) Secante
19. El __________ de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:
A) Seno B) Coseno C) Tangente D) Secante
20. En la recta numérica localiza los puntos A( -5 ), B( 6 ), C ( 3
2 ), D ( −
27
4 ), y E ( 0 ).
21. Despeja la variable T2 en la expresión algebraica
𝑉1
𝑇1=
𝑇2
𝑉2
(V1 )(T2) = (T1)(V2)
22. Dada la ecuación - 5x3 + 4y2 = 16, identifica:
a) El primer miembro de la ecuación es ____________________________________
b) El segundo miembro de la ecuación es ___________________________________
c) El coeficiente de la variable x es _______________________________________
d) El coeficiente de la variable y es ________________________________________
e) El exponente de la variable x es ________________________________________
f) El exponente de la variable y es ________________________________________
23. Resuelve la ecuación 3 𝑥 + 5 = 4 − 𝑥
GEOMETRIA ANALITICA
Ángulos A, B, C
Lados a, b, c
B
a
b
c
A C
24. Halla los elementos de cada uno de los siguientes triángulos rectángulos:
a) D e un t r iángulo rec tángulo ABC , s e c onoc en a = 5 m y B = 41.7° . R es olv er e l t r iángulo. Lado b =
Lado c =
Angulo A =
b) D e un t r iángulo rec tángulo ABC , s e c onoc en b = 3 m y B = 54.6° . R es olv er e l t r iángulo. Lado a =
Lado c =
Angulo A =
c) D e un t r iángulo rec tángulo ABC, s e c onocen a = 6 m y b = 4 m . R es olv er e l t r iángulo Lado c =
Angulo A =
Angulo B =
d) U n árbol de 50 m de a l to proy ec ta una s om bra de 60 m de larga. Enc ont rar e l ángulo de e lev ac ión del s o l en es e m om ento.
e) U n d i r ig ib le que es tá v o l ando a 800 m de a l tura, d is t ingue un pueblo c on un ángulo de depres ión de 12° . ¿A qué d is tanc ia de l pueblo s e hal la?
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2:
GEOMETRIA ANALITICA
Investigar los principales conceptos relacionados con la geometría analítica. El maestro explicara la dinámica a seguir. CONCEPTOS GEOMETRIA PLANA
OBJETIVOS: Entender los conceptos básicos de la geometría plana.
Reconocer figuras geométricas planas. Competencias genéricas a desarrollar: 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5. Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.
Competencias disciplinares básicas a desarrollar: 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o
situaciones reales.
INVESTIGAR: En Forma Individual Por Diferentes Medios Algunos Conceptos Que Se Relacionan Con La Geometría Analítica. Apoyarse en APUNTES, LIBROS o INTERNET.
I. Conceptos:
1. Punto.
2. Línea.
3. Tipos de Rectas. (Paralelas, perpendiculares y oblicuas).
4. Mediatriz.
5. Mediana.
6. Ángulo y tipos de ángulos (Agudo, Recto y Obtuso)
7. Bisectriz.
8. Polígonos, elementos de un polígono y que es un polígono regular.
9. Triángulos y Cuadriláteros.
10. Clasificación de los Triángulos (de acuerdo a sus lados y a sus ángulos)
11. Área, perímetro y semiperimetro de un triángulo (formulas) y formula de Herón.
12. Clasificación de los cuadriláteros (según el paralelismo de sus lados y según la igualdad de sus
lados)
13. Teoremas de triángulos. (suma de los ángulos interiores de un triángulo y teorema de Pitágoras).
14. Rectas y puntos notables de un triángulo.
15. Circunferencia y Círculo.
16. Elementos de una circunferencia (Centro, Radio, Diámetro, Cuerda, Tangente, Secante)
17. Área, perímetro y semiperimetro de un círculo (formulas).
18. Definir que es un LUGAR GEOMETRICO y mencione algunos ejemplos.
Observaciones del docente: cada respuesta debe estar avalado con su grafica correspondiente las cuales la deberán realizar en su cuaderno de apuntes. Puedes apoyarte recurriendo a las siguientes ligas de Internet:
http://www.escolar.com/menugeom.htm
http://www.monografias.com/trabajos10/geom/geom.shtml
http://inst-mat.utalca.cl/tem/taller-geo/interactivas/curso1/geometria/index.htm
http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Lugar%20Geometrico.pdf http://www.escolar.com/avanzado/geometria009.htm
GEOMETRIA ANALITICA
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 3: ACTIVIDAD INDIVIDUAL
OBJETIVO:
Competencias genéricas a desarrollar: 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
2. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. Competencias disciplinares básicas a desarrollar: 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones
reales. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos
CÓDIGO:
Se trata de descubrir el criterio con el que fueron ubicados los números en las casillas y, una vez hallado, sustituir las le tras A, B, C y D por los valores correspondientes.
12 A
B 25
34
C 43
51 D
RESPUESTAS: A __________ B__________ C__________ D__________ Menciona cual fue el criterio que utilizaste para descifrar el código:
GEOMETRIA ANALITICA
I. SISTEMAS DE COORDENADAS
1.1. SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES
El plano cartesiano tiene dos ejes perpendiculares (eje “x” ó eje de las abscisas y eje “y” ó eje de las ordenadas), los cuales en donde se cortan forman un ángulo de 90°, por ser perpendiculares ; a su punto de intersección se le conoce como origen del plano. Los dos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas
cuadrantes. En este plano cartesiano, cada punto se representa por medio de una pareja de números (x,y), llamada pareja ordenada debido a que por ejemplo (2,3) ≠ (3,2). Así, cada punto está determinado por sus coordenadas (x,y), en donde “x” es llamada la abscisa y “y” la ordenada
del punto. Así pues, el punto P(2,5) se encuentra en donde el valor de la abscisa es 2 y el de la ordenada 5. Todo lo anterior se encuentra representado en la figura de abajo.
PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano, como ya lo dijimos, no es el único plano para representar puntos, hay otros sistemas, de los cuales sólo hablaremos, someramente, del sistema de coordenadas polares.
Observación: Todo punto del plano tiene una representación única (x,y), la cual se puede determinar al establecer el valor de la abscisa y ordenada del punto en el plano. De manera análoga, a toda representación (x,y) le corresponde un punto único en el plano, y se puede determinar al establecer el lugar en el plano que tiene abscisa
“x” y ordenada “y”.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 4: Indicar en cual cuadrante del sistema de coordenadas se ubican los siguientes puntos:
A(-6, -2)…….Cuadrante ____ B(4, -2)……Cuadrante ____ C(5., -2)……Cuadrante ____
D( 6, 2)……..Cuadrante ____ E( 4, 5 )……Cuadrante ____ F(-2, 6)…….Cuadrante ____
G( 2, -2)…….Cuadrante ____ H(-3, 5)..….Cuadrante ____ I(-5, -3)…….Cuadrante ____
J( 6, 5)..…….Cuadrante ____ K( 3, 0 )……Cuadrante ____ L(-5, 7)………Cuadrante ____
M(-2, 2)……Cuadrante ____ N(0, 5)….…Cuadrante ____ O(4, 9)..……Cuadrante ____
P( -6, -5)……Cuadrante ____ Q( 1, 1 )……Cuadrante ____ R(0, 0)….….Cuadrante ____
1.1.1. LOCALIZACION DE PUNTOS EN EL PLANO
Por consiguiente, si queremos representar el punto A( - 5, 6), primero tengo que identificar en que cuadrante va a estar ubicado el punto, en este caso es el cuadrante II, ya que la abscisa es -5 y la ordenada es 6, (x = -5 , y = 6).
(-X, -Y) (+X, -Y)
( -X, +Y) (+X, +Y)
Y
Cuadrante II
O X
Cuadrante III
Cuadrante I
Cuadrante IV
Eje de las Abscisas
Eje de las Ordenadas
GEOMETRIA ANALITICA
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 5: Graficar los siguientes puntos Competencias genéricas a desarrollar: 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. .
2. Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones. Competencias disciplinares básicas a desarrollar:
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos
A(5, 0), B(0, -3), C(-2, 0), D(0,1), E(-2, 5), F(4, 6), G(-6, -4), H(5, -6), I(3, 5), J(9, -4), K(-8, 5),
L(-4, 6), M( 7, -7), N(-6, -3), O(-5, 4), P(- 24
6 ,-
24
8), Q(
27
9 ,-
16
8), R(-
14
2,
10
2), S(
24
3 ,
36
6), T(-
15
2 , -
13
5 ),
U(11,3), V(4,-5), W(0,0) y Z(0.8, - 4.6).
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6: Graficar los siguientes puntos y unirlos por segmentos de rectas, formando el polígono correspondiente. (Use un color diferente para cada polígono.)
Pentágono A(5,1), B(2,-3), C(-3,-1), D(-2,4) y E(1,5) Color Rojo.
GEOMETRIA ANALITICA
Triangulo F(5,4), G(-2,6) y H(8,-6 ) Color Azul.
Cuadrilátero I(2,0), J(1, -7), K(-5, -4) y L(-7, 5) Color Negro.
1.1.2. D
ISTANCIA ENTRE
DOS PUNTOS
Dados dos puntos cualesquiera A(x1, y1), B(x2, y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), Para calcularla aplicamos el teorema de Pitágoras en el rectángulo coloreado:
Si los puntos tienen la misma ordenada o la misma abscisa, la distancia entre ellos se calcula sin necesidad de aplicar la fórmula anterior.
FORMULAS:
Distancia Unidireccional Horizontal: d = | X2 – X1|
Distancia Unidireccional Vertical: d = |Y2 –Y1|
Distancia Oblicua:
d (AB) = √(𝑋2 − 𝑋1)2 + ( 𝑌2 − 𝑌1)
2
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 7: Realice las operaciones y graficas en su cuaderno de apuntes.
Ver el siguiente video en internet: http://www.youtube.com/watch?v=K8noMEH5FAM
GEOMETRIA ANALITICA
A) Hallar y graficar la distancia entre los siguientes pares de puntos.
a) Distancia unidireccional: Vertical Y Horizontal.
1. A(7, 2) y B(-5, 2) 4. C(1, 4) y D(1, -2)
2. E(-2, 5) y F(-2, -2) 5. G(5, -4) y H(1, -4)
3. I(4, 4) y J(4, -2) 6. K(3, 0) y L(-2, 0)
b) Distancia oblicua.
1. A(5, -2) y B(-1, 7) 4. C(6, 1) y D(-4,-2)
2. E(-3,-1) y F(7, -5) 5. G(-3, 4) y H(0, -3)
3. I(4, -3) y J(7,-2) 6. K(3,0) y L(-2, 5)
B) De los siguientes triangulo determine y justifique por medio de sus distancias, si se trata de un triangulo isósceles (dos lados iguales y uno desigual) ó de un triangulo rectángulo (teorema de Pitágoras c2 = a2 + b2)
1. A(-6,4), B(-5,-3) y C(-1,-1) 3. A(3,5), B(7,2) y C(4,-2)
2. A(4,-3), B(3,0) y C(0,1) 4. A(2,2), B(10,2) y C(10,-5)
C) P robar que los puntos : A (1, 7) , B (4, 6) Y C (1, - 3) per tenec en a una c i r c unferenc ia de c ent ro e l punto O (1, 2) .
C ondic ión : dA O = dB O =d C O
D) Sean A (0,0), B (3,0), C (4,2) y D (1,2), los vértices de un paralelogramo, halle la longitud de sus diagonales.
E) Hallar el perímetro de los polígonos de la actividad 6 (PROBLEMAS 2 y 3).
F) Calcula el perímetro de los siguientes triángulos y clasifícalos según la longitud de sus lados:
a. A(-2, 2), B(1, 6), C(6, -6) b. A(-5, -2), B(0, 6), C(5, -2)
G) Dadas las coordenadas de los vértices del siguiente triangulo, A (-4, 7), B (5, 6) y C (2, -3), determine: 1. Su gráfica.
2. Su Perímetro. P = dAB + dBC + dAC
3. Su semiperimetro. S = 𝑑𝐴𝐵 + 𝑑𝐵𝐶 + 𝑑𝐴𝐶
2
4. Su área utilizando la formula de Herón. A = √𝑆(𝑆 − 𝑑𝐴𝐵)(𝑆 − 𝑑𝐴𝐶)(𝑆 − 𝑑𝐵𝐶)
Ver este enlace en Internet:
http://educacioncalculomatematico.blogspot.com/2010/08/distancia-entre-dos-puntos-y-punto.html
1.1.3. DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA
GEOMETRIA ANALITICA
D iv id i r un s egm ento AB en una re lac ión dada r es deter m inar un punto P de la rec ta que cont iene al s egm ento AB , de m odo que las dos par tes, A P y PB , están en la r elación r :
CRITERIOS DE APLICACIÓN:
a) Cuando el valor de la razón “ r” es positiva, el punto buscado, estará situado entre los puntos dados del segmento.(sobre la línea)
b) Cuando el valor de la razón “ r” es negativa, el punto buscado, estará situado por fuera de los puntos dados del segmento.(en la prolongación de la línea)
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 8: Realice las siguientes operaciones, con su grafica correspondiente, en su
cuaderno de apuntes.
A) Hallar las coordenadas de un punto P(X, Y), que divida al segmento determinado por P1 y P2 en la razón “r”.
1) P1(2,5), P2(-3,8),r= - 2/5
2) P1(-3,7), P2(-4,5),r= 4/3
3) P1(-1,-4), P2(5,-1),r= -3
4) P1(-2,5), P2(-5,-1),r= 2
5) P1(-3,4), P2(2,5),r= 1/3
B) Hallar los puntos necesarios para dividir los siguientes segmentos en partes iguales. 1) A(-2,5) Y B(4,-1) En tres partes iguales
2) A(7,4) Y B(0,-4) En cinco partes iguales
3) A(-3,8) Y B(3,-1) En dos partes iguales
4) A(-1,-9) Y B(8,6) En cuatro partes iguales
1.1.4. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
A(X1, Y1)
B(X2, Y2)
FORMULAS:
X = 𝑋1+ 𝑟𝑋2
1+𝑟
Y = 𝑌1+ 𝑟𝑌2
1+𝑟
Extremos del segmento A(X1 , Y1) , B(X2 , Y2),
Punto que divide el segmento P ( X, Y )
Razón dada “r”
r = 𝐴𝑃
𝑃𝐵
GEOMETRIA ANALITICA
C) Hallar las coordenadas del centro de una circunferencia cuyas coordenadas de sus diámetros son los puntos. P1 Y P2.
1) P1(-4,6) Y P2(2,-2), 2) P1(3,1) Y P2(1,5) 3) P1(-5,5) Y P2(3,5)
D) Se requiere trazar una mediatriz al segmento que une los puntos cuyos extremos son:
1) A(4,2) Y B(-2,6) 2) C(-7,1) Y D(1,3) 3) E(-5,-3) Y F(1,-1)
E) El extremo de un diámetro de una circunferencia cuyo centro “C” y un punto ”P1” son conocidos, hallar las coordenadas del otro punto “P2”.
1) C(-2,5) Y P1(4,-3) 3) C(4,-1) Y P1(1,-2) 5) C(5,-3) Y P1(6,2)
2) C(7,-6) Y P1(1,-1) 4) C(1,2) Y P1(3,-1)
F) Los vértices de un triángulo son A(2,-1), B(-4,7) y C(8,0), trazar las mediatrices en el triángulo.
1.1.5. ÁREA DE UN POLIGONO EN FUNCION DE LAS COORDENADAS DE SUS
VERTICES.
Ejemplo:
FORMULA:
|
𝑋1 𝑌1
𝑋2 𝑌2
𝑋3 𝑌3
𝑋1 𝑌1
|
A = (1
2)
A = (1
2) [+(X1)(Y2)+(X2)(Y3)+(X3)(Y1)-(X1)(Y3)-(X3)(Y2)-(X2)(Y1)]
+
SE USA EL PROCESO DE DETERMINANTES
SE COLOCAN CADA UNO DE LOS PUNTOS EN SENTIDO CONTRARIO A LAS MANECILLAS DEL RELOJ.
SE REPITE SIEMPRE EL PRIMER PUNTO.
SON PRODUCTOS CRUZADOS COMO SE MUESTRAN EN LA FIGURA DE ARRIBA.
PARA ESTE CASO SE CONSIDERA UN TRIANGULO
- Y
X
GEOMETRIA ANALITICA
Hallar el área del siguiente polígono: A(-5,2), B(1,-4), C(5,1), D(3,4) y E(-2,6)
𝑨 = (𝟏
𝟐)
[ −𝟓 𝟐𝟏 − 𝟒𝟓 𝟏𝟑 𝟒−𝟐 𝟔−𝟓 𝟐]
𝑨 = (𝟎. 𝟓)[+(−𝟓)(−𝟒) + (𝟏)(𝟏) + (𝟓)(𝟒) + (𝟑)(𝟔) + (−𝟐)(𝟐) − (−𝟓)(𝟔) − (−𝟐)(𝟒) − (𝟑)(𝟏) − (𝟓)(−𝟒) − (𝟏)(𝟐)]
𝑨 = (𝟎. 𝟓)(+𝟐𝟎 + 𝟏 + 𝟐𝟎 + 𝟏𝟖 − 𝟒 + 𝟑𝟎 + 𝟖 − 𝟑 + 𝟐𝟎 − 𝟐)
𝑨 = (𝟎. 𝟓)(𝟏𝟎𝟖)
𝑨 = 𝟓𝟒 𝒖𝟐
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 9. Graficar el polígono y hallar su área correspondiente.
1) A(3,-4), B(5,2) Y C(-7,-3) 2) A(4,7), B(1,-2) Y C(2,-5) 3) A(-3,3), B(4,2), C(7,7) Y D(-1,6) 4) A(-3,-4), B(4,-6), C(7,1), D(5,4), E(-2,6) Y F(-6,2) 5) A(-3,-1), B(2,-4), C(4,1) Y D(-3,2)
1.2. COORDENADAS POLARES
Para construir el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto “o”, llamado el polo ó el origen, y trazamos desde “o” un rayo inicial llamado el eje polar. entonces se puede asignar a cada
punto en el plano unas coordenadas polares (r,), como sigue.
r = distanc ia dirigida de 0 a P = ángulo dirigido, en sentido anti horario, del eje polar al segmento 0P.
O EJE POLAR
= Angulo Dirigido
r = Distancia Dirigida
P (r,)
GEOMETRIA ANALITICA
1.2.1. CONVERSION DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS Y VICEVERSA.
X = r Cos Y = r Sen
r =√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = Arc Tg [𝒚
𝒙]
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 10: Realizar los siguientes ejercicios: Encuentra las coordenadas cartesianas y realiza su interpretación gráfica en ambos planos sobrepuestos.
1) A(6, 45°) 7) G(-2, 𝜋
3 )
2) B (8, 30°) 8) H(3, 𝜋
2 )
3) C(4, 210°) 9) I(5, 3𝜋
2)
4) D(5, 135°) 10) J(6, 5𝜋
4 )
5) E(2, -30°) 11) K(5, 𝜋)
6) F(10, 315°)
Encuentra las coordenadas polares y realiza su interpretación gráfica en ambos planos sobrepuestos de los siguientes puntos.
1) A(3, 4)
2) B (5, 5) 3) C(-2, 3)
4) D(2, -3) 5) E(2, -1)
6) F(-2, -2)
7) G(-2, -6)
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 11:
P(X, Y)
X
Y
O
r
X
Y
DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS
DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES
+ 𝒚
+ 𝒙 =
+ 𝒚
− 𝒙 = 180° -
− 𝒚
− 𝒙 = 180° +
− 𝒚
+ 𝒙 = 360° -
GEOMETRIA ANALITICA
Competencias genéricas a desarrollar: 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
1. Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción
con pasos específicos.
2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. Competencias disciplinares básicas a desarrollar:
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
ACTIVIDAD GRUPAL: (EXTRACLASE) Formar equipos de 4 integrantes y contestar: I. Dadas las coordenadas de los vértices del siguiente triangulo, A(-3, 5), B(5, 4) y C(2, -4). Determine:
a).- Grafica.
b).- Distancias de: dAB , dAC , dBC d = √(𝑋2 − 𝑋1)2 + ( 𝑌2 − 𝑌1)
2
c).- Perímetro. Perímetro = dAB + dAC + dBC
d).- Semiperimetro. S = 𝑑𝐴𝐵+ 𝑑𝐴𝐶+ 𝑑𝐵𝐶
2
e).- Área (Fórmula de Herón). A = √𝑆(𝑆 − 𝑑𝐴𝐵)(𝑆 − 𝑑𝐴𝐶)(𝑆 − 𝑑𝐵𝐶)
f).- Compruebe el área por el método de determinantes.
CONSTRUCCION DE UN PAPALOTE
GEOMETRIA ANALITICA
B
CARRIZO
HILO A C
D
II. Para fabricar un papalote diseñado sobre un plano cartesiano que tiene por coordenadas:
A (-3.5, 3), B (-2.5, -5), C (4.5, 1) y D (9, -11)
Represente en un plano cartesiano cada uno de los puntos
Se requiere saber:
A. La cantidad de carrizo necesaria para la estructura. B. La longitud de hilo para los contornos (sin considerar los amarres). C. La cantidad de papel para la cara plana del papalote (área del polígono ABCD) D. Las coordenadas donde se cortan los carrizos (punto medio entre BC) E. Las coordenadas de un punto de amarre en el carrizo de segmento AD que lo divide en la razón
r = 2
RADAR
III. Un radar localiza un ovni a una distancia de 5 km con un ángulo de 60º en dirección noreste, realiza la grafica de la localización del ovni en coordenadas polares y en
coordenadas rectangulares.
COORDENADAS POLARES COORDENADAS RECTANGULARES
II. LUGARES GEOMETRICOS
GEOMETRIA ANALITICA
2.1. LA RECTA
2.1.1. PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACION DE UNA RECTA
PARA DETERMINAR CUAL ES EL VALOR REAL DE UN ANGULO DADA SU PENDIENTE “m” VER LA TABLA
RECTA ANGULO PENDIENTE ANGULO DE INCLINACIÓN
> 0° y
< 90°
Si m > 0
Positiva
= Inv Tan (m)
> 90° y
< 180°
Si m < 0
Negativa
= Inv Tan (m) + 180°
= 0°
m = 0
Pendiente nula
La recta es horizontal
= 90°
m = 𝐶
0
No tiene
pendiente
No está definida.
La recta es vertical.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 12:
(Y2 – Y1)
X
P2(x2,y2) - y
PENDIENTE (m).- Relación cociente entre un
desplazamiento vertical y uno horizontal.
m = (𝒀𝟐 –𝒀𝟏 )
(𝑿𝟐 – 𝑿𝟏) pendiente “m” de la recta que pasa
por dos puntos.
ANGULO DE INCLINACION (∢).- Relación angular
entre el cateto opuesto (Y2 – Y1) sobre el cateto
adyacente del ángulo (X2 – X1).
Tan ∢ = 𝑦2− 𝑦1
𝑥2− 𝑥1 Tan ∢ = m
∢ = inv Tan. (m)
Y2
Y1
X1 X2
(X2 – X1)
∢
Y
O
P1(x1,y1)
0°
90°
GEOMETRIA ANALITICA
a) Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación del segmento de recta dado por los siguientes Apares de puntos. (Realizar su grafica correspondiente)
1. A(-4,-2), B(6,1)
2. A(-3,4), B(3,-2)
3. A(-4,2), B(2,2)
4. A(-3,4), B(2,-3)
5. A(-3,0), B(0,-5)
6. A(0,3), B(4,0)
7. A(-1,-4), B(3,5)
8. A(-2,1), B(-2,-3)
b) Usando el concepto de pendientes, prueba que los puntos A (-1,-1), B (3,7) Y C(1,3) son colineales. condición para que sean colineales (mAB = mAC = mBC) c) Usando el concepto de pendientes, prueba que los puntos A(1,5), B(-2,-4) Y C(2,8) son colineales. condición para que sean colineales (mAB = mAC = mBC)
2.1.2. CONDICIONES DE PARALELISMO Y DE PERPENDICULARIDAD Y ANGULO ENTRE DOS RECTAS
CONDICION DE PARALELISMO.- Dos rectas l1 y l2 son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.
CONDICION DE PERPENDICULARIDAD.- Dos rectas l1 y l2 son perpendiculares si y solo si sus pendientes son reciprocas y de signo contrario; es decir, su producto es igual a -1.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 13:
y
x
l1 l2
m1 m2
m1 = m2
y
x
l1 l2
90°
m1 m2
m1 = - 1
𝑚2 ó (m1)(m2)= -1
ANGULO ENTRE DOS RECTAS.- El ángulo ∢θ medido en sentido contrario a las
manecillas de reloj, desde la recta l1 de la pendiente m1 a la recta l2 de la pendiente m2 es:
α1 α2
l1 l2 x
y
m1 m2
ϴ Tan ∢θ = 𝑚2− 𝑚1
1+(𝑚2)(𝑚1)
∢θ = inv. tan 𝑚2− 𝑚1
1+(𝑚2)(𝑚1)
GEOMETRIA ANALITICA
A) Cuál es la pendiente de la mediatriz, trazada al segmento:
1. A(2,3), B(-1,-4) 2. A(4,2), B(2,6)
3. A(-1,-2), B(4,3)
4. A(-2,5), B(3,-2)
B) Dadas las siguientes rectas que pasan por los puntos A y B, así como las definidas por los puntos M y N, determine si son paralelas ó perpendiculares entre sí. 1. A(-1,1), B(3,7) Y M(-2,5), N(4,1)
2. A(-7,1), B(1,-6) Y M(-4,-6), N(3,2)
3. A(3,5), B(11,6) Y M(1,1), N(9,2)
4. A(1,-1), B(2,4) Y M(6,-2), N(7,3)
5. A(2,4), B(6,-2) Y M(1,-1), N(7,3)
6. A(-2,1), B(4,7) Y M(0,-9), N(12,3)
C) Hallar el ángulo comprendido entre la recta 1 que une los puntos A(-2,-4), B(6,1) y la recta 2 M(1,-5), N(2,4).
D) Hallar el ángulo comprendido entre las rectas cuya pendientes son m1 = 6
5 y m2 = -
6
5
. E) Hallar el ángulo comprendido entre las rectas cuya coordenadas de sus puntos son
recta1 A(-3,2), B(8,2) y recta 2 M(-3,1), N(4,9).
F) Hallar el ángulo obtuso de un paralelogramo cuyos vértices son los puntos A(-1,1) , B(-5,3), C(8,0) Y D(4,2).
G) Determinar los ángulos interiores del triangulo cuyos vértices son los puntos :
1. A(-2,1), B(3,4) Y C(5,-2)
2. A(-3,4), B(3,3) Y C(-1,-4)
H) dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°; si la recta final tiene una pendiente
de m2 = −154⁄ , determinar la pendiente de la recta inicial.
I) el ángulo entre dos rectas es de 60°; si la recta final tiene por pendiente m2 = -5
determinar la pendiente de la recta inicial.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 14:
GEOMETRIA ANALITICA
Competencias genéricas a desarrollar:
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
2. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
1. Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
Competencias disciplinares básicas a desarrollar:
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales.
ACTIVIDAD GRUPAL: Formar equipos de 4 integrantes y contestar:
PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN 1. Segmento de recta con pendiente:
POSITIVA ________
INDEFINIDA ________
CERO ________
NEGATIVA ________
2. Conocido el ángulo de inclinación, la
Pendiente se obtiene con la fórmula:
a) 𝑚 = 𝑆𝑒𝑛(𝛼)
b) 𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
c) 𝑚 = 𝑇𝑎𝑛(𝛼)
d) 𝑚 =𝑥2−𝑥1
𝑦2−𝑦1
GEOMETRIA ANALITICA
3. Fórmula para determinar la pendiente de una recta conocidos dos puntos:
a) 𝑚 = 𝐶𝑜𝑠(𝛼)
b) 𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
c) 𝑚 = 𝑇𝑎𝑛(𝛼)
d) 𝑚 =𝑥2−𝑥1
𝑦2−𝑦1
4. Completa la siguiente tabla:
Pendiente
𝒎 = 𝑻𝒂𝒏(𝜶)
Angulo de inclinación
∡ α = inv tan (m)
Pendiente
𝒎 = 𝑻𝒂𝒏(𝜶)
Angulo de inclinación
∡ α = inv tan (m)
135 ̊
1 150 ̊
√3 4/5
−√3 -3/2
180 ̊ 30 ̊
60 ̊ 150 ̊
-0.7071
4 270 ̊
90 ̊ 0.8660
5. Encuentra la pendiente y el ángulo de inclinación de los siguientes segmentos:
COORDENADAS: A( , ) , B( , )
PENDIENTE: m =
ANGULO DE INCLINACIÓN: ∡ α =
GEOMETRIA ANALITICA
COORDENADAS: C( , ) , D( , )
PENDIENTE: m =
ANGULO DE INCLINACIÓN: ∡ α =
COORDENADAS: E( , ) , F( , )
PENDIENTE: m =
ANGULO DE INCLINACIÓN: ∡ α =
COORDENADAS: A( , ) , B( , )
PENDIENTE: m =
ANGULO DE INCLINACIÓN: ∡ α =
Encuentra las pendientes de cada uno de los lados de los siguientes triángulos
A( , ), B( , ) y C( , )
mA B =
mB C =
mA C =
GEOMETRIA ANALITICA
A( , ), B( , ) y C( , )
mA B =
mB C =
mA C =
6. Usando el concepto de pendientes, prueba que los puntos A (2,-1), B (-4,5) Y C(-1,2) son
colineales (Que están sobre una misma recta). Condición para que sean colineales (mAB = mAC = mBC)
7. Usando el concepto de pendientes, prueba que los puntos A( 0,1), B(-1,0) Y C(4,5) son colineales. Condición para que sean colineales (mAB = mAC = mBC)
CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD:
8. Al hallar las pendientes de dos rectas encontramos que sus pendientes son iguales. Se puede afirmar que las rectas son:_____________________
9. Al hallar las pendientes de dos rectas encontramos que el producto de sus pendientes es igual a -1. Se puede afirmar que las rectas son:_____________________
10. Completa la siguiente tabla, escribiendo la pendiente de la recta que falta y define si son paralelas o perpendiculares.
Recta 1 Recta 2 Las rectas son:
34⁄ perpendiculares
25⁄ Paralelas
14⁄ −4
√13 √13
1 Paralelas
32⁄ 3
2⁄
53⁄ Perpendiculares
5 Perpendiculares
GEOMETRIA ANALITICA
11. Al trazar la recta AB que pasa por los puntos A(-4 , -1) B(2 , 3) y la recta MN que pasa por los puntos M(-3 , -2) y N(3 ,2), se puede afirmar que las rectas son:_____________ porque:___________________
12. Al trazar la recta AB que pasa por los puntos A(-1 , 1) B(2 , 3) y la recta MN que pasa por los puntos M(2 , 3) y N(4 ,0), se puede afirmar que las rectas son:______________ Porque:_____________________________
13. Halla la pendiente perpendicular a la recta dada por los puntos: A(2,3), B(-1,-4) 14. Halla la pendiente perpendicular a la recta dada por los puntos: C(4,2), D(2,6) 15. Halla la pendiente perpendicular a la recta dada por los puntos: E(-1,-2), F(4,3)
16. Halla la pendiente perpendicular a la recta dada por los puntos: G(-2,5), H(3,-2)
17. Por medio de pendientes, demuestra que los siguientes triángulos, son rectángulos. (para que se trate de un triángulo rectángulo al menos el producto de dos de sus pendientes deben de dar igual a -1)
a) P(-3,5), Q(-6,-1) Y R(0,-4)
b) A(2,5), B(8,-1) Y C(-2,1)
18. Utilizando el concepto de pendientes, demuestra si los siguientes cuadriláteros son paralelogramos.
a) A(4,2), B(2,6), C(6,8) Y D(8,4)
b) M(1,5), N(-2,-1), O(-1,-5) Y P(2,1)
GRUPO:___________________
ESPECIALIDAD:__________________________________________________
NOMBRE DE LOS INTEGRANTES DEL EQUIPO:
GEOMETRIA ANALITICA
GRAFICA DE UNA RECTA, DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE.
Recordando que la pendiente de una recta:
m = 𝑦2−𝑦1
𝑥2− 𝑥1. Es decir m =
𝑦
𝑥 =
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
PASOS:
1.- LOS DESPLZAMIENTOS SE HACEN A PARTIR DEL PUNTO DADO P(X,Y)
2.- SI m (+) = 𝑦
𝑥 “ x” se desplaza hacia la derecha y “y” se desplaza hacia arriba.
3.-SI m (-) = 𝑦
𝑥 “ x” se desplaza hacia la izquierda y “y” se desplaza hacia arriba
EJEMPLOS:
1.- Graficar la recta si A(-1,2) Y m = 2
3 2.- Graficar la recta si A(3,-1) Y m = -
4
5
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 15: Grafica la recta conocido un punto y su pendiente
A(1,-3) y m = - 2 G(0,-2) y m = 4 M(-2,1) y m = 1
C(1,2) y m = - 1
3 I(2,2) y m =
4
5 O(0,3) y m = - 3
E(-2,3) y m = - 3
2 K(-2,0) y m =
2
5
x
y
-5
4
y
A(3,-1)
A(-1,2)
2
3
x
GEOMETRIA ANALITICA
GEOMETRIA ANALITICA SEMESTRE: AGO. 2014 – ENE. 2015 TITULAR: Ing. Mario Adolfo Valles Mendoza Tema: COORDENADAS RECTANGULARES, PENDIENTE, ANGULO DE INCLINACION. FECHA: ____________________________ GRUPO: _______ Nombre del alumno___________________________________________________
INSTRUCCIONES: Leer con atención cada uno de los enunciados y selecciona la opción
correcta.
AUTOEVALUACIÓN 1
1. En su orden, los puntos A(-1 , -4) , B(2 , 3), C(-7 , 3) y D(9 , -2) están en los
Cuadrantes: a) II, I, IV, III
b) IV, III, II, I c) III, I, II, IV.
d) I, II, III, IV
2. La distancia entre los puntos A(-2 , -3) y B(3 , -3) es:
a) 4 unidades
b) 10 unidades c) 6 unidades d) 5 unidades
3. La distancia entre los puntos A(3 , -3) y B(3 , 4) es:
a) 7 unidades b) - 7 unidades
c) 6 unidades d) - 6 unidades
4. El punto medio Pm (x , y) del segmento de recta que une los puntos P(1 , 1) y Q(6 , 5)
es: a) P(3 , 3.5) b) P(3.5 , 3) c) P(3 , 3) d) P(7 , 6)
5. Si la coordenada del punto medio de un segmento es (5,-2) y uno de los extremos se
encuentra en (- 2,6) entonces el otro extremo tiene por coordenadas:
a) (8 , -10)
b) (12 , -10) c) (1.5 , 2) d) (12 , 2)
GEOMETRIA ANALITICA
6. En un triángulo cuyas coordenadas de los vértices son: (-1,-3), (6,1), y (2,-5) su área es igual a:
a) 13 u 2
b) 25 u 2 c) 10 u 2 d) 50 u 2
7. El menor de los ángulos que una recta forma con el eje X se llama:
a) Pendiente de la recta
b) Inclinación de una recta c) ángulo entre dos rectas d) ninguna de las anteriores
8. La tangente del ángulo de inclinación de una recta, se llama:
a) ángulo entre dos rectas b) Inclinación de una recta
c) Pendiente de la recta d) ninguna de las anteriores
9. La pendiente y la inclinación de una recta que pasa por los puntos A(0 , -2) y B(4 , 2) es:
a) 1 y 45º b) -1 y 135º
c) -1 y 45º d) 1 y 135º
10. Al hallar las pendientes de dos rectas encontramos que sus pendientes son iguales.
Se puede afirmar que las rectas son: a) Oblicuas b) Perpendiculares c) Paralelas
d) Inclinadas.
11. Al hallar las pendientes de dos rectas encontramos que el producto de sus pendientes es igual a -1. Se puede afirmar que las rectas son:
a) Oblicuas
b) Perpendiculares c) Inclinadas d) Paralelas
12. Al trazar la recta AB que pasa por los puntos A(-4 , -1) B(2 , 3) y la recta CD que pasa
por los puntos C(-3 , -2) y D(3 ,2), se puede afirmar que las rectas son:
a) Perpendiculares b) Inclinadas
c) Oblicuas d) Paralelas
GEOMETRIA ANALITICA
13. La pendiente y la inclinación de una recta que pasa por los puntos P(-6 , -2) y Q(6 , 4) es:
a) 0,5 y 153,5º
b) 0,5 y 26,5º c) 2 y 26,5º d) -2 y 153,5º
14. Al trazar la recta AB que pasa por los puntos A(-4 , -1) B(2 , 3) y la recta CD que pasa
por los puntos C(2 , 3) y D(4 ,0), se puede afirmar que las rectas son:
a) Paralelas b) Inclinadas c) Perpendiculares
d) Oblicuas
15. Si una recta tiene por pendiente 1
3 y otra recta tiene por pendiente
4
5 entonces, el
menor de los ángulos que se forma entre estas rectas mide:
a) 57°5' b) 41°49'
c) 32°28' d) 20°13'
16. La pendiente y la inclinación de una recta que pasa por los puntos P(-7 , 3) y Q(-7, -1) es:
a) 0 y 90º b) indefinida y 0º
c) indefinida y 90º d) 0 y 0º
17. La pendiente y la inclinación de una recta que pasa por los puntos Q(4 , 1) y P(9 , -3)
es: a) 5/4 y 141,3º
b) -4/5 y 38,7º c) 4/5 y 38,7º d) -4/5 y 141,3º
18. La pendiente y la inclinación de una recta que pasa por los puntos P(-5 , -4) y Q(3 , -4)
es:
a) 0 y 0º b) 1 y 180º
c) no existe y 180º d) no existe y 0º
GEOMETRIA ANALITICA
RESPUESTAS:
ACTIVIDAD 7: DISTANCIA ENTRE PUNTOS
A)
a) b) 1. dAB = 12 u 1. dAB = 10.81 u
2. dCD = 6 u 2. dCD = 10.44 u
4. dEF = 7 u 3. dEF = 10.77 u
5. dGH = 4 u 4. dGH = 7.62 u
6. dIJ = 6 u 5. D IJ = 3.16 u
7. dKL = 5 u 6. dKL = 7.07 u
B) 1. d AB = 7.07 u, dAC = 7.07 u, dBC = 4.47 u.
Como dAB = dAC se trata de un triángulo Isósceles.
2. dAB = 5 u, dBC = 5 u, dAC = 7.07 u.
Como dAB = dBC se trata de un triángulo isósceles y como (dAC)2 = (dAB)2 + (dBC)2 ,
se trata de un triángulo rectángulo.
3. dAB = 3.16 u, dBC = 3.16 u, dAC = 5.66 u.
Como dAB = dBC se trata de un triángulo isósceles.
4. dAB = 8 u, dBC = 7 u, dAC = 10.63 u.
Como (dAC)2 = (dAB)2 + (dBC)2, se trata de un triángulo rectángulo.
C) d AO = 5 u, dCO = 5 u, dBO = 5 u.
Como dA O = d B O = d C O , entonc es e l punto O , es e l c ent ro de la
c i r c unferenc ia.
D) D iagonales d A C = 4.47 u y d B D = 2.83 u
E ) Per ím et ro de los po l ígonos de la ac t iv idad 6.
. E l 2 , Per ím et ro = 26.42 u y e l 3 , Per ím et ro = 33.3 u. F)
a) Es un t r iángulo es c aleno, Per ím et ro = 29.31 u
b) Es un t r iángulo is ós c eles , Per ím et ro = 28.86 u
G )
Per ím et ro = 30.21 u, Sem iper im et ro = 15.105 u, Á rea = 40 u 2
ACTIVIDAD 8: DIVISIÓN DE UN SEGMENTO. A)
1. P (5.33, 3)
2 . P ( -3.57, 5 .86)
3 . P (8, 0 .5)
4 . P ( -4, 1)
5 . P ( -1.76, 4 .25)
B)
GEOMETRIA ANALITICA
1. P (0, 3) y Q (2,1)
2. P (5.6, 2 .4) ,Q (4.2, 0 .8) ,R (2.8, - 0 .8) y Q (1.4, - 2 .4)
3. P (0, 3 .5)
4. P (2.75, -5 .25) , Q (4.5, - 1 .5) y R (6.25, 2 .25)
C)
1. Centro (-1, 2)
2. Centro (2, 3)
3. Centro (-1, 5) D)
1. Punto por donde debe pasar la mediatriz (2, 4)
2. Punto por donde debe pasar la mediatriz (-3, 2)
3. Punto por donde debe pasar la mediatriz (-2, -2) E)
1. P2(-8, 13)
2. P2(7, 0)
3. P2(4, -8)
4. P2(13, -11)
5. P2(-1, 5)
F)
ACTIVIDAD 9: AREAS DE POLIGONOS
MEDIATRICES:
DEL LADO AB(-1, 3)
DEL LADO BC(2,3.5)
DEL LADO AC(5, -0.5)
CIRCUNCENTRO (3.8, 6.6)
GEOMETRIA ANALITICA
1. A = 31 u2
2. A = 9 u2
3. A = 30 u2
4. A = 101.5 u2
5. A = 26 u2
ACTIVIDAD 10: COORDENADAS POLARES
CONVERTIR DE COORDENADAS POLARES A COORDENADAS RECTANGULARES
1. A(4.24, 4.24) 8. H(0, 3)
2. B(6.93, 4) 9. I(0, -5)
3. C(-3.46, -2) 10. J(-4.24, -4.24)
4. D(-3.54, 3.54) 11. K(-5,0)
5. E(1.73, -1)
6. F(7.07, -7.07)
7. G(-1, -1.73)
CONVERTIR DE COORDENADAS RECTANGULARES A COORDENADAS POLARES
1. A(5, 53.13°)
2. B(7.07, 45°)
3. C(3.60, 123.69°)
4. D(3.60, 303.69°)
5. E(2.24, 333.43°)
6. F(2, 225°)
7. G(6.32, 251.57°)
ACTIVIDAD 12: PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN
1. 𝑚 = 3
10 ∢ = 16.69°
2. 𝑚 = −1 ∢ = 135°
3. 𝑚 = 0 ∢ = 0°
4. 𝑚 = −7
5 ∢ = 125.54°
5. 𝑚 = 5
3 ∢ = 59.04°
6. 𝑚 = −3
4 ∢ = 143.13°
7. 𝑚 = 9
4 ∢ = 66.04°
8. 𝑚 = −4
0 ∢ = 90°
a) Si son colineales ya que mAB = mBC = mAC = 2
b) Si son colineales ya que mAB = mBC = mAC = 3
ACTIVIDAD 13: APLICACIONES DE LA PENDIENTE
GEOMETRIA ANALITICA
A) MEDIATRICES
1. 𝑚 = −3
7
2. 𝑚 = 1
2
3. 𝑚 = −1
4. 𝑚 = 5
7
B)
1. 𝑚𝐴𝐵 =3
2 y 𝑚𝑀𝑁 =
−2
3 como (
3
2) (
−2
3) = −1, son perpendiculares.
2. 𝑚𝐴𝐵 =−7
8 y 𝑚𝑀𝑁 =
8
7 como (
−7
8)(
8
7) = −1, son perpendiculares.
3. 𝑚𝐴𝐵 =1
8 y 𝑚𝑀𝑁 =
1
8 como (
1
8) = (
1
8), son paralelas.
4. 𝑚𝐴𝐵 =5
1 y 𝑚𝑀𝑁 =
5
1 como (
5
1) = (
5
1), son paralelas.
5. 𝑚𝐴𝐵 =−3
2 y 𝑚𝑀𝑁 =
2
3 como (
−3
2)(
2
3) = −1, si son perpendiculares.
6. 𝑚𝐴𝐵 = 1 y 𝑚𝑀𝑁 = 1 como (1) = (1), son paralelas.
C) ∢ = 51.65°
D) ∢ = 135.47°
E) ∢ = 48.81°
F) Angulo obtuso ∢ = 159.78°
G)
1. ∢A = 22.83°, ∢B = 104.04° y ∢C = 53.13°
2. ∢A = 66.5°, ∢B = 69.72° y ∢C = 43.78°
H) 𝑚1 = −0.5789
I ) 𝑚1 = 0.8789
