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1. SERIES DE POTENCIAS
1.1 Definición: Se llama serie de potencias a la serie de funciones del tipo
∑n=0
∞
an(x−x0)n=a0+a1 (x−x0 )+a2 (x−x0 )2+a3 (x−x0 )3+…+an (x−x0 )n…
(Serie de Taylor). O del tipo
∑n=0
∞
an xn=a0+a1 x+a2 x
2+a3 x3+…+an x
n+…(SeriedeMaclaurin)
donde los coeficientes a0 , a1 , a2 , a3 .…. ,an y el valor de x0 son constantes. Y a este tipo de series se les llama series de Taylor y en su caso particular reduciéndola a series de Maclaurin haciendo el siguiente cambio de variable.
x−x0=x '
También se puede usar la siguiente notación para mayor comodidad
∑n=0
∞
an(x−c)n=a0+a1 ( x−c )+a2 ( x−c )2+a3 ( x−c )3+…+an ( x−c )n+…
donde los coeficientes a0 , a1 , a2 , a3 .…. ,an y el valor de c son constantes. Reduciéndola a serie de Maclaurin haciendo el siguiente cambio de variable.
x−c=x'
Ejemplos:
a¿∑n=0
∞
xnb¿∑n=0
∞
n ! xn c¿∑n=0
∞xn
n !d¿∑
n=1
∞
(−1)n−1 xn¿
Y utilizando los criterios de convergencia de las series de los números reales positivos o alternados y las herramientas matemáticas adecuadas se estudia el comportamiento de este tipo de serie de funciones, cuya convergencia va a depender del valor de la variable x . Para ello se introduce el concepto de radio de convergencia R.
1.2 Condiciones de Convergencia.
Para toda serie de potencias (series de Taylor),
∑n=0
∞
an(x−c)n=a0+a1 ( x−c )+a2 ( x−c )2+a3 ( x−c )3+…+an ( x−c )n+…
Con los coeficientes a0 , a1 , a2 , a3 .…. ,an y el valor de c números reales y constantes existe un intervalo llamado intervalo o circulo de convergencia |x−c|<R con centro en el punto x=c, en cuyo interior la serie es convergente absolutamente y cuando |x−c|>R la serie es divergente. El radio de convergencia R puede ser en casos particulares igual a 0 y a ∞.
Si R=∞, el intervalo de convergencia es toda la recta real. Si por el contrario R=0, la serie de potencias converge solo en el punto x=0 y no hay intervalo de convergencia.
En los puntos extremos del intervalo de convergencia, −R<x−c<R o¿) o x=c∓R puede tener lugar, tanto la convergencia como la divergencia de la serie de potencias.
El intervalo de convergencia se determina generalmente por medio de los criterios de DÁlembert o de Cauchy respectivamente, aplicándolos a la serie formada por los valores absolutos de la serie dada. Y se obtienen las siguientes fórmulas para el radio de convergencia:
R=limn→∞| anan+1
| Fórmula de D´Alembert y R= 1
limn→∞
n√|an| Fórmula de Cauchy
No obstante, hay que emplearlos con mucha precaución ya que, frecuentemente los límites que figuran en los segundos miembros de estas fórmulas no existen. Así por ejemplo, si un conjunto infinito de coeficientes an se anula (lo que, en particular, ocurre cuando la serie consta solamente de términos de potencias pares, o solamente de potencias impares de (x−c)) no se pueden emplear las fórmulas indicadas. Debido a esto, se recomienda que al determinar el intervalo de convergencia, se emplee el criterio de DÁlambert o el Cauchy directamente, o sea usar los criterios del cociente o de la raíz sin recurrir a las fórmulas generales de determinación del radio de convergencia.
1.2.1 Criterio de D´Alembert:
En muchos casos se determina el intervalo de convergencia utilizando este criterio. Para ello se construye – en primer lugar - la serie de los valores absolutos de los términos de la serie, que será una serie de números reales positivos:
Sea la serie Sn=a0+a1 x+a2 x2+…+an x
n+…
Y la serie de los números reales positivos,
|a0|+|a1||x|+|a2||x2|+…+|an||xn|+… si esta serie converge, la serie original será absolutamente
convergente. Y los términos n-ésimo y (n+1)-ésimo respectivamente iguales a:
an xn y an+1 xn+1
La razón entre ambos para aplicar el Criterio de D´Alembert ó Criterio del Cociente es:
Sn+1
Sn=|an+1
an ||x|Y sí el límite de esta razón cuando n→∞ existe y tiene un valor de L, es decir que,
limn→∞|an+1
an |=L entonces limn→∞|Sn+1
Sn |=L|x|
Obviamente, si |x|< 1L
entonces L|x|<1 y la serie converge.
limn→∞|an+1
an |<1 la SerieConverge por Criterio de D´ Alembert
En consecuencia la serie original sin los valores absolutos, también será convergente y además será absolutamente convergente.
Por el contrario, si |x|> 1L
entonces L|x|>1 y tanto la serie de valores absolutos como la original
divergen.
Por lo tanto R=1L≥0 es el radio de convergencia de la serie de potencias y se tiene que,
R=limn→∞| anan+1
|Ejemplo 1: Sea la serie de potencias,
x1+ x
2
2+ x
3
3+…+ x
n
n+…
Determinar el radio de convergencia R y estudiar la convergencia.
En esta serie de potencias los coeficientes, n-ésimo y (n+1)-ésimo an y an+1son,
an=1ny an+1=
1(n+1)
Y el radio de convergencia es,
R=limn→∞| anan+1
|=limn→∞
1n1
n+1
=limn→∞
(n+1)n
=limn→∞ (1+
1n )=1
Por lo que esta serie es absolutamente convergente en el intervalo abierto −1<x<1 (-1,1) y en los extremos x=1 y x= -1 es:
En x=1, la serie de potencias se convierte en la serie armónica numérica:
1+ 12+ 1
3+…+ 1
n+…
la cual es divergente. Por el contrario en x = -1, se obtiene la serie armónica alternada,
−1+ 12−1
3+…+
(−1 )n
n−…
Por lo que la serie alternada es convergente ya que el límite del valor absoluto cuando n→∞del término n-ésimo es igual a cero y por lo tanto convergente.
Ejemplo 2: Determinar la convergencia de la serie
x+11.2
+(x+1)2
2.22 +(x+1)3
3. 23 +…(x+1 )n
n .2n+…
Aplicando el Criterio de DÁlembert, se determina que el círculo o intervalo de convergencia, centro del círculo de convergencia y radio de convergencia R. También estudiar la convergencia en los extremos del intervalo de convergencia de la serie está determinado por:
limn→∞
an+1
an=lim
n→∞
( x+1 )n+1
(n+1).2n+1
( x+1 )n
n .2n
=limn→∞
|x+1|n+1n .2n
2n+1(n+1)|x+1|n=lim
n→∞
|x+1|2
n(n+1)
=¿¿
limn→∞
an+1
an=¿
|( x+1)|2
con limn→∞
n(n+1)
=1¿,
R=1Ldonde L=1
2por lo que R = 2
Según D´Alembert se puede afirmar que la serie es convergente (y absolutamente convergente), en
−3<x<1. Resolviendo la desigualdad |(x+1)|
2<1, es decir x+1<2 y−( x+1 )<2 resulta
x<2−1donde x<1 y−x−1<2, y x>−3 mejor dicho
En conclusión, si −3<x<1 la serie es convergente y la serie es divergente si |(x+1)|
2>1, es decir, si
−∞<x←3 o si 1<x<∞ ,ver Grafica 1.
Ejemplo 3. Determinar la convergencia de la serie
f ( x )=∑n=0
n
n ! xn=¿1+1! xn+2 ! x2+3 ! x2+…+n! xn+…¿
Por el criterio de convergencia D´Alenbert del cociente,
limn→∞|an+1
an |¿1
limn→∞|(n+1)! xn+1
n! xn |<1implicaque limn→∞
|(n+1 ) x|<1
Esto es |x|limn→∞
(n+1)<1 y puesto que limn→∞
(n+1 )=+∞
La desigualdad anterior solo tiene sentido cuando x = 0 lo que indica que la serie de potencias
∑n=0
∞
n! xn
solo converge para x = 0 y diverge para para x≠0. De esta forma
I .C . A={0 } , I .C .= {0 } y R=0
1.2 Operaciones con series de potencias. Álgebra de serie de potencias.
En los teoremas que enunciaremos sin demostración, se presenta la técnica de sustitución, que conjuntamente con el álgebra de serie de potencias y el cálculo, permiten conocer la expansión o desarrollo de muchas otras funciones a partir de algunas ya conocidas. Por ejemplo: ln x , ex y otras.
Teorema 2: Álgebra de serie de potencias
Asumiendo que la funciones f ( x ) y g (x) pueden expandirse en funciones de potencias de la forma:
f ( x )=∑n=0
∞
an xn=¿a0+a1 x+a2 x
2+a3 x3+…an x
n+…¿
para todo x∈ I1(intervalo de convergencia de f ) y
g ( x )=∑n=0
∞
bn xn=b0+b1 x+b2 x
2+b3 x3+…+bn x
n+…
para todo x∈ I 2 (intervalo deconvergencia de g ) .
Entonces, para todo x∈ I1∩I 2 se cumple que:i)f ( x )±g ( x )=∑
n=0
∞
an xn±∑
n=0
∞
bn xn=¿∑
n=0
∞
(a¿¿n±bn) xn¿¿
ii)f ( x ) . g ( x )=[∑
n=0
∞
an xn] .[∑
n=0
∞
bn xn]=∑
n=0
∞
cn xn( productodeCauchy )
Donde,
cn=∑k=0
n
ak bn−k , n=1,2,3,4 ,…n
1.3 Derivación e Integración de series de potencia.
Si una función está representada por una serie de potencias,
f ( x )=∑n=0
∞
an(x−c)n=a0+a1 ( x−c )+a2 ( x−c )2+a3 ( x−c )3+…+an ( x−c )n+…
converge absoluta y uniformemente en su intervalo de convergencia cuando |x−c|<R ó (c−R ,c+R), se puede demostrar que dicha función es contínua en ese intervalo, y su integral en cualquier sub-intervalo cerrado puede calcularse integrando término a término. En particular para todo x de (c−R ,c+R), se tiene:
∫x= x0
x
f ( x )=∫x0
x
a0dx+∫x0
x
a1 ( x−c )dx+∫x0
x
a2(x−c )2dx+…+¿∫
x0
x
an(x−c )ndx+…¿
∫x0
x
f ( x )dx=∑n=0
∞
an(x−c )n+1(x0−c)n+ 1
n+1
Se puede demostrar que el radio de convergencia de la serie integrada es el mismo que el de la serie original.
Recíprocamente, se puede demostrar que para toda función, f ( x )=∑n=0
∞
an(x−c)nde intervalo de
convergencia (c−R ,c+R):
1. Su función derivada existe y es igual a
f ´ ( x )=a1+2a2 (x−c )+3a3(x−c)2+…+nan ( x−c )n−1+…
2. Su radio de convergencia R, es igual al de la función f(x)
Ejemplo:
Recordemos la progresión geométrica, a+ar+ar2+ar3+…+arn−1+… la cual es convergente siempre
que|r|<1 yen cuyo caso la suma converge al valor a
1−r , es decir
Sn=∑n=1
∞
arn−1=¿a+ar+ar2+ar3+…+arn−1+…= a1−r
¿
Y si se reemplaza en la igualdad, a=r y r=x resulta:
1+x+x2+x3+x4+…+ xn−1+…= 11−x
Igualdad que permite en primera instancia decir que la función f ( x )= 11−x
puede representarse por
una expresión polinómica de grado infinito.
Esta igualdad puede considerarse como la expansión de la función 1
1−x en serie de potencias:
Reemplacemos la variable – x por t entonces la expresión se convierte en,
11+ t
=1− t+t 2−t 3+ t4+…+(−1)n t n
si se toma 0≤ t ≤ x<1 la igualdad puede integrarse respecto a t entre 0 y x. Y aplicando la integración término a término se puede escribir,
∫0
x1
1+tdt=∫
0
x
dt−∫0
x
tdt+∫0
x
t 2dt−∫0
x
t 3dt+…+(−1)n∫0
x
tndt+…
ln (1+ t)] x0=t ] x
0− t2
2 ] x0+ t3
3 ] x0− t 4
4 ] x0+…+(−1 )n( tn+1
n+1 ) x0+…
Y finalmente
ln (1+x )= x1− x2
2+ x
3
3− x4
4+…+ (−1 )n x
n+1
n+1+…
Donde esta expresión es válida si |x|<1y también para x = 1 ya que se sabe que la serie alternada converge. Para x = 1 la suma de la serie es ln 2 :
ln 2=1−12+ 1
3−1
4+ 1
5−1
6+…+
(−1)n
n
1.4 Desarrollo de Funciones en Series de Potencias (Series de Taylor).
Si una función f(x) admite un desarrollo en serie de potencias de x−c en un entorno |x−c|<R del punto c, esta serie llamada serie de Taylor toma la forma:
f ( x )=f (c )+f ´ (c ) ( x−c )+ f ´ ´(c )
2!(x−c)2+…+ f
(n )
n !( x−c )n+…+Rn(x)
Esta igualdad es cierta, si para |x−c|<R el término complementario o resto de la fórmula de Taylor
Rn ( x )=f ( x )−[ f (c )+∑n=1
n f (n) (c )n !
( x−c )n]→0cuandon→∞
Para acotar el resto de la serie se puede emplear la fórmula de Lagrange,
Rn ( x )=(x−c)n+1
(n+1)!f (n+1) [z ] donde z ϵ al intervalo(c , x)
Ejemplo:
Hallar la serie de potencias de la función f ( x )=ex
De acuerdo a la definición de desarrollo en serie de potencias de una función
f ( x )=f (c )+f ´ (c ) ( x−c )+ f ´ ´(c )
2!(x−c)2+
f ´ ´ ´ (c)3 !
…+ f(n )
n!( x−c )n+… para todo x ϵ I
Donde f ( x )=ex y c = 0, la serie se convierte en una serie de Maclaurin.
f ( x )=f (c )+f ´ (c ) x+ f ´ ´( c )
2 !x2+
f ´ ´ ´ (c)3 !
x3…+ f(n)
n !xn+…+¿
1er. Paso: calcular las primeras siete (07) derivadas de la función f(x) donde f (0)=f (0 ) y evaluarlas en x = 0, para establecer el patrón de formación, asi:
Esto es f ( x )=f ´ ( x )=f ´ ´ ( x )= f ´ ´ ´ ( x )=f ( 4 ) ( x )=f (5 ) ( x )= f (6 ) ( x )=…=f (n )=…
Propiedad especial de ex de que todas las derivadas de esta función son iguales lo que quiere decir que la pendiente de la tangente de esta función en cualquier punto son iguales e igual al valor de la función en ese mismo punto.
2do. Paso formar la serie de potencias de los primeros siete (07) términos y sustituyendo c = 0,
f ( x )=ex f (0 )+f ´ (0 ) x+ f ´ ´ (0 )2!
x2+f (3)0¿ ¿3 !
x3+f (4 )(0)
4 !x4 xn+…++…+
f (n )(0)n!
ex=1+1. x+ 12 !
x2+ 13 !x3+ 1
4 !x4+ 1
5!x5+ 1
6 !x6+…=∑
n=0
∞xn
n!+…
3er. Paso Determinar el radio de convergencia e intervalo de convergencia,
Por criterio de D´Alambert
R=limn→∞| anan+1
|=limn→∞| xn
n!xn+1
(n+1)!|= 1
|x|limn→∞
(n+1)!n !
= 1|x|
limn→∞
(n+1 )=+∞
R=+∞ y la serie converge absolutamente para todo x ϵR
n f (n )( x) f (n )(0)0 f ( x )=ex f (0 )=e0=11 f ´ ( x )=ex f ´ (0 )=e0=12 f ´ ´ ( x )=ex f ´ ´ (0 )=e0=13 f (3 ) ( x )=ex f (3 ) (0 )=e0=14 f (4 ) (x )=ex f (4 ) (0 )=e0=15 f (5 ) ( x )=ex f (5 ) ( x )=e0=16 f (6 ) ( x )=e x f (6 ) (0 )=e0=1
2. HALLAR LA SERIE DE POTENCIAS DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES
2.1 f ( x )=exsin x
2.2 Desarrollar en serie de potencias f ( x )=sin x
De acuerdo a la definición de desarrollo en serie de potencias de una función
f ( x )=f (c )+f ´ (c ) ( x−c )+ f ´ ´(c )
2!(x−c)2+
f ´ ´ ´ (c)3 !
…+ f(n )
n!( x−c )n+… para todo x ϵ I
Donde f ( x )=sin x y c = 0, la serie se convierte en una serie de Maclaurin.
f ( x )=∑n=0
∞f (n )
n !xn=¿ f (c )+ f ´ (c ) x+ f ´ ´
(c )2!
x2+f ´ ´ ´ (c )
3!x3…+ f
(n )
n!xn+…+¿¿
1er. Paso: calcular las primeras diez (10) derivadas de la función f(x) donde f (0)=f (0 ) y evaluarlas en x = 0, para establecer el patrón de formación, asi:
2do. Paso formar la serie de potencias de los primeros siete (07) términos y sustituyendo c = 0,
f ( x )=sin x f (0 )+ f ´ (0 ) x+ f ´ ´ (0 )2 !
x2+ f (3 )0¿ ¿3 !x3+
f ( 4 )(0)4 !
x4 xn+…+…+f (n)(0)n !
f ( x )=sin x=0+1. x+ 02 !x2+
(−1)3 !
x3+ 04 !x4+ 1
5 !x5+ 0
6 !x6+…
n f (n )( x) f (n )(0)0 f ( x )=sin x f (0 )=sin 0=0 1 f ´ ( x )=cos x f ´ (0 )=cos 0=12 f ´ ´ ( x )=−sin x f ´ ´ (0 )=−sin 0=03 f (3 ) ( x )=−cos x f (3 ) (0 )=−cos0=−14 f (4 ) (x )=sin x f (4 ) (0 )=sin 0=05 f (5 ) ( x )=cos x f (5 ) ( x )=¿cos 0=1¿6 f (6 ) ( x )=−sin x f (6 ) (0 )=−sin 0=07 f (7 ) ( x )=−cos x f (7 ) (0 )=−cos0=−18 f (8 ) ( x )=sin x f (8 ) (0 )=−sin 0=09 f (9 ) ( x )=cos x f (9 ) (0 )=cos0=110 f (10)=−sin x f (10) (0 )=−sin 0=¿0¿
Y agregando cuatro (04) términos adicionales,
sin x=x− 13 !x3+ 1
5!x5+
(−1 )7 !
x7+ 08 !x8+ 1
9 !x9+ 0
10 !x10+…
sin x=x− 13 !x3+ 1
5!x5− 1
7 !x7+ 1
9 !x9−…+(−1)n x2n+1
(2n+1 ) !
sin x=∑n=0
∞
(−1)n x2n+1
(2n+1)!
2.3 Desarrollar en serie de potencias la función f ( x )=cos x
Análogamente a la función f ( x )=sin x hallemos diez (10) derivadas de f ( x )=cos x e igualmente tabulando,
1er. Paso: calcular las primeras diez (10) derivadas de la función f(x) donde f (0)=f (0 ) y evaluarlas en x = 0, para establecer el patrón de formación de la serie:
cos x=∑n=0
∞f (n)
n !xn=¿ f (0 )+ f ´ (0 ) x+ f ´ ´
(0 )2 !
x2+ f (3)0¿
3!x3+ f
(4)
4 !x4+…+ f
(n)
n !xn+…
cos x=1+0.x+(−1)
2!x2+ 0
3 !x3+ 1
4 !x4+ 0
5 !x5+
(−1)6 !
x6+ 07 !
x7+¿
Eliminando los términos multiplicados por 0 y agregando dos (02) términos adicionales porque
cos x=1− 12!x2+ 1
4 !x4− 1
6 !x6+ 1
8!x8− 1
10 !x10+…+(−1)n x
2n
2n !+…
cos x=∑n=0
∞
(−1)n x2n
2n !
n f (n )( x) f (n )(0)0 f ( x )=cos x f (0 )=cos 0=1 1 f ´ ( x )=−sin x f ´ (0 )=−sin 0=02 f ´ ´ ( x )=−cos x f ´ ´ (0 )=−cos 0=−13 f (3 ) ( x )=sin x f (3 ) (0 )=sin 0=04 f (4 ) (x )=cos x f (4 ) (0 )=cos 0=15 f (5 ) ( x )=−sin x f (5 ) (0 )=−sin 0=06 f (6 ) ( x )=−cos x f (6 ) (0 )=−cos0=−17 f (7 ) ( x )=sin x f (7 ) (0 )=sin 0=08 f (8 ) ( x )=cos x f (8 ) (0 )=cos0=19 f (9 ) ( x )=−sin x f (9 ) (0 )=−sin 0=010 f (10) ( x )=−cos x f (10) (0 )=−cos0=−1
3. SERIES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Es muy importante poder resolver numerosas ecuaciones diferenciales lineales que surgen en problemas físicos y que no se pueden resolver explícitamente en términos de combinaciones finitas de funciones simples conocidas, incluso para ecuaciones que aparentemente parecen sencillas, como por ejemplo: y -2xy´+y=0 En este caso, se emplea el método de las series de potencias, es decir se tiene una solución de la forma
y=f ( x )=∑n=0
∞
cn xn=c0+¿c1x
1+c2x2+…c3x
3+…cnxn+…¿
El método consiste en sustituir esta expresión en la ecuación diferencial y determinar el valor de los coeficientes c0 , c1 , c2 ,c3 ,… Esta técnica es semejante al método de coeficientes indeterminados.
3.1 MÉTODO DE SOLUCIONES EN FORMA DE SERIES DE POTENCIAS
El método para resolver las E.D. Lineales de 2do. Orden en forma de serie de potencias consiste en:
a) Sustituir la expresión general de una función y = f(x) en serie de potencias y sus derivadas, según sea el caso, en la Ecuación Diferencial Lineal a resolver.
b) La expresión para los coeficientes es:- Para los pares,
c2n=(−1)nc0
(2n)!
- Para los impares,
c2n+1=(−1)nc1
(2n+1)!
De modo que:
y=f ( x )=∑n=0
∞
cn xn=c0+¿c1x
1+c2x2+…c3x
3+…cnxn+…¿
y=c0{1− x2
2!+ x4
4 !−…+ (−1 )n x2n
(2n )!+…}+c1{x− x3
3 !+ x
5
5 !−…+(−1)n x2n+1
(2n+1)! ! }
Para simplificar las cosas, se va restringir el estudio a ecuaciones diferenciales lineales de 2do. Orden de la forma p(x)y´´ + q(x)y´ + r(x)y = 0, donde p(x), q(x) y r(x) son funciones ó polinomios. Y en el caso donde p(x), q(x) y r(x) sean funciones analíticas, o sea, tienen expansiones de series de potencias en algún intervalo de convergencia.
Una forma de la ecuación diferencial sería
y ´ ´=q ( x ) y ´+r ( x ) y
p (x)pero con p(x )≠03.2 Puntos ordinarios y puntos singulares.
Definición: Un valor de x tal que p(x) =0se llama un punto singular o singularidad, de la ecuación
p(x)y´´ + q(x)y´ + r(x)y = 0. Cualquier otro valor de x se llama punto ordinario o punto no singular.
Ejemplo a: Dada la E. D. x(1-x)y” – (2x + 1)y´ + 3y = 0, tiene a x = 0 y x = 1 como puntos singulares. Mientras que x = ½ y x = -3 son puntos ordinarios.
Ejemplo b: La E. D. xy” + y´ + xy = 0, Tiene un único punto singular x = 0. Cualquier otro valor son puntos ordinarios.
Ejemplo 1 Utilizar la serie de potencias para para resolver la E. D. y” + y = 0
Asumiendo que la solución es de la forma,
y=f ( x )=∑n=0
∞
cn xn=c0+¿c1x
1+c2x2+…c3x
3+…cnxn+…¿
Derivando la serie término a término sustituyendo en la E.D. se obtiene:
y ´=∑n=1
∞
ncn xn−1 , y ´ ´=∑
n=2
∞
n(n−1)cn xn−2
Y para comparar y e y” con mas facilidad se escribe y” así:
y ´ ´=∑n=0
∞
(n+2)(n+1)cn+2 xn
Sustituyendo en la E.D.
∑n=0
∞
(n+2)(n+1)cn+2 xn+∑
n=0
∞
cn xn=∑
n=0
∞
[ (n+2 ) (n+1 ) cn+2+cn ] xn=0
De donde se deduce que (n+2 ) (n+1 )cn+2+cn=0 yaque xn≠0
Y despejando,
cn+2=−cn
(n+1 ) (n+2 )paran=0,1,2,3… ..
De donde se determinan los coeficientes c, para los diferentes valores de n,
n=0 :c2=−c0
1.2;n=1: c3=
−c1
2.3; n=2 :c4−
c2
3.4=
c0
1.2 .3 .4=c0
4 !
n=3 :c5=−c3
4.5;n=4 :c6=
−c4
5.6=
−c0
4 ! .5 .6=
−c0
6!
n=5 :c7=−c5
6.7=
c3
4.5.6 .7=
−c1
2.3 .4 .5 .6 .7−c1
7 !
Y por la expresión para los coeficientes pares e impares es,
Pares :c2n=(−1)nc0
(2n)!e impares :c2n+1=(−1)n
c1
(2n+1)!
De modo que sustituyendo y reacomodando, la solución es:
y=c0{1− x2
2!+ x4
4 !− x6
6 !+…}+c1{x− x3
3!+ x5
5 !− x7
7 !+…}
Con las únicas dos (02) constantes c0 y c1 arbitrarias para las potencias pares e impares respectivamente.
4. HALLAR LA SERIE DE POTENCIAS DE LAS FUNCIONES
5. INVESTIGAR SOBRE SERIES DE FOURIER
Estas series surgieron históricamente al resolver por el método de la separación de variables un problema de contorno de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
Cuando estas fórmulas fueron propuestas por el físico y matemático holandés Daniel Bernoulli (1.700-1.782) en 1.753 muchos matemáticos pensaron que era imposible expresar una función f(x) cualquiera como una suma de senos y cosenos. Fue el ingeniero, físico y matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier (1.768-1.830), discípulo de los grandes matemáticos Laplace y LaGrange, el encargado de recopilar el soporte para convencer a la comunidad científica de tal posibilidad, de descomponer funciones periódicas en series trigonométricas convergentes llamadas Series de Fourier, método con el cual consiguió resolver la Ecuación de Difusión del Calor y del Efecto Invernadero.
Las series de Fourier surgen de la tarea práctica de representar gráficamente una función periódica f (x) en términos de funciones seno y coseno. La razón se debe a la facilidad con que se resuelven ciertos problemas cuando se transforman estas funciones periódicas en series de Fourier.
5.1 Definición de serie de Fourier: Se llama serie de Fourier de la función f (x) a la siguiente serie trigonométrica:
a0
2+∑n=1
∞
¿¿
cuyos coeficientes a0 , an y bn llamados coeficientes de Fourier se determinan a través de la función f (x) mediante las fórmulas:
an=¿ 1
π∫−π
π
f ( x ) cosnxdx (n=0,1,2,3…, ) ;¿
bn=1π∫−π
π
f ( x ) sinnx dx (n=0,1,2,3 ,… ) .
a0=1π∫−π
π
f ( x )dx
Nota 1: a0 se calcula de manera separada de los otros coeficientes.
Nota 2: en el cálculo de los coeficientes de Fourier aparecen las siguientes expresiones:
cos nπ=(−1)n y sinnx=0
Y a cada función f (x) integrable en el intervalo [−π ,π ¿ se le puede poner en correspondencia con su serie de Fourier:
f ( x )a0
2+∑n=1
∞
¿¿
Sin embargo, esta correspondencia no se corresponde con una igualdad. Para que esto sea cierto la serie tiene que converger hacia la función.
5.2 Definición de Período de una función: Sea f :R→R una función. Se dice que f es periódica, cuando existe un número, no nulo, tal que f(x)= f(x+T)para todo x∈ R . Y se dice que T es un período para f.
Observación 1: Si T es período para la función f , entonces ±T ,±2T ,±3T ,…±nT también son períodos para f.
Ejemplos:
- Las funciones seno y coseno tienen período 2π- La función u ( x )=sin 2 x tiene períodoπ
- La función v ( x )=sin 3 x tiene período2π3
- La función f ( x )=sin(√2¿x) tien¿e período√2 π
Observación 2: Si f ( x ) :R→Res una función de período T, entonces festá determinada por sus valores en un intervalo semi-abierto de longitud T.
Supongamos que f es una función a valores reales, definido en un intervalo I de la forma (a ,b ]ó [a ,b ), entonces f puede ser extendida de forma natural a una función de período T=b−a , definida en todo R mediante la igualdad:
f ( x+nT )=f (x )
para x∈ I y n∈Z .
En particular, cuando se consideran funciones de período 2π , es usual definirlas en el intervalo [0,2π ¿ ó en el intervalo [−π ,+π¿ .
Proposición 1: Sea f ( x ) :R→R una función de período T . Si f es integrable sobre un intervalo de longitud T , entonces es integrable sobre cualquier intervalo de longitud T y para cualquier a∈R , setiene que :
∫−a
T+a
f (x )dx=∫0
T
f ( x )dx
5.3 Condiciones para desarrollar una función en serie de Fourier.
5.3.1 Teorema de Convergencia o Teorema de Dirichlet: Si una función periódica de f (x) de periodo 2T es monótona a trozos, acotada en el intervalo [-π ,+π ¿ y tiene derivada por la derecha y por la izquierda en todo punto de dicho intervalo, entonces su serie de Fourier converge en cada punto x de este intervalo [-π ,+π ¿. Además para la suma
S ( x )=a0
2+∑n=1
∞
¿¿
de esta serie se cumplen las siguientes igualdades:
1. S ( x )=f ( x ) sí x es un punto de continuidad de f (x)
2. S ( x )=f ¿¿ es un punto de discontinuidad de f (x).
Ejemplo: Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2π
f (x)={0 , sí x∈[−π ,0 ]x , sí x∈[0 ,+π ]
Solución:
Asumiendo la función satisface el Teorema de Dirichlet,
f ( x )a0
2+∑n=1
∞
¿¿
Determinación de los coeficientes de Fourier,a0 , an y bn
i) Cálculo de a0
a0=1π∫−π
π
f ( x )dx= 1π [∫
−π
0
0.dx+∫0
π
xdx ]=1π [ x2
2 ]π0=1π ( π
2
2−0¿)=π
2
ii) Cálculo de an
an=¿ 1
π∫−π
π
f ( x ) cosnxdx (n=0,1,2,3…, ) ;¿
an=¿ 1
π∫−π
0
0.cosnxdx+∫0
π
xcosnxdx=1π∫0
π
x cosnxdx ¿
Integrando por partes,
∫ x cosnxdx concambio deu=x ,dv=cos nx y du=dx , v=1n
sin nx
∫ x cosnxdx=1nx sinnx−∫ 1
nsinnxdx=1
nx sinnx+ 1
n2cosnx
an=1π
¿
an=1π [0+
(−1)n
n2−(0+ 1
n2 )]= 1π [ (−1 )n
n2− 1
n2 ]= 1
π n2[ (−1 )n−1]
an={(−1−1)π n2 = −2
π n2 sí nes impar
(1−1)π n2 =0 sí nes par }= −2
π (2n−1 )2∀n
iii) Cálculo de bn
bn=1π∫−π
π
f ( x ) sinnx dx (n=0,1,2,3 ,…) .
bn=1π∫−π
0
0. sinnx dx+ 1π∫0
π
x sinnxdx=1π∫0
π
x sin xdx
E integrando por partes análogamente que para an:
∫ x sinnxdx concambiodeu=x ,dv=sinnxdx ydu=dx , v=−1n
cosnx
∫ x sinnx dx=−1nxcos nx+∫ 1
ncosnxdx
bn=1π
¿
bn=1π [−π
ncosnπ+ 1
n2sinnπ ] (n=0,1,2,3…)=−1
xcos nx(n=0,1,2,3 ,…)
bn=−(−1)n
n
Por consiguiente la serie de Fourier será:
f ( x )= π4+∑n=0
∞ [ −2π (2n−1)2 cosnx−
(−1)n
nsinnx]
5.4 Series de Fourier de cosenos y senos:
Pagina 52 R. Bruzual UCV.
Sea I incluído en R, un intervalo simétrico con respecto al origen y sea f : I →R una función.
Se dice que f es par sí,
f ( x )=f (−x ) paratodo x∈ I
y se dice que fes impar sí,
f (−x )=−f ( x ) paratodo x∈ I
Entonces:
i) Y si f es una función de período 2T, integrable en el intervalo [0,2T], con serie de Fourier,
f ( x )=a0
2+∑n=1
∞
¿¿¿
y además si la función f(x)es par
bn=0 , para n=0,1,2,3… . .
y además, solo uno de los coeficientes de Fourier se calcula
an=2T∫0
T
f (x )cosnπxT
dx(n=0,1,2,3 ,…)
el desarrollo de la función f (x) en serie de Fourier resulta de forma abreviada en solo cosenos ( mucho mas fácil de resolver) de la siguiente manera:
f ( x )=a0
2+∑n=1
∞
an cosnπxT
conbn=0
ii) Y si fes una función de período 2T. integrable en el intervalo [0,2T], con serie de Fourier,
f ( x )=a0
2+∑n=1
∞
¿¿¿
y además si la función f(x) es impar
an=0 , para n=0,1,2,3…. .
y entonces, solo uno de los coeficientes de Fourier se calcula
bn=2T∫0
T
f (x )sinnπxT
dx (n=0,1,2,3 ,…)
el desarrollo de la función f(x)en serie de Fourier resulta de forma abreviada en solo senos ( mucho mas fácil de resolver) de la siguiente manera:
f ( x )=a0
2+∑n=1
∞
bn sinnπxT
conan=0
5.5 Propiedades de las funciones pares e impares:
Una función par f (x) definida en el intervalo [−π , π ] tal que f (−x )=f (x ) tiene la propiedad de que su gráfica es simétrica con respecto al eje de las ordenadas generalmente llamado eje y paratodox∈ [−π , π ] .
f ( x ) es par sí f (−x )=f (x ) paratodo x∈a [−π ,π ]
Teorema: Los coeficientes de una serie de Fourier de una función par se pueden obtener de forma abreviada, mediante las siguientes fórmulas:
an=2π∫
0
π
f (x )cosnx dx ;bn=0
Por consiguiente, la serie Fourier de una función par contiene solo los cosenos, es decir, es de la forma:
f ( x )=a0
2+∑n=1
∞
an cosnx dx
Una función impar f (x) definida en el intervalo [−π , π ] tal que f (−x )=−f (x ) tiene la
propiedad de que su gráfica es simétrica con respecto origen de los ejes de coordenadas paratodox∈ [−π , π ] .
f ( x ) es impar sí f (−x )=−f ( x ) paratodo x∈[−π , π ]
Teorema: Los coeficientes de una serie de Fourier de una función impar se pueden obtener de forma abreviada, mediante las siguientes fórmulas:
bn=2π∫
0
π
f (x )sin nxdx;
Por consiguiente, la serie de Fourier de una función impar contiene solo los senos, es decir, es de la forma:
f (x)=a0
2+∑n=1
∞
bn sinnxdx; an=0
En conclusión, en general:
Caso función Par:
La serie de Fourier una función par de periodo 2T, es una serie de Fourier de Cosenos de la forma
f ( x )=a0
2+∑n=1
∞
an cosnπTx dx ;bn=0
con coeficientes,
a0=2T∫0
T
f (x )dx
an=2T∫0
T
f (x )cosnπxT
dx(n=0,1,2,3 ,…)
Caso función Impar:
La serie de Fourier de una función impar de periodo 2T, es una serie de Fourier de Senos de la forma
f ( x )=a0
2+∑n=1
∞
bn sinnπxT
conan=0
con coeficientes,
a0=2¿T∫0
T
f (x )dx ¿
bn=2T∫0
T
f (x )sinnπxT
dx (n=0,1,2,3 ,…)
Ejemplo: Desarrollar en serie de Fourier a la función periódica f ( x )=x2 en[−π ,π ]
Sol. La función es una parábola simétrica con el ejey(eje de ordenadas), de período 2π es par ya que
f ( x )=x2 y f (−x )=(−x)2=x2= f (−x) por lo que cumple f ( x )=f (−x ).
Su serie de Fourier solo contendrá cosenos y es de la forma abreviada:
f ( x )=a0
2+∑n=1
∞
an cosnx
Y los coeficientes de Fourier se calculan con las fórmulas
a0=2π∫
0
π
f ( x )dx=¿ 2π∫0
π
x2dx= 2π
( x3
3¿)π
0=2π ( π 3
3−03
3 )= 2π.π3
3=2
3π2¿¿
an=2π∫
0
π
f (x )cosnxdx ;bn=0
an=2π∫
0
π
x2 cosnxdx . Integrando por partesdos veces :
∫ x2 cosnx dx= x2
nsinnx−∫ 2
nx sin nxdx= x2
nsinnx−2
n [ xn cos nx−1n∫cos nxdx ]
{ u=x2 du=2 xdx
dv=cos nx dx v=1n
sinnx }y otra vez { u=x du=dx
dv=sinnx dx v=−1n
cos nx}∫ x2 cosnx dx= x2
nsinnx−2 x
n2 cos nx+ 2n3 sinnx
an=2π [ x2
nsinnx−2 x
n2 cosnx+ 2n3 sin nx] π0
an=2π [ π2
nsinnπ−2π
n2 cosnπ+ 2n3 sin nπ ]= 2
π.2 πn2 cos nπ
an=4
n2(−1)n
Por lo tanto, la serie de Fourier de la función es:
x2=23π2+ 4
n2∑n=1
∞
(−1)n cosnxY en forma desarrollada:
x2=23π2−4
cos1x
12+4
cos2 x
22−4
cos3 x
32+…
6. RESOLVER:
Desarrollar la Serie de Fourier, Serie de Cosenos y Serie de Senos
- Sí f ( x )=x2 ,0<x<L
- Sí f ( x )=2−x ,0< x<2
- Sí f ( x )={ 1−2<x<−1−x−1≤ x<0x 0≤x<111≤ x<2
}- Sí f ( x )=x (2−x ) ,0< x<2
VER ANEXO MANUSCRITO
2. HALLAR LA SERIE DE POTENCIAS DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES:
1) ex . sin x
2) sin x
3) cos x
NOTA: VER ANEXO MANUSCRITO
3.
4. RESOLVER LAS EC. DIFERENCIALES DE 2DO. ORDEN:
1) (x2+1 ) y+xy´=
2) y +( cos {x} )y=
3) y +( sin {x} )y=
4) y -(x+1)y´-y=
VER ANEXO MANUSCRITO
ANEXO MANUSCRITO
TRABAJO DE MATEMATICAS IV
SERIES DE POTENCIAS
(Taylor y Maclaurin)
Br. Julio C. González García
Abril, 2015
